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51UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 19
DIVISIBILIDAD I
ARITMÉTICA
I. DIVISIBILIDAD
A. Definición
Un número entero A es divisible entre otro número
entero positivo B si y solo si la división de A entre B
es exacta.
Así:
Ejemplos:
• ¿Es 42 divisible entre 6?
Sí, porque: 642
0 7
• ¿Es –32 divisible entre 8?
Sí, porque: 832
40
• ¿Es 30 divisible entre 8?
No, porque: 830
No es exacta
6 3
• ¿Es 40 divisible entre –5?
No, porque: 5
• ¿Qué números son los divisores de 12?
Son: 1; 2; 3; 4; 6 y 12
• ¿Qué números son los divisores de –30?
Son: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15 y 30
:El1es divisor de todo número enteroNota
II. MULTIPLICIDAD
A. Definición
Un número entero A es múltiplo de otro número
entero positivo B si y solo si A puede expresarse
como el producto de B por otro número entero.
Así:
Ejemplos:
• ¿Es 40 múltiplo de 8?
Sí, porque: 40 = 8 x (5)
• ¿Es –36 múltiplo de 9?
Sí, porque: –36 = 9 x (-4)
• ¿Es 30 múltiplo de 13?
No, porque: 30 13k;k
• ¿Es 40 múltiplo de –5?
No, porque: 5
: Cero es múltiplo de cualquier
número enteropositivo.
Nota
• ¿Qué números son múltiplos de 4?
o
4; 8;12;...
N 4 4k 0
4; 8; 12;...
• ¿Qué números son múltiplos de 9?
o
9;18;27;...
M 9 9k 0
9; 18; 27;...
DESARROLLO DEL TEMA
52UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD I
TEMA 19
Exigimos más!
B. Notación de número que es múltiplo de algún
módulo
Ejemplos:
• Si N es múltiplo de 6:
O
N 6
N 6 k ; k
• Si A es múltiplo de 13:
O
A 13
A 13 k ; k
III. NÚMEROS NO DIVISIBLES POR CIER-
TOS MÓDULOS
Cuando un número no es múltiplo del módulo con el
que requerimos trabajar.
Ejemplo:
De los cuales planteamos que:
52 = 9(5) + 7 52 = 9(6) – 2
O sea:
En general:
Ejemplos:
IV. PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD
A. Principio de las operaciones
1. Adición
o o o on n n n
Ejemplos:
o o o o
20 15 45 80
5 5 5 5
2. Sustracción
o o o
n n n
Ejemplos:
o o o
42 14 28
7 7 7
3. Multiplicación
o o
a n n
Ejemplos:
6 x 20 120
o o
6 x 5 5
4. Cuando varios factores se expresan con
respecto al mismo módulo
o o o o
(n a) (n b) (n c) n a b c
Ejemplos:
o o o o
o o o o
o o o o o
(7 2)(7 5) 7 2 5 7 3
(13 4)(13 7) 13 4 7 13 2
(8 6)(8 2)(8 3) 8 6 2 3 8 4
Entonces:
o o o
3 3
o o o
2 2
o o o
2 2
(7 2) 7 2 7 1
(7 3) 7 3 7 2
(9 5) 9 5 9 7
Tener en cuenta los siguientes casos:
o o o
2 2
o o o
3 3
o o o
4 4
o o o
5 5
(7 2) 7 2 7 4
(7 2) 7 2 7 1
(7 2) 7 2 7 2
(7 2) 7 2 7 4
53UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 16
DIVISIBILIDAD I
Exigimos más!
En general:
n ; a ; k
B. Otros principios
oo
o
A 5
A 35
A 7
;
o
o o
o
B 2
B 42 B 3
A 7
En general se observa que:
2. En otro sentido, teniendo cierta información con
respecto a un número (por ejemplo):
o
o
A 5
A 9
o
o
A MCM(5;9)
A 45
o
o
o
B 4
B 6
B 15
o
o
B MCM(4;6;15)
B 60
En general:
Si: N a , N b y N c
N MCM(a; b; c)
3. Cuando un número deja siempre el mismo resi-
duo al dividirse entre varios módulos:
o o
o
N 8 2 N 24 2
N 12 2
En general:
Si: N a r , N b r y N c r
N MCM(a; b; c) r
Ejemplos:
o
o
12 3
N 60 3
15 3
o o
o
5 4
A 35 4
7 4
Además:
o o
o
o o
6 1 6 5
B 30 5
10 5 10 5
o o
o
o o
14 10 14 4
C 84 4
12 8 12 4
También:
C. Principio de Arquímedes
Si:
o
A B n además A y n no poseen divisores
comunes, excepto la unidad entonces se cumple
o
B n .
