Módulo de ingreso Matemática_Teoría_

Vista previa del material en texto

1 
 
1 
 
 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 
Facultad de Ciencias Económicas 
 
Autor: 
Mosqueda Daniel Luis 
Edición: Mosqueda Daniel Luis 
2021 
Matemática 
Material teórico de apoyo para el estudiante de 
Ciencias Económicas 
 
1 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
 
Estimado estudiante de Ciencias Económicas: 
 
Este material teoríco fue elaborado con el 
objetivo de que te ayude a transitar el módulo de ingreso de Matemática y de esta manera, 
reforzar ciertos conocimientos indispensables para el cursado de una de las primeras 
asignaturas: Álgebra y Geometría Analítica de la Facultad de Ciencias Económicas de la 
UNNE. En el podrás encontrar conceptos, definiciones, propiedades y ejemplos de cada uno 
de los saberes matemáticos. 
Con respecto a los contenidos, éstos estan 
agrupados en cinco unidades: conjuntos numéricos, polinomios y expresiones algebraicas, 
ecuaciones e inecuaciones, funciones y sistemas de ecuaciones lineales y por último, 
trigonometría. 
¡Éxitos en esta nueva etapa! 
Mgter. Mosqueda, Daniel L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Contenidos 
Unidad N° 1: Conjuntos Numéricos ....................................................................................... 1 
Conjuntos numéricos .......................................................................................................................... 1 
Recta numérica.................................................................................................................................... 3 
Intervalos ............................................................................................................................................ 4 
Valor absoluto de un número real ....................................................................................................... 4 
Redondeo y truncamiento ................................................................................................................... 5 
Operaciones con números reales. Propiedades. .................................................................................. 6 
Suma de números reales .................................................................................................................. 7 
Resta de números reales .................................................................................................................. 7 
Suma (resta) de números racionales ................................................................................................ 7 
Multiplicación (producto) y división (cociente) de números reales ................................................ 8 
Potenciación en los reales ............................................................................................................. 10 
Radicación en los reales ................................................................................................................ 12 
Operaciones combinadas............................................................................................................... 14 
Radicales ........................................................................................................................................... 14 
Extracción de factores fuera del radical ........................................................................................ 14 
Introducción de factores dentro del radical ................................................................................... 15 
Reducción de radicales a mínimo común índice ........................................................................... 16 
Operaciones con radicales ................................................................................................................. 16 
Suma y resta .................................................................................................................................. 16 
Multiplicación ............................................................................................................................... 17 
División ......................................................................................................................................... 18 
Racionalización de denominadores ................................................................................................... 18 
Unidad N° 2: Polinomios – Expresiones algebraicas Fraccionarias .................................. 21 
Polinomio .......................................................................................................................................... 21 
Igualdad de polinomios ..................................................................................................................... 22 
Grado de un polinomio ..................................................................................................................... 22 
Especialización o valor numérico ..................................................................................................... 23 
Raíz de un polinomio: valor particular en la especialización ........................................................... 23 
Operaciones entre polinomios ........................................................................................................... 23 
Suma ............................................................................................................................................. 23 
Resta o diferencia .......................................................................................................................... 24 
Multiplicación o producto ............................................................................................................. 25 
División ......................................................................................................................................... 26 
 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Teorema del Resto ............................................................................................................................ 30 
Corolario del Teorema del Resto .................................................................................................. 30 
Orden de multiplicidad de una raíz ............................................................................................... 30 
Factorización de polinomios: casos .................................................................................................. 32 
Expresiones algebraicas fraccionarias .............................................................................................. 34 
Simplificación ............................................................................................................................... 35 
Operaciones....................................................................................................................................... 36 
Suma y resta .................................................................................................................................. 36 
Multiplicación ............................................................................................................................... 37 
División ......................................................................................................................................... 37 
Operaciones combinadas............................................................................................................... 38 
Unidad N° 3: Ecuaciones e Inecuaciones ............................................................................. 39 
Ecuación ............................................................................................................................................ 39 
Ecuación Lineal ............................................................................................................................39 
Ecuación Cuadrática ..................................................................................................................... 42 
Aplicaciones .................................................................................................................................. 45 
Inecuaciones ...................................................................................................................................... 47 
Resolución de inecuaciones .......................................................................................................... 48 
Unidad N° 4: Funciones y sistemas de ecuaciones lineales ................................................. 51 
Sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano ....................................................... 51 
Función ............................................................................................................................................. 52 
Función lineal ................................................................................................................................ 54 
Función cuadrática ........................................................................................................................ 58 
Sistemas de Ecuaciones Lineales ...................................................................................................... 62 
Métodos de Resolución Analíticos ............................................................................................... 63 
Unidad N° 5: Trigonometría ................................................................................................. 69 
Ángulos ............................................................................................................................................. 69 
Medición de ángulos ......................................................................................................................... 69 
Grados (sistema sexagesimal) ....................................................................................................... 69 
Radianes (sistema circular) ........................................................................................................... 70 
Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................ 72 
Razones trigonométricas ................................................................................................................... 72 
Identidades trigonométricas fundamentales ...................................................................................... 74 
Identidades del cociente ................................................................................................................ 74 
Identidades recíprocas ................................................................................................................... 75 
 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Identidades del ángulo medio ....................................................................................................... 75 
Identidad Pitagórica ...................................................................................................................... 75 
Razones trigonométricas para un ángulo cualquiera ......................................................................... 76 
Signo de las razones trigonométricas ................................................................................................ 80 
Ángulo de referencia ..................................................................................................................... 80 
Aplicación de la tangente a la pendiente de una recta ...................................................................... 84 
Teorema ........................................................................................................................................ 85 
Tabla de signos y símbolos matemáticos más utilizados .................................................... 86 
 
 
1 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 1: Conjuntos Numéricos 
Contenidos: Conjuntos numéricos. Propiedades. Recta numérica. Intervalos. Valor absoluto 
de un número real. Aproximación de números reales: redondeo y truncamiento. Operaciones. 
Propiedades. Radicales. Extracción de factores fuera del radical. Introducción de factores 
dentro del radical. Reducción de radicales a mínimo común índice. Operaciones con 
radicales. Racionalización. 
 
Conjuntos numéricos 
Los matemáticos han ampliado los conjuntos numéricos a lo largo de la historia. La 
necesidad de resolver ecuaciones ha propiciado la creación de nuevos conjuntos. El primer 
conjunto numérico que utilizó el hombre para contar objetos se llama conjunto de números 
naturales; lo simbolizamos con la letra y cuyos elementos son 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11… 
De lo anterior deducimos que el conjunto tiene infinitos elementos o números. Cuando 
además el elemento 0 se incluye en , se escribe 
0
, pero no es considerado como natural. 
En el conjunto , no siempre es posible realizar una resta, por ejemplo 5 – 8, no tiene 
solución; ocurre lo mismo con la división. Para que la diferencia tenga solución cuando el 
minuendo es menor que el sustraendo, se define el conjunto de los números enteros, que se 
simboliza con la letra y está formado por los naturales, el cero y los negativos –1, –2, 
–3,…, es decir, es el conjunto  ..., 3, 2, 1,0,1,2,3... .   En este conjunto es posible sumar, 
multiplicar y restar, pero la división está restringida, es decir, podemos hacer 4 : 2, pero no 
5 : 2, ya que el resultado de esta última operación no pertenece al conjunto . Nuevamente 
se amplía el conjunto con las fracciones. Este nuevo conjunto se llama números 
racionales y se lo nota con la letra . Se define número racional como aquel número que se 
puede expresar como el cociente de dos números enteros, siendo el divisor no nulo: 
/ , , 0
p
p q q
q
 
   
 
. Los números p y q se denominan numerador y denominador 
respectivamente. Todo racional tiene una escritura fraccionaria y decimal. Por ejemplo 
3
2
 
(escritura fraccionaria) pero puede escribirse también como 0,6666... 0,6 (escritura 
decimal). 
2 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
No hay un número racional x, tal que x
2
 = 2. Pero existe el número indicado por 2
que lo verifica  
2
2 2 . Este tipo de números y como lo es  = 3,1415926535…, se 
denominan irracionales ( ), tienen infinitas cifras decimales no periódicas y no pueden 
expresarse como fracción. La unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de 
los irracionales, se llama conjunto de números reales, se lo identifica con la letra . 
Simbólicamente: ;    
1
 
Observemos el esquema y diagramas siguientes que muestran la relación entre los 
distintos conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para indicar que un número pertenece o no a un determinado conjunto S o si un 
conjunto S está contenido dentro de otro T (S subconjunto de T) se utiliza la siguiente 
notación: 
 
 
1
 El símbolo  representa la unión de dos conjuntos y  la intersección. El conjunto que no tiene elementos se 
llama vacío y se representa por . 
Números Reales 
Números Racionales 
1 7
; ;2,5; 1,7444444444...
2 3
  
Números Enteros 
–2; 0; –10000 
 
Números 
Naturales 
1, 2, 3,… 
 
 
 
Números Irracionales 
 
33; 5; 2; ; ;
1, 232233222333...
e
 
3 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Notación Se lee Significado Ejemplos 
a S a pertence a S 
a es un elemento del 
conjunto S. 
3  
a S a no pertence a S 
a no un elemento del 
conjunto S. 
5
4
 
S T 
S contenido en T, 
S subconjunto de T, 
 
S es un subconjunto de T, T 
contiene a S, es decir, todo 
elementode S es un 
elemento de T. 
 
esunsubconjuntode 
 
Recta numérica 
Los números reales se representan gráficamente en la recta. Para ello, primero se 
selecciona un punto en la recta que representa el cero, llamado origen, luego se elige un 
segmento unidad, cuya medida se marca sucesivamente a la derecha y a la izquierda del cero. 
Con cada punto sobre la recta asociamos un número con signo, que depende de la posición 
del punto con respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen son consideradas 
positivas y a la izquierda negativas. De esta manera, a cada punto sobre la recta le 
corresponde un único número real único, y a cada real le corresponde un único punto sobre la 
recta. De allí que la llamamos recta de números reales. 
 
Los números reales negativos son los números que se encuentran a la izquierda del 
cero. Simbólicamente se los expresa como a < 0 (a menor que 0). Los números reales 
positivos son los números que se encuentran a la derecha del cero. Expresados como a > 0 
(a mayor que 0) 
 Para comparar dos números reales utilizamos los símbolos mencionados 
< significa es menor que ; > es mayor que 
Pero además se utilizan: 
  significa es menor o igual a ;  es mayor o igual a 
 Dados dos números reales distintos a y b: 
Si a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a < b. Por ejemplo, 
3
2
   
4 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Si a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a > b. Así, 
3
3
2
  
Intervalos 
Muchas veces es necesario trabajar con ciertos subconjuntos de números reales que 
involucran desigualdades, denominados intervalos. Éstos se definen como: 
Sean a y b reales tales que a < b; a y b se denominan extremos. 
Intervalo 
Tipo de 
Desigualdad 
Denominación/ Explicación Representación gráfica 
 ;a b a x b  
Intervalo cerrado: Conjunto de números 
reales x, comprendidos entre a y b. Tanto 
a y b están incluidos. 
 ;a b a x b  
Intervalo abierto: Conjunto de números 
reales x, comprendidos entre a y b. Ni a 
ni b están incluidos. 
 ;a b a x b  
Intervalo semiabierto: Conjunto de 
números reales x, comprendidos entre a y 
b. (a está incluido, b no lo está). 
 ;a b a x b  
Intervalo semiabierto: Conjunto de 
números reales x, comprendidos entre a y 
b. (b está incluido, a no lo está). 
 ;a  x a 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
mayores a a (no incluye a) 
 
 ;b x b 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
menores a b (no incluye b) 
 
 ;a  x a 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
mayores a a (Incluido a) 
 
 ;b x b 
Intervalo no acotado: Todos los reales 
menores a b (Incluido b) 
 
El símbolo  no se considera como un número real. 
 
Valor absoluto de un número real 
Dado un número real a, el valor absoluto de a, denotado por a , es la distancia de a a 
0 en la recta de números reales. La distancia siempre es positiva o cero, de modo que tenemos 
5 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
0,a a   2 En el cursado de Álgebra y Geometría Analítica se presentarán otras 
definiciones, como por ejemplo
2 , .x x x   
La distancia del –3 al 0 es 3, la distancia de 2 al 0 es 2 y la distancia de 0 a 2 es 2 . 
La distancia del 0 al 0 es 0. Esto se escribe: 
3 3  ; 2 2 ; 2 2 ; 0 0 
 
Oservamos que 3 3  ; 3 3 y 2 2 ; 2 2  , estos ejemplos son suficientes para 
afirmar: Dos números reales opuestos tienen el mismo valor absoluto. 
Simbólicamente: o , ,a b a b a b a b       
 
Ejemplo: Determine, si existen, los valores reales de x que verifican: 
a) 5 3x  
 
b) 2 1 4x   
 
c) 2. 2 1 1 15x   
 
d) 7 2 1x x  
 
Solución: 
a) 5 3 5 3 o 5 3 2 o 8x x x x x            
 
b) 2 1 4x   
 
 No existe ningún número real cuyo valor absoluto sea negativo. 
c) 2. 2 1 1 15 2. 2 1 14 2 1 14 : 2 2 1 7 2 1 7 o 2 1 7x x x x x x                 
 
 2 6 o 2 8 3 o 4x x x x       
 
d) 7 2 1 7 2 1 o 7 (2 1) 2 1 7 o 7 2 1x x x x x x x x x x                    
 
 8 o 3 6 8 o 2x x x x         . Justifique los pasos aplicados. 
 
Redondeo y truncamiento 
En muchas situaciones es necesario considerar solamente algunas cifras de los números 
reales, es decir una aproximación del número. Para aproximar el valor de expresiones 
decimales con varias o infinitas cifras decimales, se puede redondear o truncar dicha 
expresión. Notación  
 
2
 El símbolo  significa para todo. 
6 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 Truncar: es cortar la expresión en una determinada cantidad de cifras decimales. 
 Redondear: es aproximar la expresión al valor más cercano, con el siguiente criterio: 
 Si el decimal siguiente al que se aproxima es menor que 5, se trunca en la cifra indicada. 
 Si el decimal siguiente al que se aproxima es mayor o igual que 5, se le suma 1 a dicho 
decimal. 
 Truncamiento Redondeo 
Número Al décimo Al centésimo Al décimo Al centésimo 
34,569 34,5 34,56 34,6 34,57 
12,742384 12,7 12,74 12,7 12,74 
4,65 4,6 4,65 4,7 4,66 
8 
2,8 2,82 2,8 2,83 
 
En la práctica se escribe 34,569  34,6 
 
Operaciones con números reales. Propiedades. 
En el conjunto de los reales podemos realizar las operaciones: suma, resta, 
multiplicación, división, potenciación y radicación. En este curso no veremos logaritmo. 
Propiedades de la suma de números reales 
Los números reales son cerrados con respecto a la operación de adición, es decir, para 
cualquier par de números reales a, b, le corresponde como suma un único número real a + b. 
Sean a, b, c números reales. Cada uno de los números de una suma se llama término o 
sumando. 
 Asociativa (la utilizamos para sumar tres o más reales): (a + b) + c = a + (b + c) 
 Conmutativa: a + b = b + a 
 El 0 es el elemento neutro: 0 + a = a + 0 = a 
 Cada número real tiene su opuesto o simétrico con respecto a la suma: 
a + (–a) = (–a) + a = 0 
 
 
 
 
7 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Suma de números reales 
Suma de dos 
números reales 
Regla de los signos 
3 + 4 = 7 
–3 + (– 4) = –7 
Signos iguales: es otro número real del mismo signo a los dados y cuyo valor 
absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos. 
–2 + 5 = 3 
 2+ (–5) = –3 
Signos distintos: es otro número real cuyo signo es igual al signo del número 
que tiene mayor absoluto y cuyo valor absoluto es igual a la diferencia (posible) 
de los valores absolutos de los sumandos. 
 
