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16/3/2017 1 BIOFÍSICA Clase 9. Unidad 3 Hidrostática Curso de Ingreso a FCM-UNSE 2017 Los seres humanos somos una gran tubería caminando. Por dentro estamos llenos de caños, tubos, mangueras, fuelles, bolsas y otro conjunto de espacios anatómicos que contienen fluidos. De modo que si queremos entender el funcionamiento del cuerpo humano u otro ser vivo debemos comenzar por el estudio de una serie de propiedades biofísicas que nos permitirán comprenderlo. Introducción 16/3/2017 2 Fluidos Principales Líquido Gas Somos 75% agua SANGRE Volemia: 5 litros PULMONES Aire: 6 litros en inspiración profunda . 3 3 2 2 1 1 cte V m V m V m === V m =δ [ ] ... 3 etc l mg dm kg mL g L kg ===== µ δ Densidad Relación entre la masa y el volumen de una sustancia En ecuaciones δ = letra griega denominada “delta” 16/3/2017 3 V P r =ρ gmP ×= r g V gm ×= × = δρ Peso Específico Relación entre el peso y el volumen de una sustancia En ecuaciones ρ = letra griega denominada “rho” [ ] 33 2 m N m seg m kg = × =ρ Densidad y Peso Específico de Diferentes Sustancias 16/3/2017 4 A F P r = [ ] Ketc m N cm dina cm kgf P ==== 222 2 cm dina Baria = Presión Fuerza sobre área Es la fuerza ejercida por unidad de área En ecuaciones 2 m N Pascal = Interesa el módulo de la fuerza, no su dirección (por eso aparece su módulo entre líneas verticales) hPaTorrmmHgAtm 1013760760 === ( ) ( ) 2cm dyndina Ba Baria = Unidades de Presión Es la fuerza ejercida por unidad de área ( ) 2 m N Pa Pascal = ( ) BaBar Bar 610= ( ) ( )PaPascalBa Barias10 1= g1g1 r ≠ N seg m 9,800,001kga0,001kgg1 2 0098,0=×=×= r El gramo (g) es una medida de masa, y el gramo fuerza, de peso (fuerza) 16/3/2017 5 Presión Hidrostática Es un principio basado en la conservación de la energía hg P ××= δ h P ×= ρ h P ∆ρ∆ ×= Teorema General de la Hidrostática Nótese que la presión en el seno de un líquido es independiente del ancho de la columna de líquido, sólo depende de la profundidad. Por ende, existe la misma presión en el fondo de un tubo vertical lleno de agua de 15 metros de alto y 5 cm de diámetro que en el fondo de un lago de 15 metros de profundidad. 16/3/2017 6 ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre nuestros tímpanos cuando nos sumergimos a 4 metros de profundidad? Dato: considere que el área del tímpano es de alrededor de 3 cm². Ejemplo A F P r = A PF ×= r ( ) ( )Ah g F ×××= δ r ( )2 23 34101 cm m seg m cm g F × ××= r ( ) ( ) ( )( )22 232 3 103410 10 10 1 m m seg m m kg F − − − × ××= r ( )24 236 3 103410 10 10 1 m m seg m m kg F − − − ×× ××= r ( )24 23 3 10341010 m m seg m m kg F −×× ××= r ( )34 23 4 10104 m3 m seg m m kg F −×× ×××= r N F 12= r Sustituimos por los valores del problema Colocamos las unidades en el SI Resolvemos! Principio de Pascal 16/3/2017 7 21 PP = 2 2 1 1 A F A F rr = 1 21 2 A AF F × = r r Prensa Hidráulica P1 P2 BA PP = hP HgB ×= ρ 3 280133 m N . Hg =ρ m,mmh 760760 == ( )m, m N .P B 760280133 3 × = Pa.P B 300101= Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físico italiano, fue el primero en medir la presión que ejerce la atmósfera sobre nuestros cuerpos. ¿Cómo hizo Torricelli para medir esa presión? Presión Atmosférica y Experimento de Torricelli Presión atmosférica Patm vacío 16/3/2017 8 21 PP ∆∆ = 2211 hh ∆ρ∆ρ ×=× 2211 hghg ∆δ∆δ ××=×× 2211 hh ∆δ∆δ ×=× Tubo en U y Densidad Aplicando entonces el teorema general de la hidrostática en ambas columnas tenemos Tomamos dos líquidos de distinta densidad, representados por distintos colores. Presión absoluta = Presión relativa + Presión atmosférica Presión barométrica = Presión manométrica + Presión atmosférica Presión Absoluta y Relativa 16/3/2017 9 Arquímedes de Siracusa (287 AC - 212 AC) fue un físico y matemático griego considerado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica (quizá el primero!). Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Principio de Arquímedes Eureka !!!! Principio de Arquímedes El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. 16/3/2017 10 Principio de Arquímedes El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado. Fíjense que el peso de la balanza colgante, es transferido al de la balanza inferior, siendo su suma, la misma que cada uno por separado. Arquímedes elaboró el concepto de Empuje (E) Principio de Arquímedes Se llama empuje a la fuerza que el líquido ejerce sobre un cuerpo, y que es igual al peso del líquido desplazado (Pld) por el cuerpo. 