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SOLUCIONES DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
Existen ecuaciones donde no es posible, por ejemplo encontrar los ceros en un
cierto intervalo, por métodos algebraicos.
El problema que enfrentaremos es hallar, en forma aproximada, el valor de las
raíces o ceros de una ecuación, de la forma: �(�)= 0.Lo resolveremos mediante
métodos iterativos, (aproximaciones sucesivas), y acotando el error de cálculo
convenientemente.
El método más antiguo es el de bisección, que no lo trataremos en el curso.
Sí estudiaremos el método de la falsa posición o Regula-Falsi.
La primera aproximación la llamamos
diagrama de flujo siguiente:
La primera aproximación la llamamos �� , entonces: �� = a -
(�� )∗�
�(�)��(
) �(
)
(
)
, seguimos el
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de
paro o corte del proceso, que será en función de las
o del valor de la función en el punto aproximado.
a)|�� � ����|≤ ERROR
b)|�� � ����|/|��|≤ ERROR; siendo
c)��(��)�≤ERROR (nos interesa el valor acotado
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de
e será en función de las abscisas (ubicación de la raíz)
o del valor de la función en el punto aproximado.
ERROR; siendo��≠0 (Error relativo)
ERROR (nos interesa el valor acotado de la imagen)
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de
(ubicación de la raíz)
de la imagen)
• f(x0) . f”(x0) > 0( latg. Corta
al eje x dentro de [a,b] )
0( latg. Corta
al eje x dentro de [a,b] )
Hay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las
reales y siempre revancha, asegurando el intervalo donde se encuentra
verdadera raíz de la ecuación.
Por el teorema de Bolzano tenemos:
Como f(�)=0, (es así por ser raíz de la ecuación)
Entonces: |x� � α| =
��(��)�
|��(�)| , pero α y
Entonces: ERROR=|x� � α|≤
��(��
��(�
,
ay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las
reales y siempre revancha, asegurando el intervalo donde se encuentra
verdadera raíz de la ecuación.
ano tenemos: f( )� =(f(!�)-f(�))/(x�-α)
raíz de la ecuación).
, pero α y c son ptos desconocidos del Intervalo
� ��)�
� �)�
, siendo f(!), el mínimo valor en el "
ay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las
reales y siempre revancha, asegurando el intervalo donde se encuentra la
l Intervalo"x�, α#
"a, b#.
EJERCITACIÓN SUGERIDA SOBRE “Aproximación de raíces”
Ejercicio 1
Sean 6)( 2 −= xxf y p0=1. Aplique el método de Newton para encontrar p2.
Rta: p2=2,60714
Ejercicio 2
Sean )cos()( 3 xxxf −−= y p0=-1. Aplique el método de Newton para encontrar p2. ¿Podríamos utilizar
p0=0.
Rta:
Ejercicio 3
Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-4 para los siguientes
problemas.
a) 052 23 =−− xx , [1;4] b) 013 23 =−+ xx , [-3;-2]
c) 0)cos( =− xx , [0;p/2] d) 0)(2,08,0 =−− xsenx , [0;p/2]
Rta:
Para p0=2, tenemos p5=2,69065.
Para p0=-3, tenemos p3=-2,87939.
Para p0=0, tenemos p4=0,73909.
Para p0=0, tenemos p3=0,96434.
Ejercicio 4
Repita el Ejercicio 3 usando el método de la posición falsa.
Rta:
(i) a) p11=2,69065 b) p7=-2,87939 c) p6=0,73909 d) p5=0,96433
(i) a) p16=2,69060 b) p6=-2,87938 c) p7=0,73908 d) p6=0,96433
Seleccionó Ing. Sergio Bernal- Agosto 2014
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Cálculo aproximado de Raíces (Newton Rapshon)
1º) Separación de Raíces
En primer lugar, debemos encontrar intervalos en los que se cumplan las siguientes
condiciones. En este caso estaremos en condiciones de afirmar que en dicho intervalo [a,b]
existe una única raíz.