Resta de números reales 
En la resta a – b, a es el minuendo y b el sustraendo. Para hallar la resta de números 
reales le sumamos al minuendo el opuesto del sustraendo. 
Ejemplos: 9 – (–3) = 9 + 3 = 12 –2 – (–11) = –2 + 11 = 9 
 –12 – (+5) = –12 + (–5) = –17 10 – (+13) = 10 + (–13) = –3 
 
Suma (resta) de números racionales 
La suma (resta) de dos o más números racionales es otro número racional. Si tienen: 
a) Igual denominador: 
a b a b
c c c

  
Es otra fracción del mismo denominador y cuyo numerador es la suma (resta) de los 
numeradores. Siguen siendo válidas las reglas de los signos vistas. 
Ejemplos: 
2 4 6
2
3 3 3
   ; 
2 4 2
3 3 3
   
b) Distinto denominador: 
2 4 10 12 2
3 5 15 15
  
    
 
 ; 
7 1 14 1 13
4 8 8 8

   
Se busca el común denominador (mínimo común múltiplo) y se lo divide por cada 
denominador multiplicándolo por su respectivo numerador y luego se realiza la operación 
correspondiente. En los ejemplos, el mínimo común denominador de 3 y 5 es 15. Para 4 y 
8, el mínimo común denominador es 8. 
 
8 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Multiplicación (producto) y división (cociente)de números reales 
 Cada uno de los números que figuran en la multiplicación se llaman factores y en una 
división, el primero es el dividendo y el segundo, divisor. 
El conjunto de números reales es cerrado con respecto a la multiplicación, es decir, a todo 
para de números reales a, b le corresponde un único número real a.b (que también se denota 
ab). 
 
Propiedades de la multiplicación 
Sean a, b, c números reales. 
 Asociativa (la utilizamos para multiplicar tres o más reales): (a.b).c = a.(b.c) 
 Conmutativa: a.b = b.a 
 El 1 es el elemento neutro: 1.a = a.1 = a 
 Para cada número real a no nulo, existe su inverso multiplicativo o recíproco 1
1
a
a
  . 
 Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y diferencia de números 
reales: (a  b).c = a.c  b.c 
 
Propiedades que involucran el 0 
El producto de cualquier número real a por 0 es 0. Simbólicamente: a . 0 = 0 
Si el producto de dos números reales es 0, al menos uno de ellos es 0 (teorema del factor 
cero). Simbólicamente: a . b = 0  a = 0 o b = 0 
 
Este teorema puede extenderse a un producto con más de dos factores. Por ejemplo, 
si , , ,a b c d si y solo si al menos uno de los factores , , ,a b c d es cero. 
 
Propiedades cancelativas para la suma y producto 
Si a = b y c es cualquier número real, entonces 
1) a + c = b + c 
2) ac = bc 
Estas propiedades se utilizan en la resolución de ecuaciones. 
 
9 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Multiplicación con números racionales 
El producto de dos o más números racionales es otro número racional cuyo numerador 
es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. 
.
a c ac
b d bd

 
 
Antes de multiplicar conviene simplificar. 
 
3 12 3
. .10
4 25 4

3
1
12
.
25
2
5
. 10
3.3.2 18
1.5 5
 
 
Recuerda que se simplifica numerador y denominador siempre y cuando ambos sean 
múltiplos de un mismo número. 
 
División con números racionales 
El cociente de dos números racionales es otro número racional, siendo el segundo 
distinto de cero, se obtiene multiplicando el dividendo por el inverso multiplicativo del 
divisor. Simbólicamente: : .
a c a d ad
b d b c bc
  
Ejemplo: 
 
2
20 10 20
:
7 3

3
.
7 10 1
2.3 6
7.1 7
  
La llamada ley de los signos se aplica tanto para el producto como para el cociente de 
números reales. 
Producto / cociente de 
números reales 
Ejemplos Regla de los signos 
+ . + = + + : + = + 3 . 4 = 12 18 : 6 = 3 El producto (cociente) 
de dos números reales 
de igual signo es 
positivo. 
– . – = + – : – = + 
2 1 1
.
3 6 9
   
     
   
(–3) . (–4) = 12 
2 1
: 4
3 6
   
     
   
 
(–18) : (–6) = 3 
+ . – = – + : – = – 3 . (–4) = –12 
2
3
: (–6) = 
1
9
 
El producto (cociente) 
de dos números reales 
de distinto signo es 
negativo. 
– . + = – – : + = – (–3) . 
2
3
 = –2 (–18) : 6 = –3 
10 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Potenciación en los reales 
Con exponente natural 
La expresión 2
3
 es una potencia de base 2 y exponente 3 que se resuelve 
multiplicando tantas veces la base por sí misma como lo indica el exponente. 
Por ello: 2
3
 = 2 . 2 . 2 = 8 
 
Potencias con base negativa Regla de los signos 
(–2)
3
 = (–2) . (–2) . (–2) = –8 Base negativa, exponente impar, resultado negativo 
(–2)
4
 = (–2) . (–2) . (–2) . (–2)= 16 Base negativa, exponente par, resultado positivo. 
 
Con exponente entero negativo 
Cuando un número real no nulo está elevado a un exponente negativo, se debe invertir 
la base (inverso multiplicativo de la base) y se la eleva a un exponente de igual valor absoluto 
que el dado pero positivo. 
Ejemplos: 
4
4 1 12
2 16
    
 
; 
3 3
3 2 8
2 3 27

   
       
   
; 
3 2 5
3 3 3 32
:
2 2 2 243
 
     
          
      
En general , 0,
n n
a b a
n
b a b

   
     
   
 
No existe 0 n 
 
La potenciación no es distributiva respecto a la suma y a la resta por lo que primero 
se debe sumar o restar y después elevar a la potencia correspondiente. 
   
2 2 2
2
2 3 2 3
5 4 9
25 13
   
 

 
   
2 2 2
2
5 3 5 3
2 25 9
4 16
   
 

 
 
 
Propiedades Ejemplos 
0 1; , 0x x x   
Todo número 
(distinto de cero) 
elevado a la cero es 
uno. 
 
3
0 
= 1 ; (– 5)
0 
= 1; a
0 
= 1 (a  0) 
 
11 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
 
.
, 0, ,
n m n mx x x
x x n m

  
 
El producto de dos o 
más potencias de 
igual base, es otra 
potencia de la misma 
base, cuyo exponente 
es la suma de los 
exponentes dados. 
 
 
2
3
 . 2
1
 = 2
3+1
 = 2
4
 = 16 
 
 (–2)
3
 . (–2)
1
 = (–2)
3+1
 = (–2)
4
 = 16 
 
 
 
:
, 0, ,
n m n mx x x
x x n m

  
 
El cociente de dos 
potencias de igual 
base, es otra potencia 
de la misma base, 
cuyo exponente es la 
diferencia entre el 
exponente del 
dividendo y el 
exponente del divisor. 
5 3 5 3 24 : 4 4 4 16   
7 4 7 4 3( 3) : ( 3) ( 3) ( 3) 27        
 
  .
, 0, ,
m
n n mx x
x x n m

  
 
La potencia de otra 
potencia es una 
potencia de la misma 
base, cuyo exponente 
es el producto de los 
exponentes dados. 
 
4
3 3.4 122 2 2 4096   
 . .
, , , 0; 0,
n n nx y x y
x y x y n

   
 
, , , 0, 0;
n n
n
x x
y y
x y x y n
 
 
 
   
 
La potenciación es 
distributiva respecto 
al producto y al 
cociente 
 
2 2
2
2
2 2
3. 3 .
5 5
6 4
9.
5 25
36 36
25 25
   
      
   
 
  
 

 
 
3 3 315 :5 ( 15) :5 27      
De esta propiedad resulta la potencia de un 
número racional:
 
2 2
2 2 2
2
4 4 16
4 :3 4 :3
3 3 9
 
    
 
 
 
 
12 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplos 
Simplificar los siguientes expresiones: 
a) 
 
 
 
2 22 3 2 333 3 3 2
33 2 2 3 93
2 22 2
. . .
2 22
r rr s s s
s r s s rr
   
     
  
6r
2s
3s
32 9r
33 2
s
r

 
Hemos utilizado sucesivamente las siguientes propiedades: distributiva de la potenciación 
con respecto al cociente, distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación, 
potencia de otra potencia, cociente de potencias de igual base. 
3 5
3 ( 1) 5 2 4 7
1 2
8 8
b) 2
4 4
x y
x y x y
x y

    

 
 3 5 3 5 3 4
1 2 2 1 2 5 7
8 8 8 2
Obien . .
4 4 4
x y x y x x x
x y y x y y y
 
 
  
 
Radicación en los reales 
 Sea , 1n n  , a un número real. La raíz n-ésima de a se indica n a y se define de 
la siguiente forma: 
1. Si 0a  entonces n a es el número real no negativo b tal que elevado a la enésima 
potencia sea igual a a. Esta raíz se denomina raíz enésima principal. 
En símbolos: si ysolosi , 0, 0nn a b b a a b    
2. a) Si 0a  y n impar, entonces n a es el número real negativo b tal que elevado a la 
enésima potencia sea igual a a. 
 En símbolos: si ysolosi , 0, 0, imparnn a b b a a b n    ; 
b) Si a<0 y n par, entonces n a no es un número real. 
 
a se denomina radicando y n índice de la raíz. 
 
Regla de los signos: Una raíz es un número negativo únicamente si el radicando es un 
número negativo y el índice impar. 
 
13 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
No existen las raíces de índice par y radicando negativos en el conjunto de los números 
reales. 
 
Ejemplos: 3 564 8; 125 5; 32 2; 81      no tiene solución real. 
 
Potenciación con exponente fraccionario 
Toda potencia de base positiva de exponente fraccionario es igual a una raíz, cuyo 
índice es el denominador del exponente y cuyo radicando es la base de la potencia elevada a 
un exponente igual al numerador de la potencia dada. 
Simbólicamente , 0, , , 1.
m
n mna a a m n n     
Ejemplos 
3 1
35 1
4 2
3 53 24
1 11 1
2 2 ; ; 6
2 2 6 6
     
        
     
 
 Las propiedades de la potenciación mencionadas para exponentes enteros son válidas 
para los exponentes fraccionarios. Como una raíz puede expresarse como una potencia con 
exponente fraccionario, valen las siguientes propiedades: 
 
Propiedad distributiva de la radicación 
La radicación no es distributiva respecto a la suma y a la resta de números reales, por 
lo que primero se suma o resta y después se extrae la raíz. 
9 16 9 16
25 3 4
5 7
   
 

 
29 16 25 16
9 5 4
3 1
   
 
 
La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta. 
 
La radicación es distributiva respecto al producto y al cociente de números reales, por 
lo que se puede resolver de cualquier de las dos maneras. 
4.9 4. 9
36 2.3
6 6
 


 
16:4 16 : 4
4 4:2
2 2
 


 
14 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Raíz de un número racional: por la propiedad distributiva resulta: ; 0
n
n
n
a a
b
b b
  , 
siempre que las raíces estén definidas. 
Ejemplo 
3
3
3
27 27 3
81 481
  
 
Raíz de raíz: la raíz de raíz es otra raíz del mismo radicando cuyo índice resulta de 
multiplicar los índices dados. 
Ejemplo: 
3 3.2 6729 729 729  
 
Simplificación de índices y exponentes: 
. .m p mn p na a bajo el supuesto de que las raíces 
estén definidas en los reales. 
Operaciones combinadas 
Intervienen todas las operaciones definidas. En general, el orden de resolución de 
estas operaciones es el siguiente: 
1. Resolver operaciones dentro del paréntesis, si los hubiera. Siguiendo el orden que se 
menciona a continuación: 
2. Potencias y raíces. 
3. Multiplicaciones y divisiones. 
4. Sumas y restas, trabajando de izquierda a derecha. 
 
Radicales 
Un radical es una raíz indicada, siempre que esa operación sea posible en el conjunto 
de los números reales. 
Por ejemplo 53, 17
 
 
Extracción de factores fuera del radical 
Ejemplo 1 
Sea 3 40 un radical del que se quieren extraer todos los factores posibles del radicando. 
Factorizando el radicando en producto de factores primos (2, 3, 5,7,…. etc.), 40 = 2
3
. 5 y por 
la propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto se tiene: 
15 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
33 3 33 340 2 .5 2 . 5  
Simplificando índice y exponente, se tiene: 3 340 2. 5 
Ejemplo 2 
Extraer factores del radical
7 448x y z 
Factorizamos 48: 48 = 2
4
. 3 
Se descomponen los factores de exponente mayor a 2 en múltiplos de él: 
7 6.x x x ; 4y ya tiene un exponente múltiplo de 2. Reemplazando, aplicando la propiedad 
distributiva y al simplificar índice y exponente, queda. 
7 4 4 6 4 4 6 4 2 3 248 2 .3. . . . 2 . 3. . . . 2 . 3. . . .x y z x x y z x x y z x x y z   
Luego, agrupando todos los radicales bajo un mismo radical: 
7 4 2 3 248 2 3x y z x y xz 
En la práctica, para extraer factores fuera de un radical, se divide cada exponente por el 
índice del radical y el cociente será el exponente del factor fuera del radical, siendo el resto 
de la división el exponente del factor que figura en el radicando. 
 
Ejemplo 3 
Aplicando la regla mencionada para extraer factores de 
5 17 9m n se tiene 
17 : 5 , cociente 3 y resto 2. 
9 : 5, cociente 1 y resto 4. 
Luego, 
5 517 9 3 2 4.m n m n m n 
 
Introducción de factores dentro del radical 
Ejemplo 1: sea el radical 15 2 en el que se desean colocar todos los factores bajo signo 
radical. Factorizamos el número 15 = 3.5 
Si a un número se lo eleva a una potencia y al resultado se le extrae la raíz del mismo grado, 
el resultado no varía, por lo tanto:  
2
3.5 3.5 
Reemplazando en 15 2 por lo hallado y aplicando propiedad distributiva y escribiendo 
todos los factores bajo un mismo radical: 
16 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
2 2 2 2 215 2 3.5 2 3.5 . 2 3 . 5 . 2 3 .5 .2   
 
 
En la práctica, se puede introducir un factor de un radical dentro del mismo, multiplicando 
su exponente por el índice del radical. 
 
Ejemplo 2: 
32 2.3 1.3 6 3 7 43 3 37 . 7.5 7 . .7.5 7 .7.5. . 7 .5.x x x x x x x   
 
Reducción de radicales a mínimo común índice 
El mínimo común índice de varios radicales, es el mínimo común múltiplo de todos 
ellos. 
Ejemplo 1: Reducir a mínimo común índice entre 3 25 y 2 
Mínimo común múltiplo (m.c.m) entre 3 y 2 es 6; luego se multiplica cada índice y el 
exponente de cada uno de los radicandos por el cociente entre el m.c.m y los índices dados. 
6 : 2 = 3; 6 : 3 = 2, se tiene: 
3 3.2 62 2.2 45 5 5  
2.3 61.3 32 2 2  
Ejemplo 2: Reducir a mínimo común índice entre 
8 3 243 y 5x y 
El m.c.m(8, 4) = 8 
Luego, para 
8 33x no necesita multiplicar los índices y los exponentes. 
8 : 4 = 2  
2 1.2 2.2 2 44.2 84 5 5 5y y y 
 
 
Operaciones con radicales 
Suma y resta 
Antes de definir la suma y resta, definimos radicales semejantes. 
Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen igual índice e igual radicando y que, 
por lo tanto, difieren únicamente en los factores o coeficientes que afectan al símbolo de la 
radicación. 
Ejemplos: 3 32 7 y 7 son semejantes entre sí. 
17 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
1
3 5 ; 21 5 ; 5
2
x x x son semejantes entre sí. 
La suma (resta) de radicales semejantes es el radical semejante a los dados, cuyo coeficiente 
es la suma (resta) de los coeficientes de dichos radicales. 
Ejemplos 3 3 3 32 7 7 (2 1) 7 7    
 
1 1 35
3 5 21 5 5 3 21 5 5
2 2 2
x x x x x
 
        
 
 
Al intentar sumar 4 47 2 32 , se observa que los radicales no son semejantes. Pero en el 
segundo, es posible factorizar y extraer factores fuera del radical: 4 5 44 32 2 2 2  , 
reemplazando en la suma: 
 4 4 4 4 447 2 32 7 2 2 2 7 2 2 9 2     
 
 
Si los radicales no son semejantes, se debe verificar si al extraer factores se lograr la 
semejanza entre los términos. 
 