16/3/2017 11 C PE r = ld PE r = ldC PP rr = ldldCC VV ×=× δδ SldCC hh ×=× ρρ donde h c es la altura del cuerpo y h s es su porción sumergida. Principio de Arquímedes Por lo tanto, si expresamos los pesos a través de sus densidades, resulta: ldldCC VgVg ××=×× δδ Si el cuerpo tiene simetría vertical, lo anterior equivale a: C P r Peso del cuerpo ld P r Peso del líquido desplazado El empuje es un equilibrio ldC PP rr > ldC δδ > ldC δδ < → se hunde ¿Flota o se Hunde? → flota Ahora, cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igual al del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambos miembros por el volumen y se obtiene ldC PP rr < → se hunde → flota 16/3/2017 12 BIOFÍSICA Clase 10. Unidad 3 Hidrodinámica Curso de Ingreso a FCM-UNSE 2017 Fluidos Ideales No tienen viscosidad Son incompresibles Circulan con un flujo que llamamos laminar La velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de tubería es la misma. 16/3/2017 13 Tipos de Fluido y de Flujo Laminar Turbulento Caudal 16/3/2017 14 t m Q tiempo masa caudal ∆ == t Vol Q tiempo volumen caudal ∆ == (caudal de masa) [ ] seg m Q 3 = [ ] h mL min L Q == Caudal (caudal de volumen) El caudal se relaciona con la velocidad a la que se desplaza el fluido. xAV ∆×= t V Q ∆ = t xA Q ∆ ∆× = vAQ ×= Dado que Δx/Δt es una velocidad (v) queda, Principio de Continuidad 16/3/2017 15 21 QQ = 2211 vAvA ×=× Principio de Continuidad Q1 Q2 El Principio de Bernoulli es el Principio de Conservación de la Energía Mecánica para los fluidos y se llega a él dividiendo la energía mecánica del fluido por su volumen. constanteE M = constanteEEE CPM =+= constantevhgP =××+××+ 2 2 1 δδ Principio de Bernoulli 16/3/2017 16 constantevhgP =××+××+ 2 2 1 δδ 22 2 1 2 1 BBBAAA vhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ 22 0 2 1 0 2 1 ××+××+=××+××+ δδδδ BBAA hgPhgP BBAA hgPhgP ××+=××+ δδ ABBA hghgPP ××−××=− δδ Si es así, v A = v B = 0, lo que hace desaparecer los términos de energía cinética: Reagrupando: ( ) ABBA hhgP −××= − δ∆ hgP BA ∆δ∆ ××= − Bernoulli y el Teorema General de la Hidrostática 22 2 1 2 1 BBBAAA vhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ 22 2 1 2 1 BBAA vhgPvhgP ××+××+=××+××+ δδδδ 22 2 1 2 1 BBAA vPvP ××+=××+ δδ Cuando h A es igual a h B , los segundos términos se cancelan: Si h A = h B = h Otras Aplicaciones del Teorema de Bernoulli 16/3/2017 17 Otras Aplicaciones del Teorema de Bernoulli y1 y2 ● ● h orificio pequeño v2 s1 Ecuación de Torricelli 21 ss >> 0 12 ≈>> vv 21 ppp atm == 2 2 21 2 1 2 1 2 1 ygvpygvp atmatm ××+××+=××+××+ δδδδ 2 2 21 2 1 ygvyg ××+××=×× δδδ ( ) hgv hgv yygv ××= ××= −×××= 2 2 2 2 2 2 21 2 2 δ δ Fluidos Reales Aprendiendo a dejar ir a las circunstancias ideales 16/3/2017 18 Consideraremos reales a los fluidos que circulen en régimen laminar pero tengan viscosidad,siendo la viscosidad una medida de la dificultad para moverse estando en contacto con las paredes de los recipientes que los contienen. Es de alguna manera, análoga al rozamiento. h RQP ×=∆ Ley de Ohm hidrodinámica [ ] [ ] [ ] 33 33 m/sPamsPa m sPa s/m Pa Q P R h ⋅=⋅⋅= ⋅ === − ∆ Fluidos Reales La resistencia hidrodinámica es inversamente proporcional al área a través de la cual circula el líquido (imagínense que cuanto más grande, menos roza con las paredes), y es directamente proporcional a la viscosidad (η) y a la longitud del tubo (l). 2 8 A l R h πη = 4 8 r l R h π η = Las unidades de viscosidad en el Sistema Internacional son: [ ] [ ] [ ] sPa mm msPa l rR h ⋅= × ×× = × = 3 44 8 η Ley de Poiseuille 16/3/2017 19 4 8 r l R h π η = Ley de Poiseuille h RQP ×=∆ Asociación de Resistencias en Hidrodinámica ntotal RRRRR ++++= L 321 ntotal QQQQQ ++++= L 321 Asociación en serie 16/3/2017 20 Asociación de Resistencias en Hidrodinámica ntotal RRRRR 11111 321 ++++= L ntotal PPPPP ∆∆∆∆∆ ===== L 321 Asociación en paralelo QPPot ×= ∆ 2 2 R P QRPot ∆ =×= Potencia y Trabajo VPt t V PW ×=××= ∆∆ ∆ ∆ Potencia: es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo Trabajo: es una fuerza aplicada por una distancia tQPtPotW ∆∆∆ ××=×= ( ) dFdA A F VPW ×=×× =×= → → ∆ 16/3/2017 21 Esa diferencia de presión es igual a la que disipa el circuito debido a su resistencia hidrodinámica, acá representada como una única resistencia que recibe el nombre de resistencia periférica total (RPT). En seres humanos ΔP = 100 mmHg, y RPT = 1,6.108 Pa.s/m3 Sistema Cardiovascular Humano Sistema Cardiovascular Humano Variación de la viscosidad de la sangre 16/3/2017 22 BIOFÍSICA Clase 11. Unidad 3 Gases Curso de Ingreso a FCM-UNSE 2017 Gases El aire ingresa al organismo a través de la nariz y se desplaza hasta los pulmones, donde se realiza el intercambio gaseoso de oxígeno (O2) y dióxido de carbono (CO2) entre el torrente sanguíneo y los pulmones. Para poder comprender el comportamiento del O 2 y el CO 2 en el sistema respiratorio, conoceremos primero algunas de sus propiedades fundamentales como gases. 