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CAPÍTULO 3. Teoria de Grupos Abstratos 121
3.7 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Nesta seção será feita uma descrição sucinta de algumas Estruturas Algébricas, entre as
quais os grupos estão contidos. A principal razão para tanto está na necessidade de definição
formal de uma álgebra, onde serão discutidos os grupos e a álgebra de Lie.
Uma estrutura algébrica é composta por um conjunto de objetos, os quais se interrelaci-
onam através de uma ou mais operações finitárias definidas sobre o conjunto. As definições
dessas operações finitárias e de outros conceitos envolvendo relações entre objetos contidos em
conjuntos serão apresentadas antes de se definir as estruturas propriamente ditas.
Definição 3.25 (Operação finitária). Uma operação finitária é uma operação (ou ação ou pro-
cedimento) aplicada sobre um número finito de objetos, produzindo um resultado.
Se a operação é realizada sobre um número infinito de objetos, está é denominada operação
infinitária. Dentre as operações finitárias, as mais comuns são:
• Operações 1-árias ou unárias: operações executadas sobre um único objeto.
• Operações 2-árias ou binárias: operações executadas entre dois objetos. Adição e multipli-
cação são os exemplos mais comuns de operações binárias.
Definição 3.26 (Estrutura algébrica). Seja C um conjunto de objetos e F uma coleção de
operações sobre C e elementos especiais. A dupla 〈C,F 〉 é denominada uma estrutura algébrica
sobre C.
Muitas vezes, por simplicidade e quando não houver ambiguidade, representa-se a estrutura
〈C,F 〉 simplesmente por C. Na sua maior generalidade possível, estruturas algébricas podem
envolver um número arbitrário de conjuntos e uma vasta coleção de operações entre os mesmos.
De interesse à física, serão definidas somente estruturas envolvendo, no máximo, dois conjuntos
e com, no máximo, duas operações definidas sobre os mesmos.
Definição 3.27 (Produto Cartesiano de conjuntos). Dados m conjuntos C1, . . . , Cn, o seu pro-
duto Cartesiano é o conjunto
Cn ≡ C1 × · · · × Cn
.
= {(c1, . . . , cn) | ck ∈ Ck,∀1 6 k 6 n} .
O objeto (c1, . . . , cn) é denominado uma n-upla ordenada. Se n = 2, a 2-upla é também denomi-
nada de par ordenado.
Definição 3.28 (Comutatividade, associatividade e distributividade de operações biná-
rias). Dado o conjunto C, denota-se por C2 ou C × C o produto Cartesiano de todas as duplas
ordenadas formadas em C e por χ : C2 −→ C a função que executa a operação binária entre os
elementos de um par ordenado e com resultado aplicado sobre C. Dados a, b, c ∈ C, a operação
binária entre quaisquer pares destes é denotada por aχb. Definem-se então as seguintes leis de
operações binárias:
Lei da associatividade: Uma operação binária χ : C2 −→ C é dita associativa se
aχ (bχc) = (aχb)χc.
Lei da comutatividade: Uma operação binária χ : C2 −→ C é dita comutativa ou Abeliana se
aχb = bχa.
Lei da distributividade: Dadas duas operações binárias χ1, χ2 : C2 −→ C, a operação χ1 é dita
distributiva em relação a χ2 se:
aχ1 (bχ2c) = (aχ1b)χ2 (aχ1c) .
Exemplo 3.11. A estrutura algébrica mais conhecida é 〈R,+,×〉, a qual usa as operações de
adição (“+”) e multiplicação (“×”) usuais. De acordo com a definição acima, dados a, b, c ∈ R:
• Adição é associativa: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
122 3.7. Estruturas algébricas
• Multiplicação é associativa: a× (b× c) = (a× b)× c.
• Adição é comutativa: a+ b = b+ a.
• Multiplicação é comutativa: a× b = b× a.
• Multiplicação é distributiva em relação a adição: a× (b+ c) = (a× b) + (a× c).
• Adição não é distributiva em relação a multiplicação: a + (b× c) 6= (a+ b) × (a+ c) = a +
(b× c) + a× [a+ b+ c− 1].
Dentre as diversas estruturas algébricas já definidas, as de interesse podem ser agrupadas
da maneira apresentada a seguir.
3.7.1 ESTRUTURAS COMPOSTAS POR UM CONJUNTO COM OPERA-
ÇÕES
Consistem nas estruturas com um único conjunto 〈C,F 〉. Dentre estas, destacam-se:
3.7.1.1 ESTRUTURAS DO TIPO GRUPO
Estruturas que contêm uma única operação binária.
Magma ou grupóide. Dado o conjunto C e a operação binária • : C2 → C, a estrutura 〈C, •〉 será
um grupóide se os seus elementos satisfizerem:
Condição de clausura: ∀a, b ∈ C, a • b ∈ C.
Semigrupo. Dado o conjunto C e a operação binária •, denominada produto, a estrutura 〈C, •〉
será um semigrupo se os seus elementos satisfizerem:
Condição de associatividade: ∀a, c, b ∈ C, a • (b • c) = (a • b) • c.
Nota-se aqui que a condição de clausura está ausente.
Subsemigrupo. Um subsemigrupo de 〈C, •〉 é um subconjunto não vazio D ⊆ C o qual
satisfaz a condição de clausura sob o produto do semigrupo, i. e., ∀a, b ∈ D, a • b ∈ D.
Um subsemigrupo pode ser considerado um grupóide com a condição de associatividade.
Monóide. Dado o conjunto C e a operação binária •, denominada produto, a estrutura 〈C, •〉
será um monóide se os seus elementos satisfizerem:
Condição de associatividade: ∀a, c, b ∈ C, a • (b • c) = (a • b) • c.
Elemento identidade: ∃I ∈ C tal que ∀a ∈ C, a • I = I • a = a.
Um monóide consiste em um semigrupo com elemento identidade.
Submonóide. Um submonóide de 〈C, •〉 é um subconjunto não vazio D ⊆ C o qual satisfaz
a condição de clausura sob o produto do monóide, i. e., ∀a, b ∈ D, a • b ∈ D, e contém a
identidade, i. e., I ∈ D.
Grupo. Dado o conjunto C e a operação binária • : C2 → C, denominada produto, a estrutura
〈C, •〉 será um grupo se satisfizer os axiomas de grupo da definição 3.1.
Percebe-se nas definições acima que, partindo de um magma, cada estrutura posterior pode
ser considerada, sob certas condições, uma extensão das estruturas anteriores. O diagrama na
figura 3.10 representa esta evolução condicional. Cada estrutura ao final de uma seta “herda”
as propriedades da estrutura anterior. A inversão no sentido das setas depende da adição de
condições adicionais sobre a estrutura; por exemplo, todo grupo é um monóide, mas nem todo
monóide é um grupo. É necessário também mencionar que nesta seção somente foram definidas
as estruturas do lado direito do diagrama. As estruturas do lado esquerdo estão adicionalmente
condicionadas à satisfação do axioma da divisão 3.2.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 05/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
1.1 Coordenadas curvilíneas
3 Teoria de Grupos Abstratos
3.7 Estruturas algébricas
3.7.1 Estruturas compostas por um conjunto com operações
3.7.1.1 Estruturas do tipo grupo