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153AULA 10 Tópico 1 TÓPICO 1 Sequência ou sucessão ObjetivOs • Entender o que é sequência • Construir sequências numéricas Neste tópico, trataremos da noção geral de sequência e, em particular, das sequências numéricas, que estão estreitamente associadas aos processos de contagem e ao desenvolvimento dos sistemas de numeração, como bem salientam Youssef et al. (2005, p. 154): “Por essa razão encontramos registros de problemas envolvendo diversos tipos de sequências nos principais documentos das civilizações antigas.” A ideia de sequência ou sucessão aparece, por exemplo, quando se estabelece uma ordem para determinados objetos e ocorre em várias situações da vida. No nosso dia a dia encontramos diversos exemplos de sequência, por exemplo: a sequência dos meses do ano, a classificação dos alunos aprovados no vestibular, a listagem dos nomes em uma lista telefônica, a numeração das casas, a sequência dos anos nos quais ocorreram as olimpíadas. Até no diário do professor encontramos uma sequência: a enumeração dos nomes dos alunos. E você, já deu para perceber o que é sequência? A noção de sequência surgiu inicialmente das necessidades cotidianas dos antigos povos, como os egípcios, que procuraram estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo (figura 1). Para isso, eles passaram a observar as subidas do rio para ter conhecimento do melhor período para plantação e assim garantir o Figura 1– Rio Nilo Fundamentos de Álgebra154 alimento de sua família. Perceberam que as inundações ocorriam logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol, e que esse fenômeno acontecia a cada 365 dias, criando assim um calendário solar. Podem ser encontrados registros de problemas envolvendo diversos tipos de sequências nos principais documentos das civilizações antigas. Várias tábuas (cf. figura 2) de cálculo que datam de cerca de 2000 a.C. foram encontradas na Mesopotâmia, dentre elas a extraordinária tábua de Plimpton 322 (1900 a.C. a 1600 a.C.). Nelas era comum encontrar sequências de quadrados e cubos de números inteiros. Desse mesmo período, datam também alguns papiros encontrados no Egito, como o encontrado em Kahun (1950 a.C.), que contém problemas teóricos de progressões aritméticas e geométricas, e o papiro de Rhind (ou Ahmés) de aproximadamente 1650 a.C., que mostra que os egípcios utilizavam sequências numéricas para fazer a decomposição de frações em somas de outras frações, deixando evidências de que sabiam fazer a soma dos termos de uma progressão aritmética. O interesse por sequências numéricas continua até hoje, com estudos sendo desenvolvidos nos mais diversos campos de atividade. O estabelecimento de padrões que possibilitou o estudo de sequências continua fascinando o homem. Há muitos séculos o homem contempla e estuda a beleza de diversos padrões (geométricos e numéricos) encontrados na natureza. Como exemplos de padrões geométricos, podemos citar: as espirais encontradas nas conchas de moluscos e na flor do girassol, os favos hexagonais de um de uma colméia, o padrão hexagonal dos flocos de neve e as diversas simetrias poligonais que se observam nas carapaças de certos habitantes dos mares. Por sua vez, os padrões numéricos dependem, em geral, de uma interpretação da natureza e de uma posterior associação de valores numéricos ao fenômeno estudado. Um exemplo interessante de padrão numérico é a sequência de Fibonacci. Ela surgiu no século XIII quando o matemático Leonardo de Pisa (1170-1250), também conhecido por Fibonacci, propôs, em seu livro Liber Abacci (1202), o problema de determinar de que forma varia o número de casais de coelhos que se originam de um casal inicial, supondo que este gere um casal a cada mês e que cada casal gerado dá origem a um novo casal, após dois meses de seu nascimento. A interessante sequência numérica que se obtém é: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...) Essa sequência obedece a um padrão bem simples: cada elemento, a partir Figura 2– Tábua Babilônica
