3 GUIA POLINOMIOS FACTORIZACION_2023

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Dirección del Módulo de Matemática: 
Prof. Sara Pettina 
 
Coordinación General del Módulo de Matemática: 
Prof. Marianela Bello 
 
Co-Coordinación del Módulo de Matemática: 
Prof. Germán Diez 
 
Dictado de clases presenciales: 
 
Prof. Matías Albornoz 
Prof. Gabriel Aluz 
Prof. Sofía Amorós 
Prof. Melanie Antolinez 
Prof. Giuliana Calani 
Prof. Carolina Camargo 
Prof. Sebastián Egea 
Prof. Carolina Gonzalez 
Prof. Lorena Granero 
Prof. Alejandra Larralde 
Prof. Agostina Ligutti 
Prof. Carolina Maza 
Prof. Paula Sosa 
Prof. Matías Vidoret 
 
Dictado de clases de tutorías: 
 
Cristina Berea 
León Diaz 
Ana Paula Donaire 
Carolina Fernández 
Katherina Fernández 
Gonzalo Molina 
Wanda Perez de Luis 
Daniel Yacante 
 
 
2 
 
 Página 
Símbolos matemáticos 3 
UNIDAD N° 3: Expresiones algebraicas, polinomios y factorización de polinomios 
TEMA N° 1: Expresiones algebraicas. Polinomios 4 
1.- Expresiones algebraicas 4 
2.- Polinomios 9 
2.1.- Características de los polinomios 9 
2.2.- Valor numérico de un polinomio 12 
2.3.- Raíces de un polinomio 12 
2.4.- Operaciones con polinomios 13 
TEMA N° 2: Factorización de polinomios 24 
1.- Casos de factorización de polinomios 25 
2.- Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 42 
3.- Expresiones algebraicas racionales 43 
Bibliografía 47 
 
 
 
3 
 
 
 
 
ℕ: Números naturales (a;b): Intervalo abierto 
ℤ: Números enteros (a;b]: Intervalo semiabierto por la izquierda 
ℚ: Números racionales [a;b): Intervalo semiabierto por la derecha 
𝕀: Números irracionales [a;b]: Intervalo cerrado 
ℝ: Números reales ϕ: Número irracional fi = 
1+√5
2
 
: Existe π: número irracional pi (3,1415…) 
∄: No existe e: Número e o constante de Euler (2,7182…) 
: Para todo 𝑓: 𝐴 → 𝐵: función de A en B 
: Conjunto vacío 𝑓−1: Función inversa 
∪: Unión ≅ : Aproximadamente igual 
: Intersección f o g: Composición de las funciones f y g. 
: Pertenece f(x): función de x 
: No pertenece Dom f: Dominio de la función f 
∞: Infinito Rec f: Recorrido de la función f 
−∞: Menos infinito % : Porcentaje 
a = b: a igual a b : Incluido 
a ≠ b: a distinto de b ⊈: No incluido 
a > b: a mayor a b ∆: Discriminante 
a < b: a menor a b |a|: Valor absoluto de a, para a  ℝ 
a ≥ b: a mayor o igual que b ∆= |
a b
c d
| = ad − bc: determinante 
a ≤ b: a menor o igual que b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Agrega los que vayas utilizando y no aparezcan en la lista. 
 
4 
 
 
 
TEMA N° 1: EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 
 
 
El lenguaje numérico utiliza operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números, 
mientras que, cuando se utiliza una combinación de letras, números y signos, se llama lenguaje 
algebraico. 
El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de 
Al–Khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra, que es la parte de la 
Matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. 
La principal función de lenguaje algebraico es generalizar las diferentes 
operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos 
sumar dos números cualesquiera se puede expresar como: a + b; donde las letras 
a y b indican números. 
Las letras sirven para trabajar con cantidades desconocidas y razonar de una manera precisa 
con ellas. Una cantidad desconocida se representa con alguna letra, a la que se llama variable. 
 
1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
Una expresión algebraica es una combinación entre números y letras 
unidos por al menos una operación aritmética. 
 
Un término algebraico es la multiplicación de un número por una o más variables (letras). 
Por lo tanto, en cada término algebraico podemos identificar el coeficiente numérico (incluye el 
signo y número) y la parte literal (que incluye las variables). Por ejemplo: 
−10 a2x3 
 
 
 
Coeficiente numérico Parte literal 
 
 
5 
 
 
 
 
Algunas reglas particulares: 
 
✓ Cuando se trabaja con expresiones algebraicas, 3m significa 3 veces m o 3 por m. 
✓ En Aritmética, cuando se manejan sólo números, los signos de operaciones indican una acción 
cuyo resultado siempre es un número, por ejemplo: 7 + 3 - 4 = 6. 
✓ Sin embargo, cuando se trabaja con Álgebra, que involucra números y letras, las operaciones 
no siempre se deben efectuar, pueden simplemente dejarse expresadas, por ejemplo: 3+x 
✓ Cuando se escribe un número como 15, se puede interpretar que es igual a (2 ∙ 5 + 5), sin 
embargo, cuando se escribe “3g” significa “tres veces g”, “tres por g”, o lo que es lo mismo, 
“g+g+g” 
 
TÉRMINOS SEMEJANTES 
 
Dos o más términos, de una expresión algebraica, son semejantes si y sólo 
si tienen la misma parte literal (letras). Por ejemplo: 
 
5𝑚𝑟2 y 7𝑚𝑟2 Son términos semejantes 
4𝑡𝑧3 y 5𝑧3𝑡 Son términos semejantes 
7𝑛2𝑧3 y 5𝑧2𝑛3 NO son términos semejantes 
 
Los términos semejantes pueden sumarse o restarse reduciéndose a un solo término. Para 
ello se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Por ejemplo: 
5x+6x=11x 
5c+4m-6c+7m = (5c-6c) + (4m+7m) = -c +11m 
 
CONSTANTES MATEMÁTICAS 
 
Algunas constantes matemáticas se representan por letras. Por ejemplo: 
  representa el número irracional 3,1415927… 
  representa la razón áurea 1,6180339… 
Estas constantes deben ser consideradas parte del coeficiente numérico. 
 
 
6 
 
 
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 
 
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras 
por números y realizar a continuación las operaciones que se indican. Por ejemplo: 
 
Dada la expresión: 𝟐𝐚𝟐𝐛𝟑𝐜 − 𝟕𝐚 para calcular su valor numérico si a = 2, b = 3 y c = 5 
 
𝟐𝐚𝟐𝐛𝟑𝐜 − 𝟕𝐚 = 𝟐 ∙ (𝟐)𝟐 ∙ (𝟑)𝟑 ∙ 𝟓 − 𝟕 ∙ 𝟐 = 𝟐 ∙ 𝟒 ∙ 𝟐𝟕 ∙ 𝟓 − 𝟏𝟒 = 𝟏. 𝟎𝟖𝟎 − 𝟏𝟒 = 𝟏. 𝟎𝟔𝟔 
 
USO DE PARÉNTESIS 
 
Los paréntesis se utilizan para agrupar términos e indicar, cuando es necesario, el orden en 
que deben realizarse las operaciones. 
Cuando se usan varios paréntesis en una misma expresión, para lograr mayor claridad, es 
conveniente utilizar: ( ), { }, [ ]. En este caso, se deben resolver las operaciones “desde adentro 
hacia fuera”. 
Un paréntesis precedido por un signo (+) puede eliminarse sin alterar los términos que 
contiene. Un paréntesis precedido por un signo (–) se elimina cambiando los signos de todos 
los términos que contiene. 
 
Ejemplos: 
3x2y + (6xy − 7x) = 3x2y + 6xy − 7x 
a − (−bc + d − a) = a + bc − d + a 
z − {xw − (−z + 2xw)} = z − {xw + z − 2xw} = z − xw − z + 2xw = xw 
 
NOTACIÓN ALGEBRAICA 
 
La utilidad del álgebra se aprecia al adquirir la capacidad de traducir enunciados entre el 
lenguaje coloquial y algebraico. 
El lenguaje coloquial es con el cual nos expresamos cotidianamente: quiero el triple de 
ventas, me gustaría la mitad de la torta, quiero tres cuartos del queso. 
En el lenguaje simbólico o algebraico se utilizan las letras para expresar lo que se dice en 
el lenguaje coloquial: 3v (triple de las ventas), ½ t (mitad de la torta), ¾ q (tres cuartos del queso). 
La notación algebraica se utiliza principalmente en matemática para expresar ecuaciones y 
fórmulas. Por ejemplo: la expresión algebraica 3x2 se puede traducir: “El triple del cuadrado del 
número x”. 
 
 
7 
 
 
 
Generalmente, se utilizan las letras x, y, z, pero se debe trabajar de la misma forma, aunque 
se ocupen otras letras para hacer referencias a las variables. 
La frase “la quinta parte de un número a menos la tercera parte de b” se puede expresar: 
a
5
−
b
3
 
Las expresiones más usadas son: 
✓ El doble de un número x ➔ 2x 
✓ El triple de un número x ➔ 3x 
✓ El cuadrado de x ➔ x2 
✓ El cubo de x ➔ x3 
✓ La razón de x e y ➔ x: y = x
y
 
✓ X aumentado en 2 ➔ x+2 
✓ X disminuido en 2 ➔ x-2 
 
Cuando x representa un entero: 
✓ El sucesor de x ➔ x+1 
✓ El antecesor de x ➔ x-1 
✓ Un número par ➔ 2x 
✓ Un número impar➔ 2x-1 
 
ACTIVIDADES 
1.- Completar el siguiente cuadro: 
 
Término algebraico Coeficiente numérico Parte literal 
a3bc 
3
7
b2
x
y
 
 
−1, 6̅ab 
4
3
πr3 
 
512m3na 
 
 
 
 
8 
 
 
2.- Expresar en lenguaje simbólico (algebraico). Para facilitar su revisión utilizar x, y. 
LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE SIMBÓLICO 
a) Un número cualquiera 
b) El doble de un número 
c) La cuarta parte de un número 
d) El consecutivo de un número (siguiente) 
e) El consecutivo de un número (anterior) 
f) El cuadrado de un número 
g) La raíz cuarta de un número 
h) La suma del cuadrado de un número y el quíntuplo de otro. 
i) El producto entre la diferencia de un dos números y la suma de ambos 
 
3.- Responder según corresponda: 
a) La suma de dos números distintos es 144. Al dividir el número mayor por el menor, el cociente es 8 
y el resto es 9. Expresar la situación en notación algebraica y obtener el valor de los dos números. 
b) Un avión está dividido en tres secciones. El número de pasajeros en “Primera Clase” es la mitad de 
los pasajeros en “Clase Ejecutiva”, los que a su vez son un tercio de los pasajeros en “Clase Turista”. Expresar 
el número total de pasajeros que viajan en el avión. 
c) Si x es la edad actual de una persona, expresar algebraicamente: 
✓ La edad que tendrá dentro de 25 años. 
✓ La edad que tenía el año pasado. 
✓ Los años que le faltan para que se jubile a los 60 años. 
✓ La edad que tendrá cuando haya vivido otro tanto de lo que ha vivido hasta ahora. 
d) Si x es el sueldo en pesos que recibe Martín semanalmente, expresar algebraicamente: 
✓ Su madre recibe cien pesos menos que el doble de Martín. 
✓ El hermano de Martín cobra quinientos pesos más que la madre de Martín. 
✓ Los tres juntos cobran: 
e) Llamando x al precio de un producto, escribir la expresión que calcularía el nuevo precio luego de 
un aumento del 20%. 
f) Llamando y al precio de un producto, escribir la expresión que calcularía el nuevo precio luego de un 
descuento del 8%. 
4.- Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones para x = 1, 3̅ e y = −
1
2
 
a) 8y − 3(9x − 5) + (9x − 5)2 = 
b) 27y − x−2: (−
81
12
) = 
 
 
 
9 
 
 
2.- POLINOMIOS 
 
 
 
Un polinomio es una expresión algebraica, que contiene más de un término y cuyos 
exponentes de las variables son números naturales. Se simboliza como: 
 
P(x) = a𝑛 x
𝑛 + a𝑛−1 x
𝑛−1 + a𝑛−2 x
𝑛−2 + ⋯ + a2 x
2 + a1 x
1 + a0 x
0 
Siendo: 
a𝑛, a𝑛−1, a𝑛−2, … , a2, a1, a0 números llamados coeficientes. 
x la variable o indeterminada. 
a0 es el término independiente. 
 
