Apuntes de Clases Completos_2006_2

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PontiÞcia Universidad Católica de Chile,
Escuela de Administración
Apuntes de Clases
Finanzas II (EAA-321A), Sección 21
Sebastián Cerda N.2
Agosto de 2006
1Este es un borrador preliminar, por lo tanto agradeceré notiÞcar toda clase de
errores.
2e-mail de contacto: scerdan@puc.cl
Contents
Preface ix
1 Retornos en Finanzas 1
1.1 DeÞniciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Retornos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Retornos Continuamente Compuestos . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La Importancia del Arbitraje en Finanzas 7
2.1 El Concepto de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje? . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 El Principio de No Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Ejemplos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal . . . . . . . . . . . 9
2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Naturaleza . 10
2.5 Estrategias de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Renta Fija 13
3.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Tasas de Interés Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Retornos de Inversión en Bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 La Curva de Rendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.8 La Curva de Tasas Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 21
v
vi CONTENTS
3.10 Duración y Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.10.1 Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.10.2 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.11 Inmunización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre 29
4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Premio Por Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Grados de Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Preferencias en el Espacio de Media y Varianza . . . . . . . . 36
5 Combinaciones de Activos 41
5.1 El Caso de 2 Activos Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Sin Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.2 Con Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Extensión a N Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 La Frontera Eficiente 53
6.1 El Concepto de DiversiÞcación de Activos . . . . . . . . . . . 53
6.2 Caracterización GráÞca de la Frontera EÞciente . . . . . . . . 55
6.3 Propiedades de la Frontera EÞciente . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Equilibrio de Mercado 63
7.1 La DeÞnición de Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado . . . . . . 65
7.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 68
7.4 El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo . . . . . . 69
8 Limitaciones del CAPM 71
8.1 La Crítica de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo . 72
8.3 Los Resultados de Fama y French . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4 El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de
Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4.1 Un Ejemplo de APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
CONTENTS vii
9 Eficiencia del Mercado de Capitales 81
9.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 Hipótesis de Formación de Expectativas . . . . . . . . . . . . 83
9.3.1 Retornos Esperados son Positivos . . . . . . . . . . . . 83
9.3.2 Retornos Esperados son Constantes . . . . . . . . . . . 84
9.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación Riesgo-
Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Categorías de EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 85
10 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 87
10.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.2 El PerÞl de Riesgo de un Contrato Forward . . . . . . . . . . 88
10.3 El Precio de un Contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.4 El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield")
Para el Activo Subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.5 Contratos Forward de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.6 Contratos Forward como Estrategias Especulativas . . . . . . 92
10.7 Contratos Forward como Estrategia de Cobertura . . . . . . . 93
10.7.1 Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 95
11.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 El PerÞl de Riesgo de Las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras . . . . . 98
11.4 Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones . . . . . . 99
11.5 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.5.1 Bull Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.5.2 Bear Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.5.3 Butterßy Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.6 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . 103
11.8 La Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento104
11.10Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1
período al vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.11Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento . . . 108
11.12La Formula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
viii CONTENTS
12 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital 113
12.1 La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de
Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.1.1 Alguna Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . 114
12.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 115
12.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 116
12.1.5 La importancia de Modigliani y Miller . . . . . . . . . 116
12.2 Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital . . . . . . . 117
12.2.1 BeneÞcio Tributario de la Deuda . . . . . . . . . . . . 117
12.3 Impuestos Personales y Estructura de Capital . . . . . . . . . 118
12.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Per-
sonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor . . . . . . . . 123
12.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros 124
12.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a
Elegir Malos Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 129
13.1 La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller 129
13.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan
Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.3 La Desventaja Tributaria de los Dividendos . . . . . . . . . . 132
13.3.1 El Modelode Elton y Gruber . . . . . . . . . . . . . . 132
13.4 La Existencia de Costos de Transacción . . . . . . . . . . . . . 133
13.5 La Teoría de Clientelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.6 La Teoría de Información de la Politica de Dividendos . . . . . 134
13.7 Existencia de Problemas de Agencia . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Preface
El objetivo de estas notas de clases son exponer conceptos básicos en Þnanzas
desde una perspectiva que sea consistente con el esquema docente deÞnido
en el programa del curso. En estas notas no se pretende ser creativo en la
presentación de los tópicos de estudio. Por el contrario, las demostraciones y
ejemplos númericos aquí contenidos son estándares para cualquier buen libro
en Þnanzas. De esta forma, la idea es que se complementen estas notas de
estudios con un buen libro de texto para lograr una mejor comprensión del
plan de estudios para este semestre.
ix
Chapter 1
Retornos en Finanzas
Lo relevante en este curso es entender conceptos. No es necesario que memo-
rice estas fórmulas. Si no entiende algún concepto durante este curso, siempre
puede inventar su propia notación. Eso no lo pejudicará en terminos de nota.
No obstante, por claridad de presentación de estas notas de clases me parece
importante partir deÞniendo cierta notación que utilizaré durante todo el
transcurso del semestre.
El retorno de un activo es un concepto intertemporal en el sentido que
computa la diferencia entre lo invertido y lo recibido en dos períodos distintos
de tiempo. Por eso muchas veces es necesario, explícitamente, introducir el
tiempo en nuestras deÞniciones. Utilizaré los subíndices para referirme al
tiempo. Por ejemplo, el precio de un activo al cierre de 2005 es P2005. El
precio del activo en el período t es Pt, mientras que la tasa de interés en ese
mismo período es Rt. El período corriente (hoy) será deÞnido por t = 0.
1.1 Definiciones Básicas
Definition 1 El Retorno Bruto de un activo es: Rt+1 =
valor en $ recibidost+1
valor en $ pagadost
.
En el caso de una acción que paga dividendos, el retorno bruto es, Rt+1 =
Pt+1+Dt+1
Pt
.
R es un número alrededor de 1 (por ejemplo 1,10).
Definition 2 El Retorno Neto de un activo es: rt+1 = Rt+1 − 1.
Definition 3 El Retorno Porcentual de un activo es: 100× rt+1.
1
2 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS
Definition 4 El Retorno Continuo de un activo es: rt = lnRt.
Por ejemplo, ln (1.10) = 0.09531 = 9.531%.
Definition 5 El Retorno Real de un activo es: Rrealt+1 =
cantidad de bienes recibidost+1
cantidad de bienes pagadost
.
Definition 6 El Indice de Precios al Consumidor (IPC) es IPCt ≡ valor en $ de los bienestcantidad de bienest .
Definition 7 La Tasa de Inflación Bruta es Πt+1 ≡ IPCt+1IPCt .
De tal forma, es posible deÞnir el retorno real como:
Rrealt+1 =
valor en $ de los bienest+1 · bienes recibidost+1valor en $ de los bienest+1
valor en $ de los bienest · bienes pagadostvalor en $ de los bienest
(1.1)
Rrealt+1 =
valor en $ de los bienest+1 · 1IPCt+1
valor en $ de los bienest · 1IPCt
(1.2)
Rrealt+1 = R
nominal
t+1 ·
IPCt
IPCt+1
(1.3)
Rrealt+1 =
Rnominalt+1
Πt+1
(1.4)
En otras palabras, el retorno real bruto es el retorno nominal bruto divido
por la tasa de inßación bruta.
En términos de retornos continuos, tenemos que:
ln
¡
Rrealt+1
¢
= ln
¡
Rnominalt+1
¢− ln (Πt+1) (1.5)
Para bajas tasas de inßación neta, la siguiente es una buena aproximación
a la tasa de retorno real bruta:
Rnominalt+1
Πt+1
=
¡
1 + rnominalt+1
¢
1 + πt+1
≈ 1 + rnominalt+1 − πt+1 (1.6)
Es posible utilizar exactamente la misma idea para computar los retornos
brutos en pesos de inversiones en otras monedas. DeÞna el retorno bruto en
dólares (USD) de una inversión como RUSDt+1 =
valor bienes en USDt+1
valor bienes en USDt
. El tipo
1.2 RETORNOS COMPUESTOS 3
de cambio pesos por dólar se deÞne como e$/USDt =
valor bienes en $t
valor bienes en USDt
. Por lo
tanto, el retorno en bruto en pesos de tal inversión es
R$t+1 =
valor bienes en $t+1
valor bienes en $t
=
valor bienes en USDt+1
valor bienes en USDt
·
valor bienes en $t+1
valor bienes en USDt+1
valor bienes en $t
valor bienes en USDt
(1.7)
R$t+1 = R
USD
t+1 ·
e
$/USD
t+1
e
$/USD
t
(1.8)
1.2 Retornos Compuestos
¿Cuál es el pago total de una inversión de $1 por 10 períodos en un instru-
mento que promete pagar 10% por período? La respuesta es más que $2.
En la medida que es necesario computar los intereses sobre los intereses ya
capitalizados, la respuesta correcta es el retorno compuesto. DeÞna Vt como
el valor de la inversión en el periodo t. Por lo tanto, tenemos que:
V1 = R · V0 = (1 + r)V0 (1.9)
V2 = R
2 · V0 (1.10)
VT = R
T · V0 (1.11)
RT es lo que tradicionalmente se conoce como el Retorno Compuesto.
1.3 Retornos Continuamente Compuestos
Hay ciertas propiedades de los retornos continuamente compuestos que hacen
agradable trabajar con ellos.
� El retorno continuamente compuesto a T períodos plazo es T veces el
retorno continuamente compuesto de un período.
lnV1 = lnR+ lnV0 (1.12)
lnVT = T lnR+ lnV0 (1.13)
� Si las tasas de retornos no son constantes, entonces el retorno bruto a
T períodos plazo es R1R2 . . . RT tal que
ln (R1R2 . . . RT ) = ln (R1) + ln (R2) + . . .+ ln (RT ) (1.14)
4 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS
� Los retornos continuamente compuestos son convenientes también porque
permiten computar de manera más simple retornos reales o retornos
convertidos desde otras monedas:
Rreal =
Rnominal
Π
⇒ ln ¡Rreal¢ = ln ¡Rnominal¢− lnΠ (1.15)
En este punto, resulta clariÞcador una ilustración de la intuición detrás
de los retornos continuamente compuestos.
Suponga la existencia de un bono que paga 10% y capitaliza sus intereses
semestralmente. Cada 6 meses se realiza un pago de interés por 5%. El
retorno bruto anual de tal bono es:
compuesto semestral: (1.05) (1.05) = 1.1025 = 10.25% (1.16)
¿Qué ocurre ahora si la capitalización es trimestral?
compuesto trimestral: (1.025)4 = 1.1038 = 10.38% (1.17)
Es posible generalizar esta idea, tal que
compuesto N veces:
³
1 +
r
N
´N
(1.18)
Incluso es posible llevar este argumento al extremo para un instrumento
que capitaliza intereses inÞnitas veces por período. Esa es la tasa de retorno
continuamente compuesta:
lim
N→∞
³
1 +
r
N
´N
= 1 + r +
1
2
r2 +
1
2× 3r
3 + . . . = er (1.19)
Por lo tanto, si R = er es la tasa de retorno bruta por período, entonces
podemos computar la tasa de retorno continuamente compuesta como:
r = lnR (1.20)
A modo de ejemplo, un retorno de 10% anual continuamente compuesto
es exactamente equivalente a una tasa de retorno bruto compuesto anual
de e0.10 = 1.1051709. O lo que es lo mismo una tasa de retorno neto com-
puesta anual por 10.51709% es equivalente a un retorno anual continuamente
compuesta por 10%.
A CADA TASA DE RETORNO COMPUESTA N VECES POR PERI-
ODO LE CORRESPONDE EXACTAMENTE UNA TASA DE RETORNO
CONTINUAMENTE COMPUESTA.
Un pequeño ejemplo númerico puede llevar a clariÞcar esto un poco más.
1.3 RETORNOS CONTINUAMENTE COMPUESTOS 5
1. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que paga la tasa
bruta de R compuesta semestralmente?
DeÞniendo r = R− 1, tenemos que el retorno en 3 años es ¡1 + r
2
¢2×3
.
2. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que promete pagar
una tasa de retorno anual continuamente compuesto por rcc?
Ese retorno es simplemente e3×r
cc
. Si la tasa de retorno fuera deÞnida
como semestral continuamente compuesta, entonces la respuesta sería
e2×3×r
cc
.
Chapter 2
La Importancia del Arbitraje
en Finanzas
2.1 El Concepto de Arbitraje
El concepto de arbitraje es un concepto muy vago al cual se hace recurrente
referencia entre aquellos que observan el mercado Þnanciero. No obstante,
cuesta encontrar una deÞnición precisa de este concepto. ¿Qué son las opor-
tunidades de arbitraje en Þnanzas? Es una idea muy simple, pero muy po-
tente. Siempre que el precio de un activo Þnanciero esté mal colocadopor el
mercado, surge una oportunidad de arbitraje con respecto al activo que tiene
el precio errado. Una oportunidad de arbitraje es siempre libre de riesgo.
Eso quiere decir que la ganancia se puede hacer por completo en el período
corriente. Si la estrategia de inversión tiene riesgo, eso ya no es arbitraje es
simplemente especulación.
2.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje?
Si usted es un operador de mercado, obviamente toda oportunidad de arbi-
traje le interesa porque es una forma de ganar dinero sin riesgo.
En nuestro caso, el arbitraje nos interesa por un interés netamente académico.
El asumir que no existen oportunidades de arbitraje en el mercado signiÞca
que todos los activos Þnancieros están valorizados correctamente. Los activos
Þnancieros son paquetes de promesas de pago. Una acción promete pagar un
ßujo de dividendos. Un bono promete pagar un ßujo de intereses y capital.
7
8CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS
Los derivados Þnancieros son formas más complejas de armar paquetes de
ßujos de caja sobre acciones, bonos, tipo de cambio, etc. En cualquier caso,
si no existen oportunidades de arbitraje y el costo de armar paquetes de ac-
tivos Þnancieros es cero1, entonces el asumir no arbitraje es una manera muy
simple de valorizar cualquier activo Þnanciero.
2.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje
Dado que como veremos más adelante, el arbitraje es un concepto tanto
intertemporal (en el tiempo) como entre distintas realizaciones posibles de los
estados de la naturaleza, conviene ser un poco más riguroso en la deÞnición
del arbitraje. Existen dos teoremas fundamentales en Þnanzas acerca del
arbitraje.
2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio
Si dos activos prometen los mismos ßujos de caja (en cada estado de la
naturaleza) deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todo
evento y no en valor esperado. Una violación de la ley de un solo precio
equivale a la existencia de una oportunidad de arbitraje.
¿Por qué razon se podría violar este teorema? Hay variadas razones para
ello, por ejemplo que los inversionistas sean irracionales, esto es que pongan
mal los precios de los activos que compran. Una segunda razón que se me
viene a la cabeza es que el costo marginal de armar activos Þnancieros sea
distinto de cero. Una de las razones que se aduce para explicar la "burbuja"
especulativa del Nasdaq en el año 2001 es que, a pesar de que el mercado
intuía que esas acciones no valían su precio, no era posible (por razones
regulatorias) armar paquetes de activos que apuntaran a la caída de precio de
esas acciones, y que por tanto arbitraran precios claramente sobrevalorados.
2.3.2 El Principio de No Arbitraje
Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor o igual al pago (a todo
evento) del activo B (esto es, en todos los períodos y estados posibles de la
naturaleza, el activo A paga lo mismo que B pero en al menos un estado o
1Este no es un mal supuesto. Piense, cual es el costo marginal de producir una unidad
Þsica de un bono, una accion? Solo el valor del papel utilizado para tal Þn.
2.4 EJEMPLOS DE ARBITRAJE 9
período paga más), entonces de manera cierta el precio del activo A debe ser
mayor al precio del activo B.
2.4 Ejemplos de Arbitraje
La noción de arbitraje resulta más didáctica por la vía de un par de ejemplos.
Como estándar de notacion, deÞniremos t = 0 . . . T como los períodos futuros
en el tiempo y s = 0 . . . S como los posibles estados de la naturaleza. De esta
forma, nos referiremos a Xst como el pago prometido por el activo X en el
estado s durante el período t.
2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal
Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0 . . . 2. El activo X paga
X1 en t = 1, el activo Y paga Y2 en t = 2 y el activo Z paga X1 en t = 1 e
Y2 en t = 2. p (.) es el precio del activo en t = 0.
Activo t = 0 t = 1 t = 2
X p (X) +X1 0
Y p (Y ) 0 +Y2
Z p (Z) +X1 +Y2
Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0
Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0
Por ley de un sólo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =
p (Z). Ahora bien, ¿qué ocurre si la ley de un sólo precio no se cumple,
p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede
ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de
arbitraje sería comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde
la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).
10CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS
2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Natu-
raleza
Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0, 1 y s = 1, 2. El activo
X paga X11 en t = 1 y s = 1, el activo Y paga Y21 en t = 1 y s = 2 y el
activo Z paga X11 en t = 1 y s = 1 y Y21 en t = 1 y s = 2.
Activo t = 0 t = 1
s = 1 s = 2
X p (X) +X1 0
Y p (Y ) 0 +Y2
Z p (Z) +X1 +Y2
Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0
Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0
Por ley de un solo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =
p (Z). Ahora bien, que ocurre si la ley de un solo precio no se cumple,
p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede
ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de
arbitraje seria comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde
la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).
2.5 Estrategias de Arbitraje
Independiente de los ßujos de caja de los activos (o paquetes de activos),
las estrategias de arbitraje siempre se construyen iguales: (1) corresponde
ver si se viola la ley de un sólo precio para combinaciones de activos, (2) si
se viola la ley de un sólo precio corresponde arbitrarla, (3) la estrategia de
arbitraje equivale a, de acuerdo a la ley de un sólo precio, vender el activo
caro y comprar el activo barato, (4) la cantidad de activo que se compre o
venda corresponde a la combinación de activos que haga todos los ßujos de
caja en t = 1 . . . T y s = 1 . . . S sea igual a cero excepto por el ßujo de caja
corriente (en t = 0) que debe ser siempre positivo.
Aquí está la clave para hacerse rico invirtiendo en activos Þnancieros:
COMPRARBARATOYVENDERCARO. Hasta ahora no se ha encontrado
2.5 ESTRATEGIAS DE ARBITRAJE 11
otra forma para ganar sin riesgo. Cualquier otro tipo de estrategia es pura y
exclusiva especulación Þnanciera.
Chapter 3
Renta Fija
Por renta Þja nos referiremos al caso de instrumentos Þnancieros que prome-
ten el pago de ßujos futuros no aleatorios. Esto no quiere decir que el precio
de esos activos no tenga riesgo. Las tasas de descuento de tales ßujos pueden
ser variables, asi como la probabilidad de pago de los ßujos prometidos. Lo
estándar es denominar Renta Fija a toda inversión en Bonos.
3.1 Algunas Definiciones de Utilidad
En general, los Bonos se clasiÞcan de acuerdo a su estructura de pagos.
Existen 3 grandes categorías de bonos:
1. Bono Cero Cupón. Estos bonos efectuan un único pago a su vencimiento
que incluye tanto principal como intereses.
2. Bono "Bullet". Estos bonos pagan cupones periódicos que incluyen
solo el pago de intereses. El principal de un bono "bullet" se paga por
completo al vencimiento del instrumento.
3. Anualidades. Bono con Cupones. Estos bonos pagan cupones periódi-
cos por montos iguales que incluyen tanto el pago de intereses como la
amortización de parte del principal.
13
14 CHAPTER 3 RENTA FIJA
3.2 Notación
Necesitamos distinguir bonos de distinta madurez. Para esto, utilizaremos
la siguiente notación: P (3) es el precio de un bono cero cupón que vence en 3
años. Las variables en minúsculas (ejemplo, p(3)) corresponden al logaritmo
natural de la variable en mayúscula.
3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente
Comenzaremos este capitulo ignorando cualquier fuente de incertidumbre.
De esta forma, asumiremos que tanto los ßujos futuros de caja como las
tasas de interés son conocidos ex-ante. Introducir incertidumbre hace el
análisisun poco más complejo pero las conclusiones relevantes no cambian
dramáticamente.
El truco para valorizar bonos está en entender que cualquier tipo de bono
puede ser generado como una combinación de otros bonos. El resto es trivial:
La Ley de un Sólo Precio. Un conjunto de bonos cero cupón, bonos "bullet" y
bonos con cupones es lo mismo que una secuencia de tasas de interés futuras.
Para encontrar el precio de cualquier categoría de bono basta en saber como
empaquetar ese bono en función de bonos de los cuales usted ya conozca su
precio.
Un bono otorga un derecho a recibir una secuencia de ßujos de caja
{F1, F2, . . . , FN}. Como cualquier activo Þnanciero, un bono debe valorizarse
por valor presente,
P =
NX
j=1
Fj
R1R2R3 · · ·Rj (3.1)
donde R1 es la tasa de interés entre 0 y 1, R2 es la tasa de interés entre 1
y 2, etc. Obviamente, entendemos R = 1+r, donde r es la tasa de interés tal
como la observamos normalmente. El problema con valorizar bonos vía valor
presente es donde encontrar las tasas de interés relevantes. Hay 3 opciones
para esto último:
1. Utilizar las tasas de interés de los bancos. El problema es ¿cuál es esa
tasa?, ¿la de depósitos o de créditos, ¿de qué banco? Esto, en realidad,
sólo ocurre en los libros de texto.
3.4 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 15
2. Utilizar el precio de mercado de los bonos cero cupón para encontrar
esas tasas de interés. Suponga, por ejemplo, que usted tiene el precio
de bonos cero cupón a 2 períodos plazo. P (1) = 1
R1
y P (2) = 1
R1R2
.
Basta con conocer P (1) y P (2) para encontrar R1 y R2.
Hay una propiedad interesante acerca de los bonos cero cupón: todo
bono puede ser valorizado como una combinacion de bonos cero cupón.
El precio de un bono cero cupón a N períodos plazo.
P (N) =
1
R1R2R3 · · ·RN (3.2)
Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtiene la siguiente expre-
sión para el valor de un bono:
P =
NX
j=1
P (j) · Fj (3.3)
3. Utilizar el precio de mercado de bonos con cupones para encontrar esas
tasas de interés. Suponga que usted conoce el precio de 2 bonos con
cupones (P 0 y P 00) con la siguiente estructura de pago: bono 1 {F 01, F 02}
y bono 2 {F 001 , F 002 }, tal que P 0 = F
0
1
R1
+
F 02
R1R2
y P 00 = F
00
1
R1
+
F 002
R1R2
. Estas
son 2 ecuaciones y 2 incógnitas que usted puede resolver rápidamente
para encontrar R1 y R2.
