Vista previa del material en texto
Matemáticas Joaquín Ruiz Basto 4 Álgebra en acción 1:33 Sistema de aprendizaje en línea MATEMÁTICAS 1 Álgebra en acción Serie integral por competencias Joaquín Ruiz Basto segunda edición ebook 2016 Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 16-18, 48, 49, 64, 65, 84, 85, 106, 107, 126, 127, 142, 143, 154, 155, 170, 171, 186, 187 Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisor de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez Jiménez Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Leopoldo Trejo Fotografías: Thinkstock Se incluyeron reproducciones autorizadas por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, México. Representación de las esculturas Reloj de Sol de Almussafes y Reloj de Sol de Ontiyent, autorizadas y proporcionadas por los es- cultores Joao Olivares Alfonso y Rafael Amorós. Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec a esta casa editorial. Matemáticas 1 Álgebra en acción Serie integral por competencias Derechos reservados: ©2014, 2016, Joaquín Ruiz Basto ©2014, 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. ISBN ebook: 978-607-744-472-5 (Segunda edición) ISBN ebook: 978-607-438-995-1 (Primera edición) Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Cd. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico Primera edición ebook: 2004 Segunda edición ebook: 2016 Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Contacto Patria correo: Renacimiento # 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Cd. de México teléfonos: (0155) 5354 9100 1102 1300 correo electrónico: info@editorialpatria.com.mx fax pedidos: (0155) 5354 9109 5354 9102 WWW sitio web: www.editorialpatria.com.mx Dedicatoria A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo. A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra. Contenido Parte 1 Desarrollo de competencias . . . . . . . 1 B LO Q U E 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 B LO Q U E 2 Utilizas magnitudes y números reales 22 B LO Q U E 3 Realizas sumas y sucesiones de números . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 B LO Q U E 4 Realizas transformaciones algebraicas I . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 B LO Q U E 6 Resuelves ecuaciones lineales I . . . . 108 B LO Q U E 5 Realizas transformaciones algebraicas II . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ContenidoIV Parte 2 Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Sección 1. Potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Sección 2. Determinantes de sistemas lineales 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 . . . . . . . . . . 209 Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Materiales de apoyo en SALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 B LO Q U E 7 Resuelves ecuaciones lineales II . . . . 128 B LO Q U E 8 Resuelves ecuaciones lineales III . . . 144 B LO Q U E 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I . 156 B LO Q U E 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II . 172 VGrupo Editorial Patria® VI Contenido Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi- vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa- do del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro- piados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinares básicas Bloques de aprendizaje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. X X X X X X X X X X 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X X X X 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. X X X X X X X X X X 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. X X 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. X X X X X X X X 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. X 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. X X X X X X X X VIIGrupo Editorial Patria® Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi- vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa- do del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensibleal arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro- piados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables. Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas Competencias disciplinares básicas Bloques de aprendizaje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. X X X X X X X X X X 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X X X X 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. X X X X X X X X X X 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. X X X X X X X X X 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. X X X X X X X X X X VIII VIII Contenido Es el primer libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar experiencias de aprendizaje a lo largo del primer semestre escolar del bachillerato general. Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante. Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones. La obra propone, en seguida, una secuencia didáctica de actividades, que conduce al alumno a la solución de la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del aná- lisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de cada lección, que incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares. Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer. Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar. La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados proble- mas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula. Esta cuarta edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor. Problema propuesto Situación didáctica Análisis de la situación Conocimientos Consulta Secuencia didáctica Proyecto de trabajo Rúbrica de evaluación Segmento informativo Parte teórica Ejemplos Comentarios adicionales Aplicaciones Autoevaluaciones Sugerencias para los ejercicios Presentación MATEMÁTICAS 1 Álgebra en acción Joaquín Ruiz Basto IXGrupo Editorial Patria® Parte 1 Desarrollo de competencias Contenido BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos A. Cambios climáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 B. Tu computadora personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales A. Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 B. Afluencia turística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números A. Apertura de un restaurante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 B. Bienes raíces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I A. Embalaje de piezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B. Cultivo y venta de pescado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II A. Alimento para ardillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 B. Venta de churros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 C. Limpieza de albercas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I A. Mezcla de dulces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 B. Banco de ostiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II A. Matrimonios y divorcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 B. Esencias para perfumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III A. Selección deportiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 B. Distribucióny venta de quesos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I A. Víveres para damnificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 B. Pantalla de plasma PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 BLOQUE 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II A. Preservación de pandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 B. Amigas y pulseras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Competencias a desarrollar n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve problemas de porcentajes, descuentos e intereses, etc., e interpreta los resultados obtenidos. n Analiza las relaciones entre dos o más variables de diferentes fórmulas matemáticas (área, volumen, etc.) para determinar su comportamiento y lo interpreta utilizando tablas y gráficas. n Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones, a través del trabajo colaborativo con una actitud constructiva y aportando sus puntos de vista. n Resuelve los problemas aritméticos o algebraicos que el docente plantea proponiendo la manera de solucionarlos, utiliza como apoyo la calculadora. 1B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos 8 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes) y de los demás números reales. n Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas. n Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas. n Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. n Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación de resultados. n Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. n Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. ¿Qué sabes hacer ahora? La aritmética es la reina y la esclava de las matemáticas. Esta singular descripción de la grandeza y utilidad de la aritmética se inspira en una frase del famoso matemático alemán Karl F. Gauss, quien vivió en los siglos XVIII y XIX. Un viejo cuento ruso desafía al escucha afirmando cosas inverosímiles acerca de una peculiar venta de huevos crudos realizada por una campesina, quien, sin romper ninguno, se quedó al final con un huevo luego de vender al primer cliente la mitad de todos los que llevaba más medio huevo y, más tarde, a una segunda persona, la mitad de los que quedaron de la primera venta más medio huevo. ¿Podría alguien hacer algo similar al vender de la misma forma cachorritos y mitades de ellos y entregarlos vivos? ¿Es aritméticamente posible tal cosa? ¿Podría ayudarte el Álgebra a responder esto? BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos4 A1BLOQUE Conocimientos Números positivos Enteros y/o fracciones mayores que 0. Fracción común Fracción mixta 1 4 6 2 7 5 1 2 5 Notación decimal Porcentajes 0.25 3 1.4 25% 300% Volumen y altura de un prisma Volumen = área de la base × altura Altura = _____________volumen área de la base h Vapor atmosférico Una columna de aire atmosférico de 1 m2 de base contiene entre 15 kg y 25 kg de agua. Equivalencias métricas 1 kg � 1,000 g 1 m2 � 100 cm � 100 cm � 10,000 cm2 Para agua destilada, a 4 °C: 1 g = 1 cm 3 Peso Volumen Consulta En libros de aritmética y de álgebra: Números positivos Sistema métrico decimal Variables numéricas En Internet: terraeantiqvae.blogia.com/2006/120701-un- tsun... www.librosmaravillosos.com/ Situación didáctica Cambios climáticos Diversas historias, mitos y leyendas antiguas, provenientes de civilizaciones de di- ferentes lugares del mundo —Mesopotamia, Israel, India, América y otros sitios— relatan la ocurrencia de catástrofes causadas por inundaciones pluviales. Algunos científicos consideran que tales fenómenos, acontecidos en épocas diferen- tes, tuvieron alcance local o regional y fueron originados por cambios meteorológi- cos y/o geológicos, como erupciones volcánicas, terremotos y tsunamis. Un conocido relato bíblico, en el cual se refiere el origen del mundo, narra que en épocas remotas ocurrió un diluvio universal que cubrió todas las montañas del mun- do en un lapso de 40 días. Considerando los conocimientos científicos y los cambios climatológicos actuales, ¿es factible que pueda ocurrir una catástrofe así? Análisis de la situación 1. La lluvia proviene del vapor de agua atmosférico cuando éste se condensa (es decir, pasa del estado gaseoso al líquido). 2. En sitios distintos —incluso cercanos—, la lluvia alcanza volúmenes diferentes debido a que el viento desplaza al vapor atmosférico de un lugar a otro. 3. Si lloviera simultáneamente en todo el planeta, ningún sitio podría prestar su hu- medad a otro, puesto que se condensaría en su totalidad el vapor de agua existente en la atmósfera. 5Grupo Editorial Patria® Rúbrica de evaluación Elabora un resumen que incluya: Un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capaci- dad, peso y volumen. El desarrollo de la secuencia didáctica con las respuestas y operaciones solici- tadas. Una reflexión y conclusiones sobre los resultados obtenidos en la secuencia di- dáctica y en la evaluación sumativa. Secuencia didáctica 1. Durante una lluvia simultánea, toda el agua de la atmósfera caería a la vez sobre el planeta, descargando cada columna atmosférica (de 1 m2 de base), una cantidad máxima promedio de ______________________ (15 kg/25 kg) de agua. 2. Suponiendo que la tierra no absorbiera el agua, la altura de la capa de agua sobre la superficie terrestre sería ______________________ (la misma/diferente) en to- dos los lugares del planeta. 3. Para conocer la altura que alcanzaría la capa de agua por cada columna de aire atmosférico, debe dividirse el volumen de agua que contiene la columna entre el área de su base (1 m2). Volumen máximo de agua: 25 kg � ___________ g � ___________ cm3. Área de la base: 1 m2 � ( cm) � ( cm) � __________ cm2. � � h � Volumen máximo de agua Área de la base � cm2 cm2 � cm. 4. Así, por cada columna atmosférica del planeta, es decir, en cada m2 de superficie, el agua alcanzaría una altura máxima de ___________ cm. 5. El Monte Everest, la cumbre más elevada del mundo (9 km de altura), rebasaría la altura de esta capa de agua, Altura del Monte Everest Altura de la capa de agua � cm cm � veces. Proyecto de trabajo 1. Envases ¿Cabe lo mismo en una lata de harina de 12.5 cm de alto y base circular de 25 cm de ancho, que en otra con altura doble y la mitad de ancho? a) Analiza casos de recipientes sencillos con base cuadrada donde la altura y ancho sean números enteros y representa la infor- mación en diagramas. Haz lo mismo para recipientes cilíndricos. ¿Cómo se relacionan ambos casos? b) Realiza los cálculos para la situación descrita inicialmente. ¿Qué relación ob- servas? Generaliza los resultados usando variables para expresar las magni- tudes (altura: h y diámetro: d); aplícalos al caso de peso de troncos, en vez de capacidad de latas, y de depósitos de agua, en lugar de recipientespara harina. HARINA HARINA 6 BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Segmento informativo 1A Recuerda 1. Los dígitos son los números que se escri- ben con una sola cifra. 2. Un numeral es el símbolo que representa a un número. Algunos numerales para el dos: Verifica tu avance 1. ¿Cuáles son los dígitos en base 10? ¿Y en base 2? 2. ¿Cuál es el origen de la palabra dígito? 3. ¿A qué sistemas de numeración corres- ponden estos numerales del dos? Fíjate en lo siguiente... En un número decimal, tal como 2.15, a las cifras después del punto decimal se les lla- ma fracción decimal, cola decimal o cifras decimales. Recuerda 1. Cuando operamos con números los tér- minos reciben nombres especiales: Adición: 2 � 0.5 � 2.5 Sumandos Suma Sustracción: 2 � 0.5 � 1.5 Minuendo Sustraendo Resta o diferencia Multiplicación: 2 � 0.5 � 1 Factores Producto División: 2 � 0.5 �� 2 0.5 � Numerador Denominador � 4 Dividendo Divisor Cociente Variables y números reales Aritmética y números positivos En la aritmética ordinaria se usan sólo números positivos, además del cero. Por estar escritos en base diez (sistema de numeración decimal), a todos se les llama números decimales. 2, 1.25, 0.333…, 1.4142, … Muchas veces el nombre de un número depende de cómo está escrito, Fracción común: 1 4 Un cuarto Fracción decimal: 0.25 Veinticinco centésimos Porcentaje: 25% Veinticinco por ciento O también de la clase o conjunto a la cual pertenece: Enteros: 0, 1, 2, 3, … Naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, … Fraccionarios: 0.25, 1 4 , … Las operaciones con que se combinan estos números son cuatro: adición, sustrac- ción, multiplicación y división. Junto con los números y signos de operación, se emplean signos de agrupación (paréntesis) a fin de construir expresiones numéricas para indicar las operaciones. (3 � 4) � 2 Expresión numérica Para evitar ambigüedades en expresiones numéricas, se siguen las siguientes reglas al operar con los números: Orden de las operaciones 1o Se efectúan las operaciones entre paréntesis, de adentro hacia fuera. 2o Se calculan las potencias. 3o De izquierda a derecha se sigue con multiplicaciones y divisiones. 4o Al último, de izquierda a derecha, se ejecutan sumas y restas. Así, 3 � 4 � 2 � 14 y (3 � 4) � 2 � 14, en tanto que 3 � (4 � 2) � 18. Ejemplo 1 Valuando expresiones numéricas Obtén el valor de las siguientes expresiones numéricas. a) 2 � 7 � 3 � 2 b) 12 � ((4 � 4) � 2) Solución a) 2 � 7 � 3 � 2 � Multiplica primero 3 � 2 2 � 7 � 6 � Halla la suma 2 � 7 9 � 6 � 3 Obtén la resta 9 � 6 b) 12 � ((4 � 4) � 2) � Del paréntesis interior obtén 4 � 4 12 � (8 � 2) � Divide 8 � 2 en el paréntesis 12 � 4 � 8 Halla la resta 12 � 4 7Grupo Editorial Patria® 2. La raíz y la potencia de un número se de- finen mediante multiplicación repetida. Tercera potencia de 4: 43 � 4 � 4 � 4 � 64 Raíz cúbica de 64: 3� 64 � 4, pues 43 � 64 Exponente Índice o grado 25 � 32 3� 8 � 2 Base Potencia Radicando Raíz Potencias especiales:_____________________________________ Primera potencia Potencia cero 41 � 4 (excepto para el cero) 1001 � 100 20 � 1 (0.25)1 � 0.25 (3.5)0 � 1 Ejemplo 2 Recuerda 1. 20% � 20 100 � 0.20 pues 0.20 � 100 � 20. Al operar con potencias de 10 Mueves el punto decimal a la izquierda si divides, a la derecha si multiplicas Tantos lugares como ceros posee la potencia de 10. (101 � 10, 102 � 100, 103 � 1,000, etc.) 2. Por el contexto del problema, $660.376 se redondeó a $660.38 Redondeo de cifras decimales La última cifra decimal que se deja: Queda igual si la que sigue es menor a 5 Aumenta 1 si la que sigue es 5 o mayor a 5 Verifica tu avance 1. ¿Es 660.37 un redondeo de 660.376? 2. ¿Tu calculadora redondea o corta las cifras decimales? 3. Con la misma estrategia, aplica el plan: costo final por camisa � número de éstas. 4. ¿Es correcto razonar: si ahorro 20% y pago 15% de impuesto, al final mi pago es el costo inicial menos 5%? Ejemplo 2 Aritmética en acción: descuento comercial Compras cinco camisas en promoción, con 20% de des- cuento. ¿A cuánto ascenderá tu pago si el precio de $143.56 mostrado en cada etiqueta no tiene incorporado el descuen- to, ni 15% de impuesto? Solución Descomponemos el problema en tres partes: 1. Se halla el costo inicial de todas las camisas Número de camisas � Costo por camisa � Costo inicial 5 � 143.56 � 717.80 2. Le aplicas el descuento Costo inicial � 20% del costo inicial � Costo con descuento 717.80 � 0.20 � 717.80 � 574.24 3. Hallas el costo final sumándole el impuesto Costo con descuento � 15% de este costo � Costo final 574.24 � 0.15 � 574.24 � 660.376 Así, el importe total que pagarás por las cinco camisas será $660.38. El proceso completo puede resumirse con la expresión numérica: (5 � 143.56) � 0.20 (5 � 143.56) � 0.15 � (5 � 143.56 � 0.20 (5 � 143.56)). Costo de las camisas con descuento � 15% de impuesto Ejemplo 3 Ilusión aritmética Estás de vacaciones con dos amigos y entre los tres pa- gan $300 por una habitación, aportando cada uno $100. El hotel les devuelve $50, pero el mozo con que los en- vía guarda para sí $20 y les regresa $10 a cada uno. Así, cada uno pagó $90, lo cual hace $270 por los tres; más $20 del mozo, dan un total de $290. ¿Qué sucedió con los $10 restantes? Solución Pago total � Ingreso hotel � Retención mozo � Devolución 300 � 250 � 20 � 30 Comparamos ahora el argumento dado, contra este modelo: Argumentación presentada 270 � 20 �� 250 � 20 � 20 Modelo correcto 300 � 250 � 20 � 30 En ambos casos, los $250 del hotel y los $20 del mozo están incluidos dentro de los $270. Por esto, en la argumentación presentada, en vez de sumar los $20 del mozo a los $270, debieron sumarse los $30 devueltos. BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos8 Ejemplo 4 Duración del cabello Se calcula que en la cabeza de una persona hay en promedio 180,000 cabellos y que mensualmente se caen 3,600 de ellos. ¿Cuánto tiempo permanecerá cada nuevo cabello en tu cabeza? Solución a) Una solución mediante un modelo verbal es la siguiente: Total de cabellos � Cabellos que � Años que tarda en caen en un año caerse todo el cabello 180,000 � (3,600 � 12) � 4.1666666666… Cada cabello nuevo durará, aproximadamente, 4 años en tu cabeza. b) Otra forma de abordar el problema es elaborando una tabla, como sigue: Tiempo Pérdida de cabello 1 mes 3,600 3,600 2 meses 2 � 3,600 7,200 3 meses 3 � 3,600 10,800 1 año 12 � 3,600 43,200 2 años 24 � 3,600 86,400 3 años 36 � 3,600 129,600 4 años 48 � 3,600 172,800 5 años 60 � 3,600 216,000 Podemos observar que en 4 años se pierden 172,800 cabellos, cifra muy cercana a 180,000. Agregándole la cantidad del segundo mes se tiene 172,800 � 7,200 � 180,000. Esto dice que la respuesta son 4 años 2 meses. Ejemplo 4 Observaciones importantes 1. Muchos problemas admiten distintos pro cedimientos (aritméticos, geométri- cos, algebraicos, etc.) y distintas formas (estrategias) para hallar su solución. En este ejemplo se muestran dos estrategias para resolverlo. 2. Para transformar a meses la fracción de año, basta multiplicarla por 12: 4.16666666666… años � 4 años � 12 � (0.1666666…) meses � 4 años � 1.9999… meses � 4 años 2 meses. 3. Las fracciones decimales como 0.1666666666… que poseen una o varias cifras que se repiten indefinidamente (perio- do) se llaman fracciones periódicas. Se escriben en forma abreviada con un periodo y una línea encima de éste: 0.16 � 0.16666666... 4. Por lo regular el trabajo con fracciones comunes es más preciso y sencillo que con fracciones decimales, ya que sus com- ponentes son dos números enteros: 180,000 12 � 3,600 ��1,800 432 �(se cancelan dos ceros) Para simplificar al máximo esta fracción ha- llamosel mayor divisor común para 1,800 y 432, mediante descomposición en factores primos: 1,800 432 3 600 144 2 300 72 3 100 24 2 50 12 2 25 6 Los divisores comunes se escriben a la derecha. Los cocientes debajo a la izquierda. El proceso termina al no haber divisores comunes. Su producto es el máximo común divisor. mcd � 23 � 32 � 8 � 9 � 72 Dividiendo ambos números entre 72: 1,800 432 ���25 6 �� �1 6 � � � � 6 | 4 25 1 �� �1 6 �1 6 años � 4 años ��1 6 � 12 meses��� 4 años � 2 meses 1. Agrega paréntesis para que a) 2 � 7 � 3 � 2 � 10; b) 15 � 6 � 6 � 3 � 45. En los ejercicios 2 a 4 haz las operaciones y redondea fracciones a centésimos. 2. 967.42 � 1,000 3. 0.1631 � 100 4. (14.02 � 23.19) � (13 � 6) Autoevaluación 1A 9Grupo Editorial Patria® Sugerencias para la autoevaluación 1A 1. Prueba varias opciones hasta obtener la correcta. 2 y 3. Revisa Operaciones con potencias de diez y Redondeo de cifras decimales en el margen del ejemplo 2. 4. Los números con fracciones decimales se suman en columna alineando el pun- to. Revisa en el margen: Potencias espe- ciales. 5 a 7. Divide en cada caso el numerador en- tre el denominador. 11. Prueba acomodos. Hay varias soluciones. b) Ejemplo: 3 � 4 � 4 � 4 4 ; 4 � 4 � 4 � (4 � 4) c) Más de una solución: 30 � 5 � 5 � 5 d) Escríbelo (no puede ser el 0, ¿por qué?) 12. Utiliza la siguiente equivalencia: 10 cm 1 litro 1 kg 1 dm3 10 cm � 10 cm � En los ejercicios 5 a 7: a) escribe cada fracción común en forma decimal; b) identifica el periodo en cada número decimal y abrevia su escritura. 5. 1 3 6. 3 5 7. 7 4 En los ejercicios 8 a 10 asocia cada fracción con su nombre: a) Fracción propia, b) Fracción impropia, c) Fracción mixta. 8. 27 3 9. 8 1 10. 12 16 11. Pasatiempos numéricos a) Acomoda los dígitos positivos en el triángulo, de modo que en cada lado la suma sea igual a 20. b) Escribe cada dígito usando sólo 4 cuatros y algunas de las cuatro operacio- nes básicas. c) Expresa el 30 con tres cifras iguales y algunas de las seis operaciones. d) ¿Cuál es el menor entero positivo que puedes escribir con dos cifras? 12. Aguacero Se calcula que la zona metropolitana de la ciudad de México abar- ca una superficie aproximada de 900 km2. Si lloviera en toda esta zona y el agua alcanzara en promedio 1 cm de altura, ¿qué cantidad de agua habría (en litros) y cuál sería su peso (en kg)? BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos10 B1BLOQUE Conocimientos Tanto por ciento 1. Las siguientes expresiones indican lo mismo: 25% �� 25 100 �� �� 2. También, 25% ��1 4 . ¿Por qué? 3. Para obtener 25% de 48, multiplica ambos números. Así, (25%)(48) � 12, ya que (25%)(48) � (0.25)(48) ��1 4 (48) Datos variados ¿Cuál valor tomarías como precio de un kilo- gramo de limón? Día 1 2 3 4 5 Kg($) 6.50 6.75 8 7.30 7 El promedio suele ser un buen valor: 6.50 � 6.75 � 8 � 7.30 � 7 5 ��? Consulta En libros de álgebra y otras fuentes. En la segunda parte del libro: Aritmética y números positivos Números y variables En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm Situación didáctica Tu computadora personal Un almacén informa que a partir de la siguiente semana aumentará 10% el precio de una computadora portátil, al tiempo que anuncia una rebaja de 10% en todos los artículos para esos días. ¿Me conviene comprar el equipo antes de que aumente de precio, o cuando aplique la rebaja? ¿Cómo podría predecir cuál será el nuevo precio para cualquier compu- tadora, bajo estas condiciones? Análisis de la situación 1. ¿Cuánto cuesta una computadora portátil? ¿De qué depende esto? 2. ¿Cuántos años, en promedio, duran tales equipos? ¿Cuál sería el costo anual de tu inversión? 3. ¿Son iguales los precios durante la rebaja que antes de ésta, en virtud de que el porcentaje de aumento es el mismo que el de descuento? 4. Para un precio particular efectúa los cálculos del nuevo precio con aumento y descuento de 10% y compara ambos resultados. 11Grupo Editorial Patria® Rúbrica de evaluación 1. El desarrollo de la secuencia didáctica y de la evaluación sumativa, debe mostrar: El manejo de porcentajes en forma decimal y de fracción común. El uso de variables en la elaboración de modelos algebraicos. La aplicación de los modelos para predecir o anticipar resultados. El empleo de tablas para organizar información en forma sistemática y para examinar regularidades. 2. Trabajo optativo de investigación. Hallar un modelo algebraico para la si- tuación descrita, reemplazando el 10% de aumento y descuento por: a) 25%, b) a%. Establecer conclusiones para es- tos casos. Secuencia didáctica 1. Si la computadora cuesta en este momento $10,000, en la siguiente semana se tendrá: Nuevo precio: 10,000 � 10%(10,000) � 10,000 � ( ) � ( ) �� Nuevo precio con descuento: � � � �� 10% � ________________ � $ ________________ . Como este precio es _________________ (mayor/menor) que el precio actual, ___________________ (conviene/no conviene) esperar para comprar el equipo en oferta la próxima semana. 2. Para cualquier precio P (en $) que tuviera actualmente el equipo, su nuevo precio, con aumento y descuento de 10%, se obtendrá así: Nuevo precio: P � 10%P � P � __________ P �� __________ P Nuevo precio con descuento: � � � __________ P �� 10%� __________ P �� _________________ � __________ P 3. Este modelo muestra que, en estas condiciones, el nuevo precio de la computado- ra en oferta es una _________________ (décima/centésima) menor que el precio inicial. Aplicado a un precio P de $10,000 anticipa que el nuevo precio en oferta será de $( )(10,000) � $ _____________ y para un precio P � $15,000, será de $( )(15,000) � $ ______________ . Proyecto de trabajo 1. Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu cuerpo quema 60 calorías. En cambio, montando bicicleta que- mas 90 calorías. a) ¿Cuántas calorías pierdes por minuto al realizar cada una de estas actividades? b) Escribe un modelo verbal y uno algebraico para saber cuán- tas calorías quemas al realizar ambas actividades. c) Si caminas una hora y después andas media hora en bicicle- ta, ¿cuántas calorías quemas? d) Elabora una tabla para diversas combinaciones de ambos ejer- cicios hasta completar una hora y media, en intervalos de quince minutos. e) Describe las regularidades que observes en renglones y columnas de la tabla y predice el dato para 15 minutos a pie y 105 minutos en bicicleta. 12 BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Segmento informativo 1B Observaciones importantes 1. En matemáticas las variables pueden re- presentar diversas cosas (conjuntos, fun- ciones, matrices, números, etcétera). 2. Cuando representan números (como en álgebra básica) se les llama variables nu- méricas (o simplemente variables). Verifica tu avance ¿Podrías decir que una expresión algebraica es una expresión numérica que contiene va- riables? Al evaluar expresiones algebraicas Debes sustituir el valor de la variable cada vez que ésta aparezca escrita. Fíjate en lo siguiente... Al usar paréntesis y/o variables se omite el signo � de multiplicación. También puede reemplazarse por un punto a mitad de altura entre los símbolos. 5 � x � 5x � 5 � x � 5(x) � (5)x � (5)(x) Verifica tu avance 1. La expresión disminuido en de la sustracción, ¿a cuál corresponde en la adición? 2. ¿Son iguales las expresiones: 2 menos que y, y 2 menos y? Observaciones importantes En la sustracción el orden es importante, lo mismo que en la división. No es lo mismo a � 6 que 6 � a, ni x/5 que 5/x. Números y variables Una variable es una letra que representa a un número. Los números son los valores de la variable. Una expresión que contiene signos de operación,de agrupación, nú- meros y variables es una expresión algebraica. 3(x � 5) � 2 Expresión algebraica Al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas se está evaluando la expresión algebraica. El resultado es el valor de la expresión algebrai- ca y depende del número reemplazado. El valor de 3(x � 5) � 2 para x � 10 es 3(10 � 5) � 2 � 17 Las expresiones algebraicas, al igual que las expresiones numéricas, pueden ser uti- lizadas para representar situaciones reales. Las expresiones constituyen el modelo ma- temático (aritmético o algebraico) de la situación. Expresión algebraica Situación que modela 2x El doble de un número x � 5 Un número menos 5 Al escribir modelos es útil identificar las operaciones aritméticas involucradas: Situación descrita Modelo algebraico Adición 5 más un número 5 � x 2 más que y y � 2 Sustracción Un número disminuido en 6 a � 6 2 menos que y y � 2 Multiplicación El producto de 5 y un número 5x 3 veces un número 3y División El cociente de un número y 9 x/9 La quinta parte de un número x/5 Es conveniente también aplicar la siguiente secuencia: Haz un modelo verbal Introduce variables Escribe la expresión algebraica Ejemplo 1 Valuando expresiones algebraicas Evaluar a) 2(7x � 8) � 3(5 � x), cuando x � 2 b) (x � 1)/5y, cuando x � 4, y � 5 c) x2 � 4x � 5, cuando x � 10 Solución a) 2(7x � 8) � 3(5 � x) Escribe la expresión � 2(7(2) � 8) � 3(5 � 2) Sustituye x por 2 � 2(14 � 8) � 3(3) Realiza operaciones y simplifica � 21 Valor de la expresión 13Grupo Editorial Patria® Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. Cuando en una expresión algebraica reemplazas la(s) variable(s) por un valor, obtienes una expresión numérica. expresión algebraica expresión numérica 2. El valor de una expresión algebraica pue- de ser un número entero o con frac ciones. 3. En una expresión algebraica una misma variable puede aparecer con diversas po- tencias. Verifica tu avance Escribe un modelo para el doble y otro para el cuadrado de un mismo número. a) ¿Son iguales o distintos? ¿Por qué? b) Comprueba con diversos números. Ejemplo 2 Recuerda 1. El orden de los términos en las sumas y multiplicaciones puede cambiarse sin que afecte el resultado. Así, es lo mismo 5x que x(5); 12.50y que y(12.50); 5x � 12.50 y que 12.50 y � 5x 2. Puedes usar cualquier letra como variable (a, m, n, s, t, v, z…) no necesariamente x, y. Verifica tu avance ¿Por qué se requieren dos variables distintas en el modelo del ejemplo 2? Observaciones importantes Los valores en el interior de la tabla están dados en pesos ($). Así, el valor 55 indica un monto de $55.00 y corresponde a 2 hela- dos de yogur y 2 de crema. Es el valor del modelo 5x � 12.50y para x � 2, y � 2. b) (x � 1) /5y Escribe la expresión � (4 � 1)/5(5) Sustituye x por 4 y y por 5 � 5/25 Realiza operaciones y simplifica � 1/5 � 0.20 Valor de la expresión c) x2 � 4x � 5 Escribe la expresión � � � � 102 � 4(10) � 5 Sustituye x por 10 � � � � 100 � 40 � 5 Realiza operaciones y simplifica � � � � 135 Valor de la expresión Ejemplo 2 Álgebra en acción: Fuente de sodas Trabajas en una fuente de sodas y vendes helados de yogur a $15.00, y de crema a $12.50. a) Escribe un modelo para calcular el precio de las ventas de ambos productos. b) ¿Cuánto te pagarán por 4 helados de yogur y 3 de crema? c) Haz una lista de cobros hasta un máximo de cinco hela- dos de ambos tipos. Solución a) Modelo verbal: Número de helados de yogur Precio del helado de yogur Número de helados de crema Precio del helado de crema � � Introduce variables: x � Número de helados de yogur; y � Número de helados de crema Escribe la expresión algebraica: 15x � 12.50y Modelo algebraico b) Calcula el valor de la expresión algebraica para x � 4, y � 3. 15x � 12.50y � 15(4) � 12.50(3) � 97.50. El pago será de $ 97.50. c) Halla el valor del modelo para cada combinación de valores de la tabla. y Helados de crema x H el ad o s d e y o g u r 0 1 2 3 4 5 0 0 12.50 25 37.50 50 62.50 1 15 27.50 40 52.50 65 77.50 2 30 42.50 55 67.50 80 92.50 3 45 57.50 70 82.50 95 107.50 4 60 72.50 85 97.50 110 122.50 5 75 87.50 100 112.50 125 137.50 BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos14 Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. Las fórmulas de las distintas ciencias son modelos ya hechos para ciertas situacio- nes. 2. d � vt significa: distancia � velocidad � tiempo 3. Puedes hallar el valor de cual- quiera de estas variables conocien do el de las otras dos. Recuerda 1. Horas Minutos � 60 � 60 4 min � (4 � 60) h � 4 60 h 1 h � 20 min � 1 h � 20 60 h � � � � 1 � 1 3 � � � h � 4 3 h. 2. Puedes multiplicar o dividir* ambos la- dos de cualquier igualdad por un mismo número (*no cero) y la igualdad perma- nece. Ampliando el conocimiento 1. Los trenes de alta velocidad iniciaron con las lentas locomotoras de carbón y vapor que cambiaron después a trenes rápidos de diesel y derivaron en los actuales vehícu- los aerodinámicos con tecnología eléctrica y levitación magnética. 2. Los trenes eléctricos recientes, origina- dos con el tren bala en Japón en la segun- da mitad del siglo pasado, han alcanzado velocidades de hasta 300 kph. 3. Los trenes de levitación magnética (como el Maglev-Transrapid que opera en China) se deslizan flotando de 1 a 10 cm sobre la vía, mediante un sistema de suspensión y propulsión electromagnética. 4. El principio físico con que opera este tren es la repulsión entre polos magnéticos iguales, mediante electroimanes en el tren y en los muros laterales de la pista, que alternan su polaridad. 5. Al igual que los aviones revolucio- naron el transporte en el siglo xx, se considera que los trenes de alta velo- cidad serán el trans- porte del siglo xxi. Ejemplo 3 Fórmulas como modelos matemáticos Los trenes de alta velocidad, como el tren de levitación mag nética, han logrado desarrollar velocidades de hasta 500 kiló metros por hora. Un tren convencional alcanza, a lo sumo, 180 km/h. a) El tren de alta velocidad que une el aeropuerto de Pu- dong con la ciudad de Shangai hace 8 minutos de reco- rrido. ¿Qué distancia cubre el tren, si yendo a 450 km/h haría 4 minutos de recorrido? b) ¿Cuánto tiempo tomaría el recorrido anterior en un tren convencional? c) ¿Qué velocidad promedio mantiene un tren europeo de alta velocidad que cubre en 1 hora 20 minutos un trayecto de 400 km entre dos ciudades? Solución a) d � v t Escribe el modelo d � � � � 450 km h � � � � � � 4 60 h � � � Sustituye v por 450 km h ; t por 4 60 h d � 30 km Simplifica La distancia entre el aeropuerto y el centro de Shangai es de 30 km. b) Omitimos las unidades (sabiendo que son km, km/h y h). d � v t Escribe el modelo 30 � 180 t Sustituye d por 30; v por 180 0.17 � t Divide ambos lados por 180 Tardaría 0.17 horas, es decir, 0.17 � 60 minutos � 10 minutos. c) d � v t Escribe el modelo 400 � v � � � 4 3 � � � Sustituye d por 400; t por 4 3 1,200 � 4v Multiplica ambos lados por 3 300 � v Divide ambos lados por 4 La velocidad promedio de este tren de alta velocidad es de 300 km/h. En los ejercicios 1 a 4 asocia cada expresión con su descripción. 8a 6 � x 6/a x � 8 1. La suma de un número y 8 2. La diferencia de 6 y un número 3. Un número multiplicado por 8 4. 6 dividido entre un número En cada ejercicio del 5 al 10 escribe una expresión algebraica. 5. El doble de un número 6. El triple de un número 7. Un tercio de un número 8. La quinta parte de un número 9. Tres veces un número 10. Un número entre 3 Autoevaluación 1B 15Grupo Editorial Patria® Francisco Vieta 1540 – 1603 Abogado francés, es recordado por descifrar códigos secretos españoles durante la guerra sostenida entre Francia y España en el siglo xvi, y reconocidocomo el padre del álgebra moderna por introducir signos para las ope- raciones y letras para representar números (variables). Sugerencias para la autoevaluación 1B 18. Reemplaza los valores dados. Simplifica el denominador y multiplica por este valor ambos lados de la igualdad. (G = juegos ganados, T = juegos jugados, C = carre- ras anotadas y c = carreras permitidas.) 19. Escribe el producto de n por dos. ¿Qué entero le sigue? 20. Revisa al inicio de la sección las expresio- nes para las operaciones. ¿Qué produce el producto de un número por él mismo? 21. Usa una variable distinta para cada ve- locidad. Relaciona los datos numéricos mediante restas, sumas o multiplicacio- nes. Hay varias alternativas (p. ej., y � x � 110). En los ejercicios 11 a 14, asocia ambas columnas. 11. x � 2x � 3x a) El cuadrado de la suma de dos números 12. 4(x/3) b) La suma de un número con su doble y con su triple 13. (x � y)2 c) La diferencia de los cuadrados de dos números 14. x2 � y2 d) Cuatro veces la tercera parte de un número En los ejercicios 15 a 17 evalúa la expresión para el valor dado. 15. (x � 9)(x � 4); x � 4 16. (5x3 � 1)/x2; x � 2 17. x2 � 2xy � y2; x � 2, y � 2.5 18. Juegos ganados en el beisbol Obtén el valor del modelo para la variable indicada. G � TC 2 C 2 � c 2 ; G � 25, C � 63, c � 51. 19. Pares e impares Al multiplicar un entero por el número 2 se obtiene un nú- mero par. El entero que sigue a un par es un número impar. Si n es un núme- ro entero, escribe un modelo algebraico para números a) pares; b) impares; c) calcula seis valores numéricos para cada expresión. 20. Área Escribe la expresión algebraica. x − 1 π veces el radio por el radio 21. Autos Escribe un modelo algebraico que indique la relación entre la velo- cidad máxima promedio de un auto de carreras (350 km/h) y la de un auto ordinario (240 km/h). 22. Patines Describe con un modelo verbal y otro algebraico lo siguiente: El costo de unos patines menos 20% de éste es igual a $825. BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos16 Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. Desarrollo Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad. Indica el promedio de duración de las computadoras portátiles y el costo anual de la inversión en dichos equipos. Presenta todos los pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados. Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad. No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles o el costo anual de la inversión en dichos equipos. Presenta todos los pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados. Reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad. No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles ni el costo anual de la inversión en dichos equipos. Omite algunos pasos para calcular el precio de la computadora personal con el aumento y la rebaja especificados para los tres casos indicados. No reporta el precio actual de las computadoras portátiles en su localidad. No indica el promedio de duración de las computadoras portátiles ni el costo anual de la inversión en dichos equipos. Sólo presenta resultados del precio de la computadora sin dar ninguna justificación. Dominio del tema Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común. Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y aplica éstos para predecir resultados. Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común. Usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos pero no sabe aplicar éstos para predecir resultados. Maneja correctamente porcentajes en forma decimal y de fracción común. No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos, pero sí sabe aplicar éstos para predecir resultados. No maneja correctamente porcentajes en forma decimal ni de fracción común. No usa correctamente variables en la elaboración de modelos algebraicos y no sabe aplicar éstos para predecir resultados. Iniciativa Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% justificando todos los pasos de su procedimiento. Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica algunos pasos de su procedimiento. Determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a% pero no justifica su procedimiento. No determina el modelo algebraico para los casos de un aumento y descuento de 25% y de a%. Resultados y conclusiones Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas. Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja. Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para dos de las tres situaciones indicadas. Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja. Determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados sólo para una de las situaciones indicadas. Concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja. No determina correctamente el precio de la computadora con el aumento y el descuento especificados para las tres situaciones indicadas. No concluye correctamente si es mejor comprar la computadora antes de que aumente de precio o cuando aplique la rebaja. Rúbrica Acerca de las rúbricas de evaluación Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación. Cuando son de carácter general se denominan “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”. Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán para efectos de evaluación. Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por niveles de desempeño de los alumnos. Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Tu computadora personal” del Bloque 1B. Nombre del alumno: Instrumentos de evaluación 17Grupo Editorial Patria® Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Cambios climáticos” del Bloque 1A. Dominio del tema SÍ NO Observaciones 9. Sabe obtener equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de medidas de capacidad, peso y volumen en el Sistema Métrico Decimal. 10. Sabe calcular la altura de un prisma sabiendo su volumen y su área. 11. Sabe calcular el peso de un volumen dado de agua y viceversa. Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 12. Calculó correctamente la altura en cm que alcanzaría el agua por cada m2 de superficie. 13. Comparó correctamente la altura calculada de la capa de agua con la altura del MonteEverest. 14. Concluyó correctamente si es posible que ocurra una catástrofe como el Diluvio Universal. Desarrollo SÍ NO Observaciones 5. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 6. Elaboró un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capacidad, peso y volumen. Iniciativa SÍ NO Observaciones 7. Investiga sobre el Diluvio Universal y otras catástrofes en la antigüedad causadas por inundaciones pluviales. 8. Confirma en libros de Física o por Internet el contenido de agua de una columna de 1 m2 de aire atmosférico e indica la fuente. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Lista de cotejo BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos18 No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Calcula cuántas calorías se pierden por minuto al caminar. 2 Calcula cuántas calorías se pierden por minuto al andar en bicicleta. 3 Obtiene un modelo algebraico para determinar el número de calorías quemadas al caminar y andar en bicicleta. 4 Calcula correctamente el número de calorías quemadas al caminar por una hora y después andar media hora en bicicleta. 