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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 264 — #274 264 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Exercı́cios 5.4.1 Dada a série (derivada na Seção 5.6) ln(1 + x) = x− x2 2 + x3 3 − x4 4 · · · , −1 < x ≤ 1, mostre que ln ( 1 + x 1− x ) = 2 ( x+ x3 3 + x5 5 + · · · ) , −1 < x < 1. A série original, ln(1 + x), aparece na análise da energia de ligação em cristais. Ela é 1 2 da constante de Madelung (2 ln 2) para uma cadeia de átomos. A segunda série é útil para normalizar os polinômios de Legendre (Seção 12.3) e para desenvolver uma segunda solução para a equação diferencial de Legendre (Seção 12.10). 5.4.2 Determine os valores dos coeficientes a1, a2 e a3 que farão (1 + a1x + a2x 2 + a3x 3) ln(1 + x) convergir como n−4. Ache a série resultante. 5.4.3 Mostre que (a) ∞∑ n=2 [ ζ(n)− 1 ] = 1, (b) ∞∑ n=2 (−1)n [ ζ(n)− 1 ] = 1 2 , em que ζ(n) é a função zeta de Riemann. 5.4.4 Escreva um programa para rearranjar os termos da série harmônica alternante e fazer com que a série convirja para 1,5. Agrupe seus termos como indicado na Equação (5.61). Liste as primeiras 100 somas parciais sucessivas e passe um pouco de 1,5 ou fique um pouco abaixo de 1,5 e liste os novos termos incluı́dos em cada soma parcial. Resposta: n 1 2 3 4 5 sn 1,5333 1,0333 1,5218 1,2718 1,5143 5.5 Série de Funções Estendemos nosso conceito de série infinita para incluir a possibilidade de que cada termo un pode ser uma função de alguma variável, un = un(x). Numerosas ilustrações de tal série de funções aparecem nos Capı́tulos 11–14. As somas parciais tornam-se funções da variável x, sn(x) = u1(x) + u2(x) + · · ·+ un(x), (5.65) bem como a soma da série, definida como o limite das somas parciais: ∞∑ n=1 un(x) = S(x) = lim n→∞ sn(x). (5.66) Até aqui nos preocupamos com o comportamento das somas parciais como uma função de n. Agora consideramos como as quantidades precedentes dependem de x. Aqui, o conceito fundamental é o da convergência uniforme. Convergência Uniforme Se, para qualquer pequeno ε > 0, existir um número N independente de x no intervalo [a, b] (isto é, a ≤ x ≤ b), tal que ∣∣S(x)− sn(x) ∣∣ < ε, para todo n ≥ N, (5.67) então diz-se que a série é uniformemente convergente no intervalo [a, b]. Isso significa que, para nossa série ser uniformemente convergente, deve ser possı́vel encontrar um N finito, tal que a cauda da série infinita, | ∑∞ i=N+1 ui(x)|, seja menor do que um ε arbitrariamente pequeno para todo x no intervalo dado. Essa condição, Equação (5.67), que define convergência uniforme, é ilustrada na Figura 5.7. A questão é que não importa quão pequeno presurmirmos que o ε seja, sempre podemos escolher n grande o bastante, de modo que a grandeza absoluta da diferença entre S(x) e sn(x) seja menor do que ε para todo x, a ≤ x ≤ b. Se isso não puder ser feito, então ∑ un(x) não é uniformemente convergente em [a, b]. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 265 — #275 5. SÉRIES INFINITAS 265 Exemplo 5.5.1 CONVERGÊNCIA NÃO-UNIFORME ∞∑ n=1 un(x) = ∞∑ n=1 x [(n− 1)x+ 1][nx+ 1] . (5.68) Figura 5.7: Convergência uniforme. A soma parcial sn(x) = nx(nx + 1)−1 pode ser verificada por indução matemática. Por inspeção, essa expressão para sn(x) é válida para n = 1, 2. Admitimos que ela seja válida para n termos e então provamos que é válida para n+ 1 termos: sn+1(x) = sn(x) + x [nx+ 1][(n+ 1)x+ 1] = nx [nx+ 1] + x [nx+ 1][(n+ 1)x+ 1] = (n+ 1)x (n+ 1)x+ 1 , concluindo a prova. Deixando que n se aproxime do infinito, obtemos S(0) = lim n→∞ sn(0) = 0, S(x 6= 0) = lim n→∞ sn(x 6= 0) = 1. Temos uma descontinuidade no limite de nossa série em x = 0. Todavia, sn(x) é uma função contı́nua de x, 0 ≤ x ≤ 1, para todo n finito. Não importa quão pequeno ε possa ser, a Equação (5.67) será violada para todo x suficientemente pequeno. Nossa série não converge