3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR)
Definition 8 Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés ANUAL,
FICTICIA, CONSTANTE Y, CONOCIDA que, dado el precio de mercado
del bono en cuestión, resuelve la ecuacion de valor presente neto (VPN=0).
Esta definición asume que el bono se paga a todo evento, i.e. no existe la
cesación de pagos.
A partir de esta deÞnición, podemos ver que la TIR de un bono cero
cupón es el número Y (N) que satisface
P (N) =
1
[Y (N)]
N
(3.4)
16 CHAPTER 3 RENTA FIJA
Por lo tanto,
Y (N) =
1
[P (N)]
1
N
(3.5)
lnY (N) = − 1
N
lnP (N) (3.6)
y(N) = − 1
N
p(N) (3.7)
Por su parte, la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface
la siguiente ecuación:
P =
NX
j=1
Fj
Y j
(3.8)
En general, dado el precio (P ) y el ßujo de caja (Fj), usted tiene que
encontrar el valor de Y que resuelve esta ecuación. En la medida que todos
los ßujos de caja sean positivos, Fj ≥ 0, la solución a este problema es
relativamente simple.
Lo importante es que rentenga lo siguiente:
� La TIR es sólo una forma muy simple de presentar los precios de dis-
tintos bonos.
� Al utilizar TIR no hemos ningún tipo de supuestos, tales como que las
tasas de interés sean conocidas, constantes o que los ßujos de caja estén
libres de riesgo de no pago.
� EXCEPTO PARA EL CASO DE UN BONO CERO CUPON A UN
PERIODO PLAZO, LA YIELD DE UN BONO NO ES LA TASA DE
INTERES EFECTIVA DE MERCADO.
3.5 Tasas de Interés Forward
Otra particularidad del precio de los bonos cero cupón es que permiten iden-
tiÞcar expectativas implícitas de tasas de interes futuras. La deÞnición del
precio de un bono cero cupón a N períodos plazo es
P (N) =
1
R1R2R3 · · ·RN (3.9)
3.5 TASAS DE INTERÉS FORWARD 17
De lo cual se deriva la siguiente deÞnición de una tasa de interés forward
RN+1 =
P (N)
P (N+1)
(3.10)
Definition 9 Tasa de Interés Forward es la tasa de interés a la cual es
posible contratar hoy un depósito (crédito) que se hará efectivo a comienzos
del periodo N y será liquidado durante el período N + 1.
La intuición es muy simple. Usted siempre puede sintetizar un contrato
forward a partir de la gama completa de bonos cero cupón. Suponga que
usted compra una unidad de bono cero cupón a N períodos plazo y si-
multáneamente vende una cantidad x de bonos cero cupón a N +1 períodos
plazo al vencimiento. La siguiente tabla muestra los ßujos netos de tal op-
eración:
Operación t = 0 t = N t = N + 1
Compra 1 unidad de Cero a N −P (N) +1 0
Venta de x unidades de Cero a N + 1 +xP (N+1) 0 −x
Flujo de Caja Neto xP (N+1) − P (N) 1 −x
Seleccione un valor x tal que el ßujo de caja en t = 0 sea igual a cero:
x =
P (N)
P (N+1)
(3.11)
Piense en los resultado de esta operación: los ßujos en t = 0 fueron nulos,
en t = N se obtuvieron ßujos positivos por 1, y Þnalmente en t = N + 1 se
debera realizar un egreso de caja por P
(N)
P (N+1)
. En otras palabras, acabamos
de sintetizar un contrato (Þrmado hoy en t = 0) para conseguir un crédito
en t = N que se pagará en t = N + 1. Eso es exactamente una operación
forward, donde la tasa forward en tal contrato entre N y N + 1 es
FN→N+1 =
P (N)
P (N+1)
(3.12)
lnFN→N+1 = lnP (N) − lnP (N+1) (3.13)
fN→N+1 = p(N) − p(N+1) (3.14)
Algunas aclaraciones importantes sobre las tasas de interés forward:
18 CHAPTER 3 RENTA FIJA
1. Las tasas de interés forward son importantes porque permiten endeu-
darse en el futuro. Si usted tiene un proyecto pero la inversión no
la efectuará hasta dentro de varios períodos quizás le interese tomar
un contrato forward para endeudarse en el futuro cuando requiere los
recursos para invertir.
2. LAS TASAS DE INTERES FORWARD NO SON LAS TASAS DE
INTERES FUTURAS. SON LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA
INFORMACION DISPONIBLE. EN EL FUTURO PUEDEN PASAR
MUCHAS COSAS (COMO QUE POR EJEMPLO EL BANCO CEN-
TRAL SUBA LAS TASAS DE INTERES).
3. Dado lo anterior si usted tiene una visión distinta del mercado acerca
de la evolución futura de las tasas de interés, entonces usted puede
especular contra las tasas de interés forward para ganarle al mercado.
Pero esta es una apuesta con riesgo, porque en principio no hay ninguna
razón para creer que usted sabe más que el mercado.
3.6 Retornos de Inversión en Bonos
En el caso de bonos cero cupón, el retorno de inversión antes de vencimiento
es muy simple. Si usted compra un bono cero cupón con N al vencimiento
y lo vende en N + 1 cuando a este bono sólo le quedan N − 1 períodos al
vencimiento, la rentabilidad es:
1 + rb
(N)
t+1 =
P (N−1)t+1
P (N)t
(3.15)
rb
(N)
t+1 ≈ ln
³
1 + rb
(N)
t+1
´
= lnP
(N−1)
t+1 − lnP (N)t (3.16)
Excepto para el caso de los bonos cero cupón con un período al vencimiento,
este retorno no es un valor conocido ex-ante. En el caso de los bonos cero
cupón a un período plazo, tenemos que estos cumplen una muy interesante
propiedad:
1 + rb
(1)
t+1 = R0,t = Y
(1)
t =
1
P
(1)
t
(3.17)
3.7 LA CURVA DE RENDIMIENTOS 19
Para el resto de los bonos con cupones, la rentabilidad de la inversión en
bonos es un poco más complicada.
1 + rbt+1 = Yt
Pt+1
Pt
(3.18)
rbt+1 ≈ ln (1 + rbt+1) = lnYt + lnPt+1 − lnPt (3.19)
rbt+1 ≈ yt + pt+1 − pt (3.20)
3.7 La Curva de Rendimientos
La curva de rendimientos es un gráÞco que vincula la TIR de bonos cero
cupón y su plazo N al vencimiento.
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
0 2 4 6 8 10
N
TI
R
Suponga que usted conoce la evolución futura de las tasas de interés a un
período plazo (o de lo que es lo mismo, las TIR de los futuros cero cupón a
un período plazo). La fórmula del valor presente para un cero cupón con N
períodos al vencimiento es
P (N)0 =
µ
1
R1
1
R2
· · · 1
RN
¶
=
Ã
1
Y
(1)
1
1
Y
(1)
2
· · · 1
Y
(1)
N
!
(3.21)
Sustuyendo la deÞniciónde TIR para un bono cero cupón, P (N) = 1
[Y (N)]
N ,
20 CHAPTER 3 RENTA FIJA
en la ecuación (3.21) se obtiene
Y (N)0 =
³
Y (1)1 Y
(1)
2 Y
(1)
3 . . . Y
(1)
N
´ 1
N
(3.22)
De acuerdo a (3.22), la TIR de un bono cero cupón con N períodos al
vencimiento es el promedio geométrico de todas las futuras tasas de interés
a un período plazo desde hoy hasta el período N .
Aplicando logaritmos sobre la expresión (3.22), se obtiene que
y
(N)
0 =
1
N
³
y
(1)
1 + y
(1)
2 + y
(1)
3 · · ·+ y(1)N
´
(3.23)
El logaritmo natural de la TIR de un bono cero cupón con N períodos
al vencimiento es el promedio aritmético del logaritmo natural de todas las
futuras tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N .
Las relaciones (3.22) y (3.23) son formas alternativas de entender la ley de
un sólo precio. El lado izquierdo y derecho de ambas expresiones presentan
dos formas distintas de obtener un peso en N períodos mas. El lado izquierdo
se obtiene de adquirir un bono cero cupón a N períodos, mientras que el lado
derecho viene de invertir en bonos cero cupón de un período plazo durante
los próximos N períodos. La ley de un sólo precio nos indica que para evitar
la existencia de oportunidades de arbitraje, ambas alternativas deben costar
exactamente lo mismo.
3.8 La Curva de Tasas Forward
La curva de tasas forward es un gráÞco que vincula las tasas forward y el
período N en que se espera esta tasa.
Suponga que efectivamente conocieramos la evolución futura de las tasas
de interés. En términos de arbitraje, esto implica que
Tasa de Interés Forward = Tasa de Interés Spot Futura (3.24)
F (N) = RN→N+1 (3.25)
¿Cuál es la intuición de esto? Simple y puro arbitraje. Si la tasa de
interés forward fuera más baja que la tasa de interés spot futura, entonces
los inversionistas se endeudarían hoy a la tasa forward y prestarían en el
futuro a tasa spot, generando una ganancia libre de riesgo.
3.9 NO ARBITRAJE EN RETORNOS DE BONOS 21
Una particularidad relevante de las tasas de interés forward es que estas
se encuentran implícitas dentro de la curva de rendimientos. Para entender
esto, es necesario volver a la ecuación (3.25)
F (1) = R1→2 (3.26)
Utilizando la deÞnición de tasas de interés forward en la ecuación (3.12),
F (1) = P
(1)
P (2)
, se obtiene que
P (1)
P (2)
= R1→2 (3.27)
Sustituyendo las siguientes deÞniciones, R0→1 = 1P (1) y Y
(2) = 1√
P (2)
, en
la ecuación (3.27), se obtiene
£
Y (2)
¤2
= R0→1R1→2 (3.28)
Y (2) = [R0→1R1→2]
1
2 (3.29)
que es exactamente la expresión para la curva de rendimientos para el
caso de 2 períodos en la ecuación (3.22).
Esto no es para nada sorpresivo cuando piensa en lo siguiente. Si usted
necesita llevar dinero desde hoy hasta el período N , existen 3 formas alterna-
tivas de realizar esto. Ir renovando tasas spot cada período, contratar tasas
forward hasta N o comprar un bono cero cupón con vencimiento en N (la
curva de rendimiento). Como todas las alternativas cumplen con el mismo
objetivo, éstas deben ser equivalentes entre sí.
3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos
Considere dos formas alternativas de transferir dinero desde el actual período
hacia el siguiente: (1) Comprar un bono cero cupón con N períodos al
vencimiento y venderlo como un bono con N − 1 períodos al vencimiento
durante el próximo período o (2) Comprar un bono cero cupón con un único
período al vencimiento. De nuevo, por un asunto de arbitraje ambas estrate-
22 CHAPTER 3 RENTA FIJA
gias deberan rentar lo mismo, tal que
³
1 + rb
(2)
1
´
=
³
1 + rb
(1)
1
´
(3.30)
P
(1)
1
P
(2)
0
=
1
P
(1)
0
(3.31)h
Y
(2)
0
i2
Y
(1)
1
= Y
(1)
0 (3.32)
Y
(2)
0 =
h
Y
(1)
0 Y
(1)
1
i 1
2
(3.33)
Por una nueva vía hemos llegado al mismo resultado: una representación
de la curva de rendimientos.
3.10 Duración y Convexidad
Recuerde que la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface
la siguiente ecuación:
P =
NX
j=1
Fj
Y j
(3.34)
Esta expresión nos indica que existe una relación no lineal entre precios
de bonos y su TIR.
3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 23
TIR
P
re
ci
o
Y0
Nos gustaría conocer cómo cambia P ante cambios en la TIR del bono
(Y ), sin embargo ésta es una relación compleja (porque no es lineal). Existe
una relación no lineal entre P e Y , P = P (Y ). Esta relación puede ser
aproximada por lo que se conoce como la Aproximación de Taylor :
P (Y ) ≈ P (Y0) +
PX
i=1
1
i!
diP (Y0)
d (Y0)
i (Y − Y0)i (3.35)
donde Y0 es un arbitrario punto de expansión. La expansión de primer
orden de Taylor es
P (Y ) ≈ P (Y0) + ∂P (Y0)
∂Y0
(Y − Y0) (3.36)
P (Y ) ≈ P (Y0)− ∂P (Y0)
∂Y0
Y0| {z }
constante
+
∂P (Y0)
∂Y0
Y (3.37)
24 CHAPTER 3 RENTA FIJA
Diferenciando esta última expresión1, se obtiene
dP ≈ ∂P
∂Y
dY (3.38)
dP
P
≈ ∂P
∂Y
dY
Y
Y
P
(3.39)
dP
P
≈ −
·
−Y
P
∂P (Y0)
∂Y0
¸
| {z }
Duración de un Bono
dY
Y
(3.40)
3.10.1 Duración
La duración de un bono es la elasticidad de la relación entre precios y TIR
alrededor del punto asociado a la TIR vigente. Por lo tanto, la duración es
una primera aproximación a la sensibilidad del precio ante cambios en la TIR
de un bono.
D = −Y
P
dP
dY
= −d lnP
d lnY
(3.41)
Esto ultimo implica que, dada la duración, es posible construir una aprox-
imación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR
del bono:
dP
P
≈ −D · dY
Y
(3.42)
Duración de un Bono Cero Cupón
La deÞnición del precio de un bono cero cupón es
P (N) =
1
Y N
(3.43)
−Y
P
dP
dY
=
Y
P
N
1
Y N+1
= N (3.44)
Para bonos cero cupón, tenemos que DURACION=MADUREZ DEL
BONO.
1Obviamente, la primera diferencia de una constante es cero.
3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 25
Duración de Otros Bonos
El precio de bonos con cupones es
P =
NX
j=1
Fj
Y j
(3.45)
−Y
P
dP
dY
=
Y
P
NX
j=1
j
Fj
Y j+1
=
1
P
NX
j=1
j
Fj
Y j
=
NX
j=1
j
Fj/Y
jPN
j=1 Fj/Y
j
(3.46)
D =
X
ßujos
duración de cada ßujo× valor del ßujo
valor total del bono
(3.47)
Por lo tanto, para el caso de bonos con cupones, la duración es el promedio
ponderado (por el valor de cada ßujo) de la duración de los ßujos individuales.
Una implicancia relevante de lo anterior es que la duración de un bono es
siempre menor que su madurez.
Duración de Una Perpetuidad
El precio de una perpetuidad con cupón C es P = C
Y−1 .
Dada la deÞnición de duración en la ecuación (3.46), tenemos que la
duración de una perpetuidad por C es
D =
1
P
∞X
j=1
j
C
Y j
=
C
P
∞X
j=1
j
1
Y j
(3.48)
Reemplazando la propiedad que
P∞
j=1 jz
j = z
(1−z)2 en la ecuación (3.48),
se obtiene la duración de una perpetuidad
D =
C
P
(1/Y )
(1− 1/Y )2 (3.49)
D = (Y − 1) Y
(Y − 1)2 =
Y
Y − 1 (3.50)
Duración Modificada
Muchas veces resulta más conveniente computar lo que se conoce como la
duración modiÞcada. Esto es el cambio porcentual en el precio que se origina
26 CHAPTER 3 RENTA FIJA
por un cambio absoluto en la TIR del bono (en vez del cambio porcentual
en la TIR que suena algo extraño porque es el cambio porcentual sobre algo
que ya está en porcentaje).
DM ≡ − 1
P
dP
dY
=
1
Y
µ
−Y
P
dP
dY
¶
=
1
Y
×D (3.51)
Esto último implica que, dada la duración modiÞcada, es posible construir
una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia
la TIR del bono:
dP
P
= −DM · dY (3.52)
3.10.2 Convexidad
En el siguiente gráÞco es posible apreciar dos bonos con igual duración para
un nivel de TIR de Y0. Sin embargo, ambos bonos tienen distinta curvatura
alrededor de ese punto. Eso indica que en la medida que existan cambios
muy grandes en el nivel de TIR, entonces la duración sera una muy mala
aproximación al verdadero cambio en precios ante cambios en TIR.
TIR
Pr
ec
io
Y0
bono 1
bono 2
Esto hace necesario tener una mejor aproximación a tal cambio. La forma
de hacer esto es ocupar la convexidad de cada instrumento (el segundo tér-
mino asociado a una expansión de Taylor). La convexidad del bono es el
3.11 INMUNIZACIÓN 27
cuociente entre la segunda derivada del precio del bono con respecto a su
TIR y el precio del bono:
∂2P∂Y 2
=
1
Y 2
NX
j=1
·
Fj
Y j
¡
j2 + j
¢¸
(3.53)
Convexidad =
1
P
∂2P
∂Y 2
(3.54)
Esto último implica que, dada la duracion modiÞcada y la convexidad,
es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del
bono cuando cambia la TIR del bono:
dP
P
= −DM · dY + 1
2
· Convexidad · (dY )2 (3.55)
3.11 Inmunización
Sabemos que el precio de los bonos cambia cuando cambian las TIR de estos
bonos. Si tenemos estos bonos en cartera, nuestra riqueza Þnanciera ßuctuará
con cambios en TIR. Se conoce como inmunización al ejercicio de construir
un portafolio de renta Þja que sea inmune a cambios en TIR.
Existen dos formas de construir portafolios inmunizados:
1. Portafolios Dedicados: Para cada ßujo de caja de activos o pasivos,
se puede comprar o vender el correspondiente bono cero cupón. No im-
porta qué ocurra con las TIR, los ßujos de caja estarán completamente
cubiertos por bonos cero cupón de madurez equivalente. El valor del
portafolio será completamente inmune a cambios en TIR.
2. Calzar la Duración del Portafolio: Compre (o venda) un bono que
cuadre exactamente la duración de un pasivo (o activo) de renta Þja.
De esta forma, cumplirá con dos condiciones (1) valor presente de los
activos = valor presente de los pasivos y (2) duración de activos =
duración de pasivos. La posición neta del portafolio sera insensible a
los cambios en TIR.
3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos
La conclusión del capitulo pasado (sobre arbitraje) es que en la medida que
haya un precio mal puesto siempre es posible arbitrar tal precio. En esta
28 CHAPTER 3 RENTA FIJA
oportunidad veremos una pequeña aplicación al caso de renta Þja (bonos).
Suponga que existen 3 bonos: (1) el bono A es un cero cupón a 1 período
plazo con TIR por 4%, (2) el bono B es un cero cupón con madurez de 2
períodos y TIR de 5%, y (3) el bono C es un bono con 2 cupones en cada
período por $1 y TIR por 4,25%.
Los precios de estos bonos son:
P (1) =
1
1.04
= 0.96154 (3.56)
P (2) =
1
1.052
= 0.90703 (3.57)
PC =
1
1.045
+
1
1.0452
= 1.8727 (3.58)
Dado que la suma del pago de los bonos A y B es igual al pago del bono
C, por ley de un sólo precio
PC = P
(1) + P (2) (3.59)
Lo cual es falso: 1.8727 > 0.96154 + 0.90703 = 1.8686. Esto implica la
existencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Cuál? Todas las oportunidades
de arbitraje son iguales: hay que vender el activo caro y comprar el activo
barato. ¿En qué proporciones? En las que hagan cero todos los ßujos en
t = 1 . . . N . En este caso, esto es trivial, basta con comprar 1 unidad del
bono A y 1 unidad del bono B y vender 1 unidad del bono C.
Operación t = 0 t = 1 t = 2
Compra 1 unidad de bono A −P (1) 1 0
Compra 1 unidad de bono B −P (2) 0 1
Venta de 1 unidad de bono C +PC -1 -1
Flujo de Caja Neto PC − P (1) − P (2) = 0.0041 0 0
Chapter 4
Decisiones de Inversión Bajo
Incertidumbre
Hasta ahora nos dedicado a explicar como valorizar activos vía arbitraje.
Esto es, basta con conocer el precio de un activo, para valorizar otros activos
cuyos ßujos de caja sean combinaciones de activos con precios conocidos. No
obstante, nada hemos dicho acerca de la causa por la cual cierto inversionista
pudiera demandar cierto activo Þnanciero. Una característica de los activos
Þnancieros es que el valor de sus ßujos depende de la realización de estados
de la naturaleza caracterizados por distribuciones de probabilidades.
En los cursos tradicionales de microeconomía, vimos como las preferencias
de los consumidores sobre un conjunto de bienes, {c1, c2 . . . cN}, pueden ser
descritas por curvas de indiferencias., u (c1, c2 . . . cN ).
29
30CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
C1
C
2
Estas funciones de utilidad cumplen con propiedades estándares, utilidad
marginal del consumo es positiva, U 0 (·) > 0 y decreciente U 00 (·) < 0.
C
U
(C
)
El tema con los activos Þnancieros es que los pagos ofrecidos no son en
bienes sino en realizaciones de estados de la naturaleza. Estos estados de la
naturaleza tienen probabilidades asociadas a ellos, esto quiere decir que las
preferencias asociadas a activos Þnancieros deben ser funciones de realiza-
4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 31
ciones de la naturaleza así como de sus respectivas probablidades. Suponga
que existenN posibles estados de la naturaleza {s1 . . . sN} con probabilidades
asociadas {p1 . . . pN}. Un activo Þnanciero pagará bienes por {c1 . . . cN} en
caso de realización de alguno de los estados de la naturaleza. De esta forma,
las preferencias de los agentes pueden ser descritas indistintamente como pref-
erencias sobre pago de bienes en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN) o
como preferencias sobre probabilidades de los estados U (p1 . . . pN). La intu-
ición es muy simple. Suponga que a usted le gusta mucho el consumo en el
estado 1 (c1), esto es equivalente a decir que le gusta mucho cierta distribu-
ción de probabilidad que asigna mucho peso al estado 1. Esto indica que
existen dos enfoques alternativos para representar preferencias sobre pagos
inciertos:
� Sobre el conjunto de pagos posibles en cada estado de la naturaleza,
V (c1 . . . cN).
