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Nivelación de Matemática para Administración,
Contabilidad, Economía y Hotelería (MA240), ciclo 2014-1
Item Type info:eu-repo/semantics/LearningObject
Authors Guerrero Celis, Magna
Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Download date 19/01/2024 00:29:22
Link to Item http://hdl.handle.net/10757/313667
http://hdl.handle.net/10757/313667
i
PREGRADO
COORDINADORA : Magna Guerrero C.
TÍTULO : Material de Enseñanza
FECHA : Marzo 2014
CURSO : Nivelación de Matemática para Adm-Eco
CODIGO : MA240
ÁREA : Administración, Contabilidad,
Economía y Turismo.
CICLO : 2014-1
ii
CÓDIGO : MA 240
CURSO : NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN,
CONTABILIDAD, ECONOMÍA Y HOTELERÍA
TEORÍA : 3 HORAS
PRÁCTICA : 3HORAS
CICLO : 2014-01
PROMEDIO FINAL:
PF = 8% (PC1) + 10% (PC2) + 12% (PC3) + 13%(PC4)+ 10%
(CD) + 12%(TB) + 25% (EB) + 10% (CC)
donde:
EB: evaluación final
CD: promedio aritmético de las evaluaciones virtuales
TB: promedio aritmético de las actividades .
CC: promedio aritmético de las notas de los controles.
PC1 hasta PC4: prácticas calificadas
iii
ÍNDICE
UNIDAD N° 1. NÚMEROS REALES. OPERACIONES BÁSICAS 1
1.1 Números reales 1
1.2 Operaciones básicas 4
1.3 Resolución de problemas 14
1.4 Resolución de problemas con números racionales 20
UNIDAD N° 2. RAZONES Y PROPORCIONES. PORCENTAJES 29
2.1 Razones y proporciones 29
2.2 Regla de Tres 34
2.3 Conversión de Unidades 41
2.4 Porcentajes 44
2.5 Aplicaciones económicas de porcentajes 59
UNIDAD N° 3. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 75
3.1 Expresiones algebraicas 75
3.2 Polinomios. Operaciones con polinomios. Valor numérico 82
3.3 Productos notables. Reducción de polinomios 96
3.4 División de polinomios. Método clásico y regla de Ruffini. 104
3.5 Factorización de polinomios 112
UNIDAD N° 4. ECUACIONES 126
4.1 Teoría de ecuaciones 126
4.2 Ecuaciones de primer grado 131
4.3 Ecuaciones de segundo grado 145
4.4 Ecuaciones racionales 159
4.5 Ecuaciones polinómicas 173
4.6 Ecuaciones irracionales 179
4.7 Sistema de ecuaciones lineales 184
UNIDAD N° 5. PLANO CARTESIANO. GRÁFICAS EN EL PLANO 199
5.1 Plano cartesiano 199
5.2 Ecuaciones y gráficas 201
5.3 Modelación mediante sistemas de ecuaciones lineales
aplicadas al campo económico y administrativo 214
UNIDAD N° 6. INECUACIONES 230
6.1. Intervalos de números reales. Notación 230
6.2. Inecuaciones de primer grado 235
6.3. Sistema de inecuaciones de primer grado con una
incógnita 241
6.4. Modelación de problemas que involucran inecuaciones 246
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTAS 255
iv
v
PLAN CALENDARIO
SEM TAREAS Sesión 1 Sesión 2 Sesión 3 PC E. VIRTUAL
24-mar
28-mar
1
TAREA N° 1
(Sesión 1.1 – 1.2)
Presentación del curso.
Conjuntos Numéricos.
Números reales
Operaciones Básicas
Resolución de problemas
con números enteros.
E. Virtual
Prueba
(Sesión 1.1 – 1.3)
Entregar Tarea N°1
31-mar
04-abr
2
TAREA N° 2
(Sesión 1.1 – 2.2)
Resolver problemas con
números racionales.
Razones y Proporciones
Regla de Tres
E. Virtual N° 1
(Sesión 1.1 – 2.3)
Control N° 1
(Sesión 1.1-2.2)
Entregar TAREA N° 2
07-abr
11-abr
3
TAREA N° 3
(Sesión 2.2 – 3.2)
Conversión de Unidades
Porcentaje
Aumentos y descuentos
sucesivos
Clase Integral N° 1 PC N° 1
(12-abr)
Entregar TAREA N° 3
14-abr
18-abr
4
TAREA N° 4
(Sesión 3.2 – 4.2)
Aplicaciones Económicas
de %, Variación
Porcentual, Merma.
Aplicaciones
Económicas de %
Ingreso, Costo, IGV
SEMANA SANTA
E. Virtual N° 2
(Sesión 3.1 – 4.2)
21-abr
25-abr
5 TAREA N° 5 (Sesión 5.1 – 5.2)
Expresiones algebraicas.
Polinomios. Grado de un
polinomio.
Operaciones con
Polinomios. Valor
numérico. Productos
Notables
División de Polinomios.
Método clásico. Método
de Ruffini
E. Virtual N° 3
(Sesión 5.1 – 5.3) Control N° 2
(Sesión 3.1 – 5.1) Entregar Tarea N° 4
Entregar TAREA N° 5
28-abr
02-may
6
TAREA N° 6
(Sesión 5.3 – 6.2)
Factorización (factor
común, aspa simple.)
Factorización. Método
de divisores binómicos.
Aplicaciones.
Clase Integral 2 PC N° 2
(03-May)
Entregar TAREA N° 6
05-may
09-may
7 TAREA N° 7 (Sesión 7.1 – 7.2)
Ecuaciones de Primer
grado. Despeje.
Modelación de
ecuaciones de primer
grado.
Proyecto colaborativo 1
E. Virtual N° 4
(Sesión 6.1 – 7.2)
Entregar TAREA N° 7
12-may
16-may
8 SEMANA DE EXÁMENES PARCIALES
19-may
23-may
9
TAREA N° 8
(Sesión 9.1 – 9.2)
Ecuaciones cuadráticas.
Solución por factorización
y por fórmula general.
Estrategia de resolución
de problemas de
segundo grado.
Control N° 3
(Sesión 6.1 – 9.1)
E. Virtual N° 5
(Sesión 7.1 – 9.2)
Entregar TAREA N° 8
26-may
30-may
10 TAREA N° 9 (Sesión 10.1 – 10.2)
Expresiones racionales.
CVA y MCM. Operaciones
con expresiones racionales
Ecuaciones Racionales
reducibles a 1r y 2do
grado.
Proyecto colaborativo 2
E. Virtual N° 6
(Sesión 9.1 –10.2)
Control N° 4
(Sesión 9.1 – 10.2)
Entregar TAREA N° 9
02-Jun
06-jun
11 TAREA N° 10 (Sesión 11.1 – 11.2)
Ecuaciones Especiales :
Irracionales.
Polinómicas.
Biacuadradas.
Sistema de Ecuaciones
Lineales.
Clase Integral 3 PC N° 3
(07-Jun)
Entregar TAREA N° 10
09-jun
13-jun
12 TAREA N° 11 (Sesión 11.2 – 12.2)
Modelación de Sistema de
Ecuaciones Lineales.
Plano Cartesiano.
Ubicación de puntos y
gráfica de ecuaciones
Revisión 1 del proyecto
E. Virtual N° 7
(Sesión 11.1 – 12.2)
Control N° 6
(Sesión 11.1 – 12.2)
Entregar TAREA N°11
16-jun
20-jun
13
TAREA N° 12
(Sesión 12.2 – 13.2)
Sistema de Ecuaciones
lineales. Interpretación
geométrica.
Modelación de los
sistemas de ecuaciones
lineales. Oferta y
Demanda.
Revisión 2 del proyecto
E. Virtual N° 8
(Sesión 12.2 – 13.2)
Control N° 7
(Sesión13.1-13.2)
Entregar TAREA N°12
23-jun
27-jun
14 TAREA N° 13 (Sesión 13.2 –14.2)
Modelación de los sistemas
de ecuaciones lineales.
Ingreso,Costo, Utilidad y
Otros.
Intervalos.
Operaciones.
Inecuación de primer
grado.
Clase Integral N° 4 PC N° 4
(28-Jun)
Entregar TAREA N°13
30-jun
04-jul
15
Sistemas de inecuaciones
lineales
Exposiciones de
Proyectos
Clase Integral N° 7
E. Virtual
(Repaso)
07-jul
11-jul
16 SEMANA DE EXÁMENES FINALES
1
UNIDAD N° 1. NÚMEROS REALES. OPERACIONES
BÁSICAS
1.1 NÚMEROS REALES
Repasemos los tipos de números que constituyen el sistema de números reales.
Números naturales
Los números naturales son los números que usamos para contar, es decir 1, 2, 3… se
denota N y se expresa como:
1;2; 3; . N
Números enteros
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, el cero y los
números negativos, se denota por Z y se expresa como:
– 3; – 2; –1; 0; 1; 2; 3Z
Números racionales
Son los números que pueden representarse como el cociente de dos enteros a y b, donde
b tiene que ser diferente de cero. Veamos algunos ejemplos de números que pueden
expresarse como el cociente de dos números enteros.
Número Se puede expresar así:
5
10
5
2
–3
2
6
3
0,25
25 1
0,25
100 4
0
0 0
0 ó 0 etc.
4 5
0,3333…
3
1
...333,0
Veamos otros ejemplos
3 118
; ; 0; 2; 3,25; ; 0,4
5 4 43
Entonces, los números naturales, los enteros, las fracciones, los decimales exactos,
periódicos puros y mixtos se pueden expresar como el cociente de dos números
enteros. Así tenemos:
3
3; ; – 0,111 ; 0; 0,15; 2; 7; 31; son números racionales
5
2
Números irracionales
Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros.
Ejemplos:
2 1,41421356... 3 1,73205080... 3,14159265... 2,71828182...e
Números reales
El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo R. Cuando
usamos la palabra número sin calificativo, queremos decir “número real”. En la figura
se ilustra un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajaremos:
EJERCICIO 1
Marque con un check todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los siguientes
números:
– 4 0 1,333 1,333... 3,14159 123
3
7
3 64 9 32
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Números racionales (Q)
3 11 8
; ; 0; 2; 3,25; ; 0,4
5 4 43
Números irracionales (I)
52; 3; 4; ;e
Números
enteros (Z)
– 3; – 2; –1; 0;
Números
naturales (N)
1; 2; 3;
Números reales (R)
3
LA RECTA NUMÉRICA
En la recta de números reales, cada número tiene una posición según su orden.
Ejemplo 1
Ubicar en la recta numérica los siguientes números:
7
3
;
5
12
;
5
12
; 3,14; ; 1,58.
Los pasamos a números decimales y los ubicamos en la recta real.
3
0,4285...
7
;
12
2,4
5
;
12
2,4
5
; 3,14; 3,14159... ; 1,58.
Ejemplo 2
Ubicar en la recta numérica los siguientes números:
7
5
;
7
12
; 2 ; 2; 0,58; 1,333…
Ejemplo 3
Ubicar en la recta numérica los siguientes números: –22; –9,8;
7
111
; 17,4; 7,3.
(En este caso al ser número más grandes tendríamos que dividir la recta proporcionalmente de diez en
diez por ejemplo)
Ejemplo 4
Ubicar en la recta numérica los siguientes números: -54,2; -92,8; 40,55; 75,4; 27
(En este caso al ser número más grandes tendríamos que dividir la recta proporcionalmente de diez en
diez por ejemplo)
3 2 1 0 1 2 3
3,14
0 1 2 -1 -2 3 -3 4
5
12
-
5
12
7
3
1,58
– ∞ –25 –20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20 25 + ∞
111
7
–22 –9,8 17,4 7,3
4
1.2 OPERACIONES BÁSICAS
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
La adición, sustracción, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas.
Adicionalmente se definen las operaciones de potenciación y radicación.
Recordando la regla de signos:
Adición y Sustracción Multiplicación División
– 6 – 3 =
– 9 + 5 =
7 – 12 =
(–3)(9) =
(5)(–11) =
(–3)(–10) =
– 14 7 =
16 (– 8) =
–24 (–3) =
OPERACIONES CON FRACCIONES
Adición y Sustracción MCM
1 7 1 10 7 3 31
6 20 60 60
MCM(6;20) = 60
6 20 2
3 10 2
3 5 3
1 5 5
1 1
3 7
14 21
MCM(…..…;…..…) = …..…..
1 5 7
10 2 15
MCM(10;2;15) = ………..…
5
Importante!!
5 5 5
4 4 4
Multiplicación División
1
era
da
2
1 5
1 forma
24 3
40 5
3 8 3 8
2 forma: 4 10 4 10
3 8 3 1 3
4 10 1 5 5
era
da
1 forma: se invierte
6 2 3
4 5 5
6 5
2 forma: extremos y medios
4 2
6
6 2 34
5 4 5 5
2
2 9
3 4
10 5
8 6
3 8 2
4 12 6
10
4
8
5 3 5 15 3
3
10 1 10 10 2
15 30
8 14
12
5
10
6 3
4 14
5 4
3
2 6
14 1
6 4
Número Mixto
Los números racionales mayores que 1 o menores que –1 se pueden escribir como
números mixtos, los cuales tienen una parte entera y otra parte fraccionaria, por
ejemplo: 32 26
5 5
ya que al dividir 32 entre 5 se obtiene un cociente de 6 y resto de 2.
Asimismo, los números mixtos también se puedes convertir en fracción. Veamos los
siguientes ejemplos:
a.
2 2 3 7 2 23
7 7
3 3 3 3
b.
3
23
3
237
3
2
7
6
EJERCICIO 2
Complete la siguiente tabla:
Número mixto → Fracción Fracción → Número mixto
5
2
7
15
4
3
2
4
36
8
Ejemplo 5
Calcule:
a.
3 1 11
7 4 3
4 5 20
b.
1 3 2 79
7 6 2 11
4 5 7 140
Potenciación y radicación
Potencia de un número real a de exponente natural
Una potencia de base real a y exponente natural n es el producto de n factores
iguales a a.
Nota importante: Todos los resultados finales deben estar
expresados como una fracción simplificada.
na = a.a.a..........a
n veces
En potenciación:
23 9
3 es la base.
2 es el exponente.
9 es la potencia.
¡Tenga cuidado!
23 9
el exponente 2 no afecta al signo
En potenciación:
2
3 9
–3 es la base.
2 es el exponente.
9 es la potencia.
¡Tenga cuidado!
23 9
el exponente 2 no afecta al signo
7
Radicación de un número real a
Si n es un entero positivo impar, entonces se define:
n a = b, si y sólo si b
n
= a.
Ejemplo
283 ; 283
Si n es un entero positivo par y a 0; b 0, entonces se
define:
n a = b, si y sólo si b
n
= a.
Ejemplo
39 ; 2164
EJERCICIO 3
Calcule:
a. 25 b. 26 c. 2( 5) d. 3( 4)
e. 23 (4 5) f. 2 23 ( 2) g. 2 3( 3) ( 1 )
h. 2 3( 1) ( 2 )
i. 2 22 ( 4) j.
3
2
3
k.
3
2
5
l.
2
3
2
m.
3
0
2( 2)
4
n. 35 64 o.
4
2
2
5 (3 1)
p.
52
1 19
¡Cuidado!
16 4 , aunque (–4)(–4) = 16. Como n es par, 16 es positivo.
16 no es un número real.
8
JERARQUÍA DE OPERACIONES
Para calcular expresiones numéricas, en las cuales no hay símbolos de agrupación
(paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden:
a. Potencias y raíces.
b. Multiplicaciones y divisiones.
c. Adiciones y sustracciones.
Ejemplo 6 12 4 – 3
2
× 2
Solución:
Ejemplo 7 10 + 12 3 × 2
Solución:
Ejemplo 8 5 – 2 (5 × 2 2)
Solución:
Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y
llaves, se efectúan, primero, las operaciones indicadas dentro de los símbolos de
agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones.
Primero realizamos las potencias: 12 4 – 9 × 2
Luego las divisiones y multiplicaciones: 3 – 18
– 15
Primero realizamos las operaciones de izquierda a derecha, es decir 12 3
10 + 4 × 2 = 10 + 8 = 18
NOTA. Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera de izquierda a
derecha.
Ejemplo: 10 + 12 3 × 2 = 10 + 4× 2
Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis: 5 – 2 (10 2)
Luego5 – 2 (5)
Ojo, que en esta última línea primero se realiza el producto de 2 y 5, entonces:
5 – 2 (5)= 5 – 10 = – 5
1
2
3
9
Ejemplo 9
Calcule: ])3(2[42243))3(4( T
Solución:
EJERCICIO 4
1. Calcule indicando paso a paso su procedimiento.
a. 36 6 3 12 2 3 – 23 b. 314 3 24 8 3 2 8
c. 9 – 2 12 3 5 – 6 4 2 d. 4 [2 (14 7) 3] 1 3 2
Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis:
]6[42243))3(4( T
7243))3(4( T
7243))3(4( T
1737T
517 T
44T
10
e.
2 3 1
5
5 4 3
f.
1 3
4 3
2 5
i.
1 2
2 5
1 1
5 3
g.
3 2 5 15 3
4 3 4 2 2
h.
3
1
)
2
1
1(
16
54 23
11
2. Realice los siguientes ejercicios con ayuda de su calculadora
a. 2,5 3 2,8 1,5 0,8 1,2T
b. 13,5 3 0,4 8,7 [ 2 0,5( 0,04 2)]R
c. 2 3( 1,2) 3 2,4 4,2 2 4 0,027 2S
12
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 – 1.2
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas
a. ¿Puede existir un número entero y racional a la vez?
b. ¿Cuál es el valor de 3 8 ?
c. ¿Puede existir un número racional e irracional a la vez?
d. ¿Es cierto que, 23 es igual a
2( 3) ?
e. ¿Puede existir un número irracional y a la vez real?
2. Marque con un aspa todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los
siguientes números:
9 5
3
7
0,12 3,44.... 3,141 3 5
5
1
2 3 27 4
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
3. Ordene en forma ascendente los números presentados en la pregunta anterior.
Dibuje una recta numérica y ubíquelos en ella
4. Ubique los siguientes números en la recta real usando una escala apropiada.
a. 125,0;
4
9
;
7
20
;5;3 c. 2;9,4;;25,0;31,2
b.
5
240
;50;63;20;4 d. 2400;8000;6400;00012;9600
5. Calcule el valor de cada una de las expresiones mostrando el proceso.
a.
5 3
4 5
b.
26 1
2 4
c.
2 1
3
5 2
d.
3 5
2
4 4
e. 2
5 7
3 ( )
4
f.
22
3 3
2 2
g.
3
0
3 ( 2)
4 3
h.
3( 4)
1
2
i.
3
0
2 ( 2)
4
j.
33 27 k.
9
2 3
4
l. 3
27 1
2 3
8 2
13
6. Realice los siguientes ejercicios. Primero paso a paso, sin calculadora y luego
utilícela como instrumento de control, esto es, verificando que todas las líneas del
proceso den el mismo resultado al realizarlas con la calculadora.
a. 2 2 3( 3) 3 60 [ 2 ( 3 ) ( 27)]
b.
22 6 9 2 4(6 8 ( 2) )
c. 232 823824314
d. 232 272362435
e.
2 1 7 1 1
2 2
5 3 6 3 10
f.
1 1
5 3 2
31 2
2 5
g.
1 6 25
4 15 6
1 1 7
2
3 3 15
h.
1 2 25
4 5 6
2
1 4
2
3 5
i.
1 3 1 2 6 3
1 1
2 4 4 3 5 2
7. Realice las siguientes operaciones en la calculadora. Trate de escribirlas casi por
completo y use los signos de colección con cuidado. Luego compare sus resultados
con sus compañeros.
a. 36 6 22 12 2 3 – 23
b. ( 0,4) 4 [2( 0,1) 0,25] 0,1
c. 3 313 5 ( 2) ( 3 1) ( 7) 6 1 3
d.
2 33 2
–2 – –3 –1 –3 –10 5 42
14
1.3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
En la Resolución de Problemas existen diferentes estrategias que nos permiten
encontrar la vía de solución. Entre las estrategias que podemos encontrar están:
Leer el problema y parafrasearlo
Confeccionar figuras de análisis: Dibujos, diagramas, esquemas, tablas, mapas, etc.
Determine un plan de acción
Lleve a cabo el plan
Retroalimentación y verificación
Compra y venta
Raúl compró cinco pantalones y dos camisas por
120 dólares. Elena compró una camisa y dos
pantalones por 50 dólares. ¿Cuánto cuesta un
pantalón?
Resuelva el problema a través de un dibujo de la
situación y operaciones básicas.
15
Resolución de problemas
Sería bueno que organice el desarrollo de la solución usando las siguientes pautas para
que no olvide ningún detalle.
Comprensión del problema e identificación de la pregunta a responder
Lea todo el enunciado atentamente.
Cuando sea posible utilice esquemas o diagramas que ilustren el enunciado y las
relaciones entre los datos dados. Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.
Preste atención a la pregunta del texto, suele indicar lo que se pide del problema.
Escriba en sus palabras lo que se esta buscando y trate de describir sus unidades o
alguna otra característica importante.
Planteamiento matemático del problema
Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente.
Resolución
La parte operativa por lo general es sencilla. Trabaje cuidadosamente.
Análisis de resultados y respuesta completa
Es muy importante que reflexione sobre el sentido de los números obtenidos con
respecto al contexto del problema y escribir una respuesta completa como solución a la
pregunta propuesta. No olvide colocar las unidades.
Comprender el
problema
Concebir un
plan
Ejecución del
plan
Examinar la
solución
obtenida
16
PROBLEMA 1
Apliquemos la estructura anterior a los siguientes problemas:
a. A un cierto número de personas se les iba a dar S/. 35 a cada uno, pero uno de ellos
renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 42. ¿Cuántas
personas iban a recibir S/. 35?
Solución
b. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo,
si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 420 y
el segundo S/. 300. ¿Cuánto gana diariamente el segundo?
Solución
Respuesta con verbo y unidades:
Respuesta con verbo y unidades:
17
c. En el año 2008 una empresa de servicios que tiene 80 trabajadores, subió el sueldo
de sus trabajadores de 2400 a 2800 soles. En el año 2010 debido a la crisis se
despidieron a 35 trabajadores, logrando ahorrarse durante un año el pago de estos
salarios. Con la mitad de lo ahorrado paga sus deudas, y guarda el resto para nuevas
contrataciones. A inicios del 2011, superada la crisis, decide contratar por un año, a
un grupo de ingenieros pagándoles 3500 soles mensuales.
a. ¿Cuánto pago la empresa de servicios para cubrir sus deudas?
b. ¿Cuántos ingenieros podrá contratar con el dinero ahorrado?
Solución
d. Juan ha decidido renovar la cerámica de sus pisos de sus dos baños y su cocina. Las
mayólicas cuadradas de 0,25 m de lado, para pisos de baño o cocina, están a
S/. 25,40 el metro cuadrado. Juan toma las dimensiones de sus baños y cocina y
decide comprar las mayólicas antes de que se gaste el dinero. Las regiones que va a
cubrir son la cocina que tiene un área de 6 m
2
y de dos baños, que tienen un área de
4,5 m
2
cada uno.
¿Cuál es la cantidad mínima de mayólicas que se necesita?
¿Cuál es el gasto total, considerando que el albañil le cobra por mano de obra
$ 7,0 por metro cuadrado? (Nota: No tiene que comprar pegamento porque ya está
incluido en cada caja).
Solución
Respuesta con verbo y unidades:
Respuesta con verbo y unidades:
18
PROBLEMA 2
Resuelve los siguientes problemas, relacionados al tipo de cambio.
SITUACIÓN I. Vivo en un cuarto cerca a la UPC, por el cual pago mensualmente un
alquiler de $100. A mi casera le encanta recibir dólares, porque está juntando dinero
para comprarse un auto. Eso significa que cada mes tengo que comprar dólares para
pagarle. Supongamos que el tipo de cambio del banco y de la calle son los que están en
la siguiente tabla:
TIPO DE CAMBIO PARALELO TIPO DE CAMBIO BANCARIO
Operación que
hace el cambista
Operación que
hace el cajero
Tipo de cambio
compra
2,71
Compra
(me compra $)
Me
pagan
2,68
Compra
(me compra $)
Tipo de cambio
venta
2,75
Venta
(me vende $)
Yo pago 2,78
Venta
(me vende $)
¿Me conviene comprarle al banco o al cambista? ……………………………….
Supongamos que he decidido comprarle al banco porque la vez pasada me tocó un
billete falso en el cambista y ya no lo he podido localizar.
¿Cuál es el tipo de cambio que me da el banco? ……………………………….
¿Cuánto es lo que pierdo en esa operación? ……………………………….
¿Y si fueran 1 000 dólares? ……………………………….
SITUACIÓN II. Paco y Pedro deciden aceptar la propuesta de su amigo Luis, de
emprender un tour juntos hacia la Reserva nacional de Paracas. Ellos piensan partir el
sábado en la mañana para regresar el mismo día a las 21:00 horas; para estimar cuánto
gastarán en total, Paco averiguó en la agencia de viajes “El Milagro” que el paquete Full
Day Paracas por persona es de USD$115,00 (incluye desayuno continental y almuerzo
buffet) y la cena buffet que tiene un costo aparte, cuesta S/. 28,00 por persona. Si Luis
se hará cargo de todos los gastos del viaje. ¿Cuánto pagará en total Luis si debe comprar
los dólares? (tipo de cambio: Compra = S/. 2,65; Venta = S/. 2,70).
19
SITUACIÓN III. Sergio acaba de comprar una casa con un préstamo del banco y le
tiene que pagar US$ 770,59 cada mes. La primera vez que fue al banco a pagar llevó
soles y tuvo que comprar los dólares en la ventanilla. (Utilice el cuadro de la pág. 18
para el tipo de cambio paralelo o bancario)
¿Cuántos soles tuvo que desembolsar?
…………………………………………………..
Si los hubiera comprado en la calle, ¿cuánto hubiera desembolsado?
…………………………………………………..
En la tarde su esposa lo llamó para decirle que por favor se acercara a cierta dirección,
para pagar una junta, que era de 175 dólares. Sonrió con astucia y pensó “Ahora no me
agarran”.
Fue donde un cambista en el Óvalo de Higuereta y compró los $175 dólares. Cuando
llegó a donde debía pagar la junta, la señora le dijo que la junta era de 470 soles y que
no deseaba recibir dólares. Y la verdad es que había un banco justo al frente. Si realiza
la transacción en el banco, ¿le sobra o le falta? ¿Cuánto?20
1.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON NÚMEROS
RACIONALES
CONCEPTO DE FRACCIÓN
En una fracción, el denominador señala el número de partes en que se ha dividido la
unidad y el numerador indica el número de partes que se han tomado.
Por ejemplo: Al referirnos a 3
4
se entiende que la unidad
se ha dividido en 4 partes iguales llamados “cuartos” y se
han tomado 3 de dichos cuartos.
Ejemplo 1
Escribe la fracción que representa la parte pintada de cada figura:
EJERCICIO
Complete la siguiente tabla:
Frase Representación en fracciones
a. Si gaste tres quintos de mi dinero.
¿Qué parte me queda?
b. Invertí en la compra de un
departamento los dos quintos de mi
jubilación. ¿Qué parte me queda?
c. En una colecta, Juan aporta 300
soles y Pedro aporta 200 soles. Si se
llegó a recolectar 1200 soles, ¿Qué
parte aportó cada uno?
Gaste 35 de mi
dinero
Me Queda 2 5 de mi
dinero
21
Frase Representación en fracciones
d. Me aumentan un cuarto de mi
sueldo. ¿Cuánto tengo después del
aumento?
e. Me prestan tres quintos de lo que
tengo. ¿Cuánto tengo después del
préstamo?
f. Si una persona puede hacer una
maqueta en cuatro horas. ¿Qué parte
del trabajo hace en una hora?
g. Un albañil puede tarrajear una pared
en 6 horas. ¿Qué parte hace en dos
horas?
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Comparar dos o varias fracciones consiste en determinar cuál de las fracciones es
mayor o menor.
1
er
Caso. De dos o más fracciones que tienen el mismo numerador es mayor la que
tiene menor denominador.
Ejemplo 2
Escribe > o < según corresponda
a.
1 1
3 8
Solución
Por lo tanto,
1 1
3 8
b.
2 2
5 7
Solución
Por lo tanto,
2 2
5 7
1
3
1
8
2
5
2
7
22
2
do
Caso. Si dos fracciones tienen el mismo denominador comparamos los
numeradores, será mayor aquella que tenga mayor numerador.
Ejemplo 3
Escribe > o < según corresponda
a.
2 5
6 6
Solución
Por lo tanto,
2 5
6 6
b.
3 2
7 7
Solución
Por lo tanto,
3 2
7 7
Observación:
Si dos fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común
denominador. Una vez reducidas a común denominador será mayor aquella que tenga
mayor numerador.
Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (MCM) de los
denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto.
Ejemplo 4
¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor 4/7 o 2/3?
Solución:
Debemos calcular el MCM de 7 y 3, para determinar las fracciones equivalentes a 4/7 y
2/3, con igual denominador. Como el MCM(7;3) = 21, tenemos
4 12
7 21
y
2 14
3 21
Representación gráfica de las fracciones
Por lo tanto, podemos concluir que.
4 2
es menor que .
7 3
2
6
5
6
3
7
2
7
4 12
7 21
2 14
3 21
23
Ejemplo 5
Antonio se demora 3/5 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 1/4 de hora en hacer la
misma actividad; ¿Quién se demora menos?
Solución:
Debemos calcular el MCM de 5 y 4, para determinar las fracciones equivalentes a 3/5 y
1/4, con igual denominador. Como el MCM(5;4) = 20, tenemos
3 12
5 20
y
1 5
4 20
Representación gráfica de las fracciones
Por lo tanto, podemos concluir que Rodrigo se demora menos.
PROBLEMAS
1. Sebastián apostó 100 soles en un casino y salió con 120 soles, Julio apostó 60 soles y
salió con 80 soles. Utilizando fracciones determine a quién le fue mejor en el casino.
2. Tres hermanos se reparten una torta: El mayor come los dos quintos; el segundo un
cuarto y el menor tres décimos. ¿Qué parte de la torta queda?
Respuesta con verbo y unidades:
Respuesta con verbo y unidades:
3 12
5 20
1 5
4 20
24
3. Don Javier tiene $ 5000.Gasta 3/10 de lo que tiene en movilizarse; 2/5 en comprar
revistas y 1/5 en golosinas para sus nietos. ¿Cuánto dinero le sobra?
4. Don Javier tiene $ 5000. Gasta 3/10 de lo que tiene en movilizarse, 2/5 del resto en
comprar revistas y 1/5 de lo que queda en golosinas para sus nietos. ¿Cuánto dinero
le sobra?
5. En una conferencia de microeconomía, los ocho novenos de los participantes son
mujeres y de ellas, un cuarto usan lentes. Si en la conferencia hay 2160 personas.
¿Cuántas mujeres usan lentes?
Respuesta con verbo y unidades:
Respuesta con verbo y unidades:
Respuesta con verbo y unidades:
25
6. Mónica confecciona una torta para el cumpleaños de su hijo mayor. Si el hijo mayor
come un cuarto de la torta, el hijo menor los dos tercios de lo que queda y sólo
sobran 168g de torta para los padres. ¿Cuál era la masa de la torta?
7. Una máquina puede efectuar cierta labor en dos horas. Otra máquina puede hacer el
mismo trabajo en tres horas. Si ambas máquinas realizan el trabajo en forma
conjunta. ¿Qué parte del trabajo hacen en una hora?
Respuesta con verbo y unidades:
Respuesta con verbo y unidades:
26
8. Para recibir el Año Nuevo 2013, Juana y Paola se comprometen a elaborar una cierta
cantidad de antifaces para todos los invitados a la fiesta. Juana puede hacer todo el
trabajo en 10 horas y Paola lo puede hacer en 14 horas. Paola comienza a trabajar a
las 5 a.m. Luego a las 8 a.m., Juana llega para ayudar a Paola. ¿Qué fracción del
trabajo han avanzado hasta el medio día? ¿Qué parte les queda por hacer?Respuesta con verbo y unidades:
27
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3 – 1.4
1. Para el cumpleaños de su hijo menor, Raúl ha invitado a 33 niños, y ha
comprado 90 canapés a un precio de 6 canapés por S/. 1,80; además compró 25
alfajores, a 90 céntimos el alfajor y finalmente 4 docenas de waffles a S/. 13
la docena. Si Raúl tenía S/. 200, ¿cuánto dinero le queda después de su compra?
2. A un cierto número de personas se les iba a dar S/. 64 a cada uno, pero uno de ellos
renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 72. ¿Cuántas
personas iban a recibir S/. 64?
3. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo,
si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 270 y
el segundo S/. 180. ¿Cuánto gana diariamente el segundo?
4. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 300 soles. Uno de
ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 360
soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?
5. Una vendedora compra en el mercado mayorista 240 kilogramos de fresas, de buena
calidad, a S/. 4,00 el kilogramo. En el transporte se aplasta un sexto del total y
decide vender las aplastadas a diez kilogramos por S/.9,00 y el resto a cinco
kilogramos por S/. 30,00. Si vende las fresas no malogradas en cajas de cinco
kilogramos cuyo costo es S/. 4,50 cada una, ¿gano o perdió?¿Cuánto?
6. Juan tiene una tarjeta de crédito en soles con un saldo a favor de S/. 229,20. Salió a
hacer compras y pagó con tarjeta los siguientes montos: S/. 296,10; S/. 103,00 y
S/. 76,20. Como había gastado mucho, antes de la fecha de cierre de la tarjeta,
depositó, en dicha cuenta, $ 130,00. Si, a fin de mes, el banco le carga por
aportaciones y otros S/. 7,58, ¿cuál es el saldo de la tarjeta a fin de mes? (tipo de
cambio: venta = S/. 2,80; compra = S/. 2,72).
7. Alfredo y su esposa tomaron un tour de tres días y dos noches a la cuidad de
Huamanga por Semana Santa. En este paquete no estaban considerados los
alimentos, que ascendieron a S/. 60 diarios para la pareja. Alfredo admirador del arte
del lugar, compró una pintura de los más renombrados artistas de la región por
$ 350. Su esposa compró seis retablos a $ 15 cada uno; cuatro a $ 25 dólares cada
uno; y finalmente gastó S/. 350 en artesanía ayacuchana y S/. 120 en algunos dulces
lugareños para llevar a sus familiares de regreso a Lima. Si la pareja de esposos
llevó como bolsa de viaje $ 500 dólares y S/. 930. ¿Con cuánto dinero regresó a
Lima? (Tipo de cambio: venta = S/. 2,80; compra = S/. 2,72).
