Capitulo_08_Sears - Javier Palacios

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F
l¦
mi_n...__ _
41
Cuando un jugador de fútbol americano ta
clea a otro, la dinamica del choque entre
los cuerpos puede ser muy compleja. No
obstante, el choque se rige por un principio
sencillo de la fisica: si calculamos el pro
ducto de la masa y la velocidad vectorial
de cada jugador, y sumamos los resultados
para cadajugador, la suma tendra el mis
mo valor justo antes del choque e inmedia
tamente despues del mismo. Este es un
ejemplo de la ley de conservación de la
cantidad de movimiento.
' ¿Que podria causar una lesión
más grave: ser tacleaclo por un jugador
ligero que se mueve rápidamente o ser
tacleado por un jugador con el doble de
masa que se mueve con la mitad de la
velocidad?
282
CANTIDAD DE
lVlO\/IZVHENTO,
ll\/XPUL OYCHOQUÉS
Hay muchas preguntas relacionadas con fuerzas que n_*o pueden contestarse
aplicando directamente la segunda ley de Newton, EF = nea. Por ejemplo,
si un camión de 18 ruedas choca de frente con un auto compacto, ¿qué determina
hacia donde se mueven los restos despues del choque? Cuando juega billar, ¿cd
mo decide usted la dirección que debe dar a la bola blanca para meter la bola 3 en
una buchaca? Y cuando un meteorito choca con la Tierra, ¿qué tanta. de la energia
cinética del meteorito se libera en el irnpacto'?
Algo que tienen en común t.odas estas preguntas es que implican fuerzas acer
ca de las que sabemos muy poco: las fuerzas que actúan entre el auto y el camiolt,
entre las dos bolas de billar o entre el meteorito y la Tierra. Lo curioso es que en
este capitulo veremos que no necesitamos saber nada acerca de esas fuerzas para
contestar preguntas de este tipo.
Nuestro enfoque utiliza dos conceptos nuevos, eaa.a`daal de nroviatieato e tra
palso, y una nueva ley de conservacion, la de conservación de la cantidad de ma
vimiento, tan importante como la de c onservacion de la energia. La ley de
conservación de la cantidad de movimiento es valida. aun en situaciones en las que
las leyes de Newton son inadecuadas, tales como cuerpos que se mueven con una
rapidez muy alta (cercana a la de la luz) u objetos muy pequeños (como los cons
tituyentes de los átomos). En el ambito de la mecanica nevvtoniana, la conserva
cion de la cantidad de movimiento nos permite analizar muchas situaciones que
8.1 I Cantidad de movimiento e impulso
serian muy dificiles si tratáramos de usa.r las leyes de Newton directamente. Entre
ellas estaån los ctir1qae.v, donde dos cuerpos ejercen, uno sobre el otro, fuerzas muy
grandes durante un tiempo muy corto.
8.1 | Cantidad de movimiento e impulso
En el capitulo ti reezpresamos la segunda ley de Newton para una partícula,
EF = md, en terminos del teorema del trabajo y la energia, el cual nos ayudo a
resolver muchos problemas y nos llevo a la ley de conservación de la energia. Vol
vamos a EF = ind y veamos otra forma útil de replantear esta ley fundamental.
Consideremos una partícula de masa constante rn. (Más adelante veremos có
mo manejar situaciones en las que la masa cambia.) Puesto que Ir' = dfifdt, pode
mos escribir la segunda ley de Newton para esta partícula. asi:
› df; d _,
EF rrt E ã(rrrU) (8.1)
Podemos meter ra en la derivada porque es constante. Asi, la segunda ley de
Newton dice que la fuerza neta EF que actúa sobre una partícula es igual a la ra.
pidez de cambio de la combinación ind, el producto de la masa y la velocidad de
la partícula. Llamamos a esta combinación cantidad de movimiento, o cantidad
de movimiento lineal, de la partícula. Si usamos el simbolo fi para la cantidad de
movimiento, tenemos
pi = mii (definición de cantidad de movimiento) (8.2)
La cantidad de movimiento es un vector con magnitud (mv) y dirección (la del
vector velocidad ii). La cantidad de movimiento de un auto que viaja al norte a 20
mts es distinta de la del mismo auto cuando viaja al este con la misma rapidez.
Una bola rápida lanzada por un beisbolista de ligas mayores tiene mayor magni
tud de cantidad de movimiento que la misma bola lanzada por un niño, porque la
rapidez es mayor. Un camion de 18 ruedas que viaja a 65 mi/h tiene mayor mag
nitud de cantidad de movimiento que un automovil que viaja con la misma rapi
dez porque la masa del camión es mayor.
Las unidades de la magnitud de la cantidad de movimiento son las de masa por
rapidez., o sea, kg mts en el SI.
Si sustituimos la ecuación (8.2) en la ecuación (8.1), tenemos
.t d_*
EF = ÉL; (segunda ley de Newton en terminos de cantidad de movimiento) (8.3)
I.
L afaerza neta (sarna vectorial de todas lasfiterzasj) que aettia sobre una partictda
es igual a la rapidez de cambio de cantidad de movimiento de la pardctda. Ésta,
no EF' = mii, es la forma en que Newton planteo originalmente su segunda ley
(aunque el llamo momentum a la cantidad de movimiento), y solo es valida en
marcos de referencia inerciales.
Segun la ecuacion (8.3), un cambio rápido de cantidad de movimiento requie
re una fuerza neta grande, mientras que un cambio gradual de cantidad de movi
miento requiere una fuerza neta menor. Este principio se usa en el diseño de
dispositivos de seguridad para autos como las bolsas de aire. El conductor de un
auto que va a gran velocidad tiene una cantidad de movimiento grande (el produc
to de su masa y su velocidad). Si el auto se detiene súbitamente en un choque, la
cantidad de movimiento del conductor se vuelve cero. La bolsa de aire hace que
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c A el T U L o 8 l Cantidad de movimiento, impulso y choques
la cantidad de movimiento se pierda mas gradualmente que ett un choque abrup
to con el volante, reduciendo la fuerza ejercida sobre el conductor (y la posibili
dad de lesiones). El mismo principio se aplica al empaque con que se envuelven
objetos frágiles para transportarlos.
Con frecuencia ertpresaremos la cantidad de movimiento de una partícula en
terminos de sus componentes. Si la part.ícu1a tiene componentes de velocidad u,,,
U, y las componentes de su cantidad de movimiento, p_,., pj, y p,_. están dadas por
px = frio, pj. = mu, p,__ = mu, (8.4)
Estas tres ecuaciones de componentes equivalen a la ecuacion (8.2).
La cantidad de movimiento de una partícula ,5 = mii y su energía cinetica
K = ir noi' dependen de la masa y la velocidad de la partícula. ¿Que diferencia funda
mental hay entre estas cantidades? Una respuesta puramente matematica es que la can
tidad de movimiento es un vector cuya magnitud es proporcional a la rapidez, mientras
que la energia cinética es un escalar proporcional al cuadrado de la rapidez. Sin embar
go, para ver la difcrenciaflsíca entre ambas cantidades, necesitamos definir una canti
dad íntimamente relacionada con la cantidad de movirniento: el tniptdso.
C onsi___dere1nos primero una partícula sobre la que actúa una fuerza neta coas
tante EF durante un tiempo At de t, a t;,. (Veremos til caso de fuerzas variables en
breve.) El impulso de la fuerza neta, denotado con J, se define como el producto
de la fuerza neta y el intervalo de tiempo:
Í = tg tl) = 2 Í`At (suponiendo una fuerza neta contante) (3.5)
›
El impulso es una cantidad vectorial; su dirección es la de la fuerza neta EF. y su mag
nitud es el producto de la magnitud de la fuerza neta y el tiempo en que esta actúa. Las
unidades de impulso en el Sl son newton segundo (N s). Dado que l N = l kg nitsf,
las unidades también son kg r m/s, idénticas a las de la cantidad de movimiento.
Para ver de qué nos sirve el impulso, volvamos a la segunda ley de Newton
planteada en términos de cantidad de movimiento (ecuación 8.3). Si la fuerza ne
ta EF es constante, d_fi/'dt también es constante. En tal caso, dfitdt es igual al
cambio total de cantidad de movimiento fi] durante el intervalo ty tj, divi
dido entre el intervalo:
› ›
2F:p2_P|
f*:r_Í|
Si multiplicamos esta ecuación por (tg tl), tenemos
EFIU2 _f1) :ña E1
Al comparar esto con la ecuacion (8.5) obtenemos un resultado conocido como
teorema del impulso y la cantidad de movimiento:
,Í = ji; ji, (teorema del impulso y lacantidad de movimiento)(S.6)
El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula durante un inter
valo de tiempo es igual al impulso dela fuerza neta que actúa sobre la particu
la durante ese intervalo.
El teorema del impulso y la cantidad de movimiento también se cumple si las
fuerzas no son constantes. _1: 'ara comprobarlo, integramos los dos miembros de la
segunda ley de Newton EF = dfitdt respecto al tiempo entre los límites t¡ y tg:
1
fz _; fldñ Pa
Fa: fl: a*=* ¬JZZ t Jjldrf P te Pi
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8.1 I Cantidad de movimiento e impulso
La integral de la izquierda es por definición el impulso Í de la fuerza neta 21€' dtr
rante este intervalo:
Í1
% .
_] = ƒ dt (definición general de impulso) (8.7)
ir
Con esta definición, el teorema del impulso y la cantidad de movimiento
.I = ,íij ¿Ti j, ecuación (8.6), es válido aun si la fuerza neta EF varía con el tiempo.
Podemos definir una fuerza neta media Íi,,,,,jj tal que, aun si 21 i no es constan
te, el impulse J esté dado por
Í = 1`†í,,... ae tj) (8.8)
Si EF' es constante, EF' = Í5,,,,,,j y la ecuación (8.8) se reduce a la eerración (8.5).
La figura 8.1 muestra una gráfica de la componente .tf de la fuerza neta §`.F_,. en
función del tiempo durante un choque. Esto podría representar la fuerza sobre un
balón que esta en contacto con el pie de urr futbolista entre los tiempos tj y tj. La
componente .tr del impulso durante este intervalo está representada por el area roja
bajo la curva entre tj y tj, que es igual al área rectangular delimitada por tj, tj y
('F',,,,,j')_,, así que ('F,,,,,,j),('tj tj) es igual al impulso de la fuerza variable rea.l duran
te eÍ mismo intervalo.
Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores, y las ecuacio
nes {8.5) a (8.8) son vectoriales. En problemas específicos suele ser mas fácil
usarlas en su forma de componentes:
fr
“It : ƒ air : (Frried).r(f2 _ fl) : pi. lr _ plr : muii' _ mulr
fr
fs
“Wi ' : ƒ Efïtfdr : (Fnred)_r (F2 _ Il) : pl'_r' _ ply : mvïji _ mUl_r '
fr
y le mismo para la componente r.
Comparacion de cantidad de movimiento y energia cinética
Ahora podemos ver la diferencia fundamental entre cantidad de movimiento y
energia cinética. El teorema del impulso y la cantidad de movimiento
Í = fij ,iij dice que los cambies en la cantidad de movimiento de un cuerpo se
deben al impulso, que depende del tiempo durante el' que actúa la fuerza neta. En
cambio, el teorema del trabaje y la energía Wj,,, = Kj Kj nos dice que la energía
cinética cambia cuando se realiza trabajo sobre urra partícula; el trabajo total de
rpende de la distancia en la que actúa la fuerza neta. Considere una partícula que
parte del reposo en tj, de modo que ii = 0. Su cantidad de movimiento inicial es
jtïj = rrrüj = O, y su energía cinética irricial es Kj = jrnujf = 0. Ahora, una
fuerza neta constante a F actúa sobre el cuerpo del tiempo tj al tiempo tj. En este
Ill* I" Fintervalo, la partícula se mueve una distancia s en la direccion de la fuerza. Por la
ecuación (8.6), la cantidad de movimiento del cuerpo en el instante tj es
tía = fit + = I
donde Í = ii (tj tj ) es el impulso que actúa sobre la partícula. Así, la cantidad
de rrtettirrtiettto de una partietda es igttai al irrrptdtre que la aceleró desde el repo
so ¡rasta sit rapidez aett tai; el irnptrlso es cl producto de la fuerza neta que aceleró
el cuerpo y el tienrpe requerido para la aceleración. En cambio, la energía cinéti
285
rr.
<f;,¬,,j›_,
Ií _ mp
I fl IE
j l"†fr“`fi_>l
8.1 La componente :t del impulso de ÉF,,
entre tj y tj es igual al area roja baje la
curva 2 Fj t, y también es igual al area
del rectángulo de aítt1ra(F,,,,,j)_,.
Energía cinética ganada
r
por la pelota= EF ii
.i Cantidad de movimiento ganada por la pelota = EF ót
8.2 La energía cinética de una pelota de
béisbol lanzada es igual al trabaje que el
larmador efectua sobre ella (fuerza nrulti
plieada por la distancia que se mueve la
pelota durante el lanzarniente). La cantidad
de movimiento de la pelota es igual al im
pulse que el lanzador le imparte (fuerza
multiplieada por el tiempo requerido para
impartir la rapidez necesaria a la pelota).
pablo
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Importante!
_. _ co. .
i: “_
`Í.'I3¦iï&':` Í r"¦i :` 1757 "
235 c tt Pi T U L o 8 l Cantidad de movimiento, impulso y choques
ca del cuerpo en tj es Kj = `Wj,,, = Fs, el trabajo total efectuado sobre el cuerpo para
` " acelerarlo desde el reposo, es igual al producto de la fuerza neta y la distancia ne
cesa.ria para acelerar la partícula (Fig. 8.2).
Apliquemos la distinción entre cantidad de movimiento y energía cinética. Su
ponga que puede escoger entre atrapar una pelota de 0.50 kg que se mueve a 4.0 mts
^°†`:f.Pliïš cs
6.1 Cantidad de movimiento y cambio
de energia
o urta de 0.10 kg que se mueve a 20 mts. ¿Cual es mas fécil de atrapar? .ambas tie
nen la misma magnitud de cantidad de movimiento, p = rnu = (0.50 kg)(¿l.U mts)
= (0.10 kg)(20 rn/s) = 2.0 kg m/s, pero muy diferentes valores de energía cinéti
ca K = jrnoig la bola grande y lerrta. tiene K = 4.0 J, mientras que la pequeña y ré
pida tiene K = 20 J. Dado que la cantidad. de movimiento es igual para ambas
bolas, la.s dos requieren el mismo inrpntso para detenerse. Pero detener la bola de
0.10 kg con la mano requiere cirrco veces más nrabaƒo que detener la de 0.50 kg, por
que la primera tiene cinco veces más energía cinét.ica. Por tanto, para una fuerza
dada que ejerzamos con la mano, tardaremos el mismo tiempo en detener ctrales
quiera de las bolas, pero nuestra mano será empuj ada cinco veces mas hacia atras
` si decidimos atrapar la bola pequeña rapida. Para minimizar el eslìrerzo, debemos
optar por atrapar la bola de 0.50 kg con su menor energía cinét.ica. (Sin embargo,
esta energía tal vez no sea el único factor a considerar. Una pelota. de béisbol lan
zada y una bala calibre .22 disparada por un rifle tienen más e menos la misma
energía cinética, y la bala tiene menos cantidad de movimiento que la pelota. No
obstante, usted probablemente preferiría atrapar la pelota. ¿Por qué?)
Los teoremas del impulso y la cantidad de movimiento y del trabajo y la ener
gía son relaciones entre fuerza y movimiento, y ambos se basan en las leyes de
Newton; son principios tntegrrates que relacionan el movimiento en dos instantes
separados por un intervalo fjpito. En cam__bio, la segunda ley de Newton misma
(en cualquiera las formas EF = mii o EF = dfitdt) es un principio diferencia!
que relaciona las fuerzas con la rapidez del cambio de velocidad o cantidad de
movimiento en cada instante.
Considere otra vez la carrera descrita eri el ejenrplo conceptual 6.6
(sección 6.2) entre dos veleros en un lago helado sin fricción. Los
botes tienen masas rn y lnr, y el viento ejerce la misma fuerza hori
zontal constante fi' sobre cada uno (Fig. 6.10). Los dos veleros par
ten del reposo y cruzan la meta que está a una distancia s. ¿Cuál
bote llega a la meta con mayor cantidad de movimiento?
En el ejemplo concepnral 6.6 pedimos comparar las errergías ciné
ticas de los veleros al cruzar la meta. La forma de hacerlo no fue
usando la fórmula K = jniei, sino recordando que la energía ciné
tica de un cuerpo es igual al trabajo total efectuado para acelerarlo
desde el reposo. Los dos veleros partieron del reposo, y el trabajo
total efectuado entre la salida y la meta fue el mismo para ambos
(porque la fuerza neta y el desplazamiento fueron iguales). Por tan
to, los dos veleros cruzan la meta con la misma energia cinética.
Similarmentc, la mejor forma de comparar las cantidades de
movimiento de los veleros no es usar la fórmula ji = nrìi,.pues és
ta no basta para decidir cual velero tiene mayor cantidad de movi
miento en la meta. El velero de masa 2rn tiene mayor masa, lo que
 
Cantidad de movimiento vs. energia cinética
sugiere mayor cantidad de movimiento, pero cruza la meta mas len
tamente que el otro, lo que sugiere menor cantidad de movimiento.
Más bien, usamos la idea de que la cantidadde movimiento de
cada velero es igual al impulso que lo aceleró desde el reposo. Para ca
da velero, la fuerza de la gravedad hacia abajo y la fuerza normal
hacia arriba suman cero, así qtre la fuerza neta es la fuerza horizon
tal constante del viento, Íi. Sea ót el tiempo en que un velero tarda
en llegar a la meta, de modo que el impulso sobre el velero en ese
tiempo es Í = Í? dt. El velero parte del reposo, así que este es la
cantidad de movimiento del velero en la meta:
,íi=Íi`or
Ambos veleros estén sujetos a la misma ,pero n.e tardanlo mis
mo err llegar a la meta. El bote de masa 2m acelera mas lentamente
y tarda mas tiempo en recorrer la distancia s; por tanto, hay mayor
impulso sobre este velero entre la salida y la meta. Por tanto, el ve
lero de masa 2m cruza la meta con mayor magnitud de cantidad de
movimiento que el de masa rn (pero con la misma energía cinética)
¿Puede el lector demostrar que el velero de masa 2nr tiene \/8 ve
ces mas cantidad de movimiento enla meta que el de masa rn?
 FII\flI II'
pablo
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Puede ser pregunta teorica
pablo
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_¡__
8._l I Cantidad dernoviruicrrtocimpulso 287
Una pelota golpea una pared
Suponga que larrza una pelota de 0.40 kg contra una pared, la cual gol
pea moviéndose horizontalmente hacia la izquierda a 30 rn "s, rebotan
do horizontalmente a la derecha con rapidez de 20 mts. a_) Calcule el
impulso de la fuerza neta sobre la pelota durante el choque. b) Si la
pelota esta en eoirtacto eorr la pared durante 0.010 s, calcule la fiierza
horizontal media que la pared ejerce sobre la pelota durante el impacto.
IDENTIFICAHI Nos dan suficiente información para determinar los
valores inicial y firral dela cantidad de movimiento de la pelota, así
que podemos usar el teorema del impulso y la cantidad de movi
miento para calcular cl impulso. Luego, usaremos la definicion de
impulso para determinar la fuerza media.
PLÁNTEÁHI El movimiento es puramente horizontal, así que sólo
necesitamos un eje. Tomaremos la horizontal como el eje .r_, corr la
dirección positiva a la derecha (Fig. 8.3). La incógnita en la parte
(a) es la componente .t del imptrlso, J_,, que obtendremos de las
componentes .r de la cantidad de movimiento antes y después del
impacto, empleando las ecuaciones (8.9). En la parte (lr), la incóg
nita es la compenerrte .t media de la fuerza, (F,,,,,,j)_,; una vez que co
nozcamos Jj, podremos obtener esa fuerza utilizando las
ecuaciones (8.9).
EJECUTAR: al Corr el eje .t que escogimos, las componentes .rr ini
cial y final de la cantidad de movimiento de la pelota son
pj, = rrruj, = (lÄl.4{l l<g)( 30mts) = 12 kg mts
pj, = r rre jj = (0.418 kg) ( +20 rrrts) = l 8.0 kg mis
Por la ecuación para .r de las ecuaciones (8.9), la componente .t del
impulso es igual al carnóio en la componente .tf de la cantidad de
movimiento:
Ji." : ¡plc _. pla
= 8.0 kg mts ( 12 kg mts) = EU kg~ntls = EUN s
b) El choque dura tj tj = dt = 0.010 Por la ecuación`para.t de
la S Écuacl Únes Jrr : U:1rred).t (IE _ fl) : (Fmedl.r'Af: así que
(F ]_±_ _fj00C|\j
“tt si euros ' 1
` ` ' ' " U1 : mffl
r __,
. ¦ di1'ección.t
_ e..
5 ej = ED mts
_ _ ~
$.3 Pelota que se mueve hacia la izquierda, golpea una pared
y rebota hacia la derecha.
' 1 ' '
8.4 Por lo regular, una pelota de tenis esta err contacto con la
raqueta cerca de 0.01 s, y se aplana perceptiblcmente por
la tremenda fuerza ej crcida por la raqueta.
EVALUAR: La componente .r del impulso es positiva; es decir, ha
cia la derecha en la figura 8.3. Tal como debe ser: el impulso repre
senta el “empujón” que la pared da a la pelota, y es obvio que tal
“empujón” es hacia la derecha.
Dado que la cantidad de movimiento es un vector,
tuvimos que incluir el signo negativo en pj_,. Si por descuido lo hu
biéramos omitido, habríamos obtenido 8.0 kg mts (12 kg =
4 kg mts, para el impulso. Esta respuesta es a todas luces absur
da, pues dice que la pared le habría dado a la pelota un empujón
a la izquierda. Asegúrese de considerarla direccion ele la cantidad
de movimiento al efectuar sus cálculos.
¿ _ _ _ ._¡._ _, . 5, _ _ , ._ ._ _ , L _ _ _ _ j, ¿ ›_ _ _ _ _† _ _ _ ¿ ¿ † _ _ _ _ _ _ , _ :_ 3 3 _ _ _ _ _ _ _ ,¬, ,¬,E¿¶¿\1y,~,\t1u11 
La fuerza media que la pared ejerce sobre la pelota es conside
rable, 2000 N (aproximadamente el peso de tin objeto de 2l.lÚ kg). La
magnitud de esta fuerza debe ser grande para cambiar la cantidad
de movimiento de la pelota en un lapso de tiempo tan corto. Las
otras fuerzas que actiian sobre la pelota durante el choque sorr muy
débiles en comparación; por ejemplo, la fuerza gravitacional es de
sólo 3.9 N. Asi, durante el breve lapso que dura el choque, podemos
hacer caso omiso de las demas fuerzas sobre la pelota y obtener una
aproximación muy buerra. La figura 8. si es una fotografía que
muestra el choque de una pelota de tenis y urra raqueta.
Clbserve que el valor de EDUU N que ealculamos es sólo la liter
za horizontal rnedia que la pared ejerce sobre la pelota durante el
impacto, y corresponde a La línea horizontal (I ¬,,,,,,j)_, de la figura 8.1.
La fuerza horizontal es cero antes del impacto, sube hasta un marti
mo y luego disminuye hasta cero citando la pelota deja de estar en
contacto con la pared. Si la pelota es relativamente rígida. como
una de béisbol o de golf, el choque dura poco tiempo jr la tire me
mtizima es grande, corrio en la curva (al de la figura 8.5. Ei La _± sÃ;
`¬'¬._ __. I "FF¬¬¬ 1,_____`¬¬__`_
ÍSB e tt Pi T U L o 8 I Cantidad de movimiento, impulso y choques
EE (ai Choque de corta duracion,
fuerza máxima grande
e
lb) Cheque de larga duración,
fuerza máxima pequeña
8.5 (ai) Choque “duro”, como el de una pelota de golf. (b) Choque
“suave”, como el de una pelota de tenis.
_
Pateo de un balón
Un balón de soccer tiene una masa de 0.40 kg e inicialmente se mue
ve a la izquierda a 28 mts, pero luego es pareado de modo que adquie
re una velocidad con magnitud de 30 mts y dirección de 45° hacia
arriba y a la derecha (Fig. 8.6a). Calcule el impulso de la fuerza neta
y la fuerza neta media, suponiendo que el choque dura At = 0.010 s.
sotucróu
IDENTIFICAR: Este ejemplo utiliza los mismos principios que el
ejemplo 8.2. La diferencia clave es que las velocidades inicial y fi
nal no están alineadas, asi que debemos tener cuidado de tratar la
cantidad de movimiento y el impulso como cantidades vectoriales,
usando sus componentes x y y. `
PLàlllTEAR¦ Tomamos el eje .t horizontal hacia la derecha, y el y,
vertical hacia arriba. Las incógnitas son las componentes del im
pulso neto sobre el balón, Jf, y .t;,, y las componentes de la fuerza ne
ta media sobre el balón, (F,,,,,,j),, y (F,,,,,j)¡,.. Las obtendremos usando
las componentes .t y y de las ecuaciones (8.9).
2
45°'
_ Fwnïl rn
uj = Éürnts 1 5!
ta es más blanda, como una de tenis, el choque dura más tiempo y
la fuerza miirtirna es menor, como en la curva (b). En ambos casos,
el impulso es el mismo: es igual al cambio en la cantidad de movi
miento de la pelota. Por la ecuación (8.7), sabemos que el impulso
es la integral de la fuema con respecto al tiempo, lo que implica mie el
drea bajo las dos curvas de la figura 8.5 es la misma.
