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Álgebra P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Plana de Algebra Función exponencial Semana 27 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟 𝑦 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Función exponencial A lo largo de la historia, los matemáticos se mostraron fascinados por la forma que adoptaba una cuerda o cadena que se combaba bajo su propio peso e intentaron descubrir cual era la curva que la describía. La resolución del problema no era nada fácil, un hombre de la talla intelectual de Galileo erró en su solución puesto que en 1638 publicó, en sus Diálogos sobre dos nuevas ciencias, que la cadena asumiría la forma de una parábola. 𝒚 = 𝒂 𝒆𝒃𝒙 + 𝒆−𝒃𝒙 La curva descrita es llamada catenaria. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Función exponencial C U R S O D E Á L G E B R A Si b > 0 y b ≠ 1, entonces la función exponencial se define como: 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 Dom𝑓=ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+ Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥; 𝑥 ∈ ℝ Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica 𝑥 𝑦 3 8 2 4 1 2 0 1 −2 Τ1 4 −1 Τ1 2 𝑦 𝑥1 2 1 4 8 2 3−1−2 Ejemplo: Tabularemos algunos puntos para inducir la gráfica 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 𝑥 𝑦 −3 8 2 4 1 2 0 1 −2 Τ1 4 −1 Τ1 2 𝑦 𝑥 1 1 2−1 2 −2 4 −3 8 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A En general: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥; b≠ 1 ∧ 𝑏 > 0 b > 1 𝑦 𝑥 𝑏𝑥 0 < 𝑏 < 1 𝑦 𝑥 1 1 𝑏𝑥 Ambas funciones son inyectivas 𝑏𝑥 = 𝑏𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 Función creciente 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦 Función decreciente 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 ↔ 𝑥 > 𝑦 No cambia el sentido de la desigualdad Si cambia el sentido de la desigualdad Ejemplos: • 5𝑥 = 54 • 72𝑥−1 = 79 ↔ 𝑥 = 5 • 2𝑥 < 25 ↔ 𝑥 < 5 • 𝑥 ≥ 11↔ 4𝑥≥ 411 • 1 5 𝑥 < 1 5 3 ↔ 𝑥 > 3 • 1 4 𝑥 ≤ 1 4 8 ↔ 𝑥 ≥ 8 ↔ 𝑥 = 4 ↔ 2𝑥 − 1 = 9 Observación 𝑏𝑥 > 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ Ejemplo: 2𝑥 > 0 ; ∀𝑥 ∈ ℝ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejercicio 1: Calcule el dominio de la función 𝑓, si: 𝑓 𝑥 = 5 𝑥−2 Resolución De 𝑓 ∶ 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟶ 𝑥 ≥ 2 ∴ Dom𝑓 = ሾ2; ۧ+∞ Ejercicio 2: Resolución De 𝑔 ∶ ∀𝑥 ∈ ℝ: −1 ≤ sen𝑥 ≤ 1 ⟶ −2 ≤ 2sen𝑥 ≤ 2 ⟶ −3 ≤ 2sen𝑥 − 1 ≤ 1 ⟶ 𝟐−3 ≤ 𝟐2sen𝑥−1 ≤ 𝟐1 ∴ Ran𝑓 = 2−3 ; 21 Si b > 1 𝑦 𝑥 𝑦 = 𝑏𝑥 1 𝑦 = 𝑥 1 𝑦 = log𝑏 𝑥 Si 0 < b < 1 𝑦 𝑥 1 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑦 = 𝑥 1 𝑦 = log𝑏 𝑥 Observación El logaritmo es la función inversa de la función exponencial. Calcule el rango de la función 𝑓, si: 𝑓 𝑥 = 22sen𝑥−1 ; ∀𝑥 ∈ ℝ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ecuación exponencial Son las ecuaciones donde la variable se encuentra en el exponente Ejemplos: • 72𝑥+1 = 7 𝑥 −1 • 32𝑥 + 3𝑥 = 12 • 5−𝑥 − 2 = 25−𝑥 Ejercicio 1: Resuelva la ecuación siguiente Resolución : positivo32𝑥 − 3 ∙ 3𝑥 −54 = 0 3𝑥 3𝑥 −9 6 3𝑥 − 9 = 0 ∨ 3𝑥 + 6 = 0 3𝑥 = 9 positivo → 𝑥 = 2 ∴ CS= 2 32𝑥 + 2 = 3. 