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EL MEJOR LIBRO PARA
INGRESO UNIVERSIDADES
EXANI 2
I. PENSAMIENTO MATEMÁTICO
II. ESTRUCTURA DE LA LENGUA
III. PENSAMIENTO ANALÍTICO
IV. COMPRENSIÓN LECTORA
Copyright © 2019 por Escuela Xook
Cursos propedéuticos 2019-20. Todos los derechos reservados.
La obra El mejor libro de para ingreso a universidades EXANI 2 fue elaborada en Escuela Xook
con la colaboración de los siguientes profesores:
Pensamiento Matemático
M.A. Erik Arturo Moreno Kantún
L.M. José Antonio Valdez López
Pensamiento Analítico
M.A. Erik Arturo Moreno Kantún
L.M. José Antonio Valdez López
L.M. Isla Fabiola Calderón Pérez
Estructura de la lengua
L.M. Isla Fabiola Calderón Pérez
Comprensión Lectora
L.M. Isla Fabiola Calderón Pérez
Derechos reservados conforme la ley por Escuela Xook 2018. Calle 59g no. 592e x 114 y 116
colonia Bojórquez, Mérida, Yucatán.
Las características de edición, así como su contenido, son propiedad de Escuela Xook, por lo
que, está obra no podrá ser reproducida completa o alguna de sus partes, mediante ningún
sistema electrónico o mecánico, incluyendo fotocopiado, sin la autorización estricta del editor.
IMPRESO EN MÉXICO
Esta obra se terminó de imprimir en septiembre de 2019
Este ejemplar es un auxiliar didáctico para el aspirante a presentar el examen de ingreso a las universidades de
Yucatán y de su península y no sustituye ninguna obra oficial.
Prefacio
A lo largo de más de 10 años, Escuela xook ha realizado la labor de preparar a aquellos
estudiantes que aspiran ingresar al nivel de licenciatura. La experiencia de ese tiempo, se ve
reflejada en esta obra que es un auxiliar didáctico para el aspirante a este nivel de enseñanza.
La obra, El mejor libro de para ingreso a universidades EXANI 2, ha sido elaborada de acuerdo
con el programa de estudios de las diferentes universidad de Yucatán, con el propósito de
cubrir las necesidades académicas del alumno que desee ingresar a nivel licenciatura en
cualquiera de las áreas que conforman este material didáctico.
Los temas que aquí se presentan están diseñados con el fin de que el aspirante realice
actividades para comprobar lo que aprendido en cada uno de ellos.
Con esta guía se busca que el estudiante refuerce los conocimientos adquiridos durante el
curso del bachillerato y, que a su vez, desarrolle las habilidades y actitudes en las diferentes
áreas.
Esta obra se compone de los componentes básicos del bachillerato los cuales engloban los
conocimientos disciplinarios y las habilidades intelectuales de Pensamiento Matemático,
Estructura de la lengua, Pensamiento analítico verbal y matemático y comprensión lectora.
Cada una de las materias se divide en unidades, las cuales presentan los temas que se
consideran que el aspirante debe repasar, y al final de cada una se encuentran los ejercicios
que ayudaran al aspirante a verificar lo que aprendió.
El desarrollo del curso comprende aproximadamente 120 horas de estudio
independientemente del repaso en casa. La acreditación de este proceso de evaluación es
responsabilidad total de las instituciones asignadas para esta carrera.
En conclusión, escuela xook desea comunicarle que, no obstante este material didáctico
proporciona las facilidades de aprendizaje para el alumno, el resultado a favor dependerá del
interés y el empeño que el estudiante ponga a este curso.
Y recuerde el lema de nuestra institución:
“LA DISCIPLINA TARDE O TEMPRANO VENCERÁ A LA INTELIGENCIA”
Atentamente
M.A. Erik Arturo Moreno Kantún
TEMARIO EXANI 2
Temario……………………………………………………………………………….…………1
Técnicas de estudio…………………………………………………………………………….. 3
1. Pensamiento matemático…………………………………………………………………...13
1.1 Razonamiento aritmético……………………………………………………………………15
1.1.1 Jerarquía de operaciones básicas…………………………………………………23
1.1.2 Relaciones de proporcionalidad…………………………………………………..27
1.2 Razonamiento algebraico…………………………………………………………………...41
1.2.1 Expresiones algebraicas…………………………………………………………. 43
1.2.2 Productos notables………………………………………………………………..48
1.2.3 Ecuaciones………………………………………………………………………..50
1.2.4 Sistemas de ecuaciones…………………………………………………………...52
1.2.5 Representaciones gráficas………………………………………………………...56
1.3 Razonamiento estadístico y probabilístico………………………………………………….83
1.3.1 Frecuencias e información gráfica………………………………………………..85
1.3.2 Medidas descriptivas……………………………………………………………..88
1.3.3 Medidas de posición……………………………………………………………...91
1.3.4 Nociones de probabilidad………………………………………………………...92
1.4 Razonamiento geométrico…………………………………………………………………121
1.4.1 Puntos, segmentos y plano cartesiano…………………………………………..123
1.4.2 Línea recta………………………………………………………………………127
1.5 Razonamiento trigonométrico……………………………………………………………..139
1.5.1 Funciones trigonométricas………………………………………………………141
1.5.2 Triángulos rectángulos u oblicuángulos………………………………………...149
2. Pensamiento analítico……………………………………………………………………...165
2.1 Integración de información………………………………………………………………...167
2.1.1 Información textual……………………………………………………………...167
2.1.2 Información gráfica……………………………………………………………..169
2.2 Interpretación de relaciones lógicas……………………………………………………….170
2.2.1 Analogías………………………………………………………………………..170
2.2.2 Mensajes y códigos……………………………………………………………...176
2.3 Reconocimiento de patrones……………………………………………………………….179
2.3.1 Sucesiones numéricas…………………………………………………………...179
2.3.2 Sucesiones alfanuméricas……………………………………………………….180
2.3.3 Sucesiones de figuras…………………………………………………………....181
2.4 Representación espacial……………………………………………………………………182
2.4.1 Figuras y objetos………………………………………………………………...182
2.4.2 Modificaciones a objetos………………………………………………………..183
2.4.3 Operaciones con figuras y objetos………………………………………………184
3. Estructura de la lengua……………………………………………………………………245
3.1 Categorías gramaticales……………………………………………………………………247
3.1.1. Verbos…………………………………………………………………………..249
3.1.2 Sustantivos………………………………………………………………………255
3.1.3 Adjetivos………………………………………………………………………...258
3.1.4 Adverbios………………………………………………………………………..260
3.1.5 Preposiciones……………………………………………………………………262
3.2 Reglas ortográficas………………………………………………………………………...297
3.2.1 Puntuación y acentuación……………………………………………………….299
3.2.2 Grafías…………………………………………………………………………..313
3.3 Relaciones semánticas……………………………………………………………………..343
3.3.1 Sinónimos y antónimos…………………………………………………………345
3.3.2 Parónimos……………………………………………………………………….348
1
3.4 Lógica textual……………………………………………………………………………...375
3.4.1 Cohesión………………………………………………………………………...377
3.4.2 Estructura………………………………………………………………………..389
4. Comprensión lectora………………………………………………………………………413
4.1 Mensaje del texto…………………………………………………………………………..414
4.1.1 Explícito…………………………………………………………………………414
4.1.2 Implícito…………………………………………………………………………419
4.2 Intención del texto……………………………………………………………………………………422
Formulario……………………………………………………………………………………………..491
2
Técnicas de estudio
Partimos de una lectura inicial a todo el texto, con la finalidad de tener una idea del
contenido general, no es necesario que se entienda en su totalidad.
Hacemos una segunda lectura, párrafo a párrafo, teniendo en cuenta de subrayar
las ideas principales y remarcar los términos que no son del todo claros.
Procedemos con el recurso que más se adecúe a las características del texto.
Recursos a considerar:
Resumen
¿Cuándo se usa? El resumen es útil en todo tipo de texto.
Características: Es un texto más reducido que el texto original, contiene
únicamente las ideas principales y anotaciones que el escritor considere
prudentes.
Pasos a seguir:
1. Se lee el texto.
2. Se identifica las ideas principales y conceptos poco claros.
3. Se redactanlas ideas principales cuidando que tenga orden y sentido.
4. Se adecúa el texto para que tenga sentido narrativo.
5. Se corrigen los errores de redacción y ortografía.
Lee Identifica Redacta
AdecúaCorrige
3
Beneficios de hacer un resumen: El resumen permite abarcar todo un tema sin
dejar información relevante fuera. Además, solo resulta necesario leer el texto
original al momento de la elaboración del resumen, y cuando se quiera repasar el
tema más adelante se puede recurrir al texto resumido.
Cuadro sinóptico
¿Cuándo se usa? Se usa en cualquier texto que permita ramificación por temas,
clasificaciones o características.
Características:
Pasos a seguir: Identifica los términos relevantes en el texto y ordénalos de
acuerdo a su clasificación. Utiliza las llaves para definir cada sección elegida en la
clasificación y sigue el orden de idea general de la cual se derivan las ideas
principales, las ideas complementarias y los detalles o notas a tomar en cuenta.
Beneficios de hacer un cuadro sinóptico: El cuadro sinóptico nos permite tomar en
cuenta todos los conceptos relevantes de un texto y su clasificación respectiva, y
al ser visual resulta más atractivo a la hora de estudiar.
Mapa conceptual
¿Cuándo se usa? Se usa en cualquier texto que permita ramificación por temas,
clasificaciones o características.
Características:
4
Pasos a seguir: Identifica los términos relevantes en el texto y ordénalos de
acuerdo a su clasificación. Utiliza figuras geométricas para definir cada sección
elegida en la clasificación y sigue el orden de idea general de la cual se derivan
las ideas principales por medio de conectores.
Beneficios de hacer un mapa conceptual: Los mapas conceptuales son el perfecto
equilibrio entre la recapitulación de información y lo visual. Nos ayuda a ser más
organizados y a identificar cada uno de los términos que se estudian con todas las
características relevantes.
Mapa mental
¿Cuándo se usa? Se usa en cualquier texto que permita ramificación por temas,
clasificaciones o características y cuya información no sea tan extensa para poder
incluir imágenes. La utilización de imágenes varía de la imaginación de quien lo
elabora. Tomar en cuenta que es recomendable utilizar este recurso en conjunto
con alguno de los ya mencionados para que la información a estudiar sea más
completa.
Características:
5
Pasos a seguir:
Procede a la recapitulación de la información de la misma manera que con el
mapa conceptual, una vez hecho la ramificación guíate de imágenes relacionadas
con los términos que vas a incluir. No tienen que ser explícitamente relacionadas,
siempre y cuando las imágenes tengan sentido para ti.
Beneficios de hacer un mapa mental: Los mapas mentales ayudan a que el
estudio sea mucho más personalizado y adecuado a las necesidades de quien lo
elabora, además de que se sale de la “rutina” que implica estudiar de forma usual.
6
Flashcards
¿Cuándo se usa? Al igual que en el resumen se utiliza en cualquier tipo de texto.
También se utiliza como autoevaluación.
Características:
Pasos a seguir:
Si es un flaschard de resumen se procede de la misma manera que con el
resumen, pero se reduce la redacción al mínimo, utilizando abreviaturas
oficiales o no oficiales.
Si es un flashcard de pregunta y respuesta se identifica un término
específico, de un lado del flashcard se escribe una pregunta o el concepto y
Pueden ser
de dos tipos
De resumen
De pregunta
y respuesta
7
del otro lado la respuesta o definición. En este caso se elaboran muchas
flashcards para abarcar todo un tema.
Beneficios de hacer flashcards: Ayudan enormemente a la autoevaluación, y por
su tamaño se puede utilizar para estudiar en cualquier sitio.
Línea de tiempo
¿Cuándo se usa? Este es un recurso extremadamente útil, pero para detalles muy
específicos. Se utiliza en textos históricos, normalmente no incluye mucha
información, por lo que se recomienda que se realice en conjunto con otra técnica
de estudio. Sirve para tener una idea definida de en qué momento se va
desarrollando la información.
Características: Contiene fechas, lugares, nombres y demás conceptos ubicados
en épocas definidas.
Pasos a seguir: Tras recopilar los datos importantes de un texto, enlistar los datos
más relevantes en orden cronológico, realizar un bosquejo de línea en el que se
pueda ubicar dichos datos, darle el formato de preferencia e incluir únicamente los
datos relevantes.
Beneficios de realizar líneas de tiempo: Tener una idea visual del contenido de
temas o unidades completas, abarcando épocas definidas y conceptos relevantes.
8
Hacks para estudiar
Método pomodoro
Premia tus logros y celebra tus avances. Cada que domines un tema o
tengas un avance de una materia que te resulta complicado recuerda
siempre recompensarte para mantenerte motivado y contento. Come tu
golosina favorita, ve videos de YouTube o haz otras actividades pequeñas
que te hagan feliz.
9
Estudia en un sitio adecuado: Evita las distracciones excesivas. Se
recomienda que tengas un lugar fijo, como un escritorio, para estudiar
adecuadamente. También son recomendables las bibliotecas públicas, que
te proveen de escritorios y libros de consulta.
No te quedes con la duda: Cada que algo no te quede del todo claro
durante la clase pregunta a tus profesores. Si tus dudas se generan cuando
estás estudiando solo siempre apúntalas para poder investigarlas o
preguntarle a tus profesores en cuanto te sea posible.
10
Estudia periódicamente: Recuerda que la clave para aprender
significativamente es la constancia. Independientemente de la dificultad del
tema, date siempre un tiempo al día para leer brevemente tus apuntes y
repasa semanalmente lo que has aprendido.
Explica lo aprendido: Esto te permitirá identificar las dudas que no sabías
que tenías. Además de que mejorará tu ingenio, generarás e identificarás
ejemplos para poder explicarle a una tercera persona, los cuales mejorarán
tu entendimiento del tema.
Cuídate: Sabemos que estudiar es muy importante, pero la mejor forma de
que el estudio sea efectivo a largo plazo es tener una vida equilibrada.
Utiliza todas las herramientas recomendadas en este texto de forma
continua, pero procura dormir adecuadamente, convivir con tus seres
queridos, comer adecuadamente y hacer ejercicio y meditación (estos
ayudan mucho a la retentiva y enfoque). Recuerda que tu salud emocional
es primero.
11
Organízate: Utiliza un calendario, una agenda o libreta cualquiera para
plasmar todos tus objetivos a corto, mediano y largo plazo. Incluye tus
horarios y apuntes que en las libretas convencionales no harías. Puedes
basarte en un Bullet Journal, que es un híbrido entre una agenda y un
diario. Busca ideas creativas en internet e incluye todo lo que te resulte útil
y divertido para mantenerte inspirado y organizado.
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. PENSAMIENTO
MATEMÁTICO
1.1 Razonamiento Aritmético
1.2 Razonamiento Algebraico
1.3 Razonamiento Probabilístico y Estadístico
1.4 Razonamiento Geométrico
1.5 Razonamiento Trigonométrico
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.1 RAZONAMIENTO
ARITMÉTICO
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Utilizar procedimientos aritméticos (operaciones) para la solución de ejercicios y
problemas relacionados con situaciones de la vida real.
1.1.1 Jerarquía de operaciones
1.1.2 Relaciones de proporcionalidad
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
SUMA
•Mismo signo (se suman y
se conserva el signo).
•Diferente signo (Se restan y
se pone el signo del mayor).
RESTA
•Se le cambia de signo a lo
que se está restando y, a
continuación, se realiza la
suma.
MULTIPLICACIÓN
•Se multiplican los números
y se aplica la ley de signos.
DIVISIÓN
•Se dividen los números y se
aplica la ley de los signos.
UNIDAD 1.1 RAZONAMIENTO ARITMÉTICO
1.1.0 Introducción
Objetivo de sección
Ser capaz de realizar operaciones relacionadas con las bases de la Aritmética (Tablas, números
con signo, divisibilidad, leyes de exponentes).
1.1.0.1 Operaciones de números con signo
Práctica abierta
INDICACIÓN: Completa los siguientes ejercicios con base en la información anterior. Si
necesitas apoyo solicítalo al asesor.
a) 2 − 5 =
b) −5 − 7 =
c) −3 + 8 =
d) 3 + 7 − 5 =
e) 3 − (−2) =
f) −5 − (−5) =
g) (3)(−2) =
h) (−5)(−7)(−2) =
i) (+5)(−5) =
j)
−8
−2
=
k)
24
−3
=
1.1.0.2 Divisibilidad
También existe otra clasificación de números, en la cual hay dos tipos, dependiendo si es
divisible o no entre otros:
LEY DE LOS SIGNOS
• Signos iguales = Positivo
(+)(+) = + (−)(−) = +
+
+
= +
−
−
= +
• Signos diferentes = Negativo
(+)(−) = − (−)(+) = −
+
−
= −
−
+
= −
• NÚMEROS PRIMOS: Son números que tienen exactamente dos divisores; el 1 y él
mismo.
(2, 3, 5, 7, …)
• NÚMEROS COMPUESTOS: Son múltiplos de los números primos.
(4, 6, 8, 10, ...)
El 1 no es primo
ni compuesto.
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
AHORA INTENTALO TÚ…
Conociendo esta descomposición factorial podemos hacer uso de dos técnicas, el mínimo
común múltiplo y el máximo común divisor (mcm y MCD, respectivamente), muy usadas para
la resolución de problemas relacionadas con múltiplos.
Halla el mcm y MCD de:
mcm MCD AHORA INTENTALO TÚ…
2
2
2
3
5
120
60
30
15
5
1
120 = 23 ∙ 3 ∙ 5
12960
2
2
3
5
12 – 20
6 – 10
3 – 5
1 – 5
1 – 1
2
2
𝑚𝑐𝑚 = 22 ∙ 3 ∙ 5 = 60
𝑀𝐶𝐷 = 22 = 4
36-60
Comunes
12960 =
𝑚𝑐𝑚 =
𝑀𝐶𝐷 =
12 – 20
6 – 10
3 - 5
• MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (mcm): Es el número más pequeño múltiplo de
todos. Se calcula multiplicando todos los factores primos.
• MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD): Es el mayor entero común que los divide
sin dejar residuo. Se calcula multiplicando solo los factores primos comunes.
TIPS
• Un número es divisible entre 2 si su última cifra es PAR. (0,2,4,6,8)
• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es divisible entre 3.
• Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó 5.
TIPS
• Utilizaremos el mcm para resolver problemas en lo que unas situaciones se repiten en el tiempo,
vayan a coincidir, se encuentran, etc. Lo que me piden calcular será un número más alto que los
dados en el problema.
• Utilizaremos el MCD para resolver problemas en los que queremos hacer grupos, divisiones,
repartir iguales, hallar el máximo, mayor, el más grande, el más amplio, más caben, etc. Lo que
me piden calcular será un número menor que los dados en el problema.
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Estos son ejemplo de problemas en los que hay que utilizar el M.C.M. y el M.C.D.
Problema 1.
Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿En
cuántos días volverán a encontrarse?
Solución.
Si mañana empezamos a contar los días, entonces:
Alan asiste el día 20, el día 40, el día 60... Estos días son los múltiplos de 20.
Y Pedro asiste el día 38, el día 76, el día 114... que son los múltiplos de 38.
Ambos coinciden cuando asisten el mismo día, es decir, cuando asisten un día que es múltiplo
de 20 y de 38. Además, el primer día que coinciden es el mínimo de los múltiplos comunes.
Por tanto, debemos calcular el mínimo común múltiplo.
Ahora, que ya sabemos cuál es el procedimiento que debemos seguir, puedes darle solución a la
pregunta: ¿En cuántos días volverán a encontrarse?
Problema 2.
Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos
los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
Solución.
Para poder cortar ambas cuerdas en trozos iguales, la longitud de los trozos debe dividir la
longitud de ambas cuerdas. Es decir, debe ser un divisor de 120 y de 96.
Además, esta longitud debe ser la máxima. Por tanto, debemos calcular el M.C.D. de las
longitudes.
Ahora, que ya sabemos cuál es el procedimiento que debemos seguir, puedes darle solución a la
pregunta: ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.1.0.3 Exponentes
Si te aparecen ejercicios con diversos exponentes, debes conocer muy bien las reglas de los
exponentes para poder aplicarlas.
Ejercicio. Las leyes de exponentes se te presentan a continuación, escribe en el recuadro lo que
crees que significa cada una:
PRIMERA LEY SEGUNDA LEY
(𝐴𝑛)(𝐴𝑚) = 𝐴𝑛+𝑚
𝐴𝑛
𝐴𝑚
= 𝐴𝑛−𝑚
EJEMPLO:
EJEMPLO:
TERCER LEY CUARTA LEY
(𝐴𝑛)𝑚 = 𝐴𝑛×𝑚 √𝐴𝑛
𝑚
= 𝐴𝑛÷𝑚
EJEMPLO:
EJEMPLO:
QUINTA LEY SEXTA LEY
𝐴0 = 1
𝐴−𝑛
𝐵−𝑚
=
𝐵𝑚
𝐴𝑛
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Ejemplo:
Utilizando las leyes de los exponentes simplifica la siguiente expresión √25−3
Aplicamos la cuarta ley 25−3/2
Se descompone la base
(52)−3/2
Se aplica la ley de potencia de potencia: se multiplican las potencias 5−3
Al ser un exponente negativo se cambia al denominador para
convertir en positivo el exponente
1
53
Se aplican exponentes a las bases
1
125
Práctica abierta
INDICACIÓN: Utilizando las leyes de los exponentes simplifica las siguientes expresiones.
√27−2
3
{[(73)(492)−3]
−
1
4}
0
[(22)3]
1
2
20
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.1.0.4 Notación científica
Trabajar con cantidades muy grandes o muy pequeñas suele resultar complicado. La notación
científica es un modo de escribir los números de forma abreviada, facilitando el trabajo con
cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Todas las cantidades, cuando los escribimos en notación científica,
se componen de dos partes:
1. Un número que sólo contiene unidades y decimales.
2. Una potencia de base 10.
Para escribir una cantidad a su notación científica debemos hacer lo siguiente:
1. Números muy grandes (mayores que 10)
a) Ubicar el punto decimal (recuerda que, si es un número entero, el punto decimal está ubicado
al final del lado derecho).
b) Debemos correr ese punto hacia la izquierda.
c) El único dígito que queda a la izquierda del punto debe ser un número entre 1 y 9.
d) Siempre que movemos el punto decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10
será positivo y será igual al número de lugares que corramos el punto.
2. Números muy pequeños (menores que 1)
a) Ubicar el punto decimal.
b) Debemos correr ese punto hacia la derecha.
c) El único dígito que queda a la izquierda del punto debe ser un número entre 1 y 9.
d) Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10
será negativo y será igual al número de lugares que corramos el punto.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Completa la siguiente tabla, convirtiendo los
números a notación científicao viceversa.
Número Notación científica
935000000
3.34 × 10−5
0.0000123
4.56 × 105
TIP
Si quieres convertir de notación
científica a decimal, solo debes
recordar que, exponente positivo
dará un número grande y el
negativo uno pequeño.
21
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.1.1 Jerarquía de operaciones
Objetivos de sección
1. Ser capaz de resolver en menos de un minuto ejercicios relacionados con jerarquía de
operaciones(+, −,×,÷, 𝑎2, √𝑎
2
).
2. Ser capaz de resolver en menos de un minuto un problema relacionado con fracciones y
decimales.
Cuando hay varias operaciones, ¿no sabes con cuál empezar?
Es momento de superar esta barrera…
PRIMERO LA JERARQUÍA DE OPERACIONES
¿Qué operación realizar primero?
¡Es importante recordar que existen dos tipos de jerarquía!
Verticalmente Horizontalmente
¡De izquierda a derecha!
¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
Ejemplo
• Resuelve las siguientes operaciones… 6 ÷ 2(2 + 1)
• Primero, se resuelven las operaciones indicadas dentro de
los paréntesis, siguiendo la jerarquía de operaciones
correspondiente en cada uno…
6 ÷ 2(3)
• Se realizan las multiplicaciones y divisiones indicadas de
izquierda a derecha (es importante considerar cuando los
paréntesis agrupan y cuando multiplican) …
𝟑(𝟑)
• ¡Respuesta FINAL! 𝟗
Práctica abierta
INDICACIÓN: Resuelve las siguientes operaciones.
(√9 + 4 × 2)(−5 + 23) − (4 × 3 ÷ 2) − (5 + 10 ÷ 2 − 3)2
• Primero, resuelve las operaciones
indicadas dentro de los paréntesis,
siguiendo la jerarquía de operaciones
correspondiente en cada uno…
• Realiza las simplificaciones dentro de
cada paréntesis…
• Realiza las potencias indicadas…
• Realiza las multiplicaciones que
aparezcan…
• Realiza todas las sumas y restas
correspondientes…
22
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.1.1.1 Problemas que involucren operaciones con fracciones
RECORDEMOS…
¿Tienes problemas con las fracciones? Basta de tenerles miedo…
¡Es importante que recordemos las clasificaciones de las fracciones!
Fracciones propias
Numerador < Denominador
Fracciones impropias
Numerador > Denominador
Fracción mixta
Número entero y una
fracción propia
Conversiones
Equivalencias Fracción Decimal Fracción Impropia Mixta
𝟑
𝟐
=
𝟔
𝟒
=
𝟐𝟒
𝟏𝟔
= ⋯
1. Decimal exacto
𝟏
𝟐𝟎
=
𝟓
𝟏𝟎𝟎
=
𝟓
𝟏𝟎𝟐
=. 𝟎𝟓
𝟕
𝟐
= 𝟑
𝟏
𝟐
2. Decimal periódico
𝟐
𝟑
= 𝟎. 𝟔𝟔𝟔−
𝟐
𝟏
𝟑
=
𝟕
𝟑
Se multiplican (o dividen)
el numerador y el
denominador por el mismo
número.
Fracción a decimal:
División usual.
Decimal a fracción:
1. Para obtener el numerador se corre
el punto decimal hasta desaparecer
y se divide entre 10𝑛, donde n
representa el número de lugares en
el que moviste el punto decimal.
Al final, simplifico.
2. Para obtener el numerador se corre
el punto decimal hasta desaparecer
y se divide entre 10𝑛 − 1, donde n
representa el número de lugares en
el que moviste el punto decimal.
Fracción impropia a mixta
Usar la división de cajita, donde
el cociente será la parte entera,
el residuo el numerador y el
denominador se conservará.
Fracción mixta a impropia
Multiplicar el entero por el
denominador y, al resultado,
sumarlo al numerador. El
denominador se conservará.
Ejercicio.
Convertir 𝟎. 𝟏𝟗− a una fracción.
÷ 2 × 4
÷ 2 × 4
23
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Práctica abierta
INDICACIÓN: Completa la tabla según corresponda.
Equivalencias Fracción Decimal Fracción Impropia
Mixta
𝟓
𝟖
= =
𝟏𝟎
𝟐𝟓
=
𝟑𝟐
𝟓
=
𝟑
𝟏𝟎
= = = 𝟎. 𝟑 = 𝟖
𝟑
𝟓
𝟔
𝟏𝟐
= = = 𝟎. 𝟏𝟓
−
𝟒𝟓
𝟖
=
𝟕
𝟗
= =
𝟔
𝟖
=
𝟑𝟐
𝟕
=
𝟏𝟎
𝟓𝟎
= = = 𝟑. 𝟒
− = 𝟏𝟓
𝟑
𝟐
¡Recordemos algo muy importante!
Sumar y restar fracciones
A continuación, veremos tres métodos para sumar o restar fracciones.
MÉTODO 1 (Fracciones equivalentes): Lo usaremos cuando tengamos la suma o resta de dos
fracciones con denominadores que SÍ son multiplos uno de otro.
1. Identifica la fracción con denominador menor.
2. Multiplica el numerador y el denominador por el número que te hace llegar del
denominador menor al mayor.
3. Ahora tendrás dos fracciones con mismo denominador.
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟖
=
𝟒
𝟖
−
𝟏
𝟖
=
𝟑
𝟖
MÉTODO 2 (Método cruzado): Lo usaremos cuando tengamos la suma o resta de dos
fracciones con denominadores que no son múltiplos uno de otro.
1. Para encontrar el denominador de la respuesta multiplica los dos denominadores.
2. Para encontrar el numerador, multiplica cada numerador por el denominador opuesto y
después realiza la operación correspondiente.
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟑
=
𝟑 − 𝟐
𝟔
=
𝟏
𝟔
MÉTODO 3. (Mínimo común múltiplo): Lo usaremos cuando tengamos que sumar o restar
más de dos fracciones.
1. Calcular denominador común (si los denominadores son diferentes).
2. Obtener fracciones equivalentes a partir del denominador común.
3. Sumar los numeradores conservando el mismo denominador y simplificar el resultado.
𝟐
𝟑
+
𝟏
𝟓
−
𝟏
𝟔
=
𝟐𝟎 + 𝟔 − 𝟓
𝟑𝟎
=
𝟐𝟏
𝟑𝟎
=
𝟕
𝟏𝟎
mcm: Número más pequeño múltiplo
de todos aquellos que necesites.
24
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Multiplicación de fracciones
1. Multiplicar lineal (numerador con numerador y denominador con denominador) y simplificar
el resultado.
𝟔
𝟓
×
𝟐
𝟑
=
𝟔 × 𝟐
𝟓 × 𝟑
=
𝟏𝟐
𝟏𝟓
=
𝟒
𝟓
Dividir fracciones
1. Multiplicar cruzado y simplificar el resultado.
𝟔
𝟓
÷
𝟐
𝟑
=
𝟔 × 𝟑
𝟓 × 𝟐
=
𝟏𝟖
𝟏𝟎
=
𝟗
𝟓
Ejemplo de operaciones con fracciones:
1. Resuelve:
𝟓
𝟐
÷
𝟓
𝟏𝟐
−
𝟐
𝟑
×
𝟐
𝟒
=
• Se inicia realizando las multiplicaciones y divisiones
indicadas dado que no tenemos paréntesis ni exponentes…
5×12
2×5
−
2×2
3×4
=
60
10
−
4
12
• Simplificamos y realizamos operaciones con las
fracciones…
=
6
1
−
1
3
=
18−1
3
=
17
3
2. Gasté un tercio mi dinero en ir a cenar, posteriormente de lo que me quedó le regalé a
mi hermanito una quinta parte. Si inicialmente tenía $900, ¿con cuánto me quedé?
• Primeramente, hallamos el primer gasto multiplicando
por la fracción contraria pues es lo que me sobraría
(900) (
2
3
) = 600
• Ahora calculamos el segundo gasto y resultado final (600) (
4
5
) = $480
3. En una primaria hay dos salones de sexto, en el primero hay 56 estudiantes de los
cuales
𝟑
𝟒
son varones, en el segundo hay 60 y
𝟐
𝟑
son varones, ¿cuántos varones hay en el
sexto año?
• Comenzamos planteando la fórmula que nos
redacta el problema…
𝑉 =
3
4
𝐸1 +
2
3
𝐸2
• Sustituimos los valores que nos brinda el
problema y realizamos las operaciones…
𝑉 =
3
4
(56) +
2
3
(60)
= 42 + 40
= 82
Práctica abierta
INDICACIÓN: Responde las siguientes preguntas.
1. La densidad de un cuerpo se define como la razón entre su masa y su volumen, si cierto
líquido ocupa un volumen de 0.03 m3 y posee una masa de 26.7 kg. ¿De cuánto será su
densidad?
2. Fui al cine con un amigo, gasté
2
5
de dinero que llevé en entradas y
3
4
de lo que me quedó en
palomitas. Si al final me sobraron $30 pesos, ¿cuánto dinero gasté?
TIP
Para convertir un número
entero a fracción basta con
colocarle un 1 como
denominador. 𝟐 =
𝟐
𝟏
25
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
𝑥 =
14 × 80
9
= $124.44
1.1.2 Relaciones de proporcionalidad
Objetivo de sección
Ser capaz de resolveren menos de un minuto problemas que involucren proporciones, razones y
porcentajes.
Por ejemplo, si alguien tiene 20 años y otra persona 30 entonces podemos decir que la persona
mayor está a 3:2 con respecto a la persona menor. De igual forma, como fracción la razón es
3
2
.
Podemos mencionar otro ejemplo, si hablamos de una comida cuya razón de proteína y
carbohidratos se encuentra en 4:6, queremos decir que por cada 4 partes de proteína existirán 6
de carbohidratos. Dicho de otro modo, por cada 10 partes de la comida, 4 pertenecerán a
proteína y 6 de esas partes serán las correspondientes a carbohidratos.
¿Y a mí qué?
Pues existen situaciones donde si ya se conoce una razón y otra situación está basada en la
misma razón podemos encontrar datos desconocidos.
Por así decirlo; en las proporciones, conoceremos tres términos y el cuarto podrá determinarse
resolviendo una simple operación. Todo depende si la relación es directa o inversa.
Ejemplo de proporción directa
Sara vende 9 Sabritas a 80 pesos, si mañana espera vender 14 Sabritas, ¿cuánto dinero recibirá?
9 $80
14
Ejemplo de proporción inversa
Si voy pedaleando a 20 metros por segundo, tardo 15 minutos de mi casa al instituto. ¿Cuánto
tardaré si aumento la velocidad a 30 m/s?
20 m/s 15 min
30 m/s 𝑥
1. Se intercambian de posición
los datos de la columna
donde no está la variable.
Tiempo Velocidad
÷
Se multiplica en diagonal y se
divide con el dato que está
en horizontal.
$ Sabritas
Una RAZÓN es el resultado de comparar dos cantidades; en matemáticas, es el cociente de
éstas. Generalmente, se expresa a la razón entre a y b como 𝑎 ∶ 𝑏 y se lee “a es a b” o, de
igual manera, puede ser expresada como una fracción
𝑎
𝑏
.
Una PROPORCIÓN es una igualdad de dos razones o, en otras palabras, cuando dos
razones se igualan una a otra se forma una proporción.
Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras distintas:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, o bien 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑 y se lee "𝑎 es a 𝑏 como 𝑐 es a 𝑑".
Si al aumentar una variable se aumenta la otra variable podemos decir que se trata de una
PROPORCIÓN DIRECTA. Si, por el contrario, al aumentar una variable se disminuye la
otra entonces se tratará de una PROPORCIÓN INVERSA.
× 𝑥
26
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
𝑥 =
20 × 15
30
= 10 𝑚𝑖𝑛
𝑥 =
40 × 3000
30
= $4000
𝑥 =
48 × 5
15
= 16
30 m/s
20 m/s
Ejemplo de doble proporción directa
Si trabajando durante tres días por 10 horas una cantidad de trabajadores realizan una obra con
un costo de 3000. ¿Cuál será el costo de la obra trabajando durante 5 días de a 8 horas diarias?
3
5
Ejemplo de doble proporción inversa
Si 8 personas trabajando 6 horas realizan un trabajo en 5 días,
¿cuántos días tardarán en realizar el mismo trabajo si son solo
3 personas trabajando 5 horas?
8 6 5
3 5 𝑥
3
8
Práctica abierta
INDICACIÓN: Resuelve el siguiente problema.
Tres mangueras llenan un depósito de 350 m3 en 16 horas. ¿Cuántas horas son necesarias para
llenar un depósito de 1000 m3 con cinco mangueras?
Persona
s
Horas Días
1. Multiplicamos (por fila) los
valores de las columnas que
no contienen a la variable.
1. Se intercambian de posición
los datos de las columnas
donde no está la variable.
Días Horas $
2. Se multiplica en diagonal y
se divide con el dato que
está en horizontal.
3.
Tiempo Velocidad
×
÷
15
𝑥
×
10
8
3000
𝑥
30
40
3000
𝑥 ×
÷
2. Se multiplica en diagonal y se
divide con el dato que está
en horizontal.
3.
Días × Horas $
Persona
s
Horas Días
2. Multiplicamos (por fila) los
valores de las columnas que
no contienen a la variable.
3.
×
5
6
5
𝑥
Personas × Horas Días
15
48
5
𝑥
3. Se multiplica en diagonal y
se divide con el dato que
está en horizontal.
4.
×
÷
En caso de tener una
proporción mixta, se
compararán cada
una de las columnas
con la columna de la
variable y se
realizará el mismo
procedimiento que
en las dobles
proporciones.
¡Importante!
27
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Porcentajes
La manera de representar los porcentajes es la siguiente:
1) Si deseas obtener el porcentaje de algún valor lo único que debes hacer es multiplicar por
dicho porcentaje en decimal. Por ejemplo:
Si una TV cuesta $345 y le aumentamos el 20% ¿Cuánto dinero le estoy aumentando?
($𝟑𝟒𝟓)(𝟎. 𝟐𝟎) = $69
2) Si deseas conocer qué porcentaje equivale una cantidad con respecto a un total deberás
dividir la cantidad que desees conocer entre el total. Por ejemplo:
En una granja de 400 animales, 100 son hembras. ¿Qué porcentaje de machos hay?
300/400 = 0.75 = 75%
3) Si conoces la equivalencia de un porcentaje de una cantidad y quieres conocer el 100%
deberás dividir la cantidad entre el porcentaje y obtendrás el 100%. Por ejemplo:
Si vendo un celular en $2500, gano el 25%. ¿Cuánto me costó (100%)?
2500/1.25 = $2000
Es necesario considerar las siguientes sugerencias dependiendo del caso:
PARA OBTENER UN
PORCENTAJE (%)
PARA OBTENER UN
DESCUENTO (-%)
PARA AUMENTAR UN
PORCENTAJE (+%)
Multiplica la cantidad total por
el decimal del porcentaje
requerido.
Multiplica la cantidad total por
el porcentaje en decimal de lo
que te falta para llegar a 100%.
Multiplica la cantidad total por
uno punto y el porcentaje en
decimal.
Ejemplo: Calcula cuánto es el
20% de 100 alumnos
Ejemplo: Descontar un 20% a
un pantalón de $350.
Ejemplo: Aumentar el 16% a un
producto de $200
(100)(0.20)=20 ($350)(0.80)=$280 ($200)(1.16)=$232
Práctica abierta
INDICACIÓN: Contesta las siguientes preguntas.
¿Qué porcentaje del área de la siguiente figura
está sombreada?
Una pizza, que contiene 12 pedazos, es
dividida de la siguiente manera: 25% para mi
papá,
2
8
para mi mamá, 2 pedazos para mi
hermanita. ¿Qué porcentaje me quedó de la
pizza?
Porcentaje Fracción Decimal
10% 10/100 0.10
8% 8/100 0.08
Un PORCENTAJE es un número que representa la comparación en la cual está cierta
cantidad con respecto a una totalidad.
28
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. ¿Cuál es el resultado de (3 − 8) + [5 − (−2)]?
a)4
b)2
c)6
d)10
2. ¿Cuál es el resultado de 9: [6: (−2)]?
a) -9/4 b) 3 c) ¾ d) -3
3.Una expresión equivalente a 4−
1
2=
a) 1/2 b) -4 c) -1/2 d) 1/4
4. ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en él los
6
7
del contenido?
a) 8 b) 480 c) 240 d) 80
5. ¿Cuál es el resultado de
8
3
−
2
6
+
4
12
?
a) 10/12 b) 8/3 c) 10/9 d) 14/3
6. ¿Cuál es el resultado de (5 + 3 · 2: 6 − 4) · (4: 2 − 3 + 6): (7 − 8: 2 − 2)2?
a) 5/3 b) 10 c) 5 d) -50/3
7. ¿Cuál es el resultado de (
50
15
)
2
?
a) 3 b) 100 c) 100/9 d)10/3
8. ¿Cuál es el resultado de {5 − [(3 − 12) ÷ 3]} − 4 × 3?
a)-14 b) -6 c) -12 d) -4
9. ¿Cuál es el resultado de (7 − 10) ÷ 3 + (4 + 2) − 5 × 2?
a) -5 b) 0 c) -1/3 d) -11
10. Una expresión equivalente a 16−
3
4 es:
a) ¼ b) 1/8 c) 1/2 d) -1/4
11. Si 𝑥 < 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a)
1
𝑥
> 0 b) 𝑥 − 5 > 0 c)
1
𝑥
< 0 d) 𝑥 + 5 < 0
12. La posición de un cuerpo en caída libre (partiendo del reposo) es igual a la mitad de su aceleración
multiplicada por el tiempo elevado al cuadrado. Si en un planeta la aceleración de la gravedad es igual a 3
m/s2y un objeto ha caído durante 6.5 segundos, ¿cuántos metros ha recorrido?
a) 63.375 b) 190.125 c) 126.65 d) 380.25
13. Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros: uno tarda 6 días en ir y regresar a su
punto de inicio, el segundo tarda 8 días y el tercero tarda 10 días. Si los tres cruceros partieron al mismo
tiempo hace 39 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros?
a) 120 b) 60 c) 81 d) 2
14. ¿Qué cantidad resulta de 7.69 x 10 -5?
a) 0.00769
b) 0.000769
c) 0.0000769
d) 0.00000769
15. ¿Cuál es el número primo común y menor en la descomposición de 9, 15 y 24?
a) 2 b) 3 c)1 d) 9
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.1.1 JERARQUÍA DE OPERACIONES
29
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. Si descuento el 15% de 40 obtenemos:
a) 60 b) 34 c) 6 d) 0.6
2. Una camisa de $280 se le descuenta el 16% de descuento y se le aumenta el 16% de IVA ¿Cuál es
el nuevo precio de la camisa?
a)169.12
b)272.83
c) 280
d) 291.99
3. Si 4 libros cuestan $20, ¿cuánto cuesta 3 docenas de libros?
a) 80 b) 60 c) 180 d) 240
4. ¿Qué porcentaje de descuento se ha aplicado a un producto que costaba $5000 y por el que se pagó
finalmente $3250?
a) 20% b) 35% c) 65% d) 12%
5. El primer día de clases, había 835 alumnos en una secundaria; al finalizar la semana eran ya 1002.
¿En qué porcentaje aumentó la población de esa escuela?
a)83.33%
b) 20% c)120%
d)140%
6. Una torre de 25.05m da una sombra de 33.40m. ¿cuál será, a la misma hora, la sombra de una
persona cuya estatura es de 1.80m?
a) 2.8m b) 0.9m c) 3.6m d) 2.4m
7. Los
2
5
de capacidad de un estanque son 500 litros. ¿cuál será la capacidad de los
3
8
del mismo
estanque?
a)468
3
4
litros
b)224
2
5
litros
c)489
3
4
litros
d)448
3
8
litros
8. En una tienda tienen una oferta de 20% de descuento si se compran los iPhone arriba de 3 piezas al
precio final. Si el precio de cada IPhone es de $12,000 y aumentan 7% el precio. ¿Cuál sería el costo
de 5 piezas?
a) $12,976
b) $30,816
c) $51,360
d) $42,965
9. Cuatro agricultores recolectan 10,000 kg de cerezas en 9 días, ¿cuántos kilos recolectarán seis
agricultores en 15 días?
a) 20,000
b) 4,000
c) 9,000
d) 25,000
10. Dos individuos arriendan una finca. El primero ocupa los
5
11
de la finca y paga $6,000 de alquiler
al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo?
a) $5,400
b) $7,600
c) $5,800
d) $7,200
11. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Sí
hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habría terminado la obra?
a) 12 días
b) 20 días
c) 16 días
d)22 días
12. Una deuda de $850 se reduce a $816. ¿qué % de rebaja se ha hecho?
a) 4% b) 34% c) 96% d) 10%
13. Si me rebajan el sueldo en 20% quedo ganando $1,040 mensual ¿cuánto gano ahora?
a) $1,500
b) $1,300
c) $2,080
d) $1,650
14. Si me aumentan el 10% de mi sueldo ganaría $1,375. ¿Cuánto ganó ahora?
a) $1,050
b) $1,300
c) $1,250
d) $1,100
15. ¿Qué número aumentado en 32% equivale a 792?
a) 714 b) 750 c) 450 d) 600
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.1.2 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD
30
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. ¿Cuál es el resultado de 3 − 4(18 − 12) + 150 ÷ 50 − 2?
a)
2
3
b) 3
c) -20
d)
59
16
2. ¿Cuál es el resultado de (5 × 4 × 3) ÷ (15 − 3) + 18 ÷ (11 − 5)?
a) 12 b) 8 c) -8 d) -20
3. ¿Cuál es el resultado de (30 − 20) ÷ 2 + (6 × 5) ÷ 3 + (40 − 25) ÷ (9 − 6)?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 15
4. Si tengo $
7
8
. ¿Cuánto me falta para tener $1?
a) 7/8 b) 1/4 c) 1/16 d) 2/16
5. ¿Cuál es el resultado de 8 + 4 ÷ 2 × 3 − 4 ÷ (2 × 2)?
a) -5 b) 7.66 c) 14/4 d) 13
6. Pedro ha estudiado 3
2
3
hr, Enrrique 5
3
4
hr y Juan 6hr. ¿Cuántas horas exactas han estudiado los tres
juntos? NOTA: Solo considera la parte entera de la respuesta pues es lo que piden.
a) 15 b) 13 c) 16 d) 14
7. Tengo $6
3
5
. ¿Cuánto me falta para tener $8
1
6
?
a) 1
17
30
b) 2
c) 2
17
30
d) 1
8. ¿Cuál es el resultado de (9 + 3)5 − 2 ÷ (3 − 2) + 8 × 6 ÷ 4 ÷ 2 + 5?
a) 71 b) 69 c) 75 d) -69
9. ¿Cuál es el resultado de [8 − (−2)(−4)][(15 − 2)4 + 3(6 ÷ 3) − 18 ÷ (10 − 1)]?
a) 56 b) 58 c) 46 d) 0
10. Si empleo
5
8
del día en trabajar; ¿qué parte del día dedico a realizar otras actividades?
a) 1/2 b) 3/8 c) 3/2 d) 3/4
11. Perdí
1
5
de mi dinero y presté
1
8
de lo que quedaba. ¿qué parte de mi dinero me queda?
a) 10/7 b) 8/10 c) 7/10 d) 10/8
12. ¿Cuál es el resultado de 300 ÷ [(15 − 6) ÷ 3 + (18 − 3) ÷ 5]?
a) 50 b) 14/3 c) 25 d) 60
13. ¿Cuál es el resultado de 72 ÷ 8 + 3 − 4 × 2 ÷ 4 + 6?
a) 10 b) 16 c) 19 d) 25
14. ¿Cuál es el resultado de 9[15 ÷ (6 − 1) − (9 − 3) ÷ 2]2?
a) 1 b) 10 c) 9 d) 0
15. ¿Cuál es el resultado de [15 + (8 − 3)5] ÷ [(8 − 2) ÷ 2 + 7]?
a) 8 b) 4 c) 18 d) 9/5
16. ¿Cuál es el resultado de [(9 − 4) ÷ 5 + (10 − 2) ÷ 4] + 9 × 6 ÷ 18 + 2?
a) 15 b) 16 c) 8 d) 35
17. ¿Cuál es el resultado de 5(10)2 − {(6 − 1)8 ÷ 4 × 3 + 16 ÷ (10 − 2)} − 5?
a) 421 b) 125 c) 984 d) 463
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.1.1 JERARQUÍA DE OPERACIONES
31
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
18. El área de una esfera equivale al cuádruplo del área de una circunferencia con el mismo radio, la cual
podemos definir como el producto de pi por el cuadrado del radio. ¿Cuál será el área de una esfera con
radio de 6.3 cm?
a) 315.64 b) 741.28 c) 782.34 d) 498.76
19. ¿Cuál es el resultado de [50 + 15 ÷ 5 × 3 − 9 ÷ 3 × 4 + 6 × 4 ÷ 6]0?
a) 1 b) 0 c) 65 d) 51
20. Si $
7
8
cuesta el kilogramo de mercancía, ¿cuánto valen 8kg, 12 kg?
a) $6, $10.5 b) $7, $11.5 c) $6, $11.5 d) $7, $10.5
21 ¿Cuál es el resultado de (−9)2 − (2)3?
a) -89 b) 73 c) 71 d) -24
22. ¿Cuál es el resultado de (−2)3 − 23?
a) 0 b) 16 c) -16 d) 8
23. Un reloj se adelanta
3
7
de minuto en cada hora. ¿Cuánto se adelantará en 5 horas?
a) 7/15 b) 15/7 c) 3/2 d) 2/3
24. ¿Cuál es el resultado de
5
7
×
3
4
÷
3
4
?
a) 5/7 b) 80/63 c) 15/7 d) 112/45
25. Si 0 < 𝑦 < 1, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) 3𝑦 − 1 > 0
b) 𝑦2 > 1
c) 𝑦 − 1 > 0
d)
1
𝑦
> 1
26. ¿A qué es igual 3,510,000?
a) 3.51 x 10 6
b) 35.1 x 10 6
c) 351 x 10 6
d) 0.351 x 10 6
27. ¿A qué es igual 0.0023?
a) 23 x 10 3
b) 2.3 x 10 -3
c) 0.023 x 10 3
d) 2.3 x 10 3
28. ¿A qué es igual 2.5 x 104?
a) 25,000 b) 250,000 c) 2,500 d) 250
29. La media o promedio de una cantidad se calcula sumando las cantidades y dividiendo entre el número
de cantidades. Si una persona compra 2/3kg de naranja el lunes, 0.750kg de naranja el miércoles y 1
1
6
𝑘𝑔
de naranja el viernes. ¿Cuál es el promedio de kg de naranja que compró esa persona en la semana?
a) 2 b)
3
2
c) 1
2
3
d) 0.86
30. Una expresión equivalente a 322/5 es:
a)
16
3
b)
4
2
c)
8
2
d)
14
2
31. Al simplificar √12 se obtiene:
a) 24 b) 2√3 c) √3 d) 12
32. La simplificación de 7√24
3
es:
a) 4√3
b) √3
3
c)14 √3
3
d) √3
33. ¿Qué número es menor?
a) 253
b) 512
c)(53)5
d) 1,953,125
34. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los
7
18
del total. ¿cuántos varones hay?
a) 146 b) 126 c) 78 d) 198
32
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
35. La cantidad de pintura que gasta un pintor se calcula con el doble de la quinta parte del producto
de las horas que le tomará pintar una pared por el área que pintará. Si en cierto día pinta durante 9/4
horas un área de 512/13 𝑚2 ¿Cuántos litros necesitará elpintor?
a) 35.44 litros b) 20 litros c) 42.13 litros d) 12.22 litros
36. ¿Cuál es el número en común más grande que divide a 15, 18, 51?
a) 1 b) 15 c) 3 d) 5
37. ¿Cuál es el número primo más grande que divide a 315?
a) 3 b) 7 c) 15 d) 9
38. Una tienda vende vasos en paquetes de 6 y platos en paquetes de 8. Sara está organizando una
fiesta de cumpleaños para su hermanita y quiere tener el mismo número de cada artículo. ¿Cuál es el
menor número de paquetes de platos que Sara necesita comprar?
a) 24 b) 3 c) 4 d) 48
39.Daniel y Matías compraron 40 y 32 caramelos, respectivamente, para una fiesta de cumpleaños.
Quieren repartirlos entre todos los invitados de modo que cada uno da el mismo número de caramelos
a cada persona, pero que todos los invitados tengan el mismo número de caramelos y sea máximo.
¿Cuál es el número máximo de invitados que deben asistir para que ninguno se quede sin caramelos?
a) 8 b) 7 c) 5 d) 9
40. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20 y 36, en cada caso, da de residuo
9?
a) 180 b) 189 c) 69 d) 117
33
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. Encuentra cuánto me costará una pantalla plana que recibirá el 25% de descuento si ahora cuesta
$12,580.
a) 9,435 b) 3,145 c) 10,046 d) 15,725
2. María compró, en una venta de saldos, mercancía por $4,375. Si al vender esa mercancía obtuvo una
cantidad de $5,425 ¿Qué porcentaje obtuvo de ganancia?
a) 19.35% b) 124% c) 24% d) 80.65%
3. En un frasco de jarabe caben 3/8 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y medio
de jarabe?
a) 10 b) 12 c) 15 d) 8
4. Un camión cubre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera hora hacen 3/8 del
trayecto, en la segunda los 2/3 de lo que le queda y en la tercera los 80 km. Restantes. ¿Cuál es la
distancia total recorrida?
a) 384 b) 101.05 c) 1945/24 d) 256
5. De un depósito de agua se saca un tercio del contenido y, después 2/5 de lo que quedaba. Si aún quedan
600 litros. ¿Cuánta agua había al principio?
a) 1,200 litros b) 900 litros c) 1,500 litros d) 1,000 litros
6. ¿Cuántas botellas de 3/4 de litro se pueden llenar con una garrafa de 30 litros?
a) 20 b) 40 c) 30 d) 22.5
7. Un vendedor despacha por la mañana las 3/4 partes de las naranjas que tenía. Por la tarde vende 4/5 de
las que le quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas. ¿Cuántos kg tenía?
a) 1,000 kg b) 2,000 kg c) 500 kg d) 1,200 kg
8. 8 llaves abiertas por 12 horas diarias han vertido agua por un valor de $240 ¿Qué costo de agua tendrá
con 12 llaves abiertas 15 horas diarias durante el mismo periodo?
a) $120 b) $500 c) $420 d) $450
9. De un depósito que estaba lleno se han sacado 2/3 del total y después un quinto del total. Sabiendo que
aún quedan 400 litros, ¿cuál es la capacidad del depósito?
a) 1,500 litros b) 1,200 litros c) 2,000 litros d) 453.33 litros
10. Los 2/7 de los vecinos de la casa de Ángel son Yucatecos y la cuarta parte de éstos son de Izamal.
Sabiendo que hay seis vecinos de Izamal. ¿Cuántos vecinos tiene Ángel?
a) 84 b) 42 c) 24 d) 12
11. Tres amigos organizan una colecta para jugar a la lotería y cada uno aporta $23, $34 y $41. Si ganan
el premio mayor $120,000 ¿Cuánto le tocará al que dio menos de manera proporcional a lo dado al inicio?
a) $28,163 b) $12,123 c) $21,299 d) $53,124
12. Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno.
Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de
esos toneles?
a) 800 b) 100 c) 50 d) 20
13. 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en
hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
a) 12 días b) 10 días c) 30 días d) 33.75 días
14. He gastado las tres cuartas partes de mi dinero y me quedan $900. ¿Cuánto tenía?
a) 1,575 b) 900 c) 2,700 d) 3,600
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.1.2 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD
34
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
15. Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para
realizar el mismo trabajo?
a) 1 día b) 2 días c) 4 días d) 144 días
16. Un hortelano planta 1/4 de su huerta de tomates, 2/5 de alubias y el resto, que son 280 m2, de patatas.
¿Cuál es la superficie total de la huerta?
a) 560 b) 98 c) 1120 d) 800
17. En 20 días, un viajero caminando 10 h diarias recorrió 1240 km. ¿cuántos kilómetros recorrerá en 15
días caminando 11 h diarias?
a) 93 km b) 1023 km c) 1000km d)102.3km
18. El paso de cierta persona equivale a 7/8 de metro. ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer una distancia
de 1 400 m.?
a) 2,400 b) 1,500 c) 1,600 d) 1,650
19. Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá
alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
a) 92 días b) 22 días c) 45 días d) 90 días
20. Un hombre ahorró el año pasado $16,900, que era el 13% de sus ganancias en el año. ¿Cuánto ganó
en el año?
a) 100,000 b) 80,000 c) 130,000 d) 150,000
21. Si gastará $51,000 me quedaría con un 85% de lo que tengo. ¿Cuánto tengo?
a) 340,000 b) 360,000 c) 150,000 d) 180,000
22. Un ganadero vendió 36% de sus reses y se quedó con 160. ¿Cuántas tenía?
a) 100 b) 250 c) 300 d) 276
23. Sí recibiera una cantidad igual a 30% de lo que tengo, tendría $65. ¿Cuánto tengo?
a) 15 b) 85 c) 60 d) 50
24. Si gastará una cantidad igual a 30% de lo que tengo me quedaría con $63. ¿cuánto tengo?
a) 100 b) 93 c) 90 d) 75
25. ¿Qué número disminuido en 38% equivale a 372?
a) 600 b) 850 c) 410 d) 550
26.Vendiendo un libro por $144 se gana 20% del costo. ¿Cuánto costó el libro?
a) 150 b) 110 c) 125 d) 120
27. Vendiendo un libro por $112 se pierde 30% del costo. ¿Cuánto costó el libro?
a) 160 b) 110 c) 125 d) 120
28. ¿A cuánto hay que vender lo que ha costado $210 para ganar 30% del costo?
a) 280 b) 273 c) 258 d) 247
29. ¿A cuánto hay que vender lo que ha costado $238 para ganar 15% de la venta?
a) 280 b) 273 c) 258 d) 247
30. A una fiesta asisten 84 personas de las cuales 50 son mujeres. Sabemos que 13 hombres fueron
acompañados y el resto de los hombres fueron solos, ¿qué porcentaje de los asistentes a la fiesta son
hombres que fueron solos?
a) 33% b) 50% c) 75% d) 25%
31. A la velocidad de 30 km/h un automóvil emplea 8
1
4
horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo
menos hubiera tardado si la velocidad hubiera sido triple?
a) 5
1
2
b) 5
3
4
c) 3
1
2
d)
23
34
35
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
32. Una mesa tiene 6m de largo y 1.50m de ancho. ¿cuánto debe disminuir la longitud para que, sin variar
la superficie, el ancho sea de 2m?
a) 2.70 m b) 1.85 m c) 1.50 m d) 2.35 m
33. Ganando $3.15 en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido $945?
a) 200 m b) 250 m c) 300 m d) 350 m
34. Una guarnición de 1,300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10
días más; ¿cuántos hombres habrá que bajar de la guarnición? Nota: Considere que cada mes tiene 30
días.
a) 150 b) 180 c) 125 d) 100
35. Se vende un reloj en $150. Sí se hubiera vendido en 15 más se hubiera ganado 20. ¿Cuál hubiera sido
el % de ganancia sobre el precio de venta?
a) 13.33% b) 12.12% c) 0.12% d) 29%
36. Un hombre gasta al año 45% de su sueldo anual y ahorra $6,600. ¿cuál es su sueldo anual?
a) 18,000 b) 15,500 c) 14,250 d) 12,000
37. Un muchacho que tenía $12 compró una pelota y le quedaron $1.5. ¿Qué porcentaje de su dinero
gastó?
a) 12.5% b) 87.5% c) 10.5 % d) 1.5%
38. Dos númerosestán en la relación de 19 a 17. Sí el menor es 289, ¿cuál es el mayor?
a) 343 b) 333 c) 323 d) 313
39. Al vender cierto número de computadoras por $4,500 ganó $6 en cada $100. ¿Cuánto me costaron las
computadoras?
a) $4,250 b) $5,550 c) $4,230 d) $3,500
40. Una calle de 50m de largo y 8m de ancho se halla pavimentada con 20,000 adoquines. ¿Cuántos
adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle de doble de largo y cuyo ancho es los
3
4
del ancho
anterior?
a) 10,000 b) 18,750 c) 29,350 d) 30,000
41. Dos hombres han cobrado $350 por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20
días a razón de 9 horas diarias y recibió $150. ¿Cuántos días, a razón de 6 horas diarias, trabajó el
segundo?
a) 35 días b) 45 días c) 40 días d) 28 días
42. Dos obreros ajustan una obra por $1,100; la jornada de trabajo del primero es $30 y el segundo $25.
¿Cuánto recibirá cada uno de la cantidad total?
a) 450 y 325 b) 450 y 600 c) 600 y 500 d) 500 y 450
43. Cuatro hombres han realizado una obra en 90 días. El primero recibió $500, el segundo $400, el
tercero $600 y el cuarto $300. ¿cuántos días trabajo cada uno?
a) 35, 15, 20 y 15
b) 25, 20, 30 y 15
c) 35, 15, 20 y 20
d) 30, 25, 25, 10
44. ¿cuál es el % de pérdida sobre el costo si se vende por $171,000 un auto que costó $180,000?
a) 7.5% b) 5% c) 12.5% d) 2.5%
45. No quise vender mi computadora cuando me ofrecían por ella $3,840, con lo cuál hubiera ganado
28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3,750. ¿Qué % del costo gané al hacer la
venta?
a) 27.5% b) 22.5% c) 25% d) 15%
46. La edad de García es 32% menos que la de Suárez. Sí García tiene 34 años ¿qué edad tiene Suarez?
a) 50 b) 48 c) 45 d) 51
36
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
47. En un centro deportivo se practican 4 deportes: futbol, baloncesto, natación y tenis. Se sabe que hay
135 personas inscritas en total: 45 a futbol, 23 a baloncesto, 40 a natación y el resto a tenis. ¿Qué
porcentaje de las personas inscritas practican tenis?
a) 0.27% b) 27% c) 20% d) 2%
48. Al vender un libro perdiendo $80, la pérdida sufrida es 40% del costo. ¿cuánto costó el libro?
a) 150 b) 175 c) 200 d) 240
49. Una persona que tenía $95,000 gastó el 14% y dio prestado el 15% del resto. ¿cuánto le queda?
a) 65,870 b) 69,445 c) 78,050 d) 73,350
50. Dos obreros cobran $870 por una obra que hicieron entre los 2. El primero trabajó 8 días y el segundo
6 días y medio. ¿cuánto recibirá cada uno proporcionalmente?
a) 500 y 370 b) 400 y 470 c) 520 y 350 d) 480 y 390
37
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.1.1 Jerarquía de operaciones
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. El resultado de efectuar la operación 5124/6es
a)
1
512
b)
4
64
c) 64
d) 512
2. La cantidad de litros de agua que cae durante una lluvia torrencial se calcula multiplicando
los minutos transcurridos por un cuarto del cuadrado del área de interés. Si llueve una hora en
un patio de 4 𝑚2, ¿cuántos litros caen?
a) 60 b) 240 c) 3,600 d) 3,840
3. ¿Cuál de los siguientes incisos es un equivalente a √16
3
?
a) √22
3
b) 2 √2
3
c) 8
d) 2√3
3
4. Ordena las siguientes fracciones de menor a mayor
I.
1
2
−
1
4
II.
1
2
+
1
4
III.
1
2
×
1
4
IV.
1
2
÷
1
4
a) I, II, III, IV b) IV, III, II, I c) III, I, II, IV d) III, IV, II, I
5. Sea 𝑎 un número entero tal que 𝑎 > 1, entonces ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
correcta:
a)
1
𝑎
> 1
b)
𝑎
1
< 0
c)
1
𝑎
= 1
d)
1
(𝑎−1)
≤ 1
6. Enlista el orden con el cual se realiza la jerarquía de operaciones:
1) Suma y Resta 2) Multiplicación y División 3) Paréntesis 4) Potencias y raíces
a) 1) 2) 3) 4) b) 4) 3) 2) 1) c) 3) 4) 2) 1) d) 4) 2) 1) 3)
7. ¿Cuál es el valor de la siguiente operación: [(−8 − 13) ÷ (−5 + 2)](−7 + 3)?
a) 12 b) -28 c) 28 d) 15
8. ¿Qué operaciones aritméticas deben ir en los espacios para obtener el número de la derecha?
3___5___2___1___12___6 = −8
a) −, 𝑥, +, −, 𝑥 b) 𝑥, −, +, −,÷ c) −, 𝑥, −, +, −,÷ d) −, 𝑥, +, −,÷
9. Si en mi Facebook tengo 1700 amigos y por enviar mensajes molestos pierdo dos grupos de
amigos: uno de 1/4 del total y otro de 2/5 del resto. ¿Cuántos amigos quedan?
a) 765 amigos b) 487 amigos c) 787 amigos d) 170 amigos
10. ¿Cuál es la operación de mayor valor?
a) 333
b) 813
c) 279
d) (32)3
38
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.1.2 Relaciones de proporcionalidad
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1- Un coche circulando a 87 𝑘𝑚/ℎ ha tardado 13 horas en realizar un viaje. ¿Cuánto tiempo
tardará en el mismo trayecto a una velocidad de 100 𝐾𝑚/ℎ?
a) 14.94hrs b) 11.31hrs c) 15.5hrs d) 10.43hrs
2- Si al aumentar una variable dentro de una igualdad de razones se ___________ la otra
variable entonces podemos decir que se trata de una proporción ____________
a) disminuye-directa
b) iguala -ecuación
c) aumenta-inversa
d) disminuye-inversa
3- En una tienda de ropa para dama se exhibe un letrero que dice:
Si una blusa cuesta $230.00. ¿Cuál es el porcentaje de ahorro al comprar dos
blusas?
a) 50% b) 20% c) 33% d) 25%
4- Si una tienda vende $540 obtiene $120 de ganancia. Si mañana obtiene $150 de ganancia
¿Cuánto vendió esa tienda?
a) $675 b) $760 c) $33.33 d) $700
5- Tres hermanos de 20, 28 y 32 años reciben una herencia de $325,000 si la dividirán
proporcional a sus edades- ¿cuánto le toca al más grande?
a) $240,000 b) $135,000 c) $130,000 d) $100,000
6- Erik pierde $2, o lo que es lo mismo el 4% del total. ¿Cuánto dinero tenía?
a) $60 b) $50 c) $40 d) $55
7- Un niño compra naranjas a 3 por 1 peso y las vende a 5 por 2 pesos. Para ganar 10 pesos,
¿cuántas naranjas debe vender?
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200
8- Si una cantidad es aumentada en 10% y después se le descuenta el 10% ¿Qué resultado se
obtiene?:
a) El resultado es Mayor
b) El resultado es Menor
c) El resultado es igual
d) No se puede saber porque no se conoce la cantidad
9- Se necesitan 6 hombres durante 3 días trabajando 4 horas diarias para construir una piscina
rectangular. ¿Cuántos días se necesitarían si son 3 hombres trabajando, 3 horas diarias para
construir la misma piscina?
a) 1 día b) 8 días c) 3 días d) 10 días
10- La edad de un padre está en razón 6 a 2 con respecto a la edad de su hijo. Si el papá tiene 30
años, ¿qué edad tenía cuando nació su hijo?
a) 40 b) 12 c) 10 d) 20
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
RESPUESTAS
1.1 PENSAMIENTO ARITMÉTICO
1.1.1 JERARQUIA DE OPERACIONES
1 b 4 d 7 c 10 b 13 c
2 d 5 b 8 d 11 c 14 c
3 a 6 b 9 a 12 a 15 b
1 c 6 a 11 c 16 c 21 b 26 a 31 b 36 c
2 b 7 a 12 a 17 d 22 c 27 b 32 c 37 b
3 b 8 b 13 b 18 d 23 b 28 a 33 a 38 b
4 d 9 d 14 d 19 a 24 a 29 d 34 d 39 d
5 d 10 b 15 b 20 d 25 d 30 c 35 a 40 c
1.1.2 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD
1 c 4 b 7 a 10 d 13 b
2 b 5 b 8 c 11 c 14 c
3 c 6 d 9 d 12 a 15 d
1 a 6 b 11 a 16 d 21 a 26 d 31 a 36 d 41 c 46 a
2 c 7 b 12 c 17 b 22 b 27 a 32 c 37 b 42 c 47 c
3 b 8 d 13 d 18 c 23 d 28 b 33 c 38 c 43 b 48 c
4 a 9 a 14 d 19 b 24 c 29 a 34 d 39 c 44 b 49 b
5 c 10 a 15 c 20 c 25 a 30 d 35 b 40 d 45 c 50 d
EVALUACIÓN 1.1.1 JERARQUIA DE OPERACIONES
1 c 3 b 5 d 7 b 9 a
2 b 4 c 6 c 8 d 10 d
EVALUACIÓN 1.1.2 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD
1 b 3 d 5 c 7 c 9 b
2 d 4 a 6 b 8 b10 d
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Ejercicios
complementario
s
Ejercicios
complementarios
Ejercicios de práctica
Ejercicios de práctica
40
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2 RAZONAMIENTO
ÁLGEBRAICO
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Utilizar procedimientos algebraicos (Simplificación y resolución de ecuaciones)
para la solución de problemas relacionados con cantidades desconocidas de situaciones de
la vida real.
1.2.1 Expresiones Algebraicas
1.2.2 Procesos de Simplificación
1.2.3 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
1.2.4 Representaciones Graficas
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
UNIDAD 1.2 RAZONAMIENTO ALGEBRAICO
1.2.1 Expresiones Algebraicas
Objetivo de sección
Ser capaz de responder la pregunta: ¿Cómo funciona el álgebra? ¿Cómo se plantea un problema en
una expresión algebraica?
El álgebra, ¿para qué?
La principal función del álgebra es resolver problemas con una o dos
cantidades numéricas desconocidas que no podamos resolver
mentalmente. De manera inicial, necesitas aprender cómo funciona.
La idea de manejar símbolos numéricos y alfabéticos es que es que facilita plantear y resolver
problemas donde interesa hallar cantidades desconocidas, a partir de algunas conocidas.
Además de números y letras, en álgebra se emplean tres tipos de signos:
De operación: +, −, /, ∙
De relación: =, >, <, ≤, ≥
De agrupación: ( ), { }, [ ]
Dado que las ecuaciones están formadas por términos algebraicos hay que responder la
pregunta: ¿Qué es un término algebraico?
El término algebraico es la unidad más simple de la cual se componen las expresiones
algebraicas.
En una expresión algebraica los términos están separados por los signos de (+ ó −) dependiendo
del número de términos y su grado, las expresiones algebraicas se denominan como sigue:
SUMA
•Juntar o adicionar
RESTA
•Quitar o Comparar
MULTIPLICACIÓN
•Doble (2x), Triple (3x),
Cuádruple (4x), Quíntuple (5x),
Séxtuple (6x),...
DIVISIÓN
•Mitad (x/2), Tercera Parte (x/3),
Cuarta parte (x/4), Quinta parte
(x/5),...
−4𝑥3
Un término algebraico representa el producto
o cociente de un número con signo
(coeficiente) con una(s) letra(s) (literal)
elevada a alguna potencia (exponente).
Muy importante:
Si el signo del primer término es
positivo NO SE PONE.
Si el coeficiente o el exponente es 1
NO SE PONE.
Exponente
Signo
Literal Coeficiente
43
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
No. de términos
algebraicos
Nombre Ejemplo Grado
1 Monomio −2𝑥𝑦2 3
2 Binomio 5𝑦3 − 4𝑥𝑧2𝑤3 6
3 Trinomio 5𝑦3 − 𝑥 + 4 3
4 o más Polinomio −4𝑦3 + 2𝑥 − 3𝑦 + 4 3
*El grado Absoluto de una expresión algebraica es el grado mayor de entre todos los
términos. El grado de un término se obtiene sumando los exponentes de las literales.
Por ejemplo: si queremos expresar de forma general la suma de dos números cualesquiera, basta
con escribir 𝑎 + 𝑏; donde la letra 𝒂 𝒚 𝒃 indican dos números cualesquiera.
Practica abierta:
INDICACIÓN: Completa las celdas que hagan falta con la expresión algebraica que represente el
enunciado de la izquierda:
a) El triple de la edad de Pedro es 20
b) El área de un cuadrado de lado 𝒃 es 16
c) Tres artículos diferentes costaron 30 pesos
d) El quíntuplo de la tercera parte de un número más su mitad
equivale al triple del mismo número
e) La diferencia del peso entre Juan y Mario es 2 y Juan es el que
pesa más.
f) El producto de tres números diferentes resulta 50
g) La cuarta parte de una herencia es $200,000
i) La suma de tres números enteros consecutivos es 45 𝑛 + ( ) + ( )=45
j) La suma de algunos perros y gatos es 50 menos que los ratones
INDICACIÓN: De las siguientes expresiones algebraicas identifica y coloca en su respectiva columna lo
siguiente: número de términos, grado absoluto y tipo de expresión (dependiendo del número de términos).
Expresión algebraica
Número de
términos
Grado Absoluto
Tipo de
expresión
zyx
23
Monomio
bcmn 34 2 2 3 Binomio
yxyx 32 323 Trinomio
2342 bybxayxa
yxba 4237
53 53 azx
21025 bca
44
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.2 Procesos de simplificación
Objetivo de sección
Ser capaz de simplificar, a su mínima expresión, términos algebraicos a partir del uso de las
operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y signos de agrupación).
1.2.2.1 Operaciones de expresiones algebraicas
En esta unidad, abordaremos el proceso de simplificación de las operaciones de suma y resta,
multiplicación y división de expresiones algebraicas.
SUMA Y RESTA (ADICIÓN)
Lo importante en la adición es simplificar, es decir, encontrar términos que podamos unir para
simplificar los que ya tenemos, esto no es posible realizarlo con todos los términos, solo con los
términos semejantes.
¿Qué son los términos semejantes?
Son aquellos términos que tienen las mismas literales con sus respectivos exponentes iguales, sin
importar cuál es su coeficiente. Por ejemplo:
𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 SI es semejante a −
𝟐
𝟑
𝒙𝟐𝒚𝟑
−𝟑𝒙𝟓𝒚 NO es semejante a 𝟐𝒙𝒚𝟓
Dos o más términos que son semejantes pueden agruparse, es decir, sumarse unos con otros para
obtener un solo término del mismo género.
En otras palabras, si deseamos agrupar algunos términos semejantes en uno solo, únicamente
sumamos los coeficientes de cada término y conservamos las literales con sus respectivos
exponentes. Este proceso se conoce como reducción de términos semejantes. Aquí tienes algunos
ejemplos:
a) 9𝑎 − 11𝑎 = −2𝑎
b) 15𝑥𝑦4 − 6𝑥𝑦4 = 9𝑥𝑦4
c) 5𝑥3𝑦2 − 12𝑦2𝑥3 + 𝑥3𝑦2 = −6𝑦2𝑥3
Sumar o restar dos o más expresiones algebraicas es agruparlas en una sola bajo los signos de + ó
−, es decir, reducir los términos semejantes de las expresiones, considerando el cambio de signo
de algunas expresiones según las leyes de los signos, hasta obtener una nueva.
Ejemplos:
1. Sumar 𝟕𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 𝐜𝐨𝐧 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟐𝒛
Agrupamos los términos que son semejantes y los reducimos.
(7𝑥 + 4𝑥) + (−3𝑦 + 5𝑦) + (4𝑧 + 2𝑧) = 11𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧
Por tanto el resultado de la suma inicial es 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟔𝒛.
2. De 𝟖𝒂 − 𝟑𝒃 + 𝟓𝒄 − 𝒆 restar − 𝟐𝒃 + 𝒄 − 𝟒𝒆
Cambiamos de signo la expresión que se está restando
8𝑎 − 3𝑏 + 5𝑐 − 𝑒 − (− 2𝑏 + 𝑐 − 4𝑒)
Obtenemos: 8𝑎 − 3𝑏 + 5𝑐 − 𝑒 + 2𝑏 − 𝑐 + 4𝑒
Ahora, agrupamos los términos que son semejantes y los reducimos.
Por tanto el resultado de la resta inicial es 𝟖𝒂 − 𝒃 + 𝟒𝒄 + 𝟑𝒆.
45
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar, tomamos un término de cualquier polinomio y lo multiplicamos por cada uno de
los términos del otro polinomio como se muestra a continuación:
(−𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐)(𝟕𝒙𝟐𝒚𝟒𝒛) = (−)(+) (𝟓)(𝟕) (𝒙𝟑)(𝒙𝟐) (𝒚𝟐)(𝒚𝟒) (𝒛) = −𝟑𝟓𝒙𝟓𝒚𝟔𝒛
Para multiplicar polinomios hacemos varias multiplicaciones. Tendremos que multiplicar cada
término por cada término y, finalmente, reducimos los términos semejantes.
Multiplicar 𝟒𝒂𝒙𝟐 por 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕
Escribimos el producto del monomio por el polinomio: (4𝑎𝑥2)(3𝑥2 − 6𝑥 + 7)
Realizamos los productos para obtener el producto final:12𝑎𝑥4 − 24𝑎𝑥3 + 28𝑎𝑥2
Finalmente, reducimos términos semejantes (en caso de haberlos).
Multiplicar (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑) = 4𝑥2 + 6𝑥 − 6𝑥 − 9
Reducimos términos semejantes y obtenemos… 𝟒𝒙𝟐 − 𝟗
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Lossignos de agrupación indican que se efectuará una operación a más de un término. Los signos
de agrupación son {}, ( ), [ ] y en caso de haber más de uno, se resuelven de adentro hacia afuera.
2[3𝑥 + {2𝑥 − 1 − (𝑥 + 2)}]
= 2[3𝑥 + {2𝑥 − 1 − 𝑥 − 2}]
= 2[3𝑥 + 2𝑥 − 1 − 𝑥 − 2]
= 6𝑥 + 4𝑥 − 2 − 2𝑥 − 4
= 𝟖𝒙 − 𝟔
DIVISIÓN
Para poder realizar esta operación dividimos los coeficientes y a continuación dividimos las literales
aplicando la ley de los exponentes para la división (se restan exponentes). Por ejemplo:
Dividir 6𝑎2𝑏3𝑐 entre 3𝑎2𝑏
6𝑎2𝑏3𝑐
3𝑎2𝑏
= 2𝑏2𝑐
Cuando tenemos que dividir dos polinomios, ya no tiene sentido hacer la división como en los casos
anteriores. Entonces se realiza una división similar a la que se hace con la caja de división. A
continuación se describen los pasos a seguir con ayuda de un ejemplo:
Ley de
Signos
Coeficientes se
multiplican Mismas letras
se suman
exponentes
Letras que no
se repitan se
conservan igual
46
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Dividir 𝟓𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟑 entre 𝒙 − 𝟏
𝟓𝒙𝟒−𝟑𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐−𝟕𝒙+𝟑
𝒙−𝟏
PRIMERO: Ordenamos los términos de ambos polinomios de mayor a menor según el exponente
de una literal común a los dos polinomios. Escribimos el polinomio de más términos dentro de la
caja de división y el de menos términos fuera de ella.
REGLA DE LOS TRES PASOS
1. Dividimos el primer término del polinomio
de adentro 5𝑥4 entre el primer término del polinomio
de afuera (divisor) (𝑥), con lo que obtenemos el
primer término del cociente (5𝑥3).
2. El resultado anterior lo multiplicamos por todos
los términos del divisor ((𝑥 + 1), cambiamos el
signo de las respuestas (−5𝑥4 + 5𝑥3) y lo sumamos
con el término semejante correspondiente del
dividendo.
3. Realizamos esto consecutivamente hasta reducir el
residuo a cero o a un polinomio menor que el divisor.
Practica abierta
INDICACIONES: Júntate con un compañero y mide tu velocidad. ¿Serías capaz de realizar cada
división en menos de 1 minuto?
Dividir 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 entre 𝒙 − 𝟐 Dividir 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 entre 𝟐𝒙 − 𝟏
R= 𝑥 − 2
R=2𝑥 − 3
47
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.2.2 Productos notables
Objetivo de sección
En esta sección serás capaz de identificar las características de ciertos binomios y las reglas fijas
para la obtención de sus productos notables.
Los productos entre binomios reciben el nombre de productos notables o (productos especiales).
¿Cómo podríamos encontrar el resultado sin aprender los productos notables? _________________.
Producto notable Expresión Fórmula
Binomio al cuadrado
(𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵) =
(𝐴 + 𝐵)2
𝐴2 + 2𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2
Binomios conjugados (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) 𝐴2 − 𝐵2
Binomios con un
término común
(𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐶)
𝐴2 + (𝐴)(𝐵 + 𝐶) + 𝐵 ∙ 𝐶
Binomio al cubo
(𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐵)
= (𝐴 + 𝐵)3
𝐴3 + 3𝐴2 ∙ 𝐵 + 3𝐴 ∙ 𝐵2 + 𝐵3
Binomio a la n (𝐴 + 𝐵)𝑛 Triángulo de Pascal
I. Binomio al cuadrado (𝑨 ± 𝑩)𝟐 = (𝑨 ± 𝑩)(𝑨 ± 𝑩) = 𝑨𝟐 ± (𝟐)(𝑨)(𝑩) + 𝑩𝟐
Ejemplo:
Desarrollar (𝒙𝟐 − 𝟐)
𝟐
=
El cuadrado del primer término: (𝑥2)2 =
El doble producto del primer término por el segundo: 2(𝑥3)(−2) =
El cuadrado del segundo término: (−2)2 =
Por tanto, (𝒙𝟑 − 𝟐)
𝟐
= 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟒. Al resultado de un binomio al cuadrado se le conoce como
Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.).
II. Binomios conjugados (𝐀 + 𝐁)(𝐀 − 𝐁) = 𝐀𝟐 − 𝑩𝟐
Por ejemplo: Multiplicar (2𝑦 + 5)(2𝑦 − 5)
El cuadrado del término que no cambia de signo: (2𝑦)2 = (2)2(𝑦)2 =
El cuadrado del término que si cambia de signo: (5)2 =
Por tanto, (𝟐𝒚 + 𝟓)(𝟐𝒚 − 𝟓) = 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝟓. Al resultado de unos binomios conjugados se le conoce
como Diferencias de Cuadrados.
III. Binomios con un término común
(𝑨 + 𝑩)(𝑨 + 𝑪) = 𝑨𝟐 + (𝑩 + 𝑪)(𝑨) + (𝑩)(𝑪)
Veamos el siguiente ejemplo:
Multiplicar (𝑥𝑧2 − 3)(𝑥𝑧2 + 4) =
El cuadrado del término común: (𝑥𝑧2)2 = (𝑥)2(𝑧2)2 =
El producto del término común por la suma de los no comunes: 𝑥𝑧2(−3 + 4) = 𝑥𝑧2(1) =
El producto de los términos no comunes: (−3)(4) =
Por tanto, (𝒙𝒛𝟐 − 𝟑)(𝒙𝒛𝟐 + 𝟒) = 𝒙𝟐𝒛𝟒 + 𝒙𝒛𝟐 − 𝟏𝟐. Al resultado de unos binomios con término
como se le conoce como Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
48
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
IV. Binomio al cubo
(𝐀 + 𝐁)𝟑 = (𝐀 + 𝐁)(𝐀 + 𝐁)(𝐀 + 𝐁) = 𝑨𝟑 + (𝟑)(𝑨)𝟐(𝑩) + (𝟑)(𝑨)(𝑩)𝟐 + (𝑩)𝟑
Veamos un ejemplo:
Desarrollar (𝒚 − 𝟑)𝟑=
El cubo del primer término: (𝒚)𝟑 =
El triple del cuadrado del primer término por el segundo: 𝟑(𝒚)𝟐(−𝟑) =
El triple del primer término por el cuadrado del segundo: 𝟑(𝒚)(−𝟑)𝟐 = 𝟑(𝒚)(𝟗) =
El cubo del segundo término: (−𝟑)𝟑 =
Por tanto, (𝒚 − 𝟑)𝟑 = 𝒚𝟑 − 𝟗𝒚𝟐 + 𝟐𝟕𝒚 − 𝟐𝟕.
V. Binomio a cualquier potencia (𝐚 + 𝐛)𝐧
Para encontrar la fórmula de un binomio a potencias mayores 3 es mejor desarrollar la fórmula
nosotros mismos.
TRIÁNGULO DE PASCAL
El triángulo te muestra los coeficientes de cada una de las fórmulas de los binomios. Si observas la
tercera línea, aparece un 1 2 1 lo cual es congruente con los coeficientes de la fórmula de Binomio
al cuadrado 𝟏𝑨𝟐 ± (𝟐)(𝑨)(𝑩) + 𝟏𝑩𝟐.
Para encontrar los exponentes de la formula, simplemente, la potencia que te pidan se le aplica al
primer término y se disminuye en uno para aumentar en uno a la potencia del otro termino. 𝑨𝟐𝑩𝟎 +
𝟐𝑨𝟏𝑩𝟏 + 𝑨𝟎𝑩𝟐.
Ejemplo: Halla el tercer término de (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟒
Si observamos en el triángulo de pascal que aparece en la parte superior, el quinto escalón contiene
los coeficientes de la fórmula de un binomio a la cuarta y dado que nos interesa encontrar el tercer
término, entonces elegimos el tercer número que es un 6.
Con respecto a las potencias de cada uno de los términos, analicemos como quedaría:
𝑨𝟒𝑩𝟎 + 𝟒𝑨𝟑𝑩𝟏 + 𝟔𝑨𝟐𝑩𝟐 + ⋯
Entonces la respuesta es 6𝐴2𝐵2 = 6(2𝑥)2(−3)2 = 6(4𝑥2)(9) = ___________
Práctica abierta
INDICACIÓN: Haciendo uso de los productos notables determina:
a) (2𝑥 + 1)2 =
b) (𝑥 + 4)(𝑥 − 4) =
c) (𝑥 − 2)(𝑥 + 9) =
d) (𝑥 + 2)3 =
e) Halla el segundo término al desarrollar (𝑥 − 5)5 =
NOTA: Se forma inicialmente con un
triángulo de unos. Para hallar los números
del siguiente escalón, se suman los dos
números pegados y se pone la respuesta en
la parte inferior.
49
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.3 Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Objetivo de sección
Identificar los tipos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones a partir del grado, para ser capaz de
resolverlas con el método correspondiente.
En la primera unidad, vimos que el álgebra nos permite resolver problemas, en las que intervienen
cantidades conocidas y desconocidas que traducidas en lenguaje algebraico se representan mediante
modelos matemáticos conocidos como ____________. Ya que hemos aprendido a simplificar todo tipo
las expresiones algebraicas, corresponde conocer los métodos de resolución de ecuaciones de primer
grado con una y dos incógnitas, y ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
¿Qué es una ecuación?
Si cualquier valor que sustituyamos en la incógnita satisface la igualdad entre las expresiones, entonces
la ecuación recibe el nombre de idéntica. Por ejemplo:
3𝑥 − 5 = 4𝑥 − 10
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas, donde las literales que representan los
valores desconocidos reciben el nombre de
incógnitas y las expresiones de cada lado de la
igualdad reciben el nombre de miembros.
Resolver una ecuación es hallar el valor dela
incógnita que cumple con la igualdad.
(𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗
¿Qué es el grado de la ecuación?
El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la(s) incógnita(s). Por ejemplo,
la ecuación 𝑥 + 5 = 12 es de primer grado porque el mayor exponente de la 𝑥 es 1. Un ejemplo de
ecuación de segundo grado es el siguiente:
𝑥2 + 2𝑥 = 3.
Si la ecuación tiene dos incógnitas o valores desconocidos, entonces debemos tener dos ecuaciones con
las dos incógnitas para poder hallar dichos valores. Este tipo de ecuaciones se conocen como sistemas
de ecuaciones. En esta unidad únicamente aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones de primer
grado, como las del siguiente ejemplo:
2𝑥 + 5𝑦 = 26
𝑥 − 𝑦 = −1
Signo igual
Incógnita
Miembro
derecho
Miembro
izquierdo
50
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
QUITAR
FRACCIONES
(Multiplicar
por mcm)
SIMPLIFICAR
(x,+)
ORDENAR RESOLVER RESPUESTA
¿Cómo resolver una ecuación?
El primer paso para resolver una ecuación es eliminar cualquier fracción que aparezca multiplicando
toda la ecuación por el mcm. Seguidamente, se deben simplificar las expresiones algebraicas de ambos
lados, ordenarla según su grado y finalmente aplicar el método de resolución según su grado para hallar
el valor desconocido de x.
1.2.3.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Ejemplo: Hallar el valor de 𝑥 que satisface la ecuación: 2(𝑥 + 5) − 4 = 4𝑥
Para hallar el valor de una ecuación de este tipo, primero realizamos las operaciones indicadas en cada
lado de igualdad:
2𝑥 + 10 − 4 = 4𝑥
2𝑥 + 6 = 4𝑥
Después, reunimos los términos semejantes de un solo lado de la igualdad. Para ello, restamos 4𝑥 de
lado derecho y restamos 6 del lado izquierdo. Todas las operaciones que se hagan de un lado de la
ecuación deben realizarse del otro lado para que se conserve la igualdad:
(2𝑥 + 6) − 6 − 4𝑥 = (4𝑥) − 6 − 4𝑥
Seguidamente, reducimos los términos semejantes de cada lado de la igualdad. De donde obtenemos:
−2𝑥 = −6
Finalmente, despejamos la incógnita. Para ello, dividimos ambos
el lado izquierdo entre −2. Hacemos lo mismo del lado derecho:
𝑥 =
−6
−2
De lo anterior, obtenemos el valor de la incógnita 𝒙 = 𝟑.
TIPO DE ECUACIÓN ORDEN ¿CÓMO SE RESUELVE?
UNA INCOGNITA
1ER GRADO
𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 𝐶 + 𝐷
Letras de un lado y
Número del otro
Despejando
2º GRADO
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0
Igualar a cero
Factorizando
Formula General
DOS O TRES
INCOGNITAS
1ER GRADO
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷
𝐹𝑥 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑧 = 𝐼
𝐽𝑥 + 𝐾𝑦 + 𝐿𝑧 = 𝑀
Suma y Resta
Sustitución
Igualación
x=3
51
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.3.2 Ecuaciones de primer grado con dos o tres incógnitas
Existen tres métodos diferentes para resolver sistemas de ecuaciones. Veamos como hallar los valores
de las incógnitas de un sistema a través del método más usado.
Método de suma y resta
Hallas los valores de 𝑥 e 𝑦 en el sistema de ecuaciones:
2𝑥 − 7𝑦 = −14
𝑥 + 2𝑦 = 4
Primero, escribimos las ecuaciones de modo que los términos semejantes estén alineados verticalmente:
2𝑥 − 7𝑦 = −14
𝑥 + 2𝑦 = 4
Después, multiplicamos cada ecuación por el coeficiente de la primera incógnita de la ecuación
contraria, cambiando el signo de uno de los coeficientes. En este caso cambiamos el signo de −1 a 1 y
el otro coeficiente (2) lo bajamos pero le mantenemos el mismo signo.
(−1) 2𝑥 − 7𝑦 = −14
(2) 𝑥 + 2𝑦 = 4
Enseguida, reescribimos las ecuaciones que resultan de realizar los productos indicados. Entonces
tenemos el nuevo sistema:
−2𝑥 + 7𝑦 = 14
2𝑥 + 4𝑦 = 8
Ahora, reducimos los términos semejantes de ambas ecuaciones de forma vertical, donde obtenemos
una ecuación con una incógnita:
− 2𝑥 + 7𝑦 = 14
2𝑥 + 4𝑦 = 8
0 + 11𝑦 = 22
𝑦 =
22
11
= 2
Este valor lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones iníciales y tendremos una ecuación de primer
grado, la cual podemos resolver.
2𝑥 − 7(2) = −14
2𝑥 − 14 = −14
2𝑥 = −14 + 14
𝑥 = 0
Así, hemos obtenido los valores de las dos incógnitas que satisfacen ambas igualdades. Cabe mencionar
que los otros métodos, el de sustitución y el de igualación, nos llevarían a los mismos resultados pero de
maneras distintas.
Intentamos resolver el mismo sistema pero de forma gráfica:
El sistema que es:
𝟐𝒙 − 𝟕𝒚 = −𝟏𝟒
𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒
52
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Cada una de las ecuaciones representa gráficamente una línea recta, por lo cual la solución es la
coordenada donde chocan o se intersectan las dos rectas. Así, grafiquemos ambas rectas y veamos
donde se cortan:
¿Cómo graficar rectas?
Para graficar una línea recta en el plano cartesiano, la manera más eficiente es buscar las intersecciones
con los ejes X y Y.
Para graficar la ecuación 𝟐𝒙 − 𝟕𝒚 = −𝟏𝟒 busquemos sus intersecciones con los ejes
EJE X (y=0) para encontrar por donde pasa por el eje X se pone en y el valor de cero.
Así 2𝑥 = −14 y si despejamos x obtenemos 𝑥 = −2 pasa por el punto 𝑃(−7,0)
EJE Y (x=0) para encontrar por donde pasa por el eje Y se pone en x el valor de cero.
Así −7𝑦 = −14 y si despejamos x obtenemos 𝑦 =
−14
−7
= 2 pasa por el punto 𝑃(0,2)
De la misma manera, si buscamos las intersecciones de 𝑥 +
2𝑦 = 4 obtenemos que pasa por el eje X en (4,0) y en el Eje
Y igual (0,2).
Al graficar las dos simultáneamente:
Podemos ver que el punto de intersección (0,2) coincide con
la respuesta obtenida con el método de suma y resta.
No todos los sistemas tienen dos soluciones distintas. A continuación te mostramos cada uno de los
casos posibles de ecuaciones, el número de soluciones y sus gráficas.
NÚMERO DE
SOLUCIONES EN
LOS SISTEMAS
DE ECUACIONES
0 SOLUCIÓN 1 SOLUCIÓN ∞ SOLUCIONES
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑫
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪
𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 = 𝑭
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪
(𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 = 𝑪)(𝑫)
EJEMPLO 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓
𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟖
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟕
−𝟐𝒙 + 𝟖𝒚 = 𝟔
𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓
𝟔𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟏𝟓
Práctica abierta
INDICACIÓN: Genera dos ecuaciones para cada tipo de soluciones
P(0,2)
53
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.3.3 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Para resolver una ecuación de segundo grado debemos tomar en cuenta los términos que intervienen en
ella. Dependiendo de estos, la ecuación recibe un nombre y un método de solución diferente.
Si la ecuación posee un término cuadrático (de segundo grado), un término lineal (de primer grado) y
uno independiente (numérico); recibe el nombre de ecuación cuadrática completa. Por ejemplo:
5𝑥2 = 6 − 13𝑥
Para resolver este tipo de ecuaciones lo primero que hay que hacer es agrupar todos los términos de un
lado de la igualdad, es decir igualar la expresión algebraica a cero.
5𝑥2 + 13𝑥 − 6 = 0
Seguidamente, procedemos a factorizar la expresión algebraica del lado izquierdo por alguna de las
formas que aprendimos en la unidad anterior. En este caso se tiene un trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐 entonces factorizando tenemos:
5𝑥2
5𝑥
𝑥
+13𝑥
−6 = 0
−2
3
5𝑥2 + 13𝑥 − 6 = (5𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 0
Si el producto de dos factores es igual a cero, significa que alguno de los dos es igual a cero, por tanto
igualamos cada factor (binomio) a cero, de donde obtenemos dos ecuaciones de primer grado con una
incógnita:
5𝑥 − 2 = 0 y 𝑥 + 3 = 0
De donde hallamos dos valores de 𝑥 que satisfacen la igualdad planteada. Denotamos a cada una con los
subíndices 𝑥1 y 𝑥2.Entonces:
𝐱𝟏 =
𝟐
𝟓
; 𝐱𝟐 = −𝟑
En este caso, la ecuación de segundo grado era factorizable y eso nos permitió hallar las soluciones de
manera rápida. Sin embargo, existen ecuaciones de segundo grado que no se podrán factorizar por los
métodos conocidos. De ser así, recurriremos a la fórmula general:
𝒙 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Donde los valores de 𝑥 se hallan sustituyendo de los coeficientes de los términos de la ecuación: 𝑎 es el
coeficiente del término cuadrático, 𝑏 es el coeficiente del término lineal y 𝑐 es el término independiente.
Veamos un ejemplo donde se aplique la fórmula general.
54
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Hallemos las soluciones de 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 = 𝟒
Recuerda que siempre es importante agrupar los términos de un lado de la ecuación, sino los
coeficientes que tomemos para sustituir no serán los adecuados. Reescribiendo la ecuación nos queda:
2𝑥2 + 7𝑥 − 4 = 0
Donde 𝑎 = 2, 𝑏 = 7 y 𝑐 = −4. Si sustituimos estos valores en la fórmula general obtenemos:
𝑥 =
−(7) ± √72 − 4(2)(−4)
2(2)
Resolviendo las operaciones, según la jerarquía de operaciones. Tenemos:
𝑥 =
−(7) ± √49 + 32
4
=
−7 ± √81
4
Para obtener los dos valores de 𝑥 debemos considerar el valor positivo y negativo de la raíz, entonces:
𝑥1 =
−7 + 9
4
=
2
4
=
1
2
𝑥2 =
−7 − 9
4
=
−16
4
= −4
Puesto que la gráfica que una ecuación cuadrática es una parábola, podemos ver al graficar que la
función 𝑦 = 2𝑥2 + 7𝑥 − 4 que las respuestas de la ecuación son las intersecciones de la parábola con
el eje X: (0,
1
2
) y (0, −4).
DATO: El número de respuestas (o raíces) de una ecuación cuadrática es el número de veces que su
grafica corte el eje X.
EL NÚMERO DE RAÍCES SE
DETERMINA MEDIANTE EL
SIGNO DEL DISCRIMINANTE
DISCRIMINANTE= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎
1 raíz
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎
0 raíces
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎
2 raíces
(0,-4)
(0,1/2)
55
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.4 Representaciones Graficas
Objetivos de sección
1.- Identificar cuando una relación si es funcional.
2.- Ser capaz de graficar las funciones más básicas.
3.-Ser capaz de determinar el dominio y rango de las funciones básicas algebraica y gráficamente.
1.2.4.1 Función
Para poder checar si una gráfica es “gráfica de una función” se utiliza el criterio de la línea vertical
donde se dice que la gráfica de una función solo debe ser cortada una única vez al trazar donde sea una
línea vertical.
Debajo de cada gráfica se señala si cada gráfica corresponde a una función o no. (SI/NO)
𝑥 = 3 𝑦 = √𝑥 𝑦 = 𝑥
3 + 1.5𝑥2
NO, ya que en x=3 corta
infinitas veces
NO, ya que en cualquier valor
positivo corta dos veces
SI, en todos los valores solo
corta una vez
Para poder checar si una relación es funcional se debe ver que a cada valor de x solo se le asigne un
valor y SOLO UNO de y. Es decir las dos relaciones (1,2) (1,3) No podrían ser una relación funcional
ya que al mismo valor de x=1 se le asignan dos valores de y (y=2, y=3). Por el contrario, (1,2) (2,2) si
son relaciones funcionales ya que a x=1 le toca el valor y=2 y a x=2 le toca el valor y=2 (No importa
que la y se haya repetido.
Una función f(x) ó y es una relación entre cualesquiera dos variables, x, y; tal que a cada
valor de la primera variable x (independiente), le corresponde un solo valor de la segunda
variable y (dependiente).
Dominio será el grupo de todos los valores posibles que pueda tomar la variable x
Rango será el grupo de todos los valores posibles que pueda tomar la variable y
56
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.2.4.2 Tipos de funciones
Practica abierta
INDICACIÓN: Escribe a la derecha de cada tipo de función dos ejemplos de cada una:
TIPOS DE FUNCIONES
NOMBRE FORMA EJEMPLO 1 EJEMPLO 2
Función Constante 𝑓(𝑥) = 𝐴
Función lineal 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵
Función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
Función Radical 𝑓(𝑥) = √𝐴𝑥
Función Racional
𝑓(𝑥) =
𝐴𝑥 + 𝐵
𝐶𝑥 + 𝐷
Función Exponencial 𝑓(𝑥) = 𝐵 ∙ 𝐴𝑥
Función Logarítmica 𝑓(𝑥) = log(𝐴𝑥 + 𝐵)
1.2.4.3 Grafica de una función
Practica abierta
INDICACIÓN: Utiliza el espacio de abajo para contestar lo que se te pide ¿Cuál será el Dominio
(Valores de x) y Rango (valores de y) de cada una de las siguientes funciones?
Función Constante
𝑦 = 2
Función Lineal
𝑦 = 2𝑥 − 4
Función Cuadrática
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔
Función Dominio Rango
𝑓(𝑥) = 2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6
57
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. El grado ____________ de la expresión −5𝑥3𝑦3𝑧 es______________.
a) Relativo,6 b) Absoluto, 6 c) Absoluto 7 d) Relativo 5
2. Relaciona las columnas según corresponda:
Expresión Tipo de expresión
a) 20𝑥3 − 2𝑥 1. Monomio
b) 2𝑝 + 3𝑥3 − 5𝑚 2. Binomio
c) 𝑎2 − 𝑏2 + 8𝑎𝑏 − 5 3. Trinomio
d)
𝑚
2
4. Polinomio
a) 1a, 2b, 3c, 4d b) 1d, 2c, 3b, 4a c) 1d, 2a, 3b, 4c d) 1a, 2c, 3b, 4d
3. Selecciona la opción que represente el planteamiento en ecuaciones del siguiente problema: “La razón de
la distancia entre tiempo da como resultado la velocidad”
a) 𝑣 =
𝑑
𝑡
b) 𝑣 = (𝑑)(𝑡)
c) 𝑑𝑣 = 𝑡
d) 𝑣2 = 𝑑 = 𝑡
4. Selecciona la opción que represente el planteamiento en ecuaciones del siguiente problema: “Si al doble
de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?”
a) 2𝑥 −
1
2
= 54 b) 2𝑥 −
𝑥
2
= 54 c) 𝑥2 −
𝑥
2
= 54 d) 𝑥2 −
1
2
= 54
5. Relaciona con una línea las siguientes ecuaciones con su respectivo lenguaje común.
Ecuación Lenguaje común
a) 𝐺 + 𝐴 = 80 1. El quíntuplo del cuadrado de un número es ochenta
b) 𝑝𝑐 = 80 2. La razón de dos números es ochenta
c) 𝑎2 − 𝑏2 = 80 3. La diferencia de cuadrados de dos números es ochenta
d)
𝑚−𝑛
2
= 80 4. El producto de dos números es ochenta
e)
𝑃
𝑁
= 80 5. La semidiferencia de dos números es ochenta
f) 5𝑎2 = 80 6. La diferencia de cubos de dos números es ochenta
g) 𝑥3 − 𝑧3 = 80 7. La suma de dos números es ochenta
a) 1f, 2e, 3c, 4b, 5d, 6g, 7a
b) 1a, 2b, 3c, 4d, 5e, 6f, 7g
c) 1f, 2e, 3c, 4d, 5b, 6g, 7a
d) 1f, 2c, 3e, 4b, 5d, 6g, 7a
6. Selecciona la opción que represente el planteamiento en ecuaciones de los siguientes problemas:
La edad de Mariana supera en 20 a la tercera parte de la edad de Gastón. ¿Cuál es la edad de Mariana si
Gastón tiene 20 años?
a) 𝑀 − 20 =
20
3
b) 𝑀 − 20 =
𝐺
3
c) 𝑀 + 20 =
20
3
d) 𝑀 + 20 =
𝐺
3
7. La cantidad de litros que cae durante una lluvia torrencial se calcula multiplicando los minutos
transcurridos por 1/4 del cuadrado del área de interés.
a) L=4ma b) 𝐿 =
1
4
ma c) L=
1
4
𝑚𝑎2 d) 𝐿 = 4𝑚
2 𝑎2
8. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan exceden en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro
años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.
a)
3
4
𝑃 + 15 = 𝐽
𝑃 = 2(𝐽)
b)
3
4
𝑃 − 15 = 𝐽
𝑃 − 4 = 2(𝐽 − 4)
c)
3
4
𝑃 + 15 = 𝐽
𝑃 = 2(𝐽 + 4)
d)
3
4
𝑃 + 15 = 𝐽
𝑃 − 4 = 2𝐽
9. En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuántos conejos y
cuántas gallinas hay?
a)
𝑐 + 𝑔 = 61
𝑐 + 𝑔 = 196
b)
𝑐 − 𝑔 = 61
𝑐 + 𝑔 = 196
c)
𝑐 + 𝑔 = 61
4𝑐 + 2𝑔 = 98
d)
𝑐 + 𝑔 = 61
4𝑐 + 2𝑔 = 196
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
58
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.2.2 PROCESOS DE SIMPLIFICACIÓN
ALGEBRAICAS
1. Sumar 3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 + 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐
a) 5𝑏 − 𝑎 b) 5𝑎 − 𝑏 c) 𝑎 − 5𝑏 d) 𝑎 + 5𝑏
2. De 3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 Restar 5𝑥 + 2𝑦 − 8𝑧 + 6
a) −2𝑥 + 3𝑧 − 6 b) 2𝑥 − 3𝑧 + 6 c) 8𝑥 + 4𝑦 − 13𝑧 + 6 d)2𝑥 − 3𝑧 − 6
3. Restar la Suma de 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 con 𝟑𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 de 𝒙𝟐
a) −𝑦2
b) 𝑦2
c) 2𝑥𝑦
d) 𝑥2
4. −2[−𝑎 + {−𝑎 + (𝑎 − 𝑏) − (−𝑎 − 𝑏 + 𝑐) − [−(−𝑎) + 𝑏]}] =
a) 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 b) 𝑎 − 2𝑏 − 𝑐 c) 2𝑎 d) −𝑎 − 𝑏 − 𝑐
5. (7𝑥2𝑦3)(−6𝑥3𝑦2) =
a) −13𝑥5𝑦5
b) +13𝑥5𝑦5
c) −42𝑥5𝑦5
d) −42𝑥6𝑦6
6. (𝑎 + 5)(𝑎 − 5) − 3(𝑎 + 2)(𝑎 − 2) + 5(𝑎 + 4) =
a) −2𝑎2 + 5𝑎 − 7 b) 𝑎2 + 3𝑎 − 7 c) −2𝑎2 − 7 d) −2𝑎2 + 5𝑎 + 7
7. La división de 5𝑎2 + 8𝑎𝑏 − 21𝑏2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 + 3𝑏 =
a) 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 b) 5𝑎 − 7𝑏 c) −5𝑎 + 7𝑏 d) 5𝑎 + 7𝑏
8. Restar la suma de 𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥, −6𝑥2 − 6𝑥 + 3, −8𝑥2 + 8𝑥 − 3 𝑑𝑒 2𝑥3 − 16𝑥2 + 5𝑥 + 12 y
dividir el resultado entre 𝑥2 − 𝑥 + 3
a) 𝑥 + 4 b) 𝑥 − 4 c) 𝑥 d) 4
9. Calcula el perímetro de la siguiente figura:
a) 10𝑥2 + 4 b) 10𝑥2 − 2𝑥 + 4 c) 10𝑥2 + 4𝑥 + 6 d) 𝑥2 − 2𝑥 + 4
10. El perímetro de un rectángulo es 8𝑥 – 6 y un lado es 3𝑥 + 7 ¿Cuánto mide el otro lado?
a) 𝑥 − 10 b) −10 c) 𝑥 d) 𝑥 + 10
𝒙
𝟑𝒙𝟐 + 𝒙
𝟐𝒙𝟐 + 𝒙
𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑
59
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.2.3 PRODUCTOS NOTABLES
1. Relaciona los productos con el nombre del producto notable según corresponda:
Expresión Tipo de Producto Notable
1. (2𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) A. Binomio conjugado
2. (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) B. Binomio con un término común
3. (𝑥 + 5´)(𝑥 + 5) C. Binomio al cubo
4. (𝑥 − 4)(𝑥 − 4)(𝑥 − 4) D. Binomio al cuadrado
a) 1A, 2B, 3C, 4D b) 1B, 2A, 3D, 4C c) 1A, 2 D, 3C, 4B d) 1D, 2C, 3A, 4B
2. (2𝑎 − 11)2 =
a) 4a2 + 44a + 121
b) 4a2 + 121
c) 4a2 − 44a − 121
d) 4𝑎2 − 44𝑎 + 121
3. Orden los siguientes pasos para desarrollar un binomio conjugado
A. Más elevar al cuadrado el segundo término
B. Eleva al cuadrado el primer término
C. Menos Eleva al cuadrado el segundo término
D. Doble del producto de ambos términos
a) A, B, C
b) D, C, B
c) B, C
d) B, D
4. (2𝑥 − 19)(2𝑥 + 10) =
a) 4𝑥2 + 18𝑥 − 190 b) 4𝑥2 − 190 c) 4𝑥2 − 18𝑥 + 190 d) 4𝑥2 − 18𝑥 − 190
5. (3𝑥 + 𝑎)(𝑎 − 3𝑥) =
a) 𝑎2 + 9𝑥2 b) 𝑎2 − 6𝑥2 c) 𝑎2 − 9𝑥2 d) 𝑎2 − 3𝑥2
6. Orden los siguientes pasos para desarrollar un binomio al cuadrado
A. Multiplica el segundo término por 2
B. Eleva al cuadrado el primer término
C. Más eleva al cuadrado el segundo término
D. Más el doble del producto de ambos términos
a) A, B, C
b) B, D, A
c) B, C, A
d) B, D, C
7. (1 − 𝑎2)2(1 − 𝑎2) = (1 − 𝑎2)3
a) 1 − 3𝑎2 − 3𝑎4 − 𝑎6 b) 1 + 3𝑎2 + 3𝑎4 − 𝑎6 c) 1 + 3𝑎2 + 3𝑎4 + 𝑎6 d) 1 − 3𝑎2 + 3𝑎4 − 𝑎6
8. ¿Cuál es el tercer término de (x − 5y2)6?
a) 375𝑥4𝑦2 b) 375𝑥2𝑦4 c) −375𝑥4𝑦4 d) 375𝑥4𝑦4
9. Orden los siguientes pasos para desarrollar un binomio con un término común
A. Más el producto de ambos términos
B. Eleva al cuadrado el primer término
C. Eleva al cuadrado el segundo término
D. Más el doble del producto de ambos términos
E. Más el producto del término común por la adición de los términos no comunes
a) B, E, A
b) D, C, B
c) B, C, A
d) B, E, C
10. Es el resultado de factorizar 𝑥2 − 100
a) (𝑥 + 10)2 b) (𝑥 − 10)2
c) (𝑥 + 10)(𝑥 − 10) d) (𝑥 − 10)3
60
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. ¿Cuál es el valor de x que cumple con la igualdad 5𝑥 − 9 = 2𝑥 + 3?
a) 𝑥 = 4 b) 𝑥 = 6 c) 𝑥 = 9 d) 𝑥 = 1
2. Los valores de a y b que solucionan el sistema
3𝑎 + 4𝑏 = 11
2𝑎 + 5𝑏 = 19
a) 𝑎 = 3, 𝑏 = 5 b) 𝑎 = −3, 𝑏 = 5 c) 𝑎 = −3, 𝑏 = −5 d) 𝑎 = 3, 𝑏 = −5
3. La solución de la ecuación 𝑥2 − 6𝑥 − 27 = 0
a) 𝑥 = −9,3 b) 𝑥 = −9, −3 c) 𝑥 = 9, −3 d) 𝑥 = 7,5
4. La solución de 6 − 2(1 + 3𝑥) = −3(𝑥 − 2) + 7 es:
a) 𝑥 = 3
b) 𝑥 = 1
c) 𝑥 = −3
d) 𝑥 = −1
5. La solución de la ecuación √𝑥 − 5 − 2 = 0 es
a) 𝑥 = 10 b) 𝑥 = 5 c) 𝑥 = 9 d) 𝑥 = 2
6. Resolver el siguiente sistema
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 17
−2𝑥 + 𝑧 = 0
a) 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3
b) 𝑥 = 1, 𝑦 = −2, 𝑧 = 3
c) 𝑥 = 3, 𝑦 = 2, 𝑧 = 1
d) 𝑥 = 1, 𝑦 = 3, 𝑧 = 2
7. Los valores de a y b que solucionan el sistema
4𝑚 + 3𝑛 = 3
2𝑚 − 6𝑛 = −1
a) m =
1
2
n =
1
3
b) 𝑚 =
4
3
𝑛 =
1
3
c) 𝑚 =
8
1
𝑛 =
2
3
d) 𝑚 =
5
3
𝑛 =
3
1
8. La solución de la ecuación 5𝑥2 − 10𝑥 = 0
a) 𝑥 = 0, −5 b) 𝑥 = 0,2 c) 𝑥 = 0,1 d) 𝑥 = 0,0
9. Encontrar el valor de x, y, z en
2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 37
3𝑥 + 2𝑧 = 21
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 41
a) x=-3,y=-5,z=-12 b) x=3,y=12, z=5 c) x=3,y=5,z=12 d) x=5,y=12,z=3
10. El sistema de ecuaciones 𝑥 + 𝑦 = 3 y 2𝑥 + 2𝑦 = 6 tiene ____________ solución(es).
a) Una b) Dos c) Infinitas d) Ninguna
11. El sistema de ecuaciones 2𝑥 + 3𝑦 = 5 y 6𝑥 + 9𝑦 = 25 tiene ____________ solución(es).
a) Una b) Dos c) Infinitas d) Ninguna
12. La ecuación 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 tiene ___________ raíces
a) Una b) Dos c) Tres d) Ninguna
13. La ecuación −𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 representa ___________
a) Parábola Vertical hacia Abajo
b) Parábola Vertical hacia Arriba
c) Línea Recta Creciente
d) Parábola Horizontal
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.2.4 ECUACIONES
61
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
14. Relaciona cada ecuación con su grafica
ECUACIONES GRAFICAS
A
2𝑥2 + 5𝑥 + 2 = 0
1
B
2𝑥 − 3𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = −2
C
7𝑥 − (2𝑥 + 2) + (−𝑥 + 4) = 5(2𝑥 − 2)
2
D 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0
E
𝑥 + 3𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = 2
3
F 𝑥 − 5 = 3𝑥 + 3
a) 1A, 2F, 3E b) 1C, 2D, 3E c) 1C,2D, 3B d) 1D, 2A, 3F
62
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. ¿Cuál de las siguientes graficas representa el derretimiento de una vela?
a) A
b) B
c) AMBAS
d) Ninguna es posible.
