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1. Una empresa que vende pólizas de seguro para casas estudia el problema de los incendios ocasionados por estufas a leña. Entre las casas que cuentan con tales estufas, el 30% cuenta con una estufa del tipo 1, el 25% del tipo 2, el 15% del tipo 3 y el 30% restante tiene estufas de otro tipo. En tres años de operación, el 5% de las estufas tipo 1, el 3% de las del tipo 2, el 2% de las del tipo 3 y el 4% de las de otro tipo han ocasionado incendios. a) (3pts)¿Cuál es la probabilidad de que en una casa en particular se produzca un incendio? b) (3pts) Si en una casa en particular se presenta un incendio, ¿cuál es la probabilidad de que haya una estufa del tipo 1 en esa casa? R a) Se define I : se produce incendio A: estufas tipo 1, B: estufas del tipo 2, C: estufas del tipo 3, D: otros tipos P(I)= P(I/A)P(A) + P(I/B)P(B) + P ( I/ C)P(C) + P(I/D)P(D) P(I) = 0,05∙ 0,3 + 0,03 ∙ 0,25 + 0,02 ∙ 0,15 + 0,04 ∙ 0,3=0,0375 b) Bayes ( / ) ( ) 0,05 0,3 ( / ) 0,04 ( ) 0,375 P I A P A P A I P I 2. Un fabricante de televisores tiene a la venta dos modelos. Se define X = ventas del modelo A el próximo mes de diciembre (en cientos de miles) e Y = ventas del modelo B el próximo mes de diciembre. El consejo de administración estima que las probabilidades conjuntas ),( yxPXY son: y x 1 2 3 4 1 2 3 4 0,03 0,055 0,07 0,075 0,055 0,07 0,075 0,07 0,07 0,075 0,07 0,055 0,075 0,07 0,055 0,03 a) (2pts) En total, ¿cuántos televisores se espera que venda el fabricante en Diciembre?, justifique b) (2pts) Calcule ( 2, 2)P X Y y ( 2 / 2)P X Y , justifique sus respuestas c) (2pts)¿Son independientes X e Y?, Justifique Solución y x 1 2 3 4 P(x) 1 2 3 0,03 0,055 0,07 0,075 0,055 0,07 0,075 0,07 0,07 0,075 0,07 0,055 0,23 0,27 0,27 4 0,075 0,07 0,055 0,03 0,23 P(y) 0,23 0,27 0,27 0,23 1,0 a) Sea X+Y la venta total de televisores que se venden en diciembre 523,0*427,0*327,0*223,0*123,0*427,0*327,0*223,0*1)()()( YEXEYXE b) ( 2, 2)P X Y = 21,007,0055,0055,003,0 ( 2 / 2)P X Y 463,027,0 125,0 27,0 07,0055,0 )2( )2,2( YP YXP c) 5,223,0*427,0*327,0*223,0*1)( 5,223,0*427,0*327,0*223,0*1)( YE XE 0,603,0*4*4055,0*3*4 07,0*2*4075,0*1*4055,0*4*307,0*3*3075,0*2*307,0*1*307,0*4*2 075,0*3*207,0*2*2055,0*1*2075,0*4*107,0*3*1055,0*2*103,0*1*1)( XYE 025,05,2*5,20,6)(*)()(),( YEXEXYEYXCov X e Y no son independientes. Tambien lo pueden hacer con un contra ejemplo P(X=1, y = 2) =? P(X=1)P(Y = 2) 0,055 0,23 * 0,27 =0,0621 Por lo tanto no son independientes 3. Un vendedor de seguros sabe que la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de una visita es constante e igual al 14% y el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos, a) (1,5pts) Si el vendedor hace 15 visitas, calcule la probabilidad de que venda más de una póliza. b) (2pts) El próximo mes el vendedor estima que hará 200 visitas. Calcule la probabilidad de que venda más 20 pólizas y menos de 35. c) (1pts)¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto cliente potencial que visite en un día sea el primero que contrate el seguro? d) (1,5pts) Mañana, el vendedor, tiene concertadas 10 visitas, y pasado mañana 12. Calcule la probabilidad de que entre los dos días venda dos pólizas. R: a) X: n° de pólizas vendidas en las 15 visitas; X~B(n=15; p =0,14) 15 14 ( 1) 1 [ ( 0) ( 1)] 1 0,86 15 0,14 