EJECUTAR: Con los ejes que eseogimos, obtenemos las siguientes
componentes de velocidad:
ujj = 20 mts ejj. = O
v jj. = ej., = (0.707) (30 mts) = 21.2. mts
(dado que cos 45° = sen 45° = 0.?Ú't)
La componente x del impulso es igual a la componente .ir del cambio
de cantidad de movimiento', e igualmente para las componentes y:
'Cr : plr _ plx = mívlx _ Ulx)
= (0.40 kg)[2l.2 mts ( 20 mts)j = 16.5 kg mts
Ji; = Pzj _ Prj = mlvzj _ Ury)
= (0.40 kg)(21.2 mts ¬¬ U) = 8.5 kg mts
Las componentes de la fuerza neta media sobre el balón son
JJ. ¿lr(F,,,,,,), = M = resort (1 ¬,,,,j)_,, = 5 = sson
U2 = ITUIS
Fm
(F gd)
(Fmedix
(Hi lb)
8.6 (a) Balón de fútbol soccer (1) antes y (2) después de ser pateado. (b) Calculo de la
fuerza media a partir de sus componentes.
_ .
8.2 l Conservación de la cantidad de movimiento 289
La magnitud Y dlmcciófl de la fuefïa media 5°" EVALUAR:La fuerza neta media Íi',,,,,.¿j incluye los efectos de la gra
Fmm = 1650 Njj + (S50 N)j = L9 x .mg N vedad, aunque sean pequeños; el .peso del balón es de sólo 3.9 N. Al
igual que en el ejemplo 8.2, la fuerza media que actua durante el
jj = arcjajj ï3 _. 27 =› choque es ejercida casi totalmente por el objeto que el balón golpea
(en este caso elpie del futbolista).
donde ti se mide hacia arriba desde el eje +x (Fig. 8.6b). übserve que,
como el balón no estaba inicialmente en reposo, su velocidad final no
tiene la misma dirección que la fuerza media que actúa sobre él.
z
Considere el martillo que cae en el ejemplo 6.4 (sección 6.2). (a) Calcule la com
ponente _v de la cantidad de movimiento del martillo justo antes de que golpee
la viga, y el impulso de la fuerza neta que actuó sobre el martillo para detenerlo.
(b) Use conceptos de impulso para determinar el tiempo que esta fuerza neta tar
dó en detener el martillo.
8.2 Conservación dela cantidad de movimiento
If
El concepto de cantidad de movimiento tiene especial importancia en situaciones
en las que dos o más cuerpos interactúan. Consideremos primero tm sistema idea
lizado de dos cuerpos que interactúan entre sí, pero con ninguna otra cosa; por
ejemplo, dos astronautas que se tocan mientras flotan en el espacio exterior (Fig.
8.7a). Consideremos alos astronautas como partículas. Cada una ejerce ima fuer
za sobre la otra; según la tercera ley de Newton, las dos fuerzas siempre son igua
les en magnitud y opuestas en dirección. Por tanto, los impulsos que actúan sobre
8.7 (a) Dos astronautas se empujan mu
(H) tuamente mientras flotan libres en el entor
no de gravedad eero del espacio ezterior.
lt L" (b) Diagrama de cuerpo libre del astronau
I l ta A. (c) Diagrama de cuerpo libre del as
¬"'¡_..“i*_ Y "_†_¡""_ Y tronauta B. Las únicas fuerzas que actúan
FB fiflbtrd ` 'Fa Habra B son fuerzas internas; éstas no cambian la
. ' cantidad total de movimiento de los dos
(Pl ll? l' astronautas.
pablo
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Importante!
pi _
290
 estPhys cs ~.
6.3 Conservacion de la cantidad
de movimiento y choques
'l 6.? Problemas de explosión
5.10 Pénclulo persona proyectil,
boüche
1
|
l
i
lr
.
c it Pi TU r. o 8 l Cantidad de movimiento, impulso y choques
las dos partículas son iguales y opuestos, y los cambios de cantidad de movimien
to de las dos partículas serán iguales y opuestos.
Repasemos esto con ciertos términos nuevos. En cualquier sistema, las fuerzas
que las partículas del sistema ejercen entre sí se denominan fuerzas internas; las ejer
cidas sobre cualquier parte del sistema por algún objeto ertterno son fuepzas err
ternas. En el sistema que hemos descrito, las fuerzas internas son Fj,,,j,,,,_.j,
ejercida por la partícula B sobre la A, y Íij jm., jj ejercida por la partícula A sobre
la B (Figs. 8.7b, c). No troy fuerzas eatemgs, asi que tenemos un sistema píslado.
La fuerza neta sobre la partícula A es Fjj ,,,j,,,_._ ,j y sobre la partícula B, Fj ,,,j,,,, jj,
por la ecuación (8.3), las razones de cambio de la cantidad de movimiento de am
ba.s partículas son
_. dfi. _. dj? _
FB sobr'e.›=l = 'ïá F.»IsobreB : :Í
La cantidad de movimiento de cada partícula cambia, pero estos ca.mbios no
son independientes; según la tercera ley de Newton, Fjj ,,,j,,,_._,j y Fjj ,,,,j,,,, jj _siempre son
iguales en nlagnitud y opuestas en dirección. Es decir, Fjj ,,,j,,,, ,j = Fjj ,,,j,,., j, así
Fjj ,,,j,,,, jj + Fj ,._,,j_,,,, jj = 0. Sumando las dos ecuaciones de la ecuación (8.10), t.e
IIÚIÍIOS
= dit', dit dliìi +5 l
'FB`sobre. i + Fi. 1 sobreb' = É + _ Adr B 0
Las razones de cambio de las dos cantidades de movimiento son iguales y opuestas,
así que la razón de cambio de la spma vectorial 33,, + jiijj es cero. Ahora definimos
la cantidad de movimiento total P del sistema de dos partíctrlas como la suma vec
torial de las cantidades de movimiento delas partículas individuales. Esto es,
F' = E., + te raro
Así, la ecuación (8.11) se convierte finalmente en
›
_. › dP
Füsobrer 1+ FA sobretš' = E = 0
La razón de cambio de la cantidad total de movimiento P es cero. Por tanto, la carr
tidad de movimiento total del sistema es constante, aunque las cantidades de movi
miento individuales delas particulas que constituyen el sistema pueden cambiar.
Si tambiérr hay fuerzas externas, deben incluirse en el lado izquierdo de la
ecuación (8.13), junto con las internas. En general, la cantidad de movimiento total
no sera constante, pero si la suma vectorial de las fue_rzas ezternas es cero, como
en la figura 8.8, éstas no contribuirfém a la suma, y dPtdt sera otra vez cero. Así,
tenemos el resultado general:
Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre un sistema es cero, la
cantidad de movimiento total del sistema es constant.e.
Ésta es la forma mas sencilla del principio de conservación de la cantidad de
movimiento, el cual es una consecuencia directa de la tercera ley de Newton. La
utilidad de este principio radica en que no depende de la naturaleza detallada de
las fuerzas internas que actúan entre miembros del sistema, así que podemos a.p1i
carlo incluso si (como suele suceder) sabenros muy poco acerca de las fuerzas in
ternas. Usamos la segunda ley de Newton para deducir este principio, así qtre
debemos tener cuidado de usarlo sólo en marcos de referencia irrerciales.
pablo
Resaltar
Super importante!
8.2 l Conservación de la cantidad de movimiento
ta)
I
lll. i ¡ls
J
_ _ .r
if 10' ¬r
FB sobresl FA sobrcB
jr, jr,
lb) (fl)
Podemos generalizar este principio para un sistema con cualquier número de
partículas A, B, C, . . _ que sólo interactúan entre sí. La cantidad de movimiento to
tal del sistema es
(cantidad de movimiento
Í; :ii + ig _¡_ = måãñ _¡_ mgìjg _¡_ total de un sistema de (Ski)
particulas) _ _
Nuestro argumento es el mismo: la razón total de cambio de la cantidad de mo
vimiento del sistema debido a cada par acción reacción de fuerzas internas es ce
ro. asi, la razón total de cambio de la cantidad de movimiento del sistema es cero
siempre que la resultante de las fuerzas ertternas que actúan sobre él es cero. Las
fuerzas intemas pueden cambiar las cantidades de movimiento de las partículas in
dividuales del sistema, pero no la cantidad de movimiento total del sistema.
ÉAI aplicar la conservación de la cantidad de movimiento a un siste
ma, es indispensable recordar que la cantidad de movimiento es una cantidad
vectorial. Por tanto, debemos usar suma vectorial para calcular la cantidad de
movimiento total de un sistema (Fig. 8.9). Por lo regular, el empleo de compo
nentes es el método mas sencillo. Si pjj, p__j,_ ypj, son las componentes de la can
tidad de movimlento de la partícula A, y simìlarme nte para las demas partículas,
la ecuación (8.14) equivale a las ecuaciones de componentes
Ps' : P. 41' l_fJH.r + H
¿F3? 1 páy j :UB v j ..
P::pAz+pB;+.'_
Si la suma vectorial de las fuerzas externas sobre el sistema es cero, entonces P{,,
P, y P, son constantes.
' 
291
8.8 (a) Dos patinadores se tocan mientras
patinan en una superficie horizontal sin
fricción. (b) Diagrama de cuerpo libre del
patinador A . (c) Diagrama de cuerpo libre
del patinador B. Las fuerzas normales y
gravitacionales son firerzas ezternas, pero
la suma vectorial de ellas es cero y la can
tidad total de movimiento se conserva.
(Compárese con la figura 8.7.)
j its
Pa ° I'
pjj=2tl kg mts
tal
lNC 'l`Ú P =pj l pj j = ¿l2lcg mts
ll' 1)
Íls
 
cowro fs ir' = ,ej + pj
s
P: llïa 'ftïsl
=ÉllÍlltg mtsat ?=3?°
tc)
8.9 (a) Sistema de dos partículas. Clbserve
que sus cantidades de movimiento no
apuntan en la misma dirección. (b) La
magnitud de la cantidad de movimiento to
tal no es la suma de las magnitudes de las
cantidades de movimiento inditiduale s_ ici
La forma correcta de obtener la canti ó:±i
de movimiento total es por sims: _ 1 e .:'::r_:z'_
_ ..¡.
pablo
Resaltar
!!!
pablo
Resaltar
is
Iiil
l;
l
292
i i
c A P i T U Lo S I Cantidad de movimiento, impulso y choques
En ciertos aspectos, el principio de conservación de la cantidad de movimien
to esmas general que el de conservación de la energia mecanica. Por ejemplo, la
energia mecánica se conserva sólo si las fuerzas internas son conseruortioos es
decir, si permiten la conversión bidireccional entre energia cinética. jr energia po
tencial pero la conservación de la cantidad de movimient.o es valida aun si esto
no se cumple. En este capitulo, analizaremos situaciones en las que se conservan
tanto la cantidad de movimiento como la energia mecanica, v otras en que sólo la
cantidad de movimiento se conserva. Estos dos principios desempeiian un papel
fundamental en todas las áreas de la fisica, y los encontraremos durante todo nues
tro estudio.
Estrategia para _ ,
,,,,,,,¡.,E,,,,,,¡,|,r,ma, Conservacion dela cantidad de movimiento
IDENTIFICAR fos conceptos pertinentes. Antes de aplicar la
conservación de la cantidad de movimiento a un problema, de
bemos decidir si la cantidad de movimiento se conserva. Esto
sriio es cierto si la resultante de las fuerzas externas que actúan
sobre el sistema de particulas es cero. Si no es asi, no podemos
usar la conservación de la cantidad de movimiento.
PLANTEJÄR eiproofemo siguiendo estos pasos:
1. Defina un sistema de coordenadas. Dibuje los ejes, indi
cando la dirección positiva en cada uno. Suele ser más fácil
escoger el eje s en la dirección de una de las velocidades
iniciales. Asegúrese de usar un marco de referencia iner
cial. Casi todos los problemas del capitulo tratan situacio
nes bidimensicnales, donde los vectores sólo tienen
componentes x y y; todo lo que sigue puede generalizarse
para incluir componentes z si es necesario.
2. Trate cada cuerpo como partícula. Haga dibujos de “an
tes” jr “despues”, incluyendo vectores para representar to
das las velocidades conocidas. Romle los vectores con
magnitudes, ángulos, componentes y demás información da
da, asignando simbolos algebraicos a las magnitudes, án
gulos o componentes desconocidas. Suele ser conveniente
usar los subindiees 1 y 2 para las velocidades antes y des
pues de la interacción, respectivamente; si los usa, use le
tras (no numeros) para rotular las particulas.
 ¿ ; .11 . ï“1Lt Lfi1LfiìT 
Retroceso de un rifle
Un tirador sostiene holgadamente un rifle de masa ing = 3.00 kg, a
fin de que pueda retroceder libremente al hacer un disparo. Dispa
ra una bala de masa sin = 5.00 g con_una velocidad horizontal rela
avs si rana aa UB, = sus mis (sig. s.1o). ¿Que velocidad ae
retroceso o,,_,. tiene el rifle? ¿Que cantidad de movimiento y energia
cinética finales tiene la bala? ¿El rifle?
3. Como siempre, identifique |a(s) incógnita(s) de las varia
bles desconocidas.
EJECUTAR lo solución como sigue:
1. Escriba una ecuación en terminos de simbolos, igualando
la componente .t total inicio! de la cantidad de movimien
to (o sea, antes de la interacción) con la componente x to
tal final (después de la interacción), usando p,, = mo, para
cada partícula. Escriba otra ecuación para las componen
tes y, usando py = muy para cada partícula. Recuerde que
las componentes x y y de velocidad y la cantidad de movi
miento mmco se suman en la misma ecuación. Aun si to
das las velocidades están alineadas (digamos, sobre el eje
x), las componentes de velocidad en esta linea pueden ser
positivas o negativas; ¡cuidado con los signos!
2. Resuelva estas ecuaciones para determinar los resultados
requeridos. En algunos problemas, tendrá que convertir
las componentes de una velocidad a su magnitud jr direc
ción, o viceversa.
3. En algunos problemas, las consideraciones de energia dan
relaciones adicionales entre las diversas velocidades, co
mo veremos más adelante.
EVALUAR lo respuesta: ¿Es lógica fisicamente la respuesta? Si la
incógnita es la cantidad de movimiento de un cuerpo dado, verifi
que que la dirección de la cantidad de movimiento sea razonable.
_.__ __,,,__ . __,_. __ _ _ __ ¡ï._† .¬,¬ï __ _ = ¿ ,¬ _“_; ; ¿¬ no. r .=|=¡±±Lm1ì'._z'cïzr:1!:'¬'11!vf='rIl===|=L'|
IDENTIFICAR: Consideramos un modelo ide alizado en el que las
fuerzas horizontales que el tirador ejerce sobre el rifle son insigni
ficantes, así que no hay fuerza horizontal neta sobre el sistema [ba
la jv rifle) durante el disparo, y la cantidad de movimiento
horizontal total del sistema es la misma antes jr despues del disparo
(se conserva).
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
Puede ser pregunta teorica
3.2 I Conservación dela cantidad de movimiento 293
PLÄNTEÃRI Sea el eje +z la dirección en que apunta el rifle. Ini
cialmente, el rifle jr la bala están en reposo, asi que la componente
.rr inicial de la cantidad de movimiento total es cero. Una vez dispa
rada la bala, su componente .r de cantidad de movimiento es pj, ,,, =
nr,=,,rr¡,,,, jr la del rifle, pg, = nrF_,oR,. Las incógnitas son UR, ,oB_,,, pF_,,
KB = šrngogjf jr KH = %nrRoF_,i (las energias cineticas finales de la
bala jr el rifle, respectivamente).
EJECUTAR: La conservación de la componente .r de la cantidad de
movimiento total da
Ps' : U = 'mflvfix + m'RUl~`¦.r
ing 0.00500 kg
og, = ¿om = (I Mm kg )(300 mis) = 0.500 mis
El signo negativo implica que el retroceso es en la dirección opues
ta a la de la bala. Si una culata con esta rapidez golpeara el hombro,
usted lo sentiria. Ése es el '“culatazo" (retroceso) del rifle. Es más
cómodo apoyar bien el rifle en el hombro al dispararlo; así, rnR es
sustituida por la suma de su masa jr la del rifle, jr la rapidez de re
troceso es mucho menor.
La cantidad de movimiento jr la energia cinética de la bala al fi
nal son
,o,,,, = ingug, = (0.00500 kg) (300 mis) = 1.50 kg mƒs
KB = %inBo,,_,f = å(0.00500 kg) (300 rnis)2 = 225 J
Para el rifle, la cantidad de movimiento jr la energia cinética finales son
pg, = nigog, = (3.00kg)( 0.500n1!s) = 1.50 kg mis
KH = %nr.RoF_,.3 = â (3.00 kg) ( 0.500 mr's)1 = 0.375 J
Choque en Imea recta
Dos deslizadores se acercan uno al otro sobre un riel de aire sin
fricción (Fig. 8.lla). Despues de chocar, el deslizador B se aleja
con velocidad final de +2.0 mis (Fig. 8.1 lb). ¿Que velocidad final
tiene el deslizador A? Compare los cambios de la cantidad de mo
vimiento jr velocidad de los dos deslizadores.
IDENTIFICAR: La fuerza vertical neta sobre los deslizadores es ce
ro; la fuerza neta sobre cada uno es la fuerza horizontal que cada
deslizador ejerce sobre el otro. La iiterza externo neta sobre los dos des
loadores juntos es cero, asi que la cantidad de movimiento total se
conserva.
PLMHITEAR: Tomamos el eje x sobre el riel, con la dirección positi
va a la derecha, Nos dan las masas jr las velocidades iniciales de los
dos deslizadores, asi como la velocidad final del deslizador B.
(Vease la Fig. 3.1 l). Las incógnitas son r.†,¬__›¿,,, la componente Jr final
de la velocidad del deslizador A, jr los cambios en la cantidad de
movimiento jr la velocidad de los dos deslizadores (es decir, el va
lor despues del choque menos el valor antes del choque).
| sE, = sao me
mg = 5.00 g
si ,, = son kg
8.10 La razón de la rapidez de la bala jr la rapidez de retroceso es
el inverso de la razón de la masa de la bala jr el rifle.
EVALUAR: La bala jr el rifle tienen cantidades de movimiento igua
les jr opuestas después de la interacción porque se sometieron a
fuerzas iguales jr opuestas durante el mismo tiernpo (o sea, impul
sos iguales y opuestos). La bala adquiere una energia cinótica mu
cho mayor porque viaja una riisnencio mucho más grande que el
rifle durante la interacción. Por ello, la fuerza que actóansobre la ba
la realiza mucho más trabajo que la fuerza que actúa sobre elrifle.
E I cociente de las dos energias cinéticas, 1500: 1 , es igual al inverso
del cociente de las masas; de hecho, puede demostrarse que esto
siempre sucede en situaciones de retroceso. Dejamos la demostra
ción como problema (ejercicio 8.21). `
Observe que el cálculo no depende de los detalles del funciona
miento del rifle. En un rifle real, la bala es imprrlsada por una carga
explosiva; si en vez de ello se usara un resorte mujr rigido para im
partirle la misma velocidad, las respuestas serian idénticas.
4 Ji=ÍT`
O
u,,¡_,. = 2.0 misrrglx = 2.0 mis
rnjj = 0.50 kg ing = 0.30 kg
ta)
Ci
1.541, opi, = 2.0 ntfs
* qu
en l
3.11 Dos deslizadores (a) antes jr (b) despues de chocar.
l'
_''Í'É_'
ti
294 c .rr P ir u L o 8 I Cantidad de movimiento, impulso jr choques
EJECUTAR: La componente .r de la cantidad de movimiento total an
tes del choque es
Pr : meu. r1.r + msUs1_r
= (0.50 kg) (2.0 mis) + (0.30 kg) ( 2.0 mis)
= 0.40 kgrmis
Ésta es positiva (a la derecha en la Fig. 8.1 1) porque el deslizadorA
tiene majror magnitud de cantidad de movimiento que el B antes del
choque, La componente .r de la cantidad de movimiento total vale
lo mismo despues del choque, asi que
R1' = HI. div. lili' + HIBUBZI
Despejando o_,,j,,, la velocidad final de A, tenemos
P, nrgogì, 0.40 kg mis (0.30 kg)(2.0 mis)
“ff” rr _" ar, uso tg
. = 0.40 mis
El cambio' de la cantidad de movimiento del deslizador A es
rtt,,r.r__,2,, rn,,Ei,.,_1_, = (0.50 kg) ( 0.40 mis)
(0.50 kg) (2.0 mis) = 1.2 kg mis
jr el cambio de la cantidad de movimiento del deslizador B es
nrtgugj, .rnBo,,¡,, = (0.30 kg) (2.0 mis)
(0.30 kg)( 2.0 mis) = +1.?. kg rnis
La figura E3.l.'?.a muestra dos robots combatientes que se deslizan
sobre una superficie sin fricción. El robot A, con masa de 20 kg, se
mueve inicialmente a 2.0 mis paralelo al eje ic. Choca con el robot
B, cujra masa es de 12 kg jr está inicialmente en reposo. Despues del
choque, el robot A se mueve a 1.0 mis en una dirección que forma
un ángulo or = 30° con su dirección inicial (Fig. 8. l 2b). ¿Que velo
cidad final tiene el robot B?
IDENTIFICAR: No hajr fuemas externas horizontales (ir o y), asi que
ambas componentes, .r jr jr, de la cantidad de movimiento horizon
tal total del sistema se conservan en el choque.
PLANTEAR: Los ejes de coordenadas se muestran en la figura 8.12
Las velocidades no están alineadas, asi que debemos tratar la canti
dad de movimiento como vector, usando componentes de cada can
tidad de movimiento en las direcciones z jr y. La conservación de la
cantidad de movimiento ei ri ge que la suma de las componentes .r
cores del choque (subindice l) sea igual a la suma despues del cho
que (subindice 2), jr lo mismo con las componentes jr. Igual que en
los problemas de equilibrio de fiierzas, escribimos una ecuación pa
ra cada componente. La incógnita es E B1, la velocidad final del ro
bot B. Espresaremos nuestra respuesta en terminos de las
componentesr jr y, jr tambien en terminos de magnitud jr dirección.
Choque en un plano horizontal
Los dos deslizadores interactuando sufren cambios de cantidad de
movimiento iguales en magnitud jr opuestos en dirección, pero los
cambios de velocidad no son iguales jr opuestos. Para A, ti_,,¿,, u_,.,,,
= (_ 0.40 mis) _ 2.0 mis = 2.4 mis; para B, Ugg om, = 2.0 mis
( 2.0 mis) = +4.0 mis.
EVALUAR: ¿Por que los cambios de la cantidad de movimiento tie
nen la misma magnitud para los dos deslizadores, no asi los cam
bios de velocidad? Por la tercera lejr de Newton, sobre ambos
deslizadores actuó una fuerza de interacción de la misma magnitud
durante el mismo tiempo; por tanto, ambos deslizadores esperi
mentaron impulsos de la misma magnitud, asi como cambios de la
misma magnitud en la cantidad de movimiento. Sin embargo, por la se
gunda ley de Newton, el deslizador con menos masa (B) tuvo majror
magnitud de aceleración (y por ende el cambio de velocidad).
Cuando una vagoneta choca con un automóvil de tamaño nor
mal, ambos vehiculos sufren el mismo cambio en su cantidad de
movimiento. Sin embargo, los ocupantes del automóvil se someten
a una aceleración considerablemente majror (jr una probabilidad
considerablemente majror de sufrir lesiones) que los de la vagone
ta. Un ejemplo aun más extremo es lo que sucede cuando una vago
neta choca con un insecto; el conductor no notará la aceleración
resultante, ¡pero el insecto si!
_ ,.,,,_ _ ___. ._ _ _. _ , ._ _ 1 .1 .= _.. ¬..¬. p _ ¬ v 1 . ' ' ' "
ir
r 1 rn
,B _É É x
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1 U. te
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I '11 I
I A F .. Á _ _' _
ville
rrï rr IB
Ufiïjr
ña
(bl
8.12 Vista superior de las velocidades (a) antes jr (b) despues del
choque.
8.3 l
EJECUTAR: Para las componentes .rr (antes jr después) tenemos
mafiarr `l` l'i"¿.sï 'oir : ¡Hauser + msuszf
f" aUal_r + msUs1_r _ "i.=tU'.aar
Elf r :tg
(2org_)(z.c mis) + (121<g)(0)
i _(20kg)(l.0 ¡Tri $)(CiJ5 30°) j
_ 0 12 kg 0
= 1.89 mis. _
La conservación de la componente jr de la cantidad de movimiento
total da '
in. 1Un1_v + Waflalj = m .r.U. rzj 'l' iii avari
fnàulqlì, + fflflvflh, _ fffigluågy
Um 1" _ _ rn
j (201<s)(0> + (121re)(0) ]
(20 kg) ( 1.0 mis) (sen 30°)
_ 12 kg
= 0.83 mis
Después del choque, el robot B se mueve en las direcciones +x jr
Cheques inelásticos 295
r›_,., = \/(rss mir r)2 + ( usa errsjl = z.1m. rs
jr el ángulo de su dirección con respecto al eje fr es
B : mm 0.83 mis __ 24:
1.39 mis
EVALUAR: Una forma útil de comprobar la respuesta es examinar
|_os valores de las componentes de cantidad de movimiento antes j'
después del choque. En un principio', toda la cantidad de mojimien
to está en el robot A, cujra cantidad de movimiento en ir es .=n,r.' ,¿,
= (20 kg)(2.0 mis) = 40 kg mis jr cujra cantidad de movirniemo en
y es cero. Después del choque,_ la cantidad de movimiento ã z mi
robotA es in,,o,,1,, = (20 kg)(l .0 mis) >< (cos 30°) = l'i kg ms. mie.:
tras que la cantidad de movimiento en :r del robot B es n1,;u,¬, ¬___. = l 12
kg)(l .89 mis) = 23 kg mis; la cantidad de movimiento total en z es
de 40 kg mis, igual que antes del choque (como debe ser). En la di
rección jtr, la cantidad de movimiento del robot. A después del eho
que es rrr,.,u_,,¿,, = (20 kg)( l .0 mis)(sen 30°) = 10 kg mis, mientras que
la del robot B es irr3uB2_,. = (12 kg)( 0.83 mis) = 10 kg mis. üb
serve que, mientras el robot A adquiere una cantidad de movimien
to en y positiva en el choque, el robot B adquiere una cantidad de
movimiento en y negativa de la misma magnitud. Asi, la componen
te y roroi de la cantidad de movimiento después del choque tiene el
F mig' 3'12b}' La magnitud dc vii es mismo valor (cero) que antes del choque. '
Un juguete con masa de 0.60 kg, accionado por un resorte, está en reposo sobre
una superficie horizontal sin fricción. Cuando se suelta el resorte, el juguete se di
vide entres piezas con masas iguales, A, B jr C, que se deslizan por la superficie.