Ejemplo: 
 2 2 250 18 200 2.5 2.3 2.10 5 2 3 2 10 2 5 3 10 2 12 2            
 
 
Multiplicación 
a) Radicales de igual índice 
Sea multiplicar 4 47 2 . 5 32 , por propiedad conmutativa, asociativa del producto y 
propiedad distributiva de la radicación con respecto al producto, se tiene: 
4 4 4 47 2 . 5 32 7.5. 2.32 35 64  
 
b) Radicales con índice distinto 
En el caso que los radicales no sean de igual índice, se reducen a tales, buscando el 
mínimo común índice. 
Por ejemplo, 
5 3 23 2 . 5 2x xy  
Reduciendo a m.c.m.(5, 2) = 10 
18 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
2
5 103 2 3 2 65.23 2 3 2 3 2x x x     
 
5
2 5 5 2 5 5 10102.55 2 5 2 5 2xy x y x y  
Luego: 
5 103 2 2 6 5 5 10 2 6 5 5 10 7 11 1010 10 103 2 . 5 2 3 2 .5 2 15 2 .2 15 2x xy x x y x x y x y       
 
División 
Para dividir radicales, también es necesario que tengan igual índice y en caso 
contrario se los transforma hasta obtenerlo. 
     
12 8
3 3 2 12 8 3 3 9 53 4 4 12 12 1212
3 3
3 2 .3 3
3 72 : 2 6 3 2 .3 : 2 2.3 3 2 .3 : 2 2 .3 2 .3
2 2 .3 2
   
 
 
Racionalización de denominadores 
Dada una fracción cuyo denominador sea un radical, racionalizar dicho denominador 
significa encontrar otra fracción equivalente a la dada, cuyo denominador sea un número 
racional. 
a) Denominador con radical único 
a.1) Radical cuadrático 
 Se multiplica numerador y denominador por el radical dado. 
Ejemplos: 
2
2 2 3 2 3 2 3
33 3 3 3
   
 
 
23 3
3 3 3 2
3
4 4 2 4 . 2 4
2 2 2 2
x x x x x
x x x x
   
x 3
1
2
2
x
3x
3
2
2 2x
x

 
Recuerda que al multiplicar numerador y denominador por un mismo número real no nulo, 
el valor de la fracción no se altera. 
 
a.2) Radical de cualquier índice 
 Para racionalizar una fracción cuyo denominador es una raíz queno es cuadrada se 
extraen del mismo todos los factores posibles. Luego se multiplican numerador y 
denominador por el radical del mismo grado que el de su denominador cuyo radicando tenga 
por exponente a la diferencia entre índice y exponente. 
19 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplo: 
a
a
a
a
aa
a
a
a
aa
a
aa
5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 25 25
5 25
5 25 2
111





 
 
b) El denominador es un binomio suma (a + b) o resta (a – b) 
 Para racionalizar se multiplica numerador y denominador por el conjugado del 
denominador. 
 
Recuerda que el conjugado de un binomio es otro binomio cuyo primer término es igual al 
dado pero el signo del segundo es el opuesto. Así para a + b su conjugado es a – b. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
 
 
   
 2
2
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 23 3
b.1) 3. 3 2
3 4 13 2 3 2 3 2 3 2
   
       
    
 
 
Diferencia de cuadrados: la suma de dos números por su conjugado es igual a la 
diferencia de sus cuadrados: (a + b).(a – b) = a
2
 – b
2
 
 
 
 
 
 
   
 
2 2
2 2 2
b.2)
22 2 2 2
x x x x x x x xx x
x xx x x x x x x x
  
    
   
 
 
x

 2x x
x

2x x 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Bibliografía 
Butigué, S. (et al.). (2018). Módulo de matemática. Encuentros de integración universitaria. 
Rio Cuarto, Argentina: UniRio editora. 
Felissia, A., Canteros L. y Fregona D. (2011). El libro de la Matemática 7. San Isidro, 
Argentina: Estrada. 
Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía. 7ª ed. 
México: Pearson Educación. 
Rodhe, G. (et al.). (s. f). Introducción a las ciencias económicas. Módulo de matemática. 
Facultad de Ciencias Económicas. UNNE. 
Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. 6ª ed. 
San Niccolás Tolentino, México: Cengage Learning. 
Swokowski, E. y Cole, J. (2018). Precálculo – álgebra y geometría analítica. 1º ed. Cengage 
Learning. 
Tajani, M. y Vallejo, M. (1981). Álgebra 3. Buenos Aires, Argentina: Cesarini hnos. 
21 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 2: Polinomios – Expresiones algebraicas Fraccionarias 
 
Contenidos: Polinomios. Grado. Especialización o valor numérico. Raíz de un polinomio. 
Operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Regla de Ruffini. Teorema del resto. 
Factorización. Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Operaciones. 
 
Polinomio 
Definición: Denominaremos polinomio con coeficientes reales a toda expresión de la forma 
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      donde 0 1 2 1 0, , ,..., , ,n nn a a a a a  , que 
llamaremos sus coeficientes y x es la variable o indeterminada. 
 
Cada expresión 1 2
1 2 1 0; ; ...; ; ;
n n
n na x a x a x a x a


 en la suma es un término del polinomio. Si 
algún coeficiente es cero, por lo general se elimina el término que lo contiene. En particular, 
el coeficiente na que da la máxima potencia se llama coeficiente principal, si es distinto de 
cero; 0a se llama término independiente. 
Ejemplo 1: 
 4 3 2
1
P( ) 2 5 3.
4
x x x x x     En este caso, 4n  4 3 2 1 0
1
2, 1, , 5, 3
4
a a a a a       . 
El coeficiente principal de P( )x es 2 y su término independiente, 3. Este polinomio está 
ordenado según las potencias decrecientes de x . Es completo, porque ningún coeficiente 
es cero. 
 3 2Q( ) 2 4.x x x    Para este polinomio, 3n  , 3 21, 2a a    1 00, 4a a   . Su 
coeficiente principal es –1 y su término independiente es –4. Está ordenado según las 
potencias decrecientes de x , pero no es completo, ya que el coeficiente de x es 0. Se lo 
puede completar escribiendo 3 2Q( ) 2 0 4x x x x     
 R( ) 2x x  . Para R, 1n  1 01, 2a a  
 S( ) 6x   ; 0n  ; 0 6a   
 
Las siguientes expresiones no son polinomios: 
2
2
1 5
3 ; ; 3 2
2
x
x x x
x x

  
 
22 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Igualdad de polinomios 
 Dos polinomios son iguales si y solo sí tienen el mismo grado y los coeficientes de 
potencias de x semejantes son iguales. 
 
Polinomio Nulo 
Llamaremos polinomio nulo o cero al que tiene todos sus coeficientes nulos y lo 
notaremos con O. Vale decir 0 2O( ) 0 0 0 0 0 0 ...x x x x x       
 
Grado de un polinomio 
Definición: Sea P( )x un polinomio no nulo, es decir, P(x) tiene al menos un coeficiente 
distinto de cero. Si n es un número natural, diremos que P( )x tiene grado n cuando el 
coeficiente de grado n de P( )x es distinto de cero y los de grado mayor que n son todos 
nulos. Esto es equivalente a decir que P( )x es de la forma 1 2
1 2 1 0...
n n
n na x a x a x a x a

     
con 0na  . 
 
Escribimos gr(P) = n 
En el ejemplo 1 es: gr(P) = 4 ; gr(Q) = 3; gr(R) = 1; 
gr(S) = 0(S es un polinomio de grado 0) 
El polinomio nulo carece de grado 
 
Monomio, binomio y trimomio 
Denominaremos monomio en x de grado n a toda expresión de la forma 
nax donde a es 
un número real distinto de cero. Es decir, un monomio es un polinomio que tiene a lo sumo 
un único coeficiente no nulo. Por ejemplo, 5 02 , ,4x x x son monomios de grado cinco, uno y 
cero respectivamente. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma 
de tres monomios. De este modo, en todo polinomio en x 
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      , el símbolo + corresponde a la suma de cualquier 
número de monomios en x: 1 2
1 2 1 0; ; ...; ; ; .
n n
n na x a x a x a x a


 
 
23 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Especialización o valor numérico 
Sea a y el polinomio 1 21 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      . Se llama 
especialización o valor numérico de P(x) en a, al número real
1 2
1 2 1 0P( ) . . ... . .
n n
n na a a a a a a a a a

      , vale decir el número que se obtiene 
reemplazando la indeterminada x por a y efectuando las operaciones indicadas. 
Observación: P(a) no significa el producto de P por a. 
 
Ejemplo 
Calculamos la especialización o valor numérico para x = 0, x = 1 y x = –2, sabiendo que
4 2P( ) 7 2 5x x x x    
 
4 2 4 2P(0) 7.0 0 2.0 5 5; P(1) 7.1 1 2.1 5 7 1 2 5 11                  
 
4 2P( 2) 7.( 2) ( 2) 2.( 2) 5 112 4 4 5 125               
 
 
Raíz de un polinomio: valor particular en la especialización 
Sea a y el polinomio P( )x . Diremos que el número real a es raíz de P(x) si 
P(a) = 0 . Es decir la especialización de P(x) en a vale 0. 
Ejemplo: 2 es una raíz del polinomio
3P( ) 8x x  pues 3P(2) 2 8 8 8 0     . Para hallar 
las raíces de un polinomio, se puede plantear la ecuación P(x) = 0. En el ejemplo, 
3 3 3P( ) 8 0 8 8 2x x x x        
 
Operaciones entre polinomios 
Suma 
Dados dos polinomios P( )x y Q( )x , el polinomio (P + Q)(x) se obtiene sumando los 
coeficientes de los monomios del mismo grado. 
En la práctica, para sumar dos polinomios suelen disponerse según un esquema 
similar al utilizado para la suma de números naturales, encolumnando los monomios de igual 
grado (agregando aquellos que tienen coeficiente 0 en caso de ser necesarios) y luego 
sumando por columna. 
Ejemplo. Sean 4 2
1
P( ) 5 3
2
x x x x    y 
3 2Q( ) 6 2 3 2x x x x   
 
24 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
5
(P+Q)( ) 5 6 2
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

   
    
 
Otro método válido para la suma es observar los monomios de igual grado y sumarlos 
entre sí sin encolumnarlos. 
La suma de polinomios cumple con las mismas propiedades de la suma de números 
reales: asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro (polinomio nulo), existencia de 
elemento opuesto (polinomio opuesto, que resulta de cambiarde signo todos los términos del 
polinomio dado, es decir si 1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      
su opuesto es 
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

       ). 
 
Resta o diferencia 
La resta entre dos polinomios se obtiene restando los coeficientes de los monomios de 
igual grado. También se la puede obtener sumando al minuendo el polinomio opuesto al 
sustraendo. Es decir, si P y Q son polinomios P – Q = P + (–Q) , siendo –Q el opuesto de Q. 
Sea restar los polinomios 4 2
1
P( ) 5 3
2
x x x x    y 
3 2Q( ) 6 2 3 2x x x x   
 
Primer procedimiento 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
3
(P Q)( ) 5 6 5 4
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

   
     
 
Segundo procedimiento 
4 3 2
3 2
4 3 2
1
P( ) 5 0 3
2
Q( ) 6 2 3 2
3
(P Q)( ) 5 6 5 4
2
x x x x x
x x x x
x x x x x
    

     
     
 
 
25 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Multiplicación o producto 
El polinomio producto (P. Q) (x) se obtiene multiplicando cada monomio de P por 
cada uno de los monomios de Q y sumando los monomios resultantes. 
Ejemplo: Sean P( ) 2x   y 4 2Q( ) 5 3 8x x x  
 
 4 2 4 2(P.Q)( ) 2. 5 3 8 10 6 16x x x x x       
 
El producto de un polinomio por un número real (polinomio de grado 0) se resuelve 
aplicando la propiedad distributiva. 
 
Ejemplo: Dados 4P( ) 3x x  y 3
2
Q( )
6
x x 
 
 4 3 4 3 7
5 5 5
(P.Q)( ) 3 . 3. .
6 6 2
x x x x x x
   
         
    
 
El producto de dos monomios se obtiene multiplicando los coeficientes entre sí y por otro 
lado, las potencias de x entre sí.
 
 
Ejemplo: Dados 4P( ) 5 2x x x   y 3 2Q( ) 6 2 2x x x  
 
   4 3 2(P.Q)( ) 5 2 . 6 2 2x x x x x     
     4 3 2 3 2 3 25 . 6 2 2 . 6 2 2 2. 6 2 2x x x x x x x x          
 Aplicamos propiedad distributiva 
7 6 4 4 3 3 230 10 10 6 2 2 12 4 4x x x x x x x x          
Sumamos términos semejantes 
7 6 4 3 230 10 16 14 4 2 4x x x x x x       
 
Para multiplicar dos polinomios P y Q también se los puede disponer en forma similar 
al de la suma y la resta. Para los polinomios del ejemplo anterior se tiene: 
26 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
4 3 2
3 2
4 3 2
6 5 4 3 2 2
7 6 5 4 3 3
7 6 5 4 3 2
P( ) 5 0 0 2
Q( ) 6 2 2
10 0 0 2 4 2.P( )
10 0 0 2 4 2 .P( )
30 0 0 6 12 6 .P( )
30 10 0 16 14 4 2 4 (P.Q)( )
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
    
  
    
      
    
       
 
 
 
El grado del producto de dos polinomios no nulos, es igual a la suma de sus grados.
 
 
El producto de polinomios es asociativo y conmutativo. 
 
División 
Dados dos polinomios P(x) y Q(x) llamados divisor y dividendo respectivamente, 
siendo Q(x)  0, entonces existen y son únicos dos polinomios C(x) y R(x), denominados, 
cociente y resto respectivamente, tales que: 
P(x) = Q(x).C(x) + R(x) y gr(R) < gr(Q) o R(x) = 0 
 
La división concluye al obtenerse como resto un polinomio de menor grado que el del 
divisor o el resto es el polinomio nulo.
 
 
En general para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera: 
1. Se ordenan, según las potencias decrecientes de la misma variable, el dividendo y el 
divisor y se completa el dividendo. 
2. Se dividen el primer término del dividendo y el primero del divisor, obteniéndose el 
primero del cociente. 
3. Se multiplica el término obtenido por el divisor, y se resta este producto del dividendo, 
obteniéndose un nuevo dividendo parcial. 
4. Se reitera el procedimiento indicado en 2 y 3, hasta que el resto sea el polinomio nulo o 
bien un polinomio de grado menor que el del divisor. 
 
Ejemplo: Sea dividir 5 3 2P( ) 2 3 5 2x x x x     por 3Q( ) 2x x 
 
Teniendo en cuenta lo indicado es 
27 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
5 4 3 2 3
2
2 0 3 2 0 5 2
2
x x x x x x
x
      
 
 
52x 4 3 2 3
5
0 3 2 0 5 2
2
x x x x x
x
     
 2 2
3 2
4 2
3 2 0 5
x x
x x x
 
  
 
 
52x 4 3 2 3
5
0 3 2 0 5 2
2
x x x x x
x
     
 2 2
3
4 2 3 C( )
3
x x x
x
   
2
3
2 0 5
3
x x
x
  

2
6
2 0 1 R( )x x x

  
 
La división finaliza porque el grado del resto obtenido es menor al grado del divisor. 
 
El grado del polinomio cociente es igual a la diferencia entre los grados del dividendo y 
del divisor, si el grado del primero es mayor o igual que el segundo
 
 
Ejemplos: sean dividir P y Q en los siguientes casos 
5 3i) P( ) 2x x x x    ; 2Q( ) 2x x 
 
4 2ii) P( ) 1x x x   ; Q( ) 2x x 
 
Solución: 
5i) x 4 3 2 2
5
0 0 2 2x x x x x
x
    
 3
3
1 1
2 2
x x
x

2
3
0 2x x
x
 

2x
 Luego 3
1 1
C( )
2 2
x x x  y R( ) 2x x  
28 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
4ii) x 3 2
4
0 0 1 2x x x x
x
    
 3 3 2
3
2 2 5 10
2
x x x x
x
   
 2
3
0 1
2
x x
x
  
 2
2
4
5
x
x

2
0 1
5
x
x
 
 10
10
x
x

 1
10x

20
21

 
Luego 3 2C( ) 2 5 10x x x x    y R(x) = 21 
 
Regla de Ruffini: caso particular de la división 
En el ejemplo ii) de la división, se han obtenido como cociente y resto a 
31 1C( )
2 2
x x x 
 
y R( ) 21x  , respectivamente. Cuando el divisor es de la forma 
Q(x) = x – , es decir, es un polinomio de grado 1 con coeficiente principal 1 (polinomio 
mónico), tenemos una regla más sencilla para la división. Esta regla se denomina regla de 
Ruffini y nos proporciona un procedimiento para calcular los coeficientes del cociente y el 
resto sin efectuar el algoritmo de la división expuesto, como se indica en el siguiente 
esquema: 
 
1 0 1 0 1
coeficientesdeldiviendo(ordenadoen forma decreciente ycompleto)
2 2 4 10 10
1 2 5 10 21 Resto

  
  
 
 Coeficientes del cociente 
Opuesto al término independiente del divisor 
 
¿Cómo se obtuvieron los coeficientes 1, –2, 5, –10 y 21? Así: 
El primer valor, 1 en este caso, coincide con el valor del coeficiente principal del 
dividendo. Este valor se multiplica por (–2). 1 = –2 (obteniéndose el primer valor de la 
segunda fila). Sumándolo con el valor del coeficiente que ocupa esa columna se obtiene 
–2 + 0 = –2. Volviendo a multiplicar a este resultado (–2) por el opuesto del término 
29 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
independiente del divisor, (–2).( –2) = 4 (segundo valor de la fila 2), sumándolo con el valor 
correspondiente de la columna: 4 + 1 = 5 (tercer valor de la tercer fila). De esta manera se 
obtienen los demás coeficientes. 
 
