Razonamiento Matemático

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NADINEOA
INUINIC
ESEIANA AMÉRICA 
_RAZONAMIENTO
LOGICO-MATEMATICO
twitter.com/calapenshko
 
PRE SAN MARCOS
AA
UNMSM- Centro Preuniversitario
_ RAZONAMIENTO
LÓGICO - MATEMÁTICO
1ra. edición
PRE SANMARCOS
FONDO EDITORIAL
UNMSM Centro Preuniversitario
 
twitter.com/calapenshko
Razonamiento Lógico-Matemático - 1ra. edición
Lima,setiembre del 2010
92010 UNMSM-CEPRE — Fondo Editorial
Jr. Torres Paz N* 1170
Santa Beatriz - Lima
 
Reservados todos 1 derechos. Quedaprohibido reproducir ¡wwe alguna de esta
publicación, cualquie. que sea el medio
empleado, sin el permiso previo de joseditores.
Correspondencia editorial cepreQunmsm.edu.pe
O Este libro ha sido redactado por los profesores del curso de RazonamientoLógico-Matemático que hanejercido la docencia en el CEPREUNMSM:
Comité editor:
—
Julio Flores Dionicio, Javier AylasOrejón, Elfren Chávez Machado, Jorge EstradaMenacho, Santiago Rojas Romero.Colaboradores: Javier Aytas Orejón, Luis CachiMonloya, Victor Calagua Porras, Raúl Castro Vidal,Gloria Castro León, Ellren Chávez Machado, HarveyChávez Távara, Jorge Estrada Menacho, Jesús FloresCruz, Julio Flores Dionicio, Humberto Gálvez Pérez,
Editor General
Raúl Moisés Izaguirre Maguiña
Editor Asociado
Julio Flores Dionicio
Coordinador de la Serie Editorial
Isaac Canales Quevedo
Cuidado de la Edición
Carlos Matta Rojas
Maria Laura Carranza Montañez
Diagramación, diseño y
artes de carátula
Estudio Alex Molina
Jr. Humboldt 159 - Lima 13
Edgar Gómez Borja, Nolán Jara Jara, Luz MalásquezChamba, Johnny Malaver Ortega, Luis NúñezRamirez, Julio Olazo Carlos, Félix Pariona Vilca,Roland Peña Flores, Carlos Quicaño Barrientos,Teófanes Quispe Méndez, Santiago Rojas Romero,Victor Terazona Miranda, Amelia Villanueva Yaya.Victoriano Yauri Luque,
Preparación de originales, archivos y registroPatricia E. Suárez Vilca
Marjorie Cecilia Benites León
Coordinación de preprensa
Elard Huerta
Producción Gráfica
András Ruiz Reyes / Javier Rojas Honores
Retoque de imágenes
Elard Huerta
Impresión y encuadernación
Centro de Producción Editorial+ Imprenta de laUniversidad Nacional Mayor ul ¿5an Marcos
Localprincipal: Je. Paruro 119, lima 1
Tell. 619-7000 anexo 6009/ Fr: 1004, 6018
Hecho el Depósito Legalen la Biblioteca Nacional del Perú
N* 1501012002-4896
 impreso en el Perú Printerin Perú
 
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)
RECTOR
Dr. Luis Izquierdo Vásquez
VICERRECTORADO ACADÉMICO
Dr. Antonio Peña Rodríguez
VICERRECTORADODEINVESTIGACIÓN
Dra. Aurora Marrou Roldán
CENTRO PREUNIVERSITARIO
DIRECTOR EJECUTIVO
Dr. Raúl Moisés Izaguirre Maguiña
DIRECTOR ACADÉMICO
Prof. Isaac Canales Quevedo
DIRECTOR ADMINISTRATIVO
CPC.Julio Palomino Silva
twitter.com/calapenshko
ÍNDICE
Introducción
CAPÍTULO!
Deductivo Simple. Conjuntos. EcuacionesLineales con una Variable. Ángulos de
un Triángulo
CAPÍTULO!
Deductivo Compuesto. Numeración. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos
Variables. Ángulos FormadosporLíneas Notables de un Triángulo.
CAPÍTULO IM
Verdadesy mentiras. Criptoaritmética. Inecuaciones Lineales con una Incógnita.
Congruencia deTriángulos.
CAPÍTULO IV
Ordenamiento de Información. Cuatro Operaciones Aritméticas. Sistema de
Inecuaciones Lineales en Dos Variables. Propiedades Fundamentales de la
Bisectriz yde la Mediatriz.
CAPÍTULO V
Parentescos, Números primos y divisores de un Número. Ecuaciones de
Segundo Grado. Desigualdades Geométricas y Base media de un Triángulo.
41
37
67
91
17
CAPÍTULO VI
Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo Grado en una Variable.
Propiedades Básicas enlos Paralelogramosy Trapecios.
CAPÍTULOVII
Arreglos Numéricos. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo.Teoria de
Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza.
CAPÍTULOVIH
Inductivo Simple. Fracciones. Móviles. Relaciones Básicas en un Triángulo
Rectángulo
CAPÍTULO IX
Elementos Recreativos. Porcentajes, Relojes. Los Puntos Cardinales.
CAPÍTULO X
Certezas. Sucesiones, Progresiones Aritméticas. Circunferencias.
CAPÍTULO XI
Pesadas y Balanzas. Sumas Notables, Progresiones Geométricas. Ruedas,
Poleasy Engranajes
CAPÍTULO XII
Máximos y Minimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazos
de Figures.
CAPÍTULO XIMI
Cortes. Promedios. Máximos y Mínimos de Algunas Expresiones Algebraicas.
Fórmulas Básicas para el Cálculo deÁreas.
CAPÍTULO XIV
Frecuencia de Sucesos. Razones y Proporciones, Factoriales. Propiedades
Fundamentales para el Cálculo de Áreas.
137
159
195
227
251
289
325
347
369
CAPÍTULO XV
Rotación y Traslación de Figuras. Proporcionalidad. Combinatoria. Áreas de
Regiones Circulares.
CAPÍTULO XVI
Rutas y Trayectorias. Regla de Tres. Ecuaciones Exponenciales.
Paralelepipedos.
CAPITULO XVII
Calendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. ÁreasLaterales y Totales.
CAPÍTULO XVIII
Otros temas de Razonamiento Lógico-Matemático. Mezclas. Operadores
Matemáticos. Volúmenes.
 
397
433
461
493
INTRODUCCIÓN
Razonamiento lógico-matemático es un manual que reúne un conjunto de
procedimientosteóricos, útiles en la resolución de problemas-modelosen la formación
preuniversitaria.
Lacalidad de las explicacionesy la variedaddeejercicios resueltos y propuestos
garantiza que este manualse convierta en la herramienta esencial del estudiante que
deseeafianzar su competencia académica en este rubro crucial en los exámenes de
selección y admisión a los centros universitarios.
El razonamiento lógico-matemático necesario para dar solución a un problema,
simple o complejo, exige un pensamiento analítico, exacto,riguroso, metódico,segúnel
clásico enfoquecartesiano.
Con másdequinientas páginas, este volumen cubre las necesidades básicas
delestudiante preuniversitario y dael sello de garantía para un aprendizaje efectivo y
eficiente, acorde con el desarrollo de los cursos propedeúticos de los centros
académicos.
El razonamiento lógico-matemático es un eje fundamental en la formación
preuniversitaria, puesto que tiene que ver, centralmente, con el desarrollo de
habilidades cognitivas esenciales en el pensamiento científico. La operación con
números, con variables, con propiedades topológicas, enhebra los conocimientos
básicos,pilares sólidos para las ciencias, humanidadese ingenierías.
Por ello, el curso de razonamiento lógico-matemáticotiene peso gravitante en
los exámenes, puesto que es un aspecto que evalúa una competencia de
potencial académico. De modoquesi un estudiante obtiene un buen puntaje +
área, ello es garantía de una buena performanceenlos estudios universitarios.
 
Estelibro se componede problemaságiles, novedosos,redactados para motivar
el desarrollo del pensamiento en los jóvenes estudiantes. Dadala presentación de
situaciones amenaspropiasdela vida cotidiana, estamos segurosde que la lectura de
estelibro será agradable y ejercerá un impacto positivo en elaprendizaje fluido de las
rigurosas matemáticas.*
Unobjetivo importante del razonamiento lógico-matemático en suaplicación ala
ciencia y a la vida cotidianaes el métododejustificación de las inferencias. Es decir, se
ocupa en gran parte de establecer técnicas para mostrar que un determinado
enunciadose sigue deductivamente o no se sigue deductivamentede otro enunciado.
Enesesentido, el razonamiento lógico matemático opera con axiomas,teoremas y
corolarios en un juegode la menterigurosoy apasionante.
os
Eltexto está organizado en dieciocho capítulos que abordan temas de cuatro
áreas: Lógico-matemática, Aritmética, Álgebra y Geometría. Cada uno delos capítulosestán ordenados de acuerdo a una secuencia lógica y se inicia con una exposición
teórica sencilla y accesible de los temasa tratar. Estos a continuación se esclarecen con
ejemplos resueltos en orden progresivo de dificultad y con ejercicios de reforzamiento,
presentados también segúnsu gradodedificultad.
Losautores
 
14.
twitter.com/calapenshko
CAPÍTULO |
 
Deductivo Simple. Conjuntos. Ecuaciones Lineales con unaVariable.
Ángulos de un Triángulo.
 
DEDUCTIVO SIMPLEEn esta sección vemosla aplicación del proceso deductivo a situaciones notan compli-
cadas y de mínima dificultad a lo cual denominamos "deductivo simple” porque se
requieren pocasvariables proposicionales y un razonamiento directo; por supuesto que
también requerimos un poco de creatividad de los estudiantes.
1.1.1. Proceso Deductivo
Concepto. Elproceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enun-
ciados tamados premisas, y a partir de ellos llegar a una conclusión. Nosolros aqui
veremoscasos particulares de dedución en los cuales se usan básicamentela estructura
*si.... entonces. ”, y de manera implica algunasleyes como la conmutatividad y asocialwidad
de la conjunción de proposiciones
Deducción inmediata. Llamamos asi al proceso medianteelcualla conclusión se ob-
tiene de maneradirecta relacionando los datos o premisas.
Ejemplo1
Sise tiene los siguientes enunciados:
L En un determinado sorteo, los que tienen númerospares tienen posibilidades de
ganaralgún premio.
1 Á Gaby y Kaly les dieron números impares.
ll La suma delnúmero de Patty con el de Katty es un número impar,
Entoncesse concluye que:
A)Gabytiene posibilidadesde ganaralgún premio.
B)Patty tiene posibilidades de ganar algún premio.
0) Gaby y Kattytienen posibilidades de ganaralgún premio.
D) Kattytiene posibilidades de ganar algún premio.
E) Gaby, Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algún premio.
hi
 
Centro Preuniversitario UNMSS—_>——>—%%11010
Resolución
Relacionando las premisas:
1”. Dell y lll, Patty tiene un númeropar, pues número par + número impar = númeroimpar,
2. Del
y
portener Pattyun número par, ela tiene posibilidades de ganar sigún premio.Conclusión:
Paltytiene posibilidades de ganaralgun premio
Clave: 8
Deducción con ayuda de diagramas, Se recomienda el uso de diagramas conjuntistaseuandolos enunciados incluyen cuantiicadores o palabras como todos”, “algunos”,“ninguno”.etc. A continuación, veamos como usarlos diagramas:
1. Todos los “A” son "B”, Indica quetodo elemento del conjunto A también es elementodelconjunto B. Por tanto: "A" se incluye en *B".
8
l. Algunos “A” son *B”. Indica que algunoselementos son comunesa los conjuntos A yB. Por tanto: “A” se interseca parcialmente con *B”.
A U
 Il. Ningún “A” es “E”. Indica que ningun elemento es común a los conjuntos A y B.Portanto: "A" y "B" son disjuntos
DO
qA_=><A<>=>——APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
si
1 Ninguno de los que da monedas de S/. 1 de propina es profesional
11. Todos los que dan monedasde S). 5 de propina son profesionales.
Se concluye quer
A) Algunosde los que dan monedas de S/. 1 dan monedasde S/. 5
8) Ningunodelos profesionales da monedas de S/. 5.
C) Todoslos que dan monedasde S/. 1 dan monedas deS/. 5.
D) Algunos profesionales dan monedasde S/. 1
E) Ningunode los que da monedasde S/. 5 da monedas de SI. 1
Resolución
1. Denotamos: P = conjunto de profesionales,
Q = conjunto de las personas que dan monedasde 5. 1 de propina, y
R= conjunto de las personas que dan monedasde S/. 5 de propina
 
Del, setiene:
Q
twil calá
ho
LR. Del, setiene:
Q P
3. Delesquema anterior, es claro que R y Q son disjuntos, por ello
Ningunode los que da monedas de S/. 5 da monedasdeS/.1
Clave: E
Deducción simple e ingenio. Aqui vemos aquellos problemas cuya solución requiere
además de un razonamiento lógico simple y rápido, un poco de nuestra creatividad
eingenio.
Ejemplo 3
Para satisfacer sus deseos de fumar, un mendigo recoge colillas, y con 4 de ellas hace
un cigarrillo. Si ayer sólo pudo conseguir 25 colilas, ¿cuál es la máxima cantidad de
cigarrilos que pudo fumar ayer?
AJ9 B)8 c)7 D)6 E)5
14
Centro Preuniversitario UNMS» ———4+
Resolución
L 2514_ forma (E) cigarrillos, los fuma:
15
Quedan6 colillas + 1 colilla = 7 colillas
1. 7 [4_ forma (A) cigarrillo, lo fuma:
31
queda 1 colilla + 3 colillas = 4 colillas
Il, 4 L4_ forma (A) cigarrillo, lo fuma:
01
le queda unacolilla.
+. Total de cigarrillos que pudo fumar ayer. 6+1+1=8,
Clave: B
1.1.2. Problemas Resuehos
 
Problema 1
Los hermanosAldo, Beto y Coqui tienen 5,3 y 2 caramelos, no necesariamente en eseorden.Beto le dice al que tiene 3 caramelos queel que tiene 2 caramelosestá aburrido,y el que tiene 3 caramelosle pregunta a Coquí por su estadode ánimo. ¿Cuántos cara.melostienen Beto y Aldo juntos?
AJ3 B)5 C)7 D)8 E)10
Resolución
Resolvemospor deducción inmediata.
1. ComoBetole habla al que tiene 3 caramelos y hablan del quetiene 2 caramelos,entonces:
- Beto tiene 5 caramelos,y
+ Aldo y Coquitienen 2 y 3 caramelos, pero no necesariamente en ese orden.
2. Comoelquetiene 3 caramelos habla con Coqui, entonces:
- Coquitiene 2 caramelos,y
= Aldotiene 3 caramelos,
Luego, Beto y Aldotienen juntos: 5 + 3 = 8 caramelos.
Clave: D
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 2
Si
1. Todasmisprimastienen más de 20 años, y
Il. Algunas de mis primas son solteras.
Entonces se concluye que
A) Todas las mujeres solteras tienen másde 20 años.
B) Ninguna mujer mayor de 20 es sollera.
C) Algunasde mis primas tienen más de 20 años.
D) Todas mis primasson solteras.
E) Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.
Resolución
Denotamos: M conjunto de mujeres que tienen más de 20 años,
 
$ = conjunto de mujeres solteras.
De |, se tiene:
Dell, se presentan dos posibilidades:
1. |
 
Perola primera no es posible porque estariamosafirmando quetodaslas solteras son
mayoresde 20,lo cual es falso (por ejemplo,las niñas recién nacidas son obviamente
solteras y menores de 20). Luego,el diagramacorrecto es el de la segunda posibilidad,y
asi tenemos la conclusión: Algunas mujeres mayores de 20 son solteras.
Glave: E
hs
16
Centro Preuniversitario UNMS——_—_
Problema 3
Un anciano dejó a sus cuatro hijos una herencia que consiste de nco parcelascontiguas de forma cuadrada, como muestra la figura. Si todos los hijos recibieron terre-nosiguales,¿cuál es el perimetro de cada terreno? 
A) 152m B) 158 m
 
C) 144 m D) 160m
 
 
E) 176m 1
32mResolución 1
1. Puesto que 5 noesdivisible por 4, cada parcela debe ser dividida en 4 partes iguales,obteniéndose 20 partes en total.
2. Acada hijo le corresponde
5
de las partes obtenidas, 7
3. Comotodosrecibieron terrenos iguales, cada uno de ihijos debe haberrecibido un terreno de la forma1
32m
Ll
 
los
 
 
 
 
 HL 48m — 
 
 cuyo perimatro es P=160m
Clave: D
Problema 4
Ayertenía 17 años y el próximo año tendré 18.Si mañanaserá mi cumpleaños, ¿en quéfecha naci?
A) 30 de junio B) 28 de febrero C)31 de diciembreD) 01 de enero E) 29 de febrero
Resolución
1. Como ayer tenia 17 años y mañana es mi cumpleaños:
- Hoy aún tengo 17 años,y
- Mañana cumpliré 18 años.
próximo año
2. Comoel próximoañotendré 18:
ana (cumpleaños)
= El próximo añoocurre mañana,y 18— Hoy es31dediciembre,
 
31 dic. 01 ene.
:¿ Mi cumpleañoses el 01 de enero.
Clave: D
 
12
124.
APTITUD MATEMÁTICA
CONJUNTOS
En esta sección utilizaremos la noción de conjunto en aplicaciones concretas. En la
resolución de problemas se usa comoestrategia, las representaciones gráficas como.
los diagramas de Venn-Euler y el de Lewis-Carrol.
Determinación y representación gráfica de conjuntos
Intuitivamente unconjunto es una colección de objetos con una caracteristica comun, a
estos oojetos se les denomina elementos del conjunto. Los conjutos generalmente se
denotan conletras mayúsculas,tal como. A,8, C.... X, Y, Z,y a sus elementosse deno-
tan con letras minúsculastal como: a, b. €, ...X, Y, 2
Determinación de conjuntos. Un conjunto quedará bien deten mado s: se conocen
todos suselementos ya sea explicita o implicitamente. Existen dos formas de determinar
un conjunto,las cuales son
+ Por extensión. Consiste er: indicar explicitamente cada uno «,
conjunto. Por ejemplo: Si A es un conjunto cuyos elementos
entonces se denota comoA = (2, 5,8,a, d)
los elementos de un
som: 2, 5. 8, a, d, ele.
 
 
« Por comprensión. Consiste en caracterizar todoslos elementos de un conjunto por
una o más propiedades comunes. Por ejemplo: Si A es el sonjuntode los estudiantes
del Centro Preuniversitario de la UNMSM, entonces
A= (xix es un estudiante del Centro Preuniversitario us la UNMSM)
Ejemplo1
El conjunto M está formadoporlos posibles resultados que se ublienen al lanzar dos
monedas. Silos resultados para la primera moneda son (cara)y s (sello) y por cada
uno de ellos se tiene las mismas posibilidades para la segunda, entonces:
AJM =(x/x es unacara de la moneda)
B)M = (x/x es un sello de la moneda)
 C) = (x /x es una cara o un sello de la moneda)
D) = (es, cc, ss, se)
E)M = (s, c)
Resolución
Los posibles resultados son:
Moneda 1: c, C, S, 5
Moneda 2:s, €, s, €
Luego el conjunto M= (cs, cc,ss, sc)
Clave: D
Representación gráfica de conjuntos. Para representar gráficamente a los conjuntos
se utiliza figuras geométricas llamadas Diagramasde Venn-Euler.
A B e
 
 
 
hr
Centro Preuniversitario UNMSM 
En algunos casos dondeexisten subconjuntos que son el resultado de la intersección de
conjuntosseutiliza los diagramasde doble entrada.
Hombres i Mujeres 
 
Asi tenemos: [O hombres que usanlentes (subconjuntode intersección del conjunto.
hombres y el conjunto delos que usanlentes)
BN mujeres que no usan lentes (subconjunto de intersección del
conjunto mujeres y el conjunto de los que no usan lentes)Ejemplo 2
Eneldiagrama se muestran a los conjuntos M, N y P con sus respectivos elementos.
¿Quéafirmación es verdadera?
M
CO
 
18
Resolución
Del gráfico se puede observar que:
- 3 pertenece a My a Na la vez
- M=(1,2,3,4,6,7)
- N=(3,4, 5, 6)
= 4 pertenece a My Na la vez
- 2n0 pertenece a N
Clave: E
1.2.2. Operaciones con conjuntos
Unión: Dados dos conjuntos A y B, entonces AUB=|x/xeA vxe B)representa-
do gráficamente porla región sombreada.
 
 
A, A A B
 
AuUB=A AuUB AUB
¡qx_I->AAA<A>APTIYUDMATEMÁTICA
Intersección: Dadosdos conjuntos A y B, entonces
AMGB=Íx/xeA nxeBl
representado gráficamente porla región sombreada
Dd) os
Ar B=B AB | AGB=4
 
 
 
Diferencia: Dados dos conjuntos A y B, entonces
A-Bek/xcA 2xeB)
representado gráficamente porla región sombreada
ho
 
CampAnaNe de un conjunto: Dado unconjunto universal 1! y los vorjunics a y B
tenemos: LAB Asa U/x=Baxe Aj
representado gráficamente por la región sombreada.
A
 
Observación, Si B=U, entonces Y A=At=A =U-A= fx/x 0 ox)
Centro Preuniversitario UNMSS
—
_<>—>—404%4%4
Ejemplo 3
Dados tres conjuntos A, B y C, tales que:
 
Hallar: [(A UC) - (AU B) uy [Bn.c)- (Anc)
A) (4, 5, 8) BI4,5,7) 018.57)
—
P)(3.5,8) En
Resolución
Utilizando el diagrama de Venn-Euler, tenemos:
([SQ
Ni
c
Luego
—
[(AUC)-(AUB)=(1,2,3,4,5,7)-(0,1,2,3,4, 8)
=(5,7)
[6 .0)- (Anc) fa, 4)- (2, 3)
= (4)
de donde [(A UC)
-
(AB)u[E nc)- (an C)|= (4, 5,7)
Clave: B|
1.2.3. Problemas resueltos
Problema1
De un grupodeturistas que visitaron las ciudades de Cusco, Huaraz y Cajamarca, sesabe que: todos los que visitaron Cajamarca tambiénvisitaron Cusco, 22 visitaronCajamarca,34 visitaron Huaraz, pero no Cusco,110 visitaron Cusco o Huaraz, 12 visita-ron Cuscoy Huaraz, pero no Cajamarca, El número de turistas quevisitó sólo Cusco esel triple de los que visitó Cajamarca y Huaraz, ¿Cuántos visitaron Cajamarca y Cusco,pero no Huaraz?
A)J5 B)6 C)7 D)8 E)9
22AFTIVUD MATEMÁTICA
Resolución
) Sean: el número de turistas que visitaron Cajamarca y Cusco, pero no Huaraz
1) Sea x: el número de turistas que vistaron las tres ciudades.
il) Llevandoa un diagramalosdatosdel problema, tenemos:
a
x+n=22, también
34 +12+22+3x= 110
3x=42
x=14
n=22-14
n=8
Cusco
Huaraz,
Luego tenemos:
Clave: D
Problema 2
En una encuesta realizada a una determinada cantidad de postulantes al Centromen Ñ . aPreuniversitario de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se obtuvo el siguiente?
resultado:
+ El 34% deltotal postulan a Medicina Humanao Enfermeria
+ Aenfermeria sólo postulan mujeres.
+ Treinta y seis postulantes lo hacen a Enfermeria
+ El número de mujeres que postulan sólo a Medicina es la mitad de las personas
que postulan sólo a Enfermeria.
+ Catorce varones postulan a Medicina
¿Cuántos encuestados no postulan a Medicina ni a Enfermeria?
A) 192 B) 132 C) 136 D) 145 E) 138
Resolución
l) Sea T el númerototal de postulantes encuestados.
1), La x. el número de personas que no postulan a medicina ni a enfermeria.
ll) Llevando a un diagrama los datos dei problema tenemos:
! MY]
x
]ca Enfermería
Varones ! Mujeres
 
 
 
A
IV) Del gráfico tenemos:
68+x=T luego:
34
100
 
=68 > T=200
V) Luego: x= 200 - 68 = 132
Clave: B
Problema 3
De cierto número de mujeres; se sabe que:
+ Ungruposólotienen zapatos negros, otro grupo sólo zapatos azules y las restan-tes de otros colores.
+ El 33% de ellas tienen zapatos azules, pero notienen 20 años.+ El 9% no tienen zapatos negrosni azulesy son mayores de 23 años.+ El 16% no tienen zapatos negrosni azules y no son mayores de 23 años.
¿Qué porcentaje son de 20 años y tienen zapatos azules. s¡ ellas son la sexla parte de
todasfas que tienen zapatos negros?
A) 6% B) 5% 0) 4% D) 7% E) 8%
Resolución
|) Sea x: el número de mujeres que tienen 20 años y zapatos azules; luego las quetienen zapatos negros serán: 6x.
11) Ordenando los datos del problema en un diagrama tenernos:
Zapalos
negros 
20 años
No mayores
de 23 años
Mayores
de 23 años 
11) Del gráfico, obtenemos:
Tx + 33% + 16% + 9% = 100%
= 7x= 42%
> x=6%
Clave: A
 — ASTITUD MATEMATICA
Probleina 4
De 192 pobladores de una asociación se determinó lo siguiente: 70 eran iqueños, 80
huanuqueños y 90 <1an músicos, de estos últimos 39 eran iqueños y 31 exarhusruqueños.
¿Cuántosdelos que no son huanugueñosno eran iqueños ni músicos?
 
 
1128 825
 
24 0922 EJ23
Rosolución
1) Seay el numerode pobladores que no son huanuqueñosni iqueñosni músicos,
luegodel diagramatenemos:
92 - (70 + 20 + 80)
92-170
2
 
 
Hi) Graficando los dal
 
ha
 
 
Clave: D
1.3. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE
Por medio de simbolos, el álgebra puede manejar toda clase de problema en un solo
episodio de razonamiento. En el simbolismo radica parte de la nolable eficacia del álge-
bra, Los procesosdel álgebra se puedenaplicar en forma directa al problema de
encontrar cantidades desconocidas que se presenta en muchassituaciones. La Ecua-
ción del Primer Grado o Lineal con una Variable es una de las ecuaciones más sencillas
del álgebra.
Nosotrosutilizaremos las ecuacionesálgebraicasen las aplicacionesdirectas. Para esto
necesitamosrecordarlas estrategias de despejarla variable o incógnita de la ecuación.
1.3.1. Ecuaciones en resolución de problemas
Concepto 1. Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas.
Las dos expresiones que conforman una ecuación se denominan lados o miembros, que
se separan por un signode igualdad "=".
Centro Preuniversitario UNS_>
Concepto 2. Una ecuación lineal ena variable x es una ecuación que puede escribirseenla forma:
ax+b=0, donde ayb soncostantes y a20
Estrategia. Para resolver una ecuación lineal se lleva a cabo una serie de operacioneshasta que se llega a una ecuación equivalente en el cual la variable se encuentra sola enun miembro.
Ejemplo1
La suma delas edades de Juan, Pedro y Mario es 69 años. Sila edad de Juan es el dobleque la de Pedro y 6 años mayor que la de Mario, ¿qué edadtiene Mario?
A) 24 años B) 15 años C) 30 años D) 25 años E) 18 años
Resolución
Del problema setiene que
Edad de Juan: 23
Edad de Pedro: y
Edad de Mario: 2J-6
Además, 2J+J+2J-6=69 25J=75 > J=15
Luego,la edad de Mario = 2 (15) - 6 =24 años.
Clave: A
Ejemplo 2
Carlos y Alberto empiezan a jugar teniendo Carlos el doble de dinero que Alberto. CuandoCarlos pierde S/. 400, entonces Alberto tiene el doble de lo que tiene Carlos. ¿Con cuántoempezó Carlos?
A) S/. 900 B) S/. 600 €) S/, 1000 D)S/. 800 E) S/. 400
Resolución
Delproblemase tiene que:
Carlos tiene: 2x twitter.com/calapenshkoAlberto tiene: x
Dela suposición tenemos que:
x + 400
=
2(2x - 400)
x+ 400 = 4x - 800
3x= 1200
x=400
Luego, Carlos liene 2x = 800.
Clave: D
APTITUDMATEMÁTICA1.3.2. Problemas Resueltos
Problema1
Un obrero por cada semanaquetrabaja ahorra S/. 80, pero cuando deja solamente de
trabajar un día por semanagastaS/. 40 de susahorros. Si durante 12 semanasahorró
S/. 360, ¿en cuántas semanas no ahorró?
Ay7 B)6 C)5 D)8 Er
Resolución
Número de semanasen el que no ahorro: x
Número de semanasen el que ahorro: 12 -x
Delenunciado tenemosque:
80 (12 - x) - 40x = 360
96 - 8x - 4x = 36
12x=60
x=5
Clave: €
Problema 2
Se tienen dos grupos de monedas de pesosdiferentes. El primero consta de 44 mone-
das de 8 g cada moneda,y el segundo consta de 40 monedas de 10 g cada moneda, R5
¿Cuántas monedasdebemosde intercambiar de ambosgrupos para que adquieran igual
pesolos dos gruposy no varie elnumero inicial de monedasde cada grupo?
A)12 B)10 Cc) 18 D) 16 E)20
Resolución
Número de monedas de 8g +n:44 -n
Número de monedas de 109 -n:40% +n
Número de monedas aintercambiar: n
Del problemase tiene que:
(44 - n) 8 + 10n = (40 - n)10 + 8n
176 - 4n + 5n = 200 - 5n + 4n
2n=24
n=12
Clave: A
Problema 3
En una familia el padre gana 120 soles por hora y la madre gana 110soles por hora.
Despuésde 25 días trabajados el padre recibió 14. 500 soles másque la madre, puesto
queleboró 4 horas más pordía. ¿Cuántas horas trabajó diariamente la madre?
Ay 10 B)8 Cc) 12 D)6 E)S
Centro Preuniversitario. UNMS»
 —
MI
Resolución
Númerode horas que trabajó pordía la madre: n y c/hora gana: 110 pesosNúmero de horas que trabajó por dia el padre: n + 4 y c/hora gana: 120 pesos
Del problemase tiene que:
25 (n +4) 120 - 25 (n) 110= 14500
120n + 480 - 110n
=
580
12n +48 - 11n =58
n=10 Clave: A
Problema 4
Con eldinero que lengo puedo comprar 10tarjetas navideñas del mismo precio y me sobraSÍ, 5,pero para comprar 22 tarjetas me faltarian S/. 31. ¿Cuánto tengo?
A) S/. 30 B)S/. 36 C)S/. 24 D) S/. 42 E) S/. 35
Resolución
Costo de c/u de las tarjetas: n
 
Dinero que tengo: 10n +5=22n-31
120 =36
n=3
Por lo tanto tengo S/. 35 Clave: E
Problema 5
Todos mis pantalones son negros, menos cuatro;todos son azules, menos cuatro; todosson verdes, menos cuatro. ¿Cuántos pantalonestengo en total?
AJS B)9 C)6 D)8 E)7
Resolución
Número total de pantalones: n
Negros Azules Verdes
n= (n-4)+(n-4)+(n-4)
3n-12 
Clave: C
1.4. ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
1.41.Conceptos Básicos de Triángulos
Elementosde un triángulo. Los elementos básicos deltriángulo ABC son:
*Lados: AB, BC y AC B
+ Vértices: A, B y C
+ Angulosinteriores: XA, %B y <C
(Y BAC, L ABCy 4 BCA)
» Ángulo externo: $.
 
(+JPTITUDMATEMATICA
+ Clasificación. Se puedenciasificar en relación a susladoso enrelaciónde sus ángulos,
como se mencionan a continuación.
a) Conrelación a sus lados:
 
Equilátero Isósceles Escaleno
b) Con relación a susángulos:
 
AG
Rectángulo | Acutángulo Obtusangulo
ms. A=90* má A<90* mí A >90*
mí 8 <90*
ma C<90*
Observaciones
+ La hase de un triángulo es uno (cualquiera) de sus lados.
+ Permetro de un triángulo es la sumade las longitudes de suslados
+ Lado opuestcalvértice de un triánguloesel lado donde no está dich vértice
+ Ángulus adyacentesa unlado de un triángulo sonaquellos ángulos =1109 vér ti
Iremosde dicho segmento
 
 
 
Ejemplo1
Enla figura adjunta, ¿qué afirmación es verdadera?
A) % MNQesisósceles.
B) 1 QNPes acutángulo.
C) Y MNQ es rectángulo.
D) 1 QNPes escaleno,
E) A MNQ es obstusángulo.
 
Centro Preuniversitario UNMS4 —_—_>—__
Resolución
+ Completamos la medida de todos los ángulos
interiores en los triángulos MNQ y QNP.
+ AQNPes obtusángulo y la medida de sus ángu-
los sondiferentes.
> 4 QNPes escaleno.
 
Clave: D
1.4.2, Relaciones Angulares de un Triángulo
a)En todo triángulo la suma de las medidas desus tres ángulos interiores es igual a 180".
 
a+p+0
 
b) Entodotriángulo la medida de un ángulo externoes igual a la sumade las medidasdelos ángulosinteriores no adyacentes.
D
o
 MÁ 3 P=a+0
 
e) En todo triángulo la sumade las medidas de sus tres ángulos externos no opuestosporel vértice es 380".
 
 
x+y+z= 360%
 
 APTITUD MATEMÁTICA.
Ejemplo 2
En la figura adjunta, f +0 = 60*. Calcular el valor de ($ - 9)
A)35*
8) 40"
0) 45"
D) 25"
E) 50*
 
Resolución
+ Enela AFE: a +$B=90".
+ Enel á ABF: Pa +0 (poránguloexterno)
>0=P-0>en(1) P-0+P=90*=>2P-9=90"...... (2)
+ DatoB +0 =60* (3)
+ Sumando(2) y (3): 3$ = 150" => $ = 50" en (3) >9=10*
Luego: P-8=40*
(1)
 
 
Clave: B
 
1.4.3. Problemas Resueltos
Problema 1
En lafigura adjunta, a = 16” y AB = BD = DE = EF= FC.Calcularel valor de 6.
A)48*
8) 50"
c) 52"
D) 54*
E) 50"
 
Resolución
+ Completamos la medida de todos los án-
guiosinteriores en los triángulos EFC,
DEF, BDE y ABD.
+ Enela ABD: 0+4a+40=180*
>0,=180"-8u = 0=180*-8 (16%
=20=52
 
Clave: C
30
Centro Preuniversitario UNMSM —-
 
Problema 2
Enla figura mostrada, EBC es un triángulo equilátero y m 4 EDC
=
70*. Calcuarel valor de x
A)30*
8115"
Cc)20*
D)25*
E) 35*
 
Resolución
+ ABCDes isósceles > 22=80=2=40*
+ 4 DCEesisósceles x +z = y = 70"
> x=30
 
Clave: A
Problema 3
Enla figura adjunta, AB = BD = EC. Hallar el valor de x.
A) 109
B) 20"
c) 15
D) 129
E) 25%
 
 
 
 
Resolución
* ABDCes isósceles > 22 = 80" :> 2 = 40"
* SEBDes isósceles = a + z= 70" =2=30*
+ ABEC > a+x= 50" >x=20*
 
Clave: B
45.
 APTITUD MATEMATICA
Problema 4
Dela ñígura adjunta,
 
Resolucion
Enel... EDS prolongamos EB
para formar un ángulo extemo,
+Ensl AABC:2x=y+z
(por ángulo externo)
 
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. A Carmen, Alicia,Betty y Diana se les asigna un sólo número entero del 5
al 8 a cada unade ellas. Si Alicia no tiene unnúmero par, pero si tiene un número mayor
que el de Diana, y Betty y Diana tienen números pares, ¿cuánto suman los números
asignados a Carmen y Betty?
A)14 B) 12 01 D) 13 E)15
Problema 2. Si algunos estudiantes practican deportes, algunos estudiantes reciben
S/. 30 de propina y todoslos que reciben S/. 30 de propina practican deportes, entonces:
A) Ninguno que practica deportes recibe S/. 30 de propina
8) Algunos estudiantes que practian deportesreciben S/. 30 de propina
(G)Todos los que practican deportes sonestudiantes.
D) Ningún estudiante recibe S/. 30 de propina.
E) Todos los quepractican deportes reciben S/. 30 de propina sonestudiantes 
3
32
Centro Preuniversitario UNMS»——————
Problema 3. Un niño que está aprendiendo a caminar avanza 4 pasos y retrocede 2,yCada uno de sus pasos equivale a 30 cm. Sil niño repite esta peculiar forma de caminarhasta llegara un punto situado a 6 m de su punto de partida y todo su recorrido fue enlinea recta, ¿cuántos pasos habrá dado?
A)52 B) 56 C) 54 D) 50 E) 60
Problema 4. Javier tiene 3 cajas iguales, en una de ellas coloca caramelos, en otraChocolates y en laúltima caramelos y chocolates, Luegolas cierra y empaqueta, pero almomento de rotularlas se equivoca en todas. ¿Quécaja debe abrir para rotularias.correctamente si sólo puedeextraer un dulce de dicha caja?
A) La que dice “caramelos”.
B) La que dice “chocolates”
C) La que dice “chocolates y caramelos".
D) La quedice "caramelos" o *chocolates”indistintamente.
E) Cualquiera de las cajas.
Problema 5. A Zelma le preguntaron: "¿Cuál es la fecha de tu cumpleaños”, y ellaContestó: "Anteayertenía 29 añosy el próximo año tendré 32 años”.¿Cuántos años tiene Zelma y en quéfechanació?
A) 31 años y 31 de diciembre 8) 31 añosy 1 de enero.
C) 30 años y 30 de diciembre. D) 30 años y 1 de enero.
E) 30 añosy 31 de diciembre.
Problema 6. De un grupo de 90 estudiantes se sabe que: 12 prefieren matemáticas, peronoliteratura; 27 prefieren literatura, pero no tienen 18 años; 18 que no prefieren literaturano prefieren matemáticas
y
tienen 18 años; 7 prefieren leralura y tienen 18 años, pero noPrefieren matemáticas,4 prefieren matemáticasy literatura y tienen 18 años. ¿Cuántosestudiantes que no tienen 18 años, no prefieren matemáticasni literatura?
AJ22 B)24 C) 25 D) 21 E) 20
Problema7. De 250 personas que viven en una ciudad se tiene la siguienteinformación:75 eran ayacuchanos,92 eran huancaínos,105eranprofesionales, de estos últimos 40eran ayacuchanos y 36 huancalnos.¿Cuántas personasde los que no son ayacuchanosnoeran huancainos ni profesionales?
AJ58 0 Bas C)54 D)55 E) 52
AAAAPTITUD MATEMÁTICA
Problema 8.De los empleadosvarones de una empresa transnacional se sabe que: 60
eran peruanos,88 profesionales; de los peruanosel 75% usaban termoy la tercera parte
de éstos eran profesionales. De cada 4 profesionales uno usaba terno. ¿Cuántos em-
pleados que usaban ternonoeran peruanos niprofesionales, si en total 90 usaban terno?
A)40 B)39 0) 42 D) 35 E) 38
Problema9. En una empresa ganadera donde hay 8400 cabezas de ganado ovino se
sabe que de las hembraslas 3/8 son crias, los 2/5 del número total de hembrases igual
al número de machosy 2/5 del número de hembras adultas están preñadas. ¿Cuántas
hembrasadultas no están preñadas?
A) 228. B) 2250 0) 2150 D) 2050 E) 2350
Problema10. En un centro superior tecnológico de computación estudian 67 alumnos
entre ingresantesy regulares, de ellos 47 conocen Mallab, 35 Visual Basic y 23 Matlab y
Visual Basic. ¿Cuántos estudiantes de este centro de estudios no conocen Matlab ni
Visual Basic?
A)8 B) 10 C)9 D)7 EJ12
Problema11. El valor de ciertolibro se duplica cada 10 años. Si el valor dellibro después
de 40 añoses S/. 96, ¿cuálfue el valorinicial dellibro?
A)S/. 3 B) S/. 6 CC) S/. 4 D)S/. 5 E) SI.7
Problema12. Marcos le pregunta a Carla; "¿Cuánto has gastado de los S/. 140 quete di?",
y Carla le contesta: "He gastado las 3/4 partesde loque no he gastado”, ¿Cuánto gastó Carla?
A)S/, 40 B) S/. 60 C) SI. 30 D) S/. 50 E) SI. 80
Problema 13. Una persona compró 132 vasosa razón de S/. 4 la docenaeneltransporte
se rompieron 30. ¿A qué precio debe venderse cada unode los restantes para obtener
na ganancia total de S/. 7?
A) SI. 1,00 B)S/.0,50 C)S/.0,60 D)S/.0/65 E) S/. 0,70
Problema 14. Un padre va al cine con sus hijos y al querer sacar entradas de S/, 3
observa quele faltaría dinero para dosde ellos, y entoncestiene que sacarentradas de
SI. 1,50 de tal modoque entran todosy le sobra S/. 3. ¿Cuántos eran sus hijos?
AJ8 8)5 c)7 D)6 EJ9
Problema 15. Unheladero compra con S/. 4800 dos cajones conteniendo cada una 150
paquetes de barquillos, uno de estos cajones le ha costado S/. 600 más que el otro;si elheladero vendió 70 paquetes del cajón de mayor costo y 30 del otro, cobrando por
todo S/, 2000. ¿ Cuánto ganó en la venta efectuada?
A)SÍ, 440 B) S/. 420 C) S/. 320 D) S/.360 E) S/. 380
pa
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema16.En la figura mostrada, AB = BC = BP. Calcularel valor de x.
B
A) 5* A
B) 10" 0
0) 15*
D) 20*
E) 30" A E] '
c
Problema17.En la figura adjunta, calcular el valor de x.
Apis”
B)20*
0) 40"
D)30*
E) 45"
A) 36"
8) 40*
c)20*
D) 30*
E) 32"
 
Problema19, Enla figura mostrada, AB = BC = AD.Calcular el valor de x.
B
AJ8*
B) 10"
0) 15" AG DC
D) 18*
E)5"
0
%
APTITUD MATEMÁTICA
Problema20. En la figura adjunta, AB + AD = BC. Calcularel valor de x.
A) 20"
8) 12*
c)15”
D)16*
E) 19"
1D
2.B
3A
4.0
Ss.E
SA
7.0
8.E
CLAVES
9 B
10.A
1.8
12.8
13.8
148
15.0
16.B
 
17D
18.D
19.B
20.A
A)
twitter.com/calapenshko
24.
211,
CAPÍTULO II
 
Deductivo Compuesto. Numeración.
Sistema de Ecuaciones Lineales con DosVariables.
Ángulos Formadospor Líneas Notables de un Triángulo.
 
DEDUCTIVO COMPUESTO
Enestá sección veremos problemas en los cuales debemosrelacionar la información
dada; como nombresde personas con alguna actividad u oficio queellos realizan o el
lugar de procedencia que nosotros llamaremos variables. La información que se recibe
casi siempre está dada en forma desordenada, que aparenta no guardar ninguna rela-
ción, pero haciendo uso del ingenio y de ta deducción lógica se podra obtenerla relación
buscada a partir de dicha información.
Deductivo Compuesto con Datos Explícitos
Ejemplo 1
Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Roberto, practican cada uno un deporte
diferente.
(1) Gustavo quisiera jugartenis en lugar de fútbol.
(1) Albertole pide prestadas las paletas de frontón a Roberto.
(1), César nunca fue buen nadador.
¿Qué deporte practica César?
A)tenis B)fútbol C) natación D)frontón E) básquet
Resolución
Primera forma
1. Se construye un cuadro de doble entrada, donde se coloca los nombres los deportes
diferentes (de preferencia en la primera columna van los nombres).
E
30
Centro Preuniversitario. UNMS-» ————_——-
 
Tenis Fútbol Frontón Natáción
 
 
Gustavo.
 
Alberto
César
Roberto ||
 
 
2. Luego se empiezaa llenar el cuadro de acuerdo ala información dada enel problema
Dela información (1) se deduce queGustavopráctica fútbol, entonces entre Gustavo y
fútbol escribimos *>" o la palabra “si”, de (II) es claro que Roberto practica frontón,
entonces entre Roberto y frontón “3" o "si", luego se tiene:
 
 
 
 
 
 
aportes]
Tenis Fútbol Frontón Natación
Nombres” |
Gustavo X Y, xo x |
Alberto Xx x Y]
césar E Xx
Roberto Xx E Z Xx 
3. Dela información (lll) César no practica natación, porlo tanto se deduce que Alberto
practica natación y César practica el tenis, entonces entre Alberto y natación, y entre
César y tenis escribimos *3"
4. Los demás espaciosblancos de la tabla se llenan como consecuencia de los espacios
ya marcados resumidos en la siguiente regla: “Para cada par de variables, tanto en la
horizontal como en la vertical debe ir un solo “3” o la palabra “si” y el resto de los
espacios completamos con *x” o con la palabra "no", luego se obtiene:
 
 
 
 
 
Deportes]
Tenis Fútbol Frontón Natación
Nombres
Gustavo Xx Y x ES
Alberto Xx E Xx A
César Y Xx Xx Xx
Roberto E Xx 4 x 
Dela tabla se concluye:
H Gustavopracticafútbol.
H Alberto practica natación
- César practica tenis.
=Roberto practica frontón
Clave: A
 
—APTITUD MATEMATICA
Segunda forma
Delejemplo anterior. otra forma de relacionarlas dos variables (nombresy ueparie), es
mediante el uso de las flechas. Veamos:
1. Construimos las dos columnas donde colocamos los nombresy deportes.
 
"NOMBRES DEPORTE |
 
Gustavo.
 
2. Lueyo de los datos mencionados setiene:
De (1) Gustavo practica fútbol, que lo relacionamoscon una flecha
De (11) Robertopractica frontón, quelo relacionamos con otra flecha
De(111) César practica tenis, y en consecuencia Alberto practica natación.
 
 
 
 
 
 
 
 
NOMBRES DEPORTE
Gustavo Fútbol
Albert Frontón
César Tenis
Roberto 
Tercera forma
ña
Otra forma de resolver este tipo de preblemases mediante un proceso “direct
cual no es necesario hacer ningún tipo de cuadro adicional, sóto haciendo use
vazonamiento lógico y a partir de ello deducir nuevas informaciones.
 
enel
de un
 
Delejemplo 1 se »endria lo siguien
fútbol, de (11) Roberto practica fronión, de (li!) César no
:sar practica: tenis y se deduce que Alberto practica natación.
 
Deinformación (+) Gustavopra
es nadador, luego
 
Hayproblemas donde hay información de personas convarias actividadesu oficios.
En esa caso usaremosel cuadro de decisiones ampliado, como veremosen el
siguiente ejemplo,
Ejemplo 2
Tres amigas: Sandra, Blanca y Vanessa escogieron un distrito diferente para vivir y se
movilizan usando un medio de transporte distinto;los distritos son: Lince, Jesús Maria,
Rimacy los medios de transporte son:bicicleta, moto y microbús
(1), Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto y se mudará al Rimac.
(1!) Desde que Vanessa vive en Jesús Maria ya no tiene bicicleta.
(La que vive en Lince toma dos microbuses.
¿En qué distrito vive Sandra y en qué medio de transporte se moviliza?
A) Lince — bicicleta B) Rimac— bicicleta C) Jesús Maria — moto
D) Lince - microbús D) Jesús Maria — bicicleta
Centro Preuniversitario UNMS»—
Resolución
1. Para relacionar las 3 variables, construimos un cuadro de doble entrada,y en uno delos lados se coloca 2 de las variables.
Lince
|
Jesús María
|
Rimac
|
|
Bicicleta Moto
|
Microbús
Sandra
Blanca
Vanessa
 
2, Dela información obtenida se tiene:
De (|) Blanca no se moviliza en moto ni vive en elRimac.Do (1) Vanessa vive en Jesús María y no se moviliza en bicicleta. Luego se tiene:
Lince
|
Jesús Maria
|
Rímac
|
|
Bicicleta Moto
|
Microbús
Sandra
Blanca X X
Vanessa Xx X X
 
3. De (1) y (11) y observando !la tabla se sigue que Blanca vive en Lince y también observamos
que Sandravive en el Rimac y llenamosel primer cuadro.
Lince
|
Jesús Maria] Rímac
|
|
Bicicleta
|
Moto Microbús
Sandra Xx X
Blanca Y. X X X
Vanessa Xx X X
 
4. Deotrolado,del dato (11) se tiene que Blanca toma microbús y como consecuencia deello se puedellenar el segundo cuadro.
Lince
|
Jesús Maria
|
Rimac
|
|
Bicicleta Moto
—|
Microbús
Sandra X X X XBlanca Xx X X
Vanessa X Xx Xx Xx
 
Porlo tanto: - Sandravive en el Rimac y se moviliza en Bicicleta.
- Blanca vive en Lince y se moviliza en microbús.
= Vanessavive en Jesús María y se moviliza en moto.
Clave: B|
Observación. Hay problemas en donde es dificil de llenar el cuadro con la informaciónobtenida; es decir, no podemos facilmente obtenerla respuesta deseada para el proble-ma,En esta situación se recomiendalo siguiente:
Se cambia la posición en que estaba ubicada en la tabla, por ejemplo, los nombres(de personas) con una cualidad específica, esto es, si en la primera columna como
_A
_-APTITUD MATEMÁTICA
usualmente es, va colocado los nombres, lo trasladamosa la primera fila, y la cualidad
(o caracteristica) que estaba en la primera fila la trasladamos a la primera columna.
Veamosel siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Tres amigos de nombres,apellidos y ocupaciones diferentes, se reúnen en la casa de
uno de ellos y tenemosla siguiente información
(1), Samuel no apellida Mamani
(11) Quispetrabaja de contador.
(l) El actor sellama Hugo
(1V) Elprofesor no apellida Condori.
(V) Unode los amigos es Carlos
¿Cuáles la ocupación y el apellido de Samuel?
A) profesor — Quispe B) profesor — Mamani C) contador - Quispe
D)actor — Quispe E) actor - Condori
Resolución
1. Construimos el cuadro ampliado y colocamos los nombres, los apellidos y las
ocupaciones.
Mamani Quis; Condori Contador Actor [Profesor
Samuel
Hugo la
Carlos
 
2. Dela información que se tiene: de (1) (11), (11) y (1V) se tendria el siguiente cuadro:
Mamani [Quispe Condori Contador Actor Profesor
Samuel X
Hugo. Xx y. X
Carlos Xx
 
Comoseve, hay dificultad para poderllenar el cuadro y así obtenerla respuesta deseada.
3. Luego,si construimosel cuadro de la siguiente forma
Mamani Quispe Condori Samuel Hugo Carlos
Contador
Actor
Profesor
 
Dondese ha cambiado de posición la de los nombres porla de las ocupaciones(profe-
siones) respectivas.
4. Dela información que setiene en (11, (1) y (1V):
Mamani Quisy Condori Samuel Hugo Carlos
Contador XxX Xx
Actor X Xx Y. Xx X
Profesor X X
 
Centro Preuniversitario UNMS» ——__u—_
De (1) sabemos que Samuel no apellida Mamani, luego se deduce que Samuel es conta-
dor, luegola tabla se llena como consecuencia de los datos ya marcados,luego tenemos
el cuadro:
 
 
 
 
 
 
 
 
H CondoriXx Carlos.Xx
Xx
Y,
Quispe SamuelMamani o 
 
 
Contador
Actor X Y X
Profesor Xx X X
Por tanto, Samueles Contador y su apellido es Quispe.
 
 
 
 
 
 
lu
Xx
X Y.
Xx
 
Clave: C
Otra forma
Secuencia: 1, 2, 3, 4.
Se observa que Samueles contador y su apellido es Quispe
NOMBRES APELLIDOS OCUPACIÓN
Samuel
Carlos
Hugo
 
Ejemplo 4
Katy, Omar y Marilú estudian en tres universidades A, B y C, Ellos estudian Ingeniería,Periodismo y Turismo. Katy no está en A. Omar no está en B. El que está en B estudia
Periodismo. El que está en A no estudia Ingeniería. Omar no estudia Turismo, ¿Quéestudia Marilú y en que universidad?
A) turismo - 8 B) turismo — A C)periodismo - C
D) ingieneria —A E) periodismo - B
Resolución
Katy_| Marilú
[
Omar [Ingen. [Period-] Turis.
Xx X
Xx X
 
Como Omar no estudia Turismo, entonces puedeser que estudie Ingenieria o Periodis-
mo. Pero al no estar en la universidad B, no estudia Periodismo; con lo cual se deduce
queestudía Ingenieria.
 
 ——— APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
 
 AA E Z
 
Kaly Marilú [Omar ][ingen- [Period Turis
Xx
E
L 
Porlo tanio, Marilú estudia Turismoen la Universidad A.
Clave: B
2.1.2, Deductivo Compuesto con Datos Implicitos
Son aqueilos problemas uondeluegode llenar el cuadro de aoble entrada Lonlus alos
en forma direcia no se puede concluir. Es entonces que se busca un dato 1» más adicio-
nales implícitos en los anteriores.
Ejemplo$
Se sabe que las profesiones de Judith, Elba, Rosa y Queta son prolesora, nubticionista,
abogada yocontóloga, aunque no necesariamente en ese orden
St
|) Judith está casada conel hermano dela nutricionista.
II) Elba yla odontóloga van trabajar en la movilidad de la nutricionista
II) Rosa y la profesora son solteras e hijas úl
M Elbe y Queta son amigas de la abogada,l
nicas.
la cual está de novia.
¿Quién es la abogaday quién esla odontóloga?
A) Rosa — Judith B) Rosa -
D) Elba- Queta E) Queta —
Resolución
Elba C) Judith — Queta
Rosa
 
 
LES
 
 
 
Comala ahogada está de novia, entonces Judith que es casada nu +s abogada. De
donde se deduce que es odontóloga.
 
 
 
 
 
 
 
Protencin. usreioriaós .Aógnda
*x x x
y E xo
X X Y
x X x 
 
 
Porlo tanto, la abogada es Rosa la odontóloga Judith.
Clave: A
Centro Preuniversitario UNMS»
—
_á>—_
2.1.3. Problemas Resueltos
Problema 1
Enuna sala de conferencias se encuentra un ingeniero, un contador, un abogadoy unmédico. Los nombres aunque no necesariamente en el orden de las profesiones sonPedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que:
l)
-
Pedro y el contadorno sellevan bien.1) Juan selleva muy bien con el médico
II), Daniel es pariente del abogadoy éste es amigo de Luis.M Elingeniero es muy amigo de Luis y del médico
¿Quién es el abogado?
A) Pedro B) Juan C) Daniel D) Juan ó Daniel
—
—
E)Luis
Resolución
 al
 
ión]
Ingeniero
|
Contador
|
Abogado
|
Médico
 
 
 
 
 
¡nombres
Pedro Xx
Daniel x Xx
Juan x x
Luis x Y x x
 
ComoPedro y el contador Luis no se llevan bien, y el abogado es amigo de Luis, enton-ces se deduce que Pedro no es abogado.
 
 
 
 
 
ofesión]
homes: Ingeniero
|
Contador
|
Abogado
|
Médico
Pedro Xx X
Danlel Xx XA
Juan dE *x Y *x
Luis Xx Z Xx
 
+. Juan es abogado.
Clave: B|
Problema 2
Las señoritas Rocio, Carmen, Juana y María,tienen los apellidos Alva, Barreto, Calvo yDelgado, aunqueno necesariamente en ese orden. Si se sabe que:- Rocio y Delgadofueron a la casa de Calvo que vive en Comas.* Carmen, Alva y Barreto son secretarias de la PRE y la primera siempre llega tardeporque vive en Ancón.
- Alva, Calvo y María los vienes se van a jugarbingo.
¿Cuáles el nombre de la señorita Alva?
A) Maria B) Juana C) Carmen D) Rocio o Maria E) Rocio
 APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
 
 
Resolución
apellidos]
Alva Barreto Calvo Delgadonombres"
Rocio Xx X
Carmen Xx Xx
Juana Xx Xx
María E Xx
 
Como Calvo vive en Comas y Carmen vive en Ancón, entonces se deduce que Carmen
nose apallida Calvo.
 
 
 
 
 
Gpalidos|
Alva Barreto Calvo Delgadonombres
Rocio Y Xx x x
Carmen x x XA Y
Juana x Xx Y x
Maria E Y Xx Xx 
+. La señoritaAlvatiene por nombre Rocio.
Clave: E
Problema 3
Rosa, Carmen y Alicia son amigas. Una es soltera, otra es casada y otra es viuda (aun-
que no necesariamente en ese orden). Se sabe que:
-Alicia no es casada
- La viuda y Rosa son colegas.
 
 
 
 
 
 
Entonces:
A) Rosa esviuda 8) Rosa essoltera C) Alicia es casada
D) Alicia es viuda. E) Carmen es viuda
Resolución
doLS viuda
|
Como Alicia no es casada,
a % 7 x entonces Alicia no es viuda, por
953 lo tanto, Alicia es soltera.
Carmen x x Y Luego, Carmen esviuda.
Alicia Y x Xx
Clave: E
Problema 4
Ana,Bertha, Carlos y Diana,tienen diferentes ocupaciones: periodista, médico,kinesiólogo
y matemática viven en las ciudades M,Y, Z y W. Se sabe que:
- Carlos no vive en Mni en Y. - Ana vive en W.
- Diana es kinesióloga. - El periodista nunca a emigrado de Z.
- El médicovive en M,
¿Qué profesión tiene Ana?
A) abogada 8) médico C)periodista D)kinesióloga E) matemática
 
Centro Preuniversitario UNMSM —
 
 
 
 
 
 
Resolución
period.| méd.
|
kines.
|
mat. [m
|
y
|
z
|
w
Ana | Xx Xx X|v
Bertha Xx Xx Xx
Carlos x XxX] vYpx
Diana
|
x
|
x
|
v%
|
x Xx]
Comoel periodista nunca a emigrado de Z y Carlos vive en Z, entonces Carlos es el
periodista,
El médicovive en M, y como Ana vive en W, entonces Ana no es médico.
 
 
 
 
 
eriod.| méd.
|
kines.
|
mat.
|
m
|
Y
|
z [w
Ana x Xx Xx Y |XIx|X|v
Bertha] Xx Y x X |Y“[Xx|x]|x
cart Y PX Lx [xxx ix
Dianal X
|
x
|
Y
|
x |Xx[v[|xix 
Luego,Anatienela profesión de matemática.
Clave: E
2.2. NUMERACIÓN
Lossistemas de numeración son conjuntos de simbolos convencionales quesirven para
Fepresentar (en forma correcta) y operar con los números.
2.2.1. Reglas
1. Se elige un número entero mayor que uno (x >1) como base del sistema de numeración.
2. Se usan los simbolos: O, 1, 2, ...; (x- 1) conocidos como cifras, dígitos o guarismos,
hasta una unidadanterior a la base
3, Todo número puede ser obtenido por combinación de las cifras anteriores con potencias
del número que representa la base delsistema de numeración de la siguiente manera:
pea ataraa (1)
 Abreviadamente se escribe: 3, a,
 
3 222) ++ (2)
escritura que recibe el nombre de numeral, donde:
X-> base del sistema de numeración.
Bd) 1 0.8, > cifras,
 
1,2, ....k > orden que ocupa cada cifra.
 2
>
APTITUD MATEMÁTICA
Por ejemplo:
Hallar la escritura de las siguiente expresiones
Es3 0+4.6+5.0+2,6'+ 1 0+3
F=70+6,7:+1
Resolución
Para la primera expresión: E = 345 213,
donde se escriben sólo los coeficientes y la base es el número que se repite.
Para la segunda expresión: Debemos completar las potencias que faltan con el coefi-
ciente cero,
F=7*+0.7+6.7+0,7+1
 
= 10.601),
Observación
- El sistema de numeración comúnesel sistema de numeración decimal (base 10).
- Convencionalmentela base 10 no se escribe.
Veamos un cuadro de diferentessistemas de numeración las cifras que pueden usarse.
 
Base Nombre delSistema Cifras
 
 
2 Sistema de Numeración Binario 0,1
 
3 Sistema de Numeración Temario 0,1,2
 
4
__|
Sistema de Numeración Cuaternario
|
0, 1,2,3
 
 
10 Sistema de Numeración Decimal 0,1,2,3,..
12 Sistema de Numeración Duodecimal 9,1,2,...,9, 10, 11
 
 
 
 x__ Sistema de Numeración en BaseX 0,1,2,....(X-1)
 
[Se denomina cifra no significativa al O
Cifra significativa: 1,2, 2, 3,.....(x-1)
Ademáspara cifras mayores que 9
a=10, P=11,y=12,5=13, e=14, 4=15, etc.
 
twitter.com/calapenshko
Centro Preuniversitario UNMSM:
 
Siel valor es mayor, éste se encierra entre paréntesis, por ejemplo:
cifra cuarenta = (40)
cifra cincuenta y dos = (52)
2.2.2. Descomposición Polinómica
La descomposición polinómica, no es sino el proceso contrario, es decir, de un numeral
se puedeobtenerla combinación de lascifras por las potenciasde la base.
Porejemplo:
54 06% 16% 36'+ 46*
LE asuierecha hay O cifras
a su derecha hay 1 cifra
a su derecha hay 2 cifras
a su derecha hay 3 cifras
asu derecha hay 4 cifras
 
Descomposición Polinómica en Bloques. Veamoslos siguientes casos que nos
permitirán entendereste concepto.
 