La pieza A se aleja en la dirección x a 3.0 mis, mientras que la B se aleja en la
dirección y a 4.0 mis. Calcule la velocidad (magnitud jr dirección) de la pieza C.
8.3 | Cheques inelásticos
E Aciiv
El término choque hace que una persona común piense en un percance de tráfico.
Usaremos el término en ese sentido, pero además ampliarcmos su significado pa *
ra incluir cualquier interacción vigorosa entre cuerpos con duración relativamente
corta. Por tanto, incluimos también bolas que chocan en una mesa de billar, neu
trones que inciden sobre núcleos en un reactor atómico, una bola que choca con
pinos de boliche, el impacto de un meteorito sobre el desierto de Arizona jr un en
cuentro cercano de una nave con el planeta Saturno.
Si las fuerzas entre los cuerpos son mucho majrores que las externas, como sue
le suceder en los choques, podemos hacer caso omiso de las segundas jr tratar los
cuerpos como un sistema oisiooio. Entonces, la cantidad de movimiento se con
serva jr la cantidad de movimiento total del sistema tendrá el mismo valor antes jr
después del choque. Dos autos que chocan en un cruce helado son un buen ejem
plo. Incluso dos autos que chocan en pavimento seco se pueden tratar como siste
ma aislado durante el choque si, como es frecuente, las fuerzas entre los autos son .
tuucho majrores que las fuerzas de fricción del pavimento contra los neumáticos.
1.
6.8 Deslizador ji carrito
296
Uni ` Us!
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tel
8.13 lvlodelo de un choque elástico: Los
deslizadoresA jr B se acercan en una su
perficie sin fricción. C ada uno tiene un
resorte de acero como protección para ase
gurar un choque elástico.
Uni Rar
_____ _, __=_; 1.; _:__;__,;_____±,_
'
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.tir
nir
_
(vi
3.14 Modelo de un choque totalmente ine
lástico. Los protectores de resorte de los
deslizadores se sustitujren por masilla, de
modo que los deslizadores quedan pegados
después del choque.
c .rr Pi T u L o Ei l Cantidad de movimiento, impulso jr choques
Si además las fuerzas entre los cuerpos son conseruotirros, de modo que no se
pierde ni gana energia mecánica en el choque, la energia cinética total del sistema
es la misma antes jr después. Esto se denomina choque elástico. Un choque entre
dos canicas o dos bolas de billar es casi totalmente elástico. La figura 8.13 mues
tra un modelo de choque elástico. Al chocar los cuerpos, los resortes se compri
men momentáneamente jr parte de la energía cinética original se convierte en
energia potencial elástica. Luego los cuerpos rebotan, los resortes se expanden jr
la energia. potencial se convierte otra vez en cinética.
Un choque en el que la energia cinética total final es rnenor que la inicial es un
choque inelástico. Una albóndiga que cae en un plato de espagueti jr una bala que
se incrusta en un bloque de madera son ejemplos de choques `ruelásticos_ Un cho
que inelástico en el que los cuerpos se pegan jr se mueven como uno solo después
del choque es un choque totalmente inelástico. En la figura 8_l 4 se muestra un
ejemplo; reemplazamos el resorte de la figura 8.13 por una bola de masilla que se
aplasta jr pega los dos cuerpos.
Es una idea errónea común que los únicos choques inelásticos son
aquellos en que los cuerpos quedan pegados. En realidad, los choques inelásti
cos incluyen muchas situaciones en que los cuerpos no se pegan. Si dos autos
chocan violentamente jr rebotan, el trabajo efectuado para deformar las defen
sas no puede recuperarse como energia cinética de los autos, de modo que ei
choque es inelástico (Fig. 8.15).
Recuerde esta regla: en todo choque en el que se puede hacer caso omiso de
las fuerzas externas, la cantidad de movimiento se conserva jr la cantidad de mo
vimiento total es la misma antes jr después. La energia cinética total sriio es
igual antes y después si el choque es elástico.
Choques totalmente inelásticos
Veamos que sucede con la cantidad de movimiento jr la energia cinética en un cho
que totoimente inelástico de dos cuerpos A jr B (Fig. 8.14). Dado que los cuerpos
quedan pegados después del choque, sus velocidades finales deben ser idénticas:
IL _) 4
í __Usa _ Use _ U2
La conservación de la cantidad de movimiento da la relación
rn,,i_,, + mflïim = (rn_,, + iz v.,¬,)ìr°`j (choque totalmente inelástico) (8.16)
Si conocemos las masas jr las velocidades iniciales, podremos calcular la veloci
dad final común dj.
Suponga, por ejemplo, que un cuerpo con masa rn.,, jr componente :r inicial de
velocidad ri, choca inelásticamente con un cuerpo de masa tng en reposo (ug, = 0).
Por la ecuación (8. 16), la componente x de velocidad después del choque (oj), co
mún a ambos cuerpos, es _
ng,
tr; = _ tr, (choque totalmente inelástico, B en reposo) (8.17)
ntjj + nrfl
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
!!!
pablo
Resaltar
3.3 I Choques inelãisticos 29?
Verifiquemos que la energia cinética total después de este choque totalmente
inelástico es menor que antes. Las energias cinéticas K, y Kg antes y después del
choque, respectivamente, son
1 1
K] Z šfiil _,g_U1_
K: 1 šíflïfi `l_ Í'ÍÍ.B)U2b = l fnB)(n1A I N73) U|
El cociente de las energias cinéticas final e inicial es
Ka mit . _' 1 [choque totalmente inelástico, B en reposo) (_ 8.1 8)
K, m__, + t iq;
El lado derecho siempre es menor que la unidad porque el denominador siempre
es mayor que el numeradot. Aun si la velocidad inicial de ntfi no es cero, no es di
ficil verificar que la energia cinética después de un choque totalmente inelástico
siempre es menor que antes.
Atea.ct'da. No se recomienda memorizar estas ecuaciones. Solo se de dujeron
tnelasttco
3.15 Los choques de automoviles son ine
lasticos por diseño, para que la estructura
del auto ahsorha Ia mayor cantidad posible
de la energia del choque. Esta energia ah
sorbida no puede recuperarse, pues se in
vierte en det`orrnar de maneta permanente
el automóvil.
para demostrar que siempre se pierde energía cinética en un choque totalmente
Suponga que, en el choque descrito en el ejemplo 8.5 (sección 8.2),
los deslizadores no rebotan, sino que se pegan después del choque. Las
masas v velocidades iniciales se muestran en la figura 8.1 la. Calcu
le la velocidad final común 112,, y compare las energías cinéticas ini
cial y final del sistema.
IDENTIFICAR y' PLANTEAR: Al igual que en el ejemplo, 8.5, toma
mos el eje .r positivo hacia la derecha en la figura 8.1 la. No hay
fuerzas externas en la direccion .r, asi que la componente .t de la
cantidad de movimiento se conserva. Las incógnitas son la veloci
dad final oí, v las energias cinéticas inicial v final del sistema.
EJECUTAR: Por la conservacion de la componente ,r de la cantidad
de movimiento,
:n.,,u,,1,. 'r ntBn¿,.¡,, = (nt, + 1 tt.5')U1,
ttt,,U_,m. + rttBU¿, 1,,
tn?, + :FIB
(0.50 kg) (2.0 mis) + (0.30 kg) ( 2.0 mis)
(0.50 kg + 0.31] kg)
Un _
= (1.50 mfs
Dado que nl, es positiva, los deslizadores se mueven juntos a la de
recha (direccion +:›.:) después del choque.
Antes del choque, las energias cinéticas de los deslizadores A y
B son
Choque totalmente inelástico
±:::í ¬±4 ' wm Í __... _ _ _ I ' ' 1¦'¬I ' ““ ` ¿L ' ¿'2" ' ' I _ 1 _ L r¬_n` _ ._ .4. __' __. H. 11' " 'L L 'f¿'¿ ' ' ' ' ' ' ' """'IJ"'iJ "' 'I ' 'lil " 1
1 1 1 ,IK, = ;m_,t›_,,_,. = ;(0.5o1<g) (2.0 may = 1.01
. 1 ¬ 1 fiK5 = ;:›tHt=,;,_; = ;(D.30 kg)( 2.0 mƒs)* = 0.4501
('Obset¬.'e que la energia cinética del deslizador B es positiva, aun
que las componentes _: de su velocidad ti 51,, 31 su cantidad de movi
miento mir; _, son ne _.;;ati¬.as._] La energía cinética tota! antes del
choque es de 1.6 J. La energia cinética después del choque es
1 _ ± .,(m_,, ¬:~ nf, , tr¿; = = 0.50 ke + 0.39 kv)(O.5t] mf==.)~ = ü.1üJ
EVALUAR: La eo.e 1¬'_.:¿:ia cinética final es solo É de la cantidad origi
nal; se con¬ ifltm de energia mecanica a otras diversas fottttas. Si
hay una bola de goma de mascar entre los desliaadores, se aplasta jv
se calienta. Si los ¿esiizadores se acoplan como dos vagones de fe
rrocarril. la energia se coniierte en vibraciones elásticas que final
mente se disipan_ Si Ínaj un resorte entre los deslizadores que se
comprime cuando el_F o. s se enganchan la energia se almacena como
energia potencial del resorte En todos estos casos. ia energia total'
del sistema se consetwa. aunque la mergia cínéaea no lo hace. Sin
embargo, en un sistema aislado. la cantidad de movimiento sietflpre
se conserva, sea elástico o no el cho que.
L___¿,L____,___,,_¿u..__. .__._1.,__T:_.¬...,.?.__%_i,_,_,íí._!.;T_ __=_._._¡ ,__ _ ___ _ .¡__ r. _. .L._._.¡¬. . .._. .__ _ _ .,_ _¿¡_ _ _ _ _ _ mimi ¿_, ¬_,_¬_,__ __._. ¬_,.
298 '
1
r II ¡
I.c a P t r U Lo S I Cantidad de movmuento, impulso y choques
 
El péndulo balistico
La figura 3.16 muestra un péndulo balistico para medir la rapidez
de una bala. La bala, con masa nt., se dispara contra un bloque de
madera de masa M que cuelga como péndulo, y tiene un choque to
talmente inelastico con él. Después del impacto, el bloque oscila
hasta una altura maxima y. Dados los valores de ,tf , nt y M, ¿qué ra
pidez in_icial o,, tiene la bala?
IDENTIFICAR: analizaremos el suceso en dos etapas: (1) la incrus
tacion de la bala en el bloque y (2) la oscilación subsecuente del
bloque. Veamos primero qué cantidades fisicas se conservan en ca
da etapa.
Durante la primera etapa, la bala se incrusta en el bloque con tal
rapidez que éste no tiene tiempo de moverse casi respecto a su po
sicion inicial, Durante este impacto de corta duracion, los hilos de
soporte permanecen casi verticales, jv la fuerza externa horizontal
queactúa sobre el sistema de bala + bloque es insignificante. Asi,
en la primera etapa, fo componente horizontal de Ia cotttidod de
movimiento se conserva. Cabe señalar que la energía mecanica no
se conserva en esta etapa porque sobre el sistema actúa una fuerza
no conservativa (la de friccion entre la bala y el bloque).
En la segunda etapa, después del choque, el bloque y la bala. se
mueven juntos. Las únicas fuerzas que actúan sobre esta unidad son
la gravedad (una fuerza conservativa) y las tensiones de los hilos
(que no efectúan trabajo). Por tanto, al oscilar el péndulo hacia arri
ba v a la derecha, la energia mecánico se conserva. La cantidad de
movimiento no se conserva aqui porque hay una fuerza externa ne
ta (la suma de la gravedad y las tensiones en los hilos, que no se
cancelan cuando los hilos estan inclinados.
PLANTEAR: 'Tomamos el eje x positivo hacia la derecha y el eje y
positivo hacia arriba como en la figura 8.16. Nuestra incognita es o,,.
\`\
K \
t tšiiíl
r "¬'›¬
,, _
¦' ' If' ' I.: ¦j'ir:.,.
: .i'. 1;' *if.~.: 1¬r.=:=' :.'= . == “±',¬;~_; ';', .,_
/7yïtelHI
3.16 Un péndulo halistico.
Otra incognita es la componente .r de velocidad del bloque v la ba
la jtmtos inmediatamente después del choque (es decir, al final de la
primera etapa), la llatnaremos V_,. Usaremos la conservacion de la can
tidad de movimiento en la primera etapa para relacionar o,, con VI,
y la conservacion de la energia en la segunda etapa para relacionar
I/Í, con la altura máxima y (que nos dan).
EJECUTAR: En la primera etapa., la conservacion de la cantidad de
movimiento da
l Mmv., = tm + Mm te =m7 c
Al principio de la segunda etapa, la energia cinética del sistema ba
la bloque es K = + M)u_f. (Igual que en la ecuacion (8.13),
ésta es menor que antes del choque porque el choque es inelasti co.) La
unidad bloque bala oscila hacia arriba y se detiene momentánea
mente a una altura ji, donde su energia cinética es cero 3' su energía
potencial es (nt + M)gy, y luego baja. La conservacion de energia da
1
gía + MW? = (et + Mlav Pl = `v'2e›¬
Sustituimos esto en la ecuacion de cantidad de movimiento jr obte
nemos una expresion para la variable meta, o,,:
. + M
vr = LV2erFH, ¬.
Midiendo rn, M y y podemos calcular la rapidez original de la bala.
I |.
EVALUAR: Verifiquemos nuestras respuestas insertando algunas ci
fras realistas. Si rn = 5.00 g = 0.0050 D kg, M= 2.00 kg yy = 3.llIÍl cm
= 0.0300 m, la velocidad inicial de la bala es
2.00 1< + correo lee_, _ Ugmsüükë gw/2{9.sc mfe2)(o.oscom)
= 307 mis
La velocidad V, del bloque justo después del impacto es
V, = \/zgv = \/í(ii Í: ise ene) (creen ei)
= met me
Justo antes del impacto, la energia cinética de la bala es
i(c.o0soo kg) >< (307 eve .)2 = 23s J, v te set eteeee v te este jeeee
aeepeee del aepeete ee e (2.005 1eg)(o.tet mie? = esse J. eee te
da la energia cinética desaparece al astillarse la madera jr calentar
se la bala y el bloque.
'¬r
S3 I Cheques inelásticos 299
Un auto compacto de 1000 Kg viaja al norte a 15 mis, y en un cru
ce choca con una enorme vagoneta de 2000 kg que viaja al este a 10
mis (Fig. S. 17a). Por suerte, todos los ocupantes usan cinturones de
seguridad jv no hay lesionados, pero los dos autos quedan engan
chados jr se alejan del punto de impacto como una sola masa. a)
Tratando cada auto como partícula, calcule la cantidad de movi
miento total justo antes del choque. b) El ajustador del seguro nece
sita calcular la velocidad de los restos después del impacto. ¿C omo
puede hacerlo?
IDENTIFICAR: Nos dan las masas y velocidades iniciales de los ve
hiculos, asi que es sencillo calcular la cantidad de movimiento total
antes del choque, Para averiguar qué sucede después del choque,
supondremos que podemos tratar los autos como sistema aislado
durante el choque. Podemos hacerlo porque las fuerzas horizonta
les que los vehiculos ejercen uno sobre el otro durante el choque
tienen magnitudes muy grandes, lo suficiente para plegar las carro
cerias. En comparacion con esas fuerzas, las externas, como la fric
cion, son insignificantes. (Justificaremos este supuesto después.)
Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema de dos vehiculos
tiene el mismo valor inmediatamente antes e inmediatamente des
pués del choque.
PLANTEAR: En la figura 8.17, hemos dibujado los ejes de coorde
nadas jr rotulado A al auto compacto y B a la vagoneta. La primera
incognìta es la cantidad de movimiento total antes del choque, Í',
que obtendremos con las ecuaciones (8.15). La cantidad de movi
miento tiene el mismo valor inmediatamente después del choque;
por tanto, una vez que tengamos Í', podremos calcular la velocidad
ff' justo después del choque (la segunda inclognita) empleando la re
lacion Í' = MÍ', donde M es la masa combinada de los vehiculos.
ji (norte)
UB = IUÍS
í
_._ 0 I (estfiì
j' il UA = ÍIÍlJlS
ÃÍAE
_ tir, = IÚUÚ kg _
_ :_ .,_
f lLÍÍÍ=Íl e// ±_
(Hi (ll)
Análisis de un choque de autos
t t f l _____ __
 
EJ ECUTAR:
a) Por las ecuaqiones (8.15), las componentes de la cantidad de mo
vimiento total P son
Pe : P. te 'l' Par = mauav `l` 'llsfiee
= (lODDltg)(0) + (2lÃlEI(lkg)[lUmi's)
= 2.0 X 104 kg mis
P_,. = _t:›,.,_,. + pp, = m.,.,uA,. + nt¿, ug,
= (10OUkg](l5 mis) + [EUUU ltg)(ll)
= 1.5 ><1U4kg mis
La magnitud de Í' es
P = \/(2.0 >< tcitg eve? + (1.5 er tot leg tetej' 1
= 2.5 ><1l)°lkg mis
y su direccion esta dada por el ángulo 6 indicado en la figura S. l7b,
donde
R, 1.5 :›< 1_o**1<g mieans; _ , uts e=st°
R, 2,0 >< 113 kg mis
b) La cantidad de movimiento total justo después del choque es la
misma que inmediatamente antes (2.5 >< 104 kg mis, 3?” al norte
del este). Si no se desprenden piezas, la masa total dé los restps es
M m, + ie, = seno kg. oeiaeeae P' = Mïf, te se eeetee ae vjee
to después del choque es la que tiene la cantidad de movimiento, ji
su magnitud es
V P ,2.s><10**1<g mfe_S3mƒ
M sccckg " S
EVALUAR: El choque es inelástico, por lo que cabe esperar que la
energía cinética total después del choque sea menor que antes. Rea
lice el cálculo; encontrará que la energia cinética inicial es 2.1 la
105 J, y la final, 1.0 >< 105 J. Más de la mitad de la energia cinética
se convirtio en otras formas.
I
...____._._l 8.1? (a) Vista desde un helicoptero de É
_I fico al inicio del choque. lb] Cálculo É
cantidad de movimiento total justo a:1e.s
del choque.
PI
F"
lt
I
300 c it P iT U L o 3 l Cantidad de movimiento, impulso jr choques
Todavia necesitamos justificar nuestro supuesto de que pode
mos despreciar las fuerzas eitternas que actuan sobre los vehiculos
durante el choque. Para ello, veamos números. La masa de la vago
neta es de 2000 kg, su peso es de unos 20,000 N jr, si el coeficiente
fuerzas de friccion ei :temas jr solo ocuparnos de las internas que los
vehiculos ejercen uno sobre el otro,
Quiza el lector hajra pensado en calcular la veloci
dad final sumando vectorialmente las veiocidacles iniciales, perode friccion cinética es del orden de 0.5, la fuerza de friccion al des
lizarse sobre el pavimento es de unos 10,000 l\l. La energia cinética
de la vagoneta justo antes del impacto es É ( 2000 kg] ><I ( 10 mis )2
= l.0 ><í 105 .l. Digamos que el vehiculo se aplasta 0.2 m; para efec
tuar el trabajo de 1.0 3 f 'I l05 .l necesario para detener el auto en
una distancia de 0.2 tn se requiere una fuerza de 5.0 >< l05 N, 50 ve
ces majror que la de friccion. Por tanto, es razonable despreciar las
no existe una "ley de conservacion de la velocidad". La cantidad
conservada es la cantidad de movimiento total del sistema; el aná
lisis anterior es la única forma correcta de resolver el problema.
3;';\f\).¬\_'I\,1,"¢¦¬.'›,'¬,' ¡'I\,\' ,' l.'\¡'›,'l12'r'\I ›,"|."'\I1¦\¦1."a.'\,'hP.\O2\'¡'llC1' ¦'~.`lüZ›'!ñ7Cfi.'\1' SC›T\.'UJ¦ ITC¶TEfl\'¶ÉWs'Tfi ïflTå.W ¶ï¶
_ "' '""" ' ' ' J ' _ "' ' . " " ' tu . :'.'r|' 1'Fl.._†L'.f;::l.'JJ.“ï':||'\_|I.'r|'l|'|_ ||_'¿1 .'ñ 1'. :'1l.'L1.'š¡1L"'J'J" ` . _..¦'I.'L'. .:'fͬ.“ fm _. L.. 1' ' 'ZCW' ' ' |"|' '_Pi¬ ¬ ¬ _ =
_¿,`“ :¡ :¿:1'¬¬,;1_2:,'¿:~r . 'rr ¬ ¬:;_:"
:..e' § , .lc._ ._ J . ¬._ _ _ _ .I .
i' i .'Í.' t' `.'n"|'¬'¬'. al n 2". '|.':1" "|1'I'.'H 'uh \'|"\ ¬ ':'\ 'fu P '\ ' ¿'\:':" ' '
Calcule las energias cinéticas de los robots del ejemplo 8.6 (seccion 8.2) antes jr
después del choque. ¿Fue inelástico el choque? ¿Fue totalmente inelástico?
8.4 | Choques elásticos"I Actlv , _ tPlatja
6.2 Choques jr elasticidad
Como vimos en la seccion 8.3, un choque eirisiico en un sistema aislado es uno en
el que se conserva la energia cinética (además de la cantidad de movimiento). Es
tos choques se dan cuando las fuerzas entre los cuerpos que chocan son conservo
iioos. Si chocan dos bolas de acero, se aplastan un poco cerca del punto de
contacto, pero luego rebotan, Parte de la energia cinética se almacena temporal
mente como energia potencial elástica, pero al fina.l se vuelve a convertir en ener
gia cinética (Fig. 8.18).
Et taminemos un choque elástico entre dos cuerpos A jr B. Comencemos con
un choque en una dimension, con todas las velocidades enla misma linea (que lla
mamos eje Jr). Asi, las cantidades de movimiento jr velocidades solo tienen com
ponentes .r. Llamamos u_,.,,_,;'jr uB¡,, a las componentes Jr de velocidad antes del
choque, jr después del choque, tr_,,2_,, y u31,. Por la conservacion de la energia ciné
tica tenemos '
1 e 1 e _ 1 e 1 e
2*" avala + 2"? avoir _ 2ll'1.fil r`rrr.›. `l' šmsïflsse
6.5 Choques de autos: dos
dimensiones
6.9 Péndulo que golpea una caja
y la conservacion de la cantidad de movimiento da
f'†1aUa1_r + F” avere Z mavaai + msfisae
Si conocemos las masas rn_,, jr ing jr las velocidades iniciales u_,,1_,. jr tr51,, podremos
resolver las ecuaciones simultaneamente para obtener las velocidades finales o,,j,,
Y Usar
La solucion general es algo complicada, asi que nos concentraremos en el ca
so especial en que el cuerpo B esta en reposo antes del choque (es el blanco que A
debe golpear), Esto nos permite simplificar la notacion; sea u,, la componente .ir de
la velocidad inicial de A, jr sean oq, jr t.rB_,. las componentes :r finales pam A jr B,
Las ecuaciones de conservacion de energia cinética jr cantidad de movimiento se
convierten entonces respectivamente en
8.18 Las bolas de billar casi no se
deforman al chocar, jr pronto recuperan su
forma original, Por ello, la fuerza de inte
raccion entre las bolas es casi perfectamen
te conservativa, jr el choque es elástico.
3.4 l Choques elásticos
le i,,e2 = 1. . t,,e,, 2 + é. e,,e,1 (sis)2 I 2 I 2 .T
meu.: : me iUa_e `l` Waves (3 20)
Podemos despejar u,,,, jr og, en términos de las masas jr la velocidad inicial o,,. El
algebra no es de primaria, pero merece la pena, No pain, no gain. El enfoque más
sencillo es un tanto indirecto, pero de pasada revela otra caracteristica interesante
de los choques elásticos.
Reacomodemos primero la.s ecuaciones (8. 19) y (8.20) asi:
rngogf = rn,,_(o,,2 Ugg) = rn,,(tr,, tr,,,,)(n_, + tr,._,,) (8.21)
F" al 'ae : m, ilvr _ U, te) ( 3 22)
Ahora dividimos la ecuacion (8.21) entre la (8.22) para obtener
ug, = or, + tr_,,_, (8.23)
Sustituimos esto en la ecuacion (8.22) para eliminar tr,.,.,,, jr luego despej amos n,,_,:
mB(U.r + U. Lt) : rn. t(U.r _ U. lx)
.'11 ' HIe,,, = * lie, (sea)
ÍHA l ÍHB
Por último, sustituimos este resultado en la ecuacion (8.23) para obtener
2rn,,
Uj, _, U_, (3.25)
Ahora podemos interpretar los resultados. Suponga que A es una pelota de
ping pong jr B es una bola de boliche. Esperaremos que A rebote después del cho
que con una velocidad casi igual a la original pero en la direccion opuesta (Fig.
