(T1) Ecuaciones lineales- Porcentaje- Inecuaciones- Intervalos (1-10)

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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO- MEDIOS AUDIOVISUALES 
Ecuaciones lineales-Porcentaje-Inecuaciones- Intervalos 
 
 
 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO- MEDIOS AUDIOVISUALES 1 
 
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. 
Empecemos con un ejemplo. La suma de las edades de Julia y Sofía es 26 años. Ésta última tiene 8 
años menos que Julia. ¿Cuáles son sus edades? 
Si representamos con x la edad de Julia, y con 8x la edad de Sofía, la expresión que resulta 
es: 
8 26x x   , que se puede escribir 2 8 26x  
Esta expresión es una ecuación lineal donde x es la incógnita. La solución de esta ecuación es el 
valor de x que verifica la igualdad. En este caso la solución es 9, ya que si reemplazamos este 
valor en dicha ecuación, ésta se transforma en una identidad numérica. Es decir: 2.9+8=26 
Resolver una ecuación significa determinar si tiene solución, y en tal caso hallar dicha solución. 
Para poder resolver una ecuación se hace uso de algunas propiedades de la aritmética. 
Analicemos primero estas ecuaciones: 
4 5 91
2 2 50
12 15 273
x
x
x
 
 
 
 
Estas tres ecuaciones tienen a 24x  como solución. Como las tres ecuaciones tienen la misma 
solución, se llaman equivalentes. 
La noción de ecuaciones equivalentes es de suma importancia para resolver ecuaciones, porque 
cuando la resolución de una ecuación es complicada, se busca otra ecuación equivalente a la dada 
cuya resolución sea mucho más sencilla. 
Transformación de ecuaciones en otras equivalentes 
 Si en cada miembro de una ecuación se suma un mismo número real o una expresión 
algebraica entera, se obtiene una nueva ecuación equivalente a la dada. 
 Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo número real, se obtiene 
una nueva ecuación equivalente a la dada. 
Ejemplo 1. Resolver la ecuación 2 2 50x  
Solución. 
Si sumamos en ambos miembros -2, se obtiene 2 2 ( 2) 50 ( 2) 2 48x x        . 
Si multiplicamos ambos miembros por 
1
2
 (que es equivalente a dividir por 2), se obtiene 
1 1
.2 .48 24
2 2
x x   . 
Es decir, 24x  es la solución de la ecuación dada. 
 
 
 
 
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Ecuaciones lineales-Porcentaje-Inecuaciones- Intervalos 
 
 
 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO- MEDIOS AUDIOVISUALES 2 
 
Ejemplo 2. Resolver la ecuación 4 5 91x  . 
Solución. 
Si sumamos en ambos miembros 5, se obtiene 4 5 5 91 5 4 96x x      . 
Si multiplicamos ambos miembros por 
1
4
 (que es equivalente a dividir por 4), se obtiene 
1 1
.4 .96 24
4 4
x x   . 
Su solución es 24x  
Ejemplo 3. Resolver la ecuación 8 5 3 2x x   
Solución. 
Sumando -5 ( o restando 5) en los dos miembros, resulta: 
8 5 ( 5) 3 2 ( 5)x x       
 8 3 7x x  
Restando la expresión 3x , en ambos miembros: 
 8 3 3 3 7x x x x    
 5 7x   
Dividiendo ambos miembros por 5 o multiplicando por 
1
5
, resulta: 
7
5
x   
Esta solución se puede expresar: 
7
5
S
 
  
 
 
Es conveniente comprobar si el resultado es correcto, para lo cual, se reemplaza la x por el valor 
7
5
 en la ecuación original, y debe obtenerse una igualdad. 
7 7
8. 5 3. 2
5 5
56 21
5 2
5 5
56 25 21 10
5 5
31 31
5 5
   
       
   
    
   

  
 
 
 
 
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 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO- MEDIOS AUDIOVISUALES 3 
 
Cabe preguntarse si las ecuaciones de primer grado con una incógnita, siempre tienen una única 
solución. 
Ejemplo 4. Resolver la ecuación:  
5 4 1
1 3
3 3 4
x x x    
Solución 
Aplicamos la propiedad distributiva: 
5 5 4 1
3
3 3 3 4
x x x    
Agrupamos los términos donde figura la incógnita: 
 
5 4 5 1
3
3 3 3 4
x x
 
    
 
 
 
5 1
3 3
3 4
x x   (*) 
Restamos 3x en ambos miembros: 
 
