SIU2 Teoría 04 - Álgebra

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ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Intensivo UNI
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca
Inecuaciones
Semana 04
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Objetivos:
✓ Conocer las definiciones básicas
sobre inecuaciones.
✓ Resolver eficientemente las
inecuaciones polinomiales y
fraccionarias.
✓ Desarrollar destrezas en la
resolución de problemas tipo
referidos al tema de inecuaciones.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
I) Introducción
II) Inecuación lineal
III) Inecuación cuadrática
IV) Inecuación polinomial de grado superior
V) Inecuación fraccionaria
VI) Problemas diversos
Índice
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Desde el punto de vista económico, la desigualdad social es “el resultado
de una distribución desigual, entre los miembros de una sociedad, de los
recursos de ésta”.
La extrema pobreza se
define el subsistir con un
consumo inferior a $ 1.90
diario por persona. Modelos
matemáticos del crecimiento
poblacional y económico
bajo la premisa consumo
inferior (menor) a $ 1.90 ,
nos muestra este gráfico.
DESIGUALDAD Y LA EXTREMA POBREZA
Número de personas que viven en extrema pobreza
Número de personas que no viven en extrema pobreza
Inecuación 
lineal
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INECUACIÓN
Una inecuación es una desigualdad entre dos
expresiones reales, donde esta presente al menos
una variable ahora llamada incógnita.
Ejemplo:
• 2𝑥2 ≤ 3𝑥 − 1 •
• 2𝑥 − 3 ≤ 10
SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Es el valor que al reemplazarla por la incógnita en
la inecuación, la desigualdad se verifica.
• 𝑥2 ≤ 𝑥 + 6 una solución es el 2, veamos:
22 ≤ 2 + 6𝑥 = 2: ¡se verifica!
Ejemplo
Resuelva
3𝑥 − 5 ≤ 𝑥 − 17
Resolución
Ejemplo:
𝑥 − 3
𝑥 + 1
>
5
𝑥 + 3
INECUACIÓN LINEAL
RESOLUCIÓN:
Su forma general es:
𝑎 𝑥 + 𝑏 ⋛ 0 𝑎 ≠ 0
Su resolución por lo general es por despeje de la
incógnita aplicando los teoremas de desigualdades.
−𝑥
2𝑥 − 5 ≤ −17
+5
2𝑥 ≤ −12
÷2
𝑥 ≤ −6
∴ 𝐶𝑆 = ∞−ۦ ሿ;−6
−𝟔−∞ +∞
Inecuación 
cuadrática
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INECUACIÓN CUADRÁTICA
RESOLUCIÓN:
Su forma general es:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0 𝑎 ≠ 0
Ejemplo:
Resolver:
2𝑥2 + 𝑥 + 3 > 7𝑥2 − 3
Resolución
5𝑥
𝑥
−6
+1
1) La inecuación que tome su forma general y es
convenientes que su coeficiente principal sea
positivo.
2) Calcule su discriminante, lo cual genera tres casos
∆> 𝟎: Halle sus dos raíces (por factorización o
fórmula general), luego aplique el criterio
de los puntos críticos e indique el CS.
∆= 𝟎: El polinomio es un trinomio cuadrado
perfecto y por simple inspección se
obtiene el conjunto solución.
∆< 𝟎: Aplique el teorema de trinomio positivo y
por simple inspección se obtiene el
conjunto solución que puede ser ℝ o ∅.
1) −5𝑥2 + 𝑥 + 6 > 0
× −1 5𝑥2 − 𝑥 − 6 < 0 2) ∆= 121
(Caso más común)
5𝑥 − 6 𝑥 + 1 < 0 Puntos críticos:
6
5
:−1
++ −
6
5
−1 ∴ 𝐶𝑆 = −1;
6
5
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Resolución
No es factorizable, hallemos sus raíces
por fórmula de la ecuación cuadrática.
Resolver:
3𝑥2 − 5𝑥 + 1 ≥ 0
2) ∆= 13
5 + 13
6
;
5 − 13
6
Puntos críticos:
++ −
5 + 13
6
5 − 13
6
∴ 𝐶𝑆 = ൽ ቉−∞;
(5−√13)
6
∪ ඁቈ
5 + 13
6
; +∞
OBS.: Si m y n son los extremos finitos del
conjunto solución de:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0
entonces m y n son las raíces del
polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, por lo tanto:
𝑚 + 𝑛 = −
𝑏
𝑎
𝑚𝑛 =
𝑐
𝑎
Ejercicio
Halle el valor de 𝑎 + 𝑏, para que la inecuación:
𝑎 − 2 𝑥2 − 7𝑥 + 𝑏 ≤ 0
tenga como conjunto solución 2; 5 .
