Apostila de Bioestatística

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COMPILADO DE 
INFORMACIONES 
Y ACTIVIDADES 
PARA 
BIOESTADÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2019 
 
 
 
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Indice 
Programa de estudios ........................................................................................................................... 5 
Prólogo .................................................................................................................................................. 7 
Unidad I ............................................................................................................................................... 11 
Capitulo 1 ........................................................................................................................................ 11 
1.3. Elementos. Población. Caracteres ............................................................................................ 14 
Ejercicios del Capítulo 1 ...................................................................................................................... 17 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS .................................................................................................... 20 
DATOS EN BRUTO............................................................................................................................ 20 
ORDENACIONES.............................................................................................................................. 20 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA .................................................................................................. 20 
INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE .................................................................................... 21 
FRONTERAS DE CLASE ..................................................................................................................... 21 
TAMAÑO O AMPLITUD DE UN INTERVALO DE CLASE ...................................................................... 22 
LA MARCA DE CLASE ....................................................................................................................... 22 
REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ................................... 22 
HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS ............................................................................ 23 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS ............................................................................... 24 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS .......................................................... 24 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS RELATIVAS Y OJIVAS PORCENTUALES .............. 25 
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS ............................................................................ 26 
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS ............................................................................................... 26 
Representaciones Gráficas .................................................................................................................. 28 
Gráficos para variables cualitativas ................................................................................................. 28 
Diagramas de sectores .................................................................................................................... 31 
Pictogramas .................................................................................................................................... 33 
MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .......................................... 50 
ÍNDICES O SUBÍNDICES ................................................................................................................... 50 
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ........................................................................ 51 
LA MEDIA ARITMÉTICA ................................................................................................................... 51 
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS ................................................... 51 
LA MEDIANA ................................................................................................................................... 52 
LA MODA ........................................................................................................................................ 53 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES ............................................................................................... 53 
PROBLEMAS y EJERCICOS A RESOLVER ........................................................................................... 54 
 
 
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CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES ............................................................................................... 62 
Diagrama de cajas y Bigotes – Box –Plot ......................................................................................... 63 
Ejercicios propuestos ...................................................................................................................... 66 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN ............................................................. 76 
DISPERSIÓN O VARIACIÓN .............................................................................................................. 76 
RANGO ............................................................................................................................................ 76 
DESVIACIÓN MEDIA ........................................................................................................................ 76 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR .................................................................................................................. 77 
VARIANZA ....................................................................................................................................... 77 
Coeficiente de Variación (C.V.) ....................................................................................................... 79 
Problemas ....................................................................................................................................... 79 
Métodos de Muestreo ........................................................................................................................ 88 
Clasificación de los métodos de muestreo ...................................................................................... 89 
Muestreos no probabilísticos ...................................................................................................... 89 
Muestreo intencional u opinativo: .............................................................................................. 89 
Muestreos probabilísticos ............................................................................................................... 89 
Muestreo aleatorio simple .................................................................................................................. 89 
La ventaja de este método de muestreo .................................................................................... 90 
Ejemplo de muestreo aleatorio simple ........................................................................................... 90 
Muestreo aleatorio sistemático .......................................................................................................... 93 
Las ventajas ................................................................................................................................. 93 
Su desventaja .............................................................................................................................. 93 
Muestreo aleatorio estratificado ........................................................................................................ 95 
Ventajas ......................................................................................................................................
95 
Desventajas ................................................................................................................................. 95 
Muestreo aleatorio por conglomerados ............................................................................................. 97 
Ventajas ...................................................................................................................................... 97 
Desventajas ................................................................................................................................. 97 
Miscelánea de muestreo..................................................................................................................... 98 
Formulario ........................................................................................................................................ 100 
Registro de Asistencia Individual ............................................................ ¡Error! Marcador no definido. 
 
 
 
 
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Programa de estudios 
UNIDAD I 
INTRODUCCION A LA BIOESTADISTICA 
Definición de la Bioestadística. Bioestadística como parte del método científico 
razonamiento deductivo e inductivo 
UNIDAD II 
ORGANIZACIÓN Y RESUMEN DE LOS DATOS 
Etapas del método estadístico. Etapas de ejecución para obtención de datos. 
Captación de datos. Proceso de elaboración. Distribución de datos en 
frecuencia. Presentación de datos. Presentación tabular. Presentación grafica 
 
UNIDAD III 
MEDIDAS DE VARIACION 
Medidas de tendencias central. Media aritmética. La mediana, la moda, ventajas 
y desventajas de cada una de las medidas de tendencias centrales. Medidas de 
dispersión. El rango. Disminución la varianza coeficiente de variación 
UNIDAD IV 
DISTRIBUICIONES MUESTRALES IMPORTANTES 
Definición y clasificación de muestra. Razonamiento para la aplicación de 
muestreo aleatorio simple. Razonamiento para la aplicación de la media y la 
desviación standart de la muestra 
UNIDAD V 
TASAS, RAZONES Y PROPORCIONES 
Cifras absolutas, usos y limitaciones. Frecuencia relativa. Razones. 
Proporciones. Tasas. Principales tasas usadas en salud publica 
 
 
 
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UNIDAD VI 
ESTADISTICA DE POBLACIONES 
Relación de la demografía con el nivel de salud. Crecimiento de la población. 
Utilización de las estadísticas. Población en salud publica 
 
 
 
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Prólogo 
El desarrollo y el nivel de aplicación que la Bioestadística, como herramienta útil y 
rigurosa en el campo de la investigación en todas las Ciencias Sociales, ha experimentado en 
los últimos años, ha sido espectacular. Es indudable que este progreso en el conocimiento y 
aplicación de la Estadística ha venido estrechamente vinculada al que ha experimentado el 
área de la computación, que nos ha llevado a una sociedad absolutamente informatizada 
donde el ordenador se ha convertido en un utensilio personal de uso habitual. Este auge y 
progreso de la informática, a nivel de software y hardware, ha hecho posible, a su vez, la 
realización de pruebas estadísticas que, de forma habitual, hubiesen sido muy costosas desde 
el punto de vista humano así como manejar volúmenes de información que habrían resultado 
absolutamente impensables. 
 
Un segundo factor asociado a este progreso del conocimiento en el ámbito estadístico, 
ha sido el cambio de actitud experimentado por todos los profesionales de las áreas de 
Ciencias Sociales y especialmente, en el ámbito de las Ciencias de la Salud. De una sociedad 
en la que los roles y el desempeño de la profesión estaban ajustados a la mera aplicación de 
los conocimientos adquiridos, hemos evolucionado a una Sociedad Científica donde la 
investigación ha pasado a formar parte esencial de su labor diaria. El interés por descubrir 
nuevos procedimientos a través de la experiencia acumulada, ha sido determinante en la 
necesidad de que todos estos profesionales se vean inmersos en la formación y aprendizaje 
de técnicas básicas de metodología de la investigación y de algunas más concretas como el 
análisis de datos. 
 
Este cambio en la dimensión del ejercicio profesional, determina que los planes de 
estudio de todas las licenciaturas y diplomaturas incluyan la Bioestadística para el ámbito de 
Salud y Biología, como materia troncal con entidad propia y de auténtica necesidad. Se 
pretende, con ello, que un profesional de la Salud, o de cualquier Ciencia Social, que se apoye 
en la cuantificación y en el estudio empírico de lo que observa a diario, entienda y conozca 
los conceptos básicos de la ciencia que le va a permitir, abandonando conductas pragmáticas, 
profundizar y comprender el fundamento científico de su área de trabajo. 
 
 
8 
 
No se trata de hacer expertos en Estadística. El principal objetivo de los docentes de esta 
materia se centra en generar, en los discentes, una actitud crítica ante cualquier lectura 
científica, adquirir un lenguaje común con estadísticos y otros profesionales del ´área y 
conocer a priori los pasos y los elementos imprescindibles en cualquier investigación empírica 
que se apoye en el manejo de volúmenes grandes de datos y cuyo propósito final sea 
condensar dicha información para que pueda ser transmitida o extrapolar las conclusiones a 
las poblaciones de las que fueron tomadas las medidas. Es importante saber que no existe 
investigación si no existen objetivos previos: no puede descartarse ni confirmarse lo que no 
se ha planteado. 
 
Ajena a esta transformación social se encuentran la gran mayoría de nuestros alumnos 
que cursan los primeros cursos de alguna de estas licenciaturas o diplomaturas de Ciencias 
Sociales o Ciencias de la Salud. Sus únicos objetivos se centran en llegar a ser médicos, 
biólogos, psicólogos. . . y no alcanzan a entender que utilidad les puede reportar una materia 
como la Bioestadística en su currículo. Es por ello que al margen de la dificultad intrínseca que 
genera el entendimiento de la materia, la enseñanza de la Bioestadística en estos cursos se 
ve agravada por la imposibilidad de usar cualquier tipo de motivación. 
 
 En muy distinta situación se encuentran los alumnos de postgrado que ya han 
comenzado su vida profesional y han tenido, por tanto, ocasión de darse cuenta de que 
manera la Bioestadística les puede resultar útil y necesaria. 
Aunque no sea su deseo adentrarse en el mundo de la investigación, una parte importante 
en la transmisión de los nuevos hallazgos y conocimientos de otros colegas de su ´ámbito 
profesional, es el lenguaje estadístico. 
 
Es por ello que han de estar absolutamente familiarizados con dicha terminóloga si se 
pretende tener una actitud crítica y objetiva ante la lectura de cualquier literatura científica. 
Fruto del trabajo realizado con estos sectores de estudiantes e investigadores es nuestra 
experiencia, que nos ha animado a escribir el presente libro que podría definirse como un 
Manual de Estadística básica aplicada al ámbito de la Salud. Su contenido abarca desde los 
aspectos más básicos de la Estadística descriptiva, en su función de resumir, presentar y 
 
 
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comunicar los resultados de cualquier estudio a las diferentes técnicas de extrapolación de 
las conclusiones a una población, a partir de lo verificado en una muestra representativa de 
esta. Obviamente, para ello, se hace necesario revisar las nociones más básicas de aspectos 
como probabilidad, Variable aleatoria, Distribuciones de probabilidad, así como los elementos 
imprescindibles de toda la Inferencia Estadística: técnicas de muestreo, conceptos 
fundamentales, estimación confidencial y contrastes de hipótesis más importantes de la 
Estadística Invariante, abordando los test usados bajo supuesto de distribución gaussiana así 
como los de distribución libre. La variabilidad que han generado los nuevos planes de estudio 
no facilita la selección de unos contenidos que abarque la totalidad de los programas de todas
las Universidades, sin embargo hay una parte troncal que constituye un porcentaje amplio del 
conjunto de todos ellos. Esta es la parte que hemos seleccionado, para nuestro contenido, de 
manera que podamos acercarnos lo máximo posible a lo que pudiera ser un libro de texto 
para las asignaturas de Bioestadística que se imparten en la mayoría de las Facultades de 
Medicina y Escuelas de Ciencias de la Salud. 
 
En lo que concierne al modo y la forma, la experiencia acumulada a través de los años 
de docencia y el apoyo en el ´área de la investigación de los profesionales de la salud de 
nuestro entorno, nos condiciona a que teoría y práctica avancen de manera simultánea, en 
este manual, complementándose la una a la otra y apoyándose mutuamente, con numerosos 
ejemplos que puedan acercar al lector a situaciones más cotidianas de su entorno. 
Pretendemos con ello ayudarles a entender las nociones más abstractas y a relacionarlas con 
un futuro no lejano como profesional del mundo de la salud. No obstante, no hemos querido 
evitar tratar algunos temas con algo más de rigor, para que el lector que esté interesado en 
profundizar algo más, pueda hacerlo; siempre teniendo en cuenta que la lectura de dichas 
partes es algo optativo y que dependerá de las necesidades individuales. 
 
A todos esos alumnos y compañeros queremos dedicarle nuestro más sincero 
agradecimiento, por su inestimable colaboración al orientarnos, a través de sus opiniones 
sinceras, sobre nuestra metodología docente y haber podido observar cual ha sido su 
evolución a lo largo de los años y de las diferentes etapas que se han ido sucediendo. 
 
 
10 
 
Esperamos que la ilusión puesta en la realización de este texto nos haya permitido suavizar, 
en la medida de lo posible, la aridez del tema que tratamos, y solo comprobar que realmente 
pueda ser un elemento eficaz de ayuda, apoyo y consulta entre nuestros discípulos y 
compañeros, justificar a todas las horas que hay detrás de estas líneas. 
 
 
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Unidad I 
Capitulo 1 
Conceptos previos 
1.1. Introducción 
El conocimiento de la estadística se torna cada día mas indispensable para el médico, 
y aún para el estudiante. 
A poco que se deseen extraer conclusiones generales de hechos observados, sean 
éstos datos clínicos, diagnósticos, tratamientos o lo que fuere para verificar el grado de 
probabilidad de que la conclusión sacada es aplicable a la generalidad de los casos, es 
imprescindible someter dichos hechos al examen estadístico. Es sabido que la probabilidad 
de curación o de muerte de enfermos afectados de una misma enfermedad y sometidos a 
una misma medicación, es siempre variable y distinta para cada enfermo como dice MORICE 
GARAVET en Methodes Statistiques, Ed, Masson, Paris 1947, X; afirmación ésta que está de 
acuerdo con la experiencia personal de todos los médicos. Es pues, aventurado extraer 
conclusiones generales de los casos observados, si esas conclusiones no son sometidas a la 
prueba de fuego de las estadísticas. 
Bien dice HULDA BANCROFT, en la Introducción a la Bioestadística (Ed. Eudeba, Bs. As., 
1960, 14), que, para juzgar correctamente los resultados de actuaciones o investigaciones 
médicas, propias o ajenas, “debemos recurrir a la Estadística”, Esa nos Pondrá a cubierto de 
las conclusiones incorrectas a que nos conduce el deseo inconsciente de que un hecho sea de 
una forma determinada. Aun cuando hayamos puerto la mayor objetividad y la máxima 
escrupulosidad en la extracción de las conclusiones, los hechos mismos pueden resultar 
engañosos si no sabemos apreciar cuánto se debe a la casualidad y cuánto a la causalidad, es 
decir, si no sometemos el resultado al examen de la estadística. 
Pero, en general, los médicos no necesitan ser estadísticos completos, como no 
necesitan, para manejar algunos aparatos médicos o algunos productos químicos, ser físicos 
ni químicos consumados. En la gran mayoría de los casos bastara con que tengan algunos 
conceptos, con tal de que sean claros, suficientes y bien entendidos. 
 