Buscamos los puntos críticos de la función
Puntos Críticos
Separación de Intervalos
Para aislar la raíz que señalamos en el gráfico, elegimos el intervalo en el que ésta se
encuentra . Podemos afirmar que en este intervalo hay sólo una
raíz ya que se cumplen las condiciones antes señaladas.
Aplicación del método (Newton – Rapshon)
Para la aplicación del método, es necesario que se cumplan las siguientes condiciones en el
intervalo [a,b]
1)
2)
3)
4)
Las tres primeras condiciones sabemos que se cumplen ya que lo hemos verificado en el paso
anterior.
A continuación acotamos el intervalo arbitrariamente según nuestro criterio para que el
método converja con menos iteraciones. Es necesario verificar que sigan cumpliéndose las
condiciones antes mencionadas. Adoptamos como intervalo [3;4]
1)
es continua en todo su dominio por ser un polinomio.
Para el intervalo [3,4] se cumplen las 3 primeras condiciones pero no verifica la 4º. Es
necesario buscar un nuevo intervalo más pequeño que verifique todas las condiciones.
Adoptamos el intervalo [3,4 ; 4]
1)
es continua en todo su dominio por ser un polinomio.
Adoptamos el intervalo [3,4 ; 4] ya que cumple las 4 condiciones necesarias.
Elección
k
1 3,4000000000 0,3404800000 -3,1403428571 3,5084212825
2 3,5084212825 0,0012507156 -3,1096977332 3,5088234809
3 3,5088234809 0,0000000397 -3,1095003983 3,5088234937
4 3,5088234937 0,0000000000 -3,1095003920 3,5088234937
Tal como se puede observar en la tabla, el valor de la función se va acercando a cero. En este
ejemplo estamos trabajando con 10 decimales y no podemos apreciar el error.
El valor de la raíz aproximada es 3.5088234937
Acotar el error
3,508823493665670 3,508823493703980
El valor de la raíz r va ser mayor a 3,508823493665670 y menor a 3,508823493703980.
Ejercitación Sugerida sobre Polinomios de Lagrange
Sección 3.1
Ejercicio 1
Para las funciones dadas )(xf , sean 00 =x , 6,01 =x y 9,02 =x . Construya polinomios de interpolación
de grados uno y dos a lo máximo para aproximar )45,0(f y calcule el error real.
a) )cos()( xxf = b) xxf += 1)( c) )1ln()( += xxf d) )tan()( xxf =
Rta:
a)
002008,0)45.0()45,0(;902455,0)45,0(
;032558,0)45.0()45,0(;933005,0)45,0(
;1·0131009,0·452592,0)(
;1·148878,0)(
22
11
2
2
1
=−=
=−=
+−−=
+−=
PfP
PfP
xxxP
xxP
b)
000839,0)45.0()45,0(;204998,1)45,0(
;006104,0)45.0()45,0(;210263,1)45,0(
;1·490652,0·0780026,0)(;1·467251,0)(
22
11
2
21
=−=
=−=
++−=+=
PfP
PfP
xxxPxxP
c)
003828,0)45.0()45,0(;375392,0)45,0(
;0212983,0)45.0()45,0(;393546,0)45,0(
;·955236,0·268961,0)(;·874548,0)(
22
11
2
21
=−=
=−=
+−==
PfP
PfP
xxxPxxP
d)
022468,0)45.0()45,0(;505523,0)45,0(
;019051,0)45.0()45,0(;464004,0)45,0(
;·846593,0·615092,0)(;·031121,1)(
22
11
2
21
=−=
=−=
+==
PfP
PfP
xxxPxxP
Ejercicio 2
Acotar el error en aproximaciones del ejercicio 1. Comparar con los errores calculados en el ejercicio
anterior.