1 mol de aire seco (sin considerar su humedad) contiene 0,78 moles de N2 (78%) 0,21 moles de O2 (21%) 0,009 moles de Ar (0,9%) 0,0004 moles de (CO2) (0,04%) Trazas de otros gases 16/3/2017 23 Gases Ideales Son el modelo más simple de gases. Se considera a un gas como ideal cuando: •Sus partículas son elementos puntuales •Las moléculas que lo componen se mueven aleatoriamente y no interactúan entre sí •Su comportamiento corresponde al predicho por la ecuación de estado de los gases ideales En condiciones normales (273 K, 1 atm) y en condiciones estándar (298 K, 1 atm), la mayoría de los gases presentan comportamiento de gases ideales •Presión: • Volumen (V): espacio ocupado por la masa gaseosa • Temperatura (T): relacionada con la energía cinética de las moléculas que constituyen el gas S F P = N/m 2= Pascal (Pa), dina/cm2= Baria, atm, mm Hg m3, dm3 ≡ L, cm3 ≡ ml °C, K)(16,273)( CTKT °+= r M m n = Número de moles (n) = masa/masa molar relativa (Mr) • Composición: tipo y cantidad de sustancia en la masa gaseosa Variables de Estado 16/3/2017 24 La presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen del recipiente, manteniendo la temperatura constante. cteVP =× Ley de Boyle-Mariotte Ms. Mogck's Classroom La ley de Boyle-Mariotte, o ley de Boyle, formulada en forma independiente por el físico y químico anglo-irlandés Robert Boyle (1662) y el físico y botánico francés Edme Mariotte (1676). V P 1 ∝ cteVP =× 2211 VPVP ×=× Ley de Boyle-Mariotte V P 1 ∝ 16/3/2017 25 Si una cierta cantidad de gas a presión constante se expone a mayor temperatura, el volumen del gas aumenta y al disminuir la temperatura, ocurre lo contrario. cte T V = 2 2 1 1 T V T V = Ley de Charles-Gay Lussac Ms. Mogck's Classroom cte T V = cte T V = 2 2 1 1 T V T V = Ley de Charles-Gay Lussac 16/3/2017 26 cte T VP = × 2 22 1 11 T VP T VP × = × cte n V = 2 2 1 1 n V n V = La Ley de Avogadro establece que el volumen de un gas mantenido a presión y temperatura constantes, es directamente proporcional al número de moles del gas presentes Ley de Avogadro Los experimentos demuestran que a condiciones normales de presión y temperatura (CNPT), 1 mol de una sustancia gaseosa cualquiera, ocupa un volumen de 22,4 L. ctenRTPV == La nueva constante de proporcionalidad se denomina R, o constante universal de los gases ideales, que tiene el mismo valor para todas las sustancias gaseosas. En general, utilizaremos la constante R en unidades de L atm/ K mol, siendo entonces igual a 0,082 L atm/K mol. Ecuación de Estado de los Gases Ideales 16/3/2017 27 John Dalton (1766-1844), químico y físico británico, desarrolló la teoría atómica en la que se basa la ciencia física moderna conocida como Ley de las Presiones Parciales o Ley de Dalton. Esta ley establece que cada componente de la mezcla aporta a la presión total un porcentaje igual al porcentaje en que están presentes sus moléculas, es decir, igual a su fracción molar. t i t i P P n n = Ley de Dalton ∑ = = n i i PP 1 Presiones parciales en hPa 1 Ejercicios Unidad 3 Hidrostática, Hidrodinámica y Gases Ejercicios Resueltos Unidad 3 – Parte Hidrostática 1. Calcular el peso específico de un cuerpo de 11 cm3 que pesa 33 g (gramos fuerza). Expresar el resultado en g /cm3. Sabemos que el peso especifico es x g (donde la aceleración de la gravedad “g” la tomaremos como 10 m/s2). Por lo tanto, si el peso del cuerpo es 33 g , y su volumen 11 cm3, el peso específico será: 33 3 11 33 cm g cm g V P Nota: Nótese que el g y el g (gramo), representan distintas unidades, siendo g una unidad de fuerza del sistema técnico y el gramo una unidad de masa del sistema CGS. 2. Al sumergir un tubo de vidrio en una cubeta conteniendo mercurio (Hg), éste asciende 760 mm cuando se encuentra expuesto al aire. ¿Cuál es la presión atmosférica expresada en barias, si el peso específico del Hg () es 13,6 g /cm3? Previo a la resolución del problema, siempre identifique si la unidad “g”, es la unidad de masa, o peso fuerza “ g ”. Se quiere averiguar la presión (P) atmosférica que será igual a la ejercida por la columna de Hg. Recordando el experimento de Torricelli (hacer el esquema para ayudarse). Datos: altura (h) = 760 mm = 76 cm; Hg = 13,6 g /cm3 = x a, donde a = 10 m/s2 = 1000 cm/s2. A la vez, numéricamente hablando, el valor de la expresado en g/cm3, es igual al expresado en la unidad técnica, g /cm3. Es decir, que la Hg es 13,6 g/cm3. Dado que el resultado final debe expresarse en Barias, sistema CGS, trabajaremos en ese sistema. 2 Ba..cm s cm cm g ,hghP 6000331761000613 23 3. Una columna líquida de 60 cm de altura ejerce una presión de 310 dinas/cm2. ¿Cuál es el peso específico del líquido en g /cm3? Recordamos nuevamente que la presión de la columna líquida es el peso (fuerza) del líquido, por lo que el experimento de Torricelli establece que 3 2 16665 60 310 cm dinas , cm cm dinas h P hP Ahora bien, averiguaremos cuál es la masa en g que provoca esa fuerza en dinas: g,m seg cm seg cm g, m a seg cm g, amdinas, 3 2 2 2 10175 1000 175 175 175 Es decir que, por definición, si la masa es de 5,17 x 10-3 g, el peso en gramos fuerza es 5,17 x 10-3 g . Por lo tanto, el peso específico expresado en gramos fuerza/cm3 3 310175 cm g , 4. El agua que llena un recipiente cilíndrico pesa 0,050 k g , el radio de la base es 1 cm. Calculela altura (H2O = 