5 1
3 4
 
Esto es falso, por lo tanto se concluye que la ecuación no tiene solución. 
También se podría pensar de esta manera, si en la ecuación (*) se restan en ambos miembros 3x y 
5
3
, se obtiene: 
 
1 5
0
4 3
17
0
12
x
x
 
 
 
Esta igualdad no se verifica para ningún valor de x , porque no hay valor de x que multiplicado por 
0 de por resultado 
17
12
 . 
Ejemplo 5. Resolver la ecuación: 4 3 9 -4 13 -1x x x   
Solución 
Agrupamos los términos donde figura la incógnita: 
 13 1 13 1x x   
 
 
 
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Esta igualdad se verifica para cualquier valor de x , por lo tanto la ecuación tiene infinitas 
soluciones. 
También se podría pensar de esta manera, si se resta en ambos miembros 13x , y se suma 1 en 
cada miembro, se obtiene: 
 0 0x  
Esta expresión se verifica para cualquier valor de x . 
Resumiendo: 
Las ecuaciones lineales en una variable se pueden expresar en la forma general ax b , donde a 
es el coeficiente de la incógnita y b es el término independiente 
Sólo si 0a  , existe una única solución de la ecuación, y está dada por 
b
x
a
 . 
Si 0a  , se presentan dos posibilidades: 
0 No existe solucion
0 Existen infinitas soluciones
b
b



 
 
PORCENTAJE 
Ejemplo 6 
Un comerciante tiene una ganancia de 25% sobre el precio de costo de los productos que vende. 
a) Si el producto A le costó $3520, ¿a cuánto deberá venderlo para obtener dicha 
ganancia? 
b) Si vendió el producto B a $2750, ¿cuál habrá sido el precio de costo? 
Solución 
Primero vamos a interpretar qué significa tener una ganancia del 25%. Significa que por cada $100 
se ganan $25. Y lo expresamos así: 
 
25
25
100
%  
Pero decir 25 de cada 100, es lo mismo que decir 1 de cada 4. Con lo cual: 
 
25 1
25 0 25
100 4
% ,   
Es claro entonces, que para hallar el 25% de una cantidad, por ejemplo el 25% de $3520, se debe 
resolver: 
 
25
$3520 0,25.$3520 $880
100
 
  
 
 
La forma más sencilla para hallar el tanto por ciento de una cantidad, es expresar el tanto por ciento 
en forma decimal y multiplicarlo por dicha cantidad. 
 
Ahora estamos en condiciones de resolver el problema planteado anteriormente. 
 
 
 
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a) ¿Cómo calculamos el valor de venta del producto A sabiendo que se quiere obtener una ganancia 
del 25%?. 
Para resolver planteamos la siguiente ecuación: 
 3520 0,25.3520 x  
Resolviendo las cuentas resulta: $4400x  
El producto se debe vender a $ 4400 . 
 
b) Vamos a calcular ahora el precio de costo, sabiendo que lo vendió a $2750. Para resolver esta 
situación suponemos que x es el precio de costo, entonces planteamos: 
 25 2750x % x  
O sea que: 0 25 2750x , x  
Sacando factor común x , resulta:  1 0 25 2750x ,  
Despejando el valor de 
2750
1 25
x
,
 y efectuando los cálculos correspondientes, obtenemos: 
2200x  . 
El precio de costo del producto es: $2200 . 
 
Ejemplo 7 
El precio de costo de un artículo es $1430 y el precio de venta es $1980. ¿Cuál es la variación 
porcentual de aumento? 
Solución 
Planteamos la siguiente ecuación: 
 1430 %1430 1980x  
Sacando factor común $1430, resulta: 
 1430 1 % 1980x  
O sea que: 
1 x % = 
1980
1430
 
De donde resulta que: x % = 
1980
1
1430
 
Es decir: x % = 
1980 1430
0 20
1430
,

 
. - .
. %
.
V final V inicialV porcentual x
V inicial
 
  
 
 
 
Coeficientes de aumento y de disminución 
Ejemplo 8 
En muchas oportunidades habrás escuchado frases de este tipo: 
“ Si abona el pasaje en tres cuotas se le recarga un 12%” 
 
 
 