 
 
 
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1.2. ¿Qué es la estadística? 
La estadística es el arte y la ciencia de manejar los números cuando éstos represan los valoro 
cuantitativos de hechos similares. También podría decirse que la estadística es el arte y la 
ciencia de valorar observaciones o experiencias similares cuando éstas se expresan 
cuantitativamente, es decir, mediante números. Por ejemplo, si se administra un hipnótico a 
varios pacientes y se registre el número de horas dormidas por cada uno, éstas podrán ser 8, 
6, 8, 6, 10. 
Decimos que estas observaciones podrían ser analizadas estadísticamente porque se 
expresan mediante números, En otra forma no podrán serlo, por ejemplo, si se dijese 
solamente a unos les produjo un poco de sueño y a otros no mucho. A su vez estos números 
8 — 6 — 8 — 6 — 10 pueden ser objeto de un tratamiento estadístico porque se refieren a 
hechos similares: horas de sueño provocadas por un hipnótico. Pero no podrían serlo si solo 
fuesen números sueltos, o se refiriesen a observaciones diferentes, por ejemplo, unos a horas 
de suelto, otros a dosis del hipnótico, otros la edad de los pacientes, etcétera. 
La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, 
hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea 
una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la 
finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones. 
Podríamos por tanto clasificar la Estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis 
no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio 
es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio. 
Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos 
numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos. 
Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos 
muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre 
un conjunto mayor de datos. 
 
La estadística, es la ciencia que recolecta, organiza, resume, analiza y toma decisiones ante 
situaciones de incertidumbre. La complejidad de los sistemas biológicos y de salud asociada 
a la variabilidad experimental requiere la aplicación de matemáticas y estadísticas para 
 
 
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entender las diversas problemáticas y situaciones, con el objeto de analizar datos 
experimentales de una manera cuantitativa. 
 
El conocimiento de las matemáticas es necesario para entender los conceptos asociados con 
la construcción de modelos matemáticos y las bases de las pruebas estadísticas. 
 
Por otra parte, el software computacional facilita e incrementa la aplicación de las 
matemáticas en estudios biológicos y de salud, lo que hace evidente el perjuicio de aceptar 
resultados sin entender completamente su significado. 
 
Muchas investigaciones requieren solamente datos cualitativos, los cuales pueden ser 
suficientes, por ejemplo para conocer que determinado organismo está presente en un 
ambiente, o que un proceso está operando. Sin embargo, otros estudios requieren la 
obtención de datos cuantitativos. La cuantificación requiere algunas aplicaciones 
matemáticas. 
Utilidad 
 
Existen dos diferentes aplicaciones: Modelos matemáticos y Análisis estadístico. La primera 
involucra las funciones y técnicas involucradas en la construcción de tales modelos. La 
segunda describe las pruebas estadísticas utilizadas para analizar datos experimentales. 
 
El análisis estadístico tiene dos funciones: 
 
1. Organizar y describir datos experimentales que han sido recolectados 
 
2. Proporcionar conclusiones inferenciales acerca de una población, a partir de datos 
experimentales de la(s) muestra(s) consideradas.
Es esencial que antes de llevar a cabo el estudio experimental y el análisis estadístico se 
clarifiquen e identifiquen los propósitos del estudio. De hecho, algunos experimentos no 
requieren estadística, por lo que el análisis se requiere generalmente para aquellos que 
 
 
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generan datos cuantitativos. Cuando este es el caso, el tipo de análisis estadístico a utilizar 
debe ser identificado antes de comenzar el experimento. 
Cabe mencionar que la Bioestadística, es una rama de la estadística aplicada a la biología y la 
salud, la cual ha sido clave en el desarrollo de nuevos fármacos, en el entendimiento de 
enfermedades crónicas; la estrecha relación de la Estadística con el método científico hace de 
la Bioestadística una disciplina imprescindible en la mayoría de los proyectos en el área 
tecnológica; el pensamiento estadístico no sólo resuelve y entiende compleja metodología 
para dar respuesta a hipótesis, sino que es capaz de organizar el “sistema” que involucra la 
investigación desde el diseño general, diseño de muestreo, control de calidad de la 
información, análisis y presentación de resultados. 
 
1.3. Elementos. Población. Caracteres 
Establecemos a continuació n algunas definiciones de conceptos bá sicos y 
fundamentales bá sicas como son: elemento, població n, muestra, caracteres, variables, 
etc., a las cuales haremos referencia continuamente a lo largo del texto 
Individuos o elementos: personas u objetos que contienen cierta informació n que se 
desea estudiar. 
Població n: conjunto de individuos o elementos que cumplen ciertas propiedades 
comunes. 
Muestra: subconjunto representativo de una població n. 
Pará metro: funció n definida sobre los valores numé ricos de caracterí sticas 
medibles de una població n. 
Estadí stico: funció n definida sobre los valores numé ricos de una muestra. 
En relació n al tamañ o de la població n, esta puede ser: 
Finita, como es el caso del número de personas que llegan al servicio de urgencia de un 
hospital en un día; 
Infinita, si por ejemplo estudiamos el mecanismo aleatorio que describe la secuencia de caras 
y cruces obtenida en el lanzamiento repetido de una moneda al aire. 
Variables o Caracteres: propiedades, rasgos o cualidades de los elementos de la población. 
Estos caracteres pueden dividirse en cualitativos y cuantitativos. 
 
 
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Modalidades: diferentes situaciones posibles de un carácter. Las modalidades deben ser a la 
vez exhaustivas y mutuamente excluyentes cada elemento posee una y sólo una de las 
modalidades posibles. 
Clases: conjunto de una o más modalidades en el que se verifica que cada modalidad 
pertenece a una y sólo una de las clases. 
 
1.4. Organización de los datos 
1.4.1. Variables estadísticas 
Cuando hablemos de variable haremos referencia a un símbolo (X,Y,A,B,. . . ) que puede tomar 
cualquier modalidad (valor) de un conjunto determinado, que llamaremos dominio de la 
variable o rango. En función del tipo de dominio, las variables las clasificamos del siguiente 
modo: 
Variables cualitativas, cuando las modalidades posibles son de tipo nominal. 
Por ejemplo, el grupo sanguíneo tiene por modalidades: 
Grupos Sanguíneos posibles: A, B, AB, O 
Variables cualitativas ordinales son las que, aunque sus modalidades son de tipo nominal, es 
posible establecer un orden entre ellas. Por ejemplo, si estudiamos el grado de recuperación 
de un paciente al aplicarle un tratamiento, podemos tener como modalidades: 
Grado de recuperación: Nada, Poco, Moderado, Bueno, Muy Bueno. 
A veces se representan este tipo de variables en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el 
dolor en una escala de 1 a 5. Debemos evitar sin embargo realizar operaciones algebraicas 
con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el doble que otro de intensidad 2! 
Variables cuantitativas o numéricas son las que tienen por modalidades cantidades 
numéricas con las que podemos hacer operaciones aritméticas. Dentro de este tipo de 
variables podemos distinguir dos grupos: 
Discretas, cuando no admiten siempre una modalidad intermedia entre dos cualesquiera de 
sus modalidades. Un ejemplo es el número de hijos en una población de familias: 
Número de hijos posibles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . 
Continuas, cuando admiten una modalidad intermedia entre dos cualesquiera de sus 
modalidades, v.g. el peso X de un niño al nacer. 
 
 
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Ocurre a veces que una variable cuantitativa continua por naturaleza, aparece como discreta. 
Este es el caso en que hay limitaciones en lo que concierne a la precisión del aparato de 
medida de esa variable, v.g. si medimos la altura en metros de personas con una regla que 
ofrece dos decimales de precisión, podemos obtener 
Alturas medidas en cm: 1.50, 1.51, 1.52, 1.53,. . . 
En realidad lo que ocurre es que con cada una de esas mediciones expresamos que el 
verdadero valor de la misma se encuentra en un intervalo de radio 0,005. Por tanto cada una 
de las observaciones de X representa más bien un intervalo que un valor concreto. 
Tal como hemos citado anteriormente, las modalidades son las diferentes situaciones 
posibles que puede presentar la variable. A veces estas son muy numerosas (v.g. cuando una 
variable es continua) y conviene reducir su número, agrupándolas en una cantidad inferior de 
clases. Estas clases deben ser construidas, tal como hemos citado anteriormente, de modo 
que sean exhaustivas y excluyentes, es decir, cada modalidad debe pertenecer a una y sólo 
una de las clases. 
Variable cualitativa nominal: Aquella cuyas modalidades son de tipo nominal. 
Variable cualitativa ordinal: Modalidades de tipo nominal, en las que existe un orden. 
Variable cuantitativa discreta: Sus modalidades son valores enteros. 
Variable cuantitativa continua: Sus modalidades son valores reales. 
 
 
 
 
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 Ejercicios del Capítulo 1 
Ejercicio 1.1. 
Clasifica las siguientes variables según un su tipo: cualitativas nominales, 
cualitativas ordinales, cuantitativas continuas o cuantitativas discretas. 
 Estado civil de una persona 
 _______________________________________________________ 
 Numero de teléfono 
 _______________________________________________________ 
 Temperatura corporal de un paciente 
 _______________________________________________________ 
 E-mail de una persona 
 _______________________________________________________ 
 Número de hijos 
 _______________________________________________________ 
 Ciudad en la que reside 
 _______________________________________________________ 
 Grado de aceptación de una decisión (de acuerdo, neutral, en desacuerdo) 
 _______________________________________________________ 
 Ingreso económico mensual 
 _______________________________________________________ 
 Línea del autobús que tomo más frecuentemente 
 _______________________________________________________ 
 Número de asignaturas aprobadas el último curso. 
 _______________________________________________________ 
 
Ejercicio 1.2. 
En una farmacia se está recogiendo información sobre el grado de satisfacción de los 
clientes respecto a su servicio nocturno, concretamente se está preguntando cual es 
la opinión de los clientes en cuanto la relación calidad-precio de este servicio 
nocturno. Las respuestas dadas por los clientes encuestados han sido codificadas 
según los códigos: 
0: Muy desfavorable 
1: Desfavorable 
2: Favorable 
3: Muy favorable 
 
 
 
 
 
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Se ha preguntado a un total de 50 clientes, y sus respuestas codificadas numéricamente 
han sido las siguientes: 
0 1 3 0 1 1 2 3 0 0 3 3 3 2 1 2 0 3 0 2 1 0 0 2 3 
2 2 2 1 1 2 2 0 3 0 2 2 0 3 3 0 3 0 1 2 2 2 0 2 1 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
 
Resumir estos datos de una manera que se considere más conveniente 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1.3. 
Se han tomado muestras a 40 niños de entre 1 y 5 años del nivel de cobre en orina, 
obteniéndoselos siguientes valores: 
0.1 0.5 0.65 0.75 0.88 
0.3 0.52 0.66 0.76 0.9 
0.34 0.55 0.69 0.77 0.94 
0.36 0.58 0.7 0.78 0.98 
0.42 0.62 0.72 0.81 1.04 
0.42 0.63 0.73 0.83 1.12 
0.45 0.64 0.74 0.85 1.16 
0.48 0.65 0.74 0.86 1.24 
 
 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________ 
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
 
 
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Resumir estos datos de una manera que se considere más conveniente 
 
 
 
 
Ejercicio 1.4. 
Se dispone del peso (en gramos) de 16 niños de un mes de edad. Los datos se muestran a 
continuación: 
4123 4336 4160 4165 4422 3853 3281 3990 
4096 4166 3596 4127 4017 3769 4240 4194 
 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________ 
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
Ejercicio 1.5 
En una farmacia se realiza seguimiento de la Hipertensión Arterial de algunos pacientes. 
Se dispone de 30 mediciones de la tensión arterial sistólica (TAS) realizadas en el día de 
hoy, las cuales se muestran a continuación 
 
173.03 150.29 147.47 162.04 143.35 
165.54 154.53 152.83 176.77 154.06 
141.59 162.5 166.99 159.97 160.82 
158.66 158.49 135.62 152.99 180.08 
158.81 151.11 138.77 161.92 172.93 
156.66 166.13 168.11 167.7 158.72 
 
1. Indica la variable en estudio 
_____________________________________________________________________ 
2. El tipo de variable 
_____________________________________________________________________ 
3. La población 
_____________________________________________________________________ 
4. La muestra 
_____________________________________________________________________ 
5. Individuo 
_____________________________________________________________________ 
 
 
20 
 
2 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS 
DATOS EN BRUTO 
 
Los datos en bruto son los datos recolectados que aún no se han organizado. Por ejemplo, 
las estaturas de 100 estudiantes tomados de la lista alfabética de una universidad. 
 
ORDENACIONES 
Ordenación se llama a los datos numéricos en bruto dispuestos en orden creciente o 
decreciente de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el número menor se le 
conoce como el rango de los datos. Por ejemplo, si la estatura mayor en los 100 estudiantes 
es 74 pulgadas (in) y la menor es 60 in, el rango es 74−60 =14 pulgadas (in). 
 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA 
Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o 
categorías y determinar la cantidad de datos que pertenece a cada clase, esta cantidad se 
conoce como la frecuencia de clase. A la disposición tabular de los datos en clases con sus 
respectivas frecuencias de clase se le conoce como distribución de frecuencias o tabla de 
frecuencias. La tabla 2.1 es una distribución de frecuencias de las estaturas (registradas a la 
pulgada más cercana) de 100 estudiantes de la universidad XYZ. 
Tabla 2.1 Estaturas de 100 estudiantes de la universidad 
XYZ 
 
Estatura
(in) 
Cantidad de 
estudiantes 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
5 
18 
42 
27 
8 
 Total 100 
 
 
La primera clase (o categoría), por ejemplo, consta de las estaturas que van desde 60 
hasta 62 pulgadas y queda identificada por el símbolo 60-62. Como hay cinco estudiantes 
cuyas estaturas pertenecen a esta clase, la frecuencia de clase correspondiente es 5. 
 