 
A los polinomios generalmente se los nombra con una letra imprenta mayúscula, a 
continuación de la cual se indica entre paréntesis la variable de este. Por ejemplo: 
𝐐(𝐱) = 𝟏𝟎𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 − 𝟓 En este caso el nombre del polinomio es Q y la variable “x”. 
𝐒(𝐱, 𝐲) = 𝟏𝟎𝐱𝟐𝐲 + 𝟑𝐱𝐲 − 𝟓𝐲 En este caso el nombre del polinomio es S y las variables son “x” e “y”. 
 
 
2.1.- CARACTERÍSTICAS DE LOS POLINOMIOS 
 
A.- CLASIFICACIÓN SEGÚN LA CANTIDAD DE TÉRMINOS 
 
Según la cantidad de términos no semejantes las expresiones se clasifican en: 
 
 Monomios: Un solo término. Por ejemplo: P(x,y) = 6xy 
 Polinomios: Más de un término. Según la cantidad de términos se clasifican en: 
✓ Binomio: Tienen dos términos. Por ejemplo: S(x) = 2x+4 
✓ Trinomio: Tienen tres términos. Por ejemplo: T(x,z) = 2x2z+3z+6 
✓ Cuatrinomio: Tienen cuatro términos. Por ejemplo: M(y) = y5 + 2y4+3y2+8y 
✓ De cinco términos o más se los denomina polinomios en general. 
 
 
 
 
Clasificación de las 
expresiones algebraicas 
https://youtu.be/_NS3U2nwk0g
 
 
10 
 
 
B.- GRADO DE UN POLINOMIO 
 
El grado de un polinomio es el mayor exponente que tiene la variable, de los 
términos con coeficientes no nulos. 
 
Ejemplos: 
P(x) = −3 + 2x2 − 5x3 + 3x4 Es un polinomio de cuarto grado. 
T(x) = −x + 2 − 5x2 Es un polinomio de segundo grado. 
S(x) = x – 3 Es un polinomio de primer grado. 
 
 
C.- COEFICIENTE PRINCIPAL 
 
Es el coeficiente (signo + número) que multiplica a la variable de mayor exponente 
(es decir la que determina el grado). 
 
Ejemplos: 
P(x) = −3 + 2x2 − 5x3 + 3x4 
Es un polinomio de cuarto grado y coeficiente 
principal 3. 
T(x) = −x + 2 − 5x2 
Es un polinomio de segundo grado y coeficiente 
principal (-5). 
S(x) = x – 4 
Es un polinomio de primer grado y coeficiente 
principal 1. 
 
D.- POLINOMIO MÓNICO 
 
Se llama polinomio Mónico a aquel cuyo coeficiente principal es 1. 
 
Ejemplos: 
P(x) = −3 + 2x2 − 5x3 + 3x4 
Es un polinomio de cuarto grado, coeficiente principal 
3, NO MÓNICO. 
T(x) = −x + 2 − 5x2 
Es un polinomio de segundo grado y coeficiente 
principal (-5), NO MÓNICO. 
S(x) = x – 4 
Es un polinomio de primer grado y coeficiente principal 
1, MÓNICO. 
Grados de un polinomio 
https://youtu.be/wEGdz_hbzNw
 
 
11 
 
 
E.- TÉRMINO INDEPENDIENTE 
 
Es aquel término donde el exponente de la x es cero, es decir, el término que sólo 
está formado por un valor numérico o coeficiente. 
 
Ejemplos: 
P(x) = −3 + 2x2 − 5x3 + 3x4 
Es un polinomio de cuarto grado, coeficiente principal 3, no 
Mónico y con término independiente (-3). 
T(x) = −x + 2 − 5x2 
Es un polinomio de segundo grado, coeficiente principal (-5), 
no Mónico y con término independiente 2. 
S(x) = x – 4 
Es un polinomio de primer grado, coeficiente principal 1, 
Mónico y con término independiente (-4). 
 
F.- POLINOMIO COMPLETO 
 
Es aquel que tiene todos los términos desde el independiente hasta el de mayor 
grado (debe tener todas las potencias decrecientes del grado). 
 
¿Qué pasa cuando el polinomio no está completo? 
Se los puede completar agregando los términos que faltan con coeficientes cero. 
 
Ejemplo: 𝐱𝟓 + 𝟑𝐱𝟑 − 𝟏 = 𝐱𝟓 + 𝟎𝐱𝟒 + 𝟑𝐱𝟑 + 𝟎𝐱𝟐 + 𝟎𝐱 − 𝟏 
 
G.- POLINOMIO ORDENADO 
 
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de 
mayor a menor grado o de menor a mayor grado. 
Para realizar las operaciones conviene que estén ordenados de forma decreciente 
desde el mayor grado al menor. 
 
H.- POLINOMIOS IGUALES O IDÉNTICOS 
 
Dos polinomios son iguales si verifican: 
 Los dos polinomios tienen el mismo grado. 
 Tienen la misma cantidad de términos no nulos. 
 Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales. 
 
 
12 
 
 
I.- POLINOMIOS OPUESTOS 
 
Dos polinomios son opuestos si sus coeficientes, de los términos del mismo grado, son 
opuestos. Al sumar dos polinomios opuestos su resultado será cero o el polinomio nulo. 
 
J.- POLINOMIO NULO 
 
Es el polinomio en el cual todos sus coeficientes son cero. 
 
2.2.- VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO 
 
Es el resultado que se obtiene al sustituir la variable x por un número. 
 
Por ejemplo: 
 
P(x, y) = x2y − 3xy2 para x = 3, y = 4 
P(3,4) = 32 ∙ 4 − 3 ∙ 3 ∙ 42 = 108 
 
2.3.- RAÍCES DE UN POLINOMIO 
 
Si P(a) = 0, entonces “a” es raíz del polinomio P(x); y si “a” es raíz de P(x), entonces 
P(a) = 0. En símbolos matemáticos: 𝐚 𝐞𝐬 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏(𝐱) ⟺ 𝐏(𝐚) = 𝟎 
 
 
El grado de un polinomio indica el número máximo de RAÍCES que puede tener. Por ejemplo, 
si el grado es cuatro, entonces dicho polinomio puede tener hasta cuatro raíces. 
 
 
ACTIVIDADES 
5.- Escribir un polinomio nulo de grado 4. 
 
6.- Dado P(x) = x3 − 3x2 − 10x, analizar si -2, -1, 0, 2 y 5 son raíces de P(x). 
 
El grado de P(x) es …...……, luego el polinomio P(x) puede tener hasta …………. raíces. 
 
 
 
https://youtu.be/MCbKYBUeE3U
https://youtu.be/MCbKYBUeE3U
 
 
13 
 
 
7.- Completar el cuadro (analizar si es polinomio o no, en caso de serlo, determinar el número de 
términos, grado, coeficiente principal, si es o no Mónico, si es o no completo, si es o no ordenado y 
su término independiente). 
 
 
 
EXPRESIONES 
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p
o
lin
o
m
io
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N
° 
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T
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d
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n
te
 
G(x) = 2x5 + 3x3 + 4x−4 + 5 
A(x) = 5x6 + 5x3 + 10 − 25x4 
D(x) = −1x + 3x4 + x2 + 7 
T(x) = 3x3 + 1x2 + 2x − 4 
E(x) = x2 − 2x3 + 4x − 8 
M(x) = 2x2 − √4x + 4x − 1 
I(x) = 8x2 −
2
𝑥−3
+ 4x + 1 
 
B(x) = x2 − 2x3 + 4x7 −
1
4
√x4 
 
 
8.- A partir de los polinomios del ejercicio anterior: 
a) Completar y ordenar los polinomios. 
b) Calcular el valor de los polinomios para x = (-2). 
c) Escribir los polinomios opuestos. 
d) Calcular las raíces del polinomio T(x). 
 
2.4.- OPERACIONES CON POLINOMIOS 
 
A.- ADICIÓN DE POLINOMIOS 
 
Para sumar dos o más polinomios se suman los coeficientes de los términos semejantes, 
obteniendo otro término del mismo grado. 
 
Siempre recuerda completar y ordenar los polinomios, encolumna los términos semejantes 
y realiza la suma correspondiente. 
 
 
 
 
14 
 
 
Ejemplo: 
 
Dados los polinomios: 
T(x) = −3 + 2x2 − 5x3 + 2x4 
G(x) = −9x3 + x2 + x − 1 
L(x) = −4 + x2 − 1x4 
 
 
Realizar la siguiente operación: T(x)+G(x)+L(x) 
 
1°) Se completan y ordenan cada uno de los polinomios 
 
T(x) = 2x4 − 5x3 + 2x2 + 0x − 3 
G(x) = 0x4 − 9x3 + x2 + x − 1 
L(x) = −1x4 + 0x3 + x2 + 0x − 4 
 
2°) Se encolumnan los términos semejantes y se suman algebraicamente. 
T(x) = 2x4 − 5x3 + 2x2 + 0x − 3 
G(x) = 0x4 − 9x3 + x2 + x − 1 
L(x) = −1x4 + 0x3 + x2 + 0x − 4 
R(x) = 1x4 − 14x3 + 4 x2 + x −8 
 
 
 
B.- RESTA DE POLINOMIOS 
 
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del polinomio sustraendo. Primero 
se completan y ordenan, luego se colocan en columnas los términos semejantes, se les cambia el 
signo a todos los términos de los polinomios que restan y se realizan las operaciones algebraicas 
entre los coeficientes para encontrar el polinomio resultado. 
 