0,86 0,642 P X P X P X b) X: n° de pólizas vendidas en las 200 visitas; X~B( n = 200 ; p =0,14) ; X~aprox N( = np = 200*0,14 = 28 ; = (1 ) 28 0,86 4,91np p ) 34,5 28 20,5 28 (20,5 34,5) ( ) ( ) 4,91 4,91 ( 1,32) ( 1,53) 0,9066 0,0630 0,844 P X P Z P Z P Z P Z c) X: n° de clientes a visitar hasta que uno compre; X~G(p=0,14) 3( 4) 0,14 0,86 0,0024P X d) X: unidades vendidas en día 1; Y: unidades vendidas en día 2; X e Y son independientes X~B(n=10, p= 0,14) Y~B(n=12; p=0,14) 1 9 1 11 0 9 2 10 2 8 0 12 ( 1) ( 1) ( 0) ( 2) ( 2) ( 0) 10 12 10 12 0,14 0,86 0,14 0,86 0,14 0,86 0,14 0,86 1 1 0 2 10 12 0,14 0,86 0,14 0,86 0,232 2 0 P P X P Y P X P Y P X P Y 4. El precio de una acción que se cotiza en bolsa, puede subir o bajar respecto del día anterior, suponga que estos incrementos diarios (positivos o negativos) son aleatorios e independientes, con distribución normal con media μ= 0,1 unidades monetaria (u.m) y desviación estándar σ= 2 (u.m) a) (1,5pts) Indique la probabilidad de un incremento diario positivo b) (2,0pts) Sea Y el incremento total del precio de la acción en 60 días. Calcule P(Y< 0), es decir, la probabilidad de que el incremento total al cabo de 60 días sea negativo. c) (2,5pts) El precio de la acción hoy es 40 (u.m) Se define la Rentabilidad (en %) al cabo de 60 días con respecto al día de hoy como: R = . Determine la distribución de R y el rango del 5% superior de las Rentabilidades, es decir el percentil 95 de la rentabilidad en 60 días. R: a) Xi: incrementos diarios 2( 0,1; 4)iX N : 0 0,1 ( 0) ( 0,05) 2 P X P Z P Z = 1- 0,4801=0,5199 b) Sea 60 1 i i Y X luego Y distribuye normal con E(Y)= 0,1*60=6 (0,5pts) V(Y)= 60*4=240 (0,5pts) 0 6 ( 0) ( 0,387) 0,3520 240 P Y P Z (1,0pts) c) R distribuye normal con E(R)= 6 *2,5= 15 0,75pts y V(R) = 2,52 *240 (0,75pts) 15 1,65 1500 r r 78,9 (0,5pts) El 5% superior es sobre 78,9 (u.m) (0,5pts) 5.- El siguiente gráfico muestra los porcentajes de cotizantes en una AFP (Administradora de Fondos de Pensiones) que realizan APV (Ahorro Previsional Voluntario). a) (2,0pts) Si un 45% de los cotizantes de la AFP son hombres y un 55% son mujeres, ¿qué porcentaje del total de sus cotizantes realiza APV? b) (2,0pts) Si se toma una muestra de 7 mujeres cotizantes de esta AFP, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más de dos que realicen APV? c) (2,0pts) En una muestra de 100 cotizantes hombres, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 30 y 50 personas con APV? Solución: a) Si un 45% de los cotizantes de la AFP son hombres y un 55% son mujeres, ¿qué porcentaje del total de sus cotizantes realiza APV? Resp: 0,45*0,38+0,55*0,27=0,3195 o sea, 31,95% b) Si se toma una muestra de 7 mujeres cotizantes de esta AFP, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más de dos que realicen APV? Y: n° de mujeres que realizan APV; Y~B(n=7 , p=0,27) P(Y>2)=1-(P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2))= 1- ( 526170 )73,0()27,0( 2 7 )73,0()27,0( 1 7 )73,0()27,0( 0 7 )=0,2861 c) En una muestra de 100 cotizantes hombres, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 30 y 50 personas con APV? X: n° de hombres con APV; X~ aprox N(100*0,38 = 38 ; 100*0,38*0,62 = 23,56 ) P(29,5<X<50,5)=P(Z< ) 56,23 385,50 -P(Z< ) 56,23 385,29 P(Z<2,58)-P(Z<-1,75) = 0,9951 - 0,0401 = 0,955 6. Por cierta esquina pasan