Razonamiento Matemático 2

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
secundaria
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Razonamiento matemÁtico
Matemática
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® matemátIca delta 2, secundaria
 razonamiento matemático
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 mauro enrIque matto muzante
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Conoce tu libro
En esta sección 
se encuentra la 
teoría del tema 
a desarrollar.
Tema
29
MateMática 
Delta 2 - RazonaMi
ento MateM
ático
4
Recu e rda
Cuadrados mágicos
Definición
Es una distribución 
numérica de forma 
cuadrada en la que
 los números ubicad
os en la 
misma fila, columna
 o diagonal principa
l suman lo mismo.
La suma que se rep
ite en todas las dire
cciones se le conoc
e como constante m
ágica.
1
3
2
1
15
15
15
15
15
15 15 15
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Métodos de resoluc
ión
Para aquellos cua
drados mágicos qu
e son llenados co
n números que es
tán en 
progresión aritmétic
a existen métodos p
rácticos para soluci
onarlos.
Cuadrado mágico d
e 3 × 3
Para resolver un cu
adrado mágico de 3
 × 3 con números e
n progresión aritmé
tica, por 
ejemplo los número
s del 1 al 9, lo prim
ero que se debe ha
cer es colocar un c
uadrado 
más en la parte exte
rior y central de cad
a uno de sus lados.
Ahora se empezará
 a llenar en direcció
n diagonal comenz
ando por cualquiera
 de los 
cuadrados agregad
os.
En este caso se em
pezará por llenar de
sde el cuadrado ubi
cado en la parte izq
uierda y 
se completará en fo
rma diagonal hacia 
arriba ( ).
* Los número
s que 
están en progresión
 
aritmética se 
reconocen porque 
tienen una razón 
aritmética constante
 
(r).
 Por ejemplo:
 7; 11; 15; 19; ...
 31; 38; 45; 52; ...
* El término 
enésimo (Tn) de 
una progresión 
aritmética se halla 
con la fórmula:
 Tn = T1 + r(
n – 1)
* Un conjunto
 
de números 
consecutivos están 
en progresión 
aritmética cuya 
razón es 1.
 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ...
* Las diagon
ales 
truncas son 
aquellas que se 
encuentran partidas
 
en la distribución.
4
7
4
7
4
7
9 + 7 + 8
3 + 1 + 2
1 + 7 + 4
9 + 3 + 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
+1 +1 +1
92
Ejercicios resueltos
	 La	edad	que	tenía	Roxana	hace	17	años	era	15	años.	
¿Cuántos	años	tiene	Roxana? Solución:
pasado												presentex	–	17																			x	
Hace	17	años
x	–	17	=	15
								x	=	15	+	17
								x	=	32
Rpta. Roxana	tiene	32	años.
Rpta. Óscar	tenía	14	años.
Rpta. Lourdes	tiene	46	años.
	 La	edad	que	tendrá	Óscar	dentro	de	9	años	será	
36	años.	¿Cuál	era	la	edad	de	Óscar	hace	13	años?
																	presente																futuro																							x																							x	+	9	
dentro	de	9	años
x	+	9	=	36
						x	=	36	–	9
						x	=	27
Hace	13	años:	27	–	13	=	14
	 Sara	 dice:	 «Dentro	 de	 25	 años	 mi	 edad	 será
	 6	 veces	 la	 edad	que	 tenía	 hace	15	años».	Si	 la	
edad	de	Lourdes	es	el	doble	de	la	edad	de	Sara,	
¿cuántos	años	tiene	Lourdes?		 Solución:
		pasado															presente														futuro
		x	–	15																							x																					x	+	25
–15
x	+	25	=	6(x	–	15)
x	+	25	=	6x	–	90
				115	=	5x
								x	=	23
	Lourdes	=	23(2)	=	46	años
+25
	 La	edad	que	tendrá	Luis	dentro	de	28	años	será	
el	triple	de	la	edad	que	tenía	hace	20	años.	¿Qué	
edad	tendrá	Luis	dentro	de	6	años?		 	 Solución:
		pasado															presente															futuro
		x	–	20																							x																						x	+	28
–20
x	+	28	=	3(x	–	20)x	+	28	=	3x	–	60					88	=	2x
							x	=	44Dentro	de	6	años	=	44	+	6	=	50
+28
	 Hace	12	años	Alejandra	 tenía	 la	cuarta	parte	de	
la	edad	que	tendrá	dentro	de	27	años.	¿Cuántos	
años	tenía	Alejandra	hace	9	años?
		pasado															presente																futuro
		x	–	12																							x																							x	+	27
–12
	x	–	12		=	x	+	27
4
4x	–	48	=	x	+	27
								3x	=	75
										x	=	25Hace9	años	=	25	–	9	=	16
+27
	 Hace	8	años	Maruja	tenía	35 	de	la	edad	que	tendrá	
dentro	 de	 12	 años.	 ¿Cuántos	 años	 faltan	 para	
que	Maruja	 tenga	el	 doble	de	 la	edad	que	 tuvo	
hace	10	años?	
		pasado															presente															futuro
		x	–	8																									x																						x	+	12
–8
+12
				x	–	8	=	 35 (x	+	12)
5x	–	40	=	3x	+	36								2x	=	76									x		=	38El	doble	de	hace	10	años	=	2(28)	=	56																			Falta:	56	–	38	=	18
Solución:
Solución:
Solución:
Rpta. Luis	tendrá	50	años.
Rpta. Alejandra	tenía	16	años.
Rpta. Le	faltan	18	años.
1
4
2
3
5
6
Para una mejor 
organización, 
se ha enumerado 
cada tema.
Enunciado
del problema
Título del tema 
Comentarios 
que refuerzan 
el desarrollo 
del tema.
Algoritmo de resolución
Folio 
Ejemplos desarrollados, 
en los que se explica 
didácticamente los 
pasos a ejecutar para 
hallar la respuesta.
Contenido teórico
Ejercicios resueltos
Conoce tu libro
Aquí encontrarás 
ejercicios planteados, 
los cuales resolverás en 
los espacios señalados 
siguiendo las indicaciones 
del docente.
25
MateMática Delta 2 -
 RazonaMien
to MateMátic
o
1
2
4
3 6
5
Ejercicios de aplicac
ión
halla el número de
 triángulos en la si
guiente 
figura. 
Encuentra el número
 de triángulos en la si
guiente 
figura.
Calcula el número de
 cuadriláteros en la si
guiente 
figura.
Indica el número de 
cuadriláteros en la si
guiente 
figura.
Determina el núme
ro de cuadriláteros
 en la 
siguiente figura.
halla el número de 
segmentos en la sig
uiente 
figura.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
1 
2 
3 
4 
1 2 3 4 5
44
Practica y demuestra
 Encuentra el valor de x en la analogía. 2 (17) 3 5 (141) 4 6 (x) 7
 Halla el valor de x en la analogía. 80 (23) 34 68 (29) 10 14 (x) 6
 Calcula el valor de x en la analogía. 124 (38) 56 27 (18) 41 87 (x) 26
 Determina el valor de x en la analogía. 89 (75) 31 45 (27) 17 62 (x) 76
 Halla el valor de x en la analogía. 81 (45) 25 64 (80) 100 121 (x) 9
 Calcula el valor de x en la analogía. 4 (256) 4 5 (25) 2 7 (x) 3
 Determina el valor de x en la distribución.
48
8 4 x
14 9
72
11 7
 Encuentra el valor de x en la distribución.
7 8
5
2 3
10 2
22
9 4
6 15
x
3 20
 Halla el valor de x en la distribución.
 Encuentra el valor de x en la distribución.8
4
3
2
32 19
21
8
16
x
13
6
3
1
45
8 16
12
20
x
10 17
11
 Calcula el valor de x en la distribución.
 Determina el valor de x en la distribución.
100
2
5
4
x
2
10 5
216
3
2
6
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
2 5
11
383
191
95 x
23
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
Enunciado 
del problema
Espacio para resolver 
el problema
En este espacio se ha 
planteado algunos 
problemas, los mismos 
que tendrás que resolver 
considerando el proceso 
seguido anteriormente.
Ejercicios de aplicación
Practica y demuestra
Nombre de 
la sección
Nombre de 
la sección
Índice
1
n.o de tema
3
2
4
5
7
6
8
9
11
10
12
resuelve 
problemas de 
cantidad
resuelve 
problemas de 
regularidad, 
equivalencia 
y cambio
resuelve 
problemas de 
movimiento, 
forma y 
localización
resuelve 
problemas 
de gestión 
de datos e 
incertidumbre
orden de información I 6
- Ordenamiento lineal
- Tipos de ordenamiento lineal
Conteo de figuras 21
- Conteo simple
- Conteo inductivo
Fracciones 45
- Definiciones
- Operaciones con fracciones
orden de información II y III 13
- Ordenamiento circular
- Test de decisiones
analogías y distribuciones numéricas 37
- Analogías numéricas
- Distribuciones numéricas
cuadrados mágicos 29
- Definición
- Métodos de resolución
ecuaciones de primer y segundo grado 52
- Ecuación y solución de una ecuación
- Ecuaciones de primer grado
- Ecuaciones de segundo grado
sucesiones 67
- sucesiones numéricas
- sucesiones literales (alfabéticas)
operaciones matemáticas 82
- Operador matemático
- Operaciones matemáticas arbitrarias
planteo de ecuaciones 60
- Enunciado y ecuación
- Ejemplos de planteo de ecuación
series notables 74
- serie
- series y sumas notables
problemas sobre edades 90
- Problemas con un solo sujeto
- Problemas con dos o más sujetos
competencias contenido pedagógico
6
Tema
Orden de información I
1
Ordenamiento lineal
Este ordenamiento se aplica en situaciones en que el problema presenta una 
característica en común de un grupo de objetos, animales o personas. Dicha 
característica común puede hacer referencia a la edad, estatura, posición que ocupan 
los elementos, antigüedad de los objetos, entre otras. El objetivo es ordenarlos en 
función de la información que se dé en el enunciado.
Los tipos de ordenamiento lineales son tres: Ordenamiento lineal comparativo, 
ordenamiento lineal por posición fija y ordenamiento lineal por planteamiento.
Ordenamiento lineal comparativo
Los datos se basan en la comparación de los elementos según una de sus características.
Ejemplo:
José, Liam, César y Elio son alumnos del 2.° B de secundaria. Si se sabe que José es 
más bajo que Elio, César es más alto que Liam y José es más alto que César, indica 
quién es el más bajo de ellos.
Ordenamiento lineal por posición fija
Los datos, en este tipo de ordenamiento, se basan en la posición de los elementos y 
la comparación del mismo tomando un punto de referencia. Este ordenamiento puede 
ser horizontal o vertical.
Al tener el esquema principal, se puede responder la pregunta planteada.
Rpta. El más bajo de ellos es Liam.
Horizontal 
Se produce cuando el conjunto de elementos se ubican uno al lado del otro.
Ejemplo:
Pilar, Emma, Cielo y Ana se ubican en cuatro sillas contiguas. Si Pilar está junto a Cielo 
y Ana, Emma se sienta al extremo derecho y Cielo está a la derecha de Ana, ¿quién se 
sienta en el tercer asiento contando desde la izquierda?
Resolución:
Después de leer los datos, se hace la 
representación gráfica.
Dato 1:
Cielo y Ana pueden cambiar de lugar
Cielo Pilar Ana
IzquIErDA ↔ DErEChA
Izquierda ↔ Derecha
Siniestra ↔ Diestra
Oeste ↔ Este
ricardo Sandra
→
I nt e rp ret a ción 
de dato s
Jorge está junto 
y a la derecha de 
Carlos.
Juan está a la 
derecha de raúl.
Mario está junto a 
Nancy y Óscar.
*
*
*
Miguel está entre 
Nelly y Pablo.
*
ricardo está a la 
izquierda inmediata 
de Sandra.
*
Luis se encuentra en 
un lugar equidistante 
de Pedro y Hugo.
*
Nancy M Óscar
Pedro ... Luis ... hugo
x x
Nelly ... Miguel ... Pablo
Recu e rda
Carlos
raúl Juan
Jorge
Resolución:
Después de leer los datos, se procede a 
representar la información de la siguiente 
forma:
Luego, se une toda la información en un 
solo esquema el que será el esquema 
principal.
Altura
+
–
Altura
+
–
Dato 1
José
Elio
Dato 2
Liam
César
Dato 3
César
José
Elio
César
José
Liam
7MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
I nt e rp ret a ción 
de dato s
Vertical 
Se produce cuando los elementos están ubicados uno encima o debajo de otro.
Por ejemplo:
En un edificio de 5 pisos, Paolo vive en un piso adyacente al de Claudio y Miguel, y Juan 
vive cuatro pisos arriba de Agustín; determina cuántos ordenamientos se pueden generar.
Resolución:
Dato 2:
Dato 3:
Ana Cielo
Luego, unimos toda la información en un 
solo esquema. 
Finalmente, se da respuesta a la pregunta 
planteada.
Rpta. En el tercer asiento, contando desde la izquierda, está sentada Cielo.
CieloPilarAna Emma
Emma
Beatriz no es mayor 
que Camilo.
David no llegó antes 
que Elena.
Mauricio está dos 
lugares a la derecha 
de Milagros.
Geraldine está tres 
lugares a la izquierda 
de Elizabeth.
Roberto es mayor 
que Juan y Alex.
quiere decir que 
Beatriz es menor o 
igual que Camilo.
quiere decir que 
David llegó después 
o al mismo tiempo 
que Elena.
*
*
*
*
*
Camilo
Beatriz
(=)
Elena David
(=)
Milagros Mauricio
1 2
Geraldine Elizabeth
32 1
roberto
Juan Alex
Dato 1:
Claudio y Miguel 
pueden cambiar 
de lugar.
Claudio
Paolo
Miguel
Dato 2:
La única forma que se cumpla esta 
condición es que Juan viva en el 5.° piso 
y Agustín en el 1.°.
Finalmente, observaremos que de 
acuerdo al gráfico, se pueden generar 
dos ordenamientos.
Claudio y Miguel 
pueden cambiar 
de lugar.
Juan
Claudio
Paolo
Miguel
Agustín
Al unir toda la información lograremos 
formar el esquema principal.
Ordenamiento lineal por planteamiento
Los datos se basan en la comparación precisa entre los elementos del problema.
Ejemplo:
En un salón de clases se distribuyeron a los alumnos en cuatro grupos diferentes, 
llamados A, B, C y D. Con respecto a los grupos, se sabe lo siguiente:
• El grupo A tiene dos integrantes más que el grupo B, pero uno menos que el grupo C. 
(DATO 1)
• El grupo D tiene tres integrantes más que el grupo C. (DATO 2)
Ordena los grupos de manera decreciente tomando en cuenta el número de sus 
integrantes.
 A: «X» integrantes
 B: «X – 2» integrantes
 C: «X + 1» integrantes
 C: «X + 1» integrantes
 D: «X + 4» integrantes
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente 
manera:
Teniendo en cuenta el planteamiento realizado se puede proceder a responder la 
pregunta del problema.
Rpta. Ordenados de manera decreciente: D – C – A – B.
 Dato 1: Dato 2:
+1 +3+2
8
4
5
6
2
3
Ejercicios resueltos
1 En cierto examen Milagros obtuvo menos puntaje 
que Elizabeth, rosario menos que Geraldine, 
Maira el mismo puntaje que Carmen; Milagros 
más que Consuelo; rosario el mismo puntaje que 
Elizabeth, y Maira más que Geraldine. ¿Quién 
obtuvo menos puntaje?
Se tiene una casa de cuatro pisos, y en cada piso 
vive una familia; la familia Díaz vive un piso más 
arriba que la familia Moyano. La familia Noriega 
habita más arriba que la familia García y la familia 
Díaz más abajo que la familia García. ¿En qué 
piso viven los Díaz?
6 mujeres participaron en una carrera, 
obteniéndose los siguientes resultados:
• Alicia no llegó en un lugar impar.
• Kathy llegó equidistante a Fabiola y a Betty, 
quien llegó en último lugar.
• Elsa deberá entrenar más si desea obtener el 
primer puesto.
¿En qué puestos llegaron Dora y Fabiola, 
respectivamente?
5 amigos viven en un edificio de 5 pisos, cada uno 
de ellos es un piso diferente.
• Juan vive un piso arriba de Mateo.
• Joel vive muy distanciado de Pedro.
• Joel no puede subir por las escaleras, debido a 
esto vive en el primer piso.
• Lucas quisiera vivir en el cuarto piso.
Indica qué afirmaciones son ciertas.
I. Pedro vive en el cuarto piso.
II. Lucas vive en el segundo piso.
III. Juan y Lucas viven en pisos contiguos.
Javier tiene menos dinero que Mirta y esta menos 
que Elías. Dora tiene más dinero que Javier pero 
menos que Elías. Paolo y Liz tienen la misma 
cantidad de dinero, y ambos menos que Dora. 
Determina qué afirmaciones son verdaderas.
I. Elías tiene más dinero que Paolo.
II. Javier tiene más dinero que Elías.
III. Liz tiene más dinero que Dora.
De 6 amigas de un grupo de baile, se conoce que 
Isabel es menor que Giovanna y Fiorella, Soledad 
es menor que Romina. Soledad no es la menor e 
Isabel es mayor que Rocío y Romina. Señala el 
valor de verdad de cada afirmación.
I. Isabel es menor que Soledad.
II. Giovanna es mayor que Rocío.
III. Fiorella no es mayor que Soledad. 
Rpta. Consuelo obtuvo menos puntaje.
Maira = Carmen
Geraldine
Elizabeth = rosario
 
Milagros
 
Consuelo
Rpta. Los Díaz viven en el 2.° piso.
Rpta. I. Falso
 II. Verdadero
 III. Falso
4.° Noriega
3.er García
2.° Díaz
1.er Moyano
Rpta. 1.° y 4.°
Rpta. Solo la segunda afirmación es cierta.
Giovanna Fiorella
 
