Eym5_c

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Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 1
Página 1
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-1
• Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo 
Magnético almacenada en un volumen V como:
– Si lo que se desea es calcular la energía asociada a una distribución, V
debe abarcar toda la región en la que exista campo magnético: 
habitualmente todo el espacio.
– Observando esta expresión se intuye que la energía se encuentra 
almacenada en donde existe campo. Por tanto es posible definir una 
densidad de energía por unidad de volumen como:
– La energía de una distribución debe ser positiva. En el caso concreto de 
medios isótropos y lineales:
– Sólo toma el valor 0 si los campos son nulos.
Energía del Campo Magnético Estacionario
∫∫∫ ⋅=
V
m dVHBW
rr
2
1
HB
dV
dWm rr ⋅=
2
1
0
2
1
2
1
2
1 22
≥
µ
=µ=⋅= BHHB
dV
dWm rrrr
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-2
Relación Energía - Corrientes
• Puesto que el campo magnético tiene su origen en las corrientes, es 
interesante relacionarlas con la energía.
– Como punto de partida conviene recordar que:
– y sustituyendo en la expresión de la energía:
– Si el campo cumple las condiciones de regularidad en el infinito la 
primera de las integrales se cancela: 
» al hacer tender la superficie S al infinito
• Por tanto:
– V se puede limitar al volumen en que hay corrientes.
∫∫∫ ⋅=
JV
m dVJAW
rr
2
1
( ) ( ) JAHABH
JHAB
HAAHHA rrrrrr
rrrr
rrrrrr
⋅+×⋅∇=⋅⇒
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=×∇×∇=
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇
;
( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅×=⋅+×⋅∇= VSVVm dVJASdHAdVJAdVHAW
rrrrrrrrr
2
1
2
1
2
1
2
1
( ) ( ) 01,1,1 3232 =⋅×⇒∝⋅×⇒∝∝∝ ∫∫∫∫
∞→ SSSS
SdHAlim
r
SdHArS
r
B
r
A
rrrrrrrr
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 2
Página 2
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-3
∫∫∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅= CS SVm ldA
IdSJAdVJAW
rrrrrr
22
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
′
′−
⋅′
π
µ
=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⋅=
′
′−
′
π
µ
=
V Vm
Vm
V
dVVd
rr
rJrJW
dVJAW
Vd
rr
rJrA
rr
rrrr
rr
rr
rr
rr
8
2
1
4
( ) ( )
∫ ∫∫∫ ∫∫ ′′ ′−
⋅′
π
µ
=′
′−
⋅′
π
µ
=
C CmS S
SS
m rr
ldldIWdSSd
rr
rJrJW rr
rr
rr
rrrr
88
2
Relación Energía - Corrientes (2)
• La expresión anterior puede generalizarse para el caso de corrientes 
superficiales y filiformes:
– Hay que mencionar que la expresión para corrientes filiformes conduce a 
una energía infinita. Esto no debe preocupar ya que se trata de una 
aproximación de corrientes que circulan por conductores muy delgados.
• Se puede seguir eliminando los campos de la expresión de la 
energía: Así para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:
– Y para distribuciones superficiales y filiformes:
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-4
Energías de interacción y formación
• Los conceptos de energías de formación y de interacción son 
también aplicables a la energía asociada al campo magnético:
» Se puede demostrar que
siguiendo un procedimiento similar al seguido para demostrar:
– Las energías de formación deben ser positivas.
– Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como 
negativas.
( ) ( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+⋅+
+=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
+ 12121
212211
212211
2121
2
21
2
1
2
1
2
1
2
1
nInteracció2Formación1Formación
2
1
2
1
Total
VVV
VVV
VV
V
m
dVAJdVAJdVAJ
dVHHdVHHdVHH
dVAAJJ
dVHHW
rrrrrr
rrrrrr
rrrr
rr
µµµµ
∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅
21
1221
VV
dVAJdVAJ
rrrr
∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=
JVV
m dVJAdVBHW
rrrr
2
1
2
1
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 3
Página 3
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-5
Energía magnética de una corriente filiforme.
• La energía magnética de una corriente filiforme es infinita.
– Si se escoge un elemento de longitud 
suficientemente pequeña como para considerarlo recto,
El campo a una distancia D<∆R<<∆L será 
fundamentalmente el debido al 
propio elemento, considerado como de 
longitud infinita:
– La energía almacenada en esta región (cilindro) será:
– La energía es infinita en las proximidades de la corriente filiforme.