8. 19a), jr que la velocidad de B sea mucho menor. Eso es precisamente lo que las
ecuaciones predicen. Si ni,, es mucho menor que tng, la fraccion de la ecuacion
(3.24) es aproximadamente igual a 1, y u,,,, es casi igual a n,.. La fraccion de la
ecuacion (8.25) es mucho menor que l, asi que og, es mucho menor que u,,. La figu
ra 8.191: muestra el caso opuesto, en el que A es la bola de boliche jr B la de ping
pong, jr ni, es mucho majror que ing. ¿Qué esperaría el lector que suceda?
Verifique sus predicciones con las ecuaciones (8.24) jr (3.25).
5 if" ' fir _w ®.__,., __ , mm g ,A __ B
B A
onstruas ¡it ” 5 É ir DESPUÉS _ g_...¡...5” _
A _.._I_ .. _ I. " B
B ' A
01) lb) _
3.19 Cheques entre ima pelota de ping pong jr una bola de boliche. (a) Bola de boliche
inicialmente estacionaria. (bl Pelota de ping pong inicialmente estacionaria.
C A PÍT U 1'.. o 3 I Cantidad de movimiento, impulso jr choques
Á* . ' t 1A__.¬B ¿
ffff
UJJLI : U
8.20 En un choque elástico unidimensional entre cuerpos de igual masa, si un cuerpo
está en reposo, recibe t.oda la cantidad de movimiento jr la energia cinética del cuerpo que
se está moviendo.
Otro caso interesante se presenta cuando las masas son iguales (Fig. 8,20), Si
nt, = mg, las ecuaciones (8.24) jr (8.25) dan ug, = 0 jr ug, = t,r,,. Es decir, el cuerpo
que se movía se para en seco, comunicando toda su cantidad de movimiento jr
energia cinética al cuerpo que estaba parado. Este comportamiento es conocido
para quienes juegan billar o canicas.
Volvemos ahora al caso general en que A jr B tienen diferente masa. La ecua
cion (8.23) puede reescribirse asi:
U1. = URI _ Ujauf I
Aqui, UB, og, es la velocidad de B relativa a A después del choque; según la
ecuacion (8.26), esto es igual a tr_,, el negativo de la velocidad de B relativa a A on
tes del choque. (Tratamos las velocidades relat.ivas en la seccion 3.5.) La veloci
dad relativa tiene la misma magnitud, pero signo opuesto, antes jr después del
choque. El signo cambia porque los cuerpos se están acercando antes del choque
jr alejándose después. Si vemos el choque desde otro sistema de coordenadas que
se mueve con velocidad constante relativa al primero, las velocidades de los cuer
pos son diferentes pero las velocidades r'elotiuos son las mismas. Lo dicho acerca
de las velocidades relativas se cumple en general para cualquier choque elástico
rectilineo, atm si ningún cuerpo está en reposo inicialmente. En un choque recti
iineo eltisfico de ¿iris cuerpos, los velocidades reitttiuos tintes jr después dei cito
que tienen lo rnisnto ntogniitrd pero signo opuesto. Esto puede expresarse con
nuestra notacion original asi:
Usar _ Unai L _lUe1e _ Unir) (3 27)
Resulta que una relacion nectoriol similar a la ecuacion (8.27) es una propie
dad general de todos los choques elásticos, aun si ambos cuerpos se mueven ini
cialmente jr las velocidades no están alineadas. Este resultado proporciona una
definicion alterna jr equivalente de choque elástico: En un choque eidstico, io oe
iocidoo' relativo de ¡os dos cuerpos tiene lo rnisnttt ntognitu. :Ji antes jr después riel'
choque, Si se satisface esta condicion, se conserva la energia cinética total.
Si un choque elástico de dos cuerpos no es de frente, las velocidades no están
alineadas. Si todas están en el mismo plano, cada velocidad final tiene dos com
ponentes desconocidas jr hajr cuatro incognitas en total. La conservacion de la
energia jr la conservacion de las componentes :rr jr jr de la cantidad de movimiento
solo dan tres ecuaciones. Para determinar las velocidades finales sin ambigüedad,
necesitamos informacion adicional, como la direccion o magnitud de una de esas
velocidades.
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
IMPORTANTE!
8.4 l Choques elásticos 303
Choque rectilineo elástico
La situacion de la figura 8.21 es la misma del ejemplo 8.5 (seccion
8.2), pero agregando defensas de resorte ideal a los deslizadores
para que el choque sea elástico. Calcule las velocidades de A jr B
después del choque.
IDENTIFICAR ji FLANTEAR: Al igual que en el ejemplo 8.5, la
filetza externa neta que actúa sobre el sistema de dos deslizadores
es cero jr la cantidad de movimiento del sistema se conserva. Una
vez más, escogemos el eje +:r de modo que apunte a la derecha. Ob
tendremos las incognitas, u_., j, jr ujg, empleando la ecuacion (8.27)
jr la conservacion de la cantidad de movimiento.
EJECUTAR: Por la conservacion de la cantidad de rnovimiento,
maüai 'l' msvst : mn¿r'. i 2 `l` "inf lui:
(0.50 1 :g)[2.0 mis) + (0.30kg) ( 2.0 mis)
= (U 5Ú kglïlaae + ([130 kâlvaze
0.50u,,¿,. + 0.3l]tr¿ , 2,, = 0.40 mis
(Dividimos la última ecuacion entre la unidad “kg”.) Por la ecua
cion (8.27), la relacion de velocidades relativas para un choque
elástico,
Usar _ Usar : _l' 'sie _ Uni. el
= ( 2.0 mis 2.0 mis) = 4.0 mis
Antes del choque, la velocidad de B relativa a A es ala izquierda a
4.0 mis: después del choque, la velocidad de B relativa a A es a la
derecha a 4.0 mr's. Resolviendo las ecuaciones simultáneamente,
tenemos
Ujìh : JTUFS Ujjlt '= ITJJÍS
En tm reactor nuclear se producen neutrones de alta rapidez duran
te procesos de fision nuclear. Para que un neutron pueda provocar
fisiones adicionales, debe ser frenado por choques con núcleos en el
ntoderutior del reactor. El 'primer reactor nuclear (construido en
1942 en la University of Chicago) jr el reactor implicado en el acci
dente de Chernobjrl en 1936 usaban carbono (grafito) como mate
rial moderador. Un neutron (masa = l .0 u) que viaja a 2.6 lr C 107 mr's
suite un choque elástico de frente con un núcleo de carbono (masa
= 12 u) que inicialmente está en reposo. Las fuerzas externas duran
te el choque son despreciables. Calcule las velocidades después del
choque. (1 u es la unidad de ntttstt tttornico, igual a 1.66 >f Z l0_fl kg.)
, 
Uåjx = mƒs T. ¡BLI : “E tu H UIS
fln që
flll A = ¡Ti B :
(H)
Unai “nte
É í
+
tb)
8.21 Deslizadores sobre un riel de aire (a) antes jr (b) después de
un choque elástico.
EVALUAR: Ambos cuerpos invierten sus direcciones; A se mueve a
la izquierda a 1.0 mis jr B lo hace a la derecha a 3.0 mis. Esto difie
re del resultado del ejemplo 8.5 porque ese choque no era elástico.
La energia cinética total después del choque elástico es
%(o.so se) ( 1.0 e ire)2 + åfiuso kg) (sn me .ji = te t
Como esperábamos, esto es igual a la energía cinética total antes
del choque (calculada en el ejemplo 8.7, seccion 8.3).
_Tal vez el lector penso en resolver este problema
empleando las ecuaciones (8.24) jr (8.25). Estas ecuaciones solo son
válidas en situaciones en las que el cuerpo B inicialmente esta en
reposo, lo cual no sucede aquí. Si tiene dudas, siempre resuelva el
problema en cuestion empleando ecuaciones que sean validas en
una amplia variedad de casos.
._..m___m. 
Moderador en un reactor nuclear
IDENTIFICAR jr PLANTEAR: Nos dicen que las fuerzas externas
pueden despreciarse (asi que la cantidad de movimiento se conser
va en el choque) jr que el choque es elástico. Tomamos el eje .r en la
direccion en que el neutron se mueve inicialmente. Puesto que el
choque es de frente, tanto el neutron como el núcleo de carbono se
moverán en este mismo eje después del choque. Además, dado que
un cuerpo está inicialmente en reposo, podemos usar las ecuacio
nes (8.24) jr (3.25) con
rn,,,=1.0u ntH=l2u jr u,,=2.o3>'~'ïl07mr's
para obtener las incognitas u,,,, jr up, [las velocidades finales del
neutron jr el núcleo de carbono, respectivamente).
304
I 'F I_ _ _
e,,, = 2.2 :rr ioimre ej, = 0.4 ir: ioietre
EVALUAR : El neutron termina con de su rapidez inicial, jr la ra
pidez del núcleo de carbono en retroceso es de la rapidez inicial
del neutron. [Estos cocientes son los factores (nt,, ntB)r'(ni,,, + tng)
jr 2nt,,i(rn,, + nij) que aparecen en las ecuaciones (8.24) jr (8_25)_] La
La figura 8.22 muestra al planeta Saturno moviéndose en la direccion
.r con su rapidez orbital (respecto al Sol) de 9.6 kmis. La masa de
Satumo es de 5.69 X 1025 kg. Una nave de 2150 kg se acerca a Sa
turno, moviéndose inicialmente en la direccion +1: a 10.4 kmr's_ La
atraccion gravitacional de Saturno (una fuerza conservativa) hace
que la nave le dé vuelta jr se dirija en la direccion opuesta. Calcule la
rapidez final de la nave una vez que se ha alejado lo suficiente para
estar casi libre de la atraccion gravitacional de Saturno.
 0
IDENTIFICAR: Aqui el “choque” no es un impacto sino una interac
cion gravitacional_ No obstante, podemos tratarla como un choque
elástico unidimensional porque la fuerza de interaccion es conser
vativa jr la nave sale en la direccion opuesta a la que tenia al llegar.
PLANTEAR: Llamemos A a la nave jr B a Saturno. Podemos supo
ner que la rapidez de Saturno es prácticamente constante durante la
interaccion porque su masa es mucho majror que la de la nave. Si to
mamos coino direccion +.r la de la velocidad inicial de la nave, te
nemos u,fl,, = 10.4 kniis jr i.r,i__ ,j,,. = opi, = 9.6 l<mr's_ Para obtener la
5.2.2 El efecto de honda gravitacional: mode
ir o sinrpliñcado de una nave en un “choque” .Í
sin con Saturno. 2
I i + _
Idad de movimiento nripulso jr choques
energia cinética es proporcional a la rapidez al cuadrado, asi que
la energia cinética final del neutron es 1, o sea, cerca de 012 de
su valor original. Si el neutron sufre un segundo choque como éste, su
energia cinética final será (0_?2)f, o sea, cerca de la mitad de su va
lor original jr asi sucesivamente Despues de varios choques, el
neutron se estará moviendo mujr lentamente jr podra provocar ima
reaccion de fision en un nucleo de uranio
c. it irut.o 8 l Cana
EJECUTAR Realice los calculos, los resultados son
__
El efecto de honda gravitacional '
incógnita, la magnitud de ojm, usaremos el resultado de la ecuacion
(3.27): que la velocidad relativa de la nave jr Saturno tiene la mis
ma magnitud antes jr después de la interacción.
EJECUTAR: Teniendo mucho cuidado con los signos, obtenemos
por la ecuacion (8.27) que
vale : Usar + Unir _ U. iii;
= ( 9.6 knïiis) + ( 9.6 krrifs) _ 10.4 kiínƒs
= 29.6 kmfs
La rapidez final de la nave (relativa al Sol) es 29.6 kmis, casi
tres veces majror que antes de su encuentro con Saturno. La nave no
solo ve a. Satiirno de cerca, sino que su energia cinética aumenta en
un factor de (29_6ilD_4)2 = 8.1 en el proceso.
EVALUAR: ¿Como puede la nave adquirir tanta rapidez jr energia
cinética adicionales? La razon es que Sat.urno se está rnouientio en
su orbita alrededor del Sol. Si Satiirno estiiviera inicialmente en re
poso, la nave invertiria su direccion pero su rapidez casi no cambia
ria; una pelota de béisbol hace algo parecido al rebotar de un bate
i
3.4 I Choques elásticos 305
estacionario (un “toque de pelota”); pero cuando choca con un ba
t.e que se mueve hacia ella, sale del hate con mucha mayor rapidez, tal
vez la suficiente para lograr un jonrón. En nuestro ejemplo, Satur
no hace las veces del hate en movimiento, y la nave gana rapidez
como tma pelota bateada.
Ésta es ima versión simplificada del efecto de hondo gravitacio
nnl con que se da un empuje eztra a las naves espaciales. (El movi
miento real de una nave nunca es puramente unidimensional como
hemos supuesto aqui, Estudiaremos las trayectorias de naves y pla
netas con detalle en el capitulo 12.) El Voyager 2, lanzado en 1977,
La figtna 8.23 muestra un choque elástico de dos discos de hockey
en una mesa sin fricción. El disco A tiene masa fit, = 0.500 kg, 31 el
B, ing = ü.3l}ü kg. El disco A tiene velocidad inicial de 4,00 mis en
la dirección +;r y velocidad final de 2.00 m. "s en dirección descono
cida. El disco B está en reposo. Calcule la rapidez final ug; del dis
co B 3.1 los ángulos of y B dela figura.
IDENTIFICAH y PLANTEAR: Las incógnitas se dan en el enuncia
do del problema. Aunque el choque es elástico, no es unidimensio
nal, asi que no podemos usar las fórmulas para una dimensión
derivadas en esta sección. En vez de ello, usaremos las ecuaciones de
conservación de la energia, conservación de la cantidad de movi
miento en z y conservación de la cantidad de movimiento en y. Es
tas tres ecuaciones hastarán para encontrar las tres incógnitas.
EJECUTAR: Dado que el choque el elástico, las energias cinéticas
inicial v final son iguales:
1 2 _ 1 2 1 2šrn,,1tJ,.,¡ 1rt,.,_t.f¿¿ l rrtgug ;¿
Choque elástico bidimensional
usó el efecto honda al pasar por Júpiter, Satumo v Urano. Gracias a
la energia cinética asi adquirida, la nave llegó a Nepuino en 1939;
sin ella, no habria llegado a ese planeta, sino hasta el Ztlüä. La na
ve Cossini, lanzada en 199?, usó una trayectoriaaún más compleja
en la que intervinieron vueltas de honda a Venus, la Tierra 1.* Júpiter
para adquirir mayor ímpetu y llegar a Saturno en el 2004.
En esta acrobacia celestial, ¿la nave obtiene algo por nada? ¿De
donde sale la energia extra?
¿1_.:._.¿...¬. í 1|fi¦| ¡g f_ ¿v:=jf m|= 'r::'WL”tflHfl. 1. ' ' ' " "."J' .ï: I “' “ " '_' .____.T' .' I " Í" ' _
Tenemos 2 ecuaciones simultáneas para ct v B. Lo más sencillo es
eliminar B así: Despej amos cos ,B de la primera ecuación y sen ,B de
la segunda; luego elevamos al cuadrado las ecuaciones v las suma
mos. Dado que sen? ,B + così ,B = l, esto elimina B v deja una ecua
ción de la que podemos despejar cos of 3; por tanto n. Luego
sustituimos este valor en cualquiera de las dos ecuaciones v despe
jamos B. Dejamos los detalles al lector; los resultados son
a = 369° ,e = 26.6 =
EVALUAR: Una forma rápida de comprobar las respuestas es ase
gurarse de que la cantidad de movimiento y, que era cero antes del
choque, siga siendo cero despues. Las cantidades de movimiento y
de los discos son
p_,,,, = (0.500 1<g)(;1.oc ma) (san esse) = +o.soo kg ma
pB¿_,. = (0.300 kg) (4,47 mis) (sen 26.6'°') = U.6UU 1 tg mts
La suma de estos valores es cero, como dehe ser.
2 2 ,,
2 _ 2
2 _ fl"I|,1¡U__,1|] .l'T1¿UJ, 12
Usa m
B
(asco kg) (4.00 me )_ “ (0.500 kg) (2.00 ma?
_ 0.300 kg
UH 1 : Ínƒfi
Por la conservación de la componente r de la cantidad de movi
miento total'
+ (0.300 kg) (4.47 mis) (cos B)
jv por la conservación de la componente y:
il = m_,,u,,2,. + fligubig,
il = (0.500 kg) (2.00 mz's)(sen nf)
[(1.300 kg) (/4.4? mis) (sen B)
fi a = rooms
'41 I org = 0.300 l tg J:
0 ›~.›_,,= asco ag 'im O
El _
tal
:P Uàï = WE
AWav. iii "“ ”'1.iU.4 zr T Wsvszr I 0
(osoo 1<g)[«4.oo ma) = (asco 1<g)(2.o0 ma) (esa af) Q _,¿ ii
8.23 (a) Antes y (h) despues de un choque elástico que no es
de Frente.
tb)
l.|'L'|'l _"H 'lL'll|::I¦T±|¦l " ' I"1'F""Í" i ' oulí' I='=' “'“' ' '†7_' di. .`_†L`ÍLÍ; i ' J" _1' T 2 “ÍLZW '
¡gi .r F
._..¬_:z'
gh....
i: `
ca, P ÍT U L o 3 I Cantidad de movimiento, impulso y choques
Los ejemplos de esta sección y las anteriores muestran que podemos clasificar
los choques según consideraciones de energia. Un choque en el que se conserva la
energia cinética es elástico. Uno en el que la energia cinética total disminuye es
ineidstico. Si los dos cuerpos tienen una velocidad final común, decimos que el
choque es totalmente ineidsfico. También hay casos en que la energia cinética fi
nal es mayor que la inicial. El retroceso de un rifle (ejemplo 8.4, sección 3.2) es
un ejemplo.
Por último, subrayamos de nuevo que hay ocasiones en las que podemos usar
la conservación de la cantidad de movimiento aun si fuerzas ezternas actúan so
bre el sistema, siempre que su resultante sea pequeña en comparación con las
fuerzas internas durante el choque.
Casi todos los reactores nucleares modernos usan agua como moderador. (Véase
el ejemplo 8.11). Después de que un neutrón choca con una molécula de agua
(masa 18 u), ¿qué fracción de su rapidez inicial conserva? ¿Qué fracción de su
energia cinética inicial? ¿Las moléculas de agua son mejores moderadores que los
átomos de carbono? (Una ventaja del agua es que también actúa como refrigeran
te del centro radiactivo del reactor.)
8.5 | Centro de masa
Podemos replantear el principio de conservación de la cantidad de movimiento en
una forma útil usando el concepto de centro de masa. Supongamos que tenemos
varias particulas con masas ml, mg, etc., y coordenadas (xl, yl), (x2, 322), etc. De
finimos el centro de masa del sistema como el punto con coordenadas (zm, ym)
dadas por
Effljxí
rn¡,t¡ + rngxg I m¿.›,x3 + ,
fx 2 í
cm rn, +m¿+m¿,+ 2
¿
rn,
mofi + fiera + ft tos + zmiyijim, + ~ _ (centro de masa) (3 23)
Í
i
rEl vector de posición rm, del centro de masa se puede expresar en términos de los
vectores de posición F1, F2, _ _ _ de las particulas asi:
4 |› 1 Ínjïlf_, rn¡r¡ + mgrg + m¿,r3 +
r,,,,, (centro de masa) (8.29)
1'” 1`l_Í?Í1"l'ffl3'l""** Em
i
En la terminología estadistica, el centro de masa es una posición medio pondera
do por lo maso de las particulas.
J"¬'
pablo
Resaltar
Importante!
J... ¿' .|J '! :_ É 'Él í 'T I I=É' tflrfl 'id 'J
La figura 3.24 muestra un modelo simple de la estructura de una
molécula de agua. La separación entre los átomos es of = 9.57 >f 1
lt`l`“ m. Cada átomo de hidrógeno tiene masa de 1.0 u, y el de oxi
geno, ló.(l u. Determine la posición del centro de masa..
IDENTIFICAR y PLANTEAR: El sistema de coordenadas se muestra
en la figura 3.24. Casi toda la masa de los átomos se concentra en
el núcleo, cuyo radio es apenas 10 5 veces el radio del átomo, asi
que podemos representar los átomos como puntos. Usaremos las
ecuaciones (8.28) para determinar las coordenadas .rm y ym.
EJECUTAR: La coordenada .r de cada átomo de hidrógeno es ai cos
(1i]5°r'2): las coordenadas y de los átomos de hidrógeno superior e
inferior son +d sen [105 °f2) y ol sen (105°r'2), respectivamente.
Las coordenadas del oxigeno son .r = 0, y = O. Por las ecuaciones
(3.28), la coordenada :r del centro de masa es _
(1.0 u}(a'cos 525°) + (I.Ou)J
>< [ricos 525°) + (16.0 u)(0)
¿cm _' _ l.l]u +1.0u +16.0u
= llüóäd
jr la coordenada ,v es
(1.0 u)(daa1 52.5 =>) + (1.011) J
>< ( dsen 515°) + (161) u)(0)
ycm : _'
35 I Centro de masa 3Ú?
'I¬†_I,¬ ¬I.'_'._ íìIuI.¬.'lH.l ¦ .í "í 
Centro de masa de una molécula de agua
Ji
r
. _; 'ÍHidrogeno ff
4",f
Oxígeno . `=2=É'~;§Í';;.
`
_~;.1:ÍÉ ' *f2;f'_. ' _,
ú 1 l...._ '“ ._'.'Ã' Í "I'' . d c. __ cn] _
'N.;¿¦ ¿_¬.*o," L, ìg " :~ r_.¦_.;,.' ._ _ ¿
l
"su, ' ~' '~: : : ¬ .¬ .'ll. '¿~'¢ '
Hidrógeno ,j
8.24 ¿Dónde está el centro de masa de una molécula de agua?
. 'T '. 'Ii ¦\r .I ir.,I.
El valor de a' para la molécula de agua es 9.5? >< 1[l`*" m, asique
x,,, = (o.oss)(`9.57 >< 1o'“m) = ss >< 10 'tm
EVALUAR: El centro de masa está mucho más cerca del átomo de
oxigeno que de cualquiera de los átomos de hidrógeno porque su
masa es mucho mayor. Observe que el centro de masa está en el eje
sc, el eje de sr`merri'o de la molécula. Si la molécula se gira 180? so
bre este eje, se verá exactamente igual que antes. La rotación no
puede afectar la posición del centro de masa, asi que debe estar en
LOU 'l' 'l' el eje de simetñì
=o
_P _. _ ._._a ¬i nu. mus.. _ ._. .¢.. . . _ | v¬ ._. ¬ .z .v |.
En el caso de cuerpos sólidos, que tienen (almenos en el nivel macroscópico)
una distribución continua de materia, las sumas de las ecuaciones (8.28) deben
sustituirse por integrales. Los cálculos suelen ser complejos, pero podemos decir
algo en general acerca de tales problemas. Primero, si un cuerpo homogéneo tie
ne un centro geométrico, como una bola de billar, un terrón de azúcar o una lata
de jugo congelado, el centro de masa está en el centro geométrico. Segundo, si un
cuerpo tiene un eje de simetría, como una rueda o una polea, el centro de masa es
tá sobre ese eje, Tercero, ningtma ley dice que el centro de masa debe estar dentro
del cuerpo. Por ejemplo, el centro de masa de una dona está en el agujero. Segu
ramente al lector se le ocurrirán otros ejemplos.
Hablaremos un poco más acerca de la localización del centro de masa en el ca
pitulo l l, cuando veamos ei concepto relacionado de centro de gravedad.
Movimiento del centro de masa
Para entender la importancia del centro de masa de tm conjunto de particulas, de
bemos preguntar qué le sucede cuando las particulas se mueven. Las componentes
x jr y de velocidad del centro de masa, t1,,,,,_,. y o,,,,,__,,, son las derivadas de zm, y ym
r . :._ . _ __ _ ___ _ _ __ __ _ _ _:._ _' ;TI:_¡'r|: . '_,.l.:| =.|;¢.t. _ .\.II«I \:.|.r.:t".l1.|'.'.'LIr.I.I1..'.I..'¿|1'.';'.I
4.
li
308
3.25 El centro de masa de esta llave se
marca con un punto blanco. La fuerza cx
terna neta que actúa sobre la llave es casi
eero_ Al girar la llave en una superficie ho
rizontal lisa, el centro de masa se mueve en
línea recta con velocidad constante.
C A P íT U L o S I Cantidad de movimiento, impulso y choques
respecto al tiempo. Asimismo, datlfdtes la componente x de velocidad de la par
tícula 1 ('_o1_,.Í), ete. Al derivar las ecuaciones (8.23) respecto al tiempo, obtenemos
U r rt,U1_,, + mgol, + mgvg, 'r
cm* ot] l mi + ing +
rrnvh, + rngog + m¿,t›3_,. l
v,,,,,_,_ = ' ' (8.30)
' rn1+ mg + rra, +
Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación_de un solo vector que se obtiene
al derivar la ecuación (_ 8.29) respecto al tiempo:
__, rrijíi, + rri.2Í1'¿ + rn3Íi3 + (8 31)
U. _
im rn., l mg I mg i
Denotamos la masa rota! rn., + org + _ _ _ con M. Asi, podemos reescribir la ecua
ción (8_3l) como
Mficm = rrt¡Íi¡ + mgfig + rrt.3Íi3 + = R (3.32)
El lado derecho es la cantidad de movimiento total Í' del sistema. Así, hemos de
mostrado que la cfaritidad de rnouimierito total es igual a la masa rotar' otultiplica
da por la velocidad del centro de masa. AI atrapar una pelota, realmente estamos
atrapando un conjunto de un gran número de moléculas de masas ral, mg, m3,
El impulso que sentimos se debe a la cantidad de movimiento total de dicho con
junto. pero es el mismo que si estuviéramos atrapando una sola partícula de masa
l _! = rn, 'r rn; + on que se mueve con velocidad Em, la velocidad del centro de
masa del conjunto. Así, la ecuación (8.32) ayuda. a_justifiear la representación
de un cuerpo extendido como partícula.