Donde A,B y n .
Ejemplos:
• Si:
o
o
5a 9
a 9
• Si:
o
o
9x 10
x 10
• Si:
o
o
6m 55
m 55
• Si:
o
o
26a 11
a 11
También podrían presentarse casos como el siguiente:
o
5a 13 10 , el cuál se puede despejar de la siguiente
forma:
o o
o
o o
5a 13 10 5a 10 13
5(a 2) 13
a 2 13 a 13 2
Lo anterior puede presentarse con requerimiento
de un paso previo:
• Si:
o o
o
4m 15 7 4m 15 8
m 15 2
54UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
DIVISIBILIDAD I
TEMA 19
Exigimos más!
•
Así:
• Si:
o
o
o
6m 8
3m 4
m 4
• Si:
o
o
o
22x 55
2x 5
x 5
Problema 1
En una reunión de profesionales hay
131 personas, la mayor parte son va-
rones. Si la octava parte de los varones
son ingenieros y la séptima parte de las
mujeres son economistas, ¿cuántos
varones no son ingenieros?
UNI 2008-I
Nivel fácil
A) 12 B) 21
C) 30 D) 84
E) 96
Resolución:
Piden, ¿cuántos varones no son inge-
nieros? Sea a la cantidad de ingenieros
varones. Sea B) la cantidad de mujeres
economistas.
Número de varones = 8a
Número de mujeres =7b
° ° °
7+5 7+a 7
131 8a= + 7b a : 5; 12
Además 8a > 7b a =12
Dado que piden: 8a – a = 7a = 84
Respuesta: D) 84
Problema 2
Consideremos la expresión:
2 2 2 2E(n) n (n 1) (n 2) ... (n 9) ,n
Entonces podemos decir que
o
E(n) 7 si:
UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) No existe
o
n / E(n) 7
B) n 7r 5 / r 7t 4 / t
C) n 7t 2 / t 7s 1 / s
D) n 7r 3 / r 7r 4 / r
E) n 7t 6 / t 7r 3 / r
Resolución:
Debemos encontrar la forma que debe
tener "n" para que:
o
(n)E 7
Desarrollando E(n):
2 2 2
(n)E n (n 2n 1) (n 4n 4)
2 2(n 6n 9) ... (n 18n 81)
Agrupando:
o
2
(n)E 10n 90n 285 7
oo
o
2
7 17 4
2n 18 n 57 7
o
22n 4n 7 6
o
2n 2n 7 3
o
2(n 1) 7 4
En conclusión:
o o
o o
o o
{7r 3/r }n {7t 6/t }
n 1 7 2 n 1 7 2
n 7 1 n 7 3
n 7 6 n 7 3
Respuesta:
E) n {7t - 6 / t N} {7r - 3 / r N}
Problema 3
Cinco amigos recogieron en una isla un
cierto número de cocos y acordaron re-
partirlos al día siguiente. Durante la no-
che uno de ellos decidió separar su par-
te y para ello dividió el total en cinco
partes y dio el coco que sobraba a un
mono y se fue a dormir. Enseguida, otro
de los amigos hizo lo mismo, dividiendo
lo que habia quedado por 5, dando el
coco que sobraba a un mono, uno tras
otro hicieron lo mismo, dando a un mono
el coco que sobraba. En la mañana se
repartieron los cocos sobrantes quedan-
do un coco. ¿Cuál es el número mínimo
de cocos que se recogieron?
UNI 2006-II
Nivel difícil
A) 14 521 B) 14 581 C) 14621
D) 15 581 E) 15 621
Resolución:
Sea: N # cocos en total
• Del enunciado se puede deducir:
o4 4 4 4 4(N 1)x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 5 5k
5 5 5 5 5
1° 2° 3° 4° 5°
• Despejando:
15625k 11529N
1024
o
15625k 11529 1024
265 k 265
o
1024
o
k 1024 1
Como piden el "N" mín, será para:
k = 1024 – 1 = 1023
15625 x1023 11529N 15621
1024
Respuesta: E) 15 621
• Si:
o
o o
o
6c 10 4
3c 5 2 3c 5 3
c 5 1
problemas resueltos