8. Luchín decide irse el fin de semana hasta Asia con un grupo de amigos. Él piensa
viajar en su propio auto y para estimar cuanto gastará en gasolina, sabe que de Lima
a Bujama hay 90 km (deberá considerarse viaje de ida y vuelta); que su auto rinde
45km por galón y que la gasolina que usa le cuesta S/. 14,00 por galón.
a. ¿Cuánto dinero gastará en gasolina?
b. Luchín decide sacar del cajero la mínima cantidad de dinero necesaria para pagar
la gasolina considerando además que debe pedir cantidades factibles (el cajero
solo entrega billetes de S/.20, S/. 50 o S/. 100). Tiene una cuenta en dólares pero
él puede retirar soles ya que el cajero hace la conversión automática
(TC: compra S/. 2,75; venta: S/.2,80). Si antes de sacar el dinero, tenía en su
cuenta $ 664,20, ¿cuántos dólares quedan en su cuenta después de la operación?
28
9. Antonio se demora 13/20 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 3/15 de hora en
realizar la misma actividad. ¿Quién se demora menos?
10. Andrea hace un trabajo en 4 horas, Julio lo puede hacer en 6 horas. Si empiezan a
trabajar juntos. ¿Qué parte les queda por hacer luego de 2 horas?
11. En una colecta de socios de una cooperativa, Juan aporta la sexta parte y Pedro
aporta tres quintos. Si solo se llegó a recolectar cinco sextos del total, ¿Qué parte
aportaron los demás socios?
12. Vicente juega cartas; en la primera partida pierde 2/5 de lo que tenía y en la segunda
partida gana 3/7 de lo que aún le quedaba. ¿Qué parte de lo que tenía al principio le
quedó? ¿Ganó o perdió?
13. Don Paulo desea repartir su herencia de la siguiente manera: 3/10 a sus hijos y 5/7
del resto a sus nietos. Lo que queda, que asciende a $9000 lo destina para sus
sobrinos. Calcule el monto de la herencia.
14. Jenniel va al casino “Te encántala” y en la primera jugada pierde un tercio de lo que
tenía. En la segunda jugada gana tres cuartos de lo que le quedaba, retirándose con
S/. 56 en su bolsillo. ¿Con cuánto ingresó al casino?
15. Pedro etiqueta 500 polos en seis horas, Marcos lo puede hacer en cinco horas. Pedro
comienza a trabajar a las 9 a.m. Luego a las 10 a.m., Marcos llega para ayudar a
Pedro. ¿Qué fracción del trabajo han avanzado hasta el mediodía?¿Qué parte les
queda por hacer?
16. Para recibir el Año Nuevo 2013, Magna y Lucero se comprometen a elaborar una
cierta cantidad de antifaces para todos los invitados a la fiesta. Magna puede hacer
todo el trabajo en 8 horas y Lucero lo puede hacer en 12 horas. Lucero comienza a
trabajar a las 6 a.m. Luego a las 9 a.m., Magna llega para ayudar a Lucero. ¿Qué
fracción del trabajo han avanzado hasta el medio día? ¿Qué parte les queda por
hacer?
29
UNIDAD N° 2. RAZONES Y PROPORCIONES.
PORCENTAJES
2.1 RAZONES Y PROPORCIONES
Definición:
Una razón es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha
comparación se puede hacer de dos maneras:
Por cociente de dos reales: 0; b
b
a
r (razón geométrica)
Por diferencia de dos reales: r = b - a (razón aritmética)
Ejemplo 1
Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre le lleva 30
años a su hijo (razón aritmética con r = 40 – 10 = 30) o también que tiene 4 veces su
edad (razón geométrica con
40
4
10
r ).
Notas:
La razón aritmética, es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción.
Nos permite saber el número de unidades que una cantidad excede a otra.
La razón geométrica, es la comparación de dos cantidades mediante la división. Nos
permite conocer el número de veces que una cantidad contiene a la otra.
En adelante usaremos sólo las razones geométricas.
En una razón geométrica 0; b
b
a
r , a se denomina antecedente y b se denomina
consecuente.
Ejemplo 2
Expresemos los siguientes enunciados en forma equivalente usando el concepto de
razón.
a. En una reunión familiar se observa que, por cada 4
adultos hay 6 niños.
Número de adultos 4 2
Número de niños 6 3
A
N
Esto es, la razón entre el número de adultos y niños
es de 2 a 3 ó el número de adultos y el número de niños son entre sí como 2 es a 3.
Supongamos que asistieron a la reunión familiar 10 adultos, como 10 es el quíntuple
de 2, entonces el número niños asistentes a la reunión sería es el quíntuple de 3, es
decir 15 niños.
30
b. La relación entre la cantidad de habitantes en Japón y el espacio que ocupan en
kilómetros cuadrados es:
2
Número de habitantes 339hab
Área 1km
P
A
Se lee: la razón entre el número de habitantes y
kilómetros cuadrados es de 339 a 1 ó por cada
kilómetro cuadrado hay 339 habitantes.
c. En el Perú 25 de cada 1000 personas cursan estudios
universitarios.
P. universitarias 25 1
Hab. del Perú 1000 40
U
P
Se lee: la razón entre el número de estudiantes universitarios
y personas es de 1 a 40 ó el número de estudiantes universitarios y el número de
personas son entre sí como 1 es a 40.
EJERCICIO 1
Resuelva las siguientes situaciones.
a. Densidad de la población: La extensión territorial del Perú es de 1285 215 km2
aprox. y su población aproximada en el 2011 era de 30 000 000 de habitantes.¿Cuál
fue su densidad poblacional en el año 2011?
b. Las razones permiten comparar el precio de dos productos de características
similares: Se desea comprar un terreno y por medio del periódico se obtiene la
siguiente información: hay un terreno de 180 m
2
a $360 000 en Surco y otro de
210 m
2
a $410 000 en Miraflores. ¿Cuál de los dos terrenos tiene el metro cuadrado
más caro?
Respuesta completa:
Respuesta completa:
31
c. ¿Qué empresa debo elegir? Por el día de la madre, la empresa de telefonía móvil
“Rin Rin” ofrece la siguiente promoción: Por cada S/. 180 de consumo en tarjetas
prepago se regala un vale por 30 minutos adicionales. En “Aló Mex” se ofrece la
siguiente promoción: por cada 120 soles de consumo en tarjetas prepago, se regala
un vale de 24 minutos adicionales. ¿Qué empresa ofrece la promoción más
ventajosa?
d. ¿Cuál empleo debo aceptar? Un egresado universitario tiene dos ofertas de
trabajo. La compañía “Clarinete” le ofrece un sueldo semanal de S/. 5200 por
40 horas de trabajo a la semana y la compañía “Moviestati” le ofrece un sueldo
semanal de S/. 6400 por 50 horas de trabajo a la semana. ¿Qué compañía le ofrece
un mejor pagó por hora?
Ejemplo 3
Interprete y simbolice el siguiente enunciado:
Respuesta completa:
Respuesta completa:
Definición:
Una proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción geométrica es de la
forma
d
c
b
a
(con 0b y 0d )
y se lee “ a ” es a “ b ” como “ c ” es a “ d ”. Además, a y d son los extremos de la
proporción y b y c son los medios de la proporción.
a. La razón entre el número de
profesionales y el número de
trabajadores de una empresa, es la
misma que entre el número de técnicos
y el número de obreros.
b. La razón entre el número de hombres y
el número de mujeres de una fábrica, es
la misma que entre el número de
profesionales y el número de obreros.
32
Propiedad fundamental
Para todo a, b, c y d no nulos,
d
c
b
a
es equivalente a bcad
Consecuencia importante: Existe un número real k tal que ., kdbkca
Dada la siguiente proporción:
7
4
b
a
a. Supongamos que a es 40,
entonces
4
7
10
4 40
7
10
a
b
entonces b = 70
b. Supongamos que a es 20,
entonces
4
7
5
4 20
7
5
a
b
entonces b = 35
En conclusión ka 4 y kb 7
Ejemplo 4
Si me dicen que
2
5
a
b
¿Qué puedo concluir de a y b?
Solución:
Nada, solo que 2a k y 5b k
Ejemplo 5
Si
2
5
a
b
y 56a b ¿Cuánto valen a y b?
Solución:
Del ejemplo 3 se sabe que 2a k y 5b k .
56 2 5 56
7 56
8
Si a b k k
k
k
Luego, 2(8) 16a y 5(8) 40b .
33
EJERCICIO 2
1. Si
4
7
a
b
y 44a b ¿Cuánto valen a y b?
2. Si
5
3
d
c
y 40 cd ¿Cuánto valen c y d?
3. En la fiesta de fin de ciclo 2013-1 de la UPC asistieron 1800 alumnos, donde
asistieron 5 hombres por cada 4 mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres
asistieron a la fiesta?
4. Al inicio de un partido de futsal interuniversitario: UPC-ULima, hay 200 asistentes,
de los cuales 80 son alumnos de la UPC y los restantes alumnos de la U. de Lima.
¿Cuántos asistentes adicionales de la UPC deben llegar para que, en el segundo
tiempo, por cada 7 de la UPC haya 5 de la U. de Lima, si la cantidad de alumnos de
la U. de Lima no varía?
34
2.2 REGLA DE TRES
Problemas como éstos en el cual debemos prever recursos para lograr un determinado
objetivo se nos presentan a cada momento en la vida cotidiana y en este capítulo, que se
vuelve una extensión del anterior, los resolveremos de forma organizada.
1. Regla de tres simple:
Definición: La regla de tres simple es un procedimiento que permite hallar un término
desconocido de una proporción geométrica en la cuál interviene solamente dos
magnitudes que tienen una relación de proporcionalidad.
Regla de tres simple directa: Se dice cuando las magnitudes son directamente
proporcionales.
Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales tales que la
magnitud B corresponde al valor desconocido.
Se establece la siguiente tabla:
A B
a1 b1
a2 x
Como las magnitudes son directamente proporcionales, se cumple B = k A.
Se establece la proporción:
x
b
a
a 1
2
1 , y, por la propiedad fundamental, x =
1
12
a
ba
.
La regla de tres directa la aplicamos cuando entre las magnitudes se establecen las
relaciones :
- A más más
- A menos menos
-En una hectárea de bosque hay en
promedio 2000 árboles. ¿Cuántos habrá
en 5000 hectáreas?
-Si de una tonelada de mineral se
obtienen 785 kg de mineral procesado
¿Cuánto mineral procesado se
obtendrá en 500 toneladas?
-Una hectárea de terreno rinde cada 4
meses diez toneladas de fruta.
¿Cuántas toneladas rinden 2000
hectáreas en 1 año?
35
Ejemplo: En un restaurante, si se cobra 48 soles por un total de 12 menús, ¿cuánto
cuestan 5 menús?
Respuesta completa:
Regla de tres simple inversa: Se dice cuando las magnitudes son inversamente
proporcionales.
Procedimiento: Sean A y B dos magnitudes inversamente proporcionales tales que la
magnitud B corresponde al valor desconocido.
Se establece la siguiente tabla:
A B
a1 b1
a2 x
Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumple AB = k y se deduce:
12
1
b
x
a
a
. Por la propiedad fundamental se tiene a1 b1 = a2 x. De donde: x =
2
11
a
ba
.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las
relaciones :
- A más menos
- A menos más
Ejemplo: Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra, ¿ cuantos días
demorarían 8 obreros a hacer la misma obra en las mismas condiciones?
Respuesta completa:
36
Ejemplo: Si se necesita dos horas para pintar una pared cuadrada de cinco metros de
lado,
¿ cuánto tiempo se necesita para pintar una pared cuadrada de diez metros de lado?Solución: ¡Cuidado! En este caso, la proporcionalidad no es con el lado del cuadrado
Si no con su área.
Respuesta completa:
2. Regla de tres compuesta:
Definición.- La regla de tres compuesta es un procedimiento que permite hallar un
término desconocido de una serie de razones en la cual intervienen más de dos
magnitudes que tienen entre sí relaciones de proporcionalidad.
Procedimiento.- Para resolver el problema se estudia la relación de proporcionalidad
que tiene la magnitud que corresponde al valor desconocido con las otras magnitudes
considerando en cada caso que las demás magnitudes presentan un comportamiento
constante.
Sean A, B y C magnitudes tales que la magnitud A corresponde al valor desconocido.
A B C
a1 b1 c1
x b2 c2
37
Si, por ejemplo, A y B son directamente proporcionales, A y C son inversamente
proporcionales entonces, se tiene: A = k
C
B
.
De donde
1
2
2
11
c
c
b
b
x
a
y x =
21
121
cb
cba
.
Nota importante.- Como A y B son directamente proporcionales entonces la razón
mantiene el mismo orden. En cambio, como A y C son inversamente proporcionales la
respectiva razón se invierte.
Ejemplo: Para una obra cinematográfica se encarga la confección del vestuario a 10
sastres que pueden hacer 1000 trajes en 40 horas. ¿Cuántos sastres más que trabajan de
la misma forma se necesita para hacer 600 trajes en 20 horas?
Respuesta completa:
Error frecuente:
Para cosechar un campo cuadrado de 18 metros
de lado se necesitan 12 días, ¿cuántos días se
necesitan para cosechar un campo cuadrado de 36
metros de lado?
La respuesta no es 24 días.
Observe
Es muy importante que se dé
cuenta en primer lugar el tipo
de proporcionalidad que
guardan las dos magnitudes
que intervienen en una regla
de tres simple.
38
Ejercicios en clase:
1. Un grifo vierte 26,2 litros de agua en 3,5 minutos.
a. ¿La proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa?
b. ¿Cuántos litros vierte el grifo en una hora?
c. ¿Cuánto tarda en llenarse un bidón de 150 litros?
2. Tres máquinas cortacéspedes con la misma potencia siegan las praderas de un
complejo deportivo en 48 horas. Dentro de 30 horas se celebran en él los campeonatos
mundiales de atletismo. ¿Cuántas máquinas, como mínimo necesitamos para que todo
esté a punto en el momento de la inauguración?
3. Un artesano teje alfombras a mano. Durante 9 días, trabajando 9 horas al día, teje 8
metros. ¿Cuántos metros tejerá durante 25 días, trabajando 8 horas diarias?
39
Ejercicios y Problemas :
BLOQUE I
1. Si h hombres hacen un trabajo en d días, ¿en cuántos días harán el trabajo h + r
hombres?
2. Si 3,6kg de harina cuestan 7 soles, ¿cuánto costará 7,2 kg?
3. Un auto consume 5,7 litros de combustible en 80km. A la misma velocidad, ¿cuánto
consumirá aproximadamente en 560km?
4. Al desecar 60 litros de agua de mar obtenemos 1,5kg de sal. ¿Qué cantidad de agua
tenemos que desecar para obtener una tonelada de sal?
5. 30 conejos consumen al día 12 kg de alfalfa. ¿Cuánto consumirán 50 conejos en una
semana?
6. Un tren que marcha a 120 km/h tarda 3 horas en conectar dos ciudades. ¿Cuánto
tardaría si marchara a 80 km/h?
7. Un libro tiene 90 páginas y cada página tiene 20 líneas. ¿Cuántas páginas tendría el
mismo libro si en cada página hubiese 30 líneas?
8. Un ciclista tarda 2h 18min horas en ir de A a B a 18 km/h, ¿cuánto tardará a 20
km/h?
9. Una excavadora pequeña que extrae 6 m3 por hora necesita 18 horas para completar
una excavación. Otra mediana que extrae 9 m
3
por hora ¿cuántas horas necesitará
para completar la misma excavación?
10. Un grifo que vierte 16 litros por minuto llena un depósito en 20 horas. ¿Qué tiempo
emplearía si su caudal fuese de 24 litros por minuto?
BLOQUE II
1. La confección de vestuario para una obra cinematográfica es encargada a 10
sastres que trabajan 8 horas diarias, si durante 10 días confeccionan 800 trajes.
¿Cuántos sastres más lograrán confeccionar 600 trajes trabajando 2 horas diarias
durante 12 días?
2. Tres molinos durante cinco horas muelen 60 kg de café. ¿Cuánto molerán 5
molinos durante 3 horas?
3. Si 12 obreros comienzan hacer un trabajo a los 15 días han hecho la tercera parte
de la obra. ¿Cuántos obreros más es necesario contratar para que la obra se termine
a los 21 días de iniciada?
4. Por pasar 12 días en un campamento 36 jóvenes abonan $4 320. ¿Cuánto le costará
a 58 jóvenes pasar 26 días en el mismo campamento?
5. Una guarnición tiene víveres para 121 días. Si se aumenta en 1/3 el número de
individuos, ¿en cuánto se debe disminuir la ración para que dure el mismo tiempo?
6. Cuatro personas pagan por 7 días de hotel 2 100 soles, ¿cuánto pagarán tres
personas por 15 días?
40
7. Para pintar un cubo de 10 metros de lado se gastó $240, ¿cuánto se gastará para
pintar un cubo de 15 metros de lado?
8. Ocho albañiles en 6 días, con una jornada de 6 horas por día han concluido una
obra. ¿Cuántas horas diarias hubieran tenido que trabajar 5 albañiles para hacer el
trabajo en 12 días?
9. Se estima que 30 personas construyan una cerca en 60 días. Transcurridos 24 días
se incorporan 12 personas más. ¿En cuántos días menos se acabará la obra?
10. Un buey atado a una cuerda de 7,5 metros de longitud puede comer la hierba que
está a su alcance en 2 días. ¿Qué tiempo demoraría para comer la hierba que está a
su alcance, si la longitud de la cuerda fuera de 15 metros?
Respuestas :
Bloque I :
1.- dr/(h+r)
2.- S/14
3.-39,9 lt
4.- 40 000 lt
5.- 140Kg
6.- 4h 30 m
7.- 60 páginas
8.- 24h 4m 12 s
9.- 12 h
10.- 13h 20m
Bloque II
1.- 15 Sastres.
2.- 60 Kg
3.- 48 Obreros
4.- $ 15 080
5.- En ¼
6.- S/ 3 375
7.- $ 540
8.- 4h 48m
9.- 10 días
10.- 8 días
41
2.3 CONVERSIÓN DE UNIDADES
Una conversión de unidades es una transformación de una magnitud física, expresada
en una cierta unidad de medida, en otra equivalente, que puede ser del mismo sistema
de unidades o no. Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión
y las tablas de conversión en la física.
Ejemplo 1
a. ¿Cuánto es 24 mi/h en km/h?
mi mi 1,609km km
24 24 38,62
h h 1mi h
b. ¿Cuánto es 350 cm/s en ft/s?
cm cm 1m 1ft ft
350 350 11,48
s s 100cm 0,3048m s
c. ¿Cuánto es 15 cm2 en in2?
2 2 21 in 1 in15 cm 15 cm 2,32 in
2,54cm 2,54cm
Observación:
1000 mm = 100 cm = 1 m = 0,001 km
1 km = 1000 m = 100 000 cm = 1000 000 mm
Tabla de equivalencias
1 pulgada (in) 1 in = 25,4 mm = 2,54 cm = 0,025 4 m
1 pie (ft) 1 ft = 12 in
1 ft = 0,304 8 m
1 yarda (yd) 1 yd = 3 ft = 36 in
1 yd = 0,914 4 m
1 milla (mi) 1 mi = 5 280 ft = 1 760 yd
1 mi = 1,609 km = 1 609 m
1 acre 1 acre = 4046,856 m
2
1 kilogramo 1 kg = 1000 g = 35,2739 oz
1 litro (l) 1 m
3
= 1000 l
42
EJERCICIO 1
1. Convierte las siguientes cantidades (Considere el valor de la respuesta como un
número decimal redondeando a las centésimas)
a. 67,5 ft =………….. m
b. 32 m =………….. in
c. 3,92 mi =…………..km
d. 650 ft =………….. yd
e. 9 700 000 m2 =………….. mi2
f. 1,49 m2 =………….. cm2
2. Realiza las conversiones que se indican en la tabla que se muestra a continuación. No
te olvides que debes colocar el factor de conversión de forma adecuada. (Considere
el valor de la respuesta como un número decimal redondeando a las centésimas)
Factores Resultado
km
58
h
cm
s
43
mi
35
s
km
h
3
g
7,24
cm
3
kg
m
Observación
Para verificar cada una de tus respuestas, usa la calculadora
CASIO:fx-991 ES PLUS o CASIO: fx-570 ES PLUS
44
a % de
100
a
N N
100
a
se denota por a % y se lee: " a por ciento"
2.4 PORCENTAJES
Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en
la vida real. Es muy frecuente que los utilicemos para indicar qué representa una
cantidad respecto a otra, siendo esta otra cantidad 100. Su potencialidad radica en que
es un método homogéneo que permite comparar fácilmente dos cantidades.
Ejemplo 1
12 0,25
12%(300) 300; 0,25%(40) 40; %(54) 54
100 100 100
a
a
Es decir:
Cálculo del porcentaje de una cantidad
El a % de una cantidad N se calcula de la siguiente forma:
Ejemplo 2
Responda las siguientes preguntas.
a. ¿Cuánto es el 30% de 200?
Solución:
30% de 200 = 60)200(
100
30
Rpta. El 30% de 200 es 60
b. ¿Cuánto es el 12,5% de 400?
Solución:
Rpta.
c. ¿Cuánto es el 45,5% de 240?
Solución:
Rpta.
d. ¿Cuánto es el 2,6% de 350?
Solución:
Rpta.
45
¿Qué porcentaje es un número de otro?
Ejemplo 3
Responda las siguientes preguntas.
a. ¿Qué porcentaje es 24 de 40?
Solución:
% de 40 24
(40) 24
100
60
a
a
a
Rpta. 24 es el 60% de 40.
b. ¿220 qué porcentaje es de 200?
Solución:
% de 200 220
(200) 220
100
110
a
a
a
Rpta. 220 es el 110% de 200.
c. ¿Qué porcentaje es 78 de 120?
Solución:
Rpta.
d. ¿90 qué porcentaje es de 48?
Solución:
Rpta.
Hallar un número conociendo un porcentaje de él
Ejemplo 4
Responda las siguientes preguntas.
a. ¿El 12% de qué número es 36?
Solución:
300
36
100
12
36de % 12
N
N
N
Rpta. El 12% de 300 es 36.
b. ¿120% de qué número es 450?
Solución:
120 % de 450
120
450
100
375
N
N
N
Rpta. El 120% de 375 es 450.
46
c. 84 es el 120%, ¿de qué número?
Solución:
Rpta.
d. ¿De qué número 200 es el 80%?
Solución:
Rpta.
EJERCICIO 1
Responda las siguientes preguntas.
a. ¿Cuánto es el 12,5% de 450?
b. ¿Qué porcentaje es 200 de 40?
c. ¿El 250% de qué número es 600? d. ¿Cuánto es el 0,5% de 200?
e. ¿18 qué porcentaje es de 72?
f. ¿El 5% de qué número es 60?
47
Observación:
Después de haber resuelto los ejercicios anteriores te habrás dado cuenta que cuando se
trabajan con porcentajes se distinguen, por lo general, tres casos:
a. Determinar cuánto es el a% de un número.
b. Determinar qué porcentaje es un número de otro.
c. Determinar un número conociendo un porcentaje de él.
EJERCICIO 2
Revisemos ahora ejercicios similares de porcentajes, que contienen enunciados.
a. Si el precio de un televisor LCD Full HD de 42" Toshiba es de S/. 1650 si se sabe
que se aplica el 18% de impuesto. ¿Cuál es el importe por concepto de impuesto?
b. Juan decide retirar los 25000 dólares de su cuenta a plazo fijo para abrir una pequeña
empresa. Si antes de hacer el retiro del dinero, realizo el pagó del ITF (0,005%) por
dicho monto. ¿Cuál es el importe por concepto de ITF?
c. En la PC1 obtuve 10 de nota y en la PC2 obtuve 14 de nota. ¿Cuántos puntos
aumentó mi nota? ¿En qué porcentaje aumentó mi nota respecto a la nota inicial?
d. Me vendieron un IPod valorizado en $320 a solo $280 por aniversario de la tienda.
¿Cuál fue el descuento en dólares? ¿Cuál fue el porcentaje de descuento?
48
e. Por cierra puertas, Kari Falabella hace una rebaja de 75 dólares sobre el precio de un
Blu-ray que cuesta 540 dólares. Mientras que Riplay hace una rebaja de 60 dólares
sobre el precio del mismo producto que cuesta 520 dólares. ¿Qué porcentaje de
descuento me da cada tienda?
f. Alexander recibió en la quincena de este mes el 40% de su sueldo mensual. Si al
cobrar su quincena recibió 3400 dólares, ¿cuál es el sueldo mensual de Alexander?
g. El sueldo de un empleado subió en 5,75%, lo que equivale a un aumento de 298
soles. ¿Cuál es el sueldo de este empleado?
h. Si el precio de un televisor LCD Full HD de 42" Toshiba es de S/. 1650.
¿Cuál es el porcentaje de descuento, si por fiestas patrias se vende a S/. 1590?
http://en.wikipedia.org/wiki/Blu-ray_Disc
49
i. Mi profesor me va aumentar el 15% de mi promedio. Si mi promedio fue 12. ¿Cuál
será mi nuevo promedio?
j. Soledad y Claudia reciben sueldos mensuales de S/. 9200 y S/. 6800
respectivamente. Entre las dos compran una refrigeradora aportando el 20% y 10%
de sus sueldos respectivamente. ¿Cuál es el precio de la refrigeradora?
k. Un juego de comedor de $ 1200 se rebaja en febrero en un 20%. ¿Cuál es el nuevo
precio? Al mes siguiente se realiza un descuento del 25%. ¿Cuánto cuesta al final el
juego de comedor?
AUMENTO Y DISMINUCIÓN PORCENTUAL
Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una
cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar
un porcentaje a una cierta cantidad.
Observa:
Es muy importante saber qué cantidad es el 100%, ya
que todos los porcentajes lo serán respecto a ella.
Cuando un número cambia a otro en un determinado
porcentaje, el 100% es siempre del número inicial. Si es un aumento, el nuevo
representará un porcentaje mayor que 100% del número inicial. Si es una
disminución, representará un porcentaje menor que 100%.50
Ejemplo 5
1. Responde a las siguientes preguntas:
a. Si una cantidad disminuye en 23%, ¿qué
porcentaje queda de dicha cantidad?
b. Si una cantidad disminuye en 25%, ¿qué
porcentaje queda de dicha cantidad?
c. Si una cantidad aumenta en 28%, ¿qué
porcentaje se obtiene?
d. Si una cantidad aumenta en 18%, ¿qué
porcentaje se obtiene?
e. Si una cantidad disminuye en 36%, ¿qué
porcentaje se obtiene?
2. En la columna correspondiente al Precio Final, coloque el factor correspondiente que
multiplica al Precio inicial, según se trate de un aumento o un descuento.
Precio
inicial
Aumento
(%)
Precio final Descuento
(%)
Precio final
(Factor)P (Factor)P
120 18 1,18(120) 18 0,82(120)
348 20 20
720 25 25
3200 30 30
50 100 100
Descuentos sucesivos
Supongamos que Mafalda desea comprar una falda en una
tienda de Kari Falabella y al llegar a dicha tienda encuentra la
siguiente oferta:
¿Es posible afirmar, que un descuento del 70% más el 10%
equivalen a un descuento único del 80%?, la respuesta es no.
Lo que ocurre es que al precio de la falda se le aplicara
descuentos sucesivos del 70% y 10%. Es decir, primero
descontamos el 70% al precio inicial (Pi); con lo que nos
queda el 30% de Pi (30%×Pi), luego en forma sucesiva, se
aplica el segundo descuento del 10%, pero este descuento se
aplica a lo que ha quedado del primer descuento, con lo que
nos queda 90% del 30% de Pi (90%×30%×Pi = 27%×Pi).
Queda el 77% de
dicha cantidad
0,77 de la
cantidad
51
Para aclarar mejor el problema, veamos a cuanto equivalen dos descuentos sucesivos
del 70% y 10% en un cuadro:
Sea N el precio inicial de la falda (sin descuentos)
En conclusión, dos descuentos sucesivos del 70% y 10%, equivalen a un descuento
único del 73%.
Ejemplo 6
Si una cantidad disminuye en 30% y luego en 10%. ¿Qué porcentaje queda de dicha
cantidad? ¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos
anteriores?
Solución:
Sea N la cantidad inicial.
En conclusión, después de dos descuentos sucesivos del 70% y 10%, queda el 63% de la
cantidad inicial, por lo tanto los dos descuentos sucesivos equivalen a un descuento
único del 37%.
Observación.
Cuando tengamos que hacer descuentos sucesivos, recordemos que el primer
descuento se aplicará a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, éste se
aplicara a la cantidad que ha quedado del descuento anterior.
De manera análoga también se hará cuando se trata de aumentos sucesivos.
N 70%N 30%N
100%
–30%
100%
–10%
0,90×0,70N 0,63N
Queda
= 63%N
90%
Descuento único
37%N
100% 63%N N
N 30%N 30%N
100%
–70%
100%
–10%
0,90×0,30N 0,27N
Queda
= 27%N
90%
Descuento único
73%N
100% 27%N N
52
Aumentos sucesivos
Ejemplo 7
Si una cantidad aumenta en 30% y luego en 10%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es
el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores?
Solución:
Sea N la cantidad inicial.
En conclusión, después de dos aumentos sucesivos del 30% y 10%, alcanza el 143% de
la cantidad inicial, por lo tanto los dos aumentos sucesivos equivalen a un aumento
único del 43%.
Ejemplo 8
Si una cantidad aumenta en 25% y luego en 15%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es
el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores?
Solución:
Sea N la cantidad inicial.
En conclusión, después de dos aumentos sucesivos del 25% y 15%, alcanza el 143,75%
de la cantidad inicial, por lo tanto los dos aumentos sucesivos equivalen a un aumento
único del 43,75%.
N 125%N 125%N
100%
+25%
100%
+15%
1,15×1,25N 1,4375N
Se obtiene
= 143,75%N
115%
Aumento único
43,75%N
143,75% 100%N N
N 130%N 30%N
100%
+30%
100%
+10%
1,1×1,3N 1,43N
Se obtiene
= 143%N
110%
Aumento único
43%N
143% 100%N N
53
Aumentos y descuentos sucesivos
Ejemplo 9
Si una cantidad aumenta en 20% y luego disminuye en 10%. ¿Qué porcentaje se
obtiene? ¿A cuánto equivale un aumento en 20% y luego un descuento en 10%?
Solución:
Sea N la cantidad inicial.
Rpta. Se obtiene 108% de la cantidad inicial. Es decir, la cantidad inicial aumenta un 8%
Ejemplo 10
Si una cantidad disminuye en 20% y luego aumenta en 10%. ¿Qué porcentaje queda de
dicha cantidad? ¿A cuánto equivale un descuento del 20% y luego un aumento en 10%?
Solución:
Sea N la cantidad inicial.
Rpta. Queda el 88% de la cantidad inicial. Es decir, la cantidad inicial disminuye un
12%
EJERCICIO 3
a. Si una cantidad disminuye en 40% y luego en 50%, ¿Qué porcentaje se obtiene?
¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos
anteriores?
N 80%N 80%N
100%
–20%
100%
+10%
1,1×0,8N 0,88N
Queda
= 88%N
110%
Disminuye
12% N
100% 88%N N
N 120%N 120%N
100%
+20%
100%
–10%
0,90×1,2N 1,08N
Se obtiene
= 108%N
90%
Aumento
8% N
108% 100%N N
54
b. Por la compra de 6 libros se realizan dos descuentos sucesivos del 10% y 20%.
¿Este descuento a que descuento único equivale?
c. Si una cantidad disminuye en 15% y luego en 36%. ¿Qué porcentaje se obtiene?
¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos
anteriores?
d. Si una cantidad aumenta en 20% y luego en 30%. ¿Qué porcentaje se obtiene?
¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores?
e. Por el buen trabajo realizado, Jorge va a recibir dos aumentos sucesivos del 30% y
25% en su sueldo. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento
único equivalente a los dos aumentos anteriores?
f. Durante enero la producción de hierro aumento un 6%, y disminuyo un 3% durante
febrero. ¿Cuánto se elevó la producción en ese bimestre?
55
g. Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar los precios de sus artículos en
8%, pero para obtener una ganancia aún mayor decide aplicarle a continuación otro
aumento del 12%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos
aumentos anteriores?
h. Por promoción, en una tienda se le aplica al precio de una prenda de vestir un
descuento del 10%, seguido posteriormente de un descuento del 20%. Si
inicialmente la prenda costaba S/. 90. ¿Cuánto cuesta finalmente la prenda de
vestir?
i. Un juego de comedor de $ 1000 se rebaja en febrero en un 20%. Al mes siguiente
baja el precio en un 25%. ¿Cuánto cuesta al final el juego de comedor?56
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 2.1 – 2.2
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Si la razón entre dos números a y b es como 9 a 5, ¿significa que a es 9 y b es 5?
b. Si
3
4
a
b
y 21ba , ¿es cierto que 6a y 15b necesariamente?
c. Las edades de Mariel y Karen son entre sí como 25 es a 15, ¿es posible
determinar la diferencia de sus edades?
d. Beatriz y Oscar discuten sobre quien tiene mejor puntería. Oscar ha dado al
blanco 28 de 32 veces; Beatriz 30 de 36 veces. ¿Quién tiene mejor porcentaje de
tiros al blanco?
e. El 0,001% del precio de un terreno es S/. 720. ¿Cuál es el precio del terreno?
f. Si aumento el precio un 15% y luego se disminuye en un 10%. ¿Qué porcentaje
se obtiene del precio?
2. Una prueba de matemáticas tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente
6 de estas preguntas y omite una. Escriba la razón entre:
b. El número de preguntas correctas y el número total de preguntas.
c. El número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas.
d. El número de preguntas omitidas y el número total de preguntas.
3. Un país tiene una población de 7 634 000 habitantes en una extensión de 18 704
millas cuadradas. La relación del número de habitantes a millas cuadradas se llama
densidad y mide la cantidad de habitantes por milla cuadrada. Aproximadamente,
¿cuál es la densidad poblacional de este país?
4. Un Ing. de sistemas tiene dos ofertas de trabajo. La compañía “RockTeam” le ofrece
un sueldo mensual de S/. 4800 por 30 horas de trabajo a la semana y la compañía
“ClassTeam” le ofrece un sueldo mensual de S/. 6240 por 40 horas de trabajo a la
semana. ¿Qué compañía le ofrece un mejor pagó por hora?
