Numeros Reales

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NUMEROS REALES
NOCIÓN DE NÚMEROS REALES
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en
números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos
representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos
no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra:
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los
números reales son los números comprendidos
entre los extremos infinitos. Es decir, no
incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Dominio de los números reales.
línea Real
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que 
podemos representar en ella todos los números reales.
Esquema de la Madrioshka
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del
igual) y también desde arriba o abajo (figura a la derecha del igual).
De las dos formas podemos ver claramente la jerarquía de
dimensiones que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas
también podemos organizar los números reales siguiendo el mismo
método.
Los números reales y la Matrioshka
Tenemos que entender el conjunto de reales como la
Matrioshka, es decir, como el conjunto de muñecas
tradicionales rusas organizadas de mayor a menor.
La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más
grande contiene la siguientes muñecas más
pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro
de la muñeca más grande se llama Matrioshka.
Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Los números reales pueden clasificarse entre
números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Números Naturales
El conjunto de los números naturales la suma de números enteros, es el 
conjunto de los números que sirven para contar, se denota con N y es N =
{1,2,3,4,5,...}.
Para cada número natural n, existe su siguiente representado por n+1.El 
siguiente de 27489 es 27490 y el siguiente de éste es 27491 y así 
sucesivamente. El conjunto de los números naturales tiene infinitos 
elementos y no existe un número natural que sea mayor que los demás.
456298; 74000000; 26007253187 y 453571000000023
Son ejemplos de números naturales.
Los números enteros son los naturales, sus
opuestos (negativos) y el cero.
El conjunto de los números enteros se representa 
mediante una Z, Z= {0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4...}. Se
cumple entonces que todo número natural es entero.
-456298; 74000000; 26007253187; -13789 y
453571000000023
Son ejemplos de números enteros.
El Conjunto de números racionales, denotado por Q, es 
el conjunto de todos los cocientes de dos números 
enteros donde el denominador es diferente de cero:
Con la definición de número racional, se concluye que 
los divisores no pueden ser cero, es decir, división entre 
cero no existe, no representa ningún número.
Números enteros Números racionales
Ejemplo
Si se debe cumplir que b x 0 = 0 y esto es cierto para cualquier, número 
real b. Por tanto, como b no es único, no está definido.
Si m es un número entero, , por tanto, todo número entero es racional.
Números irracionales
El Conjunto de números irracionales, denotado por I, es el
conjunto de todos los números decimales infinitos no
periódicos. Son ejemplos de números irracionales
1.41421356..., 3.14.1592265..., 2.7182818284...,
2.31323334353637... y -14.1234567891011...
como π y e que son constantes universales y
Existen en el conjunto de los irracionales números
etc.,
que, además de tener esta forma, tienen su representación 
como números decimales infinitos no periódicos.
Ejemplos:
Ningún número racional es irracional porque todo número
racional es de la forma y al realizar la división indicada,
encuentra la representación decimal infinita periódica.
Como los números reales se clasifican en racionales o
irracionales y ambos tienen una representación decimal,
entonces todo número real tiene una representación
decimal.
EJERCICIOS EN CLASE
Ejercicio N.º 1.- Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
AXIOMAS Y 
TEOREMAS DE LOS 
NÚMEROS REALES
■ Hay varias formas de definir los números reales en este caso lo haremos de una 
forma para mi sencilla en la que habrá una serie de axiomas que son propiedades 
que cumplen este conjunto de números que asumiremos sin necesidad de 
demostración debido a su sencillez y que todo el mundo es capaz de entender sin 
demostrar.
■ A partir de estos axiomas ya iremos construyendo el resto de las propiedades deeste 
conjunto y de diferentes teoremas, algunos de una pequeña complejidad y otros de 
gran complejidad.
■ Dividiremos los axiomas en tres grupos: axiomas de cuerpo, axioma de orden y
axioma de continuidad o de completitud.
Los axiomas son:
■ Axioma 1. Si a, b ϵR, entonces a + b, ab ϵR (Ley de cerradura para la suma y el producto)
■ Axioma 2. Si a, b ϵ R entonces a+b = b+a y ab = ba (Ley de conmutatividad)
■ Axioma 3. Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)c (Ley deasociatividad)
■ Axioma 4. Si a, b, c ϵR entonces a(b + c) = ab + ac (Ley distributivita)
■ Axioma 5. Existen 0, 1 ϵR, con 0 # 1, tales que: si a ϵR, entonces a+0 = a y a·1 = a (0 se
llamará Neutro aditivo y 1 se llamará Neutro multiplicativo)
■ Axioma 6. Si a ϵR, existe -a ϵ R tal que a + (-a) = 0 y si a ϵR con a ≠ 0, entonces existe 1/a
■ ϵR tal que a · 1/a = 1 (Existencia de los inversos)
■ En matemáticas, un axioma es una
premisa que, por considerarse evidente,
se acepta sin demostración, como punto
de partida para demostrar otras
fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas
se eligen de entre las consideradas
“verdades evidentes” porque permiten
deducir las demás formulas. En lógica
matemática, un postulado es un
proposición, no necesariamente
evidente: una fórmula bien formada de
un lenguaje formal utilizada en una
deducción para llegar a una conclusión.