A) Primer caso: Cuando las cifras se repiten periódicamente.
Por ejemplo:
Si se tiene el numeral N = ababab(x) y vemos quese repite el periodo 35, se tiene:
 
N = 2b0000(x) + abO0(x) + 2D(a)
N= aba)(10000/4)) + aba) (100/49)+ 2B()
N = 2b(x) (10000(,) + 100(y) + 1)
N = aba) (10101(,))pita
(a)
Nota: Regla práctica para calcular (a)
N=ababab
yiiddd
010101pasos
á
APTITUDMATEMÁTICA
Por ejemplo:
Sea N=225022502250,, 225022502250
iisilJrilids
N = 2250, 100010001, 000100010001
(se lee de derecha a izquierda)
B) Segundocaso: Cuandolascifras no se repiten en formaperiódica. Cada bloque que
se forma se considera comosi fuese una cifra y se aplica el criterio general.
Veamos algunas formas de descomponer un numeral de 4 cifras
N=medu=m.10%+ ¿du,
3cifras
N=mcdu=m.103 +2d.101+ y
 
15Ía
N=abed=3b.10?+ cd
2 dias
E=abod=abc.10'+ u
1 día
Por ejemplo:
25623 =25. 10? +623
73486 =734.. 10*+86
73486 =7348 ,10+6
Ejemplo 1
Jaimito dijo el día de ayer: “mi año de nacimiento es un número impar representado por
1935 y enel año 19 (a + 1) (b + 2) cumplía. b años. ¿Cuántos años tiene en el año
19 (a + b)(a + b)
A)45 B) 35 Cc) 54 D) 34 E) 43
Resolución
Edad = Año actual - Año nacimiento
Barib:2-Bd-PbPÍ=
 
Centro Preuniversitario UNMS» ——_—-___
 
Del año T8ab= impar > b es impar => b=3
>2=4
Entonces enel año TSTa+b)(8+b) = 1977
edad Jaimito = 1977 - 1943 = 34 años
Clave: D
2.2.3. Observación Importante
1. Si bc
Da<xib<x;o<x;O<a
2. Si 20) = MPa,
>2a=m, b=n,c=p
 
3. Si abc(y = my > x<y “A mayornumeral menor base".
4, Representación en sistema decimal
Si N tiene dos cifras => 10 SN < 10?
Si N tiene tres cifras > 10% s N < 10%
Si N tienek cifras: => 10%1s N < 10%
Por ejemplo: 10* <20480<10*
5. Representación en base “x”
N,= N en base x
Si N, tiene dos cifras =x <N,<x?
Si N,tiene tres cifras > 2 SN <x%
SIN, tiene
k
cifras => xl SN <oxl
Por ejemplo: 5% s 1234(5 < 5%
[—_APTITUDMATEMÁTICA
Ejemplo 2
 
Calquiar el valor de (m+n +p-a=x). si 2a8(6)= MNP4y)-
A B)2 C)-7 D)-6 EJO
Resolución
A mayor numeral menor base. =>x<6 y x>4
=>x=5
Del numeral se tiene: aaa(e) = 2.111, =2(8? + 6 + 1) =43a
Enlaigualdad 43a= MAPá(5)
43a= m5 +n.5' +p.5 +4
5
 
4a=5+4 y a<6
129=43(3)= 5 +4
Luego convirtiendoa base 5:
 
= 393) = 1004, =m
 
n=0 ,p=0
=men +p-a-x=1-3-5=-7
Clave: €
Ejemplo 3
¿En cuántos sistemas de numeración 3344 se denota contres cifras?
A)43 8)41 0)42 D) 45 E) 44
Resolución
Sea N, = 3394
como N, tiene tres cifras > 2 SN, <x%
> six
5 3344 » 3344 <x2
15574 A x>14,7
> 147<x 5574
2 x=15,16,17,...,57
e
Hi de sistemas =
 
Clave: A
Centro Preuniversitario. UNMS»
 —
—_—A>=>———_
2.2.4. Problemas Resueltos
Problema 1
Hallarrepresentación decimal del numeral; (2
-
2) a (3 + 4),
 
* AJOS B) 85 0)75 D) 80 E) 20
Resolución
Se tiene que: y sl <8
Primerdígito Mayordigito
mayor que menor que la
cero base
> a>2 y a<4
»a=3
luego: (a- 2) a (a+ 4)a =1374 =1x 87 +3x8+7
=64+24+7=95
Clave: A
Problema 2
¿En quésistema de numeración 481 se representa como abab ? Dar como respuesta
(a + b) másla basedelsistema desconocido.
 
Ay B)9 0) 15 D) 13 E) 14
Resolución
Sea x= La base desconocida
Tenemosque:
481=abab,,
481=101,,2D
37.13=(x +1Xax+b)
x+1=372x=363x=6
>ax+b=13>6a+b=13
pa
21
17X
>a+b+x=2+1+6=9
Clave: B
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 3
¿Cuántos numerales de tres cifras del sistema decimal se expresan en base 11 con tres
cifras iguales?
AA 8)5 0)6 D)7 EJ9
Resolución
Para un númeral detres cifras en el sistema decimal se cumple
111 < abc <1000 ...(1)
Por dato: 2bC=>0%19 =X:114,y
abc = 133x
Reemplazando en 1: 100 < 133x < 1000
0,74 < x<74
=> x=1,2,3,4,5,6,7
= | Sonsiete numerales.
 
Clave: D
Problema 4
¿En qué sistema de numeración existen 1485 números naturales que se representan
bajo la forma a (a + b)b?
AJbase52 B)base54 C)base55 D)baseG4 Ejbasec5
Resolución
28 + D) Bin, n = base buscada
> a>0, O<a+b<n
Dando valores tenemos:
a=1=> b=0,1,2,...(n-2) => (n-1)valores
a=2> b=0,1,2,...(n-3) = (n-2)valores
a=3> b=0,1,2,...(n-4) = (n-3)valores
> 2 valores
> valor
 
Cantidad total de números:
(-9n
1+2+3+ ...+ > (n-1)=1485 > = 1485
 
= n*-n=2970 => ni-n-2970=0
> (n- 55) (n+54)=0
> n=55
Clave: C
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
 
2.3. SISTEMA DE ECUACIONESLINEALES CON DOS VARIABLES
2.3.1.Definición
Esun conjunto de dos ecuaciones lineales, cada una con dos incógnitas(x, y):
ax+by=c
Sa) E
Donde a,b.c.d.e y f son númerosreales dados.
Una solución delsistema (1) es un par de números, denotado por(x,y,), que satisfaceel sistema (1). Para que el sistema (1) tenga solución única debe cumplir que
1.t
-
4.4 20. Para determinarla solución se puede emplear cualquiera de los métodos yaconocidos:adición,sustracción, sustitución, igualación, etc.
Ejemplo 1
El precio de seis metrosde tela casimir es el mismo precio de 15 m de tela de lanilla. Si
el precio de 10 m detela de lanilla es S/. 60, ¿cuánto cuesta el metro de casimir?
A) S/. 14 B) S/. 15,5 C)S/. 13,5 D) S/. 15 E)S/. 13
Resolución
Costo de cada metro de tela casimir: x
Costo de cada metro de tela de lanilla: y
 
Delproblema se tiene
5
MY DEN(1)
10y=60 => y=S/.6
5
En (1): x=>5(6)=15
Clave: D
Ejemplo 2
Nelson lanzó “m" veces un dado. El máximo puntaje total que pudo haber obtenido es120, pero obtuvo 66 y sólo sacó puntaje par, Si 3 veces obtuvo el puntaje 6. ¿Cuántas
veces obtuvo el puntaje 2?
AJ10 B)6 Cc)4 D) 15 812
Resolución
 
m: 44 delanzamientos . .
ind de veces quesalió 4 . 
 
 
prat de veces quesalió 2 P- veces
>APTITUD MATEMÁTICA
Delproblema se tiene que:
Puntaje máximo = 6 m=120 = m=20
n+p+3=20 > n+p=17 =n=17-p
 
Ademásse sabe que:
3(8)+4n+2p=66=> 4n+2p=48=20+p=24 -..(2)
(Den(2) : 217-p)+p=24
34-2p+p=24> p=10
Clave: A
2.3.2. Problemas Resueltos
Problema 1
Unganadero estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio 9 vacas y 9
loros, entonces con el mismo dinero decide comprar el mismo número de animales de
cada clase. ¿Cuántos animales compró?
 
A)30 B)27 0)24 D)21 E)18
Resolución
D' dinero quetiene 9 +9T
8: precio de cada oveja
V: precio de cada vaca 2) D=x0+xV+xT
T: precio de cadatoro De(1)y(2):720=x0+x(V+T)=x0+8x0
3) 720=(9x)0
x=8
3x=24
Clave: €
Problema 2
La sumadelascifras de un número de dos digitos es 12. Si el orden de los digitos se
invierte, el númeroresultante excedeal número original en 36, Hallar el númerooriginal.
A)75 B)57 Cc) 48 D) 56 E)42
Resolución
N= 36
atb=12= a=12-b... (1)
ba - db =36 > 10b+a-102-b=36 00 -9a=36
Centro Preuniversitario. UNMS» —__—>z_———_J
Simplificando:
b-a54..... (2)
(1) en (2): b-(12-b)=4
>2b=16>b=8
En(1) a=4 = N=48
Clave; B
Problema 3
Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndose en ambos
casos45 de cociente. Silos 2 residuos suman73, unode ellos es
 
A)12 B)14 Cc) 24 D) 28 E)45
Resolución
Del problema setiene que: Además:
N= q(4S) +r,=(q+1)45+r, r, +rRETS... (2)
45q+r,= 45q+45+r, De (1) y (2) se tiene que: 2r, =118
1,0595... (1) ar, =59
Luego 1, =14
 
Clave: B.
Problema4
 
Cuando compro cuadernos, por cada decena me regalan dos, y cuando vendo, por cada
docena regalo uno, ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 432 de los mismos,
si no me quedo con ninguno?
A)780 B) 360 C) 390 D) 420 E)720
Resolución
if decenas: x
* docenas: y
Compro Regalo Recibo
10% 2 12
Vendo Regalo Entrego
12 y 13y
Recibo = Entrego
x= 1 (1)
vendo =12y=432 = y=36
En (1): 12x= 13(36) => x=39
compro: 10x = 390
Claw
 
 —— APTITUD MATEMÁTICA
2.4. ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
2.4.1. Propiedades Básicas
a) Ángulo formadopordos bisectrices interiores
En todotriángulo la mayor medida del ángulo formado porlas bisectrices de dos
ángulosinterioreses igual a 90* más la mitad dela medidadeltercer ángulo interior.
 
x= 90*->
 
 
b) Ángulo formadopordosbisectrices exteriores
En todo triángulo la menor medida del ángulo formado por las bisectrices de dos
ángulos exteriores es igual a 90* menosla mitad de la medida del tercer ángulo interior.
 
 
 
x=00-2
2 
 
c) Ánguloformadopor una bisectriz interior y otra bisectriz exterior
En todo triángulo la menor medida del ángulo formado porla bisectriz de un ángulo
interior y la bisectriz de un ángulo exterior es igual a la mitad de la medida deltercer
ángulo interior.
 
 
"
n
i
o
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
a) Ángulo formado por una altura y unabisectriz
Entodo triángulo la menor medida del ángulo formado por una altura y unabisectriz
interior queparten de un mismovértice, es igual a la semidiferencia de las medidas de
los otros dos ángulosinteriores.
 
Si BH es altura del triángulo ABC
y BD es bisectriz del ángulo ABC
 
 
8) Ángulo formadopor una altura y una mediana
Entodotriángulo rectángulo la menor medida del ángulo formadoporuna altura y una
mediana queparten delvértice del ángulo recto esiguala la diferencia de las medidas
de los ángulos agudos.
 
isc
 
M
 Si BH es altura deltriángulo ABC E
y M espunto medio de AC
 
 
 
Ejemplo1
Enla figura adjunta, calcular m PRM.
A)126* B)133*
C)123* D)124* E) 125*Resolución=
+ MÍÁNP=00*- 2
=
68(propiedad b)
seSn
«mPRM=90 +=3 5128(propiedad a)
4 »
Clave: €
APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
En!la figura adjunta, BM es mediana del triángulo ABC.Calcularel valor de x.
 
A)30* B)22*30" B
C) 40*30" D) 32* >
E) 25"
Resolución
A H D
* Enel ABC: x= 50 - 3u => x= 2a
* Enel 4 ABC: Sa + 30 = 90” > 2a = 22*30" => x= 22*30"
Clave: B
2.4.2.Problemas Resueltos
Problema 1
Enla figura adjunta, AB = BC = BD,calcularel valor de x.
 
Ay12* B) 10" B D
5
c)6* D)9"
7
ene > e
o AAResolución e
+ 4 ABD esisósceles
+ Enel 4 ADC: x «m2 (propiedad c)
=m4D=2x
+ 4 BCD esisósceles
= M4BCD= 2xta
«Por ángulo externo en el A ABE y
ela CDE: a+40'=a+4x=x=10*
 
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema 2
Ena figura mostrada,calcularel valor de (x - y).
AJ15*
B)16*
Cc)17"
D) 18*
E) 14
 
Resolución
740
q53"propiedad b)
* 0+P=90%> y =90*-x =37%
 
*Enel A ABC: Xx =90* >x-y =16* Clave; B
Problema 3
En|la figura adjunta, calcularel valor de x.. 8
DoA)40* B) 30*
Cc) 20" D)15*
Resolución AsLea E ce
D F
+ Prolongamos BD y EF|hasta que
se cortan en P
2x
*Enel AABE: m £ DPF = Ze
+ ADFP: dx +4x+x=180%> x= 20"
Clave: C
 
25.
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 4
Enla figura mostrada, calcularel valor de (a + $ +0).
A) 180*
B) 360"
c)270*
D) 120*
E) 90*
 
Resolución
 
“Enelá ABD: 0= 2 =0=y
*Enela EBC: popa
+ Enel a sombreado x+ a +y= 180*
> 0tr0+p=180*
Clave: A
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. Detres amigos, se sabe que:
Juan no estudia en la Universidad Católica. David no está en la Universidad de San Mar-
cos, el que está en la Universidad Católica no estudia Ingeniería Industrial, el que está en
la Universidad de San Marcosestudia Ingenieria Mecánica. David no estudia Economia.
Sila otra Universidad es la Técnica del Callao, ¿qué estudia Tomásy dónde?
A) Economiaen la U. San Marcos. B) Economíaenla U.Técnica delCallao.
C) Economía enla U. Católica. D)Ing. Mecánica enla U. Católica.
E) Ing. Mecánica en la U. de San Marcos.
Problema2. Cinco amigas buscarán trabajo, pero deciden hacerlo en cinco distritos
diferentes: La Molina, SanIsidro, Pueblo Libre, Lima y Miraflores, Si se sabe que
Elsairá a la Molina.
Lassuegras de Carmen y Mirian viven en San Isidro, por lo cual deciden noir a este
distrto
- Mirian vive en Pueblo Libre.
= Mónica vive en Lima y es la única que ha decidido buscar trabajo en el mismodistrito
donde vive,
-- ANancy le esindiferente el distrito donde trabajará.
 
Centro Preuniversitario UNMS», —__u—=————_
 
Podemosafirmar:
A) Mirian buscará trabajo en Pueblo Libre.
B) Nancy buscará trabajo en Pueblo Libre.
C) No es cierto que Carmen buscará trabajo en Pueblo Libre
D) Nancybuscará trabajo en Lima.
E) No es cierto que Nancy buscará trabajo en Miraflores.
Problema 3. Alberto, Pedro, Jonathan y Jorge postularána las universidades UNI, U. deLima, U. de San Marcos y U. Vilarreal, ellos estudiarán matemática, arquitectura,ingenie-ría y periodismo
Se sabe que:
- Alberto no deseaVillarrealnila de Lima.
- El que deseaestudiar en la UNI estudiará arquitectura.
- El que postula a San Marcos no estudia ingenieria y aqui tiene auge el periodismo- Jonathan prefiere matemática que periodismo.
- El que pretendela de Lima quiere ingenieria.
- APedrole agrada arquitectura.
¿Quéy dónde estudiará Jorge?
A)IngenieriaUNI B) Arquitectura — S. Marcos C) Matemática —U.de Lima
D) Ingenieria —U, de Lima E) Periodismo = S. Marcos
 
Problema 4. A, B,C y D practican los siguientes deportes: natación, atletismo,fútbolytenis, y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Se sabe que:
- Cno vive en los Olivosnien Breña
- Elalleta vive en los Olivos
- Aviveen Miraflores.
- Desfutbolista.
- Elnadador nunca a emigrado de San Borja.
¿Qué deporte práctica A?
A)natación
—
B)atletismo C)futbol D) básquet E) tenis
Problema5. A unafiesta asistieron 4 parejas que sólo bailaron entre ellos y al mismo
tiempo,un rosk, un bolero,unasalsa y un vals. Al salir ellas comentaron:
Natty: Disfrulé másbailando bolero con Raúl, que rock con Paul
Patty : Mientras bailaba bolero con Dany, él me besó.
Katty : Cuandobailaba salsa con Tony, nos tropezamos.
Betty : Nunca más volveréa bailar salsa con Raúl.
¿Quiénes baiiaron vals con Katty y Bettyrespectivamente?
A) Dany - Raúl 8) Paúl - Dany C) Paul - Raúl
D) Dany - Paul E) Tony - Paul
 
-—— APTITUD MATEMÁTICA
Problema6. Calcularel valor de: (a+ b-+m+n), si:
AS8im=DDSA(a y 202m) =Bb57(9
AJ21 B)22 C)23 D) 24 E)25
Problema7. ¿A quésistema corresponde 2244, si su equivalente en el sistema heptal
es 114157
A)octal B) nonal C) décuplo D) undecimal E) duodecimal
Problema 8. Se reparte S/. 616 entre cierto número de personas, correspondiéndoles
respec: vamente a cada una de ellas: abs), abys) abi»)... abizo, Soles. Calcular el
valor de (a+b).
AJ3 B)5 C)4 D)J6 E)7
Problema9. El número de páginas que tiene un libro está comprendido entre
300 y 600. Se sabe que: ÍNDICE = a hojas, INTRODUCCIÓN= c hojas, TEORÍA =
a0c hojas, PROBLEMAS = ab” hojas y TOTAL = abc] hojas. ¿Cuántas hojastiene el
libro?
A) 235 B) 255 C) 165 D) 265 E) 285
Problema10. Endossistemas de numeración de bases consecutivas, hay en una 520
numerales de tres cifras más que enel otro. Calcular la menordedichas bases.
A) base 11 B) base 13 C) base 9 D) base 15 E) base 14
Problema11.En dossalones hay igual número de personas,por cada cinco personas
quesalen delprimero, del segundosalón salen 3 paraentrar al primero y uno más se
retira a su casa. Cuando hay 50 personasenel primero, en el segundo hay 20. ¿Cuántas
personas había inicialmente en cada salón?
A) 100 B)90 C)85 D)8o E)75
Problema12. Sial doble del dinero de Gabyse le agrega eltriple del dinero de Sandra,
resulta S/. 8 y si al séxtuple del dinero de Gabyse le resta el cuádruple del dinero de
Sandra, resulta S/.11. ¿Cuánto dinerotienen entre ambas?
A) S/, 1 B) S/. 3,5 C) S/. 2,5 D) Sy. 2 E) S/. 1,5
Problema13, En las aulas P. Q y R de un colegio se tiene que las aulas P y Q juntas
tienen 85 alumnos; y las aulas Q y R juntastienen 75 alumnos;y las aulas P y R juntas
tienen 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene el aula Q?
A)35 B) 40 0)45 D) 50 E) 48
 
Centro Preuniversitario UNMS» —_<>—áw—2—2—%—02—2—24%4%420>
Problema14. En unahacienda hayvacas, caballos y cerdos, Sin contar las vacas hay
24 animales; sin contar los caballos 36 animales; sin contar los cerdos 28 animales.
¿Cuáles el número de caballos en dicha hacienda?
A)10 B)18 c)12 D)8 E)16
Problema 15. Gustavo tiene en total mn aves entre pollos, patos y pavos; todos sonpatos menos8 m; todos son pavos menos12 n y todos son pollos menos 6 m. ¿Cuántos
pollos tiene Gustavo?
A) 13 B)17 0)23 D) 24 E)18
Problema16. Enla figura adjunta, PM = MR.Calcularelvalor de *x”.
A) 120"
B) 130*
C) 100"
D) t10*
E) 105* 
Problema 17. En la figura adjunta, a + $ +8+y= 150", Calcular *x"
A) 100*
B) 105"
C) t10*
D) 115*
E) 120"
 
Problema 18. En el gráfico mostrado, calcular el valor de *X'.
A)70*
B) 85*
Cc) 120*
D) 9s*
E) 130*
 
 
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 19. En la figura adjunta, calcularel valor de *x”.
A) 40"
B) 20*
C) 10*
D) 36*
E) 18*
 
A) 60*
B) 40*
C) 50"
D) 70*
E) 30*
CLAVES
16 5.D 9.A 13.8 17.8
2E 6.E 10.8 14.D 18.E
3.D 7.D 1.D 15,0 +9.D
4E 8.C 12.8 16.A 20.4
twitter.com/calapenshko
 
34.
EXEN
CAPÍTULO Ill
 
Verdades y Mentiras. Criptoaritmética. InecuacionesLineales
con una Incógnita. Congruencia de Triángulos.
VERDADES Y MENTIRAS
Eltemade verdades y mentiras es una parte importante de la lógica matemática que permite
descifrar acertjos sobre veracesy mentirosos, es deci,identificar a los personajes hipotéticos
que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de lerceros.
El temaencarna la idea esencial del famoso enunciado de Kurt Gódel (el lamado Segundo
Teorema de Incompletituc) que afirmaque todo sistema matemático consistente con suficiente
poderpara realizarlo que se conoce como arilmética elementaldebe padecerla sorprendente
limitación de no poder nunca demostrar su propia consistencia
Para identificar a los personajes hipotéticos utilizaremoslos razonamientos por casos,
reduccón al absurdo, por analogíay otros. Estos razonamientos nos permitirá descartar
un cierto número deposibilidades inconsistentesy tener sólo una posibiliciad consistente.
Veraces y Mentirosos
Concepto.Los veraces o caballeros son los personajes que siempre formulan o dicen
enunciados verdaderos. Los mentirosos o bribones son los personajes que siempre
formulan enunciados falsos. Cada personaje que participan en las acciones de los
problemas o es un veras o unmentiroso, en algunos casos podrán ser veraces o
mentirosos hasta un número limitado de afirmaciones.
Ejemplo1
Supongamos que los casados siempre mienten y los solteros siempre dicen la verdad
Félix dce: “Luis y yo somos solteros”, y Luis dice: "Félix es casado”. Si sólo unode ellos
miente, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
l) Félixdijo la verdad
1) Félices casado y Luis es soltero,
111) Félixessoltero y Luis es casado.
14) Luis dijo la verdad.
V) Félix es soltero y Luis miente.
AJiy in B)Il y Iv C)l y V D) III y IV E) Ill y V
pr
Centro Preuniversitario UNMSS —_—z—
Resolución
Supongamos que Félix dijo la verdad, entonces Luis miente. Asi tenemos:
Según Félix: Luis es soltero.
Luis miente; Luis es casado.
Este resultado es un absurdo, así esta posibilidad queda descartada. Luego tenemosla
Única posibilidad consistente:
Félix: miente y es casado.
Luis: dice la verdad y es soltero.
Clave: B|
Ejemplo2
Supongamosque ofrezco a Lewis dos premios: Premio 1 y Premio 2, Tiene que formulartn enunciado.Sisel enunciado es verdadero, entonces debo darte uno de los dos premios(sin decir cuál de los dos). Si su enunciado es falso, entonces no gana ningún premio.SiLewis desea el Premio 1, ¿cuál de los siguientes enunciados podría formular para quelegarantice que ganará el Premio 17
1), Usted medará el Premio 2. 11) Usted no medará el Premio 1.111) Usted no medará el Premio 2. IV) Usted me dará el Premio 1.V) Usted me dará uno de los premios.
Ay B)IV o! D)V En
Resolución
Supongamos que fórmula el enunciado (1). Si este enunciado es verdadero, tendría elPremio 2 y no tendria el Premio 1; sieel enunciado es falso, no tendría ningún premio. Esteenunciado no podría escoger.
Supongamosqueformula el enunciado (11). Siéste es verdadero, tendria el Premio 2 ynoel Premio 1; si el enunciado esfalso, tendría el Premio 1 y no tendría ningún premio, es unabsurdo. Luego con este enunciado tendría siempre el Premio 2.
Supongamosque formula el enunciado(II). Si el enunciado es: verdadero,tendria el Premio1; siel enunciado esfalso,tendría el Premio 2 y no tendría ningún premio,es un absurdo.Luegoconeste enunciado tendria siempre el Premio 1.
Razonandoda forma análoga que para los enunciados (1y (11), descartamosla formulación
delos enunciados (IV) y (V).
Así, Lewis,si deseael Premio 1, tendrá queformular el enunciado(III).
Clave: E
 APTITUD MATEMÁTICA
3.1.2.Problemas Resueltos
Problema 1
Amelia llegó a la isla de los Caballeros y los Bribones a entrevistar solamente a los
matrimonios. Los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos,los bribones
siempre formulan enunciados falsos, y cada habitante es un caballero o un bribón. Amelia
llamó a una puerta, el marido le abrió a medias y sucedió elsiguiente diálogo:
+ Marido: "¿Qué desea?”
+ Amelia: “Hago un censo, y necesito información sobre usted y su esposa
¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero,y cuál, si alguno lo es, es un
bribón?"
+ Marido: “¡Ambos somos bribones!"
 
¿De qué clase es el marido y de quéclasees la mujer?
A) Esposoes un caballero y esposa es una bribona
B) Esposoes un bribón y esposa es un caballero
CC) Ambosson bribones.
D) Ambos son caballeros.
E) No se puede determinar.
Resolución
Supongamosque el marido es un caballero, entonces su afirmación es verdadera,su
mujer y él son bribones. Es decir, que el marido es caballero y bribón a la vez, esto es un
absurdo. Descartada esta posibilidad. De lo anterior, el marido es un bribón. Así su
afirmación es falsa, y su mujer es caballero. Si su mujer no fuese caballero, ambos
serían bribonesy su enunciado sería verdadero, esto sería un absurdo. Porlo tanto:
Esposo: bribón,
Esposa: caballero.
Clave: B
Problema 2
En una cierta isla, los creyentesdel dios "Poder" siempre mienten y los no creyentes
siempre dicen la verdad. Un extranjero llegó a la isla y se encuentra con cinco nativos del
lugar, pregunta al primero deellos si es creyente del dios "Poder". Este responde a la
pregunta; el segundo,eltercero el cuarto informan queel primero negó ser creyente;
pero el quinto informa queel primero es realmente creyente. ¿Cuántos de los cinco nativos
son creyentes del dios “Poder”?
AJ1 B)3 C)5 D)4 E)2
Resolución
Supongamos queel primero es creyente del dios "Poder". Entonces sus afirmaciones
fueron:
bo
70
Centro Preuniversitario UNMSM.
 
 
1%. nativo z no soy creyente(falso),
3", 4*.mativo —: primeronegósercreyente (verdadero),
5. nativo : pfimero es realmente creyente (verdadero).
Deaqui, se tiene un creyente y cuatro nocreyentes.
Supongamosqueel primero es no creyente del dios “Poder”. Entonces sus afirmaciones
fueron:
1%nativo : nosoycreyente (verdadero),
2, 3%, 4%. nativo: primeronegó sercreyente (verdadero),
5* natwo primero es realmente creyente (falso)
De aqui, se obtiene un creyente y cuatro no creyentes
De ambos casos, siempre se tiene con respecto a los cinco nativosde lz eta
Creyentes $ *
Nocreyentes
Clave: A
Problema 3
En un concurso de Lógico Mátemiático se presentan cinco alumnos: Sofía, Rosa, Raúl,Carlos y Tania, los cuales responden verdadero (V) o falso (F) a una prueba de cinco
preguntas, obteniéndoselos siguientes resultados:
 
 
 
 
 
 
bomaiumos] Soria
|
Rosa
]
mau
|
caros
|
Tania
t v F F v F
a F F F V v
3 V v F F v
4 F v v F v
5. v F ” v F 
Si uno deellos contestó todas correctamente, otro falló en todas y los otros tresfallaron
respectivamente, en uno,en dosy en tres preguntas,¿quiénes ocuparonlos dosúltimos
lugares?
A) Sofía y Rosa B) Rosay Raúl C) Raúl y Tania
D) Raúl y Carlos E) Sofía y Carlos
Resolución
Observando el cuadro de resultados,las respuestas de Rosa y Carlos son opuestas.Esto significa que unode ellos contestó todas correctamente y el otro falló en todas.
Observando las respuestas de Rosa y Tania, no coinciden solamente en la segundapregunta, De aqui, deducimos que Rosa contestó correctamente todaslas preguntas yTania se equivocó solamente en una pregunta. Asisetiene
Rosa i 1". lugar,
Tania: 2% lugar,
Carlos 5*, lugar.
—————- APTITUD MATEMÁTICA
Ahora comparando las respuestas correctas de Rosa conlas respuestas de Sofía y de
Raúl deducimos: Sofía: 4*.lugar,
Raúl 3% lugar.
Asi, Sofía y Carlos ocuparon los dos últimoslugares.
Clave: E
Problema 4
Un juez estaba convencido que cuatro de los cinco sospechosos: Raúl, Martín, Javier,
Manuel o Frank eran los asesinos de "Lolita". Cada sospechosohizo unaafirmaciós
 
+Raúl : “Yonolamaté”.
«Martín: *Raúl miente”.
«Javier "Martin miente”.
«Manuel : "Martiniamató”.
«Frank “Manueldice la verdad”.
Si solamente una de las afirmacioneses cierta, ¿quién no es el asesino?
A) Raúl B) Frank C) Martin D) Manuel E) Javier
Resolución
Las afirmaciones dadas por los cinco sospechosos son equivalentes a decir
m
+ Raúl 5 Nola maté.
«Martin: Raúl la mató.
sJavier Raúl no la mató.
« Manuel Martin la mató.
«Frank: Martín la mató.
Supongamosquela afirmación de Raúl es verdadera, entonceslas de los demás son
falsas. De la falsedaddela afirmación de Javier se deduce que Raúlia matóy esto es un
absurdo conlaafirmación verdadera de Raúl. Así, esta posibilidad queda descartada.
Supongamosque la afirmación de Martin es verdadera, entonces las de los demás son
falsas. De estas falsedades deducimos:
+ SegúnRaúl —: Raúllamató
+ Según Martin —: Raúllamató
+ Según Javier: Raúllamató
+ Según Manuel: Martínnolamató
+ Según Frank : Martinnolamató
De aqui,se tiene que Martín noes el asesino de “Lolita” y los otros cuatro sonlos asesinos.
Siguiendo el razonamiento, en forma análogarealizado para Raúl, se descarta la veracidad
de las afirmaciones de Javier, Manuely Frank,
Clave: €
7
Centro Preuniversitario UNMSS —>”——__
3,2. CRIPTOARITMÉTICA
La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en que época se creó, pero los
aficionadosa las variedades comenzarona interesarse porellas en el primer congresointernacional de recreación matemática que se reunió en Bruselas en 1935.
3.2.1. Concepto de Criptoaritmética
Es el proceso de encontrarelvalor de las cifras que están representadas porletras o porotros simbolos; los cuales intervienen en la formación de números, en las operacionesaritméticas y otros, teniendo en cuenta las propiedades de las mismas.
3.2.2. Caracteristicas
a) A cada letra le corresponde unay solamente una cifra o viceversa.b) Aletras iguales le corresponden cifras iguales
<) Silas cantidades vienen expresadas por otros simbolos que no sonletras, cada simbolo
no equivale necesariamentea cifras diferentes.
Observación. La letra "O" no representa necesariamente el cero, salvo indicación explicita,
3.23. Tipos
3.2.3.1. Criptoaritmética con Letras
A) En la formación de números
Sonexpresiones simples equivalentes a una cantidad determinada. El valor de cadaletra se halla igualando al número representado por su valor posicional.
Ejemplo1
Si CEPUSM= 241896,calcular PEPE.
A) 2828 B) 1414 C) 2626 D) 1515 E) 1717
Resolución
CEPUSM = 241896 
 
P=1 M=6 > PEPE=1414
 
>APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
SiTGNORANTES = 8531493206
Calcular: NO + TENER+GENTO
A) 61756 8) 56 816 C) 61 526 D)70516 E)70716
Resolución
IGNORANTES = 8531493206 
Serealiza la equivalencia de valores:
I
6
N
8
5
3
 
R
A
Se reemplazan dichosvalores y se obtiene:
E. paNO+TENER+GENTO
1+20304+50381= 70716
Clave: E
B)Enlas operacionesaritméticas
Sepresentan como suma,resta, multiplicación, división, etc., o como una operación
combinada.
Método de Solución
Cadauno de los problemasse analizan y resuelven en formaparticular ya que no existe
un método definido.
Ejemplo 3
Calcular P +
R
+E,si se cumple: PREF 2+4+6+...+42.
AJí B) 14 0)12 D) 23 E) 18
Resolución
Luego de efectuar la operación: 2+4+6+...+42=2(1+2+...+21)
21x 22
7 JF21x22=462 
 
Centro Preuniversitario. UNMS» ——_—A>——————
 
 
 
 
Se tiene:
PRE = 462
! 11] SP+R+E=4+642=12
Clave: €Ejemplo4
Hallar el valor de "B"en: ABE + 33A = 800
AJ3 B)5 0)4 D)6 E)7
Resolución
ABB+
Se expresa la suma en forma vertical:
—
337.
800
De las unidades: Delas decenas:
B+A=10 B+3+1=10
=>B=6>3A=4
466 +
74 Comprobación: 334
800
Clave: DEjemplo 5
Si: PRE x M = 3496
PRE x S = 2185
Hallar: PRE x SM
A) 25 864 B) 36 545 0) 25346 D) 28 356 E) 65.467
Resolución
Escribiendoverticalmente: Reemplazando:
PREx PRE x
SM SM
PRExM 3496PRExS 2185
ABCDE 25346
Nota: PRE=437; 5M=58
Clave: €
 
[AAPTITUD MATEMÁTICA
3.2.3.2. Criptoaritmética con otros Simbolos
Ejemplo 6
Si se tiene la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras que faltan (todos los
asteriscosrepresentan a cifras diferentes).
5,
39 140
A)24 8) 36 C)27 D)28 E) 32
Resolución
A cadafila de la multiplicación se le asigna con unaletra.
 
5x—e(A)
8)
39140 —»(0)
La primera cifra del resultado (C) es "0"
Pero ¿de dónde sale este "0"?
Es elresultado de multiplicarla cifra (*) de (8) por la primera cifra de (A), es decir, (*) (5)
que acaba en *0”,lo cual nos indica que: os
(06-20
Entonces, necesariamente (*) = 4 para no caeren contradicción con el enunciado.
Ahora porsimple inspección se calculatodas las cifras:
134342DAA
9785x
«——£
39140
luego, ¡a suma pedida es: 9 +7 +8+4=28
Clave: D
Ejemplo 7
Hallar el residuo de la siguiente división en la cual cada asterisco es una cifra:
aaabbb |__ab
Me (a) (2b)0*
pa
2.
*
A)J3 B)6 c)4 D)5 EJ8
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
—_—l—z>-2>__
Resolución
Seobserva enel cociente que:
 
Comprobación:
—
333444|_34
308 9807
274
272
244
238
6— Residuo
Clave: B
3.2.5. Problemas Resueltos
Problema 1
Si cdas ig y aro=12
Calcular: (2a + 30)
 
A)30 B) 28 C)32 D) 29 E)27
Resolución
at bd
e
abc-
Sea: cba En las unidades:
1dg
Si c>a (contradicción)
Entonces: c<a
En!las centenas:
(a-1)-0=1 > a-c=2 ..(a)
Por dato: a+c=12 ...(P)
Luegode (a) y (P) se tiene: a=7; c=5
¿(20+30=2 (7) +3(5)=14+15=29
Clave: D
APTITUDMATEMÁTICA
Problema2
Si A*=A. B, hallar el resultado de la siguiente suma:
PAPA+ MAMA = BEBE
 
A)4848 B) 6464 0) 8484 D) 8282 E) 7875
Resolución
PAPA +
Se escribe la suma en formavertical: MAMA
BEBE
Enlas unidades:
A+A=E => 2A=E (par)
0
APosibilidades para E Y.
S6
3
Para E = 4 (en los demás valores de E hay contradicción), reemplazamos en el dato
adicional:
A =AxB => pA=B
1
Lasposibilidades para AL
Si A= 1 contradicción pues B + 1
Entonces: A=2 > B=8
+ Ahora la sumatotal pedida será: BEBE = 8484
Clave: €
Problema 3
si VPERÚ = U,entonces PRE + Us:
A) 326 B) 324 0) 323 D) 320 E) 321
Resolución
Si YPERU =U > PERU =U". Las posibilidades para U:
SiU=1 => 1 PERU
Centro Preuniversitario UNMSM
 
SiU=2 => 2s PERU
SiU=3 = 32 PERU
SIU=4 => 4!=256 + PERU
SiU=5 => 5*=3125= PERU cumple = P=3,E=1,R=2,U=5
SiU=8 => 6*=46656 + PERU
 
+. luego PRE +U=321+5=326
 
Clave: A
Problema 4
En la siguiente multiplicación, hallar la suma delas cifras del producto
a y
.3
0.
«da
1
AJ9 B)6 D)8 E)7
Resolución
” A cadafla de la multiplicación sele asigna unaletra:
 
+... x—(A)
3 (8)
0 (0)
.4. > (D)
15 (E)
Se observa quela primera cifra del resultado (E) es 5, que ha "bajado" directamente del
primerproducto (C), esto indica que la primera cifra de (C) vale 5. ¿De dóndesale este
5, es elresultado de multiplicarla cifra 3 de (8) por la primera cifra de (A), es decir
 3x()
 
... 5 y se deduce que:
Ahora setiene el primer producto:
 
HH... ox on
:3 y 235E Efectuando 3 de (B)por (A) se obtiene: 3
 
33
 -— APTITUD MATEMÁTICA
 
 
La sumadelascifras del producto es:
1+0+1+0+5=7
Clave: E
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
3.3.1. Definición
Una inecuación es un planteamiento que señala que dos expresiones mantienen una
relación ce orden. Las dos expresiones que conforman una inecuación se denominan
lados o miembros y se separan por una relación de orden *<, <, >>",
Una inecuación lineal con una incógnita 'x" es una desigualdad que puedeescribirse en
la siguiente forma: ax +b<0, ax+b<0,ax+b>0óax+b>0 en donde a y b son
constantes y a + 0.
Estrategia. Para resolver una inecuación lineal con una incógnita se lleva a cabo
operacioneshasta quese llega a una inecuación equivalente en la cual la incógnita se
encuentra sola en un miembro.
Ejemplo 1
Un ómnibusparte de Piura a Lima con cierto número de pasajeros, se detiene en Trujillo.
Si bajaran la cuarta parte, continuarian viajando menos de 19 personas; en cambio si
bajaran la sexta parte, continuarian viajando másde 17 personas. ¿Cuántos pasajeros
partieron de Piura?
A)20 B)24 C)21 D) 25 E) 23
ha
Centro Preuniversitario UNMSN
 
—
__>7]>——————_
Resolución
Número de pasajeros quepartieron de Piura: x e Z*
Pto >x<25,3...(1)
Íx17 =x> 204.026
de(1) y (2) se tiene que:
204<x<253x=4 y x=6
 
luego,el único x que verifica el problema es x =24
 
3.3.2. Problemas Resueltos
Problema 4
De una bolsa de caramelos, vendo 80 y me quedan por vender más della tercera parte dela bolsa. Si hubiera vendido 14 caramelos más, me quedarían menos de 30 caramelos,¿cuántos caramelos tenía la bolsa inicialmente?
A) 126 B) 123 0) 117 D) 132 EJt11
Resolución
Número de caramelosen la bolsa: n e Z*
n-80>Ín > Ín> 80 2n>12 (1)
 
 
n-80-14<30 =n<124 a
de (1) y (2) se tiene que;
120<n<124;
n=123
Clav
Problema 2
Enunaula,el doble del número de alumnoses tal que disminuido en 10,no excede a 89
y que el triple de los mismos aumentado en 13 no es menor. que 158, ¿Cuál es el número
de alumnosdelaula?
AJA B)51 0) 33 D)31 EJ40
AAPTITUD MATEMÁTICA
Resolución
Numero de alumnos: n e Z*
2n-10<89 2 2<9 = n<495...(1)
3n+13>1588 => 3n2145 = n>483..(2)
de (1) y (2) se tiene que:
483<n<495
n=49
Clave: E
Problema 3
Merobaron S/. 2, el triple del dinero que me queda es mayor que S/. 35 y el doble del
dinero quetenía es menor que S/. 32. ¿Cuánto dinero me queda en nuevossoles?
A) S/. 15 B)S/. 14 C) S/. 13 D) S/. 17 E) SI. 18
Resolución em
El dinero que tengo: n e Z*
El dinero. que me queda: n-2
3(n-2)>3 => n-2>12 > n>14 ..(1)
2n<32 > n<16 (2)
de (1) y (2) se tiene que: 14 <n<16
luego,n=15
Porlo tanto, me queda S/. 13.
Clave: €
Problema 4
Un carpintero hizo cierto número de sillas, de las cuales vende 65y le queda por vendermásde la mitad. Después hace 9 sillas y vende 20, quedándole menos de 56 sillas porvender.¿Cuántassillas hizo el carpintero?
A) 132 B) 140 0) 142 D) 143 E) 144
Centro Preuniversitario UNMSL
 —
_NAAA%0%0%0%0%
Resolución
Numero desillas iniciales: n e Z*
n-65>n/2 > n/2>65> n>130...(1)
n-65+9-20 < 56 = n<132 7)
de (1) y (2) se tiene que: 130 <n<132;n= 131
luego, nuevo número desillas fabricadas: 131 + 9=140
Clave: B
3.4. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
3.4.1. Definición
Dostriángulos son congruentessi tienen suslados y ángulos respectivamentecongruentes.
Dadosdostriángulos ABC y A'B'C*:
82 =
Ly (A
A C A
El triángulo ABC es congruente al triángulo A'B'C*.
 
Notación: A ABC = AA'B'C”,
3.4.2. Casos de Congruencia de Dos Triángulos
 
1". CASO ALA (ángulo - lado — ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienencongruentesun lado y los ángulos adyacentes a él.
B B
DD
A £ A e
AABOS AABC'
 
 
>APTITUD MATEMÁTICA
2. CASO LAL(lado — ángulo - lado): Dos triángulos son congruentes si tienen
congruentesdosladosy el ángulo comprendido entre ellos.
A e A Y
AABC= ANB'C
3", CASO LLL (lado — lado - lado): Dostriángulos son congruentessi tienen sustres
lados congruentesrespectivamente.
B e
a € A Cc
AABC= ANBC'
4", CASO LLA(lado- lado — ángulo): Dostriángulos son congruentessitienen dos
lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor.
B 8
a
AN NN AN
A b e b qA
AABC= AAB'C'
Ejemplo 1
En la figura: BC = 6 cm y ED = 10 cm. Hallar AB. A,
A) 12 cm 8) 14cm
C) 16 cm D)8 cm
E) 10.cm
Centro Preuniversitario UNS
 
—
_¿—%4%4+4+4+4%4%4%/|/
Resolución
+ Se prolonga DE hasta A AA” 1 AD
=> MAAE= h CDE (Caso ALA)
luego: AA'= 10 cm y CD =4 cm
> AE=4om (bh AAE= h CDE)
-, AB=14 cm
 
Clave: B
Ejemplo2
En la figura: BE = 20 cm. Hallar EC.
 
A) 10/2cm B) 10 cm
C) 20/Zcm D) 20 cm
E) 30 cm
Resolución
*Trazamos CH BE
Como m % EBC =m X EAB=0
> ABHC= A ABE(Caso ALA)
= HC=20cm
* Además: m X ACH =m X EAC =P
(ángulos alternos internos)
y como 9 + $ = 45" (B| ABC ¡sósceles)
 
+ EC= 20/2 cm
Clave: C
 ——————— APTITUD MATEMÁTICA
3.4.3. Problemas Resueltos
Problema 1
Ena figura: lostriángulos ABC y EFC son congruentes,f - a = 33". Hallar "x"
E
AJ71*
ON
c)70* A
D)60* x
E)57*
B a e
Resolución F
mx BAC =m A FCE =0+f
(Esas= Es Ec)
«En ÍMABC:a+a+f=90*
>20+p=90"
«Del dato: P-a=33 =P =a +39"
+ De donde: 3a=57* = a= 19" bs
+ Luego: x +19" =90*
 
ÁS
Clave: A
Problema2
En un triángulo ABC,las alturas BH y AG se interceptan en el punto E. Si AE = BC.
Hallar m £ BAC
 
A) 30" B) 45" Cc) 60% D) 37* E) 530
Resolución
B «mx AEH=m % 8£0=8
A (ángulos opuestos por el vértice)
=) e =>mx EBQ=mx EAC
+Luego: EX AHE = Ex BHC(caso ALA)
A >AH=BH
A . Ac
+ m 2: BACE 45" (Íx. ABH isósceles)
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMSM.
 
Problema 3
En untriángulo ABC ¡sósceles recto en B, hallar la distancia entre los pies de las
perpendicularestrazadas desdeA y C a unarecta que pasa por B y corta ala hipotenusa,sabiendoque A y C distan de dicha recta 10 y 24 cm,respectivamente
A) 12 cm 8) 10 cm C) 14 cm D) 16 cm E) 18 cm
Resolución
*mxABQ:=mxXPCB=B (a+f8=90%)
«m¿BAQ=mX<PBC=0 (a+p=90")
> AAQB =A BPC(Caso ALA)
"= AQ=8P=100m
BQ=PC=24 cm
+ Como: PQ = BQ - BP
+ PQ=14 cm
 
Clave: C
Problema 4
Enel gráfico, si: AB = BC, AD = 4 cm, CN = 10 om y BE = 16 cm.Hallar DN.
A) 9cm 8
B) 18 om
C) 16 cm
D) 12 cm
E) 10 cm
Resolución
+ Por B.se traza RS//DN
+ mM ARBA=mXBCS =0, y
+mXSBC =m Y RAB =4(a +4=90")
=> Dx ABR =ÍsBSC(Caso ALA)
> R8=DE = 6 cm y BS = EN=12cm
«Luego:
DN =RS =RB + BS =6cm +12 cm
: DN =18cm
 
Clave: B
A APTITUD MATEMÁTICA 
3.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema1. Pedro, Pablo, César, Raúly Julio viven en unedificio de dospisosy se sabe
que cuatro de ellos viven en el segundo piso y el otro en el primer piso. Se sabe que las
personasqueviven en el segundopiso siempre mienten
y
las que viven enel primer piso
dicen siempre la verdad, Pedro dijo: "Césarvive en el primerpiso” y Raúl dijo: "Césarvive
en el segundo piso”. ¿quiénes viven enel primer y segundopiso respectivamente?
A) Pedro y César B) Césary Pedro CC) Césary Raúl
D) César y Julio E) Raúl y César
Problema 2.Pepita realiza una encuesta entre sus cinco amigos David, Alex, Carlos,
Luis y Omar, obteniendolas siguientes respuestas:
 
 
 
 
 
Preguntas Nombres David Alex Carlos Luis Omar
¿Tienes enamorada? Si Si No si No
¿Estás en la universidad?|
—
No No si si si
¿Te gusta la cerveza? Si No No, No Si
¿Te gusto? No si Si No Si 
Si unodeellos siempre miente, otro dice la verdad sólo una vez,otro dice siempre la
verdad y los otros dos mienten sólo dos veces, ¿quién miente siempre?
A) David B) Alex C)Carlos D) Luis E) Omar
Problema 3. Sonia, Raquel, Iris, Pamela y Maribel han competidoen la “Gran Maratón de
Los Andes”. Al preguntarles quién fuela ganadoraellas respondieron:
+Sonia: "Ganó Raquel".
«Raquel "Ganó ri
«Iris: “Ganó Maribel.
«Pamela: “Yo no gané”,
+ Maribel: Iris mintió cuando dijo que yo gané".
 
Si una de ellas es la ganadora y solamente es cierta una de las afirmaciones,¿quién
ganó la competencia?
A) Sonia B) Raquel C) Iris D) Pamela E) Maribel
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema 4. Se sabe que Rosa miente los lunes, martes y miércoles,y dice la verdad losOtros dias de la semana; Diana miente los jueves, vienes y sábados, y los demásdiasdice la verdad. Ciertodíaellas conversabany dijeron losiguiente
+ Rosa: "Ayer fue uno de los días que me locaba mentir"
+ Diana: "Ayer fue también uno de los días en los que me tocaba mentir”
¿Quedía de la semana fue la conversación?
A) sábado B)jueves C) viernes D)domíngo E)lunes
Problema 5, Supongamos que las personas quetienen ojos negros mienten y las quetienen ojos azules dicen la verdad. De Selma, Karin, María y Ana se sabe que tres de ellas
tienen ojos negrosy la otra ojos azules. Si Karin dijo: "Selmatiene ojos azules” y Mariadijo: "Selmatiene ojos negros”,¿qué afirmación es verdadera?
A)Anay Maria tienen ojos negros, B) Karin dice la verdad.C) Selma y Maria tienen ojos negros. D) Anatiene ojos azules.E) Maria tiene ojos azules.
Problema6.Si 274b + c7a+5ba: bba68, calcularel valorde *c”,
AJÍ B)5 c)6 D)8 E)7
 Problema7. Si =4, calcular: RI- SA.RISA
A)7S B)-75 C) 57 D) -57 E) -48
Problema 8. Si APT + MAT = STOP (0=cero) y STOP tiene máximo valor,
calcular el valor de: P+ A +T+A+S.
AJ16 B) 18 0)19 D) 20 E) 17
Problema 9. Silos asteriscos representan cifras, hallar la sumade las cifras del producto.
.lax
 
A)20 B)21 Cc) 22 D) 23 E) 24
 APTITUD MATEMÁTICA
Problema10. Si el cuadrado de mn4 terminaen mna, calcular el valor de m+n+a,
A)24 B)21 C) 18 D) 15 E) 12
Problema 11. Un comerciante de golosinas agrupa sus chocolates por docenas y le
sobran 8. Si vende cada chocolale a S/.0,50 y recauda por todosellos entre S/, 90 y
S/, 100, ¿cuántos chocolates tenia?
A) 148 B) 128 C) 158 D) 68 E) 188
Problema 12. La tercera parte de un número más 23 es menor que el propio número.Si
el doble de dicho número es menor que 95, ¿cuál es el minimo valor entero par que
puede tomar este número?
A)30 B) 46 C) 36 D) 42 E) 44
Problema 13. La sumadetres menores números naturales consecutivos de 3 cifras es
un cuadrado perfecto. Calcular la sumadelascifras del mayor de estos números.
AJ6 B)10 C)8 D) 19 E)7
Problma 14. Ruth compra una cantidad de lapicero, vende 60 deellos y le queda más
de las dos terceras partes. Después compra 12 lapiceros más y vende 44 quedándole
menos de 90. ¿Cuántos lapiceros compró Ruth en total?
A) 188 8) 195 C) 193 D) 190 E)7
Problema 15. ¿Cuántos números enteros mayores que 2 cumplen con la condición de
que la cuarta parte del número más 5 es menor quela quinta parte del número más 9?
A)76 B)77 Cc) 60 D)72 E)74
Problema 16. En un triángulo ABC, la m XABC = 105", sobre AC 'se toma el punto M,
tal que AB = MC. Las medialrices de BC” y AM se cortan en Q. Hallar m 4 BAC] sim
%BCA =m £ ACQ
AY 30" B) 40” C) 45" D) 35* E) 50*
Es
Centro Preuniversitario UNMS ———————————
Q
Problema17. Delgráfico PR = QS,hallar “x. D
A)20*
B) 18*
Cc) 22*
D) 24* PÁ AR
E) 30* s
Problema18. Del gráfico, hallar*x". »
A)12*
B) 10*
Cc)15"
D) 16* Á
E) 14*
A) 16 cm
B) 32 cm
C) 30 cm
D) 24 cm
E) 18.cm 
Problema 20. En un triángulo rectángulo ABCrecto en B se trazala altura: BFen el
tiángulo. BHC se traza la ceviana interior FM de tal manera que MC E AB.Hallar
m3 MHC si se cumple que HC = BH +2AH.
o 70
A) = B) z C) 53* D) 37* E) 30"
CLAVES
EE 5.E 9.D 13.8 17.8
20 6.c 10.8 14,0 18.8
3,D 7.D 31.E 15.8 19.8
4.B 8.B 12.c 16.C 20. A
CAPÍTULO IV
 
Ordenamiento de Información. Cuatro OperacionesAritméticas.
Sistema de Inecuaciones Lineales en DosVariables.
Propiedades Fundamentales dela Bisectriz y de la Mediatriz.
 
4.1. ORDENAMIENTO DE INFORMACIÓN
Los problemas que se presentan en esta sección tienen como característica que en
ellos siempre se presentan datos desordenadoslos cuales contienen toda la información,
la cual debemosrelacionarlos entre si, ordenarlos de acuerdo a los datos o encontrar
correspondencia entre ellos, Sm
Se recomienda que conforme se vayanleyendo los datos, se vaya haciendo una
representación gráfica buscando esquematizar los datos de manera ordenada.
4.1.1.Tipos de Situaciones
En elsiguiente esquema se muestra las posibles situaciones que se pueden presentar.
 
 
 
 
 
 
 
 
Ordenamiento
creciente o
decreciente
Ordenamiento Ordenamiento
Ninel horizontal
ORDEN DE
INFORMACIÓN Ordenamiento
vertical
Ordenamiento
circular 
 
). Ordenamiento Lineal
a) Creciente o Decreciente. Cuandose quiere ordenar los datos en formacreciente o
decreciente.
Centro Preuniversitario UNMSE_—_—A-——_
Ejemplo 1
Si se sabe que:
- Teresa es mayor que Susana.
- Silvia es menor que Julia, quien es menor que Teresa.
- Susana es menor que Silvia.
¿Quién es la mayor?
A) Susana
—
B)Juana C) Silvia D) Julia E) Teresa
Resolución
Delos datossetiene:
Teresa >_ Susana
Teresa > Julia > Silvia
az
——
Silvia > Susana
 
luego:
Teresa > Julia > Silvia > Susana
= LamayoresTeresa
Clave: E
b) Horizontales. Los datos se ubican horizontalmente de manera lógica.
Ejemplo 2
En una carrera compiten 5 amigos.Antonio llegó antes que Armando, quien llegó encuarto lugar. Si Arsenio llegó inmediatamente después queAnseimo, Arseniollegó después
que Antonio y Anselmollegó antes queAlberto,
¿Quién llegó en segundo lugar?
A) Antonio B) Armando C) Alberto D) Arsenio. E) Anselmo
APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
Poniendo en casilleros de izquierda a derecha enumeradosdel1”. al 5',, tenemos:
qu, E 3, 40, 5
 
 
Antonio Anselmo Arsenio Armando Alberto
 
Clave: E
Ejemplo 3
El volcán Temboro está ubicado al este del Krakatoa. El volcán Singapur al oeste del
Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicadoal oeste del Singapur.
¿Cuál esel volcán ubicado más al este?
A) Krakaloa B)Singapur C)Temboro D)Misti— E)Sumatra
Resolución
De los catos:
Krakatoa — Temboro lps
Singapur — Krakatoa E
Sumatra — Singapur
Ordenando: Sumatra - SingapurKrakatoa — Temboro
. El volcán ubicado másal este es el Temboro.
Clave: C
e) Verticales. Los datos del problema se ubican de forma vertical en un cuadro o una
lista de modo queentre ellosexista una relación indicada en el enunciado.
Ejemplo 4
José, Alberto,Luis, Carlos y Fernandoviven en un edificio de seis pisos, cada uno en un
piso diferente. Si se sabe que:
- Eltercer piso está desocupado,
-Alberto vive en el piso adyacente al piso desocupadoy Fernando viveen elpiso adya-
cente al de José y Carlos.
¿Quién vive en el primer piso?
A) Fernando B) José C) Alberto D) Luis E) Carlos
Centro Preuniversitario UNMS» —_>=>—4—4%4+1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución
Datos: Ordenando:
Ple yl6 c]s
s 5 Fls
r 4 clas [yla
pea > E
2 Aj2 Aj2
1 Ll [eja
6 6
5 5 El que vive enel primer
> EN ó 4 piso siempre es Luis.
l> *E
2 A|2
1 1
e
"le o lr
e 
 
Clave: D
Jl. Ordenamiento Circular
Cuandolos datos los ubicamos en forma circular, por ejemplo, alrededor de una mesacircular, eto
Ejemplo 5
Cuatro hermanos: Araís, Xuarami, André y Mili, para hacer sustareas se sientan alrede-dor de una mesa con 4 sillas igualmente separadas entre sí. Sabemos que:
- Xuaramise sienta junto y a la derecha de André.
- Los hermanos cuyos nombres tiene la misma cantidad de letras nose sientan juntos,
¿Quién se sienta frente a Mili?
A) André B) Arais C) Xuarami
—
D) Zamir E) Mili
— APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
 
A André
 
Xuarami; Mili 
 
Araís. 
Frente a Mili se sienta Xuarami,
Clave: €
Ejemplo 6
Ochoestudiantes de diversas aulas de una academia van al comedor, se sientan en una
mesacircular conservandola misma distancia entre sí:
- El del 101 está frente al del 201 y es el único en medio del 102 y del 202.
- El del 204 está la izquierda delestudiante del 201y frente al del 102.
+ Frente al del 202 está el del 103, éste a su vez está a la izquierda delestudiante del 203.
¿Cuál deellos está entre los estudiantes del 301 y 201?
A) 201 B) 204 Cc)102 D) 203 E) 101
 
Resolución
Porllotanto, entre los estudiantes del 301 y 201 está el del 204,
Clave: B
4.1.2, Problemas Resueltos
Problema 1
La ciudad tiene máshabitantes que la ciudad W. La ciudad W tiene menos habitantes
quela ciudad Y, pero más quela ciudad 2. Si X tiene menoshabitantes que Y, ¿qué ciudad
tiene menoshabitantes?
A) W B) Y Cc) z DJR E) X
Centro Preuniversitario. UNMS»—_AA
KA
Resolución
De los datos tenemos:
x>w de aquí:
Y>W>Z
Y>X Y>Xx>W>Z
+ la ciudad Z tiene menoshabitantes
Clave: €
Problema 2
Ángela, Brenda, Carla, Dalia y Elena ingresanalteatro y ocupan un palco de cinco asientos.
Ángela y Elena sesientan en los extremosdel palco, Brenday Dalia siempre se sientan
juntas, Brenda se sienta junto a Elena. ¿Quién se sienta en el tercer asiento?
A) Dalia B) Carla C) Brenda D) Elena EjÁngela
Resolución
Datos: Ordenando:
s 4. -
 A| ¡D
ó
F óleit JA
ps CAZAS SA
“*[sloló! Te? ¡2iB:Dió!lD e] E B Di A!
 
 
 
 
+. Dalia siempre ocupael tercer asiento. ]
Clave: A
Problema 3
En unedificio de seis pisos en el cual viven seis personas A,B, C, D, E yF, cada una en
un piso diferente. Se sabe que:
- E vive adyacente a C y B.
- Para ir dela casa de E a la de F hay quebajar 3 pisos.
-A vive enel segundo piso.
¿Quiénvive en el último piso?
AJF B)D C)E D)C E)B
A
A<2>”
AmAPTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
 
 
 
 
Resolución
s[ o o
s| Cc B
4 E Eo también
3| 8 c
21 4 A
po F F
m COCO
+]En el último piso vive D
Clave: BProblema 4
Seis primos juegan dominó alrededor de una mesa de forma circular. David no estásentado allado de Coquito ni de Sivia. Piero no está allado de Liz ni de Silvia. Coquito noestá alado de Piero ni de Liz, Regina está junto y a la izquierda de Coquito.¿Quién está
sentado junto y a la derecha deLiz?
A) Silvia B) David C)Coquito D) Regina E) Piero
Resolución
Primero ubicamos a Regina y a Coquito.
br
Luego, del enunciado los que no están sentados
al lado de Coquito son David, Piero y Liz, entonces:
R
Cc
( Los que no están sentadosal lado de Silvia son
Piero y David, luego:R s
E
7
L
Piero no está al lado de Liz.
ANS
e
o
P L EVunto y a la derecha de Liz está David,
s
 
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMSM
 
4.2. CUATRO OPERACIONES ARITMÉTICAS
Las cuatro operaciones fundamentales son:
Suma,Resta, Multiplicación y División
4.2.1.Conceptos de las Cuatro Operaciones
Suma o Adición
Es la operación que resulta de reuniro agrupar dos o más cantidades en una sola. Así
por ejemplo:
A+B+C+...+N=S >) Suma total
 
cantidades
Resta o Sustracción
Es la operación inversa a la suma, que consiste en extraer una cantidad (sustraendo)
a otra mayor (minuendo) donde elresultado es la sustracción o diferencia.
Mo- So = D (M>S)
y y ,
Minuendo —Sustraendo Diferencia
em Multiplicación o Producto
; Esla operación quenos indica cuantas veces contiene una cantidad (multiplicando) a
otra (producto).
Ax B = P
,/ , L, Producto
Multiplicando Multiplicador
División
Es una operación que consiste en dividir una cantidad (dividendo)en partes iguales
(divisor) y a la cantidad de partes que se obtiene se le denominadivisor.
Haydostipos dedivisión: Exacta o Inexacta.
A) División Exacta: Cuando el cociente es un númeroentero, es decir, el residuo es cero.
 
D=d.q D= dividendo q= cociente
d divisor
 
B)División Inexacta: Cuando el residuo es distinto de cero.
 
D=d.q+r D= dividendo q = cociente
d = divisor r= resto
 
 
Dd <r<d
YAPTITUD MATEMÁTICA.
Haydostiposdedivisión Inexacta:
1. Pordefecto:
D=dq+r,n0sr,<d
f, 'siduo por defecto 
2. Por exceso:
(q+1)-1,A0<r,<d
'siduo por exceso
 
Ejemplo1
Dividir 500 entre 17 y hallar el residuo pordefecto y por exceso.
A)7y-10 B)9y-10 C)7y4 D)6y-9 E)6y-5
Resolución
Pordefecto:
500 L17.
160 29
153 [500 =17 (29)+7=r,=7 1
7 [po
Por exceso: » E
sooL47.
510 30 500= 17 (30)- 101, =-10
Clave: A
4.2.2. Propiedades Básicas
1) La sumadelresiduo pordefecto y el residuo por excesoesigualaldivisor: 1,+1,=0
2) El residuo máximo es una unidad menos queel divisor: r,,,, =d -
3) El residuo minimoesla unidad:r,,,, =1
4) En una división exacta,si aldividendo y divisor se le multiplica o se le divide por un
número, el cociente nose altera,
5) En una división inexacta, si al dividendo y divisor se le multiplica o se le divide por un
Número,el cociente no se altera, pero el resto queda multiplicado o dividido por el
mismo número.
Otras Propiedades
1)Si se conoce la suma (S) y diferencia (D) de dos números, entonces:
S+D S-D
ht menor = 3 % mayor =
100
Centro Preuniversitario UNMS»—_—
Ejemplo 2
La suma dedoscantidades es 59 y su diferencia 15. Halle la sumadelas cifras de dichos
Números.
A) 10y6 B)9y4 C) 10y4 D)6y9 E)12y5
Resolución
Sean M y Nlasdos cantidades (M> N)
EA 
2 2
= 22. Suma de cifras =2+2=4
 
Clave: C
2) Sise conoce la suma (S) y el cociente (q) de una división exacta de dos números,se tiene:
sq Ss
qe Ht menor = q+1
 Hi mayor=
Ejemplo 3
Dos números suman341, su cociente es 16 y el residuo es máximo, Halle la sumade las
cifras del número mayor.
A)5 B)6 C)7 D) 11 EJ12
Resolución
 
Sean "A" y *B" los números pedidos:
A+B=341 (1)
A=BO+ (2)
Pero: 1,,, =B-1
en(2) => A=168+(B-1)
A=17B-1
en (1) > 17B-1+B=341
342
> B=%g=19
> A=341-19=322
:. Sumade cifras: 3+2+2=7
Clave: €
3) Si se conoce la diferencia (D) y el cociente (q) de dos números, se sabe que:
Dag D
ds Ki menor=
_xQE—___-—-—- APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 4
Sila diferencia de dos númeroses 217,su cociente es 18 y su residuo 12, ¿cuáles son
esos números?
A)228 y 10 B)220y12 C)228y 11 D)230y10 E)231 y12
Resolución
- D-5Nota: Sila división es inexacta: +! menor =a
D= diferencia r= residuo q
=
cociente
217 - 12 2042LLL$ menor 181 17
í mayor = D + it menor
$ mayor =217 +12 =229 Clave: B|
4) Si se conoce el producto (P) y el cociente (q) de dos números,entonces:
H mayor= JPg Mt menor = E
4
Ejemplo 5
El producto de dos númeroses 1435 y su cociente 9/5. Hale la suma de dichos números. 101
A)18 B)24 C) 38 D) 54E) 63
Resolución
P=135 q = 3/5, comoq noesentero, entonces:
3
 menor= JPG = ras(3)- 2Tx3 =9
E 45x5 =15H mayor= 7 357 e
Otra manera:
A 3 3
Sean A y B los número buscadas AB=135 yA
Reemplazando y _ zos =105 => 8 =45(5) > B=15
3Luego: A=2(15)=9
Lasuma: A+B=9+15=24
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMS» —_———————
4.2.3. Complemento Aritmético de un Número (C.A.)
El complemento aritmético es lo quele falta a un número para llegar a ser la unidad de
orden inmediato superior.
Ejemplo
Conel número 525,se tiene que el C.A. de 525 es lo que falta para convertirse en un milla.
(C.A. (525) = 1000 - 525 = 475
 
Engeneral CA(N,) =10% —N,
 
No
xxBase del sistema de numeración.
k: Cantidad decifras del número N.
 
