Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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1vectore.pdf
 ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
1.- CÁLCULO VECTORIAL. 
 
1.1 Usar métodos vectoriales para determinar la ecuación de la recta que pasa por 
(-1,1,0) y (0,0,1). 
1.2 Un ave va volando en línea recta con vector velocidad 10ux + 6uy + uz en km/h. 
Suponer que (x,y) son sus coordenadas en tierra y z es su altura. a) Si en cierto 
momento el ave esta en (1,2,3) ) donde estará una hora despues? )cuanto tarda 
en subir 10 m?. 
1.3 Hallar el ángulo entre ux + uy + uz y ux + uy - uz . 
1.4 Hallar por métodos vectoriales el área del triángulo con vértices en los puntos 
(1,1), (0,2) y (3,2). 
1.5 Demuestra las siguientes identidades: a) ax(bxc) = (aAc)b - (aAb)c . b)
 (axb)xc = (c a)b - (c b)a . 
1.6 Calcula grad f en el punto (2,3,5) para un campo escalar f dado por 
f(x,y,z)=2sen x -x2 y z + x ex . 
1.7 Calcular las constantes a,b y c de forma que f= (x+2y+az)ux + (bx-3y-z)uy + 
(4x+cy+2z) uz sea irrotacional. 
1.8 Hallar la derivada direccional de f = x2yz + 4xz2 en el punto (1,-2,-1) y en la 
dirección y sentido de 2ux - uy - 2uz. 
1.9 Calcular la divergencia ∇f y el rotacional ∇×f de cada uno de los campos 
vectoriales: a) f(x,y,z)= xux + yuy + zuz . b) f(x,y,z)= (x2 + y2 + z2) (3ux + 4uy + 
5uz) 
1.10 Calcular ∇xf en el punto (1,-2,1) para f = x2 y2 ux + 2 x y z uy + z2 uz . 
1.11 Demostrar las siguientes identidades: a) rot grad a = 0 . b) div rot f = 0. 
1.12 Calcular grad f en coordenadas cilíndricas para f(x,y,z) = z/(x2 + y2). 
1.13 Hallar por métodos vectoriales el ángulo que forman las superficies x2 + y2 + z2 = 
9 y z = x2 + y2 - 3 en el punto (2,-1,2). 
1.14 Demostrar que ∇x(∇xf) = - ∇2 f + ∇(∇f). 
1.15 Sea r el campo vectorial r(x,y,z) = (x,y,z) el vector posición y sea r el módulo de 
r. Calcular ∇r y ∇(rr). 
1.16 Dado f = x y2 ux + y z2 uy + 2 x z uz . Calcular la circulación del vector f a lo largo 
de la recta que une los puntos (0,0,0) y (1,2,3). 
1.17 Evaluar cada una de las integrales de línea siguientes: a) ∫ x dy - y dx a lo largo 
de s(t)=(cost,sent), 0 ≤ t ≤ 2π. b) ∫ yz dx + xz dy + xy dz a lo largo de la 
trayectoria formada por los segmentos de recta que unen a (1,0,0) a (0,1,0) a 
(0,0,1). c) ∫ x2 dx - xy dy + dz entre los puntos (-1,0,1) y (1,0,1) por la parábola 
z=x2 , y=0. 
1.18 Dado f = k rn ur. Calcular ∫∫s f n da , ∫∫s f × n da y ∫∫∫v div A dτ donde S y V 
corresponden a la esfera de radio a centrada en el origen. 
 
1.19 Dado f = x y2 ux + y3 uy + x2 y uz . Calcular 
∫∫s f n da , ∫∫s f × n da y ∫∫s rot f n da para 
la superficie de la figura consistente en un 
cuadrado de lado 2 en el plano xy. 
 
1.20 Evaluar la integral de superficie ∫s f n da, donde f(x,y,z)=ux + uy + z(x2+y2)2 uz en 
la superficie del cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. 
1.21 Comprueba el teorema de la divergencia para un campo eléctrico E = 2 r2 ur en 
coordenadas esféricas. Calcula primero la integral de volumen de la divergencia 
del campo para una esfera de radio r=3 y despues el flujo del campo a través de 
la superficie que delimita tal volumen. 
1.22 Comprueba el teorema de Stokes con f = (x + y) ux - 2 x2 uy + x y uz 
y la semiesfera superior x2 + y2 + z2 = 1 
1.23 Calcular directamente y aplicando el teorema de la divergencia ∫∫s f.n da, siendo 
f= 4xz ux - y2 uy + yz uz y S la superficie del cubo limitado por x=0, x=1, y=0, 
y=1, z=0 y z=1. 
 
2campele.pdf
 ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
2.- CAMPOS ELECTROSTÁTICOS EN VACÍO 
 
2.1 Calcular la carga total en cada una de las distribuciones de la figura: a) 
distribución uniforme lineal de carga λ0 en una circunferencia de radio a. b) 
distribución uniforme superficial de carga σ0 en un disco circular de radio a. c) 
distribución lineal de carga infinita a lo largo del eje z con una densidad de carga 
λ = λ0 / (1+(z/a)2). d) la nube electrónica alrededor del núcleo cargado Q 
positivamente en el átomo de hidrógeno representada por una distribución 
esférica de carga de densidad ρ(r)=-(Q /πa3) exp (-2 r /a) donde a es el radio de 
Bohr. 
 
2.2 Calcular el campo eléctrico sobre el eje z creado 
por una distribución lineal de carga con forma 
circular de densidad λl = k sin Φ. 
 
 
2.3 Calcular el campo eléctrico en cada 
una de las cargas puntuales situadas en los 
vértices del cubo de la figura. 
 
 
2.4 Calcular el campo 
eléctrico sobre el eje z que crea una densidad de carga superficial 
uniforme σs distribuida sobre una superficie cilíndrica de radio a y 
que se extiende desde z=-h hasta z=h. 
 
 
 
2.5 Calcular el campo eléctrico E (x,y,z) creado por una 
distribución uniforme superficial de carga distribuida 
en una franja del plano y=0 que se extiende desde 
x=−d/2 a x=d/2 y desde z=∞ hasta z=−∞. 
 
 
2.6 Calcular la componente x del vector campo eléctrico 
en el origen para una distribución volumétrica de 
carga dada por ρ = ( x2 + y2 +z2 )5/2 y distribuida en la 
región dada por 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1. 
 
2.7 Sea un cubo de lado 1mm uniformemente cargado con densidad de carga 
ρ=10−6 C m-3 encerrado dentro de una esfera hueca de radio 1 m. Calcular el 
flujo del campo eléctrico a través de la superficie esférica. 
 
2.8 Dadas tres distribuciones lineales de carga λ1=5 
10-9 Cm-1; λ2=4 10-9 Cm-1 y λ3=-6 10-9 Cm-1 
situadas en (0,0), (3,0) y (0,4) respectivamente. 
Calcular E y la densidad de flujo del campo 
eléctrico en el punto (3,4) como suma de los 
campos eléctricos creados por cada una de las 
cargas. 
 
2.9 Dada una superficie cilíndrica de radio a y altura h 
en un campo E=E0(xux+yuy+(z2-1)uz), donde E0 es 
constante. Calcular el flujo de E por integración 
directa y por el teorema de la divergencia. 
 
2.10 Calcular el campo eléctrico creado por tres 
distribuciones superficiales de carga paralelas e 
infinitas en las siguientes regiones: i) 0 < x < a; 
ii) a < x < b; iii) b < x < ∞ . 
 
2.11 La figura muestra un conductor (z<0) con una densidad 
superficial de carga uniforme σ = σ0 en z=0 y una densidad 
volumétrica de carga ρ = ρ0 exp(-αz) en z>0. Calcular el 
campo eléctrico debido a tal distribución de carga. 
 
2.12 Considera un haz de electrones de forma cilíndrica con una densidad volumétrica de 
carga ρ = ρ0(1-(r/d)2) Cm-3. Calcular E para d<r y d>r. 
 
2.13 Considera una corona esférica conductora de radio interno 
a y radio externo b conteniendo una carga q en el centro. 
Calcular la densidad de carga inducida en las superficies 
esféricas interior y exterior y el potencial electrostático al 
que se encuentra el conductor. Repetir el problema con el 
conductor a potencial φ0 en lugar de aislado. 
 
2.14 Determina la distribución de cargas que produce un campo eléctrico E=(r 
+1/r2) U(r0-r)ur donde U(r0-r) es la función escalón definida por U(r0-r)=0 si 
r>r0 y U(r0-r) = 1 si r<r0 (nota: considerar δ (r0-r) como la derivada de U 
(r0-r) en r=r0). 
 
2.15 a) En cierta región del espacio los componentes del campo eléctrico vienen 
dados por Ex = ax, Ey = ay, Ez = 0. Determinar la forma de las líneas de campo 
y la cantidad de carga contenida en un cilindro de radio b y longitud L (con el 
eje z como eje de simetría). b) en otra región las componentes radial y 
transversal del campo eléctrico vienen dadas por Er=2p cos Θ/r3 y EΘ=p sen 
Θ/r3. Determinar la forma de las líneas de campo y la carga contenida dentro 
de una esfera de radio b con centro en el origen. 
 
2.16 Dadas tres esferas iguales situadas en los vértices de un triángulo equilátero 
con cargas q, q' y q' cuando sus potenciales son φ, 0 y 0 respectivamente. 
Mostrar que cuando cada esfera está a potencial φ' la carga en cada esfera 
es (2 q'+ q)φ'/φ. Determinar los potenciales cuando las cargas son q", 0 y 0. 
 
 
2.17 Una carga puntual Q está situada en el centro geométrico de un cubo. a) 
Calcular, aplicando Gauss, cuál es el flujo del campo E a través de cada una 
de las caras del cubo. b) Si la carga se desplaza a uno cualquiera de los 
vértices del cubo, cuál es ahora el flujo del campo E a través
de cada una de 
las caras del cubo. 
 
2.18 Supóngase el sistema de la figura formado por una esfera 
metálica de radio R inicialmente descargada; una corteza 
esférica de radio 2R (concéntrica con la anterior) sobre la 
cual hay depositada una carga Q, distribuida uniformemente; 
y una corteza metálica, también concéntrica, de radio 4R 
que inicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale 
un cable que puede dejarse desconectado o conectarse a la 
cáscara exterior. Calcular los potenciales y densidades de carga de cada 
una de las esferas a) en el estado inicial (desconectado); b) Cuando el cable 
conecta la esfera interior con la cáscara exterior. 
 
2.19 Se disponen dos láminas plano paralelas conductoras e 
infinitas, separadas una distancia d y conectadas 
eléctricamente. A una distancia d/3 de una de ellas se 
introduce una distribución superficial de carga positiva de 
espesor despreciable y densidad σ. Calcular el campo 
entre las dos regiones definidas entre las tres láminas. 
Calcular las densidades superficiales de carga inducidas 
en cada una de las caras de los planos conductores 
conectados. 
 
