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2 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo II NIVEL BÁSICO 1. Si AD=CD, calcule tanx. A D C B 45º 37ºx A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 3 E) 6 2. En el gráfico, AD=2. Calcule el perímetro del triángulo ABC. A D B C 60º30º A) 3 3 1+( ) B) 3 3 2+( ) C) 2 3 1+( ) D) 3 3 1−( ) E) 4 3 1+( ) 3. De acuerdo al gráfico, calcule la altura de la torre si AB = −( )3 1 . A B C 45º30º A) 1 B) 3 C) 2 D) 3 E) 2 3 4. Si BC=6 y EC=2(BE), calcule AD. A) 2 B) 3 A D C E B 45º37º C) 4 D) 5 E) 6 5. Si AM=MD y ABCD es un cuadrado, calcule cota – tana. A M D CB α A) 5 2 B) 3 C) 7 3 D) 8 3 E) 4 3 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría NIVEL INTERMEDIO 6. Calcule el área de la región sombreada si tanθ = 2 y AB = 5 2. θθ 37º 45º45º BA C A) 9 4 2 2+( ) B) 9 4 2 2−( ) C) 9 2 2 2+( ) D) 9 2 2 2−( ) E) 3 2 2 2+( ) 7. Del gráfico, AC = +3 3. Calcule AB. 45º B CA 75º A) 3 3 B) 3 2 C) 2 3 D) 1 E) 3 8. Del gráfico, CD AD = 3 7 . Calcule tanq. A) 5 2 B) 3 D x B C A 45º C) 7 2 D) 4 E) 9 2 9. De acuerdo al gráfico, calcule cotq si AB=2(AM). B C A θ37º 8º M A) 7 6 B) 6 7 C) 3 7 D) 7 3 E) 7 4 10. Del gráfico, calcule cotq si BD=CD. θ 37º A C D B A) 19 3 B) 7 3 C) 17 3 D) 19 6 E) 17 6 NIVEL AVANZADO 11. Del gráfico, calcule 13 sena si BC=3(AB). 120º A C B α A) 3 B) 2 3 C) 3 3 D) 3 2 E) 3 2 3 4 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría 12. Determine la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo MNP si ABCD es un cua- drado de lado 6 u. N M A D P CB 30º A) 9 3− B) 4 C) 3 3 4 3+( ) D) 12 E) 6 8 3+ 13. Si ABCD es un cuadrado, calcule tanx+cotx. C B D A 53º x A) 5 2 B) 10 3 C) 4 D) 5 E) 6 14. En el gráfico, CE=ED. Calcule tanq. D C E A B θ 37º A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 24 7 15. En el gráfico mostrado, calcule tanq si CM=BM. θ C BA M 30º A) 3 6 B) 3 5 C) 3 4 D) 2 5 E) 1 2 5 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría Razones trigonométricas de un ángulo agudo III NIVEL BÁSICO 1. De la igualdad 2 30 45 60 60 45 45 cos º tan º sec º tan º sec º cos º sec= x calcule x. A) 15º B) 30º C) 45º D) 60º E) 75º 2. Si se cumple que tan67ºcot(3x – 2º)=1 calcule sen(x+7º)tan(x+37º). A) 3 2 B) 3 C) 2 3 D) 3 2 E) 2 3. Si x e y son ángulos agudos, además, sen(x+y)=cos(3x – y) calcule tan2x+tan(2x+15º) – 2sen30º. A) 1 B) 3 C) 3 2 D) 2 E) 2 3 4. Si x+y=15º, calcule el valor de sen cos tan tan 4 2 5 6 6 x y x y x y +( ) +( ) + A) 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 3 5. Calcule el valor de cos º sen º sen º cos º sen º tan º cos º tan º 10 30 80 60 80 37 10 53 + + A) 12 25 B) 1 C) 25 12 D) 4 3 E) 3 4 NIVEL INTERMEDIO 6. De la siguiente igualdad cos(x – y)csc(3x+y)=tan10ºtan80º calcule 2 3 2 2 sen cos tan cot x x x y x y + −( ) +( ) A) 1 B) 3 2 C) 2 D) 3 E) 4 7. De la condición sen(2a+q)=cos(a+2q), calcule el valor de 2 3 3 3 3 3 2 3 sen cos sen cos α θ α θ + − A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. Si sen(x+30º)=cos(y+15º), calcule el valor de sen 2 2 2 2 15 15 60 60 x x y y +( ) + −( ) − +( ) −( ) º sen º cos º sen º A) 1 2 B) 3 2 C) 1 D) 2 2 E) 2 9. Si se cumple tan(2a+q)tan(3a – q)=tan20ºtan70º; a0<a<90º calcule el valor de tan(2a + 9º)+csc(a – 12º)+2. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 10. De la siguiente igualdad sen(x+10º)cosy=cos(80º – x)cos(x – 30º) donde x e y son ángulos agudos, calcule tan º x y− + 2 30 A) 1 2 B) 1 C) 3 3 D) 3 E) 2 6 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría 11. De la siguiente igualdad cos(9x – 40º)sec(50º – 2x)=tan40ºtan50º calcule el valor de sen tan cos cot 6 5 5 6 x x x x A) 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 3 E) 2 NIVEL AVANZADO 12. Si cot º tan º cot ºy x x+( ) +( ) = −( )15 15 3 75 , calcule el valor de cos º tan º cot º 2 30 27 48 y x y x +( ) +( ) + −( ) A) 1 2 B) 3 2 C) 3 D) 3 3 E) 2 13. Si x e y son ángulos agudos, los cuales cumplen sen(3x+2y)csc(4x+y)=1; tanx=coty calcule 2sen tanx y+ . A) 1 B) 2 3 C) 2 1 2 + D) 2 E) 3 14. Si se cumple que sen(2a+10º)=cos(q+20º) y tan3acotq=1 calcule el valor de tan º senα θ θ α + −( ) + − 3 2 2 A) 2 2 2 + B) 7 4 C) 7 3 D) 3 2 2 + E) 3 2 15. Si α β+ = 45 2 º , calcule el valor de 1 3 1 3 1 2 3 1 2 − + +( ) − + −( ) + + + −( ) + + +( ) sec csc cot tan α β θ α β θ α β θ α β θ A) 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 3 7 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos NIVEL BÁSICO 1. Del gráfico que se muestra, halle CD AB . A) secacota B) secatana α α A B C D C) sena D) cosa E) sec2a 2. Si BC=4tan45º, calcule BD en términos de a. α α B D CA A) 4tanaseca B) 4tanacsca C) 4tanasena D) 4tan2a E) 4cot2a 3. En el gráfico, BC=4. Halle CD en términos de q. A) 4(1– tanq) B) 4(tanq –1) θ A B CD 45º C) 4(1– cotq) D) 4(1+secq) E) 4(cscq –1) 4. En el esquema, AB=4. Calcule BC en términos de q. A) 2 3tanθ +( ) B) 2 3 1tanθ +( ) θ B HA C 60º C) 2 3 2tanθ +( ) D) 2 3 3tanθ +( ) E) 4 3 +( )tanθ NIVEL INTERMEDIO 5. En el gráfico, BC=3 y CD=2. Calcule AD en tér- minos de q. θ CB DA A) 2tanq+3 B) 2cotq+3 C) 2senq+3 D) 2cscq+3 E) 3tanq+2 6. De acuerdo al gráfico, calcule AH si AC=4. θ A H C B 60º A) 2 3 cosq B) 2 3 senq C) 2 3 tanq D) 2senq E) 2cosq 8 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría 7. Si AB=2, halle BC en términos de q y a. αθ A C B A) 2senqsena B) 2cosqcsca C) 2senqcsca D) 2cosqseca E) 2senqtana 8. Del gráfico, halle el equivalente de CD AB . D C BA 50º A) sen50º B) sen250º C) tan50º D) sen50ºcos50º E) cos250º 9. Del gráfico, calcule EH en términos de q. θ A D B C E H 3 4 A) 3senq+4cosq B) 3cosq – 4senq C) 3senq – 4cosq D) 4cosq – 3senq E) 4senq – 3cosq 10. Del gráfico, calcule BH si CD=2. A E B D H C 70º 80º A) 2csc70ºsen80º B) 2csc70ºcos80º C) 2sec70ºcos80º D) 2sec70ºsen80º E) 2csc70ºtan80º 11. Si AOB es un sector circular de radio r, halle CD. r 20º O A B C D A) r(csc20º – 