Equações Algébricas e Transcendentais

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Equações algébricas e transcendentais
Aula 2
Estudo especial de equações polinomiais 
Regras para identificar raízes de funções;
 Teorema de Bolzano;
 Regra de Descartes;
 Cotas de Kojima e Fujiwara
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Estudo especial de equações polinomiais
Teorema Fundamental da Álgebra:
“Se p é um polinômio de grau , ou seja, , onde , , , são reais ou complexos, com então tem pelo menos um zero, ou seja, existe um número tal que ”
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Regra de Descartes:
 	Seja o polinômio . 
	Deseja-se determinar a quantidade de raízes reais e complexas de Pn(x). Um polinômio Pn(x) tem exatamente n raízes reais e complexas; se os coeficientes de P(x) são reais, as raízes complexas ocorrerão aos pares.
Regras para determinar raízes de funções
3
	A Regra de Descartes afirma que: Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos “p” desse polinômio não excede o número “v” de variações de sinal dos coeficientes. Ainda mais, “v-p” é um inteiro par.
Exemplo ...
Para determinar o número de raízes reais negativas, tomamos e usamos a Regra de Descartes para raízes positivas.
4
Exemplo ...
Regras para determinar raízes de funções
Método de Horner
Seja 
Se:
 e 
, para 
Então . Além disso, se:
Q
Então,
5
Teorema de Bolzano: 
 	Auxilia na determinação do número de raízes de um intervalo.
 Considere uma função contínua f definida num intervalo [a,b], tal que:
Se f(a)f(b) > 0, existe um número par (0, 2, 4, ...) de raízes reais no intervalo.
Se f(a)f(b) < 0, existe um número ímpar (1, 3, 5, ...) de raízes reais no intervalo.
Se a f e sua derivada f ' são contínuas em [a,b] e se o sinal de f ' é constante então:
 se f(a)f(b) > 0, não existe raiz real em [a,b].
 se f(a)f(b) < 0, existe uma única raiz real em [a,b];
Regras para determinar raízes de funções
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Regras para determinar raízes de funções
7
 Exemplo: 
Indique, graficamente, o intervalo que contém a raiz real da função 
 Solução: As raízes reais encontram-se no intervalo [-0,2;1]
Figura1. Gráfico de f(x) = x2 - sen(x)
Teorema:
“Se é um polinômio com coeficientes , então tem pelo menos um zero no interior do círculo centrado na origem e de raio igual a 
Sendo: e ”
8
Exemplo ...
Teorema:
“Se é um polinômio de grau n e se 
Então cada zero de se encontra na região circular definida por ”
9
Exemplo ...
3. Regra da Lacuna:
 	 
	Esta regra serve para a avaliação de raízes complexas de um polinômio de grau n. Se os coeficientes de p(x) são todos reais e para algum valor k, 1  k < n existir:
 	
Regras para determinar raízes de funções
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	 a) ak = 0 e ak-1 ak+1 > 0, então p(x) terá raízes complexas.
Exemplo ...
	 b) dois ou mais coeficientes nulos sucessivos, então p(x) = 0 tem raízes complexas.
Cota de Kojima e Fujiwara:
 	 Seja  uma raiz de p(x) = 0; então, pela cota de Fujiwara tem-se	
Regras para determinar raízes de funções
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 = 
e =
e pela de Kojima
Observe que a cota de Kojima corresponde a uma melhor estimativa deste intervalo.
 
Use a regra de Descartes para inferir sobre as raízes de p(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 -3x +4.
 
Enumerar e localizar as raízes de p(x) = 2x4 - 8x3 - x2 + 10x - 2 = 0.
 
Localizar as raízes de p(x) = x5 + 2x4 - 9x3 - 5x2 + 10x - 2 utilizando a cota mais apropriada.
Via gráfico indique as raízes de
 a) f(x) = x3 + e2x – 7
	b) f(x) = x - e-2x 
 c) f(x) = sen(x) - .
Exercícios
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Fonte:
Material do professor Dr. Régis Quadros;
RUGIERO, Márcia A. G. & LOPES, Vera L. R. Cálculo Numérico aspectos Teóricos e Computacionais. 2. Ed. São Paulo, Makron Books do Brasil, 1996.
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0
1
1
2
2
1
n
1
n
n
n
n
a
x
a
x
a
...
x
a
x
a
(x)
P
+
+
+
+
+
=
-
-
sen(x)
 
-
x
f(x)
2
=
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
-
n
/
1
n
0
1
n
1/ 
n
1
1/3
n
3
-
n
1/2
n
2
-
n
n
1
-
n
a
a
,
a
a
,...,
a
a
,
a
a
,
a
a
k
2max{k}
α
£
)
q
(q
α
2
1
+
£
1
q
2
q
max{k}
 x
λ
 
-
e