5 Elabora una tabla con diversas combinaciones de ambos ejercicios (caminar y andar en bicicleta) que sumen una hora y media en intervalos de quince minutos. 6 Describe las regularidades que observas en renglones y columnas de la tabla. 7 Calcula correctamente el número de calorías quemadas para 15 minutos de caminata y 105 minutos de andar en bicicleta. *No aplica. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Resolución de problemas aritméticos y algebraicos básicos. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. Guía de observación para el proyecto de trabajo “Calorías y ejercicio” del Bloque 1B 19Grupo Editorial Patria® Propósito del portafolio de evidencias Semestre Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensa- miento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Números de bloques del libro Asignatura Nombre del estudiante: Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante: ¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias Comentarios del profesor/a: Núm. Título Fecha de elaboración 1 2 3 4 5 Etapas para realizar tu portafolio de evidencias 1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re- lación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro- llar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre). 2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccio- nar tus evidencias de aprendizaje. 3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas. Instrucciones para seleccionar las evidencias 1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras. 2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compe- tencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexio- nar sobre ello. 3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósi- to del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación. El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en: Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparati- vos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso. No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje; Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Portafolio de evidencias BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos20 Estructura 1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna 5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido 8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias 13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad 16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una X, en cada espacio en donde se presente el atributo. Tabla o lista de cotejo 21Grupo Editorial Patria® Contenido 1. Desarrolla los puntos más importantes del tema. 0 1 2 3 2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión. 0 1 2 3 3. La información es concisa. 0 1 2 3 Coherencia y organización 4. Relaciona los conceptos o argumentos. 0 1 2 3 5. Presenta transiciones claras entre ideas. 0 1 2 3 6. Presenta una introducción y conclusión. 0 1 2 3 Aportaciones propias 7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema. 0 1 2 3 8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos. 0 1 2 3Habilidades expositivas 12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo. 0 1 2 3 13. Muestra constante contacto visual. 0 1 2 3 14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos. 0 1 2 3 Total Puntaje total Material didáctico 9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema. 0 1 2 3 10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia. 0 1 2 3 11. Se apoya en diversos materiales. 0 1 2 3 La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de evaluación del Aprendizaje. DGB, 2011). Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser adaptado a las necesidades específicas de cada tema. Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre pre- senta el atributo. �������� ����� ���� � Utilizas magnitudes y números reales Competencias a desarrollar n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de tasas, razones, proporciones y variaciones, situados en situaciones reales. n Formula y resuelve problemas matemáticos relacionados con los números reales, aplicando diferentes enfoques. n Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con situaciones reales, tales como problemas sobre la discriminación en México. n Analiza las relaciones entre los diferentes tipos de números. n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos relacionados con la representación y operación de los números reales. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades que emplea al trabajar en equipo para la elaboración de materiales didácticos en donde identifican los números reales. 2B LO Q U E Objetos de aprendizaje Números reales, representación y operaciones Tasas Razones Proporciones Variaciones 6 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. n Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales. n Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa. n Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las propiedades de los números reales. ¿Qué sabes hacer ahora? Un número real no es otra cosa que un cociente de magnitudes. A. Kolmogorov Un mito del antiguo Egipto refiere una lucha entre Horus y Seth, ambos hijos de Osiris e Isis, cuya consecuencia es que Toth, dios de la ciencia y de la magia, le restituye a Horus un ojo perdido en el combate. El Ojo de Horus es aún hoy un amuleto en el mundo musulmán y, en la antigüedad, sirvió también como medio de numeración en el que cada parte del ojo constituía una fracción de heqat (4.8 litros), medida de capacidad empleada para el comercio de volúmenes de cereales como el trigo y la cebada. 1 2 1 16 1 8 1 8 1 4 1 4 1 64 1 64 1 32 1 32 BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales A2BLOQUE 24 Conocimientos Valor absoluto La distancia de un número al origen, es su valor absoluto. �4 �2.5 0 2.5 4 � ��4� � 4 �0� � 0 �4� � 4 � ��2.5� � 2.5 �2.5� � 2.5 Números con signo Sumas o restas 3 � 5 � 8 Suma valores absolutos y pon signo común � �3 �5 � �8 Recuerda: �3 �5 � �3 � (�5) Multiplicaciones o divisiones 4(5) � 20 (�4) (�5) � 20 Signos iguales: producto positivo Signos distintos: producto negativo 4 (�5) � �20 (�4) (5) � �20 Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Los números reales Adición y sustracción de números reales Multiplicación y división de números reales En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm Situación didáctica Husos horarios Existen veinticuatro zonas horarias (husos) en el mundo, que se numeran a partir del Meridiano de Greenwich (0). De una a otra, difieren en una hora. Lí ne a in te rn ac io na l d e ca m bi o de fe ch a 9:30 Ecuador Trópico de Cáncer Trópico de Capricornio Océano Pacífico Océano Atlántico Océano Índico 0° N S EO La tabla muestra el número de huso para algunos países o regiones. Nuestro país posee tres zonas horarias. ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA Golfo de MéxicoOCÉANO PACÍFICO N S EO Centro Montaña Pacífico País Hora local País Hora local Perú �5 México �6 Italia 1 EUA �8 India 5 Japón 9 Brasil �3 Australia 10 ¿Cuántas horas de diferencia hay entre México y Greenwich? ¿Y entre México y Japón? ¿Y entre Perú y EUA? ¿Cuál es la hora en nuestro país, cuando en Londres son las 10:00 a.m.? ¿Y en los demás países que aparecen en la tabla? ¿Qué hora es en Los Mochis y en Mérida, cuando en Ensenada son las 9:45 a.m.? Sin mirar el mapa de husos horarios, ¿cuál es el huso de Alaska, si el número de huso de Perú es la mitad de aquél? ¿Qué hora es en Alaska, cuando en Perú son las 8:12 p.m.? Análisis de la situación 1. Los husos horarios son 24 divisiones en forma de gajo o huso de hilar, centrados en meridianos de 15° de longitud. 2. El huso horario centrado en el meridiano de Greenwich, en Londres, es el refe- rente para el Tiempo Universal Coordinado (UTC). Se suma 1 hora de un huso al siguiente en la dirección en que gira la Tierra (Oeste-Este) y se resta en la direc- ción contraria. 3. ¿Qué signo tienen los husos horarios de países al Este y al Oeste de Greenwich? ¿Qué indica el número del huso horario de un lugar? 25Grupo Editorial Patria® Rúbrica de evaluación 1. Elabora un reporte sobre el desarrollo de la secuencia didáctica y acompaña cada respuesta con las operaciones realizadas con números reales. 2. Explica por qué se suman o restan horas hacia el Este o el Oeste; el significado de los signos en los husos horarios y el del valor absoluto de un número. 3. Ejemplifica cómo emplear los husos ho- rarios para determinar la hora local de un lugar a partir de la de otro. 4. En la evaluación sumativa debes mostrar tu dominio al operar números con signo y fracciones comunes y/o decimales. País Capital Mínima Máxima Austria Viena �4 25 España Madrid 2 31 Estonia Tallin �10 20 Francia París 0.8 25 Grecia Atenas 6 33 Noruega Oslo �7.3 21 Polonia Varsovia �6 24.5 Reino Unido Londres 2 22 Secuencia didáctica 1. El huso horario del Centro de México, �6, indica que la hora en esa zona del país es 6 horas menos que la de Greenwich. Los husos horarios de la Montaña y del Pacífico son ____________ y ____________ e indican que están ____________ y ____________ horas antes que la hora de Greenwich. 2. En términos absolutos, entre México y Japón existen ��6 ��9� � ��15� � _______ horas de diferencia. Contadas desde cada país, de México a Japón hay 9 � (�6) �� __________ horas de diferencia, y de Japón a México (�6) ��9 � _________ horas de diferencia. Entre Perú y EUA existen ��5 ��( )� � � � � _______ horas de diferencia. 3. Siendo las 10 a.m. en Londres, en México (hora central) son las 10 � (�6) � 4 a.m.; en Perú:10 � ( ) __________ � __________ a.m.; en Italia: 10 � ( ) ��________ a.m.; en Brasil: 10 � ( ) � _________ a.m.; en EUA: 10 � ( ) � _________ a.m.; en Japón: 10 � ( ) � __________ horas; en Australia: __________ horas. 4. Ensenada, BajaCalifornia, zona Pacífico: 9:45 horas; Los Mochis, Sinaloa, zona de la Montaña: 9:45 (�/�) __________ (1;2) ��__________ horas; Mérida, Yuca- tán, zona __________ , 9:45 (�/�) __________ (1;2) � __________ horas. 5. Usos horarios: Perú: ( ); Alaska: 2 � ( ) ��__________ . La diferencia de Perú a Alaska es ( ) � ( ) � horas. Siendo las 8:12 p.m. en Perú, en Alaska serán las 8:12 � � __________ (p.m./a.m.). Proyecto de trabajo 1. Hora local de arribo Saliste a las 7:35 a.m., en avión, de Tijuana a la ciudad de Campeche. ¿Cuál fue la hora local de arribo a esta ciudad, si tu viaje registró los tiempos mostrados en la tabla? Tiempo de vuelo Tijuana-México Espera en el aeropuerto de la ciudad de México Tiempo de vuelo México-Campeche 1 3 4 hora 20 minutos 1 1 4 hora 2. Temperaturas en Europa La tabla muestra las temperaturas (°C) mínima (mes de enero) y máxima (mes de julio) en las capitales de algunos países europeos. a) ¿Cuál país es más frío? b) ¿Hace más frío en Austria que en Polonia? c) Representa las temperaturas mínimas de menor a mayor en una gráfica de barras y en una recta numérica d) ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas bajo cero? e) ¿Cuánto difieren las temperaturas extremas en cada país? BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales26 Segmento informativo 2A Fíjate en lo siguiente... 1. Los números reales se pueden describir como: a) Todos los números con signo (enteros o con fracciones). b) Los números racionales e irracio- nales. 2. Es posible distinguir un racional de un irracional mediante su escritura decimal: Un número Racional: tiene fracción decimal periódica 125 � 1.250 � 1.249, 4 � 4.0 � 3.9 Irracional: su fracción es no periódica � 2 � 1.41421..., π � 3.14159... Verifica tu avance Dos números simétricos: ¿Poseen signos dis- tintos? ¿Tienen igual valor absoluto? Observaciones importantes En la recta numérica: 1. El punto es la gráfica del número, y éste es la coordenada del punto. 2. Punto y número se usan como sinónimos. 3. Graficar el número es ubicar el punto. 4. Los números se ordenan como sigue: Todo punto a la derecha de otro representa un número mayor ( ). −3 −2 −1 0 1 32 −1 es mayor que −3 −1 > −3 2 es mayor que −1 2 > −1 Verifica tu avance ¿Por qué todo número positivo es mayor que cualquier número negativo? Los números reales Los números que se utilizan en álgebra son los números reales. Éstos son el cero y todos los números positivos y negativos. �2, 7, 1.25, 0.16, � 2 , ��π � 3.14159... Los números reales pueden dibujarse como puntos sobre una recta llamada recta numérica. Los puntos representan números negativos si están a la izquierda del punto marcado 0 (origen), y positivos si están a su derecha. Mediante divisiones iguales se sitúan los enteros y entre éstos, las fracciones � �2 �1 3 ��0.5 4 ��0.3 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5 Los números simétricos: tienen igual distancia al origen. �3 y 3, �� 2 y � 2 , �0.4 y 0.4 El valor absoluto ��� del número es su distancia al origen. �3� ��3, ��3��� 3, �0� � 0 Los números reales están formados por dos tipos de números: Números racionales Números como 3.5 � 7 2 , �2 ��� 8 4 , 5 � 5 1 , que se escriben como razón de dos enteros. Números irracionales Números como � 2 , �� 5 , 1 � 2 , que no pueden escribirse como razón de dos enteros. Los racionales contienen a los naturales y a los enteros y, por supuesto, a todas las fracciones comunes. Ejemplo 1 Ordenando números reales Grafica los siguientes números y determina el orden entre ellos. a) 1, � 2, 0, ��6 b) � � 2 , 1 3 4 , � 2.5, 4 5 Solución a) −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 1 0 � 2 � 6 b) �2.5 −3 −2 −1 0 1 2 −√ _ 2 = −1.4 3 3 1– = 1 + – 4 4 4 – = 0.8 5 1 3 4 4 5 �� 2 � 2.5 Inicial 27Grupo Editorial Patria® Ejemplo 1b) Observaciones importantes 1. Mediante divisiones de la unidad (de 10 en 10 en el sistema decimal —sucesivas—, u otras divisiones: cuartos, tercios, etc.) ubicas racionales que consideras como un irracional (�1.4, �1.41, �1.414 son aproximaciones a �� 2 ). 2. A veces las fracciones decimales sólo aproximan fracciones comunes � � 1 3 0.3 � � � . Simétricos El simétrico de un número se obtiene cambiándole el signo al número. Verifica tu avance Escribe una lista de cinco enteros sucesivos a partir del cero, y sus simétricos. Ordénala. Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... Todo número negativo está a la izquierda del 0, es decir, es menor que 0: x � 0. Un número es mayor que otro si al restarle este último se obtiene un número positivo: 7 3 porque 7 � 3 0. Verifica tu avance ¿Cuál es el simétrico de x?, ¿y el de �x? Evalúa cada una de estas expresiones para valores positivos y negativos de la variable. ¿Qué observas sobre el signo � ? ¿Cuál es el simétrico del 0? ¿Por qué? Observaciones importantes 1. Un signo � delante de una variable no in- dica necesariamente un valor negativo. Si x � � 5 entonces su simétrico �x � 5. 2. Para indicar que una variable x represen- ta un número positivo, o uno negativo, lo correcto es ubicarlo respecto a 0: x 0 ( positivo); x � 0 (negativo) Ejemplo 2 Simétricos y distancias al origen Encontrar el simétrico de cada número y su distancia al origen. a) � 4 b) 2.5 c) ��22 7 Solución Simétrico Distancia al origen a) 4; � � 4� � 4 b) � 2.5; � 2.5� � 2.5 c) 22 7 ; ���22 7 � �� 22 7 � 3.1 3.1�3.1 42.5−2.5 0−4 Ejemplo 3 Identificando números reales Determinar cuáles números son racionales y cuáles irracionales. a) � 25 b) ��4.9 3 c) � 5 Solución a) Racional b) Racional c) Irracional � � � 25 � 5 ��4.9 3 � �� 49 30 � 5 � 2.23607… Ejemplo 4 Modelando con desigualdades y variables Decir 4 es mayor que 3, equivale a decir 3 es menor que 4. Usando variables y los signos de desigualdad mayor que ( ) y menor que (� ), indica cuándo: a) Un número es negativo. b) Un número es positivo. c) Un número es mayor que otro. Solución a) x � 0 b) x 0 c) x y. También: x � y 0. Ejemplo 5 Temperaturas en el país Una de las regiones más frías del país se localiza en el estado de Chihuahua, en el municipio de Temósachic donde la temperatura llega a alcanzar en invierno medicio- nes bajo cero, como muestra el registro de normales climatológicas. a) Ordénalas de menor a mayor. b) ¿Cuál fue la menor temperatura registrada? c) ¿Cuál la mayor? BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales28 Periodo: 1961-1990 (ºC) Ene Fbo Mar Abr May Jun �10.2 ��9.8 ��6.4 ��3.8 ��0.5 ��0.5 Jul Ago Sep Oct Nov Dic 10.7 9.6 6.6 ��2.3 ��6.9 ��9.1 Solución a) �10.2 � �9.8 � �9.1 � �6.9 � �6.4 � �3.8 � �2.3 � �0.5 � 6.6 � 9.6 � 10.7. b) La temperatura promedio más baja en 30 años fue �10.2 °C, en enero. c) En los meses de julio se obtuvo la temperatura promedio más alta: 10.7 °C. Ejemplo 6 Viaje en globo aerostático Durante un viaje promocional de media hora en globo aerostático, el piloto les indica cuánto suben o descienden para encontrar las corrientes apropiadas de aire. La gráfi- ca muestra tales fluctuaciones. Tiempo (minutos) 0 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y x 10 11 13 20 22 24 25 2719.5 30 Al tu ra ( m et ro s) 1 1 00 4 9 6.5 7.25 4.5 4.5 7.5 7 5.5 5.5 3 a) Describe la variación vertical en cada intervalo de ascenso o descenso del globo, distinguiendo la dirección. b) Ordena los datos por tipo de movimiento vertical. En las fluctuaciones, ¿cuál ascenso fue mayor? ¿Cuál el mayor descenso? c) En todo el viaje, ¿qué hiciste más: subir o bajar? Solución a) Ascenso: 400, 600, 75, 300. Descenso: �100, ��250, ��275, �50, �150, ��550. b) 75 � 300 � 400 � 600; �550 � � 275 � ��250 � �150 � �100 ���50. Mayor ascenso: �600� metros. Mayor descenso: ��550� � 550 metros. c) Descendiste más veces, pero subiste en total 1,375metros y bajaste �1,375. Como �1,375� � ��1,375�, descendiste lo mismo que ascendiste. Ejemplos 5 y 6 Fíjate en lo siguiente... 1. En problemas prácticos los números con signo sirven para denotar sentidos o direc- ciones opuestas (pérdida/ganancia, etc.). 2. Se aplica valor absoluto a una cantidad si nos interesa su magnitud (no su sentido). Así, en física, el valor absoluto de la veloci- dad es la rapidez, y en matemáticas, el va- lor absoluto de la longitud es la distancia. Ampliando el conocimiento 1. Los globos aerostáticos iniciaron en el siglo xviii en Francia con los herma- nos Montgolfier, que hi- cieron ascender con gas un globo de papel. Los prime- ros pasajeros, al año, fueron un gallo, un pato y una ove- ja, colocados en un cesto. 2. Introduciendo gas caliente con un que- mador, se logra que el peso del globo sea menor que el del aire que desplaza (fuerza de flotación) y que suba, según el principio de Arquímedes. 3. Los globos aerostáticos viajan con las corrientes de aire; para ello varían su al- tura activando o desactivando el quema- dor de gas. 4. Constituyen el antecedente de los dirigibles con motor que en el siglo xx iniciaron los vuelos aéreos de pasajeros (1900-1937). 5. Actualmente los globos aerostáticos se usan para diversión, deporte, publicidad y televisión. Importantes compañías pla- nean adaptarlos como transporte y grúas de carga. Arquímedes de Siracusa 287 � 212 a.C. Considerado uno de los más grandes inven- tores y científicos de la historia, descubrió el principio de flotación de los cuerpos: En los ejercicios 1 a 6 responde cada pregunta, argumentando. 1. ¿Los números enteros son 2. ¿Podrías decir que un número irracional números racionales? es un número que no es racional? 3. ¿Es racional 6.03 2.7 ? 4. ¿Es � 36 un número irracional? 5. ¿Es posible que x x2? 6. ¿Es todo número positivo mayor que 0? Autoevaluación 2A 29Grupo Editorial Patria® El peso que pierden al sumergirse es igual al del líquido que desalojan. Inventó torni- llos, grúas con poleas y palancas, y artefactos bélicos (catapultas; espejos incendiarios) y aportó estudios sobre el cálculo de volúme- nes y áreas de cuerpos redondos, como la es- fera y el cilindro. Sugerencias para la autoevaluación 2A 1 a 6. Revisa el inicio de este segmento infor- mativo y el ejemplo 3. 5. Prueba con negativos y con fracciones. 9. Dos formas: 1. divide la unidad en cuartos; 2. escríbelo en forma decimal. 10. Tres formas 1. pásala a fracción común y divide en quintos; 2. divide en quintos la unidad entre 6 y 7; 3. pásala a decimal. 13. Conviértelo a fracción decimal. Revisa el Apéndice al final del libro. 14 a 16. Obtén primero los valores absolutos. 18 a 20. Revisa conversión de fracciones en el Apéndice al final del libro. 21. Compara su forma decimal. (Para otras formas, consulta el Apéndice al final del libro.) 22. No negativos: son el 0 y los positivos. 23. a) Divide entre 10; b) Resta lo anterior de 127 m. Asigna sentidos y signos. 24. b) y c) La escala en la regla es auxiliar. Pitágoras de Samos 582 � 507 a.C. Fundó una secta místico-religiosa, basada en la aritmética y la geometría, que descubrió —y prohibió divulgar— que había segmentos que no podían ser medidos exactamente por otros segmentos, por más que éstos se subdivi- dieran en partes muy pequeñas. Les llamaron inconmensurables y dieron origen, siglos más tarde, a los modernos números irracionales. En los ejercicios 7 a 12 ubica en una recta los números y halla el simétrico. 7. �10 8. 3 9. 1 4 10. 6 1 5 11. ��7.3 12. � � 4 13. ¿Cuántas veces debes subdividir de 10 en 10, para representar 7/4 mediante una fracción decimal? Hazlo. En los ejercicios 14 a 16 obtén el resultado de cada operación. 14. �6� � �5� 15. ���6� � �5� 16. ���6� � ���5� En los ejercicios 17 a 20 expresa cada racional como razón de dos enteros. 17. 11 18. 0.75 19. �4.753 20. �6.2323… 21. Ordena los siguientes números y ubícalos en la recta numérica. a) �0. 72 b) ��8 3 c) ��52 3 d) � � 3 22. Ubica en una recta los números reales a) no negativos, b) no positivos, c) mayores que 2, d) mayores o iguales que 2. 23. Ártico Los icebergs son grandes bloques de hielo que flotan a la deriva parcialmente sumergidos en las frías aguas de los polos y alcanzan dimensiones de varios kilóme- tros. El iceberg de la fotografía muestra sobre la superficie del océano la décima parte de su altura de 127 m. Mediante nú- meros con signo distingue las longitudes de las partes a) exterior y b) sumergida. 24. Flotación Aunque tengan el mismo peso, la forma de los objetos determina el nivel de flotación de los mismos, como muestra la caja de vidrio. Para una escala de flota- ción el 0 es el nivel del agua. Expresa las medidas de: a) La altura del agua en el recipiente. b) Las alturas sobre el nivel de flotación. c) La longitud de la parte sumergida. 40 30 20 10 0 BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales30 Segmento informativo 2A Adición y sustracción de números reales En la recta numérica puedes sumar números con signo. Ubica uno de los puntos. De allí avanzas una longitud igual a la del otro número, a la derecha si éste es positivo o a la izquierda si es negativo. −5 −4 −3 (−3) + 5 5 + (−3) −2 −1 0 1 2 3 4 5 Si vas a sustraer dos números procedes igual: Sustracción Para sustraer b de a, suma el simétrico de b a � b � a � (�b) Así, toda sustracción es en realidad una suma: 5 � 2 � 5 � (�2); 8 � (�3) � 8 � 3; �10 � (�1) � �10 � 1 Las sumas en la recta numérica conducen a las dos siguientes reglas: Suma de números con signo 1. Si los números poseen signos iguales se suman sus valores absolutos y se pone el signo común. 2. Si poseen signos distintos se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto. Así: 3 � 4 � 7; ��3 ��4 � ��7 Regla 1 En cambio, 3 � (�2) � 1; ��3 � 2 � ��1 Regla 2 Ejemplo 1 Sumando en la recta numérica Realiza las siguientes adiciones en la recta numérica. a) 2 � (�6) b) �1.5 � 3.5 c) �5 � (�4) Solución a) 2 � (�6) � �4 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −6 +2 b) �1.5 � 3.5 � �1.5 � (� 3.5) � �5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −3.5 −1.5 c) � 5 � (� 4) � � 5 � 4 � � 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 +4 −5 Fíjate en lo siguiente... 1. El orden en que ejecutas la suma no afec- ta el resultado (es la propiedad conmu- tativa), es decir, a � b � b � a. 2. Para sumar varios números, los asocias de dos en dos (ésta es la propiedad aso- ciativa). a � b � c � (a � b) � c � a � (b � c). Verifica tu avance ¿Qué ocurre cuando sumas el 0? (propie- dad del neutro aditivo). ¿Qué ocurre si sumas dos simétricos? (propiedad del inverso aditivo). Describe con una expresión algebraica estas otras dos propiedades de la adición. 3. La propiedad de cerradura indica que la suma y los sumandos pertenecen al mismo conjunto o tipo de números. Verifica tu avance 3 � 5 es un natural, lo mismo que 3 y 5. ¿Ocurre lo mismo con 3 � 5? ¿Y con 3 � 3? Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. La resta se interpreta como suma en los incisos b) y c). 2. Esto equivale, cuando hay dos signos � seguidos, a cambiarlos por un signo � (como ocurre en el inciso c). 3. Si hay un solo signo � entre ambos núme- ros (como en el inciso b), puede conside- rarse, por la misma razón anterior, como signo del segundo número. Intermedio 31Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Usando reglas y propiedades de la adición Efectúa las sumas siguientes. a) 3 � (�12) � 7 � 10 b) ��1 6 ��1 2 Solución a) 3 � (�12) � 7 � 10 Escribe la expresión � 3 � 12 � 7 � 10 Cambia � (�12) por � 12 � 15 � 17 Suma positivos y suma negativos � � 2 Resta; signo negativo (17 15) b) ��1 6 ��1 2 Escribe la expresión ���� � � 1 6 ��1 2 � � � Suma valores absolutos; antepón signo común ����2 3 Sumafracciones y simplifica Ejemplo 3 Piñatas navideñas En un negocio familiar de piñatas navi- deñas, las producciones y ventas en las últimas cinco semanas del año presen- taron los movimientos que se muestran en la tabla. Piñatas Semanas 1 2 3 4 5 Elaboradas 33 24 61 40 38 Vendidas 19 37 62 43 31 a) ¿Qué existencias hubieron al final de cada semana? b) ¿Hubo alguna semana donde la de- manda superó las existencias? c) ¿Quedaron piñatas al final de la temporada? Solución a) Piñatas elaboradas Saldo anterior Vendidas Saldo semanal� � � Piñatas Semanas 1 2 3 4 5 Elaboradas 33 24 61 40 38 Vendidas �19 �37 �62 �43 �31 Saldo 14 1 0 �3 4 b) En la cuarta semana quedaron pendientes de entregar tres piñatas. c) Cuatro piñatas. Ejemplo 2a) Observaciones importantes 1. En la práctica, para sumar números con signo es útil sumar por un lado positivos y por otro negativos. 3 � 12 �7 � 10 � � 15 �17 2. Este proceso puede realizarse mental- mente o por escrito. En este último caso puede optarse por abreviar pasos (como se hizo) o por explicitar las reglas y pro- piedades: 3 � 12 � 7 � 10 � � � 3 � 12 � (�7) � (�10) Sustracción � � � (3 � 12) � (�7 � (�10)) Asociatividad � � � 15 � (�17) Regla 1 � � � � 2 Regla 2 Ejemplo 2b) Fíjate en lo siguiente... 1. Como ��1 6 ��1 2 �� � � ��1 6 � � � �� � � ��1 2 � � � , ��1 6 ��1 2 es la suma de dos negativos. 2. Por esta razón usas la regla 1 al sumarlos. Recuerda Para sumar fracciones iguala denominadores: 1 6 ��1 2 ��1 6 ��3 6 ��4 6 � �� � Fracción equivalente Simplifica el resultado: 4 6 �� 2/ � 2 2/ � 3 ��2 3 . BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales32 Ejemplo 4 Industria camaronera En la captura de 1 kilogramo de camarón se pescan incidentalmente, en promedio, 10 kg de otras especies de crustáceos, peces y moluscos. La gráfica muestra la captura realizada por tres barcos camaroneros. a) ¿Cuántos kilogramos de camarón capturó cada embarcación? b) ¿Cuántas toneladas de camarón y otras especies pescó cada uno, y a cuánto as- cendió la captura total? Peces2,500 CAPTURA DIARIA Embarcación Ca pt u ra ( en k g) 2,000 1,500 1,000 500 0 1 632 1,090 1,907 650 1,348 2,262 55 620 747 2 3 Moluscos Peso total Solución a) Las especies distintas al camarón se registran con cantidades negativas. Embarcación 1 2 3 Peces ��632 ��650 ��55 Moluscos �1,090 �1,348 ��620 Pesca total 1,907 2,262 747 Camarón 185 264 72 P es o k g b) Divide entre mil, para toneladas. Suma cantidad de peces y moluscos. Barco 1 2 3 Totales Peso Ton Camarón 0.185 0.264 0.072 0.521 Otros �1.722 �1.998 �0.675 �4.395 Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... 1. Suma en cada columna. Para el barco 1: ��632 � 1,090 � 1,907 � 185 2. La pesca total es la suma de los valores absolutos de cada especie. 3. En el concepto Otros, se suman las canti- dades de peces y moluscos. Ampliando el conocimiento 1. Cerca de 300 espe- cies marinas son capturadas en la pesca de camarón, algunas en peligro de extinción (como la vaquita marina en el Golfo de Ca- lifornia). 2. En la pesca del ca- marón se emplean redes de fondo de varios kilómetros, con forma de em- budo que, debido al arrastre, erosionan en ocasiones zonas de vegetación marina, refugio de diversas especies. 3. El equipo ultrasónico de los barcos y los sensores electrónicos en las redes ubican los bancos y la posición de la red respec- to a éstos y al fondo marino. La mayoría dispone bajo cubierta de grandes frigorí- ficos para llevar a procesar el producto a las plantas de congelado, enlatado y re- ducción. 4. La industria camaronera representa 44% de la producción pesquera del país pues aporta cerca de 140 mil toneladas anua- les (30% de cultivo y 70% por pesca en altamar, bahías y esteros), de las que se exportan 50 mil toneladas (98% a EUA). 5. La importancia social y económica de esta actividad productiva es muy alta por la generación de miles de empleos direc- tos y a lo largo de las cadenas de servicio en la industria y el comercio. En los ejercicios 1 a 3 suma en la recta numérica, de dos formas distintas. 1. 7 � 10 2. ��5 � 1 3. � 6 � (� 4.5) En los ejercicios 4 a 6 suma en la recta numérica, de tres maneras distintas. 4. 7 � 6 � 5 5. �1 � (��7) ��8 6. 9 � (1 � 3) En los ejercicios 7 a 10 simplifica usando las reglas y propiedades de la adición. 7. � 8 � (� 4 � 3) � (1 � 22) 8. 6 � 0.5 � 9 � 40 � 2.2 � 1.8 9. 4 � 7 �12 � (1 � 3 � 10) 10. � (� 5 � 6) � (� 2 ��8) Autoevaluación 2A 33Grupo Editorial Patria® En los ejercicios 11 a 14, halla las sumas de fracciones con signo. 11. 3 �� � � ��1 4 � � � 12. 5 �� � � ��2 3 � � � 13. 4 5 �� � � ��3 2 � � � ��1 9 14. ��1 6 ��1 3 ��1 2 15. Eliminatorias La gráfica muestra el desempeño de tu equipo de voleibol du- rante la actual temporada. Para calificar deben tener 5 juegos a favor y no tener saldo negativo más de tres veces. ¿Calificará tu equipo a la final? 9 1 2 3 4 5 6 7 Mes Ju eg os j u ga do s P er di do s G an ad os 8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 16. Recorrido en ascensor De tu oficina, en el primer piso, subes al quinto piso. De allí bajas al tercero y vuelves a tu oficina por unos datos que no localizas. Bajas por ellos al archivo, ubicado en el sótano. Regresas al tercer piso y vas a la cafetería en el octavo, por un jugo, antes de volver a tu sitio de trabajo. La distancia entre pisos es de 2.70 m. a) ¿A qué altura equivale tu recorrido en un solo viaje del ascensor? b) ¿Adónde te moviste más: hacia arriba o hacia abajo? 17. Alimento contaminado La tabla muestra la cantidad, en toneladas, de es- pinaca retirada de los almacenes por la Secretaría de Salud debido a que el agua con que se lavó en la industria procesadora se contaminó con la bacteria Escherichia coli, causante de enfermedades gastrointestinales. Ciudad V R México �0.72 �1.46 Guadalajara �0.51 �0.82 Puebla �0.45 �0.63 Monterrey �0.41 �1.77 Querétaro �0.35 �1.70 V-vendida R-retirada a) ¿Cuánta espinaca contaminada se surtió? b) ¿Cuánta se recuperó y cuánta se vendió? Sugerencias para la autoevaluación 2A 1 a 3. Utiliza la propiedad conmutativa. Re- visa el ejemplo 1 de este segmento infor- mativo. 4 a 6. Propiedades asociativa y conmutativa. Revisa el ejemplo 1 de este segmento in- formativo. 7 a 10. Revisa el ejemplo 2a) de este seg- mento infor mativo. 11 a 14. Revisa el ejemplo 2b) de este seg- mento infor mativo. Consulta el Ápendice al final del libro para operar fracciones. 12. Agrupa negativos y por otro lado posi- tivos. 2 3 1 3 por estar a la derecha en la recta numérica. O bien, porque: 2 � 3 1 � 3. Ordenación de fracciones a b n s si y sólo si as nb 15. Elabora una tabla. Suma por mes. Suma juegos ganados y suma juegos perdidos y después ambos. 16. Considera ascensos (�), descensos (�). 17. a) Incorpora una columna para la espi- naca adquirida (A) por los almacenes de cada ciudad, donde A � �V� � �R�. b) Suma en cada columna; verifica res- tando del total adquirido. BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales34 Segmento informativo 2A Multiplicación y división de números reales Puedes multiplicar un número positivo con uno negativo mediante una suma. 2(�4) � (�4) � (�4) � �8 3(�3) � (�3) � (�3) � (�3) � �9 Cuando uno de los factores es negativo notamos que el producto es negativo. ¿Qué ocurrirá si ambos factores son negativos? Veamos productos en tablas: 3(�4) � �12 2(�4) � �8 1(�4) � �4 0(�4) � 0 (�1)(�4) � 4 (�2)(�4) � 8 3(�3) � �9 2(�3) � �6 1(�3) � �3 0(�3) � 0 (�1)(�3) � 3 (�2)(�3) � 6 Se suma 4 al anterior Se suma 3 al anterior Seguiría: Seguiría: Multiplicación de números con signo 1. Si los dos números poseen signos iguales el producto es positivo. 2. Si poseen signos distintos el productoes negativo. Al dividir dos números en realidad multiplicas: 3 � 2 � 3 � 1 2 . El divisor 2 lo cambias por su recíproco 1 2 (“invierte” el número 2 1 y tienes su recíproco 1 2 ). El producto de recíprocos es 1. Todo número real tiene recíproco, excepto el 0. División Para dividir a entre b, multiplica por el recíproco de b a b ��a ��1 b En la división aplicas las reglas de los signos de la multiplicación. Ejemplo 1 Productos con dos factores Efectúa las siguientes multiplicaciones. a) (��2)(8) b) (�4)x c) (� x) � � 6 7 � � � d) � � ��1 5 � � � � � ��2 3 � � � Solución a) (�2)(8) � �(2 � 8) � �16 b) (�4)x � �(4x) � �4x c) (� x) � � 6 7 � � � � � 6x 7 ��� 6x 7 d) � � ��1 5 � � � � � ��2 3 � � � � 1 5 � 2 3 � 2 15 Observaciones importantes 1. Como el cero no tiene recíproco, la divi- sión entre 0 no está definida. Intenta di- vidir por 0: a) 0 0 � 2, 0, �1, � 0.5, � 2 �, 3 4 , ... etc. b) 4 0 � No existe resultado. 2. En el primer caso hay infinitas soluciones (pues todo número multiplicado por 0 da 0) y en el segundo ninguna. Toda opera- ción debe producir un único resultado. Verifica tu avance El producto de un número y su recíproco debe dar 1. ¿Por qué 0 no posee recíproco? La multiplicación posee propiedades análo- gas a la adición. Enúncialas (son cinco) e ilustra cada una con tres ejemplos. Fíjate en lo siguiente... ¿Cómo multiplicar si un factor es una suma? La siguiente propiedad dice cómo hacerlo: Distribución del producto a(b � c) � ab � ac Ejemplo: 6(10 � 5) � 6(10) � 6(5) 6(10 � 5) � 6(10) � 6(5) Ejemplo 1 Recuerda Producto de fracciones a b ��n s ��an bs Si un factor es entero: 3 � 1 4 � 3 1 � 1 4 � 3 4 Final 35Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Productos con varios factores Efectúa las siguientes multiplicaciones. a) (�4)(2)(�3) b) � � 1 3 � � � � � ��2 5 � � � (7) c) � � ��1 2 � � � 3 d) (�x)3 e) (�x)4 Solución a) (�4)(2)(�3) � 4(2)(3) � 24 b) � � 1 3 � � � � � ��2 5 � � � (7) ��� � � 1 3 � � � � � 2 5 � � � (7) ����14 15 c) � � ��1 2 � � � 3 �� � � ��1 2 � � � � � ��1 2 � � � � � ��1 2 � � � ����1 8 d) (�x)3 � (�x)(�x)(�x) � �x3 e) (�x)4 � (�x)(�x)(�x)(�x) � x4 Ejemplo 3 Distribuyendo factores Utiliza la propiedad distributiva y simplifica. a) 5(6 � 2) b) 8(12 � 27) c) �3(4 � x) d) �x(�5 � 7) Solución Distribución del producto Simplificación a) 5(6 � 2) � 5(6) � 5(2) 30 � 10 � 40 b) 8(12 � 27) � 8(12) � 8(27) 96 � 216 � �120 c) �3(4 � x) � �3(4) � (�3)x �12 � 3x d) �x(�5 � 7) � (�x)(�5) � (�x)(7) 5x � 7x Ejemplo 4 Cambiando divisiones a multiplicaciones Expresa cada división como una multiplicación. a) 14 � 2 b) 8 �� � � ��1 2 � � � c) ��15 7 d) �3 4 ��2 5 Solución a) 14 � 1 2 b) 8 � (�2) c) (�15) � 1 7 o 15 � � � ��1 7 � � � d) �3 4 ��5 2 Ejemplo 2 Observaciones importantes 1. Determina el signo del producto antes de multiplicar. El producto tendrá signo � si hay un número par de factores con signo �. � si hay un número impar de factores con signo �. 2. Exponente par Número par de factores Verifica tu avance ¿Por qué cualquier número elevado a un ex- ponente par da una potencia positiva? ¿Expresan lo mismo �x2 y (�x)2? Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. Aunque �3(4 � x) � �3(4) � (�3)x � �12 � 3x por lo regular el primer paso se hace mentalmente, y sólo se escribe el último. 2. La distribución a(b � c) � ab � ac, leída de derecha a izquierda, nos permite sim- plificar: 5x � 7x � x (5 � 7) � 12x Ejemplo 4 Observaciones importantes Números recíprocos Tienen igual signo. Uno es el inverso del otro. ��15 7 � � (15 � 7). Por las reglas para dividir números con signo ��15 7 � �15 7 � 15 �7 , es decir: � (15 � 7) � (�15) � 7 � 15 � (�7). BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales36 Ejemplo 5 Dulces de chocolate Un centro de distribución de dulces de chocolate vende a $45 cada cajita con piezas surtidas, más un cargo adicional por costo de la en- voltura, igual a 8% de la diferencia entre 100 y la cantidad de cajitas adquiridas. Este cargo se hace si la compra es inferior a 100 cajitas; no se cobra para 100 y constituye un descuento en compras superiores a este número. a) Escribe un modelo para el pago por cajas compradas. b) ¿Cuánto pagarás por: 12; 100; 300, cajas? c) Sin cargo extra, ¿en cuánto saldrían 12 cajas?, ¿y 300, sin descuento? Solución a) Modelo verbal Pago � Precio � Núm. de cajas � 8% excedente sobre 100 Introduce variables x � cantidad de cajitas de chocolate 100 � x � excedente sobre 100 cajas P(x) � pago por comprar x cajitas de chocolate Modelo algebraico P(x) � 45x � 0.08(100 � x); o simplificando: 44.92x � 8 b) Valuamos la expresión P(x) para x � 12, x � 100, x � 300. P(12) � 45(12) � 0.08(100 � 12) $547 P(100) � 45(100) � 0.08(100 � 100) � $4,500 P(300) � 45(300) � 0.08(100 � 300) � $13,484 c) 45 � 12 � $540; 45 � 300 � $13,500 Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... 1. Simplificación del modelo algebraico: 45x � 0.08(100 � x) � � � � 45x � 0.08(100) � (0.08)x � � � � 45x � 8 � 0.08x � � � � (45 � 0.08)x � 8 � � � � 44.92x � 8 2. Si alteras el orden en una sustracción, cambias el signo al resultado. 5 � 2 � 3 2 � 5 ��� 3 5 � 2 ��� (2 � 5) 10 � x ��� (x � 10) 3. Para todo número real a: �a � (�1)a. � � �(x �10) � (�1)(x �10) � 10 � x También, para todo real a: a � 1a. (10 � x) � 1(10 � x) � 10 � x 4. En términos prácticos, lo anterior signi- fica: Quitar y poner paréntesis Signo antepuesto Signo de las cantidades � � Se conserva � � Cambia 5 � (2 � x � y) � 5 � 2 � x � y 5 � (2 � x � y) � 5 � 2 � x � y Quitar Poner Verifica tu avance ¿Podrías haber utilizado el modelo P(x) � 45x � 0.08(x � 100)? Explica. Recuerda 1. Los términos en una expresión algebraica están separados por signos � y �. 2. Los términos semejantes poseen iguales letras y sus exponentes: 3xy2; ��5xy2. 3. Simplificación de términos semejantes: 3x � 4x � 7x � (3 � 4 � 7)x � 6x En los ejercicios 1 a 5, efectúa cada multiplicación. 1. (�7)(��6) 2. 5(�12) 3. (�10) � � 1 5 � � � 4. (�x)(�10) 5. (�x)2 En los ejercicios 6 a 13, obtén cada producto. 6. (�1)2 7. (�1)3 8. (�10)(2.5)(�4) 9. (�1)(32) 10. � � ��3 4 � � � 3 11. (��3)(�2) � � ��1 2 � � � 12. (��3)(�x)4 13. (�1)(�x)5 En los ejercicios 14 a 17, aplica la propiedad distributiva. 14. 9(��3 �15) 15. �10(2.4 � 3.8) 16. �1(x � 14) 17. 1 2 (�1 � x) Autoevaluación 2A 37Grupo Editorial Patria® En los ejercicios 18 a 22, obtén cada cociente mediante multiplicación. 18. 1 � 10 19. 1 � � 1 2 � � � 20. 3 ��1 4 21. � � �2 5 � � � 3 22. � � �3 4 � � � � � 3 7 � � � En los ejercicios 23 a 26, obtén el resultado de cada operación. 23. � � ��1 2 � � � 2 24. ��8 ��1 4 25. ��5 ��4 7 26. ��1 4 ��2 3 ��1 6 En los ejercicios 27 a 29, simplifica los términos semejantes. 27. x � x � 2x 28. 3y � y � 4 � 13 29. �2x2 � x ��4x2 � 3x ��6 En los ejercicios 30 a 32, a) elimina los paréntesis y simplifica; b) agrupa dentro de paréntesis los números con barra. 30. a) 3 � (4 � 6 � 1) 31. a) � 5 � (�4 � 7) 32. a) 1 � 3(x � 8 � 2x) b) 3 � 4 � 6 � 1 b) 4 � 3 � 1 � 9 b) 5x � 3 � x � 5 33. Geometría a) Comprueba la validez de la propiedad distributiva para 4(x � 1) calculando de dos formas distintas las áreas. b) Haz un modelo similar para 4(x �1). 4 x 1 34. Helicóptero a) ¿Con qué velocidad desciende (en km/h) un helicóptero que baja 50 m cada segundo? b) ¿Cuánto se aleja en 15 minutos de otro helicóp- tero que desciende a 25 km/h? 35. Montacargas La expresión T(x) � 4(22.5 � 15x) permite saber la cargax, en toneladas, que puede soportar un montacargas (de 2 toneladas de peso y centro de gravedad a 45 cm de la horquilla), sin que éste se voltee, ya que esto ocurrirá al obtener valores negativos. a) ¿Qué sucederá con x � 250 kg, x � 1.5 ton, x � 2 ton? b) ¿Cuál es el máximo peso que puede alzar sin voltearse? Sugerencias para la autoevaluación 2A 1 a 5. Revisa el ejemplo 1. 6 a 9. Anticipa el signo. Revisa el ejemplo 2. 14 a 17. Revisa el ejemplo 3 y sus comen- tarios. 18 a 22. Revisa el ejemplo 4. 19, 22. Revisa otros cocientes similares. Generaliza. (Establece un patrón.) 23. Signo del producto: cantidad de fac tores. 24. Fracción equivalente: ��8 �� ��8 ��4 1 ��4 . Consulta el Ápendice al final del libro. 25. Una forma: ��5 ��4 7 �� (��5)�7) ��4 7 . También: ��5 ��4 7 � ��5 �� � � ��4 7 � � � ����5 �� � � ��4 7 � � � ; convierte ��5 �� ��5 ��7 1 ��7 . Revisa el Ápendice al final del libro. 26. Asocia. Sugerencias para ejercicios 24 y 25. 27 a 32. a) Usa propiedades distributiva, aso- ciativa y conmutativa. Revisa el ejemplo 3. b) Dos opciones: una con � y otra con �. 33. b) Aquí x es la longitud del largo total. (Lados: a, b � c; a, b � c.) 34. a) Convierte a km/h dividiendo respec- tivamente entre 1,000 y entre 3,600. b) Utiliza la fórmula de la Física d � vt. 15 min � ? h d1 d2 d = ? 35. Elabora una tabla. (Prueba para más valores de x.) Haz una conjetura. (Límite entre valo- res positivos y nega tivos.) BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales38 B2BLOQUE Conocimientos Tasa y razón La tasa y la razón son cocientes para compa- rar cantidades y números: 1. La razón de 10 a 5 es: 10 5 � 2. 2. La tasa promedio de $400 a 25 litros es: $400 25 l � $16 1 l ¿Qué expresa cada tipo de cociente? Lectura de grandes números Derecha a izquierda: en grupos de tres ci- fras alterna comas y números. cada coma se lee mil; 1: millón, 2: billón,… a) 3, 451 1 266, 034 3 mil 451 millones 266 mil 34 b) 7,238 2 104,005 1 000,000 7 mil 238 billones104 mil 5 millones Gasto promedio Tres personas pagan en conjunto $6,300 por hospedaje durante una semana. 1. El pago promedio de cada uno por la se- mana de hospedaje fue 6,300 � 3 2. El pago promedio conjunto por día de hospedaje fue 6,300 � 7 3. El pago promedio de cada uno por día de hospedaje fue (6,300 � 3) � 7 Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Razones, tasas y proporciones Variación directa e inversa En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm Situación didáctica Afluencia turística a) Entre 3 y 4 millones de turistas visitaron una zona de playa durante los siete días de Semana Santa. La erogación económica que realizaron fue la siguiente. Hospedaje Comida Propinas $11,204,105,000 $13,130,102,000 $5,030,000,000 ¿Cuál fue la erogación diaria promedio de los turistas en cada uno de estos rubros durante la semana? ¿Y por persona? ¿Cuánto, en promedio, gastó diariamente cada turista en comida? b) Un hotel, por otra parte, previó alimentos en esa semana para 1,200 huéspedes, pero la ocupación fue 7% menor de lo previsto. ¿Cuántos días más duró la despensa del hotel? Si fueras el gerente, ¿cómo antici- parías la duración de la despensa para cualquier cantidad de huéspedes? Análisis de la situación Parte a) 1. ¿Por qué es apropiado considerar como número de turistas el valor medio entre 3 y 4 millones? ¿Cuál es éste? 2. ¿Qué obtienes al dividir el monto de dinero de cada rubro entre la cantidad de turistas?, ¿y entre el número de días de la semana? ¿Y entre ambas cantidades, sucesivamente? Parte b) 1. ¿Cómo sabrías cuántos huéspedes se alojaron en el hotel? 2. Si el consumo promedio se considera igual para todos los huéspedes, ¿qué ocurre con la despensa al aumentar los huéspedes? ¿Y si disminuyen? ¿Varían en forma inversa o directa estas cantidades? ¿Con cuál proporción determinarías cuántos días duró la despensa con los huéspedes recibidos? (suponiendo que todos conti- nuaron alojados durante ese tiempo.) 