2.20 Una distribución volumétrica de carga uniforme ρ0 tiene forma 
de tubo cilíndrico con radio interior a y exterior b. Se pide: a) 
Determinar el campo eléctrico en todas las regiones: r <a; 
a<r<b; r>b; b) ¿Qué densidad de carga lineal debería situarse 
en r=0 para reducir el campo externo (r>b) a cero? 
a 
b 
 
λ 
3energia.pdf
 ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
3.- ENERGÍA ELECTROSTÁTICA 
 
3.1 Tres cargas puntuales de valores 1, 2 y 3 C se 
encuentran situadas en los vértices de un triángulo 
equilátero de lado 1m. Se pide calcular el trabajo 
necesario para mover tales cargas a los vértices de 
otro triángulo equilátero de lado 0.5 m. 
 
3.2 Dada una esfera conductora aislada de radio R con una densidad de carga 
superficial σ. Calcular la energía potencial en términos de R. 
 
3.3 Dado el campo eléctrico E = ay ux + ax uy con a = 100 
voltios/m2. Calcular a) el potencial eléctrico Φ tomando Φ 
= 0 en el origen. b) el trabajo realizado por el campo 
cuando una carga q=10-8 C se mueve desde (-1,2) a (2,3). 
c) la densidad de carga en cualquier punto. 
 
3.4 Dadas cuatro cargas puntuales en los vértices de un 
cuadrado de lado 6 m. según indica la figura Calcular la 
energía total de tal configuración con q= 2 10-8 C. 
 
 
3.5 Calcular la energía almacenada en el campo 
electrostático entre dos esferas concéntricas 
conductoras de radios R y 2R respectivamente. Las cargas en las dos 
esferas son iguales Q pero de signo opuesto. 
 
3.6 Un condensador plano paralelo esta cargado con carga Q. La distancia 
entre las placas es d y sus áreas es A. a) Calcular la energía almacenada 
en el condensador. b) Calcular la fuerza electrostática por unidad de área 
entre las placas. Desprecia los efectos de borde. 
 
3.7 Sea una distribución esférica de carga de radio a y ρ uniforme. Si la carga total 
es Q calcular a) la energía necesaria para la formación 
del sistema mediante U=1/2∫ρφdτ. b) Repite el cálculo 
usando U=1/2∫ε0E2dτ . c) Si hacemos a=0, determina 
la energía necesaria para formar una carga puntual Q. 
d) Calcula la energía para traer desde el infinito la 
primera carga Q de un sistema de cargas. 
 
3.8 Una esfera de radio 1 m tiene inicialmente una distribución uniforme de carga en 
todo su volumen de 2 µCm-3. Si en un instante dado la esfera se vuelve 
conductora, la carga emigra hacia la superficie. Calcular cuánto cambia la 
energía electrostática del sistema al pasar la esfera de aislante a conductora. 
 
3.9 Calcular la energía electrostática de un sistema consistente en 
una carga puntual q situada en el centro de una corona 
esférica de radio interior r1 y radio exterior r2. 
 
 
 
 
 
 
 
q 
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4multipo.pdf
 ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
4.- MULTIPOLOS ELÉCTRICOS 
 
4.1 Calcular el vector momento dipolar p de cada una de las distribuciones de carga 
representadas en las figura. 
 
4.2 ¿Cual es la dirección y sentido de la fuerza sobre el dipolo central debida al 
campo de los otros dos dipolos? Hallar el módulo de la fuerza. 
 
 
 
 
4.3 Un dipolo de módulo p=2/3 10-9 C está situado en el origen en la dirección uz. A 
su campo se le añade un campo eléctrico uniforme de intensidad 15x104 
voltios/m en la dirección uy. ¿en donde será 
nulo el campo total? 
 
4.4 Sea un dipolo p en r en el campo de una 
carga puntual q en el origen. Determinar la 
energía de p, la fuerza neta sobre él y el 
momento T correspondiente. 
 
4.5 Sea un dipolo puntual p1 en r1 y otro p2 en r2. Determinar la energía de p2 en el 
campo de p1 debida a la energía de interacción dipolo-dipolo. Determinar la 
fuerza F2 sobre p 2. Calcular F 2 si: a) p 1 y p 2 son paralelos entre sí pero 
perpendiculares a R = r2-r1. b) p1 y p2 paralelos entre sí y paralelos a R. 
 
r 
p 
x 
y 
z 
4.6 Un modelo simplificado del átomo es suponer al núcleo como una carga puntual 
+q y a los electrones como una distribución de carga esférica uniforme de 
volumen τ en torno al mismo. Supongamos que un átomo así se coloca en 
presencia de un campo externo uniforme E0. a) Calcular la separación de los 
centros de carga producida por el campo externo. b) Calcular el momento dipolar 
inducido en el átomo. c) Si los átomos son de un gas monoatómico con N 
átomos por unidad de volumen, calcular la susceptibilidad eléctrica χ y la 
constante dieléctrica ε. 
 
 E0 
+q 
+q 
5dielec.pdf
 ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
5. DIELÉCTRICOS 
 
5.1 Calcular la polarización P y las densidades volumétrica y superficial de carga de 
polarización cuando se introduce un cilindro de radio a con carga λ 
(Coulombs/unidad de longitud) en un medio dieléctrico l.i.h. 
 
5.2 Un electrete tiene un momento dipolar eléctrico permanente incluso en ausencia 
de cargas libres. Dado un electrete esférico de radio R con vector polarización 
eléctrica P= P0r. Determinar la densidad de carga ligada ρb , el vector 
desplazamiento D y el campo eléctrico E en función de r. 
 
5.3 Sean un par de conductores coaxiales de 
longitud L con un dieléctrico de 
permitividad ε entre ellos mientras el 
resto del espacio esta ocupado por el 
aire. Suponiendo que el conductor 
interno esta cargado con cargas +Q y el 
externo con carga neta 0: determinar en cada una de las regiones del sistema a) 
D b) E c) P d) la densidad superficial de carga en los conductores y la densidad 
de carga de polarización en r = b y r = c. 
 
5.4 Dada una carga puntual q en el centro de una corona esférica 
dieléctrica de radios externo e interno a y b respectivamente. 
Calcular a) D y E para r < a, a < r < b y b < r, b) la polarización 
eléctrica P y la densidad de carga ligada ρb para r<a, a<r<b y 
r>b. 
 
5.5 Una esfera conductora de radio a y con carga Q se 
introduce en un líquido dieléctrico de constante ε, 
quedando sumergida solo hasta su mitad. Calcular el 
campo eléctrico fuera de la esfera y la densidad de 
carga superficial en ella. 
 
5.6 Un campo eléctrico en un medio cuya permitividad 
relativa ε/ε0 es 7 pasa a otro medio de permitividad 
relativa 2. Si E forma un ángulo de 60o respecto a la 
normal a la intercara entre ambos medios. ¿Qué ángulo 
forma el campo en el segundo dieléctrico? 
 
5.7 El espacio entre dos cilindros conductores coaxiales 
de longitud L= 25 cm esta relleno en su mitad con 
un dieléctrico de constante dieléctrica relativa ε/ε0 = 
8. Los cilindros tienen radios 0.5 y 2 cm 
respectivamente y están conectados a una batería 
de 100 V. Calcular a) los campos E y D en el aire y 
en el dieléctrico. b) la carga superficial inducida en 
el conductor interior en puntos adyacentes al aire y 
en puntos adyacentes al dieléctrico. c) la carga total 
en el conductor interior y la capacidad. 
 
5.8 Dos placas planas, paralelas e infinitas en las direcciones y, z están situadas en 
x = -d y x =+d. Si el espacio
entre las placas, se rellena con un dieléctrico con 
permitividad dependiente del espaciado ε = 4ε0/(1+(x/d)2). La placa en x = d se 
mantiene a potencial φ0 con respecto a la placa en x = -d. Calcular a) el campo 
eléctrico y la distribución de potencial entre las placas. b) la polarización P y la 
densidad de carga de polarización ρb. 
 
5.9 Considerar un campo eléctrico uniforme E0 en un medio de permitividad ε1. 
Consideremos además una esfera dieléctrica 
descargada de permitividad ε2 inmersa en el 
medio anterior. Calcular el campo dentro de la 
esfera (supuesta uniforme) si además del campo 
externo uniforme E0 existe un dipolo p en el 
centro de la esfera. 
 
5.10 Un cilindro dieléctrico infinito de radio b con un hueco 
circular en su centro de radio a se introduce en una 
región donde existe un campo eléctrico uniforme. 
Determinar el campo en la región hueca del 
dieléctrico. 
 
5.11 Un condensador plano paralelo contiene dos dieléctricos 
de constantes respectivas ε1 y ε2 como se muestra en la 
figura. Calcular su capacidad. 
 
5.12 El volumen comprendido entre dos superficies esféricas 
conductoras y concéntricas de radio a y b (a < b) está relleno 
con un dieléctrico inhomogéneo de constante dieléctrica 
ε=ε0/(1+Kr), donde ε0 y K son constantes y r es la coordenada 
radial, de manera que se cumple que D(r) = ε E(r). Si en la 
superficie interior se pone una carga Q mientras que la 
exterior se conecta a tierra, se pide calcular: a) El vector 
desplazamiento en la región a < r < b. b) La capacidad del sistema. c) La densidad 
de carga de polarización en a < r < b. d) La densidad superficial de carga de 
polarización en r = a y r = b. 
 
5.13 Un cable coaxial de potencia tiene 
un conductor interno de radio a. 
La región comprendida entre el 
conductor interno y el externo está 
relleno con dos capas concéntricas de dieléctricos ε1 = 1.5ε0 y ε2 = 4.5ε0 y de radios 
r1 y r2 respectivamente, según se muestra en la figura. Si el conductor exterior está 
conectado a tierra y el interior está conectado a un potencial de forma que produce 
una densidad de carga lineal homogénea λ, calcular lo siguiente: a) Los campos E, 
D y P en las regiones 1, 2 y 3 b) La densidad superficial de carga ligada σb para r = 
a y para r = r1 c) La densidad volumétrica de carga ligada ρb en la región 2. 
 
 
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5.14 Entre las placas de un condensador plano-
paralelo separadas una distancia d se 
introduce un dieléctrico no homogéneo con 
ε=ε0 (1+y/d) según se indica en la figura. 
Calcular: a) la distribución de los vectores D, 
E y P cuando se aplica un voltaje V0 entre las 
placas; b) las distribuciones de carga ligada 
superficial y de volumen σb y ρb. 
 
