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Fundamentos de
transferencia
de calor
Fundamentos de
transferencia
de calor
CUARTA EDICIÓN
FRANK P. INCROPERA
DAVID P. DfWITT
School of Mechanical Engineering
Purdue Universiíy
TRADUCCIÓN
Ricardo Cruz
Investigador Fundación Javier Barros Sierra
REVISIÓN TÉCNICA
Enrique Muñoz Díaz
Ingeniero M ecánico Electricista
Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional Autónoma de M éxico
Director de la Carrera de Ingeniería M ecánica Electricista
Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de M onterrey
Campus M onterrey
ASESORÍA TÉCNICA
Lourdes Delgado Núñez
Departamento de Energía
Universidad Autónoma M etropolitana
Unidad Azcapotzalco
PEARSON
Educación
I®
México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador
España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay • Venezuela
Datos de catalogación bibliográfica
Incropera, Frank P.
Fundamentos de transferencia de calor. 4a ed
PRENT1CE HALL, México. 1999
ISBN 970-17-0170-4
AREA: UNIVERSITARIOS
FORMATO: 20 X 25.5 cm PAGINAS 912
EDICION EN ESPAÑOL.:
EDITOR
SUPERVISOR DE TRADUCCIÓN
SUPERVISORA DE EDICION
PABLO EDUARDO ROIG VAZQUEZ
ENRIQUE PALOS BAEZ
REBECA RUIZ ZAMITES BONILLA
EDICIÓN EN INCJl ES:
Acquisuion> editor: Cliíí Robichaud
Marketing manager. Debra Riegert
Produclion manager. LuciIIe Buonocorc
Sénior produclion editors: Nancy Prin/.Tracey Kuchn
Texl designer: Nancy Eield
Cover dcsigner Karin Kincheloe
Manufacturing manager: Mark CiriIIo
Illustration editor: Edward Starr
INC ROPERA E UNDAMENTOS DL IRA NSFERENCIA D E CALOR. 4o e d _________________________
Traducido del inglés de la obra: Fundam entáis o flle a t and Mass Transfer, 4th ed
A1I rights reserved. Authorized translation from Engllsh language edítion pubhshed by John Wiley & Sons, Inc
Todos los derechos reservados. Traducción autorizada de la edición en inglés publicada por John Wiley & Sons. Inc.
AII rights reserved. No par! ofthis book may be reproduced or transmitted m any form or by any means,
clectronic or mechanical. íncluding pholocopying, rccording or by any Information storage and retricval
systcm, without permission in writing from the publisher.
Prohibida la reproduce on total o parcial de esta obra, por cualquier medio o método sin autorización por
escrito del editor
Derechos reservados © 1999 respecto a la primera edición en español publicada por
PRENTICE HAI I HISPANOAMERICANA, S. A
Atlacomulco 500-5to piso
Industrial Atoto
53519 Naucalpan de Juárez, Edo de México
ISBN 970-17-0170-4
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1524.
Original Enghsh Language Edil ion Pubhshed by John Wiley &. Sons, Inc
Copyright© 1996
All rights reserved
ISBN 0-471-30460-3
IMPRESO EN MÉXICO / PRINTED IN MEXICO
Dedicado a mu ‘'tras numerosas familias y a sus lujos,
¡Vichólas D cW itt f í ifa n o 9 John W allace, M ich ael A n th on y
y M allory R en ee Da-rU; P a tr ic ia Ana y D a v id Á n d n w F oley
M ich ael D eW itt y Sarah J o a n n e Ired er ic k ;
y B ra n d a n P a tr ick ía fe lsk i
q u ien es lian in crem en tad o los n iveles de am or,
p ac ien cia \ com p ren sión en n u estras v idas.
•
r
Con el paso de aproximadamente quince anos desde la publicación de la primera edición,
este texto ha llegado con toda claridad a ser una representación madura de la enseñanza
de la transferencia de calor. No obstante esta madurez, pensamos que. si bien algunos
principios básicos siguen siendo válidos, nuestro tratamiento del tema ha estado en evo
lución constante
Preparar la primera edición se basó en la convicción de que un primer curso de trans
ferencia de calor debe, sobre todo, propiciar dos cosas: inculcar una apreciación de los
orígenes físicos del tema y establecer la relación de estos orígenes con el com portam ien
to de los sistemas térmicos. Para llevar esto a cabo son necesarias las metodologías que
faciliten la aplicación del tema a una amplia variedad de problemas prácticos, y debe
lom entarse la facilidad para realizar la clase de análisis de ingeniería que, aunque no
exacto, proporcione información útil con respecto al diseño y/o funcionamiento de un sis
tema o proceso. Los requisitos de este tipo de análisis incluyen la capacidad de distinguir
procesos de transporte relevantes y simplificar suposiciones, identificar las variables de
pendientes c independientes adecuadas, desarrollar las expresiones apropiadas a partir
de los principios fundam entales y em plear las herramientas necesarias a partir de la base
del conocim iento de la transferencia de calor En la primera edición, el logro de este ob
jetivo se procuro planteando muchos de los ejemplos y problemas de fin de capitulo en
términos de sistemas de ingeniería reales
La segunda edición también se guio por los objetivos antcrioies. asi como por consi
deraciones derivadas de un cuestionario que se mandó a más de cien colegas que usaron
la primera edición o se familiarizaron con ella Lna de las principales consecuencias de
estas consideraciones fue la publicación de dos versiones del libro- Fundamentáis ofUeat
andMass Transfer (Fundamentos de transferencia de calor y masa) e Intwduction to Heat
Tiransfer ( Introducción a la transferencia de calor). Como en la primera edición, la versión
de ‘ Fundam entos” com prendió la transferencia de masa y proporciono un tratamiento
integrado de transferencia de calor, masa y m om ento m ediante convección, así como
tratamientos aparte de transferencia de calor y masa por difusión La versión de ‘‘Introduc
ción*’ del libro se destinó a usuarios que desearan abarcar el tratamiento de la transferencia
de calor, pero que no desearan ver los efectos de la transferencia de masa. En ambas
versiones, se realizaron mejoras significativas en el tratamiento de los métodos num éri
cos y de la transferencia de calor con cambio de fase.
En la tercera edición, los cam bios estuvieron motivados por el deseo de incrementar
el alcance de las aplicaciones y de realzar la exposición de los principios físicos Se am
plió la cobertura del material existente sobre resistencia térmica de contacto, análisis de
I'rúlavi» ■
resistencia interna despreciable y métodos de dilercncias finitas e intercambiadores de
calor com pactos, además de que se agregó nuevo material sobre convección forzada en
chorros sumergidos y convección libre en canales abiertos de placas paralelas. También
se incluyeron cerca de 300 problemas nuevos. Con el espíritu de pasados esfuerzos, mu
chos de los problemas tratan temas contemporáneos de la practica de la ingeniería, como
la conversión y utilización de la energía, la protección térmica, el enfriam iento electróni
co, la fabricación y el procesamiento de materiales. Seguimos creyendo que, además de
reforzar en el estudiante la com prensión de principios y aplicaciones, los problemas sir
ven de motivación, pues relacionan el tema con necesidades reales de la ingeniería.
En la preparación de la presente edición, míluyó mucho el intenso análisis al que ha
estado sujeta recientemente la educación en ingeniería. Por un lado, oímos decir que. si se
pone énfasis en el análisis y las ciencias de la ingeniería, se descuidan las capacidades de
síntesis e integración de sistemas que por lo general se requieren en la práctica de la pro
fesión. Por el contrario, los defensores de los métodos de educación en ingeniería poste
riores a la década de los 50 argumentan que una valoración cuidadosa de los principios
básicos de ingeniería es esencial para com prender y mejorar la operación de los disposi
tivos, procesos y sistemas existentes, asi como para el desarrollo de nuevas tecnologías.
En nuestro caso, estam os de acuerdo con ambas aseveraciones Es posible un mejor tra
bajo en la preparación de nuestros estudiantes para la práctica de la ingeniería, y es impor
tante que comprendan los principios básicos y que sean capaces de aplicarlos. Sin
embargo, también consideramos que estos dos objetivos no son mutuamenteexcluyentes.
sino que se pueden acoplar para beneficio mutuo
Pocos educadores se han salvado de Ja frustración de ver que muchos de los estudian
tes que completaron de forma satisfactoria las ciencias esenciales de la ingeniería com e
ten errores al intentar aplicar incluso los principios más rudimentarios a problemas en el
nivel de diseño y sistemas. Creemos que este tipo de dificultades son resultado de una for
ma de pensamiento que considera que cada problema tiene una solución única (la correc
ta) y que existe sólo un camino hacia esa solución Con el propósito de 110 equivocarse
para encontrar el camino a la solución adecuada, la solución del problema corre el nesgo
de llegar a ser un ejercicio restringido al reconot¿miento de patrones. Es decir, el método de
solución de problemas se concentra en la búsqueda de soluciones existentes para proble
mas similares.
En Purdue. como en muchas otras instituciones, se utiliza la educación por objetivos
com o medio de enfrentar las anteriores deficiencias. Una importante característica de
nuestro método implica el propósito inte viador a lo largo del programa de estudios, que
incluye cursos, com o el de transferencia de calor, basados en las ciencias de la ingeniería.
En estos cursos, los problemas de diseño \ los problemas ubiet tos proveen tierra fértil pa
ra relacionar los fundamentos con modelos de ingeniería útiles y, a su vez, para relacio
nar estos modelos con decisiones de diseño Aunque los problemas pueden ser de alcance
limitado y quizá no requieran más de unas cuantas horas fuera del salón de clase, se refie
ren a necesidades reales y permiten planteamientos alternativos, que incluyen considera
ciones del tipo de qué sucedería si De esta manera, proporcionan el contexto necesario
para que los estudiantes adquieran confianza en la aplicación de los principios básicos a
problemas reales abiertos y utilicen estas aplicaciones como una base para tomar decisio
nes de diseño. A través del estimulo que proporcionan, los problemas también aumentan
el interés y profundizan en la comprensión de los principios básicos.
Por lo tanto, en esta edición agregamos un número significativo de problemas abier
tos que aumentarán el interés del estudiante en la transferencia de calor, fortalecerán su
capacidad para aplicar el tema a necesidades reales, y lo prepararán mejor para la prácti
ca de la ingeniería. Debido a que muchos de estos problemas implican consideraciones de
■ Prefacio ¡Y
tipo exploratorio, de que sucedería si, y de sensibilidad de parámetros, se recom ienda
que se traten en com putadora con un paquete de .software para solución de ecuaciones.
A unque los estudiantes ciertam ente pueden crear y solucionar los m odelos con un
softw are con el que ya estén fam iliarizados, hay softw are basado en W indows que ofre
ce algunas ventajas diferentes com o herram ienta de productividad y aprendizaje. D eno
m inado Interactive Heat Transfer (Transferencia de calor interactiva, ¡HT) y diseñado en
colaboración con IntelhPro. Tnc.. de New Brunsw ick. Nueva Jersev. el software está inte-*
grado por com pleto con el texto, pues em plea las m ism as m etodologías y nom enclatura.
IHT proporciona un am biente para construir modelos y solucionar problem as que
com prende un preprocesador, un solía ionador y un posproi esador. El preprocesador
tiene un espacio de trabajo en el que se puede introducir ecuaciones y com entarios desde
módulos preexistentes y/o herram ientas (así com o desde el teclado). Los m ódulos con
sisten en modelos, que cubren temas más am plios, com o balances de energía y circuitos
térm icos, m ientras que las herram ientas proporcionan ecuaciones específicas para proce
sos de conducción, convección y radiación, asi com o propiedades termofísicn.s para sus
tancias seleccionada: El solucionador brinda la capacidad de auxiliar en la solución de
ecuaciones de form a com prensible, m ientras que el posprocesador cuenta con una opción
de exploración para estudios de sensibilidad de parám etros, un visor para tabular resul
tados y una opción gráfica para graficar los resultados. La capacidad de construcción de
m odelos y solución de problem as del IHT facilita la aplicación de las m etodologías que
se presentan en el texto, así com o la ejecución de problem as de diseño y del tipo conjetu
ral de (pié sucedería si.
Los m odelos accesibles desde el preprocesador están contenidos en seis diferentes
módulos, cada uno de los cuales tiene uno o más modelos. Los módulos y modelos rela
cionados. siguiendo el orden en que aparecen en el texto, son los siguientes.
1. Primera ley: balances de energía de estado estable para
• geometrías tsorc rmicas planas, c iffndricas y esjéi iras con efectos multimodales:
• paredes planas no isotérmicas con efec ros multimodales;
• flujo por un banco de tubos;
• flujo Por lm tubo.
2. Redes de resistencia térmica: constructor y solucionador (solver) de circuitos térm i
cos para
• candín ción unidimensional en paredes planas, cilíndi u as y esféricas en condicio
nes de superficie convectivas v/o radiativas.
3. Conducción unidimensional de estado estable: distribuciones de tem peratura y
transferencia de calor con o sin generación uniform e de energía para
• conducción unidimensional en geometrías planas, ailindi u as y esfét ic as i on con
diciones de pantera de la primera, segunda o ten cía i lase
4. Superficies extendidas: modelos para
• distribuciones de temperatura y transferencia de calor en una aleta rectangular
recta o en form a de alfiler:
• desempeño de una aleta rectangular reí ta. en form a de alfiler, triangulen o parabó
lica y de una aleta circular de peifil rectangular;
• desempeño de arreglos de aletas rectas de alfiler y circulares.
\ Pr«*fa«*io ■
5. R esistencia in te rn a d esp re c ia b le : constructor de m odelos para
• respuesta transitoria de sistemas isotérmicos espaciales en condiciones de super
ficie de radiación y/o convección, con o sin generación de energía.
6 . C o n d u cc ió n tr a n s i to r ia : m odelos para conducción transitoria unidim ensional en
• geometrías finitas planas, cilindricas y esféricas:
• sólidos semiinfinitos.
A um enta la capacidad de construcción de m odelos y de solución de problem as con
las características de los siguientes g ru p o s de h e r ra m ie n ta s y funciones relacionadas
1. Tinunciones de flu jo: ecuaciones básicas de flujo pa a
• conducción en estado estable (paredes planas, cilindricas y esféricas):
• convección (superficies planas, cilindricas y esféricas):
• radiación (superficies planas, cilindricas y esféricas).
2. R esistencias té rm ica s : expresiones para
• conducción (paredes planas, cilindricas y esféricas):
• convección (superficies planas, cilindricas y esféricas):
• radiación (superficies planas, cilindricas y esféricas).
3. E cu ac io n es d e d ife ren c ia fin ita : form as estándar de ecuaciones de diferencia finita
para
• sistemas unidimensionales transitorios y en estado estable:
• sistemas tridimensionales transitorios y en estado estable.
4. C o rre lac io n es de convecc ión : ecuaciones de correlación para
• convección forzada externa (placa plana, cilindro, esfera, banco de tubos):
• convección forzada interna:
• convección libre (placas verticales y horizontales, sistem as radiales):
• ebullición (nucleada. de película y de transferenci i de calor m áxim o y m ínim o):
• condensación de película (placa vertical, sistem as radiales).
5. In te rc a m b ia d o re s de ca lo r: relaciones de efectiv idad N U T para diseño y rendim ien
to de
• tubos concéntricos, configuraciones de coraza y tubo y de flujo cruzado.
6 . In te rc a m b io p o r ra d ia c ió n : expresiones estándar para calcular
• funciones de cuerpo negro (tactores de intensidad espectral, potencia em isiva y
em isión de banda):
• factores de form a (relaciones y fórm ulas):
• intercambio por radiación en un recinto.
7. Pro p ied ad es : dependencia de tem peratura de propiedades term ofisicas para m ateria
les escogidos com o
• sólidos (alum inio 2024, acero inoxidable 302. cobre, nitruro de silicio):
• líquidos (agua, aceite lubricante, etilenglicol. R 1 2 R 113):
• gases vapores (abe , agua, helio, R12. R 1 13).
Prefacio xi
Los usuarios del programa IHT deben entender que no se trata de una colección de
modelos resueltos previamente para ejercicios con diferentes condiciones de entrada.
Más bien es una herramienta de productividad que facilita la construcción y solución de
modelos para la amplia variedad de problemas de transferencia de caloi que abarca este
texto. La construcción se facilita con la capacidad para arrastrar material de cualquiera
de los módulos y herramientas al área de trabajo y, coino se requiere para com pletar el
modelo, introducir ecuaciones adicionales desde el teclado Por ejemplo, si se desea uti ■
lizar el m étodo de resistencia interna despreciable (capítulo 5) para determ inar la respues
ta térmica transitoria de un sólido que se enfria mediante convección libre y radiación, el
modelo apropiado se generaría com binando características del módulo 5 y de las herra
mientas 1 , 4 y 7. Alternativamente, el balance de energía apropiado, y las ecuaciones o
modelos de transferencia de calor, correlaciones y propiedades se introducirían desde el
teclado. El solucíonador serviría después para calcular la historia de temperatura desea
da, así com o para evaluar y trazar gráficas de los efectos de las variaciones de los parame-
tros apropiados. Para facilitar su uso. el software también incluye un tutorial, ejemplos
resueltos y opciones para ayuda en línea
A fin de minim izar las frustraciones asociadas con la obtención de resultados in
coa ec tos a partir de un modelo incorrecto, muchos de los problemas abiertos de este tex
to aparecen com o extensiones a problemas de una sola solución. De esta forma los estu
diantes pueden primero elaborar y probar su modelo bajo condiciones prescritas para las
que sólo hay una respuesta Una vez establecida la confianza en la validez de su modelo,
pueden usar entonces 1HT (o algún otro solucíonador) para llevar a cabo cálculos paramé-
tricos desde los que es posible determ inar los diseños o las condiciones de operación óp
timos. Estos problemas se identifican por tener encerrada su parte exploratoria con un
rectángulo, por ejemplo, ( b ) , (c) o (d)|. bsta característica también permite a los ins
tructores tratar la transferencia de calor sin el uso de com putadoras para aprovechar la ri
queza de estos problemas incluso asignando todas las porciones excepto las realzadas
Los problemas para los que el número mismo está resaltado, como por ejemplo, 1.18, de
ben resolverse con computadora
Respecto al uso de IHT como una herramienta de productividad, se recomienda que
se solicite a los estudiantes que elaboren sus modelos en papel y hagan cálculos manuales
limitados antes de recurrir al software para consideraciones de diseño y exploración. Una
vez que los estudiantes dominan los conceptos de transferencia de calor y se familiarizan
con el software, están habilitados para tratar con muchas de las complejidades asociadas
con el com portam iento de sistemas térmicos reales. En relación con el uso del IHT como
lien amienta de aprendizaje, el contenido y jerarquía del software refuerza la asimilación
subsecuente y la aplicación de los fundamentos de transferencia de calor que se tratan en
el texto.
En los preparativos de esta edición influyeron también los resultados de un cuestiona
rio con el que se procuró obtener rctroalimentación en cuatro temas principales: ¿es dem a
siado largo el texto9; ¿ hay un balance satisfactorio entre los tratamientos de la i icncia y la
práctica de la transferencia de calor?; ¿se debe acoplar un paquete de software al texto?; y
¿cual es un balance apropiado entre problemas de final de capítulo cerrados y abiertos?
Como sólo 18 por ciento de los 310 que respondieron consideraron que el texto era
dem asiado largo, no se hizo intento de reducirlo Se agrego una cantidad limitada de ma
terial nuevo para mejorar los tratamientos de varios temas (la primera ley; conducción en
estado estable unidimensional con generación interna; superficies extendidas: cuerpos se
miinfinitos). pero en cada caso con poco efecto sobre la longitud total del texto. Aunque
los que respondieron consideraron que el libro tenía buen equilibrio entre fundamentos y
P refacio ■
aplicaciones, se recomendó que la nueva edición incluyera más problemas abiertos de
propósito orientado (aproximadamente 25 por ciento del total) y que se recomendara soft
vvare de simulación para acelerar el proceso de solución Com o se explicó en parratos an
teriores, respondim os a ambas sugerencias.
Estamos en deuda con muchos de nuestros colegas de Purdue y con todos los que
aportaron las sugerencias e ideas que no en poco contribuyeron a la producción de este
texto. Siempre procuramos estar conscientes de las necesidades y dilicultades de apren
dizaje de los estudiantes, y agradecemos a todos los alumnos de Purdue y de otros luga
res. que proporcionaron un refuerzo positivo a nuestra tarea
West Lafayette, Indiana Frank P In c ro p e ra d p ite e n .purdue.edu)
David P DeWitt (d p d é ec n purdue edu)
Contenido
CAPÍ TI 1.0 1
Introducción
Símbolos X\I
1
1 . 1 ¿Qué y cómo ? 2
1.2 Orígenes tísicos y modelos
1.2.1 Conducción 3
1.2.2 Convección 5
1.2.3 Radiación 8
1.2.4 Relación con la termodinámica 12
3
1.3 Requerimiento de conservación de la energía
1.3.1 Conservación de la energía para un volumen de control 12
1.3.2 Balance de energía en una superficie 19
1.3.3 Aplicación de las leyes de conservación: metodología 21
12
1.4 Análisis de problemas de transferencia de calor: metodología 22
1.5 Relevancia de la transferencia de calor 25
1 .6 Unidades y dimensiones 25
1.7 Resumen
Problemas
28
30
CAPTTUI 0 2
Introducción a la conducción 13
2.1 El modelo para la conducción 44
2.2 Propiedades térmicas de la materia
2.2.1 Conductividad térmica 46
2.2.2 Otras propiedades relevantes 49
46
2.3 Ecuación de difusión de calor 52
2.4 Condiciones iniciales y de frontera 60
2.5 Resumen
Bibliografía
Problemas
63
63
63
vi\ Contenido ■
( U 'ÍT U L O S
Conducción unidimensional de estado estable
3.1 La pared plana
3.1.1 Distribución de temperatura 74
3.1.2 Resistencia térmica 70
3.1.3 Pared compuesta 77
3. i .4 Resistencia de contacto 79
3.2 Análisis de conducción alternativa
3.3 Sistemas radiales
3.3 1 El cilindro 90
3.3.2 La esfera 96
3.4 Resumen de resultados de la conducción unidimensional
3.5 Conducción con generación de energía térmica
3.5 1 La pared plana 100
3.5.2 Sistemas radiales 100
3.5 3 Aplicación de los conceptos de resistencia 110
3.6 Transferencia de calor en superficies extendidas
3 .6 ) Análisis de conducción general 113
3.6.2 Aletas de área de sección transversal uniforme 114
3.6.3 Desempeño de una aleta 120
3.6 4 Aletas de arca de sección transversal no uniforme 124
3.6 5 Eficiencia global de la superficie 126
3.7 Resumen
Bibliografía
Problemas
CAPÍTULO 4
Conducción bidimensional en estado estable
4.1 Enfoques alternativos
4.2 Método de separación de variables
4.3 Método gráfico
4.3 .1 Metodología de la construcción de una gráfica de flujo 167
4.3.2 Determinación de la transferencia de calor 169
4.3 3 Factor de forma de conducción 169
4.4 Ecuaciones de diferencias finitas
4.4 .1 Red nodal 173
4.4 2 Forma de diferencias finitas de la ecuación de calor / 74
4 4 3 Método del balance de enercía 175
4.5 Solución de las ecuaciones de diferencias finitas
4.5.1 Método de inversión de matrices 181
4.5.2 Iteración de Gauss-Seidel 182
4.5 3 Algunas precauciones 188
4.6 Resumen
Bibliografía
Problemas
•» i •>
74
86
90
99
100
110
133
134
134
161
162
163
167
173
181
193
193
194
■ Contenido x \
C A P J T l L O O
Conducción en estado transitorio 211
5.1 Método de la resistenciainterna despreciable 212
5.2 Validez del método de la resistencia interna despreciable 215
5.3 Análisis general del método de resistencia interna despreciable 218
5.4 hfectos espaciales 223
5.5 Pared plana con convección 225
5.5.1 Solución exacta 225
5 5 2 Solución aproximada 226
5 5 3 Transferencia total de energía 226
5 5 4 Consideraciones adiciónale^ 228
5.6 Sistemas radiales con convección 229
5 6 1 Soluciones exactas 229
5 6.2 Soluciones aproximadas 230
5.6.3 Transferencia total de energía 230
5.6.4 Consideraciones adicionales 231
5.7 Solido semiinfinito 236
5.8 Lfectos multidimensionales 242
5.9 Métodos de diferencias finitas 248
5 9 1 Discretización de la ecuación de caloi método explícito 248
5 9 2 Discretización de la ecuación de calor: método implícito 256
5.10 Resumen 263
Bibliografía 263
Problemas 263
CAPÍTULO 6
introducción a la convección 2 8 3
6.1 El problema de la transferencia de caloi por convección 284
6.2 Capas límite de convección 289
6.2.1 Capa limite de velocidad o hidrodinámica 289
6.2.2 Capa límite térmica 290
6.2.3 Capa límite de concentración 29/
6 2.4 Significado de las capas límite 293
6.3 Flujo laminar y turbulento 294
6.4 Ecuaciones para la transferencia por convección 296
6.4 1 Capa limite de velocidad o hidrodinámica 296
6.4.2 Capa limite térmica 301
6.4 3 Capa límite de concentración 303
6.5 Aproximaciones y condiciones especiales 308
6.6 Similitud de capas límite: ecuaciones de transferencia por convección
normalizadas 311
6 .6 .1 Parámetros de similitud de la capa límite 31/
6.6.2 I orma funcional de las soluciones 313
6.7 Significado físico de los parámetros adimensionales 318
6.8 Analogías de la capa límite 321
6.8 1 Analogía de la transferencia de calor y masa 32/
6.8.2 Enfriamiento evaporativo 325
328
331
332
332
333
34 5
347
348
359
366
374
377
387
393
394
396
396
4 1 9
420
425
431
439
C o iilm ú lo ■
6.8.3 Analogía de Reynolds 327
6.9 Efectos de la turbulencia
6.10 Coeficientes de convección
6.11 Resumen
Bibliografía
Problemas
7.1 Método empírico
7.2 Placa plana en un Mujo paralelo
7.2.1 riu jo laminar solución de similitud 349
7 2.2 Flujo turbulento 355
7.2.3 Condiciones de capa límite mezclada 355
7 2.4 Casos especiales 357
7.3 Metodología para un cálculo de convecc ion
7.4 Flujo alrededor de un cilindro
7.4.1 Consideraciones de ílujo 366
7.4.2 Transferencia de calor y de masa por convección 368
7.5 Esfera
7.6 Flujo a través de un banco de tubos
7.7 Chorros de choque
7 7 1 Consideraciones hidrodinámicas y geométricas 387
1.7.2 Transferencia de calor y de masa por convección 389
7.8 L ech o s compactados
7.9 Resumen
Bibliografía
Problemas
8.1 Consideraciones hidrodinámicas
8 . 1 . 1 Condiciones de flujo 420
8.1.2 Velocidad media 421
8 1 .3 Perfil de velocidad en la región completamente desarrollada 422
8 . 1 .4 Gradiente de presión y factor de fricción en un flujo completamente
desarrollado 424
8.2 Consideraciones térmicas
8.2.1 Temperatura media 426
8.2.2 Ley de enfriamiento de New ton 427
8.2.3 Condiciones completamente desarrolladas 427
8.3 Balance de energía
8 3.1 Consideraciones generales 431
8.3.2 Flujo de calor superficial constante 432
8 3.3 Temperatura superficial constante 435
8.4 F lujo laminar en tubos circulares análisis térmico y correlaciones
de convección
8.4.1 Región completamente desarrollada 439
8.4.2 Región de entrada 443
8.5 Correlaciones de convección flujo turbulento en tubos circulares
8.6 Correlaciones de convección tubos no circulares
8.7 Anillos de tubos concéntricos
8.8 Aumento de la transferencia de calor
8.9 Transferencia de masa por convección
8.10 Resumen
Bibliografía
Problemas
CAPÍTULO 9
■ Contenido 'vvu
Convección libre m
9.1 Consideraciones físicas 482
9.2 Ecuaciones gobernantes 484
9.3 Consideraciones de similitud 486
9.4 Convección libre laminar sobre una superficie vertical 487
9.5 Efectos de turbulencia 490
9.6 Correlaciones empíricas: flujos externos de convección libre
9.6 1 Placa vertical 493
9.6.2 Placas horizontales e inclinadas 496
9.6.3 Cilindro largo horizontal 501
9.6 4 Esferas 504
492
9.7 Convección libre dentro de canales de placas paralelas
9 7 1 Canales verticales 506
9 7 2 Canales inclinados 505
506
9.8 Correlaciones empíricas: rec ntos
9.8 1 Cavidades rectangulares 509
9.8.2 Cilindros concéntricos 5 /2
9.8.3 Esteras concéntricas 5 13
509
9.9 Convección libre y forzada combinada 515
9.10 Transferencia de masa por convección 516
9.11 Resumen
Bibliografía
Problemas
516
517
518
C A Pirui o 10
Ebullición y condensación 535
10.1 Parámetros adimensionales en la ebullición y la condensación 536
10.2 Modos de ebullición 537
10.3 Ebullición de alberca
10.3.1 Curva de ebullición 538
10.3.2 Modos de ebullición de alberca 540
538
10.4 Correlaciones de ebullición de alberca
10.4.1 Ebullición nucleada de alberca 543
10.4.2 Flujo critico de calor para ebullición de alberca nucleada 545
10.4.3 Flujo mínimo de calor 545
10.4 4 Fbulhción de alberca de película 546
543
10.4.5 Efectos parametricos sobre la ebullición de alberca 547
444
44<>
454
456
457
459
461
461
Contenido ■
10.5 Ebullición por convección forzada 552
10.6
10 5.1 Ebullición de conv ección forzada externa 552
10.5 2 Flu jo bifásico 553
Condensación: mecanismos físicos 554
10.7 Condensación de película laminar sobre una placa vertical 556
10.8 Condensación de película turbulenta 560
10.9 Condensación de película en sistemas radiales 565
10.10 Condensación de película en tubos horizontales 567
10.11 Condensación de gotas 568
10.12 Resumen 569
Bibliografía 569
Problemas 571
CAPÍTULO I I
intercanihiadorps dp calor 5ttl
11.1 Tipos de intercambiadores’de calor
11.2 Coeficiente global de transferencia de calor
11.3 Análisis de intercambiador de calor: uso de la diferencia de temperatura
media logarítmica
11.3 1 Intercambiado!' de calor de flujo paralelo 588
11 .3.2 Intcrcambiador de calor en contraflujo 590
11.3.3 Condiciones especiales de operación 591
113 4 Intcrcambiadores de calor de pasos múltiples y de flujo cruzado 592
11.4 Análisis del intcrcambiador de calor: método de eficicncia-NUT
11.4.1 Definiciones 599
114.2 Relaciones de eficiencia N LT 600
11.5 Metodología del cálculo de un intcrcambiador de calor
11.6 1 ntercambiadorcs de calor compactos
11.7 Resumen
Bibliografía
Problemas
CAPÍTULO 1 2
Radiación: procesos y propiedades 633
12.1 Conceptos fundamentales 634
1 2 . 2 Intensidad de radiación 637
12 2 1 Definiciones 637
12 2 2 Relación con la emisión o40
12.2.3 Relación con la irradiación 643
12 2.4 Relación con la radiosidad 645
12.3 Radiación de cuerpo negro 646
12.3.1 Distribución de Planck 647
12 3.2 Ley de desplazamiento de Wien 647
1 2 3.3 Ley de Steían-Boltzmann 648
12 3.4 Emisión de banda 649
12.4 Emisión superficial 654
12.5 Absorción, reflexión y transmi ion superficiales 662
12.5.1 Absortividad 664
582
584
587
599
607
613
618
619
619
■ Contenido x ix
12.5.2 Reflectividad 665
12.5.3 Transmisividad 666
12.5.4 Consideraciones especiales 667 *
12.6 Ley de Kirchhoff 672
12.7 Superficie gris 673
12.X Radiación ambiental 680
12.9 Resumen 686
Bibliografía 688
Problemas 689
CAPÍTULO 1 3
Intercambio de radiación entre superficies i \ i
13.1 Factor de forma 718
13.1.1 Factor de forma integral 718
13.1.2 Relaciones del factor de forma 719
13.2 Intercambio de radiación de cuerpo negro 728
13.3 Intercambio de radiación entre superficies grises, difusas, en un recinto 731
13.3.1 Intercambio neto de radiación en una superficie 732
13.3.2 Intercambio de radiación entre superficies 732
13.3.3 Recinto de dos superficies 738
13.3.4 Cubiertas de radiación 738
13.3.5 Superficie rerradiante 742
13.4 Transferencia de calor mullimodal 746
13.5 Lfcctos adicionales 749
13.5.1 Absorción volumétrica 750
13.5.2 Emisión y absorción gaseosas 750
13.6 Resumen 754
Bibliografía 755
Problemas 755
CAPÍTULO 14
Transferencia de masa por difusión 783
14.1 Orígenes físicos y ecuaciones de conservación 784
14.1.1 Orígenes físicos 784
14.1.2 Composiciónde una mezcla 785
14.1.3 Ley de difusión de Fick 786
14.1.4 Condiciones restrictivas 787
14.1.5 Coeficiente de difusión de masa 791
14.2 Conservación de especies 791
14.2.1 Conservación de especies para un volumen de control 792
14.2.2 Ecuación de difusión de masa 792
14.3 Condiciones iniciales y de frontera 795
14.4 Difusión de masa sin reacciones químicas homogéneas 798
14.4.1 Medios estacionarios con concentraciones superficiales específicas 799
14.4.2 Medios estacionarios con reacciones superficiales catalíticas 802
14.4.3 Contradifusión equimolar 805
14.4.4 Evaporación en una columna 808
14.5 Difusión de masa con reacciones químicas homogéneas 810
\ \ ( OllltMIltio ■
14.6 Difusión transitoria
Bibliogra ía
Problemas
813
817
818
APÉNDICE A
Propiedades termojisicas de ¡a materia 8 2 3
APENDICE B
Relaciones y junciones matemáticas 8 3 3
•APÉNDICE C
Condiciones térmicas asociadas con la generación uniforme
de energía en sistemas undimensiomdes de estallo estable 801
■APÉND1CI I I
Representación grájica de conducción transitoria
undimensional en una panul plana, cilindro largo y esfera 8 0 9
APÉNDICE E
Solución integral de capa limite laminar
para Jlujo paralelo en una placa plana 875
*
Indice 88J
Símbolos
A área, m e energía «ermica interna por unidad de
A área de la sección transversal, m masa. J/kg. rugos dad de superficie, m
A- área de flujo libre en la coraza de un F fuerza, N, factor de corrección para un
intercamhiador de calor compacto intercambiador de calor; fracción de
(área de sección transversal mínima radiación de cuerpo negro en una banda
disponible para flujo a través de la de longitud de onda; factor de forma
coraza), nr Fo número de Fourier
Ar urea frontal de un intercambiador de f factor de fricción, variable de similitud
calor, m2 G irradiación, W/m , velocidad de masa.
A área de la superficie pr ncipal kg/s • m
(sin aletas), m2 0 r número de Grashof
A razón de area de boquilla Gz número de Gnetz
A área superficial, m2 Z aceleración grav nacional, m/s2
a aceleración, m/s2 Zc constante gravitacional, 1 kg • m/N * s2 o
B, numero de Biot 32.17 p es • lbm/lbt • s
Bo numero de Bond H altura de boquilla, m
C concentración molar, kmol/m h coeficiente de transferencia de calor por
capae idad de flujo de calor. W/K convección W/m • K constante de
C'o coef cíente de arrastre Planck
Cí coerciente de fricción hf* calor latente de evaporación, J/kg
c , capacitancia térmica J/K hm coeficiente de transferencia de masa por
c calor específico J/kg • K. velocidad de convección, m/s
la luz, m/s ^ruJ coeficiente de transferencia de calor por
cp calor específico a presión constante. radiación, W/m’ • K
J/kg-K I corriente eléctrica. A, intensidad de
t \ calor especifico a volumen constante radiación. W/m2 • sr
J/kg • K i densidad de corriente eléctrica A/m2;
D diámetro, m entalpia por unidad de masa J/kg
^AB coeficiente binar o de difusión de .1 radiosidad, W/m
masa. m2/s la número de Jakob
Oh diámetro hidráulico, m flujo molar difusivo de la especie / con
E energía interna térmica (sensible), J; relación a la velocidad promedio molar
potencial eléctrico. V; potencia de la mezcla, kmol/s*in
em siva. VV/m j, flujo de masa difusivo de la especie i con
Ec numero de Eckert relación a la velocidad promedio de
Á generación de energía. W masa de la mezcla kg/s • m
p̂ entrada transferencia de energía que entra a un Jh factor de Colbum para transferencia de
volumen de control, W calor
ŝalida transferencia de energía que sale de un jm factor j de Co bum para transferencia de
volumen de control, W masa
Alm incremento de la energía almacenada k conductividad térmica, W/m • K; constante
dentro de un volumen de control. W de Bolizmann
v x ii Sím bolos ■
0̂ constante de rapidez de reacción Q transferencia de energía. J
homogénea de orden cero, kmol/s • nró transferencia de calor, W
constante de rapidez de reacción i generación de energía por unidad de
homogénea de primer orden. s_l volumen. W/m
*7 constante de rapidez de reacción
/
</ transferencia de calor por unidad de
homogénea de primer orden, m/s longitud, VV/ni
longitud característica, m f*</ flujo de calor. W/m2
Le número de Lewis R radio cilindrico, in
M masa, kg: número de bandas de .ti constante universal de los gases
transferencia de caloren una gráfica de Ra número de Rayleigh
flu jo; recíproco del número de Fourier Re número de Reynolds
para soluciones en diferencias finitas R, resistencia eléctrica. Í 1
\ l transferencia de masa para la especie /'. Rf factor de impureza, in2 • K/W
kg/s Rm resistencia de transferencia de masa, s/nv*
ú , , incremento de masa de la especie / debido Rm.n residuo para el punto nodal m, ii
a reacciones químicas, kg/s R, resistencia térmica, K/W
Halada entrada de masa a un volumen de control. R,c resistencia térmica de contacto. K/W
kg/s */./ resistencia térmica de una aleta. K, W
■HahiU salida de musa de un volumen de control. R,.o \esistencia térmica de un arreglo de aletas.
kg/s K/W
•K, aumento de la masa almacenada dentro de r„ radio de cilindro o esfera, m
un volumen de control, kg/s r. </>. r coordenadas cilindricas
Jl, peso molecular de la especie /. kg/mol r. 0. $ coordenadas esféricas
m masa, kg S solubilidad, kmol/m^atm; factor de fonna
m 11 ujo más ico. kg/s para conducción bidimensional. ni;
fracción de masa de la especie /. pjp separación de boquilla; espaciamiento
N número de incrementos de temperatura en de placa, m
una gráfica de llujo: número total de s. constante solar
tubos en un banco de tubos número de Se número de Schmidl
superficies en un recinto Sh número de Shervvood
Nh número de Nusselt St número de Stanton
NUT número de unidades de transferencia Sn< $i.> separación diagonal, longitudinal y
a, transferencia molar de la especie i con S'i transversal de un banco de tubos, m
relación a coordenadas fijas, kmol/s T temperatura. K
•V; flujo molar de la especie i con relación t tiempo, s
a coordenadas fijas, kmol/s • irf U coeficiente global de transferencia de cal oí
'V; aumento de la especie / por unidad de W/m2 • K; energía interna. J
volumen debido a reacciones químicas. U. V. w componentes de la velocidad promedio de
kmol/s • m1 flujo de masa, m/s
reacción superficial de la especie i. ll*\ V*. componentes de la velocidad molar
kmol/s • nrr ve* promedio, m/s
ttn. flujo másico de la especie / con relación V volumen, m1; velocidad de fluido, m/s
a coordenadas tijas, kg/s • m- V volumen específico, m’/kg
>h aumento de masa de la especie / por unidad W ancho de abertura de una boquilla, m
de volumen debido a reacciones lí tasa a la que se realiza trabajo. W
químicas, kg/s • m We número de Weber
S l.N , número de tubos en la dirección X. Y. Z componentes de la fuerza de cuerpo por
longitudinal y transversal unidad de volumen. N/m*
/ v /», separación adimensional longitudinal > x. y. ~ coordenadas rectangulares, m
transversal de un banco de tubos a. posición crítica para la transición
p perímetro, m; designación de la propiedad a turbulencia, m
general de un fluido A Id.. longitud de entrada de concentración, in
Pe número de Peclet (RePr) A'fd. h longitud de entrada hidrodinámica, m
Pr número de Prandll A-td. / longitud de entrada térmica, in
P presión, N/nr x. fracción de mol de la especie /. CJC
■ Símbolos x x iii
Letras griegas cr espesor critico de aislamiento
a difusividad térmica, nr/s; área de la cond conducción
superficie de un intercambiador de calor conv convección
por unidad de volumen, m2/m3; CF contraflujo
absorbencia (o absortividad) D diámetro; arrastre
P coeficiente de expansión térmica dif difusión
volumétrica, K 1 e exceso; emisión
V flujo de masa por unidad de anchura en evap vaporización
condensación de película, kg/s • m / propiedades de flu do; condiciones de
<5 espesor de capa límite hidrodinámica, m aleta: condiciones de líquido saturado
ó. espesor de capa límite de concentración, m fd condiciones completamente desarrolladas
espesor de capa límite térmica, m * condiciones de vapor saturado
£ emisividad;porosidad de un lecho H condiciones de transferencia de calor
empacado: efectividad de un h hidrodinámico; fluido caliente
intercambiador de calor ¡ denominación general de especies:
*) efectividad de una aleta superficie interna de un anillo: condició
£h difusividad turbulenta para transferencia inicial; condición de entrada de tubo:
de calor, nr/s radiación incidente
£\1 difusividad turbulenta para transferencia L basado en la longitud característica
de momento, rrr/s l condiciones de líquido saturado
£ m difusividad turbulenta para transferencia lat energía latente
de masa, m2/s Im condición media logarítmica
*7 variable de similitud M condición de transferencia de momento
*): eficiencia de una aleta m condición de transferencia de masa; valor
Vo eficiencia de un arreglo de aletas medio en una sección transversal
0 ángulo cenital, rad: diferencia de de un tubo
temperaturas. K max velocidad máxima de fluido
K coeficiente de absorción, m- ' o condición central o de medio plano;
A longitud de onda, /xm condición de salida de tubo; exterior
viscosidad dinámica, kg/s • m R superficie rerradiante
viscosidad cinemática. m2/s; frecuencia de r, ref radiación reflejada
radiación, s-1 rad radiación
p densidad de masa, kg/mJ: reflectividad S condiciones solares
cr constante de Stefan-Bolizmann; . V condiciones de superficie; propiedades
conductividad eléctrica. 1 /íl • m; de sólido
esfuerzo viscoso normal, N/m2; tensión sat condiciones saturadas
superficial. N/m: razón del área de la sky cond» ones de cielo
sección transversal mínima al área sur alrededores
frontal del intercambiador de calor i térmico
cl> función de disipación viscosa, s 2 tr transmitido
</> ángulo acimutal, rad V condiciones de vapor saturado
«// función de corriente, nr/s X condiciones locales sobre una superficie
r esfuerzo cortante. N/m2: transmisividad A espectral
O) ángulo sólido, sr c c condiciones de corriente libre'
Subíndices Supe índices
A.B especies en una mezcla binaria l cantidad fluctuante
abs absorbido * promedio molar: cantidad sin dimensiones
ain media aritmética
b base de una superficie extendida: cuerpo Barra superior
negro — condiciones promedio de superficie: medi¡
c sección transversal: concentración; fluido temporal
CAPITULO 1
Introducción
Capítulo 1 ■ Introducción
D el estudio de la term odinám ica usted aprendió que la energía se puede transferir
mediante las interacciones de un sistem a con su alrededor, listas interacciones se deno
minan ti ahajo y calor. Sin em bargo, la term odinám ica trata de los estados finales del
proceso durante el cual ocurre una interacción y no proporciona inform ación alguna
con respecto a la naturaleza de esta interacción o la rapidez con la que esta se produce.
til objetivo de este texto es am pliar el análisis termodinámica) a través del estudio
de los modos de transferencia de calor y por medio del desarrollo de relaciones m ate
m áticas para calcular velocidades de transferencia de calor, En este capitulo sentam os
las bases de gran parte del material que se trata en el texto Lo hacem os form ulando
varias preguntas. ¿Que es la transferencia de talor? ¿Como se transfiere este ? ¿Por
qué es importante su estudio? Al contestar a estas preguntas, com enzarem os a valorar
los m ecanism os físicos que son el fundam ento de los procesos de transferencia de calor
\ la relevancia de estos procesos para los problem as industriales y am bientales.
1.1
¿Q ue y c ó m o ?
Una definición sencilla, aunque general, da respuesta suficiente a la pregunta: ¿Qué es
la transferencia de calor?
Transferem iü de calor (o < olor) es la energía en tránsito debido a una diferem ¡a
de temperaturas.
Siem pre que exista una diferencia de tem peraturas en un cuerpo o entre cuerpos, debe
ocurrir una transferencia de calor
Según se m uestra en la figura 1.1, nos referim os a los diferentes tipos de procesos
de transferencia de calor com o modos. Cuando existe un gradiente de tem peratura en
un medio estacionario — que puede ser un sólido o un Huido— utilizam os el térm ino
conducción para referim os a la transferencia de calor que se producirá a través del me
dio En cam bio, el térm ino co m ed ión se refiere a la transferencia de calor que ocurrirá
entre una superficie y un Huido en movim iento cuando están a diferentes temperaturas.
I I tercer modo de transferencia de calor se denom ina radiación térmica Todas las su
perficies con tem peratura finita emiten energía en forma de ondas electrom agnéticas.
Por tanto, en ausencia de un medio, existe una transferencia neta de calor por radiación
entre dos supeilidies a diferentes temperaturas
Conducción a través de un
sólido o un fluido estacionario
Convección de una superficie
a un fluido en movimiento
Intercambio neto de calor por
radiación entre dos superficies
T\
1
11 > /
1
T j
T, 1
Fluido en movimiento,
^ - Superficie, Ti
\ \ T * Superficie, T2
F l t . l 1C V 1 . 1 M o d o s d e I r a n s f e r r .m ia d o c a l o r < o m l u c r i ó n , c o n v » (< m u v r a d i a c i ó n
1 .2 ■ Orígenes físicos y modelos 3
1.2
Orígenes físicos y modelos
Como ingenieros es importante que entendam os los mecanismos físicos que sirven de
base a los modos de transferencia de calor y seamos capaces de usar los modelos que
proporcionan la cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo
I.2 .I Conducción
A la mención de la palabra conducción debemos evocar de inmediato conceptos de ac
tividad atómica y molecular, pues hay procesos en estos niveles que sustentan este mo
do de transferencia de calor. La conducción se considera como la transferencia de
energía de las partículas más energéticas a las menos energéticas de una sustancia debi
do a las interacciones entre las mismas.
El mecanismo físico de conducción se explica más fácilmente considerando un
gas y usando ideas que le sean familiares, propias de su experiencia en termodinámica
Piense en un gas en el que existe un gradiente de temperatura y suponga que no hay
movimiento global. El gas puede ocupar el espacio entre dos superficies que se mantie
nen a diferentes temperaturas, como se muestra en la figura 1 2 Asociamos la tempera
tura en cualquier punto con la energía de las moléculas del gas en la proximidad del
punto. Esta energía esta relacionada con el movimiento traslacional aleatorio, asi como
con los movimientos internos de rotación y vibración de las moléculas.
Las temperaturas más altas se asocian con las energías moleculares mas altas y,
cuando las moléculas vecinas chocan, com o lo hacen constantemente, debe ocurrir una
transferencia de energía de las moléculas más energéticas a las menos energéticas En
presencia de un gradiente de temperatura, la transferencia de energía por conducción
debe ocurrir entonces en la dirección de la temperatura decreciente Esta transferencia
es evidente en la figura 1.2. Las moléculas, procedentes de arriba y de abajo, cruzan
constantem ente el plano hipotético en x0 gracias a su movimiento aleatorio. Sin em
bargo, las moléculas de arriba están asociadas con una temperatura mayor que la que
tienen las de abajo, en cuyo caso debe haber una transferencia neta de energía en la di
rección positiva de v Se habla de la transferencia neta de energía debida al m ovim ien
to molecular aleatorio como una difusión de energía.
f l l . l HA J .2 Asociación de la trans erenria de c alor por conducción con la dilusión de energía
debida ti la actividad molecular.
4 Capítulo 1 ■ Introducción
Flírl ka 1.3
Transferencia
unidimensional de calor
por conducción (difusión
«le energía).
La situación es muy sim ilar en los líquidos, aunque las moléculas están menos es
paciadas y las interacciones moleculares son mas fuertes y frecuentes. De igual mane
ra. en un sólido, la conducción se atribuye a la actividad atómica en forma de
vibraciones reticulares. El punto de vista moderno es atribuir la transferencia de ener
gía a ondas reticulares inducidas por el movimiento atómico.En un no conductor, la
transferencia de energía se da exclusivamente por la vía de estas ondas reticulares; en
un conductor, la transferencia de energía también se debe al m ovim iento de traslación
de los electrones libres. Las importantes propiedades asociadas con los fenómenos de
la conducción se analizan en el capitulo 2 y en el apéndice A.
Los ejemplos de transferencia de calor por conducción son innumerables. El extre
mo expuesto de una cuchara metálica introducida súbitamente en una taza de café ca
llente se calentará debido a la conducción de energía a través de la cuchara. En un día
invernal hay una perdida significativa de energía de una habitación caliente hacia el ex
terior, esta pérdida se debe principalmente a la transferencia de calor por conducción a
través de la pared que separa el aire de la habitación del aire exterior.
Es posible cuantificar los procesos de transferencia de calor en términos de las
ecuaciones o modelos apropiados. Estas ecuaciones o modelos sirven para calcular la
cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo. Para la conducción de ca
lor, la ecuación o modelo se conoce com o ley de Fourier. Para la pared plana unidi
mensional que se muestra en la figura 1.3. la cual tiene una distribución de temperatura
T(x), la ecuación o m odelo se expresa como
El flujo de calor o transferencia de calor por unidad de úrea q"x (W/m ) es la velocidad
con que se transfiere el calor en la dirección x por área unitaria perpendicular a la d i
rección de transferencia, y es proporcional al gradiente de temperatura, cííldx en esta
dirección. La constante de proporcionalidad, k, es una propiedad de transporte conoci
da como conductividad térmica (W/m • K) y es una característica del material de la pa
red. El signo menos es una consecuencia del hecho de que el calor se transfiere en la
dirección de la temperatura decreciente En las condiciones de estado estable que se
muestran en la figura 1 .3, donde la distribución de temperatura es lineal, el gradiente
de temperatura se expresa como
dT T2 - Tx
dx L
y el flujo de calor entonces es
7 2 - 7 ,
o
7i ~ 7o AT
a" — k — = k — ( 1 .2 )
L L
Observe que esta ecuación proporciona un flujo de calor, es decir, la velocidad del ca
lor transferido por unidad de úrea. El calor transferido por conducción por unidad de
tiempo, <yv(W), a través de una pared plana de área A. es entonces el producto del flujo
y el área, qx = q”x • A.