Ejercicio 3
Use los polinomios interpolantes de Lagrange apropiados de grados uno, dos y tres para aproximar lo
siguiente:
a) f(8,4) si f(8,1)=16,94410 , f(8,3)=17,56492 , f(8,6)=18,50515 , f(8,7)=18,82091.
b) f(-1/3) si f(-0.75)=-0,07181250 , f(-0.5)=-0,02475000 , f(-0,25)=0,334993750 , f(0)=1,10100000.
c) f(0,25) si f(0,1)=0,62049958 , f(0,2)=-0,28398668 , f(0,3)=0,00660095 , f(0,4)=0,24842440.
d) f(0,9) si f(0,6)=-0,17694460 , f(0,7)=0,01375227 , f(0,8)=0,22363362 , f(1,0)=0,65809197.
Rta
a) n nxxx ;...;; 10 )4,8(nP
1 8,3; 8,6 17,87833
2 8,3; 8,6; 8,7 17,87716
3 8,3; 8,6;
8,7; 8,1
17,87714
b) n nxxx ;...;; 10 )3/1(−nP
1 -0,5; -0,25 0,21504167
2 -0,5; -
0,25; 0,0
0,16988889
3 -0,5; -
0,25; 0,0;-
0,75
0,1751852c) n nxxx ;...;; 10 )25,0(nP
1 0,2; 0.3 -0,1386287
2 0,2; 0.3;
0,4
-
0,13259734
3 0,2; 0.3;
0,4; 0,1
-
0,13277477
d) n nxxx ;...;; 10 )9,0(nP
1 0,8; 1,0 0,44086280
2 0,8; 1,0;
0,7
0,43841352
3 0,8; 1,0;
0,7; 0,6
0,44198500
Seleccionó: Ing. Sergio Bernal- Agosto 2014
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CALCULO AVANZADO – MODULO IV
INTEGRACION NUMERICA – VERSION REDUCIDA
Si bien existen distintos métodos para aproximar una integral definida, consideraremos
solo las llamadas Fórmulas Cerradas de Newton Cotes.
Sea ∫
b
a
dxxf )( .
Elegimos en el intervalo [a,b], n valores equiespaciados:
a = x1 , x2 = x1 + h, x3 = x2 + h, …… xn = xn-1 + h = b
Utilizando la función integrando y = f(x), construimos la tabla:
x1 x2 x3 …… xn
f(x1) f(x2) f(x3)…..f(xn)
y generamos el Polinomio de Lagrange, P(x), que pasa por esos puntos. Luego
aproximamos ∫
b
a
dxxf )( por ∫
b
a
dxxP )( , es decir:
∫
b
a
dxxf )( ≈ dx
x
y
xx
x
i
b
a
n
i
ji
n
ijj
j
n
ijj
∫∑
Π
Π
=
≠=
≠=
−
−
1
,1
,1
)(
)(
(**)
Como x1= a
x2 = a+h
x3 = a+2h
……….
xi = a + (i-1)h
………
xj = a + (j-1)h
……….
xn = a + (n-1)h = b
Podemos hacer un cambio de variable: x = a + (t-1)h
Con lo que: los nuevos extremos de la integral serán:
Cuando x = a entonces t =1 y cuando x = b entonces t = n.
dx = h.dt
Además x – xj = a + (t-1)h –a – (j-1)h = (t – j)h
Similarmente xi – xj = (i – j)h. Reemplazando en (**)
∫
b
a
dxxf )( ≈ dth
hji
hjt
y
i
n n
i
n
ijj
n
ijj .
)(
)(
1 1
,1
,1
∫∑
Π
Π
=
≠=
≠=
−
−
Notemos que
1−
−=
n
ab
h y recordemos que la “la integral de una suma es igual a la suma
de las integrales, por lo que podemos escribir lo anterior como:
∫
b
a
dxxf )( ≈ dt
ji
jt
n
ab
n
n
ijj
n
ijj
n
i
i
y ∫
Π
Π
∑
−
−
−
−
≠=
≠=
= 1
,1
,1
1 )(
)(
1
1
)(
Notemos algo muy importante: Supongamos que n = 3 y analicemos para cada valor de
“i” la expresión : dt
ji
jt
n
n
n
ijj
n
ijj
∫
Π
Π
−
−
−
≠=
≠=
1
,1
,1
)(
)(
1
1
que aparece en la fórmula anterior.
