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157AULA 10 Tópico 1
Em primeiro lugar, uma sequência não pode
ser um conjunto porque um conjunto com
todos os elementos iguais é um conjunto de
um só elemento, enquanto várias sequências
diferentes, como (a, a) , (a, a, a) , (a, a, a, a)
podem ser formadas usando-se um único
elemento a . Em segundo lugar porque o fato
essencial a respeito de uma sequência é que
cada um dos seus termos ocupa uma posição
determinada por um número natural.
Exemplo 1
1. (1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36) é a
sequência (finita) dos divisores positivos
de 36 dispostos em ordem crescente. O
primeiro termo desta sequência é =1x 1 ,
o segundo termo é =2x 2 . Temos ainda: =3x 3 ,
=4x 4 , =5x 6 , =6x 9 , =7x 12 e =8x 18 . O
último termo da sequência é =9x 36 .
2. (4, 8,12,16, , 4n, ) é a sequência
(infinita) dos múltiplos inteiros positivos
de 4 dispostos em ordem crescente.
Temos: =1x 4 , =2x 8 , =3x 12 , =4x 16 ,
=10x 40 , =125x 500 e =nx 4n .
3. (2, 3, 5, 7,11,13,17,19) é a sequência
(finita) dos números primos positivos menores
que 20 .
4. - + (1, 2, 3, , n 1, n, n 1, ) é a sequência
(infinita) dos números naturais.
Toda sequência obedece a uma regra que permite dizer, para cada n de seu
domínio, qual é seu n-ésimo termo, ou seja, obedece a uma lei de formação dos
seus termos. A lei de formação de uma sequência numérica pode ser dada de várias
formas, como:
1º Por fórmula algébrica – quando o n-ésimo termo é definido por meio de
uma fórmula envolvendo n.
at e n ç ã o !
Cuidado, você não pode confundir a
sequência ( , , , , )x x x xn1 2 3 com o
conjunto { , , , , }x x x xn1 2 3 ou a sequência
( , , , , , )x x x xn1 2 3 com o conjunto
{ , , , , , }x x x xn1 2 3 . Por exemplo, a
sequência ( , , , , )1 0 1 0 não é o mesmo que o
conjunto { , }0 1 . Além disso, as sequências ( , )1 2
e ( , , , )1 1 2 2 são distintas, mas o conjunto de seus
termos é o mesmo { , }1 2 .
s a i b a m a i s !
Representamos uma sequência cujo n-ésimo
termo é xn por ( , , , , )x x x xn1 2 3 ou por
( , , , , , )x x x xn1 2 3 , conforme a sequência
seja finita ou infinita. Assim, numa sequência x,
representamos o primeiro termo por x1 , o segundo
termo é x2 , o terceiro x3 , e assim sucessivamente.
Portanto, indicamos uma sequência x anotando
apenas a imagem de x.
Fundamentos de Álgebra158
Exemplo 2
1. A sequência finita x de 5 termos, cujos termos obedecem à lei = +n
nx 10 1 .
Temos:
= + = + =1
1x 10 1 10 1 11
= + = + =2
2x 10 1 100 1 101
= + = + =3
3x 10 1 1 000 1 1 001
= + = + =4
4x 10 1 10 000 1 10 001
= + = + =5
5x 10 1 100 000 1 100 001
Portanto, a sequência será =x (11, 101, 1 001, 10 001, 100 001) .
2. A sequência ® f : definida por = - nf(n) ( 1) n . Então,
= - - - f ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, ) .
2º Por recorrência – quando são dadas duas regras: uma para determinar
alguns termos iniciais e outra para calcular os termos, a partir de um certo termo,
em função de alguns termos anteriores.
Exemplo 3
1. A sequência finita cujos termos são dados pela seguinte fórmula de
recorrência: =1a 0 e -= +n n 1a 2a 1 . Temos:
= + = × + =2 1a 2a 1 2 0 1 1
= + = × + =3 2a 2a 1 2 1 1 3
= + = × + =4 3a 2a 1 2 3 1 7
= + = × + =5 4a 2a 1 2 7 1 15
= + = × + =6 5a 2a 1 2 15 1 31
Portanto, a sequência será =x (0, 1, 3, 7, 15, 31) .
2. A sequência de Fibonacci é dada pela seguinte lei de recorrência. Verifique
isto!
- -
ì =ïïïï =íïï = + Î ³ïïî
1
2
n n 1 n 2
F 1
F 1
F F F , n e n 3
3º Por propriedade – quando é dada uma propriedade que os termos devem
ter.
Exemplo 4
A sequência x dos divisores positivos de 12 dispostos em ordem decrescente,
ou seja, =x (12, 6, 4, 3, 2,1) .
A sequência dos números primos positivos colocados em ordem crescente,
ou seja, (2, 3, 5, 7, ) .