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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 244 — #254 244 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Higman, B., Applied Group-Theoretic and Matrix Methods. Oxford: Clarendon Press (1955). Um desenvolvimento bastante complexo, porém de fácil compreensão de análise matricial e teoria dos grupos. Jackson, J. D., Classical Electrodynamics, 3a. ed. Nova York: Wiley (1998). Messiah, A., Quantum Mechanics, vol. II. Amsterdam: North-Holland (1961). Panofsky, W. K. H., e M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2a. ed. Reading, MA: Addison-Wesley (1962). A covariância de Lorentz de equações de Maxwell é desenvolvida para o vácuo e também para meios materiais. Panofsky e Phillips usam tensores contravariantes e covariantes. Park, D. “Resource letter SP-1 on symmetry in physics”. Am. J. Phys. 36: 577-584 (1968). Inclui uma grande seleção de referências básicas sobre teoria dos grupos e suas aplicações à fı́sica: átomos, moléculas, núcleos, sólidos e partı́culas elementares. Ram, B., “Physics of the SU(3) symmetry model.”Am. J. Phys. 35: 16 (1967). Uma excelente discussão das aplicações do SU(3) às partı́culas de interações fortes (bárions). Esse assunto também é discutido em R. D. Young, Physics of the quark model. Am. J. Phys. 41: 472 (1973). Rose, M. E., Elementary Theory of Angular Momentum. Nova York: Wiley (1957). Nova tiragem. Nova York: Dover (1995). Como parte do desenvolvimento da teoria quântica do momento angular, Rose inclui um apanhado detalhado e de fácil leitura do grupo de rotação. Wigner, E. P., Group Theory and Its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra (traduzido por J. J. Griffin). Nova York: Academic Press (1959). Este livro é a referência clássica da teoria dos grupos para o fı́sico. O grupo de rotação é tratado com considerável detalhe. Há um grande número de aplicações à fı́sica atômica. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 245 — #255 5 Séries Infinitas 5.1 Conceitos Fundamentais Séries infinitas, literalmente somas de um número infinito de termos, ocorrem com freqüência tanto na matemática pura quanto na aplicada. Elas podem ser usadas pelo matemático puro para definir funções como uma abordagem fundamental da teoria de funções, bem como para calcular valores precisos de constantes transcendentais e funções transcendentais. Na matemática da Ciência e da Engenharia, as séries infinitas estão por toda parte, porque aparecem na avaliação de integrais (Seções 5.6 e 5.7), na solução de equações diferenciais (Seções 9.5 e 9.6) e como séries de Fourier (Capı́tulo 14) e competem com as representações integrais na descrição de um grande número de funções especiais (Capı́tulos 11, 12 e 13). Na Seção 16.3, a solução da série de Neumann para equações integrais nos dá mais de um exemplo da ocorrência e utilização de séries infinitas. Desde o inı́cio enfrentamos o problema de atribuir significado à soma de um número infinito de termos. A abordagem usual é a das somas parciais. Se temos uma seqüência infinita de termos u1, u2, u3, u4, u5, . . . , definimos a i-ésima soma parcial como si = i∑ n=1 un. (5.1) Essa é uma soma finita e não oferece dificuldade alguma. Se as somas parciais si convergem para um limite (finito), à medida que i→∞, lim i→∞ si = S, (5.2) diz-se que a série infinita ∑∞ n=1 un é convergente e tem o valor S. Note que, de um modo razoável, plausı́vel, porém ainda assim arbitrário, definimos a série infinita como igual a S e que uma condição necessária para essa convergência para um limite é que limn→∞ un = 0. Entretanto, essa condição não é suficiente para garantir convergência. A Equação (5.2) costuma ser escrita em notação matemática formal: A condição para a existência de um limite S é que, para cada ε > 0, haja um N = N(ε) fixo tal que |S − si| < ε, para i > N. Essa condição é freqüentemente derivada do critério de Cauchy aplicado às somas parciais si. O critério de Cauchy é: Uma condição necessária e suficiente para que uma seqüência (si) convirja é que, para cada ε > 0, haja um número fixo N tal que |sj − si| < ε, para todo i, j > N. Isso significa que as somas parciais individuais devem se agrupar à medida que avançamos bastante na seqüência. O critério de Cauchy pode ser estendido com facilidade