Integrales Selectividad CCNN 2009

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Integrales
Selectividad CCNN 2009
1. [ANDA] [JUN-A] Sea f: la función definida por f(x) = x|x-1|.
a) Esboza la gráfica de f.
b) Comprueba que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la de dicha tangente.
2. [ANDA] [JUN-B] Considera la curva de ecuación y = x3-3x.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = -1.
b) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y = 2.
3. [ANDA] [SEP-A] La curva y = 1
2
x2 divide al rectángulo de vértices A=(0,0), B=(2,0), C=(2,1) y D=(0,1) en dos recintos.
a) Dibuja dichos recintos.
b) Halla el área de cada uno de ellos.
4. [ANDA] [SEP-B] Sea f la función definida por f(x) = 
x
4-9x4
.
Halla la primitiva F de f que cumple F(0) = 3 Sugerencia: Utiliza el cambio de variable t = 3
2
x2 .
5. [ARAG] [JUN] a) Calcular los siguientes límites: lim
x+
12x2 x2-7x
9x6+5x
 ; lim
x0
(cosx+senx)1/x.
b) Obtener 

xcos x2 dx
/2
.
6. [ARAG] [JUN] Sea f(x) = 1
x-x2
.
a) Determinar su dominio.
b) Estudiar si f(x) es una función simétrica respecto al origen de coordenadas.
c) Obtener el área encerrada por f(x) y el eje OX entre x = 1
4
 y x = 3
4
.
7. [ARAG] [SEP] Sea f(x) = x
3+2x2
x+2
a) Calcular su dominio.
b) Encontrar los puntos de corte de f(x) con el eje OX y estudiar si la función es creciente en el intervalo (0,1).
c) Obtener lim
x+
 f(x)
x+2
.
d) Hallar 
1
f(x)dx
-1
.
8. [ARAG] [SEP] a) Calcular 
/2
cos3(x)dx
0
.
b) Sea f(x) = eax, con a. Calcular f(n)(x)-anf(x), siendo f(n) la derivada n-ésima de f(x).
9. [ASTU] [JUN] Esboce la gráfica de la parábola y = -x2+x+ 7
4
 y halle el área de la región del plano determinada por la parábola y la
recta que pasa por los puntos 0, 1
4
 y 1
6
,0 .
10. [ASTU] [SEP] Represente gráficamente las parábolas y2-4x = 0 y x2-4y = 0 y calcule el área que encierran.
11. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = x2-x-2 .
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica.
b) Demostrar que no es derivable en x = 2.
c) Calcular el área de la región limitada por dicha gráfica, el eje OX y las rectas x = -2, x = 0.
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12. [C-LE] [JUN-A] Calcular 1
1-x2
dx
13. [C-LE] [JUN-B] Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y = -x2+a4 y el eje OX
es de 256
3
 unidades de superficie.
14. [C-LE] [SEP-A] Sea la función f(x) = x
3
x2+1
.
a) Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad,
puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
b) Calcular el valor de 
1
f(x)dx
0
.
15. [C-LE] [SEP-B] Sea la función f(x) = sen(x)+cos(x), definida en el intervalo [0,2].
a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. Esbozar su gráfica.
b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas de ecuaciones x = 0, x = 
4
 e y = 2.
16. [C-LE] [SEP-B] Calcular 
dx
(1+x) x
17. [C-MA] [JUN] Encuentra una primitiva de la función f(x) = x+36
4+9x2
.
18. [C-MA] [JUN] Calcula la integral definida 
4
x+e x
x
dx
1
 (puede ayudarte hacer un cambio de variable).
19. [C-MA] [SEP] Calcula las integrales: a) tan(x)dx; b) 1+tan2(x) dx; c) arctan(x)dx.
20. [C-MA] [SEP] a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f(x) = x
2+4x+3 si x < -1
1-x2 si x  -1
.
b) Determina el área encerrada por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas.
21. [CANA] [JUN] Representar las regiones limitadas por la curva y = -x2+6x-8, la recta x = 1 y el eje OX, calculando el área total de
dichas regiones.
22. [CANA] [SEP] Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4-x2, la recta 8x+2y = 16 y la recta y =4x+8.
23. [CANA] [SEP] Calcular las integrales:
i) dx
x2-1
.
ii) x2e3xdx.
1 2 3 4 5-1
1
2
3
4
-1
X
Y
24. [CATA] [JUN] La gráfica de la función f(x) = 3+x
x
, desde x = 1 hasta x = 4 es la siguiente:
a) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos de abscisa x = 1 y
x = 3.
b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función y las dos rectas tangentes que has calculado
en el apartado anterior.
c) Encuentra los vértices de este recinto.
d) Calcula la superficie del recinto anterior.
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25. [CATA] [JUN] Considera la función f(x) = x(a-x)
a3
, con a > 0.
a) Encuentra las puntos de corte de la función f(x) con el eje OX.