 
 
 
 
X
Y
Z
ε nn P P
E
d
6contorn.pdf
ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
6.- PROBLEMAS DE CONTORNO 
 
6.1 Sean dos cargas +q y -q situadas en (a,0,a) y (-a,0,a) sobre un plano conductor 
en z=0 a potencial cero. Calcular: a) La fuerza total sobre la carga +q. b) El 
trabajo realizado para la formación del sistema. c) La densidad de carga 
superficial en (a,0,0). 
 
6.2 Sea un dipolo eléctrico p fijo a una distancia z0 
sobre el eje z y formando un ángulo θ respecto a 
tal eje (p.uz = p cos θ). Si el plano xy es un 
conductor a potencial cero, determinar la densidad 
de carga en el conductor inducida por el dipolo. 
 
6.3 El plano xz se compone de cuatro planos 
cargados separados con los siguientes potenciales: primer cuadrante: 
(x>0,z>0) Φ = Φ0; segundo cuadrante: (x<0,z>0) Φ = 0; tercer cuadrante: 
(x<0,z<0) Φ = -Φ0; cuarto cuadrante: (x>0,z<0) Φ = 0; Calcular el campo 
eléctrico E(x,y,z). Tener en cuenta la equivalencia que se muestra en la figura. 
 
6.4 Sean dos placas conductoras de 1 
m de lado y separadas 1 mm por 
aire. Calcular su capacidad. Si una 
de las placas se gira ligeramente 
respecto a un eje paralelo a su 
borde y que pasa por el centro de 
la placa hasta que la separación en 
uno de los bordes es 0.5 mm y en 
el otro 1.5 mm calcular la nueva 
capacidad del sistema. 
Φ=0 
Φ=0 
Φ=Φ0 
Φ=-Φ0 
Φ=-½Φ0 Φ=½Φ0 
Φ=-½Φ0 
Φ=½Φ0 
0.5 1.5 
1 m 
O 
θ 
r
P 
z 
E0 
 
6.5 Calcular la capacidad entre un cono 
conductor con su vértice separado de 
un plano conductor por un espacio 
infinitesimal y con su eje perpendicular 
al plano. Resolver la ecuación de 
Laplace en esféricas considerando el potencial solo función de θ. 
 
6.6 Un conductor esférico de radio a se 
encuentra inmerso en una campo 
eléctrico uniforme de la forma E0= E0 
uz.. Determinar la distribución superficial 
del carga en la superficie del conductor. 
(Sugerencias: Considerar el potencial 
debido al campo externo en el infinito 
de la forma φ0= -E0z = -E0 r cos θ; 
Tomar el origen de potenciales en la superficie de la esfera.) 
 
6.7 Un analizador electrostático de electrones cilíndrico consiste 
en dos cilindros conductores concéntricos con una diferencia 
de potencial entre ellos. Si el radio del cilindro interior es a y el 
del exterior b, encontrar la función φ en el espacio 
comprendido entre ellos si, además el cilindro interior está a 
tierra y el exterior está conectado a una batería que suministra 
un voltaje φ0. Encontrar también la expresión para el campo 
eléctrico E. 
 
6.8 Una distribución de carga de densidad ρ=A(x2-d2/4) está 
limitada por dos planos paralelos separados una distancia d. 
El eje x es perpendicular a los planos y el origen está situado 
en el medio de la distribución. Calcular: a) El campo eléctrico 
E en un punto entre los planos situado a una distancia d/4 del 
origen de coordenadas (utilizar la ecuación de Poisson) b) El 
campo eléctrico E en cualquier punto del exterior de la 
distribución. 
 
 
 
θ
x 
y 
d/2 d/2 
7corrien.pdf
 ELECTROMAGNETISMO I 2º FÍSICAS 
 
7.- CORRIENTES ESTACIONARIAS 
 
7.1 Un material con la forma que muestra la 
figura con un diámetro interior de 2 cm. y 
el exterior de 4 cm. y 0.6 cm de espesor 
tiene una conductividad σ = 1.5 x10 7 
ohm/m. En sus extremos se le han 
realizado contactos eléctricos. La densidad de corriente resultante es J=(10-4/r) 
uν, con el eje z perpendicular al plano de la figura.
Calcular: a) la corriente total 
b) el valor máximo de E dentro del material c) la diferencia de potencial entre los 
contactos y d) la resistencia total entre los contactos. 
 
7.2 Una placa metálica con forma de un cuarto de circulo y 
espesor uniforme tiene aplicado un voltaje constante 
d.c. en los planos marcados φ= 0 y φ= φ1. Calcular la 
distribución de densidad de corriente J en la placa. 
 
7.3 Un trozo de cobre es recorrido por una corriente eléctrica de densidad 103 A 
cm−2. Sabiendo que el cobre metálico es monovalente, su densidad es 8.92 
g/cm3 y su peso atómico es 63.5, calcular la velocidad de arrastre de los 
electrones en el cobre. 
 
7.4 En un cristal cúbico de NaCl de 1 cm de arista hay una concentración de 
vacantes de sodio y de cloro de 3 x10 5 cm−3. Las movilidades de ambas 
vacantes son 7.0 x10−4 y 5.5 x10−4 cm2/V.s respectivamente. Calcular la 
conductividad de este cristal y la intensidad de corriente que lo atraviesa al 
someterlo a una diferencia de potencial de 10 KV entre dos caras opuestas. 
0.6 cm
4 cm 2 cm
r2
r1
= 0
= 0
t
7.5 Dos placas metálicas paralelas cargadas inicialmente con cargas Q y -Q 
respectivamente se introducen en un líquido de constante dieléctrica ε y 
conductividad σ. ¿Cuánto tiempo tardará en reducirse a la mitad la carga inicial 
de las placas? 
 
7.6 Una esfera de radio R está caracterizada por una conductividad inicialmente 
nula y una constante dieléctrica ε conteniendo en su volumen una densidad de 
carga ρ0 uniformemente distribuida. En un instante determinado, la esfera se 
vuelve conductora con conductividad σ. Determinar, a partir de ese instante, 
cómo cambia la distribución de carga en la esfera en función del 
tiempo, tanto en el interior como en la superficie. 
 
7.7 Dos cilindros huecos, coaxiales, de metal y de radios r1 y r2 
tienen una d.d.p. V entre ellos. Hallar la corriente eléctrica por 
unidad de longitud que circula entre ellos si el medio que los 
rodea tiene una conductividad σ. Si la constante dieléctrica 
del medio es ε, hallar la relación entre la capacidad y la 
resistencia por unidad de longitud de estos cilindros. 
 
7.8 Una de las placas de un condensador plano emite 
térmicamente 1015 electrones/s.cm2. Hallar la conductividad de este 
condensador si su distancia entre placas es de 3 mm y se le somete a una 
d.d.p. de 500 V. Despréciese el efecto de la carga espacial y la velocidad 
inicial de los electrones. 
ab
J
V
C
G
ej 4.5.docx
 
4.5. Sea un dipolo puntual p1 en r1 y otro p2 en r2. Determinar la energía de p2 en el campo p1 debido a la energía de interacción dipolo-dipolo. Determinar la fuerza F2 sobre p2. Calcular F si: 
a) p1 y p2 son paralelos entre sí pero perpendiculares a R = r2-r1. 
b) p1 y p2 paralelos entre sí y paralelos a R.
√. Resolución
El campo eléctrico producido por un dipolo a una distancia r: 
E1 = (campo del dipolo P1)
Si P2 es el segundo dipolo:
UDD = - P1  
· La energía de interacción es simétrica en los dos dipolos pues el intercambio de P1 y P2 deja todo igual.
· La fuerza de interacción no es central pues depende de los ángulos que ur forma con P1 y P2.
F1-2 = -(P2) E1 = - P2 )
1) (P2 ) = (P1 P2) ur 
2) (P2 ) = (ur P1) (P2 ) 
 (P2 ) = (P2x + P2y + P2z) 
F1-2 = (ur P1) (P2 – r) =
F1-2 = ((ur P1) P2 - 4(ur P1) (P2 ur) ur)
ejercicio 5.6.docxElectromagnetismo I
Ejercicio 5.6.
1. Θ1 = 60º → = tg60º 
2. = tg Θ2
3. Condiciones de continuidad
σf = 0 	→ Dn2 = Dn1 → ε2En2 = ε1En1 → En2 = =En1
de 1) 
 Et1 = En1tg60º
Et2 = En2 tg Θ2 = En1 tg Θ2
Et1 = Et2 = En1 tg60 = En1 tg Θ2 → tg Θ2 = tg60º = 0,495
Θ2 = 26,4º
Al disminuir K, disminuye el ángulo respecto a la normal.
ejercicio_03_01.pdf
 
3.1 Tres cargas puntuales de valores 1, 2 y 3 C se 
encuentran situadas en los vértices de un 
triángulo equilátero de lado 1m. Se pide 
calcular el trabajo necesario para mover tales 
cargas a los vértices de otro triángulo equilátero 
de lado 0.5 m. 
 
√. Resolución 
 
 
 La energía potencial es el trabajo reversible realizado por un agente 
externo para crear una configuración determinada en contra de las fuerzas 
electrostáticas. Por lo tanto el trabajo necesario para mover tales cargas de los 
vértices de un triángulo hasta los vértices de otro será la diferencia de las 
energías potenciales que se requeriría para formar ambas configuraciones. 
 
 La energía electrostática del sistema en la configuración inicial será: 
 
 
∑
=
⋅⋅=
3
12
1
i
iie qU φ
mNUe ⋅⋅











⋅⋅
+
⋅⋅
⋅+





⋅⋅
+
⋅⋅
⋅+





⋅⋅
+
⋅⋅
⋅⋅=
14
3
14
23
14
3
14
22
14
3
14
21
2
1
000000 επεπεπεπεπεπ
mNmNUe ⋅⋅⋅
=⋅⋅





⋅
++
⋅=
00 4
11
4
985
2
1
επεπ
 
 
 La energía electrostática del sistema en la configuración final será: 
ee UU ⋅=
′ 2
 
puesto que las distancias se reducen a la mitad. 
 
Finalmente el trabajo necesario para pasar de una configuración a otra 
vendrá dado por la siguiente expresión: 
 
ejercicio_03_02.pdf
3.2 Dada una esfera conductora aislada de radio R con una densidad de 
carga superficial σ. Calcular la energía potencial en términos de R. 
 
 
√. Resolución 1 σ 
E=0 
R 
 La energía electrostática del sistema viene dada 
por la siguiente expresión: 
 
φσφφσ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫ QdadaU
ss
e 2
1
22
1
 
 El potencial escalar de la esfera conductora será: 
R
Q
⋅⋅
=
04 επ
φ
 
 Si sustituimos dicho potencial en la expresión obtenida de la energía 
electrostática nos quedará: 
mN
R
QUe ⋅⋅⋅
=
0
2
8 επ
 
√. Resolución 2 
 
 Otra forma de calcular la energía electrostática es en términos del 
campo eléctrico. 
∫∫∫ +⋅⋅⋅





⋅⋅
⋅=⋅⋅=
∞ R
Rs
e drEdrrr
QdEU
0
22
2
2
0
020 4
422
π
επ
ε
τ
ε
 
El segundo sumando de la ecuación se anulará puesto que el campo 
eléctrico dentro de la esfera conductora es nulo. Ésta es una propiedad de los 
conductores. 
 