Nota
1. Para hallar el C.A, de un número cualquiera, se resta dicho número de la unidad,seguida de tantos ceros como cifras tenga el número
2. Al sumar un número con su complemento aritmética se obtiene como resultado la
Unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el número dado.
Regla Práctica
 
De izquierda a derecha cada cifra se resta mentalmente de la cifra máxima delsistemade numeración en el que se está operando;la última cifra significativa se resta dela basedel sistema de numeración;si hay ceros terminales se agregan en el C.A.
Ejemplo
se resta de 9
8) C.A. (46 789) =532H
í_—
se resta de 10
se resta de 9
b) C.A.(628 300) =371700
__
se resta de 10 ,
se resta de 4 :
c) CA. (140 32) = 30413,
se resta de 5
9) C.A. (600,) = 200,
AA
se resta de 8
 APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 6
Si
C.A(1x)+C.A.(2x)+...+C.A.(9x)=378] halle el valor de x
A)7 B)8 C)6 D)5 EJ1
Resolución
CA. (1x) + CA. (2x) +... + C.A. (9x) = 378
(100 - Tx) + (100 - 2x) +... + (100 - 9x) = 378
Por descomposición polinómica:
900 - (IX + 2x +... + 9X) = 378
900 -(10+x+20+x+...+90+x)=378
900 - (10 + 20 +... + 90) - 9x = 378
 
Clave: B
4.2.7. Problemas Resueltos
Los problemasa continuación son referentesa las cuatro operaciones, es decir, no se e
necesita demasiado conocimiento para poderresolverlos, pero si es necesario analizar 1%
el problema para que su resolución sea clara.
Problema 1
Hallar la suma delas 4 últimascifras delresultado de sumar: s
25 cifrasA
 
(353535 5353 +
es 2828... 8282
8) 16 35... 5350
o ;
129 35353D) 22 282
E) 18 3
abed
Resolución
Se tiene que: dt sumandos = n
if cifras de cada sumando = 2n- 1
>22n-1=25
2n=26>n=13
En la cfra de las unidades: 7x3+6x2= 33
> d=3 llevamos 3
104
Centro Preuniversitario UNMSL_—_
En las decenas: 3 +6 (5+8) =81
=0=1y llevamos8
Enlas centenas: 8-+6 (2+ 3) = 38
= b=8 y llevamos 3
En las unidades de millar: 3 + 6 (5) + 5 (8) =73
> a=3y llevamos7
2 abcd = 3813 = suma de cifras =3+8+1+3=15
Clave: A
Problema 2
La sumadel dividendoy divisor de una división es 41 veces elresiduo por defecto,y la
diferencia de las mismas es 25 vecesdicho residuo. Halle el cociente por exceso.
AJA B)5 0)6 D)7 E)8
Resolución
Sea D=dq+r, red Reemplazando
33r=(81)q+r
32r=8rq
NEIA
qa.
 
= el cociente por exceso = q +
Clave: B
Problema 3
La sumadelos cuatro términos de una división entera es 425. Si se mulíplica por 5 aldividendo y al divisor: y se efectúa nuevamente la división se observa que la sumade loscuatro términos ahora es 2073. Halle el cociente inicial.
Ayt B) 12 C)13 D) 14 E) 15
Resolución
 
Sea:
 => D+d+r=425-q 
Sise multiplica por 5 al dividendo y aldivisor, entoncesel residuo también queda multipli-cado por 5
5D +5d+q+5r=2073
5(D+d+r)+q=2073 i
5 (425 -q) + q = 2073 !
2125 - 2073 = 4q
52=4q
52qi=13
9%
Clave: C
 ——————— APTITUD MATEMÁTICA
Problema 4
El.C.A. de bbcdes b + b+ c+ d, halle el valor de c.
A)J6 BJ8 c)9 D)7 E)2
Resolución
Porregla práctica: C.A. (bbcd) = (9 - bX(9 - bX9 - CITO - d)
y por condición del problema: (I= DNS - BNO CNTO- d) =b+b+c+d..(1)
Pero b+b+0+d< 36, entonces se tiene que: (9 - BX9-bX9-cX10-d)536
porlo tanto: 9-b=0=>b=9
en(1) (9 - c(10-d)=9+9+c0+d
luego:
por descomposición polinómica:
10 (9-0) +(10-d)=18+c0+d
100-10c-d=18+c+d
82=110+2d . 405
5.8
=> bbed=9968
0x6
Clave: A
43. SISTEMA DE INECUACIONESLINEALES EN DOS VARIABLES
4.3.1.Conceptos Básicos
Concepto. Unsistema de inecuacioneslineales en dos variables es cualquier par de
inecuacionesde las formas:
ajx+b, y<c,
*— lax+by<c
aX +b, y<c,
" lencooyy>o
donde a,. a, by, D,, G,. c, son númerosreales dados; x e y son las variables.
106
Centro Preuniversitario UNMS» ——__———————
Estrategia. Para resolver inecuaciones de dos o más variables se debe tener en cuentalas relaciones de orden menor, mayor, menor o igual, o mayor o igual (<, >, < 6 >)lasCuales se deben ordenar en forma adecuada para permitimos obtenerla solución delproblema.
a/X+b, ysc,
"laperb, y eo
+ eto,
Ejemplo 1
María camina por lo menos 5 km cadadía;ella y Carmenrecorrenentre ambasa lo más
12 km cadadía. ¿A lo más,cuántoskilómetros camina Carmen diario?
 
A)5 B)8 c)7 D) 10 EJ6
Resolución
María camina: —M () M25 > M,,
Carmen camina: C (MM + 0 <12=C,.=7
y min. d máx
5 7
Clave: C4.3.2. Problemas Resueltos
Problema 1
La propina de Rosita con el doble de la propina de Marita suman menosdeS/. 26. Si el
tíiple de la propina de Marita con el doble dela propina de Rosita suman másde S/. 39,
¿cuáles la máxima propina que puede tener Marita si se sabe que es un número entero
de nuevossoles?
ASI. 11 B) S/. 13 C) S/. 10 D) S/. 14 E) SI. 12
Resolución
Propina de Rosita: R R+2M<26>2R +4M<52 (1)
Propina de Marita: M 2R+3M>39=>-2R-3M<-39 (2)
Sumando (1) y (2). M<13
Maz = 12
Clave: E
Problema 2
Xioni tiene más gatos que Yoli. La diferencia entre el número de gatos de Yoli y los deWendy (en ese orden) es positiva. La diferencia entre el número de gatos de Xioni y losde Zulema (en ese orden), tanto como la diferencia entre el número de gatos de Vimaylos de Yoli (£s ese orden) son negativas, ¿Quién tiene más gatos?
A) Xioni B) Zulema C) Wendy D)Vilma E) Yoli
_-—-.APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
Delproblema setiene:
tk gatos de Xioni: —x Woey
* gatos de Yoli: y (1) y-w>0=y>w
K galos de Zulema: z (UI) x-z<0=x<z
' gatos de Vilma: v (IV) v-y<0= v<y
* gatos de Wendy: w => vey<x<z
w<y
Clave: B|
Problema 3
Jorge le dice a Luis: “Si me das S/. 5,tendremos la misma cantidad de dinero; pero site
doy S). 4, tendrás menosqueel triple de lo que me quedaria”. ¿Cuánto dinero, como
mínimo,tiene Luis si sólo posee monedasde S/. 1?
«A) SI. 18 B) S/. 19 C) S/. 23 D) S/. 24 E) S/. 13
Resolución
Jorgetiene: J
Luis tiene: L
J+S=L-52J=L-10
3(Y-4)>L+4>3(L-14)>L+4> 3L-42>L+4>2L>468=>L>23 de
 
Clave: D
Problema 4
La suma del número de caramelos que tiene Pedro y el doble delos quetiene Joaquin es
menor que 51. La diferencia entre el triple de los caramelos de Pedro con los de Joaquin
es mayor que 67.Si el número de caramelos de Pedro excede en uno al triple de los de
Joaquin, ¿cuántos caramelos tiene Joaquin?
A)28 B) 18 C)14 D)7 EJ9
Resolución
tt caramelos de Pedro: P
K caramelos de Joaquín: J
P+2I<51..(1)
3P-J>87...(2)
P=3J+1 ..(3)
(3) en(1):3J+1+2J<51=> 5/<50 => J<10
(3) en (2): 9+3-J>87 = 8J>64 => J>8
Luego, 8<J<10=>J=9, pues Je Z*
Clave: E
Centro Preuniversitario UNMS» —_—AA««=—2141414111
4.4. PROPIEDADES FUNDAMENTALESDE LA'BISECTRIZ Y DE LA MEDIATRIZ
4.4.1. Definiciones
a) Distancia de un punto a unarecta
Dada una recta “L” y un punto P exterior a ella,la distancia de P a
“L
|denotada
coneel simbolo d (P, “L” ), es fa longitud del segmento PO medido desde P hasta el
pie de la perpendicular.
 
 ap, U)=P0 
Q
b) Distancia de un punto a dosrectas
Un punto P equidista de dos rectas distintas “Ly y “Lz | ningunade las cuales
contiene aP,sid (PL; )=a(P. ly).
 
L,
P
L,
c) Mediatriz
La mediatriz de un segmento, esla recta perpendicular al segmento trazado por su
punto medio.
 APTITUD MATEMÁTICA
4.4.2Propiedades Fundamentales
a) El lugar geométrico de la bisectriz de un ángulo
Cualquier punto dela bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo.
P es un punto cualquiera delas bisectriz. OM =PR=PQ
 
 
*Entafigura:
|
Pe OM =PR=PQb) El lugar geométrico de la mediatriz de un segmento
Cualquier punto dela mediatriz de un segmento equidista de los extremos del segmento.
 
 
P es un punto cualquiera de la mediatriz——L => AP=PB
 109
 
*Enlafigura:| PEL<> AAPB esisósceles
|
A B 
€) Propiedaddeltriángulo isósceles
La altura relativa al lado desigual es mediatriz, bisectriz y mediana.
 
 
Centro Preuniversitario UNMSS _—AA>>+%xMmmmmUXXPDP€XDNDS
Observación :
- Si es un triángulola altura, es bisectriz, entonces el triángulo es isósceles.
- Si en un triángulo la altura, es mediana, entonces el triánguloesisósceles.
Ejemplo1
En la figura mostrada, AB = 4 cm, Calcule DC. ia ;
A) 3 cm
8)7cm
C)6 cm
D) 5 cm
E) 4cm
 
Resolución
«DE es mediatriz de AC
+ Trazamos AD => A ADC es
isósceles: AD = DC
+ Enel ADC: m4ADB = 2a
110
e * A ABDesisósceles
 
=>AB=AD=4cm
>DC =4cm
Clave: EEjemplo 2
En lafigura adjunta, EF = 5 cm. Calcule AB.
A) 10 cm
B) 8 cm
C)9cm
D) 11 cm
E) 12 cm 
 
Resolución
_
+ CE ésbisectriz de BCF => EB=5 cm
_ Za
* DE esbisectriz de ADF => AE = 5 cm y
+AB= AE +EB => AB
=
10cm
Clave: A
“APTITUDMATEMÁTICA
4.4.3. Problemas Resueltos.
Problema1
En untriángulo ABC,el ángulo A mide225”. Se trazala bisectriz interior BNINesestá en
AC) luegose traza la mediatriz de BN, la cual corta a la prolongación de ACen P.
Calcule la m£PBC,
A) 130* B)25* C) 50” D) 45* E)75*
Resolución
+ Enel a ABN: má BNC = 0 +25"
+ A BNPes isósceles (propiedad b)
>0+25%=0+x >x=25"
 
 
Clave: B
Problema 2 41
En'la figura adjunta, MC = 8 cm y DN = 3 cm. Calcule BM.
B
A)80m B) 60m m_p-
C)7cm D)5cm y
E)4cm 'Ñ
C
Resolución
+ Trazamos MP ha AC
= BM= MP = NC =x (Prop. Bisectriz)
+ A MCD es isósceles (MC = DC)
>30m+x=8cm
=x=50m
 
Clave: D
4
Centro Preuniversitario UNMS——_>>
Problema 3
En un triángulo ABCsobre ellado AC se toma un punto M;la mediatriz de AMlcorta a la
prolongación de AB" en P:y la mediatriz de MC corta al lado BT en Q.
SimXABC= 56", calcule la máPMA.
A)28* B) 64* c) 60* D)50* E) 53"
Resolución
+ Trazamos PM y MA
* AAPM y A MQCson ¡isósceles
 (propiedad b)ia + AABC: a + $ +56" =180*A PB También a+ B+x= 180" =x = 56"
Clave: E
Problema 4
Enlafigura, “Ly” y "Lz” sonmediatrices de AB. y TD respectivamente. SIAD = MC,
calcule elvalor de x.
= BorA) 36" B) 18* a ;
M
Cc)40* D) 63* Ñ O»
AÁ Dc
E) 70* D
Resolución
+ Trazamos BD y DM
+4 ABD y A DMO son isósceles
*Enel á ABC x+x+38"+18*=480*
 
> x=63"
Clave: D
 ——————— APTITUD MATEMÁTICA
4.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema1. Cuatro parejas de esposos están sentadosalrededor de una mesacircular
distribuidos simetricamente. Alberto se ubica frente a Raúl, quien está junto y a la dere-
cha deSonia; José está sentado entre dos damas.Sonia no está frente a una dama;Oscary Nelly se sientan juntos y las otras damas se llaman Carmeny Betty. ¿Quién se
sienta frente a José?
A) Nelly B) Oscar C) Sonia D) Carmen E) Raúl
Problema 2. De cinco futbolistas, donde ningunotiene la misma cantidad de goles con-
vertidos, se sabe que Claudio tiene 2 goles más que Abel; Flavio 2 goles más que Rober-
lo, pero uno menos que Abel, Andrés más goles que Roberto, pero menos que Abel.
¿Cuántos goles menos que Claudio tiene Andrés?
Ay1 B)2 C)4 D)3 E)5
Problema 3. Seis amigos se ubican simétricamente alrededor de una mesa circular:
- Carlos no está sentadoal lado de Emilio ni de Raúl
- Pedro ni está sentado al lado de Daniel ni de Raúl
- Emilio no está allado de Pedro ni de Daniel.
- Manuel está junto y a la derecha de Emili.
¿Quién está sentado junto y ala izquierda de Pedro? s
113
A) Daniel B) Manuel 0) Emilio D) Raúl E) Carlos ¿
Problema 4. Alberto es mayor que Carmen, Rosa es mayor que Javiery éste a su vez
mayor que Carmen. Si Rosa y Albertotienen la misma edad,¿cuálesdelos siguientes
enunciados son verdaderos?
1. Rosa es mayor que Carmen.
Il. Carmen es mayor que Rosa.
lil. Javier es mayor que Rosa.
IV.Alberto es mayorque Javier.
A)lylV 8)1y im C)Ilytv D)1Iy in EJIllyiv
Problema 5.Seis amigasllegaron a la casa de Javier una tras otra. Sofia llegó inmedia-
tamente después que Alejandra. Cuando Edith llegó, encontró a todas excepto a Maruja
Si cuando Alejandra llegó encontró solamente a Isabel, ¿en que lugarllegó Dora?
A)primera
—
B)cuarta C)segunda
—
D)tercera E) quinta
Problema 6.Si el complemento aritmético de mpg es (p-2)(9-2)(p-1)ml halle el
valor de men+a-p.
AJ8 B)9 C) 14 D) 10 E) 12
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema 7.En unadivisión inexacta, el cociente es 9 y elresiduo87.Si el dividendo se
multiplica por 3 y se vuelve
a
realizarla división, el cociente aumenta en el mayor valor
Posible y el residuo es 29. Hallar las sumasde las cifras del dividendo dela división inicial,
A)8 B)7 0)5 D)6 EJ4
Problema 8.Si a un númerodetrescifras se le resta el cuádruplo de su complemento ;
aritmético resulta 255.Hallar la suma de lascifras de dicho número.
Ay12 B)13 C)15 D) 14 E)16
Problema9. Don José fue de compras con cierta cantidad de dinero. Compró 16 pelo-
tas, cada una al mismo precio, y le sobró S/.70. Si para comprar 2 pelotas másle falto
B/. 100, ¿cuánto dinerole faltó para comprar 22 pelotas?
A) S/. 440 B) S/.340 C)S/.400 D)S/. 300 E) S/. 430
Problema 10. Ana fue de compras con cierta cantidad de dinero. Compró 12 polos, cada
uno al mismo precio,y le sobró S/. 50, Si comprar 2 polos másle faltó S/. 80; ¿cuánto le
faltó para comprar 2 docenas de polos?
A) SI, 470 B) S/. 405 C)S/. 535 D)S/. 460 E) S/. 375
Problema11. En el aula A el número de alumnos es igual al número de alumnas, mien-
tras que en el aula B,el número de alumnos es el doble del número de alumnas. Si el
Número de alumnas de ambas aulasjuntas no es menor que 24, y eltotal de alumnos +
(hombres y mujeres) de ambas aulas no es mayorque 60. ¿Cuál es el máximo número
de alumnas que pueden haberen el aula 8?
A) 14 B)11 C) 13 D)12 Ej10
Problema12. El quíntuplo del número de canicas que tiene Gaby, menos eltriple del
númerode canicas que tiene Sandra, es mayor que 2. El doble del número de canicas
que tiene Gaby, más lo que tiene Sandra, es menor que 11. Si Sandra tiene más de 3
canicas, ¿cuántas canicas tienen juntas?
AJ9 BJ6 C)7 D)S EJ8
Problema 13. Los amigos Benito y Daniel tienen juntos menos de 20 canicas, pero
Daniel, aun teniendo 4 canicas más,seguiría teniendo menos canicas que Benito. Si
Daniel tiene el maximo número de canicas, ¿cuántas canicas tiene Benito más que
Daniel?
AJA B)6 C)3 D)5 E)7
 APTITUD MATEMÁTICA
Problema 14. Manuel tiene menosdeS/.220entre billetes de S/.10 y S/.20. Si el número
de billetes de S/.20 esel máximoposible y el doble del número de billetes de S/.10 excede
al número debilletes de S/.20,¿cuántos billetes tiene en total?
AJ15 B)11 0) 13 D)12 E) tá
Problema 15. Las balanzas mostradas no están en equilibrioy los objetos diferentes
tienen pesosdiferentes. Silos objetos pesan un número entero de kilogramos, determine
el peso de un objeto sombreado (MI) más dos sin sombrear (0).
A) 12kg B) 11 kg. C) 10 kg. D)9kg. E)Bkg.
Problema 16. En la figura mostrada, OR=RC, BC=15 m y HC=12 m. Calcule PQ.
A)4m B
8)6m 74
C)2m
D)3m A 6
E)Sm H A
Problema 17. Enla figura, AB+AH=8 cm y HD=6 cm. Calcule BH.
A)2cm
B)6cm
C)10cm
D)4cm
E)3cm
 
Centro Preuniversitario UNMS» —_—_I
Problema 18. Enla figura, halle x.
AJt1*5 E
B) 12*
0) 11* 15"
D)11*
E) e30' AD A Be
Problema19. En la figura, halle x.
by
a
A) 12"
B) 25*
Cc) 20*
AQ eD)15" NUS
E) 10* QA
3 D
Problema 20. En la figura, AC=CD,calcule x.
 
165]
A By 109 y >,
B)9
Cc) 122
D) 142
Eme
A Q Cc
CLAVES
LA 5.8 9.A 13.D 17.D
2.0 6.E 10.A 14.0 18.0
3.B 7.D 11.0 15.A 19.D
4A 8.D 12.C 16.D 20.B
51.
CAPÍTULO V
 
Parentescos. Números Primosy Divisores de un Número.
Ecuaciones de Segundo Grado.
Desigualdades Geométricas y Base Media de un Triángulo.
 
PARENTESCOS
En muchascasosde nuestra vida real nos tropezamosconla situación de identificar la
relación existente entre los personajes de nuestro entorno familiar, ya sea ésta por
relación de consanguinidado porrelación de unión legalde los mismos. Justamente en
este capítulo aprenderemosa identificar las relaciones más elementalesexistentes de
nuestros parientes o de terceros.
Lasrelaciones de parentesco familiar pueden darse por consanguinidad o porla unión
legal de dos personas (matrimonio, adopción u otros).
Nuestro objetivo será identificar, en unos casos la relación familiarexistente entre los
personajes que se describen en los problemas y en otros casos buscaremos el minimo
número de sus integrantes. Para esto utilizaremos los diagramaslógicos de flechas y
los razonamientos regresivo, progresivo y/o deductivo
5.1.1. Relación Familiar
Concepto 1. Relación entre padre, madre,hijo,
 
ja, hermano y hermana.
Padrastro. Marido de la madre, respecto de los hijos que ella tuvo antes.
Madrastra. Mujer del padre respecto de los que este llevó al matrimonio.
Hijastro (a). Hio (a)de uno solo de los cónyuges respecto del otro. Entenado(a)
Hermano(a). Nacido del mismo padre y de la misma madre o sólo del mismo
padre o de la misma madre.
Hermano carnal. Nacido del mismopadre y de la misma madre.
+ Medio hermano.Nacido sólo del mismo padre o de la misma madre
+ Hermanastro (a). Hijo (a) de uno solo de los esposos con respecto al hijo o hija
del otro.
117
 
Centro Preuniversitario. UNMS» —_—_—————_—_——
Ejemplo 1
Consideramos que los hijos son consecuencia de un matrimonio. Si estamos en el día
de la celebración del primer matrimonio de Raúl, ¿qué parentesco tiene Raúl con la hija
de la esposa delúnico vástago de su madre?
A) Hermano — hermana B) Padre — hija CC)Hijo — madre
D) Abuelo — nieta E) Padrastro -— entenada
Resolución
Son sinónimos vástago e hijo. Como.Raúlestáen eldía de su primer matrimonio, entoncesélnotiene hijo o hija alguna. Representamos lasrelaciones familiares existentes, medianteel diagramade flechas, comosigue:
Madre de Rqúl
| matrimonio
Esposa ant
Raúl ——> de Raúl=== Hombre
2
AOS
5e,
“0
Hija
Luego,la relación famiiar existente es Padrastro - entenada.
Clave: E
Concepto 2, Relación entretio, ía, sobrino, sobrina, primoy prima.
+ Tio, El hermano o primo del padre o de la madre de una persona.
+ Tio carnal. El hermanodel padre o de la madre. X
+ Tía. Hermana o prima del padre o la madre de una persona.
+ Tía Carnal. La hermanadel padre o de la madre.
+ Sobrino (a). Hijo(a) del hermano(a), o del primo (a). Los primeros se laman
sobrinos carnales y los otros, sobrinos segundos,terceros, etc.
+ Primo(a). Hijo (a) deltío o tía.
+ Primo hermano. Hijo del tío otía carnal, Primo carnal.
Ejemplo 2
El tio del hijo del padre de Germánes mi primo hermano.Si Germán es hijo único, ¿qué
parentesco tengo con el padre deltío de Germán?
A) Sobrino (a)tio B) Hijo (a) — padre CC) Nieto (a) abuelo
D) Hermano (a) - hermana E) Primo(a) - primo
>APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
Al personaje que habla en el problema, no podemosidentificar, si es un hombre o es una
mujerlo llamaremos:Yo. El padre de Germán eltio de Germán,podrían ser hermanos
o primos, Representando por el diagramade flechas, setiene las relacionesfamiliares.
Padre del tlo de Germán
do.
eo
2]
Padre de Mo de
Germán “hermanos SemánYO
| 0
Germán ¿ao
Luego, la relación familiar que tengoes sobrino (a) —tio. Clave: A
5.1.2.Número de Integrantesdela Familia
Concepto. Determinar el número de integrantes de unafamilia en una acción delproblema,
consiste generalmente en hallar la cantidad minima de personasqueintegran la familia
en dicha acción. Para esto debemostener presente, que cada uno de losintegrantes de
ésta puede desempeñar en una mismaacción del problema papeles diferentes;así una
persona puedeser según se indique: padre, abuelo,hijo, hermano, esposo,etc. Poresto,
a caca una de las personas debemosatribuir la mayor cantidad de caracteristicas
familiares, con el objetivo de minimizarla cantidad de sus integrantes.
Ejemplo1
En un almuerzo familiar están presentes tres padres,tres hijos y dos nietos. ¿Cuántas
personas como mínimo están compartiendo el almuerzo?
AJS B)4 c)7 D)8 E)6
Resolución
Unbisabuelo es a la vez padre, un abuelo es también padre y a la vez hijo, un padre es
también hijo y a la vez nieto. Asi se tiene el mínimo número de personas que comparten
el almuerzo,en el siguiente diagrama:
bisabuelo «---
 -» abuelo t====i padres 
Así, el minimo número de personases 4.
nietos
Clave: B
120
Centro Preuniversitario UNMS» —_————————
Ejemplo 2
Los esposos Gálveztienen
5
hijas. Si cada hija tiene un hermano y cada hermana tiene 4
sobrinos,¿cuáles el minimo número de personas que conformanesta familia?
 
An B) 14 0)13 D) 12 E) 15
Resolución
Minimizando el número de integrantes, todas las hijas tiene un solo hermanoy éste,
cuatro hijos. Asise tiene el minimo número de integrantes.
Esposos 1
Paro
—
SÍ ado y
Hijel Hija2 Mijas Has mias
 
Asi, el minimo número de personases 12. Clave: D
5.1.3.Problemas Resueltos - Ml
Problema 1
Si Juan es hijo único de Pedro, ¿qué parentesco tiene Juan con el esposo dela madre delbisnieto de Pedro?
Ha) Abuelo—nieto B) Padre — hijoC) Padre
-
hijoo tio — sobrino D) Suegro - yerno :E) Padre — hijo o suegro - yerno '
Resolución
Sea M la madre del bisnieto de Pedro y H el esposo de M.Se tiene dos posibilidades,como se muestra en los diagramas:
Pedro
Ímn
CL
bisnietos
de Pedro
 
Luego,la relación existente entre Juan y H es suegro - yerno o padre — hijo.
Clave: E
A
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 2
Sila hija de Janeth es la madre de mi hija, ¿qué parentesco tengo con Janeth?
A) Yerno - suegra B) Hijo madre C) Sobrino —tíaD) Suegro — nuera E) Nieto — abuela
Resolución
Setiene el diagrama:
dt
ls
Hija
Luego,la relación que tengo con Janeth es yerno- suegra.
Clave: A
Problema 3
Carmenle muestra a Rosa el retrato de una señora y dice: “No tengo ni hermanosni
hermanas, pero la madre de esta señora esla hija de mi madre”. ¿Quién esla señora
—
| 124
queaparece en elretrato? A
A) Madtede Carmen B) Nieta de Carmen C) Sobrina de CarmenD) Carmen E) Hija de Carmen
Resolución
Carmeneshija única y la madre de la señora delretrato es Carmen, como se muestra enel diagrama:
Madre de Carmen
|
Madre del retrato = Carmen
|
Retrato de señora
Luego,el retrato de señora es hija de Carmen.
Clave: E
Problema 4
Enunareunión se encuentran dos madres, dos hijas y una nieta. ¿Cuántas mujerescomo mínimo se encuentranen dicha reunión?
AJ4 B)6 0)3 D)7 E)5
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución
Enel diagrama,se tiene el minimos número de mujeres en la reunión.
 
Asi, el mínimo número de mujereses 3.
Clave: C
5.2. NÚMEROS PRIMOSY DIVISORES DE UN NÚMERO
 
Clasificación de Números
a) Números primos. Los números primos o números primos absolutos son aquellos
númerosenteros mayores que uno y que tienen como único divisor positivo la unidad
y ellos mismos.
Ejemplo:2,3, 5,7,11, 13, 17,....
122:
b) Números compuestos. Llamados también no primos son aquellos que ademásde
ser divisibles por sí mismoy porla unidad lo son porotro factor.
Ejemplo:4,6, 8,9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...
Cc) Números primosentre si. Son dos o más números que notienen factores primos
comunes.
Ejemplo;
e
.
<
<
<
P
r
a
S
a6,
15,
d) Números consecutivos. Son dos o mas números enteros tales que cada uno se
diferencia del anterior en una unidad.
Ejemplo:
5y6
15, 16 y 17 :
101; 102; 103 y 104
6; 7, -8 y 9
En formageneral, se representan por: 1; n+1; n+2;.
 
 -— APTITUD MATEMÁTICA
5.2.2, Teoremas Fundamentales sobre Números Primos
1. Todo número compuestotiene por lo menosun factor primo mayor que 1
2. La serie de los númerosprimosesilimitada.
3. Si un númeroprimo no divide a otro número, necesariamente es primo con él.
4. Todo número que divide a un producto dedos factoresy es primoentre si con uno de
ellos, necesariamente divide al otro factor.
5. Todo número primo quedivide a un producto devarios factores, divide por lo menos
a uno de ellos.
6. Todo número primo quedivide a una potencia de un númerodivide a este número.
7. Si dos números son primos entresí, todas sus potencias también son números
primosentre sí.
8. Todo número primo es impar a excepción delnúmero primo 2
9. Dosy tres son los únicos números consecutivos y primosa la vez.
5.2.3. Regla Práctica Para Determinar si un Número es Primo
1. Seextrae la raíz cuadrada aproximada del número. Deser exacta la raiz, el número
no es primo.
2. Encasocontrario, se divide el número por cada uno de los números primos menores
quela parte entera de su raíz cuadrada obtenida enla primera parte. Si todas las
divisiones son inexactas,entoncesel número es primo,en caso contrario, de haber
alguna división exacta el número no esprimo.
123
Ejemplo
Determinarsi elnúmero 211 es primo
1. La raiz cuadradade 211 es aproximadamente 14,5....
2. Se tomala parte entera 14, los menores númerosprimos son 2,3, 5, 7, 11, 13.
3. 211 no es múltiplo de 2,de 3, de 4, de 5,de 7,de 11 ni de 13,
Porlo tanto, el número 211 es primo.
5.2.4. Teorema Fundamental de la Aritmética (Teorema de Gauss)
Todo número entero mayor que uno esigual a un producto de factores primosdiferentes
elevados a exponentes enteros positivo.
Esta descomposición en factores primos es denominada Descomposición Canónica o
descomposición en sus factores primos.
Ejemplo
180= 2x3 x5
Max
Centro Preuniversitario UNMSs——Az—__I
5.2.5, Cantidad de Divisores Positivos de un Número
Paracalcular la cantidad de divisores positivos de un número se procede de lasiguientemanera:
1. Serealiza la descomposición canónica del mismo, obteniendoasí losfactores primos
y sus exponentes.
2. Se tomalos exponentes de cada uno de los factores primos
y
se le suma una unidad
a Cada exponente.
3. La cantidad de divisores está dada porel producto de estas sumas.
Ejemplo
Hallar la cantidad de divisorespositivos de 180,
1. Descomposición canónica p100=2x39 x5
2. Sumadela unidad a cada exponente : 2+ 1:2+1;1+1
3. Cantidad dedivisores de 180 : (3) (3) (2) = 18 divisores
5.2.6. Problemas Resueltos
Problema1
Halle el residuo de dividir el producto de los mil primeros números primos entre 60.
 
A)10 B)20 C) 30 D) 40 E) 15
Resolución
1) Sea
N
elúltimo número primo.
2) Producto de los 1000 primeros números primos:2x3x5x7x11...x N.
3) División entre 60,y simplificación de factores comunes:
(2x3x5x7...N)/(60)=(2x3x5x7... N)/(2x2x3x5)=(7x11x..xN)/2
4) Pero el producto 7 x 11 x 13 x... N es un número impary un impar dividido entre 2 da
comoresiduo la unidad.
5) Porlo tanto, el residuo original es: 1 x (factores simplificados) = 1x 2x3 x 5 =30.
6) El residuo original es 30.
Clave: C
Problema 2
¿Cuántosdivisores positivos como mínimotiene ¿docd si Gáles un número primo y “0”es cero?
A)70 B)24 Cc) 18 D) 12 E) 16
AAPTITUD MATEMÁTICA
Resolución
1) Descomposición polinómica de cdocd cd x 1000 + cd = 1001 2d
2) Descomposición canónica de 1001 cd Tx11x13x cd
3) Si cdes 11613 , la cantidad de divisores es 2x2x3 = 12 divisores
4) Si cd es diferente de 11 0 13, la cantidad de divisores es: 2x2x2x 2
=
16divisores
5) por lo tanto,la mínima cantidad de divisores es 12
Clave: D
Problema 3
Un número tiene porfactores primosa 2 y 3. Si al número se le divide entre 8, el número
de sus divisores positivos se reduce a la cuarta part, pero, o si al número se le multiplica
por 6 la cantidad de divisores positivos es 15/8 del original. Halle el número.
A)24 B)72 Cc) 18 D) 48 E) 144
Resolución
1) Sea el número dela forma: 2*x 3?
2) El númerode sus divisores positivos es: (a + 1) (b + 1)
3) Si se divide entre 8 6 2* y el número es 22-3. 3? y el núimero de divisores es:
(a-3+1)(0+1)=(1/4) (2+1)(b+1)>4(a-2)=a+1>a=3
 
4) Si se le multiplica por6 6 (2 x 3) el número es 2***. 3**1 y el número de divisores es:
(a+ 141) (b+1+1)=(15/8) (a +1) (b+1)
siendo a=3=>b=1,
5) Porlo tanto, el número es; 23x 3 = 24
Clave: A
Problema 4
Si 36x 10* tiene 12 divisores positivos múltiplos de 2, pero no de 5. Halle el valor de "a".
AJ4 B)2 0)1 D)6 E)5
Resolución
1) Descomposición canónica del número ¡ 2:g3xgs
2) Divisorespositivos múltiplos de 2 y no de 5: 2(2***x 32)
3) Cantidad de divisores múltiplos de 2 ¡(a+ 1)(2+1)=12
Entonces sa=2
Clave: B
120
Centro Preuniversitario UNMSM
5.3, ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
5.3.1. Conceptos Básicos
Definición. Una ecuación de segundo grado en una variable “x" es una ecuación que
puedeescribirse de la siguiente forma:
ax+bx+c=0,
en dondea, b y 6 son constantes y a +0.
Ana ecuación de segundo grado también sele denomina ecuación cuadrática o ecuación
de segundogrado.
Estrategia. Un método útil para resolver ecuaciones cuadráticas se basa en la
factorización de ax*+ bx + c=0.
Cuandola factorización resulta dificil, existe una fórmula a la que se denomina fórmula
cuadrática quedalas raíces de cualquier expresión cuadrática.
Fórmula Cuadrática. Si ax' + bx + c = 0, en donde a,b y c son constantes y a » 0,
entonces:
k — bt Vb? - 4ac
2a
Estos valores de "x” son las raices de la ecuación cuadrática.
Ejemplo 4
En unacolecta se reunió S/. 2300. ¿Cuántas personas colaboraron,si el número de
soles que dio cada uno excede en 4 al número de personas?
A)30 B) 48 C) 24 D) 64 E) 46
Resolución
Númerode personas: n,n e Z”
clu dio: S/. n +4
Del problema setiene que:
n? + 4n - 2300 =0,factorizando:
n -46
n< 450
(n - 46) (n +50) = 0
n-46=0 5 n+50=0
n=46 6 n=-50
«.n=46
Clave; E
 APTITUD MATEMÁTICA
5.3.3. Problemas Resueltos
Problema 1
Juan está conversando con sus amigos y observa que el número de estos elevado al
cuadrado y multiplicado por 5 es 24 veceseste número, menos 27. ¿Cuántas personas
hay en el grupo?
AJ3 B)2 0)4 D)5 EJ8
Resolución
Número de sus amigos: n, n e Z*
5n? = 24m - 27
Sn -9E = ñSn? 249 +27=0,factorizando; ye
(5n- 9) (n-3)=0
n=9/5 6 n=3
n=3
El número de personas enel grupoes 4,
Clave: C
Problema 2 Edr
Se ha compradocierto número de revistas por S/. 100. Si el precio por ejemplar fuese
SÍ. 1 menos, se comprarian 5 ejemplares más por el mismo monto, ¿cuántas revistas se
compró?
A)30 B) 40 Cc) 24 D) 20 E) 25
Resolución
Costo de cada unadelasrevistas: S/. n, n e Z*
Númerode revistas: 100/n
Del problemasetiene que:
100 100 _¿_ 100n- 100n + 100
n-17n nn
Simplificando:
2-n-20= n +41'-n-20=0, factorizando: Y >< 75
(n+ 4)(n-5)=0
n=-46n=5
0=5
= 5 = 100=5n?-5n
Luego, el numero derevistas es 100/5 = 20
Clave: D
Centro Preuniversitario UNMSM ——- 
Problema 3
Un negociante compró cierto número delibros porunvalor de S/.60. Sele extraviaron 3
de ellosy vendiendolos restantes en S/. 2 más de lo que le había costado cada uno,ganó
SI. 3. ¿Cuánto le costó cadalibro?
A)S/. 4 B)S/. 10 C) S/. 12 D)S/. 8 E) S/. 5
Resolución
Costo c/u libros: x, x € Z*
Número derevistas: 60/x
PV = PC +G, PY:Precio de venta, PC: Precio de compra y G: Ganancia
Del problema se tiene que:
63 = e -3)/x +2) = 63x=(60-3x) (x+2) > 63x =60x+120- 3x*- 6x
> 3+9x-120=0
Simplificado
x+3x-40=0, factorizando: X >< "E
(+ 8) (x-5) =0
 
x=5
Luego,el costo de cada libro es de S/. 5
Clave: E,
Problema 4
Al responder una encuesta un granjero contestó: "tengo 24 vacas,32 torosy el total de
ellos es 100". ¿Quésistema de numeración utilizó el ganadero para contestarla encuesta?
A)decimal B)senario C)heptanario D)quinario E)nonaro
Resolución
Sea x la basedel sistemade numeración.
Del problema setiene que:
24, + 32, =100,
2x+4+3x+2=1(%)
zando: XxȎ-5x-8=0 factorizando: ><
(x-6) (x+1)=0 t
=66x=-1
x=6
Luego,el sistema de numeración es el senario.
Clave; B|
 
xA< -- APTITUD MATEMÁTICA: 
5.4. DESIGUALDADES GEOMÉTRICAS Y BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO
5.4.1, Propiedades Básicas
a) Lado - ángulo
En todo triángulo, a mayorlongitud de un lado, se opone mayor medida del ángulo yreciprocamente, a mayor medida de un ángulo se opone mayorlongitud del lado.
B
AB>BCoa>0
Dc
AD
b) Desigualdadtriangular
 
 
Entodo Iriángulo, la longitud de cada lado es menor que la sumade las longitudes de los
olros dos y mayor que su diferencia.
B
*AC-BC<AB< AC + BC (si AC> BC) 129
*+AB-— BC <AC < AB + BC (si ABBC)
A *AB-AC <BC< AB +AC (si AB> AC)c
5.4.2.Propiedad de la Base Media de un Triángulo
(0 teorema delos puntos medios)
 
 
El segmento que unelos puntos medios de doslados de
un triángulo es paralelo al tercer lado e iguala la mitad de
su longitud
 
MN/AC y mE
 
Observación.Si por el punto medio de un lado de un
triángulo se traza unarecta paralela a uno de los otros
doslados, entoncesel tercer lado quedabisecado.
Si AM=M8 y “MN AC
 
> |BN=NC y mi=Í2
 
430
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Ejemplo 1
Enla figura adjunta, el ángulo ÉCD es obtuso, AB=AD=15cm y CD=2 cm. Calcule
el valor entero de BC.
B
A) 17 cm
B) 18 cm
0) 16 cm
D) 13 cm
E) 14 cm AQ
Resolución
* 4 ABD es equilátero > BD= 15 cm
*ABCD: 15cm-2cm<x<15 cm +2 cm
(propiedad “b")
> 13 0m<x< 17 cm
 
A + BCD es obluso = x< 15 cm (prop. “a")15 cm D
x= 14 cm
Clave: E
Ejemplo 2
Enla figura mostrada,calcule el menorvalor entero del perimetro.
A) 48 cm
B) 49 cm
C) 47 cm
D) 50 cm
E) 51 cm a
 
(+8) em
Resolución
+ Perímetro = 3x
+ 4 ABC:x> (x + 8) - (x - 8) (propiedad "b")
=2x> 163 3x > 48
+ Perímetro (mínimo entero) = 49 cm
Clave: B|
 APTITUD MATEMÁTICA
5.4.3. Problemas Resueltos
Problema 1
En un triángulo rectángulo ABC,recto en se traza la altura BH]la bisectriz del ángulo
HBC corta a HC en P. Si AB= k cm (k el: ). Calcule el máximo valor entero de BP.
A) 2k cm B)(2k-3)cm C)(3k-1)cm D)(2k-1)cm E) (k-1)cm
Resolución
+ A ABC: msCABH = m<PCBy
m«BAH= meHBO
+ AABPesisósceles
=BP<k+k=2k
(Prop. desigualdad triangular)
>8P,,, =2k-1
 
Clave: D
Problema 2
131
¿Cuántos triángulos con 20 cm de perímetro existen tales que sus lados miden un núme-
ro entero de cm?
A)7 8)8 C)9 D)10 Em
Resolución
«Dato: a+b+c=20
=b+c<20-a,a+c=20-byarb=20-c
a b "b-c<acb+ola<20-¿a< 10
«a-c<b<arclb<20-b=>b<10
“a-b<c<arb>c<20-0>c<10
Luego:
" m 2 =20; +a+b+c=20
776
o
o
o
»
D
u
e
.
Ss
a
e
.
m
o
o
a
»
o
o
5
o
a
o
= Existen 8 triángulos
Clave: B|
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
_—>>z==__——
Problema 3
Enla figura adjunta, AF = 18 cm. Calcule AC.
A) 30 cm
B) 24 cm D
0) 32 cm
D) 27 cm A O
E) 25 cm F
Resolución
B + Trazamos DG//BF >AG = GF = 9 cm
A + En el 4 DGC: GF = FC =9cm
A NAS, e
S F
*—— 180m ——+
Clave: D
Problema 4
132
Enla figura adjunta, AB = DC = 8 cm, AM=MD y BN=NC,Calcule MN.
A) 1 cm
B)2cm
C) 6 cm
D) 4 cm
E) 3 cm
 
Resolución
+ Trazamos AE tal que: DN=NE=a
= como BN=NC y DC=8cm
> BD=EC=8cm-2a
* Como AB = DC > 4 ABEes
isósceles
*Eneld ADE:MN= 7 0m= ájem
 
Clave: D
 APTITUD MATEMÁTICA
5.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema1. El padre de José es el hermano carnal de mi madre. ¿Qué parentesco
tengo con el abuelo del gemelo de José?
A) Nieto— abuelo B) Bisnieto - bisabuelo C) Tio — sobrino
D) Sobrino — tío E) Abuelo —nieto
Problema 2. Construyendotu árbol geneológico, ¿cuántos abuelos tuvieron tus
bisabuelos?
A) 256 B)16 0) 128 D) 32 E) 64
Problema 3. Nancy y Karina son hijas de Carmen. Raúl se casó con Karina y tuvieron,
unahija llamada Isaura. Nancy tuvo una hija que se llama Maria, ésta se casó con César,
naciendo como consecuencia Cecilia. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
1) -Cecilia e Isaura son primas
11) Isaura es sobrina de Nancy y prima de María.
II) Cecilia e Isaura son nietas de Carmen.
IV) Cecilia es bisnieta de Carmen
V) Maria es sobrina de Karina y nieta de Carmen.
A), IV y Y B)!l, Iv y V Cy, 1 y
DI, My Iv EJ!l, MM y V 193
Problema 4. En una cena familiar están presentes solamente hermanosy hermanas. Si
todos son hermanos menos 3 y todos son hermanas menos 4, ¿cuántas mujeres se
encuentran en la cena?
AJA B)3 0)2 D)5 EJ6
Problema5. S. Gonzales, R. Castro y C. Rojas están relacionadosentre si. Se sabe
de ellos:
+ Entre estas tres personas, se hallan el conyuge de S. Gonzales, el hermanoo la
hermanade R. Castro y la cuñada de C. Rojas.
+ El cónyuge de S. Gozales y el hermanoo la hermana de R. Castro pertenecen al
mismo Sexo.
¿Quéafirmación es verdadera?
A) R.Castro es hombre casado. B) S. Gonzales es hombre soltero.
C)R, Castro es hombre soltero. D) S. Gonzaleses mujer soltera.
E) R. Castro es mujer casada
Problema6. ¿A cuántos números primos menores que 20se les resta algún número
primoy el resultado es otro primo?
AJ7 B)6 C)5 D)4 E)3
134
Centro Preuniversitario UNMS» —_—A—
Problema7,Si aboabo es producto de números primos consecutivosy "o" es cero,halle el
valorde ab,
A)38 B) 85 0)51 D) 34 E)17
Problema8, Si el número de la forma aba, es primo halle 3a +2b (letras diferentes,digitos diferentes).
A)3 B)5 c)7 D)6 E)8
Problema 9. Determine el menor número múltiplo de 35 que tenga 12 divisores positivos.
A)70 B)210 C) 280 D) 140 E) 105
Problema 10. Javier necesita cuatro número primos diferentes, tal que la suma de ellossea 35 y la sumade dos de ellos exceda en tres unidades a la suma de los otros dos.¿Cuántos gruposde cuatro números primos cumplen dichas condiciones?
A)5 B)1 c)2 D)3 EJ4
Problema 11. En un zoológico hay cierto número de monos, de ellos la octava parte
elevado al cuadradose encuentran en los árboles, mientras que los doce restantesestán
enlasjaulas. ¿Cuántos monos como máximo hay en el zoológico?
A)24 8) 48 0) 56 D)16 E) 64
Problema12, Un grupo de personasentreellas tres mujeres asistieron a un almuerzo enun restaurante. El gasto de S/. 72, se repartió inicialmente entre todos, pero despuéslos
hombres resolvieron por gentileza que las mujeres no debían pagar, cada hombre pagó
entonces S/. 4 más y la cuenta quedó saldada. ¿Cuántas personashabian en el grupo?
A)J4 B)6 C)9 D) 12 815
Problema13. Marcos tiene S/. 2645 en monedasde S/. 5, y agrupa sus monedas entantos grupos como monedashay en cada grupo. ¿Cuál es el monto en cada grupo demonedas?
A) SI. 350 B) S/. 235 C)S/. 115 D)S/. 120 E) S/. 125
Problema14, Si la docena de medias costaria S/.8 menos, entonces me darían unadocena más de medias de las que dan por S/.180. ¿Cuántas medias dan por S/.1807, de
[omorespuesta la suma decifras.
AJ6 B)9 c)7 D)8 E)5
__—_
2APTITUD MATEMÁTICA
Problema15. Carlos tiene S/. 110. A cadasobrino le da tantos nuevos soles comohijostiene y aún le sobran tantos nuevossoles comosobrinostiene. Si además elnúmero de
hijos es igual al número de sobrinos, ¿cuántos sobrinostiene Carlos?
A) 14 B)12 014 D) 10 EJ 16
Problema16. Las diagonales de un cuadrilátero miden 8 cm y 10 cm, el perimetro más
probable de este cuadrilátero está entre:
A) 14 cm y 16cm B) 18 cm y 36 om C) 38 cm y 40. cm
D) 42 cm y 50 cm E) 12 cm y 14 cm
Problema17.Silas diagonales de un trapecio miden 16 cm y 18 cm. Calcule el máximo
valor entero de la mediana.
A) 17 cm B) 16 cm C) 13 cm D) 14 cm E) 15 cm
Problema 18.El lado AC deun triángulo ABC mide 20 cm. Se traza BH perpendicular
a la bisectriz del ángulo BAC. En dicha bisectriz por el punto H trazamos
AM/AB y HN//AC conMen AC y Nen BC. Calcule el mayorvalor entero de MN.
A) 8 cm B)7 cm C) 9 cm D) 10 cm E) 11 cm
1
Problema 19. Los lados AB y AC|de untriánguloABC miden 12 m y 24 mrespectivamente.
Calcule el mayor valor entero que puede tomarla medida de la mediana AM.
AJt7m B)8m C) 18 m D) 20 m E) 14m
Problema20. En la figura mostrada, AC = 20 cm.Calcule PQ.
A) 12 cm B
8) 100m
0) 15 cm
D) 11om Q
E) 9 cm Cc A
Centro Preuniversitario UNMSN
 —
_—>=>4>4+4+%+%+4%zm42410
CLAVES
1A 5.A 9.D 13.0 17.B
2.0 6.D 10.0 14, A 18.0
3.B 7.0 1.8 15,D 19. A
4.B 8.E 12.C 16.8 20.8
64.
64.4.
CAPÍTULOVI
 
 
Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo Grado en una Variable.
Propiedades Básicas en Igs Paralelogramosy Trapecios.
 
TRASLADOS
Conceptos Básicos
En esta sección hemosreunido una variedad de problemasy situaciones concernientes
con la determinación de la menor cantidad posible de desplazamientos y movimientos
de figuras y objetos para obtenerotros o para que verifiquen alguna propiedad o condición
previamente establecida, El propósito de esta sección es revisar y ejercitarla habilidad e
ingenio del estudiante para resolver este tipo desituaciones.
Ejemplo
Sobre una mesa hay 10 vasos ordenadosen fila e intercalados entre unolleno con
gaseosa y otro vacio, tal comolo muestra la figura. ¿Porlo menos cuántos vasos deben
ser movidospara alterar el orden de manera que queden los 5 vacios de un lado y los 5
Menosdelotro lado?
OOOOOROYO
1. posibilidad:
.
Movemoslos vasos 2, 4, 6 y 8 y los ponemosallado del vaso 10, o
movemoslos vasos 3, 5, 7 y 9 y los ponemosallado del vaso 1. En
cualquiera de estos casos movemos4 vasos.
2*. posibilidad:
—
Intercambiamosde posición los vasos 2 y 7, también los vasos 4 y9.
Aqui también movemos4 vasos.
3”. posibilidad: Cogemosel vaso7, vaciamos la gaseosa en el vaso2 y lo regresamos
a su lugar inicial; igualmente, cogemosel vaso 9, vaciamos su contenido
en el vaso 4
y
lo regresamos a su posición inical.
137
138
Centro Preuniversitario UNMSM 
 
 
DODO990094
 
De esta manera sólo hemos movido 2 vasos(los numerados con 7
y
9). y esa es la
menorcantidad de vasos que deben ser movidos.
«Problemas Resueltos
Problema 1
Lasfiguras 1 y 2 están formadas porfichascirculares idénticas. ¿Por lo menos cuántas
de las fichas de la figura 1 deben ser cambiadas de posición para formarla figura 2?
A)3
B)4
C)5
D)6 ,
EJ2 fig. 1 fig.2
Resolución
Este tipo de ejerciclos se resuelve porsimetria yes suficiente mover
4
fichas dela siguiente
manera:
 
Clave: B
Problema 2
Si el peso que puede llevar una canoa no excede los 100 kg, ¿por lo menos cuántos
viajes debe hacerse para que esta canoalogre llevar de una orilla a otra de un río a 2
mujeres que pesan 50 kg cada una y a un hombre que pesa 70 kg?
AJ8 B)7 c)6 D)5 EJ4 4
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
En cade viaje debeviajar la mayor cantidad posible de personas y al regresar debe hacerlola personade menor peso (alguien debe regresar conduciendola canoa),
Si.H (70 kg.) A (50 kg.) y B (50 kg.).
Rio
 
Eo,
$ Es]
2 A
344
ao
AE
 
 
Debe realizarse 5 viajes.
Clave: D
Problema 3
Para una de sus recetas culinarias, doña Pepa requiere exactamente 4 litros de agua, Si
sólo dispone de dos jarras, ambas sin graduar, de 3 y 5 litros de capacidad, ¿cuántasveces como mínimo tendrá que pasar el agua de unajarra a otra para obtener lo requerido?
Ay1 B)2 C)3 D)4 E)S
139
Resolución
Los números en as jarras incican la cantidad de tros que quedan en ellas al final de cada vez.
 
llenar litros.—=
EH NAvaciar
13 ? FlY”. vez: 2 y z
4, ¡0
5 litros —3littos
 
A
0
Ar ho
5 litros 3 litros
llenar
o AL
3”. Vez: ( 4) 23)
5litros —3'itros
+. Son suficientes 3 veces. Clave: €
140
Centro Preuniversitario UNMS. _———_______
Problema 4
6.2.
¿Porlo menos cuántas de las fichas numeradas deben ser cambiadas de posición para
que el resultado sea el máximo entero posible?
((0+0)-01:0)-0
A)2 B)3 C)4 D)1 EJ5
Resolución
Podemos moverlas fichas de varias formas, pero para conseguir el resultado máximo
recordamos que éste se consigue dividiendo entre la menor cantidad posible y
multiplicando las mayores cantidadesposibles. Así, el resultado máximo es:
((0:0)-8]: O)-0-
y paraello sólo hacefalta mover2 fichas.
Clave: A
DIVISIBILIDAD
El temadedivisibilidad está referido a ciertas caracteristicas de los números que nospermiten conocer, por simple inspección, si un número es divisible porotro.
6.2.1. Divisibilidad de los Números
Se dice que un número enteroA es divisible entre otro número entero B, llamado divisor, sialividirAentre B nosresulta un cociente exacto.Porejemplo, decimos: 15 es divisible por3" Ó “3 es dvisor de 15". Porque 15 dividido entre 3 da un cociente exacto, el cual es 5.Deigual manera, un número entero A es múltiplo de otro número entero 8, si existe untercer número entero C,tal que al multiplicar C x 8 resulta el número A.
6.2.2. Principios Fundamentales de Divisibilidad
Para las notacionesde divisibilidad y multiplicidad utilizaremos:
o
a=b
que significa a” es múltiplo deb".
A. Operaciones con Múltiplos
9.0.0
ajn+n=n Ejemplo: 15+35=50
qm.—_JAAA———. APTITUD MATEMATICA
o. o 0
5+5=5
o...
b)n-n=n Ejemplo; 24-14 =10
o. 9.0
2-2=2
Uno á a
€) n x k= n (siendo k un número entero). Ejemplo: 5 x 3= 5
a) (1) =8 (siendo kun número entero).
Ejemplo: (8 (3 ]8)=amon- Im) = ok =3
B.Principio de Arquimides
Si el producto de dos númerosenteros A y B es múltiplo de cierto número entero N,
donde A y N notienen factores en común,excepto la unidad, entoncesel número B
es múltiplo de N.
o o
Ejemplo: 23 x B=15 >B=15
C. Si un Número es Múltiplo de Varios Números, entonces es Múltiplo del mem 141
de esos Números
Ejemplos
 
Si "a" es múltiplo de 3; “a” es múltiplo de 4 y “a” es múltiplo de 5, entonces
múltiplo del MCM (3, 4, 5) es decir, múltiplo de 60.
o o o
——_
_—á—. 0
a=3,a=4ya=5=a=MCM(3, 4, 5)=60
Si"a” es divisible por 5 y da 2 deresiduo;y ademáses divisible por 3 y da 2 de residuo
entonces“a” es divisible por MCM (5, 3) = 15 y da 2 de residuo
o o o
+2,a=3+2=a=ÑMCM(5,9)+2
 
D. Todo Número es Múltiplo de los Factores Primos que lo Conformany de
Cada Unode los Divisores del Mismo
Ejemplo
El número24 tiene por factores primos a 2 y 3, entonces es múltiplo de 2 y es múltiplo
de 3. Ala vez es múltiplo de 4,8, 6, 12y del mismo 24.
Centro Preuniversitario. UNMS». —_>>=>_
6.3.3. Criterios de Divisibilidad
a) Divisibilidad por 2"
== o oSea N=abed > N=2 +» d=20ce0
o =_0
N=4 SS d=4
o ss bl
N=8 5378
Ejemplos
232 es múltiplo de 2, de 4 y de 8.
4262 es múltiplo de 2.
b) Divisibilidad por 5"
— 0 0SeaN= abod = N=5 % d=50ceo
o
5
o 3
N=25 * 2d=2
9
N=125 6 pg=12
Ejemplos
1125 es múlitiplo de 5, de 25 y de 125,142
4265 es mútltiplo de 5.
c) Divisibilidad por 3*
o o
N=3 % a+brord+e=3
 
o
> arbrord+re=9w
oN=
Ejemplos
0.0.234 es múltiplo de 3 y de 9, porque 2+3+4=9=3 y 9 ¿
o
501 es múltiplo de 3 porque 5+0+1=6= 3
d) Divisbilidad por 11 (alternar signos "+" y "-", comenzando porlas unidades)
 o o
SeaN=abcde :5N=11 $ e-d+c=b+ra=110 cero
Ejemplos
1331 es múltiplo de 11 porque 1-3+3-1=0
o
55418 es múltiplo de 11 porque 8-1+4-5+5=11= 11
6.3.4,
 -———————— APTITUD MATEMÁTICA
e) Divisibilidad por 7 (alternar la multiplicación por1, 3, 2 con signos “+”y “”,
comenzandopor las unidades)
 
SeaN= 3bodel=N= 7 > (1+ de +24) -(c+3b+28) = Po cero
Ejemplos
71.436 904 es múltiplo de 7, porque:
1x4 +3X0+2x9-1X6-3x3-2x4+1Xx1+3x7=21=7
17 024 es múltiplo de 7, porque:
1x4+3x2+2x0-1x7-3x1=0
|. Problemas Resueltos
Problema 1
En unaconferencia de catedráticos dela universidad habian reunidos 180 personas, Si
se sabe que del total de hombres, 1/5 eran médicos, 3/7 eran ingenieros y 1/3 eran
abogados, ¿cuántas mujeres habian en la conferencia?
AJ90 8) 105 C)75 D) 85 E) 100
Resolución 143
1) Sea N el número de hombresen la conferencia.
2) Debemosobservar que las cantidades de hombres de cada profesión debe sernúmeros
enteros,por lo tanto, N debe ser múltiplo de 5, de 7 y de 3 a la vez
3) Al ser múltiplo de 5,7 y 3 debe ser del MCM(5, 7, 3) = 105.
4) El único múltiplo de N dentro de la cantidad de personas(180) es 105.
5) Porlo tanto, el número de mujeres presentes es: 180 - 105 =75.
Clave; €
Problema 2
Al restarle a un número de
5
cifras la sumadesuscifras,el resultado siempre resulta
múltiplo de:
AJ9 8)2 c)7 D)5 EJ6
Resolución
Sea: N= abcde
= 10% + 10%+ 10% + 10d+e
eSetja+[Se1]o+[3e 1]e+[Se1]are
Clave: D
14
 
=0+(a+b+rc+rd+e)
= abode-(a+b+c+d+e)=$ Elnúmero resultante es siempre mútiplo de 9.
Clave: A
Problema 3
¿Cuántos números enteros divisibles por 3 y por 7 a la vez, hay entre 100 y 2507
AJ6 B)7 c)9 D) 10 Et
Resolución
1) Sea N el número pedido.
2) Si es divisible por 3 y por 7, entonceses divisible por :3x7=21
3) Si es divisible por 21, es múltiplo de 21 N=21K
4) El valor de N está comprendido entre :100<21K<250
5) Dividiendo entre 21 :4,7..<K<11,9 ]
6) Tomamos los valores enteros de K K=5,6,7,8,9,10 y 11
7) Porlo tano, existen 7 valores para N
Clave: B|
Problema 4
Sielnumeral 3235 es múltiplo de 9, y el numeral 35b es múltiplo de 7.Hallar el máximo
valor de "a +b”.
A)18 B)17 C)16 D) 15 Ej 14
Resolución
es o
1) 325 es múltiplo de 9, entonces: 3+2+a+5=10+a=9 >10+a=9,18,...
2) "aesunacifra del O al 9, entoncesel único valor de “a” es 8: 10+8=18.
E o
3) 35b es múltiplo de 7, entonces: 1xb+3x5+2x3 =7=> b+21=7,14,21,28,.
4) Simplificando (*b”cifra de O al 9); b+21=21,b+21=28,... i
 5) por lo tanto, toma2 valores: b=0,b=7
6) Comosenecesita el máximo valor: b=7
7) El máximo valor de a + b: 7+8=15,
Clave: D
 
 APTITUD MATEMÁTICA
6.3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE
6.3.1. Conceptos Básicos
Diversas situaciones pueden ser planteadas matemáticamente mediante inecuaciones
de segundogradoen una sola variable real. Estas inecuaciones en una variable *X" tienen
lassiguientesformas:
aX +br+o<O, axtbx+csO, al+bxtc>o 6 arbxrcz0
donde: a, b y c son constantesreales y a = 0.
Para susolución debemoshallarlos valores r, y r, dela incógnita que anulan la expresión
cuadrática correspondiente,y tener en cuenta los siguientes casos:
a+ bx+c<0
(xr(x= 1,) <0
axd+bx+cs0
(10 1) <0
Conjunto solución: £r,. r, ]
1
1
1
1
1
1
1+ - + ! + +
1
1
1
'
1
1
145
 
ax+bx+c>0
Qe 1)b 1) >0
ax+bx+c>0
(e r)bc= 1) > 0
AE,
2, Tr. +2
Conjunto solución: Conjunto solución:
<a> Usp to> <-0 1 JULt>
Ejemplo
Sial cuadrado de un número le agregamosel doble de dicho número, el resultado es
menorque 15. ¿Cuántosvalores enteros puede tomardicho número?
A)2 B)6 C)4 D)5 E)7
Resolución
Sea el número n e Z.
Delenunciadodel problema: n? + 2n < 15
146
Centro Preuniversitario UNMS» —=>
2 M+2n-15<0 > (n+5)(n-3)<0
AA
 
 
54,3, -2,-1,0,1,2 
Clave: E
6.3.1.Problemas Resueltos
Problema 1
La sumade dos números enteros es 144 y 17 veces el mayor de ellos es menor que elProducto de dichos números. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar uno de ellos?
A) 132 B) 126 C) 124 D) 119 E) 118
Resolución
Sea x el mayor de los números,el otro será 144 -x
Del enunciado:
17x:< x(144-x)
X-127x <0 .— x(x-127)<0
 
CS: <0, 127>
127 +0
 
Clave: B
Problema 2
Abel cuenta sus pollos y dice: “Si al número de pollos que tengo lo elevo al cuadrado yluegole sumo tres vecesla cantidad de pollos que tengo,siempre me resulta mayor que54”. ¿Cuántos pollos como mínimotiene Abel?
AJO 8)8 c)7 D)6 E)S
Resolución
Número de pollos que tiene Abel: x. (x > 0)
Del enunciado:
x + 3x> 54
Xx 3X-54>0 — (£ +9) (x-6)>0
CS: <-0, -9> U <6, +00>
 
Pero como x> 0, sólo queda x e <S,+0>. Luego x,,, = 7
Clave: C
 
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 3
Coquito tiene dinero sólo en dos de sus bolsillos y en ambos sumanun número entero de
nuevossoles. Si en unode sus bolsillos tiene S/. 2 más'que enel otro,y el producto de
los números de nuevos soles que tiene en ambos bolsillos no excede a 143, ¿cuál es la
mayorcantidad dedinero que puedetener Coquito?
A) S/. 28 B)S/. 13 0) S/. 11 D) S/. 22 E) S/. 24
Resolución
Número de nuevossoles enel bolsillo 2: n + 2
Del enunciado:
Número de nuevossoles en elbolsillo 1: n
Total: 2n +2
n(n+2)s143
m+2n-14350 — (n+13)(n-11)s0
A
xa.
 
