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,
TECNOLOGICO
DE MONTERREY •.
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de
Monterrey
Campus Ciudad de México
División de Ingeniería y Arquitectura
Proyectos de Ingeniería Computacional CS95892. l
Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Autores: Armando Máximo Hernández Sánchez
Fernando Augusto E usa Hernández
Asesor: Dr. Ricardo Femández del Busto
Noviembre 23, 2004. México D.F.
Índice
Índice .......................... .... .... ........ ... ............................................................................................. 3
1. Introducción ............................ .... .... .... .... ........ .... .... ................... ............................................. 4
1.1 Objetivos del trabajo ................................................................................... ...................... 4
1.2 Descripción del trabajo .............. .... .... .... ........ .... .... .... ............... .... ..................................... 4
1.3 Estado del Arte .................................................................................................................. 5
1.3 .1 Aplicaciones de Levitación Magnética ........ ............ .... ............... .... .... ......................... 6
2. Análisis del sistema ............................................................................................................... 14
2.1 Modelo electromecánico ................ .... .... .... .... .... ........ ....... .... .... .... ....... .... .... ........... ........ 14
2.2 Descripción del sistema fisico ......................................................................................... 18
2.3 Descripción del dispositivo de control (DSP) ...... .... .... ................... ........ ... .... .... .... ........... 19
3. Diseño del sistema de control ................................................................................................ 22
3 .1 Análisis de estabilidad con controlador K ........................................................................ 22
3.2 Diseño del compensador usando emulación ..................................................................... 23
3 .3 Diseño del compensador usando técnicas de variables de estado ............ .... .... .... .............. 26
3. 4 Resultados teóricos .......................................................................................................... 29
4. Implementación ............................ .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .... .... .... ........... .... .... .... ... ....... 32
5. Conclusiones ......................................................................................................................... 41
5 .1 Resultados ................................................................................................................. ...... 41
5 .2 Perspectivas y trabajo a futuro ..... ........ .... ................ ....... .................... ........... ........ .......... 41
6. Referencias .............................................................................................................. ............. 43
Apéndice !_Deducción de las ecuaciones del modelo electromecánico ...... .... ........... .... .... .......... 46
A-1.1 Ecuación mecánica ...................................................................................................... 46
A-1.2 Ecuación eléctrica ........................................................................................................ 48
A-1.3 Ecuación electromecánica ..... .... ............................... .... .... .... ........... ........ ..................... 48
A-1.4 Ecuaciones del sistema .......................................... .... .... ........... .... .... .... ........... .... .... ..... 58
Apéndice II_Linealización de las ecuaciones del sistema ........................................................... 60
Apéndice IILPermeabilidad magnética del acero ............................... .... .... .... ... .... .... .... .... .... ..... 64
Apéndice IV_Descripción del procesador digital de señales (DSP) ............................................ 68
A-IV. l Características generales ........................................................................................... 68
A-IV.2 Tarjeta de desarrollo ............ .... .... .............................................................................. 73
A-IV.3 Code Composer Studio VI ...... ................... ............................................................... 80
Apéndice V_ Código del controlador .................................................................. .... .... ........... ..... 81
Apéndice VI_Sensores de posición ........................................................................ ....... ........ ..... 98
A-Vl. l Diseño y construcción de un sensor para la posición ................................................. 98
A-VI.2 Especificaciones del sensor ..................................................................................... 100
A-Vl.3 Selección de alternativas ................. ........................................................................ 102
Apéndice VII_Poster. ............................... .................................... ........ .................................... 105
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
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1. Introducción
1.1 Objetivos del trabajo
Uno de los grandes problemas existentes es el referente a la fricción entre distintos componentes
metálicos de un sistema que reduce el tiempo de vida útil de los mismos así como la pérdida
energética que se da por dicho efecto. Para solucionar este problema, se han desarrollado
sistemas de suspensión electrodinámica capaces de mantener flotando los elementos metálicos
ferromagnéticos mediante el equilibrio entre la fuerza de gravedad y la fuerza de atracción, de
esta manera se evita el contacto directo entre ellos. Esos sistemas son conocidos como
levitadores magnéticos y son usados en distintas aplicaciones como trenes o turbinas entre otras.
El presente proyecto desarrolla un modelo a escala de un sistema antigravitatorio de levitación
magnética con fines educativos y demostrativos de la aplicación de este principio fisico, así
como el diseño del dispositivo de control.
1.2 Descripción del trabajo
El principal objetivos que se persigue en la realización de este proyecto es la construcción fisica
de un modelo a escala de un sistema que permita demostrar el principio de atracción magnética
dejando abierta la posibilidad de incluir nuevos controladores a los propuestos en este proyecto.
En el trabajo se detallan las distintas áreas en las cuales es posible aplicar este principio fisico, se
describe cómo se construye el sistema así como la modelación matemática del mismo, se
proponen dos controladores y se realizan las pruebas y comparaciones entre ellos, a nivel
simulación y en dispositivo fisico. Finalmente se detallan los trabajos futuros y las conclusiones.
En la sección 1 se explica brevemente la motivación del proyecto así como el objetivo del
trabajo, se describe el cuerpo del documento y se hace un recuento de las distintas aplicaciones
que el principio de levitación magnética tiene hoy en día. La sección 2 detalla cómo se construyó
el sistema fisico, expone las ecuaciones que lo describen así como algunas representaciones
matemáticas ( diagrama de bloques, función de transferencia) y concluye con una descripción del
microcontrolador que se utilizó para la realización del proyecto. La sección 3 explica un análisis
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
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de la estabilidad del sistema para continuar con la explicación de cómo se desarrollaron los
controladores mediantetécnicas clásicas y mediante técnicas de espacio de estados. En la sección
cuatro se presentan los resultados de la simulación aplicando los controladores que se
desarrollaron en la sección 3 así como la implementación fisica en el sistema. La sección 5
realiza un análisis sobre los resultados arrojados por la sección 5 y concluye presentando las
perspectivas y el trabajo a realiza en el futuro. En la sección 6 se enumeran los distintos recursos
que se consultaron para la realización del presente trabajo.
En los apéndices se explica la deducción de las ecuaciones que describen al sistema en base al
modelo electromecánico, la técnica mediante la cual se linealiza el sistema así como algunas
características magnéticas que hay que tener en cuenta para la construcción del sistema fisico.
Igualmente se incluye una descripción detallada de las principales características del
microcontrolador utilizado así como el código en lenguaje C que se programó.
1.3 Estado del Arte
Desde sus primeros estudios, la levitación magnética ha sido aplicada en numerosos sistemas,
como por ejemplo, rodamiento sin fricción, sistemas mecánicos de almacenamiento de energía y
sistemas de transporte de alta velocidad. Existen dos principios de levitación que sustentan todas
estas aplicaciones: repulsión y atracción.
• En la levitación por repulsión ( electrodynamics suspens1on, EDS), las corrientes
inducidas en un cuerpo conductor generan las fuerzas de levitación. Este sistema es
estable en su eje vertical, y tiene un punto de equilibrio natural [23].
• Principio de levitación por atracción (electromagnetic suspension, EMS), un cuerpo es
atraído por un flujo magnético en contra de la gravedad; el equilibrio que se produce
entre la fuerza de atracción y de la gravedad es inestable, por lo que la levitación por
atracción es impracticable sin la ayuda de un sistema de control [l].
Los sistemas electromagnéticos (EMS) dependen de las fuerzas atractivas entre los electroimanes
y un material ferromagnético (objeto levitante). Debido a que la fuerza de atracción se
incrementa a menor distancia, tales sistemas son inestables y las corrientes del imán deben
controlarse cuidadosamente para mantener la altura de la suspensión deseada. Además el
espaciado entre el electroimán y el objeto necesita ser pequeño (en los sistemas de transporte que
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
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utilizan este fenómeno sólo es de unos centímetros a lo sumo). Por otro lado, utilizando EMS, es
posible mantener la suspensión magnética incluso cuando el vehículo esta inmóvil, lo cual no es
cierto para sistemas electrodinámicos (fuerza repulsiva).
Los sistemas de levitación magnética han ganado considerable interés debido a su gran
importancia en varios campos de ingeniería.
El objeto de este proyecto es mantener una bola de metal suspendida en el aire, ajustando el
campo de fuerza de un electroimán. La corriente del electroimán puede ser incrementada hasta
que la fuerza magnética producida es igual o mayor que la fuerza gravitacional que actúa sobre la
bola metálica. Variaciones en la corriente del electroimán pueden causar que la bola metálica
caiga (cuando la corriente decrece) o que se pegue al electroimán (cuando la corriente aumenta).
La retroalimentación de control nos da elementos para estabilizar la bola cuando hay distorsión
en la corriente.
Desde un punto de vista ingenieril, un maglev (sistema de levitación magnética) es un sistema
complejo porque presenta no linealidad y es naturalmente inestable, en el sentido BIBO
(Bounded Input Bounded Output). Además un sistema de levitación magnética nos permite
estudiar diferentes estrategias de control, por ejemplo:
• Controladores análogos
• Controladores PID discretos
• Controladores con técnicas modernas (espacio de estados, adaptivo, etc.)
1.3.1 Aplicaciones de Levitación Magnética
En este aparte se presentarán los subsistemas que constituyen cualquier sistema de levitación
magnética. Luego de ello se hará una generalización de los dos sistemas más avanzados en el
mundo en cuanto a levitación magnética aplicada al transporte, como son el caso alemán y
japonés, respectivamente.
La idea básica de un dispositivo de transporte que utilice la levitación magnética es aumentar la
eficiencia del sistema. Para ello se elimina la fricción, por lo que no es necesaria energía
adicional para hacer que el vehículo se siga moviendo luego del impulso inicial. Únicamente se
necesita alimentar las pérdidas por la fricción entre el vehículo y el aire. A la vez que se mejora
la eficiencia se incrementa la velocidad límite del vehículo, la cual se encuentra determinada por
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
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su aerodinámica y por la capacidad de las piezas mecánicas, en el caso convencional, así mismo
se reduce el gasto por mantenimiento debido a que no existen piezas móviles.
Los componentes fundamentales de un sistema de transporte que utilice levitación magnética
son: la propulsión, encargada de que el vehículo se mueva; la levitación, diferencia fundamental
con el sistema tradicional; finalmente la estabilización, la cual impide que el vehículo se salga de
la vía.
Propulsión
La energía que se gasta en este subsistema se utiliza para dar el impulso inicial al vehículo,
mantener la velocidad nominal y frenarlo una vez que se completa el recorrido, en caso de
emergencia o cuando se requiera.
La idea básica es hacer que dos campos magnéticos se vean atraídos; uno de ellos está presente
en la pista y el otro en el vehículo, de manera que el del vehículo sigua al de la pista. Este
principio no es nuevo, pues ya existe en los motores. En ellos un campo en el rotor de la máquina
sigue al campo presente en su estator, creándose así el movimiento.
Es como estar jugando con dos imanes; uno bajo la mesa y otro sobre ella. Si se mueve el
inferior se verá como se desplaza el superior sin aparente intervención humana. En cuanto a la
propulsión, la diferencia entre los sistemas MagLev1 comerciales radica en la forma en que se
genera cada uno de estos dos campos, como se verá adelante.
Levitación
Se constituye en la diferencia fundamental con respecto a los sistemas de transporte terrestre
convencionales y en la razón de ser del proyecto en cuestión. La energía que se suministra a este
subsistema se encarga de sustentar el vehículo a una distancia deseada conocida como
entrehierro.
La dificultad que presenta este sistema se ve resumida en el teorema de Earnshaw [31]. Este
muestra como el sistema es por naturaleza inestable, razón por la cual se requieren
configuraciones especiales de campos que se repelen, o de controladores actuando sobre la
magnitud de la fuerza magnética cuando se utilizan campos que se atraen.
1 Del ingles "Magnetic Levitation"
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
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Para que el sistema fuera estable debería existir una región alrededor del punto de equilibrio en la
cual todas las fuerzas que se generaran apunten hacia él. Cuando se trata de sustentar un objeto
con campos magnéticos en contra del campo gravitacional se encuentra que esta región no existe,
debido a que los dos campos son no divergentes. Este resultado se demuestra con el teorema de
la divergencia, en la ecuación 1.1, teniendo en cuenta que divF =O.
(1.1)
S V
Fes la fuerza que actúa en un punto en el espacio. Sin embargo, existen excepciones a esta ley
que vale la pena mencionar:
Efecto cuántico: a escala atómica no hay contacto real entre dos objetos
• Realimentación: consiste en tomar una referencia de la posición del objeto para controlar
la fuerza magnética, como se mencionó antes
• Diamagnetismo: gracias a que los materiales superconductores no permiten ser
atravesadospor campos magnéticos se pueden generar fuerzas que permitan la levitación
• Campos oscilatorios: utilizando una señal de corriente alterna; un ejemplo de ello es el
anillo de Thompson [32]
• Rotación: un ejemplo puede estar en el caso denominado como diamagnetismo. En el
medio académico se conoce por el prototipo comercial llamado Levitron [27]
Estabilización
Esta componente evita que el vehículo se desvíe de la pista o guía. Las razones por las que el
vehículo se puede salir de línea son variadas; entre ellas está la fuerza centrifuga que se produce
cuando hay curvas; aunque estas tengan radios muy grandes tienen una influencia amplia debido
a las velocidades de trabajo, que son altas. Otra razón puede ser el desequilibrio que ocasiona la
interacción entre el subsistema de propulsión y de levitación generando fuerzas que
desequilibran el sistema en su conjunto, o el mismo viento.
El trabajo del subsistema de estabilización es muy parecido al que realiza el subsistema de
levitación, pero actuando en un grado de libertad diferente. En este caso se evita el
desplazamiento en el sentido de las "Y'', como muestra la Figura Figl .1. De la misma manera el
movimiento en el sentido de las "X'' será comandado por la propulsión y el eje "Z" por la
levitación.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
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El principio de funcionamiento de la máquina es el siguiente: un conjunto de voltajes trifásicos
genera corrientes igualmente trifásicas sobre los devanados del estator; estos a su vez generan
campos magnéticos, los cuales sumados y observados en el tiempo se comportan como lo hace
un conjunto de polos magnéticos fijos que se desplazan a lo largo del estator, o pista en este caso.
Muestra de ello se encuentra en la Figura Figl.3.
·---- - '"':-··------- -e+--
Figl .3. Generación de campo en la pista. Sistema Alemán [18]
Si se cuenta con un campo que se desplaza por toda la pista, como ocurre en este caso, basta con
ubicar polos magnéticos contrarios debajo de cada polo creado por la sumatoria del sistema
trifásico. Este sistema tiene una ventaja importante: el vehículo viaja a la misma velocidad del
campo en la pista, por lo cual la velocidad y por lo tanto la posición son fácilmente
monitoreables y controlables a partir de las condiciones de alimentación del estator. No obstante,
presenta un inconveniente económico que puede hacer que este sistema no se difunda con la
rapidez esperada: el excesivo costo de los devanados trifásicos a lo largo de toda la pista.
En el sistema alemán la levitación se basa en el principio de atracción de campos magnéticos;
uno generado en la pista, y otro con magnitud variable y controlada, sobre el vehículo. El campo
ubicado en el vehículo varía para garantizar un entrehierro adecuado . En la Figura Fig 1.4 puede
verse el conjunto de electroimanes reemplazando el rotor del motor, que se abre para conformar
los dos campos necesarios para el desplazamiento. El mismo conjunto de electroimanes que
cumplen el trabajo de propulsión hace que el vehículo levite, reduciendo así la cantidad de piezas
y el costo, pero haciendo más crítico el trabajo del control de posición. La ubicación de los
electroimanes componentes de este sistema se aprecia en la Figura Fig 1. 4.