Finalmente obtenemos el mismo resultado que en el apartado anterior. 
mN
R
QUe ⋅⋅⋅
=
0
2
8
1
επ
 
ejercicio_03_03.pdf
yx uaxuayE ⋅+⋅=
 
3.3 Dado el campo eléctrico E=ay ux + ax uy con a = 100 
voltios/m2. Calcular a) el potencial eléctrico Φ tomando Φ = 0 
en el origen. b) el trabajo realizado por el campo cuando una 
carga q=10-8 C se mueve desde (-1,2) a (2,3). c) la densidad 
de carga en cualquier punto. 
 
 
√.- Resolución 
 
 Sabemos que el campo eléctrico es: 
 
 
 
Pero también sabemos que para que un campo eléctrico sea correcto su 
rotacional debe ser cero, puesto que el campo eléctrico es el gradiente de un 
potencial. A continuación comprobaremos que el campo eléctrico está 
correctamente expresado. 
√.- Resolución apartado a 
 
 La siguiente expresión nos relaciona el campo eléctrico con el potencial. 
 De este modo podremos conocer el potencial escalar asociado a nuestro 
campo eléctrico. 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto nuestro potencial será: 
 
 
 
 
 
 
 A continuación aplicaremos las condiciones de frontera. En nuestro caso 
tenemos que el potencial en el origen es cero. 
 
 
0=×∇ E 000
0
=⋅−⋅++=∂∂∂∂∂∂ zz
zyx
uaua
axay
zyx
uuu
φ⋅−∇=E
ay
x
Ex −==∂
∂
−=
φ
∫ ⋅−= dxayφ ( ) xencteyfaxy +−=φ
ax
y
Ey −==∂
∂
−=
φ ∫ ⋅−= dyaxφ ( ) yenctexgaxy +−=φ
( ) ( )xgyfaxy ++−=φ
( ) 00,0 =φ
( ) ( ) ( )xgyfaxyyx ++−=,φ
( ) axyyx −=,φ
a
b
√.- Resolución apartado b 
 
El trabajo necesario para trasladar una carga q desde el punto (-1,2) al 
punto (2,3) será: 
En el primer sumando y es igual a -2, y en el segundo sumando x es 
igual a 2. 
 
 
√.- Resolución apartado c 
 
 Para calcular la densidad volumétrica de carga utilizaremos la ecuación 
de Maxwell. 
 
 
[ ] 





⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅= ∫∫∫∫
−−
3
2
2
1
dyEdxEqdyEdxEqsdEqW yx
b
a
yx
b
a
o
[ ] JayxayxqdyaxdxayqW y
y
x
x
83
2
2
1
3
2
2
1
10400 −=
−=
=
−=
−−
⋅=+⋅=





⋅+⋅⋅= ∫∫
0ε
ρ
=⋅∇ E 





∂
∂
+
∂
∂
⋅=⋅∇⋅=
y
E
x
EE yx00 εερ 0=ρ
ejercicio_03_04.pdf
3.4 Dadas cuatro cargas puntuales en los vértices 
de un cuadrado de lado 6 m.
según indica la 
figura Calcular la energía total de tal 
configuración con q= 2 10-8 C. 
 
 
 
√.- Resolución 
 
 
 La energía potencial creada por un sistema de cargas puntuales 
viene dada por la siguiente expresión: 
4=N
( ) ji
r
qq
rqU
i ij
ji
N
i
iiie ≠
⋅
⋅
⋅=⋅⋅= ∑∑
==
4
101 4
1
2
1
2
1
επ
φ
ji
r
qq
U
N
i ij
ji
e <
⋅
⋅
⋅
= ∑
=104
1
επ
 




−⋅
⋅
=
5
4
1 2qU AB π  60ε
2






⋅
⋅
=
6
2
4
1
0
qU AD επ






−⋅
⋅
=
485.8
10
4
1 2
0
qUBD επ
 






−⋅
⋅
=
6
5
4
1 2
0
qUBC επ
 






⋅
⋅
=
485.84
1 2
0
qU AC επ 




⋅
⋅
=
6
2
4
1 2
0
qUCD επ
 
 
 Finalmente tenemos que la energía potencial del sistema es: 
 
JUT ⋅−= 4185.7
 
 El signo negativo nos indica que el trabajo está realizado en contra de 
las fuerzas de Coulomb. Es decir, este signo indica que ha sido mayor el 
trabajo realizado para retener esta carga que para llevar las otras tres cargas. 
 
 
 
ejercicio_03_05.pdf
3.5 Calcular la energía almacenada en el campo electrostático entre 
dos esferas concéntricas conductoras de radios R y 2R 
respectivamente. Las cargas en las dos esferas son iguales Q 
pero de signo opuesto. 
 
 
Q R
2R 
√. Resolución 
 
 La densidad de energía electrostática del 
sistema viene dada por la siguiente expresión: 
 
2
02
1 Ee ⋅⋅= εµ -Q 
 
 Y el campo eléctrico del sistema entre las dos 
esferas concéntricas conductoras es: 
rur
QE ⋅
⋅⋅
= 2
04 επ
RrR 2<<
 
 Si sustituimos su valor en la primera ecuación obtendremos el valor de la 
densidad de energía electrostática y con ello podremos calcular la energía 
electrostática. 
 
( ) 420
2
0 1
42 r
Q
e ⋅
⋅
⋅=
επ
ε
µ
 
( ) R
Qdr
r
rQdU
R
Rs
ee ⋅⋅
=⋅
⋅
⋅
⋅
⋅=⋅⋅⋅= ∫∫
0
22
4
2
2
0
2
0
16
4
422
1
επ
π
επ
ε
τµ
 
 
 
ejercicio_03_06.pdf
3.6 Un condensador plano paralelo esta cargado con carga Q. La 
distancia entre las placas es d y sus áreas es A. a) Calcular la 
energía almacenada en el condensador. b) Calcular la fuerza 
electrostática por unidad de área entre las placas. Desprecia los 
efectos de borde. 
 
 
1E 1E1E
2E 2E 2E
d
Q Q−
√. Resolución apartado a 
 
 Podemos calcular la energía almacenada en el 
condensador en función del campo eléctrico a partir 
de la siguiente expresión: 
( )∫ ⋅⋅=
et
e drEU
.
2
0
2
τ
ε
 Sin embargo, calcularemos la energía en función del 
potencial escalar. 
 
 
 La diferencia de potencial que se establece entre las placas del 
condensador plano es: 
 
 
 Por lo tanto la energía será: 
 
 
√. Resolución apartado b 
φ∆⋅⋅= QUe 2
1
EqF ⋅=
d
A
Qd
A
QdEU
vs
e ⋅⋅
⋅=⋅





⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫
0
22
0
0
2
0 2
1
2
1
2
1
ε
τ
ε
ετε
d
A
QU ⋅
⋅
⋅=
02
1
ε
d
A
Q
C
Q
⋅
⋅
==∆
0ε
φ
( ) ( )
2
0
22
0
2
4
4
dA
Q
A
dAQ
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
επ
επ
 
 
 
 
ejercicio_03_07.pdf
 
3.7 Sea una distribución esférica de carga de radio a y ρ 
uniforme. Si la carga total es Q calcular: a) la energía 
necesaria para la formación del sistema mediante 
U=1/2∫ρφdτ. b) Repite el cálculo usando U=1/2∫ε0E2dτ 
. c) Si hacemos a=0, determina la energía necesaria 
para formar una carga puntual Q. d) Calcula la 
energía para traer desde el infinito la primera carga Q 
de un sistema de cargas. 
+
+
++
+
0ρρ = ar >
0=ρ ar <
a
++
+
++ +
+
+
 
 
√.- Resolución apartado a 
 
 Tenemos la siguiente distribución volumétrica de carga: 
 
 
 
 
Para calcular la energía primero es necesario conocer el potencial 
escalar asociado a dicha distribución. 
0ρρ =
0=ρ
ar <
ar >
rur
QE ⋅
⋅⋅
= 2
04 επ
( ) ∫
∞
−=
r
rdEr oφar >
ar < rua
QE ⋅
⋅⋅
= 3
04 επ
( ) ∫−=
r
a
rdEr oφ
( ) ( ) mNar
a
Q
a
Qr ⋅⋅−⋅
⋅⋅
−
⋅⋅
= 223
00 84 επεπ
φ ar ≤
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Finalmente la energía necesaria para formar el sistema será: 
( )∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅





−⋅
⋅⋅⋅
−
⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅=
vv
ddrdrar
a
Q
a
Q
a
QdU ϕθθ
επππ
τφρ sen
84342
1
2
1 222
3
0
3
J
a
QU ⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅= 3
0
2
45
3
επ
 
√.- Resolución apartado b 
 
 Usando: 
 
∫∫∫ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= <
∞
>
a
ar
a
ar
v
dEdEdEU
0
2
0
2
0
2
0 2
1
2
1
2
1 τετετε
 
obtendremos: 
 
a
QU
⋅⋅
⋅=
0
2
42
3
επ
 
 
 
 
√.- Resolución apartado c 
 
 
 Si a tendiera a cero entonces la energía potencial tendería a infinito, que 
corresponde a la energía asociada a una carga puntual situada en el infinito 
 
0→ ∞→U ∞→ρ a
 
√.- Resolución apartado d 
 
 La energía necesaria para traer desde el infinito la primera carga de un 
sistema de cargas es cero. 
 
ejercicio_03_08.pdf
3.8 Una esfera de radio 1 m tiene inicialmente una distribución uniforme de 
carga en todo su volumen de 2 µCm-3. Si en un instante dado la esfera 
se vuelve conductora, la carga emigra hacia la superficie. Calcular 
cuánto cambia la energía electrostática del sistema al pasar la esfera de 
aislante a conductora. 
 
√.- Resolución 
 
 Fuera de la esfera no cambia nada el campo eléctrico, el cual será: 
 
 
re ur
QU ⋅
⋅⋅
= 2
04 επ
mr 1≥ 
 
 
sin embargo, dentro de la esfera el campo eléctrico si que cambia. 
( )
resfera ur
rQE ⋅
⋅⋅
= 2
04 επ
ρ
0=condE
 
 
 La variación de energía es: 
 
τε dEW
esfera
2
02
1
⋅⋅=∆ ∫
 
 Puesto que conocemos el campo eléctrico en función de la carga total 
que hay almacenada en la esfera, podemos expresar dicha carga en función de 
la densidad volumétrica de carga y sustituirla en la ecuación del campo 
eléctrico. 
( ) ( )
0
2
0 34 ε
ρ
επ
r
r
rQrE ⋅=
⋅⋅
=( ) ρπ ⋅⋅⋅= 3
3
4 rrQ
 
 Con estos datos podemos conocer la variación de energía. 
 