 
21 
 
 
A los datos organizados y resumidos como en la distribución de frecuencias anterior se 
les llama datos agrupados. Aunque al agrupar los datos se pierden muchos de los detalles 
originales de los datos, esto tiene la ventaja de que se obtiene una visión general clara y se 
hacen evidentes las relaciones. 
 
 
INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE 
 
Al símbolo que representa una clase, como 60-62 en la tabla2.1, se le conoce como intervalo 
de clase. A los números de los extremos, 60y62, se les conoce como límites de clase, el 
número menor (60) es el límite inferior de clase, y el número mayor (62) es el límite superior 
de clase. Los términos clase e intervalo de clase se suelen usar indistintamente, aunque el 
intervalo de clase en realidad es un símbolo para la clase. 
Un intervalo de clase que, por lo menos teóricamente, no tenga indicado el límite de 
clase superior o el límite de clase inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por 
ejemplo, al considerar grupos de edades de personas, un intervalo que sea “65 años o 
mayores” es un intervalo de clase abierto. 
 
 
FRONTERAS DE CLASE 
 
Si las estaturas se registran a la pulgada más cercana, el intervalo de clase 60-62 comprende 
teóricamente todas las mediciones desde 59.5000 hasta 62.5000 in. Estos números que se 
indican brevemente mediante los números exactos 
59.5 y 62.5 son las fronteras de clase o los límites de clase reales, el menor de los números 
(59.5) es la frontera inferior de clase y el número mayor (62.5) es la frontera superior de 
clase. 
En la práctica, las fronteras de clase se obtienen sumando el límite superior de un 
intervalo de clase al límite inferior del intervalo de clase inmediato superior y dividiendo 
entre 2. 
Algunas veces, las fronteras de clase se usan para representar a las clases. Por ejemplo, 
las clases de la tabla 2.1 pueden indicarse como 59.5-62.5, 62.5-65.5, etc. Para evitar 
ambigüedades cuando se usa esta notación, las fronteras de clase no deben coincidir con 
las observaciones. Por lo tanto, si una observación es 62.5, no es posible decidir si pertenece 
al intervalo 59.5-62.5 o al intervalo 62.5-65.5 
 
 
 
 
22 
 
TAMAÑO O AMPLITUD DE UN INTERVALO DE CLASE 
 
El tamaño, o la amplitud, de un intervalo de clase es la diferencia entre sus fronteras 
superior e inferior y se le conoce también como amplitud de clase, tamaño de clase o 
longitud de clase. Si en una distribución de frecuencia todos los intervalos de clase tienen 
la misma amplitud, esta amplitud común se denota c. En este caso, c es igual a la diferencia 
entre dos límites inferiores de clases sucesivas o entre dos límites superiores de clases 
sucesivas. Por ejemplo, en los datos de la tabla 2.1, el intervalo de clase es c =62.5 −59.5 
=65.5 −62.5 =3. 
 
 
LA MARCA DE CLASE 
 
La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites 
de clase inferior y superior y dividiendo entre2. Así, la marca de clase del intervalo 60-62 es 
(60+62)/2=61. A la marca de clase también se le conoce como punto medio de clase. 
Para los análisis matemáticos posteriores, se supone que todas las observaciones que 
pertenecen a un intervalo de clase dado coinciden con la marca de clase. Así, se considera 
que todas las estaturas en el intervalo de clase 60-62 in son de 61 in. 
 
 
REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
 
1. En el conjunto de los datos en bruto, se determina el número mayor y el número menor 
y se halla, así, el rango
(la diferencia entre los números mayor y menor). 
 
2. Se divide el rango en una cantidad adecuada de intervalos de clase de una misma 
amplitud. Si esto no es posible, se usan intervalos de clase de diferentes amplitudes o 
intervalos de clase abiertos. La cantidad de intervalos suele ser de 5 a 20, dependiendo 
de los datos. Los intervalos de clase también suelen elegirse de manera que las marcas 
de clase (o puntos medios de clase) coincidan con datos observados. Esto tiende a 
disminuir el llamado error de agrupamiento en los análisis matemáticos subsiguientes. 
En cambio, las fronteras de clase no deben coincidir con datos observados. 
Para evitar errores en el momento de calcular los tamaños de las clases, resulta 
conveniente sumarle el valor 1 al rango antes de dividir, así se evita errores en los 
momentos en que el residuo de la división sea nula, en los ejercicios se verán los casos 
posibles. 
 
 
23 
 
Fr
ec
u
e
n
ci
as
 
Resulta importante destacar que cuando no tenemos decidido o previsto el tamaño del 
intervalo de clase podemos recurrir a la Formula que Sturges ha propuesto para esta 
situación, en donde K= 1 + 3.322(Log10 n), K= 1 + Log2 n. 
3. Se determina la cantidad de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, 
es decir, se encuentran las frecuencias de clase. La mejor manera de hacer esto es 
utilizando una hoja de conteo. 
HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS 
Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos representaciones gráficas de las 
distribuciones de frecuencias. 
1. Un histograma o histograma de frecuencias consiste en un conjunto de rectángulos que 
tienen: a) sus bases sobre un eje horizontal (el eje X), con sus centros coincidiendo con 
las marcas de clase de longitudes iguales a la amplitud del intervalo de clase, y b) áreas 
proporcionales a las frecuencias de clase. 
2. Un polígono de frecuencias es una gráfica de línea que presenta las frecuencias de clase 
graficadas contra las marcas de clase. Se puede obtener conectando los puntos medios 
de las partes superiores de los rectángulos de un histograma. 
En las figuras 2.1 y 2.2 se muestran el histograma y el polígono de frecuencias 
correspondientes a la distribución de frecuencias de las estaturas presentada en la tabla 
2.1. 
 
40 
 
30 
 
20 
 
 
10 
 
 
 
 61 64 67 70 73 
Figura 2-1 Histograma que muestra los puntos medios y las frecuencias de clase. 
Obsérvese en la figura 2.2 cómo el polígono de frecuencias se ha anclado por sus extremos, es 
decir, en 58 y 76. 
 
 
 
24 
 
Fr
ec
u
e
n
ci
as
 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS 
La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las 
frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje. Por ejemplo, 
en la tabla2.1, la frecuencia relativa de la clase 66-68 es 42/100 =42%. Por supuesto, la 
suma de las frecuencias relativas de todas las clases es 1, o 100%. 
Si en la tabla 2.1 las frecuencias se sustituyen por frecuencias relativas, la tabla que se 
obtiene es una distribución de frecuencias relativas, distribución porcentual o tabla de 
frecuencias relativas. 
Las representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias relativas se obtienen a 
partir de los histogramas o polígonos de frecuencias, cambiando únicamente, en la escala 
vertical, las frecuencias por las frecuencias relativas y conservando la gráfica exactamente 
igual. A las gráficas que se obtienen se les llama histogramas de frecuencias relativas (o 
histogramas porcentuales) y polígonos de frecuencias relativas (o polígonos porcentuales), 
respectivamente. 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS 
A la suma de todas las frecuencias menores que la frontera superior de un intervalo de clase 
dado se le llama frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, 
en la tabla 2.1, la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 66-68 inclusive es 
5+18+42=65, lo que significa que 65 estudiantes tienen una estatura menor a 68.5 in. 
 
40 
 
 
30 
 
 
20 
 
 
10 
 
 
 
 58 61 64 67 70 73 76 Estatura 
 Figura 2-2 polígono de frecuencias de las estaturas de los estudiantes. 
 
 
 
25 
 
A una tabla en la que se presentan las frecuencias acumuladas se le llama distribución de 
frecuencias acumuladas, tabla de frecuencias acumuladas o simplemente distribución 
acumulada, y se presenta en la tabla 2.2 para la distribución de las estaturas de los 
estudiantes de la tabla 2.1. 
 
Tabla 2.2 
 
Estatura (in) Cantidad de estudiantes 
Menos de 59.5 
Menos de 62.5 
Menos de 65.5 
Menos de 68.5 
Menos de 71.5 
Menos de 74.5 
0 
5 
23 
65 
92 
100 
 
 
Una gráfica que muestra las frecuencias acumuladas menores de cada frontera superior 
de clase respecto a cada frontera superior de clase se le conoce como gráfica de frecuencias 
acumuladas u ojiva. En algunas ocasiones se desea considerar distribuciones de frecuencias 
mayores o iguales que la frontera inferior de cada intervalo de clase. Como en ese caso se 
consideran las estaturas de 59.5 in o más, de 62.5 in o más, etc., a estas distribuciones se 
les suele llamar distribuciones acumuladas “o más que”, en tanto que las distribuciones 
consideradas antes son distribuciones acumuladas “o menos que”. Una puede obtenerse 
fácilmente de la otra. A las ojivas correspondientes se les llama ojivas “más que” y ojivas 
“menos que”. Aquí, siempre que se hable de distribuciones acumuladas o de ojivas, sin más, 
se tratará del tipo “menos que”. 
 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS RELATIVAS Y OJIVAS 
PORCENTUALES 
 
La frecuencia acumulada relativa o frecuencia acumulada porcentual es la frecuencia 
acumulada dividida entre la suma de todas las frecuencias (frecuencia total). Por ejemplo, 
la frecuencia acumulada relativa de las estaturas menores que 68.5 in es 65/100=0.65 o 
65%, lo que significa que 65% de los estudiantes tienen estaturas menores a 68.5 in. Si en 
la tabla 2.2 se emplean las frecuencias acumuladas relativas en lugar de las frecuencias 
acumuladas, se obtiene una distribución de frecuencias acumuladas relativas (o distribución 
 
 
26 
 
acumulada porcentual) y una gráfica de frecuencias acumuladas relativas (u ojiva 
porcentual), respectivamente. 
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS 
 
Suele considerarse que los datos recolectados pertenecen a una muestra obtenida de una 
población grande. Como de esta población se pueden obtener muchas observaciones, 
teóricamente es posible (si son datos continuos) elegir intervalos de clase muy pequeños y, 
a pesar de eso, tener un número adecuado de observaciones que caigan en cada clase. De 
esta manera, cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse que los polígonos de 
frecuencias, o los polígonos de frecuencias relativas, correspondientes a estas poblaciones 
estén formados por una gran cantidad de pequeños segmentos de recta de manera que sus 
formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales se les llama curvas de frecuencias o 
curvas de frecuencias relativas, respectivamente. 
Es razonable esperar que estas curvas teóricas puedan ser aproximadas suavizando los 
polígonos de frecuencias o los polígonos de frecuencias relativas de la muestra, esta 
aproximación mejorará a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Ésta es la razón 
por la que a las curvas de frecuencias se les suele llamar polígonos de frecuencias 
suavizados. 
De igual manera, suavizando las gráficas de frecuencias acumuladas u ojivas, se obtienen 
ojivas suavizadas. Por lo general, es más fácil suavizar una ojiva que un polígono de 
frecuencias. 
 
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS 
 
Las curvas de frecuencias que surgen en la práctica toman ciertas formas
características, 
como las que se muestran en la figura 2-3. 
 
 
 
 
 
 
Simétrica o en forma de campana Sesgada a la derecha 
 
 
Sesgada a la izquierda Uniforme 
Figura 2-3 Cuatro distribuciones con los que se encuentran por lo 
común. 
 
 
 
27 
 
1. Las curvas simétricas o en forma de campana se caracterizan porque las observaciones 
equidistantes del máximo central tienen la misma frecuencia. Las estaturas tanto de 
hombres como de mujeres adultos tienen distribuciones en forma de campana. 
2. Las curvas que tienen colas hacia la izquierda se dice que son sesgadas a la izquierda. Las 
curvas de la cantidad de años que viven hombres y mujeres son sesgadas a la izquierda. 
Pocos mueren jóvenes y la mayoría muere entre los 60 y los 80 años. En general, las 
mujeres viven en promedio diez años más que los hombres. 
3. Las curvas que tienen colas hacia la derecha se dice que son sesgadas a la derecha. Las 
curvas de las edades a las que se casan tanto hombres como mujeres son sesgadas a la 
derecha. La mayoría se casa entre los veinte y treinta años y pocos se casan alrededor de 
cuarenta, cincuenta, sesenta o setenta años. 
4. Las curvas que tienen aproximadamente las mismas frecuencias para todos sus valores 
se dice que son curvas distribuidas uniformemente. Por ejemplo, las máquinas 
dispensadoras de refresco lo hacen de manera uniforme entre 15.9 y 16.1 onzas. 
5. Las curvas de frecuencias en forma de J o en forma de J inversa son curvas en las que el 
máximo se presenta en uno de sus extremos. 
6. Las curvas de frecuencias en forma de U son curvas que tienen un máximo en cada 
extremo y un mínimo en medio. 
7. Las curvas bimodales son curvas que tienen dos máximos. 
8. Las curvas multimodales tienen más de dos máximos. 
 