E je m p l o 1 .1
La pared de un horno industrial se construye con ladrillo de arcilla refractaria de 0.15 m
de espesor que tiene una conductividad térmica de 1.7 W/m • K. Mediciones realizadas
1 J2 ■ Orígenes físicos y modelos 5
durante la operación en estado estable revelan temperaturas de 1400 y 1150 K en las
superficies interna y externa, respectivamente. ¿Cuál es la velocidad de pérdida de calor
a través de una pared que tiene 0.5 m por 3 m de lado?
SOU C.IÓN
S e c o n o c e : Condiciones de estado estable con espesor de pared, área, conductivi
dad térm ica y tem peraturas superficiales preestablecidas.
E n co n tra r : Pérdida de calor por la pared.
E sq u e m a :
S u p o s ic io n es :
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción unidimensional a través de la pared.
3. Conductividad térmica constante.
Análisis: Com o la transferencia de calor a través de la pared se realiza por conduc
ción, el flujo de calor se determina a partir de la ley de Fourier. Al usar la ecuación 1.2,
tenemos
AT 250 K
q" = k - — = \ . l W/m • K X — = 2833 W/m2
L 0.15 m
El flujo de calor representa la velocidad de transferencia de calor a través de una sec
ción de área unitaria. La pérdida de calor de la pared es entonces
qx = CH W ) q"x = (0.5 m X 3 0 m) 2833 W/m2 = 4250 W <¡
C o m en ta r io s : Note la dirección del flujo de calor y la distinción entre flujo de calor
y velocidad de transferencia de calor.
1.2.2 Coiiv eceión
El modo de transferencia de calor por convección se compone de dos mecanismos.
Ademas de la transferencia de energía debida al movimiento molecular aleatorio (difu
sión), la energía también se transfiere mediante el movimiento global, o macroscópico
del fluido. El movimiento del fluido se asocia con el hecho de que, en cualquier instan
te, grandes números de moléculas se mueven de forma colectiva o como agregados. Tal
Capítulo 1 ■ Introducción
-► h(v) Superficie L
calentada
Distribución
de temperatura
T(v)
F m ; i k a 1 . 1
Desarrollo de la capa límite en la
transferencia de calor por convección.
movimiento, en presencia de un gradiente de temperatura, contribuye a la transferencia
de calor. Como las moléculas en el agregado mantienen su movimiento aleatorio, lac / w
transferencia total de calor se debe entonces a una superposición de transporte de ener
gía por el movim iento aleatorio de las moléculas y por el movimiento global del fluido
Se acostumbra utilizar el térm ino convección cuando se hace referencia a este transpor
te acumulado y el término advección cuando se habla del transporte debido al movi
miento volumétrico del fluido
Estamos especialm ente interesados en la transferencia de calor por convección que
ocurre entre un fluido en movimiento y una superficie limitante cuando estos tienen di
ferentes temperaturas. Considere el flujo del fluido sobre la superficie calentada de la
figura 1.4. Una consecuencia de la interacción fluido-superficie es el desarrollo de una
región en el fluido en la que la velocidad varía de cero en la superficie a un valor finito
«oo asociado con el flujo. Esta región del fluido se conoce como capa limite hidrodiná
mica o de velocidad. Mas aún, si las temperaturas de la superficie y del fluido difieren,
habrá una región del fluido a través de la cual la tem peratura varía de Ts en y = 0 a 7 X
en el flujo exterior. Esta región, denom inada capa límite térmica, puede ser más peque
ña, más grande o del mismo tamaño que aquella en la que varía la velocidad. En cual
quier caso, si T. > 7 X, ocurrirá la transferencia de calor por convección entre la
superficie y el flujo exterior.
El modo de transferencia de calor por convección se sustenta tanto en el movi
m iento molecular aleatorio como en el m ovim iento volumétrico del fluido en la capa
limite. La contribución debida al movim iento molecular aleatorio (difusión) domina
cerca de la superficie donde la velocidad del fluido es baja. De hecho, en la interfaz en
tre la superficie y el fluido (y = 0 ), la velocidad del fluido es cero y el calor se transfie
re sólo por este mecanismo. La contribución debida al movimiento volumétrico del
fluido se origina del hecho de que la capa limite crece a medida que el flujo avanza en
la dirección ,v. En efecto, el calor que se conduce en esta capa es arrastrado corriente
abajo y finalmente se transfiere al fluido fuera de la capa límite. La apreciación de los
fenómenos de la capa limite es esencial para la comprensión de la transferencia de ca
lor por convección Es por esta razón que la disciplina de la mecánica de fluidos desem
peñará un papel vital en nuestro análisis posterior de la convección
La transferencia de calor por convección se clasifica de acuerdo con la naturaleza
del flujo. Hablamos de convección forzada cuando el flujo es causado por medios ex
ternos, como un ventilador, una bomba o vientos atmosféricos. Como ejemplo, consi
dérese el uso de un ventilador para proporcionar enfriamiento por aire mediante
convección forzada de los com ponentes eléctricos calientes sobre un arreglo de tarjetas
de circuitos impresos (figura 1.5a). En cambio, en la convección libre (o natural) el
flujo es inducido por fuerzas de em puje que surgen a partir de diferencias de densidad
ocasionadas por variaciones de temperatura en el fluido. Un ejemplo es la transferencia
de calor por convección libre, que ocurre a partir de com ponentes calientes sobie un
1 .2 ■ Orígenes jísiros y modelos
Flujo
forzado Aire
►
►
►
/
-►
-►
(</>
Flujo inducidopor empuje
Componentes
calientes de
tarjetas de
circuitos
impresos
ib)
Burbujas
de vapor
(<)
Agua
fría
Agua
Placa caliente un
M i l
I* I d It \ l . . i l>i'(H't,Mi>> de l i a i i x I n c m L i de eaK ir por c o iu v c r ió n . («) C u n v e cc ió u (or/ada.
(/>) C o n v e c c ió n n a l m a l . (< ) Kbnl l ic ió i i . (</) C o n d en sac ió n .
arreglo vertical de tarjetas de circuitos en aire inmóvil (figura 1.5h). El aire que hace
contacto con los com ponentes experimenta un aumento de temperatura y, en conse
cuencia, una reducción en su densidad. Com o ahora es más ligero que el aire de los al
rededores, las fuerzas de empuje inducen un movimiento vertical por el que el aire
caliente que asciende de las tarjetas es reemplazado por un flujo de entrada de aire am
biental más frío.
Aunque supusimos convección forzada pura en la hgura 1.5c/ y convección natu
ral pura en la figura 1.5/;, pueden existir las condiciones correspondientes a convec
ción mezclada (com binada) forzada y convección natural. Por ejemplo, si las
velocidades asociadas con el flujo de la figura 1.5c/ son pequeñas y/o las fuerzas de em
puje son grandes, sería posible inducir un flujo secundario comparable al flujo forzado
impuesto. El flujo de empuje inducido sería normal para el flujo forzado y tendría un
efecto significativo sobre la transferencia de calor por convección a partir de los com
ponentes. En la figura 1.5/; habría convección mezclada si >>e usara un ventilador para
forzar aire hacia arriba a través de las tarjetas de circuitos, ayudando con ello al flujo
de empuje, o hacia abajo, oponiéndose a dicho flujo
Hemos descrito el modo de transferencia de calor por convección como la transfe
rencia de energía que ocurre dentro de un fluido debido a los efectos combinados de
conducción y movimiento global del fluido. Por lo general, la energía que se transfiere
es la energía sensible o energía térmica interna del fluido. Sin embargo, hay procesos
de convección en los que existe, ademas, intercambio de calor ¡atente. Éste generalmente
se asocia con un cambio de fase entre los estados líquido y vapor del fluido. Dos
casos especiales de interés en este texto son la ebullición y la condensac ióm. Por ejem
plo, la transferencia de calor por convección resulta del movimiento de Huido inducido
por las burbujas de vapor generadas en el fondo de una cacerola en la que se está hir
viendo agua (figura 1.5c) o por la condensación de vapor de agua sobre la superficie
externa de una tubería de agua fría (figura 1.5J).
Capítulo 1 ■ Inirtulitecián
1 UtLA 1 .1 V a lo res típicos di 1 t oefk lente
de UansliTcucia de calor por convección
Proceso
/»
(VV/in2 • k)
Convección libre
Gases 2-25
Líquidos 50-1000
Convección forzada
Gases 25-250
Líquidos 50-20 000
Convección con cam bio de tase
Ebullición o condensación 2500-100,000
Sin im portar la naturaleza particular del proceso de transferencia de calor por convec
ción. la ecuación o m odelo apropiado es de la form a
<y" = //CT - T , ) (1 3a)
donde q '. el Jlujo di t olor por convección (\V n r ) , es proporcional a la diferencia entre
las tem peraturas de la superficie y del Huido, Ts y loa. respectivamente, lista expresión
se conoce com o la ley de enfriamiento de New ton. y la constante de proporcionalidad h
(W /m • k ) se denom ina coeficiente de transferencia de calor por convección. í s te de
pende de las condiciones en la capa limite, en las que influyen la geom etría de la super
ficie. la naturaleza del movim iento del fluido y una variedad de propiedades
term odinám icas del fluido v de transporte.
Cualquier estudio de convección se reduce finalmente a un estudio de los m edios
por los que es posible determ inar h Aunque la consideración de estos medios se difie
re para el capítulo 6 , la transferencia de calor por convección con frecuencia aparecerá
com o una condición de frontera en la solución de problem as de conducción (capítulos
2 a 5). En la solución de este tipo de problem as suponem os que se conoce h, con el uso
de los v alores típicos que se dan en la tabla 1 . 1 .
Cuando se usa la ecuación 1 3a. se supone que el flujo de calor por convección es
positivo si el calor se transfiere desde la superficie (Ts > TJ) y negativo si el calor se
transfiere liana la superficie (T > Ts) Sin em bargo. s \T oc> ¡ . no hay nada que nos
im pida expresar la le> de enfriam iento de New ton com o
</" = />( (1.3b)
en cuyo caso la transferencia de calor es positiva si es hacia la superficie.
Radiación
La radiación térm ica es la energía emitida por la m ateria que se encuentra a una tem
peratura finita. Aunque centrarem os nuestra atención en la radiación de superficies
sólidas, esta radiación tam bién puede provenir de líquidos y gases. Sin im portar la for
ma de la m ateria, la radiación se puede atribuir a cam bios en las configuraciones elec
trónicas de los átom os o m oléculas constitutivos. I a energía del cam po de radiación
es transportada por ondas electrom agnéticas (o alternativam ente, fotones). M ientras la
transferencia de energía por conducción o por convección requiere la presencia de un
1 *2 ■ Orígenes físicos y modelos 9
m edio material, la radiación no lo precisa. De hecho, la transferencia de radiación
ocurre de m anera más eficiente en el vacío
Considere los procesos de transferencia de radiación para la superficie de la figura
1 6a. La radiación que la superficie emite se origina a partir de la energía térmica de la
materia lim itada por la superficie, y la velocidad a la que libera energía por unidad de
área (W /m 2) se denom ina la potencia emisiva superficial E. Hay un limite superior pa
ra la potencia emisiva, que es establecida por la ley de Stefcin-Boltzmann
Eb = oT ? (1 4)
donde Tx es la temperatura absoluta (K) de la superficie y cr es la constante de Stefan
Boltzmann (cr = 5.67 X 10“ 8 W /m 2 • K4). Dicha superficie se llama radiador ideal o
cuei po negro.
El flujo de calor em itido por una superficie real es menor que el de un cuerpo ne
gro a la misma temperatura y esta dado por
E — e o T * (1.5)
donde f e s una propiedad radiativa de la superficie denom inada emisividad. Con valo
res en el rango 0 < e < 1 . esta propiedad proporciona una medida de la eficiencia con
que una superficie emite energía en relación con un cuerpo negro. Esto depende marca
dam ente del material de la superficie y del acabado; en la tabla A .l 1 se proporcionan
valores representativos.
La radiación también puede incidir sobre una superficie desde sus alrededores La
radiación se origina desde una fuente especial, como el sol, o de otras superficies a las
que se expone la superficie de interés. Sin tener en cuenta la fuente, designamos la ve
locidad a la que toda esa radiación incide sobre un área unitaria de la superficie como
la irradiación G (figura 1 .6a)
Una parte de la irradiación, o toda, tal vez sea absorbida por la superficie, y así se
incrementaría la energía térmica del material La velocidad a la que la energía radiante
es absorbida por área superficial unitaria se evalúa a partir del conocimiento de una
propiedad adiali va de la superficie denom inada ahsortividad a Es decir,
âbs OcG (16)
donde 0 < o; < 1. Si a < 1 y la superficie es opaca, partes de la irradiación se reflejan.
Si la superficie es semitransparente, partes de la irradiación también se transmiten. Sin
Gas
TK.h
Superficie con emisividad
e. absortividad a, y
temperatura l s
(a)
Superficie con emisividad
e = a, área A y
temperatura Ts
(b)
Fim K A 1 . 6 Intercambio de radiación: («) en la superficie, y (b) entre una superficie y sus alrededores
Capítulo 1 ■ Introducción
em bargo, m ientras la radiación absorbida y em itida aum enta y dism inuye, respectiva
mente. la energía térm ica de la materia, la radiación reflejada y transm itida no tiene
ningún efecto sobre esta energía. Advierta que el valor de a depende de la naturaleza
de la irradiación asícom o de la superficie misma. Por ejem plo, la fibsortividad de una
superficie en cuanto a la radiación solar e s diferente de su absortividad a la radiación
em itida por las paredes de un hom o.
Un caso especial que ocurre con frecuencia implica el intercam bio de radiación
entre una superficie pequeña a Ts y una superficie isotérm ica m ucho mas grande que
rodea por com pleto a la pequeña (figura 1 6b). Los alrededores podrían ser, por ejem
plo. las paredes de un cuarto o un hom o cuya tem peratura ! ah es diferente de la de una
superficie rodeada (7*alr =f T j . M ostrarem os en el capítulo 12 que, para tal condición, la
irradiación se aproxim a con la em isión de un cuerpo negro a T ir. caso en el que G =
trTi|r . Si se supone que la superficie es tal que a = f (superficie gris), la velocidad ne
to de transferencia de calor por radiación desde la superficie, expresada por unidad de
área de la superficie, es
‘/rLd = t = e £ b ( ~ < x G = etrf/’J - 7 J,r) ( 17)
Esta expresión proporciona la diferencia entre la energía térm ica que se libera debido a
la em isión por radiación y la que se gana debido a la absorción de radiación.
Hay m uchas aplicaciones para las que es conveniente expresar el intercam bio neto
de calor por radiación en la forma
<7r;.d = \ A ( T S - 7’alr) (1.8)
donde, de la ecuación 1.7. el coeficiente de transferencia de calvi por radiac ión h es
l,r = e a a , + ralrX7\> + Ti,) (1.9)
Aquí m odelam os el modo de radiación de forma sim ilar a la convección. En este senti
do linealizamos la ecuación de la velocidad de radiación, haciéndola proporcional a la
diferencia de tem peraturas en lugar de a la diferencia entre dos tem peraturas a la cuar
ta potencia. O bserve, sin em bargo, que hr depende m arcadam ente de la tem peratura,
m ientras que la dependencia de la tem peratura del coeficiente de transferencia de calor
por convección h es por lo general débil.
Las superficies de la figura 1 6 tam bién pueden transferir sim ultáneam ente calor
por convección a un gas contiguo. Para las condiciones de la figura I 6h, la velocidad
total de transferencia de calor desde la superficie es entonces
q = <7coi,v + </rad “ hA(Ts - /* ) + sA o iT \ - 7 4alr) ( 110)
K j i m i m o 1 . 2
Una tubería de vapor sin aislam iento pasa a través de un cuarto en el que el aire y las
paredes están a 25 C. El diám etro exterior de la tubería es 70 nuil, y la tem peratura su
perficial y em isividad son 200°C y 0.8, respectivam ente. ¿Cuánto vale la potencia em i-
siva de la superficie y la irradiación? Si el coeficiente asociado con la transferencia de
calor por convección libre de la superficie al aire es 15 W /n r • K. ¿cuál es la velocidad
de pérdida de calor de la superficie por unidad de longitud de la tubería?
12 Capítulo I ■ introducción
1 órn en la rio*:
1. Note que la tem peratura puede expresarse en unidades de °C u K cuando se evalúa
la diferencia de tem peratura para una velocidad de transferencia de calor por con
vección (o conducción). Sin em bargo, la tem peratura debe expresarse en Kclvin
(K) cuando se evalúa una velocidad de transferencia de calor por radiación.
2 . Hn esta situación las velocidades de transferencia de calor por radiación y convec
ción son com parables, pues Ts es grande com parada con T-aln y el coeficiente aso
ciado con la convección libre es pequeño Para valores más moderados de Ts y
valores tna>ores de /; asociados con la convección forzada, el efecto de la radia
ción a menudo se deja de lado. El coeficiente de transferencia de calor por radiación
se calcula a partir de la ecuación 1.9. > para las condiciones de este problem a su
valor es // = 1 1 W /m 2 • k .
1 . 2 . 1 Relación con la temiodimímica
En este punto es conveniente notar las diferencias fundamentales entre transferencia de
calor y termodinámica. Aunque la termodinám ica trata de la interacción del calor y del
papel vital que ésta desem peña en la prim era y segunda leyes, no considera los mecanis
mos que realizan el intercambio de calor ni los métodos que existen para calcular la u -
lot ¡dad de este intercambio. La termodinám ica trata de estados en equilibrio de la
materia, donde un estado de equilibrio necesariamente excluye la existencia de un gra
diente de temperatura. Aunque la termodinám ica sirve para determinar la cantidad
de energía que se requiere en forma de calor para que un sistema pase de un estado de
equilibrio a otro, no reconoce que la trans/ciencia de calor es inherentemente un proce
so de no equilibrio. Para que ocurra la transferencia de calor, debe haber un gradiente de
temperatura, es decir, un desequilibrio termodinámico. La disciplina de la transferencia
de calor busca llevar a cabo lo que la termodinámica es intrínsecamente incapaz de ha
ccr, esto es, cuantificar la velocidad a la que ocurre la transferencia de calor en términos
del grado de desequilibrio térmico Esto se lleva a cabo a través de las ecuaciones o m o
delos para los tres modos, expresadas, por ejemplo, por las ecuaciones 1.2, 1.3 y 1.7.
1 .3
Requerimiento de con sensación de lo energía
Los temas de la term odinám ica y de la transferencia de calor son sum am ente com ple
mentarios. Por ejem plo, com o la prim era trata la veloc idad a la que se transfiere calor,
el tema de la transferencia de calor se considera una extensión de la termodinámica. A
su vez, para muchos problem as de transferencia de calor, la primera ley de la termodi
námica (ley de com en ación de la energía) proporciona una herramienta útil, a menudo
esencial En previsión de este tipo de problem as se obtendrán ahora las formulaciones
generales de la prim era ley.
1.3.1 Conservación de la energía para un volumen de control
Para aplicar la prim era ley. necesitamos prim ero identificar el volumen de control. una
región de espacio limitada por una superficie de control a través de la cual pueden pasar
la energía y la m ateria Una vez que se identifica el volumen de control, debe especifi
carse una base temporal adecuada Hay dos opciones Com o la primera ley debe satis-
1 -3 ■ Requerimiento de conservación de la energía 1 3
facerse en todos y cada uno de los instantes de tiempo /. una opcion implica formular la
ley sobre una base de velocidades, es decir, en cualquier instante debe haber un balan
ce entre todas las velocidades de energía medidas en joules por segundo (W) De mane
ra alternativa, la primera ley también debe satisfacerse sobre cualquier intervale de
tiempo Ar Para este intervalo tiene que existir un balance entre las cantidades de todos
los cambios de energía, medidos en joules
De acuerdo con la base temporal, las formulaciones de la primera ley más conve
nientes para el análisis de transferencia de calor se expresan como sigue.
En tui Instante (í)
La velocidad a la que la energía térmica \ mecánica ingresa en un volumen de
control, más la velocidad a la que se genera energía térmica dentro del volumen
de control menos la t elocidad a la que sale energía térmic a y mee cínica del volu
men de control debe ser igual a la velocidad de incremento de la energía almace
nada dentro del \ olumen de control
Fn un intervalo de tiempo (Af)
La cantidad de energía térmica y mecánica que ingresa en un volumen de con
trol más la cantidad de energía térmica que se genera dentro del volumen de
control, menos la cantidad de energía térmica s mecánica que sale del volumen
de con ti o! debe ser igual al incremento en la cantidad de energía almacenada en
el volumen de control.
Si el flujo entrante y la generación de energía exceden al flujo saliente habrá un aum en
to en la cantidad de energía alm acenada (acum ulada) en el volumen de control, si
ocurre lo contrario, habra una dism inución en el alm acenam iento de energía Si el flu
jo entrante y la generación de energía igualan al flu]o de salida, debe prevalecer una
condición de estado estable en la que no habrá cambio en la cantidad de energía alm a
cenada en el volumende control
Considérese la aplicación de la conservación de la energía al volumen de control
que se muestra en la figura 17 El primer paso es identificar la superficie de control tra
zando una linea punteada. El siguiente es identificar los términos de energía. En un ins
tante. estos términos incluyen la velocidad a la que la energía térmica y mecánica entra
■ •
y sale a través de la superficie de control, Ecn[ y £ sa!c. También es posible generar ener
gía térmica dentro del volumen de control debido a la conversión de otras formas de
energía Nos referimos a este proceso como gene i ación de energía, y la velocidad a la
que ocurre se denomina E La velocidad de cambio de la energía almacenada dentro
del volumen de control, dEA\m/dt. se designa É a)m. Una forma general del requerimiento
de conservación de la energía se expresa entonces en una base de \ eloc uladc s como
( I l l a )
/ii—►
\
\\ Fn a u tA 1 . 7
\ Conservación de la energía para
un volumen de control. Aplicación
a un instante.
Capítulo 1 ■ Introducción
La ecuación 1.11a se aplica en cualquier instante de tiempo, l^a forma alternativa
que se aplica para un intervalo de tiempo At se obtiene integrando la ecuación 1 . 1 1 a
sobre el tiempo:
£ em + Eg - £ sale = A £n]m (1 1 1 b)
Expresada en palabras, esta relación indica que las cantidades del flujo de entrada y ge
neración de energía actúan para incrementar la cantidad de energía almacenada dentro
del volumen de control, mientras que el flujo saliente actúa para dism inuir la energía
almacenada.
Los términos de flujo de entrada y de salida son fenómenos de superficie. Es decir,
se asocian exclusivam ente con procesos que ocurren en la superficie de control y son
proporcionales al área de la superficie. Una situación común com prende los flujos de
entrada y de salida debido a la transferencia de calor por conducción, convección y/o
radiación. En situaciones que abarcan un flujo de fluido a través de la superficie de
control, los términos también incluyen energía transmitida con la m ateria que entra y
sale del volumen de control, bsta energía puede estar compuesta de las formas interna,
cinética y potencial. Los términos del flujo de entrada y de salida también incluyen in
teracciones de trabajo que ocurren en las fronteras del sistema.
El término generación de energía se asocia con la conversión de otra forma de
energía (química, eléctrica, electromagnética o nuclear) a energía térmica. Es un fenó
meno volumétrico. Es decir, ocurre dentro del volumen de control y es proporcional a
la magnitud de su volumen. Por ejemplo, al convertir energía química a térmica tal vez
ocurra una reacción quím ica exotérmica. El efecto neto es un aumento en la energía
térmica de la materia dentro del volumen de control. Otra fuente de energía térmica es
la conversión de energía eléctrica que ocurre debido al calentamiento de la resistencia
cuando se hace pasar una corriente eléctrica por un conductor. Es decir, si una corrien
te eléctrica / pasa a través de una resistencia R en el volumen de control, se disipa
energía eléctrica a una razón de / R. que corresponde a la velocidad a la que se genera
(libera) energía térmica dentro del volumen. Aunque es posible tratar alternativamente
este proceso com o uno en el que se realiza trabajo eléctrico sobre el sistema (flujo en
trante de energía), el efecto neto sigue siendo la creación de energía térmica.
El almacenam iento de energía es también un fenómeno volumétrico y los cambios
dentro del volumen de control se deberán a cambios en las energías interna, cinética y/o
potencial de su contenido. En consecuencia, para un intervalo de tiempo, Ar, el término
de almacenamiento de la ecuación 1.11b. A £a)m, se puede igualar a la suma, AU +
AKE + APE. El cambio en la energía interna, A i/, consiste en un componente sensible
o térmico, que explica los movimientos traslacional, rotacional y vibracional de los áto
mos y moléculas que componen la materia; un componente latente, que relaciona las
fuerzas intermoleculares que influyen en el cambio de fase entre los estados sólido, lí
quido y vapor; un componente químico, que explica la cncigia almacenada en las unio
nes químicas entre átomos; y un componente nuclear, que explica las fuerzas de unión
en el núcleo del átomo.
En todas las aplicaciones de interés en este texto, si existen efectos químicos o nu
cleares, éstos se tratan com o fuentes de energía térmica y por ello se incluyen en los
términos de generación, antes que en los de almacenamiento, de las ecuaciones 1 . 1 la y
1.11b. Además, los efectos de energía latente sólo necesitan considerarse si hay un
cambio de fase como, por ejemplo, de sólido a líquido (fusión) o de líquido a vapor
(vaporización, evaporación. ebullición). En estos casos, la energía latente aumenta. Por
el contrario, si el cambio de fase es de vapor a líquido (condensación) o de líquido a
sólido (solidificación. congelación), la energía latente disminuye. Por tanto, si los efee-
I .«t ■ Requerimiento de conservación de la energía 15
UD
m
(u.pv.Y ) \v
► m
(m pi V)0
Altitud de referenc a
K l(.t HA l . f t ( «msrrvarión df la «•m-rgía: («) aplicación a un sistema cerrado en un intervalo de
licmpn. \ (b) aplicación a un sistema abirrto de flujo *->lal>li* en un instante.
tos de la energía cinética y potencial se pueden dejar de lado, com o casi siem pre es el
caso en el análisis de la transferencia de calor, los cam bios en el alm acenam iento de
energía se deben sólo a cam bios en las energías térm ica interna y/o. en el caso de un
cam bio de tase, en la*» energías latentes f A/ia)m = AU = AV, + A r/lal).
1 -as ecuaciones 1 l i a y 1 1 1 b sirven para desarrollar formas más específicas del
requerim iento de conservación de la energía, que incluyen las exigencias consideradas
anteriorm ente en su estudio de la term odinám ica. Considere un sistema cerrado de mu
sa fija (figura 1 .8o). a través de cuyos lím ites la energía es transferida por las interac
ciones de calor y trabajo. Si en un intervalo de tiem po A/ se transfiere calor al sistema
en la cantidad Q (flujo de entrada de energía), el sistem a realiza trabajo en la cantidad
U (flujo saliente de energía), no ocurre conversión de energía dentro del sistem a (E =
ü) y los cam bios de energía cinética y potencial son insignificantes. Ui ecuación 1 1 1 b
se reduce a
Q — \V — A i/ (1.11c)
Id térm ino de trabajo VI se deberá al desplazam iento de una frontera, un eje rotatorio
v/o a efectos electrom agnéticos. De form a alternativa, en un instante, el requerim iento
de conserv ación de la energía es
d ü
q — \V — —— (1.1 Id)
dt
I a otra form a del requerim iento de conservación de la energía con el que ya esta
fam iliarizado pertenece a un sistema abierto (figura 1.8/?). donde el flujo de masa pro
porciona el transporte de energía interna, cinética y potencial hacia dentro y fuera del
sistem a. En tales casos, es habitual dividir el intercam bio de la energía en forma de tra
bajo en dos contribuciones La prim era contribución, denom inada trabajo de fhi/o, se
asocia con el trabajo realizado por fuerzas de presión que mueven el Huido a través de
las fronteras del sistem a Para una masa unitaria, la cantidad de trabajo es equivalente
al producto de la presión por el volumen específico del Huido (jw). Respecto a todos
los otros trabajos se supone que los realizo el sistem a ) se incluyen en el térm ino \V.
De aquí, si se supone que se transferirá calor al sistema, no ocurre conversión de ener-
m
gía dentro de éste, y la operación se encuentra en condiciones de estado estable f 'a|m =
0 ), la ecuación 1 1 la se reduce a la siguiente form a de la ecuación de energía de flujo
estable:
Capítulo 1 ■ Introducción
La suma de la energía interna y del trabajo de llujo se puede, por supuesto, reemplazar
por la entalpia, i — it + pv.
E je m p l o 1 .3
Una varilla larga de diámetro D y resistencia eléctrica por unidad de longitud R'ese en
cuentra inicialmcnte en equilibrio térmico con el aire del am biente y sus alrededores.
Este equilibrio se altera cuando una corriente eléctrica I pasa a través de la varilla. De
sarrolle una ecuación que sirva para calcular la variación de la temperatura de la varilla
con respecto al tiem po en que pasa la corriente.
S o n riÓN
Se conoce: La temperatura de una varilla de diámetro conocido y los cambios en
la resistencia eléctrica con el tiempo debido al paso de una corriente eléctrica.
E n con trar: Ecuación que gobierna el cambio de temperatura eon el tiempo a través
de la varilla.
E squ em a:
S u p o sic ió n e s :
1. En eualquier tiempo t la temperatura de la varilla es uniforme.
2. Propiedades constantes (p, r , e = a).
3. El intercambio de radiación entre la superficie exterior de la varilla y los alrededo
res se da entre una pequeña superficie y un recipiente grande.
Antilisis: A menudo la primera ley de la termodinámica sirve para determinar una
temperatura desconocida. En este caso, los términos relevantes incluyen la transferen
cia de calor por convección y radiación desde la superficie, generación de energía debi
do al calentam iento óhm ico dentro del conductor y un cambio en la energía te m ica
almacenada. Como deseamos determ inar la razón de cambio de la temperatura, hay
que aplicar la primera ley para un instante de tiempo. Así, al aplicar la ecuación 1.11a
a un volumen de control de longitud L alrededor de la varilla, se infiere que
Ef, £jsale ^alm
donde la generación de energía se debe al calentam iento de la resistencia eléctrica
4 = l lR'cL
1 .3 ■ Requerimiento de conservarían de la energía 1 7
El calentamiento ocurre de manera uniforme dentro del volumen de control y también
puede expresarse en términos de una velocidad de generación de calor volumétrica
q (W /m ). La velocidad de generación para todo el volumen de control es entonces E
= c/V, donde q = 1 R'el(7rD2/4). El flujo saliente de energía se debe a la convección y a
la radiación neta de la superficie, ecuaciones 1.3a y 1.7, respectivamente,
¿sale = h(nDL)(T - r j + £<J í ttD L ) ( T 4 - )
y el cambio en el almacenam iento de energía se debe al cambio de temperatura,
dU, d
e ^ = t ¡t =
m
El térm ino £ aim se asocia con la velocidad de cam bio en la energía térmica interna de
la varilla, donde p y e son densidad y calor específicos, respectivamente, del material
de la varilla, y V es el volumen de la varilla, V = (ttD 2/4)L. Sustituyendo las ecuacio
nes o modelos en el balance de energía se infiere que
I 2R ' J - - h(nDL)(T- r « ) - e o { ttOL)(T- 7 <a„.) = ( ~ L
De aquí,
dT I 2R ^_- ir D h iT ^ 7*) - TrDeojT4 - T \ lr)
dt PcíttD 2I4)
C o m en ta r io s: La ecuación anterior se resuelve para la dependencia temporal de la
tem peratura de la varilla con integración numérica Finalm ente se alcanzaría una con
dición de estado estable para la cual dTldt — 0. La temperatura de la varilla se determ i
na entonces mediante una ecuación algebraica de la forma
ttDíi(T - Tx) -T ttD euíT4 - T4álr) = I 2R'C
Para condiciones ambientales fijas (/;, 7^, 7 alr). así como para una varilla de geometría
fija (D) y propiedades (e, R 'e). la temperatura depende de la velocidad de generación de
energía térmica y, por consiguiente, del valor de la com ente eléctrica Considere un
alambre de cobre sin aislam iento (D = 1 mm, e = 0.8, R'e = 0.4 fl/m ) en un recinto
relativam ente grande (7 air = 300 K) a través del cual se hace circular aire de enfria
miento (// = 100 W/m- • K, Tx = 300 K) Al sustituir estos valores en la ecuación ante
rior, se calculó la temperatura de la varilla para corrientes de operación en el rango de
0 ^ ^ l O A y s c obtuvieron los siguientes resultados:
150
125
100
o 75
t 60
50
25
4 5.2 6
/ (amperes)
Capítulo I ■ introducción
Si se establece una temperatura de operación máxima de T = 60°C por razones de se
guridad. la corriente no debe exceder 5.2 A. A esta temperatura, la transferencia de ca
lor por radiación (0.6 W /m) es mucho menor que la transferencia de calor por
convección (10.4 W/m). Por tanto, si se desea operar a una corriente mayor mientras
se mantiene la tem peratura de la varilla dentro del límite de seguridad, el coeficiente
convectivo tendría que incrementarse aum entando la velocidad del aire que circula.
Para h — 250 W /m 2 • K la corriente máxima permisible aum entaría a 8.1 A.
E jK .v im .) 1 .4
Se guarda hielo de masa M a la temperatura de fusión (T = 0°C) en una cavidad cúbi
ca de lado W. La pared de la cavidad es de espesor L y conductividad térmica k. Si la
superficie exterior de la pared está a una temperatura T x > T , obténgase una expresión
para el tiempo que se requiere para fundir por completo el hielo.
SOLI CIÓN
S e conoce: M asa y temperatura del hielo. Dimensiones, conductividad térmica y
temperatura de la superficie exterior de la pared del contenedor.
E ncontrar: Exprés ón del tiempo necesario para fundir el hielo.
E squem a:
i
Mezcla de hielo
con agua (T¿)
Sección A-A
L
“ 7-1
k
Suposiciones:
1. La superficie interna de la pared está a Tf a lo largo del proceso.
2. Propiedades constantes.
3. Conducción unidimensional en estado estable a través de cada pared.
4. El área de conducción de una pared se aprox ma a W~ (L <§ VP).
Análisis: Dado que es necesario determ inar el tiempo de fusión tm, hay que aplicar la
primera ley en el intervalo de tiempo Ar = tm. Así. al aplicar la ecuación 1.11 b a un vo
lumen de control alrededor de la mezcla hielo-agua, se infiere que
^ent ^^alm
donde el aum ento en la energía almacenada dentro del volumen de control se debe ex
clusivamente al cambio en la energía latente asociada con la conversión del estado sóli
do al líquido. Se transfiere calor al hielo por medio de la conducción a través de la
1 .3 ■ Requerimiento de conservación de lo energía 1 9
pared del contenedor y, como la diferencia de temperatura a través de la pared se supo
ne que permanece a (Ti — T ) a lo largo del proceso de fusión, la velocidad de conduc
ción en la pared es una constante
<z,x.„d = k m r-) - - l - l
y la cantidad de flujo entrante de energía es
F = tm
La cantidad de energía que se requiere para efectuar tal cambio por unidad de masa de
solido se denom ina calor latente de fusión h^. De aquí, el aumento en la energía alma
cenada es
Mhsf
Al sustituir en la expresión de la primera ley se míierc que
MhsfLt — -------- —̂-------- <1
m 6W 2k(;T, - T )
C o m e n ta r io s : Surgirían varias com plicaciones si el hielo estuviera inicialmente
subenfriado. El término de almacenam iento tendría que incluir el cambio en la energía
sensible (interna) que se requiere para llevar el hielo de la temperatura de suben fria-
miento a la de fusión. Durante este proceso, se desarrollarían gradientes de temperatu
ra en el hielo.
1.3.2 Balance ele energía en una superficie
Con frecuencia tendremos oportunidad de aplicar el requerimiento de conservación de
la energía a la superficie de un medio. En este caso especial la superficie de control no
incluye masa o volumen y aparece com o se muestra en la figura 1.9. En concordancia,
los términos de generación y almacenam iento de la expresión de conservación, ecua
ción 1 . 1 1 a, ya no son relevantes y sólo es necesario tratar con el fenómeno superficial.
Para este caso el requerimiento de conservación se convierte en
F i o i r a 1.9
Balance de energía para conservación
en la superficie de un medio.
Capítulo I ■ introducción
4 n , - 4 ue = 0 ( 1 1 2 )
Aunque la generación de energía térmica ocurriera en el medio, el proceso no afectaría
al balance de energía en la superficie de control Además, este requerimiento de con
servación es valido para las condiciones de estado estable y transitorio.
En la figura 1.9 se muestran tres formas de transferencia de calor para la superficie
de control. En una base de área unitaria, éstas son conducción desde el medio hacia lasuperficie de control (<7coiui)> convección desde la superficie hacia el fluido (<y"onv) e in
tercambio de radiación neta desde la superficie hacia los alrededores (<7^ 1). El balance
de enercia toma entonces la forma
d cond - d conv “ <?rad = 0 (1-13)
y es posible expresar cada uno de los términos con las ecuaciones o modelos adecua
dos, ecuaciones 1 2, 1.3a. y 1 7.
E j k .u p l o 1 .5
Los gases calientes de combustión de un horno se separan del aire ambiental y sus alre
dedores, que están a 25°C. mediante una pared de ladrillos de 0 15 m de espesor El la
drillo tiene una conductividad térmica de 1.2 W /m • K y una emisividad superficial de
0.8 Se mide una temperatura de la superficie externa de I00°C en condiciones de esta
do estable. La transferencia de calor por convección libre al aire contiguo a la superfi
cie se caracteriza por un coeficiente de convección de h = 20 W /m 2 • K. ¿Cuál es la
temperatura de la superficie interior del ladrillo?
S o l u c ió n
So c o n o c e : Temperatura de la superficie externa de una pared de un hom o cuyo es
pesor, conductividad y em isividad son conocidos. Condiciones ambientales.
E n co n tra r : Temperatura de la superficie interior de la pared
E sq u em a :
S u paste i on e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Transferencia de calor unidimensional por conducción a tiavés de la pared.
1 .3 ■ Requerimiento do conservación do la energía 21 '
3. El intercam bio de radiación entre la superficie externa de la pared y los alrededo
res se realiza entre una pequeña superí cié y un recinto grande.
A nálisis: l^a tem peratura de la superficie interior se obtiene llevando a cabo un ba
lance de energía en la superficie externa. De la ecuación 1.12,
F — # ? , = ( )ĉnt '-'sale
se sigue que. sobre una base de área unitaria.
// n___ _ // n*7cond */cnnv *7rad ^
o, al reacom odar y sustituir de las ecuaciones 1.2, 1.3a y 1.7.
k ^ = h(T2 - r» ) =0+ faA T \ - n , r)
Por tanto, al sustituir los valores num éricos apropiados, encontram os
1.2 W /m • K -f ' K = 20 W /m 2 * K (373 - 298) K
0 . 15 m
+ 0.8(5 67 X lO" 8 W /m 2 • K4) (3734 - 2984) K4
= 1500 W n r + 520 W /m 2 = 2020 W /m 2
Resolviendo para 7^,
T, = 373 K + — ™— (2 0 2 0 W /m 2) = 625 K = 352°C <
1 1.2 W /m • K
Coin on t a rio s:
1. A dvierta que la contribución de la radiación a la transferencia de calor de la super
ficie externa es significativa. Sin em bargo, esta contribución dism inuiría al aum en
tar h y/o dism inuir T2.
2 . C uando se usan balances de energía que incluyen intercam bio de radiación y otros
m odos, es buena práctica expresar todas las tem peraturas en grados Kelvin. Este
procedim iento es necesario cuando la tem peratura desconocida aparece en el té r
m ino de radiación y en uno o más de los otros térm inos.
1.3.3 Aplirarión «Ir las loyrs <1«* coiiiervaeinn: metodología
A dem ás de estar fam iliarizado con las ecuaciones o m odelo de transporte que se des
criben en la sección 1 .2 . el analista de la transferencia de calor debe ser capaz de traba
ja r con los requerim ientos de conservación de la energía de las ecuaciones 1 . 1 1 y 1 . 1 2 .
l a aplicación de estos balances se sim plifica si se siguen unas cuantas reglas básicas.
1. Se debe definir el volum en de control apropiado con la superficie de control repre
sentada por una línea punteada.
2. Hay que identificar la base de tiem po apropiada
2 2 Capítulo 1 ■ Introducción
3. Tienen que identificarse los procesos de energía relevantes Cada proceso ha de
mostrarse en el volumen de control mediante una flecha etiquetada en forma apro
piada.
4. Hay que escribir la ecuación de conservación, y las expresiones de flujo apropia
das deben sustituirse para los términos en la ecuación.
Es importante observar que el requerimiento de conservación de la energía se aplica a
un volumen de control finito o a un volumen de control diferencial (infinitesimal) En
el primer caso, la expresión resultante determina el com portam iento general del siste
ma. En el segundo, se obtiene una ecuación diferencial que se resuelve para condicio
nes en cada punto del sistema En el capítulo 2 se introducen volúmenes de control
diferencial, y ambos tipos de volúmenes de control se usan mucho a lo largo del texto
1 .4
Análisis de problemas de transferencia
de calor: metodología
Un objetivo principal de este texto es preparar al estudiante para resolver problemas de
ingeniería que incluyan procesos de transferencia de calor Para este lin se proporcio
nan numerosos problemas al final de cada capitulo Resolver estos problemas le perm i
tirá com prender en profundidad los fundamentos del tema y obtendrá confianza en su
capacidad para aplicar estos fundamentos a la solución de problemas de ingeniería
Para resolver problemas, recomendamos un procedimiento sistemático que se ca
racteriza por un formato establecido Empleamos de forma consistente este procedi
miento en nuestros ejemplos y pedimos a nuestros estuchantes que lo utilicen en sus
soluciones de los problemas: consiste en los siguientes pasos:
1. Se conoce. Después de leer cuidadosamente el problema, establezca breve y conci
samente lo que se conoce de éste. No repita el planteamiento del problema
2. Encomiar: Plantee de forma breve y concisa qué se debe encontrar
3. Esquema: Dibuje un esquema del sistema físico. Si prevé la aplicación de las leyes
de conservación, represente la superficie de control que se requiere mediante lí
neas punteadas sobre el esquema. Identifique los procesos de transferencia de calor
relevantes con flechas apropiadamente etiquetadas sobre el esquema.
4. Suposiciones I laga una lista de todas las suposiciones de simplificación pertinentes.
5. Propiedades: Reúna los valores de las características necesarias para los cálculos
siguientes e identifique la fuente de la que se obtienen.
6 . Análisis: Com ience el análisis aplicando las le>es de conservación apropiadas, e
introduzca las ecuaciones de flujo necesarias Desarrolle el análisis lo más com ple
to que sea posible antes de sustituir valores numéricos Ejecute los cálculos nece
sarios para obtener los resultados deseados
7. Comentarios Analice sus resultados Este análisis incluirá un resumen de conclu
siones clave, una crítica de las suposiciones originales y una inferencia de las ten
dencias obtenidas ejecutando cálculos adicionales del tipo qué sucedería si y de
sensibilidad de parameños
1.4 ■ Análisis de problemas de transferencia de calor: metodología 2 3
La importancia de seguir los pasos 1 a 4 no debe subestímense Estos proporcionan
una guía útil para estudiar un problema antes conseguir su solución En el paso 7 espe
ramos que tome la iniciativa para agudizar su ingenio ejecutando cálculos para los que
puede convenirle el auxilio de una com putadora
E je m p lo 1 .6
El recubrim iento sobre una placa se cura exponiendo ésta a la acción de una lampara
infrarroja que proporciona una irradiación de 2000 W /m ’. El recubrimiento absorbe
80% de la irradiación y tiene una em isividad de 0.50; también es expuesto a un flujo de
aire y a amplios alrededores para los cuales las temperaturas son 20 C y 30 C, respec
tivamente.
1. Si el coeficiente de convección entre la placa y el aire ambiente es 15 W /nv • K,
i cuál es la temperatura de curación de la placa?
2. Las características finales del recubrimiento, incluidos uso y durabilidad, se sabe
que dependen de la tem peratura a la que ocurre la curación Un sistema de flujo de
aire es capaz de controlar la velocidad del aire (y por ello el coeficiente de convec
ción) sobre la superficie curada, pero el ingeniero de procesos necesita saber en
qué forma depende la temperatura del coeficiente de convección. Proporcione la
información deseada con el cálculo y graíicación de la temperatura de la superficie
com o función de h para 2 ^ h ^ 200 W /m 2 • K. ¿Qué valor de h proporcionaría
una tem peiatura de curación de 50 C?
S O L I U O TN
Se c o n o c e : El recubrimiento con propiedades de radiación establecidas se cura m e
diante irradiación de una lámpara infrarroja. La transferencia de calor del recubrimien
to es por convección al aire ambiente e intercambio de radiación con los alrededores
E n con trar:
1. Temperatura de curación para h = 15 W /m- • K.
2. Efecto del flujo del aire sobre la temperatura de curación para 2 á h ^ 200 W/m •
K Valor de h para el que la temperatura de curación es 50 C.
E sq u em a :
7 alr = 3 0 °C
C a r - = ?n n n W /m 2 */conv Vr'ad «klamp
t ?n°r
2°°<s h < 200 W/m2 • K
Aire »
T
<«' = 0 8 s = 0 .5
S u p o s ic io n es:
1. Condiciones de estado estable.
2. Perdida de calor insignificante de la superficie inferior de la placa.
Capitulo 1 ■ Introducción
3. La placa es un objeto pequeño en alrededores grandes y el recubrimiento tiene una
absortividad de a a|r = e = 0.8 con respecto a la irradiación de los alrededores.
Análisis:
1. Como el proceso corresponde a condiciones de estado estable y no hay transferen
cia de calor en la superficie inferior, la placa debe ser isotérmica (Ts = T). De aquí
la tem peratura deseada se determina colocando una superficie de control alrededor
de la superficie expuesta y aplicando la ecuación 1 . 1 2 o colocando la superfic ie de
control alrededor de toda la placa y aplicando la ecuación 1.1 la. Si se adopta el úl-
timo enfoque y se reconoce que no hay generación de energía interna (ER = 0 ), la
ecuación 1 . 11 a se reduce a
• •
^ent £s*,e ^
donde É a|m = 0 para condiciones de estado estable. Con el flujo entrante de ener
gía debido a la absorción de la irradiación de la lámpara por el recubrimiento y el
flujo de salida debido a la convección y transferencia de radiación a los alrededo
res, se sigue que
conv “ </r'ad = 0
Al sustituir de las ecuaciones 1.3a y 1.7, obtenemos
(«C)utap - K T ~ r „ ) - e tr íj4 - T \ lr) = 0
Sustituyendo los valores numéricos
0.8 X 2000 W/m2 - 15 W/m2 • K(T - 293) K
- 0.5 X 5.67 X 10“8 W/m2 • K4(T4 - 3034) K4 = 0
y resolviendo por prueba y error, obtenemos
T = 377 K = 104°C <
2. Al resolver el balance de energía anterior para valores seleccionados de h en el
rango establecido y elaborar giaficas de los resultados, obtenemos
240
200
160
o 120
o
80
50
40
0
0 20 40 51 60 80 100
A(W/m2 • K)
Si se desea una temperatura de curación de 50°C, el flujo de aire debe proporcio
nar un coeficiente de convección de
h(T = 50°C) = 51.0 W /m 2 • K <
C o m en ta r io s :
1. La tem peratura del recubrim iento (placa) se reduce dism inuyendo y 7 a|r, así
como también aum entando la velocidad del aire y con ello el coeficiente de con
vección.
I .( i ■ Ihiidades y dimensiones 2 5
2. Las contribuciones relativas de la convección y la radiación a la transferencia de
calor de la placa varían mucho con h. Para h = 2 W /m 2 * K, T = 477 K y domina
la radiación (</"ad ~ 1232 W /m2, q"com 368 W /m2). De manera inversa, para h =
200 W /m 2 • K y T = 301 K y domina la convección (c/"onv 555 1606 W /m2, q'^á ~
—6 W /m 2). De hecho, para esa condición la temperatura de la placa es ligeramente
menor que la de los alrededores y el intercambio de radiación neta Huye hacia la
placa.
1.5
Relevancia fie la transferencia de calor
A través del tiempo, la transferencia de calor ha sido en verdad un tema relevante, para
no m encionar que es en sí parte fascinante de las ciencias de la ingeniería. Dedicare
mos mucho tiempo al aprendizaje de los electos de la transferencia de calor y de las
técnicas necesarias para predecir velocidades de transferencia de calor. ¿Cuál es el va
lor de este conocim iento y a que clase de problemas puede aplicarse?
Los fenómenos de transferencia de calor tienen un papel importante en muchos
problemas industriales y ambientales. Por ejemplo, considere el área vital de la produc
ción y conversión de energía. No hay una sola aplicación en esta área que no implique
efectos de transferencia de calor de alguna manera. En la generación de potencia eléc
trica —ya sea mediante fisión o fusión nuclear—, la combustión de combustibles fósi
les, los procesos m agnetohidrodinámicos o el uso de fuentes de energía geotérmica,
hay numerosos problemas de transferencia de calor que deben resolverse. Estos proble
mas incluyen procesos de conducción, convección y radiación que se relacionan con el
diseño de sistemas com o calderas, condensadores y turbinas. A menudo nos vemos en
la necesidad de maximizar las velocidades de transferencia de calor y mantener la inte
gridad de los materiales en ambientes de alta temperatura.
En una escala más pequeña hay muchos problemas de transferencia de calor rela
cionados con el desarrollo de sistemas de conversión de energía solar para calenta
miento de espacios, así com o para la producción de energía eléctrica. Los procesos de
transferencia de calor también afectan al funcionamiento de sistemas de propulsión,
com o los motores de com bustión interna, de turbinas de gas y propulsión de cohetes.
Los problemas de transferencia de calor surgen en el diseño de sistemas de calenta
miento de espacios convencionales y de agua, en el diseño de incineradores y de equi
po de alm acenam iento criogénico, en el enfriamiento de equipo electrónico, en el
diseño de sistemas de refrigeración y de acondicionamiento de aire y en muchos proce
sos de producción. La transferencia de calor también es relevante para la contam ina
ción del aire y del agua e influye fuertemente en el clima local y global. .
1.6
Unidades y dimensiones
Las cantidades físicas de la transferencia de calor se especifican en términos de dimen
siones. que se miden en términos de unidades. Se requieren cuatro dimensiones bási
cas para el desarrollo de la transferencia de calor: longitud (L), masa (A/), tiempo (/), y
Capítulo 1 ■ Introducción
temperatura (7’). Todas las otras cantidades físicas de ínteres se relacionan con estas
cuatro dim ensiones básicas
En Estados Unidos es costumbre medir dimensiones en términos del sistema in
glés de unidades, para el que las unidades base son
Dimensión Unidad
Longitud (L) —> pie (ft)
Masa (M) —» libra masa (lbm)
Tiempo (r) —» segundo (s)
Temperatura (F) —> grados Fahrenheit (°F)
Las unidades que se requieren para especificar otras cantidades físicas se infieren de
este grupo. Por ejemplo, la dimensión de fuerza se relaciona con la masa a través de la
segunda ley de m ovimiento de Newton,
1
F = — Ma (1-14)
8c
donde la aceleración a tiene unidades de pie por segundo cuadrado, y g es una cons
tante de proporcionalidad. Si esta constante se fija de manera arbitraria igual a la uni
dad y se hace sin dimensiones, las dimensiones de fuerza son (F) = (M) • (L)l(t)2 y la
unidad de fuerza es
1 poundal = 1 lbm • pies/s2
Com o alternativa, es posible trabajar con un sistema de dimensiones básicas que inclu
ya masa y fuerza. Sin embargo, en este caso la constante de proporcionalidad debe te
ner las dim ensiones (M) • (L)I(F) • (/)2. Es mas, si se define la libra fuerza (lbf) como
una unidad de fuerza que acelerara una libra masa a 32 17 pies/s2, la constante de pro
porcionalidad debe tener la forma
gc = 32.17 lbm • pies/lbf • s2
Las unidades de trabajo se infieren a partir de esta definición como el producto de
una fuerza por una distancia, en cuyo caso las unidades son pie • lbf. Las unidades
de trabajo y energía son, por supuesto, equivalentes, aunque es normal usar la unidad
térm ica británica (Btu) com o la unidad de energía térm ica Una unidad térmica britá
nica elevará la tem peratura de 1 lbm de agua a 68°F en l°F. Es equivalente a 778.16
pie • lbt, lo que se denom ina equivalente mecánico del calor.