JdrrrW
r
r
⋅⋅=⋅
⋅⋅
=⋅
⋅
⋅=∆ −
=
=
⋅∫ 22
0
1
0
2
0
22
0 1031.645
24
92
14 ρ
ε
π
ε
ρεπ
 
 
 
ejercicio_04_01.pdf
4.1 Calcular el vector momento dipolar p de cada una de las distribuciones 
de carga representadas en las figuras: a) b) y c). 
 
 
√. Resolución 
 
 a) 
 
Q = 0 ; P = Σqi ri , i = 1,2,…,N 
 
P = -2q.0 + qd ux + qd (cos 60º ux + sen 
60º uy) 
 
P = qd ( 1 + 1/2 )ux + qd ( √3/2 )uy 
 
 
 
Las superficies equipotenciales se rota 
como eje P 
 
 b) 
Q = 2q ; P = Σqi ri , i = 1,2,…,N 
 
P = 2q.0 – qd ux – qd uy + 2qd (ux + 
uy) 
 
P = -qd (ux + uy) + 2qd (ux + uy) 
 
P = (ux + uy) qd 
 
 
 
 
 
 c) 
 
Q = 0 ; P = Σqi ri , i = 1,2,…,N 
 
P = -2q.0 – qd ux + qd uy + 2qd (ux + uy) 
 
P = qd (-ux + uy) + 2qd (ux + uy) 
 
P = qd (ux + 3y) 
 
 
 
 
ejercicio_04_02.pdf
4.2 ¿Cual es la dirección y sentido de la fuerza sobre el dipolo central 
debida al campo de los otros dos dipolos? Hallar el módulo de la fuerza. 
 
 
 
 
√. Resolución 
 
 
 El campo eléctrico producido por un dipolo a una distancia r es: 
 
 
 
 
, donde: P = P uy 
 ur = ux ; uy . ux = 0 
 
, donde: P = P ux 
 ur = - ux ; ur P = - P3 ux 
 
La energía de interacción de un dipolo con un campo eléctrico es: 
 
 UD = - P Eo 
 
 Entonces: 
 
UD = -P2 (E1+E3) = -P2 E1 – P2 E3 
 
 
 
 
 
 Así llegamos a que la fuerza es atractiva 
ejercicio_04_04 (2003).doc4.4
Sea un dipolo p en r en el campo de una carga puntual q en el origen. Determinar la energía de p, la fuerza neta sobre él y el momento T correspondiente.
Resolución
 
 
 =
= 
 
 =
==
=
 
ejercicio_04_04.docx4.4	Sea un dipolo p en r en el campo de una carga puntual q en el origen. Determinar la energía de p, la fuerza neta sobre él y el momento T correspondiente.
Resolución
 
 
 =
= 
 
 =
==
=
 
ejercicio_04_04.pdf
4.4 Sea un dipolo p en r en el campo de una carga puntual q en el origen. Determinar la 
energía de p, la fuerza neta sobre él y el momento T correspondiente. 
 
Resolución 
 
�� = ������	 
������ 

� = −����� = �������	 ��
������ ��� = ������ = �.�� ��������� 
�� = −���∇���� = −���∇� ���� ����� 
 
�� = ������ ��� ��� + � �� + �! ��!" ���� = 
= 
��
���� ��� ��� + � �� + �! ��!" ���	# 	#!	��	 
������
+ ������ ��� ��� + � �� + �! ��!" ��	# 	#!	��	 
 ����� 
+ ������ ��� ��� + � �� + �! ��!" !��	# 	#!	��	 
!����� = 
= ������ $�� ��
	# 	#!	��	��	.%����	# 	#!	�
&	
��	# 	#!	�� + � �
�	.% ���	# 	#!	�'/	 + �! �
�	.%!���	# 	#!	�'/	 )= 
= ��� * +,� − -�	,' . − - �,' � − -!�,' �!" 
������ + ��� /− - �,' 0 + � * +,� − - 	,' . − - !,' �!" 
 ����� +
��� /− -�!,' 0 − � /− - !,' 0 − �! * +,� − -!	,' ." 
!����� 
 
�� = ������ *− +,� 1��
������ + � 
 ����� + �!
!�����2 + 3�
������ �/45�,' 0 + /46 ,' 0 + /47!,' 0" +38
 ����� �/45�,' 0 + /46 ,' 0 + /47!,' 0" + 39
!����� �/45�,' 0 + /46 ,' 0 + /47!,' 0". 
 
�� = :;��<- − 3;<����<��<= > 14AB
 
ejercicio_04_05.pdf
 
 
4.5. Sea un dipolo puntual p1 en r1 y otro p2 en r2. Determinar la energía de p2 en el 
campo p1 debido a la energía de interacción dipolo-dipolo. Determinar la fuerza F2 
sobre p2. Calcular F si: 
a) p1 y p2 son paralelos entre sí pero perpendiculares a R = r2-r1. 
b) p1 y p2 paralelos entre sí y paralelos a R. 
 
√. Resolución 
El campo eléctrico producido por un dipolo a una distancia r: 
E1 = (campo del dipolo P1) 
Si P2 es el segundo dipolo: 
UDD = - P1 Ε1 = 
 
- La energía de interacción es simétrica en los dos dipolos pues el intercambio 
de P1 y P2 deja todo igual. 
 
- La fuerza de interacción no es central pues depende de los ángulos que ur 
forma con P1 y P2. 
 
F1-2 = -(P2 ) E1 = - P2 ) 
 
1) (P2 ) = (P1 P2) ur 
 
2) (P2 ) = (ur P1) (P2 ) 
 (P2 ) = (P2x + P2y + P2z ) 
F1-2 = (ur P1) (P2 – r) = 
F1-2 = ((ur P1) P2 - 4(ur P1) (P2 ur) ur) 
ejercicio_04_06.pdf
4.6 Un modelo simplificado del átomo es suponer al núcleo como una carga 
puntual +q y a los electrones como una distribución de carga esférica uniforme de 
volumen τ en torno al mismo. Supongamos que un átomo así se coloca en 
presencia de un campo externo uniforme E0. a) Calcular la separación de los 
centros de carga producida por el campo externo. b) Calcular el momento bipolar 
inducido en el átomo. c) Si los átomos son de un gas monoatómico con N átomos 
por unidad de volumen, calcular la susceptibilidad eléctrica χ y la constante 
dieléctrica ε. 
 
 
a) - Campo en interior de esfera con ρ=cte 
 
ri urE
rr ρ
ε 03
1
−= 
- La fuerza de la nube sobre q: 
rrii u
rqurqEqF rr
rr
τε
ρ
ε 0
2
0 33
1
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−== 
Con 
τ
ρ q= 
- Cuando hay campo externo: 00 EqF
rr
= 
 
- En equilibrio: 00 =+ iFF
rr
 
q
E
rrqEq 00
0
2
0
3
0
3
r
rrr τε
τε
=Δ⇒=Δ− 
b) 003 Erqp
rrr τε=Δ= 
 
c) N = Nº de átomos/un. de volumen 
 
003 ENpNP
rrr τε== 
τχχε NEP 300 =⇒=
rr
 
)31(0 τεε N+= 
ejercicio_05_01.pdf
5.1 Calcular la polarización P y las densidades volumétrica y superficial de carga 
de polarización cuando se introduce un cilindro de radio a con carga λ 
(Coulombs/unidad de longitud) en un medio dieléctrico l.i.h. 
 
 
λ = coul/u.longitud 
 
-Aplicamos Gauss para r > a 
- 2
s
D da D rL Q Lπ λ⋅ = = =∫
r r 
(D constante y radial) 
2 r
D u
r
λ
π
=
r r 
 
- El campo eléctrico: 
2 r
DE u
r
λ
ε πε
= =
r
r r 
 
-La polarización: 0 0( )P D E Eε ε ε= − = −
r r r r
 
 1 1(1 ) ( )kP E D
k k
ε −= − =
r r r
 
1( )
2 r
kP u
k r
λ
π
−
=
r r 
 
-Veamos bρ y bσ : 
- Para r >a: 1 1 0
2
D Dρ
ρλρ
ρ ρ ρ ρ πρ
∂ ∂
∇ = = =
∂ ∂
r
 
0bP ρ∇ = =
r
 
1( )
2b r
kP n P u
k a
λσ
π
−
= ⋅ = − ⋅ = −
r rr r 
 
- Corresponde a la densidad superficial de cargas libres del cilindro. 
 
 
ejercicio_05_03(2003).doc5.3 
Sean un par de conductores coaxiales de longitud L con un dieléctrico de permitividad entre ellos mientras el resto del espacio está ocupado por el aire. Suponiendo que el conductor interno está cargado con cargas +Q y el externo con carga neta 0 determinar en cada una de las regiones del sistema:
a) 
b) 
c) 
d) La densidad superficial de carga en los conductores y la densidad de carga de polarización en r=b y r=c
Resolución
 Conductor 
 coincide con el valor anterior pues es continuo al no haber cargas libres.
 ; 
 Se repiten los resultados de a<r<b pues de nuevo es el espacio libre
 ; ; 
 Dentro del conductor externo la carga total encerrada es cero!
 
 Si la carga neta del conductor más externo era cero ( +Q en la superficie externa
 ; ; 
· En las superficies de los conductores:
r=a ; r=d 
 
· En las superficies del dieléctrico:
; 
ejercicio_05_03.docx5.3 	Sean un par de conductores coaxiales de longitud L con un dieléctrico de permitividad entre ellos mientras el resto del espacio está ocupado por el aire. Suponiendo que el conductor interno está cargado con cargas +Q y el externo con carga neta 0 determinar en cada una de las regiones del sistema:
a) 
b) 
c) 
d) La densidad superficial de carga en los conductores y la densidad de carga de polarización en r=b y r=c
	
Resolución
 Conductor 
 coincide con el valor anterior pues es continuo al no haber cargas libres.
 ; 
 Se repiten los resultados de a<r<b pues de nuevo es el espacio libre
 ; ; 
 Dentro del conductor externo la carga total encerrada es cero!
 
 Si la carga neta del conductor más externo era cero +Q en la superficie externa
 ; ; 
· En las superficies de los conductores:
r=a ; r=d 
 
· En las superficies del dieléctrico:
; 
ejercicio_05_03.pdf
5.3 Sean un par de conductores coaxiales de longitud L con un dieléctrico de 
permitividad entre ellos mientras el resto del espacio está ocupado por el aire. 
Suponiendo que el conductor interno está cargado con cargas +Q y el externo 
con carga neta 0 determinar en cada una de las regiones del sistema: 
a) ; b) ; c) ; d) La densidad superficial de carga en los conductores y la 
densidad de carga de polarización en r=b y r=c 
Resolución 
 Conductor 
 coincide con el valor anterior pues es continuo al no haber cargas 
libres. 
 ; 
 
 
 Se repiten los resultados de a<r<b pues de nuevo es el espacio libre 
 ; ; 
 Dentro del conductor externo la carga total encerrada es cero! 
 