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Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Figl .4. Levitaci6n por atracción
La estabilización está a cargo de conjunto de electroimanes instalados en la parte lateral del
vehículo; estos actúan una vez se supera una distancia mínima de seguridad, haciendo que el
vehículo mantenga el recorrido paralelo a la pista. Una vista de la ubicación de este conjunto
dentro del vehículo se presenta en el esquema Figl .5 [17].
Fig 1. 5. Ubicación del sistema de estabilización
Adicional a los tres subsistemas mencionados, MagLev cuenta con sistemas redundantes que dan
confianza con respecto al funcionamiento en condiciones de falla; adicionalmente cuenta con
ruedas como sistema de seguridad, las cuales actúan cuando el suministro de energía falla o
cuando el vehículo está detenido; ellas hacen que no se haya registrado ningún accidente hasta el
momento.
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a un sistema de levitación magnética.
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Caso Japonés
A diferencia del alemán, este sistema crea el campo magnético utilizando superconductores. Esto
hace que se pueda llegar a magnitudes de campo superiores, pero también hace que sea necesario
emplear sistemas de refrigeración que no se requerían en el caso alemán.
El principio básico del subsistema de propulsión japonés es idéntico al caso alemán, es decir, se
crea un campo magnético que se desplaza por las paredes de la pista y otro en el vehículo lo
sigue. Para desarrollar este campo, en primera instancia se hace uso de la activación y
desactivación de polos , tal como se muestran en la Figura Figl .6. Luego de ello y en la última
versión del MagLev japonés se utiliza un sistema trifásico de voltajes que alimenta conjuntos de
bobinas, al igual que el caso alemán . Los polos magnéticos que se ven atraídos por el campo en
las paredes de la pista son creados en electroimanes superconductores. Los polos norte y sur
instalados en la parte delantera del vehículo se verán atraídos a su vez por polos sur y norte en la
pista, y repelidos por polos norte y sur, creándose de esta manera el movimiento. Dependiendo
de la secuencia de encendido y apagado el vehículo irá en una dirección o en otra.
e:
! " - ' dm w
Figl .6. Propulsión, sistema japonés
La energía que se utiliza para levitación y para la estabilización o guía del vehículo se obtiene
por medio de inducción magnética, es decir, no se necesita energía adicional para la levitación ni
para la estabilización. Las bobinas ubicadas en la pared de la pista, como lo muestra la Fig l. 7,
están configuradas como un ocho. De acuerdo con las leyes del electromagnetismo para la
generación de voltajes, se crea un voltaje cuando un conductor que está en movimiento está
inmerso dentro de un campo magnético, como se muestra en la ecuación 1.2.
sind =-(ve/X B) • l (1.2)
"vef' es la velocidad, "B" la densidad de campo magnético que atraviesa el conductor y "f' la
longitud del conductor inmerso en el campo magnético.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
En este caso, el campo sobre el cual está inmerso el conductor es el campo que produce el imán
superconductor en el vehículo, y aunque los devanados de levitación están estáticos sobre las
paredes de la pista, se considera el movimiento del vehículo, es decir, el movimiento relativo
entre la pista y el imán superconductor. El voltaje así inducido produce una corriente, y ésta un
campo magnético. La interacción entre el campo del superconductor y el inducido genera la
fuerza de levitación y de estabilización que se necesita para el funcionamiento del vehículo.
Fig 1. 7. Levitación en el sistema japonés
Otra aplicación que se le puede dar a los sistemas que utilizan campos magnéticos para mejorar
el desempeño es una muñeca mecánica usada en robótica. Las referencias [20] y [21] describen
una muñeca de movimiento fino con seis grados de libertad levitada magnéticamente. Este
sistema se aplica para ensamblar automáticamente de una manera precisa, una vez que el brazo
es colocado en posición y orientación correcta por la parte mecánica de los sistemas
automatizados. Las ventajas que esta muñeca ofrece son muchas y varias como la precisión o la
eliminación de la fricción estática.
Fig 1. 8 Muñeca levitada magnéticamente
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
2.Análisis del sistema
2. 1 Modelo electromecánico
En la figura Fig2.1 se muestra el diagrama esquemático de un sistema de levitación magnética
[ 1]: una esfera de acero de masa m se coloca bajo un electroimán fijo a una distancia z. El
objetivo es que dicha esfera se mantenga en equilibrio estable en la posición z, contrarrestando la
fuerza de gravedad que actúa sobre la esfera con la fuerza! que produce el electroimán.
3
r::'\ Esfer• de
\.:::..) acero
Fig2. 1. Diagrama de la situación
Las ecuaciones que describen el comportamiento de este sistema se deducen en apéndice l son
las siguientes tres:
Ecuación eléctrica:
Ecuación mecánica:
Ecuación electromecánica:
donde
f = fuerza del electromagnética
v = Ri + d(L(z)i)
dt
d
2
z ·) m dt2 = mg + f(z,z
(2.1)
(2.2)
(2.3)
14 ----------------------------------~~------------------------------Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
i = corriente de la bobina
z = distancia entre el electroimán y la esfera de metal
v = voltaje a través de la bobina
R = resistencia de la bobina
L = inductancia de la bobina
m = masa de la esfera de metal
g = aceleración de la gravedad.
En estas ecuaciones se puede apreciar que es un sistema no lineal. Ya que no es posible aplicar
las técnicas clásicas de control a sistemas no lineales, se procede a linealizar en el punto de
operación deseado. Las variables en el punto de operación son representadas con el subíndice 'O'
y las variables en la vecindad del punto de operación se representan con el subíndice '1 '. De esta
manera y tomando C como una constante las ecuaciones lineales quedan expresadas en las
ecuaciones 2.4, 2.5 y 2.6. La ecuación 2.5 expresa el punto de equilibrio en el cual ambas fuerzas
son iguales, la aceleración es hacia abajo en el eje z, por lo que la fuerza de atracción cambia de
signo. El procedimiento se detalla en el apéndice 11.
Ecuación eléctrica:
R. Ldi1 U= 11 + -
dt (2.4)
Ecuación mecánica:
d
2
z J( ·) mdt2=- Z,l
(2.5)
Ecuación electromecánica:
(2.5)
Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones, el sistema en el dominio de la
frecuencia queda
U(s) = (R + Ls)J(s)
ms 2 Z(s) = -F(s)
F(s) d[J(s)- :: Z(s)]
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
(2.6)
donde
Una vez que se tienen las ecuaciones 2.6 podemos expresarla como un diagrama de bloques en el
dominio s. El diagrama de bloques del sistema de levitación magnética se muestra en la figura
Fig2.2.
U(s)
,
L.s+R l(S)
10 -zo
Fig2.2 Diagrama de bloques de la planta
De esta manera la función de transferencia de la planta queda expresada por la ecuación 2.7.
(2.7)
El sistema propuesto en este trabajo tiene el objetivo de mantener libre de perturbaciones (E(s))
al sistema y que la esfera se mantenga en el punto de equilibrio (Z(s)) deseado. Tomando en
cuenta esto, el diagrama de bloques se muestra en Fig2.3 .
(3;'.s) .,__ __ ....,.Z(s)
+
li:s)
Fig2.3. Diagrama de bloques simplificado donde G(s)
es la planta y H(s) es el controlador
~----------------------------------------------------------- 16 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Otra manera de representar el sistema para diseñar los controladores es la representación en
espacio de estados. En esta representación utiliza dos ecuaciones, la de evolución de estado y la
de salida (2.8). El sistema se representa mediante las matrices A, B, C y D respectivamente, los
valores de dichas matrices se presentan en la sección 3.3 de este documento.
x = Ax(t) + Bu(t)
y = Cx(t) + Du(t) (2.8)
El control que se va realizar es un controlador digital ya que se va a programar en procesador
digital de señales. La señal continua de error se debe digitalizar antes de corregirla mediante la
ley de control. Una vez generada la corrección es necesario convertirla una vez más en una señal
analógica para amplificarla y alimentarla al electroimán. Esto se ilustra en la figura Fig2.4.
e"º'-...... ~1 ..... _º_~_"_;._J_":"_'___. ............. ,,control
er~--c-oo_~_ert_i_d_or_l •l .... _;_e_~_d_~_ ....... I ,-_c_oo_~_;_1_ido-r -~~rd
Fig2.4 Esquema de la ley de control digital.
La conversión debe realizarse con un periodo de muestreo T. La ley de control se va a pasar al
dominio continuo mediante un retén de orden cero.
errlll' ~ ----,..__~_oo_ytr-~e-1 __,, •I ..... -1--e_s -_Ts___.~~rd
Fig2.5 Esquema del sistema de control
------------------------------------------------------------- 17 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
2.2 Descripción del sistema físico
Para nuestros fines el modelo de la planta se construyó de acuerdo a la figura Fig2.6. El
electroimán está hecho con 2500 vueltas de cable de densidad 25 enrolladas en un cilindro de
acero dulce de un centímetro de diámetro por dieciséis centímetros de largo. La inductancia es de
137.2 milihenrios así como la resistencia es de 22.3 ohms. El transductor para determinar la
posición de la esfera consiste en un emisor receptor infrarrojo, siendo la posición y la corriente
de equilibrio un centímetro y medio Amper, respectivamente. La esfera es de tres centímetros de
diámetro y su masa es de 68 gramos. El sistema de control se implementa en un DSP de Texas
Instruments 1MS320LF2407 y el análisis se realiza usando el programa computacional Matlab®.
La función de transferencia de la planta se puede calcular en base a estos parámetros y por medio
de la ecuación 2. 7.
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l
1 l
1 1
Fig2.6. Estructura es esquemática del sistema
El circuito mediante el cual se va a obtener la distancia de la esfera del electroimán está formado
por un led infrarrojo emisor y un fototransistor, colocando la esfera en medio de ellos, tal como
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
se ilustra en la figura Fig2. 7. De esta manera cuando la esfera esté totalmente pegada al
electroimán la luz que el fotodiodo reciba será la menor, pues está cubriendo dicha luz. Al no
estar presente la esfera, la luz que el fotodiodo va a recibir es la máxima. Para el punto de
operación del proyecto se va a tomar una distancia y por lo mismo un voltaje constante.
Objeto •n
Levitmón
Fig2. 7 Diagrama de la situación.
Para lograr que el sistema funcione correctamente es necesario que el electroimán tenga la
corriente y el voltaje necesario para sostener la esfera de metal. La salida que nos proporciona el
integrado debe ser acondicionada mediante una etapa de potencia. Es necesario incluir un diodo
para proteger los circuitos del efecto contraelectromotriz que se presenta cuando se le suprime el
voltaje a la bobina.
2.3 Descripción del dispositivo de control (DSPJ
El sistema para controlar la planta es digital pues de esta manera obtenemos varias ventajas.
Dentro de estas ventajas se pueden citar las siguientes:
• Flexibilidad. No es necesario cambiar todo el diseño realizado, pues basta con programar
la nueva ley de control en la memoria del sistema sin necesidad de realizar mayor cambio
en el hardware.
• Poder de cálculo y capacidad de memoria. Dentro de las desventajas que presenta el
procesamiento digital se encuentra que el tiempo de respuesta no es instantáneo o que las
cantidades representadas sólo pueden ser múltiplos finitos del cuanto. Sin embargo dado
el potencial que tiene el procesador escogido, estas desventajas pueden ser minimizadas.
• Linealidad y estabilidad paramétrica. Al utilizar estar la ley de control programada y no
armada fisicamente con resistencias, capacitores y opams no se corre el riesgo de que
-------------------------------------------------------------19 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.Asimismo, la compañía Texas Instruments proporciona el software necesario para realizar el
desarrollo de la aplicación requerida. Este software es el Code Composer Studio VI que entre
otras ventajas ofrece la posibilidad tanto de programar en lenguaje C como en el ensamblador del
DSP. Cuenta además con la posibilidad de realizar emulaciones, graficar y demás ventajas que
un ambiente de desarrollo integrado (IDE) ofrece.
El DSP viene montado en una tarjeta de desarrollo eldsp'JMS320lf24074 creada por la compañía
Spectrum Digital que ofrece la posibilidad de realizar pruebas sobre el sistema sin necesidad de
realizar cableado extra.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a W1 sistema de levitación magnética.
Como se puede observar en el trazo del lugar geométrico de las raíces, no es posible estabilizar el
sistema solamente ajustando la ganancia. La estrategia que se va a seguir es recorrer el lugar
geométrico de las raíces del lazo cerrado a la izquierda del plano s para que el sistema pueda ser
estabilizado ajustando la ganancia del compensador Gc(s).
O( )
Gc(s)88235
s = 1 +
- (s + 7l)(s - 7l)(s + 162.5)
Para lograr este propósito se utiliza una red de adelanto de la forma
GJs)=K s+c
s+p
(3.3)
(3.4)
Los requerimientos deseados del sistema son factor de amortiguamiento 0.6 y la frecuencia
natural no amortiguada de 60 radianes/segundo. Dados estos requerimientos los polos deseados
se ubican en -36 + 48i.
Ge( s) = K s + 7º
s+700
Siendo la ecuación característica del sistema compensado
O(s) = 1 + 'K'(s + 70)
- (s + 7l)(s - 71}(s + 162.5)(s + 700)
donde
K' = 88235K
(3.5)
(3.6)
Trazando el lugar geométrico de las raíces utilizando este compensador (Fig3.4), haciendo variar
la ganancia del parámetro K es posible observar que para ciertos valores de la ganancia K el
sistema es estable.
System:sys
Gain: 121
Pole: -36.1 + 4Si
Dewnpilg: 0.801
Oversnoct (%~ 9.42
Frequency (rad/sec): 80.1
Fig3.3 Resultados del comando rlocfind(sys).
Los rangos de estabilidad de este sistema se obtuvieron con el comando rlocfind(sys) de
Matlab®. La ganancia requerida se obtiene de 121 ( figura Fig3. 3) y asimismo se observa que
_____________________________________________________________ 24
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
r
o
A= O
819162
1
o
5041
B=[O O 88235f
e= [1 o o]
D=[O] (3.11)
Antes de aplicar alguna técnica de control es necesario verificar que el sistema es controlable.
Para esto se calcula la matriz de controlabilidad M.
M = [ B I AB I A 2 B]
M =r ~ 88~35
88235 14338187.5
88235 l
14338187.5
2774748103.75
(3 .12)
Con esta matriz es posible calcular el rango y el determinante, siendo estos 3 y diferente de cero
respectivamente. En base a estos resultados podemos concluir que la matriz es no singular y
completamente controlable, por lo que es posible calcular la ley de control mediante la ubicación
de los polos deseados ya que estas son condiciones necesarias y suficientes para utilizar este
método.
La ley de control que se va a utilizar es la retroalimentación de estado. Este controlador tiene la
forma
u=-Kx (3.13)
Para calcular los valores de la matriz K es necesario encontrar los polos del sistema una vez
incorporado el controlador al sistema así como los polos deseados Los polos del sistema en lazo
cerrado son los valores propios de la matriz característica del sistema (A- BK). Es decir las
raíces del determinante. !A - BK - sII .