Por ejemplo: Dados los polinomios: 
 
T(x) = −3 + 2x2 − 5x3 + 2x4 
G(x) = −9x3 + x2 + x − 1 
L(x) = −4 + x2 − 1x4 
 
 
 
15 
 
 
Realizar la siguiente operación: T(x) - G(x) - L(x) 
 
1°) Se completan y ordenan cada uno de los polinomios 
T(x) = 2x4 − 5x3 + 2x2 + 0x − 3 
G(x) = 0x4 − 9x3 + x2 + x − 1 
L(x) = −1x4 + 0x3 + x2 + 0x − 4 
 
2°) Se encolumnan los términos semejantes 
T(x) = 2x4 − 5x3 + 2x2 + 0x − 3 
G(x) = 0x4 − 9x3 + x2 + x − 1 
L(x) = −1x4 + 0x3 + x2 + 0x − 4 
 
3°) Se cambian los signos de los polinomios que restan y se realizan las operaciones algebraicas entre 
los coeficientes para encontrar el polinomio resultado: 
T(x) = 2x4 − 5x3 + 2x2 + 0x − 3 
− G(x) = −0x4 + 9x3 − x2 − x + 1 
− L(x) = +1x4 − 0x3 − x2 − 0x + 4 
R(x) = 3x4 + 4x3 + 0 x2 − 1x + 2 
 
Otra forma sencilla de resolver sumas y restas es operando directamente con los términos 
semejantes. Por ejemplo: Dados los polinomios: 
M(x) = 2x2 + x − 6 
N(x) = x2 + 1 
 
M(x) + N(x) = (2x2 + x − 6) + (x2 + 1) = 2x2 + x − 6 + x2 + 1 = 3x2 + x − 5 
M(x) − N(x) = (2x2 + x − 6) − (x2 + 1) = 2x2 + x − 6 − x2 − 1 = x2 + x − 7 
 
ACTIVIDADES 
9.- Escribir el polinomio reducido: 
 
a) T(x) = 5 + 4x3 − 9x2 + 6x2 − 4 − 5x3 
b) G(x) = x5 − 5y3 − 7x5 + 6y3 − 45 + 2y3 − 4 + 2x5 
c) L(x) = 10z − 3x7 − 4x6 − 24x7 − 8z + 10 + x7 − 4z 
d) Q(x) =
2
3
+ x3 −
9
5
x2 +
9
5
x2 +
1
3
−
1
2
x3 
Suma y resta de 
polinomios 
https://youtu.be/Qwel78U0FHY?list=RDCMUCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ
https://youtu.be/Qwel78U0FHY?list=RDCMUCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ
https://youtu.be/Qwel78U0FHY?list=RDCMUCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ
 
 
16 
 
 
10.- Dados los siguientes polinomios: 
 
T(x) = 7x3 − 5x2 + 3 
Q(x) = 4x −
2
5
x3 −
1
2
 
M(x) = x − 2x3 − 8 
 
Calcular: 
a) T(2) + Q(−1) − M(−2) = 
b) 3 ∙ T(−1) −
1
5
Q (
1
2
) = 
c) T(x) + Q(x) = 
d) T(x) − Q(x) = 
e) Q(𝑥) − T(x) − M(x) = 
 
11.- Calcular m, n y k sabiendo que: 
 
(x2 + 5x + k) + (3x2 − nx + 2) + (mx2 − 3x + 2) = x2 + x 
 
m = ________ ; n = _______ ; k = _______ 
 
C.- PRODUCTO DE POLINOMIOS 
 
 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO: Es igual a otro polinomio con el mismo 
grado y coeficientes que son el producto de los coeficientes del polinomio por el número. Por 
ejemplo: Dado P(x) = 5x2 + 2x + 1 
 
2. P(x) = 2 ∙ 5 ∙ x2 + 2 ∙ 2 ∙ x + 2 ∙ 1 = 10x2 + 4x + 2 
 
 PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO: Se multiplica el monomio por todos 
y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Es decir, se aplica la propiedad 
distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta. 
 
Importante tener en cuenta la regla de los signos y la propiedad del producto de potencias de igual 
base (𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚). 
 
Por ejemplo: 
(5𝑥2 − 2𝑥 + 1) ∙ (2𝑥) = 5𝑥2 ∙ 2𝑥 – 2𝑥 ∙ 2𝑥 + 1 ∙ 2𝑥 = 10𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 
 
 
 
Producto de monomios 
https://youtu.be/Qwel78U0FHY?list=RDCMUCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ
 
 
17 
 
 
 PRODUCTO DE POLINOMIOS 
 
1°) Se multiplica cada monomio del primero por todos los términos del segundo polinomio. 
2°) Se suman los términos semejantes. 
 
Por ejemplo: Dados los polinomios: M(x) = 2x2 + x − 6 y N(x) = x2 + 1 
 
M(x) ∙ N(x) = (2x2 + x − 6) ∙ (x2 + 1) 
 
1° Aplicamos propiedad distributiva: 
 M(x) ∙ N(x) = (2x2 + x − 6) ∙ (x2 + 1) = 2x4 + 2x2 + x3 + x − 6x2 − 6 
 
Recomendación: Siempre que multipliques dos términos entre sí, sigue la siguiente regla: signo 
por signo, número por número y letra por letra. 
 
2° Sumamos términos semejantes: 
M(x) ∙ N(x) = (2x2 + x − 6) ∙ (x2 + 1) = 2x4 + 2x2 + x3 + x − 6x2 − 6 = 2x4 + x3 − 4x2 + x − 6 
 
Hay un caso particular, el producto de dos binomios, que implica la multiplicación de 
la suma por la diferencia de dos términos; el resultado será la diferencia de los cuadrados 
de los términos. 
(𝒂 + 𝒃) ∙ (𝒂 − 𝒃) = (𝒂 − 𝒃) ∙ (𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 − 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝒂 − 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
 
Ejemplo: (𝑥 − 5) ∙ (𝑥 + 5) = 𝑥2 + 5𝑥 − 5𝑥 − 52 = 𝑥2 − 25 
 
Las operaciones combinadas entre polinomios se resuelven aplicando los mismos procedimientos 
y propiedades que con los números reales. El primer paso consiste en separar en términos. 
 
 
ACTIVIDADES 
12.- Dados los siguientes polinomios: 
T(x) = 7x3 − 5x2 + 3 
Q(x) = 4x −
2
5
x3 −
1
2
 
M(x) = x − 2x3 − 8 
Calcular: 
a) 5 ∙ Q(x) = 
b) 3𝑥2 ∙ T(x) = 
c) −10 ∙ M(x) = 
d) T(x) ∙ Q(x) = 
e) M(x) ∙ T(x) = 
f) M(x) ∙ (−11x2) = 
 
 
Producto de trinomio por 
binomio 
https://youtu.be/6Zs-DWBw558
https://youtu.be/6Zs-DWBw558
https://youtu.be/6Zs-DWBw558
https://youtu.be/6Zs-DWBw558
 
 
18 
 
 
13.- Resolver las siguientes operaciones: 
a) 3x + 4y − (5x − y) = 
b) −4(z + 8x) − 3(x − z) = 
c) (y + 3)(6 − 2y) = 
d) 8 − (2x + 3)(x − 5) = 
e) z2 − z(z − 2) = 
f) 4𝑥2 − 2𝑥(𝑥3 − 2𝑥2 + 5𝑥4) = 
 
14.- Dados los siguientes polinomios: 
𝐼(x) = x2 − 5 L(x) = 11x3 − 3𝑥2 + 𝑥 𝑌(x) = 2x − 7 
Calcular: 
 
a) 𝐿(x) + I(x) ∙ Y(x) = 
b) 𝐼(x) ∙ Y(x) − 3 L(x) = 
c) 𝐼(3) − L(0) ∙ [−3 𝑌(2)] = 
 
15.- Resolver: 
a) (2x + 3) ∙ (2x − 3) = 
b) (y −
7
6
) ∙ (y +
7
6
) = 
c) (x3 − q) ∙ (x3 + q) = 
d) (−x2 + 3) ∙ (−x2 − 3) = 
 
 
D.- POTENCIA DE POLINOMIOS 
 
Para aplicar la potencia a un monomio, se aplica propiedad distributiva de la potencia respecto 
del producto y luego la propiedad de la potencia de otra potencia. Por ejemplo: 
 
 (−4𝑥3)2 = (−4)2 ∙ (𝑥3)2 = 16𝑥6 
 (−
2
3
𝑎3)
3
= −
8
27
𝑎9 
 
El Cuadrado de un Binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble producto 
del primero por el segundo más el segundo término al cuadrado. 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏2 
 
El Cubo de un Binomio es igual al cubo del primer término más el triple del producto del 
primer término al cuadrado por el segundo más el triple del primero por el segundo al cuadrado 
más el segundo término al cubo.(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)2 ∙ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎3 + 3 ∙ 𝑎2 ∙ 𝑏 + 3 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏2 + 𝑏3 
 
 
 
 
 
Cuadrado de un binomio 
Cubo de un binomio 
https://youtu.be/kvZncNPayGw
https://youtu.be/cB7QopKEK68
https://youtu.be/kvZncNPayGw
https://youtu.be/cB7QopKEK68
 
 
19 
 
 
 
 
ACTIVIDADES 
16.- Calcular: 
 
a) (𝑥 + 6)2 = 
b) (5𝑚 −
3
2
)
2
= 
c) (𝑥3 + 5𝑦)2 = d) (−𝑥 − 2)2 = 
e) (−2𝑥2 + 3)2 = f) (𝑥 + 6)3 = 
g) (4𝑥 −
5
2
)3 = h) (
2
3
𝑥 − 3)3 = 
i) (4𝑥2 −
1
2
)
3
= 
j) (5 + 𝑟) ∙ (5 − 𝑟) = 
k) (𝑠3 − 7) ∙ (𝑠3 + 7) = l) (𝑛3 − 3) ∙ (𝑛3 + 3) + (2𝑥 − 4)3 = 
 
E.- COCIENTE DE POLINOMIOS 
 
 Para dividir dos monomios se deben dividir los coeficientes por un lado y las variables por otro, 
recordando la propiedad de cocientes de potencias de igual base: (𝑎𝑚: 𝑎𝑛) = 𝑎𝑚−𝑛. Ejemplo: 
(−3𝑥5): (
5
3
𝑥2) = (−3 ∶ 
5
3
) (𝑥5: 𝑥2) = −
9
5
𝑥3 
 Para dividir un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva. Hay que respetar el 
orden de la división ya que no es conmutativa. Ejemplo: 
 
(15𝑥3 + 18𝑥2 − 12𝑥4): (−3𝑥) = 15𝑥3: (−3𝑥) + 18𝑥2: (−3𝑥) − 12𝑥4: (−3𝑥) = −5𝑥2 − 6𝑥 + 4𝑥3 
 
 Para dividir dos polinomios deben cumplirse las siguientes condiciones: 
 
✓ El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor. 
Se procede de manera similar a la división aritmética. 
✓ El polinomio dividendo y divisor debe estar completo y ordenado en forma decreciente. 
 
 
 P(x) | Q(x)___ 
 R(x) C(x) 
Donde P(x) es el dividendo, Q(x) el divisor, R(x) el resto y C(x) el cociente. 
 
 
 
20 
 
 
Los pasos por seguir son: 
 
1°) Se ordenan y completan los polinomios del dividendo y del divisor en forma decreciente. 
 
2°) El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer monomio del dividendo por 
el primer monomio del divisor. 
 
3°) Luego el primer término del cociente se multiplica por el divisor y el resultado se resta del 
dividendo. 
 
4°) Se vuelve a dividir el primer monomio del nuevo dividendo por el primer término del divisor. 
Nuevamente al resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 
 
5°) Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el del divisor y 
por tanto no se puede continuar dividiendo. 
 