2. Selecciona la opción que indique las relaciones funcionales entre dos variables
a) El conjunto {(1,1), (1,2), (2,1), (3,3)}
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑥 − 6
c) 𝑓(𝑥) = 2
d) El conjunto{(1,2), (2,2), (3,2), (4,2)}
e) El conjunto{(1,2), (2,3), (2,2), (4,2)}
a) I, II y V b) II, III y IV c) II y IV d) II, III, IV y V
3. Una ______________ es una ____________ entre _________ variables donde a cada valor de la
variable __________ se le asigna _______ valor de la variable ___________.
1) Dependiente 2) Función 3) Independiente 4) 2 5) 1 6) Relación
a) 1) 2)3)4)5)6) b) 2) 6)4)3)5)1) c) 6)2)5)1)4)3) d) 2)6)4)1)5)3)
4. Selecciona la opción que relacione cada grafica con su expresión analítica
A B
C D
1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6 2. 𝑓(𝑥) = −𝑥 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6
a) 1c, 2a, 3b, 4d b) 1a, 2c, 3b, 4d c) 1c, 2a, 3d, 4b d) 1a, 2b, 3c, 4d
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.2.5 REPRESENTACIONES GRAFICAS
63
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
5. ¿Cuál es dominio y rango de la siguiente grafica?
a) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y 𝑅𝑓 = [−2, +∞)
b) 𝐷𝑓 = (0, +∞) y 𝑅𝑓 = (−2, +∞)
c) 𝐷𝑓 = (1, +∞) y 𝑅𝑓 = (2, +∞)
d) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y 𝑅𝑓 = (−2, +∞)
6. ¿Cuál es dominio y rango de la siguiente grafica?
a) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y 𝑅𝑓 = [−2, +∞)
b) 𝐷𝑓 = (0, +∞) y 𝑅𝑓 = (−2, +∞)
c) 𝐷𝑓 = (1, +∞) y 𝑅𝑓 = (2, +∞)
d) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
7. ¿Cuál es dominio y rango de la siguiente grafica?
a) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y
𝑅𝑓 = [2, +∞)
b) 𝐷𝑓 = (0, +∞) y 𝑅𝑓 = (2, +∞)
c) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y
𝑅𝑓 = {2}
d) 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) y 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
8. La función 𝑦 = 2𝑥 − 1 tiene como dominio
a) (−∞, +∞)
b) (0, +∞)
c) (−∞, 0)
d) No tiene
9. La función 𝑦 = 𝑥2 + 2 tiene como Rango
a) (−2, ∞)
b) (2, +∞)
c) (−∞, 2]
d) [2, +∞)
10. ¿Cuál de las siguientes gráficas es una función?
I) II)
a) Ninguna b)Las dos c) I d) II
64
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
INDICACIÓN: Para los siguientes problemas selecciona la opción que los represente en forma algebraica.
1. El triple de la quinta parte de un número
a)
3
5
𝑥2 b)
3
7
𝑥 c)
3
5
𝑥 d)
3
5𝑥
2. La razón de dos números sumado con su producto
a) (𝑥)(𝑦) + 2𝑥 b) 𝑥𝑦 +
𝑥
𝑦
c) 𝑥𝑦 −
𝑥
𝑦
d)
𝑥
𝑦
+ 2𝑦
3. Juan tiene 20 dulces más que Marco
a) 𝐽 + 20 = 𝑀
b) 𝐽 − 20 = 𝑀
c) 20𝐽 = 𝑀
d) 𝑀 = 20𝐽
4. Hace 10 años la edad de María era el doble que la de Andrea
a) 𝑀 − 10 = 2𝐴
b) 𝑀 + 10 = 2𝐴
c) 𝑀 − 10 = 2(𝐴 − 10)
d) 𝑀 + 10 = 2(𝐴 + 10)
5. Si x son las decenas y y las unidades de un número de dos dígitos. ¿Cómo se escribe este?
a) 𝑋 + 𝑌
b)
𝑋
10
+
𝑌
1
c) 10𝑋 + 𝑌
d) 10𝑌 + 𝑋
6. El perímetro de un rectángulo de lados a y b.
a) 𝑎 + 𝑏 b) 𝑎𝑏 c) 2𝑎 + 4𝑏 d) 2𝑎 + 2𝑏
7. El área de un rectángulo de lados a y b.
a) 𝑎 + 𝑏 b) 𝑎𝑏 c) 2𝑎 + 4𝑏 d) 2𝑎 + 2𝑏
8. El área de un rectángulo de lados a y b si se aumenta en dos a y en 3 b.
a) 𝑎 + 𝑏
b) 𝑎𝑏
c) 𝑎 + 3 + 𝑏 + 4
d) (𝑎 + 2)(𝑏 + 3)
9. Tengo el doble de naranjas que de limones
a) 𝑙 = 2𝑛 b) 𝑙 = 𝑛2 c) 𝑛 = 2𝑙 d) 𝑛 = 𝑙2
10. Tengo el doble de manzanas que de plátanos y uvas juntos
a) 2𝑚 = 𝑝 + 𝑢
b) 𝑝 + 𝑢 = 𝑚2
c) 𝑚 = 2𝑝 + 𝑢
d) 𝑚 = 2(𝑝 + 𝑢)
11. El pago para colocar loseta en una casa se calcula con el cuadrado de la suma de 2/3 del área del piso y cinco
veces el número de trabajadores. ¿Cuánto se debe pagar?
a) 𝑝 = (
2
3
𝑎 + 5𝑛)
2
b) 𝑝 = (
2
3
𝑎)
2
+ (5𝑛)2
c) 𝑝 =
2
3
𝑎 + 5𝑛
d) 𝑝 =
2
3
𝑎 + 5
12. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?
a) 2𝑎 + 4𝑎 = 30 b) 𝑏 + 2𝑎 = 15 c) 2𝑏 − 4𝑎 = 30 d) 𝑏 − 2𝑎 = 30
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
65
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
13. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y
mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?
a) ℎ + 2ℎ + 3ℎ = 96
b) ℎ +
ℎ
2
+
ℎ
2
= 96
c) ℎ + 2ℎ + 3(ℎ + 𝑚) = 96
d) ℎ +
ℎ
2
−
ℎ+𝑚
3
= 96
14. ¿Qué ecuación representa el siguiente problema?: Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38
y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.
a) 𝑥 −
7
8
+ 38 =
3
5
𝑥
b) 𝑥 −
7
8
𝑥 + 38 =
3
5
c) 𝑥 −
7
8
𝑥 + 38 =
3
5
𝑥
d) 𝑥 −
7
8
𝑥 + 38𝑥 =
3
5
𝑥
15. El perímetro de un rectángulo tiene 22 cm. Al aumentar 3 cm una de las dimensiones del rectángulo y 2
centímetros la otra su área aumenta 32 cm2. Encuentra las longitudes de los lados de este rectángulo.
a)
𝑥 + 𝑦 = 11
2𝑥 + 3𝑦 = 26
b)
𝑥 + 𝑦 = 22
𝑥𝑦 = 32
c)
𝑥 + 𝑦 = 11
𝑥𝑦 = 32
d)
2𝑥 + 2𝑦 = 22
𝑥𝑦 + 32 = (𝑥 + 3)(𝑦 + 2)
16. Averigua la edad del padre de Isabel sabiendo que el número de años que tiene es 6 veces la suma de sus cifras
y que hace 9 años el número de años que tenía constaba de las mismas cifras que las de la edad que tiene ahora.
a)
𝑥𝑦 = 6(𝑥 + 𝑦)
10𝑥 + 𝑦 − 9 = 10𝑥 + 𝑦
b)
10𝑥 + 𝑦 = 6(𝑥 + 𝑦)
10𝑥 + 𝑦 − 9 = 10𝑦 + 𝑥
c)
10𝑥𝑦 = 6(𝑥 + 𝑦)
10𝑥 + 𝑦 − 9 = 10𝑥 + 𝑦
d)
10𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦)/6
10𝑥 + 𝑦 + 9 = 10𝑦 + 𝑥
17. Selecciona la opción que represente la siguiente ecuación:
1
2
𝑥 +
1
6
𝑦 =
1
𝑥
a) La mitad de un número más la sexta parte de otro da como resultado el reciproco del segundo
b) El doble de un número más el séxtuplo de otro da como resultado el reciproco del segundo
c) La mitad de un número más la sexta parte de otro da como resultado el reciproco del primero
d) La mitad de un número más el séxtuplo de otro da como resultado el reciproco del primero
18. La suma de dos números es 240. La razón del mayor entre el menor da un cociente de 3 y un resto de 8.
¿Cuáles son los números?
a)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥
𝑦
= 3 +
8
𝑦
b)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥
𝑦
=
3
𝑦
c)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥 − 3𝑦 = 8
d)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥
𝑦
=
8
𝑦
66
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
INDICACIÓN: Resuelve las siguientes operaciones de expresiones algebraicas.
1. 12mn − 24mn − 4nm =
a) 16mn b) -16mn c) 12mn d) -12mn
2. 25ax+1 − 54ax+1 =
a) −29a2x+2
b) −79ax+1
c) 29ax+1
d) −29ax+1
3. a3 + a + a2 + 5 + 7a2 + 4a − 8a2 − 6 =
a) 2a3 + 5a − 1 b) a3 − 5a − 1 c) a3 + 5a − 1 d) a3 + 5a + 1
4. Sumar – am + 6mn − 4s; 6s − ma – 5nm; − 2s – 5nm + 3am =
a) 2am − 4mn b) am + 4mn c) am − mn d) am − 4mn
5. De x2 + y2 − 3xy restar −y2 + 3x2 − 4xy =
a) −2x2 + 2y2 + xy b) −2x2 − 2y2 + xy c) −2x2 + 2y2 − xy d) −x2 + 2y2 + xy
6. De la suma de ab + 7bc + ac con −7bc + 8ac − 9 restar la suma de 4ac − 3bc + 2ab con 3bc + 5ac −
ab =
a) −9 b) 0 c) 9 d) ab + 7bc + ac
7. Sustrae la suma de a − 1; a2 + 2; 2a2 − a de la suma de 3a2 − a + 5; 2a − 3; a − 2
a) 2a − 1 b) −2a − 1 c) a − 1 d) 2a + 1
8. Restar la suma de x4 + x2 − 3; −3x + 5 − x3; −5x2 + 4x + x4de la suma de −7x3 − 4x2 − 3x + 4 con
2x2 − 2=
a) −2x4 − 6x3 + 2x2 + 4x
b) −2x4 − 6x3 + 2x2 − 4x
c) −2x4 − 6x3 − 2x2 − 4x
d) −2x4 − 3x3 + 2x2 − 4x
9. 2a − {−3x + 2[−a + 3x − 2(−a + x − a)]} =
a) 4a − x b) 4a + x c) −4a + x d) 2a + x
10. x2 − 4xy + 3 por 3x =
a) 3x3 + 12x2y + 9x
b) 3x3 − 12x2y − 9x
c) 3x3 − 12x2y + 6x
d) 3x3 − 12x2y + 9x
11. x2 + xy + y2 por x − y =
a) x3 − y3 b) x3 + y3 c) -x3 − y3 d) 2x3 − 2y3
12. (a + b − c)(a − b + c) =
a) a2 − b2 − c2 − 2bc
b) a2 + b2 − c2 + 2bc
c) a2 − b2 − c2 + 2bc
d) a2 − b2 + c2 + 2bc
13. 3x3 − a3 + 2ax2 por 2a2 − x2 − 3ax =
a) −3x5 − 11ax4 + 5a3x2 + 3a4x − 2a5
b) −3x5 + 11ax4 + 3a3x2 + 3a4x − 2a5
c) 3x5 − 11ax4 + 3a3x2 − 3a4x + 2a5
d) 3x5 − 11ax4 + 3a3x2 − 3a4x − 2a5
14. 54xy2z3 − 36x5y2z4 entre − 6xyz =
a) 6x4yz3 − 9yz2 b) 6x4yz3 + 9yz2 c) 3x4yz3 − 9yz2 d) −6x4yz3 − 9yz2
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.2.2 PROCESOS DE SIMPLIFICACIÓN
67
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
15. 5n2 − 11mn + 6m2entre m − n =
a) 6m + 5n b) 6m − 5n c) −6m − 5n d) 3m − 5n
16. y6 − 64 ÷ y2 − 4 =
a) y4 − 4y2 + 16 b) y4 + 4y2 − 16 c) y4 − 4y2 − 16 d) y4 + 4y2 + 16
17. x4 − x2 − 2x − 1 entre x2 − x − 1 =
a) x2 − x + 1 b) x2 + x − 1 c) x2 + x + 1 d) x2 − x − 1
18. {– (x2 − 3) + (x − 1)(x + 3)} ÷ x =
a) 0 b) −2 c) 1 d) 2
19. [(2x2 − x) − (x2 + 2x)] ÷ x(x + 2) =
a) 1 −
5x
x2+2x
b) 1 +
5x
x2+2x
c) −1 −
5x
x2+2x
d) −1 +
5x
x2+2x
20. [(x − 1)x − 2(x − 1)] ÷ (x − 2) =
a) x − 1 b) −x − 1 c) x + 1 d) x − 2
68
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Selecciona la opción que representa el desarrollo de los productos notables.
1. ¿Con cuál producto notable se simplifica la siguiente expresión: (𝑥 − 5)3?
a) Binomio al cuadrado
b) Binomio al cubo
c) Binomio conjugado
d) Binomio con un término común
2. (x −
1
5
) (x +
1
5
) =
a) x2 −
1
25
b) 2x c) x2 +
1
25
d) x2 −
2
25
3. (A − B)2 =
a) A2 + B2 b) A2 − B2 c) A2 − 2AB + B2 d) A2 + 2AB + B2
4. Selecciona los pasos adecuados para realizar un Binomio al cuadrado (𝐴 + 𝐵)2
1. Cuadrado del segundo término
2. El doble del primer término
3. El cuadro del primer término
4. El doble del primero por el segundo término
a) 1,2,3 b) 3,2,1 c) 2,4,1 d) 3,4,1
5. (x + 3)(x − 5) =
a) x2 + 2x − 2 b) x2 − 2x − 15 c) 2x − 2 d) x2 + 2x − 15
6. ¿Cuál es el tercer término de (x − 2)6 ?
a) 60x4 b) -60x4 c) 60x6 d) 12x6
7. (1 − 2x)3 =
a) 1 − 8x3 b) 1 + 8x3 c) 1 + 6x − 12x2 − 8x3 d) 1 − 6x + 12x2 − 8x3
8. ¿Cuál es el cuarto término en (2x3 + y2)5 ?
a) 40x6y6
b) −40x6y6
c) 40x5y6
d) 40x6y5
9. (x2y2 − 1) (x2y2 + 7) =
a) x4y4 + 6x2y2
b) x4y4 + 6x2y2 − 7
c) x4y4 − 7
d) x4y4 − 6x2y2 + 7
10. [5y − 1][5y + 1] =
a) 25y2 − 1 b) 25y2 − 5 c) 25y2+ 1 d) y2 − 1
11. (2x − 3)2 =
a) 4x2 − 12x + 9 b) 4x2 + 12x + 9 c) 4x2 − 9 d) 4x2 + 9
12. ¿Con cuál producto notable se simplifica la siguiente expresión: (2x − 2)(2x − 3)?
a) Binomio al cuadrado
b) Binomio al cubo
c) Binomio conjugado
d) Binomio con un término común
13. Es una expresión equivalente a: 𝑥2 − 1
a) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) b) (𝑥 − 1)2 c) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) d) (𝑥 + 1)2
14. Es una expresión equivalente a: 𝑥2 − 6𝑥 − 9
a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) b) (𝑥 − 3)2 c) (𝑥 − 3)(𝑥 + 9) d) (𝑥 + 3)2
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.2.3 PRODUCTOS NOTABLES
69
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
15. Es una expresión equivalente a: 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27
a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
b) (𝑥 − 3)2
c) (𝑥 − 3)(𝑥 + 9)
d) (𝑥 + 3)3
16. Es una expresión equivalente a: 𝑥2 + 6𝑥 − 27
a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
b) (𝑥 − 3)2
c) (𝑥 − 3)(𝑥 + 9)
d) (𝑥 + 3)3
17. ¿Con cuál producto notable se simplifica la siguiente expresión: (𝑥 − 5)3?
a) Binomio al cuadrado
b) Binomio al cubo
c) Binomio conjugado
d) Binomio con un término común
18. (x − 100)(x + 100) =
a) x2 − 100
b) x − 100
c) x2 + 1,000
d) x2 − 10,000
19. Selecciona los pasos adecuados para realizar un Binomio al cuadrad(𝐴 + 𝐵)3
1. Más el cubo del segundo término
2. El triple del primer término por el cuadrado del segundo
3. El cubo del primer término
4. El triple del cuadrado del primer término por el segundo término
a) 1,2,3,4 b) 4,3,2,1 c) 3,2,4,1 d) 3,4,2,1
20. (x + 6)(x − 8) =
a) x2 + 2x − 2
b) x2 − 2x − 48
c) 2x − 2
d) x2 − 2x − 2
70
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
1.
1152
023
qp
qp
a) p=-2 y q=3 b) p=2 y q=3 c) p=-2 y q=-3 d) p=2 y q=-3
2.
a) x=-6,-2 b) x=6,-2 c) x=6,2 d) x=6,-1
3.
4
56
3
34
xx
a) x=3/2 b) x=-3 c) x=-3/2 d) x=-4/2
4.
a) t=4, 3 b) t=2,-3 c) t=4,-6 d) t=4,-3
5. )1(23224 xxx
a) x=1 b) x=-1 c) x=0 d) x=2
6.
a) x=1,2 b) x=0,2 c) x=0,-2 d) x=0,4
7.
ab
ba
978
113215
a) a=2/3 b=-2 b) a=-2/3 b=2 c) a=2/3 b=2 d) a=2/3 b=3
8.
a) z=3,4 b) z=3,-6 c) z=1,-3 d) z=3,-3
9.
1325
63
yx
yx
a) x=3 y=1 b) x=-9 y=-1 c) x=-3 y=-1 d) x=9 y=-2
10.
a) k=-2, -1 b) k=-1/2, -1 c) k=-1, -1 d) k=1/2, -1
11. 3(x − 3) + 5 ≥ x
a) x = (2, +∞)
b) x = (−2, +∞)
c) x = [2, +∞)
d) x = (−∞, 2]
12. 2365111042 xxxx
a) x=2 b) x=-1 c) x=0 d) x=1
13. 24523 xxx
a) x=5 b) x=-5 c) x=-25 d) x=-15
01242 xx
662 tt
xx 63 2
092 z
)1(54)1(2 kkk
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.2.3 ECUACIONES
71
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
14. (x − 2)(x + 2) = [2 − (2x + 3)]
a) x=3,1 b) x=-3,-1 c) x=-3,1 d) x=3,-1
15. El valor de x en
2x
5
+
1
4
=
x
2
−
1
3
es:
a) x =
35
26
b) x =
35
6
c) x =
25
30
d) x =
6
35
16. La solución de la ecuación 4x2 − 16 = 0
a) x=4,-4 b) x=-2, 2 c) x= 0,-4 d) x=2,4
17. Resolver x2 − [x − (2x2 + 1)] = −(−7 + 8x)
a) x=-3, 2/3 b) x=-3, -2/3 c) x=-3, -2 d) x=-3/2, 2/3
18. Encontrar el valor de x en (x − 1)(x + 2) − 2x(x + 3) = −2
a) x=0,-5 b) x= 0,-7 c) x=4,-7 d) x=0,7
19. Los valores de p y q que solucionan el sistema
p
9
+
q
7
= 10
p
3
+ q = 50
a) p=45 q=35 b) p=43 q=40 c) p=-45 q=35 d) p=-45 q=-35
20. Encontrar el valor de z en (z − 3)2 − (2z + 1)2 − 3z(2 − z) = 0
a) z=-1/2 b) z=1 c) z=1/2 d) z=0
21. (x + 1)2 = (x + 1)(x − 1)
a) x=-1 b) x=1 c) x=0 d) x=2
22. −{−4y + [−(−2y − 1)]} = 5y − (1 + 2y)
a) y=2 b) y=-2 c) y=1 d) y=0
23. Relaciona según corresponda
ECUACIÓN GRAFICA
1) Primer Grado con una incógnita A) Parábola Vertical
2) Segundo Grado con una incógnita B) Línea Recta Vertical
3) Primer grado con dos incógnitas C) Dos Líneas Rectas
a) 1A, 2B, 3C b) 1C, 2B, 3A c) 1B, 2A, 3C d) 1B, 2C, 3A
24. Un sistema de ecuaciones tiene ______________ soluciones cuando sus rectas _________
a) Infinitas, son la misma
b) cero soluciones, son diagonales
c) sin solución, se cortan en un punto
d) una solución, paralelas
25. El sistema de ecuaciones 5x + 7y = 5 y 6x + 9y = 25 tiene ____________ solución(es).
a) Una b) Dos c) Infinitas d) Ninguna
26. La ecuación x2 − 6x + 9 = 0 tiene __________ raíces
a) una b) Dos c) Tres d) No tiene
27. El sistema de ecuaciones x + 3y = 5 y 6x + 18y = 25 tiene ____________ solución(es).
a) Una b) Dos c) Infinitas d) Ninguna
28. La Ecuación x2 − 6x + 1 = 0 tiene ___________ raíces
a) Una
b) Dos
c) Tres
d) No tiene
72
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. ¿Cuál de las siguientes representaciones NO es una relación funcional?
a) (1,2) (2,3) (3,5) (4,7)
b) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
c) (1,-2) (2,-3) (3,-1) (4,-7)
d) (1,2) (2,3) (2,5) (4,7)
2. ¿Cuál de las siguientes representaciones NO es una relación funcional?
a) 𝑦 = 2𝑥 + 1
b) 𝑦 = 3
c) 𝑥 = 2
d) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
3. ¿Cuál de las siguientes representaciones NO es una relación funcional?
a) (4,2) (7,3) (5,5) (2,7)
b) (1,1) (2,2) (3,3) (4,4)
c) (1,2) (1,3) (3,5) (4,7)
d) (1,2) (2,3) (3,5) (4,7)
4. El __________ de una función es el conjunto de todos los valores posible de la variable
___________
a) Dominio, y b) Rango, x c) Paralela y d) Dominio x
5. El __________ de una función es el conjunto de todos los valores posible de la variable
___________
a) Dominio, y
b) Domino, principal
c) Rango, dependiente
d) Rango, Independiente
6. Relaciona la siguiente gráfica con su respectiva función
a) 𝑦 = −𝑥
b) 𝑦 = 2
c) 𝑦 = 𝑥
d) 𝑦 = 𝑥2
Para las preguntas del 7-10 observa la parábola de la derecha
7. ¿Cuál es el rango?
a) 𝑹 = (𝟐, ∞)
b) 𝑹 = [−𝟑, +∞)
c) 𝑹 = (−𝟑, ∞)
d) 𝑹 = (−∞, −𝟑)
8. ¿Cuál es el Dominio?
a) 𝑹 = (𝟐, ∞)
b) 𝑹 = (−𝟑, ∞)
c) 𝑹 = (−∞, ∞)
d) 𝑹 = (−∞, −𝟑)
9. El coeficiente principal de la parábola anterior es:
a) Positivo b) Negativo c) Cero d) Desconocido
10. Número de raíces de la parábola anterior
a) 1 b) 2 c) 3 d) 0
11. Selecciona la opción que relaciona de manera correcta los signos e inclinación de la siguiente recta
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Recuerda que la inclinación 𝑚 = −
𝐴
𝐵
SIGNOS INCLINACIÓN
1. A<0, B>0 a) Creciente
2. A>0, B>0 b) Decreciente
3. A<0, B>0 c) Horizontal
4. A>0 B<0 d) Vertical
a) 1a b) 2d c) 4c d) 3b
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.2.4 REPRESENTACIONES GRÁFICAS
73
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
12. La siguiente grafica pasa en el (2,0) en el eje X y en el (0,-3) en el eje Y. Halla la ecuación de la
recta en su forma pendiente-ordenada al origen.
a) 𝒚 =
𝟑
𝟐
𝒙 + 𝟐 b) 𝒚 =
𝟑
𝟐
𝒙 − 𝟑 c) 𝒚 =
𝟐
𝟑
𝒙 + 𝟑 d) 𝒚 = −
𝟑
𝟐
𝒙 − 𝟑
13. Para verificar si una gráfica es grafica de una función se debe trazar una línea ______________
encima de tal manera que no importa donde se coloque siempre corte ____________ la gráfica.
a) Horizontal, una vez
b) Vertical, una vez
c) Horizontal, dos veces
d) Vertical, dos veces
14. Verifica si la siguiente grafica es gráfica de una función:
a) Si es
b) No es
c) No se puede determinar
d) Solo es en x
15. La función 𝑦 = 2𝑥 − 1 tiene como dominio
a) (−∞, +∞)
b) (0, +∞)
c) (−∞, 0)
d) No tiene
16. La función 𝑦 = 𝑥2 + 2 tiene como Rango
a) (−2, ∞)
b) (2, +∞)
c) (−∞, 2]
d) [2, +∞)
17. La función y = −1 tiene como dominio
a) (−∞, +∞)
b) (1, +∞)
c) (−∞, 1)
d) {1}
18. La función y = x2 + 2 tiene como Dominio
a) (−2, ∞)
b) (−∞, +∞)
c) (−∞, 2]
d) [2, +∞)
74
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.2.1 Expresiones Algebraicas
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Selecciona la opción que representa el siguiente sistemade ecuaciones:
𝑥 + 𝑦 = 240
1.10𝑥 + 0.80𝑦 = 250
a) La suma de dos números es 240. Si aumentamos 10% al primero más el segundo descontado en
un 20% obtenemos 250.
b) La suma de dos números es 240. Si descontamos 10% al primero más el segundo en un 80% de
descuento obtenemos 250.
c) La resta de dos números es 240. Si aumentamos 10% al primero más un 80% de descuento del
segundo obtenemos 250.
d) La suma de dos números es 240. Si aumentamos 20% al primero más un 10% de descuento del
segundo obtenemos 250.
2. La expresión 2𝑥3 − 5𝑥3𝑦 + 7𝑥𝑧 tiene grado absoluto:
a) 3 b) 4 c) 1 d) 2
3. Para calcular el calor latente de vaporización Q se tiene la función 𝑃 =
𝐴+√𝐿
𝑇
. Al despejar L en
esta relación se obtiene:
a) (𝑃𝑇 − 𝐴)2 b) √𝑃𝑇 − 𝐴 c) √𝑃𝑇-A d) PT+A
4. La corriente a través del inducido de un generador está dada por la función: 𝐼 =
𝐸−𝑉
𝑡
¿cómo se lee
algebraicamente?
a) La corriente es el resultado de la comparación de electricidad con el tiempo
b) Si se divide la resta de electricidad con voltaje da como resultado la intensidad
c) La corriente inducida es la razón entre la diferencia de la electricidad y el voltaje con respecto al
tiempo
d) La corriente por el tiempo da como resultado la electricidad
5. De la función de temperatura 𝑇 =
1
𝑥2
+ 𝑡 si x es el área ¿cómo se lee en lenguaje algebraico?
a) La temperatura es igual al área más el tiempo
b) La temperatura es igual al cuadrado del área entre uno más el tiempo
c) La temperatura es igual al reciproco del cuadrado del área más el tiempo.
d) La razón entre el área al cuadrado y el tiempo da como resultado la temperatura
6. La suma de dos números es 240. Si se divide el número mayor por el menor, el cociente es 3 y el
resto es 8. ¿Cuáles son los números?
a)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥
𝑦
= 3 + 8𝑦 b)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥
𝑦
= 3 +
8
𝑦
c)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥 + 3𝑦 = 8
d)
𝑥 + 𝑦 = 240
𝑥 + 8𝑦 = 3
75
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
7. Selecciona la opción que represente el siguiente problema: Para el rally anual que se celebra en
XOOK, el profesor Erik ha comprado 10 paquetes de dulces “pelón pelo rico” y 6 paquetes de dulces
“rockaleta” por los cuales pago 137 pesos. Sin embargo, el profesor Julio también compró los
mismos dulces, en su caso adquirió 8 paquetes de dulces “pelón pelo rico” y 9 paquetes de dulces
“rockaleta” por los cuales pago 160 pesos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta con
respecto a los paquetes de dulces?
a)
10𝑥 + 6𝑦 = 137
8𝑥 + 9𝑦 = 160
b)
10𝑥 − 6𝑦 = 137
8𝑥 − 9𝑦 = 160
c)
10𝑥 + 6𝑦 = 137
9𝑥 + 8𝑦 = 160
d)
𝑥 + 𝑦 = 137
𝑥 + 𝑦 = 160
8. Juan recibió de sus padres una cierta cantidad de dinero para comer durante 40 días. Si 𝑥 representa el
dinero total que recibió y 𝑦 representa el gasto diario entonces
𝑥
𝑦
= 40 Sin embargo, encontró sitios
en donde pudo ahorrar 4 pesos al día en la comida. De esta forma, el presupuesto inicial le duró 60
días. ¿Qué ecuación representa este cambio?
a) (𝑥)(4𝑦) = 60 b)
𝑥
𝑦
= 60 c)
𝑥
𝑦−4
= 60 d) (𝑥)(𝑦 − 4) = 60
9. La expresión 2x3 − 5x3y + 7xz según el número de términos recibe el nombre de:
a) Monomio b) Binomio c) Trinomio d) Polinomio
10. Selecciona la opción que representa algebraicamente el siguiente problema: “La longitud de un
campo rectangular es 20 𝑚 mayor que la anchura. Hállese la longitud, sabiendo que la superficie es
de 2400 𝑚2”
a) (𝑥)(𝑥 − 20) = 2400
b) (𝑥)(𝑦) = 2400
c) 𝑥 + 𝑥 + 20 = 2400
d) (𝑥)(𝑥 + 20) = 2400
76
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.2.2 Procesos de simplificación
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. ¿Cuál es el resultado de la suma
2𝑧
3𝑥
+
4𝑧
3𝑥
a) 2𝑧
b)
2𝑧
3𝑥
c)
2𝑧
𝑥
d)
𝑧
𝑥
2. El resultado de efectuar la operación (5x)(4x + 3x2y2) es:
a) 20𝑥2 + 15𝑥3𝑦3
b) 20𝑥2 − 15𝑥3𝑦2
c) 20𝑥2 + 15𝑥3𝑦2
d) 9𝑥2 + 15𝑥3𝑦3
3. Si de 6x2+ 7m –4y2 restamos 2x2 +6y2 –2m se obtiene:
a)4𝑥2 + 7𝑚 b) 4𝑥2 − 10𝑦2 + 9𝑚 c) 4𝑥2 − 10𝑦2 + 5𝑚 d) 4𝑥2 + 2𝑦2
4. Es el producto (4𝑥 + 5)(3𝑥 − 2) es
a) 12𝑥2 − 7𝑥 − 10 b) 12𝑥2 + 7𝑥 − 10 c) 12𝑥2 − 14𝑥 − 10 d) 12𝑥2 + 14𝑥 − 10
5. La suma de 5𝑥2 + 𝑚 – 8𝑦2 + 1 con 3𝑥2 + 4𝑚 + 2𝑦2 da como resultado:
a)8𝑥2 + 5𝑚 − 10𝑦2
b)6𝑥2 − 5𝑚 − 10𝑦2
c) 8𝑥2 + 5𝑚 − 6𝑦2
d) 𝑥2 + 5𝑚 − 10𝑦2
6. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a la adición de 2𝑥 + 1 con −4 + 𝑥
a) 3𝑥 − 1 b) 3𝑥 − 3 c) −2𝑥 + 2𝑥 d) 𝑥
7. Si tengo r + s + t y pierdo la suma de 6r + 8s − 9t con 7t − 3s − 2r al final me quedo con:
a) 3r − 4s + 3t b) 3r − 4s − 3t c) −3r − 4s + 3t d) −3r + 4s + 3t
8. Al dividir x4 − 1 entre x2 − 1 se obtiene
a) 𝑥2 + 𝑥 + 1 b) 𝑥2 − 1 c) 𝑥2 + 1 d) 𝑥2 − 𝑥 + 1
9. ¿Cuál es el resultado de la expresión 𝑥 =
𝑥(𝑥4)5
𝑥17
a) 𝑥2
b) 𝑥4
c) 𝑥3
d) 𝑥
10. ¿Qué expresión divide al polinomio 𝑥2 − 2𝑥 − 3 para obtener x+1?
a) x − 3 b) x + 3 c) 𝑥2 − 2𝑥 − 2 d) 𝑥 − 2
77
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.2.3 Productos Notables
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. ¿Con cuál producto notable se simplifica la siguiente expresión: (𝑥 − 5)(𝑥 − 3)?
e) Binomio al cuadrado
f) Binomio al cubo
g) Binomio conjugado
h) Binomio con un término común
2. Binomio con un término común(𝐴 + 𝐵)2 =
a) 𝐴2 + 𝐵2 b) 2𝐴 + 2𝐵 c) 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 d) 𝐴2 − 𝐵2
3. (2𝑥 + 3)(2𝑥 − 3) =
a) 4𝑥2 − 6 b) 4𝑥 c) 4𝑥2 − 9 d) 4𝑥2 − 6𝑥 + 9
4. ¿Cuál es el coeficiente del segundo término de (2𝑎 − 9)5 es
a) -720 b) 720 c) 18 d) -18
5. El tercer término de (−8𝑥2 + 10𝑦3)3 es
a) −2400𝑥2𝑦6 b) 2400𝑥2𝑦6 c) 300𝑥𝑦 d) 80xy
6. Simplifica (2x − 1)(2x + 1) =
a) 4𝑥 − 1
b) 4𝑥 + 1
c) 4𝑥2 − 1
d) 4𝑥2 + 1
7. ¿Con cuál producto notable se simplifica la siguiente expresión: (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)?
a) Binomio al cuadrado
b) Binomio al cubo
c) Binomio conjugado
d) Binomio con un término común
8. Simplifica (2x − 1)(2x + 5) =
a) 4𝑥 − 1 b) 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 c) 4𝑥2 − 1 d) 4𝑥2 + 8𝑥 − 5
9. ¿Con cuál producto notable se simplifica la siguiente expresión: (𝑥 − 5)(𝑥 − 3)?
a) Binomio al cuadrado
b) Binomio al cubo
c) Binomio conjugado
d) Binomio con un término común
10. Es la expresión equivalente a 𝑥2 + 4𝑥 + 4
a) (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
b) (𝑥 + 2)2
c) (𝑥 + 1)3
d) (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
78
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.2.4 Ecuaciones
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Es la solución de la ecuación 3(7𝑥 − 2) = 11 + 4(4𝑥 − 3)
a) 𝑥 = 1 b) 𝑥 = −1 c) 𝑥 = 2 d) 𝑥 = −2
2. Es la solución de la ecuación 1
3
4
𝑥 − 2
2
3
= 1
1
3
𝑥 −
1
6
a) 6 b) 3 c) 30 d) 4
3. Son las soluciones o raíces de la ecuación 2𝑥2 + 3𝑥 = 2
a) 𝑥1 = −0.5; 𝑥2 = 2
b) 𝑥1 = 0.5; 𝑥2 = −2
c) 𝑥1 = 0.5; 𝑥2 = 2
d) 𝑥1 = −0.5; 𝑥2 = −2
4. ¿Cuál es la ecuación equivalente a 9𝑥 + 7𝑦 = 4
a) 7𝑥 + 4𝑦 = 4
b) 9𝑥 − 7𝑦 = 4
c) 28𝑥 − 36𝑦 = 16
d) 36𝑥 + 28𝑦 = 16
5. ¿Cuál es un valor de x que satisface la desigualdad 2𝑥 − 2 > 7 − 𝑥
a) (3, +∞)
b) [3, +∞)
c) (−∞, −3)
d) (−∞, −3]
6. Los valores que dan respuesta a la ecuación 4x2 +3x –22 = 0 son
a) −
11
4
𝑦 2 b) −
11
4
𝑦 − 2 c)
11
4
𝑦 2 d)
11
4
𝑦 − 2
7. La solución del sistema
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 1
es:
a) x= 1; y= 1 b) x= 0; y= 1 c) x= 2; y= 1 d) x= 1; y= 0
8. Los valores que resuelven el siguiente sistema son:
10𝑥 + 2𝑦 = 𝑥 − 𝑦
2𝑥 − 2𝑦 = 𝑦 + 22a) 2 𝑦 − 6 b) −2 𝑦 − 6 c) 6 𝑦 − 2 d) 𝑂𝑡𝑟𝑎
9. Determina las soluciones (o raíces) para la siguiente ecuación: 2𝑥2 − 17𝑥 = 𝑥2 + 60
a) 𝑥1 = −20; 𝑥2 = −3
b) 𝑥1 = −20; 𝑥2 = 9
c) 𝑥1 = 20; 𝑥2 = −3
d) 𝑑) 𝑥1 = −10; 𝑥2 = 3
10. ¿A qué ecuación se refiere cada grafica?
1 2 3
a) 𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎 b) 𝟓𝒙 − 𝟖 = −𝟒 + 𝟑𝒙 c) −𝒙 + 𝒚 = 𝟐
𝒙 + 𝒚 = 𝟒
a) 1a, 2b, 3c b) 1c, 2b, 3a c) 1c, 2a, 3b d) 1b, 2a, 3c
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.2.5 Representaciones gráficas
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Selecciona la opción que no sea una relación funcional:
a) 𝑦 = 3𝑥 + 3
b) (1,3) (2,3), (3,3) (4,3)
c) (1,3) (2,2), (1,5) (3,3)
d) (1,1) (2,2), (3,3) (4,4)
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) El dominio se obtiene con la variable y
b) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una función cuadrática
c) y=2 No es función
d) En 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 la m es la pendiente
3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a la gráfica de la línea recta que a
continuación se te muestra con intersecciones en (-2,0) en el eje X y (0,-1) en el eje Y:
a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 1 c) 𝑦 =
1
2
𝑥 + 1 d) 𝑦 = −
1
2
𝑥 − 1
4. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a una función?
5. Según la definición de Dominio, este es el conjunto de valores que son posible de la
variable______________________
a) Dependiente b) Inversa c) Independiente d) Opuesta
6. Sea 𝑓(𝑥) = 5 el valor de 𝑓(1) es
a) 5 b) 1 c) 2 d) 0
7. Según la definición de Rango, este es el conjunto de valores que son posible de la
variable______________________
a) Dependiente b) Inversa c) Independiente d) Opuesta
8. Sea 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 + 5 el valor de 𝑓(1) es
a) 5 b) 1 c) 2 d) 0
9. Sea 𝑓(𝑥) = 3 el rango de 𝑓(𝑥) es
a) 𝑅 = (−∞, 3)
b) 𝑅 = {0}
c) 𝑅 = {3}
d) 𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒
10. Según la definición de función es una Relación donde a cada valor de la variable
____________ se le asigna un valor de la variable ______________.
a) Dependiente,
Independiente
b) Uno, Dos c) Independiente,
Dependiente
d) Dos, uno
80
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
RESPUESTAS 1.2 Pensamiento Algebraico
1.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1 c 3 a 5 a 7 c 9 d
2 c 4 b 6 a 8 b
1 c 3 b 5 c 7 b 9 c 11 a 13 c 15 d 17 c
2 b 4 c 6 d 8 d 10 d 12 a 14 c 16 b 18 a
1.2.2 PROCESOS DE SIMPLIFICACIÓN
1 b 3 b 5 c 7 b 9 c
2 a 4 a 6 d 8 a 10 a
1 b 3 c 5 a 7 a 9 c 11 a 13 a 15 b 17 c 19 a
2 d 4 d 6 a 8 b 10 d 12 c 14 a 16 d 18 d 20 a
1.2.3 PRODUCTOS NOTABLES
1 b 3 c 5 c 7 d 9 a
2 d 4 d 6 d 8 d 10 c
1 b 3 c 5 b 7 d 9 b 11 a 13 a 15 d 17 b 19 d
2 a 4 d 6 a 8 a 10 a 12 d 14 b 16 c 18 d 20 b
1.2.4 ECUACIONES
1 a 4 c 7 a 10 c 13 a
2 b 5 c 8 a 11 d 14 c
3 c 6 d 9 d 12 b
1 a 4 d 7 c 10 b 13 a 16 b 19 a 22 d 25 a 28 d
2 b 5 a 8 d 11 c 14 b 17 a 20 c 23 c 26 a
3 c 6 b 9 a 12 d 15 b 18 a 21 a 24 a 27 d
1.2.5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS
1 b 2 b 3 b 4 a 5 a 6 d 7 c 8 a 9 d
1 d 3 c 5 c 7 b 9 a 11 a 13 b 15 a 17 d
2 c 4 d 6 a 8 c 10 b 12 b 14 b 16 d 18 b
s
EVALUACIÓN 1.2.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1 a 3 a 5 c 7 a 9 c
2 b 4 c 6 b 8 c 10 d
EVALUACIÓN 1.2.2 PROCESOS DE SIMPLIFACIÓN
1 c 3 b 5 c 7 c 9 b
2 c 4 b 6 b 8 c 10 a
EVALUACIÓN 1.2.3 PRODUCTOS NOTABLES
1 d 3 c 5 a 7 a 9 d
2 c 4 a 6 c 8 d 10 b
EVALUACIÓN 1.2.4 ECUACIONES
1 a 3 b 5 a 7 d 9 c
2 a 4 d 6 a 8 a 10 c
EVALUACIÓN 1.2.5 REPRESENTACIONES GRAFICAS
1 c 3 d 5 c 7 a 9 c
2 d 4 a 6 a 8 a 10 c
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Ejercicios
complementarios
Ejercicios de práctica
Ejercicios de práctica
Ejercicios de práctica
Ejercicios
complementarios
Ejercicios
complementarios
Ejercicios
complementario
s
Ejercicios de práctica
Ejercicios de práctica
Ejercicios
complementarios
81
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
82
1.3 RAZONAMIENTO
PROBABILÍSTICO Y
ESTADÍSTICO
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Utilizar la estadística para el manejo de información y el uso de estimadores de
tendencia central. Asimismo, resolver problemas de conteo y determinar el cálculo de
probabilidades.
1.3.1 Frecuencias e información gráfica
1.3.2 Medidas descriptivas
1.3.3 Medida de posición
1.3.4 Nociones de probabilidad
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
84
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
UNIDAD 1.3 RAZONAMIENTO ESTADÍSTICO Y PROBABILÍSTICO
1.3.1 Frecuencias e información gráfica
Objetivo de sección
Ser capaz de identificar fácilmente los distintos tipos de información gráfica que se presente y
contestar preguntas relacionadas con éstas.
La palabra Estadística procede del vocablo “estado”, pues era función principal de los gobiernos de
los estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, etc. Hoy en día la mayoría
de las personas entienden por estadística al conjunto de tablas, gráficos que suelen graficar en los
periódicos, pero esto es inexacto.
La estadística se entiende como un método para tomar decisiones de ahí que se empleen en una
multitud de estudios.
Antes de iniciar, dentro de la Estadística es importante aprender la distinción entre dos conceptos:
Existen diversas cosas que pueden estudiarse con la estadística y cada una de esas cosas puede
tener diferentes valores es por ello por lo que se le asignó el nombre de VARIABLE.
Puesto que son diversas las variables que pueden estudiarse, es por ello por lo que se han tenido
que clasificar dependiendo de su tipo. Te presentamos como se ha hecho:
La estadística se ha dividido en dos partes:
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Que trata del recuento, ordenación y
clasificación de datos obtenidos por las observaciones. Se construyen tablas y se
representan gráficos, se calculan parámetros estadísticos que caracterizan la
distribución, etc.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Que establece previsiones y conclusiones
sobre una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra. Se apoya
fuertemente en el cálculo de probabilidades.
Población: es el conjunto de todos los elementos que cumplen una determinada
característica. Ejemplo: Alumnos del nivel primaria en todo México.
Muestra: Cualquier subconjunto aleatorio de toda la población. Ejemplo: Alumnos de
primaria de Mérida.
Variable estadística: Es el conjunto de valores que pueden tomar un dato que se va a
someter a estudio estadístico.
Puede ser de dos tipos:
Cualitativa: los valores de la variable son características o clasificaciones. Por
ejemplo: Alto, bajo, medio, etc.
Cuantitativa: Los valores de las variables son valores numéricos. A su vez se
clasifican en:
o Discreta: si se pueden tomar un número finito de valores: Ejemplo: No de
hijos.
o Continua: Si puede tomar todos los valores posibles dentro de un
intervalo. Ejemplo: temperatura, Altura, etc.
85
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.1.1 Gráficos para presentar información
Para hacer más clara y evidente la información que nos dan las tablas se utilizan los gráficos, los
cuales pueden ser:
Diagramas de barras
(Se usa para datos cualitativos y cuantitativos de tipo
discreto).
En el eje X se representan los datos (ordenados) que puedan
aparecer y en el eje Y se pueden representar frecuencias
absolutas, acumuladas o relativas según sea el interés del
investigador mediante barras.
.
Histograma
(Datos cuantitativos de tipo discreto con un gran número de
datos).
Se agrupan los datos en clases, y se cuenta cuantas
observaciones (frecuencia absoluta)hay en cada una de ellas.
Sobre el eje X van los datos (ordenados) y sobre el eje Y la
frecuencia. Los rectángulos deben ir pegados.
Polígono de frecuencia
Describe el comportamiento de la frecuencia de los intervalos que
agrupan a un conjunto de datos. Se grafica mediante una línea que
parte y termina del eje X (frecuencia cero) y va pasando por los
puntos medios de la parte superior de cada rectángulo del histograma.
Ojiva
Describe el comportamiento de la frecuencia
Acumulada del conjunto de datos. Se grafica
mediante una línea que parte en el eje X
(frecuencia cero) y va señalando los valores de la
frecuencia acumulada de los datos.
IMPORTANTE: Para el estudio de las variables, estas se pueden agrupar en datos
ordenados y datos agrupados.
Para efecto del EXANI II, únicamente haremos el estudio de los datos agrupados para
las medidas de posición.
86
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Diagrama circular (o pastel)
Grafica que hace referencia al porcentaje que hay de
cada uno de los datos. Para calcular la parte
proporcional que corresponde a cada dato se usa la
frecuencia relativa (𝑓𝑟) y dado que es un circulo que
contiene 360° se debe multiplicar la frecuencia relativa
por 360° para obtener los grados que correspondan a
cada dato, es decir,
(𝑓𝑟)(360°) = Grados de un sector circular.
El porcentaje que se muestra dentro de cada sector circular es la frecuencia relativa porcentual, y se
obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 100.
𝑓𝑟% = 𝑓𝑟 × 100
Diagramas de caja
Es un diagrama que representa la dispersión de los
datos de una muestra a través del uso de los
cuartiles. Aquí se te muestra un ejemplo en donde
se comparan dos diagramas de caja que hacen
referencia a dos tablas de datos:
Práctica abierta
INDICACIÓN: A partir de los siguientes datos genera las gráficas anteriores:
𝒙 𝒇 𝒇𝒂 𝒇𝒓
6 7 1-7 0.175
7 8 8-15 0.20
8 12 16-27 0.30
9 6 28-33 0.15
10 7 34-40 0.175
40 1
Q1=7 Q2=8 Q3=9 Q4=10
87
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.2 Medidas descriptivas
Objetivo de sección
Ser capaz de realizar rápidamente los cálculos de las medidas descriptivas de una colección de
datos.
1.3.2.1 Medidas de tendencia central
Las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, también llamadas medidas de centralización, son
una manera de representar al conjunto a través de un número, el cuál intenta identificar el dato
típico o distintivo.
PARA DATOS ORDENADOS
Formulario
Media Mediana Moda
�̅� =
∑(𝑥 ∙ 𝑓)
∑ 𝑓
Una vez ordenados los datos, es el dato que
queda ubicado en la posición de en medio.
Se realizan los siguientes pasos:
DATOS PARES:
1) Se busca la posición de en medio.
Dato (
𝑛
2
) y dato (
𝑛
2
+ 1)
donde n es el total de datos.
2) A continuación, los resultados anteriores hay
que buscarlos en la frecuencia acumulada (𝑓𝑎) y
dirigirse los datos que corresponden.
3) Se obtiene el promedio de estos datos.
DATOS IMPARES:
1) Se busca la posición de en medio
Dato (
𝑛+1
2
)
donde n es el total de datos.
2) A continuación, el resultado anterior hay que
buscarlo en la frecuencia acumulada (𝑓𝑎) y
dirigirse al dato que corresponde.
Es el dato que más
aparece o que más
frecuencia tiene.