Si i = 1 tenemos :
=
−−
−−
− ∫
dt
tt3
1 )31)(21(
)3)(2(
13
1 =
+−
∫ dt
tt3
1
2
2
65
2
1 =
+−
3
1
23
6
234
1 5 ttt 1/6 (por Barrow)
Similarmente, podemos obtener para i = 2 el valor 4/6, y para i = 3 , el valor 1/6.
Para poder calcular estos valores no utilizamos en ningún momento los valores de la
función a integrar, ni los extremos de la integral, por lo que para distintos valores de “n”
los mismos pueden ser tabulados para cada valor de “i”. Si los llamamos In,i tenemos
entonces que:
∫
b
a
dxxf )( ≈ Iy in
n
i
i
ab
,
1
)( ∑
=
− Que es la fórmula cerrada de Newton-Cotes para
una determinada elección de “n”. Donde el valor de cada In,i se tiene en la sigte tabla,
TABLA DE In,i
n i = 1 i=2 i=3 i=4 i=5
2 1/2 1/2
3 1/6 4/6 1/6
4 1/8 3/8 3/8 1/8
5 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90
OBSERVACIONES
1) En la fórmula obtenida solo aparecen los extremos de la integral y los valores de las
imágenes de la función integrando, (además de los valores tabulados) por lo que si sólo
tenemos una tabla de valores de la función y no su expresión analítica, igual podemos
aproximar el valor de la integral.
2) Se puede demostrar que si se conoce la expresión analítica, una cota del error está
dada por: Rmáx n
m
baX
xfE .)( )2(
],[∈
≤ , donde 2m = n si n es par, y 2m = n+1 si n es impar.
Los valores de Rn también están tabulados.
TABLA DE Rn
n 2 3 4 5
12
3
h−
90
5
h−
80
3
5
h−
945
8
7
h−
3) Notemos que si la derivada de orden 2m de la función es cero, la aproximación es
exacta, y si es una constante podemos calcular el error cometido en forma exacta.
4) De un estudio de las fórmulas de error puede llegarse a conclusiones cualitativas que
expresan una tendencia no uniforme con respecto al crecimiento de n . El error decrece
hasta un cierto valor de n y luego vuelve a aumentar y se hace incontrolable. Esto hace
preferible el uso de fórmulas con n relativamente bajo en forma sucesiva dentro del
intervalo considerado.
5) Una de las fórmulas más utilizadas es la de n = 3, conocida como FORMULA DE
SIMPSON. La fórmula para n = 2, se conoce como METODO DE LOS TRAPECIOS.
EJEMPLO : Aproximar � �x + lnx�dx
, aplicando la fórmula de Simpson con nueve
puntos como datos y calcular la cota para el error.
Solución:
Construimos la tabla para los 9 puntos equiespaciados en el intervalo [1,9]
x y
1 1
2 2.69314718
3 4.09861229
4 5.386294361
5 6.609437913
6 7.79175947
7 8.94591015
8 10.07944154
9 11.19722457
Como tenemos 9 puntos y en la Fórmula de Simpson sólo intervienen tres, podemos
expresar la integral como suma de 4 integrales, de la siguiente manera
�x + lnx�dx =
�x + lnx�dx
�
+
�x + lnx�dx
�
�
+
�x + lnx�dx
�
�
+
�x + lnx�dx
�
y aplicar en cada una de las cuatro integrales que aparecen a la derecha las fórmulas de
Simpson correspondientes, tanto para el cálculo de la integral como para la cota del
error (este procedimiento se conoce como Regla compuesta de Simpson).
