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155AULA 10 Tópico 1
do terceiro, é obtido somando-se os dois elementos anteriores. A sequência de
Fibonacci tem sido bastante estudada e encontra diversas aplicações, conforme
mencionado em Youssef et al. (2005, p. 154):
Desde o século XIII, além do próprio Fibonacci, muitos matemáticos dedicaram-
se ao estudo da sequência por ele proposta, encontrando-se inúmeras aplicações
para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais. É o
caso, por exemplo, de espirais encon tradas em conchas marinhas, do crescimento
de brotos e folhas em determinadas espécies vegetais e da reprodu ção de certos
animais e bactérias. Também é notável o fato de a sequência de Fibonacci estar
associada a pro porções encontradas na arquitetura clássica, nas artes e nas
dimensões do corpo humano.
Nas figuras abaixo, podemos ver algumas das aplicações da sequência de
Fibonacci. A figura 3 mostra a construção de retângulos por adição de quadrados,
a partir de dois quadrados de lado 1. A figura mostra que os lados dos quadrados
adicionados formam a sequência de Fibonacci. Construindo convenientemente
quartos de circunferência inscritos em cada quadrado da figura 3, formamos uma
espiral constituída de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci
e que pode ser observada em diversas conchas de moluscos como o náutilus (figura
4). A sequência de Fibonacci pode ser vista também no crescimento, até certa
escala, dos galhos de várias espécies de plantas (figura 5).
Figura 3– Retângulos por adição de
quadrados Figura 4– Concha de
molusco marinho
Figura 5– Crescimento de gal-
hos de plantas
Somos atraídos para as regularidades e costumamos tentar interpretar
situações procurando estabelecer (algumas vezes impondo) padrões. Os padrões
e as regularidades desempenham um papel importante no ensino da matemática,
destacado por Lynn Steen (1988) quando chamou a matemática de “ciência dos
padrões”. A essência da Matemática consiste em procurar padrões, isto é, procurar
relações e repetições. Para Davis e Hersh (1995, p. 167), “O próprio objetivo da
Matemática é, em certa medida, descobrir a regularidade onde parece vingar o
Fundamentos de Álgebra156
caos, extrair a estrutura e a invariância da desordem e da confusão”.
Feitas estas considerações iniciais, passemos à definição matemática de
sequência, apresentada em Lima et al. (2001, p. 56):
Definição
1
: Uma sequência ou sucessão é uma função cujo domínio é o conjunto
dos números naturais de 1 até n (sequência finita, com n termos) ou o conjunto de
todos os números naturais ¼ ¼1, 2, 3, , n, (sequência infinita).
Simbolicamente, uma sequência é uma fun-
ção (cf. figuras 6 e 7):
¼ ®x :{1, 2, 3, , n} X ou ®x : X , que
associa a cada número natural n (no caso das
sequências finitas, a cada número do conjunto
¼{1, 2, 3, , n}) um elemento que indicaremos
por nx , chamado o n-ésimo termo da sequência.
Figura 6– Sequência Finita Figura 7– Sequência Infinita
Em livros didáticos de Matemática para o Ensino Médio, é comum cometer-se o
equívoco de erro definir uma sequência como “um conjunto cujos elementos são dados
numa certa ordem” ou como “um conjunto ordenado”. De acordo com Lima et al. (2001,
p. 22):
esta definição é incorreta pois um conjunto (ordenado ou não) não tem
elementos repetidos. Além disso, o conjunto dos números reais é ordenado
mas não é uma sequência.
Como dizem Lima et al. (2001, p. 56), há dois fatos básicos sobre sequência
que devem ser considerados:
at e n ç ã o !
O contradomínio de uma sequência pode ser
um conjunto qualquer, digamos X. Se X é um
conjunto numérico, como , ou , dizemos
que a sequência é uma sequência numérica.