PP - TRIGONOMETRÍA I

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¡BIENVENIDOS!
Esta semana revisaremos 
los siguientes temas: 
• Sistemas de medida angular
• Razones trigonométricas de ángulos 
agudos y ángulos complementarios
CONTENIDO DE LA CLASE
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS: 
 Repaso de conceptos básicos y definiciones
 SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR
 Sistema de medida sexagesimal y radial, conversiones
 Ángulo trigonométrico
 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y RECÍPROCOS
 Razones trigonométricas ángulos complementarios
 Razones trigonométricas ángulos recíprocos
 Razones trigonométricas ángulos notables
Sistemas de medida 
angular
SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR
SISTEMA DE MEDIDA 
SEXAGESIMAL (𝑆)
Considera como unidad de medida la 360
va. parte de la circunferencia, la cual
recibe el nombre de "grado sexagesimal".
UNIDADES Y SUBUNIDADES
Grado: 1° Minuto: 𝟏′ Segundo: 𝟏′′
1 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 360°
EQUIVALENCIAS
1° = 𝟔𝟎′ 𝟏′ = 𝟔𝟎′′ 𝟏° = 𝟑𝟔𝟎𝟎′′
SISTEMA DE MEDIDA 
RADIAL (𝑅)
Considera como unidad de medida un
arco de una longitud igual a la de su radio,
el cual recibe el nombre de "radián".
UNIDADES
Grado: 1 𝒓𝒂𝒅
1 𝑉𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR
EQUIVALENCIA
1 vuelta: 2π 𝑟𝑎𝑑 = 360°
π 𝑟𝑎𝑑 = 180°
Ejemplo
210° ×
π 𝑟𝑎𝑑
180°
=
7π
6
𝑟𝑎𝑑
Convierte a radianes: 
Convierte a sexagesimal:
2π
3
𝑟𝑎𝑑 ×
180°
π 𝑟𝑎𝑑
= 120°
Solución:
𝑎) 200°
1. Convierte a radianes o sexagesimales según corresponda:
×
π 𝑟𝑎𝑑
180°
=
10π
9
𝑟𝑎𝑑 𝑏) 300° ×
π 𝑟𝑎𝑑
180°
=
5π
3
𝑟𝑎𝑑
𝑐)
7π
6
𝑟𝑎𝑑 ×
180°
π 𝑟𝑎𝑑
= 210° 𝑑)
8π
7
𝑟𝑎𝑑 =
8 × 180°
7
=
1440
7
°
𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180°
a)
200°
3
200° 3
66°
2°
= 66° +
2°
3
×
60′
1°
2. Convierte a sexagesimales (incluye minutos y segundos).
= 66° 40′
b)
125𝜋
8100
𝑟𝑎𝑑
25° 9
2°
7°
= 2° +
7°
9
×
60′
1°
= 2° 46′ 40′′
×
180°
𝜋 𝑟𝑎𝑑
=
25°
9
25°
9
= 2° +
140′
3
140′ 3
46′
2′
= 2° + 46′ +
2′
3
×
60′′
1′
Solución:
Razones trigonométricas 
de ángulos agudos
CONCEPTOS IMPORTANTES
TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
Elementos:
• Ángulos agudos:
• Catetos: 𝑎; 𝑏
• Hipotenusa: 𝑐
𝛽
A C
B
𝛼
𝑏
𝑎
𝑐
𝛼 + 𝛽 = 90°
• Para el ángulo 𝛼:
𝑏 es su cateto adyacente(C.A.)
𝑎 es su cateto opuesto(C.O.)
• Para el ángulo 𝛽:
𝑏 es su cateto adyacente(C.A.)
𝑎 es su cateto opuesto(C.O.)
𝑐 es la hipotenusa(H)
𝑐 es la hipotenusa(H)
∠𝐴 = 𝛼
∠𝐵 = 𝛽
CONCEPTOS IMPORTANTES
Teorema de Pitágoras:
Ejemplo:
Halle los lados en el siguiente triángulo
𝑥 𝑥 + 2
8
𝑥2 + 82 = (𝑥 + 2)2
𝑥2 + 64 = (𝑥)2+2 𝑥 2 + 22
⟶ 𝑥 = 15
15 17
TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
𝛽
A C
B
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
60 = 4 𝑥
𝛼
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Las razones trigonométricas son ciertas relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.