� �x + lnx�dx ≈ �3 − 1��y
I�,
+
y� I�,� + y� I�,�� + �5 − 3��y� I�,
+ y� I�,� + y� I�,�� + �7 − 5��y� I�,
+ y� I�,� + y� I�,�� + �9 − 7��y� I�,
+ y I�,� + y I�,��
como I3,1= I3,3 = 1/6 y I3,2 = 4/6 , tendremos
�x + lnx�dx ≈ 2[16 �y
+ 2y� +
2y� + 2y� + y � + 46 �y� + y� + y� + y �] = &'. )*+,-./+
Cota de error: el error de la suma será menor o igual que la suma de los errores, por lo
que calculamos la cota en cada una de las cuatro integrales con h=1 y 012�3� = − �45,
|7| ≤
9 �6 + 0.074 + 9.6 × 10<� + 2.5 × 10<�� = =. =*)*
Ejercicios propuestos:
1. Aproximar las siguientes integrales definidas, obtener una cota para el error
cometido y comparar con el error real, aplicando
a) Fórmula de los Trapecios (fórmula cerrada de Newton-Cotes para n=2)
b) Fórmula de Simpson (fórmula cerrada de Newton-Cotes para n=3)
>
=
3�?<4@3 ; >� =
?�4B?C 23 @3
D/�
9
9
Rta: a) I1 = 0.1839397 ; I2 = 4.1432597 b) I1 = 0.16240168 ; I2 = 2.5836964
2. Si se sabe que con la fórmula del trapecio se obtiene que � 0�3�@3 ≈ 4 �9 y con
la fórmula de Simpson, � 0�3�@3 ≈ 2 �9 . Determinar, si es posible, cuál es el
valor de f(1)?
Rta: 0.5
3. Demostrar que el error en la Regla compuesta de Simpson puede aproximarse
por medio de
F<G
9 ℎ�max4K[G,F]L012�3�L , donde ℎ =
F<G
M<
y N es la cantidad
de puntos considerados en el intervalo [a,b].
4. ¿Cuántos puntos se deberán tomar en el intervalo [1,2] para garantizar que la
aproximación de la Regla de Simpson para � N44
�
sea exacta con una diferencia
menor que 0.0001? Rta: 9
5. Determinar la cantidad de puntos N y el valor de h que se requieren para
aproximar � N44O�
�
9 con una exactitud de 10
-4 usando la regla compuesta de
Simpson y calcular la aproximación. Rta: N=5, h= 0.5
Bibliografía: Burden, R. y Faires J.D “Análisis Numérico” (2002)
1
CALCULO AVANZADO - MODULO IV
METODOS ITERATIVOS PARA LA RESOLUCION DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES – VERSION REDUCIDA
METODO DE JACOBI
Veremos el método para un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, pero se realiza
en forma similar para un sistema de n ecuaciones y n incógnitas. Sea el sistema
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a31x1+a32x2+a33x3=b3
Para aplicar el método despejamos x1 de la primera ecuación, x2 de la segunday x3 de la
tercera, por lo que evidentemente obtenemos un sistema equivalente al dado, es decir,
con la misma solución.
x1= (b1-a12x2-a13x3)/a11
x2=(b2 –a21x1-a23x3)/a22 (*)
x3=(b3-a31x1-a32x2)/a33
Comenzamos suponiendo una aproximación inicial al vector solución :
x1
0
XO = x2
0
x3
0
Con esos valores, reemplazando en (*), obtenemos una segunda aproximación, de la
siguiente manera:
x1
1= (b1-a12x2
0-a13x3
0)/a11
X1 = x2
1=(b2 –a21x1
0-a23x3
0)/a22
x3
1=(b3-a31x1
0-a32x2
0)/a33
Luego donde están los valores de XO ponemos los de X1 y obtenemos una tercera
aproximación y así sucesivamente.
