Contenido elegido para ti
Preguntas de este disciplina
Contenido elegido para ti
Preguntas de este disciplina
Vista previa del material en texto
CEPRU
CENTRO DE ESTUDIOS PRE
UNIVERSITARIO - UNSAAC
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
“Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional”
CICLO ORDINARIO 2023 - I
“ÁREA A”
ÁLGEBRA
DIRECTORIO CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO -UNSAAC
DIRECTOR:
Dr. FRANCISCO MEDINA MARTINEZ
INTEGRANTES:
Dr. SANTIAGO SONCCO TUMPI
Ing. VICTOR DUEÑAS AQUISE
Mgt. CAYREL GENOVEVA JIMENEZ PAREDES
PERSONAL ADMINISTRATIVO:
PEDRO PAUL LABRA QUISPICURO
JODY MURILLO NEYRA
WILBER CELSO GAMERO HANDA
EDITH DIANA QUIRITA ACHAHUANCO
YOHN ELMER SOTO SURCO
PLANA DOCENTE 1
( n a )n = a
a ; a m−n
(am )n = am.n
am
=
an
− 0
a0 = 1;a −0
POTENCIACIÓN
DEFINICIÓN. La potenciación es una
operación matemática, que consiste en
E) Potencia de potencia
multiplicar un número llamado base "a" tantas F) Potencia de un producto
veces como indica otro número llamado
exponente "n", al resultado de esta operación
se le denomina potencia.
La potencia n-ésima de "a"denotado por "an "
, está dado por:
G) Potencia de un cociente
donde:
an = a.a.a...a , a
n−veces
y n
H) Exponente negativo de un cociente
"a"
"n"
: es la base.
: es el exponente.
"an ": es la potencia.
PROPIEDADES:
I) Exponente fraccionario
Sea m, n + , entonces se cumplen las
propiedades siguientes:
A) Producto de bases iguales
RADICACIÓN
DEFINICIÓN. Una radicación se define como:
B) Cociente de bases iguales
C) Exponente nulo (cero)
D) Exponente negativo
Donde:
a : Radical
n : Índice del radical ( n n 2 )
a : Radicando
b : Raíz n- ésima de "a"
PROPIEDADES:
Considérese para las expresiones siguientes, la
existencia de todos los radicales.
1. con ( n n 2 ).
(a.b)n = an .bn
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
−0 +
am .an = am+n
n a = b bn = a
a
n
n
b b
= ;
an
a,b b 0
a
−n
b
=
a
;a,b
b
n
−0
m
a n = n am
a−n =
1
; a
an
−0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 2
n an
n a
= ;b 0, n
n b
a
n
b
n ab = n a . n b; n
=
a + , si n par
a , si n es impar
m n a
xn = b x = n b, x 0, n
+
+
= mn a ; m, n
y2 y
2. a) 10
b) 5
3.
c) 12
d) 7
e) 2
4.
3. Si se cumple que:
3n−1 = 22n , el valor de la
5.
6.
ECUACIONES
EXPONENCIALES
expresión
a) 1
b) 5
c) 21
d) 10
e) 3
3n+1 + 22n+1
A =
3n + 22n+3
, es:
DEFINICIÓN. Son aquellas ecuaciones que
4. Sean x, y y y − x 2
, luego de
contienen la incógnita o variable en el exponente
y en otros como exponente y base.
PROPIEDADES
1)
2)
3)
simplificar la expresión:
xx+ y y y + yx+ y xx
I = x− y
x2 y yx + y2 x xy
a)
x
y
b)
y
x
c)
1
y
1
resulta:
4)
d)
x
e) xy
EJERCICIOS
5. Si
xx = 2 luego el valor de
x+1−x1+ x
, es:
1. Al simplificar la expresión:
3a+4 9a+2b
Q = se obtiene:
27a−1 81b+1
a) 2
b) 4
c)
d)
1
a) 27
b) 28
c) 23
d) 3
2
e) 8
6. Al simplificar la expresión
e) 9
2. El valor de "k " en la expresión
x2 −
1
x
x −
1
y−x
E = y x− y , resulta igual
2n 2 2 1 1
k =
5n−1 + 355n−1
; n 1, es:
y − x2
y +
x
a:
ax = ay x = y ;a + −1
x
n
= y
n
x = y ; x , y
+
;n +
xx = aa x = a ; x , a +
n−1 5n+1
2
m
kn bk m = n bm = b n ;dondek
J =
xx
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 3
a
20a+1
4a+2 + 22a+2
y
x
a)
x
y
b)
y
x
x
x + y
c)
y
x+ y
d)
el valor de
a) 10
b) 12
c) 4
d) 6
e) 3
E = x2 − x , es:
e) ( xy )
x+ y
2 2
11. Si ab = 2 , el valor de
a3b.a
2b
7. El valor de: E = n2 10
n − 6n , es:
M =
2b 3b 4b , es:
a) 2
b) 5
c) 10
d)
2
5
5
(25)n
2
− (15)n
2
a + a + a + 4
1+2 x1+x−x
x+1
xx
, es:
e)
2
1
8. Si se cumple que
xx = 7 , x
1
+ . El valor
de,
8(7x ) + (23x x) x + (x)2
P =
322 + 2x2 +16(7x )
, es:
13. Al simplificar la expresión
a) 2
b) 7
c) 4
d)
1
2
e)
1
4
9. Al simplificar la expresión:
E = (−x2 )
3
.(−x−3 )
2
.(x3 )
2
.(x−3 )
2
.(−x(−3)
2
) ,
se obtiene:
a) x9
b) −x9
c) x6
d) −x6
e) −x−6
E =
a) 1
b) 4
c) 2
d) 8
e) 16
10. Si se cumple que:
, se obtiene:
14. Al simplificar la expresion:
5a−1 + 3a−1
D = + a−1
51−a + 31−a
obtiene:
a) 5
b) 15
c) 20
d) 10
e) 25
, se
n
8n + n
16n
2
+ 8n
2
2n +1
4n
2
+ 2n
2
(22x + 22x + 22x + ... + 22x )− (4x + 4x + 4x + ... + 4x ) = 12
1778 sumandos 1776 sumandos
a) 32
b) 5
c) 12
d) 128
e) 64
12. Si xx = 2 , el valor de D =
a) 16
b) 2
c) 8
d) 4
e) 32
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 4
2. 2. 2
2. 2. 2
2
2 2
A = .b.b b ,
15. Al simplificar la expresión: b) 1
9x
2
+2 + 32 x
2
+2
D = x
2
90x
2
+1
, se obtiene:
c) b−1
d) b2
e) b−2
a) 10
b) 100 1
20. Al resolver la ecuación,
7
x
2
−6
+ 7
x
2
−7
+ 7
x
2
−8
+ 7
x
2
−9
= 400 , el valor
c)
d)
e)
16. Si
10−1
10−2
xx = 2 , entonces, el valor de:
de " x" es:
a) 3
xx
xx+1+1 +1
x
a) 2
b) 8
, es:
b) −3
c) 3
d) 2
e) 6
21. Al resolver la ecuación,
c) 4
d) 16
8
x−1
27
9
x
4
81
4x
4
16
=
9
,
e) x
17. Al reducir
V = , se obtiene:
a) 2 2
b)
c) 4
d) 2
e) 8
18. Si "a" y "b" son números positivos; al
reducir
el valor de " x" es:
a)
1
3
b)
2
3
c) −
1
3
d) −
2
3
e) 6
abab .aab−1 baba .bba−1
−(ab)
ab
22. Al resolver la ecuación
M = ab .ba .(ab) resulta − −x−1
igual a:
a) ab
b) ab
c) ba
9−8
9
a) 3
b) 2
c) 4
=
1
, el valor de "2x" es:
3
d) ab−1
e) ba−1
d) −4
e) −3
19. Para "b" diferente de cero, el valor de
36x−1 1
((b−3 )2 )
−1
−2
−1
−4 23. Al resolver la ecuación = , el valor 144x−1 64
2 ( 3 )
b−3
2 (b−3 )
2
.b(−3)
2
es:
a) b
de " x", es:
a) 8
b) 2
c) 4
d) −4
2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 5
1
2
x
x
4
e) −8
28. Al resolver la ecuación
x−x
−4
= 4 , el valor de
24. Al resolver la ecuación: " x" es:
1
+
2x
es:
1
2x+1
+
1
2x+2
+
1
2x+3
= 1, el valor de " x"
a)
1
4
a) 3
b) 6
b)
1
8
c)
d)
e)
25. Si
−3
−6
−2
xx = 2 , entonces el valor de la
1+x
c)
d)
e)
1
expresión
a) 2
b) 4
c) 16
E = xx
1+2 x
, es:
29. Si
2
x
−2
2− x
1
= 2 , el valor de:
E = , es
d) 212
e) 216
26. Al resolver la ecuación 27x + 33x+1 =12 , el
valor de " x", es
a)
1
6
b)
2
3
a)
8
b)
1
4
c)
1
2
d)
1
16
e)
1
2
c) −
1
3
d)
1
3
e)
7
3
1
4x
2
30. El conjunto solución de la ecuación:
x
x−x
2
+13
= x
2
−12 , es:
a) 4
b) −3
c) −3; 4
27. Al resolver la ecuación,
1
= el
valor de " x" es:
a)
1
2
b)
1
4
1
d) −4; 3
e) −4; −3
c)
d)
e)
1
16
2
2
1
2
2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 6
f) −4; −3
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
DEFINICIÓN. Se denomina expresión
Algebraicaa toda expresión que está formada
Ejemplo 1:
P(x, y, z) =
56
a2 + b4
1
x2 y 2 z4
por variables y/o constantes en cantidades
finitas, que están ligadas mediante las
operaciones fundamentales de : adición,
sustracción, multiplicación, división potenciación
y radicación, sin variables en los exponentes.
Ejemplo 1:
P(x) = 3x2 −10x3/2 + 34
Ejemplo 2:
OBSERVACIÓN:
• Decimos que dos o más términos son
semejantes, cuando tienen la misma parte
literal.
• Dos o más términos se pueden sumar o
restar cuando son semejantes y en este caso
se suman o restan los coeficientes y se
escribe la misma parte literal.
R(x, y) = 12x−6 +10x0,5 y−0,5 +
7
− 2020
Ejemplo 1:
x + y4
6x2 y−8 −12x2 y −8 +x2 y −8 = ( − 6)x2 y−8
OBSERVACIÓN:
• Toda expresión que no cumpla con las
condiciones mencionadas será llamada
expresión no algebraica o trascendente.
Ejemplo 1:
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS:
La clasificación está según la naturaleza del
exponente.
A) Expresiones Algebraicas Racionales
x x2 x3 x4
S(x) = 1+ + + + +...
1! 2! 3! 4!
Ejemplo 2:
T (x, y) = 3x + tan x2 −16log y
TÉRMINO ALGEBRAICO
DEFINICIÓN. Es aquella expresión algebraica
en la que sus elementos están ligados solo por
las operaciones de multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Son aquellas expresiones en donde los
exponentes de las variables son números
enteros. Entre estas se tienen:
E.A.R. Enteras:
Son expresiones donde la variable o
variables tienen exponentes que son a lo
más números enteros positivos, también
pueden presentar término independiente.
Ejemplo 1:
P(x) = 3x7 − 4x3 + x2 − 23
Ejemplo 2:
Q(x, y, z) = 2x9 − 87x3 y6 z2 + x2 y6 − 23xyz ⎯
s
⎯
igno
⎯→ − 24 x
4
y
12
z
−3 ⎯
exp
⎯
on
⎯
ente
⎯
s
⎯
coeficiente parte literal
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 7
y
an , an−1 , an−2 ,..., a2 , a1 , a0 : Coeficientes reales.
• E.A.R. Fraccionaria:
Son expresiones cuyas variables admiten
por lo menos un exponente que es un
número entero negativo.
Ejemplo 1:
R(x) =13x−7 +12x4 + x2 + x −1
Ejemplo 2:
OBSERVACIONES:
•
Polinomio lineal (polinomio de primer grado).
•
Polinomio cuadrático (polinomio de segundo
grado)
Ejemplo 1:
Z (x, y) = 4x9 − 7x−3 y6 + y6 −
8
+ 4
P(x) = 5x10 + 2x8 − x6 − 7 , es un polinomio
x2 − y3
B) Expresiones Algebraicas Irracionales
Son aquellas expresiones que se
de grado 10, cuyo coeficiente principal es
y el término independiente es -7.
Ejemplo 2:
caracterizan, porque su variable o variables
están afectados por un radical o los
exponentes de sus variables son números
fraccionarios.
P(x) =−
5
variable.
x10 , es un monomio de una
Ejemplo 1:
T (x) = x6 + 6x4/3 + 9x2 −12x
Ejemplo 2:
M (x, y) = −12x9 + 74 y6 −
1
x8 +12 y3
+ 4x +1
Ejemplo 3:
P(x, y , z) = −7x10 y7z12 , es un monomio de tres
variables.
Ejemplo 4:
P(x, y ) = x10 y7 − 11x12 y8 + x2 y3 , es un
POLINOMIO
DEFINICIÓN. Un polinomio es una expresión
algebraica racional entera, donde los exponentes
de las variables son números enteros positivos
mayores o iguales a cero, con una o más
variables y con uno o más términos en
cantidades finitas.
El polinomio en la variable " x" está definida por:
trinomio de dos variables.
VALOR NUMÉRICO DE UN
POLINOMIO
DEFINICIÓN. Es el valor real que adquiere un
polinomio, cuando se les asigna determinados
valores reales a sus variables.
Es decir:
✓ Si P(x) es un polinomio real, entonces para
x = a con a P(a) es el valor numérico
Donde: del polinomio.
x : variable
n + : Es el grado del polinomio.
✓ Si P(x, y)
es un polinomio real, entonces
0 para x = a y = b, con a,b P(a,b)
n +1: Es el número de términos de P(x) es el valor numérico del polinomio.
an : Coeficiente principal del polinomio.
a0 : Término independiente del polinomio.
P(x) = a xn + a xn−1 +... + a x + a , a 0
n n−1 1 0 n
P(x) = a x + b, a ,b ; a 0
P(x) = a x2 + bx + c , a ,b,c ;a 0
5
3
;
;
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 8
✓ Si P(x, y, z) es un polinomio real, entonces OBSERVACIONES:
para x = a y = b z = c , con a,b, c • Dado el polinomio lineal:
P(a,b,c)
Ejemplo 1:
es el valor numérico del polinomio.
P(x) = ax + b, a 0 entonces:
Dado
es:
P(x) = x3 + (x + 5)2 − 3 el valor de P(−2) , P (P (...P(x)...)) = an x + b(an−1 + an−2 +... + a +1)
n−veces P
Solución: • Dada la expresión matemática:
P(−2) = (−2)3 −(−2 + 5)2 + 6 = −11 P
ax + b
=
a
x ,
ab 0 , entonces:
Ejemplo 2:
ax − b
b
Dado P(x, y) = (2x + y)2 − xy3 el valor de
P(1, −2) es:
Solución:
P(1, −2) = (2(1) − 2)2 − (1)(−2)3 = 8
PROPIEDADES:
a) Si P(x) es un polinomio real con una
variable entonces:
.
b) Si P(x, y) es un polinomio real de dos
variables entonces:
GRADOS DE UN POLINOMIO
DEFINICIÓN. El grado es una característica en
relación a los exponentes de las variables, el cual
es un número entero mayor o igual que cero.
CLASES DE GRADOS:
GRADO RELATIVO: (G.R)
a) De un Monomio:
El grado relativo en un monomio, es el
exponente de la variable indicada.
Ejemplo 1:
Ejemplo 1:
En el monomio P(x, y, z ) = 7x
8 y10 z5
Si P(x) = (x − 2)3(3x −1)2 + x − 7
✓ GR ( x ) = 8
✓ GR ( y ) = 10
✓ Suma de coeficientes es P(1) = −10 ✓ GR ( z ) = 5
✓ Término independiente es P(0) = −15
Ejemplo 2:
Si P(x, y) = (xy2 + 2)(x + y − 4)3 + xy + 3
b) De un Polinomio:
El grado relativo en un polinomio es el mayor
exponente de la variable indicada que se
✓ Suma de coeficientes es P(1,1) = −20 presenta en cualquier término.
✓ Término independiente es P(0, 0) = −125
P (P (...P(x)...)) =
x +1
x −1
(2n+1)−veces P
;
P (P (...P(x)...)) = x
2n−veces P
✓ Suma de coeficientes = P(1,1) .
✓ Término independiente = P(0, 0) .
✓ Suma de coeficientes = P(1) .
✓ Término independiente = P(0)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 9
m m−1 1 0
m m−1 1 0
Ejemplo 1:
En el polinomio:
P(x, y, z) =
x4 y10
z3 − 2 x9 y5 z8 +
3
x7 y6 z2
2
✓ GR ( x ) = 9
✓ GR ( y ) = 10
✓ GR ( z ) = 8
SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios reales:
P(x) = a xm + a xm−1 + a xm−2 +... + a x + a
, a 0
m m−1 m−2 1 0 m
Q(x) = b xm + b xm−1 + b xm−2 +... + b x + b , b 0
GRADO ABSOLUTO (G.A.) m m−1 m−2 1 0 m
a) De un Monomio:
El grado absoluto de un monomio, es la suma
de exponentes de las variables.
Ejemplo 1:
La diferencia de polinomios está dada por:
En el monomio P(x, y, z) =
GA( P) = 7 +13 + 9 = 29
b) De Un Polinomio:
2x7 y13 z9
MULTIPLICACION DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios reales:
P(x) = a xm + a xm−1 + a xm−2 +... + a x + a
, a 0
El grado absoluto de un polinomio, es el
m m−1 m−2 1 0 m
mayor grado absoluto entre sus términos. Q(x) = b xn + b xn−1 + b xn−2 +... + b x + b , b 0
Ejemplo 1:
n n−1 n−2 1 0 n
En el polinomio
14
22 24
El polinomio producto, está definido por:
P(x, y, z) =
5
x8 y4 z2 −
4
GA( P) = 24
5x10 y9 z3 + 7x11 y5 z8
GRADOS DE POLINOMIOS CON
OPERACIONES:
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Si P(x) y Q(x)
son polinomios de grado m y
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Dados dos polinomios reales:
P(x) = a xm + a xm−1 +... + a x + a
, am 0
n respectivamente, con m n entonces:
1.
2.
Q(x) = b xm + b xm−1 +... + b x + b
La suma de polinomios está dada por:
, bm 0
3.
5
( P + Q)(x) = P(x) + Q(x)
( P + Q)(x) = (a m m + b x + a ) (
m
m−1 m−1
+ b ) xm−1 + ...
+ (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 ) , (am + bm ) 0
( P − Q)(x) = P(x) − Q(x)
( P − Q)(x)= (a m m − b x + a ) (
m
m−1 m−1
− b ) xm−1 + ...
+ (a1 − b1 ) x + (a0 − b0 ) , (am − bm ) 0
P(x) Q(x) = a b x
m+n
+ .... +
m n
( a b + a b + a b x + a b + a b x + a b 2 0 1 1 0 2 )
2 ( 1 0 0 1 ) 0 0
P(x)
con Q(x) 0 , es de grado
Q(x)
m − n + , siempre que
P(x)
0
Q(x)
sea un polinomio.
P(x).Q(x) , es de grado m + n
P(x) Q(x) , es de grado m
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 10
4.
5.
Ejemplo 1:
Dado P(x) = (8x2 − 5)
3
Solución:
y Q(x) = x3 − 3
GR(x) = 7
m + 5 = 7
m = 2
2m + n = 19
2(2) + n = 19
n = 15
m(n) = 2(15) = 30
Ejemplo 4:
Dados los polinomios:
✓ El grado de P(x) Q(x)
es 6 P(x) = (7xn
n
+ 8xn +1)
n
n
,
✓ El grado de P(x).Q(x) es 9
5
Q(x) = (14xn
n
− 5xn + 8)
2
R(x) = 7x + 4 y
✓ El grado de Q (x)
Ejemplo 2:
es 15
el grado del polinomio producto de los tres
polinomios es 25, el valor de “n” es:
El grado absoluto del polinomio:
P ( x, y) = (x + y2 )
7
(x + y3 )
7
(x + y4 )
7
...(x + y20 )
7
es:
Solución:
GA(P) = 2(7) + 3(7) + 4(7) + ...... + 20(7)
GA(P) = 7(2 + 3 + 4 + ...... + 20)
GA(P) = 7(1+ 2 + 3 + 4 + ....... + 20 −1)
GA(P) = 7
(20)(21)
−1
Solución:
GA (7x
n
n
+ 8x
n
+1)
n
n
(14x
n
n
− 5x
n
+ 8)
2
(7x + 4) = 25
(nn )(nn ) + 2(nn ) +1 = 25
(nn )2 + 2(nn ) − 24 = 0
Haciendo cambio de variable sea: nn = a
(a)2 + 2a − 24 = 0
a 6
a − 4
2 (a + 6)(a − 4) = 0
GA(P) = 7(209)
GA(P) = 1463
Ejemplo 3:
Si el polinomio:
P(x, y) = 5xm+5 yn−3 + 2x2m−1yn (x1−m + y4) + 3xm+2 yn−1
es de grado 22 y el grado respectivo a la
variable " x" es 7 , el valor de: "m.n" es:
Solución:
a = −6 a = 4 a = 4
nn = 22 n = 2
EJERCICIOS
1. Dados los polinomios " P " y "Q"; definido en
la variable " x". En las siguientes
proposiciones escribir (V ) si es verdadera o
( F ) si es falsa.
m+n+2
m+n
2m+n+3
m+n+1 I. Si G.A(P) = 5 ; G.A(Q) = 5 entonces
P(x, y) = 5 xm+5 yn−3 + 2 xm yn + 2 x2m−1 yn+4 + 3 xm+2 yn−1
GA(P) = 2m + n + 3 = 22
G.A(P + Q) = 5 .
II. Si G.A(P − Q) = 5 , entonces G.A(Q) 5
2m + n = 19 ......... ( I ) III. Si G.A(P) 1 y G.A(P3.Q2 ) =13,
entonces G.A(P.Q) = 6 .
La secuencia correcta es:
P(x)
k
, es de grado m.k ; k
+
0
k P(x) , es de grado
m
k
k P(x) sea un polinomio.
+
0
, siempre que
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 11
xn−1 4 xn
3
6 x5n−4
a) VVF
b) VFF
c) FFF
d) FFV
e) FVV
2. En las siguientes proposiciones escribir ( V )
si es verdadera o ( F ) si es falsa.
4. Si el grado del monomio:
P ( x) = 3x6
de "m", es:
a) 24
b) 12
c) 22
d) 32
es 8 ,el valor
I. P(x) = x4 + 4x3 + 2x2 + senx + 5x −10
es un polinomio.
1
e) 14
5. El valor de n para que el grado del monomio:
II. Q(x, y) = x
3
y
5
+12 y5 + 8xy +12 es un
polinomio. M (x) = sea 1 , es:
III. R(x) =12x7 − 6x4 y5 +12y−
5
+ 4x + 6
es un polinomio.
La secuencia correcta es:
a) FVF
b) FFF
c) VVF
d) VFV
a) 8
b) 9
c) 10
d) 7
e) 5
6. En el monomio
e) FFV
P(x, y) = 215−n y5−n , el
3. En las siguientes proposiciones, indicar con
(V ) si es verdadero o con (F) si es falsa:
I. El grado de P(x; y) = 0x12 − 2x6 + 7 es
12 .
II. En todo polinomio, el grado absoluto
siempre es igual al grado relativo con
respecto a una de sus variables.
III. El coeficiente principal del polinomio
grado relativo a " x" es 3 , el grado absoluto
es:
a) 31
b) 23
c) 21
d) 22
e) 11
7. Si el monomio:
x7 (x2n+3 )
5
(x3n−1 )
3
4
P(x) = ; es de grado P ( x, y) = (2x4 + y3 )
3
(x4 + 3y5 )
2
es 72 . 2n 7 13
(x ) .x
IV. La suma de coeficientes del polinomio
P ( x, y ) = ( x − 2 y )
60
(3x + y −1) , es 3 .
La secuencia correcta es:
a) FFVV
b) VFVF
c) VVFF
d) FVFV
e) FVVF
8 , el valor de "n", es:
a) 6
b) 5
c) 3
d) 10
e) 9
8. Si el polinomio:
P(x, y) = xm+n yn+ p z p+z ; es de grado 18 y
los grados relativos a " x", " y " y " z " son
3 números consecutivos en ese orden, el
valor de "m.n.p", es:
5 9x
4 3 x
m
2 x
m
3 x5 3 x−1 3 x−3n
5
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 12
a) 32
b) 22
c) 21
d) 13
e) 12
a) 10
b) 7
c) 8
d) 9
e) −10
9. Si el grado del monomio: 13. El grado del polinomio P(x) sabiendo que
M (x, y) = 2n x5 , es "2n" el grado de P(x)2 Q(x)3 es igual a 21 y
“. Su coeficiente principal; es:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 14
e) 25
10. Si el monomio es de sétimo grado
el grado P(x)
4
Q(x)
2
a) 12
b) 8
c) 7
d) 3
e) 2
es igual a 22 , es:
14. Si el grado absoluto del monomio,
M (x, y) = 5 x2a+b ya+2b es 15 y el grado
M (x) =
valor de "m" es:
a)
1
8
b)
1
6
c)
1
2
d)
1
4
1
relativo a " x" es al grado relativo " y " ;
como 2 es a 3 .El valor de "a + b", es:
a) 13
b) 9
c) 5
d) 2
e) 10
15. Si el polinomio:
P(x) = (3x8 −10)
n
(5x2 − 4x3 − 2)
n−2
(x9 + 6)
es de grado 47 , entonces el valor de
es:
e)
10
a) 4
11. Determinar el valor de E = 3m − 4n , si b) 6
P(x, y) = x2n+m−15 + xm−n y5−n +
1
5 − m
x6−m
c) 14
d) 9
es un polinomio definido en .
a) −2
b) −4
c) −7
d) −10
e) −5
12. El grado del polinomio:
1
9
e) 10
16. Si el grado del polinomio:
P(x) = (xm+2 + xm + 5)(xm+2 + xm−1 + 8)m−2
es 108 , entonces el valor de "m", siendo
m 0 , es:
a) 3
b) 2
c) 10
P(x, y) = 3 yb−5 + y 6−b +
4 3
y6−b es:
d) 9
e) 7
7 (3x)
2n
3 (nx)
n
3 m− m−1 m m
xm m x
m
x3m
3
(
, el
x4.m x
)
m
3 7
5
2
5 coef principal de P (x)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 13
n n
n
17. Si " P " y "Q" son dos polinomios de grados
4 y 5 respectivamente y el grado del
polinomio
(P2Q)
3
− (PQ2 )
4
2n−3
P ( x)
3
Q ( x)
2
+ P ( x)
2
Q ( x)
3
con
m n , es:
a) m + n
E =
(P3Q2 ) + (P2Q3 )
4
n−2
es 8 , el valor
b) 2m + 2n
c) 3m + 2n
de "n", es:
a) 12
d) 2m + n
e) 3m + n
21. Sabiendo que en el polinomio:
n
+1
n
+1
n
+3
n
+2
b) 8 P(x; y) = 5 xn−4 y 2 z9−n − nxn−5 y 4 − 310−n xn+2 y 2 z 2
c) 6
d) 5
e) 10
18. Dados los polinomios " P "
y "Q", donde el
6 GR(x) 12 , el grado absoluto del
polinomio es:
a) 13
b) 25
grado absoluto de " P " es 14 y el menor c) 21
exponente de " x" en el polinomio "Q" es d) 23
10 , el Grado absoluto de "Q" , siendo: e) 31
P(x, y) = 5x
m+4 ym−4 − 5xm+4 yn−1 +
2
xm+2 yn+1
5
22. Dado el polinomio:
Q(a,b) = 3ax+5by−3 + 6a2x−1by (a1−xb4) +8ax+2by−1
Q(x, y) = −10x3m+7 yn+1 +
es:
5x3m+5 yn+4 −
3
x3m+1 yn+6
2
de grado absoluto 22 y grado relativo
respecto a "a" igual a 9 , el valor de " y − x"
, es:
a) 4
b) 2
c) 6
d) 10
e) 12
19. Dado el polinomio:
P(x; y) = 5x3m+2n+1 ym−n+3 +
− x3m+2n−1 ym−n+6
2x3m+2n+2 ym−n+5
a) −10
b) −20
c) 10
d) −7
e) 7
23. Dados los polinomios:
P(x) = (2020xn +12xn +1) ;
El GA( P ) = 41, y el GR ( x ) es al Q(x) = (4xn
n
− 5xn + 8)
2
GR ( y ) cómo 5 es a 2 . El valor de
"m + n" es:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 20
20. Sabiendo que los grados de los polinomios
P(x) y Q(x) son "m" y "n"
respectivamente, entonces el grado de:
R(x) =12x + 8 ; el grado del producto de los
tres polinomios es 25 , el valor de "n" es:
a) 10
b) 8
c) 12
d) 4
e) 2
24. Si el polinomio:
P(x) = (x2 +1)(x6 + 2)(x12 + 3)(x20 + 4)...
es de grado 572 , el número de factores que
debe tener el polinomio es:
y
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 14
3 H (x)
2
0
a) 11
b) 12
c)8
d) 21
e) 14
25. Si el grado absoluto del polinomio
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
29. Sea " P " , "Q" y " R "
polinomios (definidos
P(x; y) = a2 x2a+3 y3b−1 + b2 x2a y3b+4 + 2abx2a+1 y3b+2 en la variable " x") cuyos grados son
+x2a+2 y3b+3
es 24 y los grados relativos respecto a " x"
(3n + 2) , (4n +1) y (2n +1)
respectivamente, tal que:
e " y " son iguales, la suma de coeficientes
del polinomio, es:
a) 65
b) 55
c) 45
d) 15
e) 75
GA P
2 (x)Q(x) + Q2 (x)R(x) − R3 (x) = 31
Si " M " y " N " son dos cantidades definidas
por: M = GAP(x) R(x) y N = GAQ(x)
Entonces se puede afirmar que:
a) 2N M
b) M 2N
c) M = N
26. Si el equivalente de: d) M − N = 12
M (x, y) =
e) 2N = M
es un monomio cuyo grado relativo a " x" es 30. Si p0 , p1, p2 ,..., pn son polinomios definidos
4 y grado relativo a " y " es 9 .El valor por: p (x) = x3 + 213x2 − 67x − 2000 y
"m + n" es:
a) 8
b) −8
pn (x) = Pn−1(x − n) , para n =1, 2,3,...