En anos recientes ha habido una fuerte tendencia hacia el uso mundial de un con
junto estándar de unidades. En 1960, la Undécima Conferencia General de Pesos y
Medidas definió el sistema de unidades SI (Systéme International d 'U m tes) y lo reco
mendó como estándar mundial. En respuestaa esta tendencia, se le pidió a la American
Society o f M cchanical Engineers, ASM E, que usara las unidades SI en todas sus publi
caciones desde el 1 de julio de 1974. Por esta razón y debido a que es operacional-
mente mas conveniente que el sistema ingles, el sistema SI se usa para los cálculos de
este texto Sin embargo, ya que por algún tiempo los ingenieros también tendrán que
trabajar con resultados expresados en el sistema inglés, los ingenieros deben ser capa
ces de convertir de un sistema al otro. Para conveniencia del lector se proporcionan
factores de conversión en las cubiertas posteriores del texto.
I .t t ■ Unidades y dimensiones 2 7
TABLA 1 .2 U nidades Sí base y com plem entarias
Cantidad y símbolo Unidad y símbolo
Longitud (L ) metro (m)
Masa (M) kilogramo (kg)
Concentración (C) mol (mol)
Tiempo (/) segundo (s)
Corriente eléctrica (/) ampere (A)
Temperatura termodinámica (77 kelvin (K)
Angulo plano" (0) radian (rad)
Angulo sólido'' (ío) estereorradián (sr)
•' Unidad suplementaria.
Las unidades SI ha se que se requieren para este texto se resumen en la tabla I 2
Con respecto a estas unidades observe que 1 mol es la cantidad de sustancia que tiene
tantos átomos o moléculas como átomos hay en 12 g de carbono 12 ( 2C). éste es el
gramo mol (mol). Aunque el sistema SI recom ienda el mol com o la unidad de cantidad
de materia, es más congruente trabajar con el kilogramo mol (kmol, kg-mol). Un kmol
es sim plem ente la cantidad de sustancia que tiene tantos átomos o moléculas como áto
mos hay en 12 kg de C. Mientras el uso sea uniforme dentro de un problema dado, no
surgirán dificultades si se usa mol o kmol. El peso molecular de una sustancia es la ma
sa asociada con un mol o kilogramo mol. Para el oxígeno, como ejemplo, el peso mo
lecular J í es 16 g/mol o 16 kg/kmol.
Aunque la unidad SI de temperatura es el kelvin, el uso de la escala Celsius de
tem peratura aun está muy difundido. Cero en la escala Celsius (0°C) es equivalente a
273.15 K en la escala term odinám ica , 1 en cuyo caso
T(K) = T(°C) + 273.15
Sin embargo, las diferencias de temperatura son equivalentes para las dos escalas y se
denotan como °C o K. Asimismo, aunque la unidad Sí de tiempo es el segundo, otras
unidades de tiempo (minuto, hora y día) son tan comunes que su uso con el sistema SI
se acepta normalmente.
Las unidades SI comprenden una forma coherente del sistema métrico. Es decir,
todas las unidades restantes se derivan de las unidades base con el uso de fórmulas que
no incluyen ningún factor numérico. La tabla 1.3 es una lista de unidades derivadas
para cantidades seleccionadas. Observe que la fuerza se mide en newtons. donde una
fuerza de I N acelerará una masa de 1 kg a 1 tn/s . De aquí 1 N = 1 kg • m/s2. La uni-
Fü símbolo de grados se conserva para la designación de la lemperaiura Celsius (°C). a fin de evitar confusión con el uso de
C pura la unidad de carga eléctrica (coulomb).
TABLA 1 .3 U nidades SI derivadas para can tidades se leccionadas
Cantidad
Nombre
y símbolo Fórmula
Expresión en unidades
SI básicas
Fuerza nevvton (N) m • kg/s2 m ■ kg/s2
Presión y esfuerzo pascal (Pa) N/m 2 kg/m • s2
Hnergía joule (J) N • ni m ■ kg/s
Potencia watt (W) J/s m2 • kg/s
2 8 Capítulo 1 ■ Introducción
T a bla 1 .4 Prefijos multiplicadores
Prefijo A bre* latura M u lt ip l ic a d o r
pico P io - ' 2
nano n i ( r 9
micro 10 6
mili m I 0 - 3
centi c 10 2
hecto h 102
kilo k IO3
mega M 106
g«ga G 109
tera T IO 12
dad de presión (N /n r) con frecuencia se denom ina pascal. En el sistema SI hay una
unidad de energía (térmica, mecamca o eléctrica), llamada joule (J), y I J = 1 N • m
La unidad para la velocidad de energía, o potencia, es entonces J/s. donde un joule por
segundo es equivalente a un watt (I J/s = 1 W). Dado que a menudo es necesario tra
bajar con números extremadamente grandes o pequeños, se introduce un conjunto de
prefijos estándar para simplificar los cálculos (tabla 1.4). Por ejemplo. 1 megawatt
(MW ) = JO6 W, y 1 micrometro (yum) = 10 6 m.
1.7
Resumen
Aunque gran parte del material de este capitulo se analizará con gran detalle, ya debe
mos tener ahora una noción general ra onable de la transferencia de calor: asimismo,
debemos estar conscientes de los diversos modos de transferencia y de sus orígenes fí
sicos. Más aún, dada una situación física, tenemos que ser capaces de percibir el rele-
T\BLA 1 .5 R esum en de los procesos de transferencia de calor
Modo Mecanismo(s)
Ecuación
o modelo
Numero
de ecuación
Propiedad
de transporte
o coeficiente
Conducción Difusión de energía
debido al movimiento
molecular aleatorio
clT"
q" (W /m2) = - k — -
dx
( 1 . 1 ) k (W/m • K)
Convección Difusión de energía
debido a) movimiento
molecular aleatorio mas
transferencia de energía
debido al movimiento
global (advección)
c f (W /m2) = h(Ts - T*) (13a) h (W/m2 • K)
Radiación Transferencia de energía
por ondas electromagnéticas
c f (W /m2) = eo{T* -
o q (W) - h,A(Ts —
- n h)
7~alr)
(1 7)
(1.8)
e
hr (W/m2 • K)
1 «7 ■ Resumen 2 9
vante fenómeno de transporte. La importancia de desarrollar esta capacidad no debe
subestimarse. Tomará mucho tiempo aprender el uso de las herramientas necesarias pa
ra calcular los fenómenos de transferencia de calor. Sin embargo, antes de que com ien
ce a usar estas herramientas para resolver problemas prácticos, debe tener la intuición
para determ inar lo que sucede físicamente. Kn pocas palabras, debe ser capaz de ver un
problem a e identificar los fenóm enos de transporte pertinentes. El ejemplo y los pro
blemas al final de este capítulo le ayudarán a iniciar su cultivo de esta intuición.
También debe apreciar el significado de las ecuaciones de flujo o modelos y sentir
se confiado al utilizarlas para calcular las velocidades de transporte. Estas ecuaciones,
resumidas en la tabla 1.5, deben ser aprendidas de memoria. También hay que recono
cer la importancia de las leyes de conservación y la necesidad de identificar de forma
cuidadosa los volúmenes de control. Con las ecuaciones de flujo o modelos, las leyes
de conservación sirven para resolver numerosos problemas de transferencia de calor.
Fjkmplo 1.7
Un recipiente cerrado, lleno de café caliente, se encuentra en un cuarto cuyo aire y pa
redes están a una temperatura fija. Identifique todos los procesos de transferencia de
calor que contribuyen a enfriar el café. Com ente las características que contribuirían a
un mejor diseño del recipiente.
S o l í c ió n
S e c o n o c e : El café caliente está separado de sus alrededores más fríos por un frasco
de plástico, un espacio de aire y una cubierta de plástico.
E n co n tra r : Los procesos relevantes de transferencia de calor.
E s tiu en w ■
Las trayectorias de la transferencia de energía del café son las siguientes:
<7i : convección libre del café al frasco
c¡2 : conducción a través del frasco
r/3 : convección libre del frasco al aire
( a p í la lo I ■ I n t n n h n i iá n
qA : convección libre (leí a ire a la cub ierta
í/ . : in tercam bio de rad iación neta cutre la superfic ie ex te rio r del Irasco ) la superli-
cie in te rio r de la cubierta
(f(i: conducción a través de la cub ierta
f/7 : convección libre de la cu b ie rta al a ire del cuarto
<ys : in te rcam bio de rad iación neta en tre la 'superficie ex te rio r de la cub ierta \ los a l
rededores
( tn m 'i i ia r in s : Las m ejoras de d iseño se asocian con ( 1 ) uso de superficies aluniim
zudas (baja em i.sividad) para el frasco v cub ierta para reducir la radiación neta, \ (2) va
ciar el espat io de aire o u tilizar un m aterial de relleno para retardar la convccc ion libre.
P r o h h ' n u t i s
( 'onduccion
% 1.1 Un llujo de ea or de 3 k \ \ se conduce a naves de una
sección de un material aislante de área de sección
transversal 10 m \ espesor 2.ó cm Si l.i temperatura
de la superficie interna (caliente) es de 415ÜL \ la con
ductividad térmicadel material es 0.2 W/m • k . ¿cual
es la temperatura de Ja superficie externa?
J^2] Una pared de concreto, que tiene un área superficial de
20 m v 0.30 m de espesor, separa el aire acondiciona
do de tina habitación del aire ambiental La temperatu
ra de la superficie interna de la pared se mantiene
a 25 C. v la conductividad térmica del concreto es
1 W/m • k .
(a) Determine la perdida tic calor a través tic la pared
para temperaturas ambientes en el rango de — 15°C
a 3XCC. que corresponden a extremos de ñn ierno y
verano, respectivamente. Muestre en forma gráfica
stts resultados.
(bJ hn su gráfica, también trace la pérdida de calor co
mo 1 unción de la temperatura ambiente para m ate
riales de la pared que tengan conductividades
térmicas de 0.73 y I 23 W m • k L.xpliquc la fa
milia tic curvas que obtiene.
1.3 Se determina que el flujo de calor a través de una tabla
de madera de 30 mm de espesor, cuyas temperaturas
sobre las superficies interna \ externa son 40 y 20°C.
respectivamente, e s 40 W /nr. ¿Cuál e s la conductivi
dad térmica de la madera?
1.4 Las temperaturas de las superficies interna v externa de
una ventana de vidrio de 3 m m de espe.soi son 13 v
5°C\ Cuál e s la pérdida de calor a través de una veluti
na que mide I X 3 m de lado? La conductividad térmi
ca del \ idrio e s I 4 W/m - k
1.5 1:1 compartimiento de un congelador consiste en una
cavidad cubica que tiene 2 m de lado. Suponga que el
fondo está perfectamente aislado. ¿Cuál e s el espesor
mínimo Je aislante de espuma de poliuretano {k :
0.030 W/m • k i que debe aplicarse en las paredes su
perior \ laterales partí asegurar una carga de calor de
menos tic 300 \V. cuando la s superficies interior > exte
rior están a — 10 v 35ÜC?
1.6 ¿Cuál es el espesor que se requiere de una pared de
manipostería que tiene una eonductiv idad térmica
de 0.73 W m • k . si la velocidad del calor será S(K7 de la
velocidad del calor a través de una pared de estructura
compuesta que tiene una conductividad térmica de 0.23
W m • k v un espesor de 100 mm? Ambas paredes e s
tan sujetas a la misma diferencia de tempe ral tira su peí
he i al
1.7 l n cbip cuadrado Je silieio ik - 150 \\ ni ■ k ) tiene
un ancho u = 3 mm de lado v espesor i — 1 mm L1
Chip se monta en un sustrato de modo que su s latios \
la superficie inferior quedan aisladas, mientras que la
superficie frontal se expone a un Huido refrigerante.
Fluido *
refrigerante **
Si se disipan 4 W de los circuitos montados en la sii-
perlicie posterior del chip, ¿cuál es la diferencia de
temperaturas de estado estable entre las superficies in-
tériot v íronial?
Problemas 31
1.8 Una galga para medir el flujo de calor en una superficie
o a través de un material laminado emplea termopares
de película delgada de cromel/alumel (tipo K) deposi
tados sobre las superficies superior e inlenor de una
plaquita con una conductividad térmica de 14 W/m •
K y un espesor de 0 25 mm.
(a) Determine el flujo de calor q" a través de la galga
cuando el voltaje de salida en los conductores de
cobre es 350 ¡xV. El coeficiente de Seebeck de los
materiales tipo K del termopar es aproximadamen
te 40 /xV/°C
(b) ¿Que precaución es necesaria al usar una galga de
esta naturaleza para medir el flujo de calor a través
de la estructura laminada que se muestra arriba?
Convección
1.9 Usted ha experimentado el enfriamiento por convección
si alguna ve/ saco la mano por la ventana de un vehícu
lo en movimiento o si la sumergió en una corriente de
agua Si la superficie de la mano se considera a una
temperatura ele 30°C, determine el flujo de calor por
convección para (a) una velocidad del vehículo de 35
km/h en aire a —5°C con un coeficiente de convección
de 40 W/m2 • K y (b) una velocidad de 0 2 m/s en una
corriente de agua a I0°C con un coeficiente de convec
ción de 900 W/m • K. ¿En cuál condición se sentina
más frío? Compare estos resultados con una perdida de
calor de aproximadamente 30 W /m2 en condiciones am
bientales normales.
1.10 Sobre un cilindro largo, de 25 mm de diámetro con un
calentador eléctrico interno, fluye aire a 40°C En una
serie de pruebas, se realizaron mediciones de la poten
cia por unidad de longitud. P ', que se requiere para
mantener la temperatura superficial del cilindro a
3ü0°C. a diferentes velocidades V de la corriente libre
del aire Los resultados son los siguientes:
Velocidad del aire, V (m/s) 1 2 4 8 12
Potencia. P (W/in) 450 658 983 1507 1963
(a) Determine el coeficiente de convección para cada
velocidad, y muestre gráficamente los resultados.
(b) Suponiendo que la dependencia del coeficiente de
convección con la velocidad es de la forma h =
C V . determine los parámetros C y n a partir de los
resultados de la parte (a)
1.11 Un calentador de resistencia eléctrica se encapsula en
un cilindro largo de 30 mm de diámetro. Cuando fluye
agua con una temperatura de 25°C y velocidad de 1 m/s
cruzando el cilindro, la potencia por unidad de longitud
que se requiere para mantener la superficie a una tem
peratura uniforme de 90°C es 28 kW/m Cuando fluye
aire, también a 25°C, pero con una velocidad de 10 m/s,
la potencia por unidad de longitud que se requiere para
mantener la misma temperatura superficial es 400 W/m
Calcule y compare los coeficientes de convección para
los flujos de agua y aire.
1.12 Un calentador eléctrico de cartucho tiene forma cilin
drica de longitud L = 200 mm y diámetro exterior D =
20 mm. En condiciones de operación normal el calen
tador disipa 2 kWr. mientras se sumerge en un flujo de
agua que está a 20°C y provee un coeficiente de trans
ferencia de calor por convección de h = 5000 W/m2 •
K Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los
extremos del calentador, determine la temperatura su
perficial Tx. Si el flujo de agua cesa sin advertirlo mien
tras el calentador continúa operando, la superficie del
calentador se expone al aire que también está a 20°C.
pero para el que h = 50 W /m2 • K. ¿Cuál es la tempe
ratura superficial correspondiente? ¿Cuáles son las
consecuencias de tal evento?
1.13 Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho ve = 5 mm
de lado y está montado en un sustrato de modo que sus
superficies lateral e inferior estén bien aisladas, mien
tras que la superficie frontal se expone a la corriente de
un fluido refrigerante a T„ = 15°C A partir de consi
deraciones de confiabilidad. la temperatura del chip no
debe exceder T = 85°C.
Fluido r* , h
refrigerante
Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de con
vección correspondiente es h = 200 WVrrr • K, ¿cuál
es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido
Galga montada
sobre una
superficie
Galga
conectada
entre láminas
i— Alumel (B) Cromel (A)
T
í
térmica, k
3 2 Capítulo 1 ■ Introducción
refrigerante es un líquido dieléctrico para el que h =
3000 W /nr • K, ¿cuál es la potencia máxima admisible?
1.14 Se propone el uso de la colisión de chorros de aire co
rno medio de enfriar de manera efectiva chips lógicos
de alta potencia en una computadora. Sm embargo, pa
ra que la técnica se pueda aplicar debe conocerse el
coeficiente de convección asociado con el chorro que
choca contra la superficie de un chip Diseñe un expcri
ncnto que sirva para determinar los coeficientes de
convección asociados con el choque de un chorro de aire
sobre un chip que mide aproximadamente 10 mm
por 10 mm de lado.
1.15 El control de temperatura para una secadora de ropa
consiste en un conmutador bimetálico montado sobre
un calentador eléctrico unido a una almohadilla aislan
te instalada en la pared.
Pared de la secadora
Almohadilla aislante
Calentador eléctrico
Conmutador bimetálico
El conmutador se fija para abrirse a 70°C, que es la
temperatura máxima del aire de secado. A fin de operar
la secadora a una temperatura de aire más baja, se su
ministra potencia suficiente al calentador de modo que
el conmutador alcance 70°C (T,my) cuando la temperatura del aire7 * sea menor que TmÁy. Si el coeficiente de
transferencia de calor por convección entre el aire y la
superficie expuesta del conmutador de 30 mm2 es 25
W/m2 ■ K. ¿cuánta potencia de calentamiento Pe se re
quiere cuando la temperatura deseada del aíre es Tx =
50°C?
1.16 El coeficiente de transferencia de calor por convección
libre sobre una placa delgada vertical caliente en aire
quieto se determina observando el cambio en la tempe
ratura de la placa al paso del tiempo, a medida que ésta
se enfría. Suponiendo que la placa es isotérmica y que
el intercambio de radiación con sus alrededores es in
significante, evalúe el coeficiente de convección en el
momento en que la temperatura de la placa es de 225°C
y que el cambio en la temperatura de la placa con el
tiempo Ufí/clt) es —0.022 K/s, La temperatura del aire
ambiente es de 25°C y la placa mide 0 3 X 0.3 m con
una masa de 3 75 kg y un calor específico de 2770
J/kg • K
Radiación
1.17 Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 m de diámetro
contiene dispositivos electrónicos que disipan 150 W. Si
la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0 8 ,
y la sonda no recibe radiación de otras superficies
como, por ejemplo, del Sol, ¿cuál es la temperatura de
la superficie?
1 . 1 8 1 Un paquete de instrumentación tiene una superficie ex
terior esférica de diámetro D — 100 mm y emisividad
e = 0.25. El paquete se coloca en una cantara de si
mulación espacial grande cuyas paredes se mantienen
a 77 K. Si la operación de los componentes electróni
cos se restringe al rango de temperaturas 40 < T ^
85°C. ¿cuál es el rango de disipación aceptable de po
tencia para el paquete? Muestre los resultados en forma
gráfica, y también el efecto de las variaciones en la
emisividad al considerar valores de 0.20 y 0 30.
1.19 Una superficie de 0.5 n r de área, emisividad 0.8, y
150°C de temperatura se coloca en una cámara grande
al vacio cuyas paredes se mantienen a 25°C ( Cuál es la
velocidad a la que la superficie emite radiación? ¿Cuál
es la velocidad neta a la que se intercambia radiación
entie la superficie y las paredes de la cámara?
1.20| Si Ts ~ Ta|r en la ecuación 1.9, el coeficiente de transfe
rencia de calor por radiación puede aproximarse como
hra = 4fi<r7' 3
donde T = (Ts + T ^x)¡2. Deseamos evaluar la valide/
de esta aproximación comparando los valores de hr y
hr a para las siguientes condiciones. En cada caso re
presente los resultados en forma gráfica y comente la
validez de la aproximación.
(a) Considere una superficie de aluminio pulido (e =
0 05) o pintura negra (e = 0 9), cuya temperatura
puede exceder la de los alrededores (TA\r = 25°C)
en 10 a 100°C. También compare sus resultados
con los valores del coeficiente asociado con la con
vección libre en aire (7« = 7alr), donde h (W/m- ■
K) = 0.98 A T
(b) Considere condiciones iniciales relacionadas con
la colocación de una pieza a 7\ — 25°C en un hor
no grande cuya temperatura de las paredes varía en
el rango 100 < Talr ^ 1000°C. De acuerdo con el
terminado o recubrimiento de la superficie, la emi
sividad tomará los valores 0.05, 0.2 y 0.9. Para ca
da emisividad. elabore una gráfica del error
relativo. (hr — hr a)/hr, como función de la tempe
ratura del horno
1.21 Considere las condiciones del problema 1 13 Con
transferencia de calor por convección al aire, se en
cuentra que la potencia máxima permisible del chip es
0 35 W Si también se considera la transferencia neta
de calor por radiación de la superficie del chip a alrede
dores a 15°C, ¿cuál es el porcentaje de aumento en la
potencia máxima permisible en el chip proporcionada
por esta consideración? La superficie del chip tiene una
emisividad de 0 9
1.22 Un sistema al vacío, como los que se usan para la de
posición eléctrica por sublimación catódica de pelícu
las delgadas conductoras en microcircuitos, consta de
una placa base sostenida por un calentador eléctrico a
■ Problemas 3 3
300 K y un recubrim cnto dentro del re* into que se
mantiene a 77 K mediante un circuito refrigerante de
nitrógeno líquido. La placa base, aislada en el lado in
ferior. tiene 0.3 m de diámetro y una emisividad de
0 25.
Recinto
al vacio
Recubrimiento
lleno de
nitrógeno
liquido
Calentador eléctrico
Placa base
i) ¿Qué potencia eléctrica debe proporcionarse al ca
lcntador de la placa base?
(b) ¿A qué flujo debe suministrarse el nitrógeno liqui
do al recubrimiento si su entalpia de vaporización
es 125 kJ/kg?
(c) Para reducir el consumo de nitrógeno líquido, se
propone unir una placa del ada de hoja de alumi
nio (e = 0.09) a la placa base. ¿Tendrá esto el
efecto que se desea7
Bulan* o ele energía y efectos inultmiodales
1.23 Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se
muestra en el esquema. Después de una breve fluctua
ción transitoria, la resistencia toma una temperatura de
estado estable casi uniforme de 95°C, mientras que la
batería y los alambres de conexión permanecen a la tcm
peratura ambiente de 25°C No tome en cuenta la resis
tencia eléctrica de los alambres de conexión
/ = 6A
Batería
V = 24 V
N Alambre
de conexión
(al Considere el resistor como un sistema alrededor de
cual se coloca una super icie de control y se aplica
la ecuación 1 l i a Determine los valores corres
pondientes de £cm(W). £i,(W), £ sat(W), y Éalm(W)
Si se coloca una superficie de control alrededor del
sistema entero, ¿cuáles son los valores de £e „. £ .
• •
l- ni' ) £;ilnr
(b) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme
dentro del resistor, que es un cil ndro de diámetro
D = 60 min y longitud £ = 25 mm, ¿cuál es la ve
locidad de generación de calor volumétrica,
</(W/m )?
(c) Sin tener en cuenta la radiación del resistor, ¿cuál
es el coeficiente de convección?
1.24 La variación de temperatura con la posición en una pa
red se muestra abajo para un tiempo específico, du
rante un proceso transitorio (variante con el tiempo
T(a ) en t¡
¿La pared se está calentando o enfriando?
1.25 Una esfera sólida de diámetro D = 1 m y emisividad
superficial e = 0 30 se prevalicnta y después se suspen
de en una cámara grande de vacío enfriada criogénica
mente, cuyas superficies interiores se mantienen a 80 K.
¿Cuál es la velocidad de cambio de la energía almace
nada por el sólido cuando su temperatura es 600 K?
1.26 Una esfera solida de aluminio de emisividad e esta ini-
cialmente a una temperatura elevada y se enfría colo
cándola en una cámara. Las paredes de la cámara se
mantienen a una temperatura baja, y se hace circular un
gas frío a través de la cámara. Obtenga una ecuación
que sirva para predecir la variación de la temperatura
del aluminio con el tiempo durante el proceso de en
friamiento. No intente obtener la solución.
1.27 Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta
en posición horizontal, con su superficie inferior bien
aislada. Se aplica un recubrimiento delgado c: pccial a
la superficie superior que absorbe 80 i de cualquier ra
diación solar incidente, mientras tiene una em sividad
de 0.25. Se sabe que la densidad p y el ca or específico
í del aluminio son 2700 kg/m y 900 J/kg • K, respecti
vamente.
(a Considere las condiciones para h s que la placa es
tá a una temperatura de 25°C y la superficie supe
rior se expone súbitamente al aire ambiente a T ,=
20°C y a rad ación solar que proporciona un flujo
incidente de 900 W/m El coeficiente de transfe
rencia de calor por convección entre la superficie y
el aire es h = 20 W/m • K ¿Cuál es la velocidad
inicial de cambio de la temperatura de la placa?
(b) ¿Cuál será la temperatura de cquil brío de la placa
cuando se alcancen las condiciones de estado esta
ble?
31 Capitulo 1 ■ introducción
(c) Las propiedades radiactivas de la superlicie depen
den de la naturaleza específica del recubrimiento
aplicado. Calcule y elabore una gráfica de la tem
peratura de estado estable como tunción de la emi
sividad para 0 05 ^ e ^ I. mientrastodas las
demas condiciones permanecen como se estable
ció. Repita los cálculos para valores de as = 0.5 y
I 0 y elabore una gráfica de los resultados con los
que se obtuvieron para ^ = 0 8 Si la finalidad e s
maximizar la temperatura de la placa, ¿cuál es la
combinación mas'deseable de emisividad de placa
y su absortividad. debido a la radiación solar >
1.28 bu una estac ión espacial orbital, un paquete electrónico
se almacena en un compartimiento que tiene un área
superficial i4f = 1 m2. que se expone al espacio En
condiciones normales de operación, los dispositivos
electrónicos disipan I kW. que debe transferirse en su
totalidad de la superficie expuesta al espacio. Si la emi-
siv dad de la superficie es 1 .0 y la superficie no se ex
pone al sol, ¿cuál es su temperatura de estado estable?
Si la superficie se expone a un flujo solar de 750 W /m2
y su absortividad a la radiación solar es 0.25, ¿cuál es
su temperatura de estado estable?
1.29 El consumo de energía relacionado con un calentador
de agua domestico tiene dos componentes: (i) la energía
que debe suministrarse para llevar la temperatura del
agua de la red de abastecimiento a la temperatura de al
macenamiento del calentador, conforme se introduce
para reemplazar el agua caliente que se ha usado, y (ii)
la energía necesaria para compensar las pérdidas de ca
lor que ocurren mientras el agua se almacena a la tem
peratura establecida. En este problema, evaluaremos el
primero de esos componentes para una familia de cua
tro personas, cuyo consumo diario de agua caliente es
aproximadamente 100 galones Si el agua de la red está
disponible a 15°C. ¿cuál es el consumo anual de energía
relacionado con el calentamiento del agua a una tempe
ratura de almacenamiento de 55°C'? Para un costo imi
tar o de potencia eléctrica de $0.08/kWh, ¿cuál es el
costo anual asociado con el suministro de agua caliente
por medio de (a) calentamiento con resistencia eléctrica
o (b) una bomba de calor que tiene un CÜP de 3 y una
eficiencia de compresor (conversión de energía eléctrica
a trabajo mecánico) de 85 por ciento?
1.30 El laminado en caliente es un proceso en el que se
aplanan lingotes de acero sucesivamente a su paso por
una serie de rodillos de compresión. Del último con
junto de rodillos salen tiras (hojas) de metal que se en
frían a medida que se desplazan por los rodillos de
transporte antes de ser enrolladas. Es posible identificar
tres zonas de enfriamiento. Precisamente adelante del
último conjunto de rodillos y poco antes de la bobina,
hay regiones en las que la tira se expone a los alrededo
res fríos. Entre estas regiones, hay una zona de enfria
miento acelerado en la que se lanzan chorros planos de
agua sobre la tira. El agua se mantiene en fase liquida a
través de gran parte de la región de choque del chorro,
pero las grandes temperaturas de la placa inducen la
ebullición y la producción de un manto de vapor en
una región de ebullición laminar.
L\, / 3 — Zonas de enfriamiento por aire
¿2 - Zona de enfriamiento acelerado
con arreglo de chorros planos
Ultimos
odillos
de
trabajo
-/
□
T T
W P CC hor^
l
□
Rodillo de
transporte
-u-
Bobina
Extensión de la región
de choque del agua
Extensión de la región
de ebullición laminar
C - Interfaz placa-rodillo
Liquido
/ Vapor
(a) Para la producción de tiras de acero bajo en cromo
(p = 7840 kg/m , cp = 970 J/kg • K), las condicio
nes de operación representativas corresponden a
una temperatura de salida del rodillo de compresión
de T (a = 0) = Te = 940°C, una temperatura del
agua de 25°C en los chorros de choque, y una velo
cidad de la tira, ancho y espesor de — 1 0 rn/s.
Ws = 2 m. y ts = 4 inm. respectivamente. ¿Cuál es
la velocidad a la que debe extraerse calor de la tira
para alcanzar una temperatura de bobinado de la ti
ra de T(.\ = L, + L2 + L ) = Tt = 540°C?
( b ) Identifique todos los procesos de transferencia de
calor que contribuyen al enfriamiento de la placa
1.31 En una etapa de un proceso de recocido, 304 hojas de
acero inoxidable se llevan de 300 K a 1250 K conforme
pasan a través de un horno calentado eléctricamente a
una velocidad de V — 10 min/s El espesor y ancho de
la hoja son /, = 8 inm y W< = 2 m. respectivamente,
mientras que la altura, ancho y largo del horno son
//„ = 2 m. W0 = 2.4 m. y L0 = 25 m, respectivamente
La parte superior y cuatro lados del homo se exponen
al aire ambiental y a alrededores, cada uno a 300 K. y
la temperatura de la superficie, coeficiente de convec
ción y emisividad respectivos son T% = 350 K. h = 10
W/m • K, y e = 0.8. La superficie inferior del homo
también está a 350 K y reposa en una placa de concreto
de 0.5 m de espesor cuya base está a 300 K
■ Problema* 3 5
p _
0 0 ^ >) 0 J
l ) Hoja de
acero
ls
l h
Placa de concreto
1 stinic la potencia eléctrica, P, f<.(, que se requiere su
ministrar al horno.
1.32 En un contenedor cilindrico largo de pared delgada se
empacan desechos radiactivos Estos generan energía
térmica de manera no uniforme de acuerdo con la rela
ción q = í/„[I ~ (r/r,j21, donde q es la velocidad local
de generación de energía por unidad de volumen. qn es
una constante, y rp es el radio del contenedor. Las con
diciones de estado estable se mantienen sumergiendo el
contenedor en un liquido que esta a / y proporciona
un coeficiente de convección h uniforme
1 1 - (r/r0)-J
Obtenga tina expresión para la velocidad total a la que
se genera energía por unidad de longitud del contene
dor Aproveche este resultado > obtenga una expresión
para la temperatura Ts de la pared del contenedor.
1.33 Se usa un contenedor esférico de acero inoxidable (AI
SI 302) para almacenar químicos reactivos que propor
cionan un ílujo de calor uniforme q a la superficie
interior. I 1 contenedor se sumerge repentinamente en
un baho líquido de temperatura T < Tn donde T, es la
temperatura inicial de la pared del contenedor.
Químicos reactivos
r0 = 0.6 m
(a) Suponiendo gradientes de temperatura insignifi
cantes en la pared del contenedor y un flujo de
calor constante q’¡, desarrolle una ecuación que go
bierne la variación de la temperatura de la pared
con el tiempo durante el proceso transitorio. ¿Cuál
es la velocidad inicial de cambio de la temperatura
de la pared si q" = 10 W/m’?
(b) ¿Cuál es la temperatura de estado estable de la pa
red9
(c) El coeficiente de convección depende de la veloci
dad asociada con el flujo de fluido sobre el conte
nedor > de si la temperatura de la pared es o lio
suficientemente grande para inducir la ebullición
en el liquido Calcule y elabore una gráfica de la
temperatura de estado estable como función de h
para el rango 100 ^ h < 10.000 W n r • K ¿Exis
te un valor de h por debajo del cual la operación
resulte inaceptable?
1.34 En un contenedor esférico de pared delgada se empa
can desechos radiactivos. Estos generan energía térm i
ca de manera no uniforme de acuerdo con la relación
</ = 1 — </'//*.,):J, donde í) es la velocidad local de
generación de energía por unidad de volumen, q es
una constante, y r0 es el radio del contenedor. Las con
diciones de estado estable se mantienen sumergiendo el
contenedor en un liquido que esta a T* y proporciona
un coeficiente de convección h uniforme.
Fluido
refrigerante
h = ka 11 “ (r/r„)2l
Obtenga una expresión para la velocidad total a la que
se genera energía térmica en el contenedor Con este
resultado obtenga una expresión para la temperatura Ts
de la pared del contenedor
1.35 I n un contenedor esférico cuya superficie externa es
de 500 mm de diámetro y está a una temperatura de
— 10°C se almacena oxígeno líquido, que tiene un pun
to de ebullición de 90 K y un calor latente de vaporiza
ción de 214 kJ/kg El contenedor se almacena en un
laboratorio t uvo aire y paredes están a 25°C
(a) Si la cmisividad de la superficie es 0.20 v el coefi
ciente de transferencia de calor asociado con la con
vección libre enla superficie externa del contenedor
es 10 W/m2 • K. ¿cuál es el flujo, en kg/s, al que se
debe descargar vapor de oxigeno del sistema?
t f 7\ = 300 K ib)
| 1 h 500 W/m2*K
Baño
- 0.5 m
formación de escarcha en el contenedor, lo que
causará que la cniisividad de la superficie aumente
Suponiendo que la temperatura de la superficie y el
coeficiente de convección |>ermtinecen a —10 C y
10 W/m2 * k respectivamente, calcule la rapidez
I - 500 K
,»- 8055 kg/m3
. 510 JAg-K
Contenedor
3 6 Capítulo 1 ■ introducción
de evaporación de oxígeno (kg/s) como función de
la emisividad de la superficie sobre el rango 0 2 ^
r < 0.94.
1.36 Un trozo de hielo en un contenedor de paredes delgadas
de 10 mm de espesor y 300 mm por lado se coloca en
una almohadilla bien aislada. En la superficie superior,
el hielo se expone al aire ambiental para el que =
25°C y el coeficiente de convección es 25 W /m2 • K
Sin tomar en cuenta la transferencia de calor de los la
dos y suponiendo que la mezcla de hielo-agua permane
ce a 0°C. ¿cuanto tiempo tardara en fundirse por
completo el hielo? l a densidad y calor latente de fusión
del hielo son 920 kg/nf y 334 kJ/kg, respectivamente.
1.37 Siguiendo el vacío caliente que forma una mezcla de
pulpa de papel, el producto, un cartón de huevo. s.e
transporta por una banda 18 s hacia la entrada de un
homo de gas donde se seca a un contenido final desea
do de agua. Para aumentar la productividad de la línea,
se propone que se instale sobre la banda un banco de
calentadores de radiación infrarroja, que proporciona
un flujo radiante uniforme de 5000 W/m . El cartón tie
ne un área expuesta de 0.0625 m2 y una masa de 0.220
kg, 75% de la cual es agua después del proceso de for
mación
Banco de calentadores radiantes infrarrojos
0
j~ Cartóni i-i
Banda transportadora
El jefe de ingenieros de su planta aprobará la compra
de los calentadores si el contenido de agua del cartón
se reduce de 75 a 65%. ¿Recomendaría la com pra} Su
ponga que el calor de vaporización del agua es hjg —
2400 kJ/kg.
1.38 Unos dispositivos electrónicos de potencia se montan
en un disipador de calor que tiene un area de superficie
expuesta de 0.045 m2 y una emisividad de 0.80. Cuando
los dispositivos disipan una potencia total de 20 W y el
aire y los alrededores están a 27°C. la temperatura pro
medio del disipador es de 42°C. ¿Cuál temperatura
Dispositivos de potencia
- 7 * = 27°C
Aire
Ta - 27°C
Disipador de calor,
7\.,A.v.e
1.39
promedio alcanzará el disipador cuando los dispositivos
disipen 30 W para la misma condición ambiental?
El techo de un automóvil en un estacionamiento ab
sorbe un flujo solar radiante de 800 W/m2, mientras
que el lado contrario está perfectamente aislado. El
coeficiente de convección entre el techo y el aire am
biente es 12 W /m 2 • K.
(a) Sin tomar en cuenta el intercambio de radiación
con los alrededores calcule la temperatura del te
d io bajo condiciones de estado estable si la tempe
ratura del aire ambiente es 20°C.
(b) Para la misma temperatura del aire ambiental,
calcule la temperatura del techo si la emisividad de
la superficie es 0.8
1.40
(c) El coeficiente de convección depende de las con
diciones del flujo de aire sobre el techo, y se in
crementa con el aumento de la velocidad del aire.
Calcule y elabore una gráfica de la temperatura
de placa como función de h para 2 s // <
200 W /m2 • K.
(a) ¿Cuál es la temperatura del detector cuando no se
suministra ninguna potencia al calentador?
(b) <Qué potencia de calentamiento se requiere para
mantener al detector a 195 K?
(e)| Calcule y elabore una gráfica de la potencia de ca
lentamiento requerida para mantener una tempera
ba temperatura de operación de un detector infrarrojo
para un telescopio espacial se controla ajustando la
potencia eléctrica, <yclct, para un calentador delgado in
tercalado entre el detector y el '‘dedo frío" cuyo extre
mo opuesto esta inmerso en nitrógeno liquido a 77 K.
Fa varilla del dedo frío de 5 mm de diámetro tiene una
conductividad térmica de 10 W/m • K y se extiende
50 mm sobre el nivel del nitrógeno liquido en un fras
co Dewar. Suponga que la superficie del detector tiene
una emisividad de 0.9 y el vacío del recinto se mantie
ne a 300 K.
Ventana
Recinto
al vacio
Talr = 300 i
Dedo frío
Nitrógeno
liquido
Frasco
Dewar
/
Detector
Calentador
eléctrico
Dedo frío
Ti = 77 K
■ Problemas
1.41
tura de detector de 195 K como función de la con
ductividad térmica del dedo frío para 0. 1 < k ^
400 W/m • K. Seleccione un material adecuado del
dedo que permita mantener la temperatura estable
cida del detector a un nivel bajo de consumo de
potencia.
Considere el sistema físico que se describe en el ejem
plo 1.5 bajo condiciones en las que los gases de com
bustión están a 1300°C y la transferencia de calor por
convección de los gases a la superficie interna se carac
teriza por un coeficiente de convección de /q = 50
W/m2 • K. La pared del horno está construida con un
ladrillo de sílice diatómico para el que k = 0.3 W/m •
K y e = 0.8 mientras que el medio circundante perma-
necc a 25°C. El intercambio de radiación entre los ga
ses de combustión y la superficie interior se puede
dejar de lado. Calcule y elabore una gráfica de las tem
peraturas de las supcrfic es interior y exterior. Tx y T2,
como función del espesor de la pared (0.025 < L <
0.50 m) para un coeficiente de convección externo
de fu = 10 W/m~ • K y como función del coe icicntc de
convección (2 ^ fu ^ 50 W/m2 ■ K) para /. = 0.15 m
Sugiera valores de L y h2 adecuados para mantener a T2
por debajo de un valor máximo permisible de 100°C.
1.42 Se sabe que el flujo de calor por difusión a través de
una pared plana hasta la superfic e es 400 W/m2. Deter-
n me la temperatura de la superficie para cada una de
las siguientes condiciones:
(a) Convección entre la superficie y un flujo de aire a
20°C con coeficiente de transferencia de calor h =
10 W/m2 ■ K.
(b) El mismo proceso de convección ocurre junto con
transferencia radiativa de calor entre la superficie y
los alrededores fríos a — 150°C. con un coeficiente
de transferencia radiativa hr = 5 W/m- • K.
1.43 Una superficie cuya temperatura se mantiene a 400°C
está separada de un flujo de aire por una capa aislante
de 25 mm de espesor, cuya conductividad térmica es
0.1 W/m • K. Si la temperatura del aire es 35°C y el
coeficiente de convección entre el aire y la superficie
exterior del aislante es 500 W/m2 • K. ¿cuál es la tem
peratura de esta superficie exterior?
1.44 La pared de un homo que se usa para curar partes de
plástico tiene un espesor L = 0.05 m y la superficie ex
terna está expuesta a alrededores y aire, que están a
300 K.
(a) Si la temperatura de la superficie externa es 400 K
y el coeficiente de convección y la emisividad son
h = 20 W/m2 • K y e = 0.8 respectivamente, ¿cuál
es la temperatura de la superficie interna si la pared
tiene una conductividad térmica k = 0.7 W/m • K?
(b) Considere condiciones en las que la temperatura
de la superficie interna se mantiene a 600 K, mien
tras el aire y los alrededores a los que está expues
ta la superficie externa se mantienen a 300 K.
Explore los efectos de las variaciones en k , h, y e
sobre (i) la temperatura de la superficie externa,
(ii) el flujo de calor a través de la pared y (íii) los
flujos de calor asociados con la transferencia de
calor por convección y la radiación de la transfe
rencia de calor de la superficie externa. D t manera
específica, calcule y elabore una gráfica de las va
riables dependientes anteriores para variaciones
paramétncas alrededor de las condiciones base de
k = 10 W /m2 • K, h = 20 W/m2 ■ K y e = 0.5.
Los rangos sugeridos de las variables independien
tes son 0.1 < k < 400 W/m • k . 2 < h < 200
W/m2 • K, y 0.05 < e < 1. Exponga las implica
ciones físicas de sus resultados. ¿En qué condicio
nes la lemperatuia de la superficieexterna será
menor que 45°C. lo cual es un límite superior ra
zonable para evitar daños por quemadura si se ha
ce contacto?
1.45 Un experimento para determ nar el coeficiente de con
vección relac onado con el flujo de aire sobre la super
ficie de un molde grueso de acero implica la inserción
de termopares en el molde a una distancia de 1 0 y 20
mm de la superficie a lo largo de una línea hipotética
normal a la superficie. El acero tiene una conductividad
térmica de 15 W/m • K. Si los termopares miden tem
peraturas de 50 y 40°C en el acero cuando la tempera
tura del aire es 100°C. ¿cuál es el coeficiente de
convección?
1 46 Un elemento delgado de calentamiento eléctrico pro
porciona un flujo de calor uniforme q'¿ a la superficie
externa de un ducto a través del cual fluye aire. La pa
red del ducto tiene un espesor de 10 mm y una conduc
tividad térmica de 20 W/m • K.
Di
Aire
T¡
Pared
~ del ducto
‘ T„
Calentador
eléctrico
Aislante
(a) En una cierta posición, la temperatura del aire es
30°C y el coeficiente de transferencia de calor por
convección entre el aire y la pared interna del duc
to es 100 W/m • K. ¿Qué flujo de calor q"} se re
quiere para mantener la superficie interna del
ducto a T¡ = 85°C ?
Capítulo 1 ■ introducción
(b) Para las condiciones del inciso (a). < cual es la tem
peratura (T,,) de la superficie del dueto contigua al
calentador?
(c) Con T, = X5 C , calcule > elabore una gráfica de y
T como función del coeficiente de convección aire
lado interior h para el intervalo 10 ^ /? á 200
W /nr • K Analice brevemente sus resultados
1.47 La superficie de una pared de 10 mm de ancho de ace
ro inoxidable (k = 15 W/m • K) se mantiene a 90”C
mediante la condensación de vapor, mientras que la su
perficie opuesta se expone a un flujo de aire para el que
T = 20°C > h = 25 W /m 2 ■ K ¿Cual es la temperatu
ra de la superficie adyacente al aire?
1.4X Una placa de vidrio a 600 C se enfría al pasar aire so
bre la superficie de modo que el coeficiente de transfe
rencia de calor por convección es h = 5 W m • K
Para evitar fracturas, se sabe que el gradiente de tempe
ratura no debe exceder l5°C/mm en punto alguno de
vidrio durante el proceso de enfriamiento. Si la con
dtictividad térmica del vidrio es 1.4 W/m • K y la em i
sividad superficial es 0 .8 . ¿cuál es la temperatura mas
baja del aire que se puede usar iuieialmante para el en
friado ? Suponga que la temperatura del aire es igual a
la de los alrededores
1.49 l n flujo solar de 700 W/m incide sobre un colector
solar plano que se utili/a para calentar agua. El área
del colector es 3 m2. y 9 0 ^ de la radiación solar pasa a
través de la cubierta de v idrio y es absorbida por la pla
ca de absorción El colector refleja el I0c/t restante.
Fluye agua por la tubería en la parte posterior de la pla
ca de absorción, y se calienta de una temperatura de
entrada 7j a una temperatura de salida T0 La cubierta
de vidrio, que opera a 30°C. tiene una emisividad de
0.94 y experimenta un intercambio de radiación con el
espacio abierto a — 10°C. El coeficiente de convección
entre la cubierta de vidrio y el aire ambiente a 25°C es
10 W in 2 • K
Cubierta de vidrio
Espacio de aire
Placa de absorción
Tubería de agua
Aislante
(a) Lleve a cabo un balance de energía general sobre
el colector para obtener una expresión de la rapi
dez a la que se colecta calor útil por unidad de área
del colector, r/". Determine el valor de t/".
(b) Calcule la elevación de temperatura del agua, T , —
si el flujo es 0.01 kg/s. Suponga que el calor es
pecifico del agua es 4179 .l/kg • K
(c) La eficiencia del colector 17 se define como la ra
zon del calor útil colectado a la rapidez con que in
cide la energía solar sobre el colector ¿Cuál es el
valor de 771
1.50 Considere un colector solar plano que opera en condi
ciones de estado estable. I-a radiación solar incide, por
unidad de área superficial del colector, a una rapidez
Gs (W/m ) La cubierta de vidrio e s completamente
transparente a esta radiación, y la fracción de la radia
ción absorbida por la placa negra de absorción se de
signa a (absortividad) La fracción de la radiación no
absorbida por la placa de absorción (1 — a ) se supone
que s e refleja a través de la cubierta y regresa a la at
mosfera y al espacio.
Se obtiene energía útil del colcctoi al pasar un flui
do de trabajo a través de una tubería de cobre que esta
pegada al lado inferior de la placa de absorción. La tu
bería forma un arreglo en serpentín para el que el flui
do. a uii flujo constante m y calor específico cp, se
calienta de una temperatura de entrada / j a una tempe
ratura de salida 7 ,. Aunque el fondo del colector se su
pone que esta perfectamente aislado (ninguna pérdida
de calor), habrá una pérdida de calor de la placa de ah
soreión debido a la convección a través del espacio de
aire e intercambio de radiación con la cubierta. Supo
niendo que las placas de absorción y de cubierta tienen
temperaturas uniformes Ta y T , respectivamente, los
flujos paralelos de calor por convección y radiación se
expresan como ha(Ta — 7\) y h, tU(T a — T(). lai canti
dad ha es el coeficiente de transferencia de calor por
convección asociado con el espacio de aire, mientras
que h, ac es el coeficiente de transferencia de calor por
radiación asociado con la combinación placa de absor
ción-placa de cubierta. La cubierta de vidrio también
transfiere calor por convección al aire ambiente
{T — T„). e intercambia energía en la forma de radia
ción con sus alrededores. hr , ,(TC — ^alr)- La tempera
tura efectiva lÓT del cielo y superficies circundantes
vistas por el vidrio de la cubierta e s por lo general m e
nor que la temperatura del aire ambiente.
(a) Escriba una ecuación para la v elocidad a la que el
fluido de trabajó colecta energía útil qu (W ), y ex
prese los resultados en términos de til, ( , Tr y Ta.
(b) Lleve a cabo un balance de energía sobre la placa
de absorción. Con este balance obtenga una expre
sión para qu en términos de G s. a. Ta, T . ha, h, ac y
A (área de la superficie de las placas de absorción
v cubierta)
■ Problemas 3 9
Aire
ambiental
Tx, hx
Irradiación
solar, 6\
Alrededores
/aln r̂.r v
Recinto Espacio de aire [hir hrat)
toj to7
Placa del
fondo - Aislante
Cubierta de vidrio (7“,.)
Placa de absorción
[T(l a)
Tubería para el
paso de fluido
lm. cr)
Entrada: 7,
Salida: T(,
(c) Lleve a cabo un balance de energía sobre la placa
de la cubierta
(d) Haga un balance de energía general sobre todo el
colector, trabajando con un volumen de control al
rededor del colector. Compare sus resultados con
los que se obtienen en las partes (b) y (c).
(e) La eficiencia r] del colector se define como la ra
zón del calor útil colectado a la rapidez con que in
cide la energía solar sobre el colector. Obtenga una
expresión para 77.
(0 Comente que efecto tendrá el valor de m sobre Ta,
Ta y V- ¿Que pasaría con Ta si se quitara la placa
de la cubierta?
1.51 Considere un transistor montado en superficie sobre
una tarjeta impresa para circuitos cuya temperatura se
mantiene a 35°C Fluye aire a 20°C sobre la superficie
superior de dimensiones 4 mm por 8 mm con un coefi
ciente de convección de 50 W /m 2 • K Tres alambres
conductores, cada uno de sección transversal 1 mm por
0.25 mm y longitud 4 mm. conducen calor desde la ca
ja a la tarjeta impresa. El hueco entre la caja y la tarje
ta es 0.2 mm.
Caja del
transistor
Alambre
conductor
Tarjeta
impresa
para circuitos
(a) Suponiendo que la caja es isotérmica y sin tomar
en cuenta la radiación, estime la temperatura de la
caja cuando el transistor disipa 150 mW y (1) aire
estancado o (ii) una pasta conductora llena el hue
co. Las conductividades térmicas del alambre con
ductor, aire y pasta conductora son 25, 0.0263 y
0.12 W/m * K, respectivamente
(b) Con el uso de la pasta conductora para llenar el
hueco, deseamos determinar el punto al que la disipación de calor aumentada se puede acomodar,
sujeta a la restricción de que la temperatura de la
caja no exceda 40°C. Las opciones incluyen
aumentar la velocidad del aire para lograr un mayor
coeficiente de convección h y/o cambiar el mate
rial del alambre conductor a uno de mayor conduc
tividad térmica. Considerando independientemente
los conductores fabricados con materiales cuyas
conductividades térmicas sean de 200 y 400 W/m •
K, calcule y elabore una gráfica de la disipación de
calor máxima admisible para variaciones en h so
bre el rango 50 < /; < 250 W/m • K
IdtMit i< a< 011 «Irl proceso
1.52 Al analizar el funcionamiento de un sistema térmico el
ingeniero debe ser capa/ de identificar los procesos de
transferencia de calor relevantes Sólo entonces es po
sible cuantiíicar de forma apropiada el comportamiento
del sistema. Para los siguientes sistemas, identifique
los procesos pertinentes designándolos mediante fle
chas etiquetadas apropiadamente en un bosquejo del
sistema. Conteste las preguntas adicionales que apare
cen en el planteamiento del problema.