 
 
28 
 
 Representaciones Gráficas 
Hemos visto que la tabla estadí stica resume los datos que disponemos de una població n, de 
forma que ´esta se puede analizar de una manera má s sistemá tica y resumida. Para darnos 
cuenta de un só lo vistazo de las caracterí sticas de la població n resulta aú n má s 
esclarecedor el uso de grá ficos y diagramas, cuya construcció n abordamos en esta secció n. 
 Gráficos para variables cualitativas 
Los grá ficos má s usuales para representar variables de tipo nominal son los siguientes: 
Diagramas de barras: Siguiendo la figura 1.1, representamos en el eje de ordenadas las 
modalidades y en abscisas las frecuencias absolutas o bien, las frecuencias relativas. Si, 
mediante el grafico, se intenta comparar varias poblaciones entre sí , existen otras 
modalidades, como las mostradas en la figura 1.2. Cuando los tamañ os de las dos 
poblaciones son diferentes, es conveniente utilizar las frecuencias relativas, ya que en otro 
caso podrí an resultar engañ osas. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 1.1 
 
 
 
29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2: Diagramas de barras para comparar una variable cualitativa en diferentes 
poblaciones. Se ha de tener en cuenta que la altura de cada barra es proporcional al nú mero 
de observaciones (frecuencias relativas). 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Diagramas de sectores (tambié n llamados tartas). 
Se divide un cí rculo en tantas porciones como clases existan, de modo que a cada clase le 
corresponde un arco de cí rculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa (figura 1.3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Pictogramas 
Expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de las modalidades de la 
variable. Estos grá ficos se hacen representado a diferentes escalas un mismo dibujo, como 
vemos en la figura 1.5. 
El escalamiento de los dibujos debe ser tal que el ´area1 de cada uno de ellos sea 
proporcional a la frecuencia de la modalidad que representa. 
Este tipo de grá ficos suele usarse en los medios de comunicació n, para que sean 
comprendidos por el pú blico no especializado, sin que sea necesaria una explicació n 
compleja. 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
36 
 
PROBLEMAS 
ORDENACIONES 
 
2.1 a) Disponer los números en una ordenación ascendente y descendente 
73 67 52 84 89 54 63 64 86 98 
 
b) Determinar el rango de estos números. 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________ 
2.2 En la tabla siguiente se presentan las calificaciones finales que obtuvieron en 
estadísticas 80 alumnos de una universidad. 
74 98 71 83 72 91 98 57 75 98 
57 87 60 54 98 81 85 96 77 76 
54 63 50 72 74 65 68 70 59 61 
97 59 85 55 50 55 81 61 99 65 
92 85 74 89 79 76 80 56 81 78 
77 61 70 91 83 56 50 63 62 57 
61 98 67 70 68 99 58 61 82 63 
98 74 53 61 84 76 96 78 71 51 
 
De acuerdo con esta tabla, encontrar: 
 
a) Elaborar un Diagrama de Tallos y hojas 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 
b) La calificación más alta. 
____________________________________ 
c) La calificación más baja. 
____________________________________ 
d) El rango. 
____________________________________ 
e) Las calificaciones de los cinco mejores estudiantes. 
____________________________________ 
 
f) Las calificaciones de los cinco peores estudiantes. 
____________________________________ 
g) La calificación del alumno que tiene el décimo lugar entre las 
mejores calificaciones. 
____________________________________ 
h) El número de estudiantes que obtuvieron 75 o más. 
____________________________________ 
i) El número de estudiantes que obtuvieron 85 o menos. 
____________________________________ 
 
j) El porcentaje de los estudiantes que obtuvieron calificaciones mayores a 65 
pero no mayores a 85. 
____________________________________ 
k) Las calificaciones que no aparecen en esta tabla. 
____________________________________ 
____________________________________ 
____________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMAS YPOLÍGONOS DE FRECUENCIAS 
 
2.3 La tabla 2.5 muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales de 
65 empleados del hospital P&R. 
 
 Tabla 2.5 
 
Salarios Número de 
empleados 
Frecuencia 
relativa 
Frecuencia 
Porcentual 
Frecuencias 
Acumuladas 
 
$250 - $259 
$260 - $269 
$270 - $279 
$280 - $289 
$290 - $299 
$300 - $309 
$310 - $319 
 
8 
10 
16 
14 
10 
5 
2 
 
 Total 65 
 
Con los datos de esta tabla, determinar: 
 
a) El límite inferior de la sexta clase. 
____________________________________ 
b) El límite superior de la cuarta clase. 
____________________________________ 
a) La marca de clase (o punto medio de clase) de la tercera clase. 
____________________________________ 
d) Las fronteras de clase de la quinta clase. 
____________________________________ 
e) La amplitud del intervalo de la quinta clase. 
____________________________________ 
f ) La frecuencia de la tercera clase. 
____________________________________ 
 
 
 
39 
 
g) La frecuencia relativa de la tercera clase. 
____________________________________ 
h) El intervalo de clase de mayor frecuencia. A este intervalo se le suele llamar 
intervalo de clase modal y a su frecuencia se le conoce como frecuencia
de la 
clase modal. 
____________________________________ 
i) El porcentaje de empleados que gana menos de $280.00 por semana. 
____________________________________ 
j) El porcentaje de empleados que gana menos de $300.00 por semana, pero por 
lo menos $260.00 por semana. 
____________________________________ 
 
2.4 Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes 
son 128, 137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras, encuentre: 
a) la amplitud del intervalo de clase, 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ 
b) las fronteras de clase 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ 
c) los límites de clase, suponiendo que los pesos se hayan redondeado a la libra más 
cercana. 
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
40 
 
2.5 Se toma una muestra de la cantidad de tiempo, en horas por semana, que los 
estudiantes universitarios usan su celular. Usando SPSS, la secuencia 
“Analyze⇒DescripiveStatistics⇒Frequencies” da el resultado mostrado en la figura 
2-4. 
Tiempo 
 
Horas por 
semana 
Frecuencias Porcentajes Porcentajes 
acumulados 
 3.00 
4.00 
5.00 
6.00 
7.00 
8.00 
9.00 
10.00 
11.00 
12.00 
13.00 
14.00 
15.00 
16.00 
17.00 
18.00 
19.00 
20.00 
Total 
3 
3 
5 
3 
4 
4 
3 
4 
2 
2 
3 
1 
2 
5 
2 
1 
2 
1 
50 
6.0 
6.0 
10.0 
6.0 
8.0 
8.0 
6.0 
8.0 
4.0 
4.0 
6.0 
2.0 
4.0 
10.0 
4.0 
2.0 
4.0 
2.0 
100.0 
6.0 
12.0 
22.0 
28.0 
36.0 
44.0 
50.0 
58.0 
62.0 
66.0 
72.0 
74.0 
78.0 
88.0 
92.0 
94.0 
98.0 
100.0 
 
Figura 2-4 SPSS, resultados para el problema 2.5. 
a) ¿Qué porcentaje usa su celular 15 o menos horas por semana? 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
b) ¿Qué porcentaje usa su celular 10 o más horas por semana? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
41 
 
2.6 De 150 mediciones, la menor es 5.18 in y la mayor es 7.44 in. Determinar un conjunto 
adecuado: 
a) de intervalos de clase, 
b) de fronteras de clase, 
c) de marcas de clase que se pueda usar para elaborar una distribución de frecuencias con 
estas mediciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7 Al resolver el problema 2.6 
a) un estudiante elige como intervalos de clase 5.10-5.40,5.40-5.70,...,6.90-7.20 y 7.20-7.50. ¿Hay 
algún problema con esta elección? 
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
2.8 En la tabla siguiente se presentan los pesos, redondeados al kilogramo más cercano, de 50 
estudiantes de una universidad. 
Elaborar una distribución de frecuencias. 
80 78 67 64 72 73 84 85 85 81 
93 94 82 73 62 65 89 102 79 87 
79 88 70 84 72 68 73 62 82 91 
63 81 81 72 82 90 71 82 81 81 
68 69 68 87 82 65 89 79 67 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
 
 
42 
 
2.9 Se toman las estaturas de 45 estudiantes del sexo femenino de una universidad, a continuación, 
se presentan estas estaturas registradas a la pulgada más cercana. Elaborar un histograma o 
grafico de barras considerando K=5. 
67 67 64 64 74 61 68 71 69 61 65 64 62 63 59 
70 66 66 63 59 64 67 70 65 66 66 56 65 67 69 
64 67 68 67 67 65 74 64 62 68 65 65 65 66 67 
 
 
tabla de frecuencias 
LI LS f 
 
 
 
 
 
 Totales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
59 63 67 71 75
56 60 64 68 72
C
an
ti
d
ad
 d
e 
es
tu
d
ia
n
te
s
Estaturas de los estudiantes 
Gráfico de las estudiantes en cantidades por 
estaturas 
 
 
43 
 
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS 
 
2.14 A partir de la distribución de frecuencias dada en la tabla 2.5, construir: 
a) una distribución de frecuencias acumuladas, 
b) una distribución acumulada porcentual, 
c) una ojiva y 
d) una ojiva porcentual. 
 Tabla 2.5 
 
Salarios Número de 
empleados 
 
$250 - $259 
$260 - $269 
$270 - $279 
$280 - $289 
$290 - $299 
$300 - $309 
$310 - $319 
 
8 
10 
16 
14 
10 
5 
2 
 Total 65 
 
Tabla 2.10 
 
 
Limite Superior o 
menos 
 
Salarios 
Frecuencias 
acumuladas 
Distribución 
acumulada 
porcentual 
 
 
 
 
 
44 
 
 
2.15 A partir de las ojivas de las figuras 2-9 y 2-10 (problemas 2.14 y 2.15, respectivamente), 
estimar la cantidad de empleados que ganan: 
a) menos de$ 288.00 por semana, 
b) $296.00 o más por semana, 
c) por lo menos $263.00 por semana, pero menos de $275.00 por semana. 
 
 
 
Límite Inferior o más 
Frecuencias 
acumuladas 
Distribución 
acumulada 
porcentual 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Fr
ec
u
e
n
ci
as
 a
cu
m
u
la
d
as
 “
o
 m
ás
” 
 
70 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
0 
 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 
Salarios 
Figura 2-10, gráfica de frecuencias acumuladas “o más” 
 
 
2.16 A partir de las ojivas de las figuras 2-9 y 2-10 (problemas 2.14 y 2.15, respectivamente), 
estimar la cantidad de empleados que ganan: 
a) menos de$ 288.00 por semana, 
b) $296.00 o más por semana, 
c) por lo menos $263.00 por semana, pero menos de $275.00 por semana. 
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________ 
 
 
46 
 
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 
 
2.19 a) Disponga los números 12, 56, 42, 21, 5, 18, 10, 3, 61, 34, 65 y 24 en una ordenación, y b) determine el rango. 
 
2.20 En la tabla 2.14 se presenta una distribución de frecuencias de la cantidad de minutos por semana que ven 
televisión 400 estudiantes. De acuerdo con esta tabla, determinar: 
 
a) El límite superior de la quinta clase. 
b) El límite inferior de la octava clase. 
c) La marca de clase de la séptima clase. 
d) Las fronteras de clase de la última clase. 
e) El tamaño del intervalo de clase. 
f ) La frecuencia de la cuarta clase. 
g) La frecuencia
relativa de la sexta clase. 
h) El porcentaje de estudiantes que no ven televisión más de 600 minutos por semana. 
i) El porcentaje de estudiantes que ven televisión 900 o más minutos por semana. 
j) El porcentaje de estudiantes que ven televisión por lo menos 500 minutos por semana, pero menos de 
1000 minutos por semana. 
 
Tabla 2.14 
 
Tiempo 
(minutos) 
Número de 
estudiantes 
300-399 
400-499 
500-599 
600-699 
700-799 
800-899 
900-999 
1 000-1 099 
1 100-1 199 
14 
46 
58 
76 
68 
62 
48 
22 
6 
 
 
2.21 Elaborar: 
 
 
47 
 
a) un histograma y 
b) un polígono de frecuencias para la distribución de frecuencias de la tabla 2.14. 
 
2.23 Con los datos de la tabla 2.14, construir: 
a) una distribución de frecuencias acumuladas, 
b) una distribución acumulada porcentual, 
c) una ojiva y 
d) una ojiva porcentual. 
 
2.24 Repetir el problema 2.23, pero para el caso en que las frecuencias acumuladas sean del tipo “o mayor”. 
 
2.25 Con los datos de la tabla 2.14, estimar el porcentaje de estudiantes que ven la televisión: 
a) menos de 560 minutos por semana, 
b) 970 o más minutos por semana 
c) entre 620 y 890 minutos por semana. 
 
2.26 Si una medición se mide con una exactitud de milésimas de pulgada. Si las marcas de clase de la distribución de 
estos datos en pulgadas son 0.321, 0.324, 0.327, 0.330, 0.333 y 0.336, encontrar: 
 a) la amplitud del intervalo de clase, 
b) las fronteras de clase y 
c) los límites de clase. 
 
2.27 En la tabla siguiente se dan cantidad de nacidos en los diferentes centros de atención de un departamento. 
Elaborar una distribución de frecuencias empleando los intervalos de clase adecuados. 
20 18 43 44 50 50 45 34 36 43 32 40 48 11 39 29 
18 42 21 49 43 13 44 19 26 18 38 25 33 43 26 2 
23 50 14 18 4 37 50 21 13 22 38 30 35 7 18 6 
50 1 22 4 1 5 41 18 19 11 29 20 38 48 32 24 
38 7 29 34 29 40 19 16 4 47 20 27 42 36 9 24 
 
 
2.28 Con los datos del problema 2.27, construir: 
a) un histograma, 
b) un polígono de frecuencias, 
c) una distribución de frecuencias relativas, 
d) una distribución de frecuencias acumuladas, 
e) una distribución acumulada porcentual, 
 
 
48 
 
f) una ojiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
2.31 De acuerdo con la Oficina de los Censos de Estados Unidos, en 1996 la población de este país era de 265284000. 
La tabla 2.15 da la distribución porcentual en los diversos grupos de edad. 
 
a. ¿Cuál es la amplitud o el tamaño del segundo intervalo de clase? ¿Y la del cuarto intervalo de clase? 
______________________________________________________________________________________________ 
b. ¿Cuántos tamaños distintos de intervalos de clase hay? 
______________________________________________________________________________________________ 
c. ¿Cuántos intervalos de clase abiertos hay? 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
d. Cómo se deberá escribir el último intervalo de clase de manera que su amplitud sea igual a la del penúltimo 
intervalo de clase 
e. ¿Cuál es la marca de clase del segundo intervalo de clase? ¿Y la del cuarto intervalo de clase? 
______________________________________________________________________________________________ 
 f. ¿Cuáles son las fronteras de clase del cuarto intervalo de clase? 
______________________________________________________________________________________________ 
 g. ¿Qué porcentaje de la población tiene 35 años o más? ¿Qué porcentaje de la población tiene 64 años o menos? 
______________________________________________________________________________________________ 
 h. ¿Qué porcentaje de la población tiene entre 20 y 49 inclusive?, Y la cantidad? 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 i. ¿Qué porcentaje de la población tiene más de 70 años?, Cuantas personas serian? 
______________________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
Grupo de edad en años % de Estados Unidos 
Menos de 5 
5-9 
10-14 
15-19 
20-24 
25-29 
30-34 
35-39 
40-44 
45-49 
50-54 
55-59 
60-64 
65-74 
75-84 
85 o más 
7.3 
7.3 
7.2 
7.0 
6.6 
7.2 
8.1 
8.5 
7.8 
6.9 
5.3 
4.3 
3.8 
7.0 
4.3 
1.4 
Tabla 2.15 
 