� Sobre el conjunto de distribuciones de probabilidad de los estados,
U (p1 . . . pN ).
4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada
El enfoque de la utilidad esperada viene de suponer que existe independencia
de las preferencias sobre distribuciones de probabilidad. Esto es que la prob-
abilidad de un estado de la naturaleza no afecta mis preferencias sobre las
probabilidades del resto de los estados de la naturaleza. Bajo el supuesto de
independencia, las preferencias de los agentes pueden ser representadas por:
V (c1 . . . cN ) = U (p1 . . . pN) =
NX
i=1
pi·u (ci)⇐⇒ Indice de Utilidad Esperada
(4.1)
donde u (·) cumple con todas las propiedades estándares en una funcion
de utilidad.
Los primeros en notar el supuesto de independencia como condicion nece-
saria para la existencia de una representacion de utilidad esperada como (4.1)
fueron los economistas John Von Neumann y Oscar Morgenstern (1944). Por
lo tanto, muchas veces se suele hacer referencia al índice de utilidad esperada
como la representación de Von Neumann - Morgenstern.
32CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
Una importante implicancia del enfoque de la utilidad esperada es que nos
permite deÞnir la actitud de los agentes hacia el riesgo (i.e. incertidumbre).
Para efectos simpliÞcatorios, suponga que existen sólo 2 posibles estados de la
naturaleza, tal que la utilidad esperada es: E [U ] = p ·u (c1)+(1− p) ·u (c2).
Existen 3 casos posibles para deÞnir la actitud hacia el riesgo:
� Agente es averso al riesgo:
E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) < U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)
(4.2)
Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la aversión al riesgo
es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal
decreciente, u00 (·) < 0. La intuición es que un agente averso al riesgo
siempre preÞere el valor seguro de una apuesta, U [E], al valor esperado
de tal apuesta, E [U ].
U
(C
)
C1 C2p*C1+(1-p)*C2
E[U]
U[E]
� Agente es preferente al riesgo:
E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) > U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)
(4.3)
Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la preferencia al riesgo
es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal
4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 33
creciente, u00 (·) > 0. La intuición es que un agente preferente al riesgo
siempre preÞere el valor esperado de una apuesta, E [U ], al valor seguro
de tal apuesta, U [E].
C1 C2p*C1+(1-p)*C2
E[U]
U[E]
� Agente es neutral al riesgo:
E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) = U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)
(4.4)
Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la neutralidad al riesgo
es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal
constante, u00 (·) = 0. La intuición es que un agente neutral al riesgo
siempre está indiferente entre el valor esperado de una apuesta, E [U ]
y al valor seguro de talapuesta, U [E].
34CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
C1 C2p*C1+(1-p)*C2
E[U]=U[
EN GENERAL, PRACTICAMENTE TODAS LAS APLICACIONES
FINANCIERASASUMENQUE LOSAGENTES SONAVERSOSALRIESGO1.
4.2 Algunas Definiciones de Utilidad
4.2.1 Equivalente Cierto
Considere 2 posibles inversiones Þnancieras. La primera es una inversión
riesgosa que promete pagar un ßujo riesgoso,fW , La segunda es una inversión
libre de riesgo que promete pagar un valor Þjo, W , a todo evento.
Definition 10 W es el equivalente cierto de fW , si y sólo si un inversionista
averso al riesgo está indiferente entre ambos tipos de activos.
U
¡
W
¢
= E
h
U
³fW´i (4.5)
Esto, gráÞcamente, equivale a lo siguiente:
1Salvo que se explícite lo contrario, asumiremos que los agentes son aversos al riesgo.
4.3 GRADOS DE AVERSIÓN AL RIESGO 35
U
(W
)
W- E[W~]
E[U]=U[E
premio por 
riesgo
4.2.2 Premio Por Riesgo
Definition 11 El premio por riesgo (π) es el monto que un agente averso
al riesgo estaría dispuesto a pagar para evitar una inversión riesgosa.
U
³
E
hfWi− π´ = E hU ³fW´i (4.6)
Tanto E
hfWi como π son valores ciertos, por tanto es trivial notar que el
premio por riesgo se encuentra vinculado al concepto de equivalente cierto.
W = E
hfWi− π ⇔ π = E hfWi−W (4.7)
4.3 Grados de Aversión al Riesgo
La distincion entre aversión, preferencia o neutralidad al riesgo puede resultar
muy restrictiva si lo que, por ejemplo, nos interesa hacer es una comparación
entre el grado de aversión al riesgo del subconjunto de agentes aversos al
riesgo. En otras palabras, requerimos deÞnir una medida más precisa de la
curvatura del índice de utilidad esperada (más curvatura equivale a mayor
aversión al riesgo).
36CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
Si el índice de utilidad esperada es estrictamente creciente y dos veces
continuamente diferenciable, entonces es posible deÞnir el siguiente par de
medidas de aversión al riesgo.
Definition 12 Grado de Aversión Absoluta al Riesgo es el grado de aversión
de un agente a jugar un monto fijo absoluto en una lotería de precio justo.
AAR (W ) = −u
00 (W )
u0 (W )
(4.8)
Definition 13 Grado de Aversión Relativa al Riesgo es el grado de aversión
de un agente a jugar una proporción fija de su riqueza en una lotería de precio
justo.
ARR (W ) = −W · u
00 (W )
u0 (W )
(4.9)
Por deÞnición, tenemos que u00 (·) < 0. De tal forma que
grado de aversión al riesgo =

> 0 si el agente es averso al riesgo
= 0 si el agente es neutral al tiesgo
< 0 si el agente es preferente al riesgo

(4.10)
4.4 Preferencias en el Espacio de Media y
Varianza
Como veremos más adelante, en muchas aplicaciones resulta particularmente
útil suponer que la utilidad esperada se puede representar en un espacio de
media y varianza de las distribuciones de probabilidad sobre los estados de
la naturaleza. Existen dos formas de llegar a este resultado:
1. Suponer que las distribuciones de probabilidad de los retornos de los
activos Þnancieros pueden ser representados completamente por los 2
primeros momentos de su distribución. La única función de distribu-
ción (estable) que cumple con tal propiedad es la distribución Normal.
Lamentablemente, la distribución efectiva de retornos de activos gen-
eralmente tiende a no parecerse mucho a una distribución Normal.
4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA37
2. Una segunda alternativa consiste en no imponer ninguna restricción
sobre la distribución de probabilidades sino que sobre la forma de la
función de utilidad esperada. Suponga que la función de utilidad es
cuadrática
u (W ) = αW 2 +W (4.11)
Por deÞnición, tenemos que
E (W ) = µW (4.12)
Mientras que la utilidad esperada es
E (u (W )) =
NX
i=1
pi ·
£
Wi + αW
2
i
¤
= E (W ) + αE
¡
W 2
¢
(4.13)
E (u (W )) = µW + αE
¡
W 2
¢
(4.14)
Por su parte, la deÞnición de la varianza de W es2
V ar (W ) = σ2W =
NX
i=1
pi · [Wi − µW ]2 = E
¡
W 2
¢− µ2W (4.15)
2Parta de la deÞnición de la varianza
V ar (W ) = E [W − µW ]2
= E
¡
W 2
¢− 2E (W · µW ) + µ2W
La deÞnición de la covarianza de W y µW es
Cov (W,µW ) = E [(W −E (W )) (µW −E (µW ))]
= E (W · µW )− µ2W
Como la covarianza entre una variable aleatoria (W ) y una constante (µW ) es siempre
cero
E (W · µW )− µ2W = 0
E (W · µW ) = µ2W
Reemplazando esto último en la deÞnición de la varianza de W
V ar (W ) = E
¡
W 2
¢− 2µ2W + µ2W
V ar (W ) = E
¡
W 2
¢− µ2W
38CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
Reemplazando la expresión (4.15) en la deÞnición de la utilidad esper-
ada (ecuacion (4.14)), se obtiene que
E (u (W )) = µW + α
¡
σ2W + µ
2
W
¢
(4.16)
Las preferencias se encuentran perfectamente especiÞcadas por los primeros
dos momentos de una distribución aleatoria (la media y la varianza).
El problema con la función de utilidad cuadrática es que viola el supuesto
de no saciedad de una función de utilidad, u0 (·) > 0. Cuando α < 0,
u (W ) es decreciente para todo el rango de valores W > −1
2
α.
La simple intuición nos indica que a un agente averso al riesgo no le
gustará la varianza de riqueza tal que sus curvas de indiferencia en el espacio
de media y varianza tomarán la siguiente forma.
Var(W)
M
ed
ia
 d
e 
W
Por su parte, al agente preferente al riesgo le gustará tener mucha varianza
en su riqueza, tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media y
varianza tomarán la siguiente forma.
4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA39
Var(W)
M
ed
ia
 d
e 
W
Finalmente, aquellos agentes con neutralidad al riesgo verán represen-
tadas sus preferencias en el espacio de media y varianza por el siguiente tipo
de curvas de indiferencia.
Var(W)
M
ed
ia
 d
e 
W
Chapter 5
Combinaciones de Activos
Durante el capítulo previo de este este curso nos dedicamos a demostrar que
de acuerdo a un grupo importante de supuestos1 es posible caracterizar las
preferencias de los consumidores en un espacio deÞnido por los dos primeros
momentos de una distribución aleatoria: la media y la varianza. Más aún, con
algún trabajo adicional, es posible demostrar que estas preferencias en media
y varianza son convexas2. Ahora bien, como es cierto en cualquier problema
de optimización bajo restricciones (como en que el por ejemplo un agente
intenta maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones), es necesario
identiÞcar el set de posibilidades de inversión. Esto es lo que se conoce como
la Frontera de Posibilidades de Inversión, y cuyas propiedades son las
que, a continuación, se intentará caracterizar en más detalle.
5.1 El Caso de 2 Activos Financieros
DeÞnamos A y B como los dos únicos activos Þnancieros disponibles para
inversión. La media y varianza de ambos tipos de activos se expresará como
E (RA), E (RB) y σ2 (RA), σ2 (RB) respectivamente. Ademas, la proporción
de la riqueza invertida en el activo A se denotará α tal que (1− α) es la
proporción invertida en el activo B. De esta forma, el retorno esperado y
1Por ejemplo, que los retornos de los activos provengan de una distribución Normal
multivariada o que la función de utilidad de los inversionistas sea cuadrática.
2Por convexidad, nos referimos a que la combinación lineal entre dos canastas de con-
sumo indiferentes para el inversionista (A y B), es siempre preferida a A o B. Convexidad:
A ∼ B ⇒ αA+ (1− α)B Â A y B
41
42 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
la desviacion estándar del portafolio P constituido por la combinación de
ambos activos puede ser expresado como
E (RP ) = αE (RA) + (1− α)E (RB) (5.1)
σ (RP ) =
q
α2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α) cov (RA, RB)(5.2)
Sin embargo, como la covarianza entre RA y RB es por deÞnición:
cov (RA, RB) = σ (RA) σ (RB) ρA,B (5.3)
donde ρA,B es el coeÞciente de correlación entre los retornos de A y B.
Por deÞnición, tenemos que −1 < ρA,B < 1, donde ρA,B = −1 implica
que ambos activos están (perfectamente) negativamente correlacionados y
ρA,B = 1 implica que ambos activos están (perfectamente) positivamente
correlacionados. Reemplazando (5.3) en (5.2) obtenemosσ (RP ) =
q
α2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α)σ (RA)σ (RB) ρA,B
(5.4)
5.1.1 Sin Venta Corta de Activos
Supongamos por ahora que no existe venta corta de activos3 tal que 0 < α < 1
y analicemos entonces las propiedades de los portafolios contruídos como
combinación de los activos A y B. En primer lugar, note de la ecuación (5.1)
que la media del portafolio es una combinación lineal de la medias de cada
activo y no depende en ninguna forma de la correlación entre ambas clases
de activos. Por lo tanto, simplemente nos centraremos en lo que ocurre con
la desviación estándar del portafolio bajo distintos escenarios de correlación
de retornos entre activos.
� Caso 1: Activos perfectamente (positivamente) correlacionados ¡ρA,B = 1¢
Si ρA,B = 1, la ecuación (5.4) es simplemente
σ (RP ) = |ασ (RA) + (1− α) σ (RB)| (5.5)
3Se conoce como venta corta de activos, el caso en el cual un inversionista pide prestado
un activo Þnanciero para venderlo hoy pero tiene la obligación de restituirlo en el futuro.
En la practica, la venta corta permite mantener posiciones negativas en alguna clase de
activos, i.e. α < 0.
5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 43
donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del
problema cuadrático tome la raíz positiva del problema4. El gráÞco 1
muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de
ambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =
10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos
de ambos tipos de activos sea uno implica que todos los portafolios
compuestos por ambos activos estén sobre la linea recta que une ambos
activos.
B
A
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
ρA,B = 1.0
� Caso 2: Activos perfectamente (negativamente) correlacionados ¡ρA,B = −1¢
Si ρA,B = −1, la ecuacion (5.4) es simplemente
σ (RP ) = |ασ (RA)− (1− α)σ (RB)| (5.6)
donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del
problema cuadrático tome la raíz positiva del problema. El gráÞco 2
muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de
4Por deÞnición, la desviación estándar es siempre positiva.
44 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
ambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =
10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos de
ambos tipos de activos sea -1 implica que existe un portafolio que tiene
la propiedad de tener una desviación estándar igual a 0. En el gráÞco
2, este portafolio es el que corresponde al punto C. Simple algebra
nos permite determinar que el portafolio C es aquel que cumple con la
siguiente composición
α =
σ (RB)
σ (RA) + σ (RB)
5 (5.7)
C
B
A
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
ρA,B = −1.0
� Ademas, por simple inspección geométrica del gráÞco 2 es posible de-
terminar que cuando ρA,B = −1.0, toda la combinación posible de
portafolios se reduce a dos segmentos lineales (A − C y C − B). El
segmento A− C se describe por la siguiente recta
σ (RP ) = ασ (RA)− (1− α)σ (RB) si α > σ (RA)
σ (RA) + σ (RB)
(5.8)
5Reemplace σ (R) = 0 en 5.6 y resuelva para α.
5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 45
Mientras que el segmento C − B es simplemente la recta descrita por
σ (RP ) = (1− α)σ (RB)− ασ (RA) si α < σ (RA)
σ (RA) + σ (RB)
(5.9)
� Caso 3: Activos imperfectamente correlacionados ¡−1 < ρA,B < 1¢
En primer lugar, es importante resaltar el hecho de que independiente
del coeÞciente de correlación entre ambos tipos de activos, si se invierte
el 100% del riqueza en A (α = 1), tendremos que las ecuaciones (5.1)
y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RA) y σ (RP ) = σ (RA). De la
misma forma, si el 100% de la riqueza es invertida en el activo B (α =
0), las ecuaciones (5.1) y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RB) y
σ (RP ) = σ (RB). En este sentido, independiente de la composición del
portafolio su representación gráÞca en el espacio de media y desviación
estándar debe pasar por los puntos A y B.
Dado que −1 < ρA,B < 1, podemos decir lo siguiente acerca de la
ecuación (5.2):
σ (RP ) < ασ (RA) + (1− α) σ (RB) si ρA,B < 1 (5.10)
σ (RP ) > ασ (RA)− (1− α) σ (RB) si ρA,B > −1 (5.11)
En términos gráÞcos, esto implica que en el gráÞco 2, el portafolio
que combina los activos A y B, debe estar a la izquierda del segmento
A−B (ecuación (5.10)) y a la derecha del segmento A−C−B (ecuacion
(5.11)). En el siguiente graÞco, es posible apreciar los portafolios que
combinan A y B cuando −1 < ρA,B < 16.
6El gráÞco está construído con un valor ρA,B = −0.8.
46 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
A
B
C
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
ρA,B = −0.8
� Ahora bien cabe preguntarse porque la representación gráÞca de los
portafolios formados por A y B en el espacio de media y desviacion es-
tándar tienen una forma suavemente concava. Para clariÞcar el punto,
suponga que tuvieran una forma convexa como la línea punteada en el
siguiente gráÞco.
5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 47
C
B
A
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
u
v
� Como u y v se encuentran sobre la línea roja, estos portafolios deben
ser una combinacion de A y B. De esta forma, cualquier combinación
de A y B puede ser expresada como una combinación de los portafolios
u y v. Por lo tanto, aplica lo siguiente para el segmento de portafolios
entre u y v:
σ (RP ) < αuσ (Ru) + (1− αu) σ (Rv) si ρA,B < 1 (5.12)
σ (RP ) > αuσ (Ru)− (1− αu)σ (Rv) si ρA,B > −1 (5.13)
Esto implica que el segmento de portafolios ubicados entre u y v debe
estar necesariamente a la izquierda de la línea recta trazada entre u y
v, lo cual es contradictorio con una forma convexa para la combinación
de media y desviación estándar de los portafolios compuestos por A y
B.
5.1.2 Con Venta Corta de Activos
La venta corta de activos es una simple operación Þnanciera que consiste
básicamente en lo siguiente: pedir prestado un activo Þnanciero, el cual se
48 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
devolverá en algún punto en el futuro. En la práctica, esto es como ir a
solicitar un crédito en el banco. Siempre se puede ir a un banco y solicitar
un crédito a plazo que se devolverá como dinero más un cierto pago de
interés prepactado. La venta corta es lo mismo, se puede acudir al tenedor
de un activo, pedírselo prestado, venderlo, recaudar recursos para invertirlos
o consumirlos, comprarlo nuevamente en algún punto del futuro y devolverlo
a quien originalemente lo prestó. Suponga como hasta ahora que existen dos
activos Þnancieros: A y B. Usted podría acudir hasta donde un tenedor del
activo A, pedirle prestado su activo, vender A y con ese dinero comprar B.
En este sentido, su posición neta en el activo A sería negativa (α < 0) y
su posición neta en B sería mayor al 100%. De esta forma, y tal como se
aprecia en el siguiente gráÞco, el alzamiento de la restricción a la venta corta
de activos permite desplazar la combinación de alternativas alcanzables de
media y desviación estándar a la derecha de los puntos A y B.
B
A
-8.0%
-6.0%
-4.0%
-2.0%
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
14.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Combinación de Activos A y B con Venta Corta de Activos
5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 49
5.2 Extensión a N Activos
En la medida que un portafolio compuesto por A y B es trivialmente imple-
mentable, este portafolio también puede ser combinado con un tercer activo
D para obtener nuevos portafolios que son combinación de A, B y D. Por lo
tanto, todo lo señalado en la sección anterior es trivialmente aplicable a una
situación con una cantidad N > 2 de activos Þnancieros7.
Suponga la existencia de un número Þnito N de activos Þnancieros y
deÞna αiP , αjP y σij como la proporción del portafolio P invertida en el
activoi, la proporción del portafolio P invertida en el activo j y la covarianza
entre activos i y j respectivamente. De esta forma, la media y la varianza de
un portafolio P puede ser descrita por el siguiente par de ecuaciones:
E (RP ) =
NX
i=1
αiPE (Ri) (5.14)
σ2 (RP ) =
NX
i=1
NX
j=1
αiPαjPσij (5.15)
Sabemos que la contribución del activo i a la media (retorno) del portafo-
lio es simplemente E (Ri), ahora nos gustaría establecer la contribución de
ese mismo activo a la varianza (riesgo) del portafolio. Para eso, reescribamos
la ecuacion (5.15) como
σ2 (RP ) =
NX
i=1
αiP
Ã
NX
j=1
αjPσij
!
(5.16)
De manera obvia, el término
PN
j=1 αjPσij es la contribución del activo i
a la varianza (riesgo) del portafolio P . Es importante notar que este término
es la contribución de i al riesgo de un único portafolio, P . La contribución
al riesgo de cualquier otro portafolio dependerá de la composición de tal
portafolio. Analícemos un poco más en detalle la contribución de i al riesgo
del portafolio P . Este puede fácilmente ser descompuesto en dos partes.
NX
j=1
αjPσij = αiPσ
2 (Ri) +
NX
j=1
j 6=i
αjPσij (5.17)
7Siempre puedo agrupar una cantidad grande de activos en dos portafolios distintos y
construir combinaciones de dos portafolios.
50 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
El primer término a la derecha de la ecuación (5.17) es el porcentaje de
P invertido en i multiplicado por la varianza de i. Este término es comple-
tamente idiosincrático al activo i debido a que no depende de otro activo j.
Ahora bien el segundo término a la derecha de la ecuación (5.17) si depende
del resto de los activos en P . Si la covarianza entre el activo i y el activo j
(que tambien forma parte del portafolio P ) es negativa, entonces el términoPN
j=1
j 6=i
αjPσij es obviamente negativo8. Por lo tanto, a pesar de que la var-
ianza de cualquier activo es, por deÞnición, siempre positiva, no es posible
determinar a priori si la contribución de un activo al riesgo del portafolio
será positiva (y de qué magnitud) en la medida que es necesario conocer su
covarianza con el resto de activos. Su covarianza con el resto de los compo-
nentes del portafolios (los activos j) puede ser negativa y contribuir a reducir
el riesgo (varianza del portafolio).
En este punto, ya conocemos la contribución de un activo a la media y
la varianza de un portafolio. No obstante, surge la pregunta obvia: ¿a qué
portafolio nos referimos? Supongamos de nuevo que se poseen tres alter-
nativas de inversión: A, B y D. En el siguiente gráÞco, se muestran tres
combinaciones posibles de activos: la combinación de A y B, la combinación
de B y D y la combinación de A y D.
8Obviamente, asumiendo que αjP > 0, esto es que existe prohibición a la venta corta
de activos.
5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 51
B
A
D
-4.0%
-2.0%
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Un portafolio como P puede estar en cualquiera de esas combinaciones o
en alguna adicional que incluya a los tres activos (esas combinaciones no se
graÞcan aquí). En el siguiente capítulo, nos referiremos a las combinaciones
eÞcientes entre N activos y que son los únicos portafolios en los cuales un
inversionista tipo estará interesado en invertir.