(a) Identifique los procesos de transferencia de calor
que determinan la temperatura de un pavimento de
asfalto en un día de verano. Escriba un balance
de energía para la superficie del pavimento
(b) Se sabe que la radiación de microondas es transmi
tida por plásticos, vidrio y ceram cas, pero es ab
sorbida por materiales que tienen moléculas
polares como el agua. Las moléculas de agua ex
puestas a la radiación de microondas se alinean e
invierten la alineación con la radiación de mi
croondas a frecuencias por arriba de 1 0 9 s_l, oca
sionando que se genere calor. Compare el acto de
cocinar en un horno de microondas con el de coci
nar en 1111 horno convencional de radiación o en
uno de convección. En cada caso, ¿cuál es el me
canismo físico responsable de calentar la comida?
¿Cuál horno tiene la mayor eficiencia de utiliza
ción de la energía? ¿Por qué? El calentamiento por
microondas se esta considerando para el secado de
ropa. ¿ Fn que diferiría la operación de una secado
ra de ropa de microondas de la de una secadora
convencional? ¿Cuál es probable que tenga la ma
yor eficiencia de utilización de energía y por qué?
(c) Considere una parte de su cuerpo expuesta (por
ejemplo, su antebrazo si viste una playera de man
ga corta) mientras está sentado en una habitación.
Identifique todos los procesos de transferencia de
calor que ocurren en la superficie de su piel. Para
conservar combustible y recursos, la esposa del in-
( apituln L ■ Introducción
geniero insiste en mantener el termostato de su ca
sa en 15°C (59°F) en los meses de invierno El in
geniero es capaz de tolerar esta condición si la
temperatura del aire ambiental exterior está por en
cinta de — 10°C ( 14°F), pero se queja de tener frío
si la temperatura ambiente cae muy por abajo de
este valor. ¿Esta imaginando cosas el ingeniero?
(d) Considere una tuente de luz incandescente que
consiste en un filamento de tungsteno encerrado en
un bulbo de vidrio lleno de gas. Suponiendo una
operación de estado estable con el filamento a
una temperatura de aproximadamente 2900 K. ela
bore una lista de lodos los procesos de transferen
cia de calor pertinentes para (i) el filamento y (ii)
el bulbo de vidrio.
(e) Hay considerable Ínteres por desarrollar materiales
de construcción con aislamiento de mejor calidad.
El desarrollo de tales materiales contribuiría mu
cho a la conservación de la energía reduciendo los
requerimientos de calentamiento espacial Se su
giere que sería posible obtener cal idades estructu
rales y de aislamiento superiores con el compuesto
que se muestra. El material consiste en un panal,
con celdas de sección transversal cuadrada, inter
caladas entre losas sólidas, l as celdas están llenas
de aire, y las losas, asi como la matriz del panal, se
fabrican con plásticos de baja conductividad térmi
ca. Identifique todos los procesos de transferencia
de calor pertinentes para el funcionamiento del
compuesto. Sugiera formas en las que sería posible
mejorar este funcionamiento.
Losas
superficiales
Espacios
celulares de aire
(f) Se usa la unión de un termopar para medir la tem
peratura de un chorro de gas caliente, que Huye a
través de un canal, insertando la unión en el chorro
de gas. La superficie del canal se enfria de modo
que su temperatura está por debajo de la del gas.
Identifique los procesos de transferencia de calor
asociados con la superficie de la unión. ¿La unión
percibirá una temperatura menor, igual o mayor
que la del gas? Una coraza de radiación es un tubo
pequeño de extremos abiertos que encierra la
unión del termopar. pero que permite el paso del
gas. ¿Cómo mejora el uso de tal coraza la preci
sión de la medición de la temperatura.1’
ases
Canal frió
A Unión del termopar
Coraza
(g) Una pantalla de vidrio doble contra fuego se inser
ta entre el hogar de una chimenea y el interior de
una habitación. La pantalla consiste en dos placas
verticales de vidrio separadas por un espacio a tra
vés del cual puede fluir aire de la hab tación (el es
pacio esta abierto en la parte superior y en la
inferior). Identifique los procesos de transferencia
de calor asociados con la pantalla contra f uego.
1
Canal de aire
Placa
de vidrio
Aire
1.53 Al considerar los siguientes problema» referentes a la
transferencia de calor con el ambiente natural (exterior),
se reconoce que la radiación solar tiene componentes de
longitud de onda larga y corta. Si esta radiación incide
sobre un medio semitransparente, como el agua o el vi
drio. le sucederán dos cosas a la parte no reflejada de la
radiación. El componente de longitud de onda larga sera
absorbido en la superficie del medio, mientras que el
componente de longitud de onda corta será transmitido
por la superficie.
(a) El número de vidrios de una ventana puede influir
de manera muy notable en la perdida o transferen
cia de calor de una habitación caliente al aire am
biente exterior. Compare las unidades de un solo
vidrio y de dos vidrios que se muestran identifican
do los procesos de transferencia de calor relevantes
para cada caso.
O
Aire
ambiental
Vidrio
doble
Aire de la
habitación
Un solo
vidrio
■ Problemas 4 1
(b) En un colector solar plano típico, la energía se
colecta mediante un Huido de trabajo que se hace
circular a través de tubos que están en buen contac
to con la cara posterior de una placa de absorción.
La cara posterior está aislada de los alrededores, y
la placa de absorción recibe la radiación solar so
bre la cara frontal, que normalmente esta cubierta
por una o mas placas transparentes. Identifique los
procesos de transferencia de calor relevantes, pri
mero para la placa de absorción sin cubierta y des
pués para la placa de absorción con cubierta de una
sola placa.
(c) El diseño de colector de energía solar que se mues
tra en la figura siguiente se u tili/a en aplicaciones
de agricultura. Se hace circular aire a través de una
tubería larga de sección transversal que tiene la
forma de un triángulo equilátero. Un lado del
triangulo se compone de una cubierta semitranspa
rente de dos vidrios, mientras que los otros dos la
dos están construidos con hojas de aluminio
pintadas de negro mate en el lado interno y cubier
tas en el exterior con una capa de aislante de espu
ma de poliuretano Durante los periodos soleados,
el aire que entra en el sistema se calienta para que
vaya a un invernadero, una unidad de secado de
granos o un sistema de almacenamiento.
Identifique todos los procesos de transferencia de
calor asociados con los vidrios de la cubierta, las
placas de absorción y el aire
(d) Los colectores solares de tubos al vacío son capa
ces de dar mejor rendimiento en relación con los
colectores planos. El diseño consiste en un tubo in
terior eueapsulado en un tubo externo que es trans
parente a la radiación solar. El espacio anular entre
los tubos esta al vacíoLa superficie opaca exterior
del tubo interior absorbe la radiación solar, y un
Huido de trabajo pasa por el tubo para colectar la
energía solar. LI diseño del colector por lo general
consiste en una fila de estos tubos acomodados
frente a un panel reflector. Identifique lodos los
procesos de transferencia de calor relevantes para
el funcionamiento de este dispositivo.
Radiación
solar
Tubos
al vacio
5n / / / / /
Panel
reflector1
Espacio
al vacio
Fluido de
trabajo
Tubo exterior
transparente
Tubo
interior
Cubierta
de dos
vidrios
y Espuma de
V poliuretano
CAPITULO
Introducción
a la conducción
•■ 1 ■ El modelo para In conducción 45
Kiu ka 2.2
H d ació n e n tre e l s is t e m a
«■uurderiHilu. la d ir e c c iA n
del flujo d e c a lo r y e l
gradiente d e leiii|K *ralu ra
en una d im e n sió n .
<tí <in
Fu.i RA 2.3
tortor (le flujo d o c a lo r
nurmul a un a iso te rm a
en un sistem a l»i(linicn.si«uial
de (oim lenada-s.
donde A, la conductividad térmica (W /m • K). es una propiedad importante del m ate
rial. Al evaluar esta expresión en el lím ite conform e A\ —» 0, obtenem os para la rapidez
de transferencia de calor
, d i
(2 1)
o para el flujo de calor
_ <L _ k d
A dx
(2.2)
Recuerde que el signo m enos es necesario puesto que el calor siem pre se tran íicre en
la dirección de la tem peratura decreciente.
La ley de Fouricr, escrita en la ecuación 2.2, implica que el llujo de calor es una
cantidad direecional. Fn particular, la dirección de q" es normal hacia el arca A de la sec
ción transversal O. de forma mas general, l.i dirección del flujo de calor siem pre sera
normal hacia una superficie de tem peratura constante, denom inada superficie isotérmi
ca La figura 2.2 ilustra la dirección del flujo de calor q" en una pared plana para la que
el gradiente de temperatura cíí/dx es negativo. De la ecuación 2.2, se sigue que q" es po
sitiva. Advierta que las superficies isotérmicas son planos norm ales a la dirección x
Si aceptam os que el flujo de calor es una cantidad vectorial, es posible escribir un
planteam iento más general de la ecuación de conducción (ley de Fouricr) com o sigue:
donde V es el operador nabla tridim ensional y T(.r, y, r) es el cam po escalar de tem pe
raturas Está im plícito en la ecuación 2.3 que el vector de flujo de calor se encuentra en
una dirección perpendicular a las superficies isotérmica'». Una forma alternativa de la
ley de Fourier es. por tanto,
dT
q"„= - k — (2.4)
donde q" es el flujo de calor en una dirección n. que es normal a una isoterma, com o se
m uestra en el caso bidim ensional de la figura 2.3. La transferencia de calor se sostiene
por un gradiente de tem peratura a lo largo de n N ote tam bién que el vector de flujo de
calor se resuelve en com ponentes de modo que, en coordenadas cartesianas, la expre
sión general para c f es
9 " = (•<?.: + K + kq" (2 5)
donde, de la ecuación 2.3, se sigue que
ch ~ k (l" = ~ k ^ 7 (1 ( )>
C ada una de estas expresiones relaciona el flujo de calor a través de una superficie con
el gradiente de tem peratura en una dirección perpendicular a la superficie. También es
ta im plícito en la ecuación 2.3 que el m edio en el que ocurre la conducción es isotró-
pico. Para este m edio el valor de la conductividad térm ica es independiente de las
direcciones coordenadas.
16 Capitulo 2 ■ Introducción n la conducción
Com o la ley de F ouncr es la piedra angular de la transferencia de calor por con
ducción. sus características clave se resumen como sigue. No es una expresión que de
rive de principios fundamentales: es. en cam bio, una generalización que se basa en
pruebas experimentales, lis también una expresión que define una propiedad material
importante, la conductividad térmica. Además, la ley de Fouricr es una expresión vec
torial que indica que el flujo de calor es normal a una isoterma y en la dirección de la
temperatura decreciente Finalmente, observe que la ley de Fourier se aplica para toda
la materia sin importar su estado, sólido, liquido o gaseoso
2.2
P rop iedades térmicas de la materia
B1 uso de la ley de Fourier hace obligatorio el conocimiento de la conductividad térmi
ca. Esta propiedad, a la que se hace referencia como propiedad de transporte, propor
ciona una indicación de la velocidad a la que se transfiere energía mediante el proceso
de difusión, y depende de la estructura tísica de la materia, atómica y molecular, que se
relaciona con el estado de la materia. En esta sección consideramos varias formas de
materia, mediante la identificación de aspectos importantes de su com portamiento y la
presentación de valores típicos de sus propiedades.
Comlucliv ¡dad térmica
Por la ley de Fourier. ecuación 2.6. la conductividad térm ica se define como
(3773*)
Se sigue que. para un gradiente de temperatura establecido, el flujo de calor por con
ducción aum enta con el incremento de la conductividad térmica. Recordando el meca
nismo físico asociado con la conducción (sección 1.2.1), se tiene que, en general, la
conductividad térmica de un solido es mayor que la de un liquido, que a su vez es ma
yor que la de un gas. Como se ilustra en la figura 2.4, la conductividad térmica de un
sólido puede ser más de cuatro órdenes de magnitud más grande que la de un gas. Esta
tendencia se debe en gran parte a las diferencias en el espacio interm olecular para los
dos estados.
Cinc Plata
METALES PUROS
Níquel Aluminio
ALEACIONES
Plásticos Hielo Óxdos
SÓLIDOS NO METÁLICOS
Espumas Fibras
SISTEMAS AISLANTES
Aceites Agua Mercurio
Dióxido de LIQUIDOS
carbono Hidrogeno
CASES
0.01 0.1 1 10 100
Conductividad térmica (W/m-k)
1000
F u á k a 2 . 4 E s c a l a
<l<‘ c o n d u c tiv id a d té r m ic a
p a ra d iv e r s o s e s ta d o s
d e la m a te ria a te m p e ra tu ra
y p re sió n n o rm a le s.
2 . 2 ■ Propiedades térmicas de la molería VI
E s ta d o s ó l id o t n la visión m oderna de los m ateriales, un sólido se com pone de
electrones libres y de átom os unidos en un arreglo periódico denom inado estructura
cristalina Por consiguiente, el transporte de energía térm ica se debe a dos electos* la
migración de electrones libres y las ondas vibracionales de la estructura cristalina. Es-
tos efectos son aditivos, de modo que la conductividad térmica k es la suma del compo
nente electrónico k. y el com ponente de la estructura cristalina k¡ \
k = ke + k¡
Ln una prim era aproxim ación, k es inversam ente proporcional a la resistencia eléctrica
p Para m etales puros, que son de baja p ,, k es m ucho m ayor que k . En contraste, pa
ra aleaciones, que son sustancialm ente de p grande, la contribución de k¡ a k ya no es
insignificante. Para sólidos no m etálicos, k esta determ inada principalm ente por k . que
depende de la frecuencia de las interacciones entre los átom os de la estructura cristali
na La regularidad del arreglo de la estructura cristalina tiene un electo im portante so
bre k¡, en los m ateriales cristalinos (bien ordenados) com o el cuarzo que tienen una
conductividad térm ica mas alta que los m ateriales am oríos com o el vidno. De hecho,
en solidos cristalinos no m etálicos, com o el diam ante y el óxido de berilio, k puede ser
bastante grande y exceder los valores de k asociados con buenos conductores, com o el
alum inio
1 a dependencia de k con respecto a la tem peratura se m uestra en la figuia 2.5 para
sólidos m etálicos y no m etálicos representativos. En las tablas A .l (sólidos m etálicos),
\ .2 y A .3 (sólidos no m etálicos) también se proporcionan valores para m ateriales s»e-
100 300 500 1 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0
Temperatura (K)
F lG lU A 2 . 5 D e p e n d e n c ia d e la c o n d u c t iv id a d I c im ie u c o n r e s p e c to
a la te m p e r a tu r a di- íó lid o s. s e le c c io n a d o s
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECAI O
leccionados de importancia técnica En diferentes publicaciones [1 ], seencuentran dis
ponibles tratamientos más detallados de la conductividad térmica.
S is te m a s a is la n te s Los aislantes térmicos se componen de materiales de baja con
ductividad térmica com binados para lograr un sistema de conductividad térmica aun
mas baja. En aislantes tipo fibra, polvo y escamas, el material solido se dispersa fina
mente en el espacio de aire Estos sistemas se caracterizan por una conducto idad téi mi
ca efectiva, que depende de la conductividad térmica y de las propiedades radiativas de
la superficie del material sólido, asi como de la naturaleza y fracción volumétrica del
aire o espacio vacío Un parám etro especial del sistema es su densidad global (masa
del sólido/volumen total), que depende en gran medida de la forma en la que se inter-
conecta el material solido
Si se forman pequeños vacíos o espacios huecos al pegar o fundir partes del mate
rial sólido, se crea una matriz rígida Cuando estos espacios se sellan, el sistema se de
nomina aislante celular Ejemplos de estos aislantes rígidos son los sistemas de
espuma, en particular los que se hacen con materiales plásticos y de vidrio. Los aislan
tes reflecto/es se componen de láminas u hojas delgadas multicapa paralelas de alta re
flexividad, que están espaciadas para reflejar el calor radiante de regreso a su fuente El
espacio entre las hojas se diseña para restringir el movimiento del aire, y el espacio in
cluso está al vacío en aislantes de alto rendimiento. En todos los tipos de aislantes, la
evacuación del aire en el espacio vacio reduce la conductividad térmica del sistema.
Es importante reconocer que la transferencia de calor a través de cualquiera de es
tos sistemas aislantes incluye varios modos, conducción por los materiales sólidos;
conducción o convección a través del aire en los espacios vacíos; y, si la temperatura es
suficientemente alta, intercambio de radiación entre las superficies de la matriz sólida
La conductividad térmica efectiva da cuenta de todos estos procesos, y en la tabla A.3
se resumen valores para sistemas aislantes seleccionados Hay muchas publicaciones
con inhum ación basica adicional y datos |2 , 3J.
E s ta d o lí(¡uido y g a s e o s o Com o el espacio intennolecular es mucho mayor y el
movimiento de las moléculas es más aleatorio para el estado líquido y gaseoso que pa
ra el sólido, el transporte de energía térmica es menos efectivo 1.a conductividad tér
mica de los gases y líquidos es por tanto menor que la de los solidos en general
El electo de la temperatura, presión y especies químicas en la conductividad térmi
ca de un gas se explica en términos de la teoría cinética de los gases [4] De esta teoría
se sabe que la conductividad térmica es directamente proporcional al numero de partícu
las por unidad de volumen n. la velocidad molecular media c y la trayectoria libre me
día A, que es la distancia promedio que viaja una molécula antes de sufrir una colisión.
De aquí
k a licÁ
Dado que c aumenta con el incremento de la temperatura y la disminución de la masa
molecular, la conductividad térmica de un gas aumenta con el incremento de la tempe
ratura y con la disminución del peso molecular Estas tendencias se muestran en la figu
ra 2 6 Sm embargo, com o n y A son directa e inversamente proporcionales a la presión
del gas, la conductividad térmica es independiente de la presión Esta suposición es
apropiada para las presiones de gas de interés en este texto. En consecuencia, aunque
los valores de k que se presentan en la tabla A 4 se obtuvieron a la presión atmosférica
Capítulo 2 ■ Introducción u la conducción
2 . 2 ■ Propiedades térmicas de la materia 49
O 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0
Temperatura (K)
F l G L R A 2 .6 Dependencia de la conductividad térmica de la temperatura
de gases seleccionados a presiones normales.
o a la presión de saturación que corresponde a la temperatura establecida, se aplican
también en un rango mucho más amplio.
Las condiciones moleculares asociadas con el estado líquido son más difíciles de
describir, y los mecanismos físicos para explicar la conductividad térmica no están
bien com prendidos [5]. Como se muestra en la figura 2.7, la conductividad térmica de
líquidos no metálicos por lo general dism inuye al aum entar la temperatura; las excep
ciones notables son la glicerina y el agua. Esta propiedad es insensible a la presión ex
cepto cerca del punto crítico. También, por lo común se sigue que la conductividad
térmica disminuye con el aumento en el peso molecular. Los valores de la conductivi
dad térmica normalmente se tabulan como función de la temperatura para el estado sa
turado del líquido. Las tablas A.5 y A.6 presentan estos datos para varios líquidos
comunes.
Los metales líquidos normalmente se usan en aplicaciones en flujos altos, como
ocurre en las plantas nucleares. En la tabla A .7 se da la conductividad térmica de estos
líquidos. Note que los valores son mucho mayores que los de los líquidos no metáli
cos 16J.
2.2*2 Otras propiedades relevantes
En nuestro análisis de problemas de transferencia de calor, será necesario utilizar mu
chas propiedades de la materia. Estas propiedades por lo general se denominan propie-
DCPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Unlverftldad Suiuh» ¿Jaiív̂ r <\ , i
Capítulo 2 ■ introducción a la conducción
Temperatura (K)
F lG I RA 2 .7 Dependencia de temperatura de la conductividad tcmiiea
de líquidos no metálicos obtenidos bajo condiciones saturadas.
dudes tennofísicas e incluyen dos categorías distintas: las propiedades de transporte y
las termodinámicas, l^as propiedades de transporte incluyen coeficientes de la veloci
dad de difusión como k, conductividad térmica (para transferencia de calor), y v, visco
sidad cinemática (para transferencia de momento). Las propiedades termodinámicas,
por otro lado, se relacionan con el estado de equilibrio de un sistema. La densidad (p) y
el calor específico (cp) son dos de estas propiedades que se usan extensamente en el
análisis termodinámico. El producto p cp (J/m3 • K), normalmente denominado capaci
dad térmica volumétrica, mide la capacidad de un material para almacenar energía tér
mica. Puesto que las sustancias de densidad grande se caracterizan por pequeños
calores específicos, muchos sólidos y líquidos, que son excelentes medios de alm ace
namiento de energía, tienen capacidades térmicas com parables (p cp > 1 M J/m3 • K).
Sin embargo, debido a sus muy pequeñas densidades, los gases son muy poco adecua
dos para el almacenam iento de energía térmica (p cp ~ 1 kJ/m3 • K). En las tablas del
apéndice A se proporcionan densidades y calores específicos para una amplia gama de
sólidos, líquidos y gases.
En el análisis de transferencia de calor, la razón de la conductividad térmica a la
capacidad térmica es una importante propiedad denom inada difusividad térmica a , que
tiene unidades de m2rs:
k
a = ------
PCp
Mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su ca
pacidad para alm acenar energía térmica. M ateriales de a grande responderán rápida
2 . 2 ■ Propiedades térmicas da la materia 5 1
mente a cambios en su medio térmico, mientras que los materiales de ex pequeña res
ponden más lentamente y tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.
La precisión de los cálculos de ingeniería depende de la precisión con la que se
conozcan las propiedades termofísicas [7-9] Se podrían citar numerosos ejemplos de
defectos en el diseno de equipo y procesos o fallas en el cum plimiento de especifica
ciones de funcionamiento, que fueron atribuibles a información errónea asociada con
la selección de los valores de las propiedades clave que se utilizaron en el análisis ini
cial del sistema. La selección de datos confiables de las propiedades es una parte inte
gral de cualquier análisis cuidadoso de ingeniería. Ha de evitarse el uso ocasional de
datos de publicaciones o manuales que no hayan sido bien caracterizados o evaluados.
Dela referencia 10 se obtienen valores recom endados de datos para muchas propieda
des termofísicas. Esta referencia, disponible en la mayor parte de las bibliotecas insti
tucionales. fue preparada por el Thermophysical Propcrties Research Center (TPRC)
de la Universidad de Purdue. Se mantiene un programa continuo para proporcionar una
cobertura extensa actualizada de propiedades termofísicas [ 11J.
E j e m p l o 2 .1
La ditusividad térmica a es la propiedad de transporte de control para la conducción
transitoria. Con valores apropiados de k, p y cp del apéndice A. calcule a para los si
guientes materiales a las temperaturas que se especifican: aluminio puio, 300 y 700 K:
carburo de silicio, 1000 K: paralina, 300 K
Sol l CIÓN
S e c o n o c e : Definición de la difusividad térmica a.
E n co n tra r : Valores numéricos de a para materiales y temperaturas seleccionadas.
P r o p ie d a d e s : Tabla A .l , aluminio puro (300 K):
k 237 W /m ■ Kp = 2702 kg/m 3
= 903 J/kg • K
k = 237 W /m • K
a =
p cp 2702 kg /m 3 X 903 J/kg • K
= 97.1 X 10~6 m 2/s <
Tabla A. 1, alum inio puro (700 K):
p = 2702 kg/m3 a 300 K
cp = 1090 J kg • K a 700 K (por interpolación lineal)
k = 225 W /m • K a 700 K (por interpolación lineal)
De aquí
k 225 W /m - K t ,
a = ------ = ------------------;---------------------------= 76 X 10 m /s <
p c„ 2702 kg /m 3 X 1090 J/kg • K
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Universidad Simón Bolívar Sodp dal Litoral
52 Capítulo 2 ■ Introducción a la conducción
Tabla A 2, carburo de silicio (1000 K).
p = 3160 kg/m3 a 300 K
cp = 1195 J/kg • K a 1000 K> a =
k = 87 W, m • K a 1000 K, 3160 kg/m 3 X 1195 J/kg ■ K
= 23 X 10 6 m 2/s
87 W/m • K
<3
Tabla A 3, parafina (300 K )-
p = 900 kg/m 3
cp = 2890 J kg • K a =
k = 0.024 W/m • K, p c p
k
900 kg /m 3 X 2890 J/kg • K
0.024 W /m • K
— 9.2 X 10 9 m 2/s <
C a m e n ta r ía s:
1. Advierta la dependencia de la temperatura de las propiedades termofísicas del alu
minio y del carburo de silicio. Por ejemplo, para el carburo de silicio, «(1000 K)
0 1 X a(300 K); en consecuencia, las propiedades de este material tienen una fuer
te dependencia de la temperatura.
2. La interpretación física de a es la que proporciona una medida del transporte de
calor (k) en relación con el almacenam iento de energía (p cf ) En general, los solí
dos metálicos tienen a más alta, mientras que los no metálicos (por ejemplo, para
fina) tienen valores de a más bajos.
3. La interpolación lineal de los valores de las propiedades es por lo general acepta
ble en los cálculos de ingeniería
4. El uso de densidad de baja temperatura (300 K) en altas temperaturas deja de lado
los efectos de la expansión térmica, pero también es aceptable para cálculos de in
geniería.
Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo
de temperatura en un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronte
ras. Es decir, deseamos conocer la distribución de temperaturas, que representa como
varia la tem peratura con la posición en el medio. Una vez que se conoce esta distribu
ción, el flujo de calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie
se calcula a partir de la ley de Founcr. También es posible determinar otras cantidades
importantes. Para un sólido, el conocimiento de la distribución de temperaturas sirve
para com probar la integridad estructural mediante la determinación de los esfuerzos
térmicos, sus expansiones y deflexiones. La distribución de temperaturas también es
útil para optim izar el espesor de un material aislante o para determ inar la compatibili
dad de recubrimientos o adhesivos especiales que se usen con el material.
Considerem os ahora la forma en que se determina la distribución de temperaturas
El método sigue la m etodología que se describe en la sección 1.3 3 de aplicación del
requerimiento de conservación de la energía. Fs decir, definimos un volumen de con
trol diferencial, identificamos los procesos de transferencia de energía relevantes e in-
2.3 ■ Ecuación de difusión de calar 53
T(x. y. z)
k.
£s
F lC I K A 2 .8 V u lu m e ii d r c o n tro l d ift r c n c u il . dx d y d z , p a ra el an íü s is d e c o n n crirtn en c o o r d e n a d a s
a rt e s ia n a s .
troducimos las ecuaciones de flujo apropiadas. El resultado es una ecuación diferencial
cuya solución, para las condiciones de frontera que se establecen, proporciona la distri
bución de temperaturas en el medio
Considere un medio homogéneo dentro del cual no hay movimiento de volumen
(adveccion) y en el que la distribución de temperaturas T(x, y, r) se expresa en coorde
nadas cartesianas. Al seguir la metodología de aplicar la conservación de la energía
sección 1 3 3), definimos prim ero un volumen de control infimtesimalmcnte pequeño
(diferencial), dx • dy • dz, como se muestra en la figura 2.8. Después de elegir que se
formule la primera ley en un instante, el segundo paso es considerar los procesos de
energía que son relevantes para este volumen de control. Si hay gradientes de tempera
tura, la transferencia de calor por conducción ocurrirá a través de cada una de las su
perficies de control. Las velocidades de transferencia de calor por conducción
perpendiculares a cada una de las superficies de control en las coordenadas .v, y y z se
indican con los términos qx, qy y qz, respectivamente Las velocidades de transferencia
de caloi por conducción en las superficies opuestas se expresan como una expansión en
senes de Taylor donde, dejando de lado términos de orden superior.
Expresado en palabras, la ecuación 2.7a simplemente afirma que el componente \ de la
rapidez de transferencia de calor en v + dx es igual al valor de este componente en x
más la cantidad por la que cambia con respecto a x veces dx.
W = qy + - g - dy (2.7b)
(2.7a)
(2.7c)
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Universidad Simún boc
54 Capítulo 2 ■ Introducción a la conducción
Dentro del medio también puede haber un termino de fuente de energía asociado
con la velocidad de generación de energía térmica. Este término se representa como
Ég = q d x dy dz (2-.8)
donde q es la rapidez a la que se genera energía por unidad de volumen del medio
(W /m '). Además, pueden ocurrir cambios en la cantidad de la energía térmica interna
almacenada por el material en el volumen de control. Si el material no experimenta un
cambio de fase, los efectos de energía latente no existen, y el termino de almacena
miento de energía se expresa como
dT
£ aim= P — dx dy dz (2 9)
donde p cp dTlDt es la rapidez de cambio temporal de la energía sensible del medio por
unidad de volumen. • •
Una vez más es importante advertir que los términos E y Ea\m representan diferen
tes procesos físicos. El término de generación de energía Eg es una manifestación de al
gún proceso de conversión de energía que incluye energía térmica por un lado y energía
química, eléctrica o nuclear por el otro. El termino es positivo (fuente) si la energía tér
mica se genera en el material a expensas de alguna otra forma de energía, es negativo
(sumidero) si la energía térmica se consume. En cambio, el término de almacenamiento
de energía £ alm se refiere a la tasa de cambio de la energía térmica almacenada por
la materia.
El ultimo paso en la metodología que se señala en la sección 1.3.3 es expresar la
conservación de la energía con el uso de las ecuaciones de flujo anteriores. Sobre una
base de rapidez, la forma general del requerimiento de conservación de la energía es
^ent Ég £sale ^alm 0
Así, al reconocer que las velocidades de transferencia de calor por conducción consti-
• •
tuyen el flujo entrante de energía, £ ent, y el flujo de salida, Esaie, y al sustituir las ecua
ciones 2 8 y 2.9, obtenemos
+ Qz + q d x d y d z ~ qx+dx ~ qy, dy
dT
~ Qz+dz = P cr ~ f r dx dy dz 10)
Sustituyendo de las ecuaciones 2.7, se sigue que
dqx dq^ dq , dT
- —— dx — r — dy — —- dz + q dx dy dz— pc„ — dx dy dz (2.11)
ox óy oz, oí
La rapidez de conducción de calor se evalúa a partir de la ley de Fourier,
dT
qx = —k d y d z *r— (2.12a)
dx
dT
q = —k d x d z — (2.12b)
dy
dT
q .= - k d x d y — (2.12c)
d z
2.3 ■ E c u a c ió n fie d ifu s ió n tic c a la r 5 5
donde cada com ponente de flujo de calor de la ecuación 2 6 se multiplica por el área de
la superficie (diferencial) de control apropiada para obtener la rapidez de transferencia
de calor Al sustituir las ecuaciones 2 12 en la ecuación 2 11 y dividir las dimensiones del
volumen de control (dx dy dz), obtenemos
d_
dx
d ( , d r ) d f , d r )
k + — + k — -J-------- k —
\ d x d y , d y , dz s dz j
+ q = p c .
dT_
~di
(2.13)
La ecuación 2.13 es la forma general, en coordenadas cartesianas, de la ecuación
de difusión de calor. Esta ecuación, conocida normalm ente como la ecuación de calen,
proporciona la herram ienta básica para el análisis de conducción de calor. De su solu
ción obtendremos la distribución de temperaturas T(.\, y, z) como luncion del tiempo
La aparente complejidad de esta expresión no debe ocultar el hecho de que describe
una condición física importante, es decir, la conservación de la energía. Se debe tener una
com prensión clara del significado físico de cada term ino que aparece en la ecua
ción Por ejemplo, el término ¿Kk dTldx)'f)x se relaciona con el flujo neto de calor por
conducción en el volumen de control para la dirección de la coordenada .v. Esto es, al
multiplicar por dx.
3 ( i d T \ / - "— I k — ) dx - qx - qx+dx (2.14)
con expresiones similares aplicadas para los flujos en las direcciones y y z. Expresado
en palabras, la ecuación de calor, ecuación 2 13. establece que en cualquier punto den-
tio del medio, la rapidez de transferencia de energía pót conducción en un volumen
unitario mas la rapidez de generación volumétrica de energía térmica debe ser igual a
la rapidez ele cambio de la energía térmica almacenada dentro del volumen
A m enudo es posible trabajar con versiones simplificadas de la ecuación 2.13 Por
ejemplo, si la conductividad térmica es una constante, la ecuación de calor es
d 2T d 2T d 2T q _ \_cfr_
d x 2 d y 2 d z k Oí d t
(2.15)
donde a = k p cp es la difusmdad térmica Con frecuencia son posibles simplificaciones
adicionales de la forma general de la ecuación de calor. Por ejemplo, en condiciones de
estado estable, tal vez no haya cambio en la cantidad de energía almacenada, de aquí la
ecuación 2 .13 se reduce a
Además, si la transferencia de calor es unidimensional (por ejemplo, en la dirección x)
y no hay generación de energía, la ecuación 2 16 se reduce a
d í d T '
k — 1 = 0
dx l dx
(2.17)
La implicación más importante de este resultado es que en condiciones unidiniensiona
les de estado estable, sin generación de energía, el flujo de calor es una constante en la
dirección de transferencia (dq"/d\ = 0)
Capitulo 2 ■ Introducción a la conducción
17: + íL
I* IGUltA 2 .9 Volumen de control diferencial, (Ir • r f/cj> • dz. pura el análisis
de conducción en coordenadas cilindricas (r , (f). r).
También es posible expresar la ecuación de calor en coordenadas cilindrica^ y cs-
féncas. Los volúmenes diferenciales de control para estos dos sistemas coordenados se
muestran en las íiguras 2.9 y 2 10
C oordenadas cilindricas Cuando el operador habla V de la ecuación 2.3 se expre
sa en coordenadas cilindricas, la forma general del vector de flujo de calor, y por ello
de la ley de Fourier, es
donde
dT k dT
<?</> = r d<j)
dT
(2.18)
(2.19)
do t do
F NU K \ 2 . 19 Volum.cn diíeretu ídl de control, dr • r sen 0 dtf) * dO, para
el análisis de conducción en coordenadas esféricas (r. ó . 0).
■ Enlacian de difusión de calor
son los com ponentes del Hujo de calor en las direcciones, radial, angular y axial, res
pectivam ente. Aplicando un balance de energía al volumen de control diferencial de la
figura 2.9. se obtiene la siguiente forma general de la ecuación de calor:
I d ( , d ikr ——
r dr d r )
* * 1
i d ( m
+ — — k —— r* d0\
di
(2.20)
C o o r d e n a d a s e s fé r ic a s En coordenadas esféricas la forma general del vector de
llujo de calor y de la ley de Fourier es
/ ar i ar i ar\
q " = —k T T = - k + * -------- « 3 7\ d r r oO rsen 6 oq> j
donde
d f // _
< /« -
k d T
7 de
U k dT
r s e n 6 d(p
(2 .21 )
(2 .22)
son los com ponentes del flujo de calor en las direcciones radial, polar y azimutal, res
pectivam ente. Al aplicar un balance de energía al volumen de control diferencial de la
figura 2.10. se obtiene la siguiente forma general de la ecuación de calor
1 d ( . d rkr4- —- | +
r 2 dr
1
di r 2sen2 0 dó
o ( k ? L
d(p
r2sen" # d(p
d ( . d r \ . dr
f " l o ) * = p c p ~dí
(2.23)
Ya que es importante que sea usted capaz de aplicar los principios de consen ación
a los volúm enes diferenciales de control, debe tratar de derivar la ecuación 2.20 o 2.23
(véanse los problem as 2 32 y 2.33). Advierta que el gradiente de tem peratura en la ley
de Fourier debe tener unidades ele K/m. Por tanto, cuando se evalúa el gradiente para
una coordenada angular, debe expresarse en términos del Cambio diferencial en longi
tud de arco. Por ejem plo, la com ponente del flujo de calor en la dirección angular de
un sistem a coordenado cilindrico es í/J = —(klr)(í)Tldó) y no q% — -A(rf/7r¿</>).
E j e m p l o 2 . 2
La distribución de temperaturas a través de una pared de 1 m de espesor en cierto ins
tante está dada com o
T{ v) = u + fu + ex2
donde T esta en grados Celsius y a en metros, mientras que a = 9(X)0C. b = — 30U°C/m.
y c = — 50°C/m 2. Una generación de calor uniform e, ¿j = 1000 W /m , esta presente
en la pared de área 10 m 2 que tiene las propiedades p = 1600 kg/m 1. k = 40 W /m * K ,
y cp = 4 kJ/kg • K.
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Universidad Simón Bolívar S*de de! Litoral
1. Determine la rapidez de transferencia de calor que entra en la pared (x = 0) y sale
de la pared ( v = 1 m).
2. Determine la rapidez de cambio del almacenam iento de energía en la pared.
3. Determine la rapidez con respecto al tiempo del cambio de temperatura en x = 0.
0.25, y 0.5 m.
Capítulo 2 ■ introducción u la conduce ion
SOLI CIÓN
So c o n o c e : Distribución de temperaturas T(x) en un instante de tiempo t en una pa
red unidimensional con generación uniforme de calor.
E n co n tra r :
1. Transferencias de calor de entrada a, ¿yent(.v = 0), y de salida, ¿/sa|e(v = 1), de la pa
red.
2. Rapidez de cambio del almacenam iento de energía en la pared. £ a|m.
3. Velocidad, respecto al tiempo, del cambio de temperatura en v = 0, 0.25. y 0.5 m.
E s q u e m a :
A = 10 m2
T(x) =
a + hx + cor
E
E-abn
-H
i) = 1000 W/m3
k = 40 W/m-K
p = 1600 kg/m3
cp = 4 kJ/kg-K
-► 9salc
S u p o s ic io n e s :
1. Conducción unidimensional en la dirección .v.
2. M edio homogéneo con propiedades constantes.
3. Generación interna de calor uniforme, r/(W /m3).
Análisis:
1. Recuerde que. una vez que se conoce la distribución de temperaturas para un me
dio, es sencillo determ inar la rapidez de transferencia de calor por conducción en
cualquier punto dentro del medio, o en las superíicics, con la ley de Fourier. Por
eso, las transferenc as de calor deseadas se determinan mediante la distribución de
temperatura que se estableció con la ecuación 2.1. Un consecuencia.
&m= <7,(0) = ~kA Í —
dx
= —kA(b + 2cx)x=0
x=Q
qM = - b k A = 300°C /m X 40 W /m • K X 10 m 2 = 120 kW <
2 .i t ■ Ecttat itm (/<* difusión de calar 5<>
De manera similar.
d r
<7^ = <7.(0 = —kA(b + 2 cx)x=L
= -( /> + 2cL)kA = — [ —300°C /m
+ 2(-50°C/m 2) X 1 m] x 40 W/m ■ K X 10 m2 = 160 kW <
2. La rapidez de cam bio del alm acenam iento de energía en la pared / . m se determi
na aplicando un balance de energía general a la pared. Con la ecuación 1.11a para
un volumen de control alrededor de la pared,
* * " %
'̂eni Eg ^alm
donde = qAL, se sigue que
^ a lm ^e n t ^ g ^ » * lc *?eni ^/salc
É m= 120 kW + 1000 W /m 3 X 10 n r X J m - 160 k\V
Éalm= - 3 0 k W <]
3. La rapidez, respecto al tiem po, del cam bio de la tem peratura en cualquier punto en
el medio se determ ina de la ecuación de calor, ecuación 2.15. reescrita com o
dT k d2T q
+dt p cp dx2 pcp
De la distribución de tem peraturas establecida, se sigue que
a 27 _ a /3 7 ’>
a ? - a.* ( a *
= — (b + 2 ex) = 2c = 2 ( -5 0 ° C /m 2) = - l00°C /m 2
ax
Observe que esta derivada es independiente de la posición en el medio. De aquí
que la rapidez respecto al tiem po del cam bio de tem peratura también es indepen
diente de la posición y está dada por
dT 40 W /m • K
d i = ’ 1600 kg/m 5 X 4 kJ/kg^ K X ( 100 ° m7)
1000 W/m’
+
1600 kg/m X 4 kJ/kg • K
3 T = -6 .25 x 10 C/s + 1.56 x lü"4oC/sa t
= -4 .6 9 X 10_4oC/s <
Comentarían:
1. Del resultado anterior es evidente que la temperatura en cualquier punto dentro de
la pared dism inuye con el tiempo.
6 0 Capitulo 2 ■ Introducción a la conducción
2. La ley de Fourier puede usarse siem pre para calcular la transferencia de calor por
conducción a partir del conocim iento de la distribución de tem peraturas, aun
para condiciones no estables con generación interna de calor.
22 4
Condiciones inicíalos y di* f ro n te ra
Para determ inar la distribución de tem peraturas en un m edio es necesario resolver la
forma apropiada de la ecuación de calor. Sin em bargo, esta solución depende de las
condiciones tísicas que existan en las fronteras del medio y, si la situación depende del
tiem po, también dependerá de las condiciones que existan en el medio en algún tiempo
inicial. Con respecto a las condiciones de frontera , ha> varias posibilidades comunes
que sim plem ente se expresan en forma matemática. Com o la ecuación de calor es de se
gundo orden en las coordenadas espaciales, deben expresarse dos condiciones de fronte
ra para cada coordenada necesaria en la descripción del sistema. Sin embargo, dado que
la ecuación es de prim er orden en el tiempo, debe cspccilicarse solo una condición, de
nom inada iaudición inicial.
Las tres clases de condiciones de frontera que norm alm ente se encuentran en la
transferencia de calor se resum en en la tabla 2.1. Las condiciones se especifican en
la superficie i - 0 para un sistem a unidim ensional. La transferencia de calor es en la
dirección \ positiva con la distribución de tem peraturas, que puede sei dependiente del
tiem po, designada com o T{x. t ). La prim era condición corresponde a una situación en
TABLA 2 .1 Condiciones de frontera para la ecuación
de difusión de calor en la superficie (x = 0)
1. Temperatura superficial constante
7(0. t) = Ts (2.24)
2. Flujo de calor superficial constante
(a) Flujo finito de calor
dT
— *~ </»
■ o
(b) Superficie adiabática o aislada
dT
= 0 (2.26)
.-o
TU. t)
Tu, i)
7(.r. i)
3. Condición de convección superficial
dT
= /»ir. - 7(0. o l (2.27)
*-0
T(0. /)
TU. t)
2 . 4 ■ Condiciones iniciales y do frontera 6 1
que la superficie se mantiene a una temperatura fija Ts. Ésta se denom ina normalmente
condición de Dirichlet, o condición de frontera de primera clase. Se aproxima mucho,
por ejemplo, cuando la superficie está en contacto con un sólido que se funde o con un
líquido en ebullición. En ambos casos hay transferencia de calor a la superficie, mien
tras que la superficie permanece a la temperatura del proceso de cambio de fase. La se
gunda condición corresponde a la existencia de un flujo de calor fijo o constante q" en
la superficie. Este flujo de calor se relaciona con el gradiente de temperatura en la su
perficie mediante la ley de Fourier, ecuación 2.6, que se expresa como
dT
q " M = - k —
ox x = 0
Esta se denom ina condición de Neumann, o condición de frontera de segunda clase, y
se logra uniendo un calentador eléctrico de película delgada o de parche a la superficie.
Un caso especial de esta condición corresponde a la superficie perfectamente aislada, o
adiabática, para la que HTIOx ̂_ 0 = 0. La condición de frontera de tercera c lase corres
ponde a la existencia de calentamiento (o enfriamiento) por convección en la superficie
y se obtiene del balance de energía en la superficie que se exam inó en la sección 1.3.2.
E jk m p l o 2 . 3
Una barra larga de cobre de sección transversal rectangular, cuyo ancho w es mucho
más grande que su espesor L, se mantiene en contacto con un sumidero de calor en la
superficie inferior, y la temperatura a lo largo de la barra es aproximadamente igual a
la del sumidero, T0. De pronto, se hace pasar una corriente eléctrica a través de la barra
y una corriente de aire de temperatura se hace pasar sobre la superficie superior,
mientras que la superficie inferior continúa m anteniéndose a Ta. Obtenga la ecuación
diferencial y las condiciones de frontera e inicial que se tendrían para determ inar la
tem peratura com o función de la posición y del tiempo en la barra.
S o l u c ió n
S e conoce: Una barra de cobre inicialmente en equilibrio térmico con un sumidero
de calor calentado de súbito por el paso de una corriente eléctrica.
E ncon trar: La ecuación diferencial y las condiciones de frontera e inicial necesa
rias para determ inar la temperatura como función de la posición y del tiempo dentro de
la barra.
E squem a:
i- Barra de cobre (A. a)
T{\, v. t) ~ T(x. t)
Capitulo 2 ■ Introducción a In conducción
Suposiciones:
1. Puesto que vi > L . los efectos colaterales son insignificantes y la transferencia de
calor dentro de la barra es principalm ente unidim ensional en la dirección v.
2. Generación volum étrica uniform e de calor, q
3. Propiedades constantes
Análisis: La distribución de tem peraturas es gobernada por la ecuación de calor
(2.13) que. para las condiciones de propiedades unidim ensional > constante del proble
ma actual, se reduce a
d2T q 1 dT
+ 7 = ( l ) <ox~ k a di
donde la tem peratura es una función de la posición y del tiempo, 7(.v, t). Com o esta
ecuación diferencial es de segundo orden en la coordenada espacial .\ y de primer or
den en el tiem po t, debe haber dos condiciones de frontera para la dirección \ v una
condición, llamada condición inicial, para el tiempo. La condición de frontera en la su
perficie inferior corresponde al caso 1 de la tabla 2.1. 1 n particular, com o la temperatu
ra de esta superficie se mantiene a un valor, Tfí, que se lija con el tiempo, se sigue que
7X0, /) = T0 (2) <3
Ln cam bio, la condición de convección de superficie, caso 3 de la tabla 2 1. es apropia
da para la superficie superior De aquí
dT
~ k ~ f c
= h[T(L.t) - 7 -J (3)
x = L
La condición inicial se infiere del reconocim iento de que, antes del cam bio en las con
diciones, la barra está a una tem peratura uniforme T„. Por ello
'/( v, 0) = T0 (4) <
Si se conocen T„% Lx. ¿¡ v h, se resuelven las ecuaciones 1 a 4 para obtener la distri
bución de tem peraturas que varían con el tiem po T{\. t) siguiendo la imposición de la
corriente eléctrica.
( 'o m e n t arios :
1. L1 sumidero de rulot en v = 0 se mantiene exponiendo la superficie a un baño de
hielo o uniéndola a una placa fría. Una placa fría contiene canales refrigerantes fa
bricados de un sólido de conductividad térm ica grande (usualm ente cobre). Al ha
cer circular un liquido (por lo com ún agua) a travos de los canales, la placa, y de
aquí la superficie a la que se une. se m antiene a una temperatura casi uniforme.
2. La tem peratura de la superficie superior T(L, t) cam biará con el tiempo. Lsta tem
peratura es una incógnita y se obtiene después de encontrar T{ i. /).
3. ¿Cóm o espera que vane la temperatura con a a diferentes tiempos después del
cam bio en las condiciones? Véase el problema 2.40.
■ Problemas 6 3
2.5
Resumen
Los propósitos principales de este capitulo fueron el de rae orar su comprensión de la
ecuación de la transfciencia de calor por conducción (ley de Lourier) y familiarizarlocon la ecuación de calor Debe conocer los orígenes c implicaciones de la ley de Fou
rier, y entender las propiedades térmicas clave y como varían para diferentes sustan
cias También debe conocer el significado físico de cada término que aparece en la
ecuación de calor ¿A qué formas se reduce esta ecuación para condiciones simplifica
das y que clases de condiciones de frontera sirven para solucionarla? En resumen, debe
haber com prendido la esencia del proceso de conduce on y su descripción matemática
En los tres capítulos que siguen em prendem os el análisis de conducción para numero
sos sistemas y condiciones.
Bibliografía
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calor específico, rad ación térmica, difusividad térmica y
expansión lineal térmica), Plenum Press, Nueva Y^rk,
1970 a 1977.
11. Center for Information and Numerical Data Analysis and
Synthesis (CINDAS , Purdue University, 2595 Ycagcr
Road, West Lafayette, IN 47906.
Problemas
Ley de L o u rie r
2.1 Suponga una conducción de calor unidimensional de
estado estable a i ravés de la forma s métrica ax al que
se mué tra abajo.
Suponiendo propiedades constantes y ninguna genera
ción de calor interna, bosqueje la distribución de tem
peratura en las coordenadas T —x. bxpliquc con
brevedad la forma de la curva que resulte
2.2 Una tubería de agua caliente con radio exterior /•, tiene
una temperatura T {. Se aplica un aislante grueso de ra
d o r2 y temperatura T para reducir la pérdida de calor.
Sobre coordenadas T —r. bosqueje la distribución de
temperatura en el ais ante para una transferencia de ca
lor un dimensional de estado estable con propiedades
6 4 Capítulo 2 ■ Introducción a In conducción
constantes. Dé una breve explicación que justifique la
forma de la curva que muestre.
2.3 Una capa esférica con radio interior r, y radio exterior
r2 tiene temperaturas superficiales 7j y T2. respectiva
mente, donde T > T2. Dibuje la distribución de tempe
ratura sobre coordenadas T —r. suponiendo conducción
unidimensional de estado estable con propiedades
constantes. De una breve explicación en la que justifi
que la forma de la curva que resulte.
2.4 Suponga una conducción de calor unidimensional de
estado estable a través de la forma simétrica que se
muestra.
ción de temperatura de estado estable asociada con la
transferencia de calor en una pared plana para tres ca
sos que corresponden a a > 0 , a = 0 y a < 0 .
2.7 En el sistema mostrado se produce una conducción de
estado estable unidimensional sin generación de calor.
L.a conductividad térmica es 25 W/m • K y el espesor L
es 0.5 m.
T\ —
/
- t2
Determine las cantidades desconocidas para cada caso
en la tabla siguiente y dibuje la distribución de tempe
ratura, indicando la dirección del flujo de calor.
u *
dTIdx Qx
Caso Tx T, (K/m ) (W/m2)
Suponiendo que no hay generación interna de calor, de 1 400 K 300 K
rive una expresión de la conductividad térmica k(x) pa 2 I00°C -2 5 0
ra estas condiciones: /Uv) = (1 — x). T(x) = 300(1 — 3 80°C + 2 0 0
2v — .v3), y q — 6000 W, donde A está en metros cua 4 —5°C 4000
drados, T en kelvin y x en metros. 5 30°C -3 0 0 0
2.5 Un cono truncado sólido sirve de soporte de un sistema
que mantiene la cara superior (trunca) del cono a una
temperatura T x, mientras que la base del cono está a
una temperatura T2 < T X.