Resolución
Del conjunto solución, 2 y 5 son las raíces del
polinomio, por el teorema de Cardano:
2 + 5 =
𝑏
𝑎 − 2
𝑎 = 3 𝑏 = 10
∴ 𝑎 + 𝑏 = 13
7
𝑎 − 2
2 ∙ 5 =
𝑎 ≠ 0
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio
Si el conjunto solución de la inecuación
6𝑥2 − 3𝑥 + 𝑚 ≤ 0
es ℝ− 𝛼 , halle el valor de 𝑚 + 𝛼.
Resolución
Resolución
Resolver:
𝑥2 − 8𝑥 + 16 ≥ 0
El polinomio es un trinomio cuadrado
perfecto y por simple inspección se
obtiene el conjunto solución.
2) ∆= 0
𝑥 − 4 2 ≥ 0
∴ 𝐶𝑆 = ℝ
Tenga en cuenta lo siguiente:
• 𝑥 − 4 2 ≥ 0
• 𝑥 − 4 2 > 0
• 𝑥 − 4 2 < 0
• 𝑥 − 4 2 ≤ 0
𝐶𝑆 = ℝ
𝐶𝑆 = ℝ− 4
𝐶𝑆 = 4
𝐶𝑆 = ∅
OBS.: Si el conjunto solución de:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≷ 0 𝑎 ≠ 0
es de la forma 𝛼 o ℝ− 𝛼 entonces
∆ = 0
Por la forma del conjunto solución se tiene que:
∴ 𝑚 + 𝛼 =
5
8
∆ = 0
−3 2 − 4 6 𝑚 = 0
𝑚 =
3
8
y 𝛼 es raíz doble del polinomio.
𝛼 es raíz doble
𝛼 + 𝛼 =
3
6
Por el teo. Cardano:
→ 𝛼 =
1
4
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C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO (TTP):
Si 𝑥2 − 𝑚 − 3 𝑥 +𝑚 > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ , halle la
variación de 𝑚.
Resolución
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎; ∀𝒙 ∈ ℝ ↔ 𝒂 > 𝟎 ∧ ∆ < 𝟎
Ejemplo:
Resolver:
𝑥2 − 2𝑥 + 5 > 0
Resolución
2) ∆= −16 Apliquemos el TTP y por inspección se
da el CS que puede ser ℝ o ∅.
𝑎 = 1 → 𝑥2 − 2𝑥 + 5 > 0
+ ∴ 𝐶𝑆 = ℝ
Resolver:
2𝑥2 − 3𝑥 + 4 ≤ 0
Resolución
2) ∆= −23
Apliquemos el TTP:
𝑎 = 2
→ 2𝑥2 − 3𝑥 + 4 ≤ 0
+ ∴ 𝐶𝑆 = ∅
esto se cumple según el teorema del trinomio
positivo si:
𝑐𝑜𝑒𝑓. 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐. > 0
> 0 ∧ < 0−𝑚 + 3 2−4 1 𝑚
𝑚2 − 10𝑚 + 9 < 0
∧ ∆< 0
𝑥2 − 𝑚 − 3 𝑥 +𝑚 > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑚 − 1 𝑚 − 9 < 0
∴ 𝑚 ∈ 1; 9
cuyos puntos críticos son: 1 y 9
++ −
91
TEOREMA DEL TRINOMIO NO NEGATIVO (TTnoN):
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎; ∀𝒙 ∈ ℝ ↔ 𝒂 > 𝟎 ∧ ∆ ≤ 𝟎
Ejemplo:
Si 𝑥2 − 3𝑥 + 1 ≥ 𝜆 ∀𝑥 ∈ ℝ, halle la variación de
𝜆.
Resolución
∴ 𝜆 ∈ ∞−ۦ ቉;−
5
4
esto se cumple según el teorema del trinomio 
no negativo si:
𝑐𝑜𝑒𝑓. 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐. > 0 ∧ ∆≤ 0
1 > 0 ∧ −3 2 −4 1 1 − 𝜆 ≤ 0
9 −4 + 4𝜆 ≤ 0
4𝜆 ≤ −5
𝜆 ≤ −
5
4
Se nos pide garantizar:
𝑥2 − 3𝑥 + 1 ≥ 𝜆 ∀𝑥 ∈ ℝ
→ 𝑥2 − 3𝑥 + 1 − 𝜆 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
Inecuación 
polinomial de 
grado superior
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INECUACIÓN POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR
Resolver:
𝑥3 − 3𝑥2 ≤ 4𝑥 − 12
Resolución
Ejercicio:
RESOLUCIÓN:
Su forma general es:
𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 ≷ 0
1) La inecuación que tome su forma general y es
convenientes que su coeficiente principal sea
positivo.