El coeficiente de " x" en el polinomio P6 (x) ,
es:
c) 4 a) −7690
d) −4
e) 2
27. Si los grados de los polinomios
b) −7960
c) −6790
d) −6970
F 3 ( x)G4 ( x) y F ( x)G3 ( x) son 17 y 9 e) −9760
respectivamente; el grado del polinomio
R ( x) = 3F 6 ( x) − G4 ( x) , es: 31. Si P
x + 5
= 5x7 − 4x3 + 8 . El valor de
3
a) 22
b) 16
c) 15
d) 18
e) 20
28. Si el grado del polinomio:
3 H (x) .P(x)
Q
2 (x)
P(2) , es:
a) 9
b) 10
c) 3
d) 17
e) 16
es "3n" y el grado del polinomio
n
32. Dado los polinomios: P(x − 3) = 4x − 7 ;
P(x).Q(x)
es cero, el grado del
P(Q(x) + 5) = 52x − 55 . El valor de
es:
Q(10) ;
polinomio
Q(x)
, es:
(x.y)3 3 (x y2 )2m 4 (xn y2 )m
3 H (x)
n
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 15
a) 111
b) 123
c) 110
d) 256
e) 100
a) 4a +1
b) 4a + 4
c) 4a − 2
d) a −1
e) a − 4
33. Si g(2x +1) = 6x −10 y 37. Si P(x +1) = P(x) + 2x + 4 y P(0) = 2 ,
g( f (x) − 3) = 3x − 4 , entonces el valor de
f
−
1
, es:
entonces el valor de
a) 0
P(1) + P(−1) , es:
6
b) 2
37
c) 6
a) d) −6
6 e) −2
b) 35
4
35
38. El polinomio de segundo grado cuyo
coeficiente lineal y el término independiente
c) son iguales. Además
6
dicho polinomio es:
P(1) = 5 y P(2) = 15 ,
d) 37
4
a) 3x2 − x +1
e) −
35
6
b) 3x2 + x +1
c) 3x2 + x + 2
d) 3x2 + x − 4
34. Dadas P(x + 2) = x + P(x) + P(x +1) y e) 2x2 + x +1
P( y) = 2P( y −1) , el valor de
E = P(−3) + P(4) , es:
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
35. Si la suma de sus coeficientes excede en una
unidad al duplo de su término independiente
39. Si el polinomio:
P(x) = (7x2 − 3)
n−3
(2x −1)
n+1
+ (n2 x3 − 9)
7
(2x + 3)
n−17
+
(5x − 7n) (5x −1)
2n−17
tiene como término independiente112 ,
entonces "n", es:
a) 13
b) 18
c) 16
del polinomio P(x), donde d) 20
P(x − 2) = n2 (2x − 3)2 − (x − 2) (x − 2)
2n−3 + 61
El grado de P(x) es:
a) 4
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
36. Si P(x) es un polinomio tal que:
e) 12
40. Si P(x) + Q(x) = ax + b ,
P(x) − Q(x) = bx + a y
P(Q(1)) , es:
a)
4
3
1
P(5) = 4 , el valor de
x −1
1
b)
3
P
2
= 2x − 3, entonces P a −
4
es:
5
c)
3
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 16
d)
2
3
a) −2
b) −4
e) −
4
3
c) 2
d) 6
e) 8 46. Sea P(x) = ax + b , con a 0 , P(0) = 2 y
41. Si P ( +1) = x3 −1, entonces el valor de
P(P(1)) = 5 , el valor de
P(−2) , es:
M = P(1) + P(3) , es:
a) 66
b) 60
c) 62
d) 64
e) 58
a) 8
b) 3
c) 2
d) 0
e) −2
47. Dados los polinomios P(x) de primer grado
42. Sabiendo que P(1) + P(0) = 200 y con termino independiente uno y
P(x − 2) = (x + 2)3 + 3(x −1) + mx + 5 , el
valor de "m" es:
a)
8
Q(x) = (x −1).P(x) + 5x − 29 tal que
P(1) = 3 , entonces la suma de las raices de
Q(x) = 0 , es:
−2
3 a)
−
b) −
2
b) 4
c) 2
3 d) −5
c) 2
d) −
8
5
e) 4
48. Determinar
P(ax)
P(x)
sabiendo que
e)
5
3
43. Si f (x + 2) = f (x) − 2x +1 y
f (0) = 3 ,
P(x) = (ax + b)(a2x + b)(a3x + b)...(anx + b)
an−1x + b
a)
an x + b
entonces el valor de
a) −2
f (2) + f (−2) , es: an−1x + b
b)
ax + b
b) 2
4
an+1x + b
c) an x + b
c)
d) 1
e) 3
an+1x + b
d)
a x − b
44. Si P(x) = 243x85 − x90 + 3x + 4 entonces a
n+1x + b
e)
P(3), es:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 18
45. Si " P "
es un polinomio tal que
a x + b
49. Dadas las expresiones:
P(x2 + x + 6) = x9 + x6 +1 y
Q(x2 + 3x + 8) = (x3 − 26)2 + x3 − 20 ,
el valor de P(5) + Q(−1) , es:
a) 11
b) 12
P(P(P(x))) = 27x + 52 . El valor de
es:
P(−2) c) 13
d) 14
e) 15
x
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 17
b
# Términos = G.A +1
POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos que presentan determinadas
características importantes.
1. POLINOMIO HOMOGÉNEO:
Es aquel polinomio, en el cual cada uno de sus
términos tienen el mismo grado. Los términos no
deben ser semejantes.
Ejemplo 1:
El polinomio:
P(x; y) = 3x5 + 5x3 y2 + xy4 + y5
OBSERVACIONES:
▪ En todo polinomio completo y ordenado de
una sola variable se cumple que el número de
términos estará determinado por el grado del
polinomio aumentado en la unidad.
Ejemplo 1:
P(x) = 2x3 − x2 − 7x + 8 es de tercer grado y
tiene 4 términos
4. POLINOMIOS IDÉNTICOS:
G. A=5 G. A=5 G. A=5 G. A=5 Dos polinomios son idénticos cuando los
es homogéneo, cuyo grado de homogeneidad
es 5 .
2. POLINOMIO ORDENADO:
Un polinomio ordenado con respecto a una
variable, es aquel que se caracteriza por los
exponentes de la variable considerada, la cual
van aumentando o disminuyendo según que la
ordenación sea en forma creciente o
decreciente.
Ejemplo 1:
P(x; y) = x9 + 3x3 y + 2x2 y3 + 3xy2 + 9
• Con respecto a " x" esta ordenado en forma
descendente.
• Con respecto a " y " esta desordenado
NOTA: Polinomio ordenado estrictamente:
coeficientes de sus términos semejantes son
iguales.
La identidad de polinomios denotamos con ()
Así dados:
P(x) = ax5 + bx2 + c
Q(x) = mx5 + nx2 + p
a = m
P Q
= n
c = p
5. POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:
Llamado también polinomio cero, es cuando
todos sus coeficientes de sus términos son nulos
o ceros.
Ejemplo 1:
• P(x) = x6 − 2x5 + x4 , polinomio ordenado
en forma descendente.
• P(x) = x8 − 2x9 + x10 , polinomio ordenado
en forma ascendente.
3. POLINOMIO COMPLETO:
Un polinomio es completo con respecto a una de
sus variables. Cuando contienen todos sus
exponentes desde el mayor en forma
consecutiva, hasta el exponente cero inclusive,
llamado a este último término independiente.
Ejemplo 1:
P(x) = 2x2 − 5x4 + 3x3 − 7x +1
Si se tiene: Mx7 + Nx5 + Px3 + Q 0
Se debe cumplir que: M = N = P = Q = 0
NOTA:
➢ Su grado no está definido.
➢ Para cualquier valor numérico se anula.
6. POLINOMIO MONICO:
Es aquel polinomio en una variable cuyo
coeficiente principal es 1.
Ejemplo 1:
6 4
El polinomio " P " es completo con respecto a
" x", pero desordenado.
P(x) = x + 3x + x + 7 coeficiente principal es
1.
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 18
7. POLINOMIO CONSTANTE:
Es aquel polinomio que es igual a un número real
distinto de cero, y es de grado cero.
P(x) = k; k
Ejemplo 1:
P(x) = 7
Para cualquier valor de las variables siempre
tendrá el mismo valor numérico diferente a cero.
Ejemplo 2:
3. Si P(x) = axb+a + xa+2 − x2a + 3xa + xa−1 es
8n polinomio es completo y ordenado, el
valor de "b" , es:
a) 4
b) 2
c) 0
d) 3
e) 1
4. El polinomio: P(x; y) = xm+n yn+ p z p+z; es de
grado 18 y los grados relativos a " x" a " y "
y a " z " son 3 números consecutivos en
ese orden. El valor de "m.n.p", es:
Si: P(x) = 3
a) 14
Entonces:
P(−2) = 3 ; P(0) = 3 ;
P(10) = 3
b) 10
c) 12
d) 13
e) 11
EJERCICIOS
1. Identificar como verdadero (V) o falsa (F), las
siguientes proposiciones:
I. El grado absoluto de un polinomio puede
coincidir con el grado relativo de una de
sus variables.
II. Un polinomio homogéneo puede ser
completo.
III. Todo polinomio completo es ordenado.
IV. Un polinomio en una sola variable, puede
ser ordenado, completo y homogéneo.
La secuencia correcta, es:
a) VVVF
b) VVFV
c) VFVV
d) FVFV
e) VVFF
5. Si P(x) = 5x
m−18
+15y
m− p+15
+ 7x
b− p+16
es un
polinomio completo y ordenado en forma
descendente, el valor de "m + p + b" es:
a) 74
b) 70
c) 72
d) 71
e) 75
6. Determinar el valor de "m − n + p" si
P(x) = mxp−n+5 −( p + m)xn−m+ p+3 + (m − n + p)xm−6
Es un polinomio completo y ordenado en
forma ascendente,
a) 5
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
7. La suma de coeficientes del polinomio
homogéneo
2. Si P(x; y) = x3 yn+2 + 5xn ym−1 − xym+3 es un P(x; y) =
n
x−2n+1 + yn
2 +3n+1 +
n +1
x2n
2 −5 y−n
2 +2n+2
5
6
polinomio homogéneo, el valor de "m + n"
es:
a) 14
b) 12
c) 10
d) 13
e) 11
es:
a) 4
b) 2
c) 5
d) 3
e) 1
−{0}
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 19
8. Dado el polinomio homogéneo:
P(x; y) = x3m+2n y4 + 3x2m−1 y−3n + 5x2m yn+7 ,
el valor de E = m − n , es:
a) 5
b) 6
c) 3
d) 2
e) 7
9. Dado el polinomio homogéneo:
P(x; y) = axa+8 + abxa yb − byb+16 el grado
respecto a " y ", es:
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
e) 26
10. Sabiendo que el polinomio:
P(x; y; z) = 3a xa+2 yb+2 + 2b ya+1zc+3 + 5c xb+4zc
es homogéneo de grado: "n + 2". El valor
an + bn + cn
13. Si el polinomio:
P(x) = mx
m−10
+ nx
m−n−5
+ ax
a−n+6
es
completo y ordenado decrecientemente,
entonces el valor de "m + n + a", es:
a) 18
b) 28
c) 38
d) 48
e) 58
14. Si los polinomios
P(x) = (a − 2)x3 +(2a − b − 3)x + (2c − 3b)
y Q(x) = −4x3 − 5x + 6 son idénticos, el valor
de −a + b + 2c , es:
a) 4
b) 0
c) 5
d) 3
e) 1
15. El número de términos del polinomio
ordenado y completo
de: E = 1−n
(a + b + c)n
, es: P(x) = (n − 2)x
a) 4
n−7
+ (n − 3)x
n−6
+... ; es:
a) 4
b) 2
c) 5
d) 3
e) 1
11. La suma de los coeficientes del polinomio
Homogéneo
P(x; y) = 3 pxn
2 −5
y12 + 5( p − q)x p yq + (13q + 4)xn
2
y3n−14
es:
a) 452
b) 254
c) 524
d) 352
e) 154
b) 2
c) 5
d) 3
e) 1
16. Dado el polinomio homogéneo
P(x; y) = x
3m+2n
y
4
+ 3x
2m−1
y
3n
+ 5x
2m
y
n+7
,
el valor de E = m − n , es:
a) 3
b) 2
c) 6
d) 7
e) 5
17. Dados los polinomios idénticos
12. Si P(x) = 2axb+2 − 3bxb+a+7 +(a + b)x2a+c es
P(x) = (m − 5)x2n−1 +(n − 3)xn−2 y
p
un polinomio completo y ordenado creciente,
el valor P(1) , es:
a) 4
Q(x) = xn−2 + (3 − m)x7 , el valor de
4
m
, es:
b) −2 n
2 + p2
c) 2
d) −4
e) 5
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 20
a)
1
4
b)
1
3
c)
1
2
d)
1
8
e)
1
7
18. La suma de coeficientes del polinomio
homogéneo:
P(x; y; z) = (2m + b)xm
n
+ (m − n) yn
n
− (m + b)zm
m−n
es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. Sabiendo que el polinomio es completo y
ordenado descendentemente
P(x) = 5xc+d −2 + 6x2b−c−1 + 7xa−b−1 + 8xa−4
El valor de: "a + b + c + d ", es:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
23. Si el polinomio
n+1
a) 4 P(x) = x17 + x3n−1 + x2n+1 + x 2 es ordenado
b) 6
c) 5
d) 3
e) 2
19. La suma de los coeficientes del polinomio
homogéneo
P(x; y; z) = a3xa
b
− b2 yb
a
+ abza
a−b
, es:
a) 66
b) 69
c) 67
d) 68
e) 65
20. Si el polinomio
P(x) = a(3x2 − x + 2) + b(2x −1) − c(x2 − x) − 6x
es idénticamente nulo, el valor de
"a + b + c", es:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 1
21. Dado el polinomio:
P(x) = mx2m+1 − 3x3−m +(m + 2)xm−2
ordenado en forma decreciente, la suma de
sus coeficientes, es:
en forma descendente, la suma de los
posibles valores de "n", es:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
24. Si el polinomio
P(x) = m2nxm
2 +n
+ ... + (n − m)x2n−1 + mxm−3
es completo y ordenado en forma
decreciente, el número de términos del
polinomio, es:
a) 14
b) 12
c) 15
d) 13
e) 11
25. Si los polinomios
n
P(x) = (a −1)x 2 + (1− b)xn−3 + 2c
y
n
−1
Q(x) = ax 2 + (b + 4)xm+3 + n −1− c
son idénticos y completos La suma de
coeficientes de R(x) = (bx + m)a (cx + b)n es:
a) 17
b) 27
c) −27
d) −37
e) 47
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 21
26. Si:
P(x) = xn
2 −5n
+ xc+4 + ... + 2xd +2 + x2d + ... + xa
2 +a+1
es un polinomio completo y ordenado de
3n −1 términos, determine el menor valor de
a + d + c + n .
a) 1
b) 2
c) 5
d) 3
e) 4
27. La expresión que se debe agregar al
polinomio: Q(x; y) = 3x4 + 5xy3 − 2x2 y2 ,
para que sea un polinomio homogéneo
P(x; y) y completo respecto a " x" y la suma
30. Dado el polinomio homogéneo
P(x; y) = xm+5 yn−3 + xm+4 yn−2 +...
es ordenado y completo con respecto a " x"
, si el grado relativo a " x" es 10 y el grado
relativo a " y " es 15 , el valor "m + n" es:
a) 8
b) 7
c) 5
d) 3
e) 9
de coeficientes es 21 , además
, es:
P(2;1) = 114
a) 7x2 y + 8y4
b) 7x3 y3 + 8y4
c) 7x3 y + 8y4
d) 7xy3 + 8y4
e) x3 y + 8y4
28. Sea P(x) un polinomio mónico de 2do
grado tal que se tiene que P(x) = P(−x) y
P(P(x)) = x4 + 8x2 + 20 . Luego la suma de
sus coeficientes, es:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
29. Dado el polinomio:
b2
b2 +20
P(x; y) = xa
2
+ x+m − 2x 5 ya+1 + 3y 5
homogéneo, además a b 9 , el valor de
"m", es:
a) 3
b) 2
c) 5
d) −3
e) −2
PLANA DOCENTE 22
(a2 + a +1)(a2 − a +1) = a4 + a2 +1
(a2 + ab + b2 )(a2 − ab + b2 ) = a4 + a2b2 + b4
(a + b)
3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)
4
− (a − b)
4
= 8ab (a2 + b2 )
(a + b)
3
= a3 + b3 + 3ab (a + b)
DEFINICIÓN. Los productos notables son
casos especiales de la multiplicación de
polinomios, con los cuales se obtiene el
polinomio producto en forma directa sin efectuar
la operación de la multiplicación.
Siendo los más importantes:
1. Binomio al cuadrado (trinomio cuadrado
perfecto)
7. Trinomio al cuadrado
2. Diferencia de cuadrados 8. Trinomio al cubo
3. Producto de binomios
( x + a)( x + b) = x2 + (a + b) x + ab
( x − a)( x − b) = x2 − (a + b) x + ab
( x + a)( x − b) = x2 + (a − b) x − ab
( x − a )( x + b) = x2 − (a − b) x − ab
4. Producto de la suma de un binomio por
un trinomio (suma de cubos)
9. Identidades de Argand
5. Producto de la diferencia de un binomio
por un trinomio (diferencia de cubos)
10. Identidades de Legendre
6. Binomio al cubo
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a + b + c)
3
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)
(a + b + c)
3
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) − 3abc (a + b)(a − b) = a
2 − b2
(a − b + c)
2
= a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc (a − b)
2
= a2 − 2ab + b2
(a − b + c)
2
= a2 + b2 + c2 − 2ab + 2ac − 2bc
(a + b)
2
= a2 + 2ab + b2
(a + b + c)
2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a − b)
3
= a3 − b3 − 3ab (a − b)
(a − b)
3
= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
(a − b − c)
2
= a2 + b2 + c2 − 2ab − 2ac + 2bc
+ m, n
(a2n + anbm + b2m ) (a2n − anbm + b2m ) = a4n + a2nb2m + b4m
(a + b)
2
+ (a − b)
2
= 2(a2 + b2 )
(a + b)
2
− (a − b)
2
= 4ab
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 23
16a
2
+
8ab (a2 + b2 )
a
2
+ b
2
+ b2
x 27 8
11. Identidadesde Lagrange 2. De las siguientes proposiciones
I. (x2 −1)(x4 − x2 +1) = x6 −1
2 2 2 2
II. (x + 2x + 4)(x + 2x + 4) = x + 4x +16
III. (x2 + 4x + 4)(x2 − 4x + 4) = x2 + 4x2 +16
IV. (x2 + 2 y )(x2 − 2 y ) = x2 − 4 y2
Ejemplo 1: V. (x2 − 2 )(x2 − 2 ) = x4 − 2
Al simplificar la expresión
E =
obtiene:
Solución:
E =
, se
El número de proposiciones verdaderas es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. De las siguientes proposiciones
2 2 2 2
I. ( x + y − z ) = x + y − z + 2xy − 2xz − 2 yz
II. ( x − y )
3
= x3 + 3x2 y + 3xy2 − y3
E = III. x3 + x−3 = (x + x−1 )(x2 − 2x(x−1) + x−2 )
E =
E =
E =
E = 4a + b
EJERCICIOS
IV. ( x + 3)
2
− ( x − 3)
2
= 12x
El número de proposiciones falsas es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4. De las siguientes proposiciones
1. De los siguientes productos: I. ( a + b )
2
− ( a − b )
2
= 2(a + b)
I. (x6 + x3 y2 + y4 )(x6 − x3 y2 + y4 )
II. (x2 + 3x +1)(x2 − 3x +1)
III. (x2 + 3x + 9)(x2 − 3x + 9)
a 0 b 0 .
II. (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac − bc)
IV. (x + +1)(x − x +1) III. − = (5 + 6 )( 3 − 2 ) .
Los que corresponden a la identidad de
Argand, son:
IV. (x2 + 3x +1)(x2 − 3x +1) .
a) I y III
V. Si, 2x2 − 6xy + 8y2 = (x + y)(x − y)
3x + 2 y
b) I y IV
c) I , III y IV
entonces el valor de
y
es: 11.
d) III y IV
e) II y IV
El número de proposiciones verdaderas es:
(a2 + b2 )(c2 + d 2 ) = (ac + bd )2 + (ad − bc)2
(a2 + b2 )(x2 + y2 ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2
16a2 +
(a + b)
4
− (a − b)
4
a2 + b2
+ b2
identidad de Legendre
16a2 +
(a + b)
4
− (a − b)
4
a2 + b2
+ b2
16a2 + 8ab + b2
16a2 + 8ab + b2
T .C.P
(4a + b)
2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 24
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 1
b) 6
c) 3
d) 310
e) 39
9. Si x2 − 4x +1 = 0 , entonces el valor de
5. De las proposiciones dadas
I. El coeficiente del término lineal de
(x − 5)(x + 7) es -2
1+ x3
2
x4 + x−4 , es:
a) 192
b) 196
c) 194
II.
1+ x
= 1+ x + x ; x −1 d) 200
e) 4
III. (x2 + y2 )2 −(x2 − y2 )2 = (2xy)2
Las verdaderas son: 10. Si a
3 = b3 , entonces el valor de:
a) I y III
b) I y II
E =
ab
(a − b)2
, es:
c) II y III
d) Solo I
e) Solo II
6. Si mx2 +10
m + 24x + 49 es un trinomio
a)
1
2
b) −
1
2
c)
1
cuadrado perfecto, el valor de "m", es:
a) 9
b) 24
c) 25
d) 600
e) 5
3
d) −
1
3
e)
1
6
11. Si se cumple que:
1
+ x2 = 6 ; x 1,
7. Si a = b − c + 5 y ab + bc = 5 + ac , entonces
x2
el valor de a2 + b2 + c2 , es:
a) 35
b) 28
c) 25
d) 12
e) 5
8. Si x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz , entonces el
entonces el valor de:
E = (
1
+ x)2 − 2(x −
1
) + 6 ; x 1 , es:
x x
a) 36
b) 4
c) 24
d) 6
e) 12
valor de E = , es: 12. Al reducir la expresión
(a + b)(a3 − b3) + (a − b)(a3 + b3)
E =
a4 − b4
, se
obtiene:
9
( x + y + z )
10
x10 + y10 + z10
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 25
xn + yn
3
xn yn
a
y x
2
a) 3
b) 4
c) 2
d) 6
a) 3
b) 2
c) −3
d) −2
e) −2
1
2
e) 6
17. Si se cumple que:
x
−
y2
y x
= 3(x − y) ,
13. Sabiendo que a +
= 3, entonces el
entonces el valor de
valor de:
a) 3
E = a3 +
1
a3
, es: x
y
C =
y
x
y
x
4
+
x
y
,x 0, y 0 , es:
b) −3
c) 1
d) −1
a) 4
b) 2
c) 16
e) 0
x
n
14. Si
y
n
+
= 62 , entonces el valor de
d) 8
e) 3
18. Al simplificar la expresión:
(ax + by )
2
+ (ay − bx)
2
E = , es:
a) 2
E =
a) a2 + b2
x2 + y2
, se obtiene:
b) 8 b) 2(a2 + b2 )
c) −2 c) 4ab
d) −8 d) x2 + y2
e) 64
15. Sabiendo que a + b + c = 7 y
a2 + b2 + c2 = 31, el valor de
es:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 7
18 − 2ab
E = ,
ac + bc
e) 1
19. Dadas las expresiones
P = (a + b + c)(a − c + b) y
Q = (a + c − b)(a − c − b) , la expresión
E =
P − Q
, es igual a:
4
e) −2 a) a
2 + b2
b) a2 + c2
x − z z2 c) ab
16. Si:
de:
z − y
+
(x + y)(z − y)
, entonces el valor d) −ab
e) −2ab
z − x
2
M =
x + y
2
+
z − y
2
+
, es:
20. Al reducir la expresión
y z x p2 ( p + q)
2
− 2 ( p + q) ( p − q ) + ( p − q )
2
M =
( p + q)
2
− ( p − q)
2
resulta igual a:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 26
−2
5
x
7
x4 2
a) 2 p
b) 2q
c) 2 pq
a) 7
b) 32
c) 16
d) 64
d) −2 pq e) 735
e) pq
21. Al simplificar la expresión:
(x2 + x +1)(x2 − x +1)
E =
+ x +1
, se obtiene:
26. Si x − x−1 = 5, entonces el valor de
A = x3 − x−3 , es:
a) 140
b) 110
a) x2 c) 125
b) x4 d) −125
c) 4
d) 2
e) 1
e) 5
27. Si a + b = 2 y ab = 3 , entonces el valor de
M = a3 + b3 + a2 + b2 , es:
22. Si x2 + y2 + z2 = 4x + 4y − 4z −12 ,
entonces E = x + y − z2 , es igual a:
a) 12
b) 16
c) −12
a) 2x
b) 3y
d) 8
e) 36
c) 0
d) 2
28. Si x3 + y3 = 5 y xy ( x +1) = 1, entonces el
e) 1
23. Si ax + a−x =
M = a
4x
+ a
−4x es:
a) 2
b) 4
c) 8
, entonces el valor de
valor de
a) 125
b) 111
c) 4
d) 16
e) 25
P = ( x + y )
2
, es:
d)
e)
24. Si
2
x2 + x−2 = 11, entonces el valor de
29. Si a + b + c = 5 y a2 + b2 + c2 = 7 , entonces
el valor de E = ab + ac + bc , es:
a) 3
b) 6
P = x − x−1 ,es:
a) 3
b) 2
c) 9
d) −9
e) −3
1
c) −3 30. Si x + = 3 , entonces el valor de x
d)
1 1
1 1
e) A = x
x + ( ) x ( x) x + ( )
x , es:
25. Sabiendo que x +
1
= , entonces el
x x
valor de A = 2x+x
−1
, es:
2 + 2
2
2
PLANA DOCENTE 27
D(x) = d(x).q(x)
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
PROPIEDAD DE GRADOS
G.A.(q) = G.A.(D) − G.A(d )
G.A.(r)m á x = G.A.(d ) −1
G.A.(r) G.A.(d )
DEFINICIÓN. Sean los polinomios d (x) y
D(x) , definimos la operación de división de
polinomios como aquella que consiste en
METODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
A) METODO DE HORNER
Este método se utiliza cuando el divisor es de
segundo grado o mayor. Para realizar el método
tenemos que usar el siguiente cuadro donde
encontrar dos polinomios
satisfacen:
Donde:
D(x) y r(x) que ubicaremos los coeficientes.
• d (x) : Dividendo
• D(x) : Divisor
• D(x) : Cociente
• r(x) : Residuo
CLASES DE DIVISION
A. DIVISIÓN EXACTA
La división de polinomios se dice que es exacta,
cuando el residuo es idénticamente nulo( r 0 ).
Luego se tiene que:
B. DIVISIÓN INEXACTA
La división de polinomios se dice inexacta,
cuando el residuo no es idénticamente nulo (
r 0 ), tenemos:
PROCEDIMIENTO:
1. Verificar que los polinomios dividendo y
divisor estén ordenados y completos, en
caso de que no los estén, se debe completar
y ordenar.
2. Anotar los coeficientes del dividendo en la
parte superior del cuadro con sus
respectivos signos.
3. Anotar los coeficientes del divisor en la parte
izquierda del cuadro, colocando el primer
coeficiente con su respectivo signo y los que
siguen con el signo opuesto.
D(x) = d(x).q(x) + r(x)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
D(x) = q(x)d(x) + r(x)
TEOREMA
Dados los polinomios D(x) y d (x) con d (x) 0
, entonces existen los únicos polinomios q(x) y
r(x) tal que:
D(x) = q(x)d(x) + r(x)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 28
4. Trazar la línea vertical que divide los
coeficientes del cociente y residuo. Para
ubicar esta línea debemos recorrer de
derecha a izquierda tantos espacios como el
grado máximo del residuo.
5. El primer término del cociente (q) se obtienedividiendo el primer coeficiente del
dividiendo (D) entre el primer coeficiente del
divisor (q).
6. El primer coeficiente del cociente obtenido
debe multiplicar a cada uno de los
coeficientes del divisor que cambiaron de
signo y los resultados se colocan en forma
horizontal partir de la siguiente columna
hacia la derecha.
7. Las cantidades que se encuentran en la
segunda columna se suman y el resultado se
divide entre el primer coeficiente del divisor
(d) y continuando así con el procedimiento
hasta coincidir con la última columna del
dividendo.
8. Para concluir se deben de sumar las
columnas correspondientes del residuo.
Ejemplo 1:
8x5 + 4x4 + 6x2 + 6x −1
Dividir:
4x2 − 4x + 2
B) METODO DE RUFFINI
Este método se utiliza cuando el divisor es de
primer grado ( d(x) = ax + b ). Para realizar el
método tenemos que usar el siguiente cuadro
donde ubicaremos los coeficientes.
