SIU2 Teoría 03 - Álgebra

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Intensivo UNI
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca
Ecuaciones 
Polinomiales
Semana 03
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Objetivos:
✓Manejar las definiciones básicas
sobre ecuaciones polinomiales.
✓ Resolver eficientemente las
ecuaciones polinomiales mas
comunes.
✓ Desarrollar destrezas en la
resolución de problemas tipo
referidos al tema de ecuaciones.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
I) Introducción
II) Ecuación
III) Raíz de un polinomio
IV) Ecuación cuadrática y bicuadrada
V) Ecuación polinomial de grado superior
VI) Problemas diversos
Índice
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
GEROLAMO CARDANO
Cuando Cardano estaba a punto de nacer, una epidemia de
peste azotó a Milán y sus padres se trasladaron a Pavia. Allí nació
Gerolamo el 24 de Septiembre de 1501, como hijo ilegítimo de
Fazio y Chiara Micheria.
Cardano entra a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, en
contra del deseo de su padre de seguir la profesión de abogado.
Más tarde se cambia a la Universidad de Padua, donde se gradúa
de Medico. Después de recibir el título de Doctor en Medicina se
dedica a ejercer su profesión, pero también al juego de cartas,
dados y ajedrez.
En el año de 1539, Cardano conoce al célebre matemático
Tartaglia, lo cual fue un hecho crucial en su vida, pues desde ese
momento comienza a interesarse en las ecuaciones cúbicas. En
1545, Cardano publica su obra Ars Magna, donde expone los
métodos para la resolución de la ecuación cubica y cuártica,
también usa por primera vez la raíz cuadrada de números
negativos .
Ecuación
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad entre dos
expresiones matemáticas, donde esta presente al
menos una variable ahora llamada incógnita.
Ejemplo:
• 𝑥2 = 𝑥 + 12 • 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0
• 2𝑥 − 3𝑦 = −1
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Es el valor que al reemplazarla por la incógnita en
la ecuación, su igualdad se verifica.
• 𝑥2 = 𝑥 + 12 una solución es el 4, veamos:
42 = 4 + 12𝑥 = 4: ¡se verifica!
Ejercio
Si 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = −1 son soluciones de la ecuación
𝑥4 − 𝑎𝑥2 + 𝑏 = 0, halle 𝑎 − 𝑏.
Resolución
Ejemplo:
Por ser −1 solución, este verifica la ecuación:
−1 4 − 𝑎 −1 2 + 𝑏 = 0
Operando: 1 − 𝑎. 1 + 𝑏 = 0
∴ 𝑎 − 𝑏 = 1
ECUACIÓN POLINOMIAL
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0
Ejemplos
• 2𝑥3 + 9𝑥 − 5 = 0 Ecuación cúbica
𝑎0 ≠ 0
donde:
𝑎0; 𝑎1; … ; 𝑎𝑛son los coeficientes
𝑥 es la incógnita 
Raíz de un 
polinomio
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
RAÍZ DE UN POLINOMIO
Ejemplos
𝛼 es raíz del polinomio P 𝑥
• P 𝑥 = 3𝑥 − 15
↔ 𝑃 𝛼 = 0
𝑃 5 = 05 es raíz del polinomio pues:
• M 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 2
M 1 = 12 + 1 − 2
1 es raíz del polinomio pues:
= 0
M −2 = (−2)2+(−2) − 2
−2 es raíz del polinomio pues:
= 0
• N 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 − 3 𝑥 + 1
Sus raíces son: 2 , 3 , −1
MULTIPLICIDAD DE UNA RAIZ
Es la cantidad de veces que un número se repite
como raíz del polinomio.
• 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 8 𝑥 − 5 2 𝑥 + 1 3
Ejemplos
→ 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 8 𝑥 − 5 𝑥 − 5 𝑥 + 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1
Factorice el polinomio para determinarla con
facilidad cuales son sus raíces.