Ejemplo: Sea el sistema
10x1+ 2x2 -1x3=4
3x1+ 6x2 + x3=8
2x1- x2 +4x3=6
Lo escribimos como:
x1= (4-2x2+x3)/10
x2=(8 –3x1-x3)/6
x3=(6-2x1+x2)/4
Suponemos como aproximación inicial
0
XO = 0
0
2
y obtenemos
x1
1= (4-2x2
0
+x3
0)/10 =4/10
X1 = x2
1=(8 –3x1
0-x3
0)/6 =8/6
x3
1=(6-2x1
0
+x2
0)/4 =6/4
Ahora calculamos la siguiente aproximación:
x1
2= (4-2x2
1
+x3
1)/10 = (4-2.8/6+6/4)/10
X2 = x2
2=(8 –3x1
1-x3
1)/6 = (8-3.4/10-6/4)/6
x3
2=(6-2x1
1
+x2
1)/4 = (6-2.4/10+8/6)/4
Y así sucesivamente.
CONDICION SUFICIENTE DE CONVERGENCIA
Con estas iteraciones ¿nos acercaremos a la verdadera solución del sistema de
ecuaciones?
Definimos dos medidas que necesitaremos:
Norma infinita de un vector:
||X||∞ = ||(x1,x2,x3)||∞ = máximo { |x1|,|x2|,|x3|}
Ejemplo: Si X= (-4, 3, 1) entonces ||X||∞ = 4
Norma infinita de una matriz:
a11 a12 a13
||A||∞ = a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
= máx {|a11|+| a12|+| a13|,|a21|+| a22|+| a23|,|a31|+| a32|+| a33|}
Ejemplo:
Sea
2 -3 5
A= 6 4 8
7 -10 -1
||A||∞ = máx {2+3+5, 6+4+8, 7+10+1}= 18.
Volviendo a la condición suficiente de convergencia:
Sea
x1
E
XE = x2
E la solución exacta del sistema, y
x3
E
x1
k
Xk = x2
k los valores aproximados en la iteración nº k
x3
k
Evidentemente, para que el método converja (se acerque a la solución) deberá ocurrir
que para i=1,2,3 se verifique que:
|xi
E-xi
k| tienda a cero a medida que k aumenta, pero esto es equivalente a pedir que la
máxima de estas diferencias tienda a cero, es decir:
3
lím ||ek||∞ = 0
k→∞
siendo x1
E – x1
k
ek = x2
E – x2
k (vector error en la iteración k)
x3
E – x3
k
Veamos que tiene que ocurrir para asegurar esto:
Sabemos que XE debe satisfacer el sistema, por lo tanto:
3
x i
E= (bi-∑aijxj
E)/aii i = 1,2,3 y calculamos:
j=1
j≠ i
3
x i
k+1= (bi-∑aijxj
k)/aii i = 1,2,3
j=1
j≠ i
Restamos miembro a miembro y obtenemos:
3 3
xi
E – xi
k+1 = (bi-∑aijxj
E - bi+∑aijxj
k)/aii i = 1,2,3
j=1 j=1
j≠ i j≠i
3
xi
E – xi
k+1 = ∑aij [xj
k - xj
E] / aii para i =1,2,3
j=1
j≠i
3 3
| xi
E – xi
k+1 | = | ∑aij [xj
k - xj
E] / aii | ≤ ∑|aij | |xj
k - xj
E| / |aii | para i =1,2,3
j=1 j=1
j≠i j≠i
|xj
k - xj
E| es el error de la incógnita número “j” en la iteración número “k”, que sabemos
(por la definición dada de norma infinita de un vector y de vector error), verifica:
|xj
k - xj
E| ≤ ||ek||∞
Por lo tanto, si en la última sumatoria reemplazamos |xj
k - xj
E| por ||ek||∞ obtenemos:
3 3
| xi
E – xi
k+1 | ≤ ∑|aij| |xj
k - xj
E| / |aii | ≤ ∑|aij | ||e
k||∞ / |aii | para i =1,2,3
j=1 j=1
j≠i j≠i
O, lo que es lo mismo:
3
| xi
E – xi
k+1 | ≤ ||ek||∞ . ∑ [|aij | / |aii |] para i =1,2,3
j=1
j≠i
Evidentemente para cada uno de los valores de “i” la sumatoria que aparece en la última
expresión da distintos resultados.