PROCEDIMIENTO:
1. Verificar que los polinomios dividendo y
divisor estén ordenados y completos, en
caso que no los estén se debe completar y
ordenar.
2. Anotar los coeficientes del dividendo en la
parte superior del cuadro con sus
respectivos signos.
3. El divisor d(x) = ax + b debemos igual a
cero y despejar la variable " x" y anotar el
resultado en la parte izquierda del cuadro.
4. Se baja el primer coeficiente del dividendo y
b
se multiplica por el valor de x =− , el
a
Luego tenemos:
q(x) = 2x3 + 3x2 + 2x + 2
r(x) = 10x − 5
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
resultado obtenido se coloca en la siguiente
columna, debajo del segundo coeficiente del
dividendo.
5. Se suman las cantidades de la segunda
columna y continuamos con el mismo
procedimiento hasta obtener un término
debajo del último coeficiente del dividendo.
6. El resto es la suma de la última columna.
7. Para obtener el cociente dividimos entre el
coeficiente principal del divisor cada columna
a excepción de la columna del residuo.
Ejemplo 1:
2x4 − 2x2 + 9
Dividir:
2x − 4
− 4 8
− 4 8
− 6 12
− 4
−1 6 6 0 4 4 8
8
4
−2
2 3 2 2 10 − 5
COCIENTE RESIDUO
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 29
Solución:
b) 2x2
c) 2x2 + 3x + 2
d) 2x2 + 2
e) 2x2 + 6x + 2
2. El residuo luego efectuar la división
12x5 − 9x3 − x2 + x
Luego tenemos:
q(x) = x3 + 2x2 + 3x + 6
6x3 + 3x2 +1
a) −2x +1
b) x2 + 2x +1
es:
r(x) = 33 c) 2x +1
TEOREMA DEL RESTO
Este teorema permite calcular el residuo de una
división de manera directa. El enunciado es el
siguiente.
Ejemplo 1:
d) −x2 + 2x −1
e) x2 + 2x
3. Si la división:
6x4 +16x3 + 25x2 + Mx + N
3x2 + 2x +1
es exacta, entonces el valor de Z = M + N
es:
a) 5
b) 9
c) 14
d) 19
e) 20
Encontrar el resto de la división:
Solución:
Igualemos el divisor a cero:
2x − 4 = 0
x = 2
2x4 − 2x2 + 9
2x − 4
4. El residuo de dividir: 3x3 − 4x2 + 5x + 6 entre
3x + 2 es:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 1
Luego tenemos que: e) −1
residuo = 2(2)4 − 2(2)2 + 9
residuo = 33
5. El resto de dividir:
2x28 −14x7 + 2x21 − 5
x7 − 3
es:
EJERCICIOS a) 144
b) 169
c) 121
1. Sea q(x) el cociente y r(x) el residuo de
d) 154
e) 136
dividir
polinomio
6x4 − 7x3 − 4x2 +10x − 3
3x2 + x − 2
q(x) + r(x) es igual a:
, el
6. El valor de "n", para que el residuo de la
x3 − nx2 − nx − n2
división
x − n − 2
sea 3n + 2 , es:
a) 2x2 + 6x a) −2
TEOREMA
Dada la división P ( x) (ax + b) , entonces
tenemos que el resto de la división viene dada
por:
Resto = P (−b / a )
COCIENTE
2 0 − 2 0 9
x = 2 4 8 12 24
2 2 4 6 12 33
1
2
3
6
RESIDUO
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 30
b) −1 a) 4x − 3
c) 0
d) 1
e) 2
7. El resto luego de dividir:
(x2 − 3x −1)4 + 2(x − 3)5 + x
x − 4
es:
b) 4x + 3
c) x + 3
d) x − 3
e) 8x + 3
12. Si la división
x4 + x3 − 5x2 + mx + n
x2 − 2x + 2
, tiene
a) 88
b) 89
c) 87
d) 95
e) 98
8. El valor numérico del polinomio:
P(x) = x5 + (2 − 2 2)x4 − 4 2x3 + 5x − 3
resto 4 . Entonces el valor de
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
mx4 + nx3 +11x2 − 3x + 5
es:
para x = 2
es:
13. Si la división es
2x2 − x +1
a) 8 2
b) 2 + 7
c) 7 2
d) 13 2
e) 9
9. El valor de " p + q"
3x4 − px2 + qx + 3x
para que la división
exacta, el valor de "m + n" es:
a) 7
b) 11
c) 5
d) 0
e) 21
14. Si el resto de la división:
ax3 + (b + 4)x2 + (12 − a)x + b − a
es
x2 + 2x −1
x2 − 2x + 2
a) 15
b) 13
c) 11
d) 16
e) 6
10. Si el polinomio
sea exacta, es:
P(x) = 3x5 + 6x3 − 3x se
r(x) = 2x +10 . El cociente de la división
viene dado por:
a) q(x) = −x + 5
b) q(x) = 4x + 91
c) q(x) = 4x + 5
d) q(x) = x + 5
e) q(x) = x − 5
divide entre x +1 se obtiene un cociente de 15. Si: r(x) = ax + b es el residuo de la división
grado "m" , termino constante "b"
"a". El valor de “ m + b + a ” es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
y resto
(x +1)5 +1
x2 + 2x
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
, El valor numérico r(3) es:
11. El resto que se obtiene al dividir
x5 − x +1
(x −1)2
es:
16. Al efectuar la división:
mx5 + nx4 + px3 + 2x2
− x +1
x3 − x2 + 2x − 3
2
2
2
n + 3 m
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 31
Se tiene que el resto es "7x − 2". El valor de
"m + n + p" es:
a) −5
b) −1
a) 4
b) 9
c) 7
d) 2
e) 8
c) 1
d) 0
e) 9
17. La división algebraica:
2x5 + ax3 + 2bx2 + 4x − 3
x2 + x +1
Deja resto r 0 . El valor de ab es:
a) 7
b) 0
c) 5
21. El residuo de la división:
(x − 2)2021 + (x −1)2020 + 7
(x − 2)(x −1)
a) 3
b) 2x −1
c) 3x + 2
d) 2x − 4
e) 2x + 4
22. Si la división:
es:
d) −5
e) 6
18. Si la división algebraica:
Ax5 + Bx4 + Cx3 + 72x2 +19x + 5
es
4x3 + 3x +1
exacta, entonces el valor de A + B − C es:
a) 11
b) 13
c) 17
d) 19
mx4 + (m + n)x3 + (m + n + s)x2 + (n + s)x − m − n
mx2 + nx + s
no deja resto. El valor de “ m + n + s ” es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
23. Sabiendo que el polinomio
P(x) = xn + mxn−2 +1 es divisible entre
e) 23
19. Dada la división algebraica
x50 + ax + b +1
,
x −1
(x −1)2 , entonces el valor "mn" es:
a) −8
con a y b reales, si la suma de coeficientes
del cociente es el triple del residuo e igual a
b
b) −6
c) −4
d) −2
54 , La relación
a) 2
b)
1
2
esta dado por:
a e) −1
24. Si la división
xa − bx + c
es exacta, entonces
x2 − 2x +1
c)
1
4
d) 4
e) 3
20. En la división siguiente
2x5 + 3x4 + bx3 + 6bx2 + x + a
el valor de
a) 2
b) 4
1
H =
a + b
c +1
es:
x2 − x + b c) 2
Se sabe que el resto es 2x + 3 y la suma de
coeficientes del cociente es mayor que 15 . El
valor de “ ab ” es:
d) 256
e) 8
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 32
+ xyn−2
x y
= 3 2 2 3
29. Un polinomio mónico de tercer grado es
25. En la siguiente división: divisible por (x − 2) y (x +1) al dividirlo por
2x2n + 2x2n−1 + 2x2n−2 + ... + 2x3 + 2x2 + 2x − n +1 (x − 3) da resto 20 . El resto que se obtiene
2x − 2
La suma de los coeficientes del cociente que
resulta, es igual a 10 veces su resto. El grado
del cociente es:
a) 39
al dividir dicho polinomio entre (x + 3) es:
a) −10
b) 30
c) −20
d) −30
b) 37
c) 35
d) 31
e) 33
26. Un polinomio P(x)
mónico y de cuarto grado,
e) 20
COCIENTES NOTABLES
xn yn
es divisible separadamente entre (x + 5) y DEFINICIÓN. La división , donde
(x2 − 5) . Si lo dividimos entre (x − 5) el resto
es 3000 . El resto de dividir P(x) entre (x +1)
es:x y
n , es un cociente notable si y solamente sí,
es una división exacta y su cociente respectivo
se determina por simple inspección, es decir
podemos obtener el cociente sin efectuar la
a) −145
b) −144
c) −140
d) −138
e) −136
división.
Ejemplo 1:
x3 − y3
x
2 + xy + y2
27. Hallar el valor de "m" tal que Si la suma de
coeficientes del cociente de la división
xm−1 − (m +1)x + m
x − y
Ejemplo 2:
4 − 4 x + x y + xy + y
(x −1)2
el valor de "m" es:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 30
e) 40
es igual a 210 , entonces x + y
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LOS
COCIENTES NOTABLES:
I) PRIMER CASO
Es cociente notable solo para "n"
28. Al dividir un polinomio P(x) separadamente e par o impar
por (x −1) y (x − 2) se obtiene como restos
6 y 18 respectivamente. El resto que se
obtiene al dividir el polinomio
producto: (x −1)(x − 2) es:
P(x) entre el El desarrollo del cociente notable es:
xn − yn
=
n−1 n−2 n−3 2 n−1
a) 3x −12
b) 2x −12
x − y
x + x y + x y + + y
c) 6x −12 Ejemplo 1:
d) x − 6
e) 12x − 6
xn − yn
x − y
=
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 33
+ xyn−2
+ xyn−2
Nro. de términos=
Dado el cociente notable , el número de
términos viene dado por:
xn + yn
x − y
Nunca es cociente notable
(a;b) f (a;c) f b = c
NÚMERO DE TÉRMINOS DE UN
COCIENTE NOTABLE:
x4 − y4
=
x + y
xn − yn
x + y
Es cociente notable
"n" par
solo para
Ejemplo 1:
TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE
NOTABLE:
Donde:
• "n" es el número de términos.
• "k " lugar del término.
El signo se determina según el caso que se
tenga:
EJERCICIOS
1. En el siguiente cociente notable
(x + 2)16 − (x − 2)16
2(x2 + 4)
quinto término para
. El valor numérico del
x = 1 es:
a) −729
b) 126
c) 81
d) 243
e) 729
2. Si el cociente
x6n+1 − y5n
x2n−3 − yn
es exacto,
entonces el valor de "n" , donde n , es:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
El desarrollo que se obtiene es:
x + x y + xy + y
3 2 2 3 x
4 − y4
=
x − y
Dado cociente notable , el termino de
lugar viene dado por:
xn + yn
=
x + y
Ejemplo 1:
x − x y + x y −
n−1 n−2 n−3 2
− y n−1
x3 + y3
=
x + y
x − xy + y 2 2
xn − yn
=
x + y
x − x y + x y −
n−1 n−2 n−3 2
− y n−1
x − x y + xy − y
3 2 2 3
xn + yn
x + y
II) SEGUNDO CASO
Es cociente notable solo para "n"
impar
El desarrollo del cociente notables es:
III) TERCER CASO
IV) CUARTO CASO
divisor
Signo de Tk
"k " es par "k " es impar
x + y − +
x − y + +
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 34
e) 10
p 432
7. Sabiendo que xa y24 es el término central del
x75 − yb
3. Si el cociente de
x − y
x3 − y p es exacto, indicar
desarrollo del cociente exacto:
xc − y2
. El
el total de sus términos.
a) 6
b) 12
c) 18
d) 24
e) 30
valor de E = a + b + c está dado por:
a) 39
b) 49
c) 59
d) 69
e) 89
xn −1
x19 − y19
8. Si
x2 −1
es un cociente notable de 4
4. Dada la división algebraica
x − y
; indique
términos. La suma de los términos 3ro y 4to
cuál de las siguientes expresiones no es un
término del desarrollo del cociente notable
dado:
es:
a)
b)
x4 +1
x4 + x2
a) x12 y6
b) x10 y8
c) x9 y9
c) x2 +1
d) x2 + x
e) x +1
d) x14 y3
e) x7 y11
9. El coeficiente del tercer término del desarrollo
x12 −16
5. Si el quinto término del desarrollo del siguiente
del cociente
2x3 + 4
es:
x14 − y35
9−a 12+b a) 2
cociente notable:
x2 − y5
es x y . El
b)
1
valor de "a + b" es:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 13
e) 11
2
c) 8
d) 6
e) 1
10. El grado absoluto del primer término central
x15n+50 − y15n−10
6. El coeficiente del cuarto término del desarrollo
32x5 + 243y5
del cociente notable
a) 11
xn+1 − yn−2
es:
de
2x + 3y
a) −108
b) −27
c) −54
d) −81
es:
b) 106
c) 63
d) 40
e) 72
11. Si
son términos
e) −12 consecutivos del desarrollo de un cociente
notable. El número de términos que posee es:
a) 61
b) 100
c) 63
d) 72
x195 y140 + x190 y147
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 35
e) 60
12. El número de términos que tiene el siguiente
(x − a)n − (2ax)2n−21
a) 20
b) 84
c) 48
d) 36
cociente notable
a) 3
b) 7
c) 11
x2 + a2
es:
e) 42
17. El cociente de la división:
x95 + x90 + x85 + x80 + + x5 +1
x80 + x60 + x40 + x20 +1
es:
d) 17
e) 22
13. Dado el siguiente cociente notable
x20 − y30
x2 − y3
a) q(x) = x15 − x10 + x5 −1
b) q(x) = x15 +1
c) q(x) = x15 + x10 + x5 +1
d) q(x) = x15 − x5 +1
. El lugar que ocupa el término que contiene a e) q(x) = x15 −1
x10 es: 18. Si en el desarrollo del cociente notable
xn+3m − y7m
a) Sexto.
b) Quinto. x
2 − y4
hay 14 términos, entonces el
c) Octavo.
d) Cuarto.
e) Décimo.
14. Si el T25 del desarrollo de:
x129m − a86n
x3m − a2n
viene
grado absoluto del término que ocupa el lugar
(m − n) , es:
a) 8
b) 16
dado por
(m + n) es:
a) 11
b) 13
x270a288 , entonces el valor de
c) 32
d) 64
e) 72
19. Dado el siguiente cociente notable
x3n+2 − y5n−1
c) 21
x2 − yn−5
, entonces el grado absoluto del
d) 15
e) 31
15. En el desarrollo del cociente notable:
x148m − y296 p . El termino de lugar 60 es
x2m − y4 p
x56 y708 , entonces el grado del término de
lugar 21 es:
a) 234
décimo primer término en el cociente notable,
es:
a) 25
b) 32
c) 30
d) 28
e) 34
x8 (x2 y2 ) + y−8
b) 432
20. La expresión
x2 y2 +1
genera un
c) 214
d) 532
n −n
cociente notable. Si Tk = x y es un término
e) 452 de esta división, entonces el término Tk
es:
16. Dado el cociente notable x
− y
. Si:
a) Tk = x
8 y−8
T6 .T9
T7
es:
= x12 y28
x3 − y4
, entonces el valor de " + "
b) Tk
c) Tk
d) Tk
= x4 y−4
= x10 y−10
= x5 y−5
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 36
e) Tk = x
2 y−2
x25n − y25n
21. Si al dividir
x3
n −1 + y3
n −1
se obtiene como
segundo término −x16 y8 . El número de
términos que tiene el cociente es:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
22. Si el desarrollo del siguiente cociente notable
(x +1)11 + (x −1)11
tiene un término de la
x
forma a(x2 −1)b , entonces el valor de
T = a + b es:
a) 3
b) 8
c) 5
d) 7
e) 11
23. El número de términos que tendrá el cociente
x5m+10 − y5m−50
notable
x2n+9 − y2n+5
;{m; n} es:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
24. Sabiendo que al dividir:
x2
n
− y2
n
x3
m −1 + y3
m −1
se obtiene un cociente cuyo
segundo término es −x8 y8 . El número de
términos del cociente notable es:
a) 4
b) 3
c) 5
d) 6
e) 7
PLANA DOCENTE 37
) )
(a + b) c = ac + bc
CAMPO NUMÉRICO
DEFINICIÓN. Un campo es un conjunto no
vacío " K " , que está dotado de dos operaciones
binarias, que se denominan suma y
multiplicación y que son representadas por los
símbolos " +" y "" respectivamente y se
11. Propiedad Distributiva
a, b, c K ,
a(b + c) = ab + ac
Ejemplo 1:
El conjunto de los números racionales ( ) ,
reales ( y complejos ( constituyen
cumplen las siguientes propiedades:
PARA LA ADICIÓN:
1. Propiedad de la clausura
a,b K, a + b K
2. Propiedad asociativa
a,b, c K, a + (b + c) = (a + b) + c
3. Propiedad conmutatividad
a,b K, a + b = b + a
4. Propiedad de la existencia del elemento
neutro aditivo
!0 K / a K, a + 0 = a
5. Propiedad Existencia del elemento
inverso aditivo
a K;!− a K / a + (−a) = 0
ejemplos de campos.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
DEFINICIÓN.La factorización es la
transformación de un polinomio, como el
producto de dos o más factores primos dentro de
un cierto campo numérico.
En este caso factorizaremos mayormente en el
campo de los números racionales.
FACTOR PRIMO
DEFINICIÓN. Un factor primo es aquel
polinomio que no es posible transformar en el
producto de dos polinomios, es decir, es aquel
polinomio que no es posible factorizar.
NUMERO DE FACTORES DE UN
POLINOMIO
PARA LA MULTIPLICACIÓN:
Sea: P ( x, y, z ) = x y z
un polinomio
6. Propiedad de la clausura
a,b K, a b K
expresado en el producto de sus factores.
a) El número de factores del polinomio es:
7. Propiedad asociativa
a,b,c K, a(bc) = (ab)c
Nro. de factores = ( +1) ( +1) ( +1)
b) El número de factores primos del polinomio
8. Propiedad conmutatividad
a,b K, ab = ba
es:
Nro. de factores = 3 , estos son x, y
y z .
9. Existencia del elemento neutro
multiplicativo
c) El número de factores algebraicos del
polinomio es:
!1 K / a K, a1 = a
10. Existencia del elemento inverso
multiplicativo
Nro. Fact. algebraicos = ( +1) ( +1) ( +1) − 1
Ejemplo 1:
a K −{0};!a−1 K / aa−1 =1 Dado el polinomio P ( x, y, z ) = ( x +1) y
2 ( z +1)
2
determinar el número de factores, factores
primos y factores algebraicos.
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 38
Solución: P ( x) = x6 (x3 −1) − 64(x3 –1)
✓ Núm. Factores = (1+1) (2 +1) (2 +1) = 18 = (x
3
–1) ( x6 − 64)
✓ Núm. Fact. Primos = 3 y estos son = (x
3
–1) ( x3 )
2
− 8
2
( x +1), y, ( z −1)
✓ Núm. factores algeb. = (1+1)(2 +1)(2 +1) –1 = 17 = (x –1) ( x2 + x +1) (x3 – 8) (x3 + 8)
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
1. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN
Este método consiste en extraer un factor
común monomio o un factor común
polinomio a todos los términos del polinomio.
Ejemplo 1:
Factorizar P ( x) = 2a2 x + 4ax2 − 6ax
Solución:
Factorizando P ( x) = 2ax (a + 2x − 3)
Ejemplo 2:
= (x –1) (x2 + x +1) ( x − 2) ( x2 + 2x + 4)( x + 2) (x2 – 2x + 4)
El número de factores primos es 6 .
3. ASPA SIMPLE
Este método es aplicable para polinomios que
tienen la forma general:
o cualquier otra expresión transformable a esta.
Ejemplo 1:
Factorizar: P(x) = 6x2 − 5x − 21
Solución:
P(x) = 6x
2
− 5x − 21
Factorizar P ( x; y ) = ax + by + ay + bx
2x + 3 (3x)(+3) =
9 x +
Solución:
Agrupando
P ( x, y ) = (ax + ay ) + (bx + by )
3x − 7 (2x)(−7) = −14x
− 5x
Factorizando
P ( x, y) = a ( x + y) + (bx + y )
P ( x, y) = ( x + y)(a + b)
2. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES
P(x) = (2x + 3 )(3x − 7 )
4. ASPA DOBLE
Este método se aplica para polinomios que
tienen la forma:
Recibe el nombre de las identidades, porque
se utiliza las identidades algebraicas o
con n, m
+ o cualquier otra expresión
productos notables.
Ejemplo 1:
Determinar el número de factores primos del
polinomio
P ( x) = x9 − x6 − 64x3 + 64
Solución:
Agrupando y factorizando el factor común:
transformable a esta.
Para factorizar el polinomio por este método se
procede los siguientes pasos.
a) Se ordena el polinomio a la forma general,
en caso falte uno o más términos se
completa con ceros.
b) Se forma el primer trinomio con los tres
primeros términos y se aplica aspa simple,
para comprobar el segundo término.
c) Luego se forma otro trinomio con los
términos (3,5 y 6) para comprobar el quinto
termino.
P ( x) = Ax2n + Bxn + C; n +
P(x; y) = Ax2m + Bxm yn + Cy2n + Dxm + Eyn + F
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 39
d) Finalmente se aplica un aspa simple con los
términos (1,4 y 6) para comprobar el cuarto
término.
e) Los factores serán sumas horizontales.
Ejemplo 1:
Factorizar
P ( x, y ) = 15x2 +19xy + 6 y2 + 5x + 4 y −10
Solución:
P ( x, y ) = 15x2 +19xy + 6 y2 + 5x + 4 y −10
d) Los factores serán las sumas horizontales.
Ejemplo 1:
Factorizar
P ( x) = 5x4 + 22x3 + 21x2 +16x + 6
Solución:
P ( x) = 5x4 + 22x3 + 21x2 +16x + 6
5x2
3
x2 2
3x 2 y − 2
5x 3y 5
Comprobando: Aspa simple con los términos
(1,4 y 6) 15x –10x = 5x
Los factores son:
P ( x, y ) = (3x + 2 y − 2)(5x + 3y + 5)
multiplicando los extremos y sumando los
resultados se tiene 13x2 para 21x2 falta 8x2
P ( x) = 5x4 + 22x3 + 8x2 +16x + 6
5x2 2x 3
x2 4x 2
Los factores son:
5. ASPA DOBLE ESPECIAL
Este método se aplica para factorizar polinomios
que adoptan a forma:
También puede ser:
P ( x) = (5x2 + 2x + 3)(x2 + 4x + 2)
6. MÉTODO DE EVALUACIÓN DE
DIVISORES BINOMIOS
Este método se emplea para factorizar
polinomios de una sola variable y de cualquier
grado y que admitan factores de primer grado de
la forma general ax + b .
Con
m, n +
o cualquier otra expresión
Los ceros de un polinomio son el conjunto de
valores que puede tomar la variable de un
transformable a estas.
Para factorizar este polinomio se tomará en
cuenta los siguientes pasos:
a) Se ordena el polinomio a la forma general,
en caso de que falte uno o más términos se
completa con ceros.
b) Se descompone convenientemente los
extremos, se efectúa el producto en aspa y
se suman los resultados.
c) Se compara el resultado anterior con el
término central del polinomio y lo que sobre
o falte para que sea igual o éste, será la
expresión que se tenga que descomponer en
las partes centrales de los futuros nuevos
dos factores.
polinomio y hacer que su valor numérico sea
cero.
Para determinar los posibles ceros de un
polinomio se considera:
a) Si el polinomio tiene como coeficiente
principal a la unidad, en este caso los
posibles ceros racionales (P.C.R) estarán
dados por los divisores del término
independiente con su doble signo () .
Por ejemplo:
Par el polinomio:
P ( x) = x3 + 3x2 +11x + 6
Los posibles ceros estarán determinados por
los divisores de 6 : 1, 2, 3, 6
P ( x) = Ax4n + Bx3n + Cx2n + Dx + E; n +
P ( x, y ) = Ax4m + Bx3m y + Cx2m y2n + Dxy3n + Ey4n
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 40
b) Si el coeficiente principal del polinomio es
diferente que la unidad, en este caso se
toman los valores fraccionarios que resultan
de dividir los divisores del término
independiente entre los divisores del primer
coeficiente.
Donde:
• P.C. R : Posibles ceros racionales.
• T. I : Termino independiente.
• C.P : Coeficiente principal.
Por ejemplo:
Para el polinomio
P ( x) = 6x3 +11x2 + 6x +1
Los posibles ceros son:
Entonces:
P ( x) = x4 + x3 − 7x2 − x + 6
= ( x −1)( x +1)( x − 2)( x + 3)
EJERCICIOS
P.C.R = 1,
1
,
1
,
1
,
1
1. Con relación a la factorización del polinomio
2 2 3 6 P ( x) = x4 – 49 . En las siguientes
Para factorizar el polinomio por este método se
procede los siguientes pasos.
a) Se ordena el polinomio, en caso que falte
uno o más términos se completa con ceros.
b) Se determina los ceros del polinomio, (el
número de ceros debe estar de acuerdo con
el grado del polinomio)
c) Se deduce el factor que da lugar al cero del
polinomio; si un polinomio P(x) se anula
proposiciones escribir (V) si es verdadero o
(F) si es falsa:
I. Al factorizar en el conjunto de los números
racionales, tiene dos factores primos.
II. Al factorizar en el conjunto de los números
reales, tiene tres factores primos.
III. Factorizando en el conjunto de los
números complejos, tiene 4 factores
primos.
para x = a o P(a) = 0, entonces (x − a) La secuencia correcta, es:
será un factor primo del polinomio.
Es decir, P(x) = (x − a)q(x)
d) Los factores se determinan utilizando el
método de Ruffini, el cual se emplea tantas
veces como ceros tenga el polinomio.
Ejemplo 1:
FactorizarP(x) = x4 + x3 – 7x2 – x + 6
a) FVF
b) FFV
c) VVV
d) VFF
e) FFF
2. En las siguientes proposiciones, indicar con
(V) si es verdadero o con (F) si es falso.
I. El polinomio P ( x) = ( x + 5)( x + 2) está
Solución:
factorizando en el campo de los números
naturales.
Los posibles ceros son: 1, 2, 3, 6 ,
II. El polinomio P ( x) = x (x2 − 5)
esta
Donde:
P (1) = 0, P (−1) = 0, P (2) = 0, P (−3) = 0
factorizado en el campo de los números
racionales.
P.C.R =
Div.(T.I )
Div(C.P)
1 1 -7 -1 6
1 1 2 -5 -6
1 2 -5 -6 0
-1 -1 -1 6
1 1 -6 0
2 2 6
1 3 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 41
III. El polinomio P ( x) = (x + 5 )(x − 5 )
está factorizando en el campo de los
números racionales.
a) 4
b) 3
c) 1
d) 2
IV. El polinomio P ( x) = x (x2 – 9) está
e) 5
factorizando en el campo de los números
racionales.
6. El número de factores primos de
P ( x) = x9 – x6 − 64x3 + 64 , es:
V. El polinomio P ( x) = ( x – 4)(x2 + 3x + 9)
a) 3
está factorizando en el campo de los
números reales.
VI. El polinomio P ( x) = x4 – 5x2 – 36 , tiene 3
factores primos en el campo de los
números reales.
