Problem 2. Demuestra que si f tiene un ĺımite en c ∈ R, entonces este ĺımite es único. Demostración. Utilizando la definición de ĺımite, debe...

Problem 2. Demuestra que si f tiene un ĺımite en c ∈ R, entonces este ĺımite es único.
Demostración. Utilizando la definición de ĺımite, debemos demostrar que L1 = L2. Entonces,
lim
x→a
f(x) = L1 si dado ϵ > 0, ∃ δ1 > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x)− L1| < ϵ
lim
x→a
f(x) = L2 si dado ϵ > 0, ∃ δ2 > 0, tal que si 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |f(x)− L2| < ϵ
Entonces, si
|L1 − L2| = |L1 − L2 + f(x)− f(x)| = |(f(x)− L2)− (f(x)− L1)| ≤ |f(x)− L1|+ |f(x)− L2|
Entonces, obtenemos que |L1 − L2| < ϵ+ ϵ = 2ϵ,∀x tal que 0 < |x− a| < δ donde δ es menor de δ1 y δ2
El único número no negativo que es menor a otro positivo por pequeño que sea es el cero.
|L1 − L2| = 0 =⇒ L1 = L2
Por lo tanto, el ĺımite de una función es único.
a) Demonstrar que si f tiene un límite en c ∈ R, entonces este límite es único.
b) Explicar o conceito de limite de uma função.
1. A demonstração utiliza a definição de limite.
2. A demonstração utiliza a desigualdade triangular.
3. O resultado da demonstração é que o limite de uma função é único.
4. O conceito de limite de uma função é utilizado na demonstração.