Ua conductividad térmica del sólido depende de la tem
peratura de acuerdo con la relación k = ka — aT, donde
a es una constante positiva, y los lados del cono están
bien aislados. Las siguientes cantidades ¿aumentan,
disminuyen o permanecen igual con el aumento en a; la
velocidad de transferencia de calor qx, el (lujo de calor
<y", la conductividad térmica k y el gradiente de tempe
ratura d i d x l
2.6 Para determinar el efecto de dependencia de la tempe
ratura de la conductividad térmica sobre la distribución
de temperatura en un sólido, considere un material para
el que esta dependencia puede representarse como
k = k„ + aT
donde k(l es una constante positiva y a es un coeficiente
que puede ser positivo o negativo. Dibuje la distribu-
2.8 Considere condiciones de estado estable para una con
ducción unidimensional en una pared plana que tiene
una conductividad térmica k — 50 W/m • K y un espe
sor L — 0.25 m, sin generación interna de calor.
T \ - - T>
Determine el flujo de calor y la cantidad desconocida
para cada caso y dibuje la distribución de temperatura,
indicando la dirección del flujo de calor.
( 'a so 7',(°C) 7 2(°C) dTldx (K/ni)
1 50 - 2 0
2 - 3 0 - 1 0
3 70 160
4 40 - 8 0
5 30 200
2.9 Considere una pared plana de 100 mm de espesor
y conductividad térmica 100 W/m • K. Se sabe que
existen condiciones de estado estable con 7, = 400 K
y 7 . = 600 K. Determine el flujo de calor q"x y el gra
diente de temperatura cJTIdx para el sistema coordena
do que se muestra.
■ Problemas 65
V .1
7u>
ui) (¿) (<-)
2.10 Un cilindro de radio rt„ longitud L y conductividad tér
mica k esta inmerso en un Huido de coeficiente de con
vección h y temperatura desconocida Tx. En cierto
instante la distribución de temperatura en el cilindro es
T(r) = a + hr1, donde a y b son constantes. Obtenga
expresiones para la velocidad de transferencia de calor
en r y la temperatura del Huido
2.11 I n el cuerpo bidimensional que se ilustra, se encuentra
que el gradiente en la superficie A es HT/dy = 3U k/m
. Cuanto valen dTfdy y ñTUix en la superficie B ?
2.12 Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendi
das sobre tierra, sostenidas por columnas verticales de
acero (k = 25 W/m • K) de I m de longitud y sección
transversal de 0.005 m2. En condiciones normales de
operación, se sabe que la variación de temperatura
de un extremo a otro de la longitud de una columna se
rige por una expresión de la forma
/ = 100 - ISO i + lO r
donde l > v tienen unidades de °C y metros, respecti
vamenté. Las variaciones de temperatura son insignifi
cantes sobre la sección transversal de la columna.
Evalúe la temperatura y rapidez de conducción de calor
en la unión columna ducto (r = 0) y en la interfaz eo
lunuta tierra (.v = I m) Explique la diferencia en las
transferencias de calor.
2.13 Lna conducción unidimensional en estado estable se
produce en una varilla de conductividad térmica cons
tante. k. y de área variable de la sección transversal.
A (x) A„ea‘. donde A y a son constantes La super
ficie lateral de la varilla esta bien aislada.
ax
u .
(a) Escriba una expresión para la rapidez de conduc
ción de calor. q x( v). Use esta expresión para deter
minar la distribución de temperatura 7‘(.v) y dibuje
cualitativamente la distribución para 7(0) > 7\L) .
(b) Ahora considere condiciones para las que se gene
ra energía térmica en la varilla a una rapidezvolu
métrica q = q 0 cxp( - m ) , donde q„ es una
constante Obtenga una expresión para </,(') cuan
do la cara izquierda (v = 0) está bien aislada.
Priipiriliulrs termofísieus
2.14 Una varilla cilindrica sólida 0 .1 m de longitud y 25 mm
de diámetro está bien aislada en la parte lateral, mien
tras que las caras de sus extremos se mantienen a
temperaturas de 100 y 0°C. ¿Cuál c.s la rapidez de
transferencia de calor a través de la varilla si se cons
truye de (a) cobre puro, (b) aleación de aluminio 2024-
T6, (e) acero inoxidable A1S1 302, (d) nitruro de
silicio, (e) madera (roble), (f) óxido magnésico, 85% y
(g) Pyrex?
2.15 Un sistema unidimensional sin generación de calor tic
nc un espesor de 20 mm con superficies que se mantie
nen a temperaturas de 275 y 325 K Determine el flujo
de calor a través del sistema si se construye con (a) alu
minio puro, (b) acero ordinario al carbono, (c) acero
inoxidable 316 A1SI. (d) pyroceram. (c) Teflon y (0
concreto
2.16 Un anuncio por televisión de un bien coiUKido fabri
cante de aislantes afirma: no es el espesor del material
aislante lo que cuenta, sino el valor R El comercial
muestra que, para obtener un valor R de 19, necesita 18
pies de piedra. 15 pulgadas de madera o sólo 6 pulga
das del aislante del fabricante. ¿Es técnicamente razo
nable este comercial? Si usted es como la mayoría de
los telespectadores, no sabe que el valor R se define co
mo U k , donde ¿.(pulgadas) es el espesor del aislante y
A(Btu • pulgada;'lir • pie2 • ‘ F) es la conductividad tér
mica del material.
2.17 Un aparato para medir la conductividad térmica emplea
un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras
idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud,
prensadas entre placas que se mantienen a una tempe
6 6 Capítulo 2 ■ Introducción a la conducción
ratura uniforme T0 = 77°C mediante la circulación de
un fluido. Se pone grasa conductora entre todas las su
perficies para asegurar un buen contacto térmico. Se
empotran termopare^ diferenciales en las muestras con
un espaciado de 15 mm. Las caras laterales de las
muestras se aíslan para asegurar una transferencia de
calor unidimensional a través de las muestras.
(a) Con dos muestras de SS316 en el aparato, el calen
tador toma 0.353 A a 100 V y los termopares dife
renciales indican A7j = AT2 = 25 0°C ¿Cual es la
conductividad térmica del material de la muestra
de acero inoxidable? ¿Cuál es la temperatura pro
medio de las muestras? Compare sus resultados
con el valor de conductividad térmica de que se in
forma para este material en la tabla A .2
(b) Por error, se ha puesto una muestra de hierro Arin
co en la posición inferior del aparato con una de
las muestras de SS316 de la parte (a) en la parte
superior. Para esta situación, el calentador toma
0.601 A a 100 V, y los termopares diferenciales in
dican A /-, = A I'2 — 15 0°C. ¿Cual es la conducti
vidad térmica y la temperatura promedio de la
muestra de hierro Armco9
(c) ¿Cuál es la ventaja de construir el aparato con el
calentador intercalado entre dos muestras idénticas
y en lugar de construirlo con una sola combinación
muestra-calentador? ¿Cuándo resulta significativo
el escape de calor por la superficie lateral de las
muestras? ¿Bujo qué condiciones esperaría que
A7j * A/Y?
2.18 l n método comparativo común para medir la conduc
tividad térmica de metales se ilustra en el diagrama.
Muestras de prueba cilindricas (1 y 2) y una muestra de
referencia de igual diámetro y longitud se apilan bajo
presión y bien aisladas (no se muestran en el diagrama)
sobre las superficies laterales La conductividad térmi
ca del material de referencia, hierro Amico en este ca
so. se da por conocida con referencia a la tabla A.2.
Para la condición de extremo sumidero de Th = 400 K
y R, = 300 K. los termopares diferenciales que se in
sertan en las muestras con un espaciado de 10 mm in
dican ATr = 2.49°C y A 7 ,, = ATl2 = 3.32°C para las
muestras de referencia y de prueba, respectivamente.
(a) ¿Cuál es la conductividad térmica del material de
prueba? ¿Qué temperatura asignaría a este valor
m edido?
(b) ¿Bajo qué condiciones esperaría que AT,A no fuera
igual a A7", 2 ?
\ / Fuente de calor,
Th = 400K
Muestra
de prueba 1
Material
de referencia
Muestra
de prueba 2
\ Sumidero frío,
■A r = 300K
2.19 Un método para determinar la conduct vidad térmica k
y el calor específico cp de un material se ilustra en el
diagrama. Inicialmente las dos muestras idénticas de
diámetro D = 60 mm y espesor L = 10 mm y el delga
do calentador están a una temperatura uniforme de T =
23 00°C. mientras está rodeado por un polvo aislante.
Súbitamente el calentador se energiza para proporcio
nar un flujo de calor uniforme cj"a en cada una de las in
terfaces de la muestra, y el flujo de calor se mantiene
constante durante un intervalo AT(l. Poco tiempo des
pués de que se inicia el calentamiento subito, la tempe
ratura en su interfaz T0 se relaciona con el flujo de calor
como
TjLo - t , = 2 <?;;
1/2
7TpCpk j
Pata un ejercicio de prueba particular el calentador
eléctrico disipa 15.0 W por un periodo ATa = 120 s y la
temperatura en la interfaz es 7’,,(30 s) = 24.57°C des
pués de 30 s de calentamiento. Mucho tiempo después
de que el calentador se desconecta. / > A /'„ las mues
tras alcanzan la temperatura uniforme TJ*>) =
33.50°C. La densidad de los materiales de la muestra,
determinada por mediciones de volumen y masa, es p -
3965 kg/m .
■ Problemas 67
Muestra 1. D, l ,p
Conductores
del calentador
Muestra 2 D.L.p
Determine el calor especifico y la conductividad térmi
ca del material de prueba Con los valores de las pro
edades termoíisicas de la tabla A 2 identifique el
material de la muestra de prueba.
henar ion ‘le c a lo r
2.20 fin un instante determinado la distribución de tempera
tura dentro de un cuerpo infinito homogéneo est. dada
p ir la funu n
T(.\, y, z) — \ — 2y2 + z2 — .v\ + 2v :
Suponiendo prop edades constantes y n iguna genera
ción interna de c* lor, determine las regiones donde la
temperatura cambia con el tiempo
2.21 fin una \a r lia ci ndrica de 50 mm de diametr > de com
bustible de un reactor nuclear ocurre generación interna
de calor a q ~ 5 X 10 W/m . y en condiciones de es
tad.) estable li distribución de temperatura es T t) —
n + b r\ donde T esta en grados Celsius y r en metros,
mientras a = 800°C y h — —4 167 X 10 °C/m . Las
propiedades de la var lia de combust'ble son k
30 W/m • K, p — 1100 kg/m , y cp — 800 J k • K.
a) ¿Cuál es la velo» idad de transferencia de calor port
unidad de longitud de la var lia en i = 0 (linea
central) y en /- — 25 mm (superficie)9
(b) S el n \e l de potenc a del reactor aumenta súbita
mente a . = I0 8 W m , cuál es la velocidad de
cambio de emperat ra en el tiempo inicial en r =
0 y r — 25 mm?
2.22 Se observa que la d str bucion de ten peratura de estado
estab e en lina pared unidimensional de conductividad
térmica 50 \ \ n • K y cspcsoi 50 mm es T C> = o +
¡hx2, donde a = 200‘C. h = — 2000°C/m , y x esta en
metros
(a) ¿Cuál es i r< pidez de gener i ion de ca or </ en la
pared?
(b) Determine los flu jos de calor en las dos caras de la
pa ’d ¿,De que n a lera se relac onan estos flujos
de calor con la rapidez de generac ión de calo r7
2.23 La distrib ici in d t temperatura a través de una pared de
0.3 m de espeso en cierto instante es T(\) = a + bx +
ca . donde T está en g ados Celsius y \ en metros a =
2(K)°C h = - 200 C m. y f = 3 0 C/m La pared tiene
una conductividad term ca de I W/m • K
• . • « » » » % - * . « • «i* • # • i »» ' » _ . » • »» » _ « ~ %' » - , » i i » ' » (a) Tomando como base un area unitaria, determ ne la
veloc idad de transferencia de calor hacia dentro v
hacia tuera de la pared y la rapidez de cambio de
energía almacenada por la pared
(b) Si la superficie fría se expone a un fluido a 100 C.
,cual es el coeficiente de convección7
2.24 Un estanqueso ar con gradiente salino es un cuerpo de
agua poco profundo que consiste en tres capas fluidas
distintas y se utiliza para colectar energía solar Las ca
pas superior e interior están bien mezcladas y sirven
para mantener las super cíes superior e inferior de la
capa central a temperaturas uniformes T y T , donde
T2 > 7’,. Aunque hay un mov miento de fluido global
en las capas mezcladas, no existe este tipo de movi
miento en la capa central Considere condiciones para
las que la absorción de la radiación solar en la capa
central proporciona una encrac on no uniforme de ca
lor de la forma i) — A t y la distribución de tempera
tura en la capa central es
A
T(x) = - — t + Bx + C
ka~
Las cantidades A (W/m3), a (1 ni), B (K/m), y C (K )
son constantes conocidas que tienen las unidades que
se establecen, y k es la conductividad térmica, que tam
bién es constante.
Radiación
Capa mezclada
s -------------------------
Capa centra
estancada) K ■■<■■■* q x k
r h ~ — ----------
Capa ezcada—
----------------------------------------------------------
(a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se
transfiere calor por unidad de arca de la capa infe
rior mezclada a la capa central y de la capa central
a la capa superior mezclada
(b) Determine si las condiciones son estables o transi
torias.
(c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se
genera energía térmica en la capa central, por uni
dad de área super cial.
2.25 La distribución de temperaturas de estado estable en un
material semitransparente con conductividad térmica k
y espesor L expuesto a irradiación láser es de la forma
7T
C)
6 8 Capítulo 2 ■ Introducción a la conducción
T(x) = -
ka2
e + Bx+ C
donde A, a. B, y C son constantes conocidas. Para esta
situación, la absorción de radiación en el matenal se
manifiesta por un termino de generación de calor distri
buido, ¿7(.v).
Irradiación láser
2.26
Medio semitransparente, T(x)
(a) Obtenga expresiones para los flujos de calor por
conducción en las superficies superior c interior
(b) Derive una expresión para </(.v).
(c) Derive una expresión para la rapidez a la que se
absorbe la radiación en todo el material, por uni
dad de área superficial. Fxprcsc el resultado en
términos de las constantes conocidas para la dis
tribución de temperaturas, conductividad térmica
del material y espesor.
La distribución de temperaturas de estado estable en
una pared unidimensional de conductividad térmica k y
espesor L es 7 = ax3 + bx2 + ex + d. Derive expresio
nes para la rapidez de genera lón de calor por unidad
de volumen en la pared y los flujos de calor en las dos
caras de la pared (je = 0, L).
¿Es posible la distribución de temperaturas que se des
cribe? Explique en forma breve su razonamiento. Con
la temperatura en v = 0 , y la temperatura del fluido fija
en 7 0) = 0°C y T c = 20°C, respectivamente, calcule
y elabore una gráfica de la temperatura en i = / , T{L),
como función de h para 10 < /? < 100 W/m • K Ex
plique sus resultados de manera concisa
2.28 Una capa plana de carbón de espesor L = 1 m experi
menta una generación volumétrica uniforme a razón
de c¡ = 20 W/m3 debido a la oxidación lenta de las par
tículas de carbón. Promediada en un periodo diario, la
superficie superior de la capa transfiere calor por con
vección al aire del ambiente para el que h = 5 W/m2 ■
K y Toe = 25°C. mientras recibe irradiación solar por
la cantidad Gs = 400 W m2. La absortividad y emisivi
dad solar de la superficie son cada una as = e = 0.95
Aire del
ambiente
- .T —h .
1 0
L - I
7
(a) Escriba la forma de estado estable de la ecuac ón
de difusión de calor para la capa de carbón Veril -
que que esta ecuación se satisface para una distr-
bución de temperaturas de la forma
2.27| En una pared plana de conductividad térmica constante
está ocurriendo una conducción unidimensional en e s
tado estable sin generación de energía interna
<7 = 0
k = 4.5 W/m-K
T(x) = Ts +
qL 2
2 k
1 -
A partir de esta distribución, , qué puede decir so
bre las condiciones en la superficie inferior (.v =
0)? Dibuje la distribución de temperaturas y mar
que las características clave.
(b) Obtenga una expresión para la velocidad de trans
ferencia de ca or por conducción para un area uni
taria en v = L. Aplique un balance de energía a
una superficie de control sobre la superficie supe
rior de la capa y obtenga una expresión para Tf.
Evalué 7\ y 7(0) para las condiciones que se esta
blecen.
(c)| Los valores promedio diarios de G* y h dependen
de un numero de factores como la época del año, la
nubosidad y las cond ciones de viento Para h = 5
W ni • K, calcule y elabore una gráfica de Ts y
7(0) como función de G, para 50 ^ Gv ^ 500
W m Para Gs = 400 W /nv, calcule y elabore una
I J
Problemas 6 9
granea de Ts y T(0) como función de h para 5 ^ /?
< 50 W/m2 • K.
2.29 El sistema cilindrico que se ilustra tiene una variación
de temperatura insignificante en las direcciones r y r.
Suponga que A/- = ra — r es pequeña comparada con /
y denote la longitud en la dirección z. normal a la pági
na. como L.
T(r) = C,
' - ( i )
— + a
<t>
(a) Comenzando con un volumen de control definido
de forma apropiada y considerando los efectos de
generación y almacenamiento de energía, derive la
ecuación diferencial que describe la variación en
la temperatura con la coordenada angular $ . C om
pare su resultado con la ecuación 2 2 0 .
(b) Para condiciones de estado estable sin generación
interna de calor y con propiedades constantes, de
termine la distribución de temperatura T (é) en tér
minos de las constantes T,. T2, y r0. ¿Es lineal
en <£ esta distribución?
(c) Para las condiciones de la parte (b) escriba la ex
presión para la transferencia de calor q$.
2.30 Comenzando con un volumen de control diferencial en
la forma de una coraza cilindrica, derive la ecuación de
difusión de calor para un sistema coordenado radial ci
lindrico unidimensional con generación interna de ca
lor. Compare sus resultados con la ecuación 2.20
2.31 Comenzando con un volumen de control diferencial en
la forma de una cora/a eslénca, derive la ecuación de
difusión de calor para un sistema coordenado, radial,
esférico y unidimensional con generación interna de
calor. Compare su resultado con la ecuación 2.23
2.32 Derive la ecuación de difusión de calor, ecuación 2 20,
para coordenadas cilindricas, comenzando con el volu
men de control diferencial que se muestra en la hgura
2.9.
2.33 Derive la ecuación de difusión de calor, ecuación 2.23,
para coordenadas esféricas, comenzando con el volu
men de control diferencial que se muestra en la figura
2.10.
.34 Se cubre un tubo de vapor con un aislante de radios in
terior y exterior, r y /•„, respectivamente. En un instante
particular se sabe que la distribución radial de tempera
turas en el aislante es de la forma
¿Son condiciones de estado estable o transitorias? ¿Có
mo varían el flujo de calor y la rapidez de transferencia
de calor con el radio?
2.35 Para un tubo circular largo de radios intento y externo
/'i y r2, respectivamente, se mantienen temperaturas
uniformes 7j y T2 en las superficies interna y externa,
mientras la generación de energía térmica ocurre den
tro de la pared del tubo (/-j < r < r2). Considere condi
ciones de estado estable para las que 7j > T2. ¿Es
posible mantener una distribución de temperaturas ra
dial lineal en la pared? Si es así, ¿qué condiciones es
peciales deben existir9
2.36 El paso de una corriente eléctrica a través de una larga
varilla conductora de radio r¡ y conductividad térmica
k, tiene como resultado un calentamiento volumétrico
uniforme a una velocidad de q. La varilla conductora se
envuelve en un material de revestimiento no conductor
de radio externo /„ y conductividad térmica kc, y se su
ministra enfriamiento por convección med inte un flui
do contiguo.
Para condiciones de estado estable, escriba las formasapropiadas de las ecuaciones de calor para la varilla y
el revestimiento. Exprese condiciones de frontera apro
piadas para la solución de estas ecuaciones.
2.37 Un cable eléctrico de radio y conductividad térmica
kL, envuelto por una cubierta aislante cuya superficie
exterior tiene radio r2, experimenta transferencia de ca
lor por convección e intercambio de radiación con el
aire contiguo y alrededores, respectivamente. Cuando
pasa corriente eléctrica a través del cable, se genera
energía térmica dentro del cable a razón de q.
T T
Aire dei
ambiente
, l~ h
í í
Cable eléctrico
Aislante
rx, i
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
OhIvviíSitiuú i -*•>... ■ Sddfc ■' *■ .! a
o Cu]>ítulo 2 ■ Introducción a la conducción
(a) Escribí! las formas de estado estable de la ecuación
de difusión de calor para el aislante y el cable. Ve
rifique que estas ecuaciones sean satisfechas por
las siguientes distribuciones de temperatura:
Aislante: F(r) = Ts2 + (Ts t - Ts2)
ln (r/r2)
Cable: T(r) = 7,1 +
S ( - í r )
ln (r,/r2)
2
Dibuje la distribución de temperaturas. T(r). en el
cable y en la cubierta, señalando las características
clave.
(b) Aplicando la ley de Fourier. muestre que la rapidez
de transferencia de calor por conducción por uni
dad de longitud a través de la cubierta puede ex
presarse como
¿Ir =
2irkJLTtA - Ts2)
ln (r2/r ,)
Aplicando un balance de energía a una superficie
de control colocada alrededor del cable, obtenga
una expresión alternativa para q'r que exprese sus
resultados en términos de q y r,.
(c) Aplicando un balance de energía a una superficie
de control colocada alrededor de la superficie ex
terna de la cubierta, obtenga una expresión de la
que r , i se determine como función de q. /•,. h, Tx,
£ y Ta,r.
(d) Considere condiciones para las que 250 A pasan a
través de un cable que tiene una resistencia eléc
trica por unidad de longitud de /?' = 0.005 íi/m .
un radio de r, = 15 mm y una conductividad tér
mica de k{ = 200 W7ni • K. Para kx = 0.15 W/m •
K. r2 = 15.5 mm. h = 25 W W * K, e = 0.9, Tx =
25°C, y Taj, = 35°C: evalúe las temperaturas de las
superficies. Ts , y Ts2, &sí como la temperatura T
en la línea central del cable.
(e)| Con todas las otras condiciones sin cambio, calcu
le y elabore una gráfica de T,„ Ts ,, y Ts2 como fun
ción de r2 para 15.5 ^ r2 ^ 20 mm
38 Una cubierta esférica de radios interior y exterior r, y
r(>. respectivamente, contiene componentes disipadores
de calor y se sabe que en un instante particular la distri
bución de temperaturas es
C,
T(r) = — + C,
r
¿Son condiciones de estado estable o transitorias? ¿Có
mo varían el flujo de calor y la rapidez de transferencia
de calor con el radio?
39 Una mezcla química reactiva se almacena en un conte
nedor esférico de pared delgada cuyo radio es /•, =
200 mm. y la reacción exotérmica genera calor a una ra
zón volumétrica uniforme, pero dependiente de la tem
peratura de q - q exp( —A donde qv — 5000 W m ,
.4 = 75 K. y ro es la temperatura de la mezcla en kel-
vin. El recipiente está encerrado por un material aislante
de nidio exterior r2. conductividad térmica k y emisivi-
dad f La superficie externa del aislante experimenta
una transferencia de calor por convección y un inter
cambio neto de radiación con el aire adyacente y los al
rededores, respectiv ámente
T(r)
f 1 - (r,/r) 1
Dibuje la distribución de temperaturas. T(r), y se
ñale las características clave.
(b) Aplicando la ley de Fourier, muestre que la rapidez
de transferencia de calor por conducción a través
del aislante se expresa como
<lr =
4 irk{T%A ~ Ts2)
( l / r , ) - ( l / r 2)
Aplicando un balance de energía a una superficie
de control alrededor del recipiente, obtenga una
expresión alternativa para q, y exprese sus resulta
dos en términos de q y r,.
(c) Aplicando un balance de energía a una superficie
de control alrededor de la superficie externa del
aislante, obtenga una expresión de la cual 7f2 pue
da determinarse como función de q. r¡, h, T , e , y
7 » i r-
(d) El ingeniero de procesos desea mantener una
temperatura de reactor de Tn — 7(/ j) = 95°C en
condiciones paia las que k = 0.05 W m * K, r2 —
(a) Escriba la forma de estado estable de la ecuación
de difusión de calor para el aislante Verifique que
esta ecuación se satisfaga con la distribución de
temperaturas
Aire del
ambiente
Reacción
química, ¿¡(T )
Aislante,
k, í:
■ Problemas 7 1
208 111111. h = 5 W /n r • K, e = 0 .9, 7 a = 25°C y
7alr = 35°C. ¿Cuál es la temperatura de la super
ficie externa del aislante, Ts 2 ?
(e) Calcule y elabore una gráfica de la variación de
7í 2 ton r2 para 201 < r2 ^ 2 1 0 mm. El ingeniero
está preocupado por las lesiones y quemaduras que
pueda sufrir el personal que esté en contacto con la
superficie expuesta del aislante. ¿El aumento del
espesor del aislante es una solución práctica para
mantener 7 , 2 ^ 45°C? ¿.Que otros parámetros hay
que variar para reducir 7i2?
Representaciones! gráficas
2.40 En el ejemplo 2 3. consideramos una barra de cobre
que inicialmente estaba a una temperatura uniforme y
se calentó de pronto mediante el paso de una corriente
eléctrica Suponga que 7 X > 7„.
(a) En coordenadas T ^ —x, dibuje las distribuciones de
temperaturas para las siguientes condiciones: con
dición inicial (t ^ 0 ). condición de estado estable
(t —» 3°) y para dos tiempos intermedios. Suponga
que la corriente eléctrica es lo bastante grande
para que la superficie externa de la barra (v = L)
este mas caliente que el aire.
(b) En coordenadas q'[—t, dibuje el flujo de calor en
las caras de la barra. Es decir, muestre de forma
cualitativa como í/"(0, /) y q'[{L, t) varían con el
tiempo.
2.41 El sistema unidimensional de masa, M . con propieda
des constantes y sin generación interna de calor que se
muestra en la figura está inicialmente a una temperatu
ra uniforme 7 El calentador eléctrico se encrgiza súbi
tamente proporcionando un flujo de calor uniforme q"G
en la superficie x = 0. Las fronteras en x = L y en
cualquier parte están muy bien aisladas
Aislante
L —
Sistema,
masa M
Calentador
eléctrico
la) Escriba la ecuación diferencial c identifique las
condiciones inicial y de frontera que se podrían
asar para determinar la temperatura como función
de la posición y el tiempo en el sistema
(b) En coordenadas 7 —v, dibuje las distribuciones de
temperatura para la condición inicial (r < 0 ) y para
varios periodos después de que se energiza el ca
lentador ¿Se alcanzará en algún momento una dis
tribución de temperaturas de estado estable?
2.42
(c) En coordenadas q "x—/. dibuje el flujo de calor q ”(x,
i) en los planos x = 0, x = L/2. y x = L como fun
ción del tiempo.
(d) Después de transcurrido un tiempo /. se anula la
potencia del calentador. Suponga que el aislante es
perfecto, el sistema cvcntualmente alcanzará una
temperatura uniforme 7 Derive una expresión que
sirva para determinar 7 como función de los pará
metros q'¡„ te, 7,, y las características del sistema
M, cr . y A , (área de la superficie del calentador).
La pared plana con propiedades constantes y sin gene
ración interna de calor que se muestra en la figura esta
inicialmente a una temperatura uniforme 7,. La superfi
cie en x = I. se calienta de pronto con un fluido a 7*
que tiene un coeficiente de transferencia de calor por
convección h. La frontera en x = 0 está perfectamente
aislada.
Aislante
L ,
(a) Escriba la ecuación diferencial e identifique las
condiciones inicial y de frontera que servirían para
determinar la temperatura como función de la posi
ción y del tiempo en la pared.
(b) En coordenadas T—x\ dibuje las distribuciones de
temperatura para las siguientes condiciones: con
dición inicial (/ ^ 0 ), condición de estado estable
(/ —» se) y dos tiempos intermedios.
(c) En coordenadas q"x— t, dibuje el flujo de calor en x
= 0 y x = L Es decir, muestre de forma cualitativa
cómo í/"(0 , /) y </"(/.,t) varían con el tiempo.
(d) Escriba una expresión para la energía total transfe
rida a la pared por unidad de volumen de la pared
(J/m3).
2.43 Una pared plana tiene propiedades constantes, no pre
senta generación interna de energía y esta inicialmente
a una temperatura uniforme Tr De pronto, la superficie
en a — L se calienta por un fluido a 7 * que tiene un
coeficiente de convección h. En el mismo instante, el
calentador eléctrico se conecta y proporciona un flujo
de calor constante q"fí en x = 0 .
2 Capítulo 2 ■ Introducción a la conducción
Calentador
Aislante
T „ h
< r u
(a) Un coordenadas T —x, dibuje l*s distribuciones de
temperaturas para las siguientes condiciones: con
dición inicial (t ^ 0 ), condición de estado estable
(t ce) y para dos periodos intermedios.
(b) En coordenadas q"—x. dibuje el (lujo de calor que
corresponde a las cuatro distribuciones de tempe
ratura de la parte (a).
(c) En coordenadas q"x—/, dibuje el llujo de calor en
las posiciones i = 0 y .v = L. Es decir, muestre de
forma cualitativa cómo varían con el tiempo í/"(0 ,
i) y q’[{U t).
(d) Derive una expresión para la temperatura de estado
estable en la superficie del calentador. 7(0. •). en
términos de q"0, 7*. k. h y L .
44 Una pared plana con propiedades constantes está ini-
cialmentc a una temperatura uniforme T0. De pronto, la
superficie en x = L se expone a un proceso de convec
ción con un Huido a Tx (> Ta) que tiene un coeficiente
de convección h. También repentinamente la pared ex
perimenta un calentamiento volumétrico interno uni
forme q que es suficiente para inducir una temperatura
de estado estable máxima dentro de la pared, tempera
tura que excede la del fluido. La frontera en x = 0 per
manece a T0.
k, q(r ^0)
To
la) En coordenadas T —x, dibuje las distribuciones de
temperatura para las siguientes condiciones: condi
ción inicial (t í 0 ), condición de estado estable
(/ —> °°). y para dos lapsos intermedios. Muestre
también la distribución para la condición especial
cuando no hay un flujo de calor en la frontera x — L.
(b) En coordenadas q"— t, dibuje el flujo de calor en
las posiciones v = 0 y x = L , es decir, q"(0 . t) y
q'[(L. (), respectivamente.
2.45 Una hoja muy delgada, conductora eléctrica, se interca
la entre dos paredes planas no conductoras de electrici
dad de espesor equivalente L y conductividad térmica
k. Si se hace pasar una corriente eléctrica a través de la
hoja, se genera calor dentro de la hoja, lo que crea un
flujo de calor uniforme en la interfaz entre las paredes.
Considere condiciones para las que las paredes estén
inicialmente a una temperatura T, y el calentamiento
óhmico mantenga un flujo de calor uniforme q"} en la
interfaz para i ^ 0. Al mismo tiempo, las superficies
expuestas se mantienen a la temperatura lija T0 que ex
cede Tr
T —
—L
Hoja, q<!
— T
(a) En un sistema coordenado T—x. dibuje la distribu
ción de temperaturas 7 (.v) en las paredes ( — L <
v < +L) para la condición inicial (t = 0). paia a
condición final de estado estable (/ —> <*) y para
dos instantes de tiempo intermedios.
(b) En coordenadas </"—t. dibuje la variación del flujo
de calor local para las posiciones \ = 0 y x' = L. es
decir. </"(0 . i) y q”{L. t). respectivamente.
2.46 Una pared plana que está aislada en uno de sus lados
(jc = 0 ] está inicialmente a una temperatura uniforme
T¡, cuando la superficie expuesta en v = L se eleva de
pronto a una temperatura Ts.
(a) Verifique que la siguiente ecuación caracteriza de
forma correcta la variación subsecuente de la tem
peratura de la pared, V’(.v, /), con la posición y el
tiempo:
T(x , t) - Ts
donde C\ es una constante y a es la difusividad
térmica.
(b) Obtenga expresiones para el flujo de calor en x =
0 y a‘ = L.
(e) Dibuje la distribución de temperaturas T(x) en / =
0. t —> °c y en un periodo intermedio. Dibuje la va
riación con el tiempo del flujo de calor en v = L.
cí'LU).
d) <Qué efecto tiene a sobre la respuesta térmica del
material a un cambio en la temperatura de la super
ficie?
CAPÍTULO
Conducción unidimensional
de estado estable
(u p itu ln 3 ■ ( omlncción unidimensional tle estado estable
E n este capítulo tratamos situaciones en las que el calor se transfiere por difusión en
condiciones unidimensionales de estado estable. Lo de “ unidim ensionales” se refiere al
hecho de que sólo se necesita una coordenada para describir la variación espacial de las
variables dependientes. Así. en un sistema unidimensional existen gradientes de tempe
ratura a lo largo de una sola dirección coordenada y la transferencia de calor ocurre ex
clusivam ente en esa dirección. F1 sistema se caracteriza por condiciones de estado
estable si la temperatura en cada punto es independiente del tiempo. A pesar de su sim
plicidad inherente, los modelos unid mensionalcs de estado estable sirven para repre
sentar de forma precisa numerosos sistemas de ingeniería.
Iniciamos el análisis de la conducción unidimensional de estado estable con el aná
lisis de la transferencia de calor sin generación interna (sección 3.1 a 3.3). L1 objetivo
es determ inar expresiones para la distribución de temperatura y para la transferencia de
calor en geom etrías comunes. Se introduce el concepto de resistencia térmica (análo a
a la resistencia eléctrica) com o una ayuda para resolver problemas de transferencia de
calor por conducción. Después se trata el efecto de la generación interna de calor sobre
la distribución de tem peratura y la conducción de calor (sección 3.4). Finalmente, el
análisis de la conducción describe el funcionamiento de superficies extendidas o aletas,
en donde debe considerarse el papel de la convección en la frontera (sección 3.5).
3.1
Íaí pared plana
Para la conducción unidim ensional en una pared plana, la tem peratura es una función
sólo de la coordenada ,v. y el calor se transfiere exclusivam ente en esta dirección. En la
figura 3.1«. una pared plana separa dos fluidos con tem peraturas diferentes. La transk
rencia de calor ocurre por convección del fluido caliente a Tx , hacia una superficie de
la pared a T por conducción a través de la pared y por convección de la otra superfi
cie de la pared a Ts 2 Fluido frío a Tx 2-
Com enzam os por tom ar en cuenta las condiciones dentro de la pared. Primero de
term inam os la distribución de temperatura, de la que se obtiene la transferencia de ca
lor por conducción.
3 .1 .1 l)i>tril>uemii do temperatura
La distribución de tem peratura en la pared se determ ina resolv iendo la ecuación de ca
lor con las condiciones de frontera apropiadas. Para condiciones de estado estable sin
una fuente o sum idero de encigía dentro de la pared, la forma apropiada de la ecuación
de calor, ecuación 2.17, es
d t d T \
* ( * * ) - ° a "
En consecuencia, de la ecuación 2.2 se sigue que, para la conduce ión unidimensional de
estado estable en una pared plana sin generai ión interna de calor, el flujo de calor es
3 .1 ■ Im pared plana
x = L
! s, 1
-► o—/V W - o -
_1_
-AAV-
L
LA
n.2
Fluido frío
r S 2.*2
7» . 2
-o—A /v V ~ °
j
hpA
FlM UV 3 . J Transferencia de c ilor a través de una pared plana
(«) Disliilmrimi de temperatura (/;) Circuito térmico equivalente.
///7a constante, independiente de \ Si la conductividad térmica del material de la pared
se supone constante, la ecuación se integra dos veces para obtener la solución general
T(\) = C,.v + Cz (3 2)
Para obtener las constantes de integración, Cy y C 2. deben introducirse las condiciones
de frontera. Elegimos aplicar condiciones de la primera clase en x = 0 y x = L. en
cuvo casomi
T(0) = Ts, , y T(L) = Ts ,
Al aplicar la condición en x = 0 a la solución general, se sigue que
Ts, , = C2
De manera similar, en .v = L.
/ , 2 — + c 2 = C |/. + i
en cuyo caso
Al sustituir en la solución general, la distribución de temperatura es
R r ) = (7\ 7 v. ,) j + T ,tl (3.3)
7 6 Lapítulu 3 ■ Conducción unidimensionalde estado estable
De este resultado es evidente que, para la conducción unidimensional en estado esta
ble de una pared plana sin generación interna de calor ni conductividad térmica cons
tante, la temperatura varía de forma lineal con x.
Ahora que tenemos la distribución de temperaturas, utilizaremos la ley de Fouricr,
ecuación 2 I. para determinar la transferencia de calor por conducción. Es decir,
dT kA
c,x = - k A — = — ( 7 , , - 7 , 2 ) (3.4)
dx L
Advierta que A es el área de la pared normal hacia la dirección de la transferencia de
calor y. para la pared plana, es una constante independiente de x. El flujo de calor es
entonces
<!"x= - J - = l O,.,- 7 , 2) (3.5)
Las ecuaciones 3 4 y 3.*5 indican que tanto la transferencia de calor qx como el flujo de
calor q" son constantes independientes de x
En los párrafos precedentes usamos el enfoque esteindai para resolver problemas
de conducción. Es decir, la solución general para la distribución de temperaturas se
obtiene resolviendo primero la forma apropiada de la ecuación de calor. Las condicio
nes de frontera se aplican después para obtener la solución particular, que se usa con la
ley de Fourier para delernunai la transferencia de calor Note que optamos por estable
cer temperaturas superficiales en x = 0 y x = L com o condiciones de frontera, aunque
son las tem peraturas del fluido y no las temperaturas de las superficies las que se cono
cen normalmente. Sin embargo, com o las temperaturas contiguas del fluido y de la su
perficie se relacionan con facilidad mediante un balance de energía en la superficie
(véase la sección 1.3.2), es sencillo expresar las ecuaciones 3.3 y 3.5 en términos de
las temperaturas del fluido, en lugar de las de la superficie. De manera alternativa, es
posible obtener resultados equivalentes utilizando los balances de energía en la super
ficie com o condiciones de frontera de la tercera clase al evaluar las constantes de la
ecuación 3.2 (véase el problema 3.1).
3 .1 .2 Resistencia térmica
En este punto notamos que la ecuación 3.4 propone un concepto muy importante. Fia
particular, existe una analogía entre la difusión de calor y la carga eléctrica. De la
misma manera que se asocia una resistencia eléctrica con la conducción de electricidad,
se asocia una resistencia térmica con la conducción de calor. Al definir la resistencia co
mo la razón de un potencial de transmisión a la transferencia de calor correspondiente,
se sigue de la ecuación 3 4 que la resístale ¡a térmie a para la i omine e ion es
T*. / ~ Jj. 2 L
K,.cond = (/> - ^ 0-6)
De manera similar, para la conducción eléctrica en el mismo sistema, la ley de Ohm
proporciona una resistencia de la forma
_ _ (3.7)
/ erA
3 .1 ■ La pared plana
La analogía entre las ecuaciones 3.6 y 3.7 es obvia. Una resistencia térmica también se
asocia con la transferencia de calor mediante convección a una superficie. De la ley de
enfriam iento de Nevvton,
q = hA{Ts ~ Tr) (3.8)
la resistencia térmica para convección es entonces
T - T I
*,.co„v * ” = — (3.9)
q liA
Las representaciones de circuitos proporcionan una herramienta útil para concep-
tualizar y cuantificar problemas de transferencia de calor. El circuito térmico equiva
lente para la pared plana con condiciones de convección superficiales se muestra en la
figura 3.1 h La transferencia de calor se determina mediante la consideración por sepa
rado de cada elem ento en el enm allado Com o qx es constante a través del enmallado,
se sigue que
rI1 ' l1
oo 1 v i v i v 2 v 2 oo 2= — j = = (3 10)
Hx \ lh xA L/kA \th2A
En términos de la diferencia total de temperatura, Tx x — Y, 2, y de la resistencia tér
mica total. RtoX, la transferencia de calor también se expresa como
^OC I 2
c¡x = ------ (3.11)
*'tot
Com o las resistencias de conducción y convección están en serie y pueden sumarse, se
sigue que
1 L 1
Rtot — b b ----- (3.12)
h xA kA h2A
Con todo, sería pertinente otra resistencia si una superficie está separada de los al-
rededores por un gas (sección 1.2.3) En particular, el intercambio de radiación entre la
superficie y sus alrededores puede ser importante, y la transferencia se establece con
la ecuación 1.8. Se sigue que una resistencia térmica para radiación se define como
T, - 71,-' I
ví. rad —K , r , d = — = 7 - 7 (3 13)
‘/rad M
donde hF se determina a partir de la ecuación 1.9. Las resistencias de radiación y con
vección superficiales actúan en paralelo, y si Tx — / l)r, se combinan para obtener una
sola resistencia electiva de la superficie.
3 .1 .3 Pared compuesta
Los circuitos térmicos también sirven para sistemas más com plejos, como las paredes
compuestas. Estas paredes incluyen cualquier número de resistencias térmicas en serie
y en paralelo debido a capas de diferentes materiales. Considere la pared compuesta en
serie de la figura 3.2. La transferencia unidimensional de calor para este sistema se ex
presa como
7 8 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensionttl de estado estable
i» 1
s* Fluido^L
J» caliente i
J2
7
— Lb—
*c
B C
<ix
*■— ► A
J _ La. La . Le. _L
h\A k '̂A h$A
o-AAAr<>AAAr-o-AtyVK>-AA/V-o-AA/V-o
7o. 1 7 . 1 f 2 T3 TSm 4 700.4
’7oo.4
t i l
Fluido frió
r . 4 *4
F i g u r a 3 . 2 C irc u ito térm ico «equivalente para una pared com p uesta e r serie
T — T
Q .= (3 ,4 )
donde 7» j — 7^ 4 es la diferencia total de temperatura, y la suma incluye todas las re
sistencias térmicas. Por tanto,
7 o c . i T o e , 4 ^
q' = [(1 /h ,A) + (LAlkAA) + (L D/kBA) + (Lc/kcA) + (l/h AA)] ( f
De manera alternativa, la transferencia de calor se relaciona con la diferencia de tem
peratura y la resistencia asociadas con cada elemento. Por ejemplo,
T ,a - T , a t „ , - t2 t2 - t ,
a — ----------------- = ----------------= ---------------- — ••• (3.16)
Hx (M hxA) (LA/kAA ) (LBlkBA)
Con sistemas com puestos suele ser conveniente trabajar con un coeficiente global
de transferencia de calor, U, que se define con una expresión análoga a la ley de en
friam iento de Newton. En consecuencia,
qx = U A \T (3 17)
donde A 7 es la diferencia total de temperatura. El coeficiente global de transferencia
de calor se relaciona con la resistencia térmica total, y de las ecuaciones 3.14 y 3.17
vemos que UA = 1 ¡RUíl. De aquí, para la pared com puesta de la figura 3.2
1 1
U ~ RtMA ~ [ ( l/ / i,) + (LA/kA) + (LB/kB) + (Lc/kc) + (1//,4)1 (318)
En general, se puede escribir
^2" |
« , » = ! « , = — = — (3.19)
a UA
i t . l ■ Ixt /Hircd plana 7 9
T\
— Lt
*F
E
I ."t
k
H
Area A
J
L ,
keA
k¿W )
—vw w —
-► o—v v M
J s
kfiA/2)
—W V
► O'i
At(A/2)
L-AA/V
k^AfT)
A V v W
(o>
kf{AÍ2)
-AA/WV
T¿ÁÍ2)
A/VW V
ÍH
ó—AA/V-0
/-K
*H(A/2)
AA/V-i
ó r ,
*h(a /2)
A /W —1
( b )
F lC l KA 3 .3 Circuitos trrmicos equivalentes para una pare*!
«■ompuesta en «.crie-paralelo.
Las paredes com puestas tam bién se caracterizan por configuraciones en serie-pa
ralelo. com o la que se m uestra en la figura 3.3. A unque el flujo de calor es ahora bidi
m ensional, a m enudo es razonable suponer condiciones unidim ensionales. Sujetos a
esta suposición, nos es posible usar dos circuitos térm icos diferentes. Para el caso (a) se
supone que las superficies norm ales a la dirección x son isotérm icas, m ientras que para
el caso (b) se supone que las superficies paralelas a la dirección \ son adiabáticas. Se
obtienen diferentes resultados para RM, y los valores correspondientes de q relacionan
la transferencia real de calor, bstas diferencias aum entan con el increm ento de kF —
kc,]. conform e lo* efectos bidim ensionales se vuelven más significativos.
3 .1 .1 Resistencia <1<* contarlo
Aunque se desestim ó hasta ahora, es im portante reconocer que, en sistem as com pues
tos, la caída de tem peratura a lo largo de la interfaz entre los m ateriales puede ser
grande Este cam bio de tem peratura se atribuye a lo que se conoce com o resistan ni
térmica de contacto, R, (. b l efectose m uestra en la figura 3.4. y para una unidad de
área de la interfaz, la resistencia se define com o
T a - T u
r , = - *■■— »- (3.20)
*71
La existencia de una resistencia de contacto finita se debe principalm ente a los
efectos de la rugosidad en la superficie. Se entrem ezclan puntos de contacto con hue-
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Flíil RA 3 . 1 Caída dr U‘inj)f ralura debido l.i resistencia térmica
fie contacto.
eos que en muchos casos se llenan con aire. La transferencia de calor se debe, por tan
to, a la conducción a través del área de contacto real y a la conducción y/o radiación
por los huecos. La resistencia de contacto se considera com o dos resistencias paralelas:
la que se debe a los puntos de contacto y la de los huecos. El área de contacto es nor
malmente pequeña y, en especial para superficies rugosas, la contribución principal a
la resistencia la realizan los huecos.
Para sólidos cuyas conductividades térmicas exceden la del fluido de la interfaz, la
resistencia de contacto se reduce aumentando el área de los puntos de contacto. Este
aumento se genera mediante el incremento de la presión en la unión y/o reduciendo la
rugosidad de las superficies acopladas. La resistencia de contacto también se reduce
con la selección de un fluido en la interfaz de conductividad térmica grande. A este res
pecto, quitar el fluido (interfaz al vacío) elimina la conducción a través del hueco, con
lo que aum enta la resistencia de contacto.
Aunque existen teorías para predecir R ” t . los resultados más confiables son los
que se han obtenido de manera experimental. El efecto de presionar interfaces metáli
cas se ve en la tabla 3.1a, que presenta un rango aproximado de resistencias térmicas
en condiciones de vacío. El efecto del fluido de interfaz sobre la resistencia térmica de
una interfaz de aluminio se muestra en la tabla 3.1/?.
Contrariamente a los resultados de la tabla 3.1, muchas aplicaciones implican con
tacto entre sólidos diferentes y/o una amplia gama de posibles materiales intersticiales
T abla 3 . 1 R esistencia térm ica de contacto para a) in terfaces m etálicas
en condiciones de vacío, y (/>) interfaz de alum inio (rugosidad de la superficie
de 1 0 ¡j l ih . 1 0 ’ N /n r con d iferen tes fluidos de interfaz [ 1 J
Resistencia térmica, R'¡ c X 104 (ni2 • K W)
(a) Interfaz al vacío (b) Fluido en la interfaz
Presión de contacto 100 kiNVm2 10,000 kN/m2 Aire 2.75
Acero inoxidable 6-25 0.7-4.0 Helio 1.05
Cobre 1-10 0.1-0.5 Hidrógeno 0.720
Magnesio 1.5-3.5 0.2-0.4 Aceite de silicio 0.525
Aluminio 1.5-5.0 0.2-Q.4 Glicerina 0.265
3*1 ■ Iai partid plana
TABLA 3 . 2 R esistí tu ia térm ica de interfui sólido/sólido represen tativas
8 1
Interfaz R”c X I04 (m2 • K/W) Fuente
Chip de silicio/aluminio recubierto en
aire (27-500 kN /nr)
0 3-0.6 [21
Aluminio/aluminio con relleno de hoja
de indio (—100 kN/m2)
-0 .0 7 [1,3]
Acero inoxidable/acero inoxidable con
relleno de hoja de indio (—3500 kN/m2)
-0 .0 4 | l , 3
Aluminio/aluminio con recubrimiento
metálico (Pb)
0.014) 1 14]
Aluminio/aluminio con grasa
Dow Corning 340 (— 100 kN /nr)
-0 .0 7 [L3]
Acero inoxidable/acero inoxidable con
grasa Dow Corning 340 (—3500 kN/m2)
-0 .0 4 [L 3]
Chip de silicio/aluminio con resina
epoxica de 0 .0 2 mm
0 2-0.9 151
Bronce/bronce con soldadura de estaño
de 15/xm
0 025-0.14 [6
(de relleno) (tabla 3 2) Cualquier sustancia intersticial que llene el hueco entre superfi
cies en contacto, y cuya conductividad térmica exceda la del aire, hará dism inuir la re
sistencia de contacto. Dos clases de materiales adecuados para este propósito son los
metales suaves y las grasas térmicas. Los metales, que incluyen indio, plomo, estaño y
plata, se insertan com o una hoja delgada o aplican a modo de recubrimiento delgado a
uno de los materiales base. Las grasas térmicas basadas en silicio son atractivas porque
tienen la capacidad de llenar por completo los intersticios con un material cuya con
ductividad térmica es 30 veces la del aire
A diferencia de las interfaces precedentes, que no son permanentes, muchas inter
faces implican uniones permanentes. La unión podría formarse con una resina epoxi-
ca, una soldadura suave rica en plomo o una soldadura am arilla como una de aleación
oro/estaño Debido a las resistencias de la interfaz entre los materiales base y de unión,
la resistencia térmica real de la unión excede el valor teórico (L/k) calculado a partir
del espesor L y la conductividad térmica k del material de unión La resistencia térmica
de las uniones epóxicas y soldadas también resulta afectada de forma adversa por va
cíos y grietas, que se forman durante la fabricación o como resultado de ciclos térmi
cos durante la operación normal.
En Snaith y colaboradores [3], M adhusudana y Fletcher [71 y Yovanovieh 181, se
proporcionan análisis extensos de resultados y modelos de la resistencia térmica de
contacto.
E j e m p l o 3.1
Uno de los principales fabricantes de electrodomésticos propone un diseno de horno
con autolimpieza que implica el uso de una ventana compuesta que separa la cavidad
del horno del aire ambiental. El com puesto consistirá en dos plásticos de alta tem pera
tura (A y B) de espesores LA = 2LH y conductividades térmicas kA = 0.15 W/m • K y
Ab = 0.08 W/m • K Durante el proceso de autohm pieza, las temperaturas de la pared
y del aire del horno, Tf y Ta, son 400°C, mientras que la temperatura del aire del cuarto
DEPARTAMENTO de biblioteca
Universidad Slm6n ■* <?*de del Lito^»
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Too es 25°C. Los coeficientes de transferencia de calor internos por radiación y convec
ción h, y hr así como el coeficiente de convección externa hü, son, cada uno, aproxima
dam ente 25 W hn2 • K. ¿Cuál es el espesor mínimo de la ventana, L = ¿ A + LB,
necesario para asegurar una temperatura que sea 50°C o menor en la superficie externa
de la ventana? Por razones de segundad, esta temperatura no debe ser mayor.
Soi.rció.N
Se conoce: Propiedades y dimensiones relativas de los materiales plásticos que se
utilizan para una ventana com puesta del horno, y las condiciones asociadas con la ope
ración de autolimpieza.
E ncontrar: Espesor com puesto LA + LB necesario para lograr una operación segura.