Isabel
romina
Soledad
rocío
 Elías
 
Mirta Dora
 Javier Paolo = Liz
I. Verdadero
II. Falso
III. Falso
Rpta. Solo la primera afirmación es verdadera.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
I. Falso
II. Verdadero
III. Falso
5.° Pedro
4.° Juan
3.° Mateo
2.° Lucas
1.° Joel
Dora Alicia Elsa Fabiola Kathy Betty
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°
9MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
7 10
11
12
8
9
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Luis : x → 17
Enrique : x + 1 → 18
Esteban : x + 2 → 19
José : x + 3 → 20
Roberto : x – 2 → 15
Sobre las edades de cinco primos, se sabe que: 
• Luis tiene un año menos que Enrique. 
• Enrique tiene un año menos que Esteban. 
• José tiene dos años más que Enrique.
• Luis tiene dos años más que Roberto. 
Si se sabe que Enrique acaba de cumplir la 
mayoría de edad. ¿Cuáles de los cinco primos 
son menores de edad?
Sobre una mesa hay una cartuchera, un canguro 
y una mochila. 
Si sabemos que: 
• A la izquierda del canguro hay una cartuchera. 
• A la derecha de la mochila está el artículo de 
color azul. 
• A la izquierda del que es de color azul está el 
verde. 
• A la derecha del artículo rojo hay una mochila. 
¿Qué objeto está a la derecha de todos? 
En una fila de 7 asientos, se sientan 5 amigos, 
pero no se sientan juntos dos del mismo género. 
Luana se sienta en uno de los extremos de la 
fila, entre Vania y Elsa hay un asiento vacío, 
Adán está cuatro asientos a la derecha de Luis. 
Los asientos vacíos están separados por dos 
asientos. Si contamos de izquierda a derecha, 
¿en qué asiento se encuentra Vania?
un choque en cadena de 6 carros es originado 
por una imprudente parada de Susana quien 
tiene carro azul. El auto blanco de Paola está 
adyacente al de Carla y Bárbara. Vanessa no 
tiene carro azul y chocó a Carla. Un carro rojo 
chocó a Vanessa. 
Se sabe que hay 2 carros rojos, 2 azules, uno 
blanco y uno verde, y que 2 autos del mismo color 
no chocaron. 
¿De qué color es el tercer auto que choca y cómo 
se llama la persona que lo maneja?
Cinco personas rinden un examen. Se sabe que:
• Beatriz obtuvo un punto más que Dana.
• Dana obtuvo un punto más que Carmela.
• Estela obtuvo dos puntos menos que Dana.
• Beatriz obtuvo dos puntos menos que Alondra.
Ordénalos en forma creciente, según las notas 
que obtuvieron en el examen:
En una carrera participan 6 personas, obteniéndose 
los siguientes resultados: 
• Aarón no llegó en un lugar impar. 
• Carlos llegó equidistante a Enrique y a Bruno, 
quien llegó en último lugar. 
• Juan no pudo obtener el primer puesto. 
¿En qué puestos llegaron Kevin y Enrique, 
respectivamente? 
Rpta. Roberto y Luis son menores de edad.
Edad
Beatriz : x + 1
Dana : x
Carmela : x – 1
Estela : x – 2
Alondra : x + 3
Rpta. De manera creciente: Estela, Carmela, 
Dana, Beatriz y Alondra.
Rpta. Kevin llegó 1.° y Enrique llegó 4.°.
Rpta. A la derecha de todos está el canguro.
Rpta. Vania se encuentra en el tercer asiento.
cartuchera mochila canguro
 roja verde azul
Rpta. El tercer auto que choca es el de Carla y es 
azul.
Kevin
1.°
Juan
3.°
Carlos
5.°
Bruno
6.°
Enrique
4.°
Aarón
2.°
Susana Bárbara Paola Carla Vanessa
 azul rojo blanco azul verde rojo
1.° 2.° 3.°
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 7.°
Va
cí
o
Lu
is
Va
ni
a
Va
cí
o
E
ls
a
A
dá
n
Lu
an
a
10
Rpta.
Rpta.
1 4
2
3
5
6
Ejercicios de aplicación
Rpta.
En un grupo de 4 amigas, Beatriz es más alta que 
Rosemary, Amanda es más baja que Gladys y 
Beatriz es más baja que Amanda. ¿Quién es la 
más alta?
Julio tiene 4 hijos; de ellos, se sabe que Luis 
es menor que Edgar pero mayor que Gabriel y 
Javier. Si Javier es menor que Gabriel, ¿quién es 
el mayor de los hijos de Julio?
En un grupo de 5 primos, Juan es menor que 
Sheylla y Erick mayor que Guillermo. Además, 
Alex es mayor Erick y Guillermo mayor que 
Sheylla. 
Según esta información, indica quién es el mayor 
de todos los primos, y quién el menor.
En un edificio viven 4 amigos enpisos diferentes. 
Se sabe que:
• Jorge vive un piso debajo de Héctor.
• Luis utiliza silla de ruedas, por eso está contento 
viviendo en el primer piso.
• Carlos vive un piso abajo de Jorge.
¿Quién vive en el segundo piso y quién en el 
tercero?
En una evaluación, Ericka obtuvo más puntos que 
Flavia; Ana el mismo puntaje que Lidia; Brenda el 
mismo puntaje que Flavia y María más que Ana. 
Además, Brenda obtuvo más que María y Zara 
más que Ericka. ¿Quién obtuvo el mayor puntaje?
Rpta.
Rpta.
Juana, Noemí y Pilar viven en un edificio de 5 pisos. 
Sabiendo que Juana vive más arriba que Pilar y que 
Noemí, y adyacente a los dos pisos vacíos, ¿qué 
afirmación es correcta? 
I. Juana vive en el tercer piso. 
II. Pilar vive en el primer piso. 
III. El cuarto piso está vacío. 
IV. Noemí vive más arriba que Pilar. 
V. Juana vive en el cuarto piso. 
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
11MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
De las profesoras de Matemática, se sabe que 
Paola es mayor que Julia, pero menor que Linda, 
Rocío es menor que Paola, pero mayor que Teresa, 
Juana es mayor que Paola y Linda es mayor que 
María. ¿Qué afirmación es correcta?
a) No es cierto que Juana sea mayor que Teresa.
b) Juana es mayor que Linda.
c) Linda es mayor que Teresa.
d) rocío es menor que Julia.
e) Más de una es correcta.
En una evaluación, Luz obtuvo el mismo puntaje 
que Cecilia, Andrea más que Celia, rita obtuvo 
menos puntaje que Cecilia y más que Justa. Si 
Luz obtuvo menos que Celia y Andrea el mismo 
que Sofía, ¿quién obtuvo el menor puntaje?
Seis amigos asistieron a un teatro y se sentaron 
en una fila de asientos; se sabe que Ada está a 
la derecha de Nilda, entre Ezio y Sara; Nilda está 
junto y a la izquierda de Dora y a la derecha de 
Ezio, y Sara está junto y a la izquierda de Luis. 
¿Quién está en el extremo izquierdo?
Cinco amigos van al circo y se sientan en 7 asientos 
contiguos. Se observa que Rubén está entre Juan 
y Liz, Juan es esposo de Sonia y está sentado 
junto y a la derecha de Félix, Sonia está sentada 
en el extremo derecho. Si se sabe que Rubén está 
junto a los dos lugares vacíos y los esposos se 
sientan juntos, indica quién se sienta en el extremo 
izquierdo.
Al terminar un examen, 5 jóvenes compararon el 
puntaje obtenido; Berta obtuvo un punto más que 
Dina, quien obtuvo un punto más que hernán. 
Si Manuel obtuvo dos puntos menos que Dina y 
Dina tres puntos menos que Inés, ¿quién obtuvo 
el mayor puntaje?
Sobre las edades de cinco amigas, Flavia tiene 
dos años más que Delia, Rita tiene dos años más 
que Lía, Delia tiene un año menos que Ruth y Rita 
tiene un año menos que Delia. Si se sabe que 
Ruth acaba de cumplir la mayoría de edad, indica 
cuáles de ellas son menores de edad.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 10
11
12
8
9
12
Practica y demuestra
1 6
7
8
10
9
2
3
4
De cinco jóvenes, se sabe que Pablo es mayor 
que hernán, pero menor que Luz, Luisa es menor 
que Fanny y esta menor que Hernán. ¿Quién es 
el mayor de ellos?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
La ciudad de Junín está ubicada al este de Ica. 
Cerro de Pasco al oeste de Pucallpa. Ica a su vez 
está ubicado al oeste de Cerro de Pasco. ¿Cuál 
es la ciudad ubicada al oeste de las demás?
Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un 
piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, 
pero más arriba que David. Franco vive tres pisos 
más abajo que Carlos. Andrés vive dos pisos 
más arriba que Carlos y a cuatro pisos de Enzo. 
¿Quién vive en el tercer piso?
En un edificio de 5 pisos, viven 5 amigas en pisos 
diferentes. Nora vive arriba de Mayra y Noemí, pero 
debajo de Gina, y Dora vive un piso arriba de Gina, 
que vive en el cuarto piso. Si Noemí vive a dos pisos 
de Nora, indica quién vive en el segundo piso.
El colegio Sigma realiza 5 actividades (G, H, I, J y 
K) por motivo de su aniversario, una por día. Si H 
se realiza después de J, I se realiza 2 días después 
de G y J se realiza jueves o viernes. Sabiendo que 
dichas actividades se realizan de lunes a viernes, 
¿qué actividad se realiza el martes? 
En una carrera participan 6 autos de distintos 
colores. El auto azul llegó antes que el blanco, pero 
dos puestos después que el auto negro. El auto 
verde llegó inmediatamente después que el blanco, 
pero antes que el morado. Si se sabe que el otro 
auto es rojo, ¿qué auto llegó en primer lugar?
En una carrera de natación, al término de la 
misma, Adán no llegó antes que Bruno, Carlos 
llegó en tercer lugar y Daniel llegó antes que 
Bruno, pero después que Enrique. Si se sabe que 
no hubo empates, ¿quiénes llegaron en primer y 
cuarto puesto, respectivamente?
En el momento de la llegada del Grand Prix, un 
reportero anotó los siguientes resultados:
• Toyota llegó antes que Mazda y después que 
renault.
• Renault llegó después de Ferrari y este después 
de Ford.
• Mercedes llegó antes que Ferrari.
¿Qué autos pudieron llegar primero?
Cinco primos: Francisco, Sebastián, Adrián, 
Sandra y Kiara se sientan en una misma fila de 
seis butacas juntas de un cine. Se sabe que: 
• Sebastián no se sienta junto a Sandra, pero hay 
una persona sentada en cada uno de sus lados. 
• Kiara, se sienta en uno de los extremos de la fila. 
• Adrián se sienta 3 butacas a la izquierda de Kiara. 
• Hay dos butacas entre Francisco y la butaca vacía. 
• Sandra se sienta al extremo opuesto de donde 
está sentada Kiara. 
¿Qué asiento, a partir de donde está Kiara, está 
vacío? 
Cinco personas: Javier, Braulio, René, Lisa y Ana 
trabajan en un edificio de 6 pisos cada uno en un 
piso diferente. Se sabe que:
• Javier trabaja un piso adyacente al que trabajan 
Braulio y René.
• Lisa trabaja en el quinto piso.
• Adyacente y debajo de Braulio hay un piso vacío.
¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso, 
respectivamente?
Rpta.
5
Tema
13MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
2
Ordenamiento circular
Es aquel tipo de ordenamiento que se aplica en aquellas situaciones en las cuales 
el problema presenta un conjunto de objetos, animales o personas que se ubican 
alrededor de otra, siendo el caso más común un grupo de personas alrededor de una 
mesa. 
Test de decisiones
Este tipo de problemas se caracteriza porque se brinda una serie de datos relacionados 
entre sí cada uno con otro.
Para resolverlos es recomendable construir una tabla en la cual se relacionen los datos 
proporcionados marcando las relaciones correctas. Cabe recordar que a veces no es 
necesario llenar toda la tabla para responder ciertas preguntas.
Ejemplo:
Tres amigas, Juana, Luisa y Carla, comentan sobre el color del polo que lleva puesto 
cada una de ellas.
- Juana dice: «Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes». 
- Carla dice: «Me gustaría tener un polo verde como el tuyo».
- Luisa dice: «Me gusta mi polo rojo». 
Al tener estas distribuciones se logra visualizar unas flechas rojas en aquellas situaciones 
en la que la cantidad de elementos a distribuir sea par. Estas flechas indican que un 
elemento se encuentra frente a otro, es decir, diametralmente opuesto a otro.
Al momento de trabajar un ordenamiento circular se debe tomar en cuenta lo siguiente:
• ¿Qué letra está junto y a la derecha de H? C
• ¿Qué letra está a la izquierda inmediata de D? A
• ¿Qué letras están a la derecha de F? A, D y E
• ¿Qué letras están a la izquierda de B? G, E y D
• ¿Qué letras están adyacentes a E? G y D
• ¿Qué letra es adyacente común a F y D? A
• ¿Qué letra está diametralmente opuesta a H? D
• ¿Qué letra está frente a C? E 
Distribución simétrica
A todos los elementos les toca el mismo espacio para ubicarse.
Dos lugares Tres lugares
Seis lugares Ocho lugares
Cuatro lugares
Cinco lugares
A F
CD
hE
BG
De
re
ch
aIzquierda
* Simétricamente 
distribuidos: igual 
espacio para todos 
los lugares.
* Diametralmente 
opuesto: al frente.* Para resolver los 
problemas de 
ordenamiento 
circular:
1. Siempre debes 
empezar con aquel 
dato que te dé la 
mayor cantidad 
de información o 
con el que te dé la 
posición fija de uno 
o más elementos 
del ordenamiento:
 Ejemplos:
• Jorge está a la 
derecha de 
Luís. û
• Mario está tres 
lugares a la 
izquierda de 
ricardo. ü
• Alberto está 
junto con 
Manuel. û
• Jean está 
junto a Carlos 
y David. ü
2. Jamás debes 
empezar por un 
dato que tenga una 
negación:
 Ejemplo:
 • Raúl no 
 está sentado 
 junto a Sara. û
Este tipo de dato se 
deja para completar 
al final.
a)
b)
Orden de información II y III
Recu e rda
14
* Al momento de 
colocar los datos no 
interesa el orden en 
que se colocan.
* Al colocar un √ 
(check) en cualquier 
recuadro se debe 
llenar el resto de 
su fila y su columna 
con x (aspa).
* Existen dos tipos de 
datos.
a) Datos directos:
• Gael es 
ingeniero.
• A Daniela le 
gusta el color 
rojo.
b) Datos para 
descartar:
• Jorge es 
hermano del 
ingeniero. 
(Por tanto 
él no es 
ingeniero)
• A Franco no le 
gusta el color 
rojo.
* Al momento de 
llenar la tabla se 
debe empezar con 
los datos directos, 
luego de agotar 
este tipo de datos 
recién se empieza 
a trabajar con 
los datos para 
descartar.
COLOr
N
O
M
B
r
E
S
NOMBRES
C
O
L
O
r
Recu e rda Resolución:
Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades.
Primer dato: Como Juana no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde.
Tercer dato: Luisa tiene polo rojo.
Por lo tanto:
Juana → Verde
Luisa → rojo
Carla → Azul
Para resolver este tipo de problemas se debe tomar en cuenta lo siguiente:
• La información que se brinda en el problema no se va a encontrar ordenada 
necesariamente, es por esto que se debe leer muy bien cada uno de los datos 
que den y saber elegir el dato que se utilizará al inicio.
• Los criterios que se debe considerar al momento de elegir el dato con el cual se 
va a empezar son dos, en primer lugar la cantidad de información que brinda ese 
dato y en segundo lugar la precisión que pueda dar con respecto a la posición de 
uno o más elementos a considerar en el ordenamiento.
• Es muy útil que se utilice un esquema para la resolución de este tipo de problemas, 
reconociendo que existen distintos tipos de esquemas y se debe aprender a 
reconocer los diferentes planteamientos según la naturaleza del problema.
• Luego de plantear el esquema es importante que se verifique que todo lo 
planteado cumple con las condiciones que dieron en el problema.
Azul rojo Verde
Juana
Luisa
Carla
Azul rojo Verde
Juana X X ü
Luisa X
Carla X
Azul rojo Verde
Juana X X ü
Luisa X ü X
Carla ü X X
¿Qué color de polo tiene cada una?
15MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
5
6
Cuatro amigos: Ángel, Franco, Jean y Guillermo 
se sientan alrededor de una mesa circular. 
Franco está sentado frente a Jean; Ángel está a 
la izquierda de Jean. ¿Quiénes se sientan junto a 
Guillermo?
Seis amigos se sientan, simétricamente, alrededor 
de una mesa redonda. Pedro no está sentado al 
lado de Elena ni de Lupe, Fanny no está al lado 
de Juan ni de Elena, y Jasón está junto y a la 
derecha de Elena. Indica quién está sentado junto 
y a la izquierda de Juan, si se sabe que no está al 
lado de Elena ni de Lupe.
Tres niños y tres niñas se sientan alrededor de una 
mesa hexagonal, de tal manera que dos personas 
del mismo sexo no se sientan juntas. ¿Cuál de las 
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I. Sara no se sienta frente a Ada. 
II. Eva no se sienta frente a Elías. 
III. Carlos no se sienta frente a Bruno. 
Resolución:
Alrededor de una mesa redonda se sientan 
simétricamente 8 amigos; tal que, Elio está 
opuesto diametralmente a Arturo y junto a Bill y 
Fabio. Camilo está junto y a la izquierda de Arturo 
y diametralmente opuesto a Fabio. Bill está frente 
a Leo, quien a su vez está junto y a la izquierda 
de Sam. ¿Quién está frente a Dan?
Cuatro niñas están jugando con sus juguetes 
preferidos alrededor de una mesa cuadrada.
Si Denis tiene la muñeca, Cintia está a la derecha 
de la que tiene la pelota, Lili está frente a María; 
el rompecabezas está a la izquierda del peluche, 
María no tiene la pelota. Señala la verdad o 
falsedad de las siguientes afirmaciones:
I. María tiene el rompecabezas.
II. Denis tiene el peluche.
III. Lili tiene la pelota.
Seis amigos: Augusto, Bruno, Carlos, Dante, 
Eugenio y Fausto se sientan alrededor de una 
mesa circular con seis asientos distribuidos 
simétricamente. Si se sabe que:
• Augusto se sienta a la derecha inmediata de 
Bruno y diametralmente opuesto a Carlos.
• Dante no se sienta junto a Bruno.
• Eugenio no se sienta junto a Carlos.
¿Junto a quiénes se sienta Fausto?
Rpta. Franco y Jean se sientan junto a Guillermo.
Rpta. Jasón está sentado junto y a la izquierda
 de Juan.
Rpta. Frente a Dan se encuentra Sam.Rpta. Fausto está junto a Carlos y Bruno.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. I. F II. F III. V
Franco
Ángel
Guillermo
Jean
Cintia
(rompecabezas)
(peluche)
María
Denis
(muñeca)
Lili
(pelota)
C
B
DF
E
A
Fanny
Elena
Pedro
Jasón
JuanLupe
h
h
M
M
hM
Sam
Fabio Arturo
Elio Camilo
Bill
Leo
Dan
Ejercicios resueltos
2
3
1 4
Rpta. Son verdaderas I y III
16
7 9
10
8 Cuatro amigas: Sandra, Lucía, Patricia y Carmen 
salen de compras, y se sabe que cada una quiere 
comprar una prenda distinta: un par de zapatos, 
una blusa, un vestido y un par de guantes. 
Además se tiene la información de que: 
• Sandra no necesita zapatos, por lo cual no los 
compra. 
• Lucía comprará un vestido nuevo. 
• Patricia le aconseja a Carmen sobre el color de 
guantes que se va a comprar.
¿Quién comprará los zapatos? 
Mi abuelita tiene tres mascotas: un perro, una 
paloma y una tortuga, cada mascota tiene nombre: 
Hugo, Paco y Luis, no necesariamente en ese 
orden. Si se sabe que a Hugo le gusta el alpiste y 
que Luis no ladra, indica el nombre del perro.
• A Hugo le gusta el alpiste.
∴ Australia – Informática
por Literatura
• Luis no ladra.
Roberto, Javier, Pedro y Beto tienen diferentes 
ocupaciones y se sabe que: 
• Roberto y el gasfitero son amigos del mecánico. 
• El comerciante es familia de Beto. 
• El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico. 
• Roberto es comerciante. 
¿Cuál es la ocupación de Javier? 
Mary, Lucía y Sofía viven en tres países diferentes: 
Italia, Colombia y Australia; cada una estudia 
una carrera distinta: Veterinaria, Literatura e 
Informática.
Si se sabe que: 
• Mary no es americana.
• A Lucía le gustaría conocer la tierra de los 
canguros.
• La colombiana no estudia Literatura.
• La que vive en Australia estudia Informática.
• Sofía no es italiana y estudia Veterinaria.
¿En qué país vive Lucía y qué estudia?
Rpta. Patricia comprará los zapatos.
Rpta. El nombre del perro es Paco.
zapatos blusa vestido guantes
Sandra X ü X X
Lucía X X ü X
Patricia ü X X X
Carmen X X X ü
Rpta. Javier es mecánico.
Rpta. Lucía vive en Italia y estudia Literatura.
gasfitero mecánico comerciante pintor
roberto X X ü X
Javier X ü X X
Pedro ü X X X
Beto X X X ü
perro paloma tortuga
hugo X ü X
Paco X
Luis X
Mary Sofía Lucía
Australia Colombia Italia
Informática Veterinaria Literatura
perro paloma tortuga
hugo X ü X
Paco ü X X
Luis X X ü
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Beto es familiar de Roberto, por lo tanto no lo hace 
su amigo y eso lo deja como pintor, de acuerdo a 
la información dada. 
17MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios de aplicación
1 3
4
2 Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa 
redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas 
simétricamente. Si se sabe que: 
• Pablo no se sienta junto a Manuel. 
• Víctor está entretenido viendo como los otros 
dos discuten con Julio. 
Según esto, ¿qué afirmación es correcta? 
• Víctor y Julio se sientan juntos.
• Manuel y Víctor no se sientan juntos.
• No es cierto que Víctor y Julio no sesientan 
juntos.
• Pablo se sienta junto y a la derecha de Víctor.
• Pablo se sienta entre Víctor y Julio. 
Rpta.
Ocho amigos: Fabiola, Gino, Henry, Jorge, Carla, 
Luis, Martín y Nora, juegan cartas alrededor de 
una mesa circular.
• Las ocho sillas se encuentran igualmente 
espaciadas alrededor de la mesa.
• Carla está sentada exactamente al frente de 
Martín.
• Martín está sentado a la izquierda de Fabiola y 
junto a ella.
• Gino está sentado junto a Luis.
• Henry está sentado al frente exactamente de 
Jorge.
• Martín se encuentra sentado junto a Henry.
¿Quiénes están sentados junto a Nora?
Rpta.
Seis amigos se sientan alrededor de una 
mesa circular con ocho sillas distribuidas 
simétricamente.Se sabe que:
• Flavio está sentado a la izquierda de Humberto 
y junto a él.
• Kevin está sentado al frente de Gustavo y a la 
izquierda de Javier.
• Gustavo está sentado a dos asientos de Flavio.
• Javier está sentado diametralmente opuesto de 
Humberto y este está sentado a la izquierda de 
Kevin.
• Ignacio conversa amenamente con todos.
¿Cuántos posibles ordenamientos hay?
Rpta.
Rpta.
Cuatro hermanos: Pedro, Hugo, Carlos y Jorge 
se sientan alrededor de una mesa circular. hugo 
no está sentado frente a Carlos; Pedro está a 
la izquierda de Carlos. Por lo tanto se puede 
afirmar que:
• Jorge está frente a Carlos.
• Hugo no está frente a Pedro.
• Carlos está a la derecha de Hugo.
• Jorge y Hugo no están juntos.
• Más de una afirmación es correcta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
18
6
7
9
8Lourdes, Sara y Giovanna son tres amigas que 
viven en diferentes distritos: La Molina, Comas y 
San Miguel. Si se sabe lo siguiente:
• Giovanna no vive en San Miguel.
• Lourdes no vive en Comas ni en San Miguel.
¿En qué distrito vive Sara?
Cuatro amigos estudian desde el 1.° grado hasta 
el 4.° grado. Gabriel no estudia en 4.° grado, y en 
2.° grado estudian Víctor o Javier. Si Braulio no 
estudia en 1.° ni en 4.° grado y Javier no estudia en 
4.° grado, determina en qué grado estudia Víctor.
Cuatro personas tienen ocupaciones distintas. 
De ellas, se sabe que Antonio es hermano del 
transportista, el carpintero se reunió con Luis 
para conversar acerca de un trabajo, y Alan y el 
transportista son clientes del gasfitero. Si Juan 
se dedica a construir roperos desde muy joven 
y uno de ellos es vendedor de celulares, ¿qué 
ocupación tiene Alan?
 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Cinco personas entran a una tienda con el 
propósito de adquirir un artículo determinado 
cada uno. Los nombres de ellos son: Andrea, 
Jaime, Mónica, David y Lucas. Los artículos que 
compraron son: pantalón, chompa, blusa, zapatos 
y cartera. Se sabe que: 
• Ni Jaime ni Mónica compraron chompa.
• Andrea no encontró zapatos que hagan 
juego con la cartera que le regalaron por sus 
cumpleaños y por eso compró una blusa.
• David compró un par de zapatos. 
• Jaime no compró una cartera.
¿Qué artículos compraron Jaime y Lucas, 
respectivamente?
Rpta.
Tres personas: Andrés, Benito y Carlos tienen 
diferentes aficiones: fútbol, baloncesto y vóley y 
gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. 
Si se sabe que: 
• Benito no practica vóley.
• Al basquetbolista no le gusta el color rojo.
• Andrés no practica baloncesto.
• El que practica vóley gusta del color blanco.
• A Benito no le gusta el color azul.
¿Qué afición tiene Andrés y qué color le gusta a 
Carlos?
Rpta.
5
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
19MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Practica y demuestra
1
2
3
6
5
4
Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan 
alrededor de una mesa circular con seis asientos 
distribuidos simétricamente. Si se sabe que:
• A se sienta junto y a la izquierda de B y 
diametralmente opuesto a C.
• D no se sienta junto a B.
• E no se sienta junto a C.
¿Dónde se sienta F?
¿Cuántos ordenamientos se originan?
¿Quién se sienta frente a Diego?
Se deduce como verdad que:
I. Blanca está junto a Flora.
II. Celinda está adyacente a Blanca y Emilio.
III. Diego no está frente a Celinda.
Luis, Fabio, Claudio y Adriano se sientan 
simétricamente alrededor de una mesa circular. Si 
se sabe que Fabio no está frente a Claudio y Luis 
está a la izquierda de Claudio, ¿qué afirmación 
es cierta?
En una mesa con ocho asientos distribuidos 
simétricamente se sientan seis amigos: Alfredo, 
Blanca, Celinda, Diego, Emilio y Flora.
Se sabe que:
• Alfredo no se sienta frente a Diego.
• Diego no se sienta al frente de Flora.
• Blanca se sienta tres lugares a la derecha de Diego, 
quien está adyacente a los lugares vacíos.
• Emilio no se sienta junto a un lugar vacío ni a Blanca.
 A Entre C y E B Frente a C 
 C Entre B y C D Frente a B 
 E Entre A y B
 A Solo I B Solo II 
 C Solo III D Solo I y II 
 E Solo II y III
 A Frente a B B Entre B y E
 C Frente a F D Entre A y C
 E Frente a E
Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan 
alrededor de una mesa circular con seis asientos 
distribuidos simétricamente. Si se sabe que:
• A se sienta frente a B.
• C está junto y a la izquierda de A.
• D no está frente a C ni a E.
¿Dónde se sienta D?
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
 A Fabio está frente a Adriano.
 B Adriano está frente a Claudio.
 C Adriano y Fabio no están juntos.
 D Claudio está a la derecha de Fabio.
 E Más de una afirmación es cierta.
 A Alfredo
 B Blanca
 C Emilio
 D Celinda
 E Flora
20
8
9
Milagros, Paula, Carla y María tienen diferentes 
ocupaciones y viven en distintos distritos. Si 
sabemos lo siguiente:
• María vive en Surquillo.
• Una de ellas es abogada y no es Paula.
• La ingeniera vive en Miraflores.
• Carla no vive en Breña ni en Miraflores.
• La comerciante trabaja en Chorrillos.
• María es enfermera.
¿Qué ocupación tiene Milagros?
Sally, Luna, Grecia y Mariana, son amigas que 
practican un juego diferente cada una.
Se sabe que:
• Sally quisiera jugar ajedrez en lugar de damas.
• Luna le pide prestada sus fichas de ludo a 
Mariana porque quisiera aprender a jugar ese 
juego.
• Grecia no sabe jugar dominó.
¿Quién practica ajedrez y qué juego practica 
Luna?
En una reunión se observan a los profesores 
de Inglés, Historia, Matemática y Biología; los 
nombres son: Carlos, Bruno, Alan y Héctor, 
aunque no necesariamente en ese orden. Si 
se sabe que Carlos y el que enseña Historia 
no se llevan bien, Alan es amigo del profesor 
de Biología, Bruno es primo del matemático y 
este, amigo de Héctor. El que enseña Inglés es 
muy amigo de Héctor y del profesor de Biología. 
¿Quién enseña Matemática?
Guillermo, Carlos, Moisés, Jorge y Ernesto 
estudiaron carreras diferentes: historia, Literatura, 
Física, Química y Matemática. Cada uno tiene un 
hijo que no quiere ni va a seguir la carrera de su 
padre ni coincidirá con ninguno de los otros hijos. 
Se sabe que:
• El matemático es Moisés y el hijo de Guillermo 
quiere ser químico.
• El hijo de Jorge quiere estudiar Historia aunque 
su padre sea literato.
• Carlos es físico y su hijo no es matemático.
¿Qué carreras han estudiado Ernesto y su hijo, 
respectivamente?
Carlos Víctor y José estudian en Piura, Trujillo 
y Lima, siguiendo las carreras de Arquitectura, 
Biología y Comunicación.
• Carlos estudia en Piura.
• José no estudia en Trujillo.
• El que estudia en Trujillo no estudia Biología.
• El que estudia en Piura no estudia Arquitectura.
• José estudia Comunicación.
¿Qué estudia Víctor y en qué ciudad?
Ana, Pilar y Brenda llevan tres objetos distintos en 
las manos: reloj, llavero y chompa. Se sabe que 
Pilar siempre lleva una prenda para abrigarse; en 
cambio, el objeto que tiene Ana podría malograrse 
de un golpe y ya no podría saber la hora. Indica 
qué relación es correcta.
 A Enfermera B Abogada 
 C Ingeniera D Comerciante 
 E Faltan datos
 A Literatura – química B Física – historia
 C Matem. – Literatura D historia – Física
 E química – Matemática
 A Mariana – ludo B Luna – ludo
 C Sally– ajedrez D Grecia – dominó
 E Grecia – damas
 A Adrián B héctor 
 C Carlos D Alan 
 E Bruno
 A Ingeniería – Lima 
 B Arquitectura – Piura 
 C Biología – Trujillo
 D Arquitectura – Trujillo 
 E Comunicación – Lima
 A Pilar – llavero 
 B Ana – reloj 
 C Brenda – reloj
 D Brenda – chompa
 E Ana – llavero
7 10
11
12
Tema
21MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
3
Para poder desarrollar este capítulo de manera ordenada se clasificará la forma de 
contar distintas figuras de dos maneras distintas: el conteo simple y el conteo inductivo.
Conteo simple
Es aquel tipo de conteo que se caracteriza por ir contando de uno en uno el tipo de 
figura pedido en el problema.
Resolución:
Se empieza colocando números distintos 
en los triángulos que se encuentren a 
primera vista.
Resolución:
Colocamos números distintos en los 
cuadriláteros que observemos a primera 
vista; después, colocamos letras en las 
zonas que no sean cuadriláteros.
Luego, contaremos los triángulos 
formados por una cantidad de distintas 
zonas codificadas.
• Formados por una zona:
 1; 2; 3 y 4 → 4
• Formados por dos zonas:
 1 con 2 y 2 con 3 → 2
• Formados por tres zonas:
 1 con 2 y con 3 → 1
• Formados por cuatro zonas:
 1 con 2, con 3 y con 4 → 1
Finalmente, sumamos los resultados 
parciales.
Número total de triángulos:
4 + 2 + 1 + 1 = 8
Por lo tanto, esta figura tiene
8 triángulos.
Luego, contaremos los cuadriláteros 
formados por una cantidad de distintas 
zonas codificadas.
• Formados por una zona: 
 1; 2; a → 3
• Formados por dos zonas:
 1a, 1c y 2b → 3
• Formados por tres zonas:
 a1c y 1c2 → 2
• Formados por cuatro zonas:
 no hay → 0
• Formado por cinco zonas: 
 12abc → 1
Finalmente, sumamos los resultados 
parciales.
Número total de cuadriláteros:
3 + 3 + 2 + 0 + 1 = 9
Por lo tanto, esta figura tiene 9 cuadriláteros.
Ejemplo 1:
halla el número de triángulos en la 
siguiente figura:
Ejemplo 2:
halla el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura:
1
3
2
4 2
1
a
b
c
Conteo de figuras
* La Geometría 
(medición de la 
Tierra) se inició, 
como ciencia, en 
el antiguo Egipto 
y en Babilonia por 
la necesidad de 
realizar mediciones 
terrestres.
* La palabra 
polígono proviene 
de dos voces 
griegas: Poli, que 
significa muchos y 
gono que significa 
ángulo.
* recuerda que 
existe una 
terminología para 
los polígonos, 
basada en la 
cantidad de lados 
del mismo:
n.º de 
lados Nombre
3 triángulo
4 cuadrilátero 
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
10 decágono
11 undecágono
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 icoságono
¿Sa bía s qu e.. . ?
22
B) Triángulos
Por lo tanto, la figura tiene 45 segmentos.
Otras aplicaciones:
A) Cuadriláteros
Luego de la inducción anterior, el número 
total de segmentos en la figura será:
Luego, se induce desde los casos más 
simples hasta los más complejos:
Resolución:
Se empieza colocando números en los 
segmentos simples que forman esta 
figura.
Conteo inductivo
Para este tipo de conteo utilizaremos el método inductivo para llegar a la fórmula que 
se aplicará en los problemas que se asemejen al modelo.
Ejemplo 1:
halla el número de segmentos en la 
siguiente figura:
1
1 2
1 2 3
1 = 1 = 
1 × (1 + 1)
2
2 × (2 + 1)
23 = 1 + 2 =
6 = 1 + 2 + 3 =
3 × (3 + 1)
2
9 × (9 + 1)
2 = 
9 × 10
2 = 
90
2 = 45
4 × (4 + 1)
2 = 10
3 × (3 + 1)
2 = 6
1 2 3 ... n
n(n + 1)
2
1 2 3 ... n
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
1
2
3
n
...
En una cuadrícula:
Al final se suman las cantidades 
obtenidas en las multiplicaciones:
18 + 10 + 4 = 32
b) Número de cuadrados: 
Para calcular el total de cuadriláteros 
multiplicamos ambas cantidades:
10 × 6 = 60
a) Número de cuadriláteros:
 Para calcular el número de 
cuadriláteros se debe considerar que 
esta figura proviene de la unión de 
estas.
1
2
3
2 3 4 5 6
6 × 3 = 18
5 × 2 = 10
4 × 1 = 4
1 2 3 4
Número de 
cuadriláteros
1
2
3
Número de 
cuadriláteros
C) Sectores circulares
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6
* La inducción que 
lleva al n(n + 1)2
también puede ser 
aplicada para el 
conteo de ángulos:
* Los números 
triangulares tienen 
la forma n(n + 1)2 .
Número de 
ángulos:
n(n + 1)
2
* Los números 
rectangulares 
tienen la forma 
 n(n + 1).
* Al momento 
de resolver un 
problema de 
conteo de figuras 
por inducción 
debes estar muy 
atento para que 
tomes en cuenta el 
elemento que se 
está enumerando:
1 2
3
n
...
1 3 6 10
1 × 2
2
2 × 3
2
3 × 4
2
4 × 5
2
2 6 12 20
1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5
Segmentos
Puntos
Recu e rda
1 2 3 4 5 6 7 8 9
23MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
1 3
2
4
halla el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Resolución:
5
4
6
a
2 1
1 sector : 1; 2; 3; 4; 5; 6 → 6
2 sectores: 12; 3a; 4a; 45; 56 → 5
3 sectores: 3a6 → 1
4 sectores: 124a; 126a → 2
6 sectores: 12456a → 1
Determina el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura.
Resolución:
1 2 3 4 5 6 7
Aplicando la fórmula:
7(8)
2 = 28
Rpta. Hay 15 triángulos
Rpta. 28
Encuentra el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura.
1 sector: 1; 2
2 sectores: 1c, 2g; 1e; 2h
3 sectores: 2bh; h2g; c1e; 1ef; 1cd; a2g, 2ae, h1d
4 sectores: bh2g; 2efg; bhc1; 12he; cd1e; 1def; 
 a2gh; bh2a; c1ef
5 sectores: a2gef; bcdh1
10 sectores: 12abcdefgh
Resolución:
h
b
c
1
d
a
2
e
g
f
Rpta. Total = 26
Calcula el número de ángulos en la siguiente 
figura.
Resolución:
1
2 3
4
5
Aplicando la fórmula:
5(6)
2 = 15
Rpta. 15
3
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
=
=
24
5 halla el número de cuadriláteros en la siguiente 
figura.
1
2
3
13
14
15
Resolución:
1
2
3
13
14
15
Aplicando la fórmula:
15(16)
2 = 120
Calcula el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Resolución:
4(5)
2 = 10
10 × 5 = 50
1 2 3 4
1
2
3
4
5
Determina el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Resolución:
1
2(3)
2
3(4)
2
= 6
5(6)
2
= 15
4(5)
2
= 10
5(6)
2
= 15
Total: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 + 15
Rpta. 120
Rpta. 50
Rpta. 160Rpta. 50
Encuentra el número de cuadriláteros irregulares 
en la siguiente figura.
Resolución
Cuadriláteros irregulares: cuadriláteros que no 
son cuadrados.
cuadriláteros =
6(7)
2
× 4(5)
2
= 210
cuadrados = 6 × 4 + 5 × 3 + 4 × 2 + 3 × 1 = 50
 210 – 50 = 160
1 2 3 4 5 6
2
3
4
n(n + 1)
2
n(n + 1)
2
=
=
= 3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2 3 4 5
3
3
3
4
4
5
4 
cm
6 cm
6
7
8
25MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
1
2
4
3
6
5
Ejercicios de aplicación
halla el número de triángulos en la siguiente 
figura. 
Encuentra el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Calcula el número de cuadriláteros en la siguiente 
figura.
Indica el número de cuadriláteros en la siguiente 
figura.
Determina el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura.
halla el número de segmentos en la siguiente 
figura.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
1 
2 3
 4
 
