Estadistica - Parte Uno-páginas-97

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420 CAPÍTULO 7 Prueba de hipótesis
En las secciones 7-4 y 7-5 vimos que los métodos de prueba de aseveracio-
nes acerca de medias requieren de una población distribuida de forma normal, y
que estos métodos trabajan razonablemente bien siempre y cuando la distribución
poblacional no se aleje mucho de la normalidad. Sin embargo, las pruebas de ase-
veraciones acerca de desviaciones estándar o varianzas no son tan robustas, lo que
quiere decir que los resultados pueden ser muy confusos si la población no tiene
una distribución normal. Por consiguiente, la condición de una población que se
distribuye normalmente es un requisito mucho más estricto en esta sección. Si la
población tiene una distribución que se aleja mucho de lo normal y usted utiliza
los métodos de esta sección para rechazar una hipótesis nula, en realidad no sabrá
si la desviación estándar no es como se supuso o si el rechazo se debe a la carencia
de normalidad.
No se confunda cuando nos refiramos a las distribuciones normal y chi cuadra-
da. Después de verificar que los datos muestrales parecen provenir de una población
distribuida normalmente, entonces debemos pensar en términos de la distribu-
ción chi cuadrada. La distribución chi cuadrada se introdujo en la sección 6-5,
donde señalamos las siguientes propiedades importantes.
Propiedades de la distribución chi cuadrada
1. Todos los valores de x2 son no negativos y la distribución no es simétrica
(véase la figura 7-12).
2. Existe una distribución x2 diferente para cada número de grados de libertad
(véase la figura 7-13).
3. Todos los valores críticos se encuentran en la tabla A-4, utilizando
grados de libertad 5 n 2 1
La tabla A-4 se basa en áreas acumulativas de la zona derecha (a diferencia de
los datos de la tabla A-4 que representan áreas acumulativas de la zona izquierda).
Para obtener los valores críticos en la tabla A-4, primero se localiza el renglón
correspondiente al número apropiado de grados de libertad (donde gl 5 n – 1). A
Prueba de aseveraciones acerca de s o s2
Supuestos
1. La muestra es una muestra aleatoria simple.
2. La población tiene una distribución normal. (Éste es un requisito mucho más
estricto que el de una distribución normal, cuando se prueban aseveraciones
acerca de medias, como en las secciones 7-4 y 7-5).
Estadístico de prueba para probar una aseveración acerca de s o s2
Valores P y valores críticos: Utilice la tabla A-4, con gl 5 n 2 1 para el núme-
ro de grados de libertad. (La tabla A-4 está basada en áreas acumulativas de la
derecha).
x2 5
sn 2 1ds2
s2
7-6 Prueba de una aseveración respecto de una desviación estándar o… 421
No simétrica
Todos los valores son no negativos
x2
0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
gl � 10
gl � 20
x2
FIGURA 7-12 Propiedades de la distribución
chi cuadrada
FIGURA 7-13 Distribución chi cuadrada para
10 y 20 grados de libertad
continuación, se utiliza el nivel de significancia a para determinar la columna correc-
ta. Los siguientes ejemplos están basados en un nivel de significancia de a 5 0.05,
aunque se puede emplear cualquier otro nivel de significancia de manera similar.
Observe que en cada caso el área clave es la región que se encuentra a la derecha
del (los) valor(es) crítico(s).
Prueba de cola derecha: Considerando el área a la derecha del valor crítico es
0.05, localice 0.05 en la parte superior de la tabla A-4.
Prueba de cola Con un área de cola izquierda de 0.05, el área a la derecha
izquierda: del valor crítico es 0.95, por lo tanto localice 0.95 en la
parte superior de la tabla A-4.
Prueba de dos colas: Divida el nivel de significancia de 0.05 entre la cola de-
recha y la cola izquierda, de manera que las áreas a la
derecha de los dos valores críticos sean 0.975 y 0.025,
respectivamente. Localice 0.975 y 0.025 en la parte su-
perior de la tabla A-4. (Consulte la figura 6-10 y el
ejemplo en las páginas 349-350).
EJEMPLO Puntuaciones de CI de profesores de estadística
Para una muestra aleatoria simple de adultos, las puntuaciones de CI se distri-
buyen normalmente, con una media de 100 y una desviación estándar de 15.
