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9.3. Teorema Fundamental de Laplace 141 Assim como no caso anterior, cada um dos elementos dessa linha determina um cofator associado. Para esse caso, o Teorema 9.1 garante que det (M) = |M | = ai 1 Ai 1 +ai 2 Ai 2 + . . .+ai n Ai n . Observação 9.1 Por esse método percebe-se que o ideal, quando possível, é escolher uma linha (ou coluna) que tiver a maior quantidade de zeros. Exemplo 9.5 Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o Teorema 9.1, esco- lhendo uma das linhas e depois uma das colunas. B = 1 0 0 −9 3 0 0 2 2 5 3 0 −1 3 0 3 Resolução: (Escolhendo uma linha) Por conveniência, vamos escolher a linha que possuir a maior quantidade de zeros, ou seja, a primeira ou a segunda linha. Considere- mos a segunda linha. Então, pelo Teorema 9.1 vem que: det (B) = |B | = 3 · A21 +0 · A22︸ ︷︷ ︸ 0 +0 · A23︸ ︷︷ ︸ 0 +2 · A24 =⇒ det (B) = 3 · A21 +2 · A24. Observe que A21 = (−1)2+1 ·D21 = (−1)3 · ∣∣∣∣∣∣ 0 0 −9 5 3 0 3 0 3 ∣∣∣∣∣∣=−1 ·81 =−81. A24 = (−1)2+4 ·D24 = (−1)6 · ∣∣∣∣∣∣ 1 0 0 2 5 3 −1 3 0 ∣∣∣∣∣∣= 1 · (−9) =−9. Então, det (B) = 3 · (−81)+2 · (−9), ou seja: det (B) =−261. (Escolhendo uma coluna:) A coluna com maior número de zeros é a terceira. Portanto, vamos tomá-la como referência para a utilização do Teorema 9.1, que garante que det (B) = |B | = 0 · A13︸ ︷︷ ︸ 0 +0 · A23︸ ︷︷ ︸ 0 +3 · A33 +0 · A44︸ ︷︷ ︸ 0 =⇒ det (B) = 3 · A33 =⇒ det (B) = 3 · (−1)3+3 · ∣∣∣∣∣∣ 1 0 −9 3 0 2 −1 3 3 ∣∣∣∣∣∣= 3 · (−87) ∴ det (B) =−261. Sendo assim, como já sabíamos que deveria acontecer, pois é garantiro pelo Teorema 9.1, os resultados obtidos são iguais, independente de escolhermos uma linha qualquer ou uma coluna. 142 Capítulo 9. Determinante e a Matriz inversa Propriedades 9.1 (Propriedades do Determinante) Segue do Teorema 9.1 e da Defini- ção 9.1 um conjunto de propridades do determinante. Considerando duas matrizes A e B, ambas de ordem n, as principais propriedades são: 1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de A forem nulos, det (A) = 0. 2. det (A) = det ( At ) . 3. Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. 4. Ao se trocar a posição de duas linhas de uma matriz, o determinante troca de sinal. 5. Se A possuir duas linhas (ou colunas) iguais, det (A) = 0. 6. det (AB) = det (A) ·det (B). Observação 9.2 Use o Exercício 3 para perceber a validade das propriedades descritas na Proposição 9.1. 9.4 Matriz inversa Definição 9.4 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B tal que AB = B A = In , diremos que A é inversível e que B é sua inversa, também denotada por A−1. Se A não for inversível, diremos que ela é singular. Teorema 9.2 Se A é inversível, sua inversa A−1 é única. Demonstração: Como A−1 é inversa de A, segue que A A−1 = A−1 A = In . Suponha que exista outra matriz, B , que também seja inversa de A, isto é, AB = B A = In . Então, B = InB = (A−1 A)B = A−1(AB) = A−1In = A−1. Exemplo 9.6 1. Mostre que B = [ 7 −3 −2 1 ] é a inversa de A = [ 1 3 2 7 ] . Resolução: Para mostrar o que se pede, basta observar que AB = I2. De fato, AB = [ 1 3 2 7 ] · [ 7 −3 −2 1 ] = [ 1 ·7+3 · (−2) 1 · (−3)+3 ·1 2 ·7+7 · (−2) 2 · (−3)+7 ·1 ] = [ 1 0 0 1 ] = I2. Como AB = I2, segue que B = A−1 é a inversa de A. 2. Mostre que se a matriz A possui inversa, então A−1 tem a mesma ordem de A. Resolução: Como por hipótese A possui inversa, significa que a matriz A é qua- drada de ordem n. Seja agora, a sua inversa A−1 de ordem r × t . Então, A A−1 = In , o que implica que o número de colunas de A tem que ser igual ao número de linhas de A−1, ou seja, n = r . Além disso, também se tem que A−1 A = In , ou seja, o número de colunas de A−1 tem que ser igual ao número de linhas de A, isto é, t = n. Portanto, A−1 tem ordem n. Determinante e a Matriz inversa Matriz inversa