1 g /cm3). El siguiente problema es simplemente un recordatorio matemático para calcular el peso del recipiente, a partir de lo cual se puede extraer la información requerida. La masa de agua dentro del cilindro es 0,050 kg, para un volumen de agua de 3 2 2 r Vol h hralturabaseVol cilindro cilindro Dado que el volumen del cilindro no es dato, tiene que salir del peso de la masa líquida que sí es dato y surge de 3 3 3 50 1 10050 2 cm cmg g,Peso Vol gVolgmasaPeso OH cilindro cilindro cilindrocilindro cmcm, cm cm ,r Vol h cilindro 16915 1143 50 2 3 22 5. Calcular la fuerza que ejerce el agua en un recipiente cilíndrico cuya base tiene 4 cm de radio y 31 cm de altura. dinas..cm cm dinas ,.rPAPF cm dinas .cm s cm cm g hgP APF A F P 4405571414300031 000313110001 2 2 22 223 6. ¿Cuál es la presión (en hPa) ejercida por una columna de agua ( = 1 g/cm3) de 50 m de altura? ¿Cuál es la altura que alcanzaría una columna de alcohol ( = 0,85 g/cm3) para ejercer la misma presión? g = 9,8 m/s2. Para resolver este problema, primero dividámoslo en dos partes, siendo lo primera que se pregunta cuál es la presión (P) de una columna de agua de 50 m de altura. 4 Como dato tenemos la aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s2. Recordemos que el principio de Torricelli nos dice que P = x h, donde es el peso específico del líquido. Sabiendo que la densidad es = 1 g/cm3, entonces hPa.Ba.. cm dinas ..P cm s cm cm g hgP 900400090040009004 50009801 2 23 Recordando que 1 Pa = 10 Ba; 1 hecto-Pascal, hPa = 100 Pa. La segunda parte del problema, nos pregunta cuál es la altura que alcanzaría la columna, para un líquido (alcohol) que tiene una densidad menor. Nuevamente, P = x g x h, donde “h” es la incógnita. Por lo tanto h = P/ x g. Reemplazando valores, tenemos cm. s cm cm g cm dinas , .. g P h hP 8825 980850 009004 23 2 7. El agua en el interior de una manguera se comporta como un fluido ideal. Consideremos una manguera de 2 cm de diámetro interno, por la que fluye agua a 0,5 m/s. a) ¿Cuál es el caudal de agua que sale de la manguera? Para resolver este problema, debemos recordar el concepto de caudal (Q), y sus diversas expresiones. Una de ellas es volumen por unidad de tiempo. s cm s cm cm,vrvA A V Q 3 222 157501143 b) ¿Qué volumen sale de la manguera en 1 minuto? Esto surge directamente del caudal obtenido, multiplicado por el tiempo (60 s en 1 min). 33 3 1042960157 cm,s s cm AQV 5 8. Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmósfera por su parte superior, tiene un pequeño orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del líquido (a) ¿Con qué velocidad sale agua por el orificio? Para resolver este problema, podemos aplicar el teorema de Bernoulli, del cual se puede deducir el teorema de Torricelli, que establece que la velocidad, v, de un líquido que fluye bajo la fuerza de la gravedad fuera de una abertura en un tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia vertical, h, entre la superficie del líquido y el centro de la apertura y la raíz cuadrada del doble de la aceleración causada por la gravedad, 2g, o simplemente 22 951061022 s m ,m s m hgv Usamos como dato que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es de 10 m /s2. (b) Si el área del orificio es 1,3 cm2, ¿cuál es el caudal de agua que sale por el recipiente? Acá repasamos lo que ya vimos en el problema 7, donde el caudal Q = Área x velocidad s cm ,. s cm cm,vAQ 3 2 54231109531 9. El agua fluye con un caudal de 6 m3/min a través de una pequeña abertura en el fondo de un tanque cilíndrico, que está abierto a la atmósfera en la parte superior. El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. ¿Con qué velocidad sale el chorro de agua por la abertura? Este problema es similar al número 8, donde aplicamos la ecuación de Torricelli. Nuevamente, s m ,m s m hgv 114101022 2 10. Dos vasos A y B contienen agua en equilibrio. El vaso A tiene una base de 2 cm² y contiene agua hasta 10 cm de altura. El B, tiene una base de 4 cm² y la altura de agua es de 5 cm. ¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad? ¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso? ¿Las presiones calculadas en a) y b) son las presiones totales? 6 ¿Cuál es la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad? La presión en un punto cualquiera de un líquido en reposo es directamente proporcional a la densidad del líquido y a la profundidad a la que se halla el punto, expresión que se conoce como Teorema general de la hidrostática. Una consecuencia del teorema es que dos puntos a igual profundidad en un mismo líquido en reposo, se hallarán sometidos a la misma presión, es decir que la diferencia de presión entre dos puntos situados a diferentes profundidades puede expresarse como: hP Por lo tanto, la presión debida al peso del agua en cada vaso a 4 cm de profundidad va a ser la misma, independiente de cuán ancha sea la base del recipiente: Pa m N m seg m m kg hghP 400400104101000 223 2 ¿Cuál es la presión generada por el agua en el fondo de cada vaso? aB. cm dinas .cm seg cm cm g hghPA 00010000101010001 223 aB. cm dinas .cm seg cm cm g hghPB 00050005510001 223 ¿Las presiones calculadas en A y B son las presiones totales? A las presiones calculadas hay que sumarles la presión atmosférica para hacerlas presiones totales. 