automóviles cuyo chofer va hablando por teléfono celular, a una tasa de 1 cada cinco minutos. a) (2,0pts) Una patrulla de carabineros llega al lugar a “pasar parte” a estos infractores. ¿Cuál es laprobabilidad de que en los primeros diez minutos pasen por lo menos tres partes? b) (2,0pts) Si los carabineros concurren 5 días a dicha esquina, ¿cuál es la probabilidad de que en exactamente dos de ellos cursen sólo una infracción en los primeros diez minutos? c) (2,0pts) Se seleccionan 10 infraccionados de los cuales 6 son hombres y 4 mujeres a fin de encuestarlos para ver cómo se hicieron los procedimientos por parte de carabineros. Si se eligen aleatoriamente 4 ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 sean mujeres? Solución: a) Una patrulla de carabineros llega al lugar a “pasar parte” a estos infractores. ¿Cuál es la probabilidad de que en los primeros diez minutos pasen por lo menos tres partes? X: n° de partes en 10 minutos; X~P(2) P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= 0,3233 b) Si los carabineros concurren 5 días a dicha esquina, ¿cuál es la probabilidad de que en exactamente dos de ellos cursen sólo una infracción en los primeros diez minutos? Y: n° de días en que cursan sólo un parte en los primeros diez minutos Y~B(n=5; p=P(X=1)=0,27) P(Y=2)= 2 5 (0,27)2(0,73)3=0,2836 c) Se seleccionan 10 infraccionados de los cuales 6 son hombres y 4 mujeres a fin de encuestarlos para ver cómo se hicieron los procedimientos por parte de carabineros. Si se eligen aleatoriamente 4 ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 sean mujeres? X : número de mujeres en la muestra 5476,0 210 115 210 12490 210 1 210 6*4 210 15*6 4 10 0 6 4 4 4 10 1 6 3 4 4 10 2 6 2 4 )2( XP 7.- El monto de compras realizadas por mujeres y hombres en un supermercado en un día lunes puede considerarse variables aleatorias independientes con distribución normal con los parámetros que se indican a continuación(en miles de $): Mujeres 45 19 Hombres 26 12 a) (1,5pts)¿Cuál es la probabilidad de que un día lunes una mujer realice una compra por un monto superior a 50 (mil $)? b) (1,5pts) Calcule entre qué valores se encuentra el 80% central del monto de las compras realizadas por hombres en día lunes. c) (1,5pts) En cierto momento de un lunes se encuentran en la fila de la caja un hombre y una mujer. Calcule la probabilidad que el monto total de la compra de ambos no supere los 55 (mil $). d) (1,5 pts) En cierto momento de un lunes se encuentran en la fila de la caja un hombre y una mujer. Calcule la probabilidad que el monto de la cuenta tanto del hombre como de la mujer se encuentren entre los 30 y los 40 (mil$) Solución: a) X: monto de la compra de una mujer; X~N(42, 19) 50 45 ( 50) 1 ( ) 1 ( 0, 26) 1 0,6026 0,3974 19 P X P Z P Z b) Y: monto de la compra de un hombre; Y~N(26, 12) ( ) 0,80 26 26 ( ) 0,10 ( ) 0,10 1, 28 10,64 12 12 26 26 ( ) 0,90 ( ) 0,90 1, 28 41,36 12 12 P a Y b a a P Y a P Z a b b P Y b P Z b c) 2 2~ 45 26 71 ; 19 12 505 22,47) 0,761( 1X Y N 55 71 ( 55) ( ) ( 0,71) 0, 2389 22, 47 P X Y P Z P Z d) Se pide (30 40) (30 40)P X P Y 40 45 30 45 (30 40) ( ) ( ) 19 19 P(Z 0, 26) P(Z 0,79) 0,3974 0, 2148 0,1826 40 26 30 26 (30 40) ( ) ( ) 12 12 P(Z 1,17) P(Z 0,33) 0,8790 0,6293 0, 2497 P X P Z P Z P Y P Z P Z Entonces (30 40) (30 40) 0,1826 0,2497 0,046P X P Y
