x² - 2x + 3 = 0
a= 1
b = -2
c = 3
Δ = b² - 4ac
Δ = (-2)² - 4*1*3
Δ = -8
Como Δ < 0, não possui raízes reais.
Xv = -b/2a = -(-2)/2 = 1
Yv = -Δ/4a = -(-8)/4 = 2
Ponto de mínimo = (1,2)
Ponto (0,c) = (0,3)
Gráfico:
Imagem : [2,∞[
Vamos lá...
Primeiro note que dada uma equação do segundo grau na sua forma geral é tal que:
f(x) = ax^2 + bx + c (Parábola)
Seguem os seguintes passos:
(i) Identificando os termos
a = 1
b = -2
c = 3
delta = b^2 - 4ac = -8
Xvértice = -b/2a = 1
Yvértice = -delta/4a = 2
Vércite = (Xvértice,Yvértice) = (1,2)
(ii) Concavidade da curva
Sendo assim como a>0 (concavidade é voltada para cima)
(iii) Interseção com o eixo das ordenadas, isto é, eixo OY
É so observar que se algum ponto intersecta o eixo OY esse ponto é dado quando x=0.
Dai, é só encontrar a imagem de f(x) quando x=0.
f(0) = 0^2 - 2x0 + 3 = 0 + 0 + 3 = 3
(iv) Imagem da função f(x)
Como se trata de uma parábola com a>0 (concavidade voltada para cima) sabe-se que tal função possui valor mínimo. Tal valor é dado pelo Yvertice (Yvertice = 2).
Dessa forma, já pode-se concluir que a imagem de f(x) é sempre maior ou igual à 2.
Matematicamente, uma das diversificadas maneiras de se escrever tal afirmação é:
Im(f(x)) = [2,+inf)
obs.: inf é infinito
(v) Já é possivél esboçar o gráfico com essas informações... (Desculpa a falta de tecnologia)
y ^
° | °
° | °
3 | °
| ° °
2 |--------º (Vértice da Parábola)
---------------|--------|-------------------------> x
| 1
|
(vi) Raízes (Encontram-se as raizes quando f(x) = 0)
Como delta < 0 (Tem-se que não existem raizes reais como solução, isto é, o gráfico de f(x) não intersecta o eixo das abiscissas "OX")
(vii) Adendo
Da solução de equação do segundo grau sabe-se que:
x1 = (-b - sqrt(delta))/2a
x2 = (-b + sqrt(delta))/2a
obs.: sqrt(delta) = "raiz quadrada de delta" = (delta)^(1/2)
Deixando de lado o domínio dos Reais e estudando o campo dos números complexos tem-se que:
x1 = (-b - sqrt(delta))/2a = (2 - sqrt(-8))/2 = (2 - 2 sqrt(2)sqrt(-1))/2 =>
x2 = (-b + sqrt(delta))/2a = (2 + sqrt(-8))/2 = (2 + 2 sqrt(2)sqrt(-1))/2 =>
=> x1 = (1 - sqrt(2)sqrt(-1)) = 1 - sqrt(2)i
=> x2 = (1 + sqrt(2)sqrt(-1)) = 1 + sqrt(2)i
obs.: sqrt(-1) = i (unidade imaginária)
Como era de se esparar as raízes são números complexos conjugadas (x1 = conjugado(x2)).
BONS ESTUDOS!
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Matemática. Ensino Médio e Superior
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