 
 
50 
 
3 
MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS 
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
 
 
 
 
ÍNDICES O SUBÍNDICES 
 
El símbolo, Xj (que se lee “X subíndice j”) representa cualquiera de los N valores 
X1,X2,X3,...,XN que puede tomar la variable X. A la letra j que aparece en Xj representando 
a cualquiera de los números1,2,3,..., N se le llama subíndice o índice. En lugar de j se puede 
usar, por supuesto, cualquier otra letra, i, k, p, q o s. 
SUMATORIA El símbolo ∑ 𝑋𝑗
𝑁
𝑗=1 se emplea para denotar la suma de todas las Xj desde j = 1 
hasta j = N, por definición, 
∑ 𝑋𝑗
𝑁
𝑗=1
= 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 … … . +𝑋𝑁 
Cuando no puede haber confusión, esta suma se denota simplemente como ∑X, ∑Xj o ∑jXj. 
El símbolo ∑ es la letra griega mayúscula sigma y denota suma. 
EJEMPLO 1 
∑ 𝑋𝑗
𝑁
𝑗=1
𝑌𝑗 = 𝑋1𝑌1 + 𝑋2𝑌2 + 𝑋3𝑌3 + 𝑋4𝑌4 … … . +𝑋𝑁𝑌𝑁 
 
EJEMPLO 2 
∑ 𝑎
𝑁
𝑗=1
𝑌𝑗 = 𝑎𝑌1 + 𝑎𝑌2 + 𝑎𝑌3 + 𝑎𝑌4 … … . +𝑎𝑌𝑁 = 𝑎(𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 … + 𝑌𝑁) = 𝑎 ∑ 𝑌𝑗
𝑁
𝑗=1
 
 
donde a es una constante. O bien simplemente ∑aY = a∑Y. 
 
 
 
 
51 
 
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
 
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos 
valores típicos tienden a encontrarse en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de 
acuerdo con su magnitud, a los promedios se les conoce también como medidas de 
tendencia central. 
Se pueden definir varios tipos de promedios, los más usados son la media aritmética, la 
mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene 
ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo de datos y el propósito de su uso. 
 
 
LA MEDIA ARITMÉTICA 
 
La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números X1,X2,X3,...,XN 
se denota así: Ẋ(que se lee “X barra”) y está definida como 
�̅� =
∑ 𝑋
𝑛
 
EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es 
�̅� =
(8 + 3 + 5 + 12 + 10)
5
=
38
5
= 7.6 
 
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA 
En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números 
respecto a su media aritmética es cero. 
EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética, 7.6, 
son 8 − 7.6, 3 − 7.6, 5 − 7.6, 12 − 7.6 y 10 −7.6 o bien 0.4, −4.6, −2.6, 4.4 y 2.4, cuya suma 
algebraica es 0.4 − 4.6 − 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0 
 
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS 
Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos 
los datos que caen en un intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del 
intervalo. Para datos agrupados, interpretando a las Xj como las marcas de clase, a las fj 
como las correspondientes frecuencias de clase, a A como cualquier marca de clase 
supuesta y dj = Xj − A como la desviación de Xj respecto de A, las fórmulas (2) y (6) son 
válidas. A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele conocer como método 
largo y método abreviado, respectivamente (ver los problemas 3.15 y 3.20). Si todos los 
 
 
52 
 
En donde: 
X= marca de clase ƒ=frecuencia de clase 
µ= código de trasformación C= tamaño de 
clase 
n= tamaño de muestra estudiada (∑ƒ) 
 
intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones d j = Xj − A se pueden 
expresar como cu j, donde uj puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (es 
decir, 0, ±1, ±2, ±3, . . .) con lo que la fórmula (6) se convierte en 
 
�̅� = 𝑋 +
∑ 𝑓.𝜇
𝑛
. 𝐶 (Método codificado) 
 
�̅� =
∑ 𝑓.𝑋
𝑛
(Método largo) 
 
lo que es equivalente a la ecuación Ẋ = A + c.u . A esta ecuación se le conoce como método 
codificado para calcular la media. Es un método muy breve recomendado para datos 
agrupados cuando los intervalos de clase tienen todos la misma amplitud. Obsérvese que en 
el método codificado los valores de la variable X se transforman en valores de la variable u 
de acuerdo con X = A + cu. 
LA MEDIANA 
La mediana de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en 
una ordenación) es el valor central o la media de los dos valores centrales. 
EJEMPLO 8 La mediana del conjunto de números 3, 4, 5, 6, 8, 8 y 10 es 6. 
EJEMPLO 9 La mediana del conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 es (9 + 11)/2 = 10. 
En datos agrupados, la mediana se obtiene por interpolación, como se expresa por la 
fórmula 
𝑀𝑒 = 𝐹𝐼 +
𝑛
2
− 𝑓𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎.𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝑚𝑒𝑑
. 𝐶 
 
Donde: 
FI = frontera inferior de la clase mediana (es decir, de la clase que contiene la mediana) 
n = número de datos (es decir, la frecuencia total) 
𝑓𝑎𝑐𝑢𝑚.𝑎𝑛𝑡= suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase mediana 
𝑓𝑚𝑒𝑑 = frecuencia de la clase mediana 
C = amplitud del intervalo de la clase mediana 
 
 
 
53 
 
LA MODA 
 
La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con más frecuencia, es 
decir, es el valor más frecuente. Puede no haber moda y cuando la hay, puede no ser única. 
 
EJEMPLO10 La moda del conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 es 9. 
 
EJEMPLO11 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 y 16 no tiene moda. 
 
EJEMPLO12 El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9 tiene dos modas, 4 y 7, por lo que se 
le llama bimodal. 
 
A una distribución que sólo tiene una moda se le llama unimodal. 
En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia 
que se ajuste a los datos, la moda es el valor (o los valores) de X que corresponden al punto 
(o puntos) máximos de la curva. A este valor de X se le suele denotar X^. 
En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener 
mediante la fórmula siguiente: 
𝑀𝑜 = 𝐹𝐼 +
∆1
∆1 + ∆2
. 𝐶 
 
Donde FI=frontera inferior de la clase modal (es decir, de la clase que contiene la moda) 
∆1=exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata 
∆2=exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata 
C=amplitud del intervalo de la clase modal 
 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES 
 
En un conjunto de datos en el que éstos se hallan ordenados de acuerdo con su magnitud, el valor 
de en medio (o la media aritmética de los dos valores de en medio), que divide al conjunto en dos 
partes iguales, es la mediana. Continuando con esta idea se puede pensar en aquellos valores que 
dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados Q1,Q2yQ3 son el 
primero ,segundo y tercer cuartiles ,respectivamente, el valor Q2 coincide con la mediana. 
De igual manera, los valores que dividen al conjunto en diez partes iguales son los deciles y se 
denotan D1, D2,...,D9, y los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son los percentiles 
y se les denota P1,P2,..., P99. El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana. Los percentiles 
25 y 75 coinciden con el primero y tercer cuartiles, respectivamente. 
 
 
54 
 
A los cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos dividiendo al conjunto de datos en 
partes iguales se les llama en conjunto cuantiles. Para el cálculo de estos valores cuando se tienen 
datos agrupados ver los problemas 3.44 a 3.46. 
 
𝑄𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
4
− ∑ 𝑓𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑘
. 𝐶 
 
𝐷𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
10
− ∑ 𝑓𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑘
. 𝐶 
 
𝑃𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
100
− ∑ 𝑓𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑘
. 𝐶 
 
 
PROBLEMAS y EJERCICOS A RESOLVER 
 
 
3.6 Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. 
Hallar la media, mediana y moda de estas calificaciones. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
3.7 Un científico mide diez veces el diámetro de un cilindro y obtiene los valores 3.88, 
4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 centímetros (cm). Hallar las medidas de 
tendencia central de estas mediciones. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
55 
 
 
3.10 De 100 números, 20 fueron 4 , 40 fueron 5, 30 fueron 6 y los restantes fueron 7. 
Encuéntrese la media aritmética, mediana y moda de estos números. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
3.15 Usando la distribución de frecuencias de las estaturas que se presenta en la tabla, 
hallar la estatura media de los 100 estudiantes de la universidad XYZ. 
 
 
 
 
Estatura (in) Frecuencias ( f ) Marcas de clase (X) 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
5 
18 
42 
27 
8 
 
 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
56 
 
 
 
3.22 Emplee la tabla del ejercicio anterior para hallar la estatura media de los 100 
estudiantes de la universidad XYZ utilizando la fórmula para datos agrupados por el método 
de compilación (codificado). 
 
Estatura (in) F X fac µ F µ 
 
 
 
 
 
 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________ 
 
 
57 
 
3.23 Calcule el salario medio semanal de los 65 empleados de la empresa P&R a partir de la 
distribución de frecuencias de la tabla, empleando: a) el método largo y b) el método 
codificado. 
Salarios Número de 
empleados 
 
 
$250 - $259 
$260 - $269 
$270 - $279 
$280 - $289 
$290 - $299 
$300 - $309 
$310 - $319 
 
8 
10 
16 
14 
10 
5 
2 
 
 Total 65 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
58 
 
3.26 En los cajeros automáticos de cinco lugares de una ciudad grande, se registró la 
cantidad de transacciones por día. Los datos fueron 35, 49, 225, 50, 30, 65, 40, 55, 52, 76, 
48, 325, 47, 32 y 60. Encontrar las medidas de tendencia central: 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
3.27 Si en una ordenación se tienen: a) 85 y b) 150 números, ¿cómo se encuentra la 
mediana de estos números? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
59 
 
 
 
3.28 A partir de los datos de la tabla, encontrar el peso mediano de los 40 estudiantes de la 
universidad estatal. 
 
 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Peso Lbs. F X Fac 
118-126 3 
127-135 5 
136-144 9 
145-153 12 
154-162 5 
163-171 4 
172-180 2 
 N=40 
 
 
60 
 
3.31 Encontrar la media, la mediana y la moda de los conjuntos: 
a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 y 
b) 51.6, 48.7, 50.3, 49.5, 48.9. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
El número de decesos a causa de accidente de motocicleta de encuentra 
registrada en el siguiente diagrama de barras: 
 
Calcula si es posible las medidas de tendencia central del conjunto de datos, 
si no, justifique por qué: 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
61 
 
 
 
Calcula las medidas de tendencia central del conjunto de datos 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
62 
 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES 
 
3.44 Para los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R, encontrar: 
a) los cuartiles Q1, Q2 y Q3 y 
b) los decilesD1, D2, . . . , D9. 
 
 
Salarios Número de 
empleados 
 
 
$250 - $259 
$260 - $269 
$270 - $279 
$280 - $289 
$290 - $299 
$300 - $309 
$310 - $319 
 
8 
10 
16 
14 
10 
5 
2 
 
 Total 65 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
63 
 
Diagrama de cajas y Bigotes – Box –Plot 
Un diagrama de cajas y bigotes es una manera conveniente de mostrar visualmente grupos 
de datos numéricos a través de sus cuartiles. 
Las líneas que se extienden paralelas a las cajas se conocen como «bigotes», y se usan para 
indicar variabilidad fuera de los cuartiles superior e inferior. Los valores atípicos se 
representan a veces como puntos individuales que están en línea con los bigotes. Los 
diagramas de cajas y bigotes se pueden dibujar vertical u horizontalmente. 
Normalmente utilizado en estadísticas descriptivas, los gráficos de cajas y bigotes son una 
excelente forma de examinar rápidamente uno o más conjuntos de datos gráficamente. 
Aunque parezcan primitivos en comparación con un Histograma o un Gráfico de Densidad, 
tienen la ventaja de ocupar menos espacio, lo cual es útil cuando se comparan distribuciones 
entre muchos grupos o conjuntos de datos. 
Aquí están los tipos de observaciones que uno puede hacer al ver un diagrama de cajas y 
bigotes: 
 Cuáles son los valores clave, tales como: el promedio, el percentil 25, 50, 75 etc. 
 Si hay valores atípicos y cuáles son sus valores. 
 Si los datos son simétricos 
 Cuán estrechamente se agrupan los datos. 
 Si los datos están sesgados y si es así, en qué dirección. 
Diagrama para datos no agrupados 
 
Diagrama para datos agrupados 
 
 
 LI Q1 Q2 Q3 LS 
 
LI= Limite Inferior 
LS=Limite Superior 
RI= Rango Intercuartílico 
RI= Q3-Q1 
LI=Q1-1.5RI 
LS=Q3 + 1.5RI 
https://datavizcatalogue.com/ES/metodos/histograma.html
https://datavizcatalogue.com/ES/metodos/grafico_de_densidad.html
 
 
64 
 
Ejemplos 
 
Representar los siguientes datos en un diagrama de cajas y bigotes 
 
36 25 37 24 39 20 36 45 31 31 
39 24 29 23 41 40 33 24 34 40 
 
 
 
 
 
65 
 
 
 
Estatura (in) Frecuencias ( f ) Frecuencia acumulada 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
5 
18 
42 
27 
8 
 
 
 
 
 
 
66 
 
Ejercicios propuestos 
LA MEDIA ARITMÉTICA 
3.53 En cinco materias, un estudiante obtuvo las calificaciones siguientes: 85, 76, 93, 82 y 
96. Determinar la media aritmética de estas calificaciones. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.54 Un psicólogo mide los tiempos de reacción de un individuo a ciertos estímulos, éstos 
fueron 0.53, 0.46, 0.50, 0.49,0.52, 0.53, 0.44 y 0.55 segundos, respectivamente. Estimar el 
tiempo medio de reacción del individuo a estos estímulos. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.55 Un conjunto de números consta de 6 seises, 7 sietes, 8 ochos, 9 nueves y 10 dieces. 
¿Cuál es la media aritmética de estos números? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.56 Un estudiante obtuvo las calificaciones siguientes en tres aspectos de un curso: 71, 78 y 
89, respectivamente. 
a) Si los pesos que se acuerda dar a estas calificaciones son 2, 4 y 5, respectivamente, ¿cuál 
es una calificación promedio apropiada? 
b) ¿Cuál es la calificación promedio si se usan pesos iguales? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
67 
 
