EC TRIGONOMETRIA 1 ANUAL INTEGRAL - ADUNI 2016

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2
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Trigonometría
Sistemas de medidas angulares I
NIVEL BÁSICO
1. Calcule el valor de
 
2 2
2
2 2
2
º '
'
g m
m
+
A) 160 B) 161 C) 162
D) 163 E) 164
2. Calcule el valor de n si se cumple que
 nº+(10n)g=p rad
A) 8 B) 10 C) 16
D) 18 E) 20
3. Si se cumple que
 6 10
2
aº a radg+ =
π
 calcule el valor de a.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
4. La suma de dos ángulos es 50g y su diferencia 
es de 19º. Halle el mayor ángulo en radianes.
A) 
8
45
p
rad B) 
4
45
p
rad C) 
2
45
p
rad
D) 
7
45
p
rad E) 
9
45
p
rad
5. Calcule el valor de la expresión
 
2
15
40 30
15
36
π
π
rad º
º rad
g+ +
−
A) 5 
B) 6 
C) 8
D) 9 
E) 10
NIVEL INTERMEDIO
6. Las medidas de los ángulos agudos de un 
triángulo rectángulo vienen expresados por 
(13x – 5)g y (7x+1)º.
 Calcule 
x
x
+
−
1
1
.
A) 2/3 B) 3/2 C) 4/5
D) 4 E) 5
7. A partir de la igualdad
 
75
9



 =
g
º 'a b
 calcule el valor de 2a+b.
A) 40 B) 42 C) 44
D) 46 E) 48
8. Los ángulos congruentes de un triángulo isós-
celes son (8x – 3)º y (9x – 4)g. Halle la medida 
del mayor ángulo del triángulo en el sistema 
sexagesimal.
A) 80º B) 84º C) 86º
D) 88º E) 90º
9. Del gráfico mostrado, calcule x.
 (11x – 5)g 27x º
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
10. Si 
31
15
º
º '= a b
 calcule el equivalente de (a+b)g en radianes.
A) 
3
100
p
rad B) 
p
100
rad C) 
p
50
rad
D) 
2
27
p
rad E) 
5
2
p
rad
3
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Trigonometría
 
11. Si un grado en el sistema X equivale a 135º y un 
grado en el sistema Y equivale a 50g, calcule la 
diferencia entre 3 grados en el sistema X y un 
grado Y en el sistema radial.
A) 
12
5
p
rad B) 
11
6
p
rad C) 
10
7
p
rad
D) 2p rad E) 
5
7
p
rad
NIVEL AVANZADO
12. La medida de un ángulo es 
9
9
9
9
º '
rad
g m
+



.
 Halle la medida en el sistema sexagesimal.
A) 
1600
π




º
 B) 
900
7π




º
 C) 
1600
3π




º
D) 
800
3π




º
 E) 
450
7π




º
13. La medida de un ángulo agudo se expresa 
como (x2+2)º y también como (6x)g. Calcule 
la medida de dicho ángulo en radianes. Con-
sidere x > 1.
A) 
p
18
 B) 
p
10
 C) 
p
20
D) 
3
20
p
 E) 
2
9
p
14. A partir del gráfico, calcule el valor de a.
 9aº 30ag
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
15. Los ángulos de un triángulo miden 20xg, 9xº y 
p
20
x rad. Calcule el complemento de 10xº.
A) 40º B) 30º C) 50º
D) 60º E) 75º
4
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Trigonometría
Sistemas de medidas angulares II
NIVEL BÁSICO
1. Si S y C son los números en grados sexagesi-
males y centesimales de un cierto ángulo, y se 
cumple que
 C+S=95
 calcule C – S.
A) 2 
B) 3 
C) 4
D) 5 
E) 10
2. Si S y C son los números que representan la 
medida de un ángulo en los sistemas sexa-
gesimal y centesimal, respectivamente, halle 
el valor de
 
2
30
S
C S
C+S
C S−
+
−
+
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
3. Para un cierto ángulo se cumple que
 
S C
S C
C
+
−
+ = 10
 Calcule el valor de R.
A) 
29
180
p
 B) 
19
36
p
 C) 
29
200
p
D) 
19
360
p
 E) 
7
50
p
4. Si S y C son los números en grados sexagesi-
males y centesimales de un mismo ángulo, 
calcule el valor de
 