En el campo de los números reales son
seis los principales axiomas que se
toman, y a través de su uso y
postulación, permiten el desarrollo de
los teoremas que estructuran una parte
de las matemáticas.
■ Como se ha visto las
propiedades que poseen los
números reales son muy
diversas, y es posible que
algunas sean complicadas, o
demostrar que cumplen esa
propiedades es un poco más
difícil, pero esas reglas han
sido de gran utilidad para que el
hombre haya podido trabajar
cómodamente con ellos.
■ También por cumplir con las
reglas de campo y las de orden,
los números reales se les
denomina un campo ordenado.
■
También por cumplir con las reglas de campo y las 
de orden, los números reales se les denomina un 
campo ordenado.
Axiomas fundamental
■ Existe un conjunto que se denota por {R} } que satisface los tres tipos de axiomas 
mencionados, de orden, algebraicos y topológicos.
■ El conjunto que cumple con estas propiedades se llama conjunto de los números 
reales y los axiomas de este conjunto comprenden las bases del análisis 
matemático.
■ Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se
demuestren, serán válidos si los axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán
del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la afirmación escierta.
Axiomas algebraicos
■ Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser
subdivididos en dos tipos: los de la adición yde la multiplicación.
■ Axiomas de la adición
■ A1.1 Para todo x ,y∈Rexiste un único elemento, también en Rdenotado por x+y
que llamamos la suma de xe y .
■ A1.2 x+y = y + xpara todo x,y∈R .
■ A1.3 (x+y)+z = x+(y+z) para todo x,y,z∈R .
■ A1.4 Existe un elemento de R, denotado por 0 tal que x+0=x para todo x∈R .
■ A1.5 Para cada x∈Rexiste un y∈Rtal que x+y=0 .
Axioma de multiplicación
■ A2.1 Para todox,y ∈ R , existe un único
elemento, también en R , denotado por
xy que llamaremos el producto de x e y
.
■ A2.2 xy=yx para todo x,y ∈R.
■ A2.3 (xy)z=x(yz) para todo x,y,z ∈ R .
■ A2.4 Existe un elemento de R, que
denotaremos por 1 tal que 1x = x1 xy
y además 1 ≠ .
■ A2.5 Para cada x ∈R . tal que no sea 
cero, existe un y ∈R . tal que xy = 1.
■ Axioma de distribución
■ Este axioma conecta la suma o resta
con la multiplicación:
■ A3.1 Para todo x,y,z ∈R (x+y) z = xz + 
yz.
Orden de
operacionesEl orden de operaciones son reglas que determinan que operación 
se lleve a cabo.
■ Primero realizar paréntesis u otros símbolos .
■ Segundo realizar la multiplicación y divisiones.
■Tercero realizar las suma y 
resta. Ejemplo:
SUMA YRESTA
Adición y Sustracción de fracciones
■ Cuando dos fracciones se nos presenta y tienen el mismo
denominador se conserva y pueden sumarse simplemente los
numeradores.
Ejemplo :
■ Cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores diferentes, primero
tenemos que reemplazarlo en cada fracción por una equivalente que tenga un
denominador común con el propósito de mantener los números mas pequeños
posible, segundo elegimos el más pequeño de los denominadores comunes,
conocido como mínimo común múltiplo (m.c.m).
Ejemplo:
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
■ El mínimo común múltiplo de dos números a y b es el
número más pequeño que es múltiplo de a y múltiplo
de b.
■ Para denotar el mínimo común múltiplo
de a yb escribiremos m.c.m.(a, b) ó mcm(a, b).
Regla para calcular el mcm:
■ “Bases comunes yno comunes al mayor exponente.”
Método:
1.-Descomponemos los números en números primos
(producto de potencias de primos).
2.-El mínimo común múltiplo es el producto de todas las
potencias que aparecen en las descomposiciones,
3.-Pero si alguna de las bases aparece en ambas
descomposiciones, escogemos la de mayor exponente.
También podemos calcular el m.c.m. mediante la descomposición en 
factores primos de los números tratados.
■ Ejemplo: considerando el mcm de: 
72 y 50.
■
• Tomando los factores con su mayor
exponente
■ tenemos que:
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
■ Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus
valores absolutos, aplicando la multiplicación de los números
naturales, y se aplica las siguientes reglas para el signo:
1.-(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números
positivos es un número positivo.
2.-(+) x (–) = (–) El resultado de multiplicar un número positivo
por otro
negativo es un número negativo.
3.-(–) x (+) = (–) El resultado de multiplicar un número
negativo por otro positivo es un número negativo.
4-.(–) x (–) = (+) El resultado de multiplicar dos números
negativos es un
número positivo.
■ Para realizar la suma de dos o más
polinomios, se debe sumar los coeficientes de
los términos cuya parte literal sean iguales, es
decir, las variables y exponentes (o grados)
deben ser los mismos en los términos a
sumar.