E squem a:
— Cavidad
del horno
Ventana
compuesta,
U = 2 LB lb
1
» 7 \ (l ¿50 C, C.«_
itl— 1
I
I
B, kB = 0.08 W/m • K
U . * A = 0.15 W/m • K
a - Tx = 400°C
A,re ht, = 25 W/m* • K
Suposic iones:
1. Existen condiciones de estado estable.
2. La conducción a través de la ventana es unidimensional.
3. La resistencia térm ica de contacto es insignificante.
4. La absorción de la radiación dentro de la ventana es insignificante; por ello no hay
generación interna de calor (el intercambio de radiación entre la ventana y las pa
redes del horno ocurre en la superficie interna de la ventana).
5. El intercambio de radiación entre la superficie externa de la ventana y los alrede
dores es insignificante.
6. Cada plástico es homogéneo con propiedades constantes.
Análisis: El circuito térmico puede construirse reconociendo que la resistencia al flu
jo de calor se asocia con la convección en la superficie externa, la conducción en los
plásticos, y la convección y la radiación en la superficie interna. En consecuencia, el cir
cuito y las resistencias son de la siguiente forma.
1
h¡A
3 .1 ■ Tai pared plana « 3
Com o la tem peratura de la superficie extem a de la ventana, Ts ,, está establecida, el es
pesor que se requiere en la ventana se obtiene aplicando un balance de energía en esta
superficie. Es decir, de la ecuación 1.12
F = F£-'ent c salc
donde, de la ecuación 3.19, con TP = Ta,
T - 7
E = g = « *.»
y de la ecuación 3 8
' e n t I Rf
La resistencia térm ica total entre la cavidad del horno y la superficie externa de la ven
tana incluye una resistencia efectiva asociada con la convección y la radiación, que ac
túanen paralelo en la superficie interna de la ventana, y las resistencias de conducción
de los materiales de la ventana. De aquí
i i \ - i ¿ A . ¿ B
T T 7 - T + T ^ + 7 7 +
O
[/h,A \lhrA j kAA kHA
A \ h¡ + hr kA 2kB
Al sustituir en el balance de energía, se sigue que
T - T* a x s. o
(h, + hr) 1 4- (LA/kA) 4- (LAl2kh)
En consecuencia, al resolver para LA.
(1 lhfí){Ta - T,„)/(Ts.a - T J - (h, + hr) 1
= K (T S' 0 ~ T J
La =
(1 /kA 4- 1/2 *„)
/ 4 0 0 - 50/4UU — j U\
0 04 m 2 • K /W — -----— - - 0 .02 m 2 • K /W
V 50 — 25 y
La = ---------------- — 2-------------- = 0 .0418 m
A (1/0 15 4- 1/0.16) m • K /W
Como Lb = La/2 = 0.0209 m,
L = La 4- Lb = 0.0627 m = 62.7 mm <1
C om entarios:
1. La operación de autolimpieza es un proceso transitorio, en lo que se refiere a la
respuesta térmica de la ventana, y las condiciones de estado estable tal vez no se
alcancen en el tiempo que se requiere para la limpieza. Sin embargo, la condición
de estado estable proporciona el valor máximo posible de Ts 0 y por ello es ade
cuada para el cálculo del diseño.
2. El intercambio de radiación entre las paredes del homo y la ventana compuesta real
mente depende de la temperatura T5 ,, y, aunque no se toma en cuenta, hay inter
cambio de radiación entre la ventana y los alrededores, que dependen de Ts a. Un
DEPARTAMENTO DE BlBLIOrECA
Universidad Simón Bolívar ■ Sede del Litoral
Capitulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
análisis más completo se lleva a cabo para determinar al mismo tiempo Tx , y Ts .
Al aproximar la cavidad del homo como un recinto grande con relación a la ventana
y aplicar un balance de energía, ecuación 1 12, en la superficie i nterna. se sigue que
w i n
H rad. i ' conv / Q cond
O
~ n , ) + h,(Tu - =
( £ a / * a )
(1)
Aproximando las paredes de la cocina como un recinto isotérmico grande en rela
ción con la ventana, con FP 0 = T^, y esta vez con la aplicación de un balance de
energía en la superficie externa, se sigue que
// /; i tt
H cond H rad o ' conv, o
O
T - T* S , I * .Y, o
(LA/kA) + (LB/*B) = e<rOlm0- T Í m0) + h0{TSm0- T J ) (2 )
Si todas las demás cantidades se conocen, las ecuaciones I y 2 se resuelven para
r s. i y Ts% o-
Deseamos explorar el efecto que tenga sobre Ts u una variación de velocidad,
y de ahí el coeficiente de convección, asociado con el flujo de aire sobre la super
ficie externa. Con e = 0.9 y todas las otras condiciones iguales, las ecuaciones 1 )
2 han sido resueltas para valores de ha en el rango 0 < fia < 100 W /m2 • K . y los
resultados se presentan de forma gráfica.
Al aum entar ha se reduce la resistencia de convección correspondiente, y un valor
de hü — 30 W /m2 • K dará una temperatura segura al tacto de Ts (, = 43°C. Como
la resistencia de conducción es tan grande, el cam bio en hu tiene un efecto insigni
ficante sobre Ts ¡. Sin embargo, influye en la temperatura de la superficie externa,
y conforme h„ —> ce, Ts „ —> Tx.
Ljkvii' i .o 3 .2
Un chip delgado de silicio y un sustrato de aluminio de 8 mm de espesor están separa
dos por una unión epóxica de 0.02 mm de espesor. 1-1 chip y el sustrato tienen cada uno
• t . l ■ Lu p a r e d [tlana
10 mni de lado, y las superficies expuestas se enfrían con aire, que está a una tem pera
tura de 25°C y proporciona un coeficiente de convección de 100 W /m 2 • K. Si el chip
disipa 104 W /m 2 bajo condiciones norm ales, ¿operará por debajo de una tem peratura
m áxim a perm isible de 85°C?
S o l í c ió n
S e co n o ce : D im ensiones, disipación de calor y tem peratura m áxim a perm isible de
un chip de silicio. El espesor del sustrato de alum inio y la unión epóxica. Condiciones
de convección en las superficies expuestas del chip y el sustrato.
E n c o n tra r : Si se excede la tem peratura m áxim a perm isible.
E sq u e m a :
f at 25°C
/! = 100 W/m? • K
^ i
T-,
r Aislante
Union epóxica
(0.02 mm)
Sustrato
de aluminio
Aire
I
h
L_
k
h
T, = 25°C
h = 100 W/m2 • K
1
Sup o sic io n es:
1. C ondiciones de estado estable.
2. C onducci Sn unidim ensional (transterencia de calor insignificante de los lados del
com puesto).
3. R esistencia térm ica insignificante del chip (chip isotérm ico).
4. P ropiedades constantes.
5. Intercam bio de radiación insignificante con los alrededores
P rop iedades: Pabla A. 1, alum inio puro (T ~ 350 k ): k = 238 W /m • k .
A n ális is : El calor que se disipa en el chip se transfiere al aire de m anera directa des
de la superficie expuesta y de modo indirecto a través de la unión y el sustrato. Al eje
cu tar un balance de energía sobre una superficie de control alrededor del chip, se sigue
que. sobre la base de un área unitaria de superficie,
<7,'- = + q \
o
<lc = +
T - TTr - T .
( l / / i ) ' R",.c + (L/k) + (!//))
Para estim ar de m anera conservadora T, . se obtiene de la tabla 3.2 el máx mo valor po
sible de R" ( = 0 9 X 10 4 m 2 • K/W. De aquí
C a p itu lo 3 ■ ( ' andar ción unidimensional de estado estalde
Tc = t . + q; h +
R't[c + (L A ) + (1 fh)
- 1
o
T = 25°C + 104 W /m2
lü ü +
I
r, =
(0.9 + 0.34 4- 100) X 10 4
25°C 4- 50.3°C = 75.3°C
- i
m2 • KAV
Por ello el chip operará por debajo de su m áxim a tem peratura permisible.
C om en tario s ;
1. Las resistencias térm icas de la unión y el sustrato son m ucho m enores que la resis
tencia de convección. La resistencia de la unión tendría que aum entar a un vak
mayor poco realista de 50 X 10 4m2 • K/W, antes de que la m áxim a temperatun
perm isible del chip se excediera.
2. La disipación de potencia perm isible se increm enta al aum entar los coeficientes dt
convección, ya sea increm entando la velocidad del aire y/o reem plazando el aire
con un fluido para transferencia de calor más efectivo. Al explorar esta opciór
para 100 ^ h ^ 2000 W /m 2 • K. se obtienen los siguientes resultados.
2.5
2.0
es:
c :
$ 1.5
t/i
O
X 1 0& s#
0.5
0
500 1000
h (W/m2 • K)
1500 2000
Conform e h —» q " —> 0 y virtualm ente toda la potencia del chip se transfiere de
m anera directa a la corriente del fluido.
3.2
Análisis de con du cc ión alternativa
hl análisis de conducción de la sección 3.1 se llevó a cabo con el método estándar, lis
decir, la ecuación de calor se resolvió para obtener la distribución de temperaturas,
ecuación 3.3, y después se aplico la ley de Pourier para obtener la transferencia de ca
lor, ecuación 3 4 Sin em bargo, es posible un m étodo alternativo para las condiciones
3 .2 ■ Análisis do conducción alternativa 8 7
Aislante
:\ ^ ' . xr
tf.t -+■ dx
ih
F u u U.\ 3 .5 Sistema ron una transferencia de calor por conducción
constante.
actuales de ínteres. Considerando la conducción en el sistema de la figura 3.5. se acepta
que, para condii iones de estado estable sin ninguna generación de calor y sin pérdidas
de calor por los lados, la transferencia de calor qx debe ser una constante independien
te de w es deeir, para cualquier elemento diferencial dx, qx = qx +dx. Esta condición es,
por supuesto, consecuencia del requerimiento de conservación de la energía y debe
aplicarse aun si el área varía con la posición A(x) y la conductividad térmica varía con
la temperatura k(T). Ademas, aunque la distribución de temperaturas sea bidimensional,
al variar con a* y y, a menudo es razonable no tomar en cuenta la variación v y suponer
una distribución unidimensional en a .
Para las condiciones anteriores es posible trabajar exclusivamente con la ley de
Fourier cuando se lleva a cabo un análisis de conducción. En particular, como la trans
ferencia por conducción es una constante, la ecuación de flujo se integra, aunque no se
conozcan el flujo ni la distribución de temperaturas. Considere la ley de Fourier, ecua
ción 2.1, la cual se puede aplicar al sistema de la figura 3.5. A pesar de que tal vez no
conozcam os el valor de qx o de la forma de T (a ) , sabemos que qx es una constante. De
aquí es posible expresar la ley de Fourier en laforma integral
qX
rx dx rT
El área de la sección transversal puede ser una función conocida de .v, y la conductivi
dad térmica del material variará con la temperatura de forma conocida. Si la integra
ción se lleva a cabo desde un punto a 0 en el que se conoce la temperatura Tlh la
ecuación resultante proporciona la forma funcional de T(x). Además, si la temperatura
T = T, en alguna x = .v( también se conoce, la integración entre v0 y Aj produce una
expresión para la que se calcula qx. Advierta que, si el área /\ es uniforme y k es inde
pendiente de la temperatura, la ecuación 3.21 se reduce a
qx Aa
— -— = - k AT (3.22)
donde Av = a , — ,v0 y A7 = 7j — T().
Con frecuencia elegimos resolver problemas de difusión trabajando con formas
integrales de las ecuaciones de difusión. Sin em bargo, deben fijarse firmemente en
nuestra mente las condiciones límite para las que esto se hace: estado estable y trans
ferencia unidimensional sin generación de calor.
d e p a r ta m e n to d e biblioteca
jUnlve rs " DE PB?BU GTIXA
Universidad Simón Bolívar Sede del Litora
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Ejemplo 3 . 3
El diagrama muestra una sección cónica fabricada de pirocerámica. Es de sección
transversal circular con diámetro D = ax, donde a = 0.25. El extremo pequeño está en
-V| = 50 mm y el grande en v2 = 250 mm. Las temperaturas extremas son 7j = 400 K
y T2 = 600 K, mientras la superficie lateral está bien aislada.
1. Derive una expresión para la distribución de temperaturas T{x) de forma simbólica
suponiendo condiciones unidimensionales. Dibuje la distribución de temperaturas.
2. Calcule la transferencia de calor qx a través del cono.
S o l u c i ó n
Se c o n o c e : Conducción en una sección cónica que tiene un diámetro D = ax, donde
a = 0.25.
E/i r on trar:
1. Distribución de temperaturas T(x).
2. Transferencia de calor qx.
E sq u em a :
T2 = 600 K
i x¡ = Ó.05 m
¡2 = 0.25 m
Piroceramica
S uposic ittnes:
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción unidimensional en la dirección x.
3. No existe generación interna de calor
4. Propiedades constantes. I
P ro p ie d a d e s : De la tabla A 2, pirocerámica (500 K). k = 3.46 W m • K.
Análisis:
1. Como la conducción de calor ocurre bajo condiciones unidimensionales de estado
estable sin generación interna de calor, la transferencia de calor qx es una constan-
3 .2 ■ Análisis tle conducción alternativa
te independiente de r. Kn consecuencia, la ley de lou rier. ecuación 2.1, sirve para
determ inar la distribución de tem peraturas
d T
q ' = ~ k A ~ d i c
C on /\ = ttD 2/4 = v~/4 y separando variables
4q, dx
2 2 TOTA
= - k d T
Al integrar de .v, a cualquier x dentro del cono, y al recordar que q x y k son cons
tantes. se sigue que
ttot Jx . jr j t .
dT
De aquí
7TÜ
o al resolver para T.
n x ) = r ,
4 ^ / 1 1
7ra2k \ x l x
Aunque qx es una constante, aún es una incógnita. Sin em bargo, se determ ina eva
luando la expresión anterior en .v = a 2, donde 7 (,v2) = T2. Así,
4 ? , / 1 1
2 1 W k [ x , x j
y al resolver para q x.
=
m r k (T l — T2)
m / x i ) - ( \ /x 2)]
Al sustituir qx en la expresión para T(.v), la distribución de tem peraturas se vuelve
<
r (1/jr) - (lAr,)
T(x) = T¡ + (T, - r 2)
De este resultado, la tem peratura se calcula com o función de v y la distribución es
com o se muestra.
h
9 0 ( ap ítu lo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Advierta que, como dT/dx = —Aqjkm Px2 de la ley de Fourier, se sigue que el gra
diente de temperatura y el flujo de calor disminuyen con el aumento de v.
2. Al sustituir valores numéricos en el resultado precedente para la transferencia de
calor, se obtiene
7t(0.25)2 X 3.46 W /m • K (400 - 600) K
a = ----------------------------------------------------------------- —2.12 W <
Hx ' 1 1 ' N
0.05 m 0.25 m
C om entarios: Cuando el parám etro a aumenta, la suposición unidimensional se ha
ce menos apropiada. Es decir, la suposición empeora cuando el cambio con la distancia
del área de la sección transversal es mas pronunciado
3 .3
Sistemas radiales
Los sistemas cilindricos y esféricos a menudo experimentan gradientes de temperatura
sólo en la dirección radial y, por consiguiente, se tratan com o unidimensionales Ade
mas, bajo condiciones de estado estable sin generación interna de calor, estos sistemas
se analizan con el método estándar, que com ienza con la forma apropiada de la ecua
ción de calor, o el método alternativo, el cual inicia con la fonna apropiada de la ley de
Fourier En esta sección, el sistema cilindrico se analiza por medio del método estándar
v el sistema esférico mediante el método alternativo.
3 .3.1 El cilindro
Un ejemplo común es el cilindro hueco, cuyas superficies interna y extem a se exponen
a fluidos con diferentes temperaturas (figura 3.6). Para condiciones de estado estable
sin generación de calor, la form a apropiada de la ecuación de calor, ecuación 2.20, es
1 d ( dT>
T i r * ' - 1 ™
donde, por el momento, k se trata como una variable El significado físico de este re
sultado se vuelve evidente si consideramos también la forma apropiada de la ley de
Fourier. La rapidez a la que se conduce la energía a través de cualquier superficie cilin
drica en el solido se expresa como
dT cIT
qr = —kA —— = -k (2 m L )—- (3.24)
d¡ dr
donde A = 2 w L es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Como la
ecuación 3.23 dicta que la cantidad kr(dTldr) es independiente de r, se sigue de la ecua-
L
3 .3 ■ Sistemas radiales 91
Fluido frío
Toe. 2* h2
► A A V ^ - V v W v - ^ A / W »
1 \r\(r2lr\) 1
h\2-nr\L 2 77-/. A t^TTTiL
F lé l KA 3 .6 Cilindro hueco con condiciones convectivas en i superficie.
ción 3 24, que la transferencia de calor por conducción qx (no el flujo de calor q'') es
una constante en la dirección radial.
Es posible determ inar la distribución de temperaturas en el cilindro resolviendo la
ecuación 3 23 y aplicando las condiciones de frontera apropiadas. Si se supone que el
valor de k es constante, la ecuación 3.23 se integra dos veces para obtener la solución
generalt?
T(r) = C, ln /• + C2 (3.25)
Para obtener las constantes de integración C\ y C , introducimos las siguientes condi
ciones de frontera'
T(r,) = Ts , y T(r2) = T , 2
Al aplicar estas condiciones a la solución general, se obtiene
T s. i = C ] ln r , + C2 y Ts 2 = ln r 2 + C 2
Resolviendo para C] y C y sustituyendo en la solución general se obtiene así
r < ' - > = ^ ( ñ / 7 ¡ r l n ( ^ ) + r - u -2 6 )
Tenga presente que la distribución de temperaturas asociada con la conducción radial a
través de una pared cilindrica es logarítmica, no lineal, como lo es para la pared plana
bajo las mismas condiciones La distribución logarítmica se dibuja en el recuadro de la
figura 3.6.
Si la distribución de temperaturas, ecuación 3.26, se usa ahora con la ley de Fou
rier. ecuación 3.24, obtenemos la siguiente expresión para la transferencia de calor
2.7rLk(Ts | — 7 \ 2)
( 3 -2 7 )
De este resultado es evidente que, para la conducción radial en una pared cilindrica, la
resistencia térmica es de la forma
d eparta m en to d e b ib lio t ec a
Universidad . ../re
( u p itu lo .'i ■ Ctmducrión anidimeusinnal de estado estable
h \2 m \L
In(r2/rj)
~2rí¿.
\r\Ojlr2)
2 7TkgJ.
ln( 74/̂ 3] 1
2~kcL h/\2w^L
H C I KV 3 .7 Ihsinbucion de tcmjx“r»turas para una pared riliudnea compuesta
R,
ln (r2 /r , )
comí 2 ttU (3.28i
Esta resistencia se muestra en el circuito en serie de la figura 3.6 Note que como el \a-
lor de qr es independiente de /\ el resultado precedente se pudo obtener con el método
alternativo, es decir, integrando la ecuación 3.24.
Considere ahora el sistema com puesto de la figura 3.7 Si se recuerda como trata
mos la pared plana com puesta y dejando de lado las resistencias térmicas de contacto
interfacial, la transferencia de calor se expresa como
r«., - r
‘Ir =
*>.4
1
2irrxL hx
ln( r 2/ r , ) ln (r 3/r 2) ^ ln (r 4/ r 3) 1
(3.29)
lirk^L 2TrkBL 2 7rkcL 2irrAlMA
El resultado anterior también se puede expresar en términos de un coeficiente global de
transferencia de calor Es decir.
<7r = R (3.30)lot
Si U se define en términos del área interior A\ = 27nxL. las ecuaciones 3.29 y 3.30se
igualan y dan com o resultado
i i .3 ■ Sistemas radiales 9 3
1
U (3.31)
h x kA r, kB r2 kc r 3 r4 h4
Esta definición es arbitraria, y el coeficiente global también se define en términos de
A4 o de cualquiera de las áreas intermedias Observe que
y las formas específicas de U2, Uy, y U4 se infieren de las ecuaciones 3.29 y 3.30.
E jK v ip m 3 .4
La posible existencia de un espesor de aislam iento óptimo para sistemas radiales lo su
giere la presencia de efectos que compiten asociados con un aumento en este espesor.
En particular, aunque la resistencia de conducción aum enta al agregar un aislante, la
resistencia de convección dism inuye debido al aum ento del área de la superficie exte
rior. Por ello puede existir un espesor de aislam iento que minimice la perdida de calor
al maxim izar la resistencia total a la transferencia de calor. Resuelva este problema
considerando el siguiente sistema.
1. Un tubo de cobre con pared delgada de radio r¿ se usa para transportar un fluido re
frigerante de baja temperatura y está a una tem peratura T, que es menor que la del
aire del medio a alrededor del tubo. ¿Hay un espesor óptimo asociado con la
aplicación de aislante al tubo?
2. Confirme el resultado anterior con el cálculo de la resistencia térmica total por uni
dad de longitud del tubo para un tubo de 10 mm de diámetro que tiene los siguien
tes espesores del aislante 0, 2, 5, 10, 20 y 40 mm. El aislante se compone de vidrio
celular, y el coeficiente de convección de la superficie extem a es 5 W/m2 • K.
S e c o n o c e : Radio r¿ y temperatura T, de un tubo de cobre de pared delgada que se
aislará del aire del ambiente.
E n con trar:
1. Si existe un espesor optim o de aislam iento que minimice la transferencia de calor.
2. La resistencia térm ica asociada con el uso de aislante de vidrio celular de espesor
U XA X = UiA2 = UyA, = u 4a 4 = c a y - ' (3.32)
S O L I K IO N
variable.
E squem a:
T
h = 5 W/mz • K
Aislante, k
d eparta m en to d e b ib l io t ec a
Universidad Simón Bonvar • í^de -
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
S u p o s ic ió n e s :
1. Condiciones de estado estable.
2. Transferencia unidim ensional de ca lo ren la dirección radial (cilindrica).
3. Resistencia térm ica insignificante de la pared del tubo.
4. Propiedades constantes para el aislante.
5. Intercam bio de radiación insignificante entre la superficie externa del aislante y los
alrededores.
Propiedades: De la tabla A.3, el vidrio celular (258 K, supuesta): k — 0.055 W/m • K
Análisis:
1. La resistencia a la transferencia de calor entre el Huido refrigerante y el aire es do
m inada por la conducción en el aislante y la convección en el aire. Por tanto, el
circuito térm ico es
Tt r„
o—< V W W o °
ln( rfr) 1
ínk 7>nrh
donde las resistencias de conducción y convección por unidad de longitud se si
guen de la> ecuaciones 3.28 y 3.29. respectivam ente. La resistencia térmica total
por unidad de longitud del tubo es entonces
ln (r/r ,) 1
Kai = ------- +
2 7 rk 2 7 t / 7 í
donde la transferencia de calor por unidad de longitud del tubo es
r - t .
R\UX
Un espesor óptim o de aislam iento estaría asociado con el valor de r que minimiza
r/' o mnximiza R'M. Este valor se obtiene del requerim iento que
dR\tot
dr
= 0
De aquí
1 I
Irrkr 2 irr2h
= 0
o
' h
Para determ inar si el resultado anterior m axim iza o m inim iza la resistencia total
debe evaluarse la segunda derivada. De aquí
d 2R2 tot
d r2
1
+
1
h r k r 2 T r rh
3 .3 ■ Sistemas radiales 9 5
o, en ;• = k/h,
¿ X , 1 / I 1 \ 1 >
í / r 2 7?(fc7i)2 V A: 2k ) 27rír7/i2
Com o este resultado siempre es positivo, se sigue que r = k/h es el radio de aisla
m iento para el que la resistencia total es un mínimo, no un máximo. Por ello no
existe un espesor de aislam iento óptimo.
Del resultado anterior tiene más sentido pensar en términos de un radio de
aislamiento critico
r~ " a
por debajo del cual r/' aum enta al aum entar r y por arriba del cual q' disminuye
con el aum ento de r.
2. Con h — 5 W /m 2 • K y k — 0.055 W /m • K, el radio critico es
0.055 W /m • K
r" = 5~W/m2 • K = 0 0 1 ' m
De aquí rcr > r¡. y la transferencia de calor aum entara al agregar aislante por arri
ba de un espesor de
rcr — r¡ = (0.011 — 0 005)m = 0.006 m
Las resistencias térmicas que corresponden al espesor de aislamiento prescrito se
calculan y grafican como sigue:
8
0 6 10 20 30 40 50
r - r, (mm)
C om entarios:
1. El efecto del radio crítico se revela por el hecho de que, aun para 20 mm de aislan
te, la resistencia total no es tan grande como el valor para la ausencia de aislante.
2. Si r¡ < rcr, com o en este caso, la resistencia total disminuye y, por tanto, la transfe
rencia de calor aumenta al agregar aislante Esta tendencia continúa hasta que el
radio exterior del aislante corresponde al radio critico La tendencia es deseable
para el flujo de corriente eléctrica a través de un alambre, puesto que agregar ais
lante eléctrico ayudaría en la transferencia del calor disipado en el alambre hacia
departam ento de bib lioteca
Universidad Sir.i-... !»■ H--'
9 6 C a p ítu lo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
los alrededores A la inversa, si r, > ; cr, cualquier aumento de aislante incrementa
ría la resistencia total y, por tanto, dism inuiría la perdida de calor. Este comporta
m iento seria deseable para el flujo de vapor por un tubo, donde se agrega aislante
para reducir la perdida de calor hacia los alrededores.
3. Para sistemas radiales, el problema de reducir la resistencia total a través de la apli
cación de aislante existe solo para alambres o tubos de diámetro pequeño y para
coeficientes de convección pequeños, tales que /*cr > r¡. Para un aislante típico (k =»
0 03 W /m * K) y convección libre en aire (/i ~ 10 W /m2 • K), rCT = kfh) ~ 0.003 m.
Fse valor tan pequeño indica que, normalmente, r, > rCT y no necesitamos preocu
parnos por los efectos de un radio critico
4. La existencia de un radio crítico requiere que el área de transferencia de calor
cambie en la dirección de transferencia, como para la conducción radial en un ci
lindro (o en una esfera) En una pared plana, el arca perpendicular a la dirección
del flu|0 de calor es constante y no hay espesor crítico de aislamiento (la resisten
cia total siempre se incrementa al aum entar el espesor del aislante).
3*3*2 La esfera
Consideremos ahora aplicar el método alternativo para analizar la conducción en la esfe
ra hueca de la figura 3.8 Para el volumen diferencial de control de la figura, la conserva-
ción de la energía requiere que qr = qr + ¿r para condiciones unidimensionales de estado
estable sin generación interna de calor La forma apropiada de la ley de Fourier es
d T , dT
qr = - k A — = — &(47rr ) —
dr dr (3 33)
donde A = A irr es el área normal a la dirección de la transferencia de calor.
Aceptando que qr es una constante, independiente de r, la ecuación 3 33 se expre
sa en la form a integral
qr f r* dr _ cT.2
47t -y r2 h
1 i , t
Si se supone que k es constante, entonces
4 ttk(T¿' i - 7 \,2)
k(T) d T (3.34)
y r = ( I!r{) - (1/r2) (3.35)
Recordando que la resistencia teim ica se define com o la diferencia de temperaturas di
vidida entie la transferencia de calor obtenemos
ocond J _ ( 1 _ 1 )4t7Á. \ r2 / (3.36)
Qr -* flr
Fiel ra 3 .8
Conducción ( n tina ctoraxa esf rica
3 .3 ■ Sistemas radiales 9 7
Advierta que la distribución de temperaturas y las ecuaciones 3.35 y 3.36 se obtienen
mediante el método estándar, que inicia con la forma apropiada de la ecuación de calor.
Ixis com puestos esféricos se pueden tratar de lamisma forma que las paredes
com puestas y los cilindros, donde es posible determ inar formas apropiadas de la resis
tencia total y del coeficiente global de transferencia de calor
E je m p l o 3 . 5
Un contenedor metálico esférico de pared delgada se utiliza para almacenar nitrógeno
líquido a 77 K El contenedor tiene un diámetro de 0.5 m y está cubierto de un aislante
reflector al vacio com puesto de polvo de dióxido de silicio. El aislante tiene un espesor
de 25 mm, y la superficie externa se expone al aire del ambiente a 300 K. Se sabe que
el coeficiente de convección es 20 W /m 1 ■ K La entalpia de vaporización y la densidad
del nitrógeno líquido son 2 X 10 J/kg y 804 kg/m 3, respectivamente
1. ¿Cuál es la transferencia de calor al nitrógeno líquido?
2. ¿Cuál es la velocidad a la que se evapora el nitrógeno?
S o l u c ió n
Se conoce: bl nitrógeno líquido se almacena en un contenedor esférico aislado y
expuesto al aire del ambiente.
E ncontrar:
1. La transferencia de calor al nitrógeno.
2. La velocidad de evaporación del nitrógeno.
E squem a:
mflfg . Orificio de
\ f ventilación
Contenedor esférico de
pared delgada, rj = 0.25 m
Superficie externa
del aislante,
r2 = 0.275 m
T c 2 - 300 K / Nitrógeno liquido
’ A = 20 W/m2 • K 7* i = 77 K
^ ----- ^ p = 804 kg/m3
q hfg = 2 x 105 J/kg
Suposiciones:
1. Condiciones de estado estable.
2. Transferencia unidimensional en la dirección radial.
3. Resistencia insignificante a la transferencia de calor a través de la pared del conte
nedor, y del contenedor al nitrógeno.
4. Propiedades constantes.
5. Intercambio de radiación insignificante entre la superficie externa del aislante y los
alrededores.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Unlvuisldiul otHMii yuit«^r Sedo v
Aire
n i
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
P rop iedades: De la tabla A .3. polvo de dióxido de silicio al vacío (300 K): k =
0.0017 W /m • K
Análisis:
1. El circuito térm ico incluye una resistencia de conducción y una de convección en
serie y es de la forma
7~i
o W W v W W ^ *• q
R R*'/, cond t conv
donde, de la ecuación 3.36,
1 1 1
4 * * U
y de la ecuación 3.9
1
R h4rrr2
La transferencia de calor al nitrógeno liquido es entonces
r ,,. 2 - t ,_ ,
q ( l /4 f f lt) [ ( l /r ,) - ( l / r 2)] + (Uh4irr\)
En consecuencia
q = [(300 - 77) K]
I . / _ ! L
477(0.0017 W /m • K) \ 0 .25 m 0.275 m
l
+
(20 W /m 2 • K )4 tt(0.275 m )2
223
q = --------------------W = 13.06 W <
H 17.02 + 0 05
2. Al llevar a cabo un balance de energía para una superficie de control alrededor de
nitrógeno, se sigue de la ecuación 1 12 que
■ ■
^ent ^sale 0
donde /icnt = q y É ^ Xc = tiih , se asocia con la pérdida de energía latente debido a
la evaporación De aquí
q - thhf g = 0
y la velocidad de evaporación m es
3 .4 ■ Resumen ele resultados de la conducción unidimensional 9 9
La perdida por día es
rh= 6.53 X 1CT5 kg/s X 3600 s/h X 24 h/día
m = 5 .6 4 kg/día <
o sobre una base volumétrica
V = — = 50^ .k^ dia = 0.007 m3/día = 7 litros/día
P 804 kg/m 3
C tunen la r io s :
conv cond-
2. Con un volumen del contenedor de (4 /3 )(tt/--]) = 0.065 m3 = 65 litros, las pérdi
das diarias ascienden a (7 litros/65 litros) 100% = 10.8% de la capacidad.
3.4
Resumen de resultados
de la conducción unidimensional
M uchos problemas importantes se caracterizan por la conducción unidimensional de es
tado estable en paredes planas, cilindricas o esféricas sin generación de energía térmica.
Los resultados clave para estas tres geometrías se resumen en la tabla 3.3. donde AT se
refiere a la diferencia de temperaturas, Ts j — Ts 2, entre las superficies interna y externa
que se identifican en las figuras 3.1. 3.6 y 3.8. En cada caso, al comenzar con la ecua
ción de calor, debe ser capaz de derivar las expresiones correspondientes para la distri
bución de temperaturas, flujo de calor, transferencia de calor y resistencia térmica.
TABLA 3 . 3 Soluciones unidim ensionales de estado estable
para la ecuación de calor sin generación interna
Pared plana Pared cilindrica0 Pared esférica"
Ecuación d2T 1 d ¡ dT\ 1 d / . dT\
de calor — T = 0dx? 7 ^ ( r * ) = 0 r2 dr \
oII■o
s
Distribución
de temperaturas
1 U*
t-
| * ln (r/r2)
Ts■2 + 7 \n (r,/r2) Ts. I - A r
r 1 - (r,/r) -I
. 1 - (r,/r2)_
Flujo de A T kAT kAT
calor (q") k L r ln (r2/r,) r2[(l/r ,) - ( l/r2)]
Transferencia A T
M L
2irLk AT 4 7rk AT
de calor (q) ln (r2/r,) (1/r,) - (1/r2)
Resistencia térmica L ln (r2/r,) (1/r,) ~ (1 /r2)
cond) kA I ttI á 4 7 ~k
"El radio critico de aislamiento es r<t — k/h para el cilindro y ;tr = 2k/h para la esfera.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Uiiiv... siuuO oiitiun uun«ur ■ S ed o .
100 C a p ítu lo 3 ■ (. tinducción unidimensional de estado estable
3 .5
Conducción con generación de energía térmica
En la sección anterior consideramos problemas de conducción para los que la distribu
ción de tem peraturas en un medio, se determ inó solamente mediante condiciones en las
fronteras del medio Queremos analizar ahora el efecto adicional sobre la distribución
de temperaturas de procesos que pueden ocurrir dentro del medio. En particular, desea
mos considerar situaciones para las que la energía térmica se genera debido a la con
versión de alguna otra fuente de energía.
Un proceso común de generación de energía térmica implica la conversión de ener
gía eléi trica a térmica en un medio conductor de corriente (calentamiento óhmico o de
resistencia) La ra/ón a la que se genera energía al pasar una com ente / a través de un
medio de resistencia eléctrica Rc es
Eg = l 2Re (3.37)
Si esta generación de potencia (W) ocurre de manera uniforme a lo largo del medio de
volumen V, la razón de generación volumétrica (W /m3) es entonces
q V V
(3 38)
La generación de energía también ocurre como resultado de la desaceleración y
absorción de neutrones en el elem ento com bustible de un reactor nuclear o reacciones
químicas exotérmicas que ocurren dentro de un medio. Las reacciones endotérmicas
tendrían, por supuesto, el efecto inverso (un sumidero de energía térmica) de convenir
energía térmica a energía de enlace químico. Finalmente, puede ocurrir una conversión
de energía electromagnética a térmica debido a la absorción de energía dentro del-me-
dio. El proceso puede darse, por ejemplo, a causa de que se absorben rayos gama en
los componentes externos de un reactor nuclear (revestimiento de acero inoxidable, es
cudos térmicos, vasijas de presión, etc.) o de que la radiación visible es absorbida en
un medio semitransparente Recuerde no confundir la generación de energía con el al
m acenamiento de la misma (sección 1.3.1).
3.5.1 La pared plana
Considere la pared plana de la figura 3.9c/, en la que hay generación de energía unifor
me por unidad de volumen (q es constante), y las superficies se mantienen a 7\ , y T 2
Para una conductividad térmica constante k. la forma apropiada de la ecuación de ca
lor, ecuación 2 16, es
d T q
(3.39)
La solución sencral es
T = X2 + C ,x + C2 (3.40)
3 .5 ■ Conducción con generación de energía térmica 101
TI i* Q conv
í í í
r^,h
F lC .I KA 5 . 9 Conducción en una pared pLin¿i ron generación uniforme de talor.
(a) Condiciones de frontera asimétricas. (¿) Condiciones de frontera simétricas.
(c) Superficie adiabática en el plano medio.
donde Cx y C2 son las constantes de integración Para las condiciones de frontera que
se establecen,
T (-L ) = Ts , y T(L) = Ts 2
Las constantes se evalúan y son de la forma
Ts 2 ~ Ts x q T i + T 2
’ _ —ÍLZ--------UL v C — T 2 -4- — .
1 “ 2 L y Q " 2k L 2
en cuyo caso la distribución de temperaturas es
q l ¿ / x 2 \r , 2 - a: Ts, , + r . 2
r w = i r i , - 7 j j + “ ^ — 1 + ( 3 4 1 )
El (lujo de calor en cualquier punto en la pared se determina, por supuesto, mediante el
uso de la ecuación 3.41 con la ley de Fourier. Advierta, sin embargo, que c o n g e n e r a -
( i ó n e l f l u jod e c a lo r y a n o e s in d e p e n d ie n te d e x .
El resultado anterior se simplifica cuando ambas superficies se mantienen a una
temperatura común, Tx j = Ts 2 = Ts. Entonces la distribución de temperaturas es si
métrica con respecto al plano medio, figura 3.9b, y está dada por
q l ? ( x 2
T(x) = ^ l l - T j l + r , (3.42)
DEPARTAMENTO DE BlBLIG.-wrt
Universidad Simón Bolívar Sede del Litora
102 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
La temperatura máxima se tiene en el plano medio
q l 2
7X0) ^ T a = ^— + T,
2k
(3 43)
en cuyo caso la distribución de temperaturas, ecuación 3.42, se expresa como
(3 44)
Es importante notar que en el plano de simetría en la figura 3 9b, el gradiente de
temperatura es cero, (dT/dx)x - 0 = 0 En consecuencia, no hay transferencia de calora
través de este plano, y se representa con la superficie adiabática que se muestra en la li-
gura 3.9c. Una implicación de este resultado es que la ecuación 3.42 también se aplica
a paredes planas que están perfectamente aisladas en un lado (.r = 0 ) y mantienen una
temperatura fija Ts en el otro lado {x — L).
Para utilizar los resultados precedentes debe conocerse la temperatura o temperatu
ras de las superficies. Sin embargo, una situación común es aquella para la que se cono
ce la temperatura de un fluido contiguo, Tm, y no Ts. Entonces es necesario relacionar T
con Toe. Esta relación se desarrolla aplicando un balance de energía en la superficie.
Considere la superhcie en x = L para la pared plana simétrica (figura 3.9b) o la pared
plana aislada (figura 3.9c). Dejando de lado la radiación y sustituyendo las ecuaciones
de flujo apropiadas, el balance de energía dado por la ecuación 1 . 1 2 se reduce a
- k
dT
dx
= h(Ts - T J
x = L
(3 45)
Al sustituir de la ecuación 3.42 para obtener el gradiente de temperatura en x = L, se
sigue que
T = T +* s oo 1
qL
(3.46)
Por tanto. Ts se calcula a partir del conocimiento de T&, q ,L y h.
La ecuación 3.46 también se obtiene aplicando un balance global de energía a la
pared plana de la figura 3.9b o 3 9c. Por ejemplo, en relación con una superficie de
control alrededor de la pared de la figura 3 9c, la razón a la que se genera energía den
tro de la pared debe equilibrarse con la rapidez a la que la energía sale por convección
a la frontera La ecuación 1.1 la se reduce a
Eg ^sale
o, para un área superficial unitaria.
qL = h(Ts - T„)
(3.47)
(3.48)
Al resolver para Ts, se obtiene la ecuación 3 46.
La ecuación 3.46 se com bina con la ecuación 3.42 para elim inar Ts de la distribu
ción de temperaturas, que se expresa entonces en términos de las cantidades conocidas
q, L, k , h y Too. Se obtiene el mismo resultado de forma directa usando la ecuación 3.45
como condición de frontera para evaluar las constantes de integración que aparecen en
la ecuación 3.40.
3.5 ■ Conducción con generación de energía térmica 103
E je m p l o 3 . 6
Una pared plana se com pone de dos materiales, A y B La pared de material A tiene
una generación de calor uniforme q — 1 .5 X 106 W /m 3. kA = 75 W/m • K, y un espe
sor La = 50 mm. El material B de la pared no tiene generación y su kB = 150 W/m • K
y espesor Lfí = 20 mm La superficie interior del material A está bien aislada, mientras
que la superficie exterior del material B se enfria con un flujo de agua con T» = 30°C
y h = 1000 W /m2 • K.
1. Dibuje la distribución de tem peratura que existe en el compuesto bajo condiciones
de estado estable.
2. Determ ine la temperatura T0 de la superficie aislada y la temperatura T2 de la su
perficie enfriada
S O L I LTÓIS
S e conoce: La pared plana de material A, con generación interna de calor, se aísla
en uno de los lados y se une con una segunda pared de material B, que no tiene genera
ción interna de calor y está sujeta a enfriam iento por convección.
E n con trar:
1. D ibujar bosquejo de la distribución de temperaturas de estado estable en el com
puesto.
2. Temperaturas de las superficies interna y extem a del compuesto.
E squem a:
Aislante
qk = 1.5 x 106 W/m3
*A = 75 W/m • K
T
¿A = 50 mm
Lb -
20 mm
T„ = 30°C
h = 1000 W/m2 • K
í í t
Agua
kB = 150 W/m • K
4 = 0
S u p o s ic io n es:
1 . Condiciones de estado estable.
2. Conducción unidimensional en la dirección .v.
3. Resistencia térmica de contacto insignificante entre las paredes.
4. Superficie interna de A adiabática.
5. Propiedades constantes para los materiales A y B
Análisis:
1. Se sabe de las condiciones físicas prescritas que la distribución de temperaturas en
el com puesto tiene las siguientes características:
(a) Parabólica en el material A
(b) Pendiente cero en la frontera aislada.
1 0 4 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
(c) Lineal en el material B.
(d) Cam bio de la pendiente = kB/kA = 2 en la interfaz.
La distribución de temperaturas en el agua se caracteriza por:
(e) Gradientes grandes cerca de la superficie.
X
2. La temperatura de la superficie externa T2 se obtiene mediante un balance de ener
gía en un volumen de control alrededor del material B Como no hay generación
en este material, se sigue que. para condiciones de estado estable y un área unitaria
superficial, el flujo de calor hacia el material en .v = LA debe ser igual al flujo ác
calor desde el material debido a la convección en \ = LA + LB De aquí
q = h(T2 ~ Too) (lj
El flujo de calor q" se determina ejecutando un segundo balance de energía sobre un
volumen de control alrededor del material A En particular, como la superficie en
x = 0 es adiabática, no hay flujo entrante y la razón a la que se genera la energía
debe ser igual al flujo saliente En consecuencia, para un área superficial unitaria.
c¡La = q" (2)
Al com binar las ecuaciones 1 y 2, la temperatura de la superficie externa es
7", = T„ +
2 h
1.5 X 106 W/ m3 X 0.05 m
1000 W/m2 - KT-, = 30°C + — — 2 „ ---------= 105°C
De la ecuación 3.43 la temperatura en la superficie aislada es
qLj
T ° = ~2 ¡ r + T> 0)'•A
donde T { se obtiene del siguiente circuito térmico.
7i T2 T„
q" ► c H y v w W W V \ A ^
no ü"
A cond. B conv
Es decir,
= T X + (/?cond. B + ^ co nvV '
donde las resistencias para un área superficial unitaria son
Lb 1r>" = o" = —
^cond. B , conv ,kB h
3 .5 ■ Conducción con generación de energía térmica 1 0 5
Por tanto.
0.02 m 1
Tx = 30°C + - — — ----- — +
150 W / m - K 1000 W / m 2 - K
X 1.5 X 106 W /m 3 X 0.05 m
T x = 30°C + 85°C = 115°C
Sustituyendo en la ecuación 3.
1.5 X 106 W /m 3(0.05 m )2
Tn = ---------------------------------------- + 1 15°C
0 2 X 75 W /m ■ K
T0 = 25°C + 1 15°C = 140°C <]
Contení arios:
1. El material A, que tiene generación de calor, no se puede representar mediante un
elem ento de circuito térmico.
2. Com o la resistencia a la transferencia de calor por convección es significativamen
te mayor que la que se debe a la conducción en el material B, R"onx ¡ R"or\<i ~ 7.5, la
diferencia de temperaturas superficie a fluido es mucho mayor que la caída de tem
peratura a través del material B, (T2 ~ TX)I{T\ — T2) = 7.5. Este resultado es con
gruente con la distribución de temperaturas que se gráfico en la parte ( 1 )
3. Las tem peraturas de la superficie y de la interfaz (70, 7j y T2) dependen de la ra
zón de generación q , de las conductividades térm icas kA y y del coeficiente de
convección h. Cada material tendrá una tem peratura de operación permisible m á
xima, que no es posible exceder si hay que evitar la falla térmica del sistema. Ex
ploramos los efectos de uno de estos parámetros mediante el cálculo y el gráfico
de las distribuciones de tem peratura para valores de /? = 200 y 1000 W /m 2 • K. re
presentativos del aire y del líquido de enfriam iento, respectivamente.
500
400
_ 3 0 0
oO
^ 200
100
0
Para h = 200 W /m 2 • K, hay un aum ento significativo en la temperatura a través
del sistema y, dependiendo de la selección de materiales, la fallatérmica podría ser
un problem a Preste atención a la ligera discontinuidad en el gradiente de tempera
turas, dT/dx, en v = 50 mm ¿Cuál es la base física de esta discontinuidad9 Supu
simos resistencia de contacto insignificante en este lugar. ¿.Cual sería el efecto de
tal resistencia sobre la distribución de tem peraturas en todo el sistema? Dibuje una
0 10 20 30 40 50 60 70
v (mm)
106 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
distribución representativa. ¿Cuál sería el efecto sobre la distribución de tempera
turas de un aum ento en ¿¡, kA o AB? Dibuje de forma cuantitativa el efecto de estos
cambios sobre la distribución de temperaturas.
3 « 5 « 2 S i s t e m a s r a d i a l e s
La generación de calor ocurre en una variedad de geom etrías radiales. Considere el ci-j
Iindro sólido. largo, de la figura 3.10, el cual podría representar un alambre conductor]
de corriente o un elem ento de com bustible en un reactor nuclear. Para condiciones de
estado estable, la razón a la que se genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la
rapidez con que se transmite calor por convección de la superficie del cilindro a un Hui
do en movimiento. Hsta condición permite que la temperatura de la superficie se man
tenga en un valor fijo Ts.
A fin de determ inar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzamos]
con la forma apropiada de la ecuación de calor. Para una conductividad térmica cons
tante A, la ecuación 2.20 se reduce a
1 d ( d T \ q
I r — + - = 0
r dr \ dr k
(3.49)
AI separar variables y suponer generación uniforme, esta expresión se integra para ob
tener
d r
~d¡-
— r 2 + C¡
2 k
(3.501
Si el procedimiento se repite, la solución general para la distribución de temperaturas
se convierte en
n r ) =
q .
r + C, ln r 4- C2
4 k
(3.51)
Para obtener las constantes de integración Cj y C i, aplicam os las condiciones de fron
tera
dT
dr
= 0
r~0
T{r„) = Ts
Fluido frío
Fuá h a 3 .10
Conducción fii un cilindro sólido con generación
uniforme de calor.
3 .5 ■ Conducción con generación de energía térmica 1 0 7
La primera condición resulta de la simetría de la situación. Es decir, para el cilindro só
lido la línea central es una línea de simetría para la distribución de temperaturas y el
gradiente de temperaturas debe ser cero. Recuerde que existen condiciones similares en
el plano medio de una pared que tiene condiciones de frontera simétricas (figura 3.9b).
De la condición de simetría en r = 0 y de la ecuación 3.50, es evidente que Ci = 0. Al
usar la condición de frontera de la superficie en r = ra con la ecuación 3.51, obtenemos
C2 = Ts + 4 r r l (3.52)
4 k
Por tanto, la distribución de temperaturas es
, 3 M )
Evaluando la ecuación 3.53 en la línea central y dividiendo el resultado en la ecuación
3.53, obtenemos la distribución de temperaturas en la forma adimensional,
T(r) - T s ( r y
7 T = 1 - f e )
donde T() es la temperatura de la línea central. La transferencia de calor en cualquier ra
dio en el cilindro se puede evaluar, por supuesto, mediante la ecuación 3.53 con la ley
de Fourier.
Para relacionar la temperatura de la superficie. 75, con la temperatura del fluido
frío, Toe, se usa un balance de energía en la superficie o un balance global de energía. Si
se elige el segundo método, obtenemos
q(Trr20L) = h(2irr0L)(Ts - Tx)
o
qr
Ts = T- + (3 55)
En el apéndice C se proporciona un procedim iento conveniente y sistemático pa
ra tratar las diversas com binaciones de condiciones de superficie, el cual se puede
aplicar a geom etrías unidim ensionales cilindricas (y planares) con generación unifor
me de energía térmica.
Ej e m p l o 3 . 7
Considere un tubo sólido, lareo. aislado en el radio externo y enfriado en el radio in-
terior /q, con generación uniforme de calor q (W /m 3) dentro del sólido.
1. Obtenga la solución general para la distribución de temperaturas en el tubo.
2. En una aplicación práctica se colocaría un límite sobre la temperatura máxima que
es permisible en la superficie aislada (/- = r2). Especificando este límite como Ts 2?
identifique las condiciones de frontera adecuadas que sirven para determinar las
constantes arbitrarias que aparecen en la solución general. Determine estas cons
tantes y la forma correspondiente de la distribución de temperaturas.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simo.i S o ...jr - Sede
1 0 8
3. Determine la rapidez de eliminación de calor por unidad de longitud de tubo.
4. Si se dispone del fluido refrigerante a una temperatura T», obtenga una expresión
del coeficiente de convección que tendría que mantenerse en la superficie interna
para perm itir la operación a los valores establecidos de Ts 2 y q.
Son ciúrs
Se conoce: Tubo solido, con generación uniforme de calor, aislado en la superficie
externa y enfriado en la superficie interna.
E ncontrar:
1. Solución general para la distribución de temperaturas T(r)
2. Condiciones de frontera apropiadas y la forma correspondiente de la distribución
de temperaturas.
3. Rapidez de eliminación de calor
4. Coeficiente de convección en la superficie interna.
E squem a:
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Su p o s ic i o n es:
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción radial unidimensional.
3. Propiedades constantes.
4. Generación volumétrica de calor uniforme.
5. Superficie exterior adiabática.
Análisis:
1. Para determ inar T(r), hay que resolver la forma apropiada de la ecuación de calor,
ecuación 2.20. Para las condiciones establecidas, esta expresión se reduce a la
ecuación 3.49, y la solución general está dada por la ecuación 3 51 En consecuen
cia, esta solución se aplica a un casco cilindrico, así como a un cilindro sólido (fi
gura 3.10).
3 .5 ■ Conducción con generación de energía térmica 1 0 9
2. Se necesitan dos condiciones de frontera para evaluar C y C , y en este problema
resulta apropiado especificar ambas condiciones en r2, recurriendo al limite de tem
peratura que se estableció,
T(i'2) = Ts 2 (1)
y aplicando la ley de Fourier, ecuación 3.24, en la superficie externa adiabática
dT = 0 (2)
dr
Aplicando las ecuaciones 3.51 y 1, se sigue que
.2Ts 2 — C\ r2 ^2 (3)
De manera similar, de las ecuaciones 3 50 y 2
De aquí, de la ecuación 4.
0 = r \ + C, (4)
2k
c, = ¿ r i (5 )
y de la ecuación 3
C2 = Ts 2 + — r 2 — — r \ ln r2 (6)
2 *’ 2 4k ‘ 2k 2 2
Sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la solución general, ecuación 3.51, se sigue
que
Q <3 ■> r2T(r) = Ts 2 + — (r¡ - r2) - — r \ ln — (7)
5 2 4k 2 2k 2 r
3. La rapidez de eliminación de calor se determ ina obteniendo la transferencia de ca
lor por conducción en /•[ o evaluando la rapidez total de generación para el tubo.