» Es decir, donde la aproximación de corriente filiforme no es válida. 
∆L
∆R
z
( ) ϕ
πρ
≈ ˆ
2
IrH r
r
( ) ∞=−∆
π
∆µ
=
ρ
ρ
π
∆µ
=
=ϕρρ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
πρ
µ
=
µ
=∆
∫
∫ ∫ ∫∫∫∫
∆
∆+ π ∆
∆
0lnln
44
222
2
0
2
2
0 0
2
2 0
0
RLIdLI
dzddIdVHW
R
Lz
z
R
V
H
r
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-6
Energía de interacción de sistemas de 
corrientes lineales
• Si se tiene un sistema de corrientes que 
pueda aproximarse por corrientes filiformes, 
la energía magnética de interacción entre dos
de los contornos, Ci y Cj, toma la forma:
– Como el flujo a través de Ci del campo debido a Ij vale:
– Resulta:
– Es más, puesto que, para medios lineales, el campo total es la suma de 
los campos creados por cada corriente, la suma de las energías de 
interacción será:
I1
C1
Ik
Ck
IN
CN
∑ ∑∑ ∑
∑∑∫∫∫∫∑∫∫∑
=
≠
== +=
Φ=Φ=⇒
⇒Φ=⋅=⋅=⋅=Φ⇒=
N
i
N
ij
j
jii
N
i
N
ij
jiim
j
ji
j S
j
S j
j
S
i
j
j
IIW
SdBSdBSdBBB
iii
1 1
,
1 1
,
,
2
1
rvrvrrvr
∫ ⋅=
iC
ijijiH ldAIW
rr
,
( ) ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅×∇=⋅=Φ
iC
ij
iS
j
iS
jji ldASdASdB
rrrrrr
,
jiijim IW ,, Φ=
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 4
Página 4
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-7
Coeficientes de Inducción Mutua
• En medios lineales existe una relación de proporcionalidad entre la 
corriente y el campo que esta genera. Esta proporcionalidad, 
consecuencia de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se 
extiende también al flujo.
– Este factor de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de 
inducción: Li,j
– En función de Li,j la energía de interacción queda como:
– Recordando que: 
Se obtiene fórmula de Neumann:
» Nota: el coeficiente de autoinducción, Li,i , es infinito. 
∑∑∑ ∑
≠≠
=Φ=
i
ij
j
jiji
i
ij
j
jiim LIIIW ,, 2
1
2
1
∫ ∫ −
⋅
π
µ
=
i jC C ji
ji
ji rr
ldld
L rr
rr
4,
∫ ∫ ′ ′−
⋅′
π
µ
=
C Cm rr
ldldIW rr
rr
8
2
jji
S
ijji ILSdB
i
,, =⋅=Φ ∫∫
rr
∫∫ ⋅=
iS
ij
j
ji SdBI
L
rr1
,
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-8
Coeficientes de inducción de distribuciones no 
filiformes
• Se ha visto que existen dos métodos para el cálculo de coeficientes 
de inducción mutua para corrientes filiformes: la fórmula de Neumann 
y la energía.
– La expresión basada directamente en la energía se utiliza para 
generalizar la definición de coeficiente de inducción mutua a 
distribuciones superficiales y volumétricas.
– Esta misma expresión puede utilizarse para definir el coeficiente de 
autoinducción de una distribución superficial o volumétrica:
» La presencia del factor 2 en la expresión de la autoinducción y su 
ausencia en la de los coeficientes de inducción mutua proviene de 
las definiciones de energías de formación e interacción. 
∫ ∫ −
⋅
π
µ
=
i jC C ji
ji
ji rr
ldld
L rr
rr
4,
( )
∫∫∫ ⋅
µ
==
V
ji
jiji
jim
ji dVHHIIII
W
L
rr,
,
( )
∫∫∫==
V
i
ii
iim
ii dVHII
W
L
2
22
,
,
2 rµ
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 5
Página 5
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-9
Energías de interacción y formación
• Los conceptos de energías de formación y de interacción son 
también aplicables a la energía asociada al campo magnético:
• Las energías de formación deben ser positivas.
• Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como 
negativas.
( ) ( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
++
⋅+⋅+⋅
⋅µ+⋅µ+⋅µ
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+⋅+
+µ
=
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∑∑
∫∫∫
∫∫∫
+
2,1212,2
2
21,1
2
1
212211
212211
2 2
,
2121
2
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
nInteracció2Formación1Formación
2
1
2
1
2
1
Total
21
LIILILI
dVAJdVAJdVAJ
dVHHdVHHdVHH
LII
dVAAJJ
dVHH
W
VVV
VVV
i j
jiji
VV
V
m rrrrrr
rrrrrr
rrrr
rr
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-10
• Los coeficientes de inducción son parámetros geométricos.
– su valor no depende de las corrientes quecirculan tal como puede verse 
de su expresión.
• Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji
– Se deduce de su expresión.
– (ojo) Su signo cambia si se cambia el sentido considerado como
positivo para una de las corrientes, circulaciones o flujos.
• Los coeficientes de autoinducción de circuitos filiformes son infinitos
– Las integrales son impropias.
– La energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita.
– Las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física.
» Se necesita energía infinita para hacer pasar una corriente finita por 
un conductor de sección transversal nula. 
• Los coeficientes de autoinducción de distribuciones volumétricas o 
superficiales son finitos y positivos.
Propiedades de los Coeficientes de Inducción 
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 6
Página 6
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-11
Autoinducción de distribuciones volumétricas
• El coeficiente de autoinducción de distribuciones volumétricas se 
define a partir de su energía:
• Puesto que parte de esta energía se está asociada al campo en el
interior de la distribución y parte fuera, se acostumbra a 
descomponer la autoinducción en dos sumandos, llamados:
– coeficiente de autoinducción interno, asociado a la energía interior.
– coeficiente de autoinducción externo, asociado a la energía exterior.
– Es posible relacionar estos coeficientes de autoinducción con el
concepto de flujo. 
∫∫∫ ⋅== V
m dVHB
II
WL
rr
22
12
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅==
⋅==
⇔
⎭
⎬
⎫
+=
+=
∫∫∫
∫∫∫
e
i
V
em
e
V
im
i
ei
emimm
dVHB
II
W
L
dVHB
II
W
L
LLL
WWW
rr
rr
22
,
22
,
,,
12
12
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-12
• Datos de la distribución de corriente
– Radio a.
– Se supone que la corriente se distribuye de forma uniforme:
– El campo creado es:
– Calculando el coeficiente de autoinducción a partir de la energía:
» En el exterior:
» El coeficiente de autoinducción externo por unidad de longitud es 
infinito. (Debido fundamentalmente a que no se cumplen las 
condiciones de regularidad)
Autoinducción de un Hilo Conductor 
Cilíndrico Indefinido.
2
0
2
I
WL m=
a
Z
I0
∞=
ρ
ρ
π
µ
=ρϕρ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
πρ
µ= ∫∫ ∫ ∫
∞+ ∞
=ρ
π
=ϕ a
lz
z a
ext ddzddI
lIl
L
22
1 0
0
2
0
2
0
2
0
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ρ≤ϕ
πρ
≤ρ≤ϕ
ρ
π=
aI
a
a
I
rH
;ˆ
2
0;ˆ
2
0
2
0
rr
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 7
Página 7
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-13
• En el interior:
– Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción 
interna por unidad de longitud que puede ser importante.
– Puesto que el campo en el interior de un hilo cilíndrico será 
fundamentalmente debido a la corriente que circula por él, este resultado 
se puede utilizar como aproximación en muchos casos.
Autoinducción Interna de un Hilo Conductor 
Cilíndrico Indefinido.