7 11. En una jeringa el émbolo tiene un área de 2,5 cm² y el líquido pasa por una aguja de 0,8 mm² de sección transversal. ¿Qué fuerza mínima debe aplicarse al émbolo para inyectar el líquido en una vena en la que la presión sanguínea es de 1 cmHg? Para resolver este problema, lo primero que tenemos que recordar es que la presión P, se define como una fuerza aplicada (F) sobre una superficie (área, A). A F P Ahora, la fuerza requerida de la mano para presionar en el émbolo tiene que vencer una presión interna (de la vena), de 1 cmHg, o 10 mmHg. Lo primero que debemos hacer es convertir la presión en mmHg a unidades que conozcamos. Recordamos el experimento de Torricelli y su definición de presión atmosférica. Sabemos por su famoso experimento que 76 cmHg equivalen a 1 atm, que es igual a 101.300 Pa, por lo que 1 cmHg valdrá 101.300 Pa / 76 cmHg, o sea 1.333 Pa. También nos conviene recordar que 1 Pa = 1 N / 1 m2 (fuerza en Newton y superficie en m2), así que la superficie del émbolo de 2,5 cm² de área, la convertimos en 2,5 x 10-4 m². N,m m N ,,FAP A F P 333010523331 2 2 4 12. Las suelas de los zapatos de una persona de 70 kilos tienen un área de 100 cm² cada una. ¿Qué presión ejerce la persona sobre el suelo cuando está de pie? Expresar el resultado en Pa. Recordamos como en el problema anterior, que la presión es la relación entra una fuerza y un área dada. En este caso, tenemos la masa, 70 kg del cuerpo, que debemos convertir en peso (fuerza) antes de hacer el cálculo. Para ello, debemos multiplicar esa masa, por la aceleración de la gravedad en la Tierra, o sea 10 m/s2 (y obtener el peso en Newton!). Tengamos en cuenta que si cada zapato tiene un área de 100 cm2, el área total será del doble(200 cm2 ó 2 x 10-2 m2) Pa. m seg m kg A F P 00035 102 1070 2 2 2 8 13. Un líquido se encuentra en equilibrio dentro de un recipiente de sección uniforme, cuya base tiene un área de 100 cm². La presión hidrostática debida al líquido sobre el fondo del recipiente es de 0,2 atm. Si se trasvasa el líquido a un recipiente semejante pero de 50 cm² de base, la presión ejercida por el líquido en el fondo será de: a) 0,05 atm b) 0,1 atm c) 0,2 atm d) 0,4 atm e) 0,8 atm f) 1,6 atm Este problema es simplemente aritmético, recordando que la presión es directamente proporcional a la altura. Al cambiar la base del cilindro, la altura va a cambiar, pero cuánto? El volumen del cilindro es Área h, por lo que si la base es la mitad, su altura tendrá que duplicarse, para mantener el mismo volumen. Al duplicarse la altura, la presión del líquido será proporcionalmente mayor, y en este caso la respuesta es d) 0,4 atm. 14. El caudal medio de la sangre que circula en un tramo de un vaso sanguíneo que no presenta ramificaciones es de 1 litro por minuto. Considerando la densidad aproximada de la sangre 1 kg/L. a) ¿Cuál es la velocidad media de la sangre en un tramo en el que el vaso tiene un radio interior de 0,5 cm? Acá repasamos lo que ya vimos en el problema 8, donde el caudal Q = Área x velocidad s cm , cm min s min cm cm,r Q A Q v 3 2 3 22 221 60 1 50 1000 b) ¿Y si el radio interior del vaso es de 0,25 cm? s cm , cm min s min cm cm,r Q A Q v 3 2 3 22 984 60 1 250 1000 15. ¿Cuál es el trabajo requerido para bombear 1,4 m³ de agua por un tubo de 13 mm de diámetro interno si la diferencia de presión entre los extremos del tubo es de 1,2 atm? 9 El trabajo total de la fuerza -o la energía necesaria para realizar un trabajo hidrodinámico puede calcularse como J.mN.m m N .mPa. matm atm Pa ,,.matm,,VPW 184170184170184170184170 41213001014121 3 2 3 33 ¿Qué potencia se debe entregar para mantener el caudal igual a 0,03 m³ por segundo? Watt,. s J ,. s m m N ,. s m Pa,.QPPot 864638646386463030560121 3 2 3 16. Un líquido de densidad 1 kg/L se mueve a razón de 3 mm/s por un tubo horizontal de 2 cm de diámetro. En cierta parte, el tubo reduce su diámetro a 0,5 cm. a) ¿Cuál es la velocidad del líquido en la parte angosta del tubo? Recordar nuevamente que una superficie circular es igual a: A = π r2, por lo que 2222 2222 1960250 1431 cm,cm,rA cm,cmrA SS EE b) ¿Cuál es la diferencia de presión del líquido a ambos lados del angostamiento? Ahora, el principio de continuidad (conservación de la cantidad de materia) nos dice que: 10 s mm cm cm s mm , , A vA v vAvA QQ S EE S SSEE SE 48 1960 1433 2 2 17. Por un caño horizontal fluye un líquido de viscosidad insignificante, densidad = 1000 kg/m3 y velocidad 2 m/s. En un tramo la cañería se angosta disminuyendo