Una muestra aleatoria simple de 13 profesores de estadística produce una des-
viación estándar de s 5 7.2. Un psicólogo está muy seguro de que los profeso-
res de estadística tienen puntuaciones de CI con una media mayor que 100. Él
no comprende muy bien el concepto de desviación estándar y no se da cuenta
de que ésta debe ser menor que 15 (ya que los profesores de estadística tienen
una variación menor que la población general). En su lugar, él asevera que los
profesores de estadística tienen puntuaciones de CI con una desviación estándar
igual a 15, como la población general. Suponga que las puntuaciones de CI de
los profesores de estadística se distribuyen normalmente y utilice un nivel
de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que s 5 15. Con base
en el resultado, ¿qué concluye sobre la desviación estándar de las puntuaciones
de CI de los profesores de estadística?
continúa
422 CAPÍTULO 7 Prueba de hipótesis
La ética en
experimentos
Con frecuencia es posible obtener
datos muestrales con sólo observar
o encuestar a miembros selecciona-
dos de la población. Muchas otras
situaciones requieren que manipu-
lemos circunstancias, de alguna
manera, para obtener datos mues-
trales. En ambos casos llegan a
surgir dilemas éticos. Investigado-
res en Tuskegee, Alabama, aplica-
ron el tratamiento de penicilina
eficaz a víctimas de sífilis para
poder estudiar la enfermedad.
¡Este experimento continuó por
un periodo de 27 años!
0 x2 � 4.404 x2 � 23.337
Datos muestrales: x2 � 2.765
No rechazar�
s � 15
Rechazar�
s � 15
Rechazar�
s � 15
a/2 � 0.025
a/2 � 0.025
FIGURA 7-14 Prueba de la aseveración de que s 5 15
SOLUCIÓN Emplearemos el método tradicional de prueba de hipótesis, tal
como se describe en la figura 7-8.
Paso 1: La aseveración se expresa en forma simbólica como s 5 15.
Paso 2: Si la aseveración original es falsa, entonces s 2 15.
Paso 3: La expresión s 2 15 no contiene igualdad, por lo que se convierte
en la hipótesis alternativa. La hipótesis nula es la afirmación de que
s 5 15.
H0: s 5 15 (aseveración original)
H1: s 2 15
Paso 4: El nivel de significancia es a 5 0.05.
Paso 5: Puesto que la aseveración se refiere a s, utilizamos la distribución
chi cuadrada.
Paso 6: El estadístico de prueba es
Los valores críticos de 4.404 y 23.337 se localizan en la tabla A-4,
en el 12o renglón (grados de libertad 5 n 2 1 5 12) en las columnas
correspondientes a 0.975 y 0.025. Observe el estadístico de prueba y
los valores críticos que aparecen en la figura 7-14.
Paso 7: Puesto que el estadístico de prueba se encuentra en la región crítica,
rechazamos la hipótesis nula.
INTERPRETACIÓN Existe suficiente evidencia para justificar el rechazo de la
aseveración de que la desviación estándar es igual a 15. Parece que los profe-
sores de estadística tienen puntuaciones de CI con una desviación estándar que
es significativamente diferente de la desviación estándar de 15 de la población
general.
x2 5
sn 2 1ds2
s2 5
s13 2 1ds7.2d2
152 5 2.765
Método del valor P
En lugar de utilizar el método tradicional de prueba de hipótesis en el ejemplo ante-
rior, también podemos utilizar el método del valor P que se resume en las figuras
7-6 y 7-9. Si se usa STATDISK en el ejemplo anterior, se obtendrán el valor P
de 0.0060. Si empleamos la tabla A-4, generalmente no obtendremos valores
P exactos, ya que la tabla de la distribución chi cuadrada únicamente incluye va-
lores selectos de a. (Por esta limitación, es más fácil probar aseveraciones acerca
de s o s2 con la tabla A-4 utilizando el método tradicional, que utilizando el mé-
todo del valor P). Si empleamos la tabla A-4 podemos identificar los límites que
contienen al valor P. El estadístico de prueba del último ejemplo es x2 5 2.765, y
sabemos que la prueba es de dos colas con 12 grados de libertad. Remítase al 12o.
renglón de la tabla A-4 y observe que el estadístico de prueba de 2.765 es menorque cualquier dato en ese renglón, lo que significa que el área a la izquierda del
estadístico de prueba es menor que 0.005. El valor P para una prueba de dos colas
es dos veces el área de la cola limitada por el estadístico de prueba, de modo que
duplicamos 0.005 para concluir que el valor P es menor que 0.01. Puesto que el
valor P es menor que el nivel de significancia de a 5 0.05, rechazamos la hipóte-
sis nula. Nuevamente, el método tradicional y el método del valor P son equiva-
lentes en el sentido de que siempre conducen a la misma conclusión.
Método del intervalo de confianza
El ejemplo anterior también se resuelve con el método del intervalo de confianza de
prueba de hipótesis. Utilizando los métodos descritos en la sección 6-5, podemos
emplear los datos muestrales (n 5 13, s 5 7.2) para construir el siguiente intervalo
de confianza del 95%: 5.2 , s, 11.9. Como el valor aseverado de s5 15 no está
contenido dentro del intervalo de confianza, rechazamos la aseveración de que s5 15
y sacamos la misma conclusión que con los métodos tradicional y del valor P.