MEDIA ARITMÉTICA: Es el estadístico conocido como promedio. El cual se calcula a
partir de la suma de todos los valores que aparecen en la muestra y, posteriormente, esa
suma se divide entre la totalidad de datos.
No siempre se puede calcular la media aritmética como por ejemplo cuando los datos
son cualitativos.
MODA: Es el valor de la variable que presenta mayor frecuencia absoluta.
Pueda haber más de una en caso de que haya varios valores con máxima frecuencia.
MEDIANA: Es el valor de la variable tal que el número de observaciones menores que él
es igual al número de observaciones mayores que él. Si el número de datos es par, se
puede tomar la media aritmética de los dos valores centrales.
88
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Existen unas herramientas de apoyo para calcular los anteriores estimadores, los cuales son los
siguientes:
Práctica abierta
INDICACIÓN: A continuación, se presenta la tabla en la
cual se muestra la manera de representar en forma tabular:
Las calificaciones de una escuela en Matemáticas han sido
las siguientes:
5 3 4 1 2 8 9 8 7 6 6 7 9 8 7 7 1 0 1 5 9 9 8 0 8 8 8 9 5 7
CONSTRUIR UNA TABLA (DATOS ORDENADOS)
Datos (𝒙) 𝒇𝒌 𝒇𝒂 𝒙 ∙ 𝒇𝒌
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∑ 𝒇 ∑ 𝒙 ∙ 𝒇𝒌
Media:
Moda:
Mediana:
Frecuencia (𝒇𝒌): Total de veces que se repite un dato
Frecuencia acumulada (𝒇𝒂): Sumatoria de los datos acumulados hasta ese momento.
Frecuencia relativa (𝒇𝒓): Porcentaje de frecuencia de un dato con respecto al total.
𝑓𝑟 =
𝑓𝑘
∑ 𝑓
donde ∑ 𝑓 es la suma de las frecuencias.
Frecuencia relativa acumulada (𝑭𝒂): Porcentaje de la frecuencia acumulada con
respecto al total.
𝐹𝑎 =
𝑓𝑎
∑ 𝑓
La frecuencia relativa porcentual y la
porcentual acumulada, se calcula
multiplicando por 100 la frecuencia
relativa y la relativa acumulada,
respectivamente.
89
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.2.2 Medidas de variabilidad
Otros estimadores que permiten el grado de variabilidad o dispersión de los datos. Son la
desviación media y la desviación estándar. Se calculan con las siguientes formulas:
Práctica abierta
INDICACIÓN: A partir de las siguientes calificaciones de alumnos, calcula el nivel de dispersión
de usando la desviación estándar y desviación media. (Tip: primeramente, encuentra la media).
Datos
x
F 𝒙 ∙ 𝒇 |𝒙 − �̅�| |𝒙 − �̅�| ∙ 𝒇 (𝒙 − �̅�)𝟐 (𝒙 − �̅�)𝟐 ∙ 𝒇
5 2 10 2.25 4.5 5.0625 10.125
6 3
7 7
8 5
9 2
10 1
�̅� =
𝟏𝟒𝟓
𝟐𝟎
= 𝟕. 𝟐𝟓
Formulario
DESVIACIÓN
MEDIA
VARIANZA
DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
Datos
ordenados
𝐷𝑀 =
∑|𝑥 − �̅�| ∙ 𝑓𝑘
∑ 𝑓
𝜎2 =
∑ |𝑥 − �̅�|2 ∙ 𝑓𝑘
∑ 𝑓
𝜎 = √𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎
90
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.2.3 Medidas de posición
También están los parámetros que dividen la distribución en partes iguales.
Datos ordenados
Se calculan de la siguiente manera:
1) Se obtiene la posición del dato.
Datos pares Datos impares
Cuartiles 𝑄𝑘 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑄𝑘 =
𝑘(𝑛)
4
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑄𝑘 =
𝑘(𝑛 + 1)
4
Deciles 𝐷𝑘 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐷𝑘 =
𝑘(𝑛)
10
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐷𝑘 =
𝑘(𝑛 + 1)
10
Percentiles 𝐶𝑘
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑘 =
𝑘(𝑛)
100
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑘 =
𝑘(𝑛 + 1)
100
2) Se busca el dato que corresponde a esa posición en la frecuencia acumulada.
Datos agrupados
1) Se aplica el procedimiento anterior para hallar el intervalo con el cual vamos a trabajar.
2) Se aplica la fórmula para obtener el dato.
Fórmula
Cuartiles 𝑄𝑘 𝑄𝑘 = 𝐿𝑖 + (
𝑘(𝑛)
4
− 𝑓𝑎
𝑖−1
𝑓𝑖
) ∙ 𝐴
Deciles 𝐷𝑘 𝐷𝑘 = 𝐿𝑖 + (
𝑘(𝑛)
10
− 𝑓𝑎
𝑖−1
𝑓𝑖
) ∙ 𝐴
Percentiles 𝐶𝑘
𝐶𝑘 = 𝐿𝑖 + (
𝑘(𝑛)
100 − 𝑓𝑎
𝑖−1
𝑓𝑖
) ∙ 𝐴
Donde:
𝐿𝑖 = Limite real inferior del intervalo que nos dio en el paso 1.
(Para hallar le límite real inferior solo hay que restarle 0.5 al límite inferior del intervalo)
𝑓𝑎
𝑖−1 = Frecuencia acumulada anterior al intervalo.
𝑓𝑖 = Frecuencia del intervalo.
𝐴 = Amplitud del intervalo.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Con la tabla que se presenta a continuación, localiza los datos que se te solicitan.
𝒙 𝒇𝒌 𝒇𝒂
7 8
8 12
9 6
10 7
a) 𝑄3 = b) 𝐷7 = c) 𝐶25 =
CUARTILES son 3 valores que dividen a la serie de datos en 4 partes iguales.
DECILES son 9 valores que dividen atoda la muestra ordenada en 10 partes
iguales.
PERCENTILES son 99 valores que dividen en 100 partes iguales.
91
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
RESULTADOS
AGUILA
AGUILA
AGUILA
SOL
SOL
AGUILA
SOL
SOL
AGUILA
AGUILA
SOL
SOL
AGUILA
SOL
1.3.3 Nociones de probabilidad
Objetivo de sección
Ser capaz de resolver de forma rápida ejercicios relacionados con las técnicas de conteo y
cálculo de probabilidades.
1.3.3.1 Problemas de conteo
Son técnicas empleadas para encontrar el número de maneras en las cuales ocurren ciertos eventos.
1.3.3.1.1 Principio fundamental de conteo
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de
posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos.
Este principio establece que:
Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
10 × 9 × 8 = 720
Ejemplo 2:
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.
26 × 25 × 10 × 9 × 8 = 468,000
Ejemplo 3:
¿De cuántas maneras puedo sentar a 5 personas en una fila?
En el primer asiento puede ir cualquiera de las 5 personas, en el siguiente cualquiera de los 4
restantes, y así sucesivamente hasta el último asiento en el cual solo podrá ir la última persona.
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
En algunas ocasiones es sencillo, pero cuando el
número de conjuntos aumenta, se dificulta el
análisis por lo cual se sugiere realizar un diagrama
de árbol o de plano cartesiano para visualizar las
maneras y poder contabilizar.
En general, el número de formas de
acomodar n objetos en una fila es 𝑛!
“Si una situación puede realizarse en 𝑝 formas y si por cada una de éstas, una segunda
situación puede llevarse a cabo en 𝑞 formas, entonces las dos operaciones pueden
realizarse juntas en 𝑝 ∙ 𝑞 formas”.
Definimos n factorial, denotado 𝒏!, como el producto de todos los números inferiores a
éste, en otras palabras, 𝒏! es el producto de 𝒏 (𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐). . . 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏.
Por definición, 0! = 1.
92
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.3.1.2 Permutaciones
Un arreglo o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos
damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza
para contar el número total de permutaciones distintas es:
𝑷𝒏,𝒓 =
𝒏!
(𝒏−𝒓)!
Ejemplo 5:
¿Cómo se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15
participantes?
𝑃15,4 =
15!
(15−4)!
=
15∙14∙13∙12 ∙11∙10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
11∙10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
= 15 ∙ 14 ∙ 13 ∙ 12 = 32,760
Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados
1.3.3.1.3 Combinaciones
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Por el contrario,
si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán
combinaciones.
Los resultados al elegir dos de tres letras A B C para cada caso son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB (Orden)
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin
importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
𝑪𝒏,𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 – 𝒓)!
Ejemplo:
En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes
de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte
que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores
para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
𝑪𝟕,𝟑 =
𝟕!
𝟑! (𝟕 – 𝟑)!
=
𝟕 ∙ 𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
(𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏)(𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏)
=
𝟕 ∙ 𝟔 ∙ 𝟓
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
=
𝟐𝟏𝟎
𝟔
= 𝟑𝟓
Por lo tanto, el tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del
producto. Tendrían que ser más colores.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Contesta la siguiente pregunta.
1. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra “matemáticas”?
TIP
Puedes cancelar números cuando tienes las mismas cifras en numerador y denominador.
93
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.3.2 Cálculo de probabilidad
La probabilidad en un principio es creada en relación con los juegos de azar, es la manera histórica
de medir la incertidumbre. A través del tiempo se han dado diversos enfoques al concepto de
probabilidad. La probabilidad se puede definir como:
Si un experimento que está sujeto al azar tiene n resultados posibles igualmente probables, y si r
resultados cumplen la condición del evento A, la probabilidad del evento A es la razón de r con
respecto a n, es decir:
𝑃(𝐴) =
𝑟
𝑛
=
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
Ejemplo.
Sea el experimento de lanzar una moneda y un dado legales, es decir, que no están cargados o
alterado. Calcular la probabilidad de que caiga cara y número par.
El resultado de este experimento se compone de 12 parejas, debido a que, al realizar el experimento
de la moneda y el dado, solo se puede obtener como resultado una pareja a la vez.
E = {a1, a2, a3, a4, a5, a6, s1, s2, s3, s4, s5, s6}
Hay 12 casos totales, pero solo 3 casos favorables, es decir, que cumplen la condición del evento A,
por tanto, su probabilidad es:
12
3
.
Ejemplo:
Sacar una carta de un mazo estándar y que salga un as y un rey son eventos mutuamente
excluyentes, ya que no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo. Sin embargo, sacar una
carta roja y rey no son eventos mutuamente excluyentes, ya que puedes sacar perfectamente
un rey rojo.
Ejemplos:
Lanzar una moneda y que salga cara o cruz. Claro, no hay más opciones, así que estos
eventos son complementarios.
Lanzar un dado y que salga 1 ó 2 no es complementario, ya que hay otros resultados
posibles (3, 4, 5, ó 6). Sin embargo, lanzar un dado y obtener 1 ó algo diferente a 1 son
eventos complementarios (o sacas 1 o no sacas 1).
Decimos que 𝐴 y 𝐵 son eventos mutuamente excluyentes si son dos resultados de un evento
que no pueden ocurrir al mismo tiempo, en otras palabras, la probabilidad de que ocurran las
dos al mismo tiempo es 0, en expresión matemática, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.
Probabilidad: Rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los fenómenos aleatorios.
La probabilidad mide el grado de posibilidad de ocurrencia de un evento determinado.
La probabilidad de un evento varía entre 0 y 1.
94
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1. Selecciona el histograma que corresponda a la siguiente tabla de frecuencias:
Calificaciones Número de alumnos
50 3
60 9
70 8
80 9
90 12
100 7
Total ∑fi=48
2. En la siguiente gráfica se muestra el promedio de calificaciones del primer semestre de la licenciatura en
Ciencias de la Educación de cierta Universidad. Según esta, se puede afirmar que:
a) El promedio de calificación en la materia de OCE
es menor a 60
b) PEP tiene mayor promedio que II y que ICE
c) El promedio de II es mayor a 95
d) La materia de FE tienemenor promedio que la
materia de ICE
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.3.1. FRECUENCIAS E INFORMACIÓN GRÁFICA
A
)
B
C D
95
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
En la gráfica siguiente se representa el número de alumnos inscritos a cada una de las 50 diferentes secciones
de una escuela preparatoria.
3. ¿Cuál es el número de alumnos más frecuente por sección?
a) 45 alumnos
b) 39 alumnos
c) 36, 41 y 42 alumnos
d) 7 alumnos
4. ¿Cuántas secciones tienen más de 41 alumnos?
a) 4
b) 5
c) 25
d) 19
5. ¿Cuántas secciones tienen 40 alumnos?
a) 1
b) 6
c) 5
d) Ninguna
6. ¿Qué porcentaje de secciones tiene 39 alumnos o menos?
a) 50%
b) 36%
c) 25%
d) 5%
De la siguiente grafica de pastel responde las siguientes preguntas:
7. ¿Cuál de los siguientes países qué contribuyo al calentamiento global se le
asignaría un 68%?
a) UK
b) Canadá
c) USA
d) Australia
8. ¿Cuál de los siguientes países se le asigne un 23%?
a) UK
b) Canadá
c) Australia
d) USA
9. ¿Qué cantidad de grados se le asignaría al pedazo de grafica de “otros países”
si tiene un porcentaje de 4.17%?
a) 4.15°
b) 15°
c) 6°
d) 13°
La siguiente gráfica representa la cantidad de muertes en cierto país por enfermedades infecciosas.
10. ¿En qué año ocurrieron más muertes?
a) 1960
b) 1970
c) 1990
d) 2000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
F
R
E
C
U
E
N
C
IA
ALUMNOS
0
10
20
30
40
50
1960 1970 1980 1990 2000
96
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Dada la siguiente tabla de datos ordenados.
1. Selecciona la opción que represente la media de los datos
a) 53.56 b) 53.64 c) 53.8 d) 53
2. Selecciona la opción que represente la moda de los datos
a) 53 b) 50 c) 59 d) 21
3. Selecciona la opción que represente la mediana de los datos
a) 53 b) 54 c) 53.5 d) 25
4. Selecciona la opción que corresponda a la media de los datos de la siguiente tabla de frecuencias:
Calificaciones Número de alumnos
50 3
60 9
70 8
80 9
90 12
100 7
Total ∑fi=48
a) 80 b) 70 c) 22.5 d) 22
5. Selecciona y ordena los pasos que se muestran a continuación para el cálculo de la media aritmética de una
colección de n datos
i. Se ordenan los elementos de la colección
ii. Se suman todos los elementos
iii. Se divide entre n
iv. Se calcula la raíz cuadrada
v. Se suman los cuadrados de cada elemento de la colección
a) i, v, vi b) v, iii, iv c) ii, iii d) i, ii, iv
6. Calcula la media aritmética de la siguiente lista de datos:
1, 1, 3, 3, 1, 4, 5, 5, 2, 4, 2, 3, 2, 4, 2.
a) 2.8 b) 3.5 c) 3 d) 5
7. Es el dato que se encuentra en la posición central de los datos cuando estos están ordenados:
a) Media b) Moda c) Mediana d) Promedio
x 𝒇𝒌
50 3
52 9
53 21
55 13
59 4
50
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.3.2. MEDIDAS DESCRIPTIVAS
97
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
8. En la siguiente gráfica se muestra el promedio de calificaciones del primer semestre de la licenciatura en
Ciencias de la Educación de cierta Universidad.
Seleccione la opción que corresponde a la moda de los datos anteriores.
a) PEP b) 90 c) OCE d) 100
9. Las primeros cuatro bimestres Cathy obtuvo 9, 8, 8, 7. Si necesita tener un promedio mayor o igual a 8 al
final del curso, ¿cuánto debe sacar al menos en el último bimestre?
a) 10 b) 7 c) 9 d) 8
10. La siguiente distribución de frecuencias corresponde a las observaciones del estado civil registradas, sobre
un grupo de 100 mujeres tratadas por problemas depresivos.
Estado Civil Frecuencia
Soltera 18
Casada 10
Viuda 62
Divorciada 10
Total 100
¿Cuál es el promedio de mujeres casadas?
a) 10 b)
1
10
c) 20 d) No se puede
saber
98
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.3.3. MEDIDAS DE POSICIÓN
1. Calcule el primer cuartil de los resultados de un estudio sobre las ventas de coches en una agencia, durante un
mes
Limites
declarados
Limites
Verdaderos
Frecuencia
de clase
Frecuencia
Acumulada
30-34 29.5-34.5 5 5
35-39 34.5-39.5 8 13
40-44 39.5-44.5 10 23
45-49 44.5-49.5 15 38
50-54 49.5-54.5 25 63
55-59 54.5-59.5 32 95
60-64 59.5-64.5 12 107
65-69 64.5-69.5 6 113
a) 42.75 b) 46.25 c) 49.11 d) 49.89
2. Según la siguiente tabla de datos ordenados, ¿cuál es el cuarto decil?
DATOS FRECUENCIA
20 14
21 13
22 16
23 10
24 9
25 8
a) 28 b) 21 c) 23 d) 22
3. Calcular el sexto decil de los siguientes datos:
X F
1 45
2 55
3 35
4 40
5 25
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
99
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.3.4. NOCIONES DE PROBABILIDAD
1. De cuántas maneras pude vestirse una chava indecisa si tiene 5 pares de zapatos, 3 faldas, 5 blusas y 6
accesorios?
a) 450 b) 19 c) 900 d) 38
2. ¿Cuántos enteros impares positivos de tres dígitos pueden formarse usando los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?
a) 36 b) 60 c) 30 d) 75
3. ¿De cuántas maneras puede una persona irse de viaje si tiene que elegir 1 vuelo, un barco y un tren de 5
diferentes vuelos, 3 diferentes viajes en tren y 4 compañías diferentes de barcos?
a) 60 b) 30 c) 3 d) 12
Los 3 cuadros de Frida, 2 de Rembrandt y 3 de Picasso se van a ordenar en una pared. De cuántas maneras
pueden:
4. Quedar juntos los del mismo autor.
a) 72 b) 432 c) 216 d) 18
5. Acomodarse sin condición.
a) 216 b) 20,160 c) 40,320 d) 432
6. Los de Frida queden de primero.
a) 216 b) 72 c) 18 d) 720
7. En un aparador hay 3 libros de álgebra, 2 de cálculo y 2 de geometría. ¿De cuántas formas diferentes se
pueden acomodar en una fila teniendo en cuenta que los libros de cada materia son iguales entre sí?
a) 5,040 b) 210 c) 144 d) 24
En los archivos de una clínica se han clasificado pacientes por su género y su tipo de diabetes (I y II). La
clasificación de los grupos se exhibe en el cuadro siguiente:
TIPO DE DIABETES
I II
GÉNERO
MASCULINO 25 20
FEMENINO 35 50
Si se selecciona al azar un expediente, de terminar la probabilidad de que el individuo seleccionado:
8. Sea del género femenino.
a) 85/120 b) 17/26 c) 35/130 d) 1/2
9. Tenga diabetes del tipo I.
a) 55/130 b) 70/130 c) 6/13 d) 85/130
10. Sea hombre con diabetes tipo II.
a) 2/13 b) 20/70 c) 20/45 d) 45/130
100
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
11. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias del número de hijos de 250 familias
entrevistadas.
HIJOS (x) # DE FAMILIAS (f)
0 23
1 46
2 75
3 34
4 30
5 23
6 19
TOTAL 250
a) 1b, 2c, 3f, 4a, 5e, 6d
b) 1a, 2b, 3c, 4d, 5e, 6f
c) 1f, 2c, 3b,4d, 5e, 6a
d) 1f, 2c, 3b, 4a, 5e, 6d
Se lanza al aire una moneda normal tres veces, determinar la probabilidad de que:
12. Aparezca no más de dos soles.
a) 1 b) 7/8 c) 4/8 d) 5/8
13. Aparezca exactamente un águila.
a) 1/8 b) 2/8 c) 3/8 d) 1/2
14. Aparezca por lo menos un sol.
a) 1/2 b) 1/4 c) 3/8 d) 7/8
15. Aparezca exactamente dos águilas.
a) 2/8 b) 3/8 c) 1/2 d) 1/8
En una caja se tienen nueve pelotas marcadas del 1 al 9. Se seleccionan al azar dos pelotas y se observar los
números que salen. Calcular el número de maneras de que los números obtenidos:
16. Sean pares
a) 2 b) 6 c) 4 d) 8
17. Sean impares
a) 10 b) 12 c) 30 d) 24
18. La suma sea par
a) 12 b) 82 c) 16 d) 42
19. La suma sea impar
a) 125 b) 20 c) 122 d) 18
Calcular el número de maneras en que en una familia con 3 hijos se tenga:
20. Los 3 del mismo sexo.
a) 2 b) 6 c) 4 d) 8
21. Al menos una mujer.
a) 4 b) 6 c) 7 d) 2
22. Se tiran dos dados. Calcula el número de maneras de lo que me caiga su suma sea mayor de 7.
a) 36 b) 12 c) 21 d) 15
1. La familia tenga2 hijos.
2. La familia tenga al menos tres
hijos.
3. La familia tenga 2 o cinco hijos.
4. La familia tenga máximo cinco
hijos.
5. La familia tenga cuando mucho
dos hijos.
6. La familia no tenga hijos.
Relaciona las columnas de acuerdo con la
opción con su probabilidad correcta.
a) 9.2%
b) 39.2%
c) 42.4%
d) 92.4%
e) 57.6%
f) 30%
101
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Se realiza el experimento de lanzar dos dados al aire. Calcular la probabilidad de que:
23. La suma de los números que aparece sea mayor que 8.
a) 12/36 b) 15/36 c) 10/36 d) 1/15
24. La suma de los números sea 7.
a) 5/36 b) 7/36 c) 1/6 d) 10/36
En una urna hay 14 pelotas, de las cuales 5 son blancas 3 son negras y 6 son azules. Si se extraen 4 pelotas,
calcular el número de maneras de que:
25. De las 4, exactamente 2 sean blancas.
a) 720 b) 360 c) 1440 d) 8
26. De las 4, sean 2 blancas y 2 azules.
a) 720 b) 250 c) 150 d) 600
27. Al menos una blanca
a) 6 b) 126 c) 4 d) 875
28. En una caja se tienen 3 fichas verdes y 5 fichas naranjitas. Si se seleccionan 2 fichas al azar ¿de cuántas maneras
se pueden seleccionar dos del mismo color?
a) 26 b) 13 c) 15 d) 30
Una tienda de pinturas requiere diseñar muestrarios de los colores que venden, colocándolos en una fila de
cinco lugares. Se tienen cuatro verdes diferentes, cinco amarillos, dos azules y tres rosados. Calcular la
probabilidad de que:
29. El primer color sea azul.
a) 1/91 b) 1/7 c) 12/23 d) 1/3
30. El primero y el último sean verdes.
a) 1/5 b) 6/91 c) 1/2 d) 8/91
31. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra INTERESTELAR?
a) 19,958,400 b) 479,001,600 c) 95,040 d) 60,000
32. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han
intercambiado?
a) 100 b) 45 c) 90 d) 10
50.
33. Con las letras de la palabra “libro”, ¿cuántas palabras se pueden hacer sin repetir?
a) 5
b) 3,125
c) 120
d) 125
102
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.3.1 FRECUENCIA E INFORMACIÓN GRÁFICA
1. La gráfica de abajo muestra la cantidad de accidentes automovilísticos en la ciudad de Xalapa, ocurridos en
los meses de enero a mayo de 2008. ¿Entre cuáles dos meses fue mayor la diferencia en accidentes?
a) Enero y Febrero b) Febrero y marzo c) Marzo y Abril d) Abril y Mayo
La siguiente gráfica representa la cantidad de muertes en cierto país por enfermedades infecciosas.
2. ¿En qué año ocurrieron más muertes?
a) 1960
b) 1970
c) 1990
d) 2000
3. ¿Cómo se llama este tipo de gráfico?
a) Histograma
b) Poligono de frecuencia
c) Gráfica de barras
d) Gráfica de puntos.
4. ¿Cuántas muertes ocurrieron en el año de 1950?
a) 40
b) 20
c) 50
d) No se sabe
5. ¿Cuántas muertes ocurrieron en 1990?
a) 40
b) 20
c) 30
d) 50
6. Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas murieron en 1970?
a) 25
b) 15
c) 35
d) 50
La siguiente gráfica de barras muestra la filiación religiosa de la población de Estados Unidos.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Enero Febrero marzo Abril Mayo
N
ú
m
e
ro
d
e
a
cc
id
e
n
te
s
Meses
0
10
20
30
40
50
1960 1970 1980 1990 2000
79
18
31
12
0
20
40
60
80
100
protestante Judía Católica
romana
otras
Fr
e
cu
e
n
ci
a
(e
n
m
ill
o
n
e
s)
Religión
103
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
7. ¿Cuál es el número total de frecuencias?
a) 90 a) b) 80 b) c) 140 c) d) No se sabe
8. ¿Qué porcentaje del total le corresponde a la religión católica romana?
a) 22.14% a) b) 22% b) c) 34% c) d) 15%
9. En una gráfica circular o de pastel, ¿qué cantidad de grados se le asignaría al pedazo correspondiente a la
religión judía?
a) 46.28° b) 120.21° a) c) 53.12° b) d)79.71°
10. En la siguiente gráfica se muestra el número de goles que
marcaron los primeros ocho equipos del futbol mexicano del
Torneo Apertura 2010. Con base en la información de la
gráfica, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?
i) Cruz azul tuvo mayor cantidad de goles en el torneo que San
Luis y jaguares juntos.
ii) San Luis fue el equipo con peor racha goleadora.
iii) América fue el cuarto equipo qué más goles anotó.
iv) Santos metió más goles que Pachuca.
a) i) y ii) a) b) ii) y iv) b) c) ii), iii) y iv) c) d) Solo ii)
La siguiente gráfica de barras muestra el número de goles de cada equipo de futbol en la liga MX en México.
11. ¿Cuál es el aproximado de frecuencias?
a) 40
b) 201
c) 240
d) 34
12. ¿Qué porcentaje del total le corresponde al América?
a) 12.35%
b) 10.94%
a) c) 13.98%
b) d) 9.45%
13. En un estudio donde se requiere saber el peso de los bebés que nacen en una clínica del centro de Mérida
la variable de estudio es de tipo:
a) Cualitativa
b) Variable poblacional
c) Cuantitativa discreta
d) Cuantitativa continua
34
29 28
22 19 21
26 22
0
10
20
30
40
N
ú
m
e
ro
d
e
g
o
le
s
Goles a favor en el futbol mexicano
Apertura 2010
0
20
40
N
ú
m
e
ro
d
e
g
o
le
s
Goles a favor del futbol mexicano
Apertura 2010
104
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
14. A partir de la gráfica 1 identifica que tabla de frecuencias corresponde:
a.
DATOS FREC
35 0
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 6
42 6
43 3
44 5
45 5
b.
DATOS FREC
35 4
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 5
42 6
43 3
44 5
45 5
c.
DATOS FREC
35 4
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 6
42 6
43 3
44 6
45 5
d.
DATOS FREC
35 4
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 6
42 6
43 3
44 5
45 5
15. De acuerdo con la gráfica, todas son afirmaciones verdaderas, EXCEPTO:
a) La gente no tiene internet principalmente por causa
del desempleo
b) Casi un 20% de los encuestados no requieren
internet en sus hogares
a) c) Un 5% aproximadamente se muestra
desinteresado o no sabe usarlo
b) d) Un poco más de un décimo de los encuestados
no tiene internet por razones no especificadas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
F
R
E
C
U
E
N
C
IA
ALUMNOS
105
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.3.2. MEDIDAD DESCRIPTIVAS
1. El promedio de precipitación pluvial en los primeros 3 meses de 2005 fue de 4 pulgadas. El promedio de
precipitación pluvial para el mes siguiente fue de 5 pulgadas. ¿Cuál fue el promedio de precipitación pluvial
por mes para los meses primeros 4 meses?
a) 4 b) 5 c) 4.25 d) 4.75
2. Se realizó una encuesta con los alumnos del 3° A acerca de cuánto tiempo tardaban en llegar a la escuela y
se obtuvieron los datos de la siguiente tabla:
Tiempo en Minutos 10 15 25 30 45
Cantidad de alumnos 5 7 6 3 4
¿Cuál es la moda de los tiempos registrados?
a) 45 b) 25 c) 7 d) 15
3. La tabla siguiente muestra las calificaciones de Erasmo en sus
exámenes de matemáticas del ciclo escolar pasado. Si su calificación
media es de 8.3, ¿Qué calificación obtuvo en el cuarto examen?
a) 8.1
b) 8
c) 8.3
d) 8.2
La siguiente gráfica de barras muestra la filiación religiosa de la población de Estados Unidos.
4. ¿Cuál es la media aritmética?
a) Protestante
b) Judía
c) 35
d) No se puede calcular
5. ¿Cuál es la moda?
a) Protestante b) Judía c) Católica romana d) Otras
6. El promedio de las calificaciones de Juan en los primeros tres bimestres de 2012-13 fue de 7 puntos. El
promedio de su calificación para el bimestre siguiente fue de 8. ¿Cuál de los siguientes datos podría ser el
promedio de Juan en general hasta ahora?
a) 7 b) 7.25c) 7.5 d) 7.75
No de examen Calificación
1 8.0
2 8
3 7.8
4 ?
5 9.5
79
18
31
12
0
20
40
60
80
100
protestante Judía Católica
romana
otras
Fr
e
cu
e
n
ci
a
(e
n
m
ill
o
n
e
s)
Religión
106
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Dada la siguiente tabla de datos ordenados.
7. Selecciona la opción que corresponda con las medidas de centralización (moda, media y mediana).
1. 1. Media a. a. 3
2. 2. Moda b. b. 2
3. 3. Mediana c. c. 3.12
d. d. 2.87
a) 1a, 2b, 3c a) b) 1c, 2a, 3a b) c) 1c, 2b, 3a c) d) 1d, 2a, 3a
8. A los docentes de la SEP les han pagado de una manera diferente cada
mes. La maestra Roció perdió su talón número 4 y desea saber cuánto
cobro en ese mes pero solo le informaron que el promedio de sus pagos ha
sido $7,500 ¿Cuánto cobro en el mes 4?
a) $5,572.10
b) $6235.25
a) c) $6,258.92
d) $7,321.12
La siguiente gráfica de barras muestra el número de goles de cada equipo de futbol en la liga MX en México.
9. ¿Cuál es la media aritmética?
a) 25.12
b) 22
c) 24.25
d) No se puede
determinar
10. ¿Cuál es la moda?
a) Cruz azul
b) América
c) 34
d) 4
11. Es el valor que representa a un conjunto de valores al aparecer en la posición de en medio de la totalidad
de datos es:
a) Media
b) Mediana
c) Marca de clase
d) Limite real
12. La siguiente tabla indica el número de hijos que tienen 50 personas entrevistadas
Número de hijos Frecuencia
0 11
1 14
2 13
3 12
Si sabemos que el promedio es de 1.52 y la desviación estándar es de 0.98, calcula la varianza.
a) 1 b) 0.98 c) 0.96 d) 1.52
X F
1 3
2 9
3 21
4 13
5 4
MENSUALIDAD INGRESO
1 $7,900.02
2 $8,769.23
3 $5,385.12
4 ?
5 $9,873.53
34
29 28
22 19 21
26 22
0
10
20
30
40
N
ú
m
e
ro
d
e
g
o
le
s
Goles a favor en el futbol mexicano
Apertura 2010
107
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
A partir de la gráfica 1 identifica que tabla de frecuencias corresponde:
13. La media del número de alumnos por sección es:
a) 40.04
b) 40.84
c) 40.92
d) 37.24
14. La mediana del número de alumnos por sección es:
a) 40 b) 39 c) 41 d) 39.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
F
R
E
C
U
E
N
C
IA
ALUMNOS
108
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.3.3. MEDIDAS DE POSICIÓN
1. Dados los datos:
Halla los cuartiles Q1 y Q3; el decil D4 y el percentil C94
1. 1. Q1 a. a. 3
2. 2. Q3 b. b. 1
3. 4. D4 c. c. 4
4. 5. C94 d. 5
a) 1c, 2a, 3a, 4b
b) 1a, 2c, 3a, 4d
c) 1d, 2c, 3a, 4b
d) 1a, 2a, 3d, 4b
2. Observa cómo se realiza un diagrama de caja en la gráfica de abajo y contesta cuál de las siguientes
afirmaciones son verdaderas:
i) El 75% de los comercios vende 28 euros o menos al día.
ii) El 50% de los comercios vende 25 o menos al día.
a) i)
b) ii) c) ambos d) ninguno
3. Calcular Q2 en 24, 22, 21, 23, 24, 22, 22, 21, 22.
a) 22.5 b) 23.5 c) 21.5 d) 22
X f
1 3
2 9
3 21
4 13
5 4
109
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.3.4. NOCIONES DE PROBABILIDAD
1. En un estado, las placas de los automóviles tienen 3 letras seguidas de 3 dígitos, suponiendo que las letras
del abecedario son 26 y sabemos que los dígitos que puede tener son 10. ¿Cuántas placas se pueden formar si
NO se permite repetir letras ni dígitos?
a) 17,576,000 a) b) 1,872,000 b) c) 312,000 c) d) 11,232,000
2. En una caja se encuentran dos tipos de zapatos, tenis y zapatillas. Hay 4 pares de tenis y 2 pares de
zapatillas. Si se sacan un par de zapatos al azar, ¿de cuántas maneras se puede sacar un zapato de cada tipo?
a) 32 b) 8 c) 6 d) 12
3. En un juego se deben girar dos ruletas como las que siguen:
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener en este juego? Suponiendo que todos los números tienen
diferentes colores.
a) 48 b) 24 c) 14 d) 12
En un Club Deportivo de 80 personas se tienen que.
30 personas practican fútbol
25 personas practican béisbol
30 personas practican tenis
11 personas practican fútbol y
béisbol
10 personas practican fútbol y tenis
9 personas practican béisbol y tenis
7 personas practican los 3 deportes
Si se selecciona una persona al azar, calcular la probabilidad de que:
4. La persona juegue solo futbol
a) 16/30 b) 16/80 c) 30/80 d) 7/30
5. La persona juegue futbol o tenis, pero no ambos deportes.
a) 34/80 b) 55/80 c) 50/80 d) 1/2
6. La persona juegue los tres deportes.
a) 17/80 b) 0 c) 7/62 d) 7/80
7. La persona no juegue ningún deporte.
a) 8/80 b) 0 c) 1 d) 9/40
8. Si una urna contiene esferas de dos colores, la probabilidad de sacar una esfera roja es 3/10. Una persona
saca una esfera y es roja, la deja fuera de la urna. Si la persona saca otra esfera ¿Cuál es la probabilidad de
que está NO sea roja?
a) 7/10 b) 3/10 c) 7/9 d) 2/9
1
2 1
3
4 3
2 4
c
d f
a
e
b
110
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
En un lote de producción de 15 piezas, resultaron cinco defectuosas; si se toma una muestra de 8 piezas,
calcular la probabilidad de que:
9. Hallar tres piezas buenas.
a) 35/429 b) 7/15 c) 8/429 d) 1/2
10. Exactamente una sea defectuosa.
a) 40/429 b) 102/130 c) 12/35 d) 25/71
11. Por lo menos una sea buena.
a) 15/85 a) b) 28/715 b) c) 1 c) d) 163/1004
Un grupo de 4 matrimonios asiste al teatro y se sientan en fila, calcular la probabilidad de que:
12. Los hombres y las mujeres se sienten juntos.
a) 1/35 a) b) 1/70 b) c) 576/1002 c) d) 8/25
13. Las mujeres y los hombres queden alternados.
a) 1/70 b) 1/35 c) 576/895 d) 1/2
14. Cada matrimonio se sienta junto con el esposo a la izquierda de la esposa.
a) 1/1680 a) b) 13/210 b) c) 1/210 c) d) 1/105
15. En una empresa hay un conjunto de 30 computadoras, de las cuales 12 tienen quemador de disco
compacto, 13 programas de Windows XP y cinco con ambas características; si se elige un grupo de tres
computadoras, calcular la probabilidad de que:
a) 1b, 2a, 3c
b) 1a, 2b, 3c
c) 1c, 2b. 3a
d) 1c, 2a, 3b
16. Se desea formar números de cuatro cifras con los dígitos 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9. ¿Cuál es la probabilidad de que
el número formado sea:
a) 1a, 2c, 3d, 4b
b) 1a, 2c, 3b, 4d
c) 1b, 2a, 3d, 4c
d) 1b, 2a, 3c, 4d
17. Un equipo de investigación formado por 3 antropólogos y 2 arqueólogos ofrecerá una conferencia y se
sienta en fila en el presídium, calcular la probabilidad de que:
1.
2. 1. En los dos primeros lugares se sienten antropólogos.
3. 2. Deben quedar alternados.
4. 3. Los de la misma profesión deben quedar juntos.
5. 4. Los arqueólogos deben quedar juntos.
a)
b) a) 40%
c) b) 20%
d) c) 10%
e) d) 30%
a) 1a, 2b, 3c, 4d
b) 1b, 2c, 3a, 4d
c) 1c, 2a, 3d, 4b
d) 1d, 2c, 3b, 4a
1. 1. Las tres tengan ambas características.
2. 2. Dos tengan quemador de disco y una tenga
Windows XP, pero no ambas características.
3. 3. Ninguna de las tres tenga quemador ni Windows.
a) a) 4.13%
b) b) 0.24%
c) c) 2.95%
1. 1. Par
2. 2. Impar
3. 3. Múltiplo de cinco
4. 4. Mayores que 5000
a) a) 71.42%
b) b) 28.57%
c) c) 42.85%
d) d) 14.28%
111
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
18. Si se lanza una moneda 5 veces y se ha obtenido águila, ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente
lanzamiento sea águila?
a) 5/6 b) 1/2 c) 1/6 d) 1
19. En una galería serán exhibidos en fila tres cuadros de Picasso, dos de Rembrandt y uno de Goya. Calcular
la probabilidad de que:
1. 1. Los de cada pintor queden juntos.
2.2. El primero y el último sean de Picasso.
3. 3. Los del centro sean de Rembrandt.
4. 4. Los dos primeros sean de Picasso.
a) a) 10%
b) b) 20%
c) c) 6.66%
a) 1a, 2b, 3c, 4c
b) 1a, 2c, 3c, 4b
c) 1a, 2b, 3c, 4b
d) 1d, 2b, 3b, 4a
20. Entre los 10 candidatos a ocupar las seis regidurías del ayuntamiento de una ciudad, cuatro son del partido
Gris, tres del partido Rojo, 2 del partido Blanco y uno del partido Negro. Si se seleccionan al azar seis
regidores, calcular la probabilidad de que:
1. 1. Dos sean de cada partido.
2. 2. La mayoría mínima sea del partido Gris.
3. 3. Al menos uno sea del blanco.
4. 4. Necesariamente se incluya al partido negro.
a) a) 60%
b) b) 7.14%
c) c) 86.66%
d) d) 8.57%
a) 1a, 2b, 3c, 4c
b) 1a, 2c, 3c, 4b
c) 1d, 2b, 3a, 4c
d) 1d, 2b, 3c, 4a
21. Entre los 35 empleados de una empresa hay 20 hombres y 15 mujeres. Se va a seleccionar un grupo de
veinte empleados para integrar un comité de capacitación. Calcular la probabilidad de que:
1. 1. Haya al menos un hombre.
2. 2. Haya doce mujeres
3. 3. Haya 4 hombres
4. 4. Haya ocho mujeres
a) a) 100%
b) b) 1.76%
c) c) 24.95%
a) 1c, 2a, 3a, 4b
b) 1a, 2b, 3a, 4c
c) 1c, 2c, 3b, 4c
d) 1a, 2c, 3b, 4d
22. Una pareja de recién casados ha decido formar una familia de solo tres hijos. Calcular la probabilidad de
que:
1. 1. Tenga solamente hijos varones.
2. 2. Tenga exactamente una hija.
3. 3. Al menos tenga dos mujeres.
a) a) 1/2
b) b) 3/8
c) c) 1/8
a) 1c, 2b, 3a
b) 1a, 2c, 3b
c) 1a, 2b, 3c
d) 1c, 2a, 3b
23. Cierta escuela cuenta con 70 maestros de los cuales 38 tienen especialización en docencia, 25 son del área
de matemáticas y 16 tienen especialización en docencia y son del área de matemáticas, se elige a un maestro
con como representante. ¿Cuál es la probabilidad de que el maestro seleccionado?
1.
2. 1. No tenga especialización ni sea del área de
matemáticas.
3. 2. Tenga especialización en docencia, pero no
sea del área de matemáticas.
4. 3. Sea del área de matemáticas y tenga
especialización en docencia.
a)
b) a) 23/70
c) b) 16/70
d) c) 22/70
a) 1c, 2b, 3a
b) 1a, 2c, 3b
c) 1a, 2b, 3c
d) 1c, 2a, 3b
112
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.3.1 Frecuencias e información gráfica
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Es el valor que nos ayuda a saber cuántas veces se repite un dato:
a) Media
b) Gráfica
c) Frecuencia
d) Diagrama circular
2. En un estudio donde se requiere saber el peso de los bebés que nacen en una clínica del centro de Mérida, la
variable de estudio es de tipo:
a) Cualitativa
b) Variable poblacional
c) Cuantitativa discreta
d) Cuantitativa continua
3. La siguiente gráfica representa la temperatura en grados Fahrenheit de cada día de la semana. ¿Qué día es más
caluroso?
a) Lunes b) Martes c) Sábado d) Domingo
4. En un grupo de aspirantes a un empleo, 40% son casados. ¿Cuántos grados mide el sector que los representa en un
diagrama circular?
a) 40 b) 72 c) 140 d) 144
5. La siguiente gráfica muestra la cantidad de celulares vendidos de las marcas líderes en el sector. Selecciona la
opción que corresponde al porcentaje de dispositivos Xiaomi vendidos.
a) 7.69%
b) 30%
c) 10%
d) 40%
113
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
6. A partir de la siguiente gráfica de pastel,
selecciona la opción que corresponde al porcentaje
asignado a los alumnos de 18 admitidos en la
licenciatura.
a) 50%
b) 23%
c) 43.7%
d) 10%
La siguiente gráfica representa el número de
alumnos inscritos a cada una de las 50 diferentes
secciones de una escuela preparatoria.
7. ¿Cuántas secciones tienen más de 41 alumnos?
a) 4 b) 5 c) 25 a) 19
8. ¿Qué porcentaje de secciones tiene 39 alumnos o menos?
a) 50% b) 36% c) 25% d) 5%
9. ¿Cuál de las siguientes tablas de frecuencias corresponde a la gráfica anterior?
a.
DATOS FREC
35 0
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 6
42 6
43 3
44 5
45 5
b.
DATOS FREC
35 4
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 5
42 6
43 3
44 5
45 5
c.
DATOS FREC
35 4
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 6
42 6
43 3
44 6
45 5
d.
DATOS FREC
35 4
36 6
37 3
38 5
39 7
40 0
41 6
42 6
43 3
44 5
45 5
10. ¿Qué tipo de gráfica es?
a) Polígono de
frecuencias
b) Histograma
c) Diagrama circular
d) Gráfica de barras
0
2
4
6
8
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
F
R
E
C
U
E
N
C
IA
ALUMNOS
114
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.3.2 Medidas descriptivas
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Es el valor que representa a un con junto de valores al aparecer en la posición de en medio de la totalidad de datos
es:
a) Media b) Mediana c) Marca de clase d) Limite real
2. Las calificaciones que obtuvieron los alumnos en un curso fueron 90, 100, 90, 80, 70 ¿Cuál es la moda de los
datos?
a) 70 b) 86 c) 90 d) 100
3. En la tabla se presentan pesos, en libras, de 34 personas ¿Cuál es el valor de la mediana?
Peso (lb) 142 143 144 145 146
Frecuencia (f) 3 5 9 12 5
a) 144 b) 144.5 c) 136.5 d) 140.5
4. En la tabla se presentan pesos, en libras, de 34 personas ¿Cuál es el valor de la media aritmética?
Peso (lb) 142 143 144 145 146
Frecuencia (f) 3 5 9 12 5
a) 144 b) 144.3 c) 136.5 d) 140.5
5. Calcula Media mediana y moda.
a) Media=3 Mediana=2.52 Moda=3
b) Media=2.52 Mediana=2 Moda=3
c) Media=2 Mediana=2.52 Moda=3
d) Media=2.52, Mediana=3, Moda=3
6. Selecciona el conjunto de datos con una moda.
(a) 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 (b) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5
(c) 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5 (d) 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5
a) a b) b c) c d) d
115
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
7. Calcula la media de los datos 6, 4, 2, 8, 6, 8, 2, 4, 8, 8
a) 56 b) 4.8 c) 48 d) 56
8. Las primeros cuatro bimestres Carlos obtuvo 7, 10, 7, 7. Si necesita tener un promedio mayor o igual a 8 al
final del curso, ¿cuánto debe sacar al menos en el último bimestre?
a) 10
b) 7
c) 9
d) 8
9. La siguiente distribución de frecuencias corresponde a las observaciones del estado civil
registradas, sobre un grupo de 100 mujeres tratadas por problemas depresivos.
Estado Civil Frecuencia
Soltera 18
Casada 10
Viuda 62
Divorciada 10
Total 100
¿Cuál es la moda de mujeres casadas?
a) Viuda
b) 62
c) Divorciada d) No se puede
saber
10. Selecciona y ordena los pasos que se muestran a continuación para el cálculo de la media aritmética de
una colección de n datos
i. Se ordenan los elementos de la colección
ii. Se suman todos los elementos
iii. Se divide entre n
iv. Se calcula la raíz cuadrada
v. Se suman los cuadrados de cada elemento de la colección
a) i, v, vi b) v, iii, iv c) ii, iii d) i, ii, iv
116
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.3.3 Medidas de posición
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Calcule el cuarto decil de los resultados de un estudio sobre las ventas de coches en una agencia, durante un mes
Limites
declarados
Limites
Verdaderos
Frecuencia
de clase
Frecuencia
Acumulada
30-34 29.5-34.5 5 5
35-39 34.5-39.5 8 13
40-44 39.5-44.5 10 23
45-49 44.5-49.5 15 38
50-54 49.5-54.5 25 63
55-59 54.5-59.5 32 95
60-64 59.5-64.5 12 107
65-69 64.5-69.5 6 113
a) 52.54 b) 46.25 c) 49.11 d) 50.94
2. Calcular Q2 en 24, 22, 21, 23, 24, 22, 22, 21, 22.
a) 22.5 b) 23.5 c) 21.5 d) 22
3. CalcularD7 en 8, 2, 1, 4, 9, 2, 8, 5, 2, 4, 1, 4, 3, 1, 4, 6, 4, 6, 7, 10.
a) 6 b) 7 c) 4 d) 5
4. Calcula Q1.
a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
5. Calcula D6.
Dato Frecuencia
11 23
12 9
13 19
14 20
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
6. NO es cuartil de los datos 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9.
a) 7 b) 4 c) 6 d) 3
7. No es decil de los datos 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8 , 9, 9, 9,
9, 9, 9.
a) 4 b) 2 c) 3 d) 1
8. Q3 de 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9.
a) 7 b) 6 c) 8 d) 9
9. Es el valor que corresponde a la mediana:
a) Segundo decil
b) Tercer cuartil
c) Octavo decil d) Quincuagésimo
percentil
10. Son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en 25%, 50% y 75%.
a) Cuartiles b) Deciles c) Percentiles d) Octiles
Dato Frecuencia
11 23
12 9
13 19
14 20
117
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.3.4 Nociones de probabilidad
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado me caiga un número primo?
a) 1/6 b) 1/2 c) 3/4 d) 4/6
2. ¿Cuántos números de 2 cifras puedo formar con los dígitos 0, 2, 4, 5,7 de tal forma que ese número sea divisible
entre 2?
a) 12 b) 3,125 c) 15 d) 25
3. La suma de las probabilidades de 2 sucesos únicamente posibles y mutuamente excluyentes, A1 y A2, que se
denotan como P(A1) y P(A2). Cumplen con la relación P(A1) + P(A2) …
a) =0 b) =1 c) >1 d) <1
4. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar un naipe inglés (52 cartas) sea un as?
a) 0.25 b) 0.076 c) 0.019 d) 1
5. En una caja se tienen 3 fichas verdes y 5 fichas naranjitas. Si se seleccionan 2 fichas al azar ¿de cuántas maneras
se pueden seleccionar dos del mismo color?
a) 26 b) 13 c) 15 d) 30
6. Se ha tirado un dado 25 veces y resulta que el número 6 cayó 8 veces ¿cuál es la probabilidad de que caiga de
nuevo el número 6?
a) 0.32 b) 0.24 c) 0.16 d) 0.30
7. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra CARROZA?
a) 1,260 b) 5,040 c) 95,040 d) 60
8. En un estado, las placas de los automóviles tienen 3 letras seguidas de 3 dígitos, suponiendo que las letras del
abecedario son 26 y sabemos que los dígitos que puede tener son 10. ¿Cuántas placas se pueden formar si NO se
permite repetir letras ni dígitos?
a) 17,576,000 b) 1,872,000 c) 312,000 d) 11,232,000
9. En una caja con zapatos, hay 4 pares de tenis y 2 pares de zapatillas. Si se sacan un par de zapatos al azar, ¿de
cuántas maneras se puede sacar un zapato de cada tipo?
a) 32 b) 8 c) 6 d) 12
10. Se lanzan 2 dados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor de 8?
a) 6/36 b) 10/36 c) 11/36 d) 21/36
118
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
RESPUESTAS
1.3 RAZONAMIENTO PROBABILISTICO Y ESTADISTICO
Tema 1.3.1 Frecuencias e información gráfica
1 c 3 c 5 d 7 d 9 b
2 b 4 d 6 a 8 a 10 a
Tema 1.3.2 Medidas descriptivas
1 b 3 a 5 c 7 c 9 d
2 a 4 a 6 a 8 c 10 d
Tema 1.3.3 Medidas de posición
1 c 2 d 3 c
Tema 1.3.4 Nociones de probabilidad
1 a 6 d 11 c 16 b 21 c 26 c 31 a
2 d 7 b 12 b 17 a 22 d 27 d 32 b
3 a 8 b 13 c 18 c 23 c 28 b 33 c
4 b 9 c 14 d 19 b 24 c 29 b
5 c 10 a 15 a 20 a 25 b 30 b
Tema 1.3.1 Frecuencias e información gráfica
1 d 4 d 7 c 10 b 13 d
2 a 5 a 8 a 11 b 14 d
3 b 6 c 9 a 12 b 15 d
Tema 1.3.2 Medidas descriptivas
1 c 4 d 7 b 10 a 13 a
2 d 5 a 8 a 11 b 14 b
3 d 6 b 9 d 12 c
Tema 1.3.3 Medidas de posición
1 b 2 a 3 d
Tema 1.3.4 Nociones de probabilidad
1 d 6 d 11 c 16 c 21 b
2 a 7 d 12 a 17 d 22 a
3 a 8 c 13 b 18 b 23 b
4 b 9 c 14 a 19 c
5 d 10 a 15 a 20 d
Ejercicios
complementarios
Ejercicios de práctica
119
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluaciones
Tema 1.3.1 Frecuencias e información gráfica
1 c 3 b 5 a 7 d 9 d
2 d 4 d 6 c 8 a 10 a
Tema 1.3.2 Medidas descriptivas
1 b 3 b 5 d 7 a 9 a
2 c 4 b 6 d 8 c 10 c
Tema 1.3.3 Medidas de posición
1 d 3 a 5 c 7 a 9 d
2 d 4 a 6 c 8 c 10 a
Evaluación 1.3.4 Nociones de probabilidad
1 b 3 b 5 b 7 a 9 a
2 a 4 b 6 c 8 d 10 b
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120
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.4 RAZONAMIENTO
GEOMÉTRICO
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Que el estudiante sea capaz de utilizar procedimientos geométricos para la
solución de ejercicios y problemas relacionados con situaciones de la vida real.
1.4.1 Puntos, segmentos y plano cartesiano
1.4.2 Línea Recta
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
UNIDAD 1.4 RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO
1.4.1 Puntos, segmentos y plano cartesiano
Objetivo de sección
Ser capaz de ubicar fácilmente los puntos en el plano cartesiano, hallar unos puntos especiales
(punto medio, punto que divide a un segmento) y contestar preguntas relacionadas con éstas.
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan
en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el
nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición
de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o
pares ordenados.
¿Cómo localizar puntos en el plano cartesiano?
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la
derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen,
en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de
las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se
localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.
IMPORTANTE. Que para poder generar cualquier coordenada (DOS DIMENSIONES) hay que
hablar de un punto de referencia desde donde se comience a contar. En el caso del plano cartesiano
el punto de referencia es la coordenada (0,0) mejor conocida como ORIGEN.
Veamos un ejemplo del análisis que se necesita hacer:
La imagen nos muestra que la casa de María está en el punto (-4,3) en el plano cartesiano. ¿Cuáles
son las coordenadas de "xook matemáticas" en el plano?
Para resolver la anterior pregunta lo primero
sería encontrar el punto de referencia
(ORIGEN) el cual se encontraría contando
hacia atrás las coordenadas de María. Ya que
María está a cuatro lugares a la izquierda y
tres lugares arriba, entonces retrocediendo
bajaríamos tres lugares y luego cuatro lugares
a la izquierda, con lo cual llegaríamos al
ORIGEN (0,0).
De aquí ahora es sencillo; solo contamos los
lugares que existen al punto donde se
encuentre Xook. Así las coordenadas de Xook
son: (4,4).
123
http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm
http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.4.1.1 Distancia entre dos puntos y punto medio.
Para entender mejor estos temas analicemos las siguientes situaciones…
SITUACIÓN 1
Nos encontramos con un problema: Pedro ha avanzado en su auto 6.3 km de Mérida a Progreso,pero en eso decide descansar y cede el volante a Juan quien avanza hasta llegar a progreso. Si la
carretera tiene una medida total de 32km ¿Cuánto manejo Juan?
¡Qué fácil sería encontrar la respuesta! ¿no?