ϕ
ρ
π
= ˆ
2 2
0
a
IHi
r
π
µ
=ρϕρ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ρ
π
µ= ∫ ∫=ρ
π
=ϕ 1622
1 20
0
2
0
2
2
0int Idd
a
I
l
W a
( ) mnH50
8
2
2
intint =
π
µ
== m
H
I
mW
l
L
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-14
• En el conductor interior:
– la situación es idéntica a la del hilo indefinido:
• En la región intermedia:
– La autoinducción externa 
por unidad de longitud:
• En el conductor exterior:
Autoinducción de un Cable Coaxial
ϕ
πρ
= ˆ
2
0IH
r
∫ ∫∫= = ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
b
a
b
a
ext
a
bdddI
Il
L
ρ
π
ϕ π
µ
ρ
ρ
π
µρϕρ
πρ
µ ln
222
2
0
2
0
2
0
( )
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−−
−
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
= ∫ ∫ ∫= = =
442224
222
1
0
2
0
22
22
0
2
0
int
4
1ln
2
2
1
bcbcc
b
cc
bc
dzddc
bc
I
Il
L
z
c
b
π
µ
ρϕρρ
ρπ
µ
ρ
π
ϕ
π
µ
==
8
2
2
0,0
i
aHa
lI
W
l
L
Z
I0
a
b
c
I0
( ) ( ) ϕρρπ ˆ2
2
22
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
c
bc
IrH r
r
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 8
Página 8
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-15
• Utilizando:
• Para valores normales, α= [1.5, 5], el coeficiente de inducción interno 
del conductor interior contribuye a la inducción total de forma 
significativa.
Autoinducción de un Coaxial. (2)
α
π
µ
=
π
µ
=⇒=α ln
2
ln
2 a
b
l
L
a
b ab
1 2 3 4 5
0
Lab/l
α
400nH/m
200nH/m
L0a /l
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-16
Autoinducción de un Coaxial. (3)
• Utilizando:
• Para valores normales, β<1.2, el coeficiente de inducción interno del 
conductor exterior no contribuye a la inducción total de forma 
significativa.
( ) ( ) ( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−ββ−
−β
+ββ
−βπ
µ
=
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+−−
−π
µ
=⇒=β
1
4
1ln
1
1
2
4
1ln
2
22
4
4
22
442224
222
bcbcc
b
cc
bcl
L
b
c bc
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
β
40nH/m
60nH/m
80nH/m
20nH/m l
Lbc
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 9
Página 9
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-17
Autoinducción: Método de los tubos de flujo.
• En un medio isótropo el dV puede construirse
a partir de un dS ortogonal a las líneas de 
y un dl paralelo a las líneas de .
–
La integral de contorno, según la ley de Ampère es la corriente 
encerrada por el contorno, es decir, por el tubo de flujo. Denominando a 
esta corriente I(CH) resulta:
– Para que esta expresión se pueda aplicar, el flujo debe calcularse según 
una superficie normal a las líneas de campo, y que I(CH) es la corriente 
encerrada por la línea de campo correspondiente al dΦ.
∫∫ ∫∫∫∫ Φ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=⋅=
B HS
B
CV
m dldHdVHBW
rrrr
2
1
2
1
r
B
r
H
( )( ) ( ) BdldHSdBldHdVHB Φ⋅=⋅⋅=⋅
rrrrrrrr
( )∫∫ Φ=
BS
BHm dCIW 2
1
I
dS
r dl
r
( ) ( )
( )( ) ( )( )ldHSdB
dV
ldSdHB
SdHldB
rrrr
43421
rrrr
rrrr
⋅⋅−⋅⋅=
=×⋅×=0
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-18
Autoinducción: Método de los tubos de flujo.
• Si no hay líneas de campo que corten a las corrientes es posible
separar las energías de las regiones interna y externa:
– Obsérvese que la corriente encerrada por las líneas de campo externas 
es constante y en muchos casos coincide con la corriente total.
• En este caso los coeficientes de inducción interno y externo quedan 
como:
– En un conductor filiforme no existe la región interior y, por tanto, la única 
contribución a L es la externa.
( ) ∫∫∫∫ Φ+Φ=
eS
B
iS
BHm d
IdCIW
22
1
( )
II
d
I
W
L
I
dCI
I
W
L eBeS
B
em
e
iS
BH
im
i
,
2
,
22
, 2;
2 Φ
=
Φ
==
Φ
==
∫∫∫∫
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 10
Página 10
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-19
• Utilizando el método de 
los tubos de flujo:
– Para el cable coaxial la autoinducción 
externa por unidad de longitud se 
obtiene del flujo a través de la sección 
Se indicada en la figura.