2tan20º) B) r(sec20º – 2cos20º) C) r(sec20º – 2sen20º) D) r(csc20º – 2sen20º) E) r(csc20 – 2cos20º) 9 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría 12. En el gráfico mostrado, AC=2. Calcule AH. A H C B 20º A) 2cos20ºcot20º B) 2sen220º C) 2sen20ºtan20º D) 2sen20ºcos20º E) 2cos220º NIVEL AVANZADO 13. En el gráfico, BF = 4 3. Calcule AE. A) 2 B) 3 A C E F B D 30º 30º C) 4 D) 6 E) 8 14. Del gráfico, calcule tan2x si DC=2(AD). A D B C x x A) 1 3 B) 1 4 C) 1 5 D) 1 6 E) 1 9 15. De acuerdo al gráfico, se cumple que AB AD = 5 3 . Calcule tanq. θ θA B C D A) 3 4 B) 4 3 C) 1 D) 3 E) 3 3 10 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría Ángulos verticales NIVEL BÁSICO 1. Desde la parte más alta de un edificio de 30 m de altura, se observa con ángulos de depresión de 30º y 60º la parte superior e inferior de otro edificio máspequeño. Calcule la altura de di- cho edificio. A) 18 m B) 20 m C) 24 m D) 26 m E) 28 m 2. Enrique se encuentra en la terraza de un edi- ficio de 8 pisos y observa a Ericka que se en- cuentra a 21 metros del edificio con un ángulo de depresión de 53º. Determine cuánto mide la altura de cada piso del edificio si todos son iguales. A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 4, 5 m E) 3,5 m 3. Un depósito de agua se encuentra a 100 me- tros de un edificio. Desde una de las ventanas del edifico se estima que el ángulo de eleva- ción hasta la parte superior del depósito es 45º y que el ángulo de depresión a la parte infe- rior es de 30º. ¿Cuál es la altura del depósito de agua. A) 100 3 3 3+( ) m B) 100 3 1+( ) m C) 100 3 2+( ) m D) 100 3 3 1+( ) m E) 200 3 3 1+( ) m 4. Una alumna observa la cima de una montaña bajo un ángulo de elevación de 30º. Después de avanzar 5 km hacia la montaña, el ángulo de elevación de la cima es de 45º. Determine la altura de la montaña. A) 5 2 3 1+( ) km B) 5 3 1+( ) km C) 5 3 km D) 4 3 km E) 5 2 3 1−( ) km NIVEL INTERMEDIO 5. Desde un avión que está por aterrizar en el ae- ropuerto, se observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje al extremo más cercano con un ángulo de depresión de 60º, y al extre- mo mas alejado con un ángulo de depresión de 30º. Halle la longitud de la pista de aterriza- je si el avión se encuentra a 600 3 m de altura. A) 1000 m B) 1050 m C) 1100 m D) 1200 m E) 1400 m 6. Un vigía situado en la parte superior de una torre de vigilancia de 20 3 m de altura obser- va a dos personas en la misma dirección con ángulos de depresión de 30º y 60º, respectiva- mente. Halle la distancia que los separa. No se considera la altura del vigía. A) 40 m B) 45 m C) 50 m D) 55 m E) 60 m 7. A medida que un globo se eleva verticalmente, la medida de su ángulo de elevación desde un punto P, en el suelo, situado a 3 3 1+( ) m del punto Q, que está directamente bajo el globo, cambia de 37º/2 a 30º. Determine qué tanto se eleva el globo durante este periodo. A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 6 m E) 