3.57 Los promedios de calificación en los cursos de tres
maestros de economía son 79, 74 y 
82, y sus grupos constan de 32, 25 y 17 alumnos, respectivamente. Determinar la 
calificación media de los tres cursos. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.58 El salario anual medio pagado a los empleados de una empresa es $36 000. Los salarios 
anuales medios pagados a hombres y mujeres de la empresa son $34 000 y $40 000, 
respectivamente. Determinar el porcentaje de hombres y mujeres empleados por la 
empresa. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.59 Se ha efectuado la determinación de la cantidad de ácido úrico (mg/l) en la sangre de 
un grupo de 99 personas normales resultando los valores siguientes: 
31 61 46 58 46 60 36 53 43 38 54 47 52 55 44 62 71 55 41 50 54 45 46 54 42 46 49 
53 52 53 51 38 46 52 70 69 51 46 46 48 66 68 53 46 47 43 58 90 52 42 55 41 58 50 
78 64 40 57 56 54 41 59 44 54 53 55 61 61 75 37 48 43 47 72 51 48 62 66 52 47 47 
51 67 47 41 51 47 57 67 61 39 56 46 84 63 54 47 47 46 
(a)Construye una tabla de frecuencias para estos datos (realizar previamente el diagrama 
tallo-hoja). 
(b)Representa gráficamente los datos anteriores mediante un histograma y polígono de 
frecuencias (tanto para frec. acumuladas como sin acumular). 
(c)Caracteriza estos datos mediante los valores típicos adecuados. 
(d)Construye y comenta el box-plot correspondiente 
 
 
 
 
 
68 
 
LA MEDIANA 
3.65 Encontrar la media y la mediana de estos conjuntos de números: 
a) 5, 4, 8, 3, 7, 2, 9 y 
b) 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8, 19.7, 20.0. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.66 Encontrar la calificación mediana del problema 3.53 y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.67 Encontrar el tiempo mediano de reacción del problema 3.54 y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.68 Encontrar la mediana del conjunto de números del problema 3.55 y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
69 
 
3.69 Encontrar la mediana del ácido úrico en la sangre del problema 3.59 y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.73 En la tabla se da la cantidad, en miles, de muertes en Estados Unidos ocurridas en 1993 
a causa de enfermedades cardiacas. Encontrar la edad media, mediana, la moda y comentar 
cada uno de ellos. 
Grupos de 
edad 
Miles de 
muertes 
Total 743.3 
Menos de 1 0.7 
1 a 4 0.3 
5 a 14 0.3 
15 a 24 1.0 
25 a 34 3.5 
35 a 44 13.1 
45 a 54 32.7 
55 a 64 72.0 
65 a 74 158.1 
75 a 84 234.0 
85 a mas 227.6 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
70 
 
 
LA MODA 
3.76 Encontrar la media, la mediana y la moda de cada uno de los conjuntos de números 
siguientes: 
a) 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9, 7 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.77 En el problema 3.53 encontrar la calificación modal y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.78 En el problema 3.54 encontrar el tiempo de reacción modal y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
71 
 
3.79 En el problema 3.55 encontrar la moda del conjunto de números y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.80 En el problema 3.59 encontrar la moda y comentar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.85 ¿Cuál es el grupo de edad modal en la tabla del problema 3.73? 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES 
 
3.107 En la tabla 3.13 se presenta una distribución de frecuencias de las calificaciones en 
un examen final de bioestadística. 
a) Encontrar los cuartiles de esta distribución y 
b) interpretar claramente cada uno de ellos. 
 
Tabla 3.13 
Calificación Cantidad de 
estudiantes 
90-100 9 
80-89 32 
70-79 43 
60-69 21 
50-59 11 
40-49 3 
30-39 1 
Total 120 
 
 
 
72 
 
3.108 Encontrar los cuartiles Q1, Q2 y Q3 de las distribuciones: 
a) del problema 3.59 y 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
b) representar en un diagrama de cajas y bigotes e interpretar claramente cada uno de 
ellos. 
 
 
 
 
73 
 
 
3.109 Graficar el diagrama de cajas y bigotes del problema 3.55 donde el conjunto de 
números consta de 6 seises, 7 sietes, 8 ochos, 9 nueves y 10 dieces. Interpretar claramente 
cada valor visualizado en el gráfico. 
 
 
3.110 Encontrar: 
a) P10, 
b) P90, 
c) P25 y 
d) P75 
en los datos del problema 3.59. Interpretar claramente cada uno de ellos. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
 
 
 
74 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
3.111 a) ¿Se pueden expresar todos los deciles y cuartiles como percentiles? Explicar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
b) ¿Se pueden expresar los cuartiles como percentiles? Explicar. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
3.112 Para los datos del problema 3.107, determinar: 
a) la calificación más baja obtenida por el 25% superior de los alumnos y 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
b) la puntuación más alta alcanzada por el 20% inferior de los alumnos. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
Interpretar las respuestas en términos de percentiles. 
 
 
 
75 
 
3.113 Interpretar gráficamente los resultados del problema 3.107 empleando: 
a) un histograma porcentual, 
b) un diagrama de cajas y bigotes. 
 
 
 
 
 
76 
 
4 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS 
MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
 
 
 
 
 
 
DISPERSIÓN O VARIACIÓN 
 
El grado de dispersión de los datos numéricos respecto a un valor promedio se llama 
dispersión o variación de los datos. Existen varias medidas de dispersión (o variación), las 
más usadas son el rango, la desviación media, el rango semiintercuartil (Q3 - Q1), el rango 
percentil (P10 - P90) y la desviación estándar. 
 
RANGO 
 
El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el número mayor y el 
número menor del conjunto. 
 
EJEMPLO1 El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es 12−2=10. Algunas veces el 
rango se da mediante el número menor y el número mayor, así, por ejemplo, en el caso 
del conjunto anterior, simplemente se indica de 2 a 12 o 2-12. 
DESVIACIÓN MEDIA 
La desviación media, o desviación promedio, de un conjunto de N números X1,X2,...,XN se 
abrevia DM y está definida así: 
𝐷𝑀 =
∑|𝑋 − �̅�|
𝑁
 
 
 
EJEMPLO 2 Encuentre la desviación media del conjunto 2, 3, 6, 8, 11. 
Media aritmética Ẋ = (2+3+6+8+11)/ 5 = 6 
DM ={I2-6I + I3-6I + I6-6I + I8-6I + I11-6I}/5= 2.8 
 
 
77 
 
DESVIACIÓN ESTÁNDAR 
La desviación estándar de un conjunto de N números X1, X2, . . . , XN se denota como S y está 
definida por 
 
𝑆 = √
∑(𝑋 − �̅�)2
𝑛 − 1
 𝑜 𝜎 = √
∑(𝑋 − 𝜇)2
𝑁
 
En donde S es el desvío típico muestral 
𝜎 es el parámetro desvío típico poblacional 
𝜇 es la media poblacional 
n es la cantidad de la muestra 
N es el tamaño de la población 
OBS.: el desvío típico también es llamado error típico o error estándar o desvío estándar 
VARIANZA 
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar y, 
por lo tanto, corresponde al valor s2 en las ecuaciones. Cuando es necesario distinguir la 
desviación estándar de una población de la desviación estándar de una muestra obtenida de 
esa población, se suele emplear S para la última y σ (letra griega sigma minúscula) para la 
primera. De manera que s2 y σ2 representan la varianza muestral y la varianza poblacional, 
respectivamente. 
Por lo tanto 
Si 
𝑆 = √
∑(𝑋 − �̅�)2
𝑛 − 1
 
 
 
Entonces 
𝑆2 =
∑(𝑋 − �̅�)2
𝑛 − 1
 
Como también 
𝜎2 =
∑(𝑋 − 𝜇)2
𝑁
 
 
 
 
78 
 
En los casos en donde se conoce se conoce el valor de la cantidad total de la población (N) 
se aplica un factor de corrección para la varianza como para la desviación media para una 
mejor aproximación. 
 
En donde queda de la siguiente manera: 
𝑆 = √
∑(𝑋 − �̅�)
2
𝑛 − 1
. √
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
 
 
𝑆2 =
∑(𝑋 − �̅�)2
𝑛 − 1
.
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1
 
 
Regla de Oro del desvío típico en la distribución normal 
El error típico por definición es la raíz del cuadrado de las diferencias de todos los datos con 
respecto a la media sobre la cantidad por lo que, considerando la distribución en la forma 
estandarizada a la que converge tiene ciertas características muy interesantes y de mucha 
utilidad en a hora de interpretar los datos. 
 
 
 
 
 
 
 
79 
 
Coeficiente de Variación (C.V.) 
 
El coeficiente de variación (CV) es definido como el error estándar de la estimación dividido 
por el valor estimado. Se lo conoce como error relativo. 
 
𝐶𝑉 =
𝜎
𝜇
x100 =
𝑠
�̅�
x100 
El coeficiente de variación indica más claramente el nivel de precisión de una estimación; en 
efecto, en las encuestas de hogares la experiencia ha demostrado que estimaciones con un 
coeficiente de variación de hasta un 5 por ciento son muy precisas; si el coeficiente de 
variación llega hasta un 10 por ciento, las estimaciones siguen siendo precisas; un coeficiente 
de variación con un valor de hasta 20 por ciento es aceptable; y por último, más allá de un 20 
por ciento indica que la estimación es poco confiable y, por tanto, se debe utilizar con 
precaución. 
 
Problemas 
EL RANGO 
4.1 Encontrar el rango de los conjuntos: 
a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 y 
b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
80 
 
4.2 Encontrar el rango de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ dadas en la 
tabla. 
 
Estatura (in) Marcas de clase (X) Frecuencias ( f ) fX 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
61 
64 
67 
70 
73 
5 
18 
42 
27 
8 
305 
1 152 
2 814 
1 890 
584 
 N =∑ f=100 ∑ fX =6 745 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
LA DESVIACIÓN MEDIA 
4.3 Encontrar la desviación media de los conjuntos de números del problema 4.1. 
a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 y 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
 
 
81 
 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
82 
 
 
 
b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
83 
 
 
 
4.4 Encontrar la desviación media de las estaturas de 100 estudiantes de la universidad XYZ. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR 
4.9 Encontrar la desviación estándar S de cada uno de los conjuntos de números del 
problema 4.1. 
a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 y 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
 
Estatura (in) 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
 
 
 
 
84 
 
b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18. 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________ 
4.11 Encuentre la desviación estándar de las estaturas de los 100 estudiantes de la 
universidad XYZ y dar un intervalo de confianza en donde encontraría el 68%, 95% y 99% de 
los datos en torno a la media. 
 
 
 
 
 
 
 
Estatura (in) Marcas de clase (X) Frecuencias ( f ) 
60-62 
63-65 
66-68 
69-71 
72-74 
61 
64 
67 
70 
73 
5 
18 
42 
27 
8 
 
 N =∑ f=100 
 
 
85 
 
 
Problemas suplementarios 
RANGO 
 
4.33 Encontrar el rango de los conjuntos: 
a) 5, 3, 8, 4, 7, 6, 12, 4, 3 y 
b) 8.772, 6.453, 10.624, 8.628, 9.434, 6.351. 
 
 
 
 
 
 
4.34 Encontrar el rango de las cargas máximas dadas en la tabla 
Carga Máxima (toneladas 
cortas) 
Cantidad de 
cables 
9.3-9.7 2 
9.8-10.2 5 
10.3-10.7 12 
10.8-11.2 17 
11.3-11.7 14 
11.8-12.2 6 
12.3-12.7 3 
12.8-13.2 1 
 N=60 
 
4.36 En 50 medidas, la mayor es de 8.34 kilogramos (kg). Si el rango es 0.46 kg, 
encontrar la medida menor. 
 
4.37 En la tabla siguiente se dan las semanas que necesitaron 25 trabajadores, que 
perdieron su trabajo por reducción de personal en sus empresas, para encontrar un 
nuevo empleo. Encontrar el rango de estos datos. 
 
13 13 17 7 22 
22 26 17 13 14 
16 7 6 18 20 
10 17 11 10 15 
16 8 16 21 11 
 
 
 
86 
 
− 
ffiffi
 
 
DESVIACIÓN MEDIA 
 
4.38 Encontrar el valor absoluto de: 
a) −18.2, 
b) +3.58, 
c) 6.21, 
d) 0, 
e) -√2 y 
f) 4.00 −2.36 −3.52. 
 
 
4.39 Encontrar la desviación media de los conjuntos: 
a) 3, 7, 9, 5 y 
b) 2.4, 1.6, 3.8, 4.1, 3.4. 
4.40 Encontrar la desviación media de los conjuntos de números del problema. 
a) 5, 3, 8, 4, 7, 6, 12, 4, 3 y 
b) 8.772, 6.453, 10.624, 8.628, 9.434, 6.351. 
 
 
4.41 Encontrar la desviación media de las cargas máximas dadas en la tabla 
Carga Máxima (toneladas 
cortas) 
Cantidad de 
cables 
9.3-9.7 2 
9.8-10.2 5 
10.3-10.7 12 
10.8-11.2 17 
11.3-11.7 14 
11.8-12.2 6 
12.3-12.7 3 
12.8-13.2 1 
 N=60 
 
LADESVIACIÓN ESTÁNDAR 
 
4.56 Encontrar la desviación estándar de los conjuntos: 
 
 
87 
 
a) 3, 6, 2, 1, 7, 5, 
b) 3.2, 4.6, 2.8, 5.2, 4.4, y 
c) 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1. 
 