Nota:
Sus raíces son: 8 , 5 , 5 , −1 , −1 ,−1
Raíz de multiplicidad 
tres o raíz tripleRaíz de multiplicidad 
dos o raíz doble
Raíz simple
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C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1, posee al menos
una raíz.
Corolario:
Todo polinomio de grado 𝑛 ≥ 1, tiene exactamente
𝑛 raíces (contadas con la multiplicidad).
Ejemplos:
• 𝑃 𝑥 = 2𝑥 − 3 tiene 1 raíz
• 𝑅 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 tiene 2 raíces
• 𝑄 𝑥 = 2𝑥3 − 11𝑥 + 9 tiene 3 raíces
TEOREMA DEL FACTOR 
𝛼 es raíz de 𝑃 𝑥 ↔ 𝑥 − 𝛼 es factor de 𝑃 𝑥
Ejemplos:
• Si 2 es raíz de 𝑃 𝑥 → 𝑥 − 2 es factor de 𝑃 𝑥
→ existe 𝑞 𝑥 tal que: 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑞 𝑥
• Si 5 es raíz doble de 𝑆 𝑥 → 𝑥 − 5 2 es factor
→ existe 𝑄 𝑥 tal que: S 𝑥 = 𝑥 − 5 2 𝑄 𝑥
• Si −3 es una raíz y 6 es una raíz triple de 𝑀 𝑥
→ M 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 − 6 3 𝑞 𝑥
Las raíces del polinomio 𝑃 𝑥 son
soluciones de la ecuación 𝑃 𝑥 = 0.
Nota:
• 𝑥 − 6 𝑥 + 3
Raíces: 6,−3
𝑥 − 6 𝑥 + 3 = 0
Soluciones: 6,−3
• 𝑥 − 5 2 𝑥 − 7 3
Raíces: 5, 5, 7, 7, 7
𝑥 − 5 2 𝑥 − 7 3 = 0
Soluciones: 5, 7
Ecuación 
cuadrática
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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ECUACIÓN CUADRÁTICA
RESOLUCIÓN:
Su forma general es:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0
1) Por factorización:
Resolver:
2𝑥2 + 6 = 𝑖𝑥
Resolución
2𝑥2 − 𝑖𝑥+6 = 0
2𝑥
2𝑥2 − 𝑖𝑥 − 6𝑖2 = 0
𝑥
+3𝑖
−2𝑖
2𝑥 + 3𝑖 𝑥 − 2𝑖 = 0
Forma general: 
Factorice: 
Iguale a cero los factores: 
𝑥 = −
3𝑖
2
∨ 𝑥 = 2𝑖
∴ 𝐶𝑆 = −
3𝑖
2
; 2𝑖
2) Por fórmula general:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
Las dos raíces de la ecuación 
Donde: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 y es llamado Discriminante
𝑥1 =
−𝑏 + ∆
2𝑎
; 𝑥2 =
−𝑏 − ∆
2𝑎
son:
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NATURALEZA DE SUS RAÍCES:
Considerando los coeficientes reales 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0
∆> 0
∆= 0
∆< 0
Raíces reales diferentes
Raíces reales e iguales (única solución )
Raíces imaginarias conjugadas
Ejemplo
¿Para qué valor de 𝑚 la ecuación cuadrática
𝑚 − 5 𝑥2 − 24𝑥 + 9 = 0
tiene solución única?
Resolución
Por tener solución única → sus raíces son iguales
entonces el polinomio es un trinomio cuadrado
perfecto:
𝑚 − 5 𝑥2 − 24𝑥 + 9
34
× 2
→ 𝑚 − 5 = 16 ∴ 𝑚 = 21
PROPIEDADES (Teorema de Cardano):
Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0; 𝑎 ≠ 0
𝑥1 ∙ 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2
2 − 𝑥1 − 𝑥2
2 = 4𝑥1𝑥2
Se cumple:
𝑥1+𝑥2 = −
𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
Otra forma
Tiene ∆ = 0
(−24)2−4 𝑚 − 5 9 = 0
576 − 36 𝑚 − 5 = 0
576 = 36 𝑚 − 5
21 = 𝑚
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C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio
Si la ecuación cuadrática 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚 + 3 = 0
tiene 𝐶𝑆 =
𝑎
𝑏
+ 1;
𝑏
𝑎
+ 1 calcule el valor de 𝑚.