Todos sabemos hasta este punto que únicamente tendríamos que restar a 32km los 6.3km que ya
recorrió Pedro y de esa manera encontraríamos la respuesta… pero que pasaría con problemas un
poco más complejos donde el movimiento ya no es en línea recta sino en diagonal donde
intervienen 2 dimensiones o peor aún con 3 dimensiones, ¿sería igual de fácil? …
SITUACIÓN 2
Un buque naval se dirige al noreste (3 km Este, 3 km Norte) y al mismo tiempo sale del mismo
muelle otro buque naval con dirección al sureste (5km Oeste, 3km Sur) de tal manera que su
recorrido queda registrado en la pantalla de la siguiente manera:
Nota: la unidad de medida de la imagen es en KM.
a) ¿A qué distancia se encuentra uno de otro?
b) ¿Cuál es el lugar donde deben de reunirse que es más cercano para los 2?
Si observas, para hallar la respuesta del primer problema, lo que realizaste mentalmente fue la
diferencia del punto final menos el punto inicial. Esa misma es la definición de distancia, la cual
para línea recta será:
𝒅𝑨𝑩 = |𝑩 − 𝑨| = √𝑨
𝟐 + 𝑩𝟐
Si tenemos dos puntos en el Plano Cartesiano 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2) entonces la distancia
entre esos dos puntos estará dada por:
Distancia entre dos puntos
𝐷𝐴𝐵 = √(𝑥1 − 𝑥2)
2 + (𝑦1 − 𝑦2)
2
Km 6.3 Km 32
Mérida Progreso
124
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Entonces para encontremos la distancia entre los dos buques cuya posición es 𝐵(3,3) y 𝐴(−5, −3).
Hagamos:
𝐷𝐴𝐵 = √(3 − (−5))
2
+ (3 − (−3))
2
𝐷𝐴𝐵 = √(3 + 5)
2 + (3 + 3)2
𝐷𝐴𝐵 = √(8)
2 + (6)2=√64 + 36 = √64 + 36 = √100 = 10
Entonces la distancia entre los dos buques es de 10 kilómetros.
De igual manera, si quisiéramos encontrar el punto más cercano donde se puedan encontrar
los dos, este sería el punto medio el cual lo encontraríamos sacando el promedio de cada una de las
coordenadas; es decir,
Punto Medio
𝒙𝒎 =
𝒙𝟏+𝒙𝟐
𝟐
y 𝒚𝒎 =
𝒚𝟏+𝒚𝟐
𝟐
Así la coordenada donde se encuentra el punto medio es 𝑃𝑀 (
𝑥1+𝑥2
2
,
𝑦1+𝑦2
2
)
Para el problema de los buques: Si los puntos de la posición de los buques son B(3, 3) y A(−5, −3)
entonces:
𝑥m =
3−5
2
=
−2
2
= −1 y ym =
3−3
2
=
0
2
= 0
Entonces la ubicación del punto medio entre los dos buques estará en (-1,0). Busca este punto en la
gráfica de arriba, veras que ahora todo tiene sentido.
Si pones atención en el punto que ahora hemos encontrado te darás cuenta que este divide en dos
partes iguales al segmento AB.
¿Cómo podremos hacer para encontrar los puntos que dividen en 3 partes iguales a AB, es decir, los
puntos que dividen en 1/3 y 2/3 al segmento AB?
Práctica abierta
INDICACIÓN: Calcula el punto medio y la distancia entre los puntos 𝐴(3,5) y 𝐵(−5,3).
125
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.4.1.2 Puntos que dividen segmentos
Para encontrar las coordenadas de un punto que divide un segmento con extremos A y B en una
razón 𝑟, las coordenadas del punto P se encuentran con las expresiones:
Razón Fórmula
𝑟 =
𝐴𝑃
𝐴𝐵
𝑥𝑝 = 𝑥1 + 𝑟(𝑥2 − 𝑥1), 𝑦𝑝 = 𝑦1 + 𝑟(𝑦2 − 𝑦1)
𝑟 =
𝐴𝑃
𝑃𝐵
𝑥𝑝 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2
1 + 𝑟
, 𝑦𝑃 =
𝑦1 + 𝑟𝑦2
1 + 𝑟
Ejemplo:
Calcula las coordenadas del punto P cuya razón es 𝑟 =
𝑆𝑃
𝑆𝑇
=
1
4
del segmento con extremos S(-2,5) y
T(6,3).
Sustituyendo en la fórmula se tiene x1=-2, x2=6, y1=5, y2=3 y r=1/4
𝒙 = −𝟐 + (𝟏/𝟒)(𝟔 + 𝟐) = 𝟎
𝒚 = 𝟓 + (𝟏/𝟒)(𝟑 − 𝟓) = 𝟗/𝟐
Las coordenadas del punto P que divide al segmento es 𝑃(0,9/2)
Ejemplo. Para el caso de las coordenadas 𝐴(−5, −3) y 𝐵(3,3) si deseamos encontrar las
coordenadas que dividan en tres partes iguales entonces deseamos las razones 1/3 y 2/3. Así al
sustituir los valores obtendremos que:
𝑥 = −5 +
1
3
(3 + 5)
𝑥 = −5 +
1
3
(8)
𝑥 = −5 +
8
3
𝑥 = −
7
3
𝑦 = −3 +
1
3
(3 − (−3))
𝑦 = −3 +
1
3
(3 + 3)
𝑦 = −3 +
6
2
= −3 + 2
𝑦 = −1
Así la coordenada que está en el primer tercio es (−
7
3
, −1).
Práctica. Abierta
INDICACIÓN: Ahora repite el procedimiento y encuentra la coordenada a los 2/3
𝑟 =
2
3
𝑥1 = −5 , 𝑦1 = −3
𝑥2 = 3 𝑦2 = 3
126
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.4.2 Línea recta
Objetivo de sección.
Ser capaz de las diferentes ecuaciones de la recta de manera correcta y rápida para contestar las
preguntas relacionadas con este, además de ubicarlo gráficamente.
Para determinar la ecuación de una recta existen varias maneras dependiendo de la información con
la que cuentes:
Forma punto-pendiente
Exige contar con la información de dos datos (un punto por donde pasa la recta y el valor de su
pendiente).
𝑦 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝑥 − 𝒙𝟏)
Donde:
(x1, y1) son la abscisa y ordenada del punto donde pasa la recta
m es la pendiente de la recta deseada.
¿Cómo encontrar la pendiente (m)?
La pendiente es la razón entre la diferencia de las ordenadas (y) dividido entre
la diferencia de las abscisas de dos coordenadas. Es decir, es un valor que nos
dice cuanto sube o baja la gráfica de la recta cada vez que se mueve un lugar a la derecha.
Si le pendientes de una recta es positiva entonces la gráfica de la recta va (HACIA
ARRIBA de izquierda a derecha).
Si la pendiente de una recta es negativa entonces la gráfica de la recta va (HACIA ABAJO
de izquierda a derecha).
No. ¿Qué información te dieron? ¿Qué formula usar?
1
Si conozco dos puntos por donde pasa
la recta deseada
𝒎 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
2
Si ya tengo la ecuación de
la recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑚 = −
𝐴
𝐵
3
Con el ángulo de inclinación que forma
la recta con el eje X
𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃
4
Si tengo otra recta paralela a la recta que deseo
encontrar su pendiente
Las pendientes de dos rectas paralelas son
iguales m1 = m2
5
Si tengo otra recta perpendicular a la recta que deseo
encontrar su pendiente
Las pendientes de dos rectas
perpendiculares son inversas, (cambiadas
de signo y volteadas). m1 = −
1
m2
Otras formas de escribir la ecuación de una recta
Puesto que la ecuación de la recta tiene varias utilidades, está ecuación se puede ordenar de otras
maneras según sea su utilidad:
1) Forma general 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
Esta forma es usada para comparar una recta con otra o con otro lugar geométrico y sirve para
expresar cada una de las respuestas. Siempre está igualada a cero.
2) Forma implícita 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃
Esta forma sirve normalmente para graficar ya que en ella es fácil identificar el valor de la
pendiente (m) (coeficiente de x) y el valor por donde pasa la recta en el eje y (b) (ordenada al
origen).
127
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
3) Simétrica
𝒙
𝒂
+
𝒚
𝒃
= 𝟏
Es una forma que sirve para conocer rápidamente donde están ambas intersecciones con los
ejes, lo cual ayuda mucho a graficar.
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2, −4) y 𝐵(5, −5).
Dado que conocemos dos puntos y aún no conocemos la pendiente, encontramos primero el valor
de la pendiente a partir de dos puntos:
𝒎 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
=
−𝟓 + 𝟒
𝟓 − 𝟐
=
−𝟏
𝟑
Así la pendiente de la recta que se desea es 𝑚 = −
1
3
y el punto que usaremos es A(2,-4) (Nótese que
puede usarse cualquiera de los dos puntos y debe dar el mismo resultado)
Sustituimos estos valores en la ecuación de la recta (forma punto-pendiente)
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏)
𝑦 + 4 = −
1
3
(𝑥 − 2)
3(𝑦 + 4) = −1(𝑥 − 2)
3𝑦 + 12 = −𝑥 + 2
𝑥 + 3𝑦 + 10 = 0
NOTA: La ecuación general de la recta posee términos con exponentes lineales, es decir, con
exponentes iguales auno.
¿Cómo graficar una recta?
Para realizar la gráfica de la Recta, es posible hacer varios métodos como por ejemplo tabular
varios valores positivos y negativos. Sin embargo el método más rápido es encontrar las
intersecciones con los ejes X y Y, lo que debemos hacer para encontrar la intersección con un eje
debemos eliminar la parte correspondiente al otro eje en la ecuación y despejar el valor.
Por ejemplo tomemos la ecuación de la recta encontrada en el ejemplo anterior:
𝑥 + 3𝑦 + 10 = 0
Si deseamos encontrar la intersección con el eje X eliminamos la parte de la ecuación
correspondiente a Y:
𝑥 + 10 = 0
𝑥 = −10
Repitiendo el procedimiento para encontrar la intersección en Y:
3𝑦 + 10 = 0
𝑦 = −10/3
Así podemos ver que:
En el eje X corta en (-10,0)
En el eje Y corta en (0,-10/3)
Con estos datos ya podemos graficar la ecuación de la recta.
128
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.4.1. PUNTOS, SEGMENTOS Y PLANO CARTESIANO
1. Calcula la distancia entre dos aeronaves cuya posición es 𝐴(4, −3) y 𝐵(3,0).
a) 8 b) √10 c) 10 d) √8
2. Calcula el punto medio entre dos automóviles cuya posición es 𝐴(4, −4) y 𝐵(2,2).
a) (3,-1)
b) (2,0)
c) (-1,3)
d) (0,2)
3. Encuentra el punto P que divide en 2/3 partes a los puntos 𝐴(3,8) y 𝐵(−1,9). Considera la razón
como 𝑟 =
𝐴𝑃
𝑃𝐵
.
a) (−
7
5
, −
42
5
) b) (
7
5
, −
42
5
) c) (−
7
5
,
42
5
) d) (
7
5
,
42
5
)
4. ¿Qué valor de 𝑦 satisface que la distancia entre los puntos 𝐴(1, 𝑦) y 𝐵(−2,3) es 5?
a) −√8
b) −8
c) 7
d) √7
5. Calcula el perímetro del triángulo con vértices 𝐴(3,8), 𝐵(−11,3) y 𝐶(−8, −2).
a) 36.27 b) 23.07 c) 48.47 d) 35.56
6. Hallar las coordenadas del punto 𝐶, sabiendo que 𝐵(2, −2) es el punto medio de 𝐴𝐶 y 𝐴(−3, 1).
a) (7,-5) b) (-7,-5) c) (7,5) d) (-7,5)
7. El punto I representa Xook la cual está en la coordenada (5,4). Si el punto II representa la prepa
2. Halla la coordenada la prepa 2.
a) (0,1)
b) (0,0)
c) (1,0)
d) (1,-1)
8. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que empieza en 𝐴(5,2) y termina en
𝐵(−3, −7) para que su longitud se duplique?
a) (-11,-16) b) (11,16) c) (11,-16) d) (-11,16)
9. Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: 𝐴(2, −1) y 𝐵(8, −4) . ¿Cuál las
coordenadas del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que 𝑟 =
2
5
?
a) (
22
5
,
11
5
) b) (−
22
5
,
11
5
) c) (
22
5
, −
11
5
) d) (−
22
5
, −
11
5
)
10. Sea ABC un triángulo, encuentra las coordenadas del punto medio del lado más largo los
vértices son 𝐴(3, −5), 𝐵(−2, −7) y 𝐶(−3,9).
a) (
1
2
, −6) b) (−
5
2
, 1) c) (0, 2)
d) (0, −6)
129
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.4.2. LINEA RECTA
1. La pendiente es la ___________ entre ________ puntos.
a) División, cuatro b) Razón, dos c) Razón, cinco d) Resta, dos
2. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,1) y 𝐵(4,7).
a) -3 b) 3 c) 1/3 d) -1/3
3. Determina si la Recta que pasa por los puntos 𝐴(1,0), 𝐵(0,3) es paralela a la recta que pasa
por los puntos 𝐴(0, −9) y 𝐵(3,0).
a) No es paralela ni perpendicular
b) Si es paralela tienen pendiente 𝑚 = 3
c) No es paralela, pero si perpendicular
d) Si es paralela tienen pendiente 𝑚 = −
1
3
4. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la Recta 6𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0?
a) -2 b) 6/3 c) 1/2 d) -1/2
5. Dadas la recta 6𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 y la Recta 2𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 selecciona la afirmación correcta:
a) Las rectas no son perpendiculares ni
paralelas
b) Son paralelas
c) Son perpendiculares
d) Tienen misma ordenada al origen
6. Hallar la ecuación de la Recta que pasa por el punto (2,8) y tiene por 𝑚 = 5.
a) 5𝑥 − 𝑦 − 18 = 0
b) 5𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
c) −5𝑥 − 𝑦 − 18 = 0
d) −5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
7. Hallar la ecuación de la Recta que pasa por los puntos 𝐴(1,3) y 𝐵(−1,0).
a) 3𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0
b) 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
c) 2𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0
d) 3𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0
8. Encuentra el punto de intersección entre las dos rectas 𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 y 3𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0.
a) (3, −
1
2
) b) (−
1
2
, 3) c) (−3,
1
2
) d) (
1
2
, −3)
9. Selecciona la gráfica la ecuación 21𝑥 + 7𝑦 − 14 = 0.
a)
c)
b)
d)
10. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 y 2𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 y
es perpendicular a la recta 𝑥 + 2𝑦 + 7 = 0.
a) 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0
b) −2𝑥 + 𝑦 = 0
c) 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
d) – 𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
130
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.4.1 PUNTOS, SEGMENTOS Y PLANO CARTESIANO
1. El punto I representa Xook la cual está en la coordenada (15,-20). Si el punto II representa la prepa 2.
Halla la coordenada la prepa 2.
a) (10,-22)
b) (9,-22) c) (10,-23)
d) (9,-23)
2. ¿Cuál es la distancia entre los puntos 𝐴(2, −3) y 𝐵(5,1)?
a) 25
b) 5
c) 9
d) 16
3. Erik sale de la escuela cuya coordenada es (2,3), cerca de su escuela hay dos sitios con coordenadas son
A(-7, 3), B(-4, 7) y C(-10,-8) donde puede tomar su camión para ir a su casa. ¿Qué sitio le quedará más
cerca?
a) B
b) A
c) C
d) Todos
4. Un coche parte del punto A (-2; 5) en dirección al punto B (4;-7). Calcula las coordenadas en las que se
encontrará después de haber completado 2/3 de su camino.
a) (2, 3) b) (1, -3)
c) (2, -3)
d) (-2, -3)
5. Encuentra el punto de corte de las diagonales de un cuadrado cuyos vértices son 𝐴(−3, 3), 𝐵(−1, −1),
𝐶(3, 1) y 𝐷(2, 4).
a) (2, 0) b) (1, 0) c) (0, 1) d) (0, 2)
6. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que empieza en 𝐴(5,2) y termina en 𝐵(−3, −6) para que
su longitud se duplique?
a) (-11,-14)
b) (11,14)
c) (11,-14)
d) (-11,14)
7. Calcula la distancia éntrelos puntos 𝑃(4,5) y 𝑄(1,1).
a) 2
b) 5
c) √2
d) √5
8. Encuentra las coordenadas del punto A que dividen al segmento determinado por 𝐻(2,5) y 𝐼(−4,1) en la
razón de
𝐻𝐴
𝐻𝐼
=
𝟏
𝟓
.
a) (
4
5
,
21
5
) b) (
4
5
, −
21
5
) c) (−
4
5
,
21
5
) d) (−
4
5
, −
21
5
)
9. Encuentra las coordenadas del punto A que dividen al segmento determinado por 𝑂(0,0) y 𝑃(5, −8) en la
razón de
𝑂𝐴
𝑂𝑃
=
𝟏
𝟒
.
a) (
5
4
, −2) b) (−
5
4
, 2) c) (−
5
4
, −2) d) (
5
4
, 2)
10. Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son 𝐴(0,0), 𝐵(3,4) y 𝐶(3,0).
a) 7.96 b) 5.38 c) 12.00 d) 9.41
11. Hallar el simétrico del punto 𝐴(4, −2) respecto de 𝑀(2, 6).
a) (14,0) b) (0,14) c) (−14,0) d) (0, −14)
12. Hallar el simétrico del punto 𝐴(3, −2) respecto de 𝑀(−2, 5).
a) (8, −9) b) (−7, −12) c) (−8, −9) d) (−7,12)
131
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
13. Dados los puntos 𝐴(3, 2) y 𝐵(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que
𝐶𝐴
𝐶𝐵
=
3
2
.
a) (6,5) b) (1,0) c) (-6,-5) d) (-1,0)
14. Calcula el perímetro de la figura cuyos vértices son 𝐴(4,10), 𝐵(12,8), 𝐶(12,1) y 𝐷(1,1).
a) 35.73 b) 21.97 c) 81.72 d) 95.48
15. Nombre del triángulo cuyos vértices son 𝑀(−3, √3), 𝑁(1, −3√3), 𝑂(5, √3).
a) Escaleno b) Isósceles c) Rectángulo d) Equilátero
16. Determina la coordenada del punto M que está a r=
3
4
partes de distancia de 𝑃(−5, −4) a 𝑅(3,3). Considera
𝑟 =
𝑃𝑀
𝑃𝑅
.
a) (1, 5/4) b) (−13/2,4) c) (1, −19/4) d) (−13/2, −19/4)
17. Si 𝑟 =
𝑃𝑄
𝑄𝑅
=
3
5
, 𝑃(3, −4) y 𝑅(9,3)¿Cuáles son las coordenadas de Q que lo divide?
a) (
21
4
,
3
8
) b) (
27
4
,
3
8
) c) (
21
4
, −
11
8
) d) (
27
4
, −
11
8
)
18. Calcula las coordenadas del punto que divide al siguiente segmento en la razón dada 𝐴(−1,2) y 𝐵(−3,2)
y 𝑟 =
𝐴𝑃
𝑃𝐵
= 3.
a) (−
5
2
, 2) b) (2,
5
2
) c) (
5
2
, 2) d) (−2,
5
2
)
19. Calcula las coordenadas del punto P que divide al siguiente segmento en larazón dada.
𝐴 (
1
2
,
3
4
) 𝑦 𝐵 (3,
3
4
)
𝐴𝑃
𝑃𝐵
= 𝑟 =
2
3
a) (−
3
2
, −
3
4
) b) (
3
2
, −
3
4
) c) (−
3
2
, −
3
4
) d) (
3
2
,
3
4
)
20. Calcula las coordenadas del punto C que divide al siguiente segmento en la razón dada.
𝐴(4,4) 𝑦 𝐵 (
1
4
, −2)
𝐴𝐶
𝐶𝐵
= 𝑟 =
1
5
.
a) (−
27
8
− 3) b) (
27
8
, 3) c) (
27
8
, − 3) d) (−
27
8
, 3)
21. Calcula las coordenadas del punto L que divide al siguiente segmento en la razón dada.
𝐴(−7,9) 𝑦 𝐵(7,9)
𝐴𝐿
𝐿𝐵
= 𝑟 =
5
6
. F1
a) (
7
11
, −9) b) (−
7
11
, −9) c) (−
7
11
, 9) d) (
7
11
, 9)
22. Determina las coordenadas del punto medio del siguiente segmento 𝑀(2,3) 𝑦 𝑁(5,2).
a) (−
7
2
,
5
2
) b) (
7
2
,
5
2
) c) (−
7
2
, −
5
2
) d) (
7
2
, −
5
2
)
23. Determina las coordenadas del punto medio del siguiente segmento 𝑀(−2,1) 𝑦 𝑁(3,7).
a) (
1
2
, 4) b) (−
1
2
, −4) c) (−
1
2
, 4) d) (
1
2
, −4)
24. Determina las coordenadas del punto medio del siguiente segmento𝑀(5,2) 𝑦 𝑁(−1, −2).
a) (0,2)
b) (0, −2)
c) (2,0)
d) (−2,0)
25. Determina los puntos de trisección del segmento de recta cuyos extremos son los puntos 𝐴(−1, −6) y
𝐵(0,3).
a) (−
1
3
, 0) y (−
2
3
, −3) b) (−
1
3
, 0)y (
2
3
, −3) c) (
1
3
, 0)y (−
2
3
, −3) d) (−
1
3
, 0)y (−
2
3
, 3)
132
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.4.2 LÍNEA RECTA
1. ¿Cuál es la ecuación de la recta que se encuentra siempre a tres unidades a la derecha del eje Y?
a) 𝑦 = 3 b) 𝑥 = 3 c) 𝑦 = −3 d) 𝑥 = −3
2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que se encuentra siempre seis unidades por encima del eje X?
a) 𝑦 = 6 b) 𝑥 = 6 c) 𝑦 = −6 d) 𝑥 = −6
3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones de la recta se mantiene siempre a la misma distancia de X y Y?
a) 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 b) 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 c) 𝑥 + 𝑦 = 0 d) 𝑥 + 𝑦 − 1/2 = 0
4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(1, −5) y tiene una pendiente igual a 3?
a) 3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0 b) 𝑥 + 3𝑦 − 8 = 0 c) 𝑥 − 5𝑦 = 0 d) 𝑥 + 𝑦 + 1/2 = 0
5. ¿Cuál es la pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinación respecto a la horizontal es de 45°?
a) m=0 b) m=45 c) m=-1 d) m=1
6. ¿Cuál es la ecuación de la recta con el ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 45° y que pasa por
el punto (-6,-3)
a) 𝑥 + 3𝑦 = 0 b) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 c) 3𝑥 − 𝑦 = 0 d) 3𝑥 + 3𝑦 + 3 = 0
7. Hallar la ecuación de la recta cuya intersección con el eje x es igual a 2 y tiene una pendiente de -1.
a) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 b) 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 c) 2𝑥 + 𝑦 = 0 d) 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
8. Las intersecciones de una recta respecto a los ejes X y Y son 3 y -1, respectivamente. ¿Cuál es la
pendiente de la recta?
a) m=3/2 b) m=
1
3
c) m=-1
d) m=3
9. ¿En qué punto intersecaría al eje Y la recta 4𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0?
a) y=3 b) x=3 c) y=-3 d) x=-3
10. ¿En qué punto intersectaría al eje X la recta 5𝑥 − 𝑦 + 2 = 0?
a) y=-2/5 b) x=-2/5 c) y=2/5 d) x=2/5
11. ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde a la gráfica de la ecuación 2x-y-3=0?
a) b)
c)
d)
12. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica de 2x-y+3?
a) b)
c)
d)
13. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica de 3x+y-2?
133
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
a) b)
c)
d)
14. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la recta x-5y-2=0?
a) b)
c)
d)
15. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la recta 5x-y+5=0?
a) b)
c)
d)
16. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la recta 5x-y-2=0?
a) b)
c)
d)
17. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la recta x-5y+5=0?
a) b)
c)
d)
18. ¿Cuáles serían las intersecciones con los ejes de la recta 2x-4y+12=0?
a) x= 3, y= 6 b) x= -6, y=3 c) x= 3, y=-6 d) x= -6, y= -3
19. ¿Cuáles serían las intersecciones de los ejes de la recta -3x+4y-12=0?
a) x= -4, y=3
b) x= 3, y=-4
c) x= 4, y= 3
d) x= 4, y=-3
20. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta 4x+3y=0?
a) m=-4/3 b) m=3/4 c) m=3 d) m=4
Evaluación 1.4.1 Puntos, segmentos y plano cartesiano
134
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. Es el nombre que recibe la coordenada (0,0)
a) Inicio b) Cero c) Origen d) Pendiente
2. El punto I representa Xook la cual está en la coordenada (15,-20). Si el punto II
representa la prepa 2. Halla la coordenada la prepa 2
a) (10,-23) b) (9,-22) c) (10,-22) d) (9,-23)
3. Es la secuencia de pasos que se debe realizar para localizar la coordenada (-2,3)
I. Avanzar tres lugares abajo
II. Avanzar dos lugares a la izquierda
III. Ubicarse en la coordenada (0,0)
IV. Avanzar tres lugares arriba
V. Avanzar dos lugares derecha
a) I, II, III b) III, V, II c) III, II, IV d) III, V, I
4. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(2,-3) y B(5,1)?
a) 25 b) 5 c) 9 d) 16
5. Un coche parte del punto A (-2, 5) en dirección al punto B (4,-7). Calcula las coordenadas en las que se
encontrará después de haber completado 2/3 de su camino.
a) (2, 3) b) (1, -3) c) (2, -3) d) (-2, -3)
6. Halla el punto medio de los puntos A(2,-3) y B(6,1)?
a) (4,1) b) (4,-1) c) (-4,1) d) (-4,-1)
7. Halla el simétrico del punto A (-7, 0) con respecto al punto M (-2, -3).
a) (5, 6) b) (3, -6) c) (5, -6) d) (3, 6)
8. Halla la distancia entre los puntos A(0,0) y B(0,-2)
a) 2 b) 3 c) 4 d) -2
9. Dados el segmento formado por los puntos A(0, 5) y B (-10,0) calcula las coordenadas del punto X que
se encuentra a 2/5 del segmento AB.
a) (2,3) b) (-4,3) c) (4,3) d) (-2,-3)
10. Es el nombre del eje horizontal(X)
a) Acostado b) Vertical c) Abscisa d) Ordenada
135
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.4.2 Línea recta
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la recta -3x + y +2 = 0?
1. (2, 4) 2. (-2, 4) 3. (0, 0) 4. (4, 2)
a) Todos b) Ninguno c) 1 d) 2, 3 y 4
2. Es la razón de cambio entre dos puntos
a) Recta
b) Angulo de inclinación
c) Pendiente
d) Paralela
3. Es la pendiente de la recta 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0
a) 2/3 b) -2/3 c) 5/2 d) 3/5
4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (2, −1) y es paralela a la ecuación 2𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 ?
a) 𝑥 − 𝑦 − 3 = 0
b) 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
c) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
d) 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
5. Relaciona cada ángulo con su respectiva pendiente
Angulo de inclinación Pendiente
1) 0° a) 1
2) 45° b) 0
3) 135° c) -1
a) 1b, 2c, 3a b) 1c, 2b, 3a c) 1b, 2a, 3c d) 1a, 2c, 3b
6. La recta L1 es paralela a la recta L2, la recta L2 es perpendicular a L3 y esta última es perpendicular a la
recta 6𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0. La pendiente de la recta L1 es:
a) 𝑚1 = −
1
3
b) 𝑚1 = 3 c) 𝑚1 =
1
3
d) 𝑚1 = −3
7. La gráfica que representa a la recta −
1
2
𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 es:
a) b) c) d)
8. La ecuación de la recta perpendicular a 2𝑥 − 5𝑦 = 0 es:
a) 2𝑥 + 5𝑦 = 0 b) 2𝑥 − 5𝑦 = 0 c) 5𝑥 − 2𝑦 = 0 d) 5𝑥 + 2𝑦 = 0
9. Si una recta es creciente se dice que su pendiente es
a) 1 b) Positiva c) Negativa d) 0
10. Halla la pendiente entre los puntos (2,3) y (2,5)
a) 0
b) 2
c) Infinito
d) No se puede
y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4 y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4 y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4 y
-6 -4 -2 0 2 4 6
-4
-2
0
2
4
136
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
RESPUESTAS
1.4 PENSAMIENTO GEOMÉTRICO
Ejercicios de Práctica
1.4.1 Puntos. Segmentos y plano cartesiano
1 b 3 d 5 d 7 a 9 c
2 a 4 c 6 a 8 a 10 b1.4.2 Línea Recta
1 b 3 c 5 c 7 d 9 a
2 b 4 a 6 b 8 a 10 a
Ejercicios Complementarios
1.4.1 Puntos. Segmentos y plano cartesiano
1 c 4 c 7 b 10 c 13 a 16 a 19 d 22 b 25 a
2 b 5 d 8 a 11 b 14 a 17 c 20 b 23 a
3 a 6 a 9 a 12 d 15 d 18 a 21 c 24 c
1.4.2 Línea Recta
27 b 29 c 31 d 33 a 35 a 37 c 39 b 41 a 43 b 45 a
28 a 30 a 32 b 34 d 36 b 38 a 40 a 42 d 44 b 46 a
Evaluación 1.4.1 Puntos. Segmentos y plano cartesiano
1 c 3 c 5 c 7 b 9 b
2 a 4 b 6 b 8 a 10 c
1.4.2 Línea Recta
1 d 3 a 5 c 7 b 9 b
2 c 4 a 6 b 8 d 10 c
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137
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
138
1.5 RAZONAMIENTO
TRIGONOMÉTRICO
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Conocer herramientas trigonométricas (el teorema de Pitágoras, las funciones
trigonométricas y las leyes de senos y cosenos) para resolver situaciones relaciones con las medidas
de los triángulos.
1.5.1 Funciones trigonométricas
1.5.2 Triángulos rectángulos y oblicuángulos
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Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
140
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
UNIDAD 1.5 RAZONAMIENTO TRIGONOMÉTRICO
1.5.1 Funciones trigonométricas
Objetivo de sección
Ser capaz de identificar y aplicar las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos para hallar
lados y funciones de ángulos especiales.
1.5.1.1 Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo
rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud
del triángulo rectángulo) es igual, a la suma de los cuadrados de los
dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que
conforman el ángulo recto).
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y ,
y la medida de la hipotenusa es se establece que:
¿Cómo se usa?
Para encontrar la hipotenusa
𝒉 = √𝒄𝟐 + 𝒄𝟐
Para encontrar un lado
𝒄 = √𝒉𝟐 − 𝒄𝟐
Observa cómo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras, podemos encontrar la medida
desconocida de un tercer lado a partir del conocimiento de la medida de 2 lados. (Sí, no
importa cuales).
Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un
ángulo recto (de 90 grados).
El teorema de Pitágoras solamente se
cumple en triángulos rectángulos.
141
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.1.2 Definición de las funciones trigonométricas
Sabemos muy bien que un triángulo está formando por 6 elementos (3 ángulos y 3 lados). Un caso
particular son los triángulos rectángulos, los cuales ya poseen un ángulo de 90º, por lo que faltaría
el estudio de los cinco elementos restantes; tres lados (a, b y c) y dos ángulos cuya medida ahora es
de 90º (pues recuerda que, en todo triángulo, la suma de los ángulos internos es de 180°).
Los matemáticos al estudiar los triángulos por mucho tiempo, han encontrado que existe una
relación entre los ángulos y los lados de un los triángulo, esto se debe a que la medida de cada
ángulo determina la medida de su lado opuesto; pero esto, ¿qué relevancia tiene?
Bastante, ya que a partir de esta relación es que podemos encontrar información que desconocemos
con la información de ángulos o lados ya conocidos (ya sea que se nos fue proporcionada o
podemos mediarla).
Así que como en un triángulo rectángulo hay dos ángulos agudos, cuando hablemos de razones
trigonométricas, tenemos que recalcar sobre qué ángulo estamos definiendo las razones
trigonométricas.
Vamos a comenzar partiendo de un triángulo rectángulo como el que sigue:
¿Cuántas razones puedes encontrar entre 3 lados del triángulo? Exacto, son 6:
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
𝑐
𝑏
Para dar nombre a estas razones, hay que definir para cada ángulo, el cateto opuesto y cateto
adyacente.
Para el ángulo θ, a es el cateto opuesto y b es el cateto adyacente a este ángulo.
Por otro lado, para el ángulo β, b es el cateto opuesto y a es el cateto adyacente.
A
B
C
θ
β
a
b
c
Las razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de
un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos agudos (los que miden menos de 90°).
142
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Así, las razones trigonométricas de θ se definen como sigue
Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón
trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad).
Básicamente las funciones trigonométricas nos ayudarán a encontrar la medida de cualquiera de
los dos ángulos restantes en el triángulo rectángulo a partir de la división de la medida de dos
ángulos desconocidos.
¿Cómo encontrar razones trigonométricas sin la calculadora?
Triángulo Equilátero
(Funciones de 30° y 60°)
Triángulo Isósceles
(Funciones de 45°)
Así los ángulos especiales son:
Práctica abierta:
INDICACIÓN: A completa la siguiente tabla con apoyo de los triángulos especiales.
∝ 0° 30° 45° 60° 90°
𝐬𝐢𝐧 ∝ 0
𝟏
√𝟐
=
√𝟐
𝟐
𝟑
𝟐√𝟑
=
√𝟑
𝟐
1
0 0.5 0.7071 0.866 1
𝐜𝐨𝐬 ∝ 1
𝟑
𝟐√𝟑
=
√𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
0
1 0.866 0.7071 0.5 0
𝐭𝐚𝐧 ∝ 0
𝟏
√𝟑
=
√𝟑
𝟑
1 ∄
0 0.5773 1 1.732 ∄
=
𝒂
𝒄
=
𝒃
𝒄
=
𝒄
𝒂
=
𝒄
𝒃
=
𝒂
𝒃
=
𝒃
𝒂
143
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
A continuación, te presentamos el Círculo trigonométrico con todos los valores posibles de seno y
coseno alrededor de los 360°. (𝐶𝑜𝑠 𝜃, 𝑆𝑒𝑛 𝜃)
1.5.1.3 Conversión de grados a radianes
Para poder graficar cualquier función resulta más fácil utilizar una medida llamada radianes en
lugar de los grados, ya que con ellos evitamos los decimales.
¿Cómo pasar de los grados a los radianes?
Para poder convertir una medida de grados a radianes usaremos la siguiente identidad y una sencilla
regla de tres:
Ejemplos:
a) Convertir 225° a radianes:
225°
1
∙
𝜋 𝑟𝑎𝑑
180°
=
225°
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑 =
5
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑
b) Convertir
7𝜋
4
rad a grados:
7𝜋 𝑟𝑎𝑑
4
∙
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 315°
c) Si el valor de 𝑠𝑒𝑛 ∝=
2
3
¿cuál es el valor de cos ∝?
Usando el teorema de Pitágoras encontramos que el cateto restante es
𝑐 = √32 − 22 = √9 − 4 = √5
Puesto que cos ∝ =
𝑐𝑎
ℎ
entonces cos ∝ =
√5
3
= 0.7453
Práctica abierta:
INDICACIÓN: Resuelve el siguiente ejercicio.
Si 𝜃 es un ángulo del segundo cuadrante y la 𝑡𝑔 𝜃 = −
4
3
, ¿cuál es el valor de cos 𝜃?
Para poder generar las gráficas, analicemos que ocurre con los valores de las razones
trigonométricas; es decir TABULEMOS.
180° = 1𝜋 𝑟𝑎𝑑
3
2
∝
144
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.1.4 Gráfica de la función seno
Tabulemos los valores en RADIANES
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒐 (𝒙)
X y=f(x)
Ángulo en
Grados
Ángulo en
Radianes
Razón
Trigonométrica
-720° −𝟒𝝅 𝒓𝒂𝒅
-630° −
𝟕
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-540° −𝟑𝝅 𝒓𝒂𝒅
-450° −
𝟓
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-360° −𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
-270° −
𝟑
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-180° −𝝅 𝒓𝒂𝒅
-90° −
𝟏
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
0° 𝟎 𝒓𝒂𝒅
90°
𝟏
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
180° 𝝅 𝒓𝒂𝒅
270°
𝟑
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
360° 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
450°
𝟓
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
540° 𝟑𝝅 𝒓𝒂𝒅
630°
𝟕
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
720° 𝟒𝝅 𝒓𝒂𝒅
Periodo:
Amplitud:
145
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.1.5 Gráfica de la función coseno
Tabulemos los valores en RADIANES
𝒇(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 (𝒙)
X y=f(x)
Ángulo engrados
Ángulo en
Radianes
Razón
Trigonométrica
-720° −𝟒𝝅 𝒓𝒂𝒅
-630° −
𝟕
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-540° −𝟑𝝅 𝒓𝒂𝒅
-450° −
𝟓
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-360° −𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
-270° −
𝟑
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-180° −𝝅 𝒓𝒂𝒅
-90° −
𝟏
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
0° 𝟎 𝒓𝒂𝒅
90°
𝟏
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
180° 𝝅 𝒓𝒂𝒅
270°
𝟑
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
360° 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
450°
𝟓
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
540° 𝟑𝝅 𝒓𝒂𝒅
630°
𝟕
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
720° 𝟒𝝅 𝒓𝒂𝒅
Periodo:
Amplitud:
146
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.1.6 Gráfica de la función tangente
Tabulemos los valores en RADIANES
𝒇(𝒙) = 𝒕𝒈 (𝒙)
X y=f(x)
Ángulo en
grados
Ángulo en
Radianes
Razón
Trigonométrica
-720° −𝟒𝝅 𝒓𝒂𝒅
-630°
−
𝟕
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-540° −𝟑𝝅 𝒓𝒂𝒅
-450°
−
𝟓
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-360° −𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
-270°
−
𝟑
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
-180° −𝝅 𝒓𝒂𝒅
-90°
−
𝟏
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
0° 𝟎 𝒓𝒂𝒅
90° 𝟏
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
180° 𝝅 𝒓𝒂𝒅
270° 𝟑
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
360° 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
450° 𝟓
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
540° 𝟑𝝅 𝒓𝒂𝒅
630° 𝟕
𝟐
𝝅 𝒓𝒂𝒅
720° 𝟒𝝅 𝒓𝒂𝒅
Periodo:
Amplitud:
147
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
A partir de las gráficas anteriores, podemos concluir que existen elementos en la fórmula analítica de
las funciones seno, coseno y tangente que modifican el comportamiento de sus gráficas:
Denotemos a las funciones de la siguiente manera: 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏) donde
A: representa la amplitud de la gráfica (que tan alto sube y que tan bajo baja)
P: Representa el periodo. 𝑷 =
𝟐𝝅
𝒂
(Cada cuando se repite la gráfica)
𝒅: Representa el desfase 𝒅 =
𝒃
𝒂
(movimiento a la derecha-izquierda de la gráfica original)
Si d < 0 entonces la gráfica se desfasa a la derecha.
Si d > 0 entonces la gráfica se desfasa a la izquierda.
Ejemplo:
La función 𝒈(𝒙) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝒙 −
𝝅
𝟐
) a diferencia de la función 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 se vería así:
Amplitud 𝑨 = 𝟐 La gráfica oscila de arriba a abajo entre [2 y -2]
Periodo 𝑷 =
𝟐𝝅
𝟏
= 𝟐𝝅 La gráfica se repite nuevamente cada 2𝜋
Desfase 𝒅 =
−
𝝅
𝟐
𝟏
= −
𝝅
𝟐
La gráfica con respecto a la original se mueve
𝜋
2
a la
Derecha.
Práctica abierta:
INDICACIÓN: Apóyate en la gráfica del coseno para graficar la función 𝑔(𝑥) = 3 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +
𝜋
2
).
OTRAS CONCLUSIONES:
𝑺𝒆𝒏 (−𝒙) = −𝑺𝒆𝒏 (𝒙) 𝑪𝒐𝒔 (−𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 (𝒙) 𝑻𝒈 (−𝒙) = −𝑻𝒈 (𝒙)
𝑺𝒆𝒏 (𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 (𝒙 + 𝟐𝝅) 𝑪𝒐𝒔 (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 (𝒙 + 𝟐𝝅) 𝑻𝒈 (𝒙) = 𝑻𝒈 (𝒙 + 𝝅)
𝑪𝒐𝒔 (𝒙) = 𝑺𝒆𝒏 (
𝝅
𝟐
− 𝒙) 𝑺𝒆𝒏 (𝒙) = 𝑪𝒐𝒔 (
𝝅
𝟐
− 𝒙) 𝑻𝒈 (𝒙) = 𝑪𝒕𝒈 (
𝝅
𝟐
− 𝒙)
148
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.2 Triángulos rectángulos u oblicuángulos
Objetivo de sección
Ser capaz de plantear problemas relacionados con triángulos rectángulos u oblicuángulos y resolverlos
utilizando funciones trigonométricas, ley de senos o ley de cosenos.
1.5.2.1 Razones trigonométricas
Veamos más claro cómo aplicar esto en un ejemplo:
Supongamos que tenemos el siguiente triangulo rectángulo con la siguiente
información:
Observemos que conocemos el valor de un ángulo y también el del cateto
adyacente, dado que deseamos encontrar la medida del lado opuesto a ese ángulo
(cateto opuesto) usaremos una razón trigonométrica.
Por lo tanto, tenemos un problema donde intervienen los catetos adyacente y opuesto, así la función
trigonométrica que nos ayudará a encontrar el valor desconocido será ________________.
( )𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Es decir,
𝑡𝑎𝑛 45° =
𝑥
20 𝑚
Pero sabemos que 𝑡𝑎𝑛 45° = 1.
Entonces:
1 =
𝑥
20𝑚
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑥 = _______ 𝑚
El otro ángulo podemos encontrarlo con la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un
triángulo, así el ángulo restante será ________.
Y usando el teorema de Pitágoras el tercer lado (hipotenusa) tendrá un valor de______________.
También podemos usar las razones trigonométricas para resolver situaciones de la vida real que
involucren triángulos rectángulos. Veamos un ejemplo:
Una persona de 1.8 metros de altura, observa la punta de un árbol, mientras se encuentra parado a 23
metros de distancia de este misma. Si el ángulo de observación es de 53°, ¿cuál es la altura del árbol?
Notemos que podemos obtener un triángulo rectángulo de la
situación del problema. El ángulo α se denomina precisamente,
ángulo de elevación, el cual mide 53° según el enunciado.
También sabemos que el cateto adyacente al ángulo α, es la
distancia de la persona al árbol, que sabemos mide 23 m. y si te
das cuenta, queremos calcular la medida del cateto opuesto (h) a
α, pues si sabemos el cateto adyacente, solo faltará sumarle la
altura de la persona para conocer la altura del árbol.
¿Qué función trigonométrica relaciona el cateto opuesto y
adyacente y un ángulo? ¡Exacto! Nos conviene usar la función
TANGENTE. Así que:
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Como α=53° y cateto adyacente=23, sustituimos y obtenemos que:
tan (53) =
ℎ
23
→
4
3
=
ℎ
23
Por lo tanto, ℎ = 23 (
4
3
) = 30.67
Finamente, la altura del árbol es 30.67+1.8 =32.46 metros.
149
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.2.2 Problemas de leyes de senos y cosenos
Pero ¿qué ocurre si el triángulo que tengo
no es un triángulo rectángulo?
En ese caso, emplearemos las leyes de senos y cosenos.
1.5.2.2.1 Ley de senos
Cuando un triángulo no es rectángulo, y se tiene una pareja completa (es decir, un ángulo y su lado
puesto) en ese caso se emplea la ley de senos, la cual se refiere a la siguiente ley:
Ejemplo:
Supongamos que tenemos la situación en donde se tiene un triángulo oblicuo donde se conocen los
siguientes elementos:
Dado que tenemos la pareja de (B-b). Usamos la Ley de senos:
𝐶
sen 45°
=
40
sen 60°
𝐶 =
40 𝑆𝑒𝑛 45°
𝑆𝑒𝑛 60°
= 32.659
Ahora piénsale un poco… para encontrar la información que falta, emplea ahora la propiedad de los
ángulos internos de un triángulo para encontrar el ángulo < a=____ y vuelve a usar la ley de Senos para
encontrar el lado A=______.
60° 60°
45°
< 𝑐 = 45° 𝑦 < 𝑏 = 60° 𝑦 𝐵 = 40𝑚
En esta ley, se establece una igualdad
entre dos fracciones, donde los
numeradores son los lados y los
denominadores los senos de sus
respectivos ángulos opuestos.
150
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
1.5.2.2.2 Ley de cosenos
¿Y si no tengo y ni puedo conseguir una pareja completa?
En ese caso emplearemos la ley de cosenos, la cual emplearemos cuando tengamos un triángulo NO
rectángulo y la medida de dos lados y el ángulo contenido entre esos dos lados. Se emplea la siguiente
ley, conocida como ley de cosenos:
Para encontrar un lado Para encontrar un ángulo
𝑪𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − (𝟐)(𝑨)(𝑩)(𝑪𝒐𝒔𝜽) 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 (
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 − 𝑪𝟐
𝟐𝑨𝑩
)
Ejemplo:
Encuentra el lado A.
Puesto que tenemos la información de 2 lados
y el ángulo comprendido entre ellos, hagamos
uso de la ley de cosenos, calculemos la
medida del lado A.
A2 = B2 + C2 − 2(B)(C) cos a
A2 = 6² + 10² − (2) (6) (10) (cos 60°)
A2 = 36 + 100 − (120)(0.5)
𝐴2 = 136 − 60
𝐴2 = 76
𝑨 = √ 𝟕𝟔
Ejemplo:
Encuentra el ángulo c.
Puesto que tenemos la información de tres
lados, hagamos uso de la ley de cosenos,
calculemos la medida del ángulo c.
𝑐 = cos−1 (
𝐴2 + 𝐵2 − 𝐶2
2𝐴𝐵
)
𝑐 = cos−1 (
232 + 132 − 322
2 ∙ 23 ∙ 13
)
𝑐 = cos−1 (
529 + 169 − 1,024
598
)𝑐 = cos−1 (
−326
598
)
𝑐 = cos−1(−0.545)
𝒄 = 𝟏𝟐𝟑. 𝟎𝟑°
Es importante hacer énfasis en que, el
lado C corresponde al ángulo 𝜃, esto
por ser opuestos. Tomar en cuenta
para la fórmula.
c
151
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.5 RAZONAMIENTO TRIGONOMÉTRICO
1.5.1 Funciones trigonométricas
1. Si sin 𝑥 = 2/3, ¿cuánto vale csc 𝑥?
a) 2/3
b) 2.3
c) 3/2
d) No se puede saber
2. Si cos 𝑥 = 0.1, ¿cuánto vale sec 𝑥?
a) 0. 1
b) 10
c) 0.0 1
d) No se puede saber
3. En un triángulo rectángulo, es la razón que hay entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
a) Cosecante
b) Tangente
c) Secante
d) Cotangente
4. En el Teorema de Pitágoras, ¿a qué es igual el cuadrado de la hipotenusa?
a) A la raíz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado.
b) Al cuadrado de la suma de los catetos.
c) A la suma de los cuadrados de los catetos.
d) Al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.
5. Observa las medidas de los lados de un triángulo.
A) a=25 b=7 c=24.
B) a=50 b=40 c=30.
C) a=10 b=√80 c=√20.
D) a=25 b=1 c=24.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) Inciso A) y C) son triángulos rectángulos.
b) Ninguno es triángulo rectángulo.
c) Solo inciso D) no es triángulo rectángulo.
d) Inciso A) y D) son triángulos rectángulos.
6. Lee el siguiente problema. “Calcula la medida de la diagonal de una ventana rectangular cuya base es 2cm y
tiene una altura de 3cm.” Ahora lee las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son verdaderos?
Enunciado
A) Falta información para resolverlo
B) La diagonal mide 5cm
C) El lado faltante es el cateto opuesto
D) Este es un problema relacionado con el Teorema de Pitágoras
E) La diagonal mide √13cm
a) A b) D, E c) B, D d) C, D
7. Calcula lo que mide la diagonal de un cuadrado sabiendo que su lado mide igual que la diagonal de un
rectángulo de lados 12 m. y 5 m.
a) √13
b) 13√2
c) √34
d) 17
8. La diagonal de un terreno rectangular mide 100m y un lado 60m. Calcula cuanto se gastará en cercar el terreno
si se desea poner una barda de 2m de alto y el metro cuadrado tiene un costo de $300
a) $960,000 b) $48,000 c) $24,000 d) $168,000
9. Una escalera de 10m está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6m de la pared. ¿Qué altura
alcanza la escalera sobre la pared?
a) 16 m
b) 8 m
c) √136 m
d) 3 m
152
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
10. Dos barcos parten de un puerto al mismo tiempo, uno navega hacia el sur con una velocidad de 28 km/h y el
otro hacia el sureste con una velocidad de 34km/h ¿A qué distancia se hallarán después de media hora?
N
S SE
a) 9 b) 44.04 c) 11.01 d) 9.64
11. Halla la abscisa de un punto A que se encuentra en el lado terminal de un ángulo de 330°, si la ordenada es -9.
a) −9√3 b) −3√3
c) 2√3
d) 9√3
12. Hallar la abscisa del punto P que pertenece al lado terminal del ángulo 120° si su ordenada es 8.
a) −
8√3
3
m b) −8√3m
c) −√3 m
d) −2√3 m
13. Para saber la medida de una televisión, se usa la medida de su diagonal y se emplean las pulgadas. Calcula la
medida de una TV SONY BRAVIA 3D cuyos base y altura miden 8´´ y 6´´ respectivamente.
a) 10´´ b) 15´´ c) 12´´ d) 14´´
14. Hallar la coordenada del punto P que pertenece al lado terminal del ángulo 53° si su abscisa es 2.
a) (2,4/3) b) (2,8/3) c) Falta información d) (2,3)
15. ¿En qué coordenada no pasa la gráfica del seno?
a) (0,1)
b) (0,0)
c) (2𝜋, 0)
d) (𝜋, 1)
16. Halla el valor del ángulo cuyo seno es
1
2
.
a) 45° b) 60° c) 30° d) 90°
17. ¿Cuál es el periodo de la función 𝑓(𝑥) = 3cos (2𝑥 −
5𝜋
4
)?
a) −
5𝜋
4
b) 2𝜋
c) 3
d) 𝜋
18. Con base en la gráfica, ¿qué afirmación es la correcta?
a) La gráfica corresponde a la función seno sin desfase.
b) El periodo de la función es 2𝜋.
c) La amplitud de la función es de 2.
d) La gráfica corresponde a la función seno multiplicada por -2.
153
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
19. Identifica cuál de las siguientes graficas de razones trigonométricas corresponde a cada función
1
A 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏 (𝒙)
2
B 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙)
3
C 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝒙 −
𝝅
𝟐
)
4
D 𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙)
5
E 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒄𝒐𝒔 (𝒙)
6
F 𝒇(𝒙) = −𝒕𝒈 (𝒙 −
𝝅
𝟐
)
a) 1A, 2B, 3C, 4D b) 1B, 2C, 3F, 6A c) 1B, 3F, 4D, 5C d) 1B, 2C, 3F, 6D
20. ¿Cuál es el desfase de la función 𝑓(𝑥) = −13cos (
2𝜋
4
𝑥 +
𝜋
2
)?
a) 1
b) -13 c)
𝜋
2
d) 0
154
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
1.5 RAZONAMIENTO TRIGONOMÉTRICO
1.5.2 Triángulos rectángulos y oblicuángulos
1. Un árbol de 50m de alto proyecta una sombra de igual longitud. ¿Qué afirmación es correcta?
a) La hipotenusa mide 100m.
b) El ángulo de elevación del sol con el piso mide 30°
c) El triángulo formado es isósceles.
d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas.
2. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 23°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
a) 2,051.28 m
b) 869.56 m
c) 1,886.79 m
d) 339.2 m
3. La longitud del lado de un hexágono regular es 12 m. Hallar el área del hexágono.
a) 216√3 m2 b) 6√3 m2 c) Falta información d) 72√3 m2
4. Con base en la siguiente figura, ¿qué función trigonométrica nos conviene usar para hallar el cateto opuesto del
ángulo?
a) Seno
b) Tangente
c) Coseno
d) Cotangente
5. Si un triángulo rectángulo es isósceles (con catetos igual a 5), hallar la expresión para calcular la hipotenusa.
a) 5√2
b) 2√5
c) √5 d) No se puede
determinar
6. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, con catetos igual a 37?
a) √37
b) 2√37
c) 37√2 d) No se puede
determinar
7. Dos automóviles parten de un mismo punto, uno se va hacia el norte a 60 km/h y el otro hacia el oeste, a 80
km/h. ¿Cuál es la distancia que los separa cuando ha transcurrido media hora?
a) 140 km b) 75 km c) 100 km d) 50 km
8. Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 unidades.
a) 50 u2 b) 25√2 𝑢2 c) 100 u
2
d) 5√2 u2
Sen (23°) Cos(23°) Tan(23°)
0.390 0.920 0.424
23°
800m
Dirigible
60°
6m
a=?