su diámetro a la mitad. Entonces, la presión en la parte ancha de la cañería: a) es inferior a la presión en la parte angosta en 6 kPa, b) es inferior a la presión en la parte angosta en 30 kPa, c) es igual a la presión en la parte angosta, d) excede a la presión en la parte angosta en 6 kPa, e) excede a la presión en la parte angosta en 12 kPa, f) excede a la presión en la parte angosta en 30 kPa. Este es otro problema de conservación de la energía (Bernoulli). El principio de continuidad relaciona los caudales en ambos sectores del caño, que tienen que ser iguales, por lo tanto, BA QQ Por lo que también relaciona velocidades y áreas, donde el área es menor, la velocidad tendrá que ser proporcionalmente mayor (y viceversa). Ahora, el enunciado del problema no relaciona áreas sino los diámetros, d. BA dd 2 Por lo que a los radios debe pasarles lo mismo: BA rr 2 Por lo tanto si: 11 2222 422 BABABA rrrrrr Recordando que las áreas se calculan como x r2, multiplicamos ambos por BA BA AA rr 4 4 22 Aplicando el principio de continuidad, tenemos BA BBAB BBAA vv vAvA vAvA 4 4 Aplicando el teorema de Bernoulli, y teniendo en cuenta que un término relacionado a las alturas es inexistente (es un caño horizontal), tenemos 22 2 1 2 1 BBAA vPvP reordenando, 22 22 2 1 2 1 2 1 ABBA ABBA vvP vvPP Recordando que la relación entre velocidades es 2222 1644 BABABA vvvvvv Lo que se introduce en el teorema de Bernoulli que nos da: 12 kPa s m m kg .P vP vvP vvP BA ABA AABA ABBA 304150001 2 1 15 2 1 16 2 1 2 1 2 2 3 2 22 22 Respuesta f) 18. Una sección de cañería, por donde circula un fluido viscoso, está formada por dos caños rectos de la misma longitud y material cuyas secciones son de 3 cm² y 4 cm² respectivamente, y que están conectados en paralelo. Se desea reemplazarlos por un único caño de la misma longitud. ¿Cuál debería ser su sección para que ofrezca la misma resistencia hidrodinámica? a) 1 cm² b) 7 cm² c) 3,5 cm2 d) 4 cm² e) 5 cm² f) 12 cm² La ecuación de Poiseuille indica que las resistencias hidrodinámicas dependen de los siguientes factores: 2 8 A l R Dado que los tres caños, los dos de sección conocida y el que va a reemplazar a ambos –cuyo área queremos conocer- tienen la misma longitud, la misma forma cilíndrica y serán recorridos por el mismo fluido, estos factores que aparecen en la ecuación serán constantes en todas las ecuaciones. Lo único que cambia entre los tres es el valor numérico del área, A. Todos los factores que son constantes se pueden convertir en una constante, que llamaremos K, para usar en las tres ecuaciones. De modo que tanto la resistencia hidrodinámica del caño de 3 cm², que llamaremos R1, como la del caño de 4 cm², R2, pueden expresarse de la siguiente manera: 42224221 16493 cm K cm K R; cm K cm K R El caño de reemplazo, cuya resistencia debe ser equivalente al par inicial que se halla en paralelo, tendrá una resistencia RE que será, con el mismo criterio, 2A K RE 13 Donde AE va a representar sólo el valor numérico de la sección, ya que las unidades están contenidas dentro de K, y por reemplazar un sistema de resistencias en paralelo su inversa valdrá: 24 4442 442 21 525 25169 169 111 cmcmA cmcmcmA K cm K cm K A RRR E E E E Respuesta e). 19. Calcular el caudal (C) y la velocidad (v) de circulación del agua (viscosidad = = 1 centipoise (cp)) que circula por un tubo de 0,09 cm2 de sección y 10 m de longitud, bajo una diferencia de presión de 20 mm Hg ( = 13,6 ḡ/cm3). Dato útil: 10 Poise (se pronuncia “Puá”) es igual a 1 Pascal x segundo. La unidad más usada es la centésima parte, o centi-Poise (cp). Para resolver este problema, debemos recordar la relación l rP Q 8 4 descripta por la ecuación de Poiseuille. Recordar que las unidades deben pertenecer todas al mismo sistema!!!! 2 2 2 2 2 6 010101 100010 090 5792620 10011760 cm sdinas ,)poise(pcp cmm cm,A cm dinas .mmHg cm dinas ,mmHg El radio r sale de recordar que el área es 2rA . Por lo tanto, r = 0,169 cm. El caudal es entonces, 14 s cm , cm sdinas cm cm cm dinas , cm,.Q l rP Q 3 2 4 23 4 4 8510 1 010108 1 169057926 8 Para calcular la velocidad, v, recordemos la ecuación de continuidad, C = v x A. Usando el valor calculado de C, y el de la sección, como dato, tenemos s cm , cms cm , , A C v 469 1 090 8510 2 3 20. Por un tubo cilíndrico de 28 m de longitud circula glicerina = 2 cp. ¿Cuál es el diámetro de dicho tubo, sabiendo que al aplicar una diferencia de presión de 300 Ba se obtienen 100 cm3/s de caudal? Este problema se resuelve utilizando la “Ley de Ohm hidrodinámica” donde el caudal representa el flujo, que es proporcional al potencial que genera la fuerza, en este caso la diferencia de presiones P, y el factor de proporcionalidad es la inversa de la resistencia hidrodinámica que se viera en problemas anteriores. La relación es l r P R P Q 8 4 4 Para obtener el diámetro del tubo, requerimos el radio, que se incluye entre los