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1 Ejercicios de Probabilidad Profesor: Víctor Correa S. Semestre 1 2013 Capítulo 3: Distribución Normal Warning: This section may be bad for your academic health. In order to get any benefit from doing de exercises, do not look at the hints until you have given the problem an honest try are stuck. More importantly, never look at the partial solutions below until you have finished that exercise yourself. The use the answer only to check that you have not made a mistake . “Working backwards” from a solution will never teach you crucial solving skill. George R, Terrel, pag. 437, “Mathematical Statistics: A Unified Introduction”, 1999 Springer. Ejemplo 1 Encuentra el área bajo la curva Normal estándar. a) Entre z = 1,47 y z = 2,47. b) Entre z = 0,83 y z = 1,83 c) Entre z = -2,55 y z = -0,55. d) A la izquierda de z = -1,79. e) A la derecha de z = -1,35 f) A la izquierda de z = 1,37. Rptas: a) 0,06403 b) 0,16964 c) 0,28577 d) 0,03673 e) 0,91149 f) 0,91466 Ejemplo 2 En la curva Normal estándar, encuentra el valor de “z“ para el que se verifica que: a) El área a la derecha de z es igual a 0,2266. b) El área a la izquierda de z es igual a 0,0314 c) El área entre –0,23 y z es igual a 0,5722. d) El área entre 1,15 y z es igual a 0,0730. Rptas: a) z = 0,75 b) z = -1,86 c) z = 2,08 d) z 1,62 Ejemplo 3 Considera una curva Normal con = 75 y 2 =100. Determina el área bajo la curva: a) A la izquierda de x = 60. b) A la derecha de x = 75. c) A la derecha de x = 84. d) A la derecha de x = 55. e) Entre x = 70 y x = 100. f) Determina el valor “x” tal que, el área entre x y 83 es 0,20. Solución Recuerda la propiedad: El área hasta “x” bajo una curva N( , 2 ), es igual, al área hasta el valor estandarizado, (x-)/, en la curva estándar N(0 , 1). Es decir en forma abreviada: P[ X ≤ x, N( , 2 ) ] = P[ Z ≤ ( x - )/, N(0 ,1)] = Φ( (x - ) / ) 2 a) P[ X ≤ 60 ] = P [ Z ≤ (60 - 75)/10 = -1,5 ] = Φ( -1,5) = 0,06681. b) Como el valor 75 es el eje de simetría de la campana N( = 75 , 2 = 100), el área a la derecha es 0,5. Para que te convenzas: P [ X > 75] = 1 - P[ X ≤ 75 ] = = 1 - P [ Z ≤ (75 - 75)/10 = 0] = 1 - Φ( 0 ) = 1 - 0,50 = 0,50. c) P[ X > 55] = 1 - P [ X ≤ 55 ] = = 1 - P[ Z ≤ (55 - 75)/10 = -2,00] = 1 - Φ( 2,00 ) = 1 - 0,97725 = 0,02275. d) Area [ 70 ≤ X ≤ 100] = P [ X ≤ 100 ] - P [ X ≤ 70 ] = = P [ X ≤ (100 - 75)/10 = 2,50 ] - P[ X ≤ (70 - 75)/10 = 0,5 ]- = Φ( 2,50 ) - Φ(-0,50 ) = 0,99379 - 0,30854 = 0,68525. f) Se pide “x” tal que, P[ x ≤ X ≤ 83 ] = 0,20. Pero por otro lado, P [ x ≤ X ≤ 83] = P[ X ≤ 83 ] - P[ X ≤ x ] = P[ X ≤ (83 - 75)/10 = 0,8 ] - P( X ≤ (x - 75)/10 ] = Φ(0,80 ) - Φ((x - 75)/10 ) = 0,25. Así, Φ((x - 75)/10 ) = Φ(0,80 ) – 0,25 = 0,78814 - 0,25 = 0,53814. Mirando la tabla N(0,1) se tiene que, (x - 75)/10 0,10, así, despejando, x 75 + 0,1010 = 76. Nota: Φ(z) = Probabilidad acumulada hasta z en la normal estándar N(0,1). Ejemplo 4 Encuentra las probabilidades siguientes para dos variables aleatorias con distribución normal, Z N(0, 1) y X N(−2, 4). a) P( Z > 2,42) b) P(−1,26 < Z < 1,03) c) P( | Z | 1,84) d) P(1,62 < Z 3,14) : e) P(−4,64 < X < 1,32) f) ¿Qué distribución tiene la variable, Y = 5 − 6Z? g) ¿Qué distribución tiene la variable, W = 8 + 4X? Respuestas: a) 1 − Φ(2,42) = 0,0058 b) Φ(1,03) − Φ(−1,26) = 0,7447 c) Φ(1,84) − Φ(−1,84) = 0,9342 d) Φ (3,14) − Φ(1,62) = 1 − 0,9474 = 0,0526 e) FX(1,32) − FX(−4,64) = Φ((1,32 + 2)/2) − Φ((−4,64 + 2)/2) = Φ(1,66) − Φ(−1,2) = 0,8581 f) Y N( μ , 2 ) μ = 5 y 2 = (−6) 2 = 36 g) X = −2 + 2Z, así W = 8 + 4(−2 + 2Z) = 8Z, de aquí, W N(0, 64) 3 Ejemplo 5 Sea X N( 0, 1). Se sabe que P( X 0,90 ) = 0,816. Si Y N( 2, 4), encuentre “y” tal que P( Y y ) = 0,816. Ejemplo 6 Sea X N( , 2 ). Se sabe que P( X 89 ) = 0,90 y P( X 94 ) = 0,95. Encuentra el valor de y 2 . Indicación: P( X 89) = Φ( ( 89 – µ) /σ ) = 0,90; P( X 94) = Φ( ( 94 – µ) /σ ) = 0,95 . (89 – µ) /σ = 1,28; (94 – µ) /σ = 1,64 1,28σ + µ = 89 1,64σ + µ = 94 Resolviendo el sistema lineal anterior puedes obtener µ y σ. Ejemplo 7 Sea X N( , 2 ). Encuentra el valor de “k” que verifica: a) P( - k < X + k ) = 0,99 b) P( - k < X ) = 0,95 c) P( X + k ) = 0,95 d) Encuentra un intervalo simétrico en torno a de modo que la probabilidad de que X pertenezca al intervalo sea 0,80. Solución a) P( - k < X + k ) = Φ( k ) - Φ( - k ) = 2Φ( k ) -1 = 0,99 Φ( k ) = 1,99/2 = 0,995 TABLA k = 2,57. d) La misma idea, se necesita un intervalos de la forma [ - k , + k ] que contenga X con probabilidad 0,80. Así, 2Φ( k ) -1 = 0,80 Φ( k ) = 1,80/2 = 0,90 TABLA k = 1,28. Ejemplo 8 Sea Z N( 0 , 1 ). a) Encuentra la distribución de la variable aleatoria Y = 165 + 6Z. b) Considera 5 realizaciones de Z N( 0 , 1 ) obtenidas con una simulación con el programa Excel: Usando los valores anteriores, obtén 5 simulaciones de realizaciones de una variable Y N(100,16 ). Rptas: a) Y N( 165 , 36 ). b) Se puede escribir, Y = 100 + 4Z, así, debemos multiplicar por 4 los valores y sumar 100 y se obtiene: -0,30023 -1,27768 0,24426 1,27647 1,19835 98,79908 94,88928 100,97704 105,10588 104,7934 4 Ejemplo 9 Una empresa usa ampolletas que deben permanecer encendidas continuamente, día y noche. Suponga que la vida de una ampolleta puede considerarse como una v.a. normal de parámetros = 50 días y 2 = 361 días 2 y que el 1° de noviembre de 2007 se instalarán 50 ampolletas nuevas. a) Sea X = N° de ampolletas que permanecen encendidas el 1° de diciembre ¿Cuál es la distribución de X? b) ¿Cuál es el N° esperado de ampolletas que permanecen encendidas al 1° de enero de 2007 (defina claramente la v.a aleatoria involucrada). Solución Sea Y = Vida de una ampolleta, Y N( = 50 , y 2 = 361). a) Se tiene X B( n = 50, = P[ Y > 30 ] ) y = P[ Y > 30 ] = 1- P[ Y 30 ] = 1 - Φ ( (30 – 50)/19) = 1 - Φ( -1,05 ) = 1- (1 - Φ(1,05 )) = Φ(1,05 ) = 0,85 b) Sea W = N° de ampolletas que permanecen encendidas el 1° de enero B( n = 50, = P[ Y > 61 ] ) = P[ Y > 61 ] = 1- P[ Y 61 ] = 1 - Φ( (61 – 50)/19) = 1 - Φ( 0,58 ) = 1 – 0,72 = 0,28 E[ W] = 0,2850= 14 ampolletas. Ejemplo 10 El tiempo que demora una persona en llegar a su trabajo tiene una distribución normal con = 36 minutos y = 3 minutos. Supón que la hora de entrada es a las 9:00. a) Supón que la persona tiene una reunión importante a las 9:00 y a las 8:30 recién esta saliendo de su casa, ¿cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo a la reunión? ¿qué significa la probabilidad anterior? b) ¿A que hora debe salir de su casa, cada día, para que sólo una de cada 100 veces llegueatrasado a su trabajo? c) Si las persona trabaja 215 días al año y en cada uno de esos días sale de su casa a las 8:25 ¿En cuantos de los 215 días llegará atrasado? Solución a) La persona tiene 30 minutos para llegar a la reunión, así llega a tiempo si P[ X < 30 ] = P[ (X –36)/3 < (30 –36)/3 ) = Φ( -2,0) = 0,02. La probabilidad anterior