3 3 3
Llamemos con φ = máx {∑ [|a1j| / |a11 |] , ∑ [|a2j| / |a22 |] , ∑ [|a3j| / |a33 |] }
j=1 j=1 j=1
j≠i j≠i j≠i
Se cumplirá entonces que
3
4
| xi
E – xi
k+1 | ≤ ||ek||∞ . ∑ [|aij | / |aii |] ≤ ||e
k||∞ . φ para todo “i”
j=1
j≠i
Como la desigualdad anterior se cumple para todo “i” también se cumplirá para la
mayor de las diferencias | xi
E – xi
k+1 | que, por definición, es la norma del error en la
iteración nº “k+1”.
Tenemos entonces:
||ek+1||∞ ≤ ||e
k||∞ . φ
Razonando de manera similar tendríamos:
||ek||∞ ≤ ||e
k-1||∞ . φ (notar que φ es el mismo pues no depende del número de iteración)
de lo anterior:
||ek+1||∞ ≤ ||e
k-1||∞ . φ
2
y siguiendo con el mismo razonamiento llegaríamos a:
||ek+1||∞ ≤ ||e
0||∞ . φ
k+1 donde ||e0||∞ es una constante (desconocida).
Como ||ek+1||∞ ≤ ||e
0||∞ . φ
k+1
Se cumple también que:
lím ||ek+1||∞ ≤ lim ||e
0||∞ . φ
k+1
k→∞ k→∞
Sabemos que φ es positivo. Si φ es menor que 1, seguro el límite del segundo miembro
valdrá cero, y por ende también el primero (ya que no puede ser negativo), y por lo
tanto el error tenderá a cero y el método converge.
Conclusión: La condición suficiente para que el método converja es que φ sea
menor que 1.
¿Cómo ver esto fácilmente?
Recordemos quién es φ.
3 3 3
φ = máx {∑ [|a1j| / |a11 |] , ∑ [|a2j| / |a22 |] , ∑ [|a3j| / |a33 |] }
j=1 j=1 j=1
j≠i j≠i j≠i
Si φ< 1 tenemos
3 3 3
φ = máx {∑ [|a1j| / |a11 |] , ∑ [|a2j| / |a22 |] , ∑ [|a3j| / |a33 |] }<1
j=1 j=1 j=1
j≠i j≠i j≠i
Si la máxima de estas sumas es menor que 1, quiere decir que todas lo son, por lo que
se debe cumplir que cada una de las sumas debe ser menor que uno. Planteando las tres
desigualdades, desarrollando las sumas y despejando, obtenemos:
|a11| > |a12 | + |a13 |
|a22| > |a21 | + |a23 |
|a33| > |a31 | + |a32 |
Es decir: Para asegurar convergencia se pide que : en cada fila, el valor absoluto del
elemento de la diagonal principal sea mayor que la suma de los valores absolutos de los
elementos de esa fila. En ese caso decimos que el sistema tiene diagonal dominante.
En el ejemplo dado al principio de este apunte vemos que:
10 > 2+1
6 > 3 +1
4 > 2 +1
5
Por lo que el método convergerá con seguridad. Es por eso que se suele tomar como
aproximación inicial de xi, xi
0 = bi / aii.Cota de error
Se puede demostrar que:
||ek||∞ = || x
E -xk || ≤ [ || M ||∞ / ( 1- || M ||∞)] . || x
k -xk-1 ||
siendo M = N-1.P donde N y P son las siguientes matrices:
a11 0 0
N 0 a22 0 y P = A - N
0 0 a33
Siendo A la matriz de coeficientes del sistema dado.