5. Simone desea adquirir un paquete de viaje para sus 48 alumnos de promoción. En la
agencia, le ofrecen dos paquetes: el primero de $ 482,00 para 16 personas y el
segundo de $ 355,00 para 12 personas. ¿Cuál de la propuesta le convendría tomar a
Simone?
6. El supermercado La Unión, ofrece a sus clientes una promoción insuperable: Por la
compra de 30 six pack de yogurt “La Mamis” regalan cinco cereales “El Clavel”.
a. Expresa el enunciado anterior, mediante una proporción.
b. Si Pablo compró 180 six pack de yogurt “La Mamis”, ¿Cuántos cereales “El
clavel” le obsequiaron?
7. Las edades de Juan y Pablo son entre sí como 5 es a 6. Si el menor tiene 20 años,
¿cuántos años tiene el mayor?
8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Halle el
número menor.
9. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor?
57
10. Adolfo ganó las elecciones para la presidencia de la Asociación de Estudiantes de
Contabilidad por una razón de 5 a 2. ¿Cuántos votos recibió si votaron 168
estudiantes?
11. El perímetro de un terreno rectangular es 80 metros. Si el largo y el ancho se
encuentran en la relación de 3 a 2. Calcular sus dimensiones.
12. Faltando pocas horas para finalizar un día sábado, el número de clientes hombres y
mujeres de una conocida pizzería está en la relación de 8 a 6, siendo el total de
clientes igual a 350. ¿Cuántas mujeres asistieron a la pizzería?
13. Tres agricultores, cuyas fincas colindan, han suprimido los linderos y unido sus
tierras para formar una cooperativa de 240 000 m
2
. Complete la tabla adjunta:
Agricultores m
2
% Fracción Decimal
Mateo 86 400
Santiago
Eliseo 44
Total 240 000
14. La leche da un 12,5% de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 litros de crema,
¿cuántos litros de leche se ha procesado?
15. ¿Qué porcentaje de descuento se aplica a un reloj de mano que cuesta $ 150 y está
rebajado a $ 67,50?
16. De los 500 alumnos del curso de Nivelación, 110 usan lentes de contacto, ¿qué
porcentaje de los alumnos no usan lentes de contacto?
17. Salieron de paseo el 84% de los alumnos de un colegio. Si 20 alumnos
permanecieron en el colegio, ¿cuántos alumnos hay en el colegio?
18. Un agente recibe $ 3640,00 de comisión por la venta de cuatro automóviles
idénticas. Si su comisión es del 7% por cada automóvil, ¿cuál era el precio de cada
automóvil?
19. En un colegio de 800 alumnos el 60% son hombres. Si el 20% de los hombres y el
10% de las mujeres usan lentes, ¿qué porcentaje del total de alumnos usan lentes?
20. Una compañía adquiere una propiedad de 1 800 m2. Del siguiente modo: El 22% de
la finca lo paga a $2 200,00 el metro cuadrado; el 56% a $ 800,00 el metro cuadrado
y el resto a $500,00 el metro cuadrado. ¿A cuánto asciende la compra?
21. En una canasta hay 75 frutas del cual el 40% es naranjas y el resto es manzanas. Si
se aumenta 12 naranjas y se retira 12 manzanas, ¿qué porcentaje representa ahora el
nuevo número de manzanas del total de frutas?
58
22. El dueño de una empresa le plantea a sus trabajadores que ganan un sueldo de
$600,00 al mes que, por la mala situación que atraviesa la empresa, se les debe hacer
un descuento en su sueldo del 20%, con la condición que dentro de tres meses
recibirán un aumento del 30%. ¿Cuál es el sueldo final de los trabajadores después
de los tres meses? ¿En qué porcentaje se incrementa su sueldo final respecto a los
$600,00?
23. Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar los precios de sus artículos en
12%, pero para obtener una ganancia aún mayor decide aplicarle a continuación otro
aumento del 15%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos
aumentos anteriores?
24. Por promoción, en una tienda se le aplica al precio de una prenda de vestir un
descuento del 18%, seguido posteriormente de un descuento del 5%. Si inicialmente
la prenda costaba S/. 90. ¿Cuánto cuesta finalmente la prenda de vestir?
59
2.5 APLICACIONES ECONÓMICAS DE PORCENTAJES
Los porcentajes se utilizan en las operaciones comerciales, como por ejemplo: variación
porcentual, merma, comisiones sobre las ventas, descuento de precios, margen de
ganancia, monto del impuesto general a las ventas, gastos de envío, interés simple,
compuesto o continuo, etc.
1. VARIACIÓN PORCENTUAL (VP)
El cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento
porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior.
Ejemplo 1
Variación de peso. En el mes de enero, Juan pesaba 80 kg y, luego de dos meses, su
peso es de 88 kg. Calcule la variación porcentual del peso de Juan.
Solución:
Peso inicial : 80 kg.
Peso final : 88 kg.
Luego, en los dos meses el peso final menos el peso inicial es igual a 8 kg.
¿Qué porcentaje representa 8 kg del peso inicial? %10%100
80
8
Respuesta: Juan tuvo una variación del 10% de su peso.
Observación:
Para determinar cuánto varió una cantidad Vf respecto a otra cantidad Vi , se
debe realizar la siguiente operación:
Variación porcentual 100%
f i
i
V V
V
EJERCICIO 1
a. Una empresa Textil vendió en el año 2011 $125 000 y en el año 2012 vendió
$183000
i. ¿Cuál será la variación de ventas?
ii. ¿Cuál será la variación porcentual de ventas del año 2011 al 2012?
60
b. Rebeca quiere comprar dólares hoy siendo el tipo de cambio (venta) de S/. 2.80, al
día siguiente vuelve a comprar dólares y se da con la sorpresa que el tipo de cambio
(venta) ha bajado a S/. 2.74 ¿Cuál fue la variación porcentual en el tipo de cambio?
2. APLICACIONES DE MERMA
Una merma es una pérdida o disminución en el número o en el tamaño de una cosa. Por
ejemplo, al secar cierta cantidad de arroz, ésta se ve disminuida en su peso debido a la
humedad que presentaba.Ejemplo 2
Un agricultor acaba de cosechar 50 000 kg de arroz, pero por efectos de la humedad se
obtuvo al final 48 500 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de la
humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma?
Solución:
Si inicialmente se tiene 50 000 kg de arroz, luego
Tenemos que calcular el porcentaje de merma:
% de 50000 1500
(50000) 1500
100
3
a
a
a
Rpta: La merma por efectos de la humedad fue de 1500 kg, que representa un 3% de
merma de la cosecha.
50 000 kg 48 500 kg
100%
– 1500 kg
61
Ejemplo 3
Merma en la fabricación de una mesa de madera. ¿Cuánto de madera se necesita
para fabricar una mesa que pesa 60 kg, sabiendo que en el proceso productivo se
produce una merma del 15%?
Solución:
Sea N la cantidad inicial de madera prima que había al inicio.
Por lo tanto
85% 60
0,85 60
70,588
N
N
N
Rpta: Se necesita aproximadamente 70,588 kg de madera.
EJERCICIO 2
a. Un agricultor acaba de cosechar 64 000 kg de trigo, pero por efectos de la humedad
se obtuvo al final 63 150 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de
la humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma?
b. Merma de instalación. Se tiene que tapizar una sala de 68 m2. Si se sabe que en el
proceso de instalación hay una merma del 15%, ¿cuántos m
2
de tapizón se debe
comprar?
N 85%N
100%
– 15%
Peso de la mesa
= 60 kg
62
c. Merma en la fabricación de tela. Si se tiene que fabricar 1500 kg de tela de
algodón, ¿cuántos kg de hilo se tienen que comprar para fabricar esta tela, si se sabe
que al finalizar el proceso hay una merma del 7,8%?
3. IMPUESTO GENERAL A LAS VENTAS (IGV)
En el Perú la tasa del impuesto general a las ventas es del 18%; esto significa que para
determinar el precio final al público hay que aumentar el 18% al precio del artículo.
Luego,
Ejemplo
Si el precio de una calculadora científica sin IGV es de S/. 234, calcule el IGV y su
precio con IGV.
Solución:
Por fórmula, tenemos que:
IGV : 18% de 234 = 0,18(234) = S/. 42,12
Precio
con IGV
: 234 + 42,12
Precio
con IGV
: S/. 276,12
Rpta: El IGV es de S/. 42,12 y el Precio con IGV de S/. 276,12
PRECIO SIN IGV + IGV = PRECIO CON IGV
donde,
IGV = 18 % PRECIO SIN IGV
63
EJERCICIO 3
1. Si el precio de una computadora portátil sin IGV es de S/. 3199, calcule el IGV y su
precio con IGV.
2. Si el precio de una casaca con IGV es de S/. 590, calcule el IGV y su precio sin
IGV.
3. Toño sale a comer con toda su familia a un restaurante de comida criolla, saliendo
una cuenta a pagar de S/. 780 en total, pero le pide al mozo que le presente la factura
con la cantidad que corresponde de IGV y lo que corresponde al consumo. ¿Cómo
tendría que hacer el mozo para presentar la factura correctamente?
4. Jorge desea comprar una camioneta Ford Explorer de cuarta generación cuyo precio
es de $ 47 500 incluido IGV. En AUTO MOTORS le ofrecen dos descuentos
sucesivos del 15 % y 5% sobre el precio sin IGV, para posteriormente aplicarle el
IGV en la factura. RIA AUTOS le ofrece un descuento del 18% sobre el precio con
IGV. ¿En dónde le conviene comprar? ¿Cuál fue el precio que pagó finalmente?
64
5. Anita acaba de ingresar a trabajar en Hipermercados Montecarlo. Usted está
comprando 15 pijamas para caballeros. El precio de venta de cada pijama es de
S/. 70,80 y en este precio está incluido el IGV del 18%. Anita, dada su falta de
experiencia, le solicita que le ayude a llenar la factura.
a. Calcule el precio unitario
b. Calcule el valor de venta
c. Calcule el subtotal.
d. Calcule el IGV y verifique el total
65
6. Lucas decide comprar 4 planchas de melamine de 15 mm a S/. 130,00 cada una y
25 metros de tapacanto a S/. 0,50 el metro y en estos precios está incluido el IGV.
Lucas, dada su experiencia sabe cuál es el monto que debe pagar, para ello se
anticipó al llenado de la factura.
Ferretería Maestro S.A
Comercializadora Mayorista de Productos para Construcción
Av. Marcelino Champagnat Nº 1747 – Urb. Los esforzados
Telefono: 1452155- 9989898
R.U.C.: 20100584568
FACTURA
Señor(es): Heiner Calderón 012 - Nº 0006150
Dirección: Av. Los valientes N º 8135
R.U.C: 10053847684 GUIA: _______ Lima, 02 / 09 / 2011
CANTIDAD DESCRIPCIÓN
PRECIO
UNITARIO
VALOR DE
VENTA
4 Melamine 15 mm ? ?
25 Tapacanto ? ?
CANCELADO SUBTOTAL
I.G.V (18%)
IMPRENTA ABC S.A.C.
GRÁFICA SANTA MARÍA
R.U.C. Nº 20432102005
Serie 024 Del 5000-15000
F.I. 20-08-2008 Nº Aut. 1333566780
TOTAL
ADQUIRIENTE O USUARIO
a. Calcule el precio unitario de una plancha de melamine y de un metro de
tapacanto.
b. Calcule el valor de venta en cada caso.
c. Calcule el subtotal.
d. Calcule el IGV.
e. Calcule el total.
66
4. COSTOS Y PRECIOS
La venta es el proceso por el cual se transfieren bienes de una persona a otra, a cambio
de una compensación económica. En este proceso intervienen 2 partes, que tienen 2
puntos de vista distintos:
El productor/ vendedor (también puede ser distribuidor).
El comprador/cliente.
Estos 2 puntos de vista son diametralmente opuestos:
Productor/vendedor
Costo, precio, ganancia
El productor/vendedor quiere maximizar su ganancia.
Para lograrlo debe fijar un precio, denominado precio
de lista (PL) que cubra lo que le costó fabricar o
comprar el producto, cantidadque se denomina costo
(C), y que además le permita obtener una ganancia
(G).
Ejemplo 1
Un comerciante de libros usados compró un lote de enciclopedias a S/. 2300. Al
venderlos desea obtener una ganancia de S/. 1350.
a. ¿Cuál fue su costo?
………………………………………………………………………………………….
b. ¿Cuál es el precio que debe fijar para obtener la ganancia deseada?
………………………………………………………………………………………….
c. ¿Cuál será su porcentaje de ganancia (respecto al costo)?
………………………………………………………………………………………….
67
De aquí se concluye que:
Precio de venta = Costo + ganancia
Ejemplo 2
Verónica compró un jeep en $3300, y desea venderlo ganando el 20%.
a. ¿Cuál fue su costo?
………………………………………………………………………………………….
b. ¿Cuánto quiere ganar en dólares?
………………………………………………………………………………………….
c. ¿A cuánto debe venderlo?
………………………………………………………………………………………….
Ejemplo 3
Un criador de caballos de carrera compró un caballo por $5400. Como necesitaba
dinero, al final tuvo que venderlo ganando un 35%. ¿A cuánto lo vendió?
Ejemplo 4
Un vendedor de autos usados vendió un Passat del año 2008 en $9800. Cuando se le
preguntó a cuánto lo había comprado, no quiso revelarlo, pero llegó a declarar que su
ganancia había sido del 25%. ¿ A Cuánto lo compró?
68
Ejemplo 5
Un distribuidor compra 2 toneladas métricas de un cierto insumo a US$0.80 por kilo.
Para comercializarlo fija un precio de US$0,95 por kilo. Cuando vio que se acercaba la
fecha de vencimiento y no había podido venderlo, tuvo que hacer un descuento del 35%
al precio que había fijado para lograr la venta de éste insumo .
a. Indique el costo y el precio
b. Halle el precio de venta final
c. Determine si el distribuidor ganó o perdió y qué cantidad de dinero.
d. Determine el porcentaje de ganancia o pérdida.
Nota:
La ganancia o utilidad es un porcentaje sobre el costo, a menos que se indique lo
contrario.
Las pérdidas son ganancias negativas.
Ejemplo 6
Se vende una cocina eléctrica en S/. 4 200,00 ganando el 14% ¿cuánto costó la cocina?
Solución:
Sea C el costo de la cocina, luego
Otra forma
C 3684,21
C 1,14 4200
C 14% + C = 4200
Ganancia + Costo = ventade Precio
Rpta: La cocina costó S/. 3684,21
100%
C 114%C
+14%
Precio de venta
= 4200
69
EJERCICIO 4
1. Compra – venta: Oscar Flores y Rubén Diaz.
a. Oscar Flores, produce chompas de lana de alpaca; el costo de fabricación de cada
chompa es de $35,00. Al vender cada prenda, él obtiene una utilidad del 20%.
¿Cuál es el precio de venta de cada chompa?
b. Si Rubén Díaz compra las chompas a Oscar Flores, para venderlas en su almacén
con una ganancia del 35%. Determine el precio de venta al cual Rubén Díaz
debe ofrecer cada chompa.
c. Si por cambio de estación, Rubén Díaz decide ofrecer sus chompas con un
descuento del 15%. ¿A qué precio los clientes de Rubén podrán adquirir estas
prendas?
70
2. Una empresa ganadera exportará ganado bovino a Europa a un precio de $900 por
cada animal. Si estima que ganará 28% por cabeza. ¿Cuál fue el costo por cada
animal?
3. Un promotor de espectáculos invierte una gran suma por la presentación de un
conjunto musical. Una falla en la gestión del Departamento de Promoción provoca
pérdidas por valor de $ 15 000 que corresponden a un 20% de lo invertido. ¿Cuánto
invirtió el empresario en este negocio?
4. Raúl vendió un juego de comedor a $1800 ganando el 20%. Si hubiera aceptado la
rebaja que le proponía el cliente, habría ganado solamente el 16%. ¿Cuál es el precio
que le sugirió el cliente?
71
5. César compró dos lotes en Carabayllo a $ 7200,00 cada uno. Al cabo de dos meses
decide venderlos por motivos familiares. Si se sabe que en uno perdió el 25% del
costo y en el otro ganó el 25%. ¿En total, gano o perdió? ¿Cuánto?
6. En una importación de 6000 televisores de LCD de 43 pulgadas, la compañía
“Electrón S.A.”, fija su precio con un 25% de ganancia, sin considerar el IGV. Si el
ingreso que obtuvo la compañía por la venta de todos los aparatos ascendió a
$ 6 300 000. ¿Cuánto le costó cada televisor?
72
EJERCICIOS PROPUESTOS 2.3
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Marlenny obtuvo 15 de nota en la PC1 y 18 en la PC2. ¿Cuál fue la variación
porcentual de la nota?
b. Si la cuenta a pagar por consumo en un restaurante fue de S/. 340. ¿Cuál es el
costo sin IGV?
c. El precio de cierta máquina es de $ 454,3 incluido el IGV. ¿A cuánto asciende el
el IGV?
2. El gráfico muestra la producción anual de cobre (en toneladas) de una mina durante
4 años consecutivos.
a. ¿Qué porcentaje de variación en la producción se obtuvo entre los años 1 y 2, del
2 al 4?
b.¿Qué porcentaje de variación en la producción se obtuvo del año 1 al año 4?
c. ¿Se obtiene lo mismo en b. si sumando los resultados parciales en a.?
3. Hace tres años pesaba 54 kg. y ahora peso 48 kg. ¿Qué ha sucedido? ¿En qué
porcentaje ha variado mi peso?
4. Un agricultor acaba de cosechar 86 000 kg de trigo, pero por efectos de la humedad
se obtuvo al final 76 500 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de la
humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma?
5. La panadería “Silvana” especialista en preparar tortas de tres leches, elabora las
tortas mediante dos procesos el de mezclado de ingredientes y el de horneado. Si al
finalizar los dos procesos hay una merma del 40% de la masa inicial, ¿Cuántos kg de
masa se pierden, si al finalizar los dos procesos se obtiene una masa de 6kg?
6. Se tiene que tapizar una sala de 72 m2. Si se sabe que en el proceso de instalación
hay una merma del 20%, ¿cuántos m
2
de tapiz se debe comprar?
7. Complete la siguiente factura si se sabe que el precio del plato de Cerdo con Chap
Suey es de S/. 29,50 incluido el IGV.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
1 2 3 4
producción / año
73
8. A continuación se muestra una factura con información incompleta. Sabiendo que el
precio del desinfectante “Pinesal” de 500 ml es de S/. 5,31 incluido el IGV ,
determine:
a. El subtotal y el monto por IGV.
b. La cantidad de cera auto brillante “Texno” vendida y el precio unitario de cada
perfumador “Ricotín” en spray.
Distribuidora Comercial
Mayorista Limitada
Comercializadora Mayorista de Productos para Almacén
Distribuidora de Abarrotes – Lácteos – Frutos Secos –
Artículos de Aseo – Detergente y sus Derivados
Av. Perú Campeon Nº 1234 – Urb. Los esforzados
Telefono: 1452155- 9989898
R.U.C.: 20100084568
FACTURA
Señor(es): Miguel Baltasar López 028 - Nº 0005160
Dirección: Av. Si se puede N º 8135
R.U.C: 10084537684 GUIA: _______ Lima, 10 de mayo del 2011
CANTIDAD DESCRIPCIÓN
PRECIO
UNITARIO
VALOR DE
VENTA
Cera auto brillante “Texno” S/. 3,40
40 Perfumador “Ricotín” en spray S/. 268
35 Desinfectante “Pinesal” de 500 ml
CANCELADO SUBTOTAL
I.G.V (18%)
IMPRENTA ABC S.A.C.
GRÁFICA SANTA MARÍA
R.U.C. Nº 20432102005
Serie 024 Del 5000-15000
F.I. 20-08-2008 Nº Aut. 1333566780
TOTAL S/. 702,69
ADQUIRIENTE O USUARIO
S/. 95,13
´
´
´
74
9. Annel desea comprar un reloj Emporio Armani modelo AR5915 para obsequiarle a
su padre por el día de su cumpleaño, cuyo precio es de 1600 dólares incluido IGV.
La tienda “Skippertime” le ofrece dos descuentos sucesivos del 12% y 8% sobre el
precio sin IGV, para posteriormente aplicarle el IGV en la factura. “Reloj
Internacional” le ofrece un descuento del 20% sobre el precio incluido el IGV. ¿En
dónde le conviene comprar? ¿Cuál fue el precio que pagó finalmente?
10. El precio de venta de un artículo se obtiene aumentando el 30% sobre el costo. En
una liquidación se hace un descuento del 60%. Sin embargo, los clientes que pagan
con tarjeta de crédito tienen un descuento adicional del 10% sobre el precio de
remate. Si todos los clientes pagan con tarjeta de crédito, ¿la empresa gana o
pierde?, ¿en qué porcentaje?
11. Una reconocida cadena de farmacia tiene todos sus productos con 15% de
descuento. Si por la compra de un tubo de Dencorub Forte, un cliente ahorra
S/. 4,29. ¿Cuál fue el precio de venta inicial? Y ¿Cuánto pagó finalmente?
12. Un inversionista compra 8000 acciones de una empresa generadora de energía
eléctrica, a $4,5 la acción. Después de seis meses han subido un 20%.
a. ¿Cuánto dinero se ha ganado?
b. Si el inversionista decide comprar más acciones con lo que ha ganado. ¿Cuántas
podrá comprar al precio actual?
13. Un distribuidor de artículos electrodomésticos importa televisores LCD de 25" a
$800. ¿Cuál debe ser el precio de venta, de tal manera que al hacer un descuento del
20%, aún se obtenga una ganancia del 25%?
14. Abelardo ensambla una computadora y se la vende a Andrés ganando un 20% sobre
el costo, pero Andrés decide venderle esta computadora a Delia, ganando un 10%.
Si Delia paga por la computadora $1254,00. ¿Cuánto le costó a Abelardo ensamblar
la computadora?
75
UNIDAD N° 3. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
3.1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS (EA)
Es toda combinación finita de números y letras, sometidas un número finito de veces a
las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y/o
radicación.
Las variables siempre se encuentran como base, nunca como exponente. El exponente
de la variable es siempre un número racional.
Ejemplo 1
Identifique cuáles son expresiones algebraicas.
a.
1
22 3( ; ) 3 4E x y x y x Si es una E.A.
b. ( ; ) 2xF x y yx
No es una E.A, porque la variable “x” aparece
como exponente.
c. 2 3( ; )G x y x xy
No es una E.A, porque la variable “y” tiene
como exponente un número irracional.
EJERCICIO 1
Responde verdadero (V) si la expresión es una EA, y falso (F) si no lo es. Justifique.
a. ( ) 1R x x ( ) b. 2,5( ) 3 5P w w ( ) c.
2( ) 3 2xB x x x ( )
d.
2 3( ) 2D x x x ( ) e.
2( ) 5 yF x xy e ( ) f. 2 4( ) 3I z z z ( )
g. 2( ) 1 ...S a a a ( ) h.
2 1( ; ) 6U x w xw
a
( ) i.
3 3( ; ) 0,5R x y x xy ( )
Notación:
Las expresiones algebraicas se denotan por las letras mayúsculas indicando entre
paréntesis las variables que lo conforman.
( ; )E x y : es una expresión algebraica de variables x e y .
Ejemplo 2
Complete el siguiente cuadro:
Expresiones algebraicas Variables Constantes
2( ; ) 2 4E x y ax by x e y a y b
3( ) 5 3G x ax b
2 3( ; )Q x z ax czb
3 3( ; )N a b ax yb
76
Valor numérico de una expresión algebraica
Es el número real que se obtiene al sustituir cada letra o variable por un número real.
Ejemplo 3
Si 2( ) 5 3 1E x x x , calcule ( 2).E
2(2) 5( 2) 3( 2) 1 27E
EJERCICIO 2
1. Calcule el valor numérico.
a. Si 3 2( ) 2 ,M x x x x calcule ( 1).M
b. Si 4( ; ) 3 5 1,R m n m mn calcule ( 1; 2).R
c. Si
2 1
( ; ) ,
xy
B x y
y x
calcule (4; 3).B
d. ¿Se puede hallar el valor numérico para 3x en
4
( )
3
E x
x
?
2. Dados 3( ) 2 3 4P x x x ; xxxQ 3)( 2 y ( ) 3 5.R x x Determine
mostrando su proceso, el valor de:
( 2) (1)
( 1)
P Q
E
R
Recomendación Reemplazando en la expresión:
Halle:
P(–2) =
Q(1) =
R(–1) =
77
3. Dados 3( ) 5 2P x x x ; 2( ) 2 5Q x x x y ( ) 4 3.R x x Determine
mostrando su proceso, el valor de:
( 2) 2 ( 3)
( 1) 3
Q R
E
P
Término Algebraico
Es una expresión algebraica que sólo contiene productos, cocientes y potencias de
variables y constantes numéricas.
Ejemplo 4
Términos algebraicos: 3( ) 2 ;A x x
2
3
( ; ) ;
x
B x y
y
1/2( ) ;D x ax 3 2( ; ) 7 .E x y x y Nomenclatura:
E(x; y) = – 7 x
3
y
1/2
Observación:
Si un término algebraico contiene solo
la parte literal, entenderemos que tiene
como coeficiente el número 1.
Ejemplo:
2 2 3 4 3 41 ; 1xy xy z y z y tienen por
coeficiente el número uno.
Si contiene solo la parte literal precedida
de un signo menos, entenderemos que
tiene coeficiente el número 1 .
Ejemplo:
2 21xy xy tiene por coeficiente el
número –1.
Observe las expresiones horizontalmente. ¿Qué tienen en común?
2( ; ) 8E x y x y
2( ; ) 3F x y x y
2( ; ) 7G x y x y
4 6( ; ) 9P x y x y 6 4( ; ) 3R x y y x
4 6( ; )M x y x y
37( ; )
5
A x y x y 3( ; ) 2,5B x y yx 3( ; ) 3C x y yx
¿Cuál es el nombre que se le da a dichas expresiones?
………………………………………………….………………………………
Parte literal
Exponente
Coeficiente
P(–1) =
Q(–2) =
R(–3) =
78
Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes, si presentan la misma parte literal, es decir, si las
variables tienen, respectivamente, iguales exponentes.
Ejemplo 5
Diga si las siguientes EA son semejantes o no
2( ; ) 8E x y x y
2( ; ) 7F x y x y Son semejantes
2( ; )A a b ab
2( ; ) 2,5B a b a b No son semejantes
3( ; ) 7P x y x y
3( ; )Q x y yx
1( ; ) 8M x z xz
1( ; ) 5N x y xy
Ejemplo 6
Relacione cada expresión algebraica de la columna 1 con una expresión algebraica
semejante en la columna 2:
Columna 1
Columna 2
5 35( ; ; )
2
M x y z x y z 4 7( ; ) 0,11M t s s t
( ; )M x z zy
( ; ) 5M x z yz
7( ; ; )M x y z xyz
2( ; ; ) 3M x y z yx z
7 43( ; ) 5M t s t s
3 5( ; ; ) 3M x y z zy x
Reducción de términos semejantes
Para simplificar expresiones algébricas, debemos tener en cuenta, si tienen o no
términos semejantes.
Ejemplo 7
Simplifique las siguientes expresiones algebraicas, reduciendo términos semejantes:
a. 2 2 2( ) 3 4 12A x x x x 2 2(3 4 12) 11x x dado que todos los términos son
semejantes, sumamos los coeficientes.
b. 2 2 2 2( ; ) 5 4 12 6 8B x y x y x yx x agrupamos los términos semejantes
2 2 2 2( ; ) 5 12 4 8 6B x y x y yx x x sumamos los coeficientes de los términos semejantes
2 2( ; ) 17 4 6B x y x y x
79
c. 3 2 3 2 3 3( ; ) 6 4( 3 ) 5 6B x y x y x y x x
3 2 3 2 3 3( ; ) 6 4 12 5 6B x y x y x y x x
agrupamos los términos semejantes
3 2 3 2 3( ; ) 6 2 12 5B x y x y x y x sumamos los coeficientes de los términos semejantes
3 2 3( ; ) 18 2 5B x y x y x
OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGÉBRAICAS
Símbolos de agrupación
Los símbolos de agrupación más usados son los paréntesis )( , los corchetes ][ y las
llaves ; y se emplean para indicar que los términos encerrados por ellos se consideran
como una sola expresión algebraica.
Supresión de símbolos de agrupación.
Si un signo positivo (+) precede al símbolo de agrupación, dicho símbolo se puede
suprimir sin modificar los términos que contiene.
Ejemplo 8
2 2 2 2( ; ) 6 5 (2 3 ) 6 5 2 3P x y x y x y x y x y
Si un signo negativo (–) precede al símbolo de agrupación, dicho símbolo se puede
suprimir cambiando el signo de cada uno de los términos que contiene.
Ejemplo 9
3 2 3 2 3 2( ; ) 3 [2 (5 1)] 3 [2 5 1] 3 2 5 1R x y x x x x x x x x x
Si en una expresión figura más de un símbolo de agrupación, para suprimirlos se
comienza por los interiores.
EJERCICIO 3
Simplifique las siguientes expresiones algebraicas, reduciendo términos semejantes:
a.
2 2 2( ; ) 3 4 12A x y x y yx yx
b.
2 2 2 2( ; ) 20 45B w z w z wz wz w z
80
c. ( ; ) (2 ) (4 7 )C x y x x y x y
d. ( ; ) 6 3(2 3 ) 5D x y xy xy
e.
2 2( ; ) 4 2( 3 ) 3(9 ) 25 6E x y xy xy x x xy x x
f. )23()2()2(3)32(5),,( yxzyxzyxyxzyxF
g. ( ; ) 5(4 5) 5 (7 ) (2 ) (3 5 2 )G x y x x y z x y z x y
81
Monomio
Un monomio es aquel término algebraico cuyas variables se encuentran en el numerador
y con exponente natural o cero.
Nota:
La parte literal puede tener dos o más variables.
Un monomio es un caso particular de un término algebraico.
Ejemplo 10
Responde verdadero (V) si la expresión es un monomio, y falso (F) si no lo es.
734)( yyM ( ) ( ) 23,5P z ( ) ( ) 5 4Q x x ( )
2,3( ) 3R w w ( )
13( ; )
2
C x y xy ( )
1
( )
5
N a a ( )
Grados relativos y absolutos de un monomio
Relativo a una variable
Está dado por el exponente de la variable en referencia.
Absoluto
Está dado por la suma de todos los exponentes de sus variables. Se le suele llamar
simplemente grado del monomio.
Ejemplo 11
Si
25)( xxE , entonces, su grado es 2.
Si
433);( yxyxQ , entonces, su grado relativo a x es 3, su grado relativo a y es 4,
el grado del monomio es 3 + 4 = 7.
Ejemplo 12
Determine el grado de los siguientes monomios:
Monomio Coeficiente
Grado
respecto a
x
Grado
respecto a
y
Grado
respecto a
z
Grado
absoluto
3( ; ) 34M x y xy 34 1 3 ---- 4
2 3( ; ) 23,5B x z x z
2 3( ; ; ) 4T x y z x y z
2( ) 3P y xy
31( ; )
5
R y z ay z
82
3.2 POLINOMIOS. OPERACIONES CON POLINOMIOS. VALOR
NÚMERICO
La suma y/o resta algebraica de un número finito de monomios es un polinomio.
Nota:
Decimos binomios a aquellos polinomios formados por dos monomios no
semejantes.
Decimos trinomios a aquellos polinomios formados por tres monomios no
semejantes.
Ejemplo 1
De las expresiones siguientes, indique justificando su respuesta cuáles son polinomios y
cuáles no.
Grados relativos y absolutos de un Polinomio
Relativo a una variable
Está dado por el mayor exponente, respecto a la variable mencionada, de todos los
monomios cuyo coeficiente sea distinto de cero.
Absoluto
Es el grado correspondiente al término de mayor grado, cuyo coeficiente sea distinto
de cero. Se le suele llamar simplemente grado del polinomio.
Ejemplo 2
Determine el grado de los siguientes polinomios:
a. 265)( 4 xxxP
b. 3( ) 15,4S x x
c. 4 1( ) 5 6 4Q x x x
d.
4
3,5
( ; )
y
R x y
x
Polinomio
Grado
respecto a x
Grado
respecto a y
Grado
Coeficiente
principal
a. ( ) 5 3Q x x ----
b. 2( ) 4 6 12R x x x
c. 3 5( ) 5 3C x x x x
d. 2 3 4( ) 3 5 3U x x x x
e. 3 2( ; ) 3 5R x y x y xy y
83
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO
Es el valor que adquiere el polinomio al reemplazar cada variable por el valor asignado
a ellas.
Ejemplo 3
Dado 2 2( ; ) 5 15 3E x y x xy y , determine el valor de E(–2;1).
2 2( 2;1) 5( 2) 15( 2)(1) 3(1) 53E
Ejemplo 4
Dados 4 3( ) 2,P x x x ( ) 3 5Q x x y 2( ) 5R x x x , determine mostrando su
proceso, el valor de:
( 1) (1) 2 ( 1)
3 (1)
P R Q
F
R
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Adición y sustracción
Para sumar o restar polinomios se suma o resta los coeficientes de los respectivos
términos semejantes.
Ejemplo 5
Sean 2( ) 6 5 3P x x x y xxxQ 629)( 2 .
Efectúe: ( ) 3 ( )P x Q x
Solución:
2 2
2 2
2
2 2
6 5 3 3 9 2 6
6 5 3 27 6 18
6 6 5 18 3 27
0 13 24, como 0 0
13 24
x x x x
x x x x
x x
x x x
x
Efectúe: ( ) 2 ( )P x Q x
Solución:
2 2
2 2
2
2
6 5 3 2 9 2 6
6 5 3 18 4 12
6 4 5 12 3 18
10 17 21
x x x x
x x x x
x x
x x
P(–1) =
R(1) =
Q(–1) =
84
EJERCICIO 1
a. Sean 2( ) 4 2 9P x x x y 2( ) 9 6 .Q x x x Determine mostrando su proceso:
( ) 3 ( ).Q x P x
b. Sean 2 2( ) 2 5 3, ( ) 4 2P x x x Q x x x y 2( ) 9 .M x x Determine
mostrando su proceso: 2 ( ) 5 ( ) 3 ( ).Q x P x M x
c. Sean
2 2( ) 6 4 3, ( ) 9 2 6P x x x Q x x x y 3 2( ) 5.M x x x Determine
mostrando su proceso: 5 ( ) 2 ( ) ( ).M x P x Q x
Multiplicación
Ejemplo 6
a. Efectúe: 2(2 )( 3 )x y xy
Solución:
2
2 1 1 1
3 2
(2)( 3)
6
6
x x y y
x y
x y
b. Efectúe: 3 2 3 2 41 110 ( )( )
2 3
m n mn m n
Solución:
3 2 3 2 4
3 1 2 2 3 4
6 9
1 1
10
2 3
5
3
5
3
m n mn m n
m n
m n
85
c. Efectúe:
2 22 (3 )xy x y xy
Solución:
2 2
2 2
1 2 1 1 1 2
3 2 3
2 (3 )
(2 3) 2
6 2
6 2
xy x xy
xx y xxyy
x y x y
x y x y
d. Efectúe:
2 2(2 )(3 )x y x y xy
Solución:
2 2
3 2 2 2 2 3
3 2 2 3
(2 )(3 )
6 2 3
6 5
x y x y xy
x y x y x y xy
x y x y xy
EJERCICIO 2
Reduzca las siguientes expresiones, mostrando su proceso.
b. 4 2 2( ) 3 (4 )(4 )R y y y y
c. 2 2( ; ) 6 4 (3 2)(3 2 )R x y y x y x
d.