Resolución
Conocemos las dos raíces, apliquemos el
teorema de Cardano:
𝑎
𝑏
+ 1 +
𝑏
𝑎
+ 1 = 2𝑚
𝑎
𝑏
+ 1
𝑏
𝑎
+ 1 = 𝑚 + 3
•
•
Operando:
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
+
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
+ 1 = m+ 3
2𝑚 = m+ 3
∴ m = 3
DEFINICIONES:
Raíces simétricas si
Raíz de recíprocas si
𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 1
1) Las raíces 𝑥1 y 𝑥2 serán llamadas:
2) Dos ecuaciones se dice que son equivalentes si
tienen el mismo conjuntos soluciones.
Ejercicio
Si las ecuaciones
𝑚𝑥 + 3 = 𝑚 𝑦 𝑥2 − 𝑥 + 𝑛 = 0
son equivalentes, halle el valor de 𝑛.
Resolución
La ecuación lineal tiene 𝐶𝑆 = 𝛼 ,
→ ∆= 0 → −1 2 − 4𝑛 = 0 ∴ n =
1
4
como son 
equivalentes, este también es 𝐶𝑆 de la cuadrática
Ecuación 
bicuadrada
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C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIÓN BICUADRADA
RESOLUCIÓN
Su forma general es:
𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0
Resolver:
4𝑥4 − 101𝑥2 + 25 = 0
Resolución
4𝑥2
4𝑥4 − 101𝑥2 + 25 = 0
𝑥2
−1
−25
4𝑥2 − 1 𝑥2 − 25 = 0
Factoricemos: 
Iguale a cero los factores: 
𝑥 = −
1
2
𝑥 = −5
∴ 𝐶𝑆 = −
1
2
;
1
2
;−5; 5
2𝑥 + 1 2𝑥 − 1
∨ 𝑥 =
1
2
𝑥 = 5∨ ∨
𝑥 + 5 𝑥 − 5 = 0
1) Por factorización:
Resolver:
𝑥4 − 2𝑥2 − 4 = 0
Resolución
Como no es factorizable, realizamos un cambio de
variable:
2) Por cambio de variable:
Sea 𝑥2 = 𝑡 𝑥4 = 𝑡2
Reemplazando:
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PROPIEDADES:
1) Las raíces tienen la forma siguiente : 
−
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
𝛼; −𝛼; 𝛽; −𝛽
2) Por Cardano:
𝛼2 + 𝛽2 = 𝛼2 ∙ 𝛽2 =
3) Si sus raíces están en progresión aritmética
estas tienen la forma siguiente:
𝛼; −𝛼; 3𝛼; −3𝛼
𝑡2 − 2𝑡 − 4 = 0
Por fórmula general de la ecuación cuadrática:
𝑡 = 1 + 5 𝑡 = 1 − 5∨
Pero 𝑥2 = 𝑡 entonces
𝑥2 = 1 + 5 𝑥2 = 1 − 5
𝑥 = ± 1 + 5 𝑥 = ± 1 −5
∨
∨
∴ 𝐶𝑆 = 1 + 5; − 1 + 5; 1 − 5; − 1 − 5
Ejercicio
Si las raíces de la ecuación bicuadrada
3𝑥4 − 30𝑥2 + 𝑛 = 0
se encuentran en progresión aritmética. Calcule 𝑛
Resolución
Por Cardano:
𝛼2 + 3𝛼 2 = 10𝛼2 = 10 𝛼2 = 1
𝛼2. 3𝛼 2 = 𝛼2. 9𝛼2 =
𝑛
3
∴ 𝑛 = 27
30
3
𝑛
3
Sus raíces son: 𝛼; −𝛼; 3𝛼; −3𝛼
Ecuación 
polinomiales 
de grado 
superior
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
ECUACIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR
RESOLUCIÓN (para problemas tipo)
Su forma general es:
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0 𝑎0 ≠ 0
es llamada ecuación polinomial de grado 𝑛.