significa que si observamos muchos días, en que la persona sale a las 8:30, en aproximadamente, en el 2% de esos días la persona llegaría antes de la 9:00 a su trabajo. b) Sea “c” los minutos antes de las 9:00 que la persona debe salir de su casa para llegar atrasado sólo 1 de 100 veces, es decir, P[ X > c ] = 0,01, es decir, 1 - P[ X < c ] = 0,01, P[ X < c ] = 0,99, Φ( (c – 36 )/3)= 0,99, entonces, (c – 36 )/3) = 2,33, c = 43 minutos. Es decir, la persona debe salir de su casa a las 8:17 cada día. c) Si cada día sale a las 8:25 de su casa entonces la persona tendrá 35 minutos para llegar a tiempo, La probabilidad de llegar atrasado es P[ X > 35 ] = 1 - P[ X < 35 ] = 1 - Φ( (35 – 36)/3 ) =1 - Φ( -0,33) = 0,63. Entonces, de los 215 días que va a trabajar, en aproximadamente, 0,63* 215 = 136 días llegará atrasado. 5 Ejemplo 11 Considera una urna donde las fichas tienen números con una distribución normal con media mil ciento cuarenta y desviación estándar ciento noventa. Si se selecciona al azar una ficha, sea X = número en la ficha, entonces: a) ¿Cuál es la probabilidad de que X sea superior a mil trescientos? ¿Qué significa la probabilidad anterior? b) ¿cuál es la probabilidad de que X esté entre novecientas y mil trescientos? c) Para una ficha elegida al azar, sin hacer los cálculos, indica en cual de los siguientes intervalos es menos probable que esté X, 1.100-1.300 o 1500-1.600. Explique. Solución Distribución normal media = 1140 y desviación = 190, entonces: a) P( X > 1300 ) = 1 - P(X < 1300) = 1 - Φ( (1300-1140)/190 ) = 1 - Φ( 0,84 ) = 1 - 0,79955 = 0,20. La probabilidad anterior, significa que si extraemos muchas fichas al azar desde la urnal, entonces, en aproximadamnete el 20% de las fichas, el valor será superior a 1.300 puntos. b) P( 900 < X < 1300 ) = P(X < 1300) - P( X < 900 ) = Φ( (0,84) - Φ( -1,26 ) = 0,79955 - 0,10383= 0,70. c) Como la curva normal tiene forma de campana alrededor de la media 1140, a medida que nos alejamos del centro, el área (probabilidad) disminuye, de modo, dado intervalos del mismo tamaño, el intervalo más lejos de la media, 1500 - 1600, es el que tiene la menor probabilidad de contener un valor de X . Ejemplo 12 El número X de bebidas que se pueden vender en un puesto durante un partido de fútbol tiene una distribución normal con media 1.085 y desviación estándar 142. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 1.200 bebidas? ¿Qué significa la probabilidad anterior? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que se vendan entre 950 y 1300 bebidas? Suponga que el vendedor paga 250 pesos por cada bebida y las vende a 400 pesos. Por lo tanto, por cada una que vende obtiene una utilidad de 150 pesos. Además, el vendedor tiene un costo fijo de $ 67.750. c) Exprese la utilidad U del vendedor como función del número de bebidas que vende X. Encuentra la distribución de probabilidad de la utilidad U y bosqueje su histograma de probabilidad. Indicación: Si X N( , 2), entonces, U = a X b N( a b, a22) d) ¿Cuál es la probabilidad de que el vendedor obtenga menos de sesenta mil pesos de utilidad? Solución Distribución normal con media = 1.085 bebidas y desviación = 142 bebidas, entonces: a) Se pide P( X > 1.200) = 1 - P(X < 1200) = 1 - Φ( (1200-1085)/142 )= 1 - Φ( 0,81 ) = 1 - 0,79103 = 0,20. La probabilidad anterior, significa que si observamos muchos días domingos con partidos de fútbol similares (por ejemplo, entre los mismos equipos), entonces, en aproximadamente en el 20% de esos días la venta de bebidas sería superior a 1.200. b) P( 950 < X < 1300 ) = P(X < 1300) - P( X < 950 ) = Φ( (1,51) - Φ( -0,95 ) = 0,93448 - 0,17106 = 0,76342. 