– La autoinducción por unidad de 
longitud correspondiente resulta:
– De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor 
interior a partir del flujo a través de Si :
Autoinducción Cable Coaxial
∫ ∫∫= =ρ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
µ
=
ρ
ρ
π
µ
=ρ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
πρ
µ=Φ
1
0
ln
222z
b
a
b
a a
bIdIdzdI
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
µ
=
Φ
=
a
b
Im
L extext ln
2
( ) ∫ ∫∫∫∫ = =ρ π
µ
=ρρ
π
µ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ρ
ρ
π
µ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
π
πρ
=Φ′=
1
0 0
3
40 22
2
22 822
11
z
aa
Si
d
a
dzd
a
I
a
I
I
dlI
I
L
i
b
a
dρ
z=0 z=1
Se
Si
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-20
Línea Bifilar.
• Una línea bifilar está formada por dos 
conductores cilíndricos paralelos por los 
que circula la misma corriente en sentidos 
contrarios.
I
I
aa d
4 2 0 2 4
2
1
0
1
2
B
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 11
Página 11
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-21
Línea bifilar. (2)
• Aproximaciones para d>>a:
– Dentro de cada conductor el campo es el propio.
– En la superficie de los conductores el campo es tangencial
4 2 0 2 4
2
1
0
1
2
B
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-22
Línea Bifilar (3)
• Aproximación 1:
– Dentro de cada conductor el campo es el debido a su propia corriente:
» La energíadentro de cada conductor será la misma que para un 
conductor sólo.
» El coeficiente de autoinducción interno será el doble del de un 
conductor cilíndrico indefinido:
nH/m100
48
2 =
π
µ
=
π
µ
=iL
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 12
Página 12
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-23
Línea Bifilar. (4)
• Aproximación 2:
– El campo es tangencial a las superficies.
» Esto permite aplicar la fórmula del flujo 
del campo magnético utilizando 
cualquier superficie limitada por los 
conductores.
» Como: y utilizando la simetría.
» Utilizando la superficie y=0.
• Resultado:
Xb
Zb
Yb
rra
rrb
ϕb
d xb$
a
addzdI
Il
L
z
ad
a
e −
π
µ
=ρϕ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ϕ
πρ
µ
= ∫ ∫=
−
=ρ
lnˆˆ
2
12
1
0
ba BBB
rrr
+=
I
SdB
I
SdB
I
SdB
I
SdB
L eS
b
eS
b
eS
a
eS
e
∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅
=
⋅
+
⋅
=
⋅
=
rrrrrrrr
2
a
ad
l
L −
π
µ
+
π
µ
= ln
4
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-24
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5 10 7
1 10 6
d/a
30
L
l
d a
a
e aprox, ln= −µ
π
L
l
d
a
e exacto, ln= µ
π
4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
5
10
15
20
25
d/a
Error
Línea Bifilar. (5)
• La figura compara los valores autoinducción externa en función de la 
relación d/a para las expresiones exacta Le y aproximada La por 
unidad de longitud.
• El error relativo cometido 
al usar la expresión 
aproximada es menor
del 5% para d/a > 10.
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 13
Página 13
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-25
• Aproximación para el cálculo de la inductancia:
– Si w>>d, se puede suponer que las líneas de 
campo tienen el aspecto de la figura:
» No cortan a los conductores.
» Así se puede aplicar fácilmente el 
método de los anillos de flujo, lo que equivale a calcular el flujo entre 
dos puntos cualquiera de los conductores:
» Y la inductancia:
• Cálculo exacto:
– El cálculo exacto conviene hacerlo a través de:
» Es engorroso.
Autoinducción de una línea biplaca.
( ) ( )
w
dIdlnBIdlnBCIdCI
ll
W
BLBL
H
BS
BH
m
2
ˆ
2
ˆ
2
1
2
1 2µ
=⋅=⋅=Φ= ∫∫∫∫
rr
w
d
I
W
l
L m µ== 2
2
dlAJ
l
W
SJ
S
m
rr
⋅= ∫2
1
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-26
Autoinducción de una línea biplaca. (2)
• Comparación entre el valor aproximado de la inductancia y el exacto:
– Las escalas son logarítmicas.
w/d
L/l
1 10 100
10µH/m
1µH/m
0.1µH/m
0.01µH/m
Exacta
Aproximada
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 14
Página 14
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-27
• Sea un arrollamiento sobre un toroide de 
sección transversal rectangular como el 
indicado en la figura de radios a y b y altura d. 
• El arrollamiento tiene N espiras totales y la 
corriente que circula es de I amperios.
– El campo en su exterior es nulo.