CS: (+13, 11]
pero como n > 0,sólo queda n e<0,11]. Luego n,,,, = 11 y la mayorcantidad que puede
tener Coquito es S/. 24.
Clave: E
14
Problema 4
Pepe le dice a Beto: “Tengo dosbolsas con canicas, en una deellas tengo cuatro canicas
más que en la otra, y el producto del número de canicas de ambas bolsas es mayor que
165", ¿Cuántas canicas como mínimotiene Pepe?
A)32 B) 28 C) 26 D) 24 E) 30
Resolución
Número decanicas enla bolsa 1: x
Total: 2x + 4
Númerode canicasenla bolsa 2: x + 4
Del enunciado:
x (c+ 4) >165
RR4x-165>0 —, (1+15)(x-11)>0
=EE CS: <-om, -15> U <11, +c0>
> As 1 +0
pero como x>0, queda x € <11, +:o>. Luego x,,, = 12 y Pepe tiene 28 canicas comominimo.
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMS
 —
_A>—>—>+>+4+4+=+—1414110
6.4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LOS PARALELOGRAMOS Y TRAPECIOS
6.4.1. Paralelogramos
 
 
 
 
 
Tipos
B c
A D
Paralelogramo o Romboide Rectángulo
B i
€
] A Cc
148 A B D i
Cuadrado Rombo
6.4,2, Trapecios
Tipos
:
B c ,
| | A ENA DO A D Al D
ÚTrapecio Escaleno | Trapecio Rectángulo Trapecio Isósceles s
AB=CD
AC=BD
 
 
 —— APTITUD MATEMÁTICA
6.4.3. Propiedades de los Paralelogramos
a) Las diagonales de un paralelogramose bisecan.
B Cc
E>=4 EA D
b) Las diagonales de un rectángulo miden iguales.
B, c
y aA D
6) Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente, y son bisectrices de los
ángulosinteriores,
 
 
 
 
 
B 149
d) Las ciagonales del cuadrado miden igual y se cortan perpendicularmente; ademásson
bisectrices de los ángulosinteriores.
B c
XA | aA D
 
 
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM 
Observación:
 Enla figura
 
 
 
6.4.4. Mediana Relativa a la Hipotenusa
* Entodo triángulo rectángulo la longitud de la medianarelativa a la hipolenusa es igual
a la mitad de la longitud de la hipotenusa.
B c
0 Si m4B=90* y AO=0C
 
A
150 6.4.5. Propiedades en los Trapecios
a) La longitud de la mediana del trapecio es igual a la semisuma delas longitudes delas
 
 
 
bases.
B, 6
Si MN es mediana del trapecio ABCD
M N ==
> |MN/BC//AD y MN=
A D
b) La longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la
semidiferencia de las longitudes de las bases.
B, Cc
Y Si AP=PC y BQ=0D
ES
A D
 
 
[APTITUDMATEMÁTICA
Ejemplo 1
Enla figura, BC = 12 om, CD= 18 cm y MN =8 cm. Calcular AD
A) 26 cm B) 20 cm
 
E 6
C) 24 cm D) 22 cm
NE) 28 cm Mi
Resolución A a D
8, —2am E + Prolongamos CN hasta E
* A ECD esisósceles > CN = NE
x+12 cm,
+8 cm = ———(mediana)
 =x=4c0m
 
*AD=4cm + 18 cm =22 cm
 
Clave: D
Ejemplo 2 041
En la figura, M y N son puntos medios de A,
EC y XD respectivamente (AB <CD), MN =5 cm
y AB+CD= 14 cm. Calcular CD.
B
A) 10 cm B) 11 cm
C)9cm D)12cm
E) 130m 0
Resoluciónlución l
+5cm= = AS (propiedad b)
>CD-AB=10cm .. (1)
*CD+AB=140m ..(2
* Sumado (1) y (2): CD =12 cm
Clave: D
Centro Preuniversitario UNMSM
 
 
Problemas Resueltos
Problema 1
Enla figura adjunta, ABCDesuntrapecio, BC =acm y CD =b cm.Calcular el valor de
la longitudde la mediana.
B
 fe a om B) LonDm c)eamA) 3
(Qa -D)
2 AÁ AD
 D) (a-b)em E)
Resolución
+ Trazamos BE//CD >!) AÉB =40*
+ ABE esisósceles => AE = b cm
» Además ED = a cm => Mediana_acm+acm+b om _(2a+b) cm
2 2
22 Clave:
Problema 2
 
En la figura adjunta, DC = 2AB,Calcular elvalor de *X”.
Ayto* B) 20"
 
0) 15" D)30*
E) 25"
Resolución
+ Trazamosla mediana BM
= BM = DM = MC (Prop. mediana
relativa a la hipotenusa)
=> mMBC= 20" y macAMB= 40*
(exterior)
+A DBMesisósceles
=> m<BDM = m4cDBM= 70*
Sc + AJABMesisósceles = macA= 40*
=> 70%=40% + 2x
> x=15
 
 
Clave
 
A
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 3
En la figura, ABCDesun paralelogramo y BP +DQ+CE= 24 cm. Hallar el
valor de OR.
A) 8cm
B) 6cm
C) 70m
D) 9cm
E) 10 cm
 
Resolución
«Enel APDO: x > 222 (1
*Enel AACE: x = 5 2)
b+ Sumando (1) y (2): 2x = 22B4S
=x=6cm
 
Clave: B
153Problema 4
En la figura, PM = MC, BC = 24 cm, AD = 56 cm y CD= 48 cm. Calcular MQ.
 
A) 15 cm B, É
8) 18cm
C) 20 cm Q
D) 14 cm
E) 24 cm P
Resolución A D
+ Prolongamos CP|hasta NB 24 cm c S l
* ANCD:Isósceles =CP=PN
+ Trazamos RP//8C => BQ = QR.
+ ABCN:Trapecio (PR) mediana.
+ RBCP- Trapecio (MA) mediana.
A0m+16cm
 =20 cm
 
Clave: C
154
Centro Preuniversitaro UNMS»s —__—_———_———_
6.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. Las aves están cansadas de viajar en la formación y para romper la monotonia
van a viajar en la formación Il. ¿Cuántasde ellas como mínimo deberán cambiar de
posición?
- -
ES ESAS -
e E A= A = a
h o Roa = Bo h
Sa e e e Maho <=E me eAS = +.
+. o =
= ou = +=
! = - "
-
A)J6 8)7 0)8 D)9 E) 10
Problema2, Unafamilia compuestapor 4 personas de 80, 60, 50 y 30 kg de peso, deben
cruzarun rio en un bote que puede soportar un máximo de 80 kg de carga. Silos acompaña
su perro de 10 kg de peso,hallar el menor número de veces que el bote tendrá que ir de
una orilla a otra para que todos crucen el rio?
AJ10 8)1 Cc) 12 D)8 E)9
Problema3. Debemoscolocar 7 litros de agua en un recipiente y sólo tenemosun balde
de 41litros y otro de 9 litros de capacidad. Si usamoslos dos baldes y ninguno de ellos
tienemarcas que indiquen cantidades más pequeñas, ¿por lo menos cuántas veces
debemos llenarel balde de 9 litros para tenerlo requerido?
AJ3 B)2 c)1 D)5 E)4
Problema 4. Tres señoras deben cruzar un río y no saben nadar. Dos niños que poseen
una canoaestán dispuestosa ayudarlas, pero la canoa nosoporta el peso de una señora
y un niño, sólo soporta el peso de una señora o de los dos niños, ¿cuál es el mínimo
número de viajes que deben hacer para pasar de una orilla a otra?
A)10 8)11 c)7 D)9 EJ6
Problema5. ¿Por lo menoscuántasfichas numeradas deben ser cambiadasde posición
para que el resultado sea 1?
16)-0((6+0)
A)J3 B)4 C0)5 D)1 E)2
 
 
 APTITUD MATEMÁTICA
Problema 6. Una persona cuenta gallinas de 13 en 13 y le sobran 2; sillas cuenta de 11en 11 le sobran 2 y si las cuenta de 2 en 2 nole sobra nada.Calcular la cantidad degallinas sitiene un valor entre 500 y 600.
A) 570 B) 540 C) 574 D) 586 E) 588
Problema 7.Hallar la sumadelos “n” primeros númerosnaturales múltiplos de 7.
A)7n B)70+n C) 14n*+n 0) (7/2)
n
(n + 1) E) 14n
Problema 8. Si el número a35678912 es múltiplo de 7, hallar la suma de los valores de “a”.
A)10 B)11 C)12 D)9 E)J8
Problema9. Aldividir un número entre 8 se obtiene 2 deresiduo, peroal dividirlo entre 11
se obtiene9 de residuo. Sise le divide entre 88, ¿cuál será el residuo?
A)18 B)1 07 D)21 E) 42
Problema10, Hallar el máximovalor de “b”, sabiendo queel numeral 82357b es divisible
entre 33
A)J9 B)8 C)7 D)5 EJ4 155
Problema11. El costo de un artículo varía de S/. 5 a S/. 9.Si se vende *x' artículos,cada uno a S/. x;y la ganancia máxima no supera al costo máximo,¿cuál es el máximonúmero de artículos vendidos?
AJ8 B)12 C) 14 D) 15 E) 10
Problema 12. Anita cuenta sus lapiceros y dice: “Si al númerode lapiceros que tengolo elevoal cuadrado y le sumo cuatro veces el mismo númerode lapiceros que tengo,elresultado esmenorque 60". ¿Cuáles el máximo número de lapiceros que puede tenerAnita?
AJ6 B)10 C)4 D)8 EJS
Problema 13. Si al producto de dos números enteros consecutivos se le resta cincovecesel mayorde ellos, resulta un número que no es mayor que 7. ¿Cuántos valorespuedetomar el menorde estos números?
AJ7 B)9 c)10 D)8 EJ6
Problema14, Considere el conjunto de todoslos nfimerosreales tales quealtriple de su
cuadrado se le agrega el quintuplo del número
y
resulta un número positivo. ¿Cuáles elmáximoentero negativo que pertenece a este conjunto?
AJ-2 B)-1 C)-4 D)-3 E)5
156
Centro Preuniversitario: UNMS»,
 —
——————Á
Problema 15. Manuel y Rafael se encuentran jugando con canicas. Rafael le dice a
Manuel: “Si al número de tus canicaslo elevo al cuadradoy le aumentocinco veces, el
¡úmero de mis canicas más uno, esta suma no será menor que 150". Manuel le dice a
Rafael: “tú tienes una canica menosque yo”. ¿Cuál es el menor númerode canicas. que
tiene Manuel?
A)12 : B) 15 C) 11 D) 10 E)9
Problema16. En la figura mostrada, AE = EF y m < BEG = 130". Calcular el valor de "Xx".
8A) 30*
832
c)20* A E
D) 25*
6 Cc
E) 36"
Problema 17.En la figura mostrada, calcular el valor de *x”.
A)2(b-a)
B)2b-a
C)b-a
D b-a
) 2
E) 3b- 2a
 
Problema 18. En la figura mostrada, ABCDes un paralelogramo,P es punto medio de
BC, Nes punto medio de TD y BM=4 cm.Calcular NH.
H
A) 5 cm B, E, e
B)6cm
C)7 cm
D) 9cm
E) 8 cm
[APTITUDMATEMÁTICA
Problema19. Dela figura mostrada, PB = 3AP, 3AD=14 cm, BC = 10 cm y CD=8 cm.
Calcular PQ.
 
B ge
A)7 cm
8)3cm
60m p
D) 40m
E) 50m Al “8
Problema20.Enel trapecio ABCD, AB = 20 cm, AP = PC y BQ = QD.Sim*BAD= 80*
y MACADC = 50*, calcular la longitud de PQ.
B c
A) 10cm 3
B)8 cm ee
C)6cm
D) 12cm
A DE) 11 cm
CLAVES
1.B 5.A 9.E 13.B 17.0
EE 6.0 10.8 14. A 18.8
3.A 7.D “1.0 15.D 19.D
4.D 8.8 12. 16.D 20.A
157
 
TA.
744.
CAPÍTULO VII
 
Arreglos Numéricos. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo.
Teoría de Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza.
 
ARREGLOS NUMÉRICOS
En muchassituaciones de nuestra vida diaria nuestra mente capta relaciones cuantitativas y
realiza operacionesaritméticas con ellas, Esto es lo que realizaremos en los arreglos numéricos.
Los arreglos numéricos son conjuntos de números dispuestos de acuerdo a una regla,
orden y coordinación. En esta sección desarrollaremos cuatro situaciones de arreglosnuméricos: analogías numéricas, distribuciones numéricas, distribuciones gráficas
numéricas y cuadrados mágicos. En la resolución de problemas con éstos, utilizaremosprincipalmente los razonamientos por analogía y por deducción.
Analogías Numéricas
Concepto, Una analogía numérica es un arreglo numérico'de cuatro o másfilas tales
que cada fila está formada portres elementos, dos extremos y un medio. Los medios
están encerradosentre paréntesis y uno de ellos al menoses la incógnita. Todoslos
elementosde tresfilas por lo menos se conocen,asi también los extremosdela fila con
la incógnita. Las operaciones entre los extremos deben dar comoresultado a sus
respectivos medios
Estructura. Presentamos a continuación una estructura general de las analogías numéricas
de filas
Extremos
l Medios ]
y
roOO
2%ODO
2OO
“esOOO
donde los rectángulos sombreados son los datos numéricos conocicosy el rectángulo
no sombreado esla incógnita
159
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
_AA==———41—4141
Estrategia de Resolución. No existe en realidad un criterio general para resolver analogías
numéricas porque a veces se puede encontrar más de una relación entre sus extremos
y sus medios. Por tal motivo, damos a continuación algunas sugerencias para enfrentar
con éxito la resolución de este tipo de problemas.
+ Buscar relaciones operacionales entre los extremosy los medios de las filas con
datos numéricos conocidos, los cuales deben cumplir ciertas reglas aritméticasy
lógicas, sin ambigúedad.
+ Lasrelaciones operacionales a buscarse entre los extremos
y
los medios deben
ser operacionesaritméticas entre ellos o entre suscifras.
+ Larelación operacional encontrada debe aplicarse a la fila en la cual se encuentra
la incógnita y ésta debe satisfacer unade las alternativas delproblema.
Ejemplo1
Determinar el valor de “x" en la siguiente analogía:
o
u
»
0
3
3
m
u
n
Ay B)3 Cc)9 DJ8 EJ6
Resolución
Iniciamos buscandorelaciones operacionales en los extremos tal que nos dé como
resultadolos medios. Obtenemos la siguiente relación operacionalentre ellos:
19, Fla: 2(4+2)-
2. Fila: 2(1+3)-
3. Fila: 2(3+2)-
1
 
Ahora, aplicamosesta relación operacional a la fla de la incógnita. Tenemos:
4e. Fila: 2(0+5)-1=x=> x=9
Clave: €
Ejemplo 2
Enla siguiente tabla hay una analogía entre las cifras de los números extremos yel
¡número delcentro decadafila, Hallar el valor de “x”:
12 (4) 25
23 (1) 51
14 (12) 89
35 (x) 67
A)S 8)18 C)10 D)13 E)8
TAR
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
Nuevamente buscamosrelaciones operacionales en los extremos, de tal modo que nos
dé por resultado los medios. Buscando, conseguimos la siguiente relación operacional
entre sus cifras:
19, Fila: (2+5)-(1+2)
2 Fila: (5+1)-(2+3)
30. Fila: (8+9)- (1+4)
4
1
1D
o
”
2
Esta relación operacionalla aplicamos a la fla de la incógnita. Tenemos:
4. Fila: (6+7)-(3+5)=x=>x=5
Clave: A
Distribuciones Numéricas
Concepto. Unadistribución numérica de forma rectangular es un arreglo numérico
formado, por lo menos, de ocho números dispuestos en dos o más fllaslales que cada
fila tiene el mismo número de elementosy estas filas pueden estar formadas por dos o
máselementos. Al menos un elemento de unafla es la incógnita, Una distribución forma
columnas de elementos. Todoslos elementos por lo menos detres filas o tres columnas
se conocen.
Estructura, Presentamosa continuación una estructura general de las distribuciones
numéricasde 3 filas por 4 columnas:
1% Columna 3. Columna
| 2 Columna
|—
4* Columna
| |
efn> 0d) 0 Oo
2TD OE Aa
emo OOO
dondelos rectángulos sombreadosson los datos numéricos conocidosy el rectángulo
no sombreado es la incógnita.
 
Estrategia de Resolución. No existe un criterio general para resolver distribuciones
numéricas como en las analogías numéricas.Las relaciones operacionales entre los
elementosde una distribución numérica se pueden presentar dediversas formas.Éstas
podrian ser relaciones entre los elementosdelas filas,de las columnasy de otrostipos.
Para teneréxito en la resolución de problemas con distribuciones numéricas se debe
buscarrelaciones operacionales adecuadasy lógicas entre los elementosdelasfilas, de
las columnaso de otra naturaleza.
161
Centro Preuniversitario. UNMSs
_
_—A—>]—]—>—>—>=——21—1—1414041
Ejemplo 1
Determinar elvalor de "w en la siguiente distribución:
6. 2. 3 4
306 5-2
16 10 13 w
At B)4 c)8 D) 10 EJ6
Resolución
Busquemos relaciones operacionalesentre las dos primerasfilas o entrelas tres primerasColumnas. Obtenemosla siguiente relación operacional entre las columras
1”. Columna: 6x3 -2=16
2*. Columna; 2x 6-2=10
3". Columna: 3x5 -2=13
 
La relación operacional que hemos encontrado le aplicamos a la cuarta columna.
Tenemos:
4*, Columna: 4x2-2=w=w=8
Clave: E
Observación. En esta sección se ha presentado distribuciones numéricas de formafectanguiar. En general, pueden ser rectangulares, triangulares, pentagonales,hexagonales, circulares y otras formas geométricas.
7.1.3. Distribuciones Gráficas Numéricas
Concepto. Una distribución gráfica numérica es un arreglo numérico dispuesto en una omás figuras tal que al menos un elemento esla incógnita. Existe una relación operacionalentre los elementosdel arreglo y éstos pueden ser independientes delas formas de lasfiguras o pueden dependerde ellas.
Estructura. En realidad, existen diferentes tiposy formasde distribución gráfica numérica.
Presentamos a continuación dos estructuras de distribuciones con una y con cuatrofiguras respectivamente;
Oh OQ 0d A
[AAPTITUD MATEMÁTICA
donde los círculos sombreados son los datos numéricos conocicos y el circulo nosombreado es la incógnita.
Estrategia de Resolución. La resolución de distribucionesgráficas numéricas se aborda
en forma semejante como para las distribuciones numéricas, buscando relaciones
operaciones adecuadasy lógicas entre los elementos de la distribución y en algunos
casos pueden darse con las formasde las figuras.
Ejemplo 1
Determinarelvalor de "x' en la siguiente distribución:
IN
A)3 B)5 C)9 D) 11 €) 15
Resolución
Buscamos relaciones operacionales entre los elementos de las tres primeras figuras.
Obtenemoslassiguientes relaciones: 163
1. Figura: (2+3+8)-2=11
2%. Figura: (1+3+5)-2=7
30. Figura: (2+4+6)-2=10
Esta relación encontradala aplicamos a la cuarta figura y tenemos:
41. Figura: (0+3+x)-2 =6>x=5
Clave: B
Ejemplo 2
Hallar el valor de *x” dela figura mostrada:
 
 
 
 
A)18 B)21 C)9 D)6 E) 15
104
Centro Preuniversitario UNMS» -—_—_———__
7.4.4.
Resolución
Buscandorelaciones operacionales, encontramosla relación entre los númerosy las for-
mas de las figuras. Estasrelaciones son el número de segmentosverticales y el número
de cuadriláteros formados,es decir
1% Figura:
—
ide segmentos verticales = 6
4 de cuadrláteros = 3
2*. Figura:
—
ide segmentosverticales = 9
K de cuadriláteros = 9
 
Figura:
—
desegmentos verticales = 3
H de cuadriláteros = 3
Aplicando esta relación operacional a la cuarta figura, obtenemos:
4*. Figura:
—
it de segmentosverticales = 12
Hi de cuadriláteros =6
entonces x=6
Clave: D
Cuadrados Mágicos
Concepto. Un cuadrado mágico es un arreglo en el cual están inscritos númeroselegidosy dispuestos de manera tal que su suma es la misma, ya se los sumeporfla, ya se lossumeporcolumna o siguiendo las diagonales. La sumacomúnsellama número mágicoo suma mágica
 
 
 
 
 
Ejemplo 1
Determinar el valorde y +2 -x del siguiente cuadradomágico:
2 9 xA)10
8)8
2 5 3
0) 13
D) 12 sl
En
Resolución
De la segunda columna deducimos que el número mágico de la distribución es 15. Porser cuadrado mágico, obtenemoslas ecuaciones:
2+9+
2+5+
6+1+y 
5
5
5
de donde: x= 4,y=8,2=7. Luego: y +2-x=11
íA—————_——_—AA
 APTITUD MATEMÁTICA
Clave: EEjemplo 2
Enel siguiente cuadrado mágico, determinarel valor de w+2x= dy-2
 
 
 
 
A 4 21515 |16
B) 2 9Sw|xJ11
de Haly Tapa
D) 4
ES m|s[o|7
Resolución
El número mágico dela distribución es 38. Por ser cuadrado mágico. obtenemoslas
siguientes ecuaciones
13+y+x+16=38
14+y+z+ 4=5+x+2+10
2+w+2+7=38
l+y+zr4=15+w+y+8
 
Resolviendo las dos primeras ecuaciones, se tienen x = 6, y = 3; y resolviendolas dos
últimastenemos w= 12, z= 17. Luego:
W+2x-3y-2 =12+2(6)-3(3)-17
=-2 165
Clave: € s
Comentario. Los cuadrados mágicos son muy antiguos puesto que ya los conocian los
chinos y los indios antes de nuestra era. Los árabes los tomaron ce los indios y los
llevaron a Occidente donde un monje griego, Moschopoulos,los revelóa los cristianos en
el siglo XIV. En todo momentofueronatribuidas propiedades mágicas a estos “seres
matemáticos"y esto explica su nombre; y tal creencia supersticiosa no desapareció en
nuestra época puesto que, hace algunos años, las mujeres camboyanastrazaban
Cuadrados de este género en los pañuelos con que se cubrian la cabeza para protegerse
de los bombardeos.
 
Observación. En general, se pueden definir de forma análoga que los cuadrados mágicos,
los poligonos mágicos de "n'lados como también en el espacios,los cubos mágicosy otros,
 
Problemas Resueltos
Problema 1
Hallar el valor de "x" que tomaen la figura:
36 16 4 9
113 epa els 6 N
Ay B)2 C)3 D)4 E)5
 
 
Centro Preuniversitario UNMS— _AA>—1——1——141410100040
Resolución
1%. Figura: (18+3)? =36
2”. Figura: (8+ 2) =16
3%.Figura: (6+3) =4
4'. Figura: (6+x)* =9>x=2
Clave: B
Problema 2
Enla analogía siguiente,¿cuáles el valor de w"?
2 (9) 50
3 (5) 12
6 (11) 24
1 (w) 49
AJ9 B)7 C)5 D)8 E)6
Resolución
49. Fila:
2. Fila:
3%.Fila:
4. Fila: 
Clave: E
Problema 3
Enla figurasiguiente, hallar elvalor de “w:
 
 
 
4 6 12 15 w
Aj24 8) 28 C)21 D) 25 E)30 ;
Resolución
Para las relaciones operacionales se toma primero el número de divisiones de ta figura yluego se multiplica por un factor,de tal modo que dé como resultado el número de la partesuperior de la misma figura. Es decir:
1. Figura: 2x2=4
>> 2. Figura: 2x3=6
3. Figura: 3x4 =12
2
APTITUD MATEMÁTICA
4*. Figura: 3x5=15
5. Figura: 4x6=w =w=24
Clave: A
Problema 4
Determinar el valor de x + y, en la distribución siguiente:
o
o
n
a
a
x
3
“
A)5 B)4 c)3 D)6 E)7
Resolución
1”. Columna: 2? +6?-2= 38
2*. Columna: 1+2%-2=3
3”, Columna: 3?+4*-2=23
4. Columna; 5*+ y?-2=24
5* Columna: x2+32-2=11
 
y x=2,y=1=>x+y=3
Clave: €
7.2. MÁXIMO COMÚNDIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
7.2.1. Máximo Común Divisor
El máximo común divisor de dos o más números enteros positivos es el mayordivisor
común de dichos números,
Notación. El Máximo Común Divisor de a, b,c, d se denota MCD(a,b, c, d)
Ejemplo
Calcular el MCD (8, 12)
- Losdivisores positivos de 8 son: 1, 2, 4, 8
- Losdivisores positivos de 12 son: 1, 2,3, 4, 6, 12
- Los divisores postivos comunes de 8 y 12son:1, 2, 4
- El mayor de ellos es 4,
Luego el MCD (8, 12) =4
os
Centro Preuniversitario UNMSM 
Regla para hallar el MCD (Técnica Abreviada)
- Se escriben los números uno a continuación delotro.
- Se divide todos los númerosporel menorfactor primo comúna todosellos.
- Los cocientes obtenidos se colocan debajo de cada número respectivamente.
- Se vuelve a dividir dichos cocientes por otro factor primo común todos,y así
sucesivamente hasta que los cocientes resultantes sean primos entre si..
- El MCDesel producto de los números primos comunes.
Asi el MCD (8, 12) se halla:
8 1/2
4 6|2 => MCD(8,12)=2x2=4
2 3
Esp
Primosentre.si
Propiedades
Í1. El MCDde dos números A y B conA múltiplo de B (A =B), es el menor de elos.
Ejemplo. MCD(6,24) = 6, pues 24 = 6
2. El MCD de dos númerosprimosentre si esla “unidad”.
Ejemplo, MCD(8, 25) = 1; pues 8 y 25 son primosentre si
3. Si varios números se dividen entre su MCD,los cocientes obtenidos son números
primosentre si
Ejemplo
El MCD(8, 12) =4
 
siendo 2 y 3 primosentre si.
En general: sean los números A, B, C y MCD(A, B, C)=d2
2
APTITUD MATEMÁTICA
Entonces: Z =a > Azad
B : ]4 b > B=bd a, b,c son primos entresí
cl=c > C=add
4. En una división inexacta el MCD del dividendo (D) y del divisor (d) es igual al MCD del
divisor (d) y el residuo (1).
dividendo divisor
o
Dla_
ny
pS
residuo Cociente
 
D=dq+r
 
=>] MCD(D, d) = MCD(a,r)
5.Sivarios números se multiplican o dividen por un mismo número, el MCDresulta multiplicado 163
o dividido respectivamente pordicho número.
Ejemplos
a) Hallar el MCD (8k, 6k)
Resolución
=> MCD(8, 6) =2
= MCD(8k, 6k) = KMCD(8, 6) = k (2) = 2k
b)Hallar el MCD (30k,42k).
Resolución
MCD(30k, 42k) =k. MCD(30, 42) =k.. 6
=> MCD(3Ok, 42k) = 6k
 
c) Siel MCD (15k, 21k, 18k) = 240, hallar k?
170
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución
3 Kk.MCD(15, 21, 18) = 240
pod
(3) k =240
k =80
Ki =6400
d) Hallar el MCD (0,072;0,088)
Resolución
1
=M Sm —— .MCDE E 2 Toa 40901288)
 
1==> .b=m= 000 0,008
MCD(A,B,C, D) = MCD (MCD(A,B), MCD(C, D))
Ejemplo
MOD (18, 24,8, 16) = MCD (MCD(18,24) . MCD (8, 16))
= MCD(6, 8) =
 
7.2.2. Minimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números enterospositivos es el menorde los
múltiplos comunesdiferentes de cero,de dichos números
Notación. El Minimo Común Múltiplo dea, b, c, d se denota MCM(a,b,c, d)
Ejemplo
Hallar el MCM(2, 6)
- Los múltiplos de 2 son: 0,2, 4,6, 8, 10, 12, 14, 16,18,
- Los múltiplos de 6 son: O, 6,12, 18, 24, 30,....
- Los múltiplos comunesde2 y 6 son: O, 6, 12, 18, 24, ...
- El menordeellos es 6.
Luego,el MCM(2, 6) =6
Regla para hallar el MCM (Técnica Abreviada)
- Se escriben los números uno a continuación del otro.
- Se dividen todos los números entre el menor divisor primo de algunode ellosy el
cociente se coloca debajo de ellos respectivamente,
Si algunosde ellos no se pueden dividir exactamente se coloca el mismo número
debajo.
Se repite el proceso hasta que todoslos números lleguen a la UNIDAD.
 
APTITUD MATEMÁTICA
- ElMCMesel producto de todoslos divisores primos.
Ejemplo
Hallar el MCM (2,6)
Resolución
2
1
o 4 > ElMCM(2,6)=2x3=6
—
6
3
Llegan ala
unidad
7.2.3.Propiedades
1, El MCM de dos números A y B con A múltiplo de B (A= B) es el mayor de ellos.
Ejemplo. MCM (2,6) = 6; 2 esdivisorde 6.
2. El cero es múltiplo de todo número. a
3. El MOM de dos números primos entre sí es igualal producto de dichos números.
Ejemplo. MCM (7, 10) = 7(10)
MCM (7. 10) =70; 7 y 10 son primosentre si
4. Sean los números a y b. MCD (a, b) = d y MCM (a, b) =m
a) Setiene que: a -b=d.. m,es decir, el producto de 2 números esigualal producto de
su MCDpor su MCM.
Ejemplo
MCD (6, 8) =2 y MCM(6,8) =24
> 8 (8) =2 (24)
48 = 48 cumple
b) Si se divide el MCM (a,b) = m, entre los número a y b por separados, los cocientes
obtenidos son primos entre si.
Pp
P, y P, son primosentresi.
ol
3
ol
a
" ¿a
MCM(6, 8) =24 = 4 y 3 son primos entre si.
=3
5. Si un número es múltiplo de dos o más números es también múltiplo del MCM de elos.
Ejemplos
a)SiN= 4yN=G
A
> N=MCM (46)
b) Si 18=2 y 18 = 3
o—= 18= ñCM(2,3)
2
18= 6, efectivamente: 18=6x3
6. Sivarios números se multiplican o dividen por un mismo número entonces el MCM delos númerosresulta multiplicado o dividido respectivamente por dicho número.
 
Ejemplos
a) Hallar el MCM (6k,8k).
Resolución
MCM(6,8) = 24, entonces
MCM (6k, Bk)=k MCM(6,8) = 24 k
b) Si el MCM (2k,6k, 30k) = 300,hallar k.
Resolución
k.. MCD (2,
k (30)
>k=10 ¿K0
=
1000
C)Hallar el MCM (0,0016;0,0006)
 
Resolución
 
 
16 6¡CM (0,0016; 0, =MCM| ———:—MOMI0.0016:0.0008)5M0 a 10000.
1
mo. MCM (16,6)
10000 € )
AAPTITUD MATEMÁTICA
1
e 70000 48) = 0,0048
Regla para Hallar el MCD y MCM de NúmerosFraccionarios
- Todaslas fraccionestienen que ser "irreductibles".
- El MCDy el MCM tambiénsonfraccionesirreductibes.
meo = (Numeradores)_
MCM(Denominadores)
— MOM (Numerador)
MOM CD (Denominador)
Ejemplos
 
9
a) Hallar el MCD E «0 5
 
4 2 3 MCD(4,9, 3) 1
M0(3 +19" 2)* mem (3, 10,2) 30
b) Hallar el MCM
 
2 10 y MCM(2, 10) 2
“MCD (3.9) 3
 
7.2.4.Problemas Resueltos
Problema 1
Sedesea dividir un terreno rectangular que tiene 264 m delargo y 216 m de ancho en
terrenos cuadradosiguales, de tal manera que se tenga la mínima cantidad de cuadrados.
¿Cuál es esa cantidad?
A)85 B)24 C)99 D) 36 E) 40
Resolución
1) Para obtener el minimo número de cuadrados, éstos deben tener la mayorárea
posible, es decir, sus lados serán valores máximos.
2) El valor numérico dellado de estos cuadrados debe dividir exactamente a los lados
del terreno rectangular.
Centro Preuniversitario UNMSM
 
3) Porlo tanto, debemoshallar el MCD(216,264).
216 264/12
108 132|2
54 66|2
27 3313
9 141
+. ELMCD(216, 264) =2?x 3 =24
4) Es decir, el número de cuadradoses:
216 264po =24 7 9 x 1 99 cuadrados
(ancho) (largo)
Clave: C
Problema 2
Rolando trabaja 5 días seguidos y descansa el día siguiente. Si empezó a trabajar un
lunes, ¿cuántos días deben transcurrir para que le toque descansar un día domingo?
A) 48 B)38 C) 40 D) 42 EJ41
Resolución
 
1) Los descansos son cada 6 días.
2) Los domingos son cada 7 días.
3) Coincidirán en el MCM (6, 7) = 42 días.
4) El dia 42 es domingo y descansa.
5) Entonces debe transcurrir: 42 - 1=41 dias.
. transcurrirán 41 días
Clave: E
Problema3
Si MCM(a,b) = 143 MCD(a, b) y a +b = 1080,hallar a - b (a > b)
A)92 B) 86 C) 90 D) 84 E) 94
Resolución
1) Sea MCD(a, b) =d, entonces:
NMAAAAAAAAAAAAAA>]> APTITUD MATEMÁTICA
w " dp
Pp y q primosentre sí
o " dq
 
2) Ademásel MOM (a,b) = MOM (dp, dq) = d. MCM (P.4) = dpg
pamos
3) Delprimer dato: dpq = 1434
=>pq=143=11x 13
p=13
q=11
4) Del segundo dato: a +b= 1080
a>b>13d+11d= 1080
>0=45
5) Por lo tanto: a = 13 (45)
b=11(45)
a-b=45(13-11)=90 415
Clave: O”
Problema 4
Tres ciclistas parten al mismo tiempo y de la mismalínea de una pista circular. En cada
vuelta tardaron 1min 12 s, 1min 30 s y 1 min 45 s respectivamente. ¿Cuántas vueltas
habrá dado cada ciclista cuando haya pasado nuevamente porla línea de partida?
A) 35,28,24 B) 36,28,28 C)35,30,24 D)35,28,26 E)36,28,24
Resolución
1) Tiempospara dar una vuelta porcadaciclista:
 
Primerciclista: 4 min12s=72s
Segundociclista: t,=1 min 30 s= 905
Tercerciclista: t,=1min45s=1058
2) Pasarán simultáneamente porla linea de partida cuando el tiempo transcurrido sea el
MCM (72, 90, 105) = m segundos
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
72 90 105|2
36 45 105|2
18 45 105|2
9 45 105|3 5 - 2 2d3 18 3813 + MCM(72, 90, 105) =m=7x5 x 3? x 2%= 2520
1 5 35|5
1 1 717
1 1 1
> el1%.dclstao: 2 =35 vueltas
] m
= el2. ciclista dio: 20” 28 vueltas
es m_= el. cicista dio: ¿¿¿=24 vueltas
Observar que coinciden por primera vez al transcurrir "m" segundos, es decir, 2520 se-gundos(42 minutos).
Clave; A
7.3, TEORÍA DE EXPONENTES
176 Esta parte del capitulo nos permitirá adquirir destreza para simplificar expresionesalgebraicas, empleando las propiedades básicas correspondientes a la teoría deexponentes. Así mismo, calcularemoslos valores numéricos de dichas expresiones yresolveremos ecuaciones cuando corresponda.
7.3.1.Teoría de Exponentes
Es aquella teoría basada en las leyes de la potenciación y radicación.
7.3.2. Propiedades fundamentales
E 1
 
MM) (a= 270 = (am IV) (a-by"= a" .pn
 
v) ad =1t 220
a; a20,sinespar
 
vam a” = (vay
 
n
=(a) =a, sin es impar
— APTITUD MATEMÁTICA
 
Observaciones
e
A]1) Sibi=n => a =a
2) -a>=-(ab)
37] ar Ys Pfa2 + MenaEa l6en)+ ylp +2
x
x x y
ld A e o 414) x = x =|x , esto por propiedad ! y II
x
x
x
x xe ¿ e e x
ETS ¿e w Y Ne
5) x =x =x =|x
esto por propiedad! y II
Ejemplo1
Hallar la suma de los valores de *x' en:
2
2
AJ1 B)-1 c)0 D)2 E) -2
Resolución
2 2
2
Centro Preuniversitario. UNMS» —_—_—
 
. La sumadelos valores de "x' es cero.
Six =y2, hallar Yx
AJa B)2 0)t
Resolución
178, me
e = vz
= /Yá
= Y4
qua
24
ren
> ti
Se
Ejemplo 3
Hallarelvalordexen1% 20
Ay 8)-1 c)2
Clave: €
D) 1/2 EJt/4
Aplicando :
CY)
m
(Yami an >)
1 pe
toa
Clave: B
D)=2 EJ4
AAPTITUD MATEMÁTICA
Resoluciónye - 28 Aplicando:
oy
 
Ly a)
4
 
Clave: D
Ejemplo 4
Simplificar:
me
E O car as 7]
(ay? (16711 (6919
179
A) -3/5 B)- 5/3 0) 3/5 D) 5/3 E) 115
Resolución
 
_[ (210 310) (23)? (3858) (27.97.57 Y oENAA Aplicando
(abr = 2%. pr
1(24%) (335) 65) 37" ; 6
E [ 2%) 60) 7 E] mn
m "
o
l
a
Clave: D
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problemas Resueltos
 
 
 
Problema 1
Simplificar:
AJx B)y C)x+y D)xy ENy
Resolución
Haciendo: a-b=c = b-a=-0
ye
R=agY
qe y yzs
R = Gx ey"
Clave: DProblema 2
Hallarelvalor de "x'en x =
|
94/9
A)3 B) 1/3 C)-2 DJ 1/2 E)2
Resolución
x" =91/91/93/9...
*x
peto?
x= 9x
A]
x=3
 
Clave: A
2APTITUD MATEMÁTICA
Problema 3
Six” = Ya, hallarel valor de (x5)
A) yz vz 0) 213 D)4 DES
Resolución
a
 
Clave: D
Problema 4 Si E = x. simplificar: a
038
 
Ape B)x" 0x0 D)x EJt
Resolución
 
Clave: D
 
Centro Preuniversitario UNMS»
—
__—_¿íJJ]úl—lúl___
7.4,
7.44.
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
El estudio de los segmentos proporcionales consiste en determinar la razón entre laslongitudes de los segmentos determinados cuando un segmento es dividido en dos omás partes. Un segmento se puededividir de muchasformas.
* Cuando se traza una recta secante a un triángulo cada lado es dividido en dos partes.* Cuandose traza una bisectriz interior en un triángulo,el lado opuesto es dividido en dospartes.
* Cuando se trazan rectas paralelas que interceptan a dos rectas.
La teoría de los segmentos proporcionales fue iniciada por el matemático griego Thales.cuyo teorema permitió que se resuelvan problemas deinterés práctico. Entoncesempecemos
a
recordar el Teorema de Thales y sus implicancias en el estudio deproporcionalidad y semejanza.
Teorema de Thales
Sitres o másrectas paralelas interceptan a dos o másrectas secantes,los segmentosdeterminados en cada recta secanteson proporcionales.
 
 
 
Lia ULgMa e
 
 
Ejemplo 1
Enla figura, Ly //Lz //La] y EF =4 cm y 4AC =9AB. Calcular DE.
A) 7 cm
B) 6.4 cm
C)6 cm
D) 4cm
E) 5 cm
 
APTITUDMATEMÁTICA
Resolución
Se sabs AC 9«Se sabe que: L2==
o Ba
+ Porel Teorema de Thalesse tiene que:
 
Clave: B
Ejemplo2
Enla figura, Ly /Lz //Lg //L a, hallar".
AJA4
8)3
c)2
 
D)5
EJ6
163
 
Resolución
+ Por el Teorema de Thales tenemos:
 
y=12
>] 2ay+x=6x+4
2(12)+x=6x+4=>x=4
 
 
 
Clave: A
Teoremade la Bisectriz Interior
Cc Enta figura se cumple que:
ÓN
£2
a b bon
8 Ze CP: Bisectriz interior
Centro Preuniversitario. UNMS» —ÉÉ——_—————
7.4.3, Teorema de la Bisectriz Exterior
Enla figura se cumple que:
 
 
 
Ejemplo 1
Enla figura, AB =12 cm y BC=9 cm. Hallar BD.
A)5cm
B) 6 cm
C)3 cm
D) 3,5 cm
 
E) 4 cm A e
Resolución
* El á ABCes pitagórico, entonces
AC=3x5cm=15cm
+ Porel Teorema dela Bisectriz Interior
x_ 124
tenemos que: y “7573
 
Clave: E
 APTITUD MATEMATICA
Ejemplo 2
e
En un triángulo ABC se tiene que AB = BC= (Y/5|+1) cm y mABC= 36". Calcular la
longitud de la bisectriz interior AR
A)4 cm B) 3 cm C)2 cm D) /3cm E) /5cm
Resolución
+ Como AB=BC= mA =mÚ = 72*
+ El ánguloARC es ángulo exterior del A ARB
entonces m ÁRO = 36*+ 36*=72*
+ Los triángulos ARB y RAC son isósceles,
entonces BR=AR =AC = x.
 
a
«Teorema de laB.I.: Z
x+ax-a?=0
 
101
 
Clave: €
7.4.4.Semejanza de Triángulos
Dostriángulos son semejantes si tienen la mismaforma, pero no necesariamente el
mismo tamaño. Para que los triángulos sean semejantes es necesario que sus tres
ángulos sean respectivamente congruentes y sus lados homólogossean proporcionales,
Son lados homólogos aquellos que se oponen a los ángulos congruentes.
B
O E
B 5
AÑ Ap Pé Af
 
AB_BC_AC
A
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
7.4.5, Criterio de Semejanza de Triángulos
Criterio |. Cuando los triángulos tienen dos ángulos congruentes.
B
E
“y d : AB BC AC2 lie é DE “EF DF
AZ PAC
Criterio Il. Cuando dos de los lados son proporcionales y los ángulos comprendidos pordichos lados son congruentes,
 
 
 
ka
Criterio IIl. Cuandolostres lados son proporcionales.
7 X ee
e
5
w
Enlos lados AB y BG de un triángulo ABCse ubican lospuntos Q y P de modo que
Ejemplo1
QP//AC y PA es la bisectriz del ángulo CPQ. Si PQ=3 m y PB=8m. Hallar PC.
A)3m B)2.8m C)3.8 m D)4,8m El4m
Resolución B
ss Sr*Seala múPA=
0
=mÁPC
=0
y
E ón
como QP//AC =mPAC =0
+ AACPes isósceles => AC =PC =x
* Como QP/AC = AQBP- 4ABC
3.8Luego: <= >dx+24=0x
24=5x => x=48
 
 
«.PC=4,8m
Clave: D
AAAPTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
Enun triánguloABC, lasalturas BE y CF miden 5 m y 4 m,respectivamente. SIAB=6m,
calcular AC.
AJ3,5m B)5m C)4m D14.8m EJ3m
Resolución PB
+ Sea mÉAC =«u y mÁCF
=> mÁBE =p
 
* A AEB - A CFA,entonces: 5 : > 5=24 >x=48
.AC=48m
Clave: D
7.4.6. Problemas Resueltos
Problema 1
En la figura, ABCDesunparalelogramo, Si QR =3m y RD=4 m,calcular PQ. 18
adn im
4 5
C)3m D)3m
 
7
E) gn
Resolución P
Apliquemos el Tegrerga de Thales:
 
+QC/AD => 2==
Cc]
DONAR 9 2.
b ox+3
L ys 2ego: q 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema 2
En la figura, BP = 6 cm, PC =9 cm, PO = 8 cm, PMI/BQ y AM= MC.Hallar AO.
A)2 cm B) 3 cm a
í
C) 5 cm D) 4 cm e
E) 6 cm /
Resolución A eam
* PM//BG> Aplicamosel Teoremade Thales:
MC_9 3 %k
QM 6 2 2k
MC= 3k
>] QM= 2k> AQ=k
Sar Xx 4
+QB/PM>=== => x=4 
==
2H 577 .
Co%pu xx Clave: D 4
Problema 3
Enla figura, los lados de los cuadrados más pequeños miden 3 cm y 4 cm. Hallar el aperímetro del cuadrado más grande.
Ñ
A)14cm 8B)21cm 5
 C)28cm D) 36 cm
E) 24 cm 
 A CcResolución
+ Seana y f medidasde los ángulos
B agudosdel la MBQ > a. +0=90*«MO =x 4
RO *P=MQ+QR +RS+SM=4x perimetroa + Dela figura A MFE- 4 QGH
ES x-3_ 3 _ 64 3 2 -3)X-4)=12
MES e-I=0> x(x-7)=02x=7ROT =P=4(7 cm)
=
 
 
 
 
Clave: €
 
75.
 
— APTITUD MATEMÁTICA
Problema 4
En un triángulo isóscelesABC (AB = BC), sobre AB, AG y BC |se consideran los puntos
P, Q y respectivamente de modo que: PQ es bisectriz del APR y RO esbisectriz del
PRO. Si MPQR = MBAC, AP =4cm y RC=9 cm. Hallar AC.
A) 120m B) 60m C) 8 cm D) 10 cm E)8 cm
Resolución
*MPOR =mBAC = mACB=0
PA y RG son bisectrices exteriores
 
deltriángulo PBR = BU esbisectriz
de ÁBC y como el A ABC esisósceles
 
+AAPQ-80RC= E =
>=m=3%>n=6
>
1
a
 
¿AC =12cm
Clave:A 489
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. Hallar el valor de *x' en la siguiente analogía:
143 (13) 203
2484 (32) 356
282 (24) 129
15 (x) 108
A)33 B)32 C)16 D)25 E)15
Problema 2. En el siguiente cuadrado mágico, hallar el valor de y +2-+w:
 
 
 
47 » 1tlalo
B) 11 de zlo0
0) 14
D) 16 y w|9 
88
1:
Centro Preuniversitario UNMSM
 
 
Problema 3, Enladistribución siguiente, debe empezar por cualquier númerosituado enun vértice de los cuadriláteros formados y reunir otros cuatro números siguiendolasrutasindicadas(segmentos,sin repetir), y después sumarlos cinco números. ¿Cuáleseltotal
máselevado que se puedeobtener?
AJ39
B)33
C) 38
D) 31
E) 37
 
Problema4. De la siguiente distribución triangular, hallar el valor de x + y:
A)82 1
314
ejes 577
C)86 7 12 14 40
D) 85 abcecode
Mmxon y 16
E)84
Problema 5. Javier sale con Inés cada 10 días, con Cinthia cada 15 dias y con PamelaCada 25días, Si sale con lastres un jueves, ¿quédía será cuandovuelva a salir con lastres juntasla siguiente vez?
A) miércoles
—
B)domingo C)jueves D)lunes E) sábado
Problema 6. Dos campanasAy B empiezan tocando simultáneamente y cada una toca aintervalos iguales, ademásAda 8 campanadas en 28 horas y B da 8 en 21 horas.¿Cuántashoras como minimo deben transcurrir para que vuelvan a tocar simultáneamente?
Ay21 B) 28 C) 12 D) 15 E) 10
Problema7. Tres comerciantes recibieron el mismo número de botellas de vino, El primerorecibió cajas de 24 botellas cada una; el segundo, cajas de 25 botellas cada una;y eltercero, cajas de 40 botellas cada una. Si ninguno de los comerciantesrecibió más de800 botellas, ¿cuántas cajas recibió el tercero?
 
AJ15 8)12 C)30 D) 16 E) 18
 
Problema8.Setiene dos toneles, uno contiene 100 y el otro 80 lítros de vino. Para
envasartodoel vino,sin mezclar,en botellas de igual capacidad, ¿cuántas botellas como
mínimoserán necesarias?
A)20 B)15 c)9 D)8
Problema9. Calcular la capacidad máxima que debe tener unavasija para que con ella
se pueda medir exactamente las cantidades de tres recipientes de 420, 378 y 756 litros
cada una y cuántas vasijas se extrajeron de cada recipiente.
A) 271,32 B) 421, 36 C) 181,42 D) 421,37
3/2
405ar
Problema 10. Hallar elvalor de K =| 4?"
Ay 112 B)2 Cc) D)4
 Problema11. Simplificar R =
A)9 B)1/3 C)3 D)4
Problema12. Si x'” = 2, hallarel valorde g - y**
A)4 8)8 c)16 D) 32
51 4
Problema 13,Si x* = (87% (89%, hatar(x? - 01)
A) 3/4 B) 1/4 C) -1/4 D) 1/8
Problema 14. Si [2,/2,/2/2.... =4/(16*)*] hallarla suma de las cifras de “n'.
AAA
“n" radicales
A) 5 B)4 0)3 D)2
Problema 18. En un triángulo ABC,se tiene que BC = 2AB. Lasbisectrices interiores de
los ángulosA y C interceptan a la mediana BM en los puntos P y Q, tal que BP < BQ,
BP=3cm y QM=2 cm. Hallar PQ.
A) 3cm B)2cm C)1cm D) 1,5cm
APTITUD MATEMÁTICA
E) 12
£) 421, 39
E) 1/8
E)2
E) 64
E) 3/8
E)1
E)2,5cm
 
Centro Preuniversitaro UNMSM
 
 Problema15. En un triángulo rectánguloABC recto en B, porel punto medio
“M'
de AC,
se levanta una perpendicular cortando al lado BT en N
y
ala prolongación de AB en P.Si MN
=
4cmy NP
=
5cm,Hallar AC.
A) 15 cm B) 14 cm C) 12 cm D) 13 cm E) 8 cm
Problema 17. En un triángulo ABC setrazan la bisectriz exterior BP con P en la
prolongación de AC y la mediana BM, luego FQ//MB, Q pertenece a la prolongación de
AB y finalmente AR // EC con R en la prolongación de AP. Si AB =8m y BC=2m,
calcular OR
16 18
Am 8) 73m C)3m D)5m E)3.5m
Problema18. En la fig. mostrada. Hallar BF, si AB=16 m y BC= 4 m; además MP = 3MB.
 
B
A)2m B)1m E
C)3m D)4m
A c
E)6m Pp
Problema19. Enla figura, hallar el perimetro del cuadrado intermedio sabiendo que loslados delos otros cuadrados miden 3 em y 12 cm.
 
 
A) 18 cm B) 20 cm
C) 16 cm D) 12 cm
E) 24 cm
 
18
2B
3E
4A
5.8
6.
7.A
8.0
 
CLAVES
9.D
10.A
ne
2.0
13.A
14.
15,C
16.0
- APTITUD MATEMÁTICA
7.A
18.5
19.E
 
8.1.
8.1.1.
CAPÍTULOVIII
 
Inductivo Simple. Fracciones. Móviles.
Relaciones Básicas en un Triángulo Rectángulo.
 
INDUCTIVO SIMPLE
travésdelos tiemposlas ciencias naturalesy las matemáticas se han desarrollado a
partir de observacionesparticulares sobre las cuales se han establecido teorias y reglas
generales. Este método que usan los matemáticos y los cientificos, en general, para
examinarsus conjeturas llegar a convertirlas en teorias, leyes o teoremas,se conoce
como RazonamientoInductivo. Elrazonamientoinductivo se caracteriza en la observación
y análisis de un número limitadode situaciones para luegollegar a una conclusión.
En esta parte del capitulo aprenderemos a utilizar el razonamiento inductivo en la
resolución de problemas. Es importante señalar que mientras más situaciones se
examinen, mejor capacitado estaremospara llegar a una generalización.
Coneltazonamiento inductivo se obtiene una conclusión general. Para que esla conclusión
sea verdadera y luego aplicable a otras situaciones análogasrequiere su demostración.
Esta comprobación en Matemática se conoce por Inducción Matemática; nosotros no
llegaremosa tal demostración, asumiremosque la conclusión obtenida es válida para
una infinidad de situaciones análogas, porello el nombre de Inductivo Simple.
Proceso Inductivo
Concepto. El razonamiento inductivo es el proceso de identificar patrones y usarlos
para predecir resultados futuros. Se dice queva de lo particulara lo general.
Ejemplo 1
Hallar la sumadelascifras de la potencia P.
= 2P= (9999... 99)
200cifras
 
A) 1800 B) 900 C) 450 D) 2700 E) 360
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución
Observemos. si efectuamos directamente la operación, el proceso sería engorroso ytedioso. Entonces debemos pensar en otra estrategia para obtenerel resultado; como labasedela potencia tiene una regulari |, es decir, sus cifras son repetitivas. Ulilicemos
la inducción para descubrir el patrón general que resuelva el problema.
 
 
Primero, obtenemos para casos particulares simples y análogos. Veamos como sigue:
(99,7% =9801 > sumadecifras = 2(9)
2 olas
(999) = 998001 > sumadecifras = 3(9)
3 altas
(9999)*= 99980001 = sumadeciftas=4(9)¿das
(29999 )?= 9999800001 = sumadecifras = 5(9)
Sóras
Despuésde analizar los 4 casos anteriores, concluimos para nuestro problema.
Sumadecifras de P = 200 (9) = 1800
Clave: A
 
Ejemplo 2
En!a siguiente secuencia determinar el número de circulos no sombreados en la colecciónde circulos que ocupa la figura F,..
 
A)929 B) 930 C) 991 D) 982 E) 931
Resolución
La secuencia fiene una regularidad creciente del número de circulos sombreadosy noBombreados. Resolvamos el problema por inducción.
Obtengamosprimero resultados para las primeras figuras, comosigue:
¡¿__ ____b—/ÑRÉ/É”| APTITUD MATEMÁTICA
 O = él circulos no sombreados F,=-1+2+4
F =-142(1+2)
ó =1+2x2
> f circulos no sombreados F, =¿1+2+4+6
F
=-1+2(1+2+3)
=-1+3x4
 
 3 Fa
=> HH circulos no sombreadosF, =-1+2+4+6+8REA
F
=-1+2(1+243+4)
14415
 
Ahora,analizando los tres resultados obtenidos, tenemospara la figura F,
H círculos no sombreadosF,, =— 1 +31 x 32 = 991
Clave: C
8.1.2. Problemas Resueltos
Problema 1
Hallar la sumadelascifras del producto P.
P= 5 9999 ... 9982222... 22 x
103 cifras 104 cifras
A)760 B)730 Cc)720 D) 740 E) 800
Centro Preuniversitario UNMSM 
Resolución
Enlosfactores de P se repiten 103 veces,cada una de las cifras 2 y 9. Por inducción
obtengamos el resultado. Veamostres casos particulares,
22. x 998 = 21956 => sumadecifras = 2(7) + 9 ia <=
2cifras- 3cifras
222 x 9998<= ==
3cifras —4cifras
2219556 => suma decifras =3(7) +9 y
"2222 x 99998
4cifras 5 cifras
222195556 => sumadecifas=441)..
Analizandolos resultados de lostres casos obtenidos, se concluye para nuestro problema.
Sumadecifras de P = 103 (7) +9=730
Clave: B
Problema 2
 
Calcularel número totalde triángulos existentes en la figura
A) 165
B) 180
 
 Cc)240
 D) 225
 
 
 E) 220 
 
 
Resolución
Observemosquela figura tiene 10 rectas horizontales y presenta cierta regularidad. +
Apliquemos inducción:
__ __e————5APTITUD MATEMÁTICA:
 
 
 
 
A, > * triángulos en F, = 1
_1x2x3
6
1
2 > HH riángulos enF,= 1 +(1+2)
Fa ñ
_2x3x4E
4
2 > ñ 1+(1+2)+(1+2+3)
al % E
_3x4x5
6
 
 
2
al > HiiángulosenF,=1+(1+2)+(1+2+ 3)+(1+2+3+4)ES
4 E ñ
4x5x6
206
De los cuatro casosanteriores, concluimos para nuestro problema
10x11x 12
triángulosen lafigura: —= = 220
Clave: E
 
Centro Preuniversitario UNMS» ———_u
Problema 3
Con 1540 bolas de billar idénticas se formó una rama piramidal de base triangular
equilatera. ¿Cuántasbolas hay en la base de dicha pirámide?
A)231 B) 180 C)210 D) 240 E) 150
Resolución
La pirámide está formada por varios pisos y en cada uno de ellos las bolas de billar estánformandotriángulos equiláteros, Supongamos que la pirámide formada por 1540 bolas tiene“Y pisos. Procedemosa la resolución por inducción, primero veamos casos particulares
Pirámide Base
de
 
 
 
o
1piso 1% piso = bolastotal a. LP
1x2H bolas base —=
2
So
E] 2 pisos 1". piso 2". piso = Hbolas total =1+(1+2)
_2x3x4
6,
bolas base =1+2
_2x3
2
BA o
3pisos 1.pso 2.ps0 3pko => Hbolastotal=1+(1+2)+(1+2+3)
_3x6x5
6
bolas base =1+2+3
3x4
2
 
APTITUD MATEMÁTICA
DAS o
4 pisos 1%.piso 2.piso 3".piso 4”. piso > $ bolas lotal=1+(1+2) +(1+2+3)
+(1+2+3+4)
4x5x6
6
ff bolas base =1+2+3+4
4x5
E
 
Analizandolos resultados obtenidospara la pirámidede
n
pisos se tienen
mín + Min + 2)
6
nin +4)
2
f bolas total =
H bolas base = 
Como.
mío + fín + 2)
 
 
4 bolastotal = 1540 => ó = 1540
> n(n+1)(n+2)=20x21x22
=>n=20
Asi se tiene:
20x 21*bolas base = 22 210
Clave: €
Problema 4
Enel siguiente arreglo triangular de letras, ¿cuántas formasdistintas se puede leer
POR SAN MARCOSa igual distancia de unaletra a otra en cada leclura?
P
oo
RAR
ssss
ARAAA
NN NNNN
MMMMMMM
ARAAAAARA
RRARRRRRRR
cscaocecaeso0000o0o0ooooo
ssssssssssSSs
AJ27+1 8) 2" c)2% D)2%-1 EJ2"+1
Centro Preuniversitario UNMSM:
 
Resolución
Observemosquela frase POR SAN MARCOScontiene 12 letras y debemos empezarla
lectura de la frase desde la parte superior del triángulo. Procedemos por irducción.
 
P
de E Kromaé lose PO/2144
e y 21etras >
P
JN:
oo) _ ÑINN > * formasleer POR =1+2+1=2x2
ER a
P
80
AR R => *k formas leer PORS =1+3+3+1
$ e SS 4 letras
13341 .
P
ón00
INININ. => iHformasleer PORSA =1+4+6+4+1=2x2x2x2
APANA 5 letras =2
+ Analizando los números obtenidos en la base del triángulo son el resultado de las lecturas
finales, y estos números nos recuerda el triángulo de Pascal. Luego concluimos para
nuestro caso:
AHormas leer POR SAN MARCOS, =21%"!=2"EOASAMnLOS
12 letras
 
 APTITUD MATEMÁTICA
8.2, FRACCIONES
Unode los conceptos matemáticos que casi siempre usamosen nuestra actividaddiaria
es lo referente a las fracciones. Por decir, hablamos con los demás: tres cuartos de los
alumnos del aula “A” ingresaron
a
la universidad; tres horas y cuarto te esperé: me faltó
un cuarto de punto para ingresar a la universidad: tres quintos de ese dinero mecorresponde,elc. Bien, en lo que sigue, revisaremos algunos puntos importantes sobre
fracciones y veremos sus aplicaciones respectivas.
8.2.1. Conceptos Básicos
Definición. Una tracción” es cualquier par ordenado (in, n), donde me Z,ne 2” y"m" no
mes múliplode n'. Lafracción se designa por medio delsímbolo E omín Elnúmero 'm"
 
se llama numeradorde la fracción, y el número "n” se llama denominadorde la misma.
Observación. Toda fracción es número racional, pero no todo númeroracional es una
6 Sfracción Porejemplo: 3 = 7 es un número racional, pero no es fracción.
Interpretación Gráfica de Fracciones. En el caso en que mes entero positivo, podemos
dar una interpretación gráfica de las fracciones mín en los siguientes casos:
a) Si m<n,la fracción mín expresa una porción de unidad;*n"indica la cantidad de
partes iguales en quese hadividido la unidad y el número "m"indica la cantidad de
 
4Partes iguales que se considera. Por ejemplo $, podemos veren el gráfico
 
 
 
 
EA
4
b) Si m> n, la fracción mín expresa una porción, más de una unidad.
Por ejemplo 7/5, podemosver en el gráfico:
 
 
 
Centro Preuniversitario. UNMS» _—>=——_—_———
8.22. Tipos de Fracciones
8) Fracción Propia.Se dice que la fracción m/n espropia, n. Por ejemplo:
b) Fracción Impropia, Se dice quela fracción m/n es impropia, si bl >n. Por ejemplo:
4.10
a. q>*
c) Fracción Irreductible. Se dice que la fracción mín es irreductible, sim" y “nt no *
2. 13tienen factores comunes, es decir MCD (|, n) = 1. Por ejemplo: Az
d) Fracciones Homogéneas,Sedice que dos o más fracciones son homogéneas si *
! inador. Por ej 1 Ay Z, 4 :tienen el mismo denominador. Porejemplo:7, =F+ 7 Y =G: 3
e) Fracciones Heterogéneas. Se dice que dos o más fracciones son heterogéneassial menos un denominador es diferente de los demás. Por ejemplo:
2 30141s.2 4 5
SC 07m 30302
Ejemplo1
 
De lossiguientes númerosracionales, cuántosson fracciones propias y fracciones
impropias, respectivamente.
1.30 00m_4 220
2 2'30' 13" 4' "20" 135
A)3;4 B)4;4 0)3;5 D)2;3 EJ3:2 :
Resolución
Analizando,tenemos:
 
1114.04 ¡Fracciones Propias: 7 3G +“ 3G ¿
. 3 17
Fracciones impropias: 230
sonas 20 26 0No son fracciones: 22. 73 + 3
Clave: E
 APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
Delassiguientesfracciones, cuántas sonirreductibles
 
3.12 EIN
2 3" 20 “16' "220
AJA B)4 0)5 D)2 E)3
Resolución
Analizando, tenemos:
Fracciones Irreductibles: 7
 
12
Fracciones reductibles. 7.
a 35
18" 420
Clave: B
Observación
1. Un número mixto positivo es el número formado por un entero positivo “A” y una
om m o. Mm mfracción positiva —_*. denotado por A“, es deci, A 7 =A+ 7
 
m m
2. Un número mixto negativo es el número -A n* donde A: p esun número mixtopositivo.
3. Todo número mixto se puede expresar por una fracción impropia.
Por ejemplo:
4 4 2x5+4 4gs ee
e 5 5
apra¿(2-7
$ 5 5 5
4, Reciprocamente, toda fracción impropia se puede expresar por un número mixto.
Por ejemplo:
 
Centro Preuniversitario UNMSS——————
8.2.3. Operaciones con Fracciones
Adicióny Sustracción. Para sumar o restar fracciones homogéneas se suman orestan
los numeradores y se poneel mismo denominador. Si las fracciones son heterogéneasse hacen Irreductibles, luego se le da un denominador común y se procede como enel
caso delas homogéneas.
Ejemplo 3
Simplificar,
E=E
m4 23% 02% 93% e
Resolución
Primero, convertimos los números mixtos a fracciones:
 
Ahora, hallamos el MCMde los denominadores:
 
MCM(3,5, 2, 6, 9) = 90
Luego:
Es 1:30 + 21x 18-545 +1x15-1x 10
90
188>
 
Clave: A
Multiplicación y División, Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican loshumeradores y denominadores, respectivamente, Para dividir dos fracciones, se multiplicala fracción dividendo por el inversode la fracción divisor.
Ejemplo 4
Simplificar:
 APTITUD MATEMÁTICA.
Resolución
Convertimos primero los números mixtos a fracciones:
Luego:
 
Clave: D
8.2.4, Números Decimales
Concepto. El número decimales una formade representar el númeroreal en el sistema
decimal posicional de numeración. El número decimal:
 
NM Do M3... Mk...
donde N es un número natural yn, n,N,, .... N,, .. cifras del sistema decimal de
numeración, es la expresión condicional del número real
Mo NNMos DEe
EE
 
Un número decimal consta de dospartes:la parte entera, que se separa mediante una
coma,y la parte decimal. Tal como se muestra con el ejemplo siguiente:
625, 0457523333 ...
Parte Parte
entera decimal
Coma
decimal
 
 
Centro Preuniversitario. UNS»——>——__
Clases de Números Decimales
a) Números Decimales Limitados. Es el número decimal que tiene un número
determinado de cifras decimales.
Por ejemplo:
1,24
2,0023
b) Números Decimales llimitados No Periódicos. Es el número decimal que tieneinfinitas cifras decimales que no contiene ningún número o grupos de númerosdecimales que se repitan de forma periódica.
Por ejemplo:
3,1415926535... = 1
1,41421356... = /2
0,101001000100001...
c) Números Decimales Ilimitados Periódicos, Es el número decimal que tiene infinitascifras decimales que contiene algún número o grupo de números decimales que serepiten indefinidamente. Estos números se clasifican en puros y mixtos.
1) Números Decimales Periódicos Puros.Es el número decimal en el que el periodo
empieza inmediatamente despuésdela coma decimal.
 