3𝑥 + 56 3𝑥 − 9 3𝑥 + 6 = 0 32𝑥 + 2 = 3𝑥+1 + 56 Efectuamos : Ejercicio 2: Resuelva la ecuación siguiente 2𝑥 − 16 2𝑥 − 1 2𝑥 − 3 2𝑥 + 5 = 0 Resolución : 2𝑥 − 16 = 0 ∨ 2𝑥 −1 = 0 ∨ 2𝑥 −3 = 0 ∨ 2𝑥 +5 = 0 → 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = log23 ∴ CS= 4 ; 0 , log23 2𝑥 = 16 ∨ 2𝑥= 1 ∨ 2𝑥= 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Inecuación exponencial C U R S O D E Á L G E B R A Son las inecuaciones donde la variable se encuentra en el exponente Ejemplos: • 3𝑥+2 < 3𝑥−3 • 4𝑥 + 2𝑥 ≥ 6 • 7−𝑥 + 2 ≤ 49−𝑥 Ejercicio 1: Resuelva la inecuación siguiente 5 𝑥 +8 > 125 𝑥 Resolución : 5 𝑥 +8 > 5 3 𝑥 Como la base es 5, mayor a 1, entonces la desigualdad no cambia su sentido 8 > 2 𝑥 ↔ 𝑥 < 4 ∴ CS= −4; 4 ↔ −4 < 𝑥 < 4 Ejercicio 2: Resuelva la inecuación siguiente log2𝑥 − 5 5𝑥 + 1 > 0 𝑥 + 8 > 3 𝑥 Resolución : • log2𝑥 existe en los ℝ ↔ 𝑥 > 0 • Resolvemos la inecuación: log2𝑥 − 5 5𝑥 + 1 > 0 positivo ⟶ log2 x − 5 > 0 ⟶ log2 x > ⟶ 𝑥 > 32 ∩ ∴ CS= 32 ; +∞ log232 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Ejercicio 3: Halle la inversa de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 ; 𝑥 ≥ 2 Resolución : Graficando la función, tenemos: 𝑦 𝑥 𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 2𝑥 − 3 1 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 Por su gráfica, es una función inyectiva → Ran 𝑓 = ሾ1 , ۧ+∞ 3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗(𝑥) • Se despeja 𝑥: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑦 = → 𝑦 = 2𝑥 − 3 → 2𝑥 = 𝑦 + 3 Por definición de logaritmo:: x = log2 𝒚 + 3 • Se intercambia 𝑥 con 𝑦: 𝐲 = log2 𝒙 + 3 𝑓∗(𝑥) = log2 𝑥 + 3∴ −2 −3 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 ; 𝑥 ≥ 2 2 1) 2) Tenemos: 𝑓 2 = (2)2−3 = 1 1 ; 𝑥 ∈ ሾ1 , ۧ+∞ C U R S O D E Á L G E B R A C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Observación La ecuación 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) gráficamente tiene 𝑛 soluciones reales si la gráfica de 𝑓 𝑥 corta a la gráfica de 𝑔 𝑥 en 𝑛 puntos. Ejercicio 4: Determine el número de soluciones reales de la ecuación: 𝑥2 − 𝑥 = 2 + log2𝑥 Resolución : 𝑥2 − 𝑥 = 2 + log2𝑥De la ecuación: 𝑥2 − 𝑥 − 2 = log2𝑥→ → 𝑥 − 2 𝑥 + 1 = log2𝑥 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 ; 𝒙 > 𝟎 𝑦 𝑥 Graficamos las funciones Por lo tanto, tiene 2 soluciones. 2−1 1 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