Una vez que tenemos estas ecuaciones determinamos dónde queremos que estén los polos en
lazo cerrado. Para determinar los polos dominantes deseados tomamos como índices de
comportamiento dinámico el máximo sobrepaso de 10% y el tiempo de establecimiento en 0.1
segundos. De esta forma la frecuencia natural. no amortiguada wn y la razón de amortiguamiento
i; resultan.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
1
t=[l+( 7r J
2
]-
2
=0.5912
ln(0.10)
4
(/) = =60.06
n <;*fe
En base a las <; y w" es posible calcular los polos deseados dominantes.
p = -36±48i
Proponiendo un polo real no dominante en -40 la ecuación característica deseada es:
(s + 36 + 48i)(s + 36- 48i)(s + 800)
(3.14)
(3.15)
(3 .16)
Para obtener la matriz K se utiliza la fórmula de Ackerman usando el programa Matlab®
mediante la línea de comando Kp=acker(Ap,Bp,poles). La matriz resultante K tiene los
siguientes valores.
Kp=[K,,K 2 ,K3 ]=[41.924 0.7507 0.0117] (3.17)
Una vez que tenemos el control diseñado mediante espacio de estados calculamos el sistema
compensado y obtenemos la respuesta a un impulso unitario. Es importante obtener estas
respuestas pues con ellas podemos hacer las comparaciones entre los controladores propuestos a
pequeñas desviaciones del punto de equilibrio. Estas perturbaciones se simulan como una
desviación de la distancia z que separa al electroimán de la esfera así como alteraciones en el
voltaje de alimentación.
28
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Soopt
'----101111 IR1 - -<
tff'lulaol611
'-----1 01111 lftl - -<._
11troalil!'ltnUoi6n
Fig3. 9 Esquema de simulación.
Las gráficas obtenidas al realizar esta simulación se muestran en la figura Fig3 .11. La imagen
superior corresponde a la respuesta del sistema a una perturbación inicial de un volt con el
controlador diseñado mediante emulación en la sección 3.2, mientras que la curva inferior es la
respuesta que exhibe el sistema compensado mediante la retroalimentación de estado.
Out1
121:tt-9470
,+700
Transter F one
ln1
Fig3 .1 O Diagrama de los controladores a) mediante emulación b) mediante retroalimentación de
estado
_______________________________________________________________ 30
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
... ... ' .... .... ~- .... .......... ·:· .......... .. '.
. . . ' . . ' ... ~ .... ' .... -..... : ......... .... ... ~ ...... ... ' . ... . : .. ' -..... ..... .
Fig3. l l Respuesta a un escalón de 1 volt al comienzo a) utilizando emulación b) utilizando
retroalimentación de estado
Una vez que tenemos estos resultados es posible hace una comparación entre ellos. Esta
comparación se realiza en la sección cinco del presente proyecto.
__________________________________________________ "'!'-___________ 31
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
4. Implementación
El sistema físico se realizó según la sección 2.2 del presente documento. El sistema de control se
programó en lenguaje C y se implementó en el DSP (Apéndice IV). El código y los distintos
archivos utilizado& se incluyen el apéndice V. Contrario a lo que comúnmente se realiza, no se
utilizó la amplificación directa de la señal de corrección dada por la ley de control para alimentar
al sistema fisico, para este caso se generó una señal PWM para controlar ~l sistema. Usando la
modulación por ancho de pulso (PWM por sus siglas en inglés) es posible mejorar la eficiencia
del sistema completo, la metodología utilizada se puede encontrar en la referencia [8].
La constante de tiempo ( r = L/ R 17.25 milisegundos) debe ser mucho mayor que el periodo
sobre el que se genera el PWM (20Khz). El voltaje de salida Vs corresponde a 3 volts y está
modulado por la señal de control. El la conversión entre la señal de control y la variación en el
ancho de pulso se realiza mediante el voltaje de rampa se realiza dentro del DSP. El esquema
general de estas ideas se ilustra en la figura Fig4. l.
n
I i
i l
¡ '
Fig4 .1 Conversión entre una señal de control continua y PWM
Dada la rapidez con que el sistema responde no se realizaron mayores pruebas fisicas más que
revisarque efectivamente la esfera se mantenga en el punto de equilibrio deseado. El modelo
armado se muestra en la fotografia Fig4.2.
------------------------------------------------------------------Aplicación y comparación de distintas leyes-de control
a un sistema de levitación magnética.
32
Fig4.2 Modelo fisico
La señal que el fototransistor nos va a proporcionar es necesario amplificarla para poder con ella
alimentar el convertidor analógico a digital que el procesador digital de señales tiene incluido. El
voltaje que el ADC requiere es menor a 3.3 volts para que funcione correctamente, esta parte se
realizó mediante un amplificador operacional, un arreglo de resistencias así como un transistor
NPN. Las fuentes Vee y Vcc para este caso corresponden a voltajes de -5 y 5 volts
respectivamente. En la Fig4.3b se muestra el diagrama eléctrico de esta amplificación
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a W1 sistema de levitación magnética.
a)
.------, b)
lOOkQ
'-.. '\.
-
Vx
Vcc •
100 Q
lOOkQ -
Vee
Fig4.3 Circuito de detección de posición: a) emisor, b) receptor.
La señal que el fototransistor nos proporciona se amplifica según el diseño mostrado en el
diagrama esquemático Fig4.3b tomando en cuenta el esquema dado en la figura Fig2.7. El
circuito emisor (Fig4.3a) consiste en una fuente de voltaje (Vcc) en serie con una resistencia de
100 Ohms y el diodo emisor de luz infrarroja, que en todo momento está emitiendo una luz
constante. El circuito receptor consiste en un arreglo de resistencia, un amplificador operacional
y un transistor NPN, siendo el voltaje Vx quien nos proporciona el nivel al que se encuentra la
esfera. Este voltaje está comprendido entre los cero y 3.3 volts que requiere el convertidor
analógico digital del DSP para funcionar.
Para calcular la ganancia que el transductor de posición nos brinda se tomaron diversas muestras
con una distancia específica y se calcula la pendiente mediante una aproximación numérica
lineal.
Distancia Voltaje
o 0.695
0.005 0.725
0.01 0.81
0.015 1
0.02 3
La pendiente para este caso corresponde a 100 con una r2 de 0.6115 según se puede apreciar en
la gráfica 4.4.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
3.5
3
2.5
i 2
~ 1.5
1
0.5
o
o
Ganacia del transductor
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
metros
Fig4.4 Grafico de la ganancia del transductor.
El convertidor analógico digital nos convierte el voltaje analógico en un valor digital con el cual
se van a realizar las correcciones necesarias. El procedimiento para calcular el voltaje consistió
en proporciona a la entrada análoga del DSP un voltaje fijo y conocido y realizar la conversión
para observar el valor que nos proporciona. La tabla con los valores se muestra a continuación.
voltaje valor diaital
3.3 1023
3.206 1014
3.1 980
2.895 914
2.6 821
2.176 688
1.792 567
1.383 436
1.083 342
0.628 198
0.109 35
0.058 19
Haciendo una interpolación de estos datos se genera una aproximación con mínimos cuadrados.
La pendiente para este caso es de 314. 17, siendo una aproximación prácticamente lineal. De esta
manera, tomando en cuenta tanto la ganancia del transductor como la del ADC, la ganancia total
de la retroalimentación es de 3, 141.
_____________________________________________________________ 35
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
1200
1000
800
)
600 • >
400
200
o
o
Ganancia- del ADC
0.5 1.5 2
voltaje
y=314.17x+ 1.8033
R2 = 0.9998
2.5 3 3.5
Fig4. 5 Grafico de la ganancia del ADC.
El circuito de potencia diseñado consiste en un transistor NPN ( modelo TIP4 l) y una resistencia
de 75 Ohms calculada para polarizar al transistor. La entrada del circuito (PWM) se amplifica de
esta manera y nos brinda la corriente deseada para el punto de operación de la bobina ( con
resistencia Re inductancia L). La inclusión del diodo D protege al circuito de cualquier arco que
pueda presentarse por el efecto contraelectromotriz producido por la bobina al mómento de
eliminar la fuente de voltaje, pues colocando el diodo de esa manera la corriente inversa que se
genera queda confinada en el circuito conformado por la bobina y el diodo hasta que se agote. La
fuente nos proporciona una diferencia de potencial de 20 volts para que alcance a alimentar el
voltaje necesario en la bobina y el voltaje generado entre el colector y el emisor del transistor. El
circuito eléctrico de esta etapa se presenta en la figura Fig4.6.
Aplicación y compaFacioo de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Fig4.6 Circuito de potencia
Los dos controladores que se diseñaron en la sección 3.2 y 3.3 están diseñados en el dominio del
tiempo continuo, por lo que hay que encontrar el equivalente discreto de caqa uno de ellos para
poder programarlos en el procesador digital de señales.
Para encontrar este equivalente discreto existen diversas técnicas tomando en cuenta qué es lo
que se quiere mantener equivalente, ya sea la respuesta a impulso invariante o bien el patrón de
polos y ceros. Además es posible encontrar el equivalente mediante métodos d~ sustitución de
aproximación de la derivada o métodos de integración numérica ya sea con rectángulo "a priori",
rectángulo "a posteriori" o mediante el método de Tustin.
Para encontrar la ecuación en diferencias que se va a programar del controlador diseñado en la
sección 3 .2 se utiliza el mapeo de polo y ceros. De esta manera la función de transferencia en z
del controlador con un periodo de muestreo de un milisegundo queda:
G(z)= 30.43z-29.29 = U(z)
z -0.5488 Z(z)
(4.1)
El equivalente discreto de la planta se calcula mediante un retén de orden cero a una frecuencia
de muestreo de un kilohertz.
G(z) =· 1.002 x l~-s z2 + 3.~51 x 10-s z + 9.734 x 10-6
z -2.946z + 2.89z -0.9436
(4.2)
La traza del lugar geométrico de las raíces con esta compensación en el plano z se muestra en la
figura Fig4.7. En ella es posible ver que para este caso el sistema se encuentra en el interior del
círculo unitario, por lo que el sistema es estable.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Las variables de estado que se toman son la posición, la velocidad y la aceleración. La posición
se obtiene directamente del transductor, sin embargo, la velocidad y la aceleración hay que
calcularlas numéricamente. La velocidad se obtiene como la muestra actual menos la anterior
entre el periodo de tiempo que transcurre entre estas muestras. Tomando el periodo igual al
periodo de muestreo podemos simplemente calcular la velocidad como la diferencia entre la
muestra actual menos la anterior. Para calcular la aceleración se sigue un método similar, siendo
dicha aceleración la diferencia entre la velocidad actual menos la anterior.
Este método resuelve el problema de tener un transductor para cada una de las cantidades que
definen el estado del sistema (un sensor de velocidad, de posición y otro de aceleración) sin
embargo la principal desventaja que este método presenta es el ruido que ~ed~ presentarse al
hacer estos cálculos de manera numérica. Una forma de mejorar esto sería mediante
observadores de estado, mas estos ya no implementarán durante el presente proyecto, quedando
para futuros trabajos. Sin embargo la matriz de observabilidad se deduce con la representación
de estados dada por la ecuación 3. 1 1, esta matriz se muestra en la ecuación y con ella podemos
decir que el sistema es observable ya que su determinante es uno.
Obs = [ C I CA I LA 2 } = O l O
l
l o ºl
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
O O 1
(4.5)
5. Conclusiones
5. 1 Resultados
En la sección 4. T se presentaron las respuestas obtenidas sobre el modeladodel sistema
antigravitatorio de levitación magnética y es posible hacer una comparación entre los distintos
métodos de control que se propusieron en la sección 3.2 y 3.1.
Comparando las respuesta que presentan ambos sistemas a una perturbación inicial de un
centímetro (Fig3.6 y Fig3.7) se puede decir que el sistema controlado mediante retroalimentación
de estado responde de una mejor manera pues el tiempo de establecimiento es alrededor de 0.25
segundos, mientras que para el controlador diseñado mediante la técnica d~ emulación la
respuesta tarda en alcanzar la banda del 2 por ciento en aproximadamente de 0.3 segundos. Sin
embargo el pico máximo del compensador diseñado mediante emulación es significativamente
menor a presentada por el segundo compensador.
Analizando la respuesta en la posición de la esfera dada una perturbación en el voltaje de entrada
(Fig3 .11) es posible decir que igualmente el controlador diseñado mediante espacio de estados
alcanza el valor de estado estable en un tiempo menor que el controlador diseñado mediante
emulación. Además el pico máximo que presenta este controlador es mucho menor a la misma
entrada que el exhibido por el controlador diseñado en la sección J.2 del presente documento, sin
embargo esto situación no es tan alarmante pues el ruido que se genera en el cable no es tan
grande como un volt, pues la longitud del cable que conduce la señal de control a la bobina no es
significativamente grande .
. 5.2 Perspectivas y trabajo a futmo
Una vez concluido los trabajos que se propusieron para el presente trabajo es. posible determinar
cuáles serían los posibles trabajos que se realizarán en un futuro sobre el sistema de levitación
magnética.
El sistema fisico es posible mejorarlo mediante una interfaz conformada por µna pantalla de
LCD y un teclado, ambos manejados por el DSP para de esta manera hacer totalmente auto
contenido al sistema y poder prescindir de una computadora personal. Esta in.clusión no puede
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
41
afectar el tiempo de respuesta del microcontrolador pues la mayor parte del tiempo el DSP no
está realizando otra tarea que esperar a que los timers se desborden ~ra realizar las tareas
necesarias para la generación de la señal de control (PWM) y la corrección.
Asimismo es recomendable incluir sensores de efecto hall para medir la corriente que el
electroimán está recibiendo y de esta forma utilizar la corriente como otro parámetro que
determina el estado del sistema. Actualmente la corriente se toma de una fuente del laboratorio,
sin embargo sería recomendable que se construyera una fuente propia y sólo se conectara al
enchufe corriente. Si se diseña una fuente de corriente para alimentar la bobina es posible reducir
en un orden.
Igualmente, dada la potencialidad del procesador digital de señales, es posible programar otros
algoritmos de control más complejos para el control de la esfera. Algoritmos como control
robusto, control mediante lógica difusa o modelando el sistema mediante la ~cuación de Euler-
Lagrange [20] y utilizar controladores utilizados en robótica como dinámica inversa. Sin
embargo, para los propósitos del presente proyecto no se realizarán, quedando estos
controladores para futuros desarrollos.
El diseño de un sistema de medición de la posición más efectivo queda también para trabajos
futuros, siendo recomendable la inclusión de una cámara de video y mediante técnicas de
procesamiento de imágenes determinar la posición.
Aplicación y comparación de. distintas leyes d.e-control
a un sistema de levitación magnética.
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project. IEEE trans. &fue., vol. E-29, pp. 196-200, 1986.
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Prentice-Hall, 1998.