1 
2 3 4 
5
26
halla el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Calcula el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Encuentra el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Indica el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Determina el número de sectores circulares en la 
siguiente figura.
halla el número de triángulos en la siguiente 
figura.
7 10
11
12
8
9
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
27MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Determina el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura.
halla el número de cuadrados en la siguiente 
figura.
Indica el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Calcula el número de cuadriláteros irregulares en 
la siguiente figura.
Indica el número de cuadriláteros en la siguiente 
figura.
Encuentra el número de cuadriláteros irregulares 
en la siguiente figura.
13 16
17
18
14
15
Rpta.Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
28
Practica y demuestra
1 7
8
10
9
6
5
11
2
3
4
halla el número de segmentos en la siguiente 
figura.
Calcula el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Encuentra el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura.
Determina el número de triángulos en la siguiente 
figura.
halla el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Calcula el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Encuentra el número de cuadriláteros en la 
siguiente figura.
Determina el número de cuadrados en la siguiente 
figura.
halla el número de cuadriláteros irregulares en la 
siguiente figura.
Calcula el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Encuentra el número de triángulos en la siguiente 
figura.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
E S T u D I A r
Rpta.
Rpta.
Tema
29MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
4
Recu e rda
Cuadrados mágicos
Definición
Es una distribución numérica de forma cuadrada en la que los números ubicados en la 
misma fila, columna o diagonal principal sumen lo mismo.
La suma que se repite en todas las direcciones se le conoce como constante mágica.
1
3
2
1
15
15
15
15
1515 15 15
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Métodos de resolución
Para aquellos cuadrados mágicos que son llenados con números que están en 
progresión aritmética existen métodos prácticos para solucionarlos.
Cuadrado mágico de 3 × 3
Para resolver un cuadrado mágico de 3 × 3 con números en progresión aritmética, por 
ejemplo los números del 1 al 9, lo primero que se debe hacer es colocar un cuadrado 
más en la parte exterior y central de cada uno de sus lados.
Ahora se empezará a llenar en dirección diagonal comenzando por cualquiera de los 
cuadrados agregados.
En este caso se empezará por llenar desde el cuadrado ubicado en la parte izquierda y 
se completará en forma diagonal hacia arriba ().
* Los números que 
están en progresión 
aritmética se 
reconocen porque 
tienen una razón 
aritmética constante 
(r).
 Por ejemplo:
 7; 11; 15; 19; ...
 31; 38; 45; 52; ...
* El término 
enésimo (Tn) de 
una progresión 
aritmética se halla 
con la fórmula:
 Tn = T1 + r(n – 1)
* Un conjunto 
de números 
consecutivos están 
en progresión 
aritmética cuya 
razón es 1.
 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ...
* Las diagonales 
truncas son 
aquellas que se 
encuentran partidas 
en la distribución.
4
7
4
7
4
7
9 + 7 + 8
3 + 1 + 2
1 + 7 + 4
9 + 3 + 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
+1 +1 +1
30
¿Sa bía s qu e.. .?
15
15
15
15
15
15 15 15
2 7 6
9 5 1
4 3 8
3
2 6
1 5
4
3
2 6
1 5 9
4 8
7
3
2 7 6
1 9 5 1 9
4 3 8
7
3
2 6
1 5 1 9
4 3 8
7
3
2 7 6
1 9 5 9
4 8
7
Al terminar de completar la primera diagonal se debe seguir en el mismo sentido con 
las otras diagonales.
Ahora se debe colocar los números que están en los recuadros exteriores en aquellos 
que se encuentran vacíos en la parte interior, cada uno en el que está al frente de él.
Por último, se borran los recuadros de la parte exterior y se tendrá como resultado un 
cuadrado mágico.
* Un cuadrado 
latino es aquella 
distribución de 
forma cuadrada 
donde las filas y las 
columnas tienen la 
misma suma, pero 
esta no aparece 
en las diagonales 
principales.
* El tablero conocido 
como sudoku es 
un ejemplo de 
cuadrado latino.
* Un cuadrado 
diabólico es 
aquella distribución 
de forma cuadrada 
donde las filas, 
columnas, 
diagonales 
principales y 
diagonales truncas 
tienen la misma 
suma.
Diagonales truncas
5 + 14 + 12 + 3 = 34
4 + 7 + 13 + 10 = 34
1 + 11 + 16 + 6 = 34
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
15 10 3 6
1 2 3
2 3 1
3 1 2
9
34
34
6
34
34 34 34 34
34
34
34
6
6
6
6 6 6
31MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
¿Sa bía s qu e.. .?
Cuadrado mágico de 4 × 4
Para resolver un cuadrado mágico de 4 × 4 con números en progresión aritmética, 
por ejemplo los números del 1 al 16, lo primero que se debe hacer es ubicar todos 
los números de forma ordenada desde cualquiera de los cuatro recuadros que se 
encuentran en las esquinas y en cualquiera de las dos direcciones (horizontal o vertical).
4
3
2
1
1
16 12 8 4
15 11 7 3
14 10 6 2
13 9 5 1
16 12 8 4
15 11 7 3
14 10 6 2
13 9 5 1
1 12 8 13
15 6 10 3
14 7 11 2
4 9 5 16
En este caso se va a empezar a llenar el cuadrado desde el recuadro ubicado en la 
esquina inferior derecha, y se hará en el sentido de abajo hacia arriba. ( )
Ahora se traza las diagonales principales y se cambia de lugar a los números que se 
ubican simétricamente distanciados de la intersección de las diagonales.
34
34
34
34
34
343434 34 34
* Un cuadrado 
mágico 
multiplicativo es 
aquella distribución 
de forma cuadrada 
en la cual el 
producto de los 
números ubicados 
en la misma fila, 
columna o diagonal 
principal es el 
mismo.
* En el cuadro 
Melancolía I, 
grabado en 1524 
por Alberto Durero, 
aparece un 
cuadrado mágico de 
4 × 4 en la esquina 
superior derecha.
5 100 2
4 10 25
50 1 20
1000
1000
1000
1000
1000
1000 1000 1000
32
14
11 6 13
8 12 10 8 12
7 14 9
6
Ejercicios resueltos
1 4
5
6
2
3
Rpta. S = 9
(–5) + (–3) + (–1) + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 3S
 27 = 3S
 9 = S
35 25 33 11
15 29 21 39
13 31 23 37
41 19 27 17
14 15 4
12 7 6
5
13 2
A 14 15 4
12 7 6 B
C D E 5
13 F 2 G
Halla el valor de la constante mágica en el 
siguiente cuadrado.
Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 
números pares desde el 10 hasta el 26.
Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los 
números impares del 11 al 41.
Encuentra el valor de la constante mágica de un 
cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los 
números: –5; –3; –1; 1; 3; 5; 7; 9; 11.
Completa el siguiente cuadrado mágico.
Completa el siguiente cuadrado mágico.
En todas las direcciones debe sumar 30:
Rpta. 33
Rpta.
Rpta.
Rpta. A = 6; B = 12; C = 8; D = 7; E = 14 y F = 9
Rpta. A = 0; B = 8; C = 8; D = 10; E = 10; F = 2 y G = 16
9 19 5
7 11 15
17 3 13
11 A 13
B 10 C
D E F
Resolución:
Se suman tres números en cualquier dirección.
9 + 19 + 5 = 33
 A + 14 + 15 + 4 = A + 12 + C + 13  C = 8
 12 + 7 + 6 + B = 4 + B + 5 + G  G = 16
 13 + F + 2 + G = F + D + 7 + 14  D = 10
Constante mágica = 13 + D + 6 + 4 = 33 
 A = 0; B = 8; E = 10; F = 2
Resolución:
La suma de todos los números 
es igual a 3 veces el valor de 
la constante mágica.
11 + A + 13 = 30  A = 6 
 A + 10 + E = 30  E = 14 
11 + B + D = 30  D = 7
13 + C + F = 30  F = 9
13 + C + F = 30  13 + C + 9 = 30  C = 8
Resolución:
Números: 10; 12; 14; 
16; 18; 20; 22; 24 y 26 
(P.A.)
Resolución:
Números: 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 
33; 35; 37; 39 y 41 (P.A.)
20 10 24
22 18 14
12 26 16
26
20 24
14 18 22
12 16
10
INICIO
17 25 33 41
15 23 31 39
13 21 29 37
11 19 27 35
INICIO S
S
S
Resolución:
Resolución:
30
33MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
7
10
11
8
9
Halla el valor de la constante mágica de un 
cuadrado de 4 × 4 en el que se distribuyen los 
números enteros desde el –4 hasta el 11.
Completa el siguiente cuadrado mágico latino, si 
el valor de su constante es 20 unidades.
Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 
9 primeros términos de la sucesión cuyo término 
enésimo es –4n + 7.
Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los 
16 primeros términos de la sucesión cuyo término 
enésimo es 2n + 5.
Completa el siguiente cuadrado mágico con los 
números 4; 10; 12; 14; 16 y 24.
Rpta. S = 14
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Los números a distribuir son: {–4; –3; –2; –1; 0; 
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}
Resolución:
tn = 2n + 5  t1 = 2(1) + 5 = 7
Los 16 primeros términos serán:
7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 
35; 37.
Resolución:
Para calcular el valor de laconstante mágica 
sumamos todos los números del cuadrado.
3S = 4 + 10 + 12 + 14 + 16 + 24 + 8 + 18 + 20
3S = 126
 S = 42
Ahora hallamos cada número:
Ahora los distribuimos:
Resolución:
4S = suma de todos los números
4S = 56
 S = 564 = 14
Resolución:
Los números son:
t1 = –4(1) + 7 = 3
t2 = –4(2) + 7 = –1
t3 = –4(3) + 7 = –5
t4 = –4(4) + 7 = –9
t5 = –4(5) + 7 = –13
t6 = –4(6) + 7 = –17
t7 = –4(7) + 7 = –21
t8 = –4(8) + 7 = –25
t9 = –4(9) + 7 = –29
Al distribuirlos:
• 3 + 11 + F = 20  F = 6
• 9 + C + F = 20  C = 5
• 9 + D + 3 = 20  D = 8
• C + D + E = 20  E = 7
• B + E + 3 = 20  B = 10
• 9 + A + B = 20  A = 1
• 8 + A + 18 = 42  A = 16
• 18 + D + 20 = 42  D = 4
• 8 + C + 20 = 42  C = 14
• 18 + C + E = 42  E = 10
• 8 + B + E = 42  B = 24
• E + F + 20 = 42  F = 12
9
11 3
8 18
20
–17 –21 –1
3 –13 –29
–25 –5 –9
–5
–17 –1
–29 –13 3
–25 –9
–21
INICIO
9 A B
C D E
F 11 3
8 A 18
B C D
E F 20
Rpta. A = 1; B = 10; C = 5; D = 8; E = 7 y F = 6.
13 11 9 7
21 19 17 15
29 27 25 23
37 35 33 31
31 11 9 37
21 25 27 15
29 17 19 23
7 35 33 13
INICIO
2 2 2 2
34
Ejercicios de aplicación
1
2
3
20
23 16 21
Completa el siguiente cuadrado mágico.
8 50 80
38 20
44 14
26 98
Completa el siguiente cuadrado mágico.
12
15 13
Completa el siguiente cuadrado mágico.
26 5 20
11 17 23
14 29 8
Halla el valor de la constante mágica en el 
siguiente cuadrado.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los 
números pares del 2 al 32.
Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 
números impares del 1 al 17.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
4
5
6
Resolución:
35MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
7
8
9
10
11
12
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de la constante mágica de un 
cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los 
números: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Determina el valor de la constante mágica de un 
cuadrado de 4 × 4 en el que se distribuyen los 
números naturales desde el 10 hasta el 25.
16 1
7
Completa el siguiente cuadrado mágico, si el 
valor de su constante es 12 unidades.
Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 
9 primeros términos de la sucesión cuyo término 
enésimo es 4n + 1 e indica la constante mágica.
10
9 4
Completa el siguiente cuadrado mágico con los 
números 2; 5; 6; 7; 8 y 12. Luego, halla el valor de 
la constante mágica.
Calcula el valor de la constante mágica de 4 × 4 
con los 16 primeros términos de la sucesión cuyo 
término enésimo es –2n + 3.
36
Practica y demuestra
1 7
8
9
10
11
12
2
3
4
5
6
11
12
5 10
49 33
30 71
52 27
Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 
9 primeros números enteros positivos.
Completa el siguiente cuadrado mágico, si el 
valor de su constante es 24 unidades.
Completa el siguiente cuadrado mágico.
Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los 
16 mayores números enteros negativos.
¿Cuánto es el valor de la constante mágica 
de un cuadrado de 3 × 3, sabiendo que sus 
números están en progresión cuyo término 
enésimo es 3n + 5?
¿Cuánto es el valor de la constante mágica 
de un cuadrado de 4 × 4, sabiendo que sus 
números están en progresión cuyo término 
enésimo es –n + 1?
31 29
13 15 25
11
5 27
Completa el siguiente cuadrado mágico.
1 29
17 7
–9
7 12
6
11 17
Completa el siguiente cuadrado mágico con los 
números: 3; 9; 13; 15 y 23.
Halla el valor de la constante mágica de un 
cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los 9 
primeros términos de la sucesión: 5; 8; 11; 14;...
Completa el siguiente cuadrado mágico.
Completa el siguiente cuadrado mágico con los 
números –4; –1; 2; 5; 8; 14 y 20, si además se 
sabe que la constante mágica es 24 unidades.
¿Cuánto es el valor de la constante mágica de 
3 × 3, si se sabe que los números que se van 
a distribuir son los 9 primeros términos de la 
sucesión cuyo término enésimo es 4n ‒ 9?
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Tema
37MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Analogías y distribuciones 
numéricas
5
Existen diferentes tipos de ordenamientos, principalmente numéricos. En algunos 
casos intervienen letras, las mismas que representarán a un valor numérico.
Analogías numéricas
Las analogías numéricas son ejercicios de percepción, así como de relación o ley 
de formación que sirven para desarrollar el dominio de las operaciones matemáticas 
básicas, tales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, 
tanto de manera independiente como combinadas. 
Ejemplo: 
 Analogía Donde se cumple:
 3 (16) 7 16 = 32 + 7
 4 (25) 9 25 = 42 + 9
 12 (155) 11 155 = 122 + 11
Análisis y resolución de analogías numéricas
Para poder resolver problemas de analogías numéricas debemos de considerar lo 
siguiente:
1) Se debe realizar la misma operación en el mismo orden con todos los casos 
planteados por el problema. Es decir, si en la primera fila aplicaste una multiplicación, 
la misma operación se debe utilizar en todas las otras filas.
 Ejemplo:
 5 (40) 8 40 = 5 × 8
 2 (4) 2 4 = 2 × 2 y no podría ser 4 = 2 + 2
 7 (x) 3 x = 7 × 3 
2) Se debe respetar el orden de los operandos en todos los casos planteados por el 
problema. Es decir, si estamos realizando una sustracción donde el número de la 
segunda columna es el minuendo y el de la primera es el sustraendo, eso debe 
cumplirse para todas las otras filas.
 Ejemplo: Solución 1 Solución 2 
 9 (16) 5 16 = (9 – 5)2 16 = (5 – 9)2 
 12 (36) 6 36 = (12 – 6)2 36 = (6 – 12)2 
 14 (x) 4 x = (14 – 4)2 x = (4 – 14)2 
3) Es muy importante que tengas un completo dominio de las tablas de multiplicación, 
así como del valor de los números cuadrados perfectos y cubos perfectos, puesto 
que estas operaciones son muy utilizadas en la resolución de los problemas.
 Ejemplo: 
 27 (54) 24 54 = (2 + 7) × (2 + 4)
 10 (5) 14 5 = (1 + 0) × (1 + 4) 
 17 (x) 44 x = (1 + 7) × (4 + 4) 
En esta ocasión se trabaja 
con el producto de la suma 
de cifras de los números que 
están a los lados.
Recu e rda
Para poder resolver 
los problemas de 
analogías numéricas 
es importante que 
domines todas 
las operaciones 
matemáticas como 
adición, sustracción, 
multiplicación, 
división, 
potenciación y 
radicación.
*
La propiedad 
conmutativa se 
cumple en la 
adición y en la 
multiplicación, pero 
no en la sustracción.
Ejemplo:
7 + 4 = 4 + 7 (V)
10 × 8 = 8 × 10 (V)
15 – 7 = 7 – 15 (F)
*
 120 = 23 × 3 × 5
3600 = 24 × 32 × 52
Para calcular la 
raíz cuadrada 
de un número 
puedes recurrir a 
la descomposición 
canónica.
*
a + b
2
La semisuma de 
dos números es la 
mitad de la suma de 
ellos.
*
a – b
2
La semidiferencia 
de dos números 
es la mitad de la 
diferencia de ellos.
*
a × b
2
El semiproducto de 
dos números es la 
mitad del producto 
de ellos.
*
38
No o lv id e s
Distribuciones numéricas
Las distribuciones numéricas son figuras en las que se encuentran distintos números 
ubicados de tal manera que se deben trabajar como una analogía; es decir, identificar 
la relación entre ellos para calcular el valor desconocido.
Estas figuras pueden tener cualquier forma y se deben respetar las reglas establecidas 
en la parte de Analogías numéricas, al momento de resolverlas.
Ejemplo 1:
Calcula el valor de x en la distribución:
Resolución:
En este caso como la incógnita se encuentra en la parte interior de la figura, se debe 
buscar la relación de los otros números con esta cantidad.
Al jugar con algunas operaciones se puede deducir que se debe trabajar con la suma 
de los productos de los números que están ubicados en las esquinas opuestas.
4 × 4 + 2 × 5 = 26
6 × 3 + 5 × 5 = 43
8 × 9 + 3 × 3 = x
x = 72 + 9 = 81
Ejemplo 2:
Calcula el valor de x en la distribución:
Resolución:En este caso no hay una serie de figuras para comparar los procedimientos, entonces 
lo que se debe hacer es encontrar una relación entre los números ubicados solo en 
esta figura.
Al analizar los números se puede deducir que ellos forman una progresión aritmética 
de razón 4.
3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; x x = 27 + 4 = 31
19
15
23
27
11
7 3
x
26
4
5
2
4
43
6
5
5
3
x
8
3
3
9
Al momento de 
trabajar una 
distribución 
numérica, la lógica 
de solución y las 
reglas son las 
mismas que en una 
analogía.
Se debe respetar 
el orden de las 
operaciones y de 
los operandos de 
las mismas.
El prefijo semi, 
significa la mitad.
semisuma: 
mitad de la suma
semidiferencia: 
mitad de la diferencia
semiproducto: 
mitad del producto
La diferencia de 
dos números es 
la resta de ellos, 
donde el mayor 
es el minuendo 
y el menor, el 
sustraendo.
La jerarquía al 
momento de trabajar 
una operación 
combinada:
1.° Signos de
 agrupación
 { [ ( ) ] }
2.° Potenciación y
 radicación
 ( )2 , 
3.° Multiplicación y
 división
 × , ÷
4.° Adición y 
 sustracción
 + , –
5.° De izquierda a 
 derecha ( )
*
*
*
*
*
3
39MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
1
2
3
4
5
6
Halla el valor de x en la analogía.
 111 (8) 32
 75 (21) 63
 93 (x) 57
Halla el valor de x en la analogía.
 14 (25) 36
 78 (33) –12
 19 (x) 57
14 + 36
2 = 25
78 + (–12)
2 = 33
19 + 57
2
= x
x = 38
Encuentra el valor de x en la analogía.
 50 (157) 7
 23 (87) 18
 68 (x) 10
 50 × 3 + 7 = 157
23 × 3 + 18 = 87
68 × 3 + 10 = x
 x = 214
Calcula el valor de x en la analogía.
 20 (481) 9
 12 (153) 3
 10 (x) 7
202 + 92 = 481
122 + 32 = 153
102 + 72 = x
 x = 149
Determina el valor de x en la analogía.
 10 (32) 4
 45 (150) 20
 34 (x) 11
 10 × 2 + 4 × 3 = 32
45 × 2 + 20 × 3 = 150
34 × 2 + 11 × 3 = x
 x = 101
1 + 1 + 1 + 3 + 2 = 8
 7 + 5 + 6 + 3 = 21
 9 + 3 + 5 + 7 = x
 x = 24
Encuentra el valor de x en la analogía.
 10 (1036) 6
 6 (280) 8
 12 (x) 7
103 + 62 = 1036
 63 + 82 = 280
123 + 72 = x
 x = 1777
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 38
Rpta. 101
Rpta. 24
Rpta. 1777
Rpta. 214
Rpta. 149
40
Calcula el valor de x en la distribución.
 2 × 5 = 10
 5 × 5 = 25
 9 × 5 = 45
15 × 5 = x
 x = 75
2
5 9
15
10x
45 25
Determina el valor de x en la distribución.
4 × 8 + 3 = 35
7 × 11 + 5 = 82
10 × 9 + 6 = x
x = 96
 Halla el valor de x en la distribución.
19
7
10
4
3
x
13
16
9
2
11
5
8
7
9
 4 × 10 – 7 × 3 = 19
 8 × 7 – 5 × 9 = 11
16 × 9 – 13 × 2 = x
 x = 118
8
35
34
11
82
57
9
x
610
 Encuentra el valor de x en la distribución.
 0 2 3 4
 2 3 4 5
 1 9 64 x
20 = 1 32 = 9 43 = 64 54 = x
 x = 625
 Calcula el valor de x en la distribución.
90
78
4
2
108
216
2
4
x
59
3
10
 (8 + 7) × (4 + 2) = 90
(16 + 2) × (2 + 4) = 108
(9 + 5) × (3 + 10) = x
 x = 182
 Determina el valor de x en la distribución.
4 7
8 88
14 6
7 x
6 7
2 26
 (4 + 7) × 8 = 88
 (6 + 7) × 2 = 26
(14 + 6) × 7 = x
 x = 140
Resolución:
Resolución:
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
 Rpta. 75
 Rpta. 625
 Rpta. 182 Rpta. 96
 Rpta. 118 Rpta. 140
7 10
8
9
11
12
41MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
1
2
3
4
5
6
Ejercicios de aplicación
 Halla el valor de x en la analogía.
 16 (20) 24
 32 (14) –4
 39 (x) 77
 Resolución:
 Calcula el valor de x en la analogía.
 2 (29) 5
 6 (136) 10
 15 (x) 30
 Resolución:
 Determina el valor de x en la analogía.
 12 (120) 20
 46 (345) 15
 18 (x) 99
Resolución:
 Encuentra el valor de x en la analogía.
 7 (40) 3
 11 (57) 8
 20 (x) 13
Resolución:
 Halla el valor de 4x en la analogía.
 23 (10) 14
 56 (24) 94
 134 (x) 85
Resolución:
 Determina el valor de 2x
10
 en la analogía.
 34 (63) 90
 65 (55) 23
 69 (x) 54
Resolución:
 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
42
 Encuentra el valor de x – 66 en la analogía.
 72 (112) 20
 32 (124) 46
 90 (x) 38
Resolución:
 Calcula el valor de x ÷ 9 en la analogía.
 2 (16) 4
 5 (125) 3
 3 (x) 5
Resolución:
 Halla el valor de x en la analogía.
 6 (64) 2
 4 (1296) 6
 5 (x) 4
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 Determina el valor de x en la distribución.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
10 13
x
19
7
4
25 22
 Encuentra el valor de x en la distribución.
48 43
38
33
53
x
58 28
 Calcula el valor de x en la distribución.
11 7
17
21
13
10
x 3
Rpta.
Rpta.
Rpta.
8
9 12
11
107
43MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Resolución:
Resolución:
Resolución:
 Halla el valor de x en la distribución.
23 15
x
14
7
9
21 16
 Determina el valor de x en la distribución.
25
5
10
3
11
x
9
6
13
14
12
8
7
4
5
 Encuentra el valor de x en la distribución.
66
8
4
3
2
30
7
4
3
200 x
17
6
8
2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 Calcula el valor de 5x en la distribución.
26
4 310
23
x 418
5
51 87
Resolución:
Rpta.
 Halla el valor de x ÷ 10 en la distribución.
77
5
2
8
3
140
10
4
7
3
x
9
11
3
4
Resolución:
Rpta.
 Determina el valor de x
5 + 1
 en la distribución.
Resolución:
7
37
65
9
89
810
13
x
1112
Rpta.
 