39Grupo Editorial Patria® Rúbrica de evaluación En tu resumen del desarrollo de la secuencia didáctica debes incluir, además de las opera- ciones y resultados, lo siguiente: Parte a) Una explicación acerca de la diferencia entre tasa y razón. Una justificación del uso del promedio de 3 y 4 millones de turistas. Una argumentación de por qué los co- cientes obtenidos describen cantidades promedio. Una explicación de la relación y diferen- cias entre proporciones y variaciones, y de los criterios para distinguir directas e inversas. Parte b) La comprobación del modelo en el caso expuesto y su aplicación para otra canti- dad de huéspedes; una reflexión de por qué debes suponer igual consumo prome- dio de alimentos. 2 1 √ – 5 √ – 5 Secuencia didáctica Parte a) 1. Por cada rubro, la erogación diaria de los turistas fue: Hospedaje Comida Propinas $ 7 días � $ 13,130,102,000 ___ días � $ ___ días � 2. La erogación por persona en esa semana fue: Hospedaje Comida Propinas $ 3,500,000 turistas � $ � $ � 3. Para hallar el gasto diario por turista en comida, hay dos opciones: dividir el cociente obtenido en el punto 1 entre _________________ (3,500,000;7) o el ob- tenido en el punto 2 entre __________________ (3,500,000;7). En cualquier caso el resultado es: $ __________________ por persona, diariamente. Parte b) 1. Huéspedes alojados en el hotel: 1,200 � 7%(1,200) � . La proporción d 7 � 1,200 , que es __________________ (directa/inversa), resuelve que, para esos huéspedes, la despensa duró d ��_____________ días. 2. El modelo de variación inversa para los datos de la tabla es xy ��____________ . Días x 7 Personas y 1,200 De aquí se establece cuántos días x durará la despensa para y personas: x � 7 � ( ) . Proyecto de trabajo 1. Alimento para aves Una granja posee comida para alimentar 5,400 pollitos durante 15 días. Si el total de pollitos aumenta en 4%, a) ¿cuánto durará el alimento para la nueva po- blación? b) Halla un modelo predictivo de la duración del alimento para cualquier cantidad de pollitos (iguales condiciones de consumo y aumento). Úsalo en otra situación similar. 2. Tarjeta áurea Deseas elaborar una tarjeta de cumpleaños para una amiga. Si la construyes de modo que la razón de sus lados sea igual a la del modelo, obtendrás una tarjeta con proporción áurea, muy agradable a la vista. a) Elabora tu tarjeta a partir del modelo. b) Haz una tarjeta 2.5 veces mayor, en alto y largo, que el modelo. c) ¿Cuál sería el largo de una tarjeta áurea de 7.5 cm de alto? BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales40 Segmento informativo 2B Recuerda Las cantidades son números acompañados de una unidad de medida. Cuantifican mag- nitudes. Cantidad 3.2 km 60 km/h $100 Magnitud Distancia Velocidad Precio Términos de una proporción 1o � 2o � a b � c d � 3o � 4o Extremos a, d; Medios b, c. Fíjate en lo siguiente... En esta proporción: Pero escrita así: 3 4 � 6 8 6 8 � 3 4 Extremos: 3 y 8 Extremos: 4 y 6 Medios: 4 y 6 Medios: 3 y 8 Verifica tu avance ¿Cómo se llama al primero y al último tér- mino de una proporción? ¿Y a los interme- dios? ¿De qué dependen estos nombres? Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... a), b) La razón de a a b compara el tamaño de a respecto al de b. 6 3 � 2 3 6 � 1 2 6 es el 3 es la doble de 3 mitad de 6 Razones, tasas y proporciones Es posible comparar dos números, o dos cantidades, mediante un cociente. Números: 8 4 � 2 8 es el doble de 4 Cantidades: 2 kg 10 kg � 1 5 2 kg es la quinta parte de 10 kg $60 3 h � $20 1 h Promedio de $20 por hora Los dos primeros cocientes son llamados razones, y el último, tasa. Razón Si a, b, son números, o cantidades con igualunidad de medida, a b �es la razón de a a b. (a, b � 0). Tasa Si a, b, son cantidades con distinta unidad de medida, a b es la tasa promedio de a por b. (a, b � 0) Cuando dos razones o dos tasas son iguales, se forma una proporción. 8 4 � 2 1 y $60 3 h � $20 1 h son proporciones porque 8 � 1 � 4 � 2 y 60 � 1 � 3 � 20. Proporción La igualdad a b � c d es una proporción ad � bc (a, b, c, d � 0). Ejemplo 1 Escribiendo razones Halla e interpreta: a) La razón de 6 a 3 b) La razón de 3 a 6 c) La razón de � 5 �cm a 2 m Solución Razón Interpretación a) 6 3 � 2 6 es dos veces mayor que 3. Inicial 41Grupo Editorial Patria® c) Usas la misma medida en las cantidades (cm) para compararlas mediante una ra- zón. Puedes también expresarlas en metros: � 5 2 cm m ��2.236 2 cm m ��0.02236 2 m/ m/ � 0.011 Observaciones importantes 1. Una tasa o razón no siempre es una frac- ción común (como muestra el ej. 1c). Razones y fracciones a b Razón, tasa, si a y b son reales Fracción común, si a y b son enteros (a, b � 0 ) Verifica tu avance ¿Indica unidad de medida la razón de dos nú- meros o dos cantidades? ¿Y la tasa? ¿Por qué las razones de números reales in- cluyen a los racionales? 2. Resolver una proporción significa hallar el valor desconocido de un término. Resolución de una proporción Productos cruzados a b � c d ad � bc Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... Se comprueba tomando productos cruzados: 2 3 � 14 26 ya que 2(26) � 3(14) (� 52) b) 3 6 � 1 2 � 0.5 3 es un medio de 6 c) � 5 cm/ 200 cm/ � 0.011 � 5 es aproximadamente 11 milésimos de 2 m Ejemplo 2 Interpretando tasas Interpreta cada una de las tasas siguientes: a) Rendimiento b) Velocidad de c) Efectividad de de tu auto descenso un antibiótico 22.3 1 km L ��5 1 m s 50,000 3 bacterias h Solución a) Tu auto recorre en promedio 22.3 km por cada litro de gasolina. b) El objeto desciende 5 metros cada segundo. c) El antibiótico destruye 50 mil bacterias cada 3 horas. Ejemplo 3 Resolviendo una proporción Obtén el término que falta en la proporción 2 3 � 14 x . Solución 2 3 � 14 x Proporción dada 2x � 42 Productos cruzados 2(x) � 3(14) x � 21 Dividiendo ambos lados entre 2 Ejemplo 4 Turismo y promedios La tabla muestra cuánto gastan los turistas en vacaciones. Los datos corresponden a 2,427,000 turistas durante 12 días de un año. a) ¿Cuánto gastó en promedio cada persona en transporte? b) ¿Cuál fue la tasa diaria de erogación en alimentos? c) ¿Cuál fue el gasto promedio diario, por persona, en hospedaje? Transporte Alimentos Hospedaje $1,840,758,150 $11,027,802,600 $ 9,967,689,000 Solución a) Transporte. $1,840,758,150 2,427,000 personas � $758.45 1 persona b) Alimentos. $11,027,802,600 12 días � $918,983,550 1 día BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales42 Ejemplo 4 Cómo leer grandes números o cantidades 1) Separa las cifras de derecha a izquierda en grupos de tres, alternando comas y naturales: 3 2 451, 697 1 500, 000 2) Donde haya una coma lee: mil; donde haya un 1: millones; un 2: billones, etc. Verifica tu avance ¿Cómo se lee el número anterior? ¿Cómo lees cada número de la tabla? Fíjate en lo siguiente... a) Aquí la tasa expresa el gasto diario en ali- mentos efectuado por el total de tu ristas. b) Los dos cocientes del gasto promedio diario, por persona, pueden reducirse a uno: � � a b � � � c � c bc Monto Personas Días Monto Personas � Días Ejemplo 5 Recuerda 1. Artículos al 2 � 1 significa que adquieres dos artículos por el precio de uno. 2. También:�1 2 ��2 3 , ya que 1 � 3 � 2 � 2. 3. Los porcentajes son fracciones decima- les. Indican cuántas partes tomas de cien en que divides al número o cantidad. 50% �� 50 100 ��0.50 Fíjate en lo siguiente... Las variables P, p, representan el precio de cada clase de artículos. Observa que no inte- resa su valor, pues se cancelan. c) Hospedaje. Gasto promedio por persona: En el periodo: $9,967,689,000 2,427,000 personas � $4,107 1 persona En un día: $4,107 12 días � $342.25 1 día (una persona) Ejemplo 5 Tiendas de autoservicio ¿Qué te conviene más en la promoción de dos artículos en una tienda de autoservicio: comprar los que se ofertan al 2 � 1, o los que están al 3 � 2? Solución Hay que comparar el costo por oferta respecto al costo normal, para conocer el beneficio que se obtiene en cada caso. Costo � Cantidad � precio Costo con oferta Costo normal 1 � P/ 2 � P/ � 1 2 � 0.50 � 50% 2 � p/ 3 � p/ � 2 3 � 0.6 � 66.66% Al 2 � 1, cada artículo te sale al 50% de su valor (la mitad). Al 3 � 2 pagas el 66.66% (dos tercios) de su valor. Te convienen más las ofertas al 2 � 1. En los ejercicios 1 a 4, el primer número es a y el segundo es b. a) ¿Qué tanto es a de b? b) ¿Qué tanto por ciento es a de b? 1. 1 de 4 2. 2 de 10 3. 29.25 de 6.5 4. 55 de 25 En los ejercicios 5 a 8, interpreta cada cociente sucesivo. 5. Crecimiento de una planta 6. Costo de camisas cm día : 7 2 ��3.5 1 Costo $ camisas : 1,000 4 ��500 2 ��250 1 7. Depreciación de un equipo 8. Pérdida de peso Valor (miles) $ años : ��45 10 �� ��9 2 �� ��4.5 1 Kilos Semanas : 1.8 4 ��0.9 2 ��0.45 1 En los ejercicios 9 a 12, escribe cada expresión como una razón o una tasa. 9. 12 es el cuádruplo de 3 10. 5 es la sexta parte de 30 11. Un crecimiento semestral de 0.12 cm3 12. Un interés del 0.4% bimestral Autoevaluación 2B 43Grupo Editorial Patria® Sugerencias para la autoevaluación 2B 1 a 4 a) Obtén la razón de a a b. b) ¿Qué tanto por ciento es a de b?: a b � 100. 5 a 8. Revisa el ejemplo 2. 9 a 12. Revisa ejemplos 1 y 2. Halla la tasa para 1 mes. Ejercicio 12: en economía y finanzas se llama rédito o interés la tasa Porcentaje Tiempo 13 a 16. Revisa el ejemplo 3. 17. Sistematiza. (Fija numeradores; invier- te.) Son cuatro posibilidades. 18. Particulariza/generaliza. (Prueba con diferentes valores; busca un patrón.) 19. Revisa el ejemplo 5. ¿Por qué casi no hay ofertas al 4 � 3 o 5 � 4? 20. a) Halla la razón entre 1 y 5 litros. Escrí bela como porcentaje. b) Determina con tu pulso cuántos lati- dos efectúa tu corazón en 1 minuto. Generaliza. Con un modelo para x latidos. 21. Revisa el ejemplo 4. En los ejercicios 13 a 16, resuelve cada proporción. 13. 1 6 � x 48 14. x 6 � �15 18 15. �12 x ��1 4 16. �x 8 ��2 5 En los ejercicios 17 y 18, a) ¿Cuántas proporciones puedes escribir a partir del producto indicado? b) Describe cada propiedad. 17. 2 � 15 � 3 � 10 18. ab � cd (a, b, c, d � 0) 19. Ventas ¿Cuáles descuentos son más convenientes para un almacén: ventas al 2 � 1, 3 � 2, 4 � 3 o 5 � 4? 20. Flujo sanguíneo La tasa promedio de sangre en el cuerpo humano es de 5 L por persona. Tu cerebro requiere de 1 L de sangre para funcionar. a) ¿Qué tanto es esta cantidad del total? b) Con cada latido tu corazón bombea 0.005 L de sangre. ¿Qué tanto representa de lo que bombea en un minuto? 21. Deporte La tabla muestra los totales obtenidos en la temporada 2006 por los Yankees de New York. a) ¿Qué indican las tasas siguientes: G/J, P/G, T/H, H/T? b) ¿Qué promedio de bateo obtuvo el equipo de 39 jugadores? c) ¿Cuántos turnos al bat, en promedio, tuvo por juego cada jugador? Juegos J Ganados G Perdidos P Turnos bat T Hits H 162 97 65 5,651 1,608 BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales44 Segmento informativo 2B Variación directa e inversa Las magnitudes pueden tener valores cambiantes o fijos. Los primeros se expresan con variables y los otros mediante constantes. Por ejemplo: 1. El tiempo es una magnitudvariable; sus valores se denotan con la letra t. 2. La aceleración de la gravedad es una magnitud constante; su valor es 9.8 m/s2. Dos magnitudes variables pueden estar relacionadas de modo que, sin importar sus valores, sus cocientes o productos resultan siempre iguales. Variación directa Variación inversa x 2 3 4 y 10 15 20 x 1 2 3 y 9 4.5 3 Cocientes iguales Productos iguales 10 2 ��15 3 ��20 4 ��5 1 � 9 � 2 � 4.5 � 3 � 3 � 9 Tales igualdades permiten escribir una proporción entre los valores de dos columnas, tomándolos directamente en el primer caso, y en cruz en el segundo. Proporción directa 2 10 �� 3 15 Proporción inversa � 1 4.5 ��2 9 Modelos de variación proporcional Las variables x y y varían Directamente Inversamente Si y x � k o y � kx. Si xy � k o y � k x k � 0 es la constante o tasa de variación. Estas variaciones se llaman proporcionales porque generan proporciones. Ejemplo 1 Identificando variaciones Identifica en las siguientes tablas cuál variación es directa y cuál inversa. a) b) x 1 2 3 y 50 100 150 x 15 45 90 180 y 9 3 1.5 0.75 x � Horas laboradas x � Rapidez de tu auto en km/h y � Pago en pesos y � Tiempo en horas Solución a) Directa. 50 1 ��100 2 � 150 3 � 50. Constante de variación k � 50. b) Inversa. 15 ��9 � 45 ��3 � 90 ��1.5 � 180 ��0.75 � 135. Constante k � 135. Observaciones importantes 1. En la variación directa ambas cantida- des aumentan o disminuyen por el mis- mo factor (“si una aumenta —o dismi- nuye— la otra también”). 2. En la variación inversa una cantidad se multiplica por un factor y la otra se divi- de entre este factor (“al aumentar una la otra disminuye —o viceversa—”). 3. Estos comportamientos de aumento y dis- minución se observan sólo si ambas can- tidades son positivas (o ambas negativas). 4. En las aplicaciones las variables toman casi siempre valores positivos (con lo cual k 0). Fíjate en lo siguiente... 1. Los cocientes o productos por columna dan la constante de variación k, de toda la tabla. 2. También puedes formar proporciones con los términos de los renglones, así: Directa Inversa: 1 2 50 100 15 45 9 3 2 1 ��100 50 � 2 45 15 ��9 3 � 3 3. Para cada proporción, este cociente por renglones es su razón de proporciona- lidad. 4. Constituyen el factor por medio del cual pasas, por renglones, de una columna a otra. Directa: x 1 2 3 y 50 100 150 �2 �1.5 �2 �1.5 Inversa: �2 �2 �3 �2 �3 �2 x 15 45 90 180 y 9 3 1.5 0.75 Final 45Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Estableciendo proporciones A partir de la información, halla los valores que faltan en cada tabla. a) x varía directamente con y b) x varía inversamente con y x 8 4 3 y 10 5 b x 12 a 4 y 10 20 b x � Número de gorras x � Horas de viaje y � Costo (cientos de pesos) y � Reserva de gasolina (L) Solución a) Escribimos 4 5 � 3 b . De aquí: 4b � 15, b � 3.75. Tres gorras cuestan $375. b) De la proporción cruzada 12 20 �� a 10 , se tiene 20a � 120; a � 6 h. Para hallar b escribimos 12 b � 4 10 ; 4b � 120, b � 30 L. Ejemplo 3 Construyendo modelos de variación a) Escribe un modelo algebraico para cada tabla del ejemplo 2. b) Predice y para x � 10. Interpreta y agrega los valores a la tabla. Solución a) Variación directa. En cualquier columna, y x � 1.25. El modelo es y � 1.25x. Variación inversa. En las columnas, xy � 120. El modelo es y � 120 x . b) Modelo y � 1.25x Modelo y � 120 x . x � 10: y � 1.25(10) � 12.5 x � 10: y � 120 10 � 12 x 10 8 4 3 y 12.5 10 5 3.75 x 12 10 6 4 y 10 12 20 30 10 gorras costarán $1,250 Reserva en 10 horas: 12 litros Ejemplo 4 Computadoras y rapidez de captura Deseas salir al cine con una amiga, pero antes debes escribir un trabajo en la computadora, que te tomará 50 minutos. Tu amiga te ofrece ayuda con su compu- tadora portátil, mientras tú trabajas en la tuya. ¿En cuánto tiempo concluirán ambos el trabajo, si tu amiga lo haría sola en 30 minutos? Ejemplo 2 Fíjate en lo siguiente... 1. Al escribir las proporciones puedes to- mar los cocientes por renglón (razón) o por columna (tasa), en cualquier orden: de abajo a arriba; derecha a iz- quierda, o a la inversa. 2. En la variación directa las propor- ciones se escriben por renglones o columnas siguiendo el mismo orden o sentido. Renglón: 4 3 � 5 b , 3 4 � b 5 , Columna: 4 5 � 3 b , 5 4 � b 3 , Aunque de una proporción a otra los cocien- tes son distintos, en todas 4b � 15. 3. En la variación inversa las proporcio- nes se escriben con renglones en senti- dos opuestos, o columnas cruzadas. Renglón: 12 a � 20 10 , a 12 � 10 20 , Columna: 12 20 � a 10 , 10 a � 20 12 , Aunque de una proporción a otra los cocien- tes son distintos, en todas 20a � 120. Ejemplo 3 Observaciones importantes 1. En los modelos de variación directa, la constante de variación es el cociente k � y x (en ese orden). 2. El modelo y � kx permite hallar y cuando se conoce el valor de x (basta multiplicar éste por la constante k). 3. En el ejemplo 3a), la constante de va- riación k � y/x es el precio individual de cada gorra: k � 1.25 � $125. 4. Los modelos evitan calcular proporcio- nes y permiten efectuar predicciones. BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales46 Solución Modelos verbales Rapidez de trabajo producción tiempo � Rapidez conjunta rapidez de uno rapidez del otro� � Identifica variables R 1 � tu rapidez de captura R 2 � rapidez de captura de tu amiga P � producción total (palabras) R � rapidez conjunta Modelos algebraicos R 1 � P 50 min ; R 2 � P 30 min ; R � P 50 � P 30 � 4P 75 min Esta tasa indica que, escribiendo simultáneamente, producirían cuatro de estos traba- jos en 75 minutos. ¿Cuánto tiempo requerirá producir un trabajo? Tabla de datos Proporción directa 4 75 � 1 T ; 4T � 75; T � 18.75 minutos Producción P 4 1 Tiempo minutos 75 T Les tomará cerca de 19 minutos concluir el trabajo, antes de poder ir al cine. Ejemplo 5 Consumo de alimentos Un hotel estima una provisión de alimentos suficiente para un total de 300 huéspedes durante una semana. Sin embargo, la demanda del servicio aumenta 12% sobre lo previsto. a) ¿Cuántos días antes de que termine esta semana deberá el ho- tel reabastecer su despensa? b) Encuentra un modelo para determinar, bajo el mismo estándar de consumo, el número de días que durará la despensa del hotel para cualquier cantidad x de comensales. ¿Cuánto durará con 250 huéspedes? Solución a) La cantidad real de huéspedes será 300 � 0.12(300) � 300(1.12) � 336. Huéspedes x 300 336 Tiempo que dura la reserva de alimentos y (días) 7 d Proporción inversa: 300 d � 336 7 ; 336d � 2,100; d � 6.25 días. El hotel deberá reabastecer su despensa un día antes, el sexto día. b) Modelo de variación inversa: xy � 300(7) � 2,100, o bien, y � 2,100 x . Para 250 comensales la reserva duraría: y � 2,100 250 � 8.4 días. Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... 1. La fórmula R � P t es análoga de v � d t . 2. Para hallar el tiempo puedes usar t � P R . En este caso: t � P � � 4P 75 min � � � � 75 4 � 18.75 min (Esto evitaría la tabla y la proporción.) 3. Lo anterior muestra que los problemas de obtención del tiempo de operación conjunta (variación directa), se re- suelven en dos pasos: a) Se suman las rapideces b) Se toma su recíproco (éste es el tiempo) Usas la ley distributiva para simplificar R � P 50 � P 30 � P � � 1 10 � 1 30 � � � � P � � 3 � 5 150 � � � � P � � 8 150 � � � � 4P 75 min (150 es el mcm de 30 y 50. Para fracciones consulta el Ápendice al final del libro.) Ejemplo 5 Recuerda Usas laley distributiva para simplificar: 300 � 0.12(300) � 1(300) � 0.12(300) � 300(1 � 0.12) Observaciones importantes 1. d es una variable con un solo valor (des- conocido, pero fijo). En tal caso se dice que representa una constante. (Al con- trario de x, y, que son variables con di- versos valores.) 2. Con los datos de una columna y el tipo de variación puedes hallar el mode- lo general. Esto evita escribir propor- ciones. Ejemplo: Con 300 y 7 escribes xy � 300(7) � 2,100. Si x � 336, y � 2,100 x � 2,100 336 � 6.25 días. 47Grupo Editorial Patria® En los ejercicios 1 a 3, a) Identifica los modelos de variación directa o inversa; b) Elabora para cada caso una tabla con cinco columnas. 1. y � 2.54x 2. y � x 6 3. y � 30 x x � Pulgadas x � Peso en la Tierra x � Tiempo y � Centímetros y � Peso en la Luna y � Longitud de una vela En los ejercicios 4 a 7, a) ¿Cuáles tablas corresponden a una variación directa y cuáles a una variación inversa? b) Completa los datos faltantes. 4. 5. Peso w 5 10 Distancia d 8 4 Días 2 3 b Flores no marchitas 18 a 9 6. 7. Temperatura 12 33 Volumen 5 13.75 Grado del bloqueador a 15 50 % absorción rayos UV 60 40 b 8. Obtén el modelo de variación para cada tabla en los ejercicios 4 a 7. Si en cada tabla x denota los valores del primer renglón, obtén y para x � 6, 9. En los ejercicios 9 y 10, explica por qué cada tabla no corresponde a una variación directa o inversa, a pesar del comportamiento aumento-disminución. 9. 10. Vueltas rpm 1,300 5,000 Ruido dBA 17 48 Aire ventilador m3 0.58 2.14 Temperatura °C 55 20 11. Sistemas de medida. Halla un modelo de conversión para cada tabla. a) b) Pies 1 5 Metro 0.304 1.52 Gal 1 0.5 Litros 3.785 1.892 12. Geometría La gráfica muestra cómo varían los lados en los rectángulos. a) Calcula el área de cada uno. b) Escribe un modelo algebraico que relacione los lados x, y, con el área. 15 10 6 5 3 2 0 2 3 5 6 10 15 13. Línea de producción En una planta automotriz un nuevo equipo automático pintará una serie de autos en una hora. El equipo anterior tarda 1.5 horas en realizar dicha tarea. ¿Cuánto les tomará pintar la serie a ambos? Autoevaluación 2B Sugerencias para la autoevaluación 2B 1 a 3. Compara con los modelos al inicio de la lección. Revisa el ejemplo 3. 4 a 7. Revisa los ejemplos 1 y 2. En 5 y 7 aso- cia con la columna de datos conocidos. 8. Obtén cada constante. Revisa el ej. 3. 9 y 10. ¿Son iguales los cocientes o los pro- ductos en todas las columnas? Obser- va que no obstante las relaciones de aumento-disminución, no hay varia- ción proporcional. Revisa el margen izquierdo específico al inicio de este segmento informativo. 11. Ambos son modelos de variación directa. 12. Los números en los ejes (¿deben ser sólo enteros?) dan la longitud de los lados y las coordenadas del vértice superior de- recho. ¿Qué curva forman estos puntos? ¿Se aplica este modelo a cualquier va- riación inversa? Lado x 2 Lado y 15 k � xy 30 13. Aplica el procedimiento utilizado en el ejemplo 4. Hazlo después siguiendo los dos pasos señalados en el margen. Ejem- plo: Una llave llena un depósito P en 2 horas. Otra lo llena en 3 horas. Ambas llaves: Rapidez: P 2 � P 3 � 5 6 P. Tiempo: 6 5 h � 1.2 h. Eudoxio de Cnido 408 � 355 a.C. A partir de los trabajos de los pitagóricos y de Zenón de Elea, creó en la antigua Grecia la Teoría de las Proporciones para estudiar las razones de cantidades no conmensurables (base de los actuales números irracionales). Usó el método de exhaución para calcular áreas y volúmenes mediante subdivisiones en partes más pequeñas, ideas que utilizó Arquí- medes y fueron el origen del cálculo integral. BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales48 Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. Desarrollo Explica la diferencia entre tasa y razón. Explica la relación y las diferencias entre proporciones y variaciones y los criterios para distinguir entre directas e inversas. Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas. Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas. No explica la diferencia entre tasa y razón. No explica la relación y las diferencias entre proporciones y variaciones y los criterios para distinguir entre directas e inversas. Presenta todos los pasos para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas pero sin las justificaciones solicitadas. No explica la diferencia entre tasa y razón. No explica la relación ni las diferencias entre proporciones y variaciones y los criterios para distinguir entre directas e inversas. Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación. No explica la diferencia entre tasa y razón. No explica la relación ni las diferencias entre proporciones y variaciones ni los criterios para distinguir entre directas e inversas. Dominio del tema Maneja correctamente tasas y razones. Calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes. Distingue entre variaciones directas e inversas. Sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente. Maneja correctamente tasas y razones. Calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes. Distingue entre variaciones directas e inversas. No sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente. Maneja correctamente tasas y razones. Calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes. No sabe distinguir entre variaciones directas e inversas. No sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente. No maneja correctamente tasas ni razones. No calcula correctamente cantidades promedio y porcentajes. No sabe distinguir entre variaciones directas e inversas. No sabe obtener expresiones que relacionan cantidades que varían directa o inversamente. Resultados y conclusiones Calcula correctamente las siguientes cantidades: turistas por rubro y por persona en una semana. en comida. información proporcionada. Obtiene la expresión matemática correcta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas. Calcula correctamente las siguientes cantidades: de los turistas por rubro y por persona en una semana. turista en comida. la información proporcionada. Obtiene una expresión matemática incorrecta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas. Calcula correctamente sólo dos de las siguientes cantidades: de los turistas por rubro y por persona en una semana. turista en comida. la información proporcionada. Obtiene una expresión matemática incorrecta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas. Calcula correctamente sólo una de las siguientes cantidades: de los turistas por rubro y por persona en una semana. turista en comida. la información proporcionada. Obtiene una expresión matemática incorrecta que relaciona el número de días que durará la despensa con el número de personas. Rúbrica Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Afluenciaturística” del Bloque 2B. Nombre del alumno: Instrumentos de evaluación Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Husos horarios” del Bloque 2A. Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Lista de cotejo 49Grupo Editorial Patria® Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 10. Calculó correctamente la diferencia en horas entre México y Greenwich. 11. Calculó correctamente la diferencia en horas entre México y Japón. 12. Calculó correctamente la diferencia en horas entre Perú y Estados Unidos. 13. Calculó correctamente la hora en los países que aparecen en la tabla cuando en Londres son las 10:00 a.m. 14. Calculó correctamente la hora en Los Mochis y en Mérida cuando en Ensenada son las 9:45 a.m. 15. Calculó correctamente el huso horario de Alaska sin ver el mapa. 16. Calculó correctamente la hora en Alaska cuando en Perú son las 8:12 p.m. Desarrollo SÍ NO Observaciones 5. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 6. Explica por qué se suman o restan horas hacia el Este o el Oeste, así como el significado de los signos en los husos horarios. 7. Da varios ejemplos de cómo emplear los husos horarios para determinar la hora local de un lugar a partir de la de otro. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Dominio del tema SÍ NO Observaciones 8. Calcula correctamente el valor absoluto de un número real. 9. Realiza correctamente operaciones de suma y resta de números reales con signo. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Resolución de problemas que requieren realizar operaciones de números reales con signo. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Calcula correctamente la hora de arribo a Campeche a partir de la información presentada en la tabla. 2 Determina cuál de los países de Europa que aparecen en la tabla es el más frío. 3 Determina si hace más frío en Austria que en Polonia. 4 Elabora una gráfica de barras de las temperaturas mínimas de menor a mayor. 5 Elabora una gráfica de barras de las temperaturas mínimas de mayor a menor. 6 Ubica las temperaturas mínimas en una recta numérica. 7 Calcula la diferencia entre las temperaturas bajo cero. 8 Calcula la diferencia entre las temperaturas extremas para cada país. *No aplica. Guía de observación para el proyecto de trabajo “Hora local de arribo” y “Temperaturas en Europa” del Bloque 2A Realizas sumas y sucesiones de números Competencias a desarrollar n Construye e interpreta series y sucesiones numéricas aritméticas y geométricas, para la comprensión y análisis de situaciones reales. n Formula y resuelve problemas aritméticos y algebraicos de complejidad creciente utilizando la calculadora. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos propuestos por el docente y elabora ejemplos utilizando modelos establecidos. n Analiza las relaciones entre dos o más variables de una serie o sucesión, relacionados a un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. n Interpreta tablas, gráficas, diagramas y textos relacionados con series y sucesiones y utiliza para ello los símbolos matemáticos correspondientes. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva al resolver los problemas planteados y los propuestos por ellos mismos a través del trabajo en equipo. 3B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos 8 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Identifica y diferencia las series y sucesiones numéricas así como sus propiedades. n Clasifica las sucesiones numéricas en aritméticas y geométricas. n Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas. n Construye gráficas para establecer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. n Emplea la calculadora para la verificación del resultado en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones. n Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en sucesión aritmética y geométrica tanto finita como infinita mediante las fórmulas correspondientes. n Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y algebraicas. ¿Qué sabes hacer ahora? El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide. D’Alembert Dentro de nuestro organismo, la vida media de la cafeína es de seis horas. Esto significa que al cabo de seis horas de haber ingerido una taza de café express, la cantidad inicial de cafeína presente en tu cuerpo disminuirá a la mitad. Esta nueva cantidad se volverá a reducir a la mitad al término de otras seis horas, y así sucesivamente. La gráfica permite visualizar rápidamente la cantidad de cafeína que cada hora subsiste en tu organismo, desde que bebiste una taza de esta infusión. 240 200 160 120 80 40 0 M ili gr am os 1 2 3 4 5 6 7 8 Horas BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números A3BLOQUE 52 Conocimientos Sucesión aritmética (an) n � Lugar del término (n � 1, 2, 3, ...) a 1 a 2 a 3 a 4 ... a 10 3 8 13 18 ... ? La diferencia (d) entre dos términos conse- cutivos es constante. (Aquí d � 5). Fórmula de la sucesión El término en el lugar n se halla con: a n � a 1 � (n � 1)d En este caso a10 � 3 � (10 �1)(5) � 48. Si se cuenta desde 0, se utiliza: a n � a 0 � nd a 0 a 1 a 2 a 3 ... a 10 3 8 13 18 ... ? Aquí, a10 � 3 � (10)(5) � 53. Serie aritmética Es la suma de n términos de la sucesión: S n � n(a 1 � a n ) 2 Así, en el ejemplo que inicia con a 1 : S 4 � 4(3 � 18) 2 � 42. Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Sucesiones y series aritméticas En Internet: www.ematematicas.net Situación didáctica Apertura de un restaurante La gráfica muestra la proyección de las ganancias anuales que, en una década, pro- ducirá un restaurante a partir de su inauguración. 2 1 0 −1 −2 −3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Años (0 ↔ 2009) G an an ci a ($ ) (1 ↔ 1 m ill ón ) ¿En cuál año la ganancia ascenderá a un millón de pesos? ¿Cuál modelo algebraico posibilitaría predecir las ganancias anuales? ¿Cuál sería la ganancia en el año 2015, aplicando este modelo? ¿Es posible predecir con éste las ganancias para el año 2020? ¿A cuánto ascenderán las ganancias en esa década? Análisis de la situación 1. Explora la gráfica ¿Qué representa el número 1 en cada eje de la gráfica? ¿Qué significado tiene el signo negativo en las ganancias? ¿Y el signo positivo? ¿A qué año corresponde el valor �2 del eje vertical? ¿Qué representa la pareja (7, 0.5)? 2. Interpreta la gráfica ¿Aumentan en forma constante los valores de las ganan- cias en el eje vertical? ¿Indican estos valores la ganancia obtenida en ese año? ¿O la ganancia acumulada hasta ese año? ¿Influye esta interpretación en el cálculo de la ganancia obtenida durante esa década? 53Grupo Editorial Patria® Rúbrica deevaluación Haz un resumen en tu cuaderno, en el cual: 1. Respondas en forma de cuestionario las preguntas formuladas en el análisis de la situación, poniendo especial atención en la respuesta a la última pregunta. 2. Interpretes en el contexto del problema (ganancias) el significado de la diferencia d de la serie aritmética en relación con el valor en el eje vertical. Considera en tu análisis la última respuesta sobre la inter- pretación de la gráfica y el hecho de que Ganancia � ingreso � inversión. 3. Agregues, al término de tus respuestas a la secuencia didáctica, una nota con una reflexión acerca de por qué la serie aritmética para los 10 términos de la su- cesión no proporciona las ganancias del restaurante en esa década. Secuencia didáctica 1. La ganancia de 1 millón de pesos se representa en el eje vertical con el número __________ y se asocia mediante un punto de la gráfica con el número _________ del eje horizontal. Este número corresponde al año 2009 � _______ � ________. 2. El valor inicial �3 en el eje vertical, correspondiente al año de apertura del ne- gocio, 2009, indica un ______________ (ingreso/egreso) por la inversión econó- mica. A partir de allí, de un punto a otro de la gráfica se aumenta verticalmente _________ (0.5; 1; 1.5) unidades. Por esta razón los valores �3, �2.5, �2, �1.5, …, 1.5, forman una sucesión aritmética en la que a 0 � _____________________ , d � _________________. 3. La fórmula para la sucesión anterior, a n � a 0 � nd � _________ � n( _______ ) constituye el modelo algebraico para conocer la ganancia a n del restaurante en el año n, donde n � 0, 1, 2, …, 9. Para conocer la ganancia en el año 2015, se susti- tuye en esta fórmula el valor de n � 2015 � ______________ � _______________ y se obtiene _________________ pesos, que indica que hasta ese año se recupera la inversión inicial. Para el año 2020, n � ___________ ; este valor __________ (es/no es) admisible en este modelo. 4. Como en el eje vertical se consignan las ganancias _________________________ ___________________ (obtenidas en el año/acumuladas hasta ese año), la última pareja de la gráfica, (9, ) indica que la ganancia en esa década fue de � 1,000,000 � $ _________________. Proyecto de trabajo 1. Pulseras artesanales Por elaborar pulseras con jade, un artesano cobra una tari- fa C n � 13 � 1.2n, de acuerdo al número de piedras n � 10, ..., 30 que éstas tengan. a) ¿Cuánto costará una pulsera con 20 piedras? b) Dibuja una gráfica que relacione el costo de la pulsera con el número de pie- dras que posee. c) Determina en la gráfica el costo de una pulsera con 28 piedras. Obtén el costo con el modelo algebraico y compara ambos. d) ¿Cuánto pagarías en total por un lote de pulseras, que incluya una con 17 pie- dras, otra con 18 y así sucesivamente hasta una con 30 piedras? ¿Cuál sería a 1 en este caso? e) ¿Cuál es la diferencia en pesos, entre una pulsera y otra con una piedra de más? BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números54 Segmento informativo 3A Observaciones importantes 1. Los números de la sucesión son sus tér- minos. 2. La diferencia común es la resta de un nú- mero con el anterior 3 � 1 � 2; 5 � 3 � 2; etc. 3. Una sucesión es finita si tiene n términos. En caso contrario es infinita. 4. El término en el lugar n se llama n-ésimo término. La expresión para obtenerlo es: Término n-ésimo de una sucesión aritmética a n � a 1 � d (n � 1) Un término � el primero � diferencia n � 1 veces (n � 1 es el lugar n que ocupa el término, menos 1). Verifica tu avance 1. ¿Forman los números pares una sucesión aritmética? Explica. 2. Sabiendo que a n � a 1 � d (n � 1) ¿Cómo obtendrías la segunda fórmula para S n a partir de la primera? Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. Los valores aumentan si d es positivo y disminuyen si d es negativo. 2. Cualquier número real puede ser un tér- mino en una sucesión. Verifica tu avance ¿De qué depende que una sucesión aritméti- ca sea creciente o decreciente? Sucesiones y series aritméticas Las sucesiones aritméticas son secuencias ordenadas de números que tienen todos con su antecesor la misma diferencia (d). Sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, … 2 2 2 2 2 Diferencia Sumando la diferencia a cada número obtienes el siguiente; sumándola varias veces al primero, obtienes cualquiera de ellos: Segundo Tercero Cuarto 1 � 2(1) � 3, 1 � 2(2) � 5, 1 � 2(3) � 7, … Al denotar los términos con una variable, un subíndice indica su lugar: primer térmi- no a 1 , segundo término a 2 , n-ésimo término a n (n natural). a 5 � 1 � 2(4) � 9 es el quinto término a n � 1 � 2(n � 1) es el n-ésimo término Sucesión aritmética Sus términos tienen la forma: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … a n , … a 1 , a 1 � d, a 1 � 2d, a 1 � 3d, … , a 1 � (n � 1)d, … Si sumas los términos de una sucesión finita obtienes una serie. Se denota S n . Sucesión Serie 1, 2, 3, 4, 5. 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 15 � S 5 Es posible hallar el valor de una serie aritmética sin efectuar la suma: Serie aritmética Su valor S n se calcula con: a) El primer término y el último b) El primer término y d (a 1 � a n )n 2 (2a 1 � (n � 1)d)n 2 Ejemplo 1 Escribiendo sucesiones aritméticas A partir del primer elemento y la diferencia común, escribe los cinco primeros tér- minos de cada sucesión. a) a 1 � 1, d � 3. b) a 1 � 2, d � �1 c) a 1 � 23.5, d � 1.5 Solución a) 1, 4, 7, 10, 13,… b) 2, 1, 0, �1, �2, … c) 23.5, 25, 26.5, 28, 29.5, … 55Grupo Editorial Patria® Ejemplos 2 y 3 Observaciones importantes 1. La expresión para el n-ésimo término es la fórmula que describe a la sucesión. 2. Dando a n los valores naturales de 1 en ade- lante generas los términos de la sucesión. 3. En la fórmula para el n-ésimo término fi- guran cuatro números: a 1 Primer término, a n n-ésimo término, n Número del término, d Diferencia común Para obtener uno de ellos, debes conocer los otros tres (como en el ejemplo 2b). Verifica tu avance ¿Es mejor sumar la diferencia o usar la fórmu- la del n-ésimo término para obtener términos de una sucesión aritmética? Fíjate en lo siguiente... La fórmula para el n-ésimo término admite cualquier valor real, pero genera sucesiones sólo con números naturales. Karl Friedrich Gauss 1777-1855 De humilde origen alemán, Gauss es conside- rado uno de los más grandes matemáticos (se le llama el Príncipe de las matemáticas) por sus abundantes e importantes aportaciones, como la demostración del Teorema funda- mental del álgebra en la teoría de ecuaciones. Muy sagaz desde niño, halló en su escuela la suma del 1 al 100 con un razonamiento que, en esencia, resume la fórmula de la serie arit- mética: ...1 2 3 98 99 100 101 50 pares suman 101 50 veces 101 � 50 � 101 � 5,050. Ejemplo 2 Obteniendo el n-ésimo término Halla la fórmula para el n-ésimo término de cada sucesión. a) Primer término a 1 � 1, d � 3. b) Tercer término a 3 � 15, d � 4. Solución a) a n � a 1 � d (n �1) Fórmula � � � � 1 � 3(n � 1) Sustituyendo a 1 por 1 y d por 3 � � � � 1 � 3n � 3 Propiedad distributiva � � � � 3n � 2 Simplificando Los términos de la sucesión son: 1, 4, 7, 10, 13,…, 3n � 2,… b) Para escribir el n-ésimo término se requieren a 1 y d. Se desconoce a 1 . a n � a 1 � d (n � 1) Fórmula a 3 � a 1 � 4 (3 � 1) Sustituyendo n por 3 y d por 4 15 � a 1 � 4(2) Sustituyendo a 3 por 15 y restando 7 � a 1 Restando 8 en ambos lados Por tanto a n � 7 � 4(n � 1) � 4n � 3. Los términos de la sucesión son: 7, 11, 15, 19, … , 4n � 3, … Ejemplo 3 Utilizando el n-ésimo término a) Halla el octavo término de la sucesión cuyo n-ésimo término es a n � 3n � 2. b) Escribe los primeros tres términos de la sucesión a n � 4n � 3. Solución a) En la expresión a n � 3n � 2 se sustituye npor 8. Así, a 8 � 3(8) � 2 � 22. b) Se reemplaza n por 1, 2, 3, en la fórmula de la sucesión a n � 4n � 3. a 1 � 4(1) � 3 � 7, a 2 � 4(2) � 3 � 11, a 3 � 4(3) � 3 � 15. Ejemplo 4 Determinando el valor de una serie Obtén la suma de los términos de la sucesión 1, 2, 3, …, 100. Solución La sucesión es aritmética pues los términos difieren en 1; n � 100, a n � 100. S 100 � 1 � 2 � 3 � … � 100 � (a 1 � a n )n 2 Fórmula � (1 � 100)100 2 Sustituyendo � (101)(50) � 5,050 Simplificando Escribimos 1 � 2 � 3 � … � 100 � 5,050. BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números56 Ejemplo 5 Acomodo de productos En un almacén acomodas botes de refrescos formando un prisma triangular truncado, con 24 botes en la base de la cara vertical, 30 escalonados a lo largo y 8 capas de alto. ¿Cuántos refrescos utilizaste en total? Solución En cada sección vertical hay una sucesión aritméti- ca de botes cuya suma es 17 � 18 � …� 24, es decir: S 8 � (a 1 � a n )n 2 � (17 � 28)(8) 2 � 164 Como hay 30 secciones verticales, utilizaste en to- tal 30 � 164 � 4,920 botes de refrescos. 30 30 24 23 22 21 20 19 18 17 Ejemplo 6 Limpieza de cristales en edificios Una compañía que realiza limpieza de ventanas en edificios cobra una cuota fija de $500 por el servicio en planta baja y aumenta este costo $150 por cada nivel hacia arriba. a) Escribir un modelo para determinar el costo por limpieza de las ventanas de un piso, según el nivel en que éste se encuentre. ¿Cuánto costará la limpieza en el piso 15? b) ¿Cuánto cobrará la compañía por un edificio de 12 pisos? Obtener un modelo para el costo por limpieza de un edificio con n niveles. Solución a) Pisos n 1 2 3 4 Costo $ 500 650 800 950 La diferencia entre el costo por un piso y el anterior es $150. Siendo una sucesión aritmética, el n-ésimo término da el costo para el piso n: a n � 500 � 150(n � 1) � 150n � 350. El piso 15 se halla en el nivel 16. El costo será a 16 � 150(16) � 350 � $2,750. b) El costo total es la suma de los costos por nivel. Se halla la serie aritmética: S 13 � (2a 1 � (n � 1)d )n 2 � (2 � 500 � 12 � 150)13 2 � $18,200. S n � (2a 1 � (n � 1)d )n 2 � (2 � 500 � (n � 1)150)n 2 � 75n2 � 425n. Ejemplo 6 Fíjate en lo siguiente... 1. Los productos y los cocientes son distintos en las columnas de la tabla, por lo que el modelo no es de variación proporcional. 2. En la tabla, el primer nivel (1) correspon- de a la planta baja, el segundo nivel al pri- mer piso, etc. Esto se aplica al modelo. 3. Se usa la segunda fórmula de una serie porque evita hallar el último término a 13 (basta con a 1 ). 4. De la fórmula general S n � (2a 1 � (n � 1)d)n 2 obtienes el modelo particular 75n2 � 425n. Verifica tu avance 1. Calcula el término a 13 y halla el valor de la serie con la fórmula (a 1 � a n )n/2. 2. Obtén el valor de la serie para n � 13 tér- minos, con el modelo 75n2 � 425n. Información histórica 1. Las series y sucesiones han sido estudia- das desde épocas muy antiguas. En Gre- cia, los pitagóricos se ocuparon de los números que se representan con figuras geométricas: 1 4 91 3 6 1 5 121 6 12 TriangularesTT Cuadrados Rectangulares Pentagonales 2. Existen relaciones y propiedades de los números figurados (o poligonales) que pueden estudiarse geométrica o algebrai- camente. Un cuadrado es la suma de dos trian- gulares. Un pentagonal: suma de triangular y cuadrado. Las diferencias sucesivas de triangu- lares son los naturales. 3. Ninguna de estas sucesiones es aritmé- tica. Grupo Editorial Patria® 57 Sugerencias para la autoevaluación 3A 1 a 3. Compara las restas sucesivas de dos términos consecutivos. 4 a 6. Revisa el ejemplo 3. Generaliza. ¿Quién es d en la fórmula? 7 a 12. a) Revisa el ejemplo 2. b) Revisa el ejemplo 3 y usa las fórmu- las para una serie. En 11 y 12 obtén d (en el 12 usa a n � a 1 � d (n �1)). 13. Usa la primera fórmula para una serie. 14. Halla el primer término y el último. 15. a) Halla la fórmula del n-ésimo término. Inicia con n � 0; n es natural. A ve- ces conviene que los naturales inicien en 0. b) Haz una tabla. 16. Usa cualquiera de las fórmulas para una serie aritmética. Revisa el ejemplo 4. 17. a) n es el lugar del término. Así, n � 3 indica el tercer número triangular: S 3 � 1 � 2 � 3 � 6. b) Ejemplo: el tercer número cuadrado es: S 3 � (1 � 2) � (1 � 2 � 3) � 9. c) Utiliza la fórmula para una serie arit- mética (número triangular n: 1 � 2 �� … � n). El número cuadrado n-ésimo es la suma de los números triangulares n y n � 1. En los ejercicios 1 a 3, a) indica cuáles sucesiones son aritméticas; b) obtén la diferencia común d. 1. 