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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 294 — #304 294 Fı́sica Matemática Arfken •Weber 5.9.11 A integral ∫ 1 0 [ ln(1− x) ]2 dx x aparece na correção de quarta ordem do momento magnético do elétron. Mostre que ela é igual a 2ζ(3). Sugestão: Tome 1− x = e−t. 5.9.12 Mostre que ∫ ∞ 0 (ln z)2 1 + z2 dz = 4 ( 1− 1 33 + 1 53 − 1 73 + · · · ) . Por integração de contorno (Exercı́cio 7.1.17), pode-se mostrar que essa expressão é igual a π3/8. 5.9.13 Para valores “pequenos” de x, ln(x!) = −γx+ ∞∑ n=2 (−1)n ζ(n) n xn, em que γ é a constante de Euler-Mascheroni e ζ(n) é a função zeta de Riemann. Para quais valores de x esta série converge? Resposta: −1 < x ≤ 1. Note que se x = 1, obtemos γ = ∞∑ n=2 (−1)n ζ(n) n , uma série para a constante de Euler-Mascheroni. A convergência dessa série é excessivamente lenta. Para o cálculo propriamente dito de γ, há outras abordagens, indiretas, que são muito superiores (veja os Exercı́cios 5.10.11 e 8.5.16). 5.9.14 Mostre que a expansão da série de ln(x!) (Exercı́cio 5.9.13) pode ser escrita como (a) ln(x!) = 1 2 ln ( πx sen πx ) − γx− ∞∑ n=1 ζ(2n+ 1) 2n+ 1 x2n+1, (b) ln(x!) = 1 2 ln ( πx sen πx ) − 1 2 ln ( 1 + x 1− x ) + (1− γ)x − ∞∑ n=1 [ ζ(2n+ 1)− 1 ] x2n+1 2n+ 1 . Determine a faixa de convergência de cada uma dessas expressões. 5.9.15 Mostre que a constante de Catalan, β(2), pode ser escrita como β(2) = 2 ∞∑ k=1 (4k − 3)−2 − π2 8 . Sugestão: π2 = 6ζ(2). 5.9.16 Derive as seguintes expansões das funções de Debye para n ≥ 1:∫ x 0 tn dt et − 1 = xn [ 1 n − x 2(n+ 1) + ∞∑ k=1 B2kx 2k (2k + n)(2k)! ] , |x| < 2π; ∫ ∞ x tn dt et − 1 = ∞∑ k=1 e−kx [ xn k + nxn−1 k2 + n(n− 1)xn−2 k3 + · · ·+ n! kn+1 ] para x > 0. A integral completa (0,∞) é igual a n!ζ(n+ 1), Exercı́cio 8.2.15. 5.9.17 (a) Mostre que a equação ln 2 = ∑∞ s=1(−1)s+1s−1 (Exercı́cio 5.4.1) pode ser reescrita como ln 2 = ∞∑ s=2 2−sζ(s) + ∞∑ p=1 (2p)−n−1 [ 1− 1 2p ]−1 . Sugestão: Considere os termos em pares. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 295 — #305 5. SÉRIES INFINITAS 295 (b) Calcule ln 2 até cinco algarismos significativos. 5.9.18 (a) Mostre que a equação π/4 = ∑∞ n=1(−1)n+1(2n − 1)−1 (Exercı́cio 5.7.6) pode ser reescrita como π 4 = 1− 2 ∞∑ s=1 4−2sζ(2s)− 2 ∞∑ p=1 (4p)−2n−2 [ 1− 1 (4p)2 ]−1 . (b) Calcule π/4 até seis algarismos significativos. 5.9.19 Escreva um subprograma de função ZETA(N) para calcular a função zeta de Riemann para argumento inteiro. Tabule ζ(s) para s = 2, 3, 4, . . . , 20. Verifique os valores que calculou pela Tabela 5.3 e AMS-55, Capı́tulo 23. (Veja o Exercı́cio 5.2.22 para a referência. Sugestão: Se você fornecer o subprograma de função com os valores conhecidos ζ(2), ζ(3), e ζ(4), evitará as séries que convergem mais lentamente. O tempo de cálculo pode ser abreviado mais ainda usando-se a Equação (5.170). 5.9.20 Calcule o logaritmo (base 10) de |B2n|, n = 10, 20, . . . , 100. Sugestão: Programe ζ(n) como um subprograma de função, Exercı́cio 5.9.19. Valores de verificação. log |B100| = 78, 45 log |B200| = 215, 56. 5.10 Séries Assintóticas Séries assintóticas ocorrem com freqüência em fı́sica. Em cálculos numéricos elas são empregadas para o cálculo preciso de uma variedade de funções. Aqui consideramos dois tipos de integrais que levam a séries assintóticas: em primeiro lugar, uma integral da forma I1(x) = ∫ ∞ x e−uf(u) du, em que a variável x aparece como o limite inferior de uma integral. Em segundo lugar, consideramos a forma I2(x) = ∫ ∞ 0 e−uf ( u x ) du, com a função f a ser expandida como uma série de Taylor (série binomial). Séries assintóticas ocorrem com freqüência como soluções de equações diferenciais. Um exemplo disso aparece na Seção 11.6 como uma solução da equação de Bessel. Função Gama Incompleta A natureza de uma série assintótica talvez seja mais bem ilustrada por um exemplo especı́fico. Suponha