Así, considerando el ángulo agudo A en el
triángulo rectángulo ABC mostrado, es
posible definir seis razones trigonométricas
relativas a este ángulo.
A C
B
𝛼
𝑏
𝑎
𝑐
∠𝐴 = 𝛼
CO CA CO CA Hip Hip
COCACOCAHipHip
θ
C.O.
C.A.
Cateto 
opuesto
Cateto adyacente
H
Hipotenusa
SEN(θ) COS(θ) TAN(θ) COT(θ) SEC(θ) CSC(θ)
Recíprocas
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
α
1 2
3
𝑠𝑒𝑛 α =
1
2
cos α =
𝑡𝑎𝑛 α =
cot 𝛼 =
(CA)
(CO)
(H)
𝑠𝑒𝑐 α =
2
3
𝑐𝑠𝑐 α =
2
1
EJEMPLO
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO
𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
3
2
1
3
3
1
Recíprocas
Solución:
1. En la figura, AB = AC = 3 m y BC = 2 2 m. Calcula tan 𝛼.
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO
𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
𝛼
A
B C
3 3
2 2
2 2
ℎ
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠:
ℎ2 + 2
2
= 3
2
ℎ2 + 2 = 3 → ℎ = 1m
= 1 tan𝛼 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
=
1
2
×
2
2
tan 𝛼 =
2
2
Solución:
2. Para el ángulo agudo 𝛼, se cumple que tan 𝛼 = 
3
2
. Calcula el valor de Y.
Y = 13 sen𝛼 . cot 𝛼 +
1
13
sec 𝛼 . tan 𝛼
𝛼
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
𝐻
tan 𝛼 =
3
2
=
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
3𝐾
2𝐾
• Pitágoras:
(3𝐾)2+(2𝐾)2= 𝐻2
⟶ 𝐻 = 13𝐾
Y = 13 sen 𝛼 . cot 𝛼 +
1
13
sec 𝛼 . tan 𝛼
Y = 13
3𝐾
13𝐾
∙
2𝐾
3𝐾
+
1
13
∙
13𝐾
2𝐾
∙
3𝐾
2𝐾
13𝐾
Y = 2 +
3
4
=
11
4
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO
𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
9𝐾2 + 4𝐾2 = 𝐻2
Solución:
3. En la figura, ABCD es un cuadrado de 4 3 m de lado. Calcula el valor aproximado de M.
M = 8 tan𝛽 + 3 cot 𝛽
M = 8 tan𝛽 + 3 cot 𝛽
= 8 ∙
3
4 3 − 4
+ 3 ∙
4 3 − 4
3
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
60°
37°
𝛽
4 3
4
53°
4 3
3 3
3
4 3 − 4
4 3
4 3
= 8 ∙
3
4 3 − 1
×
3 + 1
3 + 1
+ 3 ∙
4 3 − 1
3
×
3
3
=
2 × 3 × 3 + 1
3 − 1
+ 4 3 × 3 − 1
= 3 + 3 + 12 − 4 3
𝑀 = 15 − 3 3 = 3 5 − 3
Razones trigonométricas 
de ángulos notables
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
A) Para 30° y 60°:
A
B
C
El triángulo ABC es equilátero.
60° 60°
2𝑘2𝑘
𝑘𝑘 M
30° Por Pitágoras: BM=𝑘 3
3𝑘
Calculemos las razones trigonométricas para el 30°:
C.O.
C.A.
H
𝑠𝑒𝑛30° =
𝐶. 𝑂.
𝐻
=
𝑘
2𝑘
⟶ 𝑠𝑒𝑛30° =
1
2
𝑐𝑜𝑠30° =
𝐶. 𝐴.