5, 9, 13, 21 2. �5, �8, �11, �14 3. 1, 4, 9, 16 En los ejercicios 4 a 6 escribe los cinco primeros términos de la sucesión. 4. a n � 4n � 1 5. a n � �3n � 2 6. a n � 5n En los ejercicios 7 a 12, a) halla la fórmula para el n-ésimo término; b) obtén los cuatro primeros términos de cada sucesión, y su suma. 7. a 1 � 7, d � 3 8. a 1 � �5, d � 5 9. a 4 � 10, d � 2 10. a 6 � 4, d � 1 2 11. n 1 2 3 4 a n ? 13 22 ? 12. n 1 2 3 4 a n 1.5 ? ? 3 En los ejercicios 13 y 14, obtén la suma de los términos de cada sucesión. 13. 2, 4, 6, 8, …, 100. 14. a n � �2n � 1; 30 primeros términos. 15. Telefonía celular Por el primer minuto de una llamada la compañía te cobra $ 5; por cada minuto adicional hace un cargo extra de $ 0.65. Obtén: a) Un modelo para el pago de una llamada con n minutos adicionales. b) Una lista de pagos por llamada con 0 hasta 10 minutos adicionales. 16. Sala de conciertos ¿Cuántos lugares posee la sala de conciertos, si cada fila aumenta dos asientos? 124 asientos 86 asientos 20 filas 17. Números figurados Asigna valores a la fórmula S n para la serie de los natu- rales y comprueba que: a) S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , … son los números triangulares. b) S 1 , S 1 � S 2 , S 2 � S 3 , S 3 � S 4 , … son los números cuadrados. c) Escribe el n-ésimo término de los números triangulares y cuadrados. Autoevaluación 3A BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números B3BLOQUE 58 Conocimientos Sucesión geométrica (an) n � Lugar del término (n � 1, 2, 3, ...) a 1 a 2 a 3 ... a 4 2 4 8 ... ? La razón (r) entre dos términos consecutivos es constante. (Aquí r � 2). Fórmula de la sucesión El término en el lugar n se halla con: a n � a 1 rn � 1 En este caso, a 4 � 2(24 – 1) � 2(23) �16. Para conteos desde 0, se utiliza: a n � a 0 rn a 0 a 1 a 2 a 3 ... a 4 1 3 9 27 ... ? Aquí, r � 3; a 4 � 1(34) � 1(81) � 81. Serie geométrica finita Es la suma de n términos de la sucesión: S n � a 1 � � 1 � rn 1 � r � � r 1 Así, en el ejemplo que inicia con a 1 : S 4 � 2 � � 1 � 24 1 � 2 � � � 2 � � � 15 �1 � � � 30 Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Sucesiones y series geométricas En Internet: www.ematematicas.net Situación didáctica Bienes raíces El valor comercial de una casa suele aumentar con el paso del tiempo, debido al aumento del valor tanto de la construcción como del terreno. La tabla consigna los valores que alcanzó una casa durante el periodo 2007-2009 mediante un incre- mento promedio de 12% anual. Esta misma infor- mación se muestra en la gráfica adjunta. 2,000 1,600 1,200 800 400 0 1 2 3 4 5 Años (0 ↔ 2007) P re ci o (1 ↔ 1 ,0 00 ) Año Incremento del precio (miles de $) Valor 2007 925 925 925(1.12)0 2008 925 � 0.12(925) 925(1 � 0.12) 925(1.12)1 2009 925 � 0.12(925) � 0.12(925 � 0.12(925)) 925(1 � 0.12)2 925(1.12)2 Escribe un modelo algebraico para determinar el valor de la casa en cualquier año n. Suponiendo que este modelo proporciona los valores para una década, ¿cuánto valdrá la casa en 2017?Análisis de la situación 1. Interpreta los datos y la gráfica ¿Qué significa un incremento promedio de 12% anual? ¿Qué cantidad de dinero representa 925? ¿Cuál fue el precio de la casa al inicio del periodo? 2. Explora la tabla ¿Por qué en el primer renglón de la tabla se consideran iguales 925 y 925(1.12)0? ¿Cómo se obtuvo 925(1 � 0.12), a partir de 925 � 0.12(925)? ¿Cómo se obtuvo 925(1 � 0.12)2 de la expresión que le antecede? ¿Observas un patrón de comportamiento, en la última columna? Si en la tabla reemplazas los años por 0, 1, 2, ¿observas alguna relación entre la primera y última columnas? ¿Sugieres algún modelo algebraico? 59Grupo Editorial Patria® Rúbrica de evaluación Elabora un reporte, en el cual: 1. Respondas las preguntas formuladas en el análisis de la situación. 2. Escribas la secuencia didáctica con las respuestas y operaciones correspondien- tes. 3. Expliques las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geomé- tricas. 4. Describas la forma en que se distribuyen gráficamente los puntos de una sucesión geométrica y los de una sucesión aritmé- tica, y por qué son puntos aislados. 0 1 2 30 31 32 Nivel Socios Ciclos 0 1 2 3 Horas 0 6 12 18 Cafeína (mg) 200 50 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 Secuencia didáctica Método 1 1. Si en la tabla aplicamos la equivalencia entre números y años utilizada en la gráfica, se observa una regula- ridad en los tres primeros renglones. De acuerdo con ésta, para los dos siguientes años (2010 y 2011) se tendrá: Año Valor 0 925(1.12)0 1 925(1.12)1 2 925(1.12)2 2. Generalizando esta regularidad, se obtiene el patrón de comportamiento: para el año n, el valor a n de la casa será: a n � 925( ___________ ) . Éste constituye nues- tro modelo algebraico. Método 2 1. Si exploramos los cocientes de los términos sucesivos de la última columna de la tabla, observamos que éstos son ______________ (iguales/distintos) y que la sucesión es ______________ (aritmética/geométrica): 925(1.12) 925 � ___________ 925(1.12)2 925(1.12) � ___________ 925(1.12) 3 925(1.12)2 � ___________ . 2. Aplicando la fórmula del n-ésimo término para esta sucesión, con a 0 � _______ , r � ________ obtenemos a n � ________ ( _________ ) (n � 0, ... ,9). Para el año 2017, n � 2017 � ___________ � ___________ . Usando este valor en la fórmula anterior, sabremos que la casa costará $ ___________ . Proyecto de trabajo 1. Mercadotecnia En las ventas multinivel las compañías reclutan personal pidien- do a cada una que consiga, por ejemplo, cuatro promotores, sucesivamente. a) Elabora un diagrama de árbol para una red de cuaternas, similar al que se muestra para ternas y registra la información en una tabla. b) Construye un modelo algebraico para predecir la cantidad de personas que habrá en el n-ésimo nivel de desarrollo de la red. c) ¿Cuántos socios distribuidores contendrá la red en el nivel 20? ¿Superaría esta cantidad a los habitantes de tu ciudad? 2. Niveles de cafeína La vida media de la cafeína en tu organismo es de seis horas. Una taza de café express contiene 200 mg de cafeína. a) Completa la tabla de valores de la derecha; a 0 � ________ , r � ________ . b) ¿Cuántas horas hay entre un ciclo y otro? Escribe un modelo algebraico (a n � ?) para saber cuánta cafeína retienes después de n ciclos de haber tomado una taza de café. c) ¿Cuánta cafeína subsiste en tu cuerpo después de 24 horas (n � 4 ciclos)? Verifícalo con la gráfica, la tabla y el modelo algebraico. d) En la gráfica: ¿cuántos miligramos de cafeína retienes en 15 horas? BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números60 Segmento informativo 3B Fíjate en lo siguiente... 1. La razón común es el cociente de un nú- mero y el anterior: 4 � 2 � 2; 16 � 8 � 2, … 2. Multiplicando sucesivamente por la ra- zón obtienes la sucesión geométrica: � � 2 � 2 � 2 � 2 4 8 16 32 64 ... Término n-ésimo de una sucesión geométrica a n � a 1 r n�1 Un término � El primero por la razón a la n � 1. (n � 1 es el lugar n que ocupa el térmi- no, menos 1.) Verifica tu avance ¿Forman una sucesión geométrica los múl- tiplos de un número? Obtén cocientes. Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... a) Como r � 2 , es decir, r � 1, la sucesión aumenta de valor (es creciente). b) Aquí la razón r � �1 es negativa (r � 0); la sucesión es alternante (en signo). c) La sucesión es decreciente porque r � 1. Verifica tu avance ¿De qué depende que una sucesión geométri- ca sea creciente o decreciente? Sucesiones y series geométricas Las sucesiones geométricas son secuencias ordenadas de números que tienen todos con su antecesor la misma razón (r 0). Sucesión 4, 8, 16, 32, 64 … 2 2 2 2 Razón Multiplicando cada número por la razón obtienes el siguiente; multiplicándola varias veces por el primero, obtienes cualquiera de ellos: Segundo Tercero Cuarto (4)(2) � 8, (4)(2)(2) � 16, (4)(2)(2)(2) � 32 … En general, la razón aparece como factor en el n-ésimo término, n � 1 veces. a 3 � (4) 22 � 16 es el tercer término a n � (4) 2n ��1 es el n-ésimo término Sucesión geométrica Sus términos tienen la forma: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … , a n , … a 1 , a 1 r , a 1 r2, a 1 r3, … , a 1 rn�1, … La suma S n de los términos de una sucesión geométrica es una serie. Sucesión Serie 3, 6, 12, 24, 48 3 � 6 � 12 � 24 � 48 � S 5 � 93 Las sucesiones geométricas y sus series pueden ser finitas o infinitas. Series geométricas Se obtienen con el primer término y la razón. Finitas r 1 � � a 1 1 � r � � (1 � rn) Infinitas a 1 1 � r si �r� < 1 La suma infinita no existe si �r� ≥ 1. Ejemplo 1 Escribiendo sucesiones geométricas Escribe los cinco primeros términos de cada sucesión. a) a 1 � 1, r � 2 b) a 1 � 2.5, r � �1 c) a 1 � 5; r � 1 2 Solución a) 1, 2, 4, 8, 16, … b) 2.5, �2.5, 2.5, �2.5, 2.5, … c) 5, 5 2 , 5 4 , 5 8 , 5 16 , ... 61Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Fíjate en lo siguiente... 1. Con a 1 y r también puedes hallar térmi- nos multiplicando sucesivamente por la razón: a) 2, 2 � 1.5 � 3, 3 � 1.5 � 4.5, … b) 3, 3 � 3 � 9, 9 � 3 � 27, … 2. Puedes simplificar: a n � 3(3n � 1) � 3n. Verifica tu avance Con la fórmula para a n obtén el valor del tér- mino a 8 en cada sucesión del ejemplo 2. Ejemplos 3 y 4 Estas expresiones son equivalentes: a 1 1 � r (1 � rn) � a 1 (1 � rn) 1 � r � a 1 � � 1 � rn 1 � r � � S n � Suma finita; S ∞ � Suma infinita Información histórica Las paradojas que planteó Zenón de Elea en la antigua Grecia involucraban series infini- tas. Todavía en la segunda mitad del siglo xix éstas no estaban resueltas. En 1851, Bolzano publicó un libro titulado Las paradojas del infinito, donde comenta- ba los resultados contradictorios de series geométricas infinitas como a � a � a � a � a � a � … , que, según se agrupara, daba tres resultados distintos: 1. (a � a) � (a � a) � (a � a) � …. � 0 2. a � (a � a) � (a � a) � (a � a) � …. � a 3. S � a � (a � a � a � a ��…) � a � S S � a/2 En 1854, el matemático alemán Riemann aclaró muchos aspectos de la convergencia de las series. Series como la anterior se deno- minan oscilantes porque no tienen un valor fijo. Actualmente se acepta que tales sumas no existen, pues no están definidas. Ejemplo 2 Obteniendo y usando el n-ésimo término Halla la fórmula para el n-ésimo término de cada sucesión. Escribe los primeros cuatro términos y el n-ésimo. a) Primer término a 1 � 2, r � 1.5. b) Cuarto término a 4 � 81, r � 3. Solución a) a n � a 1 r n ��1 Fórmula � � � � 2(1.5)n ��1 Sustituyendo a 1 por 2 y r por 1.5 Los términos de la sucesión son: 2, 2(1.5)1, 2(1.5)2, 2(1.5)3, …, 2(1.5)n ��1, … b) Para escribir el n-ésimo término se requieren a 1 y r. Se desconoce a 1 . a n � a 1r n ��1 Fórmula a 4 � a 1 (34 �1) Sustituyendo n por 4 y r por 3 81 � a 1 (33) Sustituyendo a 4 por 81 y restando 3 � a 1 Dividiendo entre 27 en ambos lados Por tanto a n � a 1 r n ��1 � 3(3n ��1). Los términos de la sucesión son: 3, 3(3)1, 3(3)2, 3(3)3, 3(3)4, …, 3(3)n ��1, … Ejemplo 3 Hallando series geométricas finitas a) 1 � 2 � 4 � 8 � 16 � 32 � 64 � ? b) 1 2 � 1 4 � 1 8 � 1 16 � ? Solución a) a 1 � 1, r � 2 b) a 1 � 1 2 ; r � 1 2 S 7 � � � a 1 1 � r � � (1 � rn) � 1(1 � 2 7) 1 � 2 � 128 S 4 � a 1 � � 1 � rn 1 � r � � � � � 1 2 � � 1 � � � 1 2 � � 4 1 � 1 2 � 15 16 Ejemplo 4 Determinando series geométricas infinitas a) 1 � 2 � 4 � 8 � 16 � 32 � 64 ��… � ? b) 1 2 � 1 4 � 1 8 � 1 16 � ... � ? Solución a) a 1 � 1, r � 2. No existe la suma porque �2� � 1. b) a 1 � 1 2 , r � 1 2 S� � a 1 1 � r � � � 1 2 � � 1 � 1 2 � 1 BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números62 Zenón de Elea 490-430 a.C. Discípulo del filósofo Par- ménides, fundamentó con paradojas (razonamientos que encierran una contra- dicción) las tesis de que el movimiento es ilusorio y por tanto la realidad es invariable. Sus tres más famosas paradojas son: 1. Aquiles y la tortuga Si ésta sale con una venta- ja, aquél no la alcanzará nunca, ya que a) deben recorrer los mismos puntos del camino; b) cada vez que Aquiles llega a un punto donde pasó la tortuga ésta ya pasó a otro debido a que se está moviendo (aunque acorte la distancia). 2. La flecha en movimiento En cada instante debe estar en un sitio. Si en todos los instantes está en un sitio fijo, ¡está inmóvil! 3. La dicotomía Para recorrer un tramo primero debes alcanzar su mitad. Como esto ocurre para cada nuevo tramo, ¡el movimiento nunca inicia! A B F ¿Punto inicial? E D C Ampliando el conocimiento 1. Las fibras ópticas son filamentos transparen- tes de unas 10 micras de diámetro, hechos con vidrio y plástico especial, que transmiten la luz mediante reflexiones en su interior. 2. Un haz de fibras de 1 cm2 de diámetro puede contener cerca de 50,000 fibras, que se recu- bren con una película especial para evitar la transmisión entre ellas. 3. Por su aislamiento, ligereza y flexibilidad las fibras ópticas han extendido su uso a la telefo- nía y a la iluminación decorativa y de fibros- copios para sitios recónditos. 4. Para transmitir imágenes unas fibras mandan un haz luminoso al objeto y otras recogen su reflexión formando en una pantalla una ima- gen por puntos (uno por cada fibra). 5. En medicina, los endoscopios, artroscopios, cardioscopios, etc., son fibroscopios a los que se adicionan dispositivos para exploración, toma de muestras y cirugías. Ejemplo 5 Juegos infantiles Alzas a tu hermanita en el columpio lo más alto posible y la sueltas una sola vez para evitar impulsarla a cada momento. En cada regreso el columpio recorre 3 4 de la distan- cia anterior, hasta que, con el enojo de tu hermanita, lo detienes después de 15 oscila- ciones. Si en el primer envío recorrió 4.8 m: a) ¿Cuáles fueron las primeras cinco distancias recorridas por el columpio? b) ¿Cuánto avanzó el columpio en el décimo vaivén? c) ¿Cuántos metros viajó en total tu hermanita? Solución a) Movimiento 1 2 3 4 5 Distancia m 4.8 3.6 2.7 2.03 1.52 � 0.75 � 0.75 � 0.75 � 0.75 b) Modelo para el n-ésimo movimiento: a n � a 1 r n ��1 � 4.8 (0.75)n ��1 Por tanto: a 10 � 4.8 (0.75)9 � 0.36 m. En el décimo vaivén avanzó 36 cm. c) La sucesión es finita, con a 1 � 4.8, r � 3/4 � 0.75, n � 15. S 15 � � � a 1 1 � r � � (1 � rn) � 4.8(1 � 0.75 15) 1 � 0.75 � 18.94 m. Viajó cerca de 19 metros. Ejemplo 6 Fibras ópticas La luz que conduce una fibra óptica se refleja miles de ve- ces en su interior y pierde a lo largo de un kilómetro 25% de su intensidad. Las superficies más brillantes, como los espejos planos, conservan en cada reflexión externa 97% de la intensidad de la luz. a) ¿Cuánta luz transmiten después de 100 reflexiones dos filas de espejos planos colocados frente a frente? b) Haz un modelo algebraico para la intensidad de luz que conserva una fibra óptica de n kilómetros de longitud. Calcula ésta para n � 2 km. Solución I1I 0.97I 0.972I 0.973I I2 I3 a) I 1 � 0.97 I, r � 0.97. La intensidad I n después de n reflexiones en los espejos es: I n � (0.97 I) (0.97)n ��1 � I (0.97)n. Por tanto, I 100 � I (0.97)100 � 0.048 I. Después de 100 reflexiones, sólo hay una transmisión del 0.048 � 4.8%. b) La intensidad I n de la luz en la fibra óptica al recorrer n kilómetros es: I n � (0.75I)(0.75)n ��1 � I (0.75)n. Para n � 2 km: I 2 � I (0.75)2 � 0.56 I. Después de miles de reflexiones en la fibra de 2 km, la transmisión es de 56%. Grupo Editorial Patria® 63 Sugerencias para la autoevaluación 3B 1 a 4. Halla las razones sucesivas. ¿Coinci- den? 5 a 10. Revisa los ejemplos 1 y 2. 11 a 13. En 11 no se aplica la fórmula ¿Por qué? 12 y 13, revisa los ejemplos 2 y 3. 14 a 16. Revisa ejemplo 4 y recuadro inicial. 17. En los tres casos puedes usar la fórmula ¿Por qué? En b y c escribe unos térmi- nos. Generaliza. ¿Cómo son los periodos? 18. Haz un diagrama. 4a 3a 2a 1a 19. En cada etapa los arcos se dividen en dos. Explora más lados y divisiones de los arcos. 20. Una cámara de aire separa las paredes interior y exterior. a) Serie infinita columna 1. b) y c) Revisa el ejemplo 6. 1/4 1/16 1/16 1/1616 1/64 1/321 1/32/ 1/4/4 1/81/ 1/2/ 1/2 1 Ejercicios adicionales 1. Usa el modelo del ejercicio 18 para explicar la difusión de un rumor. 2. Usa la serie del ejemplo 4b) para re- solver la paradoja de la dicotomía de Zenón. 3. Fractal Copo de nieve Comprueba para n � 3, 4, 5, … que a n � 24(3)n ��1, cuantifica los “dedos” entrantes y sa- lientes en la etapa n. 1 2 3 24 72 4 En los ejercicios 1 a 4, determina cuáles sucesiones son geométricas. 1. 2, 4, 6, 8, ... 2. �3, 9, �27, 81, ... 3. 1 2 , 3 10 , 9 50 , 27 250 , ... 4. 1, 4, 9, 16, ... En los ejercicios 5 a 7, obtén los primeros cinco términos de cada sucesión. 5. a n � 6(1)n 6. a n � 1(0.5)n 7. a n � 1.5(2)n En los ejercicios 8 a 10, a) Halla la fórmula para el n-ésimo término y obtén el séptimo término de cada una. b) Escribe los primeros cinco términos. 8. a 1 � 15, r � 1 9. a 1 � �2, r � ��3 2 10. a 4 � 2, r � 0.5 En los ejercicios 11 a 13 halla la suma S n de la serie finita. 11. 8 � 8 � 8 � 8 12. a n � 6(1.8)n, S 3 � ? 13. 4, �8, 16, �32 En los ejercicios 14 a 16, halla la suma S ∞ de la serie infinita (si existe). 14. 1, 1 4 , 1 16 , 1 64 , … 15. 9, �3, 1, ��1 3 , … 16. a n � 6(1.8)n 17. Notación decimal Encuentra la suma de la serie infinita (n � 1, 2, 3,…). a) 0.999 � 9 10 � 9 102 � 9 103 � ... b) a n � 3(0.1)n c) a n � 27(0.01)n 18. Antepasados Se dice que antes había más gente porque cada persona tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos, etc. a) Halla un modelo para la cantidad de antepasados; b) ¿cuántos tenías hace ocho generaciones? 19. Geometría Obtén una fórmula para el número de lados según la etapa n. a) b) 20. Temperatura Las paredes interior y exterior de un termo reflejan la mitad de la onda de calor (o frío) que choca contra ellas y dejan escapar la otra mitad. a) ¿Cuánto calor (o frío) dejan salir ambas paredes al exterior? b) Escribe un modelo para la n-ésima reflexión y otro para la n-ésima radiación exterior. Autoevaluación 3B BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números64 Rúbrica Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Bienes raíces” del Bloque 3B. Nombre del alumno: Instrumentos de evaluación Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev alua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. Desarrollo Explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas. Describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética. Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas. Presenta todos los pasos con las justificaciones solicitadas para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas. Explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas. No describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética. Presenta todos los pasos para calcular todas las cantidades y expresiones pedidas pero sin las justificaciones solicitadas. No explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas. No describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética. Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación. No explica las características y diferencias de las sucesiones aritméticas y geométricas. No describe la forma de distribución gráfica de los puntos de una sucesión geométrica y una aritmética. Dominio del tema Identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas. Calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas. Calcula correctamente porcentajes. Identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas. Calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas. No calcula correctamente porcentajes. Identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas. No calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas. No calcula correctamente porcentajes. No identifica correctamente sucesiones y series aritméticas y geométricas. No calcula correctamente la diferencia o la razón de sucesiones aritméticas y geométricas. No calcula correctamente porcentajes. Resultados y conclusiones Obtiene la expresión matemática correcta del valor de la casa para cualquier año n y con ella calcula correctamente el valor que tendrá la casa en el año 2017. Obtiene la expresión matemática correcta del valor de la casa para cualquier año n y con ella calcula incorrectamente el valor que tendrá la casa en el año 2017. Obtiene una expresión matemática incorrecta del valor de la casa para cualquier año n debido a que calculó mal a0 o r y con ella calculó incorrectamente el valor que tendrá la casa en el año 2017. Obtiene una expresión matemática incorrecta del valor de la casa para cualquier año n debido a que calculó mal a0 y r y con ella calculó incorrectamente el valor que tendrá la casa en el año 2017. Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Desarrollo SÍ NO Observaciones 5. Contesta correctamente las preguntas de las secciones “Explora la gráfica” e “Interpreta la gráfica”. 6. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Apertura de un restaurante” del Bloque 3A. Lista de cotejo Grupo Editorial Patria® 65 Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 12. Determinó correctamente en qué año la ganancia es de un millón de pesos. 13. Determinó correctamente el modelo algebraico para predecir las ganancias anuales. 14. Calculó correctamente la ganancia en el año 2015. 15. Calculó correctamente la ganancia en el año 2020. 16. Calculó correctamente la ganancia para la década indicada en la gráfica. 7. Explica el significado de la diferencia d de la serie aritmética en el contexto del problema. 8. Explica claramente por qué la serie aritmética para los 10 primeros términos de la sucesión no proporciona las ganancias del restaurante en la década indicada. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Dominio del tema SÍ NO Observaciones 9. Calcula correctamente el enésimo término de una sucesión aritmética. 10. Calcula correctamente la serie aritmética para los n primeros términos de la sucesión aritmética. 11. Interpreta correctamente la escala de los ejes coordenados en una gráfica. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Cálculo de sucesiones y series aritméticas. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. Guía de observación para el proyecto de trabajo “Pulseras artesanales” del Bloque 3A No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Calcula correctamente el costo de una pulsera con 20 piedras. 2 Grafica el costo de la pulsera contra el número de piedras que posee. 3 Determina a partir de la gráfica el costo de una pulsera con 28 piedras. 4 Determina a partir del modelo algebraico el costo de una pulsera con 28 piedras y verifica que es igual al obtenido en el punto 3. 5 Determina el costo de un lote de pulseras, que incluye una con 17 piedras, otra con 18 y así sucesivamente hasta una con 30 piedras e indica cuánto vale a 1 en este caso. 6 Indica cuál es la diferencia en pesos en el precio entre una pulsera y otra con una piedra de más. *No aplica. Realizas transformaciones algebraicas I Competencias a desarrollar n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales utilizando para ello el lenguaje algebraico. n Formula y resuelve operaciones básicas con polinomios de una variable, productos notables y factorizaciones, aplicando diferentes enfoques. n Explica e interpreta los resultados obtenidos en la factorización y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos 10 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Identifica las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios de una variable. n Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. n Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicación de binomios. n Comprende las diferentes técnicas de factorización como de extracción de factor común y agrupación de trinomios cuadradosperfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos. n Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización. n Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos. ¿Qué sabes hacer ahora? La vista siempre debe aprender de la razón. Johannes Kepler La astronomía y la matemática siempre han ido de la mano. Los relojes de Sol son un ejemplo de ello: datan de fechas muy antiguas y se conservan hasta nuestros días en forma de bellas piezas de ornato, tanto en casas particulares como en museos, lo mismo que en modernas y majestuosas formas escultóricas ubicadas en espacios urbanos abiertos. Su construcción requiere diversos conocimientos, además de cuidadosos cálculos matemá- ticos. BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I A4BLOQUE 68 Conocimientos Términos semejantes Poseen igual parte literal. � x2 5x2 �3x2 2 3 x2 Suma de polinomios Sumar términos semejantes. (4x2 �7x �13) � (12x � 5) � � � � � (4x2) � (�7x � 12x) � (�13 � 5) � � � � � 4x2 � 5x � 8 Resta de polinomios Cambiar signo al sustraendo y sumar los polinomios. (10x2 � 9) � (2 � 8x �15x2) � � � � � 10x2 � 9 � 2 � 8x � 15x2 � � � � � 25x2 � 8x � 7 Multiplicación de polinomios Cada término de un polinomio se multiplica por todos los del otro. (2 � 5x)(�3x2 � x � 6) � � � � � 2(�3x2) � 2(x) � 2(6) � � � � � ����5x(�3x2) �5x(x) �5x(6) Realizando estos productos se obtiene: � � � �6x2 � 2x � 12 �15x3�5x2 �30x Al sumar: � 5x3 �11x2 �28x � 12 Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Suma, resta y multiplicación de polino- mios En Internet: www.juntadeandalucia.es/averroes/ iesdiegogaitan/departamentos/ departamentos/departamento_de_matemat/ recursos/algebraconpapas/index.php Situación didáctica Embalaje de piezas Para resguardar las piezas de cristal y hacer seguro su transporte, en cada caja se usan separadores que las protegen de choques entre ellas y de golpes externos. Las dimensiones de los separadores se relacionan con las del interior de la caja, como muestran los diseños de embalaje. Con estas relaciones pueden construirse cajas de distinto tamaño. 4x + 1.5 3x + 1 0.5 cm 3x 3x + 0.5 3x + 2 4x + 2.5 Si x representa 5 cm, ¿cuáles serían las dimensiones de la caja? ¿Cuál expresión, simplificada, posibilita obtener el volumen del separador? ¿Y el de la caja? ¿Y el del espacio libre en ésta? Calcula con estas expresiones algebraicas, para x � 10 cm, el volumen total de la caja y su espacio libre. Análisis de la situación 1. Información Los embalajes son empaques hechos de diversos materiales, que contienen elementos individualizados ajustados a piezas específicas para preser- varlas dentro de un recipiente general. 2. Exploración Determina el espacio libre en el interior de la caja para las piezas de cristal, en los casos siguientes: Valor de x (cm) Volumen (cm3) Separador Interior caja Espacio libre 4 444 6 9,805 10 69Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Para x � 5 cm, las dimensiones de la caja serían: Largo: 4x � 2.5 � 4( ) � 2.5 � ____________ cm Alto: 3x � 0.5 � 3( ) � 0.5 � ____________ cm Ancho: 3x � 2 � 3( ) � 2 � ____________ cm 2. El volumen del separador es la suma de los volúmenes que ocupan las cinco hojas que lo forman: 2 hojas largas � 3 hojas cortas 2(0.5)(3x)(4x � 1.5) � 3(0.5)( )( ) �� 3. El volumen de la caja se obtiene mediante el producto: Largo � alto � ancho (4x � 2.5)( )( ) �� 4. El espacio libre en la caja se obtiene mediante la diferencia: Volumen de la caja � volumen del separador � � ��� �� 5. Sustituyendo el valor x � 10 cm en las expresiones anteriores para el volumen, se determina que la caja ocupa un volumen de ____________ cm3 y que el espacio libre que deja el separador es de ____________ cm3. El volumen de la caja puede corroborarse obteniendo, para x � 10, su largo, alto y ancho, y el producto de estas tres dimensiones. Proyecto de trabajo 1. Consumo de frutas La gráfica muestra el consumo de fresas y el de manzanas durante un año. a) ¿Cuál fue el consumo de cada fruta en junio? b) Asocia cada curva con su modelo algebraico: M � 1.5x2 ��10.3x ��132; F � �0.7x2 � 12.8x � 61. c) Halla un modelo algebraico similar para el con- sumo de ambas frutas y verifícalo para el mes de junio. 2. Venta de postres El modelo T � 0.08x2 � x � 21, (x � 1� día 1) indica la ven- ta acumulada de sorbetes y merengues en una pastelería, al día x de un mes, y S � 0.60x � 17, la venta de sorbetes. a) ¿Cuántos sorbetes y merengues vendieron hasta el día 10? ¿Cuántos sorbetes únicamente? ¿Cuántos merengues? b) Halla un modelo algebraico para la venta de merengues al día x. c) Con este modelo, ¿cuántos merengues vendieron al día 10? ¿Y al 31? d) ¿Cuál gráfica corresponde a cada modelo algebraico? Rúbrica de evaluación Realiza un reporte de la actividad en el que incluyas: 1. El cálculo de los valores faltantes en la tabla para el análisis de la situación. 2. Los desarrollos y simplificaciones de las operaciones algebraicas efectuadas en la secuencia didáctica para la obtención de los modelos para los volúmenes de l sepa- rador, de la caja y del espacio libre dentro de ésta. 3. Un análisis comparativo de los cálculos particulares realizados en la tabla del aná- lisis de la situación, con el cálculo de estos volúmenes con los modelos obtenidos en la secuencia didáctica. 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 M il es d e to n 0 � enero BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I Segmento informativo 4A 70 Suma, resta y multiplicación de polinomios Las siguientes expresiones algebraicas de sumas son polinomios. 5x3 � 2x � 7 �6x4 x2 � 1 2 x 3x � 1 En cada una, los sumandos o términos tienen la forma axn. Polinomio en una variable Es cualquier suma de términos de la forma axn (a número real —no todos cero—; n entero no negativo) a es el coeficiente y n el grado del término. Para 5x3 � 2x � 7 se tiene: Término 5x3 2x �7 Coeficiente 5 2 �7 Grado 3 1 0 El término con mayor grado indica el coeficiente principal y el grado del polinomio. Así, el grado de 5x3 � 2x �7 es 3 y su coeficiente principal es 5. Al sumar, restar o multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva. Suma, resta y multiplicación de polinomios Suma Resta Multiplicación Asocia términos Suma el simétrico Distribuye uno semejantes del sustraendo de los factores Suma Resta Multiplicación (4x) � (3x � 5) (4x) � (3x � 5) (4x)(3x � 5) � (4x � 3x) � 5 � (4x) � (�3x � 5) � 4x (3x) � 4x(5) � (4 � 3)x � 5 � (4 �3)x � 5 � 12x2 � 20x. � 7x � 5. � x � 5. El resultado está simplificado cuando NO contiene términos semejantes. Ejemplo 1 Identificando polinomios Clasifica cada polinomio e identifica el grado y el coeficiente principal. a) �6 b) �6x c) 3x � 1 d) x2 � 1 2 x e) �x2 � 3x � 4 Solución Polinomio Nombre Coeficiente principal Grado a) �6 Monomio �6 0 b) �6x Monomio �6 1 c) 3x � 1 Binomio 3 1 d) x2 � 1 2 x Binomio 1 2 e) �x2 � 3x � 4 Trinomio �1 2 Recuerda 1. La sustracción es una suma con el simé- trico. 2. Los enteros no negativos son los natura- les y el cero: 0, 1, 2, 3, 4,…. 3. Los términos semejantes tienen la misma parte variable. Así, son semejantes: 4x2, �x2, � 3 x2, ��1 2 x2. Nombres de polinomios Monomios Un término Binomios Dos términos Trinomios Tres términos Observaciones importantes 1. Un polinomio escrito en forma estándar, tiene sus potencias en forma decreciente. Forma estándar No estándar 5x3 � 2x � 7 2x � 5x3 � 7 2. Cuando se escriben TODOS los coefi- cientes, los de potencias faltantes son cero: 5x3 � 2x � 7 � 5x3 � 0x2 � 2x � 7 Verifica tu avance Explica por qué: a) El grado del término constante es 0. b) El coeficiente principalno puede ser 0. Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... a) �6 � �6(1) � �6x0. e) �x2 � (�1)(x2). 71Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Sumando polinomios Obtén la suma de �x2 � 3x � 4 y 5x2 � x � 1. Solución (�x2 � 3x � 4) � (5x2 � x � 1) � (�x2 � 5x2) � (�3x � x ) � (4 � 1) � 4x2 � 2x � 3. Ejemplo 3 Restando polinomios Resta x3 � 6x2 � x � 1 de �4x3 � x2 � 11. Solución (�4x3 � x2 � 11) � (x3 � 6x2 � x � 1) � �4x3 � x2 � 11 � x3 � 6x2 � x � 1 � (�4x3 � x3) � (�x2 � 6x3) � x � (11 � 1) � �5x3 � 5x2 � x � 12. Ejemplo 4 Multiplicando polinomios Halla el producto (x � 4)(x � 6). Solución (x � 4)(x � 6) � x(x � 6) � 4 (x � 6) Distribuye el factor (x � 6) � x2 � 6x � 4x � 24 Distribuye x y 4 � x2 � 2x � 24 Suma términos semejantes Cada término se multiplica por todos los del otro factor. Puedes distribuir (x � 4) también: (x � 6)(x � 4) � x(x � 4) � 6(x � 4) � x2 � 2x � 24. Ejemplo 5 Multiplicando binomios conjugados Obtén el producto (x � 4)(x � 4). (Dos binomios conjugados difieren en el signo que une los términos.) Solución (x � 4)(x � 4) � x(x � 4) � 4(x � 4) � x2 � 4x � 4x � 42 � x2 � 16. Ejemplo 2 Ampliando el conocimiento Alineando términos semejantes puedes usar un arreglo vertical para sumar polinomios. Ejemplo: sumar x3 � 3x2 � x � 8 y x2 � 10. x3 � 3x2 � x � 8 x2 �� 10 x3 � 2x2 � x � 2 Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... Sustracción de un polinomio Para sustraer un polinomio debes restar cada uno de sus términos (cambia el sig- no a cada término del sustraendo). Ampliando el conocimiento Puedes restar en un arreglo vertical. Ejem- plo: Sustraer 2x3 � x � 5 de 4x3 � x2 � x � 8. 4x3 � x2 � x � 8 4x3 � x2 � x � 8 � ��(2x3 � x � 5) �� �2x3 � x � 5 2x3 � x2 � 3 Ejemplo 4 Ampliando el conocimiento Puedes usar un arreglo vertical tipo numé rico. Escribe ambos polinomios en forma estándar. 7x3 � x2 � 5x � 2 �� x � 3 �21x3 � 3x2 � 15x � 6 7x4 � x3 � 5x2 � 2x 7x4 � 22x3 � 8x2 � 17x � 6 En el primer renglón escribes el producto �3 (7x3 � x2 � 5x � 2). En el segundo renglón escribes el producto x(7x3 � x2 � 5x � 2). En el tercer renglón sumas ambos productos. BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I72 Ejemplo 6 Bolsas de papel reciclado Un modelo de bolsa de papel reciclado que produce una compañía de productos or- gánicos se obtiene de una lámina con el diseño mostrado en la figura. Los recortes —indicados en verde— se utilizan para elaborar las asas. a) Describe el área del papel y de las caras de la bolsa con expresiones algebraicas. b) ¿Cuáles son las dimensiones de la lámina y la bolsa si x � 8 cm? c) En este caso, ¿cuánto papel consumen las caras de la bolsa? 2x 2x xx 40 cm 4x 4x2x Solución a) Área de la lámina (L) � Largo � Ancho � 2(2x � 4x) (40 � 2x) � 12x (40 � 2x) � 480x � 24x2. Área de las caras de la bolsa (C) � Área de la lámina (L) � Área de las asas (A) � (480x � 24x2) � 8x2 � 480x � 16x2. b) Para x � 8 cm el papel tendrá 56 cm de alto y 96 cm de largo; para esta lámina las dimensiones de la bolsa serán 16 � 32 � 40 cm. c) 4,864 cm2. C � 480(8) � 16(64), o bien, C � L � A � 5,376 � 512. Ejemplo 6 1. Área de las asas: A � x(4x) � x(4x) � 8x2. 2. El área de la lámina de papel puedes ob- tenerla de dos formas: L � 56 � 96 � 5,376 cm2; L � 480x � 24x2 � 480(8) � 24 (64). Ampliando el conocimiento 1. La piedra y la arcilla fueron los primeros soportes de escritura usados por el hombre. La fibra vegetal del papiro fue incorpo- rada para tal fin, en 3000 a.C. por los egipcios. 2. En Pérgamo (Asia Menor, 300 a.C.) se creó el pergamino con piel seca o curtida de animales. En el siglo ii d.C. China ela- boró con fibra vegetal hojas de papel muy similares a las actuales. 3. El secreto de su fabricación se conser- vó 600 años, hasta que lo obtuvieron los árabes y lo difundieron en África, Asia y Europa, donde la imprenta y el avance tecnológico modificaron la producción artesanal. 4. La actual escasez de materias primas (dis- minución de reservas forestales a 50%) y los procesos químicos contaminantes han conducido al reaprovechamiento de recursos. 5. El reciclaje del papel econo- miza energía y evita la con- taminación de aguas y la deforestación: 1 ton de papel ahorra 3 m3 de madera y preserva 15 árboles medianos. 73Grupo Editorial Patria® 1. Describe un polinomio en una variable. 2. Identifica los términos de: �3x3 � 2x2 � 5. 3. Escribe todos los coeficientes de: a) 4x2 � x � 10 b) x3 � 6x � 9. 4. Escribe en forma estándar �24x � 8 � x2 � x3. 5. Nombra cada polinomio e indica su grado y su coeficiente principal. a) 12x � 1 b) x4/3 c) �9x2 � 4x � 35 6. ¿Por qué (x3 � 4x � 5) � (2x2 � 7x � 35) x3 � 4x � 5 � 2x2 � 7x � 35? 7. ¿Por qué razón x4 � x�3 � x2 � 18 NO es un polinomio? En los ejercicios 8 al 13 obtén las sumas indicadas. 8. (4x � 3) � (�8x � 1) 9. (8x � 7) � (1 � 3x) 10. (x3 � 9x) � (x2 � 2x � x3) 11. (�x4 � 7) � (x4 � 7) 12. (x2 � 2x � x3) � (x4 � x) 13. (�0.2x2 � 18) � 0.4x2 Ejercicios 14 a 19. Efectúa las restas indicadas. 14. (4x � 3) � (�8x �1) 15. (8x � 7) � (1 � 3x) 16. (x3 � 9x) � (x2 � 2x � x3) 17. (�x4 � 7) � (x4 � 7) 18. (x2 � 2x � x3) � (x4 � x) 19. 0.4x2 � (�0.2x2 � 18) Ejercicios 20 a 34. Obtén cada producto. 20. 6(3x � 2) 21. �5x(x2 �2x � 9) 22. x2(x2 � 2x � 1) 23. (x � 1)(x � 5) 24. (x � 7)(8x � 3) 25. (18 � x2)(x � 2) 26. (x � 5)2 27. (x � 5)3 28. (6x � 3)2 29. (x � 10)(x � 10) 30. (x �� 2 )(x � � 2 ) 31. (2x2 � 1)(2x2 � 1) 32. (x � 1)(2x3 � x2 � x) 33. (x2 � 6x �15)(�x2 � x) 34. (x2 � x � 5)2 35. Marco para fotografía Escribe un modelo algebraico para el área que debe tener un marco de pewter para una foto con las medidas indicadas. 12 cm x x x x 9 cm Autoevaluación 4A Sugerencias para la autoevaluación 4A 1. Revisa el primer recuadro del inicio. 2. Los términos están separados por � o �. 3b) Escribe las potencias faltantes. 4. Ordena potencias en forma decreciente. 5. Revisa el ejemplo 1. 6. Revisa el ejemplo 3 y el recuadro en el margen. 7. ¿Cómo deben ser los exponentes? 8 al 13. Revisa el ejemplo 2. Haz las sumas en forma horizontal y vertical. 14 al 19. Revisa el ejemplo 3. Usa arreglos horizontales y también verticales. Cam- bia el signo de cada término del sus- traendo. 20 a 22. Distribuye el monomio. 23 a 25. Distribuye los términos del primer binomio (o los del segundo). Ejemplo 4. 26 y 28. Multiplica cada binomio por sí mis- mo. Simplifica términos. 27. Recuerda: (x � 5)3 � (x � 5)2(x � 5). 29 al 31. Los binomios son conjugados. Re- visa el ejemplo 5. En el ejercicio 30 re- cuerda: (� 2 )(� 2 ) = (� 2 )2 = ? 32 y 33. Multiplica cada término de uno de los factores, por todos los del otro. 35. Resta áreas. Revisa el ejemplo 6. BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I74 B4BLOQUE Situación didáctica Cultivo y venta de pescado El estado de México posee lugares propicios para el cultivo de truchas, debido al clima en esas regiones. La venta en dicho estado, de esos pescados ya preparados, puede modelarse con I � 120x � 0.04x2 � xp. En estos modelos, I es el ingreso generado por las ventas (en cientos de pesos); x representa la cantidad de truchas vendidas (en cientos) y p es el precio promedio de venta de cada una. La gráfica muestra la relación entre los precios y los ingresos. 96,000 Venta de truchas Precio p (pesos) In gr es o I ( en c ie nt os ) 64,000 32,000 0 8 24 40 56 72 88 104 120 I = 3,000p − 25p2 ¿Cuál es el ingreso por la venta de 20 cientos de truchas? ¿Cómo obtendrías el precio promedio de venta de cada trucha? ¿Para cuántas truchas funciona este modelo? ¿Podrías determinar el ingreso conociendo únicamente el precio de venta prome- dio de cada trucha? ¿Cuál fue éste, cuando el precio promediopor trucha prepa- rada fue de $90? Análisis de la situación 1. Explora los modelos ¿De qué depende el ingreso I en la expresión I � 120x � 0.04x2? ¿Qué expresa la igualdad I � xp? ¿Cómo obtendrías el precio promedio p, conociendo I y x? 2. Interpreta la gráfica ¿Qué variables están relacionadas en la gráfica? ¿Cuál se- ría el mejor precio promedio para una trucha? ¿Puedes determinarlo con preci- sión? ¿Por qué la gráfica desciende a la derecha después de ese punto? ¿A qué atribuyes la fluctuación en los precios? Conocimientos Productos notables Binomios con un término común (x � 5)(x � 6) � x2 � x(5 � 6) � 5(6) (a � 3)(a � 2) � a2 � a(3 � 2) � (3)(� 2) Binomios conjugados (x � 4)(x � 4) � x2 � 42 (2x � 1)(2x � 1) � (2x)2 � 12 Binomios al cuadrado (x � 5)2 � x2 �2(5)(x) � 52 (x � 5)2 � x2 �2(5)(x) � 52 Factorizaciones básicas a) Factor común x2 � 2x � x(x �2) 12x3 � 6x2 � 3x � 3x(4x2 � 2x � 1) b) Diferencia de cuadrados x2 � 42 � (x � 4)(x � 4) (2x)2 � 12 � (2x � 1)(2x � 1) c) Trinomios cuadrados perfectos x2 �2(5)(x) � 52 � (x � 5)2 x2 �2(5)(x) � 52 � (x � 5)2 Volumen de cilindros h Base V = área de la base × altura πr2 × h Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Productos de binomios Factorización de expresiones algebraicas En Internet: Op. cit. Bloques 3A, 4A 75Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Sustituyendo x por 20 en I � 120x � 0.04x2 se halla el ingreso por la venta de 20 cientos de truchas: I � 120( ) � 0.04( )2 � 2. El modelo I � xp permite obtener el precio promedio por trucha: p � 1 x . Para este caso, p � 120x � 0.04x 2 x � 20 � $ ______________ . 3. Una expresión sencilla para p puede hallarse simplificando el cociente anterior, o bien escribiendo I � 120x � 0.04x2 en la forma de producto: I � xp � 120x � 0.04x2 � x(120 � ). El segundo factor debe ser p, es decir, p � (120 � ). 4. El número máximo de truchas para el cual aplica el modelo es cuando p � 0 (las truchas son gratis, el ingreso es 0). Al resolver (120 � ) � 0, x � _________ , es decir, ____________ × 100 � ____________ truchas. 5. Para expresar el ingreso I en términos del precio p, se despeja la variable x en p � (120 � ) y se obtiene x � 3,000 ��_________ . Se sustituye esta expresión en el modelo I � 120x � 0.04x2. Al simplificar, resulta I � 3,000p ��________ � 25p( � ). 6. Sustituyendo en este modelo p por $90 se obtiene como ingreso I ��_________ (en cientos de pesos), es decir, _________ × 100 � $ _________ . Proyecto de trabajo 1. Venta de flores La ganancia en cualquier negocio se calcula restando a los ingresos netos los costos de operación. Una boutique de arreglos florales estima sus ganancias con la fórmula G � I � C � (725x � 0.04x2) � (250x � 0.01x2) donde x es la cantidad de arreglos vendidos. a) Obtén una expresión para el precio promedio de venta de cada arreglo. ¿Cuál fue el precio promedio de venta de 350 arreglos? b) Expresa la ganancia sólo en términos del precio. ¿Cuál fue ésta para un precio promedio de venta de $230? ¿Y de $300? 2. Tinacos de agua Un catálogo indica la relación entre el radio de un tinaco y la altura que alcanza el agua en su interior (ambos en cm). x − 15 x + 15 a) Halla una expresión para el volumen de agua en los tinacos. b) ¿Equivale el modelo anterior a V � π(x � 15)(x2 ��225)? Explica. c) Obtén el diámetro, la altura y la capacidad de un tinaco, si x � 60 cm. Rúbrica de evaluación Haz un resumen de la actividad realizada, en el cual: 1. En forma de cuestionario, proporciones las respuestas a las preguntas formuladas en el análisis de la situación. 2. Desarrolles la secuencia didáctica con to- das las operaciones indicadas y las trans- formaciones algebraicas solicitadas. 3. Escribas los tres modelos algebraicos uti- lizados: el del ingreso en términos sólo de x; el del precio promedio en términos de x; el del ingreso en términos sólo de p. Ex- plica a cuál de ellos corresponde la gráfi- ca presentada al inicio. BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I76 Segmento informativo 4B Productos de binomios (Productos notables) Los productos de algunos polinomios siguen un patrón fijo en cuanto al resultado, de modo que éste puede obtenerse sin efectuar la multiplicación. Los binomios siguen los siguientes patrones: Productos de binomios Con término común Conjugados Al cuadrado (x � a) (x � b) (x � a) (x � a) (x a)2 � � � � x2 � (a � b)x � ab. � x2 � a2. � x2 2ax � a2. De esta forma: (x � 5) (x � 3) (x � 5) (x � 5) (x � 6)2 � x2 � (5 � 3)x � (5)(3) � x2 � 52 � x2 � 2(6x) � 36 � x2 � 8x � 15 � x2 � 25 � x2 � 12x � 36 Estos patrones derivan del procedimiento general: (A � B) (a � b) � Aa � Ab � Ba � Bb Por ejemplo: (5x � 2)(4x � 1) � 20x2 � 5x � 8x � 2 � 20x2 � 3x � 2. Los siguientes modelos geométricos de áreas ilustran los productos. (x � a)(x � b) (x � a)(x � a) (x � a)2 x x bx axx2 abax x2 axx2 a x −a x a−ax −a2 ax a2 b x a x a Ejemplo 1 Multiplicando binomios con término común Obtén los productos siguientes sin efectuar las multiplicaciones. a) (x � 2)(x � 0.5) b) (5x � 4)(5x �1) c) (x2 � 1)(x2 � 3) Solución a) (x � 2)(x � 0.5) � x2 � (2 � 0.5)x � 2(0.5) � x2 � 2.5x � 1. b) (5x � 4)(5x �1) � (5x)2 � (4 � 1)(5x) � (4)(�1) � 25x2 � 15x � 4. c) (x2 � 1)(x2 � 3) � (x2)2 � (�1�3)x2 � (�1)(�3) � x4 � 4x2 � 3. Observaciones importantes 1. El requisito para no realizar la multiplica- ción es memorizar el patrón. 