Por ejemplo:
1, 42424242... = 142
a0, 027027027 ...= 0,627
 
2) Números Decimales Periódicos Mixtos. Es el número decimal en elque el periodo,
o gruposdecifras decimales que se repiten, no empieza inmediatamente después
de la coma decimal.
Por ejemplo:
0,023
3
5,405273
0, 023333 ..
5, 405273273273.
 
 
Conversión de Algunos Números Decimales a Fracciones:
a) Números Decimales Limitados
 
APTIYUO MATEMÁTICA
. 251Por ejemplo: 0,25= <p = 7
23522403522 az
ET E]
hb) Números Decimales Periódicos Puros
TT MiM¿my. Mm,
0, mmm, .: 999. .9
kcilras
 
Por ejemplo: 0,333...
2,363636... = 2 + 0,363636..
 
Cc) Números Decimales Periódicos Mixtos
 
QM.M>.--M,-NM7,
99...9 00...0223SE
gcifras pcifras
 
O
0, MN¿N,.N, MM)...
5 _237-2_ 47
0,237 = 
 
Por ejemplo: 0,2373737.. 990 198
123454545... =12+0,3454545...
=12+ 0,345
=12+ 5-3
 
19
=2+
. 8
55
 
Centro Preuniversitario. UNMS. _—_>
8.2.5. Problemas Resueltos
Enesta parte realizaremos algunas aplicaciones de las fracciones en problemasdela
actividad daria. Veamos algunos ejemplos:
Problema 1
9Roberto tiene cierta cantidad de dinero,sie primerdia gastó los 29 [de su dinero, ¿Qué
Parte de lo que le queda debe gastarel segundo día para que le quede la cuarta parte de
la cantidadinicial que tenia?
6 6 5 4A) ñ B) 1 c) ñ D)
5
ñ Di
Resolución
1) Sea x: cantidadinicial
2) Sea f:la fracción pedida.
 
1)3-1 (e(1-1 2
Clave: A
Problema 2
Debido a losúltimos huaycos un poblado de Chosica quedóafectado en su quinta parte,
3de los cualesfallecieron los 5: quedando vivos 40 personas de los afectados.
¿Cuántoshabitantes tenía dicho poblado?
A) 450 B) 500 Cc) 600 D) 400 E) 550
Resolución
1) Sea x: número de habitantes
1
2) Afectados: z*
3f1
3) Mueren: y 5*), luego
4) Quedanvivos: : E x) = 40| de donde x= 500 Clave: B
APTITUDMATEMÁTICA
Problema 3
3
Un tanqueestálleno de agua hasta sus 5partes. Si se añade 880litros, el nivel de agua
2
sube hasta los =; de su capacidad. ¿Cuántos litros se deben agregar para que eltanque
quede totalmentelleno?
A) 3400 8) 3200 C) 3000 D) 3600 E) 2800
Resolución
1) Sea V: Capacidad total del tanqueenlitros, del dato tenemos:
 
 
falta
pes
v 680 2y
3
A
Y EE
aL Ea
3 10V-9V
2) h- Y = 6800V =10200 litros.
3)Lo que fata agregar: (10200) = 3400 litros.
Clave: A
Problema 4
2
Para una función de un circo donde sólo hay asientos de palco y platea, se vende 3 de
4
los asientos de palcoy los -z delos asientos de platea. Sihay tantos asientosde palco
como de platea. ¿Quéfracción deltotal de entradas no se vendieron en dicha función?
Po 57 ys pa 4
ES 75 5 35 Di
Resolución
1) X: númerode entradas a palco,
x: número de entradasa platea,
2x: número total de entradas.
 
Centro Preuniversitario UNMS» _áA>=+=+=—1
2. 4 22
2) Se vende: 3 X +2
381(a35 150
 
4
B) Nose vende: (2%, luego
a0= y A4) >/05) pea=s,=;
Clave: E
8.3. MÓVILES
Para resolver problemas sobre móviles el estudiante sólo necesitará conocerlo esencialsobre el movimiento rectilíneo uniforme,es decir, cuando el móvil se mueve en linearecta con velocidad constante,esto implica que en cada unidad detiempo recorrerá la
mismadistancia
 La expresión que relaciona las tres magnitudes,
|
e=Vxt
 
donde: e = Espacio recorrido.
W= Velocidad
i
t = Tiempo empleado
Eneste temase puedenplantear diversos problemas condiferentesvariantes.Veamosalgunosdeellos:
1. Movimiento en Sentido Contrario
punto de
encuentro
 
Si parten simultáneamente uno al encuentro del otro, entonces:
 
 M1 =t2
=
tencuentro
 
 
 
2. Movimiento en el Mismo Sentido
 
ventaja
APTITUD MATEMÁTICA
Si empiezan a moverse al mismotiempo, entonces:
 
 l4= 12 = Lalcance ¿V> Va
 
e
Vy -Va
 
 
Tiempo de Cruce
 
 
 
 
Dos móviles están separados una distancia “e”. Si parten simultáneamente uno al i
encuentro del.otro, entonces:
 
E
 
 
4. Tiempo de Separación
 
Dos móviles parten del mismolugar al mismo tiempo endirecciones opuestas, entonces:
 
1 =seperción “y yz 
 
 
entro Preuniversitario UNMS»
— 
—
_——_____—_
8.3.1. Problemas Resueltos
Problema 1
Dos méviles se encuentran separados 320 km, unodeellos tiene una velocidad de100 km/h.Si parten simultáneamente uno al encuentro delotro a las 9 a.m, encontrándoseal cabo de 2 horas, ¿A quéhora estarán separados 50 km. por segunda vez?
A) 11h18m45s B) 11h 35m C)11h20m20s
D)10h E)tih
Resolución
 
 
 
320 320 60kle =2 022 ev -=—vv 100+V ñ
EOmaVi + V2 160 16
+, Estarán separados a las, 11:00 a.m. +18 m45s=11h 18m45s
Clave: A
Problema 2
Un móvil parte de *M” alas 6 a.m.y llega a *N' alas 4 p.m. otro móvil parte de “N" a las
7 a.m. y llega a *M” alas 3 p.m,, sila distancia de "M" a “N" es 400 km,¿a quéhora seencontrarán porel camino?
 
A) 15h25mpm, B) 11:00 a.m C) 10:00 am
D) 11h 30 mam E) 12h 25 m del mediodia
Resolución
> 10ap6002m, 10h
EN Y,
> 1.205pka i N 8 h
00 am.
a Ye Y se pa Y EE
Va+ Vo 90MN
Ens 700am.
+, Se encontrarán a las: 7:00 a.m. +4h=11:00 a.m. Clave: B
€xAAAAAAAAA2>>——+ —— APTITUD MATEMÁTICA
Problema 3
Leonely Daniel parten de una ciudad a otra situada a 12 km dela primera. la velocidad de
Leonel es 2 km/h menosque la de Daniel, por lo que llega a su destino con unahora de
retraso. Hallar la velocidad de Daniel.
A)7 ken B) 8kmn C) 4 km/h D) 5 km/h E) 2 km/h
Resolución
 
ti $ JE
x-2 x
12, 12
—H=— o x*+2x-24=0 O (x+6)(x-4)=0xo x-2
 
Clave: C
Problema 4
 
Pedro y Jonalhan parten simultáneamente de un mismo punto de una ciudad M hacia
otra ciudad N, distante 60 km. La velocidad de Pedro es 4 km/h menos que la de Jonathan.
Despuésde llegar Jonalhana la ciudad N, emprende inmediatamente el viaje de regreso
y se encuentra con Pedro a 12 km de N, ¿Cuáles la velocidad de Pedro?
A) 7 km/h B) 12 kmíh C) 10 kmih D) 8 kmih E) Gkmin
Resolución
 
Comoparten simultáneamente, entonces:
L-48__ 60412
haa 2107
 S 2=3x-12 olx=12 kmn
. V)=12-4=8kmh
Clave: D
Centro Preuniversitario UNMSM 
8.4. RELACIONES BÁSICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
8.4.1 Elementosde un Triángulo Rectángulo
€ a y b: Longitudes delos catetos BT y AG.
e: —Longitudde!a hipotenusa AB.
hi Longituddela altura GF.
 
 
7 e m:
—
Longitud de la proyección ortogonal
del cateto BT sobre AB.
Longitud dela proyección ortogonal
CA A dá del cateto AG sobre AB.
 
8.4.2 Fórmulas Básicas en un Triángulo Rectángulo
 
 
 
b?=cn
 
 
 
 
 
ab=ch 
 
 
 
 
 
+ Teorema de Pitágoras:
 
arpa?
 
Ejemplo 1
Enla figura, HB = 2AH y CH = 8 cm.Hallar CB,
AJ6/Zcm B)10V3cm Cc
c)8/2cm D)6V/3cm
E) 8/3cm ¡
 APTITUD MATEMÁTICA
 
Resolución
c :AH=a > HB=2a
+ Bi= a(2a) => at=32 =a= 4/2
E -xi= (Za? +87
x= 40? +64
x= 4(32) +64A B=H a PP.
Clave: E
Ejemplo 2
E 8
Enlafigura, Hallar CA.
A) 6/3m 8m
B)342m
C)4m
D)4/3m E
4mE)8/3m
Resolución Cc A
B
Sm + Se traza la mediana Ti => AM = MB = CM = 6m
a los Ls CHM
y
CHA:2m + Enlos y CHA:
H yr
dm
> *=48 > x= 4/3
 
Clave: DEjemplo 3
Ella figura, calcular AB. c
3cm
A)10/2cm
—
B)16cm H
Sem
C) 16 cm D) 8/Zcm
E) 12 cm A
Centro Preuniversitario UNMSM.
Resolución
$ + Por el Teoremade la Bisectriz Interior:
AÑ A Sk x=5k
y HK” ]y=x
H y + Por el TeoremadePitágoras:
Sem ee
25k=64 +91
PS > 16kt=64
£ : E k=2
x=10
Clave: C
Ejemplo4
Ena figura AB = 24 cm y AC = 18 cm. Hallar PA. c
A)10,12cm 8)10,125cm 5
C) 12, 125cm D) 10, 25cm
E) 12,15 cm i
Resolución Á Q B
 
|
c «Enel ZA ACA,setiene:
18cm (18) (24) n
- 16240 n==240=N=S
x
«Enel ZA AO,se tiene:
. > 7 2
A m=(18)x> 2) =(18)x
24 cm
27?
|x= 10125
 
Clave: B
Ejemplo 5
Sobre los lados BC y AC de un triángulo rectángulo ABCrecto en B,se toman los puntos
My N respectivamente, tal que MNes perpendicular a AG.
SIAN = 13m,NC = 5m y BM = MC,hallar AB.
A) 12m B) 13m C) 10m D)8m E) 16m
 
APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
+ Setraza la altura BH, entonces:
CN=NH=51a y HA=83m 
 
 
+ Enel ZMABC
X= AC xAH
x= (18 m)(8 m)
x=12m
Clave; A
8.4.3. Problemas Resueltos
Problema 1 a
Ena figura, BM=MH y AHXEC = 27 cm”. Calcular BH, e/
A) 3/3 cm B) 10 cm C) 12 cm pa s
Ñ
D) 60m E)8cm NA) ) E c
Resolución
B + Se sabe que: AH x EC =27 cm?
+ Enel ZA AME: MH? = AH x HE/
«Enel ZA ABC: BH?=AHx HC
BH?= AH x (HE + EC)
BH?=AH x HE + AHx EC
BH?=MH?+ 27 cm?
BH.BH= (2) +27 cm?A HE Cc 3
BH?= 36 0m*
BH=6cm
Clave: D
Problema 2 N
Enla figura,“AN VH"es un cuadrado, AP =2 cm
y PH=5cm. Calcular NM.
Y,
A)7 cm 8) 8cm
A
C)9cm D) 10 cm
E) 12cm
 
Centro Preuniverstario UNMSM
 
Resolución
*AN=NV=VH=AH=L
+ Se traza la diagonal NA => NH=1./2
-Enel ZA NMH: NM=x 
> (2y22ty? (1)
+ Encl MAP: (+5) cm
> Li=290m*
+ Enla figura: AQ =a
> OH=L-a
oman>
ydardroits
m2
1.5 
 
a
15 0-7 > y=3cm
+ Luegode (1) tenemos: i
x=212.y2 
 
x 29 cm? - 9 cm
42 cm* 4
x=7cm
Clave: A
Problema 3 M
Enla figura, AN =4u y MC=94, hallar AB.
AJ9H i
BEj0r N 9
C)4n
4uD) 6H
EJSu A 4 Cc :
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución
*Sean: AB=x
AC=b
AH=n
 
b
«Dan Dacm Su
> bn=364*
+ En el ABCse tiene que:
x1%= bn
360
 
Clave: D
 
Problema 4
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide 2m, la longitud dela
hipotenusa es z dela longitud de uno de loscatetos, Calcularla longitud del cateto mayor.
 
10 zA)3m Bm C)2,5m D) mM Ej4m
Resolución Cc
De x4
B: A
í=2———_—_—_—_—_—.
ENres
 +Sea: CA=x => AB=
ex
+ Porel Teoremade Pitágoras: BC*= Eo era
BO==x > AC>BC
Enstlk ABO se tene que:0 x= Cam)> Em
Clave: B
 
Centro Preuniversitario. UNMS»
 —
_¿áí—_——————_
8.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema1. Hallar la sumadelas cifrasde la potenciaP.
=(UM .. 22 38P= (1111... 11 + 2222.22 + 3333... 39
100 cifras 100 cifras 100 cifras
A) 400 B) 800 C) 1800 D) 900 E) 450
Problema 2. Con 3080bolas de billar idénticas se formó una ruma piramidal de base
rectangular. Si los lados dela basese diferencian en una sola bola, ¿cuántas bolas hay
en la basede dicha pirámide?
A) 380 B)210 C) 840 D) 420 E) 506
Problema3, Si el máximo número de puntos de intersección de triángulos quetienen
unvértice común es 3676, ¿cuál eselvalor de n?
A) 48 B) 52 Cc) 51 D)49 E) 50
Problema4, Determinar la suma delas cifras del productoP.
P= 6666 ... 66 + 9999... 99
300Cifras 300 cifras
A) 3600 B) 450 C) 900 D) 1800 E) 2700
Problema5, Enel siguiente arreglo, ¿de cuántas formasdistintas se puede leer SAN
MARCOSa igual distancia de una letra a otra en cada lectura?
SOCRAM
L
O
O
A
>
Z
A
D
A
O
O
N
V
O
D
A
A
I
H
O
D
M
V
v
o
O
o
r
n
o
v
o
0
0
n
v
o
n
a
P
O
D
A
>
Z
>
V
N
O
D
A
P
>
Z
Z
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E
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P
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A
P
-
Z
Z
A
Z
Z
?
)
I
N
O
N
V
O
O
I
-
Z
Z
Z
A
2
D
O
O
V
A) 4 (2%+1) B)4(2%-1) C)4(2-1) D)4(2+1) EJ4(2%
 — APTITUD MATEMÁTICA
Problema 6. Dos grifos Ay B llenan juntos un tanque vacio en 30 horas. Siel grifo B fuese
de desagúe, se tardarian en llenarel tanque 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenaria el grifo
A,estandoeltanque vacio?
A) 44h B) 50h C)40h D)42h E) 54h
Problema 7. Maribel gasta cada semanaen alimentosy pasaje Hide lo que gana, : de
lo quela resta lo destina a otras necesidades. Si en 8 semanas tiene ahorrado 1089
nuevos soles, ¿Cuánto gana semanalmente Maribel?
A) S/ 650 B) S/. 605 C) S/. 610 D) S!. 615 E) Si. 600
Problema 8. A un Coloquio Nacional de Matemálica asistieron profesores, en donde se
13
50 trabajabanen universidades nacionales, 187 en universidadesparticulares
y laquirta porte en universidades nacionales y particulares. ¿Cuántos profesores asistieron
ubseivóque
 
 
a dicho Coloquio en total?
EAJ320 8) 350 c) 340 5) 430 420
17
Problema9. La superficie que tiene la provincia de Canas es las $
 
lo que poses
2 yCanchis mientras que Espinares tos $ de lo que hacen Canas y Canchís juntos. ¿Cuáles
la superficie de Canchis si entre Espinar y Canas hacen 20625 km?aproximadamente?
A) 5360 km* B) 5675 km* C) 5350 km* D) 5750 km* E) 5250 km*
?roblema 10. Abely Beto tienen respectivamente 8 y 5 hectáreas deterreno que desean
2senbrar, cuando ya hablan sembrado +; de cada propiedad, contratan a un peón y partir
de esemomento Abel, Beto y el peóntrabajan en partes iguales. ¿Cuánto deben aportarAbel
y Betorespectivamente para pagar al peón,si en total deben pagarle S/. 1307
A) S/. 110; S/. 20 B) S/. 120; S/. 10 C) S/. 100; S/. 30
D)S/, 90; S/. 40 E) S/. 105; S/. 25
Centro Preuniversitario UNMS.—_
Problema 11. Joaquín parte en automóvil desde Lima a Huaral, al mismo tiempo queHamilton y Richard parten en bicicleta desde Huaral a Lima. Joaquín se encuentra primeroconRichard y 2 km másadelante con Hamilton esto debido a queel automóvil se desplaza3 unavelocidad que es 4 y 5 veces la de Richard y Hamiton, ¿qué distancia hay de Limaa Huaral?
A) 60 km B) 55 km C) 75 km D) 80 km E) 90 km
Problema12.Esenia sale de su casa todos los días a la mismahora y llega a la Pre SanMarcos a las 8 horas. Hoy duplicó su velocidad de costumbre
y
llegó a las 7 horas. Sihubiera triplicado su velocidad en vez de duplicarla, ¿a qué hora hubiera llegado?
A)5h40m B) 6h 40 m C) 6h 30m D)6h E)6h20m
Problema 13. Un ciclista viajando a unavelocidad de 12 kmíh llegaría a su destino a las13 horas.Si viajará a 20 kmíh, llegaria a las 11 horas. ¿A quévelocidad debe viajarparallegar a su destino exactamentea las 12 horas?
A) 17 km/h B) 14 km/h C) 15 km/h D) 13 km/h E) 16 km/h
Problema14. Un padre y su hijo trabajan en la misma oficina. El hijoalir de su casa a suoficina emplea 30 minutos y el padre 40 minutos. ¿En cuántos minutos alcanzará el hijoa su padre si éstesale condirección a la oficina 5 minutos antes?
 
A) 14 8)16 0) 12 D) 15 E) 24
Problema 15. Un móvil parte de Lima a Chosica a las 13 horas con una velocidad de 120Km/h; otro móvil partió de Chosica 8 minutos antes con una velocidad de 80 km/h y seencuentran a las 13 horas 42 minutos, ¿Qué distancia recorrió el móvil que partió deChosica hasta el punto de encuentro?
A) 85 km B) 65 km C) 80 km D) 60 km E) 75km
Problema 16. Calcular la medida del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo sitaaltura relativa a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos cuyaslongitudes están enla relación de 1 es a 3,
A)15* B) 45" C) 30* D) 37* E) 16*
APTITUD MATEMÁTICA
Problema 17. En la figura, AE =8/2m y AC= 10m. Calcular EC,
A)4m B 5
8)2m
C)6m
E)5m Za sán
Problema18. En lafigura, ABCD es un paralelogramo, ADFG es un cuadrado, CD =4 m
yBD=7 m. Hallar MF? - MG?
 
 
 
A s
A) 33 m2
B) 32 m? B AM
C) 36 me
D) 24 m? 5 E
E) 12m?
c
Problema19. En lafigura, AM = 1cm y CN = 8cm.Hallar AC.
 
A) 5/3 m B
B) 5/5 m
C) 4/5m
0) 38m M
E) 247 m A H c
Problema 20. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 25 cm y la sumade las
longitudesde la altura relativaala hipotenusa y sus catetos resulta 47cm. Hallarla longitud
dela altura.
A) 8cm B) 18cm C) 16 cm D) 10 cm E) 12 cm
 
1D
2.D
3,.E
40E
5.B
6.C
7.8
8.0
CLAVES
9. E
10.A
11.A
12.8
13.C
14.0
15.E
16.C
17,8
18.A
19.B
20.E
Clave: E
94.
CAPÍTULOIX
 
Elementos Recreativos. Porcentajes. Relojes.
Los Puntos Cardinales.
 
ELEMENTOS RECREATIVOS
En esta sección hemos reunido problemas en cuyo planteamiento y solución se utilizan
elementos defácil acceso y que pueden ser consideradosrecreativos, comofichas de
dominó, dados, cerillos (palitos de fósforo), monedas, etc. El propósito de esta sección
es ejercitar la habilidad, el ingenio y la capacidad de razonamiento de los estudiantes
utilizando estos elementos.
danaa
9.1.1.Problemas Resueltos pa
Problema 1
La sumadelos puntosde las partes superioresde estasfichas no es iguala la suma de
los puntos de las partesinferiores. Para que ambas sumas sean iguales se debe invertir
sólo una ficha. ¿Cuál es ésta?
 
 
 
 
A) Laficha blanca, AFA =>
B) La ficha roja. . o. o
C) La ficha azul. aa S z
D) La ficha amarilla. “lll . me E) La ficha verde. fina ficha ficha feha ficha
roja blanca azul verde amarila
Resolución
Sean:
S, = Suma de puntos delas partes superiores: 24
S,= Suma de puntosdelas partesinferiores: 16
4
Para que S,=S, =20: ¿TO
» S2
:. Debe invertirsela ficha que en la parte superiortiene 4 puntos más que enla parte
inferior, es decir, la ficha azul,
Proa 40 puntos
Claye: C
Centro Preuniversitario UNMSM:
 
Problema 2
Enla figura hay12 palitos de fósforo del mismotamaño. Si4 de ellos son movidos,¿cuál
es la mayorcantidad de cuadrados que se puedeformar? v
A) 10
B)1
0) 13
D) 15
E) 16 E
Resolución
Para formar la mayorcantidad de cuadrados,los cuadrados debenser civididos en la
mayorcantidad posible de éstos. Asítenemos:
— >
 
 
10 cuadrados 15 cuadrados
Clave: DÍ
Problema 3
Sobre una mesa Pepito forma una torre con cinco dados tal como se muestra en la
figura, ¿Cuántos puntos en total no son visibles para él?
AJ31
B)32
0) 35
D) 28 sp
E) 36 “y
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución
APTITUD MATEMÁTICA
Pepito puede vertodos los puntos excepto aquellos que se encuentran en los lados superior
inferior de casi todos los dados. Comola sumadelos puntos en lados opuestos es 7,
entonces desde la base dela torre hasta el cuarto nivel,la sumadelos puntos que Pepito
no puede ver es 4 x 7,y en el quinto dado no puedever:
 
 
 
+. En total, Pepito no ve: 4x7 +3 = 31 puntos.
Problema 4
Clave: A
Sobre una mesahay 4 monedasde S). 1, como se muestra en la figura. Hallarel máximo
¡número de monedasde S/. 1 que se puede colocar tangencialmente alrededorde ellas y
quesean tangentesentre si.
AJO
8)
c)9
D) 10
E) 12 
Resolución
Usamos la propiedad de que alrededor de cualquier
circunferencia se pueden graficar a lo más 6
circunferencias del mismoradio tangente entre si y
tangentesa laprimera.
 
 
Luego,alrededor de las 4 monedasde S/. 1
Podemoscolocar un máximo de 10 monedas
de S/.1,
 
 
 
Clave: D
 
Centro Preuniversitario: UNMS»
 —
_———___—
9.2. PORCENTAJES 4
9.2.1. Definición
Llamadotambién "tanto por ciento”, es unaformaderelacionar una "parte" con el "todo" *(100 unidades). Asi por ejemplo:
32% significa que de cada 100 unidades(todo) se considera sólo 32 unidades (una
parte).
Notación. Eltanto porciento o porcentaje se denota porelsimbolo “9”,
Observación. La frase “por ciento” se puede expresar como una fracción cuyo |denominador es 100,lo cualsignifica que los porcentajes se pueden escribirde la manera +
xde ¿o xsiguiente: x% =7
A continuación, presentamos aplicaciones comunesde porcentajes:
|. Calcular un número cuando se conoceel porcentaje
Ejemplo.El 5% de 64 esigual al 32% de *x”. Hallar el valor de *x".
 
Resolución
5 64- 32 -
700 (64) = 100 * > *=10
ll. Cuando se desea calcular el porcentaje que está asociado a la comparación
de dos o más cantidades
Ejemplo. ¿Qué porcentaje de 450 es 1357
Resolución
1) Suponemos que sea x% de 450, es decir:
x % (450) = 135
2) Ahora expresamos ensu formafraccionaria el %:
x75 (450) > 135 => x = 30
+. 195 es el 30% de 450.
—_A
APTITUD MATEMÁTICA
I1l. Cuandose conocen las partes que conforman un total
Ejemplo
En unafábrica el 30% del número de obreras es Igualal 20% del número de obreros.¿Qué porcentaje del 80% deltotal de trabajadores es el número de obreras?
Resolución
1) Suponemos que sean M= + obreras y H = 4 obreros.
2) Luego el lotal de trabajadores en la fábrica será: T=M+H
3) Pordato del problema tenemos:
30 20 2% M= > M== M=Z2H30% M
=
20% H => 700 100 H> 3
4) Ahora sea x% del 80% de T=M, expresando en su forma fraccionaria se tiene:
xy (8021. [2
6) E ) =M... (a)
25) Por el paso (2) sabemos que T=M+H y además M = 3 Moor el paso (3).
6) Luego reemplazamos en(a):
x 80
(5) (5) 011
x 80) 2 2
e405
7) Ahora simplificando se tiene:
 
x 1/80) 5 2E
5) )é )= q Ha x=80
8) Representa el 50%.
IN. Problemasde aplicación en compras y ventas
En esta parte debemos mencionar que en un problema donde exista ganancia o pérdidase debe tener en cuenta lo siguiente:
Precio de Venta (P.V.) = Precio de costo o compra (P. ..) + ganancia (G)
Cuandoexista pérdida se debe tener en cuenta lo siguiente:
Precio de Venta (P.V.) = Precio de compra (P.C.) - pérdida (P)
Nota, La ganancia o pérdida está referida siempre como un porcentaje del precio de
costo, a menos quese especifique otra cosa en el problema.
 
Centro Preuniversitario UNMSM 
Ejemplo
Se compradosartefactos deigual precio, al venderlos, en uno se gana el 20% y en el otro
se pierde 10%. Si en total se ganó S/. 650,hallar el precio de costo de cada artefacto
Resolución
1) Supongamosque el precio de compra de cada artefacto sea S/. x (100% x).
2) Luego,al vender el primer artefacto se gana el 20% x, es decir, su precio de venta será
 
PM, = 100%x + 20%x = 120% x
3) En cambio cuandose vendeel segundo artefacto sepierde el 10% de su costo, luego
su precio de venta será:
PV. =PC.-P
= 100%x - 10%x = 90% x
 
4) Ahora tenemos como dato la ganancia total, es decir, la ganancia porla venta de los
dos artefactos, entonces se tiene lo siguiente:
S roraL= PVroraL - PCroraL
650 = (120% x + 90% x) - (x+x)
210x 210x - 200xoAA
$50 100 100
10x “650 = 00 => x= 6500
5) Luego, comocadaartefacto cuesta S/. x entoncesel precio de costo de cada artefacto
es S/. 6500
V. Variaciones Porcentuales
Se denomina variación porcentual al cambio que experimenta una cierta magnitud con
relación a su valor original, este cambio puede expresarse en "%" asi: i
 
%A porcentaje de variación
V, Valorinicial 4
V, = Valor final i
 
>— APTITUD MATEMÁTICA.
además.
 
a= Variación = Cantidad final - Cantidad inicial|
y 
Ejemplo
La población del distrito de San Pedro, provincia de Canchis, departamento del Cuzco en
1990 era de 6000 habitantes y en 1998 se constató que eran 7200 habitantes. ¿Cuál fue
el porcentaje de aumento en la población?
Resolución
1) Por dato sabemos que en 1990la cantidad de habitantes era de 6000, esdecir, V,=6000.
2) En 1998la cantidad de habitantes es 7200, donde se nota un incremento de 1200
habitantes, es decir, V, = 7200; entonces:
A=V, - V, = 7200 - 6000 = 1200
 
3) Ahora reemplazandolos datos en (a) se tiene el porcentaje de variación (aumento)
que se quiere averiguar, es decir:
7200 - 6000 1200%s = 29-500 100% =
500”
 x 100% = 20%
4) Luego,el porcentaje de aumento en la población fue del 20%
VI. Descuentos y Aumentos Sucesivos
Setrala dehallar un descuento o aumentoúnico que reemplace a dos o más descuentos
0 aumentossucesivos respectivamente.
Ejemplo
Hallar un descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos del 10% y 20%.
Resolución
Se parte del 100% y se resuelve con lo que queda. Como descuentan 10% y 20%
sucesivamente, queda 90% y 80%, es decir.
so 80
q7:100% =72%
100 100
Entonces, el descuento único será: 100% - 72% = 28%.
 
Cantro Preuniversitano UNMSM: 
Ejemplo
Hallar un aumento único que reemplace a dos aumentos sucesivos de! 20% y 10% :
Resolución
Se parte del 100% y se resuelve con lo que queda. Zomo aumerta 20% y 10%
sucesivamente queda 120% y 110%, es decir:
120 110
Fm 3>.100% =
100 100 Es
Entonces,el aumentoúnico será: 132% - 100% = 32%
9.2.2. Problemas Resueltos
Problema1
Si se vendiera un automóvil en un 30% menos, su precio de venta sería de $ 1750,¿cuál
esel precio del automóvil?
A) $ 3500 B) 53000 C) $ 2500 D) $ 2000 E) 3 1000
Resolución
 
1) Sea SI. xei precio, es decir x= 100% x
2) Del dato del problema se liene que:
100% x - 39% x= 1750 => 70% x= 1750
70
3) Ahora vamcsha expresarlo en la forma fraccionaria 00 x =1750
4) Luego,el precio del automóvil es de $ 2500.
Clave: €
Problema 2
Si a un número *x" le aumentamosel 25% obtenemos"y”,¿qué porcentaje de "y” es lo
que se aumentó a *x?
A)5 B)10 C)15 . D)20 E) 25
Resolución
1) Consideramos a: x= 100% x
2) Comoelproblemadice le aumentamos,entoncesse tiene:
100% x + 25% x= y
125% x= y
 -——— APTITUD MATEMÁTICA
s _253) Además: 25% x= ¿Gp
 
ds Xx
es decir, a*x' se le aumenta q
x4) Se tiene 125% x= y, además el aumento de -, significa un a% de y”
5) Luego planteamos: a% y = z
5) De(4) y = 125%x, entonces reemplazando.
 
de ronca AS
as > 500) lio
 
7) Finalmente, el 20% de “y” es lo que se le aumentó a %x"
Clave: D
Problema 3
Unacaja contiene sólo fichas rojas, azules y blancas. El 38%son rojas, el 25% son
azules y además hay 32 fichas blancas. Hallar el número total de fichas que contiene
la caja.
235
A) 50 B)60 C)70 D) 80 E) 90
Resolución
1) Por dato sabemos queentre fichas azules y rojas hay: 25% + 35% = 60%
2) Luego de inmediato deducimos que los 40% restantessonfichas blancas queentotal
son 32
3) Es decir, si suponemosque sea x = número total de fichas enla caja, entonces
40
100.
4) Porlo tanto, la caja contiene 80 fichas
 
Clave: D
Problema 4
¿A qué precio se debe vender unparde zapatos para ganarel30%, si al venderlo en
SI. 74 sepierde el 20%?
A)S/. 115,75 B) S/. 120,00 C)S/. 120,25 D)S/.125,00 E)S/ 125,25
a
Centro Preuniversitario UNMSM. ————————- 
Resolución
1) Siquiere ganar 30% debe venderseenel 130% de su costo.
S/. 74 representa 20% menos del costo o sea 80% del costo.
 
2) Entonces:
80% 74
130% x
74 (130)x= ==8/.12025
80
Clave: €
9.3. RELOJES
En algún momento de la vida cotidiana, uno pregunta ¿qué hora es?, algunas veces le
contestan son las 7 h 25 m, por ejemplo. Otras vecesle dicen mi reloj está atrasado o
adelantado. La idea de este capitulo estratar de resolverestos tipos de situaciones con la
ayudade algunos conceptos básicos de circunferencia y del tiempo que transcurren
(horas, minutos, segundos). Aplicaremos en esta parte, generalmente el razonamiento
deductivo y algunas formas de resolución de problemas.
9.3.1. Sobre las horas marcadas y ángulos formados por las manecillas del reloj
Para solucionar problemasquerelacionan la hora marcadaporunreloj de agujas conel
ángulo formado por éstas, recordaremos algunas cuestiones básicas sobre la
circunferencia delreloj y sus divisiones.
+ 60 divisiones < > 60 minutos < > 360%
1div.< >1m< >6?
+ Entre 2 marcashorarias consecutivas hay divisiones,por lo tanto:
 
+ En cadahora,trascurrida, el horario ha recorrido divisiones, el minutero ha recorrido
 
 
 
 
60 divisiones y tiene:
H_Sdiv. 1
mo sodiw. 12 |0) m= Espacio recorrido por el minutero
 
* De (*) se establece: que el avance del horario es 1/2 del avance del minutero.
+ Dada una hora cualquiera, la hora de referencia será la hora exacta anterior a dicha hora.
Porejemplo:
Alas 7 h 25 m,la hora dereferencia será las 7 en punto.
 APTITUD MATEMATICA
+ En estos problemas se utilizan las siguientes relaciones:
(1) Cuando el Minutero está delante del Horario.
1 m - 30H
 
(11) Cuandoel Horario está delante del Minutero.
112 = 30H - mMa z
donde a. ?= medida del ángulo que forman las manecillas del reloj,
Ejemplo1
¿Cuánto mide el ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 8 h 20 m?
A)7O* B) 50* c) 80" D)75* E) 100*
Resolución
1) La hora dereferencia es las 6 horas, esto es H
=
6.
2) Comoel horario está delante del minutero, entoncesE
21¿=20H- mM. m=20 mimos : ae
 
3) a” = 30(6)- Zen =701,
Clave: A
Ejemplo 2
¿Aqué hora entre las 3 y las 4 de la mañana,el minutero adelantaa la marca de las 6 y
forma con ésta un ángulo en número de grados sexagesimales igualal número de minutos
transcurridos desde las 3 h ?
A4)3h20m B)3h25m C)3h 36m D) 3h 40m E) 4h
Resolución
1) Haremosun gráfico: ES
 
238
Centro Preuniversitario UNMSM 
2) Por dato, x =u (numéricamente)
3) El minutero con la linea de la 6 forma un ángulo «, Je talforma que L = E m
»(q)es
 
« = a =36! Luego. x= 36 m.
4) La hora es 3h 36m.
Clave: €
Observación
- Las 12 horasse tomarán enla fórmula c3mo 0 horas.
- Comoel ángulo «* debe ser siempre positivo se esco signos curwenientemerne.esto es. si aplicando una de las fórmutas en algún problemael angulo sale negatwo. +entoncesse aplica la otra fórmula. s- Además, el horario H toma sólo vaiarar de 7 a 49
 
9.3.2. Sobre Adelantos y Atrasos
- Se debe tener en cuenta que hay una hora real (hora correcta)
Silreloj está adelantado, emontces la nora que marca sera la hora real másel adelanto,
esto es:
 
 
HORA MARCAD,
 
PA REAL + MF! ANTO
Sil reloj está atrasado, entonces la hora que marca sera la hora real menos el atraso,
esto es:
 HORA MARCADA = HORA REAL — ATRASO 
+ Para que un reloj marque nuevamente la hora exacta deberá adelantarse o atrasarse
K2horas o sea 720 minutos.
Ejemplo3
Dosrelojes se sincronizan a las 5 horas, uno de ellos se adelanta 30 segundos cada20 minutos y el otro se atrasa 45 segundos cada hora. ¿Cuántos minutos estaránseparadosa las 17 horas los minuteros de los relojes?
A) 28 8)9 C) 30 D)18 E)27
Resolución
1) Sean A y B los relojes que se sincronizan a las 5 horas, y
5 horas ————> 17 horas
12 horas
 ——-— APTITUD MATEMÁTICA
2 Col «especlo al relojes
Adelanta Cada
1 1M=308 20m=-h
2 x 12h
Porlo tanto x= 18m
3) Co” reemacio treloy Bi
Alrasa Cada
3
7 M=45s th
ss y 12h
Por lo tanto, y =9m
4% Tiempo de separación = t.,...,, =X + y =27 m
Conclusión:
cabLt e 29
aa
am bm
enHhs
—
enHhs
A—
dezmación -(8h) m
Ejemplo 4
Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3 horas. ¿Cuánto se habrá adelantado al cabo de
15 horas?
A)25h B)24h C)23h D) 20h E)18h
Resolución
Adelanta Cada
5m 3h
x 15h
 
Clave: A
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
_——_—_——Y
Ejemplo 5
Siendo las 6 horas empieza ha adelantarse un reloj 5 minutos cada hora. ¿Qué horamarcará cuando en realidad sean las 20 horas del mismo dia?
A)21h158m B)21h10m C)21h30m D)20h E)21h45m
Resolución
x
1) Dese 6 horas ————>» 8:00 p.m. = 20 horas
 
transcurren 14 h
2) Adelanta Cada
Sm th
x 14h
 
x= 5(14)m=70m=1h10m
3) Hora marcada
=
Hora real + adelanto
:00 p.m. + 1h 10m
1 horas 10m 
 
e
ba 9.3.3. Sobre Ecuaciones Horarias
Para la solución de esta clase de problemas nos ayudaremos de un gráfico representadopor una recta, tomando como base un día que tiene 24 horas y de acuerdo a los datosdividiremos la recta en partes.
Ejemplo6
Si la mitad del tiempo que ha transcurrido desde las 7 a.m. es una tercera parte deltiempo quefalta para las 5 p.m. ¿Qué hora es?
A) 1 pm. B) 11am. C)9am. D) 102m. E) 12m.
Resolución
Falta transcurrir
3) Son las 7:00 a.m. +4 h= 11:00 a.m,
Clave: B|
APTITUD MATEMÁTICA
9.3.4, Problemas Resueltos
Problema 1
Silas agujas deun reloj se encuentran separadas por 540 segundos, ¿Qué ángulo estará
formando dichas agujas?
A)45* B)75* C) 58* D) 60" E) 54*
Resolución
Transformando 540 segundos a minutos:
1mss0s=50s 12 omo
sl1m9m 
ESA
Clave: E
Problema 2
El reloj de "Plutin" se adelantó 8 minutos cada 5horas,¿A qué hora empezó a adelantarse —
sia las 10 h 15 m dela noche marca las 10 h 39 m?
 
A)J22h15m B)7h45m C)7h25m D)7hió6m E)7h35m
Resolución
Marca
1) 10h 18m> 10h 39 m (noche)
+, Hayunadiferencia de 39 - 15 = 24 m
2) Adelanto Cada(tiempo)
8m ——— 5h
24m ——— x
5h
 
3) Empezóa adelantarse hace 15 h.
+. H marcada = H. real + adelanto
+ /
noche 15h
10h 15m
22h15m
-- H Real=7h 15m
Clave: D
 
Centro Preuniversitario UNMS»——
Problema 3
Pepole dica a Masa: Sifueran 4 horas mástarde, faltaria para acabareldía, 7/11 de lo
que faltaría si fuese 4 horas más temprano. ¿Cuántashoras faltan para el mediodia?
A)9h B)5h C)7h D)8h EJ6h
Resolución
1) Hora: x >
24 - (x + 4)=20-x x-4 Faltaria
x A, AAÁ
HA2-3 OOOO
x+4 Faltaria x+4 x 24-(x-4)=28-x
2) Por dato: 20 - x = hos -y
 
 
-x=6h ;
3) Faltan para el mediodía: 12-6=6h.
Clave: E
Problema 4
¿A qué hora entrelas 2 y las 3 las agujas de un reloj se superponen?
A) 15h 15m 8101Em C) 14h 10 m
21 101ántom tanto Emel E E 1 ¡
Resolución ¿
1) La hora referencial es H=2 > :
H m
2) Usando cualquiera de las formulas ! y Il (pag. 237)
41341
3) a” = 0*, entonces m=390H, esto es, = 30 (2) = 60 
¿m2 00 m
“4 “n
10
-. Se superponena las 14 h 10 Ñ m
APTITUDMATEMÁTICA
Clave: E
9.4. LOS PUNTOS CARDINALES
9.4,1. Orientación
La orientación es la Ubicación de los cuatro puntos cardinales emplplano cartesiano
(horizonte) del lugar donde nos encontremos
Los puntos cardinalesprincipales son:
NORTE, SUR, ESTEy OESTE.
O: E E
Punto de Paria
s
Lospuntoscolaterales son:
NORESTE(NE), NOROESTE(NO), SURESTE(SE) y
SUROESTE(SO).
 
Sus representaciones en el plano cartesiano,ver gráfi-
co:
Notación y Ubicación del Ángulo.
y y yASTRATA
 
5 $
E Slaje SujO MAJO
Observación
Para los puntos colaterales el ángulo es 45%, es decir:
NE = N (45%) E, SE =S (45%) E, NO=N (45%) O, SO=S (45% O
9.4.2. Casos que se Presentan en los Problemas
|) Cuando se dirige en formavertical y/o horizontal
Ejemplo 1
José camina 3 kmal oeste, luego 6 km al nortey finalmente, 5 km al oeste. ¿A cuántos
kilómetros del puntode partida se encuentra José?
AJ14 B)8 Cc) 10 D)7 EJ9
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución
+ Piden: QP
+ Para hallar OP completamos un
triángulo rectángulo y lo resolvemos
por Pitagóras. 
Clave: €
11) Cuando sedirige formandoángulo, en este caso usaremostriángulosrectángulos notables
Triángulos Rectángulos Notables
 
. 4
8
45 J
sa E . 2K le
|
Ad K c A KA e
c q :
5K ax
Pd)
AL [A B 4K +
k k
3k 2K E
KT Y '
 APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2
Coquito camina con unabrújula en la mano, consecutivamente, comosigue: 20/2m al
noreste, 15 m al este, 15/2 m al suroeste, 20 m al oeste y 5/2 mal sureste, ¿A qué
distancia del punto de partida se encuentra Coquito?
AJ0/2m B)i0m C)5/2m D)5m E)J0m
Resolución
 +1: Punto de partida
+ F: Punto final
+ Haciendo el gráfico respectivo
»1F=5m
 
Clave: D
9.4.3. Problemas Resueltos
Problema 4
Carmen tiene que vender algunos productos motivo por el cual debe realizar el siguiente
recorrido: 3 km al este, 2 km al norte, 5 km aleste, 3 km al norte, 3 km al este, 3 km alsur, 2
km al este y,finalmente 2 km al sur, ¿a cuántos kilometros del punto de paridase encuentra?
 
 
 
 
A)10 B)13 C)12 D) 10/2 E) 15
Resolución
pH
++) by * Distancia del punto partida al
N porro punto de llegada es:
y 3km+5km+3km+2km=13km
o 44h
Pañido] E 5km "3km'Z2km Llegada
Ss
Clave: B|
Problema 2
Pepito hace unrecorrido dela siguiente manera:4 m al norte, 8 m al oeste, 5 m al norte
y, finalmente 20 al este. ¿A quédistancia del punto de partida se encuentra?
A) 15m 8)21m C) 18 m D) 20m E) 13m
Centro Preuniversitario UNMS» —_——_—__——
 
 
Resolución
D 8m == 12m ——
Y ELlegada
5m sm + Formamosuntriángulo rectángulo
1 AATE(T Pitagoras).
C 8m + AE*= 12 m*+9m*
=AE= (25m
TAJS Porids: > AE=15m
Clave: A
Problema 3
¿A quédistancia del punto de partida se encuentra una persona que recorrió 5/2 kmal
suroeste, 10 kmal norte, 15 km hacia el norte 53” este?
A)74/5 km B)5V5km C)5(5+ /2Z)km D)10/Zkm E) 25km 
 
Resolución
Haciendo elgráfico respectivo tenemos:
El AOMA (T. Pitagoras).
di =(9km+5 km)? + (7 km)
E =d= /196+49 km
>d= /245 km
=d=7/5km
Clave: A
Problema 4
Carlos decide recorrer su lerreno y camina 8 km al oeste, 10 km norte 53" este, 20km al
este, 10 km sur 53” oeste y finalmente 2 km al oeste, ¿a qué distancia del punto de
partida se encuentra?
A)12 B)10 c)8 D)5 E)7
9.5.
 
———APTITUDMATEMÁTICA
Resolución
* 1; Punto de partida
+ F: Puntofinal
+ Distancia IF
*+1F=12km-2km=10km
Clave: B|
PROBLEMAS PROPUESTOS
Problema 1. La suma de los puntosde las partes superiores de estas cinco fichas de
domino no es 1gual a la sumade los puntos de las partes inferiores, Para que dichas
sumassean iguales, ¿cuántasfichas se deben invertir?
 
 
 
A)2
sn «Jl. aldo
EJ3
Problema 2. Despuésdelanzar 5 dados en una mesa, Edgard observa quetos puntos
en las caras superiores de los dados son cantidades consecutivas. ¿Cuál es la máxima
suma de los puntos que puede ver Edgard?
A) 80 B) 83 Cc) 85 D) 88 E) 90
Problema3. En la figura hay 9 palitos de fósforo del mismo tamaño. Si 3 de ellos son
cambiadosde posición, ¿cuáles la mayorcantidaddetriángulos que se puedeformar?
AJ9
B)10 IN
o)
D)12
E) 12
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema4. Se tieneun arreglo de $ monedas comose muestra en la fgura y se volteasucesivamente cada una delas monedasenelsentido queindica la flecha. Después devoltear 20 monedas,¿cuántas quedan con la cara visible y cuántas con el sello visible,
 
 
respectivamente?
Inicio
AJS-1 - PS
B)1-5
0)4-2
:
D)3-3
E)2-4
y
Problema 5. La siguiente torre ha sido formada con 575 palitos de fósforo, ¿Cuántospalitos harán falta si queremos quela torre tenga 31 pisos?
A dyB) 432 ñ pad
C) 448 A
D) 472
E) 496 Y
Problema6. Sime rebajaran el sueldo en un 20% ganaria S/.1040 mensuales. ¿Cuánto ;gano ahora?
 
 
 
 
A) S/, 1000 B)S/. 1100 CC)S/. 1200 D) S/. 1300 E) S/. 1400 v
Problema7, Un caballoy su silla han costado $ 210. Sabiendo queei precio de la silla esel 60% del precio del caballo. Hallar el Porcentaje que representa el costo del caballo,
respecto delcostototal.
A) 65,2 B) 62,5 C) 64,2 D) 63,2 E) 66,5 A
Problema 8. De un cilindro completamente lleno de aguase extraeel 25% de lo que nose extrae. Sise agrega el 40% de lo que falta llenar, ¿qué tanto porciento de la capacidaddelcilindro falta llenar?
A) 20% B) 12% C) 25% D) 5% E) 15%
Problema9. Anibal compró dosartefactos de igual precio, al venderlos, en uno ganael
15% y en el otro pierde el 10%.Si en total ganó $ 350,¿cuál fue el precio de compra de
cada artefacto?
A) $6500 B)$7200 CC) $ 7000 D) $ 6800 E) $7500
_x-——>—— APTITUD MATEMÁTICA
Problema10. Sila base de un rectángulo aumenta en 10% y el área no varia es porque
la altura disminuyeen:
1 1
AJ9% B) 10% C) 11% D)97,% EA
Problema 11. Faltan algunos minutos para las 18 horas y el ángulo exterior entre las
agujases 2 veces mayor que el ángulo entre ellas. ¿Qué hora es?
ñ 10A) 5h45m B)5h 50m | C)5h 40, m
E)6h 10m
 
D) 5h Pr
, “1
Problema 12. ¿Cuántos minutos después de las 3 horas se forma un ángulo de 53%,
luego que el minutero sobrepasóel horario?
A) 24m 8) 26m C)25m D) 28m E) 23m
Problema 13, Setiene
2
relojes, el primero se adelanta 8 minutos cada 6 horasy el
segundo seretrasa 4 minutos cada 12 horas. Si al ponerlos a funcionar ambos marcan la
mismahora. ¿Dentro de cuántos dias volverán a coincidir?
Ay12 B)20 0) 18 D) 19 E)24
q
e
e
ES H
e
Problema 14. Esenia ingresó al teatro a las 16 horas y cuándo salió observó quela
manecilla del horario de su reloja girado exactamente 100”. ¿A quéhorasalió del teatro?
A) 18h 10m 8) 20h 20m C) 19h 40m
D) 19h 20m E)21h20m
Problema15. Unreloj se atrasa 2 minutos cada 6 horas. Si marca la hora exacta el 3 de
enero del año 2002. ¿Cuándo volverá a marcar la hora correcta?
A) 5abril 8) 4 abril C) 2 abril D) 1 abril E) 3 abril
Problema16. Felipe camina 3 km aleste,luego 6 km alsury,finalmente,5 km al este.
¿A cuántoskilómetros del punto de partida se encuentra Felipe?
A) 15 B) 14 C) 22 D) 18 E) 10
Problema17. Carol camina sucesivamente: 2 km aloeste,luego 8 kmaal norte, después
5 km al este, 4 km al sur, 3 km al oeste y 3 km al sur. ¿A cuántoskilómetros del punto de
partida se encuentra Carol?
A) O km B)2km C)4km D) 1 km E) 3km
Centro Preuniversitario. UNMS» ————————_——____
Problema 18. Luis camina con una brújula en la mano, 4 km en la dirección noreste,luego 3 km aleste, después 2 km al suroeste, 1 km aleste, 2 km al suroeste y, finalmente5 km al oeste ¿A qué distancia se encuentra Luis respecto al punto de partida?
A) 1 km B)2km C) 5 km D) 10 km E) 17 km
Problema19. Maria hace un recorrido de la siguiente manera: 20 m al norte 53" este,
1242 mal sureste, 12 m al sury fnalmente, 8 maleste. ¿A qué distancia del punto departida se encuentra?
A)12/10m B)1247m C)t2V13m D)6/10m E)5/10m
Problema 20, M, N, P y Q son cuatro ciudades, M está a 20 km al este de N,Qa10 3km
al norte de M y P a 20 km alsur30 este de Q ¿A qué distancia de N está P?
A) 40 km B) 60 km C) 30 km D) 20 km E) 40 km
CLAVES
1.D 5.C 9.0 13.0 17.D
2E 6.D 10.D 14,D 18.A
3.B 7.B “A 15. E 19. A
4.D 8.B 12.B 16.E 20.0
CAPÍTULO X
Certezas. Sucesiones. Progresiones Aritméticas. Circunferencia.
 
)
Sontipos de problemas dondese tiene que dar una respuesta con certeza,y para ello se
tendrá que analizar el problema en el peor de los casos, pues el caso másdesfavorable
nos dala seguridad de hallarlo pedido. Veamos algunos ejemplos:
10.1. CERTEZAS.
Ejemplo 1.
Setiene una caja con 5 bolitas blancas,3 azules y 4 verdes. ¿Cuántas bolitas como
mínimo se tendrán que extraer al azar para tenerla certeza de haber extraido una bolita
blanca?
A)7 B)5 0)8 D)1 EJ4
Resolución.
Paso1:
Identificar las bolitas que se tiene: 5 blancas, 3 azules y 4 verdes
Paso2:
Analizar las posibles bolitas extraidas:
Si al sacar la primera bolita ésta es blanca, ya se obtendría la blanca, sólo con la
primera extracción; luego la respuesta sería 1 extracción, pero eso no siempre ocurrirá
pues eso seria una casualidad y buena suerte (mejorde los casos).
 
Paso3:
Comose desea tener certeza, lo adecuado es suponerel peor de los casos; es decir
extraer las que son blancas: 4 verdes y 3 azules, luego la siguiente bolita a extraer será
indudablemente blanca.
Entonces para tener una bolita blanca con certeza se tuvieron que extraer
4+3+1=8 bolítas
Clave:C
%
des
 
Centro Preuniversitario UNMS» —MM
Ejemplo 2.
Se tiene una urna con bolas debillar, en donde hay 14 rojas, 15 negras, 5 azules y 11
verdes. ¿Cuántas bolas como minimo se tendrá que extraer al azarpara tener con certe- |
za una de color azul?
AJ41 B)14 0) 40 D) 45 E) 44
Resolución.
Paso1: Identificar todas las bolas de billar
 
 
 
 
 
14R —15N 5A
h— Urna
11v y
Paso 2: Suponerel peorde los casos
MR —15N- 5A
|
Extraídas: 3d
11V 15N +14R + 11V +4941 ;
necesariamente i
será azul $
lt Total de bolas extraídas = 41
 
Clave: A
Ejemplo 3.
Si Gastón sólo tiene las llaves de 6 habitaciones de un hotel. ¿Cuántas veces como
mínimo tendrá queprobar estas para determinar con certezaquellave correspondea su
 
 
respectiva puerta?
AJ6 8)5 0) 15 D) 19 E) tá A
Resolución.
Totalde llaves = 6
Puerta %k Pruebas: (En el peor de los casos) Quedan:
tra llaves no abren
—
abre la Gta llave 5 llaves, 2da llaves no abren
—
abre la Sta llave 4 llaves
3ra llaves no abren
—
abre lata llave 3 llaves ,dta llaves no abren
—
abre la 3ra llave 2 llaves
Sta llave no abre abrela2da llave > lave
Sta ya no prueba pues es la única llave que queda
H pruebas =5+4+3+2+1=15
Clave: C ;
 APTITUD MATEMÁTICA
10.1.2, Problemas Resueltos.
Problema 1,
En un cajón se colocan guantes de box; 3 pares de guantes rojos, 4 pares de
guantes negros y 2 pares de guantes blancos. ¿Cuál es el menor número de guantes
que deban extraerse al azar para obtener con certeza un par de guantes usables del
mismo color?
A)18 B)10 C)4 D) 1 EJ8
Resolución:
 
3 pares rojos
4 pares negros
2 pares blancos
Paso 1: Cajón ——»|
 
Paso 2: Suponerel peor de los casos
 
3 (derechos) rojos + 4 (derechos)negros +
3 pares rojos 2 (derechos) blancos + 1
4 pares negros
2 pares blancos
|
ElÚltimo guante será el que complete el par
usable del mismo color, pues será un
guanteizquierdo. 
 
K Total de guantesextraidos = 10
Clave: B
Problema2.
En una urna se tiene 10 bolas blancas, 12 azules, 5 negrasy 7 amarillas. ¿Cuántas bolas
como minimose tendrá que extraer al azar para obtener con seguridad 2 bolas blancasy
una bola azul?
 
A)23 B)18 C) 20 D) 26 E) 24
Resolución.
Paso 1: 108 12AZ 5N [|— Uma
TA 
Paso 2: Suponer el peor delos casos:
ao 
 
108 12AZ 5N| 12AZ+7A+5N+ 28 = 26 bolas
+ pue)
TA Se encuentra Necesariamente
la bola azul seo 
“deseada blancas
Centro Preuniversitario UNMSM 
 
 
ó 10B+7A+5N + 1A = 23 bolas A— 1Se encuentra Necesariamente
las 2bolas blancas es azul
perdidas
+. En elpeorde los casos serán 26 bolas.
Clave: D
Problema 3.
Si San Pedro sólo tiene tres llaves y cuatro puertassin rotular correspondientes alcielo,
el purgatorio,elinfierno y latierra. ¿Cuantas veces como minimo se tendrán que probar *estas llaves para determinar con certeza que llave corresponde a su respectiva puerta?
A)9 B)6 c)7 D)8 E)J5 y
Resolución.
El peor de los casos:
 
 
Puerta|
eCIELO
|
PURGATORIO
|
INFIERNO
|
TIERRA
Llave
Prueba y
|
Pruebay
|
Pruebay
|
Tiene que ÚMa lnoabre
|
noabre |noatre. |Probarpara ;ver
 
 
Prueba y Pruebay |Tiene que
2da. Inoabre
|
noabre |probarpara
ver
 
Prueba y|Tiene que
ara. |nostre | probarpara
ver 
$ Pe pruebas =4+3+2=9
Clave: A
Problema 4.
Se tiene en unacaja guantes de box, 5 pares rojos, 6 pares negros y 3 pares blancos.
¿Cuál es el menor número de guantes que deben extraer al azar para obtener con ;
Certeza dos guantes de colorrojo? 4
Ay12 B)14 C)16 D) 18 E)20
Resolución.
 
5 paresrojos
Paso 1: Caja — |6 pares negros
3 pares blancos 
Paso 2: Suponerel peorde los casos: 4
APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
5 paresrojos Ne2
6 pares negros Es
3 pares blancos Los dos últimos
guantes deben
serrojos
K total de extraidos = 20
Clave: E
10.2. SUCESIONES.
Una sucesión es un conjunto ordenadode elementos(números,letras o gráficos) cuyós
términosobedecen a una "ley de formación”.A los elementos de este conjunto se llaman
“términosde la sucesión”
Las sucesiones pueden ser:
 
 SUCESIONES NUMÉRICAS
SUCESIONES ALFABÉTICAS
SUCESIONES ALFANUMÉRICAS
SUCESIONES GRÁFICAS
 
 
 
TIPOS DE
SUCESIONES
 
 
 
 
10.2.1.Sucesiones Numéricas.
a)
Son sucesiones formadas exclusivamente por números cuyos elementos guardan entre
si una determinadarelación llamada"ley de formación”.
Se puede clasificar en:
Sucesión Aritmética o polinomial.
Es aquella sucesión ordenada de cantidades enla que ladiferencia de dos términos
consecutivos es una razón constante o variable.
Ejemplo 1.
¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?
9; 13; 17;....
A)17 8)21 C)20 D) 16 E) 25
 
Centro Preuniversitario UNMSS
 
—
—=>————
 
Resolución.
M5 O 13 ATi
YOANA NANA 17442+44 44 44 44 |
Clave: B*Ejemplo 2.
¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?
4; 9; 15; 22; 30;
A) 36 B) 49 0) 43 D) 54 E)39
Resolución.
4 9 15 22 30; x y
YNANANANA O 7 30+9=39+5 +86 +7 +8 +9
Clave; EEjemplo 3.
Hallar*x" en:
«20; 58, 1000; 4718; x
Ay25u B) 26% C) 26 D) 259 E)06% i
Resolución.
Formando dos sucesiones:
XA NA NA ON > a=16+8=24
+ +6
A > b=17+9=26 e
2 Xx=b'=26u
Clave: €
Nota:
1. Sila razón es constante en la sucesión aritmética se llama PROGRESIÓN ARITMÉTICA.
2. Toda sucesión aritmética o polinomial tiene porley de formación unpolinomio de grado
“n" pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbica, etc. ,
A.1. Sucesión lineal (o de primer orden)
Notación: E to
UNA NA
.o ++
-———:———- APTITUD MATEMÁTICA
donde
+2
(+ Sr
 
ar + (m1)r
De dondese obtiene la fórmula recurrente: 
 
 
donde
l, = primertérmino
término n-esimo, general o último término
¡úmero de términos
r razón constante
Nota:
1. Sucesión aritmética creciente: Cuando la razón es positiva
2. Sucesión aritmética decreciente: Cuando la razón es negativa
Ejemplo 4.
1) Dada la sucesión lineal, hallar el término n-ésimo.
6; 11; 16; 21; ds
A)5n+3 B)5n+1 C)6n+1 D)5n=1 E) 6n-1 Ñ
Resolución.
BAN E OA
razón NA NA NA
constante — +5 +5 +5
(r> 0)
Utilizando la fórmula recurrente:
+(n-1)5=6+5n-5
 
 
 
5n+1
 
 
 
Clave: B
Ejemplo5.
Dadala sucesión lineal, halle el término n-ésimo.
27,23;19;15; ..
A) 23 +4n B) 31 -2n C) 31 +4n D) 23-4n E) 31-4n
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución.
27: 23:19:15;
razón V YN
constante — -4 -4 -4
(<0)
Jtilizando la fórmula recurrente:
1,=27+(n-1)(-4)=27-4n+4
 
 
 
Clave: E
A.2. Sucesión Cuadrática (o de segundoorden)
Entoda sucesión cuadrática el término n-ésimoesdela forma:
 
n+bn+c
 
 
 
 
donde: a, b y c son valores constantes y n EIN.
Regla práctica:
 
pS Sea la sucesión:
sE
tos ito bailas beis.
VOI
mn o pq
NMANININA
or yor —> 2do.nivel
(razón constante)
— 1er. nivel
de donde se cumple que:
 
2a=r >|4
 n
i
>
 
 
m-a a+b=m>|b 
 
 
 
e=t, 1, término anterioral primero
 
Ejemplo6.
Halle el términogeneral(t,) de la sucesión:
4;9;18;31;48; ...
A) 2n*+3n-2 B)n"-2n+1 C)4n+6n-1 D)2n-n+3 Ejn-=n
Resolución.
3;4;9:;18; 31:48; ...; tp
13 17 — 1er nivel
—> 2do.nivel
Delsegundo nivel: 2a=4 > a=2
Del primer nivel:
De la sucesión:
 
porfórmula general. 1,=an*+bn+c
 
> 1 =2M-n+3
Ejemplo”.
Hallar el número de términos.
 