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[9] http :/ /focus. ti. com/lit/ug/ spru 160~/ spru l 60c. pdf
[10] http://focus.ti.com/lit/ug/spru328b/spru328b.pdf
[l I] http://www.fh-zwickau.de/tutorial/dsp
[12] http://www.engin.umich.edu/group/ctm/digital/digital.html
[13] eZdspTMLF2407 Technical Reference. ezdsp2407b.pdf
[14] SIMUtlNK1mUser's guide Natick, MA: The Mathworks., 1992
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[17] http://www.acmaglev.com
[18] http://www.calpoly.edu
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[19] http://www.epri.com/EPRI journal/jan.feb97/21.html
[20] S. E. Salcudean, N. M. Wong, et al. Design and control of a force-reflecting
teleoperation system with magnetically levitated master and wrist. IEEE trans. On
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[21] S. R. Oh, R. L. Hollis y S. E. Salcudean. Precision Assembly with a Magnetically
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[31] de Andrade Carmona. Humberto, Levita9ao Magnética. Física na Escola, v. 1, nl,
Universidade Estadual do Ceará, Campus do Itaperi, 2000,
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thompson. Departamento de Física Universidad de Buenos Aires. Laboratorio IV
Cátedra S. Gil 1998
[33] Alvarado Javier, Sandoval Alexander. Diseño y construcción del estator de una
máquina sincrónica lineal. Tesis de pregrado. Tecnología en Electricidad.
Facultad Tecnológica, Universidad Distrital. Febrero 2003
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[34] Chetelat. Oliver, Sustentation magnétique, synthese d'un régulateur.
www.epfl.ch/Laboratories/levitation/LevitationF rame. html
[35] Hayashiya H, Ohsaki H, Masada E. A combined Lift and propulsion system oda
steel plate by transverse flux linear induction motors. IEEE
[36] Rairan Danilo. Construcción de un sistema automático de medición de campo
magnético utilizando el efecto hall. Universidad Nacional. Tesis de Maestría.
45~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Apéndice I
Deducción de las ecuaciones del modelo electromecánico
El propósito principal para lograr que un material flote por medios magnéticos se puede lograr de
dos distintas maneras: utilizando la fuerza repulsiva magnética de las corrientes de "Eddy" ( en
ocasiones llamada también corrientes de Foucault) y utilizando la fuerza de atracción
electromagnética. El diseño que nos ocupa utiliza este último método.
Para poder diseñar un efectivo sistema de control debemos determinar primero cuales son los
parámetros de nuestra planta a controlar. El problema es el de un sistema antigravitatorio
utilizando la fuerza de atracción electromagnética y en el mismo están involucrados varios
conceptos que hay que tener claros. El objetivo consiste en mantener una esfera de metal en
equilibrio alrededor de un punto determinado por medio de la fuerza de atracción
electromagnética proporcionada por un electroimán como se muestra en la figura Al 1.
AI.1. Diagrama de la situación.
A-/. 1 Ecuación mecánica
La fuerza (F) neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración (a) que sufre dicho
cuerpo, siendo la masa del cuerpo (m) la constante de proporcionalidad, la ecuación EI.1
describe matemáticamente este concepto.
F=ma (EI.1)
Donde
46
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
F = fuerza dada en Newton
m = masa en kilogramos
a= aceleración en metro sobre segundo cuadrado.
Además sabemos de una ecuación elemental de física que la velocidad (v) está definida como la
distancia (z) entre el tiempo (t):
dx
v=-
dt
Siendo la aceleración (a) la derivada de la velocidad (El.2) con respecto al tiempo.
dv d 2 z
a=-=-
dt dt 2
(EI.2)
(El.3)
En la figura AI. l se muestra el diagrama de cuerpo libre de nuestro modelo. En él se muestran
las distintas fuerza que actúan sobre el cuerpo que nos interesa (la esfera de metal suspendida) y
que actúan de manera opuesta entre ellas, estas fuerza son la de la gravedad y la producida por el
electroimán. La primera está expresada como el producto de la masa (m) por la aceleración de la
gravedad (g): mg y la segunda fuerza se representa como f (z, i).
1(z,i)
í
0
1
mg
Al.2. Diagrama de cuerpo libre
De la segunda ley de Newton y en base al diagrama de cuerpo libre mostrado en Fig2 se obtiene
la siguiente expresión de movimiento del sistema mecánico:
d 2z
m-º =mg + J(z,i)
dtª (El.4)
La fuerza que ejerce el electroimán depende de la distancia a la que la esfera se encuentra
separada y a la corriente eléctrica que circule por la bobina. Esto se debe a cwe la fuerza que el
electroimán ejerce depende del valor de la inductancia y esta a su vez cambia dependiendo de la
distancia a la que se encuentra la esfera de metal. Al e.star la e.sfer.a en contacto con el
_______________________________________________________________ 47
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
electroimán, la inductancia es mayor, disminuyendo a una constante conforme el esfera es
alejada al infinito. La fuerza asimismo depende de la corriente pues el campo magnético
generado que actúa sobre la esfera es proporcional a la corriente circulante, a mayor corriente,
mayor campo y por lo mismo mayor fuerza.
A-1.2 Ecuación eléctrica
La figura AI.3 muestra un diagrama simplificado del circuito eléctrico que se implementa en el
presente proyecto.
&bv,a
----~·\.,./'v~ .. \1~-. ·,
r ·<
·<L(z)
~t
AI.3. Diagrama eléctrico
Donde r es la resistencia de la bobina, L(z) la inductancia de la bobina en funcióq de la distancia
(z) de la esfera de metal a la bobina y v es el voltaje aplicado al circuito. La explicación del
porqué la inductancia está en función de la distancia de la esfera a la bobina se desarrollará
ampliamente en la siguiente sección. La ecuación diferencial del circuito queda expresada
mediante la ecuación El. 5.
v = Ri + d(L(z-)i)
dt
A-1.3 Ecuación electromecánica
(EI.5)
Para poder describir la fuerza que el electroimán ejerce sobre la esfera de metal es necesario
conocer la inductancia (L) en función de la corriente que circula por ella y la distancia al que se
encuentra dicha esfera.
------------------------------------------------------------------~ Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
48
El principio básico aplicado para poder generar la fuerza de suspensión de la esfera de metal se
basa en los campos magnéticos producidos por la corriente en un cable. Para PQder explicar estas
relaciones, es necesario definir primero ciertas cantidades como la densidad de flujo, intensidad
de campo magnético, flujo magnético, inductancia y las relaciones que entre ellas existen.
Densidad de flujo magnético
De la referencia [5] obtenemos la ecuación mediante la cual se describe la densidad de flujo en
un punto cualquiera dado producida por un elemento de corriente. Esta densidad de flujo está
expresada por la ecuación EI.6
dB = µ 0µ/ ca&adl
p 41lr 2
en donde:
dBp = diferencial de la densidad de flujo en el punto p en webers/metro cuadrado
µ0 = permeabilidad del espacio libre en webers/metro-ampere o henrys por metro
A= permeabilidad relativa del medio en el sistema bajo consideración
I = la corriente en amperes
a, di, r se definen en el diagrama AI.4 tomando de [5].
I
I
/
/
I
:i12..V~&:cos::.::a;:.=---:..=:~r~-~---- P
Al. 4. Campo sobre un punto P
(EI.6)
Para poder calcular el campo magnético producido por objetos con alto grado de simetría es
posible aplicar la ley de Ampere que se puede enunciar como sigue:
-----------------------------------------------------------------49 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
La integral de línea ( f/i •di) alrededor de cualquier trayectoria cerrada (C) es igual al producto
de la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficies delimitada por la
tm
trayectoria cerrada (1) y la constante de permeabilidad magnética del vacío µ 0 = 4í'Z" x 10-1 -A
que, expresada matemáticamente resulta en la ecuación El. 7
f/i•dl = µº/ (EI.7)
Para encontrar el campo magnético de un objeto simétrico, la trayectoria C se escoge de tal
- -
manera que el vector B sea paralelo al vector di en cualquier punto de la trayectoria. De esta
manera el producto punto se simplifica a solamente Bdl. Además, si el campo magnético tiene el
mismo valor en cualquier punto de la trayectoria, entonces la integral se reduce a BL, donde L es
la longitud de la trayectoria amperiana. Aplicando estas condiciones es posible calcular la
densidad de flujo en algún punto p como
B= µof
21lr (EI.8)
El problema que nos ocupa en este proyecto es el de un solenoide, que es un alambre largo
enrollado en forma de una bobina. Utilizando esta configuración es posible producir un campo
magnético prácticamente uniforme en el interior de la bobina. Para que el campo magnético
producido sea prácticamente uniforme, el solenoide tiene que ser muy largo con respecto a su
diámetro: l » R. De esta manera las líneas de fuerza en la parte media del solenoide pueden
considerarse como paralelas a su eje, no sólo en su centro exacto sino a travé&de toda la sección
transversal del centro del solenoide y no existe flujo a una pequeña distancia fuera del solenoide
mismo. El diagrama esquemático AI.5 tomado de [SJ muestra un corte de la situación.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
c .. - IJ
~-··
AI.5. Corte transversal de un solenoide.
Para encontrar la expresión matemática para el campo magnético en el interior de un solenoide
largo que conduceuna corriente 1, que según el diagrama Al.5 entra en página por los cables
superiores y sale por los inferiores, se usará la ley de Ampere (El. 7).
En este caso la trayectoria amperiana será un rectángulo con trayectoria a, b, c, d y la integral
queda entonces:
---)o -4 b-4 ---t e_,. ---+- d-:., -4 ª-+ -4
fB•&=fB•&+JB•&+JB•&+fB•&
a b e d (El.9)
En donde la dirección del campo magnético B corre dentro del solenoide de derecha a izquierda
según AI.5 y la diferencial de longitud es paralela a la trayectoria de integración que se siga para
cada caso, es decir, en la trayectoria a b, di va de a hasta b de arriba hacia abajo en la página; en
la trayectoria de b e la diferencial di es de derecha a izquierda y así sucesivamente. A
continuación se toman varias consideraciones para simplificar los cálculos.
Como el campo magnético fuera del solenoide es igual a cero, la integral de esa parte es:
a----> ----> J B•dl = O
d (EI.10)
Así mismo, como en las trayectorias e, d y a, b el vector di forma un ángulo de 90º con el
campo magnético ( B) se puede decir que:
a (EI.11)
- -
En la trayectoria b, e los vectores di y B son paralelos, por lo tanto el campo es constante,
entonces:
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
e ---+ ---+ f B•dl = BL
b (El. 12)
Si la corriente encerrada en la trayectoria es la suma de las corrientes de las N vueltas de cable
que la atraviesan (/ = NI) y sustituyendo la corriente encerrada en fa ley de Amper (EI.8), se
obtiene la expresión El. 13. En esta ecuación la L es la integral de di y representa la longitud total
de la bobina.
(EI.13)
Finalmente despejando de EI.13 la densidad de flujo (B) nos queda la expresión EI.14 en función
de la permeabilidad magnética, el número de vueltas, la corriente y la longitud L del solenoide.
B = µ 0Nl
L
(EI.14)
En el caso que nos ocupa, dentro del solenoide va a existir una barra de acero, por lo cual la
expresión sólo se modifica tomando en cuenta la permeabilidad relativa del acero ( µ,., valor
obtenido en el apéndice 111):
(EI.15)
Intensidad del campo magnético
Otra cantidad importante es la intensidad del campo magnético que está dada en Newton sobre
weber. La intensidad del campo magnético (H) es la propiedad de una fuent~ magnética para
magnetizar un medio y la relación con la densidad de flujo (B) está dada por la siguiente
ecuación:
(EI.16)
donde
µ0µr = producto de la permeabilidad del espacio, por la permeabilidad relativa del material
H = intensidad del campo magnético
B = densidad de flujo del campo magnético.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Flujo magnético
El flujo magnético ( <I>) a través de una superficie (A) se calcula como la integral de área de la
densidad de flujo del campo magnético (B) por la diferencial de área (da).
et>= f Bda
A (EI.17)
Si la densidad de flujo (B) es uniforme y el área (A) es normal a dicha la densidad de flujo la
ecuación El. 17 se reduce a El. 18.
<I> = BA (EI.18)
Fuerza electromotriz
La fuerza electromotriz ( 3) en un solenoide está dada por el producto de la corriente circulante
(/) en el solenoide por el número tota de espiras (N) de la bobina. Dicha fuerza se obtiene de la
siguiente expresión.
(EI.19)
donde
~ = <D 9t = fuerza electromotriz
<I> = flujo total
~n 2Jd 1 . , . ~· = = re uctanc1a magnetica
µoµ,A
l = longitud del solenoide
A = área transversal del núcleo del solenoide
Inductancia
Para un medio magnético de permeabilidad constante, la inductancia de la bobina se define
mediante la ecuación (EI.20)
donde
L = N<t> = 'I'
I I
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
(EI.20)
L = inductancia de la bobina
N = número de vueltas del cable
1 = coniente del cable
<I> = flujo magnético
'P = flujo concatenado.
En esta ecuación podemos ver que la inductancia depende del flujo magriético y este a su vez
depende de la densidad de energía.
Energía y co-energía almacenada
La energía almacenada (W) en un campo magnético por una bobina está dada por EI.21.
tiW = ¡-cr, 2 Nid9
J<l>¡ (EI.21)
Esta ecuación define la energía almacenada en el campo magnético. Tomando en cuenta que el
flujo <1> 1 es cero al inicio y se aplica corriente hasta alcanzar el flujo <1>2 , la energía se puede
representarse por el área entre la curva y el eje </> mostrado en la figura AI.6 tomada de [5].
De igual manera, la co-energía está definida por ef área entre la curva y el eje NI, tomando
igualmente al inicio una corriente igual a cero e incrementándola hasta alcanzar el valor i0.
Gráficamente se puede apreciar este concepto en el diagrama AI.6. De esta forma la co-energía
(W') está dada por la integral expresada en EI.22.
Aw · = rNi¡ (jx}Ni
jNi0 (EI.22)
Estas relaciones indican claramente que la energía almacenada está relacionada al producto de la
corriente por el flujo concatenado, lo que también puede expresase como un producto de la
fuerza magnetomotriz por el flujo.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
' Ni o i
AI.6. Energía y Co-energía
Si la función es lineal la curva de AI.6 es una línea recta y de esta manera la energía del campo
magnético es igual a la co-energía magnética. Tomando en cuenta esta condición, las integrales
se reducen a calcular el área de energía y se puede llegar a la conclusión de que la energía está
dada por el producto del la corriente (NI) por el flujo concatenado (\JI) divido entre dos, de igual
forma, en base a las ecuaciones anteriormente presentadas, la energía puede expresarse por la
mitad del producto de la corriente cuadrada por la inductancia.
W =J..\J'Nl =2-LT2
2 2
(EI.23)
Deducción de la ecuación electromecánica
Para lograr un trabajo mecánico ejecutado por el campo magnético se estudia la energía
almacenada antes y después por el campo magnético. En general se dice que el trabajo mecánico
es dado por el aumento de la co-energía y esto es siempre verdadero ya sea que el circuito
magnético sea lineal o no [5].
La fuerza puede calcularse usando el principio de trabajo virtual como:
fdx=+dW' (EI.24)
Donde el trabajo diferencia (dW') está dado por el producto de la fuerza (f) por la diferencial de
distancia (dx). Despejando la fuerza (f) se tiene:
--------------------------------- 55 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
f=(~consl
f =-( :)~co~
(EI.25)
Cada una de estas definiciones dependiendo si la corrientes es constante o bien si el flujo es el
que se va a mantener constante. Si la función de energía es lineal se puede obtener de EI.23 y de
EI.25 la expresión EI.26
fdx = dW = _!_í--2 L
2
f = dW = _!_ i 2 dL
dx 2 dx (EI.26)
De esta manera, se puede observar que la fuerza (f) con la que el electroimán va a atraer a la
esfera depende de la inductancia en función de la distancia ( en EI.26 x, sin embargo en el cuerpo
del documento expresada como z) a la que la esfera se encuentra. Para encontrar la expresión de
esta inductancia se utilizará un circuito magnético [ 4J, el esquema correspondiente está dado por
la figura Al 7 b.