Para comprobar si la operación es correcta se debe realizar la siguiente comprobación. 
 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 . 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 + 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 
P(x) = C(x) ∙ Q(x) + R(x) 
 
 
Ejemplo: Dividir (x4 − 9x2 + x + 3) entre (x + 3) 
 
x4 + 0x3 - 9x2 + x + 3 x + 3 
x4 + 3x3 𝐱𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 + 𝟏 
 - 3x3 - 9x2 + x + 3 
 - 3x3 -9x2 
 + x + 3 
 + x + 3 
 0 
 
Respuesta: 𝐂(𝐱) = 𝐱𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 + 𝟏, no hay resto 𝐑(𝐱) = 𝟎. 
Cociente de polinomios: 
introducción paso a paso 
Cociente de polinomios: 
ejemplo N° 1 
https://youtu.be/PxycywivGUQ
https://youtu.be/gpBEUnFBhGc
https://youtu.be/PxycywivGUQ
https://youtu.be/gpBEUnFBhGc
 
 
21 
 
 
 REGLA DE RUFFINI 
 
La Regla de Ruffini permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un 
polinomio por un binomio de la forma (x ± a). Los pasos por seguir son: 
 
1°) Completar y ordenar el polinomio dividendo P(x). 
2°) Bajar los coeficientes del dividendo y colocarlos en línea (recuerda que los coeficientes 
incluyen el número con su signo). 
3°) Sobre la línea horizontal a la izquierda, colocar el opuesto del término independiente del 
divisor Q(x). 
4°) Bajamos el primer coeficiente. 
 
Por ejemplo: Dados los siguientes polinomios: 
 
P(x) = 2x3 + x2 − 3x + 5 
Q(x) = x − 1 
Calcular: P(x): Q(x) = 
 
 
(2x3 + x2 − 3x + 5): (x − 1) = 
 
 
 
5°) Multiplicamos ese primer coeficiente (2) por el número que está a la izquierda (1) y lo colocamos 
debajo del siguiente término (1). 
 
 
Luego, se suma el segundo coeficiente (1) y el resultado 
obtenido (2). 
 
 
 
 
 
22 
 
 
6°) El resultado de la suma se vuelva a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite 
el proceso. 
 
 
 
7°) El último número que está con recuadro rojo (5) es el resto de la división, mientras que el resto 
de los números de la fila bajo la línea son los coeficientes del polinomio del cociente. 
 
Cociente 𝐂(𝐱) = 𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 + 𝟎 
Resto = 5 
 
8°) Para comprobar si está bien la división. 
 
P(x) = C(x) ∙ Q(x) + R(x) 
 
2x3 + x2 − 3x + 5 = (𝟐𝐱𝟐 + 𝟑𝐱 + 𝟎) ∙ (𝐱 − 𝟏 ) + 5 
 
 TEOREMA DEL RESTO 
 
Si el divisor es un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑎, entonces utilizamos el teorema del resto para 
calcular el resto de la división sin hacerla. Y si ya hicimos la división, sirve para verificar si está bien. 
 
Consiste en reemplazar la variable (x) del dividendo por el opuesto del término independiente 
del divisor y efectuar después las operaciones indicadas, es decir, hallar el valor numérico del 
dividendo para dicho valor de la variable. 
 
Siguiendo el ejemplo anterior: (2x3 + x2 − 3x + 5): (x − 1) 
 
𝐑𝐞𝐬𝐭𝐨 = 𝟐 ∙ (𝟏)𝟑 + 𝟏𝟐 − 𝟑 ∙ 𝟏 + 𝟓 = 𝟐 + 𝟏 − 𝟑 + 𝟓 = 𝟓 
 
coincide con el resto encontrado a través de la Regla de Ruffini. 
 
 
https://youtu.be/j1itgC0sxrU
 
 
23 
 
 
 
Cuando el resto de la división es cero se dice que los polinomios son divisibles. 
 
 
Por ejemplo: 
 
(𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 – 𝟑) ∶ ( 𝐱 – 𝟑 ) ➔ Resto = 𝟑𝟐 − 𝟐 ∙ 𝟑 – 𝟑 = 𝟎 
 
Los polinomios son divisibles, es decir, que (x-3) es un divisor del polinomio 
(𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 – 𝟑). 
 
 
ACTIVIDADES 
 
17.- Resolver las siguientes operaciones: 
 
a) (−
2
5
𝑥4) : (−5𝑥3) = 
b) (
7
8
𝑥7) : (−
1
16
𝑥7) = 
c) (18𝑥6 − 3𝑥4 + 9𝑥5): (−
2
3
𝑥3) = 
d) (5𝑥2 − 7𝑥4): (−
1
2
𝑥2) = 
e) (7𝑥5 +
6
5
𝑥4 − 𝑥2 + 4𝑥3) : (−
1
5
𝑥) = 
 
 
18.- Indicar el cociente y el resto de las siguientes divisiones. Cuando sea posible, comprobar con 
Teorema del Resto. 
 
a) (4𝑥3 − 8𝑥2 − 10𝑥 − 6): (2𝑥 + 2) = 
b) (−9 + 15𝑥3 − 12𝑥): (3𝑥2 − 3𝑥) = 
c) (4𝑥8 + 8 − 6𝑥2): (𝑥2 − 4) = 
d) (
5
3
𝑥 −
7
3
+
4
3
𝑥3) : (5 +
1
3
𝑥2) = 
e) (4𝑥3 − 7𝑥2 + 2𝑥 + 1): (𝑥 − 3) = 
 
 
24 
 
 
f) (𝑥5 − 32): (𝑥 − 2) = 
g) (𝑥3 + 27): (𝑥 + 3) = 
h) (−𝑥5 + 12𝑥3 − 15𝑥2 − 16): (𝑥 + 2) = 
i) (−2𝑥 + 5𝑥2 + 3): (𝑥 + 1) = 
 
19.- Calcular el polinomio P(x) que dividido por (x-2) da como cociente 𝐶(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 11 y tiene 
resto 21. 
 
20.- Indicar si las siguientes divisiones son exactas, es decir, si los polinomios son divisibles entre 
sí. Justificar. 
a) (2𝑥3 − 5𝑥2 + 𝑥 + 2): (𝑥 + 1) = 
b) (𝑥5 + 32): (𝑥 + 2) = 
c) (𝑥3 − 64): (𝑥 + 4) = 
d) (16 − 𝑥4): (𝑥 + 2) = 
 
21.- Dados los polinomios 𝐏(𝐱) = 𝐱𝟑 + 𝐱𝟐 − 𝟒𝐚𝐱 − 𝟏𝟔 y 𝐐(𝐱) = 𝐱 + 𝟏, encontrar el valor de a 
para que el resto de dividir P(x) : Q(x) sea igual a cero. 
 
22.- Calcular el valor de k sabiendo que 𝐌(𝐱) = 𝟑𝐱𝟒 + 𝐤𝐱 − 𝐱 + 𝟏 y que el resto de dividir M(x) 
por (x - 2) es 67. 
 
23.- Determinar el valor de a, sabiendo que -2 es raíz de 𝐒(𝐱) = 𝟓𝐱𝟒 − 𝟕𝐱𝟑 + 𝟏𝟏𝐱 + 𝐚 
 
 
TEMA N° 2: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
 
Factorizar un polinomio significa expresarlo como el producto de dos o más polinomios 
primos. 
 
Antes de empezar a estudiar cómo se factorizan los polinomios se repasa como se factorizan 
los números naturales. 
 
 
 
25 
 
 
Si se quiere factorizar el número 24: Se debe ir 
dividiendo el número a factorizar por números primos (en 
este caso, divisores de 24). 
De esta forma se escribe al 24 como un producto 
(multiplicación) de divisores. 
Factorizar un polinomio es escribirlo como el producto de los polinomios divisores. 
 
1.- CASOS DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 
 
Se desarrollarán por separado siete maneras básicas de factorizar un polinomio. Ellas son: 
 
✓ 1° Caso: Factor común. 
✓ 2° Caso: Factor común por grupos. 
✓ 3° Caso: Trinomio de cuadradoperfecto (Cuadrado de un binomio) 
✓ 4° Caso: Cuatrinomio de cubo perfecto (Cubo de un binomio) 
✓ 5° Caso: Diferencia de cuadrados. 
✓ 6° Caso: Suma y resta de potencias de igual exponente. 
✓ 7° Caso: Trinomio de segundo grado. 
 
 
A.- PRIMER CASO: FACTOR COMÚN 
 
Para aplicar este caso, debe haber “algo” en común en todos los términos del polinomio. Este 
“algo” puede ser un número o una variable. 
Ejemplo N° 1: Factorizar el polinomio: 𝐏(𝐱) = 𝟏𝟔𝐱𝟑 + 𝟖𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟒 
 Se observa que todos los términos del polinomio tienen un número que es múltiplo de 2. 
 Se extrae el 2 como “Factor Común” y se divide a los coeficientes del polinomio por 2. 
 
𝐏(𝐱) = 𝟐 ∙ (𝟖𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 − 𝟏𝐱 + 𝟐) y así queda factorizado el polinomio. 
 
 
Ejemplo N° 2: Factorizar el polinomio: 𝐐(𝐱) = 𝟔𝐱𝟒 + 𝟓𝐱𝟓 − 𝟐𝐱𝟔 
 Como se observa todos los términos del polinomio tienen en común la letra x. 
 Se extrae x como “Factor Común”, con el menor exponente, y luego se divide a todos los 
términos del polinomio por x. 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 ∙ (𝟔 + 𝟓𝐱𝟏 − 𝟐𝐱𝟐) y tenemos el polinomio factorizado. 
 
 
26 
 
 
Ejemplo N° 3: Factorizar el polinomio: 𝐋(𝐱) = 𝟏𝟐𝐱𝟒 + 𝟔𝐱𝟕 − 𝟐𝐱𝟔 
 Como se observa todos los términos del polinomio tienen en común que los coeficientes son 
divisibles por 2 y la letra x. 
 Se extrae 2 y la x con su menor exponente como “Factor Común”, y luego se divide a todos los 
términos del polinomio por 2x4. 
 
𝐋(𝐱) = 𝟐𝐱𝟒 ∙ (𝟔 + 𝟑𝐱𝟑 − 𝟏𝐱𝟐) y tenemos el polinomio factorizado. 
 
ACTIVIDADES 
 
24.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) M(x) = 24x5 + 18x4 − 30x2 
b) I(x) = 15x4 − 21x3 − 9x 
c) B(x) = 5x6 − 5x2 
d) G(x) = 20x3 + 25x2 − 15 
e) A(x) = 36x − 24x7 + 30x6 − 6x5 
f) D(x) = x4 − 7x3 
 
25.- Completar los espacios vacíos para que se verifiquen las siguientes igualdades: 
a) 12x2 − 4x + _____ = _____ ∙ (_____x2 − x + 1) 
b) x7 + x5 = _______ ∙ (x2 + 1) 
c) 3x4 + ______ = _______ ∙ (x3 + 8) 
d) x7 + ______x5 − 5x3 = ______ ∙ (−x4 − 3x2 + 5) 
 
 
B.- SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN POR GRUPOS 
 
Se aplica este segundo caso de factorización en aquellos polinomios que no tienen un factor 
común en todos los términos. 
Para aplicar FACTOR COMÚN POR GRUPOS el polinomio debe tener un número compuesto 
de términos (4, 6, 8, 9, etc..) para poder separarlos en grupos. Los grupos deben tener la misma 
cantidad de términos cada uno. 
 
https://youtu.be/4CsbqV3Y4pg
https://youtu.be/4CsbqV3Y4pg
 
 
27 
 
 
Generalmente, la agrupación puede hacerse de distintas maneras, lo importante es que 
siempre los términos que se agrupen tengan “algo” en común. Independientemente de cómo se 
agrupen los términos, el resultado es el mismo. 
 