Chapter 6
La Frontera Eficiente
6.1 El Concepto de Diversificación de Activos
En Þnanzas resulta habitual escuchar analistas recomendar estrategias de
inversión basadas en la diversiÞcación de activos. En tal contexto, el concepto
de diversiÞcación no se reduce más que a una estrategia del tipo de no colocar
todos los "huevos" en la misma canasta. No obstante, este concepto es un
poco más profundo que la simple idea de no colocar todos los "huevos" en
la misma canasta. De acuerdo a la ecuación (5.17) en el pasado capítulo,
es posible cuantiÞcar la contribución de un activo al riesgo (varianza) del
portafolio. Como ya se señaló, existe un riesgo idiosincrático a cada activo
que es su propia varianza. Pero cada activo se mueve también en algún grado
con el resto de los activos de ese portafolio (la covarianza). Un par de activos
con covarianza negativa, en los cuales se invierte en montos positivos1, tendrá
una contribución negativa al riesgo (varianza) del portafolio. No obstante,
tal estrategia no implica necesariamente una diversiÞcación eÞciente de los
riesgos de mercado.
Suponga el siguiente ejemplo donde existen tres alternativas de inversión
(A, B y D) cuyas medias, varianzas y covarianzas se detallan en el siguiente
cuadro.
1Esto es sin venta corta.
53
54 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
Media Varianza-Covarianza A B D
A 3% A 0.25% -0.01% 0.01%
B 10% B 0.36% -0.02%
D 4% D 0.16%
Uno podría decir entonces que, dado que existen pares de covarianzas
negativas entre activos, podriamos formar portafolios que reducen el riesgo
(varianza) de los activos individuales. Seleccionemos un portafolio E con
proporciones arbitrariamente Þjas en un tercio de la riqueza para cada activo.
Aplicando las ecuaciones (5.14) y (5.15), podemos representar este portafolio
E en el espacio de media y desviacion estándar (siguiente gráÞco).
B
D
A
EF
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Este portafolio E tiene la menor desviación estándar al compararlo con
los activos individuales (fruto de covarianzas negativas). No obstante, es
posible también construir un portafolio F de igual media y menor desviación
estándar que E. Este portafolio F se compone de 24% invertido en A, 32%
invertido en B y 44% invertido en D, de tal forma que cuesta lo mismo que
el portafolio E. Resulta obvio que F domina a E en la medida que ofrece
igual retorno (media) con menor riesgo (desviación estándar). Por lo tanto,
ningún inversionista racional podría diversiÞcar su portafolio de acuerdo a
6.2 CARACTERIZACIÓN GRÁFICA DE LA FRONTERA EFICIENTE55
E si lo puede hacer mejor diversiÞcando como en F. Esto es la base de una
diversiÞcación eÞciente, tengo que buscar combinaciones eÞcientes que me
reduzcan al mínimo la desviación estándar de un portafolio. Cualquier otro
portafolio que a pesar de reducir la varianza de los activos individuales no
reduzca al máximo el riesgo diversificable no puede ser considerado un
portafolio eÞciente.
6.2 Caracterización Gráfica de la Frontera Efi-
ciente
Tal como es posible encontrar un portafolio de menor desviación estándar
que E pero con igual retorno esperado (media). Este ejercicio es también
posible de implementar para todo el espacio de retornos esperados. En el
siguiente gráÞco, la línea punteada muestra los puntos de menor desviación
estándar para cada nivel de retorno generados como la combinación lineal de
los activos individuales A, B y D.
B
D
A
EF
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
La linea punteada es lo que se conoce como la Frontera Eficiente, y
corresponde a todos los portafolios de mínima desviación estándar para cada
nivel de retorno. Todos los activos contenidos en tal frontera son también
56 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
conocidos como Portafolios de Mínima Varianza. En la siguiente sección
nos referiremos a las propiedades únicas que comparten todos losPortafolios
de Mínima Varianza.
6.3 Propiedades de la Frontera Eficiente
En la sección previa hemos delineado la base de la diversiÞcación. Esto
puede ser formalizado algebraicamente con algo más de cuidado. Suponga
que existenN activos disponibles. Lo que buscamos son portafolios eÞcientes,
es decir combinaciones deN activos que reduzcan al mínimo la varianza de un
portafolio para cada nivel de media (retorno). DeÞnamos la varianza de un
portafolio como σ2 (RP ) =
PN
i=1
PN
j=1 αiPαjPσij, entonces los portafolios de
mínima varianza (MV) son la solucion al siguiente problema de optimización.
min
{αiP }N
σ2 (RP ) (6.1)
sujeto al siguiente par de restricciones
NX
i=1
αiPE (Ri) = E (RMV ) (6.2)
NX
i=1
αiP = 1 (6.3)
dondeE (RMV ) se reÞere al nivel de retorno esperado (media) para el
cual se pretende minimizar la varianza del portafolio.
Tal como es estándar en cualquier problema de optimización con restric-
ciones, su solución requiere en primer lugar la implementación de un la-
grangeano.
L = σ2 (RP ) + 2λMV
"
E (RMV )−
NX
i=1
αiPE (Ri)
#
+ 2φMV
"
1−
NX
i=1
αiP
#
(6.4)
donde 2λMV y 2φMV corresponden a los multiplicadores lagrangeanos
de las restricciones (6.2) y (6.3). Ahora bien, la solución al problema de los
portafolios de mínima varianza corresponde a N condiciones de primer orden
6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 57
del siguiente tipo, ∂L
∂αiP
= 0,
NX
j=1
αjMV σij − λMVE (Ri)− φMV = 0 (6.5)
donde αjMV son las proporciones de cada activo invertidas en el portafolio
de mínima varianza (MV) con retorno esperado E (RMV ). Como la ecuación
(6.5) se satisface para todo activo i es cierto entonces que se satisface para
un activo k
NX
j=1
αjMV σkj − λMVE (Rk)− φMV = 0 (6.6)
Igualando el lado derecho de las ecuaciones (6.5) y (6.6) obtenemos
NX
j=1
αjMV σkj − λMVE (Rk) =
NX
j=1
αjMV σij − λMVE (Ri) (6.7)
Multiplicando ambos lados de la expresion 6.7 por αkMV obtenemos
NX
j=1
αkMV αjMV σkj−λMV αkMVE (Rk) =
NX
j=1
αjMV σijαkMV−λMVE (Ri)αkMV
(6.8)
Sumando la expresión previa para todo k, se tiene que
NX
k=1
NX
j=1
αkMV αjMV σkj−λMV
NX
k=1
αkMVE (Rk) =
NX
j=1
αjMV σij
NX
k=1
αkMV−λMVE (Ri)
NX
k=1
αkMV
(6.9)
Reordenado términos
σ2 (RMV )− λMVE (RMV ) =
NX
j=1
αjMV σij − λMVE (Ri) (6.10)
E (Ri)− E (RMV ) = 1
λMV
"
NX
j=1
αjMV σij − σ2 (RMV )
#
(6.11)
La ecuación (6.11) es particularmente relevante porque nos indica que
la diferencia de retorno esperado entre cualquier activo i y un portafolio de
58 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
mínima varianza es una relación lineal entre la diferencia entre la contribución
al riesgo del activo i en el portafolio de mínima varianza (
PN
j=1 αjMV σij) y
el riesgo total del portafolio de mínima varianza (σ2 (RMV )). Más aún, la
pendiente de esa relación lineal es la inversa de un medio del multiplicador
de lagrange de la restricción (6.2).
Cuesta interpretar intuitivamente la pendiente de la relación (6.11), ya
que depende de un multiplicador de lagrange que no es observable. Sin
embargo, de acuerdo al TEOREMA DE LA ENVOLVENTE, sabemos por
deÞnición que un multiplicador lagrangeano es la tasa de cambio del objetivo
ya minimizado (σ2 (RMV )) cuando se cambia el valor de la restricción (6.2).
2λMV =
dσ2 (RMV )
dE (RMV )
⇐⇒ Teorema de la Envolvente (6.12)
DeÞnamos γMV como la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier
portafolio de mínima varianza, tal que
γMV =
dE (RMV )
dσ (RMV )
(6.13)
1
γMV
=
dσ (RMV )
dE (RMV )
(6.14)
Podemos aplicar la regla de diferenciación de la cadena sobre la expresión
anterior para obtener lo siguiente
dσ (RMV )
dE (RMV )
=
dσ (RMV )
dσ2 (RMV )
dσ2 (RMV )
dE (RMV )
(6.15)
dσ (RMV )
dE (RMV )
=
1
2σ (RMV )
dσ2 (RMV )
dE (RMV )| {z }
2λMV , ec. 6.12
(6.16)
dσ (RMV )
dE (RMV )
=
λMV
σ (RMV )
=
1
γMV
(6.17)
1
λMV
=
γMV
σ (RMV )
(6.18)
Por lo tanto, la pendiente de la relación lineal entre retorno esperado y
contribución al riesgo del portafolio de míninima varianza (ecuacion (6.11)) es
el cuociente entre la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier portafolio
6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 59
de mínima varianza y la desviación estándar de ese portafolio de mínima
varianza. Reemplazando la expresión (6.18) en la ecuación (6.11), se obtiene
E (Ri)− E (RMV ) = γMV
σ (RMV )
"
NX
j=1
αjMV σij − σ2 (RMV )
#
(6.19)
E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) +
γMV
σ (RMV )
NX
j=1
αjMV σij| {z }
cov(Ri,RMV )
(6.20)
E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) + γMV
cov (Ri,RMV )
σ (RMV )
(6.21)
La pregunta relevante en este punto es, ¿qué cosa es la pendiente de la
frontera eÞciente? El siguiente gráÞco se muestra la pendiente de la frontera
eÞciente para un portafolio de mínima varianza (MV)2. Se detalla también ahí
un portafolio (0,MV) que pertenece a la pendiente de la frontera eÞciente en
el portafolio MV, pero que corta el eje de las Y en el punto cero de desviación
estandar. Ese portafolio 0,MV es lo que se conoce como el portafolio de beta
cero.
2O lo que es lo mismo, sobre la frontera eÞciente.
60 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia MV
0,MV
Por construcción geométrica, la pendiente de la frontera eÞciente en el
punto MV es
γMV =
E (RMV )− E (R0,MV )
σ (RMV )
(6.22)
Reemplazando (6.22) en (6.21), se obtiene la siguiente expresión
E (Ri) = E (RMV )−E (RMV )−E (R0,MV )
σ (RMV )
σ (RMV )+
E (RMV )−E (R0,MV )
σ (RMV )
cov (Ri,RMV )
σ (RMV )
(6.23)
E (Ri) = E (R0,MV ) + [E (RMV )− E (R0,MV )] cov (Ri,RMV )
σ2 (RMV )| {z }
βi,MV
(6.24)
La ecuación (6.24) nos presenta una simple relación lineal que vincula
el retorno esperado (media) de un activo i con su contribución al riesgo
del portafolio de mínima varianza MV. βi,MV es la contribución del ac-
tivo i al riesgo del portafolio de mínima varianza MV como porcentaje
del riesgo (varianza) total del portafolio MV. De esta forma, el término
6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 61
[E (RMV )− E (R0,MV )] βi,MV puede ser interpretado como el premio por
riesgo sobre el retorno de MV en la relación entre el retorno esperado del
activo i y su contribución al riesgo del portafolio MV. Si el activo i, no con-
tribuye al riesgo del portafolio MV, tenemos que βi,MV = 0, y por tanto
el activo i no tiene riesgo en relación al portafolio MV. En este sentido, la
ecuacion (6.24) indica que el retorno esperado en cualquier activo i es igual
al retorno esperado en un activo que no tiene riesgo en relación al portafolio
MV más un premio por riesgo que es la diferencia entre el retorno esperado
en el portafolio MV y el portafolio 0,MV multplicado por βi,MV .
Chapter 7
Equilibrio de Mercado
Al momento de analizar las propiedades de los portafolios de mínima varianza
(la frontera eÞciente) no nos hemos referido en ninguna forma a las prefer-
encias de los consumidores. En este punto sólo sabemos que ellos tienen
preferencias sobre los dos primeros momentos (media y varianza) de ditribu-
ciones aleatorias de retornos. Cabe la pregunta, ¿cuáles son los puntos que
seleccionan estos inversionistas? Lo poco que sabemos hasta ahora es que
elegirán portafolios sobre el segmento superior de la frontera eÞciente. Esto
es relativamente obvio en la medida que ubicarse en el segmento inferior de
la frontera siempre permite una estrategia en puntos de mayor retorno para
el mismo desvío estandar. Sin embargo, resulta bastante obvio que distintos
inversionistas, con distintas preferencias, invertirán en portafolios distintos
tal cual como, a continuación, se graÞca.
63
64 CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
0,MV
Dado que conocemos interesantes propiedades de los puntos en la fron-
tera1, nos gustaría saber si es que portafolios que si observamos2 se ubican
sobre la frontera eÞciente y por lo tanto comparten las propiedades de los
portafolios que se ubican sobre la frontera. Esta pregunta es en extremo rel-
evante porque envuelve una pregunta aún más importante, existe equilibrio
en el mercado tal que los portafolios agregados que observamos son parte de
la frontera eÞciente.
7.1 La Definición de Equilibrio de Mercado
¿Por qué nos interesa el equilibrio de mercado? ReÞérase a sus notas de
clases de Microeconomia I, la existencia de un equilibrio de mercado implica
la existencia de un único set de precios que vacía los mercados. Por lo tanto,
la existencia de un equilibrio nos asegura que existe un set de precios únicos
al cual los inversionistas transan activos.
1Por ejemplo, que existe una relación lineal entre el retorno esperado de cualquier activo
y su contribución al riesgo de un portafolio en la frontera.
2Por ejemplo, índicesaccionarios locales como el IPSA o el IGPA o índices accionarios
internacionales como el S&P-500 o el Dow Jones.
7.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO65
LeónWalras nos ha proveído de una manera formal de deÞnir un equilibrio
(el equilibrio competitivo o walrasiano) que aquí utilizaremos para deÞnir un
equilibrio en una economia de dotación y con activos Þnancieros.
Definition 14 Un equilibrio competitivo es un set de retornos esperados (R),
una matriz de covarianza de retornos (Ω), dotaciones de riquezas por indi-
viduo j {W j}j=1...J y proporciones de esa riqueza invertidas en el activo i
por el individuo j {αij}i=1...Nj=1...J , tal que:
� Dado el vector de retornos esperados y la matriz de covarianza, cada
inversionista j resuelve su propio problema de maximización en el es-
pacio de media y desviación estándar, tal que
E (Ri) = E (R0,MV j) + [E (RMV j)− E (R0,MV j)]βi,MV j (7.1)
donde MV j se refiere al portafolio de mínima varianza (sobre la fron-
tera eficiente) que selecciona el inversionista j. Este portafolio mantiene
proporciones αij invertidas en cada activo i.
� El mercado de activos financieros se vacía
JX
j=1
W jαij = 0, para todo activo i (7.2)
La implicancia de la condición de mercado es simplemente que todo activo
Þnanciero emitido por un inversionista debe ser mantenido por algún otro
inversionista, tal que su oferta neta es cero.
7.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibrio
de Mercado
La deÞnición del portafolio de mercado es particularmente obvia, pero tam-
bién en extremo relevante. El portafolio de mercado es por construcción
la suma ponderada de todos los activos que mantienen los j inversionistas.
De la misma forma, si lo vemos como porcentaje de la riqueza total en la
economía, el portafolio de mercado es el promedio ponderado de cada uno
de los portafolios que mantienen los j inversionistas. De la deÞnición del
66 CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO
equilibrio competitivo, sabemos de una característica única de cada uno de
los portafolios en manos de los j inversionistas, estos portafolios deben ser
eÞcientes para resolver el problema de maximización del inversionista. Por
lo tanto, estos portafolios deben ubicarse sobre la frontera eÞciente, i.e. son
todos portafolios de mínima varianza (MV).
La relevancia de esto último está dada por lo siguiente. Un equilibrio de
mercado requiere que la demanda en cada activo sea igual a la oferta por
este (el vaciado de mercado). Como el portafolio de mercado es el promedio
ponderado de todos los portafolio de todos los inversionistas j, entonces para
demostrar la existencia de un equilibrio competitivo basta con demostrar que
el portafolio de mercado es eÞciente (mínima varianza). Para demostrar esto,
es necesario introducir el Teorema de F. Black.
Theorem 15 Teorema de Separación de 2 Fondos (Fisher Black). La Fron-
tera Eficiente siempre puede ser generada como una combinación lineal de
dos puntos cualquiera sobre la Frontera Eficiente.
Proof. Reescribiendo en notación matricial, las N condiciones de primer
orden del problema de optimización de portafolio (ecuación (6.5)), se obtiene
que
A
(N×N)
XMV
(N×1)
= λMVE (R)
(N×1)
+ φMV [1]
(N×1)
(7.3)
DeÞniendo D = A−1, la expresión anterior se transforma en
XMV = λMVDE (R) + φMVD [1] (7.4)
αiMV = λMV
"
NX
j=1
dijE (Rj)
#
+ φMV
"
NX
j=1
dij
#
, para i = 1 . . . N (7.5)
Expandiendo la expresión (7.5),
αiMV = λMV
NX
i=1
NX
j=1
dijE (Rj)
" PN
j=1 dijE (Rj)PN
i=1
PN
j=1 dijE (Rj)
#
+φMV
NX
i=1
NX
j=1
dij
" PN
j=1 dijPN
i=1
PN
j=1 dij
#
(7.6)
DeÞniendo yMV u = λMV
PN
i=1
PN
j=1 dijE (Rj), yMV v = φMV
PN
i=1
PN
j=1 dij,
αiu =
!N
j=1 dijE(Rj)!N
i=1
!N
j=1 dijE(Rj)
, αiv =
!N
j=1 dij!N
i=1
!N
j=1 dij
, la expresión anterior se convierte
en
αiMV = yMV uαiu + yMV vαiv (7.7)
7.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO67
Dado que
PN
i=1 αiMV = 1, tenemos que
NX
i=1
αiMV = yMV u
NX
i=1
αiu| {z }
1
+ yMV v
NX
i=1
αiv| {z }
1
= 1 (7.8)
yMV u + yMV v = 1 (7.9)
Por lo tanto, de acuerdo a las expresiones (7.7) y (7.9), cualquier portafo-
lio de mínima varianza (MV) es un promedio ponderado de los portafolios u
y v.
Para completar la prueba del Teorema de Black nos falta demostrar que
los portafolios u y v son portafolios de mínima varianza (MV) y se encuentran
sobre la frontera eÞciente. Las proporciones invertidas en cada activo que
deÞnen los portafolios u y v están dadas por
αiu =
PN
j=1 dijE (Rj)PN
i=1
PN
j=1 dijE (Rj)
(7.10)
αiv =
PN
j=1 dijPN
i=1
PN
j=1 dij
(7.11)
Por simple inspección de la expresión (7.6), es posible apreciar que el
portafolio u es de mínima varianza cuando φMV = 0 y λMV =
³PN
i=1
PN
j=1 dijE (Rj)
´−1
.
Por su parte, el portafolio v es de mínima varianza cuando λMV = 0 y
φMV =
³PN
i=1
PN
j=1 dij
´−1
.
Por lo tanto, todo portafolio de minima varianza (MV) es una combi-
nación lineal de dos portafolios u y v sobre la frontera eÞciente. Toda com-
binación de portafolios u y v sobre la frontera eÞciente que satisfacen la
condición (7.9) es también un portafolio eÞciente.
Una consecuencia directa del Teorema de Separación de 2 Fondos es que
el portafolio de mercado debe ser eÞciente (y de mínima varianza). En la
medida que todos los inversionistas eligen sólo portafolios eÞcientes3, y dado
que el portafolio de mercado es un promedio ponderado de esos portafolios
eÞcientes se concluye que el portafolio de mercado (M) debe también ser
eÞciente, tal como se muestra en el siguiente gráÞco.
3Esto es en el segmento superior de la frontera eÞciente.
68 CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia M
0,M
7.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado
La implicancia más relevante de la eÞciencia del portafolio de mercado (M)
es que este debe compartir todas las propiedades de los portafolio sobre la
frontera eÞciente. En particular, sabemos a partir de la relación (6.24) que
todos los portafolios sobre la frontera eÞciente satisfacen la propiedad de que
el exceso de retorno de cualquier activo i sobre el retorno esperado del activo
en la frontera se relaciona linealmente con el porcentaje de la contribución al
riesgo de ese activo i en el portafolio sobre la frontera. En la medida, que el
portafolio de mercado (M) es eÞciente debe satisfacer la siguiente expresión
E (Ri) = E (R0,M) + [E (RM)− E (R0,M)] βi,M (7.12)
La expresión (7.12) es lo que se conoce como el CAPM de Fisher Black
e indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al re-
torno esperado de un activo no correlacionado con el portafolio de mercado4
más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado
4Es decir un activo con βiM = 0.
7.4 EL CAPM CUANDO EXISTE UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO69
entre el mercado y el portafolio de beta cero multiplicado por la contribución
proporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).
7.4 El CAPM cuando Existe un Activo Libre
de Riesgo
Supongamos ahora que se encuentra disponible un nuevo activo Þnanciero
libre de riesgo (Rf) que por deÞnición tiene varianza cero y covarianza cero
con el resto de los activos. Tal como se aprecia en el siguiente gráÞco, la
aparición de este nuevo activo al combinarse con el portafolio de la frontera
eÞciente que tangente a la línea que nace en Rf amplía las posibilidades de
inversión de todos los inversionistas. De esta forma, cada uno de estos ya no
invertirá en portafolios sobre la frontera eÞciente sino que en combinaciones
entre Rf y el portafolio de tangencia (M) sobre la frontera eÞciente.
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia M
Rf
Sin embargo, note lo siguiente: el activo libre de riesgoRf tiene covarianza
cero con el portafolio en la tangencia (M) y ademas el portafolio M todavía
pertenece a la frontera eÞciente, por lo tanto comparte todas sus propiedades
(por ejemplo, la relación (6.24)). En ese sentido, si M es elportafolio de
mercado la relación (7.12) se satisface pero con la única diferencia que el
70 CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO
portafolio de beta cero es el activo libre de riesgo(Rf). Por lo tanto, la nueva
expresión para el CAPM es directamente
E (Ri) = Rf + [E (RM)− Rf ] βi,M (7.13)
La expresión (7.13) es lo que se conoce como el CAPM de Sharpe y Litner
e indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retorno
del activo libre de riesgo más un premio por riesgo que es igual a la diferencia
de retorno esperado entre el mercado y el activo libre de riesgo multiplicado
por la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio de
mercado (M).
