P4 2016 1

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Luiz Carlos Guimarães,
Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Paulo Gold-
feld, Hans Herbig e Cesar Niche
Data: 14 de Julho de 2016
Quarta Prova
1. Questão Extra Sejam A, B e C matrizes quadradas
tal que C = AB:
(I) Se A e B são diagonalizáveis, então C é diagona-
lizável.
(II) Se A e B não são diagonalizáveis, então C não é
diagonalizável.
(a) I é verdadeira e II é verdadeira.
(b) I é verdadeira e II é falsa.
(c) I é falsa e II é verdadeira.
(d) I é falsa e II é falsa.
(e) Não sei.
2. Calcule o determinante da matriz abaixo:
1 1 0 1
1 3 2 2
0 0 −4 0
2 4 2 4

(a) −16
(b) −8
(c) −14
(d) −10
(e) Não sei.
3. Sejam � a base canônica de R2 e β = {(1, 2), (1, 3)}.
Considere a transformação linear Q : R2 → R2 tal
que a matriz de Q com relação à base β é dada por
[Q]β =
�
1 1
1 1
�
. Se �v = (1, 1), então [Q�v]� é igual a:
(a) [2, 5]T
(b) [1, 1]T
(c) [2, 2]T
(d) [14,−7]T
(e) Não sei.
4. Questão Extra Sejam A uma matriz quadrada e H
a imagem de A. É dado que a solução geral do sistema
ATA�x = AT�b é {�xp + t�xh, t ∈ R}, com �xh �= �0. É
correto afirmar que PH�b, a projeção ortogonal de �b
sobre H, é sempre igual a:
(a) �xh
(b) A(�xp − 3�xh)
(c) A(�xh − 3�xp)
(d) �xp
(e) Não sei.
5. Seja P2 o espaço dos polinômios a forma p(x) = ax2+
bx+ c e seja D : P2 → P2 a transformação derivada,
D(p) = p�. Defina T = D + I, onde I denota a
transformação identidade em P2.
(I) T é injetiva.
(II) T é sobrejetiva.
(a) I é verdadeira e II é verdadeira.
(b) I é falsa e II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I é falsa e II é falsa.
(e) Não sei.
6. Encontre o plano da forma z = ax + by que melhor
ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, os pontos
(0, 0, 1), (0, 1, 4), (1, 0, 6) e (1, 1, 4). Os coeficientes a
e b valem:
(a) a = 5 e b = 1.
(b) a = 4 e b = 2.
(c) a = 3 e b = 3.
(d) a = 5 e b = 3.
(e) Não sei.
7. Seja P o paralelogramo determinado por dois vetores
linearmente independentes, �v1 e �v2, e T uma trans-
formação linear de R2 em R2:
(I) Se Det(T ) = 0, então a área de T (P ) é nula.
(II) Se Det(T ) < 0, então Det
��
T�v1 T�v2
��
< 0.
(a) I é verdadeira e II é falsa.
(b) I é verdadeira e II é verdadeira.
(c) I é falsa e II é falsa.
(d) I é falsa e II é verdadeira.
(e) Não sei.
8. Considere os seguintes subconjuntos de R4:
L = {(x, y, z, w)|x = 1 + w e y = 2z} e
H = {(x, y, z, w)|x = y − z + 4w}:
(I) L é um subespaço vetorial de R4 e Dim(L) = 2
(II) H é um subespaço vetorial de R4 e Dim(H) = 3
(a) I é falsa e II é falsa.
(b) I é verdadeira e II é falsa.
(c) I é falsa e II é verdadeira.
(d) I é verdadeira e II é verdadeira.
(e) Não sei.
9. Seja f(x, y) = 2x2 + 6xy + 2y2. Para (x, y) �= (0, 0),
o valor de f(x, y):
(a) é positivo, negativo ou zero, dependendo de
(x, y)
(b) é sempre negativo ou zero, independentemente
de (x, y)
(c) é sempre negativo, independentemente de (x, y)
(d) é sempre positivo, independentemente de (x, y)
(e) Não sei.
Nome: Teste 487, pág. 1
10. Assinale a área do triangulo definido pelos pontos
(2, 2),(3, 1) e (5, 3):
(a) 3
(b) 12
(c) 32
(d) 2
(e) Não sei.
11. Considere o sistema A�x = �b:
(I) Se A é diagonalizável, então o sistema sempre tem
solução, qualquer que seja o vetor �b.
(II) Se A é simétrica, então o sistema sempre tem
solução única, qualquer que seja o vetor �b.
(a) I é verdadeira e II é verdadeira.
(b) I é falsa e II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é falsa.
(d) I é falsa e II é falsa.
(e) Não sei.
12. Numa hipotética eleição com candidatos A,B e C,
onde não há votos nulos ou em branco, diariamente A
ganha 5% dos votos de C e perde 20% de seus votos
que são distribuídos entre B e C; por outro lado, B
ganha 15% dos votos de C e perde 5% para A; final-
mente, C ganha 20% dos votos de B e ganha 5% dos
votos de A. Seja �vk = [nA, nB , nC ]T , o vetor com os
números de votos de cada candidato no dia k. Assi-
nale abaixo a matriz M tal que M�vk = �vk+1:
(a)
 0.8 0.05 0.050.15 0.75 0.15
0.05 0.2 0.8

(b)
 0.9 0.05 0.050.05 0.75 0.2
0.05 0.15 0.8

(c)
 0.9 0.05 0.050.05 0.75 0.15
0.05 0.2 0.8

(d)
 0.8 0.05 0.050.15 0.75 0.2
0.05 0.15 0.8

(e) Não sei.
13. As coordenadas do vetor �v = (3,−2) na base β =
{�v1, �v2} são [�v]β = [2, 1]T . Se �v1 = (1, 2), calcule �v2:
(a) (−2,−7)
(b) (2,−6)
(c) (0,−9)
(d) (1,−6)
(e) Não sei.
14. Assinale a matriz abaixo cujo núcleo é a reta x−y = 0
e cuja imagem é a reta x+ y = 0:
(a)
�
1 −1
−1 −1
�
(b)
�−30 30
30 −30
�
(c)
�−20 −20
20 20
�
(d)
�
10 10
−10 −10
�
(e) Não sei.
15. Seja A =
�
a b
b c
�
, J =
�
0 1
−1 0
�
, K =
�
0 1
1 0
�
e
I a matriz identidade. Assinale a matriz abaixo que
possui dois autovetores ortogonais:
(a) A+ J − I
(b) A−K + I
(c) A+ J +K
(d) A+ J
(e) Não sei.
16. Calcule a terceira coordenada do vetor (1, 2, 3, 4) na
base ortogonal
{(1, 1, 1, 1), (1,−1, 1,−1), (1, 1,−1,−1), (1,−1,−1, 1)}
(a) -4
(b) 12
(c) 0
(d) -1
(e) Não sei.
Nome: Teste 487, pág. 2
 1 D
 2 B
 3 A
 4 B
 5 A
 6 B
 7 A
 8 C
 9 A
10 D 
11 D 
12 A 
13 D 
14 B 
15 B 
16 D