4.57 a) Sumando 5
a cada uno de los números del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5 se obtiene el conjunto 8, 11, 7, 6, 12, 10. Mostrar 
que los dos conjuntos tienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. ¿Qué relación hay entre las 
medias? 
 b) Si cada uno de los números del conjunto 3, 6, 2, 1, 7 y 5 se multiplica por 2 y después se le suma 5, se obtiene el 
conjunto 11, 17, 9, 7, 19, 15. ¿Qué relación existe entre las medias y las desviaciones estándar de estos dos conjun- 
tos? 
 
 
 
4.58 Encontrar la desviación estándar del conjunto de números de la progresión aritmética 4, 10, 16, 22,..., 154. 
4.59 Encontrarla media, mediana, desviaciónestándar y varianzaenlasdistribuciones: 
 
 
4.66 a) Encontrar la media y la desviación estándar de los datos del problema. 
 b) Construir una distribución de frecuencia para los datos y encontrar la desviación estándar. 
 
 138 164 150 132 144 125 149 157 
146 158 140 147 136 148 152 144 
168 126 138 176 163 119 154 165 
146 173 142 147 135 153 140 135 
 161 145 135 142 150 156 145 128 
 
 
 
 
 
Carga Máxima (toneladas 
cortas) 
Cantidad de 
cables 
9.3-9.7 2 
9.8-10.2 5 
10.3-10.7 12 
10.8-11.2 17 
11.3-11.7 14 
11.8-12.2 6 
12.3-12.7 3 
12.8-13.2 1 
 N=60 
 
 
88 
 
Métodos de Muestreo 
¿Por qué muestrear? 
Muestreo es la actividad por la cual se toman ciertas muestras de una población de 
elementos de los cuales vamos a tomar ciertos criterios de decisión, el muestreo es 
importante porque a través de él podemos hacer análisis de situaciones de una 
empresa o de algún campo de la sociedad. 
¿Y porque no se estudia la población completa? 
Se preguntarían algunos, pero en ocasiones no es factible, veamos algunas razones 
por las cuales conviene muestrear: 
1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas. 
Por ejemplo se quiere conocer la resistencia de los tornillos que se fabrica en una 
planta, para conocerla es necesario destruir el producto, lógicamente no podemos 
probar toda la población porque nos quedaríamos sin productos. 
2. La imposibilidad física de chequear todos los elementos de la población. 
Por ejemplo se quiere conocer el efecto de un nuevo insecticida en las moscas, 
como se puede comprender no es posible contactar a todas las moscas para 
realizar el estudio. 
3. El costo de estudiar a toda la población es muy alto. 
Por ejemplo se quiere conocer la opinión de la población sobre cierto personaje de 
la política, si en el país hay 100 millones de habitantes, se tendría que contratar 
mucho personal y equipo para realizar el estudio. 
4. El tiempo para contactar a toda la población es inviable. 
En ocasiones se necesita información rápida para tomar una decisión importante, tal 
vez estudiar a toda la población nos lleve más tiempo del que disponemos. 
Por las razones anteriores, en muchos casos es conveniente el uso de muestras, 
pero para que podamos extraer conclusiones, es importante que elijamos bien las 
muestras para nuestros estudios. Hay cuestiones que debemos especificar a la hora 
de elegir una muestra: 
a) El tipo de muestreo que se va a utilizar. 
b) El tamaño de la muestra. 
c) El nivel de confianza de las conclusiones que vamos a presentar. 
 
 
89 
 
Clasificación de los métodos de muestreo 
Los métodos de muestreo pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de 
muestreo probabilísticos y métodos de muestreo no probabilísticos. 
Muestreos no probabilísticos 
No sirven para realizar generalizaciones, pues no se tiene certeza de que la muestra 
extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la 
misma probabilidad de ser elegidos. En general se seleccionan a los sujetos 
siguiendo determinados criterios procurando que la muestra sea representativa. 
Muestreo intencional u opinativo: 
En el que la persona que selecciona la muestra es quien procura que sea 
representativa, dependiendo de su intención u opinión, siendo por tanto la 
representatividad subjetiva. 
Muestreo sin norma: se toma la muestra sin norma alguna, la muestra podría ser 
representativa si la población es homogénea y no se producen sesgos de selección. 
Muestreos probabilísticos 
Los muestreos probabilísticos son aquellos en los que todos los individuos tienen la 
misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra. Dentro de los 
métodos de muestreo probabilísticos encontramos los siguientes tipos: 
1. Muestreo aleatorio simple 
2. Muestreo sistemático 
3. Muestreo estratificado 
4. Muestreo por conglomerados 
Muestreo aleatorio simple 
Una muestra seleccionada de modo que cada uno de los individuos en la población 
tengan las mismas posibilidades de ser seleccionados. 
El procedimiento de selección consiste en: 
 primeramente se asigna un número a cada elemento de la población, 
 
 
90 
 
 después al azar (como una urna, tablas de números aleatorios, números 
aleatorios generados electrónicamente, etc.) se eligen los elementos 
necesarios para la muestra. 
La ventaja de este método de muestreo 
 
Es que es sencillo y de fácil comprensión. Sus desventajas son: requiere que se 
posea de antemano un listado completo de toda la población y que cuando se 
trabaja con muestras pequeñas es posible que no represente a la población 
adecuadamente. 
Ejemplo de muestreo aleatorio simple 
 
En una compañía con 150 trabajadores se quiere obtener una muestra aleatoria de 
15 elementos para un chequeo médico. Se sigue el siguiente procedimiento: 
1) Los trabajadores fueron numerados del 1 al 150 
2) Mediante una tabla de números aleatorios se procede a seleccionarlos. 
3) El punto de arranque en la tabla se fija mediante la hora en ese momento, 4:03, 
por lo tanto se inicia en la fila 4, columna 3. 
4) Como los números de los trabajadores van desde 1 hasta 150 solo se toman en 
cuenta las primeras 3 cifras de cada número y se registran los números que se 
vayan encontrando en ese rango. 
El primer número encontrado fue el 078 en la fila 4 columna 5, se siguen revisando 
los números horizontalmente, el siguiente seleccionado es el 134 y así 
sucesivamente. La muestra de 15 números seria la siguiente: 
 
 
078 134 
 
 
 
 
 
 
 
 
91 
 
 
 
 
 TABLA DE NUMEROS ALEATORIOS 
 1 AL 5 6 AL 
10 
11 AL 
15 
16 AL 
20 
21 AL 
25 
26 AL 
30 
31 AL 
35 
36 AL 
40 
41 AL 
45 
46 AL 
50 
51 AL 
55 
56 AL 
60 
61 AL 
65 
66 AL 
70 
1 10480 15011 01536 02011 81647 91646 69179 14194 62590 36207 20969 99570 91291 90700 
2 22368 46573 25595 85393 30995 89198 37982 53402 93965 34095 52666 19174 39615 99505 
3 24130 48360 22527 97265 76393 64809 15179 24830 49340 32081 30680 19655 63348 58629 
4 42167 93093 06243 61680 07856 16376 39440 53537 71341 57004 00849 74917 97758 16379 
5 37570 39975 81837 16656 06121 91782 60468 81305 49684 60672 14110 06927 01263 54613 
6 77921 06907 11008 42751 27756 53498 18602 70659 90665 15053 21916 81825 44394 42880 
7 99562 72905 56420 69994 98872 31016 71194 18738 44013 48840 63213 21069 10634 12952 
8 96301 91977 05463 07972 18876 20922 94595 56869 69014 60045 18425 84903 42508 32307 
9 89579 14342 63661 10228 17453 18103 57740 84378 25331 12566 58678 44947 05585 56941 
10 85475 36857 53342 53988 53060 59533 38867 62300 08158 17983 16439 11458 18593 64952 
11 28918 69578 88231 33276 70997 79936 56865 05859 90106 31595 01547 85590 97610 78188 
12 63553 40961 48235 03427 49626 69445 18663 72695 52180 20847 12234 90511 33703 90322 
13 09429 93969 52636 92737 88974 33488 36320 17617 30015 08272 84115 27156 30613 74952 
14 10365 61129 87529 85689 48237 52267 67689 93394 01511 26358 85104 20285 29975 89868 
15 07119 97336 71048 08178 77233 13916 47564 81056 97735 85977 29372 74461 28551 90707 
16 51085 12765 51821 51259 77452 16308 60756 92144 49442 53900 70960 63990 75601 40719 
17 02368 21382 52404 60268 89368 19885 55322 44819 01188 65255 64835 44919 05944 55157 
18 01011 54092 33362 94904 31273 04146
18594 29852 71585 85030 51132 01915 92747 64951 
19 52162 53916 46369 58586 23216 14513 83149 98736 23495 64350 94738 17752 35156 35749 
20 07056 97628 33787 09998 42698 06691 76988 13602 51851 46104 88916 19509 25625 58104 
21 48663 91245 85828 14346 09172 30168 90229 04734 59193 22178 30421 61666 99904 32812 
22 54164 58492 22421 74103 47070 25306 76468 26384 58151 06646 21524 15227 96909 44592 
23 32639 32363 05597 24200 13363 38005 94342 28728 35806 06912 17012 64161 18296 22851 
24 29334 37001 87637 87308 58731 00256 45834 15398 46557 41135 10367 07684 36188 18510 
25 02488 33062 28834 07351 19731 92420 60952 61280 50001 67658 32586 86679 50720 94953 
26 81525 72295 04839 96423 24878 82651 66566 14778 76797 14780 13300 87074 79666 95725 
27 29676 20591 68086 26432 46901 20849 89768 81536 86645 12659 92259 57102 80428 25280 
28 00742 57392 39064 66432 84673 40027 32832 61362 98947 96067 64760 64584 96096 98253 
29 05366 04213 25669 26422 44407 44048 37937 63904 45766 66134 75470 66520 34693 90449 
30 91921 26418 64117 94305 26766 25940 39972 22209 71500 64568 91402 42416 07844 69618 
31 00582 04711 87917 77341 42206 35126 74087 99547 81817 42607 43808 76655 62028 76630 
32 00725 69884 62797 56170 86324 88072 76222 36086 84637 93161 76038 65855 77919 88006 
33 69011 65795 95876 55293 18988 27354 26575 08625 40801 59920 29841 80150 12777 48501 
34 25976 57948 29888 88604 67917 48708 18912 82271 65424 69774 33611 54262 85963 03547 
35 09763 83473 73577 12908 30833 18317 28290 35797 05998 41688 34952 37888 38917 88050 
 
 
 
 
 
92 
 
En la tabla se tiene la lista de funcionarios de un determinado hospital de la zona, el 
departamento de investigación desea conocer la calidad de vida de los funcionarios de dicha 
institución para lo cual desea hacer unos estudios, se desea tomar una muestra de 25 
personas aplicando el muestreo aleatorio simple. Elabora una lista de personas 
seleccionadas para la muestra utilizando la tabla de números aleatorios 
1.___________2._____________3.____________4.____________5.____________ 
6.___________7._____________8.____________9.___________10.____________ 
11.__________12.____________13.___________14.__________15.____________ 
16.__________17.____________18.___________19.___________20.___________ 
21.__________22.____________23.___________24.___________25.___________ 
Nro Nombres Nro Nombres Nro Nombres Nro Nombres 
1 DIANA 33 FACUNDO DAMIAN 65 Wilson Gabriel 97 ARACELI MAGALI 
2 JULIO CESAR 34 Ada Romina 66 MARCOS DANIEL 98 Johana Gisselle 
3 FRANCISCO EZEQUIEL 35 Charles Ulises 67 CAMILA ELIZABETH 99 FABIANA ELICED 
4 Dahiana Jazmín 36 Lourdes Sofía 68 ELIZABETH 100 PERLA MARIA 
5 SANDRA ELIZABETH 37 Pedro Moises 69 GILBERTO ENMANUEL 101 MARIA ANGELICA 
6 Williams Luis 38 LUIS ALBERTO 70 JUAN CARLOS 102 HUGO ALEXIS 
7 Kevyn Eduardo 39 ANDREA LETICIA 71 Nélida Mariel 103 ANA LIZ 
8 Laila 40 María Isabel 72 Jose Adrian 104 JORGE 
9 Tamara Belén 41 MAURICIO LUIS 73 Erika Fabiola 105 Sergio David 
10 Cristhian Joel 42 LETICIA MONSERRAT 74 Luis Fernando 106 FABIO ADRIAN 
11 Fernando Sebastián 43 FERNANDO DAVID 75 BRUNO ADRIAN 107 Ingrid Caroline 
12 Juan Bautista 44 Karen Rocio 76 CRISTHIAN RAMON 108 Tania Vanessa 
13 Jean Cris 45 Daniel 77 JORGE EZEQUIEL 109 MIKAELA SOLEDAD 
14 Charlie Anthony Daniel 46 Leticia Antonella 78 KAMILA BELEN 110 Nicolás David 
15 LUCAS IMANOL 47 Liz Paola 79 Claudia Genara 111 Juan Gabriel 
16 Luis Marcelo 48 Ronald Daniel 80 Adriana Jazmín 112 Nathalia Montserrat 
17 Maria Angelica 49 Lilian Araceli 81 Osmar Ariel 113 ANDREA 
18 NATHALY FABIANA 50 Gloria Rocío 82 MARIA BELEN 114 Fabio Manuel 
19 MICHELL OSMAR 51 Orlando Gabriel 83 CARLOS DANIEL 115 MARIA VICTORIA 
20 IVANA VICENTA 52 Leonardo David 84 CARMEN GABRIELA 116 Karina Noemí 
21 Andrés Matias 53 CLAUDIA LUCINA 85 Frances Milenne 117 KAREN RUBINA 
22 Dahiana Patricia 54 ADAN ELIAS 86 Marlene Rocio 118 Gustavo David 
23 MAIRA SOLEDAD 55 LIZ CRISTINA 87 DENIS 119 Dyrce Lorena 
24 ANA KAREN 56 Alan Aaron 88 Gessica Monserrat 120 ALVARO EDMUNDO 
25 CESAR LUIS 57 Lucero Belén 89 FRANCISCO 121 Amada Angelica 
26 Sara Luján 58 JOHANA FIORELLA 90 MARIA JOSE 122 Harleyn Jemima 
27 Gessica Tamara 59 ESTELA MILENA 91 Leidy Milena 123 Jose Antonio 
28 Karen Elizabeth 60 MAYRA GABRIELA 92 Aldo Ramón 124 Hugo Fernando 
29 Pablo Rafael 61 Analía 93 Natalia Belén 125 Adriana Fatima 
30 Francisco Andres 62 Aldo Genaro 94 OSVALDO ARIEL 126 Maria Jazmin 
31 JOHNATAN 63 José Emanuel 95 GILL JOSUE 127 Marcelo Emanuel 
32 VICTOR MANUEL 64 Gustavo Ramón 96 Angela Fernanda 128 Jorge Leandro 
 
 
93 
 
Muestreo aleatorio sistemático 
Se acomodan los individuos de la población en cierta forma. Se selecciona un punto 
de partida aleatorio y luego se toma cada k-ésimo miembro para formar parte de la 
muestra. 
El procedimiento de selección consiste en: 
 Primeramente es necesario conocer el número de los elementos de la 
población (N) y el tamaño que deberá tener la muestra (n); 
 Se define cada cuantos elementos de la población seleccionaremos uno para 
la muestra con la siguiente ecuación k = Nn. 
 Se comienza la selección eligiendo aleatoriamente el primer elemento entre 1 
y k, luego se cuentan k elementos y se selecciona el segundo y así 
sucesivamente hasta completar la muestra. 
Las ventajas 
Este método tiene las ventajas: 
 de ser fácil de aplicar, 
 no es necesario tener un listado de toda la población y 
 asegura una cobertura de unidades de todos los tipos. 
Su desventaja 
Es que si la constante de muestreo está asociada con el fenómeno de interés, las 
estimaciones obtenidas a partir de la muestra pueden contener un sesgo. 
 