7-6 Prueba de una aseveración respecto de una desviación estándar o… 423
Utilizando la tecnología
Seleccione Analysis, después Hypothesis Tes-
ting y luego StDev-One Sample. Proceda a introducir los datos
requeridos en el cuadro de diálogo y después haga clic en Eva-
luate. El STATDISK desplegará el estadístico de prueba, los valores
críticos, el valor P, la conclusión y el intervalo de confianza.
Estas herra-
mientas tecnológicas aún no están diseñadas para probar aseve-
raciones acerca de s o s2.
TI283 PlusExcelMinitabSTATDISK
7-6 Destrezas y conceptos básicos
Cálculo de valores críticos. En los ejercicios 1 a 4 calcule el estadístico de prueba, después
utilice la tabla A-4 para obtener el (los) valor(es) crítico(s) de x2 y los límites que con-
tienen al valor P; luego determine si existe suficiente evidencia para sustentar la hipótesis
alternativa dada.
1. H1: s 2 15, a 5 0.05, n 5 20, s 5 10.
2. H1: s . 12, a 5 0.01, n 5 5, s 5 18.
3. H1: s , 50, a 5 0.01, n 5 30, s 5 30.
4. H1: s 2 4.0, a 5 0.05, n 5 81, s 5 4.7.
Prueba de aseveraciones sobre variación. En los ejercicios 5 a 16 pruebe la aseveración
dada. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria simple de una población que se
distribuye normalmente. Utilice el método tradicional de prueba de hipótesis, a menos
que su profesor indique otra cosa.
5. Variación en dulces M&M de cacahuate Utilice un nivel de significancia de 0.01 pa-
ra probar la aseveración de que los dulces M&M de cacahuate tienen pesos que varían
más que los pesos de los dulces M&M sencillos. La desviación estándar de los pesos
de los dulces M&M sencillos es de 0.04 g. Una muestra de 40 dulces M&M de ca-
cahuate tiene pesos con una desviación estándar de 0.31 g. ¿Por qué tendrán los dul-
ces de cacahuate pesos que varían más que los dulces sencillos?
6. Variación de pistones Al diseñar un pistón para una bomba de transferencia de solu-
ciones líquidas, los ingenieros especificaron una media de 0.1 pulgadas para el radio del
pistón. La desviación estándar máxima se especificó en 0.0005 pulgadas (según datos
de Taylor Industries). Cuando se selecciona al azar 12 pistones de la línea de producción
y se miden, sus radios tienen una desviación estándar de 0.00047 pulgadas. ¿Existe
suficiente evidencia para sustentar la aseveración de que los pistones se están fabrican-
do con radios que tienen una desviación estándar menor que el mínimo especificado
de 0.0005 pulgadas? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
7. Fabricación de altímetros para aviones La Stewart Aviation Products Company utili-
za un nuevo método de producción para fabricar altímetros para aviones. Se prueba
una muestra aleatoria simple de 81 altímetros en una cámara de presión, y se registran
los errores en la altitud como valores positivos (para las lecturas que son demasiado
altas) o valores negativos (para las lecturas que son demasiado bajas). La muestra tie-
ne una desviación estándar de s 5 52.3 pies. Al nivel 0.05 de significancia, pruebe la
aseveración de que la nueva línea de producción tiene errores con una desviación es-
tándar diferente de 43.7 pies, que era la desviación estándar del antiguo método de
producción. Parece que la desviación estándar ha cambiado, ¿parece ser mejor o peor
el nuevo método de producción en comparación con el anterior?
8. Puntuaciones de exámenes de estadística Los exámenes de clases anteriores de esta-
dística del autor tienen calificaciones con una desviación estándar igual a 14.1. Una
de sus clases recientes incluye 27 calificaciones de examen con una desviación están-
dar de 9.3. Utilice un nivel de significancia de 0.01 para probar la aseveración de que
las clases actuales tienen menor variación que las clases anteriores. ¿La desviación
estándar menor sugiere que les va mejor a las clases actuales?
9. Tiempos de espera de clientes bancarios El banco Jefferson Valley, que utiliza filas in-
dividuales en las distintas ventanillas, encontró que la desviación estándar de los tiem-
pos de espera los viernes en la tarde, distribuidos normalmente, era de 6.2 min. El banco
experimentó con una fila única y observó que para una muestra aleatoria simple de 25
clientes, los tiempos de espera tenían una desviación estándar de 3.8 min. Utilice un ni-
vel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que la fila única causa una
menor variación en los tiempos de espera. ¿Por qué los clientes preferirían tiempos de
espera con menor variación? ¿Resulta en una espera menor el uso de una fila única?