La secuencia correcta es:
a) FVFFVV
b) VVFFVV
c) FFVVFF
d) VVFVFF
e) FFFVFV
3. Al factorizar el polinomio:
P ( x) = x5 + x4 + 2x2 – 1
el factor primo de mayor grado es:
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
7. Al factorizar:
P ( x) = ( x + 2)
2
x2 – 4x ( x – 5) – 25
La suma de coeficientes de factores primos
lineales es:
a) 6
b) 4
c) 3
d) 5
e) 2
8. La suma de los términos independientes de
los factores primos de
a) x3 – x +1
b) x3 + x −1
c) x3 + x +1
P ( x, y ) = 20x2 – 33x – 17 y + 7 + 6 y2 + 22xy
, es:
a) −3
d) x3 – x −1 b) 4
e) x3 + 2x +1 c) −8
d) −4
4. Al factorizar el polinomio:
P ( x) = x4 – 16x2 + 24x – 9
la suma de los coeficientes de los términos
lineales de los factores primos lineales es:
a) 2
b) 3
c) 4
e) 5
9. La suma de los términos cuadráticos de los
factores primos del polinomio
P ( x) = 5x4 +16x + 6 + 22x3 + 21x2 , es:
a) 6x2
b) 2x2
d) −2
e) −1
c) 5x2
d) – 3x2
5. El número de factores primos de
P ( x, y, z ) = x2 + 2xy + y2 – z6 , es:
e) 4x2
10. La suma de factores primos del polinomio
P ( x) = 48x4 + 20x3 – 20x2 – 5x + 2 , es:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 42
a) 10x + 2
b) 11x +1
c) 10x + 3
d) 10x − 2
e) 11x + 2
11. El número de factores de:
P ( x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , es:
a) 16
b) 12
c) 18
d) 14
e) 10
12. Uno de los factores primos del polinomio
P ( x, y ) = 5x2 – y2 +10x – 2 y+4xy , es:
16. Al factorizar el polinomio,
P ( x) = ( x +1)(x2 +1)
10
– ( x +1)
5 (x2 +1)
11
La suma de los términos independientes de
los factores primos lineales es;
a) 2
b) 3
c) 1
d) 4
e) 5
17. Uno de los factores primos del polinomio
P ( x, y ) = 4ax – 2bx + 6ay – 3by , es:
a) 2x + 3y
b) x − y
c) 3x + 2y
d) y − x
a) x + y –2
b) x − y + 2
e) zx − 3y
c) x + y –3 18. La suma de los términos independientes de los factores primos del polinomio.
d) x − y –1
e) x − y + 3
P ( x, y ) = 21xy – 39 y2 + 56x – 92 y + 32 ,
es:
13. Al factorizar el polinomio:
P ( x) = 30x3 – 97x2 + 92x – 21 , la suma de
sus factores primos es:
a) 9x –10
b) 10x –11
c) 10x +10
d) 9x +10
e) 11x –10
14. La suma de los factores primos del polinomio
P (a) = 3a3 – 7a2 – 22a + 8 , es:
a) 5a – 3
b) 5a + 2
a) 10
b) 9
c) 12
d) 11
e) 8
19. Después de factorizar el polinomio
P ( x) = ( x2 + x −1)
2
+ (2x +1)
2
, la suma de
los términos independientes de sus factores
primos es:
a) 2
b) 4
c) 3
c) 5a – 2
d) 5a +1
d) −1
e) −2
e) 5a + 3
15. Al factorizar el polinomio
x4 –11x2 +1, la
20. Luego de factorizar el polinomio
P ( x) = ( x4 + x2 +1)
2
+ 3x4 + 3x2 –15 . Uno
suma de los factores primos es: de los factores primos es:
a) 2x2 – 2 a) x + 2
b) 2x + 2 b) x −1
c) 2x2 + 2
d) 2x2 – 3
e) 2x2 +1
c) x − 2
d) x +1
e) x − 3
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 43
21. La suma de los coeficientes de uno de los
factores primos del polinomio:
P ( x) = x5 – 4x3 + x2 – 4 , es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
22. El número de factores primos del polinomio
P ( x, y ) = x3 y2 + y3z2 – x3z2 – y5 ; es
a) 3
b) 2
c) 4
d) 5
e) 1
23. Al factorizar el polinomio
26. Al factorizar: P ( x) = x5 + 4x4 – 10x2 – x + 6
resulta:
a) ( x –1)
2
( x +1) ( x + 2)( x + 3)
b) ( x – 1)( x +1)( x − 3)( x − 2)
c) ( x +1)
2
( x −1) ( x + 3)( x − 2)
d) ( x +1)
2
( x − 2)( x + 3)
e) ( x –1)
2
( x +1) ( x − 3)( x − 2)
27. El equivalente al polinomio
P ( x) = x4 + 8x2 + 36 , es:
a) (x2 – 2x + 6)(x2 + 2x + 6)
b) (x2 + 2x + 6)(x2 − 2x + 6)
c) (x2 – 2x − 6)(x2 − 2x − 6)
d) (x2 – 2x + 6)(x2 − 2x − 6)
P ( x) = 6x2 + 20 y2 + 23xy + x + 6 y – 2 , Ia e) (x2 + 2x − 6)(x2 + 2x + 6)
suma de coeficientes de sus factores primos
es:
a) 10
b) 5
c) 15
d) 12
e) 8
24. La suma de sus términos independientes de
los factores primos del polinomio
P ( x) = x4 + 2x3 + 5x + 2 , es:
a) 2
b) 3
c) −3
d) −2
28. Luego de factorizar el polinomio
P ( x) = 2x5 – x4 – 12x3 + 22x2 – 14x + 3 la
suma de sus factores primos es:
a) 3x –1
b) 4x –1
c) 3x +1
d) 4x +1
e) 2x –1
29. Uno de los factores primos del polinomio
P ( x) = ( x2 + x)
2
–18( x2 + x) + 72 , es:
a) x – 1
b) x + 2
e) 4
25. Al factorizar:
resulta igual a:
2x2 – 5xy – 3y2 – y – 9x + 4 ,
c) x + 3
d) x + 4
e) x – 2
30. Al factorizar el polinomio
P ( x) = x7 + 27x4 – x3 – 27 , el número de
a) (2x + y – 1)( x – 3y + 4)
b) (2x + y – 1)( x – 3y − 4)
c) (2x − y +1)( x + 3y − 4)
d) (2x − y – 1)( x + 3y + 4)
e) (2x + y – 1)( x – 2 y + 4)
factores primos es:
a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 44
31. La suma de los factores primos del polinomio 36. Uno de los factores primos de polinomio
P ( x) = 2x3 – 84x – 72 , es: P ( x) = x4 – 4x3 +11x2 – 14x +10 es:
a) 3x + 4
b) 3x − 5
c) 3x − 2
d) 3x + 3
e) 3x + 5
32. Uno de los factores primos del polinomio
a) x2 – 2x + 5
b) x2 + 3x + 5
c) x2 – 2x + 3
d) x2 + 2x + 2
e) x2 – 2x − 5
P ( x, y ) = 10x2 +11xy – 6 y2 – x – 11y – 3 ,
es:
a) (5x + 2 y + 3)
b) (5x − 2 y + 3)
c) (5x − 2 y − 3)
37. La suma de los términos independientes de
los factores primos lineales del polinomio
P ( x) = x5 – 10x3 – 20x2 – 15x – 4 , es:
a) 3
b) 2
c) 4
d) (4x + 2 y + 3)
d) −3
e) −1
e) (4x − 2 y + 3)
33. La suma de los factores primos del polinomio
P ( x) = 6x3 – 13x2 + 4 ; es:
a) 5x − 3
b) 6x − 3
38. La suma de los coeficientes de los factores
primos del polinomio
P ( x) = ( x − 3)
2
( x − 5)( x −1) − 5( x − 4)( x − 2) + 3
es:
a) 1
b) 2
c) 7x − 3
d) 5x + 3
e) 6x + 3
c) −2
d) −3
e) −1
34. La suma de los factores primos del polinomio 39. Al factorizar P ( x) = 4x8 – 16x4 + 9 . El
P ( x, y ) = 10x2 – 7xy – 12 y2 – 21x – 26 y – 1
, es:
a) 7x + y – 3
b) 7x − y − 2
c) 7x + y – 2
d) 7x − y + 3
e) 7x − y + 2
35. La suma de factores primos lineales de
P ( x) = x3 + 3x2 + 2x , es:
a) 2x + 2
b) 3x + 3
c) 2x + 4
d) 3x + 3
e) 2x + 3
número de factores primos es:
a) 3
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
40. Un factor primo del polinomio:
P(x; y; z) = 2 ( x + y + z )
2
+ ( x + y – z )
2 + 5(x2 + y2 – z2 + 2xy)
es:
a) 3x – 3y + z
b) 3x – 3y − z
c) 3x + 3y + z
d) 3x + 3y − z
e) 3x – 2y + z
PLANA DOCENTE 45
C
xy 5 x3 yz3
x − 5
x − 5
x
4 x − 4 y 4 x − 4 y
4 x + 4 y
4 x + 4 y
. =
DEFINICIÓN. La racionalización es el proceso
que consiste en transformar el denominador (o
Ejemplo 2:
Racionalizar
numerador) irracional de una expresiónfraccionaria, en otra expresión racional a través
de un factor denominado factor racionalizador.
B
donde:
=
B.FR1.FR2
x2 y
FR = 8 x3 y FR =
FACTOR RACIONALIZADOR (FR)
DEFINICIÓN. Es una expresión irracional cuyo
1 2
Ejemplo 3:
Racionalizar
objetivo es transformar una expresión irracional
en otra racional, para ello se multiplica tanto al
numerador y denominador de la fracción por este
factor racionalizador, obteniendo de esta forma
un denominador racional.
C
donde:
= =
C.FR
x2 y2z
FR =
CASOS DE RACIONALIZACIÓN
Para racionalizar fracciones con radicales en los
denominadores, estudiaremos los siguientes
casos:
CASO I:
Cuando el denominador irracional es un
monomio de índice radical de cualquier orden.
El FR es un radical que tenga el mismo índice,
pero cuyos exponentes del radicando estarán
expresados por la diferencia existente entre el
índice origina de la raíz y los exponentes que
afectan a sus variables esto es:
CASO II:
Cuando el denominador irracional es un
binomio (o transformable a binomio) cuyos
radicales son de segundo orden (o índice par)
El FR es la conjugada del denominador que se
empleará tantas veces hasta que el denominador
quede transformado en una expresión racional.
N
FR = a − b
a + b
N
a − b
FR = a + b
Ejemplo 1:
Racionalizar
A
=
A
=
A.FR
Ejemplo 1:
Racionalizar
donde: FR = − 5
Ejemplo 2:
x − 25
A
=
A 7 x3 y5
7 x4 y2 7 x4 y2
donde: FR =
7 x3 y5 xy Racionalizar
B
=
B
. =
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
A7 x3 y5
7 x3 y5
8 x5 9 x7 y2
9 x2 y7
3 x8 y6 z3
5 x2 y4 z2
x + 5 x + 5
N
FR = m am-n ; m, n m n
m an
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 46
B 4 x + 4 y
2 x − 2 y
2 x + 2 y
2 x + 2 y
4 x 2 x
3 62 3 (6)(1)
3 25 − 3 15 + 3 3
3 5
6
3 18 + 2 3
= . =
B.FR1.FR2
x − y
2. Evaluar:
E =
donde: FR1 = + 4 y , FR2 = +
CASO III:
Cuando el denominador irracional es un
radical de tercer orden de las formas:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
3. El denominador racional de la fracción
es:
Para este caso se debe tener en
siguientes equivalencias algebraicas:
a + b = ( 3 a + 3 b)( 3 a2 −
a − b = ( 3 a − 3 b)( 3 a2 +
Ejemplo 1:
Racionalizar
cuenta las
a) 10
b) 20
c) 15
d) 25
e) 5
4. El denominador racional de la fracción
es:
a) 4
A
=
A.FR
7
donde: FR = − +
Ejemplo 2:
Racionalizar
B
=
B.FR
28
b) 3
c) 6
d) 2
e) 5
5. El denominador racional de la fracción
es:
a) 6
b) 9
Donde: FR = + 3 3
EJERCICIOS
c) 3
d) 12
e) 1
6. El denominador racionalizado de:
1. El denominador racionalizado de:
A
1
es:
a) 4
b) 3
c) 6
d) 2
e) 5
es:
a) 3
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
2 y
3 ab + 3 b2 )
3 ab + 3 b2 )
3 6 +1
3 12
2 + 2 − 4 2
3 (x +1)2 + 3 (x2 −1 + 3 (x −1)2
2( 3 (x +1 + 3 (x −1)
2
11 + 5
1
3 81 + 3 36 + 33 2
3 81 + 3 16 − 23 36
N FR =
3
a
2 3 ab +
3
b
2
3 a 3 b
N FR = 3 a2 3 b
3 a2 3 b 3 b2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 47
1
3 4 − 2
5 3x
10
y
4
z
1
33 3 + 3 36 + 23 2
3 3 +
3 5 + 3 7
7. El denominador racionalizado de: E = es:
18 y
a) 12y2z
b) 6 yz
c) 3yz2
d) 3yz
e) 12 yz2
es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
13. El denominador racional de la fracción
8. El denominador racional de:
es:
a) 20
b) 10
c) 15
d) 25
E =
a) 5 y
b) 10y
c) 6y
d) 3y
e) 2y
es:
e) 5
9. El denominador racionalizado y simplificado
14. El denominador racional de la fracción
de la expresión:
2
a) 6
b) 8
es:
a) x − 49
b) x −12
c) x − 7
d) x − 3
con x 0 , es:
c) 12
d) 10
e) 7
10. El denominador de la fracción
e) x
15. El denominador racionalizado y simplificado
de la fracción
10
es:
E =
a) 3
b) 4
c) 5
d) 2
e) 1
es:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
f)
16. Al racionalizar el denominador de
11. El denominador racionalizado y simplificado
de
8x
4
y
3
z
E
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 5
12. El denominador racional de
E =
simplificada es:
a) 2
b) 9
c) 1
d) 4
e) 6
La expresión
5 613 y14 3 z
7 23 11 35 23 410
1
33 3 + 23 2 − 3 36
3x
4 y 2 x + 2 y 3x
x2 −16
9 x + x +14
3 3
3 27 + 3 18 + 3 12
=
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 48
a + b − a − b
4 xy3z8
−20
x − 3 + 3x + 5
=
17. El denominador racional de: a) x +1
E =
2
a) 2b
es: b) x −1
c) x + 2
d) x − 2
b) a
c) b
d) 1
e) 2a
e) 2x
22. El denominador racional de la expresión
53 3
E , es:
3 108 + 3 48 − 3 72
18. Si es una expresión irracional el
a) 1
denominador, racionalizado y simplificado, es:
a) 2x
b) 1
c) x
d) 2 − x
e) 2
19. El denominador racionalizado y simplificado
de la expresión:
b) 5
c) 3
d) 2
e) 4
23. El denominador racional de la fracción
es:
a) 6
E =
a) 4
b) 5
c) 7
d) 6
es: b) 12
c) 18
d) 3
e) 9
24. El denominador racionalizado y simplificado
de la expresión
e) 1
20. Si x, y, z
E =
xyz
+
entonces en la expresión
, el denominador racionalizado y
N =
a) 5
b) 4
c) 3
, es:
simplificado, es:
a) z
b) xy
c) y
d) x
e) xz
21. Indique el denominador luego de racionalizar
la expresión
d) 2
e) 1
25. El denominador racionalizado de:
es:
a) x −1
b) x +1
c) x − 4
F (x) =
es:
, con x 1 , d) x + 4
e) x − 2
26. El denominador racionalizado y simplificado
2x − 6 y
de es:
85 x2 − 6xy + 9 y2
2x
2x + x
8
3 18 − 3 12 + 3 8
2 x +1
x −1 − 2x + x +1
2
11 + 2 + 3
3
5 − 15 + 10 − 6
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 49
1
2 + 2
2
2 + 6
1
2 2 + 6
x -1 − x +1
x +1 + x −1
3 7 + 3 2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
27. Después de racionalizar y simplificar la
expresión:
E = + + el
denominador es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
28. Al racionalizar y simplificar la expresión
P = el denominador es:
a) 2
b) 3
c) 6
d) 1
e) 4
29. Después de racionalizar y simplificar el
denominador de:
N =
12
es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3
30. Al racionalizar: el
25 + 53 5 + 3 25
denominador es:
a) 4
b) 3
c) 6
d) 5
e) 7
PLANA DOCENTE 50
ECUACIONES
DEFINICIÓN. Una ecuación es una igualdad
condicional de polinomios (o expresiones) que
contiene una o más variables.
CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA
Ejemplo 1:
Consideremos la ecuación:
( x + 3)( x − 8) = 0
x + 3 = 0 x − 8 = 0
Entonces x = −3 x = 8
x2 − 5x − 24 = 0
ECUACIÓN
DEFINICIÓN. Se llama conjunto solución de
una ecuación, al conjunto de valores o
soluciones que sustituidos en lugar de las
incógnitas transforman a las ecuaciones en
identidades.
Ejemplo 1:
Por lo tanto, el conjunto solución es:
C.S = −3;8
b) Ecuación compatible indeterminada
Es cuando la ecuación admite un número
infinito de soluciones.
Ejemplo 1:
En x + 5 = 3, x = −2 es la raíz o solución de la Dada la ecuación:
ecuación cuyo C.S = −2 .
ECUACIONES EQUIVALENTES
DEFINICIÓN. Son aquellas ecuaciones que
tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo 1:
✓ x + 5 = 3, sólo se verifica para x = −2
✓ 2x + 5 =1, sólo se verifica para x = −2
Las ecuaciones: x + 5 = 3 y 2x + 5 =1, Son
equivalentes, puesto que para ambas:
C.S ={−2}
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
SEGÚN SU SOLUCIÓN
A. ECUACIÓN COMPATIBLE:
Es aquella ecuación que tiene al menos una
solución y esta a su vez pueden ser:
a) Ecuación compatible determinada
Es cuando la ecuación admite un número
finito de soluciones.
(x + 2)2 +1 = (x +3)2 − 2x − 4
Luego tenemos que:
x2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 5
0 = 0 ;x
Por lo tanto, el conjunto solución es:
C.S = (Infinitas soluciones)
B. ECUACIÓN INCOMPATIBLE
(INCONSISTENTE)
Es aquella ecuación que no admite solución.
Ejemplo 1:
Dada la ecuación:
(x + 2)2 −1 = x2 + 4x +12
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x +12
3 = 12
Lo es que un absurdo.
Por lo tanto, la ecuación no admite solución
alguna, luego se tiene que: C.S =
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 51
a 0 b
a = 0 b 0
x2 +
b
x +
c
= 0; a 0
a a
a 0 b;c
a
ECUACIÓN DE PRIMER
GRADO CON UNA
VARIABLE REAL
ANÁLISIS DE LA SOLUCION DE UNA
ECUACIÓN CUADRÁTICA
Dada la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 .
I. Si , entonces la ecuación
DEFINICIÓN. Es una ecuación que se
reducen a la forma ax + b = 0 ; a 0 y
cuadrática es compatible determinada.
a,b , siendo " x" la variable o incógnita II. Si , entonces la ecuación
que pertenece a los reales, la ecuación se llama
forma general de la ecuación de primer grado
cuadrática es compatible indeterminada.
con una variable real. − III. Si , entonces la ecuación
la solución de la ecuación es: x =
b
, luego el
a
cuadrática es incompatible (inconsistente).
conjunto solución es: C.S =
−
b
ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES
Dada la ecuación: ax + b = 0
I. Si , la ecuación es
compatible determinada y tiene solución
única.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN
CUADRÁTICA
La ecuación cuadrática:
ax2 + bx + c = 0 ; a 0 se puede resolver
mediante una factorización o utilizando la
fórmula de Baskara.
1. MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
Este método se utiliza cuando el trinomio
II. Si
, la ecuación es
ax2 + bx + c
el teorema:
es factorizable luego se utiliza
compatible indeterminada y tiene infinitas
soluciones, entonces C.S =
III. Si , la ecuación es
incompatible y no tiene solución, entonces
C.S =
ECUACIÓN DE SEGUNDO
GRADO CON UNA VARIABLE
REAL
DEFINICIÓN. Una ecuación de segundo grado
con una variable real " x" es de forma general:
.
En la ecuación ax2 + bx + c = 0; a 0
debemos aplicar aspa simple al primer
miembro, es decir:
ax2 + bx + c = 0
a1 x c1
a2 x c2
(a1x + c1)(a2 x + c2 ) = 0
Se cumple sólo cuando
La forma normal de la ecuación cuadrática es:
a1x + c1 = 0 a2 x + c2 = 0 de donde el
conjunto solución es:
c c
C.S = −
1 ; − 2
a1 a2
a = 0 b = 0
ax2 + bx + c = 0 ;a,b,c a 0
a = b = c = 0
a = b = 0 c 0
Sean " p" y "q" expresiones algebraicas
p. q = 0 p = 0 q = 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 52
b2 − 4ac 0
2
Ejemplo 1: NATURALEZA DE SUS RAICES
Resolver la ecuación 2x2 − 3x − 9 = 0
En la ecuación a x2 + bx + c = 0; a 0 de
Solución: 2x2 − 3x − 9 = 0 coeficientes reales, con raíces " x " y " x ", se
2x 3
1 2
cumple:
x − 3
Se cumple sólo cuando
1) Si , entonces las raíces
y " x2 ", son raíces reales y diferentes.
" x1 "
2x + 3 = 0 x − 3 = 0
3 Ejemplo 1:
x = −
1
2
x2 = 3 Resolver la ecuación:
Solución:
x2 − 5x + 6 = 0
Luego el conjunto solución es: C.S =
−
3
;3
Tenemos que:
2
a =1 ; b = −2 ; c = 3
2. FÓRMULA DE BASKARA
Se utiliza cuando el trinomio ax2 + bx + c no
es factorizable en . Luego las raíces
(soluciones) de la ecuación esta dado por la
fórmula:
Luego:
= (−5)2 − 4(1)(6)
= 1 0
Es decir, la ecuación tiene dos raíces reales y
diferentes y estas se calculan usando el método
de factorización:
x2 − 5x + 6 = 0
donde se obtienen las raíces:
x − 3
x − 2
Luego se tiene: x − 3 = 0 x − 2 = 0
x = 3 x = 2
se llama
DISCRIMINANTE de la ecuación cuadrática
1 2
Luego el conjunto solución es:
C.S ={3; 2}
Ejemplo 1: 2) Si , entonces las raíces " x1 "
Resolver la ecuación: 2x2 − 3x −10 = 0.
Solución:
y " x2 ", son raíces reales e iguales.
Identificando a = 2 ; b = −3;c = −10 ,
reemplazando en la fórmula cuadrática
OBSERVACIÓN:
La ecuación cuadrática
a x2 + bx + c = 0 ,
tiene dos raíces reales e iguales o solución
−(−3) (−3)2 − 4(2)(−10) única, si el trinomio a x2 + bx + c = 0 es un
x =
x =
3
9 + 80
4
2(2)
trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación: 4x2 −12x + 9 = 0
x =
3 89
4
Solución:
Se tiene que:
Donde las raíces son: a = 4 ; b = −12 ; c = 9
Luego:
x1 =
3 + 89
x =
3 − 89
4 4
= (−12)2 − 4(4)(9)
= 0
x =
− b b2 − 4ac
2a
; a 0
b2 − 4ac = 0
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
x1 =
2a
x2 =
2a
Donde el número real b
2 − 4ac
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 53
2
Es decir, la ecuación posee raíces reales e
iguales y estas se calculan usando el método de
factorización:
PROPIEDADES
En toda ecuación cuadrática,
4x2 −12x + 9 = 0 ax
2 + bx + c = 0; a 0 de coeficientes reales,
2x − 3
2x − 3
con raíces " x1 " y " x2 ", se cumple:
(2x − 3)2 = 0 , Se cumple cuando
1. Suma de raíces:
2x − 3 = 0 2x − 3 = 0
3 3
2. Producto de raíces:
Donde x = x =
2 2
Luego el conjunto solución es:
C.S =
3
3. Diferencia de raíces:
4. Suma de las inversas de las raíces
3) Si , entonces las raíces " x1 "
y " x2 ", son raíces complejas y diferentes.
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación: 4x2 −12x + 9 = 0
Solución:
Se tiene que:
a =1 ; b = −2 ; c = 3
5. La ecuación que dio origen a las " x1 " y
" x2 ", es:
ax2 + bx + c = 0
x2 +
b
x +
c
= 0
a a
x2 −
−
b
x +
c
= 0
Luego:
a
a
= (−2)2 − 4(1)(3)
= −2 0
Es decir, la ecuación no posee raíces reales,
Ejemplo 1:
pues son complejas y estas se determinan
mediante el uso de la fórmula de Baskara.
Sean " x1 " y " x2 " raíces de
x =
−(−2) (−2)2 − 4(1)(3)
2(1)
3x2 + 7x + 2k = 0
El valor de "k ", si (x1 + 3)(x2 + 3) = 0 , es:
x =
2 −8
=
2 8i
2 2
Solución
3x2 + 7x + 2k = 0 x2 −
−
7
x +
2k
= 0
3
3
x =
2 2 2i
2
x + x = −
7
x . x
=
2k
x = 1 2i
x1 = 1+ 2i
x2 = 1− 2i
1 2
3
1 2
3
Nos pide:
donde:
número imaginario.
(x1 + 3)(x2 + 3) = 0 x1. x2 + 3(x1 + x2 ) + 9 = 0 2k
+ 3
−
7
+ 9 = 0 k = −3
3
3
x − x + x x + x .x = 0
2 ( 1 2 ) 1 2
b2 − 4ac 0
( −1 = i )
b2 − 4ac
x1 − x2 =
a
x + x =
−b
1 2
a
x .x =
c
1 2
a
1 + 1 = − b ; x 0 y x 0
x1 x2 c
1 2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 54
x1 + x2 = 0
x1.x2 =1
1 2
RAICES ESPECIALES TEOREMA DE LAS ECUACIONES
EQUIVALENTES
Sean " x1 " y " x2 ", raíces de la ecuación ax
2 + bx + c = 0
cuadrática ax2 + bx + c = 0
Sean las ecuaciones
mx2 + px + n = 0
, de
1. Si una de las raíces es el inverso aditivo de
la otra entonces las raíces son simétricas.
modo que tengan las mismas raíces (son
equivalentes), entonces:
se verifica:
Es decir: o
Si x1 = p es una de las raíces, entonces la
otra raíz será x1 =− p talque x1 + x2 = 0 .
Ejemplo 1:
Dada las ecuaciones equivalentes
2. Si una de las raíces es el inverso
multiplicativo de la otra entonces las raíces
son recíprocas.
(a
2 − b2 )x2 + (ab +1)x + 7 = 0
(a − b)x2 + x +1 = 0
Es decir: o
con a b el valor de
Solución:
a
3
+ b
3 , es:
Si x1 = p es una de las raíces, entonces la
x =
1
Por ser equivalentes las ecuaciones se cumple:
otra raíz será 1 tal que
p
x1x2 =1 .
( I ) ( II ) ( III )
a2 − b2
=
ab +1
=
7
Ejemplo 1: a − b 1 1
De ( I ) y ( II ):
La suma de los cuadrados de las raíces de la
ecuación:
(2k + 2)x2 +(4 − 4x)x + k − 2 = 0 , sabiendo
que las raíces son reciprocas, es:Solución:
(2k + 2)x2 + 4x − 4x2 + k − 2 = 0
(2k − 2)x2 + 4x + k − 2 = 0
a + b = 7 a2 + b2 + 2ab = 49
De ( II ) y ( III )
ab = 6
a2 + b2 = 49 −12 = 37
Luego
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) = 7(31) = 217
Identificando a = 2k − 2; b = 4 ; c = k − 2 y
como las raíces son reciprocas, entonces se
cumple:
EJERCICIOS
a = c 1. Dada la ecuación ax + b = 0; a 0 . De las
2k − 2 = k − 2 k = 0 ,
siguientes proposiciones las verdaderas son.
luego la ecuación cuadrática queda:
I. Si a 0 b 0 ,entonces la ecuación es
−2x2 + 4x − 2 = 0
x2 − 2x +1 = 0
compatible determinado y se tiene un
único valor para " x".
x1 = 1 x2 = 1 II. Si a = 0 b = 0 ,entonces la ecuación
x 2 + x 2 = 2
admite solución única.
III. Si a = 0 b 0 , entonces la ecuación
admite infinitas soluciones.
b = 0
a = c
a = b =
c
m p n
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 55
1 2
IV. Si a 0 b = 0 , entonces la ecuación es 4. De las siguientes proposiciones:
compatible y no se puede determinar el
valor de " x".
I. Si x1 + x2
= 0 , entonces las raíces son
V. Si a 0 b , la ecuación es
incompatible.
a) Solo I
b) Solo II
simétricas.
II. Si x1.x2 =1, entonces las raíces son
reciprocas.
III. La suma de raíces es x + x =
b
c) Solo IV
1 2
c
IV. La suma de las inversas de las raíces, es
d) Todas 1
+
1
= −
b x 0, x 0
e) I IV
2. De las siguientes ecuaciones:
x x c
, 1 2
El número de proposiciones falsas es:
I.
II.
x
2
− x −1 = 0
x
2
− 2x + 3 = 0
a) 1
b) 2
III. 3x
2
+ x − 2 = 0 .
Los que no admiten raíces reales son:
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
c) 3
d) 4
e) 0
5. La ecuación
2
=
x − 2
x
x − 2
+1; es:
d) I III
e) II III
a) Compatible determinado.
b) Compatible indeterminado.
c) Incompatible.
3. De las siguientes proposiciones:
d) Tiene como solución
e) Compatible.
x = 2 .
I. La ecuación 2x = (x + 3)n en la variable 6. Si la ecuación cuadrática
real " x" es compatible determinado 7(m + n +18)x2 +10(m − n)x + 5mn = 0 es
n
II. Si la ecuación (x + 2)a = (x +1)b , para
incompatible, entonces el valor de
E = m − 2n , es:
a) 9
a 0 en la variable real " x" no admite b) − 9
solución, entonces "a b". c) 18
d) −18
III. La ecuación 7x − 8 = 7(x − 7) −1 e) 27
es compatible indeterminada.