C S
C S
C S
C S
+
−
+
+
−
+17
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
5. Si S, C y R son los números en grados sexa-
gesimales, centesimales y de radianes de un 
mismo ángulo, calcule el valor de
 
π πS R
R
C R
R
+
+
+
A) 281 B) 261 C) 271
D) 382 E) 361
NIVEL INTERMEDIO
6. Los números S, C y R verifican la condición
 
S C
C S
R+
−
+ =
π
20
 Halle la medida del ángulo en radianes.
A) p rad B) 
p
2
rad C) 
p
4
rad
D) 
p
3
rad E) 
p
6
rad
7. Si S y C representan los números en grados 
sexagesimales y centesimales de un mismo 
ángulo, calcule el valor de
 90 44
2 2S C
SC
+


 +
A) 15 B) 20 C) 25
D) 30 E) 35
8. Se cumple que
 
3
4
π
rad Sº Cg= =
 Calcule el valor de S+C si S y C representan 
los números en grados sexagesimales y cen-
tesimales de un mismo ángulo.
A) 270 
B) 275 
C) 285
D) 290 
E) 295
5
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Trigonometría
 
9. Para un cierto ángulo se cumple la condición
 R
C S
C S
−
−
−( )




=
2 2
2
6
 Calcule el valor de R.
A) 22 B) 23 C) 24
D) 25 E) 26
10. Si la suma del doble de un número en grados 
sexagesimales con el mismo número, pero en 
grados centesimales, es 112, calcule dicho nú-
mero en grados sexagesimales.
A) 28 
B) 36 
C) 40
D) 54 
E) 63
11. El número de radianes de un cierto ángulo es 
3
5
p
. Calcule la suma de los números en grados 
sexagesimales y centesimales del ángulo.
A) 222 B) 224 C) 226
D) 228 E) 230
12. Si S, C y R son los números que representan 
la medida de un ángulo en los sistemas sexa-
gesimal, centesimal y radial, respectivamente, 
simplifique la siguiente expresión.
 
C S C S
R
−( ) −( )2
400
2
2
π
A) 219 
B) 220 
C) 11
D) 222 
E) 223
NIVEL AVANZADO
13. Halle la medida del ángulo expresado en ra-
dianes a partir de la condición
 
5
2
20
SR CR
π π
− =
 donde S, C y R representan los números en 
grados sexagesimales, centesimales y radia-
nes del mismo ángulo.
A) 
p
6
rad B) 
p
5
rad C) 
p
3
rad
D) 
p
2
rad E) p rad
14. Si S, C y R son los números en grados sexa-
gesimales, centesimales y de radianes de un 
mismo ángulo, y se cumple que
 Sº+2Cg+3 rad=180º
 calcule S. Considere π =
22
7
.
A) 
30
11
 B) 
40
11
 C) 
50
11
D) 
60
11
 E) 
70
11
15. Se sabe que S, C y R son los números que re-
presentan la medida de un ángulo en los sis-
temas sexagesimal, centesimal y radial. Halle 
la medida de dicho ángulo, en radianes, si se 
cumple que
 
180 200
33
S C R
+ + =
π
A) 
p
9
 B) 
p
10
 C) 
p
11
D) 
p
12
 E) 
p
14
6
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Trigonometría
Longitud de arco de circunferencia
NIVEL BÁSICO
1. El área del sector circular es p/2 u2. Calcule el 
perímetro del sector circular.
 
O
A
B
π
4 rad
A) 4
2
+



π
u B) (4+p) u C) 2
2
+



π
u
D) (2+p) u E) (4+2p) u
2. Si la longitud de la circunferencia con centro 
en O es 12p, calcule el área de la región som-
breada.
 
30º30ºOO
A) 2p u2 B) 3p u2 C) 4p u2
D) 5p u2 E) 6p u2
3. Si AOB es un sector circular, calcule el períme-
tro de la región sombreada.
 