6 c) Se tiene U = 150X – 67750. Según la indicación, dado que X N( , 2 ), entonces, U es una variable aleatoria también normal con media 150 - 67750 y desviación estándar 150 = 21300 es decir U N(150 - 67750 , (150) 2 ) = N( 95000 , (21300) 2 ) . Distribución de U (Histograma de probabilidad) 95000 21300 d) Se pide P( U < 60.000) Sabemos por la parte c) que, U N( 95000 , 21300 2 ). Así, P( U < 60000 ) = Φ( (60000 – 95000) / 21300 ) = Φ( -1,64) = 0,05. Es decir, la probabilidad de que el vendedor obtenga menos 60 mil pesos de utilidad es un 5%. Ejemplo 13 Sea X = estatura de una mujer seleccionada al azar de una urna con estaturas de mujeres con distribución normal, de media 163 cm y desviación estándar 3 cm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer seleccionada tenga una estatura superior a un metro y 66 cm. ¿Qué significa la probabilidad anterior? b) ¿Qué porcentaje de mujeres en la urna tienen estaturas entre 162 y 167 cm? Solución Distribución normal con media = 163 cm y desviación = 3 cm, entonces: . a) P( X > 166 ) = 1 - P(X < 166) = 1 - Φ( (166-163)/3 ) = 1 - Φ( 1,00 ) = 1 - 0,84134 = 0,159. La probabilidad anterior, significa que si extraemos muchas fichas al azar desde la urna, entonces, en aproximadamente el 16% de las fichas, las estaturas serán superiores a 166 cm. b) P( 162 < X < 167 ) = P(X < 167) - P( X < 162 ) = Φ( (1,33) - Φ( -0,33 ) = 0,90824 - 0,37070= 0,538. Entonces, interpretando la probabilidad como porcentajes de individuos en la urna, podemos decir que en la urna, el 54% de las mujeres tiene estaturas entre 162 y 167 cm. Ejemplo 14 (sólo con respuestas) Considere una urna donde las fichas tienen números con una distribución normal con media mil doscientos y desviación estándar doscientos. a) Sea X = número en una ficha extraída al azar de la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que X esté entre novecientas y mil trescientos? Explique el significado de la probabilidad anterior. b) Para una ficha elegida al azar, sólo dibujando y mirando la distribución de X, sin hacer los cálculos, determinar en cual de los siguientes intervalos es menos probable que esté X, 800-900, 900-1.000, 1.000-1.100, 1.100-1300. Explique. c) Considere muestras aleatorias de 36 fichas de la urna. 1) Suponga que se seleccionan 1.800 muestras aleatorias de 36 fichas cada una. Explique y dibuje la forma del histograma de frecuencias de los promedios en las muestras anteriores. 2) Calcular la frecuencia en las 1.800 muestras, en las que el promedio se encuentra entre 1170 y 1240. 7 Rptas: a) 0,6247. b) El intervalo 800 - 900. c) 1) El histograma debe estar centrado aproximadamente en 1200 con forma de campana y desviación promedio aproximada de 33. 2) En aproximadamente, 0,7028*1800 1.265 casos. Ejemplo 15 El gerente de recursos humanos de una empresa, afirma que las remuneraciones de los trabajadores tienen una distribución Normal con media 1.300 y desviación estándar 600 (en miles de pesos). a) Determine la probabilidad de que al seleccionar al azar un trabajador, su remuneración se encuentre entre un millón y dos millones de pesos. Explique el significado de la probabilidad anterior. b) ¿Bajo que remuneración está el 10% de los trabajadores con remuneraciones más bajas? c) Supón que extraes 1.000 remuneraciones al azar y encuentras que: 1) 522 remuneraciones quedan bajo el millón trescientos mil pesos. 