10
30°
155
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
9. Halla el ancho de un rectángulo si se sabe que su diagonal mide 10 unidades, y el largo es 2 √2.
a) √2
b) 2
c) 3
d) √20
10. Calcula el área de un triángulo equilátero, de lado 2 cm. (Recuerda que los ángulos de un triángulo equilátero
son todos iguales a 60°)
a) 1 𝑐𝑚2
b) √3𝑐𝑚2
c)
√3
2
𝑐𝑚2
d) 2 𝑐𝑚2
11. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno
de 70°
a) 𝑟 =
24.6 ∙ 𝑠𝑒𝑛 55
𝑠𝑒𝑛 70
b) 𝑟 = 24.6
c) 𝑟 = 24.6
𝑠𝑒𝑛 70
𝑠𝑒𝑛 55
d) Falta información
12. Calcular el lado restante de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados
miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 60°.
a) 𝑙 = √12,900
b) 𝑙 = 210
c) 𝑙 = 208𝐶𝑜𝑠(60°)
d) 𝑙 = 12900
13. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30°
y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
a) 10 𝑐𝑜𝑠 60
b) 10 𝑠𝑒𝑛 30
c) 10 𝑠𝑒𝑛 60
d) 10Cos 30
14. Una computadora portátil tiene un ancho de 10cm Al levantar la tapa, el ángulo que forma la base es de120°
¿A qué distancia quedan los extremos de la base y de la tapa?
a) √200 + 100√3 b) √300 c) √200 − 100√3 d)√100
15. Las diagonales de un paralelogramo miden 10cm y 20cm y el ángulo entre ellas mide 45°. Halla la longitud del
lado opuesto al ángulo de 45°.
a) √100 + 100√2 b) √50 c) √125 − 50√2 d) √125 + 50√2
16. La longitud del horario y del minutero de un reloj son de 12cm y de 20cm respectivamente. ¿A qué distancia se
encuentran sus extremos cuando son las 2:00 pm?
a) 𝑑 = 32 b) 𝑑 = √304 c) 𝑑 = √784 d) Faltan datos
17. En un terreno triangular dos ángulos consecutivos miden 30° y 45°. Si el lado posterior al ángulo de 45° es 25m
¿Cuánto mide el lado opuesto a 30°?
a) 𝑙 =
25∗𝑠𝑒𝑛 30
𝑠𝑒𝑛 60
b) 𝑙 =
𝑠𝑒𝑛 30
𝑠𝑒𝑛 45
c) 𝑙 =
25∗𝑠𝑒𝑛 30
𝑠𝑒𝑛 45
d) 𝑙 =
25∗𝑠𝑒𝑛 45
𝑠𝑒𝑛 30
70°
156
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.5 RAZONAMIENTO TRIGONOMÉTRICO
1.5.1 Funciones trigonométricas
1. Si 𝑆𝑒𝑛(𝑥) =
7
25
, ¿cuánto es 𝑆𝑒𝑐(𝑥)?
a)
24
25
b)
24
7
c)
25
24
d)
25
7
2. Si 𝑇𝑎𝑛(𝑥) = 2 √3, ¿cuánto es 𝐶𝑜𝑡(𝑥)?
a)
√3
6
b)
√3
3
c)
1
√3
d) No se puede saber
3. Halla las coordenadas del punto P, ubicado en el tercer cuadrante, cuya abscisa es −3 y la distancia de P al
origen es de 5.
a) (3,4) b) (-4,-3) c) (3,-4) d) (-3,-4)
4. Si tengo un terreno rectangular cuya diagonal mide 130 m, ¿cuántos metros de cerca debo comprar para cercar
todo el terreno si sabemos que uno de sus lados mide 50m?
a) 120 m b) 340 m c) 170 m d) 300 m
5. ¿Cuál de las siguientes medidas forman un triángulo rectángulo?
a) a=5, b=12, c=13 b) a=4, b=5, c=9 c) a=5, b=10, c=15 d) a=10, b=13, c=15
6. Calcula el lado faltante de un rectángulo sabiendo que uno de sus lados es 24 y su diagonal mide lo mismo que
el área de un cuadrado de lado 5.
a) 10 b)8 c) 7 d)49
7. ¿Cuál es el área del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 17𝑢 y su base es 15𝑢?
a) 8𝑢2 b) 64𝑢2 c) 60𝑢2 d) 30𝑢2
8. Un poste de luz tiene altura de 24m, desde la cima del poste hay un cable que está unido al piso a una distancia
de 7m del poste. ¿Cuál es la longitud mínima del cable?
a) 50m b) 25m c) 625m d) 5m
9. Una escalera de 6m se coloca en una pared formando con el piso un ángulo de 60°, ¿qué altura alcanza la
escalera sobre la pared?
a) 3m b) √3 m c) 3√2 m d) 3√3 m
10. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuya altura 3√3 cm?
a) Faltan datos. b) √3 𝑐𝑚2 c) 6√3 𝑐𝑚2 d) 9√3 𝑐𝑚2
11. Halla el valor del ángulo cuyo seno es igual a un cuarto de su secante.
a) 60° b) 30° c) 45° d) 90°
12. ¿A cuál de las siguientes expresiones es equivalente al seno de 54°?
a) Cos(54°) b) Sen(36°) c) Cos(36°) d) Sen(36°)
13. ¿Cuál es la amplitud de la función 𝑓(𝑥) = −6𝑆𝑒𝑛(3𝑥 + 𝜋)?
a) 3 b) 𝜋 c) 6 d) 2𝜋
157
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
14. ¿Cuál es el periodo de la siguiente función?
a)
𝜋
2
b) 2
c) 𝜋
d) 2𝜋
15. Identifica cuál de las siguientes gráficas de razones trigonométricas corresponden a cada función.
1
A 𝑓(𝑥) = −4𝑆𝑒𝑛(𝑥)
2
B 𝑓(𝑥) = −2𝐶𝑜𝑠(𝑥)
3
C 𝑓(𝑥) = 4𝐶𝑜𝑠(2𝑥)
a) 1C, 2A, 3B b) 1B, 2C, 3A c) 1A, 2B, 3C d) 1A, 2C, 3A
158
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
8
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1.5 RAZONAMIENTO TRIGONOMÉTRICO
1.5.2 Triángulos rectángulos y oblicuángulos
1. La longitud del horario y del minutero de un reloj son de 12cm y de 20cm respectivamente. ¿A qué
distancia se encuentran sus extremos cuando son las 3:40 pm?
a) √544 + 240√3 b) √544 − 240√3 c) √544 + 480√3 d) √544 − 480√3
2. Un paralelogramo tiene lados de longitud 2cm y 4cm. ¿Cuál es el valor de la diagonal si sabemos que uno
de los ángulos de su base es 120°?
a)√12 cm b) 28 cm c) √28 cm d) 12 cm
3. Un corredor va hacia el norte una velocidad de 12 km/h, otro corredor hacia el sureste con una velocidad de
10 km/h. Si los dos salen del mismo punto, ¿a qué distancia estarán después de 30 minutos?
a) √61 − 30√3 b) √61 + 30√2 c) √61 − 30√3 d) √61 − 30√2
4. Hallar el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 3 √2 cm.
a) 3 𝑐𝑚2
b) 3 √2 𝑐𝑚2
c) 9 𝑐𝑚2
d) 12 𝑐𝑚2
5. ¿Cuál es la altura de un árbol si desde un ángulo de 30° se observa su copa y si nos acercamos 8m,
podemos observarla bajo un ángulo de 60°?
a) 8√3 𝑚
b) 4 √2 𝑚
c) 3 √3 𝑚
d) 4 √3 𝑚
6. ¿Qué expresión me ayuda a calcular el lado 𝑥?
a) 𝑥 =
8 𝑠𝑒𝑛(20°)
𝑆𝑒𝑛(100°)
b) 𝑥 =
8 𝑠𝑒𝑛(20°)
𝑆𝑒𝑛(60°)
c) 𝑥 =
8 𝑠𝑒𝑛(100°)
𝑆𝑒𝑛(20°)
d) 𝑥 =
8 𝑠𝑒𝑛(100°)
𝑆𝑒𝑛(60°)
7. ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden √2?
a) √2 b) 4
c) 2
d) 3
8. La base de un triángulo isósceles mide 35 unidades. Si el ángulo opuesto a ella mide 120°. ¿Cuántas
unidades miden los lados iguales?
a)
50√3
3
b)
50√3
2
c) 50√3
d) 50√2
9. Si conozco un lado y su ángulo opuesto de un triángulo oblicuángulo, ¿qué debería de aplicar?
a) Teorema de
Pitágoras
b) Ley de senos
c) Ley de cosenos
d) Funciones
trigonométricas
10. Si conozco dos lados de un triángulo oblicuángulo y el ángulo entre ellos, ¿qué debería aplicar?
a) Teorema de
Pitágoras
b) Ley de senos
c) Ley de cosenos
d) Funciones
trigonométricas
20°
60°
𝑥
159
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.5.1 Funciones trigonométricas.
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. ¿Cuál es el valor del lado 𝑥 en el siguiente triángulo?:
a) 12 b) 17 c) 24 d) 28
2. Cuál es el coseno del ángulo B en el siguiente triángulo:
a)
6
10
b)
4
5
c)
10
6
d) Ninguna de las anteriores
3. De acuerdo con la figura, a partir del ángulo P la Razón
𝑞
𝑝
corresponde a la razón:
a) Seno b) Coseno c) Tangente d) Cotangente
4. En el siguiente triángulo el seno del ángulo M y la secante de N son:
a)
√3
7
,
7
2
b)
2
7
,
7
2
c)
7
√3
,
√3
2
d)
2
7
,
7
√3
,
5. Si Cos A es
3
5
, el valor de Sen A es:
a)
4
5
b)
3
5
c)
3
4
d) No es posible
encontrarlo
6. Encontrar el ángulo de elevación del sol si un niño de 1.0125 m de altura, proyecta una sombra
de 1.35 m
30° 36° 52´ 45°
Sen 0.5 0.59 0.70
Cos 0.86 0.80 0.70
Tg 0.57 0.75 1
a) 30° b) 45° c) 36°52´ d) Ninguna
A
B
C
25
7
𝑥
A
B
C
10
6
8
Q
P
R
r
p
q
M
N R
7
√3
2
160
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
7. ¿Cuál es el periodo de la función seno?
a) 2𝜋
b) 𝜋
c)
3𝜋
2
d)
𝜋
2
8. Si a la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) la modificamos de tal manera que se obtiene la función
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) como es la gráfica de g(x) con respecto a f(x)
a) Se movió
𝜋
2
a la derecha
c) Se movió
𝜋
2
a la izquierda
b) Se movió
𝜋
2
abajo
d) Se movió
𝜋
2
a arriba
9. Con base en la gráfica, ¿cuál de estas afirmaciones es correcta?
a) La gráfica corresponde a la función coseno con la amplitud 3, el periodo 2𝜋 y el desfase
𝜋
2
.
b) La gráfica corresponde a la función coseno con la amplitud 3, el periodo 𝜋 y el desfase
𝜋
2
.
c) La gráfica corresponde a la función seno con la amplitud 𝜋, el periodo 3 y el desfase
𝜋
2
.
d) La gráfica corresponde a la función seno con la amplitud 3, el periodo 𝜋 y el desfase
𝜋
2
.
10. Relaciona las columnas.
1. 𝑓(𝑥) = 4𝐶𝑜𝑠(3𝑥 − 𝜋) a) Tiene periodo 2 y amplitud 4.
2. 𝑓(𝑥) = 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥 − 𝜋) b) Tiene amplitud 3 y desfase −𝜋
4
.
3. 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝜋𝑥 + 3) c) Tiene periodo 2 y desfase
3
𝜋
.
4. 𝑓(𝑥) = 4𝑆𝑒𝑛(𝜋𝑥 − 3) d) Tiene amplitud 4 y periodo
2𝜋
3
.
a) 1d, 2b, 3a, 4c b) 1d, 2a, 3b, 4c c) 1c, 2b, 3c, 4a d) 1d, 2b, 3c, 4a
161
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 1.5.2 Triángulos rectángulos y oblicuángulos.
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. En el triángulo ABC, el valor del ángulo A se obtiene con la expresión:
Angulo 10.5° 36.18° 51.5° 85.43°
Coseno 0.9832 0.8071 0.6225 0.0796
a) <A=36.18° b) <A=10.50° c) <A=51.5° d) <A=85.43°
2. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en uno de sus lados y el ángulo
apuesto a ese lado es 30°. Si otro ángulo mide 120° como lo muestra la figura. ¿Calcula cuánto mide el
perímetro de la valla? Considera Sen(120°) = 0.866
a) 89.28m b) Falta
información
c) 74.64
d) 60m
3. Halla el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide √32.
a) 16 𝑐𝑚2
b) 4 𝑐𝑚2
c) 2 𝑐𝑚2
d) √20 𝑐𝑚2
4. Si en un triángulo isósceles los ángulos de la base son 30° y su lado diferente es 100, ¿qué
expresión me ayuda a calcular los lados iguales?
a)
𝑥
𝑠𝑒𝑛(30°)
=
100
𝑠𝑒𝑛(120°)
b)
𝑥
𝑠𝑒𝑛(120°)
=
100
𝑠𝑒𝑛(30°)
c)
𝑥
𝑠𝑒𝑛(150°)
=
100
𝑠𝑒𝑛(30°)
d)
𝑥
𝑠𝑒𝑛(30°)
=
100
𝑠𝑒𝑛(150°)
5. ¿Cuál de estas afirmaciones es incorrecta?
a) La ley de senos la podemos utilizar en triángulos rectángulos.
b) La ley de cosenos se puede usar si conocemos tres lados de un triángulo rectángulo.
c) El teorema de Pitágoras es válido en tríangulos oblicuángulos.
d) La ley de cosenos puede emplearse si conozco, al menos, dos lados de mi triángulo.
6. De acuerdo a la figura, ¿cuál es la forma correcta de plantear la ley de cosenos?
a) 𝐶2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠(𝛾)
b) 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠(𝛼)
c) 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠(𝛽)
c) 𝐵2 = 𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝐶𝑜𝑠(𝑏)
A
C B
10 7
6
A
C B
120°
30°
20𝑚
162
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
7. ¿Con qué debemos resolver el siguiente triángulo?
a) Ley de cosenos
b) Ley de senos
c) Teorema de Pitágoras
d) Funciones trigonométricas
8. Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en otro
y 60° en el ángulo que forman entre ambos. Calcula el perímetro de la valla.
a) 17.7 m b) 33.7 m c) 43.7 m d) 7.7 m
9. ¿Qué expresión me ayuda a hallar el ángulo x?
a) 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠−1 (
322−232−132
−2(23)(13)
)
b) 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛−1 (
322−232−132
−2(23)(13)
)
c) 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠−1 (
322−232−132
2(23)(13)
)
d) 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠−1 (
−322+232+132
−2(23)(13)
)
10. La longitud del horario y del minutero de un reloj son de 12cm y de 20cm respectivamente. ¿A qué
distancia se encuentran sus extremos cuando son las 4:00 pm?
a) 𝑑 = 32 b) 𝑑 = √304 c) 𝑑 = √704 d) 𝑑 = √784
163
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
RESPUESTAS
1.5 RAZONAMIENTO TRIGONOMÉTRICO
1.5.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1 c 5 c 9 b 13 a 17 d
2 b 6 b 10 d 14 b 18 c
3 d 7 b 11 d 15 a 19 b
4 c 8 d 12 a 16 c 20 a
1 c 4 b 7 c 10 d 13 c
2 a 5 a 8 b 11 b 14 a
3 d 6 c 9 d 12 c 15 b
1.5.2 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS
1 c 5 a 9 a 13 c 17 c
2 a 6 c 10 b 14 c 18 b
3 a 7 d 11 a 15 d
4 a 8 a 12 a 16 b
1 a 3 b 5 d 7 b 9 b
2 c 4 c 6 a 8 a 10 c
EVALUACIÓN 1.5.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1 c 3 d 5 a 7 a 9 b
2 b 4 b 6 c 8 c 10 d
EVALUACIÓN 1.5.2 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y OBLICUÁNGULOS
1 a 3 a 5 c 7 b 9 a
2 c 4 a 6 b 8 c 10 d
Copyright © 2019 por Escuela Xook
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Ejercicios
complementarios
Ejercicios de práctica
Ejercicios
complementarios
Ejercicios de práctica
Evaluación 1.5.1
Evaluación 1.5.2
164
2. PENSAMIENTO
ANALÍTICO
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Ser capaz de desarrollar las habilidades lógicas verbales y matemática para el
desarrollo de un pensamiento analítico.
2.1 Integración de la información
2.2 Interpretación de relaciones lógicas
2.3 Reconocimiento de patrones
2.4 Representación espacial
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Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
166
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
UNIDAD 2 PENSAMIENTO ANALÍTICO
2.1 Integración de la información
La presentación de la información textual es la forma escrita habitual de presentar un documento
o informe.
Constituye la forma principal de presentación de los resultados. Atendiendo a que se trata de una
comunicación científica debe limitarse a lo estrictamente necesario, cuidando de mantener una
secuencia lógica en la exposición y de no incurrir en repeticiones innecesarias, citando todas y
cada una de las tablas y figuras a que se haga referencia.
2.1.1 Conclusiones a partir de dos textos
Objetivo de sección
El alumno será capaz de obtener conclusiones a partir de dos textos.
Para sacar conclusiones a partir de dos textos es necesaria la comprensión.
En cuanto a la forma o estructura que tiene un texto, es importante reconocer que esta proviene de la
historia de producción de los tipos de texto a los que pertenece. Ejemplo de lo anterior son los artículos
empíricos de producción científica que provienen de las convenciones de las publicaciones mediante
las que se socializa el conocimiento.
Las secciones actuales que comprenden un artículo científico forman parte de un género textual que
es reconocido socialmente y que nos permite poder pensar de manera colectiva como una comunidad
académica que valida lo que es conocimiento compartido y discute las direcciones futuras de un
campo disciplinar.
Ejemplo:
Texto 1
Las mujeres en edad fértil que consumen éxtasis corren un riesgo mayor de morir que otros grupos
de personas. La alta concentración de estrógenos en la sangre de las mujeres jóvenes impide que el
organismo reaccione eficazmente ante la acumulación de líquido que se produce al tomar la droga.
Texto 2
La parafernalia de la llamada droga del amor, se basa, sobre todo, en el baile desinhibido y continuo,
lo que eleva la temperatura corporal; se bebe mucho más y las hormonas le indican al cuerpo que
retenga líquido y beba más. Es un círculo vicioso cuya explicación se encuentra en el HMMA, un
compuesto químico que el cuerpo produce a medida que asimila el éxtasis. El HMMA estimula la
liberación de la hormona que nos conduce a beber. El desequilibrio resultante de la concentración de
sodio puede resultar fatal.
167
http://sitios.ruv.itesm.mx/portales/crea/buscar/que/3_estrategia.htm#dialog_grande2_3
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.1.2 Proposiciones erróneas
Objetivo de sección
El alumno será capaz de identificar proposiciones erróneas.
Ejemplos: El agua es clara, El agua es naranja.
Tomando en cuenta el texto planteado anteriormente se plantea lo siguiente:
La información incompatible con los textos es:
a) El consumo de éxtasis promueve el baile desinhibido y continuo.
b) Las mujeres son más propensas al consumo de drogas como el éxtasis.
c) No toda mujer padece por igual los efectos de la droga del amor.
d) El HMMA es un compuesto químico que se produce al consumir éxtasis.
Solución
La información incompatible de los textos es que las mujeres son más propensas al consumo de
drogas como el éxtasis. Lo que el autor plantea en el texto es que son las mujeres en edad fértil las
que tienen un riesgo mayor de morir si se dedican al consumo de éxtasis. Enningún momento el
autor menciona que la mujer tenga mayor inclinación al consumo, sino más bien que ésta corre
mayor riesgo cuando consume droga.
Práctica Abierta
INDICACIÓN: A continuación, se presentan enunciados en desorden; escora los
enunciados debe ser la secuencia correcta para formar un texto breve y plantea una
pregunta con su respectiva respuesta.
2.1.2 Información gráfica.
Siempre antes de leer las opciones lee los dos textos para que tengas una idea general de
estos.
La mejor manera de hallar la respuesta correcta es descartando las respuestas incorrectas.
Si después de la primera lectura no logras descartar las respuestas erróneas entonces
vuelve a leer el texto.
La proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa.
En realidad, lo que se maneja es el enunciado que es la expresión oral o escrita de una proposición.
1. Entre los monjes que se retiraron al desierto.
2. La educación monástica nació en Oriente.
3. Y que organizaron los primeros monasterios.
4. A los que se daba una educación más moral que intelectual.
5. En ellos recibieron a los novicios.
Texto:
Pregunta:
Respuesta:
168
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.1.2 Información gráfica.
Objetivo de sección.
El alumno será capaz de obtener conclusiones a partir de información gráfica.
2.1.2.1 Conclusión a partir de un texto y una tabla, imagen o mapa.
Para identificar conclusión a partir de un texto y una tabla, imagen o mapa, es necesario leer el
texto para sacar la idea principal, seguidamente observar la imagen, mapa o tabla según sea el caso,
para complementar las ideas.
Las primeras civilizaciones surgen en distintas regiones del mundo y en diferentes épocas. A fines
del siglo IV y comienzos del III milenio A.C., se desarrollaron las civilizaciones: egipcia, sumeria,
cretense, fenicia, hebrea y persa, entre otras. A mediados del III milenio A.C. en los valles fértiles
del Ganges e Indo y de los ríos Amarillo y Azul, se asentaron las civilizaciones India y China.
Aproximadamente en el primer milenio A.C. también surgirán importantes culturas antecesoras de
las civilizaciones maya, azteca e inca.
Las civilizaciones desarrolladas a mediados del siglo III A.C. fueron predominantemente:
___________________________________________________________
Al leer y ver la imagen podemos identificar que las civilizaciones desarrolladas a mediados del
siglo III A.C. fueron predominantemente Asiáticas.
Para hallar las respuestas correctas es necesario descartas aquellas proposiciones incorrectas, leer
el texto y analizar la imagen o gráfica. Si después del primer análisis no logras descartarlos, es
necesario leer nuevamente.
169
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.2 Interpretación de relaciones lógicas
2.2.1 Analogías
Objetivo de sección
El alumno será capaz de identificar analogías entre varias razones o conceptos.
Tipos de analogías
Ejemplo:
1. Ineptitud es a torpeza como igualdad es a:
a) Paridad b) desequilibrio c) desnivel d) coherencia
Solución: respuesta a) Ineptitud y torpeza son sinónimos, por tanto, la respuesta será aquella palabra
que signifique lo mismo que igualdad.
Ejemplo:
1. Alabanza es a temor como loa es a:
a) alabanza b) aprobación c) respeto d) educación
Solución: respuesta c) alabanza y loa son sinónimos. La solución tendrá que ser un sinónimo de temor.
Analogía significa comparación o relación entre varias razones o conceptos; comparar o
relacionar dos o más seres u objetos, a través de la razón, señalando características generales y
particulares, generando una propiedad que está claramente establecida en el otro.
En el aspecto lógico, permite comparar un objeto con otros, en sus semejanzas y en sus diferencias
La analogía permite una forma inductiva de argumentar que asevera que si dos o más entidades
son semejantes en uno o más aspectos, entonces lo más probable es que también existan entre ellos
más semejanzas. Una analogía permite la deducción de un término desconocido a partir del análisis
de la relación que se establece entre dos términos de ella conocidos. Pueden ser causales, de
inclusión o jerárquicas. Y a su vez pueden ser continuas, alternas o incompletas.
Analogías continuas: En este ejercicio nos encontramos con una pareja de palabras, relacionadas
de alguna manera, y con otra palabra.
En las respuestas tendremos que encontrar otra palabra que unida a la última forme una pareja que
guarde la misma relación que la primera.
Si la primera pareja consta de dos sinónimos, la segunda tendrá que estar formada también por
dos sinónimos.
Analogías alternas: La estructura es la misma que en el primer tipo, cambian las palabras
relacionadas.
En este caso, la relación se establece entre la primera palabra de cada pareja, por una parte, y entre
la segunda palabra de la primera pareja y la solución, por la otra.
170
https://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_inductivo
https://es.wikipedia.org/wiki/Argumento
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Ejemplo:
1. _____ es a imagen como radio es a ______
a) televisión – sonido b) fotografía – palabras c) fotografía – sonido d) televisión – locutor
Solución: respuesta a) Tenemos que buscar un medio de comunicación que se base en la imagen. El
segundo concepto será en qué se basa la radio.
2.2.1.1 Frases con el mismo sentido
Ejemplo de palabra palíndroma:
Oso, ara, ese.
Ejemplos de frases palíndromas:
Anita lava la tina.
Adán no cede con nada.
2.2.1.2 Pares de palabras con una relación equivalente.
Ejemplo:
Cobre-Metal
Motor-Automóvil
Cirujano-Anestesia
Mueble-Madera
2.2.1.3 Proposiciones particulares y universales.
Ejemplo de proposiciones universales:
* El lenguaje matemático es universal (común al universo).
* Todos los perros ladran (enumeración).
* Las personas duermen (equivale a: todas las personas duermen).
Analogías incompletas: En este caso faltan dos palabras: la segunda palabra de la segunda pareja
(como en los casos anteriores) y también la primera palabra de la primera pareja. Las soluciones,
por tanto, contienen siempre dos palabras. Este tipo de analogías suelen ser siempre continuas y
han de ser perfectas.
Los palíndromos son frases o palabras que guardan el mismo sentido siendo leídas de Izquierda a
derecha y de derecha a izquierda. (Se lee lo mismo empezando a leer de un lado o del otro).
Las preguntas de analogías verbales evalúan la capacidad de definir de manera exacta la relación
o el vínculo entre significados de palabras.
Para resolver preguntas de analogías verbales, se debe determinar la relación entre las palabras
destacadas, después definir en cada una de las respuestas la relación entre pares de palabras, y se
debe elegir como respuesta aquella en la que la relación es la más semejante a la relación en el par
destacado.
Las proposiciones pueden ser universales o particulares. Las proposiciones universales son
aquellas que se aplican a todos los sujetos en una clase (cuando el sujeto son todos los individuos
de un tipo); el cuantificados es: todos o ningún.
Las proposiciones particulares son aquellas cuyo sujeto se toma en una parte de su extensión. El
cuantificador es: algún (os).
171
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Ejemplo de proposiciones particulares:
* Héctor come pasas (no todas las personas que se llamen Héctor comen pasas).
* Algunos mamíferos viven en el agua.
* No todos los hombres son iguales.
* Algunos perros muerden.
Ejemplo:
1.- El protón es una partícula nuclear
2.- El neutrón es una partícula nuclear
Si se unen 1 y 2 mediante un conectivo tendremos una proposición nuclear.
3. El protón y el neutrón son partículasnucleares.
Ejemplo:
Premisa (1) Si los soldados son héroes, entonces no son cobardes.
Premisa (2) Los soldados son cobardes.
Conclusión: Los soldados no son héroes.
Las proposiciones pueden ser atómicas (o simples) y moleculares (o compuestas).
Las proposiciones simples son aquellas en las que no hay conectivo alguno.
Las proposiciones compuestas son aquellas que tienen como componente por lo menos un
conectivo y una proposición simple.
Variables o variables proposicionales son símbolos que sustituyen las proposiciones o
enunciados.
Los constantes o conectores proposicionales son partículas de significado no variable que tienen
la función de alterar, relacionar o conectar enunciados atómicos haciéndolos complejos.
El argumento es una serie de proposiciones (o de enunciados) de las cuales la última, llamada
conclusión se deriva de las anteriores, llamadas premisas.
La argumentación consiste en defender una idea mediante razones que demuestran certeza. Al
argumentar pretendemos que el otro cambie de opinión, se convenza, se ponga del lado del punto
de vista que defendemos.
172
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Ejemplos:
De acuerdo con las premisas, ¿cómo se escribe la proposición compuesta Q∧P?
Q: Los arboles llaman a la lluvia
P: Los arboles dan sombra
a) Si los arboles llaman a la lluvia, entonces no dan sombra.
b) Los arboles llaman a la lluvia y dan sombra.
c) Los arboles llaman a la lluvia o dan sombra.
d) Si los arboles no llaman a la lluvia, entonces dan sombra.
La respuesta correcta es la opción b debido a que estamos hablando de conjunción (Conector y).
¿Cuál es la expresión que corresponde al enunciado?
Si estudio la lección, entonces, pasare el examen y me iré de vacaciones o arreglare la casa.
a)(Q→P)∧(R∨S)
b)(Q→P)∨(R∧S)
c)(¬Q→P)∧(R∨S)
d)(Q→P)∧(R∨S)
La respuesta correcta es a), Si estudio la lección representa Q, Pasaré el examen representa P, Iré de
vacaciones representa R y Arreglaré la casa representa S. La relación que existe entre Q y P es
condicional, la relación que existe entre R y S es disyuntiva, por último, la relación que existe entre
(Q→P) y (R∨S) es conjuntiva, por tanto, (Q→P)∧(R∨S).
De acuerdo con los datos de las premisas, ¿Cuál es la proposición que se forma con la fórmula
Q→¬P∧R?
Q: Llueve
P: Podré ir al cine
R: Mi novia se enojará
a) Si no llueve, entonces podré ir al cine y mi novia se enojará.
b) Si llueve, entonces podré ir al cine y mi novia se enojará.
c) Si llueve, entonces podré ir al cine y mi novia no se enojará.
d) Si llueve, entonces no podré ir al cine y mi novia se enojará.
La opción correcta es la d), estamos hablando de la proposición Q condicional seguida de una
negación, después las proposiciones conectadas P y R por un conector de tipo conjuntivo.
¿Cuál expresión corresponde al enunciado?
El que no arriesga un huevo, no saca un pollo.
a) (¬Q¬P)
b) (¬Q∧¬P)
c) (¬Q→¬P)
d) (¬Q∨¬P)
Entre las dos proposiciones existe una condición, si tu no arriesgas un huevo no podrás sacar un pollo,
cada una de las proposiciones tiene una negación, por lo tanto, (¬Q→¬P).
173
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Práctica abierta
INDICACIÓN: Crea dos premisas con su conclusión y escribe los silogismos.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Une con una línea las analogías con su tipo de relación.
Frío- resfriado Causal
Jefe- subordinado Inclusión
Automóvil- vehículo Jerárquica
174
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.2.2 Mensajes y códigos.
Objetivo de sección
El alumno será capaz de identificar mensajes y códigos en un texto.
2.2.2.1 Traducción y decodificación
Ejemplo 1: el receptor recibe del emisor los siguientes signos fonéticos: o-l-a La descodificación
consiste en asociar estos signos a la idea que el emisor trató de comunicar (Hola), es decir un saludo.
Ejemplo 2:
Si comer es a FRPHU, FDVRV es igual a :
a) Casas b) casos c) cosas d)cazos
La Teoría de la Comunicación conoce como código al conjunto de signos que deben ser
compartidos por el emisor y el receptor de un mensaje para que éste sea comprendido. Si un
hombre habla en francés a otra persona que conoce dicho idioma, la comunicación no será posible
ya que el código utilizado para la transmisión del mensaje no es conocido por ambos.
La Codificación es un proceso mediante el cual nos ayuda a interpretar signos poco comunes.
Es el proceso en donde el emisor convierte las ideas que quiere transmitir en signos que puedan
ser recibidos fácilmente por el receptor.
Emisor: Es la persona que comunica información de utilidad a otras personas que lo requieran.
Receptor: Es la persona que recibe la información del emisor.
La decodificación es el proceso en el cual el receptor transforma el código utilizado por el emisor
para interpretar los signos empleados. De esta forma los signos son asociados a las ideas que el
emisor trató de comunicar.
175
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.2.2.2 Complemento de elementos encriptados.
Ejemplo:
Sea el mensaje ¨SECRETO¨ y la cifra ¨23¨ el mensaje cifrado se consigue (estamos utilizando el
mismo alfabeto) adelantando dos letras la primera que encontremos, 3 la segunda, 2 la tercera, 3 la
cuarta y así sucesivamente, el mensaje cifrado será pues:
¨UHEUGWQ¨, como se ve la letra ¨e¨ del mensaje inicial aparece una vez como h y otra como g, ya
no hay una correspondencia uno a uno entre el alfabeto inicial y los símbolos del mensaje cifrado.
Tipos de cifrados
Ejemplo, si la tabla ofrece la correspondencia:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Q W E R TY U I OPA S D FG H J KL Z X C V B NM
Entonces el mensaje quedará cifrado de la siguiente forma:
Texto en claro: A T A Q U E A L A M A N E C E R
Texto cifrado: Q Z Q J X T Q S Q D Q F T E T K
El método consiste básicamente en sustituir los caracteres del mensaje inicial por otros; los nuevos
caracteres pueden ser de cualquier tipo: letras, símbolos dígitos, etc.
Podemos considerar dos tipos de sustitución:
Sustitución monoalfabética (equivalencia entre alfabetos caracter a caracter):
A cada letra del alfabeto ordinario se le hace corresponder un símbolo y el mensaje se cifra
cambiando las letras iniciales por su equivalente, si a la letra A le asignamos el símbolo ¨@¨ en el
mensaje cifrado tendremos siempre @ en lugar de A.
Sustitución polialfabética (utilización de cifrado o clave):
Distinto del anterior porque una vez establecida la correspondencia entre alfabetos (que en este
caso pueden ser el mismo) la asignación de caracteres se realiza teniendo en cuenta la posición del
caracter en el mensaje y el dígito que le corresponde según la clave.
Cifrado César
Este es uno de los métodos más simples (y de los más antiguos). Si una letra del texto en claro es
la N-ésima del alfabeto se reemplaza por la (N+K) –ésima letra del alfabeto, siendo k un cierto
entero fijo (César utilizaba K=3). La siguiente tabla muestra un mensaje cifrado utilizando este
método con k=1:
Texto en claro: A T A Q U E A L A M A N E C E R
Texto cifrado: B U B R V F A B M A B N B O F D F S
El método es débil porque el criptoanalista solo tiene que adivinar el valor de K; intentando con
cada una de las 26 opciones, podrá estar seguro de leer el mensaje.
Un método mucho mejor consiste enutilizar una tabla general para definir la sustitución a efectuar:
para cada letra del texto en claro la tabla dice qué letra poner en el texto cifrado.
176
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Ejemplo de texto en claro, con la clave ABC que cifrado de la siguiente forma:
Clave: A B C A B C A B C A B C A B C A B C
Texto en claro: A T A Q U E A L A M A N E C E R
Texto cifrado: B V D R W H A C O A C P B P H D G U
Práctica Abierta
INDICACIÓN: Crea una oración corta ya sea encriptada o con algún tipo de cifrado,
(justifica la clave).
Cifrado de Vigenère
Es un método de sustitución polialfabética, no es más que la extensión de la cifra de César. Se
utiliza una pequeña clave repetida para determinar el valor de K para cada letra. En cada paso, el
índice de la letra de la clave se añade al de la letra del texto en claro para determinar, el índice de
la letra del texto cifrado.
177
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.3 Reconocimiento de patrones
2.3.1 Sucesiones numéricas.
Objetivo de sección:
El alumno debe ser capaz de reconocer patrones dentro de secuencias numéricas, alfanuméricas y
gráficas.
2.3.1.1 Sucesiones aritméticas.
Una sucesión aritmética es una secuencia de números en la que sus elementos se van obteniendo
mediante la suma constante de una misma cantidad (positiva o negativa).
Algunos ejemplos pueden ser:
a) Esta sucesión empieza con el número tres y va aumentando de dos en dos.
3, 5, 7, 9, 11, 13 , …
b) Esta sucesión empieza con el número cinco y va disminuyendo de tres en tres.
5, 2, −1, −4, −7, −10, …
c) Esta sucesión empieza en un medio y va aumentando de un medio en un medio.
1
2
, 1,
3
2
, 2,
5
2
, …
Para encontrar alguna posición dentro de la sucesión es posible usar la siguiente relación:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + 𝒅(𝒏 − 𝟏)
Donde:
𝒂𝒏 significa el número de la posición n.
𝒂𝟏 significa la primera posición.
𝒅 significa la diferencia entre número y número.
n significa la posición deseada.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Determina en grupo el elemento que continúa las siguientes sucesiones.
1,
5
3
,
7
3
, _____
¿Cuál es el primer número de la secuencia? _____________
¿Cuál es la diferencia entre número y número? _____________
¿Cuál es el número que ocupa la posición 10? ________________
4,
7
2
,
12
4
, _____
¿Cuál es el primer número de la secuencia? _____________
¿Cuál es la diferencia entre número y número? _____________
¿Cuál es el número que ocupa la posición 15? _______________
178
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.3.1.2 Sucesiones Geométricas
Una sucesión geométrica es una secuencia de números en la que sus elementos se van obteniendo
mediante la multiplicación constante de una misma cantidad (entera o fraccionaria). Para encontrar
alguna posición dentro de la sucesión es posible usar la siguiente relación;
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏𝒓
𝒏−𝟏
Donde:
𝒂𝒏 significa el número de la posición n.
𝒂𝟏 significa la primera posición.
𝒓 significa la razón o división entre cada número y el siguiente número.
n significa la posición deseada.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Determina en grupo el elemento que continúa la siguiente secuencia:
−1,296, 216, −36, 6, ____
¿Cuál es el primer número de la secuencia? _______
Si dividimos cualquier cantidad entre la anterior ¿Qué cantidad obtenemos? ____
El número de la posición 5 es______
2.3.1.3 Sucesiones Matemáticas
Un patrón es una relación entre los elementos de una secuencia. Cuando la secuencia es numérica, el
patrón está formado por las operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, potencia
y raíces).
Práctica abierta
INDICACIÓN: Determina en grupo el elemento que continúa la siguiente secuencia:
1,2,3,5,8,13,21, ____
¿De cuánto en cuanto varían las cantidades anteriores? ¿Qué concluyes? ________
La posición 8 es: ______
2.3.1.4 Sucesiones Alfanuméricas
Las sucesiones alfanuméricas son sucesiones de letras, pero basadas en un patrón numérico
normalmente las letras están relacionadas con su posición en el alfabeto de 27 de caracteres donde
a=1, b=2, c=3, ... etc. Te presentamos una tabla donde podrás guiarte:
LETRA NÚMERO LETRA NÚMERO LETRA NÚMERO
A 1 J 10 R 19
B 2 K 11 S 20
C 3 L 12 T 21
D 4 M 13 U 22
E 5 N 14 V 23
F 6 Ñ 15 W 24
G 7 O 16 X 25
H 8 P 17 Y 26
I 9 Q 18 Z 27
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Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Veamos un ejemplo:
¿Cuál es la letra que por lógica continua la secuencia?
A, D, G, J, ______
Solución:
Si convertimos cada letra usando la tabla anterior obtenemos 1,4,7,10, ___ donde podemos ver que
es una secuencia aritmética que aumenta en 3 por lo cual la siguiente posición sería 13 lo cual es M.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Determina en grupo el elemento que continúa la siguiente secuencia:
B, D, H, O, ___
¿Qué posición numérica ocupa cada letra?
¿De cuánto en cuanto varían las cantidades anteriores? ¿Qué concluyes? ________
La posición 5 es: _______
2.3.1.4 Sucesiones de figuras
Las sucesiones de figuras están relacionadas con cantidad de elementos o con giros de los mismos
elementos presentados.
Los giros se están relacionados con una dirección (a favor o en contra del reloj) y con la
cantidad de giro (grados).
Es importante que consideres observar las figuras no como un todo sino como una figura
compuesta de elementos.
Ejemplos:
1. ¿Qué figura sigue en la secuencia?
Si observamos las figuras como un compuesto de líneas podemos ver que en cada figura se aumenta
el número de lados que tiene cada figura. Por lo cual continuaría la figura que tenga 5 líneas
(Pentágono) inciso C).
Práctica abierta
INDICACIÓN: Determina en grupo el elemento que continúa la siguiente secuencia:
180
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.4 Representación espacial
2.4.1 Perspectiva y combinación de figuras y objetos
Objetivo de sección
El alumno será capaz de reconocer figuras desde distintas perspectivas, posiciones o rotaciones.
Ejemplo
Selecciona la vista de frente que le corresponde a la siguiente figura
Observando la figura desde el frente se puede distinguir que se divide en tres partes, un rectángulo
que ocupa toda la base y dos que se encuentran sobre este, uno de mayor tamaño.
Por lo tanto, la respuesta es:
Práctica abierta
INDICACIÓN: Genera una imagen en tercera dimensión que esté formada por sólidos y a
continuación dibuja la figura plana que surge de observar tu creación desde una perspectiva.
FIGURA EN 3D FIGURA PLANA
181
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.4.2 Modificación de objetos
Objetivo de sección
Este tipo de reactivos consiste en identificar el resultado que sufre una figura u objeto al realizarle
transformaciones como cortes o movimientos de alguno de sus lados.
Ejemplo
Observa la siguiente figura y selecciona uno de los 4 dados que puede
formarse.
Para el siguiente ejercicio es necesario observar las caras que comparten lados en común y cuáles no
pueden estar juntas según la plantilla presentada. El dado 3 es el que puede formarse.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Genera una imagen en tercera dimensión que esté formada por sólidos y a
continuación dibuja la misma figura, pero desarmada o modificada.
FIGURA EN 3D FIGURA MODIFICADA
182
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.4.3 Operación con figuras
Objetivo de sección
El alumno será capaz de combinar figuras diferentes para realizar cálculos o formar figuras.
Ejemplo
Para la siguientefigura determina cuántos cubos pequeños hacen
falta para completar la figura a un cubo.
Es necesario calcular la medida del cuerpo que complementa al dado, el cual tiene de dimensiones 3,
2 y 4, por lo que el volumen es 24u3 más 2 que se encuentran en el espacio en la parte trasera de la
figura, lo que da un total de 26u3.
Práctica abierta
INDICACIÓN: Genera una imagen en tercera dimensión que esté formada por sólidos y a
continuación dibuja la misma figura combinada con otra.
FIGURA EN 3D
FIGURA EN 3D
COMBINADA CON OTRA
183
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
PENSAMIENTO ANALÍTICO
2.1 Integración de la información
2.1.1 Información textual
Lee los siguientes textos, y a continuación responde las preguntas 1 a la 5:
1.- ¿Qué título le pondrías a los textos?
a) Texto I: Una amistad duradera; texto II: La satisfacción personal.
b) Texto I: Los amigos que se extrañan; texto II: El pescador conformista.
c) Texto I: La obra de construcción; texto II: Un día en la playa.
d) Texto I: El sentido del trabajo; texto II: La verdadera felicidad.
Texto I
Un día quise ver a mis tres amigos, que trabajaban en una obra de construcción, cerca de mi casa. Hacía
mucho tiempo que no los veía, así que no sabía qué era de sus vidas. Casi a la entrada, en una postura de
comodidad, me encuentro al primero.
— ¡Hombre, qué alegría verte! — le dije, mientras le daba un fuerte abrazo. — ¿Cómo te van las cosas?
—Aquí ando, trabajando y sudando como un negro, ya me ves. Como un idiota, esperando. Doy tan sólo
unos pasos y allí, en un andamio, a escasos metros del suelo, encuentro al otro viejo amigo.
— ¡Cuánto tiempo sin verte! ¿Cómo te va?
— Pues hombre, ya ves. Las vueltas que de la vida. Hay que hacer algo, ¿no? Hay que ganarse el pan y
mirar por los hijos. Es ley de vida—, me dijo.
Levanto la vista y allá arriba, en una postura de difícil equilibrio, veo a mi otro amigo. Sintió
una enorme alegría al verme y, con una gran sonrisa y una voz potente, me preguntó cómo
me iba, cuándo nos veríamos más detenidamente. Y para terminar, me dijo:
—Aquí estoy haciendo un escuela bonita, bonita, bonita... ya verás qué escuela.
Texto II
Un hombre rico veraneaba en un pueblo de pescadores. Cada mañana, solía pasear por la
playa, y siempre veía a un pescador dormitando en su barca. Un día se le acercó y, tras los
saludos de rigor, le dijo:
—Y usted... ¿no sale a pescar?
—Bueno... sí... —repuso el pescador—: salí esta mañana temprano, y no se dio mal.
—Y... ¿no va a salir otra vez?
—¿Para qué? Ya pesqué lo suficiente para hoy.
—Pero si usted pescara más, conseguiría más dinero, ¿no?
—¿Y para qué quiero más dinero, señor?
—Bueno, con más dinero podría usted tener un barco más grande.
—¿Un barco más grande?
—Pues claro... Con un barco mayor usted conseguiría más pesca, y más pesca significa más dinero.
—¿Y para qué quiero yo tanto dinero?
—Pero... ¿no lo entiende usted? Con más dinero podría comprar varios barcos, y entonces
pescaría mucho más, y se podría hacer rico.
—¿Yo? ¿Ser rico?
—Sí, claro... ¿acaso no desea ser rico? Podría usted comprarse una casa bonita, tener un coche, viajar,
tener toda clase de comodidades...
—¿Y para qué quiero yo esas comodidades?
—¡Dios mío!... ¿Cómo es posible que no lo entienda?... Si usted tuviera comodidades y riquezas, entonces
podría usted retirarse a disfrutar y descansar.
—Pero, caballero... ¿no ve usted que eso es justo lo que estoy haciendo ahora?
Fuente: http://www.laureanobenitez.com/cuentos_de_autoayuda.htm.
184
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.- ¿Cuál es la enseñanza que dejan ambos textos?
a) No hay que ser conformista con lo que tenemos.
b) Todas las personas son felices.
c) Para ser feliz te debe de gustar lo que haces.
d) El trabajo nos hace feliz a todos.
3.- ¿El propósito de los textos es de tipo?
a) Didáctico b) Informativo c) Veraz d) Explicativo
4.- ¿Cuál es el género literario al que pertenecen los textos?
a) Novela b) Poesía c) Drama d) Narrativo
5.- ¿Quién es el autor de ambos textos?
a) Ricardo González b) Laureano Benítez c) Pedro Quijano d) Joaquín Flores
De acuerdo con la información de los textos responde las preguntas 6 a la 10
6. ¿Qué títulos son los adecuados para los textos?
a) Texto I: La energía solar; texto II: Los usos posibles de la energía solar.
b) Texto I: La energía solar; texto II: Características de la energía solar.
c) Texto I: El Sol; texto II: Los usos posibles de la energía solar.
d) Texto I: El sol; texto II: Características de la energía solar.
Texto I
Es una masa de materia gaseosa caliente que irradia a una temperatura efectiva de unos 6000ºC.
De la distribución espectral de la radiación de esta fuente de energía, medida fuera de la atmósfera terrestre,
aproximadamente la mitad está en la región visible del espectro, cerca de la otra región visible del espectro,
cerca de la otra región infrarroja y un pequeño porcentaje de la región ultravioleta. El sol está a una distancia
de 149490000 kilómetros de la Tierra, y la constante solar, esto es, la intensidad media de radiación medida
fuera de la atmósfera en un plano normal la radiación es aproximadamente 1.94 cal/min. cm3.
Texto II
En una lista parcial de posibles usos de la energía solar, figuran:
Calefacción doméstica Hornos solares
Refrigeración Cocinas
Calentamiento de agua Evaporación
Destilación Acondicionamiento de aire
Generación de energía Control de heladas
Fotosíntesis Secado
Se han ensayado todos los usos citados de la energía solar en escala de laboratorio, pero no se han llevado
a la escala industrial. En muchos casos, los costos de la realización de estas operaciones con energía solar
no pueden competir con el costo cuando se usan otras fuentes de energía por la gran inversión inicial que
es necesaria para que funcionen con energía solar y por ello la mayor parte del estudio de los problemas
de utilización de esta energía está relacionado con problemas económicos.
Las instalaciones solares pueden considerarse clasificadas por tres tipos de aplicación. Primero, hornos
solares, usados como medio de laboratorio para obtener altas temperaturas en diversos estudios y propuestos
para usos semi industriales. En segundo lugar, los usos potenciales de disposiciones solares sencillas, como
cocinas, refrigerantes y bombas de irrigación en regiones no industrializadas, con radiación segura y en
donde los actuales recursos de energía no son satisfactorios o resulten caros. Un tercer grupo de aplicación
de energía solar podrá competir en el futuro económicamente con otras fuentes de energía en algunas zonas
de países industrializados, como los EE.UU., si los adelantos técnicos en este campo o los cambios en el
costo de la energía de otras fuentes llegan a alterar su costo relativo.
Fuente: http://www.textoscientificos.com/energia/solar
185
http://www.textoscientificos.com/energia/solar
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
7. ¿Cuáles son los tres tipos de aplicación en los que se pueden clasificar las instalaciones solares?
a) Hornos solares, disposiciones solares sencillas y los que podrán competir económicamente en
un futuro con otras fuentes de energía.
b) Calefacción doméstica, hornos solares y acondicionamiento de aire.
c) Control de heladas, disposiciones solares sencillas y hornos solares.
d) Calefacción doméstica, disposiciones solares sencillas y fotosíntesis.
8. ¿En cuál de las siguientes materias podrías encontrar la información de ambos textos?
a) Historia
b) Geografía
c) Literatura
d) Biología
9. ¿Qué función de la lengua encontramos en el texto?
a) Poética
b) Apelativa
c) Referencial
d) Expresiva10. ¿A qué público receptor se encuentra dirigida
la información?
a) A especialistas en el tema.
b) A un público que no se encuentra especializado
en el tema.
c) A los alumnos de una escuela preparatoria.
d) A todo aquel que se encuentre investigando el
tema.
2.1.1.2 Información gráfica
Lee el texto y analiza la imagen y responde las preguntas 10 a la 14
La gráfica contiene información sobre el porcentaje de la población hablante de lengua indígena entre los 1895
y 1995. Las variables que intervienen son la cantidad de hablantes de lengua indígena, medida en porcentaje, y
el tiempo, medido en años.
11.- ¿Qué se puede obtener de la información?
a) Se muestra el comportamiento de la población indígena en un periodo de 10 años.
b) Se muestra el comportamiento de la población hablante de lengua indígena en un periodo de 10 años.
c) Se muestra el comportamiento de la población hablante de lengua zapoteca en un periodo de 100 años.
d) Se muestra el comportamiento de la población hablante de lengua indígena en un periodo de 100 años.
12.- ¿En qué año hubo mayor número de hablantes de lengua indígena?
a) 1995
b) 1895
c) 1921
d) 1960
186
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-24362007000100004#g1
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
13.-¿Qué porcentaje de hablantes de lengua indígena fue menor entre los años 1985 y 1930?
a) 12.9
b) 3.8
c) 8.4
d) 15.3
14.- De acuerdo a la información, completa la oración.
La población hablante indígena_______________ en los últimos 100 años.
a) Se mantuvo
b) Aumentó
c) Es igual
d) Disminuyó
Lee el siguiente texto, analiza la imagen y responde las preguntas 15 a la 18.
15.- ¿Cuál sería la descripción más exacta de la hipótesis que Ana podría probar?
a) Las plantas más cercanas de la casa crecerán más porque reciben más luz y las más alejadas crecerán menos.
b) Las plantas más alejadas de la casa crecerán más porque reciben más luz y las más cercanas crecerán menos.
c) Las plantas más cercanas de la casa crecerán menos porque reciben más luz y las más alejadas crecerán más.
d) Las plantas más alejadas de la casa crecerán menos porque reciben menos luz y las más cercanas crecerán
más.
16.- Fíjate bien en la altura que alcanzan las cinco plantas de tomates de Ana en la figura. ¿Qué conclusión
razonable puede sacar Ana?
a) Las plantas que reciben más luz crecen más.
b) No está claro que las plantas que reciben más luz crezcan más.
c) La tierra de la parte central del jardín puede ser mejor que el resto.
d) Las plantas pueden haber recibido diferente cantidad de agua de lluvia.
17.- ¿Qué ha observado Ana?
a) Alguna planta no ha crecido nada.
b) La planta más lejana a la casa es la que más ha crecido.
c) La planta más cercana a la casa es la que más ha crecido.
d) La planta más cercana a la casa es la que menos ha crecido.
Los tomates de Ana.
El crecimiento de las plantas en general, depende de los cuatro factores siguientes: la luz del Sol, el agua
(riegos), el aire y la tierra donde crecen. Ana plantó en su jardín cinco plantas de tomates a diferentes
distancias de su casa y quiere investigar el efecto de la cantidad de luz del Sol sobre el tamaño de las plantas.
La figura representa también cómo se mueve el Sol sobre el jardín de Ana desde las 8:00 de la mañana hasta
el mediodía. Debido a la orientación de la casa, las plantas más cercanas a la casa reciben menos horas de
luz del Sol, mientras las plantas más alejadas de la casa reciben más horas de luz del Sol.
187
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
18.- Puesto que el desarrollo de las plantas depende de varios factores (luz, agua, aire y tierra), para que la
demostración de Ana pueda ser válida con toda certeza, ¿qué debería hacer con todos estos factores?
a) Cuidarse de instalar un sistema de riego automático.
b) Hacer que las plantas no tengan diferencias en agua, aire y tierra.
c) Nada, debe olvidarse de ellos porque no influyen sobre su propósito.
d) Instalar una valla que proteja las plantas frente a las rachas de viento
Analiza la siguiente información y contesta.
En el siguiente gráfico se recogen las temperaturas medias registradas en Peñachica durante el mes de junio
en diez años.
Con base en la información proporcionada, responde las preguntas.
19.- ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor los datos recogidos en el gráfico inicial?
a)Gráfico A
b) Gráfico B
c) Gráfico C
d) Ninguno de los anteriores.
20.- Imagina que continúa la tendencia de las temperaturas de los últimos cuatro años, ¿qué puedes decir
sobre la previsión de temperatura media para junio del año 2010 en Peñachica?
a) Será de menos de 22 ºC.
b) Estará entre 22 ºC y 23,8 ºC.
c) Estará entre 23,8 ºC y 27,3 ºC.
d) Será de más de 27,3 ºC.
188
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.1.2 Interpretación de relaciones lógicas
2.1.2.1 Analogías
21.- Brazo es a mano como pierna es a…
a) pie b) dedo c) tobillo d) suela
22.- Rosa es a flor como perro es a…
a) gato b) humano c) animal d) cachorro
23.- Amor es a odio como calor es a…
a) calidez b) hielo c) incendio d) frío
24.- Derecha es a izquierda como abajo es a…
a) suelo b) arriba c) techo d) sótano
25.- Pista es la detective como:
a) Medicina a jarabe
b) Enfermedad a sanatorio
c) Síntoma a médico
d) Estetoscopio a enfermera
26.- Existe algún estudiante de arquitectura. Si todo estudiante de arquitectura es universitario, y todo estudiante
de arquitectura es creativo, entonces se puede decir que…
a) ninguno que es creativo es universitario
b) algún universitario no es creativo
c) alguno que es creativo no es universitario
d) todo universitario es creativo
27.- ¿Cuál es la negación del enunciado?