Chapter 8
Limitaciones del CAPM
En este capítulo, nos referiremos brevemente a las objeciones más habituales
que se le realizan a un modelo de equilibrio de mercado como el CAPM.
Estas generalmente, se pueden dividir en dos clases de objeciones: teóricas
y empíricas. En la práctica, ambas están fuertemente relacionados porque
en general limitaciones teóricas al CAPM son las que generan sus problemas
empíricos.
8.1 La Crítica de Roll
Se conoce como "crítica de Roll" a la siguiente observación sobre el CAPM
realizada por el economista Richard Roll. De acuerdo a Roll, el portafolio
de mercado (M) no es observable y por lo tanto, el CAPM es imposible de
testear. El punto de Roll es que con algun éxito somos capaces de encontrar
buenos datos para la parte del portafolio de mercado invertido en acciones
o bonos. Sin embargo, la mayor parte de la riqueza de las personas está
invertida en activos con escasos datos de calidad (como los activos inmobil-
iarios) o en activos directamente no observables (como el capital humano que
cada persona invierte en sí mismo). El CAPM puede todavía ser cierto como
modelo de equilibrio, pero de qué nos sirve si no somos capaces de testearlo
empíricamente dado que el portafolio de mercado no es observable.
71
72 CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM
8.2 Set de Posibilidades de Inversión No es
Estable en el Tiempo
Hasta ahora hemos supuesto que tanto los retornos esperados como la co-
varianza de estos retornos es estable en el tiempo. El retorno esperado en
el activo i es siempre E (Ri) y la matriz de covarianza es siempre Ω. En
este esquema, las posibilidades de inversión de un inversionista pueden ser
especiÞcadas en un espacio deÞnido por media y varianza de los retornos (i.e.
la frontera eÞciente). Sin embargo, piense en lo siguiente: suponga que la
rentabilidad de los proyectos de inversión es cíclica1. Si los proyectos de in-
versión son muy rentables hoy lo más probable es que no sean tan rentables
en el futuro, por lo tanto en períodos de alta rentabilidad de proyectos el
retorno esperado futuro puede caer. En términos gráÞcos, esto signiÞca que
toda la frontera de posibilidades de inversión se mueve completa hacia abajo
cuando la rentabilidad actual de los proyectos es muy alta.
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Desplazamiento de la frontera 
eficiente cuando la rentabilidad 
actual de los proyectos es alta
El argumento inverso es cierto cuando la rentabilidad actual de los proyec-
tos es baja.
1Por ejemplo, piense en el crecimiento del PIB. El PIB crece con ciclos, hay ciclos de
alto crecimiento, seguidos por ciclos de menor crecimiento.
8.2 SET DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN NO ES ESTABLE EN EL TIEMPO73
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Desplazamiento de la frontera 
eficiente cuando la rentabilidad 
actual de los proyectos es baja
El desplazamiento de la frontera eÞciente sugiere entonces la necesidad
de controlar el CAPM por todos los factores que mueven la frontera de posi-
bilidades de inversión (por ejemplo, la rentabilidad de proyectos si creemos
en su caracter cíclico). Esto es lo que se conoce como el ICAPM de Robert
Merton. Su derivación es en la misma linea de la derivación del CAPM pero
mucho mas compleja desde un punto de vista algebraico, así que se omitirá
todo el desarrollo matemático. La siguiente ecuación muestra la relación de
equilibrio que satisface el ICAPM de Merton.
E (Ri) = Rf + [E (RM)−Rf ] βi,M +
FX
k=1
[E (Rk)− Rf ] βi,k (8.1)
donde {Rk}k=1...F es el set de retornos de portafolios que se mueven como
los factores que desplazan el set de posibilidades de inversión. El ICAPM no
se reÞere en ninguna forma a cuales son esas variables que mueven la frontera
eÞciente. La determinación de cuales son esas variables quedan al absoluto
arbitrio del analista2. El ICAPM ha dado espacio a un amplio ámbito de in-
vestigación empírica buscando cuales son los factores que debieran utilizarse
2Fama dice que el ICAPM es como una licencia para buscar variables que sean capaces
de explicar el retorno de mercado.
74 CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM
en el testeo empírico del ICAPM. Estos son los que se conocen como los mod-
elos multifactoriales, cuyo ejemplo más famoso es el modelo de tres factores
de Fama y French.
8.3 Los Resultados de Fama y French
El trabajo de Fama y French surge como la consecuencia de un hecho empírico
de suma relevancia: el sonoro rechazo empírico a la hipótesis de equilibrio
de mercado en el CAPM. El siguiente gráÞco muestra los retornos efectivos
versus los retornos predichos por el CAPM para los 25 portafolios de Fama
y French3.
Frente a este fracaso empírico y basándose en la idea del ICAPM de
Merton, Fama y French buscaron determinar variables empíricas que fueran
capaces de explicar el movimiento en el set de posibilidades de inversión. El
3Los 25 portafolios de Fama y French son portafolios creados en base a un Þltro de dos
dimensiones que separa todas las acciones que se transan en el NYSE de acuerdo a un
ranking de tamaño bursátil de las empresas y del ratio valor bolsa sobre valor libro. Estos
portafolios se reagrupan en base anual.
8.3 LOS RESULTADOS DE FAMA Y FRENCH 75
modelo de tres factores de Fama y French es el que a continuación se detalla:
E (Ri) = Rf+[E (RM)−Rf ] βi,M+[E (RSMB)− Rf ] βi,SMB+[E (RVMG)− Rf ] βi,V MG
(8.2)
donde RSMB es el retorno de un portafolio compuesto por la mitad de
compañías con mayor tamaño bursátil menos la mitad con menor tamaño
bursátil y RVMG es el retorno de un portafolio compuesto por la mitad de
compañías con mayor ratio valor bolsa sobre valor libro menos la mitad con
menor ratio valor bolsa sobre valor libro. Por su parte, βi,SMB (βi,V MG) es la
covarianza del retorno del activo i con el portafolio SMB (VMG) sobre la var-
ianza del portafolio SMB (VMG). El siguiente gráÞco muestra los resultados
obtenidos por Fama y French para su modelo de tres factores.
Tal como se aprecia en el gráÞco precedente, el modelo de 3 factores de
Fama y French tiene un poder explicativo ampliamente superior al CAPM
original (en version de Black o Sharpe y Litner). Esto ha llevado a una vasta
gama de académicos en el ámbito de las Þnanzas a tratar de explicar cuáles
son los factores económicos subyacentes tras los factores de Fama y French.
Las explicaciones van desde la irracionalidad de mercado hasta aversión al
riesgo que se mueve de manera inversa con el ciclo económico.
76 CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM
8.4 El APT como Explicación Alternativa a
los Resultados de Fama-French
El APT de Ross nace de una característica propia de los retornos accionar-
ios: cuando sube una acción, en general suben todas las acciones. En otras
palabaras, existe un fuerte componente común en los movimientos de los re-
tornos accionarios. De esta forma, es posible separar los movimientos de los
retornos de acciones o portafolios en dos componentes: una parte común a
todas los activos y una parte ortogonal idiosincrática a cada activo.
La intuición detras del APT es muy sencilla. La parte idiosincrática
del retorno de cada activo no puede ser premiada por mayor retorno en
la medida que cualquier inversionista racional podría diversiÞcar ese riesgo
diversiÞcable vía lainversión en activos completamente diversiÞcados. Por
lo tanto, los retornos esperados en un activo i deben estar relacionados sólo
a la covarianza del retorno de i con el componente común a cada activo (i.e.
los factores). La idea es que, sí por ejemplo no existiera riesgo idiosincrático,
todos los activos se podrían valorizar exclusivamente por arbitraje (en otras
palabras, el APT es una aplicación directa de la ley de un sólo precio). Incluso
resulta atractivo suponer que si los riesgos diversiÞcables son pequeños, el
precio de este riesgo4 debe ser reducido en relación al precio del componente
común a todos los retornos. Esto es un gran avance en relacion al CAPM o
al ICAPM porque no requiere de ninguna justiÞcación teórica.
Partamos de una simple descomposición factorial de los retornos de un
activo i:
Ri = ai +
MX
j=1
βijfj + εi (8.3)
donde ai es una constante especíÞca a cada retorno de activo, βij es la
covarianza del retorno del activo i con el factor fj y dividido por la varianza
del factor fj y εi es el riesgo idiosincrático a cada activo i5. Podemos reescribir
la ecuación (8.3) en términos de variables con media cero.
Ri − E (Ri) =
MX
j=1
βij [fj − E (fj)] + εi (8.4)
4En el margen, ojalá despreciable.
5En este sentido, este componente proviene de una distribución aleatoria.
8.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMA-F
Si εi proviene de una distribución Normal, siempre podemos correr regre-
siones MICO para identiÞcar los parámetros βij. En ese caso, por construc-
ción, el componente εi cumple con las siguientes propiedades: E (εi) = 0 y
E (εiij [fj − E (fj)]) = 0.
El APT impone las siguientes 2 condiciones de no arbitraje:
1. Si βij = 0, para todo i, j, este portafolio de beta cero renta la tasa libre
de riesgo, Rf .
2. La parte idiosincrática de cada activo (el riesgo no diversiÞcable) no
esté correlacionado entre activos: E (εiεk) = 0.
Bajo estas 2 restricciones podemos deÞnir el APT como:
E (Ri) = Rf +
MX
j=1
βijE [fj −Rf ] , E (εiεk) = 0⇐⇒ APT (8.5)
La restrición (2) del APT impone también una restricción sobre la matriz
de covarianza de los retornos. Suponga que existe un único factor f , entonces
cov (Ri,Rk) = E [(βi [f −Rf ] + εi) (βk [f − Rf ] + εk)] (8.6)
= βiβjσ
2 (f) +
½
σ2ε si i 6= j
0 si i = j
¾
(8.7)
Por lo tanto, se entiende que, a partir del APT, la matriz de covarianzas
de los retornos es una matriz singular (o una suma de matrices singulares
con más de un factor) y una matriz diagonal. Si conocemos los factores a
priori (por ejemplo, en el caso de los 3 factores de Fama-French6) podemos
trivialmente correr regresiones para identiÞcar las restricciones a la matriz de
covarianzas que identiÞcan los movimientos comunes a todos los activos y que
por tanto son premiados por el mercado. Existe otra vertiente del APT que
no utiliza factores conocidos ex-ante, sino que trata de identiÞcarlos en base
a las propiedades de la matriz de covarianzas. Esto es lo que se conoce como
el análisis factorial. Un ejemplo clásico de esto consiste en descomponer en
los valores propios de la matriz de covarianza y Þjar arbitrariamente en cero
todos los factores con valores propios muy pequeños.
6Es por esto que algunos académicos llaman al modelo de 3 factores de Fama y French
como una simple aplicación del APT, a pesar de que sus autores señalan basarse en el
ICAPM de Merton.
78 CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM
La principal crítica al APT de Ross es una crítica a la restricción (2) que
impone. Para que el APT funcione es necesario que tal condición se cumpla,
es decir que el riesgo idiosincrático (después de controlar por los factores
comunes) no puede estar en ninguna forma correlacionado entre activos. Esto
es cierto sólo para portafolios perfectamente diversiÞcados. Si eso no es cierto,
y a pesar de que esta correlación sea pequeña, entonces E (εiεk) 6= 0 y todas
las implicancias del APT ya no son ciertas, quitándole así todo sentido a un
modelo como este que funciona sólo por arbitraje.
8.4.1 Un Ejemplo de APT
Un ejemplo de un modelo APT que NO cumple con la restricción (2) puede
llevar a clariÞcar la intuición detrás de este modelo.
Suponga que los retornos de activos se comportan de acuerdo a la siguiente
relación de 2 factores f1 y f2:
Ri = Rf + β1,i [f1 − Rf ] + β2,i [f2 − Rf ] + εi (8.8)
El APT respectivo es:
E (Ri) = Rf + β1,iE [f1 − Rf ] + β2,iE [f2 −Rf ] (8.9)
Existen 2 activos riesgosos, A y B representados por las siguientes carac-
terísticas:
A B
β1 0.5 1.75
β2 0.33 1
Cov (εA, εB) A B
A 0.3 -0.1
B -0.1 0.2
Por su parte, Rf = 3%, E (f1) = 5%, E (f2) = 7%, σ2f1 = V ar (f1) = 12%,
σ2f2 = V ar (f2) = 15% y Cov (f1, f2) = 0.
¿Cuál es el retorno de un portafolio compuesto a partes iguales por los
8.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMA-F
activos A y B?
RP =
1
2
RA +
1
2
RB (8.10)
RP = Rf +
β1,A + β1,B
2
[f1 −Rf ] +
β2,A + β2,B
2
[f2 − Rf ] + εA + εB
2
(8.11)
Aplicando expectativas sobre la ecuación (8.11), se obtiene el retorno
esperado del portafolio:
E (RP ) = Rf+
β1,A + β1,B
2
E [f1 − Rf ]+
β2,A + β2,B
2
E [f2 −Rf ]+1
2
E [εA + εB]
(8.12)
El APT en la ecuación (8.9) nos diría que el retorno esperado del portafo-
lio debiera ser:
E (RP ) = Rf +
β1,A + β1,B
2
E [f1 − Rf ] +
β2,A + β2,B
2
E [f2 −Rf ](8.13)
E (RP ) = 3% +
0.5 + 1.75
2
× 2% + 0.33 + 1
2
× 7% (8.14)
De comparar las expresiones (8.12) y (8.13) resulta obvio que el APT será
cierto si y sólo si E [εA + εB] = 0. Chequeemos si eso es cierto,
E [εA + εB] = E [εA]| {z }
=0 por construcción
+ E [εB]| {z }
=0 por construcción
= 0 (8.15)
Por lo tanto, el APT es correcto en términos de retornos esperados,
chequeemoslo ahora para las varianzas del portafolio. La varianza del portafo-
lio es:
V ar (RP ) =
µ
β1,A + β1,B
2
¶2
V ar (f1)+
µ
β2,A + β2,B
2
¶2
V ar (f2)+
1
4
V ar (εA + εB)
(8.16)
El APT en la ecuacion (8.9) nos diría que la varianza del retorno esperado
del portafolio debiera ser:
V ar (RP ) =
µ
β1,A + β1,B
2
¶2
V ar (f1)+
µ
β2,A + β2,B
2
¶2
V ar (f2)+
1
4
[V ar (εA) + V ar (εB)]
(8.17)
80 CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM
V ar (RP ) =
µ
0.5 + 1.75
2
¶2
12% +
µ
0.33 + 1
2
¶2
15% +
1
4
[0.3 + 0.2] (8.18)
De comparar las expresiones (8.16) y (8.17) resulta obvio que el APT será
cierto si y sólo si V ar [εA + εB] = V ar (εA) + V ar (εB). Chequeemos si eso
es cierto,
V ar [εA + εB] = V ar [εA]+V ar [εB]+2Cov (εA, εB) = 0.3+0.2−0, 2 = 0.3 6= 0.5
(8.19)
Por lo tanto, en este caso el APT es falso. La varianza del portafolio
es menor que la predicha por el APT. Esto quiere decir que si el mercado
efectivamente valorizara utilizando el APT en la ecuación (8.9), usted lo
podría arbitrar vendiendo un portafolio generado por usted con partes iguales
de los activosA yB. Ese activo tendría igual retorno esperado que el predicho
por el APT, pero menor varianza.
¿Cuál es la matriz de covarianza de los retornos?
Por deÞnición, la matriz de covarianzas es:
cov (RA,RB) = E [(βi [f −Rf ] + εi) (βk [f − Rf ] + εk)] , para todo i, k = A,B
(8.20)
cov (RA,RB) = σ
2
f1
 β21,A β1,Aβ1,B
β1,Aβ1,B β
2
1,B
+σ2f2
 β22,A β2,Aβ2,B
β2,Aβ2,B β
2
2,B
+
 σ2εA σεA,εB
σεA,εB σ
2
εB

(8.21)
cov (RA,RB) = 12%
 0.52 0.5× 1.75
0.5× 1.75 1.752
+15%
 0.332 0.33× 1
0.33× 1 12
+
 0.3 −0.1
−0.1 0.2

(8.22)
De nuevo, debido a la existencia de un término de covarianzas distinto
de cero entre los riesgos idiosincráticos de los activos, podemos decir que el
modelo presentado en este ejemplo NO satisface el APT.
Chapter 9
Eficiencia del Mercado de
Capitales
En el capítulo tres introdujimos el concepto de equilibrio del mercado de
capitales en una economía de dotación. La existencia de tal equilibrio rela-
cionaba, por ejemplo, el retorno esperado en cada activo i con la contribución
al riesgo del portafolio eÞciente elegido por cada inversionista1. Sin embargo,
en la deÞnición de tal equilibrio no hacíamos referencia al proceso por el
el cual los inversionistas forman sus expectativassobre retornos esperados
y contribución al riesgo2. En este capítulo, introduciremos una discusión
formal acerca del proceso de formación de expectativas acerca de retornos
esperados.
9.1 Algunas Definiciones de Utilidad
Definition 16 φt−1 = set de información disponible en el periodo t− 1 rel-
evante para los precios de los activos en t− 1.
Definition 17 φmt−1 = set de información utilizada por el mercado para val-
orizar activos en t− 1. Por definición φmt−1 es un conjunto contenido dentro
de φt−1.
1Aquí asumimos como en el CAPM de Black que no existe un activo libre de riesgo.
2En general, asumiremos que la covarianza de activos i es una constante que no varía
con el set de información de los inversionistas. En otras palabras, los betas son constantes.
81
82CHAPTER 9 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES
Definition 18 fm
¡
p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1
¢
= la distribución de probabilidad
utilizada por el mercado para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0)
dado el set de información φmt−1.
Definition 19 f
¡
p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1
¢
= la verdadera distribución de prob-
abilidad utilizada para valorizar activos en el período t+ τ (τ > 0) si se uti-
lizara todo el set de información disponible φt−1.
9.2 Eficiencia de Mercado
La siguiente deÞnición de eÞciencia se debe a Eugene Fama y es la base de
lo que se conoce como la Hipótesis de Mercados EÞcientes.
Definition 20 La Hipótesis de Mercados Eficientes. Los mercados financieros
son eficientes si y sólo si el set de información utilizado por el mercado para
valorizar activos es igual a todo el set de información disponible.
φmt−1 = φt−1 (9.1)
Si los mercados no utilizan toda la información disponible, entonces los
mercados no pueden ser eÞcientes.
La hipótesis de mercados eÞcientes implica lo siguiente acerca de la dis-
tribución de probabilidades de los precios de activos
fm
¡
p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1
¢
= f
¡
p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1
¢
(9.2)
Para ponerlo en lenguaje sencilllo, la hipótesis de mercados eÞcientes
implica lo siguiente: No existe tal cosa como que los activos financieros
(acciones, bonos, tipo de cambio, etc.) estén caros o baratos. Si
lo anterior es falso, estamos en abierta contradicción con la hipótesis de
mercados eÞcientes. Si los mercados son eÞcientes, todos los precios son
justos al momento de valorizar cualquier activo. El decir que la acción de la
compañía A está barata (cara) en relación a la acción de la compañía B es
equivalente a decir que los mercados dejaron una oportunidad de arbitraje
libre de riesgo entre A y B.
Ahora bien, el párrafo anterior parece tan verdadero como abstracto:
para deÞnir si una activo es barato o caro necesitamos conocer el precio
justo de tal activo, el cual no conocemos a menos de que hagamos algún
9.3 HIPÓTESIS DE FORMACIÓN DE EXPECTATIVAS 83
supuesto sobre el proceso de formación de precios de un activo que paga ßujos
aleatorios3. La única forma de testear la hipótesis de mercados eÞcientes es
realizar algún supuesto (esa es entonces una medida concreta de la hipótesis
de mercados eÞcientes) sobre el proceso de formación de precios y luego
testearlo con datos. Lo que aquí aceptemos o rechacemos es el supuesto
asociado a la hipótesis de mercados eÞcientes y no la noción vaga de mercados
eÞcientes. Por triste que suene, no hay un test único de la hipótesis de
mercados eÞcientes. Solo existen test sobre procesos de formación de precios
que, a nuestro juicio, nos parezcan consistentes con la hipótesis de mercados
eÞcientes.
9.3 Hipótesis de Formación de Expectativas
Hasta ahora hemos formalizado una deÞnición precisa de que se entiende por
eÞciencia de mercado. No obstante, tal deÞnición es un poco vaga en la me-
dida que no nos referimos al proceso por el cual la información disponible se
transforma en retornos esperados. Esto es lo que detallamos a continuación.
9.3.1 Retornos Esperados son Positivos
DeÞniendo el retorno de un activo como Rjt =
pjt−pjt−1
pj,t−1
, esto implica que en
términos de retornos esperados la hipótesis de mercados eÞcientes es simple-
mente
Em
¡
Rjt | φmt−1
¢
=
Em
¡
pjt | φmt−1
¢− pjt−1
pj,t−1
> 0 (9.3)
Sin embargo, el asumir un proceso de formación de expectativas de tal
tipo puede tener serias limitaciones. Por ejemplo, piense en un hecho tan
objetivo como que existen empresas que muchos piensan que tienen escaso
futuro y por tanto su precio debe caer. Por otro lado, existen operadores Þ-
nancieros que operan de acuerdo a reglas (analisis técnico) del siguiente tipo:
cuando una acción sube (baja) durante un período prolongado seguirá subi-
endo (bajando) durante algún tiempo. Esto implica que acciones con caída
generan expectativas de retorno negativas contradictorias con la hipótesis de
retornos esperados siempre positivos.
3Este es un proceso de formación de expectativas porque valoriza ßujos inciertos con
tasas de descuentos que también son inciertas.