parámetros de la resistencia hidrodinámica. Para obtenerlo lo despejamos de la ecuación, cm,cm,rd cm,cm,r , . . r cm dina scm g cm s cm ,. P lQ r l r P R P Q 839122 91811 8911 7683 80044 4300 02080028100 4 8 8 4 4 4 4 2 3 4 4 15 21. Dos tanques contienen un líquido viscoso hasta diferentes alturas (hA y hB), que se conectan por abajo, por un tubo de 75 cm de largo y sección transversal S, que posee una llave que está deteniendo el flujo. Las secciones de los tanques son tan grandes que el líquido en ellos se puede considerar casi quieto en todo momento. ¿Para qué opción ofrecida será mayor el caudal en el caño cuando se abra la llave? Lo primero que debe quedar en claro es qué se pregunta: al abrirse la llave del caño horizontal que une los tanques por abajo, va a haber un caudal de líquido de un tanque a otro. Dependiendo de las alturas de líquido en cada tanque y del ancho del caño, el caudal Q va a ser mayor o menor. Se nos pide que identifiquemos en cuál de las situaciones que aparecen en la tabla, vamos a tener el mayor caudal. Estamos tratando con fluidos reales, ya que aparece la viscosidad como una propiedad del fluido. Los tanques están llenos de un líquido viscoso, que circulará por el caño, cuyo caudal será descripto por la Ley de Poiseuille: R P Q El caudal, Q, es directamente proporcional a la diferencia de presión entre sus extremos, ΔP, que lo impulsa, e inversamente proporcional a la resistencia hidrodinámica, R, que lo frena. A su vez, la resistencia hidrodinámica es inversamente proporcional al cuadrado del área (o sección) del caño: 2A k Q 16 En este caso, la constante k depende de la viscosidad, el largo del caño y el factor 8, que se presenta en todas las situaciones que se nos pide comparar, por lo que se resumen en la letra k. En definitiva los caudales en cada caso los vamos a comparar con la expresión: k AP Q 2 La diferencia de presión, ΔP, depende exclusivamente de la diferencia de alturas del líquido en los tanques, tal como lo estipula el Principio Fundamental de la Hidrostática: P g h Si juntamos las nuevas constantes que aparecen, x g, con la anterior, tenemos: k g c Donde c es una constante cuyo valor no nos interesa porque no cambia en los seis casos que tenemos que comparar, dado que vale lo mismo para todos. La ecuación de Poiseuille queda así: 2AhhcQ BA En la que vemos que el caudal será mayor cuanto más grande sea el producto entre la diferencia de altura, hA - hB, y el área al cuadrado, A 2. Para comparar, hacemos los cálculos para cada uno de los casos: Podemos observar que el producto del módulo de la diferencia de alturas por el cuadrado de la sección, muestra la importancia de ésta en el cálculo, y que, finalmente, la condición “e” es la que genera el mayor caudal. 22. Suponga que la sección de un vaso sanguíneo disminuye por contracción de la musculatura lisa de su pared a la mitad. ¿Cómo se modifica la velocidad de la sangre cuando se mantienen constantes todos los otros factores? Respuesta: Se duplica la velocidad. Recuerde el principio de continuidad: 17 AvQ 23. Un líquido ( = 1,1 g/cm3 y = 1,2 cp) circula en régimen laminar por un dispositivo como el de la figura. Se midieron las alturas del fluido en los tubos transversales (manómetros) en los puntos indicados. La distancia entre manómetros es de 5 cm y el caudal medido fue de 240 ml/mm. Los resultados obtenidos fueron: a) Grafique en papel milimetrado la presión (P) en cada manómetro vs. longitud (1), y a partir del mismo determine la velocidad de circulación del liquido. b) Si el diámetro del cauce se incrementa al doble ¿Cómo se modifica la velocidad y la pendiente de la relación anterior? Para graficar la presión P vs. la distancia l, debemos calcular la presión en cada punto, que es, por el principio de Torricelli, r x h, siendo h la altura del líquido en cada manómetro. Siendo r = d x a (ver problemas anteriores) = 1,1 x 980 [(g/cm3) x (cm/s2)] = 1078 dinas/cm3, obtenemos multiplicando por h en el punto uno, como ejemplo, 10.780 dinas/cm2 = 10780 Ba = 10,8 hPa. Lo mismo se repite para cada una de las otras posiciones, teniendo una nueva tabla a partir de la dada en el ejercicio: 18 Se construye un gráfico del cambio de presión (eje de ordenadas) en función de la distancia “l”, como el de arriba, que muestra una caída más o menos lineal de la presión en función de la distancia. Una mirada al gráfico nos indica la caída de la presión, de tal manera que cuanto más alejada sea la distancia del punto de origen, más cae la presión en forma lineal. Como la diferencia entre la presión inicial y la de una en un punto posterior P = C x R (Ley de Ohm hidrodinámica) es cada vez mayor, y sabiendo que el caudal C a través del tubo horizontal es constante, P/R tiene que ser constante, por lo que a una caída en P (valor mayor), tiene que estar acompañado por un incremento en R. Esta R, como recordarán de los parámetros de la R, tiene una sola variable, que es la longitud “l”, de forma tal que cuanto mayor “l”, mayor será la R. Esto surge de la definición de la ecuación de una recta de pendiente negativa, como se observa en el gráfico, donde la ordenada al origen es la Pi, y la pendiente es el caudal C, afectado por los distintos parámetros de la resistencia R (de los cuales el único que varía es “l”). Respuesta: 65 cm/s b) Si el diámetro del cauce se incrementa al doble ¿Cómo se modifica la velocidad y la pendiente de la relación anterior? 