En un sistema de partículas sobre el que la fuerza neta extema que actúa es ee
ro, de modo que la cantidad de movimiento total Í? es constante, la velocidad del
centro de masa dm, = Í;/M también es constante. Suponga que marcamos el cen
tro de masa de una llave ajustable, que está en algún punto del mango, v desliza
mos la masa con cierto giro sobre una mesa lisa horizontal (Fig. 3.25). El movimiento
global parece complicado, pero el centro de masa sigue una línea recta, como si
toda la masa estuviera concentrada ahí _
Tira y afloja en el hielo
Paco v René están parados con una separación de 20.0 m en la res
balosa superficie de un estanque helado. René tiene una masa de
óíl_íl kg, jr Paco, de 9Ú_lÍl l<g_ A medio camino entre ellos está un ta
rro de su bebida favorita (Fig. 3.26). Los dos tiran de los extremos
de una cuerda ligera. Cuando Paco se ha movido 6.0 m hacia el ta
rro, ¿euánto v en qué dirección se ha movido René?
_i_,___,__,_I¿|_._,|¡ .H I ¡
1 . .
__|_'l':.¬:_`¬' _', ¦ 'E' I,;'
¦'.;_'_ '¦'.` "J."`_"_ __ L... ' _. ._ '_ _ _ _ ___ ._ ,.,_
René
óilii kg
Ii_
" I
l{Íl_(l mir
Paco B1me kg 0
H....:¿_ ¿. 1. vu ,"¿_3 "
"r *'“"¬_ ¡'*f roo si
,' ` ' 2': ' f .1;iÍ_`= E Ti Fiílë _;ïã: L_a superficie congelada es horizontal y casi sin fric
;' ir. ¿si que la fuerza externa neta que actua sobre el sistema de Pa ` '
; _ _ Fienc jf la cuerda es cero, v se conserva su cantidad de
rr t. :::r_2 _¬. total. inicialmente, no hav movimiento, así que la can
tí ia; ie _ "_ .iwími _:nto total es cero jr la velocidad del centro de masa
es :ef: está en reposo). Podemos usar esto para relacionar las po
_ _ c :es de f *eco 1. René.
3.26 Sin importar con qué fiterza tiren Paco o René, su centro de
masa no se mueve.
pablo
Resaltar
Importante!
pablo
Rectángulo
PLANTEAR: Tomemos el origen en la posición del tarro, con el eje
+x hacia René_ Puesto que la cuerda es ligera, podemos despreciar
su masa al calcular la posición del centro de masa con la ecuación
(8.28).
EJECUTAR: Las coordenadas x iniciales de Paco y René son 10.0
m y +l0_0 m, respectivamente, así que la 'coordenada r del centro
de masa es
[90_0lrg)( 1ü_0m) + (ó0_0lrg)(10_0 m) 7,0
= ___ mKtm son tg + son kg
Al moverse Paco 6.0 m hacia el tarro, su nueva coordenada .r es
4.0 m; llamaremos a la nueva coordenada Jr de René arg. El centro
de masa no se mueve, así que
_ . .. . . .... .. ..._....í.... __. . ._ ...__ .._..._ _. _ .à ...ï¬.í _ __ .. __ _.____. ' ' l"' "' "' ' ' "' __.__ _. " ___.. _.. ...__ __|_" _.
S_5 I Centro de masa ÉÚQ
(90.0 kg) ( 4.0 ml l (t'ÍlU_(l kgjxl _
,rpm = " _ 2.0 m
90.0 kg + 60.0 l tg
.Ig : ]_.O1Tl_
Paco se ha movido 6.0 m en la dirección I x y aun está a 4.10 m del ta
rro, pero René se movió 9.0 m en la üección x y está a sólo l .il m de él.
EVALUAR: El cociente de la.s distancias que cada hombre sc muc
ve, (6.0 m)/(9.0 m) = es igual al cociente inverso de sus ma
sas. ¿Entiende por qué? Si los dos hombres siguen mot iéndo se tj '_
si la superficie no tiene fricción, lo harán), René llegará primero ai
tarro. Este resultado es totalmente independiente de la fuerza con
que ellos tiran; si Paco tira con más fuerza, sólo logrará que René
apague su sed antes.
Fuerzas externas y movimiento del centro de masa
Si la fuerza externa neta que actúa sobre un sistema de particulas no es cero, la
cantidad de movimiento total no se conserva y la velocidad del centro de masa
cambia. Veamos la relación entre el movimiento del centro de masa y las fuerzas
que actúan sobre el sistema.
Las ecuaciones (8.31) y (3.3 2) dan la velocidad del centro de masa en términos
de las velocidades de las partículas. Dando un paso más, derivamos las ecuacio
nes respecto al tiempo para demostrar que las aceleraciones exhiben la misma re
lación. Sea dm, = dtiw,/dr la aceleración del centro de masa; entonces,
Mdcm = find, + rrrgdg + rrr3E'r'¿, + 1 (8.33)
rnlíij es la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula, _e tc.,
así que el lado derecho de la ecuación (8.33) es igual a la suma vectorial EF de
todos las ñlerzas que actúan sobre todas las partículas. Igual que en la Sección
8.2, podemos clasificar cada fuerza como interna o externa. La suma de todas las
fuerzas que actúan sobre todas las particulas es entonces
EF = Eãext + Eìiitt = Mãcni
Por la tercera ley de Newton, todas las fuerzas internas se cancelan en pares. 1.'
EPM = 0. Lo que sobrevive en el lado izquierdo es la suma de las fuerzas error
nas, y tenemos
Ei i'E,,, = Mdm (cuerpo o conjunto de partículas) (3 3 ii
Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partícu
las, el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en
ese punto y sobre ella actuara una fuerza neta igual a la suma de las fuerzas
externas que actúan sobre el sistema.
Este resultado quizá no suene muy impresionante, pero es básico en mecánica
De hecho, hemos estado usándolo todo el tiempo; sin él, no podríamos represen
tar un cuerpo extendido como partícula al aplicar las leyes de Newton. Dicho re
sultado explica por qué sólo fuerzas exrerrras pueden afectar el movimiento de im
cuerpo extendido. Si usted tira de su cinturón hacia arriba, éste ejercerá una ñier
za igual hacia abajo sobre sus manos; éstas son fuerzas frrrerrias que se cancelan y
no afectan el movimiento global del cuerpo_
pablo
Resaltar
31 0
El obús se
divide en dos _ , e '
¬'¬¬. . 1 '
`“ _ f' cm _
_ »_ _ H.¬¬¬ ¬ ¡ji .H
fi ` t
_ "'
_ f'
"H
_/ 'I ¡_ cm
r H */_
r'
ta) lb)
3.2? (a) Un obús estalla en vuelo produ
ciendo dos fragmentos. Si la resistencia del
aire es despreciable, el centro de masa si
gue la misma trayectoria que tenía el obús
antes de estallar... hasta que uno de los
fragmentos golpea el suelo. (b) El mismo
efecto se da cuando estallan juegos piro
técnicos.
C A PÍT U L G S l Cmitidad de rnovimiento, impulso y choques
Los fragmentos siguen trayectorias
parabólicas individuales
_ _Fd___ _
_|I'
_ t _ "
'¬ 9'
__.
J ___`
`*~ .fn if@
K.
'| ._
1" ,__
.K |'I
|
¿_ _
l El centro de masa sigue la
trayectoria original del obús
Suponga que un obús con una. trayectoria parabólica (haciendo caso omiso de
la resistencia del aire) estalla en vuelo partiéndose en dos fragmentos de igual ma
sa (Fig. 8_2'?a)_ Los fragmentos siguen nuevas trayectorias parabólic as, pero el
centro de masa sigue la trayectoria parabólica original, igual que si la masa aún es
tuviera concentrada ahí _ Un cohete que estalla (Fig. 8_2.?b) es un ejemplo especta
cular de este efecto.
Esta propiedad del centro dc masa es importantc al analizar el movimiento de
cuerpos rígidos. Describimos el movimiento de un cuerpo extendido como una
combinación de traslación del centro de masa y rotación alrededor de un eje que
pasa por esecentro. Volveremos a este tema cn el capítulo 10. Esta propiedad tam
bién es importante en el movimiento de objetos astronómicos. No es correcto de
cir que la Luna está en órbita alrededor de la Tierra; la verdad es que ambos
cuerpos se mueven en órbitas alrededor de su centro de masa.
l lay otra forma útil de describir el movimiento de un sistema de partículas.
Usando dm = döcmfrír, podemos reescribir la ecuación (8.33) como
› dãcmM __ «_ vr A _ _ as““`“ ” ar af ar ( Si
La masa total del sistema M es constante, asi que podemos meterla en la derivada.
Sustinlyendo la ecuación (8.35) en la (8.34) tenemos
r
¬~ dP _
2F,j, = E (cuerpo extendido o sistema de partículas) (8.36)
Ésta se parece a la ecuación (_8.3). La diferencia es que la ecuación (_ 8.36) describe un
sistema de partículas, como un cuerpo extendido, y la ecuación (8.3) describe ima so
la partícula. Las interacciones entre las particulas del sistema pueden alterar las can
tidad@ de movimiento individuales de las partículas, pero la cantidad de movimiento
total' P del sistema sólo puede cambiar si fuerzas externas actúan sobre el sistema.
Por último, observamos que, si la fuerza externa neta es cero, la ecuación (3.34)
dice que la aceleración Zi,__,,, del centro de masa. es cero; por tant_o, íim, es constante, co
mo en el caso__de la llave de la figura 8.25. Por la. ecuación (8.36), la cantidad total de
movimiento P también es constante. Esto reafirma nuestro planteamiento del princi
pio de conservación de la cantidad de movimiento que hicimos enla sección 8.3.
¿ 1'.', r' = =s; '~I
Determine la ubicación del centro de masa del sistema Tierra Luna empleando la infor
mación del apéndice F. ¿Dónde está el centro de masa relativo a la superficie terrestre?
pablo
Resaltar
Puede ser pregunta teorica, y ayuda a la respuesta de si una bomba estalla en mil pedazos
pablo
Resaltar
3.6 l Propulsión a reacción
*8.6 | Propulsión a reacción
Las consideraciones de cantidad de movimiento son especialmente útiles para
analizar un sistema en el que las masas de partes del s_istema cambian con el tiem
po. No es posible usar la segunda ley de Newton ÉF = rrrd directamente porque
rn cambia. La propulsión de un cohete es un ejemplo tipico e interesante de este ti
po de análisis_ Un cohete es impulsado hacia adelante por la expulsión hacia atrás
de combustible quemado que inicialmente estaba en el cohete. La fuerza hacia
adelante que actúa sobre el cohete esla reacción a la fuerza hacia atrás que actúa
sobre el ma_terial expulsado. La masa total del sistema no cambia, pero la del co
hete disminuye al expulsarse material.
Como ejemplo sencillo, consideremos un cohete encendido en el espacio, don
de no hay fuerza gravitacional ni resistencia del aire. Denotamos con rr: la masa del
cohete, que cambiará al irse gastando combustible. Escogemos el eje .r en la direc
ción de movimiento del cohete. La figura 8.28a muestra el cohete en el instante r,
cuando su masa es rn. y la componente x de su velocidad relativa a nuestro sistema
de coordenadas es u. (Por sencillez, omitiremos el subíndice .r en este análisis.) La
componente .rr de la cantidad de movimiento total en este instante es P, = mo. En
un lapso corto a'i, la masa del cohete cambia en drrr. Esta cantidad es inherente
mente negativa porque rn dismiatrye con el tiempo. Durante dr, se expulsa una ma
sa positiva dm de combustible quemado. Sea u,,,,, la rapidez de escape de este
material rer'arioa al cohete; el combustible se expulsa en dirección opuesta al mo
vimiento, así que su componente .r de velocidad relativa al cohete es v,,,,. La
componente x de velocidad um del combustible quemado respecto a nuestro siste
ma de coordenadas es entonces
Ucq : U + (_Ue: ic) = U _ Ue sc
y la componente .ir de cantidad de movimiento de la masa expulsada ( dm) es
(_dm)Ucq : (U _ Uesc)
Como se indica en la fígtua 8_28b, al témrino del intervalo de tiempo di, la com
ponente _r de velocidad del cohete y el combustible no quemado ha aumentado a
U + do, y su masa ha disminuido a rn + doi (recuerde que dm es negativo). La can
tidad de movimiento del cohete ahora es
(rn l din) (U + du)
Por tanto, la componente x total' de cantidad de movimiento Pg del cohete más el
combustible quemado en el instante t+ dt es
PE = (rrr + drrr)(u + do) I ( dm)(u _ U____,,,,)
' _ `__`__ ""l
` f. _ 'Í
I . .' '. I
1' I.
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_ ;__;_`.;Í Í _ __ . ` _ 2 `__IE¿:."_s;'Lï'¿ ' 2.:
tol (lid
311
Ad?.reales
6.5 Salvamento rie un astronauta
8.28 (a) Cohete que se mueve en el espa
cio exterior (sin gravedad) con masa ru jr
componente x de velocidad u en el instante
r. (b) En el instante r F a't la masa del cohe
te ha disminuido, así que aim. es negativo.
La masa del cohete (incluido el combusti
ble sin quemar) es ra + aim., y su compo
nente de velocidad es o + du. La masa de
combustible quemado en el escape es rior
y su velocidad relativa al sistema de coor
denadas mostrado es om = u u,,,,.
312
N
"u__ 'I .
8.29 Lanzamiento de un transbordador es
pacial. un ejemplo impresionante de pro
pulsión a reacción. A fin de proveer
suficiente empuje hacia arriba para vencer
la gravedad, los vehículos de lanzamiento
espacial llegan a consmnir más de 10,000
kg s de combustible, y expulsan el com
bustible quemado a velocidades de más de
4000 m s.
1'; A PÍT U L o 3 l Cantidad de movimiento, impulso y choques
Por nuestro supuesto inicial, el cohete y el combustible son un sistema aislado,
así que la cantidad de movimiento se conserva y la componente x de cantidadde
movimiento total del sistema debe ser la misma en i y en r+ dr: P, = PE. Por tant.o,
me = (rn. + dm)(o + du) + ( a'rn)(o u,,,,_)
Esto puede simplificarse a
rn do dm U,,,,, dm. de _
Podemos despreciar el término ( dm du) porque es el producto de dos cantidades
pequeñas y, por tanto, mucho menor que los otros términos. Desechando este tér
mino, dividiendo el resto entre dry reacomodando, tenemos
do dm
rn.d_ _U,,,,¢d__ (8.37)
duldr es la aceleración del cohete, asi que el lado izquierdo (masa por aceleración)
es igual a la fuerza neta F, o empuje, que actúa sobre el cohete,
F ~ U Í? 1+ i rs ss)ESC '
El empuje es proporcional tanto a la rapidez relativa o,,,,, del combustible expulsa
do como a la masa de combustible expulsado por unidad de tiempo, _drnidr_ (Re
cuerde que dmidr es negativo porque es la razón de cambio de la masa del cohete.)
La componente x de la aceleración del cohete es
do U,,,,, dm
¬ 8.
a dt nt dr ( 39)
Ésta es positiva porque ug, es positiva (recuerde, es la rapidez de escape) y drnidr
es negativo. La masa del cohete disminuye continuamente al consumirse combus
tible. Si u,__.,,., y drnfdr son constantes, la aceierac ión aumenta hasta agotarse el com
bustible_
La ecuación (8.38) nos dice que un cohete eficaz quema combustible rápida
mente ( dos/dr grande) y lo expulsa con rapidez relativa alta (u,,,, grande), como
en la figura 8.29. En los albores de la propulsión a reacción, quienes no entendían
la conservación de la cantidad de movimiento pensaban que un cohete no tim
cionaría en el espacio porque “no tendría contra qué empujar”. Al contrario, los
cohetes funcionan riprirnarrrenre en el espacio porque no hay resistencia del aire.
El cohete de la figura 8.29 no está “empujando contra el suelo” para elevarse.
Si la rapidez de escape um es constante, podemos integrar la ecuación (3.39)
para obtener una relación entre la velocidad u en cualquier instante y la masa res
tante ra. En el tiempo r= 0, sea la masa mu y la velocidad ou. Reescribimos la ecua
ción (S_39) asi:
dni
du : Fvescïqu
Cambiamos las variables de integración a tr' y rn', para poder usaru y rn como
límites superiores (rapidez y masa finales). Integramos ambos l_ados usando los li
mites u,, a o y org a rn, y sacamos la constante u,,,_,,, de la integral:
U m dm' mdrrr'r _ ` _ _
du _ _J` Ucsc i _ ucsc f
un ' mn, m mu m
or sin
U _ U0 : ver :c mi : ver ic mi.UIQ Hi
8.6 l Propulsión a reaccion 313
El cociente mpfrn es la masa original dividida entre la masa al agotarse el combusti
ble. En naves espaciales practicas, este cociente se hace lo más grande posible para
tener mia ganancia maxima de rapidez. Esto implica que la masa inicial del cohete
es casi puro combustible. La rapidez final del cohete será mayor (a. menudo mucho
mayor) que la rapidez relativa ug, si ln(rn0/rn) 3> l, es decir, si mo/rn 3 * e = 2.71823,...
Hemos supuesto en todo este análisis que el cohete está en el espacio exterior,
sin gravedad. La gravedad debe tenerse en cuenta si el cohete se lanza. desde la su
perficie de u11 planeta, como en la figura 8.29. (Vease el problema 8.104.)
_,... ,_
Aceleración de un cohete
Un cohete está en el espacio exterior, lejos de cualquier planeta,
cuando enciende su motor. En el primer segundo de encendido, el
cohete expulsa É de su masa con rapidez relativa de 2400 mis.
¿Que aceleracion inicial tiene?
solucion
IDENTIFICAR yr PLANTEAR: La ecuacion (8.39) da la aceleracion
del cohete la incógnita en terminos de la rapidez de escape u,,,,,,
ei valor actual ni de la masa del cohete v la razón de cambio de la
masa, dnifdr. Aunque no nos dan la masa ni su razón de cambio, nos
dicen que fraccion de la masa inicial se pierde durante un intervalo
dado de tiempo; no necesitamos más información.
Rapidez de un cohete
Suponga que É de la masa inicial nro del cohete del ejemplo 8.16 es
combustible, de modo que la masa final es rn = rn@/4, y que el com
bustible se constune totalmente a ritmo constante en un tiempo t=
90 s. Si el cohete parte del reposo en nuestro sistema de coordena
das, calcule su rapidez final.
IDENTIFICAH y FLANTEAR: Nos dan la velocidad inicial uf, (igual
a cero), la velocidad de escape u,,,, y la masa final rn en términos de
la masa inicial mu. Por tanto, podemos usar la ecuacion (8.40) di
rectamente para obtener la rapidez final U.
EJECUTAR: Tenemos rnufnt = 4, asi que por la ecuación (3.40),
meti = un + u,,,,, ln _ = 0 + (2400 mz's)(ln 4) = 3327 mfs
rn
|i J_ ¡T; 1,5:::_i_¶¶ ' ' _m$flfl É í_ Í _
EJECUTAR: Inicialmente, la razon de cambio de la masa es
'dr l s 120 s
donde mn es la masa inicial (r = 0) del cohete. Por la ecuacion
(8.39), la aceleracion inicial es
t›,,., am 2400 me vt,si t i znmrlG m, df m, l 120 sl i
1
|
EVALUAR: Observe que la respuesta no depende del valor de niü.
Si om es la misma, la aceleracion es la misma para una nave de
120,000 kg que expulsa 1000 kgƒs y para un astronauta. de 60 kg
equipado con un cohete pequeño que expulsa 0.5 kgƒs.
_. _ .| _.
EVALUAR: Veamos que sucede a medidaque el cohete adquiere ra
pidez. Al principio, cuando la velocidad del cohete es cero, el com
bustible expulsado se mueve a la izquierda, relativo a nuestro
sistema de coordenadas, a 2.400 ntfs. Al término del primer segun
do (I = 1 s), el cohete se mueve a 20 rnls y la rapidez del combusti
ble relativa a nuestro sistema es de 23 30`n1ls. Durante el siguiente
segundo la aceleracion, dada por la ecuacion (8.39) es un poco ma
yor. En r = 2 s, el cohete se mueve a un poco más de 40 mfs, v el
combustible, a poco menos de 2360 rnƒs. Un calculo detallado
muestra que en I = 75.6 s la velocidad del cohete en nuestro sistema
de coordenadas es de de 2400 mis. El combustible expulsado pos
teriormente se mueve hncto adelante, no hacia atras, en nuestro
sistema. Dado que la velocidad final del cohete es de 332? ntfs jr la
velocidad relativa es de 2400 mis, lo último del combustible expul
sado tiene una velocidad hacia adelante' (relativa a nuestro marco de
referencia) de (3327 2400) mis = 92? ntfs. [Hemos usado mas ci
fras de las significativas para ilustrar el punto,)
Si un cohete en el espacio exterior (sin gravedad) tiene el mismo empuje en todo
momento, ¿su aceleracion es constante, está aumentando o esta disminuyendo? Si
el cohete tiene la misma aceleracion en todo momento, ¿el empuje es constante,
esta aumentando o esta disminuyendo?
I' FIIIJ 'III
II. |aIu¬InauIin
UI
1'
314 ca P i T U Lo 3 I Cantidad de movimiento, impulso ji choques
La cantidad de movimiento de una partícula es una canti fi = md (8.2) _,
dad vectorial igual al producto de la masa rn de la partícula y pj, ® ì
su velocidad Ei. La segtuida ley de Newton dice que la fuerza ¿ip (8 3)
neta que actua sobre una partícula es igual a la razon de cam ¿I ,
bio de la cantidad de movimiento de la partícula. pj = IS kg mis
r
Í= 2Í'(r, fl) = 2Far (8.5) 5 iSi una fuerza neta constante 21% actúa sobre una particula
durante un intervalo de tiempo dr de J, a Il, el impulso Í
de la fuerza neta es el producto de la fuerza net_a y el in
tervalo de tiempo. Si Eli varia con el tiempo, J es la inte ji = ƒ di (8.7)
gral de la fuerza neta en el intervalo de tiempo. En I. '
cualquier caso, el cambio en la cantidad de movimiento 1 _, l
de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al 1 .Í = fia _ Í51 (315)
iz
impulso de la fuerza neta que actúa sobre ella durante ese _
intervalo. La cantidad de movimiento de una partícula es .
igual al impulso que la aceleró desde el reposo hasta su
rapidez actual_ (Veanse ejemplos 8.1 a 8.3.)
inLa cantidad de movimiento total de un sistema de ji _ ¬ ._ . . . *_ P. 1 `l` Pa " ¬ PB~ P., o_partículas A, B, C', _ _ _ es la suma vectorial de las __ __
cantidades de movimiento de laS partículas. = meva 'l' meva 'l' ` ` ` (3 14) . i
Una fuerza interna es una fuerza ejercida por una parte de _ _, uSi EF = 0 P = constante ; ,jm = 30.9 mj,un sisterna sobre otra_ Una fuerza externa es una fuerza _ “Rx_ K _í "=ì p. _
ff?
|"'ejercida sobre cualquier parte del sistema por algo exter '
no al sistema. Si la íìierza externa neta que actúa sobre un ¡ ` ml, 3.00 kg
sistema es cero, la cantidad de movimiento total del siste §
ma es constante (se conserva), cada componente de la
cantidad de movimiento total se conserva individualmen
te. (Veanse ejemplos 8.4 a 8.6.)
En todo tipo de choques, las cantidades de movimiento totales inicial y final son o
iguales. En un choque elástico entre dos cuerpos, las energias cinéticas totales inicial ”^*f=_2;iÍ""'il "*L*.tÍ._i'° "iii
¬_v final también son iguales y las velocidades relativas inicial y final tienen la misma ,
magnitud. En un choque inelástico de dos cuerpos, la energía cinética total final es un = Mu kg W = MORE
menor que la inicial. Si los dos cuerpos tienen Ia misma velocidad final, el choque es É '
totalmente inelástico. (Veanse ejemplos 8.7 a 8.13.)
' ffl IF' "l" TTIEF1 + mgïg + ` ' ' ilEl vector de posicion del centro de ma
sa de un sistema de particulas, Fm, es
un promedio ponderado de las posicio
' 1. ...
ll?ir
_* ._ * ' _ .ff
rsm i "M I l l`dro eno
i mi +1712 +m3+ | Oxígeno 'Ñ g
' I I ios* Jrnes F1, F2, _ _ _ de las particulas. (Véase 2,†i' 'ff * ~`ìi”Í¿±.;,¿¡ Fm
ejemplo 8.14.) '= 'í (S 29)
Ein,
Í
"* I Lidrogeno
st, = son g
1.131, = 2.1] rnis
iii
iveias tiei ieeief 315
ïll .
La cantidad de müvilnientü tümi 1 5 de i P 2 m¡ÍÍ¡ + ir. 'i.¿Íi ,. + m3LT3 + : Los fraeïnentos .siauen trayectorias
un sistema es igual a su masa total M = pambajgüs ¡1¡j;¡¬,¬¡., ;1ua1¢,, l_, i __ _ _ __
multiplieada por la velocidad dm, de = Mliem (3 32) 5 E1 übús se
su centro de masa. El centro de masa ' divide en dos , g
_ 'rr CII!de un sistema 'se mueve como si toda la 2F,_,,, Mo,,,,, (8.34) _ ~_ *X
masa M estuviera concentrada en el. Si 5 *_ , f' cm
"K
la fuerza exterria neta que actúa sobre
el sistema es cero, la velocidad del cen f _ . É
tro de masa Em, es constante. Si la fuer i El mmm de masa Sigue ¡a _
za externa neta no es cero, el centro de trfiygcwúa ,¡,, ¡ggmaj ae; ,_¡,¡¡,,í5
masa se acelera como si fuera una par _
tícula de masa M sobre la que actúa la i
inisma fuerza externa neta (véase I
ejemplo 8.15).