2 3 2 2 2( ; ) (3 )( 2 ) 2(3 )( 4 )C m n m n n m m n mn m
a. 2 2( ) 3 (5 ) 6 (2 )P x x y x x xy x
86
e. ( , ) (2 3 )(2 3 ) 5 ( 3 ) (3 )(3 )P x y x y x y x x y x y x y
División de polinomios entre monomios
Ejemplo 7
a. Efectúe:
35
77
23
65
8
64
27
135
yx
yx
yx
yx
Solución:
5 3 6 2 7 5 7 3
2 4 2 4
2 4
5 8
5 8
3
x y x y
x y x y
x y
b. Efectúe:
)5()51525( 42826446 yayayaya
Solución:
6 4 4 6 2 8
2 4 2 4 2 4
4 2 2 4
25 15 5
5 5 5
5 3
a y a y a y
a y a y a y
a a y y
EJERCICIO 3
Reduzca las siguientes expresiones, mostrando su proceso.
a.
5 4 4 5 9 3
2 3 4 7 3
12 9 6
( ; )
3 3 3
m n m n m n
P m n
m n mn m n
b.
5 3 4 2 2 5
2 2
24 18 48
( ; )
3
m n m n m n
Q m n
m n
c.
2 4 26 2 4
( ; ) 2
2
x y xy xy
G x y y
xy
87
d.
3 2 5 4 2
3 3
2
18 9 81
( ; ) 3 27
3
x y x y x y
R x y x y
x y
EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS CON VARIABLES
Es la expresión que adquiere el nuevo polinomio al reemplazar cada variable por el
expresión asignada.
EJERCICIO 4
1. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por 2( ) 5 4 ,P x x
( ) 3 2 ,Q x x evalúa y reduce las siguientes expresiones:
a. (3 )P a
Solución:
2
2
2
(3 ) 5 4(3 )
5 4(9 )
5 36
P a a
a
a
b. 3(2 )P b
Solución:
c. ( 3 ) ( 1)P a Q a
Solución:
2
2
2
2
5 4( 3 ) 3 2( 1)
5 4(3 ) 3 2 2
5 12 1 2
12 2 4
a a
a a
a a
a a
d. ( 3 ) ( 1)P a Q a
88
e. ( 5) ( 1)P a Q a
Solución:
f. (3 ) ( 1)P a Q a
Solución:
2. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por ( ) 5 4 , ( ) 3 5 ,P x x Q x x
determine:
a.
5 4(3 ) 5 4(3)(3 ) (3) 5 12 4 7 4
4
hP h P h h
h h h h
b.
(6 ) (6)Q h Q
h
c.
( ) ( )P x h P x
h
89
REPRESENTACIÓN DE ENUNCIADOS VERBALES AL LENGUAGE
ALGEBRAICO
Una técnica potente para representar e interpretar enunciados verbales es el uso de letras
para expresar cantidades desconocidas variables que pueden tomar un conjunto de
valores posibles dentro de ciertos intervalos. De esta forma, estamos pasando del
lenguaje verbal al lenguaje algebraico.
Costos, ingresos y utilidad:
C = CV + CF CV = Cu. q I = p. q U = I – C
donde:
I : Ingreso q : Cantidad p : Precio de venta
C : Costo total Cu : Costo Unitario
I : El ingreso de una empresa es la cantidad que recibe por la venta de sus productos
o servicios.
CF : Los costos fijos de una empresa son aquellos que no dependen de la producción.
Como por ejemplo: alquileres, pago a secretaria, etc.
CV : Los costos variables son los que dependen directamente de la producción como
por ejemplo: el costo de la materia prima,pago a obreros, etc.
EJERCICIO 5
Determine la expresión algebraica relacionada a los siguientes enunciados:
a. La empresa GaShig se dedica a la fabricación y venta de carteras. El costo unitario
de fabricación es de $ 7,00 y el costo fijo de la empresa es de $ 1200 mensuales. Si
cada unidad tiene un precio de venta de $ 12,50.
Determine la expresión algebraica del ingreso, costo total y utilidad, en términos de
la cantidad de carteras producidas y vendidas.
Definiendo la variable: Sea q la cantidad de carteras producidas y vendidas.
Expresión algebraica del costo total: ………………………………….
Expresión algebraica del ingreso: ………………………………….
Expresión algebraica de la utilidad: ………………………………….
90
b. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su
producto a un precio de venta unitario de $ 112,00 y el costo de fabricación de
cada reloj de aguja asciende a $ 34,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la
empresa es de 2000 dólares.
Determine la expresión algebraica del ingreso, costo total y utilidad, en términos
de la cantidad de relojes de aguja producidos y vendidos.
Definiendo la variable: ………………………………………………..…………..
Expresión algebraica del ingreso: ………………………………….
Expresión algebraica del costo total: ………………………………….
Expresión algebraica de la utilidad: ………………………………….
c. Al taller de carpintería “Komodoy” le cuesta hacer cada carpeta S/ 25,00, los gastos
fijos son de S/ 3000,00 mensuales. Si cada carpeta se vende a S/. 76,00.
Determine la expresión algebraica del ingreso, costo total y utilidad, en términos
de la cantidad de carpetas producidos y vendidos.
Definiendo la variable: ………………………………………………..…………..
Expresión algebraica del ingreso: ………………………………….
Expresión algebraica del costo total: ………………………………….
Expresión algebraica de la utilidad: ………………………………….
d. Su empresa decide contratar el servicio de telefonía. Una compañía que brinda
acceso al servicio tiene dos planes de pago mensuales. El plan Premium cuesta
S/.100 por cargo fijo y S/.0,20 por minuto de llamada y el plan Estándar cuesta
S/.150 por cargo fijo y S/.0,10 por minuto de llamada.
Cantidad de Minutos
( t )
Plan Premium
(S/.)
Plan Estándar
(S/.)
70 minutos
90 minutos
Si t fuera el número de
minutos
Expresión algebraica del costo mensual del plan Premium: …………………………
Expresión algebraica del costo mensual del plan Estándar: …………………………
91
e. Un egresado universitario tiene dos ofertas de trabajo. La compañía ABC le ofrece
un sueldo mensual de S/. 5200 más S/. 40 por hora extra y la compañía DEF le
ofrece un sueldo mensual de S/. 4800 más S/. 60 por hora extra.
Definiendo la variable: ………………………………………………..…………..
Expresión algebraica del sueldo que recibiría por trabajar en la compañía ABC:
……………………………………………..………….
Expresión algebraica del sueldo que recibiría por trabajar en la compañía DEF:
……………………………………………..………….
f. RMA Constructores ha terminado un nuevo edificio de 50 departamentos. Se ha
estimado que si cobran un alquiler mensual de $ 430 por departamento, todas las 50
viviendas se ocuparían. Pero si aumentan el precio del alquiler en $ 10, solo se
ocuparían 49 viviendas. En general, por cada $ 10 que aumente el precio de alquiler
de los departamentos, habría un departamento menos que se ocupe.
Definiendo la variable: Sea x la cantidad de incrementos.
Cant. de
incrementos
Precio del
alquiler mensual
N° de viviendas
ocupadas
Ingreso
($)
0 $ 430 50 43050 = $21500
1 430 + 110 50 – 1 44049 = $21560
2
3
5
x
Expresión algebraica del precio del alquiler mensual luego de una cantidad x de
incrementos.
……………………………………………..………….
Expresión algebraica del N° de viviendas ocupadas luego de una cantidad x de
incrementos.
……………………………………………..………….
Expresión algebraica del ingreso mensual luego de una cantidad x de incrementos.
……………………………………………..………….
92
g. Cuando una empresa de juguetes vende los carritos del Rayo McQueen a S/. 30 cada
uno, tiene una venta diaria de 15 carritos. Sin embargo, por cada S/. 1 que se
reduzca el precio, las ventas aumentan en 2 carritos por día.
Definiendo la variable: ………………………………………………..………..………..………..………..……..
N° soles que
se reduce
Precio unitario
de los carritos
Cantidad diaria de
carritos vendidos
Ingreso
($)
0 S/. 30 15 3015 = S/. 450
1 30 – 11 15 + 21 2917 = S/. 493
2
3
5
x
Encuentre una expresión que represente el precio unitario de los carritos luego de
una reducción de x soles en el mismo.
……………………………………………..………….
Encuentre una expresión que represente la cantidad diaria de carritos que se
venden cuando el precio ha sido reducido en x soles.
……………………………………………..………….
Encuentre una expresión para el ingreso diario cuando el precio ha sido reducido
en x soles.
……………………………………………..………….
93
h. Un editor fijó el precio de un libro en S/. 20, con lo que vende 20 000 unidades al
mes. Decide hacer un aumento en el precio de los libros y estima que por cada
S/. 1 de incremento, la cantidad de libros vendidos al mes se reduciría en 500
ejemplares.
Definiendo la variable: ………………………………………………..………..………..………..………..……..
Encuentre una expresión que represente el precio unitario de los libros luego de x
soles de incremento.
……………………………………………..………….
Encuentre una expresión que represente la cantidad de libros que se venden cuando
el precio ha sido incrementado en x soles.
……………………………………………..………….
Encuentre una expresión para el ingreso diario cuando el precio ha sido
incrementado en x soles.
……………………………………………..………….
94
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 3.1 – 3.2
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. En la expresión algebraica 2 2( ; )E a b ax by , ¿cuáles son las variables?
b. Dado el polinomio 2( ) 4 3,P x x ax ¿cuál es el valor de a si se sabe que
( 1) 5P ?
c. El grado del polinomio 2( ) 4 5 3m mP x x x es 5, ¿cuál es el valor de m?
d. Si 3 2 2 4( , ) 5 8 ,P x y x y x y xy ¿es cierto que )1,1(P es 2?
e. ¿Es cierto que 2( 3)( 5) (2 6)(2 10)x x x x ?
f. ¿Al reducir la expresión 2
2
3
3
x
x x
se obtiene
24 6x x ?
2. Si 31)( 2 xxxxP y xxxQ 62)( 2 . Determine mostrando su proceso el
valor de:
216
2 3
P
E
P Q
3. Si 3 2 2( ) 2 5, ( ) 9 8 6P x x x Q x x x y )4)(1()( xxxR . Determine mostrando
su proceso el valor de:
( 1) 3 ( 2)
(2) 1
P R
F
Q
4. Sean 2 2( ) 12 2 9, ( ) 9 8 6P x x x Q x x x y ( ) 2M x x . Determine mostrando
su proceso: ( ) 3 ( ) 2 ( )M x Q x P x
5. Reduzca la siguiente expresión, mostrando su proceso:
( , ) 5 4 5 4 7 2 3 (2 3) 3 ( 1)P x y x x x x x x
6. Dados los siguientes polinomios: 2 2( ) 2 5, ( ) 3 3M x x x N x x x y ( ) 2 .Q x x
Determine: ( ). ( ) ( 3) ( )N x Q x x M x
7. Si 3 2( ; ) 2 , ( ; ) 3P x y x y Q x y x y xy y 3 2( ; ) 2 ,N x y x y determine mostrando
su proceso:
( ;) 5 ( ; ) 6 ( ; )P x y Q x y N x y
95
8. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por 2( ) 3 5 ,P x x
( ) 2 4 ,Q x x evalúa y reduce las siguientes expresiones:
a. (3 ) 5 ( 3)P a Q a b. ( 5 ) 3 (1 2 )P a Q a
c.
(3 ) (3)Q h Q
h
d.
( ) ( )Q x h Q x
h
9. La empresa “Finish” especialista en la fabricación de agendas, oferta su producto a
un precio de venta unitario de $ 25,00 y el costo de fabricación de cada agenda
asciende a $ 7,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de 4000
dólares. Determine la expresión algebraica del ingreso, costo total y utilidad, en
términos de la cantidad de agendas producidas y vendidas.
10. Un ex empleado de Panesonic tiene dos ofertas de trabajo. La compañía Suny le
ofrece un sueldo mensual de S/. 3200 más S/. 50 por hora extra y la compañía
Phelips le ofrece un sueldo mensual de S/. 4900 más S/. 75 por hora extra.
Determine la expresión algebraica del sueldo que recibiría por trabajar en la
compañía Suny y en la compañía Phelips.
11. Un editor fijó el precio de un libro en S/. 30, con lo que vende 50 000 unidades al
mes. Decide hacer un aumento en el precio de los libros y estima que por cada
S/. 2 de incremento, la cantidad de libros vendidos al mes se reduciría en 400
ejemplares.
a. Encuentre una expresión que represente el precio unitario de los libros luego de
x soles de incremento.
b. Encuentre una expresión que represente la cantidad de libros que se venden
cuando el precio ha sido incrementado en x soles.
c. Encuentre una expresión para el ingreso diario cuando el precio ha sido
incrementado en x soles.
96
3.3 PRODUCTOS NOTABLES. REDUCCIÓN DE POLINOMIOS
Definición. Los Productos notables son un grupo de multiplicaciones algebraicas
muy frecuentes, que se han identificado como fórmulas, y que nos permiten escribir
directamente el resultado abreviando así los cálculos.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
Elevar al cuadrado
Para aprender a elevar al cuadrado una suma, primero debemos entender que elevar al
cuadrado cualquier número equivale a multiplicarlo por sí mismo.
Ejemplo 1
Escriba cada potencia como un producto de 2 factores iguales y a continuación halle el
resultado:
a. 28 8 8 b.
2( 3) c. 213 =
d.
2
3x e.
2
54
3
x
f.
2
4
3
x
g.
2
7
2
x
h.
2
45x i.
2
3x
Ejemplo 2
Escriba cada potencia como un producto de 2 binomios iguales y efectúe la
multiplicación, no use ninguna fórmula.
a. 44422222 222 xxxxxxxx
b. 22 3 ( )( )x ………………………….
c.
2
4 1 ( )( )x ……………………………………………..
97
1. EL CUADRADO DE UNA SUMA
Para hallar el cuadrado de una suma de 2 términos, sin tener que multiplicarlos,
podemos escribir lo siguiente:
2 2 2
Primer Segundo Primer Primer Segundo Segundo
2
término término término término término término
Ejemplo 3
Efectúe
2
3 5x
Se recomienda al principio trabajarlo en dos pasos, usando paréntesis para cada factor.
2
3 5x =
2 2
3 2 3 5 5x x = ……………………………
Ejemplo 4
Efectúe 3 25 4x y
Ejemplo 5
Complete los espacios que faltan en los binomios al cuadrado:
a. 2..... ....... 10 .........x x b. 3 2 3..... ....... 6 .........x x
2. EL CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
Lo único que varía respecto al caso anterior es que el término central del resultado tiene
signo negativo.
2 2 2
Primer Segundo Primer Primer Segundo Segundo
2
término término término término término término
Ejemplo 6
Efectúe 234 x
Solución: 234 x = 22 33424 xx = 92416 2 xx .
Observe que se escribe 342 x y no 342 x , el signo del 3 ya no se considera.
98
Ejemplo 7
Efectúe 253 yx
Ejemplo 8
Efectúe
2
3 52 3x y
2
3 52 3x y =
2 2
3 3 5 52 2 2 3 3x x y y
= ………………………………………
Nota: Observe que los coeficientes 2 y el 3 también se elevan al cuadrado.
Ejemplo 9
Efectúe
2
3
2
5
x
Aquí hay que elevar el numerador y el denominador de la fracción al cuadrado:
Ejemplo 10
Complete los espacios que faltan en los binomios al cuadrado:
a. 2..... ....... 6 .........x x b. 2 2 2..... ....... 14 .........x x
Ejemplo 11
Efectúe
22
3 ( ) (3)x x
¿Es cierto que al desarrollar las expresiones
2
3x y
2
3 ,x el resultado que se
obtiene es el mismo? ¿por qué?
99
3. EL PRODUCTO DE UNA SUMA POR LA DIFERENCIA (O VICEVERSA)
2 2a b a b a b
En ocasiones podemos abreviar el trabajo usando esta sencilla propiedad.
Ejemplo 12
Multiplique: 22 xx
22 xx = 4222 xxx = 42 x
Nota: Observemos que los dos términos intermedios se cancelan.
Ejemplo 13
Multiplique: 4343 xx
Ejemplo 14
Simplifique las siguientes expresiones, usando productos notables.
a. 3 3 2 3 23 5 3 5 (3 ) (5 )x y x y x y
2 69 25x y
b. 2 22 3 2 3 (2 ) ( )x x x
c. 2 2x y x y d. 4 5 4 5x x
e. 3 32 2x y x y f. 2 2( ) ( )x x y x x y
100
4. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES USANDO PRODUCTOS
NOTABLES
Procedimiento
Efectúe las multiplicaciones (aplique productos notables donde sea posible para
abreviar el trabajo).
Elimine los signos de agrupación.
Reduzca términos semejantes.
EJERCICIO 1
Efectúe y simplifique las siguientes expresiones, mostrando su proceso:
a. 2 2( ) 2 3 4 1P x x x
b. 2 2( ) 5 4 3 4 2A x x x
c.
2( ) 24 (5 2)(5 2) (4 3)Q x x x x x
101
d.
23 3 4( ) 5 4 5 4 7 2 1R x x x x x
e. 2 2 2 2 2 2 2 2 2; (3 ) ( 2 ) ( )( )E x y x y y x x y x y
f. 3 3 3 2( ; ) 6 (5 2 ) 3(2 7 )T x y x x y y x 102
EJERCICIO 2
3. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por 2( ) 5 4 ,P x x
( ) 3 2 ,Q x x evalúa y reduce las siguientes expresiones:
a. ( 2) 8 ( )P b Q b
b. 2(1 ) (3 )P a Q a
4. Para cada uno de los polinomios P y Q definidos por 2 2( ) 5 , ( ) 3 5 ,P x x Q x x
determine:
a.
(3 ) (3)P h P
h
b.
( ) ( )Q x h Q x
h
103
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.3
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. ¿Al efectuar 2 2( 3 )x y se obtiene 4 2 26 9x yx y ?
b. ¿Al efectuar 2 2(3 )(3 )x y x y se obtiene 2 23x y ?
c. Si 225 – 36A B x y 5 6,B x ¿cuál es la expresión para A?
2. Complete los espacios que faltan en los binomios al cuadrado:
a. .........14............ 2 xx b. 16........9............ 22 x
c. ........40.......5....... 2 xx d. ........12..............6 2 x
e. ........16.............. 242 xx
3. Efectúe y simplifique las siguientes expresiones, mostrando su proceso:
a. 1313 mm b.
3
2
1
3
2
1
xx c.
2
43 2x
d.
2
51 2x e. 11 22 mm f. 23m n
4. Simplifique las siguientes expresiones:
a.
2 2
3 2 5 2 3x x b. 22 614 xx
c. 22 435 xx d.
2 2
3 7 4 5x x
e.
22
3
531
2
4
xx
f.
2
3 2 3 2 3 2x x x
g.
2
6 2 5 3 2 3 2 3x x x x x h.
26 (4 1)(4 1) 3(5 3 )x x x x
5. Para cada uno de los polinomios P, Q, R y S definidos por 2( ) 5 3 ,P x x
2 2 2( ) 4 , ( ) 3 5 , ( ) 3 7 ,Q x x x R x x S x x x determine:
a.
(4 ) (4)P h P
h
b.
( ) ( )Q x h Q x
h
c.
(2 ) (2)R h R
h
d.
( ) ( )S x h S x
h
104
3.4 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. MÉTODO CLÁSICO Y REGLA
DE RUFFINI
1. CONOCIMIENTOS PREVIOS
Para poder comprender el proceso de la división algebraica revisemos la división de dos
números enteros:
Análogamente, en la división de dos polinomios se tendrá:
entonces:
La DIVISIÓN DE POLINOMIOS es la operación por la cual, si se dan dos polinomios
llamados Dividendo )(D y divisor )(d , se obtienen otros dos polinomios llamados
cociente )(q y residuo )(r (también conocido como Resto), tal que se cumple la
siguiente relación:
a. El grado del dividendo D(x) es mayor o igual que el grado del polinomio
divisor d(x).
b. El grado de r(x) es menor que el grado del divisor d(x).
c. El grado del cociente q(x) se obtiene restando el grado del divisor al
grado del dividendo.
Nota:
Para realizar la división es necesario que, tanto el dividendo como el divisor, estén
completos y ordenados en forma descendente.
2. DIVISIÓN CLÁSICA
xrxqxdxD
23 3
21 7
2
Dividendo
Residuo
Divisor
Cociente
Observamos que:
23 = (3)(7) + 2
3
2
7
3
23
D(x) d(x)
R(x) q(x)
Polinomio
Dividendo
Polinomio
residuo
Polinomio
divisor
Polinomio
cociente
105
Ejemplo 1
Divida 1481216 24 xxx entre 22 1 3x x
Solución:
a. Se ordena en forma descendente y se completan con ceros los coeficientes de los
términos faltantes.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
b. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
dividiendo primero los signos, luego los coeficientes y después la parte literal.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
28x
c. Se multiplica el resultado por cada término del divisor y se coloca debajo de cada
término del dividendo cambiándoles el signo, cuidando que el grado corresponda.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
234 82416 xxx 28x
d. Se suma verticalmente término a término y a continuación se baja un término más.
El primer término siempre se cancela.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
234 82416 xxx xx 128 2
xxx 8424 23
e. Se divide el primer término del polinomio resultante entre el primer término del
divisor.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
234 82416 xxx xx 128 2
xxx 8424 23
106
f. Se multiplica el resultado otra vez por cada término del divisor, se coloca debajo de
cada término del dividendo cambiándoles el signo, y se suma.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
234 82416 xxx xx 128 2
xxx 8424 23
xxx 123624 23
xx 432 2
g. Se baja otro término y se repite el proceso.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
234 82416 xxx 16128 2 xx
xxx 8424 23
xxx 123624 23
14432 2 xx
h. Finalmente ya no se puede seguir dividiendo, porque el grado del residuo es
menor que el del divisor.
14812016 234 xxxx 132 2 xx
234 82416 xxx 16128 2 xx
xxx 8424 23
xxx 123624 23
14432 2 xx
164832 2 xx
3052 x
i. Se escribe el cociente y el residuo:
16128)( 2 xxxq ; 3052)( xxr
107
EJERCICIO 1
Efectúe las siguientes divisiones:
a. xxx 7634 23 entre 32 2 xx
b. 4 2 311 2 20x x x entre 2 2 3x x
c. 3 25 10x x x entre 3.x 108
3. DIVISIÓN SINTÉTICA O MÉTODO DE RUFFINI
La división sintética es un procedimiento abreviado de división, que se puede aplicar
cuando el divisor es de la forma cx , donde c es una constante.
Ejemplo 5: Efectúe la división de xxxP 232)( 3 entre 2x
a. Primero se ordenan y se completan los polinomios: 3202)( 23 xxxxP
entre 2x
b. Igualamos a cero el divisor, obteniendo 2x .
c. Se disponen los coeficientes en una fila como se muestra.
d. Colocamos el valor 2x en la vertical.
e. Empezamos bajando el primer coeficiente y multiplicándolo por el número de la
vertical (en este caso el –2). El resultado lo colocamos debajo del siguiente
coeficiente.
f. Sumamos en la vertical y colocamos el resultado al otro lado de la línea. Ese
resultado lo volvemos a multiplicar por el – 2 de la vertical y colocamos el resultado
debajo del penúltimo coeficiente.
–2 – 4 8
2 0 2 – 3
2 – 4
2 0 2 – 3
–2 – 4
2
2 0 2 – 3
–2
2
109
g. Volvemos a sumar en la vertical y colocamos el resultado (10) al otro lado de la
línea. Multiplicamos 10 por –2 y el resultado lo colocamos debajo del -3. Sumamos
verticalmente. El resultado es el residuo (–23) y lo encerramos en un cajoncito.
h. Los números que quedan en la última línea son los coeficientes del cociente.
i. En este tipo de división el grado del cociente siempre es uno menos que el grado del
dividendo, así:
2( ) 2 4 10q x x x ; ( ) 23r x
EJERCICIO 2
Efectúe las siguientes divisiones, usando el método de Ruffini y luego escriba el
cociente y el residuo
a. 1821125 234 xxxx entre 2x
¿Qué se puede concluir del resultado? …….………………………………………….
b. 339 235 xxxx entre 3x
¿Qué se puede concluir del resultado? …….………………………………………….
2 0 2 – 3
– 2 – 4 8 – 20
2 – 4 10 – 23
110
c. 4 32 4 15 14x x x entre 3x
¿Qué se puede concluir del resultado? …….………………………………………….
d. 4 3 23 10 9 4x x x entre 4x
¿Qué se puede concluir del resultado? …….………………………………………….
111
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.4
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
g. Al dividir 24 5x x b entre 2,x el valor del resto es 5. ¿Cuál es el valor de b?
h. ¿Es cierto que la división de 3 26 7 2 1x x x entre 1x es exacta?
2. Efectúe las siguientes divisiones y luego escriba el cociente y el residuo
a. 5 4 3 26 20 13 4 7x x x x entre 13 2 xx
b. 23165148 2345 xxxxx entre 24 3x x
c. 4 3 24 2 19 2x x x x entre 2 4 3x x .
d. 1694 24 xxx entre 132 2 xx .
e. 5 4 3 22 3 5 1x x x x entre 3 22 5.x x
3. Efectúe las siguientes divisiones, usando el método de Ruffini y luego escriba el
cociente y el residuo.
a. 3 25 6 7 8x x x entre 1x
b. 3 22 9 3 2x x x entre 5x
c. 4 3 22 3 5 6 16x x x x entre 2x
d. 202872 34 xxx entre 3x
e. 70323 234 xxxx entre 2x
112
3.5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
El ingreso de una empresa depende de muchos factores pero sobre todo
de dos: del precio de venta y de la cantidad de artículos que vende.
Por tal motivo, el ingreso puede expresarse mediante la igualdad:
I = pq
Donde p representa el precio de venta de cada artículo y q la cantidad
de artículos vendidos.
Ejemplo 1
Si sabemos que el Ingreso de una compañía es I = 24,
¿Puede usted determinar los posibles valores enteros que podrían tomar p y q?
MONTO DEL
INGRESO
Posible valor de
p
Posible valor de
q
24 = S/. 3 8 u
24 =
24 =
24 =
Entonces cada uno de esos posibles valores de p y q serán los FACTORES del
producto que representa al Ingreso. Es decir, hemos expresado el Ingreso, como
producto de dos cantidades.
Ahora pensemos y respondamos:
El ingreso mensual ),( pI de cierta compañía está dado por:
a. pppI 3)( 2 donde p es el precio unitario de cada
artículo. ¿Puede Ud. expresar )( pI como una multiplicación
indicada?
( )I p
¿Qué expresión representaría a la cantidad de artículos vendidos q? …..……………
b. 2( ) 5I p p p donde p es el precio unitario de cada artículo.
¿Puede Ud. expresar )( pI como una multiplicación indicada?
( )I p
¿Qué expresión representaría a la cantidad de artículos vendidos q? …..…………
En el anterior caso, usted ha factorizado al polinomio Ingreso. Entonces ¿Qué
significará para usted la palabra “factorizar”?
…………………………………………………………………………………
En términos prácticos, factorizar significa expresar un polinomio P(x) como producto
de otros polinomios, pero estos últimos deben ser primos. Es decir:
113
En este caso, esos “ALGO” representan a otros polinomios, pero primos.
Ahora, vayamos a lo formal:
Polinomio Primo
Es aquel polinomio, que no se puede expresar como una multiplicación indicada de
polinomios de grados menores que el suyo.
Ejemplo 2
Son polinomios primos: ( ) 3,P x x ( ) 2 1Q x x y 2( ) 1.R x x
Notemos que: todo polinomio de primer grado es polinomio primo.
Factorización
Es aquel procedimiento que permite expresar un polinomio como una multiplicación
de polinomios primos, a los que se denomina factores primos.
Ejemplo 3
La expresión: )4)(5)(32( xxx se encuentra factorizada.
El polinomio: 5)14)(7( xx no está factorizado.
EJERCICIO 1
Determine si los siguientes polinomios están factorizados (escriba SI ó NO dentro del
paréntesis según sea el caso). En caso NO lo estén, indique el motivo, sobre la línea
punteada.
a. )7)(2()( xxxP ………………………………………………….. ( )
b. ( ) ( 4) 5P x x x ………………………………………………….. ( )
c. 2)1)(32()( xxxP ………………………………………………….. ( )
d. 2)2()( xxP ………………………………………………….. ( )
P(x)
ALGO
ALGO
ALGO
× × … ×
¿Por qué?
¿Por qué?
114
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Son diferentes estrategias que se aplican para factorizar un polinomio. Lo importante es
saber qué estrategia aplicar, según las características del polinomio. En un mismo
ejercicio puede ser necesario usar más de un método.
1. Método del Factor Común
Consiste en identificar un monomio o polinomio común a todos los términos del
polinomio que se desea factorizar. Este será el “factor común”.
Ejemplo 4
Factorizar:
a. 2( ; ) 15 25P x y x z xyz El factor común es 5xz.
Luego: 2( ; ) 15 25 5 (3 5 )P x y x z xyz xz x y
Observación: Es posible factorizar el signo en una expresión
● 5 ( 5)x x ● 3 ( 3)x x
b. )1)(32()1)(()1)(3(),( yxyzyxyxyxyxyxP
El factor común es (x – y – 1).
Luego: ( , ) ( 1) 3 (2 3 )P x y x y x y x y z y
( 1)(3 2 3 )x y x y x y z y
zyxyx 2341
c. 12112),( xxyxxyxP .
Cambiando de signo al segundo término, obtenemos
)1(2)1()1(2),( xxyxxyxP .
El factor común es (x – 1).
Luego: ).22)(1(),( yxxyxP
Note que en el ejemplo (a) se trata de un factor común monomio. Mientras que en los
ejemplos (b) y (c) se trata de un factor común polinomio.
EJERCICIO 2
a. Factorice: (5 2 )( 2 ) ( )( 2 ) 2 ( 2 )a b x y a b x y a x y
¡Expresión factorizada!
¡Expresión factorizada!
¡Expresión factorizada!
115
b. Factorice: 3 – – (2 ) –a x y a b y x
2. Método de Agrupación de términos
Es un método muy similar al anterior. La diferencia es que los factores comunes no
aparecen en todos los términos del polinomio. Hay que agrupar ciertos términos y
aplicar factor común monomio. Posteriormente se aplica factor común polinomio y ¡eso
es todo! Así por ejemplo, si se desea factorizar el siguiente polinomio:
byaybxaxyxP ),(
1
era
Forma: Podemos agrupar los dos
primeros términos y los dos últimos, y
aplicamos factor común monomio:
)()(),( baybaxyxP
Luego aplicamos factor común polinomio:
))((),( yxbayxP
2
da
Forma: Podemos agrupar el primer
término con el tercero y el segundo con el
cuarto, y aplicamos factor común
monomio:
( , ) ( ) ( )P x y a x y b x y
Luego aplicamos factor común polinomio:
( , ) ( )( )P x y x y a b
Ejemplo 5
Factorice:
a. byaybxaxxP 520312)( 22
Agruparemos los dos primeros términos y los dos últimos:
)4(5)4(3),( 2 baybaxyxP
Luego se obtiene: )53)(4(),( 2 yxbayxP
¿Se pudo factorizar agrupando de otra manera? ¡Inténtelo!
…………………………………………………………………………………………….
b. aaxxxxP 284)( 2
Agrupemos el 1
ro
con el 3
ro
y el 2
do
con el 4
to
( ) (4 ) 2(4 )P x x x a x a
Finalmente: ( ) (4 )( 2)P x x a x
¿Se pudo factorizar agrupando de otra manera? ¡Inténtelo!
…………………………………………………………………………………………….
Tenga cuidado con los signos
116
EJERCICIO 3
a. Factorice: 4 8 2b ab a b. Factorice: 5 10 2b ab a
c. Factorice: axxzzawxazyx 22))(())((
3. Método del Aspa Simple
Este método permite factorizar trinomios de la forma: 2n nax bx c donde n pertenece
al conjunto de los números naturales.
Procedimiento:
Paso 1. Una vez que el trinomio se encuentra ordenado, se descompone cada uno de los
términos extremos en dos factores.
Paso 2. La suma de los productos en aspa debe dar como resultado el término central.
Paso 3. Los factores se forman sumando algebraicamente los términos ubicados en las
líneas horizontales respectivas.
Ejemplo 6
a. Factorice: 145)( 2 xxxP
Paso 1. Descomponemos en factores el término cuadrático y el independiente:
Ter. Cuadrático: xxx 2 Ter. Independiente: 2714
Paso 2. Hacemos uso del diagrama del Aspa:
145)( 2 xxxP
Paso 3. Por tanto, la factorización es:
)2)(7()( xxxP
= – 5x
x
x
– 7
7 2
= – 7x
= 2x
Esto comprueba que hemos
factorizado correctamente
117
Note que en el Paso 1, pudimos haber descompuesto de otra manera. Si esta nueva
descomposición cumple el Paso 2, también será una respuesta correcta. En caso una
descomposición no cumpla las condiciones del Paso 2, descomponga de otra forma.
b. Factorice:
352)( 2 xxxQ
Paso 1. Descomponemos en factores el término cuadrático y el independiente:
Ter. Cuadrático: xxx 22 Ter. Independiente: 133
Paso 2. Hacemos uso del diagrama del Aspa:
352)( 2 xxxQ
Paso 3. Por tanto, la factorización es:
)2)(12()( xxxQ
EJERCICIO 4
a. Factorice: 2 5 6x x b. Factorice: 23 13 10x x
x
2x
1
3
= 3x
= 2x
= 5x
Esto comprueba que hemos
factorizado correctamente
118
EJERCICIO 5
1. Aplique el método del factor común (monomio o polinomio) para factorizar los
siguientes polinomios. Tenga cuidado con los signos:
a. 3 2 212 32 8x x y x
b. 3 3 2 22 10 6mn p n p mn p
c. )()( yxbyxa
d. 1)1()1( xxnxm
e. )2(3)2)(1( xxxx
f. ))(2()(3)(2 xybayxbyxa
g. )5()5)(2()5)(2( xbxbaxba
h. 7 5 2 4 5 2 2 2 5q n q n q
2. Aplique el método de agrupación de términos para factorizar los siguientes
polinomios. Tenga cuidado con los signos:
a. 4 4ab x a bx
b. bnanbmam
119
c. 1222 zyxxzxy
d.