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“Hoy sobre todas las compras de más de $2000 recibe un descuento del 12%”, 
 
a) ¿cómo podemos expresar dicho enunciado en lenguaje simbólico?, si llamamos x al precio del 
pasaje, podemos expresar que 
1C (el precio del pasaje incrementado en un 12%), será: 
1C =
12
12% 0,12. (1 0,12) 1,12
100
x x x x x x x x        1,12 este último número 
se llama coeficiente de aumento. 
Por ejemplo, si el pasaje cuesta $1500, y al pagarlo en tres cuotas nos recargan un 12%, deberemos 
pagar  1500 1 12 1680$ , $ 
b) En el segundo caso, el precio de la compra recibe una rebaja del 12%, entonces: 
si llamamos x al monto de la compra, podemos expresar que 0C (el precio de la compra rebajado 
en un 12%), será: 
  0
12
12% (1 0,12) 0,88
100
C x x x x x x       0,88 este último número se 
llama coeficiente de disminución. 
Por ejemplo, si hacemos una compra de $2500, con el descuento del 12%, pagaremos $2200. 
 
Es decir que: 
Para hallar aumentos o disminuciones porcentuales, se multiplica la cantidad inicial por el 
coeficiente de variación (de aumento o disminución) 
Encadenamiento de aumentos o disminuciones porcentuales 
¿Qué pasará cuando se “encadenan” los porcentajes de aumentos o disminuciones? 
Vamos a suponer que una cantidad C se incrementa primero en un 12% y luego en un 18%. ¿Cuál es 
el porcentaje correspondiente a la variación porcentual total? 
 Partimos de sumar el 12% de C, a la cantidad inicial C. 
  
12
1,12
100
C C C  
Luego sumamos a esta cantidad incrementada:  1,12C , el 18% de la misma, con lo cual, resulta: 
    
18
1,12 1,12
100
C C 
Sacando factor común:  1,12C resulta: 
     1,12 (1 0,18) 1,12 1,18 1,3216 C C C   
Podemos concluir que cuando se aplican dos aumentos porcentuales sucesivos a una cantidad, el 
valor final resulta de multiplicar los coeficientes de aumento por el capital inicial. 
Se procede de la misma forma cuando se encadenan disminuciones porcentuales, sólo que 
multiplicando el capital inicial por los coeficientes de disminución. 
 
 
 
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INECUACIONES-INTERVALOS- 
 
INECUACIONES LINEALES 
Resolver una desigualdad como 3( 2) 5x   , significa hallar todos los valores de la variable x para 
los cuales dicha desigualdad es verdadera. 
Para poder resolver desigualdades o inecuaciones de este tipo, es necesario aplicar ciertas reglas. 
Reglas de las desigualdades 
1. Si a ambos miembros de una desigualdad se suma un mismo número real, se obtiene otra 
desigualdad del mismo sentido que la dada. 
 
 Por ejemplo: 
3 4 , si se suma a ambos miembros el número 7, resulta: 3 7 4 7   
3 4 , si se suma a ambos miembros el número - 7, resulta: 3 7 4 7   
 
 En forma simbólica, siendo , a b y c números reales cualesquiera, se escribe: 
 Si a b , entonces a c b c   
 
 
2. Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número real positivo, la 
desigualdad no varía su sentido. 
 
Por ejemplo: 
3 4 , si se multiplican ambos miembros por 5, resulta: 3.5 4.5 
3 4 , si se multiplican ambos miembros por 
1
2
, resulta: 
1 1
3. 4.
2 2
 , es decir: 
3 4
2 2
 
 
 En forma simbólica, si: 
 
 0a b y c  , entonces . .ac bc 
 
3. Al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por un número negativo, se invierte el 
sentido de la desigualdad. 
 
Por ejemplo: 
3 4 , si se multiplican ambos miembros por 5 , resulta 3.( 5) 4.( 5)   
3 4 , si se multiplican ambos miembros por 
1
2
 , resulta 
1 1
3.( ) 4.( )
2 2
   , es decir: 
3
2
2
   
 
 
 
 
 
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En forma simbólica, si: 
 
 0a b y c  , entonces . .ac bc 
 
Estas reglas también se aplican a otras desigualdades, como , a b a b y a b   
 
Resolviendo desigualdades 
Ejemplo 9. Hallar los valores de x que verifican la desigualdad: 3 5 7x  
 
Solución 
Usando las propiedades anteriores, tenemos: 
3 5 5 7 5x    , sumar 5 
 3 12x  
 
1 1
3. 12. ,
3 3
x  multiplicar por 
1
3
 
 4x  
 
Es decir que todos los números reales menores que 4 son solución de la desigualdad dada. Es 
conveniente, una vez resuelta la desigualdad, comprobar con algunos valores de x que son solución 
para ver si la satisfacen. De la misma manera se pueden tomar valores que no son solución para ver 
realmente que no cumplen la desigualdad. Por ejemplo: cuando x=1, o x=0 se cumple la 
desigualdad, pero no cuando x=7. 
 