2. El adjetivo notable significa que destaca (por su utilidad y simplicidad). 3. En las fórmulas, las letras x, a, b, son sím- bolos numéricos (variables, constantes, expresiones numéricas o algebraicas). Cubo de un binomio (x � a)3 � x3 � 3x2a � 3xa2 � a3 (x � a)3 � x3 � 3x2a � 3xa2 � a3 Ejemplos: (x � 2)3 � x3 � 3x2(2) � 3x(2)2 � 23 (x � 2)3 � x3 � 3x2(2) � 3x(2)2 � 23 Verifica tu avance Interpreta el cubo de un binomio mediante volúmenes. Utiliza el modelo: a a a a a a a aa b bbbbbbb b b b b b Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. Al sumar o multiplicar los segundos tér- minos debes considerar los signos. En b) el término común es 5x. En c) es x2. 2. Con la práctica, el primer paso (en color azul) lo haces mentalmente y escribes di- rectamente el resultado final. Inicial 77Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Multiplicando binomios conjugados Sin multiplicar los binomios, obtén cada producto. a) (x � 1) (x � 1) b) (2x � 3) (2x � 3) c) (� 3 x � 7) (7 ��� 3 x) Solución a) (x � 1) (x � 1) � x2 � 1. b) (2x � 3) (2x � 3) � (2x)2 � 32 � 4x2 � 9. c) (� 3 x � 7) (7 � � 3 x) � 72 � (� 3 x)2 � 49 � 3x2. Ejemplo 3 Elevando un binomio al cuadrado Sin multiplicarlos, eleva al cuadrado los siguientes binomios. a) (x � 3)2 b) (�x � 3)2 c) (6x � 4)2 Solución a) (x � 3)2 � x2 � 6x � 9. b) (�x � 3)2 � [(�1)(x � 3)]2 � (x � 3)2 � x2 � 6x � 9. c) (6x � 4)2 � (6x)2 � 2(6x)(4) � 42 � 36x2 � 48x � 16. Ejemplo 4 Obteniendo el cubo de un binomio Eleva al cubo los siguientes binomios, sin multiplicarlos. a) (x � 5)3 b) (2x � 1)3 c) (�x � 4)3 Solución a) (x � 5)3 � x3 � 3(5)x2 � 3x(52) � 53 � x3 � 15x2 � 75x � 125. b) (2x � 1)3 � (2x)3 � 3(2x)2(1) � 3(2x)(1)2 � 13 � 8x3 � 12x2 � 6x � 1. c) (�x � 4)3 � (4 � x)3 � 43 � 3(42)x � 3(4)x2 � x3 � 64 � 48x � 12x2 � x3. Ejemplo 5 Multiplicando binomios Obtén el resultado de: a) (x � 3) (x � 1) (x � 1) b) (2 � x � y)2 Solución a) (x � 3) (x � 1) (x � 1) � (x � 3)(x2 � 1) � x3 � x � 3x2 � 3. b) (2 � x � y)2 � [(2 � x) � y]2 � (2 � x)2 � y2 � 2y (2 � x) � 4 � x2 � 4x � y2 � 4y � 2xy. Ejemplo 2 Observaciones importantes 1. Los binomios conjugados sólo difieren en el signo que une los términos. 2. Interpreta con modelos verbales: Producto de binomios conjugados (x � a) (x � a) � x2 � a2 es igual a la diferencia de cuadrados. 3. (� 3 x � 7) � (7� � 3 x). (� 3 x)(� 3 x) = (� 3 x)2 = (� 3 )2x2 = 3x2 4. El orden de los términos en el resultado es el mismo del factor que contiene la resta. Ejemplo 3 1. Memoriza visual y verbalmente el mo- delo: Binomio al cuadrado (x a)2 � x2 � a2 2ax Es igual a la suma del cuadrado de los tér- minos más (o menos) su doble pro ducto. 2. También: (�x � 3)2 � [(�x) � (� 3)]2 � (�x)2 � 2(�x)(�3) � (�3)2 � x2 � 6x � 9. Ejemplo 4 Binomio al cubo (x � a)3 � x3 � a3 � 3xa2 � 3ax2 El cubo de cada término más el triple producto de cada uno por el cuadrado del otro. En (x � a)3 alterna signos �, �. De esta forma, en el inciso a) se tiene: (x � 5)3 � x3 � 53 � 3x(52) � 3(5)x2 � x3 � 125 � 75x � 15x2 � x3 � 15x2 � 75x � 125 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I78 Ejemplo 6 Pirámide de Cuicuilco El área cubierta con pasto en la plataforma circular superior de la pirámide de Cui- cuilco —incluido el paso al círculo de los altares—, puede obtenerse con la expre- sión π(15x � 7)(15x � 7), donde x es la altura de esa plataforma sobre la precedente, en el interior del círculo. a) Escribe en forma simplificada este modelo para el área. b) Halla la cantidad de metros cuadrados de tal superficie, si x � 2 m. c) ¿Cuál es el ancho de esa plataforma? ¿Y del círculo de los altares? Solución a) π(15x � 7)(15x � 7) Expresión dada � π[(15x)2 � 72] Producto de binomios conjugados b) Sustituye x por 2: π[(15x)2 � 72] � π[302 � 72] � π(900 � 49) � 2,673.5 m2. c) Área en color � área círculo mayor � área círculo menor � πR2 � πr2. Pero el área en color es igual a π[302 � 72] � π302 � π72. Por tanto R � 30 y r � 7. El diámetro de la plataforma es 2 � 30 � 60 m; para los altares 2 � 7 � 14 m. R r Ejemplo 5 a) Puedes escribir el resultado en forma es- tándar: x3 � 3x2 � x � 3. b) Éste es un polinomio en dos variables. Puedes ordenarlo de esta forma: x2 � 2xy � y2 � 4x � 4y � 4. Ejemplo 6 Recuerda El área de un círculo es A � πr2. Ampliando el conocimiento 1. Cuicuilco significa “lugar de cantos y co- lores”. Esta zona, al sudoeste de la ciu- dad de México, albergó a la cultura más antigua de Mesoamérica (800-150 a.C.). 2. La pirámide de Cuicuilco forma parte del centro cívico ceremonial construido en dicha zona. Ésta y otras construcciones dan cuenta del alto grado de organización social y económica alcanzado por sus po- bladores. 3. Las dimensiones de la pirámide (110 m en la base; 25 m de alto) y su forma cóni- ca truncada, con cuatro plataformas circu- lares sobrepuestas, la hacen única en el mundo. 4. Las erupciones del volcán Xitle (del na- huatl Xictli: ombligo) situado en el Ajus- co, cubrieron Cuicuilco e hicieron emi- grar a sus antiguos habitantes. 5. Las capas de lava y las modernas edifica- ciones urbanas han limitado el estudio de esta cultura que antecedió el desarrollo de Teotihuacán. 79Grupo Editorial Patria® Ejercicios 1 a 6. Efectúa las multiplicaciones usando productos notables. 1. 15 � 18 � (10 � 5)(10 � 8) 2. (50 � 5)(50 � 2) 3. 24 � 26 4. (49 � 3)(49 � 3) 5. 722 � (70 � 2)2 6. 172 Ejercicios 7 a 12. Completa cada desarrollo. 7. (x � 9)2 � x2 � 92 � 8. (x � 9)2 � x2 � 92 � 9. (2x � 1)2 � (2x)2 � 12 � 10. (x � 5)3 � x3 � 53 � 11. (x � 4)3 � x3 � 43 � 12. (3x � 2)3 � (3x)3 � 23 � Ejercicios 13 a 15. Desarrolla cada potencia sin multiplicar los binomios. 13. (a � b)2 14. (a � b)3 15. (�a � b)2 Ejercicios 16 a 18. Obtén de dos maneras la potencia, sin hacer el producto. 16. (�6x � 4)2 17. (�x � 12)2 18. (8x � 7)2 Ejercicios 19 a 24. Obtén cada producto sin efectuar la multiplicación. 19. (3x � 2) (3x � 1) 20. (x � 6)(x � 7) 21. (x � 9)(x � 3) 22. (4 � x)(4 � x) 23. (x � � 5 )(x � � 5 ) 24. (7x � 1)(7x � 1) Ejercicios 25 a 27. Eleva al cuadrado, sin multiplicar los trinomios. 25. (x � y � 3)2 26. (2x � y � 3)2 27. (x � 3y � 8)2 Geometría Ejercicios 28 a 33. Calcula de dos formas el área en azul. 28. x x x 1 3 29. x x 1 x 3 30. x x 1 4 5 31. x x 1 4 5 32. x x 1 1 1 33. x 1 x 1 1 Autoevaluación 4B Sugerencias para la autoevaluación 4B 1 y 2. Binomios con término común. 3 y 4. Usa binomios conjugados (25 � 1)(25 � 1) o con un término común (20 � 4) (20 � 6). 5 y 6. Binomio al cuadrado; (10 � 7)2 o (20 � 3)2. 7 a 9. Falta el doble producto. Cuida su signo. 10 a 12. Falta el triple producto de cada tér- mino por el cuadrado del otro. En la res- ta alterna signos. (Guíate por el orden de los términos.) 13 y 14. El término con signo � dará este sig- no cuando tenga potencia impar. 15. Usa ((�a) � b)2 o [(�1)(a � b)]2. Ejemplo 3b. 16 a 18. Usa la propiedad conmutativa de la suma. 19. Revisa el ejemplo 3b y el ejercicio 15. 20 y 21. Revisa el ejemplo 1. 22 a 24. Revisa el ejemplo 2. 25 a 27. Asocia términos. Revisa el ejemplo 5b. 28 a 33. Obtén: 1) áreas más grandes posi- bles, 2) sumas de áreas parciales. Com- para ambas. BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I80 Segmento informativo 4B Conversión a productos (Factorización) Factorizar es escribir una expresión como producto. 35 � 5 � 7 10 � 15 � 5 (2 � 3) 2x � 3x � x (2 � 3) Factores Factores Factores La técnica más simple para factorizar es hallar un factor común en los términos. Factor común Escribe el factor común de los términos y aplica propiedad distributiva ab � ac � a(b � c) Así, 2x � 8 � 2(x � 4) 6x2 � 5x � x(6x � 5) Cada factor común se extrae con el menor exponente. Observa: 21 x1 2x � 8 � 2x � 2(22) 6x2 � 5x � 6xx � 5x Otra técnica sencilla para factorizar es reconocer patrones de productos notables. Factorización con productos notables a2 � b2 � (a � b)(a � b) a2 2ab � b2 � (a b)2 Diferencia de cuadrados Trinomio cuadrado perfecto Se restan Dos cantidades al cuadrado 52 � x2 � (5 � x)(5 � x) x2 � 2x � 12 � (x � 1)2 dos cantidades al cuadrado más (menos) su doble producto Ejemplo 1 Obteniendo un factor común Expresa como producto: a) x3 � x2 � x b) 6y4 � 12y2 � 9y c) 5x(x � 4) � 7(x � 4) Solución a) x3 � x2 � x � x(x2 � x � 1). b) 6y4 � 12y2 � 9y � 3y(2y3 � 4y � 3). c) 5x(x � 4) � 7(x � 4) � (x � 4)(5x � 7). Observaciones importantes 1. Factorizar y multiplicar son procesos in- versos (a � b)(a � b) � a2 � 2ab � b2 �� �� Multiplicas Factorizas Factorizar un polinomio Es escribirlo como un producto. 2. La factorización se utiliza para: a) Simplificar fracciones (los factores comunes se eliminan). 8x2 2x � 2 (4)x x 2 x � 4x b) Resolver ecuaciones x � 5x � 12 (aplicando propiedades x(1 � 5) � 12 de productos). 6x � 12 x � 2 3. A menos que otra cosa se indique, se bus- carán como factores coeficientes reales. 4. Visualiza y verbaliza los modelos: Diferencia Producto a2 � b2 � (a � b)(a � b) de cuadrados de binomios conjugados Verifica tu avance Completa el modelo verbal. Trinomio cuadrado perfecto � ? Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... 1. 6y4 � 12y2 � 9y � (3y)2y3 � (3y)4y � 3(3y) 2. Comprueba la factorización multiplican- do. Así, x(x2 � x � 1) � x3 � x2 � x. Final 81Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Factorizando diferencia de cuadrados Escribe como producto: a) 9x2 � 16 b) x4 � 25x2 c) (3 � x)2 � 1 Solución a) 9x2 � 16 � (3x)2 � 42 � (3x � 4) (3x � 4) b) x4 � 25x2 � (x2)2 � (5x)2 � (x2 � 5x) (x2 � 5x) c) (3 � x)2 � 1 � [(3 � x) � 1][(3 � x) � 1] Binomios conjugados � (2 �x) (4 � x) Simplificando Ejemplo 3 Factorizando trinomios cuadrados perfectos Expresa como un producto: a) x2 � 12x � 62 b) 9x2 � 18x � 1 c) 4x4 � 20x2 � 25 Solución a) x2 � 12x � 62 � (x � 6)2. Procedimiento: (x + 6) Raíces (x � 6) Signo del doble producto (x � 6)2 Cuadrado b) 9x8 � 18x � 1 � (3x � 1)2. c) 4x4 � 20x2 � 25 � (2x2 � 5)2. Ejemplo 4 Factorizando trinomios cuadrados perfectos Expresacomo un producto a) x2 � 8x � 42 b) 16x2 � 8x � 1 c) 9x2 � 100 � 60x Solución a) x2 � 8x � 42 � (x � 4)2. Procedimiento: (x + 4) Raíces (x � 4) Signo del doble producto (x � 4)2 Cuadrado b) 16x2 � 8x � 1 � (4x � 1)2. c) 9x2 � 100 � 60x � (3x � 10)2. Ejemplo 2 Recuerda 1. En toda identidad algebraica, las varia- bles son símbolos numéricos, es decir, representan números o expresiones arit- méticas o expresiones algebraicas. 2. Así, en este ejemplo, los símbolos a, b en a2 � b2 � (a � b)(a � b) se sustituyen por: Inciso Símbolo a Símbolo b a) 3x 4 b) x2 5x c) 3 � x 1 Fíjate en lo siguiente... 1. Toda potencia par puedes expresarla co- mo una potencia al cuadrado: x4 � (x2)2 x6 � (x3)2 x10 � (x5)2 2. Todo número cuadrado perfecto puedes escribirlo como el cuadrado de un entero. 1 � 12 16 � 42 25 � 52 100 � 102 Verifica tu avance ¿Qué expresa la identidad x2m � (xm)2? (m es un número natural) Ejemplos 3 y 4 Observaciones importantes 1. El signo del doble producto es el signo que une los términos del binomio. Verificar trinomio cuadrado perfecto Antes de factorizar, revisar que existan: dos cantidades al cuadrado; su doble producto. 2. No importa el orden de los términos: 9x2 � 100 � 60x � 9x2 � 60x � 102 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I82 Ejemplo 5 Moderno reloj solar El moderno reloj de Sol en el polígono industrial de Almussafes, en Valencia, Espa- ña, elaborado por los artistas Joan Olivares y Rafael Amorós, incluye en su diseño un gran aro de metal de 5 m de diámetro exterior, 50 cm de ancho y 25 cm de grosor. ¿Cuál es el área de la superficie de metal empleado por los artistas en la construcción de este elemento? Solución Área total � área de ambas caras � área de ambos cantos A � 2A 1 � (A 2 � A 3 ) Área de una cara � Área círculo exterior � área círculo interior A 1 � π2.52 � π22 Área de cada canto � grosor � longitud de la circunferencia A 2 � 0.25 (2π2.5) � 1.25π A 3 � 0.25 (2π2) � 1π Área total A � 2(π2.52 � π22) � π(1.25 � 1) � 2π(2.52 � 22) � 2.25π � 2π(2.5 � 2)(2.5 � 2) � 2.25π � 2π(0.5)(4.5) � 2.25π � � � � � 4.5π � 2.25π � � � � � 6.75π � 21.21 m2. 2 m 0.5 m 2.5 m 0.25 m 2.5 m 2 m Ejemplo 5 Recuerda 1. Longitud de la circunferencia: L � 2πr; Área del círculo: A � πr2. 2. Existen diversas opciones para simpli- ficar: A 2 � A 3 � (0.5)[2π(2)] � (0.5) [2π(1.5)] � � � � (0.5)(2π)[2 � 1.5] � π(2 �1.5). A � 2π(2 � 1.5) (2 � 1.5) � π(2 � 1.5) � � � � π(2 � 1.5)[2(2 � 1.5) � 1] � π(3.5)(2). Ampliando el conocimiento 1. Los relojes de Sol son los más antiguos instrumentos usados para medir el tiem- po. Su principio básico es la proyección de las sombras según la región y época del año. 2. Su construcción requiere amplios cono- cimientos en matemáticas y astronomía (solsticios, latitud, longitud, meridianos, constelaciones, lemniscatas, conos, etcé- tera). 3. Esta milenaria tradición se une hoy en día a la creación estética de auténticas y esti- lizadas obras de arte escultóricas. 83Grupo Editorial Patria® Sugerencias para la autoevaluación 4B 1 a 3. Factor común con el menor exponente. Revisa inicio de la lección y el ejemplo 1. 4 a 6. Verifica que existan dos cantidades al cuadrado y su doble producto. 7 a 10. Revisa el ejemplo 1. 11 a 14. Revisa el ejemplo 2 y su margen. 15 a 20. Revisa los ejemplos 3 y 4. Elige signo. 21 a 23. Factoriza mediante factor común. Compara los productos de binomios con los desarrollos de sumas o restas de áreas. 24a) Factoriza la expresión. 24b) Suma el área de los trapecios; resta el área de cuadrados. h B b (b + B)h A = − 2 25a) Para cada sección utiliza: largo � ancho. 25b) Suma y factoriza el trinomio resultante. 25c) Área del cuadrado general: lado � lado. Ampliando el conocimiento 1. La Piedra del Sol fue hallada en el siglo xviii, durante la edificación de la catedral sobre la antigua Tenochtitlán. 2. Fue un calendario de registros astronó- micos y de festividades para los aztecas, ligado a su concepción del universo. 3. Este calendario solar (Xihuitl) de 18 me- ses y 365 días, coincidía cada 52 años con el calendario de los destinos (13 meses, 260 días) para la fiesta ritual del Fuego nuevo. 4. Consta de ocho regiones circulares con- céntricas en las que el Sol ocupa el lugar central, seguido de cinco planetas, uno en cada anillo. Ejercicios 1 a 3. Identifica el mayor factor común de los términos. 1. 15x2, � 3x4 2. 16x, 4x2, � 8x4 3. �18y3, �24y, 42y2 Ejercicios 4 a 6. Identifica cuáles trinomios son cuadrados perfectos. 4. 25x2 � 70x � 49 5. x2 � 6x � 4 6. 81x2 � 4 � 36x Ejercicios 7 a 10. Escribe cada polinomio como un producto. 7. 5x2 � x 8. 5(7 � x) � x(7 � x) 9. (2x2 � x) � (2x � 1) 10. 8x2 � 2x2 � 4x Ejercicios 11 a 14. Factoriza cada diferencia de cuadrados. 11. 81x2 � 1 12. 64 � x2 13. (x � 3)2 � (x � 3)2 14. (x � 1)2 � 4 Ejercicios 15 a 20. Factoriza cada trinomio cuadrado perfecto. 15. x2 � 10x � 52 16. 100x2 � 20x � 1 17. 1 4 x2 � 3x � 9 18. 64x2 � 16x � 1 19. x2 � 24x � 144 20. 36x2 � 24x � 4 Ejercicios 21 a 23: a) Calcula las áreas remarcadas para obtener el área en azul; b) Expresa ésta como producto. 21. x x 1 1 1 22. x x 1 1 1 23. x x 1 1 1 24. Geometría a) Halla una expresión algebraica para los lados del cuadrado y otra para su perímetro. b) Calcula de dos formas el área de la región en color. a) 9x2 � 30x � 25 Área b) x + 10 x + 10 x x 10 10 25. Cortes en madera a) Suma las áreas en la cara de la sección de corte del tronco; b) expresa esta suma como un producto; c) obtén el área de toda la sección cuadrada. 44 2 2 2x 2x 2x4 2x 4 2 2 2x 2x 2x4 2x 4 26. Piedra del Sol ¿Cuál es el área de la superficie labrada de piedra, si excluyes el Sol en el calendario azteca? 3.60 m 0.66 m Autoevaluación 4B BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I84 Rúbrica Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Cultivo y venta de pescado” del Bloque 4B. Nombre del alumno: Instrumentos de evaluación Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. Desarrollo Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. Contesta correctamente todas las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”. Escribe los tres modelos algebraicos utilizados e indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada. Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. Contesta incorrectamente algunas de las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”. Escribe los tres modelos algebraicos utilizados e indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada. Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. Contesta incorrectamente algunas de las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”. Escribe los tres modelos algebraicos utilizados pero no indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada. Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación. Contesta incorrectamentemás de la mitad de las preguntas de las secciones “Explora los modelos” e “Interpreta la gráfica”. No escribe los tres modelos algebraicos utilizados ni indica a cuál de ellos corresponde la gráfica presentada. Dominio del tema Factoriza correctamente polinomios. Determina correctamente las raíces de polinomios factorizados. Interpreta correctamente gráficas considerando la escala de los ejes coordenados. Factoriza correctamente polinomios. Determina correctamente las raíces de polinomios factorizados. Interpreta incorrectamente gráficas por no considerar la escala de los ejes coordenados. Factoriza correctamente polinomios. Determina incorrectamente las raíces de polinomios factorizados. Interpreta incorrectamente gráficas por no considerar la escala de los ejes coordenados. No factoriza correctamente polinomios. Determina incorrectamente las raíces de polinomios factorizados. Interpreta incorrectamente gráficas por no considerar la escala de los ejes coordenados. Resultados y conclusiones Calcula correctamente las siguientes cantidades: cientos de truchas. cada trucha. para las que funciona el modelo. Determina correctamente el ingreso en función del precio de Calcula correctamente las siguientes cantidades: cada trucha. para las que funciona el modelo. Determina correctamente el ingreso en función del precio de Calcula incorrectamente el ingreso si el precio promedio por trucha Calcula correctamente las siguientes cantidades: cada trucha. Determina correctamente el ingreso promedio por trucha. Calcula incorrectamente: para las que funciona el modelo. Calcula incorrectamente más de dos de las siguientes cantidades: cada trucha. para las que funciona el modelo. Determina incorrectamente el ingreso en función del precio de Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Embalaje de piezas” del Bloque 4A. Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Lista de cotejo 85Grupo Editorial Patria® Dominio del tema SÍ NO Observaciones 8. Reconoce términos semejantes en polinomios. 9. Suma y resta correctamente polinomios. 10. Multiplica correctamente polinomios. 11. Calcula correctamente el volumen de prismas. Desarrollo SÍ NO Observaciones 5. Elaboró la tabla con los volúmenes de la caja, el separador y el espacio libre en cm3 para x = 4, 6 y 10 cm. 6. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. 7. Verificó que los volúmenes que obtuvo en la tabla son los mismos que los obtenidos con las expresiones algebraicas simplificadas de los volúmenes. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 12. Determinó correctamente las dimensiones de la caja para x = 5 cm. 13. Obtuvo la expresión algebraica simplificada del volumen del separador. 14. Obtuvo la expresión algebraica simplificada del volumen de la caja. 15. Obtuvo la expresión algebraica simplificada del espacio libre en la caja. 16. Calculó correctamente el volumen de la caja y su espacio libre para x = 10 cm. No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Calcula correctamente el consumo de fresas en junio. 2 Calcula correctamente el consumo de manzanas en junio. 3 Obtiene el modelo algebraico para el consumo de ambas frutas y lo verifica para el mes de junio. 4 Calcula correctamente cuántos sorbetes y merengues se vendieron hasta el día 10. 5 Calcula correctamente cuántos sorbetes se vendieron hasta el día 10. 6 Calcula correctamente cuántos merengues se vendieron hasta el día 10. 7 Obtiene un modelo algebraico para la venta de merengues al día x. 8 Determina con el modelo algebraico obtenido cuántos merengues se vendieron al día 10 y verifica que la cantidad sea igual a la obtenida en el punto 6. 9 Determina con el modelo algebraico obtenido cuántos merengues se vendieron al día 31. 10 Identifica en la gráfica cuál curva corresponde a cada modelo. *No aplica. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Realización de operaciones de suma y resta de polinomios. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. Guía de observación para el proyecto de trabajo “Consumo de frutas” y “Venta de postres” del Bloque 4A Realizas transformaciones algebraicas II Competencias a desarrollar n Construye e interpreta los trinomios que no son cuadrados perfectos, mediante la aplicación de procedimientos algebraicos, para la comprensión y análisis de algunas situaciones reales. n Formula y resuelve ejercicios de factorización, aplicando diferentes técnicas. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos. 5B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos 8 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x 2 � bx � c y ax 2 � bx � c con a � 0, 1 como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar técnicas. n Expresa trinomios de la forma x 2 � bx � c y ax 2 � bx � c como un producto de factores lineales. n Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes susceptibles de ser simplificadas. n Utiliza una o varias técnicas de transformación pa ra descomponer un polinomio en varios factores. n Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios. n Obtiene factores comunes factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. n Escribe expresiones racionales de forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios. n Soluciona problemas aritméticos y algebraicos. ¿Qué sabes hacer ahora? Algo he aprendido en mi larga vida: que toda nuestra ciencia, contrastada con la realidad, es primitiva y pueril; y, sin embargo, es lo más valioso que tenemos. Albert Einstein La presión atmosférica fuera del agua (1 atm) ejerce sobre el cuerpo de una persona una enorme fuerza de 3.5 toneladas. Asombrosamente, nuestros fluidos celulares equilibran esta fuerza. Debido a las presiones hidrostática y atmosférica, un buzo soporta, a 90 m bajo el mar, una fuerza diez veces superior. 0 3 6 9 12 PRESIÓN OCEÁNICA 20 40 60 80 100 Profundidad (m) Pr es ió n (a tm ) BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II A5BLOQUE 88 Conocimientos Factorización de trinomios a) De la forma x2 � bx � c (su coeficiente cuadrático es 1) Procedimiento: busca dos factores de c que sumen b y suma cada uno con x para formar los dos factores lineales. Ejemplos: 1. x2 � 7x � 12 � (x � 3)(x � 4) ya que 3 � 4 � 12; 3 � 4 � 7 2. x2 � 8x � 9 � (x � 9)(x � 1) ya que �9 � 1 � �9; �9 � 1 � �8 b) De la forma ax2 � bx � c, a � 0 (su coeficiente cuadrático no es 1) Procedimiento: multiplica y divide la ex- presión por a; reagrupa y aplica la técnica anterior. Ejemplo: 3x2 � 7x � 2 � 3 3 (3x2 � 7x � 2) � 1 3 ((3x)2 � 7(3x) � 6) � 1 3 (3x � 6)(3x � 1)� (x � 2)(3x � 1) Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Factorización de trinomios División de polinomios Simplificación de fracciones algebraicas Situación didáctica Alimento para ardillas El costo total de cacahuates proporcionados a las ardillas en una área de un par- que de reserva natural, puede calcularse (en pesos) con C � x2 � 24x � 23, para la semana x (no superior a 10). Si la cantidad promedio de ardillas alimentadas en la semana x se estima en x � 1, a) ¿Cuál expresión permite calcular el costo promedio por alimentar semanalmente cada ardilla? b) ¿Cuál fue la inversión inicial del programa?, ¿cuánto se gastó al término de la primera semana y en las semanas 5 y 10?, ¿a cuánto ascendió el costo diario de alimento por ardilla en cada una de estas semanas? c) Propón una posible explicación acerca de la variación en los costos, en función de la población de ardillas y de factores económicos. Apoya tu argumento con la información de la gráfica: 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Semana Co st o ($ ) Análisis de la situación 1. Cuando pagas una cuenta de varias personas, por consumo de alimentos en un restaurante, a) ¿Cómo determinas el importe total de la cuenta? Describe el procedimiento. b) ¿Qué operación realizas para saber cuál fue el costo promedio del consumo por persona? 2. ¿Cómo aplicarías estos procedimientos al problema de las ardillas? 89Grupo Editorial Patria® Rúbrica de evaluación 1. Desarrolla cada punto de la secuencia di- dáctica y elabora un reporte escrito que, además de dichos puntos, contenga una descripción, con ejemplos, acerca de: a) los procedimientos para factorizar trinomios que no son cuadrados per- fectos. b) los pasos para efectuar una división de polinomios. 2. Haz un reporte escrito con el desarrollo del proyecto de trabajo y entrégalo a tu maestro en los tiempos acordados para ello. Secuencia didáctica 1. Si tres personas pagan cada una en promedio $150.00 por un desayuno, entonces: Costo total = � $150.00, es decir, Costo total � Número de individuos � . En el caso del costo total del alimento (semanal) de las ardillas, x2 � 24x � 23 � (x � 1) � (costo individual). ¿Por qué se multiplica por x � 1? . 2. Es claro que si expresas x2 � 24x � 23 como el producto de x � 1 y otro factor lineal, este último indicará el (costo individual, costo total) del alimento de las ardillas en la semana x. Puedes hallar este factor de dos maneras. 3. Método 1, factorizando. Si un factor de x2 � 24x � 23 es x � 1, el otro debe tener la forma x � a. El número a que hace falta debe cumplir con a � 1 � 23 y a � 1 � ; por tanto, a � y el factor buscado es x � . Éste repre- senta el costo . Método 2, dividiendo. Divide x2 � 24x � 23 entre x � 1 para obtener el otro factor lineal. El cociente de esta división es (igual, distinto) al factor obtenido antes e indica el costo semanal del alimento por ardilla. 4. Sustituye x por 0, 5, y 10: a) en la expresión x2 � 24x � 23 para hallar el costo total: inicial: ; en la semana 5: ; en la semana 10: ; b) en x � a � x � para conocer el costo por alimentar una ardilla en cada una de esas tres semanas: $ ; $ ; $ . 5. Es posible que, al observar la dotación de cacahuates, cada semana acudan (más, menos) ardillas al área de alimentación, (aumentando, reducien- do) el consumo y que el costo del insumo (aumente, disminuya) por temporada. Proyecto de trabajo Gabinete para CPU El volumen de un gabinete para la unidad de procesamiento central (CPU) de diversos modelos de computadora personal, puede obtenerse con la expresión V � 32x3 � 48x2 � 10x. a) ¿Cuáles expresiones algebraicas (con coeficientes enteros) proporcionan las di- mensiones del gabinete? b) ¿Qué dimensiones posee uno de los gabinetes cuando x � 10 cm? x � 1 | x2 � 24x � 23 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II Segmento informativo 5A 90 Observaciones importantes 1. Algunos trinomios no pueden factorizarse con coeficientes enteros. En x2 � 5x � 2 los factores de 2 no suman 5; en 2x2 � 6x � 1, los de 2(1) no suman 6. 2. Una prueba sencilla permite anticipar esto. Factores enteros de ax2 � bx � c Existen si b2 � 4ac es cuadrado perfecto. 3. Así, x2 � 5x � 2 no puede factorizarse con coeficientes enteros, pues b2 � 4ac � 25 � 4(1)(2) � 17, no es cuadrado perfecto (es decir, no es el cuadrado de un entero). Fíjate en lo siguiente... 1. En el ejemplo ilustrativo puedes proceder así: 6x2 � 32x � 10 � 6 6 (6x2 � 32x � 10) � (6x) 2 � 32(6x) � 60 6 � (6x � 30)(6x � 2) 6 � (6x � 30) 6 (6x � 2) 2. La clave en este proceso es dejar indi- cados los productos donde aparece x, y factorizar con el modelo para x2 � bx � c. 3. Es posible descomponer el divisor 6 así: (6x � 30) 3 (6x � 2) 2 � (2x � 10)(3x � 1) Factorización de trinomios Al multiplicar binomios de una variable se obtiene un trinomio. Producto Desarrollo Trinomio (x � 2)(x � 3) � x2 � 3x � 2x � 2(3) � x2 � 5x � 6 El trinomio puede escribirse como producto, invirtiendo el proceso. Es claro en el desarrollo que 2 y 3 son factores de 6 cuya suma es 5. Factorización de x2 � bx � c x2 � bx � c � (x � ) (x � ) Factores de c que suman b Factores de 6 que suman 5 Así, x2 � 5x � 6 � (x � 2) (x � 3) Cuando el coeficiente de x2 no es 1, el proceso varía en un aspecto: antes de factori- zar, multiplicas y divides por a. Factorización de ax2 � bx � c Factores de ac que suman b ax2 � bx � c � (ax + ) (ax + ) a Factores de 60 que suman 32 ac � 60 b 6x2 � 32x � 10 � (6x � 30)(6x � 2) 6 � (x � 5) (6x � 2) Ejemplo 1 Factorizando x 2 + bx + c, con c positivo Escribe cada trinomio en forma de producto. a) x2 � 8x � 12 b) x2 � 7x � 12 c) x2 � 22x � 21 Solución a) x2 � 8x � 12 � (x � 2) (x � 6) Factores de 12 que suman 8 b) x2 � 7x � 12 � (x � 3) (x � 4) Factores de 12 que suman 7 c) x2 � 22x � 21 � (x � 1) (x � 21) Factores de 21 que suman 22 91Grupo Editorial Patria® Observaciones importantes 1. Cuando c es negativo sus factores tienen signos opuestos. a) �4 � 4(�1); 4 � (�1) � 3 b) �6 � (�3)(2); �3 � 2 � �1 2. Prueba diversas combinaciones de facto- res hasta dar con la adecuada. 3. Si dudas que exista una combinación de enteros, confirma con el discriminante b2 � 4ac. Verifica tu avance x2 � bx � c � (x � p) (x � q) implica pq � c y p � q � ? Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 3a) (2x � 3) (2x � 10) 2 � (2x � 3) 1 �(2x � 10) 2 3b) (10x ��� ) (10x � 6) 10 � (10x � 35) 5 �(10x � 6) 2 Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... 4a) �3 � (�3)(1); (�3) � 1 � �2 4b) Cuando a es negativo conviene extraer factor común �1 y cambiar el signo a todo el trinomio. Uno de los dos binomios se multiplica por �1 cambiando el signo de sus tér- minos. Al simplificar, el divisor se adjudica a uno o ambos binomios. 12 � (�12)(�1);�12 � (�1) � �13. Ejemplo 2 Factorizando x 2 + bx + c, con c negativo Escribe como producto cada uno de los siguientes trinomios. a) x2 � 3x � 4 b) x2 � x � 6 Solución a) x2 � 3x � 4 � (x � 4) (x � 1) Factores de �4 que suman 3 b) x2 � x � 6 � (x � 3) (x � 2) Factores de �6 que suman �1 Ejemplo 3 Factorizando ax 2 + bx + c, con c positivo Expresa cada trinomio como un producto. a) 2x2 � 13x � 15 b) 10x2 � 41x � 21 Solución Factores de 30 que suman 13 ac � 30 b a) 2x2 � 13x � 15 � (2x � 3) (2x � 10) 2 � (2x � 3) (x � 5) Factores de 210 que suman 41 ac � 210 b b) 10x2 � 41x � 21 � (10x � 35) (10x � 6) 10 � (2x � 7) (5x � 3) Ejemplo 4 Factorizando ax 2 + bx + c, con c negativo Factoriza cada trinomio. a) 3x2 � 2x � 1 b) � 4x2 � 13x � 3 Solución Factores de �3 que suman �2 ac � �3 b a) 3x2 � 2x � 1� (3x � 3) (3x � 1) 3 � (x � 1) (3x � 1) Factores de 12 que suman �13 ac � 12 b b) �4x2 � 13x � 3 � (�1)(4x2 � 13x � 3) � (�1)(4x � 12) (4x � 1) 4 � (3 � x) (4x � 1) BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II92 Ejemplo 5 Combinando técnicas para factorizar Expresa cada polinomio como un producto. a) 5x3 � 10x2 � 15x b) 12x2 � 18x � 2x � 3 c) x2 � 1 � 10x � 25 Solución a) 5x3 � 10x2 � 15x � 5x(x2 � 2x � 3) Factor común 5x � 5x(x � 3) (x � 1) Trinomio x2 � bx � c b) 12x2 � 18x � 2x � 3 � (12x2 � 18x) � (2x � 3) Agrupando términos � 6x(2x � 3) � (2x � 3) Factor común 6x � (2x � 3) (6x � 1) Factor común (2x � 3) c) x2 � 1 � 10x � 25 � (x2 � 10x � 25) � 1 Agrupando términos � (x � 5)2 � 1 Trinomio cuadrado perfecto � ((x � 5) �1)((x � 5) �1) Diferencia de cuadrados � (x � 4)(x � 6) Simplificando Ejemplo 6 Preservación ecológica La guacamaya roja es una especie en peligro de extinción debido a la desaparición de su hábitat y a su lento proceso de reproducción: una pareja procrea uno o dos polluelos que tardan dos años en dejar a los padres. El hábitat de estos animales en el parque zooMAT, en el estado de Chiapas, de 2002 a 2006, puede modelarse (en m2) con �45x2 � 45x � 8190 (x � 0 2002). Si en 2002 había 14 guacamayas rojas, y cada año el total au- mentó en 1. a) Halla un modelo para la dimensión del hábitat por guacamaya cada año. b) Determina el tamaño del hábitat individual en 2002 y en 2006. Solución a) Modelos verbal y algebraico. Hábitat total � cantidad de guacamayas � hábitat individual � � �45x2 � 45x � 8,190 � (14 � x) � H Como �45x2 � 45x � 8,190 � 45(14 � x) (13 � x), resulta H � 45(13 � x). b) En 2002 cada guacamaya tuvo 45(13 � x) � 45(13 � 0) � 585 m2, en promedio, para desarrollarse. Para 2006, debido al incremento de la población de guacamayas, este espacio disminuyó a 45(13 � 4) � 405 m2. Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... a) Antes de intentar cualquier factorización, deben buscarse factores comunes. b) Cuando agrupas términos, intentas ha- llar un factor común. En este ejemplo puedes simplificar antes, y después fac- torizar un trinomio: 12x2 � 18x � 2x � 3 � 12x2 � 16x � 3 c) Agrupar pares de términos para hallar un factor común, no da buen resultado aquí: x2 � 1 � 10x � 25 � (x2 � 10x) � (25 � 1); x2 � 1 � 10x � 25 � (x2 � 1) � (10x � 25) Sin embargo, agrupar tres términos para dejar una diferencia resulta exitoso. Ensayo y error Prueba diversas combinaciones cuando no identifiques un patrón para factorizar. A veces existen varias formas de facto- rizar una expresión; otras veces, ninguna produce una factorización entera. Ampliando el conocimiento 1. El parque zooMAT es una reserva de selva semihúme- da, de 140 has de extensión, con exuberante vegetación de árboles perennifolios (co- mo zapote y chicozapote) y caducifolias (higo, copal y nangañales). 2. Alberga sólo especies propias de la re- gión (como jabalíes, jaguares, pumas, tapires) algunas en peligro de extinción y poco comunes en cautiverio (pavón, gua- camaya y quetzal) que viven en su ámbi- to natural. 3. Situado al sur de la capital del estado, es considerado uno de los mejores centros de conservación, educación ambiental e investigación en América Latina. 93Grupo Editorial Patria® Sugerencias para la autoevaluación 5A 1 a 6. Revisa los ejemplos 1 y 2 de este seg- mento informativo. 7 a 12. Revisa los ejemplos 3 y 4 de este seg- mento informativo. En el ejercicio 11 escribe (�1)(3x2 � 20x � 32). 13 a 18. Extrae un factor común numérico y después factoriza cada trinomio. 19 y 20. Agrupa por pares de términos y busca un factor común. Este ejercicio muestra una variante para factorizar ax2 � bx � c: 10x2 � 41x � 21 � 10x2 � (6x � 35x) � 21. Observa que 6 y 35 son los factores de ac � 10(21) que suman b � 6 � 35 � 41. 21 a 24. En el ejercicio 23 usa –(x2 � 4x � 4). Extrae factor común en los otros ejer- cicios. En el 21 usa trinomio cuadrado perfecto y en 22, 23 y 24, diferencia de cuadrados. 25a) Forma un rectángulo, como aquí: x x + 2 x + 1 1 1 1 x x2 � 3x � 2 � (x � 2)(x � 1) 25b) y c) Factoriza cada trinomio. 26. Multiplica (� 1 �5 ) por (�2 2 ) y asigna cada parte a un factor binomio. Ejercicios 1 a 6. Factoriza cada trinomio. 1. x2 � 9x � 8 2. x2 � 7x � 12 3. x2 � 15x � 54 4. x2 � 6x � 7 5. x2 � 6x � 16 6. x2 � 7x � 30 Ejercicios 7 a 12. Factoriza cada trinomio. 7. 2x2 � 25x � 12 8. 12x2 � 31x � 20 9. 5x2 � 22x � 24 10. 2x2 � 23x � 12 11. �3x2 � 20x � 32 12. 6x2 � 17x � 10 Ejercicios 13 a 18. Expresa cada trinomio usando tres factores. 13. 4x2 � 20x � 24 14. 6x2 � 26x � 8 15. 10x2 � 15x � 10 16. �2x2 � 16x � 30 17. �x2 � 9x � 20 18. 10x2 � 40x � 50 Ejercicios 19 a 24. Factoriza cada expresión combinando diversas técnicas. 19. 10x2 � 6x � 35x � 21 20. 16x2 � 24x � 10x � 15 21. 2x3 � 4x2 � 2x 22. �45x3 � 5x 23. (3x � 1)2 � x2 � 4x � 4 24. x(x2 � 25) � 3(x2 � 25) 25. Geometría a) Usa el modelo geométrico para factorizar el trinomio; b) y c) obtén una expresión algebraica para los lados del rectángulo a) 3x2 � 5x � 2 11 1 x x x b) x2 � 2x � 15 Área c) 8x2 � 14x � 15 Área 26. Venta de chocolate Si el precio semanal por una taza de chocolate fue p � 10 � x/10, y T � (�1/5)(x2 � 30x � 7,000) es el ingreso por la venta sema- nal, a) ¿Cuántas tazas de chocolate se vendieron en la semana x? b) ¿Y en las semanas 0, 1, 2, 10 y 12? c) ¿Cuál fue, en esas semanas, el precio de cada taza de chocolate? Autoevaluación 5A BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II94 B5BLOQUE Conocimientos Fracciones algebraicas Simplificar x 2 � 3x � 2 6x � 12 . Método 1 a) La división entera no es posible. b) x2 � 3x � 2 6(x � 2) Factorizas abajo c) Divides x2 � 3x � 2 entre x � 2 x � 1 x � 2 x2 � 3x � 2 �x2 � 2x x � 2 � �x � 2 0 d) Cancelas factores comunes x2 � 3x � 2 6(x � 2) � (x � 1)(x � 2) 6(x � 2) � x � 1 6 Método 2 Factorizas arriba y abajo, como en d). (En el caso del problema se requiere un arreglo que puedes consultar en la segunda parte del libro.) Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Factorización de trinomios Simplificación de expresiones racionales División de polinomios En Internet: Op. cit. Bloque 4A Situación didáctica Venta de churros a) Abres una cafetería con venta de churros. En la primera semana de invierno vendes 1,750 churros. En las siguientes 11 semanas tus ventas aumentaron 450 piezas cada semana. b) Tu socio, quien estableció la política de precios, explicó que puede determinar los ingresos semanales (en pesos), con el modelo I � �9x2 � 865x � 3,500, en donde x � 0 representa la primera semana. Tú sabes que los precios se ajustaron cada semana y deseas ahora conocer cuál fue el precio promedio en cada una, además de tener una idea general del comportamiento de los precios, ventas e ingresos durante ese periodo. ¿Cómo utilizarías la informa- ción que posees? Análisis de la situación Parte a) Ventas 1. Registra las ventas semanales de churros en una tabla: Semana 0 1 2 3 Venta 1,750 1,750 � 1(450) 1,750 � 2(450) 1,750 � ? ¿Observas alguna regularidad en el comportamiento de las ventas? Descríbela con palabras. Parte b) Precios 1. El ingreso (I) de la venta de churros es igual al producto de las cantidades ven- didas de churros (v) por el precio (p) de cada churro: I � pv. De aquí que, con el ingreso y las cantidades vendidas, puede obtenerse el precio de cada churro: p = I v 95Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica Parte a) 1. A partir de la regularidad observada en la tabla, el modelo algebraico para descri- bir las cantidades vendidas de churros v en la semana x es: v � 1,750 � _______ x, donde x � 0, 1, … , . Parte b) 2. Para conocer el precio promedio de los churros en cada semana, reemplazamos en p= I v las anteriores expresiones de I y v: p = I v = �9x2 � � . + 1,750. 3. Al factorizar y cancelar factores comunes, se logra una expresión más simple para el precio: p = ( )( ) 50( ) = 50 . 4. Para visualizar el comportamiento de los precios p cada semana x, puede cons- truirse una tabla: Semana 0 1 2 3 4 5 … 10 11 Precio 3.60 3.54 … 3.38 5. Otra forma de visualizar el comportamiento de estos registros es mediante una gráfica. Identifica y completa cada una. 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 3.66 3.33 3.00 2.67 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x Proyecto de trabajo 1. Empaque para televisión Una compañía de aparatos electrónicos desarrolla modelos de televisión como el mostrado en el diseño, cuyas proporciones requie- ren cajas con el volumen indicado. a) ¿Cuáles expresiones algebraicas corresponderían a las dimensiones de cada caja? b) ¿Cuáles serían dichas dimensiones cuando x � 5 cm? c) ¿Cuáles podrían ser el ancho y el largo de las televisiones que irían en tales cajas? d) ¿Cuáles valores para x serían plausibles? Haz una tabla para cuatro de estos posibles valores y las dimensiones de las cajas. Rúbrica de evaluación 1. Escribe en tu cuaderno de matemáticas el desarrollo detallado de cada uno de los puntos de la secuencia didáctica. 2. Pon especial atención a las transformacio- nes y operaciones algebraicas del punto 3. Una estrategia para localizar el factor común es observar el factor lineal del de- nominador y dividir entre éste el numera- dor para obtener su otro factor. 3. Explica el comportamiento de cada gráfi- ca y la relación entre ellas (precios-venta). 4. Procede de forma similar para el proyec- to de trabajo. 9x Volumen 9x(10x2 + 441x + 44) BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II96 Segmento informativo 5B Simplificación de expresiones racionales (Fracciones algebraicas) Una expresión racional es el cociente de dos polinomios. 6x2 � 7x � 5 2x2 � x Expresión racional Simplificar una expresión racional es eliminar los factores comunes al numerador y al denominador. Esto se logra factorizando. Simplificación de expresiones racionales 1. Factorizas numerador y denominador. 2. Cancelas los factores comunes. Expresión racional Factorización Expresión simplificada 6x2 � 7x � 5 2x2 � x = (2x � 1)(3x � 5) x(2x � 1) = 3x � 5 x Una expresión racional que no contiene factores comunes es irreducible. 10x � 5 x2 � 2x = 5(2x � 1) x(x � 2) Expresión irreducible La simplificación de fracciones se basa en la siguiente propiedad: v Principio para simplificar fracciones am bm � a b , m � 0 (En esta identidad, a, m, b, son símbolos numéricos, es decir, son constantes, varia- bles o expresiones numéricas o algebraicas.) Ejemplo 1 Simplificando expresiones racionales de monomios Elimina los factores comunes en cada expresión racional. a) 10x3 2x b) �12x 3x2 Solución a) 10x3 2x � 10 xx2 2x � 5x2. b) �12x 3x2 � �(4)(3)x 3xx � �4 x . Recuerda Las fracciones am bm y a b son equivalentes. 18 24 es equivalente a 3 4 . 18 24 � (6)(3) (6)(4) � 3 4 . Observaciones importantes 1. En una expresión racional el denomina- dor nunca es cero, ni una constante. Verifica tu avance ¿Es x2 � 5x � 7 10 una expresión racional? 2. 3x � 5 x es irreducible (el numerador y el denominador no tienen factores comunes) 3. No puedes cancelar así 3x � 5 x porque x NO es factor de 5. Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... Puedes simplificar monomios fácilmente usando los criterios de divisibilidad para los coeficientes y las leyes de la división de ex- ponentes para las variables. Observa: a) 10x3 2x � 5x3 � 1 � 5x2. b) �12x 3x2 � �4x�1 � �4 x . 97Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Simplificando expresiones racionales con monomio Suprime los factores comunes en 20x4 � 4x3 � 16x 2x . Solución 20x4 � 4x3 � 16x 2x � 2x (10x3 � 2x2 � 8) 2x Factor común 2x � 10x3 � 2x2 � 8 Eliminando factores comunes Ejemplo 3 Simplificando expresiones racionales con monomio Elimina los factores comunes en x2 � 7x 3x . Solución x2 � 7x 3x � x (x � 7) 3x Factor común x � x � 7 3 Eliminando factores comunes Ejemplo 4 Simplificando expresiones racionales de polinomios Simplifica la expresión racional 7x3 � 28x x2 � 2x . Solución 7x3 � 28x x2 � 2x � 7x (x2 � 4) x (x � 2) Factor común 7x y x � 7x (x � 2)(x � 2) x (x � 2) Factorizando x2 � 4 = 7(x � 2) Eliminando factores comunes Ejemplo 2 Fíjate en lo siguiente... 1. El factor común para el numerador y el denominador debe ser el mayor posible para ambos. 2. Debido a esto, aunque 20x4 � 4x2 � 16x tiene como mayor factor común 4x, sólo extraes 2x, por ser el que coincide con el factor del denominador. 3. Cuando la expresión racional es de la for- ma Polinomio Monomio puedes aplicar la ley dis- tributiva y simplificar monomios. 20x4 � 4x3 � 16x 2x � 1 2x (20x4 � 4x3 � 16x) � 20x4 2x � 4x3 2x � 16x 2x � 10x3 � 2x2 � 8. (Generalmente se omite el primer paso.) Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. Puedes aplicar la propiedad distributiva al resultado racional para obtener un po- linomio x � 7 3 � x 3 � 7 3 2. Los coeficientes de este polinomio no son enteros. Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... También puedes expresar el resultado como un polinomio: 7(x � 2) � 7x � 14 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II98 Ejemplo 5 Simplificando expresiones racionales de polinomios Simplifica la siguiente expresión racional: x3 � 2x2 � x 5x2 � 5x . Solución x3 � 2x2 � x 5x2 � 5x � x (x2 � 2x � 1) x (5x � 5) Factor común x � (x � 1)(x � 1) 5(x � 1) Factor común x � 1 = (x � 1) 5 Eliminando factores comunes Ejemplo 6 Decoración de interiores Trabajas en una empresa que se dedica a la decoración de interiores. La instalación de ornamentos y lámparas de iluminación, tienen un costo de O � 5x3 � 350x2 � 4,125x, L � 2,500(x � 55) por x metros cuadra- dos, respectivamente, donde x indica decenas de m2. a) ¿Cuál es el costo de cada tipo de instalación en 200 m2 de super- ficie de un restaurante? b) Compara los costos mediante una razón numérica y generaliza con una expresión algebraica. c) Utiliza este modelo para comparar los costos para 200 m2. 