Durante junio, en todos los días que llovió se mojó el patio.
a) durante junio, ningún día llovió
b) durante junio, en todos los días que llovió no se mojó el patio
c) en un día de junio no llovió
d) en un día de junio, llovió y no se mojó el patio
28.-Si es verdad que ningún felino es equino y que algunos felinos son animales domésticos, entonces también
es verdad que…
a) algunos equinos son animales domésticos
b) algunos animales domésticos no son equinos
c) todos los equinos son animales domésticos
d) algún equino es felino
29.-¿Cuál enunciado corresponde con el sentido de la palabra praxis?
a) los médicos necesitan ejercer constantemente para mejorar sus diagnósticos
b) en el mundo actual existen diferentes formas de pensar y de ser
c) las imágenes simbolizan la realidad del hombre y tienen un significado cultural
d) la belleza de la humanidad radica en la solidaridad con los demás
30.- Permanente es a inmutable como permuta a…
a) asentar b) disentir c) canjear d) efectuar
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Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.1.2.2 Mensajes y códigos
31. Encuentra el elemento encriptado. ¿Cuál
de las palabras enumeradas completan la serie?
RAPAR; SALAS; SAYAS; RAYAR.
a) MATAR b) SANAS c) NATAS d)CATAR
32. Encuentra el elemento encriptado.
Analice las siguientes palabras y escoja dentro de las enumeradas una que pertenezca a
la misma familia,
OMAR; MORA; ARMO; RAMO; AMOR.
a) MAOR b) MIRA c) MENA d)ROMA
33. Decodifica el elemento encriptado.
¿Qué tienen de común estas cinco palabras?
EUCALIPTO, ABUELITO, PAQUIDERMO, MURCIÉLAGO, NEUMÁTICO
a) Son sustantivos
b) Son especies en extinción
c) Son nombres propios
d) Tienen las cinco vocales
34. ¿Qué palabra puede reemplazar a la subrayada? El lunes que viene vamos a hacer una fiesta.
a) llevar b) celebrar c) cuadrar d) desarrollar
35. ¿Cuál de los ejemplos enumerados no guarda la mismarelación con el que está en negrilla?
NORTE Y SUR
a) Polos y tierra
b) Alfa y omega
c) Principio y fin
d) Blanco y negro
36.- Adivina el elemento codificado.
Nace cantando, muere al momento, no tiene carne, sangre ni hueso.
a) El eructo b) El ruiseñor c) El estornudo d) El bebé
37.- Adivina el elemento codificado.
Las dos somos hermanas producidas de un parto y por extremo parecidas. No hay vida cual la nuestra penitente:
siempre andamos de embozo entre la gente, que a indecencia juzgara vernos un ojo, cuanto más la cara;
necesidad precisa nos tiene muchas veces sin camisa; gormamos siempre lo que no comemos; y otro mayor
trabajo padecemos, que por culpas ajenas somos el dedo malo de las penas.
a) Los ojos b) Las orejas c) Las cejas d) Las nalgas
38.- Analice el ejemplo e indique ¿Cuáles palabras deben ir dentro de los paréntesis?
CONDUCIR (Duque) REQUERIR; LAMPARA (Pase) CASERA;ENTENDER ( ________) RESORTE;
CAMPAÑA ( ____) RENATA
a) Tenso, cana
b) Derso, care
c) Ensor, pare
d) Tensor, pana
39.- Adivina el elemento codificado.
Pongo triste y pongo alegre, soy muy grande y soy muy chico, sin ser noble tengo título y márgenes sin ser río,
y me compra un gran gentío.
a) El teatro b) El cine c) El televisor d) El periódico
40.- Al usar las siguientes palabras, resulta una frase conocida ¿Cuál es?
UNO CADA CADA CON QUIEN
a) Uno con cada quien
b) Cada uno con cada uno
c) Cada quien con cada uno
d) Quien con cada uno
190
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.3 Reconocimiento de Patrones
41. ¿Qué opción contiene los números que van en la cuarta figura?
a) 10, 44 b) 11, 45 c) 11, 44 d) 12, 48
42. ¿Qué triángulo sigue en la Sucesión?
a) 11, 16, 30 b) 14, 16, 25 c) 14, 16, 30 d) 14, 17, 30
43. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 1, 4, 2, 5, 3, 6, ____, ____, 5, 8
a) 4, 7 b) 5, 8 c) 6, 9 d) 7, 10
44. Encuentre el número que falta en la secuencia: 7, 6, 9, 8, 11, 10, 13, ___
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14
45. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 80, 40, 75, 35, ___, ___, 65,25
a) 70,
20
b) 50,
30
c) 65,
40
d) 70, 30
46. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 0.2, 0.4, 0.8, 1.6, ___, ____
a) 1.8, 3.6
b) 2.3, 4.8
c) 3.2, 6.4 d) 3.6, 6.2
47. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 3, 6, 12, 24, 48, 96, ___
a) 196 b) 192 c) 49 d) 169
48. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 2,4,8,16,32, ___
a) 38 b) 48 c) 68 d) 64
49. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 5,15,45,135, ___
a) 405 b) 415 c) 406 d) 425
50. Encuentre los números que faltan en la secuencia: 4,2,1,0.5, ____
a) 0.25 b) 0.025 c) 25 d) 0.0025
51. Encuentre los números que faltan en la siguiente secuencia: 30, 24, 19, 15, 12, __, __
a) 10, 9 b) 11, 8 c) 13, 7 d) 8, 6
52. Encuentre el número que falta en la secuencia: 811, 274, 97, ___
a) 110 b) 310 c) 610 d) 1210
191
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
53. Observa las siguientes sucesiones:
4, 8, 16, 32, . . .
9, 27, 81, 243, . . .
16, 64, 256, 1024, . . .
. . .
¿Cuál es la sucesión que sigue?
a) 81, 486, 2916, 17496, . . .
b) 25, 125, 625, 3125. ..
c) 25, 73, 121,169, . . .
d) 25, 50, 75, 100, . . .
54. En la secuencia 9, 16, 25, 36, … ¿Qué numero sigue?
a) 49
b) 41
c) 47
d) 61
55.- ¿Cuántos cuadros blancos hay en la figura que ocupa la posición 30?
a) 30,004
c) 900
b) 904
d) Ninguna de las anteriores
Para los ejercicios de la 56 al 60 ¿Qué letra continua en cada sucesión alfabética?
56. a, b, c, o, p, q, d, e, f, ___
a) s b) r c) t d) u
57. a, b, a, f, g, g, o, p, o, u, v, ___
a) v b) u c) w d) x
58. t, x, b, f, ___
a) b b) h c) i d) j
59. g, o, m, h, p, n, i, q, ___
a) m b) n c) ñ d) o
60. e, f, h, i, l, m, ___
a) p b) k c) o d) m
61. ¿En qué opción está la figura que sigue esta secuencia?
192
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
a) b) c) d)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
62. ¿Qué triángulo sigue a esta serie?
63. ¿Cuál es la figura siguiente en esta secuencia?
64. Encuentra la figura que falta:
65. En las siguientes figuras elige la opción que consideres más lógica para el espacio vacío.
a) a b) b c) c d) d
193
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.4 Representación espacial
2.4.1 Perspectiva y Combinación de figuras y Objetos.
66. Observa la siguiente figura ¿Cuál es la figura que continua la serie?
a)
b)
c) d)
67. Observa la siguiente figura
Desde qué punto es posible tomar la siguiente figura
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
194
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
68. ¿A cuál figura tridimensional corresponden las siguientes vistas, frontal, inferior y lateral,
respectivamente?
a) b)
c) d)
69. ¿Cuál es la vista de la figura si se observa desde arriba?
a)
b)
c)
d)
70.- Una persona está frente a una estructura de metal como se muestra en la figura. Si dicha figura
se rota 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj, ¿Cuál será la vista de la figura que tendrá
esta persona después del movimiento?
195
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
a) b)
c)
d)
71. Una persona se encuentra detrás de un edificio frente al segmento CG como se muestra en la
figura.
Realiza dos movimientos paralelos al edificio; primero hacia B y luego hacia la mitad del segmento
AB, quedando frente al edificio. ¿Cuál es la vista que tiene después de realizar estos dos
desplazamientos?
a) b)
c)
d)
72. La siguiente figura muestra una construcción de cubos colocados frente a un espejo, el cual está
situado al fondo. ¿Cuál es la imagen de la construcción de cubos que se ve reflejada en el espejo?
a)
b)
c)
d)
196
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.4.2 Modificación de objetos
73. El siguiente cubo ha sufrido modificaciones como se muestra en la
siguiente figura. ¿Cuál es el número de caras que tiene con los cambios
efectuados?
a) 6 b) 9
c) 12 d) 15
74. Si la línea a se mueve para formar un ángulo de 45° con b ¿cuál de las siguientes figuras se
obtendrá?
a)
b)
c)
d)
75. Al doblar 2 veces una hoja de papel y hacer cuatro cortes cuadrados, uno en cada lado como se
muestra en las figuras siguientes, el corte obtenido al desdoblar el papel será.
a)
b)
c)
d)
76. Al doblar dos veces una hoja de papel y hacer un corte como se muestra en la figura que se obtiene
al desdoblar la hoja:
a)
b) c) d)
197
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
77.- Al doblar tres veces una hoja de papel y realizar dos cortes circulares, como se muestra en la
figura, al extenderla obtenemos:
a) b) c) d)
78.- Al doblar dos veces una hoja de papel si se hacen dos cortes, como se muestra en la figura, al
extenderla obtenemos:
a) b) c) d)
79.- Al doblar una vez una hoja de papel y realizar dos cortes, como se muestra en la figura,
obtenemos:
a) b) c) d)
2.4.3 Operaciones con figuras
80.- Selecciona la opción que contenga el conjunto de cuerpos geométricos que conforma la figura
que se presenta a continuación
a)
c)
b)
d)
198
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
81. La siguiente figura muestra la plantilla con la que es posible armar una figura tridimensional
¿Cuál es la figura que se puede armar con ella?
a)
b)
c)
d)
82. Elijala figura que puede formarse con los tres fragmentos presentados
a)
b)
c)
d)
83. Observa el siguiente dibujo.
¿Cuál de los siguientes desarrollos NO corresponde a la caja anterior?
a)
b)
c)
d)
199
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
84. Observa el siguiente dibujo.
Utilizando únicamente esferas, ¿Cuántas se deberán poner en la última balanza para equilibrarla?
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
85. Observa la figura y selecciona el desarrollo con el cual se pueda armar.
a)
b)
c)
d)
200
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
2.1.1 INTEGRACIÓN DE LA INFORMACIÓN
2,1,1,1 Información textual
A partir del texto responde las preguntas de la 1 a la 3.
1.-¿Cuál es el contenido de la lectura?
a) Las características generales de las hormigas
b) La experiencia de un hombre que estudia a las hormigas
c) La conducta social de las hormigas
d) La forma en que nació la atracción del autor por las hormigas
2.- Seleccione las razones por las que, según la lectura, la conducta social de las hormigas es fascinante.
1. El uso que dan a los sentidos visual y auditivo
2. Su capacidad para percibir las feromonas
3. El carácter instintivo de su comunicación
4. La organización para la división de sus actividades
5. Su resistencia para sobrevivir al ámbito salvaje
a) 1, 2, 4 b) 1, 3, 5 c) 2, 3, 4 d) 2, 3, 5
3.- El peso de las hormigas en su conjunto es _______ seres humanos.
a) más que el de todos los
b) igual al de todos los
c) menos que el de todos los
d) como 10 000 billones de
Las hormigas gobiernan la tierra junto con nosotros. Se calcula que la población mundial de hormigas –unas
12,000 especies–es de 10,000 billones, y que su peso en conjunto equivale aproximadamente al de todos los
seres humanos. Se les puede encontrar en cualquier parte, excepto en las cimas nevadas de las montañas y
alrededor de los polos. Desde el subsuelo hasta las copas de los árboles, las hormigas son las principales
predadoras de insectos y otros invertebrados, así como las carroñeras más importantes de cadáveres
pequeños.
Me sentí atraído por estas maravillosas criaturas cuando era niño. Emprendía mis expediciones desde el
apartamento donde vivía con mi familia hasta la “selva” del parque Rock Creek, en Washington, D.C. Las
hormigas me intrigaban, en especial gracias a un artículo de William M. Mann publicado en la edición de
agosto de 1934 de National Geographic: Hormigas al acecho, salvajes y civilizadas. El linaje mirmecológico
continuó decenios más tarde con Mark Moffett, quien obtuvo su doctorado en Harvard bajo mi supervisión
y cuyo original trabajo fotográfico se enfoca, en este artículo, en las hormigas guerreras o legionarias.
La conducta social de estos insectos es fascinante. Durante la mayor parte del año, sus colonias están
armadas sólo por hembras: las reinas, que cumplen con la función reproductiva, y las obreras infértiles, que
llevan a cabo todo el trabajo. A los machos se les cría y cuida durante periodos cortos, sólo para que
inseminen a las reinas vírgenes. En lo que respecta a sus sistemas de comunicación, ahí donde nosotros
usamos la vista y el oído, ellas dependen principalmente del gusto y el olfato para percibir las feromonas
que secreta cada una de sus compañeras. Como el cerebro de una hormiga pesa menos de una millonésima
parte del nuestro, no es de sorprender que algunas especies de hormigas tan sólo produzcan de 10 a 20
señales y, a diferencia del lenguaje humano, sus mensajes son totalmente instintivos.
Estas maravillosas criaturas han vivido en la Tierra durante más de 140 millones de años. Sus organizaciones
sociales más complejas, como las de las hormigas guerreras y de las cortadoras de hojas, son uno de los
espectáculos más grandiosos de la vida salvaje. Las hormigas sobrevivieron con facilidad a los dinosaurios
y sobrevivirán fácilmente a la humanidad, en caso de que esta desaparezca.
National Geographic en Español.
201
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Después de leer el texto contesta las preguntas 4, 5 y 6.
4.-¿Cuál recurso gráfico se usa en este texto para denominar una publicación?
a) Subrayado
b) Negritas
c) Cursivas
d) Comillas
5.- Son dos subtemas esenciales del texto:
a) La evolución. Los adultos
b) La tecnología. La evolución
c) La nueva generación. Los adultos
d) La tecnología. El déficit de atención.
6.- ¿Qué párrafos corresponden a la introducción, desarrollo y conclusión del texto?
a) Introducción I, desarrollo II-VII, conclusión VIII
b) Introducción II, desarrollo III-VIII, conclusión I
c) Introducción I-II, desarrollo III-VII, conclusión VIII
d) Introducción I-III, desarrollo VI, conclusión V
La Web altera el cerebro
(I) Internet no solo está cambiando el modo en que las personas viven, sino también cómo funcionan sus
cerebros, un neurocirujano asegura que se trata de un cambio evolutivo que pondrá a los expertos en
tecnología al frente del nuevo orden social.
(II) Garu Small, neurocientífico de la Universidad de California (UCLA), que se especializa en el
funcionamiento del cerebro, descubrió, mediante estudios, que navegar en la Web y enviar mensajes de
texto ha hecho a los cerebros más expertos a la hora de filtrar información y tomar decisiones rápidas.
(III) Aunque la tecnología puede acelerar el aprendizaje e impulsar la creatividad, también tiene desventajas,
ya que puede crear adictos a Internet, cuyos únicos amigos son virtuales y provoca un drástico aumento en
el diagnóstico de trastornos por déficit de atención.
(IV) Con todo, Small considera que las personas que estarán al frente en las próximas generaciones serán
las que tengan una mezcla de habilidades tecnológicas y sociales.
(V) "Estamos viendo un cambio evolutivo. La gente de la próxima generación que realmente se va a destacar
es la que domine la tecnología y también las habilidades del cara a cara", dijo Small.
(VI) "Ellos sabrán cuándo la mejor respuestas a un correo electrónico o mensaje es hablar, en lugar de
sentarse a seguir enviando correos electrónicos.", agregó el especialista.
(VII) En su reciente libro Cerebro: Sobrevivir a la alteración tecnológica de la mente moderna, Small
observa cómo la tecnología ha alterado el modo en que las mentes de los jóvenes desarrollan, procesan e
interpretan la información.
(VIII) El cerebro, apuntó, es muy sensible a los cambios del entorno, como los que trae la tecnología.
202
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Lea el siguiente texto y responda las tres siguientes preguntas.
7.-El título que expresa mejor las ideas del texto es:
a) El cerebro no descansa
b) Pensamiento y cerebro
c) Sueño y vigilia
d) La electroencefalografía
8.- La idea principal del pasaje puede ser expresada como:
a) describir lo que el cerebro siente y piensa
b) describir la forma como el EEG capta las “vibraciones” del cerebro
c) describir la forma como descansa el cerebro
d) describir la vida de Alfred Loomis durante su estancia en Princeton
9.- ¿A qué se le llama electroencefalografía?
a) Al registro de las tensiones propias del cerebro
b) A la actividad cerebral durante el sueño
c) A captar los sentimientos y pensamientos con electrodos
d) A la clasificación de los sueños
El principal instrumento con el que contamos para develar las interioridades del sueño es la
electroencefalografía. Toda actividad cerebral exige que las neuronas intercambien señales eléctricas. Al
hacerlo se detectan en la superficie del cerebro tensiones eléctricas, que aparecen y desaparecen. El
cerebro“vibra”. Estas mínimas tensiones propias del cerebro activo pueden ser captadas, amplificadas y
registradas gráficamente, por medio de electrodos. A dichoregistro se le llama electroencefalografía (EEG).
No descubre lo que el cerebro piensa o siente, sino si trabaja o no y de qué manera, y en qué medida está
despierto. Cuanto mayor es la tensión desarrollada, tanto más asciende o desciende la aguja que lo registra,
y cuanto más rápido aparece y desaparece aquélla, más a menudo se impulsa ésta hacia arriba y abajo. Por
tanto, la puntiaguda línea del EEG constata dos fenómenos; en altura, la intensidad (amplitud) de las
tensiones, y horizontalmente la rapidez (frecuencia) con que aparecen y desaparecen.
A mediados de los años 30, cuando la electroencefalografía era aún una novedad, Alfred Loomis, fisiólogo
en la Universidad de Princeton, describió el primer EEG de un durmiente, que trajo consigo algunos
descubrimientos: el cerebro no descansa mientras dormimos, sino que permanece activo; la actividad
durante el sueño no es igual que la de la vigilia, y no es uniforme, sino que varía con frecuencia; el sueño
puede clasificarse por niveles o estadios a partir del EEG, niveles que dependen de la profundidad de aquél,
es decir, de la mayor o menor insensibilidad a los estímulos despertadores.
Zimmer, Dieter (1985). Dormir y soñar, Salvat, Barcelona.
203
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Responde las siguientes preguntas con base en el texto.
10.- ¿Cuál es la enseñanza que deja el texto?
a) Cuando arriesgas todo por ambición puedes ganar o perderlo todo.
b) Tunka es un brujo sabio.
c) No todo lo que brilla es oro.
d) Hay que leer antes de actuar.
11.- ¿De qué trata el cuento?
a) Un hombre muy rico llamado Tunka.
b) Un viejo brujo al cual le gustaba engañar a las personas.
c) Un polvo que duplicaba lo que uno quisiera.
d) La amistad entre Tunka y Luis.
12.- ¿Qué título le pondrías al cuento?
a) El engaño
b) La ambición
c) El polvo mágico
d) Cómo duplicar monedas
13.- ¿Cuál de las siguientes oraciones es una advertencia?
a) Cuando llegó, le habló de su gran descubrimiento.
b) “Nunca juntes dos polvos mágicos. Si lo haces desaparecerán, junto a los metales que se encuentren
alrededor”.
c) No llegó a explicarle de qué se trataba.
d) Luis le pidió que probara lo que decía y le dio una moneda de oro. Para su asombro, unos instantes después
de echarle el polvo, las monedas eran dos.
14.- Las siguientes palabras son sinónimos de la palabra descubrimiento, excepto:
a) Hallazgo
b) Encuentro
c) Revelación
d) Investigación
Texto
Tunka era un viejo brujo a quien nadie visitaba. Un día, invitó a su pequeño laboratorio en la montaña a
Luis, el hombre más rico del pueblo. Cuando llegó, le habló de su gran descubrimiento. Se trataba de un
polvo mágico que duplicaba lo que quisiera. Ya había preparado diez de ellos. Luis le pidió que probara lo
que decía y le dio una moneda de oro. Para su asombro, unos instantes después de echarle el polvo, las
monedas eran dos.
Una vez que se pusieron de acuerdo en el pago, Tunka le entregó un sobre. No llegó a explicarle de qué se
trataba, ya que cayó muerto tras un fuerte golpe en la cabeza. Luis no iba a permitir que otros accedieran a
la sustancia mágica, y con lo que tenía, era suficiente. Dejó el sobre, tomó la caja con los polvos, y se fue.
Luego de vender todos los bienes, juntó sus monedas de oro. Les echaba el preparado y se duplicaban. Muy
inteligente, cuando le quedaban sólo dos porciones, se dio cuenta de que duplicando el mágico elemento, su
fortuna sería interminable y sería dueño del mundo entero. Pero, cuando los juntó, no sólo se esfumaron,
sino que desapareció hasta la última moneda de oro que había. Después de esperar horas sin novedades, se
dirigió al laboratorio del brujo.
Maldiciendo porque lo había engañado, abrió la puerta. Cuando vio el sobre, pensó que ahí encontraría la
solución. pero el escrito decía: “Nunca juntes dos polvos mágicos. Si lo haces desaparecerán, junto a los
metales que se encuentren alrededor” Fin
. Fuente:http://www.encuentos.com/cuentos-de-brujos/el-polvo-magico
204
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Lee cuidadosamente el siguiente texto y responde las preguntas 15 a la 18
15.- El título que expresa mejor las ideas del texto es:
a) La cafeína agrava la incontinencia
b) La incontinencia urinaria de las mujeres.
c) La incontinencia urinaria y la cafeína.
d) La cafeína mejora el estado de ánimo.
16.- La idea expresada en el párrafo anterior es:
a) El número de tazas de café que uno debe tomar al día.
b) Las mujeres sufren la incontinencia urinaria.
c) Evitar el café si sufre de incontinencia urinaria.
d) Evitar el consumo de todas las sustancias nocivas.
17.- ¿ A qué se le llama esfínteres?
a) A los goteos de la vejiga.
b) A los músculos uretrales responsables de evitar goteos de la vejiga.
c) A la incontinencia.
d) A los tumores.
18.- De acuerdo con el texto, ¿cuál de las siguientes afirmaciones expresa una opinión y no un hecho?
a) Si sufre de incontinencia urinaria es mejor evitar el café.
b) La cafeína se comporta como un diurético.
c) Tomar más de 4 tazas de café al día puede empeorar la incontinencia urinaria.
d) Tomar café es delicioso y nos ayuda a despertar en las mañanas.
Texto
Si sufre algún grado de incontinencia urinaria, sería mejor que evitara el café. Una investigación que incluyó
a 259 mujeres demostró que beber 2 tazas de café diariamente podría desencadenar este trastorno, y 4 o más
tazas, empeorarlo. La culpable es la cafeína, que reconocidamente se comporta como un diurético, pero
además se descubrió que puede ocasionar contracciones de los músculos uretrales de paso (esfínteres)
responsables de evitar goteos de la vejiga. Por ello, los autores de este artículo recomiendan a quienes
padecen de vejiga inestable limitar su consumo de cafeína a menos de 1000 mg diarios (2 tazas de café o
latas de refresco de cola).
Fuente: Ciencia y Tecnología, Contenido, México, Núm. 492, p. 16 (fragmento)
205
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Lee el siguiente poema y responde las preguntas 19 y 20
19.- ¿ Qué son los golpes de los que habla la estrofa subrayada?
a) Los golpes duros de la vida.
b) Ataques cardiacos mortales.
c) Los latidos del corazón.
d) Heridas de amor
20.- ¿En dónde encontramos una comparación ¿
a) El corazón es un péndulo que advierte
Golpe tras golpe en una misma herida…
b) ….el dolor no mata en un instante
Como la fiera daga….
c) …se eleva con seguro tino…
d) …golpe tras golpe, advierte a que se queja
Que va la vida andando su camino.
2.1.1.2 Información gráfica
21.- ¿Cuál de las siguientes especies apareció primero en el planeta, es decir surgió antes que las otras?
a) Insecto b) Humano c) Mamut d) Dinosaurio
El dolor
Antonio Ros de Olano
El corazón es péndulo que advierte
golpe tras golpe en una misma herida,
cuán próxima a la muerte anda la vida,
cuán cerca de la vida está la muerte.
Las empuja el dolor, hasta la inerte
tumba que en nuestra senda está escondida
a tan serena sombra que convida
a redimir muriendo nuestra suerte…
Mas el dolor no mata en un instante
como la fiera daga; y la asemeja,
porque se eleva con seguro tino;
Y así el seno del péndulo oscilante,
golpe tras golpe , advierte a que se queja
que va la vida andando su camino.
206
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
22.-De acuerdo con la imagen ¿Con qué letra está indicada la región de la República Mexicana que se
caracteriza por presentar clima seco y ecosistemas semidesérticos y desérticos?
a) A
b) B y C
c) C
d) D
23.- ¿Qué estado de la República Mexicana está representado con la letra B?
a) Guerrero
b) Chiapas
c) Oaxaca
d) Puebla
Observa la siguiente imagen y responde las preguntas 24 y 25
24.- ¿Qué tienen en común los organismos representados en la imagen?
a) Respiran, cuidan a suscrías y hacen madrigueras
b) Se alimentan de otros seres vivos y tienen huesos
c) Nacen, crecen, se reproducen y mueren
d) Habitan en regiones desérticas
25.- ¿Cuáles organismos representados en la imagen son autótrofos?
a) La medusa y el cocodrilo
b) El helecho y el pino
c) El humano
d) La mariposa y la medusa
207
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Observa el mapa y contesta las siguientes preguntas
26.- El área con el número 1 corresponde a:
a) Océano Pacífico
b) Océano Atlántico
c) Mar Caribe
d) Océano Índico
27.- El océano Atlántico está en el número:
a) 4 b) 6 c) 6 d) 1
28.- El número 5 corresponde a:
a) Asia b) África c) América d) Oceanía
29.- El continente europeo se identifica con el número
a) 1 b) 3 c) 8 d) 9
Observa y lee la información de la tabla. Luego responde las preguntas 30 a la 33
208
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
30.-Si manifestaras un intenso dolor de estómago, ¿Qué planta deberías consumir para aliviar ese malestar?
a) Llantén
b) Manzanilla
c) Quillay
d) Ruda
31.- ¿Cuál de estas plantas utilizarías para la cicatrización de una herida?
a) Ruda
b) Quillay
c) Llantén
d) Ninguna de las anteriores
32.- Si presentas mareos ¿Qué planta utilizarías?
a) Ruda
b) Quillay
c) Llantén
d) Ninguna de las anteriores.
33.- ¿En dónde se pueden encontrar principalmente las plantas de Ruda y Manzanilla?
a) América del norte
b) Asia
c) Sur de América
d) Europa
Analiza la siguiente información y responde las preguntas 14, 15 y 16.
Texto:
Para estimar el volumen de usuarios que visitan los diferentes sitios web de descarga de los editores se ha
aplicado el indicador de Traffic Rank, es decir, el número de visitas a estos sitios en los últimos tres meses. Este
indicador se calcula en función de los patrones de uso de los usuarios que se han instalado la barra de
herramientas. Por tanto, no es un valor absoluto del tráfico en un sitio web, pero sí que permite realizar
comparaciones objetivas.
34. ¿Qué conclusión es posible obtener observando los datos de la tabla?
a) MyMind es uno de los tres editores más populares en la web.
b) MyMind presenta un muy bajo porcentaje de visitas con respecto a Kdissert.
c) Son cuatro los editores que reciben aproximadamente un millón de visitas.
d) Hay poca diferencia entre la cantidad de visitas para FreeMind y GraphViz
Para determinar el posicionamiento de los sitios en Internet, se ha analizado la posición que ocupa el sitio en
el listado de resultados de dos de los buscadores más populares: Google y Yahoo. Los resultados obtenidos
son:
209
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
35. ¿Qué conclusión es posible obtener observando los datos de la tabla?
a) La tabla está mal porque no se puede tener varios editores en la misma posición
b) Los resultados de una búsqueda en Yahoo y Google son muy parecidos
c) El título de MyMind seguramente no corresponde al sitio web donde se encuentra
d) Con la excepción de MyMind y ThindGraph, todos los editores obtienen resultados óptimos en las
búsquedas.
36. Si se observa tanto la tabla 1 como la tabla 2,
¿cuál de las siguientes conclusiones sería la más acertada?
a) DigiDocmap tiene más descargar por medio de Google mientras que GraphViz las tiene por
medio de Yahoo
b) Kidssert aparece como número uno en Google y Yahoo porque es el más descargado
c) MyMind es el número 30 en Google porque los usuarios casi siempre lo descargan desde Yahoo
d) El volumen de usuarios que descargan ciertos programas no guarda relación directa con su
Posicionamiento en Google o Yahoo
Analiza la siguiente información y responde las preguntas.
En un estudio realizado a 27 restaurantes se obtuvo que existe una confusión entre los términos de higiene y
salud, ya que aun cuando los conceptos son semejantes no se refieren a lo mismo, lo que se comprueba al
observar que 13 personas dieron la definición de sanidad como la de higiene, y tan solo 4 personas respondieron
correctamente, al responder que higiene es limpieza. Por otro lado, 14 de 27 personas dieron una respuesta
incorrecta al definir sanidad ya que mencionaron que era desinfección únicamente. Lo que representa un
entendimiento erróneo de los términos.
En 21 de los 27 restaurantes se dijo que el personal ha recibido cursos sobre prácticas de higiene, sin embargo,
solo 18 mencionaron el lugar donde lo recibieron siendo en su mayoría en el mismo restaurante y en la Secretaría
de Salubridad.
210
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
37.- ¿A quiénes se dirigió el estudio?
a) A meseros
b) A los trabajadores de Salubridad
c) A personal de los restaurantes
d) A clientes de restaurantes
38.- De acuerdo con la información ¿Qué es higiene?
a) Sanidad
b) Desinfección
c) Limpieza
d) Ninguna de las anteriores
39.- De acuerdo a la lectura ¿Qué se puede deducir?
a) Qué el IMSS ofrece pláticas de Sanidad.
b) Que los restauranteros saben mucho sobre la salud
e higiene.
c) Que la mitad de restaurantes no toman pláticas.
d) Que existe una confusión de los términos de salud
e higiene en la industria restaurantera
40.- ¿Cuántas personas mencionaron haber los cursos sobre prácticas de higiene en los restaurantes y la
Secretaría de Salubridad?
a) 18
b) 10
c) 27
d) 21
2.1.2 Interpretación de relaciones lógicas
2.1.2.1 Analogías
41.- Campo es a tranquilidad como:
a) Ciudad a ajetreo
b) Provincia a pobreza
c) Inseguridad a vivir
d) Provincia a tradición
42.- Catálogo es a comprador como:
a) Ley a abogado
b) Lector a artículo
c) Reglamento a trabajador
d) Menú a comensal
43.- Incendio es a fuego como:
a) Olas a mar
b) Gotas a lluvia
c) Nieve a hielo
d) Inundación a agua
44. Seda es a gusano como:
a) Abeja a panal
b) Tela a hilo
c) Telaraña a araña
d) Oveja a lana
45.- Corteza es a árbol como:
a) Piel a humano
b) Tela a vestido
c) Vidrio a ventana
d) Madera a mueble
46.- Disipación es a gastar como:
a) Verborrea a hablar
b) Tempestad a llover
c) Carrera a trasladar
d) Negligencia a actuar
47.- Extenuado es a fuerza como:
a) Ignorante a respeto
b) Obnubilado a juicio
c) Destacado a celebridad
d) Deprimido a ánimo
48.- Expositor es a locuacidad como:
a) Vegetación a abundancia
b) Alcohol a ebriedad
c) Contextura a fuerza
d) Lluvia a copiosidad
49.- ineptitud es a torpeza como igualdad es a :
a) paridad b) desequilibrio c) desnivel d) coherencia
211
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
50.- lavar es a ensuciar como participación es a:
a) Implicación b) asociación c) intervención d) inhibición
51.- .... es a poesia como novelista es a :
a) verso – ensayo b) poeta – novela
c) poeta – aventuras c) verso – novela
52.- .... es a palabras como partitura es a:
a) letras – notas b) pauta – pentagrama
c) libro – notas c) ritmo – música
53.- Si los cítricos tienen vitamina C y la mandarina es un cítrico, entonces…
a) solo los cítricos tienen vitaminas
b) la mandarina contiene cítricos
c) la mandarina tiene vitamina C
d) la mandarina contiene cítrico de la vitamina C
54.- De acuerdo con los enunciados, ¿Cuál es la conclusión lógica?
Una abeja es un insecto
Todas las abejas pican
a) este insecto me picó, entonces es una abeja
b) las abejas son insectos, entonces los insectos pican
c) este insecto es una abeja, entonces este insecto pica
d) algunos insectos pican, entonces algunas abejas
pican
55.- Completeel silogismo
Todos los niños son latosos.
Algunos niños son llorones.
Entonces…
a) ningún latoso es llorón
b) no todos los latosos son llorones
c) todos los latosos son llorones
d) todos los llorones son latosos
56.- Seleccione la opción cuya relación es similar a la de este par de palabras.
Devastar- reconstruir
a) abolir- suprimir
b) abatir- animar
c) contener- reprimir
d) inquirir- investigar
57.- son pares de palabras que tienen una relación equivalente, excepto:
a) predicción- presagio
b) sincero- traidor
c) nupcias- separación
d) nervioso- sosegado
58.- ¿Cuál expresión corresponde al enunciado?
Si estudio la lección, entonces, pasaré el examen y me iré de vacaciones
a) (Q→P) ᴧ (R˅S)
b) (Q→P) ˅ (RᴧS)
c) (¬Q→P) ᴧ (R˅S)
d)(Q →¬P) ᴧ (R˅S)
59.-de acuerdo con los datos de las premisas, ¿cuál es la proposición que se forma con la fórmula Q→¬Pᴧ R
Q: llueve
R: Podré ir al cine
R: mi novia se enojará
a) Si no llueve, entonces podré ir al cine y mi novia se enojará
b) Si llueve, entonces podré ir al cine y mi novia se enojará
c) si llueve, entonces podré ir al cine y mi novia no se enojará
d) si llueve, entonces no podré ir al cine y mi novia se enojará
212
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
60) ¿Cuál formula expresa el resultado?
El que no arriesga un huevo no saca un pollo
a) (¬Q¬P)
b) (¬Qᴧ¬P)
c) (¬Q→¬P)
d) (¬Q˅¬P)
2.1.2.2 Mensajes y códigos
61.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: Las perlas de su boca.
a) El calor de sus labios
b) Los dientes
c) La sonrisa
d) La ira
62.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: El cielo de su mirada.
a) Color de los ojos
b) Color del cielo
c) La sonrisa
d) La tristeza
63.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: Las grises tormentas volvían a su mente.
a) Dulces recuerdos
b) Alegres pensamientos
c) Melancólicos momentos
d) Amargos recuerdos
64.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: El hilo de plata corría entre las rocas.
a) Mineral de plata
b) viento
c) río
d) Plata fundida
65.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: Estrellas corriendo entre los árboles del bosque
a) luciérnagas
b) grillos
c) mariposas
d) viento
66.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: Los diamantes de su cara
a) dientes
b) boca
c) nariz
d) ojos
67.- Decodifica el elemento oculto en la metáfora: En ella floreció la primavera
a) nació
b) Llegó la juventud
c) murió
d) Terminó el invierno
68.- Decodifica el elemento oculto en la siguiente metáfora: Llegó el otoño a su vida
a) Llegó su juventud
b) Pasó su juventud
c) Llegó su muerte
d) nació
69.- Decodifica el elemento oculto en la metáfora: Estoy en el ocaso de mi vida .
a) Próximo a morir.
b) Próximo a nacer.
c) En su juventud.
d) En su adolescencia
70. - Completa el siguiente párrafo.
Era un hombre ________, intolerante y terco que no hacía concesiones; por ello, con el pasar de los años, fue
cayendo en un cierto _________ que terminó por llevarlo a vivir en _________.
a) inocuo – desamparo – retiro
b) conspicuo – silencio – aislamiento
c) iracundo – desfalco – periferia
d) intransigente – aislamiento – soledad
71.- Si adelante es igual a ZNWVOZNGV y relativo es IVOZGREL, entonces a irrelevante le corresponde…
a) riivovezngv b) sjjwpwfañgw
213
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
c) qhhuñudymgu d) riivovyzngv
72.- Si comer es igual a FRPHU, FDVRV es igual a …
a) casas
b) casos
c) cosas
d) cazos
73.- Si cielos es igual a RYANIJ, JYANTI es igual a…
a) cuento
b) siento
c) miento
d) viento
De acuerdo a la siguiente imagen responde las preguntas de cifrados 74 a 77 de acuerdo
74 ¿Cómo se representa la palabra cuaderno?
a) 3145111415423334
b) 3145111442
c) 1345111415423334
d) 13451114
75 ¿Qué palabra se forma con los siguientes números 13453144454211?
a) Cuadro
b) Culpa
c) Cultura
d) Cuarto
76 ¿Qué palabra se forma con los siguientes números 11323442?
a) Alas
b) Amigo
c) Amar
d) Amor
77¿Con qué combinación formas la palabra Sabor?
a) 4311123442
b) 4312114342
c) 4212113442
d) 4311124234
De acuerdo a la imagen descubre el mensaje oculto.
214
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
78.- ¿Qué palabra indica la imagen?
a) raspado
b) restar
c) reirse
d) respeto
79 ¿Qué palabra indica la imagen?
a) solidaridad
b) solidarizar
c) solicitud
d) soltarse
80 ¿Qué palabra si indica la imagen?
a) convivir
b) convivencia
c) conciencia
d) conveniencia
215
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
2.3 Reconocimiento de Patrones
2.3.1 Sucesiones Numéricas
81.- Encuentra el número que falta en la secuencia:
?
18
,
15
18
,
21
18
,
27
18
a) 2 b)
18
13
c)
18
12
d)
18
11
82.- ¿Cuál es el número que falta en la secuencia: 3, 10, 8, 15, ___ 20, 18?
a) 9 b) 10 c) 13 d) 18
83.- ¿Cuál es el número que falta 2, 7, 12, ___, 22?
a) 6 b) 17 c) 9 d) 13
84.- Continúe la siguiente secuencia numérica con el grupo de los números (de entre los propuestos)
que mejor la completan: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6?
a) 11, 5 b) 10, 5 c) 10, 6 d) 11, 6
INDICACIÓN: Escribe el número que seguiría en cada secuencia.
85.- 20, 16, 18, 17, 16, 18, ___
a) 14 b) 16 b) 13 d)12
86.- 2, 5, 11, 23, 47, ___
a) 68 b) 95 c) 58 d) 91
87.- 6, 2, 4, −2, 6, −8, ___
a) 4 b) -4 c) 14 d) 2
88.- 1, − 4, 7, −10, 13, −16, ___
a) 18 b) 21 c) 19 d) 20
89.- 19, 10, 9, 1, 8, ___
a) 2 b) -7 c) 7 d) 5
90.-30, −33, 36, −39, 42, −45,
a)-49 b) 46 c) -47 d) 48
91.- 1, 4, 2, 5, 3, 6, ___
a) 6 b) 7 c) 4 d) 5
92.- 70, 71, 73, 74, 76, 77, ___
a) 80 b) 79 c) 78 d) 81
93.- 66, 63, 65, 62, 64, 61, ___
a) 62 b) 61 c) 60 d) 63
94.- 1, 8, 3, 16, 5, 32, ___
a) 64 b) 32 c) 9 d) 7
216
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
95.- 28, 15, __, 19, 36, 23
a) 40 b) 27 c) 32 d) 15
96.- 10, 11, ___, 14, 20, 17, ___
a) 15, 25 b) 20, 25 c) 12, 19 d) 16, 26
97.- 8,12, __,20,24, __
a) 17, 31 b) 18, 32 c) 30, 16 d) 16, 28
98.- 7,11.5,16,20.5, ___
a) 25.5 b) 25 c) 24.5 d) 26
99.- 64,34,16,8, ___
a) 4 b) 8 c) 10 d) 6
100.- 51,39,27, ___
a) 39 b) 13 c) 15 d) 14
101.- 11.5, 13, 14.5, 16, ___
a) 17 b) 18 c) 35/2 d) 17.25
102.-
5
6
,
3
2
,
13
6
,
17
6
,___
a) 7/3 b) 3.5 c) 20/3 d) 22/6
103.-
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
, ___
a) 10/2 b) 4.5 c) 20/4 d) 9/3
104.-
15
9
,
7
3
, 3,
11
3
,__
a) 2/3 + 4/3 b) 12/3 c) 4.3 d) 4 + 1/3
105.-
2
7
,
13
21
,
20
21
,
9
7
, ____
a) 20/21+28/42 b) 2/3 + 1/2 c) (2/3)(1/2) d) (1/4)/(2/5)
106.- ¿En cuál de las siguientes secuencias el quinto número NO es 8?
a) 0,2,4,6, __ b) 1, 3, 5, 7, __ c) 12,11,10,9, __ d) 1,2,4, __
107.- ¿Cuál de las siguientes series rompe con misma la lógica?
I. 2, -1, 1, 0, …
II. 1, -2, 3, -5, …
III. -5,-10, 5, -15, …
IV. -4, -5, 1, -6, …
a) I b) III c) IV d) II
108.- ¿Qué número continúa la sucesión? 63, 59.75, 56.5, 53.25, ____
a) 49 b) 51 c) 50 d) 50.25
217
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
109.- ¿Qué número continúa la sucesión? 1.36, 2.39, 3.42, 4.45, ___
a) 4.48 b) 6.42 c) 5.49 d) 5.48
110.- ¿Qué número continúa la sucesión? 8.31, 12.61, 16.91, 21.21, ___
a) 25.09 b) 25.51 c) 25.9 d) 25.99
111.- El número 45 está en la sucesión 3,6,9,12,15, … ¿Cuántos números hay en la sucesión antes
del 45?
a) 15 b) 14 c) 17 d) 16
112.- Los números de la sucesión 3, 7, 11, 15, 19 se incrementan de 4 en 4. Los números de la sucesión
1, 8, 15, 22, 29 se incrementan de 7 en 7. El número 15 es común en ambas sucesiones. Si las dos
sucesiones se continúan, ¿Cuál es el próximo número común de las sucesiones?a) 36 b) 43 c) 71 d) 85
113.- En esta sucesión 5, 8, 11, 14, 17, 20 ¿qué número ocupa la sucesión 50?
a) 150 b) 151 c) 152 d) 153
114.- ¿Qué número ocupa la posición n en la sucesión 4, 9, 14, 19, 24, …?
a) 2n+2 b) 3n+1 c) 4n d) 5n-1
115. ¿Cuál es el resultado de la operación 99-97+95-93+91-89+….+3-1=?
a) 48 b) 64 c) 25 d) 50
INDICACIÓN: En los siguientes ejercicios selecciona la opción que continúe correctamente la
secuencia:
116.- -4, 6, -9,
27
2
, ___
a) 2/3 b) 40/2 c) -81/4 d) 15/7
117.- 81, -27, 9, -3, 1, ___
a) 1/6 b) -1/3 c) 0.9999 d) -1/33
118.- -1,-3,-9,-27,-81, ___
a) 123 b) -243 c) -246 d) -486
119.- 5, 25, 125, 625, ___
a) 3,125 b) 15,625 c) 5,125 d) 125
120.- 13.25, -66.25,331.25, ____
a) 1656.75 b) -1656.5 c) 1656 d) -1656.25
121.- 2.45, 7.35, 22.05, ____
a) 66.15 b) 66.25 c) 66 d) 86.35
122.- -10, 40, -160, _____
a) 1280 b) 640 c) 660 d) 600
218
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
123.- 8,-40, 200, -1000, ____
a) 50000 b) 5000 c) 3000 d) -5000
124.- 125,25,5,1,1/5, ____
a) 0.04 b) 25/1 c) 0.4 d) 0.004
125.-¿Qué serie rompe con la lógica?
I. 2,4,8,16,32
II. 3,12,48,192
III. 4,9,19,39
IV. 5000,500,50,5
a) IV b) III c) I d) II
126.- En la secuencia 2,4,8,16,32 ¿qué número ocupa la posición 13?
a) 8,192 b) 1024 c) 4096 d) 16,384
127.- En la secuencia 4,12, 36, 108, ¿Cuál es la suma de los primeros 10 números?
a) 118,096 b) 125,123 c) 246,973 d) 95,721
128.- En la secuencia 81, 27, 9, 3, 1 ¿Qué número ocupa la posición 9?
a) 1/9 b) 1/27 c) 1/81 d) 1/243
129.- En la secuencia -1024, 512, -256, 128, ... ¿Qué número ocupa la posición 26?
a)
−1
215
b)
1
210
c)
1
215
d)
1
225
INDICACIÓN: Añadir a cada sucesión el número que debe seguir por lógica.
130.- 1, 3, 6, 10, …
a) 16 b) 20 c) 15 d) 12
131.- 1, 1, 2, 3, 5, …
a) 6 b) 9 c) 8 d) 10
132.- 21, 20, 18, 15, 11, …
a) 10 b) 7 c) 9 d) 6
133.- 8, 6, 7, 5, 6, 4 , …
a) 8 b) 7 c) 3 d) 5
134.- 65536, 256, 16, …
a) 3 b) 2 c) 1 d) 4
135.- 3968, 63, 8, 3, …
a) 1 b) 5 c) 2 d) 3
136.- ¿Cuántos cuadros blancos hay en la figura que ocupa la posición 50?
a) 25,001
c) 2,500
b) 2,501
d) Ninguna de las anteriores
219
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
137.- ¿Cuál es el resultado de la expresión que sigue en la secuencia?
𝟒 × 𝟏 – 𝟏 = 𝟑
𝟒 × 𝟑 – 𝟐 = 𝟏𝟎
𝟒 × 𝟏𝟎 – 𝟑 = 𝟑𝟕
𝟒 × 𝟑𝟕 – 𝟒 = 𝟏𝟒𝟒
. . .
a) 140 b) 576 c) 571 d) 150
138.- Con base en las relaciones numéricas:
¿Cuál es el resultado del siguiente renglón?
a) 24 b) 25 c) 21 d) 23
139. Escribe el número que seguiría en cada secuencia 4, 20, 100, 500, 2500, ___
a) 12500 b) 12000 c) 13000 d) 15200
140.- Escribe el número que seguiría en cada secuencia 6, 12, 24, 48, 96, ___
a) 192 b) 190 c) 200 d) 210
2.3.2 Sucesiones Alfanuméricos
141.- 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, ___
a) h b) i c) j d) k
142.- 𝑓, 𝑔, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, ℎ, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑗, ___
a) g b) h c) j d) k
143.- 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑎, 𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑒, 𝑎, 𝑒, 𝑖, ___
a) h b) i c) j d) k
144.- 𝑓, 𝑖, 𝑙, ñ, ___
a) r b) q c) t d) u
145.- 𝑏, 𝑑, 𝑔, 𝑘, ___
a) o b) p c) q d) r
146.- 𝑥, 𝑓, 𝑦, 𝑒, 𝑥, 𝑑, 𝑦, ___
a) a b) c c) b d) d
147.- 𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑐, 𝑐, ___
a) d b) c c) b d) a
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
. . .
220
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
148.- 𝑖, 𝑗, 𝑚, 𝑛, ñ, 𝑟, 𝑠, 𝑡, 𝑢, ___
a) w b) x c) y d) z
149.- 𝑑, 𝑗, 𝑜, 𝑢, ___
a) a b) b c) x d) y
150.- 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑧, 𝑐, 𝑎, 𝑐, ___
a) x b) w c) y d) z
151.- 𝑥, 𝑒, 𝑙, ___
a) o b) p c) r d) q
152.- 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑧, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑏, 𝑑, 𝑒, 𝑓, ___
a) d b) c c) b d) a
153.- 𝑓, 𝑗, 𝑛, 𝑔, 𝑘, ñ, ____
a) i b) h c) j d) k
154.- 𝑏, 𝑐, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑘, 𝑑, 𝑒, ℎ, 𝑖, __
a) m b) n c) k d) l
2.3.3 Sucesiones de Figuras
INDICACIÓN: En los siguientes ejercicios, selecciona el inciso de la figura que pertenece a la
imagen.
155.-
a) a
b) b
c) c
d) d
156.-
a) a b) b c) c d) d
221
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
157.-
a) a b) b c) c d) d
158.-
a) a
b) b
c) c
d) d
INDICACIÓN: En cada secuencia encierra la figura que sigue.
159.-
.
160.-
161.-
a) b) c) d)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
222
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
162.-
163.-
164.-
165.- ¿Cuál de los recuadros inferiores completa mejor la secuencia de arriba?
2.4 Representación Espacial
2.4.1 Perspectiva y Combinación de figuras y objetos.
166.- ¿Cuál de las siguientes figuras representa su perfil visto desde 1?
a) b)
c)
d)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
223
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
167.-Observa el patrón de comportamiento y responde, ¿qué número esta opuesto a la cara 15?
a) 5
b) 30
c) 20
d) 25
168.- Observa el patrón de comportamiento y responde, ¿qué número esta opuesto a la cara 8?
a) 8 b) 16 c) 24 d) 32
169.- Observa el patrón de comportamiento y responde, ¿qué número esta opuesto a la cara 7?
a) 14
b) 21
c) 28
d) 35
170.- Observa el patrón de comportamiento y responde ¿qué número esta opuesto a la cara 44?
a) 11
b) 22
c) 33
d) 55
171.- ¿Cuál de las siguientes opciones representa los vértices necesarios para formar la figura
siguiente?
a)
b)
c)
d)
224
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
172.- Selecciona el enunciado que relacione las tres figuras
a) Las tres figuras son iguales
c) Las figuras 1 y 3 son iguales
b) Las figuras 2 y 3 son iguales
d) Las tres figuras son
desiguales
173.- Selecciona el perfil de la figura
a) b)
c) d)
174.- Selecciona el perfil de la figura
a) b)
c) d)
225
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
175.- Selecciona el perfil de la figura
a)
b)
c)
d)
176.- Selecciona la vista de enfrente de la figura
a) b)
c) d)
226
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
177.- Selecciona la figura a la que le corresponden las siguientes vistas de frente, perfil y desde arriba
a) b)
c) d)
178.- Selecciona el perfil de la figura
a)
c)
b)
d)
2.4.2 Modificación de objetos
179.- Al doblar una hoja circular a la mitad dos veces y hacer un corte, como se muestra en la figura,
al extenderla obtenemos:
a) b)
c) d)
227
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
180.- Al doblar tres veces diagonalmente una hoja de
papel cuadrada, y hacer un corte, como se muestra en el dibujo, la figura que se obtiene es:
a) b)
c)
c)
181.- Al doblar diagonalmente dos veces una hoja de papel cuadrada y realizar un corte, como se
indica en el dibujo, la figura que se obtiene es:
a) b) c) d)
182.- Al doblar diagonalmente tres veces una hoja de papel cuadrada, y realizar un corte, como se
muestra en el dibujo, la figura que se obtiene:
a) b) c) d)
228
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
183.- Al doblar tres veces una hoja de papel y realizar un corte, como se muestraen el dibujo, al
extenderla obtenemos:
a) b) c) d)
184.- Los cubos que aparecen en la figura se les ha cortado alguna esquina. Solo hay dos cubos que
tienen la misma forma ¿cuáles son?
a) A Y B b) B y C c) C y D d) A y D
185.- ¿Qué letra es la que esta opuesta a la cara con la H? (Nota: Solo toma en cuenta la posición de
las caras de los dados y no la posición de las letras).
a) E b) P c) S d) O
2.4.3 Operaciones con figuras
186.- Observa la figura y selecciona el desarrollo con el cual se pueda armar.
a)
b)
c)
d)
229
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
187.- Observa la figura y selecciona el desarrollo con el cual se pueda armar.
a)
a.
b)
c)
d)
188.- Observa la figura y selecciona el desarrollo con el cual se pueda armar.
a) b) c) d)
189.- Selecciona el desarrollo que forma la siguiente figura.
a) b) c) d)
230
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
190.- Selecciona el desarrollo que forma la siguiente figura.
191.- Selecciona la figura que se forma con el siguiente desarrollo.
192.- Selecciona la figura que se forma con el siguiente desarrollo
a)
b)
a) b) c) d)
a) b) c) d)
231
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
c)
d)
193.- Qué figura de tres dimensiones se puede formar con la siguiente figura
a) c)
b)
d)
194.- ¿Con cuál o cuáles plantillas NO puede formarse un cubo?
a) c b) b c) a y c d) b y c
195.- Selecciona el cuerpo geométrico que se forma con el siguiente plano.
a) b)
c)
d)
232
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
196.- Selecciona la figura que es posible formar con el siguiente plano.
a) b)
c) d)
197.- ¿Cuál es el volumen del siguiente solido?
a) 144u3 b) 120u3 c) 132u3 d) 156u3
198.- El volumen del siguiente sólido es
a) 40u3 b) 52u3 c) 48u3 d) 46u3
233
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 2.1 Integración de la información
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1.- ¿Cuál es el tema central del texto?
a) La preocupante proliferación de smartphones en México.
b) La nomofobia o estrés ocasionado por el uso de celular.
c) El estrés asociado al uso compulsivo de tecnología digital.
d) La sensación de vibraciones fantasmas en el smartphone.
2.- Determine la idea principal del texto.
a) El 72% de individuos jamás olvida salir sin teléfono celular en México.
b) Quienes usan smartphones buscan que este registre nuevos mensajes.
c) El nombre nomofobia surgió abreviando la frase no-mobile-phone-phobia.
d) La nomofobia es el estrés ocasionado por el uso compulsivo del celular.