A
O
O1
2
B
A) 4(p+2) 
B) 4(p+1) 
C) 3(p+1)
D) 2(p+4) 
E) 4
1
2
π +



4. Si ABC es un triángulo equilátero, calcule el pe-
rímetro de la región sombreada.
 15 cm
9 cm
B
A C
A) 2p+5 B) 4p+7 C) 4p+5
D) 5p+4 E) 7p+3
NIVEL INTERMEDIO
5. En el gráfico, S1 y S2 representan las áreas 
del sector circular COD y del trapecio circular 
ACDB, respectivamente. Calcule S2/ S1 si
  
AB CD
 = 3 .
 
O
C
A
B
D
A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12
7
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Trigonometría
 
6. Se sabe que AOB y COD son sectores circula-
res en los cuales OB=BD y  
AM CD� �= .
 Calcule 
2
2
α β
α β
+
−
.
 
α
β
A
O B D
C
M
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5/3
7. Del gráfico, calcule el área del trapecio circular 
si R=9+r y el perímetro del trapecio es 27.
 O
r
RR
A) 27 u2 B) 
81
2
2u C) 54 u2
D) 82 u2 E) 72 u2
8. En el gráfico se muestran dos semicircunferen-
cias. Calcule el área sombreada.
 
R
R
A) R2
2
1
π
−


 B) R2(p –1) C) R2
2
1
2
π
−



D) R2 1
2
π −


 E) R2(p – 2)
9. Si el perímetro de la región sombreada es 
48 cm, calcule AC. Considere al punto O centro 
de los sectores circulares AOB y COD.
 
 2O 2 rad
C
A
B
D
A) 6 cm B)8 cm C) 10 cm
D) 12 cm E) 14 cm
10. El punto O es el centro de los sectores circu-
lares COD y AOB. Si OC=1, 
AB
 = 2 y 
CD
AC = , 
calcule la medida del ángulo central en radianes.
 
O
C
A
B
D
A) 1 rad B) 3/2 rad C) 2 rad
D) 5/2 rad E) 3 rad
11. El punto O es centro de la semicircunferencia. 
Si 
MN

= 5π, calcule  
AM BN
 
− .
 
18º
OA B
N
M
A) p/2 B) p C) 2p
D) p/3 E) 3p
8
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Trigonometría
 
NIVEL AVANZADO
12. Si AOB, COD y EOF son sectores circulares, 
en los cuales se cumple que AC=CE, calcule 
 
 

EF AB
CD
 

+
 
O
C
E
F
A
B
D
A) 1/2 B) 1 C) 2
D) 1/4 E) 4
13. Dado un sector circular de área 80 cm2, se au-
menta su radio en 20 % y se disminuye su lon-
gitud de arco en 50 %. Obtenga el área de este 
nuevo sector circular.
A) 42 cm2 
B) 44 cm2 
C) 46 cm2
D) 48 cm2 
E) 50 cm2
14. Se muestra a AOB, COD y EOF, sectores circu-
lares cuyas áreas son numéricamente iguales 
 a 6S, 3S y S. Calcule 


EF
AB


.
 
O
C
E
F
A
B
D
A) 
6
6
 B) 1/6 C) 
3
3
D) 6 E) 2 6
15. El punto O es el centro de los sectores circu-
lares AOB y COD. Si 
AB
 = 2, CD = 4 y OA=3 
calcule el perímetro de la región sombreada.
 
O
A
C
D
B
A) 12 u B) 14 u C) 16 u2
D) 18 u E) 20 u
9
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Trigonometría
Aplicaciones del cálculo de una longitud de arco
NIVEL BÁSICO
1. La rueda de radio 2 cm empieza a girar hasta 
la posición B, recorriendo 72p cm. Halle el nú-
mero de vueltas que realiza.
 AA BB
rr
A) 14 B) 16 C) 18
D) 20 E) 24
2. Una rueda recorre 32p cm sobre una pista cir-
cular, realizando 8 vueltas. Calcule el radio de 
la rueda.
 AA BB
rr
A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 5 cm E) 6 cm
3. La rueda de radio r se desplaza de la posición 
A hasta B, realizando 20 vueltas. Halle R/r.
 