APTITUD MATEMÁTICA
 
E) 25
1er. nivel
6;15;28;45 1891
A)26 8) 30 C)36 D) 24
Resolución.
es 105100803 48 0
OO
a+b= 5 9.113 1 —
YI
2a= 4 4 4 4 — 2donivel
 
 
Es una sucesión cuadrática:| t, =an*+bn+0
 
 
luego se tiene: 2a=4 => a=2
a+b=5 >» b=5-2=3
c=1
> (=2mM+3n+t — Último término
Clave: D
 
Centro Preuniversitario UNS»
—
_—-—__
Igualando: 20+3n+1=1891
2n+3n=1890
n(2n+3) =30(63) = 30 (2 (30) + 3)
 
 
Clave: B
b). Sucesión Geométrica.
Es una sucesión ordenada de cantidades en la cualel primertérmino
y
la razón sondiferentes de cero; y el cociente de dos términos consecutivos es una razón variable
constante,
Ejemplo 8.
1) Halle el número que sigue en la sucesión
 
48,16; 32; ..
A)54 B) 96 0) 72 D) 64 E) 128
Resolución.
4 8, 16, 32;x
XA NA NA ON > Xx=32x2=64
2x2 2 0%
Clave: DEjemplo 9.
Hallar *x* en:
:5;20;60;x
A) 120 B) 110 C) 180 D) 150 E) 140
Resolución.
5 20; 60, x
ANA NA > x=60x2=120
5 x4 x3 x2
Clave: A
Ejemplo10.
Hallar "x+ y" en:
111741892 ;x;y
A)75 B) 96 C) 98 D) 80 E) 86
e
 
AAA APTITUD MATEMÁTICA
129 x=49
> x+y=4+4=16+64=80
183, y=4
Clave: D
Nota:
1. Sila razón es constante en la sucesión geométrica se denomina Progresión geométrica
Sucesión Armónica
Es aquella sucesión cuyos recíprocos(inversos) de sus términosforman una progresión
aritmética.
Ejemplo 11,
e 4d Bleatasucesión 1 Lodi do
hallar la fórmula generaldeltérmino n-ésimo.
 
 
 
 
 
 
1 1 n i-n qe
An-1 2n+1 Mani Dan+1 Epa
Resolución,
dy Ly E Y
3:5'7'9
3,5,7,9,....2n+1
1
Shan +1
Clave: B
Ejemplo 12.
Seala sucesión
 
halle el término n-ésimo.
 
 
 
A
 
CentroPreuniversitario UNMSM 
 
 
 
Resolución.
2
“
En los denominadores Bad ds bu
NANA
444
th =3+(n-1)4=3+4n-4=4n-1
2
St
Clave: Ed) Sucesión de Fibonacci.
Es aquella en la cual cada término a parur deltercero es la suma de los dosanteriores.
1:1,2;/3,5,8; 1.
yb yJsd,y
1 46h 44b tb
+L
+b
44
e 
De dondese obtiene la fórmula de recurrencia:
 
tstaztts
|
naa
 
e) Sucesiones combinadas.
Es una combinación de sucesiones aritméticas y geométricas.
Ejemplo 13.
Hallar el número que continúa en la siguiente sucesión
0;12;24:27;x
A)34 B) 64 0) 54 D) 30 E) 44
Resolución.
¡510,122 ;27;x
AVNANANANA NA
$1.02 +2 x2 +3 x2
 
3x=27x2=54
Clave: C
APTITUDMATEMÁTICA:
Ejemplo 14.
Halle el número quecontinúa en la siguiente sucesión
19;38;36;72;70;140,x
A) 256 B) 138 C) 280 D) 164 E) 148
Resolución.
19;38;36,72;70; 140; x
XIANANA NA ON
2 2x2 2 2
Seobserva queexiste dos ciclos completosy el tercer ciclo incompleto; para comple-
tarle falta el *-2"
=x=140-2= 138
Clave: B
Ejemplo 15.
¿Cuál es el producto de los dos términos siguientes en la sucesión?
 
1,8;5;4,9,0;1.
 
4
 
A) 121 B) -136 0)-141 D)-171 E) -138
Resolución.
1,8,5,4,9,0,13,-4,x, y
Se observa que haydos sucesiones alternadas
La primera 1,5,9,13,x >x=13+4=17
NXINANANA
44 4 4
La segunda 8,4,0,4 y >y=44=-8
XANANANA
OS
luegoel producto de los términos que siguen es:
xy = 17 (8) =-136
Clave: B|
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
—AAA
Ejemplo 16.
Hallar el término que continúa.
ES
A) xtya B) ya 0) xryo D) xtyu E) xy
Resolución.
Completandola sucesiónse tiene:
YYYAYA
Los exponentes de x crecen deunoen uno, entonces el último será x'
Los exponenetes de y crecen el doble del anteiror, entoncesel últimoserá y.
> el término quesigue es : x'y!
Clave: D
 
2. Sucesiones alfabéticas o litorales.
Son conjuntos cuyos términos sonletras que guardan una determinada ley de formación,
basada generalmente en el número de orden que corresponde a cadaletra en la suce-
sión fundamentaldelalfabeto.
Asítenemosla tabla donde el abecedario hasido enumerado.
0
 
POQORSTUVWXYZ
OT
10 1112131415 1617 1819202122 2324 252627>
—
>
»
—
o
a
«
—
x
I
o
—
 
a) Sucesiones alfabéticas simples.
Ejemplo 17.
¿Que letra sigue en la sucesión ADOdie?
AJÑ B)L C)N D)K EJM
 — APTITUD MATEMÁTICA
Resolución:
Ara. Forma
1) Reemplazandoa cada letra con el número de orden que le hamos asignado, así.
A, D, 6. Y.
pd
1,4 7 10
1) Luego tenemosla sucesión numérica
A
GIO,JS,GORE
3 30
Entonces el número quesigue es: 10+3=13
= La letra que le corresponde es: M (ver tabla)
Clave: E
 
2da. Forma des
 
A,D,G6,J
A
BC EF HI
Laley de formación de la sucesión es que cada letra ha saltadodosletras.
= Laletra que sigue será saltando 'KL'; es decir M
b) Sucesionesalfabéticas compuestas.
Ejemplo 18.
¿Cuál es el término quesigue a la sucesión?
OQ; MS JU;
A) WN 8) GT C)Gw D)KY E) Fw
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución.
Seobserva quehay dos sucesiones
La tra. sucesión:
0:Midi.
M— 16 13 10 '
E
M— 3 3
En (1) elnnúmero que sigue es: 3
En (1)el número quesigue es: 10-3=7
> la letra quele corresponde es: G (vertabla)
La 2da. sucesión:
 
M—>18 20 22 :
Mo 4 $4 |
En (1) elnúmero que sigue es: 2
En (1) el número quesigue es: 22 +2 = 24
> la letra quele corresponde es:
—
W (vertabla)
Luegoel término que sigue es: GW
Clave: €:
c) Sucesiones alfabéticas alternadas.
Ejemplo 19.
¿Quéletra continúa en la sucesión?
A)Y B)Ww C)s D)T EJX
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución:
Se observa que hay 2 sucesiones
MNÑ PQR TUVPRA
BL; E¡O¡H;S;K;
SUGAR
co FG y
Luegola letra quesigue es: W
Clave: B|
Ejemplo 20.
Determine los dos términos que continúan jen la sucesión:
BAR ETE O ss
A)N,K B)O,P C)F,E D)E,F E) M,Ñ
Resolución.
Se observa quehay2 sucesiones:
CDE GHI KLM
Ao
63 POT o)
<= >
-XWVU -SRQP -ÑNML
Se tiene
Para el 1% cuadradole corresponde: N
Para el 2? cuadradole corresponde: K
Clave: A
Sucesiones alfanuméricas
Es una sucesión formada poruna sucesión numérica y otra alfabética, cuyas relaciones
de formación se pueden dar de diferentes formas.
Ejemplo 21.
Halle los dostérminos que siguen en la siguiente sucesión:
Ai1;0;2;F,3,J,4,7
 
A)N,S B)P,5 C)Ñ, 6 D)Ñ,5 EJP, 6
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución.
B_ DE GHI KLMN
ÚNXININ ÓN
A:1:C0;2:F:3:3
 
Ena sucesión alfabética los términos se saltan y van aumentandode 1 en 1. Entonces la
letra que sgue es: Ñ.
Enla sucesión numérica van aumentando de uno en uno. Entonces el número que sigue es: 5.Luegolos dostérminos quesiguen son: Ñ, 5.
 
Clave: DEjemplo 22,
¿Quénúmero sigue?
D:3:6:5;J;15,M,170:51,R:;?
A)J65 B)52 C)62 D) 53 E)70
;
Resolución. ¡
EF OHIO Ki ONÑ PQ
ÉSELESS ES,
SS:J AS: MITO. 51R;? E
xoSLDS A
+2 x3 +2 x3 +2 1
En la sucesión alfabética los términos se saltean de dos en dos. AEnla sucesión numérica el término que sigue es: 51 +2= 53
Clave: D
4.
—
Sucesiones gráficas.
Sonaquellos cuyos términos son gráficos
Ejemplo 23.
Enla siguiente secuencia, ¿qué figura continúa?
DDD
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución.
Se observaquela parte sombreada gira de 2 en 2 posiciones en sentido horario.
Elcuadradito gira de 2 en 2 posiciones en sentido antihorario.
- El**" gira de 3 en 3 posiciones en sentido horario; luego continúa
SA
>
Clave: €
10.3. PROGRESIONES ARITMÉTICAS.
Unaprogresión aritmética es una sucesión de números en la cual cada términoes igual
al anterior sumado con una constante no nula llamada razón o diferencia (a)
A
41,82.,83.0%4,...41,9
SANO CANA A
1d +d +do dl +d
 
10.3.1 Propiedades básicas.
1 Silarazón d es positiva, la progresión arimética (PA) es creciente; Si des negatva,la. 289
PA. es decreciente.
2. La sumadelostérminos equidistantes de los extremosesigual a la sumade los térmi-
nosextremos
Siel numero de términos es impar,el término central equidista de los extremosy es igual
a la semisumadelos extremos, En consecuencia,si tenemos un número imparde térmi
nos consecutivos de una P.A., el término central de ellos es su promedio
4 Términon-ésimo a,
 
 
1) a |. donde a, es el primer término y
n es el número de lérminos.
apar
 5. Número de términos:
 
 6. Razóno diferencia: |d=apn-ap.y ó 
 
 
7. Sumade"n"términos: Sh =ay+87+a3+...
 
 
 
 
Centro Preuniversitario UNMS» —_>——————___A
Ejemplo.
¿Cuántos números de tres cfras son tales que sus cifras suman 15 y forman una PA?
A)13 B)12 c) 10 D)9 EJ8
Resolución.
Sean los números de la forma N= abc
Como a, b y cestánenPA, y a+b+c=15 entonces b=5 (propiedad 3)
Luego,silaP.A. a,b,c es creciente:
 
 
n
o
n
o
u
o
o
o
y sila PA. es decreciente: 951, 852, 753, 654. Total: 8 números.
Clave: E
10.3.2.Problemasresueltos
Problema 1.
Dada la progresión aritmética
o, Be «Dago.
Determine el minimovalor de (a+b+c), si a *b.
AJ6 B)7 C)8 D)9 E) 10
Resolución.
Para que a, b y c tomen sus mínimosvalores, 5a =12 (mínima base de 2 cifras
diferentes). Entonces la P.A.es Cc, 21¿,12, , y porla propiedad 3:
c+12, = 221)
0+14 =40+2
c=4
Y el mínimovalor de (a+b+c) es 2+1+4=7.
Clave: B|
¡—>APTITUD MATEMÁTICA
Problema2.
E! promedio de 15 númerosimpares consecutivosde tres cifras es un número cuya cifra
de unidadeses 7. ¿Cuáles el máximovalor que puede tomarel menor de estos 15
números?
A) 993 B) 977 C) 983 D) 969 E) 963
Resolución.
Sea ” *! menorde estos 15 números impares consecutivos, entonces elúltimo de estos
es a15 =n+14(2)=n+28. (pues los números impares forman una PA. de razón 2).
Luego, deldato
ni) +(0+4)++(0+28)_ ,
15
yin n+Mm+2)+.+(n+28)=12 pe2 =15(n+14).
150 +10,
+14
15
 tenemos: añ
Dedonde n =..3, pero n+28 <999 (son imparesde cifras).
Entonces —n,,,= 963.
Clave: E
Problema3.
Marilza decide ahorrar durante todo el mes de Marzo de la siguiente manera: cada dia
SÍ, 3,00 másqueeldía anterior, ¿En qué día se cumplirá que lo ahorrado en este dia sea
los8/7 de lo ahorrado5 dias antes y ademássea el doble de lo ahorrado el primer dia?
A) 15 de marzo B) 16 de marzo C) 18 de marzo
D) 20 de marzo E) 21 de marzo
Resolución.
Dia:1 2. x
ahorro: a at3 ar3(x- 1)
8
Segúnel enunciado,debe cumplirse 2a = a + 3(x 1) = 5 [a+ 3(x- 5))
ahorro '5 días
antes
=> h=3x-3=4x-24
>x=21
+. 21 de marzo.
Clave: E
 
Centro Preuniversitario UNMS»
 
—
_AMMMH>21%1414%4101010
Problema 4.
Halle la sumatotal de los números
A) 129580 S/|= 91 + 94 +97 +100+... +208
B) 128580 S,=88+91+94+97 +..+205
C) 130580 S,=85+88+91+94 +..+202
D) 127580 S,=82+85+88+91 +..+199
E) 124580 : : : : : :
A+ TA 10413 404 121
1+4+7 +10 +..+118
 
Resolución.
Haciendo en elarreglo:
—
t, = suma de los númerosdela primera columna
1, = sumade los números de la segunda columna
1, = suma de los números de la última columna
Tenemos;
S1=91+94+97+100+ ...+208
 
3
 S2=88+91+94+ 97+...+205 3
S3= 85 + 88 +91 + AE co B0ES,
Si=82+85+88+ 91+...+199
54 +7 +10+ 13+...+121
51 +4 +7+ 10+ ...+ 118”
Ly y
bh. b h
208-118
 
Es claro que cada t, tiene 31 términos, pues 4 de términos = +1=31
31(1+91)+3146
31(4+94)
23149
 APTITUD MATEMÁTICA
31(7+97)
Esa
 
y 1118 + 208)
ps 3 =31x 169
Y de ahi que el número de sumas t, es:
163-46
 
_ 40(31x 46 + 31x 163)
 
 
+h z =20 x 31 x 209 = 129580
Clave: A
10.4. CIRCUNFERENCIA.
10.4.1. Elementos. -
« Centro 0
* Radio : OQ
* Cuerda MN M Q
+ Diámetro AB SN
«Arco ÚN 6 MÓN Pay
+ Flecha o sagita Pa A o B
«E Rectatangente
e : Recta secante
+08B=0A=R
Ls Lt;
+AB=2R
«La Longitud del arco
+ mMN Medida del arco MN
Centro Preuniversitario UNMSN
 —
———___————————=-
10.4.2. Propiedadesbásicas.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
> -AB//CD<>|[mÁC = méD
1
E D -ABICD>| la
=
lo
M
+ MNJEF «> [MN = EF
2 N E
*La=s La e |MN=EF
É
3) * Si Mespuntode tangencia = [OM LT
a L
 
CoN +Siel diámetro AB_es perpendicular a MÍ
2 A B > [MH=HN
np +=Zi mite=móN
 
 
 
 
 
>APTITUD MATEMÁTICA
 
6 -Si A y C son puntosde
Yo tangencia => [PA=PC
A Pe
B
6) *Si las circunferencias son
 
congruentes => 
10.4.3. Teoremas.
1) Teorema de Ponct
 
En todo triángulo rectángulo ABC,la suma de las medidas de los catetos es igual ala
—
“275
medidade la hipotenusa másla medida del diámetro de la circunferencia inscrita. Ml
B
A,
12) Teorema dePithot;
 
 
En todo cuadrilátero circunscrito, la suma de las longitudes de los lados opuestos es
igual a la sumadelas medidasdelos otros dos.
Cc
 
B: D AB+CD=BC+AD 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
3) Teorema de la tangente:
 
 
 
 
 
Ml
p *SiT es punto de tangencia
> |PT?=PAXP8
ÍA
B
4) Teorema delas secantes: ¡
D,
C
P
A. PAxPB=PCxPD
B
Ejemplo 1.
Enla figura, ABCD es un cuadrado, AB= 8 cm y las circunferencias pequeñas son con-
gruentes. Halle la longitud delradio de la circunferencia mayor.
 
 
 
 
 
 
ya ye ya B c
Yom ) 7 em ) y em
ye ye
)7 ) gm
Resolución. A D :
1. Dela figura, se tiene:
8r=8cm=r= tem
B Cc
3. En el Íx O,TO:
8 cm (Rare =n+or
(R+ 10m)? = 02 + (7 cm-R :
CNNAN R?+2R cm +1 cm?
A AINUp +49 cm? - 14cm R+R? i
16R=49cm
49
R=— 25 í
Clave: E
 APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 2.
Enla figura, AC.es diámetro, AC=10m, BC-AB=2m. Halle AB.
 
A)J6m B)8 m
C)4m D) 12m
E)J9m
Resolución.
1. Porelteoremade Poncelet
B a+c=10m+2r=10m+2(2m)
Js a+c=14m...(1)
2. Pero:
A a-c=2m ...(2)
A Cc 3.De (1) y (2):HRK 10m ————=a a=8m
c=6m
Ejemplo 3.
 
Enlafigura, R=3 m y r=1m. Calcule BE. B 0
AJ2m B)3m ' 'a
C)6m D)4m
E)5m
Resolución.
1. Porelteorema de Pitho!, en el cuadrilátero ABED
2x+a=6m+ED
2x =6m+ED-a ...(1)
2. En el Lx ECDporel Teorema de Poncelet:
2+6m= ED+2(1m)
ED-a=4m (2
 
3. Ahora(2) en (1) se tiene:
2 m+4m
2x=10m=>x=5m
 
Clave: E
 
Centro Preuniversitario UNMS»
-
————_———
Ejemplo 4.
 
Enla figura, ABCD es un cuadrado, E es punto medio de AB|yAB=12 /3cm. Hallar AP.
EA) 30m AS===8
8) 8 cm Y A
C) 4 cm
D) 6 cm ' |
E) 5 cm D c
Resolución.
 
1230m
10.4.4. Ángulos con relación a una circunferencia.
1) Ángulo central
A
 
 
 
1. Del gráfico:
AC= 12 4/3cm42=12(8cm
=>A0 = 6/8cm
2. OM=6/3cm > Aplicando el
Teorema de Pitágoras en
el Ex Aom:
AM?
=
(6/6cm) + (6 /3Em)
+108 cm?
 
3. Aplicando el Teoremadela
tangente
AE=AMx AP
(6/3km)?= 18cm x AP
36x3cm
18
cm
 
 
Clave: D
2) Ánguloinscrito
A
[8 
AAPTITUD MATEMÁTICA
3) Ángulo semi
-
inscrito 4) Ángulo ex - inscrito
 
 
 
 
 
a=mÁB+mÚD
2 
6) Ángulo Exterior
 
 
a=mAMB- mÁB
2
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM:
10.4.6. Observaciones.
 
 
 
+ AB es diámetro >
+ El cuadrilátero ABCDesinscriptible
 
 
 
z Hs
«u=m ACB =90*
 
+ El cuadrilátero ABCDesinscriptible
 
(ar = 1807
 
 
 u=0
 
 
 
HAAPTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 4.
En una circunferencia se traza el diámetro AB y se prolonga hasta O tal que OB = BC.PorC se raza la tangente CT y se une T con A. Calcular la medida del ángulo TAO.
A) 40% B) 20% 0) 45" D) 30* E) 15*
Resolución.
T 1.mTAO=
2. se traza TO= m CTO =90*
ala e 3 OTC eSnotable=>
m ÓCT 30" =>2x= 60*RA x=30
 
Clave: D
Ejemplo2.
Enla figura, AB es diámetro, m DBC= 80* y DB<8C. Hallar x.
 
A)72* B)75* B
C)70* D) 80*
E) 60* D (e
A
Resolución.
1. Comodato se tiene mDBC = 80*
2. se traza AC =mBCA = 90*
3. mÉC =2x=>mBAC =x
4. MDBH = mABC|= 90*- x
5. Luego:
90 - x +20” + 90* 
Clave: E
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Ejemplo 3.
SsEnlafigura, TS=18cm. Halle PT.
A) 14 cm B) 15 cm P
C) 12 cm D) 16 cm SI
E) 18 cm e)
Resolución. aa E1. Sea mST=29 => mSPT=8
2. Como el cuadrilátero PSTO está
inscrito en la circunferencia
> MPST=0 => el A PST es
isósceles > PT =TS
 
 
PT=18cm
10.4.7.Problemasresueltos.
Problema 1.
Dela figura, halle x BAR
A)70* 8) 80* AÑ
c) 90" D)100
EJ 60* ó
Resolución.
1. De la figura comoelcuadrilátero ABCDestá
inscrito en la circunferencia > a + $ =180*
2. Los triángulos PCS y MAA son isósceles,
pues CP=CS y AM=AQ =>
mPSC = móPs = sh y mAMQ= mAQm=90"5
% a
mPs=180*-P y múQ=180"-a
3. De la figura: y = MÉS+ mid
 
 
2
180* +180*-(a +B)y=
2
y =90* =x=090*
Clave: C
 
 APTITUD MATEMÁTICA
Problema 2.
Enla figura, AD= Gu, hallar DC.
A)4,5u B)5u :
C)3u D)6u
E)4u EI+6
Resolución. P
Doa
1,mAD =mDC =20
2. m CAD = mÁCD=0
Cc 3. AADCes isósceles > DC = AD 
 
DC 6u
Clave: D
Problema 3.
s ás qe e 203Enlafigura, las circunferencias son congruentes y mUNM= 120*. Halle mAÁBC.
u
A)40* 8) 30* =O
C) 60" D) 20* SS)N
a [7ÁR
e M
Resolución.
1. Comolas circunferencias son
EUv congruentes =mÁBO =mÓDA= x
=CPEN, 2máfe=Í2
N yT mÚNM - mÓDA
—) 2
E 1 x= 120*=x
2x=120*
 
Clave: C
 
Centro Preuniversitario UNMS»
—
—z———_—_——
Problema4,
Enla figura, m ÁQC= 120*
y
lasdoscircunferencias tienen el mismoradio, Halle la media-da del ángulo B. A
Sy
A)20* B) 30* SO
Cc) 15* D) 18* a Da
E) 25* a LA)
7
 
C
Resolución.
1. De la figura se tiene que 9 = 60*A
==M => míáN =60*
sam 200(3 () WI E P. Sean mB=a=
Q 120-60*—) a=
2
NN
e a=30*
Clave: B
10.5. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema 1. En una ánfora se tiene
6
fichas rojas, 2 fichas blancas y 5fichasverdes. ¿Cuántas fichas como mínimo habrá que extraer al azar para obtenerconcerteza dosfichas verdes y unaficha roja?
AJ9 B)11 C) 10 D)3 EJ6
Problema 2, En una caja hay 4 cubos rojos, 3 cubos blancosy 2 cubos negros, todosdelmismo tamaño. ¿Cuál es el menor número de cubos que deben extraerse al azar, paraobtener con certeza un cubo blanco?
A)S B)6 C)8 D)7 EjJ9
Problema 3. En un cierto depósito se tienen guantes de boxeo, 3 pares de guantes rojosy 3 pares de guantes negros. ¿Cuántos guantes como mínimo debenextraerse al azarPara obtener con certeza un par de guantesusables de color negro?
A)7 8)8 0)9 D) 10 En
 APTITUD MATEMÁTICA
Problema4. En una caja, se ha guardado 3 pares de guantes azules, 2 pares de guantes
amarillos y 5 pares de guantes marrones. ¿Cuántos guantes como mínimo tendrán que
extraerse al azar para oblener con certeza un par de guantes usables del mismo color?
A)12 8)11 Cc)6 D)10 EJ9
Problema 5. Armandotiene en un depósito 5 pares de medias rojas, 3 pares de medias
azules y 6 pares de medias blancas. ¿Cuántas medias como minimo deben extraerse al
azar para obtener con certezaun par del mismo color?
AJ10 8)9 0) 12 D)4 E) 15
Problema6. Enla sucesión,halle elvalor de “x"
-20;0,8,16,42;110;x
A) 250 B) 242 C) 243 D) 218 E) 216
Problema7. En la sucesión,halle *x”
Dias; 38:76: 80:1605x
A) 160 8) 165 C) 156 D) 144 E) 170
Problema 8. En la siguiente sucesión, calcule (a + b)
10.156,23, 35, 53,80 a
a
915234 '49'b
A) 189 8) 179 C) 159 D) 160 E) 199
Problema9.Halle el trigésimotérmino de la sucesión:
6;11;18,27,38
 
A) 973 B) 953 C) 847 D) 960 E) 963
Problema10. Halle el número de términosde la sucesión:
7;16;29;46;67;... 1892
A)26 8) 36 C) 30 D) 24 E) 25
 
Centro Preuniversitario. UNMS»—_
 
Problema11. Las ganancias anuales de un comerciante durante los doce últimos años
forman una P.A.Si en el primero de estos años ganó S/.11800y enel penúltimo
S/.66800, ¿a partir del segundo año, cuanto más ganó en cada año que en el año ante-
ror?.
A) S/. 5500 B)S/. 5400 CC)S/. 5200 D)S/. 5100 E) S/, 5000
Problema 12. En elsiguiente arreglo de números, determinarel décimo quinto términode Sy
A) 130 S,:
B) 126 S,
C) 128 S,
D) 127 S,
E) 129 S,
 
2
 
1. a
a
n
e
o
H
A
R
E
a
a
2
2
0
0
2
3
3
Problema 13. Un camión repartidor de leche sale de la envasadora con 1924 botellas deleche y en una primera bodega dejó algunas. En la siguiente bodega dejó una botella hnásqueen la anterior, y así sucesivamente, hasta que las últimas 70 botellas de leche que queda-ban en el camión fueron dejadas en una panadería. ¿En cuántas
-
bodegas dejó leche elca-mión?.
A) 36 B)37 031 D) 38 E) 34
 
Problema 14. La suma de 49 números enteros consecutivos es un número cuya cifra deunidades es 1. ¿Cuál esla cifra de unidades del mayor de ellos?.
AJ9 B)2 C)3 D)4 ES
Problema15.Sila siguiente P.A.tiene 77 términos, halle a+b+c+ n
SmpyPg
A)27 8)20 C)18 D) 19 E)24
Problema 16.
—
Enlafigura, halle x.
AJ30* B)40* F
C)60" D)20"
ese A S B
AAPMITUO MATEMÁTICA
Problema17, En la figura, AB es diámetro. Halle a.
A) 26"
C)37"
E) 28"
B)20* 3al
D) 27"
 
Problema18. En la figura, a + $ = 180". Calcule la mPQS-
A)18*
0)24*
E) 20*
Problema19.En la figura, AB es diámetro, METM=7a y MBDF = 3a, Calcule a.
AJ20*
c) or
E) 18*
Problema 20. En la figura, PC=4m, PD=5m y DF=7m.Calcule AC.
A)4m
C)56m
E)5,5m
CLAVES:
E
S
D
r
o
Pp Ss
B) 30* B vs
D) 25"
Q
B) 10*
D) 15"
 
B)6m
D)5m
2.D 3.D 4 B 5.
7.8 BA 9. E 10.
12. D 13.A 14.0 15.
17.0 18. E 19. C 20.
 
CAPÍTULO XI
 
Pesadasy Balanzas. Sumas Notables. Progresiones Geométricas.
Ruedas, Poleas y Engranajes.
 
11.1. PESADAS Y BALANZAS.
11.11. Concepto,
Este tipo de problemas consiste en realizar una cantidad de pesadas para lograr el equi-
librio de pesos de ciertos objetos. En algunos casossólo se pide una equivalencia, no
interesando la cantidad de pesadas.
Ejemplo 1.
Como se muestra en lasfiguras, una taza pesa lo mismo que un vaso y una tacita 29%:
juntos, mientras que el peso de tres vasoses igual al de dos tazas. ¿Cuántas tacitas se
necesitan para equilibrar el peso de un vaso?
De aqu
 
AJ1
Resolución.
Primera forma:
Sean: Inicialmente:
T : Taza Ts“
1 : Tacita Se agrega una taza
V: Vaso en cada lado
y y
Is ut
Se reemplazanlas 2 primeras
tazas por 3 vasos.
VW =VtT
tot
Se retira un vaso de
cada lado
W=tI
Se reemplaza la taza
Centro Preuniversitario. UNS_-—————
porun vasoy unatacita
VW stVt
tos
Se retira un vaso de cada lado
Vatt
+. Para equilibrar el peso de un vaso,se necesitan 2 tacitas.
Segunda forma:
Sean: Inicialmente:
T: Taza VW =TT
t : Tacita Se agregan 2 tacitas
V: Vaso en cada lado
MMVe 1Lu
Como: Vt=T
Seretira convenientemente,
quedando:
Vatt
Tercera forma:
Resolviendo por ecuaciones
Sean:
T : Taza T=V+t (Primera figura)
t ¿Tacita 3V=2T (Segunda figura)
V : Vaso Reemplazando:
V=2(V+1)
de donde:
v=2t
Clave : B
Ejemplo 2.
Unvendedor de abarrotessólo tiene dos pesas, una de 2 kgy otra de 5 kg,y una balanza
dedos platilos. Si un cliente le pide un kilogramo de arroz, ¿cuántas pesadas como
Mínimo deberealizar el vendedor, utilizando siempre las dos pesas?
Ay B)2 c)3 D)4 EJ5
Resolución:
 
APTITUD MATEMÁTICA
 
“Sin tener una pesa de un kilogramo, se logró dicho peso"
Son suficientes tres pesadas
Clave:C 5291
Variación de este problema. Pero, ¿qué pasaria sialfinal de la pregunta no diria: "utilizando
siemprelas 2 pesas"?
Resolución.
 
 
*Lo requerido”
+. En este caso serian suficientes dos pesadas
Ciave : B
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
—_=
11.1.2. Problemas Resueltos.
Problema1.
Sillas balanzas mostradas están en equilibrio
AAD, A00D, OM, AM, MHEO ALA
A A Á
y los objetos diferentes tienen pesosdiferentes,
 
 
L] 2
entoncesla balanzaad se equilibrará con:
A000 840 SooD D)AO E)J00D
Resolución,
AL
AMJOE=AMLDA
AO=MMZA
AO0=BA
y [Clave : D202
. Problema 2.
Si las balanzas mostradas están en equilibrio
y los objetos diferentes tienen pesosdiferentes,
pa 7
entoncesla balanza se equilibrará con
A OO BAD A DADO BO
Resolución,
 
Clave: E
AAPTITUD MATEMÁTICA
Problema3.
De 9 canicas idénticas, 8 pesan igual y sólo una pesa más que las otras. ¿Cuántas
pesadas como mínimo se deben realizar en una balanza de dos plaitllos para encontrar
la más pesada?
At B)2 C)3 D)4 E)5
Resolución.
1, Separamos entres grupos iguales de 3 canicas y pesamos.
000 poo |ooo
A B c
2.Si: A=8 + Está en €
A>B > Está en A
A<B > Está en B
$ 2/2
DELE
 
Si D=E > Feslamás pesada
D>E > Des la más pesada
D<E > Eesla más pesada
 
*. Sonsuficientes dos pesadas.
Clave: B|
Problema4.
Tres manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones,y seis melocotones y
una manzana pesan lo mismo que unapera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios
para equilibrar una pera?
A) 6 B)7 c)8 D)9 E) 10
Resolución.
3 manzanas + 1pera = 10 melocotones
6 melocotones + 1 manzana
—
=1pera
(10 melocotones - 1 pera
3
6 melocotones + = 1 pera
 
7 melocotones = 1pera
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMSS214141
11.2 SUMAS NOTABLES.
11. 2.1. Definición.
Esla sumadelos términos de una sucesión.
Seala sucesión numérica:
318,3, 8...
 
entoncesla sumaes:
S=a ta tata t.rat.
dondea, es el enésimotérmino dela misma.
Sila serie tiene un número finito de términos se denomina serie finita.
Sila serie tiene un número infinito de términos se denominaserie infinita.
Por ejemplo.
S=1+34+5+7+9+11 serie finita
+4-6+8+10+, serie infinita
 
 
11.2.2. Series Numéricas,
Dada una sucesión numérica —t, LL tpt..t,
294, Sellamaserie a la sumaindicadade los términos de la sucesión:
SL ELA LALA det
Ejemplo.
Seala sucesión 6; 10; 14; 18; 22
luego 6+10+ 14 + 18 +22 =70 ——> valorde la serie
serie
11.23. Tipos de Series.
A) Serie aritmética. Dada una sucesión artimética: a,,a,,a,,a,...a,
entonces la serie aritmética es: S,=a,+a,+a,+a,..+a,
aa
+. +
 
se sabe que: a,=a, +(n-1)r —> término n-ésimo
despejando *n”:
 
 
 
APTITUD MATEMÁTICA
S, = valor dela serie
¡úmerode términos
primertérmino
 
¡timo término o término n-ésimo
r = razón aritmética
Ejemplo1.
Hallar el valor de “S”
 
 
 
 
 
 
S=3+6+9+12+ ...+207
A)7080 8) 5656 C)7856 D)7830 E) 7245
Resolución.
Primera forma:
a An
| I
S=3+6+9+12+...+207IS
333
203 7009
3
a22) 69 = 7245
Segundaforma:
S=3+6+9+12+ ... +198+201+204 + 207
4 207 + + $
207
207
comen e 68
 
 
3
Ep] S= 207 + 207 + 207 +... + 207 + 207
o
34 términos.
=> S=207 (35) = 7245
Clave: E
 
Centro Preuniversitario UNMSM 
B) Series aritméticas line:
 
notables
1. Sumade los "n" primeros números enteros positivos consecutivos:
nía +1)S=1+2+3+4+.,.+
A
"n* términos
 
 
donde,el númerodetérminos coincide conelúltimo número de la serie.
Ejemplo 2.
Hallar el valor de *S":
S=1+2+3+4+5+...+60
A) 1567 B) 1655 C) 2838 D) 1830 E) 1530
Resolución.
S= 60= 2160+1 - 1830
 
2
Clave: D
 
2. Suma de los “n' primeros números pares positivos consecutivos
S >= 2+448+8+..+20=n0(n+1)
e
'n” términos 
Nota; Para efectos prácticos el último término se iguala a “2 n" y despejando "n' seobtiene el valor del número de términos.
Ejemplo 3.
Calcularel valor de "M".
M=2+4+6+8+....+46
A) 485 B) 673 C) 552 D) 652 E) 496
Resolución.
Si*n” es el número de términos entonces:
2n=46 > n=23
 
+4+6+...+46=23(23 + 1) = 552
23 términos
Clave: €
 — APTITUD MATEMÁTICA
3. Sumadelos "nprimeros números imparespositivos consecutivos:
1)= 0"?
 
Nota, Para efectos prácticos el último término de la serie, se iguala a “2n— 1" y
despejando *n”, se obtiene elvalor del número detérminos.
Ejemplo4.
Hallar el valor de S.
S=1+3+5+74+..+81
A) 1638 B) 1694 C) 1681 D) 1671 E) 1680
Resolución,
Si *n" es el número de términos entonces:
2n-1=8Bl=> 2=82 => n=41
S=1+3+5+7+...+81=412=1681
AA
41 términos
 
Clave: €
C) Serie aritmética de orden superior.
1. Métodode las diferencias finitas
+.
—> diferenciasfinitas de primer orden
—> diferenciasfinitas de segundo orden
—> diferenciasfinitas de tercer orden
 
Si= ty + lao +tar tar+ lo
5) Sist, Ch + b,C03+0,C3 + d, Cl
 
 
 
donde: CP =n so Cj=mea
¡eqltdl0-20-3)
24
ni
En general: Cf = im
Centro Preuniversitario UNMS» ————_—_—_—_—_—_—_—_—__—————————————_—_—_——_
Ejemplo 5.
Hallar el valor de “S*
S=1+6+15+28+...
30 términos
A) 18745 B) 16745 C) 17445 D) 18445 E) 18400
Resolución.
S=1+6+15+28+...
ANS
5 9 13
YY
44
Sn=1CJ + 5 Ch +4C3
n=], f nt-do-2)
zp" 6
 sn=n+s|
+ 260129Eeses = 18445
 
Clave: D
D) Series Aritmética de orden superior notables.
1. Sumadelos cuadradosde los “n”primeros númerosenterospositivos:
n(n+1) (2n+1)
Sa 1P0+2+38+4+ ...+mM=
—_—_——_—— 6
n términos
Nota, Para efectos prácticos, el último término se iguala a n?; y se despeja “n';
obteniéndoseel valor del número de términos.
Ejemplo6.
Hallarel valor de “P":
P= 1+4+9+16+...+576
A) 4900 B) 4568 C)4300 D)4559 E) 4890
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución.
Si *n" es el número de términos entonces:
n=576 =n=24
24(24+1) [2(24)+1]S=1+4+9+16+ ...+576= = 4900————_—————
24 términos
Clave: A
2. Suma de cubosde los "n” primeros números enterospositivos:
2
S=P+2 Per a
o 2
n términos
Nota. Para efectos prácticoselúltimo término dela serie, se iguala a n? y se despeja *n”;
obteniéndose el valor del número de términos.
Ejemplo 7. do
Hallarel valor de *M”:
 
M=1+8+27+64+... +10648
A) 64049 B) 64008 C) 60409 D) 64009 E) 64098
Resolución.
Si*n*es el número de términos entonces:
m=106488=> n=22
M=1+8+27+64+
 
22 términos
Cla
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
E) Serle Geométrica.
 
 
1.
—
Serie Geométrica Fínita. Dada una sucesión geométrica finita: t,,L,, ty... 4,
Entoncesla serie geométrica es:
S,=4, +
xq xq
Se sabe: ga
gte
donde: S, = Valor de la serie
1, = primer término(i, + 0)
razón geométrica (q + 0)
timo término o. término enésimo
n = número de términos
Ejemplo 8.
Hallar el valor de “S”.
S= 2+4+8+16+,
 
 
12 términos
A) 8090 B) 8190 CC) 8050 D) 7852
Resolución.
”— 12 términos. —]
S=2+4+8+16+..
———PET
22-41a 2 =81Luego se[55 x
2=
8190
E) 6875
Clave: B
 
L. Serie Geométrica Decreciente Infinita.
Dada una sucesión decreciente infinita (la razón “q”: O<|g| <1):
Mba ho urb
Entoncesla serie es
S=k, +t + +. + th t..
IA
xq
 
+
Luego S=77G |; 0<gj<t
 
 
Ejemplo 9.
Hallar el valor de "S”
4
S=100+20+4+ Z+...
 
5
A)124 B) 125 0) 112 D) 95
Resolución.
t
1
S=100+20+4+ 4+
o
«LL eL
555
F) Serie Hipergeométrica.
1. Suma de productos binarios.
Esla sumadelos “n* primeros productos consecutivos.
S=1x2+2x3+3x4+..+nx(n+1)
 
nín+1)(n+2)
3 
 
APTITUD MATEMÁTICA
E) 136
Clave: B
 
Centro Preuniversitario UNMS ———%4111
Ejemplo 10.
Hallar elvalor de la “S";
S=2+6+12+20+...+210
 
A) 1020 B) 1120 C) 1225 D) 1140 E) 1015
Resolución,
Primera forma:
S=1x2+2x3+3x4+4x5+..+14x15
Ss (141) +2(2+1)+3(3+1)+4(4+1)+...+14 (14 +1)
S= 1414224243043 4+4244+...142+14
S=(P+ 2488 147) + (1+2+3+4+..+14)
4(15) (29) 4 1405) =1120
6 2
 
Segunda forma:
S=1x2+2x3+3x4+4x5+..+14x15
;
n
 
14 x15x 16
=1120
3
S=
Clave: B|
2. Suma de productosternarios.
Esla suma delos “n” primeros productos temarios consecutivos;
S=1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+n(n+1)(n+2)
 
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
 
 
Ejemplo 11.
Hallar el valor de "E":
E=6+24+60+120+...+1320
A) 4190 B) 4490 C) 4290 D) 1320 E) 4890
OAPTITUD MATEMÁTICA
Resolución.
E=6+24+60+60+120+... + 1320
E=1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+10x11x12
y
n
E= 10 gota 13) - 4200
Clave: €
3. Sumade inversos de productos binarios.
Esla sumadelainversa de los *n* primeros productosbinarios consecutivos
 
r [2 z a|* (diferencia de factores) [sterencia de extremos] lo 
Ejemplo 12.
Hallar el valor de “R”:
 
A) 12/15 B) 24/25 0) 20/23. D) 23/25 E) 10/18
Resolución.
1
24x25
 
11,114Primera forma: Re+++ +timera forma. aaa ta taa*
 
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
 
Segunda forma:
ReLe E
1x2 2x3 "3x4 14:15
1f,_ 1] 24iterenci 22.14 >R=I1- 2-2Diferencia defactores =2-1=1 > il 5) 25
Clave: B|
11.24. Problemas Resueltos.
Problema 4.
Calcular el valor de "E"
E=2+12+38+80+...+1100
A)3810 B) 3710 C) 3040 D) 3410 E) 3540
Resolución.
Se puede escribir:
E=(1+1)+(4 +8 )+(9+27)+(16+64)+ ... .+ (100 +1000)
Erre2)(33(tr) (102 103)
E=s(P42d+3d. + 10%) (P 4294334... 410%)AeA
10 5
10x11x21 [10x11]?+
6 2
E =385+ 3025 =3410
Clave; D
Problema 2.
Hallar el valorde:
2 16 98 hacia
Sn—+——
a 20 0
A) 4/3 B)7/2 C)6 D)4 E) 3/2
AAPTITUD MATEMÁTICA
Resolución.
2 16 98 544A
606% 6 et
5-3 25-9 125-27 625-81
+ RM
S et
 
 
1AS
O
 
s-6 lo 4=¿(0-2>
 
Clave: D
Problema 3.
Efectuar:
S=4 +44+444 +...+
4 4 4(10-9n-1 (10” -9n-10) (109Al n—1) Dal 9n-10) | 00 9-10)
1 - 40D) ¿¡(10?=90-10) E) 500%=n-10)
Centro Preuniversitario UNMS» ————_——_____
Resolución.
9Multilicando por
9
7 5" 9+99+999+...+ 999 ...994 at
cifras
9
q3=(10'-1) +(102 -1)+(10%-1) +... +(10%-1)
9
qrs1 + 10%... +100)+(-1)n
M0" -1
3 5210/7977
|
+(0n
 
 
 
 
4
2 pe 100 4 1—S=—
(10%
1) +(-3575 00 -1)+(1)n
4
S= on -10 - 9n)
Clave: C
Problema4,
Efectuar:
1 1 1 1
S=_——+ Put
5x10 10x15 15x20 100x105
a 1 E 4 5 D 5 1
y 51 ) 105 e 31 ) 37 E 35
Resolución.
Multiplicamospor 5: (diferencia 10 -5=15-10= = 105
-
100
=
5) 
5 5 5 5+ + A_—_——
5x10 10x15 15x20 100 x 105
SO 11
510) (10 15) (55"20)*>*r00105,
101 211 20
$8 2—= _——=—
105 105
EA 
 
 
 
Clave: B|
 - APTITUD MATEMÁTICA
11.3. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.
11.3.1.Conceptosbásicos.
Unaprogresión geométrica es una sucesión de números, en la cual cadatérmino es
igualal an:erior mulliplicando por una constante no nula llamadarazón o cociente (q).
 
1. Sea el primer término (a,) positivo. Si q > 1, la progresión geométrica (P.G.) es
creciente; si 0 < q < 1, la PG es decreciente.
2. El producto de términos equidistantes delos extremoses igual al producto de los
extremos.
3. Si el númerode términoses impar, el cuadrado del término central es igualal producto
delos extremos.
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Término n-ésimo: ap = 44 .q""1 | donde a, es el primer término y n es el
númerode —términos,
Sn
5. Razón o cociente: $ ó
'n-1
a(q" -1)
6. Suma de "n" términos: |Sp =E 
7. Suma de términos de una P.G. infinita:
 
S=a1+87+83+,..+8p to...
 
 
[a] <t
 
Ejemplo.
DonJulio nació en la segunda mitad del siglo pasado, en un año cuyascuatrocifras son
tales que las tres diferenciasformadas restando la primera cifra de la segunda,la segun-
dade la tercera y la tercera de la cuarta, forman una P.G. ¿Cuántos años cumplirá don
Julio el año 20067
A) 52 B)51 0) 50 D) 49 E) 48
Hi
Centro Preuniverstario UNMS.———————————
Resolución.
Nació el año TI
ab
Del enunciado tenemosla siguiente Progresión Geométrica:
a=b, 9-a, 1-9 6 1-9 9-a a-b
Entonces
—
(9-a)=(a-b)(-8) (propiedad3)
luego, b=a+2 y 9-a=4
(la otra posibilidad b=a+8 no verifica 5< a <9)
y de ahi: a=5,b=7.
El año 2006 cumplirá 2006— 1957 = 49 años.
Clave : D
11,3.2. Problemas Resueltos.
Problema1.
La población de una determinada ciudad ha aumentado en progresión geométrica de
118 098 habitantes que era en 1 996 a 200 000 habitantes en el 2001 ¿Cuántos máshabitantes hubo el año 2000 que el año 1 998 en esta ciudad?A) 32 000 B) 34 200 C) 36 800 D) 38 600 E) 32 400
Resolución.
 Año [1998 [1997[1598]1999]2000]2.007
Población] a,
|
az
|
es
|
a [a la
 
 
Del enunciado a; = 118098 y ag = 200000, entonces
q= efe
.
[200000_ ¿f100000_ 10
a, Y118098
Y
59049 9”
Luego, as ay = 21q*(9?-1)
 
100 Y19
as -az = 118098 als = 34200
[Clave : B
Problema2.
 APTITUD MATEMÁTICA
Un depósitotiene 6 caños: 3 quelo llenan y 3 que lo desaguan. Los números delitros por
segundo que entran por los 3 primeros caños están en P.G. de razón 2, y los que salen
porlos otros están en P.A. de razón 0,6. Si el primer caño que llena y el primero que
desagua arrojan la misma cantidad de agua,y el nivel del agua permanece constante
cuando están abiertoslos 6 caños, ¿cuántos litros de agua por segundo arroja eltercer
caño que desagua?
A)1,35 B)15
Resolución.
caños que llenan: ay , az, az
arrojan (c/s.): 2,2, 4a
caños que desaguan: by , bz,
08): ar a+óarrojan (c/s.) 3
0)1,5
bz
D) 1,65 E) 1,8
comoel nivel del agua se mantiene constante: 2+2a+4a=a+(a4 > +(0+2)
5
Luego, el caño bz arroja: 2
Problema 3.
 
 
1,651
9as—
20
Is.
Clave : D
A Fernando se le promete pagar una suma de dinero porlos 10 primeros problemas de
Química que resuelva correctamente, luego se le duplicará dicha suma por cada 10
problemas adicionales que también resuelva correctamente,Si resuelve correctamente
80 problemasy recibe S/. 2040,¿cuánto le pagaron porel sexto grupo de problemas bien
 
 
 
 
 
resueltos?
A) SI. 128 B) Sí. 192 C)S/.248 D)S/.256 E)S/. 512
Resolución.
Prob, bien resueltos 12:10 [11 220|21230|...[71a80
sumaque recibe a 2a
|
La Ya
.
Luego, 2040 =0+20+2ta+..+22an 12.2558
> a=8
2
 
 
 
.. Por el sexto grupo de problemas (del 51 al 60) recibió 2% = 256
Clave : D
 
de
Centro Preuniversitario UNMSS
—
_4á—-J
Problema4.
Hallar el valor de
sa
48 64 64 1024 2048
A) 4/9 B) 2/5 c) 2/3 D) 3/4 E
Resolución.
4,56
 
RS
64 256 1024 4096
234.56
1234 .5
 
E
4*16* 64258 1024
3S-1 1 1 4 1 1 1dt
1010 04 * 250 * 10
S= 4/9
 
11.4. RUEDAS, POLEAS Y ENGRANAJES.
Eneste capítulo estudiaremos problemas sobres la transmisión que existen entre losengranajes, ruedas y poleassin considerar la fuerza que los produce. Es decir el movi-miento de un (engranaje o polea) es transmitido a otra y ésta a su vez a una tercera y asísucesivamente. Para ello éstas ruedas (engranajes, poleas) deben estar en contacto o
Conectados entre sí por algún cuerpo mediante el cualse realiza la transmisión del movi-
miento.
11.4.1.Tipos de Transmisión.
a) Transmsión por engranájo.
* Siel número que se le asigna a un engranaje es un número impar, éste girará en el
mismosentido queelprimero.
* Si el número quese le asigna a un engranaje es un número par, éste girará en el
sentido contrario que el primero.
(2) = ==
OO000000
 APTITUD MATEMÁTICA
b) Transmsión por correa o cadena
Caso: Transmisión abierta Caso Il: Transmisión cruzada
(Tienenigual sentido de rotación) (Tienen sentida contrario de rotación)
b) Transmisión por correa o cadena
Caso: Caso Il: (Unidos mediante un eje)
O £|
(Tienen igual sentido de rotación) [Tienen igual sentido de rotación)
(Ruedas concéntricas)
Ejemplo 4. E
Sila rueda "A", se mueve ensentido antihorario comoindican la flecha, ¿cuántas ruedas
másse muevenen sentido anti-horario? o O
Ay B)2 C)3
D)4 E)5 (Do
Resolución.
Donde; H: Giro en sentido horario
(m9 A: Giro en sentido antihorario
Clave: A
Ejemplo2.
Sila rueda dentada pequeña gira en sentido antihorario (direccción ilustrada), ¿en qué
sentido girará la rueda dentada grande?
 
A) En el sentido de A.
B)En el sentido B.
C) No se puede determinar
D) Depende del tipo de rueda.
E) Falta más información.
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución.
 
La rueda más grandegirará en el
mismosentido quela rueda A.
 
Clave: A
Ejemplo 3.
Sila polea *H", se mueve en sentido horario, ¿indicar Cuántos más se mueven en sentido
horario?
H
(SS (OL (0)
Ay1 B)2 C)3 D)4 E)5
Resolución.
Cuatro más se mueven en sentido horario
 
11.4,2.Relaclones de Transmisión.
a) Entre engranajes tangentes se cumplen las siguientes relaciones.
(mm)
 
 
NiRi=N¿Re |
 
 
 
 APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bordes: [y Estimar devuelta de las runas o engranajes
D,, D,: número de dientes o pines de los engranajes
Ri. Ra: radios de las ruedas
1)
Donde: 
Wi, W¿: velocidades angulares delas ruedas o engranajes.
D,, Dz: número dedientes o pines de los engranajes.
Ry, Ra: radios de las ruedas 
 
b) Entre poleas.
Las poleas son dos ruedas conectadospor unafaja que es la encargada de transmitir el
movimiento o por un mismoeje en la cual los dos tendrán el mismo movimiento, éste
puedeser de tres formasbásicas, veamos:
» " 111) Tiene el mismoeje
 
Tienen igual sentido [fienen sentido inverso Tienen el mismosentido
 
DATAS Pala MATAS la MZ Na
 
n,: Número de vueltas de la polea A
ng: Número de vueltas de la polea B
1, : Radio de la polea A
Ty: Radio de la polea B
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Ejemplo 1.
¿Cuál de las ruedas dentadas dará más revoluciones por minuto?. Si D,=30; D,=50;
D¿=12 , D.= 18 (D= número dedientes)
 
A) La rueda"A”.
B) La rueda "8".
CC)La rueda “C*
D) Las ruedas "A",
"B"
y
*C*
dan igual número
de revoluciones por minuto.
E) La rueda “E”
 
Resolución.
 
La rueda C, queesla que tiene menos dientesesla que dará más revoluciones por
minuto.
Clave:C
Ejemplo 2.
¿Cuántos poleasgiran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario respectiva-mente?
 
A)1y3 B)3y1
c)2y2 D)4y0
E)2y1
Resolución,
Dos ensentido horario y 2 en sentido antihorario.
 
 
Clave: C
 APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo3.
Dos engranajes de 20y 60 dientes están engranadas. Cuando funcionan un minuto, uno
ha dado 70 vueltas más que la otra. ¿Cuántas vueltas da el engranaje más lento?
A) 105 B) 35 0) 45 D)25 E) 36
Resolución.
N: número de vueltas del engranaje más lento
 
Observación:
El engranaje más
pequeñoda másvueltas 
 
 
N.D, =N,D,
 
 
 
N¡=N+70] N¿=N
 Identificandolosvalores:
D, =20 D, =60 
> relacionamos: N,D,= N
asi: (N+70)20=60N + N+70=3N +N=38,
porlo tanto,el engranaje máslento da 35 vueltas en un minuto.
 
11.4.3. Longitud de Arco.
 
o | L=0r 0: Kderadianes.
 
L: Longitud delarco AB
A continuación veamos algunos problemas cuando una rueda recorre una determinada
longitud dandovueltas, así:
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CASO1:
Cuandola ruedagira sobre una superficie plana.
 
 
L=2rr (n)
 
 
 
Donde: L¿: Longitud recorrida por el centro de la rueda.
n; númerode vueltasdela rueda.
CASO ll:
Cuando una ruedagira sobre una superficie circular.
+ La : Longitud de la rueda
deradio r => Lo =2mr
* Sea Lc la longitud que recorre el centro
de la rueda Lc
=
0(R+r)
* Luego,el número de vueltas esta dado
por:
 
 
o es decir:
 
 
CASO lll:
Cuandounaruedagira debajo de una superficie circular.
* Lo : Longitud dela rueda
de radio r= Le =2x1
* Sea Lc la longitud que recorre el centro
dela rueda Lc =0(R-1)
* Luego,el número de vueltas esta dado
por: n=.6 “E
 
 
 
 
 
 
 es decir: |Mw = 
 
APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 1.
 
En la figura adjunta la rueda de 80 cm de diámetro pasa dela posición
*B*, dando 6 vueltas completas, determinarla longitud del segmento AB .
' a la posición
A) 380 1 cm
B) 240 1 cm
C)4.8 xcm
D) 480 1 cm
E) 490 1 cm
 
Resolución.
+ AB=L.: Longitud querecorreel centro de la rueda.
+ Se sabe que: L¿Fnx 2er.
=> 1¿=6x2x 400m
L, = 480x cm
 
g
Clave: D
Ejemplo 2.
Calcularla longitud que recorre la rueda de radio 30 cm comose muestra enla figura E
adjunta. Si el punto “A” vuelve a tener contacto con la superficie otras 10 vecesy al
delenerse el punto “B" se encuentra en contacto con la superficie.
A) 600 x cm B
B) 630 1 cm >
C) 615 1 cm
D) 640 x cm
E) 632 1 cm
 
Resolución.
* Gráficamente tendríamos
 
 
Centro Preuniversitario UNMSS _—AAAAAAA——114H
+ Cuandola rueda da 10 vueltas completasse tiene que:
L, = 2xr(n,) = 2x(30) cm (10) = 600x cm
+ Comoel punto *B" debe finalmente estar con el piso entonces tendrá que recorrer
Unadistancia adicional a las 10 vueltas completas es decir:
2rL,
=
Esar =x(30)cm = 30n cm
+ Finalmente: L =L, + L, =600x cm + 301 cm
L =630x cm
Clave.: B
11.4.3. Problemas Resueltos.
Problema1.
Unarueda dentada A de 4m de radio da 6 revoluciones por minuto y engrana con otra 8
deradio 2m, ésta se encuentra unida a otra C mediante uneje. Hallaras revoluciones
que da por minuto ta ruedaC.
A)8 RPM B)6 RPM C) 12 RPM D) 16 RPM E) 10 RPM
Resolución.
+ Identificación de datos
 
R,=4m R,=2m
MW, =6 RPM w,=?
* Graficamos:
eje
E
A B Cc
A 4(6)* Relacionamoslas ruedas Ay B: RW, =R/W, => W, = =2=12
> W, = 12 RPM
+ Comolas ruedasB y C están unidos mediante uneje, entonces la. rueda C da la
mismacantidad de revoluciones por minuto
W, = W,= 12. RPM
Clave:C
>APTITUD MATEMÁTICA
Problema 2.
La figura muestra una lámina en forma detriángulo equilátero de 2 om de lado y A es
punto medio de estos lados.Silla lámina rueda en el sentidoindicado una vuelta. ¿Qué
longitud recorreel punto A?
E(4+43)om e) En(4-/5)em
on(24/53) em D En(3+2/5) om a
2
3e 5n(9-43)em
—
Resolución.
 
1) gráficamenteel recorrido del punto
 
2) La longitud recorrida por el puntoA al dar una vuelta completa la lámina es: longitud
recorrida porA=2L, + L,
Luego:
Clave: C
Problema 3.
En la figura que se muestra,la rueda pequeñaal desplazarse del punto A al punto B da
una vuelta. Si R = 88 cm, hallar el radio *P.
AJbca Blibca
tien Dj tden
EJ IG cn
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
Resolución.
 
 
* Gráficamentese tiene:
+ Sabemosque
88*Luego F=77=8cm
Clave: A
Problema 4.
Si en la figura losradios R = 12 cm, r= 3 cm y ambas ruedasgiran una vuelta en las
direcciones indicadas. Determinarla distancia que separa a los puntos A y B en sus
huevas posiciones.
A)(30x+15)cm B)(30x+12)cm Ú
0) 42 x cm D) (24 x + 12) cm
E) (321 + 12) cm A
A B
Resolución.
 
*[Se tiene que d=1,+1,+12
«Luego 1, tancia recorrida por la rueda menor, entonces
1, =21(3) =6x cm
1, = distancia recorrida por la rueda mayor, entoces
1,= 2x(12) = 24 cm
+ Finalmente d = 6x cm + 12 cm +24 1 cm
d = (30x + 12) cm
 
Clave: B|
 APTITUD MATEMATICA
11.5. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema1. Si las balanzas mostradas están en equilibrio
 
 
o DO, AMA, ” ao
Á Á A
y los objetos diferentes tienen pesos diferentes,
DO 2
entoncesla: balanzaose equillbrará con:
AeoAm 8,0 cA DAA EM
Problema2. Silas balanzas mostradas están en equilibrio
= 00ÓO mum 00 o a
y los objetos diferentes tienen pesos diferentes,
 
mo 2
entoncesla balanza Mese equilibrará con:
me B)000 000 DO De
Problema 3. De 81 canicas idénticas, 80 pesan igualy sólo una pesa más que las otras.
¿Cuántas pesadas comomínimo se debe realizar en una balanza de dos platillos, para
encontrarla más pesada?
A)2 B)3 c)4 D)5 EJ6
Problema 4. Un vendedorde abarrotes sólo tiene dos pesas, una de 3 kg y otra de 8 kg,
y una balanza dedosplatillos. Si un cliente le pide 18 kg de arroz, ¿cuántas pesadas
como mínimodebe realizar el vendedor, utilizando siempre tas dos pesas?
A) 2 B)3 0)4 D)5 BJ6
Problema 5. Unabotella y un vaso se equilibran en una balanza con unajarra; la misma
botella se equilibra con un vaso y un plato pequeño;y dosjarras se equilibran con tres
platos iguales que el anterior. ¿Cuántos vasos hay que poner en el platillo libre de la
balanza, para equilibrar una botella?
A2 B)3 0)4 D)5 E)6
Centro Preuniversitario UNMS ——_—A=>>——__
Problema6. Hallar el valor de S:
S=3+8+13+18+...+503
A) 25553 B) 23801 0) 21431 D) 23601 E) 28314
Problema7. Hallar el valor de R:
 
 
 
 
 
 
 
 
sms
40 41 42 42 40A B) Z c) Pra D) z DA
Problema. Hallar el valor de E:
ESPA0
A)-199 B)-205 C)-210 D)-208 E)-250
Problema 9. Hallar el valor de S:
S=6+66+666+...+ 606... 60
ma
ndlfras
ie lia pesay 0071-00-10 a) 109 yo
10"=" +9n 10"** +10n-9DE 7 y
Problema 10. Hallar elvalor de S:
1 1 1 1A mo2x4x6 4x6x8 6x8x10 40x 42x44
116 118 117 115 117Al 3670 3) 3140 o 95 Dr 3606 0
Problema 11.
_
¿Cuántos números de tres cifras son tales quesus cifras forman unaprogresión geométrica?
A)5 B)6 c)7 D)8 E)9
A
APTITUD MATEMÁTICA
Problema12. Las edadesde tres personasforman una PG. y su producto es 27000,Si
el menordeellostiene 25 años, ¿cuántos años deben transcurrir como minimo para que
la sumadelas edades de los tres sea un cuadrado perfecto?
A)14- B)9 c)7 D)5 E)31
Problema13. Tres númerosestán en P.A. y suman 33. Si al primero se le suma 2,alsegundose le resta 1 y al tercero se le suma1, entonces se forma una P.G. ¿Cuál esel
primer términode la P.-A.?
A)66 18 B)669 C)9618 D)369 E)36 18
Problema14. Dado un cuadrado ABCD de 1 cm? de área, se construye el cuadrado
A/B/C.D, de manera que A, B, C y D son puntos medios de suslados; luego se construye
el cuadrado A¿B,C_D, de manera que A,, B,, C,. y D, son puntos medios de sus lados;
y este proceso se repite sucesivamente hasta construir el cuadrado A,¿B,¿C,.D,, de
manera que Aja.Bra, Cra y Da Son puntos medios de suslados. Hallar la suma de losperimetros de todos los cuadrados construidos,
A)(2044 /2 +1020) cm B) (1020/2+1016) cm C) (2044//2 +2040) cm
D) (10204/2 +2044) cm E)(5082 +504) cm
Problema 15,Un ciclista parte alas 6 am. recorriendo 8 Km en latra. hora, 12 Km en la2da., 18 Km en la 3ra. y así sucesivamente, en progresión geométrica. Despuésde ciertotiempo de marcha, descansa 4 horas y parte nuevamente,recorriendo16,2 Km enla 1rahora, 10,8 Km en la 2da,, y continúa su avance en progresión geométrica hasta recorrerUna hora menos quelas recorridas antes del descanso.Si en totalrecorrió 144,5 Km, ¿aqué hora reinició su marcha después de descansar?
A)1pm. B)2 pm. C)3 pm D) 4 pm E) 5 pm
Problema 16. En el siguiente sistema, si la rueda N'1 da "m" RPM. ¿Cuántas RPMgirará la rueda n ?
 