Las verdaderas son:
7. Si la ecuación de primer grado
2a
+
a
−
a
a) Solo I
3 6 9 x +
4
+15 = 0 es mónico.
b) Solo II
c) I II
d) I III
e) Todas
entonces el valor de " x", es:
a) 9
b) 6
c) 18
d) −18
e) 2
−2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 56
8. Si la ecuación
x + m
+
x − m
= m , es de 12. Si las raíces de la ecuación:
x − 2 x −1
primer grado, entonces el valor de " x" es:
a)
1
( x − a)
2
+ ( x − b)
2
+ 2c2 = ( x + c)
2
son
iguales, entonces el valor de " x", es:
3 a) a2 + b2 + c2
b)
2
3
b) 2ab + 2ac + bc
c) ab + ac + bc
c) −
1
3
d) −
2
3
d) ab + ac + bc
e) a + b + c
13. Dada la ecuación cuadrática
x
2
+ Ax + B = 0
e) 6 , donde " A" y " B " son sus raíces, el valor
9. Si la ecuación de primer grado
de " A" y " B " en ese orden es:
(2x −1)m2 − 3(x −1) −(5x − 2)m = 0 , tiene
infinitas soluciones, entonces el valor de
"m", es:
a) 9
b) 6
c) 3
a) − 2 −1
b) 1 − 2
c) − 2 1
d) −1 2
e) −1 − 2
14. Si la ecuación de primer grado,
d) −3
e) −6
10. Si la ecuación de primer grado
5x −1
5x +1
=
x + a
x − a
(n + 2)x + 4m −1 =
nx − 6m + 3
, es
3
compatible determinado: el valor de "n", es:
, tiene infinitas soluciones, entonces el valor
de "a", es:
1
a)
5
b) −
1
5
c)
2
5
15. Al resolver la ecuación de primer grado
7x +1 3(x −1) 2(x +1)
d) −
2
5
= +
10 10
que:
, se determina
5
e) 5
11. Si a y b son las soluciones de la ecuación
cuadrática x
2
− 2x + 7 = 0 , entonces el valor
a) Es compatible indeterminada.
b) Es compatible determinada.
c) Es incompatible.
de: =
a2 + 5
+
a −1
b
2
+ 5
, es:
b −1
d) Tiene por solución a 2 .
e) Tiene por raíz a 5 .
a) 8 16. El conjunto solución de la ecuación
b) 4
c) 2
d) 7
e) 14
7x
−
x2 − 9
2
=
x + 3
3x
+
x2 − 9
1
x + 3
, es:
a) − 3
b) −−3
c) −2
d) −−2
e) −−3, 2
E
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 57
2
n
a) 3, −3 a) −1, 3
b)
c)
d)
−−3, 3 b) 1, 3
c) −1, 0,1, 2, 3
e) −9
17. El conjunto solución de la ecuación:
(x − n) +(2x − n +1) +(3x − n + 2) +... +(nx −1) = n +1
, es:
d) 0,1, 2
e) 2
21. Sean "m" y "n" raíces de la ecuación
x2 + 2(x + 5) = 3(x + 4) +1, tal que m n .
n
a)
n + 2
b)
c)
n
El valor de
es:
a) 25
b) 33
c) 1
E = (2m − 13 )
5
− (2n + 13 )
3
,
2
d) −1
d) n + 2
n
e) n
e) 0
22. Si " p"
y "q"
son raíces de la ecuación
18. Si "r " y "s" son las soluciones de la
x
2
− 3x +1 = 0 , entonces el valor de
E = 5 ( p2 − 3 p + 3)2 + (q2 − 3q + 7) , es:
ecuación 5x
2
− x − 3 = 3x
2
− 2x +1,
entonces el valor de:
Q = (2r2 + r − 7)2 +
a) 9
b) 6
c) 11
d) 8
2s2 + s , es:
a) 20
b) 26
c) 40
d) 130
e) 30
23. En la ecuación
x
2
−13x + m = 0 , la suma de
e) 10
19. Dada la ecuación cuadrática
los cuadrados de sus raíces es 85 , entonces
el valor de "m" es:
kx
2
+ kx + x
2
+1 = 0 , con k que a) 42
tiene una única solución, entonces el
producto de los valores de "k ", es:
a) 4
b) −4
b) 43
c) 36
d) 26
e) 196
24. Si las raíces de la ecuación cuadrática,
c) 3 x
2
+ 3x
=
n −1
, son reciprocas, entonces el
d) −3 5x + 2 n +1
e) 2
20. Si la ecuación cuadrática
(a +1)x2 + (a +1)x +1 = 0 , no admite raíces
reales, entonces a satisface al conjunto:
valor de "n", es:
−−1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 58
a)
1
3
a) 16
b) 6
b) −
1
5
c) −6
d) −8
c) −
1
3
2
e) 8
29. En la ecuación cuadrática
d) −
5 x
2 + mx + 9m = 0, m 0, el valor de "m"
e) 3
25. Si las raíces de la ecuación cuadrática,
x2 + 3x
=
m −1
, son simétricas, entonces el
5x +12 m +1
valor de "m", es:
a) 4
para que tenga una solución real única, es:
a) 9
b) 36
c) 12
d) 27
e) 3
30. Si la ecuación cuadrática
b) −4
c) 3
x2 + (2a + 3b −1)x + (a − b − 3) = 0 , tiene
raíces nulas, el valor de E = (a + b) , es:
d) − 3
e) 0
26. El valor de " x"para la ecuación de primer
grado
a) 0
b) 2
c) 3
d) 1
x − a
+
x − b
+
x − c
= 2
1
+
1
+
1
, es:
e) −1
bc ac ab
a)
1
+
1
+
1
a b c
b) a + b + c
c) a + b + c
d) abc
e) abc
a b c
27. Si la ecuación x
2
− 2(n − 3)x + 4n = 0 tiene
raíces iguales, la suma de los valores de
"n", es:
a) 9
b) 6
c) 18
d) −18
e) 10
28. Las raíces de la ecuación cuadrática
x
2
+ ax + b = 0 , a,b , son los
cuadrados de las raíces de la ecuación
2x
2
+ x − 6 = 0 . El valor de E = 4a + b , es:
PLANA DOCENTE 59
b
2
− 4ac 0
2a
INECUACIONES DE
PRIMER GRADO CON UNA
VARIABLE REAL
DEFINICIÓN. Una inecuación de primer grado
SOLUCIÓN GENERAL
Para resolver una inecuación de segundo grado
es recomendable que a 0 , en caso contrario
se debe multiplicar por (−1) y la desigualdad se
invierte. Luego teniendo en cuenta el
en una variable es una desigualdad que tiene la
forma general:
discriminante
siguientes casos:
b
2
− 4ac se presentan los
1. Si ; ( a 0 ) se cumple:
• ax2 + bx + c 0 tiene por CS =
ax
2
+ bx + c 0 tiene por CS =
−b
2a
con a 0 ; a,b
• ax
2
+ bx + c 0 tiene por CS =
• ax
2
+ bx + c 0 tiene por
CONJUNTO SOLUCIÓN
En el conjunto solución, está dado por los valores
reales de la variable “ x ”, que satisfacen la
inecuación dada.
CS = −
−
b
2. Si
; ( a 0 ) se cumple:
Ejemplo 1:
Hallar el conjunto solución de la inecuación
( x +1)
2
+ 2x −1 x2 + 8
Solución:
• ax
2
+ bx + c 0 tiene por CS =
• ax
2
+ bx + c 0 tiene por CS =
• ax
2
+ bx + c 0 tiene por CS =
• ax
2
+ bx + c 0 tiene por CS =
x
2
+ 2x +1+ 2x −1 x
2
+ 8
4x 8
x 2 CS = 2, +
3. Si ; ( a 0 ) se cumple:
La inecuación se resuelve por puntos
críticos, pues el trinomio ax
2
+ bx + c
INECUACIONES DE
SEGUNDO GRADO CON
UNA VARIABLE REAL
Una inecuación cuadrática o de segundo grado
en una variable real x presenta la siguiente
forma general:
ax
2
+ bx + c 0
ax
2
+ bx + c 0
ax
2
+ bx + c 0
ax
2
+ bx + c 0
con a 0; a,b,c .
siempre es factorizable (ya sea por aspa
simple o utilizando la fórmula de Baskara)
en el campo de los números reales. El
procedimiento es:
• Pasar todas expresiones a un solo
miembro dejando cero en el otro.
• Se factoriza la expresión, luego se iguala
cada factor a cero para obtener los
puntos críticos.
• Estos puntos críticos se ubican sobre la
recta real, los cuales dividen a la recta en
intervalos. Luego se asignan los signos
(+) y (−) en forma alternada empezando
del intervalo de la derecha a izquierda.
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
b
2
− 4ac = 0
b
2
− 4ac 0
ax + b 0
ax + b 0
ax + b 0
ax + b 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 60
2a
2a
TEOREMA:
Si el trinomio ax
2
+ bx + c ; a, b, c tiene
discriminante b
2
− 4ac 0 ( a 0 ),
entonces ax
2
+ bx + c 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ
• La solución de la inecuación estará IV. Si b
2
− 4ac = 0 , entonces la ecuación
expresada por las zonas positivas si el
sentido de la desigualdad original es ax
2
+ bx + c 0, (a 0) tiene
mayor que (>) o mayor o igual (≥) o por
las zonas negativas si es que el sentido
de la desigualdad original es menor que
(<) o menor o igual que (≤)
Ejemplo 1:
Resolver −x
2
+13x − 30 0
Solución:
multiplicando por (−1) se tiene
x
2
−13x + 30 0
(la desigualdad se invierte)
CS = −
−
b
La secuencia correcta es:
a) FVVF
b) FVVF
c) FVVF
d) FVVF
e) FVVF
2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
Factorizando y hallando los puntos críticos:
( x −10)( x − 3) 0 ;
( x −10)( x − 3) = 0 x = 10, x = 3son los
I.
II.
III.
x
2
− 4x +1 0 , tiene CS =
x
2
− 4x +1 0 , tiene CS =
4x
2
− 4x +12 0 , tiene
puntos críticos.
CS = 2 − 3 , 2 +
Ubicando los puntos críticos en la recta real y
asignando los signos (+) y (−)
IV. x
2
+ 4x + 4 0 , tiene CS =
EJERCICIOS
a) 3
b) 0
c) 2
d) 4
e) 1
3. Al determinar los valores de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. (x2 + 3)(x2 − x − 2) 0 , tiene
CS = −1; 2 C
II. ( x −1)
7 (x2 + 2x +1) 0 , tiene
1. Al indicar los valores de verdad de las CS = 1; +
siguientes proposiciones:
III.
(x2 − x − 2)
0 , tiene
I. Si b
2
− 4ac 0 , entonces la ecuación 5x
ax
2
+ bx + c 0, (a 0) tiene CS = −; −1 0, 2
CS =
−
b
IV. (x2 + x +1) 0 , tiene CS =
2a
II. Si
b
2
− 4ac = 0 , entonces la ecuación
La secuencia correcta es:
ax
2
+ bx + c 0, (a 0) tiene a) VVFF
CS =
−
b
III. Si b
2
− 4ac 0 , entonces la ecuación
b) VFVV
c) FFFV
d) FFVF
ax
2
+ bx + c 0, (a 0)
CS =
tiene e) FVVF
3
C
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 61
4. El conjunto solución de la inecuación
12 x
2
− x 30 es:
a) −5, − 35, 6
a) −,1 2 , 4
b) −,12, 4
c) − , 4
b) −5, 35, 6
c) −3, −11, 6
d) −3,13, 5
d) − ,4
e) − 1, 2
e) −5, − 34 , 6
5. El conjunto solución de la inecuación
( x − 4)
5 ( x2 − x + 3)
( x2 − 9)
3
x6
a) −3,3 4, +
b) −3, 34 , 6
9. Determinar el menor número entero A tal
que satisface la inecuación 4 + 6x − 3x
2
A
; x
a) 7
b) 8
c) 1
d) 3
e) 0
10. Determine el mayor valor entero de 𝑎 en:
c) −3, 3 −0
d) −3, 3 4, + −0
e) −5, − 34 , 6
6. El conjunto solución de
(−x2 − x + 2)
3
( x − 5)
4
12x
2
− 4x + x − a + 5 0 ; x
a) 5
b) 6
c) 9
d) 3
e) 4
( x2 + 7)
5
0 , es:
11. Indicar el mayor valor entero del conjunto
solución de la inecuación:
(2x −1)
2
+ x ( x +1) + 3 5x ( x − 3) + 2 ( x − 5)
a) −1
d) −3, 7 −5 b) 1
e) −1, 36 , 9
c) −3
d) −2
7. La suma de los valores enteros del conjunto x10 ( x − 3
3
x − 5
a) 2
12. El conjunto solución de la inecuación
solución de
) ( )
0 , es:
(9 − x2 )
5 x
2
− 3118 , es:
a) 5
b) 4
a) 6, 7 4
b) 6 , 7
c) −4
d) −3
c) −7 , − 66 , 7
e) 7
8. El conjunto solución de la inecuación
d) − ,7
3
2
, es:
e) 6 , 7
x −1 x − 2
a)
b)
c) −2 ,1
0 , es:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 62
13. Si
1
x
3
. Luego el valor de k tal que
4 2
x − 2
k , es:
x − 4
a)
8
5
17. El número de valores enteros de " x"
satisfacen 2x − 5 x + 3 3x + 7 , es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
que
b) −
3
5
c)
1
5
e) 9
18. Resolver: 2x +10 2x +12 x +11
d) −
2
5
e)
5
2
14. El conjunto solución de la inecuación
3x2 −10x + 9
a) x −1
b) x −1
c) x 1
d) x 1
e)
19. Dado: −8 x −10 −6 . El valor de "a + b"
x2 − 4x + 3
0
a) 1, 3
, dado que se cumple a
1
(3x + 4) b es:
2
b) −,13, +
c) 1, 3
d) 1, 3
e) 1, 3
15. Si el conjunto solución de la inecuación
x
2
+ mx − 2 2x
2
− 2x + 2 , es entonces
𝑚 satisface al conjunto:
a) −1, 0
a) 13
b) 11
c) 10
d) 23
e) 9
20. Determinar el conjunto solución de:
x
2
− x − 6 0
a) −2;3
b) −2;3
b) −, − 62 , +
c) −6 , 2
d)
e) −1,1
16. Al resolver la inecuación:
c) −2;3
d) −; 3
e) −2; +
21. Resolver: x
2
−8x +12 0
3(x +1) −
1
x − 2
+ 3x − 5 ; se obtiene: a) −; 2 6; +
2 4
a) 32, +
b) 32, +
b) 2; 6
c) −;1
6; +
c) −, 32 d)
2; +
d)
e) −, 32
e) −; −2 6; +
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 63
22. Resolver:
a) 1; 2
x(3x + 2) (x + 2)2
27. Determinar el conjunto solución de: x
1
x
b) −1; 2 a) −; −1 0;1
c) −1;1 b) −1; 0 1; +
d) 1;3
e) 0; 2
c) 0;1
d) −; −1
0;1
23. El mayor valor entero que satisface a la
inecuación 2x +10 2x +12 x +11, es:
a) 3
b) 2
c) -1
e) −1; 0 1; +
28. Determine cuántos valores enteros de "k "
satisfacen la siguiente inecuación si se
verifique para todo x
d) 1
e) -2
24. Al resolver:
15x
2
− 29x −14 0 , se obtiene:
a) 19
b) 21
x2 − k − 3x + 5 0
C.S =
a)
29
15
31
a;b . El valor de a + b +
1
15
, es:
c) 22
d) 23
e) 20
29. Dar el conjunto solución de:
x2 + x +1
b) 0 15 x(x −1)(x + 2)
c)
30
d)
2
e)
1
25. El conjunto solución de x + 6 0 , es:
x(x + 4)
a) −; −2
b) −; −2
c) −;1
0;1
0; +
d) 2; +
a) −6; −40; +
b) −6; −4 0; +
e) −; −2 1; +
c) −6; 0
d) −; −6 −4; +
e) −6; 0
26. El conjunto solución de
2x − 3
3 , es:
x − 2
a) 2;3
b) 2; 3
c) 2; 3
d) 2; 3
e) 2; 3
PLANA DOCENTE 64
a2
a
b
a
b
VALOR ABSOLUTO
DEFINICIÓN. El valor absoluto del número real
"a" está definido por:
Solución:
2x + 3 = x +1 x 1 (2x + 3 = x +1 2x + 3 = −x −1)
x −1
x = −2 x = −
4
3
PROPIEDADES
CS =
Ejemplo 2:
Hallar el conjunto solución de 2x + 5 =
Solución:
x −1
1. a 0; a
2. a = 0 a = 0
3. a = −a
2x + 5 = x −1 2x + 5 = x −1 2x + 5 = −x +1
x = −6 x = −
4
3
CS =
−6, −
4
4. a 2 = a2 ; a 3
5. a = ; a
Ejemplo 3:
6. a.b = a . b ; a, b Hallar el conjunto solución de x + 5 = 3
Solución:
7. = ; a, b
8. x − a = a − x
x + 5 = 3 3 0 ( x + 5 = 3 x + 5 = −3)
x = −2 x = −8
CS = −2 , − 8
9. a + b a + b ; a,b
(desigualdad triangular)
ECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Para resolver ecuaciones con valor absoluto se
utilizan las siguientes propiedades:
INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO
Para resolver inecuaciones con valor absoluto se
utilizan las siguientes propiedades:
1. a b b 0 (−b a b)
1. a = b b 0 (a = b a = −b) 2. a b b 0 (−b a b)
2. a = b a = b a = −b 3. a b a b a −b
Ejemplo 1: 4. a b a b a −b
Hallar el conjunto solución de 2x + 3 = x +1
5. a b a2 b2 (a + b)(a − b) 0
6. a b a2 b2 (a + b)(a − b) 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
; b 0
a =
−a ; a 0
a ; a 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 65
Ejemplo 1:
Hallar el conjunto solución de:
Solución:
x − 3 5
a) VVVF
b) FVVV
c) FVFV
x − 3 5 5 0 (−5 x − 3 5)
−2 x 8
CS = −2,8
Ejemplo 2:
Hallar el conjunto solución de: x + 3 2x −1
d) FFFF
e) VVVV
2. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones no
son verdaderas?
I. La inecuación ax + b c ; c 0 tiene
Solución: por conjunto solución −; +
x + 3 2x −1 2x −1 0 (−2x +1 x + 3 2x −1) II. La inecuación ax + b c ; c 0 tiene
x
1
(−2x +1 x + 3 x + 3 2x −1) por conjunto solución
2
III. La inecuación ax + b 0; a 0 tiene
x
1
x −
2
x 4
por conjunto solución
2
3
Interceptando.
IV. La inecuación ax + b 5 tiene por
CS = 4; +
Ejemplo 3:
Hallar el conjunto solución de:
Solución:
x + 3
x − 5
conjunto solución
a) 0
b) 1
−
b + 5
, −
a
x + 3 x − 5 ( x + 3 − x + 5)( x + 3 + x − 5) 0
8(2x − 2) 0 x 1
CS = −,1
c) 2
d) 3
e) 4
3. Al resolver la inecuación
5 + x2 + 3x − 2 4 el conjunto solución, es:
EJERCICIOS
a)
1. Al indicar los valores de verdad de las b) −0 , 2
siguientes proposiciones:
c)
I. El conjunto solución de la inecuación
3x − 8 −3 , es:
d)
e)
−4 , 5
−4 , −1 −1, 5
II. El conjunto solución de la inecuación
x − 2 −5 , es: −; −3 4. Hallar el producto de las raíces de la ecuación
III. El conjunto solución de la inecuación
2x − 5 = −3 , es: 1; 4
IV. El conjunto solución de la inecuación
x − 4 = (2x − 4)
2
− 3 x − 4
2
− 6
a) 15
7 x −1 0
, es:
1
; +
7
b) 7
c) 8
La secuencia correcta es:
d) 12
e) 4
b − 5
a
C
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 66
x2
3
x −1
5. Hallar la expresión simplificada de 10. Hallar la suma de las raíces de la ecuación
E = + + 2 − x − x , para x 1 x
2 − x − 6 − 2 = x
a) 5
b) 2x +1
c) −2x + 3
a) 8
b) 4
c) 10
d) 2x − 3
e) 4
6. En la ecuación
x −1 = 3 − x
, la suma de
d) 12
e) 13
11. El conjunto solución de la inecuación
los valores absolutos de sus raíces, es:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
7. El conjunto solución de la ecuación
15x − 6 +18 9x , es:
a) C
b) − ,0
c) 0, +
d)
C
e)
12. La suma de elementos del conjunto solución
de la ecuación 3x +18 − −2x −12 − 8 = 0
=
2
a) −−1
, es:
es:
a) 16
b)
b)
c)
−8
−12
c) −−1
d) C (0, 2−1)
e) −1, 0 , 2
d) 12
e) 8
13. El menor valor entero positivo de la
8. La suma de las raíces de la ecuación
6 − 3x + 12x − 24 −16x + x − 2 = 0
inecuación
a) 0
b) 2
x −1 x + 2 , es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
c) −
1
2
d) 3
e) 1
14. El menor valor entero del conjunto solución de
9. Hallar el valor simplificado de la expresión
la inecuación , es:
M =
3x
a) 7
, si x 0 , 3
a) 1
b) 0
c) 2
b) −5 d) −1
c) 4
d) 3
e) 9
e) −2
(1− x)
2
x2 − x − 2 + x2 + x
( x +1)
2
12 + 5x − 4x −12
3
x +1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 67
15. La suma de los valores enteros del conjunto
solución de 4x − 3 − ( x + 4) 0 , es:
a) −2
20. La solución de
a) 2; +
b) 2
2x − 3 1 ; es:
b) 1
c) 3 c) 1; 2
d) −1 d) −;1
e) 2
16. Resolver: 2x − 4 = 6
e) −;12; +
21. Dar el conjunto solución de:
a) {−1;5}
b) {0;5}
c) {5; −4}
d) {4;5}
e)
3 − x 3x − 5
a) 1; 2
b) −;12; +
17. Al resolver la ecuación
x − 8 = 3x ; el valor
c) 1; 2
de " x" es:
a) 0
d) −;1
e) 1; 2
2; +
b) −1 22. El conjunto solución de x
2
− 2 x − 3 = 0 , es:
c) 2
d) −4 2
e) −4
18. El conjunto solución de 2x + 3 =
a) −5; −3
b) −5; 2
x − 2 ; es:
c)
−5; −
1
23. uadrados de las
3
d) −2;5
e) −2; −3
19. El conjunto solución de
= x
x + 5 3 ; es:
a) −5; −2
b) −5; −2
c) −8; −2
d) −8; −5
e) −2; −5
24. El conjunto solución de
es:
x − 5 =
5 − 4 x ,
a) 3
b) −3;3
c) −1
d) 6; −3
e) 8; 3
Calcular la suma de los c
raíces de la ecuación:
x
x − 2
a) 4
b) 9
c) 10
d) 13
e) 5
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 68
5x + 48 − 3 2x −16
4
a) 2; 0
28. Al resolver la ecuación x − 3 = 3 se
b) −1; −2; 0
c) 0; 2;3
d) −2;0; 2
e) −3; −2;1
obtiene como conjunto solución a:
a) −6; 6
b) 6
c) −6;0;6
d) 6; 0
25. Si: x 0;3 . El valor de
e) −6; −1;1; 6
K = , es:
x
a) 8
b) 11
c) 3
29. La suma de raíces de la ecuación
−x + 2x −1 − 3 = x +1, es:
d) −5
e) −6
a)
3
2
b)
5
26. El conjunto solución de la ecuación
x − 3 = 4x , es:
2
c) 1
−1;
3
d) −1
e) −2
a)
5
3 30. La suma de elementos del conjunto solución
b) 2;
3
c)
4
de 3 x −1 − 2 = x −1 + 6 es:
a) 0
b) −1
d)
1; −
1
2
c) 2
d) 3
e)
3
; −1
e) −4
5
27. El conjunto solución de la ecuación:
x + x3 = 0 es:
a) −1; 0
b) −2; −1
c) −2; 0
d) −1; 0;1
e) 0;1
PLANA DOCENTE 69
−1 5 3 7
IGUALDAD DE MATRICES
MATRICES DEFINICIÓN. Sean A = aij mn y
DEFINICIÓN. Sea:
E = (i, j) / 1 i m ; 1
j n un
B = bij mn
matrices del mismo orden. Se dice
que las matrices A y B son iguales denota por
conjunto de pares ordenados de números
enteros positivos y el campo de los números
reales. Se llama matriz A de orden m n ,
A = B , si sus entradas o elementos
correspondientes son iguales.
Es decir:
denotado por aij mn
, a toda aplicación de la
forma A : E → definida por
A(i, j) = aij ; 1 i m , 1 j n Ejemplo 1:
Una matriz real de orden mn está Las matrices
representado mediante un arreglo rectangular de 1 9 2
0 32
números reales expresados en m filas y n
columnas. Es decir:
A =
1
iguales.
2
y
2 22
B = 4 1
4 2 22
son
TIPOS DE MATRICES
1. MATRIZ FILA.
Se dice que la matriz A = aij mn
es una matriz
Abreviadamente se denota como fila, si está formada por una sola fila. Es decir:
Donde: i = 1; 2;3; ; m (filas)
j = 1; 2;3; ; n (columnas)
aij : es la entrada (elemento) ubicado en
Ejemplo 1:
la fila i , columna j
Ejemplo 1:
La matriz
A = 2 4 9
2. MATRIZ COLUMNA.
4 6 −2 5 Se dice que la matriz A = aij mn
esuna matriz
A =
24
es una matriz de orden 2 4 .
columna, si está formada por una sola columna.
Es decir:
A = aij mn
es matriz fila m = 1 ; 1 j n
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
A = aij mn
aij mn
= bij mn
aij = bij ; 1 i m , 1 j n
A = aij mn
es matriz columna n = 1 ; 1 i m
13
A =
a11
a 21 a
a
12
22
a
a
a
1n
2n
m1 a
m 2
a
mn mn
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 70
tr ( A) = a11 + a22 + a33 + + ann
A = aij mn
.es rectangular m = n
Ejemplo 1:
−7
DIAGONAL PRINCIPAL Y TRAZA DE UNA
MATRIZ CUADRADA
Dada la matriz cuadrada A = a
A =
2
ij nn
3 31 a) La diagonal principal de 𝐴 es el conjunto
3. MATRIZ RECTANGULAR.
DEFINICIÓN. Se dice que la matriz
formado por los elementos aii , para
i = 1; 2;. ; n . Es decir:
A = a es una matriz rectangular, si el ij
mn
número de filas es diferente al número de
columnas. Es decir:
b) La traza de 𝐴 denotado por tr ( A) , es la
Ejemplo 1:
A =
2 4 5
suma de los elementos de la diagonal
principal. Es decir:
Ejemplo 1:
6 −2 3
23
4. MATRIZ CUADRADA.
En la matriz cuadrada A3
1 9 10
=
−3 4 5
DEFINICIÓN. Se dice que la matriz
6 −7 8
A = aij mn
es una matriz cuadrada, si el
Los elementos de la diagonal principal son: 1, 4
número de filas es igual al número de columnas.
Es decir:
A las matrices cuadradas de orden n n se les
llama matrices cuadradas de orden n
y 8.
Los elementos de la diagonal secundaria son: 6,
-7 y 10.
tr ( A) = 1+ 4 + 8 = 13
PROPIEDADES DE LA TRAZA
1.
2.
3.
5. MATRIZ NULA.
Ejemplo 1: La matriz A = aij mn
es nula, si todos sus
Las siguientes matrices son matrices cuadradas
elementos son ceros. Es decir
.
2 4 6 a es nula a = 0;1 i m ,1 j n
−3 4
13 11
B =
−3 2 1
ij mn
ij
6 7 −4
NOTACIÓN:
A la matriz nula la denotaremos con .
A = 21
a11
a a
a
12
22
a
a
a
1n
2n
n1 a n 2 a nn nn
DP( A) = a11; a22 ; ; ann
A = aij mn
.es rectangular m n
A =
tr ( A + B ) = tr ( A) + tr (B )
tr (A) = tr ( A),
tr ( A.B ) = tr (B.A)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 71
3
3
0 0 0
0 0 3
0 5 0 5
Ejemplo 1:
=
0 0 0
23
0 0
, =
0 0
0 032
3. MATRIZ IDENTIDAD.
Es una matriz escalar cuyos elementos de su
diagonal principal son iguales a la unidad. Es
decir:
MATRICES CUADRADAS
ESPECIALES
1. MATRIZ DIAGONAL.
NOTACIÓN:
A la matriz identidad de orden n la denotaremos
Es una matriz cuadrada A = a cuyos
por In
ij
nn
elementos que no están en la diagonal principal
son ceros y existe al menos un elemento no nulo
en la diagonal principal, es decir:
Ejemplo 1:
1 0
0 1
1 0 0
y B =
0 1 0
son
22
matrices identidades.
0 0 1
33
Ejemplo 1:
Las siguientes matrices son matrices diagonales
4. MATRIZ TRIANGULAR
a) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR.
La matriz cuadrada A = aij nn
es triangular
0 0
;
22
2 0 0
C =
0 0 0
33
2 0
y
22
superior, si todos sus elementos que se
encuentran por debajo de la diagonal principal
son ceros. Es decir:
2. MATRIZ ESCALAR.
Es una matriz diagonal cuyos elementos de la
diagonal principal son iguales y es un número
real no nulo. Es decir:
Ejemplo 1:
4 3
0 1
17 3 0
; B =
0 0 4
22 0 0 −133
b) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.
Ejemplo 1:
La matriz cuadrada A = aij nn
es triangular
Las siguientes matrices son matrices diagonales inferior, si todos sus elementos que se
6 0 −2 0 encuentran por encima de la diagonal principal
A =
0 6
; B =
0
−2
;
son ceros. Es decir:
22 22
0 0
C = 0 0
0 0 333
A = aij nn
es escalar a = 0; ij i j
aij = k −0;i = j
A = aij mn
es identidad aij = 0;i j
aij = 1;i = j , 1 i m , 1 j n
A = aij nn
triangular inferior
aij = 0;i j , 1 i m , 1 j n
A = aij nn
es triangular superior
aij = 0;i j , 1 i m , 1 j n
A = aij nn
es diagonal a
ij
= 0;i j
aii 0 , 1 i m , 1 j n
A =
A = B =
A =
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 72
6 8
t
Ejemplo 1:
A =
4 0
0 0 0
; B =
6 11 0
MATRIZ SIMÉTRICA.
DEFINICIÓN. Una matriz cuadrada
2 1 A = aij nn es simétrica, sí es igual a su
22 1 9 −1
33
transpuesta. Es decir:
RELACIONES ENTRE MATRICES
MATRIZ TRANSPUESTA
DEFINICIÓN. Dada la matriz A = aij mn
de
Ejemplo 1:
orden m n , la transpuesta de A denotado por
At , es otra matriz de orden m n , dada por
3 −2 8
A = a ji
nm
. Es decir:
La matriz A =
−2 5 10
8 10 7 33
t
es simétrica.
La transpuesta de A = aij mn
se obtiene
intercambiando todas las filas por columnas
correspondientes.
Ejemplo 1:
2 −2
Puesto que A = A .
MATRIZ ANTISIMÉTRICA.
DEFINICIÓN. Una matriz cuadrada
A = aij nn
es antisimétrica, sí es igual al
opuesto de su transpuesta.