para seqüências de funções. Nós o vemos nessa forma na Seção 5.5, na definição de convergência uniforme, e na Seção 10.4, no desenvolvimento do espaço de Hilbert. Nossas somas parciais si podem não convergir a um limite único, mas oscilar, como no caso ∞∑ n=1 un = 1− 1 + 1− 1 + 1 + · · · − (−1)n + · · · . É claro que, si = 1 para ı́mpar, mas si = 0 para i par. Não há nenhuma convergência para um limite, e séries como essa são denominadas oscilantes. Sempre que a seqüência de somas parciais divergir (aproximar-se de ±∞), diz- se que a série infinita diverge. Muitas vezes, o termo divergente é ampliado para incluir também séries oscilantes. 245 “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 246 — #256 246 Fı́sica Matemática Arfken •Weber Como avaliamos as somas parciais pela aritmética comum, a série convergente, definida em termos de um limite das somas parciais, assume uma posição de suprema importância. Dois exemplos podem esclarecer a natureza de convergência ou divergência de uma série e também servirão como base para uma investigação mais detalhada na próxima seção. Exemplo 5.1.1 A SÉRIE GEOMÉTRICA A seqüência geométrica, começando com a e com uma razão r (= an+1/an independente de n), é dada por a+ ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn−1 + · · · . A enésima soma parcial é dada por1 sn = a 1− rn 1− r . (5.3) Tomando o limite para n→∞, lim n→∞ sn = a 1− r , para |r| < 1. (5.4) Daı́, por definição, a série geométrica infinita converge para |r| < 1 e é dada por ∞∑ n=1 arn−1 = a 1− r . (5.5) Por outro lado, se |r| ≥ 1, a condição necessária un → 0 não é satisfeita e a série infinita diverge. Exemplo 5.1.2 A SÉRIE HARMÔNICA Como um segundo exemplo mais complicado, consideramos a série harmônica ∞∑ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · ·+ 1 n + · · · . (5.6) Temos o limn→∞ un = limn→∞ 1/n = 0, mas isso não é suficiente para garantir convergência. Se agruparmos os termos (nenhuma alteração na ordem) como 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ( 1 9 + · · ·+ 1 16 ) + · · · , (5.7) cada par de parênteses inclui p termos da forma 1 p+ 1 + 1 p+ 2 + · · ·+ 1 p+ p > p 2p = 1 2 . (5.8) Formando somas parciais pela adição dos grupos entre parênteses, um por um, obtemos s1 = 1, s4 > 5 2 , s2 = 3 2 , s5 > 6 2 , · · · s3 > 4 2 , sn > n+ 1 2 . (5.9) Considerada dessa maneira, a série harmônica é certamente divergente.2 Uma demonstração alternativa e independente de sua divergência aparece na Seção 5.2. � Se os un > 0 estão decrescendo monotonicamente para zero, isto é, un > un+1 para todo n, então ∑ n un está convergindo para S se, e somente se, sn − nun convergir para S. À medida que as somas parciais sn convergem para S, esse teorema indica que nun → 0, para n→∞. Para provar esse teorema, começamos por concluir de 0 < un+1 < un e sn+1 − (n+ 1)un+1 = sn − nun+1 = sn − nun + n(un − un+1) > sn − nun 1Multiplique e divida sn = Pn−1 m=0 ar m por 1− r. 2A série harmônica (finita) aparece em uma nota interessante sobre o máximo deslocamento estável de uma pilha de moedas. P. R. Johnson, “The Leaning Tower of Lire”. Am. J. Phys. 23: 240 (1955). “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 247 — #257 5. SÉRIES INFINITAS 247 que sn − nun aumenta à medida que n → ∞. Como conseqüência de sn − nun < sn ≤ S, sn − nun converge para um valor s ≤ S. Excluindo a cauda de termos positivos ui − un de i = ν + 1 to n, inferimos, por sn−nun > u0 +(u1−un)+ · · ·+(uν −un) = sν −νun que sn−nun ≥ sν para n→∞. Por conseguinte, s ≥ S, também, portanto, s = S e nun → 0. Quando aplicado à sérieharmônica ∑ n 1 n com n 1 n = 1, esse teorema indica que ela não converge; diverge para +∞. Adição, Subtração de Séries Se temos duas série convergentes ∑ n un → s e ∑ n vn → S, a soma e a diferença das duas também convergirão para s± S porque suas somas parciais satisfazem∣∣sj ± Sj − (si ± Si) ∣∣ = ∣∣sj − si ± (Sj − Si) ∣∣ ≤ |sj − si|+ |Sj − Si| < 2ε usando a desigualdade triangular |a| − |b| ≤ |a+ b| ≤ |a|+ |b| para a = sj − si, b = Sj − Si. Uma série convergente ∑ n un → S pode ser multiplicada termo a termo por um número real a. A nova série convergirá a aS porque |asj − asi| = ∣∣a(sj − si)∣∣ = |a||sj − si| < |a|ε. Essa multiplicação por uma constante pode ser generalizada para uma multiplicação por termos cn de uma