El procedimiento general a seguir es el siguiente: 
 En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo
1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      , en forma ordenada y completa: 
1 2 3 1 0, , , ,..., ,n n n na a a a a a   
 En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término independiente del divisor:  
 En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente y el resto. 
 El primer coeficiente de cociente es el primero del dividendo (
na ). Los restantes 
coeficientes del cociente se obtienen multiplicando el anterior por el número que figura en 
el ángulo izquierdo y sumando este producto, que se coloca en la segunda fila, al 
correspondiente de la primera. Así: 
1 1 αn nb a a  , 2 2 1αnb a b  , 3 3 2αnb a b  y en 
general 
1 1 2αn nb a b   
 El último número así obtenido es el resto, que separamos de los anteriores con un trazo 
vertical: 
0 1R( ) α nx a b   
 El grado del cociente es el grado del dividendo menos 1. 
 El polinomio cociente es 1 2 2
1 3 2 1Q( ) ...
n n
n n n nx a x b x b x b x b
 
        
1 2 3 1 0
1 2 2 1
1 2 3 1
...
...
α α α α ... α α
... R( )n n n n
n n n
n n
a a a a a a
a b b b b
a b b b b x
  
 

          
 
 
Ejemplos: Obtenga el cociente y el resto de la división de 3 5P( ) 2 2 1x x x x    ; 
Q( ) 1.x x 
 
 
1 0 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
 
  
  
 
30 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
4 3C( ) 1x x x x     y R( ) 0x  . En este caso se dice que “Q divide a P” o el polinomio “Q 
es divisor de P”, “P es divisible por Q” o bien “P es múltiplo de Q”. 
 
Definición de divisibilidad 
Si P(x) y Q(x) son dos polinomios, diremos que Q(x) divide a P(x) o también P(x) es 
múltiplo de Q(x) si existe un polinomio C(x) tal que P(x) = Q(x).C(x) 
Lo anterior nos permite afirmar que: 
 
Q(x) divide a P(x), Q(x)  0 si y solo si el resto de dividir P(x) por Q(x) es igual al 
polinomio nulo. 
 
Teorema del Resto 
Sea el número real a y el polinomio P( )x . El resto de la división entre P(x) y Q(x) = x – a es 
el valor numérico de P(x) en a. 
 
Es decir, el resto R(x) de la división de P(x) : (x – a) es P(a) . Simbólicamente R(x) = P(a) 
Ejemplos: 
En la división entre los polinomios ya analizados 4 2P( ) 1x x x   ; Q( ) 2x x  es 
4 2P( 2) ( 2) ( 2) 1 21 resto        
Y en la división entre 3 5P( ) 2 2 1x x x x    ; Q( ) 1x x 
 
3 5P(1) 2.1 1 2.1 1 0 resto      
 
Corolario del Teorema del Resto 
Un número real a
 
es raíz de un polinomio P( )x si y solo sí Q(x) = x – a divide a P(x). 
A partir de esto, se define el orden de multiplicidad de una raíz. 
 
Orden de multiplicidad de una raíz 
La raíz a del polinomio P( )x tiene orden de multiplicidad n si P( )x es divisible 
por  
n
x a y no lo es por  
1n
x a

 . 
 
31 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplos: 
1) Dado el polinomio
4 2M( ) 3 9x x x mx    , halle el valor de m tal que: 
a) El resto de dividir M(x) por x – 2 resulte 51. 
b) M(x) sea divisible por P( ) 1x x  (Esta consigna podría plantearse de la siguiente 
manera, “–1 sea raíz de M(x)”. El procedimiento de búsqueda del valor de m es el 
mismo). 
Respuestas: 
a) Este ejercicio puede resolverse utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini. 
 Primer procedimiento: teorema del resto 
 Por dato, el resto de la división de M por x – 2 es 51; de acuerdo al teorema del resto, esto 
significa que M(2) = 51. Luego
4 2 51 35M(2) 3.2 2 2. 9 51 35 2 51 8
2
m m m

          
 
 Segundo procedimiento: regla de Ruffini 
3 0 1 9
2 6 12 22 44 2
3 6 11 22 35 2 51
m
m
m m
 

  
 
 Se iguala 35 + 2m a 51, ya que es el resto buscado. Despejando, se obtiene m = 8 
b) Nuevamente pueden utilizarse los procedimientos mencionados en el ítem a). 
 Primer procedimiento: teorema del resto 
 
4 2M( 1) 0 3.( 1) ( 1) 9 0 7 0 7m m m                
 
 Segundo procedimiento: regla de Ruffini 
3 0 1 9
1 3 3 2 2
3 3 2 2 7 0
m
m
m m
 
   
     
 
 
 Despejando m, se tiene m = –7 
 
2) Sabiendo que 1 es raíz de
3 2Q( ) 3 6 3x x x x   , determine su orden de multiplicidad. 
 Primer procedimiento: regla de Ruffini 
32 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
2
3 6 3
1 3 3
3 3 0 Cociente3 3
1 3
3 0 Cociente3
x x
x


 
 
 Luego, 
 
  
 
   
22
3 1
Q( ) 1 3 3 1 3 ( 1) 3 1
x x
x x x x x x x x x

       
 
La raíz 1 tiene orden de multiplicidad 2 o también se puede decir que 1 es raíz doble. De la 
factorización podemos ver que 0 también es raíz de Q(x), ya que ese valor anula el 
polinomio y se dice que 0 es raíz simple. 
 
 Segundo procedimiento: factorizando el polinomio 
 Al factorizar Q(x) 
   
23 2 2Q( ) 3 6 3 3 2 1 3 1x x x x x x x x x       
 
 Observamos que (x – 1) es un factor elevado al cuadrado de Q(x), es decir 1 tiene orden de 
multiplicidad 2. 
 
Factorización de polinomios: casos 
Como en el último ejemplo, muchas veces conviene factorear un polinomio, es decir 
expresarlo como producto de polinomios irreducibles. Un polinomio P(x) es primo o 
irreducible si no se puede descomponer en un producto de polinomios de grado positivo, 
menor que el grado de P. Algunos de los casos de factoreo son los siguientes: 
o Factor común: se trata de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la 
suma. Si en cada uno de los términos de un polinomio interviene un mismo factor, a éste 
se llama factor común del polinomio. 
Ejemplos:  2 2 . 2x x x x    , x es el factor que está presente en todos los términos. 
    2 3 2 2 3 23 6 3 . 1 2 o bien 3 6 3 . 1 2x x x x x x x x          
Observese que este caso de factoreo se utiliza con polinomios con término independiente 
0. 
33 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
o Factor común por grupos: agrupar convenientemente la expresión y observar que cada 
grupo así formado tenga, en efecto, un factor común. Se puede utilizar para un número par 
de términos. 
Ejemplos 
           3 2 3 2 23 6 4 8 3 6 4 8 3 . 2 4. 2 3 4 . 2x x x x x x x x x x x               
El factor común en cada grupo es (x – 2). 
           4 2 3 4 2 3 2 2 2 2 22 2 2 2 2 . 1 . 1 2 . 1x x x x x x x x x x x x x x x              
Aquí el factor común en cada grupo es (x2 + 1) 
 
           
  
1 1 1 1 1 1
1 1
xy x y y xy x y x y y x y
x y
                
  
 
 
o Diferencia de cuadrados: se sabe que    2 2 .a b a b a b    , o sea una diferencia de 
cuadrados es igual al producto entre la suma y la diferencia de sus bases: 
Ejemplo:    2 9 3 . 3x x x     , las bases de las potencias son x y 3. 
  
2
22 1 1 1 14 2 2 . 2
4 2 2 2
x x x x
     
           
     
 
    
2 2 2 . 2x x x    
 
 
o Trinomio cuadrado perfecto: se sabe que  
2 2 22a b a ab b    y 
 
2 2 22a b a ab b    . Los segundos miembros se llaman trinomios cuadrados perfectos, 
porque son el cuadrado de un binomio suma o diferencia, respectivamente. 
 Ejemplos 
 
22 2 21 2 1 2.1. 1x x x x x        
    
2 22 24 12 9 2 2.(2 ).3 3 2 3x x x x x       
 
 
         
2 222 2 4 2 2 29 24 16 3 2. 3 . 4 4 3 4a ab b a a b b a b       
 
 
o Cuatrinomio cubo perfecto: teniendo en cuenta  
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     y 
 
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b     . 
34 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplo:  
33 2 3 2 2 312 6 8 3.2 . 3.2. 2 2x x x x x x x        
 
 
Combinación de casos de factoreo 
A veces, para factorear un polinomio y lograr que los factores sean irreducibles es 
necesario aplicar al menos dos casos. 
Ejemplo 1: factorizar 2x
3
 – 20x
2
 + 50x 
Podemos extraer factor común 2x 
 3 2 22 20 50 2 10 25x x x x x x    
 
Pero el polinomio dentro del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto 
 
22 2 210 25 2. .5 5 5x x x x x      
 
De este modo tenemos: 2x3 – 20x2 + 50x = 2x.(x – 5)2 
 
Ejemplo 2: factorizar 9x3 – 36x 
Extrayendo factor común 9x, 9x3 – 36x = 9x. (x2 – 4) 
Observamos que el polinomio que se encuentra dentro del paréntesis es una diferencia de 
cuadrados, por lo que se tiene: 9x3 – 36x = 9x. (x2 – 4) = 9x. (x – 2).(x + 2). De esta manera y 
por el teorema del factor cero, las raíces de ese polinomio son x = 0, x = 2 y x = –2. 
 
Un importante teorema sobre la factorización 
Aunque no enunciaremos el teorema, ya que escapa a los contenidos de este apunte. 
La idea fundamental es que si un polinomio 1 2
1 2 1 0P( ) ...
n n
n nx a x a x a x a x a

      de 
grado mayor o igual a 1 admite n raíces 1 2 3, , ,... n    , entonces P(x) se puede expresar 
1 2 3P( ) ( )( )( )....()n nx a x x x x        
 
Expresiones algebraicas fraccionarias 
Definición: Denominaremos expresión algebraica fraccionaria o también fracción 
racional a toda expresión de la forma 
P( )
Q( )
x
x
donde P( )x y Q( )x son polinomios con 
coeficientes reales y Q(x) distinto del polinomio nulo, que se llamarán numerador y 
denominador de la fracción respectivamente. 
 
35 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Como la división entre cero no está permitida, el dominio de
P( )
Q( )
x
x
 está formado por todos los 
números reales, excepto aquellos que hagan que el denominador sea cero. Por ejemplo: 
Fracción racional 
El denominador 
es cero si 
Dominio 
2
2
6 5 4
9
x x
x
 

 3x   Toda 3x   
4 23 1
2 1
x x
x
 

 
1
2
x   Toda 
1
2
x   
 
Simplificación 
Como las variables de una expresión racional representan números reales, podemos 
usar la propiedad del cociente .
ad a d
bd b

d
.1
a a
b b
 
 
donde bd 0, es decir b 0 y d 0. A 
veces este proceso de simplificación se describe al decir que un factor común diferente de 
cero en el numerador y el denominador de un cociente se puede cancelar. Entonces, para 
simplificar una expresión algebraica fraccionaria se factorea el numerador y el denominador, 
cancelando factores comunes. Por ejemplo: 
1) 
 2
2
24
2
xx
x x



 
 
. 2
. 2
x
x x


2
, 2
x
x
x

   
2) 
 
22
2
36 9
9
xx x
x
 

    3 . 3x x 
3
, 3
3
x
x
x

  

 
3) 
 
 
 
222
2 2
4 4 4 4. 24 16 16
2 8 2 4
x x xx x
x x
   
 
     2 2 . 2x x 
 2. 2
, 2
2
x
x
x

  

 
Una expresión racional se simplifica o se reduce a su mínima expresión si el 
numerador y el denominador no tienen factores comunes polinomiales. En los ejemplos 
dados hemos obtenido la mínima expresión. 
 
36 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Operaciones 
Suma y resta 
Para sumar (restar) expresiones algebraicas fraccionarias se procede a la regla para 
sumar (restar) fracciones en el conjunto . 
P R A+B
Q S (Q,S)mcm
  ; 
P R A B
Q S (Q,S)mcm

  
Siendo mcm (Q, S) el mínimo común múltiplo entre Q y S, A y B se obtienen de hacer la 
operación: 
(Q,S)
A .P
Q
mcm
 y 
(Q,S)
B .R
S
mcm
 
O sea: 
1. Se halla el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y se toma como 
denominador de la suma (o resta). 
2. Se divide el mcm hallado por cada denominador y este cociente se multiplica por el 
correspondiente numerador. 
3. Se suman (restan, según sea el caso) los polinomios obtenidos en 2., y esta suma (o 
diferencia) es el numerador de la fracción resultante. 
4. Si es posible, se simplifica la expresión algebraica fraccionaria obtenida. 
 
Ejemplos: 
1) 
2
1 2
1 3 3
x
x x

 
 
 
Factoreamos los denominadores   2 1 1 1x x x    ;  3 3 3. 1x x   
Entonces el      2 1;3 3 3. 1 . 1mcm x x x x     
 
       
2
2
( 1).3 2 . 11 2 2 2 3
1 3 3 3. 1 . 1 3. 1 . 1
x xx x x
x x x x x x
    
  
     
 
2) 
2 1
1 1
x
x x
 
 
 
El mcm de los denominadores está dado por x + 1, ya que ambos denominadores son 
iguales. 
 2 2 11 1
1 1 1
xx x
x x x

  
  
 . 1
1
x
x


1, 1x x    
37 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
3) 
2
1 1 4
1 1 1
x x
x x x
 
  
  
 
Los polinomios x – 1 y x + 1 son irreducibles a excepción de x
2
 – 1 que ya lo habíamos 
factoreado. El      21; 1; 1 1 . 1mcm x x x x x      
   
   
 
   
2 2 2 2
2
2
2 1 2 1 41 1 4.11 1 4
1 1 1 1 . 1 1 . 1
x x x xx xx x
x x x x x x x
x
         
    
      

2 1x  2x 2 1x 
       
 4 14 4 4
1 . 1 1 . 1
xx
x x x x
 
 
       1 . 1x x 
4
, 1
1
x
x
  

 
 
Multiplicación 
Si 
P R
y
Q S
 son expresiones algebraicas fraccionarias, definimos su producto por: 
P R P . R
.
Q S Q . S
 
Se multiplican los numeradores y denominadores entre sí, previa simplificación. 
 
Ejemplos: 
1) 
   2 2 4 . 416 2 1
.
2 2 3 12
x xx x x
x x
   

   2 1x 
 
2
1
.
x 
 3. 4x 
   4 . 1
6
x x 
  
 
2 24 4 5 4
, 1, 4
6 6
x x x x x
x x
    
     
2) 
3
3 2 2
1 1
.
2 2 1
x x x
x x x x
 

   2x  
3
.
2
x
x   
2
1x 

 
 
    2 2
, 0, 1
2 . 1 2 2 2
x x x
x x
x x x x x x x
     
      
 
 
División 
Si 
P R
y
Q S
 son expresiones algebraicas fraccionarias y 
R
0
S
 definimos la división 
P R P S
: .
Q S Q R
 
38 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Es decir que para dividir dos expresiones fraccionarias es necesario multiplicar el dividendo 
por su inversa multiplicativa. 
Ejemplo 
2 2
2 2
4
. .
2 4 2
x x x x x
x x x x

 
   2x 
 2
.
x   
2
. 2x
x
 2
, 2, 0
x
x x
x

   
 
Operaciones combinadas 
Para resolverlas, siguen siendo válidas las reglas operatorias con números reales. Es decir, 
primero se resuelven multiplicaciones y divisiones; luego sumas y restas. 
 