De la ley de Fourier
dT
q'r = - k l r r r —
Asi, al sustituir de la ecuación 7 y evaluar el resultado en
<lAri) = —k lir r , f - — r, + — — j = - 7rq(r2 - r7) (8 )
De forma alternativa, como el tubo está aislado en r2, la rapidez a la que se genera
el calor en el tubo debe ser igual a la rapidez de eliminación en /-,. Es decir, para
un volumen de control alrededor del tubo, el requerimiento de conservación de la
energía, ecuación I . I Ia, se reduce a E — EVA\C = 0, donde E = c¡7T (r2 — r~\)L y
^saic qcond^ q j )E. De aquí
q 'Á r 1) = - r i j i r l - r ] ) (9)
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
4. De la aplicación del requerimiento de conservación de la energía, ecuación I 12, a
la superficie interna, se sigue que
r ____ i
V cond H conv
O
m/(i*2 - n ) = h'l™ -\{Ts , - T x )
Poi tanto
q{r\ ~ /'i)
k 2 r (Ts , — Tx ) (l°
donde Ts , se obtiene evaluando la ecuación 7 en r = /•,.
C om entarios:
1. Note que, a través de la aplicación de la ley de Fourier en la parte 3, se encontr
que el signo de q',{rx) es negativo, ecuación 8 , lo que implica que el flujo de calor
ocurre en la dirección negativa de r Sin embargo, al aplicar el balance de energía,
aprendimos que elflujo de calor estaba fuera de la pared De aquí expresamos
como —£/'(/'i) y expresamos c/'onv en términos de (Ts j — Tx), en lugar de (Tx -
2. La distribución de temperaturas, ecuación 7, también se obtiene con los resultados
del apéndice C. Al aplicar un balance de energía superficial en r = / ,, con q(r ) =
—qir(i \ ~ t se determina (Ts 2 ~ Ts |) de la ecuación C .8, y el resultado se
sustitu>e en la ecuación C.2 para elim inar T y obtener la expresión que se desea
3 .5 .3 Aplicación de los conceptos de resistencia
Concluimos nuestro análisis de los efectos de la generación de calor con una adverten
cia. En particular cuando están presentes estos efectos, la transferencia de calor no
una constante independiente de la coordenada espacial. En consecuencia, sena incorrec
to utilizar los conceptos de resistencia de conducción y las ecuaciones de flujo de calor
relacionadas que se desarrollaron en las secciones 3.1 y 3.3
3 .6
Transferencia de ca lor en superficies extendidas
La frase superficie extendida se usa normalm ente con referencia a un sólido que expe
rimenta transferencia de energía por conducción dentro de sus limites, asi como trans
ferencia de energía por convección (y/o radiación) entre sus limites y los alrededores.
Tal sistema se muestra de forma esquem ática en la figura 3 11. Se usa un puntal para
proporcionar soporte mecánico a dos paredes que están a temperaturas diferentes.
Un gradiente de temperatura en la dirección i mantiene la transferencia de calor por
conducción internam ente, al mismo tiempo que hay una transferencia de enerva
por convección desde la superficie
3 .6 ■ Transferencia tic caloren superficies extendidas
Vv2 r l 2
Fluido
7 , h y (kcm
H 1
Ti
7 , > t 2
F i g l j UA 3 . 1 1 Conducción y c o n v e c c i ó n c o m b i n a d a s c u un e le m e n t o
e s tr u c tu r a l .
Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de
conducción y convección, la aplicación mas frecuente es aquella en la que se usa una
superficie extendida de manera específica para aumentar la rapidez de transferencia de
calor entre un sólido y un fluido contiguo. Esta superficie extendida se denom ina aleta
Considere la pared plana de la figura 3 . 1 2a. Si T es fija, hay dos formas en las que
es posible aum entar la transferencia de calor El coeficiente de convección h podría
aumentarse incrementando la velocidad del fluido, y/o podría reducirse la temperatura de
fluido Tx . Sin embargo, se encuentran muchas situaciones en las que aumentar h al va
lor máximo posible es insuficiente para obtener la transferencia de calor que se desea o
en las que los costos asociados son prohibitivos. Estos costos están relacionados con los
requerimientos de potencia del ventilador o de bomba necesarios para aumentar h a tra
vés de un creciente movimiento de fluido. Más aún. la segunda opción de reducir TW es
a menudo poco práctica. Sin embargo, al examinar la figura 3.12/?, vemos que existe una
tercera opción. Es decir, la transferencia de calor se incrementa aumentando el área de
la superficie a través de la cual ocurre la convección. Esto se logra con el empleo de ale
tas que se extienden desde la pared al fluido circundante La conductividad térmica del
material de la aleta tiene fuerte efecto sobre la distribución de temperaturas a lo largo de
la aleta y, por tanto, influye en el grado al que la transferencia de calor aumenta. Idcal-
T , , h
► q = hA{Ts
( a ) ( b )
F io lili A 3 . 1 2 lUo fie aletas para aumentar la transirrrncia de talur desde
una pared plana, (o) Superficie desnuda, fb) Superficie con aletas.
DEPARTAMENTO DE OIBLIO.^h
Universidad Simón Bolívar Sede del Litoral
112
Flujo de liquido
Capitulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Flujo de
F u , l R\ 3 . 1 3 Ksq u ma de interoiinibiadorcs t pn os »- ( alor (le tulx v
( «ni i lelas.
mente, el material de la aleta debe tener una conductividad térmica grande para minimi
zar variaciones de temperatura desde la base hasta la punta. En el límite de la conducti
vidad térmica infinita, toda la aleta estaría a la temperatura de la base de la superficie,
proporcionando con ello el máximo aumento posible de transferencia de calor
Ya está familiarizado con varias aplicaciones de aletas Piense en el arreglo para
enfriar cabezas de motor de motocicletas y cortadoras de césped o para enfriar trans
formadores de potencia eléctrica Considere también los tubos con aletas unidas que se
usan para promover intercambio de calor entre el aire y el fluido de trabajo de un acon
dicionador de aire En la figura 3 13 se muestran dos arreglos comunes de tubo-aleta.
En la figura 3.14 se muestran diferentes configuraciones de aletas. Una aleta recta
es cualquier superficie prolongada que se une a una pared plana Puede ser de área de
sección transversal uniforme, o el área de sección transversal puede variar con la dis
tancia x desde la pared Una aleta anula) es aquella que se une de forma circunferen
cial a un cilindro, y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del
cilindro. Los tipos de aleta precedentes tienen secciones transversales rectangulares,
cuya area se expresa como un producto del espesor de la aleta t y del ancho w para ale
tas rectas o la circunferencia 2rn para aletas anulares En contraste, una aleta de aguja,
o spine. es una superficie prolongada de sección transversal circular Las aletas de agu
ja también pueden ser de sección transversal uniforme o no uniforme. En cualquier
aplicación, la selección de una configuración de aletas particular depende de considera-
Ui) ir)
x
FlGI RA 3 . 1 4 ( n igu rae iones de a cli s (a) Alt ta re la de sección transversal imifnrnn. (b) Aeü
re i ( ( ( rión lraiis\ei> d no uniforme. (c) Aleta anular, (d) Ale a le agí a
3,í> ■ Transferencia de culor en superficies extendidas
d o n e s de espacio, peso, fabricación y costos, asi com o del punto al que las aleta;» redu
cen el coeficiente de convección de la superficie y aum entan la caída de presión asocia
da con un llujo sobre las aletas
Análisis de conducción general
Com o ingenieros estam os interesados principalm ente en conocer el punto al que super
ficies extendidas particulares podrían m ejorar la transferencia de calor de una superficie
al fluido circundante. Para determ inar la transferencia de calor asociada con una aleta,
debem os prim ero obtener la distribución de tem peraturas a lo largo de la aleta. Com o
hicim os para sistem as anteriores, com enzam os por llevar a cabo un balance de eneigia
sobre un elem ento diferencial apropiado. Considere la superficie extendida de la figura
3.15 El análisis se simplifica si se hacen ciertas suposiciones Elegim os suponer condi
ciones unidim ensionales en la dirección longitudinal (v), aunque la conducción dentro
de la aleta es en realidad bidim ensional La rapidez a la que se desarrolla la convec
ción de energía hacia el fluido desde cualquier punto sobre la superficie de la aleta,
debe balancearse con la rapidez a la que la energía alcanza ese punto debido a la con
ducción en la dirección transversal (v, :). Sin em bargo, en la practica la aleta es delga
da y los cam bios de tem peratura en la dirección longitudinal son m ucho mas grandes
que los de la dirección transversal. Por tanto, podem os suponer conducción unidim en
sional en la dirección .v. C onsiderarem os condiciones de estado estable y tam bién su
pondrem os que la conductividad térm ica es una constante, que la radiación desde la
superficie es insignificante, que los efectos de la generación de calor están ausentes y
que el coeficiente de transferencia de calor por convección h es uniform e sobre la su
perficie
Al aplicar el requerim iento de conservación de la energía, ecuación 1 l i a , al ele
m ento diferencial de la figura 3.15. obtenem os.
Qx Qx+dx 3" ^/conv (3.56)
De la ley de Eourier sabem os que
dT
q x — —kAc — (3.57)
dx
dAs y
/ f I 4,.(A)
1 t _ IU y S , . , ,
% c
FlCl ItA 3 .1 5 Balan* t* <1< < nt rpa pura unu snpí rfit u* i*xtemli<la.
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Univitsidod kAlu vdf - Sl̂ db . vial
114 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
donde Ac es el área de la sección transversal, que varía con x. Como la conducción de
calor en r + dx se expresa como
<ix+dx = <7* + ~ T dx <358>dx
se sigue que
dT d ( d T \
~ k ~ ^ K ) dx (3 59)
La transferencia de calor se expresa como
¿tyconv = h dAs{T - Tx) (3.60)
donde dA es el area superficial del elemento diferencial Sustituyendo las ecuaciones
de flujo anteriores en el balance de energía, ecuación 3.56, obtenemos
d ( d T \ h dAv
A c —— ) - ~ ~ (T — Tx ) — 0
dx \ c d x ) k dx
o
d 2T ( 1 dAt \ dT ( I h d A ,\
^ + f e i r ) ^ - f c i ^ ) ( r - r ” ) = 0 (3 6 l>
Este resultado proporciona una forma general de la ecuación de energía para condi
ciones unidim ensionales en una superficie extendida. Su solución para condiciones de
frontera apropiadas proporcionara la distribución de tem peraturas, que se usará des
pués con la ecuación 3.57, para calcular la transferencia de calor por conducción en
cualquier r.
3 .6 .2 Aletas de área de sección transversal uniforme
Para resolver la ecuación 3 61 es necesario ser más específico acerca de la geometna.
Com enzamos con el caso mas simple de aletas rectangulares rectas de sección trans
versal uniforme (figura 3.16). Cada aleta se une a una superficie base de temperatura
7*(0) — Th y se extiende en un fluido de temperatura T 0.
Para las aletas que se establecen. Ac es una constante y A s = Px, donde A, es el
área de la superficie medida de la base a . v y P es el perímetro de la aleta. En conse
cuencia, con dAJdx = 0 > dAJdx = P , la ecuación 3 61 se reduce a
drT hP
— v ~ 7 7 - (T ~ T*) = 0 (3.62)
dx" kAc
Para simplificar la forma de esta ecuación, transformamos la variable dependiente defi
niendo un exceso de temperatura 6 como
(Ka) s T(x) - r » (3.63)
donde, com o Tx es una constante, dO/dx = dT/dx. Al sustituir la ecuación 3.63 en la
ecuación 3.62, obtenemos
á 2e
— j - m"6 = 0 (3.64)
dx
3 .6 ■ Transferencia de caloren superficies extendidas
t, = Hl
<a)
F H l K \ 3 .1 6 \1« la'- recta» <l« *r» rión Irausv* r»al iinifoniK . («) Mola
rec tangulni (h) Aleta < in ulhi.
donde
■>n r =
hP
~kA
(3 65)
La ecuación 3 64 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea,
con coeficientes constantes Su solución general es
0(.t) = C ,c"u + C2c rnx (3 66 )
Por sustitución se verifica fácilm ente que la ecuación 3.66 es en realidad una solución
de la ecuación 3 64.
Para evaluar las constantes C¡ y C2 de la ecuación 3.66, es necesario especificar
condiciones de frontera apropiadas. Una condición se especifica en términos de la tem
peratura en la base de la aleta ( \ = 0 )
0(0) = Th - T - ^ f í h (3.67)
La segunda condición, especificada en el extrem o de la alela (v = L), corresponde a
cualquiera de cuatro diferentes situaciones tísicas.
La prim era condición, caso A, considera la transferencia de calor por convección
desde e! extrem o de la aleta Al aplicar un balance de energía a una superficie de con
trol alrededor de este extrem o (figura 3.17). obtenem os
dT
hAc[T(L) - Tx ] = - k A —
dx i - L
O
hO(L) = ~ k
d6
dx
(3.68)
x => L
Es decir, la rapidez a la que la energía se transfiere hacia el fluido por convección des
de el extremo debe ser igual a la rapidez a la que la energía alcanza el extremo por con
ducción a través de la aleta. Al sustituir la ecuación 3.66 en las ecuaciones 3.67 y 3.68,
obtenem os, respectivam ente.
eh = c, + c 7 (3.69)
d e p a r t a m e n t o d e b ib l io t e c a
UllIVLti 6luud uuiivdf • 9p(Ítt v
1 1 6 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
y
h{CAeml + C2e mL) + km{C2e~mL ~ C xemL)
Al resolver para C x y C2. es posible demostrar, después de algunas manipulaciones,
que
6 cosh m{L — x) + (hlmk) senh m{L — x)
6b cosh mL + {hlmk) senh mL
(3.70)
La configuración de esta distribución de temperaturas se muestra de forma esquemática
en la figura 3.17. Advierta que la magnitud del gradiente de temperatura disminuye tü
aum entar x. Esta tendencia es una consecuencia de la reducción en la transferencia de
calor por conducción qx{x) con el aum ento de v debido a las pérdidas por convección
continuas de la superficie de la aleta.
También estam os interesados en el calor total transferido por la aleta. Según la fi
gura 3.17, es evidente que la transferencia de calor de la aleta qt se puede evaluaren
dos formas alternativas, que implican el uso de la distribución de temperaturas. El pro
cedim iento más simple, y el que usaremos, implica aplicar la ley de Fourier a la base
de la aleta. Es decir.
dT
qf = qh = ~ kA c —
*=o
de
= - k A c —
dx (3.71,jc=0
Por tanto, conociendo la distribución de temperaturas. 0(.v). se puede evaluar, lo queda
--------- senh mL + {hlmk) cosh mL
qf - hPkAceb cosh mL + (hhnk) senh mL (3'7-'
Sin embargo, la conservación de la energía dicta que la rapidez a la que se transfiere
calor por convección desde la aleta debe ser igual a la rapidez a la que se conduce por
V
F iC l KA 3 . 1 7 (.omliit't'ión y convección en una aleta de sección
transversal uniforme.
3 .6 ■ Transferencia de caloren superficies extendidas 1 1 7
la base de la aleta. En consecuencia, la formulación alternativa para q es
qf = \ h[T(x) ~ Tx] dAs
Af
qf = \ hO(x) dAs (3.73)
donde A es el área total de la superficie de la aleta, incluido el extremo La sustitución de
la ecuación 3.70 en la ecuación 3 73 da la ecuación 3.72
La segunda condición del extremo, caso B, corresponde a la suposición de que la
pérdida de calor convectiva en el extrem o de la aleta es insignificante, en cuyo caso el
extrem o se trata como adiabático y
d6
= 0 (3.74)
x = Ldx
Al sustituir de la ecuación 3.66 y dividir entre tu, obtenemos
C ,éwL - C2e~mL = 0
Usando esta expresión con la ecuación 3 69 para resolver C¡ y C2 y sustituir los resul
tados en la ecuación 3.66, obtenem os
6 cosh m{L — x)
— = ---------------------- (3.75)
6b cosh mL
Al usar esta distribución de tem peraturas con la ecuación 3.71, la transferencia de calor
de la aleta es entonces
qf = \/h P k A c6b tanh mL (3-76)
De la misma manera se obtiene la distribución de temperaturas de la aleta y la
transferencia de calor para el caso C. donde la temperatura se establece en el extremo
de la aleta. Es decir, la segunda condición de frontera es 0(L) = 6¡, y las expresiones
resultantes son
6 ( BJ6b) senh mx + senh m(L — jc)
~8b ~ senh mZ (3'7?)
cosh mL — dJ6b
q , = V h P Ü A s£ n h m ¿ (3.78)
La aleta muy larga, caso D, es una extensión interesante de estos resultados. En par
ticular, cuando L —» °o. dL —> 0 y se verifica fácilmente que
~ (3.79)
%
q , = V h P kA ceb(3.80)
Los resultados anteriores se resumen en la tabla 3.4. En el apéndice B.J se proporciona
una tabla de funciones hiperbólicas.
^ JEPARTAMÉNTO d e b ib l io t e c a
Ui*IVw:8iduü - Sede c ural
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
TABLA 3 . 4 Distribuc ión de temperaturas \ pérdidas de calor para aletas
de sección transversal uniforme
Condición de aleta Distribución de Transferencia
Caso (or - L) tem peraturas 0/0,, de calor de la aleta q
A Transferencia de
calor por convección:
hti(L) = -kd0 /dx \Y=L
cosh m ( L — x ) + ( hhnk ) í>enh m(L - A ) senh rnL + ( himk ) cosh mi
•V/
cosh mL + ( hhnk ) scnh rnL
(3.70)
cosh mL + ( himk ) senh mi
(3.72)
B Adiabática:
dO/dx = 0
cosh m ( L — x )
cosh mL
(3.75)
M tanh mL
(3.76
C Temperatura ( Hl ! 6h) senh mx + senh m(L - x) (cosh mL — Q¡_ i 0¡>)
Mestablecida:
tKD = eL
senh mL
(3.77)
senh mL
(3.781
D Aleta infinita ( L —» =c):
(KL) = 0 ff - m.x
(3.79)
M
(3.Ü0)
1E**<III«i m2 = hP/kAc
e„ = m = Tb - Tx M = V h P kA c0h
Fjkmplo 3 .8
Una varilla muy larga de 5 mm de diámetro tiene un extremo que se mantienea I00°C.
La superficie de la varilla se expone al aire ambiente a 25 C con un coeficiente de
transferencia de calor por convección de 100 W m 2 • K.
1. Determine las distribuciones de temperaturas a lo largo de varillas construidas de
cobre puro, aleación de aluminio 2024 y acero inoxidable tipo AISI 316. ¿Cuáles
son las pérdidas de calor correspondientes de las varillas?
2. Calcule el largo de las varillas para que la suposición de una longitud infinita de
una estimación exacta de la pérdida de calor.
SOI I ( JÓiN
Se conoce: Una varilla circular grande expuesta al aire del ambiente.
E ncontrar:
1. Distribución de temperaturas y pérdida de calor cuando la varilla se fabrica de co
bre, una aleación de aluminio o acero inoxidable.
2. Qué largo deben tener las varillas para suponer longitud infinita.
Esi¡uema:
. a ,
Th = 100°C
r -
Aire
/ / / , ;
0 r 3 í
= 25°C
h = 100 W/m? • K
k ,L —>*.D = 5 mm
3 .6 ■ Transferencia tic calor en superficies extendidas 119
Suposic iones:
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción unidim ensional a lo largo de la varilla.
3. Propiedades constantes.
4. Intercam bio de radiación insignificante con los alrededores.
5. Coeficiente convectivo constante y uniforme.
6 . Varilla infinitamente lanía.
P rop iedades: Tabla A. l , cobre \T = (7/, 4- Tx)/2 = 62.5°C =» 335 Kj: k = 398
W /m • K. Tabla A. 1, alum inio 2024 (335 K): k = 180 W /m • K. Tabla A. I, acero inoxi
dable, AISI 316 (335 K): k = 14 W /m • K.
A nális is:
1. Sujeto a la suposición de una aleta infinitamente larga, las distribuciones de tempe
ratura se determ inan de la ecuación 3.79. que se expresa como
r = T„ + (Th - Tx )c ”*
donde m = (hP/kAt.)lí2 = (4hlkD)12. AI sustituir para h y D . así com o para las con
ductividades térmicas del cobre, la aleación de aluminio y el acero inoxidable, res
pectivam ente. los valores de m son 14.2, 21.2, y 75.6 m '. Las distribuciones de
temperatura?» se calculan y trazan entonces según la siguiente gráfica.
100
80
£ 60
40
7 ,
20
0 50 100 150 200 250 300
.í(mm)
De estas distribuciones, es evidente que hay poca transferencia de calor adicional
asociada con la extensión de la longitud de la varilla mucho más allá de 50. 200 y
300 mm, respectivam ente, para el acero inoxidable, la aleación de alum inio y el
cobre.
De la ecuación 3.80 la pérdida de calor es
i/j = VhPkA,.eb
De aquí, para el cobre.
100 W /m 2 - K X t t X 0.005 m
X 398 W /m • K X - 7 (0.005 m )2
4
1/2
(100 - 25)°C
= 8.3 W <
Capitulo 3 ■ Conducción uniditnonsional do estado estable
De manera similar, para la aleación de alum inio y el acero inoxidable, respectiva
mente, las perdidas de calor son qj = 5.6 W y 1 6 W.
2. Com o no hay perdida de calor en el extremo de una varilla infinitamente larga, es
posible estim ar la validez de esta aproximación com parando las ecuaciones 3.76 y
3.80. Para una aproximación satisfactoria, las expresiones proporcionan resultados
equivalentes si tanh mí > 0.99 o mL 3 2.65. Por tanto, una varilla se supone infi
nitamente larga si
2.65
m
= 2.65
Para el cobre.
U = 2.65
398 W/ m • K X (tt/4 )(0 .005 m )2
100 W/m2 • K X 77(0.005 m)
1/2
= 0.19 m
Los resultados para la aleación de aluminio y para el acero inoxidable son Lx =j
0.13 m y Lx = 0.04 m, respectivamente.
C om entarios: Los resultados anteriores indican que es posible predecir con preci
sión la transferencia de calor de la aleta a partir de la aproximación de aleta infinita si
mL 3: 2.65. .Sin embargo, para que la aproximación de aleta infinita prediga la distribu
ción de temperaturas T(x) con exactitud se requerirá un valor mayor de mL. Este valor
se infiere de la ecuación 3.79 y del requerimiento de que la temperatura del extremo
sea muy cercana a la temperatura del fluido. De aquí, si requerimos que 6(L)f0h = exp
{—mL) > 0.01, se sigue que mL > 4.6, en cuyo caso L& 0.33, 0.23 y 0.07 m para el
cobre, la aleación de aluminio y el acero inoxidable, respectivamente Estos resultados
son congruentes con las distribuciones que se dibujaron en la parte 1 .
3 .6 .3 Desempeño de una aleta
Recuerde que las aletas se utilizan para aum entar la transferencia de calor de una fuen
te porque acrecientan el área efectiva de superficie. Sin em bargo, la aleta misma repre
senta una resistencia de conducción para la transferencia de calor de la superfu e
original. Por esta razón, no hay seguridad de que la transferencia de calor aumente a
través del uso de aletas Una apreciación de este asunto se obtiene evaluando la efecti
vidad de la aleta Sj Esta efectividad se define como la razón de la transferencia de ca
lor de la aleta a la transferencia de calor que cxistirfa sin ¡a aleta. Por tanto.
donde Ac f, es el área de la sección transversal en la base de la aleta En cualquier dise
ño racional, el valor de e^debe ser tan grande com o sea posible y, en general, el uso de
aletas raramente se justifica a menos que Ef 3 2 .
Sujeta a cualquiera de las cuatro condiciones de aletas que se consideran, la efecti
vidad para una aleta de sección transversal uniforme se obtiene dividiendo la expresión
apropiada para q^ en la tabla 3 4, entre hAc b6h. Aunque la instalación de aletas altera
3 .6 ■ I n i rmfi - re ti ría de calar mi superficie* extendidas 121
el coeficiente de convección de la superficie, este efecto norm alm ente no se tom a en
cuenta. De aquí, suponiendo que el coeficiente de convección de la superficie con ale
tas es equivalente al de la base sin aletas, se sigue que. para la aproxim ación de aleta
infinita (caso D), el resultado es
i kP \
(3.82)
Es posible inferir varias tendencias im portantes de este resultado. O bviam ente, la
efectividad de la aleta aum enta por la elección de un material de alta conductividad tér
mica. A leaciones de alum inio y cobre vienen a la mente. Sin em bargo, aunque el cobre
es superior desde el punto de vista de la conductividad térm ica, las aleaciones de alu
m inio son la elección más com ún debido a sus beneficios adicionales relacionados con
un costo y peso más bajos. La efectividad de la aleta tam bién se intensifica al aum entar
la razón del perím etro al área de la sección transversal. Por esta razón se prefiere el uso
de aletas daigádas, pero poco espaciadas, con la salvedad que el hueco de la aleta
no se reduzca a un valor para el que el flujo entre las aletas se impida severamente, y
por ello se reduzca el coeficiente de convección
La ecuación 3.82 tam bién indica que el uso de aletas se justifica mejor bajo condi
ciones para las que el coeficiente de convección h es pequeño. Asi, de la tabla 1.1 es
evidente que la necesidad de alelas es grande cuando el fluido es un gas en lugar de un
líquido y, en particular, cuando la transferencia de calor de la superficie es por convec
ción libre. Si se van a usar aletas sobre una superficie que separa un gas y un liquido,
por lo general se colocan en el lado del gas. que es el lado del coeficiente de convección
más bajo. Un ejem plo com ún es la tubería en el radiador de un automóvil. Las aletas se
aplican a la superficie exterior del tubo, sobre la cual hay un flujo de aire del ambiente
(h pequeña), y no a la superficie interna, a través de la cual hay un flujo de agua (h
grande). Note que, si z y > 2 se usa com o criterio para justificar la aplicación de aletas,
la ecuación 3.82 lleva al requerim iento de que (kPUi/\l ) > 4.
La ecuación 3.82 proporciona un lím ite superior a Ef . que se alcanza conforme L se
aproxim a a infinito. Sin em bargo, ciertam ente no es necesario usar aletas muy largas
para alcanzar un aum ento de la transferencia de calor cercana a la máxima. Cuando se
considera una condición de extrem o adiabático, la ecuación 3.76 y la tabla B .l nos indi
can que 98% de la transferencia de calor m áxim a posible de aleta se alcanza para mL —
2.3. Por esto tiene poco sentido extender las aletas más allá de L = 2.3////.
Hl desem peño de la aleta tam bién se cuantilica en térm inosde una resistencia tér
mica. Al tratar la diferencia entre las tem peraturas de la base y del fluido com o el po
tencial de im pulso, una resistencia de aleta se define com o
Vh
R 'J = 7¡f 0 .8 3 )
Este resultado es extrem adam ente útil, en particular cuando se representa una superfi
cie con aletas m ediante un circuito térmico. A dvierta que. de acuerdo con la condición
del extrem o de la aleta, una expresión apropiada para tjf se obtiene de la tabla 3.4.
Al dividir la ecuación 3.83 en la expresión para la resistencia térm ica debida a la
convección en la base expuesta.
= {3K4'
d e p a r t a m e n t o d e
Universidad Slmdn **
61 BUG 11 . 0 A
''"Ifr T*- ' *"
1 2 2 Capítulo 3 ■ Conducción unidunensitmal de estado estable
y al sustituir de la ecuación 3.81, se sigue que
€f
ü.uJl (3 85)
En consecuencia, la efectividad de la aleta se interpreta como una razón de resistencias
térmicas y, para aum entar es necesario reducir la resistencia de conduccion/convec-
ción de la aleta. Si la aleta es para aum entar la transferencia de calor, su resistencia no
debe exceder la de la base expuesta.
Otra medida del desempeño térmico de la aleta la proporciona la eficiencia ele h
aleta rjf. El potencial de impulso máximo para la convección es la diferencia de tempe
raturas entre la base (x = 0) y el fluido, 0h = Th — 7*». De aquí, '.e sigue que la rapidez
máxima a la que una aleta puede disipar energía es la rapidez que existiría si toda la su
perficie de la aleta estuviera a la temperatura de la base. Sin embargo, como cualquier
aleta se caracteriza por una resistencia de conducción finita, debe existir un gradiente
de temperatura a lo largo de la aleta y la condición anterior es una idealización Por
tanto, una definición lógica de eficiencia de aleta es
_ « i ch
*Yináx llA ¡ O. (3. ■
donde Aj es el área de la superficie de la aleta. Para una aleta recta de sección transver
sal uniforme y un extremo adiabático, las ecuaciones 3.76 y 3.86 dan
M tanh mL tanh mL
(3 87'hPL6h mL
Con referencia a la tabla B. l , este resultado nos indica que 17 se aproxima a sus valo
res máximo y m ínim o de 1 y 0, respectivamente, conforme L se aproxima a 0 e 00.
En lugar de la expresión algo pesada para la transferencia de calor de una aleta
rectangular recta con un extremo activo, ecuación 3.72. se mostró que se pueden obte
ner predicciones aproximadas, incluso precisas, usando el extremo adiabático resultan
te, ecuación 3.76, con una longitud de aleta corregida de la form a Lc — L + (r/2) para
una aleta rectangular, y Lc = L + (D/4) para una aleta recta de alfiler [9]. La correc
ción se basa en la suposición de equivalencia entre la transferencia de calor de la aleta
real con convección en el extremo y transferencia de calor de una aleta hipotética más
larga con un extremo adiabático. Así, con la convección en el extremo, la rapidez de
transferencia de calor de la aleta se aproxima como
H¡ — M tanh mLc
y la eficiencia correspondiente como
tanh mLc
^ = ^ r ~
(3.88)
(3.89)
Los errores asociados con la aproximación son insignificantes si (htik) o (hD 2k) <
0.0625 [10].
Si el ancho de una aleta rectangular es mucho más grande que su espesor, w $> r,el
perímetro se aproxim a com o P = 2vv, y
( h P \ 1/2 ( 2 hy/2
m Lí = \ k X j L c ~ \ h ) Lc
Al m ultiplicar el numerador y denom inador por L\i2 e introducir un área de perfil déla
3 .6 ■ Transferencia de calar en superficies extendidas 1 2 3
1 . 0 1 . 5
¿ t' ~(h/kAp)iri
1 K.l |{ \ 3 . 1 8 Klicii iu ia (ir alrhi'! rr< tas s r« < taiigulur. triaiif'ul n \ paralnili« o
aleta corregida, Ap = /., t. se sigue que
/ 2 /t y a , , ,
(3.90)
De aquí, según se m uestra en las figuras 3.18 y 3.19. la eficiencia de una aleta rectan
gular con convección en el extrem o se puede representar com o una función de
i * 2m A p) ' 2.
100
8 0
£
Si—(T
6 0
4 0
20
' t L, - ¿ + t/2
l /V = 111
1 . 0 1 . 5
LfHhikA,^
I' K .l K A 3 . 1 9 E f i c i c w ia d e a l e t a s a n u la re - . «le p erlil re< tan gular.
DOARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Snnoi» bolívar Sede i?. * litors1
1 2 1 Capítulo .'1 ■ Conducción unidimensional de estado estable
3 . 6 . 4 A letas d e área d e secc ió n transversal no un iform e
El análisis del com portam iento térmico de una aleta se hace más com plejo si la aleta es
de sección transversal no uniforme. Para estos casos, el segundo término de la ecua
ción 3 61 debe conservarse, y las soluciones ya no presentarán la forma de funciones
exponenciales o hiperbólicas simples. Como caso especial, considere la aleta anular
que se muestra en la figura 3.19. Aunque el espesor de la aleta es uniforme (/ indepen
diente de / ). el área de la sección transversal, Ac = 27771 varía con r. Al reemplazar*
por r en la ecuación 3.61 y expresar el área de la superficie com o As = lid )'1 ~ r ] ), la
forma general de la ecuación de la aleta se reduce a
d 2T 1 dT 2h—r + — (r - r j = o
dr r dr
o, con m2 = Ihlkt y tí = T — Tv
kt
d2e i de
—T T H , III $ = 0
dr r dr
La expresión anterior es una etnación de Bessel modificada de orden cero, y la so
lución general tiene la forma
tí(r) = C\I0(mr) + C2K0(mr)
donde l0 y K() son funciones de Bessel de orden cero modificadas de primera y segunda
clase, respectivamente Si la temperatura en la base de la aleta se establece, 0(/|) = fy.
y se supone la periferia adiabática, d6ldr\r2 = 0, C y C2 se pueden evaluar para dar una
distribución de temperaturas según la forma
6 I0(mr)K i(mr2) + K0(mr)Ix(mr2)
6b ¡ü(m rx)K x{mr2) + K0(m rx)Ix{mr2)
donde / j (/?//) = d[l0(mr)]/d(mr) y K x(mr) = — d[K0(mr)]fd(mr) son funciones de
Bessel de primer orden modificadas de prim era y segunda clase, respectivamente. Las
funciones de Bessel se tabulan en el apéndice B.
Si la transferencia de calor de la aleta se expresa como
= —kAc, b
dT
dr r=r i
de
= ~k{2irrxt) —
dr r—r\
se sigue que
qf = 27Tkrxt6bm
K ¿ m rx) / fm r 2) j - / ,(w r , )Kj{mr2)
KQ(m rx)Ix{mr2) + l{fm r x)K x{mr2)
de donde la eficiencia de la aleta se vuelve
qf 2 r, /C |(w r,)/,(w r2) - l x{mrx)K x{mr2)
Vf h 2 i T { r \ - r2x)0b m { r \ - r\) K0(m rx)Ix(mr2) + 70(m r 1)A',(wr2) (3.91
Este resultado se aplica a una periferia activa (de convección), si el radio de la perifeij
r 2 se leemplaza con un radio corregido de la forma r2(. = r2 + (r/2) Los resultados!
presentan de lorma gráfica en la figura 3.19.
El conocimiento de la eficiencia térmica de una aleta sirve para evaluar la resisten
cia de la aleta y, de las ecuaciones 3.83 y 3.86, se sigue que
3 .6 ■ Transferencia de caloren superficies extendidas 125
* • ' = ^ ( 3 - 9 2 )
En la tabla 3.5 se resumen expresiones para la eficiencia y el área superficial de varias
geom etrías com unes de aleta. Aunque los resultados para las aletas de espesor o diám e
tro uniforme se obtuvieron suponiendo una periferia adiabática, los efectos de la con
vección se pueden tratar con el uso de una longitud (ecuaciones 3.89 y 3.95) o radio
(ecuación 3.91) corregidos. Las aletas triangulares y parabólicas son de espesor no uni
forme, que se reduce a cero en el extrem o de la aleta.
T abla 3 .5 E ficiencia de formas com unes de aletas
Aletas rectas
Rectangulara
A¡ = 2wLc
L = L + (tí 2)
Triangulara
Af = 2w\L2 + (t/2)2]u2
Parabólicaa
Af = vv'| C\L2 +
(L2//)ln (t/L + C,)]
211/2C, = 11 + (t/L )2}
Aleta circular
Rectangulara
Af = 2it(r\( - /•?)
r2c= r» + (/. 2)
Aletas de punta
Rectangular1’
Af = ttDL(
L = L + (DIA)
y = (t/2 ) ( 1 - x/L)2
tanh mLc
mL(.
1 ¡y(2mL)
mL l0(2mL)
% (4 (mL)2 + \] m + 1
Vi = C
AT,(mrl) / l(mr2c) - Ii(m rl)K y(mr2c)
2 I0(m ry)K y(mr2c) + K0(m ry)Iy(mr2c)
(2 r jm )
Co =
( d - - r2)
*lf
tanh mLc
mL,.
(3.89)
(3.93)
(3.94)
(3.91)
(3.95)
Continua en la siguiente página
T VIH A 3 . 5 t f in r iK ’ia dt* form as com unes do a le tas (continuación)
Il2í> Capítulo 3 ■ Conducción unidiinensiiuial de eslndo estable
Triangular0
ttD
Ar = — \L+ <^2)2]1/2
2 L(2m L)
mL l x(2mL) (3.«
Parabólii a°
ttC
ó, = 8D
L
{ c ,c 4 -
— In l(2DC4/L) + C3]}
C, = I + 2(D/¿)2
C4 = n + (ü/¿)2l,a
= [4/9(mL)z + l |l/2 + 1 Í39
-mi >= (2htkt)l \
!'m » 14h/kD) ' 2.
Una alela triangular recta es atractiva porque, para la transferencia de calor equ.
\a lentó , requiere mucho m enos volumen (material de la aleta) que un perlil rectangu
lar. A este respecto, la disipación por unidad de volumen, (¿j/V),, es mas grande para
perlil parabólico. Sin em bargo, com o (q/V), para el perfil parabólico es sólo ligera
mente m ayor que el del perlil triangular, su uso pocas veces se justifica en vista de I
grandes costos de fabricación, l-a aleta anular de perfil rectangular se usa normalnii
te para aum entar la transferencia hacia o desde tuhos circulares.
Eficiencia gloria! de la superficie
En contraste con la eficiencia rjf de la alela, que caracteriza el rendim iento de una
l*i aleta, la eficiencia global de la superju ¡e rju ca rac te n /a un arreglo de aletas y la
perhcie base a la que se une. En la figura 3 20 se m uestran arreglos representatm
donde S designa el espaciam iento de las aletas En cada cuso la eficiencia global
define com o
V n =
'//
*7ina.x h A ,0 b
(33
donde q¡ es la transferencia de calor total del área de la superficie A, asociada conI
aletas y la parte expuesta de la base (a m enudo denom inada la superficie primaria).
hay N aletas en el arreglo, cada una de las áreas superficiales Af, y el arca de la sup
tície prim aria se designa com o Ah, el área de la superficie total es
A, = NAf + Af, (3,5
I a transferencia de calor máxima posible resultaría si toda la superficie de la aleta,
com o la base expuesta, mí m antuvieran en Th.
La transferencia total de calor por convección de las alelas \ de la superficie pi
cipal (sin aletas) se expresa com o
q, = NrjfliAjfíh + ¡iAh0¡, (3.IC
.'{.(> ■ Transferencia de cataren superficies extendidas 127
r». h
<h)
F k . IHA 3 . 2 0 \rregl um »lr alelan n*prrsrniali\os. f«t \lettt* rectangulares.
(6) Alelan anular»*'».
donde el coeficiente de convección h se supone equivalente para las superficies princi
pal y con aletas, y rjf es la eficiencia de una sola aleta. De aquí
N A f
q, = h[NVlAf + {A, - NA} )\0b = hA, (h (3.101)
Al sustituir la ecuación (3.101) en (3.98), se sigue que
NA,
A,
La-nf ) (3.102)
Del conocim iento de 17,,, la ecuación 3.98 sirve para calcular la transferencia total de
calor para un arreglo de aletas.
Si recuerda la definición de la resistencia térm ica de la aleta, ecuación 3.83. la
ecuación 3.98 sirve para inferir una expresión para la resistencia térm ica de un arreglo
de aletas. Es decir.
q, n .M ,
(3.103)
donde R¡ 0 es una resistencia efectiva que explica las trayectorias de fiujo de calor pa
ralelas por conducción/convección en las aletas y por convección de la superficie prin
cipal. La figura 3 .2 \a ilustra los circuitos térmicos correspondientes a las trayectorias
paralelas y su representación en términos de una resistencia electiva
Si las alelas se fabrican com o parte integral de la pared de la que se extienden, no
hay resistencia de contacto en su base. Sin em bargo, por lo general, las alelas se fabri
can por separado y se unen a la pared con una juntura metalúrgica o adhesiva. Com o
alternativa, la unión puede implicar un ajuste de presión. para el cual las aletas se enca
jan en ranuras hechas por fresado en el material de la pared. En tales casos (figura
3.21 h). hay una resistencia térmica de contacto. R, c. que puede influir de manera ad
versa sobre el rendim iento térm ico global. De nuevo es posible obtener una resistencia
de circuito efectiva, donde, con la resistencia térm ica de contacto.
'V <><<■>
1
(3.104)
1 2 8 ( a p í l a l o 3 ■ C otuliicción unidimensional de estado estable
(NrjfhAf)
/VNAAA-
</h
A W A
-o T* a
Ti, °~
(*)
| h(A, -NAf ) |
V W W A
(n tM f) 1
-0 7
K".cW \,b
/vW V '—
(Ni)fhA/) 1
-W v W -----
Uh
n*
—vVWvNA-
|/i(A, —NAf) |
-WVWSA- r
(/>)
FlGl K\ 3.21 Arreglo dr aletas y circuito térmico. (r/) Las alelas son parte integral de la liase.
(6) Las aletas están adherirlas a la base.
Se muestra fácilmente que la eficiencia global de superficie correspondiente es
= 1 5
NAf
A.
(3.105a)
donde
C, = 1 + 7)jJiAj(R"i cIA(. h)
En la fabricación, se debe tener cuidado de hacer R, c <$ R¡y.
(3.105b)
E j e m p l o 3 . 9
El cilindro del motor de una motocicleta está fabricado de aleación de aluminio 2024-
T 6 y tiene una altura H — 0 15 m y un diámetro exterior D = 50 mm. Bajo condicione,
de operación típicas la superficie externa del cilindro está a una temperatura de 500 Ky
se expone al aire ambiental a 300 K, con un coeficiente de convección de 50 W/m2 • K
Unas aletas anulares están fundidas integralmente con el cilindro para aumentar la
transferencia de calor a los alrededores. Considere cinco de estas aletas, de espesor f =
6 mm. longitud L = 20 mm e igualmente espaciadas. ¿Cuál es el aumento en transfe
rencia de calor debido al uso de las aletas?
3 .6 ■ Transferencia de calor en superficies extendidas 1 2 9
S o l í o i ó n
S e c o n o c e : Condiciones de operación de un cilindro de motocicleta con aletas.
E n co n tra r : Aumento en la transferencia de calor asociada con el uso de aletas.
E sq u e m a :
H = 0.15 m
Th = 500 K
Sección transversal
del cilindro de motor
(aleación de Al 2024 T6)
= 300 K
h = 50 W/m2 • KM------
•4 ------------- Aire
n = 25 mm
L = 20 mm
r2 = 45 mm
S u p o s ic io n es :
1. Condiciones de estado estable.
2. Conducción radial unidimensional en las aletas.
3. Propiedades constantes.
4. Intercambio de radiación insienificante con los alrededores.
5. Coeficiente de convección uniform e sobre la superficie externa (con o sin aletas).
P r o p ie d a d e s : Tabla A. l , aluminio 2024-T6 (T = 400 K): k — 186 W/m • K.
Análisis: Con las aletas colocadas, la transferencia de calor está dada por la ecua
ción 3.101
q, = hAt
N A f
donde Aj = 277 — r-j) = 2 t t [(0.048 m)2 — (0.025 m)2l = 0.0105 m2 y, de la ecua
ción 3.99, A, = NAf + 2777’,( / / - Nf) = 0.0527 m2 + 27*0.025 m )[0 .15 m - 0.03 m] =
0.0716 m 2. Con = 1.92, L(. — 0.023 m, Ap = 1.380 X 10“ 4 m2. obtenemos L]!2
{h!kAp) m = 0.15. En consecuencia, de la figura 3.19, la eficiencia de la aleta es rj{ ~
0.95. Con las aletas, la transferencia total de calor es, entonces.
qt = 50 W /m 2 ■ K X 0.0716 nT 1 -
0 .0527 m 2
0.0716 m 2
(0.05) 200 K - 690 W
Sin las aletas, la transferencia de calor por convección sería
qwo = /i(27r/’,/7)í/b = 50 W m2 • K (2tr X 0.025 m X 0.15 m)200 K = 236 W
De aquí
A<7 = qt~ qwo = 454 W <
DEPARTAMENTO DE B1BUG»uoA
Universidad Simó j
1 3 0 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
C o m en ta r io s: Aunque las aletas aumentan de manera significativa la transferencia
de calor del cilindro, aún es posible un mejoramiento considerable si se aumenta el nú
mero de aletas. Evaluamos esta posibilidad calculando q, como función de N. primero
fijando el espesoi de la aleta a / = 6 mm e incrementando el numero de aletas al redu
cir el espaciado entre las aletas. Determinando un espaciado de aletas de 2 mm en cada
extremo del arreglo y un hueco mínimo de aleta de 4 mm. el número máximo permisi
ble de aletas es N = H/S = 0.15 m/(0.004 + 0.006)m = 15. Los cálculos de los pará
metros dan la siguiente variación de qt con N:
1600
1400
1200
"1000
800
600
-
•
t = 6 mm
4
•
»
•
•
«
•
>
•
9 11
Numero de aletas, N
13 15
El numero de aletas también aum enta reduciendo el espesor de la aleta. Si el hueco de
la aleta se fija en (S — t) = 4 mm y las restricciones de fabricación dictan un espesor)
de aleta mínimo permisible de 2 mm, se pueden acom odar hasta N = 25 aletas. Eim
te caso los cálculos paramétricos dan
Los cálculos anteriores se basan en la suposición de que h no resulta afectada pon
reducción en el hueco de la aleta. La suposición es razonableen tanto que no hay inter
acción entre las capas límite que se desarrollan en las superficies opuestas de ias alea
contiguas. Advierta que, com o NAj > 2777 ¡( / / — Nt) para las condiciones estableeid
q, aumenta casi linealmente al aum entar N.
Ejkmim.o 3 . LO
La transferencia de calor de un transistor se puede aumentar insertándolo en una base
aluminio (k = 200 W/m • K) que tiene 12 aletas longitudinales tabncadas integnilni
sobre su superficie externa El radio del transistor y la altura son / | = 2
3 .6 ■ Transferencia (lc calor en superficies extendidas 1 3 1
/ / = 6 mm, respectivamente, mientras que las aletas son de longitud L = r$ — r2 = 10 mm
y espesor uniforme t = 0.7 mm. El espesor de la base de la manga es r2 — / | = 1 mm. y
la resistencia de contacto de la interfaz base-transistor es R ” c = 10-3 n r • K/W. Aire a
Too = 20°C fluye sobre la superficie de la aleta, lo que proporciona un coeficiente de
convección aproximadamente uniforme de h = 25 W /m 2 • K.
1. Suponiendo una transferencia unidimensional en la dirección radial, dibuje el cir
cuito equivalente para la transferencia de calor de la caja del transistor (r = / |) al
aire M arque claramente cada resistencia.
2. Evalúe cada una de las resistencias en el circuito anterior. Si la tem peratura de la
caja del transistor es 7 \ = 80°C, ¿cuál es la rapidez de transferencia de calor de
la base?
S o u u ó n
S e conoce: Dimensiones de una base de aluminio con aletas insertada en un transis
tor. Resistencia de contacto entre la base y el transistor. Condiciones de convección de
la superficie y tem peratura de la caja del transistor.
E n co n tra r :
1. Circuito térmico equivalente.
2. Transferencia de calor de la base
E s tp ie m o :
H
r3 H
S u p o s ic io n es:
1. Condiciones de estado estable.
2. Transferencia de calor insignificante de las superficies superior e inferior del tran
sistor.
3. Conducción radial unidimensional.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
UiiiVu. Sitiad Snuu . R
Transistor
Base con aletas
longitudinales
1 3 2 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
4. Propiedades constantes.
5. Radiación insignificante.
Análisis:
1. El circuito debe explicar la resistencia de contacto, conducción en la base, convec
ción de la base expuesta y conducción/convección de las aletas.
I
n
Ri . base
R(. h
— V A /V —
— w w —
Rt.f\ 12)
2. Las resistencias térmicas para el contacto de la unión y la base son
R[[c 10“ 3 m 2 • K /W
*,.c ~
R¡. base =
2irrxH 27t(0.002 m )(0.006 m)
ln (r2/ r , ) ln (3/2)
= 13.3 K /W
lirkH 2 tt(2 0 0 W /m • K )(0.006 in)
= 0 .054 K /W
Para una sola aleta, R, j = bh!q^ donde de la tabla 3.4,
qf = {hPkAc)m 6h
m senh mL + (hlmk) cosh mL
cosh mL + {hlmk) senh mL
Con P — 2{H + t) = 13.4 mm = 0.0134 m y Ac = t X H = 4.2 X 10~6 m2,
hP 2 5 W / m 2 - K X 0.0134 m \ i «
m —
kAc 200 W /m • K X 4.2 X 10~ 6 m 2
mL = 20 m _l x 0.01 m = 0 .20
h 25 W /m 2 • K
= 20.0 m
mk 20 m _l X 200 W /m • K
= 0.00625
{hPkAí) w2 = (25 W/m2 • K X 0.0134 m X 200 W /m • K
X 4.2 X 10~6 m2) 1/2 = 0.0168 W/K
el uso de la tabla B. 1 da, para una sola aleta,
1.020 + 0.00625 X 0.201
0.0168 W /K (0.201 + 0.00625 X 1.020)
= 293 K /W
De aquí, para 12 aletas.
*».
«...
/ ( 12) 12
= 24.4 K /W
k
3 .7 ■ Resumen 1 3 3
Para la base expuesta.
i
ft(2 777*2 — 1 2 f ) #
1
Con
25 W /m 2 • K (2 t t X 0.003 - 12 X 0.0007) m X 0.006 m
Rt b = 638 K /W
Kccmiv = [(24 .4 )"1 + ( 6 8 3 ) - 'l - ‘ = 23.5 K/W
se sigue que
RM = (13.3 + 0.054 + 23.5)K/W = 36.9 K/W
\
7 , - 7 * (80 - 20)°C
R tot 36.9 K /W
= 1.63 W
C om entarios:
1. Sin la base con aletas, la resistencia de convección de la caja del transistor es
^iran = (2 ‘777‘|///z)— 1 = 531 KAV. Por tanto hay una ventaja considerable en el uso
de las aletas.
2. Si se supone una aleta de periferia adiabática, tanh mL = 0.197 y R, j = 302. En
consecuencia, la resistencia de aleta está dentro de 3% de la que se obtiene para la
periferia convectiva real.
3. Con r¡f = (hAjR, f )~l = 0.988, la ecuación 3.102 da r]a = 0.988, de la que se sigue
que R r 0 = (rjuhAt)~l = 23.5 K/W. Este resultado es, por supuesto, idéntico al que
se obtuvo en la determinación anterior de Rcquiv.
4. El diseño de aleta establecido y las condiciones de operación de ninguna manera
se han optim izado Si se hiciera necesario disipar más de 1 63 W, mientras se man
tiene la temperatura de la base a 80°C, ¿qué medidas tomaría usted para mejorar el
rendim iento térmico del sistema? Puede, por ejemplo, querer considerar los elec
tos de duplicar /?. dividir entre dos R¡ c, aumentando L. y/o aumentando N.