uniformemente. � TesteM (Majorante) de Weierstrass O teste mais comumente encontrado para convergência uniforme é o testeM de Weierstrass. Se pudermos construir uma série de números ∑∞ 1 Mi, na qualMi ≥ |ui(x)| para todo x no intervalo [a, b] e ∑∞ 1 Mi é convergente, nossa série ui(x) será uniformemente convergente em [a, b]. A prova desse teste M de Weierstrass é direta e simples. Visto que ∑ iMi converge, existe algum número N , tal que, para n+ 1 ≥ N , ∞∑ i=n+1 Mi < ε. (5.69) Isso resulta de nossa definição de convergência. Então, com |ui(x)| ≤Mi para todo x no intervalo a a ≤ x ≤ b, ∞∑ i=n+1 ∣∣ui(x)∣∣ < ε. (5.70) Portanto, ∣∣S(x)− sn(x) ∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∞∑ i=n+1 ui(x) ∣∣∣∣∣ < ε, (5.71) e, por definição, ∑∞ i=1 ui(x) é uniformemente convergente em [a, b]. Uma vez que especificamos valores absolutos no enunciado do teste M de Weierstrass, a série ∑∞ i=1 ui(x) também é considerada absolutamente convergente. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 266 — #276 266 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Note que convergência uniforme e convergência absoluta são propriedades independentes. Nenhuma implica a outra. Como exemplos especı́ficos, ∞∑ n=1 (−1)n n+ x2 , −∞ < x <∞, (5.72) e ∞∑ n=1 (−1)n−1x n n = ln(1 + x), 0 ≤ x ≤ 1, (5.73) convergem uniformemente nos intervalos indicados mas não convergem absolutamente. Por outro lado, ∞∑ n=0 (1− x)xn = 1, 0 ≤ x < 1 = 0, x = 1, (5.74) converge absolutamente mas não converge uniformemente em [0, 1]. Pela definição de convergência uniforme podemos mostrar que qualquer série f(x) = ∞∑ n=1 un(x) (5.75) não pode convergir uniformemente em qualquer intervalo que inclua uma descontinuidade de f(x) se todos, un(x) são contı́nuos. Visto que o teste M de Weierstrass estabelece as duas, a convergência uniforme e a convergência absoluta, ele necessariamente falhará para séries que são uniformemente convergentes, porém condicionalmente. Teste de Abel Um teste um tanto mais delicado para a convergência uniforme foi dado por Abel. Se un(x) = anfn(x),∑ an = A, convergente e as funções fn(x) são monotônicas [fn+1(x) ≤ fn(x)] e limitadas, 0 ≤ fn(x) ≤M , para todo x em [a, b], então∑ n un(x) converge uniformemente em [a, b]. Esse teste é de particular utilidade na análise da série de potências (compare com a Seção 5.7). Detalhes da prova do teste de Abel e de outros testes para convergência uniforme são dados nas Leituras Adicionais apresentadas ao final deste capı́tulo. Séries uniformemente convergentes têm três propriedades de particular utilidade. 1. Se os termos individuais un(x) são contı́nuos, a soma da série f(x) = ∞∑ n=1 un(x) (5.76) também é continua. 2. Se os termos individuais un(x) são contı́nuos, a série pode ser integrada termo a termo. A soma das integrais é igual à integral da ∫ b a f(x) dx = ∞∑ n=1 ∫ b a un(x) dx. (5.77) 3. A derivada da soma da série f(x) é igual à soma das derivadas dos termos individuais: d dx f(x) = ∞∑ n=1 d dx un(x), (5.78) “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 267 — #277 5. SÉRIES INFINITAS 267 contanto que sejam satisfeitas as seguintes condições: un(x) e dun(x) dx são contı́nuas em [a, b]. ∞∑ n=1 dun(x) dx é uniformemente convergente em [a, b]. A integração termo a termo de uma série uniformemente convergente8 requer apenas continuidade dos termos individuais. Essa condição é quase sempre satisfeita em aplicações fı́sicas. A diferenciação termo a termo de uma série muitas vezes não é válida porque as condições que devem ser satisfeitas são mais restritivas. De fato, encontraremos séries de Fourier no Capı́tulo 14, nas quais a diferenciação termo a termo de uma série uniformemente convergente leva a uma série divergente. Exercı́cios 5.5.1 Ache a faixa de convergência uniforme da série de Dirichlet (a) ∞∑ n=1 (−1)n−1 nx , (b) ζ(x) = ∞∑ n=1 1 nx . Resposta: (a) 0 < s ≤ x <∞. (b) 1 < s ≤ x <∞. 