14 17
15 18
1613
44
Practica y demuestra
 Encuentra el valor de x en la analogía.
 2 (17) 3
 5 (141) 4
 6 (x) 7
 Halla el valor de x en la analogía.
 80 (23) 34
 68 (29) 10
 14 (x) 6
 Calcula el valor de x en la analogía.
 124 (38) 56
 27 (18) 41
 87 (x) 26
 Determina el valor de x en la analogía.
 89 (75) 31
 45 (27) 17
 62 (x) 76
 Halla el valor de x en la analogía.
 81 (45) 25
 64 (80) 100
 121 (x) 9
 Calcula el valor de x en la analogía.
 4 (256) 4
 5 (25) 2 
 7 (x) 3
 Determina el valor de x en la distribución.
48
8 4
x
14 9
72
11 7
 Encuentra el valor de x en la distribución.
7 8
5
2 3
10 2
22
9 4
6 15
x
3 20
 Halla el valor de x en la distribución.
 Encuentra el valor de x en la distribución.
8
4
3
2
32
19
21
8
16
x
13
6
3
1
45
8 16
1220
x
10 17
11
 Calcula el valor de x en la distribución.
 Determina el valor de x en la distribución.
100
2
5 4
x
2
10 5
216
3
2 6
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
2 5
11383
191
95 x
23
1 7
2
8
3
9
4
10
5 11
6
12
Tema
45MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Fracciones
*
Recu e rda
6
Es el cociente indicado de dos números enteros, con el divisor diferente de cero. 
Así, si N y D ∈ Z ⇒ 
N
D es una fracción, si D ≠ 0.
Donde: N es el numerador y D es el denominador.
Si se cumple que: D > N, entonces:
• D → indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad.
• N → indica cuántas de esas partes de la unidad se toman.
Ejemplo: 
Grafica: 57
→ numerador
→ denominador
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
5
7
Como D > N, la fracción nos indica que la unidad ha sido dividida en 7 partes iguales, 
de las cuales están pintadas 5.
Importante: La parte que no se ha coloreado es 2
7
. Es decir:
1 – 5
7 
 = 2
7
 1 = 5
7 
+ 2
7
 1 = 5 + 27
La parte que no se ha pintado se conoce con el nombre de complemento y en este caso 
viene a ser 2
7
.
 Operaciones con fracciones
 Adición y sustracción de fracciones homogéneas
 Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Se simplifica 
hasta que sea una fracción irreductible.
 Ejemplos:
a) 79 + 
1
9 = 
7 + 1
9 = 
8
9
b) 38 + 
4
8 – 
2
8 = 
3 + 4 – 2
8 = 
5
8
* El complemento 
de una fracción es 
la cantidad que le 
falta para llegar a la 
unidad.
* Cuando el valor de 
la fracción es menor 
que 1 se llama 
fracción propia y 
cuando es mayor 
que 1se llama 
fracción impropia.
* Fracciones 
homogéneas 
son aquellas que 
tienen el mismo 
denominador.
 18 ; 
3
8 ; 
7
8 ; 
13
8 
* Fracciones 
heterogéneas 
son aquellas que 
tienen distinto 
denominador.
 710 ; 
5
8 ; 
8
11 ; 
13
23
* Una fracción es 
irreductible cuando 
sus términos son 
primos entre sí 
(Pesi). 
Fracción
1
2
1
3
2
5
4
7
Complemento
1 – 1
2
 = 12 
1 – 1
3
 = 23
1 – 2
5
 = 35
1 – 4
7
 = 37
2
7 Pesi
4
9 Pesi
11
19 Pesi
46
 Multiplicación de fracciones
 Para multiplicar fracciones, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores 
de manera separada.
 Ejemplos:
a) 85 × 
3
2 = 
8 × 3
5 × 2 = 
24
10 = 
12
5 b) 
4
3 × 
7
4 × 
9
12 = 
4 × 7 × 9
3 × 4 × 12 = 
252
144 = 
7
4
 Fracción de un número
 Para calcular la fracción de un número se debe multiplicar a la fracción por el número.
 Ejemplos:
a) 
4
12 de 144 = 
4
12 × 144 = 
4 × 144
12 = 
576
12 = 48
b) 35 de 
2
3 de 200 = 
3 × 2 × 200
5 × 3 = 
1200
15 = 80
Reducción a la unidad de tiempo
Este método se basa en el cálculo de la parte elaborada de una tarea o trabajo en una 
unidad de tiempo, pudiendo ser esta una hora, un minuto, un día, etc., según lo que el 
problema presente.
Ejemplo:
Luis pinta una pared en 5 horas.
Por una regla de tres simple se puede determinar qué parte de la pared pinta en una 
hora, de la siguiente manera:
Tiempo
5 horas
1 hora
Parte que realiza
1
x
El total de la obra que representa 
con la unidad (1)
 Adición y sustracción de fracciones heterogéneas
 Para realizar operaciones aditivas de fracciones heterogéneas, se deben homogeneizar 
las fracciones; luego, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo 
denominador. Se expresa el resultado como fracción irreductible.
 Ejemplos:
a) 29 + 
3
4 = 
8
36 + 
27
36 = 
8 + 27
36 = 
35
36 b) 
5
8 + 
1
4 – 
1
2 = 
5
8 + 
2
8 – 
4
8 = 
5 + 2 – 4
8 = 
3
8
Al resolver la regla de tres simple quedaría: 51 = 
1
x → 5x = 1 × 1 → x = 
1
5
Por lo tanto, la parte que hizo en una hora es un quinto de la obra.
Del ejemplo planteado se puede deducir que la parte que hace de la obra, es igual a la 
inversa multiplicativa del número total de horas, días, minutos; que se demore en hacer 
toda la obra.
Tiempo que demora Parte que realiza en una unidad de tiempo
 5 días 15 de la obra en 1 día
 8 horas 1
8
 de la obra en 1 hora
 125 horas 
5
12 de la obra en 1 hora
 163 minutos 
3
16 de la obra en 1 minuto
Obse rva
* Fracciones 
decimales son 
aquellas que tienen 
un denominador 
que es una potencia 
de 10.
8
10
; 7
100
; 23
1000
; 579
10 000
 