El método es similar al 1° caso, en verdad es como separar al polinomio en partes y luego 
aplicar en cada una de ellas “factor común”. 
 
Ejemplo N° 1: Factorizar 𝐏(𝐱) = 𝟐𝟓𝐱𝐲 − 𝟏𝟎𝐱𝟑 + 𝟏𝟓𝐲 − 𝟔𝐱𝟐 
En este polinomio no se puede aplicar 1° caso: Factor común, ya que ni entre los números ni 
entre las variables hay algo común en todos los términos. 
Si se divide en dos grupos: 
𝐏(𝐱) = (𝟐𝟓𝐱𝐲 − 𝟏𝟎𝐱𝟑) + (𝟏𝟓𝐲 − 𝟔𝐱𝟐) 
 
Se observa que del primer paréntesis se puede sacar como factor común 5x, y del segundo 
paréntesis se puede extraer como factor común el 3. Luego obtenemos la siguiente expresión: 
𝐏(𝐱) = 𝟓𝐱(𝟓𝐲 − 𝟐𝐱𝟐) + 𝟑(𝟓𝐲 − 𝟐𝐱𝟐) 
 
Si nuevamente se divide en términos a P(x), se puede ver coinciden los paréntesis en cada 
uno de ellos, pudiendo extraerlo como factor común. 
 
𝐏(𝐱) = (𝟓𝐲 − 𝟐𝐱𝟐) ∙ (𝟓𝐱 + 𝟑) y así queda factorizado el polinomio 
 
 
Ejemplo N° 2: Factorizar 𝐐(𝐱) = 𝟐𝐦𝐱 + 𝟐𝐦𝐲 + 𝟔𝐦 + 𝐧𝐱 + 𝐧𝐲 + 𝟑𝐧 
𝐐(𝐱) = (𝟐𝐦𝐱 + 𝟐𝐦𝐲 + 𝟔𝐦) + (𝐧𝐱 + 𝐧𝐲 + 𝟑𝐧) 
𝐐(𝐱) = 𝟐𝐦(𝐱 + 𝐲 + 𝟑) + 𝐧(𝐱 + 𝐲 + 𝟑) 
𝐐(𝐱) = (𝐱 + 𝐲 + 𝟑)(𝟐𝐦 + 𝐧) 
 
 
ACTIVIDADES 
 
26.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) E(x) = 3x3 + 3x2 + 2x + 2 
b) L(x) = 4x3 − 2x2 + 6x − 3 
c) P(x) = x4 + x3 + x + 1 
 
https://youtu.be/y_mkvBoYz-Y
https://youtu.be/y_mkvBoYz-Y
 
 
28 
 
 
d) S(x) = 6x3 − 9x2 + 4x − 6 
e) T(x) = x3 + 2x2 − x − 2 
f) Q(x) = 3x2 + 3ax + x + a 
g) R(x) = x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + 2x + 4 
h) Z(y) = yb + 3y + y2 + 2b + 6 + 2y 
 
C.- TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (CUADRADO DE UN BINOMIO) 
 
 
En primer lugar, hay que recordar la fórmula del cuadrado de un binomio: 
(𝐚 + 𝐛)𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝟐𝐚𝐛 + 𝐛𝟐 
 
Todo trinomio que cumpla con las dos condiciones siguientes se considera “Trinomio 
cuadrado perfecto”. 
 Dos de sus términos son positivos cuadrados perfectos, es decir, se les puede calcular 
la raíz cuadrada. 
 El término restante es el doble producto de las raíces de los términos cuadrados. 
 
Un trinomio cuadrado perfecto es igual al producto de un binomio por sí mismo, lo que 
también equivale, al binomio elevado al cuadrado. 
 
 
 
La regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto es: Calcular la raíz cuadrada a dos 
de sus términos y separar estas raíces por el signo del tercer término (al que no aplico la raíz 
cuadrada). Entonces, el binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo. 
 
Es importante que antes de factorizar el polinomio por tercer caso, no solo hay que verificar 
que a dos de sus términos se les pueda calcular la raíz cuadrada, sino que hay que comprobar que 
el tercer término sea igual a dos multiplicado por el valor de las dos raíces. 
 
 
 
29 
 
 
Ejemplo N° 1: Factorizar P(x) = 9x2 + 30x + 25 
 
✓ Primero se analiza si no se puede aplicar 1° caso, al observar que NO, se analiza si a dos de 
sus términos se les puede calcular raíz cuadrada. 
✓ La raíz cuadrada de 9x2 es 3x y la de 25 es 5. 
✓ Se comprueba que el tercer término (al que no se le puede sacar raíz cuadrada) sea igual al 
doble producto de las raíces calculadas: 2 ∙ 3x ∙ 5 = 30x. 
✓ Luego el polinomio P(x) queda factorizado de la siguiente manera: 
 
𝐏(𝐱) = 𝟗𝐱𝟐 + 𝟑𝟎𝐱 + 𝟐𝟓 = (𝟑𝒙 + 𝟓)𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟓) ∙ (𝟑𝒙 + 𝟓) 
 
Se cumple el concepto de factorización, se ha logrado expresar el polinomio como un producto 
de factores (elementos de la multiplicación). 
 
Ejemplo N° 2: Factorizar Q(x) = x2 + 6x + 9 
 
Recomendación: Primero ordenar el polinomio, luego buscar dos términos de los que puedas 
obtener su raíz cuadrada. Son x2 y 9. √x2 = x y √9 = 3, luego x y 3 son las bases del binomio 
resultado de la factorización. 
Se verifica: 2.x.3 = 6x (“doble producto del primero por el segundo”). Como da igual que el 
otro término: El polinomio es un cuadrado “perfecto”. 
 
El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado (x+3)2. 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟗 = (𝐱 + 𝟑)𝟐 
 
 
Ejemplo N° 3: Factorizar N(x) = 4x2 − 12xy + 9y2 
 
 
https://youtu.be/YAENVrFtO6E
https://youtu.be/YAENVrFtO6E
 
 
30 
 
 
ACTIVIDADES 
 
27.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) E(x) = 4x2 − 4x + 1 
b) L(y) = 𝑦2 + 3y +
9
4
 
c) P(x) = 9x2 − 6x + 1 
d) S(x) = 36x2 + 1 − 12x 
e) M(x) =
1
4
x2 + x2b + (xb)2 
f) N(x) = x2 − 4x + 4 
g) O(x) = x2 + 8x + 16 
 
D.- CUARTO CASO: CUATRINOMIO DE CUBO PERFECTO (CUBO DE UN BINOMIO) 
 
En primer lugar, hay que recordar la fórmula del cubo de un binomio: 
 
(𝐚 + 𝐛)𝟑 = 𝐚𝟑 + 𝟑𝐚𝟐𝐛 + 𝟑𝐚𝐛𝟐 + 𝐛𝟑 
 
Todo cuatrinomio que cumpla con las dos condiciones siguientes se considera “Cuatrinomio 
de cubo perfecto”. 
 Dos de sus términos son cubos perfectos, es decir, se les puede calcular la raíz cúbica. 
 Los dos términos restantes corresponden al resto de los términos del desarrollo del 
cubo del binomio. 𝟑𝐚𝟐𝐛 + 𝟑𝐚𝐛𝟐 
 
(𝐱 + 𝐚)𝟑 es igual al cubo del primer término + el triple producto del primero al 
cuadrado por el segundo + el triple producto del primer término como está por el 
cuadrado del segundo + el segundo término al cubo. 
 
 
 
Si analizamos esta fórmula, para factorizar,es necesario ordenar la expresión algebraica 
con respecto a una letra, de forma que cumpla con las siguientes condiciones: 
 
✓ Tiene que tener cuatro términos. 
✓ Dos de los términos deben ser cubos perfectos, cuando el polinomio está ordenado, el primer 
y último término cumplen esta condición. 
 
 
 
31 
 
 
✓ El segundo término tiene que ser (sumado o restado) el triple del cuadrado de la raíz cúbica del 
primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. 
✓ El tercer término tiene que ser (sumado o restado) el triple de la raíz cúbica del primer término 
por el cuadrado de la raíz cúbica del último término. 
 
Si todos los términos de la expresión son positivos, el polinomio factorizado es igual al 
cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último término. 
Si los términos son alternadamente positivos y negativos, la factorización será el cubo 
de la diferencia de dichas raíces. 
 
Ejemplo N° 1: Factorizar P(x) = 8x3 + 36x2 + 54x + 27 
 
✓ Primero se analiza si no se puede aplicar 1° o 2° caso, al observar que NO, se analiza si a dos 
de sus términos se les puede calcular raíz cúbica. 
✓ La raíz cúbica de 8x3 es 2x y la de 27 es 3. 
✓ Se comprueba que el segundo y tercer término (a los que no se le puede sacar raíz cúbica) sea 
igual a: 𝟑𝐚𝟐𝐛 + 𝟑𝐚𝐛𝟐. En el ejemplo: 𝟑 ∙ (𝟐𝐱)𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟑 ∙ (𝟐𝐱) ∙ 𝟑𝟐 = 𝟑𝟔𝐱𝟐 + 𝟓𝟒𝐱. Se verifica 
✓ Luego el polinomio P(x) queda factorizado de la siguiente manera: 
 
𝐏(𝐱) = 𝟖𝐱𝟑 + 𝟑𝟔𝐱𝟐 + 𝟓𝟒𝐱 + 𝟐𝟕 = (𝟐𝐱 + 𝟑)𝟑 = (𝟐𝐱 + 𝟑) ∙ (𝟐𝐱 + 𝟑) ∙ (𝟐𝐱 + 𝟑) 
 
El polinomio queda expresado como un producto de factores. 
 
 
Ejemplo N° 2: Factorizar Q(x) = x3 − 6x2 + 12x − 8 
 
Primero se calculan √x3
3
= x y √(−8)
3 = −2, luego x y (-2) son las bases del binomio 
resultado de la factorización. 
 