 Si la carga neta del conductor más externo era cero +Q en la superficie 
externa 
 ; ; 
• En las superficies de los conductores: 
r=a ; r=d 
 
• En las superficies del dieléctrico: 
;   ; 
ejercicio_05_04.pdf
5.4 Dada una carga puntual q en el centro de una corona esférica dieléctrica 
de radios externo e interno a y b respectivamente. Calcular a) D y E para 
r < a, a < r < b y b < r, b) la polarización eléctrica P y la densidad de 
carga ligada ρb para r<a, a<r<b y r>b. 
 Cálculo de : 
 Aplicando Gauss en el dieléctrico: 
 
 pues no hay más cargas 
libres. 
Cálculo de : 
Al ser una carga puntual: 
 
 
Cálculo de en el dieléctrico 
 
 
 
Para (no hay dieléctrico) 
 
 
ejercicio_05_05.pdf
5.5 - Una esfera conductora de radio a y carga Q se 
introduce en un líquido dieléctrico de constante , 
quedando sumergida hasta su mitad. Calcular el campo 
eléctrico fuera de la esfera y la densidad de carga 
superficial en ella. 
 
- Aplicamos Gauss 
Dliquido = cte. sobre S1 , Daire= cte. sobre S2 y 
 
- Puesto que el campo es radial es tangente a la frontera entre líquido y aire 
 
 
 Campo eléctrico tanto en el líquido como en 
el aire. 
 
 
- Aplicando la condición de continuidad de D en la superficie de la esfera obtenemos la 
densidad de carga superficial. 
 - en la superficie sumergida 
 - en la superficie al aire 
 
 
ejercicio_05_06.pdf
Ejercicio 5.6. Un campo eléctrico en un medio cuya permitividad relativa ε/ε0 
es 7 pasa a otro medio de permitividad relativa 2. Si E forma un ángulo de 60o 
respecto a la normal a la intercara entre ambos medios. ¿Qué ángulo forma el 
campo en el segundo dieléctrico? 
 
 
 
 
 
1. Θ1 = 60º → = tg60º
2. = tg Θ2 
3. Condiciones de continuidad 
σf = 0 → Dn2 = Dn1 → ε2En2 = ε1En1 → En2 = =En1 
 
de 1) 
 Et1 = En1tg60º 
Et2 = En2 tg Θ2 = En1 tg Θ2 
Et1 = Et2 = En1 tg60 = En1 tg Θ2 → tg Θ2 = tg60º = 0,495 
 
Θ2 = 26,4º 
 
Al disminuir K, disminuye el ángulo respecto a la normal. 
 
ejercicio_05_08.doc5.8
Dos placas planas, paralelas e infinitas en las direcciones y,z están situadas en x=-d y x=+d. Si el espacio entre las placas, se rellena con un dieléctrico con permitividad dependiente del espacio, ε. La placa en x=d se mantiene a potencial φ0 con respecto a la placa en x=-d. Calcular:
a) El campo eléctrico y la distribución de potencial entre las placas.
b) La polarización P y la densidad de carga de polarización ρb .
x
o
x
x
E
d
x
E
D
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
=
2
1
4
e
e
Resolución:
El problema es unidimensional:
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
2
1
4
d
x
o
e
e
 
Calculamos el potencial en un punto x tomando 
)
(
d
-
f
como origen de potenciales:
(
)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
-
=
ò
-
3
4
3
1
4
3
0
d
x
d
x
d
D
dx
E
x
x
d
x
x
e
f
Como 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
Þ
=
3
4
3
1
4
)
(
3
0
0
0
d
d
d
x
d
D
d
x
e
f
f
f
 
Por lo tanto tenemos que : 
d
D
x
0
0
2
3
f
e
-
=
y sustituyendo en la exprecion anterior, obtenemos el campo eléctrico:
d
d
x
d
d
x
D
d
x
E
x
x
8
3
1
4
2
3
1
4
1
0
2
0
0
0
2
0
2
f
e
f
e
e
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
/
ú
û
ù
ê
ë
é
/
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
d
d
x
E
x
8
3
1
0
2
f
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
La Polarización:
Despejamos la polarización de la siguiente expresión:
 
P
E
D
r
r
r
+
=
0
e
y obtenemos:
x
x
o
x
x
x
u
E
D
u
P
P
r
r
r
)
(
e
-
=
=
y despejando el valor del campo electrico, obtenemos
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
2
2
0
2
3
4
4
1
1
4
1
d
x
D
d
x
D
D
d
x
D
P
x
x
x
o
x
x
e
e
x
x
u
d
x
D
P
r
r
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
2
3
4
La densidad de carga de polarización es igual a:
2
2
d
xD
x
P
P
x
x
b
=
¶
¶
-
=
-Ñ
=
r
r
� EMBED Microsoft Editor de ecuaciones 3.0 ���
_158705740.unknown
_158859792.unknown
_158862352.unknown
_158862672.unknown
_158860752.unknown
_158706060.unknown
_140462172.unknown
_144747848.unknown
_158705420.unknown
_144746248.unknown
_139703420.unknown
_140461532.unknown
_139703100.unknown
ejercicio_05_08.pdf
5.8 Dos placas planas, paralelas e infinitas en las direcciones y,z están 
situadas en x=-d y x=+d. Si el espacio entre las placas, se rellena con un 
dieléctrico con permitividad dependiente del espacio, ε. La placa en x=d se 
mantiene a potencial φ0 con respecto a la placa en x=-d. Calcular: 
 a) El campo eléctrico y la distribución de potencial entre las placas. 
 b) La polarización P y la densidad de carga de polarización ρb . 
 
 
Resolución: 
 
El problema es unidimensional: 
 
x
o
xx E
d
x
ED
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
==
2
1
4ε
ε
 
 
Calculamos el potencial en un punto x tomando )( d−φ como origen de 
potenciales: 
 
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=−= ∫
− 3
4
3
1
4
3
0 d
x
d
xdDdxEx
x
d
x
x ε
φ 
 
 
Como 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=⇒=
3
4
3
1
4
)(
3
0
00 d
d
d
xdDd x
ε
φφφ 
 
Por lo tanto tenemos que : d
Dx
00
2
3 φε
−= 
 
y sustituyendo en la exprecion anterior, obtenemos el campo eléctrico: 
 
d
d
x
dd
xD
d
x
E
x
x 8
31
4
2
31
4
1 0
2
0
00
2
0
2
φ
ε
φε
ε
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
/
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ /−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
 
 
d
d
x
Ex 8
31 0
2
φ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
 
 
La Polarización: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+
=
2
1
4
d
x
oεε
 
Despejamos la polarización de la siguiente expresión: 
 PED
rrr
+= 0ε 
y obtenemos: 
xxoxxx uEDuPP
rrr )( ε−== 
 
 
y despejando el valor del campo electrico, obtenemos 
 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
2
0
2
3
44
1
1
4
1
d
xDd
x
D
D
d
x
DP xx
x
oxx ε
ε 
 
x
x u
d
xDP r
r
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
2
3
4 
 
La densidad de carga de polarización es igual a: 
 
22d
xD
x
P
P xxb =∂
∂
−=−∇=
r
ρ 
ejercicio_05_12.pdf
5.12 El volumen comprendido entre dos superficies esféricas 
conductoras y concéntricas de radio a y b (a < b) está relleno con un 
dieléctrico inhomogéneo de constante dieléctrica ε=ε0/(1+Kr), donde ε0 y 
K son constantes y r es la coordenada radial, de manera que se cumple 
que D(r) = ε E(r). Si en la superficie interior se pone una carga Q 
mientras que la exterior se conecta a tierra, se pide calcular: a) El vector 
desplazamiento en la región a < r < b. b) La capacidad del sistema. c) La 
densidad de carga de polarización en a < r < b. d) La densidad superficial 
de carga de polarización en r = a y r = b. 
 Resolución apartado a: 
                                                                  
 
       Aplicando Gauss a   
        Al estar Q distribuida homogéneamente        
 
     →            
 Resolución apartado b: 
       →             
 
 
 Resolución apartado c 
Para calcular la densidad de carga de polarización aplicamos: 
 
Conocido el momento dipolar podemos aplicar la relación existente con la 
densidad de carga de polarización, mediante la siguiente relación: 
 
Donde es radial 
 
 
 
 
 Resolución apartado d: 
 
 
 
 
 
 
 
ejercicio_05_13.pdf
5.-13 
Un cable coaxial de potencia tiene un conductor interno de radio a. La región comprendida 
entre el conductor interno y el externo está relleno con dos capas concéntricas de dieléctricos 
ε1 = 1.5ε0 y ε2 = 4.5ε0 y de radios r1 y r2 respectivamente, según se muestra en la figura. Si 
el conductor exterior está conectado a tierra y el interior está conectado a un potencial de 
forma que produce una densidad de carga lineal homogénea λ, calcular lo siguiente: a) Los 
campos E, D y P en las regiones 1, 2 y 3 b) La densidad superficial de carga ligada σb para r 
= a y para r = r1 c) La densidad volumétrica de carga ligada ρb en la región 2.
a. Lo dividimos en 3 zonas:
a.1 arr1 Aplicando Gauss a un cilindro de altura L
∫S  D da=D1 2 L= L D1=

2 r 
u
E1=
D1
1
= 
2 PI r1
u=

3 PI r 0
u
P1= D1−0 E1=[

2 r 
− 
3 r 
] u=

2 r 
u
a.2 No hay carga libre, luego D2= D1=

2 r 
u
E2=
D 2
2
= 
2 PI r 2
u=

9 PI r 0
u
P2= D 2−0 E 2=[

2  r 
− 
9 r 
] u=
7
18 r 
u
a.3 Conductor y fuera del cable:
D3= E3= P3=0
b. b r=a=P n= P1−u=
−
6a 
b r=r1= b1b2=
−
6 r1

7
18 r1
=
−37
18 r 1
=
−4
18 r1
=
−2
9 r 1
c. b2=−∇ P2=
−1

∂
∂
 P=0
ejercicio_07_01.pdf
 
7.1 Un material con la forma que muestra la 
figura con un diámetro interior de 2 cm. y 
el exterior de 4 cm. y 0.6 cm de espesor 
tiene una conductividad σ = 1.5 x10 7 
mho/m. En sus extremos se le han 
realizado contactos eléctricos. La densidad de corriente resultante es 
J=(10-4/r) uν, con el eje z perpendicular al plano de la figura. Calcular: a) la 
corriente total b) el valor máximo de E dentro del material c) la diferencia 
de potencial entre los contactos y d) la resistencia total entre los contactos. 
0.6
cm
4 cm 2 cm
 
ϒ.- Resolución apartado a. 
∫ ⋅=
s
adJI
ϕudzdrad ⋅⋅=
 
( ) 4
2
4 6.010
=
=
− ⋅⋅=
r
r
rLnI( )∫ ∫
=
=
=
=
−
⋅⋅⋅=
4
2
6.0
0
410r
r
z
z
dzdruu
r
I ϕϕ o
 
( )AmperiosLnI 2106 5 ⋅⋅= −
ϒ.- Resolución apartado b. 
 A continuación calcularemos el valor máximo del campo E
r
. 
ϕur
E ⋅
⋅⋅
=
−
7
4
105.1
10
σ
JE =EJ ⋅= σ
 
 
( ) mVoltsurE imo ϕ⋅⋅== −12máx 1033.32
ϕur
E ⋅
⋅
=
−
5.1
10 11
 
ϒ.- Resolución apartado c. 
La diferencia de potencial entre los dos contactos. 
( )∫ ⋅⋅=∆
π
ϕϕ ϕ
0
duuEV o∫=∆
f
i
sdEV o VoltiosV ⋅⋅=∆
−
π
5.1
10 11
ϕϕ udrsd ⋅⋅=
 
ϒ.- Resolución apartado d. 
 