2) 673 están entre los 700 mil y un millón novecientos mil pesos. 3) 131 están sobre losdos millones. ¿Los antecedentes anteriores concuerdan con una distribución normal de las remuneraciones? Explica tu conclusión. Solución a) Urna con media = = 1300 y = 600. Si X = remuneración de una ficha seleccionada al azar de la urna anterior, entonces, la distribución de probabilidad de X es normal con media 1300 y desviación 600. P( 1000 < X < 2000 ) = Φ( (2000-1300)/ 600 ) - Φ( (1000-1300)/ 600 ) = Φ( 1,17 ) - Φ( -0,50 ) = 0,87900 - 0,30854 =0,57 La probabilidad anterior, significa que si extraemos muchas fichas desde una urna con las remuneraciones de los trabajadores en aproximadamente el 57% de ellas, la remuneraciones se ubicaran entre un y dos millones. b) Se está pidiendo el percentil 10% de la distribución de las remuneraciones, es decir en valor r tal que, P( X < r ) = 0,10, es decir, Φ( (r - 1300)/600) = 0,10, entonces de la tabla N(0,1) se tiene (r - 1300)/600= -1,28, así, r = 532 ($532.000). c) En una distribución normal con media 1300, la probabilidad de extraer una ficha menor que 1.300 es 0,5. Entonces, según la ley de los grandes números en 1000 extracciones deberían haber aparecido aproximadamente 500 fichas con remuneraciones inferiores a 1.300. Así, el número 532 es razonablemente cercano a 500. En una normal con media 1300 y desviación 600, la probabilidad de seleccionar una ficha entre 700 y 1900 es 0,68, es decir, en 1000 fichas, según la LGN deberíamos esperar alrededor de 680 valores entre 600 y 700. Así el número 673 es coherente con la normal. Por último, P(X > 2000) = 1- Φ(1,17) =1 – 0,87900 = 0,12. Es decir, en 1000 extracciones deberíamos tener alrededor de 120 fichas superiores a dos millones, así el número 132 es coherente con la normal. Así se concluye que los resultados 1), 2) y 3) son coherentes con una distribución normal en la urna. Ejemplo 16 Los estudiantes de cierto colegio tienen un cuociente intelectual (CI) promedio de 106 y varianza 256. Suponiendo que los CI se distribuyen normalmente, encuentra la proporción de estudiantes con cuociente intelectual, a) Igual o menor que 98. b) Igual o menor que 130. c) Igual o mayor que 127. d) Entre 94 y 118. Rptas. a) 0,3085 b) 0,9452 c) 0,0951 d) 0,4649. 8 Ejemplo 17 Si x = 100 es el percentil 46% de una distribución normal con varianza 25, entonces, encontrar, la media de la distribución. Indicación: El percentil 46% de una distribución, es el valor “x” que acumula desde - hasta x, una probabilidad del 46%. Rpta. Media = 100,5. Ejemplo 18 En cierto año, los puntos en la PSU obtenidos por las personas que la rindieron, tienen una distribución de frecuencias normal con media 420 y desviación estándar 75. a) Sea X = puntaje de una persona extraída al azar, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga una puntuación entre 430 y 540? Explique el significado de la probabilidad anterior. b) Calcule el percentil 10% de la distribución. Interprete el resultado con respecto a los puntajes más bajos, en la distribución de frecuencias de los puntajes y en la distribución de probabilidad de X. c) Para una persona elegida al azar, sólo dibujando y mirando la distribución de los puntajes, sin hacer los cálculos, determinar en cual de los siguientes intervalos es más probable que esté su puntuación, 390-450, 450-510, 510-570, 570-630. Explique. d) Considere muestras aleatorias de 16 personas que rindieron la PSU. 1) Suponga que se seleccionan 1.200 muestras aleatorias de 16 personas cada una. Explique y dibuje la forma del histograma de frecuencias de los promedios en las muestras anteriores. 