Se verifica: 𝟑 ∙ (𝐱)𝟐 ∙ (−𝟐) + 𝟑 ∙ (𝐱) ∙ (−𝟐)𝟐 = −𝟔𝐱𝟐 + 𝟏𝟐𝐱: El polinomio es un cuadrado 
“perfecto”. El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cubo. 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟑 − 𝟔𝐱𝟐 + 𝟏𝟐𝐱 − 𝟖 = (𝐱 − 𝟐)𝟑 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
ACTIVIDADES 
28.- Factorizar los siguientes polinomios: 
a) E(x) =
1
8
x3 −
3
4
x2 +
3
2
x − 1 
b) L(y) = 𝑦3 + 15y2 + 75y + 125 
c) P(x) = x3 − 12x2 + 48x − 64 
d) S(x) = 1 − 27x3 − 9x + 27x2 
e) M(x) = x6 − 6x4 + 12x2 − 8 
f) N(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 
g) O(x) = x3 + 15x2 + 75x + 125 
h) T(x) = 27x3 − 27x2 + 9x − 1 
 
E.- QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS 
 
En este caso siempre responderá a la fórmula: 
 
Para factorizar un polinomio por este caso, debe tener sólo dos términos y cada uno de ellos 
debe ser el resultado del cuadrado de una expresión; adicionalmente, el signo que los separa es un 
negativo. 
Cuando el polinomio cumple con las condiciones anteriores, al factorizarlo es igual al producto 
de la suma de las raíces por la diferencia de ellas. 
Por ejemplo: 𝐐(𝐱) = (𝟑𝟔𝐱𝟐 − 𝟐𝟓) = (𝟔𝐱 − 𝟓) ∙ (𝟔𝐱 + 𝟓) 
 
 
ACTIVIDADES 
 
29.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) E(x) = 25𝑥2 − 9 
b) L(n) = 1 − 𝑛2 
c) S(x, y) =
4
9
𝑥2 − 𝑦2 
d) M(y) = y2 −
49
121
 
e) T(x) = 64𝑥6 − x4 
 
https://youtu.be/dmUjA2V_vOQ
https://youtu.be/dmUjA2V_vOQ
https://youtu.be/dmUjA2V_vOQ
https://youtu.be/dmUjA2V_vOQ
https://youtu.be/DL2_O48dy5M
 
 
33 
 
 
F.- SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE 
 
Se puede aplicar a binomios, cuyos términos puedan expresarse como potencias 
de igual grado. Para un polinomio de la forma 𝐏(𝐱) = 𝐱𝐧 ± 𝐚𝐧 existen cuatro 
posibilidades, según “n” sea par o impar. 
 
El siguiente cuadro resume los casos posibles y el binomio divisor 
correspondiente. 
 
𝐏(𝐱) = 𝐱𝐧 ± 𝐚𝐧 DIVISORES 
“n” impar Suma: 𝐱
𝐧 + 𝐚𝐧 (x + a) 
Resta: 𝐱𝐧 − 𝐚𝐧 (x – a) 
“n” par Suma: 𝐱
𝐧 + 𝐚𝐧 No tiene divisores de la forma 𝐱𝐧 ± 𝐚𝐧 
Resta: 𝐱𝐧 − 𝐚𝐧 (x + a)  (x – a) 
 
El polinomio se expresará como producto de dos factores, uno es el binomio divisor y 
el otro es el cociente que se obtenga de dividir el polinomio original por su divisor, aplicando 
Regla de Ruffini. 
 
Se analizan ejemplos de los distintos casos: 
 
 SUMA DE POTENCIAS IMPARES 
 
Factorizar 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟓 + 𝟑𝟐 
✓ Se observa que sus dos términos son resultados de potencias quintas (32 = 25). Es decir, que 
se puede expresar como: 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟓 + 𝟑𝟐 = 𝐱𝟓 + 𝟐𝟓 
✓ Adicionalmente, los términos están separados por un signo positivo, por lo tanto, el 
polinomio divisor estará formado por la suma de las bases, es decir, (x + 2). 
✓ Una vez identificado el polinomio divisor, se dividen (𝐱𝟓 + 𝟑𝟐): (𝐱 + 𝟐). Esta división se 
suele realizar con Regla de Ruffini. 
✓ El cociente que resulta de dicha división es: 𝐂(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟐𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 − 𝟖𝐱 + 𝟏𝟔 y el resto 
cero (porque el polinomio (x+2) es divisor del primero). 
✓ Luego el polinomio factorizado es igual a: 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟓 + 𝟑𝟐 = (𝐱 + 𝟐). (𝐱𝟒 – 𝟐𝐱𝟑 + 𝟒𝐱𝟐 – 𝟖𝐱 + 𝟏𝟔) 
 
 
 
34 
 
 
Un caso particular es la suma de dos términos elevados al cubo, que se descompone 
en dos factores, donde: 
✓ El primer factor, es la suma de sus raíces cúbicas. 
✓ El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, 
más el cuadrado de la segunda raíz. 
 
 
 
 Por ejemplo: Si se quiere factorizar: a3 + 27. 
 
✓ La raíz cubica de a3 es a y de 27 es 3. 
✓ Según la fórmula sería: 
 
 
 
 RESTA DE POTENCIAS IMPARES 
 
Factorizar 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟑 − 𝟖 
 
✓ Se observa que sus dos términos son resultados de potencias terceras (8 = 23). Es decir, que 
se puede expresar como: 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟑 − 𝟖 = 𝐱𝟑 − 𝟐𝟑 
✓ Adicionalmente, los términos están separados por un signo negativo, por lo tanto, el 
polinomio divisor estará formado por la resta de las bases, es decir, (x - 2). 
✓ Una vez identificado el polinomio divisor, se dividen (𝐱𝟑 − 𝟖): (𝐱 − 𝟐). Esta división se 
suele realizar con Regla de Ruffini. 
✓ El cociente que resulta de dicha división es: 𝐂(𝐱) = 𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟒 y el resto cero (porque el 
polinomio (x-2) es divisor del primero). 
✓ Luego el polinomio factorizado es igual a: 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟑 − 𝟖 = (𝐱 − 𝟐). (𝐱𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟒) 
 
 
 
 
35 
 
 
Un caso particular es la resta de dos términos elevados al cubo, que se descompone 
en dos factores, donde: 
✓ El primer factor, es la diferencia de sus raíces cúbicas. 
✓ El segundo factor, es el cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más 
el cuadrado de la segunda raíz. 
 
 
 
 Por ejemplo: Si se quiere factorizar: x3 -125. 
 
✓ La raíz cubica de x3 es x y de 125 es 5. 
✓ Según la fórmula sería: 
 
 
 
 RESTA DE POTENCIAS PARES: 
 
Factorizar 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟖𝟏 
 
✓ Se observa que sus dos términos son resultados de potencias cuartas (81 = 34). Es decir, que 
se puede expresar como: 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟖𝟏 = 𝐱𝟒 − 𝟑𝟒 
✓ Adicionalmente, los términos están separados por un signo negativo. Si observas la tabla de 
divisores que está al inicio de esta sección, en este caso hay dos polinomios divisores: uno 
conformado por la suma de las bases y el otro por la resta de las bases. En este ejemplo, los 
divisores serán: (x + 3) y (x - 3). 
✓ Una vez identificados los polinomios divisores, se divide, generalmente con Regla de Ruffini: 
(𝐱𝟒 − 𝟖𝟏): (𝐱 + 𝟑) ó (𝐱𝟒 − 𝟖𝟏): (𝐱 − 𝟑) 
✓ Luego el polinomio factorizado es igual a: 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟖𝟏 = (𝐱 + 𝟑). (𝐱𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 + 𝟗𝐱 − 𝟐𝟕) 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟖𝟏 = (𝐱 − 𝟑). (𝐱𝟑 + 𝟑𝐱𝟐 + 𝟗𝐱 + 𝟐𝟕) 
 
 
 
 
36 
 
 
En este caso, podría factorizar por 2° caso el paréntesis rojo (intente hacerlo solo y compare 
su respuesta: 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟖𝟏 = (𝐱 + 𝟑). (𝒙 − 𝟑) ∙ (𝒙𝟐 + 𝟗) 
 
𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 − 𝟖𝟏 = (𝐱 − 𝟑). (𝒙 + 𝟑) ∙ (𝒙𝟐 + 𝟗) 
 
Observe que, aunque utilice distintos divisores el resultado final de la factorización es el 
mismo, yaque la factorización es única. 
 
 SUMA DE POTENCIAS PARES: 
 
Factorizar 𝐐(𝐱) = 𝐱𝟒 + 𝟏𝟔 
 
✓ No se puede factorizar las sumas de potencias con exponentes iguales pares, ya que no 
tienen divisores de la forma 𝐱𝐧 ± 𝐚𝐧. 
 
 
ACTIVIDADES 
 
30.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) E(x) = x7 − 1 
b) X(y) = y5 +
1
32
 
c) I(x) = x4 −
1
81
 
d) T(x) = 125x3 − 27 
e) O(x) = x6 − 64 
f) S(x) = x4 + 16 
g) A(x) = 4𝑥4 − 100 
h) T(x) = 27𝑥6 − 125 
 
 
37 
 
 
G.- SÉPTIMO CASO: TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO 
 
Se puede aplicar a cualquier polinomio de segundo grado, es decir: 
𝐏(𝐱) = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜; donde a es distinto de cero. 
Las raíces del polinomio se obtienen mediante la fórmula x =
−b±√b2−4ac
2a
 
Una vez encontradas las raíces 𝐱𝟏 y 𝐱𝟐, el polinomio factorizado resuelta igual a: 
𝐏(𝐱) = 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 = 𝐚 ∙ (𝐱 − 𝐱𝟏) ∙ (𝐱 − 𝐱𝟐) 
 
Ejemplo N° 1: Factorizar A(x) = 6x2 − 90 + 12x 
✓ Ordenamos el polinomio: A(x) = 6x2 + 12x − 90 
✓ Como se puede observar, NO es un trinomio de cuadrado perfecto, porque no se le puede 
calcular la raíz cuadrada entera a dos de sus términos. 
✓ Aplicamos 7° caso: para ello calculamos el valor de las dos raíces del polinomio con la fórmula: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−12 ± √122 − 4 ∙ 6 ∙ (−90)
2 ∙ 6
 
 
 
De esta fórmula se obtiene: 
𝑥1 =
−12 + √122 − 4 ∙ 6 ∙ (−90)
2 ∙ 6
= 3 
𝑥2 =
−12 − √122 − 4 ∙ 6 ∙ (−90)
2 ∙ 6
= −5 
 
Luego el trinomio de segundo grado factorizado es igual a: 
 
𝐀(𝐱) = 𝟔𝐱𝟐 + 𝟏𝟐𝐱 − 𝟗𝟎 = 𝟔 ∙ (𝐱 − 𝟑) ∙ (𝐱 − (−𝟓)) = 𝟔 ∙ (𝐱 − 𝟑) ∙ (𝐱 + 𝟓) 
 
Ejemplo N° 2: Factorizar B(x) = x2 + 5x + 6 
 
✓ Como se puede observar, NO es un trinomio de cuadrado perfecto, porque no se le puede 
calcular la raíz cuadrada entera a dos de sus términos. 
✓ Aplicamos 7° caso: para ello calculamos el valor de las dos raíces del polinomio con la fórmula: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−5 ± √52 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
 
 
 
38 
 
 
De esta fórmula se obtiene: 
𝑥1 =
−5 + √52 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
= −2 
𝑥2 =
−5 − √52 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
= −3 
Luego el trinomio de segundo grado factorizado es igual a: 
 
𝐁(𝐱) = 𝐱𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟔 = (𝐱 + 𝟐) ∙ (𝐱 + 𝟑) 
 
ACTIVIDADES 
31.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) U(x) = 4x2 − 1 + 3x 
b) N(y) = 12y + y2 + 35 
c) C(x) = x2 − 4x − 5 
d) U(x) = −2 + 𝑥2 − x 
e) Y(x) = −
1
2
x2 − 5 +
7
2
x 
f) O(x) = 2x2 + 7x + 5 
 
 
H.- TEOREMA DE GAUSS 
 
Este Teorema se utiliza para obtener raíces racionales de polinomios de grado n. 
 