* Fracciones 
equivalentes son 
aquellas que tienen 
el mismo valor 
numérico.
4
5
 = 8
10
 = 16
20
 = 12
15
 = 0,8 
* Para homogeneizar 
 las fracciones 
se debe calcular 
el MCM de los 
denominadores.
 1
4
 y 3
10
 MCM(4; 10) = 20
 1
4
 = 1 × 5
4 × 5
 = 5
20
 
 3
10
 = 3 × 2
10 × 2
 = 6
20
 
* Todo porcentaje 
se puede expresar 
como una fracción.
 a % = a
100
 20 % = 20
100
 = 1
5
 
 30 % = 30
100
 = 3
10
 
 75 % = 75
100
 = 3
4
 
 98 % = 98
100
 = 49
50
 
 110 % = 110
100
 = 11
10
 150 % = 150
100
 = 3
2
 280 % = 280
100
 = 7
5
47MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
1
2
3
 Halla el valor de n en:
 n2 + 
n
3 + 5n = 1435
 Resolución:
3n
6 + 
2n
6 + 
30n
6 = 1435
 35n = 1435(6)
 n = 246
Rpta. El valor de n es 246.
Rpta. Le falta 215.
Rpta. Aún queda debiendo 175 soles. Rpta. Maricruz tiene 40 años.
Rpta. Son las 9:00 a. m.
Rpta. La herencia fue de 2000 soles.
 ¿Cuánto le falta a 15 para ser igual a los 
3
4
 de 4
9
?
 Resolución:
 15 + x = 
3
4 
. 
4
9 
 15 + x = 
1
3
 x = 13 
– 15
 x = 515 
– 315
 x = 215
 Arnaldo le debe a Miguel una cantidad igual a los 
5
9 de 720 soles y le paga los 
3
4
 de 300. ¿Cuánto le 
quedó debiendo Arnaldo a Miguel? 
 Resolución: 
 Debe: 59 (720) = 400
 Paga: 34 (300) = 225 
400 – 225 = 175
 María repartió una herencia entre sus dos hijos. 
Si al mayor le dio los 710 y al menor 600 soles, 
¿cuánto fue el monto de la herencia que repartió 
María entre sus hijos? 
 Resolución:
 herencia: x
 
 x = 7
10
 x + 600
 3x10 = 600 
 x = 2000
mayor: 710 x
menor: 600
 Si se sabe que el número de horas transcurridas 
del día es igual a los 35 del número de horas que 
quedan, ¿qué hora es?
 Resolución: 
 1 día = 24 horas
 horas transcurridas: x
 horas que faltan: 24 – x
 x = 
3
5 (24 – x)
 5x = 72 – 3x
 8x = 72
 x = 9
 La edad que tenía Maricruz hace 10 años era 
los 58 de la edad que tendrá dentro de 8 años. 
¿Cuántos años tiene Maricruz?
 Resolución: 
 edad de Maricruz: x años
 x – 10 = 
5
8 (x + 8)
 8x – 80 = 5x + 40
 3x = 120
 x = 40
4
5
6
48
 Pepito tiene cierto número de canicas y se percata 
que si las agrupa de 5 en 5 tendría 4 grupos más 
que si las agrupara de 7 en 7. ¿Cuántas canicas 
tiene Pepito? 
 Resolución:
 número de canicas: x
 de 5 en 5: x5 grupos
 de 7 en 7: x7 grupos
 x5 – 
x
7 = 4
 2x35 = 4
 x = 70
 Fabiola va a una tienda a comprar ropa. Si se sabe 
que gasta la mitad de su dinero en un pantalón y 
los 3
4
 de lo que le quedó en un polo, ¿cuánto dinero 
llevó a la tienda, si al final terminó con 20 soles?
 Resolución:
 dinero inicial: x
 gasta: 12 queda 
1
2 x
 gasta: 34 queda 
1
4
1
2 x
 14
1
2 x = 20
 x = 160
 El agua contenida en un pozo se agota en 3 horas. 
En cada hora, baja el nivel del agua la mitad de la 
altura, más un metro. ¿Qué espesor tenía la capa 
de agua?
 Resolución:
 Cada hora baja 1
2
 de la altura más 1 litro, quedando 
1
2
 de la altura menos 1.
 1.a hora: 1
2
x – 1
 2.a hora: 1
2
 1
2
x – 1 – 1
 3.a hora: 1
2
 1
2
 1
2
x – 1 – 1 – 1 = 0
 x = 14
 Roberto puede hacer un trabajo en 6 horas y 
Martín podría hacer el mismo trabajo en 12 horas. 
¿En cuánto tiempo lo terminarían trabajando 
juntos?
 Resolución:
 en 1 hora
 Roberto: 6 horas 1
6
 Martín : 12 horas 
1
12
 Juntos : 16 + 
1
12 = 
3
12 = 
1
4
 En 1 hora hacen 14 del trabajo 
 Un caño puede llenar un tanque en 4 horas y 
otro lo puede dejar vacío en 6 horas. ¿En cuánto 
tiempo lo llenarían trabajando juntos?
 Resolución: 
 en 1 hora
 caño A: 4 horas 1
4
 caño B: 6 horas – 1
6
 juntos : 14 – 
1
6 = 
1
12
 juntos llenan 
1
12 en 1 hora 
 Tres hombres hacen un trabajo en 4 días. 
Sabiendo que el primero solo lo haría en 9 días y 
el segundo en 12. ¿Qué tiempo tardaría el tercero 
trabajando solo?
 Resolución:
 A: 9 días
 B: 12 días
 C: x días
 19 + 
1
12 + 
1
x = 
1
4
 1x = 
9
36
 – 436 – 
3
36
 1x = 
2
36
 x = 18
4 días
Rpta. Pepito tiene 70 canicas. Rpta. Lo terminarían en 4 horas.
Rpta. Llenarían todo el tanque en 12 horas.
Rpta. El tercero lo haría en 18 días.
Rpta. Fabiola llevó 160 soles.
Rpta. Tenía 14 metros de altura.
(negativo porque 
sale el agua)
7 10
8
9
11
12
49MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
2
3
Ejercicios de aplicación
1 Efectúa.
 2 – 1
5
1313
Rpta.
 Calcula el valor de x.
3x –1
2 – 
5x + 4
3 – 
x + 2
8 = 
2x – 3
5 – 
1
10
Rpta.
Resolución:
Resolución:
 Efectúa. 
2
5
1
10
+
3
5
1
25
+
4
25
2
5
 