 Finalmente calcularemos la resistencia total. 
 
I
VR ∆=
( ) Ω⋅⋅⋅
⋅
= −
−
21065.1
10
5
11
Ln
R πRIV ⋅=∆
ejercicio_07_02.pdf
 
7.2 Una placa metálica con forma de un cuarto de circulo y espesor uniforme 
tiene aplicado un voltaje constante d.c. en los planos marcados φ= 0 y φ= 
φ1. Calcular la distribución de densidad de corriente J en la placa. 
 
ϒ.- Resolución 
 
y 
z 
x
ds
φ=0
φ=φ1
ϕ
r1
r2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJ ⋅= σ ϕuEE ⋅=
 
( )∫ ⋅⋅⋅−=
4
0
1
π
ϕϕ ϕρφ duuE o∫−==∆ sdE o1φφ
mVoltuE ⋅
⋅
⋅
−= ϕρπ
φ14VoltiosE ⋅⋅⋅−= 41 πρφ
214 mAmpereuJ ⋅
⋅
⋅⋅
= ϕρπ
φσ
 
 ϒ.- Otro modo de resolución. 
 
 Otra forma de hacerlo sería resolviendo la ecuación de Laplace y 
aplicando las condiciones de frontera. Al resolver la ecuación de Laplace hay que 
tener en cuenta que el vector nabla hay que expresarlo en coordenadas 
cilíndricas dada la simetría del problema. 
 
2
2
2
2
2
2 11
z∂
∂
+
∂
∂
⋅+





∂
∂
⋅
∂
∂
⋅=∇
φ
ϕ
φ
ρρ
φρ
ρρ
φ02 =∇ φ
 
2
2
2
10
ϕ
φ
ρ ∂
∂
⋅= 2
2
0
ϕ
φ
∂
∂
= BA +⋅= ϕφ
 
 
Aplicando las condiciones de contorno tendremos: 
 
0=B0=ϕ 0=φ
Voltios⋅⋅⋅⋅= ϕφ
π
φ 1
4
4πϕ = 1φφ =
π
φ14 ⋅=A
 
Por lo tanto el campo E
r
 vendrá dado por la siguiente expresión 
zuz
uuE ⋅
∂
∂
−⋅
∂
∂
⋅−⋅
∂
∂
−=
φ
ϕ
φ
ρρ
φ
ϕρ
1
φ−∇=E
 
 
 
ϕϕ
φ
ρ
uE ⋅
∂
∂
⋅−=
1
ϕφπρ
uE ⋅⋅⋅−= 1
41
 
 Como vemos hemos obtenido el mismo campo vectorial que en el caso 
anterior. 
 
 
ejercicio_07_03.pdf
7.3 Un trozo de cobre es recorrido por una corriente eléctrica de densidad 103 
A cm−2. Sabiendo que el cobre metálico es monovalente, su densidad es 
8.92 g/cm3 y su peso atómico es 63.5, calcular la velocidad de arrastre de 
los electrones en el cobre. 
 
 
ϒ.- Resolución 
 
 
 El signo menos de la densidad volumétrica de corriente se debe a que 
los electrones tienen carga negativa. 
deNN º≡
vqNvJ e ⋅⋅−=⋅= ρ
2723 1010 mAcmAJ ⋅=⋅=
 
Sabemos que: 
 
N ≡ nº de electrones/volumen Monovalente ≡1electrón /átomo 
 
molátommosN Avogadro
23106 ⋅=molmosPAtómico gra5.63=
 
Cqe
19106.1 −⋅=392.8 cmgrd =
 
 
 Con estos datos ya podemos proceder a la resolución del problema. 
 
dátomoe
P
NN
A
A ⋅⋅= 1 361092.8 mgrN ⋅=
 
eqN
J
v
⋅
= Cme
mAv 19328
27
106.11043.8
10
−⋅⋅⋅
= smv 4104.7 −⋅=
ejercicio_07_04.pdf
 
7.4 En un cristal cúbico de NaCl de 1 cm de arista hay una concentración de 
vacantes de sodio y de cloro de 3 x10 5 cm−3. Las movilidades de ambas 
vacantes son 7.0 x10−4 y 5.5 x10−4 cm2/V.s respectivamente. Calcular la 
conductividad de este cristal y la intensidad de corriente que lo atraviesa al 
someterlo a una diferencia de potencial de 10 KV entre dos caras 
opuestas. 
 1 cm 
A 
1 cm 
 
 
ϒ.- Resolución 
 1 cm 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]
[ ]E
vMovilidad ≡≡µ315103 −⋅== cmNN ClvacantesNavacantes
 
sVcmCl ⋅⋅=
− 24105.5µsVcmNa ⋅⋅=
− 24100.7µ
 
 
 
 La movilidad es la velocidad por unidad de longitud. 
 
∑∑ ⋅⋅⋅=⋅⋅= EqNvqNJ iiiiii µEJ ⋅= σ
 
∑ ⋅⋅= iii qN µσ
 
( )
sV
cmCcm
⋅
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= −−−−
2
4419315 105.5107106.1103σ
cmV
C
⋅
⋅⋅⋅⋅= −− 44 105.12108.4σ 117106 −−− ⋅Ω⋅⋅= cmσ
24117 110106 cm
cm
VcmI ⋅⋅⋅Ω⋅⋅= −−−A
d
VAEAJI ⋅⋅=⋅⋅=⋅= σσ
A
VI 3106 −⋅= AI 3106 −⋅=
I
VR =
A
VR 3
4
106
10
−⋅
= Ω⋅= 71066.1R
 
 
ejercicio_07_05.pdf
7.5 Dos placas metálicas paralelas cargadas inicialmente con cargas Q y -Q 
respectivamente se introducen en un líquido de constante dieléctrica ε y 
conductividad σ. Cuánto tiempo tardará en reducirse a la mitad la carga 
inicial de las placas? 
 
ϒ.- Resolución 
 
Como aparecen la 
densidad superficial de 
carga y la conductividad, 
utilizaremos la siguiente 
notación: 
A
x 
 
σch ≡densidad superficial de 
carga 
 
+Q -Qσ ≡conductividad 
 
 
 
EJ ⋅= σ
x
ch uJ ⋅⋅=
ε
σ
σ
ε
σ chE =
 
 
 
La intensidad que sale de la placa será: 
 
 
 
AAJ
dt
dQI ch ⋅⋅=⋅==
ε
σ
σ
ε
σ QI ⋅=
A
Q
ch =σ AQ ch ⋅= σ
 
 
Así pues: 
 
dt
dQ
dQ
⋅−=
ε
σ
ε
σ Q
dt
dQ
⋅−=
teQQ ⋅−⋅= εσ0
 
2
1
0
=
Q
Q ( ) tLn ⋅−=−
ε
σ2 ( )2Lnt ⋅=
σ
ε
 
 
Este va a ser el tiempo necesario para cargarte a la mitad. 
 
ejercicio_07_06.pdf
7.6 Una esfera de radio R está caracterizada por una conductividad inicialmente 
nula y una constante dieléctrica ε conteniendo en su volumen una densidad 
de carga ρ0 uniformemente distribuida. En un instante determinado, la esfera 
se vuelve conductora con conductividad σ. Determinar, a partir de ese 
instante, cómo cambia la distribución de carga en la esfera en función del 
tiempo, tanto en el interior como en la superficie. 
 
 
 
R
ρ0 
g ε
int
 
Para t=0: 
 
 30
2
3
44 rrDadD
S
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅∫ πρπ
r 
 
 
ε
DE =
r
 EgJ
rr
⋅= dadconductivig ≡ ext
 
 a.- Interior ( Rr ≤ ) 
 ru
r
rD ⋅
⋅
=
3
)( 0int
ρ ru
r
rE ⋅
⋅
=
ε
ρ
3
)( 0int rur
g
rJ ⋅⋅
⋅
=
ε
ρ
3
)( 0int0 
 
 b.- Exterior ( Rr ≥ ) 
 rext ur
RrD ⋅⋅= 2
3
0
3
)(
ρ rext ur
RrE ⋅
⋅
⋅
= 2
0
3
0
3
)(
ε
ρ 0)(0 =rJ ext 
 
Ecuación de continuidad o conservación de la carga: 
 
 
t
J f
∂
∂
−=∇
ρr
o 




 ⋅
⋅
∂
∂
⋅=⋅
∂
∂
⋅=∇ 32
2
2 3
1)(1 rg
rr
Jr
rr
J
ε
ρr
o 
 
Suponemos que la carga no depende de r. 
 
t
gJ
∂
∂
−=
⋅
=∇
ρ
ε
ρr
o 
 
 Ecuación diferencial de solución: 
 
 
tg
e
⋅−
⋅= ερρ 0 Para 0>t 
 
 
 
 
 
 
 a.- Interior ( Rr ≤ ) 
r
tg
uerrD ⋅⋅⋅=
⋅−
ερ
3
)( 0int r
tg
uerrE ⋅⋅⋅=
⋅−
ε
ε
ρ
3
)( 0int 
r
tg
uergrJ ⋅⋅⋅⋅=
⋅−
ε
ε
ρ
3
)( 0int 
 
 
 b.- Exterior ( Rr > ) . No cambian pues se mantiene la carga y la simetría 
esférica de la distribución. 
 
 rext ur
RrD ⋅⋅= 2
3
0
3
)(
ρ rext ur
RrE ⋅
⋅
⋅
= 2
0
3
0
3
)(
ε
ρ 0)(0 =rJ ext 
 
-La carga se acumulará en la superficie según: 
 
[ ] 






−⋅
⋅
=−=
⋅−
=
t
Rrextf
RDD ερσ
g
0
int e13
 
 
-La carga total, cuando se va a la superficie, se conserva. 
 