Si el polinomio 𝐏(𝐱), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente 
no nulo, admite una raíz racional 
𝒑
𝒒
 (fracción irreducible), entonces p es el divisor 
del término independiente y q lo es del coeficiente principal. 
 
Para hallar las raíces racionales de P(x) = axn + bxn−1 + cxn−2 + ⋯ + d 
 
✓ Se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal. Donde p 
serán los divisores del término independiente y q los divisores del coeficiente principal. 
✓ Se buscan las posibles raíces: 
𝐩
𝐪
 
✓ Aplicar la Regla de Ruffini o Teorema del Resto para verificar si algunas de ellas son 
raíces del polinomio. 
 
 
https://youtu.be/Xqac1Z3JUFk
https://youtu.be/Xqac1Z3JUFk
 
 
39 
 
 
Todo polinomio P(x) de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como: 
𝐏(𝐱) = 𝐚 ∙ (𝐱 − 𝐱𝟏) ∙ (𝐱 − 𝐱𝟐) ∙ … ∙ (𝐱 − 𝐱𝐧) 
Donde a es el coeficiente principal del polinomio y 𝐱𝟏, 𝐱𝟐, … , 𝐱𝐧 son sus n raíces reales. 
Ejemplo N° 1: Factorizar aplicando Teorema de Gauss el siguiente polinomio: 
T(x) = 2x3 + 2x − 4 
 
✓ Se puede aplicar 1° caso: Factor Común: T(x) = 2 ∙ (x3 + x − 2) 
✓ Se observa que es un polinomio de grado 3, por lo tanto, es posible que tenga hasta 3 raíces 
reales. 
✓ Luego de extraer factor común, queda un nuevo polinomio T′(x) = x3 + x − 2; cuyo coeficiente 
principal es 1 y término independiente es (-2). 
✓ Los divisores del término independiente son: (-2), 2, (-1),1 
✓ Los divisores del coeficiente principal son: (-1) y 1 
p
q
=
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
= −2; 2; −1; 1 
 
✓ Aplicando Teorema del Resto buscamos cuáles son las posibles raíces racionales del polinomio 
original: T(x) = 2x3 + 2x − 4 
T(−2) = 2 ∙ (−2)3 + 2 ∙ (−2) − 4 = −24 ≠ 0 → no es raíz del polinomio 
T(2) = 2 ∙ (2)3 + 2 ∙ (2) − 4 = 16 ≠ 0 → no es raíz del polinomio 
T(−1) = 2 ∙ (−1)3 + 2 ∙ (−1) − 4 = −8 ≠ 0 → no es raíz del polinomio 
T(1) = 2 ∙ (1)3 + 2 ∙ (1) − 4 = 0 → es raíz del polinomio 
✓ Se factoriza el polinomio a partir de sus raíces, sabiendo que si a es raíz de P(x), entonces al 
polinomio se lo puede factorizar como P(x) = (x − a) ∙ C(x), donde C(x) es el cociente entre 
P(x): (x − a) 
✓ Siguiendo con el ejemplo: x = 1 es una raíz racional de T(x). 
T′(x) = (x − 1) ∙ C(x) 
 
1 0 1 −2
1 1 1 2
1 1 2 0
 
𝐂(𝐱) = 𝐱𝟐 + 𝐱 + 𝟐 y resto igual a cero 
 
 
40 
 
 
 
𝐓(𝐱) = 𝟐𝐱𝟑 + 𝟐𝐱 − 𝟒 = 𝟐 ∙ (𝐱𝟑 + 𝐱 − 𝟐) = 𝟐 ∙ (𝐱 − 𝟏) ∙ (𝐱𝟐 + 𝐱 + 𝟐) 
 
✓ Si se quiere encontrar las otras dos raíces del polinomio T(x), se debe factorizar C(x). Al intentar 
hacerlo, se observa que esas raíces no son reales (la raíz cuadrada de un número negativo da 
por resultado un número complejo). Al no ser reales, no se van a calcular para este curso de 
Ingreso. 
 
Ejemplo N° 2: Factorizar aplicando Teorema de Gauss el siguiente polinomio: 
𝐔(𝐱) = 𝟐𝐱𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 − 𝟖𝐱 − 𝟑 
 
✓ Se observa que es un polinomio de grado 3, por lo tanto, es posible que tenga hasta 3 raíces 
reales. 
✓ El término independiente es (-3). Los divisores del término independiente son: (-3), 3, (-1),1 
✓ El coeficiente principal es 2. Los divisores del coeficiente principal son: (-2), 2,(-1), 1 
p
q
=
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
=
3
2
; −
3
2
; 3; −3;
1
2
; −
1
2
; 1; −1 
✓ Aplicando Teorema del Resto buscamos cuáles son las posibles raíces racionales del 
polinomio original: U(x) = 2x3 − 3x2 − 8x − 3 
 
U (
3
2
) = 2 ∙ (
3
2
)
3
− 3 ∙ (
3
2
)
2
− 8 ∙ (
3
2
) − 3 = −15 ≠ 0 → no es raíz del polinomio 
U (−
3
2
) = 2 ∙ (−
3
2
)
3
− 3 ∙ (−
3
2
)
2
− 8 ∙ (−
3
2
) − 3 = −
9
2
≠ 0 → no es raíz del polinomio 
U(3) = 2 ∙ (3)3 − 3 ∙ (3)2 − 8 ∙ (3) − 3 = 0 → es raíz del polinomio 
U(−3) = 2 ∙ (−3)3 − 3 ∙ (−3)2 − 8 ∙ (−3) − 3 = −60 ≠ 0 → no es raíz del polinomio 
U (
1
2
) = 2 ∙ (
1
2
)
3
− 3 ∙ (
1
2
)
2
− 8 ∙ (
1
2
) − 3 = −
15
2
≠ 0 → no es raíz del polinomio 
U (−
1
2
) = 2 ∙ (−
1
2
)
3
− 3 ∙ (−
1
2
)
2
− 8 ∙ (−
1
2
) − 3 = 0 → es raíz del polinomio 
U(1) = 2 ∙ (1)3 − 3 ∙ (1)2 − 8 ∙ (1) − 3 = −12 ≠ 0 → no es raíz del polinomio 
U(−1) = 2 ∙ (−1)3 − 3 ∙ (−1)2 − 8 ∙ (−1) − 3 = 0 → es raíz del polinomio 
 
𝐔(𝐱) = 𝟐𝐱𝟑 − 𝟑𝐱𝟐 − 𝟖𝐱 − 𝟑 = 𝟐 ∙ (𝐱 − 𝟑) ∙ (𝐱 +
𝟏
𝟐
) ∙ (𝐱 + 𝟏) 
 
 
 
https://youtu.be/zBfmZTRvT3Y
 
 
41 
 
 
ACTIVIDADES 
32.- Aplicar Teorema de Gauss y a partir de sus raíces factorizar: 
 
a) F(x) = −4x4 + 12x3 − 7x2 − 3𝑥 + 2 
b) C(x) = x4 + 𝑥3 + x + 1 
c) E(x) = x3 − 3x + 2 
 
I.- CASOS COMBINADOS DE FACTORIZACIÓN 
 
 
En algunos polinomios se deben aplicar más de un caso de 
factorización hasta que los factores sean primos. Siempre se debe 
observar si primero se puede extraer factor común y después observar qué 
otro u otros casos de factorización se pueden seguir aplicando. 
 
Ejemplo: 𝐏(𝐱) = 𝟑𝐱𝟔 − 𝟔𝐱𝟓 + 𝟑𝐱𝟒 
 
Primero se aplica factor común: P(x) = 3x4 ∙ (x2 − 2x + 1) 
Luego se puede aplicar en el paréntesis el tercer caso de factoreo, Trinomio de Cuadrado 
Perfecto. P(x) = 3x4 ∙ (x2 − 2x + 1) = 3x4 ∙ (x − 1)2 
ACTIVIDADES 
33.- Factorizar los siguientes polinomios: 
 
a) F(x) = x3 − 3x2 − x + 3 
b) A(x) =
(2x3−16)
7
 
c) C(x) = −x5 + 3x4−
9
4
x3 
d) T(x) = 5x8 −
5
16
x4 
e) O(x) = x4 − x3 + x − 1 
f) R(x) = x4 − 625 
Factorización: 
 ¿qué método usar? 
https://youtu.be/-tS50MayXiE
https://youtu.be/-tS50MayXiE
https://youtu.be/-tS50MayXiE
 
 
42 
 
 
 
g) I(x) = x4 + ax3 − x − a 
h) Z(x) = x8 − x6 
i) A(x) = 6x4 −
24
9
x2 
j) R(x) =
1
2
x5 − 3x4 + 6x3 − 4x2 
k) E(x) = 3x4 − 4x3 + 1 
l) S(x) = 2x2 + 14x 
ll) L(x) = 3x7 − 18x5 + 36x3 − 24x 
m) I(x) = 32x5 − 8x3 − 4x2 + 1 
n) N(x) = 5x3 + 5 
o) D(x) = x4 − 2x3 + x2 
p) O(x) = 3x2 + 3x +
3
4
 
 
2.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE POLINOMIOS 
 
 El mínimo común múltiplo (mcm) se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes 
con el mayor exponente. 
 El máximo común divisor (MCD) se obtiene multiplicando los factores comunes con el menor 
exponente con el que aparecen. Si al buscar el mcd de un conjunto de polinomios no se 
encuentran factores comunes, entonces será el 1 solamente. 
 
Por ejemplo: Si se quiere encontrar el mcm y el MCD de los siguientes polinomios: 
P(x) = 5x3 − 15x2 
Q(x) = x2 − 6x + 9 
R(x) = x2 − 9 
✓ Primero se factorizan los polinomios: 
 
P(x) = 5x3 − 15x2 = 5x2 ∙ (x − 3) 
Q(x) = x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 
R(x) = x2 − 9 = (x − 3) ∙ (x + 3) 
 
https://youtu.be/-yOd80dtUUM
 
 
43 
 
 
✓ Luego se calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor: 
𝐦𝐜𝐦(𝐏(𝐱), 𝐐(𝐱), 𝐑(𝐱)) = 𝟓𝐱𝟐 ∙ (𝐱 − 𝟑)𝟐 ∙ (𝐱 + 𝟑) 
𝐌𝐂𝐃(𝐏(𝐱), 𝐐(𝐱), 𝐑(𝐱)) = (𝐱 − 𝟑) 
ACTIVIDADES 
 
34.- Calcular el mcm y el MCD de los siguientes polinomios: 
a) 
F(x) = 2x2 + 14x 
E(x) = x2 − 49 
b) 
S(x) = x4 − 8x 
I(x) = 4x4 + 8x3 + 16x2 
 
c) 
S(x) = 2x + x2 + 1 
O(x) = x2 + x 
L(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 
 
 
 
3.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Son una expresión algebraica de la forma 
𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱)
, donde P(x) y Q(x) son dos 
polinomios tal que 𝐐(𝐱) ≠ 𝟎. 
 