R
rrA BO
A) 20 B) 21 C) 40
D) 41 E) 42
4. Dos ruedas de radios r y R se desplazan sobre 
una pista horizontal, recorriendo la misma dis-
tancia. Si n1 y n2 son los números de vueltas 
que realizan, respectivamente, calcule n1/n2.
A) r/R B) R/r C) 
p r
R
D) 
pR
r
 E) 
2R
r
5. Se muestran dos ruedas con radios iguales a 
1 cm, desplazándose en sentidos opuestos. 
¿Qué distancia separa a los centros si cada 
rueda realiza 4 vueltas?
 6π cm 
A B
rr rr
A) 16p cm 
B) 18p cm 
C) 20p cm
D) 21p cm 
E) 22p cm
NIVEL INTERMEDIO
6. Una rueda, al desplazarse por una pista plana, 
gira un ángulo de 12p rad. Si el radio de la rue-
da es 2 cm, ¿cuánto avanzó la rueda?
A) 20p cm 
B) 22p cm 
C) 24p cm
D) 26p cm 
E) 28p cm
7. En el gráfico se cumple que R=8r. ¿Cuántas 
vueltas realiza la rueda para ir de A hacia B?
 
rr
O
AA
RR
BB
120º120º
A) 2 
B) 3 
C) 4
D) 5 
E) 6
10
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Trigonometría
 
8. La rueda de radio r, el cual mide 2 cm, realiza 
6 vueltas al ir desde A hasta B. Calcule el radio 
de la pista circular.
 
rr
AA RR
OO
BB
A) 48 cm 
B) 50 cm 
C) 52 cm
D) 54 cm 
E) 56 cm
9. Se muestra dos ruedas del mismo radio (r) 
que se desplazan en sentidos contrarios reali-
zando 4 y 6 vueltas. ¿Qué distancia los separa 
a los centros?
 
AA BB
rr
rr
26π r
A) 4pr B) 6pr C) 8pr
D) 10pr E) 12pr
10. Se muestra una rueda de radio r que empieza 
a girar hasta tocar la pared. Si AB=23r, halle 
el número de vueltas realizadas. Considere 
p=22/7.
 AA BB
A) 3 
B) 7/2 
C) 4
D) 9/2 
E) 5
11. ¿Cuántas vueltas realiza la rueda de radio r al ir 
de la posición A hasta C si R=21r?
 6r
rrA
R
B C
A) 5
3
+


π
 
B) 5
2
+


π
 
C) 4
3
+


π
D) 4
2
+


π
 
E) 5
1
+


π
NIVEL AVANZADO
12. En el gráfico se observa una esfera en la po-
sición A. Si soltamos la esfera desde esta po-
sición, ¿qué longitud describe la esfera hasta 
impactar en el punto P?
 
2 cm 60º
6 mP
A
A) p 
B) 2p 
C) 3p
D) 4p 
E) 5p
11
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Trigonometría
 
13. En el sistema mostrado, R=6 u y a=60p u. Si el 
bloque desciende hasta tocar el piso, calcule 
el número de vueltas que gira la rueda.
 
RRR
a
bloque
piso
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 9
14. Los radios de las ruedas de una bicicleta son 
entre sí como 3 a 4. Calcule el número de vuel-
tas que da la rueda mayor cuando la menor 
gira 8p rad.
A) 2 
B) 3 
C) 4
D) 5 
E) 6
15. Si las ruedas A y B dan 6 y 3 vueltas, respecti-
vamente, desde su posición inicial hasta el ins-
tante en que llegan a tocarse, además, RA=1 u 
y RB=4 u, calcule D.
 
D 
A B
A) 2(9p+1) 
B) 4(9p+1) 
C) 4(8p+1)
D) 36p+5 
E) 36p+3
12
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Trigonometría
Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
NIVEL BÁSICO
1. Si el cociente entre la longitud del mayor cate-
to y menor cateto de un triángulo rectángulo 
es cuatro, calcule el coseno del menor ángulo 
agudo.
A) 
4 17
17
 B) 
2
3
 C) 
17
17
D) 
2
5
 E) 
17
34
2. Un terreno tiene la forma de un triángulo rec-
tángulo. Si la cosecante de uno de sus ángulos 
agudos es 13/5, calcule la menor longitud de 
dicho terreno si tiene un perímetro de 1200 m.
A) 200 m B) 210 m C) 220 m
D) 225 m E) 240 m
3. En el gráfico se cumple que tanq=24/7 y 
AC=50. Calcule el perímetro del triángulo ABC.
 A B
C
θ
A) 56 u B) 96 u C) 112 u
D) 100 u E) 120 u
4. El área de la región triangular es 96 cm2 y 
tanq=3/4. Calcule la longitud de la hipotenusa.
 