208,000 160,000 112,000 64,000 16,000 1 5 10 15 20 25 ORNAMENTOS Co st o en $ Área en m2 (1 ↔ 10)Solución a) Cada expresión se valúa para x � 20. O � 5(20)3 � 350(20)2 � 4,125(20) � $ 262,500. L � 2,500 (x � 55) � 2,500 (20 � 55) � $ 187,500. b) O L � 262,500 187,500 � 1.4. El costo de los objetos ornamentales es casi una vez y media el costo de la instalación de lámparas. O L � 5x3 + 350x2 � 4,125x 2,500(x � 55) � 5x(x � 55)(x � 15) 5 (500)(x � 55) � x(x � 15) 500 . c) Para 200 m2, O L � 20(20 � 15) 500 � 700 500 � 7 5 � 1.4. Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... 1. Consideras x como factor común por es- tar presente en todos los términos del nu- merador y el denominador. 2. Factorizas el trinomio cuadrado perfecto x2 � 2x � 1 � (x � 1)2 � (x � 1)(x � 1). 3. Extraes 5 como factor común en el deno- minador. 4. Puedes expresar el resultado como un po- linomio con coeficientes fraccionarios: x � 1 5 � x 5 � 1 5 Ejemplo 6 Observaciones importantes 1. El significado de la expresión “x indica decenas de m2” queda claro si asignas va- lores a x: Valor de x en el modelo Valor real de x en m2 1 1 � 10 � 10 2 2 � 10 � 20 10 10 � 10 � 100 20 20 � 10 � 200 Es decir, 1 en el modelo representa 1 de- cena; 2 representa 2 decenas, etcétera. 2. La indicación en la escala horizontal de la gráfica1 10 precisa esta situación para los valores de esa escala. 3. Debes tener cuidado de considerar es- tas conversiones cuando se indique una equivalencia. Si vas de los valores de la gráfica al valor real debes multiplicar por el factor. Para pasar del valor real a la gráfica, debes dividir entre dicho factor. 4. Estas equivalencias a veces se enuncian en expresiones verbales tales como: “x en decenas de m2”, “x en miles de pesos”, etcétera. 99Grupo Editorial Patria® Ejercicios 1 a 4. Simplifica los siguientes monomios. 1. 32x2 4x 2. �25x4 5x2 3. �7x 10x2 4. 2x5 5x2 Ejercicios 5 a 7. Elimina los factores comunes en cada expresión. 5. 4x2 � 8x 2x 6. �15x3 � 45x2 � 40x 5x 7. 12x4 � 16x3 � 60x2 �4x Ejercicios 8 a 13. Simplifica las siguientes expresiones racionales. 8. x2 � 11x � 24 x � 3 9. 81x2 � 16 9x � 4 10. 9x2 � 18x x2 � 2x 11. �169x3 13x 12. 6x3 � 12x2 � 6x 3x � 3 13. x2 � 5x x Ejercicios 14 a 20. ¿Cuáles expresiones racionales son irreducibles? 14. x � 1 6 15. (x � 5)(x � 6) x 16. x2 � 10x � 25 x � 5 17. 3x2 � 2x � 1 x � 2 18. x 3 19. x2 � 10x � 25 x � 5 20. 24x(x � 2) 3x 21. Venta de libros Los ingresos de una librería al vender x ejem- plares en un mes (1 �1,000 libros), pueden modelarse con I � 0.02x4 � 10x2 � 2,000x (1 100 pesos). a) ¿Cuál fue el ingreso cuando se vendieron 16,000 libros? b) ¿Cuál expresión algebraica indica el precio promedio p de venta de cada libro? c) Simplifica esta expresión y determina cuál fue el precio promedio de cada libro cuando la venta alcanzó 32,000 ejemplares en un mes. 22. Precios de pantalones y sacos Hasta 15 piezas, el precio de un traje de vestir puede modelarse con T � � 0.9(x2 � x � 1,980). El precio al vender por separado el saco y el pan- talón se halla con S � � 0.6(x2 � 5x � 1,800) y P � � 0.4(x2 � 5x � 1,800). a) Obtén razones algebraicas que indiquen qué parte del cos- to total del traje representa el pantalón y el saco. b) Compara el precio del saco respecto al del pantalón. c) Calcula los precios para x � 1; sustituye este valor en las expresiones anteriores que los comparan. Autoevaluación 5B Sugerencias para la autoevaluación 5B 1 a 4. Simplifica, si es posible, coeficientes con sus signos. Divide potencias. Ejem- plo 1. 5 a 7. Divide cada término entre el divisor. Re- visa los ejemplos 2 y 3. Atiende signos. 8 y 12. Factoriza el trinomio. Ejemplos 4 y 5. 9. Factoriza la diferencia de cuadrados. 10 y 13. Extrae factor común. 14 a 20. ¿Puedes factorizar y obtener un fac- tor común para los dos polinomios? 21. Para convertir valores: 1) Del modelo al valor real: Multiplica por 100 el valor de I, por 1,000 el de x; el de p por 1/10: (p real � 100I 1,000x � 1 10 � � 1 x � � � � 1 10 p) 2) Del valor real al modelo: Haz la operación inversa en cada caso. a) Calcula para el valor x � 16 (en el modelo, x representa miles). El valor que obtengas al sustituir x � 16 en I, multiplícalo por 100 para obtener la cantidad en pesos. b) p � Ingresos Libros vendidos � 1 x � ? c) Sustituye x � 32 en la expresión que obtuviste para p. Multiplica al final por 1/10. 22. Similar al ejemplo 6. No hay necesidad de conversiones (pues no se especifican equivalencias): la sustitución directa pro- porciona los precios en pesos. Un factor común para T, S y P es x � 45. Halla el otro factor para cada trinomio dentro del paréntesis. a) Obtén y simplifica P/T y S/T. b) Haz lo mismo con S/P. c) Sustituye x � 1 en las expresiones. Comprueba y utiliza estas factorizacio- nes: T � �0.9 (x � 44) (x � 45) S � �0.6 (x � 40) (x � 45) P � �0.4 (x � 40) (x � 45). Ingreso $ (1 ↔ 1 00 ) Libros (1 ↔ 1,000) 0 8 16 24 32 40 32,768 65,536 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II100 C5BLOQUE Situación didáctica Limpieza de albercas En un centro recreativo se cambia el agua de las albercas cada tres días. El volumen de agua que se requiere para llenar cada una nuevamente (en m3) se determina con V � 48x3 �72x2 � 24x, donde x es la longitud del trampolín en cada alberca, superior a 1 m, pero no mayor a 2.5 m. Mediante la expresión 6x � 3 se obtiene el ancho de cada alberca, las cuales poseen forma rectangular. ¿Qué otros datos pueden obtenerse acerca del tamaño y la limpieza de las albercas? ¿Es posible determinar, por ejemplo, las restantes dimensiones de cada alberca y la superficie de cada una? ¿Cuáles podrían ser para un trampolín de 2.5 metros de largo? ¿Y de 2 metros? Análisis de la situación 1. Existen diversas posibilidades para el ancho y el volumen de las albercas, por ejemplo: x (m) 1.10 1.50 2.00 Ancho (m) 3.6 6 9 Volumen (m3) 3.2 36 144 ¿Pueden utilizarse otras medidas para el trampolín? Menciona algunas. Ciertas medidas carecen de sentido. ¿Cómo cuál? ¿Por qué? 2. ¿Podrías averiguar, a partir de los datos de la tabla, cuáles son las dos dimensio- nes faltantes de cada alberca? Intenta auxiliarte con la fórmula para el volumen de las albercas: V � largo × alto × ancho. ¿Qué te daría el cociente V ancho ? ¿Cuánto mediría el largo y el alto de cada una de las albercas examinadas en la tabla? Conocimientos División larga de polinomios Ordena ambos polinomios en forma ascen dente o descendente Repite dos pasos cíclicamente: 1. Divide sólo primeros términos. 2. Multiplica el resultado por el divisor y réstalo al dividendo. Paso 1 Al dividir x2 entre x obtienes x x x � 1 x2 � 1 Paso 2 Multiplicas x por x � 1 y restas este producto x x � 1 x2 � 1 � x2 � x �x � 1 Continúas repitiendo el ciclo: Paso 1 x � 1 x � 1 x2 � 1 � x2 � x �x � 1 Divides �x entre x y obtienes �1 Paso 2 Multiplicas �1 por x ��1 y restas... Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Factorización de trinomios Simplificación de expresiones racionales División de polinomios En Internet: Op. cit. Bloque 4A 101Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. La fórmula para el volumen, V � largo × alto × ancho, muestra que al dividir V entre el ancho se obtiene el producto largo × alto. Así, V ancho � 48x3 � 72x2 � 24x 6x � 3 � 8__ � ____ 2. Escribiendo 8 ______ � ______ como producto de dos expresiones algebraicas, una sería el largo y la otra el __________ (alto/ancho/largo). Por ejemplo, puede escribirse 8 ______ � ______ � 8x( � ). 3. ¿Cuál de estos factores correspondería al largo y cuál al alto (profundidad) de la alberca? ¿Cuál dimensión es usualmente mayor en las albercas? ¿Cuál expresión sería mayor en este caso? ¿Por qué? Para x � 2.5 m se tendría: largo ________ ; ancho ________ ; profundidad ________ . 4. Otras posibilidades para descomponer 8 ______ � ______ en dos factores, son: 8(x2 � ); 4x( � 2); x( � ); 16x( � ). No todas son admisibles en el contexto del problema, pues algunas producen dimensiones absurdas. 5. Siendo el ancho 6x � 3, las tres primeras expresiones anteriores darían, para una alberca con un trampolín de 2 m de longitud, las siguientes dimensiones: largo __________ , ancho __________ , profundidad __________ , la cuarta expresión daría: largo _________ , ancho _________ , profundidad __________ . Aceptando que en las albercas: largo � ancho � profundidad, ¿serían admisibles las tres pri- meras medidas? 6. Para otras medidas del trampolín, entre 1 m y 2.5 m (1 � x � 2.5), ¿qué dimensio- nes producirían estas expresiones? ¿Cuáles resultan más costosas para el mante- nimiento de la limpieza? Proyecto de trabajo 1. Cajas para regalo Una caja para regalo con base cuadrada tiene volumen V � 16x3 � 40x2 � 25x cm3 y altura x. a) Obtén una expresión para los lados de la caja. b) Encuentra la razón del volumen al ancho. c) ¿Proporciona la razón anterior el área superficial de la base de la caja? ¿Porqué sí o por qué no? d) Halla las dimensiones, el volumen y el área de la base de la caja cuando x � 12 cm. Rúbrica de evaluación El desarrollo de la secuencia didáctica en tu cuaderno de matemáticas deberá incluir las transformaciones algebraicas requeridas para las respuestas: 1. La división de polinomios (punto 1). 2. Las factorizaciones del cociente, y la comprobación de que son correctas (pun- tos 2 y 4). 3. El cálculo del valor de las expresiones algebraicas para los valores considerados para x (puntos 3 y 5). 4. Los resultados de la exploración de valo- res, organizados en tablas: T A L P x 6x � 3 16x x 2 � 1 2 1.5 6 24 0.25 2.2 10.2 35.2 0.6 T A L P x 6x � 3 8x x � 1 1.5 6 12 0.5 2 9 16 1 (Longitudes: T � trampolín, A � ancho, L � largo, P � profundidad) BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II102 Segmento informativo 5C División de polinomios Al dividir polinomios puede presentarse alguno de estos casos: Monomio Polinomio Polinomio entre monomio entre monomio entre polinomio 5x 2x2 6x3 � 16x2 � 10x 2x x2 � 2x � 3 x � 1 Las divisiones se efectúan simplificando factores comunes, cuando estos existen y resulta fácil obtenerlos. En los casos anteriores: 5x 2x2 � 5x 2xx � 5 2x 6x3 � 16x2 � 10x 2x � 6xxx 2x � 16xx 2x � 10x 2x � 3x2 � 8x2 � 5 x2 � 2x � 3 x � 1 � (x � 1)(x � 3) (x � 1) � x � 3 La división larga de polinomios se usa cuando se dificulta simplificar. Los polino- mios deben estar escritos en forma estándar. División larga de polinomios 1. Divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor. 2. El producto de este cociente y el divisor réstalo del dividendo. Después usa cada residuo como dividendo y aplica 1 y 2. El proceso termina cuando el residuo tiene menor grado que el divisor. Paso 1 Paso 2 x3 x � 1 x3 � x2 Divides x3 � x x2 x � 1 x3 � x2 �x3 � x2 0 Multiplicas x2(x � 1) y lo restas (cambia signos) Ejemplo 1 Dividiendo polinomios en dos pasos a) Divide 2x �7 entre x � 5. b) ¿Es x � 5 un factor de 2x � 7? Solución Divides 2x � x y obtienes 2 a) 2 x � 5 2x � 7 �2x � 10 3 Multiplicas 2(x � 5) y cambias el signo para restar b) No. El residuo es distinto de 0. Se escribe 2x � 7 x � 5 � 2 � 3 x � 5 , o bien, 2x � 7 � 2(x � 5) � 3. Recuerda 1. Un polinomio está escrito en forma es- tándar si las potencias son decrecientes. Forma estándar No estándar x2 � 2x � 15 –15 � 2x � x2 2. Nombres de los términos en una división: Cociente Divisor x2 x � 1 x3 � x2 �x3 � x2 0 Dividendo Residuo 3. La regla (o algoritmo) de la división pue- de expresarse de dos maneras: Dividendo � divisor � cociente � residuo Dividendo Divisor � Cociente � Residuo Divisor Así, x3 � x2 � (x � 1)x2 o x3 � x2 x � 1 � x2 4. La división es exacta cuando el residuo es cero (como aquí). En tal caso el divisor es un factor del dividendo. 5. El grado de cualquier constante es cero. La división concluye si el residuo es una constante o un polinomio con menor gra- do que el divisor. Ejemplo 1 Fíjate en lo siguiente... Puedes comprobar la división con el algo- ritmo. Una forma: 2(x � 5) � 3 � 2x � 10 � 3 � 2x � 7 Otra forma: 2 � 3 x � 5 � 2(x � 5) � 3 x � 5 � 2x � 7 x � 5 103Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Dividiendo polinomios en dos pasos a) Divide � 8x4 � 2x2 � x entre 4x2 � 1. b) ¿Es 4x2 � 1 un factor de � 8x4 � 2x2 � x? Solución a) �2x2 4x2 � 1 �8x4 � 2x2 � x 8x4 � 2x2 x Divides �8x4 � 4x2 y obtienes �2x2 Multiplicas �2x2 (4x2 � 1) y cambias signos b) No. El residuo NO es cero. Se escribe �8x4 � 2x2 � x 4x2 � 1 � �2x 2 � x 4x2 � 1 , o bien, � 8x4 � 2x2 � x � �2x2 (4x2 � 1) � x. Ejemplo 3 Dividiendo polinomios en varios pasos a) Divide 3x2 � 7x � 6 entre x � 3. b) ¿Es x � 3 un factor de 3x2 � 7x � 6? Solución a) Usas los pasos 1 y 2 (1er ciclo). 3x x � 3 3x2 � 7x � 6 � 3x2 � 9x 2x � 6 Divides 3x2 � x y obtienes 3x Multiplicas 3x(x � 3) y cambias signos Bajas �6 Repites los pasos 1 y 2 con el residuo (2do ciclo). 3x � 2 x � 3 3x2 � 7x � 6 � 3x2 � 9x 2x � 6 �2x � 6 0 Divides 2x � x y obtienes 2 Multiplicas 2(x � 3) y cambias signos b) Sí. El residuo es 0. Se escribe 3x2 � 7x � 6 x � 3 � 3x � 2, o bien, 3x2 � 7x � 6 � (x � 3) (3x � 2). Ejemplo 2 Fíjate en lo siguiente... 1. El proceso de la división larga de poli- nomios es similar al de la división entre números. 9 5 47 �45 2 Divides 47 � 5 Multiplicas 9(5) y lo restas 2. Al dividir �8x4 � 4x2 considera los signos. 3. La división concluye al obtener x como residuo, ya que su grado es menor que el del divisor 4x2 � 1. Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. Al concluir los dos primeros pasos termi- na el primer ciclo. El residuo es 2x � 6. 2. Como este residuo tiene igual grado que el divisor (x � 3), la división prosigue. 3. En el siguiente ciclo el residuo 2x � 6 es el nuevo dividendo y reinicia así el proce- so de los dos pasos. Después de los dos primeros pasos Cada nuevo residuo se toma como divi- dendo, hasta concluir la división. Verifica tu avance 1. ¿Cuáles términos debes dividir para con- tinuar la división? x x � 1 x2 � 1 � x2 � x �x � 1 2. ¿Podrías haber escrito �1 � x en el último renglón mostrado? Explica. BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II104 Ejemplo 4 Dividiendo polinomios en varios pasos Obtén el cociente de x3 � 1 entre x � 1. Solución Usas los pasos 1 y 2 (1er ciclo). Divides x3 � x y obtienes x2 Multiplicas x2(x � 1) y cambias signos x2 x � 1 x3 � 1 �x3 � x2 �x2 � 1 Repites los pasos 1 y 2, con el residuo (2do ciclo). Divides �x2 � x y obtienes �x Multiplicas �x(x � 1) y cambias signos x2 � x x � 1 x3 � 1 �x3 � x2 � x2 � 1 � x2 � x x � 1 Repites los pasos 1 y 2 con el nuevo residuo (3er ciclo). Divides x � x y obtienes 1 Multiplicas 1(x � 1) y cambias signos x2 � x � 1 x � 1 x3 � 1 � x3 � x2 �x2 � 1 �� x2 � x x � 1 �x � 1 �2 Ejemplo 5 Fábrica de calzado deportivo Durante su primer año de operación, una fábrica de zapatos deportivos obtuvo ingre- sos calculados en I � � 0.25x2 � 120x � 130 (1 �1,000 pesos) al vender al mayoreo en x días, x � 10 pares de tenis (1 �100). a) Halla una expresión para el precio pro- medio de cada par de zapatos. b) Simplifica y obtén su precio (cientos de pesos) al concluir el primer año. Solución a) Como Ingreso � cantidad � precio, el precio p � �0.25x2 � 120x � 130 x � 10 . b) p � �0.25 � � (x � 490) � 4,380 x � 10 � � � . Para x � 365, el precio fue p � $283.30. Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... 1. Para cada término en el cociente realizas un ciclo en la división. 2. Cada ciclo consta de los dos pasos bá sicos: – Divides primeros términos – Multiplicas y restas 3. Cada residuo se escribe en forma estándar. Recuerda 1. Puedes escribir las potencias faltantes asig- nándoles coeficiente cero. x2 � x � 1 x � 1 x3 � 0x2 � 0x � 1 �x3 � x2 �x2 � 0x � 1 � x2 � x x � 1 �x � 1 �2 2. Si no deseas usar coeficientes cero, debes sólo acomodar los términos semejantes al restarlos, y bajar los que no tengan pa- reja. 3. Un mismo término puede continuar bajan- do varias veces, hasta obtener uno seme- jante en algún momento. Si esto último no ocurre, tal término quedará en el residuo. Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... 1. �0.25x2 � 120x � 130 x � 10 � �0.25(x2 � 480x � 520) x � 10 2. �0.25(x2 � 480x � 520) x � 10 � �0.25 � � x2 � 480x � 520 x � 10 � � � 16,384 12,288 8,192 4,096 0 64 128 256 365 In gr es o (m ile s $) Tiempo (días) 105Grupo Editorial Patria® Sugerencias para la autoevaluación 5C 1 a 6. Revisa el inicio de este segmento. 7 a 9. Revisalos ejemplos 1 y 2. 10 a 14. Revisa los ejemplos 3 y 4. 15. Si no son divisibles los coeficientes de los polinomios, los cocientes se expre- san con fracciones comunes. 3� 2 x 2x � 1 3x2 � x � 3x2 � 3� 2 x � 3� 2 x 3x2 2x � 3 2 x; � � 3x 2 � � � 2x � 3x2; x � 3x 2 � 2x � 3x 2 � �� x 2 16 a 18. Escríbelos en forma estándar. 19 y 20. Divide entre el factor conocido. 21. a) E � Cociente � residuo ÷ divisor b) Sustituye. Multiplica al final por 100. c) Halla x para E � 0 en el modelo. d) 1 lux � 1.1 watts/m2. Ampliando el conocimiento 1. La energía luminosa que llega del Sol a la atmósfera superior de la Tierra (constante solar) es de cerca de 1,360 W/m2. 2. Después de 150 a 200 m de profundidad oceánica, inicia la oscuridad total. Las es- pecies abisales se iluminan por biolumi- niscencia; en las zonas hadales los seres son ciegos o carecen de ojos. 3. La profundidad media del océano es de 4,000 m. La mayor es de 11,000 m, en las Fosas Marianas del Pacífico, en Filipinas. Profundidad (metros) Lu m in os id ad ( 1 ↔ 1 00 lu xe s) 0 2 4 6 8 10 32 64 96 128 160 Ejercicios 1 a 6. Obtén el cociente de cada división simplificando factores. 1. �18x3 9x 2. �3x5 �2x2 3. 9x3 � 24x2 � 6x 3x 4. �4x3 � 6x2 � 32x �2x 5. 5x3 � 20x x � 2 6. 3x2 � 5x � 2 3x � 1 Ejercicios 7 a 9. Realiza en dos pasos las siguientes divisiones. 7. (x3 � 1) � (x2 � 1) 8. (5x3 � 6) � (x2 � 8) 9. (12x3 � x � 7) � (4x2 � 7) Ejercicios 10 a 15. Efectúa las siguientes divisiones. 10. (�x2 � 1) � (x � 1) 11. (x3 � 4x2 � 4x � 1) � (x2 � 5x � 1) 12. (3x2 � 7x � 6) � (x2 � 1) 13. (x4 � 2) � (x2 � x � 1) 14. (x3 � 1) � (x � 1) 15. (5x2 � 2x � 6) � (2x � 2) Ejercicios 16 a 18. Ordena los polinomios y efectúa cada división. 16. (x � 4) � (1 � x) 17. (12 � 10x2 � 29x) ÷ (x � 3) 18. (1 � x2) ÷ (x � 1) Ejercicios 19 y 20. Halla el factor que se indica. 19. (7x2 � 12x � 4) � (7x � 2)(?) 20. (5x3 � 14x2 � 7x � 2) � (x � 2)(?) 21. Luminosidad submarina Al aumentar la profundidad océanica, los rayos solares pierden su intensidad, disminuyendo la temperatura y la visibilidad en el agua. El modelo mostrado permite determinar la luminosidad E del océano (1 100 luxes) a x metros de profundidad. (La visibilidad es nula si E es 0 o negativa.) E � 1,000 � 6x 3x � 100 a) Simplifica este modelo. b) ¿Cuál es la luminosidad a 25 m de profundidad? ¿Y a 200 m? c) ¿Hasta cuántos metros de profundidad existe visibilidad? d) ¿A cuántos watts por m2 equivale cada iluminación anterior? Autoevaluación 5C BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II106 Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. Dibujó las gráficas pedidas en papel milimétrico o bien por computadora en un formato bien presentado indicando claramente las variables que se grafican y sus unidades. Desarrollo SÍ NO Observaciones 6. Elaboró una tabla de ventas semanales de churros e indicó la regularidad que observó. 7. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. Desarrollo Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. Organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín. Omite algunos pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas pero los presenta de manera ordenada. Organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín. Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. No organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín. Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación. No organiza en tablas las dimensiones de la alberca (columnas) para los diversos valores presentados de altura del trampolín. Dominio del tema Realiza correctamente la división entre polinomios. Factoriza correctamente polinomios. Evalúa correctamente expresiones algebraicas. Realiza correctamente la división entre polinomios. Factoriza correctamente polinomios. Evalúa incorrectamente expresiones algebraicas. Realiza correctamente la división entre polinomios. Factoriza incorrectamente polinomios. Evalúa incorrectamente expresiones algebraicas. Realiza incorrectamente la división entre polinomios. Factoriza incorrectamente polinomios. Evalúa incorrectamente expresiones algebraicas. Resultados y conclusiones Determina correctamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) para al menos cuatro alturas del trampolín entre 1 m y 2.5 m. Determina correctamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) para tres alturas del trampolín entre 1 m y 2.5 m. Determina correctamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) sólo para alturas del trampolín de 2 m y 2.5 m. Determina incorrectamente las dimensiones razonables de la alberca (largo, ancho y profundidad) para las alturas empleadas. Rúbrica Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Limpieza de albercas” del Bloque 5C. Nombre del alumno: Instrumentos de evaluación Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Venta de churros” del Bloque 5B. Lista de cotejo 107Grupo Editorial Patria® Dominio del tema SÍ NO Observaciones 8. Factoriza correctamente polinomios. 9. Realiza correctamente la división entre polinomios. 10. Conoce la relación entre ingreso, cantidad vendida de un producto y el precio de dicho producto. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 11. Obtuvo la expresión algebraica para el precio por churro por semana. 12. Elaboró una tabla de precio por churro para las once semanas indicadas. 13. Graficó correctamente las ventas de churros en función de la semana e interpretó correctamente dicha gráfica. 14. Graficó correctamente el precio de los churros en función de la semana e interpretó correctamente dicha gráfica. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Factorización de polinomios. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importanteanotar las observaciones pertinentes. No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Obtiene las expresiones algebraicas (con coeficientes enteros) para las dimensiones del gabinete para CPU. 2 Calcula las dimensiones del gabinete para CPU para x = 10 cm. 3 Obtiene las expresiones algebraicas para las dimensiones de las cajas de televisores. 4 Calcula las dimensiones de las cajas de televisores para x = 5 cm. 5 Indica cuáles podrían ser el ancho y el largo de los televisores que podrían caber en las cajas. 6 Indica qué valores de x son físicamente posibles para las cajas de televisores. 7 Elabora una tabla para cuatro valores plausibles de x y las correspondientes dimensiones de las cajas de televisores. 8 Obtiene las expresiones algebraicas para las dimensiones de las cajas para regalo. 9 Determina la razón del volumen al ancho para las cajas para regalo. 10 Explica si la razón volumen a ancho es igual al área superficial de la base de la caja. 11 Halla las dimensiones, el volumen y el área de la base de la caja para regalo para x = 12 cm. *No aplica. Guía de observación para los proyectos de trabajo “Gabinete para CPU”, “Empaque para televisión” y “Cajas para regalo” de los bloques 5A, 5B y 5C Resuelves ecuaciones lineales I Competencias a desarrollar n Construye e interpreta la ecuación y función lineal, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve problemas sobre ecuaciones y funciones lineales con una incógnita, aplicando diferentes técnicas. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante las técnicas para la elaboración de gráficas (intersección con los ejes pendiente-ordenada al origen y tabulación) y los contrasta con modelos establecidos. n Argumenta la solución obtenida de un problema de ecuación lineal o función lineal con una incógnita, con el método gráfico, con el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento utilizando la función de tipo lineal. n Cuantifica y representa matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean en los problemas planteados. n Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 6B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Uso de calculadora graficadora y/o una computadora Modelos aritméticos o algebraicos 8 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas. n Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. n Reconoce a y � mx + b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal. n Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal. n Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal. n Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieren el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales. n Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto algebraica como gráficamente. n Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal. n Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. n Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones. ¿Qué sabes hacer ahora? Lo último que uno sabe es por dónde empezar. Blaise Pascal En la industria se elaboran muchos productos con diferentes presentaciones y calidades, en razón de su costo y de las opciones para su comercialización. En la industria de procesamiento de productos lácteos, por ejemplo, es común combinar diferentes clases de un producto para ofrecer otros con precios y características intermedias (cantidad de grasa incorporada, consistencia, nutrientes, etcétera). En muchas ocasiones, estas combinaciones se establecen con la ayuda de funciones y ecuaciones lineales. BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I A6BLOQUE 110 Conocimientos Simplificación de ecuaciones 12 ��x � 4(x ��2) 12 ��x � 4x � 8 Quita paréntesis 12 � 8 � 4x ��x Agrupa variables 4 � 5x Realiza operaciones 4 5 � x Divide entre 5 0.8 � x Fracción decimal Ecuaciones con decimales Convierte a enteros multiplicando por una potencia de 10. 1. 0.6 � 0.07x � 0.35x � 0.08 Mayor cantidad de cifras decimales: 2 Multiplica por 102 � 100: 60 � 7x � 35x � 8. 2. 0.2x � 0.006x � 4.5 Mayor cantidad de cifras decimales: 3 Multiplica por 103 � 1,000: 200x � 6x � 4,500 Productos con potencias de 10 El exponente dice cuántos lugares a la de- recha mueves el punto decimal. Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de ecuaciones lineales En Internet: www.aaamatematicas.com/equ.htm www.juntadeandalucia.es/averroes/ iesdiegogaitan/departamentos/ departamentos/departamento_de_matemat/ recursos/algebraconpapas/index.php www.librosmaravillosos.com/ Situación didáctica Mezcla de dulces Eres el gerente de la dulcería Sweet Candy que, entre otros productos, ofrece bolsi- tas de 100 g con dulces de chocolate a $12.00, y otras, con dulces de mejor calidad, a $35.00. Algunos clientes de la dulcería te sugieren que también ofrezcas estas bolsitas con combinaciones de las dos calidades de dulces de chocolate, a un precio intermedio. Consideras que $24.00 podría ser un buen precio y que podrías disponer 3 kg del dulce de chocolate más caro, para experimentar. Unos minutos después de haberlo comentado con tu ayudante, éste te informa que, para tal propósito, deberás agregar 2 kg del dulce de chocolate más barato. ¿Cómo sabes que es correcto el dato que te dio tu ayudante? ¿Qué cálculos consideras que hizo para obtener ese resultado? Resuelve esta situación utilizando un modelo algebraico. Análisis de la situación 1. Sin álgebra Tu ayudante pudo haber hecho una tabla a partir del precio de un kilogramo de cada tipo de chocolate. D ul ce c ar o ($ ) Dulce barato ($) kg 0 0.5 1 1.5 2 0 0 60 120 180 240 0.5 175 355 1 350 470 2. Cálculos La fila y la columna en color amarillo registran pesos que aumentan en medio kilo a partir de 0 kg. En el cruce de cada fila y columna, en el cuerpo de la tabla (en color naranja), se suman los precios para esa combinación de ambos tipos de dulce (p. ej. con 1 kg de cada dulce: $350 � $120 � $470). Llena la tabla hasta 3 y 2 kg. ¿Obtienes lo que dijo tu ayudante? 111Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Para escribir un modelo algebraico en problemas de mezclas, es útil elaborar un diagrama como se ilustra a continuación. Si desconoces una cantidad, represénta- la con una variable. Dulce caro Dulce barato Mezcla Cantidad (kg) Precio kg ($) � � Costo total ($) 3 350________ 3(350) x ( )________ ( )x (3 � x) 240________ 240( ) Observa que la suma de los componentes es igual a la mezcla, con excepción del precio (pues éste fue estipulado de antemano). 2. La última línea, la del costo total, es el modelo buscado: 3(350) � ( )x � 240( ). Para resolver esta ecuación: Efectúa los productos ______________________________________________ Agrupa x en un lado _______________________________________________ Divide ambos lados entre el coeficiente de x ____________________________________________ 3. El resultado de esta ecuación es x � _________________ . Esto significa que, a los 3 kg del dulce más caro, debes agregar _________________ kg del otro dulce para obteneruna mezcla que cueste $24 la bolsita de 100 g. Proyecto de trabajo 1. Avena con chocolate Vendes bolsitas de 250 gramos de chocolate en polvo a $8.50, y de avena en polvo a $ 7.00. ¿Cuánta avena debes agregar a 6 kg de cho- colate para obtener una mezcla de ambos productos que puedas vender a $7.50 la bolsa de 250 gramos? a) ¿Qué representa 7 � 4? ¿Y 8.50 � 4? b) Elabora una tabla para aproximar el resultado. c) Continúa el diagrama y obtén el modelo algebraico. 6 kg $34________ d) Resuelve la ecuación y comprueba tus resultados. 2. Productos lácteos Un productor desea obtener crema con 60% de grasa mezclan- do 2 kg de crema que contiene 40% de grasa, con otra crema que tiene 70% de grasa. ¿Cuánta crema al 70% debe usar? a) Expresa cada porcentaje en forma decimal. b) Obtén un modelo algebraico con el diagrama. c) Resuelve el modelo y comprueba tus resultados. 2 kg 40%________ 2( ) x kg 70%________ x( ) (2 � x) kg 60%________ (2 � x)( ) � � Rúbrica de evaluación En el registro de la actividad en tu cuaderno de matemáticas: 1. Completa la tabla con los cálculos reali- zados en el análisis de la situación. Mejo- ra el resultado con subdivisiones de 100 g (0.1 kg) para valores entre 2 y 3 kg. 2. Consigna los desarrollos y cálculos efec- tuados en la secuencia didáctica. 3. Compara los dos métodos utilizados (nu- mérico y algebraico), en simplicidad y precisión. 4. Comprueba tu resultado: a) Suma los costos de cada cantidad de dulce para la mezcla. b) Divide este costo entre la suma de ambas cantidades. c) Divide el resultado entre 100 g. BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I Segmento informativo 6A 112 Ecuaciones lineales Solución de ecuaciones lineales Las ecuaciones son igualdades que son ciertas sólo para algunos (o ninguno) de los valores de la variable. Las identidades se cumplen para todos. Identidad Ecuación 2x � (1 � 1)x 4x � 8 Resolver una ecuación es determinar cuáles valores de la variable hacen que se cum- pla la igualdad. Estos valores son sus soluciones o raíces. Ecuación Raíz o solución 4x � 8 x � 2 Una ecuación se resuelve para una variable x, de la manera siguiente. Resolución de una ecuación 1. Transformas la ecuación hasta obtener una igualdad del tipo x � s. 2. Utilizas para ello propiedades de la igualdad y operaciones inversas. x � 2 � 5 4x � 8 x � 2 � 2 � 5 � 2 Sustraes 2 4x 4 = 8 4 Divides entre 4 x � 3 x � 2 Algunas ecuaciones contienen variables en ambos lados. En tales casos las variables semejantes se concentran en un mismo lado, de preferencia en aquel donde está el mayor coeficiente. Ejemplo 1 Sumando o restando en ambos lados Resuelve las ecuaciones siguientes. a) x � 10 � �1 b) x � 4 � 0 Solución a) x � 10 � �1 Ecuación original x � 10 � 10 � �1 � 10 Restas 10 en ambos lados x � �11 Simplificas Comprobación: x � 10 � �11 � 10 � �1. b) x � 4 � 0 Ecuación original x � 4 � 4 � 0 � 4 Sumas 4 en ambos lados x � 4 Simplificas Comprobación: x � 4 � 4 � 4 � 0. Observaciones importantes 1. El propósito de las transformaciones es aislar la variable en un solo lado. 2. Cada transformación debe producir una ecuación más simple, equivalente a las anteriores. (Es decir, tienen las mismas soluciones, como x � 2 � 5, x � 3.) 3. Cualquier ecuación lineal (primer grado) en x, puede escribirse en forma estándar. Ecuación lineal en una variable Su forma estándar es ax � b � 0, a � 0. Su solución única es x � �b/a. Recuerda Propiedades aritméticas de la igualdad: a � c � b � c a � b ��� � ac � bc, c � 0. Operaciones en igualdades Sumar o multiplicar el mismo número se hace en ambos lados de la igualdad. El factor-divisor nunca debe ser cero. Verifica tu avance ¿Es 1 x � 4 una ecuación lineal? Explica. 113Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Multiplicando o dividiendo en ambos lados Despeja la variable x en cada ecuación. a) 5x � 42.5 b) x 12 � 5 Solución a) 5x � 42.5 Ecuación original 5x 5 � 42.5 5 Divides ambos lados entre 5 x � 8.5 Simplificas b) x 12 � 5 Ecuación original 12x 12 � 5(12) Multiplicas ambos lados por 12 x � 60 Simplificas Ejemplo 3 Combinando varias transformaciones Obtén la solución para cada ecuación. a) 3x � 24 � 18 b) 5x 3 � 20 � �5 Solución a) 3x � 24 � 18 Ecuación original 3x � 24 � 24 � 18 � 24 Restas 24 en ambos lados 3x � �6 Simplificas x � �2 Divides ambos lados entre 3 b) 5x 3 � 20 � �5 Ecuación original 5x 3 � 20 � 20 � �5 � 20 Sumas 20 en ambos lados 5x 3 � 15 Simplificas 5x � 45 Multiplicas ambos lados por 3 x � 45 5 Divides ambos lados entre 5 x � 9 Simplificas Ejemplo 2 Observaciones importantes 1. Despejar la variable es lo mismo que re- solver la ecuación para dicha variable. 2. Las soluciones se comprueban usando: Un solo lado: debes obtener el otro. a) 5x � 5(8.5) � 42.5 b) x 12 � 60 12 � 5 Ambos lados: debes obtener una iden- tidad. a) 5x � 42.5; b) x 12 � 5 5(8.5) � 42.5; 60 12 � 5 42.5 � 42.5 5 � 5 3. Si el coeficiente de x es una fracción, puedes multiplicar por su recíproco. Ejem- plo: 2x 7 � 6, 7 2 � � 2x 7 � � � � 7 2 (6), x � 42 2 � 21. Verifica tu avance ¿Cómo iniciarías la resolución de 2x � 9 3 � 5? Explica por qué. Ejemplo 3 1. Cada transformación constituye un paso. 2. Algunos pasos sencillos pueden hacerse mentalmente (como 24 � 24 � 0, 3x � 0 � 3x, 3x 3 � x, etc.) y abreviar así la es- critura. Verifica tu avance Al iniciar la resolución, ¿podrías multiplicar por 3 todos los términos de 5x 3 � 20 � �5? BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I114 Ejemplo 4 Simplificando para resolver la ecuación Resuelve cada ecuación. a) 10 � 4(x � 1) � x b) 5 2 x � 1 2 (x � 2) � 7 Solución a) 10 � 4(x � 1) � x Ecuación original 10 � 4x � 4 � x Propiedad distributiva 10 � 3x � 4 Simplificas términos semejantes 6 � 3x Restas 4 en ambos lados 2 � x Divides ambos lados entre 3 b) 5 2 x � 1 2 (x � 2) � 7 5x � (x � 2) � 14 Multiplicas ambos lados por 2 5x � x � 2 � 14 Propiedad distributiva 4x � 2 � 14 Simplificas términos semejantes 4x � 16 Sumas 2 en ambos lados x � 4 Divides ambos lados entre 3 Ejemplo 5 Resolviendo ecuaciones con distintos denominadores Obtén la solución de las siguientes ecuaciones. a) 1 2 x � 3 5 x � x � �5 b) 7 6 x � x � 3 4 Solución a) Halla el mínimo común múltiplo de 2 y 5: mcm (2, 5) � 10. 1 2 x � 3 5 x � x � �5 Ecuación original 5x � 6x � 10x � � 50 Multiplicas ambos lados por 10 x � � 50 Simplificas términos semejantes b) Halla el mínimo común múltiplo de 6 y 4: mcm (6, 4) � 12. 7 6 x � x � 3 4 Ecuación original 14x � 12x � 9 Multiplicas ambos lados por 12 2x � 9 Simplificas términos semejantes x � 4.5 Divides ambos lados entre 2 Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... Simplificar la ecuación significa: – Eliminar denominadores – Quitar paréntesis – Sumar los términos semejantes 1. El orden de ejecución depende de la ecuación. En a) inicias quitando parénte- sis y en b) comienzas eliminando deno- minadores. 2. Multiplicar o dividir ambos lados signi- fica hacerlo en cada término de la ecua- ción. 3. Muchos errores al simplificar ecuaciones provienen de dividir inadvertidamente entre cero, cuando x interviene en el de- nominador. Verifica tu avance Para resolver x � 2x divides ambos lados en- tre x. ¿Qué obtienes? ¿Qué se hizo mal? Ejemplo 5 Para eliminar denominadores distintos. Denominadores diferentes Obtén su mínimo común múltiplo y multi- plícalo por cada término. Recuerda El mínimo común múltiplo (mcm) se obtiene con el producto de todos los factores primos: 2 5 2 6 4 3 1 5 5 2 4 2 1 1 2 21 2 � 5 � 10 3 � 2 � 2 � 12 115Grupo Editorial Patria® Ejemplo 6 Resolviendo ecuaciones con la variable en ambos lados Resuelve 4x � 30 � �10x � 2. Solución 4x � 30 � �10x � 2 Ecuación original 4x � 10x � 30 � 2 Sumas 10x en ambos lados 4x � 10x � 2 � 30 Restas 30 en ambos lados 14x � �28 Simplificas términos semejantes x � �2 Divides ambos lados entre 14 Ejemplo 7 Resolviendo ecuaciones que incluyen decimales Resuelve 0.15x � 0.35 � 0.05 (x � 3). Solución Multiplicas ambos lados por 100 para eliminar el punto decimal. 0.15x � 0.35 � 0.05 (x � 3) Ecuación original 15x � 35 � 5(x � 3) Multiplicas la ecuación por 100 x � 5 Simplificas y resuelves Ejemplo 8 Tarifas y cuotas por membresía Practicar el ping pong en un centro recreativo le cuesta a tu amiga $35 la hora. El club al que asistes cobra $15 la hora a los socios. Si el pago anual por la membresía del club es de $600, ¿le conviene a tu amiga inscribirse al club, o pagar la tarifa del centro recreativo? Solución Conviene averiguar para qué cantidad de horas el pago en el centro sería el mismo que en el club y de allí determinar cuál aumentaría más el costo. Costo en centro recreativo Costo en el club Tarifa � no. de horas � Tarifa � no. de horas � Membresía 35x � 15x � 600 Resolviendo esta ecuación se obtiene x � 30. Así, después de 30 horas, el alquiler de la mesa y el equipo de ping pong resulta más barato en el club. Sólo si tu amiga juega más de 30 horas al año le convendría hacerse socia del club. Ejemplo 6 Recuerda 1. En ecuaciones con la variable en ambos lados, reúne éstas en un mismo lado. 2. Aunque puedes usar cualquier lado de la ecuación, es recomendable aquél donde está el mayor coeficiente de la variable para evitar coeficientes negativos. 3. Si se requiere, simplifica antes la ecua- ción. Así, en � (x � 3) � 5(1 � x) � 6x: �x � 3 � 5 � 5x � 6x �x � 3 � 5 � x � 3 � 5 � 2x � 8 � 2x � 4 � x Aplicando simetría de la igualdad: x � � 4. Ejemplo 7 Fíjate en lo siguiente... 1. Al multiplicar por 10 corres el punto de- cimal un lugar a la derecha; por 100 dos lugares, etcétera. 2. Elige la potencia de 10 conforme al ma- yor número de cifras decimales. Verifica tu avance Escribe sin decimales 0.02x � 6.3 � � 0.001x. ¿Es x � x � 5 una ecuación lineal? Explica. Ejemplo 8 Fíjate en lo siguiente... 1. No es difícil percatarse que para me- nos de 30 horas, el valor de 35x es infe- rior al de 15x � 600. Por ejemplo, para x � 10: 35x � 35(10) � 350 15x � 600 � 15(10) � 600 � 750. 2. Para x � 30, 15(30) � 600 � 450 � 600 � 1,050 y también 35(30) � 1,050. BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I116 Ejemplo 9 Combinación de alimentos para mascotas Trabajas en Petcat, un centro de venta de artículos y alimentos para mascotas. El gerente te pide combinar 60 kg de alimento cuyo precio es de $45 el kilogramo, con otro que se vende a $30 el kilogramo. Su propósito es obtener una mezcla que pueda ofrecer al precio intermedio de $37 el kilogramo. ¿Cuánto debes agregar del segundo producto para obtener este precio? Solución Alimento 1 Alimento 2 Mezcla 60 kg $45 60 (45) � x kg $30 30x � 60 � x $37 37(60 � x) La suma de los costos parciales es el costo total: 60(45) � 30x � 37(60 � x). Resolviendo esta ecuación se obtiene x � 68.5; es decir, debes añadir 68.5 kg del segundo alimento para obtener la mezcla con el precio deseado. Ejemplo 10 Viaje de vacaciones Después de cinco horas de viaje hacia las Bahías de Huatulco, te detienes una hora para desayunar y repostar gasolina en la ciudad de Oaxaca. Al reiniciar el viaje disminuyes en 25 kph tu veloci- dad anterior, debido al tráfico. Llegas a Huatulco 10 horas después de salir de casa y de recorrer 755 km. ¿A qué velocidad manejaste en cada tramo? Solución Distancia � velocidad � tiempo Tiempo de viaje � tiempo total � 1 hora de descanso 755 km 5 hrs 4 hrs Casa Oaxaca Huatulco t v d 5 x 5x 4 x � 25 4(x � 25) La suma de los dos tramos del viaje es la dis- tancia total: 5x � 4(x � 25) � 755. Resolviendo esta ecuación se obtiene x � 95. Así, tu veloci- dad promedio hasta la ciudad de Oaxaca fue de 95 kph; de allí a Huatulco, fue de 70 kph. Ejemplo 9 En problemas de mezclas de dos productos: 1. Haz siempre un diagrama para los dos ar- tículos que combinas y su mezcla. � � 2. Anota en la parte superior la cantidad y el precio (o porcentaje). Escribe su produc- to en la parte inferior. Lo que no conoz- cas denótalo con una variable. Recuerda que: Total � una parte � otra parte Por ejemplo, si de $100 restas $20, obtie- nes la otra parte: $80. Si divides 100 en dos partes y una es x, la otra parte será 100 � x. 3. Aunque la cantidad total de la mezcla es la suma de las que se combinan, su precio (o porcentaje) NO es la suma de los otros dos. Ejemplo 10 En problemas de distancia, velocidad y tiempo: 1. Utiliza siempre la fórmula d � vt. (v es la velocidad promedio; escríbela de prefe- rencia en kilómetros por hora y el tiempo en horas.) 2. Indica en un diagrama la dirección del movimiento anotando los datos conoci- dos. Direcciones opuestas Misma dirección 3. Haz siempre una tabla para t-v-d, con la columna para d al final, pues la llenarás con el producto tv. Establece una igualdad. t v d 4. Comprueba siempre la solución para la ecuación y tu respuesta al problema. (Aquí, 5(95) � 4(70) � 755 km) 117Grupo Editorial Patria® Ejercicios 1 a 17. Halla la solución de cada ecuación y comprueba el resultado. 1. x � 7 � �3 2. x � 8 � 1 3. �x 2 � 51 4. 12x � 3 � 9 5. �7x � 31 � 10 6. � 4 � 23x � 11 7. 6(x � 2) � x � 3 8. x � 8(x � 2) � 5 � x 9. x � 3x �13 � 7(x � 9) 10. x 2 � 1 � 19 11. 3 4 x � 8 � 1 12. x � 1 3 � �5 13. 4x � 6 5 � 2x 3 14. 8 3 x � 2 � 4 5 (x � 1) 15. 3 2 x � 1 6 (x � 1) � 4 16. x � 0.32 � 0.45(x � 9) 17. 0.09x � 0.1 � 0.5(x � 12) Ejercicios 18 a 23. En cada fórmula, despeja la variable que se indica. 18. P � 2a � 2b; a 19. P 1 d 2 � P 2 d 1 ; d 1 20. T � C � Crt; C 21. S � a 1 � r ; r 22. M � P(1 � r)t; P 23. S � n 2 (2a � (n � 1) d); a 24. Enteros consecutivos ¿Cuáles dos enteros consecutivos suman 107? 25. Números impares ¿Cuáles tres impares consecutivos suman 99? 26. Geometría Obtén cada lado del paralelogramo, si su perímetro mide 12 cm. 27. Geometría Calcula el lado de cada triángulo, sabiendo que éstos son semejantes entre sí. 28. Física y juegos infantiles ¿A qué distancia del centro del sube y baja debes sentar a tu hermanito para equilibrar el balancín, si él pesa 30 kg y su pequeño amiguito 22 kg? 1.50 m 1.50 m 30 kg 22 kg d 29. Labores de jardín Para mover una roca de 42 kg ejerces una fuerza de 35 kg en el extremo de una ba- rreta de 2.10 m de largo, apoyándola en otra piedra. ¿A qué distancia de la punta debes situar ésta? 2.10 m 35 kg 42 kgdd 42 kg Autoevaluación 6A Sugerencias para la autoevaluación 6A 1 a 3. Revisa los ejemplos 1 y 2. 4 a 6. Revisa el ejemplo 3. 7 a 9. Revisa los ejemplos 4 y 6. 10 a 12. Revisa el ejemplo 3. 13 a 15. Revisa el ejemplo 5 (el ejercicio 13 hazlo después usando productos cruza- dos). 16 y 17. Revisa el ejemplo 7. 18. Multiplica en cruz (es una proporción). 20. Factoriza primero C (factor común). 21 y 23. Comienza quitando denominadores. 24. Problemas de enteros consecutivos Los enteros consecutivos difieren en 1. 1, 2 � 1 � 1, 3 � 2 � 1, 4 � 3 � 1, etc. Si un entero es x el siguiente es x � 1. Iguala su suma con 107. 