AJ(mi)m B)nm Cami) Dye) E 
 
Ss
+ Centro Preuniversitario UNMSM
Problema 17. ¿En qué sentido se mueve el engranaje N*1 y N* 4, Siel engranaje N*3
se mueve como indica la flecha?
=
3
1 2 7
A) antihorario, horario B) ambosantihorario C) ambos horario
D)horario — antihorario E)faltan datos
Problema18.Las ruedas M, N.C y tienen 80,240, 50 y 250 dientes respectivamen-
te. My Nestan engranadas, N y C están sujeto al mismo eje, C y P engranadas. Sila
rueda M da 300 RPM. ¿En qué tiempo dará la rueda P 400 revoluciones?
A) 30 min 8) 18 min C) 20 min D) 35 min E) 25 min
Problema 19. Un par de poleas de radio R y R/3 giran por acción de una faja C.. Siel
movimiento de cada polea es uniformey el periódo de rotación de la polea mayores 6 s.
Hallar el periodo en segundos de la polea de radio menor.
AJts B)25. C)3s D)4s E) 125
Problema20. En la figura se muestra dos poleas concéntricas de rádio de 5 cm y 3
om. Determinar la medida del ángulo que se debe girar para quelos centros de las esfe-
ras A y B se encuentren a la misma altura siinicialmente se diferencian 48 cm.
A) 8rad. B) 6 rad.
C)2 1 rad D) 3Frad,
 
D)3rad.
CLAVES:
1.0 2.E 30 4.8 5D
6.A 7.E 8.0 9.A 40.0
11.8 42.€ 19.E 14.8 15.0
16.8 17.D 18.0 19.B 20.8
CAPÍTULOXII
Máximos y Mínimos. Cuadrado y Cubos Perfectos, Productos Notables.
Trazos de Figuras.
 
 
 
12.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS,
A vecesexisten varias respuestas que cumplen con las condiciones de un determinado
problema, motivo porlo cual se piden valores extremos.
Por ejemplo:la temperatura másalta registrada en la atmósfera ó de un cuerpo durante
Un periodo determinado detiempo, ó cuandosetiene un conjunto de datos que se en-
cuentran dentro de un rangode valores comounidades y precios y se pida ganancia máxi-
ma,etc.
 
La variedad de problemas hace imposible una tipificación de ellos. Sin embargo en esta
sección presentaremos casos muy conocidos como problemasrelacionados a perso-
nas, precios, regionesa pintar, etc
12.1.2.CANTIDAD DE PERSONAS U OBJETOS.
Ejemplo1.
En unareunión hay tres hermanos, tres tios, tres sobrinos, tres hijos y tres padres.
¿Cuál es el mínimo númerode personas que puede haber en la reunión?
AJ3 B)9 C)5 D)6 EJ 12
Resolución.
RR — Tres hermanos,trestios,tres padres
ll HH, — tres hijos, tres sobrinos
Luego el mínimo número de personasesseis.
[Clave : D
 
Centro Preuniversitario UNMS»,
 
—
——__—_—_
Ejemplo 2. .
Dos padres y tres hijos comieron en el almuerzo una manzana cada uno. ¿Cuántas
manzanas al menos comieron todosellos?
AJA B)2 0)3 D)1 EJS.
Resolución. Abuelo
4
Pate |ciesy y |tres hijos
Hi Ha
El mínimo número de manzanasque comieron entre todos equivale al mínimo número
de personas;es decir cuatro.
Clave: A
12.1.3. Problemas sobre precios.
Ejemplo3,
Un kilo de imonescontiene de 16 a 24 limones. El precio de los más grandesvaria de 2
a 2,90 soles cadakilo y el de los más pequeñosde 1,30 a 1,60 soleskilo. Si Felicitas
Compra 4 docenas pagando lo máximo posible y Beatriz 8 docenas con el mínimo
posible de dinero, ¿cuánto es eltotal pagado por ambas?
 
A) S/. 14 B)S/.13,70
—
C)S/.1390 D)S/.1490 EjS/.22
Resolución.
Ide S/.2
16limones y su precio varla de
[
a
$/.2,90
1kgcontiene a
(de S/.1,30
24 limones y su precio varia de a
S/.1,60
Felicitas paga como máximo
=
412290)
_
g,. g7o
 
S/. 520
16
Beatriz paga como mínimo =A Z4
Luego ambas pagan 8,70 + 5,20 = S/. 13,90
[Clave : €
2APTITUD MATEMÁTICA
12.1.4. Problemas sobre regiones pintadas.
125
Ejemplo 4.
Karen debe pintarla figura adjunta de modo que no existan dos cuadriláteros con lado
común del mismo color. ¿Cuál es el mínimo númerode colores que utilizará?
 
AJi B)2
0)4 D)3
E)5
Resolución.
Colores a utilizar: M, N y S.
Analizando afigura, con dos colores no se puede pintar dela forma indicada pero si con
tres colores.
 
Min[ s [m[w
 
 
 
 
 
El mínimo número de colores a utilizar es 3,
[lave : D
Problemas sobre cadenas,
Ejemplo 5.
Un jovenllega a un hotelsin dinero, pero tiene una cadena de oro de siete eslabones.
Convenceal dueño dealojarse durante una semana, pagándole con dicha cadena y que
antes de irse la recuperaría al conseguir el dinero requerido. El dueño acepta con la
condición que pague un eslabón diario. ¿Cuántos eslabones comomínimo debe abrir el
joven?
AJ1 B)2 0)3 D)4 EJ6
Resolución.
Seabreel tercer eslabón.
El primerdía se paga con el eslabón abierto.
Hasta el segundo día paga con dos eslabones(el eslabón abierto es regresado).
Hasta el tercer día se paga adicionando eleslabón abierto,
Hasta el cuarto día paga con los cuatro eslabonesjuntos( lo anterior es regresado).
Hastael quinto día se paga adicionandoel eslabón abierto.
el sexto día se paga adicionando los dos eslabones juntos(el abierto es regresado).
El séptimo día se paga con eleslabón abierto.
Clave: A
 
Centro Preuniversitario UNMS. —_—_————_—_—__———
Ejemplo6.
Unjoyero tienesiete trozos de cadenasde plata, de cinco eslabones cada una. Si se
quiere unirlos en un solo trozo de 35 eslabones, ¿cuántos eslabones tendrá que abrir
'como mínimoy soldar de nuevopara lograrlo?
A)5 B)4 : C)3 D)6 E)7
Resolución.
SO 000 Oo Doo
oo oo 0-0
Al abrirlos cincos eslabones de uno delos siete trozos para unir los otrosseis trozos
obteniendo un solo trozo de 35 eslabones.
Clave: A
12.1.6. Problemas Resueltos.
Problema 1.
Sipor un kilogramo deduraznosse obtiene ocho grandes ó doce pequeños y el precio de
unkilogramoesde S/. 2 ó S/. 3, hallar el mínimo costo que se realizará para obtener dos
docenas de duraznos pequeños y una docena de duraznos grandes.
 
A) S/.8 B) S/.8,50 C)S/.9 D) S/.6 E) S/.7
Resolución.
1
Costo minimo =2(2) + (1+ 7)2=4+3=7
Clave: E
Problema 2.
Los ingresos de Mario varían quincenalmente de S/, 680 a S/. 820 y sus gastos semana-
les varian de S/, 200 a S/. 280. Si debe repartir al menos S/.75 a cada uno de sus 4hijos, ¿cuál es la máxima cantidad que recibirá cada uno de ellos en alguna quincena?
A) SI. 160 B)S/. 105 C)S/. 155 D)S/. 190 E) S/.206
Resolución.
Enunaquincena:
Ingreso máximo: S/. 820
gasto mínimo: 200(2) = 400
820-400 Ñ
clu recibirá como máximo = 105
Cla
 
>APTITUD MATEMÁTICA
Problema3.
Un peluquero atiende 100 clientes por semanay cobra S/. 5.00 por corte. Porcadaincre-
mento semanalde S/, 1.00 enla tarifa, el peluqueropierde 10 clientes. Hallar el precio
máximo que deberá fijar de modo que sus ingresos semanales no sean menores quelos
queél obtiene por unatarifa de S/. 5.00.
A) S/. 8.00 B) S/. 9.00 C)S/. 10.00 D) S/. 11.00 E) S/.12.00
Resolución.
1 Clientesx precio = ingreso
100 (5) = 500
90 (6) = 540
80 (7) = 560 Precio máximo S/. 10.00
70 (8) = 560
60 (9) = 540
50 (10) = 500
Clave: C
Problemas4,
Enlafigura se muestra un ladrillo en elsuelo. Si una hormiga se encuentra en el punto A,hallarla longitud del camino más corto para que la hormiga lleguea B.
 
 
 
 
 
A) 28 cm AZ 12 0—
AB) 18 cm a T
C) 56 cm
D) 20 cm
E) /130 cm
Resolución.
A
10 cm Por pitágoras:
Sd 16? 2Sm AB=412? +16? =20 
12cm
Clave: D
 
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12,2, CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS.
Los problemasde cuadrados y cubosperfectos, incluidoslas raíces cuacradas y cubicas,
están referidas a aquellos problemas, donde se puede hacer usodeciertas propiedadesde las mismas, y simplificar las posibilidades de solución.
12.2.1. Regla practica para extraerla raiz cuadrada de un número mayor que 100.
Se divide el número dado en grupos o periodos de doscifras, empezando por la derechalugar de las unidades,el ultimo grupo o periodo puede tener una o doscifras. Se extrae laraiz cuadrada del útimo grupo o periodo y esta será la primera cifra de la raiz. Esta cifrase eleva al cuadrado y este cuadrado se resta de dicho periodo. A la derecha de esteresto se coloca el grupo siguiente; se separa con una coma la primera cifra de la derechay lo que queda
a
la izquierda lo dividimos por el duplo de la raiz hallada. El cocienterepresentara ía cifra siguiente de la raíz o una cifra mayor. Para probar siesta cifra esCorrecta sella escribe a la derecha del duplo de la raíz hallada, y el número asi formado semultiplica porfa cífra que se comprueba.Si este producto se puederestar del número delcual separamosla primera cifra de la derecha,la cifra es correcta y se sube a la raíz; sihose puede restar, se le disminuye una unidad o mas hasta que el producto se puedarestar. Hecho esto, se resta dicho producto; a la derecha del resto se escribe el gruposiguiente y se repiten las operaciones anteriores hasta haber bajado el primer periodo.
Ejemplo.
Extraerla raíz cuadrada de 107584,
y 1075'84 |328
2 62x2
175 648 x 8
24
518'4
5184 
Para resolver los problemasdeeste capitulo se usaran los conceptos básicos de temas
relacionados.
A
continuación presentamosuna serie de problemas tipos.
1. Problematipo concriptoaritmética.
 
Ejemplo: Si aa36
=
k?, hallarel valor de “a”
Resolución.
1) Por descomposición polinómica + 11008+36 = k8
2) Arreglando convenientemente 100 x 11a = k2- 36 = (k+6)(4-6)3) Se observa en la diferencia de cuadrados que los números (k+5)y (k-6), son dosnúmerosque se diferencian en 12.
4) Luego en la primera parte de la igualdad 100 y 11a deben ser dos números que sediferencien en 12, es decir: 100 x 112 6 100x 88.
5) Lo que nos da como resultado que el producto de números posibles sean :100 x 886) Porlo tanto 11a=88=>a=8
tl
12,2.
 APTITUD MATEMÁTICA
Problematipo con numeración.
Ejemplo: ¿Cuántos cubos perfectos detres cifras existen en el sistema nonario?
 
Resolución .
1) El rango de trescifras en base 9 es : 100, <1x?< 888,
2) Llevando el rango a base 10 :81<<728
3) Los cubosen este rango son x= 125, 216, 343,512
4) Las raices cubicas son x= (5,6,7,8)
5) por lo tanto existen 4 cubos perfectos en el sistema nonario.
Problema tipo con sucesiones.
Ejemplo: ¿Cuántos cubos perfectos hay en la siguiente sucesión
 
36x12 ; 36x24 ; 36x36;... ; 36x 24000?
Resolución.
1) El término general de la seriees —: 36(12)n
2) El valor de n esta acotado 0<n<2001
3) Como 36(12n) es K?, entónces 2439) n=k0
4) Dela relación anterior se tiene que —: n=2%(p)
5) Como O<n<2001, entonces : 0<2* (p") <2001
6) De dondeseobtiene que | 0<p<8,"p"toma7 valores E
7) Porlo tanto hay 7 cubos perfectos 1d
Problemas Resueltos.
 
Problema1.
Un númeropositivo excedeal cubo de otro númeroentero en 75y es excedidopor el cubo
del siguiente número entero en 16. Hallar dicho número.
A) 200 B) 125 C)216 D)75 Ej 91
Resolución.
1) Sea*x' el número pedido
2) Sea n*el cubo que es excedido en 75, y (n+1)* el cubo del siguiente número entero,
entonces ¿(nx =16; x—m9=75
3) Por lo tanto sumando ambasexpresiones (n+1)?- nm? =91
4) De donde men -30 =0
 
5) Resolviendo la ecuación in=56
6) Comoel número tiene que ser positivo: n= 5
7) Porlo tanto x=5%*75 =200
Clave: A
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Problema2.
¿Cuántos cuadrados perfectos que terminan en 6 hay entre 3600 y 10 000?
AJA B)8 c) 10 D) 12 E) 16
Resolución,
1) Sea k*, el cuadrado pedido
2) k* esta en el rango de : 3600 < k? < 10000
3) Al ser un rangopositivo se extrae la raíz cuadrada: 60 < k < 100
4) comok*termina en 6, entonces : ke (B4;66;74,76,84:86,94,96)
5) porlo tanto existen 8 números
Clave: B
Problema3.
Una persona nació en la primera mitad del siglo XIX. Sien el año x? cumplióx años,¿en qué
año nació?
A) 1842 B) 1843 C) 1806 D) 1807 E) 1808
Resolución.
1) El siglo XIX, se refiere a los años de 1800
2) Por lo tanto el año xse encuentra
—
: 1800<x* <1850
3) El único cuadrado perfecto en este rango es 1849, por lo tanto x? es 1849 de donde x
es 43,
4) Por lo tanto esta persona nació en
—
: 1849-43= 1806
 
Clave: €
Problema 4.
Si 4bbc. Hallar “a+b"
A)8 B)6 C)7 DJS EJ9
Resolución.
 1) Si 4bbc es el resultado de 35*, entonces
"o"
es 5
2) Siel resultado de 25” es un número de 4 cifras y comienza en 4 se puede acortar en
 
 
unrango
3) Así :4110< 25"|<4998 Ó 4000 < 35*<4999
4) Se extras la raíz cuadrada
—
:64,..<38<70,...683...<3É<70,..
 
5) Observandoquela única posibilidad para "a" es 6 (35 = 85)
6) Entonces 35” es 4225,lo que da a "b' igual a 2
7) La suma tatb=6+2=8
Clave: A
APTITUDMATEMÁTICA.
12.3. PRODUCTOS NOTABLES.
Esta parte del capítulo permitirá desarrollar nuestra capacidad para simplificar, transfor-
mar y hallar valores numéricos de expresiones algebraicas, utilizando adecuadamente
algunosproductosbásicosdel álgebra.
12.3.1 Productos notables.
Son productos indicados, cuyo desarrollo se puede recordar fácilmente sin necesidad de
efectuar la operación.
a) Productosnotables o identidades.
D (arbf =a?+2ab+b? 11) (a-bf =a?-2ab +b*
Il (a+bla-b)=a? 0? IV) (x+al(x+b)=x2 + (a+b)hx+ab
V) (a+blía? -ab+b?)=a?+b? VI) (a—b)(a? +ab+b?)=a?-b?
Vil) (a+b+cf =a* +b? +0? +2ab+2a0+2bc
 
VI) (a+bP =a? +30*b+3ab? +b* 1X) (ab) =a? -3a%b + 3ab* —b*
(a+b) =a? +b* +3ab(a+b) (a-b)' =a? -b' - 3ab(a—b)
 
 
X) (a+b+cr =a +b? +0 +3(a+b)(b+c)(c+a)
Xx) (a+bP +(a-b) =2(2? +b*) XI) (a+b) - (a-bf =4ab
XiM) (ax +byY +(ay -bx)' =(a? +b*)x? + y?)
Observaciont
 
1) (a-b)=-(b-a)
2) (a-bf =(b-af
3) PS1)
AAA+)
541)
B) Si a+b+c=0, entonces
al+bi+c?--2(ab+ac +be)
a+ bi +0? =3abc
(ab)? + (bc)? +(ac)? = (ab +bc + ac)"
Centro Preuniversitario UNMSS _AAAAA«<«=>—+—+4+4044
Ejemplo 1.
Si a-
 
; ab=2, calcular
R=al+bl-2ab)
A)27 B) 36 C) 49 D) 25 E) 64
Resolución,
a-b
Elevandoal cubo : (a- by
Desarrollando: a?-b*-3ab(a—b) =1
Reemplazando : a*-—b?-3 (2) (1) 1
> ap
 
Observamos que
R
esun binomioal cuadrado:
R=a+bi- 299?
 
R= (abr
Reemplazando:
R= (MP
R=49
Clave: €
Ejemplo 2.
Si a+b=5; a?+b*=21, calcular
k=(ab)(a? +b*)
A)95 B) 100 Cc) 200 D) 125 E) 190
Resolución.
a+b =
Elevando al cuadrado ; (a + b)?
Desarrollando a+ be Zab
Reemplazando :21+ 2ab > ab=2
 
Observamos que la suma de cubos es un producto notable:
k=ab(a? +b*)
k=ab (a+b) (a? -ab +b?)
Reemplazando:
k=(2) (5) (21-2)
k=190
[lave: E
>APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo3.
Si x-x"=1, calcular x+x*
AJA B) 11 C)5 D)8 EJ13
Resolución.
1) Elevandoalcuadrado: M) Elevandoal cubo:
ant
 
31) Multiplicando:
(407) (O x7) = 34)
e(0) = 12
Ae 1 12
$ ot
 
Ejemplo 4.
Calcular el valor exacto de
E= (0,69) (0,77)* +(0,77)' +(2,31) (0,23) +(0,23)'
A)0,989 B) 1,002 c)2 D)5 E)1
Resolución.
Sabemos que a? +38 b+ 3ab?+ b?= (aro)?
Transformando adecuadamente:
E=(0,77)? +3(0,77)(0.23)? +3(0,23)(0,77)? + (0.23)
E=(0,77+0,23)%
E= (1%
E=1
Clave: E
Centro Preuniversitario UNMS»_—————————_
12.3.2. Problemas Resueltos.
 
Problema1.
si L2223-6, x>0, hallarelvalor de xé 9100xx
AJ9 B)16 C) 18 D)27 E) 36
Resolución.
02) 2-5 (eAA
xi + xt
D
 
pex
>et)-7=0
3oct)tex 1)=0 > como x>0 (x4 4x9 -7)=0
xix =7
Mo ax 2=7+2
 
(ex =9 > 4-3
1 bey (39
Xx430?) 27
x0 4x7 4 3(8)=27
Lot 18
| Clave: €
Problema 2.
Si x=075, hallar el valor numérico de E=y1+ /x -Y1-/x
AJO B)1 02 D)3 E)0,75
Resolución.
Edi
Eat20d)+1- dx
El 2-2/7x
E? =2-2/025
E? =2-2(05)
E? =1 ,como E>0,
 E=1 
 
 
APTITUD MATEMÁTICA
 
 
 
Problema 3.
¡a-b
Si =18; a>b>0, calcular R= >
A)2 8)1 c)4 D)6 88
Resolución.
Pap?
E =18 = a-b=4/b
a+b?-18ab 4/ab
al+b*-2ab=16ab Vab
(a-b) =16ab R=2
Clave: A
Problema 4.
 
Si a=/7-/11, b=V11-413, c=413 4/7, hallarel valor numérico de
 
CCAEL,
E ac 5)
AJ81 B)16 0)32 D)1 E) 64
Resolución.
Como;
 
al +bi+3ab(-c)=-c*
> ebro Babe
Clave: A
 
Centro Preuniversitario UNMSM
12.4. TRAZOSDE FIGURAS.
Temaconocido también con el nombre de "Figuras de unsolo trazo", que se refiere ala
construcción de unafigura sin levantar el lápiz del papel, ni repetir ningúntrazo. Además
figuras que se pueden realizar repitiendo trazos.
12.4.1. Definiciones.
a) PuntoPar:
Llamado también vértice par, es aquel donde concurren un número par de trazos
(líneas rectas ó curvas),tal como muestra la siguiente figura:
punto par(concurren 2 líneas )
punto par (concurren 4 líneas )
punto par
b) Puntolmpar:
Llamado también vértice impar, es aquel donde concurren un número imparde trazos
(líneas rectas ó curvas), tal como muestrala siguiente figura:
 
punto impar
(concurren 3 líneas )
punto impar
Sepresentan dos casosparafacilitar y detectarfácilmente si una figura se puede realizar
de un sólo trazosin repetir ningún tramoya realizado, pero si pudiendo cruzarse.
Caso!:
Para quese puedatrazar una figura, sin levantarel lápiz, ni repetir ningún trazo, es nece-
sario que todos los puntosdeintersección sean pares.
 
Nota; Debemos empezar por
cualquier punto par. 
 APTITUD MATEMÁTICA
Casoll:
Para que unafigura se pueda trazar sin levantar el lápiz, ni repetir ningún trazo, es nece-
sario que existan a lo más dosvértices impares, siendo los demás vértices pares, Esto
significa quesi hay másde dosvértices imparesla figura no se puederealizar de un sólo
trazo.
 
Nota: Siempre debemos empezar por un punto impar y
terminaren el otro vértice impar. 
Observaciones:
1) Elnúmero de puntosimpares de una figura es siempre un número par.
2) Para trazarel gráfico de unafigura que tiene dosvértices impares, se comienza de
un vértice impary se termina en el olro.
3) Sise tiene una figura no realizable de un sólo trazo (con más de dos vértices impares)
y se realiza de un lrazo continuo, aún repitiendo algunostrazos, el número de tra
zos repetibles está dado por:
 
itvértices impares -2
H trazos repetidos = 2
 
4) Los trazos no tiene que ser consecutivos.
5) La fórmula dada anteriormente, garantiza el número de trazos repetidos, pero no
precisa cual o cuales de ellas se repiten como mínimo,en tales condiciones, para
realizar la figura se recomienda identificar los puntos impares más cercanosy re
petirlos trazos que unen dichos puntos en el número dado porla fórmula.
Ejemplo 1.
Las siguientes figuras se pueden realizar de unsólo trazo.
wm ve “v vo M
Dx» NWÁ
we vw ve VE Ve VI
 
Centro Preuniverstario UNMSS
——_—_u_u—__
—_——_—____
 
 
Resolución:
A
ETA
Ya DA
e
E
Partida Emo
Todos sus vértices Tiene dos vénticesson pares impares
Ejemplo 2.
En la siguiente figura, encontrarla longitud del recorrido mínimo que se debe hacer paratrazar la figura sin levantar el lápiz del papel.
A) 28 cm
Resolucii
 
1
2cm
1 
—Bm ————
B) 29 cm C) 30cm D) 32 cm E) 42 cm
ón,
 ik vértices impares = 6
6 
 
* trazos repetidos = 3
L
A
 Lmmin= 8 +8 + 10 + 2(2) =30 cm
Clave: €
12,4.2. Problemas Resueltos.
Problema1.
¿Quéfigura(s) se puede(n) realizar con un sólo trazo y sin levantar el lápiz del papel?
Aj y
 LO
y) qm) (um)
By O)! y Il D)sólo | E) sólo1
Resolución.
vP
Mi Mi
(Mm
Tiene 2 vértices
impares. Se puede
realizar.
Problema 2.
vP ve
 
APTITUD MATEMÁTICA
vi vP
POD
vP vP 2 ve
1) (uu)
Tienesólo vértices Tiene 4 vértices
pares. Se puede impares. No se puede
realizar. realizar,
Clave: A
Enla siguiente figura se exhibe un rectángulo con sus respectivas diagonales. ¿Calcular
la menordistancia que debe recorrerla punta de un lápiz para dibujarla figura?
A) 580m B) 56 cm
Resolución.
 
 
 
2cm
NUSÍ
SS l6 cm
C) 54 cm D) 50 cm
 
E) 52 om
vértices impares =4
4 de trazos repetidos ==4 = 1
Amin= 2(10) + 2(8) + 1(6) = 54 cm
Clave: C
Centro Preuniversitario. UNMSN
 —
—____—_
Problemar3.
Calcular la longitud minima que se debe recorrerla punta de un lápiz para dibujarla
siguiente figura.
30m
A) 39 cm ==
8) 49 cm
0) 48 cm
D) 36 cm
E) 42 cm 9cm
 
4cm
 
 
Resolución.
 
A vénices impares =6 ¿
il 1 de trazos repetidos =e 2
Lain" 9(3) + 4(4) + 2(3) = 49 cm 
 
 
 
 
1 1
Clave: A
Problema 4.
Hallarla longitud del recorrido minimo para trazarel siguiente sólido regular.
6cm
A) 124 cm
B) 122 cm
C) 134 cm 10 cm
D) 136 cm
E) 138 cm
Resolución: |
¡ANS
K vértices impares = 10
$$ trazos repetidos = 10-2_ y
2
1 1
Ñ / Recorrido minimo = 6(10) + 10(5) + 4(6) = 134 cm
Clave: €
_ÁA>E
AAAPTITUD MATEMÁTICA
12.5. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema1. Los esposos Medranotienen 8 hijas y cada hija tiene un hermano. ¿Cuán-
tas personas como mínimo tienela familia Medrano?
A) 18 B)15 C)t4 D) 13 EJt1
Problema2, Si un kilogramo de mielde abejas contiene de 200 a 250 unidadesde cierta
vitamina y cuesta de 25 a 30 soles, ¿cuánto se gastará como máximopara consumir 600
Unidadesde esta vitamina?
A) S/.75 B) S/: 85 €) S/. 100 D)S/. 90 E) S/. 120
Problema 3. El padre de Tito es joyero y dispone de seis trozos de cadena de cuatro
eslabones cada uno, ¿cuál es el menor número de eslabones que tiene que cortar y
soldar para tener una sola cadena y que noseacollar?
AJ1 B)2 0)3 DJ4 EJS
Problema 4. Un coleccionista, sobre una mesa coloca 4 monedas de cinco soles(ver
figura), ¿cuántas monedas iguales como mínimo se puede colocar alrededor de ellas
tangencialmente entre sí?
A) 6
B)9
c) 11
D) 10
 
E12
Problema 5. El conductor de un ómnibus observa que a S/.1 el pasaje podía esperar
unos 60 pasajerosy que cadarebaja de 10 céntimosen el pasaje, hacia subir 10 pasaje-
ros adicionales. ¿Cuánto deberia costarel pasaje para que pueda obtener el máximo de
rendimiento económico?
A) S/.0,60 B) S/.0,80 C) S/.0,90 D) S/.0,85 E) S/.0,70
Problema6. La sumade tres menores números naturales consecutivos de tres cifras
es un cuadradoperfecto. Calcular la sumade las cifras del mayor deestos números.
AJ6 B)10 0)8 D)9 E)7
Centro Preuniversitario UNMS _á>—110040404
Problema7. Si el numeral 777abc es un cuadrado perfecto,hallar “a+b-c"
AJA B)2 C)8 D)7 E)5
Problema 8.Hallar “a+b" de modo que el número N = 3a6ab0 sea múltiplo de 3 yde7además sea un cuadrado perfecto.
A)J9 B)10 C)8 Dyna E) 13
Problema9. ¿Cuántos términosde la siguiente sucesión son cuadrados perfectos
72x12;72x13;72x14; ...: 72x 18007
A)30 B) 28 C)25 D) 20 E) 18
Problema 10.Sial doble del producto de dos números enteros positvos se añade elcuadradode unodeellos, se obtienen 60. Hallar el producto de dichos números, si lasumadeellos es mínima.
A)18 B)15 - 016 D) 14 E) 12
Problema11. —x*+x*=34, calcular el mayorvalor de “x"
A)2 B)3 0) Y2-1 D) V2+1 E) V2
aProblema12. Si (a+b+cf =3(8* +b* +c*), hallar elvalorde REALo
AJ9 B)1 C)3 D) 1/3 E) 1/9
Problema13. Si (x+yP?+1=(x+1(y+1), x2y+1. calcular k=!
 
A)-2 8)2 c)0 D)-1 EJ1
Problema 14. Si /x+ + =v11, hallar el valorde M=x?+1?p
A)790 B) 632 0) 1331 D) 702 E) 1000
AAPTITUD MATEMATICA
E
Problema15. Si === YY, calcular
 
a a
Y, y +E- ,
x y
AJ2y B) 28) 0 23y D) 2(3) E) 2(3y
Problema 16. En la figura mostrada, se tiene 3 cuadraditos iguales, cuyos lados miden 3
cm. Determinar la menorlongitud que debe recorrer la punta dellápiz, sin separaria del
papel, al dibujarla figura.
 
 
 
A) 6(5+ /2)cm B) 6(7+ /3)cm C) 6(6 + V3)cm
D) 6(5+ /3)cm E) 3(10+3/2)cm
 Problema17.La siguientefigura es un hexágonoregular. ¿Cuál es la menorlongitud que E
recorre la puntadellápiz sin separarla del papel, para dibujar la siguiente figura?. z
A) 42 cm
B) 45 cm 3 cm
48cm 3cm 3cm
D) 51 cm
ElS4.6m 3cm 30m
3cm
Problema18. Si los númerosen los tramos de la siguiente figura corresponden a sus
longitudes en centímetros, ¿cuál es la menorlongitud que debe recorrer la punta del
lápiz, sin separaria del papel, para realizar la figura geométrica, si se empieza en el
vértice M.
 
 
 
1 3 1
A) 23 1 1
D)31
B)29 2 2
E) 34
4 MG 3 1
0) 32
Centro Preuniversitario UNMSS——_——
Problema 19. Hallar la menor longitud que debe recorrer la punta del lápiz sin separar-la del papel para efectuarla siguiente figura formada, por 16 cuadraditos cuyosladosmiden 2 cm.
 
A) 80 cm
 
B) 82 cm
 
C) 84 cm 
D) 86 cm 
E) 88 cm
Problema 20. Con un alambre de 96 em,se construye una estructura de forma de uncubo. Una arañita tarda como minimo 12 minutos en recorrertodaslas aristas del cubo,caminando con una rapidez constante. Determinarla velocidadde la arañita.
 
A) 9 cm/ min B) 8 cm / min C) 10 cm/ min
D) 12 cm / min E) 10,5 cm / min
CLAVES: 7
1E 2.0 3.D 4.0 5.8
6.8 7.0 8.A 9.8 10.E
11.D 12.C 1,E 14.0 15. A
16.E A7.A 18.E 19.E 20.0
CAPÍTULOXIII
 
Cortes. Promedios. Máximosy Mínimos de Algunas.
Expresiones Algebraicas. Fórmulas Básicas parael Cálculo de Áreas.
 
13.1. CORTES.
Este tipo de problemas consiste en determinar el mínimo número de cortes que se deberealizar a una figura u objeto para obtenercierta cantidad de partes, El examinador, de
acuerdo a la naturaleza de la figura u objeto, que puedeser un pedazo de madera,tela,hoja de papel, un pastel, etc, y con las herramientas de corte respectivas:sierra, tijera,
cuchillo, etc., pondrá en algunos casosciertas condiciones, como porejemplo que no se
debe doblar o superponer, De haber
o
norestricciones, el examinado pondrá en juego
todas sus habilidades y destrezas para obtenerla cantidad de partes solicitada, con el
mínimo número de cortes posible,
347
Ejemplo.
Un sastre tiene una tela de 7 m de largo por1/2 m de ancho y una tijera que puede cortar
a lo más dos capas dela tela a la vez, Si el sastre desea obtener siele trozos detela de
1 m de largo, ¿cuántos cortes como minimo, de 1/2 m de ancho,debe realizar?
AJ2 B)3 Cc)4 D)5 EJ6
Resolución.
Tela > AAA
A+A
1m im im im 1m im im
Se dobla convenientemente: Se superponen los dos primeros
pedazosde 3 m oblenidosho
77) HE1
o
r 2
*. Son suficientes tres cortes Clave: B|
Centro Preuniversitario UNMS» _—_—_____
13.1.1. Problemas Resueltos.
Problema1.
¿Cuáles el menor número de rectas que deben trazarse a la siguiente figura para dividir-la en seis regiones?
 
AJA B)2
c)3 D)4
E)5
Resolución.
:. Son suficientes dos rectas
Clave: B
Problema 2. 7
¿Cuáles el menor número derectas que deben trazarse a la siguiente figura para dividir-la en seis regiones?
 
 
 
AJA B)2
0)3 D)4
E)5
Resolución.
2
N
+. Sonsuficientes dos rectas
 1155 
A
Clave: B
 
APTITUD MATEMÁTICA
Problema3.
¿Cuántoscortes rectos como minimodebe realizar Blanca Nieves a un pastel de forma
cilíndrica para compartir en partesiguales con lossiete enanitos?
Aay2 8)3 c)4 D)5 EJ6
Resolución.
Puestoqueen total son 8 personas,se debe tener 8
pedazos,por lo que son suficientes dos cortes
verticalesy uno transversal (a mitad del pastel) Por lo
tanto se necesitan tres cortes como mínimo.
 
Clave : B
Problema 4.
En la figura se muestra un pedazo de madera que será cortado con unasierra eléctrica
en 16 pedazosiguales siguiendolaslineas marcadas. ¿Cuántos cortes como minimo se
debehacer?
 
 
 
AJ3 B)4
05 D)6
E)7
Resolución:
 
 
 
 
 
 
 
44
 
 
+. Son suficientes cuatro cortes
[Clave : B
349
350
Centro Preuniversitario UNMS»
 —
—_——MMI¿AAA%%000
13.2. PROMEDIOS.
Valor que consideramos representativo pues corresponde a los caracteres o condicio-
nes más generales de un grupo.
Sean los números: a,
 
 
Donde:
—
Menor: a,
Mayor: a,
Si P es un promedio, se cumple: a,<P <a,
Elpromedio es una medida de tendencia central.
Los promedios que se calculan, puedenser:
13.2.1.PromedioAritmético (PA) o Media Aritmética (M.A)
 
51 _91+22+83+..+a,PAL 41+82+8 '
 
 
 
n
 
Ejemplo 4.
Las notas de Carlos, en el curso de matemática 1, son: 06 , 10, 14 y 18, hallar el
promedio aritmético de notas.
A)12 B)11,5 C)12,5 D) 13,5 E) 13
Resolución.
Paja PEMOPIAAO
4
$R 06+10+14+18 Lon
Cla
 
Ejemplo2.
El promecio aritmético de edad de 5 hermanoses 26 años. Sila edad promedio de tres
deellos es de 30 años,¿cuál es el promedio de edadde losotros dos?.
A) 10 años B) 40 años C) 20 años D) 24 años E) 25 años
Resolución.
Seanlas edades a,b, c,d y e respectivamente.
arb+c+d+e
 
 
- =26 > a+rbrc+d+e=130
+b+c2 7 —=30 > a+b+c=90
dre 40d+e=130 -90=40 > E
Clave:
 APTITUD MATEMÁTICA
Nota;
N (404s
Si PA(de 40 números)= 30 => 2o > (4045) = 40(30)=1200
Si PA(de 18 números)=35 = )'(18H's)=18(35)=630
13.2.2.Promedio de Datos Agrupados.
Si se tiene un conjunto de números distribuidosen grupos de n,,n,._n, números cuyos
promedios aritméticos son xy , xa , Xg ,... xy fespectivamente.
Sea P el promedio deltotal, se cumple:
 
 
1402 Ha +. +0 
 D(+02+N2 +... +Ng 
Ejemplo 3.
Los siguientes datos corresponden alas edades (en años) de todos losalumnosdel aula N*24.
 
Edades 16/17|18|19|20
 
351
Número de alumnos [25 [30
|
2 [10] x 
Si el promedio total es de 18 años, hallar el número de alumnosde dichaaula.
A)70 B)92 C) 102 D) 106 E)103
Resolució:
 
25(16)+30(17) +2(18) +10(19)+x(20) _ 1136+20x _
11
25+30+2+10+x 67+x Ñ
x=35
Clave: C
13.2.3. Promedio Geométrico (PG) o Media Geométrica (M.G)
 
 
 
 
Ejemplo.
Sean los números: 2, 4, 8, entonces el promedio geométrico es: PG = 2(4)(8) =4
Centro Preunivers tario UNMSM
 
Ejemplo 4.
Si el promedio geométrico de *m"y “n" es 2/8; de "m" y "p" es 4,/2ly de “n' y "p" es
4,[3.. halar el promedio geométrico de "mn" y “p”.
A 2Y2 B) 243 0) 4Y D) 4Y3 E) 5Y
Resolución.
PG(m,n)=Vmn =24/6; =>mn=24
PG(m,p)= /mp =442; =mp=32 |PG(m.n,p)=/mnp = 182 = 4/3
PG(n.p)=/np=443; = np=48
mnp=192
13.2.4.Promedio Armónico (PH) o Media Armónica (M.H)
Clave: D
 
 
 
 
352 *
 
Ejomplo: Sean los números: 2;4; 8; 16, entonces el promedio armónico es:
— 4 4 6
MAApao >
20405 %16 15
13.2.5.CasosParticulares.
1. Para dos números:a,b.
 
 
=$ — 0 APTITUIO MAlEMATICA
15.26. Propiedaues
l, Para cualquier cantidad de números.
a. Sinotodos los númerosson iguales, se cumple PA PG + Eu
 
 
 
+ Silos números soniguales, se cumple: PA -PG
oservo
dostos de promedios son entoncesloe numeros +: 1 iguales
ciemplos
arb 2absi -= >2 aro
a+b+0si
 
 
 
3
< El promedio aritmético de una cantidad impar de números consecutivossiempre es
¡gual al termino central
Ejemplos. 352
8+9+10
*8,9,10 > PA= 5
*11,12, 13, 14,15 => PA=13
Ejemplo 5.
El promedio arilmético de 81 números consecutivos es 104 Ilallar la VG entre
el menor y el mayorde dichos números.
A)98 B) 95 C) 86 D) 96 E) 2/4908
Resolución.
Comoel promedio aritmético de 81 números consecutivos es 104 , entonces104 es el
termino central.
40 4s 40 8s
cano WOiimicrrnnros 164,
Í | :. MG=,f64X144 = 8-12 =96
menor mayor
Clave: D
354
Centro Preuniversitario UNMSM
 
11, Solo para dos números.
Seana y b los números, entonces se cumple:
1) M.G* =(M.A)(M.H)
i), (a-b? =4(MA +MG)(MA-MG)
13.2.7. Problemas Resueltos.
Problema1.
La M.G de dos números es 31,5. Hallar el mayor de dichos números sabiendo que
ambos suman 65.
A)24,5 B) 40,5 C)23,5 D) 41,5 E) 42,5
Resolución.
Seana y b los números
*MG=31,5
*a+b=65 > MA =325
 
Propiedad
(a-0)? = 4(M.A+M.G) (MA -M.G)
(a-bP =4x64x1 => a-b=16
como:
a-b=16
arb=65[ (0
2a =81
> a=405 b=245
£l número mayor: 40,5
Clave: B
Problema2.
La M.H y M.A de dos números, son númerospares consecutivos
.
Hallarla diferencia de
dichos números, sabiendo que su MG es 10/24
AJ10 B)15 Cc) 20 D) 18 Ej21
 APTITUD MATEMÁTICA
Resolución,
Sean a y blos números
MA-MH=2
MG=10/24
Propiedad:
M.G"=MAxMH
(10/24)? = M.A x M.H
MAXxMe MA=50
MA-MH=2 MH=48
Observación: 2400=2%x3 x 5?
Luego:
a+b
2 > a-b=20
Vab=10/24 = ab=2400|P=40
 =50 > a+b=100 |¿60
Clave: C
Problema 3.
¿355
El promedio aritmético de 81 números enteros pares es 96. Hallar los dos números y
pares consecutivos que se debenretirar para que el promedio aritmético de los números
restantes sea 90,
A) 332; 334 B) 336; 338 C) 324; 326 D) 334; 336 E) 342, 344
Resolución.
= (Bt)1 PA 6185) Lea5 =% => L(6tks)=81x96 =7776
2) Sean ny n+2 los números pares consecutivos que se extraen.
Quedan79 números
AINA
3) n+(n+2)=7776-7110
n+2=334
4) 2n+2=666 =>
n=332
Clave: A
Centro Preuniversitario UNMS» _2>————
Problema4.
La edad promediode cuatro Personas es 36 años y ninguno deellos tiene menos de 27años. ¿Cuál es la máxima edaden años quetiene unode ellos?
AJ61 B)62 C) 63 D) 69 E)73
Resolución.
Edad, ima +Suma (de edades restantes)Edad Promedi ee Erin)
 
Número de personas
0. Ea +3(27)
Edad nan, = 69
Clave: C
12.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE ALGUNAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
En esta parte utilizamoslas siguientes propiedades:
1. Seala expresión constante E = 8,+a,+a,+... +a, dondelos valores de a,, a,,.... a, varían356 en algún intervalo. Entonces:
1) Uno de los sumandos a, toma su mínimo valor siem... y cuando todos los demássumandostoman su máximovalor.
11) Uno de los sumandos a, alcanza su máximovalor siempre y cuandotodos los demástoman su minimovalor.
2. Dada ha esprenlón condibtica Elx) < ox + Dx +, mediante el método de completaciónde cuadrados se escribe:
E) =ax+bx+o= a(u—ht+k
 
y cumple:
) Si a>o 1) Si a<o
y
h
K] :
Ettiene mínimo y ocurre Etiene máximo y ocurrecuando x= h, Además, jcuando x= h. Además,Eva =K EVa3 K
-—-———— APTITUD MATEMÁTICA
Ejemplo 1.
Milagros desea comprar lapiceros de tres tipos cuyos precios son S/. 5, Sl. 4 y S/.3
cada uno, ¿Cuántos lapiceros como máximo puede comprar con S/. 120 si quiere tener
de los tres tipos?
A)36 B)37 C) 38 D) 39 E)40
Resolución.
Nde lapiceros tipo A:a (S/.5 clu)
N? de lapiceros tipo B:b (S/.4 clu)
N' de lapiceros tipo Cc (S/.3 c/u)
Delenunciado: 5a+4b+30=120
ComoMilagros quiere comprar el máximo númerode lapiceros, debe comprarla minima
cantidad posible de los que cuestan más, y como quiere tenerlapiceros de los3 tipos,
entonces:
Luego,
 
357
Y el máximo númerode lapiceros que puede comprar es 39.
Clave: D
Ejemplo 2.
Unaencuesta mostró que desde las 5 p.m. hasta la medianoche el porcentaje de una
población que ve televisión es P(x) = 11 + 10x — 2x?, donde x es el número de horas
despuésde las 5 pm. Determinar, según esta encuesta, la hora de mayor sintonia
A)7 pm 8)7:30 pm. C)Bpm. D)8:30p.m. EJ8:45pm
Resolución.
25. 47 sy 7Como Pla) > 11910128 =-2 (8-54 293] 2x3] +
47
Tenemos: P,,,= =3=235 y ocurre cuando x==25
n
o
Entonces,la hora de mayorsintonía es a las 7:30 p.m.
Clave: B|
Centro Preuniversitario UNMS»
 
—
_]>——__—
13.3.1. Problemas Resueltos.
Problema1.
La edad promedio de cuatro personas es 22 años. Si ningunode ellos tiene más de 25
años,¿cuál es la mínima edaden años que puede tener uno de ellos?
Ay12 B) 13 C) 14 D) 15 E)16
Resolución.
Er+E2+Es+E4
 =2 3 E+E+E+E =8
Edad mínima de uno deellos: E,,,
Edad máximade los otros: 25
Luego, E,,, + 25+25+25=88
Ey Eta
 
Problema 2.
Se quiere transportar a 178 personas en vehiculos de dos tipos: Unos tienen capacidadara 17 personas sentadas y otros para $, ¿Cuál es el mayor número de vehículos quese deben utilizar si se deseaque ninguna persona vaya de pie y que ningún asiento quedevacio?
A)25 B) 29 C) 26 D) 28 E) 27
Resolución.
N* de vehículos tipo 1: m (capacidad: 5)
N* de vehículos tipo 2: n (capacidad: 17)
Delenunciado: 5m+17n =178
Para obtener el máximo número de vehículos, debemos hallar el máximo número de
vehículos de menor capacidad.
Luego:
Sm + 17n= 178
tot
2 4
Entotal : 26 vehículos
Clave: C
APTITUD MAILMA TICA
 
Problems 3
Enla figuias, el cuacrado ABCDtiene :32 cn' de área. ¿Para qué valor de "a"el awca del
+uadrada NNPQ(5 minimo?
 
ms md
m2 04
£) 2/2
Fesolución.
CoImOSas 32, BC =442. Luego,
S=4=a + (6/2 ap
=20-8/2a+32
(a 2429416
 
 
 
 
“Sy; = 16 y ocurre cuando a=2y2 E
Clave: E
Problema4.
El número de soles queliene Laura siempre es igual a 60 veces el númerode soles que
tiene Magaly, menos el triple del cuadrado de éste mismo número. ¿Cuánto sumará el
dinero de ambos cuando Laura tenga el máximo posible?
A) S/.305 B) S/.310 0) S/.315 D)S/.320 E) S/.325
Resolución.
N* de soles de Laura =L
N* de soles de Magaly =M
 
Del enunciado: 50M -3M?
300 - 3 (M- 10)?
Luego, Umás= 300. y ocurre cuando M = 10.
Entonces,el dinero de ambas suma S/. 310,
Clave: B
Centro Preuniversitario UNMSY ——_—
 
13. 4. FÓRMULAS BÁSICAS PARA EL CALCULO DE ÁREAS.
13.4.1. Áreas de Regiones Triangulares o Área de Triángulos.
L Áreadeuntriángulo cualquiera.
f bhA Gs PA
ZN .A ;
Il. Área de un triángulo rectángulo,
La
11l. Fórmula trigonométrica.
360
y ]
b
IV. Área de un triángulo equilátero.
a a s. E NY«QA
a
En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 4 m y la longitud de la
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo4.
5hipotenusa es ¿de la longitud de uno de los caletos. ¿Cuál es el área de su región
triangular?
A) (5)m B) 50 m* Cc) E)m D) Emi E) Er
APTITUD MATEMÁTICA
 
Resolución.
3k.4k 5k.4¿6 0Dela figura: z EN y 5
A
2 9) 3 HA
Clave: €
Ejemplo 2.
Calcular una de las alturas iguales de un triángulo isósceles de 36 mde área, cuyos
ángulos iguales miden 15" cada uno.
 
A)J8m B)6m C)5m D)4m EJ9m
Resolución.
Dela figura y por dato:
ore
2
Clave: B|
Ejemplo 3.
Dela figura, calcular el área máxima de la región sombreada. 8
A) 20 cm B) 25 cm?
C) 15 cm* D) 30 cm*
E) 28 cm?
095Resolución. 20m
(20;
5L02x =-—(é-10x)
2
S= -((x-5)2-25)=25-(x-5)?
x x 20-2x Suaxmo = 25
Clave: B|
13.4.2. Área de regiones cuadrangulares o simplemente área de cuadriláteros.
L Área de-un cuadrado.
 
 
 
 
Centro Preuniverstario UNMSS
 
—
_—_z¿ízz—
1. Área de un rectángulo.
 
 
 
Ji. Área de un Rombo.
 
 
 
D= diagonal mayor.
d= diagonal menor.
362 Tiene 2 ángulos agudos.
Tiene 2 ángulos obtusos.
IV. Paralelogramo.
 
 
H—=— bh ==
V, Trapecio.
 
(22 |
 
 
 APTITUD MATEMÁTICA
13.4.3. Ejercicios Resueltos.
Problema 1.
Dela figura mostrada. Calcular el área máximadela región rectangular sombreada.
AJ30m* B)25m* 4
[C)35m"” D)20m*
 
 
eL n y
E)70m* |m lm
h n a
s ETAResolución. 10:
Dela figura
 
4+10 5A
2 2
_ 6m+6n+24
2
de aqui: m+n=10> S=m.0=m(10-m)=10m-m' 368
S=-(m-5) +25
S=mn >S,a, =25 cuando m=S5
Clave: B
Problema2.
Calcular el área del rectángulo ABCD,en el cual, CD = 30 cm y BF = 16 cm
D
A) 1200 cm? B) 1600 cm?
C) 1500 cm? D) 2000 cm?
 
 E) 1800 cm?
Resolución: B F Cc
A D s
Por Pitágoras:
Seax=AF
107 +300=x? > x=34
como AF=FC => BC=50
B F e Sasco = 50(30) = 1500
Clave: C
Centro Preuniversitario UNMSS —_—_—
Problema3.
Las diagonales de untrapecio miden 13 cm y 15 cm. Las bases miden 4 cm y 10 cm.Hallar su área.
A) 72 cm? B) 104 cm?
Resolución.
 
Problema 4.
C) 84 cm? D) 90 cm? E) 60 cm*
Dela figura, por T. de Pitágoras:
13 —(m+4) =15* (10m)?
(10m)? -(m+4)? =56 > 14(6-2m) = 56
m=1
Luego: h? = 152-(9)? = 12
4+10
 traje |
Clave: C
Setiene untrapecio de 7,5 m* de área y cuya base mayor mide 6 m y AC=3m. 4
Hallar la longitud de la base menor BG.
1A) E) 1 m B)7m
o? 3
)7M Dm
E 3
) gm
Resolución,
Sea x= BC
De la figura mostrada:
También
 
 
B Xx c
h|
A DAD
HA, +
6m
Clave: E
APTITUD MATEMÁTICA
13.5. PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema 4. ¿Cuál es el máximo número de trozos en que puede dividirse un queso
deforma cilíndrica, mediante cuatro cortes?
AJ8 8) 10 0)12 D)14 E) 16
Problema 2. Sobre una lámina cuadrada se realizan tres cortes. ¿Cuál es el máximo
número de pedazosque se puede obtener sin doblar ni superponer?
AJá B)5 c)6 D)7 EJ8
Problema 3. En la figura se muestra un pedazo de madera con marca cuadriculada
¿Cuántos cortes rectos como mínimo se debe realizar con una sierra eléctrica, para
obtenerlos 14 pedazos cuadrados?
 
 
 
AJ3 B)4
C)5 D)6
E)7
¡ 365
Problema 4. Si a una hoja de papel se le trazan 16 líneas rectas y luego por ellas se
realizan cortes sin doblarel papel, ¿cuál es el máximo número de pedazosque se obten-
drá?
A) 137 B) 142 C) 149 D) 156 E) 160
Problema 5. Un cubo compacto de madera, de 20 cm de arista, será cortado con una
sierra eléctrica en 64 cubitos iguales. ¿Cuántos cortes como mínimo se debe hacer?
A)5 B)6 C)7 D)8 EJ9
Problema6. La ma y la mh de dos números enteros positivos están en la mismareta-
ción que los números 25 y 9.Hallar el minimo valor que puede asumir la mg. de dichos
números , sabiendo que son números enteros.
A)2 B)4 03 D6 E)5
Problema7.El promedioaritmético de tres números es 14 , El promedio geométrico es
igual a uno delos números y el promedio armónico es 72 / 7 . Hallar el mayorde los
números.
A) 22 B) 24 C)18 D) 30 E) 28
368
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema8. Sean m, n y p números enteros positivos
.
Si la media geométrica decada par de números es a los números 3, 4 y 5. Encontrar el producto de dichosnúmeros enteros, si la constante de proporcionalidad es el menor entero posible.
A) 1286000 B) 12950000 C)12870000 D)12960000 E)12902400
Problema 9. Sea A= (250,2, a,,a,...,a,) un conjunto de números enterospositivos , no necesariamente diferentes. El promedio aritmético de los elementos de A es70; pero siquitamos250 elpromedio delos restantes es 60. ¿Cuál es el mayor númeroquepuede pertenecer al conjuntoA?,
A) 1073 B) 1080 C) 1063 D) 1062 E) 1064
Problema 10. El peso promedio de los integrantes de la familia Álvarez es 68,5 kg y elpeso promedio delos integrantes de la familia Calvo es de 72,5 kg. Si el peso promediode los integrantes de ambas familias es de 71,5 kg. y ade:nás se sabe que el número de *
integrantes dela familia Calvo excede a la de los Álvarez en 10, ¿cuántas personas
conforman!a familia Calvo.
AJ10 B)86 CC) 15 D)5 E)7
Problema 11. Una señora en su primerparto tuvo una hija; en el segundo parto, mellizas;
y en el tercer parto,trilizas. Si la edad promedio de las hijas es 19 años y todas yasufragaron en las elecciones pasadas, ¿cuál es la edad máxima en años que puedetener una deellas?
A)22 B)24 Cc) 19 D) 21 E) 23
Problema12, El número de soles que tengo, disminuido en 25, es igual al doble delcuadrado del número de soles que tiene Raúl, disminuido en 12 veces este mismo nú-mero. ¿Cuánto es lo que puedo tener como minimo?
A)S/. 5 B) S/. 11 C) S/.7 D) S/. 9 E) S/. 8
Problema 13. Un recipiente vacio de 3,25 litros de capacidad debe serllenado con agua
1 1 1vílizando las tre tazas que se dispone y cuyas capacidades son z, tr, iio y 7
litro. ¿Cuáles el mínimo número de veces que serán usadaslas tazas?
A)10 B)9 C)8 D)7 E)6
Problema 14. Rosa le dice a Janet: "Mi edad es 18 veces tu edad, menos el cuadrado dela misma, menos 3 años". Janet le pregunta: "¿Cuál sería mi edad en añossi tu edadfuera máxima?" y Rosa debe responder:
A)78 B)18 C)9 D)21 E) 15
 APTITUD MATEMÁTICA.
Problema 15. Dos números sontales que el doble de unodeellosy el triple del otro
suman 78. ¿Cuál es el máximo valor de su producto?
A) 338 B) 301,5 0) 273,5 D) 260 E) 253,5
Problema 16. Enla figura mostrada,calcular el área de la región sombreada.
A) 63 m*
B)75m*
C) (65,5) m*
D) (37,5) m*
E) 60 m*
 
Problema 17. En el paralelogramo mostrado, calcular el área MTD siel área del
paralelogramo BQON mide12m”.
Q
A) 6 m*
B)3m
C)2m* ñ
D)4nP P===SY) N 367
AEJ1me D BS C
Problema 18. En un triángulo rectángulo ABC,los catetos AB y BC|miden 21m y 28 m.
Calcular el área del cuadrado inscrito BMNP.
A) 130 m* E
B' 120m? Pp
C) 144 me
D) 110 m* A c
E) 112 m* N
Problema19. Enla figura mostrada NC = 3AN el área del rectángulo ABCD es 40 m*
Calcular el área de la región sombreada.
A) 18m? A B
B) 16 m* N
C)15m2
D) 20 m2
E) 25 m*
 
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Problema 20. En el trapecio mostrado siendo 5, , 5, S4|las áreas de los triángulos indi-cados indicar la relación correcta.
A) SÍ = S,.S,
B) 28, = S¿+S, LEÍ
C) Sy = 25,+ S, A
E) 38, = S,-28,
CLAVES:
LE 2.0 3.B 4 A 5. B
6. C 7.8 8. E 9.c 1. Cc
“MA 1.c 13. B 14. C 45. E
16.D 17.8 18. C 19. D 20. D
CAPÍTULO XIV
 
14,1. FRECUENCIA DE SUCESOS.
 esta sección trataremostipos de problemas en cuya solución analizan los interva-
s de tiempo, por ajemplo: nú de pastillas, número de cansadas,etc. 
14.1.1.Campanadas. e
Ejemplo 1.
Siun
das?
 
la 5 campanadas en 2 segundos. ¿En cuántos segundos dará 10 campana-
A)J16 B)15 C) 17 D) 18 E) 19
Resolución.
Esrecomendable realizar el siguiente análisis:
Enlas 5 campanadas hay 4 intervalos de tiempoiguales. 'l. Obser «amos que el número
sie intervalos de hempoes siempre uno menosque el número de campanadas.
 
1camp.
Luego:
2camp.
5camp. -———» 8seg
4 3camp.
10 camp. ———+> xseg. e
> al 4camp.
Centro Preuniversitario. UNMS —__———————
Por regla de tres:
t —— 8seg 9t. 8. seg 1> x= = 18 segMN -——> xseg 4
 
Entonces 10 campanadasse darán en 18 segundos.
Clave: D14.1.2Disparos.
Ejemplo 2.
Un fusil automático puede disparar7 balas por segundo. ¿Cuántas balas disparará en unminuto?
A)419 B) 340 C) 361 D) 420 E) 421
Resolución.
En los 7 disparos hay 6 intervalos de tiempo 1
Ht instantesde tiempo = 4 disparos (o campanadas) = 1
 
Luego,si: 7 balas —» 1seg
6
0 xXx —>» fmin<>60seg
6t. 60 seg.
seg
En un minuto disparará 361 balas.
 
 =360 1 <>361 balas
 
Porregla de tres: X=
2 Ss 2 : o
 
Pastillas.
Ejemplo3.
Se tiene un enfermo que deberá tomar cierta pastila durante 10 horas, con intervalos dedos horas. ¿Cuántas pastillas tomará en tota/?
A)S B)6 C)7 D)8 EJ4
Resolución.
Ml
Inicio 10h
SAI
2h 2h 2h 2h 2h
Se observa que el número de pastillas a tomar es uno o más que el nútmero de intervalosde tiempo en tomarla dosis.
NPde pastillas = 6 = 5 +4
 APTITUD MATEMÁTICA
Clave: B
Generalizando:
 
 
T
weestas1 [E »»]
 
Donde:
K= pastillas que toma por vez
T = tiempo quedura el tratamiento
|= intervalo de tiempoen tomarcada pastilla
14.14. Otros tipos.
Ejemplo.
 
una bacteria se cuadriplica por cada minuto transcurrido,¿qué hora fue cuando lleva-
ba 1/16 del volumen de unfrasco,si a las 16 h quedalleno?
A) 15h 58 nin B) 15h 50 min C) 15 h 40 min
D) 15h 30 min D) 15 h 20 min
an
Resolución.
Este tipo de problemalo analizaremos empezandode lo último hacia adelante veamos:
VIS _ Y
¡EEM > Votunen: Vpe |
Paso Paso
mito 1mimto_
1 yoY
 
Y
151 59 min - 1 min 4pm.-1 min
15 0:58 min 15 h 59 min
Luego cuando llenaba 1/16 del volumeneranlas 15 h 58 min,
Clave: A
Centro Preuniversitario UNMSM
 
14.1.5, Problemas Resueltos.
Problema 1,
Unreloj emplea 10 segundos en dar 6 campanadas. ¿Cuántas campanadasdará en 32segundos,si entre campanada y campanadael tiempo es uniforme?
A) 20 B) 16 C) 19 D) 18 Ej 17
Resolución.
En 6 campanacias hay$ instantes de tiempo
5 1509
A + 07 seg,
 
 
Porreglade tru. x=
=> H campanadas = 16 +1
2 Entoncesen 32 campanadasdará en 17 campanadas.
Clave: E
Problema2.
Unapistola puede disparar 4 balas por segundo, ¿cuántas balas dispararáen un minuto?
A) 181 B) 180 Cc) 182 D) 179 E) 178
Resolución.
1 belasAl disparar 4 balas se tiene 3 instantes de tiempo
2 balas3 -——, 1509
A ——> 1 min <> 60 seg t
t 3 balas
o E lor regla de tres: X=—==
fee) 4 balas
=> l! balas disparadas = 180 + 1 =181
2 APTIFUDMATEMATICA
Clave: A
Problema3.
Pamela tiene que tomar2 pastillas del tipo A cada8 horas y 3 pastillas deltipo B cada 12
horas, ¿cuántas pastillas tomará en los 4 dias que dura el tratamiento?
A)54 B) 53 C) 52 D) 55 E) 51
Resolución.
Se tiene 4 días <> 424) horas
NN?de pastillas tomadasdeltipo A aa- 26
'N* de pastillas tomadasdel tipo B. 5
 
Total =
Clave: B
Problema4.
Las bacterias en un frasco tienen la propiedad de duplicarse por cada minuto que pasa. E and
1
Sialas 5 horasel frasco se encuentra en z de su volumen. ¿A quéhora estará comple-
 
tamentelleno?
A)5h20min B)5h15min C)5h5min D)Sh10min E)ShGmin
Resolución.
Se tiene:
5 horas
(o2220
INS NAS
posa Ed há
ssmin demía 1 min 1 min 1 min
 
 
Estara completamentellenoa las 5 h 5min
Clave: €
374
Centro Preuniversilario UNMSM:
 
14,2, RAZONES Y PROPORCIONES.
Introducción,
Si observamos dos magnitudes,y notamosque una es mayor quela otra nos pregunta:mos: ¿en cuantas unidadeses mayor? o ¿cuántas veces contiena la mayora la menor?,Para responder a estas preguntas comparamosestas dos magnitudes por sustracción opor división respectivamente.
14.24. Conceptos Básicos.
Razón.
Eselresultadoque se obtiene al comparar 2 cantidades llamadas antecedente y consecuente.
Sise compara por diferencia se le llama razón Aritmética ; si se compara pordivisión se
le llama razón Geométrica.
Clases de razón.
A) Razón Aritmética.
Es la comparación de dos cantidades por sustracción
Ejemplo 1
Enun concurso Nacional de matemáticas participan 60 limeños y 35 provincianos.
¿Cuál es su razón aritmética?
A) 386 B) 376 C) 360 D) 396 E) 374
Comparando:
 
60 limeños- 35 provincianos = 5
antecedente consecuente valor dela cuan
Clave: A
Interpretación.
El número de limeños en el concurso, excede en25 al número de provincianos
Hay 25 limeños más,que provincianos
En General:
 
 3- b=r|«— Valorde la razón
L——.Consecuente
————_ Antecedente
 
 
11) Razón Geométrica.
Us la comparación de dos cantidades por división
tjemplo 2.
1... el ejeraplo anterior, hallarla razón geométrica
y0A B) 127 C) 6/5
hesolución.
4= G0limeños
b= 35 provincianos
 
2 _ 60 limeños 12
b 35 provincianos 7
Interprelación.
Por cada 12 limeños hay7 provincianos o
———— APTTUL MATEMATICA
D) 1/5 E) 2118
Clave: B
El número de limeñosy provincianosestán en relación de 12 es a 7.
En General: ab
Donde.
“a”: es el antecedente
“b': es el consecuente
“Ki: valor de la razón
C) Razones Geométricas Equivalentes.
a a
Ss Tk Lo
bi bz
 
se obtiene.
 