3.7
Resumen
A pesar de la simplicidad m atem ática inherente, la transferencia de calor unidim ensio
nal de estado estable ocurre en numerosas aplicaciones de ingeniería. Aunque las con
diciones de estado estable unidim ensionales no se aplican exactamente, a menudo se
hacen suposiciones para obtener resultados de exactitud razonable. Por tanto, debe es
tar fam iliarizado con los medios por los que se tratan estos problemas. En particular,
debe sentirse cóm odo con el uso de circuitos térmicos equivalentes y con las expresio
d epartam en to d e b iblio teca
Unlwaldad Siinon : lt» r̂s'
1 3 4 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
nes para las resistencias de conducción que pertenecen a cada una de las tres geome
trías comunes. También debe estar familiarizado con el hecho de saber en qué forma
la ecuación de calor y la ley de Fourier sirven para obtener las distribuciones de tempe
ratura y los flujos correspondientes. Las implicaciones de una fuente de energía inter
namente distribuida también deben entenderse con claridad Finalmente, debe apreciar
el importante papel que las superficies extendidas juegan en el diseño de los sistemas
térmicos y debe tener la facilidad de efectuar diseños y ejecutar cálculos para tales su
perficies.
lii bli o ¿ir a jí a
1. Fried, E., ‘Therm al Conduction Contribution to Heat
Transler at Contacts” . en R P. Tye, ed., Thermal Con-
ductivitv. vol 2. Acadcmic Press. Ixindres, 1969
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5. Peterson. G. P. y L. S Fletcher, 'T herm al Contact Re
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Spacecraft Rockets. 6 , 1013. 1969
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Transfcr —The Last Decade”. AlAA ./., 24. 510. 1986
8 Yovanovich. M. M., “Recent Developments in Therni»!
Contact. Gap and Joint Conductance Theories and Expe-
nm ent”, en C. L Tien, V. P. Carey y J. L Ferrel, edv,
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Reporte NACA núm. 158. 1922.
10 Schneidcr, P J , Conduction Heat Transfer. Addison-
Wesley, Reading, MA. 1955.
Problemas
Pared plana
3.1 Considere la pared plana de la figura 3.1, que separa
los fluidos caliente y frío a temperaturas T« | y T« 2,
respectivamente. Con el uso de balances de energía co
mo condiciones de frontera en \ = 0y a — L (véase
la ecuación 2.27), obtenga la distribución de tempera
turas dentro de la pared y el flujo de calor en términos
de Toe, i, Toe,2, h2, * y L-
3.2 La ventana posterior de un automóvil se desempaña
mediante el paso de a re caliente sobre su superficie in
terna.
(a) Si el aire caliente está a Tx ¡ = 40°C y el coefi
ciente de convección correspondiente es h =
30 W/m • K, ¿cuales son las temperaturas de las
superficies interna y externa de la ventana de vidrio
de 4 mm de espesor, si la temperatura del aireant
bientc del exterior es T» 0 = — 10°C y el cocficien-
te de convección asociado es h0 — 65 W/m2 • K?
(b) Ln la práctica. T „ y ha varían de acuerdo con la.
condiciones del clima y la velocidad del automóv;;
Para valores de h„ = 2, 65. y 100 W/m2 • K. cal
le y trace las temperaturas de las superficies ínter
na y externa como función de Tx 0 para -30 s
T < 0°C* C O -- J
3.3 La ventana trasera de un autom óvil se desempañi
uniendo un elemento de calentamiento delgado de ti
película transparente a su superficie interior. Al ca'
tar eléctricamente este elemento, se establece un
de calor uniforme en la superficie interna.
■ Problemas
(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm. determine la
potencia eléctrica que se requiere por unidad de
área de la ventana para mantener una temperatura
en la superficie interna de I5°C cuando la tempera
tura del aire interior y el coeficiente de convección
>on 7 , , = 25°C y h, = 10 W /n r • k . mientras la
temperatura del aire exterior (ambiente) y el coefi
ciente de convección son 7X „ = — 10°C y ht) = 65
W/m2 * K.
(h) En la practica. í , , y hn varían de acuerdo con las
condiciones climáticas y la velocidad del automó
vil. Para valores de h0 = 2, 20. 65, y 100 W n r •
K. determine y elabore una gráfica del requeri
miento de potencia eléctrica como función de p
para —30 ^ 7 , 0 ^ 0°C. De sus resultados, ¿qué
concluye acerca de la necesidad de operar el calen
tador con valores bajos de ht,'l ¿Cómo resulta afec
tarla esta conclusión por el valor de Tx „? Si h ^
\ donde V es la velocidad del vehículo y n es un
exponente positivo, ¿cómo afecta la velocidad del
auto a la necesidad de la operación del calentador?
3.4 En un proceso de tabricación se unirá una película
transparente a un sustrato como se muestra en el dia
grama Para curar la unión a una temperatura 70, se uti
liza una fuente radiante que proporciona un flujo de
calor </"(W m: ). la totalidad del cual es absorbido en la
superficie unida. La parte posterior del sustrato se man
tiene a Ti mientras la superficie libre de la película se
expone al aire a 7 . y a un coeficiente de transferencia
de calor por convección h.
K
Lf = 0.25 mm
kj = 0.025 W/m
l a = 1 .0 mm
L = 0.05 W/m • K
Sustrato
Unión. T0
1
(a)
Ib)
íel
Muestre el circuito térmico que represente la situa
ción de transferencia de calor de estado estable.
Asegúrese de etiquetar todos los elementos, nodos
y flujos de calor. Déjelo en forma simbólica
Suponga las siguientes condiciones: 7* = 20°C.
h ~ 50 W/m2 • K, y 7 , = 30°C. Calcule el flujo de
calor <yó que se requiere para m antener la superfi
cie unida a 70 = 60°C.
Calcule y trace el flujo de calor que se requiere
como función del espesor de la película para 0 ^
L, ^ 1 mm.
Si la película no es transparente y la totalidad del
flujo de calor rad ante se absorbe en su superficie
superior, determine el flujo de calor que se requiere
para lograr la unión. Flabore una gráfica de sus re
sultados como función de Lf para 0 < < 1 mm
3.5 Se consideran cobre y acero inoxidable (AIS1 304) co
mo material para las paredes de la tobera de un cohete
enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se
mantiene a 150°C. mientras que los gases de combus
tión dentro de la tobera están a 2750°C. El coeficiente
de transferencia de calor del lado del gas es h, = 2 X
K)4 W /m2 • K. y el radio de la tobera es mucho mayor
que el espesor de la pared. Limitaciones térmicas indi
can que la temperatura del cobre y la del acero no ex
ceden 540°C y 9S0°C. respectivamente. ¿Cuál es el
espe or máximo de la pared que se podría emplear para
cada uno de los dos materiales? Si la lobera se constru
ye con el espesor máximo de pared, ¿cuál material se
preteriría?
3.6 l*na técnica para medir coeficientes de transferencia de
calor implica adherir una superficie de una hoja metáli
ca delgada a un material aislante y exponer la otra su
perficie a las condiciones de corriente del fluido de
interés.
r ^ / i
Hoja (P'¿iéc, Ts)
Aislante de
espuma (k)
Al hacer pasar una corriente eléctrica a través de la ho
ja se disipa calor de manera uniforme dentro de la hoja
y se infiere el flujo correspondiente, P^\cc* a partir de las
mediciones de voltaje y corriente relacionadas. Si se
conocen el espesor L del aislante y la conductividad
térmica k. y se miden las temperaturas del fluido, hoja
y aislante (7*. 7 t, Th), es posible determinar el coefi
ciente de convección. Considere condiciones para las
que 7» = 7„ = 25°C, P '^ = 2000 W /m2, L = 10 mm,
y k = 0.040 W/m • K.
(a) Con un flujo de agua sobre la superficie, la medi
ción de la temperatura de la hoja da Ts = 27°C.
Determine el coeficiente de convección. ¿Qué error
se cometería al suponer que toda la potencia disi
pada se transmite al agua por convección?
(b) Si. en su lugar, fluye aire sobre la superficie y la
medición de temperatura da 7 f = I25°C, ¿cuál es
el coeficiente de convección? La hoja tiene una
emisividad de 0.15 y se expone a alrededores a
25°C. ¿Qué error se cometería al suponer que toda
la potencia que se disipa se transfiere al aire por
convección?
Ifsvl
d ep a r t a m en t o d e b ib l io t e c a
Universidad Simón Bolívar Seds .
1 3 6 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
(c) Normalmente, los indicadores de flujo de calor se
operan a temperatura fija (Ts). en cuyo caso la disi
pación de potencia proporciona una medida directa
del coeficiente de convección Para Tt = 27°C,
graíiquc Pgiec como función de h„ para 10 ^ h0 <
1000 W /m2 • K. ¿Qué efecto tiene h() sobre el error
asociado con que no se tome en cuenta la conduc
ción a través del aislante?
3.7 Lo helado de la brisa, que se experimenta en un día frío
y con viento, se relaciona con el incremento de la trans
ferencia de calor de la piel humana expuesta a la atmós
fera circundante. Considere una capa de tejido adiposo
de 3 mm de espesor y cuya superficie interior se man
tiene a una temperatura de 36°C. En un día calmado el
coeficiente de transferencia de calor por convección a la
superficie externa es 25 W /m2 • K. pero con vientos de
30 km/h alcanza 65 W /m 2 • K. En ambos casos, la tem
peratura del aire del ambiente es — 15°C.
(a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de área de
la piel que se produce de un día calmado a un día
con viento?
(b) ¿Cuál será la temperatura de la superficie externa
de la piel en el día calmado? ¿Cuál en el día con
viento?
(c) ¿Qué temperatura debería tener el aire en el día
calmado para producir la misma pérdida de calor
que ocurre con una temperatura del aire de - 15°C
en el día con viento9
3.8 Considere el transistor montado en superficie que se
ilustra en el problema 1.51. Construya el circuito térmi
co, escriba una expresión para una temperatura de caja
7'£ y evalúe Tc para dos situaciones, una en la que el
hueco está lleno de aire estancado y otra en la que está
lleno de una pasta conductora.
3.9 Una placa de acero de 1 m de largo (k — 50 W/m • K)
está bien aislada en sus lados, mientras que la superficie
superior está a 100°C y la superficie inferior se enfría
por convección mediante un fluido a 20°C. En condicio
nes de estado estable sin generación, un termopar en el
punto medio de la placa revela una temperatura de
85°C.
100 °C
85 °C
/Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de ca
lor por convección en la superficie inferior?
3.10 Una ventanatérm ca de vidrio consiste en dos piezas de
vidrio de 7 mm de espesor que encierran un espacio
de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire
del cuarto a 20°C del aire ambiente del exterior a
— 10°C. El coeficiente de convección asociado con la
superficie interna (lado del cuarto) es 10 W /m2 • K.
(a) Si el coeficiente de convección asociado con el aire
exterior (ambiente) es h(, = 80 W/m2 • K, ¿cuál es
la pérdida de calor a través de una ventana que tie
ne 0.8 m de largo por 0.5 m de ancho? No tome en
cuenta la radiación, y suponga que el aire eneerra- I
do entre las hojas de vidrio está estancado.
3.11
(b) Calcule y trace el efecto de //„ sobre la pérdida de
calor para 10 ^ ha ^ 100 W/m2 • K. Repita este
cálculo para una construcción de tres vidrios en la
que se agrega un tercer vidrio y un segundo espa
cio de aire de espesor equivalente.
La pared de un colector solar pasivo consiste en un ma
terial de cambio de lase (PCM) de espesor L encerrado
entre dos superficies estructurales de soporte.
<?rad
i, h\
n i í n
Liqui ■ PCM Sólido, ks
T , = 20°C, h
Suponga una condición de estado estable para la que la
absorción de radiación solar en una superficie mantiene
su temperatura ( I s j) por arriba de la temperatura del
fusión del PCM. Las porciones líquida y sólida del j
PCM están divididas por una interfaz vertical estrecha
El líquido tiene una temperatura del núeleo de Tm y t j
caracteriza por un flujo recirculantc movido por la fio
tación que mantiene el mismo coeficiente de convec
ción (hm) en sus interfaces con la superficie (.v. I) vel|
sólido. Considere condiciones para las que el flujo ne
de radiación es q"ad = 1000 W/m2, las tcmperatul*
ambientes y los coeficientes de convección son Tx
Too, 2 = 20°C y /?j = h2 = 20 W/m2 ■ K, la temperatun
y coeficiente de convección del líquido PCM son
50°C y hm = 10 W/m2 • K y la conductividad lérn
del sólido PCM es ks = 0.5 W/m • K. Evalúe la tempoJ
■ Problemas 1 3 7
ralura de la superficie. 7 \ ( Si el espesor total del PCM
es /. = 0 .10 m. ̂cuál es el espesor de la capa líquida?
Calcule la temperatura de la superficie Ts 2-
3.12 La pared de un edificio es un compuesto que consiste en
una capa de 100 mm de ladrillo común, una capa de
100 mm de fibra de vidrio (fornida con papel, 28 Kg/nr').
una capa de 10 mm de revoque de yeso (vermiculita)
y una capa de 6 mm de tabla de pino. Si el coeficiente
de convección interiores 10 W /m2 • K y el coeficiente de
convección exterior es 70 W /m 2 • K, ¿cuál es la resis
tencia total y el coeficiente global para la transferencia
de calor?
3.13 La pared compuesta de un horno consiste en tres m ate
riales. dos de los cuales son de conductividad térmica
conocida, kA = 20 W /m ■ K y kL| = 50 W/m • K, y de
espesor conocido, /.A = 0.30 m y L ^ = 0 15 m. El ter
cer material. B. que se intercala entre los materiales A
y C. es de espesor conocido, L tt = 0 15 m, pero de con
ductividad térmica, AB. desconocida.
¿a Lq Lc
lili condiciones de operación de estado estable, las me
diciones revelan una temperatura de la superficie exter
na r< o = 20°C, una temperatura de la superficie interna
7\ = 600°C. y una tem peratura del aire del horno
7 t. = 80Ü°C. Se sabe que el coehciente de convección
interior h es 25 W /m 2 • k . ¿Cuál es el valor de £B?
3.14 Las paredes exteriores de un edificio son un compuesto
que consiste en un tablero de yeso de 10 mm de espe
sor. espuma de uretano de 50 mm de espesor y 10 mm
de madera blanda. En un típico día de invierno las tem
peraturas del aire exterior e interior son — 15°C y 20°C,
respectivamente, con coeficientes de convección exter
no e interno de 15 W/m2 • K y 5 W /m 2 • k , respectiva
mente.
(a) í/-uál es la carga de calentam iento para una sec
eión de I nv de pared?
(b) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared com
puesta se reemplaza por una ventana de vidrio de 3
mm de espesor?
te) Cual es la carga de calentamiento si la pared com
puesta se reemplaza con una ventana de doble
vidrio que consiste en dos placas de vidrio de 3 mm
de espesor separadas por un hueco de aire estan
cado de 5 mm de espesor.
j ,\5 \jt\a casa tiene una pared compuesta de madera, aíslan
te de fibra de vidrio y tablero de yeso, como se indica
en el esquema. En un día frío de invierno los coeficien
tes de transferencia de calor por convección son /?„ =
60 W /m7 • K y //, = 30 W /m2 • K. El area total de la su
perficie de la pared es 350 m \
Capa de fibra de vidrio
(28 kg/m3), k¡,
Tablero de yeso, h
Jnerioi
h„ Tx , =2()°C
10 mm h— 100 mm-
» t-b
-Tablado de madera
laminada, ks
Exterior
20 mm
(a) Determine una expresión simbólica para la resis
tencia térmica total de la pared, incluyendo los
efectos de convección interior y exterior para las
condiciones establecidas
(b) Determine la perdida total de calor a través de la
pared.
(c) Si el viento soplara de manera violenta, elevando
hv a 300 W /m 2 ■ k , determine el porcentaje de
aumento en la pérdida de calor
(d) ¿Cuál es la resistencia controladora que determina
la cantidad de flujo de calor a través de la pared?
3.16 Considere la pared compuesta del problema 3.15 bajo
condiciones para las que el aire interior aun se caracte
riza por Tx , = 20°C y h, = 30 W /m 2 • K. Sin embar
go, utilice las condiciones más realistas en las que el
aire exterior se caracteriza por una temperatura que va
ría con el día (tiempo), de la forma
7 ^ K ) = 273 + 5 sen
7V (J(K) = 273 + 1 1
( i 1 ' )
“ ( l í ' )
0 < t < 1 2 h
12 < t <; 24 h
con h0 = 60 W /m ? • K. Suponiendo condiciones casi
estables para las que es posible no tomar en cuenta los
cambios en el almacenamiento de energía dentro de la
pared, estime la perdida diaria de calor a través de esta
si el área total de la superficie es 200 n r
3.17 Considere una pared compuesta que incluye un tablado
de madera dura de 8 mm de espesor, travesafios de
40 mm por 130 mm de madera dura sobre centros
de 0.65 m con aislante de fibra de vidrio (rccubicrto con
papel. 28 kg/m ) y una hoja de cartón de yeso (vcrmicu-
lita) de 1 2 nim.
DEPARTAMENTO d e b ib l io t e c a
j i c . i a . . i f e a f f t i -
Capitulo 3 ■ Conducción unidimensunnd de estado estable
t
130 mm
1 _
l l / A
'* *« ' i * •* * • ' ■ • , • ■ -------------*r
i V : V ‘r.; -
V : my * i .** * m. ¿ ----------------------
- ’J- • * * * )•
40 mm —A -
Tablado de
madera
Travesano
Aislante
Cartón
de yeso
¿Cuál es la resistencia térmica asociada con una pared
que tiene 2 5 m de altura por 6 5 ni de ancho (y 10 tra
vesanos, cada uno de 2.5 m de altura) f
3.18 l as características térmicas de un pequeño refrigerador
domestico se determinan realizando dos experimentos
separados, cada uno con la puerta cerrada y el refrigern-
doi colocado en aire ambiente a T = 25°C l:n un ca
so. un calentador eléctrico se suspende en la cavidad
del refrigerador, mientras el refrigerador esta desconec
tado. Con el calentador disipando 20 W. se registra una
temperatura de estado estable de 90°C dentro de la ca
vidad Sin el calentador y con el refrigerador ahora en
operación, el segundo experimento implica mantener
una temperatura de la cavidad en estado estable de 5°C
para un intervalo de tiempo fijo y registrar la energía
eléctrica que se requiere para operar el refrigerador 1 n
este experimento, para el que la operación de estado es
table se mantiene en un periodo de 1 2 horas, la energía
eléctrica de entrada es 125.000 J Determine el coeti
cicntc de rendimiento del refrigerador (COP).
3.19 Fin el diseño de edificios, el requerimiento de conserva
ción de la energía dicta que el area de la superficie ex
terior. As. se minimice. Este requerimiento implica que.
para un espacio de piso deseado, hay valores óptimos
asociados con el numero de pisos y con las dimensio
nes horizontales del edificio Considere un diseño para
el que se establecen el espacio de piso. A j. > la distancia vertical entre pisos. Hf .
(a) Si el edificio tiene una sección transversal cuadra
da de ancho VV en un lado, obtenga una expresión
para el valor de IV que minimice la perdida de calor
a los alrededores. La perdida de calor se supone
que ocurre de las cuatro paredes verticales y de un
techo plano Exprese sus resultados en términos de
Af y H¡.
(b) Si Aj = 32.768 m- y Ht = 4 m. ¿para que valores
de W y i\f (numero de pisos) se minimiza la pérdi
da de calor? Si el coeficiente global de transferen
cia de calor promedio es U = I W /n r • K y la
diferencia entre las temperaturas del aire amblen
tal interior y exterior es 25°C. ¿cuál es la perdida
de calor correspondiente? ¿ Cuál es el porcentaje de
reducción en perdida de calor comparado con 1111
edificio de N, = 2 ?
R esistencia té rm ica de con tac to
3.20 Una pared compuesta separa gases de combustión a
2600°C de un líquido refrigerante a 100°C, con coefi
cientes de Convección del lado de gas y del liquido de
50 y 1(X)0 W /m 2 • k . La pared se compone de una ca
pa de óxido de berilio de 10 mm de espesor en el lado
del gas y una placa de acero inoxidable (AISI 304)de
20 mm de grosor en el lado del líquido. La resistencia
de contacto entre el oxido y el acero es 0 05 m ■ K W
< Cual es la perdida de calor por área unitaria de supe?
ficie del compuesto? Dibu e la distribución de tempe
raturas del gas al liquido
3.21 Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor 1
están sujetas a una presión de contacto de 1 bar bp
condiciones de vacío para las que hay lina caída gene
ral de temperatura de I00°C a lo largo de la> pUc
¿Cual es la caída de temperatura a través del plana 1
contacto?
3.22 Considere una pared plana compuesta integrada por
materiales de conductividades térmicas Aa = 0.1 W m
k y kB = 0 04 W/m • k y espesores /.,x = 10 mm
= 20 mm Se sabe que la resistencia de eontau
la interfaz entre los dos materiales es 0 30 m2 • K V\
material A está al lado de un fluido a 200°C para el
h = 10 W /m ■ K. y el material B a un Huido a 40CC
para el que h = 20 W/m • k
(a) 6Cuál es la transferencia de calor a través de
pared que tiene 2 m de altura por 2 5 m de and
(b) Dibuje la distribución de temperaturas
3.23 El rendimiento de los motores de turb ñas di m
mejora aumentando la tolerancia de las hojas de las
binas a los gases calientes que salen del combusior
método para lograr altas temperaturas de operat ón 11
plica la aplicación de un revestimiento de barrera
m u a (TBC) para la superficie extema de
hoja, mientras pasa aire de enfriamiento a través de la
Por lo común, la hoja está fabricada de una supe
cion de alta temperatura, como Incoad U =*= 25 \\
k ) . mientras una cerámica, como eirconia (k * i
W m • k ) . se usa como revestimiento de barra ti
TBC.
■ ProUU-mcis 139
Considere condiciones para la^ que gases calientes a
7 = 1700 k y uire de enfriamiento a 7* , = 4(K) k
proporcionan coeficientes de convección de la superfi
cie externa e interna de h„ = 1000 VV/m2 • K y h, = 500
\ \ in: • K. respectivamente. Si un TRC de circonio de
0.5 min de espesor se une a la pared de una hoja de in-
concl de 5 mm de espesor por medio de un agente de
unión metálico, que proporciona una resistencia térmica
entre las interfaces de R ", = 10 4 m2 • KAV. ¿es posi
ble mantener el Inconel a una temperatura que este por
debajo de su valor máximo permisible de 1250 K? De
je de lado los efectos de radiación, y aproxime la hoja
de la turbina como una pared plana, blabore una gráfi
ca de la distribución de temperaturas con y sin el TBC.
, 1 xiste algún límite al espesor del TBC?
1.24 t n chip de silicio se encapsula de modo que. bajo con
diciones de estado estable, la totalidad de la potencia
que se disipa se transfiere por convección a una com en
te de fluido para el que h = 10 0 0 W /m 2 • K y /'«. =
25°C. hl chip se separa del fluido mediante una cu
bierta de placa de aluminio de 2 mm de espesor, y la
resistencia de contacto de la in terla / clup aluminio es
0.5 X 10 4 rrr • K/W.
Fluido
l ^ h
Cubierta de
aluminio
Si el área de la superficie del chip es 11)0 mm2 y la tem
peratura máxima permisible es 85°C, ¿cuál es la disi-
ación de potencia maxuna permisible en el chip?
3.25 Aproximadamente 106 componentes eléctricos discre
tos se colocan en un solo circuito integrado (chip), con
disipación de calor eléctrico tan alta como 30.000
W/nr. El chip, que es muy delgado, se expone a un li
quido dieléctrico en la superficie externa, con h0 =
UXX) W/m2 • k y 1-* 0 — 20°C. y se une a una tarjeta
de circuitos en la superficie interior La resistencia tér
mica de contacto entre el chip y la tarjeta es 1 0 _4m2 •
KAV. y el espesor y conductividad térmica de la tarjeta
son l.h = 5 mm y kh = 1 W/m • k . respectivamente. l*a
otra superficie de la tarjeta se expone al aire del am
biente para el que h, = 40 W /m 2 ■ K y Tx , = 20°C.
Fluido
refrigerante
U.J»,. C h i p Tc
Resistencia térmica
— de contacto. R" t.
Tarjeta. kh
(a) Dibuje el circuito térmico equivalente que corres
ponde a las condiciones de estado estable. En forma
de variable etiquete las resistencias, temperaturas y
flujos de calor apropiados.
(b) En condiciones de estado estable para las que la di
sipación de calor del chip es cf’ — 30,000 W/m ,
¿cuál es la temperatura del chip?
(c)| El flujo de calor permisible máximo, cf'. se determi
na mediante la restricción de que la temperatura del
chip no debe exceder 85°C. Determine q"l/n para
las condiciones precedentes. Si se usa aire en lugar
del liquido dieléctrico, el coeficiente de convección
se reduce en aproximadamente un orden de magni
tud ¿Cuál es el valor de q ' m para h„ = 100 W/m2 •
K? Con enfriamiento de aire, ¿es posible obtener
mejoras significativas con una tarjeta de circuitos
de óxido de aluminio y o mediante lina pasta con
ductora en la interfaz chip/tarjeta para la que
7 " t = 10- 5m2 • K/W?
A n á lis is d e c o n d u c c ió n a l te r n a t iv o
3.26 El diagrama muestra una sección cónica construida de
aluminio puro. E.s de sección transversal circular con
un diámetro D = a xx donde a = 0.5 m ,/2. El extremo
pequeño se locali/a en v, = 25 mm y el grande en x2 =
125 mm. Las temperaturas de los extremos son T { =
600 K y 7\ = 4(X) K, mientras que la superficie lateral
está bien aislada.
-H
* 2*
Aire
(a) Derive una expresión para la distribución de tem
peraturas T(\) en forma simbólica, suponiendo con
diciones unidimensionales Dibuje la distribución
de temperaturas.
(b) Calcule la transferencia de calor q K.
3.27 Ln cono truncado sólido tiene sección transversal circu
lar. y su diámetro está relacionado con la coordenada
axial mediante una expresión de la forma D = ax*'2.
donde a = 1 .0 m ~1/2.
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
Universidad Simón Boiiv. r>f'e
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
Los Licios están bien aislados, mientras la superficie su
perior del cono en v, se mantiene a 7 ,. y la superficie
inferior en se conserva a 7 2.
(a) O blen la una expresión para la distribución de tem
peraturas 7 ( 0
(b) ¿Cual es la transferencia de calor a través del cono
si se construye de aluminio puro con = 0 075 m,
T x = 100 C. = 0.225 m y 7% = 20°C?
L28 De la figura 2.5 es evidente que. en un amplio rango de
temperaturas, la dependencia con respecto a la tempe
ratura de la conductividad térmica de muchos sólidos
se aproxima mediante una expresión lineal de la forma
k = k(t + aT. donde k es una constante positiva y a es
un coeficiente que puede ser positivo o negativo O b
tenga una expresión para el flujo de calor a través de
una pared plana cuyas superficies interna y externa se
mantienen a 70 y Tx. respectivamente Dibuje las for-
mas de la distribución de temperaturas correspondien
tes a a > 0 , a = 0 y a < 0 .
3.29 Considere la pared de un tubo de radios interno y exter
no r y rt), respectivamente. La conductividad térmica del
cilindrodepende de la temperatura y se representa me
diante una expresión de la forma k = I + aT), donde
ku y a son constantes. Obtenga una expresión para la
transferencia de calor por unidad de longitud del tubo
¿Cual es la resistencia térmica de la pared del tubo?
3.30 Ciertas mediciones muestran que la conducción de es
tado estable a través de una pared plana sin generación
de calor produjeron una distribución de temperaturas
convexa (al que la temperatura del punto medio fue
A / mas alta que la esperada para una distribución li
neal de temperaturas.
Suponiendo que la conductividad térmica tiene una de
pendencia lineal de la temperatura, k = k (1 + aT).
donde nr es una constante, desarrolle una relación para
evaluar o en términos de A 7, y 72.
3.31 Use el método de análisis de conducción alternativa
para derivar la expresión de la resistencia térmica de un
cilindro hueco de conductividad térmica k. radios inter
no y externo r, y r(„ respectivamente, y longitud L.
P a re d c i l in d r ic a
3.32 Una tubería de vapor de 0 1 2 m de diámetro extenor
aísla con una capa de silicato de calcio.
(a) Si el aislante tiene 20 mm de espesor y las Miperti
cíes interna y externa e mantienen a T , = 800 K
y 7, ̂ = 490 k . respectivamente. 6cual es la per ii
de calor por unidad de longitud (</') de la tubería1
(b) Deseamos explorar el efecto del espesor de aísla
te sobre la perdida de calor c¡ y la temperatura i
la superficie externa I -», con la temperatura deI
'-upcrliue interna fi ja a / , = 800 k La super
extem a se expone a un flujo de aire (7 , = 25 T
que mantiene un coeficiente de convección deh
25 W m • K y a grandes alrededore para les i
7„,r = 7* = 25 °C. La emisividad de la st
cic de silicato de calcio es aproximadamente 0 '
Calcule y dibuje la distribución de temperaturas!
el aislante como función de la coordenada
adimensional (r — r,) /(r2 — r ,) , donde r, = 0.06;
y r2 es una variable (0 06 < r2 ^ 0 20 m). Calcul
dibuje la perdida de calor como función del cspeJ
sor del aislante para 0 ^ (r2 — r ,) ^ 0.14 m
3.33 Considere el calentador de agua que se describe
problema 1.29 Deseamos ahora determinar la enci]
necesaria para compensar las pérdidas de calor
ocurren mientras el agua esta almacenada a la u.mc
tura establecida de 55 C El tanque cilindrico de
ccnamicnto (con extremos planos) tiene una capacii
de 100 galones, y se usa u re taño en espuma para ai
las paredes lateral y de los extremos del aire amhc
a una temperatura promedio anual de 20°C La
leticia a la transferencia de calor esta domiradai
conducción en el aislante y por la convección libre(
el aire, para el que h ~ 2 W m • k . Si se usa i
miento por resistencia eléctrica para compensar I
didas y el costo de la potencia eléctrica es SO.OHI
especifique las dimensiones del tanque y del ais
para las que los costos anuales asoc iados con laspé
das de calor son menores de $50.
3.34 Un calentador eléctrico delgado envuelve la sup
externa de un tubo cilindrico largo cuya superficie i
na se mantiene a una temperatura de 5°C La
tubo tiene radios interno y externo de 25 y 75 mm.1
Problemas
pcctivamente. y una conductividad térmica de 10 W Tn ■
k 1 a resistencia térmica de contacto entre el calentador
v ln superficie externa del tubo (por unidad de longitud
de tubo) es /?," = 0.01 m • k W La superficie externa
del calentador se expone a un Huido con T = — I0°C
y un coeficiente de convección h = 100 W m2 • k De
termine la potencia de calentamiento por unidad de ru-
ho que se requiere para mantener el calentador a T =
25°C
J.35I F n el problema anterior, la potencia eléctrica que se re
quiere para mantener el calentador a T„ = 25°C de
pende de la conductividad térmica del material de la
pared k. la resistencia térmica de contacto K, t y el coe
ficiente de convección h. Calcule y dibuje por separado
el efecto de cambios en k ( 1 < k < 200 W/m • k ). R\ t
(M • K ; , < 0 1 m • k /W ) y h ( 1 0 /, s 1000 W /n r •
ki sobre el requerimiento de potencia total del calenta
dor. asi como la transferencia de calor a la superficie
interna del tubo y al fluido.
336 l retalio (k = 0.026 W 111 • K) se usa para aislar la pa
red lateral > las partes superior e inferior de un tanque
cilindrico de agua caliente. El aislante tiene 40 mm de
espesor y se intercala entre láminas de metal de pared
delgada. La altura y el diámetro interior del tanque son
2 111 y 0.80 m. respectivamente, y el tanque esta ex
puesto al aire del ambiente para el que 7*x = I0°C y
h = 10 W n r • K. Si el agua caliente mantiene la su
perficie interna a 55 C y el costo de la energía ascien
de a SO 15/kWh, ¿cual es el costo diario para mantener
el agua almacenada ?
337 (Jn calentador eléctrico delgado se inserta entre una
varilla circular larga y un tubo concéntrico con radio-,
interior y exterior de 20 y 40 mm La varilla A tiene
una conductividad térmica de JtA = 0.15 W in • k .
mientras el tubo B tiene una conductiv idad térmica de
kn - 1.5 W m * k . la superficie externa esta sujeta a
convección con un Muido de temperatura T* - — 15CC
v el coeficiente de transferencia de calor de 50 W /nr ■
k La resistencia térmica Je contacto entre las superfi
cies del cilindro y el calentador es insignificante.
ta) Determine la potencia eléctrica por unidad de Ion
gitud de los cilindros (W/m) que se requieren para
mantener la superficie externa del cilindro B a 5 °C.
<b) Cual es la temperatura en el centro del cilindro A?
3.38 Una larga varilla cilindrica de 100 mm de radio está he
cha de un material de reacción nuclear (k = 0.5 W/m •
K) que genera 24.000 W m de manera uniforme a lo
largo de su volumen 1 sta varilla está encapsuladu den-
lh> de un tubo que tiene 1111 radio exierno de 200 mm y
una conductividad térmica de 4 VV 111 • k La superficie
externa esta rodeada por un Muido a 100 C. y el coeli
cíenle de convección entre la superficie y el fluido es
20 W/m • k Lnc uc ñire las temperaturas en la mterüi/
entre los dos cilindros y la superficie externa.
3.39 Un recubrimiento especial, que se aplica a la superficie
interior de un tubo de plástico, se cura colocando una
fuente de calor por radiación cilindrica dentro del lubo.
El espac io entre el tubo y la fuente se vacia, y la fuente
entrega un Mujo de calor uniforme q". que se absorbe
en la superficie interna del tubo La superficie externa
del lubo se mantiene a una temperatura uniforme. Ts 2.
r Fuente de radiación
Tubo de
plástico, k
Espacio - 1
al vacio
Desarrolle una expresión para la distribución de tempe
raturas T(r) en la pared del tubo en términos de q . T t 2.
r , . r2 y k. Si los radios interior y exterior del tubo son
/, = 25 mm y r2 = 38 mm. Ccuál es la potencia que se re
quiere por unidad de longitud de la fuente de radiación
para mantener la superficie interna a T , = 25°C > La
conductividad de la pared del tubo es k = 10 W/m • K.
3.40 Considere un cilindro hueco largo de conductividad
térmica k con radios interior y exterior r¡ y r . respccti
vamente. La temperatura de la superficie interna se
mantiene a 7, mientras que la superficie externa experi
menta un flujo de calor uniforme q".
(a) Comenzando con la forma apropiada de la ecua
ción de difusión de calor, derive una expresión pa
ra la distribución de temperatura. /'(; ). en términos
de L T, y ./"
d e p a r t a m e n t o de b ib l io t e c a
I lnlvM.ratst*H S .irr.í-1 L.I ti . J T S « d b
Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
41
(b) Dibuje la distribución de temperaturas en coorde
nadas T-r.
(c) Escriba una expresión para la transferencia de calor
por unidad de longitud del cilindro en la superficie
interna, q'„{r,), en términos de q ” y los parámetros
de la geometría del cilindro.
I-a sección del evaporador de una unidad de refrigera
ción consiste en tubos de pared delgada de 10 mm
de diámetro a través de los que pasa el fluido refrige
rante a una temperatura de —18°C Se enfna aire con
forme fluye sobre los tubos, manteniendo un coeficiente
de convección de superficie de 100 W/m2 • K, y en segui
da se dirige a la sección del refrigerador.
(a) Para las condiciones precedentes y una tem peratu
ra del aire de — 3°C, ¿cuál es la rapidez a la que
se extrae calor del aire por unidad de longitud del
tubo?
42
(b) Si la unidad de descongelación funciona mal. len
tamente se acumulará escarcha sobre la superficie
externa del tubo. Evalúe el efecto de la formación
de escarcha sobre la capacidad de enfriamiento de
un tubo para espesores de la capa de escarcha en el
rango 0 < ó £ 4 mm Se supone que la escarcha
tiene una conductividad térmica de 0.4 W m • K.
(c) Se desconecta el refrigerador después de que falla
la unidad de dcscongelamiento y de que se ha for
mado una capa de escarcha de 2 mm de grosor. Si
los tubos están en aire ambiente para el que T^ =
20°C y una convección natural mantiene un coeh
cíente de convección de 2 W /m 2 • K. ¿cuánto tiem
po tardara la escarcha en derretirse? Se supone que
la escarcha tiene una densidad de 700 kg/m3 y una
entalpia de fusión de 334 kJ/kg
Una pared cilindrica está compuesta por dos materiales
de conductividad térmica kA y A'H, separados por un ca
lentador de resistencia eléctrica muy delgado para el
cual las resistencias térmicas de contacto de las interfa-
ses son insignificantes.
Un líquido que se bombea a través del tubo está a una
temperatura Tx ¡ y proporciona un coeficiente de con
vección de //¡en la superficie interna del compuesto. La
superficie externa se expone al anc ambiente, el cual
esta a Ta. n y proporciona un coeficiente de convección
de h(r En condiciones de estado estable, el calentador
disipa un flu jo de calor uniforme q"t.
(a) Dibuje el circuito térmico equivalente del sistema
y exprese todas las resistencias en términos de va
riables relevantes.
(b) Obtenga una expresión que sirva para determinar
la temperatura del calentador, Th.
(c) Obtenga una expresión para la razón de los fluj<4
de calor a los fluidos externo e interno, q'Jq\. ¿Co
mo ajustar las variables del problema para minimi
zar esta razón?
3.43 Un alambre eléctrico que tiene un radio de r¡ = 5 mm v I
una resistencia por unidad de longitud de 10~4 ÍVm se
cubre con un aislante plástico de conducto idad tcrmic
k = 0.20 W/m • K El aislante se expone al aire del an
biente para el que 7"» = 300 K y /? = 10 W/m2 • K. 5
el aislante tiene una temperatura máxima permisible!
450 K. ¿cuál es la corriente maxima posible que se pue
de hacer pasar por el alambre?
3.44 Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un ca
ble de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mu!
y una resistencia eléctrica de 6 X 10 4 íl/m (por metic
de longitud de cable). El cable esta en un med o que tí:
ne una temperatura de 30 °C. y el coeficiente total aso
ciado con la convección y la radiación entre el cable ]
el medio es aproximadamente 25 W/m- • K
(a) Si el cable está expuesto, ¿cuál es la temperatura ¡
de la superficie?
(b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aiv
lante eléctrico al cable, con una resistencia de con
tacto de 0.02 m2 • K/W, ¿cuáles son las temperatura!j
superficiales del aislante y del cable?
(c) Hay cierta preocupación sobre la capacidad
aislante para resistir temperaturas elevadas. Ca
espesor de este aislante (k = 0.5 W/m • K) dará:
valor más bajo de la temperatura máxima del as
íante? ¿Cuál es el valor de la temperatura máxii
cuando se usa dicho espesor?
3.45 Un tubo de acero de pared delgada de 0.20 m de dián
tro se utiliza para transportar vapor saturado a una|
sión de 20 bar en un cuarto para el que la tempera
del aire es 25°C y el coeficiente de transferencia de i
lor en la superficie externa del tubo es 20 W/m2 • K
Calentador de resistencia
Aire
ambiente
'7*. tí?
■ Problemas 1 1 3
(a) ¿Cuál es la perdida de calor por unidad de longitud
del tubo expuesto (sin aislante)? Estime la perdida de
calor por unidad de longitud si se agrega una capa
de 50 mm de aislante (óxido de magnesio. 85%).
Suponga que el acero y el oxido de magnesio tiene
cada uno una emisividad de 0 .8 . y no tome
en cuenta la resistencia de convección del lado
del vapor.
(b) Se sabe que el costo asociado con la generación
del \apor y la instalación del aislante son $4/10g J
y S10()/m de longitud de tubo, respectivamente. Si
la línea de vapor operara 7500 h/año, ¿cuántos años
se necesitan para recuperar la inversión inicial en
aislante?
3.46 A través de un tubo de acero (A1S1 1010), de 60 mm de
diámetro interior y 75 mm de diámetro exterior, fluye
vapor a una temperatura de 250°C. El coeficiente de
convección entre el vapor y la superficie interna del tu
bo es 500 W/m2 • K. mientras que entre la superficie
extema del tubo y los alrededores es 25 W /n r • K. La
emisividad del tubo es 0 .8 . y la temperatura del aire y
los alrededores es 20°C. ¿Cuál es la pérdida de calor
por unidad de longitud de tubo?
K
3.471 Deseamos determinar el efecto de agregar una capa ais
lante de óxido de magnesio al tubo de vapor del pro
blema anterior. Suponga que el coeficiente de
convección en la superficie externa del aislante perma
nece a 25 W/m2 • K, y que la emisividad es e = 0.8.
Determine y trace la perdida de calor por unidad de
longitud de tubo y la temperatura de la superficie exter
na como función del espesor del aislante. Si el costo de
generación del vapor es $4/10° J y la línea de vapor
opera 7000 h/año. recomiende un espesor de aislante y
determine el ahorro anual correspondiente en costos de
energía. Elabore una gráfica de la distribución de tem
peraturas para el espesor recomendado
3.48 Ln tubo de pared delgada de 100 mm de diámetro sin
aislar se usa para transportar agua a equipo que opera
en el exterior y u tili/a el agua como refrigerante, hn
condiciones de invierno particularmente adversas la
pared del tubo alcan/a una temperatura de - 15°C y se
forma una capa cilindrica de hielo sobre la superficie
interna de la pared. Si la temperatura media del agua es
3°C y se mantiene un coeficiente de convección de
2000 W/m2 • K en la superficie interna del hielo, que
está a 0 °C, ¿cuál es el espesor de la capa de hielo?
3.49 F1 vapor que fluye a través de un tubo largo de pared
delgada mantiene la pared del tubo a una temperatura
uniforme de 500 K. El tubo está cubierto con una man
ta aislante compuesta con dos materiales diferentes,
A v B.
f , i =
Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene
una resistencia de contacto infinita, y que toda la super
ficie externa está expuesta al aire, para el cual T« = 300
K y /; = 25 W/m2 • K.
(a) Dibuje el circuito térmico del sistema. Usando Ion
símbolos precedentes, marque todos los nodos y
resistencias pertinentes.
(b) Para las condiciones que se establecen, ¿cuál es la
pérdida total de calor del tubo? ¿Cuáles son las
temperaturas de la superficie externa Ts 2{A) y T$. 2(b>?
3.50 Un recubrimiento de baquelita se usará con una varilla
conductora de 10 mm de diámetro, cuya superficie se
mantiene a 200°C mediante el paso de una corriente
eléctrica. La varilla está en un fluido a 25 °C, y el coefi
ciente de convección es 140 W/m2 • K. ¿Cuál es el ra
dio crítico asociado con el recubrimiento? ¿Cuál es la
transferencia de calor por unidad de longitud para la va
rilla desnuda y para la varilla con un recubrimiento de
baquelita que corresponde al radio crítico? ¿Cuánta ba-
quclita debe agregarse para reducir en 25% la transfe
rencia de calor asociada con la varilla desnuda?
Pared esférica
3.51 Un tanque de almacenamiento consiste en una sección
cilindrica que tiene una longitud y diámetro interior de
L = 2 m y D, = 1 m, respectivamente, y dos secciones
extremas hemisféricas. El tanque se construye de vi
drio (Pyrcx) de 20 mm de espesor y se expone al aire
del ambiente para el que la temperatura es 300 K y el
coeficiente de convección es 10 W/m2 • K. F.l tanquese
utiliza para almacenar aceite caliente, que mantiene la
superficie interior a una temperatura de 400 K. Deter
mine la potencia eléctrica que debe suministrarse al
calentador sumergido en el aceite para mantener las
condiciones establecidas. Deje de lado los efectos de
radiación y suponga que el Pyrex tiene una conductivi
dad térmica de 1.4 W/m • K.
3.52 Considere el sistema de almacenamiento de oxígeno li
quido y las condiciones ambientales del laboratorio del
problema 1.35. Para reducir la pérdida de oxígeno de
bida a la vaporización debe aplicarse una capa de ais
lante a la superficie externa el contenedor. Considere el
DEPARTAMENTO DE BIBLIOTECA
50 mm
r2 = 100 mm
kA = 2 W/m • K
= 0.25 W/m
1 4 4 Capítulo 3 ■ Conducción unidimensional de estado estable
uso de un aislante de hoja de aluminio laminado/vidrio
mate, para el que la conductividad térmica y la emisivi-
dad superficial son k = 0.00016 W/m • K y e — 0.20,
respectivamente.
(a) Si el contenedor se cubre con una capa de aislante
de 10 mm de espesor, ¿cuál es el porcentaje de re
ducción en la perdida de oxígeno en relación con
el contenedor sin recubrimiento?
(b) Calcule y trace la masa de evaporación (kg/s) co
mo función del espesor del aislante t para 0 ^ t ^
50 mm.
3.53 En el ejemplo 3.4, se derivó una expresión para el ra
dio crítico de aislamiento de un tubo cilindrico aislado.
Derive la expresión apropiada para una esfera aislada.
3.54 Una esfera hueca de aluminio, con un calentador eléc
trico en el centro, se utiliza en pruebas para determinar
la conductividad térmica de materiales aislantes. Los
radios interior y exterior de la esfera son 0.15 y 0.18 m.
respectivamente, y la prueba se hace en condiciones de
estado estable, en las que la superficie interna del alu
minio se mantiene a 250°C En una prueba particular,
una capa esférica de aislante se funde sobre la superfi
cie externa de la esfera y alcanza un espesor de 0 . 1 2 m.
El sistema está en un cuarto para el que la temperatura
del aire es 20°C, y el coeficiente de convección en la
superficie externa del aislante es 30 W/m2 • K Si se
disipan 80 W por el calentador bajo condiciones de es
tado estable, ¿cuál es la conductividad térmica del ais
lante?
3.55 Un tanque esférico para alm acenar oxígeno líquido
en un transbordador espacial se construye de acero
inoxidable de 0.80 m de diámetro exterior y una pared
de 5 mm de espesor. El punto de ebullición y la ental
pia de fusión del oxígeno liquido son 90 K y 213 kJ/kg,
respectivamente El tanque se instalará en un comparti
miento grande cuya temperatura se mantendrá a 240 K.
Diseñe un sistema de aislam wnto térmico que manten
ga las perdidas de oxígeno debidas a la ebullición por
debajo de 1 kg/día.
3.56 Una sonda esférica crioquinirgica se incrusta en tejido
enfermo con el propósito de congelarlo y, por tanto,
destruirlo. Considere una sonda de 3 mm de diámetro
cuya superficie se mantiene a — 30°C cuando se incrus
ta en tejido que está a 37°C. Una capa esférica de tejido
congelado se forma alrededor de la sombra, con una tem
peratura de ()°C en la fase frontal (interfaz) entre el
tejido normal y el congelado. Si la conductividad
térmica del tejido congelado es aproximadamente
1.5 W/m • K y la transferencia de calor en la fase
frontal se caracteriza por un coeficiente de convección
efectivo de 50 W/m2 • K, ¿cuál es el espesor de la capa
del tejido congelado?
3.57 Una capa esférica compuesta de radio interior r, =
0.25 m se construye de plomo de radio exterior r2 = 0.30 m
y acero inoxidable A1SI 302 de radio exterior r3 = 1
0.31 m. La cavidad se llena de desechos radioactivos
que generan calor a una razón de q = 5 X 105 W/m3.
Se propone sumergir el contenedor en aguas oceánicas
que están a una temperatura de Tx = 10°C y que pro
porcionan un coeficiente de convección uniforme h =
500 W/m1 ■ K en la superficie externa del contenedor.
¿Hay algún problema asociado con esta propuesta?
3.58 Com o una alternativa para alm acenar materiales ra
dioactivos en aguas oceánicas, se propone que el siste
ma del problema 3.57 se coloque en un tanque grande
en el cual se controle el flujo de agua y. por consiguien
te, el coeficiente de convección //. Calcule y trace la
temperatura máxima del plomo, 7(r,), como función de
h para 100 ^ // ^ 1000 W/m • K. Si la temperatura 1
del plomo no deberá exceder 500 K. ¿cual es el valor
mínimo permisible de //? Para mejorar la seguridad drfi
sistema, es deseable aumentar el espesor de la capa ét I
n2 • K..1acero inoxidable. Para // = 300. 500 y 1000 W'm • K,
calcule y trace la temperatura máxima del plomo con»
función del espesor de la capa para r3 2 : 0.30 m. ¿Cuw
les son los valores correspondientes del espesor m¡ni
mo permisible?
3.59 La energía que se transfiere de la cámara anterior del
ojo a través de la córnea varía considerablemente de
pendiendo del uso de un lente de contacto. Trate al ñu
como un sistema esférico y suponga que el sistema*
encuentra en estado estable. El coeficiente de convec-
cion ha se mantiene inalterable con y sin el lente 4
contacto en su sitio. La córnea y el lente cubren un t«-j
ció del área de la superficie esférica.
Los valores de los parámetros que representan esta ■
tuación son los siguientes:
rj = 10 .2 mm
/-3 = 16.5 mm
Tx ¡ = 37°C
r2 — 12.7 mm
7* „ = 21° c l
■ Problemas
A, = 0.35 W/m • K k2 = 0 80 W/m • K
f, = 12 W/m2 • K h0 = 6 W /n r • K
ÍJl Conslru)a los circuitos térmicos, marcando todos
los potenciales y flujos para los sistemas excluyen
do c incluyendo los lentes de contacto. Escriba los
elementos de resistencia en términos de parámetros
apropiados
ib) IX’termine la perdida de calor de la cámara ante
rior con los lentes de contacto y sin ellov
c ' Discuta la implicación de los resultados
3.60 La superticic externa de una estera hueca de radio r2 se
sujeta a un flujo de calor uniforme q 2. La superficie in
terna en r se conserva a una temperatura constante T, t.
¡a) Desarrolle una expresión para la distribución de
temperaturas T(r) en la pared de la esfera en ter
minos de r/'. t. r x. / _, y la conductividad tém uca
del material de la pared k.
(b) Si los radios interno y externo son r, = 50 mm y
r , = KX) mm. ¿que flujo de calor q " se requiere
para mantener la superficie externa a T 2 — 50 °C,
mientras que la superlicie interna está a 7 , , =
20°C? I a conductividad térmica del material de la
pared es k — 10 W/m • K.
3.61 Una capa esférica de radios interior y exterior r, y
respectivamente, se llena con un material generador de
calor que proporciona una rapidez de generación volu
métrica umtormc (W m3) de c¡ La superficie externa de
Id capa se expone a un Huido que tiene una temperatura
/ > un coeficiente de convección ¡i. Obtenga una ex
presión para la distribución de temperaturas de estado
otable T(r) en la capa, y exprese los resultados en ter
minos de r . rn., q, h. 7 X. y la conductividad térmica k
del material de la capa.
162 l n transistor, que se aproxima como una fuente de ca
lor hemisférica de radio r = 0 1 mm, se empotra en un
sustrato de silicio grande (k = 125 W m • k ) y disipa
c.ilor a una velocidad q Todas las fronteras del silicio se
mantienen a una temperatura ambiente de 7* = 27°C.
excepto para una superficie plana que esta bien aislada
Sustrato
de sil ció
-------------------------------------/x
Obtenga una expresión general para la distribución de
temperaturas del sustrato y evalúe la temperatura su
perficial de la fuente de calor para q = 4 W.
3.63 Una modalidad para destruir tejido maligno implica in
crustar una pequeña fuente de calor esférica de radio r
dentro del tejido y mantener temperaturas locales por
arriba de un valor critico Tc por un periodo extenso. Su
ponga que el tejido que se extirpa de la fuente permane
ce a la temperatura normal del cuerpo (Tb = 37°C).
Obtenga una expresión general para la distribución ra
dial de temperaturas en el