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Escuela Preparatoria Uno UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN Página 79 de 81 CIERRE 3. Individual, resuelve los problemas siguientes. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular, de 50,000 litros de capacidad. Encuentra las dimensiones adecuadas para que la cantidad de metal (área total) sea mínima, en caso de que el recipiente esté cerrado. Halla la distancia mínima del punto (3, 0) a la parábola 4𝑦 = 𝑥2. Encuentra la altura del cono de volumen máximo que puede inscribirse en una esfera de radio R. Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto, de máximo volumen, que puede ser inscrito en un cono circular recto de 10 cm de radio y 25 cm de altura. Un fruticultor calcula que, si se siembran 60 árboles por hectárea, cada árbol dará 500 manzanas al año aproximadamente. Si el rendimiento promedio por árbol se reduce a 5 manzanas por cada árbol adicional que se plante por hectárea. ¿Cuántos árboles por hectárea deben plantarse para maximizar la cosecha de dicha fruta? Una carretera que corre de norte a sur, y otra de este a oeste, se encuentran en un punto P. Un auto que se dirige al este, con una velocidad de 60 km/h pasa por P a las 9:00 am. En ese instante otro auto que viaja hacia el norte a una velocidad de 80 km/h, se encuentra a 10 km al sur de P. Calcula en qué momento se encuentran más próximos los dos autos. Se quiere construir una cisterna con una capacidad de 10 000 litros. Si la forma de la cisterna es la de un paralelepípedo de base cuadrada y el costo del piso y de las paredes laterales es la mitad de lo que cuesta la tapa, encuentra qué medidas debe tener la cisterna para que su costo sea mínimo. El costo de producción de 𝑥 unidades diarias de un producto es de ( 1 2 𝑥2 + 10𝑥 + 30) dólares, y el precio unitario de venta es de (50 − 1 2 𝑥) dólares. Encuentra: a) El número de unidades que se deben vender diariamente para obtener un beneficio máximo. b) Demuestra que el costo de producción de una unidad tiene un mínimo. En economía: 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) donde: 𝑃(𝑥) es la utilidad, ganancia o beneficio 𝑅(𝑥) es el ingreso total por concepto de ventas 𝐶(𝑥) es el costo total de producción