 0
302
3
4
3
4lim ρπ
ρ
πσ ⋅⋅⋅=
⋅
⋅⋅=⋅∫∞→ R
R
Rad
St
 
ejercicio_07_07.pdf
7.7 Dos cilindros huecos, coaxiales, de metal y de radios r1 y r2 
tienen una d.d.p. V entre ellos. Hallar la corriente eléctrica por 
unidad de longitud que circula entre ellos si el medio que los 
rodea tiene una conductividad σ. Si la constante dieléctrica del 
medio es ε, hallar la relación entre la capacidad y la resistencia 
por unidad de longitud de estos cilindros. 
ab
J
V
C
G 
 
 
Directamente: 
 Capacidad/ unidad longitud del condensador cilíndrico. 
 
 

⋅
=
2
2
R
RLn
C
 1
επ 
g
RC ε= 
g
R
RLn
R
⋅





=
π2
1
2
 
 
Hay que hacerlo por Gauss. 
 
 ( )
r
rE
⋅⋅
=
επ
λ
2
 
1
2
2
2
1
R
RLndrEV
R
R
⋅=⋅=∆ ∫ πε
λ
longitudde unidadporac arg≡λ
 
como : VV =∆
 
 
r
R
RLn
VE 1
1
2
⋅= 
r
lr
R
RLn
VgAEgadEgI
S
⋅⋅
⋅
⋅
=⋅⋅=⋅= ∫
π2
1
2
rr 
rradiodecilindrodeláreaA ≡ 
 
 
g
R
RLn
L
R
R
RLn
Vg
l
I
⋅
=⇒
⋅⋅
=
π
π
2
2 1
2
1
2
 
 
∫
∫
∫
∫
⋅
⋅
=
⋅
⋅
==
sdE
daE
dsE
da
V
QC r
εσ
 
 
g
RC ε=⋅ 
∫
∫
∫
∫
⋅
⋅
=
⋅
⋅
==
daEg
ssdE
da
sdE
I
VR
rrr
σ
σ
Electromagnetismo I.pdf
1 de 7
Guía Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
Código: 14900
Titulación: Licenciatura en Física 
Curso Académico: 2010/2011
1. ASIGNATURA / COURSE
1.1. Nombre / Course Title
ELECTROMAGNETISMO I
1.2. Código / Course Code
14900
1.3. Tipo / Type of course
Troncal / Compulsory
1.4. Nivel / Level of course
Grado /Bachelor
1.5. Curso / Year of course
Segundo/Second
1.6. Semestre / Semester
Primer Semestre /First Semester
1.7. Número de créditos / Number of Credits 
Allocated
6 créditos ECTS / 6 ECTS credits
1.8. Requisitos Previos / Prerequisites
El curso corresponde a un nivel introductorio-medio en Electromagnetismo. Se 
recomienda haber realizado previamente un curso de Física General, así como 
Análisis Matemático (Cálculo multivariable).
The course is a médium-level course of Electromagnetism. It is recommended 
that students have previously performed studies on General Physics as well as 
Mathematical analysis.
2 de 7
Guía Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
Código: 14900
Titulación: Licenciatura en Física 
Curso Académico: 2010/2011
1.9. ¿Es obligatoria la asistencia? / Is attendance to 
class mandatory?
Si
1.10. Datos del equipo docente/ Faculty Data
Coordinador, Profesor:
1) Leonardo Soriano de Arpe Departamento: Física Aplicada
Facultad: Ciencias
Módulo Despacho: C-12-607
Teléfono: 914974192
E-mail: l.soriano@uam.es
Página Web: www.uam.es/l.soriano
Horario de Tutorías Generales: a determinar
1.11. Objetivos del curso / Objective of the course
Buena parte de la física moderna (y de la ingeniería) se relaciona con campos 
electromagnéticos. El objetivo de este curso es que el alumno adquiera los 
conocimientos y conceptos básicos de la teoría electromagnética, en lo 
referente a electrostática en el vacío y a electrostatica en la materia. Se 
pretende que el alumno adquiera las destrezas necesarias para la aplicación 
de dichos conceptos a variedad de situaciones mediante la resolución de 
problemas en los que intervenga análisis vectorial, ecuaciones diferenciales 
en derivadas parciales, problemas con valores en la frontera,...
Most of the modern physics (and engineering) are related to electromagnetic 
fields. The main goal of this course is the acquisition of the basic concepts of 
the electromagnetic theory, especially those referred to electrostatic in 
vacuum and in the presence of matter. It is intended that students obtain the 
needed abilities for the application of the main concepts to a variety of 
different situations by solving problems involving vector analysis, differential 
equations, boundary conditions, etc.
3 de 7
Guía Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
Código: 14900
Titulación: Licenciatura en Física 
Curso Académico: 2010/2011
1.12. Contenidos del Programa / Course Contents
Contenido Teórico:
0. INTRODUCCION
 Presentación, contexto y motivación de la asignatura. 
1. ANÁLISIS VECTORIAL
 Cálculo diferencial de campos vectoriales
 Cálculo integral vectorial
 Sistemas de coordenadas
2. ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO
 Ley de Coulomb; Principio de superposición
 Potencial eléctrico
 Ley de Gauss; Aplicaciones
 Dipolo eléctrico
 Desarrollos multipolares de las distribuciones de carga
 Ecuaciones de Laplace y Poisson. Aplicaciones
 Método de las imágenes. Ejemplos
3. ELECTROSTÁTICA EN LA MATERIA
 Polarización de dieléctricos.
 Constante dieléctrica
 Teorema de Gauss aplicado a dieléctricos
 Vector desplazamiento
 Resolución de las ecuaciones de Laplace y Poisson en medios dieléctricos
 Teoría microscópica de dieléctricos
4. ENERGÍA DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO
 Energía de distribuciones de cargas
 Capacidad. Ejemplos
Contenido práctico:
Desarrollo de ejemplos, aplicaciones, problemas adaptados al 
desarrollo del programa.
Theoretical contents:
0. INTRODUCTION
 Presentation, scope and motivation of the subject
4 de 7
Gu�a Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
C�digo: 14900
Titulaci�n: Licenciatura en F�sica 
Curso Acad�mico: 2010/2011
1. VECTOR ANALYSIS
 Differential calculus of vector fields
 Integral calculus of vector fields
 Coordinates systems
2. ELECTROSTATIC IN VACUUM
 Coulomb’s Law
 Electrostatic potential
 Gauss’ Law; Applications
 Electric dipole
 Electric multipoles in charge distributions
 Laplace and Poisson equations. Applications
 Method of images. Examples
3. ELECTROSTATIC IN MATTER
 Polarization of dielectrics
 Dielectric constant
 Gauss’ theorem applied to dielectrics
 The D field
 Solution of Laplace and Poisson equations in dielectrics
 Microscopic theory of dielectrics
4. ENERGY OF THE ELECTROSTATIC FIELD
 Energy of a charge distribution
 Capacitance. Examples
Practical contents:
Examples, aaplications and problems according to the development of 
the programme
1.13. Referencias de Consulta Básicas / Recommended 
Reading.
Campos electromagnéticos
Roald K. Wangsness 
Limusa, M�xico (1993).
Fundamentos de la Teoría electromagnética
J. R. Reitz, F. J. Milford, R.W. Christy
Addison-Wesley Iberoamericana
Wilmington, Delaware (1996) 4� ed
5 de 7
Guía Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
Código: 14900
Titulación: Licenciatura en Física 
Curso Académico: 2010/2011
Campos y Ondas electromagnéticos
P. Lorrain, D. Corson
Secciones Científicas
Madrid (1994)
6ª ed.
Feynman Física, vol II. Electromagnetismo y Materia
R.P. Feynman, Leighton, Sands
Addsion- Wesley iberoamericana 
Wilmingon, Delaware (1987)
Enlaces:Links
 Eric Weisstein World of Physics
 Fundamental Physics Constants
 http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/index.html
 http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Physics/index.htm 
2. Métodos Docentes / Teaching methods
La docencia presencial de esta asignatura en proceso de extinción queda
reducida al 20% de la habitual. Por lo tanto, la docencia para este curso 
quedará en forma de seminarios generales (2x2horas/mes) sobre la asignatura 
donde se repasarán los principales conceptos de la misma así como en la 
resolución de los problemas más interesantes. Estos seminarios se impartirán 
a razón de dos al mes, en sesiones de dos horas. El horario será previamente 
anunciado.
La evaluación consistirá en dos pruebas: una tipo test y otra de problemas.
This subject , as extinguishing subject, is reduced to 20% of the usual load. It 
will consist of 2 general seminars (concepts and problems) a month.
6 de 7
Guía Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
Código: 14900
Titulación: Licenciatura en Física 
Curso Académico: 2010/2011
3. Tiempo estimado de Trabajo del 
Estudiante / Estimated workload for 
the student
4. Métodos de Evaluación y Porcentaje en 
la Calificación Final / Assessment 
Methods and Percentage in the Final 
marks
EVALUACI�N ORDINARIA
Criterio de calificación: En la calificación final se tendrá en cuenta 
exclusivamente el resultado de las dos pruebas: test conceptual (30%) y la 
resolución de ejercicios (70%).
EVALUACI�N EXTRAORDINARIA
Examen: Se realizar� un examen extraordinario consistente en la resoluci�n de 
problemas.
Criterio de calificación: En la calificaci�n final se tendr� en cuenta el
resultado del examen (100%). El estudiante que no haya realizado el examen 
extraordinario, ser� calificado en la convocatoria extraordinaria como “No 
evaluado”.
TIPO DE ACTIVIDAD DOCENTE TIEMPO DE TRABAJO DEL ALUMNO EN HORAS TOTAL
Clases de problemas/seminarios 15 semanas x 1h/ semana 15
Estudio del alumno 15 semanas x 2h/ semana 30
Evaluación (solo exámenes) 1 exámen x 3 h/examen 3
TOTAL 48
7 de 7
Guía Docente AS0001-GR0001-PR0001
Asignatura: Electromagnetismo I
Código: 14900
Titulación: Licenciatura en Física 
Curso Académico: 2010/2011
ORDINARY EVALUATION
Criteria: The final mark will be a combination of the marks of the exam of 
problems (70%) and a test about concepts (30%) at the end of the semester.
EXTRAORDINARY EVALUATION
Exam: It will consist of only one exam (100%) about solution of problems. 
5. Cronograma de Actividades (opcional) / 
Activities Cronogram (optional)
Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero
Seminario 
1
Seminario 
2
Seminario 
3
Seminario 
4
Seminario 
5
Seminario 
6
Seminario 
7 Exámen