Grátis: A8) Verifique se os grupos G e J são isomorfos em cada um dos seguintes casos: a) G = (�3,+), J = (�6,+) b) G = (S 3, ◦), J = (�6,+) c) G = (�∗, ·...

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A8) Verifique se os grupos G e J são isomorfos em cada um dos seguintes casos:
a) G = (�3,+), J = (�6,+)
b) G = (S 3, ◦), J = (�6,+)
c) G = (�∗, ·), J = (�,+)
d) G = (�,+), J = (�,+)

a) G e J não são isomorfos.
b) G e J não são isomorfos.
c) G e J não são isomorfos.
d) G e J são isomorfos.

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Alternativa correta: d) G e J são isomorfos.

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a) Apenas a afirmativa 1 está correta.
b) Apenas a afirmativa 2 está correta.
c) Apenas a afirmativa 3 está correta.
d) As afirmativas 1 e 2 estão corretas.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 estão corretas.

Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por I é o conjunto A/I com as operações de adição e multiplicação definidas. Considerando o exemplo dado, qual é o anel-quociente de A por I?

O anel-quociente de A por I é {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}.

Seja f(x) = 6x4 + 5x3 − 10x2 + 7x − 8 e g(x) = x2 − 2x + 1. Divida f(x) por g(x) e encontre o quociente e o resto.

O quociente é q(x) = 6x^2 + 17x + 18
O resto é r(x) = 26x - 26

Considere a seguinte operação ∗ definida sobre o conjunto dos números racionais: x ∗ y = (x + y)/2. Verifique se a operação ∗ é comutativa e associativa. Encontre o elemento neutro e os inversos para cada elemento.

A operação ∗ é comutativa.
A operação ∗ é associativa.
O elemento neutro da operação ∗ é 0.
O inverso de qualquer número racional x é -x.

Em cada caso, verifique se H é subgrupo de G.
a) H = {x ∈ � | x > 0}, G = (�∗, ·)
b) H = {x ∈ � | x < 0}, G = (�∗, ·)
c) H = {7k | k ∈ �}, G = (�,+)
d) H = {a + b √2 ∈ �∗ | a, b ∈ �}, G = (�∗, ·)
e) H = {a + b 3√2 ∈ �∗ | a, b ∈ �}, G = (�∗, ·)
f) H = {a + b 3√2 ∈ � | a, b ∈ �}
a) H é subgrupo de G.
b) H não é subgrupo de G.
c) H não é subgrupo de G.
d) H é subgrupo de G.
e) H não é subgrupo de G.
f) H não é subgrupo de G.

Suponhamos H um subgrupo do grupo aditivo �. Mostre que existe n ∈ � tal que H = {kn | k ∈ �}, isto é, existe um número natural n tal que H é formado por todos os múltiplos de n.

Se H = {0}, então basta considerar n = 0: neste caso, todo elemento de H é múltiplo de 0.
Suponhamos H , {0}. Seja r um elemento não nulo de H. Como H é um grupo, x ∈ H ⇔ −x ∈ H. Assim, H contém inteiros positivos. Seja n o menor inteiro positivo de H. Se h for um elemento positivo de H, então, dividindo h por n obtemos um quociente q e um resto r tal que 0 ≤ r < n, ou seja, h = nq + r. Daı́, obtemos que r = h − nq. Como h ∈ H e nq ∈ H, temos que r ∈ H. Não podemos ter r > 0 porque assim r seria um elemento positivo menor do que n (não pode porque n é o menor elemento elemento positivo de H). Concluı́mos então que r = 0, ou seja, que h = nq. Isso mostra que h é múltiplo de n.
Se h fosse negativo, então −h seria positivo e estaria em H. Mas isso contradiz o fato de que n é o menor inteiro positivo em H.

Escreva o polinômio f (x) = x4 − 7x2 + 10 como um produto de fatores irre-dutı́veis sobre os seguintes corpos K:
a) K = �
b) K = �[√2] = {a + b√2 | a, b ∈ �}
c) K = �[√5] = {a + b√5 | a, b ∈ �}
d) K = �

a) f(x) = (x^2 - 2)(x^2 - 5)
b) f(x) = (x + √2)(x - √2)(x^2 - 5)
c) f(x) = (x^2 - 2)(x + √5)(x - √5)
d) f(x) = (x^2 - 2)(x^2 - 5)

Consideremos os grupos G = (�×�,+), J = (�,+) a função φ : G −→ J definida por φ(x, y) = 3x−5y. Mostre que φ é um homomorfismo de grupos e determine N(φ).

φ é um homomorfismo de grupos.
N(φ) = {(x, 3/5x) | x ∈ �}.

Desde o início do Ensino Médio que é definida uma adição de vetores baseada principalmente em um diagrama formado por um paralelogramo. Nesse tipo de diagrama, se os vetores forem determinados pelos segmentos orientados OA e OC do paralelogramo

A adição de vetores é dada pelo segmento orientado OB, onde O é a origem do sistema de coordenadas.
A adição de vetores é dada pelo segmento orientado AC, onde A é a origem do sistema de coordenadas.
A adição de vetores é dada pelo segmento orientado BD, onde D é a origem do sistema de coordenadas.
A adição de vetores é dada pelo segmento orientado CD, onde C é a origem do sistema de coordenadas.
a) Apenas a afirmativa A está correta.
b) Apenas a afirmativa B está correta.
c) Apenas a afirmativa C está correta.
d) Apenas a afirmativa D está correta.
e) Nenhuma das afirmativas está correta.

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Seja I um ideal em um anel comutativo A. O anel quociente de A por I é o conjunto A/I com as operações de adição e multiplicação definidas. Considerando o exemplo dado, qual é o anel-quociente de A por I?O anel-quociente de A por I é {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}.

Seja f(x) = 6x4 + 5x3 − 10x2 + 7x − 8 e g(x) = x2 − 2x + 1. Divida f(x) por g(x) e encontre o quociente e o resto.O quociente é q(x) = 6x^2 + 17x + 18O resto é r(x) = 26x - 26

Consideremos os grupos G = (�×�,+), J = (�,+) a função φ : G −→ J definida por φ(x, y) = 3x−5y. Mostre que φ é um homomorfismo de grupos e determine N(φ).φ é um homomorfismo de grupos.N(φ) = {(x, 3/5x) | x ∈ �}.

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O anel-quociente de A por I é {I, 1 + I, 2 + I, 3 + I, 4 + I}.

Seja f(x) = 6x4 + 5x3 − 10x2 + 7x − 8 e g(x) = x2 − 2x + 1. Divida f(x) por g(x) e encontre o quociente e o resto.

O quociente é q(x) = 6x^2 + 17x + 18
O resto é r(x) = 26x - 26

Consideremos os grupos G = (�×�,+), J = (�,+) a função φ : G −→ J definida por φ(x, y) = 3x−5y. Mostre que φ é um homomorfismo de grupos e determine N(φ).

φ é um homomorfismo de grupos.
N(φ) = {(x, 3/5x) | x ∈ �}.