10. Temperaturas corporales En la sección 7-4 probamos la aseveración de que la tempe-
ratura corporal media es igual a 98.6°F, y utilizamos datos muestrales del conjunto de
datos 4 del Apéndice B. Las temperaturas corporales tomadas a las 12:00 AM del día dos
pueden resumirse con los siguientes estadísticos: n 5 106, 5 98.20°F, s 5 0.62°F, y
un histograma muestra que los valores tienen una distribución aproximadamente normal.
En la sección 7-4 asumimos que s5 0.62°F, que es un supuesto poco realista. Sin em-
bargo, el estadístico de prueba causará el rechazo de m 5 98.6°F, siempre y cuando la
desviación estándar sea menor que 2.11°F. Utilice los estadísticos muestrales y un nivel
de significancia de 0.005 para probar la aseveración de que s, 2.11°F.
x
424 CAPÍTULO 7 Prueba de hipótesis
11. Pesos de supermodelos Utilice un nivel de significancia de 0.01 para probar la aseve-
ración de que los pesos de mujeres supermodelos varían menos que los pesos de las
mujeres en general. La desviación estándar de los pesos de la población de mujeres es
de 29 libras. A continuación se listan los pesos (en libras) de 9 supermodelos seleccio-
nadas al azar.
125 (Taylor) 119 (Auermann) 128 (Schiffer) 128 (MacPherson)
119 (Turlington) 127 (Hall) 105 (Moss) 123 (Mazza)
115 (Hume)
12. Estaturas de supermodelos Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la ase-
veración de que las estaturas de mujeres supermodelos varían menos que las estaturas
de las mujeres en general. La desviación estándar de las estaturas de la población de
mujeres es de 2.5 pulgadas. A continuación se listan las estaturas (en pulgadas) de super-
modelos seleccionadas al azar (Taylor, Harlow, Mulder, Goff, Evangelista, Auer-
mann, Schiffer, MacPherson, Turlington, Hall, Crawford, Campbell, Herzigova, Sey-
mour, Banks, Moss, Mazza, Hume).
71 71 70 69 69.5 70.5 71 72 70
70 69 69.5 69 70 70 66.5 70 71
13. Volúmenes de Pepsi Un nuevo gerente de producción asevera que los volúmenes de
latas de Pepsi normal tienen una desviación estándar menor que 0.10 onzas. Utilice un
nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración con los resultados muestrales
incluidos en el conjunto de datos 17 del Apéndice B. ¿Qué problemas se causan por
una media que no es de 12 onzas? ¿Qué problemas surgen por una desviación están-
dar demasiado alta?
14. Presión sanguínea sistólica de mujeres La presión sanguínea sistólica resulta de las
contraccionesdel corazón. Con base en resultados pasados del National Health Sur-
vey, se asevera que las mujeres tienen presiones sanguíneas sistólicas con una media
y una desviación estándar de 130.7 y 23.4, respectivamente. Use las presiones sanguí-
neas sistólicas de mujeres que se listan en el conjunto 1 de datos del Apéndice B y
pruebe la aseveración de que la muestra proviene de una población con una desvia-
ción estándar de 23.4.
15. Pesos de hombres Se emplean datos de una encuesta antropométrica para publicar
valores que sirven en el diseño de productos adecuados para que los adultos los utili-
cen. Según Gordon, Churchill et al., los hombres tienen pesos con una media de 172.0
libras y una desviación estándar de 28.7 libras. Con la muestra de pesos de hombres
del conjunto de datos 1 del Apéndice B, pruebe la aseveración de que la desviación es-
tándar es de 28.7 libras. Emplee un nivel de significancia de 0.05. Al diseñar elevado-
res, ¿cuál sería una consecuencia de la creencia de que los pesos de hombres varían
menos de lo que realmente varían?
16. Estaturas de mujeres Se emplean datos de una encuesta antropométrica para publicar
valores que pueden usarse en el diseño de productos adecuados para que los adultos
los utilicen. Según Gordon, Churchill et al., las mujeres tienen estaturas con una me-
dia de 64.1 pulgadas y una desviación estándar de 2.52 pulgadas. Con la muestra de
estaturas de mujeres del conjunto de datos 1 del Apéndice B, pruebe la aseveración
de que la desviación estándar es de 2.52 pulgadas. Utilice un nivel de significancia de
0.05. Al diseñar asientos de automóvil para mujeres, ¿cuál sería la consecuencia de creer
que las estaturas de mujeres varían menos de lo que realmente varían?
7-6 Más allá de lo básico
17. Control de la variación en latas de Pepsi Remítase al ejercicio 13 y, para una muestra
de tamaño n 5 36 y con un nivel de significancia de 0.05, calcule la desviación están-
dar muestral más grande que pueda utilizarse para sustentar la aseveración de que s
, 0.10 onzas.
7-6 Prueba de una aseveración respecto de una desviación estándar o… 425
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