EJEMPLO
Retomemos nuestro ejemplo. Calculamos las primeras 6 iteraciones:
aprox.inicial iteración 1 iteración 2 iteración 3 iteración 4 iteración 5 iteración 6
x1 0 0,4 0,28333333 0,38666667 0,37402778 0,37829167 0,37517245
x2 0 1,33333333 0,88333333 0,91944444 0,87680556 0,89023148 0,88882292
x3 0 1,5 1,63333333 1,57916667 1,53652778 1,5321875 1,53341204
Calculamos las matrices:
10 2 -1 10 0 0 0 2 -1
A = 3 6 1 N= 0 6 0 P= 3 0 1
2 -1 4 0 0 4 2 -1 0
1/10 0 0 0 1/5 -1/10
N-1= 0 1/6 0 M=N-1P= 1/2 0 1/6
0 0 1/4 1/2 -1/4 0
Por lo que || M ||∞ = máx {0+1/5+1/10, 1/2+1/6, 1/2+1/4}= 0,75
|| x6 –x5 || = || (-0,00311921, -0,00140856, 0,00122454 || = 0,00311921
Por lo que la cota de error es:
|| xE –x6 || ≤ (0,75 / 0,25) . 0,00311921= 0,00935764
Esto significa que:
| x1
E –x1
6 | ≤ 0,00935764
| x2
E –x2
6 | ≤ 0,00935764
| x3
E –x3
6 | ≤ 0,00935764
O lo que es lo mismo:
| x1
E –0,37517245 | ≤ 0,00935764
| x2
E –0,88882292 | ≤ 0,00935764
| x3
E –1,53341204 | ≤ 0,00935764
Entonces:
- 0,00935764 ≤ x1
E –0,37517245 ≤ 0,00935764
- 0,00935764 ≤ x2
E –0,88882292 ≤ 0,00935764
- 0,00935764 ≤ x3
E –1,53341204 ≤ 0,00935764
De donde: 0,36581481 ≤ x1
E ≤ 0,38453009
0,87946528≤ x2
E ≤ 0,89818056
1,5240544 ≤ x3
E ≤ 1,54276968
Y tenemos los intervalos en los cuales se hallan los valores exactos de las soluciones. Si
necesitamos mayor precisión debemos realizar más iteraciones.
6
METODO DE GAUSS – SEIDEL
Es similar al anterior, solo que en cada iteración se usan las últimas aproximaciones que
se tienen de cada incógnita. Así, por ejemplo, la iteración 1 se calcula como:
x1
1= (b1-a12x2
0-a13x3
0)/a11
X1 = x2
1=(b2 –a21x1
1-a23x3
0)/a22
x3
1=(b3-a31x1
1-a32x2
1)/a33
La condición suficiente de convergencia es la misma, aunque cambia la definición de la
matriz N, que ahora es una matriz triangular inferior:
a11 0 0
N = a21 a22 0
a31 a32 a33
Ejercicios Propuestos:
1. Obtener las dos primeras iteraciones del método de Jacobi para los siguientes
sistemas lineales, usando X(0)=
a) 3x1 – x2 + x3 = 1, b) 10x1 – x2 = 9,
3x1 +6 x2 + 2x3 = 0, - x1 + 10 x2 – 2x3 = 7,
3x1 +3 x2 + 7x3 = 4. – x2 + 10x3 = 6
Rta: a) (0.1428571, -0.3571429, 0.4285714)t b) (0.97, 0.91, 0.74)t
2. Repetir el ejercicio 1 empleando el método de Gauss-Seidel.
3. Aplicar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema
2x + 3y = 1 ; 6x + 2y = 10.
Partir de (0,0)t y verificar que el método converja. Realizar tres aproximaciones
y determinar, si es posible, en que rango varía x e y, de lo contrario fundamentar
la respuesta.
Rta: 1.967078189 < x < 2 ; -1.005486968 < y < -0.9725651578
4. Las dimensiones de una caja verifican que,
12x + y +2z = 10.6 ; 6y –x +z = 4.2 ; 7z – 2x + 2y = 4.9.
Se desea colocar en ella 0.35 m3 de arena. Partiendo de (0,0,0) realizar 3
iteraciones y determinar si esto es posible.
Bibliografía: Burden, R. y Faires J.D “Análisis Numérico” (2002)