+
.$
&:'\ o
e!>
--· b)
<. ,;;;o
< ·71~
····ill,,,,c;
< :~- ;·.1.·,·,¡,::
Al. 7. Circuito magnético a) esquema físico b) circuito magnético equivalente
donde
~ = fuerza electromotriz
9{-Nuclea = reluctancia del núcleo de la bobina
_________________________________________________________________ 56
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación-magnética.
9t Entre hierro = reluctancia del espacio entre ta bobina y la esfera
iJtEsfera = reluctancia de la esfera
91
Espacio libre = reluctancia del espacio entre la esfera y el otro extremo de la bobina.
<I> = flujo total
En basea este esquema, es posible hacer una analogía entre un circuito magnético y un circuito
eléctrico donde el voltaje, la resistencia y la corriente del circuito eléctrico son, respectivamente,
en el circuito magnético la fuerza electromotriz, la reluctancia y el flujo magnético. Así mismo,
haciendo la analogía, se puede aplicar la ley de Ohm para el circuito magnético.
(EI.27)
Para conocer cual es flujo total que va circular por el circuito magnético se realiza un análisis de
mallas, quedando en la ecuación:
3
<l>=---------------
91 Esfera + 9{ Entre hierro + 9{ Esfera + 9{ EspacioLibre (EI.28)
En esta ecuación la fuerza electromotriz es conocida y está dada por el producto de la corriente
por el número de vueltas de la bobina (NI), La reluctancia es proporcional a la longitud del
elemento e inversamente proporcional al área normal al desplazamiento del flujo. Para cada
elemento la reluctancia puede obtenerse con la ecuación:
9i = l
PoP,A (EI.29)
Para el cálculo de la reluctancia de cada uno de los elementos se hacen los sigi¡ient;es supuestos:
o El rango de operación sobre el que la esfera va a moverse es pequeña, por lo que
podemos tomar como constante la densidad de flujo y por lo tanto también la
permeabilidad magnética del núcleo y la de la esfera.
o El efecto marginal del entre hierro existente entre el núcleo y la esfera se desprecia, así
como el del espacio libre.
o Se supone que la longitud del espacio existente entre el otro extremo de la esfera y la
bobina es igual la suma de la longitud del núcleo, el entre hierro y el diámetro de la
esfera. Así mismo se toma el área igual a la existente en el núcleo.
Aplicaciónycomparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
De esta manera es posible concluir que la reluctancia del núcleo y de la esfera son constantes,
quedando el flujo en función de la distancia existente entre la bobina y la esfera, es decir, en
función de la distancia del entre hierro.
Una vez que se tiene el flujo como una función de la distancia del entre hierro se obtiene la
inductancia del sistema con la siguiente ecuación, definida en {El.20):
L = N<l>
i
Finalmente, de la ecuación de trabajo virtual (El.26) se obtiene una expresión de la fuerza
electromagnética ejercida en función de la corriente y de la distancia entre el núcleo y la esfera,
quedando la ecuación expresada en EI.30.
f = dW =-_!_i 2 dL
dx 2 dx (El.30)
La inductancia (L) tiene un valor más grande cuando la esfera de metal está cerca de la bobina y
decrece hasta una constante (L1 ) conforme la esfera se aproxima a infinito. Tomando esta
distancia como z, se considera que la inductancia está dada por:
L - L Laxo - ¡+ (El.31)
X
Tomando en cuenta esto, definiendo constantes y en base a álgebra la fuerza que ejerce el
electroimán sobre la esfera de acero está dada por la siguiente expresión:
f(x,i) ~ J,~, (:)' (EI.32)
Donde L0 = L(O) - L( oo) y z es la distancia de la esfera a la bobina en el sistema de levitación.
A-1.4 Ecuaciones del sistema
Las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema en la figura AI. l son ecuac10nes
eléctricas, mecánicas y electromecánicas y están definidas de la siguiente forma:
Ecuación eléctrica:
v = Ri + _d(~L(_z)~i)
dt
Aplicación y compa(ación de distintas leyes de control
a W1 sistema de levitación magnética.
(EI.33)
Ecuación mecánica:
d
ry
-z ( ·) m-
2
=mg+fz,,
dt
Ecuación electromecánica:
J(z,i)= L;zo (; J
donde
Aplicaciónycomparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
(EI.34)
(EI.35)
(EI.36)
Apéndice II
Lineatización de las ecuaciones---Oel sistema
Las ecuaciones que describen el comportamiento (EI.33, EI.34, EI.35) del sistema dadas las
características del mismo, son no lineales, por lo que es necesario linealizarlas para poder aplicar
los métodos de control clásicos a ellas.
v = Ri + d(L(z)i)
dt
d
2
z J( ·) m-~ =mg+ z,1
dr
(Eil.1)
(EII.2)
(Eil.3)
Para realizar esta operación se van a tomar en consideración varias restriccio~s. Como se puede
apreciar en la ecuación (1 ), la inductancia de la bobina está en función de la distancia a la que se
encuentra la esfera de acero levitando. Entre más cerca esté la esfera, mayor es la inductancia. Al
estar completamente unidas la esfera y el núcleo de la bobina, la inductancia alcanza su mayor
valor. Conforme la esfera se aleja a infinito la inductancia disminuye hasta tender a un valor
constante. Como en nuestro caso, la esfera oscilará en un rango pequeño, suponemos que la
inductancia es una constante.
Al ser nuestro objetivo que la fuerza electromecánica contrarreste ta fuerza de gravedad se
supone también que estas dos fuerzas serán iguales, en el estado de equilibrio.
Finalmente, para linealizar la ecuación electromecánica se utilizará un método apropiado, ya que
depende tanto de la corriente aplicada como de la distancia a la que la esfera se encuentra.
Linealidad
Para que un sistema sea lineal debe cumplir con el principio de superposición, que tiene dos
condiciones [3]: la homogeneidad y la aditividad.
o Aditividad:
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
o Homogeneidad:
Si ambas condiciones se cumplen, entonces se dice que la ecuación es lineal.
Condiciones para linealizar un-sistema
Las condiciones que deben cumplirse para poder linealizar un sistema no lineal son las
siguientes:
o Las variables sólo se desvían ligeramente de alguna condición de operación.
o El funcionamiento está restringido alrededor de la condición de operación.
o El núcleo debe ser operado dentro de la región no saturada de la curva de magnetización
(B vs. H). Esta condición se detalla en el apéndice 111.
Dado que nuestra esfera sólo operará en un rango pequeño de distancia, podemos suponer que se
van a cumplir estas condiciones.
Método de linealización
El procedimiento utilizado para linealizar un sistema se basa en la expansión de la función no
lineal en series de Taylor del punto de operación [3]. Dicho método se explica a continuación.
De la función no lineal y = f(x) se establecen las condiciones de operación normar x ', y'. La
función se expresa como una serie de Taylor.
d{f 1 d2f· ,
y= f(x')+-(x-x')+--, (x-x')" + ...
dx 2! etc
Se toma el término lineal y la primera derivada como la ecuación lineal, siendo esta:
donde
y'= f(x')
K = d.f
dx x=x'
Para casos multivariables el procedimiento es similar.
(EII.4)
(EII.5)
(EII.6)
(EII.7)
61
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
La expansión queda como sigue
Siendo la ecuación lineal:
donde
Lineal ización
y'= f(x;,x~)
K, = ofl
ar1 .
.r¡.::.r¡
K, = of
- ax .
2 xi =xz
(EII.8)
(EII.9)
(Eil. l O)
(EII.11)
(EII.12)
(EII.13)
En base a la ecuación EII.1 O se toma como punto de operación (zo, io), se considera L (z) = L,
f (i, z) = mg y se procede a linealizar las ecuaciones que describen el sistema de levitación
magnética.
(EII.14)
Tomando en base a las ecuaciones EII.11, EII.12, EII. IJ es posible obtener las expresiones de
Eil.14.
/(i0,-0 ) =e(:, J' = mg
a¡
K =-
1 ~-
ul ..
1=10 ,z=z0
óJ 2Ci;
K2=- =---
oz i=io,Z=Zo zi
Aplicaciónycomparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
(EII.15)
Definiendo zz = z - zo, i/ = i -io y u =v -Rio las ecuaciones quedan:
di
u=Ri +L-1
l dt
d
2
z1 F( . ) 2Ci0 . 2Ci; m-2- = 11 Zz,lz =-2-lz --. -3-z1
dt z0 z0
(EII.16)
(EII.17)
Siendo estas últimas ecuaciones lineales, pues cumplen con el principio de superposición y de
esta manera es posible ya trabajar con ellas mediante los métodos clásicos de control.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación- magnética.
Apéndice III
Permeabilidadmagnética del acero
La penneabilidad magnética de los materiales ferromagnéticos es muy aha2, hasta 6000 veces la
permeabilidad del espacio libre. Generalmente se supone que la permeabilidad es constante,
independiente de la fuerza magnetomotriz aplicada al material. Aunque la permeabilidad es
constante en el espacio libre, no lo es en el hierro ni en otros materiales ferromagnéticos.
Para ilustrar el comportamiento de la permeabilidad magnética en un material ferromagnético, se
aplica una corriente directa al comenzando en cero amperes e incrementándola lentamente hasta
la máxima corriente posible. Cuando se representa el flujo producido en el núcleo contra la
fuerza magnetomotriz que lo produce, se obtiene una gráfica como la mostrada en AIII.1
¡
i
/
i í
!/ v·
/
i
I
1
.
,. A '· U,·Ji.:.
AIII.1. Gráfica del flujo en función de NI
La curva mostrada en AIII. I se denomina curva de saturación o curva de magnetización. Al
comienzo, un pequeño incremento en la fuerza magnetomotriz produce un gran incremento en el
flujo resultante. Después de cierto punto, aunque se incremente mucho la fuerza magnetomotriz,
los incrementos en el flujo serán cada vez mas pequeños. Finalmente, el incremento de la fuerza
magnetomotriz casi no produce cambio en el flujo. La región de esta figura en la cual la curva se
aplana se llama región de saturación y se dice que el núcleo está saturado. La región en la cual el
núcleo cambia con rapidez se llama región no saturada de la curva, y el núcleo no está saturado.
La región de transición entre las regiones no saturada y saturada se denomina a veces "rodilla" de
------------------------------------------------------------------~64 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
la curva. Nótese que el flujo producido en el núcleo varía linealmente con la fuerza
magnetomotriz aplicada en la región no saturada y se aproxima a un valor constante,
independiente de la fuerza magnetomotriz en la región saturada.
Otro diagrama estrechamente relacionado con el anterior se muestra en la figura AIII.2
H. T
-----------------------------·· ......
H 1\ • vuel:a m
AIII.2 Densidad del flujo magnético contra la intensidad de campo magnético
De AIII.2, se puede decir que la intensidad de campo magnético es directamente proporcional a
la fuerza magnetomotriz, y que la densidad de flujo magnético es directamente proporcional al
flujo para un núcleo dado. Por tanto, la relación entre By Hes semejante a la relación entre el
flujo y la fuerza magnetomotriz. La pendiente de la curva de densidad de flujo contra intensidad
de campo magnético para cualquier valor de H, en la figura es por definición la permeabilidad
del núcleo a dicha intensidad de campo magnético. La curva muestra que la permeabilidad es
grande y relativamente constante en la región no saturada, y que decrece de manera gradual hasta
un valor muy bajo cuando el núcleo se encuentra saturado.
La figura AIII.3 muestra la curva de magnetización de una pieza típica de acero mostrada más en
detalle y cuya intensidad de campo magnético está dada en una escala logarítmica.
_______________________________________________________________ 65
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Apéndice IV
Descripción del procesador digital de señales (DSP)
A-IV. 1 Características generales
El nombre del DSP2 a utilizar nos brinda una descripción de las características con las que
cuenta. A continuación se detalla lo que es TMS320LF2407 APGEA:
TMS = qualified device
320 = familia a la que pertenece
LF = tecnología flash EPROM (3.3V)
2407 = dispositivo 24xx
PGE = empaquetado de plástico QFP (QuadFlatpack) de 144 pines.
A= rango de temperatura de -40º a 85º C.
Genéricamente se identifica a los procesadores DSP con las siglas TMS320 y la plataforma por
las siglas Cxx, en lugar del LFxx, las últimas siglas generalmente no se mencionan.
El procesador de 16 bits TMS320LF2407, o igualmente identificado sólo por C2407, es parte de
la familia TMS320. Esta familia actualmente soporta tres plataformas: TMS320C2000,
TMS320C5000 y TMS320C6000. Cada una de estas familias con características propias que
brindan una optimación respecto a las tareas a desempeñar. A continuación se muestra la
evolución de la familia TMS320 en la figura AIV. 1
2 La información contenida en este apéndice se obtuvo de las referencias [9], [10] y [11].
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
AN. 1. Evolución de la familia de DSP T.MS320.
El procesador que nos ocupa se ubica dentro de los procesadores optimizados para control
(Control optimized), es decir, dentro de las plataformas C2000 y a su vez en el C24x. Esta
familia cuenta con diferentes características que la hacen una buena elección por la integración
de PWM, sistema pipeline, coprocesador matemático para facilitar las ecuaciones en diferencia,
ocho interrupciones externas, etc.
Estructura interna de bus
Este procesador utiliza una arquitectura Hardvard modificada, esta arquitectura mantiene una
estructura de buses separados que permite un acceso simultáneo de datos de programa y de
código logrando de esta manera con el pipeline un procesamiento mucho más eficiente. El
núcleo del DSP tiene una estructura interna de datos y programa dividida en seis buses. Estos
buses son:
• PAB. Program address bus: proporciona direccionamiento tanto para leer como escribir
en la memoria de programa.
• DRAB. Data-read address bus: proporciona direccionamiento para leer de la memoria de
datos.
• DW AB. Data-write address bus: proporciona las direcciones para escribir a memoria de
datos.
_______________________________________________________________ 69
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
• PRDB. Program read bus: transporta el código de las instrucciones y los operandos
inmediatos.
• DRDB. Data-read bus: lleva datos de la memoria de datos a la unidad aritmética lógica
central (CALU) y al registro auxiliar de la unidad aritmética (ARAU).
• DWEB. Data-write bus: transporta datos a la memoria de programa así como a la
memoria de datos.
A continuación, en la figura AIV.2, se muestra un esquema en el cual se ejemplifica el
funcionamiento de estos distintos buses así como los espacios de memoria a los cuales tienen
acceso.
80
DA AM
S 2
DARA,\ol
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regís¡m.
r- - -----,·J...,__,.'-+----.-,.,,.-----.. ...¡..'+-' +-+-~+~---+''-+-+~-+----.H-'¡....¡...~ ----.
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AIV.2. Estructura de bus del DSP C24x
Memoria
La arquitectura C24x contiene los siguientes tipos de memoria:
• Dual-access RAM (DARAM)
• Flash EEPROM o ROM (enmascarada)
Esta memoria a su vez está organizada en cuatro espacios a seleccionar individualmente:
• Programa (64K words): contiene las instrucciones a ser ejecutadas, así como datos usados
durante la ejecución del programa.
• Datos locales (64K words): guarda datos usados por las instrucciones.
--------------------------------------------------------------------~ Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
7D
• Datos globales (32K words): comparte datos conotros dispositivos como espacio de
datos adicional.