5.5.2 Para qual faixa de x a série geométrica ∑∞ n=0 x n é uniformemente convergente? Resposta:−1 < −s ≤ x ≤ s < 1. 5.5.3 Para qual faixa de valorespositivos de x é ∑∞ n=0 1/(1 + xn) (a) convergente? (b) uniformemente convergente? 5.5.4 Se a série dos coeficientes ∑ an e ∑ bn é absolutamente convergente, mostre que a série de Fourier∑ (an cosnx+ bnsennx) é uniformemente convergente para −∞ < x <∞. 5.6 Expansão de Taylor Essa é uma expansão de uma função para uma série infinita de potências de uma variável x ou para uma série finita mais um termo de resto. Os coeficientes dos termos sucessivos da série envolvem as derivadas sucessivas da função. Já usamos a expansão de Taylor quando estabelecemos a interpretação fı́sica da divergência (Seção 1.7) e em outras seções dos Capı́tulos 1 e 2. Agora derivamos a expansão de Taylor. Admitimos que nossa função f(x) tem uma derivada contı́nua de enésima ordem9 no intervalo a a ≤ x ≤ b. Então, integrando essa derivada enésima n vezes,∫ x a f (n)(x1) dx1 = f (n−1)(x1) ∣∣∣x a = f (n−1)(x)− f (n−1)(a),∫ x a dx2 ∫ x2 a dx1f (n)(x1) = ∫ x a dx2 [ f (n−1)(x2)− f (n−1)(a) ] (5.79) = f (n−2)(x)− f (n−2)(a)− (x− a)f (n−1)(a). Continuando, obtemos∫ x a dx3 ∫ x3 a dx2 ∫ x2 a dx1f (n)(x1) = f (n−3)(x)− f (n−3)(a)− (x− a)f (n−2)(a) − (x− a)2 2! f (n−1)(a). (5.80) 8Integração termo a termo também pode ser válida na ausência de convergência uniforme. 9A expansão de Taylor pode ser derivada sob condições ligeiramente menos restritivas; compare com H. Jeffreys e B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, 3a ed. Cambridge: Cambridge University Press (1956), Seção 1.133. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 268 — #278 268 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Por fim, ao integrarmos pela enésima vez,∫ x a dxn · · · ∫ x2 a dx1f (n)(x1) = f(x)− f(a)− (x− a)f ′(a)− (x− a)2 2! f ′′(a) − · · · − (x− a)n−1 (n− 1)! f (n−1)(a). (5.81) Note que essa expressão é exata. Nenhum termo foi descartado, nenhuma aproximação foi feita. Agora, resolvendo para f(x), temos f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)2 2! f ′′(a) + · · ·+ (x− a)n−1 (n− 1)! f (n−1)(a) +Rn. (5.82) O resto, Rn, é dado pela integral múltipla Rn = ∫ x a dxn · · · ∫ x2 a dx1f (n)(x1). (5.83) Esse resto, Equação (5.83), pode ser colocado em uma forma talvez mais prática usando o teorema do valor médio do cálculo integral: ∫ x a g(x) dx = (x− a)g(ξ), (5.84) com a ≤ ξ ≤ x. Integrando n vezes, obtemos a forma lagrangiana10 do resto: Rn = (x− a)n n! f (n)(ξ). (5.85) Com a expansão de Taylor nessa forma, não nos preocupamos com quaisquer questões de convergência de série finita. Essa série é finita, e as únicas questões referem-se à grandeza do resto. Quando a função f(x) é tal que lim n→∞ Rn = 0, (5.86) a Equação (5.82) se torna a série de Taylor: f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)2 2! f ′′(a) + · · · = ∞∑ n=0 (x− a)n n! f (n)(a).11 (5.87) Nossa série de Taylor especifica o valor de uma função em um ponto, x, em termos do valor da função e de suas derivadas em um ponto de referência a. Ela é uma expansão em potências da mudança na variável, ∆x = x − a neste caso. A notação pode ser variada conforme a conveniência do usuário. Com a substituição de x → x + h e a→ x, temos uma forma alternativa, f(x+ h) = ∞∑ n=0 hn n! f (n)(x). Quando usamos o operador D = d/dx, a expansão de Taylor se torna f(x+ h) = ∞∑ n=0 hnDn n! f(x) = ehDf(x). (A transição para a forma exponencial antecipa a Equação (5.90) que dela resulta.) Uma forma equivalente de operador dessa expansão de Taylor aparece no Exercı́cio 4.2.4. Uma derivação da expansão de Taylor no contexto da teoria da variável complexa aparece na Seção 6.5. 10Uma forma alternativa derivada por Cauchy é Rn = (x− ζ)n−1(x− a) (n− 1)! f (n)(ζ), com a ≤ ζ ≤ x. 11Note que 0! = 1 (compare com a Seção 8.1).