Ejemplo 
Suponga que la población de interés consiste de 2000 expedientes en un archivo. 
Para seleccionar una muestra de 100 con el método aleatorio simple primero se 
tendría que numerar todos los expedientes. En este método se selecciona el primer 
expediente de acuerdo al método aleatorio simple, luego como se quiere una 
muestra de 100, se divide 2000/100 = 20, y se selecciona un expediente cada 20. 
 
 
 
94 
 
Seleccionemos ahora la lista de funcionarios del ejemplo del muestreo anterior pero 
aplicando el muestreo aleatorio sistemático 
1.___________2._____________3.____________4.____________5.____________ 
6.___________7._____________8.____________9.___________10.____________ 
11.__________12.____________13.___________14.__________15.____________ 
16.__________17.____________18.___________19.___________20.___________ 
21.__________22.____________23.___________24.___________25.___________ 
 
 
 
Nro Nombres Nro Nombres Nro Nombres Nro Nombres 
1 DIANA 33 FACUNDO DAMIAN 65 Wilson Gabriel 97 ARACELI MAGALI 
2 JULIO CESAR 34 Ada Romina 66 MARCOS DANIEL 98 Johana Gisselle 
3 FRANCISCO EZEQUIEL 35 Charles Ulises 67 CAMILA ELIZABETH 99 FABIANA ELICED 
4 Dahiana Jazmín 36 Lourdes Sofía 68 ELIZABETH 100 PERLA MARIA 
5 SANDRA ELIZABETH 37 Pedro Moises 69 GILBERTO ENMANUEL 101 MARIA ANGELICA 
6 Williams Luis 38 LUIS ALBERTO 70 JUAN CARLOS 102 HUGO ALEXIS 
7 Kevyn Eduardo 39 ANDREA LETICIA 71 Nélida Mariel 103 ANA LIZ 
8 Laila 40 María Isabel 72 Jose Adrian 104 JORGE 
9 Tamara Belén 41 MAURICIO LUIS 73 Erika Fabiola 105 Sergio David 
10 Cristhian Joel 42 LETICIA MONSERRAT 74 Luis Fernando 106 FABIO ADRIAN 
11 Fernando Sebastián 43 FERNANDO DAVID 75 BRUNO ADRIAN 107 Ingrid Caroline 
12 Juan Bautista 44 Karen Rocio 76 CRISTHIAN RAMON 108 Tania Vanessa 
13 Jean Cris 45 Daniel 77 JORGE EZEQUIEL 109 MIKAELA SOLEDAD 
14 Charlie Anthony Daniel 46 Leticia Antonella 78 KAMILA BELEN 110 Nicolás David 
15 LUCAS IMANOL 47 Liz Paola 79 Claudia Genara 111 Juan Gabriel 
16 Luis Marcelo 48 Ronald Daniel 80 Adriana Jazmín 112 Nathalia Montserrat 
17 Maria Angelica 49
Lilian Araceli 81 Osmar Ariel 113 ANDREA 
18 NATHALY FABIANA 50 Gloria Rocío 82 MARIA BELEN 114 Fabio Manuel 
19 MICHELL OSMAR 51 Orlando Gabriel 83 CARLOS DANIEL 115 MARIA VICTORIA 
20 IVANA VICENTA 52 Leonardo David 84 CARMEN GABRIELA 116 Karina Noemí 
21 Andrés Matias 53 CLAUDIA LUCINA 85 Frances Milenne 117 KAREN RUBINA 
22 Dahiana Patricia 54 ADAN ELIAS 86 Marlene Rocio 118 Gustavo David 
23 MAIRA SOLEDAD 55 LIZ CRISTINA 87 DENIS 119 Dyrce Lorena 
24 ANA KAREN 56 Alan Aaron 88 Gessica Monserrat 120 ALVARO EDMUNDO 
25 CESAR LUIS 57 Lucero Belén 89 FRANCISCO 121 Amada Angelica 
26 Sara Luján 58 JOHANA FIORELLA 90 MARIA JOSE 122 Harleyn Jemima 
27 Gessica Tamara 59 ESTELA MILENA 91 Leidy Milena 123 Jose Antonio 
28 Karen Elizabeth 60 MAYRA GABRIELA 92 Aldo Ramón 124 Hugo Fernando 
29 Pablo Rafael 61 Analía 93 Natalia Belén 125 Adriana Fatima 
30 Francisco Andres 62 Aldo Genaro 94 OSVALDO ARIEL 126 Maria Jazmin 
31 JOHNATAN 63 José Emanuel 95 GILL JOSUE 127 Marcelo Emanuel 
32 VICTOR MANUEL 64 Gustavo Ramón 96 Angela Fernanda 128 Jorge Leandro 
 
 
95 
 
 
Muestreo aleatorio estratificado 
En un muestreo aleatorio estratificado se divide la población en subgrupos 
denominados estratos, y se selecciona una muestra de cada uno de ellos. En ciertas 
ocasiones resultará conveniente estratificar la muestra según ciertas variables de 
interés. Para ello debemos conocer la composición estratificada de la población 
objetivo a muestrear. Una vez calculado el tamaño muestral apropiado, este se 
reparte de cierta manera que puede ser proporcional o no proporcional entre los 
distintos estratos definidos en la población. Como el nombre lo indica, un 
procedimiento o afijación de muestreo proporcional requiere que el número de 
individuos de cada estrato esté en la misma proporción que la población. 
Ventajas 
Entre sus ventajas, este método asegura que la muestra represente adecuadamente 
a la población en función de ciertas variables seleccionadas, además de obtener 
estimaciones más precisas. 
Desventajas 
La desventaja es que se ha de conocer cómo se distribuye la población de acuerdo 
a las variables utilizadas para la estratificación. 
 
Ejemplo 
Se quiere obtener una muestra de 50 estudiantes de la universidad. Se pretende 
que la muestra sea representativa en relación al lugar de origen de los estudiantes 
(si son de la localidad o son foráneos). Se sabe que en esta universidad el 30% de 
los estudiantes son foráneos. Primero debemos identificar los estratos de la 
población y sus respectivas proporciones: 
 
Estudiantes locales 0.70 
Estudiantes foráneos 0.30 
 
La muestra deberá mantener esas mismas proporciones, para lo cual es preciso 
multiplicar el tamaño de la muestra (n) por las proporciones de los estratos y 
obtenemos el número de elementos que serán seleccionados de cada estrato: 
 
Estudiantes locales (0,70)(50) = 35 
Estudiantes foráneos (0,30)(50) = 15 
 
Ahora se procede a seleccionarlos por medio de alguno de los métodos anteriores. 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
 
96 
 
 
Ejercicios 
Para estimar la media de una cierta variable se ha dividido los datos de la 
variable en 4 estratos. Cada uno de estos estratos contiene el número de 
elementos que se indica: 
Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4 
Tamaño del estrato 110 512 653 221 
 
Si se desea extraer una muestra que globalmente contenga 150 
elementos, Cuantos elementos han de asignarse han de seleccionarse de 
cada estrato 
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
97 
 
Muestreo aleatorio por conglomerados 
El muestreo por conglomerados consiste en dividir la población en sectores o 
conglomerados, seleccionar una muestra aleatoria de esos sectores, y finalmente 
obtener una muestra aleatoria de cada uno de los sectores seleccionados. Muchas 
veces se le emplea para reducir el costo de realizar un muestreo de una población 
dispersa en una gran área geográfica. 
Ventajas 
Entre sus ventajas se encuentra que es muy eficiente cuando la población es muy 
grande y dispersa, además de que no es preciso tener un listado de toda la población, 
sólo de las unidades primarias de muestreo. 
Desventajas 
Su desventaja radica en que una muestra de conglomerados, usualmente produce un 
mayor error muestral (por lo tanto, da menor precisión de las estimaciones acerca de 
la población) que una muestra aleatoria simple del mismo tamaño. 
Ejemplo 
Se quiere conocer la opinión de los padres de familia sobre los temas de educación 
sexual tratados en los libros de texto de primaria en la República Mexicana. Como la 
población está muy dispersa y es muy grande, es necesario hacer un muestreo por 
conglomerados en varias etapas. 
Primero dividimos la República en sectores geográficos, que podrían ser los estados, 
y seleccionamos una muestra aleatoria de ellos. Luego en cada uno de ellos hacemos 
una selección aleatoria de escuelas primarias. Y por último en las escuelas 
seleccionadas obtenemos una muestra aleatoria de padres de familia. 
 
 
 
98 
 
Miscelánea de muestreo 
1. Se sabe que en un país existen grandes diferencias de visitas a hospitales 
en general, en función de la edad, pero no de género. Para estimar el 
porcentaje de personas que acuden a un hospital, el muestreo más 
adecuado (más preciso) se espera que sea el: 
 
a) Muestreo aleatorio con reemplazamiento. 
b) Muestreo aleatorio estratificado por edad. 
c) Muestreo estratificado por género. 
d) Muestreo aleatorio sin reemplazamiento. 
e) Muestreo por conglomerados. 
 
2. A cada empleado nuevo se le da un número de identificación. Los archivos 
de personal se ordenan en secuencia empezando
con el empleado número 
1. Para tomar una muestra de los empleados se seleccionó primero el 
número 153. Luego, los números 253, 353, 453, 553, etc, se convirtieron en 
miembros de las muestras. 
Este tipo de muestreo se le llama: 
 
a) Muestreo estratificado 
b) Muestreo sistemático 
c) Muestreos por conglomerados 
d) Muestreo con reemplazamiento 
e) Muestreo aleatorio simple 
f) Ninguno de los anteriores 
 
 
 
99 
 
 
3. Usted divide un barrio en manzanas; luego selecciona 12 manzanas al 
azar y concentra sus esfuerzos de muestreo en esas doce manzanas. 
Este tipo de muestreo se llama: 
a. Muestreo aleatorio simple 
b. Muestreo estratificado 
c. Muestreos por conglomerados 
d. Muestreo sistemático 
e. Muestreo con reemplazamiento 
f. Ninguno de los anteriores 
4. Para obtener una muestra de facturas del año anterior, un empleado utiliza 
un ordenador y selecciona todas las facturas cuyo nº acaba en 52, es decir las 
facturas número 52, la 152, la 252, .... 
El tipo de muestro utilizado es: 
a) Muestreo aleatorio con reemplazamiento. 
b) Muestreo aleatorio estratificado. 
c) Muestreo sistemático 
d) Muestreo aleatorio sin reemplazamiento 
e) Muestreo por conglomerados 
f) Muestreo por etapas 
g) Muestreo por cuotas 
 
5 En una empresa de 500 empleados el 26% son mujeres. Si se toma una muestra 
aleatoria simple de 100 empleados. El método correcto si se quisiera mantener la 
proporcionalidad por sexos seria: 
a) Muestreo aleatorio simple. 
b) Muestreo aleatorio estratificado. 
c) Muestreo sistemático 
d) Muestreo aleatorio sin reemplazamiento 
e) Muestreo por conglomerados 
f) Muestreo por etapas 
 
 
 
100 
 
Formulario 
 
Medidas de tendencia Central 
 
Datos no agrupados Datos Agrupados 
�̅� =
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 �̅� =
∑ 𝑓.𝑋
𝑛
; �̅� = 𝑋 +
∑ 𝑓.𝜇
𝑛
. 𝐶 
�̂� = 𝑋𝑛+1
2
 �̂� = 𝐹𝐼 +
𝑛
2
−𝑓𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑡.
𝑓𝑚𝑒𝑑.
. 𝐶 
 �̃� = 𝐹𝐼 +
∆1
∆1+∆2
. 𝐶 
Cuantificadores 
 𝑄𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
4
−𝑓𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑡.
𝑓𝑘.
. 𝐶 
 𝐷𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
10
−𝑓𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑡.
𝑓𝑘.
. 𝐶 
 𝑃𝑘 = 𝐹𝐼 +
𝑘.𝑛
100
−𝑓𝑎𝑐.𝑎𝑛𝑡.
𝑓𝑘.
. 𝐶 
 
Medidas de Dispersión 
𝐷𝑀 =
∑ |𝑥𝑖−�̅�|
𝑛
𝑖=1
𝑛
 �̅� =
∑ 𝑓.|𝑥−�̅�|
𝑛
 
𝜎2 =
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛
 𝜎2 =
∑ 𝑓.(𝑥−�̅�)2
𝑛
 
𝜎 = √
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛
 𝜎 = √
∑ 𝑓.(𝑥−�̅�)2
𝑛
 
 
Representatividad y confianza 
𝐶𝑉 =
𝑠
�̅�
x100 =
𝜎
𝜇
x100