1.56 Cuáles de los siguientes vectores son vectores unitarios? a) 1 50 (3, 4, 5) b)U si U lo es c) (u1, u2, u3, u4, u5, u6), si U (u1, u2, u3, u4, u5, u6) lo es

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1.56. ¿Cuáles de los siguientes vectores son vectores unitarios?
a) 150 (3, 4, 5) ∣∣∣∣∣∣∣∣ 150(3, 4, 5)
∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( 350 , 450 , 550
)∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣( 350 , 225 , 110
)∣∣∣∣∣∣∣∣
=
√(
3
50
,
2
25
,
1
10
)
·
(
3
50
,
2
25
,
1
10
)
=
√(
3
50
)2
+
(
2
25
)2
+
(
1
10
)2
=
√
32
502
+
22
252
+
1
102
=
√
1
50
=
√
2
10
̸= 1
Por lo tanto, 150 (3, 4, 5) es un vector unitario.
b) −U si U lo es
Si U = (u1, ..., un) es un vector unitario, entonces ||U || =
√
(u1, ..., un) · (u1, ..., un) = 1
|| − U || =
√
(−u1, ...,−un) · (−u1, ...,−un) =
√
u21 + ...+ u
2
n = 1.
c) (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6), si U = (u1, u2, u3, u4, u5, u6) lo es.
Si U , es un vector unitario, entonces cumple lo siguiente:
||(u1, u2, u3, u4, u5, u6)|| =
√
(u1)2 + u22 + (u3)
2 + u24 + (u5)
2 + u26 = 1.
Entonces (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) es un vector unitario, comprobemos que en realidad se cumple,
entonces:
||(−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6)|| =
√
(−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) · (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6)
=
√
(−u1)2 + u22 + (−u3)2 + u24 + (−u5)2 + u26
=
√
u21 + u
2
2 + u
2
3 + u
2
4 + u
2
5 + u
2
6
= 1
Por lo tanto, (−u1, u2,−u3, u4,−u5, u6) es un vector unitario.
1
d) 13 (1,−
√
2,
√
3,−
√
3)∣∣∣∣∣∣∣∣13(1,−√2,√3,−√3)
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
(
1
3
,
−
√
2
3
,
√
3
3
,
−
√
3
3
)∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
=
√√√√(1
3
,
−
√
2
3
,
√
3
3
,
−
√
3
3
)
·
(
1
3
,
−
√
2
3
,
√
3
3
,
−
√
3
3
)
=
√√√√(1
3
)2
+
(
−
√
2
3
)2
+
(√
3
3
)2
+
(
−
√
3
3
)2
=
√
1
9
+
2
9
+
3
9
+
3
9
=
√
1
= 1
Por lo tanto, 13 (1,−
√
2,
√
3,−
√
3) es un vector unitario.
2