5 m 11 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría 8. Para determinar la altura de una torre, un topó- grafo mide una distancia d a partir de la base de la torre y en el extremo de dicha línea es- taciona un teodolito. Nivela el lente y después dirige una visual a lo alto de la torre. Si el án- gulo de elevación es q y el lente se encuentra a una altura h sobre el suelo, calcule la altura de la torre. A) dtanq+h B) dcotq+h C) dsenq – h D) dtanq – h E) dcotq – h 9. Un helicóptero viaja en línea recta y horizon- talmente divisa en tierra un punto A con un án- gulo de depresión de 53º. Si luego de recorrer 900 m se encuentra exactamente por encima del punto A, calcule la longitud de la primera linea visual. A) 1400 m B) 1500 m C) 1600 m D) 1700 m E) 1800 m 10. Desde un punto en el suelo se observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, luego 5,75 metros más adelante (en línea recta) se observa el punto medio del árbol con un ángulo de elevación de 53º. Calcule la altura del árbol. A) 2 m B) 4 m C) 6 m D) 8 m E) 10 m 11. Una persona observa la parte más alta de un poste con un ángulo de elevación q. Si avanza una distancia igual al doble de la altura del poste en dirección a este y lo observa con un ángulo de elevación a, calcule M=cotq · cota. A) 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 5 2 12. Desde lo alto de un edificio de 40 metros de al- tura se observan dos motos estacionadas y se- paradas por una distancia de 10 m con ángulos de depresión b y 37º. Calcule tanb si las motos están a un mismo lado del edificio. (b < 37º). A) 5/19 B) 7/19 C) 11/19 D) 1 E) 12/19 NIVEL AVANZADO 13. Un avión vuela horizontalmente y su piloto observa un objeto en tierra con un ángulo de depresión q. A partir de ese instante se desplaza una distancia igual al triple de su altura y el án- gulo de depresión en ese instante es el com- plemento de q. Calcule cot3q – tan3q. A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38 14. Desde la parte superior de un edificio se obser- va un punto A en el suelo con un ángulo de de- presión a. De otro punto B, ubicado en el pun- to medio entre la base del edificio y el punto A, se observa la parte alta de una antena, que se encuentra en el extremo superior del edificio, con una elevación q. Si el edificio es de altura h, calcule la longitud de la antena. A) h 2 2cot tanα θ⋅ −( ) B) h · cotatanq C) htanq · cota+1 D) h(tana+cotq) E) h2(tanq – cota) 15. Un turista observa la parte alta de una torre con un ángulo de elevación de 37º, se acerca 25 m y ahora lo observa con un ángulo de 74º. Determine la distancia que le falta para llegar a la base de la torre. A) 5 m B) 6 m C) 7 m D) 8 m E) 9 m 12 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría Introducción a la geometría analítica NIVEL BÁSICO 1. Si ABCD es un paralelogramo, calcule las coor- denadas del punto D. X Y C (13; 12) P A (3; 2) B (5; 9) A) (11; 2) B) (11; 3) C) (5; 