𝐻 =
3𝑘
2𝑘
⟶ 𝑐𝑜𝑠30° =
3
2
𝑡𝑎𝑛30° =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
=
𝑘
3𝑘
⟶ 𝑡𝑎𝑛30° =
1
3
Y así para las demás 
razones y el 60°
A) Para 45° :
ABCD es un cuadrado de lado 𝑘.
45°
45°
𝑘
𝑘
Por Pitágoras: AC=𝑘 2.
𝑘 2
Calculemos las razones trigonométricas para el 45°:
C.O.
C.A.
H
𝑠𝑒𝑛45° =
𝐶. 𝑂.
𝐻
=
𝑘
𝑘 2
⟶ 𝑠𝑒𝑛45° =
1
2
𝑐𝑜𝑠45° =
𝐶. 𝐴.
𝐻
=
𝑘
𝑘 2
⟶ 𝑐𝑜𝑠45° =
1
2
𝑡𝑎𝑛45° =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
=
𝑘
𝑘
⟶ 𝑡𝑎𝑛45° = 1
B C
A
D
Y así para las demás 
razones
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
4.
60°
30°
1
3
2
45°
45°
1
1
2
Solución:
Halla el valor de E.
𝐸 = 𝑡𝑎𝑛
𝜋
3
𝑐𝑠𝑐
𝜋
6
+ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑠𝑒𝑐
𝜋
3
𝝅 rad = 𝟏𝟖𝟎°
𝐸 = 𝑡𝑎𝑛
180°
3
𝑐𝑠𝑐
180°
6
+ 𝑠𝑒𝑛
180°
4
𝑠𝑒𝑐
180°
3
𝐸 = tan 60° csc 30° + 𝑠𝑒𝑛 45° sec 60°
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
𝐸 =
3
1
2
1
+
1
2
2
1
= 3
2
+
1
2
2
= 3 +
1
2
=
7
2
60°
30°
1
3
2
45°
45°
1
1
2
Solución:
Se conoce que cos α =
csc
𝜋
3
− tan
𝜋
6
1 + sec2
𝜋
4
. Si α es un ángulo agudo, halle el valor de tan α .
𝝅 rad = 𝟏𝟖𝟎°
cos α =
csc
180°
3
− tan
180°
6
1 + sec2
180°
4
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
cos α =
2
3
−
1
3
1 +
2
1
2
=
1
3
1 + 2
=
1
3
3
1
→ cos 𝛼 =
1
3
=
csc 60° − tan 30°
1 + sec2 45°
5.
60°
30°
1
3
2
45°
45°
1
1
2
Solución:
𝝅 rad = 𝟏𝟖𝟎°
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
cos 𝛼 =
1
3
=
𝐶. 𝐴.
𝐻
𝛼
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
𝐻
2 2 𝐾
= 𝐾
3𝐾 =
• Pitágoras:
𝐾2 + 𝐶. 𝑂. 2 = 3𝐾 2
⟶ 𝐶.𝑂.= 2 2 𝐾𝐶. 𝑂. 2 = 8𝐾2
tan 𝛼 =
𝐶. 𝑂.
𝐶. 𝐴.
=
2 2𝐾
𝐾
tan 𝛼 = 2 2
Se conoce que cos α =
csc
𝜋
3
− tan
𝜋
6
1 + sec2
𝜋
4
. Si α es un ángulo agudo, halle el valor de tan α .
5.
Razones trigonométricas de 
ángulos complementarios y 
recíprocos
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Sabemos que : 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑎
𝑏
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑎
𝑏
⟶ 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
De la misma forma, podemos demostrar:
Ejemplos:
• 𝑠𝑒𝑛40° = 𝑐𝑜𝑠50°
• 𝑡𝑎𝑛10° = 𝑐𝑜𝑡80°
• Si 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑡25° , y 𝜃 es agudo, 
entonces 𝜃 + 25° = 90°
c B
𝛼
En el siguiente triángulo:
A
C
𝑎
𝜃
𝑠𝑒𝑐𝛼 = 𝑐𝑠𝑐𝜃 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝜃
También podemos decir que:
Si R.T.(𝐴) = Co R.T.(𝐵) ⟶ 𝐴+ 𝐵 = 90°
𝛼 + 𝜃 = 90°
⟶ 𝜃 = 65°
𝐑. 𝐓. 𝐂𝐨 𝐑. 𝐓.