2) Calcular la frecuencia en las 1.200 muestras, en las que el puntaje promedio es superior a 470 puntos. Rptas: a) 03935. b) x 0,10 = 324 puntos. c) El intervalo central, 390 – 450 d) 1) Aproximadamente normal con media 420 y desviación estándar 75/4 = 18,75. .2) En aproximadamente, 0,0038*1200 5 casos. Ejemplo 19 Debido a variaciones en proceso de producción (materias primas, maquinarias, habilidad de la mano de obra etc) las longitudes de piezas cilíndricas de tipo A tienen distribución Normal con media 35,2 cm y varianza 0,6 cm 2 . a) ¿Qué porcentaje de las piezas producidas miden entre 31,5 y 36,5 cm? Como parte de una máquina, la pieza de tipo A va ensamblada con otras dos piezas, una a continuación de la otra, también cilíndricas de tipo B que tienen distribución normal con media 6 cm y varianza 0,4 cm 2 . La longitud total de las tres piezas en el ensamble debe medir entre 46,8 y 47,5 de otra forma habrá un roce excesivo entre las piezas. b) Suponiendo que las longitudes son independientes, ¿Qué porcentaje de ensambles van a presentar un roce excesivo? c) Si las varianzas de las distribuciones de tipo A y B disminuyeran en un 50% ¿Qué porcentaje de ensambles van a presentar un roce excesivo? 9 Solución a) Sea X: Longitud pieza tipo A ~ N( 35,2; 0,6 ). Entonces, se pide, P( 31,5 ≤ X ≤ 36,5 ) = P( X ≤ 36,5 ) - P( X ≤ 31,5) = P( Z ≤ (36,5 – 35,2)/√0,6 ) - P( Z≤ (31,5 – 35,2)/√0,6 ) = P( Z ≤ 5,16 ) - P( Z ≤ -1,29) = 1 - 0,09835 = 0,90165. Es decir, el 90,165% de las piezas tendrán longitudes entre 31,5 y 35,6 cm. b) Sean Y: Longitud pieza tipo B ~ N( 6; 0,4 ). W: Longitud pieza tipo B ~ N( 6; 0,4 ). Sea L = Longitud del ensamble, L = X + Y + W ~ N( 6 + 6 + 35,2 ; 0,4 + 0,4 + 0,6 ) = N( 47,2; 1,4) Así, P( 46,8 ≤ L ≤ 47,5 ) = P( L ≤ 47,5 ) - P( L ≤ 46,8 ) = P( Z ≤ (47,5 – 47,2)/ √1,4 ) – P(Z ≤ (46,8 – 47,2)/ √1,4) = P( Z ≤ 0,25 ) - P( ≤ -0,34) = 0,2318. Así un 76,82% presentarán un roce excesivo. c) Disminución Varianza de X: 0,500,6 = 0,30 y Disminución Varianzas de Y, W: 0,500,4 = 0,20. Entonces, L = X + Y + W ~ N( 6 + 6 + 35,2 ; 0,20+ 0,20+ 0,30) = N( 47,2; 0,70) Así, P( 46,8 ≤ L ≤ 47,5 ) = P( Z ≤ (47,5 – 47,2)/ √0,70 ) – P(Z ≤ (46,8 – 47,2)/ √0,70) = P( Z ≤ 0,30 ) - P( ≤ -0,40) = 0,324 Un 67,6% presentara un roce excesivo. Ejemplo 20 Un profesor de estadística vive fuera de Stgo. El 80% de los días viaja a Stgo en automóvil y el 20% usa locomoción colectiva. Suponga que cuando utiliza un vehículo particular, el tiempo X que demora en llegar a su trabajo tiene distribución Normal con media 50 minutos y desviación 8 minutos. Cuando utiliza locomoción colectiva el tiempo Y de viaje también tiene distribución Normal pero con media 80 minutos y desviación 10 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de un día tarde más de 70 minutos en llegar al trabajo? b) Si un día demora 70 minutos en llegar al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que haya utilizado un automóvil? Solución a) Por la fórmula de las probabilidades totales se tiene: P( Tarde más de 70 minutos) = P( Tarde