11) D) (2; 11) E) (11; 5) 2. Del gráfico, halle las coordenadas del punto B. XOA (–10; 0) Y B 37º A) − 16 5 5; B) − 18 5 16 5 ; C) − 18 5 4; D) − 18 5 24 5 ; E) − 16 5 24 5 ; 3. Del gráfico, calcule las coordenadas del punto A. XO B A C (– 4; 0) Y 45º 60º 60º A) 2 3 2;( ) B) 2 2 3;( ) C) 4 3 2;( ) D) 4 3 4; ( ) E) 2 3 4; ( ) 4. En el gráfico, HC=3OC. Calcule las coordena- das del punto B. A) (– 8; 8) B) (– 8; 6) XO Y H C 37º 37º A (8; 0)B C) (– 8; 10) D) (– 6; 8) E) (– 6; 10) 5. Del gráfico, calcule las coordenadas del punto de intersección de las diagonales. X A (0; 3) B (– 2; 7) Y C D A) (– 3; 3) B) (– 3; 7/2) C) (– 4; 8) D) (– 4; 7/2) E) (– 4; 3) 13 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría NIVEL INTERMEDIO 6. Del gráfico mostrado, calcule tanq. A) 5 6 B) 3 5 XD Y A (2; 5) C (a; 8) B 53º θ C) 5 3 D) 2 3 E) 6 5 7. En el gráfico mostrado, ABC es un triángulo equilátero y AO=OB. Halle las coordenadas del punto B. XO A B YC −( )3; 3 A) 3 1; ( ) B) 1 3; ( ) C) 3 2 1 2 ; D) 1 2 3 2 ; E) 3 2; ( ) 8. Si BP=PC, calcule la distancia entre los puntos A y P. A) 2 2 B) 3 2 P B (1; 3) C (3; –1) A (– 2; – 3) C) 4 2 D) 6 2 E) 8 2 9. Del gráfico mostrado, calcule cota. C (– 2; – 3) B (– 6; 4) A α XO Y A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 10. De acuerdo al gráfico, calcule la suma de coor- denadas del punto N si BM=MA. XO N B M Y (0; – 3) A (5; 0) A) − 1 2 B) 1 2 C) –1 D) 1 E) – 2 11. Calcule la suma de coordenadas del punto M si PQ=2(MQ). A) – 2 B) – 3 XQ M Y P (0; – 4) 45º C) – 4 D) – 5 E) – 6 14 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 Trigonometría 12. La abscisa de un punto es – 6 y su distancia al punto A (1; 3) es 74 . Halle la ordenada del punto. A) 8 o – 2 B) 2 o – 8 C) 8 o – 3 D) 8 o – 4 E) 2 o – 4 NIVEL AVANZADO 13. En el gráfico, las coordenadas del punto C es (0; – 8) y OA=2(AB). Halle las coordenadas del punto B. XO C AB Y 37º A) (– 6; 0) B) (– 7; 0) C) (– 8; 0) D) (– 9; 0) E) (–10; 0) 14. Del gráfico mostrado, calcule la ordenada del punto C. X D A Y B (4; 7) C (12; a) 37º A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 15. Del gráfico mostrado, calcule a+b. X Y M (– 4; 0) P (a; b) 53º 2 53º A) 1 2 B) 7 2 C) 2 D) − 3 2 E) 3 2 Anual Integral 01 - E 02 - A 03 - A 04 - C 05 - D 06 - A 07 - C 08 - A 09 - A 10 - E 11 - E 12 - E 13 - A 14 - E 15 - B Razones tRigonométRicas de un ánguloagudo ii 01 - D 02 - A 03 - B 04 - D 05 - A 06 - D 07 - E 08 - C 09 - C 10 - B 11 - B 12 - A 13 - D 14 - E 15 - D Razones tRigonométRicas de un ángulo agudo iii 01 - B 02 - D 03 - A 04 - B 05 - B 06 - B 07 - C 08 - B 09 - C 10 - B 11 - D 12 - B 13 - C 14 - A 15 - A Resolución de tRiángulos Rectángulos 01 - B 02 - E 03 - A 04 - A 05 - D 06 - E 07 - B 08 - A 09 - B 10 - C 11 - D 12 - E 13 - D 14 - A 15 - C ángulos veRticales 01 - E 02 - D 03 - A 04 - A 05 - D 06 - A 07 - A 08 - C 09 - E 10 - C 11 - C 12 - A 13 - D 14 - D 15 - E intRoducción a la geometRía analítica