En la propulsiónde cohetes, la masa de un cohete cambia al quemarse el combusti ."¡j '¡¿"¿.¡_ _;, .__,, ,._¿¡,5¡¿,¿__¡, _'¿,¿_'___
ble y ser expulsado del cohete. El analisis del movuinento del cohete debe incluir la ¿ ;. _ __ ¿__f_ _._ _
cantidad de movimiento que se lleva el combustible quemado, asi como la del cohe iq .___ .
te mismo. (Vóanse ejemplos 8.16 y 8.17.) _; 1' ¿_
i
ct 3Ñse __,'_,_= lt” ' iii'_
.' _ _ _. , _ |. _. _ _. . _. ..,:. ,
.. ___.____ _ __ _ _ __ _ _.._..__ .
I , _ ,_ __'¢_ .._ _: u.|'__ . ¬. .__ ¡ _ ha ._.;_|¬:|_ _.|,,_.__1f_¬.__ __ .
Términos clave _
cantidad de movimiento (cantidad de choque inelástico, 296 principio de conservación de la cantidad
movimiento lineal), 283 choque totalmente inelástico, 296 de movimiento, 290
cantidad de movimiento total, 290 fuerza externa, 290 ` sistema aislado, 290
centro de masa, 306 fuerza interna, 290 teorema del impulso y la cantidad de
choque elástico, 296 impulso, 284 movimiento, 284
Notas del lector
315 c a P í T U L o 8 I Cantidad de movimiento, impulso y choques
Respuesta a la pregunta inicial del capítulo
Los dos jugadores tienen la misma magnitud de la cantidad de mo
vimiento p = nio (el producto de la masa y la rapidez), pero el juga
dor ligero tiene dos veces mas energía cinética K = åiiiui Por
tanto, el jugador ligero puede efectuar dos veces més trabajo sobre
usted [y caiisar dos veces mas daños) en el proceso de detenerse.
Respuestas a las preguntas de
Evalúe su comprensión
Sección 8.1 {a) La velocidad era u_,. = 7.55 ntfs (hacia abajo), así
que pj, = mo__,= (200 kâ l(_?_55 ntfs) = 1510 kg inf's_ La cantidad
de niovimiento final era cero, así que Jf, = 0 (¬ 1510 kg mis) =
+1510 kg ntfs = +1510 bl s. (b) La fuerza neta hacia arriba era
F__. = ii. +ƒ iv = ?9,000N + ó0N 1960 N = ??,l00 N. Por
la definición de impulso, = ,_.dii,así que el tiempo transcurrido
fue dir = ,lf,,li'if,, = (1510 N s)ƒ[77,l00 N) = 0.0196 s.
Sección 8.2 No hay fuerzas horizontales externas, así que las
componentes _x y y de la cantidad de movimiento total del sistema
se conservan. Las dos componentes son cero antes de soltarse el re
sorte, así que deberan ser cero tainbién después. Por tanto,
P, = 0 = ri i,,,U,,¿_, + iri_.¿.,U¡;¿_, l iri,¿ U¿ ¿___
P_,. = 0 = in.,¿u__, 33, + iitflupg, + i rt¿_ _U¿1,.
bios diccn que nt, = nn, = nt@ = 0.20 kg, u_u, = 3.0 mis,
i_.†,,g = 0, um, = 0,y n,,2,. = 4.0 mi's_Podemos resolverlas ecua
ciones anteriores para demostrar que U, 1, = +3_0 mis y u¿_ 3,. = + 4.0
mis. Por tanto, la velocidad de la pieza C tiene magnitud
\/,(3.0 mi 's)2 + (4.0 niƒs)3 = 5.0 mis y su dirección forma con
el eje `+_¬r un angulo de arctan [(4.0 mfs)i'(3_0 mi's_)] = 53°.
Sección 8.3 La energía cinética antes del choque es K, = jii i__.,u__.,f =
jlfìll kg) (2.0 mƒs)2 = 40 J. Después del choque, la energía cinética
es x, = te__,ti__,,1 + tei,,t=,,§ = ¿(20 1<g)(i.0 nt/5)? +%(12 kg)
>< (2.1 ni›'s)1 = Íió J, la cual es iiienor que K,_ Dado que se perdió ener
gía cinética, el choque fue inelástico. Sin embargo, no iìie roraiiiienie
inelé_stico, porque los dos robots no quedaron pegados.
Sección 3.4 Despues del choque, la rapidez del neutróii es
(nt, i n¿,)i' (ni,, l trip) = (län l_0u)i'(l3u ¬' l_0u) = de
su rapidez inicial, y su eiicrgía cinética es (%)i = 0.80 del valor
inicial_ Por tanto, una molécula de agua no es tan buen moderador co
mo un átomo de carbono.
Sección 8.5 Usemos los subíndices l y 2 para referirnos a la Tie
rra y la Luna, respectivamente, y tomemos el ori gen en el centro de
la Tierra. Entonces, utilizando datos del apéndice F,
_t,,,,, = Ilinqxj + rngxg). '(iifi¡ +1113)
Usar :s: i_o1i i<g)(ri) + (rss iv: io'11i<g)]
Ii fi (3,84 IK lüini)
(sar >< irittitg + rss ><: 1022 kg)
= ser it iot si = esro itm
El radio de la Tierra es de ó_3S at 10? m = 6380 km. Por tanto, el
centro de masa del sistema Tierra Luna esta en el interior de la Tie
rra. l`7i0 ion bajo la superficie. .
Sección 8.6 Por las ecuaciones (3.37) y (338), el empuje F es
igual a ni doldr, donde ni. es la masa del cohete y dufair es su ace
leración. Dado que in disminuye con el tiempo, si el empuje F es
constante, la aceleración debera aumentar con el tiempo [la mis
ma fuerza actúa sobre una niasa. menor); si la aceleración dnfdr es
constante, el empuje deberá disminuir con el tiempo (se requiere
una fuerza menor para acelerar una masa mas pequeña).
Preguntas para análisis
P8.1 A1 partir lefios con martillo y ciiña., ¿es mas efectivo un
martillo pesado que uno ligero'? ¿Por qué?
P8.2 Suponga que usted atrapa una pelota de béisbol y después
alguien le ofrece la opción de atrapar una bola de boliche con la
niisma cantidad de movimiento o bien con la misina energía ciné
tica que la pelota. ¿Qué escogería? ¿Por qué?
P8.3 Al caer la lluvia, ¿qué pasa con sti cantidad de moviiniento
al golpear el piso? ¿Es valida su respuesta para la famosa manza
na de Newton?
P8.4 'Un aiito tiene la misma energía cinética si viaja al sur a 30
mfs que si lo hace al noroeste a 30 mis. ¿Bs su cantidad de movi
miento la iiiisma en ambos casos? Explique
P8.5 Un camión acelera en una autopista.. Un marco de referen
cia inercial esta fijo al piso con su origen en un poste. Utro mar
co está fijo a una patrulla que viaja enla autopista con velocidad
constante. ¿La cantidad de movimiento del camión es la misma en
ambos marcos? Explique. ¿La razón de cambio de la cantidad de
movimiento del camión es la misma en los dos niarcos? Explique.
P8.6 Si un camión grande y pesado choca con un auto, es mas
probable que se le sionen los ocupantes del auto que el conductor
del camión. ¿Por qué? _
P8.7 Una mujer parada en uiia capa de hielo horizontal sin fric
ción laiiza una roca grande con rapidez ug y angulo of sobre la ho
rizontal. Considere el sistema formado por ella y la roca. ¿Se
conserva la cantidad de movimiento del sistema? ¿Porqué si o por
qué no? ¿_ Se conserva cualquier componente de la cantidad de
iiiovimiento del sistema? ¿Por qué sí o por qué no?
P8.8 En el ejemplo 8.? (sección 8.3), donde los deslizadores de
la figura 8.1 la quedan pegados, el choque es ineli istico, ya que KE
si K,_ En el ejemplo 8.5 (sección 8.2), ¿es inelástico el choque?
Explique.
P8.9 E ii un choque totalmente inelástico entre dos objetos que se
pegan después del choque, ¿es posible que la energía cinética fi
nal del sistema sea cero? De ser así, cite un ejemplo. En tal caso,
¿qué cantidad de movimiento inicial debe tener el sistema? ¿Es
cero la eiiergía cinética inicial del sistema? Explique.
P8.'l0 Puesto que la energía cinética de una partícula está dada
por K = jiniii y su cantidad de movimiento por ji = md, es facil
demostrar que K = p2f2ni_ ¿Cómo es posible entonces tener un
suceso durante el cual la cantidad total de movimiento del sistema
sea constante pero la energia cinética total cambie?
P8.11 En los ejeinplos B. 10 a S13 (sección 8.4), verifique que el
vector de velocidad relativa de los dos cuerpos tiene la misma
magnitud antes y después del choque. En cada caso, ¿qué sucede
con la ri'íreeei`riii de dicho vector?
P8.'I2 Si un vidrio cae al piso, es más probable que se rompa si el
piso es de concreto que si es de madera. ¿Por qué? (Remítase a la
Fig. 8.5.)
PB.13 En la figura 8.22, la energia cinética de la nave es inayor
después de su interacción con Saturno que antes. ¿De dónde viene
la energía extra? Describa el suceso en términos de fa conservación
de la energia.
FB.14 Se dispara una ametralladora hacia una placa de acero. ¿La
fuerza media que actua sobre la placa por los iinpactos es mayor si
las balas rebotan o si se aplastan y pegan a la placa? Explique.
PS.15 Una fuerza neta de 4 N actúa durante 0.25 s sobre un objeto
en reposo y le imprime una rapidez final de S mis. ¿Cómo podria
una fiierza de 2 N producir esa rapidez final?
PB.1B Una fuerza neta cuya componente x es 2F,, actúa sobre un
objeto desde el tiempo tj hasta el tiempo tg. La componente .ir de la
cantidad de movimiento del objeto es la misma en ambos instantes,
pero ÉF, no siempre es cero en ese lapso. ¿Qué puede decir usted
acerca de la gráficade ÉF, contra r?
PB.'l? Un tenista golpea la pelota con la raqueta. Considere el sis
tema de la bola y la raqueta. ¿La cantidad total de movimiento del
sistema es la misma justo antes y justo después del golpe? ¿Es la
cantidad de movimiento total justo después del golpe la misma que
2 s después, cuando la bola está en el punto más alto de su trayec
toria? Si hay diferencias entre ambos casos, explíquelas
PB.1B En el ejemplo 8.4 (sección 8.2), considere el sistema del ri
fle y la bala. ¿Qué rapidez tiene el centro de masa del sistema des
pués del disparo? Explique.
PB.19 Se deja caer un huevo desde una azotea hasta la acera. Al
caer el huevo, ¿qué pasa con la cantidad de movimiento del sistema
fonnado por el huevo y la Tierra?
PB.20 Una mujer está parada en el centro de un lago congelado
perfectamente liso y sin fricción. Puede ponerse en movimiento
aventando cosas, pero suponga que no tiene nada que lanzar. ¿Pue
de llegar a la orilla sin lanzar nada?
PB.21 En un entorno con gravedad cero, ¿puede una nave impulsa
da por cohetes alcanzar una rapidez mayor que la rapidez relativa
con que se expulsa el combustible quemado?
F8.22 Cuando un objeto se ronipe en dos (explosión, desintegra
ción radiactiva, etc_), el fragmento más ligero adquiere in: .is energía
cinética que el mas pesado. Esto es una consecuencia dela conser
vación de la cantidad de movimiento pero, ¿puede explicarla tam
bién empleando las leyes del movimiento de Newton?
Ejercicios
Sección 8.1 Cantidad de movimiento e impulso
8.1 a) ¿Qué magnitud tiene la cantidad de movimiento de un ca
mión de 10,000 kg que viaja con rapidez de 12.0 mis? b) ¿Con qué
rapidez tendría que viajar una vagoneta de 2000 kg para tener i) la
misma cantidad de movimiento? (ii) ¿la misma energía cinética?
3.2 En el ejemplo conceptual 8.1 (segción 3.1), demuestre que el
velero de hielo con niasa 2m. tiene V2 veces mas cantidad de mo
vimiento en la meta que el de masa ni.
Ejercicios 31 T
3.3 a) Demuestre que la energia cinética K y la magnitud de la can
tidad de moviiriiento p de una partícula de masa rn están relaciona
das por la expresión K = p2i'2ni_ b) Un cardenal (Riciiniondenu
coiu'iitolis_) de 0.040 kg y una pelota de béisbol de 0_ 145 kg tienen
la misma energía cinética. ¿Cuál tiene mayor magnitud de cantidad
de iiiovimiento? ¿CI uanto vale el cociente de la magnitud de la can
tidad de movimiento del cardenal y de la pelota? c) Un hombre de
700 N y una mujer de 450 N tienen la misma cantidad de movi
miento. ¿C ual tiene mayor ener
gía cinética? ¿Cuanto vale el ji
cociente de la energía cinética
del hombre y de la mujer? __ __ _
8.4 Un balón de fútbol soccer
de 0_ 420 kg viaja a 4.50 mis con
un ángulo de 200° en sentido
antiliorario respecto al eje +.r
(Fig. 8.30). ¿Qué componentes :r
y __v tiene la cantidad de movi
§l1Sani0indaelpl:éElb(l:Iéi?ide béisbol de Figura 830 Ejflrciciü SA'
0.145 kg se mueve a 1.30 nus en .
la dirección +,v, y una pelota de
tenis de 0.0570 kg se mueve a 7.80 mis en la dirección y. ¿Qué
magnitud y direccióii tiene la cantidad de movimiento total del sis
tema formado por las dos pelotas?
8.6 Una pelota de golf de 0.045 kg se mueve a 9.00 mis en la direc
ción +x, y una de béisbol de 0.145 kg lo hace a ?.00 mis en la di.
rección ¿v_ ¿Qué magnitud y dirección tiene la cantidad de
movimiento total del sistema formado por las dos pelotas?
8.7 Fuerza de un golpe de golf. Una pelota de golf de 0.0450 kg
en reposo adquiere una rapidez de 25.0 mis al ser golpeada por un
palo. Si el tiempo de contacto es de 2.00 ins, ¿qué fuerza media ac
túa sobre la pelota? ¿Es significativo el efecto del peso de la pelota
durante el tiempo de contacto? ¿Por qué si o por qué no?
8.3 Fuerza de un batazo_ Una pelota de béisbol tiene masa de
0.145 kg. a_) Si se laiiza con rapidez de 45_0 rrii's y despiiés de ba
tearla su velocidad es de 55.0 mis en la dirección opuesta, ¿qué
magnitud tienen el cambio de cantidad de movimiento de la bola y
el impulso aplicado a ella con el bate? b) Si la pelota esta en con
tacto con el bate durante 2.00 ms, calcule la magnitud de la fuerza
media aplicada por el bate. _
3.9 Un disco de hockey de 0.160 kg se mueve en una superficie he
lada horizontal sin fricción. En r = 0, su velocidad es de 3.00 mis
a la derecha. a) Calcule la velocidad (magriitud y dirección) del dis
co después de que se aplica una fuerza de 25.0 l'~l hacia la derecha
durante 0.050 s. b) Si, en cambio, se aplica una íiierza de 12.0 N di
rigida a la izquierda, entre r= 0 y i = 0.050 s, ¿qué rapidez final tie
ne el disco?
8.10 Un motor del sistema de maniobras orbitales (OMS) del
transbordador espacial ejerce una fuerza de (2ó,?00 l*~l)j durante
3.90 s, expulsando una masa insignificante de combustible en com
paración con la masa de 95,000 kg de la nave_ a) ¿Qué impulso tie
ne la fuerza en ese lapso? b) ¿Cómo cambia la cantidad de
movimiento de la nave por este impulso? c) ¿Y su velocidad? d)
¿Por qué no podemos calcular el cambio resultante de la energia ei
nética de la nave?
4.50 mis if'
na”
ni = 0.420 kg
' I
il' ' '_ "` .ii'l'.l›""FifÄtl ilïflÍiÄi.l'iì:l _l:i ll'lff'i.'l.l' litiifl l.lii¡i=_f'.i_'ii'n.9.iJi'l!i .
L_ 1_i.Ii
I
'i
3 1 B c a P i T U L o 8 I Cantidad de movimiento, impulso y choques
8.11 Un bate ejerce una fuerza horizontal Í? = 1.60 >< 107 Nis )i'
(anti si int Nisijfiji entre me peine ee 0.145 kg eses i = ii
y r = 2.50 ms. En i = 0, la velocidad de la bola es
(40.0i + 5_0j) mis. a) Calcule el impulso del bate sobre la bola
durante los 2.50 ms que estan en contacto. b) Calcule el impulso
ejercido por la gravedad sobre la bola durante ese tiempo. c) Calcu
le la fiierza media ejercida por el bat sobre la bola durante ese lap
so. d) Calcule la cantidad de movimiento y la velocidad de la bola
en i= 2.50 ms.
3.12 Un bate golpea una pelota de 0. lf1l5 kg. Justo antes del impac
to, la bola viaja horizontalmente a la derecha a 50.0 mis, y sale del
bate viajando a la izquierda a 65.0 mis con un angulo de 30° arriba
de la horizontal. Si la pelota y el bate están en contacto dmante 1.75
ms, calcule las componentes horizontal y vertical de la fuerza me
dia que actúa sobre la pelota.
3.13 Una fuerza neta de magnitud F(i_) = A + Br? en la dirección +.r
se aplica a mia niiiade masa nt eii patines. La fuerza se aplica de tj
= 0 a if = ty. a) ¿Qué impulso df, tiene la fuerza? b) Si en ii, la niña es
ta en reposo, ¿qué rapidez tiene en ty?
Sección 8.2 Conservación de la cantidad de movimiento
3.14' Frustrado porque el portero ha bloqueado sus tiros, un juga
dor de hockey de ?5_0 kg parado en hielo lanza un disco de 0.160
kg horizontalmente hacia la red con una rapidez de 20.0 mis. ¿Con
qué rapidez y en qué dirección comenzara a moverse el jugador si
no hay fricción entre sus pies y el liielo?
8.15 Un hombre está parado en una plancha de hielo que cubre el
estacionamiento del estadio de fútbol americano de Buffalo; la fric
ción es insignificante entre sus pies y el hielo. Un amigo le lanza un
balón de fútbol americano de 0.400 kg que viaja horizontalmente a
10.0 mis. La masa del primer honibre es de 70.0 kg. a) Si atrapa el
balón, ¿con qué rapidez se moverén ambos después? b) Si el balón
lo golpea en el pecho y rebota inoviéndose horizontalmente a 8.0
mis en la dirección opuesta, ¿qué rapidez tendrá el hombre después
del choque?
8.15 En una mesa neumática horizontal sin fricción, el disco A (de
masa 0.250 kg) se mueve hacia el B (de masa 0.350 kg) que está en
reposo. Después del choque, A se mueve a 0.120 mis a la izquierda,
y B lo hace a 0.650 mis a la derecha. a) ¿Qué rapidez tenia A antes
del choque? b) Calcule el cam
bio de energía cinética total del
sistema durante el choque.
3.1? Cambio de energia en un
bloqueo de cadera. El estrella
de hockey sobre hielo Wayne 5.0 mis
Gretzky patina a 13.0 mis ha
cia un defensor que se mueve a
5.00 iiiis hacia Gretzky (Fig.
51.3 I fi. Crretzky pesa 'iñó N; el
defensor, 000 N. Justo después
def choque, Gretzky se mueve a
1.50 rn s en sii dirección origi
Puede hacer caso omiso de las fuerzas horizontales externas¿;¬]ì:s& por el hielo a los jugadores antes del choque. a) ¿Qué ve
i._¬i¬:ii:?: _i:` tiene el defensor justo después del choque? b) Calcule el
cambio de energía cinética total delos dos jugadores.
13.0 mis
iv = 756 N iv = 900 N
Figura 3.31 Ejercicio 8.17.
8.13 Los gases en expansión que salen por el cafión de un rifle
también contribuyen al retroceso. Una bala de calibre .30 tiene una
masa de 0.00720 kg y una rapidez de 601 mis relativa al cañón del
rifle, cuya masa es de 2.80 kg. El rifle, sostenido sin fumeza, retro
cede a 1.85 mis relativo al siielo_ Calcule la cantidad de movimien
to de los gases al salir del cañón, en un sistema de coordenadas fijo
al suelo.
8.19 El bloque A de la figura 8.32 tiene una masa de 1.00 kg, y el
B, de 3.00 kg. A y B se juntan a la fuerza, eoniprimiendo mi resoite
S entre ellos; luego, el sistema se suelta del reposo en una superfi
cie plana sin fricción. El resorte, de masa despreciable, esta suelto
y cae a la superficie después de extenderse. B adquiere una rapidez
de 1.20 mis. a) ¿Qué rapidez final tiene A? b) ¿Cuanta energia po
tencial se almacenó en el resorte comprimido?
ia., = im tg ia, e son kg
U rm
Figura 8.32 Ejercicio 8.19.
8.20 Un adversario de James Bond con masa de 120 kg esta para
do en un lago congelado, siii fricción entre sus pies y el hielo, y lan
za su sombrero de 4.50 kg con ala de acero a una velocidad de 22.0
mis a 36.9? sobre la horizontal, con la esperanza de golpear a Bond.
¿Qué magnitud tiene la velocidad de retroceso horizontal del adver
sario?
8.21 Un pingüino de ceramica que esta sobre el televisor de repen
te se rompe en dos fragmentos. Uno, con masa m,,, se a.leja a la iz
quierda con rapidez ny. El otro, con masa mp, se aleja a la derecha
con rapidez tip. a) Use la conservación de la cantidad de movimien
to para despejar og en términos de ni__,, iiij, y uy. b) Use su resultado
para demostrar que K_,,iKB = mpinij, donde K,, y KB son las energías
cinéticas de los pedazos.
8.22 El núcleo de mPo decae radiactivamente emitiendo una par
tícula alfa (masa 6.65 >< 10"” kg) con una energía cinética 1.23 >t
10011 _l, medida en el marco de referencia del laboratorio. Supo
niendo que el núcleo estaba inicialmente en reposo en este marco,
calcule la velocidad de retroceso del núcleo que queda después del
decaimiento.
8.23 Un hombre de 70.0 kg esta parado en una gran planclia de
hielo sin fricción, sosteniendo una roca de l5_0 kg. Para salir del hie
lo, el hombre avienta la roca de modo que adquiere ima velocidad rela
tiva a la Tierra de 12.0 mis, a 35.0? arriba de la liorizontal_ ¿Qué
rapidez tiene el hombre después de lanzar la roca? (Véase la pre
gunta para analisis P8_?.)
8.24 Dos patinadores, Daniel (65.0 kg) y Rebeca (45.0 kg) estan
practicaiido. Daniel se detiene para atar su agujeta. y es golpeado
por Rebeca, que se movía a 13.0 mis antes de chocar con él. Des
pués del choque, Rebeca se mueve a 3.00 mis con un angulo de
53.1? respecto a su dirección original. La superficie de patinaje es
horizontal y no tiene fricción. a) Calcule la magnitud y dirección de
la velocidad de Daniel después del choque. b) ¿Cual es el cambio
en la energía cinética total de los dos patinadores como resultado
del choque?
3.25 Liiis y Ana patinan juntos a 3.00 mis. Luis insiste en pregun
tar a Ana cuánto pesa. Molesta, ella sc empuja de Luis de modo que
se acelera hasta moverse a 4.00 mis y él se frena hasta moverse a
2.25 mis en la misma dirección. La fricción, en el sentido físico, es
despreciable en este drama. Si Luis pesa 700 N, ¿cuanto pesa Ana?
8.25 Masa cambiante. Un vagón abierto de 24 000 kg viaja sin
fricción ni iinpulso sobre una vía plana. Esté lloviendo a ctintaros,
y la lluvia cae verticalmente. El vagón originalmente esta vacio y
tiene una rapidez de 4.00 mis. ¿Qué rapidez tiene después de acumu
lar 3000 kg de agua de lluvia?
3.2? Un disco de hockey B descansa sobre hielo liso y es golpeado
por otro disco, A, que viajaba a 40.0 mis y se desvía 30.0? respecto
a su dirección origiiial (Fig. 8.3 3). B adquiere mia velocidad a 45.0”
respecto a la velocidad original
de A. Los discos tienen la misma ,vi A
masa. a) Calcule la rapidez de §{l*ij.ü_
cada uno deälïtués del choque. b) \`“/H .0°
,, fpnérraeridn deis energia eine ¿__ 1 _
tica original de A se disipa du
féflit el Chüfluti Figure 3.33 Ejercicio sar.
Sección 8.3 Choques inelásticos
8.28 En una excesivamente grasosa barra de cafetería, práctica
mente sin fricción, ima baguette de 0.500 kg que se mueve a 3.00 mis
a la izquierda choca con un emparedado de queso a la parrilla de
0.250 kg que se mueve a 1.20 mis a la dercclia. a) Si los platillos se
pegan, ¿qué velocidad final tienen? b) ¿Cuanta energía mecánica
se disipa en el choque?
