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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO : GEOMETRÍA ANALÍTICA CICLO : 2023 – II
CODIGO : FB101
DOCENTE : R. ACOSTA, R. VASQUEZ, A. BONIFACIO, R. CHUNG FECHA : 01/12/23
PRACTICA CALIFICADA Nº 4
1. 𝒫 es una parábola con vértice V=(–3/2,7), eje focal de pendiente positiva. Si los puntos de
coordenadas (0,a), (0,–a) y (–3/2,–13) son puntos de la parábola, halle la ecuación vectorial
de 𝒫.
2. ℰ es una elipse con centro F0=(3f,2f), f>0, focos F1, F2, vértices V1, V2, siendo F1 un punto de
Y+ y V2=(24,1), el eje X divide al eje menor de la elipse en dos segmentos cuyas longitudes
están en la relación de 3 a 1. Halle la ecuación vectorial de ℰ.
3. ℋ es una hipérbola con centro F0, focos F1=(0,8) y F2 un punto del cuarto cuadrante. El
punto Q=(10,0)∈ℋ y R un punto del eje X que divide a 𝐹!𝐹"&&&&&& en la razón 2. Si 𝑅𝑄&&&& biseca al
ángulo formado por F1QF2, halle la ecuación vectorial de ℋ.
Die Lehrer
Resol
1. (6 puntos)
V=(–3/2,7), eje focal de pendiente positiva. (0,a), (0,–a) y (–3/2,–13) son puntos de la parábola 𝒫.
arg(𝑉𝐹* )=θ–180º
𝐾# = 𝑃# + 𝑡#𝐹𝑉* = 𝑉 + 𝑟#𝑉𝑃$111111⃗ %
𝐹𝑉* = (𝑐, 𝑠), 𝑉𝑃!1111111⃗ = (0, −20)
𝐾! = 𝑃! +
20
𝑠
(𝑐, 𝑠)
𝐾& = 𝑉 + 4𝑝(𝑐, 𝑠)
Propiedad de construcción (F.J. DE LA BORBOLLA)
Puntos Ki son colineales, V dista 4p de la recta perpendicular a LE
𝐾&𝐾!1111111111⃗ = (0, −20) + =
20
𝑠
− 4𝑝> (𝑐, 𝑠)
𝐾&𝐾!1111111111⃗ ∙ 𝐹𝑉* = −20𝑠 +
20
𝑠
− 4𝑝 = 0 →
1
𝑠
− 𝑠 =
𝑝
5
(x,y)=V+x'(c,s)+y'(-s,c)
y'+V∙(-s,c)=tan(90º–θ)(x'+V∙(c,s))
sy'+3/2=cx'
y'2=4p x'=20c(sy'+3/2)/s
y'2–20cy'=30c/s
(y'2+y'3)/2=10c=d(O,LE)= 𝑂𝑉11111⃗ ∙(-s,c)=3s/2+7c
2=tanθ
𝐹𝑉* =
(1,2)
√5
, 4√5 = 𝑝
𝒫={(–3/2,7)+x'((!,(")
√,
+y'(",(!)
√,
| y'2=16√5 x'}
V
P K
2. (7 puntos)
F0=(3f,2f), f>0, F1∈Y+, V2=(24,1)
𝑉"𝐹&11111111⃗ = (3𝑓 − 24,2𝑓 − 1) = −𝑎𝑢J
𝐹! = 𝐹& + 𝑐𝑉"𝐹&K = (0,… ) = (3,2)𝑓 −
𝑓
𝑓 − 8
𝑉"𝐹&11111111⃗ = =0,
15𝑓
8 − 𝑓>
𝐹!𝐹&11111111⃗ = 𝑓 =3,
2𝑓 − 1
𝑓 − 8 >
= 𝑐𝑢J
eje X divide al eje menor de la elipse en dos segmentos cuyas longitudes están en la relación de 3 a 1.
1 + 3 = 4 = 1 + (1 + 2)
𝐹& +
𝑏
2
𝐹&𝐹!K% = (… ,0) = (3,2)𝑓 +
2
3
𝑓 =
2𝑓 − 1
𝑓 − 8
,−3>
𝑏
2
=
2
3
𝑐 →
𝑏
4
=
𝑐
3
=
𝑎
5
−𝑎 =
𝑐
𝑓
(𝑓 − 8) = −
5𝑐
3
𝑓 =
8
1 + 53
= 3
𝐹!𝐹&11111111⃗ = 3(3,−1), 𝑐 = 3√10
ℰ = O(9,6) + 𝑥′ (3, −1)
√10
+ 𝑦′ (1,3)
√10
U =𝑥
-
5 >
"
+ =𝑦
-
4 >
"
= 10V
2. (7 puntos)
F1=(0,8), Q=(10,0)∈ℋ y R∈X divide a 𝐹!𝐹"&&&&&& en la razón 2. 𝑅𝑄&&&& biseca al ángulo formado por F1QF2
Propiedad Óptica
𝑄𝐹!1111111⃗ = (−10,8)
𝐹" = 𝑄 + 𝑡(−5,−4) = 𝑅 +
𝑅 − 𝐹!
2
3
2
(2𝑟, 0) − (0,4) − (10,0) = (3𝑟 − 10,−4) = 1(−5,−4)
𝑟 = 5/3
F2∈IVC
𝐹" = (5,−4) → 𝐹& =
(5,4)
2
𝐹&𝐹"11111111⃗ =
(5, −12)
2
𝑐 = 13/2
𝑄𝐹"1111111⃗ = (−5,−4)
X𝑄𝐹!1111111⃗ X − X𝑄𝐹"1111111⃗ X = 2𝑎 = √41
(2𝑏)" = 169 − 41 = 128
ℋ = Y(2.5,2) + 𝑥′ (5, −12)13 + 𝑦- (12,5)13 [ 𝑥
-"
41 −
𝑦-"
128 =
1
4\
🚗 By GBO 20231202