 
 
 
Bibliografía 
Duarte, B. (2005). Matemáticas para ingresar a la universidad. Buenos Aires, Argentina: 
Granica. 
Noriega, R. y Sanchez, C. (1979). El álgebra. Buenos Aires, Argentina: Editorial Docencia. 
Rojo, A., Sánchez, S. y Greco, M. (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. 
Buenos Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
Swokowski, E. y Cole, J. (2018). Precálculo – álgebra y geometría analítica. 1º ed. Cengage 
Learning. 
39 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 3: Ecuaciones e Inecuaciones 
 
Contenidos: Ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones lineales. Conjunto solución. 
Representación gráfica. 
 
Ecuación 
En muchas situaciones es necesario plantear y resolver una ecuación. Por ejemplo “se 
invierte un total de 18000 dólares, parte en acciones y parte en bonos. Si la cantidad invertida 
en bonos es la mitad de lo invertido en acciones, ¿cuánto se invierte en cada categoría?”. 
Podríamos plantear una ecuación para resolverlo pero ¿qué es una ecuación? 
Una ecuación en una variable es una proposición en la que dos expresiones – en la 
que al menos uno de ellas contiene la variable o incógnita – son iguales. Comúnmente la 
incógnita se representa con la letra x, aunque puede usarse cualquier otra letra. Las 
expresiones se llaman miembros o lados de la ecuación. Como una ecuación es una 
proposición podrá ser verdadera o falsa, dependiendo del valor de la variable y del conjunto 
numérico que se esté considerando, es decir, un valor del conjunto de referencia podrá 
satisfacer o no la ecuación. Los valores que hacen verdadera a la proposición se llaman 
soluciones o raíces de la ecuación. Por ejemplo ante la ecuación x + 12 = 5, para x = 3, la 
proposición es falsa (3 + 12  5). Sin embargo, para x = –7, la proposición es verdadera 
(–7 + 12 = 5); por lo que este último valor es raíz de la ecuación. Obsérvese que la ecuación 
x + 12 = 5 definida en el conjunto de los números naturales no tiene solución, mientras que si 
dicha ecuación está definida en el conjunto de los enteros, admite solución única. 
Resolver una ecuación significa encontrar todas sus soluciones en el conjunto en el 
que está definida. Dependiendo de la ecuación, se podrá tener una, más de una o ninguna 
solución. 
En este curso solo trabajaremos con ecuaciones lineales y cuadráticas. 
 
Ecuación Lineal 
Definición: Las ecuaciones de la forma , , ,ax b c a b c   se denominan ecuaciones 
lineales con una incógnita (incógnita x, en este caso) 
 
40 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplos: ecuaciones lineales 
1
4 5 3 2 7 6
2 3
x
x x x x         
Ecuaciones no lineales 
2 32 8 6 0 2 1x x x x x
x
        
Para resolver la ecuación , , ,ax b c a b c   aplicamos las propiedades 
cancelativas para la suma y producto mencionadas en la unidad 1. 
Sumamos a ambos miembros –b y obtenemos: ( )ax b b   ( )c b ax c b      
Luego, tendríamos que despejar x por lo cual la situación se divide en dos partes: 
i) 0a  
 Dividimos ambos miembros por a. En este caso 
ax c b c b
x
a a a
 
   y ésta es la única 
raíz de la ecuación lineal (solución única) 
ii) 0a  
 Se tiene 0. 0x c b c b     . Puede suceder que: 
 c b (o equivalentemente c b es 0), entonces cualquier número real x satisface la 
ecuación lineal dada y por lo tanto, todos los números reales son raíces de la ecuación 
(infinitas soluciones). Y se dice que la ecuación es una identidad. 
 c b , ningún número real satisface la ecuación lineal y por tanto no existen raíces 
(ninguna solución). 
 
Ejemplo 1: resolver la ecuación 7 4 3 8x x   3
 
Realizando pasajes de términos 7x – 3x = 8 + 4 
 4x = 12  x = 12 : 4 = 3, única raíz. 
Para comprobar que la solución hallada es la correcta, reemplazamos x por 3 en la ecuación 
dada: 
7. 3 – 4 = 3. 3 + 8 
 21 – 4 = 9 + 8 
17 = 17 
 
Ejemplo 2: 
3 2 9 6
1 3 2
x x
x x
 

 
 
 
3
 Omitimos los pasos algebraicos que corresponden a las propiedades cancelativas para la suma y producto de 
números reales y solo diremos “ realizamos pasajes de términos”. 
41 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
A primera vista, esta ecuación no tiene nada que ver con las ecuaciones lineales. Pero veamos 
lo que sucede cuando realizamos “pasajes de términos”: “pasamos” x – 1 al segundo mimbro 
y 3x – 2 al primero. Además 
2
1;
3
x x  ¿por qué? (¡Analízalo!) 
     3 2 3 2 1 9 6x x x x     
Por diferencia de cuadrados y propiedad distributiva se tiene: 
2 29 4 9 6 9 6x x x x     
2 29 4 9 15 6x x x    
Como 9x
2
 aparece sumando en ambos miembros, se lo puede cancelar resultando 
29x 24 9x  15 6 4 15 6x x       
O sea 15 6 4x    , que es una ecuación lineal. 
Finalmente 
10 2
15 4 6 15 10
15 3
x x x

         

, ¿este valor es raíz de la ecuación 
lineal? No, porque 
2
3
x  es un valor que no puede asumir la ecuación original. En otras 
palabras, la ecuación no tiene solución. La ecuación resultante puede tener soluciones que no 
son soluciones de la ecuación original. Por esta razón debemos comprobar, en la ecuación 
original, la solución de la ecuación resultante. 
 
Ejemplo 3: resolver 
2 2 2 8
1 2
x x
x x
 

 
 
Vemos que 1; 2x x   . 
Realizando el mismo procedimiento, tenemos      2 2 2 2 8 1x x x x     
Propiedad distributiva: 2 22 4 2 4 2 2 8 8x x x x x x       
Operando: 
22x 6x 24 2x  6x 8 
4 8  
Como 4 no es igual a –8, no puede haber ningún número real x que satisfaga la ecuación. Por 
lo tanto, no tiene raíces. 
 
Ejemplo 4:   2 5 6 2 3x x x x     
Desarrollando el segundo miembro: 2 25 6 3 2 6x x x x x      
O sea 2 25 6 5 6x x x x     
42 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Si nos ponemos a cancelar, queda 0 = 0. En este caso, la ecuación planteada es una identidad, 
se verifica para cualquier valor real que asignemos a x. Luego todos los números reales son 
soluciones de la ecuación dada. 
 
Ecuación Cuadrática 
Una ecuación con una incógnita, se llama cuadrática o de segundo grado, cuando 
después de suprimir los denominadores (si existieran) y reducir los términos semejantes, el 
mayor exponente de dicha incógnita es de segundo grado. 
 
Definición: La expresión de la ecuación general de segundo grado con una incógnita es 
2 0, , , , 0ax bx c a b c a     
 
Ejemplos: 2 2 23 5 2 0 0 2 2x x x x x x          
 
Ecuación general completa 
Se dice que la ecuación general de segundo grado está completa si 0, 0, 0a b c   
 
Ecuación general incompleta 
Si al menos unos de los coeficientes b o c es 0, se obtiene la ecuación general 
cuadrática incompleta. 
1) Si c = 0  2 0, , , 0ax bx a b a    
2) Si b = 0  2 0, , , 0ax c a c a    
3) Si b = c = 0  2 0, , 0ax a a   
 
Resolución de la ecuación general incompleta 
Forma 1. Sea 2 0, , , 0ax bx a b a    
Por el teorema fundamental del álgebra (el cual escapa al desarrollo de este curso), la 
ecuación cuadrática tiene como máximo dos raíces o soluciones que indicaremos como
1 2y .x x 
Extrayendo factor común x, se tiene:   0x ax b  
43 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Por propiedad de los números reales, mencionada en la unidad 1, si el producto de dos 
factores es cero es necesario que uno de ellos, o los dos sean nulos. 
Luego 0x  o 0ax b  . 
En el primer caso se obtiene una de las raíces 
1 0x  
En el segundo caso, se tiene 0ax b  
 
ax b
b
x
a
 
 
 
Por lo tanto, la otra raíz es 
2
b
x
a
  
Ejemplo: resolver 26 3 0x x  
  1
2
Factorizando 6 3 0 0 o 6 3 0
3 1
6 2
x x x x
x
     

   
 
Para verificar podemos reemplazar los valores obtenidos en la ecuación dada. En 
26 3 0x x  , 26.0 3.0 0  y 
2
31 16. 3. 6
2 2
   
      
   
1
.
4 2
3
0
2
  
 
Forma 2. Sea 2 0, , , 0ax c a c a    
Despejando x, resulta 2ax c   2 2
c c c
x x x
a a a
        
Luego 
c
x
a
   
1
2
c
x
a
c
x
a
  
  
 
Ejemplo: Sea 225 100 0x   
Despejando x, resulta 225 100x   2
100
25
x  
Luego 
1 2
100 100 10 100 10
2 ; 2
25 25 5 25 5
x x x             
 
44 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Forma 3. Sea la ecuación incompleta 2 0, , 0ax a a   
Despejando x, resulta 2
0
0 0 0 0x x
a
         1 2 0x x  
En este tipo de ecuación, los dos valores de la incógnita son siempre nulos. 
 
Resolvente de la ecuación general completa 
Sea la ecuación 2 0, , , , 0ax bx c a b c a     . Para resolver este tipo de ecuación se 
utiliza la fórmula: 
2 4
2
b b ac
x
a
  
 
2
1
2
2
4
2
4
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
  

  

 
El discriminante 
La expresión 2 4b ac se llama discriminante de la ecuación de segundo grado y se denota 
con la letra griega mayúscula delta: . Luego 2,donde 4
2
b
x b ac
a
  
   
 
Si  > 0, la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales y distintas. 
Si  = 0, ambas raíces son reales e iguales. 
Si  < 0, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales. 
 
Ejemplo 1: resolver 23 5 8 0x x   . En este caso a = 3, b = 5, c = –8 
25 5 4.3.( 8) 5 25 96 5 121 5 11
2.3 6 6 6
x
          
    
1
2
5 11 6
1
6 6
5 11 16 8
6 6 3
x
x
 
  
  
   
 
La fórmula presentada puede aplicarse a la ecuación tanto completa como incompleta 
 
Ejemplo 2: resolver 230 15 0x x  . En este caso a = 30, b = –15, c = 0 
 
2
( 15) 15 4.30.0 15 225 15 15
2.30 60 60
x
      
   
1
2
15 15 30 1
60 60 2
15 15 0
0
60 60
x
x

  

  
 
45 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Aplicaciones 
Aunque cada situación tiene sus propias características, a continuación se señalan una 
serie de pasos a seguir para resolver un problema a través de ecuaciones. 
Paso 1: Leer el problema las veces que sean necesarias para comprenderlo. Determinar, si se 
pudiera, las posibilidades reales para la respuesta. 
Paso 2: Asignar una letra (incógnita) para representar lo que se busca y si es necesario, 
expresar las cantidades desconocidas en términos de esta incógnita. 
Paso 3: Hacer una lista de todos los hechos y tradúzcalos en expresiones matemáticas. Éstas 
toman la forma de una ecuación (o inecuación como se verá más adelante) que 
involucra la incógnita.Si es posible, dibujar un diagrama con las etiquetas adecuadas 
como ayuda. En ocasiones una tabla o gráfica será útil. 
Paso 4: Resolver la ecuación para la incógnita. 
Paso 5: Verifique la respuesta con los hechos del problema. 
 
Para el problema propuesto inicialmente: se invierte un total de 18000 dólares, parte 
en acciones y parte en bonos. Si la cantidad invertida en bonos es la mitad de lo invertido en 
acciones, ¿cuánto se invierte en cada categoría? 
Solución: 
Paso 1: Se pide encontrar la cantidad de las dos inversiones. Estas cantidades deben sumar 
18000 dólares. 
Paso 2: Llamemos x a la cantidad invertida en acciones, entonces 18000 – x es la cantidad 
invertida en bonos. 
Paso 3: Podemos construir un esquema 
Cantidad en acciones Cantidad en bonos Total invertido 
x 18000 – x 18000 
 
También se sabe que la cantidad invertida en bonos es la mitad de lo invertido en 
acciones: 
1
18000
2
x x  
Paso 4: 
1
18000
2
x x   
1 3
18000 18000
2 2
x x x     
3 3 2
18000 18000: 18000. 12000
2 2 3
x x      
46 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 Entonces se invierten 12000 dólares en acciones y 18000 – 12000 = 6000 dólares en 
bonos. 
Paso 5: La inversión total es 12000 + 6000 = 18000 dólares y la cantidad en bonos, 6000 
dólares, es la mitad de la cantidad en acciones, 12000 dólares. 
 
Ejemplo 2: Una empresa de inversiones tiene $200000 de un cliente para invertir y decide 
hacerlo en dos acciones, A y B. La tasa de interés anual esperada o interés simple para la 
acción A es 15%, pero supone un riesgo y el cliente no desea invertir más de $50000 en ella. 
Se anticipa que la tasa de interés anual para la acción B más estable es 10%. Determine si hay 
una manera de invertir el dinero, de modo que el interés anual sea: 
a) $22000 b) $23000 
Respuesta: 
Sea x la cantidad invertida en la acción A. Entonces 200000 – x se invertirá en la acción B. 
0,15x: interés anual de la acción A. 
0,10(200000 – x): interés anual de la acción B. 
Interés anual total: 0,15x + 0,10(200000 – x) = 0,15x + 20000 – 0,10x = 0,05x + 20000 
a) El interés anual total es $22000 
20000 0,05 22000
0,05 2000
2000
40000
0,05
x
x
x
 

 
 
Entonces, $40000 deben invertirse en la acción A y los 200000 – 40000 = $160000 restantes 
en la acción B. Como la cantidad invertida en la acción A no supera a $50000. Esta manera 
de invertir el dinero satisface el requerimiento del cliente. 
 
b) El interés anual total es $23000 
20000 0,05 23000
0,05 3000
3000
60000
0,05
x
x
x
 

 
 
Así, $60000 deben invertirse en la acción A y los 200000 – 60000 = $40000 restantes en la 
acción B. Este plan no satisface el requerimiento del cliente de que no se invierta más de 
$50000 en la acción A. Por lo tanto, la empresa no puede invertir el dinero del cliente en las 
acciones A y B de modo que el interés total anual sea $23000. 
47 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplo 3: la superficie de un triángulo es de 60 m
2
. ¿Cuál es la altura, sabiendo que tiene 2 
metros más que la base? 
Solución: 
Si x es la altura del triángulo, el valor x – 2 será la base, pues la altura supera en 2 m a la base 
(otra opción hubiera sido llamar x a la base, con lo cual x + 2 será la altura). 
La superficie del triángulo se calcula con la fórmula 
base.altura
S =
2
 
Reemplazando: 
 2 .
60=
2
x x
 
Eliminando denominador y aplicando propiedad distributiva: 2120= 2x x 
Realizando pasaje de términos 2 2 120 0x x   , cuyas raíces son 1 212; 10x x   
Luego la altura es 12 m. El valor –10 se descarta, ya que la altura no puede ser negativa. 
Verifiquemos, la base será 12 – 2 = 10. Luego la superficie es 2
10m.12m
S = 60m
2
 
 
Inecuaciones 
A diferencia de las ecuaciones en las que interviene el signo de igualdad, en las 
inecuaciones está presente el signo de desigualdad (>,<, , ). Son de suma importancia en 
administración y economía; un simple ejemplo es el siguiente: toda empresa quiere tener 
ingresos mayores que los costos y no debe usar más que la cantidad total del capital o mano 
de obra disponible. 
Una inecuación es una condición definida en un subconjunto de números reales en las 
que interviene una o más variables ligadas por un signo de desigualdad. En este curso, solo 
trabajaremos con inecuaciones lineales con una incógnita. 
 