3.29 Imagine que su auto deportivo de 1050 kg, estacionado en
ima colina sin el freno dc inaiio aplicado, rodó hasta la base de la
colina y se mueve a 15.0 mis por un cainiiio horizontal hacia el oes
te. El conductor de un camión de 6320 kg, que viaja hacia el este eii
el mismo camino, ve cómo el auto se aproxima y decide pararlo
chocando de frente con él. Los dos vehiculos quedan pegados des
pués del choque. a) Si el camión se mueve a l0_0 mis cuando cho
ca con el auto, ¿qué velocidad (magninid y dirección) tendrán los
dos vehíciilos inmediatamente después del choque? b) Qué rapidez
debe tener el camión para que ambos vehículos se detengan por el
choque? c) Determine el crunbio de energía cinética del sistema de
los dos veliículos en la situación de la parte (a) y en la de la parte
(b). ¿En cual situación tiene mayor magnitud el cambio de energia
cinética?
3.30 En un campo de fútbol americano muy lodoso, un apoyador
de ll0 kg taclea a un corredor de 85 kg. Justo antes del choque, el
apoyador resbala con una velocidad de 8.8 mis hacia el norte, y el co
rredor lo hace con una velocidad de ?_2 mis hacia el oeste. ¿Con
qué velocidad (magnitud y dirección) se mueven juntos los dos ju
gadores inmediatamente después del choque?
8.31 Dos saltamoiites retozones chocan en el aire en el cenit de sus
respectivas trayectorias y se abrazan, sin soltarse después. Uno es
un bicho robusto de 250 g que inicialmente se movía.hacia el sur a
20.0 cinis, mientras que el otro es una esbelta creatura de 150 g que
inicialmente se movía hacia cl norte a ó0.0 cmis_ Calcule la dismi
Ejercicios 3.1 9
nucióii cn la energía cinética resultado del choque. ¿Qué pasa con
la energia cinética “perdida"?
8.32 Dos automóviles, uno compacto con masa de 1200 kg y otro
un “dcvorador de gasolina" de 3000 kg, chocan de frente a veloci
dades tipicas de autopista. a) ¿Cual sufre un cambio de mayor mag
nitud en su cantidad de movimiento? ¿Cual sufre un mayor cambio
de velocidad? Calcule el ca.mbio en la velocidad del auto pequeño
relativo a la del auto grande. b) ¿Los ocupantes de cuál auto espe
rari a usted que sufran lesiones más graves? Explique.
8.33 Una mañana en Dallas después de uiia helada invernal, un au
to de 1400 kg que viaja al oeste por la calle Cliesmut a 35.0 kniih
choca con un camióii de 2300 kg que viaja al sur a 50.0 kmih por
una calle perpen.tiictiini*_ Si los veliiculos quedan enganchados
al chocar, ¿qué magnitud y dirección tiene su velocidad después del
choque? Puede liacer caso omiso delas fuerzas de fricción entre los
vehículos y la calle helada.
8.34 En el cruce de la Avenida Texas y el Paseo Universitario, un
auto subconjoacro azul de 950 kg pue viaja al estepor el Paseo cho
ca con una camioneta color ma
rrón de l900 kg que viaja al
norte por la Avenida Texas y se
pasó el alto de un semaforo (Fig. Églüs ¿ _
8.34). Los dos vehiculos quedan _ _ _ _ :;= 1..__,
pegados después del choque, y V 16|¡j`1m,;` C'
se deslizan a 16.0 mis en direc I
ción 24.0? al este del norte. Calcu I labial
le la rapidez de cada vehículo ¡_ i
aiites del choque. El choque tie _.
i l
y (norte)
_. ¬__ _ ¬.
_ . _, _ _
"I "1_”` _":_' _f;`_';'
ne lugar durante una tormenta;
las fuerzas de fricción entre los :___ __ ¿ _ . __
vehículos y el pavimento húme H 0
do son despreciables.
8.35 Una bala de 5.00g se dis
para horizontalmeiite a un blo
que de madera de 1.20 kg que descansa en una superficie
horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la
superficie es de 0.20. La bala queda incrustada en el_bloque, que se
desliza 0.230 m por la superficie antes de detenerse. ¿Qué rapidez
tenía inicialmente la bala?
8.36 Péndulo balístico_ Una bala de rifle de 12.0 g se dispara a
380 mis contra un péndulo balístico de 6.00 kg suspendido de un
cordón de 70.0 cm de longitud. (Véase el ejemplo 3.3, sección 8.3).
Calcule a) la distancia vertical que el péndulo sube; b) la energía ci
nética inicial de la bala; c) la energia cinética de la bala y el péndu
lo inmediatamente después de incrustarse la bala en el péndulo.
3.37 Varios amigos efectúan experimentos de fisica en un estan
que helado que actúa como superficie horizonta_l sin fricción. Sam,
de 80.0 kg, recibe tin empujón y se desliza hacia el este. Abigail, de
50.0 kg, recibe también un empujón y se desliza hacia el norte. Los
dos chocan. Después del choque, Sam se mueve 3?_0'° al norte del
este con rapidez de 6.00 mis, y Abigail, 23.0? al sur del este con ra
pidez de 9.00 mis. a) ¿Qué rapidez tenía cada persona antes del
choque? b) ¿Cuánto disminuyó la energía cinética total de las dos
personas durante el choque? _
Figura 8.34 Ejercicio 8.34.
320 c .ii sir U L o 8 I Cantidad de moviiniento, impulso y choques
Sección B. il Cheques elásticos
8.38 Los bloques _i1t[masa 2.00 kg) y B (masa 10.00 kg) se mueven
en una superficie horizontal sin fricción. En un principio, el bloque
B está en reposo y el A se mueve hacia él a 2.00 mis. Los bloques
están equipados con protectores de resorte ideal, como en el ejem
plo 8.10. El choque es de frente, así que todos los movimientos an
tes y después del choque están en una linea recta. a) Calcule la
energia máxima almacenada en los protectores de resorte y la velo
éidad de cada bloque en ese momento. b) Calcule la velocidad de
cada bloque ima vez que se han separado.
8.39 Un deslizador de 0.150 kg se mueve a la derecha a 0.80 mis
en un riel de aire horizontal sin fricción y choca de frente con un
deslizador de 0.300 kg que se mueve a la izquierda a 2.2.0 mis. Calcu
le la velocidad final (magnitud y dirección) de cada deslizador si el
choque es elástico.
3.40 Una canica de 10.0 .g se desliza a la izquierda a 0.400 mis so
bre una acera horizontal helada (sin fricción) y choca de frente con
una canica de 30.0 g que se desliza a la derecha a 0.200 mis (Fig.
8.35). a) Determine la velocidad (magnitud y dirección) de cada ca
nica después del choque. (Puesto que el choque es elástico, los mo
viinientos son en una linea.) b) Calcule el cninbto en ia cantidad de
ntotiiniienro (es decir, la cantidad de movimiento después del cho
que menos la caiitidad de movimiento antes del choque) para cada
canica. Compare los valores obtenidos en cada caso. c) Calcule el cann
óio de enei'gi'n ciii.érieo (es decir, la energía cinética después del
choque menos la energia cinética antes del choque) para cada cani
ca. Compare los valores obtenidos en cada caso.
0.200 mis
ïìle
caen mn
«fiíflfl¢_
song ion g
Figura 8.35 Ejercicio 8.40. _
8.41 Detalle el cálculo de rr y B en el ejemplo 8.13 (sección 8.4).
3.42 Moderadores. Los reactores nucleares canadienses usan mo
deradores de trgtia pesrido en los que se dan choques elásticos entre
neutrones y deuterones de masa 2.0 u (Véase el ejemplo 8.1 l en la
sección 3.4). a) ¿Qué rapidez tiene un neutrón, expresada como
fracción de su rapidez original, después de un choque elástico de
frente con un deuterón en reposo? b) ¿Qué energía cinética tiene,
expresada como fracción de su energía cinética original? c) ¿Cuán
tos choques sucesivos conio éste reducirán la rapidez de un neutrón
a li59,000 de su valor original?
8.43 Imagine que controla un acelerador de partíciilas que envia
un haz de protones (masa ni) a 1.50 ><ï 107 mis contra un objetivo
gaseoso de un eleniento descoiiocido_ El detector indica que algu
nos protones rebotan en la misma linea después de chocar con un
núcleo del elemento desconocido, y tienen una rapidez de 1.20 ><
10 m s. Suponga que la rapidez inicial del núcleo objetivo es des
preciable y que el choque es elástico. a) Calcule la masa del núcleo
desconocido. Expreso su respuesta en términos de ni.. b) ¿Qué rapi
dez tiene el núcleo desconocido después de semejante choque?
Sección 8.5 Centro de masa
3.44 Tres bloques de chocolate de forma rara tienen las siguientes
masas y coordenadas del centro de masa: (1) 0.300 kg, (0.200 m,
0.300 m); (2) 0.400 kg (0.100 m, 0.400 m), (3) 0.200 kg, ( 0.300 m,
0.600 m). ¿Qué coordenadas tiene el centro de masa del sistema?
8.45 Calcule la posición del centro de masa del sistema Sol Júpi
t_er_ (Dado que Júpiter tiene mayor masa que el resto de los planetas
juntos, se obtendrá básicamente la posición del centro de masa del
Sistema Solar.) ¿El centro de masa está dentro o fuera del Sol? Use
los datos del apéndice F.
8.46 Una camioneta de 12.00 kg avanza en una autopista recta a
12.0 inis_ Otro auto, de masa l800 kg y rapidez 20.0 mis, tiene su
centro de masa 40.0 m adelante del centro de masa de la camioneta
(Fig. 8.36). a) Determine la posición del centro de masa del sistema
formado por los dos vehículos. b) Calcule la magnitud de la canti
dad total de movimiento del sistema, a partir de los datos ariterio
res_ c) Calcule la rapidez del cenno de masa del sistema. d) Calcule
la cantidad de movimiento total del sistema, usando la rapidez del
centro de masa. Compare su resultado con el de la parte (b).
1200 kg 1800 kg
20 0 mis
pitome
Q '_ :_¬._ 2:1: 2 '.~_' Éff I _ _
lè \/ídüiflinífv % |
Figura 8.36 Ejercicio 8.46.
8.47 En un instante dado, el centro de masa de un sistema de dos
partículas está sobre el eje :r eii x = 2.0 m y tiene una velocidad de
(5.0 mis_)i. Una partícula está en el origen. La otra tiene masa
de 0.10 kg y está en reposo en el eje x en .it = 3.0 m. a) ¿Qué masa tie
ne la partícula que está en el origen? b) Calcule la cantidad de mo
vimiento total del sistema. c) ¿Qué velocidad tiene la partícula que
está en el origen?
8.48 En el ejemplo 8.15 (sección 8.5), René tira de la cuerda para
adquirir una rapidez de 0.?0 mis. ¿Qué rapidez adquiere Paco?
8.49 Un sistema consta de dos particulas. En f = 0 una partícula
está en el origen; la otra cuya masa de 0.50 kg, está en el eje _v en
ji = 2.4 m. La velocidad del centro de la masa está dada por
(0.75 mis7')r2i_ a) Calcule la masa total del sistema. b) Calcule la
aceleración del centro de la masa en cualquier instante if. c) Calcu
le la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema en r= 3.0 s.
8.50 La cantidad de movimiento de un modelo de avión controla
do por radio está dada por [( 0.75 kg inis3)i“1 + (3.0 kg mis)]
i + (0.25 kg mis1)rj`_ Determine las componentes x, ,v y z de la
fuerza neta que actúa sobre el avión.
*Sección 8.5 Propulsión a reacción
*3.51 Un cohete pequeño quema 0.05 00 kg de combustible cada
segundo, expulsándolo como gas con rapidez de 1600 mis relativa
al cohete. a) ¿Qué empuje tiene el cohete? b) Funcionaría el cohete
en el espacio exterior donde no hay atmósfera? En tal caso, ¿cómo
se podría guiar? ¿Se le podría frenar?
*B.52 Un astronauta de ?0 kg flota en el espacio en una unidad de
maniobras nipulada (lvllvlU, por sus siglas en inglés) de l 10 kg y su
fre una aceleración de 0.029 misf al disparar uno de sus impulsores.
a) Si la rapidez del gas NE que escapa, relativa al astronauta, es de 490
mis, ¿cuánto gas se gasta en 5.0 s? b) ¿Qué empuje tiene el impulsor?
*$53 Un cohete se enciende en el espacio profundo, donde la gra
vedad es despreciable. Si su masa inicial es de 6000 kg y expulsa gas
con rapidez relativa de 2000 mis, ¿cuánto gas deberá expulsar en el
primer segundo para adquirir una aceleración inicial de 25.0 mis??
*B.5iì Un cohete se enciende en el espacio profundo, donde la gra
vedad es despreciable, y en el primer segundo expulsa É, de su ma
sa como gas de escape, adquiriendo una aceleración de 15.0 mis2_
¿Qué rapidez tieneel gas relativa al cohete?
*3.55 Un modelo de motor a reacción C6 5 tiene un impulso de
10.0 N s durante l_?0 s mientras quema 0.0125 kg de combustible.
El empuje máximo es de 13.3 N. La masa inicial del motor más
combustible es de 0.0258 kg. a) ¿Qué fracción del empuje máximo
es el empuje medio? b) Calcule la rapidez relativa de los gases de
escape, suponiéndola constante. c) Con el mismo supuesto, calcule
la rapidez final del motor si está sujeto a una armazón muy ligera y
se enciende estando en reposo en el espacio exterior, sin gravedad.
*8.55 Un cohete de una etapa se enciende desde el reposo en una
plataforma espacial donde la gravedad es despreciable. Si el com
bustible se quema en 50.0 s y la rapidez relativa de los gases de es
cape es ug, = 2100 mis, ¿cuál debe ser el cociente de masas nio/nt
para adquirir una rapidez final de 8.00 kmis (similar a la rapidez or
bital de un satélite terrestre)?
*B.5? Obviamente, los cohetes pueden alcanzar gran rapidez, pero
¿qué rapidez máxiina es razonable? Suponga que un coliete se en
ciende desde el reposo en una estación espacial donde la gravedad
es despreciable. a) Si el cohete expulsa gas con rapidez relativa de
2000 mis y se desea que el cohete alcance una rapidez final de 1.00
De l0_3c, donde c es la rapidez de la luz, ¿qué fracción de la masa
total inicial del cohete no es combustible? b) ¿Cuáles está fracción
si se desea alcanzar una rapidez final de 3000 mis?
Problemas
3.55 Uiia esfera de acero de 40.0 kg se deja caer desde una altura
de 2.00 m sobre una plancha de acero horizontal, rebotando a una
altura de l_ó0 m. a) Calcule el impulso dado a la esfera en el iinpac
to. bj) Si el contacto dura 2.00 ms, calcule la fuerza media que actúa
sobre la esfera durante el inipacto_
8.59 Un lanzador de disco aplica una fuerza neta dada por
(ci ri )i + (B l yr_)_i, a un disco de 2.00 kg (rr = 25.0 Nisf, B = 30.0
bl y y = 5.0 His). Si el disco estaba originalmente en reposo, ¿qué
velocidad tiene después de que la fuerza neta ha actuado durante
Problemas 3 21
0.500 s? Exprese su respuesta en térmirios de los vectores unitarios
i y
8.60 Una pelota de tenis de 0.560 bi tiene una velocidad de
(20.0 mis)i (4.0 mis justo antes de ser golpeada por una ra
queta. Durante los 3.00 ms que la raqueta y la pelota están en con
tacto, la fuerza neta que actúa sobre la pelota es constante e igual a
(380 N)i + (110 a) ¿Qué componentes .r y _i' tiene el im
pulso de la fuerza neta aplicada a la pelota? bi ¿Qué componentes
.ir y y tiene la velocidad final de la pelota?
3.61 Tres vagones de ferrocarril en movimiento se acoplan con un
cuarto vagón que está en reposo. Los cuatro continúan en movi
miento y se aeopl_an con un quinto vagón en reposo. El proceso con
tinúa hasta que la rapidez del tren formado es la quinta parte de la
rapidez de los tres vagones iniciales. Los vagones son idénticos. Sin
tomar en cuenta la fricción, ¿cuántos vagones tiene el tren fmal?
8.62 Un convertible azul de 1500 kg viaja al sur, y una vagoneta
roja de 2000 kg viaja al oeste. Si la cantidad de movimiento total
del sistema formado por los dos vehiculos es de S000 kg mis diri
gida 60.0? al oeste del sur, ¿qué rapidez tiene cada vehiculo?
8.63 Tres discos idénticos en una mesa horizontal de hockey de ai
re tienen imanes repelentes_ Se les junta y luego se les suelta simul
táneamente_ Todos tienen la misma rapidez en cualquier iiistante_ Un
disco se mueve al oeste. ¿Qué dirección tienen los otros dos discos?
8.64 Las esferas A, de 0.020 kg, B, de 0.030 kg y C, de 0.050 kg,
se acercan al origen deslizándose sobre una mesa neumática sin
fricción (Fig. 8_3'i). Las velocidades iniciales de A y B se indican en
la figura. Las tres esferas llegan al origen simultáneamente y se pe
gaii. a) ¿Qué componentes .tt y y debe tener la velocidad inicial de C
si despiiés del choque los tres objetos tienen una velocidad de 0.50
mis en la dirección +.¬r? b) Si C tiene la velocidad obtenida en la
parte (a), cómo cambia la energía cinética del sistema de las tres es
feras como resultado del choque?
JJ
me
B= 0.50 mis
I
. "'
0 ¡il\5(i° uy, = L50 mis
fi _ _'[
UC
C
i . "
f
Figura 8.37 Problema 8.64.
3.55 Un armón se mueve sobre vías rectas sin fricción con resis
tencia despreciable del aire. En los casos que siguen, el armón tie
ne inicialmcnte una masa total (vehículo y contenido) de 200 kg y
viaja hacía el este a 5.00 mis. Suponiendo que el armón no se sale
de la vía, calcuie su ueiocidrmïfinai si: a) una masa de 25.0 kg se
lanza laterahnente desde el arinón con velocidad de mag ninid 2.00 mis
relativa a la velocidad inicial del arinón: b) una masa de 25.0 kg se
F'
._
_ .| _..1 l ¬
322 cx PÍT ULo 3 l Cantidad de movimiento, impulso y choques
lanza hacia atrás con velocidad de 5.00 mis relativa al movimiento
inicial del armón; c) una masa de 25.0 kg se avienta al interior del
armón con velocidad de 6.00 mis relativa al suelo y opuesta en di
rección a la velocidad inicial del armón.
8.55 Masa cambiante. Un vagón tolva lleno de arena rueda coii
rapidez inicial de 15.0 mis sobre vías horizontales rectas. l laga ca
so omiso de las fuerzas de fricción que actúan sobre cl vagón. La
masa total del vagón y la arena es de 85,000 kg. La puerta de la tol
va no cierra bien, por lo que se fuga arena por el fondo. Después de
20 minutos, se han perdido l3,000 kg de arena. ¿Qué rapidez tiene
entonces el vagón? (Compare su análisis con el que usó para resol
ver el ejercicio 8.2.6.)
3.6? En ima exhibición de autos antiguos, mi Nash Metropolitan
modelo 1955 de S40 kg avanza a 9.0 mis seguido de un Packard
Clipper modelo l95? de 1620 kg que avanza a 5.0 mis. a) ¿Qué au
to tiene mayor energia cinética? ¿Cuánto vale el cociente de las
energias cinéticas del Nash y el Packard? b) ¿Qué auto tiene mayor
magnitud de la cantidad de movimiento? ¿Cuánto vale el cociente
de las magnitudes de cantidad de movimiento del Nash y el Pac
kard? c) Sean Fp y FP las fuerzas netas requeridas para detener en
un tiempo r el Nash y el Packard, respectivamente. ¿Cuál fuerza es
mayor? ¿Cuánto vale el cociente F,.,iF,s? d) Sean ahora ifp y FP las
fuerzas netas requeridas para detener en una distancia d el Nash y
el Packard, respectivamente. ¿Cuál fuerza es mayor? ¿Cuánto vale el
cociente F, , iF,s?
8.58 Un soldado en un campo
de tiro dispara una ráfaga de 8 ti
ros con un rifle de asalto a razón
de 1000 balas por minuto. Cada
bala tiene masa de ?_45 g y rapi
dez de 293 mis relativa al sue
lo al salir del cañón del arma.
Calcule la fuerza de retroceso
media ejercida sobre el ariria du
rante la ráfaga.
8.59 Un marco de 0.150 kg,
suspendido de un resorte espiral,
lo estira 0.050 m. Un trozo de
masilla de 0.200 kg en reposo
se deja caer sobre el marco des
de una altura de 30.0 cm (Fig.
0.33). ¿Qué distancia máxima baja el marco respecto a su posición
inicial?
BJO Una bala de rifle de 8.00 g se incrusta en un bloque de 0.992
kg que descansa en una superficie horizontal siii fricción sujeto a
un resorte espiral (Fig. 3.39). El impacto comprime el resorte 15.0
cm. La calibración del resorte indica que se requiere una fuerza de
0350 bl para comprniiirlo 0.250 cm. a) Calcule la rapidez del blo
'*l\\\\\\l' ~
Btlìcm
Figura 8.38 Problema 8.69.
Fri*
j< is_o eme]
Figura 3.39 Problema 8.?0_
que inmediatamente despiiés del iinpacto_ b) ¿Qué rapidez tenia
inicialmente la bala?
8.71 Rebote de bala. Una piedra de 0.100 kg descansa en una su
perficie horizontal sin fricción. Una bala de ó_00 g que viaja hori
zontalmente a 350 inis golpea la piedra y rebota horizontalmente a
90? de su dirección original, con rapidez de 250 mis. a) Calcule la
magnitud y dirección de la velocidad de la piedra después del gol
pe. b) ¿Es perfectamente elásti
co el choque? __ _ __ _____
8.72 Un doble de cine de 80.0 kg I
se para en un alféizar 5.0 m so i
'ibre el piso (Fig. 8.40). Sujetando .±.
una cuerda atada a un candela 5_U m _ __ ___ ¬`;!,_.f = ¿U_U kg
bro, oscila hacia abajo para pe ___ ,
lear con el villano de ?0.0 kg i F' .__ __
que está parado directamente H
bajo el candelabro.(Suponga
que el centro de masa del doble
baja 5.0 rn, y él suelta la cuerda
justo al chocar con el villano.)
a) ¿Con que rapidez comienzan a deslizarse los contrincantes entre
lazados sobre el piso? b) Si el coeficiente de fricción cinética entre
sus cuerpos y el piso es uk = 0.250, ¿qué distancia se deslizan?
8.73 Dos masas idénticas se sueltan del reposo en un tazón hemis
férico liso de radio R, desde las
posiciones que se muestran en la 1@
figura 8.41. Se puede despreciar R
la fricción entre las masas y la
superficie del tazón. Si se pegan
cuando cliocan, ¿qué altura arri
ba del fondo del tazón alcanza
rán las inasas después de chocar?
8.74 Una pelota con masa M,
que se mueve horizontalmente a
5.00 mis, choca elásticamente con un bloque de masa BM que ini
cialmente está colgando en reposo del techo sujeto al extremo de un
alambre de 50.0 cm. Deterinine el ángulo máximo de oscilación del
bloque después del impacto.
8.75 Una esfera de plomo de 20.00 kg cuelga de un gancho atada
a im alambre delgado de 3.50 m de longitud, y puede oscilar eii un
circulo completo. De repente, un dardo de acero de 5.00 kg la gol
pea horizontalineiite, incrustándose en ella. ¿Qué rapidez inicial
mín_ima debe tener el dardo para qiie la combiiiacíón describa tin ri
zo circular coinpleto después del choque?
8.76 Una pelota de 8.00 kg, que cuelga del techo atada a un alam
bre de l35 cm de longitud, sufre un choque elástico con una pelota
de 2.00 kg que se mueve con rapidez u,¿, justo antes del choque. Si
la tensión máxima que el alambre resiste antes de romperse es de
1600 N, ¿qué valor máximo puede tener tn, sin que se roinpa el
alambre?
8.77 Una bala de 4.00 g viaja horizontalniente con rapidez de
400 mis y choca con un bloque de madera de 0.000 kg que estaba
en reposo en una superficie plana. La bala atraviesa el bloque y sa
le con su rapidez rediicida_ a l20 iiiis_ El bloque se deslma una dis
tancia de 0.45 m sobre la superficie. a) ¿Qué coeficiente de fricción
cinética hay entre el bloque y la superficie? b) ¿En cuánto se redu
à .
if;/El si = ron tg
Figura 8.40 Problema 8.72.
Figura 8.41 Problema ii_?3_
ce la energia cinética de la bala? c) ¿Qué energia cinética tiene el
bloque en el instante en que la bala sale de él?
BJB Una bala de 5.00 g se dispara contro un bloque de madera de
1.00 kg suspendido de un hilo de 2.000 m, atraveséndolo. El centro
de masa del bloque se eleva 0.45 cm. Calcule la rapidez de la bala
al salir del bloque si su rapidez inicial es de 450 mis.
3.79 Un neutrón de masa rn sufre un choque elástico de frente con
un núcleo de masa M en reposo. a) Demuestre que, si la energia ci
nética inicial del neutrón es KU, la energia cinética que pierde du
rante el choque es 4ntMK',p'(i'|/{+ inf. b) ¿Con qué valor de M pierde
mas energia el neut.rón incidente? c) Si il/Í tiene el valor calculado
en (b), ¿qué rapidez tiene el neutrón después del choque?
3.30 División de energía en choques elásticos. Un objeto estacio
nario con masa tng es golpeado de frente por un objeto con masa ni_,,
que se mueve con rapidez inicial U0. a) Si el choque es elástico,
¿qué porcentaje de la energia original tendrá cada objeto después
del choque? b) Aplique su respuesta a los casos especiales siguien
tes: i) ni, = ing, ii) ni _, = 5ni.,.,,. c) ¿Con qué valores, si existen, del co
ciente de masas m,,i'rn,, la energia cinética origina.l se divide
equitativamente entre los dos objetos después del choque?