84CHAPTER 9 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES
9.3.2 Retornos Esperados son Constantes
En este caso, la hipótesis de mercados eÞcientes se traduce en retornos es-
perados de acuerdo a la siguiente relación:
E
¡
Rjt | φmt−1
¢
= Em (Rjt) (9.4)
Ahora bien, este proceso de formación de expectativas también puede
tener serios problemas desde un punto de vista empírico. Piense en lo sigu-
iente: si los retornos se encuentran durante un período prolongado por sobre
su media histórica, usted rápidamente podría inferir que la hipótesis en la
ecuación (9.4) es falsa. Bueno, esto es lo que efectivamente tiende a ocurrir
con los retornos accionarios. Los períodos de grandes alzas (baja) mues-
tran alta persistencia y se alejan de la idea que los retornos esperados son
constantes. Sin embargo, lo relevante de esto es que a partir de tal hecho
empírico no es posible rechazar la hipotesis de mercados eÞcientes sino que
el proceso de formación de expectativas supuesto en (9.4).
9.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación
Riesgo-Retorno
Un par de capítulos atrás nos dedicamos a establecer ciertas relaciones de
equilibrios (CAPM e ICAPM) en economías pobladas por inversionistas con
preferencias convexas sobre media y varianza. Establecimos que en tales
modelos existe una relación lineal entre retornos esperados y la contribución
al riesgo del portafolio de mercado y algunas otras variables de control. Este
es una tercera hipótesis de formación de expectativas sobre retornos que
también es consistente con la hipótesis de mercados eÞcientes.
Repasamos los problemas empíricos de un modelo como el CAPM y
del mayor suceso de un modelo alternativo como el de 3 factores de Fama
y French. Tambien es cierto que tales modelos requieren también ciertos
supuestos acerca de los retornos esperados en el portafolio de mercado (por
ejemplo, si serán positivos, constantes o variables en el tiempo). La discusion
académica hoy en el mundo de las Þnanzas se concentra en exactamente ese
punto. ¿Cuál es el proceso de formación de expectativas de retornos que es
consistente con la hipótesis de mercados eÞcientes?
9.4 CATEGORíAS DE EFICIENCIA DE MERCADO 85
9.4 Categorías de Eficiencia de Mercado
En general, los académicos tienden a clasiÞcar el grado de eÞciencia de mer-
cado en alguna de las categorías que, a continuación, pasaré a detallar:
1. Mercados son Eficientes en su Forma Débil: Los mercados uti-
lizan información pasada (en particular, los retornos históricos) para
valorizar los activos. En otras palabras, los retornos pasados ayudan a
predecir los retornos futuros.
2. Mercados son Eficientes en su Forma Semi Fuerte: Los mercados
utilizan toda la información pública relevante para valorizar los activos
Þnancieros.
3. Mercados son Eficientes en su Forma Fuerte: Los mercados uti-
lizan toda la información privada relevante para valorizar los activos
Þnancieros. Esto quiere decir que el precio de los activos no permiten
oportunidades de arbitraje para aquellos que manejan información pri-
vada (privilegiada).
Chapter 10
Derivados Financieros (1):Forwards y Futuro
10.1 Definiciones
Definition 21 Un derivado financiero es un activo financiero cuyo valor
depende del valor de otros activos (subyacentes).
Definition 22 Un contrato forward es un acuerdo entre dos partes para
transar un activo financiero en un período (cierto y exacto) en el futuro a un
precio (cierto) pre definido. La parte que se compromete a comprar en el fu-
turo se conoce como la posición larga. Su contraparte, el que se compromete
a vender, se conoce como la posición corta.
Definition 23 Un contrato a futuro es un acuerdo entre dos partes para
transar un activo financiero en el futuro (a diferencia del contrato forward
en el futuro, la fecha de entrega fisica no es una fecha exacta, sino que un
rango de fechas) a un precio (cierto) pre definido.
La gran diferencia entre el contrato forward y el contrato a futuro es que
en el caso del segundo existe un mercado.secundario profundo que permite
transar este instrumento a valor presente en cualquier momento antes de su
vencimiento.
En general (salvo que se especíÞque lo contrario), durante este capítulo
nos referiremos exclusivamente al caso de los contratos forward1.
1Si quiere conocer más acerca de la forma de valorizar contratos a futuro sugiero que
tome el curso de Opciones y Futuros.
87
88CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO
10.2 El Perfil de Riesgo de un Contrato For-
ward
Dado que el contrato forward no requiere de desembolso de caja en el período
actual, el único períoodo que nos interesa es el período al vencimiento del
contrato (la fecha especiÞcada para la transacción), t = T . DeÞnamos F
como el precio del contrato forward para compra y venta de un activo suby-
acente cuyo precio spot (el precio de mercado en cada momento del tiempo)
en t = T es ST . El perÞl de riesgo del contrato forward es el ßujo de caja
que genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los ßujos
para ambas partes en el contrato.
t = 0 t = T
ST < F ST > F
Compra Forward (posición larga) 0 ST − F < 0 ST − F > 0
Venta Forward (posición corta) 0 F − ST > 0 F − ST < 0
El que compra el contrato forward a un precio F se hará del activo S en
t = T y lo podrá vender al precio spot en tal fecha tal que su ganancia será
ST −F . Note que esta es una operación riesgosa, porque si el precio spot en
t = T cae por debajo del precio del contrato, la posición larga tendrá una
utilidad negativa.
En el caso de la posición corta (el que se compromete a vender), este tiene
que entregar el activo en t = T . Esto quiere decir que tiene que comprarlo a
precio spot y su ingreso será el especiÞcado en el contrato forward.
Esto mismo es fácilmente trasladable a un gráÞco entre la utilidad y el
precio spot al vencimiento del contrato.
10.3 EL PRECIO DE UN CONTRATO FORWARD 89
S(T)
U
til
id
ad
 a
l V
en
ci
m
ie
nt
o
0
F
Posicion Corta:
F-S(T)
Posicion Larga:
S(T)-F
10.3 El Precio de un Contrato Forward
La determinación del precio de un contrato forward es un excelente ejemplo
del principio de valoración por arbitraje. El contrato forward es la promesa de
entrega de un activo S a un precio F en t = T . Existe una forma alternativa
de generar la misma operación:
� Endeudarse hoy a la tasa de interés r para comprar el activo al precio
spot S0.
� Pagar la deuda en t = T .
Esta operación genera un ßujo de caja nulo en t = 0 y entrega una unidad
de S en t = T . Esto implica que replica perfectamente los ßujos de caja del
contrato forward. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar
lo mismo.
90CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO
t = 0 t = T
ST < F ST > F
Compra Forward 0 ST − F ST − F
Compra Activo −S0 ST ST
Deuda S0 − (1 + r)T S0 − (1 + r)T S0
Compra Activo con Deuda 0 ST − (1 + r)T S0 ST − (1 + r)T S0
De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:
ST − F = ST − (1 + r)T S0 (10.1)
F = (1 + r)T S0 ⇐⇒ Precio Forward (10.2)
El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot del
activo subyacente.
10.4 El Precio Forward con Costos Alterna-
tivos ("Convenience Yield") Para el Ac-
tivo Subyacente
Suponga que el activo subyacente es una acción que paga un dividendo por
D en el momento previo al vencimiento del contrato forward. Al considerar
el dividendo, la tabla anterior se convierte en:
t = 0 t = T
ST < F ST > F
Compra Forward 0 ST − F ST − F
Compra Activo −S0 ST +D ST +D
Deuda S0 − (1 + r)T S0 − (1 + r)T S0
Compra Activo con Deuda 0 ST +D − (1 + r)T S0 ST +D − (1 + r)T S0
De tal forma que el precio del contrato forward cuando el activo subya-
cente paga dividendo es: F = (1 + r)T S0−D. Obviamente, la forma en que
el dividendo afecta el valor del forward depende crucialmente del momento
10.5 CONTRATOS FORWARD DE MONEDAS 91
en que el dividendo es pagado. Generalizando lo anterior tenemos que:
F = (1 + r)T S0 − V F (D) (10.3)
El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot del
activo subyacente menos el valor futuro de todo el ßujo de dividendos pagado
durante la vigencia del contrato. Para simpliÞcar lo anterior, muchas veces
se supone que el "dividend yield" (la tasa de dividendos como % del precio
de la acción) que paga una acción es una proporción Þja: d = D
P
. Si este es
el caso, la ecuación (10.3) se convierte en:
F =
·
1 + r
1 + d
¸T
S0 (10.4)
El pago de dividendos es el clásico costo altenativo de una acción. En el
caso de otros activos subyacentes, éstos pueden presentar otro tipo de costos
alternativos. En el caso de los "commodities" (e.g. cobre, petróleo, etc.),
su costo alternativo es la suma de los costos de transporte de estos bienes
más el uso alternativo en aplicaciones productivas que estos bienes tienen
(el cobre sirve para construir cañerías y el petróleo sirve la para combustión
de motores). En general, se asume que los commodities tienen cierto costo
alternativo ("convenience yield") que se asume una proporcion Þja (c) del
precio spot, tal que el precio forward de un commodity es, F =
£
1+r
1+c
¤T
S0.
10.5 Contratos Forward de Monedas
Suponga que usted necesita moneda extranjera (por ejemplo, dólares) en
t = T . ¿Cuáles son las alternativas a su disposición? (1) Comprar dólares
(USD) a futuro vía contrato forward o (2) Comprar USD hoy Þnanciándolos
con deuda en pesos ($) a tasa de interés, r$, y depositándolos en el banco
devengando la tasa de interés en dólares, rUSD. Por ley de un sólo precio,
ambas operaciones deben costar lo mismo.
92CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO
t = 0 t = T
ST < F ST > F
Compra Forward 0 ST − F ST − F
Compra y Deposito USD − S0
(1+rUSD)
T ST ST
Deuda $ F
(1+r$)
T −F −F
Flujo Neto F
(1+r$)
T − S0(1+rUSD)T ST − F ST − F
De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:
F
(1 + r$)
T
− S0
(1 + rUSD)
T
= 0 (10.5)
F =
µ
1 + r$
1 + rUSD
¶T
S0 (10.6)
El precio de un contrato forward es el precio spot de la moneda extranjera
por el diferencial de tasas de interés entre el país local y el extranjero.
10.6 Contratos Forward como Estrategias Es-
peculativas
Una razón por la cual un inversionista quisiera invertir en contratos forward es
por simple especulación. Suponga que su expectativa de precio para el activo
subyacente al vencimiento del contrato es más alta que el precio forward,
entonces su utilidad esperada por comprar forward es positiva, Et [ST ]−F >
0. Esta es una utilidad esperada, por tanto nada asegura que esta apuesta
genere ganancias. Por el contrario, si usted espera que el precio del activo
subyacente al vencimiento del contrato sea más bajo que el precio forward,
entonces su utilidad esperada por vender forward es positiva, F−Et [ST ] > 0.
El razonamiento anterior me permite hacer un par de consideraciones
importantes acerca de los precios forward:
1. EL PRECIO FORWARD NO ES EL PRECIO FUTURO DEL AC-
TIVO SUBYACENTE. ES LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA
INFORMACION DISPONIBLE. POR LO TANTO, INVERTIR EN
CONTRATOS FORWARD TIENE RIESGO.
10.7 CONTRATOS FORWARD COMO ESTRATEGIA DE COBERTURA93
2. EL PRECIOFORWARD ES EL PRECIO DE UNA OPERACION
A FUTURO SOBRE UN ACTIVO SUBYACENTE QUE, DADO EL
PRECIO SPOTDE ESEACTIVO SUBYACENTE, NOADMITEAR-
BITRAJE.
10.7 Contratos Forward como Estrategia de
Cobertura
Una segunda razón por la cual se quisiera invertir en contratos forward es para
cubrir otra posición riesgosa. Suponga que Ud. adquirió el activo subyacente
al precio S0. Su perÞl de riesgo al período t = T , es ST − S0 y puede ser
cubierto a través de la venta de un contrato forward con vencimiento en
t = T .
ST < F ST > F
Activo ST − S0 ST − S0
Venta Forward F − ST F − ST
Flujo Neto F − S0 F − S0
El ßujo neto de tener una posición larga en el activo y una posición corta
en forward es F − S0 que no depende de ST el precio spot al vencimiento.
Por lo tanto, por la vía de vender forwrad se eliminó el riesgo en t = T .
GráÞcamente, esto equivale a:
94CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO
S(T)
U
til
id
ad
 a
l V
en
ci
m
ie
nt
o
0
F
Flujo Neto
S0
F-S0
10.7.1 Venta Corta de Activos
Definition 24 La venta corta de activos es una operación financiera en la
cual se vende en t = 0 un activo que no pertenece al vendedor y que se
devolvera al dueño de tal activo en el período t = T .
La venta corta de activos es una operación que obliga a comprar un activo
en t = T un activo que se adquirió a precio S0 a un precio ST . De esta forma,
el perÞl de riesgo de una venta corta es el ßujo de caja al vencimiento por
S0 − ST , y puede ser cubierto a través de la compra de un contrato forward
con vencimiento en t = T .
ST < F ST > F
Venta Corta S0 − ST S0 − ST
Compra Forward ST − F ST − F
Flujo Neto S0 − F S0 − F
Chapter 11
Derivados Financieros (2):
Opciones Financieras
11.1 Definiciones
Definition 25 Una opción de compra ("call") es un contrato que le otorga
al tenedor de ese contrato el derecho a comprar un activo subyacente en
una fecha y precio pre fijados. El contrato de una "call" debe especificar los
siguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de
la opción de compra, K.
Definition 26 Una opción de venta ("put") es un contrato que le otorga al
tenedor de ese contrato el derecho a vender un activo subyacente en una fecha
y precio pre fijados. El contrato de una "put" debe especificar los siguientes
términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opción
de venta, K.
Definition 27 Las Opciones Americanas son aquellas que pueden ejercerse
en cualquier momento previo a su vencimiento.
Definition 28 Las Opciones Europeas son aquellas que pueden ejercerse sólo
al momento de su vencimiento.
11.2 El Perfil de Riesgo de Las Opciones
El perÞl de riesgo de una opción es el ßujo de caja que genera al vencimiento
del contrato. La tabla siguiente presenta los ßujos para los tenedores de
95
96CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
opciones de compra ("call") y opciones de venta ("put).
t = 0 t = T
ST < K ST > K
Largo en "Call" −c 0 ST −K > 0
Largo en "Put" −p K − ST > 0 0
Al tenedor de una "call" le convendrá ejercerla si y sólo si ST > K, de
otra forma perdería dinero y no la ejercería.
Al tenedor de una "put" le convendrá ejercerla si y sólo si ST < K, de
otra forma perdería dinero y no la ejercería.
En resumen, al vencimiento los ßujos de tenedores de opciones son:
Call ⇐⇒ max (ST −K, 0) (11.1)
Put ⇐⇒ max (K − ST , 0) (11.2)
GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Largo en "Call"
11.2 EL PERFIL DE RIESGO DE LAS OPCIONES 97
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Largo en "Put"
En el caso de los vendedores de opciones, tenemos que simplemente:
Call ⇐⇒ −max (ST −K, 0) (11.3)
Put ⇐⇒ −max (K − ST , 0) (11.4)
GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Corto en "Call"
98CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K
Corto en "Put"
11.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones
Financieras
� A pesar de que gráÞcamente parezca que estrategias como comprar
"calls" y "puts" son ganancias seguras (en el peor de los casos se gana
cero), esto no es así. Para acceder a ese perÞl de riesgo es necesario
pagar un precio. Las "calls" y "puts" no son gratis.
� En algunos libros de texto gustan de restar (o sumar según sea el caso)
el precio de las opciones en los gráÞcos de ßujos de caja de las op-
ciones. Yo no lo hago, pero hacer eso es absolutamente trivial, consiste
en desplazar verticalmente (en el valor de la opción) los gráÞcos aquí
presentados.
� Las opciones pueden ser utilizadas para coberturas de riesgo. Por ejem-
plo, si usted está largo en el activo subyacente, el comprar una "put"
sobre el activo subyacente le podría acotar el riesgo de pérdidas en su
posición sobre el activo subyacente.
11.4 ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN ESPECULATIVAS CON OPCIONES99
11.4 Estrategias de Inversión Especulativas
con Opciones
Estas estrategias de inversión comprenden la transacción de múltiples op-
ciones Þnancieras. Aquí haremos un pequeño resumen de las más populares
estrategias especulativas con opciones.
11.5 Spreads
11.5.1 Bull Spread
Definition 29 Una estrategia bull spread consiste en comprar una "call"
("put") con precio de ejercicio K1 (con vencimiento en t = T ) y vender
una "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (e igual vencimiento), tal que
K2 > K1.
Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:
t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2
Compra "Call" 0 ST −K1 ST −K1
Venta "Call" 0 0 − (ST −K2)
Flujo Neto 0 ST −K1 K2 −K1
GráÞcamente,
100CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K2K1
Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bull spread con opciones
de venta.
11.5.2 Bear Spread
Definition 30 Una estrategia bear spread consiste en comprar una "call"
("put") con precio de ejercicio K2 (con vencimiento en t = T ) y vender
una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (e igual vencimiento), tal que
K2 > K1.
Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:
t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2
Compra "Call" 0 0 ST −K2
Venta "Call" 0 − (ST −K1) − (ST −K1)
Flujo Neto 0 − (ST −K1) K1 −K2
GráÞcamente,
11.5 SPREADS 101
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K2K1
Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones
de venta.
11.5.3 Butterfly Spread
Definition 31 Una estrategia butterfly spread consiste en comprar una "call"
("put") con precio de ejercicio K1 y una "call" ("put") con precio de ejer-
cicio K3 y vender 2 "calls" ("puts") con precio de ejercicio K2, tal que
K1 < K2 < K3. Todas las opciones tienen igual fecha de vencimiento.
Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:
t = T ST < K1 K1 < ST < K2 K2 < ST < K3 ST > K3
Compra Call 1 0 ST −K1 ST −K1 ST −K1
Compra Call 3 0 0 0 ST −K3
Venta 2 Puts 0 0 −2 (ST −K2) −2 (ST −K2)
Flujo Neto 0 ST −K1 2K2 −K1 − ST| {z }
=K1−ST si K2=0.5(K1+K3)
2K2 −K1 −K3| {z }
=0 si K2=0.5(K1+K3)
GráÞcamente,
102CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
S(T)
Fl
uj
o 
al
 V
en
ci
m
ie
nt
o
0
K2K1 K3
Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones
de venta.
11.6 Combinaciones
Definition 32 Una estrategia Straddle consiste en comprar una "call" y una
"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.
Definition 33 Una estrategia Strip consiste en comprar una "call" y dos
"puts" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.
Definition 34 Una estrategia Strap consiste en comprar dos "calls" y una
"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.
Definition 35 Una estrategia Strangle consiste en comprar una "call" con
precio de ejercicio K2 y una "put" con precio de ejercicio K1 e igual plazo al
vencimiento, tal que K1 < K2.
11.7 EL CONCEPTO DE ARBITRAJE Y 2 APLICACIONES103
11.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplica-ciones
Las opciones Þnancieras son siempre valorizadas por arbitraje. Esto es par-
ticularmente útil porque, en vez de estudiar los fundamentos detrás del valor
de las opciones, podemos valorizar estas como una simple combinación del
valor de otros activos que sí observamos.
El ßujo de caja de un activo es simplemente el valor de un activo (o una
parte de éste) en algún momento futuro en el tiempo. Este ßujo de caja es
(hoy) desconocido y puede tomar distintos valores de acuerdo a los distintos
estados de la naturaleza que se maniÞesten. El precio o valor de un activo
es cuanto valgan (hoy) los ßujos prometidos.
Existen dos conceptos fundamentales de arbitraje en Þnanzas:
1. La Ley de un Sólo Precio: Si dos activos prometen los mismos ßujos
de caja deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todo
evento y no en valor esperado.
2. El Principio de No Arbitraje: Si el pago (a todo evento) del activo A
es mayor (o igual) al pago (a todo evento) del activo B, entonces de
manera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activo
B.
11.8 La Paridad Put-Call
Suponga que Ud. compra una call y simultáneamente vende una put con
mismo precio de ejercicio y mismo plazo al vencimiento. El ßujo de caja
obtenido al vencimiento es exactamente el mismo de mantener el activo sub-
yacente y endeudarse a futuro por el precio de ejercicio K1. Aplicando la ley
de un sólo precio, podemos determinar que si los ßujos de caja al vencimiento
son iguales, los precios también deben serlos.
Flujos: CT − PT = ST −K (11.5)
implica que
Precios : C − P = S − V P (K) (11.6)
Paridad Put-Call : C − P = S − K
R
(11.7)
1Recuerde simplemente las tablas y gráÞcos de ßujos al vencimiento vistos en clases.
104CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
La paridad put-call es importante por 2 razones:
1. Ilustra el principio fundamental de como se valorizan las opciones antes
de su vencimiento.
2. Ilustra como determinar el precio de una put (call) cuando se conoce
el precio de una call (put). En otras palabras, para valorizar put (call)
basta con conocer como se valoriza una call (put) y luego se aplica la
paridad put-call2.
11.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Op-
ciones antes del Vencimiento
Ahora bien, ¿qué nos indica el principio de no arbitraje acerca del precio de
una call?
1. C ≥ 0. El precio de un ßujo de caja igual a cero debe ser cero. Como
el ßujo de una call al vencimiento es siempre mayor que cero, su precio
es siempre no negativo.
2. C ≤ S. El ßujo de una call al vencimiento es siempre menor al valor
del activo subyacente al vencimiento, por lo tanto el precio de una call
antes del vencimiento es siempre menor al valor del activo.
3. C ≥ S−V P (D)−V P (K), dondeD = dividendo pagado. El ßujo de la
call al vencimiento es CT = max (ST −K, 0) ≥ ST −K = ST +D−D−
K. Como el precio de ST +D es S, si aplicamos el operador de precios
sobre la expresión anterior obtenemos que C ≥ S−V P (D)−V P (K).
Estas 3 condiciones pueden ser resumidas en el siguiente gráÞco:
2En realidad esto es sólo cierto para el caso de opciones europeas que no pagan divi-
dendos. En cualquier caso, el principio es fácilmente extendible a otros casos.