Resolución:
Rpta.
 Pedro debe pagar una cuota de 300 soles de su 
tarjeta de crédito. Si solo paga los 
11
15 de dicha 
cuota, ¿cuánto dinero le faltará pagar?
Resolución:
Rpta.
4
 Eduardo debe resolver la cuarta parte del número 
de problemas que tiene su libro.Si el número de 
problemas que logró resolver es igual a los 34 de 48, 
¿cuántos problemas le falta resolver, si su libro 
tiene 400 problemas en total?
Resolución:
Rpta.
5
 Un depósito de cierto líquido está lleno hasta su 
mitad. Si se extrae 60 litros, el nivel de líquido 
disminuye hasta su sexta parte. ¿Cuál es el 
volumen total del depósito?
Resolución:
Rpta.
6
 El día de hoy vinieron al colegio las 23 partes del 
número de alumnos de cierto salón. Si el profesor 
de Educación Física mandó a llamar a 8 de ellos, por 
lo cual solo quedó 
2
5 del número total de alumnos. 
¿Cuántos alumnos tiene en lista dicho salón? 
Resolución:
Rpta.
7
50
 Roberto reparte la cantidad de aceite que compró 
entre sus dos restaurantes. Si al primero le tocó 
120 litros y al segundo los 711 que quedaron, 
¿cuánto gastó Roberto en esa compra, si cada 
litro de aceite cuesta 4 soles?
Resolución:
 Lucho repartió las hojas que le sobraron entre dos 
de sus amigos. Si a Carlos le dio los 38 del total y 
las otras 60 hojas, a Johan, ¿cuántas hojas recibió 
Carlos?
Resolución:
 Si el número de horas transcurridas del día es 
igual a los 57 del número de horas que quedan, 
¿cuántas horas faltan para que sea las 9:00 p. m.?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 El número de minutos transcurridos desde las 
2:00 p. m. es igual a los 
2
3 del número de minutos que 
faltan para que sean las 3:00 p. m. ¿Qué hora es? 
Resolución:
Rpta.
 La edad que tendrá Javier dentro de 15 años será 
los 9
5
 de la edad que tenía hace 9 años. ¿Qué 
edad tendrá Javier dentro de 5 años? 
Resolución:
 Fiorella ha gastado 
1
4 de su dinero en un helado 
y luego 23 del resto en un café. Si aún le quedan 
S/ 20, ¿cuánto tenía?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
 Se activan tres caños para llenar un tanque. Si 
se sabe que uno de ellos lo puede llenar solo en 
36 horas, el segundo en 30 horas y el otro en 
20 horas, ¿en cuánto tiempo llenarán el tanque 
los tres caños?
Resolución:
Rpta.
9
10
13
11
14
128
51MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Practica y demuestra
 Calcula el valor de x.
 Se tiene tres números sucesivos y se sabe que la 
mitad del menor sumado con la quinta parte del 
número intermedio, es igual a la sexta parte del 
cuádruplo del mayor. ¿Cuál es el valor del mayor 
de los números?
Rpta.
Rpta.
 Si se extraen 400 litros de un tanque que está lleno 
hasta los 2
3
 de su capacidad, quedaría hasta los 
3
5 de la misma. ¿Cuántos litros faltan para llenar 
el tanque?
Rpta.
 Un automovilista observa que 1
5
 de lo que ha 
recorrido equivale a 35 de lo que le falta por 
recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta 
el momento, si todo el viaje lo hace en 24 horas?
Rpta.
 Un estudiante escribe en un cuaderno cada día la 
mitad de hojas en blanco que posee ese día más 
5 hojas, si al cabo de 2 días ha gastado todas las 
hojas. ¿Cuántas hojas tenía el cuaderno?
Rpta.
 Un obrero acaba una obra en 12 días, pero otro 
obrero lo acaba en 36 días. ¿En cuánto tiempo 
acabarán la obra si trabajan los dos obreros al 
mismo tiempo?
Rpta.
 La construcción de un departamento demorará 
60 días. Si se ha avanzado hasta los 3/5, ¿cuántos 
días faltan para concluir la obra?
 En un recipiente de 20 litros de capacidad, se ha 
llenado hasta sus 2/5 partes, ¿cuántos litros faltan 
para llenar 14 litros?
 Una botella de 3 litros está llena de gaseosa hasta 
sus 2/3 partes. ¿Cuántos litros de gaseosa se 
tendría que aumentar para que la botella quede 
completamente llena?
 Se sabe que si agregamos 80 litros a un recipiente 
que está lleno hasta sus 4/9 el recipiente se 
llena completamente. ¿Cuál es la capacidad del 
recipiente?
 Liliana gasta en alimentos la mitad de lo que gana 
y los 2/3 de lo que resta lo gasta en ropa. Después 
de 2 años, ahorró S/ 3000. ¿Cuánto gana por mes?
 Si la clase de R.M. dura 
5
3
 h por semana. ¿Cuánto 
tiempo se dedica a la clase de R.M. durante un 
bimestre de 8 semanas?
 Si gastara 2/5 de lo que tengo y diera una limosna 
de S/ 36, me quedaría los 3/7 de lo que tengo. 
¿Cuánto tengo?
 Un horno más una licuadora cuestan S/ 300. Si el 
precio de la licuadora es 1/5 del horno, ¿cuánto 
cuesta la licuadora?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
2(5x – 1)
5 +
3(10x – 3)
10 =
2x – x
2 –
6
5 × 1010 ×
1 7
2
8
3
9
4
10
5
11
13
6
12
14
74
Tema
Series notables
10
•	 En	toda	serie	notable	
donde	n	representa	
la	posición	del	
término,	se	debe	
empezar	con	n	=	1,	
es	decir,	para	aplicar	
la	fórmula	de	la	suma	
de	los	n	primeros	
números	enteros	
positivos,	esta	debe	
empezar	en	1;	para	
aplicar	la	suma	de	los	
n	primeros	números	
pares	enteros	
positivos,	esta	debe	
empezar	en	2;	y	así	
sucesivamente.
•	 Si	no	se	da	el	caso	
anterior	lo	que	
se	debe	hacer	es	
aplicar	un	pequeño	
artificio	que	consiste	
en	agregar	los	
términos	que	faltan	y	
luego	quitárselos.
S	=	8	+	9	+	10	+	11	+	…	+	30
S	=	1	+	2	+	3	+…+	7	+	8	
+	9	+…+	30	–	(1	+	2	
+	3	+…+	7)
	 S	=	30	×	312 	–	
7	×	8
2
•	 Los	números	
naturales,	pares	
e	impares,	se	
encuentran	
en	progresión	
aritmética,	por	lo	
tanto	también	se	
pueden	calcular	
utilizando	la	fórmula	
de	la	suma	de	
términos	de	dicha	
progresión.
	 1	+	2	+	3	+	4	+…+	n
	 2	+	4	+	6	+	8	+…+	2n
	 1	+	3	+	5	+	7	+…+	2n	–	1	
•	 Si	quieres	comprobar	
de	donde	proviene	
la	fórmula	de	la	
suma	de	cuadrados	
o	de	cubos,	
puedes	buscar	
en	la	web	sobre	
la	PROPIEDAD 
TELESCÓPICA DE 
LAS SERIES,	y	eso	
te	dará	una	idea	de	
su	origen.
Serie
Una	serie	es	la	adición	indicada	de	los	términos	de	una	sucesión	numérica.
De	acuerdo	a	esto,	si	tenemos	la	sucesión:
Sucesión	 			4;	9;	14;	19;...;	79	
Esta	es	la	serie	asociada	a	dicha	sucesión:
Serie	 			4	+	9	+	14	+	19	+…	+79
El	valor de la serie	es	el	resultado	de	la	adición	de	todos	los	números	que	pertenecen	
a	la	misma.
4	+	9	+	14	+	19	+	…	+	79	=	 664 		 		Valor	de	la	serie
Series notables
Una	serie	notable	es	aquella	que	tiene	un	nombre	específico	y	una	fórmula	determinada	
para	calcular	su	valor.
A	continuación,	se	presentan	algunas	series	notables:
Suma de los n primeros números enteros positivos 
1	+	2	+	3	+	4	+	...	+	n
Ejemplo:
	 1	+	2	+	3	+	4	+	…	+	20	=	20(20	+	1)2 	=	
20(21)
2 	=	210
Suma de los n primeros números pares enteros positivos 
2	+	4	+	6	+	8	+	…	+	(2n)
Ejemplo:
	 2	+	4	+	6	+	8	+	...	+	60	=	30(31)	=	930
	 																															
2n	=	60
		n	=	30
	
Recuerda	que	primero	debes	igualar	el	último	término	con	2n	para	hallar	el	valor	de	n	
y	luego	se	reemplaza	este	valor	en	la	fórmula.	
Suma de los n primeros números impares enteros positivos 
1	+	3	+	5	+	7	+	…	+	(2n	–	1)	
Ejemplo:
	 1	+	3	+	5	+	7	+	...	+	99	=	502	 	=	2500
	 																										
2n	–	1	=	99
								n	=	50
n(n	+	1)
2
n(n	+	1)
n2
75MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cuadrado 
12	+	22	+	32	+	42	+	...	+	n2
Ejemplo:
	 12	+	22	+	32	+	42	+	...	+	102	=	
10(10	+	1)(2	×	10	+	1)
6
=
10(11)(21)
6
=	385
Suma de los n primeros números enteros positivos elevados al cubo
13	+	23	+	33	+	43	+	...	+	n3
Ejemplo:
	 13	+	23	+	43	+	...	+	123	=	 12(12	+	1)2
2
	=	782	=	6084
*	A	partir	de	estas	fórmulas	se	puede	deducir	algunas	otras	como	lo	siguiente:
	 1	×	2	+	2	×	3	+	3	×	4	+	4	×	5	+	...	+	n(n	+	1)
	 1	×	(1	+	1)	+	2(2	+	1)	+	3(3	+	1)	+	4(4	+	1)	+	...	+	n(n	+	1)
	 12	+	1	+	22	+	2	+	32	+	3	+	42	+	4	+	...	+	n2	+	n
	 (12	+	22	+	32	+	42	+	...	+	n2)	+	(1	+	2	+	3	+	4	+	...	+	n)
	 	 									n(n	+	1)(2n	+	1)				
+
				n(n	+	1)
	
Suma de los n primeros números binarios
1	×	2	+	2	×	3	+	3	× 4	+	4	×	5	+	...	+	n(n	+	1)				
Ejemplo:
	 1	×	2	+	2	×	3	+	3	×	4	+	4	×	5	+	...	+	14	×	15	=	
14	×	15	×	16
3
n(n	+	1)
2
2n	+	1
3
n(n	+	1)
2
2n	+	4
3
n(n	+	1)	(n	+	2)
3
n(n	+	1)(2n	+	1)
6
n(n	+	1)
2	
2
n(n	+	1)(n	+	2)
3
•	 Una	sumatoria	es	la	
forma	abreviada	de	
colocar	una	serie,	y	
se	caracteriza	por	
el	uso	del	operador	
matemático	
SUMATORIA (∑),	
el	cual	está	
representadopor	
la	letra	griega	
sigma.	Por	ejemplo,	
la	forma	de	
representar	la	suma	
de	los	n	primeros	
números	enteros	
positivos	con	
sumatorias,	sería	la	
siguiente:
	
•	 No	te	olvides	de	
listas	de	números	
importantes,	como	
los	naturales,	pares,	
impares,	cuadrados	
perfectos,	cubos	
perfectos,	entre	
otras,	que	se	han	
desarrollado	en	
capítulos	anteriores.
•	 El	término	enésimo	
de	la	sucesión	que	
forman	los	números	
triangulares	es	igual	
a	la	de	la	suma	
de	los	n	primeros	
números	enteros	
positivos.
•	 El	término	enésimo	
de	la	sucesión	que	
forman	los	números	
rectangulares	es	
igual	a	la	de	la	suma	
de	los	n	primeros	
números	pares	
enteros	positivos.
•	 Para	que	más	
adelante	puedas	
calcular	el	valor	
de	series	de	orden	
superior	es	de	
vital	importancia	
que	domines	las	
fórmulas	que	
aparecen	en	este	
capítulo,	ya	que	sin	
ellas	no	podrás	dar	
el	siguiente	paso.
Σ
n
i	=
i	=	1
n(n	+	1)
2
6 2
+	1
76
Ejercicios resueltos
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	2	+	3	+	4	+	…	+	70
 Resolución:
n	=	70
S	=	
70(71)
2
	 S	=	2485	
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	2	+	4	+	6	+	8	+…+	220
 Resolución:
 2n	=	220
	 n	=	110
	 S	=	110(111)
	 S	=	12	210
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	3	+	5	+	7	+…+	121
	 Resolución:
	 2n	–	1	=	121
	 						2n	=	122
	 								n	=	61
	 								S	=	612
	 								S	=	3721
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	12	+	22	+	32	+	42	+	...	+	900
	 Resolución:
	 n2	=	900
	 n	=	30
	 S	=	
30(31)(61)
6
	 S	=	9455
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	8	+	27	+	64	+	…	+	1331
	 Resolución:
	 n3	=	1331
	 n	=	11
	 S	=	
11(12)
2
2
	 S	=	662
	 S	=	4356
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	×	2	+	2	×	3	+	3	×	4	+	4	×	5	+	...	+	31	×	32
 Resolución:
	 n(n	+	1)	=	31	×	32
	 n	=	31
	 S	=	 31	×	32	×	33
3
	 S	=	10	912	
Rpta. 2485 Rpta. 9455
Rpta. 4356
Rpta. 10	912
Rpta. 12	210
Rpta. 3721
1 4
2
3
5
6
77MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
	 S	=	11	×	12	+	12	×	13	+	13	×	14	+	....	+	25		×	26
 Resolución:
	 S	=	1	×	2	+	2	×	3	+	...	+	25	×	26	–	(1	×	2	+	2	×	3	+	....	+	10	×	11)
S	= 25(26)(27)
3
10(11)(12)
3
S	=	5850	–	440
S	=	5410
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	suma:	
S	=	1,01	+	4,02	+	9,03	+	16,04	+	...	+	144,12
	 Resolución:
	 S	=	(1	+	4	+	9	+	...	+	144)	+	(0,01	+	0,02	+	...	10,12)
	 S	=	(12	+	22	+	32	+	...	+	122)	+	( 1
100
	+	 2
100
	+	...	+	 12
100
)
	
S	=	12(13)(25)
6
+
12(13)
2
100
	 S	=	650	+	0,78	=	650,78
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:
	 S	=	212	+	222	+	232	+	242	+	...	+	302
	 Resolución:
	 S	=	12	+	22	+	32	+	...	+	302	–	(12	+	22	+	...	+	202)	
	 S	=	
30(31)(61)
6
20(21)(41)
6
	 S	=	9455	–	2870
	 S	=	6585
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
	 S	=	27	+	64	+	125	+	216	+	...	+	163
	 Resolución:
	 S	=	13	+	23	+	...	+	163	–	(13	+	23)
	 S	=	
16	(17)
2
2
–	(1	+	8)
	 S	=	18	496	–	9
	 S	=	18	487
	 Pedro	 resuelve	 15	 problemas	 diarios	 mientras	
que	su	amigo	Raúl	resuelve	1	problema	el	primer	
día,	2	el	segundo,	3	el	 tercero,	4	el	cuarto	y	así	
sucesivamente.	 Si	 ambos	 terminaron	 todos	 los	
problemas	al	mismo	tiempo.	¿Cuántos	problemas	
resolvió	cada	uno	de	ellos?
	 Resolución:
	 Pedro:	15	problemas	diarios
	 Raúl:	1;	2;	3;	4
	 En	n	días
	 15	+	15	+	15	+	...	+	15	=	1	+	2	+	3	+	...	+	n
	 																													15n	=	
n(n	+	1)
2
	 																															30	=	n	+	1
	 																																	n	=	29
	 																									15(29)	=	435
Rpta. 6585
Rpta. 650,78
Rpta. 18	487
Rpta. 435Rpta. 5410
7 10
8
9
	 Determina	 la	 suma	 de	 todos	 los	 elementos	 de	
este	arreglo	que	tiene	25	filas:
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5 5
	 Resolución:
	 Sumando	fila	por	fila
	 S	=	2(2)	+	3(3)	+	4(4)	+	5(5)	+	...	(25	sumandos)
	 S	=	22	+	32	+	42	+	52	+	...	+	(25	sumandos)
	 S	=	22	+	32	+	42	+	52	+	...	+	262
	 S	=	
26	(27)	(53)
6
1
	 S	=	6201	–	1
	 S	=	6200
Rpta. 6200
11
12
78
Ejercicios de aplicación
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	2	+	3	+	4	+…+	40
Resolución:
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	2	+	3	+	4	+…+	80
Resolución:
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	2	+	4	+	6	+	8	+…+	64
Resolución:
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	2	+	4	+	6	+	8	+…+	112
Resolución:
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	3	+	5	+	7	+…+	75
Resolución:
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	12	+	22	+	32	+	42	+	...	+	252
Resolución:
Rpta.
Rpta.
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	4	+	9	+	16	+…+	225
Resolución:
Rpta.
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	13	+	23	+	33	+	43	+	...	+	203
Resolución:
Rpta.
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	8	+	27	+	64	+…+	1000
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	+	3	+	5	+	7	+…+	131
Resolución:
Rpta.
1
5
3
2
4
6
8
7
9
10
6
79MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	400	+	441	+	484	+	529	+…+	1024
Resolución:
Rpta.
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	8	×	9	+	9	×	10	+	10	×	11	+	...	+	30	×	31
Resolución:
Rpta.
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	90	+	110	+	132	+	156	+…+	650
Resolución:
Rpta.
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	43	+	53	+	63	+	73	+	...	+	183
Resolución:
Rpta.
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	112	+	122	+	132	+	142	+	...	+	252
Resolución:
Rpta.
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	216	+	343	+	512	+	729	+	…	+	8000
Resolución:
Rpta.
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	2	+	6	+	12	+	20	+…+	930
Resolución:
Rpta.
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:
S	=	1	×	2	+	2	×	3	+	3	×	4	+	4	×	5	+	...	+	24	×	25
Resolución:
Rpta.
11 15
13 17
12 16
14 18
80
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	suma:	
S	=	2,01	+	4,04	+	6,09	+	8,16......	+	18,81	
Resolución:
	 Determina	el	valor	de	la	siguiente	serie:	
J	=	1,01	+	3,02	+	5,03	+	7,04	......	+	39,20
Resolución:
	 Encuentra	 la	 suma	 de	 todos	 los	 elementos	 de	
este	arreglo	que	tiene	20	filas:
Resolución:
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5 5
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
5 5 5 5 5
	 Calcula	 la	suma	de	todos	 los	elementos	de	este	
arreglo	que	tiene	15	filas:
Resolución:
	 Dos	amigos:	Jorge	y	Paul,	compran	cada	uno	el	
mismo	álbum	de	figuritas.	Jorge	pega	en	el	suyo	1	
figurita	el	primer	día,	2	el	segundo	día,	3	el	tercero	
y	así	sucesivamente;	Paul	pega	10	figuritas	cada	
día.	Si	ambos	compraron	su	álbum	el	mismo	día	
y	 Paul	 lo	 llena	 el	 día	 16,	 ¿cuántas	 figuritas	 le	
faltarán	a	Jorge	ese	día	para	completar	el	suyo?		
Resolución:
	 Gustavo	y	Joaquín	leen	una	novela	de	3000	páginas,	
	 Gustavo	 lee	 100	 páginas	 diarias	 y	 Joaquín	
	 10	páginas	el	primer	día,	20	páginas	el	segundo	día,	
30	 el	 tercero	 y	 así	 sucesivamente.	 ¿Cuál	 será	 el	
número	de	la	página	en	la	que	coincidirán?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
19 22
20 23
21
24
81MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Practica y demuestra
	 Determina	 la	 suma	 de	 todos	 los	 elementos	 del	
siguiente	arreglo	numérico:	
	 12	+	22	+	32	+	42	+	52	+	........	+	202
	 								22	+	32	+	42	+	52	+	........	+	202
	 															32	+	42	+	52	+	........	+	202
	 																						42	+	52	+	........	+	202
202
	 Al	 sumar	 61	 números	 naturales	 consecutivos	 el	
resultado	da	2745.	Encuentra	el	valor	del	mayor	
de	los	sumandos.	
	 La	suma	de	todos	los	números	naturales	desde	n	
hasta	5n	es	1230.	Calcula	el	valor	de	n	y	da	como	
respuesta	el	producto	de	sus	cifras.	
	 Si	se	sabe	que:	
	 S1	=	10	×	11	+	11	×	12	+	12	×	13	+	...	+	20	×	21
	 S2	=	1	×	2	+	2	×	3	+	3	×	4	+	...	+	20	×	21
	 Halla	el	valor	de	S1	÷	S2.
	 Dos	hermanas:	Daniela	y	Melanie	 iniciaron	ante	
la	 proximidad	 del	 verano	 un	 régimen	 de	 dieta.		
Daniela	 lo	 lleva	 a	 cabo	 comiendo	 13	 duraznos	
cada	 día,	mientras	 que	Melanie	 la	 lleva	 a	 cabocomiendo	 1	 durazno	 el	 primer	 día,	 2	 en	 el	
segundo,	3	en	el	tercero	y	así	sucesivamente;	la	
dieta	 terminó	 cuando	 ambas	 habían	 comido	 la	
misma	cantidad	de	duraznos.	Si	la	dieta	se	inició	
el	15	de	noviembre,	¿qué	día	terminó?	
	 Si:
	 1	+	2	+	3	+	...	+	n	=	990
	 3	+	6	+	9	+	...	+	3m	=	630
	 Calcula	el	valor	de	 m	+	n .
	 Efectúa.
	
11
(1	+	3	+	5	+	7	+	...	+	19)0,1+0,2+0,3+...+1
Rpta.
Rpta.
	 Halla	el	valor	x	en	la	siguiente	serie.
	 S	=	2	+	4	+	6	+	8	+…+	x	=	650
Rpta.
	 Encuentra	el	valor	de	la	siguiente	serie:
	 S	=	1	+	4	+	9	+	16	+…+	576
Rpta.
	
