Justificando, dê exemplos de conjuntos que:
a) Sejam abertos, mas não fechados;
b) Sejam fechados, mas não abertos;
c) Não sejam fechados nem abertos;
d) Sejam ao mesmo tempo fechados e abertos.
💡 2 Respostas
pokaaaaa
a)
. De fato, X equivale a
X={x∈R:(x>0)∧(x<1)}X={x∈R:(x>0)∧(x<1)}
. Seja
. Tome
ϵ=min{|x−0|,|1−x|}/2ϵ=min{|x−0|,|1−x|}/2
. Então a
de centro x e raio
ϵϵ
está contida em X. De fato, tome
b∈Bb∈B
. Então
|b−0|>ϵ/2>0|b−0|>ϵ/2>0
e
|1−b|>ϵ/2>0|1−b|>ϵ/2>0
. Portanto,
. Note que a sequência está em X e converge para 0. No entanto,
0∉X0∉X
. Acabamos de achar uma sequência em X que converge para um elemento fora de X. Logo, X não é fechado.
b)
X={0}X={0}
. Toda sequência em X converge para X (a saber, a sequência nula constante). Agora tome qualquer
ϵ>0ϵ>0
e seja
. Note que
ϵ/2∈B(0,ϵ)ϵ/2∈B(0,ϵ)
, mas
ϵ/2>0⟹ϵ/2≠0⟹ϵ/2∉Xϵ/2>0⟹ϵ/2≠0⟹ϵ/2∉X
. Logo, toda aberta em torno do conjunto não está contida no conjunto.
c)
. Para ver que não é aberto, note que
B(0,ϵ)⊄XB(0,ϵ)⊄X
pelo mesmo motivo discutido em b) (para qualquer
ϵϵ
). Para ver que não é fechado, seja a sequência
()
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