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Universidad Nacional del Altiplano
Escuela Profesional de Ciencias F́ısico Matemáticas
Primer Trabajo Curso: Algebra Lineal II
Docente: Dr. Richar M. Mollinedo Chura Fecha: 23/05/25
1. Sea B una base del espacio X y T : X → X un operador. Muestre que
(tI − T )B = tI − TB
2. Sea A ∈ Mn×n(C). Muestre que el polinomio caracteŕıstico de A = (aij)
tiene la forma
p(z) = zn − (trA)zn−1 + · · ·+ (−1)n detA
Si λ1, . . . , λn son los autovalores de A (con la misma multiplicidad que
ellos aparecen en el polinomio caracteŕıstico), concluya que
n∑
i=1
λi = trA y
n∏
i=1
λi = detA
3. Sean A,B ∈ Mn×n(K), con A invertible. Muestre que los polinomios
caracteŕısticos de AB y BA coinciden
4. En cada caso, decida si el operador T : IR3 → IR3 dado por su matriz [T ]B
es diagonalizable. En caso afirmativo, calcule una base de autovectores
y su forma diagonal.
a)
−2 −1 2
−3 0 2
−8 −4 7
b)
2 0 0
−1 1 0
5 3 −3
5. Sea A ∈ M2×2(IR) simétrico (es decir At = A). Muestre que A es diago-
nalizable.
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6. Sea A una matriz n×n y B = P−1AP . Si m y p son, respectivamente los
polinomios mı́nimos y caracteŕısticos de B, muestre que estos polinomios
también son los polinomios mı́nimos y caracteŕıstico de A
7. Sea T : IR2 → IR2 una transformación lineal que tiene como autovectores
(3, 1) y (−2, 1) asociados a los autovalores −2 y 3, respectivamente.
Calcule T (x, y)
8. Sea T : P2(IR) → P2(IR) tal que
[T ]B,C =
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
donde B = {1
2x
2,−1
2 ,
1
2x} y C = {x2, x, 1}. Muestre que T es diagonali-
zable
9. Sea T : P2(IR) → P2(IR) el operador dador por T (at2 + bt + c) =
(2a − b + c)t2 + (a + c)t + 2c, escriba T como suma directa de dos
operadores.
10. Considere T : IR3 → IR3 dada por T (x, y, z) = (3x + y − z, 2x + 2y −
z, 2x+ 2y). Halle su polinomio mı́nimo.