A variável aleatória discreta X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função densidade de probabilidade de X é dada por: P(X = 0) = P (X = ...

Para encontrar a variância da variável aleatória X, podemos usar a fórmula da variância: Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 Primeiro, vamos encontrar a esperança E(X): E(X) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3) + 4 * P(X = 4) + 5 * P(X = 5) Sabemos que P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a e P(X = 4) = P(X = 5) = b. Substituindo esses valores na fórmula, temos: E(X) = 0 * a + 1 * a + 2 * a + 3 * a + 4 * b + 5 * b E(X) = 6a + 9b Agora, vamos encontrar E(X^2): E(X^2) = 0^2 * P(X = 0) + 1^2 * P(X = 1) + 2^2 * P(X = 2) + 3^2 * P(X = 3) + 4^2 * P(X = 4) + 5^2 * P(X = 5) Substituindo os valores de probabilidade, temos: E(X^2) = 0^2 * a + 1^2 * a + 2^2 * a + 3^2 * a + 4^2 * b + 5^2 * b E(X^2) = a + 4a + 4a + 9a + 16b + 25b E(X^2) = 18a + 41b Agora, podemos calcular a variância: Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 Var(X) = 18a + 41b - (6a + 9b)^2 Var(X) = 18a + 41b - (36a^2 + 72ab + 81b^2) Dado que P(X < 2) = 3P(X ≥ 2), podemos escrever: P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = a + a = 2a P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = a + a + b + b = 2a + 2b Substituindo esses valores na equação, temos: 2a = 3(2a + 2b) 2a = 6a + 6b -4a = 6b -2a = 3b Agora, podemos substituir -2a por 3b na equação da variância: Var(X) = 18a + 41b - (36a^2 + 72ab + 81b^2) Var(X) = 18a + 41b - (36a^2 + 72a(-2a) + 81(-2a)^2) Var(X) = 18a + 41b - (36a^2 - 144a^2 + 324a^2) Var(X) = 18a + 41b - 36a^2 + 144a^2 - 324a^2 Var(X) = -180a^2 + 18a + 41b Agora, podemos encontrar a variância igualando a expressão a cada uma das opções fornecidas: -180a^2 + 18a + 41b = 12 -180a^2 + 18a + 41b = 4 -180a^2 + 18a + 41b = 6 -180a^2 + 18a + 41b = 9 -180a^2 + 18a + 41b = 3 Resolvendo cada uma dessas equações, encontraremos o valor da variância.