A
B
C
θ
A) 16 cm B) 18 cm C) 20 cm
D) 24 cm E) 30 cm
5. La diagonal de un rectángulo forma con la 
base un ángulo cuya cotagente es 7/24. Calcu-
le dicha diagonal si el perímetro del rectángulo 
es 310 m.
A) 110 m B) 115 m C) 120 m
D) 125 m E) 130 m
NIVEL INTERMEDIO
6. En el gráfico se cumple que AC = 65 , CD = 5 
y tanb=4tana. Calcule tana tanb.
 A D B
C
α β
A) 1/8 B) 1/16 C) 3/16
D) 2/19 E) 2/21
7. Si AH = 7, HC=4 y 
AB
BC
=
4
5
, calcule cos2a cos2b.
 A
α β
H
B
C
A) 3/25 B) 6/25 C) 1/5
D) 7/25 E) 9/25
8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en 
C, se cumple que senA=4senB. Calcule 
17cos2A+cotB.
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
13
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Trigonometría
 
9. Si AB=4 y CD=1, calcule cotq – tanq.
 B
A
D C
90º – θ θ
A) 1/4 
B) 1/2 
C) 1
D) 2
E) 4
10. Si AB=5 y BC=13, calcule el valor de 25cot2q.
 
A E D
C
B
θ α
α
A) 81 B) 49 C) 36
D) 144 E) 121
11. En el gráfico se cumple que CD=2(AB). 
 Calcule tanq.
 A B
CD
H
θ
θ
A) 
2
2
 
B) 
1
2
 
C) 2
D) 2 
E) 3
12. A partir del gráfico, calcule tanq si AB=9 y 
TD=15. Considere a T punto de tangencia.
 
O
CB
A D T
θ
A) 15/41
B) 16/41
C) 18/41
D) 20/41
E) 3/5
NIVEL AVANZADO
13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se 
cumple que
 cot cotA B+ =
13
6
 Calcule el valor de 
 13 sen tanA B−
 Considere BC < AC.
A) 1/2
B) 1
C) 2
D) 2/3
E) 3/2
14
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Trigonometría
 
14. En el gráfico, AC=x y AB=y, además, CM=MB. 
Calcule secq+tanq.
 
θ
A
C
M B
A) 
y x
y x
+
−
 B) 
y x
y x
−
+
 C) 
x
y
D) 
y
x
 E) 
x y
y
+
15. Si ABCD es un cuadrado y EBCF es un rombo, 
tal que cotq=3/2, calcule 9 13tanα + .
 
θ
α
E
A D
B C
F
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Anual Integral
SiStemaS de medidaS angulareS i
01 - c
02 - d
03 - c
04 - a
05 - d
06 - b
07 - c
08 - e
09 - d
10 - a
11 - d
12 - c
13 - d
14 - d
15 - a
longitud de arco de circunferencia
01 - a
02 - b
03 - b
04 - e
05 - c06 - e
07 - b
08 - a
09 - a
10 - a
11 - e
12 - c
13 - d
14 - a
15 - a
SiStemaS de medidaS angulareS ii
01 - d
02 - b
03 - c
04 - b
05 - d
06 - a
07 - a
08 - c
09 - d
10 - b
11 - d
12 - c
13 - e
14 - a
15 - e
aplicacioneS del cálculo de una longitud de arco
01 - c
02 - a
03 - d
04 - b
05 - e
06 - c
07 - b
08 - b
09 - b
10 - b
11 - a
12 - d
13 - c
14 - b
15 - b
razoneS trigonométricaS de un ángulo agudo i
01 - a
02 - a
03 - c
04 - c
05 - d
06 - b
07 - d
08 - b
09 - a
10 - d
11 - a
12 - e
13 - a
14 - a
15 - e