seqüência limitada de números. Se ∑ n un converge para S e 0 < cn ≤M são limitados, então ∑ n uncn é convergente. Se ∑ n un é divergente e cn > M > 0, então ∑ n uncn diverge. Para provar esse teorema tomamos i, j suficientemente grandes, de modo que |sj − si| < ε. Então, j∑ i+1 uncn ≤M j∑ i+1 un = M |sj − si| < Mε. O caso divergente resulta de ∑ n uncn > M ∑ n un →∞. Usando o teorema binomial3 (Seção 5.6), podemos expandir a função (1 + x)−1: 1 1 + x = 1− x+ x2 − x3 + · · ·+ (−x)n−1 + · · · . (5.10) Se deixarmos x→ 1, essa série se torna 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + · · · , (5.11) uma série que denominamos oscilante no inı́cio desta seção. Embora ela não convirja no sentido usual, podemos atribuir um significado a essa série. Euler, por exemplo, atribuiu um valor de 1/2 a essa seqüência oscilante com base na correspondência entre essa série e a função bem definida (1+x)−1. Infelizmente, tal correspondência entre série e função não é única e essa abordagem deve ser refinada. Foram desenvolvidos outros métodos para atribuir um significado a uma série divergente ou oscilante, métodos para definir uma soma. Veja G. H. Hardy, Divergent Séries, Chelsea Publishing Co. 2a ed. (1992). Contudo, em geral, o interesse desse aspecto das séries infinitas para o cientista ou engenheiro é relativamente pequeno. Uma exceção a essa afirmativa, a muito importante série assintótica ou semiconvergente, é considerada na Seção 5.10. Exercı́cios 5.1.1 Mostre que ∞∑ n=1 1 (2n− 1)(2n+ 1) = 1 2 . Sugestão: Mostre (por indução matemática) que sm = m/(2m+ 1). 3A Equação (5.10) pode ser verificada multiplicando ambos os lados por 1 + x. “livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 248 — #258 248 Fı́sica Matemática Arfken •Weber 5.1.2 Mostre que ∞∑ n=1 1 n(n+ 1) = 1. Ache a soma parcial sm e verifique se está correta por indução matemática. Nota: O método de expansão em frações parciais, Seção 15.8, oferece um modo alternativo para resolver os Exercı́cios 5.1.1 e 5.1.2. 5.2 Testes de Convergência Embora séries não-convergentes possam ser úteis em certos casos especiais (compare com a Seção 5.10), por questão de conveniência, se não de necessidade, normalmente insistimos que nossas séries sejam convergentes. Portanto, poder dizer de antemão se uma dada série é convergente torna-se uma questão de extrema importância. Desenvolveremos vários testes possı́veis, começando com os testes simples e relativamente insensı́veis e passando para os testes mais complicados, porém bastante sensı́veis. Por enquanto, vamos considerar uma série de termos positivos an ≥ 0, deixando os termos negativos para a seção seguinte. Teste de Comparação Se, termo a termo, uma série de termos 0 ≤ un ≤ an, na qual os an formam uma série convergente, a série ∑ n un também é convergente. Se un ≤ an para todos os n, então ∑ n un ≤ ∑ n an e ∑ n un, portanto, é convergente. Se, termo a termo, uma série de termos vn ≥ bn, na qual os bn formam uma série divergente, a série ∑ n vn também é divergente. Note que comparações de un com bn ou vn ou an não resultam em nenhuma informação. Se vn ≥ bn para todos os n, então ∑ n vn ≥ ∑ n bn e, portanto, ∑ n vn é divergente. Para a série convergente an já temos a série geométrica, ao passo que a série harmônica servirá como a série divergente de comparação bn. Na medida em que outras séries são identificadas como convergente ou divergente, elas podem ser usadas no lugar das séries conhecidas nesse teste de comparação. Todos os testes desenvolvidos nesta seção são, em essência, testes de comparação. A Figura 5.1 mostra esses testes e as inter-relações. Figura 5.1: Testes de comparação. Exemplo 5.2.1 UMA SÉRIE DE DIRICHLET Teste ∑∞ n=1 n −p, p = 0, 999, para convergência. Visto que n−0,999 > n−1 e bn = n−1 forma a série harmônica divergente, o teste de comparação mostra que ∑ n n −0,999 é divergente. Generalizando, diz-se que∑ n n −p é divergente para todo p ≤ 1 mas convergente para p > 1 (veja o Exemplo 5.2.3). Teste da Raiz de Cauchy Se (an)1/n ≤ r < 1 para todo n suficientemente grande, com r independente de n, então ∑ n an é convergente. Se (an)1/n ≥ 1 para todo n suficientemente grande, então ∑ n an é divergente. A primeira parte desse teste é verificada com facilidade elevando (an)1/n ≤ r à enésima potência. Obtemos an ≤ rn < 1.