375
Centro Preuniversitano UNMSM
 
2,972),
 
 
AAA e
Mbbjb,..D,
dra 4
DADRso ;
Ejemplo 3. 1
De un grupode 858 estudiantes se sabe que
slo
cada13 do praclican natación;¿Cuántos no practican natación?
A) 386 8) 376 C) 360 D) 396 E) 374
Resolución. .
8 _132 = , entonces x=6(858)/13 = 396
3760 Clave: D
Ñ Ejemplo 4,
La suma,la diferencia y producto de dos números enteros positivos están en la relaciónde 9,3 y 72 respectivamente. Hallar la suma de estos dos números.
A)24 B) 48 C) 36 D)30 E) 45 :
Resolución.
 
 
e
72
jobservamos que: a + b = 9k
a-b=3k a=6k y b=3k
2.b=72k => (6k)(3k)=72k
> k=4
Luego a=26
—
b=12 => a+b=36
Clave: O:
a SE nos APTITUD MATEMATICA
Ejemplo 5.
En/la escuela profesional de matemáticas de la UNMSM: la relación entre la cantidad de
alumnes ho 3 coma € 33 2 10 ylos ahtimn bres er los turnos
larde y noc! ente misma relación que '9s 516,15 y 14 Mallas
la relacionen que estánlos alumnos hombres del tumo noche con el tetal de alumnos
 
 
 
 
 
A) 14/95 B) 11/14 C) 21/35 D) 17/39 E) 11/21
Resolución.
Sean
H. el número de hombresen los tres turnos
M- el número de mujeres.
 
y? Hm=16kCondiciones a) == A
M 19 Hi =15k
Hp =14k
b)a ask
16 15 14 =*8K
377
De = 50k enlonces ¿y Hi Mo 95k
 
14.2.2, Proporción.
Ss la iguoldadde dos razones delmismo lipo y pueden: ser de is
 
A) Proporción
 
términos extremos
Propiedad.
Suma de extremos = suma de medio:
 
8) Proporción Geométrica
 
 
Centro Preuniversitario UNMSL ———_——_—_-—_——
aya términos extremos
“b'y"e" términosmedios
 
ad=b0
 
propiedad :
 
Clases de Proporciones.
|. Discretas:Si sus cuatro términos son diferentes entre sí.
A) Aritméticas Discretas.
 
a-b=c-=d
 
axb=ced
 
Al ultimo término se le llama cuarta diferencial de "a", "b' y "e".
B) Geométricas Discretas.
 
arbe*cxd 
 
 
 
Al utimo término sele llama cuarta proporcional de "a", "b” y”
l. Continuas: Si sus términos medios son iguales.
A) Aritmética continua.
 
 s arcabsb=c [o 2b=arc> »= 
A cada termino igual (b) se le llama media diferencial o media aritmética y cada término
distinto se le llamatercerdiferencial.
B) Geométricas continuas: cuando los medios son iguales.
 
> bado |b=/ad 
 
 
A cada término igual (b) se le llama media proporcional o media geométrica y a cadatérmino distintose le llama tercera proporcional.
APTITUD MATEMÁTICA
Propiedades.
2.8Si y = y Se cumple.
»
 
 
si =bk
Ejemplo6.
a b+ ds as $ == y alsimpilicarla expresión
_ D(ab + be + ac) o
aclarb+c)+b+0) se tiene que 5V* es:
AJk B)10 0)5 D) dk E) 40
Resolución.
Como : Dl : = k| entonces: a=bk:b=ck, c=dk. => b=uk
e
Keemplozando en V y ordenando se tiene:
ax ó(d?k5 y 7x3 + a?) z
atar y ax? 4 ke)
a)
TE
1
luego 5V$=5,1%=5
ado
Clave: C
379
Centro Preunwersitario 11:45 _Mm——
 
14.2.3. Problemasl..-sueltos.
Problema 1.
Baúl debe preparar ron con cierta gaseosa en la proporción de 7 a 4 respectivamentePorerror se mezclaron ron y gaseosa en la proporción de 5
a
3, obleniéndose 9 Itros demezcla. ¿Cuántas litros de ron se debe agregar para obtener la proporción deseada?
 
A)2,5 86 c)3 D)2,5 E)18
Resolucion,
son _ Sk 60Porerror se mezcla gaseosa —0K 36 Pues 5k+3k=96 =k=12
60% 7
>a=3
 
Para obtenerle. :oporción deseada se debe agregar3 litros de ron
 
 
 
 
 
Cave: €
Problema 2. i
380 En la figura, AÉCD es un cuadrado. Determine la razón entre el perímetro de la partesombreaday eltaco del cuadrado
A 8AJA . DJ3
B) 1/4 EJ4
am
al á0)2
Resolución. D Cc
Observamos: e+f+g=a=b+c+d
 
 
 
 
, Le =. Perímetro de la región sombreada = 4 a
y
a6 de), Razón= <= 4 
Clave: E;
 
eAe—Á— APTITUD MATEMATICA.
Problema3.
Se tiene dos depósitos con vino de precios diferentes. El primero contene 30 litros el
segundo 50 litros, Se extrae de cada una la misma cantidad y se hecha en el primero lo
que se sacó del segundoy reciprocamente. ¿Qué cantidad ha pasado de un depósito a
otrosi el contenido de los dos ha resultado de la misma calidad?
a) 18L B) 17L C) 19,751 D) 18,751 E) 19L
Resolución.
DEPÓSITO 1 DEPÓSITO 2
tro. [3 tro. [om]
200 2d0. 50-n |
=:(30-m) ($0-n)=n* de donde n= 18,75
 
A 50 -n
uútave: D
Problema 4,
301
 ¡ce “n' añosla relación entre las edades de tna madre y suhijo que nació curando ella
tenía 28 años, era como 11 es a 4: y dentro de “nm” años será como 5esa 3 Hallar “m”.
 
Ay 8)12 0)13 D) tá 815
Resolución.
La diferencia de edades entre la madre y su hijo será siempre 28 años.
Hace “m" años: Sea E,,: edad de la madre y E,: la edad de su hijo.
141 tkneo -4k= k=4ión > 1k-4k=28 >
 
Dentro de "m"años EM LÍO pd 28 sl 09 hm 4
En 3k; á
=70, E,=42
O
ss presente 1 2m=26 = m=13 años
Clave: C
382
Centro Preuniversitario UNMS
 
—
_————
14.3. FACTORIAL.
Esta parte del capítulo nos permitirá simplificar expresiones algebraicas, utilizando lasPropiedades del factorial y aplicando adecuadamente teoría de exponentes, factorización,etc. Asi mismo hallaremoselvalor numérico de dichas exgfresiones dondehaya factorialy resolveremoslas ecuaciones requeridas. +
14.3.1.Concepto.
El factorial de un númeroentero positivo, es el producto de todoslos números enterosconsecutivos desdela unidad hasta dicho número.
Símbolo: 1, selee "factorial de...
Factorial de n: n1= 1x2x3x...xn
14.3.2. Propiedades.
1) O1=1
1 nt
 M1)! (0)(n-2)L(n= 1)
=(n-3)M(0=2)(n=1)(m)
11) (0+2)1=n1 (n+1)n +2)
=(n+1)1 (n+2)
IV) (n-2)!=(n=3)1 (n-2)
= (4)! (n-3) (n-2)
Observaciones.
1) 11=1 2) Si (n-3)
21=2 => n-3=0
31=5
41=24
51=120
61=720
3)Si al=bt e a=b , as0 , be0
 
 
" o4) (31)! = (6)! ; puesto que 31
5) (211 = 2 ; puesto que 21 " m
6)31+41 =31+31(4)
=31(1+4)
=31 (5)
7) 71-51 = 51(6)(7)-51
51(42-1)
= 5141)
Ejemplo 4.
Calcular el valor numérico de
A) 7/6
Resolución.
Aplicando
Simplificando
Ejemplo 2.
_ 501 (801)(991)
71 (481)(791) (100 1)
B)7/18 c)1
n= (n-2)(n-1)(n)
D)3 E 7/3
ni=(n-1)(n)
€ - 1481 (49) (50)]_ (79! (80) (991)
11 (481) (791 [991 (100 )]
49 (50)(80) 7
TC AXEXIRAKBXGXTNIO0) 18.
Hallar el valor numérico de
A) 1/50
Resolución.
Pilicando
Factorizando
Simplificando
 
B) 1112 C)-1/12
n= (n-2)L(n-1) (n)
16 56) —41(5) 4!
617) -617)(8)
 
(24) 410)
6148) 41516) (-
 
-———— APTIUD MATEMATICA
Clave: B
D)-1/60 E) -1/20
 
ni=(n-1)(m)
41(30-5-1)
MT+7=56)
 
Clave: D
 
384
Centro Preunwersitario UNMSM 
 
Ejemplo 3.
Simplificar
Do-Yan im es orleaatar ot Ml » [A
A) 3n 8) 2n C)n D)n+1 EjJn+2
Resolución,
Aplicando: (-2=(n-3)(n-2) ; (n+1)!= nt(n+1) i
¿
AAA rl ri[pre
at
a+ | tte]
Simplificando: R [ 22ne
ene =3n
n+1)
Clave: AEjemplo4.
Hallar elvalor de “n" en
9(m1 (11 -2) ]= 176 [ny +3]
A)2 B)3 0)4 D)5 EJ6
Resolución.
Efectuando: 9L(n1?-2 (01) ] = 176 (n1) + 528
9 (n1?- 18 (n1) =176 (m1) + 528 ¡
9 (n1)?— 194(n1) 528 =0
Factorizando: 9n!) +22
1(01)e-24
[9 (n!)+22][n!-24]=0
2
9
(no cumple) (cumple)
ni ó ni = 24 á
 
Clave: €
A2 APTITUD MATEMATICA
14.3.3, Problemas Resueltos.
Problema1.
toró MLAHallar el valor numérico de OAyal MT
A)9 B)10 cm D) 100 Et
Resolucion.
"m2 oy2110(q)100Jr
aya
(9190Ze
191 (10) (191
mem
 
M =
 
aoyin
paoirM
. M=10
Clave: B
Problema2.
385
Simplificar
 
112,3 (0hIIES Ele
Ax B)x1 C)x+1 DD 0
Resolución,
 
Clave: E
Centro Preuniversitario. UNMSS ——_z¿mm><w—m—á>—<>2m00
Problemas3,
Si a=b, hallar el valor numérico de N
ab 
 
A) 120 B)6 c)2 D)1 E)24
Resolución.
5 lasboo as y b=0
b=5
 
 
Ñ (522) + (Er E) -(5)] !
N= [ (2)! + (1)1 + (0)! — (01) J 1
 
N=(2+1+1-1)1
N=(8) => N=6
[Claves B
Problema 4.
si DEE DAN $ litioA OI, caera) E
A)2 8) 120 c)6 D)24 E)720
Resolución. 3
Haciendo: >
n=(7)1
MA eiar =1001
(n—)!(n)(n+1)-(n—1)I(n) La)
(m0
l (0) tp
107) Ue) Ly
> ( Xa7
y=2
(xy)! =(7-2)1=91=120
Clave: B|
A -_-—-22APTINUDMATEMÁTICA
14.4. PROPIEDADES FUNDAMENTALES PARA EL CÁLCULO DE ÁREAS.
13.4,1. Propiedades en Triángulos.
1. Triángulos con alturas congruentes.
IA A
 
 
 
S, = área del primer triángulo.
S, = área del segundo triángulo
11. Triángulo con alturas congruentes(propiedad dela ceviana).
 
 
 
| SS $ 387
2 Mm 2 |S2 n 
 
/ Ñ/ N
ps]syN
Cid
1 MEDIANA 3 MEDIANAS
IV. Los teióayulos con ángulo congruente.
 
Centro Preuniversitario 11NMSM
y
 
 
14.4.2. Propiedades en Cuadriláteros.
1. En el paraletunramo.
P= Punto cualcunera en BC
 
+ Sagco = Área del paralelogramo ABCD.
s ll, * P.” Punto arbitrario.368:
Se cumple:
 
 
 
11. “P”Puntoarbitrario en la Diagonal.
Se cumple en ambos casos OS " <
 
 
S,ArB=Man= 31800 NO
¡q _3->_<A>——— APTITUD MATEMÁTICA
IV. Las diagonales ó puntos medios.
 
 
 389
 
 
VI. Las diagonales de un trapecio.
Se cumplen:
x Y0
x
 
pi
reco = /M + 0
 
Ejemplo 1.
En la figura, el área de la región triangular ABC es 48 m*. Hallar el área de la región
sombreada. 8
A)6m* B)7m* E
C)8m D)9m*
im
E) 10m
Centro Preuniverskario UNMSM
 
Resolución,
* Aplicandola propiedad de la cevianam en un triángulo tenemoslos valoresque se muestran en la figura
3k
¿m * Pordato
16x = 48
x=3
. dx=9,
Clave: D
Ejemplo 2,
XxEnla figura MNPQes un paralelogramo, 3. AT =2. TP. Calcular >
 
 
 
7 6 N PNE m7 E
/ X
WR390 o E D z / ¡$ hr
LE”
M Q2
E
Resolución.
Ñ _ Pp “Om03Qr=2Tk =>
PS Im ] * Por propiedaddela ceviana enel
triángulo NPQse deducen los valores
que se muestrane
 
figura
 
Clave: B
 
AAPTITUD MATEMÁTICA:
Ejemplo 3.
Enafiuramostradael área de la 1egióntriangular LIT y TRM son 5 m*y BnCalcular
elárea del triangulo LRA
A)18m*
B) 9 m*
C)3m*
D) 13 m*
E) 12m?
 
Resolución.
+ Area del ALTR= Area del d ARM = W
(Propiedadenel trapecio LTMA)
 
dela figura:
5+W+8 = X + W
X= 5+8 = 13, -391
Clave:D
14.43. ProblemasResueltos,
Problema 1.
De la figura mostrada. Calcular > e
2
AJ3 B)4
E)7 12m EN
Resolución:
+ Por Relación de Areas
Zi 3x) = 15x
Sy 15x“Luego: G= y 05
 
Clave: €
397
Centro Preuniversitario UNMS» —.__
Problema2.
En la figura. Calcularel área del paralelogramo ABCD.
B e
EEN ;
0) 2(JM+ JN? 0) 2M(M+N)
E) 2N(M+N)
Resolución. iA D
* Enel trapecio ATCD: W?=MN
* Sarco = 2M+2W = 2M+2/MN
* Sasco =24/M(/M+0)
 
 
 
A D Clave: B-
Problema 3.
Hallar el área de la región sombreada, si MN = 3 cm y AB = 8 cm y ABCD es un ;
paralelogramo. 3
A) 6 cm* B c |
B)8 cm? i
C) 9 cm* N
D)7 cm?
E) 12 cm? A ú D
Resolución. :
+ Por semejanza:
M_a 1
an ERA
>
N=4MB Cc N Ra a y
* Eneltrapecio: X?=MN =4 Me
8 => X=2M
9 .
e a SUR D >| 3M= 12
IP >| M=4 4so
X=8 i
Clave: B
II>APTITUD MATEMÁTICA
13.5.
Problema4.
Hallar el área de la región sombreada si, el área del paralelogramo es 480 m'.
A) 30 cm*
B) 24 cm*
0) 20 cm
D) 15 cm?
E) 16 cm?
Resolución.
> + Gesbaricentro.
» Entonces: 24 x = 480
x= 20.
Clave: €
393
PROBLEMAS PROPUESTOS.
Problema1, Un reloj emplea "S" segundos en dar “C” campanadas. ¿Cuántas campa-
nadas dará en "45" segundos,si entre campanada y campanadaeltiempo esuniforme?
A)4C B) 40 +1 C)40-4 D)4C-3 E) 4(C- 1)
Problema 2. Una persona debe consumir una pastilla del tipo A caia 3horasy 2 pastillas
del tipo B cada 4 horas. Si comenzo su tratamiento tomando ambostipos de pastillas.
¿En cuántas horas habrá tomado33pastillas en total?
A130 8) 31 C)33 D)35 E) 36
Problema 3. Un boxeador es capaz de lanzar 6 golpes por segundo. ¿En cuánto tiempo
lanzará 36 golpes?
A) 5seg B)7 seg C) 6 seg D) 8 seg E) 9 seg
Problema 4. Elena compra un frasco conteniendo pastillas y tiene que tomarlas durante
los días que esta en cama,a razón de dos pastillas cada 3 horas; sí empezo a tomarlas
iniciado su reposo hasta que culminó, ¿cuántas pastillas contenía elfrasco?
A) 50 B) 48 0) 52 D) 56 E) 60
Centro Preuniversitario UNMSy—_——————
Problema 5. Si una bacteria se triplica por cada minuto que pasa, ¿A qué hora quedaráCompletamente lleno un frasco, si alas 2 h 8 min ocupan 1/243 del volumen del frasco?
A)2h48min B)2h12min C)2h 13min D)2h59min E) 2h 58 min
Problema6. Las edadesde cuatro hermanos son; 6, 10, 19 y 25 años;si las edades quetendrán dentro de “h” añoslos dos menores con las edades quetenian hace "p” años losotros dos,forman una proporción, Hallar (2h-p)si se sabe que hz p +1. y
AJ9 B)12 C)-3 D)11 E)-4
Problema 7.Dosciclistas están en dos puntos M y N respectivamente y salen al encuen-troen el mismoinstante. Cuando se cruzan están a 80 m de N, continuando con surecorrido y llegan a los extremos regresando inmediatamente y esta vez se cruzan a 46m de M. Hallar la distancia que hay desde el punto Mal punto N.
A) 184 m B) 174 m C) 162 m D) 194 m E) 196 m
Problema8. Enuna institución educativa la relación de hombres a mujeres es de 7 a 9;la relación de hombresque estudian cienciasy hombresque estudian letras es de 11 a 5¿Cuál es la relación de hombresque estudian letras y el totalde alumnos?
394 A) 45/256 B) 77/1256 C)35/256
—
D)26m EJ 36m
Problema 3. Pedro le da a Pablo una ventaja de 60 m en unacarrera de 680 m, Pablo ledaunaventaja de 80 ma Piero en una carrera de 800 m. ¿Cuántos metros de ventajadebe dar Pedro a Piero en una carrera de 198 m?
 
A) 16m B) 24m C) 32 m D) 26 m E) 36 m
Problema 10. Dos agricultores tienen respectivamente 11 y 7 hectáreas deterreno quedesean sembrar. Cuando cada uno había sembrado 3/8 de su propiedad, contratan a dosPeones,a apartir de entonceslos agricultores y los peones trabajan en partes iguales loque falta sembrar. ¿Cuánto debe aportar uno de los agricultores si en ttal se pagó S/360 a los peones?
A)48 B)315 C) 90 D) 305 E) 370
Problema11. Hallar el valor den" en
ni (n +1) (n + 2)1= 51 (5) (m1). sá
A) 120 B) 118 C)725 D) 122 E) 115 Í
 
- APTITUD MATEMÁTICA
Problemadz, si BI+SIE10! mtt ate (31008) patear (9%
8l+ 91 TS a
A)8 B)9 c)3 D)2 EJi
Problema 13. Hallar el valor de “n"en
4 (n2 + Sn + 6)[(2n + 5) L(2n + 4)1] A0(En + S)(2n + 4)!
A)7 B)6 C)5 D)4 E)8
Problema 14. Simplificar
an) x-1-nt(n+1 (01)
(x - nl(nt)
395
rr par 7 
(1201+1)!-[(51)1):
20
Problema 15. Si =[(al)1]%=?, hallarta suma de las cifras de (a!)
Ay 18 8) 16 0)3 D)9 E)6
S,Problema 16, SÍABCD es un paralelogramo, BC =3AN y AP =2.PB. Calcular
2
AJ1 a E
8) 1/2 E
c)2
D) 113
E) 1/4 A N D
Centro Preuniversitario UNMS» —_———_____
Problema 17. Enla figura ABCD es un
 
cuadrado de lado 4,/15| Hallar el área de laregión sombreada.
A)6m* B)7m:
C)8 m* D)5m* x—
E)4m 
SProblema 18, En/a figura, Calcular ¿>a
A)8 8)6 2
4ec)9 D) 1/9 :
E) 116 h
Problema19. En el trapecio mostrado. Calcular la suma de las longitudes dt'sus bases.
 
A) 10/3 m 8) 5/3 m
Sm
C) 9/3m D) 12/3m
E 8J2m
A
Problema20. Hallarel área del trapecio rectángulo ABCD.Si AD = 6m, CH =2m
A) 2/73 m* B)28m:
C) 26m* D) 2/70 mi
E) 2/78m*
CLAVES;
1.0 2.E 3.8 4.4 5.06.C 7.D 8.C 9.E 10.81.8 12. 8 13, A 14. € 15.0
16.A 17.0 18.0 19.8 20.8
CAPÍTULO XV
 
[Rotación y Traslación de Figuras. Proporcionalidad. Combinatoria.
Áreas de Regiones Circulares.
 
154. ROTACION Y TRASLACIÓNDE FIGURAS
Terna orientado a desarrollar la habilidad de imaginar los movimientos defiguras en e!
plano,
5.1.4. Definiciones.
397
Rotación defiguras. Movimiento de una figura alrededor de un ejefijo
Consisteenfijar un punto cualquiera en elplano y tomar olro punto enlá figura haciéndo-
lorotar aéste, un ángulo determinado alrededordelotro,
Ejemplo.
Siseliene la siguiente figura
 
 
Se quiere giraresta figura 180* sobre su centro en sentido antihorario. Para esto se toma
un punto en uno de los extremoscomo por ejemplo P, entonces el purto P debe apare-
cer en la figura rotada en el otro extremo;esto es:
Centro Preuniversitario UNMSM 
 _A>2
>
Luego de la rotación de P la figura sombreada debe estar a la derecha de P y se obtiene:
 
Asi mismosi se quiere rotar la siguiente figura 90" en el sentido antihorario.
? Í
Para lo cual se toma huevamenteel punto P de seferencia escualrota alrededor de suentro 90*, y luego dela rotación de éste la parte sombreada debe estara la iquierdadep.
308
 
Traslación de figuras, Es el movimiento de una figura de un lugara otro, tal. como está
Nota,
Altrasladar una figura sobre otra, a figuraresultante será la unión de dichas figuras
oy ,
 
 
 AAAAPTITUD MATEMÁTICA
15.1.2.Tipos de Situaciones.
1. De Rotación y Traslación.
Ejemplo 1.
$110 figura 1 se rota 90* sobre su centro en sentido horarto y luego se traslada sobre laigura 2. ¿Qué figura resulta de esta unión?
N
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 Fig. 2
A) | B) oN Dr NX] E) XX
Resolución.
Serota la figura 1 en sentido horario 90":
Pp
90 =>
É
P
Luego se traslada la figura 1 sobre la figura 2 obteniendo:
4EE
Resultado
Clave: C
¡Centro Preuniversitano. UNMSS
 —
—¿í22_——_——_
 
 
 
 
 
 
Ejemplo2.
La figura 1 rota 890" en sentido antihorario con respecto a su centro ¿cuál es la figura
resultante?
Fig. 1
A) B) c) D) E)5 i
Resolución,
Se observa que 990* = 2(360*) + 270*
Sila figura gira sobre su centro 360” vuelve a su posición original, entonces:
 
980 amor :
A: ñ 
w > 
 
 
Clave: B +
Ejemplo 3.
Sila figura (1) rota 120* en sentido horarioyla figura (11) 240* en sentido antinorario y luegoambasse Irasladan sobre la figura (111), ¿Qué figura resulta?
AA (Triángulos equiláteros)
Fig. (1) Fig. (11) Fig. (111)
NY EN oA o ¿A
 APTITUD MATEMÁTICA.
Al trasladarias
sobrela figura
(11) se obtiene: 
(Girar 240* en sentido antihorario es lo mismo
quegirar 120* en sentido horario)
Clave: €
11. Sucesión defiguras.
Ejemplo 4.
Señale la figura que continúa:
 
FoT o z¿E B, ...dr 
 
 
 A) : 3) o D) E 
Resolución.
Se observa que el punto *P”gira 90* en sentido horario en las figuras anteriores:P
 
 
 
 
(E E
so E >
o
P 
Porlo tanto la siguientefigura también debe rotar 90% en sentido horario. :
 
Centro Preuniversitario UNMSM
 
 
90 yl 
 
Clave: A
Ejemplo 5.
Indicarla figura que sigue.
ANA
ME
Resolución.
Se observa que los triángulos están girando 90* en sentido antihorario y la "sombra" se
traslada alternadamentehacia la hipotenusa.
Entoncesla figura que sigue será:
P
(Em
 
 
 
 
 
 
 
P Y
Clave: C
Ejemplo6.
¿Qué figurá continua?
PNATR ATROATR
EYEH EY at
Ls, INDAANUISAA
si 5 a
AED B) O) E45 D, EKi ii E 25 E
Resolución.
Se observa que el “punto”se traslada horizontalmente de izquierda a derecha y vicever-
sa. Y la "sombra"se trasiada alternadamentehacia arriba.
——————— APTITUD MATEMÁTICA
 
m er
Ea >| 17 
 
 
Clave: D
3, Otros Tipos.
Ejemplo 7.
Determinar el ángulo de giro dela figura 1 en sentido horario, para que resulte la figura 2. Si
los ángulos centrales tienen igual medida.
Fig. 1 Fig. 2
A)90* B) 40% Cc) 60" D) 45* E)120*
Resolución.
403
45"ye Ho
El ángulo degiro es de 45* en sentido horario
Fig 1 Fig.2
Clave: D
Ejemplo 8.
Si una de las figuras se traslada sobre la olra y luego la figura resultante gra 540" en
sentido horario y posteriormente 720*en sentido antihorario ¿Cuáles la posición final de
e
000
Centro Preuniversitario UNMSM
 
Resolución.
Giro de:
Luego de la traslación > a AaeS
5 !
P
JAl girar 180* en sentido antihorario se obtiene: qe
a
[Clave : D
15.1.3. Problemas Resueltos.
Problema 4. ¡
Siuna de las figuras se traslada sobre la otra y luego a la figura resultante se rota 90", ensentido horario, se obtiene:
"0:30 -9-0E.
Íalrotar 90": 7)
 
 
Clave: DProblema2.
Sedefine la traslación comosígue:
E>E>eS>eoÓN
0 1 2 3
LCómoserá la figura alrealizarse latraslación N' 627
0 2:80:08
AAA
2APTÍTUO MATEMÁTICA
Resolución,
Se observa que el “punto” gira en sentido horario y la "sombra" en sentido antihorario.
Luegolasfiguras siguientes serán:
Dedonde se concluyeque las figuras de las traslaciones: O, 6,12, 18... son iguales.
Entoncesla figura “0”es igual que la figura *60". Porlo tantola figura "62"será igual que
la figura “2”.
Clave: C
Problema3.
Sila figura (1) rota 90* en sentido horario,la figura (11) rota 90* en sentido antihorario y la
figura(11) rota 180* en sentido horario. Luegosetrasladan dosdeellas sobre la otra y a la
figura resultante serota 270*ensentido antihorario. Entonces se obtendrá:
 
 
 
 
 
Fa Fa Fam
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) B) o) E DE
Resolución,
pe ml Luego de a Luego de la rotación:7 EN traslación: see spación:
2000
 
 
 
 
 
)e
Ju
 E 
 
 
 
Clave: D
Centro Preuniversitario UNMSy—————_
Problema 4.
Sedefine la traslación comosigue:
o 1 2 3
¿Cuálseráfigura alrealizar la traslación N* 547
7 , RAA) B ; >$ dd
Resolución.
Se observa quela traslación n" 4 será: E) = (FIG.0)
(punto" 7) ; "sombra" (_,)
Las figurasde las traslaciones: O, 4, 8 12,... son iguales.
 
406
Entoncesla figura "52" será iguala la figura “0* Porlo tanto la figura 54 será iguala lafigura "2"
Clave: 8 *
15.2 PROPORCIONALIDAD.
Magnitud. Es todo aquello que está sujeto ayariación ya sea de aumento ó disminución. 3
Ejemplo. temperatura, peso, estatura, etc.
Cantidad. Es la medida de una cierta magnitud y está representada mediante un número +y una unidad de medida.
Ejemplo. 53%, 72 Kg., 168. 0m,ete
15.2.1.Proporcionalidad Directa.
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales cuando la razón geométrica (el;cociente) entre sus valores correspondientes es siempre constante.
 [
ADP 852> ==k
|Pmtman |
Dondek, es llamada constante de proporcionalidad.
 
————— APTITUD MATEMÁTICA.
Ejemplo1.
En el siguiente cuadro los datos correspondena la fabricación de envases que realiza
una máquina.
 
240] 300360] 420] 480] 540 [+
 
120] 180
 
Cantidad de envases ]60
Tiempo(en minutos) 
 Observamos
S0, 0 10, 20 390, 0, 380 420 M0. oy
E 6 778 9
 
Nota
 cantidades de envases DP tiempo
 
ó
407 cantidades de envases u tiempo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En general .
saguitud] Valores
(a [la[la]aj [a ]+]-
os [o [o [o -[0,|+|-
a a
ADPBo 1-2.
bi ba 
 
Donde“k"esllamada constante de proporcionalidad.
Centro Preuniversitario UNMSS
 
—
141
15.22. Proporcionalidad Inversa. Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionalescuando el producto entre sus valores correspondientes es siempre constante.
AP.BOoA.B=k
 
 
Donde k, es llamada constante de proporcionalidad.
Ejemplo 2.
Pararealizar una obra se tiene la siguiente información:
 
 
 
 
 
MAGNITUDES. Valores ¡Obreros 112[4[8]mf+ ¡Dias s8|44/22| 11] 8
|
- !
Obsérvese que :
1(88) = 244) = 4(22) = 8(11) = 88
 
Entoncesdiremosque: (obreros) es inversamente proporcionala ( días).
 
Notación:
|
(Obreros) IP (Dias) 
En goneral. Sean A y B las magnitudes.
 
MAGNITUDES|
A
8
 
 
 
 
 
 
__—_—____—__€»E6_MIMI] máAPTIVUD MATEMATICA
Propiedades.
 
A
1. SiA DPB entonces a) Ñ
2 SiAIP B entoncesa) A.B=k D)BIPA c)AIP e
b) BOPA Cc) ADP E
Ejemplo 3,
Sun automóvil recorre 135 km en 1,5 horas. ¿En qué tiempo recorrerá 540 Kv?
A4h B) 5h c)6h 0)5,5h E)6,5h
Resolución.
Como (Distancia) DP (Tiempo)
135km _ 540km
2 5 x
 
 => x=6horas
Clave: €
Ejemplo 4.
Enel siguiente sistemade engranajes, A tiene 36 dientes y engrana con B de 54 dientes.
Cuando funcionan15 minutos uno a dado 45vueltas más que el otro. ¿ Cuál es la veloci-
dad del engranaje pequeño en RPM?
409
AY15 B)5
c)27 D)9
E) 18
Resolución.
Gomo (Número de dientes) IP (Número de vueltas) entonces:
 
 
 
 
Donde:
N, Nro. de dientes deA.
W,: Nro de vueltas de A
En 15 minutos:
36 (n +45) =54 (n) | 4n+180=6n
= n=90 asi W,= 90+45 = 135
En 1 mmnuto:
135 rev
Velocidad de A= =9 RPM
15 min
 
Clave:D
410
¿Centro Preuniversitario UNMS _—
15.2.3. Conversaciónde una Proporcionalidad a Igualdad.
a)Si ADPB]_ AC
 
 
APC]
b) Si ADP B* |
AP ye. AED
AIP £ a"
3 EFADP YE | eye
ADP E?
(Obreros) IP (Días)
(Obreros) IP (h/d)
(Obreros) DP (Obra)
(Obreras) DP (Dificultad)
9) (Obreros) IP (Rendimiento) |
> (Obreros) (Rendimiento) (Días) (hd) _
(obra) (dificultad) Ñ 
 
Émplo 5.
Se tiene 780 1; 8 viveres para alimentar a 195 hombres dur:AS hombresras, ¿cuántoskl
todosdurante
—
tias”
rante 20días. Sise presentanlogramos más de alimento se necesitarán para alimentar a
A) 264
 
21274 101286 £1266
Fesolución,
 
> | ombres) (dias)
(Hombres) DP (viveres) | viveres A
(195)(20) _ (195+45)(2>)
780 780+x
(Hombres) IP (días) 1] Fr
2 x= 276
Clave: B|
x_
_
_=>=>=>=2APTITUDMATEMATICA
15.2.4. Problemas Resueltos.
Problema1.
 
 ido la magnitud “Y” directamente proporcionala:
asi uacro están representados loz valores
determinar * m+ 3n",
 
 
 
 
v TelaA168 B)82 C) 78 [ MA sol
DI7S E) 72 | E | n 5 6
Resolución.
v
Condición — = k
El
Deicuadro se tiene
 
Luego méd 78 ¿66
 
Problema2. 3
Pur cada venta de $ 1 400 que realiza Esc, obliene una comisi Ikiad) de $74 Sila
vilidad durante el mes, fue de $ 1 110, ¿a cuánto ascendieron + ventas?
 
A) 520.000 B)521000 C)$190LV 10) 53100 EJ$2i100
Resolución.
 
[tventa) DP (utidad)
 
. . 140 _ V
Sea V* la cantidad vendida 7a mo
V=(1110/74)1400= 15(1400)=21.000
Las ventas ascendieron a $21 000
Clave: B|
Problema3.
Enuna empresaliderse ha establecido que el sueldo de un empleado sea directamente
proporcionalal cuadrado de su edad. Si un empleado que actualmente tiene 23 años ha
proyectado ganarS/. 6250 dentro de 2 años , ¿cuánto gana actualmente?
A)S/.5250 B)S/.5660 C)SI. 5200 D)S/[.6460 E)S/.5190
Centro Preuniversitario UNMS»—_—___——
Resolución.
SsSea: S=sueldo y Ezedad = Condición ¿7 =k
6250Cuando tenga 23 +2=25 años: 77 =K => k=10
Ss
Actualmente: 737 = 10 = S = 5290
Clave: €;
Problema 4.
Parafabricar cierto objeto, el costo del material es directamente proporcionalal número
de obreros y al cuadradodel tiempo que se necesita paramanufacturarlos. Si el costo
del material aumenta en 1/5, el número de obreros disminuye a 27 y el tiempo aumenta *
en 1/3, ¿ cuántos obreros se despidieron?
A) 11 B)12 C)13 D) 14 E) 15
Resolución.
DATOS:
412 C: costo
a O:número de obreros copo _
T:tiempo corr
f
or
6 (6/50
or A 27 [(413)1)* > 0
=
40; se despidieron 40 - 27 = 13 obreros
Clave: €
15.3, COMBINATORIA.
El análisis combinatorio o combinatoria estudia los diversos métodos que permite deter-
minar sin enumeración directa el número de resultados posibles de formar agrupaciones
de ciertas características con los elementos de un conjunto particular. El análisis
Combinatorio es conocido algunas veces con el nombre de técnicas de conteo.
Enesta parte desarrollaremosalgunas técnicas elementales de conteo. Para calcular el
húmerode resultados posibles de un determinado problema,utilizaremos lastécnicas
de conteo y el razonamiento deductivo. Para ello es necesario identificar el tipo de agru-
paciones que se desea determinar.
15.3.1. Principios Fundamentales del Conteo.
Enlastécnicas de conteo existen dos principios fundamentales: Principio! Multiplicativo y
Principio Aditivo. Estosprincipios constituyen la base delanálisis combinatorio.
 2APTITUD MATEMATICA
Principio de multiplicación. Si un experimento tiene m resultadosdiferentes posibles
y otro experimento tiene n resultados diferentes posibles, entonces existen n x m
resultadosdiferentes posibles cuando ambos experimentos tiene lugar.
Ejemplo 1.
Supongamos que una placa de moto consta de unaletra seguida de un digito. Si sola-
mente se considera lasletras: X, Y, Z y los dígitos: 2,4. 6, 8: ¿cuántas placas diferentes
pueden grabarse?
AJ10 B)7 C)9 Dy8 E) 12
Resolución.
La placa de moto a grabarse consta de doscasilleros, en la primera deben grabarse
cualquiera delas 3 letras y en la segunda cualquiera de los 4 digitos. Entonces el número
de placas diferentes que pueden grabarse es 3x4= 12
Estas placas diferentes son: X2, Xd, XS, X8, Y2, YA, YS, YB, 22, 24, 26, 28.
Clave : E
Ejemplo 2.
Cecilia tiene 6 blusas,5 faldas,y 3 pares de zapatos. Utilizando una de cadatipo de las
prendas mencionadas, ¿de cuántas manerasdiferentes se puede vestir Cecilia?
A)14 B)90 c)40 D) 60 E)72
Resolución.
Las manerasdiferentes de escoger una blusa son 6; una falda, 5;y un par de zapatos, 3.
Entonces el número de manerasdiferentes, que puede vestirse utilizando una de las
blusas, unade lasfaldas y uno de los pares de zapatos es 6x5x3=90,
Clave : B|
Principio de adición. Si un experimento tiene m resultados diferentes posibles y otro
experimentotiene n resultadosdiferentes posibles, entonces existen (m + n)resultados
diferentes posibles cuando exactamente unode estos experimentostiene lugar.
Ejemplo 3.
vara llegar de la: ciudad A a la ciudad B hay 5 rutas terrestres y 3 rulas adieas. ¿De
cuántas maneras diferentes puede llegar una persona, de Aa B utilizandolas ruias men-
««onadas?
“y 10 115 C)6 D)12 E)8
Kesolución.
Las manerasdiferentes de escoger una ruta terrestreson 5; y una ruta aérea, 3. Entonces
¿número de manerasdiferentes que puede llegar una persona de Aa Bes 5+3=2
Clave: E
 
414
Centro Preuniversitario UNMSS —_k7]—á>——___
Ejemplo 4.
Sien una escuela de la Universidad se ofrecen 10 cursos diferentes porla mañana,8 por
la tardey 4 porla noche, ¿cuántas opciones diferentes tiene un estudiantede inscribirseen un solo curso?
A)88 B) 44 C) 160 D) 22 E) 320
Resolución.
Lasopcionesdiferentes de escoger un curso porla mañana son10, un curso porla tardeson 8 y un curso por la noche son 4, Entonces el número de opciones diferentes deinscribirse en un solo curso es 10+8+4=22
Clave
 
15.3.2. Variaciones.
 
Definición. Variaciones simples de n elementos dle orden 1, «+ todaslas urdenacióne: *de un número r de elementossin repetición de un conjunto de n objetos diferentes(1), en un orden dado.
Pinpledad, El número de variaciones simples de 1 elemento. diferentes de orden ;, |
venotado por y7*, está dado por
 
 
Ejemplo 1.
¿Cuántos númerosde dos cifras diferentes se puedenformas conlos digitos: 2, 4,6 y 87
A)10 B)12 C) 14 D) 16 E) 18
Resolución.
El problema es una variación simple. Todoslos elementos de una variación son: 24,26,28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86. Sin necesidad de. enumerartodoslos elementos de
la variación, aplicando la propiedad,tenemosel número tolal de númerosde dos cifras
quese forman
4L 4x3x2!
2 2
 =4x3=12 .
 
Clave : B
Ejemplo 2.
 
Si solamente se considera las letras: U,V, W, X, Y, Z; ¿cuántas placas para automóvil
pueden hacersesi cada placa consta de dosletrasdiferentes seguidasde3 digitos dife-rentes?
A) 24.400 B) 18600 C) 13500 D) 21 600 E) 42 200
 
APTITUD MATEMÁTICA
Resolución.
La placa de automóvil consta de $ casilleros, en las dos primeras se pueden grabar Y;
manerasy en las tresúltimas se pueden grabar V!" maneras. Entoncesporel principio
de multiplicación , el número de placas diferentes que pueden grabarse es
$ y. 101ta = 21600
E (6-2)! (10--3)!
 
lave: D
Definición, Variaciones con repetición de n elementos de orden r, son todas las
ordenaciones de un número r de elementos conrepetición de un conjunto de n objetos
«sin restricciones de r respecto de n), en un orden dado.
Propiedad. El número de variaciones con repetición de n elementos de orden r, deno-
tado por RP, está dado por
vRl=n"VR= 9
 
Ejemplo 3.
¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con los digitos: 2,4, 6 y 8,si se
germite repeticiones?
210 2 415
 
16 220
 
Basolución.
 isemiema es yr
 
amación von repeución. Bes
 
sa ooredag anterior
+5el número iotal ¡te numerosde aoscitras con repeticionesde cifras. Estos sun ¿, 24.
28 42 44 46.48 62,64, 66, S8, 
Ziembro 4.
¡res personasviajan en un vehiculo que tiene 2 paradas. Si se hace distinción de perso-
nas, ¿de cuántas maneras pueden bajarse las personas?
AJ6 8)2 0)3 D)9
 
Resolución.
El problema es una variación con repetición. Entonces el número de maneras que pue-
denbajarse las 3 personasen los dos paraderos es VR? =2* =8
Veamosexplicitamente las 8 maneras distintas obtenidas. Seanlos paraderos: p,. Py
las personas: A. 8, C. El problema se reduce en ubicarlos dos paraderos para las tres
personas,estos son'
416
Centro Preuniversitario UNMSM
 
>
AO
NO
O
NO
D
O
S
O
N
O
O
O
D
O
O
A
E
O
El p1p4p; significa que las tres personas bajaron en el paradero py ; pz py pxlsianifica
que las personas A y C bajaron enelparadero y, yla persona B bajo en el paradero py
[Clave : E
15.33. Permutaciones.
z
Definición. Permutaciones simples de n elemsrtas diferentes,son las variacionessimples de n elementosde orden n.
Propiedad. El número de permutaciones simples de. 1 elementos, denotado porP,,está dado por
 
P,=n!
 Ejemplo 4.
¿De cuántas manerasdiferentes so pueden ubicar 4 personas, en una banca con respal-
darde 4 asientos?
A)24 B)12 C) 18 D) 20 E)27
Resolución. si
Las 4 personas ubicadas en un orden representan una permutación. Entonces el númerode maneras de ubicarse las 4 personas en la banca es.
P,541=4x3x2x1=24
Clave; AEjemplo 2.
¿De cuántas manerasdiferentes pueden sentarse en fila 7 estudiantes para una foto, sitres de ellos hande estar juntos?
A) 144 B)720 0) 48 D) 36 E) 5040
_—>EE- __-E.AAAA——APTITUD MATEMATICA
Resolución,
Sean las Ires personas que han de estar juntas: A,. A,, A,y las otras personas. B. C,
D, E. Entoncesunaposible formación de las 7 personas es
 
Blas]az [as] c[ofe: 
En primera instancia las tres personasjuntas pueden considerarse como un solo objeto,
con lo que el número totalse reduce 5,y se tiene P, ordenacionesdistintas. Ahora bien.
en cada unode éstos,las tres personasjuntas pueden ordenarse entre originando P,
ordenacionesdistintas. Entoncespor el principio de multiplicación, elnúmero de mane-
ras de ubicarse para una foto las 7 personas es P,xP,=5Ix 31 =720 .
 
Clave: B
Definición. Permutaciones con repetición de n elementos, son todas las
ordenacionesde los elementos de un conjunto de n objetos, entrelos cuales hay n, dal
tipo A,(i=1,2,.... 1)siendon=0,+0,+Nn,+..+n,.
Propiedad. El número de permutaciones con repetición de n elementos, denotado por
P(n; A, Dj, +... N,), está dado por
 
 
 
Ejemplo 3.
Supónganse que sobre una mesa se encuentra 7 bolas deigualdiámetro, de las cuáles,
2 sonrojas, 3 son blancasy los restantesde color verde, ¿de cuántas manerasdiferen-
tes se pueden colocar dichas bolas en fila?
A) 180 B) 360 C) 105 D) 420 E) 210
Resolución.
Eneste caso tenemos7 elementos,de los que 2 nose distinguen entre si y forman un
primertipo, 3 son de un segundo tipo y las 2 úllimas son de un tercer tipo, entonces el
número de maneras que se pueden colocar las bolas en fla
=210
7
002.30 a3rx2
Clave: E
Ejemplo 4.
Hay tres tipos de medallas: 3 de oro, 2 de plata y 1 de cobre. ¿De cuántas maneras
diferentes pueden distribuirse entre 6 personas,si a cada persona le corresponde una y
sólo una?.
A) 240 B) 60 Cc) 120 D) 20 E) 720
“ad7
Centro Preuniversitario UNMSM: ————_-
ns
 
Resolución.
El problema es una permutación con repetición de 6 elementos, entre los cuales hay 3del tipo O; 2 deltipo
P
y1 del tipo C,entoncesel número de maneras Que se puedendistribuir las medallas a las 6 personas es
60.eP6:3,2,0= aaa”
Clave : B
Definición. Permutaciones circulares simples de n elementos, son todas lasordenaciones de los elementos de un conjunto de mobjetosalrededor de un objeto cirou-lar, tomando comoreferencia la ordenación respecto a un elemento fijo del conjunto
Propiedad. El número de permutaciones circulares de n elementos,denotado por Paestá dado por
 
P,=(n-1)1
 
Ejemplo5.
¿De cuántas formas pueden sentarse 4 personas alrededor de una mesa circular, si unade ellas permanece fija en su asiento?
AJ4 B)12 0) 24 D)6 EJ9
Resolución.
Se trata de una permutación circular de 4 elementos. Entoncesel número de formas quepuedensentarse las 4 personasalrededor de la mesa es
Py (4A)N=31=6
Veamos explícitamente todas las formas que pueden sentarse las 4 personas, Sean laspersonas: A, B, C, D. Ahora fijemosa la persona A en su asiento, entonces se tiene las 6formas distintas de sentarse de las 4 personas:
A A A
Cc D B
A A A
D B Cc
[Clave : D
 
¡(AAA—APTITUD MATEMÁTICA.
Ejemplo 6.
Se tiene un cuadrado,en uno de cuyoslados se debe construir un triángulo equilátero, en
el otro un cuadrado,en eltercer lado un pentágonoregulary en el cuarto un hexágono
regular, ¿De cuántas manerasdiferentes se puede graficar este enunciado,si una de las
construcciones permanece fija en unodeloslados del cuadrado?
AJ6 B)24 Cc) 12 D)9 e)8
Resolución.
Podemosconsiderarlo al cuadrado como un circulo, entonces el problema es una
permutación circular de 4 elementos. Luego el número de maneras diferentes que se
puede graficarlas figuras alrededordel cuadrado es
Py = (41) =31=6
Clave: A
153.4. Combinaciones.
Definición. Combinaciones simples de n[ elementos de ordenr, son todaslas agrupa-
ciones de un número r de elementossín repetición de un conjunto de n objetos (r< n)
Propiedad. El número de combinaciones simples de n elementos de crdenr, denotado
0 epor Cp ,estádado por 419
 
> at
Cc? . ——
"7 met 
 
Ejemplo 1.
¿Cuántos comitésdiferentes de 3 miembros se pueden elegir de un grupo de 5 personas?
AJ10 B)14 cy 12 D) 16 Ey 15
Resolución.
Un comité estará constituido porun grupo de 3 personas sin importar el orden en que
hansido nombrados, entonces el número de maneras en que se puede elegi es
8 Sxax8_ oCi = ia
(5-3) 23
Clave: A
Ejemplo 2.
¿De cuántas manerasdiferentes puede escogerse un comite, compuesto de 2 hombres
y 3 mujeres, de un grupo de 4 hombres y 5 mujeres?
AJ90 B) 45 C) 80 D) 60 EJ72
Centro Preuniversitario UNMS»——_———
Resolución.
De los 4 hombres se pueden escoger 2 de C3 maneras, y de las 5 mujeres, se puedenescoger 3 de Cj maneras. Porel principio de multiplicación, el número de manerasdistintas que se puede escogerel comité es
4 si! 60aaalcx0js
Clave: D
Definición. Combinaciones con repetición de n elementos de orden r, son todas las“agrupaciones de un número r de elementos con repetición de un conjunto de n objetos(sin restricciones de r respecto de n).
Propiedad. El número de combinaciones con repetición de n| elementos de ordenr,
denotado por CR”, está dado por
 
Ejemplo 3.
¿Cuantas agrupaciones de dos elementos se pueden formar con las letras: A, B,C y D, |si se permite repeticiones?
420
AJ9 8,10 06 Da EJ12
Resolución.
El problema es una combinación con repetición. El número de maneras en que se pue-den formaragrupacionesdedosletras con repetición es
5esco
RenO0s q0
10
Estas agrupaciones son: AA, AB, AC, AD,BB, BC, BD,CC, CD, DD.
Clave: B|
Ejemplo 4.
¿Decuántas formas podemosdistribuir 4 caramelosidénticos entre 3 niños?
A)24 B)20 c) 10 D)4 E)15
Resolución.
El problema es una combinación con repetición. Entoncesel número de maneras en que
podemosdistribuir los 4 caramelos entre los 3 niños es
0
* (6-4)xa1
 
341pe
 
15.
 
>.APTITUD MATEMATICA
Veamosla repartición explicita. Sean los niños: A, B, My los caramelos:€,, C,, Cy,6,
Debemosnotar que no se hace distinción de caramelosen la distribución. Entonces se
tiene todaslas reparticiones de los caramelos:
 
 
 
[o ]e]aTa
AARAA
AAA SB
AAA M
AA8BB
AABM
A AMM
A BBB
AB BM
ABmMm
AMMM
BB8BB
B.B8Bm
88BmMm
BMNMM
MMMM
El resultado AABM significa que A tiene 2 caramelos, B tiene 1 y Miiene 1, BS8Msign 421
[ica queB tiene 2 caramelos y Mtiene 1
Clave: E
 
3.5. Problemas Resueltos.
Problema 1.
Un total de 45 estrechadas de mano efectuaron al ánal de una reunion, suponiendo que
cada uno de los participanteses cortés con cada uno de los demás. El numero de nerso-
as particpantes dela reunión era
499 5) 1 cm 0) 16 NA
Resolución.
El problemasetrata de combinaciones. Supongainos que el número de personas parlt-
cipantes sea n. Estas personas se saludarán en grupos de 2 en 2, entonces
Hi de saludos = 
o axx(n-2)_ n=)
52 (22 2
Resulta entonces nín-1)=90=10x9
De aqui, tenemos
Obtenemosde aquí, n = 10.
Clave: D
422
Centro Preuniversitario UNMSS
 
Problema2.
Dosvaronesy tres damasvan al cine y encuentran 5 asientos juntos, en una mismafila,donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes Pueden sentarse,si lastres chicas no quieren estar una al costadode la otra?
A) 12 B)14 0) 16 D) 10 E) 18
Resolución.
Para que cumplan las condiciones, los varones y las damas deben sentarse según elesquemasiguiente
 
[aTaTmTHTm 
El número de maneras de ocuparlos asientos los varones es P, y las mujeres es P,. *Entonces por el principio de multiplicación, el número de maneras de ubicarse las %personases P,XP,=21x31=12.
Clave: AProblema3.
¿Ds cuántas formas se pueden sentar siete personas en torno a una mesa circularsi|resde las personasinsisten en sentarse juntas? 
A)240 B)720 0) 144 29)36 E) 210
Resolución,
En primera instancia las tres personas juntas pueden consuerarse como una sola per-sona, con lo queel número total se reduce a 5, y se tiene P., ordenacionesdistintas enlomo de la mesa circular. Pero cada uno de éstos,las tres personas juntas puevenordenarse entresi, originando P,ordenacionesdistintas. Por el principio de multiplicación,el número de maneras de sentarse en torno a una mesacircularlas 7 personas es
P,XP03 31x(5-1)!=31x4!= 144.
Clave: CProblema4.
¿Decuántas formas se puede distribuir 7 canicas blancasidénticas en 4 recipientesdiferentes?
A)84 B)72 €) 36 Dj240 E) 120
Resolución.
El problema es una combinación con repetición de 4 elementos de orden 7 Entoncesel¡número de formas que se distribuye las canicas a los recipientes es
o 10
- (107)Lx7
 
CRi=C 120
Clave : E
 AAAPTITUD MATEMÁTICA
15.4. ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES.
15.41. Fórmulas básica.
Recordemos algunasfórmulasbásicas y algunas propiedades.
L Área del Circulo.
Il. Área de un SectorCircular.
R]
Ca) 423
 
 
 
 « en grados sexagesimales.
 
 
Mi. Área del Trapecio Circular.
CS) 10 pe360 5 id 
IV. Área de una CoronaCircular,
MMS
(Ram
 
Centro Preuniversitario UNMSS—
_—>>2>__
V.
—
Área de un SegmentoCircular,
 
VI. Propiedades.
 
 
 
ÉS
ES
Enla figura mostrada. Calcularel área de la región sombreada.
 
Ejemplo.
A) (1-2) m
>
C) (9-2x) m?
D) (6-1) m*
.(ra)
 
 
2 APTITUD MATEMANICó
+ Dela figure
ari = 
Clave: Lo
1.4.2. Problemas Resueltos.
+roblema ú.
¿nta ígura mostrada Calcular el área de la región sombreada. «rgitud en metros:
425
1 (Br-2 mi
 ctoLomandy
Ensolucios
+ Dela figu:s
 
Clave: D
426
Centro Preuniversitario UNMSM. 
Problema2.
Enlafigura mostrada. Calcular el área de la región sombreada
 
ES
A)
 
lr of
 
 (/2+1)m
 
Resolución.
*Deldato: 1 Z+r=/2+1
r=1
+ De la figura:
 
Clave: E
Problema3.
Dela figura mostrada. PB =m BQ,X= 8xm?. Calcular M.
A) 8 nm? P
B) 7am? Q
C) 9Inm*
D) 6nm*
E) 5nm* B
(A ZAAAPTITUD MATEMÁTICA
Resolución.
+ Dela figura
en 2
7 + >"
CA XM=8x
r '
Problema 4.
 
Clave: A
Calcular el área de la región sombrezda,si O es centro y AO =CB =2m,
=2
A
A o B
427
8) (21+/3]m 2) L4x- /3]w
 
Resolución.
»|Dela figura se deduce
a+b=60
122 2sen!
* Entonces: $2—
 
 
 
428
Centro Preuniversttano unsx—_—_>=
15.5. PROBLEMAS "ROPUESTOS.
Problema *. La ¡gura (1) se rota dos veces 90* en sentido horario y luegose trasladasobre la figura (II, entonces ja figura resultantees:
 
Fig (11)
DS 2> c)$ oeb
 
Problema 2. Se. enen los siguientes triángulos equiláteros
FEA
 LFig (1) Fig y
 
1Sila figura (1) se rota 120" en sentidohorario,la figura (11) 120* en sentido. antihorario yla!figura (III) 240* en sentido horario. Luegosetrasladan lasfiguras(1) y (1) sobre la (111) y seobliene*
A A AN
Problema 3. Sula figura (1se gira 180* en sentido horario yla figura (11, 90* en ei mmoSentido y luego se traslada una sobre la otra, ¿Qué figura resulta? P
 
 MOMATEMATICA
*roblema 4. Si las figuras(I) y (11) rotan 90” sobre sus centros en seniwio horario y
antinorario respectivamente,luego setrasladan sobrela figura(Il) y esta unión se rota
270* en sentido horario. ¿Qué figura resulta?
ÁS da
Fa) Fa 0
 
 
Ent
429
 
Problema 6. El dinero necesario vara viviren Lima es los 2/4 de lo que se nes
veren Árequigs, Ass: catorce personas gastan en Lima durante 9 meses 5/9072, ¿cuento
yastarán en Arequipa 10 personas durante 8 meses?
 
y5/. 7290 Lys! 7680
 
gracio de impresión de un libro inversarinie propor
tamente proporcional al numero de páginas que se imprimen, Si se
stan 44C0 ejempiares delllibro de RM. de 400 páginas. el costo es ae 12 el ejemplar.
sé1:0 costará editar un ejemplar si se mandara a imprimir 4290 ros :de 390 náginas
zada uno!
 
de elemplares y
 
eb
 
"211150 B3L6 st 12 
 
andocicso uma cormtente ce 3 amperios (Ay durante 15 minutos. hala;
posi ecismoanteíacto durante 10 rrintitos pera producde 060 gal 
105 BU0.SA CITA PEZA Ejea
430
Centro Preuniversitario UNMSM +
Problema 9. Unapersona presta dinero cobrando interes diario directamente proporcio-
nal al número de días transcurridos, al cabo de 18 dias se le paga entre lo prestado yelinterés, 4veces la suma prestada. ¿Cuánto tiempo desdeel primer dia tiene que transcu-
rrir para queel interés de un sólo dia sea igbalal dinero prestado?
A)47 dias B) 37días C) 70dias D157 dias E) 55 dias
Problema10. El precio ele un articulo A.es O P. al cubo del precio de otro articulo B el Pal cuadradodelprecio de un artículo C. Siel precio del artículo B aumenta dos veces másy de (> aumenta tres veces más, ¿en qué fracción aumer.a o disminuye el preci ue A?
A) aumenta en 11 8) disminuye en 11 C) aumenta-
5 10 16
3 ae 4D) disminuye en E) aumenta en16 18
Problema 11. Unestudiante debe contestar
 
nente *7 de 15 preguntas en un exa
 
men final, Si la respuesta de las 4 primeras y las 3 úllimas preguntas son obligatorias,
 
¿cuántas maneras diferentes tiene: po" eszoger=* *-tmliante?
A) 54 B) 58 C)62
 
EJS6
Problema 12. En la figura se han marcado ocho puntos equidistantes sobre la circunfe-
rencia de uncirculo dado. ¿Cuántos cuadriláteros podemos inseribir en e. .ircuro useidocomovértices los puntos marcados?
A)210 pos
8) 1680 E
C)15
D)56
E)70
yz
Problema13. Determinar el número total de soluciones enteras no negativas de la ecuación
XA V4ZAW=7
A) 150 B)120 €) 144 D172 E) 60
Prohloma14, Raúl y César llegan a la final de un tomen de ajedrez La primera personaque gana elos juegosseguidos o que complete tres, gana er sormeo ¿Cuál es el númerade maneras diferentes de cómo puede suceder dicha final?
na BS c110 Di6 7
 
- oeAPTITUD MATEMANICA
Problema 15. Un enamorado distraido desea enviar una carta a su novia, pero sólo se
acuerda queel código de su correo es un número de cuatro cifras impares distintasy las
sitas centrales suman 4. ¿Cuántas cartas como mínimo deberia enviar para tener la
seguridad de que una de ellasllegue a su destino.
AJ6 8)8 C) 14 D) 12 EJ16
Prol:tema16. En la figura mostrada. Calcular elárea de la región sombreada,si el radio
de las circunferencias congruentes mide 2m
A Br-2)m*
== (>
0:22 7)
ES rme
Problema 17. Hallar el área de la región sombreada, si a*-b*=4m%, donde a = MQ
y b=NP.
Aj2x m? LASA
8) 3nm* mM Na
C) nm?
431
D) 4nm*?
E) Eo
) qm
Problema 18. Caícularel área de la región sombreada,si AB =4m, centro del arco BC.
el A ABCesequilatero y el punto O es el centro.
4) (21-243) m
8320343) me
21 4(21-343) 0%
1D) (25-343) me
Er Lera) 07
entro Preuniversitano UNMS ———_—ae
Problema 19. Ena figura m AB +m CD =180*. AB=8m y CD = 6m.Calcular el arepgelcirculo.
A)12n m
B)15n m
 
C) 101 me
D12571 mi 
E) 20x m*
Problema 20. En la figura mostrada m ÁB=72*, m $0 =54*. Calcular el área de laregión sombreada
 432 iD)94 mtEn i
DLAVES:
1D 2A 3.8 2A 5.0
5D Te 8.B 9.D 10.C
“E 12.E 13.8 14.0 45.D
16.D 17.c 18. E 19.0 20.0
CAPÍTULO XVI
 
 
( Rutasy Trayectorias. Regla de Tres. Ecuaciones Exponenciales.
Paralelepipedos.
AX
16.1. RUTAS Y TRAYECTORIAS.
En esta sección plantearemossituaciones en las que solo necesitaremos una pequeña
dosis de concentración y conucimiento básicos en matemáticas, para dar con la res-
puesta debida.
Presentaremos problemasrelacionadosa las diferentes formas de viajar de una ciudad **
a otra o cuando alguienrealiza el recorrido maslargo ó cuando necesitamos saber a
cuantos pasosdel punto de partida se encuentra unapersona, ett.
16.1.1. Conceptosbásicos.
Ruta. es el camino quese sigue o quese proyecta seguir en unviaje.
Trayectoria. recorrido o dirección que sigue alguien o algo al desplazarse.
Ejemplo 1.
Sin pasar dos veces porel mismo lugar y desplazándosesolamente porlas aristas del
paralelepipedo, ¿de cuántas manerasdistintas se puede llegar a B desde A?
A) 17
B) 18
Cc) 19
D) 20
E) 21 A
 
 
 
Centro Preuniversitario. UNMSSs —íMíIádI€¿€¿;€écf€P€*>%m
 
 
 
 
Resolución.
A B
E - 4
6A Y
6
Rutas:
Pasando por E: AEFB ñ AEFDGB ; AEFDGCHB
AEHB E AEHCGB : AEHCGDFB
Pasando por D: ADGB : ADGCHB ; ADGCHEFB
ADFB > ADFEHB ADFEHCGB
Pasando por C: ACGB : ACGDFB ACGDFEHB
ACHB ; ACHEFB ACHESNGB
 
Luego se puedellegar a
B
partiendo de A de 18 manerasdiferentes,
Ejemplo 2,
4340. La figura muestra una circunferencia secante a las dos circunferencias tangentes.Recorriendo por los arcos de las circunferencias, sin pasar dos veces por el mismoPunto, ¿cuántas rutasdistintas existen desde el punto P al punto Q?
A)36
B)32
C)34 E Q
D) 40
E) 38
M A
P (>(O Q
N Cc
1. Númeroderutas de P pasando por M hasta Q: 4+6+7=17,
Rutas pasando por A: PMAQ; PMACQ; PMABCOQ; PMABNCA => 4rutas
Resolución:
sai a ARUINUID MATEMÁTICA.
Rutas pasando por B: PMBAQ; PMBCAQ; PMBCO, PMBACO; PMBNCAQ;
PMBNCO => 5 rutas
Rutas pasando por N: PUNCQ; PMNCAQ; PMNCBAQ: PMNBCO!, PMNBAQ,
PMNBACQ, PMNBCAQ => rutas
2 Por analogía, se tiene que:
Númer= «e rutas de P pasando por hasta Q:1/
3, Portanto, el total de rutas de P a Q: 17+17 = 34
Clave: €
Ejemplo3
La figura mostrada es un cubo y una diagonal ¡¡N| Revornendosolamente por las
aristas del cuho la diagonal, sin pasar dos veces por el mismo punto, ¿cuántas