• Tiene 𝑛 raíces.
• Tiene 𝑚 soluciones 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 .
i. Darle su forma general.
Resolver:
𝑥3 + 6 = 3𝑥2 + 2x
Resolución
Ejercicio :
𝑥3 − 3𝑥2 − 2x + 6 = 0
𝑥2 𝑥 − 3 − 2 𝑥 − 3 = 0
𝑥 − 3 𝑥2 − 2 = 0
𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 3 𝑥 = − 2 𝑥 = 2∨ ∨
∴ 𝐶𝑆 = 3;− 2; 2
iv. Indique el conjunto solución.
• 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 0
Ejemplos:
Ecuación cúbica 
• 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 − 3 = 0 Ecuación de cuarto 
grado o cuártica.
II. Factorice.
iii. Iguale a cero cada factor para encontrar las raíces.
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TEOREMA DE CARDANO-VIETTE Si 𝑚, 𝑛, 𝑝 son raíces de la ecuación:
2𝑥3 + 6𝑥2 + 7𝑥 + 3 = 0
determine 𝑚2 + 𝑛2 + 𝑝2.
Resolución
Ejercicio :
Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3 son las raíces de la ecuación
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Se cumple que:
𝑆1:
𝑆2:
𝑆3:
− −++
; 𝑎 ≠ 0
𝑆−1:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −
𝑏
𝑎
𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥3𝑥1 =
𝑐
𝑎
𝑥1. 𝑥2. 𝑥3 = −
𝑑
𝑎
1
𝑥1
+
1
𝑥2
+
1
𝑥3
= −
𝑐
𝑑
Tenemos: 2𝑥3 + 6𝑥2 + 7𝑥 + 3 = 0
Por el teorema de Cardano:
− −++
𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = −3 𝑚𝑛 + 𝑛𝑝 + 𝑝𝑚 =
7
2
elevo al cuadrado la primera suma:
𝑚2 + 𝑛2 + 𝑝2 + 2 𝑚𝑛 + 𝑛𝑝 + 𝑝𝑚 = 9
𝑚2 + 𝑛2 + 𝑝2 + 2
7
2
= 9
∴ 𝑚2 + 𝑛2 + 𝑝2 = 2
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TEOREMAS DE PARIDAD DE RAÍCES Sea la ecuación 2𝑥3 − 10𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 , donde 
2 + 3 es raíz y 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ. Halle el valor de 𝑎 + 𝑏.
Resolución
Ejercicio :
La ecuación tiene 3 raíces:
∴ 𝑎 + 𝑏 = 8
1) Sea una ecuación polinomial de coeficientes
racionales, se cumple:
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ y 𝑏 ∈ 𝐼
Donde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; 𝑏 ≠ 0 y 𝑖 = −1
↔𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
− 𝑎 + 𝑏
− 𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏 es raíz 
2) Sea una ecuación polinomial de coeficientes
reales, se cumple:
𝑎 + 𝑏𝑖 es raíz ↔ 𝑎 − 𝑏𝑖 es raíz 
3) Sea una ecuación polinomial de coeficientes
reales, se cumple:
Donde:
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼
𝑎, 𝑏 ∈ ℚ
𝑥1 = 2 + 3 (Dato) 
𝑥2 = 2 − 3 (Por paridad de raíces) 
𝑥3 =?
Por el teorema de Cardano:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 5
Entonces → 𝑥3= 14 + 𝑥3 = 5
Reemplazando en la ecuación: 
2 ∙ 13 − 10 ∙ 12 + 𝑎 ∙ 1 + 𝑏 = 0
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e