2 2 23 2 6ax y x ay x
3. Aplique el método del Aspa Simple para factorizar los siguientes polinomios:
a. 1032 xx
b.
2 10 24x x
c. 26 13 5x x d. 22 3x x
e.
4 3 212 36a a a
f.
5 4 33 10 8x x x
120
g. 23 10 13 4 3a x x a
h.
2( 2)(5 13 5) 2a a a a
4. Método de identidades – Diferencia de cuadrados
Aplicado sólo a binomios con ambos términos de grado par, siendo uno de ellos
negativo.
Se puede escribir:
2 2 ( )( )a b a b a b
Nuestro objetivo es factorizar polinomios del tipo: a
2
– b
2
.
Ejemplo 7
Factorice: 225 x
Solución:
Le damos la forma:
2 25 (5 )(5 )x x x
Finalmente el polinomio está factorizado: )5()5(25 2 xxx
Ejemplo 8
Factorice: 4 216x y
Solución:
Le damos la forma:
2 2 2 2 2(4 ) (4 )(4 )x y x y x y
Finalmente el polinomio está factorizado: 4 2 2 216 (4 ) (4 )x y x y x y
Binomio
suma
Binomio
diferencia
Binomio
suma
Binomio
diferencia
121
Ejemplo 9
Factorice: 6 481x y
Solución:
Le damos la forma:
3 2 2 2 3 2 3 2(9 ) ( ) (9 )(9 )x y x y x y
Finalmente el polinomio está factorizado:
6 4 3 2 3 281 (9 )(9 )x y x y x y
Ejemplo 10
Factorice: q
3
– 36qp
2
.
Solución:
Siempre debemos iniciar buscando si existe un factor común entre todos los términos.
Para este caso existe un factor común que es q, luego
3 2 2 236 ( 36 )q qp q q p
Lo que está en paréntesis cumple las condiciones necesarias para ser factorizado usando
diferencia de cuadrados
3 2 2 236 ( ) (6 )
( 6 )( 6 )
q qp q q p
q q p q p
Finalmente se tiene: )6)(6(36 23 pqpqqqpq .
5. Método de losdivisores binómicos
Se usa cuando hay que factorizar polinomios de grado mayor que 2. El método utiliza la
división por el método de Ruffini. Cuando se factoriza completamente un polinomio, se
han encontrado sus divisores.
Por ejemplo, el polinomio: 1522 xx se puede factorizar por Aspa Simple y
tendríamos:
)3)(5(1522 xxxx
Observe que en el miembro derecho hay un producto, por tanto puede pasar a dividir al
lado izquierdo cualquiera de los dos factores. Es decir, se puede tener esto:
)3(
)5(
1522
x
x
xx
ó )5(
)3(
1522
x
x
xx
En ambos casos se trata de una división exacta, y los divisores del polinomio son
justamente sus factores.
Binomio
suma
Binomio
diferencia
122
El problema es cómo hallar un divisor )(xd de cualquier polinomio, pues si los
hallamos habríamos factorizado al polinomio dado.
Como los divisores más sencillos son los lineales, se empezará por buscar divisores de
esta forma.
TEOREMA DEL FACTOR
Si )(xP es un polinomio y a es un número tal que 0)( aP , entonces decimos que
a es un cero de P . A continuación presentamos formas equivalentes de decir lo
mismo:
a. a es un cero de P .
b. x a es un factor de )(xP
Dado un polinomio.
1
1 1 0( ) , 0
n n
n n nP x a x a x a x a a
Si x a es un factor de )(xP , y a es un número racional. Los posibles valores
racionales que hacen cero el polinomio P, son de la forma:
divisor del termino independiente
divisores del coeficiente principal
a
Ejemplo 11
Factorice 3 2( ) 14 24P x x x x
Solución:
Cuando el coeficiente principal del polinomio es 1, los posibles valores que hacen cero
el polinomio son los divisores del término independiente que es 24.
Los posibles divisores binómicos son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
Recuerda que un factor del polinomio P es aquel que hace cero el residuo, por lo tanto
debemos probar cuales de lo divisores binómicos hacen el residuo cero. (Podemos
aplicar la regla de Ruffini)
Probemos con 2: 1 – 1 – 14 + 24
2x 2 + 2 – 24
1 1 – 12 0
Esto significa que 2 anula al polinomio P , luego 2x es un factor, y como (x – 2)
es un factor también será un divisor de P(x) es decir 2( ) ( 2)( 12).P x x x x Por
último para factorizar 2 12x x , podemos aplicar aspa simple
( ) ( 2)( 3)( 4)P x x x x
123
EJERCICIO 6
Factorice los siguientes binomios:
a. 22 25yx
b. 22 4936 ba
c. 32 7512 nnm
d.
2 2 2 2 24 ( 9) 9b a a b b
e.
2 2 2 29 2 18a b b a
f.
2 24 8 2b a b a
EJERCICIO 7
Aplique el método de los divisores binómicos para factorizar los siguientes polinomios:
a.
3 2( ) 4 6Q x x x x
124
b. 3 2( ) 17 15P x x x x
c. 4 3 2( ) 3 10 24R x x x x x
d. 5 4 3 22 6 8 24Q x x x x x
125
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.5
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. ¿Es cierto que la expresión ( 5) 6x x está completamente factorizada?
b. ¿Al factorizar la expresión
22 5 3x x se obtiene (2 3)( 1)x x ?
c. ¿Al factorizar la expresión 2 2( 9) ( 9)x x x se obtiene ( 3)( 3)x x x ?
d. ¿Al factorizar la expresión ( 3)( 5) ( 3)x x x se obtiene ( 3)( 4)x x ?
e. ¿ 2 5x x es un polinomio primo?
2. Factorice los siguientes polinomios, haciendo uso de cualquiera de los tres primeros
casos. (Recuerde que el proceso de factorización culmina cuando cada factor es
primo)
a. 23 155 byyb b. bababa 42332 10515
c. 6416 2 xx d. 22223 22 mnmnnmmnn
e. bnbxnxx 23 f. 32042 qq
g. bayabxbyax 436223 h. babxaxbxax 665522
i. 234 4826 qqq j. 20 – 5 – 2 8ax bx by ay
3. Factorice los siguientes polinomios, haciendo uso de cualquiera de los casos
estudiados en 4 y 5. (Recuerda que el proceso de factorización culmina cuando
cada factor es primo)
a. 33 205 byyb b. 817216 24 xx
c. annbxbnanx 99 22 d. 233 xx
e. 123 xxx f. 326 23 qq
g. qq 483 3 h. 2222 128128 anpampanqamq
i. 2793 23 xxx j. 2222 anbmbnam
k. 3 2 14 24y y y
126
UNIDAD N° 4. ECUACIONES
4.1 TEORÍA DE ECUACIONES
La vida de Diofanto
3.3 fgf
Plantea el problema:
El epitafio de Diofanto se resuelve a través de una ecuación lineal, pero ¿qué es una
ecuación lineal? Para responder a esta pregunta, debemos saber primero, ¿qué es una
ecuación?
Definición:
Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas.
Estas expresiones son llamadas miembros o lados de la ecuación.
Ejemplos de ecuaciones en una variable:
3( 2) 7 5x ; 24 3 10 0t t ;
2 1
1
1
a
a
a
; 1 4 3x x
Solución de una ecuación. Un número real es una solución de una ecuación, si al ser
reemplazado por la variable en la ecuación hace verdadera la afirmación de igualdad.
También se le suele llamar raíz de la ecuación.
Al conjunto de todas las soluciones de una ecuación se le llama Conjunto Solución de
la ecuación y se suele denotar como CS.
• ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto.
Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga
fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa
infancia. Había transcurrido además una duodécima parte
de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la
séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio
estéril.
• Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de
su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su
hermosa existencia a la tierra, que duró tan sólo la mitad de
la de su padre. Y con profunda pena descendió a la
sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su
hijo.
• ¿Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le
llegó la muerte?
127
Ejemplo 1
El número 3 es solución de la ecuación 2 5x , pues si reemplazamos 3 por la
variable x se tiene una afirmación verdadera: (3) 2 5 .
En base a la verificación anterior podemos decir que el número 3 pertenece al
conjunto solución de la ecuación 2 5x , en otras palabras 3 CS.
Ejemplo 2
Determine en cada caso si el valor propuesto de x es solución de las ecuaciones
mostradas:
Reto: En la siguiente ecuación
2
1
1
x
x
, ¿qué sucede sireemplazamos el valor 1x
para verificar si es o no solución de la ecuación?
Valor Ecuación Operaciones Respuesta
2x 8 20 2 3x x 8( 2) 20 4; 2 3( 2) 4
2 es solución
de la ecuación.
2x 2 43 4 0x x
3
2
n
n
2 6 0n n
6a
2
16
2 3
a a
6y 5 3
3
y
y
7x 9 3 6x x
128
Observación:
En general, encontrar completamente el conjunto solución (aunque puede darse el
caso que el CS no tenga elementos) de una ecuación no es tarea sencilla. Poco a
poco iremos mostrando resultados, para algunos tipos especiales de ecuaciones.
Cuando tenemos una ecuación del tipo “Polinomio = 0” es posible afirmar que el
número de soluciones de la ecuación no puede ser mayor al grado del polinomio
dado.
EJERCICIO
Determine en cada caso el conjunto solución de las siguientes ecuaciones
a. 06 x
CS =
b. 1152 x
CS =
c. 1152 x
CS =
d. 1152 x
CS =
e. 05 x
CS =
f. xx 24
CS =
g. 0
4
3
x
CS =
h. 2
3
1
x
CS =
i. 6)1(2)2(2 xx
CS =
j. )1(21)2(2 xx
CS =
129
k. 4
3
2
2
x
CS =
l. 4
3
1
1
x
CS =
m. 4
3
1
1
x
CS =
n. 2
3
1
1
x
CS =
o. 2
3
1
x
x
CS =
p. 2
3
1
2
xx
CS =
Analicemos los errores típicos:
a. Cuando un número pasa a dividir
al otro lado pasa con su mismo
……………………
Ejemplo: 205 x
CS =
b. Cuando al final obtenemos un cero
al otro lado. El coeficiente de x
pasa a ……………… al cero.
Ejemplo: 05 x
CS =
130
c. ¿Qué haría usted en este caso?
Ejemplo: 2 2x x
CS =
¿se puede eliminar la variable x?
d. ¿Qué haría usted en este caso?
Ejemplo: xx 37
CS =
¿se puede eliminar la variable x?
Clasificación de ecuaciones
Tipo de ecuación Característica
Condicional Conjunto Solución no vacío.
Ejemplo:
El CS de la ecuación:
2
2 4,
3
x
es………………….
Nota: La palabra condicional se refiere a que la ecuación sólo es verdadera bajo la
condición de que la variable x se reemplace por un valor de los valores del conjunto
solución.
Identidad Conjunto Solución no vacío.
Ejemplo:
El CS de la ecuación: 2( 2) 2( 1) 6,x x es…………
Nota: Una ecuación identidad tendrá como solución todos los números reales
porque para cualquier valor de x real los dos miembros de la ecuación son iguales.
Imposible Conjunto Solución vacío.
Ejemplo:
El CS de la ecuación: 2( 2) 1 2( 1),x x es………….
Nota: El adjetivo imposible hace referencia a que ningún valor real reemplazado en
lugar de x logra hacer verdadera la ecuación.
131
4.2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En esta sección nos concentraremos en el tipo más sencillo de ecuación
Sean a y b números reales (con a 0). La igualdad
0ax b
se denomina ecuación de primer grado en x y su .
b
CS
a
Nota: Una ecuación de primer grado tiene una única solución.
Ejemplo 1
La ecuación 3 5 0x tiene la forma 0ax b , con lo cual el C.S.=
5
3
.
Ejemplo 2
Considere el siguiente procedimiento para resolver una ecuación con coeficientes
racionales:
Pasos Resuelva:
2 1 4 9
6 15 10
x x x
1. Elimine los denominadores de
ambos miembros multiplicando la
ecuación por el MCM de los
denominadores.
2 1 4 9
30 30
6 15 10
x x x
2. Efectúe operaciones con el fin de
eliminar signos de agrupación.
2 1 4 9
30 30 30
6 15 10
5(2 1) 2(4 ) 3( 9)
10 5 8 2 3 27
x x x
x x x
x x x x
3. Reduzca los términos semejantes. 24 8
9 24, entonces
9 3
x x
4. Verifique la solución 8 8 83 3 32 1 4 9
6 15 10
5. Escriba el Conjunto Solución 8
3
CS
132
EJERCICIO 1
Determine, mostrando el proceso, el Conjunto Solución de las siguientes ecuaciones.
a. 3 12 0x b. 5 0x
c.
6
0
14
x
d. 8 12x x
e. 1 3
4
x
f. 2( 3) 2 7x x
g. 5
2 3
x x
h. 1
3
1
2
x
x
i.
5
1
24
1
xxx
133
j.
2 3 1
1
2 3 4
x x x
k.
6 7 4
4 6 12
x x x
l.
2 1
2(1 ) 2
10 5
x
x x
134
m.
4 5 1 2
2
3 15 5
x x x
n.
2 3 5 7
1
9 6 2
x x x
EJERCICIO 2
Despeje la variable indicada en cada caso:
a. Despeje r en:
5
9
r
p
b. Despeje n en: 2
3
n
t
135
c. Despeje q en:
3
4
5
q
p
d. Despeje x en:
3
5
x
n x
MODELACIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS MEDIANTE
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Damos algunas pautas que serán de utilidad para la resolución de problemas queinvolucran ecuaciones de primer grado.
Comprensión del problema e identificación de la pregunta a responder
Lea todo el enunciado atentamente.
Cuando sea posible utilice esquemas o diagramas que ilustren el enunciado y las
relaciones entre los datos dados.
Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.
Preste atención a las pregunta del texto, suelen indicar lo que se pide del problema.
Escriba en sus palabras lo que se esta buscando y trate de describir sus unidades o
alguna otra característica importante, finalmente asígnele un nombre, puede ser una
letra, una variable que le recuerde su significado.
Planteamiento matemático del problema
Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. Dichas
relaciones provienen de traducir el enunciado a una o varias ecuaciones (interpretación
de textos)
Resolución
La parte operativa por lo general es sencilla. No debería tener dificultad en resolver las
ecuaciones planteadas. Trabaje cuidadosamente.
Análisis de respuesta y respuesta completa
Reflexione sobre el sentido de los números obtenidos con respecto al contexto del
problema y escriba una respuesta a la pregunta del problema, colocando las unidades
cuando corresponda.
136
PROBLEMAS DE APLICACIÓN I
Resuelva los siguientes problemas.
1. Alberto ingresa a trabajar en una empresa en el mes de enero, el administrador le ha
prometido que cada mes del presente año ganará 300 soles más que el mes anterior.
Si su sueldo acumulado hasta el mes de abril fue de 6500 soles, ¿cuánto ganó en el
mes de marzo?
Variable
Planteamiento
Frase Expresión algebraica
Cada mes gana 300 soles más que
el mes anterior.
Enero :
Febrero :
Marzo :
Abril :
El sueldo acumulado hasta el mes
de abril es 6500 soles
Resolución
Análisis y
respuesta
completa
2. El administrador de una farmacia le ha prometido a Juan Buendía, que cada mes del
próximo año ganará 20 soles más que el mes anterior. Si en el cuarto mes (abril)
gana siete veces lo que ganó en el primer mes, ¿cuánto ganó en el mes de febrero?
Variable
Planteamiento
Frase Expresión algebraica
Cada mes gana 20 soles más
que el mes anterior.
Enero :
Febrero:
Marzo :
Abril :
En abril gana siete veces lo
que ganó en enero.
Resolución
Análisis y
respuesta
completa
137
3. Un empresario repartió una cierta cantidad de dinero entre sus mejores empleados:
Juan, Pedro, Pablo y Lucas. Si Juan recibió la mitad, Pablo la tercera parte, Pedro la
novena parte y Lucas los $60 000 restantes. ¿Cuántos dólares recibió Pedro?
Variable
Planteamiento
Juan: Pablo: Pedro: Lucas:
Total:
Resolución
Análisis y
respuesta
completa
4. Tres personas deciden compartir por igual el costo de un velero; sin embargo, se
encuentra que si se une otra persona, el costo del velero para cada uno de los tres
socios iniciales se reduciría en $ 3000. ¿Cuál es el costo del velero?
Variable
Planteamiento
y Resolución
Análisis y
respuesta
completa
138
5. Entre 10 personas deciden pagar en partes iguales una deuda, pero resulta que 4 de
ellas solo pueden pagar la mitad de lo que les corresponde, obligando, de esta
manera, a que cada una de las demás tenga que pagar S/. 4 más. ¿A cuánto asciende
la deuda total?
6. ¿Por cuánto me voy al final? Romina lleva “Nivelación de matemática” y está
estudiando en la última semana de clases previa a los exámenes finales. Quiere saber
cuál es la nota mínima que debe obtener en el examen final para pasar el curso. Ya
conoce todas sus notas, las revisó por el Intranet de la universidad.
Tipo Evaluación N° Peso Nota
PC PRÁCTICAS PC 1 7% 13.75
PC PRÁCTICAS PC 2 8% 13.75
PC PRÁCTICAS PC 3 9% 9.5
PC PRÁCTICAS PC 4 11% 14
EA EVALUACIÓN PARCIAL 1 20% 12.5
CD PROMEDIO DE EV. DE DESE 1 10% 16.43
TA TAREAS ACADÉMICAS 1 10% 13.25
EB EVALUACIÓN FINAL 1 25%
Avance al 75%
NOTA NO OFICIAL 13.23
a. Exprese una ecuación de primer grado que le permita hallar cuánto necesita en el
examen final, para aprobar el curso con 12,5.
b. ¿Cuál es la máxima nota que puede obtener como promedio final del curso este
semestre?
139
PROBLEMAS DE APLICACIÓN II
1. Lucas incursiona en la producción y venta de bicicletas. Para ello determina que el
costo de fabricación por cada bicicleta es de $ 180; mientras que el costo fijo es de
$ 4200 mensuales. Si el precio de venta al mercado es de $ 300 por cada unidad.
a. Determine las ecuaciones del ingreso, costo total y utilidad, en términos de la
cantidad de bicicletas producidas y vendidas “q”.
b. ¿Cuántas bicicletas vendió el mes pasado si obtuvo una utilidad de $ 1800?
c. ¿Cuál debe ser el nivel de ventas el próximo mes para que Lucas logre una
utilidad del 20% del costo total de producción?
Resolución:
a. Si q es la cantidad de bicicletas producidas, y vendidas.
( ) 300
( ) 180 4200
I q q
C q q
luego
( ) 300 (180 4200)
Ingreso Costo
U q q q
Respuesta. ( ) 120 4200U q q
b. Por dato ( ) 1800,U q donde q representa la incógnita del problema.
Reemplazando en la ecuación de la utilidad, tenemos
( ) 120 4200
1800 120 4200
6000 120
50
U q q
q
q
q
Respuesta. Lucas vendió un total de 50 bicicletas.
c. Por dato ( ) 20% ( ),U q C q donde q representa la incógnita del problema.
Reemplazando en la ecuación de la utilidad, tenemos
( ) 120 4200 20% ( )
120 4200 20% ( )
120 4200 0,2(180 4200)
84 5040
U q q C q
q C q
q q
q
Respuesta. El nivel de ventas el próximo mes debe ser de 60 bicicletas.
140
2. El señor Juan Protector es dueño de la distribuidora “Daihatso” que se dedica a la
compra y venta de un tipo de minicomponente. Se sabe que el costo por la
adquisición de cada minicomponente es de $ 750 y el precio de venta a sus clientes
es de $ 900, y además que el costo fijo es de $ 6300.
a. Determine la ecuación del ingreso, el costo total y la utilidad, en términos de la
cantidad de minicomponentes vendidos.
b. ¿Cuántos minicomponentes vendió la distribuidora “Daihatso” el mes pasado, si
obtuvo un ingreso de $ 765 000?
c. ¿Cuántos minicomponentes debe adquirir y vender la distribuidora “Daihatso” el
próximo mes para obtener una utilidad de $ 7800?
3. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, ofrece su
producto a un precio de venta unitario de $ 240 y el costo de fabricación de cada
reloj de aguja es de $50. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es
de $ 6000.
a. Determine las ecuaciones del ingreso, costo total y utilidad.
b. Si el mes pasado la empresa solo pudo recuperar su inversión ¿Cuántos relojes
de aguja vendió?
c. ¿Cuántos relojes de aguja tendría que vender este mes para obtener una ganancia
de $ 165 000?141
4. La compañía Tich produce tablas de surf de muy buena calidad y durabilidad. Los
costos fijos mensuales de la compañía ascienden a $ 8000 y el costo unitario de
producción es de $ 150. Se sabe además que su ingreso por la venta de 34 tablas de
surf es de $ 18 700.
a. Halle el precio de venta de cada tabla de surf.
b. Determine la ecuación de la utilidad.
c. ¿Cuál debe ser el nivel de ventas para que la compañía logre una ganancia del
32% del costo total de producción?
5. La utilidad mensual de una empresa, dedicada a la compra y venta de laptops está
dada por ( ) 3400U q mq en dólares, donde q es la cantidad de laptops.
a. Si la utilidad generada por la empresa el mes pasado, por la venta de 60
computadoras fue de $ 7400. ¿Cuál es el valor de m? además, escriba la ecuación
de la utilidad
b. ¿Cuál sería la utilidad de la empresa si vendiera 140 computadoras este mes?
Resolución
a. Por dato del problema, U (60) = 7400. Reemplazando en la utilidad
(60) (60) 3400
7400 60 3400
10800 60
U m
m
m
,
luego 180.m
b. Por dato del problema, el valor de q = 140. Del ítem a. ( ) 180 3400,U q q luego
(140) 21800.U
Respuesta. La utilidad sería de $ 21 800.
142
6. Un fabricante de calzado encargó a una empresa consultora que determine una
fórmula para calcular la utilidad semanal generada por la venta de sus productos.
Suponga que la empresa determinó que la utilidad U en dólares generada por la
producción de q pares de zapatos por semana se podía calcular usando
( ) 2000.U q mq
a. Si la fábrica la semana pasada obtuvo una utilidad de $ 73 000 por la venta de
5000 pares de zapatos. ¿Cuál es el valor de m?
b. ¿Cuál es el costo fijo de la fábrica?
c. Debido a una falla en una máquina la fábrica solo podrá entregar 340 pares la
próxima semana, ¿gana o pierde? ¿cuánto?
7. Suponga que el ingreso que obtiene la empresa “The Sky S.A” dedicada a la
producción y exportación de televisores 3D está dado por
2( ) 0,08 50I q q q en
cientos de dólares, donde q representa el pedido en miles de televisores. Si la
empresa tiene proyectado cerrar un pedido por 6000 televisores 3D la próxima
semana, ¿A cuánto ascendería el ingreso por dicha venta?
143
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 4.1 – 4.2
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Dada la ecuación 9 0,ax donde a es una constante. ¿Qué valor puede tomar
a para que la ecuación no tenga solución?
b. Se sabe que una solución de la ecuación 2 1 3 0,x b es 5 .¿Cuál es el
valor de b?
c. ¿Cuál es el CS de la ecuación
5 3 15
4 12
x x
?
d. ¿Cuál es el CS de la ecuación
2 1 2
6 6
x x
?
e. Dada la ecuación 2( 2) ( 3) 4 1,x x x ¿es cierto que el CS es vacío?
2. Determine, mostrando su proceso, el Conjunto Solución de las siguientes
ecuaciones.
a. 4 12 0x b. 7 0x
c.
8
0
14
x
d. 8 12x x
e. 1 4
3
x
f. 2( 5) 2 7x x
g. 5
3 4
x x
h.
1
5 1
3
x
x
3. Determine, mostrando su proceso, el conjunto solución de las siguientes
ecuaciones.
a.
3 1 2 1
2 5 4 3
x x x x
e.
1 1 2
3 6 2
x x
b.
1 2 1 2 1
1
5 2 4
x x x
f.
2 4 2 6 7 2
12 4 6
x x x
c.
3 7 1 3 2
2
5 10 4 3 2
x x x
g.
3 1 3
2 4 3 2
x x x x
d.
2 7 9 8 3 5
3 14 21
x x x
h.
1 1
5 4 2
x x x
4. Jenniel y Arturo coleccionan estampitas. Actualmente Jenniel tiene 360 estampitas y
Arturo tiene 80. Si cada año cada uno compra 6 estampitas, ¿dentro de cuántos años
Jenniel tendrá el triple de estampitas de Arturo?
5. El gerente del restaurante “Brisas del Titiquiqui”, gastó un total de $ 7400,00 al
adquirir 200 juegos de platos. Si el diseño básico cuesta $ 25,00 por juego y el
diseño de lujo cuesta $ 45,00 por juego, ¿cuánto gastó en total por los juegos de
platos del diseño de lujo?
144
6. Una empresa de jeans en liquidación, posee 2 500 unidades de pantalones en su
almacén. La empresa decide vender cierta cantidad de unidades a $ 20 y el resto lo
liquida a $15, con lo que completa el dinero para poder cumplir con todas sus
obligaciones que son de $ 40 000, ¿cuántas unidades se liquidaron?
7. Un cine ha proyectado una determinada película solo tres días: lunes, martes y
miércoles de la semana pasada. Se sabe que el número de espectadores se
incrementó el martes en un 12% respecto al lunes; que el miércoles el número de
espectadores disminuyó un 12% respecto al martes y que el lunes hubo 36
espectadores más que el miércoles. ¿Cuántos espectadores vieron la película el día
miércoles?
8. Tres amigos deciden compartir un taxi. Cuando están a punto de subir al taxi, se
unen al grupo dos amigos más, por lo que cada uno termina pagando 2 soles menos
de lo que iba a pagar inicialmente. ¿Cuánto les cobró el taxista?
9. Entre 10 primos deciden pagar, en partes iguales, una deuda que se originó por un
sobregiro de la tarjeta de crédito por parte de su abuelo, pero resulta que 4 de ellos
solo pueden pagar la tercera parte de lo que les corresponde, obligando, de esta
manera, a que cada uno de los demás añadiese a su cuota inicial $ 20,40. ¿Cuál es el
monto total de la deuda?
10. Un fabricante de cuadernos empastados que se venden a pedido con el logo de la
empresa que los requiera, planea vender cada unidad a S/. 20. El costo de cada
cuaderno es de S/. 15 y el costo fijo mensual es de S/. 9000.
a. Determine la ecuación del ingreso, costo total y utilidad, en términos de la
cantidad de cuadernos producidos y vendidos.
b. Si se desea obtener una utilidad 60 000 soles el próximo mes. ¿Cuántos
cuadernos se deben vender?
11. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su
producto a un precio de venta unitario de $ 115,00 y el costo de fabricación de
cada reloj de aguja asciende a $ 25,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la
empresa es de 2000 dólares. ¿Cuántos relojes de aguja debe producir y vender la
empresa para obtener una ganancia de $ 394 000 al mes?
12. El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo
unitario por la fabricación de cada chompa es de $60,00. Si los costos fijos de la
fábrica ascienden a $3500 al mes y el precio de venta unitario es de $110,00.
¿Cuántas chompas de lana de alpaca se deben vender al mes, para obtener una
utilidad total de $ 1278 000 por año?
13. La empresa Maximusestima que la utilidad semanal U en miles de dólares, está
dada por el polinomio ( ) 28U q bq donde q es la cantidad en cientos de
fotocopiadoras vendidas.
a. Si se sabe que la empresa la semana pasado obtuvo una utilidad de $182 000 por
la venta de 700 fotocopiadoras. ¿Cuál es el valor de b?
b. Determine, según el modelo, la utilidad que obtendría la empresa si la próxima
semana vendiera 400 fotocopiadoras.
145
02 cbxax
4.3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Fábrica de zapatos
Definición: Ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática,
es toda ecuación que tiene como forma general (canónica):
donde: a , b y c son coeficientes reales y 0a .
x es la incógnita (variable).
Al término 2ax
se le conoce como término cuadrático; al término bx se le conoce
como término lineal; al término c se le conoce como término independiente o
término constante.
1. RESOLUCIÓN POR FÓRMULA CUADRÁTICA (O FÓRMULA
GENERAL).
Recordemos la forma general (canónica) de la ecuación cuadrática:
02 cbxax , 0a .
El símbolo es conocido como ‘discriminante’ y está definido por: acb 42
1° Caso: Si 0 , las raíces (soluciones) de la ecuación 02 cbxax , son:
a
b
x
2
1
a
b
x
2
2
2° Caso: Si 0 las raíces son iguales (se dice que hay una raíz doble).
3° Caso: Si 0 no hay raíces reales: CS
Una fábrica de zapatos vende calzados deportivos a $ 40 el
par. Si se piden 50 pares o más, hay oferta por mayoreo: el
precio de cada par se reduce en $ 0,04 por el número total
de pares pedidos. Si el pedido máximo puede ser de 600
pares,
¿Cuántos pares se pueden comprar con $ 8400?
¿Cuál es el ahorro por descuento al mayoreo?
146
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación siguiente con la fórmula general: 0274 2 xx
Solución:
En este caso: 4, 7a b y 2.c Ahora hallamos el valor del discriminante :
81
24474
22
acb
El discriminante , es mayor que 0 ( 0 ), por lo tanto hay dos raíces reales y
distintas.
Reemplazando en
a
b
x
2
, tenemos:
1
1,2
2
7 9
2
7 81 7 9 8
7 9 12 4 8
8 4
x
x
x
Finalmente:
1
2;
4
CS
NOTA: Para aplicar la fórmula general (fórmula cuadrática), primero se debe expresar
la ecuación en la forma canónica: 02 cbxax
Ejemplo 2
Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 3522 22 xxx
Solución:
Primero expresamos la ecuación cuadrática en su forma canónica:
2 5 1 0x x
Una vez expresada la ecuación en su forma canónica, podemos identificar los
coeficientes a, b y c: a = 1, b = 5 y c = 1.
El coeficiente a es el que multiplica a x
2
; en este caso su valor es 1.
Ahora hallamos el valor del discriminante :
21
11454
22
acb
El discriminante , es mayor que 0 ( 0 ), por lo tanto hay dos raíces reales y
distintas.
147
Reemplazando en
a
b
x
2
, tenemos:
1
1,2
2
5 21
5 21 5 21 2
2 1 2 5 21
2
x
x x
x
Finalmente:
5 21 5 21
;
2 2
CS
Ejemplo 3
Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 22 5 7 0x x
Solución:
En este caso: 2,a 5b y 7.c Ahora hallamos el valor del discriminante :
22 4 5 4 2 7
31
b ac
El discriminante , es menor que 0 ( 0 ), por lo tanto no hay dos raíces reales.
CS
Ejemplo 4
Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: 29 12 4 0x x
Solución:
En este caso: 9,a 12b y 4.c Ahora hallamos el valor del discriminante :
22 4 12 4 9 4
0
b ac
El discriminante , es igual a 0 ( 0 ), por lo tanto no hay una raíz real.
2
3
CS
148
EJERCICIO 1
1. Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando su proceso e indicando el conjunto solución.
Ecuación Forma canónica a b c
Discriminante
acb 42
Solución:
CS
743 2 xx 0743
2 xx
3 – 4 – 7
( 6) 9x x
2 5 4x x
22 7 3x x
xx 54 2
( 1) 25x x x
4 3 1x x
a
b
x
2
2,1
149
¿Cuál es su conclusión sobre el valor del discriminante y el número de soluciones
reales de una ecuación cuadrática?
2. Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.(sin usar la fórmula
general)
a. 23 4 7x x b. 23 8 4 0x x
c. 24 5x x d. 23 5x x
e. 24 9 0x f. 2 49 0x
150
EJERCICIO 2
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Dada la ecuación 2 1 0x bx , donde b es constante, ¿qué valores puede tomar
b para que la ecuación tenga solución única?
b. Si el discriminante de la ecuación cuadrática 2 3 2,kx x donde k es una
constante, es 17. ¿Cuál es el valor de k?
c. Dada la ecuación 2 0x bx , donde b es constante, ¿qué valores puede tomar b
para que la ecuación tenga dos soluciones diferentes?
2. Resuelva las siguientes ecuaciones mostrando su proceso e indicando el conjunto solución.
a.
21 ( 2)
3 6 4
x x x
151
b. 2
2 5
( 2) 3
3
x
x
c. 2 ( 3) 7 3(4 )x x x
d.
2 2 5 4
15 3 5
x x
152
2. MODELACIÓN DE PROBLEMAS
Al modelar un problema, se recomienda seguir los siguientes pasos:
PROBLEMAS
1. Suponga que el ingreso que obtiene mensualmente la empresa “The sky S.A”
dedicada a la producción y exportación de café está dado por
2( ) 800 50 ,I q q q donde I está en dólares y q representa la cantidad de toneladas
vendidas de café. Si el mes pasado el ingreso que obtuvo la empresa fue de $ 16
800. ¿Cuántas toneladas de café vendió el mes pasado?
Comprensión del problema: es preciso leer bien el problema y elegir la
variable.
Planteamiento: establecer relaciones entre la variable y los datos.
Resolución: es la parte operativa del problema. Es bueno verificar los
resultados obtenidos.
Análisis de respuesta y respuesta completa: se debe reflexionar sobre el
sentido de los números obtenidos y escribir la respuesta completa. No
olvidarse de indicar las unidades.
153
2. La empresa Maximus estima que la utilidad semanal U en miles de dólares está
dada por el polinomio 780125
2 qqU , donde q es la cantidad en cientos de
fotocopiadoras vendidas.
a. Determine, según el modelo, la utilidad que obtuvo la empresa si la semana
pasada vendió 6000 fotocopiadoras.
b. ¿Cuántas fotocopiadoras debe vender la empresa la próxima semana, si desea
obtener una utilidad de 28 245 000 dólares?