más de 70 / Utiliza automóvil)P(utilice automóvil ) + P(tarde más de 70 / no utiliza automóvil )P( no utiliza automóvil ) 10 P(Tarda más de 70 ) = P[ X > 70]0,80 + P[ Y > 70 ]0,20 = 0,80(1-Φ( (70 – 50)/8) + 0,20(1-Φ( (70- 80)/10 ) = 0,80(1- Φ(2,50 )) + 0,20(1-Φ(-1,00 )) = 0,173. b) Por Bayes P( Utiliza automóvil /Tarda más 70) = P( Tarde más de 70 /Utiliza auto)P(utiliza automóvil) /P(Tarda más de 70 ) = (1 – Φ((70 -50)/8) 0,80/ 0,173 = 0,005/0,173 = 0,03. Ejemplo 21 La longitud “W” en milímetros de los artículos que produce una máquina del tipo A tienen una distribución Normal con media 100 y desviación estándar 5 y la longitud “Y” de los artículos que produce una máquina del tipo B, también tienen distribución normal pero con media 120 y desviaciónestándar 10. Se extraen, independientemente un artículo del tipo A y otro del tipo B. Calcular la probabilidad de que: a) Uno de los artículos tenga una longitud menor de 95 y el otro una longitud mayor de 105. b) La suma de las dos longitudes sea mayor que 200. (Asuma Normalidad para la suma) Se lanza un dado balanceado, si resulta 1 o 6 se extrae un artículo del tipo A, si no se extrae un artículo del tipo B. Sea X = La longitud de artículo extraído. c) Calcular la probabilidad de que la longitud del artículo sea menor que 110. d) Determinar la función de densidad de X . Solución a) Nos piden calcular: b) W + Y ~ N( 100 +120, 25+ 100) = N( 220, 152 ) c) P( X ≤ 110 ) = P( X ≤ 110 / Selecc A ) P( Selecc A ) + P( X ≤ 110 / Selecc B ) P( Selecc B ) = ) 10 120110 ( 3 2 ) 5 100110 ( 3 1 = 43,15% d) F(x) = P(X ≤ x) = P(X ≤ x / seleccionar A)*P( seleccionar A) + P( X ≤ x / seleccionar B)* P( seleccionar B) F( x ) = ) 10 120 ( 3 2 ) 5 100 ( 3 1 xx 11 Derivando respecto a x tenemos Ejemplos Teóricos Ejemplo 1 Demuestra que: Φ(- z ) = 1 - Φ( z ). Indicación: Usa el hecho que z t z tt dtedtedte 222 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 (*) para demostrar que 1 = Φ(- z ) + Φ( z ). Solución La primera integral en (*) es Φ( z ). En la segunda integral hacemos el cambio de variable u = - t, así, du = - dt y reemplazando: )( 2 1 2 1 )1( 2 1 2 1 2222 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 zduedueduedte z u z u z u z t . Ejemplo 2 Usa la f.g.m para demostrar la propiedad, X N( , 2) X Z N(0 ,1 ). Solución Recuerda la propiedad de la f.g.m: MaX+b(t) = e bt MaX (t) Supongamos que X N( , 2), entonces: e)(ee)(e )()( 2/t2/)(t/)(t/)/(-)/(- 222 t X t XZ t MtMtM Como la función anterior, es la f.g.m de una normal estándar, entonces, Z debe tener esa distribución. Si es cierto que X Z N(0 ,1 ), entonces: 2/tt2/)( 222 e )(ee)(e )()( ttt Z t ZX tMtMtM Como la función anterior, es la f.g.m de una normal con media µ y varianza σ², entonces, X debe tener esa distribución. Ejemplo 3 Demuestra, que si X N( , 2) , entonces, Y = a X +b N( a +b, a22) con el método de la transformación de variables. Solución FY(y) = P[ Y y ] = P[ aX +b y ] = P[ X (y –b)/a ] = FX( (y-b)/a ) 12 fY(y) = F’Y(y) = F’X( (y-b)/a )(1/a) = fX( (y-b)/a )(1/a) = 2 2 2 2 ))(( )(2 1 )( 2 1 )(2 1 2 1 bayaa by e a e a Así, se concluye que: Y = a X +b N( a +b, a22). Ejemplo 4 (Distribución Lognormal) Sea X N( , 2) demuestra que la distribución de XeY es: 0y 2 1 )( 2 2 )(ln 2 1 sie y yf y Se dice que Y tiene una distribución “Lognormal”. Otra caracterización es: una variable Y tiene distribución Lognormal si ln(Y) tiene distribución normal. Solución