– El campo en su interior es:
» Verifica la ley de Ampère y las condiciones en el infinito y en la 
superficie del solenoide.
• El flujo en una espira:
• El flujo total será N veces el anterior, y 
Autoinducción de un Solenoide Toroidal
ϕ
πρ
= ˆ
2
NIH
r
a
bNIddzdNI
d
z
b
aex
ln
2
ˆˆ
20 π
µ
=ρϕ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ϕ
πρ
µ=Φ ∫ ∫= =ρ
a
bdN
I
NL ex ln
2
2
π
µ
=
Φ
=
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-28
Inducción mutua entre dos espiras.
• Sean las dos espiras de la figura:
» Filiformes
» Contenidas en planos paralelos 
separados una distancia d.
» Coaxiales de radios a y b.
– Al ser filiformes se puede aplicar 
la fórmula de Neumann:
» Los diferenciales de longitud son:
X
r rr r1 2−
a
b
d
C2
C1
Z
Y
dl
r
1
dl
r
2
∫ ∫ −
⋅
π
µ
=
1 2 21
21
12 4 C C rr
ldldL rr
rr
( )
( )
( ) ( ) 211221212121
22222
11111
coscoscossensen
ˆcosˆsenˆ
ˆcosˆsenˆ
ϕϕϕ−ϕ=ϕϕϕϕ+ϕϕ=⋅
ϕ+ϕ−=ϕϕ=
ϕ+ϕ−=ϕϕ=
ddabddabldld
yxbbdld
yxaadld
rr
r
r
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 15
Página 15
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-29
Inducción mutua entre dos espiras circulares.
» Los vectores de posición y el módulo de su diferencia:
» Sustituyendo:
» Realizando el cambio: 
( )
( )
( ) ( )
( ) 2122212
121212
2222
1111
cos2
ˆˆsensenˆcoscos
ˆˆsenˆcosˆˆ
ˆsenˆcosˆ
dabbarr
zdyabxabrr
zdyxbzdbr
yxaar
+ϕ−ϕ−+=−
+ϕ−ϕ+ϕ−ϕ=−
+ϕ+ϕ=+ρ=
ϕ+ϕ=ρ=
rr
rr
r
r
( )
( )∫ ∫
π
=ϕ
π
=ϕ +ϕ−ϕ−+
ϕϕϕ−ϕ
π
µ
=
2
01
2
02 2
12
22
2112
12
cos2
cos
4 dabba
ddabL
12 ϕ−ϕ=α
∫∫ ∫
π
=α
π
=ϕ
ϕ+π
ϕ=α +α−+
ααµ
=
+α−+
αϕα
π
µ
=
2
0 222
2
01
12
1 222
1
12
cos2
cos
2cos2
cos
4 dabba
dab
dabba
ddabL
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-30
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
2
4
6
d/a
b/a=1.1
b/a=1.5
b/a=2
Inducción mutua entre 
dos espiras circulares (2)
– La primitiva de esta última integral implica funciones elípticas.
– La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función 
de la separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y 
tomando como parámetro la relación entre sus radios (b/a). 
» La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son 
coplanares.
» Si las dos espiras son de radios muy parecidos la inducción mutua 
crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares.
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 16
Página 16
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-31
Transporte de energía en un cable coaxial.
• Se ha escogido el cable coaxial para 
ilustrar el transporte de energía 
electromagnética porque es un ejemplo 
realista en el que se pueden calcular los 
campos de forma simple. 
– Si por el cable circula una corriente I0
y en una sección del mismo la diferencia 
de potencial es V0 , entonces es conocido 
que la potencia transmitida será V0 I0. 
– Se va a llegar a este resultado aplicando el teorema de Poynting.
» Si los conductores son perfectos:
Z
I0
a
b
c
I0
( ) ( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
≤≤
−
−
≤≤
≤≤
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
<<
<≤
=
ρ
ρϕρ
πρ
ρϕ
πρ
ρϕ
π
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
c
cb
bc
cI
baI
a
a
I
rH
cb
ba
a
b
V
a
rE
;0
;ˆ
2
;ˆ
2
0;ˆ
2
;0
;ˆ1
ln
0;0
22
22
0
0
2
0
0 rrrr
V0
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-32
Transporte de energía en un cable coaxial.(2)
• La potencia transmitida será igual al flujo del vector de Poynting a 
través de la sección del cable.