Ejemplos: 
 
5
x − x2
 ∀x/x ≠ 0 ∧ x ≠ 1 
 
5x + 7
x2 − 4
 ∀x/x ≠ 2 ∧ x ≠ −2 
 
1
x4 + 16
 ∀x ∈ ℝ (no existen números reales que anulen el denominador) 
 
 
 
44 
 
 
 
A.- SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
El objetivo de simplificar una expresión algebraica fraccionaria es reducir la expresión y poder 
realizar operaciones en forma más sencilla. Algunas fracciones algebraicas resultan equivalentes a 
expresiones algebraicas enteras. 
 
Para simplificar expresiones algebraicas: 
✓ Primero se debe factorizar el numerador y el denominador. 
✓ Identificar los valores que anulen el denominador. 
✓ Simplificar, si tienen, los factores comunes del numerador y denominador. 
 
Ejemplos: Simplificar las siguientes expresiones algebraicas racionales. 
 
 
x3−2x2+x
x2+x
=
x∙(x2−2x+1)
x∙(x+1)
=
(x−1)2
(x+1)
 ; ∀ x ≠ 0 ∧ x ≠ −1 
 
 
(𝑥−5)
(𝑥2−25)
=
(𝑥−5)
(𝑥−5)(𝑥+5)
=
1
(𝑥+5)
 ; ∀ x ≠ −5 ∧ x ≠ 5 
 
 
 
B.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Cuando las expresiones algebraicas tienen el mismo denominador, el resultado es otra 
expresión algebraica racional con el mismo denominador y se suman o restan los numeradores 
según corresponda. 
Cuando las expresiones algebraicas tienen distinto denominador, se debe buscar el mcm de 
los denominadores y luego se resuelve de forma análoga a la suma y/o resta de fracciones. 
Ejemplos: 
 
2𝑥
𝑥 + 3
−
5𝑥 + 1
𝑥 + 3
=
2𝑥 − 5𝑥 − 1
𝑥 + 3
=
−3𝑥 − 1
𝑥 + 3
 ; ∀𝑥 ≠ −3 
 
3
𝑥2 − 3𝑥
+
𝑥 − 1
𝑥 − 3
=
3
𝑥 ∙ (𝑥 − 3)
+
𝑥 − 1
𝑥 − 3
=
3 + 𝑥 ∙ (𝑥 − 1)
𝑥 ∙ (𝑥 − 3)
=
3 + 𝑥2 − 𝑥
𝑥 ∙ (𝑥 − 3)
 ; ∀𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ 3 
 
 
https://youtu.be/0iF4MQ9lds8
https://youtu.be/skt7INKJ6qg
https://youtu.be/0iF4MQ9lds8
https://youtu.be/skt7INKJ6qg
https://youtu.be/0iF4MQ9lds8
https://youtu.be/skt7INKJ6qg
https://youtu.be/0iF4MQ9lds8
https://youtu.be/skt7INKJ6qg
https://youtu.be/0iF4MQ9lds8
https://youtu.be/skt7INKJ6qg
https://youtu.be/0iF4MQ9lds8
https://youtu.be/skt7INKJ6qg
 
 
45 
 
 
 
C.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES 
 
Se aplican los mismos procedimientos que para resolver operaciones entre fracciones con 
números reales. Es conveniente, cuando sea posible, factorizar las expresiones y simplificar, previo 
a multiplicar. 
 
Ejemplos: 
 
5𝑥3 − 𝑥
𝑥 + 3
⋅
𝑥2 − 9
𝑥2
=
𝑥 ∙ (5𝑥2 − 1)
𝑥 + 3
∙
(𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 3)
𝑥2
=
(5𝑥2 − 1) ∙ (𝑥 − 3)
𝑥
=
5𝑥3 − 15𝑥2 − 𝑥 + 3
𝑥
 
 
 ∀𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠ −3 
 
𝟓𝐱𝟑 − 𝟏𝟎𝐱𝟐 + 𝟓𝐱
𝐱𝟒
:
𝟏𝟎𝐱 − 𝟏𝟎
𝐱𝟓 − 𝐱𝟑
=
𝟓𝐱 ∙ (𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟏)
𝐱𝟒
:
𝟏𝟎 ∙ (𝐱 − 𝟏)
𝐱𝟑 ∙ (𝐱𝟐 − 𝟏)
=
𝟓𝐱 ∙ (𝐱𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟏)
𝐱𝟒
∙
𝐱𝟑 ∙ (𝐱𝟐 − 𝟏)
𝟏𝟎 ∙ (𝐱 − 𝟏)
=
𝟓𝐱 ∙ (𝐱 − 𝟏)𝟐
𝐱𝟒
∙
𝐱𝟑 ∙ (𝐱 − 𝟏) ∙ (𝐱 + 𝟏)
𝟏𝟎 ∙ (𝐱 − 𝟏)
=
(𝐱 − 𝟏)𝟐 ∙ (𝐱 + 𝟏)
𝟐
 ; ∀𝐱 ≠ 𝟎 ∧ 𝐱 ≠ 𝟏 ∧ 𝐱 ≠ −𝟏 
 
 
 
ACTIVIDADES 
 
35.- Resolver y simplificar siembre que sea posible. Recuerda indicar para qué valores de la variable 
es válida la expresión: 
a) 
𝑥3 + 7𝑥2 + 10𝑥
𝑥2 − 25
+
2
𝑥 + 2
= 
b) 
3𝑦
𝑦 + 4
+
12
𝑦 + 4
= 
c) 
6𝑛2
4𝑛 − 8
−
12𝑛
4𝑛 − 8
= 
d) 
12
𝑦2 + 2𝑦
−
2
𝑦
+
6
𝑦 + 2
= 
e) 
𝑚2 − 3𝑚
2𝑚
⋅
𝑚
𝑚 − 3
= 
f) 
𝑥2 − 1
𝑥2 + 𝑥 − 6
:
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥2 + 5𝑥 + 6
= 
 
https://youtu.be/tSYq8JoH96M
https://youtu.be/tSYq8JoH96M
 
 
46 
 
g) 
𝑥 − 3
𝑥2 + 10𝑥 + 25
⋅
𝑥2 − 25
𝑥2 − 2𝑥 − 3
−
𝑥 + 5
𝑥2 + 6𝑥 + 5
= 
h) 
𝑦 − 7
𝑦2 − 16
𝑦2 − 14𝑦 + 49
𝑦 + 4
−
𝑦 + 4
𝑦2 − 16
4
= 
i) 
1
𝑛 −
1
𝑛2
1
𝑛4
+
𝑛
1
𝑛
:
𝑛2
1
𝑛2
= 
j) 
𝑎 −
1
𝑎
𝑎 +
1
𝑎
= 
k) 
1 +
𝑥
𝑥2 − 1
3 −
𝑥2
𝑥 + 1
= 
l) 
2𝑥3 − 6𝑥2
𝑥2 − 6𝑥 + 9
= 
ll) 
𝑥2 − 9
𝑥 + 3
+
𝑥2 − 6𝑥 + 9
5𝑥 − 15
= 
m) 
6𝑥 − 18
8𝑥 + 16
 . 
𝑥4 + 2𝑥3
𝑥3 + 5𝑥
= 
n) 
1
2 𝑥
2 +
1
8 𝑥
1
3 𝑥 +
1
12
= 
ñ) 
𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8
𝑥3 + 4𝑥2 + 4𝑥
= 
o) 
7𝑥 − 2
𝑥 − 3
+
𝑥 − 2
𝑥 − 3
= 
p) 
2
𝑥 − 3
−
𝑥 − 1
𝑥 + 1
= 
q) 
3𝑥 + 1
𝑥 + 2
+
𝑥 − 2
𝑥 + 2
−
𝑥 − 3
𝑥 + 2
= 
r) 
−
𝑥 − 2
𝑥 + 1
+
7 + 𝑥
𝑥 + 1
= 
s) 
𝑥 + 1
𝑥(𝑥 − 3)
−
2
𝑥
= 
t) 
2
𝑥3 − 9𝑥
−
2
𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥
+
1
𝑥3 − 3𝑥2
= 
 
 
47 
 
 
Baeza, Á., Fehrman, P., Rodríguez, C., Molina, R., Norambuena, A., Venegas, S. y Villena, M. (2014). 
Aritmética y Álgebra. Manual esencial. Santillana, Tomo I. 
 
Baldor, Aurelio (1980). Álgebra. Madrid, España, Cultural Centroamericana SA. 
 
Berruti, Pedro (1969). “Manual de ingreso en primer año: Matemáticas y Castellano”, 46° edición, Buenos 
Aires, Argentina, Editorial Escolar, Volumen I, 235 páginas. 
 
Cabrera, Mauricio y Valdés, Katherina (2013). Guía de Aprendizaje N° 2: Razones y Proporciones, primer 
nivel o ciclo de educación media para personas Jóvenes y Adultas, Ministerio de Educación, Gobierno de 
chile. 
 
Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia. Matemáticas. 23/07/2020 
https://www.matematicasonline.es/cidead/2esomatematicas/ 
 
Chorny, F., Krimker, G. y Salpeter, C. (2005). Pitágoras 8 Matemática, Proyecto Mundo para todos, 
Argentina, SM. 
 
Corrías, Celina, Gei, Carina, Herrera, Héctor, Julián, Francisca y Rodríguez, María Cecilia (2019). Módulo 
de Matemática – Guía de estudio Ingreso 2019 – Parte I y II. Facultad de Ciencias Económicas, 
Universidad Nacional de Cuyo, Mendoza, Argentina. 
 
Greco de Laugero, Cecilia, Guevara Molina, Silvia y Zaragoza de Cueto, Liliana (1993). Haciendo… 
Aprendemos. Facultad de Filosofía y Letras, Universidad Nacional de Cuyo, Mendoza, Argentina, Editorial 
Ex Libris Cooperativa de Trabajo Limitada. 
 
Martinez, Miguel y Rodriguez, Margarita (2005). Matemática. Chile, Mc Graw Hill. 
 
Nuñez, Pamela y Ramírez, Manuel (2009). Apuntes de preparación para la prueba de selección 
universitaria. Matemática. Facultad de Ciencias Exactas, Universidad de Chile, Santiago, Chile. 
 
Seveso de Larotonda, J., Wykowski, A., Ferrarini, G., Matemática 8 EGB 1er Año, Serie Vértices, Kapelusz. 
 
Videos recuperados de: 
Matemáticas ProfeAlex: https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ 
Matemáticas con Grajeda: https://www.youtube.com/channel/UCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ 
JulioProfe: https://www.youtube.com/channel/UCIkCzk3ezlAxX5r2OFlHLaQ 
Tuto mate: https://www.youtube.com/channel/UC4w7epYKiuMvFuBBpTh97IA 
Educatina: https://www.youtube.com/channel/UCvYgy9xNtl7jeJAdzppgK8g 
Gominol Tree Matemáticas: https://www.youtube.com/channel/UCKyv3xEV-pK9BnKPAwxyE5g 
Última fecha de acceso: 19/09/2022. 
https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ
https://www.youtube.com/channel/UCX-9il8XGlV6kkrIVyTdWQQ
https://www.youtube.com/channel/UCIkCzk3ezlAxX5r2OFlHLaQ
https://www.youtube.com/channel/UC4w7epYKiuMvFuBBpTh97IA
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