3.81 En el centro de distribución de un transportista, un carrito
abierto de 5110 kg está rodando hacia la izquierda con rapidez de
5.l]ü mts (Fig. 8.42). La fricción entre el carrito y el piso es despre
ciable. Un paquete de 15.0 kg baja deslizándose por una rampa in
clinada 37.13? sobre la horizontal
31 sale proyectado con una rapi
dez de 3.0111 inƒs. El paquete cae
en el carrito 31 siguen avanzando
juntos. Si el extremo inferior de la
rampa está a una altura de 4.00 m
sobre el fondo del carrito, a) ¿qué
rapidez tendré el paquete inme
diatamente antes de caer en el
carrito? b) ¿Qué rapidez final
tendré el carrito?
8.32 Un disco azul con masa de
U_U =iUU kg, que se desliza con rapidez de 0.200 mis sobre una mesa
de aire horizontal sin fricción, sufre un choque perfectamente elás
tico de frente con un disco rojo de masa in, inicialmente en reposo.
Despues del choque, la velocidad del disco azul es de 0.050 mis en
la misma dirección que sn velocidad inicial. Calcule (a) la veloci
dad (magnitud ff dirección) del disco rojo después del choque; b) la
masa rn del disco rojo.
8.33 Dos asteroides con masas or, v tng se mueven con velocidades
di, jr EH respecto a un astrónomo en una nave espacial. a) Demuestre
que la energia cinética total medida por el astrónomo es
__. __ Q
4.90 m
Figura 8.42 Problema 8.81.
l l
Et' = šMn,,,,,2 + ;(rri_,,oj,2 I nt, ;o},,1)
donde Em, yƒM estan definidos como en la sección 3.5,í5,§ =
tÍ__¿ Em, y ¡JH = iifl Íi_,,,,.Aqui, la energia cinética total de los as
teroides es la asociada a su centro de masa mas la asociada al mo
=. irniento interno relativo al centro de masa. b) Si los asteroides
eìoean ¿qué energia cinética nnnfnin pueden tener después del
:':«:¬:¿:e. según las mediciones del astrónomo? Explique.
Problemas 323
3.84 Imagine que sostiene una pelota pequeña en contacto con v
directamente arriba del centro de una pelota grande. Si deja caer la
pelota pequeña un tiempo corto después de dejar caer la grande,
la pelota pequeña rebotara con rapidez sorprendente. Para ver el ca
so extremo, haga caso omiso de la resistencia del aire 1. ' suponga
que la pelota grande choca elásticamente con el piso 3, f luego rebota
para chocar elásticamente con la pelota pequeña en descenso. Justo
antes del choque entre las dos pelotas, la grande se mueve hacia
arriba. con velocidad Ei, y la pequeña tiene velocidad É. [¿_Entien
de por qué? Suponga que la masa de la pelota grande es mucho ma
yor que la de la pequeña. a) ¿Qué velocidad tiene la pelota pequeña
justo después del choque con la grande? b) Use la' respuesta para
calcular el cociente entre la distancia de rebote de la pelota peque
ña v la distancia que cayó antes del choque.
8.85 Jack y Jill estén parados en una caja en reposo en la superfi
cie horizontal sin fricción de un estanque congelado. La masa de
.lack es de 75.0 kg, la de Jill es de 45.0 kg 1; la de la caja es de 15,0
kg. De repente, se acuerdan de que deben ir por un cubo de agua,
asi que los dos saltan horizontalmente desde encima de la caja. In
mediatamente después de saltar, cada persona se aleja de la caja
con rapidez de 4.00 mts relativa a la caja. a) ¿Qué rapidez final tie
ne la caja si .lack y Jill saltan simultaneamente v en la misma direc
ción? (Sngerencio.' Use un sistema de coordenadas inercial fijo al
suelo.) b) ¿Y si Jack salta primero 1,; Jill lo hace unos segundos des
pnés, en la misma dirección? c) ¿Qué rapidez final tiene la caja si
Jill salta primero 3.' luego Jack, en la rnisma dirección?
8.86 División de energía. Un objeto con masa nt, que inicialmen
te está en reposo, hace explosión y produce dos fragmentos, uno
con masa rn, y otro con masa mg, donde ni', + ing = ni.. a) Si se libe
ra una energia Q en la explosión, ¿cuánta energia cinética tendré ca
da fragmento inmediatamente después de la explosión? b) ¿Qué
porcentaje de la energia total liberada recibirá cada fragmento si la
masa de uno es cuatro veces la del otro?
8.87 Desintegración de neutrones. Un neutrón en reposo se de
sintegra (rompe) para producir un protón y un electrón. Energia es
liberada en el decaimiento, v aparece como energia cinética del
protón y del electrón. La masa de un protón es 1836 veces la de nn
electrón. ¿Qué fracción de la energía t.ota1 liberada se convertirá en
energia cinética del protón? H
3.88 Un núcleo de 233Tli (torio) en reposo se desintegra para pro
ducir un núcleo de mRa (radio) y una partícula alfa. La energia ci
nética total de los productos de la desintegración es de t 3.54 D 1
10 131. La masa de una particula alfa es el l.?ó% de la masa de un
núcleo de mlìa. Calcule la energiacinética de a) el núcleo de mlta
en retroceso; b) la particula alfa emitida.
8.39 Antineutrino. En la desintegración beta, un núcleo emite un
electrón. Un núcleo de 2“1Bi_ (bismuto) en reposo sufre desintegra
ción beta para producir mPo (polonio). Suponga que el electrón
emitido se mueve hacia la derecha con una cantidad de movimien
to de 5.60 34 1U_n kg inƒs. El núcleo de 2“lPo, cujra masa es de 3.50
X l0`25 kg, se mueve hacia la izquierda con rapidez de 1.14 Ir fi 1lÍl¬l
mis. La conservación de la cantidad de rnovirniento requiere la emi
sión de una segunda particula, llamada antineutrino. Calcule la
magnitud y dirección de la cantidad de movimiento del antineutri
no emitido en esta desintegración.
| |._ _ p¿|I '_I_l |.I"_'. Ir I _.p _ |
._,í_ _í _u_ _ _
 I í 'i flíí í ¡_
324 c A P í r U Lo 8 I Cantidad de rnovimiento, impulso v choques
5.! lil Un protón que se mueve con rapidez o_,, en la dirección +.r
choca elásticamente pero no de lrente con un protón idéntico que
está en reposo. Después del impacto, el primer protón se mueve con
rapidez og; en el primer cuadrante, con un ángulo of respecto al eje
x, jv el segundo se mueve con rapidez ug; en el cuarto cuadrante, con
un ángulo ,B respecto al eje x (Fig. 8.12). a) Escriba las ecuaciones de
conservación de la cantidad de movimiento lineal en las direccio
nes x v y. b) Eleve al cuadrado esas ecuaciones y súmelas. c) Intro
duzca ahora el hecho de que el choque es elástico. cl) Demuestre
que nt + B = nv'2. (Habrá demostrado que esta ecuación se obedece
en cualquier choque elástico deseentrado entre objetos de igual ma
sa si un objeto estaba inicialmente en reposo.)
8.91 El disco de hockey B descansa sobre hielo liso v es golpeado
por otro disco A de la misma masa. A viaja inicialmente a 15.0 ntfs
v es desviado 25.lJ° respecto a su dirección original. Suponga un
choque perfectamente elástico. Calcule la rapidez final de cada dis
co v la dirección de la velocidad de B después del choque. (Sugeren
cirt: Use la relación que dedujo en la parte (d) del problema 8.90.)
8.92 Juvenal v Jacinta están sentados en un trineo en reposo sobre
hielo sin fricción. Juvenal pesa 800 N, Jacinta pesa 600 N y el tri
neo pesa lütlü bl. Las dos personas ven una araña venenosa en el piso
del trineo jv saltan hacia afuera. Juvenal salta a la izquierda con ve
locidad (relativa al hielo) de 5.00 mis 30.0? arriba de la horizontal, y
Jacinta salta a la derecha a 100 mts 36.9? arriba de la horizonta.l
(relativo al hielo). Calcule la velocidad horizontal (magnitud y di
rección) del trineo después del salto.
to
ta) tb) (sl td)
Figura 8.43 Problema 8.93.
8.93 Los objetos de la figura 8.43 están hechos de alambre unifor
me doblado. Encuentre la posición del centro de masa de cada uno.
8.94 Una mujer de 45.0 kg está parada en una canoa de 60.0 kg y
5.tlfl m de longitud, v comienza a catninar desde un punto a 1.00111
de un extremo hacia un punto a 1.00 m del otro extremo (Fig. 8.44).
Si puede despreciarse la resistencia al movimiento de la canoa en el
agua, ¿qué distancia se mueve la canoa?
Salida Llegada
si Í F' Í. ' $1' *É .`.>
l.lJtl tn 3.l)t`l m IJJO rn
Figura 3.44 Problema 3.94.
3.95 Imagine que está parado en una plancha de concreto que des
cansa sobre un lago congelado. Suponga que no hay fricción entre
la plancha jv el hielo. La planclta pesa cinco veces más que usted. Si
usted comienza a caminar a 2.00 nu's relativo al hielo, con qué rapi
dez relativa al hielo se moverá la plancha?
8.95 Un proyectil de 20.0 kg se dispara con un ángulo de ó[l.t)° so
bre la horizontal y rapidez de 80.0 mts. En el cenit de la trayectoria
el proyectil estalla en dos fragmentos de igual masa; uno cae verti
calmente con rapidez inicial cero, Haga caso omiso de la resisten
cia del aire. a) ¿A qué distancia del punto de disparo cae el otro
fragmento si el terreno es plano? b) ¿C uánta energia se libera en la
explosión?
8.97 Un cohete de fuegos artificiales se dispara verticalmente ha
cia arriba. En su altura máxima de 80.tl nt, explota y se divide en
dos fragmentos, uno con masa de 1.40 kg jv otro con masa de 13.23 kg.
En la explosión, 860 J de energia quimica se convierte en energía
cinética de los dos fragmentos. a) ¿Qué rapidez tiene cada fragmen
to inmediatamente después de la explosión? b) Se observa que los
dos fragmentos caen al suelo al mismo tiempo. ¿Qué distancia hay
entre los puntos en los que caen? Suponga que el suelo es horizon
tal 31 que la resistencia del aire es despreciable.
8.98 Un obús de 12.0 kg es disparado con un ángulo de 55.0? so
bre la horizontal con una rapidez de l5ü mƒs. En el cenit de la t.ra
yeetoria, el obús estalla en dos fragmentos, uno con tres veces más
masa que el otro. Los dos fragmentos llegan al suelo al mismo
t.iempo. Suponga que la resistencia del aire es despreciable. Si el
fragmento más pesado cae en el punto desde el cual se lanzó el obús,
¿dónde caerá el fragmento más ligero y cuánta energia se habrá li
berado en la explosión?
8.99 Reacción nuclear. La fisión, el proceso que suministra la
energia en las plantas nucleares, se da cuando un núcleo pesado se
divide en dos núcleos medianos. Una reacción asi se da cuando un
neutrón choca con un núcleo de “SU (uranio) v lo parte en un nú
cleo de “1Ba (bario) v uno de 921@ (kriptón). Además, salen despe
didos dos neutrones del “SU original. Antes del choque tenemos la
situación de la figura 8.45a; después, el ““Ba se mueve en la direc
ción +25, v el 92l{r, en la dirección tg. Los tres neutrones se mueven
en el plano xy como se muestra en lafigura 8.45b. Si el neutrón in
cidente tiene velocidad inicial de magnitud 3.0 Z><ï lili ntfs ¬_v final de
2.0 >< 103 m/sen las direcciones mostradas, ¿qué rapidez tienen los
otros dos neutrones, y qué puede decirse de la rapidez de los nú
Jf` J” . . _bleutron emitido
Q I Neutrón
original
i.
nu _,
Q X lll I
II
Neutron Núcleü _
en reposo .
Netttrón emitido
tal tb)
Figura 8.45 Problema 3.99.
cleos de ”“Ba y iiólír? (La masa aproximada del núcleo de ”“Ba es
2.3 sc to tf kg, y ts asi ttkf, 1.5 x to' if kg.)
3.100 Sistema de coordenadas del centro de masa. El disco A
(masa nt_,,) se mueve sobre una me sa neumática horizontal sin fric
ción con velocidad dm en la dirección +.r y choca de frente elásti
catnente con el disco B (masa tng) en reposo. Después del choque,
ambos discos se mueven en el eje hr. a) Calcule la velocidad del
centro de masa del sistema de los dos discos antes del choque. b)
Considere un sistema de coordenadas con origen en el centro de
masa y que se mueve con él. ¿Es inercial este marco de referencia
inercial? c) ¿Qué velocidades iniciales tÍt',,, y EB, tienen los discos
en este marco de referencia? Determine la cantidad total de movi
miento en este marco. d) Use la conservación de la cantidad de mo
vimiento y de la energia, aplicadas en el marco de referencia en
cuestión, para relacionar la cantidad de movimiento final de cada
disco con la inicial y por ende la velocidad final de cada disco con
la inicial. Sus resultados deberán mostrar que un choque elástico
unidimensional tiene una descripción muy simple en coordenadas
de centro de masa. e) Sean nt_,, = 0.400 kg, nt_.›, = 0.200 kg y v__,¡ =
óilü ntfs. Calcule las velocidades'tÍi,,, y dm , aplique el resultado de
la parte (cl), y transfórmelas en velocidades en un marco estaciona
rio para obtener las velocidades finales de los discos. ¿Concuerda
su resultado con las ecuaciones (8.24) y (8.25)?
8.101 El coeficiente de resttïttcidn e en un choque de frente se de
fine como el cociente de las rapideces relativas después y antes del
choque. a) ¿Cuánto vale e en un choque totalmente inelástico?
b) ¿Y en un choque elástico? c) Una pelota se deja caer desde una
altura ft sobre una superficie estacionaria y rebota a una altura HI.
Demuestre que e = “v” Hyfn. 'd) Un balón de baloncesto bien infla
do debe tener s = 0.85. Si se le deja caer desde 1.2 m sobre un piso
de madera sólida, ¿a qué altura debe rebotar? e) La altura del pri
mer rebote es H1. Demuestre que, si e es constante, la altura deln ésimo rebote es H,, = e2"n. f) Si e es constante, ¿qué altura tiene
el octavo rebote del balón bien inflado que se soltó desde una altu
ra de 1.2 m?
8.102 Energía de enlace de la molécula de hidrógeno. A1 com
binarse dos átomos de hidrógeno de tnasa nt para formar una mo
lécula diatómica (Hl), la energia potencial final del sistema es A,
donde ó. es una cantidad positiva llamada ener gt'n de enlace de la
molécula. a) Demuestre que, en un choque en el que sólo intervie
nen dos átomos de H, es iinposibte formar una molécula de Hg por
que no se pueden conservar simultáneamente la cantidad de
movimiento y la energia. (Sn:gerencto.' Si puede demostrar que esto
se cumple en un marco de referencia, será verdad en todos los mar
cos de referencia. ¿Entiende por qué?_) b) Una molécula de l ly pue
de formarse en un choque en el que intervienen tres átomos de
hidrógeno. Suponga que, antes del choque, cada átomo tiene rapi
dez de l,l][l X 103 mts y se acercan con ángulos de 120° de modo
que en todo momento están en los vértices de un triángulo equilá
reto. Calcule la rapidez de la molécula de Hg y del átomo de H res
tante después del choque. La energia de enlace del H; es A = 7 .23
_ 2 llJ"i9 J, y la masa del átomo de I l es de 1.6? Tri 10 2? kg.
SJD3 Un bandido suelta una carreta con dos cajas de oro (masa to
*_=l = Í (lt) kg) que estaba en reposo 50 m cuesta arriba de una pen
:ìierite de ó.U'° (Fig. 8.46). El plmt es que la carreta baje la cuesta,
7; e .ie por terreno plano y luego caiga en un cañón donde sus cóm
Problemas 325
«,__g,¬L\
¬¬¡""t.f ff'
f :__ "
300 kg Í
` H | 40 rn al cañón%í
Figura 8.46 Problema 8.103.
II?.
plices esperan. Sin embargo, en un árbol a 40 m del borde del ca
ñón están el Llanero Solitario (masa 75.0 kg) y Toro (masa ótlü
kg), quienes se dejan caer verticalmente sobre la carreta al pasar és
ta. a) Si nuestros héroes necesitan 5.0 s para tomar el oro y saltar.
¿lo lograrán antes de que la carreta se despeñe? La carreta rueda
con fricción despreciable. b) Cuando los héroes caen en la carreta.
¿se conserva la energia cinética del sistema de los héroes más la ca
rreta? Si no, ¿aumenta o disminuye, y cuánto?
*8.104 En la sección 8.6 consideramos un cohete que se dispara
en el espacio exterior donde no hay resistencia del aire y la grave
dad es despreciable. Suponga ahora que el cohete acelera vertical
mente desde el reposo en la superficie terrestre. Siga haciendo caso
omiso de la resistencia del aire y considere sólo la parte del movi
miento en la que la altura del cohete es pequeña y g puede suponer
se constante. a) ¿Cómo modifica la ecuación (8.37) la presencia de
la fuerza de gravedad? b) Deduzca una expresión para la acelera
ción n del cohete, análoga a la ecuación (8.39). c) ¿Qué aceleración
tiene el cohete del ejemplo 8.16 (sección 8.6) si está cerca de la su
perficie terrestre en vez de en el espacio? Haga caso omiso de la re
sistencia del aire. d) Calcule la rapidez del cohete del ejemplo 3.1?
(sección 8.6) después de 90 s si parte de la superficie terrestre. Pue
de despreciar la resistencia del aire. Compare su respuesta con la
rapidez calculada en el ejemplo 8.1?.
*8.105 Cohete multietapas. Suponga que la primera etapa de un
cohete de dos etapas tiene masa total de l2,0Útl kg, siendo 9421013 kg
combustible. La masa total de la segunda etapa es lütltl kg, siendo
700 kg combustible. Suponga que la rapidez relativa um del mate
rial expulsado es constante, y haga caso omiso de efectos gravita
cionales (que son pequeños durante el periodo de encendido si la
razón de consumo de combustible es alta). a) Suponga que todo el
combustible de este cohete de dos etapas se utilizara en un cohete
de una sola etapa con la mistna masa total de l3,lJ{`lll kg. En térmi
nos de t›,,_,_,_., ¿qué rapidez tendria el cohete, partiendo del reposo, al
agotarse el combustible? b) En cuanto al cohete de dos etapas, ¿qué
rapidez tiene al agotarse el combustible de la primera etapa si ésta
transporta la segunda etapa hasta este punto? Esta rapidez es ahora
la rapidez inicial dela segunda etapa, que en este punto se separa de la
primera. c) ¿Qué rapidez final tiene la segunda etapa? d) ¿Qué va
lor de om se requiere para impartir a la segunda etapa del cohete en
cuestión una rapidez de ?.tlÚ kntfs?
*8.106 La ecuación F = u,,,,(dnt?dt) para el empuje que recibe
un cohete, ecuación (3.38), también puede aplicarse a la hélice de un
avión. Ett realidad, hay dos contribuciones al empuje, una positiva
y ona negativa. La positiva proviene del aire que es empujado hacia
atrás, alejándose dela hélice (de modo qtte drnfrír =:C D), con una ra
pidez o,,,_,,, relativa a la hélice. La contribución negativa proviene de
i
pablo
Resaltar
Super importante!!! 
Fillïl I L
'.|¡.¡I..| II IlI l . ï.|I'*_'. F_'_¡I'_¡u I ' 1
i
325 ' cs P i r U L o 3 I Cantidad de movimiento, impulso y choques
esta ntisma cantidad de aire que entra en la hélice por el"frente (de
modo que d'ntfn? Z' =› il) con rapidez ti, igttal a la rapidez del avión res
pecto al aire. a) Escriba una ecuación para el empuje neto desarro
liado por una hélice de avión en términos de u, o,,,,, y el valor
absoluto ln'nn'dt|. b) En el caso de un Cessna lS2 (avión de una sola
hélice) qtte vuela a l3tJ lortth, 150 kg de aire fluyen a través de la hé
lice cada segundo y la hélice desarrolla un empuje neto de 1300 N.
Determine el aumento de rapidez (en kmƒh) que la hélice imparte
al aire. _
*8.1lJ? Para el cohete descrito en los ejemplos 8.16 y 8.17 (se c
ción 8.6), la masa del cohete en función del tiempo es
.U1 U ¿Í 0
l2ü s
nt¿,f4 parar E: 90 s
nt(t) = n t,¡,(l ij paraü fs' t E 90 s
a) Calcule y grafique la velocidad del cohete en función del tiempo
desde r = t] a tf = lütl s. b) Calcule y grafique la aceleración del co
hete en función del tiempo en ese lapso. c) Una astronauta de 75 kg
descansa en una silla reclinada durante el lanzamiento del cohete.
¿Qué fuerza neta máxima ejerce la silla sobre la astronauta? Com
pare su respuesta con el peso de ella en la Tierra. _
Problemas de desafio
8.108 Imagine que en la fiesta de cumpleaños de su tia Ema va a
divertirla y saca de un tirón el mantel que está debajo de los platos.
El pastel descansa en un mantel en el centro de una mesa redonda
de radio r = 0.90 m. El mantel tiene el tnismo radio. Usted sujeta el
borde del mantel y da un tirón brusco. El tnantel y el pastel están en
contacto un tiempo r después del inicio del tirón. Luego el pastel se
rá detenido (ojalá) por la fricción entre él y la mesa. Los coeficien
tes de fricción cinética son: entre el pastel y el mantel, uk, = 0.30, y
entre el pastel y la mesa, uk; = U.4ll. Aplique la relación del impulso
y la cantidad de movimiento (ecuación 8.9) y el teorema detrabajo
energia (ecuación 6.6) para calcular el valor máximo de tpara que el
mantel no termine en el piso. (Sugerencia: Suponga que el pastel se
mueve una distancia nl estando sobre el mantel y una distancia r tí
deslizándose sobre la tnesa. Suponga que las fuerzas de fricción son
independientes de la rapidez relativa de las superficies deslizante s.
lntente el truco sacando una hoja de papel de debajo de un vaso con
agua, ¡pero tenga a mano un trapeador por si acasol)
8.109 En la sección 3.5, ealculamos el centro de masa considerando
objetos constituidos por un númerofinlro de tnasas puntuales u obje
tos que, por sirnettia, pueden representarse con un número finito de
tnasas puntuales. Si la distribución de masa de un objeto sólido no
perinite una determinación simple del centro de masa por simettia,
las sumas de las ecuaciones (8.28) deben generalizarse a integrales:
et ,, _t _,.t_.,,,, M .t rn j cm M j, nt
donde .t y _t son las coordenadas de un fragmento pequeño del ob
jeto con masa dni. Se integra sobre todo el objeto. Considere una
varilla de longitud L, masa M y área transversal A dispuesta sobre
el eje +x, con el origen de coordenadas en el extremo izquierdo de
la varilla. a) Si la densidad p = Mil? del objeto es unifotnte, realice la
integración anterior para demostrar que la coordenadax del centro
de masa está en el centro geométrico de la varilla. b) Si la densidad
del objeto varia linealmente con x según p = on: (donde nt es una
constante positiva), calcule la coor
denada x del centro de masa. J'
8.110 Use los métodos del pro
blema de de safio 8.109 para
calcular las coordenadas .r yy del
centro de masa de una placa me
tálica semicircular con densidad
uniforme p, espesor t y radio tt.
La masa de la placa es entonc es
M = jp rrnit. Use el sistema de
coordenadas de la figura 8.47. gegafiü 3_11p_
8.111 Una cuarta parte de una .
cuerda de longitud I cuelga del borde de una mesa sin fricción.
La c uerda tiene densidad lineal (masa por unidad de longitud) uni
forme Jt, y el extremo que está sobre la mesa es sostenido por una
persona. ¿Cuánto trabajo realiza ésta si tira de la cuerda para subir
lentatnente a la mesa el resto de la cuerda? Resuelve el problema de
dos maneras: a) Calcule la fuerza que debe ejercer la persona para
subir la cuerda, y con esto calcule el trabajo efec tuado. L a fuerza es
variable porque en cada instante el tramo de cuerda que cuelga es di
ferente. b) Suponga que e l segmento de cuerda que originalmente
cuelga tiene toda stt masa concentrada en su centro de masa. Calcu
le el trabajo necesario para elevar éste a la altura de la mesa. Es pro
bable que este enfoque le parezca más fácil que el de la parte (a). ¿I lay
diferencias en sus respuestas? ¿Por qué?
*8.112 Gota de lluvia de masa variable. En un problema de pro
pulsión de cohetes, la masa es variable. Un problema similar es una
gota de lluvia que cae a través de una nube de gotitas de agua, algu
nas de las cuales se adhieren a la gota tt tnn.en.tnnnlo su masa al caer.
La fuerza sobre la gota es
Figura 8.4? Problema de
F " iq' ' ing + cditt* to rn ar
Suponga que la masa de la gota depende de la distancia x que ha
caido. Entonces, nt = lor, donde it es constante, y olnnldr = ko. Dado
que F,_,,,, = ntg, este da
HT : H“l_“' Udu + (kn)3 to
O bien, dividiendo entre lt,
x de U2
= Jr E
3 dr
Ésta es una ecuación diferencial con solución de la ferina c = nt,
donde n es la aceleración constante. Suponga que la velocidad ini
cial de la gota es cero. a) Usando la solución propuesta para u,
calcule la aceleración n. b) Calcule la distancia que la gota cae en
t = 3.00 s. c) Con it = 2.00 glm, calcule la masa de la gota en tf = 3.tllÍl s.
Otros aspectos interesantes del problema pueden consultarse en li. S.
Krane, Antec Jona Phys., vol. 49 (1981), págs. l 13 l 1?.
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