2) Factorice en ℝ
3) Aplique los teoremas necesarios para simplificar
la inecuación (se desarrollan mas adelante).
4) Aplique el criterio de los puntos críticos e
indique el conjunto solución.
Donde: 𝑎0 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≥ 3
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬:
• 𝑥3 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 6 ≤ 0
• 4𝑥4 + 5𝑥3 − 37𝑥2 − 7𝑥 + 9 > 0 1) 𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 12 ≤ 0
2) 𝑥2 𝑥 − 3 − 4 𝑥 − 3 ≤ 0
𝑥 − 3 𝑥2 − 4 ≤ 0
𝑥 − 3 𝑥 + 2 𝑥 − 2 ≤ 0
3) No hay necesidad de teoremas.
4) Punto críticos: 3,−2, 2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
TEOREMAS:
1) Todo factor positivo se puede cancelar.
++ −
32
−
−2
∴ 𝐶𝑆 = ۦ ሿ−∞;−2 ∪ [ ۧ2; 3
Resolver:
𝑥 + 3 𝑥 − 5 𝑥2 + 𝑥 + 2 ≥ 0
Resolución
Ejemplo:
𝑥2 + 𝑥 + 2 ≥ 0𝑥 + 3 𝑥 − 5
ቊ
𝑐𝑜𝑒𝑓. 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐. > 0
∆< 0+
𝑥 + 3 𝑥 − 5 ≥ 0
sus puntos críticos son: −3 y 5
∴ 𝐶𝑆 = ∞−ۦ ሿ;−3 ∪ [5 ۧ;+∞
++ −
5−3
2) “Exponentes impares” de los factores se puede
cancelar.
3) Factores de “exponentes par” se cancela previo
el siguiente análisis:
• En inecuaciones no estrictas ≥,≤ , rescata
soluciones de los factores cancelados
igualándolos esta a cero.
• En inecuaciones estrictas >,< indique
restricciones para la incógnita de los factores
cancelados, indicando que estas deben ser
diferente a cero.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Resolver:
𝑥 + 7 5 𝑥 + 4 6 𝑥 − 2 7 𝑥 − 3 8 ≤ 0
Resolución
Ejercicio:
Teorema 2, cancelemos los exponentes impares
de los factores
𝑥 + 7 5 𝑥 + 4 6 𝑥 − 2 7 𝑥 − 3 8 ≤ 0
𝑥 + 7 𝑥 + 4 6 𝑥 − 2 𝑥 − 38 ≤ 0
Teorema 3, cancelemos los factores de exponente
par pero previamente rescatamos la solución:
𝑥 + 7 𝑥 − 2 ≤ 0 ∨ 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 3
++ −
2−7
∴ 𝐶𝑆 = −7; 2 ∪ 3
−4 3
Resolver:
𝑥 + 3 35 𝑥 + 1 68 𝑥 − 6 79 𝑥 − 9 842 > 0
Resolución
Teorema 2, cancelemos los exponentes impares
de los factores
𝑥 + 3 35 𝑥 + 1 68 𝑥 − 6 79 𝑥 − 9 842 > 0
𝑥 + 3 𝑥 + 1 68 𝑥 − 6 𝑥 − 9 842 > 0
Teorema 3, cancelemos los factores de exponente
par pero previamente indiquemos restricciones:
(𝑥+3)(𝑥−6)>0 ∧ 𝑥 ≠ −1 ∧ 𝑥 ≠ 9
− 9∴ 𝐶𝑆 = ∞−ۦ ۧ;−3 ∪ 6ۦ ۧ;+∞
++ −
6−3 −1 9
Inecuación 
Fraccionaria
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
INECUACIÓN FRACCIONARIA
RESOLUCIÓN (para problemas tipo)
Su forma general es:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≶ 0
Donde:
1) Darle su forma general.
Resolver:
1 ≤
1
𝑥 − 3
Resolución
Ejercicio :
•
Ejemplos:
•
2) Aplique el teorema.
3) Resuelva la inecuación polinomial equivalente
considerando la restricción.
𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 son polinomios
° 𝑄 𝑥 ≥ 1
2𝑥 − 1
𝑥2 − 2𝑥 − 3
≥ 0
𝑥 + 1
𝑥 − 2
< 𝑥
TEOREMA:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
≷ 0 ↔ 𝑃 𝑥 . 𝑄(𝑥) ≷ 0 ∧ 𝑄(𝑥) ≠ 0
𝑥 − 4
𝑥 − 3
≤ 0→1 −
1
𝑥 − 3
≤ 0
𝑥 ≠ 3(𝑥 − 4)(𝑥 − 3) ≤ 0
1) 
2) ∧
++ −
43
∴ 𝐶𝑆 = 3ۦ ሿ; 4
3) 
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e