25. Problemas de números impares Los impares (o pares) consecutivos di- fieren en 2: 1, 3 � 1 � 2, 5 � 3 � 2, etc. Si un impar es x los dos siguientes son x � 2 y x � 4. 26. Haz un modelo verbal. Perímetro � suma de todos los lados. 27. Los lados correspondientes de triángu- los semejantes son proporcionales. Así, 5 30� x x � 6 � 5. Utiliza productos cruzados. 28. En problemas de palancas: Aplica la fórmula: d d21 P1 P2 P 1 d 1 � P 2 d 2 29. Las distancias a partir del fulcro (punto de apoyo) son d y 210 � d (en cm). (To- tal � una parte � otra parte). x + 1 3x − 2 3x − 2 x + 1 x5 30 x + 6 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I118 30. Edad futura Marisa tiene el triple de la edad de Yuri. Dentro de cinco años sus edades suma- rán 26 años. ¿Qué edad tiene cada niña? 31. Edad actual El Árbol del Tule en Oaxaca es tres veces y media más antiguo que el Árbol de la Noche Triste. Si sumamos 300 a la edad de éste y restamos 1,200 a la del primero, sus edades serían iguales. ¿Cuál es la edad de cada árbol? 32. Edad anterior La edad de Iván es 20 veces la de su hijo Santiago, más seis años. Sin embargo, hace sólo un año, Iván era ¡70 veces mayor que el pequeño Santiago! ¿Qué edad tiene cada uno? 33. Hospitales ¿Cuánto yodo puro debes agregar a 2 litros de una solución al 12% para obtener yodo a 15%? 34. Tasa de interés ¿Qué tasa promedio te pagó una cuenta de ahorros en dos años, si los $50,000 que depositaste inicialmente te generaron $1,200 de inte- rés simple en ese lapso? 35. Finanzas Colocas una parte de $10,000 en una cuenta bancaria que genera intereses a 10% anual, y otra parte en bonos que pagan 12% al año. ¿Cuánto dinero invertiste en cada una, si obtuviste $1,140 de intereses por ambas cuen- tas en un año? 36. Equipaje Para salir de viaje divides tu ropa y enseres personales en tres ma- letas. La más chica pesa la cuarta parte de la mayor y ésta el doble que la mediana. Si en total pesan 84 kg, ¿cuál es el peso de cada equipaje? 30. En problemas de edades: Haz una tabla. a) Suma o resta años a la edad actual para ir al futuro o al pasado (aquí sumas 5). Edades Presente Futuro Yuri x x � 5 Marisa 3x 3x � 5 b) Relaciona con una igualdad los datos. (En este caso: (x � 5) � (3x � 5) � 26.) 31. Sólo tienes una columna (para el pre- sente). Llénala y establece después una igualdad. 32. Haz una tabla. Escribe la edad actual de cada uno. Réstale un año. Establece la igualdad: 20x � 5 � 70(x � 1). Ampliando el conocimiento 1. El Árbol del Tule, con 14.36 m de diámetro, es el árbol más grueso del mundo. Se halla en Santa María del Tule, Oaxaca, a 12 km de su ca pital. 2. Es un ahuehuete o sabino (huéhuetl � árbol viejo de agua), del género Taxo- dium mucronatum, árboles perenni- folios muy longevos, que crecen en lugares donde abunda el agua. 33. Haz un diagrama. Revisa ejemplos 9 y 7. (Aquí usas porcentajes en vez del precio.) x 100 % 1x 2 12 % 2(0.12) � � x � 2 15 % 0.15(x � 2) Igualdad: x � 0.24 � 0.15(x � 2) x es la cantidad de yodo puro (100%) que agregas (en litros) (100% � 1). 34. En interés simple: Aplica la fórmula: I � interés; C � capital; I � C r t r � rédito o tasa (%); t � tiempo (años) 35. Utiliza: Total � una parte � otra parte. 12% � 12/100 � 0.12. Revisa ejemplo 7. 36. x � peso de la maleta mayor (kg). 119Grupo Editorial Patria® 37. Cajero automático Según la norma del banco, los cajeros automáticos deben tener igual can- tidad de billetes de $100 que de $200; la canti- dad de billetes de $50 debe ser cinco veces la cantidad de billetes de $100, y la cantidad de billetes de $500 debe ser el doble de los de $50. ¿Cuántos billetes de cada denominación existen en un cajero que fue surtido con $499,500? 38. Compra de frutas Vas de compras al almacén y adquie- res sandía a $4 el kg, melón a $12, piña a $5 y pera a $14. Si la pera pesó lo triple que el melón, éste lo mismo que la piña, y la rebanada de sandía pesó la mitad que la pera, ¿cuánto compraste de cada fruta, si pagaste $78 en total? 39. Ejercicio en el bosque Corres en el bosque de Tlalpan todas las mañanas. Tú y dos amigos se alejan en dirección opuesta al grupo que corre en el mis- mo circuito de 900 m. ¿Cuánto tardarán en cruzarse con ellos, si partieron de la salida al mismo tiempo, ustedes con una velocidad promedio de 10 kph, y el grupo con una velocidad promedio de 8 kph? 40. Vuelo con viento Tu tiempo de vuelo en avión, de la ciudad de México a Vi- llahermosa, fue de 52.5 minutos, con viento a favor. De regreso, con el viento en contra, el tiempo de viaje fue de 1 hora. ¿A qué distancia se hallan ambas ciudades, y a qué velocidad respecto a tierra voló el avión, si durante los dos viajes la velocidad del viento fue de 60 kph? 41. Navegación con corriente En las cercanías de San Blas, Nayarit, realizas un paseo en lancha por La Tovara. Para llegar al ojo de agua haces 1 hora 10 minutos con la corriente a favor, pero de regreso haces 1 hora 45 minutos debido a la corriente en contra. ¿Cuál fue la velocidad de la corriente, si la de la lancha fue de 20 kph en aguas tranquilas? 38. En problemas de valor y cantidad: Melón Pera Piña Sandía 12 14 5 4 x 3x x 1.5x 12x 14(3x) 5x 4(1.5x) Producto Valor Cantidad Importe Forma una igualdad usando un renglón. Así, 12x � 14(3x) � 5x � 4(1.5x) � 78. 39. El tiempo en encontrarse es el mismo. La suma de ambas distancias es 0.9 km. 40 y 41. Con corriente (de agua o de viento) a favor, se suma su velocidad; se resta si es en contra. 40. t v d 7 – 8 x � 60 ( 7– 8 ) (x � 60) 1 x � 60 x � 60 41. 1 h 10 min = 1 10 60 h � 1 1 6 h = 7 6 h 1 h 45 min � 1 45 60 h � 1 3 4 h = 7 4 h t v d 7 6 20 � x ( 7 6 ) (20 � x) 7 4 20 � x ( 7 4 ) (20 � x) BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I120 B6BLOQUE Situación didáctica Banco de ostiones Existen en el país diversos sitios en los cuales se siembran bancos de ostiones, como en la Laguna de Mandinga, cercana al Puerto de Veracruz, donde se regula su pro- ducción y consumo con el fin de evitar su extinción. Hay, sin embargo, otros lugares donde la explotación se realiza sin cuidar la renova- ción de esta especie. ¿Ocurre esto con un banco de 6 toneladas de ostiones, del cual la extracción aumenta 0.4 toneladas respecto al año anterior y su población crece a un ritmo de 0.2 tonela- das por año? ¿En cuántos años la extracción alcanzará 2.8 toneladas? ¿Cuántas toneladas de ostiones habrán en 3.5 años? ¿Y en 7 años? ¿En cuánto tiempo quedarán 4.2 toneladas de ostiones? ¿Cuántos años durará este banco de ostiones? Análisis de la situación 1. Cantidad inicial por año ¿Qué significa que la población de ostiones aumente a un ritmo de 0.2 toneladas por año? ¿Muestra la tabla siguiente esto? Continúala hasta el año número 10. Años 0 1 2 3 Cantidad inicial 6 6 � 0.2 6 � 2(0.2) 2. Cantidad final En otra fila escribe la reducción (extracción) del banco de os- tiones cada año; en otra más, las toneladas que quedan (cantidad final). Busca una regularidad, escribiendo los datos en forma similar a como se hizo para la cantidad inicial. Conocimientos Función lineal Forma estándar de la función lineal y � mx � b Esta ecuación produce para cada valor de x un solo valor para y. Su gráfica es una recta que interseca siempre a ambos ejes coordenados. Pendiente de una recta Es el cociente m � Avance vertical Avance horizontal 6 5 4 3 2 −1 −2 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 Avance horizontal 2 − (−2) = 4 Avance vertical 4 − 2 = 2 2 m = −− 4 La pendiente indica una razón o tasa de cam- bio promedio, o constante. Si m es positiva la recta es creciente; cuando es negativa la recta decrece. Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Funciones y ecuaciones lineales En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.librosmaravillosos.com/ 121Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Los valores obtenidos para la tabla aumentada anterior, son: Años 0 1 2 … 9 10 Cantidad inicial 6 6.2 6.4 … Extracción 0 � 0.4 � 0.8 … Cantidad final 6 5.8 5.6 … 2. Si representas por x los años, y por y las toneladas de ostiones (inicial, extraídas o final), las regularidades observadas en cadarenglón pueden expresarse con los modelos: Cantidad inicial Extracción Cantidad final y � 6 � x y � x y � 6 � x 3. Para conocer el valor de x cuando la extracción es de 2.8 toneladas, se resuelve la ecuación �28 � x y se obtiene x � __________ años. 4. Al cabo de 3.5 años quedarán y � 6 � (3.5) � __________ toneladas de ostiones; y en 7 años, y � 6 � (7) � __________ toneladas. 5. Para saber en cuántos años habrá 4.2 toneladas de ostiones, se sustituye este valor para y en el modelo y � 6 � x. Al resolver la ecuación 4.2 � 6 � x, se obtiene x � __________ años. 6. El banco de ostiones se agotará cuando la cantidad final sea 0, es decir, cuando y � 0 en el modelo y � 6 � x. Resolviendo la ecuación 0 � 6 � x, se halla x � __________ años. Proyecto de trabajo Incremento de médicos La cantidad de médicos del país, en el periodo 2005 a 2010, se halla con la función M(t) � 185,401� 6,896t, donde M(t) es el número de médicos en el año t (t � 0 � 2005). a) ¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual del número de médicos? b) ¿Cuántos médicos hubo en 2007? ¿Y en 2005? c) ¿Qué valores puede tomar la variable t? d) Dibuja la gráfica de esta función lineal. Rúbrica de evaluación 1. En el análisis de la situación completa cada renglón de la tabla mostrando su re- gularidad. 2. Desarrolla la secuencia didáctica con los datos, cálculos y procedimientos alge- braicos solicitados o necesarios en cada punto. 3. Efectúa este ejercicio de visualización gráfica: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 a) ¿Qué fila de la tabla representa cada serie de puntos? b) Usa estos puntos para trazar los de la cuarta fila y la gráfica de cada modelo algebraico. ¿Serían segmentos de rec- ta estas gráficas? (0 ≤ x ≤ 30). BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I122 Segmento informativo 6B Funciones y ecuaciones lineales La ecuación lineal ax � b � 0 deriva de la función lineal y � ax � b. En la función lineal existen dos variables que se relacionan de esta forma: Función lineal Valor de x Produce un valor de y y � 2x � 3 1 y � 2(1) � 3 � 5 Asignando distintos valores a x, se obtienen los de y. Las parejas (x, y) son puntos de la gráfica de la función lineal. Función lineal Para cada valor de x la función lineal y � ax � b produce un solo valor de y. Su gráfica es una línea recta. También puedes obtener el valor de x que corresponde a un valor específico de y: escribe éste en la función y soluciona una ecuación lineal. Función Valor de y Ecuación Valor de x Pareja y � 2x � 3 �1 �1 � 2x � 3 x � �2 (�2, �1) La gráfica de una función lineal corta siempre a ambos ejes coordenados. Intersecciones con los ejes La gráfica de y � ax � b interseca a los ejes en: Eje x: �b/a Eje y: b Así, para y � 2x � 3 su intersección-x es �� 3 2 , y su intersección-y es 3. Estos valores se obtienen de la función cuando y � 0 y x � 0. Los puntos de intersección de la gráfica son (�3/2, 0) y (0, 3). Ejemplo 1 Calculando valores y graficando una función lineal Asigna valores a x para trazar la gráfica de la función lineal y � �x � 2. Solución Por ser lineal la función, su gráfica es una línea recta. Aunque bastarían dos puntos, por seguridad ubicamos tres. x y �3 1 0 �2 1 �3 y � f(x) � �x � 2 f(�3) � �(�3) �2 � 3 � 2 � 1 f(0) � �0 � 2 � �2 f(1) � �1 �2 � �3 Trazas la recta que pasa por los tres puntos. Recuerda 1. Para graficar, haz una tabla de valores: y � 2x � 3. x �2 0 1 y �1 3 5 2. Sitúa los valores de x en el eje horizontal (positivos a la derecha del 0), y los de y en el eje vertical (positivos arriba del 0). 3. Para cada par de valores obtienes un punto de la gráfica, justo en el cruce de segmen- tos paralelos a los ejes (desde cada valor). 1 y x 5 ( 1, 5) Observaciones importantes Para cualquier valor de y puedes hallar x. Si y � �5, la función lineal y � 2x � 3 se con- vierte en la ecuación lineal �5 � 2x � 3, cuya solución es x � �4. La pareja es (�4, �5). Fíjate en lo siguiente... 1. a � 0 en la ecuación y en la función lineal. 2. El valor de y depende del que toma x: x � Variable independiente y � Variable dependiente 3. Para enfatizar esta dependencia, a veces se utiliza la notación funcional y � f(x) (se lee: y igual a f de x), que muestra cuál valor de x conduce a un valor y. Ejemplo: para x � 1 resulta y � 2x � 3 � 5. Escri- biendo f(x) en vez de y, podemos decir: Para f(x) � 2x � 3, f(1) � 2(1) � 3 � 5. Análogamente, f(2) � 7, f(0) � 3, etcétera. 4. En vez de f(x) puedes usar g(x), h(x), etcé- tera. y = 2x + 3 1 −3 −2 −1 0 −1 1 2 x 2 3 4 y −3−4−5 −2 y = −x − 2 0 1 1 −1 −2 −3 −4 2 3 2 x y −1 123Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Usando las intersecciones para graficar Traza la gráfica de cada función empleando sus intersecciones con los ejes. a) y � 2x � 4 b) y � �x � 2 Solución a) Intersección-x: �� 4 2 � �2 b) Intersección-x: �2 �1 � 2 Intersección-y: 4 Intersección-y: 2 0 1 2 3 4 −2−3−4−5 −1 1 −1 −2 x y y = 2x + 4 0 1 2 3 −2 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 x y y = −x + 2 Ejemplo 3 Usando la pendiente para graficar Dibuja la gráfica de la función y � 3x � 2, utilizando su pendiente. Solución El coeficiente de x es su pendiente m. m � 3 = 3 1 � Avance vertical Avance horizontal A partir de la intersección-y avanzas 3 unidades hacia arriba y después 1 a la derecha para ubicar otro punto. y −3 −2 −1 0 1 1 2 3 4 5 6 2 x y = 3x + 2 A B 3 1 Ejemplo 4 Asociando ecuaciones lineales con funciones lineales a) Expresa 4x � 3y � �3 como función lineal. Dibuja la recta. b) Halla el valor de x para y � �3. Comprueba en la gráfica. Solución a) Despeja y: y � � 4 3 x � 1; de aquí obtienes m � � 4 3 , b � �1. Como m � � 4 3 � �4 3 � 4 �3 , puedes avanzar 4 unidades hacia abajo y 3 a la derecha de b, para ubicar otro punto, o bien, 4 hacia arriba y 3 hacia la izquierda. b) Resuelve �3 � � 4 3 x � 1. Obtienes x � 1.5. El punto D (1.5, �3) está sobre la gráfica. y −1 −1 1 2 3 −2 −3 −4 −5 −6 −2−3−4−5 0 1 2 3 x 3 −3 −4 4 A B D C 4x + 3y = −3 y = − x −14 3 Ejemplo 2 Fíjate en lo siguiente... Puedes hallar las intersecciones haciendo y � 0 y x � 0 en la función. En y � 2x � 4: Intersección-x Intersección-y Haces y � 0 Haces x � 0 0 � 2x � 4 y � 2(0) � 4 x � �� 4 2 � �2 y � 4 Ejemplo 3 Ampliando el conocimiento 1. El coeficiente a en y � ax � b es llamado pendiente de la recta. Se designa con m. Pendiente e inclinación La recta sube o desciende a la derecha según si m es positiva o negativa. Para y � 2x � 4, m � 2. Sube a la derecha. y � �x � 2 tiene m � �1. Baja a la derecha. 2. La pendiente de una recta es la razón del avance vertical al horizontal, para cual- quier par de puntos de la recta. Este valor es fijo. De A a B: m � �3 2 � ��3 2 De B a A: m � 3 �2 � ��3 2 (El avance es el incremento o diferencia de las respectivas coordenadas.) Ejemplo 4 Observaciones importantes Toda ecuación lineal en dos varia- bles Ax � By � C, con A, B � 0, es una función lineal: al despejar y obtienes y � ax � b. Así, de 4x � 3y � �3, obtienes 3y � �4x �3 y � �4x 3 � 1 A B −3 −2 3 2 0 2 5 y x−3−5 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I124 Ejemplo 5 Maremotos y tsunamis En 2004, un maremoto de 9.2 grados en la escala de Richter, con epicentro a 4,000 metros de profundidad, produjo en las costas de Indonesia una serie de tsunamis que arrasaron islas y devastaron las costas de 10 países del sudeste asiático. La distancia d (en km) que recorrió el agua del mar en gigantescas ondas expansivas, puede modelarse con la función d � 700t para las primeras 6 horas. a) Dibuja la gráfica del modelo lineal. b) ¿Qué distancia cubrió hasta Somalia, África, si en 6 horas impactó sus costas? c) ¿En cuánto tiempo alcanzó las costas de Tamil Naduen India, ubicada a 1,400 km? d) ¿A qué velocidad promedio se desplazó el agua? t (h) d (km) 0 0 1 700 Tsunami Tiempo (h) t d 0 800 1,600 2,400 3,200 4,000 4,800 1 3 4 5 62 D ist an ci a (k m ) Solución a) d � h(t) � 700t h(0) � 700(0) � 0 h(1) � 700(1) � 700 b) d � 700(6) � 4,200. Las enormes ondas de agua viajaron 4,200 km. c) 1,400 � 700t; t � 1,400 700 � 2. En dos horas llegó el tsunami a India. d) En d � 700t, b � intersección-y � 0; m � 700. m � Avance vertical Avance horizontal � d t � v � 700 km h (la velocidad de un jet). Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... 1. En el modelo lineal general y � ax � b, x admite cualquier valor real. Por eso su gráfica es una línea recta. 2. En un modelo lineal particular, x admi- te sólo valores que tienen sentido en el contexto. Su gráfica puede ser: una recta, semirrecta, segmento, o puntos aislados colineales. Dominio y rango Los valores admisibles para x forman el dominio de la función. Los de y constitu- yen el rango (o contradominio). Ampliando el conocimiento 1. Los tsunamis son olas gigantescas que llegan a alcanzar hasta 35 m de altura. INDIA INDONESIA MYANMAR (BIRMANIA) TAILANDIA MALASIA SRI LANKA Océano Índico SOMALIA KENIA TANZANIA SEYCHELLES MALDIVES MADAGASCAR SUDÁFRICA BANGLADESH 2. El tsunami de Indonesia, en 2004, fue el más devastador en un siglo. El anterior en la zona, en 1883, lo causó el volcán Krakatoa. 3. El 26 de diciembre de 2004 perecieron cerca de 300,000 personas ( 1 3 fueron ni- ños; 10% turistas). La geografía costera se modificó y desaparecieron 20 islas. 125Grupo Editorial Patria® Ejercicios 1 a 3: a) Calcula el valor de cada función en x � 0, 1.5, 2, �3; b) dibuja la gráfica de cada una; c) escribe el valor de m y de b. 1. f(x) � �x 2. g(x) � 4x �1 3. t(x) � � 1 2 x � 9 Ejercicios 4 a 6. a) Halla el valor de x que produce el valor indicado para y. b) Comprueba algebraica y gráficamente el resultado. 4. y � 2x �15; y � 0 5. y � �0.5x � 1; y � �9 6. y � x � 1 5 ; y � 10 Ejercicios 7 a 9. Traza cada gráfica hallando sus intersecciones con los ejes. 7. y � 5x � 6 8. y � �4x � 3 9. 16x � 5y � 20 Ejercicios 10 a 12. Asigna a cada función la(s) característica(s) señalada(s). 10. y � 0.3x � 5 11. y � �25x 12. y � 7x I. Pasa por el origen II. Sube a la derecha III. Desciende a la derecha Ejercicios 13 a 15. a) Obtén m y b. b) Asocia cada función con su gráfica. 13. y � 5x � 0 14. �3x � y � 4 15. 3x � 2y � 6 � 0 I. 0−1−1 1 2 3 4 5 1 2−2−3 II. 0−1−1 1 2 3 4 5 1 2−2−3 III. 0−1−2 −1 1 2 3 −2 −3 16. Estaturas Soni creció hasta 1.67 m. Su hermanita menor mide 1.50 m de alto y crece a razón de 6 2 3 cm por año. ¿En cuánto tiempo alcanzará a Soni? 17. Incremento de enfermeras En 2004 había 233,500 enfermeras en el país. En 2007 ascendió a 239,980. ¿Cuál fue la tasa de aumento anual? 18. Alquiler de autos Si pagas una cuota fija de $500 y $12 por cada km recorrido, ¿qué función expresa el pago del alquiler? 19. Arquitectura La altura del techo inclinado de una casa, a x metros de distancia del muro exterior, puede obtenerse con h(x) � 0.02x � 3. a) ¿Cuál es ésta para x � 4 m? b) ¿Cuál es la tasa de cambio en la inclinación del techo? c) ¿Cuál es la altura del muro exterior? TECHO h (x) x 0.02x 3 0 1 1 2 3 2 3 4 5 Autoevaluación 6B Sugerencias para la autoevaluación 6B Al graficar, si no se indica otra cosa, considera el dominio como todos los reales. 1 a 3. Sustituye cada valor. Revisa el ejem- plo 1. 4 a 6. a) Reemplaza el valor de y. Resuelve la ecuación para x; b) Al sustituir el valor de x debes obtener el de y. El punto debe quedar sobre la gráfica. La solución de ax � b � 0 es la intersección-x de la grá- fica de y � ax � b (cuando y � 0). 7 a 9. Revisa el ejemplo 2. En el ejercicio 9 no es necesario despejar y. Rectas y ecuaciones y � ax pasa por el origen (b � 0) * y � ax � b pasa por b en el eje y (b � 0) (* Es el modelo de variación directa) 13 a 15. Despeja y para obtener y � mx � b. m es el coeficiente de x; b es el término constante en la ecuación. Recuerda que la recta asciende hacia la derecha si la pendiente m es positiva. Baja, si m � 0. 16. Crecimiento en x años � 6 2 3 x � 20 3 x. Altura de la hermanita � su creci- miento en x años � altura de Soni. Expresa 1.67 y 1.50 m en cm. 17. Refiere 6,480 enfermeras en tres años a: enfermeras en un año. 18. Utiliza el modelo y � ax � b. 19. b) Calcula e interpreta m. c) b � Intersección-y BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I126 Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Dibuja las gráficas pedidas en papel milimétrico y usando regla, o bien, por computadora. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Dibuja las gráficas pedidas en hojas de cuadrícula chica y usando regla. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Dibuja las gráficas pedidas en hojas blancas y usando regla. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. No hizo las gráficas pedidas. Desarrollo Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. Elabora correctamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica correctamente la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año. Presenta de manera ordenada todos los pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas. Elabora correctamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica correctamente dos de las siguientes: la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año. Omite algunos pasos para calcular las cantidades y expresiones pedidas pero los presenta de manera ordenada. Elabora correctamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica correctamente sólo una de las siguientes: la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año. Sólo presenta resultados sin dar ninguna justificación. Elabora incorrectamente la tabla de cantidad inicial, extracción y cantidad final de ostiones por año. Grafica incorrectamente la cantidad inicial, la extracción y la cantidad final de ostiones por año. Dominio del tema Determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. Grafica correctamente funciones lineales. Determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. No grafica correctamente funciones lineales. Determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema. No resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. No grafica correctamente funciones lineales. No determina correctamente la función lineal que relaciona las variables del problema. No resuelve correctamente sistemas de ecuaciones simultáneas de dos variables. No grafica correctamente funciones lineales. Resultados y conclusiones Determina correctamente las siguientes cantidades: extracción sea de 2.8 toneladas. habrá en 3.5 años. habrá en 7 años. queden 4.2 toneladas de ostiones. ostiones de 6 toneladas. Determina correctamente sólo cuatrode las siguientes cantidades: extracción sea de 2.8 toneladas. habrá en 3.5 años. habrá en 7 años. queden 4.2 toneladas de ostiones. ostiones de 6 toneladas. Determina correctamente sólo tres de las siguientes cantidades: extracción sea de 2.8 toneladas. habrá en 3.5 años. habrá en 7 años. queden 4.2 toneladas de ostiones. ostiones de 6 toneladas. Determina correctamente menos de tres de las siguientes cantidades: extracción sea de 2.8 toneladas. habrá en 3.5 años. habrá en 7 años. queden 4.2 toneladas de ostiones. ostiones de 6 toneladas. Rúbrica Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Banco de ostiones” del Bloque 6B. Nombre del alumno: Instrumentos de evaluación Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Mezcla de dulces” del Bloque 6A. Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. Lista de cotejo 127Grupo Editorial Patria® Dominio del tema SÍ NO Observaciones 8. Plantea correctamente la ecuación lineal correspondiente al enunciado de un problema de mezclas. 9. Resuelve correctamente ecuaciones lineales con una incógnita. Desarrollo SÍ NO Observaciones 5. Elaboró la tabla del precio de la mezcla para diversas combinaciones de dulce caro y barato indicada en la sección “Sin álgebra”. 6. Elaboró nuevamente la tabla del precio de la mezcla para diversas combinaciones de dulce caro y barato indicada en la sección “Sin álgebra” pero con subdivisiones de 100 g para valores entre 2 y 3 kg. 7. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 10. Determinó correctamente de forma numérica cuántos kilogramos del dulce barato debe agregar para obtener la mezcla indicada. 11. Determinó correctamente de forma algebraica cuántos kilogramos del dulce barato debe agregar para obtener la mezcla indicada. 12. Comparó los dos métodos (numérico y algebraico) en cuanto a simplicidad y precisión. 13. Comprobó sus resultados siguiendo el procedimiento indicado. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Solución de problemas de mezclas mediante ecuaciones lineales con una variable. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Indica qué representa 7× 4 y 8.50 × 4 en el problema de la mezcla de avena con chocolate. 2 Elabora una tabla para aproximar la cantidad de avena que se debe agregar para obtener la mezcla deseada de avena con chocolate. 3 Obtiene el modelo algebraico del problema de la mezcla de avena y chocolate basándose en la continuación del diagrama presentado. 4 Resuelve la ecuación lineal del problema de la mezcla de avena y chocolate y verifica el resultado. 5 Obtiene el modelo algebraico del problema de la mezcla de cremas basándose en el diagrama presentado. 6 Resuelve la ecuación lineal del problema de la mezcla de cremas y verifica el resultado. *No aplica. Guía de observaciones para los proyectos de trabajo “Avena con chocolate” y “Productos lácteos” del Bloque 6A Resuelves ecuaciones lineales II Competencias a desarrollar n Construye e interpreta sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve sistemas de ecuaciones lineales, aplicando diferentes métodos. n Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. n Analiza las relaciones entre dos variables de un proceso social o natural para plantear un sistema de ecuaciones lineales y así determinar o estimar su comportamiento. n Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 7B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos 8 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. n Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos numéricos: determinantes; Algebraicos: eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución; Gráficos. n Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. n Identifica gráficamente si un sistema de ecuaciones simultáneas tiene una, ninguna o infinitas soluciones. n Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. n Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. ¿Qué sabes hacer ahora? El genio es un uno por ciento de inspiración y un noventa y nueve por ciento de transpiración. Thomas Alva Edison Tomar decisiones en la vida ordinaria, como elegir un empleo o seleccionar un plan de ingreso a un club deportivo, puede resultarnos más fácil si conocemos herramientas matemáticas que nos ayuden en nuestro análisis. La gráfica, por ejemplo, nos muestra con claridad que después de asistir a un club de tenis cierto número de horas, el costo en un plan de pago, más bajo en un principio que otro, se incrementa con mayor rapidez que el de mayor costo inicial. 1,200 1,000 800 600 400 200 Co st o ($ ) 5 10 15 20 25 30 35 40 Horas Plan B Plan A BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II A7BLOQUE 130 Conocimientos Gráficas de funciones lineales y � mx � b m � pendiente b � valor inicial (para x � 0) En y � 2x � 3: m � 2 � 2 1 ; b � 3 2m = −− 1 b = 3 6 5 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 3 2 1 � Avance vertical Avance horizontal Solución gráfica de sistemas 2 � 2 Una solución 4 3 2 1 −1 0 1 2 3 Secantes Infinitas soluciones 3 2 1 −1 −2 −1 0 1 2 Coincidentes Ninguna solución 4 3 2 1 −2 −1 0 1 2 Paralelas Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución gráfica de sistemas lineales Solución de sistemas lineales 2 � 2 Determinantes de sistemas 2 � 2 En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.librosmaravillosos.com/ Situación didáctica Matrimonios y divorcios Durante el periodo 2000 a 2009, los porcentajes de matrimonios con duración su- perior, o inferior, a 20 años, registraron el comportamiento mostrado en la gráfica. El porcentaje restante corresponde a los casos de divorcio. 100 50 P or ce n ta je 0 1 3 5 7 9 Año (0 ↔ 2000) 62 15 48.5 Menos de 20 años Más de 20 año s 24 2 1 ¿Cuáles fueron los porcentajes de divorcio al inicio y al término de este periodo? ¿Cuál fue el incremento de estos porcentajes en ese lapso? ¿Cuál es el ritmo promedio de aumento o disminución de casos en cada grupo estudiado? Describe el comportamiento de cada grupo mediante un modelo algebraico. Tra- za e identificasus gráficas en un mismo plano coordenado. Localiza en estas gráficas el año en el que el porcentaje de divorcios igualará al de matrimonios con menos de 20 años. Análisis de la situación 1. La información establece que la población de estos tres grupos constituye el 100% de la muestra estudiada. 2. Los porcentajes de la gráfica inicial se han representado en dos gráficas circulares. Utilízalas para obtener el porcentaje de divorcios al inicio y al término del perio- do (sector naranja). 15% 62% Año 2000 24% 48.5% Año 2009 131Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Calcula el porcentaje de divorcios con: 100% � (% de matrimonios). Año 2000: 100% � ( ________ % � ________ %) � ________ %. Año 2009: 100% � ( ________ % � ________ %) � ________ %. 2. Los incrementos se hallan mediante una diferencia de valores. Para matrimonios � 20 años el incremento en los porcentajes fue: 48.5 � 62 � � %, y el del tiempo fue: 2009 � 2000 � años. Su cociente es el ritmo o tasa promedio m de crecimiento en dicho periodo. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Matrimonios � 20 años Matrimonios � 20 años Divorcios � % m 1 = ___________ años % m 2 = ___________ años % m 3 = ___________ años 3. Simplifica y refiere a 1 año cada tasa m 1 = ______ , m 2 = ______ , m 3 = ______ . Éstas son ________________ (positivas/negativas) cuando el incremento deno- ta un aumento, y son ________________ (positivas/negativas) cuando decrece, como muestran los cocientes y las gráficas. 4. Reescribe la tabla siguiente con el incremento de estos porcentajes: Año x % y 0 1 2 … 9 Grupo 1 62 � 1.5(0) 62 � 1.5 (1) 62 � 1.5( ) … 62 � 1.5( ) Grupo 2 15 � 1(0) 15 � 1 (1) 15 � 1( ) … 15 � 1( ) Grupo 3 � m 3 (0) � m 3 (1) … 5. En el año x los porcentajes y de matrimonios o divorcios, serán: Grupo 1: y � 62 � _______ , Grupo 2: y � 15 � _______ , Grupo 3: y � ________ ¿En qué punto coinciden la gráfica de divorcios y la de matrimonios menores a 20 años? ___________ ¿En qué año x ocurre esto? ___________ ¿Cuál es el por- centaje y para ambos grupos? ___________ . Proyecto de trabajo Compra de impresoras Una impresora cuesta $1,850 y los cartuchos de tinta valen $300. Otra marca de impresora con características similares cuesta $2,200 y sus car- tuchos de tinta valen $270. a) Elabora una tabla de costos para cada impresora sumando al precio de adquisi- ción en cada entrada de la tabla, la compra de 1, 2, 3, etc. cartuchos. ¿Observas alguna regularidad para calcular los costos? b) Describe con una función lineal el comportamiento del costo de cada impresora más la compra de x cartuchos de tinta. c) Traza la gráfica de estas funciones en un mismo dibujo para obtener, o aproximar, la solución. ¿Qué tipo de valores admite x? d) Resuelve con un método algebraico el sistema de dos ecuaciones con dos varia- bles. ¿Es plausible esta solución? ¿Concuerda con la que obtuviste utilizando las gráficas? Rúbrica de evaluación Realiza todos los cálculos y desarrollos so- licitados en la secuencia didáctica, en par- ticular: 1. En el punto 2 efectúa la división para ob- tener denominador 1. También escribe e interpreta tasas equivalentes, por ejemplo �13.5% 9 años � �1.5 1 � �3 2 � ... significa que estos matrimonios disminu- yen a una tasa de 1.5% al año, o 3% cada 2 años, etcétera. 2. En el punto 4 justifica el procedimiento para cada renglón. 3. En el punto 5 asocia cada ecuación con su gráfica y diserta sobre la precisión del resultado. 64 32 P or ce n ta je 0 3 6 9 12 15 18 21 Año 8 BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II Segmento informativo 7A 132 Solución gráfica de sistemas lineales Al dibujar la gráfica de la función lineal y � ax � b (a 0) obtienes una recta. Las gráficas de dos funciones lineales (rectas) a veces comparten puntos. Uno solo Todos Ninguno y x1−1 1 2 3 0 2 3 4 5 x + y = 5 x − y = 1 1 2 0−1−2−3−4 1 x y x + y = 1 2x + 2y = 2 1 2 3 y x−1−2 0 1 2 3 y = x − 1 y = x + 2 Concurrentes Coincidentes Paralelas Los puntos comunes son soluciones para ambas ecuaciones, que forman un Sistema de ecuaciones lineales 2 � 2 (dos ecuaciones, con dos variables). Resolver el sistema significa hallar los puntos de intersección de las rectas, o con- cluir que no existen tales puntos. Así, para los casos anteriores: (3, 2) es la solución común de x � y � 5 y x � y � 1 Todas las soluciones de x � y � 1 son soluciones de 2x � 2y � 2 y � x � 2 y y � x � 1 no tienen ninguna solución en común Solución gráfica de sistemas lineales 2 � 2 Gráficas Puntos comunes: Uno Todos Ninguno Ecuaciones Soluciones comunes: Una Infinitas Ninguna Ejemplo 1 Resolviendo un sistema con una única solución Resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones � � y � �3x � 7 y � x � 5 Solución y � �3x � 7 Corta al eje y en �7 y pasa por (�1, �4). y � x � 5 Corta al eje y en 5 y pasa por (1, 6). Dibujando las rectas se observa qué tienen en común el punto (�3, 2). La solución del sistema es este punto. Comprobación: Se evalúa x � �3: y � �3x � 7 � �3(�3) � 7 � 2. y � x � 5 � �3 � 5 � 2. −1 −1 1 2 3 4 5 −2 −3 −4 −5 −6 −7 1 2 x y −2−3−4−5 Recuerda 1. Las soluciones de la ecuación en dos va- riables, y � ax � b, son parejas (x, y) que hacen cierta la igualdad. (2, 9) es una solución de y � 4x � 1 por- que 9 � 4(2) � 1. Puntos y soluciones Cada punto de la gráfica es solución de la ecuación, y viceversa. 2. Dado valores a x o y, en la ecuación y � ax � b, obtienes puntos de su gráfica. Verifica tu avance ¿Por qué una ecuación lineal en dos varia- bles y � ax � b tiene un número infinito de soluciones? Ampliando el conocimiento A los Sistemas de ecuaciones también se les llama Sistemas de ecuaciones simultáneas, debido a que cualquier solución común satis- face a todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo 1 Recuerda 1. De la ecuación y � �3x � 7 obtienes la pendiente: m � �3 y la intersección-y: b � �7. 2. Interpretas m � �3 � 3 �1 � avance vertical avance horizontal y del punto (0, �7) avanzas 3 unida- des hacia arriba y 1 a la izquierda; es decir, obtienes el punto (0 � 1, �7 � 3) � (�1, � 4). 133Grupo Editorial Patria® Ejemplo 2 Resolviendo un sistema con infinitas soluciones Halla la solución gráfica del sistema de ecuaciones � � 6x � 2y � 4 � 0 y � 3x � 2 Solución Para graficar 6x � 2y � 4 � 0 puedes calcular tres puntos, o usar la forma rápida y � ax � b (pendiente intersección-y) que requiere despejar y: Optando por esto último, se tiene: 6x � 2y � 4 � 0 6x � 4 � 2y y � 3x � 2 −1 −1 1 2 3 4 10 2 3 x y −2−3 6x − 2y + 4 = 0 y = 3x + 2 Esto muestra que las ecuaciones iniciales son equivalentes: una se transforma en la otra. Las dos ecuaciones representan la misma recta. La solución del sistema son todos los puntos de la recta, es decir, las coordenadas de cualquiera de los puntos satisfacen ambas ecuaciones. Para dibujar la gráfica, a partir de la intersección-y, que es 2, ubicas otro punto usan- do m � 3 � 3 1 : avanzas tres unidades hacia arriba y una a la derecha. Ejemplo 3 Resolviendo un sistema sin solución Obtén la solución gráfica del sistema de ecuaciones � � y � 2x � 3 y � 2x � 1 . Solución y � 2x � 3. Corta al eje y en 3 y pasa por (�1, 1). y � 2x � 1. Corta al eje y en �1 y pasa por (1, 1). La gráfica muestra que las rectas no tienen ningún punto en común. El sistema no tiene solución. −1 1 2 3−3 0 x y −1 1 2 3 4 −2 −3 y = 2x − 1 y = 2x + 3 Ejemplo 4 Identificando rectas paralelas y coincidentes ¿Son paralelas o coincidentes las rectas representadas por estas ecuaciones? a) � � � � 5x � 4y � 8 � 0 b) � � �2x � y � � 4 y � 5 4 x � 2 6x � 3y � 9 � 0 Solución Compara las ecuaciones en la forma y � ax � b. a) Escribiendo 5x � 4y � 8 � 0 en la forma pendiente-ordenada alorigen se observa que ambas ecuaciones coinciden. Verifica tu avance ¿Cómo obtendrías el punto (1, �10) a partir de m � �3 y b � � 7? ¿Cómo obtienes (1, 6) a partir de y � x � 5? ¿Y el punto (�1, 4)? Ejemplos 2 y 3 Fíjate en lo siguiente... En cada caso, la igualdad de las pendientes indica que las rectas tienen la misma inclina- ción. En tal caso, o coinciden o son paralelas. Ampliando el conocimiento 1. Ax � By � C es función lineal si A y B 0. En tal caso la gráfica corta siempre a los dos ejes coordenados (recta oblicua). 2. La ecuación Ax � By � C, NO representa una función lineal si A o B son cero. Las rectas son horizontales o verticales. Horizontal si A � 0 Vertical si B � 0 Ejemplo: y � 3 Ejemplo: x � �2 0 y −1 1 2 3 4 −2 −3 −1 1 2 3−2−3 x y = 3 y 4 1 0 1 2 3 x−1 −2 −3 −1−2−3 x = −2 3. Toda ecuación lineal en la forma y � ax � b, (a 0) es una recta oblicua. Si indicas que a es la pendiente m de la recta, tendrás la: Forma pendiente-ordenada al origen y � mx � b m � pendiente, b � ordenada al origen (La intersección-y es la ordenada al origen) 0 y x b m 0−1 1 2−2−3−4 y x −1 1 2 3 4 −2 −3 y = x + 2 BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II134 5x � 4y � 8 � 0 5x � 8 � 4y y � 5 4 x � 4 0 y −1 1 2 3 −3 −4 −1 1−2−3−4−5 x y = x + 25 4 5x − 4y + 8 = 0 Conclusión: las rectas son coincidentes. b) Transformamos despejando y: 2x � y � �4 6x � 3y � 3 � 0 y � �2x � 4 3y � �6x � 3 y � �2x � 1 La pendiente m � �2, igual en ambas ecuacio- nes, indica que sus gráficas tienen la misma in- clinación. Sin embargo, son rectas distintas, pues cortan al eje y en puntos distintos. Sus intersecciones-y son diferentes: �4 y �1. 0 y −1 −2 1 2 −3 −4 −5 −1 1 2 3−2−3 x y = −2x − 1 y = −2x − 4 Ejemplo 5 Compra de impresoras Una impresora tiene un costo de $1,200 y los cartuchos de tinta que utiliza valen $350. Otra marca de impresora, con similares características de funcionamiento, cuesta $1,600 y sus cartu- chos de tinta valen $275. ¿Cuál de las dos impresoras te convie- ne adquirir en cuanto a la inversión final? Solución � � � Inversión final Costo del equipo Costo de la tinta Cantidad de cartuchos Impresora 1: y � 1,200 � 350x Impresora 2: y � 1,600 � 275x Para determinar el punto donde la inversión es la misma para ambos equipos de im- presión, resolvemos el sistema de ecuaciones simultáneas. Trazamos las gráficas de cada recta utilizando los valores de m y b en cada ecuación. La gráfica muestra que para x � 5.3 cartuchos, la inversión es la misma para ambos equipos. Después de ese valor resulta más económico el segundo equipo. Es preferible invertir en éste. Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... 4a) También puedes verificar que las rectas coinciden calculando puntos sobre cada una de ellas. 4b) Las rectas que coinciden tienen la mis- ma pendiente. Lo mismo si son parale- las. La forma de distinguir un caso del otro es mediante la intersección-y. Ampliando el conocimiento 1. La característica principal de las rectas paralelas es que poseen pendientes (incli- nación) iguales. 2. Como las rectas coincidentes son la mis- ma recta y tienen, por tanto, la misma pendiente, se concluye que toda recta es paralela a sí misma. 3. La definición ampliada de paralelismo es- tablece (para abarcar ambos casos) que: Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si coinciden en todos sus puntos, o en ninguno. 4. Las denominaciones: rectas paralelas, rectas coincidentes se usan sólo para dis- tinguir los casos de rectas paralelas distin- tas y rectas paralelas iguales. Ejemplo 5 Observaciones importantes 1. Por simplicidad se usa el modelo lineal general para aproximar el resultado. 2. Al interpretar éste hay que considerar que el dominio de las funciones es el conjun- to de números naturales. 3. La respuesta a la situación real debe ser: De 6 cartuchos en adelante conviene más comprar el equipo 2. x y 0 1 1,200 1,600 2,000 2,400 2,800 3,200 3,600 4,000 2 3 4 5 6 7 8 In ve rs ió n ($ ) Cartuchos 1 2 135Grupo Editorial Patria® En los ejercicios 1 a 9: a) Identifica cuáles ecuaciones corresponden a funciones lineales, rectas horizontales, o rectas verticales; b) dibuja su gráfica. 1. y � �6x � 1 2. x � 3 3. 4x � y � 1 � 0 4. 12x � 4y � 10 � 0 5. y � �7 6. 15x � 3y � �6 7. 2y � �9x � 5 8. y � 2x 9. �6x � 30 En los ejercicios 10 a 13, asocia cada sistema de ecuaciones con su gráfica. 10. � � y � 4x � 9 y � �2x � 2 11. � � 2y � x � 10 4y � 20 � �2x 12. � � 3x � 2y � 4 y � �1.5x � 3 13. � � 2x � y � �2 �x � y � 4 I. II. III. IV. x y 0 1−1−1 1 2 3 −2 −3 −4 −2−3−4 2 x y 0 1−1 −1 1 2 3 4 5 −2−3−4−5 x y 0 62 4−2 −2 2 4 6 8 10 −4−6 x y 0 62 4−2 −2 2 4 6 8 10 −4−6 En los ejercicios 14 a 16, resuelve gráficamente el sistema de ecuaciones. 14. � � 2x � y � � 5 x � y � 0 15. � � x – y � 9 � 2x � y � � 13 16. � � y � 5x � 2 y � � 6x � 9 17. Califica como falsa o verdadera cada afirmación. Un sistema de ecuaciones 2 � 2: a) Tiene infinidad de soluciones si las rectas son paralelas. b) No tiene solución si las rectas son concurrentes. c) Tiene infinidad de soluciones si las ecuaciones son equivalentes. 18. Venta de revistas La venta promedio de revistas femeninas, de 2005 a 2007, puede modelarse con la ecuación 0.5y �x � 17.5 � 0 (y en miles de pesos, x � 0 � 2005). En el año 2005, las revistas para caballeros alcanzaron una venta de 20 mil ejemplares y éstas se incrementaron a razón de 2 mil revistas cada año. a) Obtén un modelo algebraico para la venta de revis- tas para hombres. b) ¿Fueron iguales en algún año las ventas de ambos tipos de revista? c) Si el ritmo de ventas se mantiene igual, ¿coincidirán en algún año? 19. Obra teatral Organizas con tus amigos un espectáculo teatral para recau- dar fondos. Los costos por insumos (alquiler de vestuario, actores, foro) ascienden a $5,000 y el costo por servicio de cafetería lo estiman en $15 por asistente. Si piensan cobrar $70 por espectador: a) ¿Con cuántos espectadores recuperan su inversión? b) ¿A cuánto ascenderá ésta en el punto de equilibrio? c) ¿Cuál será su ganancia si asisten 300 espectadores? Autoevaluación 7A Sugerencias para la autoevaluación 7A 1 a 9. Para que la ecuación lineal en dos va- riables Ax � By � C represente: Una función: A y B 0 Una recta horizontal: A � 0 Una recta vertical: B � 0 10 a 13. Utiliza la forma y � ax � b para gra- ficar (despeja y). Revisa los ejemplos 1, 2, 3 y 4. 13. � � 2x � y � �2 �x � y � 4 14 a 16. Utiliza la forma pendiente-ordenada al origen para obtener fácilmente las grá- ficas. Revisa los ejemplos 1, 2 y 3. 17. Revisa el inicio de la lección y los tres primeros ejemplos. 18. Para elaborar el modelo algebraico inter preta la razón de cambio como la pendiente. El valor inicial es la ordenada al origen. Usa y � mx � b. No olvides las equivalencias. 