3. La empresa “Listen Now SAC” especialista en la fabricación de audífonos estima
que al inicio de sus operaciones, la utilidad diaria U en dólares, después de t días
de comercializar su producto, estará dada por el polinomio 82
2 tatU , donde a
es una constante positiva.
a. Si la fábrica después de 5 días obtuvo una utilidad de $127 ¿Cuál es el valor
de a?
b. ¿Cuántos días después del inicio de sus operaciones la empresa “Listen Now
SAC” obtendrá una utilidad de 512 dólares?
154
4. Un fabricante de mochilas puede producir y vender q unidades de un producto cada
semana a un precio de p dólares por unidad, 300 2 .p q Determine
a. La ecuación de ingreso en términos de q.
b. La ecuación del ingreso en términos de p.
c. ¿Cuántas mochilas debe vender como mínimo la fábrica para obtener un ingreso
de $ 11 200?¿a qué precio?
5. RMA Constructores ha terminado un nuevo edificio de 60 departamentos. Se ha
estimado que si cobran un alquiler mensual de $ 450 por departamento, todas las 60
viviendas se ocuparían. Pero si aumentan el precio del alquiler en $ 10, solo se
ocuparían 59 viviendas.
a. ¿Cuál sería el ingreso si se cobra un alquiler mensual de $ 450?
b. ¿Cuál sería el ingreso si se cobra un alquiler mensual de $ 460?
155
En general, por cada $ 10 que aumente el precio de alquiler de los departamentos,
habría una vivienda menos que se ocupe.
Cant. de
incrementos
Precio del
alquiler mensual
($)
N° de viviendas
ocupadas
Ingreso
($)
0 450 60 45060 = $27000
1 450 + 110 60 – 1 46059 = $27140
2
5
X
c. Si el precio de alquiler se fija en $ 500, ¿cuántas viviendas se ocuparían?
d. Encuentre una expresión que represente el precio de alquiler, si se hicieron x
incrementos de $ 10 en el precio.
e. Encuentre una expresión que represente la cantidad de viviendas ocupadas en
términos de x.
f. Encuentre una expresión que represente el ingreso en términos de x.
g. ¿Cuánto se debe cobrar como alquiler para generar $ 27 000 de ingreso y a la vez
mantener algunas viviendas desocupadas?
156
6. Un editor fijó el precio de un libro en S/. 20, con lo que vende 20 000 unidades al
mes. Decide hacer un aumento en el precio de los libros y estima que por cada
S/. 1 de incremento, la cantidad de libros vendidos al mes se reduciría en 500
ejemplares.
a. Encuentre una expresión para el ingreso en términos de x. (Nota: Ingreso =
precio * cantidad)
b. ¿En cuánto se debe fijar el precio de los libros para que el ingreso sea de
S/. 450 000 mensuales?
157
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 4.3
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Dada la ecuación 2 4 0x bx , donde b es constante, ¿qué valores puede
tomar b para que la ecuación tenga solución única?
b. Si el discriminante de la ecuación cuadrática 2 2,x kx donde k es una
constante, es 17. ¿Qué valores puede tomar k?
c. Se sabeque una de las soluciones de la ecuación 0122 czz es 9z , ¿cuál
es entonces el valor de c ?¿Cuál es la otra raíz de la ecuación?
d. Si la ecuación cuadrática 2 6 0x x c , donde c es constante, tiene solución
única, ¿Cuál es el valor de c?
e. Dada la ecuación 2 4 ,x x ¿el conjunto solución de la ecuación es 4 ?
f. La ecuación 2 16 0,x ¿tiene una sola solución?
2. Determine el C.S. de las siguientes ecuaciones, mostrando su proceso.
a. 2 5x x b. 4695 2 x
c. 2 2( 3) (2 5) 16x x d. 2658 xx
e. 6543 2 xx f. 26 11 35x x
g. 0472 2 xx h. 212 40 17x x
i. 4 ( 5) 8 4(3 2 )x x x j. 2251 xxx
k.
2
2 1 8 4x l. 072242 2 xx
m.
2( 2) 1
4 3 6
x x x
n.
9 ( 3)
0
2 3
x x
ñ. ( 12) 5 6 4x x x o. 4 ( 2) 2x x x
3. Luego de un análisis de mercado se concluyó que la regla de correspondencia que
modela la demanda de polos M&M es 2 8 20p q q , donde el precio p está
expresado en dólares y la cantidad q la demanda en cientos de unidades. Para un
precio de $ 10,25, ¿Cuántas unidades se demandan en el mercado?
4. La fábrica TecLisen estima que la utilidad semanal U en miles de dólares, está dada
por el polinomio 2( ) 1,2 4 12,U q q q donde q es la cantidad en cientos de
refrigeradoras vendidas.
a. Determine, según el modelo, la utilidad que obtuvo la empresa si la semana
pasada vendió 1500 refrigeradoras.
b. ¿Cuántas refrigeradoras debe vender la empresa la próxima semana, si desea
obtener una ganancia de 548 000 dólares?
158
5. La empresa Olimpo estima que al inicio de sus operaciones, la utilidad mensual
U en miles de euros, después de t meses de comercializar su producto, estará dada
por el polinomio 2( ) 3 18 2U t t t . Determine, según el modelo, cuántos meses
transcurrirán para que la empresa Olimpo obtenga una utilidad de
646 000 euros.
6. Un padre cuenta con cierta cantidad de dinero para comprarles ropa a sus dos hijos
mellizos. Antes de salir, sus hijos le preguntan qué cantidad de dinero puede gastar
en cada uno de ellos, a lo que su padre les contesta: “En realidad tengo dos
cantidades destinadas para ello, cuya diferencia es 82 soles y su producto es
10 640”. Si ambas cantidades se repartirán por igual entre los dos hijos, ¿cuánto
podrán gastar cada uno en sus compras?
7. Cuando una empresa de juguetes vende los carritos del Rayo McQueen a S/. 30 cada
uno, tiene una venta diaria de 15 carritos. Sin embargo, por cada S/. 1 que se
reduzca el precio, las ventas aumentan en 2 carritos por día.
a. Encuentre una expresión que represente el precio unitario de los carritos luego de
una reducción de x soles en el mismo.
b. Encuentre una expresión que represente la cantidad diaria de carritos que se
venden cuando el precio ha sido reducido en x soles.
c. Encuentre una expresión para el ingreso diario cuando el precio ha sido reducido
en x soles.
d. ¿Qué precio de venta hará que el ingreso diario sea de S/. 700?
8. LM Building ha terminado un nuevo edificio de 70 departamentos. Se ha estimado
que si se cobra un alquiler mensual de $ 420 por departamento, todas las 70
viviendas se ocuparían. Pero por cada $ 4 de aumento en el precio de alquiler, se
ocuparía 1 vivienda menos. ¿Cuánto se debe cobrar de alquiler para generar
$ 25 000 de ingreso?
9. Suponga que el ingreso que obtiene la empresa “The sky S.A” dedicada a la
producción y exportación de televisores 3D está dado por
2( ) 80I q q aq en
cientos de dólares, donde q representa el pedido en miles de televisores por parte
de un cliente.
a. Si por la venta de 3000 televisores 3D obtiene un ingreso de $ 69 000, ¿Cuál es
el valor de a?
b. Si la empresa tiene proyectado cerrar un pedido por 6000 televisores 3D la
próxima semana, ¿A cuánto ascendería el ingreso por dicha venta?
159
4.4 ECUACIONES RACIONALES
1. EXPRESIONES RACIONALES
Definición: Una Expresión Racional, es el cociente de dos polinomios.
)(
)(
xQ
xP
es una expresión racional, Q(x) 0.
Los polinomios P(x) y Q(x) son los términos de la expresión racional. El polinomio
P(x) es el numerador y el polinomio Q(x) es el denominador.
Ejemplo 1
Expresiones racionales:
2
1x
,
22 3
5
x
x
y
2
1
2 3
x
x x
EJERCICIO 1
Indique cuáles de las siguientes expresiones son racionales.
Expresión
(en la variable x)
¿Es o no es? ¿Por qué?
a.
3
2
x
x
b.
2
4
2
x
x
c.
4
3x
d.
5
3
2
x
x
2. CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)
Es el conjunto de valores que puede tomar la variable de tal forma que la expresión
exista. En las expresiones racionales consta de todos lo números reales EXCEPTO los
valores de la variable que hacen que el denominador se haga cero.
Ejemplo 2
Determine el CVA de:
4
5x
Solución
El CVA son todos los valores que puede tomar la variable x, en este caso serán los
reales EXCEPTO, el valor de x que hace cero el denominador. Tenemos que ese
valor es: 5 0,x entonces 5.x Entonces: CVA = R – {5}
160
Ejemplo 3
Determine el CVA de:
6
6
2
xx
x
Solución
Ejemplo 4
Determine el CVA de:
3)1(
4
2
2
xx
x
Solución
EJERCICIO 2
Determine el C.V.A. de las siguientes expresiones racionales.
Expresión(en la variable x) CVA
a.
7x
x
b.
12
4
x
c.
5
25
2
x
x
d.
2
4
3x x
e.
100
2
5
x
x
f.
492
1
2
xx
x
g.
162 x
x
El CVA son todos los valores que puede tomar la variable x, en este caso serán los
reales EXCEPTO, el valor de x que hace cero el denominador. Para ello
factorizamos el denominador e igualamos a cero: 3 2 0,x x entonces 3x
y 2x son los valores prohibidos, entonces CVA = R – {–2; 3}
Observando el denominador vemos que tenemos dos factores: 1x y 2 3x , al
igualar a cero cada uno para hallar los valores prohibidos tenemos: 1 0x y
2 3 0x En el primer caso 1x , en el segundo caso no hay valor de x donde
2 3.x Por lo tanto: CVA = R – {1}
161
3. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES
Se dice que una expresión racional está totalmente simplificada cuando al factorizar
numerador y denominador, éstos no admiten ningún factor común. Entonces primero se
factoriza numerador y denominador, se determina el CVA y finalmente se simplifica.
Ejemplo 5
Determina el CVA y simplifica la siguiente expresión racional:
2
2
6
4
x x
x
Solución:
EJERCICIO 3
Halle el CVA y simplifique las siguientes expresiones racionales:
a.
2
2
2
3 10
x x
x x
b.
2
2
6
4
x x
x
c.
2
3 2
4 5
5
x x
x x
d.
2
2
2 7
6 11 35
x x
x x
Al factorizar el numerador y denominador tenemos:
22
23
xx
xx
C.V.A = R – { – 2; 2}. Luego al simplificar obtenemos:
2
3
x
x
162
4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
El MCM de dos o más polinomios es el producto de sus factores comunes elevados a su
mayor exponente por los factores no comunes.
Ejemplo 6
Determine el MCM de 2 2 36 ; 3 ; 12x xy x y
Solución:
Ejemplo 7
Determine el MCM de: 2 24; 6.x x x
Solución:
EJERCICIO 4
Halle el M.C.M de los siguientes polinomios:
a. 3( ) 9 2A x x x
23)( xxB
2( ) 4 4C x x x
b. 45)( 2 xxxA
168)(
2
xxxB
c. xxxA 5)( 2
3( ) 25B x x x
El M.C.M de los coeficientes es 12. En el caso de las variables la variable común es
x, tomamosla que esta elevada al mayor exponente x
3
por el factor no común
elevado al mayor exponente: y
2
. Entonces, MCM = 12 x
3
y
2
.
Primero factorizamos cada uno de los polinomios ( 2) – 2 ; 2 3 .x x x x
Luego el MCM = ( 2) – 2 3 .x x x
163
5. OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES
Suma y resta de expresiones racionales.
Si las expresiones racionales tienen el mismo denominador, entonces, su suma o
diferencia se obtiene sumando o restando los numeradores y como denominador el
denominador común.
Ejemplo 8
Determinar el CVA y efectuar
5 2 2
1 1 1
x x
x x x
Ejemplo 9
Determinar el CVA y efectuar
2 2
1
4 4 4
x
x x x
EJERCICIO 5
Efectúe la suma de las siguientes expresiones y simplifique, además determine el CVA.
a.
3 1
1
2
x
x
x
b.
2
2 3 5
1 1 1
x
x x x
CVA = R – {1}. Como tienen el mismo denominador tenemos:
5 2 2 5 2 2 3
.
1 1 1 1 1
x x x x x
x x x x x
Primero factorizamos los denominadores:
2
1
2 2 2
x
x x x
;
Luego el CVA = R – {–2,2}.
2
2 2
2 2 3 2
2 2 2 2
x x x x x
x x x x
164
c.
2
2
2 1 4x x
x x
d.
2
3 2
1
2 4
x x
x x
e.
2
1 5
2 4 4
x
x x x
f.
2
1 1 1
1 3 4 3
x
x x x x
165
6. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES RACIONALES REDUCIBLES A
LINEALES O CUADRÁTICAS EN UNA VARIABLE.
Una empresa exportadora de productos
alimenticios paga la suma de $ 48 000 por el
transporte de cierto número de contenedores, pero
lamentablemente en el momento del envío detectan
que 8 de ellos contienen productos que no cumplen
con los estándares de calidad para ser enviados. El
pago sigue siendo el mismo lo que hace que el costo
sea 300 dólares más por cada unidad de contenedor.
¿Cuántos contenedores envió finalmente la empresa
exportadora?
Planteamiento del problema:
Definición: Las ecuaciones racionales, son aquellas en las cuales uno de sus
miembros contiene una expresión racional.
Ecuaciones racionales reducibles a primer grado
Son ecuaciones racionales que al momento de resolverse conducen a resolver una
ecuación de primer grado.
Ejemplo 10
Resuelva:
127
8
3
2
4
3
2
xxxx
Estrategia de solución
1. CVA (Conjunto de
valores admisibles de
la ecuación)
Los valores que no puede asumir la incógnita se
llaman restricciones y se obtienen igualando el
denominador a cero.
En este caso: 3 y 4.
El conjunto de valores admisibles son todos los reales
distintos de 3 y de 4. Es decir:
x 3 y x 4.
Es decir x R - {3; 4}
166
2. Operaciones
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el
M.C.M= 43 xx
9
88293
84233
x
xx
xx
3. Verificación de la
respuesta
9 pertenece () al conjunto de valores admisibles
4. Expresión del
Conjunto solución
C.S. = {9}
EJERCICIO 6
Resuelve las siguientes ecuaciones, muestre su proceso e indique su CVA.
a. 3
42
xx
b.
3 3
2
1 1
x
x x
c.
2 1
1 3
x x
x x
167
d.
1 1 2
6 3x x
e.
xxx
x
x
x
5
1
5
21
2
Ecuaciones racionales reducibles a segundo grado
Son ecuaciones racionales que al momento de resolverse conduce a resolver una
ecuación de segundo grado
Ejemplo 11
Resuelva:
2
3 6 11 7
1 4 3 3
x
x x x x
Estrategia de solución:
1. C.V.A.
1, 3
1:3
x x
CVA R
2. Operaciones
Multiplicar a la expresión por el 1 3MCM x x y
simplificar
2
2
3 3 6 11 7 1
3 3 18 11 7
7 15 8 0
x x x
x x x
x x
Resolviendo la ecuación de segundo grado
8
7 8 1 0 1
7
x x x x
168
3. Verificación de la
respuesta
8
7
es un valor admisible.
4. Conjunto solución
8
7
CS
EJERCICIO 7
1. Resuelve la siguiente ecuación, muestre su proceso e indique su CVA.
a.
1 6
1
4x x
b.
2
2 2 1
1
x
x x x x
c.
2
3 2
1
2 4
x x
x x
169
d.
2
2 2 2
2 5 6 3
x x
x x x x
e.
2
4 2 7
4 3 3 4x x x x
f.
2
4 4
3
2 2 8
x
x x x
170
2. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas
a. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación 4
3
62
x
x
?
b. Dada la expresión 1
2
2
x
x
, ¿podemos afirmar que el CS es R ?
c. El CS de la ecuación 0
4
x a
x
es 0 , ¿Cuál es el valor de a?171
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 4.4
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Dada la expresión
2
4
,
4
x
x
¿Qué valores admite la variable x?
b. Si el CVA de la expresión
2
4
6
x
x ax
es 2;3 ,R ¿Cuál es el valor de a?
c. Dada la siguiente expresión racional
2
3
( 3 10)
x
x x x
, ¿cuáles son los valores
que no puede tomar la variable x?
d. ¿Al simplificar la expresión
23 2x
x
se obtiene 3 2x ?
e. ¿Al sumar la expresión racional
2 3
1 1x x
se obtiene
2
5
1x
?
f. ¿Al simplificar la expresión
2
2
2
3
x
x
x
se obtiene 62 2 xx ?
g. Dada la expresión
3
1
3
x
x
, ¿podemos afirmar que el C.S. es R ?
h. El CS de la ecuación 0
7
x b
x
es 4 , ¿Cuál es el valor de b?
i. Dada la expresión
2 9
,
3 3
x
x x
¿podemos afirmar que el C.S. es 3; 3 ?
2. Determine el CVA de las siguientes expresiones:
a.
)1)(4(
)1(2
2
xx
x
b.
2
2
(9 )
x
x x
c.
2( 4)(2 3 )
x
x x x
3. Determine el CVA, halle la suma y simplifique:
a.
2
4
2
4
xx
b.
2
1
1 1
x x
x x
c.
4
10
2
3
2
1
2
x
x
xx
d.
2
7 52
4 4 16
x x
x x x
e.
2
7 21
3 3 9
x x
x x x
f.
2
4 2 5
1 1 1
x
x x x
172
4. Resuelva las siguientes ecuaciones, muestre su proceso e indique su CVA y su
conjunto solución.
a.
6
55
3
1
2 2
xx
x
x
x
x
x
b.
x
x
x
x
x
x
3
16
2
3
c.
2
14 2 7
12 4 3
x
x x x x
d.
24
610
2
12
2
x
x
x
x
x
x
e.
x
x
xxx
2
1
12
2
f.
xxx
x
x
x
5
1
5
21
2
g.
2
2 1 2 3 5
3 2 3 3 11 6
x x
x x x x
h.
65
23
2
2
3
12
2
xx
x
x
x
x
x
173
4.5 ECUACIONES POLINÓMICAS
Muchas situaciones se modelan utilizando expresiones polinómicas. Por ejemplo, el
ingreso mensual de una compañía se puede expresar como una función polinómica del
precio unitario de los artículos que vende. Por otro lado, la utilidad de una empresa
tambien se puede expresar como una función polinómica de la cantidad de articulos
producidos y vendidos. Veamos el siguiente ejemplo:
La utilidad “U” mensual de cierta compañía está
dad por: ,2525)( 23 qqqqU donde U está
expresado en miles de dólares y q es la cantidad de
artículos producidos y vendidos expresada en
cientos de unidades.
Determine el valor (o valores) de q para los cuales
la utilidad es cero.
Hay ocaciones en las que nos enfrentamos a situaciones como la que acabamos de
describir. A continuación definimos los polinomios con los que trabajaremos.
Un polinomio en la variable x es un polinomio de la forma:
1
1 1 0( ) ;
n n
n nP x a x a x a x a
con 0na y 3n ,
donde 01 ,,, aaa nn son los coeficientes y x la variable.
Definición:
La igualdad 0)( xP ; donde )(xP es un polinomio de grado mayor o igual
a tres, se denomina ecuación polinómica de grado superior.
Ejemplo 1
a. 3 22 3 5 0x x x b. 4 25 3 8 12 0x x x
Recordar:
Estrategia de solución para ecuaciones polinómicas
Una ecuación de la forma P(x) = 0, donde P es un polinomio de grado n, tiene a lo
más n soluciones distintas, denominadas “Raíces del Polinomio”. Para resolver estas
ecuaciones se debe proceder de la siguiente manera:
Para todo Rba ; : 0ab si y solo si 0 ó 0a b
174
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación 2 32 2 0x x x
Solución:
Procedimiento
Ordene el polinomio x
3
+ 2x
2
– x – 2 = 0
Factorice el polinomio por alguno de
los métodos estudiados en clase.
x
3
+ 2x
2
– x – 2 = ( x – 1)(x + 1)( x + 2)
Luego, iguale cada factor a cero.
( x – 1)(x + 1)( x + 2) = 0 si y sólo si
x – 1 = 0 ó x + 1 = 0 ó x + 2 = 0
Resuelva las ecuaciones de primer
grado:
x = 1 ó x = –1 ó x = –2
Finalmente, escriba el conjunto
solución:
2; 1;1CS
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación 4 25 36 0x x
Solución:
Procedimiento
Factorice el polinomio por alguno de
los métodos estudiados en clase.
4 25 36 0x x
Luego, iguale cada factor a cero.
2 2
2
( 4)( 9) 0
( 4)( 3)( 3) 0
x x
x x x
Resuelva las ecuaciones de primer
grado:
2 4 0 3 0 3 0x x x
Finalmente, escriba el conjunto
solución:
3;3CS
Recordemos:
Si )(xP es un polinomio y a es un número tal que 0)( aP , entonces decimos que a
es un cero de P . A continuación presentamos formas equivalentes de decir lo mismo:
c. a es un cero de P
d. x a es una raíz de la ecuación 0)( xP
e. x a es un factor de )(xP
175
Ejemplo 4
Resuelva la ecuación 012496 234 xxxx
Solución:
Cuando el coeficiente principal del polinomio es 1, las posibles raíces racionales de la
ecuación son los divisores del término independiente
Los divisores de 12 son ,6,4,3,2,1 y .12
Podemos aplicar la regla de Ruffini (factorización empleando el método de los divisores
binomios):
Probemos por 1 + 6 + 9 – 4 – 12
ejemplo con 1x + 1 + 7 + 16 + 12
Continuamos 1 + 7 + 16 + 12 0
3x – 3 – 12 – 12
1 +4 +4 0
Ahora que quedan tres términos tenemos: 2 4 4x x
Se tiene entonces que la ecuación dada es equivalente a:
2
2
( 1)( 3)( 4 4) 0
( 1)( 3)( 2) 0
x x x x
x x x
Por lo tanto
21 0 3 0 ( 2) 0
1 3 2
x x x
x x x
Igualando cada factor a cero se concluye que el C.S. 1; 3; 2 .
EJERCICIO 1
a. Resuelva la ecuación: .0)3)(2( xx
b. Resuelva la ecuación: .0103
2 xx
NOTA: Ahora determine las raíces o soluciones de las ecuaciones polinómicas de
grado superior a 2 que se dan a continuación:
176
c. Resuelva la ecuación: 3 25 2 24 0x x x
d. Resuelva la ecuación: 4 3 25 8 4 0x x x x
e. Resuelva la ecuación: 3 23 2 8 0x x x
177
f. Resuelva la ecuación:
3 22 6 8 4 0.x x x
Ecuaciones bicuadradas
Son aquellas ecuaciones en las que, al hacer un cambio de variable apropiado, se
convierte en una ecuación de segundo grado.
Ejemplo 3
Resuelva la ecuación 4 24 37 9 0x x
Solución:
Haciendo un cambio de variable 2 ,xb se tiene
24 37 9 0b b
Al aplicar aspa simple, se tiene
(4 1)( 9) 0
1
; 9
4
b b
b b
Regresamos a la variable original
Si 2 ,x b entonces 2
1
,
4
x por lo tanto
1 1
2 2
x x
Si 2 ,x b entonces 2 9,x por lo tanto 3 3x x
1 1
3; ; ;3
2 2
CS
178
EJERCICIO 2
1. Resuelva la ecuación 4 24 15 4 0x x
2. Resuelva la ecuación 4 213 36 0x x
179
4.6 ECUACIONES IRRACIONALES
Definición:
Son aquellas ecuaciones en las que alguna de sus incógnitas está afectada por
un símbolo radical.
Ejemplo 1
a. Resuelva la ecuación irracional: 3 4 0x x
b. En el ejercicio anterior verifique las soluciones
c. Conclusión
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación irracional: 3 4 2x x
180
Ejemplo 2
Resuelva: 15 x - 21 x
Estrategia de solución:
Aislamos una de las raíces
cuadradas:
1215 xx
Elevamos al cuadrado miembro a
miembro:
22 )12()15( xx
Desarrollamos las potencias
indicadas:
22 )1()1)(2(2)2(15 xxx
Aislamos la raíz que queda: 4414 xx
Simplificamos coeficientes
(esto no siempre es posible):
11 xx
Volvemos a elevar al cuadrado
miembro a miembro:
22 )1()1( xx
Desarrollamos las potencias
indicadas:
222 )1()1)((2)()1( xxx
Efectuamos operaciones
indicadas obtenemos la ecuación:
0232 xx
Resolvemos la ecuación: ,0)2()1( xx de donde 21 xx
Verificamos nuestras respuestas
en la ecuación propuesta: en este
caso cumplen ambas.
Para 1x 1121)1(5
22 …(cumple)
Para 2x 1221)2(5
33 …(cumple)
Damos el conjunto solución: 2;1C.S.
OBSERVACIÓN: A diferencia del ejemplo anterior en este caso ambas raíces
satisfacen la ecuación propuesta, por lo que se aconseja que siempre verifiquen sus
resultados.
¿Por qué hay que verificar los valores obtenidos para x en una ecuación
irracional?
……………………………………………………………………………………………
181
EJERCICIOS 1
Resuelva las siguientes ecuaciones irracionales
a. 1 3 0x
b. 2 7 4x x
c. 5 4 2x x
182
d. 5 1 1 4x x
e. 3 1 7 6x x
183
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.5 – 4.6
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas
a. Dada la ecuación
4 3 22 8 0,x x x ¿es cierto que el C.S. es 4; 2 ?
b. Si el C.S. de la
3 2 0,x ax bx c es 0;1;2 , ¿Cuál es el valor de c?
c. Dada la ecuación
2 3 ,x x x ¿es cierto que el C.S. es vacío?
d. ¿Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación 3 2 1x x se
obtiene 23 2 1x x ?
e. Dada la ecuación 3 0.a x Si se sabe que 4 es solución de la
ecuación, ¿Cuál es el valor de a?
2. Resuelva las ecuaciones polinómicas, mostrando su proceso:
a. 064
23 xxx
b. 3 22 6 20 48 0x x x
c.
4 27 6 0.x x x
d.
5 4 3 28 17 10 0.x x x x
e. 3 24 11 30 0x x x
f. 3 27 13 7 0x x x
g. 3 28 16 8 0x x x
3. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones, mostrado su proceso.
a. 0263 xx
b. 2 9 3x x
c. 1 3 3x x
d. 54 x + 1x =7
e. 327 xx
f. 227 xx
g. 3 1 3 4x x
h. 2 5 4 10x x
184
4.7 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Los planes de pago mensuales para acceder a la conexión a
Internet en dos compañías son los siguientes:
American Online (AOL) cobra un cargo fijo de S/.20 más S/.
1,50 por hora de uso
Computer Serve (CS) cobra un cargo fijo de S/. 30 más S/.
1,00 por hora de uso.
¿Cuántas horas se debe hacer uso de la conexión a Internet para
que ambos planes tengan el mismo costo? Si mi consumo
mensual es de 50 horas, ¿cuál de los planes me conviene tomar?
1. DEFINICIÓN
Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones de primer grado
con dos o más incógnitas.
Nota: En este curso trataremos sólo con sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
Notación:
Se denomina el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables, al conjunto formado por los pares ordenados quesatisfacen cada una de las
ecuaciones del sistema.
Si (a; b) es la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, su
conjunto solución lo denotaremos por {( ; )}.CS a b
Ejemplo 1
¿El par ordenado (2; –4) es solución?
Podemos verificar nuestra respuesta
sustituyendo x = 2 y y = –4 en ambas
ecuaciones originales.
5(2) 3( 4) 2 si cumple
3(2) 2( 4) 14 sicumple
Por lo tanto, (2; –4) es solución.
¿El par ordenado ( –1;1) es solución?
Podemos verificar nuestra respuesta
sustituyendo x = –1 y y = 1 en ambas
ecuaciones originales.
5( 1) 3(1) 2 si cumple
3( 1) 2(1) 5 nocumple
Por lo tanto, ( –1;1) no es solución.
5 3 2
3 2 14
x y
x y
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2
donde , , , , , son constantes
a x b y c
a a b b c c
a x b y c
185
2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas
soluciones o ninguna solución.
De acuerdo a ello el sistema de ecuaciones se clasifica en compatible e incompatible.
Compatible Incompatible
Es cuando el sistema admite solución
Es cuando el sistema
no admite solución Determinado Indeterminado
Si el sistema admite una
única solución.
Si el sistema admite un número
ilimitado de soluciones.
Ejemplo:
5
3
x y
x y
(4;1)CS
Ejemplo:
5
3 3 15
x y
x y
. . ( ;5 ) /C S t t t R
Ejemplo:
5
3 3 12
x y
x y
. .C S
Nota: Cuando un sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado, se
dice que tiene infinitas soluciones. En el caso del ejemplo anterior, t no es una
variable es un parámetro, es decir para cualquier valor de t real (como x = t;
y = 5 – t) es posible encontrar una solución para el sistema.
3. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
CON DOS INCÓGNITAS
3.1 Método de Igualación
Este método consiste en despejar en ambas ecuaciones una de las incógnitas (por
ejemplo x), y luego igualarlos y así obtener una ecuación con una incógnita (y).
Ejemplo 2: Resuelva el siguiente sistema usando el método de igualación
3 2 13 (1 )
5 3 9 (2 )
x y
x y
De cada ecuación, despejamos x: de (1°): x de (2°): x
Igualando:
Por lo tanto y . Luego x CS
186
3.2 Método de Sustitución
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituir esta expresión
en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una ecuación lineal con una incógnita.
Ejemplo 3: Resuelva el sistema usando el método de sustitución.
3 2 5 (1 )
2 5 4 (2 )
x y
x y
De la primera ecuación, despejamos x
Reemplazando en la segunda ecuación, obtenemos:
Por lo tanto y . Luego x CS
3.3 Método de eliminación
El método consiste en buscar eliminar una incógnita sumando ambas ecuaciones.
Esto se consigue multiplicando cada ecuación por un número real no nulo, de tal
manera que los coeficientes de una de las incógnitas sean opuestos. Finalmente se
suman las dos ecuaciones para obtener una ecuación con una sola incógnita.
Ejemplo 4: Resuelva el sistema usando el método de eliminación.
8 3 6 (1 )
6 5 1 (2 )
x y
x y
Multiplicamos la primera ecuación por y la segunda por , con lo cual se obtiene.
187
EJERCICIO 1
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquier método:
a.
2 6
4 3 20
x y
x y
b.
3 5 3
1
2
3
x y x
x y
188
c.
3
5
2
2
4 1
2
x y
x y
d.
10
1
3
5
2 9
2
x
y
x
y
189
e.
3
1 2
2
1
3
x y
x y
x y
y
f.
2 3 5
3 2 5
y x m n
y x n m
190
4. MODELACIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES
Para resolver un problema de modelación no debes olvidar los cuatro pasos a seguir:
a. Elección de la variable
b. Planteamiento
c. Resolución
d. Análisis y Respuesta completa
Ejemplo 5
El costo total de cinco libros y cuatro lapiceros es de $ 32,00; el costo total de otros seis
libros y tres lapiceros es de $ 33,00. Halleel costo de cada artículo.
Elección de la variable
Es preciso leer bien el problema y
comprenderlo, identificar las
cantidades conocidas y
desconocidas que presentan el
problema, y elegir las variables.
Nos piden conocer cuál es el costo de cada
artículo
Definiremos:
x = costo de cada libro en dólares
y = costo de cada lapicero en dólares
Planteamiento
Consiste en establecer relaciones
entre las variables anteriormente
seleccionadas.
Cinco libros y cuatro lapiceros cuestan
$ 32,00
5x + 4y = 32
Seis libros y tres lapiceros cuestan $ 33,00.
6x + 3y = 33
Resolución
Es la parte operativa del problema.
Se verifica que el resultado obtenido se
ajuste a las condiciones establecidas en
el problema.
Resolviendo el sistema se obtiene:
x = 4
y = 3 C.S = {(4; 3)
Por ejemplo: 5(4) + 4(3) = 20 + 12 = 32
6(4) + 3(3) = 24 + 9 = 33
Análisis y Respuesta Completa
El problema termina con una
respuesta clara y precisa a la
pregunta propuesta. No se olvide de
verificar la coherencia y
consistencia de la misma.
El costo de cada libro es de $ 4,00 y el
costo de cada lapicero es de $ 3,00.
191
PROBLEMAS DE MODELACIÓN
1. Un cliente de una tienda de abarrotes compró 5 latas de refresco y 4 botellas de agua
por 6 soles. Al día siguiente, con los mismos precios compró 4 latas de refresco y
6 botellas de agua por 6,20 soles.
a. ¿Cuál es el precio de una botella de agua?
b. ¿Cuál es el precio por la compra de 3 latas de refresco?
2. Una ferretería, el lunes vendió 15 bolsas de imprimante y 10 bolsas de temple por un
total de $63,25. El martes vendió 30 bolsas de imprimante y 5 bolsas de temple,
por un total de $78,65.
a. ¿A cuánto vendió cada tipo de pintura?
b. ¿Cuál fue su ingreso el día lunes por la venta de 10 bolsas de temple?
192
3. En un supermercado de la cadena Plaza Boa, Pedro compra tres calculadoras y cinco
audífonos, pagando $ 255,00. Si el supermercado hubiera hecho un descuento en las
calculadoras del 10% y en los audífonos del 25%, Pedro hubiera pagado $ 200,25.
¿Cuál es el precio de cada calculadora?
4. Una pastelería compra pasteles a S/. 65 la unidad y bombones a S/.25 cada uno, por
un total de S/. 980. Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si
vende cada bombón a S/. 3 más y cada pastel a S/. 5 más de lo que le costaron
perdería en total S/. 196. ¿Cuántos pasteles y bombones compró?
193
5. Una fábrica de muebles fabrica mesas y sillas. Cada mesa requiere de 2 horas de
ensamble y 3 horas de acabado. Cada silla requiere 1 hora de ensamble y 2 horas de
acabado. La información se puede organizar de la siguiente manera:
Mesa Silla
Ensamble (h) 2 1
Acabado (h) 3 2
Sabiendo que los trabajadores de la fábrica pueden proporcionar 420 horas de
ensamble y 780 h de acabado por cada semana. ¿Cuántas mesas y sillas se deben
producir de modo que todas las horas de mano de obra se utilicen?