Propiedades de las desigualdades 
1. , , , : ,a b c d a b a c b c       
2. , , , : , 0
a b
a b c d a b c ac bc
c c
        
3. , , , : , 0
a b
a b c d a b c ac bc
c c
        
Estas propiedades son válidas para desigualdades del tipo >,  y . 
48 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Por ejemplo 5 – 4x  8 + 3x. Este tipo de inecuaciones se resuelven utilizando las 
propiedades cancelativas de las desigualdades menconadas. Al igual que en las ecuaciones, 
nos referiremos a ellas como “pasaje de términos”, con el cuidado de que al multiplicar o 
dividir una desigualdad por un número positivo se conserva el sentido de la inecuación. Pero 
al “pasar" un número real negativo multiplicando o dividiendo al otro miembro, se invierte 
el sentido de la desigualad. 
 
Resolución de inecuaciones 
Veamos algunos ejemplos 
Ejemplo 1: 
Resolver 3x +5 > 11, x 
 3x > 11 – 5 
 x > 6 : 3 
 x > 2 
 
Obsérvese que no cambió el sentido de la desigualdad cuando 
el 3 “pasó” dividiendo, ya que es un número positivo. 
 
Encontramos infinitas soluciones que verifican la inecuación. La solución puede expresarse 
como el intervalo no acotado  2; de acuerdo a lo mencionado en la unidad 1, y lo 
podemos representar en la recta numérica: 
 
 
Ejemplo 2: 
Resolver 4 –3x  7 + 2x , x 
 –3x – 2x  7 – 4 
 –5x  3 
 
3
5
x   
 
 
 
 
En este caso cambia el sentido de la desigualdad 
debido a que el número negativo –5 “pasó dividiendo”. 
 
La solución de la inecuación es el intervalo no acotado
3
;
5
 
  
 
, cuya representación 
gráfica es: 
 
 
49 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplo 3: 
Halla el conjunto solución de –2 < 5 + 3m < 20. Para resolver este tipo de inecuación, 
despejamos m, para lo cual “pasamos” el 5 restando en los miembros en el que se encuentran 
–2 y 20. 
–2 – 5 < 5 + 3m – 5 < 20 – 5 
–7 < 3m < 15 
Al “pasar” el 3 dividiendo, el sentido de ambas desigualdades no cambia ya que es un 
número positivo. 
7
5
3
m  
 
Es decir, la solución es un conjunto infinito pero acotado. En este caso es el intervalo abierto 
7
; 5
3
 
 
  
 
 
Ejemplo 4:    5 1 6 4 7,n n n n       
 
5 5 6 24 7n n n
n
     
29 n  7
29 7

 
 
 
Obtenemos una afirmación que resulta falsa: “–29 mayor o igual a 7”. Por lo que la 
inecuación no tiene solución. Se puede decir que el conjunto solución es el conjunto vacío y 
lo indicamos S . 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Bibliografía 
Demana, F., Waits, B., Foley, G., Kennedy, D. y Blitzer, R. (2009). Matemáticas 
universitarias introductorias. México: Pearson Educación. 
Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía. 7ª ed. 
México: Pearson Educación. 
Noriega R. y Sanchez C. (1979). El álgebra. Buenos Aires, Argentina: Editorial Docencia. 
Rojo, A., Sánchez, S. y Greco, M. (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. 
Buenos Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría. 7° edición. Naucalpan de Juárez, México: 
Pearson Educación. 
Tajani, M. y Vallejo, M. (1981). Álgebra 3. Buenos Aires, Argentina: Cesarini hnos. 
 
51 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 4: Funciones y sistemas de ecuaciones lineales 
 
Contenidos:Sistemas de coordenadas cartesianas. Función. Dominio e Imagen. 
Representación gráfica. Función lineal. Función cuadrática. Sistemas de ecuaciones lineales. 
Métodos de resolución: analíticos y gráfico. 
 
Sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano 
 En la unidad 1, pudimos asociar a cada punto de una recta con un número real. Para 
representar puntos del plano, elegimos en él un eje X o eje de abscisas, seleccionamos en este 
eje un punto O como origen y un segmento como unidad de medida, llevando la graduación 
positiva hacia la derecha. Por O trazamos una recta perpendicular al eje X, que indicamos con 
Y, que llamaremos eje de ordenadas, con su graduación positiva hacia arriba. El punto O se 
denomina origen de coordenadas. X e Y se llaman ejes coordenados. 
 Consideremos un punto P del plano, trazamos las perpendiculares a los ejes X e Y, 
quedan determinados los puntos x e y respectivamente en las escalas dadas. Al número x se lo 
llama abscisa y al número y, ordenada. Estos números x e y se llaman coordenadas 
rectangulares de P y se dice que P tiene coordenadas (x, y) y se hace referencia al punto 
(x, y) o punto P(x, y). 
 Los ejes X e Y dividen al plano en cuatro regiones llamados primero, segundo, 
tercero y cuarto cuadrantes, simbolizados como I, II, III y IV respectivamente. Estos 
cuadrantes están caracterizados en la siguiente forma: 
 
1er. cuadrante (I) 
0
0
x
y



 2do. cuadrante (II) 
0
0
x
y



 
3er. cuadrante (III) 
0
0
x
y



 4to. cuadrante (IV) 
0
0
x
y



 
 
 
A continuación representamos los puntos del plano P(2, 4), Q(–2, 1), R(–3; 2,5) y S(3; –2) 
52 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
 
Función 
En casi todos los fenómenos físicos, económicos, etc., observamos que una cantidad 
depende de otra. Por ejemplo, la curva de demanda de un producto depende de la cantidad, el 
ingreso depende de las unidades vendidas, el costo de enviar un paquete por correo depende 
de su peso. Usamos el término función para describir esta dependencia de una variable con 
respecto a otra. Podemos representar estas situaciones de la siguiente manera: 
 
Tabla de precios para el envío de cartas 
simples 
Las tarifas incluyen IVA y son válidas para todo el 
Territorio Nacional excepto Tierra del Fuego. Valores 
actualizados al 11/12/2020. 
 
Peso Precio 
Hasta 20 gramos $55 
Más de 20 gramos, hasta 150 gramos $90 
Más de 150 gramos, hasta 500 gramos $125 
 
Es decir que una función puede representarse a través de una gráfica (visualmente) o una 
tabla (numéricamente). En matemática también pueden describirse verbalmente o 
algebraicamente por una fórmula explícita. Usaremos letras como f, g, h,… para nombrar 
funciones. Por ejemplo, podemos usar la letra f para representar una regla como sigue: 
“f es la regla que asigna a cada número real su cuadrado” 
Cuando escribimos f(2) queremos decir “aplicar la regla f al número 2”, es decir f(2) = 2
2
= 4. 
Del mismo modo, f(3) = 3
2
 = 9. En general se puede escribir simbólicamente f(x) = x
2
, x . 
53 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Pero no toda regla de asignación es función, por ejemplo la regla que asocia cierto día 
como fecha de cumpleaños a un conjunto de personas. Posiblemente haya al menos dos 
personas que tengan la misma fecha de cumpleaños. 
 
Definición: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A de 
números reales un único elemento y = f(x) de un subconjunto B de . 
 
Notación f: A  B/ y = f (x); A , B 
Por lo general consideramos funciones para los cuales los conjuntos A y B son 
subconjuntos de números reales. El símbolo f (x) se lee “f de x” y se denomina valor de f en x 
o la imagen de x bajo f. 
f(x) significa f evaluada en x, y no f por x 
 
El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función. B es el codominio. 
El conjunto imagen de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) cuando x varía 
en todo el dominio. 
 
Al valor de x que representa cualquier número del dominio de la función se le llama 
variable independiente. El valor que representa un número cualquiera en el rango de f se 
llama variable dependiente. Por tanto, si escribimos y = f (x), entonces x es la variable 
independiente e y es la variable dependiente. 
 
Ejemplo: El costo C(x) en pesos por producir x metros de cierta tela está dado por la función 
C(x) = 1500 + 3x + 0,02x
2
 + 0,0001x
3
 
a) Determine C(10) y C(100) 
C(10) = 1500 + 3.10 + 0,02.10
2
 + 0,0001.10
3 
=1532,1. 
C(100) = 1500 + 3.100 + 0,02.100
2
 + 0,0001.10
3 
= 2000,1. 
b) ¿Qué interpretación tienen los valores hallados en a) 
C(10) representa el costo de producir 10 metros de tela es $1532,1. 
C(100) es el costo de producir 100 metros de tela es $2000,1. 
c) ¿Qué representa C(0)? 
54 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
C(0) = 1500 + 3. 0 + 0,02.0
2
 + 0,0001.0
3
 = 1500. El costo fijo, es decir el costo que se 
obtiene sin producir ningún metro de tela es de $1500. 
d) ¿Cuál es el dominio de C? 
El DomC =   0/ 0x x
  
 
 
Es importante destacar que no toda relación entre dos variables es función. Veamos 
algunos ejemplos: 
Ejemplo 1 
 
Podemos ver de que no se trata de una función 
porque a x = 3, le corresponden dos valores de y 
en la gráfica dada. 
 
Ejemplo 2 
 
x 5 10 15 15 20 25 
y 2 4 6 8 10 12 
 
No es función porque a un valor de x (x = 15) le 
corresponden dos valores de y (y = 6 e y = 8). 
 
Función lineal 
La función f es una función lineal si ( )f x mx b  , donde ,m b 
 
También es usual escribir a las funciones lineales como y mx b  
La gráfica de una función lineal es siempre una recta. Y ésta queda determinada por dos 
puntos sobre ella. 
m : es la pendiente de la recta e indica la variación de la variable dependiente y cuando la 
variable independiente x aumenta una unidad. 
b : es la ordenada al origen, pues representa la intersección de la recta con el eje Y. 
 
55 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Por otro lado, si 1 1P( , )x y y 2 2P( , )x y son dos puntos distintos cualesquiera de la recta 
que representa la función lineal, entonces la pendiente m de la recta está dada por 
2 1
2 1
y y y
m
x x x
 
 
 
 
 
Ejemplos: ( ) 2 3f x x  . Su pendiente es 2: significa que por cada unidad de variación o 
aumento de la variable x, la variable y aumenta 2 unidades. Ordenada al origen 3, es decir, la 
gráfica de la función lineal interseca al eje Y en el punto de ordenada 3. Para cualquier par de 
puntos de esta recta, por ejemplo para (1, 5) y (–2, –1) (verificar que estos puntos pertenecen 
a la recta) se cumple lo siguiente: 
1 5 6
2
2 1 3
m
  
  
  
 
Otros ejemplos: 2y x   , pendiente a = –1 , ordenada al origen b = 2. En 
3
( ) 1
2
g x x  
 
3
2
a   , ordenada al origen b = 1. 
 
Representación gráfica de funciones lineales 
Para graficar funciones lineales podemos seguir al menos dos caminos: 
1º) Construir una tabla de valores, asignando a x cualquier valor real. Luego representar los 
puntos determinados y trazar una recta que pasa por todos ellos. Es necesario recalcar 
que solo basta con darle a x dos valores distintos. 
 
 
 
 
 
 
 
x ( ) 2 3y f x x   Punto (x, y) 
0 2. 0 + 3 = 3 (0; 3) 
1 2. 1 + 3 = 5 (1; 5) 
–1 2. (–1) + 3 = 1 (–1; 1) 
56 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
 
2º) Considerar el valor de la pendiente y la ordenada al origen 
b = 3, esto significa que la recta intersecta al eje Y en 3, es decir corresponde al punto 
(0; 3) 
m = 2, por cada unidad que aumenta x (lo indicamos 1x  ), la variable dependiente y 
aumenta 2 unidades ( 2y  ). Esto hace que se obtenga el punto (1; 5). 
 
 
 
Figura 1. Gráfica de la función y = 2x + 3 
 
57 
 
 
Mgtr. MosquedaDaniel L. (2021) 
 
 
Para el caso de que la pendiente fuera fraccionaria, en lugar de considerar una unidad 
de aumento para x, conviene aumentarla en el valor del denominador. Es decir en 
3
( ) 1
2
g x x   , por cada 2 unidades que aumenta x, el valor de la ordenada y disminuye 3. 
 
Figura 2. Gráfica de la función 3( ) 1
2
g x x   
Relación entre el signo de la pendiente y el crecimiento de la función lineal 
 Si 0m  (pendiente positiva) la función lineal es creciente. Ver figura 1. 
 Si 0m  (pendiente negativa) la función lineal es decreciente. Ver figura 2. 
 Si 0m  (pendiente nula) la función lineal es constante. Su gráfica es una recta paralela 
al eje X, que pasa por el punto (0, b). Observe la figura 3. 
 
Figura 3. Grafica de una función constante y = b 
 
 
 
58 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Función cuadrática 
 
La función f es una función cuadrática si 2( ) ,f x ax bx c   donde , , con 0a b c a  . Es 
decir, una función cuadrática tiene como expresión un polinomio de grado 2. 
 
Ejemplos: 2 2 2( ) 2 1; 2 4 ; ( ) 9f x x x y x x g x x        
La gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de parábola. 
 
 La orientación de la parábola depende del signo de a y es importante conocerla para poder 
graficarla (relación entre el coeficiente cuadrático y la concavidad de la parábola) 
 
 a > 0 (a positivo) las ramas se abren hacia arriba  función cóncava 
 a < 0 (a negativo) las ramas se abren hacia arriba  función convexa 
 
 Los puntos de intersección 
Con el eje de abscisas (X), si existen, vienen dados por las soluciones de la ecuación de 
segundo grado
2 0ax bx c   es decir 
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
  
 (aunque pueden utilizarse 
otros métodos si el coeficiente lineal o término independiente es nulo) 
 x1 y x2 también se llaman raíces o ceros de la función cuadrática. La existencia o no de 
raíces está dado por el discriminante: 
 
 El discriminante 
2 4b ac   
 
x 
 
x 
 
y 
 
y 
 
 > 0  la parábola interseca al eje X en dos puntos distintos x1, x2 
(ver gráfico inicial) 
 = 0  la parábola interseca al eje X en un solo punto 
 x1 = x2 
 < 0  la parábola no interseca al eje X. 
59 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
Con el eje Y, el punto de corte con este eje viene dado por el punto (0; c). Pues c es la 
ordenada que le corresponde a x = 0. 
4
 
 
 
a < 0 ;  = 0 a > 0;  < 0 
 
 El vértice V(xv, yv) de la parábola tiene por abscisa 
2.
v
b
x
a
  . La ordenada la 
determinaremos sustituyendo el valor de xv en la función, es decir yv = f (xv) = 
2.
b
f
a
 
 
 
 
 
 En la función cuadrática el vértice V(xv, yv) es : 
 El eje de simetría es la recta perpendicular al eje X que pasa por el vértice. Su ecuación 
viene dado por la recta vertical 
2.
b
x
a
  , pero también puede calcularse como el promedio 
de las raíces, sabiendo que éstas existen y se han calculado previamente: 1 2
2
x x
x

 
 Valores simétricos: son los valores del dominio de la función que tienen la misma imagen. 
Equidistan del eje de simetría. 
 
 
4
 Esto es válido si la función cuadrática está expresada en su forma general o polinómica, es decir 
2( )f x ax bx c   
máximo si a > 0 
mínimo si a < 0 
60 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Otras formas de expresar la función cuadrática 
 Forma o expresión factorizada de la función cuadrática: 1 2( ) .( ).( )f x a x x x x   siendo a 
el coeficiente cuadrático y 1 2,x x las raíces. 
 Forma canónica de la función cuadrática 2( ) .( )v vf x a x x y   siendo ev vx y las 
coordenadas del vértice. 
 En la siguiente tabla se observa cómo determinar el vértice y las intersecciones con el 
eje X, de acuerdo a la forma de la función cuadrática. 
 
Forma de la función 
cuadrática 
Vertice V(xv, yv) 
Intersecciones en X 
(si exitieran) 
2( )y f x ax bx c    ,
2.
v
b
x
a
  yv = f (xv) =
2.
b
f
a
 
 
 
 
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
  
 
1 2( ) .( ).( )y f x a x x x x    
1 2 , ( )
2
v v v
x x
x y f x

  1 2,x x x 
2( ) .( )v vy f x a x x y    
xv e yv son los que aparecen en la 
ecuación.
 