	 Calcula	el	valor	de	la	siguiente	serie:
	 S	=	16	+	17	+	18	+	19	+…+	90
Rpta.
	 Halla	el	valor	de	la	siguiente	serie:
	 S	=	125	+	216	+	343	+	512	+	…	+	1728
Rpta.
	 Determina	el	valor	de	 x
3 	,	si	se	sabe	que:	
	 1	+	3	+	5	+...+	(2x	+	5)	=	900	
Rpta.
1
2
3
4
5
6
7
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
8
9
10
11
12
82
Tema 11
*		Los	elementos	
de	algunas	
operaciones	
matemáticas	
universales:
	 sumando	
	 +	sumando	=	suma
	 minuendo	
	 –	sustraendo	=	
diferencia
	 multiplicando	
	 ×	multiplicador	=	
producto
	 dividendo		divisor
	 residuo						cociente
(base)exponente	=	potencia
*		El	alfabeto	griego:
cantidad	
subradical
índice
=	raíz
Recu e rda
Operaciones matemáticas
	 Definición
Una	operación	matemática	es	un	proceso	a	partir	del	cual	un	conjunto	de	operandos	
se	convierten	en	un	resultado.
Por	ejemplo:
Operandos
7 8+
Operador	matemático
= 15
Resultado
En	este	caso,	la	operación	es	conocida	por	todos	como	Adición,	en	la	que	los	operandos	
adquieren	el	nombre	de	sumandos	y	el	resultado	se	conoce	como	suma.
 Operador matemático
Es	 un	 símbolo	 que	 representa	 a	 una	 operación,	 es	 decir,	 a	 un	 proceso.	 Estos	 se	
clasifican	en	universales	y	arbitrarios.
a)	 Operadores	matemáticos	 universales:	 Son	 aquellos	 símbolos	 que	 adquieren	 el	
mismo	significado	en	todos	los	ámbitos	y	lugares.
	 Entre	ellos	encontramos:
Operador Nombre
+ Adición
– Sustracción
× Multiplicación
÷ División
√ Radicación
! Factorial
log Logaritmo
lim Límite
∑ Sumatoria
% Por	ciento
∏ Productoria
Máximo	entero
b)	 Operadores	matemáticos	arbitrarios:	Son	aquellos	símbolos	que	no	tienen	una	
definición	específica	y	cualquier	persona	le	puede	dar	un	significado	en	cada	
situación	planteada.
	 Entre	ellos	encontramos:
	 						#,			$,			&			,			*,			Ω,			Ψ,			•,			▲,			▼,			○,			●,			☺,			☼,			♥,			♪,			♦,			♣
Alfa		 :	
Beta		 :	
Gamma	 :	
Delta :	
Epsilon	 :	
Zeta		 :	
Eta	 	 :	
Teta		 :	
Iota	 	 :	
Kappa	 :	
Lamda	 :	
Mu :	
Nu	 	 :	 	
Xi :	
Omicron		 :	
Pi	 	 :	
Ro	 	 :	
Sigma	 :	
Tau	 	 :	
Ypsilon	 :	
Fi	 	 :	
Ji	 	 :	
Psi	 	 :	
Omega	 :	
83MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
 Operaciones matemáticas arbitrarias
	 Las	operaciones	arbitrarias	se	caracterizan	por	tener	la	siguiente	estructura:
m n@
Operador
=
=
Operandos
Operando
Operador
La	forma	en	la	cual	se	debe	resolver	este	tipo	de	problemas	es	la	siguiente:
Ejemplo 1:
Si	se	sabe	que:	a	n	b	=	b2	–	2a	+	2,	calcula	el	valor	de	6	n	3.
Resolución:
De	la	definición:			
	 a		n	b			=			b2			–			2a	+	2
													 					 								 									
	 6		n	3			=		(3)2	–	2(6)	+	2
	 6		n	3			=			9			–			12			+	2
	 6		n	3			=		–1
Se	iguala	el	primer	operando	con	el	primer	
número	 (a	 =	 6)	 y	 el	 segundo	 operando	
con	el	segundo	número	(b	=	3);	luego,	se	
reemplazan	 esos	 valores	 en	 la	 regla	 de	
definición,	y	se	termina	el	problema	con	el	
cálculo	de	esa	operación.
Ejemplo 2:
Si	se	sabe	que:	 3m 	=	m2	+	6,	calcula	 36 .
Resolución:
	 	 		 3m 	=		m2	+	6
	 	 		 36 	=	(12)2	+	6
		 	 		 36 	=	144	+	6
	 	 		 36 	=	150
3m	=	36
36
3
m	=
m	=	12
Se			iguala			el			operando		con		el		número		
3m	=	36;	luego,	se	despeja	para	calcular	
el	 valor	de	 la	variable	m	=	12;	después,	
se	 reemplaza	 ese	 valor	 en	 la	 regla	 de	
definición,	y	hallamos	la	respuesta	con	el	
cálculo	de	esa	operación.
*		En	este	capítulo	
encontrarás	
problemas	que	
te	servirán	para	
practicar	la	
resolución	de	
ecuaciones.
*		El	símbolo	+	
proviene	de	la	letra	
P,	porque	plus	en	
latín	significa	más.
*		El	símbolo	–	
proviene	de	la	letra	
m,	porque	minus	
en	latín	significa	
menos.
*		La	multiplicación	se	
puede	representar	
con	×	o	•	o	*
*		El	símbolo	arroba,	
que	se	representa	
con	el	caracter	@	
era	una	antigua	
unidad	de	masa	del	
sistema	castellano	
(usado	en	España)	
y	equivalía	a	la	
cuarta	parte	del	
quintal,	lo	que	
supone	25	libras.
*	Aquí	hay	una	lista	
de	otras	sílabas	
que	se	utilizan	en	
matemática:
	 <	 menor	que
	 >	 mayor	que
	 ≤ menor	o	igual
	 ≥	 mayor	o	igual
	 ∼	 proporcional
	 ≅	 aproximado
	 ∈	 pertenece
	 ∃	 existe
	 ∀	 cualquier
Recu e rda
	m2	–	2n	+	10
Regla	de	definición
	8p	–	5
Regla	de	definición
p
84
Ejercicios resueltos
	 Sabiendo	que:
	 a	 	b	=	 a2	+	b2
	 Calcula:	(3	 	4)		 	12
 Resolución:
	 3	×	4	=	 32	+	42 =	 25 	=	5
	 5	×	12	=		 52	+	122 	=	 169 	=	13
	 Si
a	+	b
a	–	b
a	 	b	=
ab
a	+	b
a	 	b	=
	 Calcula:	(5	 	3)	 	(6	 	2)
Resolución:
5	 	3	=
5	+	3
5	–	3
= 8
2
=	4 4	 	2	=
4	(2)
4	+	2
6	 	2	=
6	+	2
6	–	2
= 8
4
=	2 4	 	2	=
8
6
= 4
3
	 Si	se	tiene:
P	 	Q	= P	+	Q
P	–	Q
y	P	 	Q	=
PQ
P	+	Q
Calcula:	(5	 	3)	 	(6	 	2)
Resolución:
6	 	2	=
6	(2)
6	+	2
= 12
8
=
3
2
4	 	 =
3
2
3
2
4
4	+
3
2
=
6
11
2
= 12
11
	 Sabiendo	que:
	 a	 	b	=	 a	–	 b	
	 Calcula:	
a2	 	b2
a	 	b
	 Resolución:
	 a2	 	b2	=	 a2 	–		 b2 	=	a	–	b
a	–	b
a	–	 b	
= ( a	+	 b)	( a	–	 b)
( a	–	 b)
	 Definimos:
a	 	b	=
a2	+	b,	si	a	>	b
b2	+	a,	si	a	≤ b
Calcula:	(1	 	2)	 	(2	 	1)
1	≤ 2	 1	 	2	=	22	+	1	=	5
2	>	1	 2	 	1	=	22	+	1	=	5
5	≤ 5	 52	+	5	=	30
	 Se	define	la	operación
m
2m	+	1,	si	m	=	3
0,	si	m	=	3	+	1
m	–	1,	si	m	=	3	+	2
Calcula: 20 	–	19
18
Resolución:
20	=	3	+	2	 20 	=	20	–	1	=	19
19	=	3	+	1	 19 	=	0
18	=	3	 													18 	=	2	(18)	+	1	=	37
19	+	0
37
=
19
37
Resolución:
5	 	3	= 5	+	3
5	–	3
= 8
2
=	4
Rpta. 13
Rpta.
Rpta.
Rpta. 	 a 	+	 b	
Rpta. 30
4
3
12
11 Rpta.
19
37
1 4
2
3
5
6
85MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
	 Sabiendo	que:
a	 	b	=
a	 	b
a	+	b
;	m	 	n	=	m	–	2n	
Calcula:	6	 	2
Resolución:
6	 	2	=
6	 	2
6	+	2
=
6	 	2
8
6	 	2	=	6	–	2	(2)	=	6	–	4	=	2
	 Si a	 	b	=
a	+	b
2
,	a	 	b	=	b2	–	a2		y	x< 0.
Calcula	el	valor	de	x	en
2	 	(3	 	x	)	=	(x	 	11)	 	6
Resolución:
3	 	x	=
3	+	x
2
x	 	11	=
x	+	11
2
2	
3	+	x
2
=
3	+	x
2
2
–	22
x	+	11
2
	6	=		62	–
x	+	11
2
2
9	+	6x	+	x2
4
–	4	=	36	–
x2	+	22x	+	121
4
2x2	+	28x	+	130
4
=	40
x2	+	14x	+	65	=	80
x2	+	14x	–	15	=	0
x													+15
x														–1
x	=	1			∨ 	x	=	–15
	 Si	M	#	N	=	3M2	+	4
	 Calcula:		[5	#	(A	#	[B	#	(C	#	...	)])]
Resolución:
[5	#	(A	#	[B	#	(C	#	...	)])]
M	=	5
M	#	N	=	3M2	+	4
3(5)2	+	4	=	79	
	 Si	se	sabe	que:	(x	+	3)*	=	3x	+	10
	 Calcula	el	valor	de	n	en:	((n)*)*	=	85
Resolución:
(x	+	3)*	=	3x	+	10
×	3	+	1
						(n*)*	=	85
(3n	+	1)*	=	85
3(3n	+	1)	+	1	=	85
						3(3n	+	1)	=	84
										3n	+	1	=	28
																3n	=	27
																		n	=	9
	 Si x	–	8 =	3x	+	1
x	+	3 =	12	–	2x
Calcula: 6 + 7
	 Calcula: E	=	 4	 4	 4	 	...
Si	m	 	n	=	(2n)2	–	3m
Resolución:
E	=	 4	 4	 4	 	...
E2	=	 4	 4	 4	 	...
E2	=	4	 	E		
E2	=	(2E)2	–	3(4)
E2	=	4E2	–	12
12	=	3E2
E2	=	4
E		=	2
Resolución:
x	–	8 =	3x	+	1
× 3	+	25
6
× 3	+	25
=	3(6)	+	25	=	43
x	+	3 =	12	–	2x
×	(–2)	+	18
7 =	7(–2)	+	18	=	4
Rpta. 9
43	+	4	=	47
Rpta. 47
Rpta. 2Rpta. 79
Rpta. –15
6	 	2
8
= 2
8
= 1
4
∴
1
4
Rpta.
7 10
8
9
11
12
86
Ejercicios de aplicación
	 Si	p	{	}	q	=	4q2	+	p
	 Calcula	4	{	}	7.
Resolución:
	 Si	m	J	n	=	n2	–	m2
	 Calcula	6	J	10.
Resolución:
	 Si	se	sabe	que:	x	o	y	=	y2	+	2x
	 Calcula	8	o	9.
Resolución:
	 Si	a	 	b	=	(b	–	a)(a	+	b)
	 Calcula	10	 	12.
Resolución:
	 Si	m	♠	n	=	(mn)(2n	+	3m)
	 Calcula	4	♠	5.
Resolución:
	 Si	se	conoce	que:	p	@	n	=	5p2	–	2n5
	 Calcula	16	@	1.
Resolución:
	 Si	 a 	=	4a	+	3
	 Calcula	 3 .
Resolución:
	 Sabiendo	que:	 m 	=	9m2	+	m	+	2
	 Calcula	 4 .	
Resolución:
	 Si	 p 	=	4p	+	5
	 Calcula	 2 .Resolución:
	
	 Sabiendo	que:	 y 	=	5y	+	8
	 Calcula	 3 .		
Resolución:
	
Rpta. Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
1
5
3
2
4
6
8
7
9
10
6
87MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
	 Si	se	sabe	que:	
		 x	 	y	=	(x	+	y	+	1)	(x	+	y	–	1)	
	 Calcula	(7	 	9)	 	12.
Resolución:
	 Si	se	sabe	que:	
		 a	%	b	=	(3a	+	2b)(2a	–	3b)
	 Calcula	(3	%	2)	%	5.
Resolución:
	 Si	se	sabe	que:
	 Calcula	(5	 	1)	 	(2	 	1).
Resolución:
	 Si
	 3a	#	4b	=	 4a	+	3b
	 Calcula	12	#	12.
Resolución:
a	 	b	=	2a	–	b
m	 	n	=	(m	+	1)(n	–	1)
	 Si	se	sabe	que:		 a	 	b	=	a2	–	b2
m	 	n	=	
m	+	n
m	–	1
p	 	q	=	(p	–	2)(q	+	3)
Calcula	(8	 	2)	 	(5	 	3).
Resolución:
	 Sabiendo	que:
a	@	b	=	
a	 	b	+	2
3
						
a	 		b	=	3a	+	4b
Calcula	5	@	7.
Resolución:
	 Si
x	 	y	=	xy	 	(x	+	y)
a	 	b	=	2a	+	3b
Calcula	3	 	2.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
11
13
12
14
6
17
16
15
88
	 Se	define	la	operación	 	como:
	 	n	=	2n	+	1,	si	n	es	par
	 	n	=	3n	–	1,	si	n	es	impar
	 Calcula	 	( 	5	–	2	 	2).
Resolución:
	 En
	 A	*	B	=	A;	si	A	<	B
	 A	*	B	=	B;	si	A	>	B
	 Señala	 el	 valor	 de	 verdad	 de	 las	 siguientes	
afirmaciones:
	 •	 7	*	8	=	8	*	7..........................	(				)
	 •	 5	*	3	=	3	..............................		(				)
	 •	 (5	*	3)	*	4	=	5	*	(3	*	4)	.........		(				)
Resolución:
	 Se	 define	 x	 #	 y	 como	 el	 exceso	 del	 segundo	
operando	sobre	el	doble	del	primero.		
	 Calcula	2	#	3.
Resolución:
	 Se	define	a	 	b	como	la	raíz	cuadrada	de	la	suma	
del	triple	del	primer	operando	con	el	segundo.	
	 Calcula	5	 	1.
Resolución:
	 Siendo:	a	 	b	=	a3	+	2a
	 Calcula	E	=	3	 	(4	 	(5	 	(6	 	(..))))
2018	paréntesis
	 Si		x	Δ	y	=	x3	+	3x2	+	3x	+	1
	 Calcula	R	=	1	Δ	[2	Δ	(3	Δ	(..))]
2018	operadores
	 Si
	 (a	+	8)	&	(b	–	3)	=	4a	+	3b.
	 Calcula	18	&	11.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
18
19
20
6
23
22
24
21
89MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Practica y demuestra
	 Si	a	 	b	=	2a	+	b	
	 Calcula:		3	 	4	
	 Se	define	:	
x =	x2	+	3x
Calcula: 4 + 5
	 Sabiendo	que:	 	x 	=	4x	–	3
	 Calcula:		 2
	 Si		
b
a c
	=	a2	–	bc
Calcula:
3
4 2
–
2
3 1
	 Si	m	%	n	=	2m	–	n	
	 		y:		m	∆	n	=	n	–	3m	
Calcula:
(4	%	3)
(20	∆	5)
	 Se	define	:	
a	∆	b	=
2a	–	b	;	a	>	b
a	+	b;	a	 	b
Calcula:	(2	∆	1)	∆	(1	∆	2)	
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
	 	 	 	