19 Para responder esta segunda parte, volvemos a mirar el gráfico, y las ecuaciones. Vemos que C es igual a A x v. Dado que A = x r2, al duplicar el diámetro, d2 =2 x d1, por lo tanto, es igual a 4 x r1. Siendo r2 = 2 x r1, la velocidad cae a un cuarto de la original, y la pendiente de la recta es 16 veces más lenta que la original. 24. Una persona respira aire enriquecido con oxígeno de un tubo de 17 dm3, que lo contiene comprimido a una presión de 150 kgf/cm2 a una temperatura de 20°C. a) ¿Qué volumen ocuparía ese gas a la misma temperatura y a presión atmosférica? 2211 VPVP Recordar también que; 1 kgf = 9,8 N 150 kgf = 15,3 N 15,3 N/cm2 = 15,3 N / 10-4 m2 = 153.061 N/m2 = 153.061 Pa 101.300 Pa = 1 atm 153.061 Pa = 1,51 atm l, l latm, V Vatmlatm, VPVP 722 1 15511 115511 2 2 2211 b) ¿Durante cuánto tiempo se podrá utilizar el tubo, si la persona consume 8 litros de aire por minuto? 8 l ---- 1 min 22,7 l --- x = 2,8 min 25. Un gas ideal está en recipiente cerrado de 0,25 L, que se encuentra a 4 atm y 300 K. Si se coloca el gas en otro recipiente de 0,5 L y se aumenta la temperatura a 600 K, la presión del gas será de: a) 1 atm b) 2 atm c) 4 atm d) 6 atm e) 8 atm f)16 atm Se trata, casi, de un repaso liviano de las leyes de los gases ideales (o sea, esos que no hacen ruido). Dos estados cualesquiera de una misma masa gaseosa cumplen que: 2 22 1 11 T VP T VP 20 Si entre los dos estados una de las variables se mantiene constante podemos cancelarla y aparece una proporcionalidad entre dos variables solas. En la primera pregunta, la que no varía es la presión (no se dice, pero se infiere). Tanto en esta como en la siguiente pregunta voy a llamar 1 al primer estado y 2 al posterior. Entonces: atm KL KLatm , , VT TVP P 4 30050 6002504 21 211 2 Respuesta c). 26. Si se respira aire atmosférico con un 21% de oxígeno a 30 m de profundidad, la presión parcial del oxígeno será, comparada con la que ejerce a nivel de la superficie: a) la misma b) el triple c) un tercio d) la cuarta parte e) el cuádruple f) el doble Debemos recordar que vivimos sumergidos en un mar de aire atmosférico cuya presión vale 1 atm. En otras palabras: la superficie del mar de agua se contacta con el fondo del mar de aire. El Principio General de la Hidrostática afirma que: hP OH 2 donde ΔP es el aumento de profundidad; agua es el peso específico del agua, que vale 10.000 N/m3; y Δh es la profundidad, que en este caso vale 30 metros. atmPa.P 3000300 Si a 30 metros la presión aumenta en 3 atm, y en la superficie vale 1 atm... entonces su valor a esa profundidad debe ser... 4 atm y eso es... ¡4 veces mayor que en la superficie! Ahora bien, si el aire que tienen embotellado los buzos es el mismo que el nuestro (atmosférico), la proporción de los componentes gaseosos no cambia. Tiene un 21 % acá arriba y también un 21 % allá abajo. Su presión parcial acá arriba es el 21 % de la presión total acá arriba, o sea, 1 atm; y allá abajo el 21 % de la total abajo, que vale 4 atm. La respuesta es el cuádruple, respuesta e) Nota: Si alguien te pidiera que justifiques el último razonamiento, tendrás que apelar a la Ley de Dalton, que resumidamente dice que el cociente entre la presión parcial de un gas y la presión total de la mezcla es igual a la fracción molar de ese gas. 27. ¿Qué le pasaría a un gas ideal en un depósito de volumen fijo a 2 atm de presión si se eleva su temperatura de 30°C a 60°C? (Los valores de las alternativas son aproximados.) 21 a) disminuiría su presión en un 50% b) aumentaría su presión en un 50% c) aumentaría su presión en un 100% d) mantendría su presión anterior, de 2 atm e) disminuiría su presión en un 10% f) aumentaría su presión en un 10% De 303 K (30ºC) a 333 K (60ºC) hay apenas un aumento de un 10%. Ahora TRnVP De las tres variables una permanece constante, el volumen. Luego: si la temperatura aumenta un 10%, la presión (la única otra cosa que puede variar) también deberá aumentar un 10%. Veamos, si llamamos 1 al estado inicial y 2 al final, tenemos, 22 11 TRnVP TRnVP Al volumen no se le pone subíndice porque no cambia. Tampoco cambia el número de moles, n. Por otro lado tenemos que la segunda temperatura es un 10% mayor que la primera; eso se puede escribir así: 12 11 T,T Si reemplazamos en la ecuación de estado 2... resulta: 12 12 12 11 11 11 P,P VP,VP T,RnVP f) aumentaría su presión en un 10%