3.- En el texto, la palabra DISPARAR implica el desarrollo de un proceso
a) Gradual. b) Armónico.
c) Acelerado.
d) Cáustico.
4.- Resulta incompatible con la información textual afirmar que los individuos nomofóbicos
a) Incrementan sus niveles de estrés debido al uso compulsivo de sus celulares.
b) Buscan de manera incesante nuevas actualizaciones en sus teléfonos móviles.
c) Acusan cierto temor ante una posible descarga del celular y la pérdida de señal.
d) Son completamente independientes y desinteresados de la aceptación social.
5. - Es incongruente con lo señalado en el texto sostener que el público usado como objeto del
experimento
a) Constituía una población que realizaba las mismas actividades.
b) Pasó por una prueba psicosomática y la resolución de un test.
c) Estaba conformado parcialmente por estudiantes universitarios.
d) Hizo posible la confirmación de que ocurría un círculo vicioso.
¿Revisas tu smartphone cada cinco minutos? ¿Has sentido vibraciones fantasmas? ¿Te llevas tu celular a
la mesa e incluso hasta al baño? Si es así, seguramente perteneces a las millones de personas que
padecen «nomofobia».
El término surgió como abreviatura de no-mobile-phone-phobia durante un estudio realizado por la
empresa inglesa de investigación demoscópica You Gov, para señalar la ansiedad y angustia que produce
el estar sin celular.
Si bien la denominación «fobia» podría ser incorrecta, un estudio conducido por el psicólogo Richard
Balding de la Universidad de Worcester en Reino Unido, reveló que, efectivamente, el uso constante
de estos aparatos aumenta los niveles de estrés, lo que a su vez incrementa los comportamientos
compulsivos como el buscar incesantemen te nuevas alertas, mensajes y actualizaciones.
Durante el experimento, se les aplicó un cuestionario y una prueba psicosomática de estrés a 100
participantes, entre ellos estudiantes universitarios y empleados de diversas categorías y ocupaciones. Se
confirmó la existencia de un círculo vicioso: si bien las personas adquirían el smartphone para
manejar su carga de trabajo, una vez que el aparato extendía virtualmente su vida social, la angustia y
el estrés se disparaban.
La inhabilidad de apagar el celular, el tenerlo siempre a la mano, el asegurarse de que nunca se acabe la
batería y el miedo a perder la señal son algunos síntomas de quienes sufren altos niveles de estrés.
En México, existen más de 190 millones de smartphones: el 72% de los usuarios no salen de su casa sin
su celular, según un informe realizado por Google, la consultora IPSOS y Mobile Marketing
Association.
234
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Lee el texto, analiza la imagen y responde las preguntas
6.- ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no respondió el apartado de asistencia técnica de la SUREF?
a) 36%
b) 51 %
c) 11%
d) Ninguna de las anteriores
7.- ¿En dónde fue aplicada la encuesta de la información proporcionada?
a) México
b) República chilena
c) República Dominicana
d) En Europa
8.- ¿Qué es la SUREF?
a) Secretaría de Recursos Federales
b) Subsecretaría de Recursos Forestales
c) Sistema Único de Reforestación
d) Subdirección de Recursos Federales
Un estudio realizado mediante una encuesta nacional escrita aplicada a 90 individuos claves del sector
forestal que involucró productores forestales privados grandes, pequeños y medianos, técnicos y
profesionales forestales y campesinos de zonas con actividad maderera Además se realizaron cinco grupos
focales en diferentes sitios del territorio nacional.
En la encuesta se investigó los siguientes aspectos que afectan al sector forestal de la República Dominicana:
política forestal, aspecto institucional, asistencia técnica, mercados actuales y potenciales, disponibilidad de
semillas y disponibilidad de técnicos forestales calificados.
En relación de la asistencia técnica de la Subsecretaria de Recursos Forestales que se refiere a las actividades
de apoyo que ofrecen los técnicos de la SUREF en cuanto a manejo y reforestación dieron como resultados
que el 11% de los entrevistados considera la calidad de la asistencia técnica que ofrece la SUREF como
eficiente y oportuna; un 36% opina que se ofrece asistencia técnica a medias; y el 51% cree que es deficiente
y limitada. Los que opinan que es deficiente y limitada señalan las siguientes causas:
• Existen técnicos, pero no suficiente para poder dar seguimiento a los planes de reforestación.
• La asistencia técnica se limita mucho a la siembra.
• Los técnicos del sector también necesitan ser incentivados para que sientan amor por su carrera y su trabajo.
• Los técnicos son subutilizados por la SUREF.
• Los programas de extensión de la SUREF son insuficientes para asistencia técnica a los empresarios.
• Las ONGs mantienen mejores servicios de asistencia técnica que el Estado.
• La asistenciatécnica no existe, sólo existe la privada.
• Las instituciones privadas le dan seguridad a los proyectos. La asistencia técnica del Estado es muy floja.
• En realidad, los técnicos de la SUREF fiscalizan la asistencia técnica privada.
235
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
9.- ¿Qué porcentaje de los entrevistados considera la calidad de la asistencia técnica que ofrece la SUREF como
eficiente y oportuna?
a) 36%
b) 51 %
c) 11% d) Ninguna de las
anteriores
10.- ¿Qué porcentaje de los encuestados opina que que existen técnicos, pero no suficiente para poder dar
seguimiento a los planes de reforestación, que la asistencia técnica se limita mucho a la siembra, las ONGs
mantienen mejores servicios de asistencia técnica que el Estado, entre otros aspectos que señalan que la atención
es deficiente?
a) 36%
b) 51 %
c) 11% d) Ninguna de las
anteriores
236
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 2.2 Interpretación de relaciones lógicas
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1.- Altitud es a humedad como:
a) Obesidad a existencia
b) Longitud a tiempo
c) Esfuerzo a voluntad
d) Latitud a temperatur
2.- neologismo es la nuevo como:
a) Vulgarismo a vulgar
b) Eufemismo a suave
c) Arcaísmo a anticuado
d) Cultismo a culto
3.- verde es a hierba como amarillo es a:
a) papel b) plátano c) árbol d) libro
4.- vaso es a copa como agua es a :
a) vino b) líquido c) vaso d) jarabe
5.- De acuerdo con las premisas, ¿Cómo se escribe la proposición compuesta Q ᴧ P?
Q: los árboles llaman a la lluvia
P: Los árboles dan sombra
a) si los arboles llaman a la lluvia, entonces no dan sombra
b) los arboles llaman a la lluvia y dan sombra
c) los arboles llaman a la lluvia o dan sombra
d) si los arboles no llaman a la lluvia, entonces dan sombra
6.- son pares de palabras que guardan la misma relación, excepto:
a) lluvia- inundación
b) obvio- dudoso
c) pertinente- inoportuno
d) restituir- quitar
7.- bachiller es a licenciado como…
a) tabaco a cigarro
b) capilla a iglesia
c) abuelo a nieto
d) vendedor a comprador
8.- si odiar es RGLDU, amar es:
a) DODU b) DPDU c) AORU d) UDOD
9.- Si armada es ZIÑAWZ, ZÑZNVXVJI
a) amanecer
b) amador
c) amistad
d) armadura
10.- Observa y contesta
¿Qué palabra está oculta?
a) Pierna b) Pelota c) Pierde d) pesado
237
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 2.3 Reconocimientos de patrones
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1. ¿Cuáles son los dos números que continúan en la sucesión 0, 4, 16, 36, ____, ____?
a) 46,76 b) 64, 100 c) 64, 81 d) 54, 86
2.- ¿Cuál de las siguientes razones rompe el comportamiento?
a) -1, 3, 7, 11…
b) 5, 10, 15, 20…
c) 1, 2, 4, 8…
d) -5, -3, -1, 1
3.- ¿Cuál es el número que continua en la sucesión 3, 5, 15, 17, 51, 53, 159, ___?
a) 483 b) 171 c) 161 d) 477
4.- En la sucesión 2, - 1, -4, -7, - 10, … el número que ocupa la posición 200 es
a) -605 b) 605 c) -595 d) -600
5.- En la siguiente sucesión, determina los dos elementos que continúan: A, B, D, G, K, __, __
a) P, V b) O, U c) R, T d) O, T
6.- ¿Cuál es el término que ocupa la posición 10 en la sucesión? 256, -128, 64, -32, 16
a)
1
2
b)
1
4
c) −
1
2
d) −
1
4
7.- ¿Cuál es la figura que continua en la sucesión?
a) b) c) d)
8.- ¿Cuántos cuadros blancos hay en la figura que ocupa la posición 100?
a) 10,004
c) 10,000
b) 1,004
d) Ninguna de las anteriores
9.- ¿Cuál es la figura que sigue en la siguiente sucesión?
a) b) c) d)
10.- ¿Cuál es la regla general de la siguiente sucesión? 5, 8, 11, 14, 17…
a) 2n +1 b) n+4 c) 3n+2 d) 2n-1
238
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
Evaluación 2.4 Representación espacial
Verifica tus respuestas en la sección de respuestas y anótala en el siguiente apartado:
Meta: Resultado:
1.- Las siguientes figuras corresponden a las vistas superior, inferior, frontal y lateral de un cuerpo
tridimensional:
¿A qué figura corresponden?
a) b) c) d)
2.- Viendo el sistema de engranajes ¿cuál de las afirmaciones es incorrecta? (Considera los engranajes
2 y 3 anclados)
a) El engranaje 4 gira en sentido horario
b) El engranaje 3 gira en sentido antihorario
c) El engranaje 2 gira en sentido horario
d) El engranaje 1 gira en sentido horario
3.- Selecciona la figura cuyas vistas frontal, lateral y superior, se muestran a continuación:
a)
b)
c)
d)
239
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
4.- ¿Cuántos cubos tocan algún vértice del cubo marcado con el número 1?
a) 17 b) 16 c) 15 d) 14
5.- Selecciona la figura que corresponde a las siguientes vistas de frente, perfil y desde arriba:
a) b) c) d)
6.- ¿Cuál de las opciones es igual al siguiente cubo?
a)
b)
c)
d)
7.- Selecciona el cubo que se puede formar con la siguiente figura:
a)
b) c) d)
8.- ¿Cuál es el área de la región que no ocupan los círculos en el rectángulo, si este
tiene de ancho 10 cm?
a) 39.27 𝑐𝑚2
b) 30.36 cm2
c) 19.64 cm2
d) 10.7 cm2
240
Pensamiento Analítico – EXANI 2 – 2019-20
9.- ¿Cuál de las siguientes figuras es una rotación del modelo que se muestra?
10. Selecciona la opción que corresponde al cubo que es igual al modelo.
a)
b)
c) d)
a) b) c) d)
241
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Respuestas Pensamiento Analítico 2.1 y 2.2
1 d 11 d 21 a 31 b
2 c 12 c 22 c 32 d
3 a 13 c 23 d 33 d
4 d 14 d 24 b 34 b
5 b 15 b 25 c 35 a
6 a 16 b 26 d 36 c
7 a 17 b 27 d 37 d
8 b 18 b 28 c 38 d
9 c 19 d 29 a 39 d
10 d 20 d 30 c 40 c
1 c 21 a 41 a 61 b
2 d 22 a 42 d 62 a
3 b 23 b 43 c 63 d
4 c 24 c 44 a 64 c
5 b 25 b 45 a 65 a
6 a 26 a 46 a 66 d
7 d 27 a 47 d 67 b
8 b 28 c 48 a 68 b
9 a 29 c 49 a 69 a
10 a 30 b 50 d 70 s
11 c 31 c 51 b 71 a
12 c 32 d 52 a 72 c
13 b 33 c 53 c 73 b
14 d 34 a 54 c 74 a
15 a 35 a 55 b 75 c
16 c 36 c 56 b 76 d
17 b 37 c 57 a 77 a
18 d 38 c 58 a 78 d
19 c 39 d 59 d 79 a
20 b 40 d 60 c 80 b
Respuestas Evaluaciones 2.1 y 2.2
1 b 2 d 3 c 4 d 5 a
6 d 7 c 8 b 9 c 10 b
1 d 2 c 3 b 4 a 5 b
6 a 7 b 8 a 9 a 10 c
Evaluación
Evaluación
Ejercicios
complementarios
Ejercicios de práctica
242
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
Respuestas 2.3 y 2.4
41 c 51 a 61 c 71 b 81 c
42 c 52 b 62 b 72 d 82 a
43 a 53 b 63 a 73 d 83 d
44 b 54 a 64 d 74 a 84 c
45 d 55 b 65 b 75 a 85 d
46 c 56 b 66 a 76 c
47 b 57 a 67 d 77 a
48 d 58 d 68 a 78 c
49 a 59 c 69 d 79 c
50 a 60 a 70 b 80 b
81 a 101 c 121 a 141 c 161 c 181 b
82 c 102 b 122 b 142 d 162 d 182 d
83 b 103 b 123 b 143 b 163 c 183 d
84 a 104 d 124 a 144 b 164 c 184 d
85 a 105 a 125 a 145 a 165 c 185 d
86 b 106 b 126 a 146 b 166 a 186 c
87 c 107 a 127 a 147 a 167 b 187 a
88 c 108 c 128 c 148 d 168 d 188 b
89 b 109 d 129 c 149 a 169 c 189 c
90 d 110 b 130 c 150 d 170 a 190 a
91 c 111 b 131 c 151 c 171 c 191 d
92 b 112 b 132 d 152 a 172 a 192 b
93 d 113 c 133 d 153 b 173 c 193 a
94 d 114 d 134 d 154 d 174 a 194 b
95 c 115 d 135 c 155 d 175 d 195 d
96 b 116 c 136 b 156 d 176 a 196 b
97 d 117 b 137 c 157 c 177 c 197 c
98 b 118 b 138 b 158 c 178 d 198 d
99 a 119 a 139 a 159 c 179 a
100 c 120 d 140 a 160 b 180 c
Respuestas Evaluaciones 2.3 y 2.4
1b 2 c 3 c 4 c 5 b
6 c 7 d 8 a 9 c 10 c
1 b 2 c 3 d 4 a 5 b
6 d 7 c 8 d 9 b 10 b
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Ejercicios de práctica
Ejercicios
complementarios
Evaluación
Evaluación
243
Pensamiento Matemático – EXANI 2 – 2019-20
244
3. ESTRUCTURA
DE LA LENGUA
3.1 Categorías Gramaticales
3.2 Reglas Ortográficas
3.3 Relaciones Semánticas
3.4 Lógica Textual
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245
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
246
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
3.1 CATEGORÍAS
GRAMATICALES
¿Qué voy a aprender en esta unidad?
Objetivo: Que el estudiante pueda diferenciar las categorías gramaticales en textos y
oraciones, así como discriminar los sustantivos, adjetivos, adverbios y las proposiciones
3.1.1 Verbos
3.1.2 Sustantivos
3.1.3 Adjetivos
3.1.4 Adverbios
3.1.5 Preposiciones
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Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
248
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
UNIDAD 3.1 CATEGORÍAS GRAMATICALES
Esta guía te ayudará a descubrir cómo funciona el lenguaje escrito, en qué consiste, cuáles son
sus partes, cómo se relacionan entre sí, cómo organizarlas y, lo más importante, te ayudará a que
el ingreso a la facultad de tu elección sea exitoso. ¡Empecemos!
3.1.1 Verbos
Objetivo de sección.
Identificar la clasificación de verbos según su modo, tiempo y significado; mediante el uso
correcto de su forma personal y no personal.
En la escuela, la mayoría de las personas aprendió que la oración consiste en “sujeto, verbo y
predicado”. Esto es casi cierto. El error encerrado en ese planteamiento es: el verbo forma parte
del predicado. En términos estrictos, entonces, la oración –por lo menos la tradicional – se
compone de sujeto y predicado. El predicado puede constar de cuatro elementos. El primero es,
por supuesto, el verbo conjugado. Se trata de su núcleo, su corazón.
La conjugación del verbo nos dice, por ejemplo, si el sujeto es singular o plural: la diferencia
de fui y fuimos. Nos dice el tiempo en que se realiza la acción del verbo: la diferencia entre voy,
fui e iré. Nos dice la persona del verbo, y hay tres: primera persona, segunda persona y tercera
persona. También nos dice si el verbo pertenece al modo indicativo o subjuntivo: la diferencia
entre voy y vaya, fui y fuera.
Verbo. Palabra que suele expresar acción física o anímica; puede tratarse de acciones tanto
exteriores y visibles como interiores o imperceptibles.
Ejemplos de verbos de acción o movimiento exteriores y visibles: corro, abrieras, brincaron,
comiste.
Ejemplos de verbos de acción o movimientos imperceptibles: pienso, decidieses, odiaran,
pudimos.
3.1.1.1 Perífrasis: verbo conjugado y verbo no personal
Se llama perífrasis verbal (o frase verbal) a la asociación de dos o más verbos que transmiten
una única idea verbal y forman una unidad sintáctica disociable, y está conformado por:
-Un verbo auxiliar en forma personal.
-Nexos (opcionales).
-Un verbo principal en forma no personal (infinitivo, gerundio o participio).
Ejemplo: Tienes que ir a casa; debes hacer la tarea.
Ese reloj debe costar un riñón.
Puedes alcanzar tu sueño.
Rompió a llorar como loca.
Perífrasis actuales
Ingresiva Incoativa Durativa Terminativa Resultativ
a
Habitual Reiterativa
Acción
inminente
, a punto
de
comenzar
.
(+ inf)
Acción en su
momento
inicial.
(+ inf)
Acción en
su
desarrollo o
transcurso.
(+ ger)
Acción
acabada (en
el presente,
pasado o
futuro) o
interrupción
de la acción
Acción
concebida
resultado o
como
acumulació
n de actos
distintos
Señala el
carácter
habitual de
la acción o
proceso.
(+ inf)
Acción o
proceso que
se repite.
(+ inf)
Ojo: Las más usadas son ir a +
infinitivo, estar + gerundio, poder +
infinitivo, deber de + infinitivo.
249
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
Ir a
Pasar a
Estar
para
Estar a
punto de
Estar al
Comenzar a
Echarse a
Empezar a
Meterse a
Ponerse a
Liarse a
Romper a
Explotar a
Decidirse a
Resolverse a
Estar
Andar
Continuar
Llevar
Ir
Seguir
Venir
Hallarse
Tener
Acabar de /
por
Cesar de
Concluir de
Deja de
Llegar a
Terminar de
Alcanzar a
Llevar
Quedar
Tener
Ir
Dar por
Dejar
estar
Soler
Acostum-
brar
Volver a
Voy a
hacer los
deberes
Comienzo a
hacer los
deberes
Estoy
haciendo
los deberes
Termino de
hacer los
deberes
Tengo
hecho los
deberes
Suelo venir
a las ocho
Volví a
hacer los
deberes
Verbos en modo no personal: Son los verbos que no se encuentran conjugados.
Se clasifican en tres tipos:
3.1.1.2 Tiempos verbales simples y compuestos
Los tiempos verbales dan cuenta del momento en que sucede lo enunciado en la oración. Dependiendo
del tiempo que se exprese el verbo, éste tendrá forma simple o compuesta.
Los primeros se forman a partir de la raíz del verbo, añadiendo una desinencia específica, cada tiempo
verbal consta de seis formas que varían en número y persona.
Ejemplo: cant-o cant-é cant-aré
Las formas verbales compuestas constan de dos palabras: una forma del verbo haber y el participio
del verbo que queremos conjugar.
Ejemplo: He cantado Hube cantado Habré cantado
Verbos en
modo no
personal
Infinitivo: Es el nombre de los verbos,
es decir, es la expresión de la acción
verbal en abstracto. Sus terminaciones
son -ar,-er,-ir.
Ejemplos: Ordenar |
encender | dormir |
amar | reír | leer
Participio: Esta forma no personal del
verbo expresa una acción ya realizada;
sus terminaciones regulares son-ado,-
ido y las irregulares, -to,-so,-cho. (Una
acción que ha concluido).
Ejemplos: calculado |
temido | impreso |
dicho | terminado |
concluido
Gerundio: Es la forma no personal del
verbo que expresa una acción
continuada, en progreso. Sus
terminaciones son –ando, -iendo.
(Acción en desarrollo).
Ejemplos: Jugando |
riendo | amando |
cosiendo | viviendo |
comiendo | mirando
250
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
MODOS TIEMPOS SIMPLES TIEMPOS COMPUESTOS
INDICATIVO
Presente (canto) Pretérito perfecto compuesto (he cantado)
Pretérito perfecto/indefinido
(canté)
Pretérito pluscuamperfecto (había cantado)
Pretérito imperfecto (cantaba) Pretérito anterior (hube cantado)
Futuro (cantaré) Futuro perfecto (habré cantado)
Condicional (Cantaría) Condicional perfecto (habría cantado)
SUBJUNTIVO
Presente (cante) Pretérito perfecto (haya cantado)
Pretérito imperfecto
(cantara o cantase)
Pretérito pluscuamperfecto
(hubiera cantado o hubiese cantado)
Futuro imperfecto (cantare) Futuro perfecto (hubiere cantado)
IMPERATIVO Presente (canta)
3.1.1.3 Tiempos verbales del subjuntivo: presente, pretérito y futuro
Formas personales simples Formas personales compuestas
Presente Pretérito perfecto compuesto (antepresente)
tema
temas
tema
temamos
teman
teman
haya temido
hayas temido
haya temido
hayamos temido
hayan temido
hayan temido
Pretérito imperfecto (pretérito) Pretérito pluscuamperfecto (antepretérito)
temiera/temiese
temieras/temieses
temiera/temiese
temiéramos/temiésemos
temieran/temiesen
temieran/temiesen
hubiere/hubiese temido
hubieras/hubieses temido
hubiera/hubiese temido
hubiéramos/hubiésemos temido
hubieran/hubiesen temido
hubieran/hubiesen temido
Futuro imperfecto(futuro) Futuro perfecto (antefuturo)
temiere
temieres
temiere
temiéremos
temieren
temieren
hubiere temido
hubieres temido
hubiere temido
hubiéremos temido
hubieren temido
hubieren temido
3.1.1.4 Transitivos e intransitivos: distinción en función de su significado
Al iniciar con el tema mencioné que el predicado puede constar de cuatro elementos. El primero el
verbo. Los otros tres complementos posibles: el directo, el indirecto y los circunstanciales.
Para poder identificar la diferencia entre verbos transitivos e intransitivos; la siguiente información
nos será muy útil.
251
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
Complemento directo: Recibe la acción directa del verbo. Puede haber un sólo complemento directo
por oración. Responde a las preguntas ¿Qué? O ¿Quién hizo qué? Se puede sustituir por “lo, los, la,
las”.
Ejemplo: El director de la reserva encargó una encuesta entre los bancos principales.
El sindicato de maestros independientes desafiará una orden de la lideresa.
* Los verbos están en letra cursiva; los complementos directos, subrayados.
Complemento indirecto: Indica en beneficio o perjuicio de quien o de que se realiza la acción del
verbo como sucede en los directos, solo puede haber un complemento indirecto por oración. Siempre
es precedido por la preposición a, no importa si se trata de una persona, un objeto, un concepto
abstracto. Se puede sustituir por “le, les”.
Ejemplo: El sobrino robó la quincena a su tío.
El príncipe construyó un palacio a su amada.
* Los verbos están en letra cursiva; los complementos directos, en letra negrita; los indirectos, subrayados.
Ahora sí
Transitivos Son los verbos cuyo significado exige la presencia de un agente que realiza la acción,
y un agente que la recibe. Únicamente puede haber complemento directo si el verbo es transitivo.
Ejemplos: Llevé mi dinero al banco | Ellos lavaron con esmero los pisos | René construyó un barco
con materiales | La recepcionista me entregó el periódico | Los niños descompusieron la computadora
Intransitivos Son los verbos cuyo significado solo exige la presencia de un agente, que es el que
realiza la acción; esta no tiene la posibilidad de afectar o modificar a alguien o algo; es decir, no
tienen complemento directo, aunque sí admiten otro tipo de complementos.
Ejemplos: Todas las mañanas Lucía corre en ese parque | Los aviones modernos vuelan muy alto | El
gato increíble maúlla todas las madrugadas a la Luna | Los discos compactos llegaron sin problemas
Mi hermana nació de madrugada | El concurso empezó desde temprano | Mi novio nada | El futbolista
sonrió.
¿Cómo diferenciar un verbo transitivo de uno intransitivo?
La mejor manera de diferenciarlos es averiguando si la oración tiene o no tiene complemento
directo.
Dos técnicas para localizar el complemento directo.
1.- ¿Qué o quién hizo qué?
Una manera de localizar el complemento directo, si lo hay, es preguntar ¿qué hace el sujeto? Si su
acción no trasciende, si no se transfiere a objetos o conceptos reales fuera de sí mismos, no hay
complemento directo.
252
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
Ejemplos:
Oración ¿Qué o quién hizo qué? Tipo de Verbo
Volví a casa ¿Qué no volví?
No tiene sentido
volver- intransitivo
Justina no recogió las camisas ¿Qué no recogió Justina?
Las camisas
recoger - transitivo
Los monjes meditan a las tres de
la mañana.
¿Qué meditan los monjes?
No tenemos esa información
meditar - intransitivo
No dejaron entrar a los pintores. ¿A quién no dejaron entrar?
A los pintores
dejar - transitivo
2.- Sustituir el presunto complemento por un pronombre
Otra técnica útil para determinar si hay complementos directos consiste en ver si se puede sustituir
por los pronombres de tercera persona propios de estos complementos, los cuales son:
Lo (masculino, singular)
Los (masculino, plural)
La (femenino, singular)
Las (femenino plural)
Ejemplos:
Oración Sustitución Tipo de verbo
Fabricaron 100 relojes en menos
de una hora
los fabricaron en menos de una hora fabricar - transitivo
No sé la respuesta no la sé saber - transitivo
El concurso empezó desde
temprano
no tiene coherencia si se sustituye
por un pronombre
empezar- intransitivo
Usted tocó mi lado más sensible usted lo tocó tocar- transitivo
3.1.1.5 Impersonales
Las formas impersonales del verbo no están conjugadas con las personas gramaticales, y su
función es acompañar a un verbo auxiliar.
Son impersonales:
1.- Los verbos que expresan fenómenos atmosféricos: llover, nevar, clarear, amanecer, atardecer,
escarchar, granizar, granizar, helar, diluviar.
Ejemplos: Llueve mucho | Está nevando poco | Ha amanecido a las seis.
2.- Acaecer, acontecer, alborear, atañer.
3.- Y por último el verbo haber
Ejemplos: Hay mucha gente | Hay dos platos
Ojo: Se conjugan únicamente en tercera persona del singular
253
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
3.1.1.6 Modos del verbo
Modo Descripción Ejemplos
Indicativo
Los hechos expresados en la
oración son objetivos, sin
apreciaciones, juicios o
pensamientos personales del
hablante.
Juan come
Ana salió pronto
Pedro ha venido a casa
Está lloviendo
Subjuntivo
Con este modo se expresa duda,
deseo, temor. Son oraciones
subjetivas.
Quizá venga Beto esta tarde a casa
Ojalá ganemos el premio
¡Si hubiera ido contigo aquel día!
Imperativo
Expresa orden o mandato.
¡Limpia el cuarto!
¡Callad de una vez!
¡Come más, Ana!
¡Siéntense ahora mismo!
Práctica abierta
INDICACIÓN: Conjuga la siguiente lista de verbos en tu cuaderno o en la parte de debajo de la
tabla según se indica.
VERBO MODO VERBAL TIEMPO VERBAL
Hacer Indicativo Futuro
Ser Subjuntivo Presente
Vivir Subjuntivo Pretérito
Escribir Indicativo Ante Presente
Cantar Imperativo Presente
254
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
3.1.2 Sustantivos
Objetivo de sección.
Determinar los tipos de sustantivos, de acuerdo a su flexión, género, número y cualidad.
El sujeto puede ser sencillo o bastante complicado. Dependerá de lo que se necesite expresar en
cualquier momento dado. En primer lugar, existen sujetos simples y sujetos complejos. Son fáciles
de distinguir y es importante que uno se dé cuenta de cuál es cuál porque esto puede afectar la
conjugación del verbo que están rigiendo. Para comprender esto es necesario señalar que cada sujeto
tiene un núcleo, y que este suele ser un sustantivo. Si consta de una sola palabra, decimos que el
sujeto es simple. Si consta de dos palabras o más, decimos que el sujeto es complejo.
Ejemplo: El examen final
En este primer ejemplo, el núcleo es el sustantivo examen. Pero te darás cuenta que tiene otras dos
palabras, una antes y otra después. Decimos que estas son modificadores del sujeto. Como no
requieren ninguna preposición para pegarse al núcleo, los llamaremos modificadores directos del
sujeto. Otros ejemplos:
El diccionario
Tres tristes tigres
Las tres niñas iracundas
Ahora veamos ejemplos de sujetos que emplean modificadores indirectos, los que sí requieren
preposiciones. Los núcleos (sustantivos) siguen subrayados, pero hemos puesto los modificadores
indirectos en letra cursiva:
El diccionario de francés
Las tres niñas iracundas de Irapuato
El líquido para frenos
El sustantivo es el nombre de cualquier cosa, persona (en estos casos se llama nombre propio),
animal o concepto abstracto.
Ejemplos: libro, impresora, fotografía (cosas); Guillermo, Carlos Canadá (nombres propios); belleza,
concordia, amor (conceptos abstractos).
3.1.2.1 Formas irregulares (flexión) al formar plural o diminutivo.Los sustantivos irregulares son todos aquellos que cambian sus letras finales al cambiar de género,
número, diminutivo o aumentativo.
Ejemplos: Pez – peces | Atroz – atroces | Capaz – capaces | Feliz - felices
La flexión es el procedimiento mediante el cual se agrega una determinada desinencia a un morfema
raíz, para indicar las variaciones de género, número, tiempo y, además para formar aumentativos,
diminutivos y despectivos.
El género: Alude a la calidad de mujer o hembra y de hombre o macho, sin embargo, hay palabras a
las que no les corresponde una distinción sexual, y que simplemente adoptaron un género
determinado.
Ejemplos:
Escritor-a (sustantivo masculino)
Mexicano-a (adjetivo masculino)
Un-a (artículo femenino)
Ell-a (pronombre femenino)
255
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
Habitualmente los masculinos terminan en –o (perro, mono, hijo) y los femeninos en –a (casa,
ventana, malla) pero existen excepciones.
1.- Mismo nombre para masculino y femenino. Ejemplos: rata, criatura
2.- Cambio de significado al cambiar de género. Ejemplos: naranja-naranjo/ almendro- almendra.
3.- Masculinos que no terminan en –o, cuyos femeninos si terminan en –a. Ejemplo: León: masculino
que no termina en o Leona: femenino que termina en –a
4.- Nombres que terminan en –o y son femeninos. Ejemplo: Mano, radio, dinamo
5.-Nombres que terminan en –a y son masculinos. Ejemplos: (el) día, (el) fantasma, (el) mapa
6.- Nombres femeninos que no se forman añadiendo únicamente una –a
Ejemplos: alcalde-alcaldesa/ rey-reina/ actor-actriz/ caballo-yegua
7.- Nombres que no varían en su forma al variar de género
Ejemplos: el artista-la artista/ el suicida-la suicida/ el periodista-la periodista
Número: Los sustantivos pueden estar en singular o plural. El singular no tiene una desinencia
específica. El plural, se marca con las desinencias –s o –es.
Ejemplos:
Lápic-es (sustantivo plural)
Verde-s (adjetivo plural)
La-s (artículo plural)
Ello-s (pronombre plural)
Tanto a los sustantivos como a los adjetivos, se les pueden agregar morfemas flexivos para formar
aumentativos, diminutivos o despectivos.
Tipo Desinencias Ejemplos
El aumentativo
se forma con las desinencias –
on, -ona, -azo, -aza, -ote, -ota.
Cas-ota | gran-ote | hombrón |
perrazo | comidaza
El diminutivo
se forma con las desinencias –
ito, -ita, i-llo, -illa, -ico, -ica, -
in, -cito, -cita.
Cas-ita | pequeñ-ito | librico |
jovencito
El despectivo
se forma con las desinencias –
uza, -aco, -zuelo, -zuela, -
ucho, -ucha, -illo, -illa.
Cas-ucha | delgad-ucho |
joven-zuelo | papel-ucho |
revist-illa.
3.1.2.2 Tipos de sustantivos: propios, comunes y abstractos
Clasificación de los sustantivos
Sustantivos Características Ejemplos
Abstractos
Expresan los nombres de las cualidades
y fenómenos
Valor, odio, honor, talento
Propios
Los nombres exclusivos de personas,
animales, lugares, instituciones, etc.
Comienzan con mayúscula.
Benito Juárez, Colegio de
México, Guadalajara,
Acapulco
Comunes
Son nombres genéricos aplicables
indistintamente a todas las personas o
cosas de la misma clase.
Niño, gato, mesa, lápiz, melón,
torta
Colectivos
Son los nombres que en singular dan idea
de pluralidad.
Manada, ciento, ejército, millar
Partitivos Los que significan una parte de la unidad Mitad, tercio, cuarto, octavo
256
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
Múltiplos
Los que indican cantidades mayores que
la unidad.
Doble, triple, cuádruple,
quíntuple
Simples
Los que se forman únicamente con una
voz.
Flor, mar, sol, piel
Primitivos
Son sustantivos iniciales, no se derivan
de otros y pueden dar origen a otras
voces.
Casa, caballo, fruta
Compuestos
Son los que se forman con un prefijo y
un sustantivo primitivo.
Subdirector, anteojos, posdata
Yuxtapuestos
Los que se forman por la unión de dos
palabras.
Sacapuntas, limpiabotas,
cortaúñas
Derivados
Los que se derivan o provienen de
sustantivos primitivos o simples.
Panadero, panadería, perrote,
perrera
Práctica abierta
INDICACIÓN: Escribe el género y número de los siguientes sustantivos.
Bicicleta
Carro
Libros
Mesa
Serpiente
Teléfono
Vaso
Padre
Maceta
Tabaco
Gafas
Manada
Rebaño
Ejercito
Régimen
Leyes
257
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
3.1.3 Adjetivos
Objetivo de sección.
Identificar la clasificación de los adjetivos en función del tipo de relación que establezcan
con los sustantivos.
El adjetivo es una palabra que siempre acompaña al sustantivo. Su función principal es ampliar o
precisar el significado del sustantivo, es decir, complementarlo cuando se precise. Los adjetivos
concuerdan con en número y género con el sustantivo que los califica.
Ejemplo: Música conmovedora | mujeres brillantes | libros prohibidos | paso lento.
3.1.3.2 Comparativos y superlativos
Clasificación de adjetivos
según su significado
Tipo Descripción y uso Ejemplos
Calificativos Dicen algo que califica al
nombre que acompañan.
La novia de Carlos es una
hermosa mujer.
De pertenencia Indican la clase a la que
pertenece el sustantivo.
Ese es un producto químico.
Se trata de un problema social.
Gentilicios Que expresa el origen
geográfico.
Madrileño, canario, andaluz,
gallego.
Clasificación de los adjetivos
según su grado
Tipo Descripción y uso Ejemplos
Positivo
Es el adjetivo sin gradación.
Mar azul, nube blanca, niño
bueno, hombre malo.
Comparativo
De igualdad: tan – como/ igual-
que.
Eres tan listo como él.
De superioridad: más – que.
Juan es más mentiroso que tú.
De inferioridad: menos-que.
Mi prima es menos trabajadora
que yo.
Superlativo
Lo utilizamos para expresar
una cualidad en su grado
máximo o en un grado muy
alto.
Superlativo absoluto: se forma
mediante muy + adjetivo o
añadiendo –ísimo, -érrimo.
Él es muy educado.
Él es educadísimo.
Superlativo relativo: se forma
con –es la/el más.
Virginia es la más sensata.
258
http://www.profesorenlinea.cl/quinto/castellano/gramaticaelemental/adjetivos.html
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
En la siguiente tabla vemos reflejados aquellos adjetivos que no requieren partículas comparativas
por poseer formas comparativas y superlativas, así como los adjetivos que los derivan.
Adjetivos superlativos y adjetivos comparativos
Grado positivo Grado comparativo Grado superlativo
Bueno
Malo
Pequeño
Grande
Bajo
Alto
Mejor
Peor
Menor
Mayor
Inferior
Superior
Óptimo
Pésimo
Mínimo
Máximo
Ínfimo
Supremo
3.1.3.1 Sustantivación de adjetivos
El adjetivo sustantivado es cuando el adjetivo se desempeña con la función de sustantivo. Se
utilizan como un sustantivo para referirse a una persona, o cosa que tiene la característica del
adjetivo. Para sustantivar un adjetivo basta, en algunos casos, añadirle los artículos ¨el¨, ¨la¨ y ¨lo¨.
Ejemplos:
¿Qué bolsa te llevas? – La azul me combina con los zapatos. (Azul es un adjetivo que funciona como
sustantivo en esta frase).
El moreno llegó de visita | El alto es el mejor bateador | El café es el que más me gusta.
La clase de adjetivos sustantivados más conocida son los calificativos, pero existen otras categorías.
A continuación, te las presentamos:
Tipo Descripción Ejemplos
Artículos Marcan la condición de conocido o específico La, unas
Posesivos Indican pertenencia Mi, sus
Demostrativos Indican proximidad o lejanía Esa, aquellos
Numerales Indican relaciones numéricas en términos de cantidad Seis, tercera
Indefinidos Marcan generalizaciones, aparecen permanentemente Cada, cualquiera
Partitivos Indican proporción o fracción de un todo señalado Media, tercio
Práctica AbiertaINDICACIÓN: Identifica los adjetivos y clasifícalos según su significado.
1 Anastasia es una mujer madrileña.
2 Beatriz pertenece a una clase social que nosotras desconocemos.
3 Ana tiene tres hijos: una niña argentina y dos andaluces.
4 Tuve una infancia bonita, por eso me gusta recordarla.
5 El vino blanco me sienta peor que el vino tinto.
6 Tu mujer no es tan agradable como la de Juan.
7 Esta tarde habrá una tertulia literaria en Bellas artes.
8 Me avergüenza tu pésimo desempeño en el examen.
9 Jaime Sabines fue el más talentoso escritor chiapaneco.
259
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
3.1.4 Adverbios
Objetivo de sección
Distinguir el aporte semántico de los tipos de adverbios, de acuerdo a su conexión con un verbo,
adjetivo u otro adverbio.
Adverbio: Es la palabra que modifica el significado del verbo, adjetivo u otro adverbio.
Morfológicamente es invariable en género y en número. Semánticamente aporta información
circunstancial, de tiempo, etc.
Ejemplos:
Para calificar un verbo. Estudia diligentemente | festeja cautelosamente
Para calificar un adjetivo. Una cerveza bien fría | una actitud peculiarmente negativa
Para calificar otro adverbio. Lo hizo muy bien | se disculpó poco amablemente
3.1.4.1 Características generales de los adverbios
Los adverbios son términos que no varían porque no poseen género o número. Por tanto, se puede
afirmar que los adverbios poseen dos características básicas: la de un modificador y que se trata de
una palabra invariable.
3.1.4.2 Tipos de adverbios
Tipo Descripción y uso Ejemplos
Exclamativos Qué, cuán, cuándo ¡Cuán inútil ha resultado mi
esfuerzo!
Interrogativos
Van entre interrogaciones o en
oraciones con sentido interrogativo:
¿dónde? ¿cómo? ¿cuándo?
¿Cuánto? ¿por qué?
¿Cómo crees que lo ha
conseguido?
Relativos Donde, como, cuanto, cuando El modo como lo lograron
lo desconozco.
Clasificación según su significado
Tipo Descripción y uso Ejemplos
De lugar
Señalan o indican el lugar donde
sucedió la acción: aquí, lejos, arriba,
afuera, acá, encima, adonde, donde,
ahí, delante, atrás, etc.
Estaba donde tu dijiste.
De tiempo
Informan acerca del momento concreto
en que sucede la acción: ahora, hoy,
recién, tarde, temprano, pronto, luego,
mañana, ayer, etc.
Luego iré a ver a María.
De modo
Informan acerca de cómo se realiza la
acción del verbo: bien, mal, de pronto,
mejor, peor, adrede, deprisa, despacio,
regular, etc.
Que lo haga bien o mal es
lo de menos.
De cantidad Expresan intensidad, magnitud o grado:
más, menos, tanto, nada, algo, poco,
demasiado, apenas, casi, etc.
Habla poco. Trabaja
demasiado.
260
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
De afirmación
Expresan una afirmación: sí, seguro,
cierto, efectivamente, naturalmente,
claro, seguramente, etc.
Eso efectivamente lo sé.
De negación
Expresan una negación: no, nunca,
jamás, etc.
Jamás haría algo así de
ruin.
De adición Se usan para indicar que la acción se
suma a algo o a ella se le suma otra
acción. Algunos de ellos son: además,
incluso, también.
Además, compré unas
hermosas lámparas.
De exclusión Señalan que la acción se excluye de
otra: sólo, únicamente, tampoco,
exclusivamente, solamente etc
Tampoco quiero que pintes
esa pared.
De duda
Expresan duda: acaso, quizás, tal vez,
posiblemente, probablemente,
dudosamente, etc.
Quizá pueda venir esta
tarde.
De deseo
Expresan deseo: ojalá, acaso, etc. Ojalá todo resulte como
esperas.
Práctica Abierta
INDICACIÓN: Identifica los adverbios en el siguiente párrafo.
EL VERANO DEL COHETE
Un minuto antes era invierno en Ohio; las puertas y las ventanas estaban cerradas, la escarcha
empañaba los vidrios, el hielo adornaba los bordes de los techos, los niños esquiaban en las laderas;
las mujeres, envueltas en abrigos de piel, caminaban torpemente por las calles heladas como grandes
osos negros. Y de pronto, una larga ola de calor atravesó el pueblo; una marea de aire tórrido, como
si alguien hubiera abierto de par en par la puerta de un horno. El calor latió entre las casas, los
arbustos, los niños. El hielo se desprendió de los techos, se quebró, y empezó a fundirse. Las puertas
se abrieron; las ventanas se levantaron; los niños se quitaron las ropas de lana; las mujeres se
despojaron de sus disfraces de osos; la nieve se derritió, descubriendo los viejos y verdes prados del
último verano. El verano del cohete. Las palabras corrieron de boca en boca por las casas abiertas y
ventiladas. El verano del cohete. El caluroso aire desértico alteró los dibujos de la escarcha en los
vidrios, borrando la obra de arte. Esquíes y trineos fueron de pronto inútiles. La nieve, que venía de
los cielos helados, llegaba al suelo como una lluvia cálida. El verano del cohete. La gente se asomaba
a los porches húmedos y observaba el cielo, cada vez más rojo. El cohete, instalado en su plataforma,
lanzaba rosadas nubes de fuego y calor. El cohete, de pie en la fría mañana de invierno, engendraba
el estío con el aliento de sus poderosos escapes. El cohete creaba el buen tiempo, y durante unos
instantes fue verano en la Tierra...
Crónicas marcianas, Ray Bradbury
261
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
3.1.5 Preposiciones
Objetivo de sección.
Conocer las características, uso y significado de las preposiciones
Las preposiciones son palabras invariables que sirven para relacionar vocablos; son partículas
que se emplean para subordinar.
Ejemplo: Trabajaba todos los días por la mañana.
3.1.5.1 Características generales de las preposiciones
Las preposiciones son: a, ante, bajo, con, contra, de, desde, en, entre, hasta, hacia, para, por, según,
sin, sobre, tras, mediante y durante. Son una clase de palabras invariables que semánticamente
indican origen, procedencia, destino, lugar, dirección, etc. Tienen la función de relacionar los
componentes de una oración para brindarles sentido.
3.1.5.2 Relación que establecen según el contexto
Preposición Uso y significado Ejemplos
A
-Introduce complemento directo animado o
complemento indirecto.
-Expresa dirección
-Indica lugar
-Denota modo
-Señala orden o mandato
-Forma frases y locuciones adverbiales
Vi a Joaquín.
Se fue a la escuela.
Llegó a Cuernavaca.
Viste a la moda.
¡A comer!
Caminó a tientas.
ANTE
-Significa delante o en presencia de Se humilló ante las
autoridades.
BAJO
-Significa debajo de
-Expresa situación inferior, sujeción o dependencia
Me bañaba bajo el tejado.
Lo decidió bajo presión.
CON
-Expresa compañía
-Indica modo, medio o instrumento
-Tiene valor de aunque
Oía música con sus hijos.
Lo dijo con amargura.
Con llorar no ganas nada.
CONTRA -Expresa oposición o contrariedad ¿Todos contra mí?, dale.
DE
-Expresa propiedad o pertenencia
-Origen o procedencia
-Indica modo
-Expresa el material de que está hecha una cosa
-Significa contenido
-Indica asunto o materia
-Marca tiempo
-Expresa causa
-Señala la parte de alguna cosa
-Denota naturaleza o condición de una persona
-Significa ilación o consecuencia
-Se emplea en oraciones exclamativas
-Se utiliza para formar perífrasis verbales
-Relaciona un adjetivo con un sustantivo o
pronombre
Soy de Texas.
Llegó de Venezuela.
Estoy de mal humor.
Estrenó un suéter de lana.
Quiero un vaso de agua.
Consiguió el libro de arte.
Llegaré de madrugada.
Llegó harto de la ciudad.
De todos, te prefiero.
Es un hombre de mal vivir
El ingeniero llegó tarde, de
ahí que se atrasaran los
trabajos.
¡Pobre de Marina!
-He de decir la verdad.
Pobre de ellos si no vienen.
262
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
-Denota la función o la actividad que desempeñala
persona o cosa de la que se habla
Trabaja de secretario.
DESDE -Denota inicio de una acción en el tiempo Desde aquí te voy a vigilar.
EN
-Indica tiempo
-Expresa lugar
-Señala modo
-Significa ocupación o actividad
-Indica medio o instrumento
-Forma locuciones adverbiales
Nos vemos en diciembre.
En el centro había un café.
Parecía decirlo en broma.
Es especialista en biología.
Voy a mi pueblo en
camión.
En general, me siento bien.
ENTRE
-Expresa que algo o alguien está en medio de dos
personas o cosas
-Indica cooperación
Esta entre la vida y la
muerte.
Harán la comida entre dos.
HACIA -Indica lugar y dirección Hacia la izquierda.
HASTA
-Expresa el fin de algo o límite de lugar, de número
o de tiempo
-Equivale a incluso
Tenemos hasta la próxima
semana.
Perdió hasta el perro.
PARA
-Indica destino o finalidad
-Expresa tiempo o plazo determinado
-Denota comparación o contraposición
Compré un boleto para ti.
Toda la tarea es para
mañana.
Para estar enferma, te ves
muy bien.
POR
-Introduce el agente en oraciones pasivas
-Expresa tiempo aproximado
-Marca lugar
-Denota causa o finalidad
-Señala medio
-Expresa cantidad
-Indica sustitución o equivalencia
-Expresa el concepto o la opinión que se tiene de
alguien o de algo
-Significa que algo está por hacerse
La casa fue vendida por él.
Vivió en Cádiz por
aquellos años.
Se pasea por toda la casa.
Estaba triste por su fracaso.
Nos hablamos por
teléfono.
Vendió su casa por nada.
Le dieron gato por liebre.
Se le tiene por mal hijo.
Estoy por irme de viaje.
SEGÚN
-Denota relaciones de conformidad Procedió según el
reglamento
SIN -Denota carencia de una cosa o persona Se quedó sin novia
SOBRE
-Significa encima de
-Expresa asunto o materia
-Indica cantidad aproximada
Sorprendió al gato sobre la
mesa.
Discutían sobre política.
Luis anda sobre los treinta
años.
TRAS
-Señala lugar
-Expresa búsqueda de cosas o personas
-Indica añadidura
Está tras las rejas.
Siempre anda tras ella.
Tras la deshonra, la
pobreza, tras de vejez,
viruela.
263
Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
Las palabras con valor propositivo son palabras que funcionan como preposiciones, también son
conocidas como las nuevas preposiciones.
Ejemplos:
• Durante la segunda guerra mundial…
• Mediante la siguiente investigación, se encontró…
• Todo me pareció sensacional, excepto el postre.
• No me quiero ir, salvo que me digas que no me quede.
• Amo incluso tus defectos.
• No podrías mejorar más.
• Todos aprobaron menos tú.
Las locuciones preposicionales son expresiones constituidas por varias palabras que adquieren
conjuntamente el sentido y funcionamiento gramatical de las preposiciones. Es frecuente ver cómo
se hace un uso incorrecto de algunas de estas locuciones preposicionales. Ejemplos:
• A fuerza de
• A favor de
• A falta de
• Acerca de
• Antes de
• A pesar de
• A tenor de
• Alrededor de
• Camino de
• Con arreglo a
• Con destino a
• A través de
Práctica Abierta
INDICACIÓN: Escribe la función de las siguientes preposiciones
PREPOSICIÓN FUNCIÓN
BAJO
CONTRA
DESDE
PARA
SOBRE
A
TRAS
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Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
CATEGORÍAS GRAMATICALES
3.1.1 Verbos
1.- ¿Cuál de las siguientes oraciones no se trata de una perífrasis?
a) Tengo que estudiar
b) Ya he terminado con él
c) Su hermano va hacer los deberes
d) Hoy hay eclipse de luna
2.-Selecciona la oración que contenga una de las formas no personales del verbo.
a) Él la miraba con lascivia
b) El gato Bolitas es muy gordo
c) Lourdes ya es toda una licenciada
d) Alejandro está coqueteando con Gaby
3.-De las siguientes oraciones ¿cuál está escrita en modo imperativo?
a) No deberíamos abrir el cofre
b) Dilo claramente
c) Escribiría si pudiera
d) Ojalá nos saquemos la lotería
4.-De las siguientes opciones ¿cuál es una oración intransitiva?
a) Quiero patatas b) Tengo un lápiz c) Voy a casa d)Me compré ropa
5.- Es la clase de palabra que expresa acciones, actitudes, cambios, movimientos de seres o cosas.
a) Sustantivo b) Adjetivo c) Verbo d) Adverbio
6.- ¿Cuáles son las terminaciones de los verbos en infinitivo?
a) Ando-iendo-endo
b) Ado-ido-to
c) Ar-er-ir
d) Nor-nir-nur
7.- Es la asociación de dos o más verbos que transmiten una única idea verbal y forman una unidad
sintáctica disociable.
a) Preposición b)Perífrasis verbal c) Sustantivo d) Verbo
8.- Son aquellos verbos que exigen la presencia de un objeto directo.
a) Transitivos b) Copulativos c)Irregulares d) Intransitivos
9.- ¿Cómo se le denomina a la flexión verbal?
a) Consumación b) Conjunción c) Conjugación d) Conjeturación
10.- Llover, atardecer, escarchar, helar, granizar; son ejemplos de verbos ____________
a) Auxiliares
b) Pronominales
c) Impersonales
d) Copulativos
11.- Completa la siguiente frase.
En los verbos es posible distinguir un morfema invariable llamado ______ y un morfema variable
que expresa los distintos accidentes gramaticales: _________número, ________, tiempo.
a) Matriz, género, moda
b) Raíz, sujeto, predicado, plural
c) Raíz, persona, modo
d) Prefijo, género, derivación
12.- ¿A qué concepto se refiere la siguiente definición?
Es un accidente gramatical que expresa la actitud del hablante frente a lo que enuncia.
a) Persona b) Número c) Tiempo d) Modo
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13.- Completa la siguiente frase. Lo tiempos verbales pueden ser ________ y ________.
a) Ordinales y cardinales
b) Complejos y circunflejos
c) Coordinados y subordinados
d) Simples y compuestos
14.- ¿Cuál de las siguientes opciones se trata de un verbo en imperativo?
a) Valgo b) Seguiré c) Había d) Reúne
15.-¿Cuál de las siguientes oraciones sí tiene complemento directo?
a) El perro corre
b) He visto a mi padre
c) ¿Irás conmigo?
d) Casi no salgo
16.- ¿Cuántas formas existen en los verbos no personales?
a) Uno b) Dos c) Tres d) Seis
17.- ¿Cuál es el participio del verbo describir?
a) Descrito b) Describiendo c) Describí d) Describieron
18.- ¿En qué tiempo está la siguiente oración ¨He matado a mi madre¨?
a) Pretérito pluscuamperfecto
b) Pretérito imperfecto
c) Pretérito perfecto compuesto
d) Pretérito perfecto
19.- ¿En qué modo esta la siguiente oración ¨Quizá lea “100 años de soledad”?
a) Infinitivo b) Indicativo c) Subjuntivo d) Imperativo
20.- ¿Cuál de las siguientes oraciones no está en modo imperativo?
a) Di la verdad
b) Haz la tarea
c) Hubiera hecho la tarea
d) Costura tu pantalón
3.1.2 Sustantivos
21.-Es un claro ejemplo de un sustantivo concreto.
a) Vaso b) Susana c) Triple d) Acapulco
22.-Tipo de sustantivo subrayado en la siguiente oración:
“Mi vecina tiene un perrazo que atemoriza al fraccionamiento”
a) Abstracto b) Despectivo c) Aumentativo d) Colectivo
23.-Tipo de sustantivo subrayado en la siguiente oración:
¨Carlos es un verdadero pillo¨
a) Abstracto b) Despectivo c) Aumentativo d) Colectivo
24.- ¿Qué tipos de sustantivos son los siguientes: valor, odio, honor, talento?
a) Comunes b) Propios c) Aumentativos d) Abstractos
25.- ___________ es un sustantivo __________ aunque designen un solo objeto, y lo es porque en
realidad se refieren a dos partes.
a) Libros/plural b) Gafas/plural c) Pan/singular d) Laptop/plural
26.- Tipo de sustantivo presente en la siguiente oración “La mitad de los niños se fueron temprano”
a) Múltiplos b) Derivado c) Concreto d) Parititivos
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Estructura de la Lengua – EXANI 2 – 2019-20
27.- Es convertir una parte de la oración en un sustantivo o nombre.
a) Adjetivación b) Subjetivación c) Sustantivación