• Entrada/ Salida (64K words): proporciona la interfaz a periféricos externos.
Estos espacios forman un rango de direcciones de 224K words, la representación de esta
memoria se muestra en el diagrama AIV.3.
.... mp•m Hilt Dm l'C . ..... ,
0"0~ ~M
-~~~-~------~----~~·-..
r~ .. V«.>~rt .,na;)IMC º~º
~:;v Yldo!II; r,ci.e.n.·111«!'\IM - - - -- ---- la'3!KCt5
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,_:\:: 11 ¡::-r,,-.f.¡j
••••r"": :cNP = o; .-~E
F!:F~
FFO,
-J~-:·,111PAl<I.M 'l,)i~ ... ~Q-1,ct•af)•
,;801 f :e:NlF= ~ 1 :· !'FPF "'"r.r~! telll(a-
~CFp •<ttf'll•t '.CNF ::o: FF=F K!l-4<"~
AIV.3. Mapa de memona
CPU
El CPU basado en la tecnología de TI C2xx contiene:
• Unidad aritmética lógica central de 32 bits (CALU).
• Acumulador de 32 bits.
• Registros de desplazamiento para los registros de entrada y salida de la CALU
~---------------------------------------------------------71 Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
AIV.6. Vista esquemática de la tarjeta y ubicación de los puertos
El eZdspTMLF2407 tiene ocho conectores. El pin número uno de cada conector está identificado
con un pin cuadrado
Funciones de los conectores
• Pl/P7 Interfaz análoga
• P2/P8 Interfaz de entrada/ salida
• P3 Conector de corriente
• P6 Interfaz de expansión de entrada / salida
• P9 Puerto paralelo / controlador de la interfaz JT AG
• Pl O Interfaz JTAG
~-------------------------------------------------------------74
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Interfaz análoga
La tarjeta de desarrollo cuenta con dos puertos análogos, PI y P7, de entrada con un tiempo de
conversión mínimo de 500 nanosegundos. El puerto PI cuenta con veinte pines, de los cuales
diez son tierra, dos nos brindan el voltaje de referencia bajo y alto y los ocho pines restantes
corresponden al ADC. El puerto P7 nos brinda ocho entradas análogas extras.
ANAU)G
P7 ~ .! ~\ (, 7 8 C• 10 :.,
,3 8 ·10 12 ·~.::. f f~ "' 20
f-'I '·~· ~· 7 ~I ¡ 1 1J '~ 17 1 ~· ,•. t ••.
AIV. 7. Diagrama de la interfaz análoga.
Para el puerto PI
Pin# Signo! Pfn# Slgnal
i GtJD 2 ADCINO
3 GN[; 4 ADCI!\'
5 G'-ID /O ADCIN2 o
7 GND 9 ADCl\3 1
j GNC! 1Q ADCl~-4
11 G~JD ,: ADCINS
13 GND 14 ADCIN5
1.5 GNC: 1€, ADCIN7
17 G~ '8 VREFLO
19 G!\IC ¿C, VREFHI
Para el puerto P7
AA~p~lic~a~c1~·ó:nJyJc~o~m~p~ai~a~ci~ón~de~ru~st~in~~l~~~;¡;~------------------------------ 7·, a un sistema de levita . , , . tas eyes de control J
czon magnet1ca.
Pin# Slgnol
~ ADCINB
2 ADC1N9
:, AJCNIO
4 A)CIN1t
5 A)Cl\112
5 .A.)Cll.JB
7 .A.JCl\114
~ .A.)CI\JtS
~ RESERVEJ
10 RESER•!EJ
El ADC es un convertidor de aproximaciones sucesivas de diez bits. Existen dieciséis canales
multiplexados de entrada (ADCINO - ADCIN15)con un tiempo de conversión de 500ns con un
reloj de 30 l\11-lz y un preescalamiento de uno. El diagrama básico del funcionamiento del
convertidor se muestra en el diagrama AIV.8.
ADCl~
A.IDCl.~l
ADCL\':-
ADCDil~
l\ff_~
S:tlüt,
Sofru:mie
n·A
IYB
E:u Pin ( . .ffiCSOC J
Rtsulr :\IT'X
· lO-hit !QO..U~
i-----., < SIH "t A/ft· -i,..--...i
AIV.8. Diagrama de bloques de ADC
--------------------------------------------------------------------Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
76
lnteñaz de entrada I salida P2/P8
La tarjeta de desarrollo nos permite comunicación digital por medio de los canales
bidireccionales P8 y P2. Cada uno de estos pines puede funcionar ya sea como puerto de ocho
bits o en su función especial. La distribución fisica de los pines dentro de la tarjeta es la
siguiente.
lú
AIV.9. Distribución de pines digitales
En el puerto P2 tenemos definidos los puertos A (IOPAO - IOPA7), B (IOPBO - IOPB7), C
(IOPCO - IOPC7), E (IOPEO - IOPE7) cada uno de ocho bits. Así mismo en P2 tenemos doce
canales PWM (PWMI - PWM12), los módulos de comunicación serial CAN (Controller Area
Network con los pines CANTX para transmisión y CANRX para recepción), SPI (Serial
Peripheral Interface con los pines SPISIMO, SPISOMI, SPICLK, SPISTE) y SCI (Serial
Communications Interface SCITX y SCIRX). Así mismo la tierra (GND) y el voltaje (+5V)
están amarrados a varios pines dentro de este puerto. La distribución de todos estos pines se
describe en la tabla siguiente.
___________________________________________________________ 77
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Conectores
El eZdspTMLF2407 tiene cuatro jumpers distribuidos en la tarjeta como sigue:
AIV.9. Posiciones de los jumpers en la tarjeta de desarrollo
La descripción de cada uno de estos conectores se muestra a continuación.
Posltlon Functlon Posltlon Function
'"'I •L C:n b:i.H:I \'REFL:;
2-:3
.,, ,.. -·~ E>:::er"JI \'REFU)
Position Functlon Posltlo11 Functlon
l-2v Microprot~ssor McCEi
2-3' 2-.3 Micrúcontroll&r M,:.de
Con estos jumpers es posible configurar el watchdog o el modo en que funcionará la tarjeta, ya
sea en modo microprocesador o microcontrolador, así como el origen de los voltajes de
referencia.
Finalmente el led OS 1 nos indica si hay alimentación a la tarjeta de desarrollo y el led DS2 está
amarrado al IOPCO. TPI está sujeto a tierra.
LEO# Color Controlling Signal
0:31 Rtd -: Volts
DS2 RM IOP:O
--------------------------------------------------------------------~ Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
79
A .. /V.3 Code Composer Studio V1
El IDE Code Composer Studio requiere los siguientes componentes mínimos de sistema:
PC IBM o compatible.
Microsoft Windows 95, Windows 98, or Windows NT 4.0.
32 Mbytes en RAM, 100 Mbytes en disco duro, procesador Pentium, pantalla SVGA (800x600).
Con esta herramienta es posible programar en el DSP ya sea en lenguaje ensamblador o en bien
en C e incluso es posible ver la mezcla de ambos lenguajes en pantalla. Al ser un emulador, es
necesario que la tarjeta esté conectada para poder trabajar con el programa. El set de
instrucciones del TMS320C2407 (TMS320LF2407) agrupa las instrucciones, entre otros, en
operaciones de control de programa, operaciones de entrada y salida de dc1-tos de memoria,
aritmética. Sin embargo, dada la facilidad del lenguaje C en comparación del ensamblador es
preferible programar en C con las operaciones comunes que brinda este lenguaje. El set de
instrucciones resumido se muestra a continuación.
Accumulator
Memorv Rtf.,..,,c•
ABS NEG SUB
AOO NORM SUBB
AODC OR SUBC
AODS ROL SUBS
AODT ROR SUBT
AND SACH XOR
CMPL SACL ZALR
LACC SFL
LACL SflR
LACT
1/0and Data
Mtmorv Oper~tlons
BLDD OUT
BLPD SPLK
DMOV TBLR
IN TSLW
Auxillory Regls .. r and
D:itA P:iGt Polnttr
ADRK MAR
CMPR SAR
LAR SBRK
LDP
Control lnstructlons
BIT POP
BlTT POPO
CLRC P5HD
IDL! PUSH
RPT SETC
LST SST
NOP
Multlply, T. P
APAC MPYA
LPH MPYS
LT MPYU
LTA PAC
LTD SPAC
LTP SPH
LTS SPl
MAC SPM
MACO SORA
MPY SORS
eraneh
e ce
BACC tNTR
BANZ NMI
BCND RET
CALA RETC
CALL TRAP
AIV.1 O. Instrucciones del TMS320C2407
Algunas de las características que el IDE brinda son: Un ambiente visual C. Análisis de señales
medianteherramientas gráficas. La posibilidad de editar, construir, manejar y corregir errores en
un solo ambiente unificado.
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Apéndice V
Código del controlador
Dada la complejidad del procesador digital de señales son necesarios varips archivos de
configuración. Aquí se ofrecen los códigos fuentes del vector de interrupciones, el mapa de
memoria así como el código fuente en C.
GO Extensión language file
/* This GEL file is loaded on the command line of Code Composer
* The StartUp() function is called every time you start
* Code Composer. Y ou can customize this function to
* initialize wait states orto perform other initialization.
*/
StartUp()
{
GEL_ MapOn();
GEL_ MapReset();
GEL_ MapAdd(OxOOOO, l,Ox005F, 1, 1 );
GEL_ MapAdd(Ox0060, l,Ox0020, 1, 1 );
GEL_MapAdd(Ox0200, l,Ox0100, 1, 1);
GEL_MapAdd(Ox0300, 1,0xOIOO, 1, l);
GEL_ MapAdd(Ox8000, 1,0x8000, 1, 1 );
GEL_ MapAdd(Ox7010, l,OxOOOF, 1, l);
GEL_MapAdd(Ox7020, l,OxOOIO, 1, 1);
GEL_MapAdd(Ox7030, 1,0xOOIO, 1, l);
GEL_MapAdd(Ox7040, 1,0xOOIO, 1, 1);
GEL_MapAdd(Ox7050, 1,0xOOIO, 1, l);
GEL_MapAdd(Ox7070, l,OxOOIO, 1, l);
GEL_ MapAdd(Ox7090, 1,0xOOIO, 1, l);
GEL_MapAdd(Ox7400, 1,0xOOlD, 1, 1);
/* MMRs */
/* On-Chip RAM 82 * I
/* On-Chip RAM BO ifCNF=O */
/* On-Chip RAM B 1 */
/* Externa) memory * /
/* Peripheral - System Config & Control */
/* Peripheral - WDT / R TI * /
/* Peripheral - ADC * /
/* Peripheral - SPI * /
/* Peripheral - SCI */
/* Peripheral - Ext Ints * /
/* Peripheral - Digital 1/0 */
/* Peripheral - Event Mgr */
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
GEL_MapAdd(Ox7420, l,Ox0006, 1, l);
GEL_MapAdd(Ox742C, I,Ox0009, 1, l);
GEL _MapAdd(OxOOOO,O,Ox4000, 1, 1 );
GEL_ MapAdd(Ox4000,0,0xBEOO, 1, 1 );
GEL_ MapAdd(OxFEOO,O,OxOl 00, 1, l);
GEL_ MapAdd(Ox0000,2,0x0008,0, 1 );
GEL_ MapAdd(Ox0008,2,0x0004, 1,0);
GEL_ MapAdd(OxOOOC,2,0x0004,0, 1 );
GEL_ MapAdd(OxFFFF,2,0xOOOl, 1, 1 );
GEL _Reset();
/*GEL _ProjectBuild(); * /
GEL_ WatchReset();
/* Peripheral - Event Mgr Capture & QEP */
/* Peripheral - Event Mgr Int cntl * /
/* Interna! Program memory - Flash * /
/* Externa! Program memory * /
/* Available if CNF=l i.e. BO */
/* 1/0 Memory Mapped DAC Registers */
/* 1/0 Memory Mapped DIP Switches */
/* 1/0 Memory Mapped LEDs * /
/* Wait-state Generator Register */
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox7018@data,x; SCSRl ");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox7403@data ; TlPR");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox7417@data ; CMPRl ");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox7404@data,x; TlCON");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox741 l@data,x; COMCONA");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox742F@data,x; EV AIFRA");
GEL_WatchAdd("*(int *)Ox742C@data,x; EVAIMRA");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox709e@data,x ; PDDATDIR");
GEL_ WatchAdd("*(int *)Ox709a@data,x; PBDATDIR");
GEL_ Go(main);
}
Linker command file.
El linker command file es el archivo que le dice al procesador digital de señales la estructura de
la memoria y dónde se van a localizar las secciones de código, datos y entrada/salida.
MEMORY
{
Aplicación y comparación de .distintas leyes. de .control
a un sistema de levitación magnética.
PAGE O: VECS : ongm = Oh, length = 040h /* VECTORS */
PROG : origin = 40h, length = OFFCOh /* PROGRAM */
PAGE 1 : MMRS : ongm = Oh, length = 060h /* MMRS */
B2 : origin = 0060h, Iength = 020h /* DARAM */
BO : origin = 0200h, Iength = OlOOh /* DARAM */
Bl : origin = 0300h, length = OlOOh /* DARAM */
DATA : origin = 8000h, Iength = 8000h /* XDM */
SECTIONS
{
.text : {}> PROG P AGE O
.cinit : {}> PROG P AGE O
.data :{}> DATA PAGE 1
.stack :{}> DATA PAGE 1
.bss :{}> BO PAGE 1
.vectors:{}> VECS PAGE O
}
vectors.asm
El archivo nombrado vectors.asm contiene el vector de intenupciones del DSP, las
interrupciones que se utilizaron fueron la intenupción uno así como la dos. A la primera
intenupción se llega cada milisegundo y en ella se convierte la entrada analógica a digital y,
mediante este número más los anteriormente guardados, se calcula la corrección en la señal de
control. A la intenupción dos se llega con una frecuecia de 20 kilohertz y se genera, mediante la
corrección calculada en la intenupción uno, el PWM .
. title "vectors.asm"
.ref _c_intO,_c_dummyl,_ADC_lSR,_TlC:MP _ISR
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
.sect ".vectors"
r-eset: b e intO
intl: b ADC ISR - -
int2: b TICMP ISR - -
int3: b _c_dummyl
int4: b _c_dummyl
int5: b _c_dummyl
int6: b _c_dummyl
reserved: b _c_dummyl
sw int8: b _c_dummyl
sw int9: b _c_dummyl
sw intlO: b _c_dummyl
sw intl 1: b _c_dummyl
sw int12: b _c_dummyl
sw int13: b _c_dummyl
sw intl4: b _c_dummyl
sw intl5: b _c_dummyl
sw intl6: b _c_dummyl
trap: b _c_dummyl
nmint: b _c_dummyl
emu_trap: b _c_dummyl
sw int20: b _c_dummyl
sw int21: b _c_dummyl
sw int22: b _c_dummyl
sw int23: b _c_dummyl
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Código e
El código del controlador se realizó en el lenguaje de programación 'C'. La primer parte del
código se compone de definiciones de las palabras de control así como las distintas variables
necesarias durante la configuración del procesador digital de señales.