6. Una fábrica de muebles manufactura 60 mesas y 300 sillas. Cada mesa requiere de
2 horas de ensamble y 3 horas de acabado. Cada silla requiere 1 hora de ensamble y
2 horas de acabado. La información se puede organizar de la siguiente manera:
Mesa Silla
Ensamble (h) 2 1
Acabado (h) 3 2
La fábrica dispone de $2400 y $7500 para cubrir el gasto de fabricación de mesas y
sillas, respectivamente. ¿Cuál es el precio por hora de ensamble y acabado?
194
7. Los departamentos de logística de dos empresas (Hiraika y Radiosheck) planean
comprar una cierta cantidad de televisores HD de 42 y 55 pulgadas, y en diferentes
cantidades. La tabla siguiente enumera lo que piensan adquirir.
42" 55"
Hiraika 12 9
Radiosheck 5 8
Sabiendo que en total las empresas Hiraika y Radiosheck invirtieron $35 100 y
$22 700 respectivamente, en la compra de estos equipos.
a. ¿Cuál es el costo de un televisor HD de 55 pulgadas?
b. ¿Cuánto pagó la empresa Radiosheck por la compra de los 5 televisores HD de
42 pulgadas?
8. Humberto y Nila deciden entrar en el negocio de fabricar cunas para mascotas, ellos
fabricarán cunas de dos tamaños, el tiempo que demoran en fabricar una cuna de
cada tamaño está especificado en la tabla adjunta.
Cunas Tiempo para el cortado y pegado Tiempo para el pintado y sellado
Tamaño 1 ½ hora ¼ hora
Tamaño 2 2 3 hora 1 hora
Humberto y Nila desean saber cuántas cunas pueden armar si solo cuentan con
24 horas de disponibilidad para el cortado y pegado y 30 horas para el sellado y
pintado.
a. ¿Cuántas cunas de cada tamaño se fabricaron?
b. ¿Cuál será su ingreso si la cunas de tamaño 1 la venden a S/. 30 y la de tamaño 2
a S/. 40?
195
9. Un fabricante confecciona pantalones, casacas y polos, cada uno de los cuales
precisa para su elaboración de tres materias primas (hilo, tela y botones). En la
siguiente tabla se representa el número de unidades de cada materia prima que se
requiere para elaborar una unidad de cada producto; dispone de 50 conos de hilo, 70
metros de tela y 40 botones.
Defina las variables y luegoplantee un sistema de ecuaciones a partir de la
información relacionado al problema. (no resuelva)
Pantalón Casaca Polo
Hilo 2 3 1
Tela 3 2 2
Botón 1 4 2
196
10. La empresa “LALYS” quiere producir tres tipos de recuerdos: lapiceros, polos y
llaveros, y tiene a su disposición tres máquinas: A, B y C. Para producir un lapicero
se necesita 1 minuto en A, 3 minutos en B y 1 minuto en C. Un polo requiere 1
minuto A, 2 minutos en B y 2 minutos C. Un llavero requiere 2 minutos en A, 1
minuto en B y 3 minutos en C. Para procesar el pedido la máquina A está disponible
por tres horas, la máquina B por cinco horas y la máquina C por cuatro horas.
a. Traduzca la información relacionada al problema en una tabla.
b. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información contenida en el
cuadro. (no resuelva)
11. Una empresa dispone de 38 800 soles para actividades de formación de sus 120
empleados. Después de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido
organizar tres cursos: Marketing, Finanzas y Contabilidad. La subvención por
persona para el curso de Marketing es de 400 soles, para el curso de Finanzas es de
160 soles, y de 200 soles para el curso de Contabilidad. Si la cantidad de empleados
que toman el curso de Marketing es el doble de los que llevan los cursos de Finanzas
y Contabilidad juntos.
a. Traduzca la información relacionada al problema en una tabla.
b. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de la información contenida en el
cuadro. (no resuelva)
197
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 4.7
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Dado el siguiente sistema de ecuaciones
3
4
x ay
by x
, donde a y b son
constantes. Si se sabe que 1; 3 es solución del sistema, ¿cuál es el valor
de b?
b. El par ordenado (3; 2) es parte del conjunto solución del sistema de
ecuaciones:
2 3
.
1
x by a
y bx
¿Cuál es el valor de a?
c. El sistema de ecuaciones: 5 0;x y x y ¿es incompatible?
d. Si m = 2, ¿es cierto que el sistema de ecuaciones: 3 8 ;mx y x
4 2( )mx y x es determinado?
2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
a.
2 3 7
5 7 3
x y
x y
b.
6 3 4
2 1
x y
x y
c.
2
1
2 3
2 2
4 9 3
x y
x y
d.
3
4
3 4
4 9
x y
x y
e.
0,2 0,5 1,6
0,3 0,4 0,1
x y
x y
f.
10
5 20
3
2 3 12
x
y
x y
g.
3 5 3
3
4 6
2 5 4( 2)
3 5
x y
x y
x
h.
3
3 11
2
3
7
2
x
y
y
x
3. Un fabricante produce dos modelos de ollas, Mediana y Grande. Durante la
producción de las ollas requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de
horas necesarias en ambas está indicado en la tabla siguiente:
Máquina A Máquina B
Mediana 4 horas 2 horas
Grande 2 horas 4 horas
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día, ¿cuántas ollas de cada modelo se
producen?
198
4. La granja “Huevo de oro” tiene 500 hectáreas de terreno destinados al cultivo de
maíz y trigo. El costo respectivo de los cultivos son de $42 y $30 por hectárea. El
dueño de la granja dispone de $18 600 para realizar este cultivo. Si desea utilizar
toda la tierra destinada a estos cultivos y todo el presupuesto correspondiente,
¿cuántas hectáreas debe plantar de cada cultivo?
5. Una fábrica Trujillana produce carteras y casacas de cuero. Cada cartera requiere
5 horas de trabajo y S/. 90 de material, mientras que una casaca requiere S/. 300 de
material y 6 horas de trabajo. La fábrica dispone de 365 horas de mano de obra cada
semana, y puede adquirir S/. 14 250 en materiales. ¿Cuántas carteras y casacas se
pueden fabricar si se debe emplear la totalidad de los materiales y la mano de obra
disponible?
6. Un piscicultor compra 5 000 peces, entre truchas y robalos a fin de poder
alimentarlos con una dieta especial, antes de su venta. El costo unitario de la
alimentación es de $0,50 para las truchas y de $0,75 para los robalos, y el costo total
de la alimentación de todos los peces asciende a $3 000 ¿Cuántas truchas y robalos
compró el piscicultor?
7. Una agencia especializada en alquilar vehículos cobra una tarifa diaria y una por la
distancia en kilómetros. El señor José pagó $ 85 por dos días y 100 kilómetros
recorridos y al señor Carlos le cobraron $ 165 por tres días y 400 kilómetros
recorridos. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro?
8. Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la
fabricación de estos muebles, se necesitó unidades de madera, plástico y aluminio,
tal como se indica en la siguiente tabla:
Madera
(Unidades)
Plástico
(Unidades)
Aluminio
(Unidades)
Silla 1 1 2
Mecedora 1 1 3
Sofá 1 2 5
La compañía tiene en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y
1500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias. Plantee un
sistema de ecuaciones a partir de la información relacionado al problema. (no
resuelva)
9. Un taller de carpintería ha vendido 15 muebles, entre sillas, sillones y butacas, por
un total de 1600 euros. Se sabe que cobra 50 euros por cada silla, 150 euros por cada
sillón y 200 euros por cada butaca, y que el número de butacas es la cuarta parte del
número que suman los demás muebles. Plantee un sistema de ecuaciones a partir de
la información relacionado al problema. (no resuelva)
199
B (–3; 2)
A (2; 3)
C (–4; –3)
D (4; –2)
E (3; 2)
E (3; 2)
x y
UNIDAD N° 5. PLANO CARTESIANO. GRÁFICAS EN EL
PLANO
5.1 PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se intersecan formando
un ángulo recto (ver figura). Al punto común cero se le llama origen. La recta
horizontal se llama eje x o eje de las abscisas. La recta vertical se llama eje y o eje de
las ordenadas. Los ejes forman los cuatros cuadrantes, numerados como I, II; III y IV.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se
representan por sus coordenadas o pares ordenados. A cada par ordenado (x; y), le
corresponde un solo punto P en un plano que tiene un sistema de coordenadas
rectangulares.
La coordenada x del punto P se llamaabscisa del punto P.
La coordenada y del punto P se llama ordenada del punto P.
Ejemplo 1
Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano: A(2;3), B(–3;2), C(–4,–3), D(4;–2) y E(3;2)
Eje y (ordenada)
II
Eje x (abscisa)
I
IV III
Origen
P(x;y)
200
EJERCICIO
1. Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano:
A(3; 2) B(– 4 ; 2) C(–2 ; –3) D(2 ; –5) E(0 ; 4) F(5 ; 0) G(–3 ; 0) H(0 ; –2)
2. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Si 0a y 0.b ¿en qué cuadrante se encuentra ( ; )A b a ?
b. Si 0a y 0.b ¿en qué cuadrante se encuentra ( ; )B a b ?
c. Si ; IIIb ab cuadrante, ¿en qué cuadrante se encuentra ( ; )a b b ?
x
y
201
5.2 ECUACIONES Y GRÁFICAS
Una solución de una ecuación ( ; ) 0E x y en dos variables x, y es un par ordenado
(a; b) de números tal que la sustitución del primer número en x y el segundo número en
y proporciona un enunciado verdadero.
Por ejemplo, (4; 1) es una solución de la ecuación 2 6,x y porque cuando
sustituimos al x por 4 y al y por –1, se obtiene 4 2( 1) 6
6 = 6
que es un enunciado verdadero.
Definición:
La gráfica de una ecuación es el conjunto de pares ordenados que son soluciones de la
ecuación.
Ejemplo 1
Dada la ecuación y = –2x + 4
a. Determine cuáles de los siguientes puntos son soluciones:
(1; 2)A (3; 2)B
( 1;6)D (5; 6)C
E(2;0)
b. Trace la gráfica de la ecuación ubicando
los pares ordenados que satisfacen la
ecuación
En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el eje x es ……. , y el punto
de intersección de la gráfica con el eje y es …….. .
x
y
202
Ejemplo 2
Dada la ecuación 2y = 3x – 6
a. Determine cuáles de los siguientes puntos
son soluciones:
(4;3)A ( 2; 6)B
( 2;6)C (3;0)D
b. Trace la gráfica de la ecuación
ubicando los pares ordenados que
satisfacen la ecuación
En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el eje x es ……. , y el punto
de intersección de la gráfica con el eje y es …….. .
Ejemplo 3
Dada la ecuación 3y + 7x = 21
Trace la gráfica de la ecuación haciendo
una tabulación.
En el ejemplo, el punto de intersección de la gráfica con el eje x es ……. , y el punto
de intersección de la gráfica con el eje y es …….. .
x
y
x y
x
y
203
INTERSECCIONES CON LOS EJES COORDENADOS
Ubique los puntos de intersección en las siguientes gráficas
En general
La intersección con el eje y ocurre cuando …………………………………..
La intersección con el eje x ocurre cuando …………………………………..
EJERCICIO 1
Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones, señalando los interceptos con los ejes
coordenados:
a. 3 4 12 x y
x
y
x y
x
x
y
y
x
y
x
y
204
b. 5 2 10y x
c. 20 10 4 yx
d. 2 3y x
x
y
x
y
x
y
205
e. x y
g. 2x y
h. 60032 yx
x
y
x
y
x
y
206
i. 5 10 1500x y
j. 20 1000x y
k. 2 4y x
x
y
x
y
x
y
x y
207
l. 4y x
RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
Las ecuaciones de las rectas de la figura son:
1
: 2,L y para cualquier valor de x
2
: 3,L y para cualquier valor de x
(Recta horizontal) (Recta horizontal)
3
: 4,L x para cualquier valor de y
4
: 2,L x para cualquier valor de y
(Recta vertical) (Recta vertical)
x
y
x y
2y
x
y
3y
x
y
4x
x
y
2x
x
y
208
EJERCICIO 2
1. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones en un mismo plano.
a. 5y
b. 3x
2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones en un mismo plano.
a. 1y
b. 3x
3. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto ( 3;2) y es paralela al
eje y?
b. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 2), y es paralela al
eje x?
x
y
x
y
209
(4; 1)
GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una única solución, infinitas
soluciones o ninguna solución.
De acuerdo a ello el sistema de ecuaciones se clasifica en compatible e incompatible.
Compatible: es cuando el sistema admite solución.
a. Determinado: si el sistema admite una única solución
Ejemplo 4:
5
3
x y
x y
cuyaúnica solución es el par formado por x = 4 e y = 1. En este caso el par
ordenado (4 ; 1)
y
x
El punto de intersección es la
única solución de la ecuación.
. . (4;1)C S
210
b. Indeterminado: si el sistema admite un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo 5:
5
3 3 15
x y
x y
Incompatible: es cuando el sistema no admite solución.
Ejemplo 6:
5
3 3 12
x y
x y
x
y
x
y
Admite infinitas soluciones, ya que
las rectas son coincidentes.
. . ( ;5 ) /C S t t t R
No hay ninguna solución, puesto que
no hay punto de intersección.
Es decir que las rectas son paralelas.
. .C S
211
EJERCICIO 3
Resuelve y clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones según su CS y luego
grafique los sistemas de ecuaciones. ¿Qué puede concluir?
a.
2 6
4 3 20
x y
x y
CS
Trace la gráfica de cada una
de las ecuaciones haciendo
una tabulación
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
b.
2 6
2 4 12
x y
x y
CS
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
x
y
x y
2 6x y
x y
4 3 20x y
x
y
x y
2 6x y
x y
2 4 12x y
212
c.
2 6
2 4 8
x y
x y
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
d.
3 2 6
3 9
x y
x y
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
x
y
x
y
213
e.
2 3 6
2 3
x y
x y
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
f.
2 3 6
4 6 12
x y
x y
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
x
y
x
y
214
g.
5 5
3
x y
x y
¿Qué puede concluir?………………………..………………………
5.3 MODELACIÓN MEDIANTES SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES APLICADAS AL CAMPO ECONÓMICO Y
ADMINISTRATIVO
La recta tiene muchas aplicaciones en el campo económico, entre ellas la ley de Oferta y
Demanda, casos de depreciación, los costos de una empresa, así como sus ingresos y
ganancia, todos estos casos podemos graficarlos mediante una recta como veremos a
continuación.
1. OFERTA Y DEMANDA:
- Oferta: Es la cantidad de bien o servicio que el
vendedor pone a la venta. Este bien o servicio
pueden ser bicicletas, horas de clases de conducir,
artefactos, etc.
- Demanda: Es la cantidad de un bien o servicio que
la gente desea adquirir. Casi todos los seres
humanos del planeta demandan un bien o un
servicio, oro, arroz, zumo de naranja, educación
superior… No obstante lo más interesante de la oferta y la demanda es cómo
interactúan la una con la otra.
- El equilibrio de mercado se produce cuando la cantidad ofrecida es igual a la
cantidad demandada para un determinado precio. En la representación gráfica
coincide con el punto de corte entre las curvas de oferta y demanda.
Cuando el mercado está en equilibrio se vende todo lo que se produce.
y
x
215
EJERCICIO 1
1. La empresa “Golden” tiene como ecuación de Oferta de sus artículos de joyería la
ecuación: 12 75p q y su demanda está dada por la ecuación 8 175p q ;
donde p está en soles y q en cantidad de artículos demandados.
a. Para un precio de S/. 87, ¿qué ocurre en el mercado?, ¿y para S/. 159?
b. Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio
c. ¿Cuánto gastará el consumidor de este bien en el punto de equilibrio?
d. Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)
Oferta
q p
Demanda
q p
p
q
216
2. Las ecuaciones de oferta y demanda de un bien están dadas por:
Oferta:
3
1
2
p q Demanda: 11p q
donde p esta en soles y q en unidades.
a. Para un precio de S/. 10, ¿qué ocurre en el mercado?, ¿y para S/. 4?
b. Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio
c. ¿Cuánto gastará el consumidor de este bien en el punto de equilibrio?
d. Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)
Oferta
q p
Demanda
q p
p
q
217
3. La familia Gonzales se dedica a la fabricación de toallas hechas de 100% algodón.
Para ingresar a un nuevo mercado y así competir con la empresa administrada por la
familia Maldini, plantean las siguientes ecuaciones de oferta y demanda de su
producto:
Oferta: 10 20p q Demanda: 20 140p q
donde p está en soles y q en decenas de unidades.
a. Para un precio de S/. 80, ¿qué ocurre en el mercado, existe exceso de oferta o
escasez? ¿De cuántas unidades es dicho exceso?
b. Halle el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio.
c. Determine el ingreso de la familia Gonzales en el equilibrio.
d. Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)Oferta
q p
Demanda
q p
p
q
218
4. La empresa “Born to win”, realizó un estudio de mercado que se modelo usando una
ecuación lineal, como se muestra en la gráfica, donde la cantidad de la lapiceros
artesanales se expresa en cientos de unidades.
a. Si la ecuación de la oferta es 3,75 5,p q trace la gráfica de la ecuación de la
oferta (en el mismo plano que la demanda).
b. Halle el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio.
c. Determine el ingreso de la empresa “Born to win” en el equilibrio.
40
35
30
25
20
15
10
5
q (cientos de
unidades)
p (euros)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Demanda
219
2. COSTOS, INGRESOS Y UTILIDAD
C = CV + CF CV = Cu. q I = p. q
U = I – C = (p. q) – (Cu.q + CF)
donde:
I : Ingreso C : Costo total
q : Cantidad Cu : Costo Unitario
p : Precio de venta
CF : Los costos fijos de una empresa son aquellos que no dependen de la
producción. Como por ejemplo: alquileres, pago a secretaria, etc.
CV : Los costos variables son los que dependen directamente de la producción
como por ejemplo: el costo de la materia prima, pago a obreros, etc.
VMP : Volumen Mínimo de Producción, es la cantidad mínima a producir para no
perder ni ganar.
EJERCICIO 2
1. Al taller de carpintería “Komodoy” le cuesta hacer cada carpeta S/ 50,00, los gastos
fijos son de S/ 3000,00 mensuales. Si cada carpeta se vende a S/. 125,00.
a. Determine la ecuación del ingreso, costo total y de la utilidad, en términos de la
cantidad de carpetas producidos y vendidos.
b. ¿A cuánto asciende el V.M.P?
c. ¿Cuál es el costo total en el equilibrio?
220
d. Trace la gráfica del ingreso, costo total y la utilidad, en un mismo plano
empleando las escalas adecuadas.
e. ¿Cuántas carpetas debe producir y vender el taller de carpintería “Komodoy”
para obtener una ganancia de S/. 1500,00?
q I
q C
q U
I, C, U (en miles de S/.)
7
6
5
4
3
2
1
- 1
- 2
- 3
Cantidad de carpetas
10 20 30 40 50 60
221
2. El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo
unitario por la fabricación de cada chompa es de $ 60,00. Si los costos fijos de la
fábrica ascienden a $ 1500 al mes y el precio de venta unitario es de $ 80,00.
a. Determine la ecuación del ingreso, costo total y de la utilidad, en términos de la
cantidad de chompas producidos y vendidos.
b. ¿A cuánto asciende el V.M.P?
c. ¿Cuál es el ingreso en el equilibrio?
d. Trace la gráfica del ingreso, costo total y la utilidad, en un mismo plano
empleando las escalas adecuadas.
e. ¿Cuántas chompas debe producir y vender la fábrica para obtener una ganancia
de $ 5700,00?
222
3. Dadas las ecuaciones de Utilidad ( ) 1 00 2500,U q q en dólares y Costo total
( ) 200 ,C q a q en dólares. En ambos casos q es la cantidad de artículos
producidos y vendidos. Determine:
a. El costo fijo es ……………… y el costo unitario es…………………
b. El precio de venta unitario es …………….
c. El volumen mínimo de producción, VMP es …………
d. El ingreso en el equilibrio es …………..
e. Las ecuaciones del costo y el ingreso en términos de la cantidad de artículos
producidos y vendidos.
f. Las gráficas de la utilidad, costo total e ingreso en un mismo plano, empleando
las escalas convenientes.
223
4. A partir de la gráfica mostrada, determine el precio de venta de cada MP3, el costo
fijo, el volumen mínimo de producción y el punto de equilibrio. Interprete
5. En la siguiente gráfica se muestra las gráficas del ingreso, costo total y utilidad de
cierto producto.
a. ¿Cuál es el valor del costo fijo?
b. ¿Cuál es el costo unitario?
q
(Cantidad de MP3)
40
C
U
I
C, I, U (euros)
I
– 2000
q
(unidades)
VMP: 80 u
C
U
I
I, C, U ($)
I
– 1200
3000
224
c. ¿Cuál es el precio de venta de cada unidad?d. ¿Cuál es la ecuación del ingreso, costo y la utilidad?
3. Otras Aplicaciones
Valor de un auto (Depreciación):
El valor V (en miles de $) de un auto después de t años transcurridos desde que se
compró, está dado por:
( ) 12 0,8V t t
a. Si Pablo compró un auto hace tres años, ¿Cuánto le costó el auto a Pablo? ¿Cuál
es el valor actual del auto?
b. ¿Qué sucede con el valor del auto cuando aumenta el tiempo?
c. ¿Después de cuánto tiempo el auto no tendrá valor?
d. Trace la gráfica correspondiente.
225
Cuenta Telefónica
La cuenta telefónica de una familia C (en soles) de acuerdo a los minutos
consumidos t está dada por: ( ) 60 0 10 C t , t
b. Trace la gráfica correspondiente.
c. ¿Qué sucede con el valor de la cuenta al aumentar el número de minutos
consumidos?
d. ¿Qué interpretación tiene el número 0,10?
226
Turismo interno
Las divisas, en millones de dólares por el turismo interno en la ciudad Piedradura
entre los años 2003 al 2010 se puede aproximar por la función
( ) 60 35 , D x x donde ( )D x representa las divisas, en millones de dólares y x
representa los años de estudio. Considere x = 0 para el año 2003.
a. Determine el valor de (0).D ¿Qué representa?
b. Determine las divisas para el año 2010.
c. ¿En qué año las divisas generadas serán de 200 millones de dólares?
d. Trace la gráfica correspondiente.
227
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 5.1 – 5.3
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Si 0a y 0b ¿En qué cuadrante se encuentran ubicados los puntos
( ; )A b a y ( ; )B a b ?
b. Si ; IIab b cuadrante, ¿en qué cuadrante se encuentra ( ; )b a ?
c. Si 0a y 0b entonces, ¿en qué cuadrante está el punto ( ; 3)ab b ?
d. Si se cumple que ba 0 , ¿en qué cuadrante se encuentra ( ; )b a ?
e. Si ; ,b ab III ¿en qué cuadrante se encuentra ( ; )a b ?
f. La gráfica de una recta vertical pasa por el punto (4; 5), ¿es posible determinar
la ecuación de la recta vertical?
2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones:
a. 4 3 12y x b. 8 12y x c. 9 4 12y x
d. 2 3x y e. 3 0x y f. 3y
g. 2 5 300x y h. 500 1000x y i. 450x y
3. Resuelva y clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones según su CS y luego
grafique los sistemas de ecuaciones. ¿Qué puede concluir?
a.
3 9
2 3 0
x y
x y
b.
2 10
4 5 28
x y
x y
c.
4
2 5
x y
x y
d.
3 1
2 5
y x
x y
4. Un taller de confecciones produce mochilas escolares. El costo de fabricación de
cada mochila es de S/. 8,50. Para fabricar las mochilas, se incurren mensualmente en
S/. 2000 de costos fijos.
a. Determine la ecuación del Costo total.
b. Si el mes pasado se fabricaron 110 mochilas escolares, ¿cuál fue el costo total?
c. Trace la gráfica de la ecuación del costo total
5. Las ecuaciones de ingreso ( ) 200I q q y costo total ( ) 50 3600C q q , están dadas
en dólares. Si q es la cantidad de artículos producidos y vendidos. Determine:
a. El volumen mínimo de producción (VMP).
b. Trace las gráficas de las ecuaciones del ingreso, la del costo total y de la utilidad,
en un mismo plano, empleando las escalas adecuadas.
228
6. Una compañía de refinamiento de maíz produce gluten para alimento de ganado,
con un costo unitario de $ 15,00 la tonelada. Si el costo fijo es de $ 2000,00 al mes y
el precio de venta es de $ 20,00 la tonelada.
a. Determine la ecuación del Ingreso total.
b. Determine la ecuación del Costo total.
c. Determine la ecuación de la utilidad. ¿Cuál es la utilidad por la venta de 650
toneladas de gluten?
d. Trace las gráficas de las ecuaciones del ingreso, la del costo total y de la utilidad,
en un mismo plano, empleando las escalas adecuadas.
7. Una fábrica de frituras tiene costos fijos diarios de $1500, además, cuesta 70
centavos producir cada bolsa de fritura. Una bolsa de fritura se vende a $ 1,20
a. Encuentre la ecuación del costo diario total de producir q bolsas de frituras.
b. Encuentre la ecuación del ingreso diario por vender q bolsas de frituras.
c. Encuentre la ecuación de la utilidad diaria por vender q bolsas de frituras.
d. Trace las gráficas de las ecuaciones del ingreso, la del costo total y de la
utilidad, en un mismo plano, empleando las escalas adecuadas
8. El gráfico mostrado representa
la ecuación costo total de la
producción de un determinado
artículo, si dicho artículo se
vende a $ 8,00 cada uno:
a. Determine la ecuación del
costo total.
b. Determine y grafique la
ecuación del ingreso.
c. Determine y grafique la
ecuación de la utilidad.
d. Determine el Volumen
mínimo de producción.
9. A partir de la gráfica mostrada, determine el precio de venta de cada MP3, el costo
fijo, el volumen mínimo de producción y el punto de equilibrio.
q(cientos unid.)
C(miles $)
q
(Cantidad de MP3)
50
C
U
I
C, I, U (soles)
I
– 4000
229
10. En una fábrica textil de chompas se ha determinado que la demanda de chompas
para niños se comporta según la ecuación: 3 44p q y la oferta según la
ecuación: 5 12.p q
a. Para un precio de S/. 17, ¿qué ocurre en el mercado, existe exceso de oferta o
escasez? ¿De cuántas unidades es dicho exceso?
b. Halle el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio.
c. Determine el ingreso de la fábrica en el equilibrio.
d. Trace la gráfica de la Oferta y Demanda (en un mismo plano cartesiano)
11. Depreciación lineal. Un médico posee libros de medicina que valen $1 500,00. Para
efectos tributarios se suponen que se deprecian a una tasa constante hasta llegar a
cero durante 10 años. Exprese el valor de los libros en términos del tiempo y elabore
lagráfica.
230
UNIDAD N° 6. INECUACIONES
6.1 INTERVALOS DE NÚMEROS REALES. NOTACIÓN
1. RELACIÓN DE ORDEN
Dos números reales a y b , donde )( ba , pueden compararse mediante la relación de
orden menor que, representada por el símbolo <. Se escribe ba y se dice a es
menor que b ó ab según el caso. Similarmente se puede comparar dos números
reales distintos por la relación de orden mayor que, por ejemplo b es mayor que a y se
denota ab .
Observaciones:
a. ba significa que el punto que le corresponde al número a en la recta real
se halla a la izquierda del punto que corresponde a b .
3210123 ba
b. ba equivale a: ab
c. Para dos números reales cualesquiera ba ó ba ó ba (ley tricotomía)
d. ba es equivalente a : ba ó ba
Algunas lecturas de la relación de orden
Relación de orden Significado
ba
a es mayor que b
(o b es menor que a)
ba
a es menor que b
(o b es mayor que a)
ba
a es mayor o igual que b
(o b es menor o igual que a)
ba
a es menor o igual que b
(o b es mayor o igual que a)
ba 0 a es mayor que cero, pero menor que b
bxa
x es mayor o igual que – a, pero menor que b
231
2. INTERVALOS
Definición:
Son subconjuntos de los números reales (R) que sirven para expresar la solución
de las inecuaciones. Estos intervalos se representan gráficamente en la recta
numérica real.
TIPOS NOTACIÓN DESIGUALDAD GRÀFICA
In
te
rv
al
o
s
ac
o
ta
d
o
s
; o ;a b a b
bxa
ba;
bxa
; o ;a b a b
bxa
; ;a b o a b
bxa
In
te
rv
al
o
s
n
o
a
co
ta
d
o
s
;a
ax
;[a
ax
b;
bx
];b
bx
;
x
a b
a b
a b
a b
a
a
b
b
- +
232
EJERCICIO 1
Complete el siguiente cuadro
DESIGUALDAD GRÁFICO INTERVALO
9x
5;
4x
53 x
10;4
2;6
– 2
– 7 – 1
– 4 3
233
3. OPERACIONES CON INTERVALOS
Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos
las propiedades operativas de los conjuntos, como son la unión e intersección.
Ejemplo 1
Si 4;6A , ;1B
Determine: a. BA b. BA
Resolución
Graficando en la recta numérica los intervalos dados:
a. La intersección está formado exclusivamente por los elementos comunes. En el
ejemplo mostrado 4;1BA
b. La unión es un conjunto formados por los elementos comunes y no comunes,
luego: 6;A B
EJERCICIO 2
Dados los intervalos:
a. 9;10A y ;9B , determine BA y represente geométricamente.
b. 8;4A y ;8B , determine BA y represente geométricamente.
◦
–6 –1 4
●. ◦
234
c. 7;9A y ;7B , determine BA y represente geométricamente.
d. 3;A y ;3B , determine BA y represente geométricamente.
e. 6;9A y 3;B , determine BA y represente geométricamente.
RETO 1. Sí 8;1A ; 6;14B y 7;12C , determine CBA )( y
represente geométricamente.
RETO 2. Sí 4;7A ; 10;15B y 5;12C , determine ( )A B C y
represente geométricamente.
235
6.2 INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una inecuación de primer grado con una incógnita (inecuaciones lineales), es aquella
inecuación que puede reducirse a cualquiera de las siguientes formas generales:
0; 0; 0ax b ax b ax b o 0bax .
donde, en todos los casos, a y b son constantes reales, 0a y x es la incógnita.
Resolución de la inecuación de primer grado
Resolver alguna inecuación de las formas indicadas consiste en hallar su conjunto
solución CS, es decir, encontrar aquel intervalo que contenga todos los valores que
puede tomar la incógnita para que se verifique la desigualdad.
Solución de una inecuación de primer grado
Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita, debemos dejar la
incógnita en un solo miembro de la inecuación y las constantes en el otro, para lo cual
usamos las propiedades anteriormente dadas.
RECUERDE:
Sean a , b y c números reales
Ejemplo:
Si ba y Rc , entonces cbca 3 5, entonces 3 4 5 4
Si ba y 0c , entonces: cbca .. 3 5, entonces 3 4 5 4
Si ba y 0c , entonces: cbca .. 3 5, entonces 3 ( 4) 5 ( 4)
Ejemplo 1
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. 4 6x
Solución
Debemos despejar la variable x,
6 4
2
x
x
Represente gráficamente la solución
; 2CS
b. 3 12x
Solución
Si multiplicamos por –1 a cada
término de la inecuación, se invierte la
desigualdad, luego
3 12x
Dividimos a cada termino entre tres,
por lo tanto
4x
Represente gráficamente la solución
4;CS
– 4
–2
236
Ejemplo 2
Resolver:
6
23
3
2
2
12
5
12
xxx
Estrategia de solución:
PRIMER PASO:Multiplique ambos lados del
símbolo de la desigualdad
por el MCM
MCM.(5; 2; 3; 6) = 30
Por ser positivo (30 > 0), el sentido de la desigualdad
no cambia
)23(5)2(10)12(15)12(6 xxx
SEGUNDO PASO:
Despeje la incógnita
aplicando propiedades
3 51x
17x
Al dividir ambos lados de la desigualdad por un
número negativo, ( 1) el sentido de la desigualdad
se invierte.
TERCER PASO:
Represente gráficamente la
solución
CUARTO PASO:
Señale el conjunto solución
de la inecuación:
; 17CS
EJERCICIO 1
1. Resuelva las siguientes inecuaciones.
a. 284 x
b. 6 5 13x
17
301521181015201530612 xxxxx
301521181015201530612 xxxxx
51321301518 xxx
51321301518 xxx
–
237
c. 3 2 8 12x x d. 2 8x
e. )2(143)3(2 xxx f. 2( 5) 4 ( 3)x x x
g. 2
3
1
x
h.
35 6
7
2
x
238
i. 2
3
1
x
x
j.
10
1
5
26 xx
k.
8
1
2
2
xx
l.
2 4 1 1
3 3 6
x x
239
m.
24
14
2
3
23
8
34
x
x
xx
n.
8
32
3
4
54
6
53 xxx
2. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. ¿Los conjuntos 3;2A y 3;2;1;0;1B son iguales?
b. Dada la inecuación 3,x ¿se puede afirmar que el ; 3CS ?
c. Dada la inecuación 3 24,x ¿se puede afirmar que el 8;CS ?
d. Dada la inecuación ,ax a si 0,a ¿se puede afirmar que el ; 1CS ?
240
EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 – 6.2
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. ¿Los conjuntos 4;1A y 3; 2; 1;0;1B son iguales?
b. Dados 3; 0A y 1; 2 ,B ¿el conjunto A B tiene solamente cinco
elementos?
c. Si ; 3A y 5; 2 ,B ¿es cierto que la intersección de A y B tiene
solamente dos elementos entero?
d. Dada la inecuación 3 24,x ¿se puede afirmar que el 8;CS ?
e. Dada la inecuación 2 ,ax a si 0,a ¿se puede afirmar que el
1
;
2
CS
?
2. Dados los intervalos:
a. 6;9A y ;6B , determine BA
b. ]2;5] A y
7
;
2
B
, hallar BA
c. 9;6A y ;9B , determine BA
3. Si ;1510;2A y 20;8B , determine BA
4. Si ;4A , ;7B y 10;C , determine ( )A B C
5. Si 4;2 , 5;A B y 2;7 ,C determine ( )A B C
6. Resuelva las siguientes inecuaciones:
a. 1)52(3)53(4 xx e. xx 811)23(23
b. 9)12(34 xxx f. 2)3(5)1(3)3(4 xxx
c. 0
6
32
8
43
xx
g. 2
6
32
4
21
xx
d.
8
32
3
4
54
6
53 xxx
h.
24
14
2
3
23
8
34
x
x
xx
241
6.3 SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON
UNA INCÓGNITA
Definición:
Estos sistemas están formados por distintas inecuaciones y el objetivo es determinar
las soluciones comunes a todas ellas.