𝑠𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑡
𝑠𝑒𝑐 𝑐𝑠𝑐
Razones trigonométricas recíprocas
En el siguiente triángulo:
A B
C
𝛼
c
𝑎
Sabemos que : 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
𝑎
𝑏
𝑐𝑠𝑐𝛼 =
𝑏
𝑎
⟶ 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑠𝑐𝛼 =
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
= 1
𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑠𝑐𝛼 = 1
De la misma forma, podemos demostrar:
𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑐𝛼= 1 𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1
Ejemplos:
• 𝑐𝑜𝑠40°. 𝑠𝑒𝑐40° = 1
• 𝑡𝑎𝑛10°. 𝑐𝑜𝑡10° = 1
• Si 𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑡35° = 1, y 𝛼 es agudo, 
entonces 𝛼=35°
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
1
cos 𝜃
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
1
tan 𝜃
También:
Solución:
6. Simplifica la expresión P.
𝑃 =
tan 15° . sen 18° . sec 39°
csc 51° . cot 75° . cos 72°
𝑃 =
tan 15° . sen 18° . sec 39°
csc 51° . cot 75° . cos 72°
𝑃 = 1
𝐑. 𝐓. 𝛂 = 𝐂𝐨 𝐑.𝐓. (𝟗𝟎° − 𝛂)
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠(90° − 𝛼)
𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡(90° − 𝛼)
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑐𝑠𝑐(90° − 𝛼)
tan 15° = cot 90° − 15° = cot 75°
sen 18° = cot 90° − 18° = cos 72°
sec 39° = cot 90° − 39° = csc 51°
Solución:
7. Halla el menor valor del ángulo agudo 𝑥 si se cumple lo siguiente:
cos 8𝑥 − 42° =
1
csc 7𝑥 + 12°
Si R.T.(𝐴) = Co R.T.(𝐵) ⟶ A+ B = 90°
⟶ (8𝑥 − 42°) + (7𝑥 + 12°) = 90°
15𝑥 − 30° = 90°
𝑥 = 8°
1
csc θ
= senθ
cos 8𝑥 − 42° = sen 7𝑥 + 12°
Solución:
8. Para los ángulos agudos 𝛼 y 𝛽, se cumple lo siguiente:
 
sen 40° = cos 𝛼
tan 4𝛽 − 20° = cot 2𝛽 − 10°
• sen 40° = cos 𝛼
• tan 4𝛽 − 20° = cot 2𝛽 − 10°
4𝛽 − 20° + 2𝛽 − 10° = 90°
6𝛽 = 120°
Calcula 𝐸 = cos 𝛼 + 𝛽 − 10° + 6 sen 𝛼 − 𝛽
→ 𝛼 = 50°
→ 𝛽 = 20°
Si R.T.(𝐴) = Co R.T.(𝐵) ⟶ A+ B = 90°
40° + 𝛼 = 90°
Solución:
8. Para los ángulos agudos 𝛼 y 𝛽, se cumple lo siguiente:
 
sen 40° = cos 𝛼
tan 4𝛽 − 20° = cot 2𝛽 − 10°
Calcula 𝐸 = 2 cos 𝛼 + 𝛽 − 10° + 6 sen 𝛼 − 𝛽
𝛼 = 50°; 𝛽 = 20°
𝐸 = 2 cos 50° + 20° − 10° + 6 sen 50° − 20°
𝐸 = 2 cos 60° + 6 sen 30°
60°
30°
1
3
2
45°
45°
1
1
2
𝑺𝒆𝒏 𝜽 =
CO
H
𝑪𝒐𝒔 𝜽 =
CA
H
𝑺𝒆𝒄 𝜽 =
H
CA
𝑪𝒔𝒄 𝜽 =
H
CO𝑪𝒐𝒕 𝜽 =
CA
CO
𝑻𝒂𝒏 𝜽 =
CO
CA
= 2 ×
1
2
+ 6 ×
1
2
= 1 + 3
𝐸 = 2