Ejemplo 10. Resolver la inecuación: 2 8 12x   
 
Solución 
Restamos 8 en ambos miembros y obtenemos: 
 
2 8 8 12 8
 2 4
x
x
    
 
 
Al multiplicar por 
1
2
 , resulta: 
 
1 1
2. 4.
2 2
 2
x
x
   
      
   
 
 
Todos los números reales mayores que -2 son solución de la desigualdad dada. 
 
 
 
 
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DESIGUALDADES DOBLES 
 
Dos desigualdades que se verifican simultáneamente se pueden escribir como una doble 
desigualdad. Por ejemplo: si y a x x c  , es natural escribir: a x c  
 
Ejemplo 11. Hallar los valores de x que verifican: 2 4 3 16x    
 
Solución 
Esta desigualdad doble engloba estas dos desigualdades: 
 4 3 2 y 4 3 16x x     
esto indica que se pueden resolver estas dos desigualdades por separado y luego intersecar las 
soluciones para encontrar la solución final, o tratarlas simultáneamente. 
Resolvemos las desigualdades por separado: 4 3 2 4 3 16x y x     
 4 3 2x   4 3 16x  
 3 6x   restar 4 3 12x  restar 4 
1 1
3. 6.
3 3
x
   
       
   
multiplicar por 
1
3
 
1 1
3. 12.
3 3
x
   
      
   
multiplicar por 
1
3
 
 2x  4x   
 
Es decir, por un lado se obtienen como solución los 2x  , y por el otro, los 4x   . Para encontrar 
la solución general, debemos hallar la intersección entre estos conjuntos de soluciones, y 
obtenemos así que todos los números reales que sean simultáneamente, menores o iguales a 2 , y 
mayores o iguales a 4 , son solución de esta desigualdad doble. 
 
Resolvemos la desigualdad doble, en forma simultánea. 
 2 4 3 16x    
 6 3 12x    restar 4 en los tres miembros 
 
1 1 1
6. 3. 12.
3 3 3
x
     
           
     
 multiplicar por 
1
3
 
 2 4x   
 
INTERVALOS 
Existe una notación muy útil para expresar conjuntos de números que cumplen una determinada 
condición. Por ejemplo para denotar los números reales comprendidos entre 2 y 5, se usará el 
intervalo abierto:    2;5 / 2 5x R x    . En general    ; /a bx R a x b    , es el conjunto 
de todos los números reales mayores que a y menores que b . Los puntos a y b no están 
contenidos en el intervalo. Los intervalos que incluyen a los extremos, se llaman cerrados y se 
denotan por:    ; /a b x B a x b    . 
Tipos de intervalos reales: 
 
 
 
 
 
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Intervalo Notación de intervalo Notación de conjuntos Gráfica 
 
abierto  ;a b  /x R a x b   
 
cerrado  ;a b  /x R a x b   
 
semi-abierto 
 
 
;
;
a b
a b
 
 
 
/
/
x R a x b
x R a x b
  
  
 
 
infinitos 
 
 
 
 
;
;
;
;
a
a
b
b




 
 
 
 
 
/
/
/
/
x R x a
x R x a
x R x b
x R x b
 
 
 
 
 
 
 
Volviendo a los ejemplos de desigualdades vistos anteriormente, podemos escribir las soluciones 
utilizando la notación de intervalos. 
En el primer ejemplo donde obtuvimos como solución: 4x  , podemos decir que la solución son los 
 ;4x  . En el segundo ejemplo, serán los  2;x   mientras que en la desigualdad doble 
serán los  4;2x  . 
 
Ejercicios propuestos. Hallar el conjunto solución de las siguientes desigualdades y representar cada 
conjunto en la recta numérica: 
a) 4 2 7x x   
b) 3 3
2 4
0x   
c) 5 10 4x x   
d) 4 8 4 10x    
e) 2 6 6 9x    
Respuestas: a)  3,  , b) 
1
,
2
 
 
 
, c)  1,  , d) 
1
,3
2
 
 
 
, e) 
2 5
,
3 2
 
 
 