Es decir:
4 4 Si A =
, entonces
5 −3
42
At =
2 4 5 6
Equivalentemente
−2 4 −3 8
24
PROPIEDADES DE LA MATRIZ
OBSERVACIÓN:
En una matriz antisimétrica, todos sus elementos
de la diagonal principal son iguales a cero
Ejemplo 1:
La matriz
0 2
A =
−2 0
−8
−10
es
antisimétrica.
8 10 0
At es la matriz transpuesta de
A = a ij mn
At = a ji nm
A = a ij nn
es antisimétrica, sí y sólo si A = − At
A = aij nn
es antisimétrica
aij = −aji ; 1 i m , 1 j n
A = aij nn
es simétrica
aij = aji ; 1 i m , 1 j n
( At )
t
= A
( A)
t
= At ,
( A + B)
t
= At + Bt
( AB)
t
= Bt At
( I )
t
= I
n n
TRANSPUESTA
1.
2.
3.
4.
5.
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 73
n
2
A + B = ai j + bi j m n
; 1 i m , 1 j n
PROPIEDADES DE LA MATRIZ MATRIZ NILPOTENTE.
SIMÉTRICA Y ANTISIMÉTRICA La matriz cuadrada A = aij nn
es nilpotente
1. La suma de dos matrices simétricas, es una
matriz simétrica.
2. La suma de dos matrices antisimétricas, es
una matriz antisimétrica.
3. El producto de dos matrices simétricas, no
de índice k , sí
entero positivo
Ejemplo 1:
0 0 1
Ak = ; k 2 , k es un
necesariamente es una matriz simétrica.
4. Si A es una matriz cuadrada, entonces
A + At es una matriz simétrica.
A =
0 1 0
0 0 033
; donde A
2
=
5. Si A es una matriz cuadrada, entonces
A − At es una matriz antisimétrica.
6. Si A es una matriz (rectangular o
OPERACIONES CON MATRICES
ADICIÓN DE MATRICES
cuadrada), entonces tanto
son matrices simétricas.
AAt como At A ,
DEFINICIÓN. Sean A = ai j m
y
B = b matrices de orden m n . La
7. La traza de una matriz antisimétrica es cero.
8. La única matriz que es simétrica y
antisimétrica, es la matriz nula cuadrada.
MATRIZ IDEMPOTENTE.
i j mn
adición de A y B , denotada con A + B , es otra
matriz de orden m n , definida por:
La matriz cuadrada A = aij nn
es
Ejemplo 1:
idempotente,sí A2 = A . −12 3
Dada las matrices A =
2 5
y
Ejemplo 1:
−1 2 4
−5 0
1 −7
A =
1 −2 −4
= A B = 3 − 5 , determine la matriz A + B
−1 2 4
33
1 12
MATRIZ INVOLUTIVA.
Solución.
La matriz cuadrada
A = a es involutiva, si −12 + (−5) 3 + 0
ij nn A + B =
2 + 3 5 + (−5)
A2 = I
1 + 1 −7 + 12
Ejemplo 1: −17 3
=
5 0
−1 −2 −2
A =
1 2 1
; donde A = I
2 5
−1 −1 0 33
2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 74
n
− 6
mn
SUSTRACCIÓN DE MATRICES
DEFINICIÓN. Sean A = ai j m
y Ejemplo 1:
B = bi j matrices de orden
m n . La
mn 27 (−3)3 3
sustracción de A y B , denotada con A − B , Dada la matriz A =
3 12 0
,
es otra matriz de orden m n , definida por:
3 5
Ejemplo 1:
2 −5 3
determine la matriz −
2
A
3
Solución:
2 2
Dada las matrices A =
3 8 0
y
−11 0 2
2
(27)
2
(−3)3
2
(3)
−3 −5 4
3 3 3
, determine la matriz A − B 2
2 2 2
B =
2 −8 0
− A = (3) (12) (0)
−11 0 −2 3
3 3 3
2 3 2 5 2
(− ) ( ) (6)
Solución.
2 − (−3) −5 − (5) 3 − 4
3 2 3 2 3
A − B =
3 − 2 8 − (−8) 0 − 0
18 −18 2
−11 − (−11) 0 − 0 2 − (−2) =
2 8 0
5 −10 −1
−1
5
4
=
1 16 0
3
0 0 4
PROPIEDADES:
Sean A , B , B y matrices del mismo
orden, donde es la matriz nula. Se tienen
las siguientes propiedades:
PROPIEDADES:
Dadas las matrices 𝐴 𝑦 𝐵 de orden 𝑚 × 𝑛 , y los
reales 𝜆 𝑦 𝑘, se tiene:
1.
2.
1. 3. 4.
2. 4.
3. 5.
4.
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
5.
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR
DEFINICIÓN. Sean A = aik y
UN ESCALAR
DEFINICIÓN. Sea A = aij mn
una matriz de
orden m n y k un número real. La
B = bkj n p
dos matrices, tales que el número
de columnas de A es igual al número de filas
de B . La multiplicación de A por B ,
denotado con AB , es otra matriz de orden
multiplicación de A por k , denotado con kA ,
es otra matriz de orden m n , definida por:
m p definida por:
A − B = ai j − bi j m n
; 1 i m , 1 j n
kA = kaij m n
; 1 i m , 1 j n
(kA) = k(A)
(A + B) = A + B;
( + k)A = A + kA; , k
1A = A.1 = A
0.A = A.0 = 0
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + = + A =
A + (−A) = −A + A =
A − B = −(B − A)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 75
+ a
in
b
n j
+ aikbk j + cij = ai kbkj = ai1b1 j + ai 2b2 j +
k =1
Ejemplo 1:
1 −1 1
Dada la A =
−1 0 0
, determine la
matriz
A100
0 −1 1
Solución.
1 −1 1 1 −1 1 2 −2 2
A2 =
−1 0 0
−1 0 0
=
−1 1 −1
0 −1 1 0 −1 1 1 −1 1
22−1 −22−1 22−1
A2 =
−22−2 22−2 −22−2
2−2 2−2 2−2
2 −2 2
2 −2 2 1 −1 1 4 −4 2
A3 =
−1 1 −1
−1 0 0
=
−2 2 −2
1 −1 1 0 −1 1 2 −2 2
23−1 −2
3−1
23−1
A3 =
−23−2 23−2 −23−2
23−2 −23−2 23−2
Generalizando
2100−1 −2
100−1
2100−1
A100 =
−2100−2 2100−2 −2100−2
100−2 100−2 100−2
2 −2 2
299 −299 299
A100 = −2
98 298 −298
298 −298 298
PROPIEDADES:
Sean A , B , C , (matriz nula) e I (matriz
identidad) matrices de órdenes compatibles
con respecto a las operaciones adición y
siguientes propiedades:
multiplicación de matrices. Se tienen las
Ejemplo 1:
Ak = A A A A
k veces
AB = cij , con 1 i m , 1 j p
Dada las matrices A =
−2 −1
1 0
3
53 2
B =
5
−2
3
2 2 2
AB =
c
c
11
21
c31
c
12
2 2
c 11 = 1 0
5
= (1)(5) + (0)(−2) = 5 −2
c 12 = 1 0
3
= (1)(3) + (0)(2) = 3 2
c 21 = −2 −1
5
= (−2)(5) + (−1)(−2) = −8 −2
c 22 = −2 −1
3
= (−2)(3) + (−1)(2) = −8 2
c 31 = 3 5
5
= (3)(5) + (5)(−2) = 5 −2
c 32 = 3 5
3
= (3)(3) + (5)(2) = 19 2
Luego AB =
−8 −8
5 3
5
19 3 2
Sea A = ai k nn
n
Donde:
y
, determine la matriz AB
Solución:
c
c
3 2
3 2
POTENCIA DE UNA MATRIZ
una matriz de orden n y k un
entero positivo. La k -ésima potencia de A ,
denotado con Ak , es otra matriz de orden n
definido por:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 76
ij
a
3 11
1. AB BA
2. A(BC) = ( AB)C
3. A(B C) = AB AC
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE
ORDEN 3×3.
REGLA DE SARRUS.
4. (A B)C = AC BC
5. AI = IA = A
6. A = A =
7. Si AB = , no implica A =
8. Si AB = AC , no implica B = C
9. Si A = B , entonces
AC = BC CA = CB
10. (kA)n = kn An ; n + ; k
11. (Am )n = Amn ; m, n +
B =
Se utiliza sólo para calcular el determinante de
una matriz cuadrada de orden 3×3, se procede
con los siguientes pasos:
➢ Se escriben las dos primeras filas a
continuación de la tercera.
➢ Se trazan tres diagonales de derecha a
izquierda y tres de izquierda a derecha.
➢ Se multiplican la diagonal principal y sus
12. Am An = Am+n ; m, n + paralelas, luego se resta la suma del producto
de la diagonal segundaria con sus paralelas.
DETERMINANTES
DEFINICIÓN. Sea
A = a
a11 a12 a13
una matriz
ik nn Sea A =
a21 a22 a23 la matriz de orden
cuadrada, la determinante de A , denotado con
A o det(A) , es el número real definido por:
a31
3.
a32 a33 33
o La determinante de A utilizando el método de
Sarrus se determina de la siguiente manera:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Donde M es la matriz de orden (n −1) que
resulta de eliminar la fila i y la columna j de
A .
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE
ORDEN 2×2
A = a31
a11
a21
a32
a12
a22
a33
a13
a23
Sea A =
a11
21
a
12
22
la matriz de orden 2.
Ejemplo 1:
1 2 3
22
La determinante de A está definida por: Dada la matriz A =
2 3 2
, hallar A
Ejemplo 1:
Dada la matriz
Solución.
−3 4
A =
−3 4
22
, hallar A
Solución:
1 2 3
2 3 2
A = 1 2 2
1 2 3
1 2 233
= (6 +12 + 4) − (9 + 4 + 8) = 1
A = = (−3)(11) − (3)(4) = −45
3 11 2 3 2
j =1
Mij
i+ j
n
A = aij (−1)
M
ij
i+ j
n
A = aij (−1)
i=1
A = a11.a22 − a21 .a12
A = (a
11
a
22
a
33
+ a
21
a
32
a
13
+ a
31
a
12
a
23
) −
− (a
21
a
12
a
33
+ a
11
a
32
a
23
+ a
31
a
22
a
13
)
a
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 77
A = k n k A
I = 1
= 0
= A
A B = A B
Am = Am ;m
; A
+
, "n" es el orden de
At
PROPIEDADES:
Sean A , B , (matriz nula) e I (matriz
identidad) matrices cuadradas, entonces:
Ejemplo 1:
5
Si A =
−2
−3 −15
−1 6
, entonces
1.
3 2 −9 33
5 −3 −15
2. A = −2 −1 6 = 0 .
3. 3 2 −9
4. La primera columna es proporcional con la
tercera columna.
5.
Ejemplo 2:
6.
A .
7.
Si
1
B =
3
−2 3
−4 2
, entonces
Ejemplo 1:
1 2 0
6
1
B = 3
6
−8 433
−2 3
−4 2 = 0 .
−8 4
Si A =
2 4 0
6 5 033
, entonces
La segunda fila es proporcional con la tercera fila.
9.
Ejemplo 2:
1 8 3
Ejemplo 1:
1 3 15
Si B =
0 0 0
1 3 433
1 8 3
, entonces Si A =
0 3 6
0 0 5 33
1 3 15
, entonces
B = 0 0 0 = 0 .
1 3 4
A = 0 3 6
0 0 5
= 15 .
Ejemplo 2:
8.
7 0 0
Si B =
2 2 0
4 3 233
, entonces
Si A = aij nxn
es una matriz triangular
superior, triangular inferior, diagonal, escalar
o identidad, entonces
A = a11 a22 a33
a
nn
Si dos filas o dos columnas de la matriz
cuadrada A son respectivamente
proporcionales, entonces A = 0 .
Si una fila o una columna de la matriz
cuadrada A son todos ceros, entonces
A = 0 .
1 2 0
A = 2 4 0 = 0 .
6 5 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 78
ij
A = ai k es singular
A = 0 .
nn
7 0 0 La matriz cuadrada A = ai k nn
es no singular,
B = 2 2 0 = 28 .
4 3 2
si su determinante es distinto de cero. Es decir:
10.
Ejemplo 1:
1 3 2
Si A =
0 2 4
⎯2⎯f1 +⎯f2 →
MATRIZ DE: COFACTORES,
ADJUNTA E INVERSA
MATRIZ DE COFACTORES
DEFINICIÓN. Sea A = a una matriz
3 1 5
33
ik
nn
cuadrada, el cofactor del elemento aij ,
1 3 2
B =
2 8 8
, entonces
A = B
= 30 .
denotado por c
ij
, está definido por:
3 1 5
33
11.
Ejemplo 1:
2 5 6 5 2 6
Donde M es la matriz de orden (n −1) que
resulta de eliminar la fila i y columna j de A
.
La matriz de cofactores de A , denotado por
cof ( A), es otra matriz de orden nn dada
por:
Si −3 3 −4 = − 3 −3 −4
4 −1 8 −1 4 8
La matriz de cofactores de la matriz
12. a11 a12 a13
A =
a a a
es la matriz
21 22 23
MATRIZ SINGULAR Y NO SINGULAR
a31 a32 a33 33
, donde
La matriz cuadrada A = ai k nn
es singular, si
.
su determinante es igual a cero. Es decir:
Si a todos los elementos de una fila o una
columna de la matriz cuadrada A se
multiplica por una constante “ k ” entonces
el A queda
constante.
multiplicado por dicha
A = ai k es no singular
A = 0 .
nn
c = (−1)i+ j M
ij ij
cof ( A) = cij nn
cof ( A) =
c
c11
21
c31
c
c12
22
c32
c
c13
23
c
33
33
c = (−1)i+ j M
ij ij
Al intercambiar dos filas o columnas de una
matriz, el determinante cambia de signo.
Si B es la matriz que se obtiene al sumar
un múltiplo de una de las filas de A a otra,
entonces B = A .
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 79
Ejemplo 1: a11 a12 a13
−2 3 1 A =
a a a
es la matriz
Dada la matriz A =
2 5 3 , determine la 21 22 23 a a a
−3 1 4
matriz de cofactores de A
Solución:
31 32 33 33
c11
= (−1)1+1
5 3
= 17 ;
1 4
c12 = (−1)
1+2
2 3
−3 4
= −17 ;
OBSERVACIÓN:
c13
c21
= (−1)1+3
2 5
= 17
−3 1
= (−1)2+1
3 1
= −11 ;
1 4
Ejemplo 1:
Del ejemplo anterior, la adjunta de la matriz A
está dada por
c = (−1)2+2
−2 1
= −5 ; 17 −11 4
22 −3 4 adj( A) = cof ( A)
t
=
−17 − 5 8
−2 3
c23 = (−1)
2+3
−3 1
= −7
17 − 7 −16
7.5.3. MATRIZ INVERSA
c = (−1)3+1
3 1
= 4 ; DEFINICIÓN. Sea
A = a una matriz no
31
5 3
i j nn
c32
= (−1)3+2
−2 1
= 8 ;
2 3
singular. La inversa de A , denotado por
otra matriz de orden n y está definida por:
A−1 , es
c33
= (−1)3+3
−2 3
= −16
2 5
17 −17 17
Luego. Cof ( A) =
−11 − 5 − 7
INVERSA DE UNA MATRIZ DE ORDEN
MATRIZ ADJUNTA
4 8 −16
2×2
A
a a
Dada la matriz no singular A =
11 12
, la
DEFINICIÓN. Sea A = a una matriz
a
21
a
22
ik
nn
cuadrada, la matriz adjunta de A , denotado
por adj(A) , es la transpuesta de la matriz de
cofactores de A . Es decir:
inversa de A está dado por:
La matriz adjunta de la matriz
adj( A) = cof ( A)
t
adj( A) = (cof ( A))
t
=
c
c11
12
c13
c22
22
c23
c c
c31
32
c
33
33
tr(cof (A)) = tr(adj(A))
A−1 =
1
adj(A)
A
A−1 =
1
A
−a
a22 −a12
21 11 a
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 80
traz(A−1) =
1
traz[cof (A)]
A
Si c
ij
es un elemento de la matriz de
cofactores, entonces el elemento h de A−1
ij
este dado por:
h =
c
ji
ij
A
A
columna de cof ( A)
1
matriz inversa de A
Solución.
La determinante de A es:
A = 1(4) − 3(−5) = 19
Luego;
4
A−1 =
1 4
19
5
−3
1
19
=
5
19
−
3
19
Solución:
Determinante de A por menores cofactores,
considerando como referencia la primera
columna, es:
A = −2
1 3
− 0
3 1
+ 0
3 1
= 4
1 1 1 1 1 3
Matriz adjunta de A es:
−2 − 2 8
adj( A) =
0 − 2 6
0 2 −2
La matriz inversa de A , es:
−
1
−
1
2
−2 − 2 8
2 2
1 3
A−1 =
1
0 − 2 6
= 0 −
4 2 2
0 2 −2 1 1
0 −
PROPIEDADES:
2 2
Sean A , B matrices invertibles de ordenes
nn e I la matriz identidad de orden nn .
Se tienen las siguientes propiedades:
1. AA−1 = A−1 A = I
2. I −1 = I
3. (A−1)−1 = A
4. (AB)−1 = B−1A−1
5. (kA)
−1 = k −1A−1 ; k
6. (Am)−1 = (A−1)m ; m
7. A
−1 = A
−1
8. adj( A) = A
n−1
matriz inversa de A
3.
k − ésima
columna de A
−1
=
1
A
fila de cof ( A)
k − ésima
−0
+
k − ésima
−1
fila de A
adj( A) =
a22
−a a
−a12
21 11
Dada la matriz A =
1
−5
3
4
−2
A =
0
0
3 1
1 3
, determine la
k − ésima
=
OBSERVACIÓN:
•
NOTAS:
Sea A−1 la matriz inversa de A
1.
2.
4.
5.
Ejemplo 1:
, determine la
1
19
Ejemplo 2:
Dada la matriz
1 1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 81
EJERCICIOS
1. En las proposiciones, escribe ( V ) si es
verdadera o ( F ) si es falsa.
I. Toda matriz cuadrada es una matriz
diagonal.
II. Toda matriz nula es una matriz triangular.
III. La traza de una matriz antisimétrica es
cero.
La secuencia correcta, es:
a) FVV
b) FVF
c) FFV
d) VFF
e) FFF
2. En las siguientes proposiciones indicar con (
V ) si es verdadero y con ( F ) si es falso.
I. La matriz cuadrada A = aij mn
es
IV. Dada la matriz A de orden 33 , si al
intercambiar las filas 1 y 3 se obtiene la
matriz B y al intercambiar las columnas
1 y 2 se obtiene la matriz C ; entonces
B = C
La secuencia correcta, es:
a) VFVF
b) VVFV
c) VFFV
d) VFVF
e) FFVV
4. En las siguientes proposiciones, colocar ( V )
si es verdadera o ( F ) si es falsa.
I. Si los elementos de dos filas o dos
columnas de una matriz cuadrada A son
respectivamente proporcionales, entonces
el det ( A) = 0 .
II. Si A = aij nn
es una matriz triangular
superior de orden nn, entonces
det ( A) = a a a a a .
triangular superior sí aij = 0;i j .
11 22 33 44 nn
5 3
II. Toda matriz nula es triangular superior y
triangular inferior.
III. Toda matriz diagonal simétrica.
IV. No toda matriz cuadrada es invertible.
La secuencia correcta, es:
a) VFVF
b) FVFF
c) FVVF
d) VFVV
e) FFVV
3. En las siguientes proposiciones determinar el
valor de verdad:
III. Dada la matriz P =
−2 −1
. La suma de
los elementos de la segunda fila de la
matriz inversa de P es 7 .
La secuencia correcta es:
a) FVV
b) VFF
c) VFV
d) VVF
e) VVV
5. Dada la matriz A = aij 22
y A el
determinante de A , en las proposiciones
identificar con ( V ) si es verdadera o con ( F
) si es falsa.
I. La única matriz que es simétrica y
antisimétrica; es la matriz nula cuadrada.
I. Si A = 0 , entoncesA es singular.
II. En toda matriz cuadrada A de orden
33 ; tr (cof ( A)) = tr ( Adj ( A)) .
III. Determinante de una matriz cuadrada no
nula; siempre es diferente que cero.
II. Si dos filas de la matriz A son iguales,
entonces A = 0
III. Al intercambiar dos de sus columnas de la
matriz A , entonces el valor de su
determinante cambia de signo.
La secuencia correcta es:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 82
a) FVF
b) VVF
c) VFF
d) VFV
e) VVV
6. Si las matrices
A =
1 a 3
y
a)
1
2
b) 1
c)
3
2
d) 4
e) 2
2 b −1 2
1 4 c y −1 x − 5 x + y +1
B =
2 1 2
son iguales, entonces el valor 9. Si A =
x − 7 5 x − y + 3
es una
de la expresión E = , es: y − 3 x + y −10 x +1
a) 5
b) 2
c) 3
d) 4
e) 9
7. Si las matrices:
matriz triangular superior, el determinante de
la matriz A , es:
a) 28
b) 87
c) 80
d) 45
e) −80
x2 + 5 x 10. Si el determinante de la matriz
A =
xy2 + 2 y xy
4 k 4
(1− xy ) (x + y) xy
3 A =
−7 9 −5
es igual a 16 , entonces el
6x − y −6 10 −6
B =
2xy − y − y
valor de "k ", es:
0 x − 2 a) 6
son iguales, entonces el valor de la expresión b) 8
x − y , es: c) −8
d) −6
a) −5
b) −3
c) 3
d) 2
e) 5
e) 10
11. Si el determinante de la matriz
6 7 8
A =
k −6 8
es igual a 990 ,
9 −1 −7
2 x 1 entonces el valor de "k ", es:
8. Sean A =
2 6 z
una matriz y S una
a) −3
y 5 6 b) −1
matriz triangular inferior de orden 33 tal que
S + S
T
= A . El valor de la expresión
traza (S )
c) −6
d) −5
e) −4
, es:
+ z
a + b + c
x + y +1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 83
2 5
5 2
1 6
12. El determinante de la matriz
b − c c − a a − b
A =
c − a a − b b − c
; es:
16. Dadas las matrices
−1 0 1
A =
3 5 3
y
a − b b − c c − a
7 1 4
2 1 −2
a) 0 B =
3 5 −2
, la suma de los elementos
b) a
c) b
d) c − a
e) abc
13. Dada la matriz
igual a:
A =
1 3
, det ( A−1 ) , es
−2 1 3
de la segunda fila de AB , es:
a) 60
b) 30
c) 94
d) 44
e) 72
a) −2 17. Dado P(x) = x2 −5x + 3I , siendo I la matriz
b) −1
c) −6
d) −5
e) −4
identidad de orden 2 y sabiendo que
A =
1 4
; la suma de los elementos de la
14. Dadas las matrices A =
2 4
y
matriz
a) 18
P( A), es:
B =
3 5
det ( AB)
−1
1 0
, es:
b) 2
c) 20
d) −10
a)
1
8
e) 16
18. Sea la matriz antisimétrica:
b)
1
0 x +1 y +1
16 −1 y 3
1
c) −
40
−1 z −1 x + y
d) −
1
8
La suma de los elementos de la primera
columna de la transpuesta de la matriz dada,
es:
e)
1
20 a) −6
15. Dada la matriz A = aij 23
tal que
b) 6
c) 2
i − j; si i j d) −2
i + j; si i j
a) 234 b) 250
. El valor de A.At , es: e) 0
19. Sea la matriz simétrica
1 m + n 0
A =
2 5 m
,
c) 128
d) 218
e) 150
n x 3
la traza de la matriz inversa de A , es:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 84
i j
2 2
1 0
2 0
2 0
a) −11 a) 5
b) −2 b) −16
c) −1 c) 12
d) −15 d) −12
e) 16 e) −10
20. Sea A una matriz cuadrada de orden 2 2 11 23. Dada la matriz A = aij 32 tal que
cuyo determinante es y la diferencia de la i − j ; si i i j
suma de los elementos de la diagonal
principal y la suma de elementos de la
diagonal secundaria es 2 . Si se suma " x" a
cada elemento de la matriz A , su
determinante resulta 7 . El valor de " x", es:
a =
(i)( j) ; si i = j
i + j ; si i j
La traza de la matriz resultante de
AAt , es:
a) −1 a) −3
b) 2
c) −2
d) 3
e) −3
21. Si:
2 1 1 2
b) 12
c) 24
d) 49
e) 68
24. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si
es verdadera o (F) si es falsa
A2 = ; B
2 =
2 3 0 1
0 2 2 3
I. Si (AB)t es una matriz columna,
entonces A es una matriz fila.
AB = ; BA =
2 3 2 1
Entonces la matriz (A + B)(A − B), es:
1 −1 a)
II. Si (AB − At B)C es una matriz cuadrada
de orden n , entonces cada matriz es
cuadrada de orden n .
III. Si A es una matriz de orden n tal que
3 1
b)
−1 1
3 0
c)
A = 2 A − At , entonces tr(A) = 0 .
La secuencia correcta, es:
a) VVF
b) FFV
c) FVV
2 d)
1
−1 −1
d) FFF
e) VFF
3 0
25. Sabiendo que la matriz
e)
4 16 7 −
A =
2x 3 9 2z − 5 y
es simétrica,
22. Dada la matriz A =
0 1
, tal que
y + z 7 12
1
B = A + A3 + A5 − A6 . La traza de la matriz
B , es:
el valor de E = (x + y + z + 13)3 , es:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 85
1− x
3
A
b)
=
a) 3
b) 5
c)
29. Dada la matriz
1 1 1
A =
2 3 4
, si
a
12 ,
d) −2 3 5 8
e) 2 a
23 y
A−1,
a
31 son los elementos de la matriz
entonces el valor de
26. El determinante de la matriz E = 2(a12 ) − 3(a23 ) + a31, es:
1 + m2 2m
1 − m2 1 − m2 , es: a) −11
A =
2m
1 − m2
1 + m2
1 − m2
b) 1
c) 11
d) −1
a) 1
b) 4
c) 5
e) 13
30. Dada las matrices
4 0
10 9
y
d) 1− m
2
e) 1+ m
2
B =
2 0
tal que
B2 = A . El valor de la
x 3
27. El determinante de la matriz diagonal
tr(BBt ) + 55
0 y2 + 9
expresión k = , es:
a) 0, 5
A = x2 − 4 x + y x + 2 , es: 1
−
0
y 3 x + 9 c) 2, 5
a) 7
b) 2
c) 14
y +1
d) 1,5
e) 2
31. Dada la matriz
x 0 0
A =
0 4 7
tal que
d) −14 0 x 2
e) −7 A−1
a) 7
= 1 . El valor entero de x , es:
28. Dada la matriz A tal que b) 6
2 3
A
1 5
; A 0 . La suma de los
c) −1
d) −7
elementos de matriz inversa de A , es:
a) 11
b) 21
c) 3
d) 5
e) 4
e) 1
32. Sea A una matriz de orden 3 tal que
A3 = −I , donde I es la matriz identidad. La
adjunta de la matriz A10 , es:
a) A
b) − A
c) A A−1
d) − A A−1
e) − A A
3 24
A
A =
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 86
−
2 0
33. Sean A , B y X matrices tal que: 36. El determinante de la matriz escalar
A =
0 1
;
AX = At ; Bt = X t + A a + 2 b − 5 c − 3
2 0
A =
5 − b 9 − b a − 2
, es:
En las siguientes proposiciones, indicar con (
V ) si es verdadera o con ( F ) si es falsa.
3 − c a + b − 7 7 − c
I. tr(B) = 7 .
II. El elemento b12 de B es 2.
III. B es una matriz triangular inferior.
La secuencia correcta, es:
a) VFF
b) FFV
c) VFV
d) VVV
a) 27
b) 54
c) 64
d) 38
e) 16
37. La suma de los elementos de la tercera
columna de la inversa de la matriz
−1 −2 1
A =
1 2 1
, es:
e) FVF
34. Dada las matrices
A =
−3 2
y
−1
a) 2
b) 1
c) 0
−1 0
B =
2 1 . La suma de los elementos d) −1 0 − 0.5 e) −4
de la matriz resultante
es:
a) 14
R = −2A−1 + 3B I −1 ,
38. Dadas las matrices
3 0 0 2 −4 −1
A =
1 2 0
; B =
0 5 5
.
b) 8
c) 6
d) 3
e) 2
35. Dada la matriz identidad I3
y la matriz
5 −3 5 0 0 −2
La traza de la matriz M = 3A
−1
− 2B
−1 , es:
1. 27
10
A = aij 33
tal que
2. 34
10
a
i j =
3 − ai j
−a
; si i j
; si i = j
3. 35 20
i j
La traza de la matriz M = 2At − 3I ; es:
a) 27
d)
45
20
e)
27
b) −27
20
c) 9
d) 3
e) −9
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 87
39. La traza de la matriz inversade
1 2 3
A =
3 4 5
, es:
5 7 8
a) 6
b) 4
c) −4
d) −6
e) 8
40. Sea S una matriz triangular inferior tal que
1 0 0
S 2 =
6 4 0
y diag (S ) = (1; 2;3) ,
6 5 9
entonces la traza de la matriz S S
T , es:
PLANA DOCENTE 88
PRODUCTO CARTESIANO
DEFINICIÓN. Dado dos conjuntos A y B no
vacíos, el producto cartesiano de A y B es el
conjunto formado por todos los pares ordenados
RELACIONES BINARIAS
DEFINICIÓN. Dados dos conjuntos A y B no
vacíos, una relación de A en B es el
(a;b) talque a A b B
por A B esto es:
y se denota subconjunto R del producto cartesiano, A B .