11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P
S(T)
Pr
ec
io
 C
al
l
S-VP(D)-VP(K)
C=S
Precio "Call" debe estar en 
algun punto de esta area
La última de las desigualdades tiene una importante implicancia. Si las
tasas de interés son mayores que cero, no vale la pena ejercer una opción
que no paga dividendos antes de su vencimiento. ¿Por qué? Si no existen
dividendos, la siguiente desigualdad es cierta
C ≥ S − V P (K) > S −K (11.8)
El extremo derecho de la desigualdad es el valor obtenido por ejercer la
call antes del vencimiento. MORALEJA: compre opciones, nunca las ejerza
antes de que venzan.
11.10 Valoración de Opciones por Método de
Arboles Binomiales: 1 período al vencimiento
El objetivo de esta sección es ir en detalle a la forma en que se valorizan
las opciones. Por simplicidad, analizaremos el caso de una call europea sin
dividendos. El valor de tal "call" al vencimiento es:
CT = max (ST −K, 0) (11.9)
Lo que queremos encontrar es el valor de la call 1 período antes del
vencimiento.
106CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
El precio del activo subyacente es S. Suponga que existen dos estados
de la naturaleza al vencimiento: el precio del activo crece a ST = u · S o
cae a ST = d · S. De esta forma, la call puede tomar uno de 2 valores:
CT = Cu = max (u · S −K, 0) o CT = Cd = max (d · S −K, 0). El árbol de
estados de la naturaleza puede ser representado por el siguiente esquema:
Conocemos u, d, S,K y queremos encontrar C.
Considere un portafolio compuesto por valor H de acciones y valor B de
bonos. El pago de este portafolio al vencimiento es H · u · S +B si la acción
sube y H · d · S +B si la acción cae. Siempre es posible encontrar valores de
H y B tales que los ßujos de caja de este portafolio sean iguales al ßujo de
caja de la call. Esto signiÞca que es necesario encontrar valores de H y B
tal que
H · u · S +B = Cu (11.10)
H · d · S +B = Cd (11.11)
2 ecuaciones y 2 incógnitas que tienen las siguientes soluciones:
H =
Cu − Cd
u · S − d · S (11.12)
B =
u · S · Cd − d · S · Cu
u · S − d · S (11.13)
H es lo que se conoce como la razón de cobertura. Es el número de
acciones necesarias para replicar exactamente los ßujos al vencimiento de la
call. Es también el cambio en el valor de la opción ante cambios en el precio
del activo subyacente (si el valor del activo cambia desde d · S hasta u · S, el
valor de la call cambia desde H · d · S hasta H · u · S). Si se graÞca el valor
de la opción en función del precio del activo subyacente, la pendiente de tal
gráÞco debe ser H.
Tenemos dos portafolios con exactamente los mismos pagos. Por ley de
un sólo precio, ambos portafolios deben tener el mismo precio.
C = HS +
B
R
(11.14)
11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P
Reemplazando por los valores de H y B
C =
Cu − Cd
u · S − d · SS +
uCd−dCu
u−d
R
(11.15)
C =
Cu − Cd
u− d +
uCd−dCu
u−d
R
(11.16)
Esta fórmula no es muy atrayente, así que deÞnamos
p =
R − d
u− d ⇔ 1− p =
u− R
u− d (11.17)
En términos de p, la formula de C se transforma en
C =
Cu
u− d −
Cd
u− d +
µ
uCd
u− d
¶
/R+
µ
dCu
u− d
¶
/R (11.18)
C =
µ
1
u− d
µ
1− d
R
¶¶
Cu +
µ
1
u− d
³ u
R
− 1
´¶
Cd (11.19)
C =
1
R
·µ
R − d
u− d
¶
Cu +
µ
u−R
u− d
¶
Cd
¸
(11.20)
C =
1
R
[pCu + (1− p)Cd] (11.21)
donde Cu = max (u · S −K, 0) y Cd = max (d · S −K, 0).
Hay 3 hechos interesantes acerca de esta última formula:
1. Las probabilidades de los estados (u, d) no entran en ninguna parte de
la fórmula. Todo el argumento de valorización de opciones proviene de
la ley de un sólo precio. Si esto no fuera cierto, existe una oportunidad
de arbitraje libre de riesgo: compre el portafolio HS +B y vaya corto
en la call (o viceversa). La clave es lo siguiente: toda la información
acerca de hacia donde va el precio de la accion ya está incluído en su
precio actual S. Si la probabilidad del estado u crece, el precio S se
ajusta automáticamente al alza.
2. Aversión al riesgo, premio por riesgo, etc. no juegan ningun rol en la
valorizacion de opciones. El argumento es el mismo que en (1): todo
eso ya está incluído en el precio de S.
108CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
3. p parece una probabilidad: su valor está entre 0 y 1. p es lo que se
conoce como la probabilidad neutral al riesgo. Suponga que los agentes
son neutrales al riesgo, tal que la probabilidad asignada a u · S es p.
En ese caso, el precio de la opción es simplemente el valor esperado
descontado de los ßujos al vencimiento:
C =
1
R
[pCu + (1− p)Cd] (11.22)
=
1
R
E (CT ) (11.23)
Es importante que no confunda probabilidades neutrales al riesgo con
probabilidades efectivas. Las probabilidades efectivas no importan para
la valorización de opciones. ¿Por qué? Porque todo lo que se necesita
conoceracerca de los escenarios futuros de ST está capturado en el
precio actual de S. Por tanto, si usted quisiera valorizar una opción sin
conocer el precio actual de S, entonces recién sería necesario volver a
pensar en betas, premio por riesgo, probabilidades efectivas, etc. Si se
conoce el precio actual de S, el resto es sólo un argumento de arbitraje.
11.11 Método de Arboles Binomiales: 2 perío-
dos al vencimiento
Suponga que el precio del activo subyacente puede subir o bajar (u, d) en cada
período. DeÞna Cu,u, Cu,d y Cd,d como los pagos de la call al vencimiento de
acuerdo al siguiente esquema:
11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 109
Igual que en la sección pasada, la opción debe valorizarse desde el vencimiento
hacia atrás.
Cu =
1
R
[pCu,u + (1− p)Cu,d] (11.24)
Cd =
1
R
[pCu,d + (1− p)Cd,d] (11.25)
C =
1
R
[pCu + (1− p)Cd] (11.26)
Sustituyendo el valor de Cu y Cd en C, obtenemos:
C =
1
R2
£
p2Cu,u + 2p (1− p)Cu,d + (1− p)2Cdd
¤
(11.27)
Hechos interesantes acerca de esta última fórmula:
1. El precio de la opción sólo depende de los siguientes factores: el precio
S, el precio de ejercicio K, la volatilidad (u, d) , la tasa de interés R y
el número de períodos al vencimiento.
2. Esta es una forma práctica y realista de valorizar opciones. Si las prob-
abilidad de u crece en un 1/6 y la de d cae en un 1/6, las probabilidades
al vencimiento subieron 1/8 (Cu,u), no cambiaron (Cu,d) o se redujeron
en un 1/8 (Cd,d). Aún más, con muchos más períodos, puede pasar
cualquier cosa con el precio.
11.12 La Formula de Black y Scholes
Suponga que se incrementan los períodos al vencimiento en el modelo bi-
nomial. Más aún, suponga que estos periodos son muy cortos (en el límite
convergen a cero). Cuando se toma computa el límite de tal modelo emerge
una famosa fórmula, la de Black y Scholes:
C = SN (d1)−Ke−rTN (d2) (11.28)
110CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS
donde
d1 ≡
ln
¡
S
K
¢
+
³
r + σ
2
2
´
T
σ
√
T
(11.29)
d2 ≡ d1 − σ
√
T (11.30)
N (x) = área debajo de la distribución Normal hasta el punto x
r = tasa de interés continuamente compuesta
σ = desviación estándar de los retornos del activo subyacente
Esta fórmula se determina de igual forma que la fórmula binomial y tiene
importantes implicancias:
1. Si el precio del activo subyacente está muy por encima del precio de
ejercicio, S À K, N (∞) = 1 tal que C → S −Ke−rT .
2. Si el precio del activo subyacente está muy por debajo del precio de
ejercicio, S ¿ K, N (−∞) = 0 tal que C → 0.
3. El precio de la opción es una función determinística del precio actual
de la acción (S). Los parámetros de esta función son: r, T, σ,K.
4. La volatilidad del activo subyacente (σ) no es observable. Esta es una
volatilidad condicional: la volatilidad que los agentes piensan que el
activo debiera tener (en el modelo binomial, esta volatilidad está dada
por la diferencia entre u y d). De esta forma, la volatilidad implícita
es el σ que satisface la fórmula de Black y Scholes para los precios de
mercado de la opción. Por esta razón, muchas veces resulta estándar en
el mercado referirse al valor de una opción por su volatilidad implícita
y no por su precio efectivo.
5. Intuición de Black y Scholes. Por simple inspección, la fórmula de Black
y Scholes se descompone en 2 partes:
� SN (d1), el valor presente de la acción multiplicado por la proba-
bilidad de que este precio sea igual al precio de ejercicio.
� −Ke−rTN (d2), el valor presente del precio de ejercicio multipli-
cado por la probabilidad de ejercer la opción. De nuevo, estas
11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 111
probabilidades son neutrales al riesgo y son distintas a las prob-
abilidades efectivas. Por lo tanto, al igual que con la fórmula bi-
nomial, Black y Scholes puede ser interpretada como una fórmula
neutral al riesgo.
6. La razon de cobertura H es la pendiente del precio de la opción. Por
lo tanto, es la derivada de la formula de Black y Scholes.
H =
∂C
∂S
= N (d1) (11.31)
Es interesante hacer notar el siguiente hecho, esta pendiente sólo cam-
bia con el precio del activo y con el horizonte de tiempo. La razón
de cobertura es particularmente importante en el siguiente caso real:
suponga que por alguna razón usted debe mantener un gran stock de
acciones, la razón de cobertura le dice cuantas opciones debe mantener
para eliminar el riesgo del activo subyacente (las acciones) a un período
plazo (no al vencimiento, ya que en ese caso basta con cubrir una acción
con una opción).
Chapter 12
Finanzas Corporativas (1):
Estructura de Capital
Por estructura de capital se entiende la composición de pasivos y patrimonio
de una empresa (i.e. cuánto capital y cuánta deuda tiene una empresa).
¿Por qué nos importa la estructura de capital? Por dos razones, (1) para
entender porque existen personas, empresas y países más endeudados que
otros y (2) para descubrir si es que existe valor agregado asociado a una
estructura de capital por sobre otras (en otras palabras, conviene Þnanciarse
vía capital o vía deuda).
Previo a Modigliani y Miller (1958) se solía pensar la estructura de capital
como la solución al siguiente par de problemas:
1. Un problema de clientelas, algunos inversionistas (preferentes al riesgo)
preÞeren acciones y están dispuestos a pagar más por ellos, por lo tanto
hay que proveer acciones para ellos, por su parte otros inversionistas
(aversos al riesgo) preÞeren bonos y están dispuestos a pagar más por
ellos.
2. Un problema de minimización del costo de capital promedio ponderado
de las empresas: CCPP = rD · DD+P + rP · PD+P . El costo de la deuda es
menor al de las acciones, rD < rP , tal que el incrementar DD+P reduce
el CCPP , no obstante en algún punto la deuda empieza a ser riesgosa
y CCPP comienza a crecer. La estructura de capital óptima sería la
que resuelve el problema de minimización de CCPP .
113
114CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
El teorema de Modigliani y Miller (1958) vino a revolucionar las Þnan-
zas corporativas al demostrar la falacia de ambos argumentos. El punto de
Modigliani y Miller (M&M) es que las Þrmas son tomadoras de precios en el
mercado Þnanciero y que el CCPP = E(X)
V
es una función de los ßujos de
caja esperado (X) y del valor de la empresa (V ). rD y rP son funciones de
CCPP y de la estructura de capital, por lo tanto el argumento 2 resulta ser
una tautología.
12.1 La Irrelevancia de la Estructura de Cap-
ital: El Teorema de Modigliani y Miller
12.1.1 Alguna Notación
� Di es el valor de mercado de la deuda emitida por la Þrma i.
� Pi es el valor de mercado del patrimonio emitido por la Þrma i.
� Vi es el valor total de la Þrma i. Vi = Di + Pi.
� Xi es el ßujo de caja opereacional (antes de impuestos y pago de in-
tereses) asociado a los activos productivos de la Þrma i.
� La tasa de retorno exigida a Þrmas en categoria de riesgo k es ρk. Esta
tasa de retorno es también el costo de capital promedio ponderado.
� La deuda no tiene riesgo y paga una tasa de retorno de rD. La tasa de
retorno exigida al patrimonio es rP .
12.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller
� No existen Impuestos.
� No existe quiebra ni costos de transaccion.
� Los ßujos de caja operacionales son ßujos Þjos y exógenos al modelo.
� Toda la información es simétrica, conocida por todas las partes.
� No existen oportunidades de arbitraje.
� Los mercados son completos.
12.1 LA IRRELEVANCIA DE LA ESTRUCTURA DE CAPITAL: EL TEOREMA DE MO
12.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller
Definition 36 PROPOSICION I DE MODIGLIANI-MILLER. Bajo los supuestos
de Modigliani y Miller, la estructura de capital es completamente irrelevante
y el valor de una empresa se encuentra determinado por el valor descontado
de sus flujos operacionales, Vi = Xiρk .
Proof. La prueba original de Modigliani y Miller. Asuma que existen dos
Þrmas 1 y 2 en la misma categoría de riesgo con mismos ßujos operacionales
X.
La Þrma 1 no tiene deuda, mientras que la Þrma 2 sí la tiene.
El valor de las Þrmas 1 y 2 es V1 y V2. Asuma que V1> V2.
Considere un inversionista que es dueño de una proporción α del patri-
monio de la Þrma 1.
El valor de esa inversión es αV1. Los ßujos de caja de este portafolio son
αX.
Usted puede vender esa inversión y comprar un portafolio de αP2 V1V2 ac-
ciones y αD2 V1V2 bonos emitidas por la Þrma 2. Los ßujos de caja de este
portafolio son
α
V1
V2
(X − rDD2) + αV1
V2
rDD2 = αX (12.1)
Ambos portafolios cuestan lo mismo tal que
α
V1
V2
X = αX (12.2)
Lo cual es cierto si y sólo si V1 = V2.
Queda para Ud. la segunda parte de la prueba en la cual forma un
portafolio de acciones de la Þrma 1 y deuda libre de riesgo con una inversión
en acciones de la Þrma 2.
La intuición de la proposición I de M&M es muy simple: si los ßujos
de caja están Þjos, la forma en que divida el valor de los activos (deuda y
capital) es absolutamente irrelevante para el valor de los activos.
¿Cuán importante son los supuestos de M&M para el resultado Þnal?
� Patrimonio Riesgoso Vs. Deuda Libre de Riesgo. NO RELEVANTE.
M&Mpuede ser demostrado para cualquier activo que sea función de los
ßujos operacionales, por ejemplo para deuda riesgosa tal que D (X) =
min (V C,X), donde V C es el valor de carátula de la deuda.
116CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
� La existencia de Þrmas gemelas. NO RELEVANTE. Lo importante es
que los mercados sean efectivamente completos, es decir que todos los
riesgos relevantes sean transables a un precio correcto en el mercado
Þnanciero.
� LO RELEVANTE. El valor X de los ßujos operacionales debe ser in-
dependiente del tamaño de la deuda de la empresa.
12.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller
Una consecuencia directa de la proposición I de M&M es que es posible en-
contrar una relación lineal entre el retorno exigido al patrimonio y la relación
deuda sobre capital.
Definition 37 PROPOSICION II DE MODIGLIANI Y MILLER. El re-
torno exigido al patrimonio es una función lineal de la estructura de capital:
rP = ρk + (ρk − rD)×
Di
Pi
(12.3)
Proof. El retorno del patrimonio es
rP =
Xk − rDDi
Pi
(12.4)
De acuerdo a M&M I, tenemos que
Vi =
Xk
ρk
(12.5)
Xk = ρkVi = ρk (Di + Pi) (12.6)
Reemplazando la ecuación (12.6) en la ecuación (12.4) se obtiene la
relación (12.3).
12.1.5 La importancia de Modigliani y Miller
La relevancia de M&Mno está en que sea una buena descripción de la realidad
(probablemente no lo sea porque muchos de sus supuestos no son ciertos),
sino en que nos da gran intuición para entender como funcionan las cosas en
la práctica. M&M nos dice que para que la estructura de capital importe
tiene que pasar alguna de las siguientes cosas:
12.2 IMPUESTOS A LAS EMPRESAS Y ESTRUCTURA DE CAPITAL117
1. Que la estructura de capital afecte el pago de impuestos u otro costo
de transacción.
2. Que la estructura de capital afecte los ßujos de caja operacionales.
3. Que la estructura de capital afecte la completitud de mercados (i.e. que
las Þrmas no sean tomadoras de precios en los mercados Þnancieros).
Nos concentraremos en 1 y 2.
12.2 Impuestos a las Empresas y Estructura
de Capital
La intuición es que la estructura de capital es relevante porque la deuda y
las acciones tienen distinto tratamiento tributario (i.e. distintas tasas de
impuestos).
12.2.1 Beneficio Tributario de la Deuda
A nivel de las empresas, el pago de intereses se deduce de la base tributaria
sobre la cual se paga el impuesto a las utilidades. Esto no ocurre para el caso
del pago de dividendos y utilidades retenidas.
DeÞniendo τ e como la tasa de impuestos a las empresas, tenemos que el
valor de la Þrma es
Vi =
(1− τ e) (Xk − rDD) + rDD
ρk
(12.7)
Vi =
(1− τ e)Xk
ρk| {z }
valor Þrma sin deuda
+ τ eD|{z}
beneÞcio tributario de la deuda
(12.8)
El valor de una Þrma con deuda es igual al valor de una Þrma equivalente
sin deuda más el beneÞcio tributario de la deuda que es creciente con el nivel
de deuda D. La estructura de capital no es irrelevante, al contrario conviene
tener mucha deuda para aprovechar el beneÞcio tributario de la deuda.
118CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
12.3 Impuestos Personales y Estructura de
Capital
Existe un famoso trabajo de Miller (1977) que demuestra que bajo el supuesto
de tasas progresivas de impuestos personales es posible concebir una multi-
tud de estructuras óptimas de capital. El modelo de Miller con impuestos
personales funciona de la siguiente forma:
� τ e es la tasa de impuestos a las empresas.
� τpD es la tasa de impuestos personales a los ingresos por intereses de
bonos.
� τpP es la tasa de impuestos personales a los ingresos por pago de divi-
dendos y ganancias de capital accionarias.
� Cada período los ßujos de caja después de impuestos para los inver-
sionistas son
(1− τpP ) (1− τ e) (X − rDD) + (1− τ pD) rDD (12.9)
Asumiendo que tanto X como rDD son perpetuidades, entonces ten-
emos que el valor presente ßujo de caja recibido por los inversion-
istas es (ojo: la tasa de descuento para la perpetuidad de la deuda
es rD (1− τpD)):
V P (Firma) = V P (Firma sin Deuda) +
·
1− (1− τ
p
P ) (1− τ e)
(1− τ pD)
¸
| {z }
T
D
(12.10)
� Note que si τ pP = τpD, la ecuacion (12.10) se transforma trivialmente en
la ecuación (12.8).
� El beneÞcio tributario de la deuda a nivel de las personas puede ser
incluso negativo.
� La estructura de capital óptima a nivel agregada se encuentra determi-
nada por el inversionista marginal para el cual en el margen es cierto
que τ pP = τ e. ¿Cuál es la intuición de esto último?
12.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL119
— Si τ pP < τ e, las empresas emitirían deuda hasta el punto en que los
inversionistas en el rango alto del impuesto progresivo absorban
todos estos bonos, pagando más impuestos y se igualen ambas
tasas marginales τpP = τ e.
— Un poco más formalmente asuma que los inversionistas exigen una
tasa de retorno sobre los bonos de r0 después de impuestos. Por
simplicidad tambien asumiré que τpP = 0.
— Demanda por Bonos:
∗ Si rD < r0, nadie demanda bonos.
∗ Si rD = r0, las personas exentas de impuestos (o en un tramo
bajo del impuesto progresivo) comenzarán a demandar bonos.
∗ En la medida que se incrementa rD inversionistas de tramos
más altos de impuesto progresivo empiezan a demandar bonos.
Un inversionista individual estará dispuesto a demandar bonos
en la medida que rD ≥ r0(1−τpD,i) .
— Oferta de Bonos: Las Þrmas toman rD como una tasa de interés
dada.
∗ Si rD (1− τ e) > r0, las empresas no emitirían deuda.
∗ Si rD (1− τ e) < r0, las empresas no emitirían acciones.
∗ Si rD (1− τ e) = r0, las empresas se encuentran indiferentes
entre emitir deuda o acciones.
∗ Por lo tanto, la oferta de bonos sería perfectamente elástica a
la tasa rD = r0(1−τe) .
— El equilibrio de Miller (1977). Para el inversionista marginal (m),
la demanda agregada se iguala con la oferta agregada de bonos:
r0¡
1− τ pD,m
¢ = r0
(1− τ e) (12.11)
τpD,m = τ e (12.12)
— Por lo tanto, en el equilibrio de Miller existe una estructura de
capital óptima a nivel agregado. Esa estructura de capital es la que
hace que el inversionista marginal esté indiferente entre demandar
o no más bonos: rD = r0(1−τpD,m)
.
120CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
Cantidad de Bonos
rd
r0
r0/(1-te)
B*
Aqui demandan bonos 
aquellos individuos con bajas 
tasas de impuestos
Aqui empiezan a demandar 
(ademas) bonos individuos 
con tasas de impuestos mas 
altas
Demanda 
Agregada de 
Bonos
Oferta Agregada 
de Bonos
Aqui se acumula demanda 
hasta el inversionista 
marginal (m)
� — Sin embargo, note lo siguiente en la medida que el equilibrio de
Miller se sastisface con τpD,m = τ e, entonces debe ser cierto que
T =

1−
1− lo asumimos cero aunque esto no es relevantez}|{τ pP
 (1− τ e)
(1− τ pD)

= 0
(12.13)
A nivel de las empresas individuales, la estructura de capital to-
davía sigue siendo irrelevante.