1 	 Si		 x 		=		2(x	–	1)
	 y 			=		3(y	–	1)
	 Calcula	el	valor	de	x	en	:	 x = 2
Rpta.
7
2
	 Se	define	:	
a	 	b	=
a	–	2b	;	a	>	b
a	–	b	;	a	 	b
Calcula:	M	=	(5	 	2)	 	(4	 	3)
Rpta.
8
3
	 Se	definen	las	operaciones:	
a
b
=	2a	–	ab
x	*	y	=	x	+	y	+	(	x	?	y)
p	?	q	=	p2	–	2q
Calcula	el	valor	de:
3	*	2
5	?	12
? 4*
2
1
Rpta.
9
4
	 Si x =	2x
x =	3x	–	1
x =	2x	+	1
Calcula	el	valor	de	n	en:
n	–	4 + 4 + 5 =	26
Rpta.
10
5
6
	 Si																					 a b
d c
=	ac	–	bd
Calcula	el	valor	de	y	en:
4 1
6 5
3 x
1 y
5 1
x y
+ =
Rpta.
11
90
Tema 12
Problemas sobre edades
Problemas con un solo sujeto
	 Este	 tipo	 de	 problemas	 se	 resolverán	 a	 partir	 del	 planteo	 de	 ecuaciones	
muy	simples,	 tomando	en	cuenta	 los	distintos	 tiempos	(pasado,	presente	y	 futuro)	y	
relacionando	las	edades	en	ellos	a	partir	del	uso	de	una	sola	variable	(x).
	 Si	desconocemos	 la	edad	de	una	persona,	entonces	se	utiliza	una	variable;	
luego,	plantearemos	las	edades	de	la	misma	persona	en	los	otros	momentos	en	función	
de	esta	misma	variable	de	la	siguiente	manera.
	 Edad	de	una	persona	en	el	presente:	x
	 Edad	que	tenía	hace	5	años:	x	–	5
	 Edad	que	tendrá	dentro	de	19	años:	x	+	19
Ejemplo 1:
La	edad	de	María	hace	14	años	era	19.	¿Qué	edad	tendrá	dentro	de	17	años?
Resolución:
hace	14	años dentro	de	17	años
pasado
x	–	14
presente
					x
futuro
	x	+	17
La	edad	que	tenía	hace	14	años	era	19:
x	–	14	=	19
x	=	19	+	14
x	=	33	
La	edad	que	tendrá	dentro	de	17	años:
x	+	17	=	33	+	17	=	50	
Rpta. María	tendrá	50	años.
Ejemplo 2:
La	edad	que	tendrá	Carlos	dentro	10	años	será	el	triple	de	la	edad	que	tenía	hace	24	
años.	¿Cuál	es	la	edad	de	Carlos?
Resolución:
hace	24	años dentro	de	10	años
pasado
x	–	24
presente
					x
futuro
	x	+	10
La	edad	que	tendrá	dentro	de	10	años	será	el	triple	de	la	edad	que	tenía	hace	24	años:
		x	+	10	=	3(x	–	24)
		x	+	10	=	3x	–	72
10	+	72	=	3x	–	x
								82	=	2x
										x	=	41
Rpta. Carlos	tiene	41	años.
Problemas sobre 
edades
•	 Según	el	
Diccionario	de	la	
Real	Academia	
de	la	Lengua	
Española	(DRAE),	
el	término	EDAD	
se	define	como	
el	tiempo	que	ha	
vivido	una	persona	
o	ciertos	animales	o	
vegetales.
•	 Un	año	tiene	una	
duración	de	365	
días	debido	al	
movimiento	de	
traslación	de	la	
Tierra,	es	decir,	el	
tiempo	que	demora	
la	Tierra	en	dar	una	
vuelta	alrededor	
de	la	órbita	del	
Sol,	aunque	
no	se	demora	
exactamente	ese	
tiempo	sino	365	
días,	5	horas,	
48	minutos	y	45	
segundos.
•	 Es	debido	a	este	
excedente	que	
cada	cuatro	años	
aparecen	los	AÑOS	
BISIESTOS,	que	
son	aquellos	que	
tienen	366	días,	
debido	a	que	
se	agrega	el	29	
de	febrero	en	el	
calendario.
•	 Para	reconocer	un	
año	bisiesto	solo	
se	debe	considerar	
que	este	sea	un	
múltiplo	de	4,	es	
por	esto	que	el	año	
2016;	2012;	2008;	
etcétera,	fueron	
años	bisiestos.
•	 Pero	cuando	es	
un	múltiplo	de	
100,	para	que	sea	
bisiesto	debe	ser	
múltiplo	de	400,	es	
por	esto	que	los	
años	2000	y	1600		
fueron	bisiestos,	sin	
embargo	los	años	
1900,	1800,	1700,	
no	lo	fueron.
91MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
Problemas con dos o más sujetos
En	este	tipo	de	problemas	se	recomienda	trabajar	con	una	tabla	de	doble	entrada	como	
la	siguiente:
pasado presente futuro
Pedro 10 18 30
Juan 21 29 41
hace	8	años dentro	de	12	años
Analizando	los	números	que	aparecen	en	la	tabla	se	puede	deducir:
1.	 La	diferencia	de	las	edades	es	constante:
	 edad	de	Juan	–	edad	de	Pedro	=	11
														21										–											10											=	11
														29										–											18											=	11
														41										–											30											=	11
2.	 Debido	a	que	la	diferencia	de	las	edades	es	constante	se	cumple	que	la	suma	en	aspa	
de	las	edades	da	el	mismo	resultado.
pasado presente futuro
Pedro 10 18 30
Juan 21 29 41
21	–	10	=	29	–	18
21	+	18	=	29	+	10
								39	=	39
29	–	18	=	41	–	30
29	+	30	=	41	+	18
								59	=	59
21	–	10	=	41	–	30
21	+	30	=	41	+	10
								51	=	51
Ejemplo:				
La	edad	de	Ángel	es	el	doble	de	la	edad	que	tenía	Frank	cuando	Ángel	nació;	y	cuando	
este	tenga	el	doble	de	la	edad	que	tiene	en	este	momento,	Frank	tendrá	30	años.	¿Cuál	
es	la	edad	de	Ángel?	
Resolución:
La	edad	de	Ángel	es	el	doble	de	la	edad	que	tenía	Frank	cuando	Ángel	nació.
pasado presente futuro
Ángel 0 2x
Frank x
Y	cuando	este	tenga	el	doble	de	 la	edad	que	tiene	en	este	momento,	Frank	tendrá	30	
años.
pasado presente futuro
Ángel 0 2x 4x
Frank x 30
Ahora	aplicamos	el	aspa	con	las	cantidades	señaladas:
0	+	30	=	x	+	4x
					30	=	5x
							x	=	6
Rpta. Ángel	tiene	12	años.
•	 Nuestro	calendario	
puede	tener	365	
o	366	días,	es	por	
esto	que	en	el	
primer	caso	tiene	52	
semanas	y	sobra	1	
día;	y	en	el	segundo	
caso	tiene	52	
semanas	y	sobran	
2	días.	Razón	por	la	
cual	esta	cantidad	
que	sobra	que	si	en	
un	año	no	bisiesto	
tu	cumpleaños	
fue	un	día	martes,	
al	siguiente	año	
será	miércoles.	En	
cambio,	cuando	
se	considera	un	
año	bisiesto	se	
debe	avanzar	dos	
días,	es	decir,	si	tu	
cumpleaños	fue	un	
jueves	al	siguiente	
año	será	sábado.
•	 El	día	tiene	una	
duración	de	24	
horas	debido	al	
movimiento	de	
rotación	de	la	Tierra,	
es	decir,	el	tiempo	
que	demora	la	Tierra	
en	dar	una	vuelta	
sobre	su	propio	eje,	
aunque	el	tiempo	
exacto	que	toma	
este	evento	es	de	23	
horas,	56	minutos	y	
4	segundos.
•	 El	calendario	
es	una	cuenta	
sistematizada	del	
transcurso	del	
tiempo,	utilizado	
para	la	organización	
cronológica	de	
actividades.	Se	trata	
de	un	conjunto	de	
reglas	o	normas	
que	tratan	de	hacer	
coincidir	el	año	civil	
con	el	año	trópico.
•	 Antiguamente,muchos	calendarios	
estaban	basados	en	
los	ciclos	lunares,	
perdurando	su	uso	
en	el	calendario	
musulmán,	en	la	
fecha	de	varias	
fiestas	religiosas	
cristianas	y	en	el	
uso	de	la	semana	
(correspondiente	
a	las	cuatro	
fases	lunares,	
aproximadamente).
92
Ejercicios resueltos
	 La	edad	que	tenía	Roxana	hace	17	años	era	15	años.	
¿Cuántos	años	tiene	Roxana?
 Resolución:
pasado												presente
x	–	17																			x	
Hace	17	años
x	–	17	=	15
								x	=	15	+	17
								x	=	32
Rpta. Roxana	tiene	32	años.
Rpta. Óscar	tenía	14	años.
Rpta. Lourdes	tiene	46	años.
	 La	edad	que	tendrá	Óscar	dentro	de	9	años	será	
36	años.	¿Cuál	era	la	edad	de	Óscar	hace	13	años?
																	presente																futuro
																							x																							x	+	9	
dentro	de	9	años
x	+	9	=	36
						x	=	36	–	9
						x	=	27
Hace	13	años:	27	–	13	=	14
	 Sara	 dice:	 «Dentro	 de	 25	 años	 mi	 edad	 será
	 6	 veces	 la	 edad	que	 tenía	 hace	15	años».	Si	 la	
edad	de	Lourdes	es	el	doble	de	la	edad	de	Sara,	
¿cuántos	años	tiene	Lourdes?	
	 Resolución:
		pasado															presente														futuro
		x	–	15																							x																					x	+	25
–15
x	+	25	=	6(x	–	15)
x	+	25	=	6x	–	90
				115	=	5x
								x	=	23
	Lourdes	=	23(2)	=	46	años
+25
	 La	edad	que	tendrá	Luis	dentro	de	28	años	será	
el	triple	de	la	edad	que	tenía	hace	20	años.	¿Qué	
edad	tendrá	Luis	dentro	de	6	años?		 
	 Resolución:
		pasado															presente															futuro
		x	–	20																							x																						x	+	28
–20
x	+	28	=	3(x	–	20)
x	+	28	=	3x	–	60
					88	=	2x
							x	=	44
Dentro	de	6	años	=	44	+	6	=	50
+28
	 Hace	12	años	Alejandra	 tenía	 la	cuarta	parte	de	
la	edad	que	tendrá	dentro	de	27	años.	¿Cuántos	
años	tenía	Alejandra	hace	9	años?
		pasado															presente																futuro
		x	–	12																							x																							x	+	27
–12
	x	–	12		=	x	+	274
4x	–	48	=	x	+	27
								3x	=	75
										x	=	25
Hace	9	años	=	25	–	9	=	16
+27
	 Hace	8	años	Maruja	tenía	35 	de	la	edad	que	tendrá	
dentro	 de	 12	 años.	 ¿Cuántos	 años	 faltan	 para	
que	Maruja	 tenga	el	 doble	de	 la	edad	que	 tuvo	
hace	10	años?	
		pasado															presente															futuro
		x	–	8																									x																						x	+	12
–8 +12
				x	–	8	=	 35 (x	+	12)
5x	–	40	=	3x	+	36
								2x	=	76
									x		=	38
El	doble	de	hace	10	años	=	2(28)	=	56
																			Falta:	56	–	38	=	18
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Luis	tendrá	50	años.
Rpta. Alejandra	tenía	16	años.
Rpta. Le	faltan	18	años.
1 4
2
3
5
6
93MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
	 Hace	10	años	las	edades	de	2	hermanos	estaban	
en	 relación	 de	 3	 a	 5	 y	 actualmente	 sus	 edades	
suman	100	años.	¿Cuánto	es	la	diferencia	de	sus	
edades?	
pasado presente
menor 3x 3x	+	10
mayor 5x 5x	+	10
3x	+	10	+	5x	+	10	=	100
																								8x	=	80
																										x	=	10
Diferencia:	50	–	30	=	20
–10
100
	 Víctor	 le	dice	a	Janet:	«Tú	 tienes	28	años,	pero	
cuando	 tengas	 la	 edad	 que	 tengo,	 la	 suma	 de	
nuestras	edades	será	80	años».	¿Cuántos	años	
tendrá	Víctor	dentro	de	14	años?	
presente futuro
Víctor x 80	–	x
Janet 28 x
	x	+	x	=	28	+	80	–	x
					3x	=	108
							x	=	36
Dentro	de	14	años	=	36	+	14	=	50
80
	 La	edad	de	Denise	y	su	hermana	Fiorella	suman	
90	años.	La	edad	de	Denise	es	el	triple	de	la	edad	
que	 tenía	 Fiorella	 cuando	 Denise	 tenía	 la	 edad	
que	Fiorella	tiene	ahora.	¿Qué	edad	tiene	Denise?	
pasado presente
Denise 90	–	3x 3x
Fiorella x 90	–	3x
90
90	–	3x	+	90	–	3x	=	x	+	3x
																						180	=	10x
																										x	=	18
Denise:	3(18)	=	54
	 Gael	le	dice	a	Mateo:	«Tengo	48	años	y	mi	edad	
es	 el	 doble	 de	 la	 edad	 que	 tenías	 cuando	 tenía	
la	octava	parte	de	la	edad	que	tienes».	¿Cuántos	
años	tiene	Mateo?	
pasado presente
Gael x 48
Mateo 24 8x
x	+	8x	=	24	+	48
						9x	=	72
								x	=	8
Mateo	=	8(8)	=	64
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
	 La	 edad	 de	 Pepe	 es	 a	 la	 edad	 de	 Raúl	 como
	 3	es	a	8.	Dentro	de	10	años,	Pepe	tendrá	la	misma	
edad	 que	 tenía	 Raúl	 hace	 15	 años.	 ¿Cuántos	
años	tiene	Pepe?
pasado presente futuro
Pepe 3x 3x	+	10
Raúl 8x	–	15 8x
–15 +10
3x	+	10	=	8x	–	15
								25	=	5x
										x	=	5																									
∴		5(3)	=	15
Resolución:
Rpta. Pepe	tiene	15	años.
	 Julio	tiene	ahora	la	tercera	parte	de	la	edad	que	
tenía	Kathy	cuando	Julio	había	nacido.	Si	Kathy	
tiene	52	años.	¿Cuál	es	la	edad	de	Julio?
pasado presente
Julio 0 x
Kathy 3x 52
0	+	52	=	3x	+	x
						52	=	4x
								x	=	13
Resolución:
Rpta. Julio	tiene	13	años.
Rpta. La	diferencia	de	sus	edades	es	20	años.
Rpta. Víctor	tendrá	50	años.
Rpta. Denise	tiene	54	años.
Rpta. Mateo	tiene	64	años.
7 10
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12
94
Ejercicios de aplicación
	 La	edad	que	tenía	Juana	hace	15	años	era	39	años.	
¿Cuántos	años	tiene	Juana?
Resolución:
Rpta.
	 La	edad	que	tendrá	Juan	Carlos	dentro	de	20	años	
será	 igual	 al	 doble	de	 la	 edad	que	 tenía	hace	8	
años.	¿Qué	edad	tiene	Juan	Carlos?	
Resolución:
Rpta.
	 Hace	6	años	Daniela	tenía	la	mitad	de	la	edad	que	
tendrá	 dentro	 de	 4	 años.	 ¿Cuántos	 años	 tendrá	
Daniela	dentro	de	10	años?
Resolución:
Rpta.
	 La	 edad	 que	 tendrá	 Fabiola	 dentro	 de	 20	 años	
será	56	años.	¿Cuál	es	la	edad	de	Fabiola?
Resolución:
Rpta.
	 Maritza	 dice:	 «Dentro	 de	 18	 años	mi	 edad	 será
	 4	veces	 la	edad	que	tenía	hace	12	años».	¿Qué	
edad	tiene	Maritza?	
Resolución:
Rpta.
	 Hace	10	años	Sofía	tenía	la	mitad	de	la	edad	que	
tendrá	dentro	de	8	años.	¿Dentro	de	cuántos	años	
tendrá	el	doble	de	la	edad	que	tuvo	hace	8	años?	
Resolución:
Rpta.
	 La	edad	de	Fiorella	es	a	 la	edad	de	Hugo	como
	 4	es	a	7.	Dentro	de	10	años	Fiorella	tendrá	el	doble	
de	la	edad	que	tenía	Hugo	hace	5	años.	¿Cuántos	
años	tiene	Hugo?	
Resolución:
Rpta.
	 Raúl	 tiene	 ahora	 la	 mitad	 de	 años	 que	 tenía	
Ricardo	 cuando	 Raúl	 había	 nacido.	 Si	 Ricardo	
tiene	12	años,	¿cuál	es	la	edad	de	Raúl?
Resolución:
Rpta.
	 Hace	12	años	las	edades	de	2	hermanos	estaban	
en	 relación	 de	 4	 a	 3	 y	 actualmente	 sus	 edades	
suman	 59	 años.	 ¿Qué	 edad	 tiene	 el	 mayor	 de	
ellos?	
Resolución:
Rpta.
1
5
3
2
4
6
8
7
9
6
95MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático
	 María	 le	dice	a	Felipe:	«Tú	tienes	18	años,	pero	
cuando	 tengas	 la	 edad	 que	 tengo,	 la	 suma	 de	
nuestras	edades	será	48	años».	¿Cuántos	años	
tendrá	María	dentro	de	8	años?
Resolución:
	 La	 edad	 de	 Vanesa	 y	 su	 enamorado	 suman
	 91	años.	La	edad	de	ella	es	el	doble	de	la	edad	
que	 tenía	 su	 enamorado	 cuando	 Vanesa	 tenía	
la	 edad	 que	 él	 tiene	 ahora.	 ¿Qué	 edad	 tiene	 el	
enamorado	de	Vanesa?
Resolución:
	 La	 edad	 de	Esteban	 y	Rosario	 suman	 45	 años.		
La	 edad	 de	 él	 es	 el	 triple	 de	 la	 edad	 que	 tenía	
Rosario	 cuando	 Esteban	 tenía	 la	 edad	 que	 ella	
tiene	ahora.	¿Qué	edad	tiene	Esteban?	
Resolución:
	 Gabriel	le	dice	a	Joaquín:	«Tengo	32	años	y	mi	edad	
es	el	cuádruplo	de	la	edad	que	tenías	cuando	tenía	
la	sétima	parte	de	la	edad	que	tienes».	¿Cuántos	
años	tenía	Joaquín	hace	6	años?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
	 Araceli	le	dice	a	Karen:	«Tú	tienes	22	años,	pero	
cuando	tú	tengas	la	edad	que	yo	tengo,	la	suma	
de	 nuestras	 edades	 será	 47	 años».	 ¿Cuántos	
años	tenía	Araceli	hace	10	años?
Resolución:
Rpta.
	 Andrea	 le	dice	a	Gustavo:	«Tengo	24	años	y	mi	
edad	es	el	 doble	de	 la	 edad	que	 tenías	 cuando	
tenía	 la	 tercera	 parte	 de	 la	 edad	 que	 tienes».	
¿Cuántos	años	tiene	Gustavo?
Resolución:
Rpta.
11 14
12 15
10 13
96
Practica y demuestra
Rpta.
	 Si	hubiera	nacido	15	años	antes,	entonces	lo	que	
me	 faltaría	 actualmente	 para	 cumplir	 78	 años,	
sería	 los	 cinco	 tercios	 de	 la	 edad	 que	 tendría	
si	 hubiese	 nacido	 7	 años	 después.	 ¿Qué	 edad	
tendré	dentro	de	10	años?	
	 Dentro	de	15	años	tendré	el	triple	de	la	edad	quetuve	hace	9	años.	¿Cuántos	años	tengo?
Rpta.
	 Hace	 6	 años	 tenía	 la	 tercera	 parte	 de	 la	 edad	
que	tendré	dentro	de	10	años.	¿Cuál	es	mi	edad	
actual?
Rpta.
	 Hace	10	años	tenía	la	mitad	de	la	edad	que	tendré	
dentro	de	8	años.	¿Dentro	de	cuántos	años	tendré	
el	doble	de	la	edad	que	tuve	hace	8	años?
Rpta.
	 ¿Qué	 edad	 tengo,	 si	 la	 edad	 que	 tenía	 hace
	 10	años	es	a	la	edad	que	tendré	dentro	de	50	años	
como	1	es	a	4?
Rpta.
	 Hace	2	años	tenía	la	cuarta	parte	de	la	edad	que	
tendré	 dentro	 de	 22	 años.	 ¿Dentro	 de	 cuántos	
años	tendré	el	doble	de	la	edad	que	tenía	hace	
3	años?
Rpta.
	 Ana	 tiene	 18	 años	 y	 César	 tiene	 6	 años.	 Le	
preguntaron	a	Beto	por	su	edad	y	este	indicó	que	
Ana	 le	 lleva	 tantos	 años	 como	 los	 años	 que	 le	
lleva	él	a	César.	¿Cuánto	suman	 las	edades	de	
los	tres	amigos?
Rpta.
	 Dentro	de	40	años	la	edad	de	Paola	será	el	triple	
de	la	edad	que	tendrá	en	10	años.	¿Cuántos	años	
tiene	Paola?
Rpta.
	 La	edad	de	José	es	el	doble	de	la	edad	de	Belén	y	
hace	12	años	la	suma	de	sus	edades	era	30	años.	
¿Cuál	es	la	edad	de	Belén?
Rpta.
	 La	suma	de	las	edades	actuales	de	dos	hermanas	
es	60	años,	dentro	de	5	años	la	mayor	tendrá	el	
doble	de	la	edad	que	tenía	la	menor	hace	5	años.	
¿Cuál	es	la	edad	de	la	menor	de	ellas?	
Rpta.
	 Las	edades	actuales	de	Pamela	y	Carlos	están	en	
la	relación	de	5	a	4,	respectivamente.	La	edad	que	
tendrá	Carlos	dentro	de	5	años	es	igual	a	la	edad	
que	 tenía	 Pamela	 hace	 4	 años.	 ¿Cuántos	 años	
tenía	Pamela	cuando	nació	Carlos?	
Rpta.
	 José	le	dice	a	Manuel:	Hace	21	años	mi	edad	era	
la	mitad	de	la	edad	que	tendrás	dentro	de	4	años,	
cuando	yo	tenga	el	doble	de	la	edad	que	tú	tienes.	
¿Qué	edad	tiene	José?	
Rpta.
	 La	edad	de	Nancy	es	el	doble	de	la	edad	que	Raúl	
tenía	 hace	 4	 años.	 Si	 la	 edad	 actual	 de	Raúl	 y	
la	que	tendrá	Nancy	dentro	de	5	años	suman	39	
años.	 ¿Cuántos	 años	 tuvo	 Nancy	 cuando	 Raúl	
nació?	
Rpta.
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5
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12
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EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las 
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la 
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, 
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este 
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. 
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad 
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que 
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, 
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. 
Estos son tan importantes que serán respetados como 
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o 
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, 
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen 
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los 
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
 La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los 
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una 
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo 
Nacional es garantizar una sociedad en la que los 
derechos son respetados y los ciudadanos vivan 
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir 
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor 
para el país.
2. Equidad y justicia social
 Para poder construir nuestra democracia, es necesario 
que cada una de las personas que conformamos esta 
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el 
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades 
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los 
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una 
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar 
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
 Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete 
a fomentar el espíritu de competitividad en las 
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos 
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las 
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar 
la colocación de nuestros productos en los mercados 
internacionales.
4.	 Estado	eficiente,	transparente	y	descentralizado
 Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus 
obligaciones de manera eficiente y transparente para 
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo 
se compromete a modernizar la administración pública, 
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o 
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar 
el poder y la economía para asegurar que el Estado 
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a 
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de 
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir 
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
 e
di
to
re
s®
2
Secundaria
Matemática
Delta
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales 
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales 
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento 
abstracto en los estudiantes del nivel secundario. 
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas, 
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes 
competencias:
RAZONAMIENTO 
MATEMÁTICO
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Resuelve problemas de movimiento, forma y localización