– El vector de Poynting sólo es no nulo entre los conductores.
– La potencia transmitida:
– La potencia se transmite a través de la región entre conductores.
» Por los conductores no se transmite energía por que en ellos el 
campo eléctrico es nulo.
» Los conductores guían los campos y, por tanto, la energía.
• Guiar ~ imponer las condiciones de contorno que guían.
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ρ<
<ρ<
ρπ
<ρ<
=×=
b
baz
a
b
IV
a
HErP
;0
;ˆ
ln2
0;0
2
00
rrrr
00
2
0 2
00 1
ln2
IVdd
ab
IVSdP
t
W b
a
S
t =ρϕρ
ρπ
=⋅=
∂
∂
∫ ∫∫∫
=ρ
=ρ
π
=ϕ
rr
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 17
Página 17
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-33
Transporte de energía en un cable coaxial.(3)
• Si los conductores son reales, conductividad finita, habrá campo
eléctrico en su interior:
– De forma aproximada:
δ es una distancia mucho menor que los radios a y b.
– La componente según z del vector de Poynting es como la de 
conductores perfectos, salvo que la diferencia de potencial entre 
conductores varía como consecuencia de su resistencia : 
( ) ( )
( )⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
−
−
−<<+
+≤≤
=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
<<
<≤
=
cb
bc
I
ba
a
a
I
rE
cb
ba
a
b
V
a
rE
b
a
z
ρδ
πσ
δρδ
δρ
πσ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
;
;0
0;
;
;0
;1
ln
0;0
22
0
2
0
0 rr
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) zbca
IIV
dt
zdWz
bca
IVzV
ba
T
ba
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−σ
+
σπ
−=⇒⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−σ
+
σπ
−= 222
2
0
00222
0
00
110110
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-34
Transporte de energía en un cable coaxial.(4)
• También hay una componente radial del vector de Poynting.
– Esta componente es entrante en los conductores y se corresponde con 
la potencia disipada en ellos:
– Para el conductor interior:
– Para el exterior:
( ) ( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨
⎧
ρ≤
≤ρ<
ρ
ρ−
−σπ
δ−<ρ<δ+
δ+<ρ<ρ
σπ
−
=×= ρρ
c
cbc
bc
I
ba
a
a
I
HErP
b
a
;0
;
2
;0
0;
2
22
2222
2
0
42
2
0
rrr
( ) 2
2
0
0
2
0
ˆˆ
ˆ
a
IzdzadPSdP
t
W
a
z
z
Sn
a
t
πσ
=ρϕ−⋅=⋅=
∂
∂
∫ ∫∫∫ =
π
=ϕ
ρ−=
=ρ
rrr
( ) ( )22
2
0
0
2
0
ˆˆ
ˆ
bc
IzdzbdPSdP
t
W
b
z
z
Sn
b
t
−πσ
=ρϕ⋅=⋅=
∂
∂
∫ ∫∫∫ =
π
=ϕ
ρ=
=ρ
rrr
Electricidad y Magnetismo 2005/2006
Magnetostática: Energía y coeficientes de 
inducción 18
Página 18
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-35
Transporte de energía en un cable coaxial.(5)
• Resumen:
– La energía se transmite fundamentalmente por el exterior de los 
conductores.
» Donde existen componentes ortogonales de los campos eléctrico y 
magnético.
– Por el interior de los conductores prácticamente no se transmite energía 
ya que el campo eléctrico es muy débil.
– La energía que entra en un conductor se disipa es forma de calor
» Salvo que el conductor sea muy fino y pueda atravesarlo.
– Los conductores simplemente guían los campos. 
J.L. Fernández Jambrina EyM 5-36
Fórmulas aproximadas de autoinducción
• Autoinducción de un hilo recto:
» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, 
Artech House. ISBN:0-89006-933-6
• Autoinducción de un solenoide: 
» RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, 
Artech House. ISBN:0-89006-933-6
(cm) hilo del diametro
hilo(cm) del longitud
(H) ainductanci
4ln
2
0
=
=
=
=
d
l
L
d
llL
π
µ
(in) solemoide del longitud
(in) solenoide del radio 
 vueltasde numero
H)( ainductanci
109
2
2
=
=
=
=
+
=
d
l
n
L
lr
rnL
µ