— LACONCLUSIONDELMODELODEMILLERCON IMPUESTOS
PERSONALES ES QUE LA EXISTENCIA DE IMPUESTOS
PERSONALES PROGRESIVOS HACE RELEVANTE LAES-
TRUCTURA DE CAPITAL A NIVEL AGREGADO, PERO TO-
DAVIA CONTINUA SIENDO IRRELEVANTE PARA LAS EM-
PRESAS INDIVIDUALES QUE EN EQUILIBRIO NO TIENEN
BENEFICIOTRIBUTARIOALGUNOPOREMITIRMASDEUDA.
12.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL121
12.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Im-
puestos Personales
El modelo de Miller (1977) tiene importantes conclusiones acerca de la es-
tructura de capital cuando existe una estructura de impuestos más compleja
(y, por lo tanto, más realista). La clave detrás del modelo de Miller (1977)
es el asumir una estructura de impuestos personales progresivos para el de-
vengo de los bonos y el reparto de utilidades. La existencia de impuestos
personales progresivos puede ser la causa de la existencia de una estructura
de capital óptima para cada empresa, industria o país. En esta pequeña
nota se pretende ponerle números concretos a esta idea. El supuesto clave
es la existencia de impuestos progresivos sobre el pago de la deuda o sobre
las utilidades devengadas. El modelo de Miller (1977) es consistente con la
existencia de impuestos personales progresivos sobre cualquiera sea el caso:
pago de deuda, devengo de utilidades o ambos al mismo tiempo. Para efectos
simpliÞcatorios, en estas notas veremos cada caso individualmente.
Ejemplo 1: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de la Deuda
Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda
(D = 10) y acciones (S = 50) . La tasa de impuestos a las utilidades (τ e) es
del 15%, la tasa de impuestos a las utilidades devengadas (τpP ) es del 20% y
la tasa de impuestos al devengo de la deuda es una tasa progresiva (τ pD) de
10% si el ingreso de la deuda (rDD) es menor a 1,5 y del 32% si el ingreso
de la deuda es superior a 1,5. La tasa de interés es rD = 10%.
¿Cuál es el beneÞcio tributario de la deuda?
T ·D =
·
(1− τ pD)− (1− τ e) (1− τ pP )
(1− τ pD)
¸
D (12.14)
Dado que el ingreso de la deuda es r×D = 10%×10 = 1 < 1, 5, entonces
τ pD = 10%, tal que:
T ·D =
·
(1− 10%)− (1− 15%) (1− 20%)
(1− 10%)
¸
· 10 (12.15)
T ·D = 2, 44 (12.16)
¿Cuánto vale la compañía sin deuda?
122CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
VL = VU + T ·D (12.17)
60 = VU + 2, 44⇐⇒ VU = 57, 56 (12.18)
No obstante, el beneÞcio tributario se incrementaría de aumentar la deuda.
Dado T = 0, 244, el beneÞcio tributario de la deuda se incrementa hasta 3,66
si la deuda sube hasta D = 15.
Sin embargo, en ese punto el ingreso de la deuda pasa a ser r × D =
10%× 15 = 1, 5, entonces τ pD = 32%, tal que:
T ·D =
·
(1− 32%)− (1− 15%) (1− 20%)
(1− 32%)
¸
· 15 (12.19)
T ·D = 0 (12.20)
Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es
D
P
=
15
42, 56
= 35, 2% (12.21)
Ejemplo 2: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de Utilidades
Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda
(D = 10) y acciones (S = 50). La tasa de impuestos a las utilidades (τ e)
es del 15%, la tasa de impuestos al devengo de la deuda es (τpD) de 40% y
la tasa de impuestos personales a las utilidades devengadas (τpP ) es una tasa
progresiva de 10% si las utilidades devengadas por el accionista son menores
a 1,5 y 29,5% si las utilidades devengadas por el accionista son superiores a
1,5. La tasa de interés es rD = 10% y el ßujo de caja operacional es una
perpetuidad de X = 2, 5.
¿Cuál es el beneÞcio tributario de la deuda?
T ·D =
·
(1− τpD)− (1− τ e) (1− τ pP )
(1− τpD)
¸
D (12.22)
Dado que el ingreso al accionista es (1−τ e)(X−rDD) = 0, 85×(2, 5−1) =
1, 275 < 1, 5, entonces τpP = 10%, tal que:
12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR123
T ·D =
·
(1− 40%)− (1− 15%) (1− 10%)
(1− 40%)
¸
· 10 (12.23)
T ·D = −1, 65 (12.24)
¿Cuánto vale la compañía sin deuda?
VL = VU + T ·D (12.25)
60 = VU − 1, 65⇐⇒ VU = 61, 65 (12.26)
No obstante, el beneÞcio tributario se incrementaría de reducir la deuda.
Dado T = −0, 165, el beneÞcio tributario (negativo) de la deuda se reduce
hasta -1,21 si la deuda cae hasta D = 7, 35.
Sin embargo, en ese punto el ingreso devengado al accionista pasa a ser
(1− τ e)× (X − rDD) = 0, 85× (2, 5− 0, 735) = 1, 5, entonces τpP = 29, 5%,
tal que:
T ·D =
·
(1− 40%)− (1− 15%) (1− 29, 5%)
(1− 40%)
¸
· 7, 35 (12.27)
T ·D = 0 (12.28)
Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es
D
P
=
7, 35
54, 3
= 13, 54% (12.29)
12.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción
de Valor
Uno de los supuestos fundamentales de Modigliani y Miller es que la estruc-
tura de capital no afecta los ßujos de caja operacionales. Estos son Þjos y
exógenos al modelo. Esto, en la práctica, puede ser un supuesto poco realista.
¿Por qué? DeÞna quiebra como la circunstancia en la cual una Þrma no es
capaz de cubrir los costos Þnancieros de su deuda con sus ßujos operacionales.
X < rDD⇐⇒ quiebra (12.30)
124CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
La quiebra es un concepto importante porque: (1) implica costos reales
(ejemplo, remunerar al síndico de quiebra) y (2) implica el concepto de re-
sponsabilidad limitada de los accionistas: los accionistas no responden con
patrimonio propio si es que la Þrma quiebra. En otras palabras, si los ac-
cionistas no son capaces de pagar la deuda Þnanciera, éstos no cubren la
diferencia entre X y rDD sino que entregan la Þrma a los acreedores.
Tanto (1) como (2) violan el supuesto de M&M de que la estructura de
capital no afecta los ßujos operacionales. ¿Por qué? Porque la probabilidad
de quiebra crece con el tamaño de la deuda. Con mucha deuda es mas
probable irse a la quiebra y tener que afrontar costos reales de quiebra o
tener que entregar la empresa por un valor menor a la deuda comprometida.
EjempliÞcaremos tales ideas a traves del siguiente par de ejemplos númeri-
cos.
12.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Fi-
nancieros
Suponga que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se
divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrir
cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza:
� Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5.
� Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5.
Si la empresa no es capaz de cumplir con el valor total de la deuda con-
traída, esta deberá declararse en quiebra, para lo cual deberá incurrir en un
costo de quiebra equivalente al 10% del valor de V en caso de quiebra.
Asuma por simplicidad que la tasa de interés es cero.
¿Cuánto vale esta compañía con esa estructura de capital?
En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe
incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100
En el estado 2, V < D, de tal forma que existe quiebra y debe incurrirse
en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20− 10%× 20 = 0, 9× 20 = 18
De tal forma que el valor económico de esta compañía es:
V E = 100× 0, 5 + 18× 0, 5 = 59
Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el
cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. El resto de los
supuestos es el mismo que antes.
12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR125
¿Cuánto vale esta compañía con esa nueva estructura de capital?
En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe
incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100
En el estado 2, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe
incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20
De tal forma que el valor económico de esta compañía es:
V E = 100× 0, 5 + 20× 0, 5 = 60
Resulta obvio que en este ejemplo en el que existe un costo de quiebra, la
estructura de capital importa. En particular, la probabilidad de que en algún
estado de la naturaleza haya que incurrir en un costo de quiebra destruye
parte del valor de la empresa. En este sentido, la estructura de capital ya no
es irrelevante para el valor de una compañía.
12.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incen-
tivo a Elegir Malos Proyectos
En economía se entiende un problema de agencia como un problema en el cual
dos agentes económicos tienen distintos objetivos para el mismo instrumento
económico. En nuestro casoparticular, accionistas y acreedores tendrán
distintas estructuras de capital óptimas (para la misma Þrma) que maximizan
el valor de su riqueza.
Asuma como antes que el valor contable de una compañía es hoy V = 60,
el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede
ocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza:
� Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5.
� Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5.
No existen costos de quiebra y la tasa de interés es cero.
Asuma también que existe un segundo proyecto con inversión inicial por
10 y que paga 18 en el estado 1 y 0 en el estado 2.
El valor presente neto de este proyecto es: V PN = 0, 5 × 18 − 10 =
9− 10 = −1. Por lo tanto, la empresa no debería invertir en tal proyecto ya
que destruye valor.
Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja.
¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en
el proyecto?
126CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT
� Estado 1:
V = 100 + 18− 10 = 108, D = 50, S = 58
� Estado 2:
V = 20 + 0− 10 = 10, D = 10, S = 0
A valor presente hoy, esto implica que:
V = 0, 5× 108 + 0, 5× 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujo
en 1.
D = 0, 5× 50 + 0, 5× 10 = 30 < 0, 5× 50 + 0, 5× 20 = 35, el valor de
la deuda se redujo en 5.
S = 58 × 0, 5 = 29 > 50 × 0, 5 = 25, el valor de las acciones se
incrementó en 4.
Lo relevante aquí es que al dueño de las acciones le conviene que la em-
presa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque los
dueños de la deuda le están haciendo una transferencia de riqueza superior
al V PN < 0 del proyecto.
Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el
cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. Suponga que la
empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. El resto de los supuestos
sobre el proyecto son exactamente los mismos que antes.
¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en
el proyecto?
� Estado 1:
V = 100 + 18− 10 = 108, D = 10, S = 98
� Estado 2:
V = 20 + 0− 10 = 10, D = 10, S = 0
A valor presente hoy, esto implica que:
V = 0, 5× 108 + 0, 5× 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujo
en 1.
D = 0, 5 × 10 + 0, 5 × 10 = 10, el valor de la deuda no cambia si se
invierte en el proyecto.
S = 98× 0, 5 = 49 < 90× 0, 5 + 10× 0, 5 = 50, el valor de las acciones
se redujo en 1.
12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR127
Lo relevante aquí es que, con una estructura de capital con menos deuda,
al dueño de las acciones ya no le conviene que la empresa invierta en un
proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque ya no existe una transferencia
de riqueza superior desde la deuda al capital.
GRAN CONCLUSIÓN: A MAYOR RELACIÓN DEUDA SOBRE CAP-
ITAL, SE INCREMENTA LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA UNA
TRANSFERENCIADERIQUEZADESDETENEDORESDEDEUDAHA-
CIA LOS ACCIONISTAS. EN EMPRESAS MUY ENDEUDADAS CON-
VIENE INVERTIR EN PROYECTOS MÁS RIESGOSOS (AUNQUE DE-
STRUYAN VALOR) PARA AUMENTAR LA PROBABILIDAD DE EX-
PROPIAR A LOS TENEDORES DE BONOS.
Analogía con las Opciones Financieras
El argumento previo tiene una analogía perfecta con las opciones Þnancieras.
El valor de las acciones es como una opción de compra:
S = max(V −D, 0) (12.31)
Mientras que la deuda es como el valor de un activo libre de riesgo más la
venta de una opción de venta con precio de ejercicio igual al valor de carátula
(V C) de la deuda:
D = V C −max(V C − V, 0) (12.32)
Como ya vimos durante el transcurso de este curso, el valor de una opción
se incrementa con la volatilidad del activo subyacente (en este caso, V ).
De esta forma, se concluye que en presencia de deuda el valor de las
acciones se incrementa al invertir en proyectos más riesgosos, mientras que
el valor de la deuda cae al invertir en proyectos más riesgosos.
Chapter 13
Finanzas Corporativas (2):
Política de Dividendos
13.1 La Irrelevancia de la Política de Divi-
dendos: Modigliani-Miller
Supuestos:
� No existen impuestos.
� No existen costos de transacción.
� La información es común a todas las partes.
� La política de dividendos es independiente de las decisiones de inver-
sión.
� No existen problemas de agencia.
El Concepto de M-M:
� $100 en el bolsillo izquierdo es lo mismo que $20 en el bolsillo derecho
y $80 en el izquierdo.
� Ningún inversionista pagará por algo (efectivo vía dividendos) que se
puede crear sin costos (vender acciones).
129
130CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO
� El retorno del capital es una función del riesgo operacional y el riesgo
Þnanciero (leverage), y ambos son independientes del pago de dividen-
dos.
� Implicancia Directa: LA POLITICA DE DIVIDENDOS ES COMPLE-
TAMENTE IRRELEVANTE.
� Incrementar o reducir el pago de dividendos no puede afectar la riqueza
de los accionistas, en la medida que las deciones de inversión no se ven
afectadas por la política de dividendos.
� La política de dividendos es un "tradeoff" entre retener utilidades para
futuras inversiones (no hay pago de dividendos) versus emitir nuevas
acciones para pagar dividendos y todavía tener el dinero necesario para
invertir.
Usos de Fundos = Fuentes de Fondos (13.1)
Dividendos+Gasto Inversión = Flujo Operacional+Financiamiento Externo
(13.2)
� Si Gasto Inversión=Flujo Operacional, la Þrma no podrá repartir div-
idendos sin la ayuda de Þnanciamiento externo (nueva emisión).
� En el caso de que la Þrma decidiera emitir nuevas acciones y utilizar
esos fondos para pagar dividendos, tanto el valor de la Þrma como la
riqueza de los accionistas serían exactamente los mismos que si nunca
se hubieran emitido nuevas acciones.
� En lo fundamental, nada cambia. Los ßujos y el riesgo operacional
son los mismos, por lo tanto el valor de las acciones no puede haber
cambiado.
� No obstante, todo el análisis anterior se basa en 3 supuestos fundamen-
tales:
1. No existen tasas de impuestos personales distintas para los ingre-
sos por repartos de dividendos y por las ganancias de capital.
13.2 LOS INVERSIONISTAS TIENEN PREFERENCIA POR FIRMAS QUE PAGAN DIV
2. Si las Þrmas deciden emitir pagar dividendos superiores a sus exce-
sos de caja, la emisión de nuevas acciones para cubrir esta necesi-
dad de caja no tiene ni costos reales ni tampoco envía señales al
mercado acerca de las perspectivas de ßujos operacionales futuros.
3. Si las Þrmas deciden emitir para pagar dividendos inferiores a sus
excesos de caja, esta caja no será utilizada en Þnanciar proyectos
con VPN<0.
13.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por
Firmas que Pagan Dividendos
� De alguna forma, este nuevo supuesto viola el supuesto 3 en la sec-
ción pasada. Los inversionistas, al demandar acciones que pagan más
dividendos, están dispuestos a sacriÞcar VPN positivo por pago de div-
idendos.
� La idea es la siguiente:
RS =
D1 + P1
P0
(13.3)
=
D1
Po
+ gg (13.4)
� Al aumentar el pago de dividendos, se incrementa D1
Po
, y de acuerdo
a M-M esto debería ser compensado por una caída equivalente en gg.
No obstante, como los inversionistas tienen preferencias por acciones
con mayor pago de dividendos, |∆gg| >
¯̄̄
∆
³
D1
Po
´¯̄̄
, tal que el retorno
exigido a las acciones (en neto) se reduce.
� La conclusión general es que es bueno pagar dividendos porque reduce
el riesgo asociado al pago de dividendos en relación al riesgo de las
ganancias de capital.
� El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayor
pago de dividendo deberían valer más que sus pares con menor pago
de dividendos.
132CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO
13.3 La Desventaja Tributaria de los Divi-
dendos
¿Cuál es la idea?
� Como la tasa de impuestos personales sobre el pago de dividendos es
superior a la tasa de impuestos personales sobre las ganancias de cap-
ital (porque estos impuestos pueden ser diferidos), los inversionistas
castigarán a aquellas acciones que pagan muchos dividendos.
� El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayor
pagode dividendo deberían valer menos que sus pares con menor pago
de dividendos, i.e. el reparto de dividendos destruye valor.
13.3.1 El Modelo de Elton y Gruber
La proposición III de M-M implica que la política de dividendos es irrelevante
para el valor de la empresa y para la riqueza del accionista. Una implicancia
directa de lo anterior es que al momento exacto de repartir dividendos, el
precio de la accion debería caer exactamente en el mismo monto que el reparto
de dividendo por acción. La evidencia empírica indica que eso, en general,
no es así. El modelo de Elton y Gruber (1980) intenta explicar tal hecho en
el contexto de economías con impuestos a las personas.
DeÞna
Pa = precio en el instante antes del anuncio de dividendos
Pd = precio en el instante posterior al anuncio de dividendos
D = dividendo declarado
t = tasa de impuesto a la renta
tgg = tasa impuesto a las ganancias de capital
Los ßujos de caja por vender la acción antes del anuncio de dividendos
son
Pa − (Pa − P ) tgg (13.5)
Mientras que los ßujos de caja por vender la acción después del anuncio
de dividendos son:
Pd − (Pd − P ) tgg +D (1− t) (13.6)
En la medida que el inversionista marginal debiera estar indiferente entre
vender antes o después del anuncio de dividendos, entonces
Pa − (Pa − P ) tgg = Pd − (Pd − P ) tgg +D (1− t) (13.7)
13.4 LA EXISTENCIA DE COSTOS DE TRANSACCIÓN 133
Ordenando, lo anterior se convierte en:
Pa − Pd
D
=
1− t
1− tgg (13.8)
Tal que
� si t = tgg, entonces Pa − Pd = D
� si t > tgg, entonces Pa − Pd < D
� si t < tgg, entonces Pa − Pd > D
13.4 La Existencia de Costos de Transacción
¿Cuál es la idea?
� Como acceder al mercado de capitales tiene costos reales de transacción,
el recurrir en altos montos al mercado de capitales para pagar altos
dividendos tiene altos costos reales que se traducen en menor valor
para la Þrma.
� El corolario es que (todo lo demás constante), existe un incentivo a
evitar grandes pagos de dividendos ya que si la Þrma no cuenta con
caja suÞciente deberá recurrir al mercado de capitales pagando costos
reales que destruyen el valor de la Þrma.
13.5 La Teoría de Clientelas
¿Cuál es la idea?
� Existen distintos tipos de inversionistas con distinto grado de aversión
al riesgo de liquidez y distintas tasas de impuestos personales.
� Los inversionistas con mayor grado de aversión al riesgo de liquidez de-
mandarán acciones con mayor pago de dividendos, mientras que aque-
llos con menor aversión al riesgo de liquidez demandarán las acciones
que pagan menores dividendos.
134CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO
� Los dividendos tienen una desventaja tributaria, por tanto su uso debe
estar justiÞcado por alguna clase de beneÞcios reales en su uso (por
ejemplo, las necesidades de liquidez).
� El corolario es que, incluso con grandes diferencias entre inversionistas
en materia de aversión al riesgo de liquidez e impuestos personales, la
política de dividendos a nivel de la Þrma todavia puede ser irrelevante
a pesar de que no lo sea a nivel de los inversionistas individuales.
� La clave es que el riesgo de liquidez es intuitivamente un riesgo com-
pletamente diversiÞcable.
13.6 La Teoría de Información de la Politica
de Dividendos
¿Cuál es la idea?
� Para evitar futuras reducciones en el pago de dividendos, las Þrmas
seleccionan bajos niveles de "dividend yield"
¡
D
P
¢
y los incrementa si y
sólo si la administración se encuentra convencida que los ßujos opera-
cionales futuros serán capaces de pagar dividendos más altos.
� La conclusión es que los dividendos son una señal ruidosa de la asimetría
de información superior que maneja la administración con respecto a
los inversionistas externos.
� Caídas en dividendos reducen el valor de la Þrma, mientras que mayores
dividendos incrementan el valor de la empresa.
� Lo relevante es que esto no es una implicancia de los dividendos en sí,
sino que por el contrario de la señal informativa que genera acerca de
las perspectivas futuras de utilidades (que es lo que realmente importa
en términos del valor actual de las Þrmas).
13.7 Existencia de Problemas de Agencia
� Un problema de agencia surge cuando distintos agentes económicos
tienen distintos objetivos para un mismo instrumento. En este caso,
13.8 CONCLUSIÓN 135
administración y accionistas tienen objetivos distintos para los rema-
nentes de caja por sobre el gasto en inversión.
� Los costos reales de agencia son una función de la magnitud de los
remanentes de caja operacional por sobre el gasto en inversión.
� Incrementos en dividendos reducen estos remanentes de caja, tal que
reduce los costos de agencia y por tanto incrementa el valor de la Þrma.
Por su parte, caídas en dividendos hace crecer los remanentes de caja
tal que suben los costos de agencia y se reduce el valor de la Þrma.
� Alternativamente, los costos de agencia también se reducen cuando las
Þrmas acuden con mayor frecuencia al mercado de capitales al inducir
un monitoreo más exigente sobre la administracion. De esta forma,
Þrmas que pagan dividendos más altos deben recurrir al mercado de
capitales con nuevas emisiones de capital, tal que empresas con altas
tasas de pagos de dividendos tendrán menores costos de agencia.
� La conclusión de esto último es que los dividendos constituyen un muy
buen mecanismo para reducir los costos de agencia y por lo tanto su
pago tiende a incrementar (todo lo demás constante) el valor de la
Þrma.
13.8 Conclusión
� Para comprender los efectos de la política de dividendos sobre el valor
de las Þrmas es necesario entender los costos y beneÞcios asociados al
pago de dividendos.
� Altos niveles de dividendos implican mayores pagos de impuestos (malo)
y visitas muy frecuentes al mercado de capitales que generan mayores
costos de transacción (malo) pero que también reducen los costos de
agencia (bueno).
� Cambios en dividendos proveen una señal al mercado de la mejor in-
formación que maneja la administración acerca de las perspectivas de
ßujos operacionales futuros, tal que un mayor (menor) reparto de div-
idendos incrementa (reduce) el valor de la empresa.