 
1,2
v
v
y
x x
a
  
 
 
Representación gráfica de funciones cuadráticas 
1º) Al igual que para las funciones lineales, podemos construir una tabla de valores y trazar 
en forma aproximada la parábola. A diferencia de las lineales, no basta con determinar dos 
puntos. Por ello, se suele seguir el siguiente procedimiento: 
2º) Hallar los elementos de la parábola: vértice, ordenada al origen, raíces, eje de simetría, 
punto simétrico. Por ejemplo para la función 2( ) 3f x x x  , hallamos: 
 Puntos de intersección con el eje Y: c = 0 
 Puntos de intersección con el eje X (raíces): 2
1 23 0 .( 3) 0 0 o 3x x x x x x        
 Eje de simetría,
 
3 3
2.1 2
x

  
 
o bien 
0 3 3
2 2
x

  
 Vértice 
2
3 3 3 3 9 3 9
; 3. V ;
2 2 2 2 4 2 4
v vx y f
     
            
     
 
Representamos lo hallado en un sistema de coordenadas cartesianas 
61 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
Figura 4. Gráfica de la función cuadrática 2( ) 3f x x x  
Ejemplos 
a) Encuentre la ecuación de una parábola que tiene vértice V(2, 3) con eje vertical y pasa por 
el punto (5,1) 
Solución 
Utilicemos la forma canónica de la función cuadrática 2( ) .( )v vf x a x x y   siendo xv = 2 e 
yv = 3, tenemos: 
2( ) .( 2) 3f x a x   
Para determinar a, se usa el hecho de que (5,1) está en la parábola, es decir f(5) = 1 y, por 
tanto, sus coordenadas verfican la ecuación: 
2 2(5) .(5 2) 3 .9 3 1 9 2
9
f a a a a           
 
En consecuencia, la fórmula de la función cuadrática es 
22( ) .( 2) 3
9
f x x   
 
 
b) Encuentre la ecuación de una función cuadrática cuya gráfica interseca al eje X en –3 y 5, 
además la coordenada y del punto máximo es 4. 
Solución 
62 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Procedimiento 1: como la gráfica interseca al eje X en dos puntos, esto significa que 
1 23, 5x x   . Por la forma factorizada de la función cuadrática: 
( ) .( 3).( 5)f x a x x   
Podemos hallar la abscisa del vértice, 
3 5
1, (1) 4 (por dato)
2
v vx y f
 
   
 
Con estos datos, V(1,4) realizamos el mismo procedimiento del ejemplo anterior: 
1
(1) .(1 3).(1 5) 4 .4.( 4) 4 16 4
4
f a a a a           
 
Luego 
1
( ) .( 3).( 5)
4
f x x x   
 
 
Procedimiento 2: Por lo visto en el procedimiento 1, 
3 5
1, (1) 4
2
v vx y f
 
    
Teniendo en cuenta la ecuación canónica de la función cuadrática, tenemos: 
2( ) .( 1) 4 (*)y f x a x    
Pero, –3 es una de las intersecciones con el eje X (puede ocuparse la raíz 5), esto significa 
que las coordenadas del punto (–3,0) verifican la ecuación (*), es decir 
2 4 1( 3) .( 3 1) 4 0 16 4
16 4
y f a a a               
21Luego ( ) .( 1) 4
4
y f x x     
 
Sistemas de Ecuaciones Lineales 
Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación del tipo ax by c  con 
, ,a b c  . Por ejemplo 2 3 5x y  . En esta sección veremos distintos métodos para resolver 
63 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x e y . Es decir un sistema de la 
forma 
ax by c
dx ey f
 

 
 
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales consiste en determinar, si existe, un 
par de números reales  0 0;x y tal que al reempazar x por 0x e y por 0y en ambas ecuaciones, 
se verifica 0 0ax by c  
y 0 0dx ey f  
Es posible clasificar a los sistemas de ecuacioneslineales según su conjunto 
solución. Como cada ecuación representa una recta en el plano, podemos tener además la 
siguiente interpretación de cada uno de ellos: 
 
Métodos de Resolución Analíticos 
Los métodos de resolución analíticos son: sustitución, igualación, reducción o 
eliminación y determinantes. 
 
Método de Sustitución 
a) Se despeja una incógnita, por ejemplo y, en una de las dos ecuaciones y se la sustituye 
por la expresión obtenida, en la otra ecuación. 
b) Se resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado con una incógnita: x (ya que 
habíamos despejado y en a). 
c) Se reemplaza x por su valor en la expresión hallada en a) para obtener el valor de y. 
 
Es conveniente utilizarlo cuando el coeficiente de alguna de las incógnitas es 1 
 
 Ejemplo: Dado el sistema 
2 1 (1)
3 2 3 (2)
x y
x y
 

 
 
Paso a) De (1): y = 1 – 2x 
64 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Paso b) Sustituimos y por 1 – 2x en (2) 
 3x + 2. (1 – 2x) = 3  3x + 2.1 – 2.2x = 3  3x + 2 – 4x = 3  – x = 3 – 2  x = –1 
Paso c) y = 1 – 2. (–1) = 3 
El conjunto solución es S =   3;1 
Podemos verificar el sistema reemplazando x e y por los valores hallados: 
2.( 1) 3 1
3.( 1) 2.3 3
  

   
Método de Igualación 
a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, por ejemplo: y. 
b) Se igualan las expresiones obtenidas en a) y se resuelve la ecuación resultante, que es 
de primer grado en x (pues hemos supuesto que despejamos y) 
c) El valor de x se reemplaza en cualquiera de las expresiones halladas en a) 
 Ejemplo: Dado el sistema 
2 6 (1)
2 3 (2)
x y
x y
 

  
 
Paso a) De (1) y (2): 
6
(3)
2
2 3 (4)
x
y
y x



  
 
Paso b) Igualamos las expresiones (3) y (4): 32
2
6


x
x
 
Luego 32
2
6


x
x
  6 – x = 2. (2x +3)  6 – x = 4x + 6  –5x = 0  x = 0 
Paso c) Reemplazamos x por 0 en (3) o (4): y = 2 . 0 + 3 = 3 
El conjunto solución es S =   3;0 
 
Método de Reducción o Eliminación 
a) Multiplicar uno o los dos miembros de ambas ecuaciones por números convenientes, a 
fin de que los coeficientes de la misma variable sean números de igual valor absoluto 
en las dos ecuaciones resultantes. 
Si el sistema es 
2 3 7
6 4 8
x y
x y
 

  
al multiplicar la primera ecuación por (–3), resulta: 
6 9 21
6 4 8
x y
x y
   

  
65 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
b) Se suman o restan ambas ecuaciones según que los coeficientes mencionados sean 
opuestos o iguales respectivamente, y la variable correspondiente queda eliminada. 
6 9 21
6 4 8
x y
x y
   

  
–13y = –13
 y = 1 
c) Sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales el valor hallado en b) y despeje 
la incógnita restante. 
2 3.1 7 (7 3) : 2 4x x     
 
La solución es S =(4; 1) 
 
Método de Determinantes 
Consideremos el sistema 
ax by c
dx ey f
 

 
. El símbolo 
a b
d e
 se llama determinante de orden 2. 
Por definición, es 
a b
ae bd
d e
  
Para resolverlo por este método, se procede de la siguiente manera: 
a) Se calculan tres determinantes de orden 2: 
Determinante principal o de los coeficientes 
a b
ae bd
d e
    
Determinante asociado a x (sustituir los coeficientes de x por los términos 
independientes) 
c b
x ce bf
f e
    
Determinante asociado a y: (sustituir los coeficientes de y por los términos 
independientes) 
a c
y af cd
d f
   
 
b) Si 0  , entonces 
x
x



 e 
y
y



. En este caso la solución es única. 
c) Si 0, 0, 0x y      , no existe solución, o sea el sistema es incompatible. 
d) Si 0, 0, 0x y      , el sistema es indeterminado. 
66 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ejemplo, resolver por determinantes
2 4 0
2 3
x y
x y
  

 
 
Antes de aplicar el método, es necesario reescribir el sistema: 
2 4
2 3
x y
x y
 

 
 
Paso a) Calculamos 
1 2
1.( 1) 2.2 5
2 1
      

 
4 2
4.( 1) 2.3 10
3 1
x      

 
1 4
1.3 4.2 5
2 3
y     
 
 Paso b) La única solución está dada por 
10
2
5
x
x
 
  
 
 ; 
5
1
5
y
y
 
  
  
 S =   2; 1 
 
Método de Resolución Gráfica 
Para resolver gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se 
representan en un plano cartesiano las rectas definidas por ambas ecuaciones. 
Ejemplos: resolver gráficamente los sistemas 
a) 
5
2 4
x y
x y
 

 
 b) 
2 1
2 4 2
y x
x y
  

   
 c)
 
1 2 0
2 2
y x
x y
  

 
 
Solución 
5
a) Despejamos en ambasecuaciones
2 4
y x
y
y x
  

  
Representamos cada recta en el mismo sistema de coordenadas. 
67 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
El sistema es compatible determinado. 
Gráficamente, las rectas se intersecan en 
el punto (3; 2). 
1 1
2 2
b) Despejamos en ambasecuaciones
1 1
2 2
y x
y
y x

 

  

 
Observamos que obtenemos la misma recta. 
 
El sistema es compatible indeterminado. 
Gráficamente, las rectas son coincidentes. 
El conjunto solución está dado por los 
infinitos pares que verifican 
1 1
obien 1 2
2 2
y x x y   
 
 
2 1
c) Realizandoelmismo procedimiento
2 2
y x
y x
  

   
Ambas ecuaciones difieren únicamente en el valor de la ordenada al origen, por lo cual el 
sistema es incompatible. 
68 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
Las rectas resultan paralelas, pues tienen 
las misma pendiente. En este caso se dice 
que el conjunto solución es el conjunto 
vacío, y se lo denota S = 
 
 
¿Qué sucede si en este sistema c) aplicamos un método de resolución analítico? Supongamos 
que deseamos resolver analíticamente el sistema 
1 2 0
2 2
y x
x y
  

 
, cuyo sistema equivalente es 
2 1
2 2
y x
y x
  

  
. Aplicando el método de igualación visto, se tiene 
2 1 2 2 2x x x       1 2x   2 1 2   , ¡lo cual es absurdo! El sistema es 
incompatible. Para el mismo ejemplo, con el método de determinantes hubiéramos obtenido:
 
2 1
2 2
x y
x y
 

 
2 1
2.1 2.1 0
2 1
     ;
1 1
1.1 2.1 1 0;
2 1
x      
2 1
2.2 2.1 2 0
2 2
y     
 
 Como 0; 0; 0x y      el sistema de ecuaciones lineales es incompatible. Si al aplicar el 
método de determinantes resulta: 0; 0; 0x y      , el sistema será compatible 
indeterminado. 
 
Bibliografía 
Rojo, A., Sánchez, S. y Greco, M. (1978). Matemática para el ingreso a la universidad. 
Buenos Aires, Argentina: Ediciones Sigma. 
Stewart, J., Redlin, L. y Watson S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. 6ª ed. 
San Niccolás Tolentino, México: Cengage Learning. 
Swokowski, E. y Cole, J. (2018). Precálculo – álgebra y geometría analítica. 1º ed. Cengage 
Learning. 
69 
 
Mgter. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
Unidad N° 5: Trigonometría 
Contenidos: Ángulos. Sistema sexagesimal y radial. Razones trigonométricas. 
Circunferencia trigonométrica. Teorema de Pitágoras. Razones trigonométricas para un 
ángulo cualquiera. Identidades trigonométricas fundamentales. Signo de las razones 
trigonométricas. Ángulo de referencia. Ángulo de inclinación. 
 
Ángulos 
Cuando dos semirrectas parten de un mismo origen como S1 y S2 en el siguiente 
gráfico definen una porción del plano, a la que llamamos ángulo de origen O y lados S1 y S2 
 
Un ángulo se puede obtener haciendo girar la semirrecta S1 hacia S2. Se puede girar 
o En el sentido de las agujas del reloj al que llamamos sentido horario u orientación 
negativa. En este caso, el lado inicial es la semirrecta 1OS y el lado terminal 2OS . 
o Sentido contrario al de las agujas del reloj: sentido antihorario u orientación positiva. En 
este caso, el lado inicial es la semirrecta 2OS y el lado terminal 1OS . 
 
Mediciónde ángulos 
Con frecuencia se utilizan dos formas de medición: sistemas sexagesimal (grados) 
sistema circular o radial (radianes). 
 
Grados (sistema sexagesimal) 
Para medir los ángulos en grados, comenzamos midiendo un ángulo de un giro 
completo. Si el giro está dado en sentido antihorario diremos que la medida del giro es de 
360º; si es en el sentido horario la medida negativa –360º. Un grado (1º) es 
1
360
de vuelta. 
Las otras medidas son proporcionales: medio giro 180º (ángulo llano), ángulo recto 90º 
(ángulo recto), etc. 
70 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
 
 
 
Aunque se podrían obtener subdivisiones de un grado, se utiliza la notación de 
minutos y segundos. Un minuto denotado por 1’ se define como 
1
60
 de grado. Un segundo 
(1’’) es 
1
60
de minuto. Para resumir 1º = 60’, 1’ = 60’’ 
 
Radianes (sistema circular) 
Para comprender el concepto de radián consideremos un ejemplo concreto en una 
circunferencia de radio 3 (o cualquier otro número). Cada vez que trazamos un ángulo con 
centro coincidente con el centro de la circunferencia queda determinado un arco de 
circunferencia que tiene una medida. Un ángulo  de un radián es aquel que tiene (en este 
caso) un arco de longitud 3 unidades, o sea la medida del radio. 
 
Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide lo 
mismo que su radio. 
La longitud de arco de una circunferencia de radio r se calcula long arco = .r,  
medido en radianes (*) 
Ahora, ¿cuánto mide un ángulo de un giro en radianes? Sabemos que la longitud de la 
circunferencia es 2r, siendo r el radio de la circunferencia, lo que sustituimos en (*) para 
encontrar el valor en radianes de un ángulo de un giro. 
2r = .r, siendo  un ángulo de 1 giro. 
71 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
De donde  = 2 radianes, es decir, 1 ángulo de giro equivale a 2 radianes (rad). Y esto nos 
lleva a la siguiente equivalencia: 360º 2πrad 
Si dividimos ambos miembros por 2, tenemos: 
180º πrad 
 
Pasaje del sistema sexagesimal al radial 
Para convertir un ángulo  expresado en grado a radianes, podemos aplicar dos 
procedimientos: 
1) Aplicar regla de tres simple directa: 
Por ejemplo, para un ángulo de 45º: 
 
360º _____ 2 rad
45 º
45º _____ x x

 
.2 rad
360 º

1
90

360 4
rad= rad
4


 
2) Utilizar fórmula de conversión 
Como 360º = 2 rad. Dividiendo ambos miembros por 360 se obtiene: 1º rad
180


 
Luego, para 45º es: 45º 45.1º 45. rad = rad
180 4
 
  o bien
45º 45 .1 45 . rad = rad
180 4
 
   

, teniendo en cuenta la igualdad 1 rad
180



 
 
Pasaje del sistema radial al sexagesimal 
Aquí también es posible aplicar dos procedimientos: 
1) Regla de tres simple directa: 
Por ejemplo, para un ángulo de rad
12

 
 
360º _____ 2 rad
360º.
_____ rad
12
x x



 
rad
12
2 rad
30º
=15º
2

 
2) Utilizar factor de conversión 
72 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Como 360º = 2 rad. Dividiendo ambos miembros por 2 se obtiene: 1 rad 
180º

 . 
Luego, para rad
12

 es: rad
12
 

12
15
1
180
.
º

15º
 
Usualmente, cuando se dan las medidas de los ángulos en radianes, se omite la expresión 
“rad”, siempre que no genere confusión. 
 
Podemos considerar una tabla de equivalencias de las medidas: grados versus radianes. 
Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 180º 360º 
Radianes 0 
6

 
4

 
3

 
2

 
2
3

  2 
 
Teorema de Pitágoras 
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (a) es igual 
a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (b y c). 
 
Simbólicamente: 
2 2 2= + a b c 
Igualdad de la que se desprenden las siguientes relaciones: 
2 2 2 2 2 2= + = = a b c b a c c a b  
 El recíproco del teorema de Pitágoras también es verdadero, esto es: 
Si las longitudes a, b y c de los tres lados de un triángulo satisfacen la ecuación 
2 2 2= + ,a b c entonces el triángulo es rectángulo, siendo el ángulo recto el opuesto al lado de 
longitud a. 
 