/******************************************************************/
/* Generación de PWM en pin TlPWM */
/* corriendo sobre un DSP TMS320LF2407 EV AL -Board, */
/* PLL * 2, CPU-Clock a 29.49 MHz */
/* fecha: Noviembre 22, 2004 , Armando Hernández y Fernando Eusa */
/******************************************************************/
/******************************************************************/
#include "regs2407.h"
/************* Registro MCRA **************/
#define MCRA 15 o /*O: IOPB7 1: TCLKIN */
#define MCRA14 o /*O: IOPB6 1: TDIR */
#define MCRA13 o /*O: IOPB5 1: T2PWM */
#define MCRAl 2 1 /*O: IOPB4 1: TIPWM */
#define MCRAI 1 o /*O: IOPB3 1: PWM6 */
#define MCRA 1 O o /*O: IOPB2 1: PWM5 */
#define MCRA9 o /*O: IOPBl 1: PWM4 */
#define MCRA8 o /*O: IOPBO 1: PWM3 */
#define MCRA 7 o /*O: IOPA7 1: PWM2 */
#define MCRA6 o /*.O: IOPA6 1 :PWMl */
#define MCRA5 o /*O: IOPA5 1: CAP3 */
#define MCRA4 o /*O: IOPA4 1 :CAP2/QEP2 */
#define MCRA3 o /*O: IOPA3 1 : CAPI/QEPI */
#define MCRA2 o /*O: IOPA2 1 :XINTI */
#define MCRAl o /*O: IOPAI 1 :SCIRXD */
#define MCRAO o /*O: IOPAO 1: SCITXD */
85
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
/****************************************************************!
/************* Registro MCRB **************!
#define MCRB9 o /*O: IOPDl 1 : XINT2/EXTSOC */
#define MCRB8 1 /* O : CKLKOUT 1 : IOPDO */
#define MCRB7 o !*O: IOPC7 1: CANRX */
#define MCRB6 o !*O: IOPC6 1: CANTX */
#define MCRB5 o /*O: IOPC5 1 : SPISTE */
#define MCRB4 o /*O: IOPC4 1: SPICLK */
#define MCRB3 o /*O: IOPC3 1: SPISOMI */
#define MCRB2 o /*O: IOPC2 1: SPISIMO */
#define MCRB 1 1 /*O: 810 1 : IOPCl */
#define MCRBO 1 /*O: XF 1 :IOPCO */
/****************************************************************/
!************* Registro MCRC **************/
#define MCRC 13 o !*O: IOPF5 1: TCLKIN2 *!
#define MCRC 12 o /*O: IOPF4 1 : TDIR2 */
#define MCRC 11 o /*O: IOPF3 1: T4PWM/T4CMP */
#define MCRCIO o /*O: IOPF2 1: T3PWM/T3CMP */
#define MCRC9 o /*O: IOPFl 1: CAP6 */
#define MCRC8 o /*O: IOPFO 1 : CAP5/QEP3 *!
#define MCRC7 o /*O: IOPE7 1 : CAP4/QEP2 */
#define MCRC6 o /*O: IOPE6 1 :PWM12 */
#define MCRC5 o !*O: IOPE5 1: PWMll */
#define MCRC4 o /*O: IOPE4 1 :PWMlO */
#define MCRC3 o /*O: IOPE3 1: PWM9 */
#define MCRC2 o !*O: IOPE2 1 :PWM8 */
#define MCRC 1 o /*O: IOPEI 1 :PWM7 */
#define MCRCO o /*O: IOPEO 1: CLKOUT *!
/****************************************************************/!************* Registro WDCR **************/
86
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
#define WDDIS 1 /* O : Watchdog habilitado 1: deshab*/
#define WDCHK2 1 /*O: Reset de sistema 1:0P Nonnal*/
#define WDCHK 1 o /* O : Oper. Nonnal 1 :Reset de sis*/
#define WDCHKO 1 /* O : System reset 1: Normal OP */
#define WDSP 7 /* Escalamiento Watchdog 7: div 64 */
/****************************************************************/
/************* Registro WSGR
#define BVIS O
#define ISWS
#define DSWS
#define PSWS
o
o
o
**************/
/* 10-9 : 00 Visibilidad de Bus OFF */
/* 8 -6 : 000 O Estado de espera IO */
/* 5 -3 : 000 O Estado de espera datos*/
/* 2 -O : 000 O Estado de espera código * /
/****************************************************************/
*************/ /************** Registro TlCON
#define TI CON FREESOFT O
(suspende) * I
/* 15-14 Libre, SOFT : 00 para en emulación-JI AG
#define TlCON TMODE
Continuo ascendente * I
#define T 1 CON TPS
entrada CPUCLK/1 */
#define TlCON TENABLE
#define TlCON TCLKS
#define T 1 CON TCLD
2
o
1
o
/* 12-11 : TMODEl,O : 10 Sel de modo de cuenta:
/* 10-8 : TPS2-0 : 000 Escalamiento del reloj de
/* 6 : TENABLE : 1 Habilita -GPT I */
/* 5-4 : TCLKSl,O : 00 Fuente de reloj : interno*/
/* 3-2 : TCLDl,O : 01 Comparador de
Timer(activo) recarga de registro cuando el contador=O o =periodo reload condition when
counter value is O* I
#define TlCON TECMPR /* 1 TECMPR : 1 Habilita comparacion
timer*/
/****************************************************************/
/************** Registro T2CON *************/
/* 15-14: 00 Para enJTAG */ #define T2CON FREESOFT
#define T2CON TMODE
o
2 /* 12-11 : 10 Cuenta continua aseen */
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
#define T2CON TPS 7 /* 10-8 : 111 CPUCLK/128 */
#define T2CON TSWT 1 o /* 7 : O usa TENABLE bit */
#define T2CON TENABLE /* 6 : 1 Timer 2 habilitado */
#define T2CON TCLKS o /* 5-4 : 00 Fuente de reloj interna*/
#define T2CON TCLD 1 /* 3-2 : O 1 Recarga cuando O ó T2PR * /
#define T2CON TECMPR 1 /* 1 : 1 Habilita timer compare * /
#define T2CON SELTIPR o /* o : O Usa T4 registro de periodo*/
/****************************************************************/
/************* Registro SCSRI **************/
#define CLKSRC o /* O : Intemo(20MHz) */
#define LPM o /*O: Modo bajo de potencia si susp*/
#define CLK PS 1 /* 001 : PLL multiplica por 2 */
#define ADC CLKEN l /* 1: No ADC */
#define SCI CLKEN o /*O: No SCI */
#define SPI CLKEN o /*O: No SPI */
#define CAN CLKEN o !*O: No CAN */
#define EVB CLKEN o !*O: No EVB */
#define EVA CLKEN 1 /* 1 : Habilita reloj para EVA */
#define ILLADR 1 /* 1 : Limpia ILLADR en arranque */
/****************************************************************/
/* ** * * * * ***** * Registro ADCTRL 1 ************/
#define RESET o /* 14 : 1 Resetea el modulo ADC */
#define SOFTFREE 2 /* 13-12: 10 completa ADC antes paro*/
#define ACQ_PS 7 /* 11-8 : Tiempo de adquisicion 16xTClk* /
#define CPS 1 /* 7 : 1 ADC = CLK/2
#define CONT RUN o /* -6 : -O No corrida continua */
#define INT PRI o !* 5 : -O Prioridad alta int ADC
#define SEQ_ CASC o /* 4 : O Modo Dual-Sequencer
#define CAL ENA o /* 3 : O Modo de calibración deshab */
#define BRG ENA o /* 2: O Referencia total Volt. to ADC*/
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
*/
*/
*/
#define HILO
#define STEST ENA o
/* 1 : O VREFLO Voltage de prueba * /
/*O: O Modo Aut~prueba deshabil */
/****************************************************************/
/************* Registro ADCTRL2
#define EVB _ SOC _ SEQ O
#define RST_SEQI o
#defineSOC _ SEQ 1 o
#defineINT ENA SEQ 1 1 - -
#defineEV A_ SOC _ SEQ 1 1
#define EXT _ SOC _ SEQ 1 o
#define RST_SEQ2 o
#defineSOC _ SEQ2 o
#defineINT _ ENA _ SEQ2 o
#defineEVB _ SOC _ SEQ2 o
************/
/* 15 : 1 EVB empieza Sec. cascada * /
/* 14 : 1 Reset 1 * /
/* 13 : O Limipia pendiente SOC trig*/
/* 11-1 O : 1 Mode de lnterrupcion 1 * /
/* 8: 1 EVA empieza Secuenciador 1 */
/* 7: 1 Pin ADCSOC empieza Sec. 1 */
/* 6 : 1 Reset Secuenciador 2 * /
/* 5 : O Limpia pendiente SOC2 trig * /
/* 3-2 : O Interrupcion SEQ2 deshab */
/* 8: 1 EVB empieza Secuenciador 1 */
/****************************************************************/
/************* Registro GPTCONA ************/
#define GPTCON T2TOADC 2
/* 10-9 : T2TOADC = 10: ADC empieza por Evento-GPT2 */
#define GPTCON TI TOADC O
/* 8-7 : TI TOADC = 00: ADC NO empieza por Evento-GPTI */
#define GPTCON TCOMPOE
/* 6 : TCOMPOE = 1: habilita 2 GPT salidas de comparacion*/
#define GPTCON T2PIN
/* 3-2 : T2PIN = 01 : Poi. de GPT2 comp salida=forzada a bajo*/
#define GPTCON TIPIN 1
/* 1-0 : TI PIN= QO : Poi. de GPTI comp salida=activa en bajo */
!****************************************************************/
/************* Registro IMR
#define INT6
#define INT5
**************/
O /* 5 : Nivel INT6 esta enmascarado*/
O /* 4: Nivel INT5 esta enmascarado*/
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
89
#define INT 4
#define INT3
#define INT2
#define INT 1
O /* 3 : Nivel INT 4 esta enmascarado * /
O !* 2: Nivel INT3 esta no mascarado*/
1 /* 1 : Nivel INT2 esta no mascarado*/
!* O: Nivel INTI esta enmascarado*/
/****************************************************************/
!* * * * * * * * * * * * * Registro EV AIMRA ************/
#define TI OFINT O /* 1 O : Timer 1 Int desbordamiento
#define T 1 UFINT o /* 9 : Timer 1 Int bajodesborde
#define T 1 CINT 1 /* 8 : Timer 1 Int comparacion
#define TIPINT o !* 7 : Timer 1 Int periodo
#defineCMP3 INT o /* 3 : Int Comparacion 3
#define CMP2INT o !* 2 : Int Comparacion 2
#define CMP 1 INT o /* 1 : Int Comparacion 1
#define PDPINT o /* O : Int Proteccion ene drive */
/****************************************************************/
!************* Registro EV AIMRB ************/
#define T20FINT o /* 3 : Timer 2 Int desbordamiento * /
#define T2UFINT o /* 2 : Timer 2 Int bajodesborde */
#define T2CINT o /* 1 : Timer 2 Int comparacion
#define T2PINT 1 /* O : Timer 2 Int periodo */
!****************************************************************/
*/
*/
*!
*/
*/
*/
*/
*/
/************* Registro EV AMRC **************/
#define CAP3INT o !* 2 : Intenupcion de captura 3 */
#define CAP2INT o /* 1 : lntenupcion de captura 2 *!
#define CAPIINT o /* O : lntenupcion de captura 1 */
!****************************************************************/
#define PERIODOPWM 1000
#define PERIODOADC 20000
int u[2];
/* Frecuencia del PWM = 20Khz
/* Conversion ADC y control= IKHZ
/* Arreglo de corrección
*/
*!
*/
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-90
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
int k[2];
int dk[2];
int d2k;
unsigned int correccion;
unsigned int ADCO _result;
/* Arreglo de posición
/* Arreglo de velocidad
/* Aceleración
interrupt void INTPWM(void) /* Interrupcion para el pwm */
{
}
if((PIVR-Ox0028)==0) /*Verify interrupt-No. (28=TICINT, Compare) */
{
T 1 CMPR =correccion;
EV AIFRA=(TICINT<<8); /* Clear only TCINTI-Interrupt
}
interrupt void INT ADC(void)
*/
*/
*/
*/
/*****************************************************************************
Aquí va toda la parte de control cada milisegundo (usando el timer 2) se hace la conversión del
ADC y el ctrl.
*****************************************************************************!
{
if((PIVR-Ox0004)==0)
{
/*Verify type of interrupt ( 4 = ADC )
ADCO result=RESUL T0>>6·
- '
*/
ADCTRL2 I= Ox4200; /* clear ADC-Sequencer1-Interrupt flag
/* and reset Sequencer
*/
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
*/
k[l]=k[O];
k[0]=300-ADCO _result;
u[l]=u[O];
dk[l]=dk[O];
dk[O]=k[O]-k[ 1 ];
d2k=dk[ O]-dk[ 1];
/*************************************************************************
Ley de control
Emulación: u(k)=30.43z(k)-29.29z(z-1 )+0.5488u(k-l)
Retroalimentación de estado: u(k)=-4 l .924z(k)-O. 7507dz(k)-O.Ol l 7d2z(k)
punto de equilibrio 342 en adcO _result
**************************************************************************/
/*
u[O] = (30.43*k[0])-(29.29*k[l])+(0.5488*u[l]);
u[O] = (-41. 924 *k[0])+(-0. 7507*dk[O])+(-O. O 1 l 7*d2k);
if(u[O} <= 1000)
correccion=u[O];
if(u[O] <= O)
correccion=O;
else
correccion=999;
}
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
*/
void c _ dummy 1 ( void)
{
while(l); /*usado para atrapar interrupciones no deseadas * /
}
void main(void)
{
asm (" setc INTM");/*Deshabilitar todas las interrupciones
asm (" clrc SXM"); /*Limpiar bit de modo de extensión de singo
asm (" clrc OVM"); /*Reset bit de modo de desbordamiento
asm (" clrc CNF"); /*Configurar bloque BO para mem. de datos
WSGR =( (B VIS< <9)+(1SWS< <6)+(DSWS< <3)+PSWS);
/* configurar estatos de espera
*!