Ejemplo 1
2 6 5 8
a.
5 8 3 10
x x
x x
o equivalentemente 2 6 5 8 y 5 8 3 10x x x x
b. 2 2 8 2 6x x x o equivalentemente
2 2 8
8 2 6
x x
x x
Ejemplo 2
Resuelva el siguiente sistema:
)2...(
3
62
1132
)1...(162)12(3
x
x
xx
Solución:
Estrategia de solución para un sistema de inecuaciones de primer grado
PRIMER PASO:
Resuelva cada inecuación en
forma independiente de las
otras.
6 3 2 16 6 39 3 2 6,
3 6
x x x x
x x
SEGUNDO PASO:
Represente gráficamente las
soluciones de cada inecuación
en una recta numérica.
TERCER PASO:
Determine el intervalo común
(intersección) si es que existe.
Esto dará el CS del sistema.
. 3;6C S
RECUERDE
Sean a , b y c números reales
cba equivale a: ba y cb
cba equivale a: ba y cb
6
3
242
Ejemplo 3
Resuelva el sistema:
1038562 xxx
Solución:
Este sistema equivale a:
10385
8562
xx
xx
Resuelva este sistema siguiendo el mismo proceso del ejemplo 2
EJERCICIO 1
Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones:
a. 62822 xxx
243
b.
2
2 2
4
x
x
c.
1 3
1 4
4
x
d. 7 2 4 8 8 6x x x
244
e.
2 1
2 1 1
5
x
x
f.
1022
4652
xx
xx245
EJERCICIOS PROPUESTOS 6.3 – 6.4
1. Responde a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas.
a. Al resolver un sistema de inecuaciones se obtuvo las desigualdades 63 x
y x42 . ¿Cuál es el conjunto solución del sistema?
b. Al resolver el sistema de inecuación 3 3 4,x ¿se puede afirmar que el
1;0CS ?
2. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a. 12 5(2 3) 4 1 6x x e.
4
2
521
3
1 x
x
x
b. 2( 1) 2 6(2 1) 3(1 )x x x f.
5
1 2 1
3 4
x x
x
c. 2( 4) 2 2(3 4)x x x g.
2 1 4 1 5
3 2 3 6
x x
x
d. 3 4(2 3) 2( 1) (1 )x x x x h.
6 7 5 1
4 4
5 3
x x
x
3. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a.
4
1
6
73
1
2
4
3
3
xx
x
x
x
c.
3 1 1
2
2 3 6
3(2 1) 7 10
x x x
x x
b.
1
4
1
3
3
)1(432
xx
xx
246
6.5 MODELACIÓN DE PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN
INECUACIONES
Análisis de enunciados
En la descripción verbal de un problema, por lo general, existen palabras y frases que
son claves para traducirlo a expresiones matemáticas que involucran las cuatro
operaciones ya sea usando igualdades o desigualdades. Veamos:
Modelación de problemas aplicados al campo económico y administrativo que
Expresión verbal dentro del
enunciado
Variable
(letras escogidas)
Expresión
matemática
a. El ingreso no sea menor que
$ 2000.
b. El costo total no exceda de
$ 5000.
c. La utilidad mínima sea de
S/. 9500.
d. La cantidad de alumnos que
asisten a un taller no supera
los 35 alumnos.
e. Las ganancias sean de por lo
menos 27 000 dólares.
f. El nuevo precio disminuido
en $ 20 sea como máximo
$ 45,50
g. Vendió la tercera parte de la
cantidad inicial quedándole a
lo más 38 por vender.
h. Pablito gastó en total los dos
quintos de su gratificación
quedándole más de 480
dólares.
247
involucran inecuaciones.
En esta parte haremos uso de las expresiones mostradas en la tabla anterior y otras para
expresar un enunciado verbal como un grupo de relaciones matemáticas.
Para resolver problemas se sugiere los siguientes pasos:
Paso 1. Comprensión del problema: es preciso leer bien el problema y elegir la
variable.
Paso 2. Planteamiento: establecer relaciones entre la variable y los datos.
Paso 3. Resolución: es la parte operativa del problema. Es bueno verificar los
resultados obtenidos.
Paso 4. Análisis de respuestas y respuesta completa: se debe reflexionar sobre el
sentido de los números obtenidos y escribir la respuesta completa. No olvidar
de indicar las unidades.
Ejemplo 1
En un taller de Carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que vendió 38
quedando más de la tercera parte. Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10
quedando menos de 19 sillas. ¿Cuántas sillas se fabricaron en total?
Solución:
Paso 1. Definir la variable.
Sea x el número de sillas que se fabricó inicialmente:
Paso 2. Plantear el problema.
En un taller de Carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que vendió 38
quedando más de la tercera parte. Si luego se fabrican 8 más y enseguida se venden 10
quedando menos de 19 sillas.
Se tiene:
1
38 38 8 10 19
3
x x x
Paso 3. Resolver:
2 114 40 19
57 59
x x
x x
de donde 57 59. x
248
Paso 4. Analizar el resultado.
Como son sillas, la(s) solución(es) debe(s) ser un entero positivo. Por tanto el valor de
x es 58.
Respuesta:
Se fabricaron en total 66 sillas (hay que sumar las 8 sillas fabricadas posteriormente).
Ejemplo 2
Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una máquina excavadora. Si fuese a
rentar la máquina, el costo de la renta sería de $3000 mensuales (sobre la base de un
año) y el costo diario (gas, aceite y operador) sería de $180 por cada día que la maquina
se utilice. Si fuese a comprarla, sus costos fijos anuales serían de $ 20 000 y los costos
diarios de operación y mantenimiento serian de $ 230 por cada día que la maquina se
utilizara. ¿Cuál es el número mínimo de días del año que tendría que utilizar el
constructor la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?
Solución:
Vamos a determinar expresiones para el costo anual de la renta y el costo anual de la
compra, así encontraremos cuando el costo de la renta es menor que el de la compra.
t : el número de días de cada año que la maquina será utilizada.
Si la maquina se renta, el costo total anual consiste en los gastos de la renta, que son
(12)(3000) y los costos diarios de 180t. Si la maquina se compra, el costo por año es
20000 + 230t.
Queremos que:
cos cosrenta comprato to
Luego
12(3000) 180 20000 230
36000 180 20000 230
16000 50
320
t t
t t
t
t
Respuesta:
Por tanto, el constructor debe utilizar la maquina al menos 321 días para justificar
rentarla.
249
Ejemplo 3
La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su producto
a un precio de venta unitario de $ 150,00 y el costo de fabricación de cada reloj de
aguja asciende a $ 10,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la empresa es de 2000
dólares. ¿Cuántos relojes de aguja debe producir y vender la empresa, para obtener una
utilidad de por lo menos $ 349 000 al mes?
Solución
Sea q el número de relojes de aguja producidos y vendidos por la empresa “Rolix”.
La empresa desea obtener una utilidad mensual de por lo menos $ 349 000 al mes.
349000U
Para determinar la ecuación de la utilidad, primeramente debemos plantear las
ecuaciones del ingreso y el costo total, por lo tanto:
150
10 2000
140 2000
I q
C q
U q
Reemplazando
349000
140 2000 349000
2507,14...
U
q
q
Respuesta.
Debe producir y vender 2508 relojes de aguja al mes, para obtener una utilidad de por lo
menos $ 349 000 al mes.
250
PROBLEMAS DE MODELACIÓN.
1. Cierto número de postulantes rindieron un examen para cubrir las plazas de
cajero del Banco del Viejo Mundo. Se conoce que el doble de la cantidad de
postulantes disminuido en 23 no llega a 95. Además se sabe que al eliminarse
13, quedaron más de 40 postulantes. Si se sabe que la quinta parte de los
postulantes son mujeres, determine el número inicial de postulantes que
rindieron el examen.
2. En un taller de carpintería, se fabricó una cierta cantidad de sillas de las que se
vendió la tercera parte quedando más de 38 por vender. Si luego se fabrican 8
más y enseguida se venden 10 quedando menos de 40 sillas por vender ¿cuántas
sillas se fabricaron en total?
Definiendo la variable: ¿Cuántas sillas se fabricaron inicialmente?
x : ………………………………………………..
Planteamiento. Complete el siguiente cuadro:
Datos del problema
Vendió la tercera parte quedando más
de 38 por vender.
Si luego se fabrican 8 más y enseguida
se venden 10 quedando menos de 40
sillas por vender
251
Inecuaciones finales:
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta):
……………………………………………………………………………………….
3. Paul tiene cierta cantidad de CD’s. Antes de irse de viaje, decide vender la
quinta parte a sus amigos, a un precio módico de S/. 25 cada uno. De esta
manera, le quedan más de 64 CD’s, perosi sólo hubiera vendido 10 CD’s, le
quedarían a lo más 82 CD’s. ¿Cuántas CD’S tenía Paul inicialmente?
Definiendo la variable:
x : ………………………………………………..
Recuerda que antes de irse de viaje, vendió la quinta parte de sus CD’S.
¿Qué valores que puede tomar la variable x?
…………………………………………………………………………………….
Si se sabe adicionalmente, que la sexta parte de todos sus CD’s que tenía
inicialmente son de música rock:
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta):
……………………………………………………………………………………….
252
Del problema anterior:
Si Paul compró cada uno de sus CD’s a un precio de 35 soles. ¿Cuánto perdió Paul
en total por la venta de la quinta parte de sus CD’s?
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta):
……………………………………………………………………………………….
4. El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo
unitario por la fabricación de cada chompa es de $ 35,20. Si los costos fijos de la
fábrica ascienden a $ 2700 al mes y el precio de venta unitario es de $ 105,20.
¿Cuántas chompas debe vender como mínimo la fábrica, para obtener una
ganancia de por lo menos $ 3 500 en un mes?
Definiendo la variable: ¿Cuántas chompas debe vender como mínimo la fábrica,
para obtener una ganancia de por lo menos $ 3 500 en un mes?
q : ………………………………………………..
Determina las ecuaciones del ingreso, costo total y la utilidad
Frase: Cantidad de chompas que debe vender como mínimo la fábrica, para obtener
una ganancia de por lo menos $ 3 500 en un mes.
Respuesta completa con unidades (vuelva a leer la pregunta):
…..…………………………………………………………………………………..
253
5. La empresa “Rolix” especialista en la fabricación de relojes de aguja, oferta su
producto a un precio de venta unitario de $ 150,00 y el costo de fabricación de
cada reloj de aguja asciende a $ 10,00. Sabiendo que el costo fijo mensual de la
empresa es de 2000 dólares. ¿Cuántos relojes de aguja debe producir y vender la
empresa para obtener una ganancia mensual de por lo menos $ 60 000?
6. Para producir su nuevo modelo de teléfono inalámbrico, una compañía determina
que el costo del material es de $ 2,50 y el de mano de obra de $ 4,00, por cada
unidad. Semanalmente se gastan $ 5000 que no dependen del nivel de
producción. Si el precio para un mayorista es de $ 8,40 por unidad, determine el
número mínimo de unidades que debe venderse para que la compañía obtenga
utilidades mayores a los $ 4000 semanales.
7. Una compañía telefónica ofrece dos planes de larga distancia. Plan Premium: A
pagar un monto fijo de S/. 105 por mes, más 5 céntimos por minuto de consumo;
Plan Estándar: Un monto fijo de S/. 35 por mes más 13 céntimos por minuto de
consumo. ¿Para cuántos minutos de llamadas de larga distancia el plan Estándar
es más económico que el plan Premium?
254
PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5
1.-Pablo adquirió una cierta cantidad de bufandas para venderlas en esta temporada.
Antes de fin de mes vende la sexta parte a un precio módico de S/. 25 cada una. De esta
manera, le quedan más de noventa bufandas; sin embargo, si sólo hubiera vendido 35
bufandas, le quedarían menos de 80 bufandas. Si le costó a Pablo cada bufanda 8 soles.
a. ¿Cuántas bufandas compró en total?
b. ¿Cuál es su ganancia total si hubiera vendido todas las bufandas?
2.-Una compañía de informática produce computadoras personales para los colegios
privados de Lima, con un costo de $180,00 la unidad. Si los costos fijos son $28 000 y
vende cada computadora a $320,00. ¿Para qué nivel de producción la empresa obtiene
una utilidad superior a los $ 42 000?
3.- Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el
costo del material es de $ 4,50 y el de mano de obra de $ 5,00. El gasto general, sin
importar el volumen de ventas es de $ 4000. Si el precio para un mayorista es de $12,00
por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe venderse para que la
compañía tenga utilidades mayores a los $ 8199.
4.- Un egresado universitario tiene dos ofertas de trabajo. La compañía ABC le ofrece
un sueldo mensual de S/. 5200 más S/. 40 por hora extra y la compañía DEF le ofrece
un sueldo mensual de S/. 4800 más S/. 60 por hora extra. Analice las propuestas y
determine en que caso le conviene aceptar la oferta de la compañía ABC, en que caso le
conviene aceptar la oferta de la compañía DEF y en qué caso la decisión es indiferente.
5.- Carlos tiene cierta cantidad de DVD’s. Antes de irse de viaje, decide vender la
tercera parte a sus amigos, de esta manera, le quedan más de 36 DVD’s, pero si sólo
hubiera vendido 20 DVD’s, le quedarían menos de 43 DVD’s. Si se sabe que la quinta
parte de los DVD’s. son de música clásica.
a. ¿Cuántos DVD’s. tenía Carlos inicialmente?
b. ¿Cuántos DVD’s le quedan?
6.-En un almacén de la FAO en cierto país de África, se dispone de cierto número de
paquetes humanitarios, con alimentos suficientes para una familia durante 1 semana. La
semana pasada se repartió la quinta parte de los paquetes, con lo que quedaban todavía
más de 333, pero si se hubiera repartido la tercera parte les hubieran quedado menos de
284. Hallar cuántos paquetes se tenía originalmente en el almacén.
7.-En una tienda de artefactos, el dueño adquirió un cierto número de iPhones de los
cuales vendió la tercera parte, de esta manera, le quedan más de 50 por vender. Al día
siguiente vende solamente 19 iPhones, con lo cual le quedaron menos de 34.
a. ¿Cuántos iPhones adquirió el comerciante?
b. ¿Cuántos iPhones le quedan por vender?
255
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTAS
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 – 1.2
1. a. Sí, todo número entero es racional.
b. El valor de 3 8 2 pues
3
2 8.
c. No, Q y I no tienen elementos
comunes.
d. No es cierto,
223 3 .
e. Sí, todo número irracional es un
número real.
2. Marque con un aspa todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los
siguientes números:
9 5
3
7 0,12 3,44.... 3,141 3 5 5
1
2 3 27 4Naturales ×
Enteros × ×
Racionales × × × × × × ×
Irracionales × ×
Reales × × × × × × × × ×
5. a. 0,65 b.
71
4
c.
29
10
d.
3
2
e. 4,5 f.
9
4
g.
35
4
h. 33 i. 10 j. 6 k.
5
2
l.
17
2
6. a. 3 b. 56 c. 13 d. 70 e.
19
5
f.
22
27
g.
5
4
h.
3
4
i.
4
9
7. a. 111 b.
3
5
c. 21 d. 26
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3 – 1.4
1. Le queda S/. 98,50
2. Iban a recibir S/. 64 un total de 9
personas.
3. El segundo trabajador gana
diariamente S/. 20
4. Inicialmente había 6 trabajadores.
5. Gano S/. 96
6. El saldo de la tarjeta a fin de mes
asciende a S/. 99,92
7. Regresó con $ 60 o S/. 168
8. a. Gastará S/ 56
b. Quedan $ 642,38 en su cuenta
9. Rodrigo se demoró menos.
10. Les queda por hacer la sexta parte.
11. Aportaron un quinceavo del total
12. Le quedo seis séptimos de su dinero.
Perdió un séptimo de su dinero.
13. El monto de la herencia asciende a
$ 45 000.
14. Jenniel ingreso al casino con S/. 48.
15. Han avanzado nueve decimos del
trabajo hasta el mediodía. Les queda
por hacer un décimo de la obra.
16. Han avanzado siete octavos del
trabajo hasta el mediodía. Les queda
por hacer un octavo de la obra.
256
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 2.1 – 2.2
1. a. No, significa que a = 9k y b =
5k, donde k es una constante.
b. No, porque si a = 3(2) = 6,
entonces b = 4(2) = 8.
c. No es posible, porque
Edad Mariel 5
Edad Karen 3
es decir la
diferencia de sus edades es de 2k
donde k es la constante.
d. Beatriz tiene un 87,5% de
aciertos.
e. El precio del terreno es S/. 72 000
000
f. Se obtiene el 103,5% del precio
2. a.
# preguntascorrectas 3
# total de preguntas 5
b.
# preguntasincorrectas 1
# preguntascorrectas 2
c.
# preguntasomitidas 1
# total de preguntas 10
3. La densidad poblacional es de 408
hab. por milla cuadrada aprox.
4. La compañía RockTeam
5. Le conviene tomar la segunda
propuesta
6. a. Por cada 30 sixpack me regalan
cinco cereales
b. Le obsequiaron 30 cereales.
7. El mayor tiene 24 años
8. El menor número es 30
9. El mayor es 119
10. Recibió 120 votos a favor.
11. El largo mide 24 m y el ancho 16 m
12. Asistieron 150 mujeres a la pizzería
13. Complete la tabla adjunta:
Agricultores m
2
% Fracción Decimal
Mateo 86 400 36 36/100 0,36
Santiago 48000 20 20/100 0,2
Eliseo 105600 44 44/100 0,44
Total 240 000 100 100/100 1
14. Se ha procesado 240 litros de leche.
15. Se aplica un 55% de descuento
16. No usan lentes de contacto un 78%
de los alumnos.
17. Hay 125 alumnos
18. El precio de cada automóvil era de $
13 000.
19. El 16% del total de alumnos usan
lentes
20. Asciende a $ 1 875 600
21. Representa ahora el número de
manzanas el 44% del total de frutas
22. Su sueldo final es de $624. Se
incrementa en un 4% del sueldo
inicial.
23. Equivale a un aumento único del
28,8% del precio original del
artículo.
24. La prenda de vestir cuesta
finalmente S/. 70,11
257
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 2.3
1. a. La variación porcentual de la
nota fue del 20%
b. El costo sin IGV es de S/. 288,14
aprox.
c. Asciende a S/. 69,30
2. a. De 1 a 2 años su porcentaje de
variación disminuyó en 20%,
mientras que de 2 a 4 años, varió
en 50%.
b. De 1 a 4 años su porcentaje de
variación fue del 20%.
c. No, porque los porcentajes se
obtienen de diferentes cantidades.
3. Disminuyó mi peso. Ha variado en
un 11,11% aprox.
4. Fue de 9500 kg. El porcentaje de
merma fue de 11,05% aprox.
5. Pierde 4kg de masa.
6. Se debe comprar 90 m2.
8. Factura:
Distribuidora Comercial
Mayorista Limitada
Comercializadora Mayorista de Productos para Almacén
Distribuidora de Abarrotes – Lácteos – Frutos Secos –
Artículos de Aseo – Detergente y sus Derivados
Av. Perú Campeon Nº 1234 – Urb. Los esforzados
Telefono: 1452155- 9989898
R.U.C.: 20100084568
FACTURA
Señor(es): Miguel Baltasar López 028 - Nº 0005160
Dirección: Av. Si se puede N º 8135
R.U.C: 10084537684 GUIA: _______ Lima, 10 de mayo del 2011
CANTIDAD DESCRIPCIÓN
PRECIO
UNITARIO
VALOR DE
VENTA
50 Cera auto brillante “Texno” S/. 3,40 170
40 Perfumador “Ricotín” en spray S/. 6,70 S/. 268
35 Desinfectante “Pinesal” de 500 ml S/. 4,50 S/. 157,50
CANCELADO SUBTOTAL S/. 595,50
I.G.V (18%)
S/. 107,19
IMPRENTA ABC S.A.C.
GRÁFICA SANTA MARÍA
R.U.C. Nº 20432102005
Serie 024 Del 5000-15000
F.I. 20-08-2008 Nº Aut. 1333566780
TOTAL S/. 702,69
ADQUIRIENTE O USUARIO
9. En Reloj Internacional pagó $1280.
10. Pierde 53,2% del precio de costo
11. El precio inicial del ungüento es de
S/. 28,6. El precio de venta final del
ungüento es de S/. 24,31.
12. a. Ha ganado $ 7200
b. Podrá comprar 1333 acciones
13. El precio debe ser de $1250
14. Le costó $950.
258
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.1 – 3.2
1. a. Las variables son: a y b.
b. El valor de a es – 6.
c. El valor de m es 3.
d. Si P(–1;1) es 2.
e. No, porque 2( 3)( 5)x x es
(2 6)( 5)x x o ( 3)(2 10)x x
f. No, se obtiene 22 2 .x x
2.
7
9
E
3.
2
3
F
4. 13 7x
5. ( , ) 81 79P x y x
6. 3 23 10 9x x x
7. 4 2 2 3 3 23 5 6 10x y x y x y xy
8. a. 53 65a
b. 225 24 9a a
c. 4
d. 4
9. Sea q la cantidad de agendas
producidas y vendidas.
( ) 25
( ) 7 4000
( ) 18 4000
I q q
C q q
U q q
10. Sea t la cantidad de horas extras
mensuales.
: ( ) 3200 50
: ( ) 4900 75
Suny S t t
Phelips P t t
11. Sea x la cantidad de incrementos.
a. Precio: ( ) 30 2P x x
b. Cant. de libros:
( ) 50000 400Q x x
c. Ingreso diario
2
( ) (30 2 )(50000 400 )
( ) 1500000 88000 800
I x x x
I x x x
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.3
1. a. No, se obtiene 4 2 26 9 .x x y y
b. No, se obtiene 4 29 .x y
c. 5 6.A x
2. a. 2 2( 7) 14 49.x x x
b. 2 2(3 4) 9 24 16.x x x
c. 2 2(4 5 ) 16 40 25 .x x x
d. 2 2(6 ) 36 12 .x x x
e. 2 2 4 2( 8) 16 64.x x x
3. a. 29 1m
b. 21
4
9x
c. 8 49 12 4x x
d. 10 54 4 1x x
e. 4 1m
f. 2 29 6m mn n
4. a. 211 72 41x x
b. 215 4 35x x
c. 28 14 9x x
d. 2 2 47x x
e. 2
2
14 71
3
x x
f. 28 12x x
g. 210 21 24x x
h. 243 96 74x x
5. a. 24 3h
b. 1 8 4x h
c. 20 5h
d. 6 7 3x h
259
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.4
1. a. El valor de b es 1.
b. Si, el residuo es cero.
2. a. Cociente: 3 22 6 7 1;x x x Residuo: 8 6x
b. Cociente: 3 22 3 2;x x x Residuo: 4 4x
c. Cociente: 2 5;x Residuo: 13x
d. Cociente: 22 3 1;x x Residuo: 0
e. Cociente: 2 2;x x Residuo: 22 5 9x x
3. a. Cociente: 25 11 4;x x Residuo: 12
b. Cociente: 22 2;x x Residuo: 8
c. Cociente: 3 22 7 8;x x x Residuo: 0
d. Cociente: 3 22 3 19;x x x Residuo: 37
e. Cociente: 3 23 7 16 35;x x x Residuo: 0
EJERCICIOS PROPUESTOS 3.5
1. a. No, al factorizar ( 5) 6x x se
obtiene ( 3)( 2).x x
b. No, se obtiene (2 1)( 3).x x
c. No, se obtiene ( 3)( 3)( 1).x x x
d. Si, se obtiene ( 3)( 4).x x
e. No, porque se puede factorizar en
( 5)x x
2. a. 25 ( 3 )by b y
b. 25 (3 2 )( )a b b a b a
c. 2(4 3)(2 1)x x
d. 2( 1)( )n n m
e. 2( )( )x n x b
f. ( 20)( 16)q q
g. (3 2 )( 2)a b x y
h. ( )( 3)( 2)a b x x
i. 22 (3 8)( 3)q q q
j. (4 )(5 2 )a b x y
3. a. 5 ( 2 )( 2 )by b y b y
b. 2 2(4 9)x
c. ( )( 3)( 3)n a b x x
d. 2( 2)( 1)x x
e. 2( 1)( 1)x x
f. 2( 2)( 4)q q
g. 3 ( 4)( 4)q q q
h. 4 (2 3 )( )( )a m n q p q p
i. 2( 3)( 3)xx
j. ( )( )( )a b m n m n
k. ( 2)( 4)( 3)x x x
260
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 4.1 – 4.2
1. a. El valor de 0.
b. El valor de b es –1.
c. CS R
d. CS
e. No es cierto, 0CS
2. a. 3CS
b. 0CS
c. 0CS
d. 0CS
e. 9CS
f. CS
g. 60CS
h.
1
7
CS
3. a.
87
8
CS
b.
11
8
CS
c. CS
d.
5
2
CS
e. 1CS
f. CS R
g.
27
5
CS
h.
9
11
CS
4. Dentro de 10 años.
5. Gastó $ 5400
6. Se liquidaron 2000 pantalones.
7. Vieron la película 2464
espectadores.
8. Les cobró S/. 15 el taxista.
9. El monto total de la deuda es de $
459.
10. Sea q la cantidad de cuadernos
producidos y vendidos.
a.
( ) 20
( ) 15 9000
( ) 5 9000
I q q
C q q
U q q
b. Se deben vender 13 800
cuadernos.
11. Debe producir y vender 4400 relojes
de aguja.
12. Se deben vender al mes 2200
chompas.
13. a. El valor de b es 30
( ) 30 28U q q
b. Gana $92 000.
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.3
1. a. Puede tomar el valor de 4 o –4.
b. Puede tomar el valor de 5 o –5.
c. El valor de c es 27; z = – 3.
d. El valor de c es 9.
e. No, el C.S. es 0;4 .
f. No, tiene dos soluciones 4 o –4.
2. a. 0;5CS
b. 11; 11CS
c.
26
0;
3
CS
d. 5; 13CS
e. 119 ;2CS
f. 7 52 3;CS
g.
1
; 4
2
CS
h.
5 8
;
4 3
CS
i.
3 5 3 5
;
2 2
CS
261
j. 4;2CS
k.
1 2 3 1 2 3
;
2 2
CS
l. 6CS
m. 3 5; 3 5CS
n.
3 3 7 3 3 7
;
2 2
CS
ñ. 9 6 2;9 6 2CS
o.
1
;2
4
CS
3. Se demandan 150 unidades.
4. a. Obtuvo una ganancia de 318 000
dólares.
b. Debe vender 2000 refrigeradoras.
5. Transcurrirán 12 meses.
6. Podrán gastar S/. 111 cada uno en
sus compras.
7. a. Precio unitario = 30 – x.
b. Cant. diaria de carritos = 15 + 2x.
c. Ingreso diario = (30 – x)(15 + 2x)
donde x es la reducción en soles.
d. Al precio de S/. 20 cada carrito.
8. Se debe cobrar de alquiler $ 500.
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.4
1. a. Todos los reales.
b. El valor de a es 5.
c. No puede tomar los valores de
0;–5 y 2.
d. No, se obtiene
2
3 .x
x
e. No, se obtiene
2
5 1
.
1
x
x
f. No, se obtiene
2
2
2 6
.
4
x x
x
g. No, el 3 .CS R
h. El valor de b es 4.
i. No, el 3 .CS
2. a. 1;2; 2CVA R
b. 0;3; 3CVA R
c.
3
4;0;
2
CVA R
3. a. 2
8
; 2; 2
4
x
CVA R
x
b. 1; 1; 1CVA R
c.
3
; 2; 2
2
CVA R
x
d.
6
; 4; 4
4
x
CVA R
x
e. ; 3; 3
3
x
CVA R
x
f.
1
; 1; 1
1
CVA R
x
4. a. 2; 3 ;CVA R CS
b. 0;2 ; 5CVA R CS
c. 4; 3 ; 5CVA R CS
d. 2; 2 ; 1; 4CVA R CS
e. 0;1 ; 2CVA R CS
f. 0; 5 ; 3CVA R CS
g.
2
3; ; 1
3
CVA R CS
h. 2;3 ;CVA R CS
262
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.5 – 4.6
1. a. No, el 2;0;4 .CS
b. El valor de c es 0.
c. No, el 0 .CS
d. No, se obtiene 29(2 1) .x x
e. El valor de a es 5.
2. a. 1;2;3CS
b. 3;2;4CS
c. 2; 1;0;3CS
d. 0;1;2;5CS
e. 3;2;5CS
f. 1;3 2;3 2CS
g. 2;3 5;3 5CS
3. a. 2CS
b. 8CS
c. 8CS
d. 5CS
e. CS
f.
31
16
CS
g. 33CS
h.
13
4
CS
EJERCICIOS PROPUESTOS 4.7
1. a. El valor de b es –1.
b. El valor de a es 12.
c. No, es compatible determinado.
d. Sí, es compatible determinado.
2. a. (2;1)CS
b. CS
c.
3
(4; )
2
CS
d.
8
(6; )
3
CS
e. (3; 2)CS
f. 23. . ( ; 4) /
tC S t t R
g. (7;3)CS
h.
2
(6; )
3
CS
3. Se producen 4 ollas de cada modelo.
4. Debe plantar 300 hectáreas de maíz
y 200 hectáreas de trigo.
5. Se pueden fabricar 25 carteras y 40
casacas.
6. Compró 3000 truchas y 2000
robalos.
7. La tarifa diaria de la agencia es de
$ 35 y por kilómetro recorrido es de
$ 0,15.
8. Sea x: Cantidad de sillas
y: Cantidad de mecedoras
z: Cantidad de sofás
400
2 600
2 3 5 1500
x y z
x y z
x y z
9. Sea x: Cantidad de sillas
y: Cantidad de sillones
z: Cantidad de butacas
15
50 150 200 1600
4
x y z
x y z
z x y
263
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 5.1 – 5.3
1. a. ( ; ) IA b a y ( ; ) IIB a b b. En el IV
c. En el III d. En el III
e. En el I f. Si es posible, la ecuación es x = 4
2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones:
a. 4 3 12y x
b. 8 12y x c. 9 4 12y x
d. 2 3x y e. 3 0x y f. 3y
g. 2 5 300x y h. 500 1000x y i. 450x y
264
3. Resuelva y clasifique los siguientes sistemas de ecuaciones según su CS y luego
grafique los sistemas de ecuaciones. ¿Qué puede concluir?
a.
3 9
2 3 0
x y
x y
(3;2)CS
b.
2 10
4 5 28
x y
x y
( 2;4)CS
c.
4
2 5
x y
x y
( 3;1)CS
d.
3 1
2 5
y x
x y
)2;1( CS
265
4. a. Sea q la cantidad de mochilas escolares producidas.
( ) 8,5 2000C q q
b. El costo total fue de S/. 2935.
c. Gráfica de la ecuación del costo total
5. a. El VMP es de 24 artículos.
b. Graficas del ingreso, el costo total y la utilidad.
C
q
mochilas
Costo (S/.)
I
C
U
I, C y U (dólares)
Punto de
equilibrio
q
artículos
VMP: 24 artículos
266
6. a. Sea q la cantidad de toneladas de gluten de maíz producidas y vendidas.
( ) 20I q q
b. ( ) 15 2000C q q
c. ( ) 5 2000.U q q La utilidad es de $ 1250.
d. Graficas del ingreso, el costo total y la utilidad.
7. a. ( ) 0,70 1500C q q
b. ( ) 1,20I q q
c. ( ) 0,50 1500U q q
d. Graficas del ingreso, el costo total y la utilidad.
x
y
I
C
U
q
Toneladas de
gluten de maíz
I, C y U (dólares)
Punto de equilibrio
VMP
VMP
I
C
U
I, C y U (dólares)
Punto de
equilibrio
q
Cant. bolsas
de frituras
267
8. Sea q la cantidad de artículos.
a. ( ) 4 4000C q q b. ( ) 8I q q c. ( ) 4 4000U q q
d. El VMP es de 1000 artículos.
9. El precio de venta de cada MP3 es de S/. 200, el costo fijo es S/. 8000, el VMP es
100 MP3 y el punto de equilibrio es (100 MP3; S/. 20 000).
10. a. Para un precio de S/. 17, existe escasez de 8 chompas.
b. Precio de equilibrio es de S/. 32 y la cantidad de equilibrio es de 4 chompas.
c. El ingreso de la fábrica en el equilibrio es S/ 128.
d. Graficas de la oferta y la demanda.11. Sea t el tiempo transcurrido en años después de adquirir los libros.
V(t) = –150t +1500
Gráfica de la
demanda
Precio
($)
Punto de
equilibrio
q
Cant. de
chompas
Gráfica de la
oferta
Gráfica de la
depreciación
Precio
($)
t
años
transcurrido
s
268
EJERCICIOS PROPUESTOS 6.1 – 6.2
1. a. No, porque B A
b. No, 1;0A B tiene
infinitos elementos.
c. Si es cierto, 5; 4 .A B
d. No, el 8; .CS
e. No, el 12; .CS
2. a. 9;A B
b. 7
2
5;A B
c. A B
3. 8;10 15;20A B
4. ( ) 4;10A B C
5. ( ) 2;2 5;7A B C
6. a. ;1CS
b. 2;CS
c. 0;CS
d. 8
3
;CS
e. 2;CS
f. ;2CS
g. 3
2
;CS
h. ; 2CS
EJERCICIOS PROPUESTOS 6.3 – 6.4
1. a. 12;CS
b. Si, el 1;0CS
2. a. CS
b. 1CS
c. 6
7
;2CS
d. CS
e. 5;2CS
f. 3
2
;CS
g. 3;CS
h. 127;CS
3. a. ; 1CS
b. 7
2
;CS
c. 112 ;2CS
269
PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5
1. a. Compró en total 114 bufandas.
b. La ganancia total si hubiera vendido todas las bufandas sería de S/. 1938.
2. Para un nivel de ventas superior a las 500 computadoras.
3. Debe vender como mínimo 4880 unidades.
4. Le conviene aceptar la oferta de la compañía ABC si piensa trabajar menos de
20 horas extras, por el contrario si piensa trabajar más de 20 horas extras le conviene
aceptar la oferta de la compañía DEF. Si piensa trabajar solamente 20 horas extras la
decisión es indiferente.
5. a. Tenía 60 DVD´s inicialmente. b. Le quedan 40 DVD´s.
6. Se tenían originalmente 420 paquetes en el almacén.
7. a. El comerciante adquirió 78 iPhones. b. Le quedan por vender 33 iPhonesMás contenidos de este tema
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