 
Razones trigonométricas 
Consideremos un triángulo rectángulo A BC y uno de sus ángulos agudos, por 
ejemplo . 
73 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
Las razones entre las medidas de los distintos lados generan las razones que se 
denominan seno, coseno y tangente del ángulo . 
Seno de : 
AB
sen α =
AC
catetoopuestoa
hipotenusa

 
Coseno de : 
BC
cosα
AC
catetoadyacentea
hipotenusa

  
Tangente de : 
AB
tg α
BC
catetoopuesto a
cateto adyacente a


 
 
 
Una nemotecnia para recordar la primera fila de la definición es SOH CAH TOA, 
donde SOH es la abreviatura de sen  = 
opuestoa
hipotenusa

 y así sucesivamente. 
 
A partir de estas razones principales, definimos otras tres, denominadas recíprocas. 
Cosecante de : 
AC
cosecα =
AB
hipotenusa
catetoopuesto a
 
Secante de : 
AC
secα
BC
hipotenusa
cateto adyacente a
  
Cotangente de : 
BC
cotg α
AB
cateto adyacente a
catetoopuesto a


  
Teniendo en cuenta las definiciones mencionadas, como la hipotenusa es siempre 
mayor que los catetos, por consiguiente, sen  < 1, cos  < 1, cosec  > 1, sec  > 1 para 
cada ángulo agudo . 
 Un problema común en trigonometría es dado un ángulo agudo  y sen  = 0,6635 
aproxime . La mayoría de las calculadoras tienen una tecla rotulada 1sin que puede usarse 
74 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
para resolver la ecuación dada. Con algunas calculadoras es necesario presionar previamente 
la tecla SHIFT . Usaremos la siguiente notación para obtener , donde 0 1k  : 
Si sen  = k   = arc sen k 
En nuestro ejemplo es:  = arc sen 0,6635  41º34’ 2’’. En la calculadora presionamos las 
teclas (consulta el manual de tu calculadora): SHIFT sin 0,6635  
Del mismo modo, dado cos  = k o tg  = k, escribimos  = arc cos k o  = arc tg k 
respectivamente. Las teclas de la calculadora son 1cos o 1tan 
 
Ejemplo 
Calcular los lados y ángulos que faltan en el siguiente triángulo 
 
Solución: 
Cálculo de a: por el teorema de Pitágoras:
2
2 2 2 2 2 4 25 25 51
3 9 9 3
a b c a a
 
         
 
 
Cálculo de : 
1 3 3
tgα α arctgα 36º52'12"
4 4 4
3
 
     
 
 
Cálculo de :  = 90º – 37º52’12’’ = 53º7’48’’ 
 
Identidades trigonométricas fundamentales 
Identidades del cociente 
 Si realizamos el cociente entre el seno y el coseno: 
sen
 cos
catetoopuestoa
hipotenusa




catetoadyacentea
hipotenusa

tg
catetoopuestoa
catetoadyacentea



  
75 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
cos
 sen
catetoadyacentea
hipotenusa




catetoopuestoa
hipotenusa

cotg
catetoadyacentea
catetoopuestoa



  
 
Identidades recíprocas 
1
cosec
 sen


 
1
sec
 cos


 
1
cotg
 tg



 
 
1
sen
 cosec


 
1
cos
 sec


 
1
tg
 cotg



 
 
Identidades del ángulo medio 
2 1 cos 2sen
2




 
2 1 cos 2cos
2



 
Observese que 2sen  significa sen .sen  y 2cos cos .cos   
 
 
Identidad Pitagórica 
Esta identidad establece la relación entre los valores del seno y del coseno y puede utilizarse 
para determinar uno de ellos cuando se conoce el otro. 
Consideremos un triángulo de lados abc y un ángulo agudo . A partir del teorema de 
Pitágoras tenemos a
2
 = b
2
 + c
2
 (1) 
 
Por definición de las razones trigonométricas (2) 
sen α .sen α
b
b a
a
  
 
cosα .cosα
c
c a
a
   
 
Reemplazando (2) en (1)
     
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2sen α cos α sen α + cos α = sen α + cos αa b c a a a a a      
76 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 2 2 2 2 2 2= sen α + cos α sen α + cos α = 1a a  
Es decir, tenemos la siguiente relación 2 2sen cos 1   . 
 
Deesta última igualdad podemos concluir que: 
 
 
Razones trigonométricas para un ángulo cualquiera 
Las definiciones de razones trigonométricas dadas para ángulos agudos (menores a 
90º) pueden extenderse a todo tipo de ángulo. Vamos a considerar en un sistema de 
coordenadas cartesianas, una circunferencia unitaria (radio 1) de tal manera que su centro 
coincida con el origen del sistema. Esta circunferencia se denomina circunferencia 
trigonométrica; además sea  un ángulo con vértice en el origen y lado inicial en la semieje 
positivo del eje x. 
Si  es agudo, genera un triángulo OPQ , al intersecarse la circunferencia en el punto 
P. Las coordenadas de los vértices son 0 0P( ; )x y , 0Q( ;0),O(0;0)x 
 
 
Notemos que OP es el radio r de la circunferencia y por lo tanto OP r 1  . Entonces el seno 
de  está definido como: 
0
0
PQ
sen α
1OP
y
y   
De la misma forma definimos: 
0
0
OQ
cos α
1OP
x
x   
77 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 0 0
0
PQ
tg α , 0
OQ
y
x
x
   
Vemos que si trabajamos sobre una circunferencia de radio 1, cada ángulo  determina un 
punto sobre ella cuyas coordenadas son:  0 0P( ; ) P cos ,senx y   . Este punto es la 
referencia para definir las razones trigonométricas principales del ángulo. 
 
Definición: Si (x, y) son las coordenadas del punto P en el que la circunferencia 
trigonométrica corta al lado terminal del ángulo, entonces el seno y el coseno se definen 
como sigue:
 
cos , senx y   . La tangente se define como tg
y
x
  
 
De esta manera vamos a extender la definición de razón trigonométrica de un ángulo 
cualquiera. 
 
Si 190º < α 180º Si 180º < 270º  
 
1 1sen α y , 1 1cosα x 
 
2sen y  , 2cos x  
 
 
 
 
 
 
 
78 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Si 270º < 360º  
 
3sen y  , 3cos x  
 
En una circunferencia trigonométrica unitaria, el seno de un ángulo está dado por la 
coordenada y y el coseno por la coordenada x del punto P(x, y), intersección del ángulo y la 
circunferencia. 
 
Si P(x, y) son las coordenadas de un punto en la circunferencia unitaria para algún angulo 
, esto quiere decir x = cos  e y = sen , se deduce que 1 sen α 1   y 1 cos 1   
 
Las funciones inversas se definen como 
1
cosecα , 0;y
y
 
1
secα , 0;x
x
  cotgα , 0
y
x
x
  
Ejemplo: El ángulo  corresponde al punto 
4 3
P ;
5 5
 
  
 
en la circunferencia unitaria. 
Determine el valor de las funciones trigonométricas principales. 
Hemos visto que el seno de un ángulo está dado por la coordenada y del punto y el 
coseno por la coordenada x. Luego 
3
sen α
5
 
 
4
cosα
5
 
 
3
5
tg α


4
5

3
4
 
79 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 A partir de la nueva definición de las razones trigonométricas, podemos deducir 
inmediatamente los valores de las funciones trigonométricas de    
π
90º , π 180º ,
2
   
3
π 270º ,2π 360º
2
, los cuales presentamos en la siguiente tabla. No anotaremos las 
funciones de 2, ya que son iguales a las de 0. Por ejemplo para el ángulo 
π
2
, las 
coordenadas del punto de intersección del lado terminal con la circunferencia unitaria son 
(0, 1). De allí: 
π π π 1
sen 1; cos 0; tg ;
2 2 2 0
π
cos
π 1 π 1 1 π 02cosec 1; sec ; cotg 0
π π π2 2 0 2 1
sen cos sen
2 2 2
    
         
Las coordenadas del punto de intersección del lado terminal de los ángulos  y 3/2 en una 
circunferencia unitaria son (–1; 0) y (0; –1) respectivamente. 
 
 
 Razón 
Ángulo 
sen cos tg cosec sec cotg 
0 0 1 0  1  
π
2
 1 0  1  0 
π 0 –1 0  –1  
3
π
2
 –1 0  –1  0 
 
80 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Observación: El símbolo  no representa ningún número real, sino exclusivamente la idea de 
que la razón correspondiente puede tomar valores tan grandes como se desee (es decir, 
mayores que cualquier número real prefijado) siempre que el ángulo sea suficientemente 
próximo al valor indicado. Esto se verá con detalle en la asignatura Cálculo Diferencial e 
Integral. 
 
Signo de las razones trigonométricas 
En la unidad anterior mencionamos que un sistema de coordenadas cartesianas divide 
al plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes: I, II, III, IV. 
 
Teniendo en cuenta las definiciones de las razones trigonométricas para cualquier 
ángulo, observamos los signos de las funciones trigonométricas. Para la tangente tendremos 
en cuenta que es el cociente de coordenadas, es decir la razón entre el seno y el coseno. 
 Seno Coseno Tangente 
C
u
a
d
ra
n
te
s 
I + + + 
II + – – 
III – – + 
IV – + – 
 
Para encontrar el valor de un ángulo , conociendo el valor de alguna razón 
trigonométrica, utilizamos la calculadora científica. Para determinar el ángulo (medido en 
radianes o en grados) es necesario definir el ángulo de referencia. 
 
Ángulo de referencia 
Definición: Sea  un ángulo que pertenece a uno de los cuadrantes. El ángulo de referencia 
de  es el ángulo agudo R que el lado terminal de  forma con el eje X. 
 
81 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 Las siguientes figuras se ilustra R para un ángulo no cuadrental , con 0º < α < 360º 
o 
 
0 < α< 2π en cada uno de los cuadrantes. 
 
R =  
 
R = 180º –  =  –  
 
 = 180º – R 
 
R =  – 180º =  –  
 
 = R – 180º 
 
 
R = 360º –  = 2 –  
 
 = 360º – R 
Por supuesto, para calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo utilizamos 
la calculadora científica. Con las teclas sin , cos , tan se indican el seno, coseno y tangente 
respectivamente, como lo explicamos anteriormente. Ahora bien, dado el valor de una razón 
trigonométrica, se puede conocer el valor del ángulo presionando previamente la tecla 
SHIFT y luego la tecla sin , cos , tan según corresponda. 
Cuando utilizamos la calculadora para hallar el ángulo (por ejemplo ) dada una 
razón trigonométrica, ésta nos devuelve un valor comprendido en cierto intervalo. Esto puede 
observarse en la siguiente tabla: 
 
 
82 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Ecuación Valores de k 
Solución mediante 
calculadora 
Intervalo que contiene  si se usa 
calculadora 
sen α = k 1 1k   1α sin k α
2 2
 
   o 90º α 90º   
cos α = k 1 1k   1α cos k 0 α π  o 0º α 180º  
tg α = k 
Cualquier valor 
real de k 
1α tg k < α <
2 2
 
 o 90º α < 90º  
 
Ejemplos: 
a) Hallar el seno, coseno y tangente del ángulo 120º 
sen 120º  0,87 cos 120º = –0,5 tg 120º  –1,73 
b) Si   II cuadrante y sen  = 
2
2
, halle el valor de . 
Utilizando la calculadora y presionando SHIFT sin y luego introduciendo 
2
2
, se tiene 
que 1 = 45º. Es decir, 1 = arc sen
2
2
 
  
 
. Pero este valor no corresponde a un ángulo del 
segundo cuadrante 2, para obtenerlo utilizamos el ángulo de referencia. Para ello 
realizamos 2 = 180º – 45º = 135º 
 
 
c) Si tg  = –0,4623 y 0º α < 360º , obtenga el o los valores de  
Con la calculadora obtenemos  = arc tg (–0,4623)  –24º 48’40’’, pero este valor no 
corresponde a lo solicitado en el problema. Como necesitamos encontrar los valores de  
entre 0º y 360º, usamos el ángulo de referencia 24º 48’40’’. Existen dos valores posibles, 
1 y 2 tales que tg 1 y tg 2 sea negativo: uno en el cuadrante II y el otro en el 
cuadrante IV respectivamente. 
Para 1  II: 1 = 180º – 24º 48’40’’  155º 11’ 20’’ 
83 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Para 2  IV: 2 = 360º – 24º 48’40’’  335º 11’ 20’’ 
 
 
d) Hallar todos los valores de  tal que 0º β < 360º para los cuales se verifica: 
cos  = –0,4493. 
Como el coseno es negativo, el ángulo puede estar en el segundo o tercer cuadrante. Por 
lo tanto existen:1 y 2 tales que cos 1= –0,4493 y cos 2= –0,4493, con 190º < β < 180º y 
2180º < β < 360º 
1 = arc cos (–0,4493)  116°41’56’’ 
Para hallar 2, previamente hallamos el ángulo de referencia para 1: 
R = 180° – 116°41’56’’ = 63°18’4’’ 
Luego 2 = 180° + 63°18’4’’ = 243°18’4’’ 
 
 
Otra demostración de la identidad pitagórica 
Retomemos la identidad pitagórica 2 2sen cos 1   , la cual es válida para cualquier 
ángulo . Si P(x, y) son las coordenadas del punto de intersección del lado terminal de  con 
la circunferencia unitaria, hacemos: 
84 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
   
2 22 2 2 2sen cos sen cos 1x y          , ya que (x, y) es un punto de la 
circunferencia unitaria. 
De esta identidad se deducen: 
2sen 1 cos    2cos 1 sen    
El signo del seno (o coseno) que se elegirá dependerá del cuadrante en que se encuentre el 
ángulo . 
Ejemplo: Si cos  = 
2
2
 y   IV cuadrante, halle las restantes razones trigonométricas 
fundamentales. 
Solución: 
2
3 3 1
senβ 1 1
2 4 2
 
        
 
, elegimos el valor negativo porque el ángulo  
pertenece al IV cuadrante (ver cuadro de signo de razones trigonométricas) 
1
senβ 2
tgβ
cosβ

 
3
2
1 3
33
    
Aplicación de la tangente a la pendiente de una recta 
 La tangente se puede emplear en relación con la pendiente de una recta. Primero 
proponemos la siguiente: 
 
Definición: El ángulo de inclinación de una recta no paralela al eje X es el ángulo más 
pequeño medido en sentido contrario al reloj, desde la dirección positiva del eje X hasta la 
recta. 
El ángulo de inclinación de una recta paralela al eje X se define como de medida 0. 
 
Si  es el ángulo de inclinación de una recta, entonces 0 α 180   . En las siguientes 
gráficas podemos observar una recta Lpara la cual 0 α 90   y 90 α 180    en la otra. 
85 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
 
0 α 90   
 
90 α 180    
Teorema 
 Si  es el ángulo de inclinación de la recta L, no paralela al eje Y, entonces la 
pendiente m de L está dada por tgm  
Demostración 
Consideremos la recta L dada en los gráficos anteriores, cuyo ángulo de inclinación es  y 
cuya pendiente es m. La recta L’ pasa por el origen de coordenadas, es paralela a L y también 
tiene pendiente m y un ángulo de inclinación . El punto P(cos , sen ) insterseca a L’ y a la 
circunferencia unitaria. Y como el punto (0, 0) también está en L’, de la definición de 
pendiente concluimos que: 
sen α 0 sen α
tg α
cosα 0 cosα
m

  
 
Por ejemplo, si una recta L tiene un ángulo de inclinación de 60º, halle la pendiente. 
Solución: tg60º 3m   
 
Bibliografía 
Duarte, B. (2005). Matemáticas para ingresar a la universidad. Buenos Aires, Argentina: 
Granica. 
Leithold, L. (1989). Matemáticas previas al cálculo. Análisis funcional y geometría analítica. 
Harla. 
Sullivan, M. (2006). Álgebra y trigonometría.7° edición. Naucalpan de Juárez, México: 
Pearson Educación. 
Velasco, G. (1983). Tratado de geometría. Editorial Limusa. 
86 
 
 
Mgtr. Mosqueda Daniel L. (2021) 
 
 
Tabla de signos y símbolos matemáticos más utilizados 
Signo/símbolo Significado 
 Alfa 
 Beta 
 Gamma 
 Delta 
 Número irracional pi 
e Número irracional e 
 Aproximado 
 Existe 
 No existe 
 Para todo 
 Pertenece 
 No pertenece 
 Conjunción (conector “y”) 
 Disyunción (conector “o”) 
 Incluido en … 
 No incluido en … 
 Incluye a … 
 Unión entre conjuntos 
 Intersección entre conjuntos 
 Conjunto vacío 
/ Tal que 
 Entonces / Implica 
 Si y solo si / Equivalente a