*/
*/
*/
WDCR=((WDDIS<<6)+(WDCHK2<<5)+(WDCHK1 <<4)+(WDCHK0<<3)+WDSP);
/* Inicializar Watchdog-timer
SCSRI= ((CLKSRC<<l4)+(LPM<<12)+(CLK_PS<<9)+(ADC_CLKEN<<7)+
(SCI_CLKEN<<6)+(SPI_CLKEN<<5)+(CAN_CLKEN<<4)+
(EVB _ CLKEN<<3)+(EVA _ CLKEN<<2)+ILLADR);
/* Inicializar SCSR */
MCRB = ((MCRB9<<9)+(MCRB8<<8)+
(MCRB7<<7)+(MCRB6<<6)+(MCRB5<<5)+(MCRB4<<4)+
(MCRB3<<3)+(MCRB2<<2)+(MCRB 1 <<1 )+MCRBO);
/* Inicializar MCRB (master control register B)
*/
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
*/
*/
MCRA = ( (MCRA 15< < l 5)+(MCRA 14< <14 )+(MCRA 13< < 13 )+(MCRA 12< < 12)+
(MCRAl l<<l l)+(MCRAIO<<lO)+(MCRA9<<9)+(MCRA8<<8)+
(MCRA7<<7)+(MCRA6<<6)+(MCRA5<<5)+(MCRA4<<4)+
(MCRA3<<3)+(MCRA2<<2)+(MCRA1 <<I)+MCRAO);
/* Inicializar MCRA (master control register A) */
MCRC = ((MCRC13<<13)+(MCRCl2<<12)+(MCRCI l<<l l)+(MCRCIO<<lO)
+(MCRC9<<9)+(MCRC8<<8)+(MCRC7<<7)+(MCRC6<<6)
+(MCRC5<<5)+(MCRC4<<4)+(MCRC3<<3)+(MCRC2<<2)
+(MCRC 1 <<l )+MCRCO);
/* Inicializar MCRC (master control register C) */
GPTCONA=((GPTCON T2TOADC<<9)+
(GPTCON _ Tl TOADC<<7)+
(GPTCON _ TCOMPOE <<6)+
(GPTCON _ T2PIN<<2)+
(GPTCON_TlPIN));
/* Inicializar GP Timer Control */
TIPR=PERIODOPWM; /*Inicializar periodo */
TlCNT=OxOOOO; /* valor de inicios del contador */
TICON=((TICON_FREESOFT<<14)+
(TICON_TMODE<<l l)+
(Tl CON_ TPS<<8)+
(T 1 CON_ TCLKS< <4 )+
(TlCON_TCLD<<2)+
(TlCON_TECMPR<<l));
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
T2PR=PERIODOADC;
T2CNT=Ox0000;
T2CON=((T2CON _FREESOFT<<l 4)+
(T2CON_TMODE<<l 1)+
(T2CON _ TPS<<8)+
(T2CON _ TSWT 1 <<7)+
(T2CON _ TCLKS<<4)+
(T2CON_ TCLD<<2)+
(T2CON _ TECMPR <<1 )+
T2CON_SELT1PR);
CALIBRA TION = O;
ADCTRLl = Ox4000;
/* reset del modu.lo ADC completo * /
ADCTRLl = ((RESET<<15)+(SOFTFREE<<12)+(ACQ_PS<<8)+
(CPS<<7)+(CONT _ RUN<<6)+(INT_ PRI<<5)+
(SEQ_CASC<<4)+(CAL_ENA<<3)+(BRG_ENA<<2)+
(HILO<<l )+STEST _ ENA);
/* Inicializar modulo ADC
CHSELSEQ 1 = OxOOOO;
*/
/* Seleccionar solamente Canal O para escaneo * /
ADCTRL2 i= Ox5000; /*limpiarla bandera de int del secl-ADC */
ADCTRL2 = ((EVB_SOC_SEQ<<15)+(RST_SEQ1<<14)+(SOC_SEQ1<<13)+
(INT _ ENA _ SEQ 1 < < 1 O)+(EV A_ SOC _ SEQ 1 < <8)+(EXT _ SOC _ SEQ 1 < <7)+
(RST _ SEQ2<<6)+(SOC _ SEQ2<<5)+(INT _ ENA _ SEQ 1 <<2)+
EVB_SOC_SEQ2);
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
/* Inicializar secuenciador ADC
MAXCONV = O; /* 1 sola conversion es hecha en la 1 sesion * /
EV AIFRA=OxFFFF; !* limpia la bandera de int EV del Registro Grupo A */
EVAIFRB=OxFFFF; /* limpia la bandera de int EV del Registro Grupo B */
EV AIFRC=OxFFFF; /* limpia la bandera de int EV del Registro Grupo C */
EV AIMRA=((TIOFINT<<IO)+
(T 1 UFINT< <9)+
(TICINT<<8)+
(TIPINT<<7)+
( CMP3 INT < <3 )+
(CMP2INT<<2)+
(CMPIINT<<l)+
(PDPINT)); /* Mascara de interrupcion EV del Registro Grupo A */
EV AIMRB=((T20FINT<<3)+
(T2UFINT < <2)+
(T2CINT<<l )+
(T2PINT)); /* Mascara de interrupcion EV del Registro Grupo B */
EV AIMRC=((CAP3INT<<2)+
(CAP2INT<<l )+
(CAPlINT)); /* Mascara de interrupcion EV del Registro Grupo C*/
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
*/
IFR=OxFFFF;
IMR=((INT6<<5)+
(INT5<<4)+
(INT4<<3)+
(INT3<<2)+
(INT2<<1)+
/* Registro de bandera de Interrupcion, dir Ox0006 * /
/* Reset de todas las interrupciones
(INTI)); /* Interrupt Mask Register */
asm (" clrc INTM"); /* Habilitar las int no enmascaradas * /
*/
TICON=T1CON+(TICON_TENABLE<<6); /* habilitar GPTl ahora */
T2CON=T2CON+(T2CON_TENABLE<<6); /* habilitar GPT2 ahora */
u[O]=O;
k[O]=O;
dk[O]=O;
d2k=O;
while(l );/* loop infinito * /
}
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Apéndice VI
Sensores de posición
A-VI. 1 Diseño y construcción de un sensor para la posición
Existe una amplia gama de técnicas que se emplean en la medición de distancia, pero el universo
del sensor a utilizar se verá acotado fundamentalmente, por el tipo de objeto a detectar, el medio
en que actuará y la sensibilidad requerida. A continuación se describen brevemente las técnicas
de sensado de distancias más usadas en robótica.
• Transductores Potenciométricos. Cuando la distancia a medir es del orden del metro, se
utiliza en algunos casos el potenciómetro como transductor. El potenciómetro se puede
instalar sobre un eje roscado, el movimiento de rotación determina la posición del
elemento móvil, cuya posición se desea conocer. Se pueden alcanzar precisiones del 1 %.
El mayor inconveniente del empleo del potenciómetro es el desgaste que se produce en el
contacto móvil.
• Transductores Inductivos. Se denominan transductores inductivos de distancia a los
dispositivos que utilizan un campo magnético perturbable por la separación sensor -
objeto a detectar. La sensibilidad de estos transductores estará en fuoción del campo
magnético que por su intensidad es capaz de producir reacciones aprovechables, la
mayoría de las aplicaciones están limitadas a distancias muy pequeñas, <;lel orden de unos
pocos centímetros. Los transductores inductivos se clasifican en relación a los materiales
ante los cuales son capaces de reaccionar, ya que esto determina su criterio básico de
aplicación.
• Transductores Inductivos sensibles a materiales Metálicos. EstQs transductores
reaccionan ante cualquier material capaz de provocar pérdidas por efecto Foucault.
Utilizan un campo magnético variable, los materiales que pueden ab!iorber energía de
este tipo de campos provocarán un cambio en los parámetros eléctricos del transductores,
en este sentido el método mas utilizado es el de variación de inductancia, esta variación
es producida por un aumento o disminución en la reluctancia del circuito. Estos
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
transductores incorporan un oscilador que provee el campo magnético variable y se
presentan comercialmente como sondas. Detectan en general distanci&s que están entre
1 mm y 1 m con errores del orden de 0,3 mm, posee un tiempo de respuesta de 100
microsegundos.
• Transductores Inductivos sensibles a materiales Ferromagnéticos: trabajan con un
campo magnético estático, producido generalmente por un imán permanente interno, a
través de un camino de elevada reluctancia y cuyo valor es alterado en diferente grado,dependiendo de la proximidad del material ferromagnético. Detectan distancias del orden
del metro con una precisión de O, 1 a 0,5 mm, dependiendo de la calidad de los materiales
utilizados en la construcción del sensor.
• Transductores Capacitivos. La técnica de medida por variación de la ca,pacidad se basan
en la utilización de los parámetros que modifican el campo eléctrico establecido entre dos
conductores. De una manera general esta variación puede producirse, bien por
modificación de la forma de los conductores o por modificación de la distancia que los
separa, o también en función del medio donde están colocados estos conductores.
Mediante transductores capacitivos es posible efectuar medidas de unos pocos metros,
aunque su aplicación en robótica se restringe a distancias del orden de los centímetros.
• Transductores de Radiación Electromagnética y Acústica.. Se definen como
transductores de distancia por radiación a todos los dispositivos detectores de distancia
que utilicen la emisión y propagación de energía bajo la forma de ondas
electromagnéticas o acústicas como medio fisico aprovechable para reaccionar frente a
un objeto a detectar. Las propiedades de estas perturbaciones del medio, dependen de su
naturaleza y de su banda de frecuencia, lo que requiere de distintas tecnologías para
aprovechar los fenómenos mencionados. El empleo de estos transductores cubre tanto
distancias cortas, medias y largas, de igual manera pueden ser detectados elementos
metálicos y no metálicos. Por lo cual su campo de aplicación es mayor que el de los
transductores de distancia hasta aquí mencionados. Además permiten realizar mediciones
estáticas y dinámicas. En el campo acústico, se destaca la utilización de dispositivos de
medidas de tiempo de propagación de los ultrasonidos como tansductores de distancia, en
este caso no se deben utilizar circuitos electrónicos asociados tan rápidos como los
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
utilizados por las radiaciones electromagnéticas para una determinada distancia del
objeto, al ser la velocidad de propagación de las ondas ultrasónicas muy inferior al de las
ondas electromagnéticas. No obstante, la distancia de detección es menor con ondas
acústicas que electromagnéticas, estando en el orden de unos pocos metros en el aire.
Aplicaciones prácticas de transductores de ultrasonido en robótica, utilizan frecuencia de
40 KHz y superiores siendo capaces de detectar distancias de 4 o 5 metros con precisión
del orden del centímetro. Dentro de los transductores que emplean radiaciones
electromagnéticas se destacan los que comprenden a los espectros ultravioleta, visible e
infrarrojo. Sin embargo, los mas utilizados en robótica son los fotoeléctricos que
corresponden a los espectros infrarrojo y visible. Con la aparición d~ los LEDs y las
fibras ópticas que operan en el dominio infrarrojo, su empleo ha aumentado ampliamente
debido a la alta confiabilidad y bajo costo de estos componentes. Estos transductores
tienen aplicación en ambientes de trabajo bien iluminados donde no es adecuado la
utilización de dispositivos fotoeléctricos que trabajan en el espectro visible. En el
espectro visible, el láser se utiliza como transductor de distancia, debido a sus
características de coherencia, monocromaticidad, directividad y peq1,1eña longitud de
onda, es factible su utilización para conseguir medidas de distancia de gran precisión. En
estos transductores de ondas acústicas o electromagnéticas, se utiliza_ generalmente un
emisor y un receptor de perturbaciones mecánicas o electromagnéticas. Sin embargo, en
el caso de detectores de distancia por infrarrojos, el objeto puede actµar como emisor,
otras veces es posible la utilización de un solo emisor - receptor, conmutándolo
convenientemente. Con estos tipos de sensores se consigue normalmente información
unidimencional. Mediante el barrido de una zona de trabajo es posible obtener
informaciones bidimencionales y tridimencionales. Finalmente, con estos transductores
de radiación es además posible la medida de la velocidad de objetos en movimiento por
la técnica de efecto doopler.
A-V/.2 Especificaciones del sensor
Aplicación y c~paración de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
Luego de diseñar del sistema de control y construir el electroimán se determinaron las
características que debía tener el sensor utilizado. Las principales son:
• No contacto: debida a la definición misma de la levitación en ningún momento ni de
ninguna forma puede existir contacto entre el objeto a levitar y otra superficie. En todo
momento debe estar en el aire, por lo tanto es indispensable que el sensor utilizado
requiera contacto para la medición de la distancia entre electroimán y objeto
• Bajo consumo de potencia: el sensor y su alimentación estarán ubicados sobre la mesa
que esté levitando; por esta razón el debe consumir la menor cantidad de potencia posible
y de esta forma reducir el peso de la batería, facilitando la levitación
• Bajo peso: a menor peso del sensor, la fuerza generada por los el~ctroimanes podrá ser
utilizada con mayor eficiencia
• Rango de medida: como las fuerzas que se pueden generar con electroiwanes disminuyen
con el cuadrado de la distancia, solamente se podrá hacer levitar unos pocos milímetros,
de manera que es importante que el sensor que se utilice pueda entregar señales de
distancia con buena resolución, para distancias entre los 2 y los 6 mm
• Linealidad: el voltaje de salida debe ser proporcional, en todo momento, a la distancia
que se está midiendo
• Resolución: es conveniente que el sensor utilizado reconozca ~uando menos cuatro
niveles diferentes entre cada milímetro, es decir que tenga una resolución de 250 m m
• Influencia de campos magnéticos: aunque el sistema de medición que se seleccione
utilice como principio el campo magnético, este no debe verse afectado por las
magnitudes de los campos presentes en todos los devanados dispuestos a lo largo de la
mesa
• Rapidez de respuesta: debido a la frecuencia natural del sistewa manejado es
indispensable que se puede actualizar la información de la posición al menos cada 2 mS.
Tiempos de respuesta más lentos harán que el control no alcance a responder y por lo
tanto el objeto a levitar se pegará al electroimán o caerá
• Costo: luego de garantizar que los posibles sensores a utiliz~ cumplan con las
características técnicas mínimas, será seleccionado el que menor costo representante
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
• Mantenimiento: después de cumplir las demás características técnicas antes señaladas,
será seleccionado el que cuente con mayor representación en el país en cuento a
reemplazo de partes defectuosas, y facilidad de acceso a servicios de mantenimiento.
A-V/.3 Selección de alternativas
Luego de investigar el mercado e identificar las alternativas disponibles se plantearon las
siguientes:
• Sensor análogo de efecto hall, U A503
• Sensor análogo capacitivo
• Sen$or análogo inductivo
• Sensor óptico difuso
• Sensor ultrasónico
• Construcción de un nuevo sensor capacitivo.
A continuación se presenta la tabla de alternativas disponibles c;on sus respectivas
especificaciones, utilizada para la selección de la mejor opción.
Análogo Análogo Análogo Óptico Ultrasónico Construcción
de efectocapacitivoinductivo difuso de uno nuevo
hall, sensor
UA503 capacitivo
Contacto No No No No No No
Consumo delOO mW 200mW 200mW 50mW 200mW 50mW
potencia
Peso 100 g 300 g 250 g 150 g 400 g 100 g
Linealidad No Si Si Si Si Si
Rango de medida O- 1 cm O- 1 cm O- 1 cm O- 80 cm O- 1 m 0-7mm
Resolución lOOmm lOOmm lOOmm lOmm
Influencia deNo Si No Si
campos
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitaciónmagnética.
1 mm 250mm
Si Si
Rapidez del.5 KHz 1 KHz 1 KHz 1 KHz 50 mS 1 KHz
respuesta
Costo US$ 50 US$ 200 US$ 200 US$ 500 US$ 300 US$ 50
Mantenimiento Si No No No No Si
El principio de operación de los sensores no comerciales se muestra enseguida.
• Construcción de un sensor utilizando el sensor de efecto hall UA503: se sensan las
variaciones en la densidad de campo magnético generado por el imán en la parte posterior
del sensor. La curva de respuesta del sensor muestra una característica exponencial de
voltaje de salida con respecto a la posición de la pieza.
lfflirl
VI. l Sensor de efecto hall, configurado para medir posición
• Construcción de un nuevo sensor óptico: el objeto levitando se constituye en una barrera
para la luz emitida; de esta forma, la luz que logra pasar a través se convierte en una señal
análoga que describe perfectamente la posición del elemento.
(:Ob¡i,ito étl.
hvitribn
VI.2 Sensor óptico, de barrera
___________________________________________________________ 103
Aplicación y comparación de distintas leyes de control
a un sistema de levitación magnética.
• Construcción de un nuevo sensor capacitivo: el entrehierro fonnado por la superficie
móvil y la superficie fija conforman un condensador con capacitancia variable. Este valor
de capacitancia es utilizado como parte de un oscilador, de manera que se puede traducir
frecuencia de oscilación en un voltaje proporcional al tamaño del entrehierro.
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