Es decir:
Si n( A) es el número de elementos del conjunto
Ejemplo 1:
A y n(B) es el número de elementos del
conjunto B entonces n ( A B) = n ( A)n (B)
Ejemplo 1:
Dado el conjunto A = 2; 4; 6;8, se definen las
relaciones en A :
Dado los conjuntos R1 = ( x, y ) AxA / x + y = 10y
A = 1; 2 y B = a; b. entonces R2 = ( x, y ) AxA / y = x
A B = (1; a);(1;b);(2; a );(2;b)
B A = (a;1);(a; 2);(b;1);(b; 2)
Determinar: n ( R1 ) + n( R2 )
Solución:
Se observa que: A = 1; 2 y B = a; b Del producto cartesiana A A se obtienen:
PROPIEDADES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
R1 = ( x, y ) AxA / x + y = 10
R
1
= (2;8);(4; 6);(8; 2);(6; 4)
De igual forma
R
2
= ( x, y ) AxA / y = x
R
2
= (2; 2) ;(4; 4);(6; 6);(8;8)
n(R1 ) = 4 y n(R2 ) = 4 , luego
n(R1 ) + n(R2 ) = 8
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
Dada la relación R : A → B entonces:
R es una relación binaria de A en B sí y sólo sí
R A B . A B = (a, b) / a A b B
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
Si A B , entonces (AC) (BC); C
Dom(R) = a A / b B ; (a, b) R A
Ran(R) = b B / a A; (a;b) R B
A(B −C) =( A B) −(AC)
A(B C) =( A B) (AC)
A(B C) =( A B)(AC)
(A B)C A(BC)
A B= , si A es vacío o B es vacío.
A B B A , pero si A = B , entonces
A B = B A .
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 89
Domሺ𝑅ሻ Ranሺ𝑅ሻ
𝐚 𝐛
𝑅
𝐴 𝐵
EJERCICIOS
1. Si dados los conjuntos A = 1, 2, 3
y
B = 4, 5, 6, se definen las relaciones:
R1 = ( x, y ) A B / x + y = impar y
R2 = (x, y) A B / x + y = par .
Conjunto de Partida o Conjunto de Entonces Dom(R ) − Dom(R ) es igual a:
conjunto de
Pre imágenes
RELACIONES REALES
llegada Imagen o
conjunto de
imágenes
1 2
a)
b) 1, 2
c)
Si A = B = se obtiene la relación real de
variable real y se expresa como:
d) 2, 3
e) 1, 2, 3
2. Dados los conjuntos
A =
x + 2
/ 3 x 6, x Z + x = pares
2
Donde P(x; y) es una función proposicional
que puede ser una ecuación E(x; y) = 0 o
y
una inecuación de dos variables. B =
x2 + 8x − 20 / 5
3x + 4
11, x = pares
2
DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
DE EN
DOMINIO:
Para hallar el dominio, de la ecuación dada se
n( A B) , es:
a) 3
b) 0
c) 1
d) 4
e) 2
despeja la variable " y " en términos de " x", 3. Sean los conjuntos:
luego se ANALIZA los valores reales que puede A = x / x3 − x2 −10x − 8 = 0
tomar la variable " x".
B = x / 2 x 5 y la relación
RANGO: R1 = (x, y) A B / x − 6 = − y . La suma
de los elementos del Dom(R1) , es:
a) −1
Para hallar el rango, de la ecuación dada se b) 1
despeja la variable " x" en términos de " y", c) 2
luego se analiza los valores reales que puede
tomar la variable " y ".
d) 3
e) 4
Dom(R) = x / y ; (x; y) R
R = (x; y) 2 / P(x; y)
Ran(R) = y / x ; (x; y) R
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 90
4. Sean los conjuntos
A = 4x −1 / x + x 3
7. Dado el conjunto:
A = −3, −2, −1, 0,1, 2, 3,
B =
2x +1
/ x
+ x 3
el dominio de la relación
3
, R = (x, y) A2 / x+ | y |= 3, es:
la cantidad total de relaciones que se puede
definir de A en B , es:
a) 6
b) 11
c) 14
d) 8
e) 9
a) 1, 2, 3
b) 1, 2
c) 2, 3
d) 0,1, 2, 3,
e) 0, 3
8. Sea el conjunto A = x
, −3 x 2
5. Si A = B con m 1, siendo la suma de los elementos del Dom(R) es,
A =
2 − 3m
, 2n − 6
B = (4, n2 −3n) siendo la relación
m −1
R = (x, y) A2 / −x − y = 5
uno de los valores de "m + n", es:
a) 20
b) 22
c) 20
7
d) 25
a) 5
b) −5
c) −3
d) 3
e) −2
9. Sea el conjunto:
7 B = x / 2x2 −11x +12 = 0
e)
7
27
6. Dados los conjuntos
A = 4, 5, 6 y
el número de elementos de la relación
R = (x, y) B2 / x −1 = y , es:
a) 1
B = 2, 4, 6,12 , se definen las
relaciones
R1 = (x, y) A B / x − y = 0
R2 = (x, y) A B / x − y − 2 = 0
b) 2
c) 0
d) 3
e) 5
10. Dados los conjuntos
R =
(x, y) A B /
y
= x
A = x / (x3 − 7x2 +10x = 0
3
2
,
n(R1) + n(R2 )
B = x / (x3 − 8)(x + 5) = 0
el valor de la expresión
a) 5
b) 4
c) 3
d) 6
e) 2
n(R3 )
, es: El valor de nA( A − B) es:
a) 4
b) 6
c) 5
d) 3
e) 7
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 91
1
2
11. Dados los conjuntos
A = x x2 −13x + 40 = 0
B = 2x +1 / x 1 x 5
C = x2 −1 / x 0 x 5,
la cantidad de relaciones que se pueden
definir de B − C en 𝐴, de manera que cada
relación conste de tres elementos, es:
a) 20
b) 16
c) 19
d) 28
e) 24
15. Dados los conjuntos:
A = x / −12 x + 6 20
B = x / 10 x2 400,
d) 16
e) 18
18. Dado el conjunto U = 1; 2; 3; 4; 5 ,
se definen las relaciones:
R = ( x; y )U 2 / x y
R = ( x; y )U 2 / x + y = 5,
el número de elementos de la relación
R
1
R
2
, es:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
19. Dados los conjuntos
A = (x, y) / (x2 + 3x; y2 + 3y − 2) = (−2; 2x)
el número de elementos de A B , es:
a) 104
b) 1054
c) 208
d) 1020
e) 512
16. El número de elementos del conjunto:
M = (s ;t) 2 / (s2 + 3s ;t 2 − 7t) = (−2;12)
B = (x, y) / y = x; x ,
un par ordenado de " A − B " ,es:
a) (1; 2)
b) (2;3)
c) (2;1)
d) (2;3)
e) (2; 2)
20. Sea; A = 1, 2, 3 y dadas las relaciones
.
R y R en A definidas por:
a) 1 1 2
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
17. Sobre el conjunto:
A = 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10
se define la relación
R = (x, y) A A / y = x2; x y , la suma
de elementos del dominio de R , es:
a) 10
b) 12
c) 14
R1 = (x, y) A A / x y ; y
R2 = (x, y) A A / x + y = 5 .
el número de elementos del conjunto.
R1 R2 .
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 92
8
21. Dados los conjuntos: a) 1− 8,1+ 8
A = x / x es impar 3 x 11
B = x / x3 10 x = 12.
b) 1− 6,1+
De las relaciones c) 1− 8,1+
I.
II.
R1 = (9, 2),(5, 4),(7,3)
R2 = (3,1),(5, 2),(7, 3), (9, 4)
d) 1− 8,1+
III. R3 = (5,12),(7, 4)
e) 1− 8,1+
Las relaciones definidas de A en B son:
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I y II
25. El dominio de la relación
R = (x, y)
es:
a) −, 0 2, +
b) −, −22, +
y2 − 8x − 4 y − 4 = 0
22. Dada la relación
R = (x, y)
2 / 2 y2 x + 4 y2 + 3x − 6 = 0
c) −2, 2
d) 0, 2
la intersección del dominio y el rango de la
relación, es:
a) −2, 2
e) −, 02, +
26. El dominio de la relación
b) −2, 2
c) −2, 2
d) 0, 2
R = (x, y) 2 / 2xy2 + 2xy +1 = 0
es:
a) 0, 2
e) −2, 2
b) −,0
23. El dominio de la relación
c) 2, +
R = (x, y) 2 / 3x2 + 3y2 − 30x + 6 y − 30 = 0 d) −, 0 2, +
es:
a) 0,11
e) −; 0 2;
27. El rango de la relación
b) −1,11 R = (x, y) 2 / (x − 5)2= 12( y − 3) es:
c) −1,11
d) −1,11
a)
b) −, 3
e) −1,11
24. El rango de la relación
R = (x, y) 2 / 2(x −1)2 + ( y −1)2 = 8 es:
c) 3, +
d) 3, +
e) −3, +
8
8
8
2 / 4x2 −
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 93
2 / y +
1
2
28. El rango de la relación 32. El dominio de la relación
R =
(x, y) = 3(x −
5
)
R = (x, y) 2 / 3y2 − 2 y − 3x = 0,
2
es:
a)
b)
c) 0, +
es:
a)
b)
1
, +
9
−
1
, +
9
d) −, 2 c)
−
1
, +
9
e) −, −1 d) −, −9
29. El rango de la relación e) 33. Si el dominio de la relación
R = (x, y)
es:
2 / y3 − x2 + 3y2 + 3y + 2x = 0
R = (x, y) − 2x + 2 = 0 es
a) −1, +
b) −1, +
c) −, −1
d) −, −1
−4, 2 , la suma de números enteros de su
rango es:
a) 10
b) 12
c) 15
d) −2
e) e) −6
30. La suma de valores enteros del dominio 34. El dominio de la relación.
de la relación:
R = (x, y) 2 / 4x2 + 25y2 −16x + 50 y − 59 = 0
R = (x, y)
es:
2 / x3 − y2 − 2 y + 3x − 2 = 0
es:
a) 20
b) 22
c) 21
d) 24
e) 25
31. Determinar el rango de la relación:
R = (x, y) 2 / y2 x2 − 4x2 − y + 3 = 0
a) −; −1
b) −1;1
c) 0, −1
d) −; +
e) 1; +
35. El dominio de la relación definida por la
ecuación y2x − y2 − x = 0 , es:
a) −2, +
b) 2, +
a) −, 0
b) 0;1
1, +
c) −2, 2 3, + c) −; 0 1, +
d) −2, +
e) 3, +
d) 0; 1
e) −; 0 1; +
2 / y − x2
PLANA DOCENTE 94
→
Y
f
FUNCIONES BINARIAS Y
REALES
FUNCIONES REALES
Si en las funciones discretas o binarias hacemos
que A = y B = , entonces f : es
FUNCIONES DICRETAS
DEFINICIÓN. Sean A y B dos conjuntos no
vacíos. Una función discreta o binaria
una función real de variable real o simplemente
función real.
f : A → B es el conjunto de pares ordenados
de A B tales que dos pares ordenados En este caso y = f (x) es una regla de
diferentes no tienen la misma primera
componente y una regla de correspondencia
b = f (a) se cumple (a;b) f .
Es decir: f es una función de A en B si
correspondencia.
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
REAL
(a,b) f 𝖠 (a, c) f ⟹ 𝑏 = 𝑐 Sea f : → una función real, entonces:
NOTA:
“Toda función es una relación” y no toda relación
es una función.
i) Dom( f ) = x / y (x, y) f
ii) Ran( f ) = y B / x (x, y) f
GRAFICA DE UNA FUNCIÓN REAL
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
DISCRETA Sea f : una función real. La grafica de
Sea
i)
ii)
f : A → B una función discreta:
Dom( f ) = a A / b B (a,b) f A
Ran( f ) = b B / a A (a,b) f B
f es el conjunto:
graf ( f ) = (x, y)
OBSERVACION:
Toda recta paralela al eje " y " corta a la gráfica
REPRESENTACIÓN GRAFICA:
de la función f : en un único punto.
Dada la función discreta f : A → B , entonces:
X X
Es función
No es función
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
f = (x, y) 2 / y = f (x) 2
→
2 / x Dom( f ) y = f (x) 2
→
A
f
B
a
•
b
•
Dom (f) Ran (f)
Y
𝐟
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 95
OBSERVACIONES:
1. Las funciones reales son subconjuntos
especiales de 2 , con la propiedad de tener
un solo punto de intersección con cualquier
recta vertical trazada sobre su grafica.
2. Se puede hallar el dominio y el rango de una
función real a través de su gráfica.
EJERCICIOS
a) 1, 4
b) 0, 4
c) 0, 2
d) 2, 4
e) 1, 5
4. Dada la función definida por:
f = (4, k),(2, 5k),(7, 2k 2 +1),(4, 2k −1)la
1. Dada la función:
f = (a,5),(2, a2 − 3a),(4, a),(2, 2a − 6),(4, 2b −1)
el rango, es:
a) 2,3, 4
b) 0, 3, 5
suma de los elementos del rango, es:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 6
c) 1, 2, 3 5. Sean los conjuntos A = −3, −2, 0, 4, 6
d) 0, 2, 4 y B = si f : A → B es una función tal que:
e) 0,1, 2 (−2, 4),(−3,1),(0, 3a + 2b),(−2, 2a + b), f =
(2a + b, 4),(6, 7),(0, 5) el
2. Si:
(1,8), (2, −3), (1, a2 + b2 ), (−1, a + b),
f =
(a
2 + b, a), (b + a2 , b)
representa a una función, entonces a + b es:
valor de "a − b", es:
a) 5
b) 4
c) 3
d) −2
e) 0
6. Si el conjunto
f =
(2, 6), ( x +1, y + x), (2,| x − 2 |), (−4, 7),
(−4,3 − y)
funciones
f = (1,1), (2, 3), (4, 2),(3, 3), (4, m) y
es una función, entonces la suma de los
elementos del rango, es:
a) 17
g(x) = mx2 + bx + c , tal que
g(2) = 4 , el rango de " g " es:
f (1) = g(1) y b) 16
c) 4
d) 15
e) 12
a) 4
b) 2
c) 3
d) 0
e) −2
3. En A = 1, 2, 3, 4 se definen las
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 96
; x / f ( x) =
7. Dados A = 1; 2;3 y B = 2; 6;8;10 .
Se define la función
f ={(x; y) A B / y = x2 +1} . la suma de
los elementos del rango de " f "es:
a) 10
b) 2
c) 4
d) 26
e) 12
8. Dada la función:
f (x) = x − 4; x {5;7;9;10;14}
a) FVF
b) VVV
c) FFV
d) FVV
e) VFV
11. Dada la función f definida por:
f ={(x; y) B / y = 2x −1}, donde
B = 2; 4;5; 7 , la suma de los elementos del
dominio de f es:
a) 6
b) 8
Dom ( f ) Ran ( f )
a) 1;5
b) 10
es igual a: c) 7
d) 9
e) 15
12. Dada la función:
c) 6;14 f = (7, 2);(5, 3)(7, m +1 );(5, n −1 );
d) 5;10 (6, m );(−3, 2 − n) el
e) 7
9. Dadas las siguientes funciones reales:
valor de n + m , es:
a) 1
f (x) = 2x − 3 y g(x) = x2 − 4 b) 0
resulta: c) −2
d) 5
a) 10
b) 12
c) 13
e) −1
13. Sea " f " una función definida por:
f ( x) = 3x + 6
d) −13
e) −17
El valor de:
f (x + h) − f (x − h)
f ( f (2))
es:
10. Sea f una función de en , definida
a)
h
7
por f (x) = 2x + 3 . Determinar el valor de h
verdad de las siguientes proposiciones: b) 3
I. y y
c)
h
6
II. Si f (a) = f (b) , entonces a = b . d) h
III. Si f (x) = 13, entonces x = 5 . e) 2h
La secuencia correcta es:
6 f (−1) − g(0)
g( 5) + f (2)
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
14. En las siguientes proposiciones escribir
( V ) si es verdadera o ( F ) si es falso.
17. El rango de la función
es:
4y + x2 − 4x = 0
I. Toda función es una relación
II. Toda relación es una función
III. Toda recta es una función.
IV. Toda parábola es una función.
La secuencia correcta es:
a) FVFF
b) VFFF
c) VFVV
d) VFVF
e) VFFV
15. Una función real se define como
x − 4y − 6 = 0 ,la intersección del dominio y
a) −,1
b) −,1
c) 1, +
d) 1, +
e)
18. El rango de la función
sí 1 x 4 , es:
a) 1, 0
b) 1, 0
4y + x2 − 4x = 0
del rango, es: c) 1, 0
a)
b)
c) 0
d)
−,0
d) 1, 0
e) 1, −1
19. Sea la función
y =
x +1
,su rango, es:
x − 2
e) 0, +
16. Se tiene la función
1
x +
3
2 4
a)
y − 2 = 0
b)
con su dominio 0 x 3 ,su rango, es:
c)
8 2
d)
a) ,
3 3
b) 8; 2
8 2
e)
20. Dada la función
y =
−2
el
c)
,
x2 + 5x + 6
3 3
d) 2;8
rango es:
a) −, 0 8, +
e)
b) −, 08, +
c) 0,8
d) 0,8
e) −,0
PLANA DOCENTE 97
3
,
3
8 2
−2
− 1
− 3
−0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 98
5
8
−−1 ;
1− x2
4x2 − 4x +1
8
21. El rango de la función
es:
yx2 − 4y − x2 = 0
25. Dada la función
x3 −1
y =
x −1
su dominio
a) −, 0 1, +
b)
y rango, es:
−
3
c) −, 0 1, + a) 1 ; 4
, +
d) −−2, 2 b) ;
3
, +
e) −, 0 1, + 4
c) −1 ; 3, +
22. Dada la función
4x2 − 5
y = la 2x2 + 8
3
d)
, +
intersección del dominio con el rango, es:
4
a)
−
5
,2 e) −1 ; 4, +
8
b) ,2
c) −
5
,2
d) −
5
,2
26. Dada la función y =
es:
a) 1, +
b) 1, +
1 , el rango,
8
c) −,1
e) −
8
,2
5
d) −1, +
23. El rango de la función y =
a) 5, +
b) 5, +
x2 + 25, es:
e) −1, +
27. El dominio de la función y =
es:
c) −, −5
d) −5, 5 a) −, −4 3, 0 4, +
e) −5, 5 b) −, −43, 04, +
c) −, −4 3, 0 4, +
24. El dominio y rango de la función
d) −, −4 3, 0 4, +
y = − , es: e) −, −4 3, 0 4, +
a) −2, 2 ; −2, 0
b) −2, 2 ; −2, 0 28. El rango de la función
c) −2, 2 ;
d) −4, 2 ;
−2, 0
−2, 0
y = − x , es:
e) −4, 2 ; −2; 0
4 − x2
x2 + 3x
x2 −16
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 99
x −1
x2 − 5x −14
2
a) 3, + 32. Al determinar el rango de la función:
f (x) = 3 + 24 −12x , resulta:
b) −3, +
c) 3, +
a) −; − 3
b)
d) −3, +
c)
e) 3, 2
29. Dada la función y =
2x , su rango es:
d) 3; +
e) −;3
a) −, 0 8, +
33. La grafica siguiente corresponde a la función:
f :[−3;0] → definida por
f (x) = 2x2 + 8x + 9 ,el valor de
b) −, 08, +
c)
d) −, 06, +
e) −, −1 8, +
30. El dominio de la función:
f (0) + f (−2) + f (−3) es:
a) 15
b) 14
c) 13
d) 10
e) 5
f (x) =
x
es:
34. El rango de la función:
f (x) =
4x2 −1 , es:
a) −; − 2] [7; + 2x +1
b) −; − 2
c) −2; 7
7; + a)
−; − 2] [2; +
b)
c) −; −
1
1
; +
d)
e) −2; 7
31. El dominio de la función:
1
2
d)
e)
2
f (x) =
2x2 + 5x − 3
, es:
35. El dominio de la función:
a)
1
; − 3
2
f (x) =
x + 5
es:
b) −;
1
2 −3; +
a) 2, 3
b) 2, 3 c)
−
1 c) 0, 3
d) ;3
e) −
1
; − 3
d) −2, 0
e)
2
−−1
−{3}
−{−2}
−
−
1
2
1− x − 2
f(x)
-3 -2 0 x
PLANA DOCENTE 100
→
→
FUNCION CONSTANTE:
Es aquella función f : , definida por
y c , cuyo dominio es
La representación gráfica es una recta horizontal,
tales que:
Ejemplo 1:
f ={(−2; 2);(0;0);(2, 2);(5;5);(6;6)}representa
a una función discreta identidad.
FUNCION LINEAL:
Es aquella función f : definida por
, donde m 0 y cuyo
Ejemplo 1:
f ={(−3;3);(0;3);(2,3);(5;3);(7;3)}
representa a una función discreta constante.
Ejemplo 2:
y Ran( f ) = .
La representación gráfica de una función lineal es
una recta oblicua creciente o decreciente, con
pendiente m 0 , tales que:
La función f definida por f (x) = −2,
x −4;5 , es una función real constante,
cuyo Dom( f ) = −4;5 y Ran( f ) = −2
FUNCION IDENTIDAD:
Es aquella función f : → definida por,
, cuyo
Dom( f ) = y Ran( f ) = .
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
Dom( f ) =
f (x) = c,x
Dom( f ) =
f (x) = mx + b
Si c 0
y = c
Si c 0
y = c
y = c
y = c
f (x) = I (x) = i(x) = x, x
Si m 0 b 0 Si m 0 b 0
Si m 0 b 0
b
Si m 0 b 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 101
→
Ejemplo 1: •
Si: f ={(−2; −4);(0; −1);(2, 2);(4;5);(6;8)} • Ran( f ) = −; k sí p 0 .
con elementos que cumplen el orden que se
indica, representa a una función lineal discreta.
Ejemplo 2:
Ejemplo 1:
La función f definida por f (x) = x
2
+1 ,
La función f definida por f (x) = −x + 2 , es es una función cuadrática, cuyo Dom( f ) =
una función lineal real con
Dom( f ) = Ran( f ) = , cuya representación
y Ran( f ) = 1; + . Como a = 1 0 la
gráfica es una recta decreciente con pendiente
−1.
parábola se abre hacia arriba.
La ecuación cartesiana es
FUNCION CUADRATICA: : (x − 0)
2
= ( y −1) , V = (0;1) y como
Es aquella función f : → definida por
, cuyo
p =
1
0 la parábola se abre hacia arriba.
4
Dom( f ) = y Ran( f ) .
Ejemplo 2:
La función f definida por
f (x) = −x
2
+ 2x
La representación gráfica de una función
cuadrática es una parábola que se abre hacia
arriba o hacia abajo, tales que:
, es una función cuadrática y como a = 1 0 ,
la parábola se abre hacia abajo.
La ecuación cartesiana es
:(x −1)
2
= −( y −1) , V = (1;1) y como
1
p = − 0
4
la parábola se abre hacia abajo,
cuyo Dom( f ) = y Ran( f ) = −;1
FUNCION RAIZ CUADRADA
Es aquella función f : definida por
La ecuación cartesiana de una parábola con eje
focal paralelo al eje “Y” está dada por con u(x) 0 , cuyo
: (x − h)2 = 4 p( y − k) , tal que si p 0 la
parábola se abre hacia arriba y si p 0 la
Dom( f ) = x / u(x) 0 y Ran( f ) .
parábola se abre hacia abajo, siendo
V = (h; k) el vértice; cuyo Dom( f ) = . • Para
.
f (x) = x , Dom( f ) = Ran( f ) = 0; +
f (x) = u(x)
Si a 0 Si a 0
(0;1)
f (x) = ax2 + bx + c; a 0 ,a,b, c
Ran( f ) = k; + si p 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 102
x −1 f (x) = U (u(x)) =
1; u(x) a
a 0;u(x) a
−x + 2; −1 x 2
−x + 2; x 2 −1 x 5
a
Ejemplo 1:
El rango de
Solución:
f (x) =| x − 2 |, x −1;5
, es:
Ejemplo 1:
Determinar el dominio y rango de
f (x) =
x − 2 ; x 2 −1 x 5
f (x) =
x − 2 ; 2 x 5
, cuyo Ran( f ) = 0;3
FUNCION ESCALON UNITARIO
f (x) = 2 x −1 + 2 Es aquella función Ua : → 0;1 definida por:
Solución
f (x) = 2 + 2 x −1 0 x 1 ,
Dom( f ) = 1; +
y Ran( f ) = 2; + siendo "a" un número real fijo, cuyo
FUNCION VALOR ABSOLUTO
Dom(Ua ) = x
Ran(Ua ) = 0;1
/ u(x) a u(x) a y
Es aquella función f : → definida por:
• Para
f (x) = U (x) =
1;
x a
, con "a" un
, a
número real fijo,
0; x a
Dom(Ua ) = y
cuyo Dom( f ) = x / u(x) 0 u(x) 0 Ran(Ua ) = 0;1 , tales que:
y Ran( f ) .
• Para
f (x) = x =
x
; x 0 ,
−x ; x 0
Dom( f ) = y Ran( f ) = 0; +
Ejemplo 1:
Si f (x) = U
x −
1
+ 3 ,determinar:
−2
2
f (−3) + f (2), Dom( f ) y Ran( f ).
f (x) = u(x) =
u(x)
−u(x) ; u(x) 0
; u(x) 0
45° 45°
Si a 0 Si a 0
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 103
1
2
3
4
1
2
5
4
f (x) =
4 4
4
2 4 2
Solución:
a) f (−3) = U
−3 −
1
+ 3 = U
−
7
+ 3
−2
2
−2
2
f (−3) = 0 + 3 = 3 y
f (2) = U
2 −
1
+ 3 = 4 , entonces
−2
2
f (−3) + f (2) = 3 + 4 = 7
b) f (x) = U
x −
1
+ 3
−2
2
Ejemplo 1:
0 + 3 ;
f (x) =
x −
1
−2 x −
3
2 2
Si:
f (x) = 2Sgn
x −
1
x + +U
(1− x) ,
1 3
2
−2
1+ 3 ; x − −2 x −
2 2
determinar
f
−
3
+ f
3
3
2
4
3;
x −
2
3
Solución:
4; x − −3 3 1 3 1 3
2 f = 2Sgn − − − + +U−2 1+
donde: Dom( f ) = y Ran( f ) ={3; 4} 2 2 2 2 2 2
f
−3
= 2Sgn (−2) −1 + U
5
2
−2
2
FUNCION SIGNO:
Es aquella función Sgn : → −1; 0;1 definida
f
−3
= −1 2
por
Además:
f
3
= 2Sgn
3
−
1
+ +U
1+
3
,
4
4 2
−2
4
3 1 1
cuyo
Dom(Sgn) = x / u(x) 0 u(x) = 0 u(x) 0
f = 2Sgn
+U
−2
4
y Ran(Sgn) ={−1;0;1} f
3
=
7
1 ;
x 0
• Para f (x) = Sgn(x) =
0 ; x = 0
Luego:
, −1; x 0 3 3 5
Dom(Sgn) = y
gráfica es
Ran(Sgn) = −1; 0;1 , cuya
f − + f =
Ejemplo 2:
Si f (x) = Sgn ( 1− x ) , determinar el dominio y
rango.
f (x) = Sgn(u(x)) =
1 ; u(x) 0
0 ; u(x) = 0
−1; u(x) 0
2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 104
1− x
1− x
1− x
)
2x − 2; 1 x 2
Solución: Ejemplo 1:
f (x) = Sgn (
−1; 0
1− x ) = 0 ; = 0
−1.07 = −2 −2 −1.07 −1 .
f (x) = Sgn (
1 ; 0
1− x =
0 ; x = 0
1 ; x 1
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
+ 2 4
Además: El rango de la función f definida por
Dom( f ) = −;1 y Ran( f ) ={0;1}
f (x) = 2x − x +1 ; 0 x 2 , es:
Solución:
FUNCION ENTERO MAYOR:
0 x 2 1 x 3
decir:
x +1
toma 1 y 2, es
cuyo
Dom( f ) = x
Ran( f ) = .
f (x) = 2x −
y
x +1 =
2x −1 ; 0 x 1
• Para
f (x) = x
= n n u(x) n +1;n ,
Ran( f ) = −1; 2
cuyo Dom( f ) = y Ran( f ) = .