b) Comprueba que el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas no depende del valor del
parámetro a.
26. [EXTR] [JUN-A] a) Exprese f(x) = x·|x| como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada.
b) Calcule la integral definida 
1
x·|x|dx
-1
.
c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f(x), el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1.
27. [EXTR] [JUN-B] a) Escriba la fórmula, o regla, de la integración por partes.
b) Aplíquelo para calcular la siguiente integral indefinida: x2cosx·dx.
28. [EXTR] [SEP-A] Dada la parábola de ecuación y = -x2-2x+3, sea r su recta tangente en x = -1 y sea s su recta tangente en x = 1.
a) Calcule las ecuaciones de r y s.
b) Represente, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s.
c) Calcule el área de dicho recinto.
29. [EXTR] [SEP-B] a) Calcule la primitiva de la función racional: f(x) = 1
1-x2
.
b) Calcule la integral 1
cos x
 dx (puede utilizarse el cambio de variable t =senx).
30. [MADR] [JUN-A] Calcular la integral: F(x) = 
x
t2e-tdt
0
.
31. [MADR] [JUN-B] Si la derivada de la función f(x) es: f'(x) = (x-1)3(x-5), obtener:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Los valores de x en los cuales f tiene máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión.
c) La función f, sabiendo que f(0) = 0.
32. [MURC] [JUN] i) Enunciar el teorema fundamental del cálculo.
ii) Calcular la integral x
3
x2+3x+2
dx.
33. [MURC] [JUN] Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = xln(x) para 1  x  2, la recta x = 2 y el eje X.
34. [MURC] [SEP] a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo.
b) Calcular la integral 
1
x3
x2+1
dx
0
.
35. [MURC] [SEP] Calcular el área encerrada por las funciones f(x) = x2 y g(x) = x3-2x2+2x.
36. [RIOJ] [JUN] Calculad la función f tal que f'(x) = x
1+x4
, f(1) = 0.
37. [RIOJ] [JUN] Dada la función f(x) = ax3+bx2+c, determinad a, b, c para que se cumpla que la función tenga un mínimo en el punto
(2,-3) y que 
2
f(x)dx = -2
0
.
38. [RIOJ] [SEP] Hallad todos los valores de a para los que se cumple 
a
8
x3
dx = 3
1
.
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39. [VALE] [JUN] a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
f(x) = 1
(3-x)(3+x)
.
b) Obtener razonadamente los valores A y B tales que 1
(3-x)(3+x)
 = A
3-x
 + B
3+x
.
c) Calcular, razonadamente, el área de la superficie S limitada por la curva y = 1
(3-x)(3+x)
, el eje OX y las rectas de ecuaciones
x = -2 y x = 2.
40. [VALE] [JUN] Dada la función real f(x) = ex-e-x, se pide calcular razonadamente:
a) La función f(x) + f(-x).
b) La integral 
a
f(x)dx
-a
, donde a es un número real positivo.
c) El punto de inflexión de f(x).
41. [VALE] [SEP] Se consideran las funciones reales f(x) = 2x2+12x-6 y g(x) = (x-2) x2+9 . Se pide obtener razonadamente:
a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función f(x)
g(x)
.
b) La función H(x) = f(x)
g(x)
dx que cumple H(3) = 
3
.
 Soluciones
1. a) 
1 2-1
1
-2
X
Yc) 1 2. a) y = 0 b) 27
4
 3. a) 
1 2
1
2
X
Y
 b) 2 2
3
 , 6-2 2
3
 4. 1
6
arcsen3
2
x2+3 5. a) 4, e b) -1
2
 6. a) - {0,1} b) no c) 2ln3 7. a) - {-2}
b) (0,0); si c) 1 d) 1 8. a) 2
3
 b) 0 9. 1 3 5-1
1
-3
-5
X
Y
 343
48
 10. 
1 2 3 4 5-1
1
3
-2
X
Y
 16
3
 11. a) 
1 2 3 4-1
1
3
X
Y
 c) 3 12. 1
2
ln|x+1|- 1
2
ln|x-1|+c 13. 2 14. a)
1 2-1
1
2
-2
X
Y
 b) 1-ln2
2
 15. a) crec: 0,
4
 5
4
,2 ; 
1 2 3 4 5 6
1 X
Y
 b) -2
2
 16. 2arctg x+c 17. 1
18
ln 4+9x2 +6arctg3x
2
 18. 3+2e2-2e 19. a) -ln|cosx|+c b)
tanx+c c) x·arctanx- 1
2
ln 1+x2 +c 20. a) cont. y der. en  b) 8
3
 21. 8
3
 22. 16
3
 23. i) -1
2
ln|x+1|+ 1
2
ln|x-1|+c ii) 9x
2-6x+2 e3x
27
 +c 24. a) y = -3x+7;
y = -1
3
x+3 b) c) (1,4),(3,2), 3
2
,5
2
 d) -3+3ln3 25. a) (0,0), (a,0) b) A = 1
6
 26. a) f(x) = -x
2 si x < 0
x2 si x  0
 
1 2-1-2
1
2
-2
X
Y
 b) 0 c) 2
3
 27. b)
x2senx+2xcosx-2senx+c 28. a) y = 4; y = -4x+4 b) c) 2
3
 29. a) ln 1+x
1-x
+c b) ln cosx
1+senx
+c 30. 2-x2e-x-2xe-x-2e-x 31. a) crec: (-,1)(5,+) b) max:
1; min: 5; p.i: 4 c) x
5
5
 -2x4+6x3-8x2+5x 32. ii) x
2
2
 -3x-ln|x+1|+8ln|x+2|+c 33. 2ln2- 3
4
 34. b) 1-ln2
2
 35. 1
2
 36. 1
2
arc tg x2- 
8
 37. 1, -3, 1 38. 2 39. a) D: -
{-3,3}; crec: (0,+) b) 1
6
, 1
6
 c) ln5
3
 40. a) 0 b) 0 c) 0 41. a) x = 4; y = 0 b) 2ln|x-2|+4arctgx
3
 - 2
3
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