19. Revisa el ejemplo 5. El punto donde el ingreso es igual al costo se denomina en economía punto de equilibrio. x y 0 2,000 Espectadores In gr es os ( $ ) 4,000 6,000 8,000 10,000 La ganancia es igual al ingreso menos el costo. BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II136 B7BLOQUE Situación didáctica Esencias para perfumes Preservar los aromas agradables ha requerido muchos ensayos, estudios e investi- gaciones desde épocas antiguas hasta nuestros días. Las esencias naturales, sus imitaciones o las sustancias sintéticas actuales, rivalizan todas en la preferencia de los consumidores de perfumes. Esencia Total Narciso Gardenia 900 ml 5% 9% 8% Las proporciones y tipos de esencia son los que caracterizan la fragancia de cada marca. La tabla adjunta, por ejemplo, indica el total requerido de dos esencias distin- tas y las concentraciones requeridas para la elaboraciónde un perfume. Si tú fueras responsable de producir los 900 ml de este perfume, con los porcentajes indicados para cada esencia, ¿qué cantidad agregarías de cada una de ellas? Análisis de la situación 1. Prueba valores Explora en una tabla diversas cantidades de esencia. Éstas de- ben sumar 900 ml, mientras que los mililitros correspondientes a su porcentaje (5% y 9%) deben sumar 72 ml (es decir, 8% de 900 ml). ml % ml % ml % Narciso 5% 500 25 400 200 Gardenia 9% 400 36 500 700 Total 900 61 900 65 900 Combinación 1: 5%(500) � 25; 9%(400) � 32; 25 � 32 � 57 ml. 2. Revisa el método El método utilizado (ensayo y error) permite ajustar y aproxi- mar resultados mediante cálculos numéricos. ¿Podría algún método algebraico abreviar este proceso? Conocimientos Solución algebraica de sistemas 2 � 2 ¿Cuándo emplear un método? Suma y resta Existen, o se crean, términos simétricos. x � y � 1 x � y � 3 2x � 4 x � 2 Sustitución Una variable despejada en una ecuación. x � y � 2 y � 2x �5 x � (2x �5) � 2 x � 3 Igualación Una variable despejada en 2 ecuaciones. y � 2x �5 y � x � 2 2x �5 � x � 2 x � 3 Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de sistemas lineales 2 � 2 Determinantes de sistemas 2 � 2 En Internet: Op. cit. Bloque 4A www.librosmaravillosos.com/ 137Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Asigna una variable a la cantidad de mililitros de cada esencia y organiza los datos en un diagrama. x � ml de esencia de narciso; y � ml de esencia de gardenia Cantidad de ml Porcentaje � � Total de ml x 5%________ 0.05 x y 9%________ 0.09 y 900 8%________ 0.08(900) 2. La primera línea, x � y � 900, y la última, 0.05 x � __________ � __________ , conforman el modelo algebraico (describen las condiciones del problema). Los valores donde ambas se cumplen es el punto de intersección de sus gráficas. Identifica éstas: Gráfica 1: ______________________________ Gráfica 2: ______________________________ 3. Las coordenadas de este punto son x �__________ ; y ��__________ , es decir, para este perfume debes utilizar, aproximadamente, __________ ml de esencia de narciso y __________ ml de esencia de gardenia. 4. El valor preciso de estas cantidades se halla con métodos algebraicos. Eligiendo ( ) suma y resta ( ) sustitución ( ) igualación, y resolviendo: ______________________________________ ______________________________________ se obtiene x ��__________ , y � __________ . Proyecto de trabajo 1. Cumpleaños Para una fiesta de cumpleaños tú y tus ami- gos necesitan comprar hielo y refrescos. Por cinco paque- tes de refresco y una bolsa de hielo la cuenta sería de $170, pero si compran cuatro paquetes de refresco y tres bolsas de hielo, deben pagar $158. a) Representa cada opción con una función lineal. b) ¿Cuánto cuesta cada paquete de refresco y cada bolsa de hielo? c) Obtén la solución con las gráficas de las funciones. 2. Eligiendo empleo Deseas trabajar como representante de ventas para la expor- tación de productos. Una compañía te ofrece un sueldo base de $4,600 más el 1% por el importe de tus ventas. Otra te ofrece $3,900 más el 2% sobre las ventas. a) ¿Cuánto debes vender para percibir lo mismo en ambos empleos? b) ¿Cuál empleo te conviene más, si tus ventas alcanzan $100,000? c) Justifica lo anterior interpretando las gráficas de las funciones. x y 0 125 500 625 750 875 1,000 100 200 300 1 2 Rúbrica de evaluación 1. En el análisis de la situación, completa y continúa la tabla para aproximar la solu- ción. 2. En el desarrollo de la secuencia didácti- ca explica el criterio que utilizaste en el punto 2 para identificar las gráficas y, en el punto 4, escribe el proceso algebraico elegido para resolver el sistema de ecua- ciones. 3. Resuelve los sistemas de ecuaciones de esta actividad utilizando determinantes 2 ��2. 4. Exploración adicional: completa el dia- grama siguiente y resuelve con una sola variable el problema. x 5%________ 0.05x 900 � x 9%________ 0.09( ) 900 8%________ � � 1) 0 10 20 30 40 10 20 30 40 1 2 2) 0 500 4,000 5,000 4,500 6,000 5,500 20,000 70,000 1 2 BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II138 Segmento informativo 7B Solución de sistemas lineales 2 � 2 Los métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2 � 2 consis- ten en reducir el sistema a una ecuación con una variable. Existen tres tipos de transformaciones algebraicas para lograr la reducción. El crite- rio para utilizar alguno de ellos se ilustra en estos ejemplos: Suma y resta x � y � 5 x � y � 1 Sustitución y � 2x 3x � y � 1 Igualación y � 4x � 1 y � x � 2 Los términos de una variable son simétricos Suma las ecuaciones Una variable despejada en una ecuación Sustitúyela en la otra Una variable despejada en ambas ecuaciones Iguala las expresiones 2x � 6 3x � (2x) � 1 4x � 1 � x � 2 Al resolver esta última ecuación hallas el valor de una variable. Sustituyéndolo en una de las ecuaciones del sistema, obtienes el valor de la otra. Por ejemplo, al resolver 4x � 1 � x � 2 obtienes x � 1. Con este valor de x, encuentras el de y en cualquier ecuación: y � x � 2 � 1 � 2 � 3. Si no existe ninguna de las situaciones descritas anteriormente, tú eliges el método de reducción. Para sustitución o igualación sólo debes despejar. Si deseas utilizar suma y resta, debes multiplicar por un factor adecuado una, o incluso ambas, ecuaciones. Esto se ilustrará en los ejemplos. Ejemplo 1 Resolviendo un sistema por suma y resta Resuelve cada sistema de ecuaciones. a) 5x � 2y � �1 b) 4x � 2y � 6 � 5x � y � 7 2x � 5y � �9 Solución a) Los términos con la variable x son simétricos. Suma las ecuaciones Resuelve para y Obtén x 5x � 2y � �1 3y � 6 5x � 2y � �1 � 5x � y � 7 y � 2 5x � 2(2) � �1 ___________ 3y � 6 x � �1 La solución del sistema es el punto (�1, 2). Recuerda 1. Los términos simétricos difieren en signo: Término Simétrico y �y �4x 4x 2. La suma de términos simétricos es 0. y � (�y) � y � y � 0 4x � (�4x) � 4x � 4x � 0 Fíjate en lo siguiente... 1. 2x � 6 proviene de la suma: x � y � 5 x � y � 1 __________ 2x � 6 2. 3x � (2x) � 1 proviene de reemplazar el valor y � 2x en la ecuación 3x � y � 1. 3. Por transitividad de la igualdad, al ser y � 4x � 1 y y � x � 2, puedes escribir 4x � 1 � x � 2. Verifica tu avance A los métodos de reducción también se les llama de eliminación. ¿Por qué? Ejemplo 1a) Observaciones importantes 1. No importa cuál variable se elimine en la suma. Lo relevante es que esté su simé- trico. 2. Verifica siempre que la solución obteni- da sea la correcta: debe satisfacer ambas ecuaciones. Así, en este caso, para (�1, 2): 5x � 2y � 5(�1) � 2(2) � �5 � 4 � �1 �5x � y � �5(�1) � 2 � 5 � 2 � 7 139Grupo Editorial Patria® b) No hay términos simétricos en x o en y. Sin embargo, puedes obtener el simétrico de 4x multiplicando la segunda ecuación por �2 (se indica: �2). Indica el factor Reescribe y suma las ecuaciones 4x � 2y � 6 4x � 2y � 6 2x � 5y � � 9 �2 � � 4x � 10y � 18 ______________ 12y � 24 Resuelve para y Obtén x: 12y � 24 2x � 5y � �9 y � 2 2x � 5(2) � �9 x � 10 � 9 2 � 1 2 La solución del sistema es la pareja o punto ( 1 2 , 2). Ejemplo 2 Resolviendo un sistema por sustitución o igualación Resuelve cada uno de los siguientes sistemas. a) 5x �3y � 35 b) y � 6x � 12 y � �x � 1 y � 2x � 8 Solución a) Está despejada una variable en una ecuación. Usa sustitución. Sustituye y por �x � 1. 5x � 3(�x � 1) � 35 Resuelve para x. Obtienes x � 4. Obtén y. Usando el valor x � 4: y � �x � 1 � �(4) �1 � �5. La solución del sistema es (4, �5). b) Está despejada la misma variable en ambas ecuaciones. Usa igualación. Igualalas expresiones. 6x � 12 � 2x � 8 Resuelve para x. Obtienes x � �1. Obtén y. Usando el valor x � �1: y � 2x � 8 � 2(�1) � 8 � 6. La solución del sistema es (�1, 6). Ejemplo 3 Resolviendo sistemas cuyas gráficas son rectas paralelas Resuelve algebraicamente cada sistema de ecuaciones. a) x � y � �5 b) y � 5x � 2 � 6x � 6y � 30 20x � 4y � 1 Solución a) Por suma y resta: 6x � 6y � �30 �6x � 6y � 30 b) Por sustitución: 20x � 4(5x � 2) � 1 0 � 9 ____________ 0 � 0 Las variables desaparecen y queda una igualdad. La identidad indica que hay infi- nitas soluciones. La igualdad falsa indica que no existe solución. Ejemplo 1b) Observaciones importantes 1. La notación 2x � 5y � �9 �2 expresa que debes multiplicar cada uno de los térmi- nos de la ecuación por �2. 2. El factor debe ser negativo cuando re- quieres cambiar el signo (como en este caso). 3. Si un coeficiente es múltiplo del otro, di- vide para obtener el factor. En caso con- trario, cruza los coeficientes. Ajusta el signo de cada factor, si es necesario. Ejemplo. Para eliminar y: 4x � 2 y � 6 5 20x � 10y � 30 2x � 5 y � �9 2 4x � 10y � �18 Suma y resta Si los coeficientes no son múltiplos uno del otro, intercámbialos como factores de las ecuaciones. Ajusta los signos. Ejemplo 2a) Fíjate en lo siguiente... 1. Puedes obtener y sustituyendo el valor x � 4 en cualquiera de las ecuaciones. Así, 5x � 3y � 35; 5(4) � 3y � 35; y � �5. 2. Por lo regular se escoge la ecuación más simple (con coeficientes más pequeños, y positivos, de preferencia). Por esto se utilizó y � �x � 1 en vez de 5x �3y � 35. Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... Infinitas soluciones y no solución Si obtienes Concluye Una identidad Infinitas soluciones Una igualdad falsa No hay solución BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II140 Ejemplo 4 Consumo de alimentos Sales con tu amiga y deciden cenar tacos al carbón. Estando allí, se les antojan también los tacos al pastor. Tu cuenta, por cinco tacos al pastor y tres al carbón es de $46.50, y la de tu amiga es de $47.50 por siete tacos al pastor y dos al carbón. ¿Cuánto pagaron por cada taco? Solución Cantidad � precio tacos � cantidad � precio tacos � pago al pastor al carbón Modelo algebraico: 5x � 3y � 46.5 �2 �10x � 6y � �93 7x � 2y � 47.5 3 21x � 6y � 142.5 ______________ 11x � 49.5 Resolviendo se obtiene x � 4.5. Al sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales se tiene y � 8. Así, cada taco al pastor tuvo un costo de $4.50 y cada taco al carbón, un costo de $8.00. Ejemplo 5 Divorcios y matrimonios La gráfica muestra los cambios en el porcentaje de matri- monios y divorcios del año 2000 al 2007 (x � 0 � 2000). El matrimonio abarca dos categorías: los que duran más, y los que duran menos de 10 años. a) Dibuja la gráfica faltante. b) Escribe sus ecuaciones. c) ¿Igualarán los divorcios a los matrimonios? Si es así, ¿cuándo ocurrirá esto? Solución a) Restas de 100% ambos porcentajes en el eje y, y obtienes el porcentaje, en 2000, de matrimonios con menos de 10 años: 100 � 35 � 12 � 53%. En forma similar obtienes el porcentaje de este grupo en 2007: 39%. En este periodo, la razón de cambio promedio para cada grupo fue: Casados menos de 10 años Casados más de 10 años Divorcios m 1 = 39 � 53 7 � �2 m 2 = 42 � 35 7 � 1 m 3 = 19 � 12 7 � 1 b) En ese orden: y � �2x � 53; y � x � 35; y � x � 12 c) Resolviendo cada par de ecuaciones, se encuentra que el grupo de matrimonios con menos de 10 años igualará al de divorcios 4 meses antes del año 2014, con 25.66% del total de casados y divorciados. Ejemplo 4 Fíjate en lo siguiente... 1. Obtención de y, conocido el valor x � 4.5, usando cualquiera de las ecuaciones: Primera ecuación Segunda ecuación 5x � 3y � 46.5 7x � 2y � 47.5 5(4.5) � 3y � 46.5 7(4.5) � 2y � 47.5 22.5 � 3y � 46.5 31.5 � 2y � 47.5 3y � 24 2y � 16 y � 8 y � 8 2. En este sistema tú eliges el método de resolución. En este caso se usó suma y resta, pero puede usarse cualquier otro: a) Sustitución. Hay cuatro opciones para iniciar, según se despeje x o y en cualquiera de las dos ecuaciones. Despejando x en la primera ecuación x � 46.5 � 3y 5 , y sustituyendo en 7x � 2y � 47.5 se tiene: 7 � � � 46.5 � 3y 5 � � � � 2y � 47.5 7(46.5 � 3y) � 10y � 237.5 y � �88 �11 � 8 Reemplazas este valor y obtienes x � 4.5. b) Igualación. Hay dos opciones para iniciar: despejar x, o y, en ambas ecuaciones. Despejando x e igualando las expresiones: Multiplicando en cruz y resolviendo, y � 8. Reemplazas este valor y hallas x � 4.5. Ejemplo 5 Fíjate en lo siguiente... a) m � razón de cambio b) Forma y � mx � b. c) Usa igualación. El sistema y � �2x � 53, y � x � 12 tiene por solución x � 41 3 � 13 2 3 ; y � 77 3 � 25.66. Años Po rc en ta je 0 8 16 24 32 40 48 56 1 2 3 4 5 6 7 19 42 8 Divorcios 0 8 16 24 32 40 48 56 1 2 3 4 5 6 7 8 141Grupo Editorial Patria® En los ejercicios 1 a 9: a) Indica cuál método es más apropiado para resolver cada sistema de ecuaciones; b) resuelve cada uno por el método elegido. 1. y � x � 10 2. �7x � 2y � 4 3. y � x � 2 y � 2x � 5 7x � 2y � �3 5x � 3y � 0 4. �16x � y � 30 5. 4x � y � 22 6. y � 2x � 20 y � x �x � 2y � 5 x � y � 8 7. x � � 4y 8. 2x � 3y � 5 9. 7x � y � 10x � 5 x � � 2 3 y � 1 0.5x � 4y � �2 y � 3x � �14x � y 2 Ejercicios 10 a 12: a) Resuelve cada sistema lineal empleando los tres métodos algebraicos. b) Comprueba gráficamente la solución. 10. �3x � y � 12 11. 3x � 7y � 13 12. x 4 � y � 2 �10x � 3y � �36 �5x � y � �9 �x � 4y � �8 13. Buffet Un restaurante ofrece para el desayuno un buffet con precios distintos para adultos y niños. Por el desayuno, un ma- trimonio con dos niños paga $194. Otra pareja con un niño paga $162 por el buffet. ¿En cuánto sale éste para un adulto y en cuánto para un niño? 14. Producción de gorras De 2008 a 2013 una compañía pro- dujo y � 2x � 1 gorras (en decenas de miles), (x � 0 � 2008). La producción de otra compañía se muestra en la tabla. 2008 2013 x 0 5 y 3 5 a) ¿A qué ritmo aumentó la producción en cada caso? b) ¿En algún momento fue igual su producción? c) ¿Igualarán la producción 4x � 4y � �28 de la compañía líder? 15. Bisquets La ecuación 2.5x � y � 195 modela el ingreso anual y durante los últimos cinco años de una sucursal de venta de bisquets (en miles de pesos). Otra sucursal registra para el mismo periodo un ingreso anual y � 180 � 0.5x. a) ¿Coincidieron en algún año los ingresos de las sucursales? b) ¿Requiere alguna sucursal mejorar sus ventas? Autoevaluación 7B Sugerencias para la autoevaluación 7B 1 a 6. Aplica estos criterios: Suma y resta Existen términos simétricos o se obtienen con un factor. Sustitución Una variable está despejada en una ecuación. Igualación Una variable está despejada en ambas ecuaciones. 7. Multiplica la segunda ecuación por 3 para eliminar el denominador. 8. Multiplica por �4 la segunda ecuación. 9. Simplifica primero las ecuaciones (multi- plica ambos términos de la segunda ecua- ción por 2, o usa productos en cruz). Igualación y sustitución El método de igualación es un caso par- ticular del de sustitución: puedes sus- tituir la variable despejada en la otra ecuación. 10. Inicia con el método de sustitución, des- pejando y en la primera ecuación. 11. Puedes iniciar con sustitución despejan- do y en la segunda ecuación. Para suma y resta, multiplica la segunda ecuación por �4. 12. Simplifica la primera ecuación multipli- cándola por 4. Inicia con suma y resta. 13. Si x es el precio por adulto, una pareja paga 2x. Designa con y el precio del bu- ffet para niño. 14. a) Obtén la pendiente para cada caso. b) Escribe la ecuación y � mx � b para losdatos de la tabla. Resuelve el sis- tema de ecuaciones. c) Resuelve esta ecuación con cada una de las anteriores. Haz la gráfica. BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II142 Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Esencias para perfumes” del Bloque 7B. Nombre del alumno: Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), bien redactado y sin faltas de ortografía. Dibuja la gráfica de las dos líneas rectas en papel milimétrico y usando regla, o bien, por computadora. Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión bien hecha), redacción regular y sin faltas de ortografía. Dibuja la gráfica de las dos líneas rectas en hojas de cuadrícula chica y usando regla. Elabora el reporte a mano con regular caligrafía (o bien usando un procesador de texto con una impresión regular), redacción regular y pocas faltas de ortografía. Dibuja la gráfica de las dos líneas rectas en hojas blancas y usando regla. Elabora el reporte a mano con mala caligrafía, mal redactado y con muchas faltas de ortografía. No hizo la gráfica de las dos líneas rectas. Desarrollo Prueba varias combinaciones de cantidades de esencias antes de resolver el sistema. Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Identifica las líneas rectas en la gráfica y luego las gráfica en una hoja aparte para determinar con mayor precisión el punto de intersección de las mismas. Resuelve el problema usando una sola variable. Prueba varias combinaciones de cantidades de esencias antes de resolver el sistema. Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Identifica las líneas rectas en la gráfica y luego las gráfica en una hoja aparte para determinar con mayor precisión el punto de intersección de las mismas. No resuelve el problema usando una sola variable. Sólo prueba la combinación de cantidades de esencias señalada en el libro antes de resolver el sistema. Presenta de manera ordenada todos los pasos para determinar las ecuaciones y cantidades pedidas. Sólo identifica las líneas rectas en la gráfica. No resuelve el problema usando una sola variable. No prueba ninguna combinación de cantidades de esencias antes de resolver el sistema. Omite algunos pasos en el cálculo de las ecuaciones y cantidades pedidas. Sólo identifica las líneas rectas en la gráfica. No resuelve el problema usando una sola variable. Dominio del tema Plantea correctamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales por los siguientes métodos: igualación. Calcula correctamente porcentajes. Plantea correctamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales sólo por dos de los siguientes métodos: igualación. Calcula correctamente porcentajes. Plantea correctamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales sólo por uno de los siguientes métodos: igualación. Calcula correctamente porcentajes. Plantea incorrectamente sistemas de ecuaciones lineales con base en la información del problema. Resuelve correctamente sistemas de ecuaciones lineales sólo por uno de los siguientes métodos: igualación. Calcula incorrectamente porcentajes. Resultados y conclusiones Determina correctamente la cantidad de esencia de narciso y de gardenia que debe utilizarse para producir el perfume indicado por los siguientes tres métodos: igualación. Determina correctamente la cantidad de esencia de narciso y de gardenia que debe utilizarse para producir el perfume indicado sólo por dos de los siguientes tres métodos: igualación. Determina correctamente la cantidad de esencia de narciso y de gardenia que debe utilizarse para producir el perfume indicado sólo por uno de los siguientes tres métodos: igualación. Determina incorrectamente la cantidad de esencia de narciso y de gardenia que debe utilizarse para producir el perfume indicado por los siguientes tres métodos: igualación. Rúbrica Instrumentos de evaluación Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Matrimonios y divorcios” del Bloque 7A. Presentación SÍ NO Observaciones 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula. 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria. 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía. 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena caligrafía o por lo menos entendible. 5. Dibujó las gráficas pedidas en papel milimétrico o bien por computadora en un formato bien presentado indicando claramente las variables que se grafican y la escala empleada. Lista de cotejo 143Grupo Editorial Patria® Dominio del tema SÍ NO Observaciones 8. Calcula correctamente la pendiente (ritmo de aumento o disminución) de una recta dados dos puntos de ella. 9. Escribe correctamente la ecuación de una recta dada su pendiente (ritmo de aumento o disminución) y su ordenada al origen (valor inicial para x = 0). 10. Determina gráficamente la intersección de dos rectas. Desarrollo SÍ NO Observaciones 6. Elaboró una tabla con el incremento/decremento porcentual por año para cada grupo. 7. Presentó todos los pasos requeridos para determinar las cantidades y ecuaciones pedidas siguiendo una secuencia coherente y ordenada. Comentarios generales: __________________________________________________________________________ Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________ Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones 11. Calculó correctamente los porcentajes de divorcio al inicio y término del periodo indicado. 12. Calculó correctamente el ritmo promedio de aumento o disminución de los porcentajes de los tres grupos estudiados. 13. Obtuvo la ecuación de la recta que describe a cada uno de los tres grupos y la graficó en un mismo plano coordenado. 14. Calculó gráficamente el año en el que el porcentaje de divorcios es igual al de matrimonios con menos de 20 años y el valor de dicho porcentaje. 15. Concluyó sobre la precisión del resultado del método gráfico. Nombre de la materia: Grado y grupo: Plantel: Profesor: Clave: Alumno: Fecha de aplicación: Desempeño a evaluar: Solución gráfica y algebraica de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas de dos incógnitas. INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes. No. Acciones a evaluar REGISTRO DE CUMPLIMIENTO Observaciones SÍ NO NA* 1 Elabora una tabla de costos para cada una de las impresoras sumando al precio de adquisición la compra de los cartuchos. 2 Obtiene la función lineal que permite calcular el costo de la impresora más la compra de x cartuchos de tinta. 3 Gráfica correctamente las dos funciones lineales que dan el costo de las impresoras más los cartuchos de tinta. 4 Resuelve gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales correspondientes a las dos impresoras. 5 Resuelve algebraicamente el sistema de dos ecuaciones lineales correspondientes a las dos impresoras. 6 Compara en cuanto a precisión las soluciones obtenidas con el método gráfico y el algebraico e indica si la solución obtenida es plausible. *No aplica. Guía deobservación para el proyecto de trabajo “Compra de impresoras” del Bloque 7A Resuelves ecuaciones lineales III Competencias a desarrollar n Construye e interpreta sistemas de ecuaciones con tres incógnitas mediante la aplicación de diferentes métodos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. n Formula y resuelve sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, aplicando diferentes métodos (numéricos, algebraicos y gráficos). n Explica e interpreta los resultados obtenidos a través de los diferentes métodos y los contraste con modelos establecidos o situaciones reales. n Analiza las relaciones entre tres variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento mediante la aplicación de los métodos. n Interpreta tablas, gráficas, y textos con símbolos matemáticos y científicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8B LO Q U E Objetos de aprendizaje Representación de relaciones entre magnitudes Modelos aritméticos o algebraicos 8 horas Desempeños del estudiante al concluir el bloque n Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. n Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes Algebraicos: Eliminación por reducción (suma y resta), sustitución; Gráficos. n Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. n Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. n Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. ¿Qué sabes hacer ahora? Investigar es ver lo que todo el mundo ha visto y pensar lo que nadie más ha pensado. Albert Szent-Györgi Un trastorno frecuente en las personas es la apnea del sueño, que consiste en el cese de la respiración mientras se duerme, debido a una obstrucción de las vías aéreas superiores. En la gráfica se aprecia cómo varía el porcentaje de quienes sufren esta enfermedad, según grupos de edad y gravedad del padecimiento. Un sistema de ecuaciones lineales permite a los investigadores establecer el tamaño de la muestra poblacional estudiada en cada grupo, a partir de la información proporcionada por la gráfica. 49 25% Edad 1-15 Severo Moderado Leve 16-30 31-80 40% 50% 30% 20% 10% 40% 40% 45% 48 33 0.25x � 0.40y � 0.50z � 49 0.30x � 0.40y � 0.40z � 48 0.45x � 0.20y � 0.10z � 33 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III A8BLOQUE 146 Conocimientos Números y porcentajes 2 es el 50% ¿de qué número? 50% x � 2; 0.50x � 2; x � 2 0.5 � 4 (50% es la mitad; 2 es la mitad de 4) Sustitución para sistemas 3 � 3 x � 2y �2z � 11 2x � y � 2z � 1 3x � 3 Paso 1 Despeja una variable en una ecuación y sus- titúyela en las otras ecuaciones. De 3x � 3, x � 1. 1 � 2y �2z � 11 2 � y � 2z � 1 Paso 2 Simplifica y resuelve el sistema 2 � 2: 2y �2z � 10 y � 2z � �1 ___________ Por suma y resta: 3y � 9; y � 3 Paso 3 En una ecuación que tenga a la variable res- tante, sustituye los valores conocidos: 2y ��2z � 10; 6 � 2z � 10; z ��10 � 6 2 � 2 Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de sistemas lineales 3 � 3 En Internet: Op. cit. Bloque 4A http://club.telepolis.com/luisroche/ www.educasites.net/matematicas.htm Situación didáctica Selección deportiva Para integrar la selección de futbol tres equipos aportan en total siete, cinco y ocho jugadores, respectivamente. Delanteros Porteros Defensas Total Equipo 1 60% 50% 30% 7 Equipo 2 40% 100% 10% 5 Equipo 3 20% 0% 70% 8 De su planta de jugadores para cada posición, los equipos enviaron el porcentaje indicado en la tabla. Los tres equipos poseen igual cantidad de jugadores para cada una de estas tres posiciones. ¿Cuántos delanteros, porteros y defensas tiene cada equipo? ¿Cuántos de estos jugadores fueron seleccionados por equipo? ¿Cuántos delanteros, porteros y defensas aportaron los tres equipos? ¿Cuántos jugadores en total? Análisis de la situación 1. Interpreta la información ¿Indica 60%, en la primera entrada de la tabla, un porcentaje respecto al total de jugadores de la selección o un porcentaje del total de jugadores que son delanteros en el Equipo 1? ¿Qué significa 0%? ¿Es por esta razón que la suma de los porcentajes, en columnas o en renglones, resulta distinta de 100%? 2. Prueba valores Existen varias maneras de distribuir los 7 jugadores del Equipo 1; una de ellas es, por ejemplo, Delanteros Porteros Defensas 2 1 4 ¿Será ésta la correcta? Comprueba: 2 es 60% de 3.3; 1 es 50% de 2; 4 es 30% de 13.3; en este equipo habrían 3.3 � 2 � 13.3 � 18.6 jugadores. ¿Es admisible este valor? ¿Por qué? Aún así, ¿funciona esta terna (2, 1, 4) para los otros dos equi- pos? Argumenta. 147Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. La solución del problema con un modelo algebraico es más simple y precisa. Asigna variables a las cantidades buscadas: x � número de delanteros; y � número de porteros; z � número de ________________ . 2. Para el Equipo 1 debe cumplirse: 60%x � 50%y � 30%z ��____________ ; para el Equipo 2, 40% ___________ � 100% ___________ � ___________ � ___________ y para el Equipo 3, ___________ � ___________ ��___________ � ___________ . Expresando cada porcentaje en forma decimal este sistema se reescribe: 0.6x � ___________ y � ___________ z � 7 _______ x � ___________ y � ___________ z � 5 _________ � _____________ � _____________ � ___________ 3. Multiplicando los términos por ____(10;100) conseguimos un sistema equivalen- te con coeficientes enteros, más fácil de resolver: 6x � ___________ y � ___________ z � 7 _________ _______ x � ___________ y � ___________ z � ___________ _________ � _____________ � _____________ � ___________ 4. Para resolver este sistema conviene despejar ___ o ___ en la ________________ (primera/segunda/tercera ecuación) y sustituir este valor en las dos restantes. Se consigue así un sistema de ecuaciones de 2 × 2: _______ ��_______ ��_______ Resolviendo este sistema se halla el valor de _______ ��_______ ��_______ las variables: _____ ��_____ ; _____ ��_____ . 5. Al sustituir estos dos valores en la ecuación despejada en el punto 4, se obtiene el valor de la tercera variable: _______ � _______ . Cada equipo tiene _______ delanteros, _______ porteros, _______ defensas y, de cada posición, aportó la siguiente cantidad de jugadores: JUGADORES APORTADOS POR LOS EQUIPOS Equipo Delanteros Porteros Defensas Total 1 3 2 1 3 0 Total 20 Proyecto de trabajo 1. Vacaciones familiares Un fin de semana tú y tu familia salen de paseo. En el sitio donde se hospedan les ofrecen los alimentos en forma opcional. Los seis miembros comen a veces juntos en el hotel, o fuera de él. La tabla registra las comidas realizadas en el hotel en sus tres días de estancia. La cuenta del hotel por cada concepto ascendió a: desayunos: $150; comidas: $850; cenas: $1,090. a) ¿Qué significan los ceros en la tabla? b) Asigna una variable para el costo unitario de cada tipo de alimento. c) Utiliza el modelo verbal: Costo � precio unitario � cantidad, para escribir un modelo algebraico para el gasto total en los tres días, por cada tipo de alimento. d) Resuelve el sistema por sustitución y comprueba tus resultados. Rúbrica de evaluación El desarrollo de esta actividad en tu cuaderno de matemáticas debe incluir: 1. La respuesta a los cuestionamientos re- flexivos en el análisis de la situación y, al menos, la prueba de otra terna de va lores. 2. Todas las respuestas con los cálculos y transformaciones algebraicas requeridas en la secuencia didáctica, en particular: la verificación de que la terna obtenida como solución satisface el sistema de ecuacionesy genera el número correcto de jugadores que poseen los equipos en cada posición. Viernes Sábado Domingo Desayuno 0 0 3 Comida 6 4 1 Cena 3 6 5 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III148 B8BLOQUE Situación didáctica Distribución y venta de quesos Una granja produce y distribuye, en tres tiendas diferentes, queso panela, queso asadero y queso manchego. La cantidad que semanalmente surte de cada tipo de queso, es la misma en todas las tiendas. Panela Asadero Manchego Total Tienda 1 50% 80% 60% 74 kg Tienda 2 20% 60% 10% 38 kg Tienda 3 30% 40% 20% 36 kg En la última semana, las tiendas reportaron los porcentajes y montos de venta seña- lados en la tabla. ¿Qué cantidad de cada tipo de queso surtió la granja a cada tienda? ¿Cuánto vendió cada tienda de los distintos tipos de queso? Análisis de la situación 1. Interpreta la información ¿Qué representa cada porcentaje de la tabla? ¿Por ejemplo, 50%? ¿Y cada dato en la última columna? 2. Prueba valores Distribuye como gustes los 74 kilogramos que, de los tres tipos de queso, vendió en esa semana la Tienda 1; por ejemplo: Tienda 1 (kg) 10 40 24 % 50% 80% 60% ¿Será ésta la correcta? Comprueba: 10 es 50% de 20; 40 es 80% de 50; 24 es 60% de 40; en este caso la cantidad surtida para la Tienda 1 sería: 20 kg, 50 kg y 40 kg. Para la Tienda 2 debe cumplirse, de acuerdo con la tabla de porcentajes, que: 20%(20) � 60%(50) � 10%(40) � 38 kg, lo cual es correcto; sin embargo, para la Tienda 3, con estos datos no se obtienen 36 kg, sino 23.8 kg, lo cual es incorrecto pues debería dar 36 kg. Prueba con otras combinaciones. Conocimientos Regla de Cramer para sistemas 3 � 3 Paso 1 Determinante del sistema Con los coeficientes de las variables escribes el determinante del sistema Sistema Determinante Δ x y z � � � � � �1 | 1 2 �1 | � 3 Δ � | 1 �1 1 | � �1 | 1 �3 �1 | x � 2y �z x � y � z x � 3y � z Paso 2 Determinante de las variables En vez de los coeficientes de la variable, es- cribe los términos constantes. Ejemplo. Para x, | �1 2 �1 | Δx � | 3 �1 1 | | �1 �3 �1 | En forma análoga se obtienen Δy, Δz. Paso 3 Valor de las variables Divide sus determinantes entre Δ. (Δ���0) x � �x � , y � �y � , z � �z � . Calorías, kilocalorías y calorías La caloría (cal) mide la cantidad de energía calorífica necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua, de 14.5 C a 15.5 C. La caloría expresa el poder energético de los alimentos. 1 cal � 1 kcal � 1,000 cal � 4,184 Joules. Consulta En libros de álgebra y otras fuentes: Solución de sistemas lineales 3 � 3. En Internet: Op. cit. Bloque 4A 149Grupo Editorial Patria® Secuencia didáctica 1. Designa con: x � cantidad de queso panela surtido a cada tienda (en kg), y con y, z, la cantidad de quesos asadero y manchego, respectivamente. 2. Con base en el modelo verbal: Cantidad vendida � porcentaje vendido � cantidad surtida, se tiene el modelo algebraico para las ventas de queso en cada tienda: Tienda 1: 0.5x � 0.8 y � 0.6z � 74 Tienda 2: ________ x � ________ y � ________ z � ________ Tienda 3: ________ � ________ � ________ � ________ . 3. Multiplicando los términos por ________ (10;100) conseguimos un sistema equi- valente con coeficientes enteros, más fácil de resolver: 5x � ___________ y � ___________ z � 7 _________ _______ x � ___________ y � ___________ z � ___________ _________ � _____________ � _____________ � ___________ 4. Para resolver este sistema mediante determinantes se calculan: | 5 8 6 | Δ � | | ���28 | | | 740 8 6 | Δx � | | �� | | | 5 740 6 | Δy � | | �� | | Se obtienen x y y con los cocientes: x � �x � � � � , y � �y � � � � . 5. Al sustituir estos dos valores en cualquier ecuación del punto 3 se encuentra el valor para z � _______ . Cada tienda recibió la siguiente cantidad de quesos: _______ kg de queso panela, _______ kg de queso asadero y _______ kg de queso manchego. Cada una vendió en esa semana: Tienda Panela Asadero Manchego Total 1 18 2 27 3 12 Total 148 Proyecto de trabajo 1. Calorías en alimentos En el desayuno, tú y tus padres toman jugo de naranja, yogur natural y papaya, en una copa con raciones de 100 gramos. Tú tomas dos copas de jugo de naranja, una de yogur y media de papaya. Tu papá, en cambio, toma una copa y media de jugo de naranja, una de yogur y una de papaya. Tu mamá consume una de jugo, dos de yogur y una de papaya. La cantidad de Ca- lorías ingerida por cada uno, al consumir estos alimentos, es de 173, 181 y 220 Calorías respectivamente. a) Organiza en una tabla la información dada. b) Designa con una variable la cantidad de Calorías que contiene una copa de cada tipo de alimento y escribe un modelo algebraico. c) Resuelve por determinantes el sistema obtenido. Verifica la solución. Rúbrica de evaluación En tu cuaderno de matemáticas, incluye el desarrollo de: 1. La respuesta a las preguntas en el análisis de la situación y, al menos, una prueba para otra combinación de valores. 2. El cálculo de los determinantes y el valor de x, y, z, requeridos en la secuencia di- dáctica, así como la verificación de que la terna obtenida como solución satisface el sistema de ecuaciones y genera las canti- dades correctas de cada tipo de queso que vendió cada tienda. BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III150 Segmento informativo 8B Solución de sistemas lineales 3 � 3 Un sistema de ecuaciones lineales de 3 � 3 consta de tres ecuaciones de primer grado con tres variables. Estos sistemas se resuelven por sustitución algebraica, o usando determinantes. Resolución de un sistema 3 � 3 por sustitución 1. Despeja una variable en una ecuación y sustitúyela en las otras. 2. Resuelve el nuevo sistema 2 � 2. Obtenido el valor de una variable, hallas el de las restantes por sustitución. Sistema 3 � 3 Despeja una variable Resuelve un sistema 2 � 2 3x � y � z � 0 z � 3x � y 4x � 3y � 1 x � 2y � z � 1 Sustituyendo en las � 2x � 4y � 2 x � 3y � z � 2 otras ecuaciones Al resolver el sistema 2 � 2 obtienes x � 1, y � 1. Sustituye estos valores en z � 3x � y � 3(1) � 1 � 2. La solución es (x, y, z) � (1, 1, 2). Resolver un sistema 3 � 3 por determinantes es similar a resolver uno de 2 � 2: los determinantes se obtienen de idéntica forma; su valor se halla de manera parecida, como se verá en el ejemplo 1. Resolución de un sistema 3 � 3 por determinantes 1. Encuentra Δ, Δx, Δy, Δz. 2. Obtén los cocientes x � �x � , y � �y � , z � �z � . Ejemplo 1 Resolviendo un sistema 3 × 3 por determinantes Resuelve por determinantes el sistema 3x � y � z � 0 x � 2y � z � 1 x � 3y � z � 2 Solución Escribe el determinante del sistema x y z | 3 �1 �1 | Δ � | 1 �2 1 | | 1 3 �1 | Para cada variable, cambia su columna por la de términos constantes. | 0 �1 �1 | Δx � | 1 �2 1 | | 2 3 �1 | | 3 0 �1 | Δy � | 1 1 1 | | 1 2 �1 | | 3 �1 0 | Δz � | 1 �2 1 | | 1 3 2 | Fíjate en lo siguiente... 1. Para despejar, elige la variable que tenga el menor coeficiente (positivo, de prefe- rencia). 2. Se escogió la primera ecuación porque allí el término constante es 0. 3. Sustituyendo z � 3x � y en las otras ecua- ciones, el sistema se reduce a uno de 2 � 2: En la ecuación x � 2y � z � 1 x � 2y � (3x � y) � 1 4x � 3y � 1 En la ecuación x � 3y � z � 2 x � 3y � (3x � y) � 2 x � 3y � 3x � y � 2 �2x � 4y � 2 4. En ocasiones es posible resolver un siste- ma de 3 � 3 por suma y resta, o iguala- ción. El inconveniente es que las ecuaciones deben asociarse por pares, y entonces el trabajo se amplía a cuatro ecuaciones. Verifica tu avance Resuelve el sistema 3 � 3 del ejemplo ilustra- tivo, eliminando z por suma y resta. Ejemplo 1 Observaciones importantes 1. Para emplear determinantes, los términos constantes deben estaraislados en un lado de la ecuación, en la forma ax � by � cz � d. 151Grupo Editorial Patria® Obtienes ahora el valor de cada determinante. 1) Repite al final los dos primeros renglones 2) Multiplica en cada diagonal | 3 �1 �1 | Δ � | 1 �2 1 | | 1 3 �1 | | 3 �1 �1 | � | 1 �2 1 | | 1 3 �1 | | 3 �1 �1 | | 1 �2 1 | | 3 �1 �1 | | 1 �2 1 | Δ � | 1 3 �1 | | 3 �1 �1 | | 1 �2 1 | 6 �3 �1 2 9 1 3) Suma estos resultados por tipo de diagonal y resta uno de otro. � � � (6 � 3 � 1) � (2 � 9 � 1) � � 10 Diagonales descendentes Menos Diagonales ascendentes Procediendo de la misma forma obtienes los valores Δx � �5 � 5 � �10, Δy � �11 � 1 � �10, Δz � �22 � 2 � �20. Al dividir cada uno entre el determinante del sistema, obtienes la solución (x, y, z) � (1, 1, 2). Ejemplo 2 Resolviendo un sistema por sustitución Resuelve por el método de igualación x � y � z � 2 2x � y � z � �5 �x � 4y � z � 4 Solución Paso 1. Despeja una variable en cualquiera de las tres ecuaciones. Elegimos x en la primera ecuación: x � y � z � 2. Paso 2. Sustituye este valor en las otras ecuaciones: 2x � y � z � �5 �x � 4y � z � 4 2(y � z � 2) � y � z � �5 �(y � z � 2) � 4y � z � 4 2y � 2z � 4 � y � z � �5 �y � z � 2 � 4y � z � 4 3y � 3z � �9 3y � 2z � 6 Paso 3. Resuelve el sistema 2 � 2: 3y � 3z � �9 �1 3y � 2z � 6 Por suma y resta: �3y � 3z � 9 3y � 2z � 6 ___________ 5z � 15 z � 3 Paso 4. Con este valor de z obtenemos x y y por sustitución: 3y � 2z � 6 x � y � z � 2 3y � 6 � 6 x � 0 � 3 � 2 y � 0 x � � 1 La solución del sistema es (x, y, z) � (�1, 0, 3). 2. Para hallar el valor de un determinante de 3 � 3 debes repetir los dos primeros ren- glones al final. Cálculo del determinante de 3 � 3 A la suma de La suma de productos de productos de diagonales diagonales descendentes ascendentes Resta Esta técnica se conoce como Regla de Sarrus. Fíjate en lo siguiente... 1. Hay tres diagonales ascendentes y tres des cendentes. 2. En cada diagonal hay tres términos. 3. El proceso inicia con las diagonales des- cendentes. Observaciones importantes 1. Procede con mucho cuidado con los sig- nos. Un solo error nulifica el proceso. 2. Si falta una variable en una ecuación, su coeficiente es cero. Escribe TODOS los coeficientes al obtener el determinante. 3. Los ceros en los determinantes simplifi- can su cálculo, pues anulan diagonales. Soluciones Comprueba siempre que tus resultados sean la solución del sistema. Verifica tu avance Calcula el determinante de x � y � 10 2x � y � z � 9 y � 2z � �5 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III152 Ejemplo 3 Viáticos en una excursión Con un grupo de nueve amigos viajas en una excursión al puerto de Veracruz. Durante su estancia de tres días, algu- nos toman sus alimentos en el restaurante del hotel donde se hospedan. El monto diario de estos gastos por alimentos puede modelarse con una ecuación lineal, donde x, y, z, representan el costo en pesos, de cada desayuno, comida y cena, respectivamente. Primer día 10y � 8z � 880 Segundo día 6x � 4y � 5z � 685 Tercer día 9x � 10y � 1,005 a) ¿Qué representan los coeficientes en cada ecuación? b) ¿Qué significado tienen los términos constantes? c) ¿Cuál fue el costo de cada desayuno, comida y cena? d) ¿A cuánto asciende su cuenta en el hotel, por consumo de alimentos? Solución Modelo verbal: Costo alimentos diarios en hotel � Precio � personas desayuno � Precio � personas comida � Precio � personas cena a) Este modelo muestra que en cada ecuación los coeficientes indican el número de comensales en cada tipo de alimento. b) El costo de los tres alimentos tomados en un día por el grupo, en el hotel. c) La solución del sistema indicará el costo de cada tipo de alimento. Por determinantes: 0x � 10y � 8z � 880 6x � 4y � 5z � 685 9x � 10y � 0z � 1,005 | 0 10 8 | Δ � | 6 4 5 | � 642 | 9 10 0 | Realizando el cálculo, Δx � 28,890, Δy � 38,520, Δz � 22,470. Dividiendo entre el determinante del sistema, x � 45, y � 60, z � 35. El costo por alimento fue: desayuno $45, comida $60, cena $35. Comprobación: 10y � 8z � 10(60) � 8(35) � 880. 6x � 4y � 5z � 6(45) � 4(60) � 5(35) � 685. 9x � 10y � 9(45) � 10(60) � 1,005. d) El total por consumo de alimentos es la suma de los montos diarios, es decir, la suma de los tres términos constantes: $2,570. Ejemplo 3 Fíjate en lo siguiente... 1. Cómo se obtiene el valor de Δx: | 880 10 8 | | 685 4 5 | Δx � | 1,005 10 0 | � 105,050 � 76,160 � 28,890 | 880 10 8 | | 685 4 5 | 2. Las calculadoras programables y compu- tadoras actuales realizan estos cálculos rá- pidamente utilizando estas reglas. 3. También puedes utilizar sustitución: a) En la tercera ecuación: y � 1,005 � 9x 10 b) Reemplaza en las otras ecuaciones: 10y � 8z � 880 10 � � 1,005 � 9x 10 � � � 8z � 880 9x � 8z � 125 6x � 4y � 5z � 685 6x � 4 � � 1,005 � 9x 10 � � � 5z � 685 24x � 50z � 2,830 c) Resuelve 9x � 8z � 125 50 24x � 50z � 2,830 8 Por suma y resta: 450x � 400z � 6,250 192x � 400z � 22,640 ___________________ 642x � 28,890 x � 45 d) Sustituyendo en: y � 1,005 � 9x 10 � 1,005 � 9(45) 10 � 60 9x � 8z � 125 9(45) � 8z � 125 405 � 8z � 125 z � 35. 153Grupo Editorial Patria® Ejercicios 1 a 3. Asocia cada sistema con su determinante. 1. 2x � y � z � 2 2. x � 2y �z � �1 3. 2x � y � z � 1 � � �x � y � z � �1 x � y � z � 3 x � y � z � �4 x � 3y � z � 5 x � 3y � z � �1 x � 3y � z � �2 a) b) c) | 1 2 �1 | Δ � | 1 �1 1 | | 1 �3 �1 | | 2 1 �1 | Δ � | 1 �1 �1 | | 1 �3 1 | | 2 �1 1 | Δ � | �1 1 �1 | | 1 3 1 | 4. Completa cada determinante y halla la solución del sistema. 3x � y � z � �8 x �2y �2z � �2 4x � y � z � �8 | �1 1 | | �2 �2 | | 1 1 | x � | | | 3 �1 1 | | 1 �2 �2 | | 4 1 1 | | 3 1 | | 1 �2 | | 4 1 | y � | | | 3 �1 1 | | 1 �2 �2 | | 4 1 1 | | 3 �1 | | 1 �2 | | 4 1 | z � | | | 3 �1 1 | | 1 �2 �2 | | 4 1 1 | Ejercicios 5 a 8. Calcula el valor de cada determinante. 5. 6. 7. 8. | 1 2 3 | | 4 1 0 | | �1 2 �1 | | 0 1 �2 | | 4 3 3 | | 1 5 �1 | | 3 �1 5 | | 1 1 �1 | | 2 7 9 | | 6 0 9 | | 1 5 �1 | | 4 �1 0 | Ejercicios 9 a 12. Resuelve cada sistema por a) determinantes; b) sustitución. 9. 2x � y � z � 2 10. x � 2y � z � �1 11. 2x � y � z � 1 � � �x � y � z � �1 x � y � z � 3 x � y � z � �4 x � 3y � z � 5 x � 3y � z � �1 x � 3y � z � �2 12. �x � y � 7 � � ��x � y � 3z � 0 2y � z � 1 13. Arreglos florales Tú y dos de tus amigas compran rosas, crisantemos y cla- veles para hacer cada una un arreglo, repartiéndose los gastos. ¿Cuánto les costó cada tipo de flor? Arreglo Claveles Crisantemos Rosas Costo 1 8 5 10 $149 2 10 4 10 $150 3 5 10 8 $145 Autoevaluación 8B Sugerencias para la autoevaluación 8B 1 a 3. Usa los coeficientes de las variables. 4. Columna de términos constantes. Ejem- plo 1. 5 a 8. Revisa el ejemplo 1. 9 a 12. a) Revisa el ejemplo 1. Escribe 0 para los coeficientes de las variables que falten. Si resulta Δ � 0, interpreta como antes: Infinitas soluciones y ninguna El sistema 3 � 3 tiene infinitas solucio- nes si todos los determinantes son cero; o ninguna, si sólo Δ � 0. 9 a 12. b) Despeja la variable que tenga coeficiente 1 o �1. Revisa el ejemplo 2. 13. Asigna las variables: x � Costo de un clavel y � Costo de un crisantemo z � Costo de una rosa Revisa el ejemplo 3. BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III154 Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Distribución y venta de quesos” del Bloque 8B. Nombre del alumno: Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1) As pe ct o a ev al ua r Presentación Elabora el reporte a mano con buena caligrafía (o bien