EJERCICIOS
−3 ; − 3 x − 2
−2 ; − 2 x −1
1. Si:
−1; −1 x 0 2a + b
f =
−2;
2
;(0;3a −10);(2; a + b − 2); f (x) = x = 0 ; 0 x 1 1; 1 x 2 (5; ab −16)
2 ; 2 x 3
3 ; 3 x 4
representa a una función constante, el valor
de a
2
+ b
2 , es:
a) −729
b) 126
c) 81
d) 243
e) 729
2. Si:
(3; 2a + b);(6; a2 + b − 3);(7; 2 − b);
f =
(9; c + 2)
para a 0 representa a una función
constante, el valor de a − bc , es:
Es aquella función f : → definida por
, f (x) = u(x) = n n u(x) n +1;n
/ n u(x) n +1; n
2 + 2 = 3 3 2
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 105
=
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 11
3. Si:
a) 3
b) 5
c) 10
d) 6
e) 4
7. Si la gráfica de la función f definida por
f = (a + 6;8 − a);(b − 9;11− b);(c − 9; 7 − c)
representa a una función identidad, el valor de
a
2
+ bc , es:
a)
b)
c)
d)
e)
f (x) = ax + b + 2 pasa por los puntos (4;16)
y (0; −2) , el valor de a + b
2 , es:
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
e) 7
8. Sea f una función definida por
4. Si: f (x) = ax2 + b tal que f (0) = 5 y
f f
1
=
11 , el valor de a + b
es:
(a + 4;10 − c)
representa a una función identidad, el valor de
a + b + c , es:
a) 32
b) 12
c) 18
d) 22
e) 16
5. Si:
f = (−1; −5);(1;1);(3; 7);(a + 2;b);(c; d − 4)
a) −4; 0
representa a una función lineal cuyos
elementos obedecen al orden que se b) −4; 0
presenta, el valor de a + b + c + d , es:
a) 46
b) 52
c) 30
d) 36
e) 27
6. El menor entero que satisface al rango de la
función " f " definida por
c) −5; −1
d) − 4; 0
e) − 5; −1
10. La suma de los enteros que satisfacen al
rango de la función f definida por
f (x) = −x2 + 2x − 2;x −1; 2 , es:
f (x) = −2x + 3;x −; −1 , es: a) 6
b) 5
c) −4
d) −6
e) 4
52
61
48
42
66
(a3 + 5;32);(log b; 4);(c2 − 4; c + 2);
2
a)
2
2
7
b) 5
c) 8
d) 12
e) 6
9. El rango de la función f definida por
f (x) = x2 + 2x − 3 ;x −2;1 , es:
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 106
x −1
−2
3
11. El rango de la función f definida por
f (x) = − x + 2; x −1: 23, es:
a) 0; 4
b) 3; 4
a) −5; 0 c) −4; 0
b) −5; −1
c) −5 : −1
d) −5; 0
e) −5; −1
12. El rango de la función f definida por
d) 3; 4
e) 3; 4
16. El rango de la función f definida por
f (x) = x2 − 2 (| x | +1) + 7 es:
a) 4; +
f (x) = 4 − 5 − x2 ; x − 2; , es:
b) 4; +
a) 4 − 5; 4 −
b) 4 − 3; 4 + 5
c) 5; +
d) −4; +
c) 4 + 3; 4 +
d) 4 − 5 ; 4 −
e) 4 − 5 ; 4 +
e) −5; +
17. El dominio y rango de la función f definida
por f (x) = 2U−1 ( +1) es:
13. El rango de la función f definida por a) −;1 ;{3}
f (x) =
2x− | x |
, es:
x
b) 1; + ;{3}
a) 1; 4
b) 1;3
c) {1;3}
d) {1; 4}
e) 2; 4
14. Si "m" es el mayor entero del dominio y "n"
es el mayor entero del rango, de la función f
c) −;1 ;{1}
d) 1; + ;{1}
e) 0; + ;{3}
18. El dominio y rango de la función f definida
por f (x) = Sgn (| x −1|) + 2 es:
a) −;1 ;{1;3}
definida por f (x) =| x − 2 | −2 ;x −1; 4 el
valor de m + n , es:
a) 2
b) 3
c) 4
19. Sea la función f dada por:
d) 5
e) 6 f (x −1) = 2 | x − 2 | U
x −
1
−3Sgn (x2 − 4) x − 3
15. El rango de la función f definida por
2
entonces
f
3
es: 2
f (x) =| x − 4 |; x −1;1 , es:
2
3
5
3
3
b) 1; + ;{2;3}
c) ;{1; 2}
d) + ;{2;3}
e) ;{2;3}
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 107
2
a) 1 24. El rango de la función f definida por
b) 2 f (x) = x2 − 2x + 3
x
; x
−3; −
1
, es:
c) 4
d) 5
e) 6
20. Dada la función f cuya regla de
correspondencia es:
3
a) −7;12
b)
−
7
; 4
4
2
f (x) = ( 5 − 2x )U (x + 4)+ | 2x −1+ a x − 2 + Sgn(2x −1)
3 c)
−
7
;4
tal que f (−2) = 3, el valor de "a" es: 4
d)
−
7
;14
a) 1
b) 2
c) 4
4
e) −
7
;12
d) 5 4
e) 6
25. El rango de la función f definida por
21. La suma de elementos del rango de la función
f (x) =
21+
x
− x
2
3
; −1 x 1
, es:
f definida por
a) 10
b) 14
f (x) = , es:
a) 1; 2
b) 3; 2
c) 15
d) 16
e) 21
22. El rango de la función f definida por
d)
2; 2
f (x) =
a)
x
/ n
, es:
e) 1; 4
26. El rango de la función f definida por
b) / n
f (x) = 5 − x
x2 − 4 ;1 x 3 , es:
c) n / n 2
d) n / n
e) n / n
a) 0;8
b) 0;5
23. El rango de la función f definida por c) 0; 4
f (x) = x +
a) 1; 2
x ;1 x 4 , es: d) 0; 4
e) 0;5
b) 3; 2
c) 2; 4
d) 2; 5
e) 1; 4
5
x2 +1
n
n
c) 3; 4
PLANA DOCENTE 108
g
f
:
→
f f (x)
/ (x) = ; g(x) 0
g
g(x)
Dom
f
= Dom( f ) Dom(g) −{x / g(x) = 0}
g
g f : → , tal que
(g f )(x) = g( f (x)),
Dom (g f ) = {x / x Dom( f ) f (x) Dom(g)}
→ →
f g : → / ( f g )(x) = f (x).g(x)
Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g) .
f g
DEFINICIÓN. Dadas las funciones reales
f : y g : tal que
Dom( f ) Dom(g) , se definen:
a) La suma y diferencia de las funciones f
y g , es la función:
g o f
b) El producto de las funciones f y g , es la
función:
c) El cociente de las funciones f y g , es la
función:
PROPIEDADES:
Si f , g, h e I son funciones:
1.
2.
3.
4.
5.
EJERCICIOS
1. Dadas las funciones:
f = (−3; 2);(0;0);(2; 4);(3;1);(4; 2)
.
d) La función compuesta entre las funciones
f y g , es la función:
g = (2;0);(3; 4);(4;7);(6; 2)
Determinar:
a) f g
b) f .g
c) 2 f 2 − g
f
d)
g
e) g
Con sus dominios y rangos respectivos
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
f g : → / ( f g )(x) = f (x) g(x) ,
Dom( f g) = Dom( f ) Dom(g) .
f g g f
( f g ) h = f ( g h)
( f + g ) h = ( f h) + ( g h)
( f g ) h = ( f h)( g h)
f I = I f ; f
f
Domሺ f ሻ
Domሺg o fሻ
x
Ranሺ fሻ
Ranሺ gሻ
Ranሺg o fሻ
fሺxሻ gሺfሺxሻሻ
Domሺ gሻ
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 109
x −
5
2. Dadas las funciones
f (x) =
g = (−3; −2);(−2;3);(0;1);(1; −1);(2; 4);(6;5)
Determinar:
2
d) (3;11)
e) (11; 2)
6. Sean:
f (x) =
a) f − g
b) f
Con sus dominios y rangos respectivos
3. Dadas las funciones:
f (x) = 2Sgn
x
g(x) = x + 4 ;0 x 4
La función " f + g " viene dada por:
g = (0;1);(1; 4);(2;3);(4;5);(6; −2)
Indicar el producto de elementos del rango
a) x + 2
b) x − 2
7. Halle el dominio de la función "h g " :
h(x) = x2 − 3 ; x −2; 7c) 2x − 3
.
d) x +1 g(x) = 2x −1; x −1;5
e) 2x + 3
4. Dadas las funciones:
1
f (x +1) = x2; − 2 x 8 a) − ;4
g(x −1) = 2x −1; 1 x
Luego, la función f g .
2
b) −
1
;4
2
a) f g(x) = 4x2 + 2 ; −
1
x
3
2 2
c) −
1
;4
2
b) f g(x) = 4x2 ; −
3
x
7
2 2 d)
1
;4
c) f g(x) = 4x2 ; 1 x
7 2
2 1
d) f g(x) = (x −1)2 ;
e) f g(x) = 2x +1 ;
x 1
−
1
x
1
e) 2
;4
2 2 8. Siendo " f " y " g " dos funciones definidas
por:
5. Sean las funciones: f (x) = g(x) =
f = (2;5);(3; 4);(4;1);(5;0) Halle el dominio de " f g " .
g = (0;1);(1; 2);(2;1)
Calcular: f + g + f g .
a) (2;11)
b) (2;9)
a) −5;5
b) −3;3
c) 5; +
c) (1; 7)
d) −; −55; +
e) −5;5
9 − x2
g
x − 3
x + 5 5 − x
de: f 2 + 3g
a) 16
b) 32
c) −32
d) −48
e) 54
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 110
4x − x2
f )(x) =
9. Dadas las funciones:
g(x) =
h(x) =
Encontrar el dominio de la función "h g " .
a) h(x) =
b) h(x) =
c) h(x) =
d) h(x) =
; − 2 x 2
; 0 x 4
x2 −1 ; 1 x 4
x2 + 4x ; 0 x 1
a) −3;1 e) h(x) = x − x2 +1 ; −1 x 1
b) −3;1
13. Sean las funciones:
c) −3;1 f (x) = x2 − g(x) = 1+
d) −3;1 Determinar Dom( f + g) Ran( f + g) .
e) −;1 a)
b) −1;1
10. Dadas las funciones: c) − −1;1
f = (0;0);(4;3);(2; 4);(−3; 2);(3; −1)
g = (6; 2);(3; 4);(2;0);(4;7)
Determinar la suma de elementos del rango
de la función f g .
d) 0; +
e) 1; +
14. Sean las funciones:
f = (1; 2);(3; 4);(2; 6);(5; 7)
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
g = (2;3);(4;1);(3; 6);(5;9)
h(x) = x + 2 ; x −2; 2
Calcule la suma de los elementos del rango
e) 11
11. Si:
g(x) = x2 + 2
h(x) = x + a
Determinar el valor de "a" para que se
cumpla ( g h)(3) = (h g )(a −1) .
de ( f
a) 16
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
+ g )
15. Dada las funciones:
a) −8
8
f : 3; + → / f (x) =
1
x − 2
b) − 7 1 2x +1
c) −
7
8
g :
2
; + →
Halle g f .
/ g(x) =
x
d)
1
7
e)
1
8
a) ( g f ) (x) = x ; x 3; 4
b) ( g f ) (x) = x+1 ; x 4;5
c) ( g f ) (x) = x−1 ; x 2;3
12. Dadas las funciones: d) ( g f )(x) =
x
; x 2; 4
f (x) = 2x − x2 + 3 g(x) = x −1 1− x
Halle la función h = f g e) ( g
1
x
; x 3; 4
1− x
4 − x2
4x − x2
x2 −1 x2 −1
h
PLANA DOCENTE 111
( f f −1 )(x) = x; x Dom( f −1)
f )(x) = x; x Dom( f ) ( f −1
FUNCIONES: INYECTIVAS,
SURYECTIVAS Y BIYECTIVAS
OBSERVACIÓN:
1.
DEFINICIÓN. Sea f : A
función:
una
2. .
a) Se dice que f es inyectiva si para cada
x1, x2 Dom( f ) , f (x1) = f (x2 ) implica
PROPIEDADES:
x
1
= x
2
o equivalentemente f es inyectiva Si f y g son funciones invertibles, entonces:
si para cada x1, x2 Dom( f ) , x1 x2
implica f (x1) f (x2 ) 1.
2.
Una función f es inyectiva, si dos pares
ordenados no tienen la misma segunda
componente
A la gráfica de una función inyectiva,
cualquier recta horizontal corta a lo más en
un sólo punto.
b) Se dice que f es suryectiva o
sobreyectiva si y sólo si y B , existe
3.
EJERCICIOS
1. Si el rango de la función inyectiva
x A, tal que f (x) = y o equivalentemente
f es suryectiva si y solo sí Ran( f ) = B .
c) Se dice que f es biyectiva si y sólo si f
, es inyectiva y suryectiva.
FUNCION INVERSA
f = (2;5);(3; m2 );(3; 4);(m;5);(4; n) , es
4;5;6 . El valor de "m + n" es:
a) 8
b) 5
c) 6
d) 23
DEFINICIÓN. La función inversa f −1 de una e) 0
función inyectiva
función:
f : A es la
2. Si la función f :−1; 2 → B
definida por
Es decir:
f (x) = x2 + 2 , es suryectiva. El conjunto B
es:
a) 2; 6
b) 0; 6
c) 2; 6
d) −6; 6
e) 0;1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
→ B
→ B
f −1 = ( y; x) / x = f −1( y),x Dom( f )
Dom( f −1) = Ran( f ) y Ran( f −1) = Dom( f )
.
f −1 f = f f −1 = I = i
( f −1 )
−1
= f
( g f )
−1
= f −1 g −1
f −1 : B → A tal que,
( f −1 f )(x) = i (x) = x; x A A
( f f ( y) = i ( y) = y ; −1 ) B y B .
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 112
x
2
3. Si la función f : −4;3 → a;b definida 7. Dadas las funciones:
por f (x) = −2x +1, es biyectiva. El valor de f = (−5; −1);(1;3);(2;1);(5; 2)
"a + b" es: g = (1; 2);(2;3);(−5;1);(5; 4)
La suma de elementos del dominio de
a) −4
b) 5
c) 2
d) 6
e) 4
4. Si la función
f (x) = x +
"a" es:
a) 3
f :−3; a → 1; 7 definida por
, es biyectiva. El valor de
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
8. La inversa de la función f , definida por
f (x) = 2x − 4 , es:
1
b) 9
c) 6
a) f −1(x) = x − 2
2
d) −9 b) f −1(x) =
1
x + 2
e) 5
5. Si la función
f :1; m
→ n; 7
definida por
2
c) f −1(x) = x + 2
d) f −1(x) = x − 2
f (x) = x2 + 3, es biyectiva. El valor de
"m + n" es:
e) f −1(x) =
1
x + 4
2
a) 10
b) 5
c) 9
9. La inversa de la función f , definida por
f (x) = x2 + 4x − 2;x −2; + , es:
d) 2
e) 6
a) f −1(x) =
b) f −1(x) =
− 2; x −6; +
− 6; x 2; +
6. Si:
f = (1; 4);(3;3);(ab−2; 4);(c;5);(log 4;5);(2c; b) c) f
−1(x) = (x − 2)2 ; x −6; +
representa una función invertible, la suma de d) f
−1(x) = − 6; x −6; +
elementos del dominio de " f −1" , es: e) f −1(x) = − 2; x −2; +
a) 8
b) 12
c) 13
d) 15
e) 14
10. La suma de elementos enteros del dominio de
la inversa de la función f , definida por
f (x) = 2 − x2 ;x 3; 2 , es:
a) −3
b) −5
c) 3
d) 5
e) 2
x2 + 7
( f g −1 )
−1
es:
x + 6
x − 2
x + 6
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 113
6
11. La inversa de la función f , definida por a)
f (x) = x2 − 3;x 3; + , es: b)
a) f −1(x) =
b) f −1(x) =
c) f −1(x) =
d) f −1(x) =
x + 3 ; x 3
x2 + 3 ; x
x2 − 3 ; x 6
; x
c)
d)
e) −
15. Dadas las funciones:
e) f −1(x) = x + 4 ; x 4 f (x) = g(x) =
12. Dadas las funciones:
f (x −1) = 3x + 2
g(2x + 3) = 4x + 4
Halle el rango de f g .
a) 2; 4
b) 2; +
Luego la función g
−1
, es: c) −; −2
a) g−1 f (x) = 3x + 2 d) −4; −2
1 1 e) 0; +
b) g −1
c) g −1
f (x) = x +
2 2
f (x) =
3
x −
7
16. Si: f (x) = 2x − 3a , determinar el valor de
"a" para que se cumpla la siguiente
d) g −1
e) g−1
2 2
f (x) =
3
x +
7
2 2
f (x) = 4x + 7
igualdad: f (b +1) = 3 f −1(b2); b
13. Dadas las funciones:
f (x) = 1− x2;1 x 2
g(x) = x2; 0 x
Luego el rango de la función
a) 1; 4
( f g −1
−1
, es:
Encontrar la función " g ".
a) 2x − 3
b) −(2x − 3)
b) 1; 4 c) 2x + 3
c) 1; +
d) −3; 0
d) (2x − 3)
e) (2x + 3)
e) −3; 0
18. Se define la función " f " mediante:
f (x) = 2x + m f (m) = 2 f −1(m2) ;m 0
14. Sean:
f (x) =
Determine el valor de H =
f (1)
f −1(1)
.
g =
(2; 4);(5;3); (−6;8); (0; 2);
−
1
;5
a) −8
2
b) −4
Hallar ( f g −1 )(4) .
c) −3
d) −2
e) −1
x2 6
f
x2 −1
24
3
35
5
35
x2 − 4
1
x − 2
)
a) 3
b) 4
c) −3
d) −4
e) 2
17. Si f (x) = x
2 ( f g )(x) = 4x2 −12x + 9
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 114
19. Determine la función inversa
define la función f por:
f −1(x) , si se
f (x) = x2 + 4x −1 ; −4; −3
a) f −1(x) = −2 −
b) f −1(x) = −2 +
c) f −1(x) = 2 +
d) f −1(x) = 2 −
e) f −1(x) = −1−
Determine
f −1 :
20. Dadas las funciones:
f (x) = x(x + 2) ; − 2 x 7
g(x) = 3x + 4 ; − 4 x 0
El dominio de f g , es:
a) −2; 0
a) f −1(x) = 5 − 2x ; x 3;5
b) f −1(x) = 7 − x ; x 4;10
c) f −1(x) = 7 +
x
; x 4;8
2
−1 14 − x
b) −2; 2
d) f (x) =; x 4;10
2
c) −2;1
e) f −1(x) = 2x +13; x 4;5
d) −2; −1
e) No existe
23. Determine, cuáles de las siguientes
funciones son invertibles.
x + a
21. Se definen las funciones:
I) f (x)=
x + b
a b
f = (0; 0);(1; 0);(2;1);(3; 2);(4;3)
II) g(x) = ; 0 x 1
g(x) = x + 3 ; x −3;3 III) h(x) = ; x −1
Determine "a + b", si (g 2 + f )(a) = 3 y
( g 2 + f )
−1
(6) = b .
a) 2
b) 3
c) −1
a) Solo I
b) I y II
c) II y III
d) Ninguna
e) Todas
24. Determinar
f −1(x)
de modo que:
d) 0
e) 8
22. Se tiene la función biyectiva.
f : 3; n → 4; m .
Cuyo gráfico se muestra.
f (x) =
a) f −1(x) = x
b) f −1(x) = 4x4 −5x
c) f −1(x) =
1
x4
d) f −1(x) =
1
x2
e) f −1(x) = x4
x + 5
x + 5
x + 5
x + 5
x + 5
1− x2
x2 −1
2 | x | +x + 2
3x3/2 + 2x1/2
PLANA DOCENTE 115
x1 x2 f (x1) f (x2 );x1, x2 Dom( f )
f : → / y = f (x) = loga x ; x 0
Dom( f ) = + Ran( f ) =
FUNCIÓN EXPONENCIAL Si " x" se aproxima a + entonces " y " se
aproxima a − .
DEFINICIÓN. Una función exponencial es la Si " x" se aproxima a 0 , entonces " y " se
función f : definida por:
aproxima a − .
CASO II:
f : → + / f (x) = bx ; b 1
NOTA:
1. Una función f es creciente si:
Dom( f ) = Ran( f ) = 0; +
2. Una función f es decreciente si:
CASO I:
f : → + / f (x) = bx ; 0 b 1
Dom( f ) = Ran( f ) = 0; +
Si " x" se aproxima a + , entonces " y " se
aproxima a + .
Si " x" se aproxima a − , entonces " y " se
aproxima a 0 .
FUNCION LOGARITMICA
DEFINICIÓN. Dado b , b 0 a 1, la
función logaritmo de base "b" está definida por:
Representación gráfica:
x1 x2 f (x1) f (x2 );x1, x2 Dom( f )
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
→
f (x) = bx : x ;b 0y a 1 .
Dom( f ) = Ran( f ) = 0; +
0 b 1
b 1
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 116
+ → / f (x) = log x ; 0 b 1 b
Dom( f ) = + Ran( f ) =
CASO I:
Si " x" se aproxima a 0 , entonces " y " se
aproxima a −
NOTA:
1. La función logarítmica es la inversa de la
función exponencial y viceversa
2. La función logarítmica y la función
exponencial son Biyectivas.
3. Logaritmo natural si la base:
b = e = 2.718281 , entonces
y = Lnx x = ey donde
Si " x" se aproxima a + entonces " y " se
aproxima a − .
Si " x" se aproxima a 0 , entonces " y " se
LOGARITMO DE UN NUMERO
NÚMERO REAL
El logaritmo de un número real positivo " N " , en
aproxima a + . la base "b" positivo y diferente que uno, es el
CASO II:
exponente " x" al cual hay que elevar a la base
para obtener el número " N " , esto es:
donde:
" x" es el logaritmo, "b" (b 0 b 0) es la
base y " N " es el número real positivo.
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
DE LOS LOGARITMOS
Sean a, b, A, B, N números reales, entonces:
1.
2.
3.
4.
Si " x" se aproxima a + entonces " y " se 5.
aproxima a + .
logb N = x b = N
x
y = logb x x = b ;b − 1
y +
f :
0 b 1
b 1
f :
+ → / f (x) = log x ; b 1 b
Dom( f ) = + Ran( f ) =
loge x = Lnx
loga A.B =loga A +loga B
loga 1 = 0
loga a =1
a log
A
= log A −log B a a
B
En el sistema de los números reales no
existen logaritmos de cantidades negativas.
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 117
2
2
2
5 2
5 2 21/5
3
b
6.
Ejemplo 3:
7.
Si log 16 = x + 4 , el valor de " x" es:
8.
Solución:
9.
x+4
log 16 = x + 4 = 16
10.
11.
DEFINICIÓN. Se denomina cologaritmo de
Ejemplo 4:
x+4
2 2 = 2
4 x = 4
un número " N " , al logaritmo de su inversa, es
decir:
PROPIEDAD:
Si ant logx/2 2 = 4x , el valor entero
positivo de " x" es:
Solución:
x
2
DEFINICIÓN. El antilogaritmo de un número
es:
= 4x x
2 = 8x x = 8
EJERCICIOS
x
PROPIEDADES:
1.
2.
1. El dominio de la función
es:
a) 0;1
b) 0;1
f (x) =log2
1− x
Ejemplo 1: c) 0;1
Calcular
Solución:
log 83 4
d)
e) 0;1
log 83 4 =log 211/3
=
55
3
2. El rango de la función " f " de variable real
f (x) = 6x−4 − 4 , es:
a) −4; +
Ejemplo 2: b) −4; +
Si logb 3 = 3 c) −; 4
d) −; − 4
Solución:
log 3
3
= 3 b3 = 3
3
e) −; − 4
b =
anti log x = ax a
co loga N + loga N = 0
co log N = −log N = log a a
1
a
N
loga (anti loga N) = N
anti loga (loga N) = N
3
2
loga A = n log A n
a
loga A = 1 / n log A n
a
loga b.logb a =1
log N
n
=log n N = log N
an n a a
10log N = N
aloga N = N
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 118
9 − x2
x+4
3. El valor de E = log2 8, es: d) −1, 0
a) 4
b) 2
c) 3
d) 1
e) 16
e) 1, +
8. Dada la función
dominio es:
f (x) = log (x2 −1) , su
4. Si se tiene 9
log9 ( x+7) = 4x +1 el valor de " x"
es:
a) −4; −1
b) −3; −1
1; +
−−4
a) 1
b) 7
c) −4;1 4; + −−3
d) −4; −1 1; + −−3
c) 3
d) 2
e) −4; −1 1; + −−3
e) 4 9. El dominio de la función
5. El rango de la función real " f ", definida por f (x) = log
1
, es:
f (x) = 2x− x , es:
x2 − 7x +12
a) 0;1
a) −.4
b) 3, 4
3, +
b) 0;1
c) 3, +
c) 0;1
d) 1; +
e) 0; +
d) −, 4
e) −.4
2, +
3, +
6. Por el punto (2; 0) pasa la gráfica de la 10. Si f (x) = e
x , el valor de
función exponencial, la regla de
correspondencia de dicha función es:
E =
a) 1
f (Ln2x) − f (ln 2)
x −1
es:
a) f (x) =16x
b) f (x) = 4x
b) 2
c) 3
d) 4
c) f (x) = 2x e) −2
d) f (x) = 8x
e) f (x) = 3x
f (x) = log
−
x
11. El rango de la función
es:
a) 1, 4
f (x) = 4 − ,
7. El dominio de 4
x +1
, es: b) 1, 4
a) 0, +
b) 0, +
c)
c) 2, 4
d) 3, 4
e) 2, 4
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 119
3
b b a a
12. El rango de la función
f (x) = 23sgn(x−1) + 3sgn(x−1) +1es:
a) 1 / 3;12;32
b) 3;12; 24
c) 35 ; 24; 3
d) 35 / 24, 3,12
e) 1 / 4;3 ;12
13. Por el punto (2 / 3; 81) pasa la función
exponencial " f ", su regla de
correspondencia es:
a) f (x) = 64x
b) f (x) =16x
c) f (x) = 729x
d) f (x) = 3x
e) f (x) = 9x
14. La función inversa de f (x) = 2 + ln(x − 2) es:
a) f −1(x) = 2
b) f −1(x) = e−2
c) f −1(x) = ex−2
d) f −1(x) = 2 + ex−2
e) f −1(x) = −2
15. El valor de la expresión
log
1
+ log 6 +1
2
64
6
16. Al simplificar la expresión
E = log
75
− 2 log
5
+ log
32
16 9 243
se obtiene:
a) log 2
b) log 3
c) log 5
d) log 7
e) 3
17. Al resolver:
log (xlog3 x ) = 25 , el valor de " x" es:
a) 9
b) 125
c) 64
d) 243
e) 27
18. Al resolver anti log
x
anti log
x
x =16 el valor
de " x" es:
a) 2
b) 16
c) 12
d) 4
e) 8
19. Al resolver:
E = log 2 (anti log 4 8) − anti log 2 (log 1/2 2)
se obtiene:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
E =
log
1
− 4
4 256
a) −
1
2
es:
e) 4
20. El rango de la función
a) 5 ; 7; 11 / 5
f (x) =5sgn( x−3) + 2
b)
1
2
c) 2
d) 4
b) 3; 7;9 / 5
c) 7 ;9 ;11 / 6
d) 3 ;5 ;11/ 6
e) −
1
4 e) 3; 7;11/ 5
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 120
5
3 3
3
2
21. El dominio de la función
f (x) = Ln log1/5 (log4 (10 − x)) es:
a) 6,8
b) 3, 6
c) 6, 9
d) 4, 6
e) 3, 4
25. Sean las funciones f (x) = 3x−1, g(x) = 3x,
h(x) = f (x) + g(x)
Si h(x) = 4 el valor de " x" es:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
22. El dominio de la función inversa de
26. El rango de la función y = 3+ 5x+6 es:
x
f (x) =
5x +1
a) 0,1
b) 0,1
c) 0,1
es: a) 0, +
b) 2, +
c)5, +
d) 3, +
e) 1, +
d) −,1
e) 0, +
23. La función inversa de
f (x) = 3log2
x
, x 2, + es:
27. Al efectuar co log
69
128 se obtiene:
a) −
1
2
a) f −1(x) = 2log3
x
; x 3, +
b)
1
2
c)
3
b) f −1(x) = 3log2
x
; x 2, +
−1
8
d) −
3
c) f (x) = log2 x ; x 2, + 8
d) f −1(x) = log x ; x 3, + e) −
7
6
e) f −1(x) = 3log x ; x 2, +
28. Al resolver log x2 + co log x = 3 , el valor
24. El dominio de la función
f (x) = log5 (log1/3 (log4 x)) es:
a) 1, 4
b) 0,1
c) 2, 4
d) 1, 4
e) 0, 4
de " x" es:
a) 64
b) 16
c) 5
d) 25
e) 27
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 121
3
29. El rango de la función
a) 5, +
b) 5, +
c) 4, +
d) 4, +
e) 2, +
f (x) = 3x−2 + 4 es: 33. El rango de la función: f (x) = log3(x + 2) −1
es:
a) 4; +
b) −2; +
c) −2; +
d) 3; +
e) −4; +
30. Si f (x) =ex , el valor de
f −1(9e) es:
34. Al resolver la ecuación:
log (5x −1)3 = log 81+ log (3x − 5) se
a) 2 + ln 2
b) 1+ ln 2
c) 3ln 2
d) 2ln 3 +1
e) 3 + ln 2
31. La regla de la función inversa de la función
27 9 3
obtiene:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
logarítmica f (x) = log4(x − 4) + log4(x + 4)
es:
e) −4
log(35 − x3)
=
a) f −1(x) =
b) f −1(x) =
35. Al resolver la ecuación:
obtiene:
log(5 − x)
3 se
c) f −1(x) =
−1
a) C.S = 2; −3
b) C.S = −2;3
d) f (x) =
e) f −1(x) =
c) C.S = 3
d) C.S = 2
32. El rango de la función: f (x) = 3+ 5x+6 es:
a) 3; +
b) 5; +
c) 9; +
d) −;3
e) −; −3
e) C.S = 2;3
36. El valor de " x" en la ecuación
log (xlog3 x ) = 25 es:
a) 225
b) 243
c) 81
d) 32
e) 1
ax −16
2x + 4
2x − 4
4x + 8
4x +16
CEPRU ORDINARIO 2022-I ÁLGEBRA
PLANA DOCENTE 122
2 2
37. El logaritmo de 125 en base 5
a) 2
b) 5
c) 4
d) 25
e) 0, 5
, es:
38. Al resolver la ecuación:
log (9x−1 + 7) = 2 + log (3x−1 +1) se
obtiene:
a) C.S = 1; 2
b) C.S = 2; 4
c) C.S = 1
d) C.S = 2
e) C.S = −2;1
39. Luego de simplificar la expresión:
E = log
75
− 2 log
5
+ log
32
se obtiene:
16 9 243
a) 2
b) log 2
c) log 4
d) 4
e) 1
5
ALGEBRA AREA A_2.pdf (p.1)
ALGEBRA AREA A_3.pdf (p.2-124)