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5 - MODUS PONENS
Ex:
Se hoje é sexta-feira,
Então amanhã irei ao cinema.
Ora, hoje é sexta feira.
Logo, amanhã irei ao cinema
p: Hoje é sexta-feira.
q: Amanhã irei ao cinema
p -> q, p ⊢ q
∴ argumento válido
6 - MODUS TOLENS
p -> q
~q ou ((p -> q) ^~q) -> ~p
~p
p -> q, ~q ⊢ ~p
Ex:
Se hoje for domingo, então
Irei ao clube.
Ora, não irei ao clube
Logo, hoje não é domingo.
p: Hoje é domingo
q: Irei ao clube
p -> q, ~q ⊢ ~p
7 – DILEMA CONSTRUTIVO
p -> q
r -> s ou (p -> q) ^ (r -> s) ^ (p v r) -> (q v s)
p v r
q v s
p -> q, r -> s, q v r ⊢ q v s
Ex:
Se o time A vencer,
então irei ao cinema.
Se o time B perder,
então ficarei em casa.
Ora, ou o time B perdeu,
ou o time A venceu.
Logo, irei ao cinema ou irei ficar em casa.
p: O time A venceu
q: Irei ao cinema
r: O time B perdeu
s: Ficarei em casa
p -> q, r -> s, r v p ⊢ q v s
8 – DILEMA DESTRUTIVO
(p -> q), (r -> s), (~q v ~s) ⊢ (p v ~r)
ou
(p -> q), (r -> s) ^ (~q v ~s) -> (~p v ~r)
9 – SILOGISMO DISJUNTIVO
a) p v q
~p ou ((p v q) ^ ~p) -> q
q
p v q, ~p ⊢ p
os espaços entre uma proposição e outra indicam o conectivo “^”, ou uma vírgula.
O traço entre “~p” e “q” indica o sinal de conclusão “⊢“
b) p v q
~q ou ((p v q) ^ ~p) -> p
p
p v q, ~q ⊢ p
Ex: b)
X = 5 v x = 7
X ≠ 7
X = 5
Ex a)
João é professor ou
engenheiro.
Ora, João não é professor.
Logo, João é engenheiro.
10 – SILOGISMO HIPOTÉTICO
p -> q
q -> r ou ((p -> q) ^ (q -> r)) -> (p -> r)
p -> r
p -> q, q -> r ⊢ p -> r
Ex:
Se almoçar bem,
então vou ao cinema.
Se vou ao cinema,
então como pipoca.
Se almoço bem, então como pipoca.
p: almoço bem
q: vou ao cinema
r: como pipoca
p -> q, q -> r, ⊢ p -> r
11 – EXPORTAÇÃO
(p ^ q) -> r ou (p ^ q) -> r) -> (p -> (q -> r)
p -> (q -> r)
12 – IMPORTAÇÃO
p -> (q -> r) ou (p -> (q -> r)) -> ((p ^ q) -> r)
(p ^ q) -> r
VALIDAÇÃO POR TABELA VERDADE
EX:
Se João tem 2m de altura e
Maria tem a altura de Pedro,
então Maria tem a altura de 1,8m.
A altura de Pedro é menos que 1,8m.
Portanto, Maria e Pedro não tem a mesma altura.
p: João tem 2,0m de altura
q: Maria tem a altura de Pedro
r: Maria tem 1,8m de altura
(p ^ q) -> r, ~r ⊢ ~q
Premissa 1 Premissa 2 Conclusão
p
q
r
p ^ q
(p ^ q) -> r
~r
~q
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
∴ Argumento inválido
Onde as premissas forem verdadeiras, a conclusão também deverá ser, não é necessário concluir toda a operação da tabela verdade, basta concluir as premissas e checar a conclusão, tudo deve ser verdadeiro.
Ex: Verifique a validade do argumento.
Se correr,
então Vinicius fica suado.
Logo, Vinicius não correu.
p: Vinicius correr.
q: Ficar suado.
Argumento: p -> q, ~q ⊢ ~p / Modus Tollens, ∴ Argumento válido
p
q
p -> q
~q
~p
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
∴ Argumento válido
Ex: Verifique a validade do argumento.
Se 10 não é par, então
3 não é primo.
Mas 10 é par.
Logo, 3 é primo
p: 10 é par.
q: 3 é primo.
Argumento: ~p -> ~q, p ⊢ q
Premissa 2 Conclusão Premissa 1
p
q
~p
~q
~p -> ~q
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
∴ Argumento inválido
VALIDADE MEDIANTE REGRA DE INFERÊNCIA
1 – Disponha as premissas uma em cada linha.
2 – Numere as linhas.
3 – Identifique os principais conectivos.
4 – Presuma que as premissas são V.
5 – Inicie com as premissas mais simples.
6 – Infira cada premissa os valores lógicos de suas proposições.
7 – A cada valor lógico encontrado, substitua-os nas premissas mais complexas.
8 – Obtenha os valores lógicos.
9 – Conclusa se é válido ou inválido.
Ex: p -> q , p ^ r ⊢ q
1. p -> q
2. p ^ r <- mais simples
2. p ^ r
3. p (p ^ r) é o mesmo que p simplificando
1. p -> q
3. q p -> q, p ⊢ q (modus ponnens)
SENTENÇAS ABERTAS
Existem expressões ao qual não podemos atribuir valores lógicos “falso” ou “verdade”
Ex:
X + 2 = 3
X > 2
X é impar
Não são proposições, pois o seu valor lógico depende de “X”
Essas expressões tornam-se proposições se substituirmos a variável por um elemento determinado que permita atribuir “v“ ou “F”.
Orações ou expressões que possuem variáveis indeterminadas são chamadas funções proposicionais, ou sentenças abertas.
Há duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições.
1 – Atribuir valor as variáveis.
2 – Utilizar quantificadores.
Quantificadores
Universal: Ɐ
Existencial: ∃
Quantificador universal
Ɐ
“qualquer que seja”
“para todo”
“para cada”
Em símbolos:
Ɐ x e A, p (x)
Ou
Ɐ x, p (x)
Ex:
1- x + 2 = 3
NÃO É PROPOSIÇÃO, MAS:
(Ɐ x e ℕ) (x + 2 = 3)
É uma proposição, pois assume que valor “F” porque “X = 1” torna “V”
2 – A = {3, 5, 11, 15, , 19}
A = grupo A
(Ɐ x e A) (X > 2)
Para todo X do grupo A, X > 2
V, pois todo X do grupo A é maior que 2
3 - (Ɐ x e ℕ) (X >= 0)
Para todo X, temos um número natural.
V, pois todo X da proposição é maior ou igual a 0
4 - (Ɐ x e ℤ) ( X >=0)
Para todo X, temos um número Inteiro
F, pois todo X representa um número inteiro (números negativos ou positivos)
5 – A = { -3, -1, 5, 7}
(Ɐ x e A) (x é ímpar)
Para todo X do grupo A, X é impar.
V