que temos a função integral exponencial23 Ei(x) = ∫ x −∞ eu u du, (5.174) ou −Ei(−x) = ∫ ∞ x e−u u du = E1(x), (5.175) para ser avaliada para valores grandes de x. Ou vamos tomar uma generalização da função fatorial incompleta (função gama incompleta)24 I(x, p) = ∫ ∞ x e−uu−p du = Γ(1− p, x), (5.176) na qual x e p são positivos. Novamente, procuramos avaliá-la para valores grandes de x. Integrando por partes, obtemos I(x, p) = e−x xp − p ∫ ∞ x e−uu−p−1 du = e−x xp − pe−x xp+1 + p(p+ 1) ∫ ∞ x e−uu−p−2 du. (5.177) 23Essa função ocorre com freqüência em problemas de astrofı́sica que envolvem gases com distribuição de energia de Maxwell-Boltzmann. 24Veja também a Seção 8.5. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 296 — #306 296 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Continuando a integrar por partes, desenvolvemos a série I(x, p) = e−x ( 1 xp − p xp+1 + p(p+ 1) xp+2 − · · ·+ (−1)n−1 (p+ n− 2)! (p− 1)!xp+n−1 ) + (−1)n (p+ n− 1)! (p− 1)! ∫ ∞ x e−uu−p−n du. (5.178) Essa é uma série notável. Verificando a convergência pelo teste da raiz de d’Alembert, encontramos lim n→∞ |un+1| |un| = lim n→∞ (p+ n)! (p+ n− 1)! · 1 x = lim n→∞ p+ n x =∞ (5.179) para todos os valores finitos de x. Portanto, nossa série, por ser uma série infinita, diverge em todo lugar! Antes de descartar a Equação (5.178) como imprestável, vamos ver quão bem uma dada soma parcial se aproxima da função fatorial incompleta, I(x, p): I(x, p)− sn(x, p) = (−1)n+1 (p+ n)! (p− 1)! ∫ ∞ x e−uu−p−n−1 du = Rn(x, p). (5.180) Em valor absoluto ∣∣I(x, p)− sn(x, p)∣∣ ≤ (p+ n)! (p− 1)! ∫ ∞ x e−uu−p−n−1 du. Quando substituı́mos u = v + x, a integral se torna∫ ∞ x e−uu−p−n−1 du = e−x ∫ ∞ 0 e−v(v + x)−p−n−1 dv = e−x xp+n+1 ∫ ∞ 0 e−v ( 1 + v x )−p−n−1 dv. Para x grandes, a integral final se aproxima de 1 e∣∣I(x, p)− sn(x, p)∣∣ ≈ (p+ n)! (p− 1)! · e−x xp+n+1 . (5.181) Isso significa que, se tomarmos x suficientemente grande, nossa soma parcial sn é uma aproximação arbitrariamente boa para a função da I(x, p). Portanto, nossa série divergente (Equação (5.178)) é perfeitamente boa para cálculos de somas parciais. Por essa razão, ela costuma ser denominada série semiconvergente. Note que a potência de x no denominador do resto (p+ n+ 1) é mais alta do que a potência de x no último termo incluı́do em sn(x, p), (p+ n). Uma vez que o sinal do resto Rn(x, p) se alterna, as somas parciais sucessivas dão, alternativamente, limites superiores e inferiores para I(x, p). O comportamento da série (com p = 1) como uma função do número de termos incluı́dos é mostrado na Figura 5.12. Temos exE1(x) = ex ∫ ∞ x e−u u du ∼= sn(x) = 1 x − 1! x2 + 2! x2 − 3! x4 + · · ·+ (−1)n n! xn+1 , (5.182) que é avaliada em x = 5. A determinação ótima de exE1(x) é dada pela melhor aproximação dos limites superiores e inferiores, isto é, entre s4 = s6 = 0, 1664 e s5 = 0, 1741 para x = 5. Portanto, 0, 1664 ≤ exE1(x) ∣∣ x=5 ≤ 0, 1741. (5.183) Na verdade, pelas tabelas, exE1(x) ∣∣ x=5 = 0, 1704, (5.184) dentro dos limites estabelecidos por nossa expansão assintótica. Note que a inclusão de termos adicionais na expansão da série além do ponto ótimo literalmente reduz a precisão da representação. À medida que x aumenta, a amplitude entre o limite superior e o limite inferior diminui. Considerando x suficientemente grande, podemos calcular exE1(x) para qualquer grau de precisão. Outras propriedades de E1(x) são derivadas e discutidas na Seção 8.5. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 297 — #307 5. SÉRIES INFINITAS 297 Figura 5.12: Somas parciais de exE1(x)|x=5. Integrais de Seno e Co-seno Séries assintóticas também podem ser desenvolvidas a partir de integrais definidas se o integrando tiver o comportamento requerido. Como exemplo, as integrais de seno e co-seno (Seção 8.5) são definidas por Ci(x) = − ∫ ∞ x cos t t dt, (5.185) si(x) = − ∫ ∞ x sen t t dt. (5.186) Combinando essas integrais com funções trigonométricasregulares, podemos definir f(x) = Ci(x)sen x− si(x) cosx = ∫ ∞ 0 sen y y + x dy, g(x) = −Ci(x) cosx− si(x)sen x = ∫ ∞ 0 cos y y + x dy, (5.187) com a nova variável y = t− x. Partindo para variáveis complexas, Seção 6.1, temos g(x) + if(x) = ∫ ∞ 0 eiy y + x dy = ∫ ∞ 0 ie−xu 1 + iu du, (5.188) na qual u = −iy/x. Os limites de integração, 0 a∞, em vez de 0 a −i∞, podem ser justificados pelo teorema de Cauchy, Seção 6.3. Racionalizando o denominador e igualando parte real com parte imaginária, obtemos g(x) = ∫ ∞ 0 ue−xu 1 + u2 du, f(x) = ∫ ∞ 0 e−xu 1 + u2 du. (5.189) Para convergência das integrais devemos exigir que <(x) > 0.25 Agora, para desenvolver as expansões assintóticas, seja v = xu e expanda o fator precedente [1 + (v/x)2]−1 25<(x) = parte real de x (complexo), (compare com Seção 6.1). “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 298 — #308 298 Fı́sica Matemática Arfken •Weber pelo teorema binomial.26 Temos f(x) ≈ 1 x ∫ ∞ 0 e−v ∑ 0≤n≤N (−1)n v2n x2n dv = 1 x ∑ 0≤n≤N (−1)n (2n)! x2n , (5.190) g(x) ≈ 1 x2 ∫ ∞ 0 e−v ∑ 0≤n≤N (−1)n v2n+1 x2n dv = 1 x2 ∑ 0≤n≤N (−1)n (2n+ 1)! x2n . Pelas Equações (5.187) e (5.190), Ci(x) ≈ sen x x ∑ 0≤n≤N (−1)n (2n)! x2n − cosx x2 ∑ 0≤n≤N (−1)n (2n+ 1)! x2n , si(x) ≈ −cosx x ∑ 0≤n≤N (−1)n (2n)! x2n − sen x x2 ∑ 0≤n≤N (−1)n (2n+ 1)! x2n (5.191) são as expansões assintóticas desejadas. Essa técnica de expandir o integrando de uma integral definida e integrar termo a termo é aplicada na Seção 11.6, para desenvolver uma expansão assintótica da função de Bessel modificada Kν , e na Seção 13.5, para expansões das duas funções hipergeométricas confluentes M(a, c;x) e U(a, c;x). Definição de Série Assintótica O comportamento dessas séries (Equações (5.178) e (5.191)) é consistente com as propriedades que definem uma série assintótica.27 Conforme Poincaré, consideramos28 xnRn(x) = xn [ f(x)− sn(x) ] , (5.192) em que sn(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·+ an xn . (5.193) A expansão assintótica de f(x) tem as seguintes propriedades lim x→∞ xnRn(x) = 0, para n fixo, (5.194) e lim n→∞ xnRn(x) =∞, para x fixo 29 (5.195) Veja as Equações (5.178) e (5.179) para um exemplo dessas propriedades. Para a série de potências, como admitimos na forma de sn(x), Rn(x) ∼ x−n−1. Com as condições (5.194) e (5.195) satisfeitas, escrevemos, f(x) ≈ ∞∑ n=0 anx −n. (5.196) Note a utilização de≈ no lugar de =. A função f(x) é igual à série somente no limite à medida que x→∞ e para número finito de termos na série. Expansões assintóticas de duas funções podem ser multiplicadas, e o resultado será uma expansão assintótica do produto das duas funções. A expansão assintótica de uma dada função f(t) pode ser integrada termo a termo (exatamente como em uma série uniformemente convergente de funções contı́nuas) x ≤ t < ∞, e o resultado será uma expansão assintótica 26Essa etapa é válida para v ≤ x. As contribuições de v ≥ x serão desprezı́veis (para x grande) por causa da exponencial negativa. É porque a expansão binomial não converge para v ≥ x que nossa série final é assintótica em vez de convergente. 27Não é necessário que a série assintótica seja uma série de potências. A propriedade exigida é que o resto Rn(x) seja de ordem mais alta do que o último termo mantido – como na Equação (5.194). 28A definição de Poincaré permite (ou despreza) funções exponencialmente decrescentes. O refinamento da definição de Poincaré é de considerável importância para a teoria avançada de expansões assintóticas, em particular para extensões para o plano complexo. Todavia, para a finalidade de um tratamento introdutório, e em especial para cálculo numérico com x real e positivo, a abordagem de Poincaré é perfeitamente satisfatória. 29Isso exclui a série convergente de potências inversas de x. Alguns autores acham que essa exclusão é artificial e desnecessária.
